Sinais e Sistemas
●
Sinais - carregam/contém (conjunto de) informação(ões)
Exemplos:
●
Função do tempo…
●
●
Função de duas variáveis…
Sinal de voz...
s1(t) = 5t
s2(x,y) = 3x + 2xy + y2
Sinais e Sistemas
●
●
Sinal de imagem (variação no espaço)…
Sinal de vídeo (variação no espaço e tempo)…
Sinais e Sistemas
●
Sistemas - processam sinais para modificá-los ou para extrair informações
●
Medidas de “tamanho” (grandeza) de um sinal?
○
Energia de um sinal
■
Real
■
Complexo
Sinais e Sistemas
■
○
Medida de energia de um sinal é útil se for finita
Potência de um sinal
■
Real
■
Complexo
Sinais e Sistemas
■
Px corresponde ao valor quadrático médio de x(t)
■
A raiz de Px corresponde ao valor rms do sinal
■
Ex e Px são medidas de capacidade energética (não possuem unidades
“adequadas”)
■
Há sinais para os quais Ex → ∞ e Px → ∞. Ex: x(t) = t
■
Px é muito útil no estudo de sinais periódicos e aleatórios
■
Sinais de Energia ⟹ têm energia finita
■
Sinais de Potência ⟹ têm potência finita
Sinais e Sistemas
■
Alguns sinais não são nem de Potência nem de Energia
■
Sinais práticos ⟹ sinais de energia
■
Energia é uma medida conveniente para comparar sinais e estimativas
Sinais e Sistemas
●
Operações úteis com sinais
○
Deslocamento temporal: 𝜙(t) = x(t − T)
■
T > 0 = atraso
■
T < 0 = avanço
Sinais e Sistemas
●
Operações úteis com sinais
○
Escalamento temporal
■
Compressão
𝜙(t) = x(at) (a > 1)
■
Expansão
𝜙(t) = x(t/a) (a > 1)
Sinais e Sistemas
●
Operações úteis com sinais
○
Reversão temporal: 𝜙(t) = x(-t)
Sinais e Sistemas
●
Operações úteis com sinais
○
Operações combinadas
■
Caso “geral”: 𝜙(t) = x(at − b)
●
Opção 1
𝜙1(t) = x(t − b) ; 𝜙(t) = 𝜙1(at) = x(at − b)
●
Opção 2
𝜙1(t) = x(at) ; 𝜙(t) = 𝜙1(t − b/a) = x(a(t − b/a)) = x(at − b)
Sinais e Sistemas
●
Principais classificações de sinais
○
Contínuos e discretos no tempo
○
Analógicos e digitais (contínuos ou discretos em amplitude)
○
Periódicos e não periódicos
○
De energia e de potência
○
Determinísticos e probabilísticos (ou estocásticos)
Sinais e Sistemas
●
Principais classificações de sinais
○
Contínuos e discretos no tempo
Sinais e Sistemas
●
Principais classificações de sinais
○
Analógicos e digitais (contínuos e discretos em amplitude)
Sinais e Sistemas
●
Principais classificações de sinais
○
Analógicos, analógicos amostrados e digitais (ou discretos)
Sinais e Sistemas
●
Principais classificações de sinais
○
Analógicos, analógicos amostrados e digitais (ou discretos)
Sinais e Sistemas
●
Principais classificações de sinais
○
Analógicos, analógicos amostrados e digitais (ou discretos)
Sinais e Sistemas
●
Principais classificações de sinais
○
Periódicos e não periódicos
■
Sinal periódico
x(t) = x(t + T)
●
∀t
Menor valor de T (T = T0) ⇒ período fundamental
Sinais e Sistemas
●
Principais classificações de sinais
○
De energia e de potência
○
Determinísticos e aleatórios
■
Determinísticos - descrição física é completamente conhecida (foco desta
disciplina)
■
Estocásticos - apenas algumas características (estatísticas) são conhecidas
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Objetivo do estudo: representação e simplificação e diversos sinais e sistemas
complexos.
○
Função degrau unitário
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Função degrau unitário
■
Exemplo de representação de outros sinais
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Função impulso unitário 𝛿(t)
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Multiplicação de um sinal por um impulso (propriedade importante)
propriedade de amostragem
do impulso unitário
⇒
área sob o produto de uma função com o impulso é igual
ao valor da função no instante no qual o produto é localizado
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Impulso unitário como função generalizada
■
A função Impulso tem definição pouco rigorosa, de forma ordinária
■
Uma função generalizada pode ser definida pelo efeito de sua multiplicação
por outras funções (propriedade da amostragem)
■
Ex. de aplicação:
●
u(t) é uma função descontínua, ∴ du/dt ∄ para t = 0 no sentido
ordinário
De forma generalizada, usando integração por partes...
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Impulso unitário como função generalizada
■
Integração por partes...
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Impulso unitário como função generalizada
■
Integração por partes...
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Impulso unitário como função generalizada
■
Integração por partes...
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Impulso unitário como função generalizada
■
Integração por partes...
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Impulso unitário como função generalizada
■
A função Impulso tem definição pouco rigorosa, de forma ordinária
■
Uma função generalizada pode ser definida pelo efeito de sua multiplicação
por outras funções (propriedade da amostragem)
■
Ex. de aplicação:
●
u(t) é uma função descontínua, ∴ du/dt ∄ para t = 0 no sentido
ordinário
De forma generalizada, usando integração por partes...
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Impulso unitário como função generalizada
■
satisfaz a propriedade da amostragem de 𝛿(t), ∴ , no sentido
generalizado,...
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Impulso unitário como função generalizada
Consequentemente:
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Impulso unitário como função generalizada
■
Outros exemplos:
●
Função rampa x(t) = tu(t) pode ser obtida integrando-se u(t)
●
A parábola unitária t2/2 pode ser obtida integrando-se a rampa
●
...
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Impulso unitário como função generalizada
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Função Exponencial est
■
Sendo s um número complexo,
Logo,
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Função Exponencial est
■
Sendo s um número complexo,
generalização de Euler
Logo,
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Função Exponencial est
■
Sendo s um número complexo,
generalização de Euler
Logo,
frequência
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Função Exponencial est
■
Sendo s um número complexo,
generalização de Euler
Logo,
frequência complexa!!!
frequência
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Função Exponencial est
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Função Exponencial est
■
Casos particulares
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Função Exponencial est
crescimento / decrescimento
oscilação…!
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Função Exponencial est
crescimento / decrescimento
oscilação…!
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Função Exponencial est
crescimento / decrescimento
oscilação…!
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Função Exponencial est
crescimento / decrescimento
oscilação…!
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Função Exponencial est
crescimento / decrescimento
oscilação…!
Sinais e Sistemas
●
Alguns modelos úteis de sinais
○
Função Exponencial est
crescimento / decrescimento
oscilação…!
Sinais e Sistemas
Sinais e Sistemas
●
Funções pares e ímpares
○
Função par: xe(t) = xe*(−t)
○
Função ímpar: xo(t) = − xo*(−t)
Sinais e Sistemas
●
Funções pares e ímpares
○
Algumas propriedades
Sinais e Sistemas
●
Funções pares e ímpares
○
Algumas propriedades
○
Componentes pares e ímpares de um sinal
Sinais e Sistemas
●
Sistemas
○
Processam sinais
○
Caracterizados por sua relação entra e saída
○
Dados necessários para determinar a resposta de um sistema (exemplo):
Sinais e Sistemas
●
Sistemas
○
Dados necessários para determinar a resposta de um sistema (exemplo):
Sinais e Sistemas
●
Sistemas
○
Dados necessários para determinar a resposta de um sistema (exemplo):
Sinais e Sistemas
●
Sistemas
○
Dados necessários para determinar a resposta de um sistema (exemplo):
Sinais e Sistemas
●
Sistemas
○
Dados necessários para determinar a resposta de um sistema (exemplo):
■
Leis de funcionamento do sistema
■
Condições iniciais
■
Excitação no período em análise
Sinais e Sistemas
●
Classificação de sistemas
○
Lineares ou não lineares
○
Com parâmetros constantes ou variando no tempo
○
instantâneos (sem memória) ou dinâmicos (com memória)
○
Causais ou não causais
○
Contínuos ou discretos no tempo
○
Analógicos ou digitais
○
Inversíveis ou não inversíveis
○
Estáveis ou instáveis
○
...
Sinais e Sistemas
●
Classificação de sistemas
○
Lineares
■
■
Devem atender a duas propriedades (superposição):
●
homogeneidade (escalamento)
●
aditividade
Se
então, para todo k1 e k2 constantes:
Sinais e Sistemas
●
Classificação de sistemas
○
Lineares
■
Exemplo
Mostre que o seguinte sistema é linear:
Sinais e Sistemas
●
Classificação de sistemas
○
Lineares
‘
x(t)
H
y(t)
k1x1(t) + k2x2(t)
H
k1y1(t) + k2y2(t)
k1x1(t)
H
k1y1(t) ??
+
k2x2(t)
H
k2y2(t) ??
k1y1(t) + k2y2(t) ???
Sinais e Sistemas
●
Classificação de sistemas
○
Lineares ou não lineares
■
Exemplo
Mostre que o seguinte sistema é linear:
Sinais e Sistemas
●
Classificação de sistemas
○
Lineares ou não lineares
■
Exemplo
Mostre que o seguinte sistema é não linear:
Sinais e Sistemas
●
Classificação de sistemas
○
Invariantes ou variantes no tempo
Sinais e Sistemas
●
Classificação de sistemas
○
Invariantes ou variantes no tempo
Sinais e Sistemas
●
Classificação de sistemas
○
Invariantes ou variantes no tempo
Sinais e Sistemas
●
Classificação de sistemas
○
invariantes ou variantes no tempo
■
Exemplo
Sistema variante:
Sinais e Sistemas
●
Classificação de sistemas
○
Instantâneos ou dinâmicos
■
Exemplo sist. instantâneo (sem memória): circuito resistivo
■
Exemplo sist. dinâmico (com memória): circuito RC
■
Sistemas com memória
●
Finita
●
Infinita
Sinais e Sistemas
●
Classificação de sistemas
○
Causal ou não causal
■
Causal (físico ou não antecipativo): saída não depende de entradas futuras
■
Causal: y(t0) = f{x(t)} para t ≤ t0
■
Anti-causal: y(t0) = f{x(t)} para t > t0
■
Não causal: outros casos
Sinais e Sistemas
●
Classificação de sistemas
○
Tempo contínuo ou tempo discreto
■
Sistemas discretos: entradas e saídas são sinais de tempo discreto
(na prática, fruto da amostragem de sinais contínuos)
x[n] = xc(nTa)
em que
● n∈ℤ
● x[n] é o sinal discreto
● xc(t) é o sinal contínuo
● Ta é o período de amostragem
Sinais e Sistemas
●
Classificação de sistemas
○
Tempo contínuo ou tempo discreto
■
Sistemas discretos
Sinais e Sistemas
●
Classificação de sistemas
○
Tempo contínuo ou tempo discreto
■
Sistemas discretos
Sinais e Sistemas
●
Classificação de sistemas
○
Analógicos ou digitais
■
Sistemas cujas entradas e saídas são sinais analógicos ou digitais
Sinais e Sistemas
●
Classificação de sistemas
○
Inversíveis ou não inversíveis
■
É inversível quando é possível obter x(t) a partir de y(t).
●
Sistemas biunívocos
○
Mapeamento um para um
Sinais e Sistemas
●
Classificação de sistemas
○
Estáveis ou instáveis
■
Estabilidade externa (BIBO)
■
Estabilidade interna
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Exemplo
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Exemplo
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Exemplo
3
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Exemplo
3 y(t)
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Exemplo
3 y(t) 1
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Exemplo
3 y(t) 1 dy
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Exemplo
3 y(t) 1 dy
2
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Exemplo
3 y(t) 1 dy
2
y(𝛕)
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Exemplo
3 y(t) 1 dy
2
y(𝛕)
x(t)
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Exemplo
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Exemplo
Derivando-se ambos os lados...
Relação entrada-saída (x(t) - y(t))
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Exemplo
■
Notação….
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Sistemas Mecânicos (Translacionais)
■
Massa (M)
●
Força x(t) causa um movimento y(t) e uma aceleração
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Sistemas Mecânicos (Translacionais)
■
Mola
●
Força x(t) necessária para uma deformação linear y(t) é
em que K é a constante da mola
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Sistemas Mecânicos (Translacionais)
■
Amortecedor linear
●
A força é proporcional a velocidade
em que B é o coeficiente de amortecimento
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Sistemas Mecânicos (Translacionais)
■
Exemplo
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Sistemas Mecânicos (Translacionais)
■
Exemplo
Diagrama de corpo livre...
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Sistemas Mecânicos (Translacionais)
■
Exemplo
Diagrama de corpo livre...
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Sistemas Mecânicos (Rotacionais)
■
Variáveis que descrevem o sistema
●
Torque (no lugar de força)
●
Posição angular - 𝞱 (no lugar de posição linear)
●
Velocidade angular (no lugar de velocidade linear)
●
Aceleração angular (no lugar de aceleração linear)
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Sistemas Mecânicos (Rotacionais)
■
Elementos do sistema
●
Massa rotacional ou momento de inércia - J (no lugar de massa)
●
Molas de torção e amortecedores de torção
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Sistemas Mecânicos (Rotacionais)
■
Torque = massa (J) ⨉ aceleração angular
■
E...
(mola de torção)
(amortecedor de torção)
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Sistemas Mecânicos (Rotacionais)
■
Exemplo
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Sistemas Mecânicos (Rotacionais)
■
Exemplo
●
O aileron gera um torque com relação ao eixo de rotação que é
proporcional ao ângulo de deflexão do próprio aileron 𝞱
●
Seja esse torque igual a c𝞱 em que c é uma constante de
proporcionalidade
●
●
.
O atrito do ar provoca um torque B𝜑(t)
.
Torque total é c𝞱(t) − B𝜑(t)
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Sistemas Mecânicos (Rotacionais)
■
Exemplo
.
●
Torque total é c𝞱(t) − B𝜑(t)
●
Se J é o momento de inércia do plano sobre o eixo de rotação,
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Sistemas Eletromecânicos
■
Exemplo - motor CC
●
Corrente de armadura: x(t)
●
Torque proporcional a x(t)
em que KT é a cte do motor
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Sistemas Eletromecânicos
■
Exemplo - motor CC
●
Corrente de armadura: x(t)
●
Torque proporcional a x(t)
Amortecimento viscoso
(com coeficiente B)
em que KT é a cte do motor
Diagrama de corpo livre...
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Sistemas Eletromecânicos
■
Exemplo - motor CC
●
Corrente de armadura: x(t)
●
Torque proporcional a x(t)
Amortecimento viscoso
(com coeficiente B)
em que KT é a cte do motor
●
Torque total:
Diagrama de corpo livre...
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Sistemas Eletromecânicos
■
Exemplo - motor CC
●
Corrente de armadura: x(t)
●
Torque proporcional a x(t)
Amortecimento viscoso
(com coeficiente B)
em que KT é a cte do motor
●
Torque total:
Diagrama de corpo livre...
Sinais e Sistemas
●
Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída
○
Sistemas Eletromecânicos
■
Exemplo - motor CC
●
Corrente de armadura: x(t)
●
Torque proporcional a x(t)
Amortecimento viscoso
(com coeficiente B)
em que KT é a cte do motor
●
Torque total:
Diagrama de corpo livre...
Sinais e Sistemas
●
Descrição Interna e Externa de um Sistema
○
Até agora, descrição externa (descrição
entrada-saída)...
○
Exemplo de descrição externa:
■
Fazendo-se x(t) = 0 a simetria do circuito
implica em y(t) = 0
Sinais e Sistemas
●
Descrição Interna e Externa de um Sistema
○
Até agora, descrição externa (descrição
entrada-saída)...
○
Exemplo de descrição externa:
■
Fazendo-se x(t) = 0 a simetria do circuito
implica em y(t) = 0
■
Fazendo-se Q0(t) = 0 chega-se em...
Sinais e Sistemas
●
Descrição Interna e Externa de um Sistema
○
Até agora, descrição externa (descrição
entrada-saída)...
○
Exemplo de descrição externa:
■
Fazendo-se x(t) = 0 a simetria do circuito
implica em y(t) = 0
■
Fazendo-se Q0(t) = 0 chega-se em...
a e b = pontos equipotenciais...
Sinais e Sistemas
●
Descrição Interna e Externa de um Sistema
○
Até agora, descrição externa (descrição
entrada-saída)...
○
Exemplo de descrição externa:
■
Fazendo-se x(t) = 0 a simetria do circuito
implica em y(t) = 0
■
Fazendo-se Q0(t) = 0 chega-se em...
Sinais e Sistemas
●
Descrição Interna e Externa de um Sistema
○
Até agora, descrição externa (descrição
entrada-saída)...
○
Exemplo de descrição externa:
■
Fazendo-se x(t) = 0 a simetria do circuito
implica em y(t) = 0
■
Fazendo-se Q0(t) = 0 chega-se em...
Sinais e Sistemas
●
Descrição Interna e Externa de um Sistema
○
Até agora, descrição externa (descrição
entrada-saída)...
○
Exemplo de descrição externa:
■
Fazendo-se x(t) = 0 a simetria do circuito
implica em y(t) = 0
■
Fazendo-se Q0(t) = 0 chega-se em...
Capacitor???
Sinais e Sistemas
●
Descrição Interna e Externa de um Sistema
(sub-)sistemas não controláveis
(sub-)sistemas não observáveis
Sinais e Sistemas
●
Descrição Interna: Descrição em Espaço de Estado
○
Exemplo
■
Variáveis de estado:
●
Tensão no capacitor q1
●
Corrente no indutor q2
Sinais e Sistemas
●
Descrição Interna: Descrição em Espaço de Estado
○
Exemplo
■
Variáveis de estado:
●
Tensão no capacitor q1
●
Corrente no indutor q2
Sinais e Sistemas
●
Descrição Interna: Descrição em Espaço de Estado
○
Modelos de grande generalidade
○
Aplicáveis a sistemas lineares e não-lineares
○
Aplicáveis a sistemas SISO e MIMO
○
Notação matricial
Sinais e Sistemas
●
Exercícios sugeridos
1.1-2(a); 1.1-4(a); 1.1-5(a); 1.1-7(i),(ii); 1.2-3-x1(t),x2(t); 1.3-3(a),(b);
1.4-1(a),(b),(c); 1.4-2(a); 1.4-3(a),(e); 1.5-1(a); 1.5-2(a); 1.7-1(a),(b),(c),(e);
1.7-2(a),(c),(d); 1.7-7(a),(b),(c); 1.7-8(a),(b),(c); 1.7-10