Capítulo 17
LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN CON DOS O MÁS INSUMOS VARIABLES
En la función de producción examinada en el capítulo anterior se consideró solo un
insumo variable y se supuso que los demás insumos permanecían constantes. Sin
embargo, éste esquema es demasiado simplificado, lo que hace necesario relajar
el supuesto de un insumo variable y dar paso a un concepto mas general, el de la
función de producción con dos o mas insumos variables. Este concepto de función
de producción no difiere conceptualmente del anterior, de hecho, cumple los mismos
postulados de teoría económica; lo que no podría ser de otra manera si
consideramos que la función de producción con un insumo variable es un caso
particular de la función de producción con “n” insumos variables. Es por eso que el
objetivo de este capítulo es revisar las bases de la relación técnica relacionada con
el modelo factor-factor, en el cuál los dos insumos son usados en la producción de
un solo producto. Simbólicamente, la función de producción con dos o más insumos
variables se representa como:
Y = f (X 1 , X 2 ,..., X n X n+1 , X n+2 ,..., X n+m )
Donde:
Y = producto;
X1, X2, ..., Xn = son insumos variables;
Xn+1, Xn+2, ..., Xn+m = son insumos fijos.
Esta expresión indica que la cantidad de producción obtenida de Y depende de una
determinada combinación de las cantidades de insumos variables y fijos. Por
ejemplo, supóngase un productor de maíz que desea determinar como puede lograr
una mejor combinación de sus recursos para alcanzar una cierta producción. Para
ello varía la cantidad de nitrógeno y fósforo en su dosis de fertilización y mantiene
los demás insumos de la producción sin variación (constantes). Para tal caso, la
función de producción adopta la siguiente forma:
Y = f (X 1 , X 2 X 3 , X 4 ,..., X n )
Donde:
Y = producción de maíz;
X1 = cantidad de nitrógeno,
X2 = cantidad de Fósforo,
X3, X4, ..., Xn = son insumos fijos.
Cuando el agricultor agregue cantidades crecientes de estos dos insumos variables
al conjunto de insumos fijos, probablemente la producción se incremente,
primeramente, a tasas crecientes; sin embargo, a partir de un cierto punto, la
producción crecerá a tasas decrecientes para, finalmente, empezar a declinar.
En el caso de un insumo variable, cada nivel de insumo utilizado producía un
diferente nivel de producto, siempre y cuando los insumos fueran usados por debajo
del nivel resultante en el máximo producto. En el caso de dos insumos variables,
puede haber muchas diferentes combinaciones de insumos que generen
exactamente el mismo nivel de producto. A efecto de poder constatar lo anterior,
considérese el siguiente ejemplo.
17.1. Ejemplo hipotético
En el cuadro 17.1 se presentan los datos de una función de producción hipotética
con dos insumos variables. La cantidad de producto puede estar medida en bushels,
toneladas, etc. y es resultado de cada una de las combinaciones de los dos insumos
X1, X2. Observando la tabla, puede verse que cuando los insumos variables están
permitiendo el incremento (uno de ellos permanece constante), la ley de los
rendimientos marginales decrecientes aparece. Así, cuando X 1 se está utilizando a
un nivel de cero y el insumo X2 se está incrementando, se observa que el producto
total Y crece en forma ascendente, alcanza un nivel máximo de 49 unidades cuando
X2 = 7, y posteriormente empieza a descender. Así mismo, cuando el uso de X 2 es
fijado en cero (o en cualquier otro nivel), y la cantidad de X1 utilizada se incrementa,
ocurre la misma respuesta.
CUADRO 17.1
Producción obtenida con diversas combinaciones de dos insumos
X1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
80
81
80
77
72
65
56
45
32
17
0
0
93
94
93
90
85
78
69
58
45
30
13
1
104
105
104
101
96
89
80
69
56
41
24
2
113
114
113
110
105
98
89
78
65
50
33
3
120
121
120
117
112
105
96
85
72
57
40
4
125
126
125
122
117
110
101
90
77
62
45
5
X2
128
129
128
125
120
113
104
93
80
65
48
6
129
130
129
126
121
114
105
94
81
66
49
7
128
129
128
125
120
113
104
93
80
65
49
8
125
126
125
122
117
110
101
90
77
62
45
9
120
121
120
117
112
105
96
85
72
57
40
10
FUENTE: Doll y Orazem, op cit.
Evidencias de rendimientos decrecientes a escala también existen cuando X1 y X2
son usados en combinación. Por ejemplo, incrementos en el uso de X 1 de 0 a 2
unidades, acompañado con la aplicación de la primera unidad de X2, incrementa la
producción de 0 a 45 unidades; sin embargo, cuando más y más unidades de ambos
insumos son aplicadas, la tasa de incremento eventualmente declina. El incremento
en la producción por la adición de la octava y novena unidad de X 1 y la primera,
segunda, tercera, etc. de X2 es solamente de una unidad, aun cuando el incremento
en insumos es el mismo que en la primera instancia. Cuando el uso de X 1 y de X2
se aumenta de 9 a 10 unidades, la producción declina de 126 a 120 unidades.
57
Dado que hay un número de diferentes combinaciones de X 1 y X2 que pueden ser
usadas en la producción de Y, y dado que los rendimientos decrecientes a escala
existen, se debe dar respuesta a dos preguntas básicas: ¿qué combinación de
insumos debería ser usada para producir un rendimiento dado? Y ¿qué nivel de
combinación de insumos y productos satisfacen el objetivo de los productores? A
continuación, se trata de dar respuesta a estas interrogantes.
17.2. La superficie de producción
La gráfica 17.1 describe la superficie de producción que surge del uso de capital y
trabajo como insumos variables en la producción de Y. Los datos que generaron
esta función están contenidos en el cuadro17.1, donde se puede apreciar que la
función de producción es continua y los datos listados son solo puntos
seleccionados (discretos) de todas las posibles combinaciones de insumos que
generan un determinado nivel de producción. Todas estas combinaciones no se
incluyen en el cuadro debido a que por razones de espacio es prácticamente
imposible hacerlos. Sin embargo, cuando se desea conocer una determinada
combinación de insumos que genere un cierto nivel de producto se puede recurrir
al análisis matemático. Para ello, se supone que la ecuación de la función de
producción presentada en el cuadro 17.1 es de la siguiente forma:
Y = 18 X1 - X 12 + 14 X2 - X 22
La cantidad de producto obtenida de alguna combinación de insumos puede ser
computada sustituyendo los valores seleccionados de X1 y X2 en la ecuación. Por
ejemplo, cuando X1 = 0 y X2 = 0, entonces Y = 0. Otro ejemplo, si como
anteriormente se dijo que el producto total alcanza un máximo cuando el producto
marginal de X1 y X2 es cero. Entonces:
dY
= PMX1 = 18 –2X1 = 0
dX 1
Resolviendo se tiene que X1 = 9.
Para el caso de X2 se tiene lo siguiente
dY
= PMX2 = 14 –2X2 = 0
dX 2
de donde resolviendo se tiene que X2 = 7.
Es decir, cuando X1 = 9 y X2 = 7, el producto total, Y, alcanza un valor máximo de
130 unidades.
58
Y = 18(9) – (9)2 + 14(7) – (7)2 = 130
Para niveles de insumo X1 > 9 y X2 > 7, ambos productos marginales son negativos
y el resultado en la producción hace que Y descienda por debajo de 130.
La función de producción aquí descrita es una herramienta muy útil para propósitos
de planificación. Sin embargo, está sujeta a todas las restricciones de interpretación
vistas para la función de producción con un insumo variable, como pueden ser los
cambios en los factores fijos, en la tecnología usada, etc.
Gráfica 17.1 La superficie de producción y las curvas
de igual producto (Isocuantas).
PRODUCCIÓN
Q
A
B
C
ISOCUANTAS
C’
A
B
TRABAJO
CAPITAL
0
17.3. Las curvas de igual producto (Isocuantas)
Muchas combinaciones de trabajo y capital producen exactamente el mismo nivel
de producción. Por ejemplo, refiriéndose al cuadro 17.1, y a pesar de que allí sólo
hay valores discretos, se encuentra que hay varias combinaciones de X 1 y X2 que
producen el mismo nivel de Y. Por ejemplo, 105 unidades de Y se obtienen con las
siguientes combinaciones de insumos:
Cuadro 17.2
Combinaciones de Insumos de Igual Producto: 105 Unidades de Producto
X1
9
X2
2
Y
105
59
6
5
4
5
3
4
7
10
105
105
105
105
Esta tabla aparece con 3 variables: X1, X2, e Y, lo que dificulta graficar estos datos
en una figura bidimensional, aunque siguiendo una metodología como la expuesta
en la gráfica 17.1, es posible obtener una curva que representa todas las
combinaciones de X1, X2 que resultan en el mismo nivel de producto. A la curva así
generada se le denomina isocuanta; en algunos textos se le conoce también como
“línea de igual producto” o “línea de isoproducto”. Ferguson (1979) define a la
isocuanta como “una curva en el espacio de insumos que muestra todas las
combinaciones posibles físicamente capaces de generar un nivel dado de
producción. La totalidad de la superficie de producción de tres dimensiones se
puede representar en un mapa de isocuantas de dos dimensiones” (pag.155). El
prefijo iso viene del griego isos que significa igual, mientras que quant significa
cantidad. Así, una isocuanta es literalmente una línea que representa iguales
cantidades. Cada punto sobre la línea representa el mismo nivel de producto, pero
también cada punto sobre la línea representa diferentes combinaciones de los dos
insumos. En la medida que uno se mueve a lo largo de una isocuanta las
proporciones de los dos insumos varía, pero el nivel de producto permanece
constante.
En la práctica es común encontrar funciones de producción con más de dos insumos
variables, para estos casos, el uso del cálculo diferencial como herramienta de
análisis resulta indispensable. En el apéndice 1 se detalla el proceso de obtención
de una función de producción de proporciones variables utilizando una compañía
de servicios de mensajería. Se recomienda la consulta de dicho apéndice ya que la
metodología utilizada en este ejemplo puede ser de mucha utilidad.
Como lo muestra la gráfica 17.1, el mapa de isocuantas puede ser comparado con
un mapa topográfico de una colina de pendientes suaves. La altura de la colina
representa la cantidad de producción obtenida, mientras que cada isocuanta es
análoga a líneas de contorno mostrando diferentes elevaciones de la colina. La
isocuanta representa el locus de puntos sobre el producto total, “la colina”, que
tienen valores iguales. Cualquier punto sobre una isocuanta dada es igual a
cualquier otro punto sobre la curva en la que todos ellos representan el mismo valor
de la producción. Debido a que “hay un infinito número de isocuantas” cualquier
nivel de producción puede ser establecido o alcanzado. En la práctica, el productor
selecciona solamente unas cuantas.
Las isocuantas obtenidas de la función de producción presentan algunas
propiedades muy importantes:
1. Estas nunca se cruzan ya que todos los puntos sobre una isocuanta representan
el mismo nivel de producción y, por tanto, la intersección de las curvas violaría
60
el principio básico de que cada combinación de insumos puede producir una y
sólo una cantidad de producto. La intersección implicaría que los puntos de la
producción serían iguales o mayores que cada otro al mismo tiempo, cosa que
no es posible ya que las isocuantas se ubican en planos diferentes sobre los
ejes de la producción. La intersección en términos económicos y técnicos es algo
que no tiene sentido.
2. Las isocuantas pueden ser convexas al origen o lineares. Una isocuanta
cóncava al origen no puede determinar un óptimo porque se estaría violando la
condición de eficiencia económica. Una línea recta es convexa “débilmente” o
cóncava “débilmente”. Una isocuanta convexa al origen implica sustitución entre
los insumos productivos, producción en la etapa II y productividades marginales
decrecientes.
3. Para cada nivel de producción existe una isocuanta. Los niveles mayores de
producción son mostrados por isocuantas que se sitúan más lejos del origen
hacia la derecha. El conjunto de isocuantas forma un mapa de isocuantas.
4. Un mapa completo de isocuantas mostraría todas las combinaciones de los dos
insumos que podrían ser usados para producir todos los niveles de producción
en un rango de cero a infinito.
Gráfica 17.2. Mapa de Isocuantas
X
X22
Y2
Y1
Y0
X1 X1
Si la función de producción se expresa en forma algebraica, la ecuación de la
isocuanta puede ser determinada. Por ejemplo, utilizando la función cuadrática
presentada a principio de este capitulo; nos daría lo siguiente:
Y = 18 X1 - X 12 + 14 X2 - X 22
61
Utilizando la fórmula de la función cuadrática general para encontrar su solución se
tiene que
Y - 18 X1 + X 12 - 14 X2 + X 22 = 0
Reordenando términos
X 12 - 18 X1 + X 22 - 14 X2 + Y = 0
Tratando de resolver esta ecuación mediante la formula cuadrática se tiene que
A = 1; B = -18 y C= X 22 - 14 X2 + Y,
Por lo que despejando X1 nos queda que
X1 =
18  (−18) 2 − 4( X 22 − 14 X 2 + Y )
2
De donde resolviendo y despejando para X1 se tiene que:
X1 = 9 - (81 + 14X2 - X 22 - Y )1/2
Que sería la ecuación de la isocuanta. En forma general podemos expresar la
ecuación de la isocuanta de la siguiente manera:
x2 = f −1 ( x1 , y )
Donde f-1 denota la operación matemática (reversa o función inversa) requerida para
expresar la función de producción en términos de x2 como una función de x1 e y.
Para encontrar algunos valores de X1 véase el siguiente ejemplo: si Y = 105 y X2 =
6, entonces:
X1 = 9 – [81 + 14(6) – (6)2 –105]1/2
X1 = 9 – (81 + 84 – 36 – 105)1/2
X1 = 9 -
24
X1 = 9 – 4.89
X1 = 4.11
17.4. La tasa marginal de sustitución técnica (TMST)
62
La característica de convexidad al origen de las isocuantas permite que dentro del
proceso productivo se de la sustitución de insumos. Es decir, un insumo puede
sustituir a otro en forma tal que se mantenga constante el nivel de producción. Es
de gran importancia conocer la tasa a la que un insumo sustituye a otro manteniendo
constante el producto; sin embargo, es conveniente aclarar que, hasta este punto,
la sustitución de insumos dentro del proceso productivo es un fenómeno puramente
técnico ya que aun no se han mencionado los precios relativos de los insumos. El
término para la tasa a la cual un insumo sustituye a otro se denomina “tasa marginal
de sustitución técnica” (TMST). Ferguson (1979) define este concepto de la
siguiente manera: “la tasa marginal de sustitución técnica mide el número de
unidades en que disminuye un insumo por unidad de incremento en el otro, para
que el nivel de producción permanezca constante. La TMST del insumo X1 por el
insumo X2 en un punto de una isocuanta es igual a la negativa de la pendiente de
la isocuanta en ese punto. En términos geométricos es la pendiente de una línea
tangente a la curva isocuanta. También es igual a la relación del producto marginal
del insumo X2 con el producto marginal del insumo X1” (pag. 162).
Gráfica 17.3. La Tasa Marginal de Sustitución Técnica
Suponga que en el eje horizontal tenemos el insumo x 1, mientras que en el eje
vertical tenemos el insumo x2. La terminología TMSTx1x2 será usada para describir
la pendiente de la isocuanta asumiendo que el insumo x1 se incrementa y x2
disminuye mientras que y se mantiene constante. En este ejemplo, x1 es el insumo
que sustituye y x2 es el insumo que será sustituido. La gráfica 17.3 ilustra una
isocuanta exhibiendo una TMST decreciente. Esto lo podemos constatar por el
hecho de que si nos movemos a la derecha de la curva isocuanta observamos que
cualquier incremento unitario de x1 sustituye menos cantidades de x2. La tasa
63
marginal de sustitución técnica decreciente entre los insumos es la característica
que determina la convexidad de la curva. La TMST también mide la inversa de la
pendiente de la isocuanta. En este caso, suponga que el uso de x2 se está
incrementando, mientras que el uso de x1 está disminuyendo. La terminología
TMSTx2x1 es utilizada para describir la inversa de la pendiente de la isocuanta. En
este ejemplo, x2 es el insumo que reemplaza y x1 el insumo que será reemplazado,
en la medida que nos movemos hacia la izquierda de la isocuanta. En este caso la
TMSTx2x1 = 1/ TMSTx1x2. A continuación, analizamos el concepto con cierto detalle.
Como ya se dijo antes, la tasa marginal de sustitución técnica (TMST), mide la tasa
a que podría sustituirse un insumo por otro, al mantener un nivel de producción
constante. Veamos la gráfica 17.4 al respecto:
Gráfica 17.4. La Tasa Marginal de Sustitución Técnica en detalle
La razón X2/X1, es la tasa de sustitución de insumos porque nos indica el
porcentaje con que se debe incrementar la cantidad del insumo 2 por reducción
unitaria en la cantidad del insumo 1. Es no marginal porque la reducción inicial en
la cantidad del insumo 1 es un valor discreto. Esto, en cierto sentido genera algunos
problemas de precisión en la medición. De la gráfica 17.4, veamos el siguiente
ejemplo: si se selecciona X1 = 7, entonces X2 = 7, la tasa de sustitución es 7/7 =
1; mientras que si se selecciona X1 = 5 y X2 = 3, la tasa de sustitución es 0.6. La
pregunta que nos surge ahora es ¿cuál es la tasa de sustitución: 1 ó 0.6? La
respuesta es: ninguna de las dos. En efecto, el primer caso, en realidad equivale al
valor absoluto de la pendiente de la línea AC; mientras que, en el segundo, equivale
al valor absoluto de la pendiente de la línea AB. Para resolver esta ambigüedad, los
economistas utilizan el concepto de tasa marginal de sustitución técnica (TMST),
que es la tasa de sustitución asociada con una reducción marginal o infinita en la
64
cantidad del insumo 1. Nótese que conforme X1 se aproxima a cero, el segmento
de la línea punteada se acerca a la línea TT tangente a la isocuanta en el punto A.
Así, la TMST en el punto A es el valor absoluto de la pendiente TT. Más
formalmente, la TMST es el valor absoluto de la pendiente de la isocuanta.
Una vez que se conoce la expresión algebraica de la función de producción, es
posible calcular el valor de la TMST utilizando los productos marginales de los
insumos. Veamos como ocurre esto. Sea
y = f (x1, x2)
Dado que el nivel de producción es constante a lo largo de la isocuanta, tenemos
Y0 = f (x1, x2)
Obteniendo el diferencial total de la función
dy0 = (PMx1) dx1 + (PMx2) dx2
0 = (PMx1) dx1 + (PMx2) dx2
Por lo tanto
PMx1
dx
= 2
dx1
PMx2
O en su defecto
PMx2
dx
= 1
PMx1
dx2
TMSTx1 x2 =
dx2
f
dx
f
= 1 o bien TMSTx2 x1 = 1 = 2
dx1
f2
dx2
f1
La tasa marginal de sustitución técnica entre un par de insumos es igual al negativo de la relación de
los productos marginales. Esto es, la pendiente de una isocuanta en cualquier punto es igual al
negativo de la relación de los productos marginales en ese punto, y si los productos marginales de
ambos insumos son positivos en ese punto, la pendiente de la isocuanta será negativa en ese punto.
Para la isocuanta de 105 unidades de producción definida renglones atrás se han
calculado las tasas marginales de sustitución de x1 por x2. Véase el caso para los
siguientes puntos: Si x2 = 2, x1 = 9 y x2 = 3, x1 = 6, entonces:
TMSTx2 x1 =
X 1 6 − 9
3
=
= - = -3
1
X 2 3 − 2
Cuadro 17.3
Tasas marginales de sustitución en la isocuanta
de 105 unidades de producto.
65
X1
X2
X 2
X 1
TMSTx2x1
9.0
6.0
2
3
1
-3.0
-3.0
1
1
1
1
1
-1.0
-0.6
-0.3
-0.1
0.1
-1.0
-0.6
-0.3
-0.1
0.1
5.0
4
4.4
5
4.1
6
4.0
7
4.1
8
Fuente: Doll y Orazem, op cit.
De acuerdo a la información del cuadro se pueden observar los siguientes puntos:
1. La pendiente de la isocuanta cambia continuamente;
2. Conforme x2 se incrementa, la tasa marginal de sustitución decrece de manera
absoluta (ignorando el signo negativo). A este tipo de sustitución se la ha
denominado “tasa marginal de sustitución decreciente”.
3. Siempre que se tenga una tasa marginal de sustitución decreciente se estará en
presencia de una isocuanta convexa al origen. Lo anterior significa que por cada
unidad de x2 se reemplazan cantidades sucesivamente más pequeñas de x1.
4. Las tasas marginales promedio calculadas en el cuadro anterior difieren de las
tasas marginales exactas obtenidas de la pendiente de la isocuanta en un punto
específico (caso continuo).
17.5. La tasa marginal de sustitución y la productividad marginal decreciente
la tasa marginal de sustitución constituye una forma adecuada para analizar los
productos marginales de los dos insumos x1 y x2, en forma simultánea. Por ejemplo,
en la gráfica 17.5 se tiene lo siguiente:
Gráfica 17.5. Isocuantas y la tasa marginal de sustitución técnica
66
X2
9
8
7
X2
6
5
4
•
3
B(6,3)
A(2,3)
•
X1
2
C(9,2)
Y = 105
1
Y = 96
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X1
La tasa marginal de sustitución de B a C sería:
TMSTx2 x1 =
x1 6 − 9
=
= -3
x 2 3 − 2
El producto marginal físico para x1 entre el punto A y C sería:
PMx1 =
105 − 96
9
= =3
9−6
3
De esta misma manera, el producto marginal físico para x2 sería:
PMx2 =
105 − 96
9
= =9
3− 2
1
Así pues, se puede ver que la TMST vendría dada por:
TMSTx2 x1 =
9
PMx2
= - = -3
PMx1
3
Que justamente sería la TMSTx1x2 entre los puntos B y C.
El signo negativo se añade debido a que la pendiente de la isocuanta en el rango
de eficiencia económica es negativa. Utilizando la ecuación de la función de
producción presentada anteriormente, cuya expresión algebraica está dada por:
Y = 18 x1 - x 12 + 14 x2 - x 22
67
Los productos marginales para x1 y x2 estarían dados por
PMx1 = 18 – 2x1
PMx2 = 14 – 2x2
Por tanto, la tasa marginal de sustitución técnica estaría dada por:
TMSTx2 x1 =
8
4
14 − 2(3)
=- =18 − 2(6)
6
3
La tasa marginal de sustitución técnica es una herramienta ampliamente utilizada
para propósitos de planificación. Por ejemplo, si una cierta combinación de insumos
fuera a usarse, entonces la TMSTx2 x1 adoptaría un determinado valor que puede
estar sujeto a cuestionamiento y evaluación. En la práctica, una vez que cierta
combinación de insumos ha sido escogida y usada, esa combinación no puede ser
alterada en forma inmediata, de ahí la importancia del concepto.
17.6. Relación entre los insumos
En la producción de ciertos productos se han observado una serie de relaciones
entre los insumos. Por ejemplo, algunos insumos son sustitutos técnicos cuando el
incremento en el uso de uno de ellos permite un decremento en la cantidad utilizada
del otro, sin alterar el nivel de producción. La tasa marginal de sustitución para
insumos que son sustitutos técnicos es negativa. Veamos esto un poco más a fondo.
Tasas de sustitución decrecientes
La tasa de sustitución decreciente ocurre cuando el insumo existente incrementado
es sustituido por cantidades cada vez menores del insumo reemplazado. De este
modo, si la tasa marginal de sustitución decrece en términos absolutos (ignorando
el signo negativo), existe una tasa de sustitución decreciente. Las tasas de
sustitución decrecientes son originadas por la ley de los rendimientos marginales
decrecientes. Por tanto, si se tiene que la TMSTx2x1 = PMx2/PMx1, entonces hay
rendimientos decrecientes cuando:
 El PM de x2 disminuye conforme x2 aumenta;
 El PM de x1 aumenta conforme x1 disminuye.
Luego entonces, la relación entre los dos insumos disminuye numéricamente. Este
tipo de tasas de sustitución decreciente son muy comunes entre los insumos. La
zona de relevancia económica en isocuantas que presentan tasa de sustitución
decreciente está definida por la porción de la curva que tiene pendiente negativa.
Tasas de sustitución constantes
68
Es posible que una isocuanta tenga una pendiente constante. En este caso, su
correspondiente superficie de producción es un hiperplano. Aquí hay una tasa
marginal de sustitución constante, no decreciente. Por ejemplo, si los insumos se
sustituyen en proporciones fijas, digamos que x1 se sustituye en 1 y x2 también se
sustituye en una 1 unidad, la correspondiente TMST será igual a 1. La tasa marginal
de sustitución constante ocurre cuando la cantidad de un insumo que es
reemplazada por otro no cambia conforme el insumo añadido se incrementa en
magnitud. Así, si la TMSTx2 x1 es una constante, la isocuanta adopta la forma de
una línea recta. Para el caso que nos ocupa, cuando una unidad de x1 sustituye
exactamente una unidad de x2, lo que quiere decir que ambos son iguales desde un
punto de vista técnico y económico. La isocuanta forma ángulos interiores de 450
con los ejes de los insumos (gráfica 17.6).
Gráfica 17.6. Tasa de sustitución constante (primer caso)
X2
X2
450
450
X1
También se puede dar el caso de que una unidad de x1 reemplace dos unidades de
x2, tal como se expresa en la gráfica 17.7.
Gráfica 17.7. Tasa de Sustitución Constante (segundo caso)
69
X2
X1
O bien, es posible que dentro de los casos de tasas de sustitución constantes se de
una situación en la cual una unidad de x1 reemplace menos que una unidad de x2
(Gráfica 17.8).
Gráfica 17.8. Tasa de Sustitución Constante (tercer caso)
X2
X1
Las tasas de sustitución constantes requieren que la pendiente de una isocuanta
dada no cambie durante todo el trayecto de relevancia económica. Sin embargo, no
requiere que las isocuantas sean equidistantes o paralelas. A los insumos que se
sustituyen a tasas constantes usualmente se les conoce como sustitutos perfectos.
Insumos complementarios
70
Hay algunos otros insumos que incrementan el producto cuando solo se combinan
en proporciones fijas, a estos insumos se les conoce como insumos
complementarios técnicos. Representan el caso opuesto de los insumos
sustitutos. Sólo una combinación exacta de insumos complementarios resulta en un
producto específico. En el cuadro 17.4 se presentan dos ejemplos de funciones de
producción que muestran relación de complementariedad entre los insumos.
Cuadro 17.4. Insumos Complementarios
(a)
X1
3
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
1
0
9
0
0
2
12
0
0
0
3
4
4
2
0
2
6
4
2
0
3
X2
(b)
X1
3
2
1
0
0
0
0
0
0
2
2
2
0
1
X2
En el inciso (a) del cuadro, la combinación es de 1:1, lo que quiere decir que
cualquier otra combinación de insumos hace que el producto sea cero. En el inciso
(b), si se usa una unidad de x2, entonces debe usarse por lo menos una unidad de
x1. Si se usa mas de una unidad de x1, el producto no disminuye, pero tampoco
aumenta (sólo hasta que se logre otra vez la combinación apropiada). En el caso
(a) la isocuanta degenera en un simple punto. Cuando esto es así, a los dos insumos
se les considera como uno solo, lo que define que o se usan los dos o no se usa
ninguno. La gráfica 17.9 ilustra este tipo de relación. En el caso (b), las isocuantas
forman ángulos rectos. Cuando esto sucede, la combinación de insumos definida
en el vértice del ángulo es la que se usa. Otra cualquier combinación sobre la
isocuanta costaría más pero no incrementaría el producto (gráfica 17.10).
Gráfica 17.9. Insumos complementarios
71
X2
•
•
•
•
X1
Gráfica 17.10. Proporciones fijas
X2
•
•
•
X1
Los insumos complementarios son muy comunes en la agricultura. Algunos
ejemplos que, aunque triviales son representativos de esta relación son:
a) Todas las partes que conforman una máquina, por ejemplo, las llantas y otros
componentes de un tractor.
b) Los tractores y los tractoristas.
c) Los postes y los alambres de una cerca; etc.
Existen algunos casos de relaciones entre los insumos tales como: insumos en
bulto; solución de esquina; etc., pero que por ser muy especiales no se
desarrollan en este trabajo.
72
17.7. Patrones de tendencias en las isocuantas
Derivado de lo anterior, Beattie, Taylor and Watts (2009) identifican ciertos patrones
de tendencia en las isocuantas basándose en la pendiente que exhiban y la tasa
marginal de sustitución técnica. La gráfica 17.11 describe los casos más importantes
en las pendientes y tendencias observadas de las isocuantas.
Gráfica 17.11. Algunos patrones de tendencias alternativas de isocuantas
dx2
d 2 x2
0 y
 0 , entonces la isocuanta tiene pendiente negativa y
dx1
dx12
es convexa al origen. Este es el caso de una sustitución imperfecta de insumos (a).
dx2
d 2 x2
Caso 2. Si la
0 y
= 0 , las isocuantas son líneas rectas y el proceso de
dx1
dx12
producción es caracterizado por la sustitución perfecta de insumos (b). En este
caso, las isocuantas son no necesariamente paralelas, pero no se pueden
intersectar en el cuadrante positivo.
dx2
d 2 x2
0 y
Caso 3. Si la
 0 , las isocuantas tienen pendiente negativa y son
dx1
dx12
cóncavas al origen (c).
dx2
d 2 x2
0 y
Caso 4. Si la
 0 , las isocuantas tienen pendiente positiva y son
dx1
dx12
convexas al eje de las abscisas (x1) (d).
Caso 1. Si la
73
dx2
d 2 x2
0 y
 0 , las isocuantas tienen pendiente positiva y son
dx1
dx12
convexas al eje de las ordenadas (x2) (e).
Caso 5. Si la
Caso 6. Cuando los insumos siempre se combinan en proporciones fijas, no hay
sustitución de factores (f). La única combinación de insumos relevante ocurre a lo
largo de la recta OA. La productividad marginal de x1 por debajo de la línea OA es
cero y la productividad marginal de x2 por encima de la línea OA es cero. Las
funciones de producción que exhiben curvas isocuantas de este tipo son
comúnmente referidas como funciones de producción de proporciones fijas o
funciones de producción Leontief. Note que las isocuantas para este caso no son
consistentes con el supuesto de continuidad de primera y segunda derivadas
dx
d 2 x2
parciales; esto es, nótese que 2 y
, no tienen definición alguna.
dx1
dx12
17.8. La restricción presupuestal
Los productores normalmente no operan en un entorno donde la maximización de
los beneficios pueda tener lugar sin tomar en cuenta las limitaciones que el propio
proceso de maximización impone.
En la teoría del consumidor vimos que el consumidor que compra bienes y servicios
buscando maximizar su utilidad, debe enfrentar invariablemente restricciones o
limitaciones impuestas por la disponibilidad de sus ingresos monetarios. Así las
cosas, debe operar dentro de estas restricciones eligiendo una combinación de
bienes cuyo desembolso total que no exceda sus ingresos. Es cierto que el
consumidor puede pedir dinero prestado para comprar bienes y servicios, sin
embargo, eventualmente los préstamos deberán ser devueltos. En última instancia,
el paquete de bienes y servicios comprados por el consumidor debe estar en línea
con sus ingresos monetarios.
El productor también enfrenta limitaciones. En efecto, las restricciones o limitaciones
impuestas al productor se dividen en dos categorías: (1) restricciones internas que
ocurren como resultado de limitaciones en la cantidad de dinero disponible para la
compra de insumos, y (2) restricciones externas impuestas por el gobierno federal
u otras instituciones. Un ejemplo de tal restricción podría ser una asignación de
superficie dentro de un programa agrícola del gobierno, una cuota de producción
determinada, etc.
En este apartado se asume que el productor usa dos insumos (x1 y x2) para producir
un producto (y). Para ello, tiene una fuente de presupuesto para la compra de
insumos variables que es finita. Cada combinación de insumos tiene un costo
asociado. Por tanto, el objetivo es distribuir este presupuesto en la compra de
insumos de tal manera que se logre la mayor generación de ganancias. Para ello,
la restricción presupuestal del productor puede ser escrita como sigue:
74
CVT = P1 X1 + P2 X2
donde:
P1= Precio unitario del insumo X1
X1 = Cantidad del insumo X1,
P2 = Precio unitario del insumo X2
X2 = Cantidad del insumo X2
Otra forma de escribir esta ecuación es como sigue:
n
CVT =  Pi xi para i = 1,2
i =1
Si se asume que los precios de los insumos son conocidos: P 1 = 2 y P2 = $3; y que
el productor dispone de un presupuesto de $20 para invertir en insumos variables,
entonces se tiene lo siguiente:
$20 = $2x1 + $3x2
A partir de esta ecuación es posible definir las cantidades (combinaciones) de x1 y
x2 que se pueden comprar sin sobrepasar el presupuesto del productor. Por
ejemplo, despejando x1 se tiene:
20 3
x1 =
x2
2
2
Si se supone que el productor no compra nada del insumo x2 y que todo su
presupuesto lo canaliza a la compra del insumo x1, se tendría lo siguiente:
x1 =
20 3
20
(0) =
= 10
2
2
2
Adquiere 10 unidades del insumo x1; si ahora suponemos que no compra nada del
insumo x1 y todo el presupuesto lo canaliza a x2, se tiene lo siguiente:
x2 =
20 2
x1
3
3
x2 =
20 2
(0)
3
3
pero como x1 = 0, entonces:
de donde resulta que:
75
x2 = 6.67
es decir, adquiere 6.67 unidades de x2.
Si graficamos los puntos extremos obtenidos para x1 y x2, obtenemos la curva de
isocosto (igual costo), tal como se muestra en la gráfica 17.10.
Gráfica 17.10. Curva de Isocosto
X2
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X1
La línea que resulta en la gráfica es conocida como “línea de isocosto”. Esta línea
determina todas las combinaciones de los dos insumos que cuestan la misma
cantidad. Cada punto sobre la línea de isocosto representa una combinación que
puede comprarse con el mismo desembolso de capital. Al igual que la isocuanta, la
línea de isocosto puede ser representada en una gráfica bidimensional. La ecuación
general de la línea de isocosto puede ser encontrada resolviendo la ecuación de los
costos variables totales; por ejemplo, asumiendo x1 como una función explícita de
x2, se tiene:
P1 X1 = CVT - P2 X2
Despejando x1 nos queda que:
x1 =
PX 2
CVT
x2
P1
P1
Sobre esta expresión se puede agregar que la pendiente de la línea de isocosto
está definida por (-P2/P1) mientras que el intercepto sobre el eje de x1 está definido
por (CVT / P1).
76
Los dos aspectos importantes de la línea de isocosto son: 1) su distancia con
respecto al origen y, 2) su pendiente. Cambios en el precio de algún insumo cambia
la pendiente de la línea de isocosto. Un decremento en el precio del insumo hace
que más de ese insumo pueda ser comprado con el mismo costo variable total;
mientras que un incremento del precio hace que disminuya la cantidad comprada.
17.9. La restricción presupuestal y el mapa de isocuantas
Un diagrama que muestra una serie de curvas isocuantas a veces se denomina
mapa de isocuantas. La restricción presupuestaria o línea de isocosto se coloca en
el mapa de isocuantas con el insumo x1 en el eje horizontal y x2 en el eje vertical.
Este espacio insumo-insumo es el mismo que se usa para graficar isocuantas. De
hecho, la gráfica 17.10 ilustra un mapa de isocuantas superpuesto sobre una serie
de restricciones presupuestarias. En cada caso, solo se muestran las isocuantas
seleccionadas y las líneas de isocosto seleccionadas. Se podría dibujar un número
infinito de isocuantas y líneas de isocosto, cada una representando un nivel de
producción ligeramente diferente o un desembolso total ligeramente diferente, sin
embargo, en la gráfica solo se incluyen algunos casos.
Gráfica 17.10. Línea de isocosto y mapa de isocuantas
El término senda de expansión se usa porque la línea se refiere a la ruta en la cual
la empresa expandiría o contrataría el tamaño de operación con respecto a las
compras de x1 y x2. Por ejemplo, un productor que busca producir una cantidad dada
de producción a un costo mínimo, o que busca producir la producción máxima para
un gasto dado en x1 y x2, siempre usaría los insumos x1 y x2 en las combinaciones
indicadas a lo largo de la senda de expansión. El punto exacto en la senda de
77
expansión donde operaría el productor dependerá de la disponibilidad de dinero (C
°) para la compra de insumos.
Los puntos de tangencia entre las líneas de isocosto y las isocuantas
correspondientes en la senda de expansión representan las combinaciones de
insumos de menor costo que se puede usar para producir el nivel de producción
asociado con la isocuanta. La condición de tangencia garantiza que no haya una
combinación de x1 y x2 que pueda producir esa cantidad específica de producción a
un costo menor. Si las isocuantas son convexas al origen, o inclinadas hacia
adentro, todos los puntos de tangencia representan puntos de combinación de
menor costo para el nivel de producción asociado con la isocuanta tangente
particular. Si bien cada punto de la ruta de expansión es una combinación de
insumos de menor costo, solo hay un punto en la ruta de expansión que representa
el punto global de maximización de ganancias para el productor.
Algunas funciones de producción ampliamente utilizadas generan trayectorias de
expansión con una pendiente constante. La clase de funciones de producción que
generan trayectorias de expansión lineal cuando los precios de los insumos son
constantes se denominan funciones de producción homotéticas.
La ecuación de la senda de expansión puede ser derivada del uso de las
condiciones generales de la senda de expansión.
TMSTx1x2 = P1/P2
Pero
TMSTx1x2 = PMx1/PMx2
La ecuación de la senda de expansión puede ser obtenida resolviendo la expresión
PMx1/PMx2 = P1/P2 para x2 en términos de x1. Por ejemplo, suponga que la función
de producción es de la forma:
y = ax10.5 x20.5
Los correspondientes productos marginales son:
PMx1 = 0.5ax1−0.5 x20.5
PMx2 = 0.5ax10.5 x2−0.5
La tasa marginal de sustitución técnica queda como sigue:
0.5ax1−0.5 x20.5 x2
TMSTx1 x2 =
=
0.5ax10.5 x2−0.5 x1
78
Por lo que resulta:
p1 x2
=
p2 x1
Resolviendo por ejemplo para x2, tenemos que:
x2 =
p1
x1
p2
Dado que la relación p1/p2 es una constante la podemos escribir como b, entonces
la ecuación de la senda de expansión, que en este ejemplo es lineal, queda como:
x2 = b x1
17.8. El problema de la minimización de costos
Cuando la empresa decide maximizar ganancias, minimizar costos constituye una
tarea fundamental para alcanzar este objetivo. A efecto de determinar la
minimización de costos, utilizaremos el siguiente problema:
Sean Z1 y Z2 dos insumos variables, mientras que W1 y W2 son sus respectivos
precios.
Minimizar
W1 Z1 + W2 Z2
Sujeto a la restricción: Y = F (Z1, Z2)
Primero, resolvemos el problema utilizando técnicas gráficas como las que se
utilizaron en el problema de maximización de la utilidad del consumidor. En la gráfica
que sigue se utiliza el ejemplo del servicio de mensajería de Tipple planteado en el
anexo A de éste capítulo (tomado del libro de Eaton & Eaton, año), a fin de ilustrar
los grupos de insumos posibles para la producción de 120 millas de servicio. La
gráfica 17.12 describe este caso.
El conjunto de grupos de insumos factibles para producir Y unidades de producto
consiste en todos los grupos de insumos que se localicen en o sobre la isocuanta
para Y unidades de producción. Para resolver el problema de la minimización de
costos, debemos encontrar el grupo de insumos más barato, o el menos costoso.
Todos los grupos de insumos sobre la línea de isocosto más baja cuestan $18, todos
los grupos de insumos sobre la línea de isocosto intermedia cuestan $24 y todos los
grupos sobre la línea de isocosto más alta cuestan $30. Como se puede apreciar
en la gráfica, el grupo menos costoso que producirá 120 millas es el grupo (2, 6)
que cuesta $24. Obsérvese que la línea de isocosto de $24 es tangente a la
79
isocuanta en el grupo de minimización de costos (2, 6), lo que quiere decir que la
pendiente de la isocuanta, la TMST, es igual a la pendiente de la línea de isocosto,
W1/W2. Esta solución da margen a la formulación de dos principios fundamentales
de la minimización de costos:
Primer Principio. El grupo de insumos que minimiza los costos se encuentra en la
isocuanta.
Y = F (Z1*, Z2*)
Segundo Principio. La tasa marginal de sustitución técnica es igual a W1/W2 en el
grupo de insumos que minimiza los costos.
TMSTZ1Z2 = W1/W2
Gráfica 17.12. Combinación de insumos de mínimo costo
Ahora resolvemos el problema de la minimización de costos utilizando el
multiplicador de Lagrange.
Min W1 Z1 + W2 Z2
s.t. Y = F (Z1, Z2)
el Lagrangeano queda como sigue:
L(z1, z2) = W1 Z1 + W2 Z2 - [F(Z1, Z2) – Y]
80
Las condiciones de primer orden son:
1.
L
F
= W1 − 
=0
Z1
Z1
2.
L
F
= W2 − 
=0
Z 2
Z 2
3.
L
= F ( Z1 , Z 2 ) − Y = 0

Dividiendo (1) entre (2) produce lo siguiente:
F
W1
PMgZ1
Z1
=
=
F
W2
PMgZ2
Z 2
O lo que es lo mismo:
TMSTZ1 Z2 =
W1
W2
Ahora veamos esto más prácticamente utilizando el ejemplo del servicio de
mensajería.
El primer principio establece que Z1* y Z2* están dentro de la función de producción:
Y = (1200 Z1*, Z2*)1/2
Ya anteriormente demostramos que la TMST es Z2/Z1. Por tanto, el segundo
principio de minimización de costos nos da:
Z 2* W1
=
Z1* W2
De tal manera que ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas, Z1* y Z2*. Podemos despejar estas ecuaciones y obtener las funciones
condicionales de demanda de insumos. A continuación, lo haremos.
81
W 
Z 2* = Z1*  1 
 W2 
W 
Z1* = Z 2*  2 
 W1 
Sustituyendo para Z2 en la función de producción original nos produce lo siguiente:
1/ 2

W 
Y = 1200Z1*Z1* 1 
W2 

1/ 2

W 
= 1200Z12* 1 
W2 

Y 2 = 1200Z12*
Z12*
W1
W2
W2
W
= Y2 1
1200
1
 W2  2

Z = Y 
 1200W1 
*
1
De igual modo se obtiene Z2*
1
 W1  2

Z 2* = Y 
 1200W2 
Nótese que Z1* aumenta conforme W2 se incrementa y decrece conforme W1
aumenta; mientras que Z2* aumenta conforme W1 se incrementa y decrece
conforme W2 aumenta. Así mismo, nótese que tanto Z1* como Z2* aumentan
conforme Y aumenta y viceversa.
Si ahora multiplicamos Z1* por W1 y Z2* por W2 y sumamos los resultados,
obtendremos la función del costo y producción de largo plazo para el servicio de
mensajería.
1/ 2
 W2 

W1Z1 * +W2 Z 2 * = W1Y 
 1200W1 
1/ 2
 W1 

+ W2Y 
 1200W2 
=
W1YW21 / 2W1−1 / 2 W2YW11 / 2W2−1 / 2
+
12001 / 2
12001 / 2
YW11 / 2W21 / 2 W21 / 2W11 / 2Y YW11 / 2W21 / 2 + YW11 / 2W21 / 2
W1Z1 * +W2 Z 2 * =
+
=
12001 / 2
12001 / 2
12001 / 2
1
1
 WW 2
 4W W  2
CT(y, w1, w2) = 2Y  1 2  = Y  1 2 
 1200 
 1200 
82
1
WW 2
CT(y, w1, w2) = Y  1 2 
 300 
Nótese que el costo aumenta conforme la producción es mayor y conforme el precio
de cualquier insumo se incrementa.
17.9. Isoclinas, línea de expansión y maximización de ganancias.
Isoclinas y línea de expansión.
“En economía de la producción las isoclinas son líneas que pasan por puntos con
tasas marginales de sustitución técnica iguales sobre un mapa de isocuantas” (Doll
y Orazem, 1978). En general, las isoclinas pueden tener virtualmente cualquier
forma. Hay dos tipos de isoclinas que por su importancia en la producción se pueden
catalogar como relevantes. Una de ellas es conocida como “líneas de contorno” o
“líneas agónicas” (Call y Holahan, 1991), las cuales definen la región económica de
la producción. La gráfica 17.12 muestra estas líneas agónicas. Los puntos de
tangencia marcados en las isocuantas con pendiente cero o infinito delimitan el
punto de división entre las etapas II y III para la función de producción. De esta
manera las líneas agónicas definen las fronteras para el área de sustitución, definida
aquí como etapa II.
Gráfica 17.12 Líneas agónicas y área de sustitución
La ecuación de una isóclina está definida por:
83
TMSTX1 X 2 = −
dx2
f
= 1 =k
dx1 f 2
Donde k es una constante. Hay un número infinito de isóclinas para cada familia de
isocuantas bien comportadas, una para cada valor de k. En el caso de las líneas
agónicas S y S´de la gráfica 17.12 tenemos que la TMSTx1x2 es igual a 0, o bien se
indetermina. Por ejemplo, en el caso de S´ ocurre que f1 = 0, esto es:
dx2
0
=
=0
dx1
f2
Mientras que en el caso de S ocurre que f2 = 0 con lo que se tiene que:
TMSTX1 X 2 = −
TMSTX1 X 2 = −
dx2
f
= 1 =?
dx1
0
Otra isoclina de gran relevancia económicas es la “Senda de expansión”, revisada
paginas atrás. Esta isoclina describe la trayectoria de aumentos en la producción
cuando permanecen constantes los precios de los factores (insumos); también
indica cómo cambian las proporciones de los insumos cuando se altera la
producción o el gasto, mientras que los precios de los factores permanezcan
constantes (Ferguson,1979). Es decir, la senda de expansión conecta las
combinaciones de insumos de menor costo para los niveles de producción. Los
puntos que conecta esta senda de expansión cumplen con la condición necesaria y
suficiente de eficiencia económica. La gráfica 17.13 muestra la forma en que se
determina la senda de expansión. El indicador de alternativas será la relación de
precios de los insumos: “Sobre la senda de expansión, la tasa marginal de
sustitución debe ser igual a la relación de precios de los insumos” (Doll y Orazem,
1978). Cualquier cambio en los precios relativos cambia la senda de expansión.
TMSTX1 X 2 = −
PX
dx2
f
= 1 = 2
dx1 f 2 PX1
Las funciones de producción con trayectorias de expansión que son rayos a través
del origen se conocen como funciones de producción homotéticas. Para una
función de producción homotética, la TMST es constante a lo largo de cualquier rayo
que partiendo del origen se proyecte sobre el espacio (x1, x2). Sin embargo, hay que
aclarar que no todas las funciones de producción son homotéticas, en los casos en
que la trayectoria de expansión de producción no sea un rayo a través del origen la
función de producción no es homotética.
Gráfica 17.13 Senda de Expansión
84
Algunas implicaciones económicas de la senda de expansión y las isoclinas.
1. Si la línea de expansión es una línea recta emanada del origen entonces los
insumos se usan en la misma proporción a todos los niveles de producción. La
empresa experimenta rendimientos constantes a escala. Esto es:
F(aX1, aX2) = aF(X1, X2)
 a > 1.
2. Cuando la línea de expansión es una curva, entonces la proporción de los
insumos varía. Por ejemplo, en la engorda de cerdos las raciones requieren de
más proteínas y menos carbohidratos para pesos pequeños, y menos proteínas
y más carbohidratos para pesos mayores (engorda). Similarmente, las
combinaciones de fertilizantes varían según el rendimiento de maíz que se
planea obtener. En este caso se puede hablar tanto de rendimientos crecientes
a escala si, por ejemplo:
F(aX1, aX2) > aF(X1, X2)
a>1
Como de rendimientos decrecientes a escala si
F(aX1, aX2) < aF(X1, X2)
 a > 1.
Derivación de la ecuación general de las isoclinas y de la línea de expansión.
Una expresión general para la isoclinas se deriva de la función de producción.
Retomando el ejemplo de la función de producción clásica se tiene que si:
85
Y = 18 X1 - X 12 + 14X2 - X 22
obteniendo los productos marginales de X1 y X2:
Y
= 18 - 2X1
X 1
Y
= 14 - 2X2
X 2
y
anteriormente se dijo que la pendiente de la isocuanta está dada por:
TMST =
entonces:
TMST =
PMx2
PMx1
14 − 2 X 2
7− X2
=
18 − 2 X 1
9 − X1
recordando que la pendiente de isoclina en un mapa de isocuantas es una
constante, entonces:
TMST =
7 − x2
=k
9 − x1
De donde despejando alguna de las variables, por ejemplo, X2 se obtiene:
7 – X2 = (9 - x1) (k)
7 – X2 = k
X2 = 7 - k
En el caso de la línea agónica S´ ocurre que f1 = 0, entonces:
TMST =
7 − x2
=0
9 − x1
Lo que indica que cuando X2 = 7 y X1 = 0 se está en uno de los límites del rango de
eficiencia económica. En efecto, las líneas de contorno (o líneas agónicas) son
isoclinas especiales que representan los límites de importancia económica; más allá
de estos límites la condición necesaria de eficiencia económica no se cumple. Los
insumos no se sustituyen de una manera que sea económicamente significativa.
Si ahora se iguala la pendiente de la isocuanta a la relación de precios de los
insumos se obtiene la ecuación de la senda de expansión. Recordando que la
combinación de insumos de mínimo costo es aquella donde: TMS = Px2 / Px1, y
continuando con el ejemplo se tiene que:
86
PMx2
14 − 2 X 2
7− X2
Px 2
=
=
=
PMx1
18 − 2 X 1
9 − X1
Px1
TMST =
De donde:
7 - X2 =
Px 2
9 Px 2 − Px 2 X 1
(9 - X1) =
;
Px1
Px1
7Px1 – Px1X2 = 9Px2 – Px2X1;
Px1X2 - 7Px1 = Px2X1 - 9Px2;
Px1 (X2 - 7) = Px2 (X1 - 9);
Px1
(X2 - 7) = X1 - 9;
Px 2
Px1
(X2 - 7) + 9 = X1;
Px 2
equivalentemente:
X1 = 9 -
Px1
(7 - X2) ;
Px 2
X1 = 9 +
Px1
(X2 + 7)
Px 2
Esta última expresión para X1 define la ecuación de la isoclina para cualquier
pendiente en particular, representada por la relación de precios (Px1 / Px2). Es decir,
se define una familia de curvas cuyo parámetro determinante son los precios
relativos de los insumos.
Si suponemos que Px1 = 2 y Px2 = 3, la línea de expansión se define como:
2
(X2 + 7) + 9 = X1
3
2
14
X2 + 9 = X1
3
3
2
14
27
X2 +
= X1
3
3
3
87
2
13
X2
= X1
3
3
 X1 =
13 2
+ X2
3 3
que sería la ecuación de la senda de expansión.
Insumos Normales e Insumos Inferiores
En la gráfica 17.14, se construye una senda de expansión de la producción, en la
cual podemos clasificar y comparar los tipos de insumos.
Gráfica 17.14 Senda de Expansión
Se dice que un insumo es normal si la cantidad demandada de dicho insumo
aumenta conforme se incrementa el nivel de producción; así mismo, un insumo es
inferior si la cantidad demandada disminuye conforme aumenta el nivel de
producción. En la gráfica, el insumo X1 es normal hasta un nivel de producción de
100 unidades. Sin embargo, en niveles más allá de los 100, el insumo es inferior ya
que conforme se incrementa la producción, la cantidad demandada de éste insumo
disminuye. Por su parte, el insumo X2 es un insumo normal.
De acuerdo con la senda de expansión de la función de producción representada
en la gráfica, se puede observar que no es homotética.
88
17.10. Líneas agónicas y funciones de producción
Dos familias de funciones de producción subyacen en cada mapa de isocuantas. La
gráfica 17.18 ilustra esta relación. Supongamos que x2 se fija en un nivel
predeterminado x2* que es el óptimo, enseguida se describe la trayectoria de
producción para x1, manteniendo x2 constante en su óptimo, tarde que temprano se
encontrará el nivel de x1 óptimo, esto determinará la naturaleza de la función de
producción y1 = f(x1*x2*). Ahora elige otro nivel óptimo de x2, al que llamaremos x2*
y nuevamente encontrando el nivel óptimo de x1* que determinen la nueva función
de producción y2 = f(x1*x2*).
Gráfica 17.18. Líneas agónicas y familia de funciones de producción para x1
Este proceso se puede repetir indefinidamente hasta que la empresa encuentre el
nivel de producción que más se ajusta a sus expectativas de crecimiento. Es así
como se obtiene la familia de funciones de producción descritas en la gráfica 17.18.
De esta manera, cada vez que x1 cambia, manteniendo constante a x2, se obtiene
una nueva función de producción para x1. Este proceso se puede realizar para
cuando x2 es el insumo que varía y x1 se mantiene constante en diferentes óptimos.
La gráfica no incluye este caso.
Observe que la línea agónica para x1 conecta los puntos donde la TMST es cero,
mientras que la línea agónica para x2 conecta puntos donde la TMST es infinito.
Finalmente, tenga en cuenta que las líneas agónicas se pueden dibujar solo para
89
ciertos tipos de patrones de mapas de isocuantas, ello porque debe asumirse que
las isocuantas tienen pendiente cero o infinita.
Senda de expansión y maximización de ganancias
La senda de expansión indica las combinaciones de insumos de mínimo costo para
diversos niveles de producción. Sin embargo, la pregunta que surge al instante es
¿cuál nivel de producción es el de mayor ganancia? Conceptualmente, esta
pregunta puede ser respondida argumentando que se debe incrementar el producto
a lo largo de la línea de expansión hasta que el valor del producto añadido al
incrementar los dos insumos sea igual al costo combinado de la adición de los dos
insumos. Esto equivale a decir que los insumos deben utilizarse hasta el punto en
el cual el valor de su productividad marginal sea igual con su precio. O dicho de otra
manera, hasta que el costo marginal iguale al ingreso marginal. Así, aunque todos
los puntos a lo largo de la línea de expansión constituyen combinaciones de insumo
de mínimo costo, solo uno de ellos representa el producto que maximiza las
ganancias. Existen diversos métodos para determinar la combinación optima de
insumos, sin embargo, todos ellos están basados en el mismo principio, lo único
que los diferencia es el método. A continuación, se presentan algunos de los más
utilizados.
1º Maximizar las ganancias directamente
Si se tiene una función de producción para dos insumos variables, la ecuación de la
función de ganancia es:
 = PyY − Px 1 X 1 − Px 2 X 2 − CFT
Donde:
Y = f (X1, X 2 )
obteniendo las derivadas parciales con respecto a los dos insumos variables e
igualando a cero, se tiene:

Y
= Py
− Px1 = 0
X 1
X 1

Y
= Py
− Px 2 = 0
X 2
X 2
donde las variables desconocidas son X1 y X2. Las ecuaciones anteriores pueden
ser reescritas como:
VPMx1 = Px1
90
VPMx2 = Px2
Es decir, el criterio de maximización de ganancias requiere que el valor de el
producto marginal de cada insumo sea igual con su precio. Esto debe ser cierto
simultáneamente para los dos insumos. Por lo tanto, la ganancia es máxima si cada
insumo se está usando en la etapa II y las isocuantas son convexas al origen.
Para la función de producción que hemos venido trabajando, se obtienen los
productos marginales para ambos insumos y se obtiene el valor de los productos
marginales. Para ello se supone que el Py = $0.65, de lo que resulta:
VPMx1 = 0.65 (18 – 2X1)
VPMx2 = 0.65 (14 – 2x2)
si los precios de los insumos son PX1 = $9 y PX2 =$7 se obtienen las dos
ecuaciones y las dos incógnitas.
0.65 (18 – 2X1) = $9
0.65 (14 – 2X1) = $7
por lo que resolviendo las ecuaciones se encuentra que X 1= 2.08 y X2 = 1.60. Si
estos valores son sustituidos en la función de producción referida se encuentra que
Y = 53 unidades. Las ganancias en ese punto son:
= $0.65 (53) – 9 (2.08) - $7 (1.60) - CFT
= $40.53) – CFT
2º El principio marginal
Otra manera de expresar el criterio de optimización para dos insumos variables es
el principio de retorno equimarginal. Este principio establece lo siguiente: si VPMx1
= PX1 y VPMx2 = PX2, entonces:
VPMx1
=1
PX 1
y
VPMx2
=1
PX 2
por lo tanto:
VPMx1 VPMx2
=
=1
PX 1
PX 2
91
lo que quiere decir que todos los insumos variables deben ingresar o ganar lo que
cuestan en el “margen”.
Hay dos partes a considerar en este principio de equimarginalidad. La primera
requiere que la relación del VPM dividido por el respectivo precio del insumo sea el
mismo para todos los insumos. La segunda parte requiere que la razón sea igual a
1. El productor debe usar los insumos hasta el punto donde el último peso gastado
en el insumo devuelva un peso, y la mayoría si no todas las unidades anteriores de
insumos devuelven al menos un peso ¿Qué pasa si el productor enfrenta una
limitación o restricción sobre la disponibilidad de fondos para la compra de insumos
x1 y x2 que no le permite alcanzar este nivel de explotación de sus insumos
variables? La siguiente mejor alternativa del agricultor es aplicar el principio de
retorno equimarginal. El principio de retorno equimarginal asegura que, si el
productor no está en el punto de maximización de ganancias, al menos los costos
se reducen al mínimo para el nivel de producción que se puede producir.
Alternativamente, la producción máxima se produce para un desembolso
presupuestario dado. El principio de retorno equimarginal requiere que el productor
opere usando combinaciones de insumos tales que la ecuación de optimización
para dos insumos variables se transforme a:
VPMx1 VPMx2
=
=k
PX 2
PX 1
Esta ecuación es ligeramente diferente de la condición de maximización de
ganancias descrita más arriba. En lugar de que la proporción del VPM al precio del
insumo sea igual a 1, requiere que la relación sea igual a k, lo que garantiza que, si
bien no se habla de una condición de tangencia, las líneas isocuantas e isocostos
se cruzan en el punto global de maximización de ganancias. De esta manera, la
intersección de las líneas define precisamente el punto en la ruta de expansión
donde los beneficios son mayores. No hay otro punto más rentable (gráfica 17.4),
ahora la relación de VPM con el precio del insumo correspondiente debe ser igual
a una constante k, donde k puede ser cualquier número. Las relaciones del VPM
con el precio del insumo deben ser las mismas para ambos insumos, y por lo tanto la
relación para ambos insumos debe ser igual a un número k.
Gráfica 17.4 El modelo Factor-Factor completo
92
Fuente: Debertin (2012)
Otra forma de ver la senda de expansión es que representa la serie de puntos
definidos por la ecuación VPMx1/p1 = VPMx2/p2 = k. Cualquier punto en la senda de
expansión tiene un valor diferente para k asignado a él. En general, a medida que
uno se mueve hacia afuera a lo largo de la ruta de expansión, el valor de k
disminuirá. Los puntos a lo largo de la ruta de expansión se pueden identificar de
acuerdo con el valor de k.
Supongamos, por ejemplo, que k = 3. El último dólar gastado en la entrada devuelve
$3. Este es un punto de la ruta de expansión que representa una combinación de
insumos de menor costo (ya que la relación de VPMx1/p1 = VPMx2/p2 = 3). Este no
es un punto de maximización de ganancias ya que el productor está limitado por la
disponibilidad de fondos para la compra de insumos x1 y x2.
Supongamos que k = 1. Este también es un punto de combinación de menor costo
en la senda de expansión, pero es el mismo que el punto de maximización de
beneficio previamente definido. El objetivo de la maximización de la ganancia global
es un punto especial a lo largo de la ruta de expansión donde el valor de k es igual
a 1, lo que indica que el último dólar gastado en cada entrada arroja exactamente
un dólar de ingresos. Este es probablemente un punto en la ruta de expansión más
allá del punto donde k = 3, donde los fondos para la compra de insumos fueron
restringidos.
Ahora supongamos que k = 0. Esta es también una combinación de insumos de
menor costo en la senda de expansión, pero VPMxi = pi PMxi donde pi es el precio
del insumo i. Si pi es positivo, la única forma en que k puede ser cero es que PMxi
sea cero. El último peso gastado en cada insumo no devuelve absolutamente nada
en términos de ingresos. El punto donde VPMx1/p1 = VPMx2/p2 = 0 define el punto
93
global de maximización del producto donde se cruzan las dos líneas agónicas. No
hay otro punto donde la producción sea mayor. Este es un punto que normalmente
requiere más de x1 y x2 que el punto global de maximización de ganancias.
Cuando 0 < k <1, el último peso gastado en cada insumo devuelve menos de lo que
es su costo adicional. La sección de la senda de expansión entre el punto de
maximización del beneficio y el punto de maximización del producto representa una
sección donde el productor nunca desearía operar. Esto a pesar del hecho de que
las isocuantas en esta sección se están curvando hacia abajo hacia la línea de
presupuesto o isocosto. Por ejemplo, un valor para k de 0.3 sugiere que el último
dólar gastado en cada insumo devuelve solo 30 centavos. El agricultor nunca
desearía usar un insumo en niveles más allá del punto de maximización del
beneficio, a pesar del hecho de que los fondos pueden estar disponibles para la
compra de unidades adicionales. No solo la etapa III de la función de producción es
irracional, sino que cualquier otro punto que utilice más de x 1 y x2 que el punto de
maximización de beneficios en la etapa II también es irracional.
Finalmente, supongamos que k<0. Si los precios de entrada y salida son positivos,
esto sugiere que PM debe ser negativo. El uso de ambas entradas debe exceder el
nivel requerido para la maximización global del producto. El último dólar gastado en
una unidad adicional de insumo no solo no regresa su costo en términos de VPM,
pero los ingresos están disminuyendo como resultado del uso incremental de
insumos. Un valor para k de 0.2 sugiere que el último dólar gastado en la entrada
da como resultado una reducción en los ingresos de 20 centavos. La pérdida total
del último peso gastado en el insumo es $ 1.00 + $ 0.20 = $ 1.20. Esto claramente
no es económico y es la etapa III para el uso de ambos insumos, ya que PM para
ambos insumos es negativo. Las isocuantas son tangentes a la línea de isocosto,
pero están arqueadas hacia afuera (cóncava al origen), no hacia adentro (convexo
al origen). El emprendedor podría aumentar los beneficios mediante una reducción
en el uso de x1 y x2.
17.10. La función de producción para el paquete
Visualice un paquete de dos insumos x1 y x2. Suponga que la proporción de cada
insumo contenido en el paquete está definida por la senda de expansión. Si la senda
de expansión tiene una pendiente constante, entonces a medida que uno se mueve
hacia arriba en la senda de expansión, la proporción de x1 y x2 no cambia. Por
ejemplo, supongamos que un punto en la senda de expansión requiere 2 unidades
de x1 y 1 unidad de x2. Si la senda de expansión tiene una pendiente constante, el
punto que requiere 6 unidades de x1 requeriría 3 unidades de x2. El punto que
requiere 8.8 unidades de x1 requeriría 4.4 unidades de x2, y así sucesivamente. El
tamaño del paquete varía, pero si la senda de expansión tiene una pendiente
constante, la proporción de cada insumo contenido en el paquete permanece
constante. En este ejemplo, esa proporción constante es de 2 unidades de x1 a 1
unidad de x2.
17.11. líneas de pseudo escala
94
En la gráfica 17.4. aparecen unas líneas denominadas líneas de pseudo escala,
estas líneas conectan todos los puntos de maximización de ganancias para un
insumo, asumiendo que el otro insumo se fija en un nivel constante. Así como hay
dos líneas agónicas, también hay dos líneas de pseudo escala, una para cada
entrada. Si los precios de entrada son las líneas de pseudo escala positivas se
encontrarán en el interior de las líneas agónicas. Si los insumos fueran gratis, las
líneas de pseudo escala se encontrarían en la parte superior de las líneas agónicas,
al igual que las ganancias se maximizarían mediante la maximización del producto.
Cuanto mayor sea el precio del insumo, más lejos estará la línea de pseudo escala
para ese insumo desde la línea agónica para ese insumo.
La característica más importante de las líneas de pseudo escala es que las dos
líneas se cruzan en el punto global de maximización de ganancias. La intersección
de las líneas de pseudo escala define precisamente el punto en la ruta de expansión
donde los beneficios son mayores. No hay otro punto más rentable (Gráfica 17.4).
El punto global de maximización de ganancias, donde los beneficios son mayores
cuando ambos insumos se pueden variar, es a la vez un punto en la ruta de
expansión, una combinación de insumos de menor costo y un punto donde las
líneas de pseudo escala se cruzan. No hay otro punto donde estas condiciones se
cumplan. Cualquier otro punto en una línea de pseudo escala ya no está en la ruta
de expansión, y la senda de expansión cumple ambas líneas de pseudo escala solo
una vez. Otra forma de ver el concepto de la línea de pseudo escala es en relación
con las ecuaciones de retorno equimarginal. El punto global de maximización de
ganancias se define por:
VPMx1 /Px1 = VMPx /Px2 = 1
1
2
Este es el punto donde las líneas pseudo escala se cruzan.
Los puntos en la línea de pseudo escala para el insumo x1 están definidos por:
VPMx1 /Px1 = 1 y VPMx2 /Px2 ≥ 1
1
2
Ahora bien, si el productor enfrenta la siguiente situación:
VPMx1 /Px1 = 1 y VPMx2 /Px2 > 1
1
2
el productor podría aumentar sus ganancias aumentando el uso de x 2. Esto podría
lograrse ya sea al aumentar el desembolso total para x2 hasta que se cumpla la
condición de maximizar el beneficio global para ambos insumos, o por una
reducción en el uso de x1 hasta que la condición de la ruta de expansión que
establece que:
VPMx1 /Px1 = VMPx /Px2 = k
1
2
sea alcanzada. Cuanto más cerca esté k de 1, más cerca estará el productor del
punto máximo de beneficio global.
95
Los puntos sobre la línea pseudo escala para el insumo x2 están definidos por:
VPMx1 /Px1 > 1 y VPMx2 /Px2 = 1
1
2
Si VPMx1 /Px1 > 1, los beneficios podrían incrementarse al aumentar el uso de x1 de
manera que la condición de la senda de expansión se cumple de nuevo. Una vez
más, cuanto más cerca esté k a 1, más cerca estaría el productor del punto de
máximo beneficio.
1
17.12 Maximización de ganancias: un ejemplo práctico
A continuación, se presenta un ejemplo que incorpora los principios de minimización
de costos y maximización de ganancias para el caso de una función de producción
con dos insumos variables. Para ello, se supone que se tiene una función de
producción de tipo Cobb-Douglas como sigue:
Y = X 11 / 5 X 23 / 5
con los siguientes precios: Px1 = 3, Px2 = 1, Py = 10, el objetivo es determinar la
combinación de insumos de mínimo costo, así como el nivel de producción que
maximiza las ganancias.
Los productos marginales para ambos insumos estarían dados por:
PMx1 =
Y
1
= X 2− 4 / 5 X 13 / 5
X 1 5
PMx2 =
Y
3
= X 2− 2 / 5 X 11 / 5
X 2 5
Por lo tanto, la ecuación para la tasa marginal de sustitución técnica está dada por:
Y
3 −2 / 5 1 / 5
X 2 X1
X 2
3X 1
TMST =
= 5
=
Y
1 −4 / 5 3 / 5
X2
X1 X 2
X 1
5
Introduciendo los precios, la ecuación de la línea de expansión estaría dada por:
3X 1 1
=
X2
3
Resolviendo para X2 nos da lo siguiente:
96
X2 = 9 X 1
de esta ecuación es posible definir coordenadas de menor costo en la combinación
de insumos. Por ejemplo, si X1 = 1 entonces X2= 9, y si X1 = 3, entonces X2 = 27. La
ecuación de la senda de expansión puede verse como una restricción ya que
selecciona aquellas combinaciones de insumos que son minimizadoras de costos.
Esta restricción puede ser sustituida directamente en la función de producción. Si
X2 es expresada en términos de X1, (X2 = 9X1), entonces la función de producción
se puede reescribir como sigue:
Y = X 11 / 5 X 23 / 5
Y = X 11 / 5 (9 X1)3/5
Y = 93/5 X 14 / 5
La combinación de insumos de mínimo costo para un nivel de producción
determinado, digamos Y0, puede ser encontrada resolviendo esta expresión. De
esta manera, el valor que se obtenga para X1 puede ser substituido en la senda de
expansión para determinar el valor apropiado de X2. Ahora, para determinar el nivel
de producto al cual las ganancias son máximas se requiere la ecuación de la función
de ganancias. Recuérdese que la ecuación de ganancias esta dada por:
 = PyY − Px 1 X 1 − Px 2 X 2 − CFT
sustituyendo algunos valores:
 = $10Y − $3 X 1 − $1X 2 − CFT
dado que X2 = 9X1, entonces:
 = $10Y − $3 X 1 − $9 X 1 − CFT
 = $10Y − $12 X 1 − CFT
Si sustituimos el valor de X2 también en la función de producción nos queda lo
siguiente:
Y = X 11 / 5 X 23 / 5
Y = X 11 / 5 (9 X 1 ) 3 / 5
Y = 9 3 / 5 X 14 / 5
Sustituyendo este valor de Y en la función de ganancias nos produce lo siguiente:
97
 = $10(9 3 / 5 X 14 / 5 ) − $12 X 1 − CFT
en esta expresión, $10(9 3 / 5 X 14 / 5 ) representa el valor total del producto, mientras que
12X1, representa el costo variable total. Sus respectivas pendientes representan el
valor del producto marginal y el costo marginal del factor para niveles de producción
y de costos restringidos a la senda de expansión.
(4 / 5)(10)9 3 / 5

=$
= $12
X 1
X 11 / 5
$
8(9) 3 / 5
= $12
X 11 / 5
de donde resolviendo para X1 se tiene:
2593
X 1 = 5 = 96
3
de la ecuación de la senda de expansión recordamos que: X2 = 9 X1, sustituyendo:
X2 = 9(96) = 864
Por lo tanto, la minimización de costos y la maximización de ganancias es alcanzado
cuando:
X1 = 96 unidades
X2 = 864 unidades
El nivel de producción ahora puede ser fácilmente calculado, solamente se sustituye
X1 y X2 en la función de producción o en la expresión recientemente obtenida que
estipula que
Y = 9 3 / 5 X 14 / 5
Sustituyendo para X1 nos queda lo siguiente:
Y = 9 3 / 5 (96) 4 / 5
Y = 144
A continuación, se tratará de probar los principios anteriormente mencionados y que
tienen que ver con el objetivo de la maximización de ganancias:
98
VPMx1
VPMx2
=
=1
Px1
Px 2
O lo que es lo mismo:
Py * PMx1
Py * PMx2
=
=1
Px1
Px 2
Para ello, recuérdese que:
PMx1 =
PMx2 =
X 23 / 5
5X 14 / 5
3 X 11 / 5
5 X 22 / 5
=
864 3 / 5
= 0.3
5(96) 4 / 5
=
3(96) 1 / 5
= 0.1
5(864) 2 / 5
Multiplicando ambos productos marginales por Py = 10, rinde lo siguiente:
Py PMx1 = (0.3) 10 = $3
Py PMx2 = (0.1) 10 = $1
Finalmente, hacemos la siguiente operación:
VPMx1
VPMx2
=
Px1
Px 2
$3
$1
=
=1
$3
$1
Si ahora los costos se relacionan con el producto y no con los insumos, entonces
se puede usar el método basado en el siguiente principio:
CM = Py
En este caso, el nivel óptimo de producto, Y, debe ser determinado primero e
inmediatamente después se determina la combinación de insumos que generan ese
nivel de producción. De la ecuación de ganancias definida renglones atrás, se tiene
que CVT = $12 X1. Si también se recuerda:
Y = 93/5 X 14 / 5
De donde despejando X1 nos queda que:
99
X 14 / 5 =
X1 =
Y
93 / 5
Y 5/4
93/ 4
Esta ecuación es la función de producción inversa para puntos de insumos y
producto sobre la línea de expansión. Así las cosas, los CVT pueden ser
relacionados con la producción sustituyendo precisamente el producto Y por el
insumo X1, en la ecuación de costos.
CVT =
12Y 5 / 4
93 / 4
Derivando se obtiene la ecuación de costo marginal:
CM =
CVT
15Y 1 / 4
=
Y
93 / 4
De acuerdo al principio de que el CM = Py, la cantidad óptima de producto es:
15Y 1 / 4
= $10
93 / 4
De donde despejando Y:
2493
Y=
= 144
34
La cantidad de insumos X1 y X2 puede ser determinada sustituyendo este valor de
Y en la función de producción.
144 = 93/5 X 14 / 5
despejando X1:
X1 = 96
Si se recuerda que X2 = 9 X1, entonces:
X2 = 9 (96) = 864
Así, X1 = 96 y X2 = 864 son las cantidades de insumos que minimizan los costos.
100
Continuando con el ejemplo, la ganancia puede ser calculada sustituyendo el nivel
de producción y las cantidades de insumos requeridos en la ecuación de ganancias:
 = Py Y – Px1 X1 – Px2 X2 – CFT
 = $10 (144) - $ 3 (96) - $1 (864) - CFT
 = $1440 - $288 - $ 864 - CFT
 = $288 – CFT
Cualquier otra combinación de X1 y X2 que produzca 144 unidades de Y
incrementará los costos, lo que resultaría en una disminución de las ganancias.
17.12 Efectos sustitución y expansión
Cualquier cambio en los precios relativos de los insumos variables cambia la
pendiente de la línea de isocosto, lo que resulta en una nueva combinación de
factores de mínimo costo para obtener un nivel de producción dado. Este cambio
en la combinación de factores es debido al efecto sustitución. Ahora se usará una
mayor cantidad del insumo variable que sea más barato. El rango de cambio
dependerá de la tasa de sustitución de los recursos. Por ejemplo, en el caso del
maíz y el sorgo, si la tasa marginal de sustitución entre los insumos es constante,
una caída en el precio del sorgo puede resultar en que solo se use sorgo en las
raciones alimenticias y nada de maíz y viceversa. Si la tasa marginal de sustitución
es decreciente, el efecto sustitución será menos dramático.
En el ejemplo de la sección previa, si el precio de X1 decrece de $3 a $2 por unidad,
y el precio de X2 se mantiene constante, $1 por unidad, la pendiente de la nueva
línea de isocosto es de ½ y la ecuación de la nueva senda de expansión será X2 =
6 X1. La nueva combinación de insumos de mínimo costo para producir 144
unidades de Y consiste de 131 unidades de X1 y 788 unidades de X2. En la gráfica
17.15, el efecto sustitución es ilustrado por el movimiento del punto A al B sobre la
curva isocuanta que representa las 144 unidades.
Gráfica 17.15 Efecto Sustitución y Efecto Expansión
101
Pero obsérvese que si el precio de Y no ha cambiado (sigue siendo $10 por unidad),
el costo de producir 144 unidades de Y en realidad ha disminuido ya que disminuyó
el precio de X1. Lo anterior hace que los productos marginales en el punto B sean
mayores que los precios de los insumos. Entonces, en ese punto se satisface el
criterio de menor costo, pero no el de ganancia máxima. Esta condición solo se
satisface en una isocuanta mayor que corresponde a 216 unidades de Y. La
expansión de Y de 144 a 216 unidades ocurre con 216 unidades de X 1 y 1296
unidades de X2. Este movimiento al nuevo punto C se debe al efecto expansión. En
este punto ocurre que el VPMx1 = Px1 y el VPMx2 = Px2.
VPMx1
VPMx2
=
=1
Px1
Px 2
$2
$1
=
=1
$2
$1
El valor del producto total es de $2,160, el costo total de los dos insumos variables,
X1 y X2, es de $1,728, y la ganancia es de $432 (antes de deducir los costos fijos).
Pesos relativos de los efectos sustitución y expansión
Para el insumo relativamente más caro, X2, en nuestro ejemplo, los dos efectos
trabajan en direcciones opuestas. El efecto sustitución hace que se use menos de
X2. Sin embargo, el efecto expansión hace que se use mas de X2, esto se debe a
una sustituibilidad imperfecta entre los insumos. Si los insumos se sustituyeran a
una tasa constante el efecto de expansión sería nulo. Si estos se sustituyen a una
102
tasa decreciente, el efecto de expansión aumenta el uso del insumo mas caro. En
forma resumida, los efectos pueden ser:
 Uno mayor que el otro indistintamente, ó
 Neutralizarse uno en el otro.
En los casos en los que el efecto expansión es mas fuerte, la caída en el precio de
un insumo puede resultar en el incremento en el precio de mercado de otro. En
efecto, todos los agricultores al demandar mas de X2 pueden afectar su precio.
En los casos que el efecto sustitución predomina, la disminución en el precio de un
insumo se manifiesta en la caída del precio de los otros insumos. Por ejemplo, si
cae el precio del maíz utilizado para alimento balanceado, el precio de los otros
granos puede caer debido a que los productores utilizarán menos granos diferentes
al maíz, ello hará que sus precios bajen.
17.13. La demanda derivada de insumos
Cuando el proceso de producción es con dos o más insumos variables, las curvas
del valor del producto marginal para cada insumo NO representan las curvas de
demanda de los insumos. Esto se debe a los efectos sustitución y expansión.
Si se recuerda que

Y
= Py
- Px1 = 0
X 1
X 1

Y
= Py
- Px2 = 0
X 2
X 2
Las demandas de X1 y X2 dependen de la solución simultánea de las dos ecuaciones
y no se obtiene solución satisfactoria resolviendo solo una de ellas. Cuando el precio
de un insumo cambia, las cantidades óptimas de ambos insumos cambian debido
al impacto simultáneo de los efectos sustitución y expansión. Así las cosas, la
demanda de insumos, digamos X1, estará en función de su precio, pero también del
precio del otro insumo, Px2, y del precio del producto, Py.
DX1 = f(Px1, Px2, Py)
Ilustración de la demanda derivada de dos insumos
La función de la demanda derivada para dos insumos variables puede ser ilustrada
usando la función de producción Cobb-Douglas utilizada en la sección previa.
Y = X 11 / 5 X 32 / 5
103
Donde Py = $10; Px1 = $3 y Px2 = $1.
Las ecuaciones que determinan las cantidades óptimas de insumos son:
VPMx1 = Px1
VPMx2 = Px2
O lo que es lo mismo:
Py (
1
X 1−4 / 5 X 23 / 5 ) = Px1
5
Py (
3 1 / 5 −2 / 5
X 1 X 2 ) = Px2
5
Resolviendo las ecuaciones simultáneamente por el método de sustitución para
encontrar X1 y X2 como funciones de los precios. Las funciones de demanda
derivada de insumos son:
X1 =
X2 =
3 3 Py 5
2
5 5 Px1 Px 2
3
3 4 Py 5
5 5 Px1 Px 2
4
Estas ecuaciones dan las cantidades óptimas de X1 y X2 para los precios de todos
los insumos y del producto. Si se sustituyen los precios asumidos en el ejemplo, se
tiene que:
X1 = 96
X2 = 864
Se puede concluir diciendo que las demandas derivadas de los dos insumos:
1. aumentan conforme aumentan los precios de los productos;
2. varían inversamente con los precios de los insumos.
17.14. Criterio general de optimización para dos o más insumos
104
Hasta ahora los procesos de producción con uno y dos insumos variables han sido
discutidos; sin embargo, en la mayoría de los procesos productivos se utilizan
funciones de producción con más de dos insumos variables. Algunos de estos
insumos son libres como la luz solar y los gases del aire, por ello, no representan
ninguna injerencia económica para el productor. Sin embargo, hay otros insumos
que son escasos y, por tanto, tienen un costo que el productor tendrá que pagar.
Estos insumos son los que sí tienen importancia económica en el proceso de
producción.
La función de producción física que involucra muchos insumos es:
Y = f(X1, X2, ... , Xn)
Se supone que por lo menos uno de los “n” insumos está fijo, esto indica que se
tiene una función de producción en el corto plazo.
Minimización de costos
Para alcanzar un nivel de producción de mínimo costo debe cumplirse el siguiente
criterio:
PMxn
PMx1
PMx2
=
=...=
Px1
Px 2
Px n
La relación del precio y su productividad marginal debe ser igual para todos los
insumos. Así, si un insumo cuesta el doble que los otros insumos, entonces su
productividad debe ser el doble que los otros en el margen.
Maximización de ganancias
Las ganancias obtenidas en el proceso de producción son maximizadas cuando el
valor del producto marginal de cada insumo iguala a su costo unitario (precio).
Simbólicamente:
VPMx1 = Px1
VPMx2 = Px2
VPMx3 = Px3
.
.
.
VPMxn = Pxn
Para conseguir el óptimo, todas estas igualdades deben ser satisfechas
simultáneamente. Así, las ganancias marginales de cada insumo deben ser igual a
105
su costo. Por tanto, si un insumo cuesta el doble que el otro, sus ganancias
marginales deben ser el doble que el otro insumo. Para obtener un óptimo, se
necesita tener productos medios y marginales decrecientes para todos los insumos.
Dividiendo cada una de las igualdades de arriba por su respectivo precio del insumo
y reagrupando términos, es posible expresar el criterio de optimización de otra
manera:
VPMxn
VPMx1
VPMx2
=
=...=
=1
Px1
Px 2
Px n
Pero como todas las relaciones se igualan a la unidad en el punto óptimo, entonces
todas ellas se igualan entre sí. Las relaciones no podrán nunca ser menores que
uno porque de ser así, se estarán utilizando los insumos en un nivel por arriba del
óptimo; el costo añadido excedería las ganancias añadidas. Por tanto, se puede
concluir que la combinación de insumos que maximiza las ganancias es siempre
una combinación de insumos de mínimo costo.
17.15. Un ejemplo empírico
La producción de leche constituye un ejemplo muy ilustrativo sobre el proceso de
producción que involucra dos insumos variables. Considerando a las vacas como el
insumo fijo, muchas diferentes combinaciones de heno y grano pueden ser usadas
para producir leche. El problema económico de alimentar al ganado lechero puede
ser dividido en dos problemas básicos de combinación de insumos:
1. ¿Que combinación de heno y grano puede ser utilizada para producir una
determinada cantidad de leche a un mínimo costo?
2. ¿Qué combinación de heno y grano genera la máxima ganancia por vaca?
Para simplificar la discusión se asume el supuesto de que no hay limitación de
capital. Las relaciones de heno y grano utilizadas son:
a). 75:25
b). 55:45
c). 35:65
d). 15:85
Por ejemplo, en a), el 75% de la energía viene del heno y el 25% de los granos, y
así por el estilo para las otras relaciones.
La producción de leche por vaca puede ser medida y utilizada para estimar una
función de producción de leche. Simbólicamente se tendría que: M = cantidad de
heno y G = cantidad de grano. El periodo de tiempo en que se registra la producción
106
de leche es de cuatro semanas. La ecuación que mejor explica este comportamiento
es una función cuadrática con un término de interacción entre el heno y el grano:
M = -340.10 + 1.543 H + 2.9740 G – 0.001192 G2 – 0.00388 H2 – 0.001056 H G
Obteniendo las derivadas parciales con respecto a los dos insumos, se encuentra
que los productos marginales de heno y de grano son positivos pero decrecientes.
M
= 1.543 – 0.00776 H – 0.001056 G
H
M
= 2.974 – 0.002385 G – 0.001656 H
G
Se afirma que son decrecientes ya que sus respectivas segundas derivadas son
negativas, lo que indica que las pendientes de las curvas de producto marginal
tienden a se menores que cero.
2M
= −0.00776 < 0
H
2M
= -0.002384 < 0
G
Un mayor detalle sobre la relación entre la producción de leche y los insumos
alimenticios utilizados se puede obtener utilizando las isoclinas y las isocuantas. La
ecuación de la isocuanta puede ser derivada de la función de producción y tiene la
siguiente forma:
H=1989.36–1.3608G  1288.66 1.8553 + 0.001355G − 0.000000736G 2 − 0.001552H
La tasa marginal de sustitución técnica puede ser calculada de la siguiente manera:
M
dH
2.9740 − 0.002384G − 0.001056H
TMSTGH =
= G = M
dG
1.5437 − 0.00776H − 0.001056G
H
La ecuación general de la isoclina se encuentra así:
1. La ecuación de la tasa marginal de sustitución se iguala a la relación de precios
de los insumos.
2. Se resuelve la ecuación para la familia de isoclinas.
107
Con ello, se obtiene la ecuación para la familia de isoclinas:
H=
Dónde: r =
(−2.9740 + 1.5437r ) + (0.002384− 0.001056r )G
(−0.001056+ 0.000776r )
PG
PH
Las cantidades óptimas de heno y grano y la producción resultante de leche para
un periodo de cuatro semanas es presentado en el cuadro 17.4. Con fines
totalmente ilustrativos diferentes combinaciones de precios son presentadas. El
punto óptimo puede ser derivado utilizando la condición teórica para la
maximización de ganancias: “el producto marginal de cada insumo debe igualar a
la relación de precios del insumo y del producto”. Así, las ecuaciones serían:
P
M
= 2.9740 – 0.002384 G – 0.001056 H = H
G
PM
P
M
= 1.5437 – 0.0000776 H – 0.001056 G = H
H
PM
Cuadro 17.5
Cantidades Óptimas Estimadas de Heno y Grano, Producción de Leche, ante
Diversos Precios Relativos (periodo de 4 semanas)
Precio de la Precio del
Precio del
Libras de
Libras de
Libras
de
Leche ($)
Grano ($)
Heno ($/ton) Grano
Heno
Leche
8
4
30
560
710
1143
8
6
50
476
662
1083
8
8
70
390
618
988
10
4
30
612
686
1163
10
6
50
544
649
1121
10
8
70
476
613
1064
Fuente: Doll y Orazem, op cit.
Apéndice 17.1
Función de producción de proporciones variables
Las funciones de producción de proporciones variables son aquellas en las que
pueden sustituirse cantidades mayores de un insumo con cantidades menores de
108
otro. Por ejemplo, suponga una empresa de mensajería (Tipple), la cual proporciona
el servicio medido en millas. Tipple es propietaria de un camión, utiliza dos insumos:
el tiempo de un conductor (insumo 1) y la gasolina (insumo 2). La empresa puede
combinar el tiempo y la gasolina en porcentajes variables a fin de proporcionar los
servicios de mensajería. Por ejemplo, si indica a su empleado que conduzca a 70
millas por hora, utiliza menos tiempo y mas gasolina para proporcionar cada milla
de servicios que si le dice a su empleado que conduzca a 40 millas por hora.
Supongamos que Z1 es el número de horas que el conductor trabaja para Tipple, y
Z2 es el número de galones de gasolina. La cantidad máxima de millas de servicio
de mensajería, Y, que puede producir dadas Z1 horas, se determina por que tan
rápido se conduce el camión. Suponiendo que S expresa la velocidad en millas por
hora, vemos que
Y  S Z1
(1)
Por ejemplo, si Z1 es 10 y S es 50, el conductor no puede recorrer mas de 500 millas.
A fin de determinar el número de millas que producirán Z 2 galones de
gasolina a una velocidad de S, necesitamos la relación tecnológica entre millas por
galón (mpg) y la velocidad. En el caso del camión de Tipple, las mpg es
inversamente proporcional a S y el factor de proporcionalidad es 1200. Es decir,
mpg = 1200/S
Por ejemplo, si se conduce el camión a 40 millas por hora, proporciona 30 millas por
galón.
40 = 1200/S
S = 1200/40
S= 30
Mientras que si se conduce a 60 millas por hora proporciona 20 millas por galón.
60 = 1200/S
S = 1200/60
S = 20
Esta relación entre mpg y S nos indica que
Y  (1200 Z2)/S
(2)
Por ejemplo, si se conduce el camión a 60 millas por hora, es imposible recorrer
más de 100 millas con 5 galones. Veamos porqué.
109
Y
1200 Z 2
S2
Y  20 millas por galón (Z2 )
Y  20 (5)
Y  100
Dadas las limitaciones que éstas dos desigualdades implican, podemos encontrar
la función de producción para el servicio de mensajería al seleccionar la velocidad
S que maximiza la distancia Y. En la gráfica 17.16 se trazan las dos desigualdades
para los valores fijos de Z1 y Z2. La solución para este problema de maximización
debe estar en o bajo estas curvas. El área sombreada representa todas las
combinaciones de S y Y que satisfacen ambas restricciones al no requerir más de
Z1 horas o Z2 galones de gasolina. En ésta área sombreada ocurre S* (la velocidad
que maximiza la distancia Y) y se determina por el punto en que se intersectan las
dos restricciones.
Como se puede apreciar con facilidad, la velocidad óptima (maximizada) es:
1

Z 2
S * = 1200 2 
Z1 

Veamos cómo se obtuvo esta expresión.
Igualando las dos curvas de la gráfica en el punto de intersección se tiene que:
SZ1 =
S2 =
1200 Z 2
S
1200 Z 2
Z1
1
 1200 Z 2  2

S = 
 Z1 
Gráfica 17.16
110
Mientras que la distancia recorrida (Y*), está dada por:
Y* = (1200 Z1 Z2)1/2
Demostración:
De Y = S Z1
S = Y / Z1
Y = (1200 Z2) / S
S = (1200 Z2) / Y
Por lo que igualando términos nos queda que
Y 1200 Z 2
=
Z1
Y
Y 2 = 1200 Z1 Z 2
Y = (1200 Z1 Z 2 )2
1
A fin de subrayar el hecho de que ésta es la función de producción, podemos
expresar el resultado como sigue:
111
F (Z1 , Z 2 ) = (1200 Z1 Z2 )2
1
¿Como sabemos que ésta es la función de producción? Porque nos indica el
número máximo de millas que originará cualquier grupo de insumos que tenga
tiempo y gasolina.
Esta función de producción es una ilustración de la función de producción CobbDouglas.
Y = A Z1 Z 21−
donde A y  son constantes positivas.
112
Problema 1. Utilizando la función de producción del servicio de mensajería de
Tipple que a continuación se describe
F (Z1 , Z 2 ) = (1200 Z1 Z2 )2
1
encuentre la función del producto total cuando Z2 = 12; cuando Z2 = 27. Grafique
éstas funciones del producto total con Z1 sobre el eje horizontal y con Y sobre el eje
vertical. También obtenga y grafique las funciones de producto medio y producto
marginal.
Solución al problema 1. Los datos con que se elaboró la gráfica 16.17 aparecen en
la página 105.
Gráfica 16.17. Funciones de Producción
Problema 2. Utilizando la función del producto total, obtenida arriba, cuando Z 2 =
12, obtenga la función de costo variable y costo marginal.
Solución al problema 2.
Y = 120 (Z1)1/2
Y2 = 120 Z1
Z1 = (Y/120)2 = Y2/14400
113
Ahora, con sólo multiplicar por W1, tenemos la función del costo variable para el
servicio de mensajería cuando se dispone de doce galones de gasolina.
CV(y) = W1
Y2
14,400
Esto no da el costo mínimo por conducir el camión Y millas cuando Tipple paga a
su conductor W1 por hora y solo tiene doce galones de gasolina disponibles.
El costo variable promedio está dado por:
CVP =
CV
W1 Y 2
=
Y
14,400 Y
CVP = W1
Y
14,400
El costo marginal sería:

Y2 


d W1
14
,
400
dCV
= 2 W Y
CMg =
= 
1
dY
dY
14,400
CMg = W1
Y
7,200
Datos para la Función de Producción de los servicios de Mensajería cuando Z1 =12
y cuando Z1 = 27.
X
Y cuando
Z1 = 12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
120
169.705627
207.846097
240
268.328157
293.938769
317.490157
339.411255
360
379.473319
397.994975
415.692194
Y cuando
Z1 = 27
0
1971.80121
2344.88002
2595.03633
2788.54801
2948.53053
3086.03566
3207.28563
3316.16113
3415.25987
3506.41349
3590.96605
3669.93557
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
768.374908
777.688884
786.892623
795.98995
804.984472
813.879598
822.678552
831.384388
840
848.528137
856.971411
865.332306
873.613187
4989.52373
5019.67328
5049.28916
5078.39289
5107.00469
5135.14352
5162.82724
5190.07265
5216.89563
5243.31113
5269.33333
5294.97561
5320.25068
114
13
14
15
16
17
18
19
20
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
432.666153
448.998886
464.758002
480
494.772675
509.116882
523.067873
536.656315
575.499783
587.877538
600
611.882342
623.538291
634.980315
646.219777
657.267069
668.131724
678.82251
689.347518
699.714227
709.929574
720
729.931504
739.72968
749.39976
758.946638
3744.11316
3814.12689
3880.48441
3943.60241
4003.8275
4061.45134
4116.72189
4169.85187
4318.12378
4364.31349
4409.08154
4452.52601
4494.73477
4535.78683
4575.75357
4614.69967
4652.68394
4689.76005
4725.9771
4761.38015
4796.01065
4829.90683
4863.10402
4895.63496
4927.53003
4958.81751
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
881.816307
889.943818
897.997773
905.980132
913.892773
921.73749
929.516003
937.229961
944.880945
952.470472
960
967.47093
974.884609
982.242333
989.54535
996.794864
1003.99203
5345.17056
5369.74671
5393.98997
5417.91069
5441.51871
5464.82339
5487.83368
5510.55812
5533.00484
5555.18166
5577.09602
5598.75505
5620.1656
5641.3342
5662.26716
5682.97049
5703.44999
115
Apéndice 2
Producción y costos con dos o más insumos variables
Definición. Una isocuanta es una curva que consta de todos los grupos de insumos
que generan un mismo nivel de producción.
A fin de tener una noción de que son las isocuantas, volvamos a la función de
producción de tipple para los servicios de mensajería.
F (Z1 , Z 2 ) = (1200 Z1 Z2 )2
1
Si, por ejemplo, fijamos Y en 120, obtenemos la siguiente descripción algebraica de
la isocuanta:
120 = (1200 Z1 Z2 )2
1
de donde simplificando tenemos que
(120)2 = 1200 Z1 Z2
14,400 = 1200 Z1 Z2
14,400
= Z z Z2
1200
12 = Z1 Z2
Esta expresión nos indica que cualquier grupo de insumos tal que el producto de Z1
y Z2 sea 12 generará 120 millas de servicios de mensajería.
De la misma manera, la isocuanta para 240 millas sería:
240 = (1200 Z1 Z2 )2
1
De donde simplificando tenemos que:
(240)2 = 1200 Z1 Z2
57,600 = 1200 Z1 Z2
57,600
= Z z Z2
1200
48 = Z1 Z2
La representación gráfica de ambas isocuantas aparece en la gráfica 17.18:
116
GRAFICA 17.18 Curvas Isocuantas
Ejemplos de algunos casos de isocuantas específicas
A. Cuando los insumos son sustitutos perfectos.
John Henry utiliza su horno y combustible para producir calor. El horno puede
usar ya sea carbón o madera como combustible. Una tonelada de carbón
produce 5 unidades térmicas (UT) de calor y una tonelada de madera produce 2
UT. Dado el horno, la función de producción para el calor es:
Y = 5 Z1 + 2 Z2
Donde Y es UT, Z1 representa las toneladas de carbón y Z2 expresa las toneladas
de madera. Construya la isocuanta para 20 UT.
Gráfica 17.19 Curvas isocuantas especiales
117
B. La receta estándar del cantinero para prepara una bebida de ron con coca cola
requiere 2 onzas de ron y 6 onzas de coca cola. La función de producción
implícita es:
Z Z 
Y = min  1 ; 2 
2 6
Donde Y es el número de bebidas, Z1 son onzas de ron y Z2 son onzas de Coca
Cola. Construya la isocuanta para una y dos bebidas.
Gráfica 17.20 Curvas isocuantas especiales
118
Apéndice 3: Ejercicio práctico
Realizar con los datos del cuadro 5-5 una regresión que nos permita estimar los
parámetros de la ecuación, enseguida realizar el análisis estadístico de los
principales indicadores obtenidos, para finalmente realizar el análisis económico.
CUADRO 17.6
Datos Descriptivos sobre 21 Fincas Localizadas en el Alto Río Lerma (1956-1957).
No. de la
finca
Valor total de la
Número de
Insumos de Cultivo
Producción ($)
Hectáreas
($)
Y
X1
X2
1
80,100
30
19,336
2
26,477
35
6,945
3
32,660
36
13,108
4
40,480
40
10,675
5
101,250
40
32,705
6
73,040
40
25,977
7
124,710
39
27,860
8
19,800
20
12,088
9
9,345
41
1,488
10
111,246
43
24,252
11
140,152
49
36,151
12
114,125
50
32,065
13
84,432
89
18,330
14
201,688
67
77,261
15
308,000
70
74,980
16
234,600
85
66,048
17
217,740
89
59,166
18
101,130
50
30,996
19
89,018
70
38,551
20
172,562
83
30,806
21
176,600
90
76,170
FUENTE: Martínez G. A. (1988) Teoría de la Regresión. Chapingo: C.P.
La ecuación de la función de producción asociada a estos datos es de la forma
Cobb-Douglas:
Y = A X 1 X 2
Donde
Y = valor total de la producción,
X1 = número de hectáreas cultivadas,
X2 = valor de insumos directos de cultivo,
 ,  = coeficientes de regresión de la ecuación,
119
A = parámetro relacionado con el nivel de tecnología.
ESTIMACIÓN
Dado que la función de producción Cobb-Douglas es de la forma:
Y = A X 1 X 2
Se procede a linealizarla aplicándole logaritmos, quedando de la siguiente forma:
Ln Y = Ln A +  Ln X1 +  Ln X2
Con el fin de facilitar el manejo se hacen las siguientes transformaciones:
Y´ = ln Y
X1´ = ln X1
X2´ = ln X2
A´= ln A
Entonces la ecuación queda como sigue:
Y´= A´ +  X1´ +  X2´
En el cuadro 5-6 aparece la información básica utilizada para la estimación del
modelo. La regresión se resolvió con el paquete de cómputo TSP. El cuadro 5-7
contiene los parámetros del modelo estimado. La ecuación de regresión obtenida
es la siguiente:
A´= ln A = 1.7298757
El antilogaritmo de 1.7298757 = 5.64; por tanto, los parámetros del modelo son:
 = 5.64
 = 0.4514221
 = 0.7774261
120
Cuadro 17.7
Información Básica Utilizada para la Estimación
de la Función de Producción Cobb-Douglas.
No. de la
finca
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Y
80,100
26,477
32,660
40,480
101,250
73,040
124,710
19,800
9,345
111,246
140,152
114,125
84,432
201,688
308,000
234,600
217,740
101,130
89,018
172,562
176,600
X1
30
35
36
40
40
40
39
20
41
43
49
50
89
67
70
85
89
50
70
83
90
X2
19,336
6,945
13,108
10,675
32,705
25,977
27,860
12,088
1,488
24,252
36,151
32,065
18,330
77,261
74,980
66,048
59,166
30,996
38,551
30,806
76,170
Ln Y
11.2910311
10.1840317
10.3939064
10.6085633
11.525348
11.1987625
11.7337463
9.89343722
9.14259672
11.6194992
11.8504828
11.6450496
11.3437018
12.2144772
12.6378551
12.3656372
12.291057
11.5241621
11.3965939
12.0585119
12.0816426
Ln X1
3.40119738
3.55534806
3.58351894
3.68887945
3.68887945
3.68887945
3.66356165
2.99573227
3.71357207
3.76120012
3.8918203
3.91202301
4.48863637
4.20469262
4.24849524
4.44265126
4.48863637
3.91202301
4.24849524
4.41884061
4.49980967
Ln X2
9.86972392
8.84577726
9.48097801
9.27565984
10.3952833
10.1649668
10.2349472
9.3999685
7.30518822
10.0962544
10.4954599
10.3755204
9.81629434
11.2549446
11.2249767
11.098137
10.9881023
10.3416134
10.5597373
10.3354648
11.240723
Cuadro 17.8
Datos Estimados del Modelo de Función de
Producción Cobb-Douglas.
Variable
Coeficiente
Error estándar
T-stat.
2-tail signif.
C
1.7298757
0.7173156
2.4115963
0.027
Ln X1
0.4514221
0.1843146
2.4491940
0.025
Ln X2
0.7774261
0.0822462
9.4524231
0.00
R- cuadrada
0.912104
media de la var. Dependiente 11.38116
R-cuadrada ajustada
0.902339
D.S. de la var. Dependiente 0.889067
Error estándar de reg. 0.277842
suma de cuadrados resid.
1.389528
Durbin-Watson
2.441545
F-statistics
93.39404
121
La ecuación de regresión queda como sigue:
Y = 5.64 X 10.4514221 X 20.7774261
A continuación, se procede a hacer el análisis estadístico y el económico de los
resultados obtenidos en la regresión.
Análisis Estadístico
El análisis estadístico del modelo se realizó tomando en consideración el coeficiente
de determinación (R2) como una medida de la bondad del ajuste de las ecuaciones
de regresión; el criterio es que entre más cercano esté el valor de la R2 a la unidad,
mejor es el ajuste del modelo. Además, se utilizó el valor de la razón de “t” como el
estadístico mas importante para la prueba de significancia de los parámetros
individuales. Si la razón de “t” es mayor o igual que uno; es decir, si el coeficiente
estimado es igual o mayor que su error estándar estimado, entonces se acepta el
parámetro en cuestión (Kmenta, 1998).
En el cuadro 5-7 se presentan los resultados obtenidos de la ejecución del modelo.
Estos resultados muestran que el coeficiente de determinación es igual a 0.91.
además, el valor de “F” es altamente significativo a los niveles usuales de
significancia para la función estimada. De acuerdo con el criterio de “t” (mayor que
uno), los dos parámetros del modelo son significativos, aunque X2 resultó ser mucho
más significativo que X1.
Estos resultados estadísticos permiten concluir que el modelo Cobb-Douglas es un
buen modelo para explicar los datos. Por tanto, con la ecuación de regresión
estimada se podrá determinar la forma de las isocuantas, las isoclinas, la tasa
marginal de sustitución, así como todos los demás conceptos de teoría económica
que han sido presentados a lo largo de este trabajo.
Análisis Económico
Las características y propiedades de las funciones Cobb-Douglas posibilitan que su
estimación sea sumamente conveniente para los economistas, sobre todo porque
se presentan fácilmente para su interpretación económica, además de que es
relativamente fácil construir su ecuación.
Producto físico promedio (PFP) y producto marginal (PM)
El PFP fue definido como el cociente del producto total y la cantidad de insumo
utilizado en la producción. Es decir, es la relación producto-insumo. Es por ello que
mide la tasa promedio a la cual un insumo se transforma en producto.
Algebraicamente:
122
PFPx1 =
Y
X1
Para X1 que es el número de hectáreas cultivadas, el producto físico promedio es:
PFPx1 =
AX 1 X 2
Y
=
= A X 1 −1 X 2
X1
X1
Para X2 se tiene lo siguiente:
AX 1 X 2
Y
PFPx2 =
=
= A X 1 X 2 −1
X2
X2
El producto marginal fue definido como el cambio en el producto resultante de un
incremento unitario en el insumo variable. Mide la cantidad en que el producto total
se incrementa (disminuye) conforme se incrementa (disminuye) el nivel de insumo
variable utilizado. Algebraicamente:
PMxi =
dY
dX i
Por tanto, considerando la función de producción original, se tiene que el producto
marginal para ambos insumos es:
PMx1 =
dY
= A X 1 −1 X 2
dX 1
PMx2 =
dY
= A X 1 X 2 −1
dX 2
Elasticidad de producción
La elasticidad de producción quedó definida por la siguiente ecuación:
pX i =
PMxi
PFPxi
Como tanto el producto marginal como el producto físico promedio ya se conocen
para ambos insumos, se tiene que:
123
pX 1 =
PMx1
AX 1 −1 X 2
=
=
PFPx1
AX 1 −1 X 2
pX 2 =
PMx2
AX 1 X 2 −1
=
=
PFPx 2
AX 1 X 2 −1
Como se puede apreciar, el exponente del insumo en la función de producción
Cobb-Douglas es a su vez la elasticidad de producción y el coeficiente de regresión.
La suma de las elasticidades determina el grado de homogeneidad de la función de
producción. Como es sabido, ésta presentará rendimientos crecientes, constantes
o decrecientes a escala cuando  +  >1,  +  = 1 y  +  < 1, respectivamente.
En este ejemplo la suma de las elasticidades arroja el siguiente resultado:
0.4514221 + 0.7774261 = 1.23
Por lo que podemos afirmar que esta función presenta rendimientos crecientes a
escala.
La ecuación de la isocuanta
La ecuación de la isocuanta está definida de la siguiente manera:
Y0 = A X 1 X 2
Donde Y0 indica que el nivel de producción se mantiene invariable. Despejando X 2
se tiene que:
 Y0 
X2 = 
 
 AX 1 
1/ 
Que sería la ecuación de la isocuanta. Si se le da un valor a Y así como a X 1, se
obtiene fácilmente el valor de X2.
La tasa marginal de sustitución técnica
La tasa marginal de sustitución técnica de X2 por X1 se obtiene de la siguiente
manera:
PMx1
X 2
X 1−1
AX 1 −1 X 2
TMSTx2x1 =
=
=
=
−1

 −1
PMx2
X 1
X 2
AX 1 X 2
124
La ecuación de la isoclina
Para obtener la ecuación de las isoclinas solo se hace la igualación de la TMST a
una constante, como sigue:
TMSTx2x1 =
X 2
=K
X 1
De donde despejando, por ejemplo, X2 se obtiene lo siguiente:
X2 =

KX 1

Expresión que sería la ecuación de la isoclina.
Función de costos
En capítulos anteriores se determinó que las funciones de costos están definidas
por una relación insumo-producto. Es decir, las funciones de producción y las
funciones de costos tienen su origen común en la relación técnica establecida entre
los insumos y el nivel de producción obtenido. Por tanto, se obtendrá la función de
costos a partir de la función de producción. Dado que
Y = f(X1, X2)
La función inversa de producción estaría definida por:
X1 = f-1 (Y)
Por tanto, considerando la función de producción Cobb-Douglas, los niveles de X1
y X2 se definen de la siguiente manera:
 Y 
X1 = 
 
 AX 2 
1/
 Y 
X2 = 
 
 AX 1 
1/ 
Costos variables
Los costos variables totales fueron definidos como aquellos costos que varían
directamente con el nivel de producción. Dichos costos están determinados por la
125
sumatoria de la cantidad de insumos variables utilizados multiplicados por sus
respectivos precios. Así, para el caso de dos insumos variables se tiene:
CVT = Px1 X1 + Px2 X2
Sustituyendo los valores de X1 y X2 anteriormente definidos, la expresión queda de
la siguiente manera:
 Y 
CVT = Px1 
 
 AX 2 
1/
 Y 
+ PX2 
 
 AX 1 
1/ 
Lo que constituye la función de los costos variables.
Costos variables promedios
Los costos variables promedio fueron definidos como el cociente del CVT entre el
nivel de producción:
CVP =
CVT
Y
Sustituyendo los valores correspondientes nos da lo siguiente:
CVP =
 Y 
Px1 
 
 AX 2 
1/
 Y 
+ Px 2 
 
 AX 1 
Y
1/ 
A efecto de hacer más fácil la obtención de la función de los CVP, se puede proceder
de una manera alternativa como sigue:
CVP = Px 1
X1
X
+ Px 2 2
Y
Y
O lo que es lo mismo:
CVP =
Px1
Px 2
+
PFPx1 PFPx2
Ahora se sustituyen las ecuaciones de los productos físicos promedios de ambos
insumos X1 y X2, obtenidos anteriormente:
126
CVP =
Px1
 −1

AX 1 X 2
Px 2
+
AX 1 X 2 −1
Obteniéndose de esta manera la ecuación del costo variable promedio.
Costo marginal
El costo marginal fue definido como la variación en el costo total imputable a un
cambio en el nivel de producto. Algebraicamente se expresó de la siguiente manera:
CM =
dCT
dY
También sabemos que el costo marginal puede ser derivado de la función de costo
variable total, por tanto:
CM =
d ( Px1 X 1 ) d ( Px 2 X 2 )
dCVT
=
+
dY
dY
dY
Recuérdese que simplificando esta expresión se obtiene lo siguiente:
CM =
Px1
Px 2
+
PMx1 PMx2
Por tanto, sustituyendo el valor de los productos marginales quedaría la ecuación
de la siguiente forma:
CM =
Px1
 −1

AX 1 X 2
+
Px 2
AX 1 X 2 −1
Esta sería la ecuación del costo marginal. Nótese la relación inversa existente entre
el producto marginal y el costo marginal.
127