Métodos Numéricos
Rui F. Vigelis
rfvigelis@gmail.com
Universidade Federal do Ceará – UFC
Versão:
2022-12-08 08:43:55
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Objetivos:
Capacitar o aluno a identificar e enfrentar os problemas de
Engenharia que possam ser resolvidos com técnicas de Métodos
Numéricos.
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Frequência:
≥ 75%, que equivale a um máximo de 16 horas em faltas.
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Avaliação:
3 avaliações progressivas distribuídas durante o semestre.
Critério de aprovação:
Se 7 ≤ MAPs, o aluno é aprovado por média.
Se 4 ≤ MAPs < 7, o aluno faz a prova de avaliação final.
MAPs + NAF
Se 4 ≤ NAF e 5 ≤ MAF =
, o aluno é aprovado.
2
Caso contrário, o aluno é reprovado.
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Bibliografia:
Franco, Neide Bertoldi. Cálculo Numérico, 1a. ed. São Paulo:
Pearson Prentice Hall, 2006.
Chapra, Steven C. & Canale, Raymond P. Métodos Numéricos
para Engenharia, 5a. ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.
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Conteúdo:
Análise de arredondamento (AP1)
Raízes reais de funções reais (AP1)
Solução de sistemas lineares (AP2)
Interpolação polinomial (AP3)
Integração numérica (AP3)
Solução numérica de equações diferenciais ordinárias (AP3)
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Análise de arredondamento em ponto flutuante
Definição (Sistema de Ponto Flutuante)
Um número real x ̸= 0 é chamado de ponto flutuante (normalizado) se
pode ser expresso como
x = ±0,d1 d2 · · · dt × β e ,
em que
β é a base,
t é o número de dígitos na mantissa, com d1 ̸= 0 e 0 ≤ dj ≤ β − 1,
para j = 1, . . . , t, e
e é o exponente, com −m ≤ e ≤ M.
Usamos a notação F (β, t, m, M) para o conjunto de todos os pontos
flutuantes, fixados β, t, m e M, e adicionando algumas exceções como o
zero.
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Análise de arredondamento em ponto flutuante
Muitos programas de computação numérica adotam o padrão IEEE
(754 2008) para precisão dupla com 64 bits: 1 para o sinal, 11 para
o expoente, 52 para a mantissa.
No padrão IEEE para precisão dupla, pode-se representar números
positivos entre 2,23 × 10−308 e 1,79 × 10308 , aproximadamente.
O padrão IEEE possui uma representação especial para o zero, ±∞
(obtido após a divisão por zero), e NaN (Not a Number, que se
obtém em certas operações como 0/0).
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Análise de arredondamento em ponto flutuante
Seja x um número real dentro dos limites de representação do
sistema em ponto flutuante.
Se x não pertence ao conjunto F (β, t, m, M), ele é representado
pelo seu arredondamento em ponto flutuante, que consiste em
encontrar x ∈ F (β, t, m, M) tal que |x − x| seja o menor possível.
Seja fl(·) a função que associa um número real x ao seu
arredondamento em ponto flutuante.
O valor |x − x| é chamado erro absoluto de arredondamento, e
|x − x|/|x| é chamado de erro relativo de arredondamento.
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Análise de arredondamento em ponto flutuante
Utilizaremos a seguinte regra para arredondamento em ponto
flutuante.
Se x = 0, então x = 0.
Se x ̸= 0, escolhemos fx e gx tais que
|x| = fx × β e + gx × β e−t ,
em que
β −1 ≤ fx < 1 e 0 ≤ gx < 1.
O valor absoluto do número arredondado é então dado por
(
fx × β e ,
se gx < 12 ,
|x| =
e
e−t
fx × β + β , se gx ≥ 12 ,
e com isso x = (sinal x)|x|.
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Análise de arredondamento em ponto flutuante
Exemplo
Represente no sistema F (10, 3, 5, 5) os números:
x1 = 1234,56,
x2 = −0,00054962,
x4 = 123456,7,
x5 = 0,0000001.
x3 = 0,9995,
R.: x 1 = 0,123 × 104 , x 2 = −0,550 × 10−3 , x 3 = 0,100 × 101 ,
|x4 | = 0,1234567 × 106 , |x5 | = 0,1 × 10−6 .
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Análise de arredondamento em ponto flutuante
Definição (Épsilon da Máquina)
O épsilon da máquina, denotado por εmach , é a metade da distância
entre 1 e o menor número em ponto flutuante estritamente maior que 1.
O épsilon da máquina de um sistema F (β, t, m, M) é
εmach =
1 1−t
β .
2
No padrão IEEE para precisão dupla, tem-se
εmach = 2−52 ≈ 2,2 × 10−16 .
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Análise de arredondamento em ponto flutuante
O épsilon da máquina εmach fornece um limitante superior para o
erro relativo do arredondamento em ponto flutuante.
Proposição
Seja x qualquer número real dentro dos limites de representação do
sistema. Então existe ε com |ε| ≤ εmach tal que
fl(x) = x(1 + ε).
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Análise de arredondamento em ponto flutuante
Se gx < 12 , então
|x − x| = |fx × β e + gx × β e−t − fx × β e |
1
= gx × β e−t < β e−t .
2
Se gx ≥ 12 , então
|x − x| = |fx × β e + gx × β e−t − fx × β e − β e−t |
1
= |gx − 1| × β e−t ≤ β e−t .
2
Em ambos os casos,
1 e−t
1
|x − x|
2β
≤ −1
= β 1−t ,
e
|x|
β ×β
2
visto que |x| ≥ β −1 × β e .
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Análise de arredondamento em ponto flutuante
As operações aritméticas básicas +, −, × e / com números reais,
quando realizadas no computador com sistema F (β, t, m, M) serão
denotadas por ⊕, ⊖, ⊗ e ⊘.
As operações aritméticas de ponto flutuante são definidas de modo
a satisfazer o axioma:
Axioma das Operações de Ponto Flutuante
Seja ∗ uma operação aritmética básica, e ⊛ a respectiva operação em
ponto flutuante. A operação ⊛ satisfaz
x ⊛ y = fl(x ∗ y ),
para quaisquer x, y ∈ F (β, t, m, M).
As operações de ponto flutuante não são nem associativas e nem
distributivas!
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Análise de arredondamento em ponto flutuante
Exemplo
Considere o sistema F (10, 3, 5, 5). Sejam x = fl(11,4), y = fl(3,18) e
z = fl(5,05). Efetue as operações:
(a) (x ⊕ y ) ⊕ z e x ⊕ (y ⊕ z);
(b) (y ⊗ x) ⊘ z e (y ⊘ z) ⊗ x;
(c) y ⊗ (z ⊕ x) e (y ⊗ z) ⊕ (y ⊗ x).
R.: (a) 0,197 × 102 e 0,196 × 102 ; (b) 0,719 × 101 e 0,718 × 101 ; (c)
0,525 × 101 e 0,524 × 101 .
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Análise de arredondamento em ponto flutuante
Em vista do axioma das operações de ponto flutuante, tem-se:
Proposição
Para quaisquer x, y ∈ F (β, t, m, M), existe ε com |ε| ≤ εmach tal que
x ⊛ y = (x ∗ y )(1 + ε),
em que ∗ denota uma operação aritmética básica, e ⊛ a respectiva
operação em ponto flutuante.
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Análise de arredondamento em ponto flutuante
A seguir veremos dois efeitos numéricos que contribuem para que o
resultado obtido não tenha crédito: o cancelamento subtrativo, e a
propagação de erro.
Sejam x e y dois números reais dentro dos limites de representação
do sistema.
Na soma desses números em ponto flutuante, tem-se:
fl(x) ⊕ fl(y ) = [fl(x) + fl(y )](1 + ε1 )
= [x(1 + ε2 ) + y (1 + ε3 )](1 + ε1 )
= x + x(ε1 + ε2 + ε1 ε2 ) + y + y (ε1 + ε3 + ε1 ε3 )
com |ε1 |, |ε2 |, |ε3 | ≤ εmach .
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Análise de arredondamento em ponto flutuante
Deste modo, para o erro absoluto (EA), podemos escrever
EA = |fl(x) ⊕ fl(y ) − (x + y )| ≤ (|x| + |y |)(2εmach + ε2mach ).
Já para o erro relativo (ER), temos
ER =
|fl(x) ⊕ fl(y ) − (x + y )|
|x| + |y |
≤
(2εmach + ε2mach ).
|x + y |
|x + y |
Como consequência, o erro relativo pode ser grande se |x + y | for
pequeno, ou seja, se x ≈ −y .
Neste caso, tem-se o chamado cancelamento subtrativo.
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Análise de arredondamento em ponto flutuante
Exemplo
No sistema F (10, 10, 10, 10), calcule
√
√
x = 9876 − 9875.
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Análise de arredondamento em ponto flutuante
Além do cancelamento, pode ocorrer a propagação de erro, que é
observada em uma sequência de operações aritméticas.
Exemplo
Considerando o sistema F (10, 3, 5, 5), calcule o polinômio
P(x) = x 3 − 6x 2 + 4x − 0.1,
no ponto 5,24, e compare o resultado com o valor exato
P(5,24) = −0,007776.
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Análise de arredondamento em ponto flutuante
Um algoritmo A é uma sequência de operações aritméticas que gera
uma saída y dada uma entrada x.
Seja P o problema ao qual o algoritmo A se propõe a resolver.
O algoritmo A é chamado de preciso (em inglês, accurate) se o seu
erro relativo é pequeno, ou seja, se
|P(x) − A(x)|
|P(x)|
é da ordem de εmach .
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Análise de arredondamento em ponto flutuante
Dependendo do contexto, um algoritmo preciso pode ser difícil de
ser implementado, pois sempre há a presença de erros de
arredondamento em ponto flutuante.
Podemos usar como requisito outra noção que nos permite analisar a
influência de erros de arredondamento em um algoritmo.
Algoritmo Regressivamente Estável
Um algoritmo A, usado para resolver um problema P, é chamado de
regressivamente estável (em inglês, backward stable) se
P(e
x ) = A(x),
para algum xe com
|e
x − x|
|x|
da ordem de εmach .
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Análise de arredondamento em ponto flutuante
Exemplo
Mostre que a operação fl(x) ⊕ fl(y ), que é usado para resolver a soma
x + y , é regressivamente estável num sistema de ponto flutuante com
épsilon da máquina εmach .
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Raízes de funções reais
Definição
Dada uma função f : [a, b] → R, um número α ∈ [a, b] tal que
f (α) = 0
é chamado de raiz (ou zero) de f . Dizemos também que α é uma
solução da equação f (x) = 0.
Nem sempre é possível encontrar uma expressão analítica para a raiz
de uma função.
Neste caso, recorremos a métodos numéricos para aproximar a raiz
da função.
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Raízes de funções reais
Para garantir a existência de uma raiz de f em [a, b], podemos fazer
uso do seguinte resultado:
Teorema de Bolzano
Seja f : [a, b] → R uma função contínua. Se f (a)f (b) < 0, i.e., f (a) e
f (b) tem sinais opostos, então existe pelo menos um α ∈ (a, b) tal que
f (α) = 0.
O Teorema de Bolzano é uma consequência do Teorema do Valor
Intermediário, visto em Cálculo I.
Além de garantir a existência da raiz, o Teorema de Bolzano é a
base para o método da bissecção.
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Método da bissecção
Seja f uma função real contínua definida no intervalo [a, b] tal que
f (a)f (b) < 0.
O método da bissecção consiste no seguinte procedimento:
Calcule o ponto médio do intervalo:
m=
a+b
.
2
Substitua a ou b por m de modo que o novo intervalo contém uma
raiz:
se f (m)f (b) < 0, então a ← m, senão b ← m.
Repita os passos anteriores até (b − a) ≤ 2δ.
O ponto médio entre a e b consiste na estimativa da raiz de f .
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Método da bissecção
Na n-ésima iteração, o intervalo resultante terá comprimento
que converge para zero com n → ∞.
b−a
,
2n
A condição de parada é satisfeita se
n ≥ log2
b − a
δ
−1
Neste caso, o erro absoluto da aproximação satisfaz |m − α| ≤ δ.
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Método da bissecção
Inicialização:
Escolha a0 e b0 de modo que f (a0 )f (b0 ) < 0.
Para n ≥ 0:
an + bn
.
2
bn − an
Pare se f (xn ) = 0 ou
≤ δ.
2
Se f (an )f (xn ) < 0, escolha
[an+1 , bn+1 ] = [an , xn ],
caso contrário, [an+1 , bn+1 ] = [xn , bn ].
Faça xn =
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Método da bissecção
Exemplo
Use o método da bissecção para encontrar uma estimativa para a raiz da
função
f (x) = e x − 2x − 1,
no intervalo [1, 2], considerando uma tolerância
(bn − an )/2 < δ = 5 × 10−2 .
Exemplo
Aplique o método da bissecção para encontrar a raiz da função
f (x) = sen(2x) − cos(3x),
no intervalo [0, 1], com tolerância (bn − an )/2 < δ = 5 × 10−2 .
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Método da posição falsa (ou regula falsi)
O método da bisseção, que considera apenas o sinal de f nos
extremos dos intervalos, pode ser modificado para consideramos os
valores de f .
No método da posição falsa, em vez de escolhermos o ponto médio
do intervalo, adotamos a intersecção do eixo x com a reta que passa
pelos pontos (a, f (a)) e (b, f (b)).
Essa intersecção é dada por
m=
af (b) − bf (a)
.
f (b) − f (a)
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Método da posição falsa (ou regula falsi)
f (bn )
an
xn
bn
f (an )
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Método da posição falsa (ou regula falsi)
Inicialização:
Escolha a0 e b0 de modo que f (a0 )f (b0 ) < 0.
Para n ≥ 0:
Faça xn = bn − f (bn )
bn − an
.
f (bn ) − f (an )
Pare se |f (xn )| < ε.
Se f (an )f (xn ) < 0, escolha
[an+1 , bn+1 ] = [an , xn ],
caso contrário, [an+1 , bn+1 ] = [xn , bn ].
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Métodos Numéricos
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Método da posição falsa (ou regula falsi)
Exemplo
Use o método da posição falsa para encontrar uma estimativa para a raiz
da função
f (x) = e x − 2x − 1,
no intervalo [1, 2], considerando uma tolerância |f (xn )| < ε = 5 × 10−2 .
Exemplo
Usando o método da posição falsa, encontre a raiz da função
f (x) = sen(2x) − ln(x),
no intervalo [1, 3], com tolerância |f (xn )| < ε = 10−4 .
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Método da iteração de ponto fixo
Seja f é uma função contínua em [a, b].
No lugar da equação f (x) = 0, consideramos o problema na forma
x = g (x),
em que g é tal que f (α) = 0 se e somente se α = g (α).
Uma função g como acima é chamada de função de iteração, e um
número α satisfazendo α = g (α) é chamado ponto fixo de g .
Dada uma aproximação inicial x0 , o método da iteração de ponto
fixo define as aproximações sucessivas
para n ≥ 0.
xn+1 = g (xn ),
Espera-se que xn → α com n → ∞.
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Método da iteração de ponto fixo
Exemplo
Considere a função f (x) = e x − 2x − 1. Mostre que g1 (x) = (e x − 1)/2 e
g2 (x) = ln(2x + 1) são funções de iteração para f (x).
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Método da iteração de ponto fixo
Teorema (∗)
Seja g : [a, b] → R uma função de iteração contínua, com ponto fixo
α ∈ (a, b). Assuma que g é derivável em (a, b), e a derivada g ′ (x)
satisfaz |g ′ (x)| ≤ M < 1, para todo x ∈ (a, b). Seja x0 ∈ [a, b] qualquer.
Então a iteração de ponto fixo
xn+1 = g (xn ),
n ≥ 0,
está bem definida (xn ∈ [a, b] para todo n ≥ 1), e converge para α.
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Método da iteração de ponto fixo
Pelo Teorema do Valor Médio, existe η entre xn−1 e α tal que
g (xn−1 ) − g (α) = g ′ (η)(xn−1 − α).
Deste modo, podemos escrever
|xn − α| = |g (xn−1 ) − g (α)| = |g ′ (η)||xn−1 − α| ≤ M|xn−1 − α|.
Com isso, obtemos
|xn − α| ≤ M n |x0 − α|,
para todo n ≥ 0.
Como M < 1, concluímos que xn ∈ [a, b] para todo n ≥ 1, e
lim |xn − α| ≤ lim M n |x0 − α| = 0.
n→∞
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n→∞
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Método da iteração de ponto fixo
f (x) = e −x − x
f1 (x) = x
f2 (x) = e −x
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Método da iteração de ponto fixo
Inicialização:
Escolha x0 .
Para n ≥ 0:
Faça xn+1 = g (xn ).
Pare se |f (xn+1 )| < ε.
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Método da iteração de ponto fixo
Exemplo
Considere a função f (x) = e x − 2x − 1. Usando a aproximação inicial
x0 = 1, determine as aproximações {xn } considerando as funções de
iteração:
(a) g1 (x) = (e x − 1)/2;
(b) g2 (x) = ln(2x + 1).
Exemplo
Aplique o método da iteração de ponto fixo para encontrar a raiz da
função f (x) = x 3 − x 2 − 3 no intervalo [1, 3], com função de iteração
g (x) = (x 2 + 3)1/3 , ponto inicial x0 = 2,5, e tolerância
|f (xn+1 )| < ε = 10−1 . Verifique as hipóteses que garantem a
convergência do método.
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Método da iteração de ponto fixo
Definição
Seja {xn } uma sequência convergindo para α, e seja en = xn − α seu
erro. Considere a condição
lim
n→∞
|en+1 |
= µ,
|en |p
para números reais p ≥ 1 e µ ≥ 0.
Para p = 1,
se µ = 0, a convergência é superlinear,
se 0 < µ < 1, a convergência é linear com taxa de convergência µ,
se µ = 1, a convergência é sublinear.
Para p > 1 e µ > 0, a convergência é dita ser de ordem p. Em
particular, se p = 2, a convergência é quadrática, e se p = 3, a
convergência é cúbica.
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Método da iteração de ponto fixo
Definição
A ordem de convergência e a taxa de convergência de um método
numérico são definidas como a ordem de convergência e a taxa de
convergência da sequência {xn } resultante da aplicação do método
numérico.
Teorema
Suponha que as condições do Teorema (∗) são satisfeitas. Assuma
também que g ′ é contínua em [a, b], e xn ̸= α para todo n ≥ 0. Seja
en = xn − α. Se g ′ (α) ̸= 0, então
lim
n→∞
|en+1 |
= |g ′ (α)|.
|en |
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Método da iteração de ponto fixo
Pelo Teorema do Valor Médio, existe ξn entre xn e α tal que
g (xn ) − g (α) = g ′ (ξn )(xn − α),
para n ≥ 0.
Portanto, limn→∞ ξn = α, e, por g ′ ser contínua,
lim g ′ (ξn ) = g ′ (α).
n→∞
Deste modo, temos
lim
n→∞
|xn+1 − α|
|g (xn ) − g (α)|
|en+1 |
= lim
= lim
n→∞ |xn − α|
n→∞
|en |
|xn − α|
′
|g (ξn )(xn − α)|
= lim
n→∞
|xn − α|
′
= lim |g (ξn )| = |g ′ (α)|.
n→∞
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Método da iteração de ponto fixo
Teorema
Suponha que as condições do Teorema (∗) são satisfeitas. Assuma
também que g ′′ é contínua em [a, b], e xn ̸= α para todo n ≥ 0. Seja
en = xn − α. Se g ′ (α) = 0 e g ′′ (α) ̸= 0, então
lim
n→∞
|en+1 |
1
= |g ′′ (α)|.
|en |2
2
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Método da iteração de ponto fixo
Pela expansão em série de Taylor, existe ξn entre xn e α tal que
1
g (xn ) = g (α) + g ′ (α)(xn − α) + g ′′ (ξn )(xn − α)2 ,
2
que implica
g (xn ) − g (α) =
1 ′′
g (ξn )(xn − α)2 .
2
Deste modo, temos
lim
n→∞
|en+1 |
|xn+1 − α|
|g (xn ) − g (α)|
= lim
= lim
n→∞ |xn − α|2
n→∞
|en |2
|xn − α|2
| 12 g ′′ (ξn )(xn − α)2 |
n→∞
|xn − α|2
1
1
= lim |g ′′ (ξn )| = |g ′′ (α)|.
n→∞ 2
2
= lim
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Método de Newton
Considere a função de iteração
com f ′ (x) ̸= 0,
g (x) = x + A(x)f (x),
onde a função A(x) é escolhida de modo que A(α) ̸= 0.
Se escolhermos A(x) tal que g ′ (α) = 0, teremos que |g ′ (x)| < 1
para todo x numa vizinhança de α, o que garante a convergência do
método.
Derivando g (x), obtemos
g ′ (x) = 1 + A′ (x)f (x) + A(x)f ′ (x).
Escolhendo
A(x) = −
1
f
′ (x)
,
segue que g ′ (α) = 0.
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Método de Newton
Assim, a escolha
g (x) = x −
f (x)
f ′ (x)
define o processo iterativo
xn+1 = xn −
f (xn )
,
f ′ (xn )
chamado de método de Newton.
O método de Newton sempre converge se |x0 − α| for
suficientemente pequeno.
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Método de Newton
Teorema
Assuma que f ′′ é contínua em [a, b], com f ′ (α) ̸= 0 e f ′′ (α) ̸= 0. Seja
{xn } a sequência obtida no método de Newton. Suponha que xn ̸= α
para todo n ≥ 0. Seja en = xn − α. Então
|en+1 |
1 f ′′ (α)
=
.
2
n→∞ |en |
2 f ′ (α)
lim
Esse resultado é uma consequência de g ′ (α) = 0 e g ′′ (α) =
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f ′′ (α)
.
f ′ (α)
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Método de Newton
f (xn )
xn+1
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xn
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Método de Newton
Inicialização:
Escolha x0 .
Para n ≥ 0:
f (xn )
.
f ′ (xn )
Pare se |f (xn+1 )| < ε.
Faça xn+1 = xn −
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método de Newton
Exemplo
Use o método de Newton para encontrar uma estimativa para a raiz
positiva da função
f (x) = e x − 2x − 1,
com aproximação inicial x0 = 1 e tolerância ε = 10−5 .
Exemplo
Use o método de Newton para encontrar a raiz da função
f (x) = sen(x) − e −x no intervalo [0, 1], com ponto inicial x0 = 0,0 e
tolerância |f (xn+1 )| < ε = 10−5 .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método das secantes
Uma modificação do método de Newton consiste em substituir a
derivada f ′ (xn ) pelo quociente
f ′ (xn ) ≃
f (xn ) − f (xn−1 )
.
xn − xn−1
O método de Newton, com essa modificação, é conhecido como
método das secantes.
Com a substituição, obtemos a iteração
xn+1 = xn −
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f (xn )(xn − xn−1 )
.
f (xn ) − f (xn−1 )
Métodos Numéricos
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Método das secantes
f (xn−1 )
f (xn )
xn+1 xn
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xn−1
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método das secantes
Inicialização:
Escolha x0 e x1 .
Para n ≥ 1:
f (xn )(xn − xn−1 )
.
f (xn ) − f (xn−1 )
Pare se |f (xn+1 )| < ε.
Faça xn+1 = xn −
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Métodos Numéricos
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Método das secantes
Teorema
Assuma que f ′ é contínua num intervalo I contendo a raiz α de f
satisfazendo f ′ (α) ̸= 0. Seja {xn } a sequência obtida no método das
secantes, com x0 e x1 suficientemente próximos a α. Suponha que
xn ̸= α para todo n ≥ 0. Seja en = xn − α. Então
lim
n→∞
em que c > 0 e p = (1 +
√
|en+1 |
= c,
|en |p
5)/2 ≃ 1,618.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método das secantes
Exemplo
Use o método das secantes para encontrar uma estimativa para a raiz
positiva da função
f (x) = e x − 2x − 1,
com aproximações iniciais x0 = 1 e x1 = 2 e tolerância ε = 10−3 .
Exemplo
Aplique o método das secantes para encontrar a raiz da função
f (x) = cos(x) − e −x no intervalo [1, 2], com pontos iniciais x0 = 1,0 e
x1 = 1,2, e tolerância |f (xn+1 )| < ε = 10−3 .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Sistemas de equações lineares
Um sistema de n equações lineares é escrito como:

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1




a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
..


.



an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn
em que aij são os coeficientes, bi são os termos independentes, e xi são
as incógnitas.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Sistemas de equações lineares
Uma forma conveniente de representar um sistema de n equações lineares
é em sua forma matricial:

   
a11 a12 · · · a1n
x1
b1
a21 a22 · · · a2n  x2  b2 

   
 ..
..
..   ..  =  .. 
..
 .
.
.
.  .   . 
an1
an2
···
ann
xn
bn
ou, simplesmente,
Ax = b
em que A é chamada de matriz dos coeficientes, b é o vetor do termo
independente, e x é o vetor solução.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Sistemas de equações lineares
Métodos numéricos para solução de sistemas de equações lineares podem
ser classificados como:
Métodos Exatos: Executados com um número finito de operações,
fornecem a solução exata. Porém, devido a erros de arredondamento,
problemas com propagação de erros podem acontecer.
Métodos Iterativos: A solução é obtida com uma dada precisão,
como resultado de um processo iterativo convergente.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Solução de sistemas triangulares
Definição
Seja C = (cij ) uma matriz quadrada. A matriz C é chamada de
triangular superior (triangular inferior) se cij = 0 para i > j (i < j).
Definição
Um sistema de equações lineares é chamado de triangular superior
(triangular inferior) se a matriz dos coeficientes for triangular superior
(triangular inferior).
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Solução de sistemas triangulares
Assumindo aii =
̸ 0, o sistema triangular superior

   
a11 a12 a13 · · · a1n
x1
b1
 0 a22 a23 · · · a2n  x2  b2 

   
 0
   
0 a33 · · · a3n 

  x3  =  b 3 
 ..

..
..
.
. .
..
..  
 .
 ..   .. 
.
.
.
0
0
0 · · · ann
xn
bn
pode ser resolvido usando a seguinte fórmula, chamada de substituição
reversa:

bn


xn = a
nn
Pn
b
− j=i+1 aij xj


 xi = i
,
i = n − 1, . . . , 1
aii
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Solução de sistemas triangulares
Já o sistema triangular inferior,

a11 0
0
a21 a22 0

a31 a32 a33

 ..
..
..
 .
.
.
an1
an2
an3
com aii ̸= 0,
   
···
0
x1
b1
 x2   b 2 
···
0 
   
   
···
0 
  x3  =  b 3 
..   ..   .. 
..
.
.  .   . 
· · · ann
xn
bn
pode ser resolvido usando a seguinte fórmula, chamada de substituição
direta:

x1 = b1


a11
Pi−1

b − j=1 aij xj

 xi = i
,
i = 2, . . . , n
aii
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Solução de sistemas triangulares
Exemplo
Resolva o sistema triangular superior

   
2 3
4
x1
0
0 −1 −2 x2  = −2 .
0 0 −3
x3
−3
R.: (−2, 0, 1)T .
Exemplo
Resolva o sistema triangular superior

  

4 −1 3
4
x1
12
0 2 −3 5  x2   7 

  = 
.
0 0
7 −3 x3  −13
0 0
0
2
x4
4
R.: (1, −3, −1, 2)T .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Solução de sistemas triangulares
Exemplo
Resolva o sistema triangular inferior

  

−7 0 0
x1
−21
3
1 0 x2  =  7  .
9 −5 2
x3
39
R.: (3, −2, 1)T .
Exemplo
Resolva o sistema triangular

3
0
4
2

−1 3
2 −1
inferior
0
0
3
−2
   
0
x1
−3
x2   0 
0
  =  .
0  x3   16 
−5
x4
−5
R.: (−1, 2, 3, −1)T .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método da eliminação de Gauss
Considere a matriz aumentada
 (1)
a11
 (1)
a21
 (1)
Ã(1) = (A(1) , b (1) ) = 
a31
 ..
 .
a12
(1)
a22
(1)
a32
..
.
(1)
a13
(1)
a23
(1)
a33
..
.
(1)
···
···
···
..
.
a1n
(1)
a2n
(1)
a3n
..
.
an1
an2
(1)
an3
(1)
···
ann
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1) 
b1
(1) 
b2 
(1) 
b3 
,
.. 
. 
(1)
bn
em que aij = aij e bi = bi .
Em cada estágio do método da eliminação de Gauss, os elementos da
k-ésima coluna abaixo da diagonal são zerados.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método da eliminação de Gauss
Na primeiro estágio, obtemos
 (2)
a11



Ã(2) = (A(2) , b (2) ) = 



a12
(2)
a22
(2)
a32
..
.
(2)
a13
(2)
a23
(2)
a33
..
.
(2)
···
···
···
..
.
a1n
(2)
a2n
(2)
a3n
..
.
(2)
an3
(2)
···
ann
a13
(3)
a23
(3)
a33
..
.
(3)
···
···
···
..
.
a1n
(3)
a2n
(3)
a3n
..
.
(3)
···
ann
an2
(2)
(2)
(2) 
b1
(2) 
b2 
(2) 
b3 
,
.. 
. 
(2)
bn
Já no segundo,
Ã(3)
 (3)
a11



= (A(3) , b (3) ) = 



(3)
a12
(3)
a22
an3
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(3)
(3)
(3) 
b1
(3) 
b2 
(3) 
b3 

.. 
. 
(3)
bn
Métodos Numéricos
Método da eliminação de Gauss
Continuamos até chegarmos à matriz triangular
 (n)
(n)
(n)
a11 a12 a13
(n)
(n)

a22 a23


(n)
a33
Ã(n) = (A(n) , b (n) ) = 



superior
···
···
···
..
.
(n)
a1n
(n)
a2n
(n)
a3n
..
.
(n)
ann
(n) 
b1
(n) 
b2 
(n) 
b3 

.. 
. 
(n)
bn
Podemos então encontrar a solução de Ax = b como solução do sistema
triangular superior A(n) x = b (n) .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método da eliminação de Gauss
Para zerar os elementos da k-ésima coluna abaixo da diagonal,
substituímos a i-ésima linha pela diferença entre a i-ésima linha e a
(k)
a
k-ésima linha multiplicada por mik = ik
.
(k)
akk
Equivalentemente, para k = 1, . . . , n − 1,

(k)

aik


m
=

ik

(k)

a
kk
(k+1)
(k)
(k)

aij
= aij − mik akj



 (k+1)

(k)
(k)
bi
= bi − mik bk
para i = k + 1, . . . , n e j = k, . . . , n.
(k)
O termo akk é chamado de pivô.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método da eliminação de Gauss
Resultado
(k)
Para garantirmos que akk ̸= 0, para k = 1, . . . , n, devemos assumir que
det(Ak ) ̸= 0, em que Ak = (aij )k×k é o menor principal de A de ordem k.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método da eliminação de Gauss
Para calcularmos o número de operações no método da eliminação de
Gauss, escrevemos
# operações =
n−1
X
(# operações no estágio k)
k=1
=
n−1 X
n
X
(# operações na linha i)
k=1 i=k+1
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método da eliminação de Gauss
Com isso, temos
# divisões =
n−1 X
n
X
1=
k=1 i=k+1
(n − 1)n
2
e
# multiplicações =
n−1 X
n
X
{[n − (k − 1)] + 1}
k=1 i=k+1
3
2
=
2n + 3n − 5n
6
O número de subtrações é igual ao número de multiplicações.
Portanto, o método da eliminação de Gauss possui uma
complexidade aritmética da ordem de n3 .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método da eliminação de Gauss
Exemplo
Use o método da eliminação de Gauss para resolver o sistema

   
1
3 −2
x1
2
−1 0
0  x2  = −1 .
2 −3 1
x3
0
R.: (1, 1, 1)T .
Exemplo
Use o método da eliminação de

1 −3
2 −2
3 −13
Gauss para resolver o sistema
   
2
x1
12
3 x2  = 15 .
9
x3
47
R.: (4, −2, 1)T .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método da eliminação de Gauss
Exemplo
Usando o método da eliminação de Gauss, resolva o sistema

   
1
−1
2 −1
x1
−8
−3
 x2   21 
5
−3
2

  =  .
1
−5 −6 2  x3   3 
3 −11 −8 1
x4
−8
R.: (−1, 2, −2, 1)T .
Exemplo
Usando o método da

3
6

−9
−6
eliminação de Gauss, resolva o sistema
  

−2 1 −1
x1
−15
  

−6 1
1
 x2  = −30 .
−2 −8 17  x3   48 
−2 −4 7
x4
25
R.: (−3, 2, −1, 1)T .
© R. F. Vigelis
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método da eliminação de Gauss
Exemplo
Resolva o sistema
(
0,0003x1 + 3,0000x2 = 2,0001
1,0000x1 + 1,0000x2 = 1,0000
usando o método da eliminação de Gauss, com quatro e cinco algarismos
significativos.
R.: (1,0000; 0,6666)T , (0,40000; 0,66666)T , (1/3, 2/3)T .
© R. F. Vigelis
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método da eliminação de Gauss
Exemplo
Resolva o sistema
(
1,0000x1 + 1,0000x2 = 1,0000
0,0003x1 + 3,0000x2 = 2,0001
usando o método da eliminação de Gauss, com quatro e cinco algarismos
significativos.
R.: (0,3334; 0,6666)T , (0,33334; 0,66666)T , (1/3, 2/3)T .
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Métodos Numéricos
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Método da eliminação de Gauss
Pivotamento parcial
No método da eliminação de Gauss com pivotamento parcial, antes de
iniciar o k-ésimo estágio, as linhas da matriz A(k) são permutadas de
(k)
(k)
modo que |akk | ≥ |aik |, para i = k, . . . , n. O pivô é escolhido como
sendo um dos elementos de maior valor absoluto dentre
(k) (k)
(k)
akk , ak+1,k , . . . , ank .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método da eliminação de Gauss
Exemplo
Resolva o sistema Ax = b, em que


1 −2 −1
1 ,
A = 2 2
3 1 −8
e
 
−1
b =  10  ,
−6
usando o método da eliminação de Gauss com pivotamento parcial.
R.: x = (3, 1, 2)T .
© R. F. Vigelis
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método da eliminação de Gauss
Exemplo
Resolva o sistema abaixo, com precisão de duas casas decimais, usando o
método da eliminação de Gauss com pivotamento parcial:

   
−2 1 1
x1
1
 2 3 3  x2  = −3 .
3 2 −1
x3
2
(Obs.: O arredondamento deve ser aplicado a cada operação aritmética.)
R.: (−0,74; 1,24; −1,74)T .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Fatoração LU
Seja A uma matriz quadrada. A fatoração LU da matriz A se refere
ao produto
A = LU,
em que L é uma matriz triangular inferior, com os termos da
diagonal iguais a 1, e U é uma matriz triangular superior.
Uma aplicação do método da eliminação de Gauss fornece a
decomposição LU da matriz A.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Fatoração LU
Organizamos os multiplicadores mik
inferior

1
0
m21
1

m31 m32
L=
 ..
..
 .
.
mn1
mn2
(k)
(k)
= aik /akk na matriz triangular

0
··· 0
0
· · · 0

1
· · · 0
.
..
.
..
. .. 
.
mn3
···
1
Seja U = A(n) a matriz triangular superior obtida no final do método
da eliminação de Gauss.
Essa matrizes satisfazem
A = LU.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Fatoração LU
Uma vez encontrada a fatoração LU da matriz A, o sistema Ax = b
é resolvido da seguinte forma:
Primeiro, usando substituição direta, resolve-se Ly = b.
Depois, usando substituição reversa, resolve-se Ux = y .
O procedimento acima é útil no caso em que o sistema linear
Ax = b precisa ser resolvido, com a mesma matriz A, e diferentes
vetores b, pois não é necessário fatorar a matriz A novamente.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Fatoração LU
Exemplo
Encontre a fatoração LU da matriz

−1
A = −2
3
e posteriormente resolva
b = (5, 9, −12)T .


1 0 0
−1
R.:  2 1 0  0
−3 5 1
0

2
3
7
4 ,
9 −15
o sistema Ax = b para b = (5, 18, 21)T e
    
2 3
−4
3
3 −2,  2 , 1.
0 4
−1
2
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Fatoração LU
Exemplo
Encontre a fatoração LU da matriz


2
3 −2 −1
4
4 −1 −6

A=
 4 14 −19 16  ,
−4 2 −17 22
e posteriormente resolva o sistema
b = (−8, −20, 8, 54)T .


1
0 0 0
2 3
2
 0 −2
1
0
0

R.: 
 2 −4 1 0 0 0
−2 −4 3 1
0 0
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Ax = b para b = (−3, −11, 21, 43)T e
−2
3
−3
0

−1
−4
,
2
−2


3
−3
 ,
−1
2
Métodos Numéricos


−1
−3
 .
−2
1
Métodos Numéricos
Método de Jacobi
Isolando a variável xi na i-ésima linha do sistema

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1




a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
..


.



an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn
podemos escrever

x1 = (b1 − a12 x2 − · · · − a1n xn )/a11




x2 = (b2 − a21 x1 − · · · − a2n xn )/a22
..


.



xn = (bn − an1 x1 − · · · − an,n−1 xn−1 )/ann
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método de Jacobi
No método de Jacobi, a sequência de aproximações x (k) para a solução
do sistema Ax = b é dada pela fórmula recursiva
 (k+1)
(k)

= (b1 − a12 x2 − · · · − a1n xn(k) )/a11
x1



x (k+1) = (b − a x (k) − · · · − a x (k) )/a

2
2







21 1
2n n
22
..
.
(k)
(k)
xn(k+1) = (bn − an1 x1 − · · · − an,n−1 xn−1 )/ann
em que assumimos aii ̸= 0.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método de Jacobi
Podemos reescrever a fórmula recursiva para o método de Jacobi na
forma matricial
x (k+1) = D −1 (b − Mx (k) ),
k ≥ 0,
em que D e M são matrizes satisfazendo A = D + M,



a11 0 · · ·
0
0
 0 a22 · · ·

a21
0



D= .
e
M= .
..
..  ,
..
 ..

 ..
.
.
.
0
0 · · · ann
an1
© R. F. Vigelis
Métodos Numéricos
com
a12
0
..
.
···
···
..
.
an2
···

a1n
a2n 

..  .
. 
0
Métodos Numéricos
Método de Jacobi
Para a parada do método de Jacobi podemos usar o critério
∥x (k+1) − x (k) ∥∞
< ε,
∥x (k+1) ∥∞
dada uma tolerância ε > 0.
A norma ∥ · ∥∞ corresponde ao maior dos valores absolutos dos
componentes do vetor, i.e., se x = (x1 , . . . , xn )T então
∥x∥∞ = max |xi |.
1≤i≤n
© R. F. Vigelis
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método de Jacobi
Exemplo
Use o método de Jacobi, com aproximação inicial x (0) = (0, 0)T , e
ε = 5 × 10−2 para o critério de parada, para encontrar a solução do
sistema linear
(
3x1 − 2x2 = 1
−x1 + 4x2 = 1
R.:
∥x (k) −x (k−1) ∥∞
∥x (k) ∥∞
k
x (k)
0
1
2
3
4
(0,00000; 0,00000)T
(0,33333; 0,25000)T
(0,50000; 0,33333)T
(0,55555; 0,37500)T
(0,58333; 0,38888)T
© R. F. Vigelis
1,00000
0,33333
0,09999
0,04762
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método de Jacobi
Exemplo
Considere o sistema linear

   
4 −2 1
x1
2
 1 −3 −1 x2  =  4  .
−1 0
2
x3
−1
Dada a aproximação inicial x (0) = (0, 0, 0)T , encontre as aproximações
sucessivas x (1) , x (2) , x (3) e x (4) , usando o método de Jacobi.
R.: Solução: (0,04; −1,16; −0,48)T . Aproximações:
k
0
1
2
3
4
x (k)
(0,00000; 0,00000; 0,00000)T
(0,50000; −1,33333; −0,50000)T
(−0,04166; −1,00000; −0,25000)T
(0,06250; −1,26388; −0,52083)T
(−0,00173; −1,13889; −0,46875)T
© R. F. Vigelis
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método de Gauss–Seidel
No método de Gauss–Seidel, a sequência de aproximações x (k) para a
solução do sistema Ax = b é dada pela fórmula recursiva (assumimos
aii ̸= 0)
 (k+1)
(k)

x1
= (b1 − a12 x2 − · · · − a1n xn(k) )/a11





x (k+1) = (b − a x (k+1) − · · · − a x (k) )/a
2
2






 (k+1)
xn
21 1
2n n
22
..
.
(k+1)
= (bn − an1 x1
(k+1)
− · · · − an,n−1 xn−1 )/ann
ou, equivalentemente,
(k+1)
xi
i−1
n
X
X
1
(k+1)
(k)
bi −
aij xj
−
aij xj
,
=
aii
j=1
j=i+1
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Métodos Numéricos
para i = 1, . . . , n.
Métodos Numéricos
Método de Gauss–Seidel
Vamos reescrever a fórmula recursiva na forma matricial. Para isso,
passamos todos o termos do estágio k + 1 para o lado esquerdo da
igualdade. Assim, obtemos
X
i−1
(k+1)
aij xj
(k+1)
+ aii xi
= bi −
j=1
e então
n
X
j=i+1
i
X
(k+1)
aij xj
= bi −
j=1
n
X
(k)
aij xj .
j=i+1
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Métodos Numéricos
(k)
aij xj ,
Métodos Numéricos
Método de Gauss–Seidel
Sejam L e U tais que A = L + U, com


a11 0 · · ·
0
a21 a22 · · ·
0 


L= .
e
.
..  ,
.
..
..
 ..
. 
an1 an2 · · · ann

0
0

U = .
 ..
0
a12
0
..
.
···
···
..
.
0
···

a1n
a2n 

..  .
. 
0
Com isso, obtemos a seguinte fórmula na forma matricial:
Lx (k+1) = b − Ux (k) ,
que resulta em
x (k+1) = L−1 (b − Ux (k) ).
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Métodos Numéricos
(∗)
Métodos Numéricos
Método de Gauss–Seidel
O sistema (∗) pode ser resolvido usando substituição direta.
Usamos como critério de parada no método de Gauss–Seidel o
mesmo critério usado no método de Jacobi.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método de Gauss–Seidel
Exemplo
Use o método de Gauss–Seidel, com aproximação inicial x (0) = (1, 1)T , e
ε = 5 × 10−2 para o critério de parada, para encontrar a solução do
sistema linear
(
5x1 + 2x2 = 1
−x1 + 4x2 = 2
R.:
∥x (k) −x (k−1) ∥∞
∥x (k) ∥∞
k
x (k)
0
1
2
3
(1,00000; 1,00000)T
(−0,20000; 0,45000)T
(0,02000; 0,50500)T
(−0,00200; 0,49950)T
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2,66670
0,43564
0,04404
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método de Gauss–Seidel
Exemplo
Considere o sistema linear

   
4 −2 1
x1
2
 1 −3 −1 x2  =  4  .
−1 0
2
x3
−1
Dada a aproximação inicial x (0) = (1, 1, 1)T , use o método de
Gauss–Seidel, para encontrar as aproximações sucessivas x (1) , x (2) e x (3) .
R.: Solução: (0,04; −1,16; −0,48)T . Aproximações:
k
0
1
2
3
x (k)
(1,00000; 1,00000; 1,00000)T
(0,75000; −1,41666; −0,12500)T
(−0,17708; −1,35069; −0,58854)T
(−0,02821; −1,14655; −0,51410)T
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Convergência nos métodos de Jacobi e Gauss–Seidel
Os métodos de Jacobi e Gauss–Seidel podem ser expressos na forma
matricial como
x (k+1) = Cx (k) + g ,
para k ≥ 0,
(∗)
com x satisfazendo a igualdade x = Cx + g se, e somente se, Ax = b.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Convergência nos métodos de Jacobi e Gauss–Seidel
Com respeito ao método de Jacobi, temos
x (k+1) = D −1 (b − Mx (k) ) = −D −1 Mx (k) + D −1 b,
e a fórmula (∗) é satisfeita para C = −D −1 M e g = D −1 b.
Para esses valores de C e g , vemos que
Ax = (D + M)x = b
é equivalente a
x = D −1 (b − Mx) = Cx + g .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Convergência nos métodos de Jacobi e Gauss–Seidel
Já no método de Gauss–Seidel, o desenvolvimento
x (k+1) = L−1 (b − Ux (k) ) = −L−1 Ux (k) + L−1 b
implica que (∗) é satisfeita para C = −L−1 U e g = L−1 b.
Com esses valores de C e g , temos que
Ax = (L + U)x = b
é equivalente a
x = L−1 (b − Ux) = Cx + g .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Convergência nos métodos de Jacobi e Gauss–Seidel
Subtraindo as equações x (k+1) = Cx (k) + g e x = Cx + g , obtemos
x (k+1) − x = C (x (k) − x)
Usando a desigualdade triangular, chegamos a
(k+1)
|xi
− xi | =
≤
n
X
(k)
cij (xj
j=1
X
n
n
X
− xj ) ≤
(k)
|cij | · |xj
− xj |
j=1
(k)
|cij | · max |xj
1≤j≤n
j=1
− xj |
Deste modo,
max
1≤i≤n
(k+1)
|xi
− xi | ≤
max
1≤i≤n
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X
n
j=1
|cij |
(k)
· max |xj
1≤j≤n
Métodos Numéricos
− xj |
Métodos Numéricos
Convergência nos métodos de Jacobi e Gauss–Seidel
Definindo
∥C ∥ = max
1≤i≤n
X
n
|cij |
j=1
podemos escrever
∥x (k+1) − x∥∞ ≤ ∥C ∥ · ∥x (k) − x∥∞
Consequentemente,
∥x (k) − x∥∞ ≤ ∥C ∥k · ∥x (0) − x∥∞ .
(k)
Portanto, se ∥C ∥ < 1 então ∥x (k) − x∥∞ → 0, que implica xi
para i = 1, . . . , n.
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Métodos Numéricos
→ xi
Métodos Numéricos
Convergência nos métodos de Jacobi e Gauss–Seidel
Teorema (Critério de convergência)
Se ∥C ∥ < 1 então a sequência
x (k+1) = Cx (k) + g ,
k ≥ 0,
converge para x = Cx + g .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Convergência nos métodos de Jacobi e Gauss–Seidel
No método de Jacobi, a matriz C é dada por

a12
0
···
a11
a
 21
0 ···
 a22
C = −D −1 M = −  .
..
..
.
 .
.
.
an2
an1
·
·
·
ann
ann
a1n 
a11
a2n 
a22 
..  .
. 
0
A desigualdade
∥C ∥ = max
1≤i≤n
é satisfeita se e somente se
X
|aij | < |aii |,
X
j̸=i
aij
aii
<1
para i = 1, . . . , n.
j̸=i
Uma matriz A satisfazendo (∗) é chamada de diagonalmente
estritamente dominante.
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Métodos Numéricos
(∗)
Métodos Numéricos
Convergência nos métodos de Jacobi e Gauss–Seidel
É possível verificar que, se A é diagonalmente estritamente dominante,
então o método de Gauss–Seidel também converge.
Teorema (Critério das linhas)
Se a matriz A é diagonalmente estritamente dominante, i.e.,
X
|aij | < |aii |,
i = 1, . . . , n,
j̸=i
então os métodos de Jacobi e Gauss–Seidel geram uma sequência que
converge para a solução do sistema linear Ax = b, qualquer que seja a
aproximação inicial x (0) .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Convergência nos métodos de Jacobi e Gauss–Seidel
Exemplo
Verifique se o critério das linhas é válido para o sistema linear

8x1 + 2x2 − 2x3 − 3x4 = 1



2x + 9x + 3x + 4x = 5
1
2
3
4

3x
−
2x
+
7x
−
3x
2
3
4 =3
 1


x1 + 2x2 + 3x3 + 8x4 = 2
R.: Não é satisfeito.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método QR
O método QR é usado para encontrar os autovalores de uma matriz
A.
Um número λ ∈ R é dito ser um autovalor da matriz A se existir um
vetor v tal que
Av = λv .
O vetor v que satisfaz a equação acima é chamado de autovetor.
Numa matriz triangular (superior ou inferior), seus autovalores
correspondem aos elementos de sua diagonal.
© R. F. Vigelis
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método QR
Na fatoração QR a matriz A é escrita como o produto
A = QR,
em que Q é uma matriz ortonormal, e R é uma matriz triangular
superior.
Uma matriz Q é chamada de ortonormal se
Q T Q = QQ T = I .
Se A é não singular, então a fatoração QR é única se é requerido
que os elementos da diagonal de R são positivos.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método QR
Para encontramos a fatoração QR de uma matriz A = (aij )n×n ,
pode-se usar o processo de Gram–Schmidt.
Para isso, expressamos a matriz A como
A = (a1 , . . . , an ),
em que aj = (a1j , . . . , anj )T são os vetores coluna de A.
No processo de Gram–Schmidt, um conjunto ortonormal de vetores
coluna são gerados a partir dos vetores coluna de A.
Dado um vetor coluna a, denotamos ∥a∥ = (aT a)1/2 .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método QR
Os vetores qi são obtidos como

i−1

X

′


a
=
a
−
(qkT ai )qk ,
i
 i
k=1


ai′


qi = ′ .
∥ai ∥
A matriz Q é então composta pelos vetores coluna qi :
Q = (q1 , . . . , qn ).
Já as entradas da matriz R = (rij ) são dadas como
(
qiT aj , i ≤ j,
rij =
0,
i > j.
Os valores de rij são encontrados durante o cálculo dos vetores
coluna qi .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método QR
Exemplo
Usando o processo de Gram–Schmidt, encontre a fatoração QR da matriz
1 4
A=
.
2 3
! √
√ √1
√2
5 2√ 5
5
R.: A = √25
.
− √15
0
5
5
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método QR
Exemplo
Usando o processo de Gram–Schmidt, encontre a fatoração QR da matriz


2 10
3
A = 1 −4 −3 .
2 1 −6



2/3 2/3
1/3
3 6 −3
R.: A = 1/3 −2/3 2/3  0 9 6 .
2/3 −1/3 −2/3
0 0 3
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método QR
Exemplo
Usando o processo de Gram–Schmidt, encontre a fatoração QR da matriz


−2 2 1 2
 2 4 0 3

A=
−2 2 3 2 .
2 4 2 7



−1/2 1/2 −1/2 1/2
4 2 −1 3
 1/2 1/2 −1/2 −1/2 0 6 3 7


R.: A = 
−1/2 1/2 1/2 −1/2 0 0 2 2.
1/2 1/2 1/2
1/2
0 0 0 2
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método QR
O método QR usa transformações de similaridade para transformar a
matriz A na forma triangular.
Uma transformação de similaridade é definida como A′ = M −1 AM.
As matrizes A e A′ são ditas ser similares.
Os autovalores de matrizes similares são idênticos, porém com
autovetores diferentes.
© R. F. Vigelis
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método QR
No método QR o produto A = QR, obtido na fatoração QR, é
invertido resultando na matriz
A′ = RQ.
A matrizes A e A′ são similares, e portanto têm os mesmos
autovalores.
Este resultado segue das igualdades abaixo:
Q −1 AQ = Q −1 QRQ = RQ = A′ .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método QR
No método QR, dada a matriz A(k) no k-ésimo estágio,
encontramos sua decomposição QR como
A(k) = Q (k) R (k) ,
e então calculamos
A(k+1) = R (k) Q (k) .
A inicialização é dada por A(0) = A.
Os elementos da diagonal de A(k) convergem para os autovalores de
A, a medida que A(k) se aproxima da forma triangular superior.
© R. F. Vigelis
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método QR
Teorema
Seja A uma matriz não singular tendo autovalores
λ1 , . . . , λn ,
com |λ1 | > · · · > |λn | > 0.
Escolha a matriz X tal que
X −1 AX = Λ := diag(λ1 , . . . , λn ).
Suponha que X −1 admite uma decomposição LU. Seja {A(k) }, com
(k)
A(0) = A, a sequência gerada no método QR. Denote por aij a entrada
de posição ij de A(k) . Então
(k)
aij → 0,
para i > j,
e
(k)
aii → λi ,
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para i = 1, . . . , n,
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método QR
Exemplo
Aplique o método QR, com 3 iterações, à matriz
1 5
A=
.
3 2
R.:
© R. F. Vigelis
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Método QR
Exemplo
Aplique o método QR, com 3 iterações, à matriz


25 32 40
8 .
A = 32 1
40 8 37
R.: Λ = diag(81, −27, 9).
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
No problema de interpolação, dado um conjunto de pares ordenados,
(x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ), com x0 , x1 , . . . , xn distintos, que
organizamos na tabela
x
y
x0
y0
x1
y1
···
···
xn
yn
procuramos uma função φ que interpola os pontos tabelados, ou
seja,
φ(xk ) = yk ,
k = 0, 1, . . . , n.
Na interpolação polinomial, a função φ é um polinômio de grau ≤ n.
Desta forma, desejamos encontrar um polinômio pn de grau ≤ n tal
que
pn (xk ) = yk ,
k = 0, 1, . . . , n.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
Denotando
pn (x) = α0 + α1 x + · · · + αn x n ,
queremos então encontrar α0 , α1 , . . . , αn tais que
α0 + α1 xk + · · · + αn xkn = yk ,
k = 0, . . . , n,
que corresponde a um sistema linear com n + 1 equações e n + 1
incógnitas.
Na forma matricial, escrevemos
V α = y,
em que

x0
x1
..
.
x02
x12
..
.
···
···
..
.
1 xn
xn2
···
1
1

V = .
 ..

x0n
x1n 

..  ,
.
xnn
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

α0
α1 
 
α= . 
 .. 
αn
Métodos Numéricos
 
y0
 y1 
 
e y =  . .
 .. 
yn
Métodos Numéricos
Interpolação
A matriz V é chamada de matriz de Vandermonde.
O sistema V α = y admite uma única solução, ou seja, det(V ) ̸= 0,
se os pontos x0 , x1 , . . . , xn forem distintos.
Teorema (Existência e Unicidade)
Considere o conjunto {(x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )}, com xi ̸= xj para
i ̸= j. Então existe um único polinômio pn de grau ≤ n tal que
pn (xk ) = yk , para k = 0, 1, . . . , n.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
Exemplo
Resolva um sistema linear para encontrar o polinômio de grau ≤ 2 que
interpola os pontos dados na tabela
x
y
−1
−4
2
5
3
12
R.: p2 (x) = −3 + 2x + x 2 .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
A matriz de Vandermonde apresenta problemas de mal
condicionamento.
Portanto, o polinômio obtido da solução do sistema V α = y pode
conter erros de arredondamento.
Veremos formas de encontrar o polinômio pn que não utilizam a
matriz de Vandermonde.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
Considere os polinômios
(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xi−1 )(x − xi+1 ) · · · (x − xn )
(xi − x0 )(xi − x1 ) · · · (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) · · · (xi − xn )
Y (x − xk )
,
=
(xi − xk )
Li (x) =
k̸=i
para i = 0, 1, . . . , n.
Note que Li é um polinômio de grau n com raízes
x0 , x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn .
Além disso, esses polinômios satisfazem
(
1, i = k,
Li (xk ) =
0, i ̸= k.
No método de Lagrange, o polinômio interpolador é dado como
pn (x) = y0 L0 (x) + y1 L1 (x) + · · · + yn Ln (x)
n
X
=
yk Lk (x).
k=0
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
Exemplo
Use o método de Lagrange para encontrar o polinômio de grau ≤ 2 que
interpola os pontos dados na tabela
x
y
−1
−4
2
5
3
12
R.: p2 (x) = −3 + 2x + x 2 .
Exemplo
Usando o Método de Lagrange, encontre o valor do polinômio em x = 1,
passando pelos pontos dados na tabela abaixo:
x
y
−2
12
−1
6
3
42
4
126
R.: p3 (1) = −12.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
Exemplo
Usando o Método de Lagrange, encontre o valor do polinômio em x = 1,
passando pelos pontos dados na tabela abaixo:
x
y
−3 −2
−41 −8
−1
1
0 2
2 4
R.: p4 (1) = 3.
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Métodos Numéricos
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Interpolação
O cálculo dos polinômios L0 , L1 , . . . , Ln é computacionalmente
custoso.
Como alternativa, temos o método de Newton em que o polinômio
interpolador é dado por
pn (x) = α0 + α1 (x − x0 ) + α2 (x − x0 )(x − x1 ) + · · ·
· · · + αn (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn−1 ),
em que α0 , α1 , . . . , αn são obtidos da solução do sistema linear
1
1
1



1
1
y 
0
0
 α1  y1 
 α  y 
  2 =  2 .
 .   . 
 .   . 
.
.
αn
yn
(xn − x0 ) · · · (xn − xn−1 )
 α 
(x1 − x0 )
(x2 − x0 )
...
(xn − x0 )
(x2 − x0 )(x2 − x1 )
..
.
(xn − x0 )(xn − x1 )
..
.
···
Os coeficientes α0 , α1 , . . . , αn podem ser obtidos usando
substituição direta.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
Alternativamente, podemos calcular os coeficientes α0 , α1 , . . . , αn usando
o operador diferenças divididas:
Ordem 0: f [xk ] = f (xk ) = yk ;
f [xk ] − f [xk−1 ]
Ordem 1: f [xk−1 , xk ] =
;
xk − xk−1
f [xk−1 , xk ] − f [xk−2 , xk−1 ]
Ordem 2: f [xk−2 , xk−1 , xk ] =
;
xk − xk−2
f [xk−l+1 , . . . , xk ] − f [xk−l , . . . , xk−1 ]
Ordem l: f [xk−l , . . . xk ] =
.
xk − xk−l
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
Os cálculos podem ser organizados na seguinte tabela:
x
x0
Ordem 0
y0 = f [x0 ]
x1
y1 = f [x1 ]
Ordem 1
Ordem 2
Ordem 3
···
Ordem n
f [x0 , x1 ]
f [x0 , x1 , x2 ]
f [x1 , x2 ]
x2
y2 = f [x2 ]
f [x0 , x1 , x2 , x3 ]
f [x1 , x2 , x3 ]
f [x2 , x3 ]
x3
y3 = f [x3 ]
x4
..
.
y4 = f [x4 ]
..
.
xn
yn = f [xn ]
f [x3 , x4 ]
..
.
f [xn−1 , xn ]
.
..
f [x1 , x2 , x3 , x4 ]
f [x2 , x3 , x4 ]
..
.
f [x0 , x1 , . . . , xn ]
.
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.
..
.
f [xn−3 , xn−2 , xn−1 , xn ]
..
..
Métodos Numéricos
..
.
Métodos Numéricos
Interpolação
Em termos do operador diferenças divididas, os coeficientes
α0 , α1 , . . . , αn são dados por
αk = f [x0 , x1 , . . . , xk ],
k = 0, . . . , n.
Portanto,
pn (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ](x − x0 )(x − x1 ) + · · ·
· · · + f [x0 , x1 , . . . , xn ](x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn−1 ).
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
Na prática, o valor do polinômio pn (x) para determinado x é obtido
usando parênteses encaixados.
O polinômio
pn (x) = α0 + α1 (x − x0 ) + α2 (x − x0 )(x − x1 ) + · · ·
· · · + αn (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn−1 )
pode ser reescrito como
pn (x) = α0 + (x − x0 )(α1 + (x − x1 )(α2 +
+ (x − x2 )(α3 + · · · + (x − xn−1 )αn ) · · · ).
Deste modo, o polinômio no método de Newton resulta em
pn (x) = f [x0 ] + (x − x0 )(f [x0 , x1 ] + (x − x1 )(f [x0 , x1 , x2 ]+
+ (x − x2 )(f [x0 , x1 , x2 , x3 ] + · · · + (x − xn−1 )f [x0 , x1 , . . . , xn ]) · · · ).
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
Exemplo
Use o método de Newton para encontrar o polinômio de grau ≤ 2 que
interpola os pontos dados na tabela
x
y
−1
−4
2
5
3
12
R.: p2 (x) = −3 + 2x + x 2 .
Exemplo
Usando o Método de Newton, encontre o valor do polinômio em x = 3,
passando pelos pontos dados na tabela abaixo:
x
y
−3 −2
−60 −9
−1 0
2 −3
R.: p3 (3) = 126.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
Exemplo
Usando o Método de Newton, encontre o valor do polinômio em x = 1,
passando pelos pontos dados na tabela abaixo:
x
y
−3
−9
−2
−6
−1
1
0 2
2 3
R.: p4 (1) = −1,6.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
Vamos assumir que os pontos (x0 , y0 ), . . . , (xn , yn ) satisfazem
yk = f (xk ),
k = 0, . . . , n,
em que f é a função a ser aproximada por um polinômio pn de grau
≤ n.
O erro En em x ∈ [x0 , xn ], resultante da interpolação polinomial por
pn , é definido como
En (x) = |f (x) − pn (x)|.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
Teorema
Considere n + 1 pontos x0 < x1 < · · · < xn , com n ≥ 0. Seja f uma
função com derivada de ordem n + 1 contínua no intervalo [x0 , xn ]. Se pn
é o polinômio que interpola f nos pontos x0 , . . . , xn , então
f (x) − pn (x) =
n
f (n+1) (ξ) Y
(x − xk ),
(n + 1)!
x ∈ [x0 , xn ],
k=0
em que x0 ≤ ξ ≤ xn .
Consequentemente, o erro da interpolação polinomial satisfaz
En (x) ≤
n
Mn+1 Y
(x − xk ) ,
(n + 1)!
x ∈ [x0 , xn ],
k=0
em que
Mn+1 = max |f (n+1) (x)|.
x∈[x0 ,xn ]
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
Vamos mostrar que
f (x) − pn (x) =
f (n+1) (ξ)
π(x),
(n + 1)!
x ∈ [x0 , xn ],
em que
π(x) = (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ).
Fixado x ̸= xk em [x0 , xn ], defina a função
A(t) = f (t) − pn (t) −
f (x) − pn (x)
π(t),
π(x)
t ∈ [x0 , xn ].
Note que
A(x) = 0
e
A(x0 ) = 0, A(x1 ) = 0, . . . , A(xn ) = 0,
já que f (xk ) = pn (xk ), para k = 0, . . . , n.
Consequentemente, A possui n + 2 raízes em [x0 , xn ].
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
Pelo Teorema de Rolle, A′ possui n + 1 raízes em (x0 , xn ).
Novamente, pelo Teorema de Rolle, A′′ possui n raízes em (x0 , xn ).
Aplicando repetidas vezes o Teorema de Rolle, concluímos que
A(n+1) possui uma raiz ξ ∈ (x0 , xn ).
Logo, temos
A(n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) − pn(n+1) (ξ) −
(n+1)
Como pn
f (x) − pn (x)
(n + 1)! = 0.
π(x)
(t) = 0, chegamos então a
f (x) − pn (x) =
f (n+1) (ξ)
π(x),
(n + 1)!
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x ∈ [x0 , xn ].
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
Corolário
Considere n + 1 pontos igualmente espaçados:
xk = x0 + kh,
k = 0, 1, . . . , n.
Seja f uma função com derivada de ordem n + 1 contínua no intervalo
[x0 , xn ]. Se pn é o polinômio que interpola f nos pontos x0 , . . . , xn , então
o erro da interpolação polinomial satisfaz
En (x) ≤
Mn+1 hn+1
,
4(n + 1)
x ∈ [x0 , xn ],
em que
Mn+1 = max |f (n+1) (x)|.
x∈[x0 ,xn ]
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
Fixado x ∈ [x0 , xn ], seja 0 ≤ l ≤ n tal que x ∈ (xl−1 , xl ).
Usando as desigualdades
(x − xk ) ≤ h(l − k),
para 0 ≤ k ≤ l − 2,
2
h
,
4
(xk − x) ≤ h(k − l + 1),
(x − xl−1 )(xl − x) ≤
e
(n − l + 1) ≤
para l + 1 ≤ k ≤ n,
n
⇒ l! · (n − l + 1)! ≤ n!,
l
podem escrever
|π(x)| =
n
Y
|x − xk |
k=0
=
l−2
Y
(x − xk )(x − xl−1 )(xl − x)
k=0
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n
Y
(xk − x)
k=l+1
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
≤
Y
l−2
k=0
=
=
≤
h
n+1
4
h
2 Y
n
h
h(l − k)
h(k − l + 1)
4
k=l+1
Y
l−2
(l − k)
k=0
Y
n
(k − l + 1)
k=l+1
n+1
4
· l! · (n − l + 1)!
hn+1
n!
4
Com isso, chegamos a
f (n+1) (ξ)
(n + 1)!
n+1
h
Mn+1
Mn+1 hn+1
≤
n!
=
.
4
(n + 1)!
4(n + 1)
En (x) = |f (x) − pn (x)| = π(x)
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Interpolação
Exemplo
Obtenha uma aproximação para ln(2,3) e uma estimativa para o seu erro
usando interpolação polinomial. Para isso, considere a tabela
1
x
ln(x) 0
2
0,6931
3
1,0986
4
1,3863
R.: p3 (2,3) = 0,8373, E3 (2,3) ≤ 0,375.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
Seja f : [a, b] → R uma função contínua e, geralmente, suave.
Numa quadratura numérica de n + 1 pontos, a integral é aproximada
da seguinte forma:
Z
b
f (x)dx ≃
I (f ) =
a
n
X
wk f (xk ),
k=0
em que
x0 , x1 , . . . , xn ∈ [a, b] são os nós de integração, e
w0 , w1 , . . . , wn são os pesos.
A quadratura numérica é usada quando a função f é conhecida em
apenas alguns pontos, ou quando não é possível calcular I (f )
analiticamente.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
Nas fórmulas de Newton–Cotes, os pesos wk são obtidos usando
interpolação polinomial ou interpolação polinomial por partes em
pontos x0 < x1 < · · · < xn igualmente espaçados no intervalo [a, b].
Uma fórmula de Newton–Cotes é chamada de fechada se x0 = a e
xn = b.
Por outro lado, na fórmula aberta de Newton–Cotes, temos
x0 , x1 , . . . , xn ∈ (a, b).
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
Seja pn o polinômio de grau n que interpola f nos pontos
xk = a +
b−a
k,
n
k = 0, 1, . . . , n.
Pela forma de Lagrange, temos
pn (x) =
n
X
f (xk )Lk (x),
k=1
em que
Lk (x) =
Y (x − xi )
.
(xk − xi )
i̸=k
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
Deste modo,
b
Z
Z
b
f (x)dx ≃
I (f ) =
pn (x)dx
a
a
=
=
=
Z b X
n
a
k=0
n
XZ b
k=0
n
X
f (xk )Lk (x) dx
Lk (x)dx f (xk )
a
wk f (xk ),
k=0
em que os pesos w0 , w1 , . . . , wn são dados por
Z
wk =
b
Lk (x)dx,
k = 0, 1, . . . , n.
a
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
Na Regra dos Trapézios, consideramos n = 1 com x0 = a e x1 = b.
Sendo as bases de Lagrange dadas por
L0 (x) =
x − x1
x1 − x
=
,
x0 − x1
h
e L1 (x) =
x − x0
x − x0
=
,
x1 − x0
h
em que h = x1 − x0 , temos
Z
b
w0 =
Z
x1
L0 (x)dx =
a
Z
w1 =
x0
x1
b
Z
L1 (x)dx =
a
x0
x1 − x
h
dx = ,
h
2
x − x0
h
dx = .
h
2
Com isso, a Regra dos Trapézios resulta em
I (f ) ≃ T1 (f ) =
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h
[f (x0 ) + f (x1 )].
2
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
Para melhorar a aproximação da integral pela Regra dos Trapézios,
podemos fazer uma subdivisão do intervalo [a, b] com pontos
xk = a +
b−a
k,
n
k = 0, 1, . . . , n,
e aplicar a Regra dos Trapézios em cada subintervalo [xk−1 , xk ], para
k = 1, . . . , n.
Nesse caso, a função f é aproximada por um polinômio linear por
partes Π1 que interpola f em x0 , x1 , . . . , xn .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
Com isso, temos a aproximação
Z
b
Z
f (x)dx ≃
I (f ) =
a
b
Π1 (x)dx =
a
n Z
X
k=1
xk
Π1 (x)dx = Tn (f ).
xk−1
Considerando a aplicação da Regra dos Trapézios em cada
subintervalo [xk−1 , xk ], obtemos
I (f ) ≃ Tn (f ) =
n
X
h
k=1
2
[f (xk−1 ) + f (xk )].
A Regra dos Trapézios Composta é dada então como
I (f ) ≃ Tn (f ) =
h
[f (x0 ) + 2f (x1 ) + 2f (x2 ) + · · · + 2f (xn−1 ) + f (xn )].
2
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
Seja
Z
x1
RT = I (f ) − T1 (f ) =
Z
x1
f (x)dx −
x0
p1 (x)dx.
x0
Considere a função contínua
A(x) = f (x) − p1 (x) −
RT
π(x),
W
em que π(x) = (x − x0 )(x − x1 ),e
Z x1
h3
π(x)dx = − ̸= 0.
W =
6
x0
Como
Z
x1
A(x)dx = 0,
x0
podemos inferir que existe u ∈ (x0 , x1 ) tal que A(u) = 0.
© R. F. Vigelis
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
Portanto, a função A(x) tem três zeros distintos em [x0 , x1 ].
Aplicando repetidas vezes o Teorema de Rolle, concluímos que
A′′ (x) possui uma raiz ξ ∈ (x0 , x1 ).
Logo, temos
0 = A′′ (ξ) = f ′′ (ξ) −
RT
2!,
W
de onde chegamos então a
RT =
f ′′ (ξ)
f ′′ (ξ) h3 h3
W =
−
= − f ′′ (ξ).
2!
2!
6
12
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
No caso da Regra dos Trapézios Composta, considerando a
expressão para o resto, obtemos
I (f ) =
n X
h
k=1
2
[f (xk−1 ) + f (xk )] −
h3 ′′
f (ξk )
12
n
h3 X ′′
= Tn (f ) −
f (ξk ) .
12
k=1
{z
}
|
=RT
Supondo que f ′′ é contínua em [a, b], uma aplicação Teorema do
Valor Intermediário fornece a existência de ξ ∈ (a, b) tal que
n
RT = −
h3
h3 X ′′
h3
f (ξk ) = − nf ′′ (ξ) = −n f ′′ (ξ).
12
12
12
k=1
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
Portanto, o erro na Regra dos Trapézios Composta, supondo f ′′
contínua em [a, b], satisfaz
|RT | = |I (f ) − Tn (f )| ≤
(b − a)3
M2 ,
12n2
em que
M2 = max |f ′′ (ξ)|.
a≤ξ≤b
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Métodos Numéricos
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Integração numérica
Exemplo
Usando a Regra dos Trapézios Composta, calcule o valor da integral
Z
1
e x dx,
0
−2
com erro |RT | < 10
.
R.: n = 5, T5 (f ) = 1,724005.
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Integração numérica
Exemplo
Usando a Regra dos Trapézios Composta, calcule o valor da integral
Z
1
ln(cos x)dx,
0
com erro |RT | < 10−2 .
R.: n = 6, T6 (f ) = −0,191132.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
Exemplo
Usando a Regra dos Trapézios Composta, calcule o valor da integral
Z
1
(x − 2)e x dx,
0
−3
com erro |RT | < 7 × 10
.
R.: n = 6, T6 (f ) = −2,434253.
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Métodos Numéricos
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Integração numérica
A Regra 1/3 de Simpson é obtida considerando n = 2, com
x0 = a,
x1 = (a + b)/2
e x2 = b.
Neste caso, as integrais dos polinômios de Lagrange resultam em
Z b
Z x2
(x − x1 )(x − x2 )
h
w0 =
L0 (x)dx =
dx = ,
(x
−
x
)(x
−
x
)
3
0
1
0
2
a
x0
Z b
Z x2
(x − x0 )(x − x2 )
4h
L1 (x)dx =
w1 =
dx =
,
3
a
x0 (x1 − x0 )(x1 − x2 )
Z b
Z x2
(x − x0 )(x − x1 )
h
w2 =
L2 (x)dx =
dx = ,
(x
−
x
)(x
−
x
)
3
2
0
2
1
a
x0
que podem ser calculadas considerando z = x − x0 .
Portanto, a Regra 1/3 de Simpson é dada por
I (f ) ≃ S2 (f ) =
h
[f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )].
3
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
Para melhorar a aproximação da integral pela Regra 1/3 de Simpson,
podemos fazer uma subdivisão do intervalo [a, b] com pontos
xk = a +
b−a
k,
n
k = 0, 1, . . . , n,
e aplicar a Regra 1/3 de Simpson em cada subintervalo [x2k−2 , x2k ],
para k = 1, . . . , n/2.
Nesse caso, a função f é aproximada por um polinômio quadrático
por partes Π2 que interpola f em x0 , x1 , . . . , xn .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
Com isso, temos a aproximação
Z
b
Z
b
f (x)dx ≃
I (f ) =
a
Π2 (x)dx =
a
n/2 Z
X
k=1
x2k
Π2 (x)dx = Sn (f ).
x2k−2
Considerando a aplicação da Regra 1/3 de Simpson em cada
subintervalo [x2k−2 , x2k ], obtemos
I (f ) ≃ Sn (f ) =
n/2
X
h
k=1
3
[f (x2k−2 ) + 4f (x2k−1 ) + f (x2k )].
Deste modo, a Regra 1/3 de Simpson Composta é dada como
Sn (f ) =
h
[f (x0 )+4f (x1 )+2f (x2 )+4f (x3 )+· · ·+2f (xn−2 )+4f (xn−1 )+f (xn )].
3
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Métodos Numéricos
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Integração numérica
Assim como na Regra dos Trapézios, pode-se mostrar que o resto na
Regra 1/3 de Simpson, supondo f (4) contínua em [a, b], satisfaz
RS = I (f ) − S2 (f ) = −
h5 (4)
f (ξ),
90
ξ ∈ (a, b).
Para isso, denotamos
π(x) = (x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ),
π
e(x) = (x − x0 )(x − x1 )2 (x − x2 ),
e assim temos
Z
x2
π(x)dx = 0,
W =
x
Z 0x2
f=
W
x0
π
e(x)dx = −
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4 5
h ̸= 0.
15
Métodos Numéricos
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Integração numérica
Considere a função contínua
A(x) = f (x) − p2 (x) − kπ(x) −
RS
π
e(x),
f
W
em que a constante k ∈ R é escolhida de modo que
Z x1
A(x)dx = 0,
x0
R x1
visto que x0 π(x)dx ̸= 0.
Rx
Como x02 A(x)dx = 0, concluímos que
Z
x2
A(x)dx = 0.
x1
Com isso, existem u ∈ (x0 , x1 ) e v ∈ (x1 , x2 ) tais que
A(u) = A(v ) = 0.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
Portanto,a função A(x) tem cinco zeros distintos em [x0 , x2 ].
Aplicando repetidas vezes o Teorema de Rolle, concluímos que
A(4) (x) possui uma raiz ξ ∈ (x0 , x2 ).
Logo, temos
0 = A(4) (ξ) = f (4) (ξ) −
RS
4!,
f
W
de onde chegamos então a
RS =
f (4) (ξ) f f (4) (ξ) 4 5 h5
− h = − f (4) (ξ).
W =
4!
4!
15
90
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Métodos Numéricos
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Integração numérica
No caso da Regra 1/3 de Simpson Composta, considerando a
expressão para o resto, obtemos
I (f ) =
n/2 X
h
k=1
h5
[f (x2k−2 ) + 4f (x2k−1 ) + f (x2k )] − f (4) (ξk )
3
90
n/2
h5 X (4)
f (ξk ) .
90
k=1
|
{z
}
= Sn (f ) −
=RS
Supondo que f (4) é contínua em [a, b], o Teorema do Valor
Intermediário fornece a existência de ξ ∈ (a, b) tal que
n/2
RS = −
h5 n (4) h5 (4)
h5 X (4)
f (ξk ) = −
f (ξ) = −n
f (ξ).
90
90 2
180
k=1
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
Portanto, o resto na Regra 1/3 de Simpson Composta, supondo f (4)
contínua em [a, b], satisfaz
|RS | = |I (f ) − Sn (f )| ≤
(b − a)5
M4 ,
180n4
em que
M4 = max |f (4) (ξ)|.
a≤ξ≤b
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Integração numérica
Exemplo
Calcule o valor da integral
Z
1
e x dx,
0
aplicando a Regra 1/3 de Simpson Composta, com erro |RS | < 10−4 .
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
Exemplo
Calcule o valor da integral
Z
3
ln(x + 1)dx,
1
aplicando a Regra 1/3 de Simpson Composta, com erro |RS | < 10−4 .
R.: n = 6, S6 (f ) = 2,158868.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
Exemplo
Calcule o valor da integral
Z
1
(x sen x + 4 cos x)dx,
0
aplicando a Regra 1/3 de Simpson Composta, com erro |RS | < 10−5 .
R.: n = 6, S6 (f ) = 3,6670538.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
Na quadratura Gaussiana dada por
Z
b
f (x)dx ≃ Gn (f ) =
I (f ) =
a
n
X
wk f (xk ),
k=0
os nós de integração x0 , x1 , . . . , xn não são pontos igualmente
espaçados em [a, b].
Tanto os nós de integração como os pesos são escolhidos de modo
que Rn+1 = 0 se f for um polinômio de grau ≤ 2n + 1.
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Métodos Numéricos
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Integração numérica
Para n = 1 e [a, b] = [−1, 1], devemos ter
Z
1
G1 (f ) =
f (t)dt = w0 f (t0 ) + w1 f (t1 ),
−1
sempre que f for um polinômio de grau ≤ 3.
Deste modo,
Z 1
1dx = w0 f (t0 ) + w1 f (t1 ) ⇒ w0 + w1 = 2,
−1
Z 1
xdx = w0 f (t0 ) + w1 f (t1 ) ⇒ w0 t0 + w1 t1 = 0,
Z
−1
1
x 2 dx = w0 f (t0 ) + w1 f (t1 ) ⇒ w0 t02 + w1 t12 =
−1
1
Z
2
,
3
x 3 dx = w0 f (t0 ) + w1 f (t1 ) ⇒ w0 t03 + w1 t13 = 0.
−1
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Integração numérica
Como consequência, obtemos o seguinte sistema não linear:

w0 + w1 = 2





 w0 t0 + w1 t1 = 0
2

w0 t02 + w1 t12 =


3



w0 t03 + w1 t13 = 0
cuja solução é
1
t0 = − √ ,
3
1
t1 = + √ ,
3
e w0 = w1 = 1.
No caso de um intervalo [a, b] qualquer, a mudança de variável
1
(a + b + t(b − a))
2
resulta na quadradura Gaussiana dada por
a + b b − a i
b − ah a + b b − a
G1 (f ) =
f
− √
+f
+ √
.
2
2
2
2 3
2 3
x=
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Métodos Numéricos
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Integração numérica
Exemplo
R1
Estime I (f ) = 0 e x dx usando a quadratura Gaussiana G1 (f ) e
determine o erro resultante.
Exemplo
R1
Estime I (f ) = 0 (x − 2)e x dx usando a quadratura Gaussiana G1 (f ) e
determine o erro resultante.
Exemplo
R3
Estime I (f ) = 1 ln(x + 1)dx usando a quadratura Gaussiana G1 (f ) e
determine o erro resultante.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Solução numérica de PVI
Um problema de valor inicial (PVI) é uma equação diferencial dada
na forma

 dy = f (x, y ),
dx

y (x0 ) = y0 ,
em que f é uma função dada, com condição inicial y (x0 ) = y0 , para
x0 e y0 fixados.
Assumiremos que o PVI possui uma única solução y (x).
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Solução numérica de PVI
Assuma que pontos x0 , x1 , . . . são igualmente espaçados, ou seja,
k = 0, 1, . . .
xk+1 = xk + h,
para dado passo h.
O método de Euler é dado pela fórmula
yk+1 = yk + hf (xk , yk ),
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k = 0, 1, . . .
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Solução numérica de PVI
Se y ′′ (x) for contínua, então, pela série de Taylor centrada em xk
temos
1
y (xk + h) = y (xk ) + y ′ (xk )h + y ′′ (ξ)h2 ,
2
ξ ∈ (xk , xk + h),
que reescrevemos como
1
y (xk+1 ) = y (xk ) + hf (xk , y (xk )) + y ′′ (ξ)h2 ,
2
onde usamos xk+1 = xk + h e y ′ (xk ) = f (xk , y (xk )).
Assumindo yk = y (xk ), o erro do método de Euler em xk+1 é então
e(xk+1 ) = |y (xk+1 ) − yk+1 | =
1 ′′
h2
|y (ξ)|h2 ≤ M2 ,
2
2
em que
M2 =
max
xk ≤ξ≤xk+1
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|y ′′ (ξ)|.
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Solução numérica de PVI
Definição
Um método numérico para um PVI é dito ser de ordem p se existe uma
constante C tal que o erro e(xk+1 ) = |y (xk+1 ) − yk+1 |, onde se assume
yk = y (xk ), satisfaz
e(xk+1 ) < Chp+1 ,
em que C é uma constante.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Solução numérica de PVI
Exemplo
Usando o Método de Euler, estabeleça aproximações para o PVI

 dy = 1 ,
dx
x +1

y (0) = 1,
no intervalo [0; 1,2], com h = 0,4.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Solução numérica de PVI
Exemplo
Usando o Método de Euler, estabeleça aproximações para o PVI

1
 dy =
,
dx
1 + xy

y (0) = 0,
no intervalo [0, 1], com h = 0,25.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Solução numérica de PVI
Exemplo
Usando o Método de Euler, estabeleça aproximações para o PVI

 dy = x 2 − 2y ,
dx

y (0) = 1,
no intervalo [0, 1], com h = 0,2.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Solução numérica de PVI
Os chamados métodos de Runge–Kutta de s estágios apresentam a
forma
yk+1 = yk + hϕ(xk , yk ),
k = 0, 1, . . . ,
em que ϕ = b1 k1 + · · · + bs ks , e
k1 = f (x, y ),
k2 = f (x + c2 h, y + ha21 k1 ),
k3 = f (x + c3 h, y + h(a31 k1 + a32 k2 )),
..
.
ks = f (x + cs h, y + h(as1 k1 + · · · + as,s−1 ks−1 )),
com as constantes ci , aij , bj sendo definidas para cada método
particular.
O método de Euler, em que ϕ = f , é um método de Runge–Kutta
de estágio s = 1 e ordem p = 1.
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Solução numérica de PVI
As constantes do método de Runge–Kutta podem ser organizados
como na tabela
0
c2
c3
..
.
cs
a21
a31
..
.
a32
..
.
as1
b1
as2
b2
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..
.
···
···
as,s−1
bs−1
Métodos Numéricos
bs
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Solução numérica de PVI
Pode-se mostrar que o método de Runge–Kutta de 2 estágios tem
ordem p = 2 se
b1 + b2 = 1,
b2 c 2 =
1
,
2
b2 a21 =
1
.
2
Dois métodos que satisfazem a relação acima são o método de Euler
modificado, cujas constantes são dadas na tabela
0
1/2
1/2
0
1
e o método de Euler melhorado, com constantes dadas abaixo
0
1
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1
1/2
1/2
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Solução numérica de PVI
O método de Euler modificado apresenta a forma
h
h
yk+1 = yk + hf xk + , yk + f (xk , yk ) .
2
2
Já o método de Euler melhorado tem a forma
h
yk+1 = yk + [f (xk , yk ) + f (xk + h, yk + hf (xk , yk ))].
2
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Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Solução numérica de PVI
Exemplo
Compare a solução do PVI

 dy = −2xy 2 ,
dx

y (0) = 0,5,
no intervalo [0, 1], com 10 subintervalos, usando os métodos de Euler,
Euler modificado e Euler melhorado, sabendo que a solução é
y (x) =
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1
.
x2 + 2
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Solução numérica de PVI
xi
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
|yiE − y (xi )|
0
2,49 × 10−3
4,80 × 10−3
6,73 × 10−3
8,11 × 10−3
8,88 × 10−3
9,04 × 10−3
8,69 × 10−3
7,94 × 10−3
6,93 × 10−3
5,77 × 10−3
|yiEmod − y (xi )|
0
1,24 × 10−5
4,76 × 10−5
9,83 × 10−5
1,55 × 10−4
2,06 × 10−4
2,45 × 10−4
2,67 × 10−4
2,71 × 10−4
2,59 × 10−4
2,35 × 10−4
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|yiEmel − y (xi )|
0
1,24 × 10−5
2,32 × 10−5
2,97 × 10−5
2,89 × 10−5
1,91 × 10−5
2,60 × 10−8
2,70 × 10−5
5,96 × 10−5
9,48 × 10−5
1,30 × 10−4
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Solução numérica de PVI
Um método bastante comum de ordem 4 é o método de
Runge–Kutta com coeficientes dados na tabela
0
1/2
1/2
1
1/2
0
0
1/6
1/2
0
1
1/3 1/3
1/6
Para esses coeficientes o método de Runge–Kutta apresenta a forma
h
yk+1 = yk + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ),
6
em que
k1 = f (xk , yk ),
h
h k2 = f xk + , yk + k1 ,
2
2
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h
h k3 = f xk + , yk + k2 ,
2
2
k4 = f (xk + h, yk + hk3 ).
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Solução numérica de PVI
Exemplo
Considere o PVI

 dy = y ,
dx

y (0) = 1.
Use o método de Euler melhorado e o método de Runge–Kutta de ordem
4 para estimar y (0,04) com h = 0,04. Compare com a solução
y (0,04) = e 0,04 .
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Métodos Numéricos
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