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Inversiones
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selección de carteras
Teoría y práctica
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JUAN GARCÍA BOZA
CATEDRÁTICO DE ECONOMÍA FINANCIERA Y CONTABILIDAD
DE LA UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA
Inversiones
financieras:
selección de carteras
Teoría y práctica
EDICIONES PIRÁMIDE
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COLECCIÓN «ECONOMÍA Y EMPRESA»
Director:
Miguel Santesmases Mestre
Catedrático de la Universidad de Alcalá
Edición en versión digital
Está prohibida la reproducción total o parcial
de este libro electrónico, su transmisión, su
descarga, su descompilación, su tratamiento
informático, su almacenamiento o introducción en cualquier sistema de repositorio y
recuperación, en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico,
conocido o por inventar, sin el permiso expreso escrito de los titulares del copyright.
© Juan García Boza, 2013
© Primera edición electrónica publicada por Ediciones Pirámide (Grupo Anaya, S. A.), 2013
Para cualquier información pueden dirigirse a piramide_legal@anaya.es
Juan Ignacio Luca de Tena, 15. 28027 Madrid
Teléfono: 91 393 89 89
www.edicionespiramide.es
ISBN digital: 978-84-368-2837-5
A Ana Rosa, Esther y Jorge,
mi esposa e hijos
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Índice
Prólogo..................................................................................................................
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1. Conceptos básicos .......................................................................................
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1.1. Inversiones financieras ..............................................................................
1.2. Gestión y administración de carteras ........................................................
1.3. Medidas de la rentabilidad de un título ....................................................
1.4. Medida del riesgo y de la corr elación entre los títulos ..............................
Anexos ...............................................................................................................
Anexo I: El operador SIGMA ..................................................................
Anexo II: Conceptos básicos sobre matrices .............................................
Anexo III: La herramienta SOLVER de Excel .........................................
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20
33
43
44
49
61
2. Introducción a la selección de carteras ..................................................
73
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
Introducción .............................................................................................
Carteras: concepto y clases .......................................................................
Fases de la selección de carteras ...............................................................
Análisis de los activos ...............................................................................
Los datos estadísticos para el análisis .......................................................
2.5.1. Estimación con datos históricos ....................................................
2.5.2. Previsión subjetiva.........................................................................
2.5.3. Otros métodos de estimación ........................................................
2.6. La hipótesis de normalidad de la rentabilidad ..........................................
74
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82
83
90
98
98
3. Modelo de selección de carteras de Markowitz ...................................
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3.1. Hipótesis ...................................................................................................
3.2. La rentabilidad esperada de las carteras ...................................................
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Índice
3.2.1. Carteras con n clases de activos ....................................................
3.2.2. Carteras con dos clases de activos .................................................
El riesgo de las carteras ............................................................................
3.3.1. Carteras con n clases de activos ....................................................
3.3.2. Carteras con dos clases de activos .................................................
La diversificación del riesgo ......................................................................
3.4.1. Carteras con n clases de activos ....................................................
3.4.2. Carteras con dos clases de activos .................................................
Carteras de menor varianza ......................................................................
3.5.1. Frontera de mínimo riesgo ............................................................
3.5.2. Cartera de mínimo riesgo global ...................................................
Carteras eficientes .....................................................................................
Selección de la cartera óptima ..................................................................
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124
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186
186
193
197
214
4. Ampliaciones del modelo de Markowitz.................................................
219
4.1. Carteras con ventas en descubierto ...........................................................
4.1.1. Carteras con n clases de activos ....................................................
4.1.2. Carteras con dos clases de activos .................................................
4.2. Carteras mixtas .........................................................................................
4.3. Carteras mixtas con préstamo y carteras mixtas con endeudamiento .......
4.4. Determinación de la cartera óptima con riesgo ........................................
4.5. Consideración de distintos tantos de interés .............................................
4.6. Selección de la cartera mixta óptima ........................................................
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222
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251
255
263
282
285
5. Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de
activos financieros .......................................................................................
287
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
5.1. El modelo de mercado: análisis de los activos ..........................................
5.1.1. Rentabilidad y riesgo.....................................................................
5.1.2. Covarianza entre rentabilidades ....................................................
5.1.3. Clasificación de los activos según su beta......................................
5.2. El modelo de mercado: análisis de las carteras .........................................
5.2.1. Rentabilidad y riesgo.....................................................................
5.2.2. Determinación de las carter as eficientes y selección de la carter a
óptima ...........................................................................................
5.2.3. Las carteras mixtas en el modelo de mer cado ...............................
5.3. Comparación del modelo de mercado con el modelo de Markowitz ........
5.4. El modelo CAPM .....................................................................................
5.4.1. La línea del mercado de capitales..................................................
5.4.2. La línea del mercado de títulos .....................................................
5.4.3. Los precios de equilibrio de los activos financieros .......................
5.4.4. El alfa de un activo financiero.......................................................
5.5. Los modelos factoriales ............................................................................
5.5.1. Análisis de los activos ...................................................................
5.5.2. Análisis de las carteras ..................................................................
5.6. El modelo APT .........................................................................................
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Índice
6. La evaluación de la gestión de carteras ..................................................
425
6.1. Introducción .............................................................................................
6.2. Medidas de rentabilidad ...........................................................................
6.2.1. Rentabilidad simple.......................................................................
6.2.2. Rentabilidad del inversor ..............................................................
6.2.3. Rentabilidad del gestor .................................................................
6.3. Medidas de evaluación ajustadas al riesgo ................................................
6.4. El VaR de una cartera ...............................................................................
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Bibliografía ...........................................................................................................
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Prólogo
En este texto abordamos la problemática correspondiente a la selección de
inversiones financieras agrupadas en carter as de r enta variable, exponiendo las
teorías fundamentales con los contenidos teóricos necesarios par a poder acometer el planteamiento y resolución de los distintos supuestos prácticos que consideramos más relevantes.
Esta obra es una introducción a la temática mencionada en su título, y deseamos que sirva de ayuda a todos los interesados en la disciplina, tanto profesionales del ámbito de la gestión de carteras como, de forma especial, a los estudiantes
de los diversos grados y posgrados universitarios en los que la misma se cursa. Se
ha enfocado este trabajo de tal maner a que contenga los fundamentos pr ecisos
para abordar con garantías de éxito la resolución práctica de la amplia problemática vinculada al análisis y selección de carter as, estando al alcance de todas las
personas con conocimientos básicos tanto de finanzas como de álge bra, ya que
toda la exposición se realiza en un lenguaje sencillo y de fácil compr ensión.
La obra está estructurada en seis lecciones en las que analizamos los aspectos
teórico-prácticos que consideramos más relevantes. Además, con nuestro planteamiento podemos estudiar en cada una de las lecciones las e xpresiones analíticas
generales aplicables a la resolución de los problemas derivados de la selección de
carteras con cualquier número de activos. También señalamos, de forma pormenorizada, las etapas en la r esolución detallada de cada supuesto pr áctico, exponiendo, igualmente, cómo se efectúan los cálculos corr espondientes.
Nuestro texto es un libro de teoría y de práctica, pues en cada una de las lecciones se incluyen diversos ejemplos de aplicación inmediata de los conceptos estudiados, constando de 196 supuestos prácticos, los cuales son resueltos a continuación
de las explicaciones teóricas correspondientes. Los cálculos necesarios para la resolución de cada supuesto práctico se han efectuado, en la gran mayoría de los casos,
mediante Excel, por lo que en el CD que acompaña al texto figuran tanto los archivos con los datos correspondientes como la resolución respectiva.
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Prólogo
En la lección primera se abordan los conceptos básicos que nos per miten situar nuestro marco de trabajo, introduciendo el concepto de inversiones financieras, las características de la gestión de carteras, así como los conceptos fundamentales relacionados con las medidas de r entabilidad, riesgo y correlación entre los
títulos de renta variable. También se incluyen tres anexos en los que e xponemos
de forma sintética algunos conceptos básicos que serán necesarios en las lecciones
siguientes, tales como una síntesis sobre el operador Sigma, sobre álgebra matricial y acerca de la utilización de la herr amienta Solver implementada en Excel.
En la lección segunda, después de definir el concepto de carter a financiera y
sus clases, así como las fases de la selección de carteras, vinculamos a cada activo
financiero una variable aleatoria expresiva de su rentabilidad, siendo la esperanza
matemática de la misma y su desviación típica medidas de la rentabilidad esperada y del riesgo asociado, respectivamente. También analizamos los datos estadísticos necesarios para el análisis de los activos, concluyendo dicha lección introduciendo la hipótesis de normalidad en la distribución de la variable aleatoria
representativa del rendimiento de los activos.
En la lección tercera estudiamos el modelo de selección de carter as diseñado
por Markowitz, el cual constituye la base fundamental de toda la teoría de carteras. Después de introducir las hipótesis del modelo, dedicamos especial atención
a los conceptos y cuantificación de la r entabilidad y del riesgo de las carter as,
deduciendo las expresiones generales aplicables para carteras integradas por n
activos. También estudiamos la di versificación del riesgo y la deter minación de
las carteras que forman la frontera de mínimo riesgo, así como la carter a de mínimo riesgo global y las carteras eficientes. Además, a lo largo de la lección resolvemos distintos supuestos prácticos mediante la utilización de matrices, tanto
para la determinación de la rentabilidad como para la cuantificación del riesgo,
realizando los cálculos con Ex cel, y de forma especial utilizando la herr amienta
Solver. De este modo, es posible realizar supuestos prácticos de formación de carteras tanto con dos activos como con cualquier número de ellos, pues la metodología expuesta, mediante el cálculo matricial, lo permite.
En la lección cuarta realizamos un estudio de las ampliaciones del modelo de
Markowitz, aceptando que para formar carteras esté permitido efectuar ventas en
descubierto, las cuales modifican y amplían la frontera eficiente con relación a la
hipótesis en que tales ventas no son posibles. Además, para determinar el conjunto de carteras que forman la frontera de mínimo riesgo , así como la carter a de
mínimo riesgo global, utilizamos tanto la herramienta Solver como el método de
los multiplicadores de Lagrange. Asimismo, se introduce la posibilidad de invertir
en activos libres de riesgo, dando origen a las carteras mixtas, tanto con préstamo
como con endeudamiento, considerando, también, distintos tipos de inter és sin
riesgo. Todo ello nos permite avanzar en el análisis y determinar la cartera óptima
arriesgada para combinar con el activo libre de riesgo, deduciendo que la misma
se corresponde con el punto de tangencia entr e la línea de asignación de acti vos
y la curva de carteras eficientes.
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Prólogo
En la lección quinta se estudia el modelo de mer cado propuesto por Sharpe,
y efectuamos su análisis tanto para activos como para carteras. También destacamos que el modelo de mer cado introduce notables simplificaciones con respecto
al modelo de Markowitz, y, además, permite descomponer el riesgo de cualquier
activo o cartera en dos componentes: riesgo de mercado y riesgo específico. Analizamos también en esta lección las hipótesis que permiten deducir la ecuación de
la línea del mer cado de capitales, verificada exclusivamente por las carter as eficientes integradas por un activo libre de riesgo y la cartera de mercado. También
obtenemos la ecuación correspondiente a la línea del mercado de títulos, la cual,
a diferencia de la ecuación anterior , la verifican tanto títulos indi viduales como
carteras, independientemente de que sean eficientes o no . Esta última ecuación
constituye la expresión básica del modelo de v aloración de activos de capital o
CAPM, y, para un activo o cartera cualquiera, proporciona, en situación de equilibrio del mercado, el rendimiento esperado, ajustado al nivel de riesgo correspondiente. Finalmente estudiamos los modelos factoriales y el modelo APT, el cual
postula la inexistencia de carteras de arbitraje, así como que los diversos factores
a los cuales está vinculada la rentabilidad de un activo financiero están incorrelacionados y no son especificados de antemano.
Por último, en la lección se xta estudiamos las distintas medidas vinculadas a
la evaluación de la gestión de carter as; como en las lecciones pr ecedentes, exponemos los conceptos teóricos necesarios para entender el proceso de evaluación y
poder realizar distintos supuestos pr ácticos. Así, analizamos la r entabilidad del
gestor, la rentabilidad del inversor o las medidas de perfomance de las carter as,
para concluir con una introducción al estudio del VaR de una cartera.
Deseamos que nuestro texto contribuya a que los interesados en la disciplina
aborden su estudio con gar antías de éxito, y, en cualquier caso , les ayude a reflexionar y a a prender de manera razonada, meditando y ejer citándose a través
de la realización de los di versos supuestos prácticos que exponemos, los cuales
contribuirán a afianzar los diversos conceptos teóricos analizados.
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1
Conceptos básicos
1.1. Inversiones financieras.
1.2. Gestión y administración de carteras.
1.3. Medidas de la rentabilidad de un título.
1.4. Medida del riesgo y de la correlación entre los títulos.
Anexo I: El operador SIGMA.
Anexo II: Conceptos básicos sobre matrices.
Anexo III: La herramienta SOLVER de Excel.
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1.1. INVERSIONES FINANCIERAS
En general, entendemos por inversión la adquisición por parte de un sujeto
económico (persona física o jurídica) de un conjunto de activos capaces de proporcionarle servicios o rentas durante un cierto período de tiempo. Como tanto el importe de la adquisición como los servicios o rentas son cuantificables en dinero,
invertir implica ceder dinero en el momento presente en el que se efectúa la inversión, a cambio de recibir dinero en el futuro. En consecuencia, desde el punto
de vista financiero podemos caracterizar a cualquier inversión por el conjunto de
desembolsos o conjunto de pagos que debe realizar el sujeto inversor, y por el conjunto de rentas o conjunto de cobros que percibe a consecuencia de la citada inversión. Tales conjuntos constituyen la corriente financiera de la inversión, teniendo
lugar los mismos durante un cierto período de tiempo, denominado horizonte
económico, horizonte temporal o período de vida de la inversión.
Cuando el activo objeto de la inversión sea un bien material o un activo real
(un edificio, maquinaria, etc.), se habla de inversiones reales, mientras que cuando
sea un título, o activo financiero (acciones, bonos, letras del Tesoro, etc.), hablaremos de inversiones financieras.
Los activos financieros representan un derecho de propiedad frente a una corriente futura de renta, y en ellos podemos distinguir dos sujetos: el emisor (o
unidad económica deficitaria) y el inversor (o unidad económica excedentaria).
Para el emisor, un activo financiero constituye un pasivo, pues él es el sujeto prestatario, es decir, el obligado a satisfacer la corriente de renta asociada al activo.
Para el inversor, un activo financiero constituye un activo, pues es el sujeto que
tiene derecho a recibir la corriente de renta citada.
De acuerdo con lo expuesto, un activo financiero lleva asociados para el inversor dos conjuntos de capitales financieros: el conjunto prestación o conjunto
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Conceptos básicos
de pagos que debe realizar dicho sujeto prestamista, y el conjunto contraprestación o conjunto de cobros que ha de percibir dicho sujeto. De igual forma, para
el emisor, se tiene el conjunto prestación o conjunto de cobros y el conjunto contraprestación o conjunto de pagos.
En función de las cuantías a percibir por el poseedor de un activo financiero,
es posible distinguir entre activos de renta fija y activos de renta variable. Un activo de renta fija promete un conjunto conocido de cobros o flujos de caja, mientras que en un activo de renta variable tales cobros son desconocidos. Las letras
del Tesoro o los bonos del Estado son un ejemplo de activos de renta fija, mientras
que las acciones lo son de activos de renta variable.
En general, las inversiones financieras suelen realizarse distribuyendo los recursos financieros a invertir entre distintos productos, formando carteras de inversión. A partir de ahora nos referiremos a inversiones financieras materializadas
en activos de renta variable, negociables en mercados financieros y agrupados en
carteras.
1.2. GESTIÓN Y ADMINISTRACIÓN DE CARTERAS
En general, podemos señalar que la parte del campo de las inversiones conocida bajo el nombre de Gestión de carteras comprende las siguientes fases1:
1.
2.
3.
Análisis de los títulos o predicción de los rendimientos esperados, riesgos
y covarianzas entre los activos disponibles para formar carteras.
Análisis de las carteras o determinación de sus rendimientos esperados y
riesgos probables en función de los títulos que las forman y de las cuantías
invertidas en cada uno de ellos.
De entre las carteras consideradas más apropiadas en el análisis precedente, selección de la cartera óptima o más adecuada a las preferencias y objetivos concretos de un inversor.
En una concepción más amplia, y vinculada a las tres fases anteriores, está la
administración de inversiones o administración de carteras, que es el proceso por el
que un gestor administra los recursos financieros que un inversor le encomienda
para que sean invertidos. Entre sus funciones se incluyen las tres anteriores y, en
general, se pueden señalar las cinco siguientes2:
1
Francis, J. C. y Archer, S. H. (1977: 8).
Adaptado de Alexander et al. (2003: 11; 390-392). En otros textos se señalan fases diferentes,
pero con contenidos similares. Puede verse: Bodie et al. (2004: 435), o Gitman, L. J. y Joehnk, M. D.
(2005: 11-13), los cuales señalan que la gestión de carteras implica realizar un seguimiento de las
mismas, así como su posible reestructuración en función del comportamiento de las inversiones.
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Inversiones financieras: selección de car teras
1.
2.
3.
4.
5.
Establecer una política de inversión, identificando las preferencias y objetivos del inversor en cuanto a la cuantía que está dispuesto a invertir, la
rentabilidad esperada y el riesgo a soportar.
Realizar un análisis de activos, con el fin de poder determinar sus rendimientos esperados y riesgos probables, e identificar los activos concretos
en los que invertir.
Formar y analizar las posibles carteras, determinando la cuantía a invertir en cada uno de los activos previamente seleccionados, así como la
rentabilidad esperada y el riesgo de cada cartera.
De acuerdo con las preferencias del inversor en cuanto a rentabilidadriesgo, elegir la cartera óptima o cartera específica en la que invertir.
Evaluación periódica del rendimiento y riesgo que corre el inversor con
la cartera concreta en la que ha invertido, así como la revisión y reestructuración de la misma.
1.3. MEDIDAS DE LA RENTABILIDAD DE UN TÍTULO
La variable rentabilidad es fundamental en cualquier análisis sobre inversiones
financieras, por lo que vamos a estudiar distintas formas de determinar la rentabilidad de un título de renta variable que cotice en un mercado financiero organizado.
Sea Ct el precio o cotización de cierre de un título en la sesión bursátil celebrada en la fecha t; Ct − 1 la cotización en la sesión anterior, y Dt cualquier renta
distribuida por el activo en la fecha t. En estas condiciones, la rentabilidad por
sesión es el tipo de interés que verifica la ecuación de equivalencia financiera
entre la cotización Ct − 1 y Ct junto con Dt. En un sentido más amplio, cuando el
tipo de interés corresponda a la equivalencia financiera planteada en capitalización simple, la rentabilidad se denomina simple o aritmética; cuando sea el
derivado de la equivalencia en capitalización compuesta, la rentabilidad es efectiva o compuesta, y se habla de rentabilidad logarítmica, continua o instantánea
cuando proceda de la equivalencia financiera planteada en capitalización continua.
Recordemos que dados dos capitales financieros (C0, 0) y (Cn, n), para un tipo
de interés unitario r en capitalización simple, i en capitalización compuesta y k en
capitalización continua, las ecuaciones de equivalencia financiera en capitalización simple, en capitalización compuesta y en capitalización continua son, respectivamente3:
3
La problemática relativa a la valoración de capitales y operaciones financieras puede consultarse en García Boza, J. et al. (2011).
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Conceptos básicos
Cn = C0 (1 + nr)
Cn = C0 (1 + i )
n
C n = C0 e n k
Por tanto, la rentabilidad simple, rt, en la sesión de fecha t, verifica:
Ct + Dt = Ct−1 (1 + rt )
De donde:
rt =
Ct + Dt − Ct−1 Ct − Ct−1 + Dt
=
Ct−1
Ct−1
En la expresión anterior, la diferencia de cotizaciones constituye una ganancia
de capital, por lo que podemos expresar la rentabilidad simple como:
Ganancias de capital + Dividendos
Precio inicial
Al tratarse de una sola sesión, la rentabilidad compuesta verifica la misma
ecuación anterior:
Ct + Dt = Ct−1 (1 + it )
La rentabilidad instantánea o logarítmica verifica:
⎛ C + Dt ⎞
= ln (Ct + Dt ) − lnCt−1
Ct + Dt = Ct−1e kt ⇒ kt = ln ⎜ t
⎝ Ct−1 ⎟⎠
Al comparar la expresión anterior con la de la rentabilidad compuesta, se deduce: kt = ln (1 + it).
La rentabilidad será diaria, semanal, mensual, trimestral o anual, cuando se
consideren, respectivamente, las cotizaciones de cierre de dos sesiones consecutivas diarias4, semanales, mensuales, trimestrales o anuales. Además, disponiendo de
una serie histórica de cotizaciones de un activo durante un cierto intervalo de tiempo, podemos determinar su rentabilidad histórica media como la media aritmética
de las rentabilidades obtenidas en las sesiones que integran el citado intervalo.
4
Si en lugar de considerar las cotizaciones de cierre se considerasen las mínimas o las máximas,
tendríamos la rentabilidad mínima o la máxima, respectivamente.
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Inversiones financieras: selección de car teras
EJEMPLO 1.1
Un título cotiza al final de cierto trimestre a 42 €, y al final del siguiente
a 42,50 €, habiendo percibido en el trimestre un dividendo de 1 €. Determinar:
a) Rentabilidad trimestral.
b) Rentabilidad mensual.
c) Rentabilidad anual.
Resolución
a) Se tiene:
rt =
Ct + Dt − Ct−1 42,50 + 1 − 42
=
= 3,571429%
42
Ct−1
La rentabilidad simple y la compuesta es el 3,571429 % trimestral.
Para la rentabilidad logarítmica trimestral tenemos:
⎛ 43,50 ⎞
= 3,509132%
kt = ln ⎜
⎝ 42 ⎟⎠
b) Si en las ecuaciones anteriores expresamos el tiempo en meses, obtenemos
la rentabilidad mensual. Así, la rentabilidad simple mensual verifica:
(
)
43,50 = 42 1 + 3r(m) ⇒ r(m) = 1,190476%
Si comparamos la expresión anterior con la de la rentabilidad simple trimestral, se deduce: rt = 3r(m).
Para la rentabilidad compuesta mensual se tiene:
(
)
3
43,50 = 42 1 + i (m) ⇒ i (m) = 1,176579%
Al comparar la expresión anterior con la de la rentabilidad trimestral compuesta, tenemos:
(
1 + it = 1 + i (m)
22
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)
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Conceptos básicos
La rentabilidad logarítmica mensual es:
43,50 = 42e 3k
k (m)
(m)
43,50 ln 42 =
= 1,169711%
3
Si comparamos la expresión anterior con la de la rentabilidad logarítmica
mensual, se obtiene: kt = 3k(m).
c) Para determinar la rentabilidad anual equivalente se expresa el tiempo en
años. Así, la rentabilidad simple anual verifica:
1 ⎞
⎛
43,50 = 42 ⎜1 + ra ⎟ ⇒ ra = 14,285714%
⎝
4 ⎠
Si comparamos la expresión anterior con la de la rentabilidad simple mensual,
tenemos: ra = 12r (m). Igual comparación podemos hacer con la rentabilidad trimestral, deduciéndose: ra = 4rt.
La rentabilidad compuesta anual verifica:
43,50 = 42 (1 + ia ) 4 ⇒ ia = 15, 069405%
1
Al comparar la expresión anterior con la de la rentabilidad compuesta mensual y con la trimestral, se deduce:
(1 + i( ))
m
12
= 1 + ia ; (1 + it ) = 1 + ia
4
La rentabilidad logarítmica anual es:
1
43,5 = 14, 036528%
43,50 = 42e 4 ka ka = 4 ln 42 Si la comparamos la rentabilidad logarítmica anual con la mensual y con la
trimestral, se deduce:
ka = 12k (m) ; ka = 4kt
EJEMPLO 1.2
Las acciones de cierta empresa cotizaron al final del pasado año a 120 € por
acción. Durante el presente año, las cotizaciones al final de los siete primeros me© Ediciones Pirámide
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Inversiones financieras: selección de car teras
ses han sido las siguientes: 121,20; 123; 125; 124; 125,62; 127,32 y 128 € por acción. Determinar:
La rentabilidad de cada mes y rentabilidad media mensual (simple y continua).
b) La rentabilidad mensual.
c) La rentabilidad anual.
d) Comparar las distintas medidas de la rentabilidad.
a)
Resolución
a) En la siguiente tabla, correspondiente a este ejemplo en el archivo Soluciones Ejemplos L 1, se muestran los resultados:
La rentabilidad media mensual simple, r–, es el 0,929285 %, y la rentabilidad
–
media mensual instantánea, k, el 0,921979 %. Ambas se han obtenido aplicando en
Excel la función PROMEDIO a las respectivas series de rentabilidades mensuales.
b) La rentabilidad mensual se deduce de la equivalencia financiera entre la
cotización inicial y la final, teniendo en cuenta que la amplitud del intervalo temporal es de 7 meses. Por tanto, se verifica:
Rentabilidad mensual simple:
(
)
128 = 120 1 + 7r(m) ⇒ r(m) = 0,952381%
Obviamente, la rentabilidad media mensual simple no coincide con la rentabilidad mensual simple: r– ≠ r (m).
Rentabilidad mensual compuesta:
(
128 = 120 1 + i (m)
24
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)
7
⇒ i (m) = 0,926242%
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Conceptos básicos
Rentabilidad mensual instantánea:
128 = 120e 7 k
(m)
⇒ k (m) =
1 ⎛ 128 ⎞
ln ⎜
⎟ = 0,921979%
7 ⎝ 120 ⎠
La rentabilidad mensual instantánea coincide con la rentabilidad media men–
sual logarítmica: k = k (m).
c) La rentabilidad anual se deduce de la equivalencia financiera entre la cotización inicial y la final, expresando el tiempo en años. Se verifica:
Rentabilidad anual simple:
7 ⎞
⎛
r ⇒ ra = 11, 428571%
128 = 120 ⎜1 +
⎝ 12 a ⎟⎠
Rentabilidad anual compuesta:
128 = 120 (1 + ia ) 12 ⇒ ia = 11,698989%
7
Rentabilidad anual instantánea:
128 = 120e 12 ka ⇒ ka =
7
12 ⎛ 128 ⎞
ln ⎜
⎟ = 11, 063746%
7 ⎝ 120 ⎠
d) Si comparamos las expresiones respectivas de la rentabilidad mensual con
la de la rentabilidad anual, tenemos:
Para la rentabilidad simple:
(
)
128 = 120 1 + 7r(m) ⎫
⎪
(m)
7 ⎞ ⎬ ⇒ ra = 12r
⎛
128 = 120 ⎜1 +
r ⎪
⎝ 12 a ⎟⎠ ⎭
Además, tal y como hemos señalado, r– ≠ r (m), o sea, la rentabilidad media mensual simple es distinta de la rentabilidad mensual simple, por lo que 12r– ≠ r a. Por
ello, a la rentabilidad media mensual simple multiplicada por 12 se le denomina
rentabilidad media mensual simple elevada al año: r–a = 12r– ≠ r a.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Para la rentabilidad compuesta es:
(
)
7
128 = 120 1 + i (m) ⎫⎪
(m)
⎬ ⇒ 1+ i
7
128 = 120 (1 + ia ) 12 ⎪⎭
(
)
12
= 1 + ia
Para la logarítmica tenemos:
(m)
128 = 120e 7 k ⎫⎪
(m)
⎬ ⇒ ka = 12k
128 = 120e ka ⎭⎪
–
–
Además, según señalamos es k = k (m), por lo que se verifica: ka = 12k = 12k(m) =
–
= ka. La expresión anterior indica que la rentabilidad anual instantánea coincide
con la rentabilidad media mensual instantánea elevada al año.
Si comparamos la rentabilidad logarítmica con la compuesta, se verifica:
128 = 120e 12 ka ⎫⎪
⇒ ka = ln (1 + ia )
7 ⎬
128 = 120 (1 + ia ) 12 ⎪⎭
7
EJEMPLO 1.3
Las acciones de cierta empresa han cotizado al final de 22 sesiones consecutivas diarias con los valores que se indican en el archivo correspondiente a este
ejemplo en Datos Ejemplos L 1. Determinar:
a) La rentabilidad diaria simple y logarítmica, así como las correspondientes
rentabilidades medias.
b) La rentabilidad media diaria elevada al año.
c) Realizar un planteamiento general del cálculo de la rentabilidad elevada
al año.
Resolución
En el archivo correspondiente de Soluciones Ejemplos L 1 se han hecho los
cálculos, obteniéndose:
26
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Conceptos básicos
a) Rentabilidad media diaria simple: r– = 0,114647 %; rentabilidad media dia–
ria instantánea: k = 0,114304 %. Los valores anteriores se han obtenido como la
media aritmética de las respectivas rentabilidades diarias.
b) Se considera que las Bolsas realizan sesiones de cotización durante 252
días al año, y que las variaciones de los precios que dan origen a la rentabilidad
ocurren en dichas sesiones. Por ello, se define la rentabilidad media diaria elevada
al año como la rentabilidad media diaria multiplicada por 252. En consecuencia,
tenemos los siguientes valores para la rentabilidad media diaria (simple y logarítmica) elevada al año, rentabilidad anualizada o rentabilidad media anual deducida de la media diaria (simple e instantánea):
ra = r 252 = 0,114647% × 252 = 28,891044%
ka = k 252 = 0,114304% × 252 = 28,804608%
c) En general, si se dispone de una serie histórica con las cotizaciones de
cierre de un activo durante cierto período5, tenemos:
Sesión Precio R. simple R. logarítmica
0
C0
−
−
1
C1
r1
k1
2
C2
r2
k2
3
C3
r3
k3
T
CT
rT
kT
Para cualquier sesión s se verifica:
rs =
Cs
−1
Cs−1
⎛C ⎞
ks = ln ⎜ s ⎟ = lnCs − lnCs−1
⎝ Cs−1 ⎠
5
Consideramos que las cotizaciones están ajustadas por cualquier rendimiento obtenido por el
título.
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Inversiones financieras: selección de car teras
La rentabilidad media simple y la media instantánea verifican, respectivamente:
T
∑ rs
r=
s=1
T
T
; k=
∑ ks
s=1
T
Para la rentabilidad media instantánea tenemos:
T
k=
∑ ks
s=1
T
=
(lnC1 − lnC0 ) + (lnC2 − lnC1) + (lnC3 − lnC2 ) + + (lnCT − lnCT −1) =
T
=
1 ⎛C ⎞
lnCT − lnC0
= ln ⎜ T ⎟
T ⎝ C0 ⎠
T
De donde:
T
k=
∑ ks
s=1
T
⇒Tk =
=
1 ⎛ CT ⎞
⇒
ln
T ⎜⎝ C0 ⎟⎠
⎛C ⎞
T
∑ ks = ln ⎜⎝ CT ⎟⎠ ⇒
0
s=1
T
⇒ CT = C0e
Tk
= C0 e
∑ ks
s=1
⎛C ⎞
Observemos que la rentabilidad instantánea, ln ⎜ T ⎟ , correspondiente al in⎝ C0 ⎠
tervalo [0, T], es la suma de las rentabilidades instantáneas de los subintervalos,
pues se verifica:
⎛C ⎞
ln ⎜ T ⎟ = k1 + k2 + + kT
⎝ C0 ⎠
En efecto:
k1 + k2 + + kT = (lnC1 − lnC0 ) + (lnC2 − lnC1) + + (lnCT − lnCT −1) =
⎛C ⎞
= lnCT − lnC0 = ln ⎜ T ⎟
⎝ C0 ⎠
28
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Conceptos básicos
Si son cotizaciones diarias y queremos hallar la rentabilidad anual con 252
sesiones, es:
Rentabilidad media diaria elevada al año, simple e instantánea, respectivamente:
ra = 252r; ka = 252k
Rentabilidad anual simple:
T ⎞
⎛
CT = C0 ⎜1 + ra
⎟ ⇒ ra ≠ ra
⎝
252 ⎠
Rentabilidad anual continua:
CT = C0e 252 ka
T
De donde se deduce: ka =
252 ⎛ CT ⎞
1 ⎛C ⎞
ln ⎜ ⎟ . Pero k = ln ⎜ T ⎟ . Por tanto:
T
T ⎝ C0 ⎠
⎝ C0 ⎠
ka = 252k = ka
Rentabilidad anual compuesta:
CT = C0 (1 + ia ) 252
T
Al comparar la expresión anterior con la de la rentabilidad anual continua se
deduce:
(1 + ia )
T
252
= e 252 ka ⇒ ka = ln (1 + ia )
T
Teniendo en cuenta que de la expresión rs =
T
(1 + i1) (1 + i2 ) ⋅ ⋅ ⋅ (1 + iT ) = ∏ (1 + is ) =
s=1
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Cs
− 1 = is , se deduce:
Cs−1
( )
CT
= 1+ i
C0
T
T
⇒ i = T ∏ (1 + is ) − 1
s=1
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Inversiones financieras: selección de car teras
–
El valor i es la rentabilidad media compuesta o rentabilidad media geométrica:
( )
T
CT = C0 1 + i
⇒i = T
CT
−1
C0
–
Al comparar la rentabilidad i con la anual compuesta se deduce:
(1 + i)
252
= 1 + ia
Si las cotizaciones fuesen mensuales o trimestrales, son válidas todas las exT
T
T
por
y por , respectivamente.
presiones anteriores sustituyendo
252
12
4
Con los datos del ejercicio, teniendo en cuenta que disponemos de 21 valores
de rentabilidad diaria, la rentabilidad compuesta media diaria verifica:
(1 + i)
21
=
C21
⇒i =
C0
21
31,20
− 1 = 0,114369%
30, 46
La media geométrica elevada al año es:
(1 + i)
252
= 1 + ia ⇒ ia = 33,381728%
La rentabilidad compuesta anual, ia, verifica:
31,20 = 30, 46 (1 + ia ) 252 ⇒ ia = 33,381728%
21
Si comparamos las expresiones respectivas de la rentabilidad geométrica media diaria con la anual, tenemos:
( )
⎫
⎪
⎬ ⇒ 1+ i
21
252 ⎪
31,20 = 30, 46 (1 + ia ) ⎭
31,20 = 30, 46 1 + i
21
( )
252
= 1 + ia = 1 + ia ⇒ ia = ia
De lo anterior se deduce que la rentabilidad media geométrica elevada al año
coincide con la rentabilidad geométrica, compuesta o efectiva anual.
De todas las medidas expuestas, cuando se dispone de una serie histórica de
datos de cotizaciones, las más utilizadas son la rentabilidad media simple elevada
–
al año, r–a , y la rentabilidad media logarítmica elevada al año, ka = ka.
30
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Conceptos básicos
De acuerdo con lo expuesto, considerando que en un año existen 252 sesiones diarias de cotización, 52 semanales o 12 mensuales, para anualizar la
rentabilidad media (la simple y la instantánea), obteniendo la rentabilidad
media elevada al año, las expresiones a utilizar son:
{
252 × Rentabilidad media diaria
Responsabilidad anual = 52 × Rentabilidad media semanal
12 × Rentabilidad media mensual
EJEMPLO 1.4
Las cotizaciones mensuales de una acción son las que se indican en el archivo
correspondiente a este ejemplo en Datos Ejemplos L 1. Determinar:
a) Rentabilidad media mensual.
b) Rentabilidad mensual.
c)
Rentabilidad media mensual elevada al año.
d) Rentabilidad anual.
Resolución
a) Calculamos la rentabilidad de cada mes, obteniendo para la rentabilidad
media mensual:
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Inversiones financieras: selección de car teras
La rentabilidad media mensual simple y la instantánea se han obtenido como
la media de las respectivas rentabilidades de cada mes. En cambio, la rentabilidad
media geométrica se ha deducido de:
⇒i =
(1 + i) = ∏ (1 + r ) = 107
100
7
7
s
7
1, 07 − 1 = 0,971238%
s=1
Cualquier rentabilidad media es, pues, una media de las rentabilidades de los
distintos meses.
b) La rentabilidad mensual correspondiente se deduce de la respectiva ecuación de equivalencia financiera (simple, continua y compuesta) entre la cotización
inicial y la final al cabo de 7 meses:
(
)
107 = 100 1 + 7r(m) ⎫ ⎧
r(m) = 1%
⎪ ⎪
⎪ ⎪ (m)
(m)
107 = 100e 7 k
⎬ ⇒ ⎨k = k = 0,966552%
⎪ ⎪ (m)
7
107 = 100 1 + i (m) ⎪⎭ ⎪⎩ i = i = 0,971238%
(
)
La rentabilidad mensual no es una media de las rentabilidades de los respectivos meses, sino que se deduce de la equivalencia entre la cotización inicial y la
cotización final del período.
c) La rentabilidad media mensual, simple, continua y geométrica, elevada al
año es, respectivamente:
ra = 12r = 12 × 1, 005132% = 12, 061584%
ka = 12k = 12 × 0,966552% = 11,598624%
(1 + i)
12
= 1 + ia ⇒ ia = (1 + 0,971238%) − 1 = 12,298039%
12
d) Para determinar la rentabilidad anual planteamos las ecuaciones de equivalencia entre las cotizaciones inicial y final, expresando el tiempo en años:
7 ⎞
⎛
r ⇒ ra = 12%
107 = 100 ⎜1 +
⎝ 12 a ⎟⎠
7
107 = 100e 12
ka
⇒ ka = 11,5986245
7
107 = 100 (1 + ia )12 ⇒ ia = 12,298044%
32
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Conceptos básicos
EJEMPLO 1.5
Las cotizaciones de un activo al final de cada mes han sido: 300, 310, 315, 310
y 300 €. Determinar la rentabilidad media mensual.
Resolución
En la siguiente tabla de muestran los resultados:
Observemos que la cotización inicial y la final al cabo de cuatro meses es la
misma. Por ello, lo evidente es que la rentabilidad ha sido nula, como ponen de
manifiesto tanto la rentabilidad media continua mensual como la media geométrica. En cambio, la rentabilidad media simple indica un 0,033282 % mensual.
Además, al pasar el precio de 300 a 310 y después de 310 a 300, la rentabilidad
continua, en valor absoluto, es la misma. En cambio, la rentabilidad simple es
distinta. Lo expuesto justifica que la rentabilidad continua y la compuesta ofrezcan mejores resultados que la media simple. No obstante, debido a la facilidad de
su cálculo, la rentabilidad media simple, y su correspondiente elevada al año, son
de gran utilización práctica.
1.4. MEDIDA DEL RIESGO Y DE LA CORRELACIÓN
ENTRE LOS TÍTULOS
Disponiendo de una serie histórica de las cotizaciones de un activo durante
cierto tiempo, podemos determinar su dispersión media alrededor de la rentabilidad media. Se utiliza para ello la desviación típica:
T
=
(rt r)
2
t=1
T
En Excel se calcula con la función DESVESTP.
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Inversiones financieras: selección de car teras
EJEMPLO 1.6
Con los datos correspondientes al ejemplo 1.3, calcular la desviación típica,
tanto en términos de rentabilidad simple como de rentabilidad continua.
Resolución
En el archivo correspondiente de Soluciones Ejemplos L 1 se han hecho los
cálculos, obteniéndose una desviación típica diaria, con rentabilidad simple, del
0,236445 %, y con rentabilidad continua del 0,235645 %.
De acuerdo con todo lo expuesto, la rentabilidad de un título depende de sus
cotizaciones en un cierto intervalo de tiempo. Y éstas están influenciadas por un
amplio conjunto de factores: evolución histórica y perspectivas de futuro de la
economía en general, del sector particular al que pertenece el título o de las correspondientes a la empresa emisora del título; de las percepciones y expectativas
subjetivas de cada inversor, etc. Y si la rentabilidad pasada ha estado influida por
34
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Conceptos básicos
diversas variables, también la rentabilidad futura lo estará. Por ello, la rentabilidad de una acción es una magnitud que tomará distintos valores a través del
tiempo, sin que se puedan determinar con certeza y de antemano tales valores. En
consecuencia, podemos considerar la rentabilidad como una variable aleatoria
que tomará distintos valores en el tiempo, con su correspondiente probabilidad.
Sabemos que en el momento en el que el inversor adquiere determinada acción, no conoce su rentabilidad futura y sí la pasada, teniendo unas expectativas
de rentabilidad futura. Ahora bien, la rentabilidad real que obtenga diferirá de la
esperada, por lo que existe un riesgo. Así, en general se define el riesgo de un título como la posibilidad de que el rendimiento efectivamente realizado no coincida
con el esperado. Con una serie histórica de datos, podemos estimar el riesgo de un
activo a través de la cuasidesviación típica o desviación típica corregida. Se utiliza
la cuasidesviación típica, en lugar de la desviación típica de la muestra, pues lo
que se desea es estimar la desviación típica poblacional a partir de los datos de
una muestra6. Así, para un título i tenemos:
T
i =
(rt r)
2
t=1
T 1
En Excel se calcula con la función DESVEST.
En el ejemplo precedente, la desviación típica diaria de la rentabilidad simple,
para la muestra especificada, es el 0,236445 %. Pero para disponer de una estimación del riesgo de dicho activo para la población total es preciso calcular la cuasidesviación típica, que asciende al 0,242284 %, y al 0,241464 %, si se considera la
rentabilidad instantánea.
EJEMPLO 1.7
Con los datos correspondientes al ejemplo 1.4, calcular el riesgo, tanto en términos de rentabilidad simple como de rentabilidad instantánea.
Resolución
En el archivo correspondiente de Soluciones Ejemplos L 1 se han hecho los
cálculos, obteniéndose un riesgo mensual del 2,817747 % y del 2,802879 %, según se consideren, respectivamente, rentabilidades simples o rentabilidades continuas:
6
La cuasidesviación típica es un estimador insesgado de la desviación típica poblacional, por
lo que es la medida adecuada del riesgo cuando se obtiene el mismo a partir de una muestra.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Cuando el riesgo calculado corresponda a períodos de tiempo inferiores al
año, puede ser necesaria su anualización. Con datos de rentabilidad simple o con
rentabilidad continua, tenemos que, por ejemplo, la cuasivarianza anual en función de la mensual es7:
a2 = m2 12
En consecuencia, al ser la desviación típica la raíz cuadrada de la varianza, el
riesgo anual en función del mensual es:
a = m 12
En general, el riesgo anual en función del riesgo diario o del riesgo mensual,
así como el mensual en función del diario, es, respectivamente8:
a = d 252
a = m 12
m = d 20
7
Para ello se acepta la siguiente hipótesis: «los rendimientos no están correlacionados en
intervalos sucesivos de tiempo, o sea, son independientes y están idénticamente distribuidos». La
independencia implica que la rentabilidad de un período no influye en la rentabilidad del siguiente.
Como la varianza de una suma de variables aleatorias independientes es la suma de las varianzas de
las variables, la varianza para, por ejemplo, 12 meses, es la suma de las varianzas de cada uno de esos
meses. Y si la varianza mensual es constante, la varianza anual es la varianza mensual multiplicada
por 12. Puede verse Benninga (1998: 82) o Jorion (1999: 103).
8
En general, se suele suponer que en el año se dan 250 o 252 sesiones diarias de negociación,
52 semanales, 12 mensuales o 20 en un mes.
36
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Conceptos básicos
EJEMPLO 1.8
Con los datos del ejemplo 1.7, determinar el riesgo anual.
Resolución
Hemos determinado el valor del riesgo mensual para la rentabilidad simple y
para la continua, siendo, respectivamente, 2,817747 % y 2,802879 %. En consecuencia, el riesgo anual, según se considere rentabilidad simple o rentabilidad
logarítmica, es, respectivamente:
2,817747% 12 = 9,760962%
a = m 12 = 2,802879% 12 = 9,709458%
Las variaciones en la rentabilidad de un activo pueden estar influenciadas por
las variaciones ocasionadas en otro u otros activos. Para poner de manifiesto el
grado o fuerza de la relación existente entre las rentabilidades de dos activos cualesquiera, se puede calcular tanto la covarianza como el coeficiente de correlación
lineal.
La covarianza mide el grado de asociación entre dos variables, y si se dispone de una muestra en forma de serie temporal podemos estimar la covarianza poblacional entre la rentabilidad del título i y la del título j a través de la
expresión9:
T
cov ij = ij =
(rit ri ) (rjt rj )
t=1
T 1
La covarianza indica en qué medida las rentabilidades de dos acciones se mueven en el mismo o en distinto sentido. Su signo depende de cuál sea la dirección
de la asociación entre ri y rj. Es positivo cuando se trata de una asociación positiva, es decir, los valores de ri inferiores (o superiores) a su media tienden a estar asociados a los valores de rj inferiores (o superiores) a su media. Es negativo
9
Excel la calcula con la función COVAR y divide entre T. Para pasar a la estimación de la
T
covarianza poblacional, basta con multiplicar la salida de Excel por el cociente
.
T−1
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Inversiones financieras: selección de car teras
cuando se trata de una asociación negativa, de modo que, los valores de ri inferiores (o superiores) a su media tienden a estar asociados a los valores de rj superiores (o inferiores) a su media.
Si las rentabilidades son independientes, la covarianza es cero. En cambio, la
afirmación contraria no es cierta, de modo que puede suceder que la covarianza
sea nula y las rentabilidades sean dependientes. Por ello, cuando la covarianza sea
cero, las rentabilidades se dicen no correlacionadas.
En síntesis, un valor positivo de la covarianza indica que las rentabilidades
tienden a moverse en el mismo sentido, por lo que es probable que un rendimiento superior (o inferior) al esperado en un activo se produzca conjuntamente con
un rendimiento también superior (o inferior) al esperado en el otro activo. Un
valor negativo señala que las rentabilidades tienden a moverse en sentido opuesto,
siendo probable que un rendimiento superior (o inferior) al esperado en un activo
se produzca juntamente con un rendimiento inferior (o superior) al esperado en
el otro activo. Un valor pequeño o nulo indica que la relación entre las rentabilidades es poca o nula.
No obstante lo anterior, al estar la covarianza expresada en términos absolutos, para interpretar mejor el grado de relación entre las rentabilidades de dos
activos es preferible utilizar el coeficiente de correlación lineal10:
ij =
ij
cov ij
=
i j i j
EJEMPLO 1.9
Para dos activos se dispone de una muestra con cotizaciones mensuales, según
se indica en el archivo Datos L 1. Determinar:
a) Rentabilidad media mensual simple e instantánea.
b) Riesgo mensual simple e instantáneo.
c) La covarianza y el coeficiente de correlación lineal para rentabilidades
simples y para rentabilidades continuas.
10
En Excel se calcula con la función COEF.DE.CORREL. Es importante observar que el programa utiliza para su cálculo tanto la covarianza como las desviaciones típicas obtenidas al dividir
entre T y no al dividir entre T − 1. No obstante, es indiferente, pues al ser un cociente, todos los
denominadores (T o T − 1) se simplifican y no inciden en el valor del coeficiente. Sin embargo, para
obtener, a partir del coeficiente de correlación, la covarianza entre las rentabilidades de dos títulos,
es preciso tener en cuenta si se toman las desviaciones típicas con T o con T − 1, hallándose, respectivamente, la covarianza con T o con T − 1.
38
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Conceptos básicos
Resolución
Se exponen los resultados obtenidos de la hoja de Excel correspondientes al
archivo de Soluciones Ejemplos L 1:
El coeficiente de correlación lineal es un número que sirve de indicador de la
intensidad o grado de la covariación lineal entre las rentabilidades de dos activos.
Su objetivo es poner de manifiesto el grado o fuerza de la relación lineal existente entre las rentabilidades de dos clases de activos. Toma valores entre −1 y +1 y
su significado es el siguiente:
— Para los dos valores extremos del coeficiente, −1 y +1, los valores de las
rentabilidades de ambos activos están exactamente sobre una recta.
— Si toma el valor 1, las variables representativas de las rentabilidades de los
activos siguen una relación lineal de pendiente positiva: ri = a + brj con
b > 0. Por tanto, una modificación en la rentabilidad de un activo implica
otra del mismo sentido en la rentabilidad del otro activo11.
11
Por ejemplo, si la rentabilidad de un activo aumenta (o disminuye) 2 puntos porcentuales,
la del otro también aumenta (o disminuye), aunque no exactamente 2 puntos, pues depende de la
pendiente de la recta que las relaciona.
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Inversiones financieras: selección de car teras
EJEMPLO 1.10
Los valores de la rentabilidad de dos activos son los siguientes:
Activo i
Activo j
0,00 %
2,00 %
3,00 %
4,70 %
7,00 %
8,30 %
8,00 %
9,20 %
9,00 %
10,10 %
Calcular el coeficiente de correlación lineal y representar gráficamente las rentabilidades.
Resolución
En el archivo correspondiente de Soluciones y con la función COEF.DE.CORREL se obtiene rij = 1. El gráfico es:
Se observa que, efectivamente, todos los valores están sobre una recta de pendiente positiva. La ecuación de la misma es: ri = 0,02 + 0,90rj. Vemos que al
aumentar la rentabilidad del activo j, la del i también aumenta. Así, por ejemplo,
al aumentar la rentabilidad del activo j en 4 puntos porcentuales (del 3 al 7 %), la
40
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Conceptos básicos
del i también aumenta (del 4,70 al 8,30 %), pero lo hace en 3,6 puntos porcentuales, que es el producto: 4 % × 0,90.
Si el coeficiente de correlación toma el valor cero, las rentabilidades se encuentran linealmente incorrelacionadas, aunque puede existir otro tipo de correlación
entre ellas. En general, si el valor que toma está próximo a cero, las rentabilidades
están incorrelacionadas y no tienen relación lineal entre sí.
Si las rentabilidades son independientes, al ser la covarianza nula, el coeficiente de correlación lineal es cero. En cambio, la afirmación contraria no es cierta, de modo que puede suceder que el coeficiente de correlación sea nulo y las
variables sean dependientes. En general, la independencia elimina la posibilidad
de cualquier relación entre las variables representativas de las rentabilidades,
mientras que la no correlación únicamente elimina las relaciones lineales.
Si toma el valor −1, las variables representativas de las rentabilidades de los
activos están relacionadas a través de la ecuación de una recta de pendiente negativa: ri = c + drj con d < 0. En consecuencia, una modificación de la rentabilidad
de un activo implica otra de sentido contrario en la rentabilidad del otro. Así, por
ejemplo si rij = −1 y la ecuación que relaciona las rentabilidades de dos activos es
ri = 0,09 − 0,10rj, al aumentar el activo j su rentabilidad en 2 puntos porcentuales,
pasando del 7 % al 9 %, la del i disminuye en 0,20 puntos porcentuales, pasando
del 8,3 al 8,1 %: 2 % (−0,10).
Un coeficiente de correlación positivo (o negativo) lo es cuando la covarianza
también es positiva (o negativa), por lo que se puede interpretar en el mismo sentido que ya hemos señalado para ésta.
Es importante destacar que el coeficiente de correlación lineal no es propiamente una medida de tipo cuantitativo, sino que representa una medida de tipo
cualitativo, pues indica únicamente el grado de intensidad de la relación lineal
existente entre las dos variables representativas de las rentabilidades de dos títulos.
Así, por ejemplo, si para dos activos el coeficiente de correlación lineal es 0,20 y
para otros dos es 0,40, ello no implica que la relación entre los segundos activos
es doblemente intensa que en los primeros, sino simplemente que es mayor.
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Anexos
Anexo I: El operador SIGMA.
Anexo II: Conceptos básicos sobre matrices.
Anexo III: La herramienta SOLVER de Excel.
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ANEXO I: EL OPERADOR SIGMA
1. Concepto
Las sumas x1 + x2 + x3 + ... + xn y a1b1 + a2b2 + a3b3 + ... + apbp se pueden
expresar de forma abreviada mediante la notación sigma:
i=n
∑ xi =
i=1
h= p
p
h=1
h=1
n
∑ xi = x1 + x2 + x3 + + xn
i=1
∑ ahbh = ∑ ahbh = a1b1 + a2b2 + a3b3 + + a pbp
El símbolo ∑, sumatorio, es la letra griega mayúscula sigma. Es un operador
i=n
matemático que significa adición. La expresión ∑ xi =
i=1
n
∑ xi (sumatorio de xi desi=1
de que i vale 1 hasta que i vale n) indica que se han de sumar todos los valores de
xi desde el valor x1 al xn, debiendo ser n un número natural. Los números situados
en la parte inferior y en la superior del signo sigma constituyen, respectivamente,
el límite inferior y el límite superior del sumatorio. Cuando los límites del sumatorio son desconocidos o carecen de importancia, se omiten.
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Conceptos básicos
EJEMPLO 1.11
Desarrollar las expresiones siguientes:
10
a)
∑ xk
k=7
8
b)
∑p
p=5
3
c)
∑ xij
i=1
d)
3
4
k=1
j =2
∑ xk + ∑ x j
n−s
e)
∑ xs+k
k=1
Resolución
10
a)
∑ xk = x7 + x8 + x9 + x10
k=7
8
b)
∑ p = 5 + 6 + 7 + 8 = 26
p=5
3
c)
∑ xij = x1 j + x2 j + x3 j
i=1
d)
e)
3
4
k=1
j =2
∑ xk + ∑ x j = (x1 + x2 + x3 ) + (x2 + x3 + x4 ) = x1 + 2x2 + 2x3 + x4
n−s
n
k=1
i=s+1
∑ xs+k = xs+1 + xs+2 + xs+3 + + xn = ∑ xi
EJEMPLO 1.12
Escribir en forma de sumatorio cada una de las expresiones siguientes:
a) x5 + x6 + x7 + x8 + x12 + x13 + x14 + x15
b) 53 + 64 + 75 + 86 + 97
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Inversiones financieras: selección de car teras
1
1
1
+
+
x5 x6 x7
d ) x1 y1 (k − 1) + x2 y2 (k − 2) + + xn yn (k − n)
c)
(
) (
) (
2
)
2
(
2
e) x1 − x + x2 − x + x3 − x + + x20 − x
)
2
Resolución:
a) x5 + x6 + x7 + x8 + x12 + x13 + x14 + x15 =
b) 53 + 64 + 75 + 86 + 97 =
8
15
i=5
j =12
∑ xi + ∑ x j
9
∑ k k−2
5
1
1
1
+
+
=
c)
x5 x6 x7
7
1
∑x
i
5
d) x1 y1 (k − 1) + x2 y2 (k − 2) + + xn yn (k − n) =
n
∑ xi yi (k − i)
i=1
(
) (
2
) (
)
2
(
2
e) x1 − x + x2 − x + x3 − x + + x20 − x
) = ∑ (x − x)
2
20
2
i
i=1
2. Propiedades
a) El sumatorio de una suma es igual a la suma de los sumatorios:
n
n
n
i=1
i=1
i=1
∑ (xi + yi ) = ∑ xi + ∑ yi
Al desarrollar tenemos:
n
∑ (xi + yi ) = (x1 + y1) + (x2 + y2 ) + + (xn + yn ) =
i=1
= (x1 + x2 + + xn ) + ( y1 + y2 + + yn ) =
n
n
i=1
i=1
∑ xi + ∑ yi
b) El sumatorio de una constante por una variable es igual al producto de la
constante por el sumatorio de la variable:
n
n
i=1
i=1
∑ kxi = k ∑ xi
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Conceptos básicos
En efecto:
n
n
i=1
i=1
∑ kxi = kx1 + kx2 + + kxn = k (x1 + x2 + + xn ) = k ∑ xi
c) El sumatorio de una constante es igual al producto de esa constante por
el número de veces que el sumatorio ha de ser repetido:
n
∑ k = nk
i=1
Tenemos:
n
∑ k = k + k + + k = nk
i=1
3. Sumatorios dobles
El doble sumatorio se define como:
n
n
m
m
n
xij = xij = (xi1 + xi 2 + xi 3 + + xim ) =
=
i=1 j =1
i=1
i=1
n
n
n
n
i=1
i=1
i=1
i=1
j =1
xi1 + xi 2 + xi 3 + + xim = (x11 + x21 + x31 + + xn1) +
+ (x12 + x22 + x32 + + xn2 ) + (x13 + x23 + x33 + + xn3 ) +
+ + (x1m + x2 m + x3m + + xnm )
Algunas propiedades importantes son:
n
a)
m
∑ ∑ xij =
i=1 j =1
m
n
∑ ∑ xij
j =1 i=1
Al desarrollar tenemos:
∑ ∑ xij = ∑ (x1 j + x2 j + + xnj ) =
m
n
j =1 i=1
m
j =1
= (x11 + x12 + + x1m ) + (x21 + x22 + + x2 m ) + + (xn1 + xn2 + + xnm ) =
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n
m
∑ ∑ xij
i=1 j =1
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Inversiones financieras: selección de car teras
∑ ∑ (xij + yij ) = ∑ ∑ xij + ∑ ∑ yij
n
b)
m
n
i=1 j =1
h
c)
n
m
i=1 j =1
⎛
k
⎞⎛
h
m
i=1 j =1
⎛
⎞
k
⎞⎛
k
⎞
h
k
h
∑ ∑ xi y j = ⎜⎝ ∑ xi ⎟⎠ ⎜⎝ ∑ y j ⎟⎠ = ⎜⎝ ∑ y j ⎟⎠ ⎜⎝ ∑ xi ⎟⎠ = ∑ ∑ xi y j
i=1 j =1
j =1
i=1
j =1
j =1 i=1
i=1
En efecto, al desarrollar tenemos:
h
h
k
∑ ∑ xi y j = ∑ (xi y1 + xi y2 + + xi yk ) =
i=1 j =1
=
i=1
h
h
h
∑ xi y1 + ∑ xi y2 + + ∑ xi yk =
i=1
i=1
i=1
h
h
h
i=1
i=1
i=1
= y1 ∑ xi + y2 ∑ xi + + yk ∑ xi =
h
⎛ k ⎞⎛ h ⎞
= ( y1 + y2 + + yk ) ∑ xi = ⎜ ∑ y j ⎟ ⎜ ∑ xi ⎟ =
⎝ j =1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠
i=1
⎛ h ⎞⎛ k ⎞
= ⎜ ∑ xi ⎟ ⎜ ∑ y j ⎟ =
⎝ i=1 ⎠ ⎝ j =1 ⎠
k
h
∑ ∑ xi y j
j =1 i=1
EJEMPLO 1.13
Desarrollar las siguientes expresiones:
3
a)
3
∑ ∑ xij
i=1 j =1
3
b)
3
∑ ∑ xi x j
i=1 j =1
Resolución
a)
3
3
3
3
3
xij = xij = (xi1 + xi 2 + xi 3 ) =
i=1 j =1
i=1
=
i=1
j =1
3
3
3
i=1
i=1
i=1
xi1 + xi 2 + xi 3 =
= (x11 + x21 + x31) + (x12 + x22 + x32 ) + (x13 + x23 + x33 )
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Conceptos básicos
b)
3
3
∑ ∑ xi x j =
i=1 j =1
=
⎛ 3
⎞
∑ ⎜⎝ ∑ xi x j ⎟⎠ =
i=1 j =1
3
3
∑ (xi x1 + xi x2 + xi x3 ) =
i=1
3
3
3
i=1
i=1
i=1
∑ xi x1 + ∑ xi x2 + ∑ xi x3 =
= x1 (x1 + x2 + x3 ) + x2 (x1 + x2 + x3 ) + x3 (x1 + x2 + x3 ) =
= x12 + x22 + x32 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2 x3
EJEMPLO 1.14
2
Desarrollar la expresión
2
∑ ∑ xi x j aij .
i=1 j =1
Resolución
Se verifica:
2
2
2
⎛
2
⎞
2
∑ ∑ xi x j aij = ∑ ⎜⎝ ∑ xi x j aij ⎟⎠ = ∑ (xi x1ai1 + xi x2 ai 2 ) =
i=1 j =1
i=1
2
2
i=1
i=1
j =1
i=1
= x1 ∑ xi ai1 + x2 ∑ xi ai 2 = x1 (x1a11 + x2 a21) + x2 (x1a12 + x2 a22 ) =
= x12 a11 + x22 a22 + x1x2 a21 + x2 x1a12
ANEXO II: CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE MATRICES
1. Concepto
Una matriz es un conjunto de números ordenados en forma rectangular en m
filas y n columnas:
⎛ 4 2 7 2 6 ⎞
⎛ 5 8 6
⎟
⎜
A = 1 3 6 1 4 ; B = ⎜ 7 −3 0
⎟
⎜
⎜
⎝ 4 −4 1
⎝ 3 5 2 9 8 ⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
La matriz A es rectangular y tiene 3 filas y 5 columnas: su orden o dimensión
es 3 × 5; la matriz B es cuadrada con 3 filas y 3 columnas: dimensión 3.
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Inversiones financieras: selección de car teras
En una matriz cuadrada, se llama diagonal principal al conjunto de elementos
situados sobre la línea que va desde el vértice superior de la izquierda al inferior
de la derecha. En la matriz B anterior es 5, −3 y 1. Se llama diagonal secundaria
al conjunto de los elementos que van desde el vértice inferior de la izquierda al
superior de la derecha. En la matriz B anterior es 4, −3 y 6.
En general, una matriz de orden o dimensión m × n se indica de la siguiente
forma, siendo el término genérico aij, en el que el primer subíndice indica la fila y
el segundo la columna a la que pertenece el elemento:
Am×n
⎛ a11 a12 a1n
⎜
⎜ a21 a22 a2 n
=⎜ ⎜
⎜
⎜⎝ am1 am2 amn
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
La matriz anterior consta de m × n elementos.
Por ejemplo, la siguiente matriz representa las rentabilidades en distintos años
(filas) de varios activos (columnas). Así, el elemento a32 indica que en el año 3 el
activo 2 obtuvo una rentabilidad del 6 %:
R=
0, 05 0,10 0, 04 0,11 0, 06 0,10 0, 07 0,13 0, 08
0, 07
0, 09
0, 08
Una matriz fila o vector fila es una matriz que consta de una sola fila y n columnas:
F =
(a,
11
a12 , , a1n
)
Por ejemplo, las rentabilidades en un determinado momento de cinco activos:
B=
50
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( 8%,
9%, 7%, 10%, 8%
)
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Conceptos básicos
Una matriz columna o vector columna es una matriz que consta de m filas y
sólo una columna:
⎛ a11
⎜
⎜ a21
C=⎜ ⎜
⎜ ⎜⎝ am1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
Por ejemplo, la rentabilidad de un activo en distintos momentos de tiempo:
⎛ −2% ⎞
⎜ 3% ⎟
⎟
⎜
D=⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 5% ⎟
⎠
⎝
Una matriz cuadrada en la que son nulos todos sus elementos, excepto los de
la diagonal principal que valen la unidad, se llama matriz unidad o matriz identidad de orden n. Por ejemplo:
⎛
⎜
I4 = ⎜
⎜
⎜⎝
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
Se llama traspuesta de una matriz A a otra matriz A′ que se obtiene al cambiar
en A las filas por columnas y las columnas por filas:
8 0 6 4 A= 7 1 3 5 5 2 9 8 A = © Ediciones Pirámide
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8
0
6
4
7
1
3
5
5
2
9
8
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Inversiones financieras: selección de car teras
Cuando una matriz cuadrada coincide con su traspuesta, se dice que es simétrica. Por tanto, en una matriz simétrica, los elementos que ocupan lugares simétricos respecto de la diagonal principal son iguales. Por ejemplo, la siguiente matriz cuadrada de orden 4 es simétrica:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜⎝
3
2
1
0
2
6
5
9
1
5
7
4
0
9
4
8
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
Con Excel la matriz traspuesta se determina con la función TRANSPONER.
EJEMPLO 1.15
Hallar la matriz traspuesta de:
⎛
⎜
C=⎜
⎜
⎜⎝
9
3
5
7
8
2
0
4
7
1
3
9
6
5
1
8
5
7
9
3
4
0
2
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
Resolución
La matriz C tiene 4 filas y 6 columnas, por lo que su traspuesta tendrá 6 filas y
4 columnas. En el correspondiente archivo de Soluciones Ejercicios A L 1 tenemos:
52
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Conceptos básicos
Hemos seleccionado un rango de celdas de igual dimensión a la de la matriz
traspuesta (6 filas y 4 columnas) e insertamos la función TRANSPONER, señalando la matriz a trasponer, y a continuación la secuencia CTRL + MAYÚSCULA + INTRO.
2. Operaciones con matrices
El producto de un número por una matriz se obtiene multiplicando por dicho
número cada elemento de la matriz:
⎛ 5 −1 3 ⎞ ⎛ 10 −2 6 ⎞
2⎜
⎟ =⎜
⎟
⎝ 0 4 6 ⎠ ⎝ 0 8 12 ⎠
El producto de un vector fila por un vector columna, ambos de la misma dimensión, se obtiene multiplicando término a término y sumando los resultados:
( a,
1
a2 , , an
)
b1 b2 = a1b1 + a2b2 + anbn =
bn n
ai bi
i=1
Por ejemplo:
(
⎛
⎜
⎜
4, 3, 1, 5, 6 ⎜
⎜
⎜⎝
)
1
2
2
3
1
⎞
⎟
⎟
⎟ = 4 × 1 + 3 × 2 + 1 × 2 + 5 × 3 + 6 × 1 = 33
⎟
⎟⎠
El producto dos matrices A y B es otra matriz C en la que cada elemento se
obtiene multiplicando el vector fila i de la matriz A por el vector columna j de la
matriz B. Para poder multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de A coincida con el número de filas de B:
Ai× j B j × p = Ci× p
Excel realiza el producto de matrices con la función MMULT.
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Inversiones financieras: selección de car teras
EJEMPLO 1.16
Hallar el producto de las siguientes matrices:
⎛
⎛ 1 2 3 4 ⎞
⎜
A= ⎜ 5 6 7 8 ⎟; B = ⎜
⎟
⎜
⎜
⎝ 0 1 4 5 ⎠
⎜⎝
3
8
1
0
5
9
2
7
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
Resolución
Las matrices son de dimensión 3 × 2 y 4 × 2, por lo que la matriz producto es
de dimensión 3 × 2: (3 × 4\) × (4
/ × 2) = (3 × 2). Así, por ejemplo, el elemento c21 es:
c21 =
(
⎛
⎜
5, 6, 7, 8 ⎜
⎜
⎜⎝
)
3
8
1
0
⎞
⎟
⎟ = 5 × 3 + 6 × 8 + 7 × 1 + 8 × 0 = 70
⎟
⎟⎠
En el correspondiente archivo de Soluciones Ejercicios A L 1 tenemos:
Hemos seleccionado un rango de celdas de dimensión igual a la de la matriz
producto (3 filas y 2 columnas), y en el mismo introducimos la función MMULT;
indicamos las matrices a multiplicar y a continuación la secuencia CTRL + MAYÚSCULA + INTRO, obteniéndose la matriz producto.
54
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Conceptos básicos
EJEMPLO 1.17
Calcular:
a) B′A
b) B′CB
c) A′CC
siendo:
⎛
⎜
A=⎜
⎜
⎜⎝
1
2
3
4
⎛ 0,10 ⎞
⎛ 3
⎞
⎟
⎜
⎜ 2
⎟
0,20 ⎟
; C=⎜
⎟; B = ⎜
⎜ 0,30 ⎟
⎜ 1
⎟
⎟
⎜
⎟⎠
⎜⎝ 4
0,
40
⎠
⎝
2
5
0
1
1
0
3
2
4
1
2
7
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
Resolución
a) y b) Calculamos previamente la traspuesta de B y después hacemos las
multiplicaciones. Del correspondiente archivo de Soluciones Ejercicios A L 1 tenemos:
De acuerdo con las dimensiones de las matrices, ambos productos dan como
resultado un número (o escalar) y no una matriz.
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Inversiones financieras: selección de car teras
c)
EJEMPLO 1.18
Calcular:
5
3 4 5 1
6 9 13 9
9 10 2 4
7 11 15 7
4 8 14 16
7
6
5
4
6
Resolución
En el correspondiente archivo de Soluciones Ejercicios A L 1 tenemos:
56
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Conceptos básicos
En Excel seleccionamos un rango de celdas de la misma dimensión que la
matriz A. Introducimos la fórmula 5* (seleccionamos la matriz A) y la secuencia
CTRL + MAYÚSCULA + INTRO, obteniéndose el producto pedido.
Hemos señalado que, dada una matriz cuadrada A, si coincide con su traspuesta, se dice que A es una matriz simétrica. Unas expresiones importantes en la que
aparece una matriz simétrica y un vector X son las formas cuadráticas, que definimos a continuación12.
Supongamos un vector X, distinto de cero, de orden n × 1, y A una matriz
simétrica, de orden n × n:
X =
⎛
x1 ⎜
x2 ⎜
; A= ⎜
⎜
⎜
⎜⎝
xn a12 a1n ⎞
⎟
a22 a2 n ⎟
⎟ ; aij = a ji ; i, j = 1, 2, , n
⎟
⎟
an2 ann ⎟⎠
a11
a21
an1
La forma cuadrática de X asociada a la matriz simétrica A se define por la
expresión:
X ′AX =
n
n
∑ ∑ xi x j aij =
i=1 j =1
n
∑ xi2 aii + 2∑ xi x j aij
i=1
i< j
La expresión anterior es un polinomio homogéneo de segundo grado en las
variables x1, x2, ..., xn.
Dada una matriz cuadrada A de orden n, su inversa es otra matriz A−1, de orden n, tal que el producto de ambas es la matriz identidad de orden n: A × A−1 = I.
Excel calcula la matriz inversa con la función MINVERSA.
EJEMPLO 1.19
Calcular la matriz inversa de la matriz:
⎛ 20 0 40
A = ⎜ 0 40 30
⎜
⎝ 20 0 20
⎞
⎟
⎟
⎠
12
En la lección 3 veremos que la varianza correspondiente a la variable aleatoria representativa
de la rentabilidad de una cartera se expresa mediante una forma cuadrática.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Resolución
En el correspondiente archivo de Soluciones Ejercicios A L 1 tenemos:
Hemos seleccionado un rango de celdas de igual dimensión a la de la matriz
a invertir, e introducimos la función MINVERSA; indicamos la matriz a invertir
y a continuación la secuencia CTRL + MAYÚSCULA + INTRO, obteniéndose
la matriz inversa. Se puede comprobar que al calcular el producto de ambas matrices se obtiene la matriz identidad de orden 3.
Una aplicación importante de la matriz inversa es en la resolución de sistemas
de ecuaciones lineales. En general, un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas adopta la forma:
a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 ⎫
⎪
a21x1 + a22 x2 + + a2 n xn = b2 ⎪
⎬
⎪
⎪
an1x1 + an2 x2 + + ann xn = bn ⎭
Puede expresarse en forma matricial:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜⎝
a11
a21
an1
a12 a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
a22 a2 n ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ b2 ⎟
⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
an2 ann ⎟⎠ ⎜⎝ xn ⎟⎠ ⎜⎝ bn ⎟⎠
Llamando A a la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas, X al
vector columna de incógnitas y B al vector columna de los términos independien-
58
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Conceptos básicos
tes, se verifica: An×n Xn×1 = Bn×1. Si premultiplicamos ambos miembros por la matriz
inversa de los coeficientes, tenemos:
−1
−1
−1
−1
An×n
An×n X n×1 = An×n
Bn×1 ⇒ I n X n×1 = An×n
Bn×1 ⇒ X n×1 = An×n
Bn×1
Por tanto, el vector de incógnitas se obtiene multiplicando la inversa de la
matriz de los coeficientes por el vector de términos independientes.
EJEMPLO 1.20
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
12x + 15y 8z + 4 p 9q + 6k = 63
8x + 5y 12z + 13 p + 12q 12k = 9 4x 12y + 10z 15 p 18q + 13k = 6 10x 13y + 11z 12 p 18q 21k = 19
20x + 26y 12z + 24 p 19q + 23k = 184 x 4y + 12 p 15q + 32k = 104
Resolución
En el correspondiente archivo de Soluciones Ejercicios A L 1 hallamos la matriz inversa de la matriz de coeficientes utilizando la función MINVERSA:
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Inversiones financieras: selección de car teras
A continuación, con la función MMULT, multiplicamos dicha matriz inversa
por el vector de términos independientes, obteniéndose el vector con el conjunto
solución:
x = −1; y = 2; z = 0; p = 3; q = −3; k = 1
EJEMPLO 1.21
Dada la siguiente matriz simétrica incompleta, se pide: a) completarla, y b)
hallar la matriz 10A:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
3
⎟
4 8
⎟
5 9 12
⎟
⎟
6 10 13 15
7 11 14 16 17 ⎟⎠
Resolución
En algunas ocasiones se dispone de una matriz simétrica únicamente con los
términos situados debajo (o encima) de la diagonal principal. Para poder operar
con la matriz es preciso completarla. Así, en el correspondiente archivo de Soluciones, tenemos:
60
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Conceptos básicos
Para completar la matriz dada, la copiamos en una celda cualquiera; después,
pegado especial: valores; operación: ninguna. A continuación, situados en la celda superior izquierda de la matriz anterior, hacemos: pegado especial: valores;
operación: ninguna; saltar blancos; transponer.
ANEXO III: LA HERRAMIENTA SOLVER DE EXCEL
En Excel 2007 se accede a la herramienta SOLVER a través del menú DATOS.
Si no estuviese instalada, se ejecuta la siguiente secuencia: Botón de Office; Opciones de Excel; Complementos; Administrar complementos; Ir. Y, finalmente,
activar la casilla de verificación de Solver.
El problema general que se puede resolver mediante SOLVER es el siguiente: dada una función de varias variables, sometidas las mismas a un conjunto
de restricciones, se desea obtener el valor de tales variables a fin de que la función dada tome un cierto valor (una determinada cuantía, un valor mínimo o uno
máximo).
Mediante los siguientes ejemplos veremos la forma de proceder para utilizar
Solver.
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Inversiones financieras: selección de car teras
EJEMPLO 1.22
Determinar los valores enteros positivos de x, y, p, que maximizan la función:
Z = 4x + 3y + 2p, sujeta a las siguientes restricciones:
5x − 2y + 3 p ≤ 10
3x + 3y − 2 p ≤ 7
−x + 2y − p ≤ 9
Resolución
Es preciso introducir en Excel la expresión matemática de la función a maximizar (función objetivo), así como las expresiones correspondientes a las restricciones:
Accedemos a Solver (menú DATOS):
62
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Conceptos básicos
En la ventana Parámetros de Solver hacemos:
1.
2.
3.
4.
Las restricciones se introducen en Sujetas a las siguientes restricciones.
Para ello se hace clic en Agregar y en la ventana que se abre, Agregar restricción, introducimos en Referencia de la celda la referencia a cada una
de las fórmulas de las restricciones, poniendo en la parte derecha, Restricción, la referencia correspondiente a cada valor de la respectiva restricción. En la parte central elegimos el signo que corresponda al sentido de
cada restricción (≤; ≥; =; int). La condición de número entero es int:
5.
Hacemos clic en Resolver, y una vez Solver ha finalizado su proceso muestra lo siguiente:
13
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En Celda objetivo introducimos la referencia a la celda en la que figura la
expresión matemática o fórmula de la función objetivo13.
Marcamos como Valor de la celda objetivo el que corresponda.
Las referencias a las incógnitas se introducen en Cambiando las celdas.
La celda objetivo siempre ha de contener una fórmula.
63
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Inversiones financieras: selección de car teras
Al hacer clic en Utilizar la solución de Solver, en las celdas correspondientes
se muestran los valores (los de las incógnitas, el de la celda objetivo y los de las
restricciones):
Por tanto, para este ejercicio el valor máximo de la función es 37 con x = 0; y
= 7; p =8, verificándose todas las restricciones.
Estando en Parámetros de Solver, si pulsamos en Opciones se abre una ventana que ofrece diversas posibilidades para elegir en función del problema a resolver:
64
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Conceptos básicos
Así, por ejemplo, si la función objetivo es lineal, se puede activar Adoptar
modelo lineal. También, si las incógnitas han de tomar valores positivos, en lugar de poner dicha restricción podemos activar Adoptar no negativos. En general, se debe utilizar la Estimación Cuadrática, Derivadas Progresivas y Buscar
Newton.
EJEMPLO 1.23
Calcular el valor de las incógnitas que verifican:
20x + 18y + 15 p + 17q + 19k = 1.464
x + y + p + q + k = 82
q + k = 3p
El valor de todas las incógnitas ha de pertenecer al intervalo cerrado de extremos 5 y 25.
Resolución
Implementamos en Excel la expresión matemática de la función objetivo, así
como las expresiones correspondientes a las restricciones:
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65
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Inversiones financieras: selección de car teras
Accedemos a Solver a través del menú DATOS. En la celda objetivo introducimos la referencia a la celda en la que figura la fórmula de la función objetivo,
poniendo el valor que la misma ha de tomar (1.464). Y en cambiando las celdas
ponemos la referencia a las celdas en las que han de figurar los valores de las incógnitas:
A continuación se introducen las correspondientes restricciones. Así, por
ejemplo, para la primera restricción tenemos:
66
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Conceptos básicos
Queda:
Y al hacer clic en Resolver y aceptar los resultados de Solver se llega a la solución:
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Inversiones financieras: selección de car teras
EJEMPLO 1.24
Un pequeño inversor desea adquirir acciones de tres empresas cuyos datos de
precio actual y rentabilidad estimada anual se indican en la siguiente tabla:
Acciones
Precio (€)
Rentabilidad
A1
100
8%
A2
110
7%
A3
105
9%
Las acciones son de similar riesgo y el inversor decide comprar de A1 veinte
títulos más que de A2, y de ésta la mitad que de A3. Si los gastos de adquisición
ascienden al 1,5 % del precio de las acciones, desea conocer cuántos títulos debe
adquirir, en la hipótesis de que la rentabilidad de cada clase de acciones se mantenga en la correspondiente a los datos suministrados, a fin de obtener un rendimiento anual del capital invertido, incluyendo gastos, del 8,099102 %.
Resolución
Antes de introducir las ecuaciones en Excel es preciso realizar el planteamiento del ejercicio. El número, entero y positivo, de acciones a adquirir de cada clase
es, respectivamente, N1, N2, N3. El coste total o capital invertido es:
C = (100N1 + 110N2 + 105N3 ) 1, 015
Los dividendos a percibir anualmente serán:
D = 8% × 100N1 + 7% × 110N2 + 9% × 105N3
En consecuencia, la rentabilidad anual verifica:
r=
D
= 8, 099102%
C
Se han de verificar las siguientes restricciones:
N1 = N2 + 20⎫
⎧N1 − N2 = 20
⎪
⎪
N3 ⎬ ⇒ ⎨
N3
=0
N2 =
⎪
⎪ N2 −
2 ⎭
2
⎩
68
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Conceptos básicos
De la hoja correspondiente al archivo de Soluciones Ejercicios A L 1 tenemos:
Y en Parámetros de Solver:
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69
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Inversiones financieras: selección de car teras
Al resolver se obtiene:
Por tanto, es preciso adquirir 80, 60 y 120 acciones de las respectivas clases.
EJEMPLO 1.25
Un banco dispone de una cuantía de 60 millones de euros para ofrecer préstamos de riesgo alto, medio y bajo, con rendimientos del 14 %, 8 % y 4 % anual,
respectivamente. Se debe dedicar al menos 4 millones a préstamos de riesgo medio, y un mínimo de 8 millones y un máximo de 12 a préstamos de riesgo bajo.
Además, el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razón
de 4 a 5. Determinar cuánto debe dedicarse a cada modalidad de préstamo para
maximizar los rendimientos anuales.
Resolución
La cuantía, en millones de euros, en cada modalidad de préstamo es, respectivamente A, M y B. En consecuencia, los rendimientos anuales, en millones de
euros, son:
R = 14%A + 8%M + 4%B
70
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Conceptos básicos
Como los rendimientos anuales han de ser máximos, es preciso determinar el
valor de A, M y B de tal forma que se haga máxima la expresión anterior de R.
Por ello, al utilizar Solver, la función objetivo es la correspondiente a R debiendo
tomar un valor máximo. Las restricciones son las siguientes:
A ≥ 0; B ≥ 0; C ≥ 0
A + B + C = 60
M ≥ 4; 8 ≤ B ≤ 12
A 4
≤ ⇒ 5A − 4M ≤ 0
M 5
Utilizando Solver se obtiene:
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71
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2
Introducción a la selección
de carteras
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
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Introducción.
Carteras: concepto y clases.
Fases de la selección de carteras.
Análisis de los activos.
Los datos estadísticos para el análisis.
La hipótesis de normalidad de la rentabilidad.
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2.1. INTRODUCCIÓN
Tal y como se ha señalado, la segunda fase en el proceso de Gestión de carteras es el análisis de las carteras, para lo cual es preciso efectuar previamente el
análisis de los activos que nos permita construir diversas carteras y así poder seleccionar, entre todas las posibles, aquella que mejor se adapte a los objetivos y
preferencias del inversor correspondiente. Todo ello se analiza en la Teoría de
selección de carteras.
La Teoría de selección de carteras trata de la selección óptima de carteras de
activos financieros de renta variable (o de combinaciones entre activos de renta
variable y renta fija). Dicha selección es realizada por inversores que actúan racionalmente y con una razonable aversión al riesgo, es decir, por aquellos que
intentan maximizar sus rendimientos para cada nivel de riesgo, o minimizar su
riesgo para cada nivel de rendimiento.
La teoría de selección de carteras nació en el año 1952 con la publicación por
Harry M. Markowitz del trabajo Portfolio Selection. Posteriormente fue desarrollada por el propio autor en 1959, publicando Portfolio Selection: Efficient of diversification of investments, y ha sido ampliada por diversos autores, destacando
de forma fundamental W. F. Sharpe con sus distintos trabajos.
Supongamos que existe un conjunto de n activos financieros de características
dispares (rentabilidad, riesgo y correlación con los demás), con los cuales es posible formar múltiples combinaciones de inversión o carteras. El problema que
trata de resolver la selección de carteras es el de un inversor que dispone de una
cierta cuantía para invertir en tales activos, y desea conocer en cuáles de dichos
activos ha de invertir y cuánto en cada uno, de acuerdo con sus objetivos y preferencias de rentabilidad esperada y riesgo a soportar.
74
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Introducción a la selección de carteras
2.2. CARTERAS: CONCEPTO Y CLASES
Una cartera es una combinación de activos, entrando cada uno de ellos en una
cierta proporción hasta agotar el presupuesto disponible. En una concepción más
amplia, una cartera es un conjunto de activos afectos a una misma titularidad
jurídica o sujetos a una unidad de gestión, tendentes a la consecución de ciertos
objetivos previamente establecidos1.
Existen diversas clases de carteras en función de los activos que las componen
y de los objetivos del inversor. No obstante, las que a nosotros nos interesan son
las carteras de inversiones financieras, en las que se pretende combinar adecuadamente diversos tipos de productos financieros a fin de obtener un resultado deseado, establecido en términos de rentabilidad y riesgo, de acuerdo con las preferencias y objetivos del sujeto inversor correspondiente. Para su construcción se
requiere de una teoría que ayude a establecer la composición óptima de las mismas. Por tanto, vamos a estudiar las carteras de inversiones financieras, y particularmente las inversiones en activos de renta variable (o combinaciones entre
renta variable y renta fija). Son a estas inversiones a las que se hace referencia
cuando se habla de Teoría de carteras o Portfolio Theory.
2.3. FASES DE LA SELECCIÓN DE CARTERAS
De acuerdo con lo expuesto, un inversor que dispone de cierta cuantía para
invertir se enfrenta al problema de determinar la combinación óptima de activos
a adquirir, con el objetivo de maximizar su rentabilidad esperada y minimizar su
riesgo. O, lo que es lo mismo, debe responder a los siguientes interrogantes: ¿en
qué activos concretos invertir y cuánto en cada uno?
La decisión acerca de la combinación óptima de activos a adquirir ha de tomarse respondiendo a las siguientes cuestiones:
a) ¿Cuáles son las características financieras de cada uno de los activos disponibles? Es decir, ¿cuál es su rentabilidad esperada, el riesgo y la covarianza con los demás?
b) ¿Cuáles son las características de cada una de las combinaciones posibles
que se pueden formar? O, lo que es equivalente, ¿cuál es la rentabilidad
esperada y el riesgo probable de cada una de las carteras?
c) ¿Cuál es la cartera o combinación óptima de activos? Por tanto, de entre
las infinitas carteras que se pueden formar, ¿cuál es la que un inversor
concreto, de acuerdo con sus preferencias de rentabilidad-riesgo, debe
elegir?
1
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Borrell et al. (1997: XVII).
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Inversiones financieras: selección de carteras
Lo expuesto conduce a que las etapas o fases de la selección de carteras2 son
las siguientes: análisis de los activos, análisis de las carteras y selección de la cartera óptima.
En la primera fase es preciso determinar la rentabilidad esperada y el riesgo
asociado a cada uno de los activos en los que se puede invertir, así como las covarianzas entre cada par de ellos.
En la fase de análisis de las carteras es necesario determinar el conjunto de
carteras posibles o de oportunidades de inversión, así como, de entre las mismas,
las que tengan el mínimo riesgo para cada nivel de rentabilidad y, simultáneamente, tengan la máxima rentabilidad para cada nivel de riesgo. Tales carteras constituyen, como veremos en la lección 3, las carteras eficientes.
En la tercera fase es necesario especificar las preferencias de cada inversor en
cuanto a la combinación rentabilidad-riesgo, para así, entre el conjunto de carteras eficientes ya determinado, elegir la que se corresponde a sus preferencias o
cartera óptima.
Una vez seleccionada la cartera óptima, es preciso realizar el seguimiento de
su evolución, efectuar su posible reestructuración en función de las nuevas condiciones de mercado, así como llevar a cabo la evaluación de la gestión realizada
por el gestor correspondiente.
2.4. ANÁLISIS DE LOS ACTIVOS
Para formar cualquier cartera, el inversor debe decidir qué activos la componen, y, por tanto, en qué activos invierte y cuánto en cada uno. Por ello es preciso
conocer las características de los mismos, realizando su análisis con el fin de determinar su rentabilidad esperada, su riesgo y las covarianzas con los demás. En
general, cada inversor actúa de acuerdo a las predicciones sobre el resultado futuro de los títulos: rendimiento esperado, riesgo y covarianza con los demás (o
coeficientes de correlación de los tipos de rentabilidad).
De los activos disponibles para invertir, se conoce tanto su rentabilidad histórica como su riesgo pasado, pero se desconoce cuál va a ser su rentabilidad futura y su correspondiente riesgo, los cuales, obviamente, estarán vinculados a los
cambios en los precios de los activos, constituyendo éstos el origen fundamental
del rendimiento y del riesgo. En general, la rentabilidad futura estará influenciada
por múltiples variables (evolución de la empresa emisora del activo, evolución
económica general, etc.), que el inversor no puede determinar de antemano. Por
todo ello, se puede considerar que la rentabilidad futura de cualquier activo financiero va a seguir un proceso estocástico en el tiempo, constituyendo una variable
aleatoria con una determinada distribución de probabilidad.
2
Muchos textos en los que se analiza la Selección de carteras también la denominan Gestión de
carteras o Teoría de carteras.
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Introducción a la selección de carteras
En consecuencia a lo expuesto, desde la perspectiva del análisis de los títulos
cada activo financiero lo podemos caracterizar asociándole una variable aleatoria expresiva de su rentabilidad3. La esperanza matemática (o valor esperado) de
dicha variable proporciona una medida de la rentabilidad esperada, y su desviación estándar da una medida de la dispersión: el riesgo o volatilidad del activo
financiero correspondiente. Por tanto, cada activo financiero i queda definido
por su variable aleatoria rentabilidad, ri, y ésta por su esperanza matemática, Ei,
y su riesgo4, si:
Ai : ri → (Ei , σ i )
Ai ≡ (Ei , σ i )
Podemos asignar a cada activo un punto del plano de coordenadas cartesianas, tomando el riesgo en el eje horizontal y la rentabilidad en el vertical. Así, en
la figura 2.1 se ofrece una representación gráfica de un activo cualquiera:
Ei
Ai
si
Figura 2.1
3
Se acepta que el tanto de rentabilidad de cualquier inversión resume adecuadamente los resultados de la misma. Además, los inversores consideran los distintos tantos de rentabilidad como una
distribución de probabilidad, y las estimaciones del riesgo son proporcionales a la variabilidad de la
rentabilidad prevista.
4
Para aceptar que la variable aleatoria rentabilidad de un título esté perfectamente definida a
través de la media y la varianza (o desviación típica), a lo que se denomina enfoque media-varianza,
se supone que la misma se distribuye según una distribución normal o bien que la función de utilidad
del inversor es cuadrática. La hipótesis de normalidad de la distribución de probabilidad es la más
utilizada en el ámbito de las finanzas para modelizar las variables aleatorias objeto de estudio.
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Inversiones financieras: selección de carteras
Tal y como hemos señalado en la lección anterior, el riesgo de un activo es la
posibilidad de que el rendimiento efectivamente realizado no coincida con el esperado, y el término «más riesgo» significa más dispersión en los resultados realizados en torno al valor esperado.
El riesgo constituye una medida de la dispersión de la rentabilidad de un título, por lo que también podemos definir el riesgo o volatilidad como la dispersión
esperada en los rendimientos. Si la volatilidad es alta, quiere decir que la rentabilidad futura puede variar, alrededor de la media, dentro de un intervalo grande.
Si la volatilidad es baja, significa que el rendimiento futuro se acercará más a la
media o valor esperado. Así, por ejemplo, si de un activo se sabe que Ei = 5 %
anual y que si = 2 % anual, el significado del riesgo es que la rentabilidad futura
fluctuará, en promedio, todos los años en un ±2 %, por lo que se espera que para
un año cualquiera t verifique: 3 % ≤ rt ≤ 7 %.
Según Markowitz, los inversores deben basar sus decisiones de formación de
carteras solamente en rendimientos esperados y en desviaciones típicas, o sea,
considerando la rentabilidad esperada y el riesgo asociado a cada uno de los activos disponibles, teniendo en cuenta, asimismo, las posibles interrelaciones entre
las rentabilidades de tales activos (covarianzas). Además, se considera que los
activos más deseables son los que tienen la máxima rentabilidad esperada para un
determinado riesgo, o bien el mínimo riesgo para una determinada rentabilidad
esperada. Al suponer que los inversores escogen los activos con menor riesgo, se
dice que presentan aversión al riesgo.
En consecuencia, un inversor que desee maximizar su rentabilidad y minimizar el riesgo, de entre dos activos de igual rentabilidad esperada, preferirá el de
menor riesgo; y entre dos activos de igual riesgo preferirá el de mayor rentabilidad
esperada, demandando siempre a mayor riesgo mayor rentabilidad:
Ei = E j ⎫⎪
⎬ ⇒ Ai Aj
σ i < σ j ⎭⎪
Ei < E j ⎫⎪
⎬ ⇒ Aj Ai
σ i = σ j ⎭⎪
Si σ i > σ j ⇒ Ei > E j
Por ejemplo, entre los dos títulos i y j definidos por Ai ≡ (Ei = 7 %; si = 4 %);
Aj ≡ (Ej = 8 %; sj = 4 %), cualquier inversor que actúe racionalmente elegirá el
activo j, por tener mayor rentabilidad e igual riesgo que el i: se dice que el activo j
domina al activo i, o que el activo j es dominante, siendo i el dominado. Entre los
activos h y k definidos por Ah ≡ (Eh = 10 %; sh = 3 %); Ak ≡ (Ek = 10 %; sk = 5 %),
cualquier inversor con aversión al riesgo y que decida racionalmente elegirá el
activo h, pues tiene la misma rentabilidad que el k pero menor riesgo: el activo h
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Introducción a la selección de carteras
domina al k. A un inversor sin aversión al riesgo le serán indiferentes los activos
h y k. ¿Y entre los activos h y j, cuál es el dominante? El activo h domina al j, pues
tiene mayor rentabilidad y menor riesgo. Todo ello puede verse en la siguiente
figura:
E
10 %
Ah
Ak
Aj
8%
Ai
7%
3%
4%
5%
s
Figura 2.2
Y en el caso más general de distinta rentabilidad esperada y distinto riesgo,
un inversor elegirá en función de sus preferencias en cuanto a la combinación
rentabilidad-riesgo.
EJEMPLO 2.1
Indicar el orden de elección entre los siguientes activos:
Activos
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Rentabilidad esperada
Riesgo
A
6%
2%
B
11 %
7%
C
9%
5%
D
7%
2%
E
9%
4%
F
10 %
6%
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Inversiones financieras: selección de carteras
Resolución
El siguiente gráfico muestra la representación de los activos:
E
B
11 %
F
10 %
E
9%
7%
6%
C
D
A
2%
4%
5% 6% 7%
s
Para cualquier inversor con aversión al riesgo y que actúe racionalmente tenemos: el activo D es preferido al A, pues ambos son del mismo riesgo y el D tiene
mayor rentabilidad; por tanto, el activo D domina al A; el E es preferido al C, pues
ambos tienen la misma rentabilidad pero el E tiene menor riesgo; así pues, el título C es dominado por el E. Entre los activos D, E, F y B, cada inversor elegirá en
función de sus preferencias en cuanto a rentabilidad-riesgo.
En el caso particular en el que un inversor tuviese que optar por uno solo de
entre dos títulos, y no se dispusiese de ninguna otra información (distribución de
probabilidad de la rentabilidad de los activos, preferencias del inversor, etc.), se
puede elegir en función del coeficiente de variación o coeficiente de riesgo, que es
el cociente entre el riesgo y la rentabilidad esperada. Se elegiría el título de menor
coeficiente de variación.
El coeficiente de variación de un activo i es:
CVi =
80
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i
Ei
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Introducción a la selección de carteras
El coeficiente de variación indica el riesgo por unidad de rentabilidad5. También se le suele denominar volatilidad relativa, siendo la desviación típica la volatilidad absoluta.
EJEMPLO 2.2
Dos activos financieros están definidos por los siguientes valores de rentabilidad esperada y riesgo, ambos en términos anuales:
E j = 10%
Ei = 8%
Ai ; Aj i = 4%
j = 6%
En la hipótesis de no disponer de ninguna otra información, indicar cuál es el
activo preferido de acuerdo con el coeficiente de variación.
Resolución
De acuerdo con los datos, siendo positivas ambas rentabilidades esperadas,
tenemos:
CVi =
6%
i 4%
=
= 0,5; CV j = j =
= 0,6; Ai Aj
Ei 8%
E j 10%
EJEMPLO 2.3
Tres activos financieros están definidos por los siguientes valores de rentabilidad esperada y riesgo, ambos en términos anuales:
E1 = 4%
E2 = 7%
E3 = 5%
A1 ; A2 A3 1 = 3%
2 = 4%
3 = 3%
En la hipótesis de no disponer de ninguna otra información, indicar cuál es el
activo preferido de acuerdo con el coeficiente de riesgo.
Resolución
De acuerdo con los datos, el activo 3 es preferido al 1, pues ambos tienen el
mismo riesgo y la rentabilidad del 3 supera a la del 1: A3 ≻ A1. Entre el activo 3
y el 2 tenemos:
CV3 =
5
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3%
4%
= 0,60; CV2 =
= 0,57 ⇒ A2 A3 A1
5%
7%
Este coeficiente sólo tiene sentido para Ei > 0.
81
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Inversiones financieras: selección de carteras
2.5. LOS DATOS ESTADÍSTICOS PARA EL ANÁLISIS
De acuerdo con lo expuesto, a cada activo financiero le asociamos una variable aleatoria ri, expresiva de su rentabilidad, de la que nos interesa conocer:
— Su valor medio (valor más probable, valor esperado o rentabilidad esperada): E(ri) = Ei (esperanza matemática de la variable aleatoria ri o variable
aleatoria rentabilidad del título i).
— Su riesgo o volatilidad: si (desviación típica de la variable aleatoria rentabilidad del título i).
— Su covarianza con respecto a los demás títulos con los que se puede formar
una cartera: sij (covarianza de las variables aleatorias rentabilidad del título i y rentabilidad del título j).
Por tanto, de una forma general, podemos caracterizar a cada activo por su esperanza matemática, su desviación típica y su covarianza con respecto a los restantes:
Ai (Ei , i , i1, i 2 , …, in )
Si podemos optar entre n activos para formar una cartera, cada uno constituye, pues, un vector de (n + 1) componentes, o sea, la rentabilidad esperada y el
riesgo del activo y las (n − 1) covarianzas con los restantes.
Los datos anteriores, correspondientes a los n activos disponibles, los podemos expresar en forma matricial. Tenemos así el vector de rentabilidades esperadas
E y la matriz de varianzas-covarianzas S:
E=
E1 E2 ;
En 11 12
21 22
S= n1 n2
1n 2n nn El vector de rentabilidades esperadas tiene n términos; la diagonal principal
de la matriz S consta de n varianzas, por lo que el número de covarianzas es
n2 − n. Ahora bien, como la matriz es simétrica, pues sij = sji, ∀i, j, el número de
n2 − n
covarianzas distintas es
. En consecuencia, el número total de datos que es
2
preciso obtener es:
n+n+
82
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n2 n n (n + 3)
=
2
2
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Introducción a la selección de carteras
De acuerdo con lo anterior, surge de forma inmediata la pregunta: ¿cómo
pueden obtenerse los datos? En consecuencia, el problema es cómo calcular la
rentabilidad esperada y el riesgo correspondiente de los diversos títulos, así
como las distintas covarianzas. En otras palabras, ¿cómo se puede hacer una
estimación razonable de cuál va a ser la rentabilidad, el riesgo y la covarianza
de cada título el año que viene o durante los próximos tres años o durante un
cierto período? La pregunta admite múltiples respuestas. En tal sentido, recordemos que Sharpe6 señala que «el análisis de los títulos es un arte. Implica predecir en el futuro las perspectivas de los títulos». No obstante, podemos señalar
algunos métodos7, recomendándose, en general, que los datos sean estimados
de forma independiente por dos o más métodos. Una vez efectuadas las estimaciones, los analistas correspondientes se reunirán para compararlas, discutirlas,
ajustarlas y concluir con la que consideran más adecuada para el análisis de las
carteras.
2.5.1. Estimación con datos históricos
La forma más sencilla de obtener las estimaciones de rentabilidad, riesgo y
covarianzas es en función de los datos históricos. Así, si se dispone de datos históricos exactos y se espera que las condiciones futuras se asemejen a las existentes
en el intervalo temporal al que corresponden tales datos, pueden obtenerse de los
mismos buenas estimaciones para el futuro. Ello supone aceptar que las expectativas de rentabilidad se identifican con la media muestral histórica, y el riesgo con
la cuasivarianza. Los datos necesarios para su obtención son las cotizaciones
históricas de cada activo8.
La matriz de cotizaciones históricas durante T períodos de n activos es:
Tiempo
1
2
T
Activo 1 Activo 2 Activo 3 … Activo n
C11
C21
C12
C22
C13
C23
…
…
C1n
C2 n
CT 1
CT 2
CT 3
…
…
CTn
6
Sharpe (1974: 50).
Puede verse Francis, J. C. y Archer, S. H (1977: 55).
8
Normalmente, las bases de datos de series históricas tienen las cotizaciones ajustadas por
dividendos, por ampliaciones gratuitas de capital, por splits, etc. Por ello decimos que sólo son
necesarias las cotizaciones históricas.
7
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83
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Inversiones financieras: selección de carteras
A partir de la matriz anterior se obtiene la matriz de rentabilidades:
rT ×n
⎛
⎜
=⎜
⎜
⎜
⎝
r11
r21
r12
r22
r13
r23
rT 1 rT 2
rT 3
… r1n ⎞
⎟
… r2 n ⎟
… ⎟
⎟
… rTn ⎠
De la matriz anterior, al realizar las estimaciones oportunas obtenemos el
vector de rentabilidades esperadas, E, y la matriz de varianzas-covarianzas S.
Una vez obtenidos E y S, puede resultar adecuado ajustar, de forma subjetiva,
los valores correspondientes a algunos activos. Así, alguna empresa puede haberse introducido en nuevos mercados, o abandonado otros, o haber introducido un
importante cambio tecnológico en su proceso productivo, etc. Tales circunstancias, y cualesquiera otras que se espere alteren las estimaciones históricas, pueden
hacer necesario modificar los valores de rentabilidad, riesgo y covarianzas estimados en función de los datos históricos.
EJEMPLO 2.4
Se dispone de las cotizaciones históricas mensuales de cinco activos que figuran en el archivo correspondiente de Datos. Estimar la rentabilidad media simple
esperada de cada activo, su riesgo, la matriz de varianzas-covarianzas y los coeficientes de correlación lineal.
Resolución
En el correspondiente archivo de Soluciones calculamos la rentabilidad simple
mes a mes de cada activo. Con la función PROMEDIO determinamos la rentabilidad media mensual de cada uno, y con la función DESVEST estimamos el riesgo9.
El vector de rentabilidades esperadas es:
9
Recordemos que tanto la media como la cuasidesviación típica (obtenida con la función
DESVEST) son estimadores insesgados de la media y de la desviación típica poblacional,
respectivamente. Por tanto, son las medidas adecuadas cuando la rentabilidad y el riesgo,
respectivamente, se obtienen a partir de una muestra.
84
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Introducción a la selección de carteras
Para calcular la matriz de varianzas-covarianzas copiamos los datos de rentabilidad en otra hoja, para lo que hacemos: seleccionamos el rango de celdas con
las rentabilidades del activo 1; copiar; con la tecla Ctrl pulsada seleccionamos las
otras columnas de rentabilidad; copiar, y pegar en la nueva hoja.
La matriz de varianzas-covarianzas se obtiene a través de la siguiente secuencia: DATOS, ANÁLISIS DE DATOS, COVARIANZA:
Con los datos del ejemplo, queda:
Para completar la matriz obtenida, copiamos sus datos numéricos en una celda cualquiera; pegado especial: valores; operación: ninguna. A continuación, situados en la celda superior izquierda de la matriz anterior, hacemos: pegado especial valores; operación: ninguna; saltar blancos; transponer:
Como disponemos de una muestra de 21 rentabilidades mensuales de cada
activo, para obtener una estimación de la matriz de varianzas-covarianzas es pre21
T
=
ciso multiplicar la matriz anterior por el cociente
. Para ello seleccioT − 1 20
namos un rango de celdas de la misma dimensión que la matriz e introducimos la
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85
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Inversiones financieras: selección de carteras
21
* (seleccionamos la matriz anterior) y la secuencia CTRL + MA20
YÚSCULA + INTRO, obteniéndose el producto pedido:
fórmula
El riesgo de cada título se puede obtener al calcular la raíz cuadrada de cada
uno de los elementos de la diagonal principal10:
La matriz de coeficientes de correlación lineal entre las rentabilidades se obtiene a través de la siguiente secuencia: DATOS, ANÁLISIS DE DATOS, COEFICIENTE DE CORRELACIÓN:
10
O bien con la función DESVEST. Las pequeñísimas diferencias en los resultados se deben a
los redondeos efectuados.
86
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Introducción a la selección de carteras
Se obtiene:
EJEMPLO 2.5
Se dispone de las cotizaciones históricas mensuales que figuran en el correspondiente archivo de Datos. Estimar:
a) El vector de rentabilidades instantáneas esperadas, la matriz de varianzascovarianzas, el riesgo de cada activo y los coeficientes de correlación.
b) Iguales parámetros, pero anualizados.
Resolución
a) En el correspondiente archivo de Soluciones calculamos la rentabilidad
logarítmica de cada mes. Con la función PROMEDIO determinamos la rentabilidad media mensual de cada uno (rentabilidad esperada), y con la función
DESVEST estimamos el riesgo. El vector de rentabilidades esperadas mensuales es:
De igual forma a lo señalado en el ejemplo anterior, creamos una nueva hoja
en la que calculamos la matriz de varianzas-covarianzas mensuales a través de la
secuencia: DATOS, ANÁLISIS DE DATOS, COVARIANZA, obteniéndose, una
vez completada la matriz y multiplicada por el cociente 11/10:
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Inversiones financieras: selección de carteras
El riesgo de cada título se puede obtener al calcular la raíz cuadrada de cada
uno de los elementos de la diagonal principal:
Los coeficientes de correlación lineal son:
b) Para anualizar la rentabilidad esperada y la matriz de varianzas-covarianzas, consideramos que la variable aleatoria rentabilidad anual de cada activo es la suma de las doce variables aleatorias de rentabilidad mensual de dicho
activo, las cuales son independientes y están idénticamente distribuidas11. La
11
88
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Puede verse, por ejemplo, Benninga, S. (1998: 82) y Jorion, P. (1999: 103).
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Introducción a la selección de carteras
independencia implica que los rendimientos de un activo no están correlacionados en intervalos sucesivos de tiempo12, y que su correlación con los rendimientos de otros activos es sólo posible en períodos iguales; por ejemplo, la
rentabilidad del mes 3 del activo i puede estar correlacionada con la rentabilidad del mes 3 del activo j, pero no con la del mes 8. Todo ello es perfectamente consistente con los mercados eficientes, en los que el precio actual de un activo incluye toda la información relevante sobre el mismo, por lo que los
precios siguen un camino aleatorio. Y si los rendimientos mensuales de un activo están idénticamente distribuidos en el tiempo, la esperanza matemática (y la
varianza) de la variable aleatoria rentabilidad de dicho activo en un mes es
igual a la esperanza matemática (y a la varianza) de la variable aleatoria rentabilidad en otro mes cualquiera13. Además, al ser variables aleatorias de rentabilidad mensual independientes, la varianza de la variable aleatoria suma es
la suma de las varianzas de las variables sumandos14. Por tanto, la rentabilidad anualizada es el producto de 12 por la esperanza de rentabilidad mensual, y la varianza anualizada también es el producto de 12 por la varianza
mensual15.
De acuerdo con lo expuesto, en el archivo correspondiente de Soluciones tenemos el vector de rentabilidades esperadas mensuales y el de rentabilidades esperadas anuales:
12
Por tanto: cov(rit − 1, rit) = 0.
Por ello, E(rit − 1) = E(rit) y s2(rit − 1) = s2(rit).
14
Recordemos que si una variable aleatoria es suma de otras, X = X1 + X2 + ... + Xn, se verifica:
E(X) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn). Y si las variables sumandos son independientes, tenemos: s2(X) =
= s12(X1) + s22(X2) + ... + sn2(Xn).
15
Observación: Indicamos que la variable aleatoria rentabilidad anual es la suma de las doce
variables aleatorias representativas de la rentabilidad mensual, y no que es el producto de la constante
12 por la variable aleatoria de rentabilidad mensual. Tal diferenciación no afecta a la esperanza
matemática de la variable anual, pero sí a la varianza, pues la varianza de una constante por una
variable aleatoria es el producto del cuadrado de la constante por la varianza de la variable, y esa
expresión no coincide con la de la suma de doce varianzas, que es la que utilizamos.
13
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Inversiones financieras: selección de carteras
Las matrices de varianzas-covarianzas son:
2.5.2. Previsión subjetiva
Consiste en establecer pronósticos que permitan obtener distribuciones
subjetivas de probabilidad de los dividendos que percibirán los títulos, de sus
cotizaciones futuras o de las rentabilidades esperadas. Para ello, las variables
anteriores se relacionan con la evolución económica futura (o escenarios), elaborándose una lista de situaciones de la economía, el valor en cada situación de
las variables anteriores y las probabilidades correspondientes. Así, para cada
activo y un determinado período, es preciso rellenar, por ejemplo, el cuadro siguiente, representativo de cuatro posibles estados de la economía (o cuatro escenarios):
Situación previsible
de la economía
Rentabilidad del activo
Probabilidad
Recesión
r1
p1
Crecimiento cero
r2
p2
Crecimiento lento
r3
p3
Auge
r4
p4
A partir de la distribución subjetiva anterior se obtiene la rentabilidad esperada, el riesgo y la covarianza. En general, para dos activos y h escenarios, tenemos:
90
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Introducción a la selección de carteras
Ei = ri =
h
rsi ps ;
E j = rj =
s=1
i2 =
2
(rsi ri )
h
ps ; 2j =
s=1
ij =
h
rsj ps
s=1
2
(rsj rj )
h
ps
s=1
(rsi ri ) (rsj rj ) ps
h
s=1
EJEMPLO 2.6
Cierto asesor de inversiones estima para los siguientes escenarios las rentabilidades de un activo financiero en el próximo semestre:
Escenario
Rentabilidad
Probabilidad
Optimista
6%
0,30
Normal
3%
0,50
−2 %
0,20
Pesimista
Determinar la rentabilidad esperada semestral, la volatilidad absoluta y la
volatilidad relativa.
Resolución
En la correspondiente hoja de Excel del archivo de Soluciones implementamos
las fórmulas correspondientes, obteniéndose:
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Inversiones financieras: selección de carteras
EJEMPLO 2.7
Cierto inversor contempla los siguientes escenarios en cuanto a la situación
económica y a la rentabilidad de dos activos:
Situación previsible
de la economía
Probabilidad
de cada situación
Rentabilidad Activo 1
Rentabilidad Activo 2
Pésima
0,20
−0,04
−0,10
Mala
0,15
0,05
0,15
Normal
0,35
0,10
0,20
Buena
0,20
0,15
0,25
Excelente
0,10
0,20
0,30
Determinar la rentabilidad esperada, el riesgo de cada activo, el coeficiente de
correlación lineal y la volatilidad relativa.
Resolución
De acuerdo con los cálculos efectuados en el archivo correspondiente de Soluciones, para la rentabilidad tenemos:
92
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Introducción a la selección de carteras
Para el resto de lo pedido es:
EJEMPLO 2.8
Para dos activos se dispone de las cotizaciones históricas mensuales y de las
previsiones subjetivas que figuran en el correspondiente archivo de Datos. Estimar, tanto para los datos históricos como para las previsiones subjetivas, el vector
de rentabilidades simples y la matriz de varianzas-covarianzas.
Resolución
Se pueden realizar dos tipos de estimaciones: una en función de los datos históricos, y otra de acuerdo con las expectativas de rentabilidad según los escenarios
previstos. En el archivo correspondiente de Soluciones tenemos, para los datos
históricos:
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Para la matriz de varianzas-covarianzas se verifica:
94
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Introducción a la selección de carteras
De acuerdo con los distintos escenarios, se tiene:
En síntesis:
EJEMPLO 2.9
Una acción cotiza al final de un año a 50 €. Se dispone de las siguientes expectativas en cuanto a los dividendos y cotizaciones finales del siguiente año:
— Dividendos de 4 € con probabilidad del 30 % y cotización final de 48 € con
probabilidad de 1/3. O bien, los mismos dividendos y cotización final de
55 € con probabilidad de 2/3.
— Dividendos de 5 € con probabilidad del 40 % y cotización final cierta de
60 €.
— Dividendos de 6 € con probabilidad del 30 % y cotización final de 65 € con
probabilidad de 2/3. O bien, los mismos dividendos y cotización final de
72 € con probabilidad de 1/3.
— Establecer la distribución de probabilidad de la rentabilidad y calcular la
rentabilidad esperada y el riesgo.
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Inversiones financieras: selección de carteras
Resolución
Con unos dividendos de 4 € (probabilidad: 30 %) y cotización final de 48 €
48 + 4
(probabilidad: 1/3), la rentabilidad será: r1 =
− 1 = 4%, con probabilidad16:
50
1
p1 = 30% × = 10% .
3
Con los mismos dividendos y cotización final de 55 € (probabilidad: 2/3), la
55 + 4
2
rentabilidad será: r2 =
− 1 = 18%, con probabilidad: p2 = 30% × = 20% .
50
3
Con unos dividendos de 5 € (probabilidad: 40 %) y cotización final cierta de
60 + 5
60 €, la rentabilidad será: r3 =
− 1 = 30%, con probabilidad: p3 = 40 % × 1 =
50
= 40 %.
Con unos dividendos de 6 € (probabilidad: 30 %) y cotización final de 65 €
65 + 6
(probabilidad: 2/3), la rentabilidad será: r4 =
− 1 = 42%, con probabilidad:
50
2
p4 = 30% × = 20% .
3
Con los mismos dividendos y cotización final de 72 € (probabilidad: 1/3), la
72 + 6
1
rentabilidad será: r5 =
− 1 = 56%, con probabilidad: p5 = 30% × = 10% .
50
3
Por tanto, la distribución subjetiva de probabilidad de la rentabilidad anual
del activo es:
Escenario
Rentabilidad
Probabilidad
1
4%
10 %
2
18 %
20 %
3
30 %
40 %
4
42 %
20 %
5
56 %
10 %
Total: 100 %
16
Se acepta que el reparto de dividendos y las cotizaciones finales son sucesos independientes.
Por ello se puede calcular la probabilidad del suceso intersección como producto de las dos
probabilidades.
96
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Introducción a la selección de carteras
La rentabilidad anual esperada es:
h
rsi ps = 4% 10% + 18% 20% + 30% 40% + 42% Ei =
s=1
20% + 56% 10% = 30%
La varianza es:
i2 =
(r
h
si
2
)
ri ps = (4% 30%) 10% + (18% 30%) 20% +
s=1
2
2
+ (30% 30%) 40% + (42% 30%) 20% + (56% 30%) 10% = 0, 019280
2
2
2
El riesgo anual es:
i = 0, 019280 = 13,8852%
EJEMPLO 2.10
El precio actual de una acción es 50 €. Para el precio futuro se dispone de la
siguiente información:
Situación de la economía
Precio
Probabilidad
Recesión
40
0,10
Normal
55
0,80
Expansión
60
0,10
Determinar la rentabilidad esperada y el riesgo.
Resolución
En cada situación, la rentabilidad y la probabilidad son:
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r1 =
40 − 50
= −20%; p1 = 10%
50
r2 =
55 − 50
= 10%; p2 = 80%
50
r3 =
60 − 50
= 20%; p3 = 10%
50
97
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Inversiones financieras: selección de carteras
Por tanto, la rentabilidad esperada es:
E (r) = −20% × 10% + 10% × 80% + 20% × 10% = 8%
También podemos obtener el precio futuro esperado, y a partir del mismo
calcular la rentabilidad esperada:
E (C1) = 40 × 10% + 55 × 80% + 60 × 10% = 54
E (r) =
54 − 50
= 8%
50
Para el riesgo tenemos:
2 (r) = (0,20 0, 08) 10% + (0,10 0, 08) 80% + (0,20 0, 08) 10% =
2
2
2
= 9,6 10 3 (r) = 9,80%
2.5.3. Otros métodos de estimación
a) Utilizar el análisis fundamental, basado en el análisis económico-financiero de cada empresa, complementado con el estudio de las variables
macroeconómicas y sectoriales. De esta forma es posible pronosticar los
dividendos futuros, y a través del modelo de descuento de dividendos podemos determinar el rendimiento implícito, el cual puede tomarse como
una buena estimación del rendimiento esperado.
b) Utilizar el análisis técnico para predecir el comportamiento futuro y los
movimientos de los precios bursátiles de cada activo.
c) A través del análisis macroeconómico, consistente en la previsión de las
principales variables económicas del país y en la relación que éstas tienen
con la bolsa. A partir de aquí es posible obtener una estimación de la
rentabilidad y riesgo esperado de cada tipo de activo.
d) Utilizar los modelos de valoración de activos para calcular la rentabilidad
y el riesgo esperados de cada acción.
e) De acuerdo con modelos econométricos de predicción, utilizando el modelo de regresión lineal simple o bien otros modelos más complejos que
permitan obtener estimaciones de la rentabilidad y el riesgo.
2.6. LA HIPÓTESIS DE NORMALIDAD DE LA RENTABILIDAD
Tal y como hemos señalado, la rentabilidad de un activo financiero puede ser
considerada como una variable aleatoria, a la cual hemos caracterizado por su
98
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Introducción a la selección de carteras
media y su desviación típica, de acuerdo con lo que señala Markowitz en cuanto
a que los inversores deben basar sus decisiones para la formación de carteras únicamente en esos dos parámetros.
Aunque el modelo de Markowitz no especifica la distribución de probabilidad de la rentabilidad de los activos, sabemos que para que dicha variable esté
perfectamente definida por su media y su desviación típica, la misma ha de distribuirse según una normal, o bien que la función de utilidad del inversor sea
cuadrática.
El hecho de que la distribución normal quede caracterizada por su media y su
desviación típica presenta ventajas frente a otras distribuciones que precisan otros
parámetros. Así, teniendo únicamente una estimación de la rentabilidad esperada
de un activo y de su riesgo, es posible determinar la probabilidad de que la rentabilidad supere a un determinado valor, o esté en un cierto intervalo, o bien sea
inferior a un determinado valor.
En consecuencia a lo expuesto, aceptamos que la variable aleatoria rentabilidad de un activo i sigue una distribución normal de media Ei y desviación típica
si, ri → N(Ei, si), por lo que es una variable aleatoria continua.
Recordemos17 que para cualquier distribución de probabilidad de una variable
aleatoria ri, la función de distribución o función de distribución acumulada proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores iguales o inferiores a un número real x:
F (x) = P (ri ≤ x)
Además, se verifica:
P (a ≤ ri ≤ b) = P (ri ≤ b) − P (ri ≤ a) = F (b) − F (a)
Para variables aleatorias continuas, las siguientes expresiones son idénticas:
P (a ≤ ri ≤ b) = P (a ≤ ri < b) = P (a < ri ≤ b) = P (a < ri < b)
En relación con la distribución normal, es sabido que cuando su media es cero
y su desviación típica uno, se llama distribución normal reducida, estandarizada
o tipificada, N(0,1). Si Z es una variable aleatoria que se distribuye como una
normal tipificada, existen tablas18 que nos dan las probabilidades P(Z ≤ k) siendo
k ≥ 0. Y como la curva es simétrica, fácilmente se calculan las probabilidades
cuando k < 0.
17
La síntesis que exponemos en los párrafos siguientes puede ampliarse en cualquier manual de
Estadística.
18
También con la función DISTR.NORM.ESTAND de Excel.
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Inversiones financieras: selección de carteras
En el caso de una variable aleatoria con una distribución normal general,
ri → N(Ei, si), para calcular probabilidades es preciso tipificarla, obteniendo otra
variable, r*, tal que r* → N(0,1). La variable aleatoria tipificada verifica:
r* =
ri Ei
i
Para calcular P(ri ≤ k), restamos Ei a ambos miembros de la desigualdad y
dividimos entre si, obteniéndose:
r Ei k Ei P (ri k) = P i
i i
Por tanto:
k Ei P (ri k) = P r* i En general:
b Ei a Ei P (a < ri < b) = F (b) F (a) = P r* P r* i i EJEMPLO 2.11
Para la rentabilidad de determinadas acciones se dispone de una estimación
según la cual el valor medio será del 8 % anual, con un riesgo del 4 %. Considerando que la rentabilidad sigue una distribución normal, determinar:
a) Probabilidad de que la rentabilidad sea inferior al 7 %.
b) Probabilidad de que la rentabilidad sea superior al 12 % anual.
c) Probabilidad de que la rentabilidad pertenezca al intervalo [5 %, 13 %].
Resolución
a) De acuerdo con los datos, la variable aleatoria rentabilidad es: ri → N(Ei =
= 8 %, si = 4 %). La probabilidad pedida verifica:
7% Ei 7% 8% *
P (ri < 7%) = P r* <
= P r* <
= P (r < 0,25)
i 4% 100
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Introducción a la selección de carteras
Pero al ser la curva normal (0, 1) simétrica, queda:
P (r* < 0,25) = P (r* > 0,25) = 1 P (r* < 0,25) = 1 0,5987 = 40,13%
También podemos obtener directamente la probabilidad pedida con la función DISTR.NORM de Excel:
b) La probabilidad pedida verifica:
12% 8% P (ri > 12%) = 1 P (ri < 12%) = 1 P r* <
=
4% = 1 P (r* < 1) = 1 0,8413 = 15,87%
A idéntico resultado se llega con Excel:
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101
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Inversiones financieras: selección de carteras
c) La probabilidad pedida es:
13% 8% * 5% 8% P (5% < ri < 13%) = F (13%) F (5%) = P r* <
P r <
=
4% 4% = P (r* < 1,25) P (r* < 0,75) = P (r* < 1,25) 1 P (r* < 0,75) =
= 0,8944 1 + 0,7734 = 66,78%
O bien en Excel:
EJEMPLO 2.12
Para determinado activo se acepta la hipótesis de que su rentabilidad tiene una
distribución normal. Se sabe que la probabilidad de que la rentabilidad sea superior a la media en 5 puntos porcentuales es del 15,87 %. Calcular la probabilidad
de que la rentabilidad sea inferior a la media en 2 puntos porcentuales.
Resolución
Se verifica:
P (ri > Ei + 5%) = 1 P (ri < Ei + 5%) = 0,1587 E + 5% Ei 5% P (ri < Ei + 5%) = 0,8413 = P r* < i
= P r* <
i
i De la tabla de N(0,1) se deduce:
5%
= 1 i = 5%
i
102
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Introducción a la selección de carteras
También en Excel, con la función DISTR.NORM.ESTAND.INV, se puede
5%
determinar el valor de
, obteniéndose:
i
Para la probabilidad pedida tenemos:
E 2% Ei * 2% P (ri < Ei 2%) = P r* < i
= P r <
=
5%
5% = P (r* < 0, 40) = 1 P (r* < 0, 40) = 34, 46%
EJEMPLO 2.13
Un inversor realiza las siguientes estimaciones subjetivas en cuanto a la situación económica y a la rentabilidad de un título:
Situación de la economía
Probabilidad
Rentabilidad
Pésima
20 %
−5 %
Mala
10 %
4%
Normal
40 %
15 %
Buena
20 %
20 %
Excelente
10 %
25 %
En la hipótesis de que la rentabilidad siga una distribución normal, calcular
la probabilidad de que la misma sea superior al 20 %.
Resolución
De acuerdo con los datos, podemos calcular la rentabilidad esperada y el riesgo. Del archivo correspondiente de Soluciones obtenemos:
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103
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Inversiones financieras: selección de carteras
La probabilidad pedida verifica19:
20% − 11,90% ⎞
⎛
P (ri > 20%) = 1 − P (ri < 20%) = 1 − P ⎜ r* <
⎟⎠ = 1 − 0,7939 = 20,61%
⎝
9,87%
EJEMPLO 2.14
Calcular la probabilidad de que la rentabilidad de un activo difiera de la media, en valor absoluto, una cuantía menor a dos veces el riesgo, suponiendo que
se distribuye como una normal.
Resolución
Se pide determinar:
p = P ( ri Ei < 2 i )
19
En Excel se obtiene una probabilidad del 20,59 %, pues el programa toma 15 decimales para
calcular P(ri < 20 %), como puede comprobarse en el archivo correspondiente de Soluciones.
104
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Introducción a la selección de carteras
Se verifica:
ri Ei < 2 i 2 i < ri Ei < 2 p = P (2 i < ri Ei < 2 i ) = P (Ei 2 i < ri < Ei + 2 i ) =
E + 2 i Ei
= P (ri < Ei + 2 i ) P (ri < Ei 2 i ) = P r* < i
i
E 2 i Ei
P r* < i
= P (r* < 2) P (r* < 2) = P (r* < 2) i
1 P (r* < 2) = 2P (r* < 2) 1 = 2 0,9772 1 = 95, 44%
También, recordando la desigualdad de Chebyshev20, válida para cualquier
distribución:
p = P ( ri Ei k i ) 1 1
k2
Con nuestros datos se verifica:
p = P ( ri Ei 2 i ) 1 1
p = P ( ri Ei 2 i ) 75%
4
En efecto, el 95,44 % es superior al 75 %.
EJEMPLO 2.15
Para un determinado activo financiero se tiene una estimación según la cual
el rendimiento esperado será del 8 % anual y el riesgo del 2 %. Si se considera que
la rentabilidad sigue una distribución normal, indicar el intervalo [Ei – ksi, Ei +
+ ksi] en el que estará comprendida la rentabilidad, con una probabilidad:
a) Del 89,68 %.
b) Del 30 %.
c) Del 68 %, 95 % o del 99 %.
20
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Puede consultarse en cualquier texto de Estadística Matemática.
105
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Inversiones financieras: selección de carteras
Resolución
Tenemos:
p = P (Ei k i < ri < Ei + k i ) = P (ri < Ei + k i ) P (ri < Ei k i ) =
E + k i Ei E k i Ei = P r* < i
P r* < i
= P (r* < k) P (r* < k) =
i
i
= P (r* < k) 1 P (r* < k) = 2P (r* < k) 1 P (r* < k) =
p+1
2
a) Haciendo p = 89,68 % en la ecuación P (r* < k) = p + 1 , se deduce:
2
p(r* < k) = 0,9484, y con la función DISTR.NORM.ESTAND.INV, se
obtiene: k = 1,6295. En consecuencia, el intervalo [Ei – ksi, Ei – ksi] es:
[4,7410 %, 11,2590 %]. Por tanto, la rentabilidad tomará un valor superior
al 4,7410 % e inferior al 11,2590 %, con una probabilidad del 89,68 %.
Además, los valores de la rentabilidad fuera de dicho intervalo tienen una
probabilidad del 10,32 %, por lo que la rentabilidad tomará un valor inferior al 4,7410 % o superior al 11,2590 %, con una probabilidad del
10,32%
= 5,16% .
2
b) Haciendo p = 30 % se deduce: P(r* < k) = 0,65 ⇒ k = 0,3853. El intervalo pedido es: [7,2294 %, 8,7706 %]. Además, la rentabilidad será inferior al
7,2294 % o superior al 8,7706 %, con una probabilidad del 35 %.
c) Sustituyendo en la expresión P (r* < k) = p + 1 , y con la función DISTR.
2
NORM.ESTAND.INV, se deduce:
p = 68% ⇒ P (r* < k) = 0,84 ⇒ k ≅ 1
p = 95% ⇒ P (r* < k) = 0,9750 ⇒ k ≅ 2
p = 99% ⇒ P (r* < k) = 0,9950 ⇒ k ≅ 3
Los intervalos son, respectivamente: [6 %, 10 %]; [4 %, 12 %]; [2 %, 14 %], por
lo que, por ejemplo, la rentabilidad estará fuera del intervalo [4 %, 12 %], con una
probabilidad aproximada del 5 %: valores de la rentabilidad inferiores al 4 % o
superiores al 12 %, con una probabilidad aproximada del 2,5 %.
106
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3
Modelo de selección de carteras
de Markowitz
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
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Hipótesis.
La rentabilidad esperada de las carteras.
El riesgo de las carteras.
La diversificación del riesgo.
Carteras de menor varianza.
Carteras eficientes.
Selección de la cartera óptima.
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3.1. HIPÓTESIS
Tal y como hemos señalado, fue Markowitz quien concibió el análisis de carteras, cuyo objetivo es la determinación del conjunto de carteras posibles y, como
subconjunto de éste, el conjunto de carteras eficientes, o sea, las que proporcionan
la máxima rentabilidad esperada en su clase de riesgo y, simultáneamente, en su
clase de rentabilidad tienen el mínimo riesgo. Una vez determinadas las carteras
eficientes, y conocidas las preferencias del inversor, se podrá seleccionar su cartera óptima.
El modelo de selección de carteras diseñado por Markowitz se conoce como
modelo media-varianza, pues reduce las variables fundamentales de un activo y,
por tanto, las de elección de activos y de carteras, a dos parámetros: la rentabilidad esperada o esperanza matemática de la variable aleatoria rentabilidad, y el
riesgo o desviación típica (o varianza) de la misma.
Si bien en la lección anterior, al estudiar el análisis de los activos, hemos señalado algunos de los supuestos fundamentales que considera Markowitz, vamos
ahora a ampliarlos:
1.
2.
3.
4.
108
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La amplitud del horizonte temporal de inversión es un único período.
La rentabilidad de los activos durante el período de tiempo dado es una
variable aleatoria cuya distribución de probabilidad para el citado período es conocida por el inversor.
La esperanza matemática y la desviación típica de la variable anterior
constituyen la rentabilidad esperada y el riesgo soportado, respectivamente.
Los inversores basan sus decisiones únicamente en función de la rentabilidad y riesgo esperados.
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
5.
6.
7.
Todos los inversores tienen un comportamiento racional con aversión al
riesgo, prefiriendo, para un determinado nivel de riesgo, una rentabilidad
más elevada que una más baja. O, para cualquier nivel de rentabilidad,
los inversores prefieren un riesgo menor a otro mayor.
No existen impuestos ni inflación, y los costes de transacción en la negociación de los títulos son irrelevantes.
Todas las inversiones son perfectamente divisibles, pudiéndose comprar
cualquier fracción de un activo.
3.2. LA RENTABILIDAD ESPERADA DE LAS CARTERAS
3.2.1. Carteras con n clases de activos
De acuerdo con lo expuesto, un inversor dispone de cierta cuantía de recursos
propios para formar una cartera, y se encuentra en los mercados financieros con
n clases de activos arriesgados en los que puede invertir1. De esta forma, una
cartera queda definida cuando se conoce qué títulos la componen y en qué cantidad2. Por tanto, como cualquier cartera, se forma adquiriendo un cierto número
de títulos de cada clase, y al ser la rentabilidad de cada activo una variable aleatoria, ri, la rentabilidad de una cartera P también lo será:
(
P : rp → E p , σ p
(
P ≡ E p ,σ p
)
)
Representando por3 xi el tanto unitario que de la cuantía total disponible se
invierte en activos de la clase i, la rentabilidad, rp, de una cartera verifica:
rp = x1r1 + x2 r2 + x3r3 + + xn rn =
n
∑ xi ri
i=1
1
Indistintamente utilizaremos como equivalentes las expresiones n títulos o n clases de títulos,
de tal forma que cuando digamos el título i nos estaremos refiriendo al conjunto de títulos de la clase
i que integran la cartera.
2
En general, tal y como hemos señalado, se considera que las inversiones son perfectamente
divisibles; es decir, se puede invertir en cada clase de activos cualquier cuantía, aunque no sea múltiplo
de su precio. No obstante, en los ejemplos en los que calculemos el número de títulos a adquirir
introduciremos la restricción de que tal número sea entero. Además, no se consideran impuestos,
comisiones, costes de transacción, etc.
3
También se dice que xi representa el peso o nivel de participación del i-ésimo título, o de la
i-ésima clase de títulos, en la cartera. O, lo que es equivalente, tanto unitario que del valor total de
la cartera está invertido en los títulos de la clase i. Lógicamente, el valor de cada xi viene dado por
el cociente entre la cuantía invertida en los activos de la clase i y la cuantía total de recursos propios
de la cartera, o valor total de la misma al inicio del período de inversión.
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109
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Inversiones financieras: selección de car teras
n
Se verifica ∑ xi = 1, siendo4: 0 ≤ xi ≤ 1.
i=1
Siendo E(ri) = Ei la rentabilidad esperada de los títulos de la clase i, la rentabilidad esperada de una cartera o esperanza matemática de la variable aleatoria rp es:
E p = x1E1 + x2 E2 + x3 E3 + + xn En =
n
∑ xi Ei
i=1
Vemos, pues, que existe una relación lineal entre la rentabilidad de una cartera y la de las distintas clases de activos. El rendimiento esperado de la cartera es
la media ponderada de los rendimientos esperados de las n clases de títulos que la
componen, siendo las ponderaciones las proporciones en que cada clase participa
en la cartera. Por ello, denominando Ea y Eb al valor mínimo y al máximo, respectivamente, de los valores del vector E de rentabilidades esperadas de los activos,
se verifica Ea ≤ Ep ≤ Eb. O, lo que es equivalente, el conjunto de valores de la rentabilidad esperada está acotado tanto inferior como superiormente:
( )
( )
mín. Ei ≤ E p ≤ máx. Ei
{i = 1, 2, 3, , n}
De la ecuación anterior se deduce que la contribución de los títulos de la clase i a la rentabilidad esperada de una cartera es: ei = xiEi, verificándose: E p =
n
∑ ei.
i=1
La contribución de los títulos de la clase i a la rentabilidad esperada de la
e
cartera representa un porcentaje de la misma de: ei′ = i .
Ep
En forma matricial, el vector de tantos unitarios, o vector de proporciones o
de ponderaciones, es:
⎛
⎜
⎜
X =⎜
⎜
⎜
⎜⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
xn ⎟⎠
x1
x2
x3
4
Markowitz denomina «legítimas» a las carteras que verifican dicha restricción. De acuerdo con
la misma, todos los pesos son positivos, pues se opera a largo. Las carteras no deben contener títulos
con pesos negativos, ya que no se permite operar a corto o la venta en descubierto de alguno de los
títulos que las componen. Tampoco se permite la operación equivalente: petición de un préstamo sin
riesgo que permita financiar la inversión en algún título. En la siguiente lección eliminaremos las
restricciones anteriores.
110
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
El vector traspuesto es: X′ = (x1, x2, x3, ..., xn).
El vector de rentabilidades esperadas de los n títulos es:
⎛
⎜
⎜
E=⎜
⎜
⎜
⎜⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
En ⎟⎠
E1
E2
E3
Recordando la multiplicación de un vector fila por un vector columna, la rentabilidad esperada de una cartera se obtiene mediante la expresión:
⎛
⎜
⎜
E p = (x1, x2 ,, xn ) ⎜
⎜
⎜
⎜⎝
E1 ⎞
⎟
E2 ⎟
⎟
⎟
⎟
En ⎟⎠
O, lo que es equivalente5:
Ep = X′E
El vector de contribuciones a la rentabilidad de una cartera es:
⎛
⎜
⎜
e=⎜
⎜
⎜
⎜⎝
e1 ⎞
⎟
e2 ⎟
⎟
⎟
⎟
en ⎟⎠
EJEMPLO 3.1
Determinado inversor tiene la siguiente cartera, formada por las siguientes
clases de activos:
5
Se obtiene efectivamente un escalar, que es el producto de dos vectores de dimensión 1 × n y
n × 1.
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111
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Inversiones financieras: selección de car teras
Activos
Peso
Rentabilidad esperada
1
8%
10 %
2
17 %
15 %
3
20 %
18 %
4
25 %
20 %
5
30 %
22 %
Determinar la rentabilidad esperada y la contribución del título 4 a dicha rentabilidad, así como el porcentaje que representa sobre la misma.
Resolución
La rentabilidad esperada de la cartera es:
n
Ep =
xi Ei = 0, 08 10% + 0,17 15% + 0,20 18% + 0,25 20% +
i=1
+ 0,30 22% = 18,55%
En Excel, utilizando la función SUMAPRODUCTO se tiene:
Podemos utilizar matrices. Así, el vector de proporciones es:
⎛
⎜
⎜
X =⎜
⎜
⎜
⎝
112
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8%
17%
20%
25%
30%
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
El vector de rentabilidades esperadas es:
⎛
⎜
⎜
E=⎜
⎜
⎜
⎝
10%
15%
18%
20%
22%
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
En consecuencia, la rentabilidad esperada de la cartera, de acuerdo con la
expresión Ep = X′E, es:
El título 4 contribuye a la rentabilidad de la cartera con e4 = 0,20 × 25 % = 5 %,
5%
= 0,2695 .
que representa el 26,95 % de la misma: e4′ =
18,55%
EJEMPLO 3.2
Determinado inversor dispone de la siguiente estimación de rentabilidad anual
esperada de cinco clases de activos:
⎛
⎜
⎜
E=⎜
⎜
⎜
⎝
10%
12%
8%
7%
11%
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Si invierte en cada clase, respectivamente, 12.000 €, 18.000 €, 9.000 €, 6.000 €
y 15.000 €, determinar:
a) La rentabilidad esperada de la cartera.
b) El resultado esperado.
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113
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Inversiones financieras: selección de car teras
c) La contribución de cada clase de títulos a la rentabilidad y al resultado.
d) Porcentaje de la rentabilidad total atribuible a los títulos de la clase 2.
Resolución
La cuantía total invertida es: Ip = 60.000 €. En consecuencia, la participación
de cada clase en la cartera es:
x1 =
12.000
18.000
9.000
= 20%; x2 =
= 30%; x3 =
= 15%
60.000
60.000
60.000
x4 =
6.000
15.000
= 10%; x5 =
= 25%
60.000
60.000
Por tanto, el vector de proporciones es:
⎛
⎜
⎜
X =⎜
⎜
⎜
⎝
20%
30%
15%
10%
25%
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
a) Sabemos que la rentabilidad esperada se obtiene según la expresión Ep =
= X′E, por lo que en el archivo correspondiente de soluciones tenemos:
b) El resultado total esperado de la cartera, Gp, se obtiene al multiplicar su
rentabilidad esperada por la cuantía total invertida (Ip):
G p = E p I p = 10,25% × 60.000 = 6.150 €
114
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
c) La contribución de cada título a la rentabilidad, de acuerdo con la expresión ei = xiEi, es:
e1 = 20% × 10% = 2%; e2 = 30% × 12% = 3,60%; e3 = 15% × 8% = 1,20%;
e4 = 10% × 7% = 0,70%; e5 = 25% × 11% = 2,75%
5
Obviamente se verifica: ∑ ei = E p = 10,25% . El vector de contribuciones al
1
rendimiento esperado de la cartera es:
⎛
⎜
⎜
e=⎜
⎜
⎜
⎜⎝
2%
3,60%
1,20%
0,70%
2,75%
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
La contribución de cada activo al resultado total esperado se obtiene de acuerdo con la expresión: Gi = EiIi, siendo Ii la cuantía invertida en el título i:
G1 = 10% 12.000 = 1.200 €; G2 = 12% 18.000 = 2.160 €;
G3 = 8% 9.000 = 720 €; G4 = 7% 6.000 = 420 €; G5 = 11% 15.000 = 1.650 €
5
Obviamente, se verifica: ∑ Gi = G p = 6.150 €. El vector de contribuciones al
1
resultado esperado de la cartera, en euros, es:
⎛
⎜
⎜
G=⎜
⎜
⎜
⎝
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1.200
2.160
720
420
1.650
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
115
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Inversiones financieras: selección de car teras
Todos los cálculos anteriores se pueden realizar en Excel:
La aportación en rentabilidad de los títulos de la clase 2 representa el
3,60%
= 0,3512 . Idéntico porcentaje re35,12 % de la rentabilidad total: e2′ =
10,25%
presenta el resultado aportado por los títulos de dicha clase sobre el resultado
2.160
total de la cartera: g2 =
= 35,12% . El siguiente vector representa la distri6.150
bución porcentual de la rentabilidad esperada de la cartera entre las clases de títulos, coincidente con la distribución porcentual del resultado total:
d)
EJEMPLO 3.3
Un inversor es propietario de la siguiente cartera:
116
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Clase de activos
Número de títulos
Precio inicial (€)
Rentabilidad anual (%)
1
100
120
12
2
150
90
14
3
200
80
11
4
250
70
13
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
Determinar:
a) Rentabilidad esperada de la cartera.
b) Resultado esperado.
c) Vector de contribución de cada clase de activos a la rentabilidad, y el de
contribución al resultado esperado.
Resolución
Determinamos la cuantía invertida en cada clase de activos multiplicando el número de títulos por su precio. Se obtiene el siguiente vector con importes en euros:
⎛
⎜
I =⎜
⎜
⎜⎝
12.000
13.500
16.000
17.500
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
Al dividir la cuantía invertida en cada activo entre la cuantía total invertida,
Ip = 59.000 €, se obtiene el vector de proporciones expresado en tantos unitarios:
⎛
⎜
X =⎜
⎜
⎜
⎝
0,203390
0,228814
0,271186
0,296610
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
a) Como sabemos que la rentabilidad esperada de la cartera se obtiene según
la expresión matricial Ep = X′E, obtenemos Ep = 12,4831 %.
b) Como la cartera tiene un resultado esperado del 12,4831 % y la inversión es
de 59.000 €, el resultado esperado es: Gp = EpIp = 12,4831 % × 59.000 = 7.365,03 €.
c) La parte de rentabilidad esperada de la cartera atribuible a cada activo se
obtiene según la expresión: ei = xiEi, y la parte de resultado esperado atribuible a
cada título se deduce de: Gi = Ei Ii. Por tanto, el vector de contribución de cada
activo a la rentabilidad, y el de contribución al resultado esperado, en euros, es,
respectivamente:
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117
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Inversiones financieras: selección de car teras
EJEMPLO 3.4
Determinar la rentabilidad y el resultado de la siguiente cartera:
Clase de títulos
Número
de títulos
Precio inicial
Dividendos
Precio final
1
260
48
4
47
2
350
40
3
42
3
220
52
5
48
4
300
38
4
37
5
400
24
3
24
Resolución
Al multiplicar el número de títulos de cada clase por su precio obtenemos el
valor inicial de la cartera Ip = 58.920 €:
Los dividendos totales percibidos ascienden a 5.590 €:
De igual forma podemos determinar el valor final de la cartera:
118
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
El resultado de la cartera es la diferencia entre la suma de los dividendos y el
valor final de la misma, y el valor inicial:
G p = 5.590 + 58.180 − 58.920 = 4.850 €
La rentabilidad es el cociente entre el resultado total y el valor inicial de la
cartera:
Ep =
4.850
= 8,2315%
58.920
Obviamente, si calculamos el vector de proporciones y la rentabilidad de cada
activo, se llega a idénticos resultados:
EJEMPLO 3.5
Una empresa desea formar una cartera invirtiendo 40.000 € en los títulos siguientes:
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Títulos
Precio actual
Precio final
esperado
A
25
27,50
B
30
32,40
C
40
44,40
D
60
67,20
E
85
95,20
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Inversiones financieras: selección de car teras
Se pide:
a) Número entero de títulos de cada clase que se puede adquirir, de tal forma
que como mínimo se adquieran 10 de cada una de las tres primeras clases,
y 20 de cada una de las restantes.
b) Rendimiento esperado de la cartera.
c) Contribución de cada una de las clases de títulos al rendimiento y al resultado esperados.
Resolución
En el correspondiente archivo de Soluciones formamos la siguiente tabla para
calcular el valor de la cartera. En la columna de número de títulos ponemos en
cada clase un número entero arbitrario para construir la fórmula de lo invertido
en cada clase:
a) El valor inicial de la cartera ha de ser Ip = 40.000 €, debiéndose cumplir,
además, las siguientes restricciones en el número entero de títulos a adquirir:
N A ≥ 10; NB ≥ 10; NC ≥ 10; ND ≥ 20; N E ≥ 20
Utilizamos la función Solver, considerando como celda objetivo con valor
40.000 la del valor total a invertir6:
6
La celda objetivo de Solver ha de contener una fórmula. La restricción referente a que el
número de títulos sea entero es int.
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
Se obtiene como solución:
N A = 76; NB = 88; NC = 114; ND = 175; N E = 240
b) El valor final esperado de la cartera es 44.610,80 €, por lo que el resultado
esperado es: Gp = 44.610,80 − 40.000 = 4.610,80 €. La rentabilidad esperada es:
4.610,80
Ep =
= 11,5270% .
40.000
A idéntico resultado se llega si se calcula el vector de rentabilidades esperadas
y el de proporciones, y después se calcula Ep = X′E:
c) La contribución de cada título al rendimiento esperado es ei = xiEi, y al
resultado Gi = Ei Ii. También se puede obtener el resultado esperado de cada clase
de activos multiplicando el número respectivo de títulos por la diferencia entre su
precio final y el inicial. Se obtiene:
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Inversiones financieras: selección de car teras
EJEMPLO 3.6
Un inversor desea formar una cartera invirtiendo en la clase de activos que
se indican en el correspondiente archivo de Datos. De los mismos se conocen sus
precios actuales y el inversor tiene las estimaciones subjetivas de dividendos a
percibir y precios dentro de un año. Desea adquirir un número entero de títulos
de cada clase, de tal forma que se verifiquen las siguientes restricciones: la rentabilidad esperada de la cartera debe estar entre el 9 % y el 12 % anual; la cuantía
invertida ha de estar comprendida entre 30.000 € y 40.000 €; la contribución
conjunta de los títulos de las tres primeras clases al resultado esperado de la
cartera ha de ser de 2.512 €, y la contribución conjunta de los títulos de las últimas dos clases al rendimiento esperado de la cartera ha de estar comprendida entre el 3 % y el 5 %. Calcular el número de títulos que debe adquirir de cada
clase, sabiendo que entre los que adquiera de la clase 3 y los de la clase 5 deben
sumar 170.
Resolución
En el correspondiente archivo de Soluciones diseñamos la hoja a fin de determinar la rentabilidad esperada de cada clase de activo y la inversión total. En las
celdas del número de títulos ponemos un número entero cualquiera:
Determinamos el vector de proporciones y calculamos la rentabilidad esperada y la contribución de cada título al resultado total y al rendimiento:
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
La hoja de Excel queda:
De acuerdo con los datos, el número de títulos de cada clase ha de ser entero,
y además se ha de verificar:
9% ≤ E p ≤ 12%
30.000 ≤ I p ≤ 40.000
G1 + G2 + G3 = 2.512
3% ≤ e4 + e5 ≤ 5%
N3 + N5 = 170
Utilizamos Solver:
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Inversiones financieras: selección de car teras
Al resolver se obtiene7:
3.2.2. Carteras con dos clases de activos
En el caso particular de que sólo se invierta en dos clases de títulos, y haciendo x1 = x; x2 = 1 − x, tenemos: Ep = xE1 + (1 − x)E2.
EJEMPLO 3.7
Determinado inversor desea formar una cartera con dos activos de rentabilidad 8 % y 13 %, respectivamente. La cotización actual de los activos es, respectivamente, 100 y 60 €. Si dispone de 15.000 € para invertir y espera obtener un
rendimiento del 10 %, se pide:
a) Número de títulos de cada clase que debe adquirir.
b) Contribución de cada clase de activos al rendimiento esperado y al resultado.
c) Distribución porcentual del rendimiento y del beneficio.
Resolución
a) Al sustituir en la ecuación anterior, tenemos:
0,10 = 0, 08x + (1 − x) 0,13 ⇒ x = 0,60 = x1; x2 = 0, 40
Por tanto:
I1 = 60% × 15.000 = 9.000; N1 =
9.000
= 90
100
I 2 = 40% × 15.000 = 6.000; N2 =
6.000
= 100
60
7
Existen otras soluciones que también verifican todas las restricciones señaladas. Por ejemplo:
98, 75, 102, 54 y 68.
124
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
b) Al ser el rendimiento esperado del 10 %, el resultado de la cartera es Gp =
= 10 % × 15.000 €. La contribución de cada clase de activos al rendimiento y al
resultado es:
e1 = 60% × 8% = 4,8%; e2 = 40% × 13% = 5,2%
G1 = 8% × 9.000 = 720 €; G2 = 13% × 6.000 = 780 €
c) La distribución porcentual del rendimiento esperado es:
e1′ =
4,8%
5,2%
= 48%; e2′ =
= 52%
10%
10%
La distribución porcentual del resultado coincide con la del rendimiento esperado:
g1 =
720
780
= 48%; g2 =
= 52%
1.500
1.500
EJEMPLO 3.8
De dos activos se conocen sus precios al inicio y al final de cierto año:
Títulos
Precio inicial
Precio final
A
100,00
120,00
B
150,00
172,50
Al inicio del año se formó una cartera invirtiendo 15.000 €, correspondiendo
un 60 % a títulos de la clase A y el 40 % a los de la clase B. Se pide: determinar la
rentabilidad obtenida, calculando la rentabilidad simple y la continua de cada
activo y comparar los resultados.
Resolución
En el activo A se invirtieron 9.000 € (60 % de 15.000) y 6.000 en el B. Por tanto, el número de títulos de cada clase es, respectivamente, 90 y 40. El valor final
de la cartera es:
V f = 90 × 120 + 40 × 172,50 = 17.700 €
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Inversiones financieras: selección de car teras
El resultado obtenido ha sido: Gp = 17.700 − 15.000 = 2.700 €. En consecuencia, la rentabilidad anual simple obtenida verifica8:
Ep =
2.700
= 18%
15.000
La rentabilidad anual instantánea es:
⎛ 17.700 ⎞
= 16,551444%
k p = ln ⎜
⎝ 15.000 ⎟⎠
Vamos a determinar la rentabilidad (simple y continua) de cada activo, para
después calcular la correspondiente de la cartera según lo que hemos expuesto, o
sea, como media ponderada de las rentabilidades de los activos.
Tenemos:
rA =
rB =
120 − 100
⎛ 120 ⎞
= 18,232156%
= 20%; kA = ln ⎜
⎝ 100 ⎟⎠
100
172,50 − 150
⎛ 172,50 ⎞
= 13,976194%
= 15%; kB = ln ⎜
⎝ 150 ⎟⎠
150
De acuerdo con las rentabilidades simples, la rentabilidad anual simple de la
cartera es:
Ep =
n
∑ xi Ei = 0,60 × 20% + 0, 40 × 15% = 18%
i=1
Sabemos que el tanto anual equivalente de rentabilidad continua verifica:
k p = ln (1 + 18%) = 16,551444%
Vemos que la rentabilidad simple coincide con la calculada previamente como
porcentaje del resultado obtenido sobre la inversión inicial. Y el tanto equivalente continuo también coincide con el anteriormente calculado, por lo que podemos
decir que la rentabilidad continua de la cartera es el 16,551444 % anual.
8
No es una rentabilidad esperada, pues la calculamos una vez transcurrido el horizonte de
inversión. No obstante, la simbolizamos también por Ep.
126
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
De acuerdo con la rentabilidad continua de cada título, la rentabilidad de la
cartera es:
E p = 0,60 × 18,232156% + 0, 40 × 13,976194% = 16,529771% ≠ 16,551444%
Vemos que con rentabilidades continuas, la rentabilidad de la cartera, obtenida como media ponderada de las rentabilidades continuas de los activos, no coincide con la rentabilidad continua equivalente a la simple9. No obstante, en la práctica, con independencia de que la rentabilidad de cada activo sea la simple o la
continua, se calcula la rentabilidad de la cartera con la expresión ya conocida, o
sea, como media ponderada de las rentabilidades de los activos que la componen.
3.3. EL RIESGO DE LAS CARTERAS
3.3.1. Carteras con n clases de activos
a) Riesgo
Hemos señalado que la variable aleatoria representativa de la rentabilidad de
una cartera es la suma de n variables aleatorias, siendo el riesgo de la cartera la
desviación típica de la variable rentabilidad de la misma: sp. Para su cálculo recordemos que, por ejemplo, si Z = k1Z1 + k2Z2 + k3Z3, siendo Z1, Z2, Z3 variables
aleatorias, y k1, k2, k3 constantes, la varianza verifica10:
σ 2 (Z ) = k12 σ 2 (Z1) + k22 σ 2 (Z2 ) + k32 σ 2 (Z3 ) + 2k1k2σ 12 + 2k1k3σ 13 + 2k2 k3σ 23
Por tanto, para la variable rp = x1r1 + x2r2 + x3r3 + ... + xnrn tenemos:
2
σ 2p = x12σ 12 + x22σ 22 + x32σ 32 + + x 2n−1σ n−1
+ x 2n σ n2 +
+2x1x2σ 12 + 2x1x3σ 13 + + 2x1xnσ 1n +
+2x2 x3σ 23 + 2x2 x4σ 24 + + 2x2 xnσ 2 n +
+2x3x4σ 34 + + 2x3xnσ 3n + + 2xn−1xnσ n−1n
9
La diferencia se debe a que el logaritmo de una suma no es la suma de los logaritmos de los
sumandos.
10
Puede consultarse cualquier manual de Estadística.
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Inversiones financieras: selección de car teras
O bien11:
σ 2p =
n
n
n
n
n
n
∑ x12σ i2 + ∑ ∑ xi x jσ ij =∑ x12σ i2 + 2∑ xi x jσ ij = ∑ ∑ xi x jσ ij
i=1i≠ j j =1
i=1
i=1
i=1 j =1
i< j
De la expresión del coeficiente de correlación lineal podemos despejar la covarianza y sustituir en la ecuación precedente:
ρij =
σ ij
σ iσ j
Queda:
σ 2p =
n
n
n
n
n
∑ x12σ i2 + ∑ ∑ xi x jσ iσ j ρij =∑ ∑ xi x jσ iσ j ρij
i=1i≠ j j =1
i=1
i=1 j =1
De la expresión anterior deducimos que los tres factores que determinan el
riesgo de una cartera son: las proporciones en que intervienen los títulos; el riesgo
de cada uno y la covarianza con los demás (o el coeficiente de correlación lineal).
Hemos señalado que la varianza de la rentabilidad de la cartera viene dada
por la expresión σ 2p =
n
n
∑ ∑ xi x jσ ij . Recordemos ahora que el vector de propori=1 j =1
ciones y la matriz de varianzas-covarianzas verifican:
X =
⎛ σ 11 σ 12
x1 ⎜
x2 ⎜ σ 21 σ 22
; S = ⎜ ⎜
⎜ ⎜⎝ σ n1 σ n2
xn σ 1n ⎞
⎟
σ 2n ⎟
⎟
⎟
⎟
σ nn ⎟⎠
Teniendo en cuenta el producto de matrices, y sabiendo que la forma cuadrática de X se define por la expresión12: X ′ AX =
tera se puede determinar por la expresión13:
n
n
∑ ∑ xi x j aij , la varianza de la cari=1 j =1
σ 2p = X ′ S X
11
Recordemos que sii = si2, así como lo expuesto en la lección 1 referido al operador sigma.
Puede consultarse en la lección 1 el apartado 2 del Anexo II.
13
Se obtiene efectivamente un escalar que es el producto de las matrices de dimensión 1 × n,
n × n y n × 1.
12
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
La raíz cuadrada positiva de la expresión anterior nos da el riesgo o volatilidad de la cartera:
1
σ p = (X ′ S X ) 2
Cuando en lugar de distribuir el presupuesto entre los distintos activos se invierta exclusivamente en el de mayor riesgo de los n disponibles, el riesgo de la
cartera coincidirá con el de dicho activo. En consecuencia, el riesgo de cualquier
cartera toma un valor no superior al del activo de mayor riesgo, y como mínimo
un valor no nulo: 0 ≤ sp ≤ máx (si). Por tanto, el conjunto de valores del riesgo está
acotado tanto inferior como superiormente.
De acuerdo con lo expuesto, tenemos el siguiente conjunto de ecuaciones básicas:
Ep =
n
∑ xi Ei = X ′ E
i=1
1
n
n
n n
⎛ n
⎞2
σ p = ⎜ ∑ x12σ i2 + ∑ ∑ xi x jσ ij = ∑ ∑ xi x jσ ij ⎟
i=1i≠ j j =1
i=1 j =1
⎝ i=1
⎠
1
σ p = (X ′ S X ) 2
ρij =
σ ij
σ iσ j
n
∑ xi = 1
i=1
0 ≤ xi ≤ 1, ∀ i = 1, 2, 3, , n
Cuando se conoce la matriz formada por los coeficientes de correlación lineal
de las rentabilidades esperadas de los activos, podemos obtener una expresión
específica para calcular el riesgo de la cartera. Así, sea C la citada matriz:
⎛
⎜
⎜
C=⎜
⎜
⎜
⎜⎝
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1
ρ21
ρ31
ρn1
ρ12
1
ρ32
ρn2
ρ13
ρ23
1
ρn3
ρ1n ⎞
⎟
ρ2 n ⎟
ρ3n ⎟
⎟
⎟
1 ⎟⎠
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Inversiones financieras: selección de car teras
Teniendo en cuenta la expresión matricial de la varianza de la cartera y la del
coeficiente de correlación lineal, definimos:
⎛
⎜
⎜
X =⎜
⎜
⎜
⎜⎝
⎛ x1σ 1
x1 ⎞
⎟
⎜
x2 ⎟
⎜ x2σ 2
⎟ ; XC = ⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜ ⎜⎝ xnσ n
xn ⎟⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
De acuerdo con el concepto de producto de matrices, queda:
σ 2p = X C′ C X C
La expresión de la rentabilidad esperada de la cartera es la ya deducida anteriormente:
Ep = X′E
EJEMPLO 3.9
Determinado inversor forma una cartera invirtiendo en las clases de activos
siguientes:
Clase de títulos
Precio actual
Número
de títulos
Rentabilidad
esperada
1
50
110
11 %
2
60
130
13 %
3
70
160
16 %
4
80
170
18 %
5
90
210
20 %
La matriz de varianzas-covarianzas, que figura en el archivo correspondiente
de Datos, es:
Determinar la rentabilidad esperada y el riesgo.
130
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
Resolución
En el archivo de Soluciones hemos diseñado la hoja correspondiente, determinando la cuantía invertida en cada activo y el vector de proporciones:
De acuerdo con la expresión de la rentabilidad, Ep = X′E, se obtiene: Ep =
= 16,9105 %.
1
En cuanto al riesgo, según la expresión σ p = (X ′ S X ) 2 , podemos calcular en
primer lugar X′S, y después multiplicar por el vector X, o bien directamente, considerando como primera matriz X′S, y como segunda X. En cualquier caso se
obtiene:
σ 2p = 0, 000622738
σ p = 2, 4955%
EJEMPLO 3.10
Un inversor dispone de las series históricas con las cotizaciones de tres activos,
las cuales se indican en el archivo correspondiente de Datos. Se forma una cartera invirtiendo en cada clase de títulos, un 25 %, un 30 % y un 45 %, respectivamente. Se pide:
a) Con la rentabilidad mensual instantánea de cada activo, hallar la rentabilidad mensual y el riesgo de la cartera.
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Inversiones financieras: selección de car teras
b) Ídem con la rentabilidad simple.
c) Covarianza entre la cartera anterior y la formada con las proporciones:
30 %, 25 % y 45 %.
Resolución
a) Diseñamos la hoja de Excel para obtener las respectivas series con la rentabilidad mensual continua de cada activo. Con tales series estimamos la rentabilidad esperada mensual y el riesgo mensual previsible de cada título, así como la
matriz de varianzas-covarianzas:
De acuerdo con los datos, el vector de proporciones es:
⎛ 0,25 ⎞
⎟
⎜
X = ⎜ 0,30 ⎟
⎜⎝ 0, 45 ⎟⎠
Teniendo en cuenta las expresiones ya conocidas, calculamos la rentabilidad
mensual esperada y el riesgo mensual de la cartera:
E p = 1,543137%; σ p = 1,762078%
Otra forma alternativa de obtener la rentabilidad y el riesgo de la cartera es la
siguiente.
Calculamos mes a mes la rentabilidad de la cartera, de acuerdo con el vector
de proporciones y la correspondiente rentabilidad mensual de cada activo. Disponemos así de una serie de 12 rentabilidades mensuales de la cartera. Hallando la
media y la desviación típica14 llegamos a los mismos resultados que los obtenidos
anteriormente:
14
132
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Con las funciones PROMEDIO y DESVEST, respectivamente.
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
b) De igual forma a lo señalado con rentabilidades instantáneas, si calculamos la rentabilidad simple mensual de cada activo llegamos a obtener la rentabilidad esperada mensual simple y el riesgo de la cartera:
E p = 1,607826%; σ p = 1,815280%
A idénticos resultados se llega si se calcula la serie de rentabilidades mensuales
simples de la cartera.
c) Una forma de determinar la covarianza entre ambas carteras es formando
la serie mensual con la rentabilidad de cada una de ellas (con rentabilidades instantáneas mensuales de los activos) y después aplicar la función de Excel COVAR,
obteniéndose:
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Inversiones financieras: selección de car teras
EJEMPLO 3.11
Se forma una cartera con los datos de rentabilidad y matriz de varianzascovarianzas que se indican en el correspondiente archivo de Datos. Determinar:
a) El riesgo de cada clase de títulos.
b) Qué parte de la cuantía total a invertir debe destinarse a cada clase de
títulos, de tal forma que la cartera tenga una rentabilidad esperada mínima del 13 %, con un riesgo máximo del 3,2 %.
Resolución
a) Sabemos que, dada la matriz de varianzas-covarianzas, el riesgo o desviación típica de los activos se obtiene al calcular la raíz cuadrada positiva de los
elementos de la diagonal principal de dicha matriz. Así, para los activos dados en
el archivo de Soluciones tenemos:
134
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
b) Diseñamos la hoja para determinar el rendimiento esperado y el riesgo,
poniendo valores arbitrarios en el vector de proporciones. El conjunto de restricciones es:
∑ xi = 1; E p ≥ 13%; σ p ≤ 3,2%; xi ≥ 0
En Solver tomamos como función objetivo la celda correspondiente en la que
figura la fórmula ∑xi y como valor de la misma, 1:
Al resolver se obtiene:
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Inversiones financieras: selección de car teras
EJEMPLO 3.12
Un inversor desea formar una cartera y dispone de los siguientes datos:
Clase
de títulos
Rentabilidad
esperada
Riesgo
Precio actual
1
11 %
2,5 %
80
2
13 %
3,5 %
70
3
16 %
5,8 %
65
4
17 %
6,2 %
75
5
19 %
6,5 %
90
Los coeficientes de correlación lineal son:
⎛
⎜
⎜
ρ=⎜
⎜
⎜
⎜⎝
⎞
1
⎟
0,75
1
⎟
−0,15 0,25
1
⎟
⎟
0,80 0,90 0,65
1
⎟
0,70 0, 45 0,60 0,80 1 ⎟⎠
Si se desea invertir 120.000 €, determinar:
a) Cuántos títulos de cada clase ha de adquirir si se espera una rentabilidad
superior al 15 % y un riesgo inferior al 5 %.
b) Rentabilidad, riesgo y resultado de la cartera.
c) Contribución de cada clase de activos a la rentabilidad esperada y al resultado.
Resolución
En el correspondiente archivo de Soluciones diseñamos la hoja de Excel para
efectuar los cálculos. Así, en primer lugar, partiendo de los coeficientes de correlación lineal, determinamos las covarianzas entre cada dos pares de títulos, teniendo en cuenta que se verifica:
ij = ij i j
136
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
Se obtiene la matriz incompleta:
Completamos la matriz anterior: la copiamos en una celda cualquiera; pegado
especial: valores; operación: ninguna. A continuación, situados en la celda superior izquierda de la matriz anterior, hacemos: pegado especial: valores; operación:
ninguna; saltar blancos; transponer.
La matriz de varianzas-covarianzas es:
a) Completamos el diseño de la hoja para calcular el número de títulos, la
rentabilidad esperada, el riesgo y el resultado de la cartera. Sabemos que la cuantía a invertir en cada clase de títulos es el producto del número de títulos por su
precio, y el porcentaje en que interviene cada clase en la cartera se obtiene dividiendo la cuantía invertida en la misma entre el total invertido. Para poder hacer
el diseño e implementar las correspondientes funciones, ponemos un número entero arbitrario de títulos a adquirir:
Las condiciones que se deben verificar, de acuerdo con el enunciado, son:
I p = 120.000; E p ≥ 15%; σ p ≤ 5%
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Inversiones financieras: selección de car teras
Además, los valores de N han de ser enteros y los porcentajes de inversión
deben ser positivos y sumar 100 %.
Utilizamos la función Solver, tomando como celda objetivo la correspondiente a la cuantía total a invertir:
Al resolver se obtiene el número de títulos que de cada clase ha de adquirirse:
b) Al utilizar Solver para el apartado anterior también obtenemos la rentabilidad esperada, el riesgo y el resultado de la cartera:
c) La contribución de cada título a la rentabilidad esperada y al resultado se
obtiene, respectivamente, por la expresión:
ei = xi Ei ; Gi = Ei I i
138
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
Se obtiene:
Vemos que efectivamente se verifican todas las condiciones impuestas.
Observación: De acuerdo con lo ya expuesto, también podemos calcular la
varianza de la rentabilidad directamente a través de la matriz de coeficientes de
correlación lineal:
σ 2p = X C′ C X C
En el archivo correspondiente de Soluciones hemos utilizado también la expresión anterior, llegándose a idénticos resultados a los ya obtenidos.
b) Covarianza entre el rendimiento de un activo y el de la cartera
Con el objetivo de deducir otras expresiones importantes relacionadas con el riesgo de las carteras, vamos a recordar sintéticamente algunos conceptos estadísticos.
Sean X, Y y Z variables aleatorias tales que su esperanza matemática verifica:
E (X ) = X ; E (Y ) = Y ; E (Z ) = Z
E (X +Y + Z ) = X +Y + Z
Si a y b son dos constantes cualesquiera:
E (aX ) = aE (X ) = aX ; E (bY ) = bE (Y ) = bY
La covarianza sXY = cov (X, Y) se define por la expresión:
(
)(
)
cov (X ,Y ) = E ⎡⎣ X − X Y −Y ⎤⎦
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Inversiones financieras: selección de car teras
Si se multiplica cada variable por una constante, la covarianza queda multiplicada por el producto de las dos constantes15:
cov (aX ,bY ) = ab cov (X ,Y )
En efecto, según el concepto de covarianza se verifica:
(
)(
)
(
) (
= ab E ⎡⎣(X − X ) (Y −Y )⎤⎦ = ab cov (X ,Y )
)
cov (aX ,bY ) = E ⎡⎣ aX − aX bY − bY ⎤⎦ = E ⎡⎣a X − X b Y −Y ⎤⎦ =
Si una variable aleatoria es suma de otras, se verifica:
cov (X ,Y + Z ) = cov (X ,Y ) + cov (X , Z )
La expresión anterior se deduce del concepto de covarianza, pues se verifica:
cov (X ,Y + Z ) = E X X Y + Z Y Z =
(
)(
)
= E X X Y Y + Z Z = E X X Y Y + X X Z Z =
(
)(
)
(
)( ) (
)(
)
E (X X ) (Y Y ) + E (X X ) (Z Z ) = cov (X ,Y ) + cov (X , Z )
Sabemos que la varianza de una cartera compuesta por n títulos viene dada
por la expresión:
σ 2p =
n
n
∑ ∑ xi x jσ ij
i=1 j =1
Teniendo en cuenta la definición de sumatorio doble, podemos poner:
n n
n n
n
2p = xi x j ij = xi x j ij = (xi x1 i1 + xi x2 i 2 + xi x3 i 3 + + xi xn in ) =
i=1
i=1 j =1
i=1 j =1
n
= xi (x1 i1 + x2 i 2 + x3 i 3 + + xn in )
i=1
15
140
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Obviamente también se verifica: cov (aX, Y) = a cov (X, Y).
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
Sabemos que:
x1 i1 + x2 i 2 + x3 i 3 + + xn in = x1 cov (ri , r1) + x2 cov (ri , r2 ) +
+ x3 cov (ri , r3 ) + + xn cov (ri , rn )
Teniendo en cuenta las expresiones ya deducidas de la covarianza, cov (aX, Y) =
= a cov (X, Y) y cov (X, Y + Z) = cov (X, Y) + cov (X, Z), podemos poner:
x1σ i1 + x2σ i 2 + x3σ i 3 + + xnσ in =
= x1 cov (ri , r1) + x2 cov (ri , r2 ) + x3 cov (ri , r3 ) + + xn cov (ri , rn ) =
= cov (ri , x1r1) + cov (ri , x2 r2 ) + cov (ri , x3r3 ) + + cov (ri , xn rn ) =
= cov (ri , x1r1 + x2 r2 + x3r3 + + xn rn )
Pero x1r1 + x2r2 + x3r3 + ... + xnrn = rp, por lo que queda:
( )
x1σ i1 + x2σ i 2 + x3σ i 3 + + xnσ in = cov ri , rp = σ ip =
n
∑ x jσ ij
j =1
Y, en consecuencia:
σ 2p =
n
n
∑ ∑ xi x jσ ij =
i=1 j =1
n
∑ xi (x1σ i1 + x2σ i 2 + x3σ i 3 + + xnσ in ) =
i=1
( )
n
∑ xiσ ip
La expresión x1σ i1 + x2σ i 2 + x3σ i 3 + + xnσ in = cov ri , rp = σ ip =
i=1
n
∑ x jσ ij
pone
j =1
de manifiesto que la covarianza entre la rentabilidad de un título cualquiera i y el
rendimiento de una cartera es la media ponderada de las covarianzas de los rendimientos de los activos con el rendimiento del activo i, siendo las ponderaciones las
proporciones en que cada título participa en la cartera.
La expresión σ 2p =
n
n
∑ ∑ xi x jσ ij =
i=1 j =1
n
∑ xiσ ip
pone de manifiesto que la varianza
i=1
de una cartera es la media ponderada de las covarianzas de los rendimientos de
los títulos con la rentabilidad de dicha cartera, siendo las ponderaciones las proporciones en que cada título participa en la cartera.
La expresión de la varianza en función de las covarianzas de los títulos con el
rendimiento de la cartera se puede expresar en forma matricial. Tenemos:
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Inversiones financieras: selección de car teras
σ 2p =
n
n
n
∑ ∑ xi x jσ ij = ∑ xiσ ip = x1σ 1 p + x2σ 2 p + x3σ 3 p + + xnσ np =
i=1 j =1
i=1
=
( x,
1
x2 , x3 , , xn
)
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
σ 1p ⎞
⎟
σ2p ⎟
σ3p ⎟
⎟
⎟
σ np ⎟⎠
Llamando Qp al vector de covarianzas entre el rendimiento de cada activo y el
⎛ σ 1p ⎞
⎟
⎜
⎜ σ2p ⎟
de la cartera a la que pertenece, Qp = ⎜ σ 3 p ⎟ , se verifica: sp2 = X′Qp. Y teniendo
⎟
⎜
⎜ ⎟
⎜ σ ⎟
⎝ np ⎠
en cuenta el valor de la varianza de la cartera, el vector Qp verifica:
σ 2p = X ′SX = X ′Qp ⇒ Qp = SX
Se tiene, pues16:
⎛
⎜
⎜
Qp = ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
σ 1p ⎞
⎟
σ2p ⎟
σ 3 p ⎟ = SX
⎟
⎟
σ np ⎟⎠
Por tanto:
σ 2p = X ′Qp = Q′p X
16
Recordando que para dos matrices cualesquiera se verifica (AB)′ = B′A′, como la matriz S es
simétrica, también se cumple: Qp′ = (SX)′ = X′S.
142
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
EJEMPLO 3.13
Se forma una cartera con los títulos cuya matriz de varianzas-covarianzas se
indica en el archivo correspondiente de Datos. De la cuantía total, se invierte en
cada activo, respectivamente: 20 %, 25 %, 15 %, 18 % y 22 %. Determinar:
a) El riesgo de la cartera.
b) La covarianza entre el rendimiento de cada título y el de la cartera.
Resolución
a) En el archivo de Soluciones diseñamos la hoja correspondiente. Así, teniendo en cuenta la expresión de la varianza de la cartera, sp2 = X′SX, se obtiene
un riesgo del 4,0069 %:
b) La covarianza entre el rendimiento de cada activo y el de la cartera lo
podemos obtener según la expresión σ ip =
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n
∑ xiσ ij :
j =1
143
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Inversiones financieras: selección de car teras
También podemos obtener directamente el vector de covarianzas entre el rendimiento de cada activo y el de la cartera:
⎛
⎜
⎜
Qp = ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
144
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σ 1p ⎞
⎟
σ2p ⎟
σ 3 p ⎟ = SX
⎟
⎟
σ np ⎟⎠
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
c) Contribución al riesgo
Sabemos que es posible calcular la contribución de cada clase de títulos a la
rentabilidad de la cartera. También podemos determinar su contribución al riesgo.
n
∑ xiσ ip = x1σ 1 p + x2σ 2 p + x3σ 3 p + + xnσ np ,
De la expresión ya obtenida, σ 2p =
i=1
deducimos que la contribución del título i a la varianza de la cartera es xi sip. En
consecuencia, al dividir los dos miembros de la igualdad anterior entre el riesgo de
la cartera se deduce que la contribución del título i al riesgo de la cartera p en la
que participa en la proporción xi es:
qi =
Obviamente, se verifica: σ p =
xiσ ip
σp
n
∑ qi .
i=1
Si queremos determinar qué porcentaje del riesgo total representa el correspondiente riesgo aportado por cada clase de títulos, hemos de calcular el cocienxσ
q
q
te i , verificándose: qi′ = i = i 2ip .
σp
σp
σp
También podemos determinar, por unidad de riesgo total y por unidad de
proporción en la cartera, la contribución del título i al riesgo total de la cartera
en la que participa: se le denomina coeficiente beta del título i en la cartera17 o
contribución proporcional de i:
qi
σ
βi = p
xi
Por tanto:
βi =
σ ip
σ 2p
Si de la expresión precedente despejamos la covarianza y la sustituimos en la
n
ecuación de la varianza, al simplificar se obtiene:
∑ xi βi = 1 . Además, teniendo
i=1
en cuenta que el porcentaje de riesgo aportado por cada clase de títulos es
xσ
q
qi′ = i = i 2ip , al sustituir se obtiene: qi′ = xi bi.
σp
σp
17
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También se le denomina riesgo beta del título i.
145
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Inversiones financieras: selección de car teras
Teniendo en cuenta el vector Qp de covarianzas, el vector de betas verifica18:
β=
1
Qp
σ 2p
Por tanto:
⎛
⎜
⎜
1 ⎜
β= 2
σp ⎜
⎜
⎜
⎝
σ 1p ⎞
⎟
σ2p ⎟
σ3p ⎟
⎟
⎟
σ np ⎟⎠
EJEMPLO 3.14
Determinado inversor ha formado la cartera cuyos datos de rentabilidad esperada, número de títulos y matriz de varianzas-covarianzas, se indican en el archivo correspondiente de Datos. Se pide:
a) Contribución de cada clase de títulos a la rentabilidad esperada.
b) Ídem al riesgo.
c) Vector de betas.
Resolución
a) En el archivo de Soluciones diseñamos la hoja correspondiente. Así, para
determinar la contribución de cada clase de títulos al rendimiento esperado de la
cartera es preciso conocer el vector de proporciones y la rentabilidad de la cartera:
18
Teniendo en cuenta que el vector Qp es de dimensión n × 1, el vector b tiene también dicha
dimensión.
146
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
Teniendo en cuenta las expresiones del rendimiento esperado y de la contribución de cada activo al mismo, se obtiene:
b) Sabemos que la contribución de cada activo al riesgo de la cartera se dexσ
termina según la expresión: qi = i ip . Además, el riesgo de la cartera es:
σp
1
σ p = (X ′SX ) 2 , y el vector de covarianzas entre los rendimientos de los títulos y
el de la cartera se determina según la expresión: Qp = SX. Implementamos las
expresiones anteriores en la hoja de cálculo y obtenemos:
En el cuadro anterior se observa que, por ejemplo, los títulos de la clase 1
contribuyen al 4,3574 % de riesgo de la cartera con 0,1932 %. Y si queremos determinar qué porcentaje del riesgo total representa el correspondiente riesgo aportado por cada clase de títulos, hemos de calcular, tal y como hemos señalado, el
q
cociente qi′ = i . Así obtenemos que, por ejemplo, del riesgo total de la cartera,
σp
el 33 % del mismo es aportado por los títulos de la clase 4:
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147
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Inversiones financieras: selección de car teras
c) El vector de betas verifica: β =
1
Qp . Por tanto, tenemos:
σ 2p
EJEMPLO 3.15
Con los datos de rentabilidad, matriz de varianzas-covarianzas y precios de
los títulos del ejemplo anterior, se desea formar una cartera invirtiendo 600.000 €.
Se desea que la desviación típica de la rentabilidad esperada de la cartera sea mínima, que la rentabilidad esperada esté entre el 13 % y el 17 %, y que el coeficiente
beta de los activos de la clase 4 sea como mínimo 1,45. Determinar:
a) Número entero de títulos a adquirir de cada clase.
b) Distribución porcentual de la rentabilidad y del riesgo de la cartera entre
las distintas clases de títulos.
Resolución
En el archivo correspondiente de Soluciones diseñamos la hoja para efectuar
todos los cálculos, teniendo en cuenta que para responder a lo que se pide es preciso calcular: N; Ep; sp; Qp; b; e; e′; q; q′. En las celdas de las incógnitas (número
de títulos) ponemos un número entero cualquiera (por ejemplo 1), y calculamos
la cuantía a invertir en cada clase de títulos y las proporciones correspondientes:
148
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
Para la cartera anterior implementamos las fórmulas correspondientes para
calcular la rentabilidad esperada, el riesgo, el vector de covarianzas, el vector de
betas, los de contribución de cada clase de activos a la rentabilidad y al riesgo, así
como las distribuciones porcentuales. Se obtiene:
Una vez diseñada completamente la hoja podemos resolver los distintos apartados. Para ello, lo más adecuado es copiarla en otra hoja19.
a) Como hay que minimizar la desviación típica de la cartera, utilizamos
Solver: la celda objetivo de valor mínimo es la correspondiente a la desviación
típica de la cartera, cambiando las celdas del número de títulos a adquirir. Las
restricciones son: número entero de títulos, y:
xi ≥ 0;
5
∑ xi = 1; 13% ≤ E p ≤ 17%; β4 ≥ 1, 45; I p = 600.000
i=1
Se obtiene como solución20:
19
La secuencia en Excel es: Mover o copiar y Crear copia.
Las opciones de Solver seleccionadas son: estimación cuadrática; derivadas progresivas;
buscar Newton.
20
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149
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Inversiones financieras: selección de car teras
b) Como hemos diseñado la hoja con todos los cálculos a efectuar, obtenemos la rentabilidad esperada y el riesgo de la cartera:
También obtenemos la contribución de cada clase de títulos a la rentabilidad
y al riesgo, así como las correspondientes distribuciones porcentuales:
EJEMPLO 3.16
Con la cartera del ejemplo anterior, se pide:
a)
b)
c)
d)
Vector de covarianzas entre el rendimiento de cada título y el de la cartera.
Vector betas.
Resultado esperado.
Si la rentabilidad esperada sigue una distribución normal, hallar la probabilidad de que el rendimiento esperado sea inferior al 13 %.
Resolución
a y b) Al ser la cartera del ejemplo 3.3.7, copiamos la segunda hoja del mismo. Se obtiene:
150
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
c) El resultado esperado de la cartera se obtiene al multiplicar la rentabilidad
esperada por la cuantía invertida: Gp = Ep Ip = 14,2462 % × 600.000 = 85.477,20 €.
La contribución de cada clase de títulos al resultado es:
d) Sabemos que la rentabilidad esperada de la cartera verifica: rp → N (Ep =
= 14,2462 %; sp = 3,3151 %). Se pide P (rp ≤ 13 %). Con la función DISTR.NORM
de Excel se obtiene un 35,3490 %:
d) Covarianza entre los rendimientos de dos carteras
Supongamos un inversor que, con los datos de rentabilidades esperadas y matriz de varianzas-covarianzas de un conjunto de n clases de activos, forma dos
carteras p y q, que se diferencian únicamente en el vector de proporciones. Sea X
el vector de proporciones de la cartera p, e Y el de la cartera q:
⎛
⎜
⎜
X =⎜
⎜
⎜
⎜⎝
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x1 ⎞
⎟
x2 ⎟
⎟;
⎟
⎟
xn ⎟⎠
⎛
⎜
⎜
Y =⎜
⎜
⎜
⎜⎝
y1 ⎞
⎟
y2 ⎟
⎟
⎟
⎟
yn ⎟⎠
151
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Inversiones financieras: selección de car teras
Sabemos que las variables aleatorias representativas de la rentabilidad de las
carteras p y q verifican, respectivamente:
rp = x1r1 + x2 r2 + x3r3 + + xn rn =
n
∑ xi ri
i=1
rq = y1r1 + y2 r2 + y3r3 + + yn rn =
n
∑ yi ri
i=1
La covarianza entre los rendimientos de ambas carteras es:
⎞
⎛ n
σ pq = cov (rp , rq ) = cov ⎜ ∑ xi ri , rq ⎟ = cov (x1r1 + x2 r2 + x3r3 + + xn rn , rq ) =
⎠
⎝ i=1
(
)
(
)
(
)
(
)
= x cov (r , r ) + x cov (r , r ) + x cov (r , r ) + + x cov (r , r )
= cov x1r1, rq + cov x2 r2 , rq + cov x3r3 , rq + + cov xn rn , rq =
1
1
q
2
2
q
3
3
q
n
n
q
La última expresión se puede poner en forma matricial, por lo que se verifica:
pq = x1 cov (r1, rq ) + x2 cov (r2 , rq ) + x3 cov (r3 , rq ) + + xn cov (rn , rq ) =
=
( x,
1
x2 , x3 , , xn
)
cov r1, rq cov r2 , rq cov r3 , rq = X Qq
cov rn , rq ( )
( )
( )
(
)
Sabemos que el vector de covarianzas entre el rendimiento de cada activo y el
de la cartera q a la que pertenece21, verifica Qq = SY. Por tanto, de la ecuación
anterior se deduce la expresión que permite calcular la covarianza entre los rendimientos esperados de dos carteras:
σ pq = X ′Qq = X ′SY
21
152
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Recuérdese que el vector de proporciones de la cartera q es Y.
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
EJEMPLO 3.17
Con los datos de rentabilidad y riesgo que se indican en el archivo correspondiente de Datos se forman dos carteras. Las proporciones en la primera son: 15 %,
18 %, 20 %, 22 %, 25 %. En la segunda son tales que la desviación típica de la rentabilidad esperada es mínima; la rentabilidad esperada igual o superior al 12 %, y
la rentabilidad aportada por el título 4 al rendimiento esperado de la cartera es
como mínimo el 20 % de ésta. Determinar:
a) Coeficiente de correlación lineal entre los rendimientos esperados de ambas carteras.
b) Si la rentabilidad de segunda cartera sigue una distribución normal, ¿cuál
es la probabilidad de que sea inferior a la de la primera?
Resolución
a) Sabemos que el coeficiente de correlación lineal entre las rentabilidades
de dos activos o dos carteras, verifica:
ρ pq =
cov pq
σ pσ q
Por tanto, hemos de calcular el riesgo de cada cartera y la covarianza entre sus
rendimientos esperados. Para la cartera p se dispone de todos los datos. En cambio, para la cartera q es preciso determinar su vector de proporciones. De acuerdo
con los datos, la cartera q tiene mínima la desviación típica de la rentabilidad, y
una rentabilidad esperada mínima del 12 %, siendo la rentabilidad aportada por
el título 4 como mínimo del 20 % de la rentabilidad de la cartera.
Diseñamos la hoja en el correspondiente archivo de Soluciones para poder
efectuar todos los cálculos. Para determinar el vector de proporciones Y de la
cartera q utilizamos Solver, siendo la función objetivo, de valor mínimo, la correspondiente a su desviación típica22 de rentabilidad esperada. Además, se han de
verificar las siguientes restricciones:
5
∑ yi = 1;
yi ≥ 0; E p ≥ 12%; e4′ ≥ 20%
i=1
22
En el enunciado se dice que la desviación típica ha de ser mínima. Si se dijese que el riesgo
fuese mínimo, la celda objetivo sería la correspondiente a la varianza, como veremos en posteriores
ejemplos.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Se tiene23:
Sabemos que la covarianza entre las rentabilidades esperadas de dos carteras
se obtiene de acuerdo con la expresión: spq = X′SY, y teniendo en cuenta la expresión del coeficiente de correlación lineal, al efectuar los cálculos se obtiene:
b) Para calcular la probabilidad pedida es preciso determinar la rentabilidad esperada de la cartera p. Se obtiene Ep = 11,96 %. Por tanto, hay que calcular P (rq ≤ 11,96 %) con rq → N (Eq = 12,4350 %; sq = 3,0119 %). Con la función
DISTR.NORM de Excel se obtiene un 43,73 %.
3.3.2. Carteras con dos clases de activos
Si las carteras a formar están integradas sólo por dos activos, todas las expresiones anteriores quedan simplificadas, pudiéndose realizar algunos cálculos sin
necesidad de utilizar matrices. Haciendo x1 = x; x2 = 1 − x, tenemos, por ejemplo,
para la varianza del rendimiento esperado de una cartera y para la covarianza
entre el rendimiento esperado de un activo y el de la cartera:
σ 2p = x 2σ 12 + (1 − x) σ 22 + 2x (1 − x)σ 12 = x 2σ 12 + (1 − x) σ 22 + 2x (1 − x)σ 1σ 2 ρ12
2
2
σ ip = xσ i1 + (1 − x)σ i 2
23
Como existen muchas soluciones para los valores del vector Y, cualquiera de las que
proporciona Solver está en función de los valores iniciales introducidos en las celdas cambiantes.
154
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
EJEMPLO 3.18
Un inversor dispone de un presupuesto de 70.000 € para formar una cartera
con dos clases de títulos cuyas características son: Clase 1: rentabilidad del 15 %
y riesgo del 3,7 %; Clase 2: rentabilidad del 18 % y riesgo del 4,3 %. El coeficiente
de correlación entre las rentabilidades de ambas clases de activos vale 0,90. Cada
título de la clase 1 cuesta 50 €, y cada uno de la clase 2 vale 40 €. Se desea agotar
todo el presupuesto formando una cartera de tal forma que el número de títulos
de la clase 1 sea el doble que el de la clase 2. Sin considerar los gastos de adquisición, determinar:
a) La rentabilidad esperada y el riesgo de dicha cartera.
b) La distribución porcentual del resultado esperado.
c) La covarianza entre la rentabilidad de cada clase de títulos y el rendimiento de la cartera.
d) La beta de los títulos de la clase 2.
Resolución
Denominando N al número de títulos a adquirir de la clase 2, de la clase 1 se
ha de adquirir 2N, por lo que se verifica: 50 × 2N + 40N = 70.000 €. En consecuencia, de la clase 1 se adquieren 1.000 títulos, y 500 de la clase 2. Por tanto, los
pesos de ambas clases de títulos en la cartera son:
x1 = x =
x2 =
1.000 × 50 5
=
70.000
7
500 × 40 2
= = 1− x
70.000
7
a) La rentabilidad y el riesgo de la cartera son, respectivamente:
Ep =
2
5
2
15% + 18% = 15,8571%
7
7
2
5 2
5
2
2p = 0, 037 + 0, 043 + 2 0,9 0, 037 0, 043 =
7
7
7 7
= 1, 433857 10 3
p = 3,7866%
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155
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Inversiones financieras: selección de car teras
b) El resultado esperado en cada clase de activos es:
G1 = 15% × 50.000 = 7.500 €; G2 = 18% × 20.000 = 3.600 €
En consecuencia, la distribución porcentual del resultado esperado de cada
clase de activos es:
g1 =
7.500
3.600
= 67,57%; g2 =
= 32, 43%
11.100
11.100
c) La covarianza entre el rendimiento esperado de los títulos y el rendimiento esperado de la cartera, verifica:
σ 1 p = xσ 11 + (1 − x)σ 12 =
5
2
× 0, 0372 + × 0,90 × 0, 037 × 0, 043 = 0, 00138697
7
7
σ 2 p = xσ 21 + (1 − x)σ 22 =
5
2
× 0,90 × 0, 037 × 0, 043 + × 0, 0432 = 0, 00155107
7
7
σ ip
. Por tanto, la beta de los títulos de la
σ 2p
clase 2 en la cartera (o contribución proporcional al riesgo) es:
d) Sabemos que se verifica: βi =
β2 =
σ2p
0, 00155107
=
= 1, 081747
2
σ p 1, 433857 × 10 −3
EJEMPLO 3.19
Con los datos de dos activos que figuran en el archivo correspondiente, se
pide:
a) Composición de la cartera de mínimo riesgo.
b) Riesgo de la cartera que se forma invirtiendo en el activo 1 el 80 %.
c) Covarianza entre el rendimiento de ambas carteras.
Resolución
a) La cartera de mínimo riesgo es también la de mínima varianza del rendimiento esperado. Por ello, hemos de determinar el valor de x que minimiza la
2
función: σ 2p = x 2σ 12 + (1 − x) σ 22 + 2x (1 − x)σ 1σ 2 ρ12 . Dicho valor es el que hace
nula la primera derivada:
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
dσ 2p
= 2xσ 12 − 2 (1 − x)σ 22 + 2σ 1σ 2 ρ12 − 4xσ 1σ 2 ρ12 = 0
dx
Al despejar obtenemos:
x=
σ 22 − σ 1σ 2 ρ12
σ2 −σ
= 2 2 2 12
= x1
2
σ + σ 2 − 2σ 1σ 2 ρ12 σ 1 + σ 2 − 2σ 12
2
1
Y, por tanto:
x2 = 1 − x1 =
σ 12 − σ 12
σ + σ 22 − 2σ 12
2
1
De acuerdo con los datos, tenemos:
σ 12 = 0, 00171715; σ 22 = 0, 00189428; σ 12 = 0, 00136593
Al sustituir llegamos a que la cartera de mínimo riesgo se obtiene invirtiendo
en el activo 1 el 60,0691 % del presupuesto de inversión, y en el 2 el 39,9309 %. El
riesgo mínimo vale 3,9710 %.
También podemos determinar la composición de la cartera de mínimo riesgo
utilizando la función Solver. En tal caso, la función objetivo es la varianza24, con
valor mínimo, siendo las restricciones las relativas a que las proporciones deben
ser nulas o positivas y que sumen uno:
24
Si bien la cartera de mínimo riesgo (desviación típica) es la misma que la de mínima varianza,
al utilizar Solver para minimizar el riesgo se debe tomar como celda objetivo la correspondiente a la
varianza, pues así el programa tiene que realizar un menor número de cálculos y da una solución
exacta o con mejor aproximación que si se minimizase la desviación típica. No obstante, en este
ejemplo se puede comprobar que si se toma como celda objetivo a minimizar la de la desviación
típica, se obtiene una composición que coincide con la de mínima varianza.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Se obtiene:
b) Al formar una cartera invirtiendo el 80 % en el activo 1 y el 20 % en el 2,
el riesgo es el 4,0148 %.
c) Para calcular la covarianza entre las rentabilidades esperadas de ambas
carteras utilizamos la expresión matricial ya conocida: spq = X′SY, siendo los
componentes del vector X 60,0691 % y 39,9309 %, y los del vector Y 80 % y 20 %.
Se obtiene una covarianza igual a 0,001577 y un coeficiente de correlación lineal
del 0,9892.
3.4. LA DIVERSIFICACIÓN DEL RIESGO
3.4.1. Carteras con n clases de activos
1
n
n
n
2
Sabemos que el riesgo de una cartera p verifica: p = x12 i2 + xi x j ij .
i=1i j j =1
i=1
Por ello, tal y como hemos señalado, los tres factores que determinan el riesgo
son: las proporciones en que intervienen los títulos; el riesgo de cada uno y la
covarianza con los demás. Además, de la expresión anterior se deduce que, al
combinar títulos positivamente correlacionados, el riesgo no puede eliminarse
n
n
completamente, si bien puede disminuirse25, pues el sumando ∑ ∑ xi x jσ ij puede
i=1i≠ j j =1
disminuir si las covarianzas disminuyen26.
25
El riesgo es una función creciente con respecto a un coeficiente de correlación lineal, pues la
derivada con respecto al mismo es positiva, por lo que al aumentar (o disminuir) un coeficiente de
∂s
correlación lineal, el riesgo también aumenta (o disminuye): p > 0.
∂rij
26
Si los coeficientes de correlación entre los activos están próximos a cero o son negativos,
pueden existir carteras cuyo riesgo sea inferior al del activo de las mismas con menor riesgo. También
con dos activos se pueden formar carteras con riesgo nulo, si los dos títulos están lineal y negativamente
correlacionados, como veremos en el apartado correspondiente. No obstante, son muy pocos los
títulos con tales valores del coeficiente de correlación.
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
En general, cuanto menor sea la correlación de los activos en una cartera,
menor será su riesgo. Por ello, formada una determinada cartera, si algunos títulos se sustituyen por otros de la misma rentabilidad y riesgo que los sustituidos,
pero con menor covarianza, el rendimiento esperado no se modifica, pero el riesgo de la cartera disminuye. Y si algunas covarianzas son negativas, la disminución
es mayor.
Diversificar significa repartir una inversión entre varios activos con riesgo en
vez de concentrarla en uno solo. Por ello, mediante la diversificación, los inversores pueden eliminar parte del riesgo de sus carteras combinando adecuadamente
los activos disponibles para invertir.
La diversificación eficiente puede definirse como la combinación de activos
cuyos rendimientos esperados tengan la menor correlación posible con el fin de
reducir el riesgo sin sacrificar la rentabilidad esperada27. Por tanto, al formar una
cartera es necesario evitar incluir títulos en la misma con elevadas covarianzas
entre sí.
EJEMPLO 3.20
Se forma una cartera integrada por los tres títulos cuyos datos se indican:
Activos
Rentabilidad
Riesgo
1
10 %
4%
2
13 %
6%
3
15 %
7%
La cartera se forma en la siguiente proporción: 25 %, 35 % y 40 %. Determinar
la rentabilidad y el riesgo de la cartera para distintos valores del coeficiente de
correlación lineal y efectuar su representación gráfica.
Resolución
Para poner de manifiesto la incidencia del coeficiente de correlación lineal
sobre el riesgo de la cartera, diseñamos la hoja Excel correspondiente, calculando
la matriz de varianzas-covarianzas de tal forma que al modificar el coeficiente de
27
Frente a esta diversificación está la diversificación ingenua o superflua, que implica formar
carteras con el mayor número posible de títulos, prescindiendo de las covarianzas. Esta diversificación
no es eficiente, pues sólo con aumentar el número de activos de una cartera no se consigue reducir el
riesgo, pues para ello es preciso, como hemos señalado, tener en cuenta las covarianzas.
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correlación lineal las covarianzas se modifiquen. Según distintos valores del coeficiente de correlación lineal, de igual valor para los tres activos, tenemos:
El gráfico es el siguiente:
Vemos que, efectivamente, el riesgo va disminuyendo al disminuir el coeficiente de correlación lineal. En cambio, la rentabilidad de la cartera no se ve alterada al modificar el coeficiente de correlación lineal: su valor permanece constante en el 13,05 %.
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El valor máximo del riesgo se da cuando los tres coeficientes de correlación
lineal toman el valor máximo. Además, para un valor de los coeficientes de 0,1,
el riesgo de la cartera es inferior al del activo de menor riesgo.
Vemos, pues, que, sustituyendo los activos por otros con la misma rentabilidad y riesgo, pero de menor coeficiente de correlación lineal (o menor covarianza), la rentabilidad de la cartera no se altera, pero el riesgo puede disminuir sensiblemente.
En general, formada una cartera con n títulos, sabemos que la expresión que
permite calcular la varianza de su rentabilidad es:
σ 2p =
n
n
n
n
n
∑ x12σ i2 + ∑ ∑ xi x jσ iσ j ρij =∑ ∑ xi x jσ iσ j ρij
i=1i≠ j j =1
i=1
i=1 j =1
Si todas las rentabilidades esperadas de los activos están lineal y positivamente correlacionadas, rij = 1, ∀(i, j), tenemos:
σ 2p =
h
Recordando que se verifica28
n
n
∑ ∑ xi x jσ iσ j
i=1 j =1
k
⎛
h
⎞⎛
k
⎞
∑ ∑ xi y j = ⎜⎝ ∑ xi ⎟⎠ ⎜⎝ ∑ y j ⎟⎠ , podemos poner:
i=1 j =1
i=1
j =1
⎞ ⎛ n
⎞⎛ n
⎞
⎛ n
σ = ∑ ∑ xi x jσ iσ j = ⎜ ∑ xiσ i ⎟ ⎜ ∑ x jσ j ⎟ = ⎜ ∑ xiσ i ⎟
⎠ ⎝ j =1
⎠
⎝ i=1
⎠ ⎝ i=1
i=1 j =1
n
n
2
2
p
Por tanto:
⎞
⎛ n
σ p = ⎜ ∑ xiσ i ⎟ = x1σ 1 + x2σ 2 + + xnσ n
⎠
⎝ i=1
En consecuencia, formada una determinada cartera con un cierto vector de
proporciones, si todos los coeficientes de correlación lineal son iguales a la unidad, el riesgo de la cartera es la media ponderada de los riesgos de los títulos que
la forman, siendo las ponderaciones las proporciones en las que los activos participan en la cartera.
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Puede verse el Anexo I en la lección 1.
161
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Inversiones financieras: selección de car teras
En general, se dice que existen ventajas en la diversificación al formar una cartera, si su riesgo es inferior a la media ponderada de los riesgos de los títulos que
la forman. Y, obviamente, si alterar la rentabilidad, cuanto más bajo sea el riesgo
más eficiente es la diversificación.
EJEMPLO 3.21
Se forma una cartera integrada por los títulos cuyos datos se indican:
Activos
Rentabilidad
Riesgo
1
15 %
6%
2
18 %
8%
3
20 %
9%
4
22 %
11 %
5
23 %
13 %
Si todos los títulos están lineal y positivamente correlacionados, se pide:
a) Las proporciones y el riesgo de la cartera cuya rentabilidad esté comprendida entre el 18 % y el 21 %, de tal forma que en los títulos de la clase 1 se invierta como máximo un 10 % de la cuantía total; en los de la clase 5 se
invierta como mínimo un 25 %, y que lo invertido en los títulos de las
clases 2, 3 y 4 sume un máximo del 60 % de la cuantía a invertir.
b) Para la cartera anterior, calcular su riesgo si el coeficiente de correlación
lineal (el mismo entre todos los títulos) es 0,8.
c) Ídem si es −0,3.
Resolución
a) En el archivo correspondiente de Soluciones diseñamos adecuadamente la hoja para efectuar los cálculos, determinando, en primer lugar, la matriz
de varianzas-covarianzas, teniendo en cuenta que se verifica: sij = si sj rij. Como
en el siguiente apartado vamos a modificar el valor del coeficiente de correlación lineal, la matriz anterior la calculamos vinculada a dicho coeficiente. Tenemos:
162
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Completamos el diseño e introducimos las fórmulas que permiten calcular el
rendimiento esperado y el riesgo de la cartera. Para obtener el vector de proporciones utilizamos la función Solver, tomando como celda objetivo, con valor 1, la
correspondiente a la suma de las proporciones, así como las restricciones derivadas del enunciado:
xi ≥ 0; 18% ≤ E p ≤ 21%; x1 ≤ 10% x5 ≥ 25%; x2 + x3 + x4 ≤ 60%
Queda:
Al resolver se obtiene:
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Inversiones financieras: selección de car teras
El riesgo de la cartera es del 10,2469 %, el cual, al ser todos los coeficientes de
correlación lineales iguales a uno, se puede determinar por la expresión sp = x1s1 +
+ x2s2 + x3s3 + x4s4 + x5s5, llegándose, naturalmente, al mismo resultado.
b) Para la cartera cuyo vector de proporciones es el calculado en el apartado
anterior, para un coeficiente de correlación lineal igual a 0,8, el riesgo vale 9,4694 %.
c) Si el coeficiente de correlación lineal vale −0,3, el riesgo es del 2,3142 % < s1.
Obviamente, la rentabilidad esperada de la cartera no se ha modificado.
3.4.2. Carteras con dos clases de activos
Hemos señalado que, en función del coeficiente de correlación lineal, el riesgo
de una cartera de n clases de títulos, cuando sus rentabilidades están lineal y positivamente correlacionadas, rij = 1, es la media ponderada del riesgo de los activos:
σ p = x1σ 1 + x2σ 2 + + xnσ n
También sabemos que el riesgo de una cartera decrece al hacerlo el coeficiente
de correlación lineal.
Para dos clases de títulos, el riesgo de cualquier cartera se obtiene según la
expresión:
1
2
σ p = ⎡⎣x 2σ 12 + (1 − x) σ 22 + 2x (1 − x)σ 1σ 2 ρ12 ⎤⎦ 2
En consecuencia a lo expuesto, resulta importante, para carteras con dos clases de activos, analizar las siguientes hipótesis en función del valor del coeficiente
de correlación lineal: r12 = 1; r12 = 0; r12 = −1.
a) r12 = 1. En este caso sabemos que el riesgo de la cartera es la media ponderada del riesgo de los activos que la componen: sp = xs1 + (1 − x)s2. Por ello, no existen ventajas en la diversificación, pues el riesgo no puede ser inferior a dicha media.
Además, al ser la rentabilidad esperada Ep = xE1 + (1 − x)E2, despejando x en
la ecuación del riesgo y sustituyendo en la de la rentabilidad, al realizar operaciones se llega a:
E p = E2 + (E1 − E2 )
=
164
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σ2 − σ p
=
σ 2 − σ1
E1σ 2 − E2σ 1 E2 − E1
+
σp
σ 2 − σ1
σ 2 − σ1
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
Por tanto, la relación entre la rentabilidad esperada y el riesgo es lineal, viniendo dada por la ecuación Ep = a + bsp, siendo:
a=
E1σ 2 − E2σ 1
σ 2 − σ1
b=
E2 − E1
σ 2 − σ1
Gráficamente:
Ep
A2
E2
E1
A1
s1
s2
sp
Figura 3.1
La línea de combinación de activos, representativa de todas las carteras que
se pueden formar combinando ambos títulos, es la recta que une los puntos representativos de los dos activos. Además, la cartera de mínimo riesgo se obtiene
al invertir todo el presupuesto de inversión en el activo de menor riesgo.
b) r12 = 0. En este caso, la varianza de la cartera verifica: sp2 = x2s12 + (1 −
− x)2s22. Como sabemos que el riesgo de una cartera disminuye cuando lo hace el
coeficiente de correlación lineal, el riesgo es inferior al de la situación con r12 = 1:
1
2
2
σ p = ⎡⎣x 2σ 12 + (1 − x) σ 22 ⎤⎦ < xσ 1 + (1 − x)σ 2
Al ser el riesgo inferior a la media ponderada del riesgo de los títulos, existen
ventajas en la diversificación.
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Inversiones financieras: selección de car teras
En este caso la relación entre la rentabilidad esperada y el riesgo no es lineal,
y la línea de combinación de activos o conjunto de carteras que se pueden formar
combinando ambos títulos es una línea curva situada a la izquierda de la recta
que une los puntos representativos de ambos activos:
Ep
A2
E2
E1
A1
s1
s2
sp
Figura 3.2
Hemos demostrado en el apartado correspondiente al riesgo de carteras con
dos activos, que la cartera con mínimo riesgo verifica:
x=
σ 22 − σ 1σ 2 ρ12
σ 22 − σ 12
=
σ 12 + σ 22 − 2σ 1σ 2 ρ12 σ 12 + σ 22 − 2σ 12
Por tanto, haciendo r12 = 0, la composición de la cartera de mínimo riesgo
global es:
x1 = x =
σ 22
σ 12 + σ 22
x2 = 1 − x =
σ 12
σ 12 + σ 22
Es importante destacar que, en este caso, el riesgo mínimo es inferior al del
activo de menor riesgo, como fácilmente se observa en el gráfico.
c) r12 = −1. Al disminuir el riesgo cuando lo hace el coeficiente de correlación lineal, cuando éste vale −1 el riesgo será inferior al correspondiente cuando
dicho coeficiente toma un valor superior.
166
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
La varianza verifica:
σ 2p = x 2σ 12 + (1 − x) σ 22 − 2x (1 − x)σ 1σ 2 =
2
= ⎡⎣xσ 1 − (1 − x)σ 2 ⎤⎦
2
Por tanto, el riesgo viene dado29 por la siguiente expresión, siendo válida la
que proporcione un valor positivo:
σ p = ± ⎡⎣xσ 1 − (1 − x)σ 2 ⎤⎦
Si se realizan operaciones, de forma análoga a lo realizado para r12 = 1, la línea
de combinación de activos viene dada por dos rectas con la misma ordenada en
el origen y pendientes opuestas. Así, considerando xs1 − (1 − x)s2 > 0, se llega a:
Ep =
E1σ 2 + E2σ 1 E1 − E2
+
σp
σ1 + σ 2
σ1 + σ 2
Y considerando −[xs1 − (1 − x)s2] > 0 se obtiene:
Ep =
E1σ 2 + E2σ 1 E2 − E1
+
σp
σ1 + σ 2
σ1 + σ 2
Por otra parte, sabemos que la cartera con mínimo riesgo global verifica:
x=
σ 22 − σ 1σ 2 ρ12
σ 22 − σ 12
=
σ 12 + σ 22 − 2σ 1σ 2 ρ12 σ 12 + σ 22 − 2σ 12
Por tanto, haciendo r12 = −1, y simplificando, se obtiene la composición de la
cartera de mínimo riesgo global:
x1 = x =
σ2
σ1 + σ 2
x2 = 1 − x =
29
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σ1
σ1 + σ 2
Téngase en cuenta que la raíz cuadrada toma dos valores opuestos.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Si sustituimos en la ecuación del riesgo se obtiene:
⎡ σ2
⎤
σ1
σp = ±⎢
σ1 −
σ2⎥ = 0
σ
+
σ
σ
+
σ
2
1
2
⎣ 1
⎦
En consecuencia, cuando el coeficiente de correlación lineal es −1, se puede
anular completamente el riesgo de la cartera, tomando la rentabilidad de la misma
el valor correspondiente a la ordenada en el origen de la recta de combinación de
ambos títulos:
Ep =
E1σ 2 + E2σ 1
σ1 + σ 2
Gráficamente:
Ep
A2
E2
E1
A1
s1
s2
sp
Figura 3.3
De las carteras situadas en las rectas anteriores, cualquier inversor racional
elegirá exclusivamente las situadas en la línea superior, pues a igual riesgo que las
situadas en la recta inferior tienen mayor rentabilidad. Además, la línea superior
tiene pendiente positiva, por lo que ante un aumento del riesgo se produce también un aumento de la rentabilidad. En cambio, la línea inferior tiene pendiente
negativa, por lo que ante un aumento del riesgo se produce una disminución de
la rentabilidad, lo cual es absurdo.
Podemos sintetizar en el siguiente gráfico las líneas de combinación de títulos
en los tres casos estudiados:
168
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
Ep
E2
A2
r12 = −1
r12 = 0
E1
r12 = 1
A1
s1
s2
sp
Figura 3.4
Por tanto, cuando el coeficiente de correlación lineal vale 1, todas las carteras
obtenidas al combinar los dos activos están en la recta que une sus respectivos
puntos; y cuando es nulo, las combinaciones están en una curva. En cualquier
caso, a medida que disminuye el coeficiente de correlación lineal, al disminuir
también el riesgo la curvatura de la línea de combinación aumenta. Y en el caso
extremo en el que el coeficiente sea −1, dicha curva se convierte en dos líneas
rectas.
EJEMPLO 3.22
Para dos clases de activos se dispone de la siguiente información:
Activos
Rentabilidad
Riesgo
1
13 %
6%
2
17 %
8%
Se pide:
a) Si el coeficiente de correlación lineal entre los rendimientos de ambas
clases de activos es 1:
1.
2.
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¿Cuál es la ecuación de la línea de combinación de tales activos?
Representar gráficamente las carteras que se formen invirtiendo en el
activo 1 el 100 %, el 80 % o el 20 %.
169
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Inversiones financieras: selección de car teras
b) Si el coeficiente de correlación lineal entre los rendimientos de ambas
clases de activos es 0,15:
1.
2.
Representar gráficamente las carteras que se formen invirtiendo
en el activo 1 el 100 %, e ir disminuyendo de 5 en 5 puntos porcentuales.
Determinar la composición de la cartera de mínimo riesgo.
Resolución
a.1) Podemos sustituir en las expresiones deducidas para el caso r12 = 1, verificándose:
a=
E1σ 2 − E2σ 1 0,13 × 0, 08 − 0,17 × 0, 06
=
= 0, 01
σ 2 − σ1
0, 08 − 0, 06
b=
E2 − E1 0,17 − 0,13
=
=2
σ 2 − σ 1 0, 08 − 0, 06
Por tanto, la línea de combinación de activos tiene la siguiente ecuación:
E p = a + bσ p = 0, 01 + 2σ p
Otra forma es sustituyendo en la expresión del rendimiento esperado de una
cartera y en la del riesgo:
E p = 0,13x + 0,17 (1 − x)
σ p = 0, 06x + 0, 08 (1 − x)
Al despejar x en la ecuación del riesgo y sustituir en la de la rentabilidad se
obtiene la misma ecuación de combinación de activos ya deducida.
a.2) Al sustituir los valores dados de x en las dos ecuaciones precedentes,
obtenemos:
170
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
El gráfico es:
b.1) De acuerdo con los datos, calculamos la rentabilidad y el riesgo de diversas carteras, modificando el porcentaje de inversión en el activo 1:
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Inversiones financieras: selección de car teras
El gráfico correspondiente es:
b.2) Para calcular la composición de la cartera de mínimo riesgo podemos
utilizar la expresión ya deducida, sustituyendo los valores conocidos:
x=
σ 22 − σ 1σ 2 ρ12
= 66,3551%
σ 12 + σ 22 − 2σ 1σ 2 ρ12
Por tanto, la cartera de mínimo riesgo se obtiene invirtiendo en el activo 1 el
66,3551 % del presupuesto, y en el 2 el 33,6449 %.
Otra forma de llegar a idéntico resultado es utilizando la función Solver, considerando como celda objetivo a minimizar la de la varianza30, siendo las restric2
ciones xi ≥ 0; ∑ xi = 1:
i=1
30
Tal y como hemos señalado en otro ejemplo, la cartera de mínimo riesgo (desviación típica)
es la misma que la de mínima varianza. No obstante, al utilizar Solver se debe minimizar la varianza,
pues así el programa da una solución exacta o con mejor aproximación que si se minimizase la
desviación típica. En este ejemplo se puede comprobar que si se toma como celda objetivo a
minimizar la de la desviación típica, se obtiene una composición que no proporciona el mínimo
riesgo.
172
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
La cartera de mínimo riesgo tiene una rentabilidad esperada del 14,35 % y un
riesgo del 5,13 %:
EJEMPLO 3.23
Para dos clases de activos se dispone de la siguiente información:
Activos
Rentabilidad
Riesgo
1
18 %
9%
2
23 %
13 %
Si el coeficiente de correlación lineal entre ambas clases de activos es nulo, se
pide:
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Inversiones financieras: selección de car teras
a) Representar gráficamente las carteras que se formen invirtiendo en el activo 1 el 100 %, e ir disminuyendo en 5 puntos porcentuales.
b) Determinar la composición de la cartera de mínimo riesgo.
Resolución
a) De acuerdo con los datos, calculamos la rentabilidad y el riesgo de diversas carteras, modificando el porcentaje de inversión en el activo 1, tal y como
hemos realizado anteriormente. El gráfico correspondiente es:
b) Para determinar la composición de la cartera de riesgo podemos sustituir
en la expresión deducida para el caso r12 = 0, verificándose:
x1 = x =
σ 22
= 67,60%
σ 12 + σ 22
x2 = 1 − x = 32, 40%
Se llega a idéntico resultado utilizando la función Solver, considerando como
2
celda objetivo a minimizar la de la varianza, siendo las restricciones xi ≥ 0; ∑ xi = 1.
i=1
Y sustituyendo en las expresiones correspondientes, deducimos que la cartera
tiene una rentabilidad del 19,62 %, con un riesgo del 7,40 %.
174
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
EJEMPLO 3.24
Para dos clases de activos se dispone de la siguiente información:
Activos
Rentabilidad
Riesgo
1
12 %
4%
2
16 %
8%
Si el coeficiente de correlación lineal entre los rendimientos de ambas clases
de activos es −1, se pide:
a) ¿Cuál es la ecuación de la línea de combinación de tales activos?
b) Representar gráficamente las carteras que se formen invirtiendo en el activo 1 el 100 %, e ir disminuyendo de 5 en 5 puntos porcentuales.
c) Determinar la composición de la cartera de mínimo riesgo.
Resolución
a) Podemos sustituir en las expresiones deducidas para el caso r12 = −1, verificándose:
E p1 =
E1σ 2 + E2σ 1 E1 − E2
0, 016 0, 04
+
σp =
−
σp
σ1 + σ 2
σ1 + σ 2
0,12
0,12
E p2 =
E1σ 2 + E2σ 1 E2 − E1
0, 016 0, 04
+
σp =
+
σp
σ1 + σ 2
σ1 + σ 2
0,12
0,12
A las mismas ecuaciones se llega si se sustituye directamente en las ecuaciones
de la rentabilidad y del riesgo y se realizan las correspondientes operaciones.
b) De acuerdo con los datos, calculamos la rentabilidad y el riesgo de diversas carteras, modificando el porcentaje de inversión en el activo 1, tal y como
hemos realizado anteriormente. El gráfico correspondiente es:
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Inversiones financieras: selección de car teras
Es válida sólo la ecuación con pendiente positiva (recta superior), pues ante
modificaciones positivas (o negativas del riesgo) las correspondientes variaciones
en la rentabilidad tienen el mismo signo. En cambio, en la recta con pendiente
negativa, si por ejemplo el riesgo aumenta, pasando del 2 % al 3 %, la rentabilidad
disminuye, pasando del 12,67 % al 12,33 %, lo cual es absurdo, pues a mayor riesgo debe corresponder mayor rentabilidad.
c) Para calcular la composición de la cartera de mínimo riesgo podemos
utilizar la expresión ya deducida, sustituyendo los valores conocidos:
x1 = x =
σ2
= 66,67%
σ1 + σ 2
x2 = 1 − x = 33,33%
Se llega a idéntico resultado utilizando la función Solver, considerando como
2
celda objetivo a minimizar la de la varianza, siendo las restricciones xi ≥ 0; ∑ xi = 1.
i=1
Y sustituyendo en las expresiones correspondientes, deducimos que la cartera
tiene una rentabilidad del 13,33 %, con un riesgo nulo.
176
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
EJEMPLO 3.25
Con los datos que figuran en el archivo correspondiente a este ejemplo, se
pide:
a) Determinar la rentabilidad y el riesgo de dos carteras p y q, siendo las
proporciones, en tanto por ciento, respectivamente: 12, 18, 20, 20, 30 y 5,
15, 30, 40, 10.
b) Representar gráficamente las carteras que se formen invirtiendo en las
carteras p y q, de tal forma que se invierta en p el 100 %, e ir disminuyendo 5 puntos porcentuales.
c) Determinar la composición de la cartera de mínimo riesgo al combinar
p y q.
Resolución
a) Diseñamos la hoja correspondiente implementando las fórmulas matriciales para calcular la rentabilidad y el riesgo:
La cartera p tiene una rentabilidad esperada del 16,18 % y un riesgo del
2,4112 %, mientras que la cartera q tiene una rentabilidad del 15,85 %, con un
riesgo del 2,4056 %.
b) Para realizar el gráfico pedido es necesario determinar la rentabilidad y
el riesgo de las distintas carteras que se formen al ir invirtiendo en p y en q. Y para
calcular el riesgo de tales carteras necesitamos conocer la matriz de varianzascovarianzas entre p y q.
Sabemos que la covarianza entre las rentabilidades de dos carteras p y q se
determina por la expresión: spq = X′SY. Por tanto, efectuando los cálculos obte© Ediciones Pirámide
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Inversiones financieras: selección de car teras
nemos que la covarianza vale 0,000559886, siendo la matriz de varianzas-covarianzas entre p y q:
Cualquier cartera A se forma invirtiendo, en tanto unitario, a en p y (1 − a)
en q. Al ir variando el valor de a obtenemos un conjunto de carteras que podemos
representar gráficamente.
De acuerdo con lo expuesto, calculamos la rentabilidad y el riesgo de diversas
carteras, modificando el porcentaje a de inversión en la cartera31 p:
31
La tabla se ha obtenido con la siguiente secuencia en Excel: Datos, Análisis y si, Tabla de
Datos. En Celda de entrada (columna) indicamos la celda correspondiente que figura en la fórmula
de la rentabilidad y en la del riesgo para el valor de a.
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
El gráfico es:
c) Para determinar la composición, riesgo y rentabilidad de la cartera de
mínimo riesgo, de entre las formadas al combinar las carteras p y q, utilizamos
Solver, siendo la celda objetivo a minimizar la correspondiente a la varianza y
2
considerando como restricciones ai ≥ 0; ∑ ai = 1. Al efectuar los cálculos se dei=1
duce que la cartera de mínimo riesgo es la formada invirtiendo el 46,6317 % en la
cartera p, y el 53,3683 % en la cartera q. Dicha cartera tiene una rentabilidad del
16,0039 %, con un riesgo del 2,3873 %, y en el gráfico está situada en el vértice de
la hipérbola.
EJEMPLO 3.26
Con los datos que figuran en el archivo correspondiente a este ejemplo, se
pide:
a) Determinar la rentabilidad y el riesgo de dos carteras p y q, siendo las
proporciones, en porcentaje, respectivamente: 10, 15, 20, 25, 30 y 6, 14,
25, 40, 15.
b) Representar gráficamente las carteras que se formen invirtiendo en las
carteras p y q, de tal forma que se invierta en p el 100 %, e ir disminuyendo 5 puntos porcentuales.
c) Determinar la composición de la cartera de mínimo riesgo al combinar
p y q.
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Inversiones financieras: selección de car teras
d) Participación de cada uno de los cinco activos en la cartera de mínimo
riesgo anterior.
e) Composición, rentabilidad y riesgo de la cartera de mínimo riesgo de entre todas las formadas con las cinco clases de títulos.
Resolución
a) Siguiendo igual metodología a la del ejemplo anterior, implementamos las
expresiones correspondientes en la hoja de cálculo, obteniendo que la cartera p
tiene una rentabilidad esperada del 20,10 % y un riesgo del 8,8703 %, mientras que
la cartera q tiene una rentabilidad del 19,66 %, con un riesgo del 9,1114 %.
b) Formamos distintas carteras. Cada una de ellas se forma invirtiendo, en
tanto unitario, a en p y (1 − a) en q. Y al ir variando el valor de a obtenemos un
conjunto de carteras que podemos representar gráficamente:
c) De entre las carteras formadas al combinar las carteras p y q, para
determinar la composición, riesgo y rentabilidad de la de mínimo riesgo utilizamos Solver, siendo la celda objetivo a minimizar la correspondiente a la varianza,
2
y considerando como restricciones ai ≥ 0; ∑ ai = 1. Al efectuar los cálculos se
i=1
deduce que la cartera de mínimo riesgo es la formada invirtiendo el 64,0873 % en
la cartera p, y el 35,9127 % en la cartera q. Dicha cartera tiene una rentabilidad
del 19,9420 %, con un riesgo del 8,7578 %, y en el gráfico está situada en el vértice
de la hipérbola.
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
d) La cartera de mínimo riesgo se ha formado invirtiendo a en p y (1 − a) en
q, siendo a = 64,0873 %. En la cartera p, el activo 1 participa con 10 %, y en la q
con un 6 %. Por tanto, en la cartera de mínimo riesgo el activo 1 participa en: 10 %
× a + 6 % × (1 − a) = 8,5635 %. Y de igual forma se calcula el porcentaje invertido en cada uno de los restantes títulos:
El porcentaje invertido en cada activo es:
Obviamente, si calculamos el riesgo y la rentabilidad de la cartera A anterior
se obtienen los correspondientes a la de mínimo riesgo de entre todas las formadas con p y q.
e) Para determinar la composición, rentabilidad y riesgo de la cartera de
mínimo riesgo de entre todas las formadas con las cinco clases de títulos, diseñamos la hoja implementando las fórmulas matriciales para calcular la rentabilidad
y el riesgo con todos los títulos. Después utilizamos Solver, minimizamos la varian5
za siendo las restricciones: xi ≥ 0; ∑ xi = 1. La composición de dicha cartera es:
i=1
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Inversiones financieras: selección de car teras
La rentabilidad es del 12,6559 %, con un riesgo del 4,5757 %.
En general, dados n títulos, se forma con ellos dos carteras, p y q, con vectores
respectivos X e Y. Si con esas dos carteras se forma otra cartera A invirtiendo a
en p y (1 − a) en q, realmente la cartera A es exactamente una cartera obtenida al
combinar los n títulos, siendo su vector de proporciones C. Los elementos de dicho vector son la media ponderada de los correspondientes al vector X de p e Y
de q, siendo los respectivos factores de ponderación a y (1 − a). Por tanto, se verifica:
aX + (1 − a)Y = C ⇒ axi + (1 − a) yi = ci ; i = 1, 2, , n
En consecuencia:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜⎝
ax1 + (1 − a) y1 ⎞ ⎛ c1 ⎞
⎟ ⎜
⎟
ax2 + (1 − a) y2 ⎟ ⎜ c2 ⎟
⎟
ax3 + (1 − a) y3 ⎟ = ⎜ c3 ⎟ = C
⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎟
axn + (1 − a) yn ⎟⎠ ⎜⎝ cn ⎟⎠
EJEMPLO 3.27
Con los datos de rentabilidad y matriz de varianzas-covarianzas del ejemplo
anterior se forman dos carteras p y q. Las proporciones son: 5 %, 15 %, 10 %, 30 %,
40 %; y 10 %, 15 %, 20 %, 25 %, 30 %. Se pide:
a) Si un inversor invierte un 30 % en p y un 70 % en q, determinar la contribución del activo 3 a la rentabilidad esperada y al riesgo de la inversión.
b) Determinar la composición de la cartera de mínimo riesgo, sabiendo que
la misma debe estar formada con las cinco clases de títulos y tal que su
rendimiento esperado sea del 13 %.
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
Resolución
a) El vector X de p y el Y de q es:
X =
0, 05
0,15
0,10
0,30
0, 40
0,10 0,15 ; Y = 0,20 0,25 0,30 La cartera C, combinación de p y q, tiene el siguiente vector de proporciones:
⎛
⎜
⎜
C=⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
c1
c2
c3
c4
c5
⎞ ⎛ ax1 + (1 − a) y1
⎟ ⎜ ax + (1 − a) y
2
2
⎟ ⎜
⎜
⎟ = ax3 + (1 − a) y3
⎟ ⎜
⎟ ⎜ ax4 + (1 − a) y4
⎟ ⎜
⎠ ⎜⎝ ax5 + (1 − a) y5
⎞ ⎛
⎟ ⎜ 0,30 × 0, 05 + 0,70 × 0,10
⎟ ⎜ 0,30 × 0,15 + 0,70 × 0,15
⎟ ⎜
⎟ = ⎜ 0,30 × 0,10 + 0,70 × 0,20
⎟ ⎜ 0,30 × 0,30 + 0,70 × 0,25
⎟ ⎜
⎟⎠ ⎝ 0,30 × 0, 40 + 0,70 × 0,30
⎞ ⎛ 0, 085 ⎞
⎟
⎟ ⎜
⎟ ⎜ 0,150 ⎟
⎟ = ⎜ 0,170 ⎟
⎟
⎟ ⎜
⎟ ⎜ 0,265 ⎟
⎟⎠ ⎜⎝ 0,330 ⎟⎠
Al efectuar los cálculos con matrices, se obtiene que la cartera C tiene una
rentabilidad del 20,58 % y un riesgo del 9,3871 %.
Podemos determinar el vector de contribuciones de los títulos a la rentabilidad
esperada de la cartera C. Para ello recordemos que la contribución de cada clase
de activos al rendimiento esperado de la cartera se obtiene multiplicando su porcentaje de participación por la rentabilidad de la clase de activos: ei = ci Ei. Se
obtiene:
Por tanto, en la rentabilidad del 20,58 % el activo 3 participa con un 2,89 %.
Para determinar la contribución del activo 3 al riesgo de la cartera C, calculamos en primer lugar el vector Q de covarianzas entre el rendimiento de cada uno
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Inversiones financieras: selección de car teras
⎛
⎜
⎜
de los cinco activos y la cartera C. Sabemos que se verifica: QC = ⎜
⎜
Se obtiene:
⎜
⎜
⎝
σ 1C
σ 2C
σ 3C
σ 4C
σ 5C
⎞
⎟
⎟
⎟ = SC .
⎟
⎟
⎟
⎠
La contribución de cada clase de activos al riesgo se obtiene según la expresión
cσ
ya conocida: qi = i iC . El vector correspondiente es:
σC
Por tanto, en el riesgo de la cartera C, del 9,3871 %, el activo 3 participa con
0,6444 %.
b) Para determinar la composición de la cartera de mínimo riesgo, formada
con las cinco clases de títulos y tal que su rendimiento esperado sea del 13 %, diseñamos la hoja implementando las fórmulas matriciales para calcular la rentabilidad y el riesgo con todos los títulos. Después utilizamos Solver y minimizamos
5
la varianza, siendo las restricciones: xi ≥ 0; ∑ xi = 1; E p = 13% . La composición
i=1
de dicha cartera es:
Por tanto, entre todas las carteras con rendimiento esperado del 13 %, la de
mínimo riesgo tiene la composición precedente, siendo el riesgo del 4,5825 %.
184
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
EJEMPLO 3.28
Con los datos del archivo correspondiente referidos a dos activos, realizar los
gráficos para los supuestos en que el coeficiente de correlación lineal sea 1, 0,6, 0,
−0,4 y −1. Considerar que se invierte en el primer activo el 100 %, e ir disminuyendo 5 puntos porcentuales.
Resolución
Diseñamos la hoja correspondiente, calculando la rentabilidad y el riesgo. Así,
por ejemplo, para un coeficiente de correlación lineal igual a 0,6, se obtiene:
Al ir disminuyendo la inversión en el primer activo en 5 puntos porcentuales,
obtenemos la rentabilidad y el riesgo de todas las carteras según el respectivo valor del coeficiente de correlación lineal. El gráfico es:
r = −1
r = −0,4
r=1
r = 0,6
r=0
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Inversiones financieras: selección de car teras
3.5. CARTERAS DE MENOR VARIANZA
3.5.1. Frontera de mínimo riesgo
De acuerdo con lo que hemos señalado, dados n activos, variando la proporción en la que cada uno entra en la cartera, se pueden formar con ellos infinitas
carteras, dando origen al conjunto de posibilidades de inversión, conjunto oportunidad o conjunto factible. Gráficamente:
E
J
Conjunto de carteras factibles
s
Figura 3.5
El conjunto de posibilidades de inversión comprende tanto la frontera exterior
como cualquier punto interior.
En el conjunto de posibilidades de inversión, al subconjunto del mismo, formado por todas las carteras de menor varianza para cada rendimiento específico
dado, se le denomina conjunto de carteras de mínima varianza o de mínimo riesgo32, y viene representado por la curva exterior o frontera del conjunto de oportunidades de inversión:
32
Las carteras de mínima varianza también son de mínima desviación típica o mínimo riesgo.
Por ello se dice indistintamente carteras de menor (o de mínima) varianza o carteras de mínimo
riesgo.
186
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
E
J
G
Carteras de mínimo riesgo
A
s
Figura 3.6
En el gráfico anterior, el conjunto de carteras de mínimo riesgo, para cada
valor de la rentabilidad esperada, es el representado por la línea AGJ, pues cualquier cartera situada a la derecha de la cartera J no es de mínimo riesgo.
Cualquier cartera de menor varianza, con vector de proporciones X, es el resultado del siguiente problema de optimización33:
Minimizar σ 2p = X ′SX
{xi ; i = 1, 2, , n}
Restricciones:
E p = X E = E *p
n
xi = 1
1
xi 0
El conjunto de carteras de menor varianza o frontera de mínimo riesgo se
obtiene resolviendo el problema anterior de forma repetida y fijando en cada caso
un rendimiento esperado Ep* diferente34.
33
Se trata de un problema de programación cuadrática y paramétrica, ya que la función a
minimizar es cuadrática, dándole el carácter de paramétrico la primera restricción, pues la composición
de las distintas carteras se obtiene al ir modificando el valor del parámetro rentabilidad esperada.
34
Existen programas informáticos específicos para resolver los problemas de programación
matemática. No obstante, por su facilidad, seguimos utilizando la macro Solver de Excel.
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Inversiones financieras: selección de car teras
EJEMPLO 3.29
Con los datos de rentabilidad y matriz de varianzas-covarianzas que figuran
en el correspondiente archivo de Datos, se forman dos carteras de mínimo riesgo
y con rentabilidad esperada del 14 % la primera y del 18 % la segunda. Calcular la
composición de cada una de las carteras citadas y su riesgo.
Resolución
En el archivo correspondiente de Soluciones diseñamos la hoja implementando las funciones correspondientes a la rentabilidad y al riesgo de cada cartera,
poniendo unos valores arbitrarios en el vector de proporciones. Para determinar
la composición de cada cartera utilizamos la función Solver, minimizando la varianza e introduciendo en restricciones las señaladas35. Así, para la primera cartera tenemos:
La composición de dicha cartera es: 49,79 %; 16,46 %; 21,11 %; 12,64 %. El
riesgo mínimo es el 2,25 %.
De igual forma, para la segunda cartera, tomando como restricción un valor
esperado de la rentabilidad del 18 %, su composición es: 25,49 %; 0 %; 22,17 %;
52,34 %. El riesgo mínimo es 2,29 %.
EJEMPLO 3.30
Con los datos de rentabilidad y matriz de varianzas-covarianzas correspondientes al ejemplo anterior, se forman dos carteras p y q de mínimo riesgo y con
rentabilidad esperada del 12 % la primera y del 20 % la segunda. Se pide:
35
En opciones de Solver tomamos: Estimación cuadrática; derivadas progresivas y buscar
Newton.
188
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
a) Calcular la composición de cada una de las carteras precedentes.
b) Representar gráficamente las carteras que se formen invirtiendo en las
carteras p y q, de tal forma que se invierta en p el 100 %, e ir disminuyendo 5 puntos porcentuales.
c) Determinar la composición de la cartera de mínimo riesgo al combinar
p y q.
Resolución
a) De igual forma a lo señalado en el ejemplo precedente, diseñamos la hoja
implementando las funciones de la rentabilidad y del riesgo. Consideramos como
rentabilidad esperada (restricción), el 12 % y el 20 %, respectivamente.
Se obtiene:
b) Para realizar el gráfico pedido es necesario determinar la rentabilidad y
el riesgo de las distintas carteras que se formen al ir invirtiendo en p y en q. Y para
calcular el riesgo de tales carteras necesitamos conocer la matriz de varianzascovarianzas entre p y q.
Sabemos que la covarianza entre las rentabilidades de dos carteras p y q se
determina por la expresión: spq = X′SY. Por tanto, efectuando los cálculos obtenemos que la covarianza vale 0,000142557, siendo la matriz de varianzas-covarianzas entre p y q:
Cada cartera A se forma invirtiendo, en tanto unitario, a en p y (1 − a) en q:
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Al ir variando el valor de a obtenemos un conjunto de carteras:
El gráfico es:
190
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c) De entre las carteras formadas al combinar las carteras p y q, para determinar la composición de la de mínimo riesgo utilizamos Solver, siendo la celda
objetivo a minimizar la correspondiente a la varianza y considerando como res2
tricciones ai ≥ 0; ∑ ai = 1. Al efectuar los cálculos se deduce que la cartera de
i=1
mínimo riesgo es la formada invirtiendo el 50,68 % en la cartera p, y el 49,32 % en
la cartera q. Dicha cartera tiene una rentabilidad del 15,95 % con un riesgo del
2,11 %, y en el gráfico anterior está situada en el vértice de la hipérbola.
La cartera anterior de mínimo riesgo es en realidad una cartera C, formada
invirtiendo en los cuatro activos dados en las proporciones siguientes, siendo los
valores x e y los correspondientes a las carteras iniciales p y q, respectivamente:
C=
c1
c2
c3
c4
ax1 + (1 a) y1
= ax2 + (1 a) y2
ax3 + (1 a) y3
ax + (1 a) y
4
4
50,68% 74,84% + 49,32 6,19%
50,68% 14,13% + 49,32 0%
= 50,68% 9, 03% + 49,32 23,60%
50,68% 0% + 49,32 70,21%
=
41,99%
7,16%
16,22%
34,63%
=
En general, todas las carteras pertenecientes a la frontera de mínimo riesgo
pueden construirse combinando dos carteras cualesquiera de mínimo riesgo36, tal
y como hemos realizado. Así, dados n activos, sean p y q dos carteras de mínimo
riesgo con vectores respectivos X e Y, por lo que sp es mínimo dado Ep*, y sq es
mínimo para Eq*. Formamos la cartera C invirtiendo a en p y (1 − a) en q, por lo
que se verifica:
EC = aE *p + (1 − a) Eq*
σ C2 = a 2σ 2p + (1 − a) σ q2 + 2a (1 − a)σ pq
2
Como sp y sq son mínimos, también sC es mínimo en su clase de rentabilidad EC.
36
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Puede verse Marín, J. M y Rubio, G. (2001: 247-265).
191
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EJEMPLO 3.31
Con los datos de rentabilidad y matriz de varianzas-covarianzas correspondientes al ejemplo anterior, obtener dos carteras de mínimo riesgo y rentabilidad,
respectivamente, del 11,50 % y 21 %. Generar la frontera de carteras de mínimo
riesgo.
Resolución
De igual forma a lo señalado anteriormente, diseñamos la hoja implementando las funciones de la rentabilidad y del riesgo. Consideramos como rentabilidad
esperada (restricción) el 11,50 % y el 21 %, respectivamente.
Se obtiene:
Sabemos que la covarianza entre las rentabilidades de dos carteras p y q se
determina por la expresión: spq = X′SY. Por tanto, efectuando los cálculos obtenemos que la covarianza vale 0,0000662, siendo la matriz de varianzas-covarianzas entre p y q:
Cada cartera C se forma invirtiendo, en tanto unitario, a en p y (1 − a) en q:
Como las carteras p y q son de mínimo riesgo, al ir variando el valor de a obtenemos el conjunto de carteras de mínimo riesgo, cuyo gráfico es:
192
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3.5.2. Cartera de mínimo riesgo global
De entre todas las carteras de la frontera de carteras de mínimo riesgo, a la
cartera con menor riesgo se le denomina cartera de mínimo riesgo global. En el
gráfico siguiente es la cartera G, pues a la izquierda de la misma no existen posibilidades de inversión.
E
J
G
Carteras de mínimo riesgo
A
s
Figura 3.7
La composición, riesgo y rentabilidad de dicha cartera se obtiene al optimizar:
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Minimizar σ 2p = X ′SX
{xi ; i = 1, 2, , n}
Restricciones:
n
∑ xi = 1
1
xi ≥ 0
EJEMPLO 3.32
Con los datos de rentabilidad y matriz de varianzas-covarianzas correspondientes al ejemplo anterior, determinar la composición, riesgo y rentabilidad de
la cartera de mínimo riesgo global.
Resolución
Diseñamos la hoja correspondiente y utilizamos Solver, minimizando la varianza con las restricciones indicadas. Se obtiene una cartera con rentabilidad
del 15,90 % y riesgo del 2,10 %, siendo su composición: 38,49 %; 8,34 %; 21,58 %
y 31,59 %.
EJEMPLO 3.33
Con los datos de rentabilidad y matriz de varianzas-covarianzas que figuran
en el archivo correspondiente de Datos, determinar:
a) Composición, riesgo y rentabilidad de la cartera G de mínimo riesgo global.
b) Rentabilidad esperada y riesgo de la cartera C obtenida al invertir un 60 %
en la cartera G y el resto en la cartera B de mínimo riesgo para una rentabilidad esperada del 18 %.
c) Dibujar la línea de combinación de las carteras formadas al invertir en las
carteras G y B.
Resolución
a) De igual forma a la señalada anteriormente, diseñamos la hoja y utiliza5
mos Solver, minimizando la varianza y con las restricciones ∑ xi = 1; xi ≥ 0 . Se
1
obtiene:
194
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b) Como la cartera B es de mínimo riesgo para una rentabilidad esperada
del 18 %, para obtener su composición utilizamos Solver minimizando la varianza
5
con las restricciones:
∑ xi = 1; xi ≥ 0; EB* = 18% . Se obtiene:
1
La cartera C se obtiene invirtiendo un 60 % en la G y un 40 % en B. Para poder
determinar su rentabilidad es preciso conocer la covarianza entre las carteras G y
B. Recordando que se obtiene a través de la expresión sGB = X′SY, siendo X el
vector de proporciones de G e Y el de B, queda: sGB = 0,00043265. Al efectuar
todos los cálculos, se obtiene para la cartera C una rentabilidad esperada del
16,1058 %, con un riesgo del 2,2013 %.
c) El gráfico pedido lo obtenemos al ir variando en 5 puntos el porcentaje
invertido en la G:
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Inversiones financieras: selección de car teras
EJEMPLO 3.34
Se forma una cartera con dos clases de activos, cuyas características son:
Activos
Rentabilidad
Riesgo
1
8%
10 %
2
12 %
20 %
En la hipótesis de que el rendimiento de la cartera siga una distribución normal, la probabilidad de que el rendimiento de la cartera de mínimo riesgo sea
superior a un valor K es 0,3446. Sabiendo que las rentabilidades de ambas clases
de títulos se consideran variables aleatorias independientes, calcular qué porcentaje hay que invertir en activos de la clase 1 para que la rentabilidad esperada de
la nueva cartera así formada sea superior a K en 0,02.
Resolución
Para calcular la composición de la cartera de mínimo riesgo, podemos utilizar
la expresión ya deducida, teniendo en cuenta que la covarianza entre los rendimientos esperados de ambos activos es cero. Sustituyendo los valores conocidos:
x1 = x =
σ 22 − σ 12
= 80%
σ + σ 22 − 2σ 12
2
1
x2 = 1 − x = 20%
Se llega a idéntico resultado utilizando la función Solver, considerando como
2
celda objetivo a minimizar la de la varianza, siendo las restricciones xi ≥ 0; ∑ xi = 1.
i=1
Y sustituyendo en las expresiones correspondientes, deducimos que la cartera
tiene una rentabilidad del 8,80 %, con un riesgo del 8,9443 %.
En consecuencia, la rentabilidad esperada de la cartera verifica:
(
rp → N E p = 8,80%; σ p = 8,9443%
)
Se conoce P(rp ≥ K) = 0,3446 ⇒ P(rp ≤ K) = 0,6554. Con la función DISTR.
NORM de Excel y Solver, se obtiene K = 0,123772. A idéntico resultado se llega
si tipificamos la variable anterior:
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
r* N E p = 0; p = 1
(
)
rp E p
rp = r* p + E p
p
r* =
P rp K = P r* p + E p K = 0,6554
(
)
(
)
K 0, 088 = 0,6554
P r* 0, 089443 Y de acuerdo con las tablas de la normal (0, 1) se obtiene el valor de K. Por
tanto, la rentabilidad esperada de la nueva cartera es del 10,3772 %. Al sustituir
en la expresión correspondiente, se obtiene que se ha de invertir el 40,57 % en títulos de la clase 1. A idéntico resultado se llega si se realizan los cálculos a través
de Solver, tomando como función objetivo la rentabilidad con valor del 10,3772 %.
3.6. CARTERAS EFICIENTES
Tal y como hemos señalado, de entre dos inversiones de igual rentabilidad es
preferida la de menor riesgo. Por tanto, dentro del conjunto de posibilidades de
inversión, cualquier inversor racional elegirá su cartera de entre las situadas en la
frontera de mínimo riesgo. Y de tales carteras, elegirá entre las situadas por encima de la de mínimo riesgo global, pues para cada cartera situada por debajo
existe una cartera en la parte superior que ofrece mayor rentabilidad para el mismo riesgo:
E
J
C
D
G
B
A
s
Figura 3.8
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197
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Inversiones financieras: selección de car teras
En el gráfico anterior, la cartera G representa a la de mínimo riesgo global.
Para cada una de las carteras situadas en la parte convexa de la curva (carteras
en la línea GBA) existe otra situada en la parte cóncava (carteras en la línea
GDCJ), que ofrece, a igual riesgo, mayor rentabilidad. Es el caso de la cartera A,
para la cual existe la cartera C, que, teniendo su mismo riesgo, proporciona una
rentabilidad mayor, como fácilmente se aprecia.
Las carteras situadas en la frontera GDCJ dominan a todas las demás, y se
llaman eficientes, pues tienen el mínimo riesgo para cada nivel de rentabilidad, y,
simultáneamente, tienen la mayor rentabilidad para cada nivel de riesgo.
En general, las carteras eficientes son las que tienen el menor riesgo y la mayor
rentabilidad esperada37. Vemos, pues, que las carteras eficientes han de verificar
dos condiciones: tener el mínimo riesgo para cada clase de rentabilidad y tener la
máxima rentabilidad para cada clase de riesgo. El conjunto de carteras eficientes
forma la frontera eficiente, integrada por las carteras de mínimo riesgo que ofrecen el rendimiento esperado más alto posible para cualquier nivel de riesgo dado.
Gráficamente:
E
J
G
Conjunto de carteras eficientes
s
Figura 3.9
De acuerdo con lo expuesto, el conjunto de carteras eficientes comienza con
la cartera G de mínimo riesgo global y finaliza en el activo o cartera J, de mayor
rentabilidad entre las posibles combinaciones y de mínimo riesgo en su clase de
rentabilidad38. Se verifica:
37
En el gráfico anterior, la cartera B es de mínimo riesgo en su clase de rentabilidad, pero la
cartera D, con igual riesgo, tiene mayor rentabilidad esperada. Por ello, la cartera B no es eficiente,
siéndolo, en cambio, la cartera D.
38
Recordemos que estamos estudiando la hipótesis en la que las carteras no pueden tener títulos
con pesos negativos, o sea, no es posible operar a corto o la venta en descubierto de alguno de los títulos que componen dichas carteras. Tampoco se permite la operación equivalente: petición de un
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
(
)
G ≡ (EG , σ G ); J ≡ E j , σ j ; E j = Máximo (E1, E2 , E3 , , En )
Por tanto, para cualquier cartera eficiente p se verifica:
EG ≤ E p ≤ E j
σG ≤ σ p ≤ σ j
En el conjunto de posibilidades de inversión, a las carteras situadas fuera de
la frontera eficiente se les denomina ineficientes.
De acuerdo con lo expuesto, una vez determinada la cartera de mínimo riesgo
global las carteras eficientes se pueden determinar de dos formas:
a) Minimizando el riesgo para distintos niveles de rentabilidad:
Minimizar σ 2p = X ′SX
E p = E *p ;
n
∑ xi = 1; xi ≥ 0
i
Tal y como hemos señalado, el nivel de rentabilidad esperada, Ep*, ha
de verificar: EG ≤ Ep* ≤ Ej.
b) Maximizando la rentabilidad esperada para distintos niveles de riesgo:
Maximizar E p = X ′ E
σ p = σ *p ;
n
∑ xi = 1; xi ≥ 0
i
De acuerdo con lo expuesto, el nivel de riesgo, sp*, ha de verificar:
sG ≤ sp* ≤ sj.
EJEMPLO 3.35
Con los datos que figuran en el archivo correspondiente, se pide:
a) Rentabilidad y riesgo de la cartera G de mínimo riesgo global y de la cartera J de máxima rentabilidad.
préstamo sin riesgo que permita financiar la inversión en algún título. Además, el activo o cartera
eficiente J, de máxima rentabilidad, tiene un rendimiento esperado que coincide con la rentabilidad
del activo de mayor rendimiento entre los disponibles para invertir, y su riesgo puede ser inferior al
de dicho activo e, incluso, dependiendo de las covarianzas, al de todos los títulos.
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Inversiones financieras: selección de car teras
b) Riesgo de una cartera eficiente A con rentabilidad esperada del 17 %.
c) Rentabilidad esperada de una cartera eficiente C con riesgo del 3 %.
Resolución
a) Diseñamos la hoja de cálculo correspondiente con las expresiones de la
rentabilidad y el riesgo. La cartera G de mínimo riesgo se obtiene al minimizar la
5
varianza con las restricciones:
∑ xi = 1; xi ≥ 0 . Se obtiene: EG = 15,5155 %; sG =
1
= 2,08 %. También podemos determinar la cartera eficiente J de máxima rentabilidad, de entre los disponibles para invertir, o sea, con rentabilidad del 22,50 % y
menor riesgo para dicha rentabilidad. Se verifica39: Ej = 22,5000 %; sj = 3,6718 %.
Por tanto, todas las carteras eficientes verifican:
15,5155% ≤ E p ≤ 22,50%
2, 08% ≤ σ p ≤ 3,6718%
b) Para determinar la cartera eficiente A, minimizamos su varianza con las
5
restricciones:
∑ xi = 1; xi ≥ 0; EA* = 17% . Se obtiene: EC = 17 %; sA = 2,1649 %.
1
c) Para determinar la cartera eficiente C con riesgo del 3 % maximizamos
la rentabilidad esperada, teniendo en cuenta las restricciones siguientes 40:
5
∑ xi = 1; xi ≥ 0; σ C*
= 3%; EC ≥ EG = 15,5155%. Se obtiene: EC = 20,7428 %; sC =
1
= 3 %.
39
La cartera eficiente J se determina minimizando la varianza para un rendimiento esperado
coincidente con el del activo de mayor rentabilidad. También podemos, en primer lugar, maximizar
la rentabilidad, comprobando que la misma, tal y como hemos señalado, coincide con la del activo
con mayor rendimiento. Y, en segundo lugar, minimizamos la varianza para dicha rentabilidad
máxima. El resultado que se obtiene es el mismo. En este ejemplo, la cartera J coincide con el activo
5 (el de mayor rendimiento), si bien no siempre es así.
40
El programa Excel realiza los cálculos durante un cierto tiempo, con un determinado
número de iteraciones y con cierta precisión (todo ello especificado en opciones de Solver). En
consecuencia, al maximizar, si no se introduce la restricción EC ≥ EG, en algunos casos puede dar
una cartera con el riesgo especificado pero con rentabilidad inferior a la de G, siendo claramente una cartera ineficiente. Por otra parte, cuando se trate sólo de maximizar la rentabilidad, sin
restricción en cuanto a riesgo, se puede utilizar el modelo lineal, especificándolo en Opciones de
Solver.
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
EJEMPLO 3.36
Teniendo en cuenta los datos del ejemplo precedente, así como la cartera G de
mínimo riesgo global, determinar una cartera D con riesgo mínimo y rentabilidad
esperada del 12 %.
Resolución
Para determinar el riesgo mínimo de una cartera D con rentabilidad esperada
5
del 12 %, minimizamos la varianza con las restricciones
∑ xi = 1; xi ≥ 0. Como la
1
cartera tiene una rentabilidad inferior a la de la cartera de riesgo mínimo global,
se trata de una cartera ineficiente, si bien, por ser de riesgo mínimo, pertenece a
la frontera de carteras de menor varianza. El efectuar los cálculos se obtiene: ED
= 12 %; sD = 2,7666 % > sG = 2,08 %.
En el ejemplo precedente hemos señalado que las carteras eficientes verifican
15,5155 % ≤ Ep ≤ 22,50 %; 2,08 % ≤ sp ≤ 3,6718 %. Como el riesgo de la cartera D
pertenece al intervalo del riesgo de las carteras eficientes, debe existir una cartera
H que sea eficiente (máxima rentabilidad) con riesgo del 2,7666 %. La podemos
determinar maximizando el rendimiento esperado con las siguientes restricciones:
5
σ H* = σ D = 2,7666%; ∑ xi = 1; xi ≥ 0; EH ≥ EG = 15,5155% . Al efectuar los cálcu1
los se obtiene: EH = 19,9650 %; sH = 2,7666 %. Vemos, pues, que las carteras D y
H tienen el mismo riesgo mínimo, pero la cartera H domina a la D, pues tiene
mayor rendimiento que ésta. En consecuencia, la cartera H es eficiente y la D no
lo es, tal y como hemos señalado.
EJEMPLO 3.37
Dibujar las líneas de las carteras formadas al invertir en las carteras G y A, y
en A y C del ejemplo anterior.
Resolución
Para dibujar las líneas de combinación entre las carteras citadas, es preciso
determinar la covarianza entre G y A y entre A y C. A continuación determinamos
la rentabilidad y el riesgo de las carteras formadas invirtiendo en G y en A, y en
A y en C. Al ir modificando en 5 puntos porcentuales lo invertido en G (en la
cartera GA) y en C (en la cartera AC), podemos obtener los gráficos pedidos, habiendo efectuado los cálculos en el archivo correspondiente de Soluciones. Para
las carteras G y A tenemos:
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Todas las carteras anteriores, obtenidas al combinar dos carteras eficientes,
son también carteras eficientes. En general, cualquier cartera con ponderaciones no
negativas, obtenida combinando dos carteras eficientes, también es una cartera eficiente. Así, por ejemplo, invirtiendo en G un 60 % y el resto en A, formamos una
cartera h con rentabilidad esperada del 16,1093 % y riesgo del 2,0938 %. Si existiese (combinando los cinco activos) una cartera con rentabilidad del 16,1093 % y
riesgo inferior al anterior, la cartera h no sería eficiente. Utilizando Solver minimizamos la varianza de una cartera formada con todos los activos y con rentabilidad esperada del 16,1093 %. Al realizar los cálculos se obtiene como mínimo
riesgo el de la cartera h anterior. En consecuencia, la cartera h obtenida al com-
202
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
binar las carteras eficientes G y A también es eficiente, pues en su clase de rentabilidad, superior a la de la cartera de mínimo riesgo global, tiene mínimo riesgo.
EJEMPLO 3.38
Con los datos que figuran en el archivo correspondiente, determinar el intervalo de valores en el que está comprendida la rentabilidad y el riesgo de la frontera eficiente.
Resolución
Al examinar los datos de los activos disponibles para formar carteras, observamos que los activos de las clases 3 y 5 tienen el mismo rendimiento esperado (el
mayor de entre todos), pero el riesgo es distinto.
Hemos de determinar el riesgo y la rentabilidad de la cartera G de mínimo
riesgo global, y de la cartera J de máxima rentabilidad. Para ello diseñamos la
hoja correspondiente con las fórmulas de la rentabilidad y el riesgo.
Para determinar la cartera G, tal y como hemos realizado en ejemplos prece5
dentes, minimizamos su varianza con las restricciones
∑ xi = 1; xi ≥ 0. Se obtiene:
1
En consecuencia, la frontera eficiente empieza en una cartera con rendimiento esperado del 16,2434 % y riesgo del 2,08 %, formada invirtiendo en los porcentajes que se indican. Observemos que en la misma figuran los activos 3 y 5 que
tienen la misma rentabilidad pero distinto riesgo. Además, el riesgo mínimo es
inferior al riesgo de cada uno de los activos disponibles para invertir, lo cual pone
de manifiesto las ventajas de la diversificación.
Para determinar la cartera eficiente J (cartera o activo, según los casos) donde
finaliza la frontera eficiente, vamos a verificar que el máximo rendimiento coincide con el del activo de mayor rentabilidad (22,50 % para el activo 3 y para el 5).
Al maximizar la rentabilidad esperada con las restricciones ya comentadas,
5
∑ xi = 1; xi ≥ 0, se obtiene:
1
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203
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Vemos que, efectivamente, el máximo rendimiento posible se obtiene invirtiendo en las dos clases de títulos con el mayor rendimiento. Ahora bien, la cartera
anterior no es eficiente, como veremos a continuación al determinar la cartera J
con la misma rentabilidad del 22,50 %, pero con un riesgo inferior al 2,7726 %.
Ahora hemos de determinar, para un rendimiento del 22,50 %, la cartera
5
eficiente. Para ello minimizamos la varianza con las restricciones: xi = 1;
1
xi 0; EJ* = 22,50% . Se obtiene:
En consecuencia, la frontera eficiente termina en una cartera con rendimiento
esperado del 22,50 % y riesgo del 2,7577 %, formada invirtiendo en los porcentajes
que se indican. Observemos que en la misma figuran exclusivamente los activos 3
y 5, que tienen la misma rentabilidad pero distinto riesgo. Además, la cartera eficiente de máxima rentabilidad tiene un riesgo inferior al de cada uno de los activos disponibles para invertir.
Tenemos, por tanto, que el conjunto de carteras eficientes verifica:
16,2434% ≤ E p ≤ 22,50%
2, 08% ≤ σ p ≤ 2,7577%
EJEMPLO 3.39
Con los datos correspondientes al ejemplo precedente, se pide:
a) Realizar el gráfico de la frontera eficiente.
b) Una cartera eficiente con rentabilidad del 18 %:
204
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1.
2.
c)
¿En qué proporción se ha formado con las carteras G y J?
¿Cuál es el vector de proporciones en los cinco activos?
Una cartera eficiente con riesgo del 2,45 %:
1.
2.
¿En qué proporción se ha formado con las carteras G y J?
¿Cuál es el vector de proporciones en los cinco activos?
Resolución
a) Hemos determinado las carteras eficientes G y J, de mínimo riesgo global
y de máxima rentabilidad, respectivamente, debiendo verificar todas las carteras
eficientes p:
16,2434% ≤ E p ≤ 22,50%
2, 08% ≤ σ p ≤ 2,7577%
Al combinar41 dichas carteras eficientes se obtienen también carteras eficientes. Como G y J son las carteras extremos de la frontera eficiente, sus combinaciones forman la frontera eficiente42. Para obtener tales combinaciones de carteras
calculamos la covarianza entre G y J, que, de acuerdo con lo ya expuesto, verifica:
sGJ = X′SY, siendo X e Y los vectores de G y de J, respectivamente. Se obtiene: sGJ = 0,000432654, siendo la matriz de varianzas-covarianzas entre G y J:
Cada cartera eficiente A se obtiene invirtiendo, en tanto unitario, a en G y
(1 − a) en J. Así, por ejemplo, invirtiendo en G el 80 %, se obtiene:
41
Recordemos que todas las proporciones invertidas han de verificar 0 ≤ xi ≤ 1.
Téngase en cuenta, también, que, dados dos activos (o dos carteras), de los que se conoce su
rentabilidad esperada y la matriz de varianzas-covarianzas entre ambos, la línea de combinación
entre tales activos, representativa de todas las carteras que con ellos se pueden formar, es única.
42
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Al ir disminuyendo a en 2 puntos porcentuales, desde el 100 %, obtenemos el
gráfico representativo de la frontera eficiente:
b.1) Una cartera eficiente B con rentabilidad esperada del 18 %, se forma
invirtiendo, en tanto unitario, b en G y (1 − b) en J. Teniendo en cuenta la rentabilidad de G y la de J, se verifica:
0,18 = 0,162434b + 0,2250 (1 − b)
Por tanto, se ha de invertir el 71,9240 % del presupuesto en G y el 28,0760 %
en J. Al calcular el riesgo se obtiene 2,1413 %.
b.2) La cartera B anterior es una cartera formada invirtiendo en los cinco
activos dados en las proporciones siguientes: bi = bxi + (1 − b)yi, siendo los valores x e y los correspondientes a las carteras iniciales G y J, respectivamente. Al
efectuar los cálculos se obtiene:
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c.1) Una cartera eficiente C con riesgo del 2,45 % se forma invirtiendo, en
tanto unitario, c en G y (1 − c) en J. De acuerdo con los datos de la matriz de
varianzas-covarianzas entre G y J, el riesgo verifica:
0, 02452 = 0, 000432654c 2 + 0, 00076050 (1 − c) + 2c (1 − c) 0, 00043265
2
Al resolver se obtiene43: c = 28,5314 %, Por tanto, se ha de invertir en G el
28,5314 % y en J el 71,4686 %, con una rentabilidad esperada del 20,7149 %.
c.2) La cartera C anterior es una cartera formada invirtiendo en los cinco
activos dados en las proporciones siguientes: ci = cxi + (1 − c)yi, siendo los valores
x e y los correspondientes a las carteras iniciales G y J, respectivamente. Al efectuar los cálculos se obtiene:
EJEMPLO 3.40
Con los datos correspondientes al ejemplo precedente, determinar la composición, rentabilidad y riesgo de una cartera eficiente con rendimiento esperado
comprendido entre el 17 % y el 20 %, y riesgo comprendido entre el 2,15 % y el
2,50 %.
Resolución
Hemos de obtener una cartera que verifique:
Mínimo σ 2p = X ′SX
17% ≤ E *p ≤ 20%
2,15% ≤ σ *p ≤ 2,50%
n
∑ xi = 1; xi ≥ 0
i
43
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En Excel utilizamos Buscar Objetivo en Datos, Análisis y si.
207
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Diseñamos la hoja de cálculo y tomamos como celda objetivo a minimizar la
correspondiente a la varianza. En las restricciones consideramos las señaladas. Se
obtiene:
EJEMPLO 3.41
Con los datos de rentabilidad y riesgo que figuran en el archivo correspondiente, se pide:
a) Intervalo de valores en el que está comprendida la rentabilidad y el riesgo
de la frontera eficiente.
b) Riesgo de una cartera eficiente con rentabilidad del 12 %.
c) Composición y rentabilidad de una cartera eficiente con riesgo del 7,5 %.
d) Composición y riesgo de una cartera eficiente con rentabilidad comprendida entre el 15,2 % y el 18 %.
Resolución
a) Es preciso calcular la rentabilidad esperada y el riesgo de las carteras G y
J de mínimo riesgo global y de máxima rentabilidad, respectivamente.
Para determinar la cartera G, tal y como hemos realizado en ejemplos prece5
dentes, minimizamos su varianza con las restricciones
∑ xi = 1; xi ≥ 0. Se obtiene:
1
Para determinar la cartera eficiente J donde finaliza la frontera eficiente, podemos verificar que el máximo rendimiento coincide con el del activo de mayor
rentabilidad (20,01 % para el activo 4, con riesgo del 10 %). Al maximizar44 la ren44
En Opciones de Solver señalamos Adoptar modelo lineal, pues la rentabilidad esperada es una
función lineal.
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5
tabilidad esperada con las restricciones ya comentadas,
∑ xi = 1; xi ≥ 0 , se ob1
tiene que, efectivamente, la cartera de máximo rendimiento se obtiene invirtiendo
el 100 % en el activo 4. Ahora bien, cabe preguntarse si la cartera anterior es
eficiente, o sea, si es la de mínimo riesgo para una rentabilidad del 20,01 %. Para
5
responder a ello minimizamos la varianza con las restricciones:
xi = 1; xi 0;
1
EJ* = 20, 01% . Efectivamente, invirtiendo el 100 % en dicho activo se obtiene una
cartera de mínimo riesgo para la citada rentabilidad. Vemos, pues, en este ejemplo, que la cartera donde finaliza la frontera eficiente es un activo (el de mayor
rentabilidad esperada).
Tenemos, por tanto, que el conjunto de carteras eficientes verifica:
11,7237% ≤ E p ≤ 20, 01%
4,9151% ≤ σ p ≤ 10%
b) Hemos de obtener una cartera que verifique:
Minimo σ 2p = X ′SX
n
E *p = 12%; ∑ xi = 1; xi ≥ 0
i
Al efectuar los cálculos en Excel se obtiene una cartera cuyo riesgo es el
4,9368 %.
c) Hemos de obtener una cartera que verifique:
Maximizar E p = X ′ E
σ *p = 7,5%;
n
∑ xi = 1; xi ≥ 0
i
Al efectuar los cálculos en Excel se obtiene una cartera formada invirtiendo el
43,64 % en el activo 3 y el resto en el activo 4. La rentabilidad esperada es del
17,8889 %.
d) La cartera ha de verificar:
Minimo σ 2p = X ′SX
n
15,2% ≤ E *p ≤ 18%; ∑ xi = 1; xi ≥ 0
i
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Al efectuar los cálculos en Excel se obtiene una cartera formada invirtiendo el
44,82 % en el activo 1, el 18,18 % en el activo 3, y el resto en el activo 4. La rentabilidad es el 15,20 %, con riesgo del 5,9476 %.
EJEMPLO 3.42
Un inversor dispone de 60.000 € para formar una cartera con activos financieros del tipo A, B y C, cuyas características son las siguientes:
Activos
Coste
Rentabilidad
Riesgo
A
50
18 %
7%
B
30
20 %
8%
C
60
23 %
9%
El coeficiente de correlación entre A y B es 0,5, mientras que el de B y C es
0,8. Los títulos A y C están perfectamente correlacionados. Sabiendo que no se
consideran gastos ni impuestos, se pide:
a) Calcular el número de títulos a adquirir, de tal forma que el riesgo de la
cartera sea mínimo, en la hipótesis de que el inversor desee adquirir el
mismo número de títulos de la clases A y C.
b) En la hipótesis de formar una cartera de máxima rentabilidad, adquiriendo 600 activos del tipo B, y de que el rendimiento de la cartera siga una
distribución normal, calcular la probabilidad de que dicho rendimiento
supere el 22 %.
c) ¿Es eficiente la cartera del apartado anterior?
Resolución
Vamos a determinar las covarianzas, recordando que se verifica sij = rij si sj.
Se obtiene:
σ 12 = 0,5 × 0, 07 × 0, 08 = 0, 0028
σ 13 = 0, 07 × 0, 09 = 0, 0063
σ 23 = −0,8 × 0, 08 × 0, 09 = −0, 00576
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Por tanto, la matriz de varianzas-covarianzas es:
El número de títulos a adquirir de cada clase es, respectivamente, N1, N2, N3.
La cuantía total a invertir verifica: 50N1 + 30N2 + 60N3 = 60.000. En consecuencia, los valores del vector de proporciones son:
x1 =
50N1
30N2
60N3
; x2 =
; x3 =
60.000
60.000
60.000
a) La cartera pedida, de mínimo riesgo y con N entero, verifica:
Minimo σ 2p
N1 = N3 ; Ni int; Ni ≥ 0
50N1 + 30N2 + 60N3 = 60.000
En Solver, la función objetivo a minimizar es la de la varianza, siendo las celdas cambiantes las correspondientes al vector N de número de títulos a adquirir.
Se obtiene:
b) La cartera verifica45:
Máx E p
N2 − 600 = 0; Ni int; Ni ≥ 0
50N1 + 30N2 + 60N3 = 60.000
45
En algunos casos, con la restricción N2 = 600, Solver puede no encontrar solución. En cambio,
encuentra una solución adecuada expresándola de la forma N2 − 600 = 0, indicando en una celda la
expresión N2 − 600 y en restricciones ponerle a dicha celda el valor 0.
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Las celdas cambiantes son las correspondientes al vector N. Se obtiene:
Por tanto, la rentabilidad esperada de la cartera sigue una distribución normal
de media 22,10 % y desviación típica 4,6106 %. La probabilidad pedida verifica46:
P rp ≥ 22% = 1 − P rp ≤ 22% = 1 − 0, 4913 = 50,87% .
(
)
(
)
c) Si la cartera anterior es eficiente, debe ser la que tenga el menor riesgo
para una rentabilidad del 22,10 % y, además, la máxima rentabilidad para un riesgo del 4,6106 %. Para verificar que es la de mínimo riesgo en su clase de rentabilidad, determinamos el vector X que verifique:
Minimo σ 2p
∑ xi = 1; xi ≥ 0; E *p = 22,10%
En el diseño de la hoja de cálculo, los valores del vector N los vinculamos a
los del vector X de proporciones, verificándose:
N1 =
60.000x1
60.000x2
60.000x3
; N2 =
; N3 =
50
30
60
Si la cartera es de mínimo riesgo, se ha de obtener el mismo vector N obtenido anteriormente: N1 = 0; N2 = 600; N3 = 700. Al efectuar los cálculos con Solver
se obtiene efectivamente idéntico vector de número de títulos a adquirir. Por tanto, la cartera es de mínimo riesgo en su clase de rentabilidad.
Para verificar que es la de máximo rendimiento en su clase de riesgo, es preciso determinar el vector X que verifique:
Máx. E p
∑ xi = 1; xi ≥ 0; σ *p = 4,6106%
Si la cartera es de máximo rendimiento en su clase de riesgo, se ha de obtener
el mismo vector N obtenido anteriormente: N1 = 0; N2 = 600; N3 = 700. Al efec46
212
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Con la función de Excel DISTR.NORM determinamos el valor 0,4913.
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
tuar los cálculos con Solver se obtiene idéntico vector N. En consecuencia, la
cartera es eficiente.
EJEMPLO 3.43
Un inversor forma una cartera de mínimo riesgo invirtiendo en dos clases de
valores cuyas rentabilidades no están correlacionadas, y con las siguientes características: Título 1: desviación típica del 9 %.; Título 2: rentabilidad del 14 % y
desviación típica del 12 %. En la hipótesis de que el rendimiento de la cartera
formada siga una distribución normal, se sabe que la probabilidad de que dicho
rendimiento sea superior al 11 % es igual al 52,4365 %. Determinar la rentabilidad
del título 1 y la de la cartera.
Resolución
Al no estar correlacionados los rendimientos de los activos, la covarianza es
nula, por lo que la matriz de varianzas-covarianzas es:
⎛ 0, 0081
⎞
0
S=⎜
⎟
0
0, 0144 ⎠
⎝
Al tener sólo dos activos, las proporciones son x y (1 − x). Por tanto, la varianza es:
σ 2p = x 2σ 12 + (1 − x)σ 22
Sabemos que la cartera de mínimo riesgo verifica:
dσ 2p
= 2xσ 12 − 2 (1 − x)σ 22 = 0
dx
Al sustituir llegamos a que la cartera de mínimo riesgo se obtiene invirtiendo
en el activo 1 el 64 % del presupuesto de inversión, y en el 2 el 36 %. El riesgo mínimo vale 7,20 %. También podemos determinar la composición de la cartera de
mínimo riesgo utilizando la función Solver.
La rentabilidad de la cartera verifica: Ep = 0,64E1 + 0,36 × 0,14 = 0,0504 +
+ 0,64E1. Por tanto, la rentabilidad de la cartera sigue una distribución normal
de media la expresión anterior y con desviación típica 7,20 %, verificándose, de
acuerdo con los datos, P (rp ≥ 11 %) = 52,4365 % = 1 − P (rp ≤ 11 %) ⇒ P (rp ≤ 11 %) =
= 47,5636 %.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Utilizando Solver podemos determinar, con la función DISTR.NORM, cuál
es la media que corresponde a una distribución con desviación típica del 7,20 % y
P (rp ≤ 11 %) = 47,5636 %. Se obtiene una media del 11,44 %. Por tanto, la rentabilidad esperada de la cartera es el 11,44 %, verificándose:
E p = 0, 0504 + 0,64E1 = 11, 44%
De la ecuación anterior se deduce que la rentabilidad esperada del título 1 es
del 10 %.
3.7. SELECCIÓN DE LA CARTERA ÓPTIMA
El objetivo de cualquier inversor racional en cualquier mercado financiero es
formar, con las posibilidades de inversión que le da dicho mercado, su cartera
óptima, de tal forma que la misma le proporcione la máxima rentabilidad y sea
compatible con el nivel de riesgo que está dispuesto a soportar. Por ello, una vez
analizados y seleccionados los activos con los que se desea formar carteras, es
necesario delimitar el conjunto factible o de posibilidades de inversión, para a
continuación determinar la frontera o conjunto eficiente.
Sabemos que las carteras eficientes se determinan sin tener en cuenta las preferencias de rentabilidad y riesgo concretas de un inversor. En cambio, para determinar la cartera óptima, sí es preciso considerar las preferencias del inversor
concreto. Por ello, las etapas siguientes en el modelo de Markowitz son la especificación de las preferencias del inversor en cuanto a la combinación rentabilidadriesgo, para finalmente seleccionar la cartera óptima para el mismo.
Las preferencias de cada inversor vienen dadas por sus curvas de indiferencia,
representativas de las diversas combinaciones de riesgo y rendimiento esperado
que encuentra igualmente atractivas o que le son indiferentes. Así, por ejemplo,
un inversor puede considerar como indiferentes para él las siguientes carteras según su rentabilidad y riesgo:
214
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Rentabilidad (%)
Riesgo (%)
5
0
6
1
8
2
11
3
15
4
20
5
26
6
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
Lo que indica la tabla anterior es que al inversor le resulta indiferente una
cartera con rentabilidad esperada del 5 % y riesgo nulo que una cartera de, por
ejemplo, rentabilidad esperada del 15 % y riesgo del 4 %.
Gráficamente podemos representar sus combinaciones de igual preferencia o
satisfacción, dando origen a una curva de indiferencia47:
De entre todas las carteras eficientes, ¿cómo elige un inversor concreto la que
le interesa? Realiza su elección en función de sus concretas preferencias, y, si dispone de muchas curvas de indiferencia, el punto que indica la cartera óptima
viene dado por el punto de tangencia de la curva de carteras eficientes con una de
esas curvas de indiferencia48:
E
Cartera óptima
s
Figura 3.10
47
Cualquier inversor tiene un número infinito de curvas de indiferencia, las cuales no se pueden
cortar, pues todas las carteras que están en una curva son igualmente atractivas para dicho inversor.
48
Las curvas de indiferencia más elevadas representan mayor satisfacción para el inversor, y, de
entre las mismas, la tangente a la frontera eficiente marcará la cartera óptima.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Determinado el citado punto de tangencia, queda fijada la combinación rentabilidad-riesgo que el inversor considera óptima: (Ep*, sp*). Al sustituir en las
ecuaciones de la rentabilidad y del riesgo, teniendo en cuenta las restricciones de
no negatividad y suma uno de las ponderaciones, es posible determinar el vector
de proporciones de la cartera óptima.
Para el caso de no disponer de curvas de indiferencia, el inversor debe señalar
la rentabilidad concreta que desea obtener o el riesgo máximo que está dispuesto
a soportar, correspondientes ambos datos a los comprendidos entre los de las dos
carteras que delimitan la frontera eficiente, o sea, las carteras G y J que hemos
definido. También puede utilizar como criterio de elección el de considerar cartera óptima aquella cartera eficiente que le proporcione la mayor rentabilidad esperada por unidad de riesgo, o bien la que tenga la mínima volatilidad relativa o
mínimo riesgo por unidad de rentabilidad esperada.
EJEMPLO 3.44
Con los datos de rentabilidad y riesgo que figuran en el archivo correspondiente, determinar la composición de la cartera óptima de un inversor que, de
acuerdo con sus preferencias, considera que la rentabilidad de dicha cartera debe
ser del 16 %, con un riesgo comprendido entre el 2,4 % y el 3,2 %.
Resolución
Hemos de obtener el vector de proporciones de una cartera que verifique:
Minimo σ 2p = X ′SX
E *p = 16%;
n
∑ xi = 1; xi ≥ 0
i
2, 4% ≤ σ *p ≤ 3,2%
Al realizar los cálculos, se obtiene la composición, rentabilidad esperada y
riesgo de la cartera buscada:
216
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Modelo de selección de car teras de Markowitz
Por tanto, podemos señalar también que, para este inversor, el punto de tangencia entre el conjunto de carteras eficientes y el de sus curvas de indiferencia,
no especificadas, pero de las que se conoce la rentabilidad que considera óptima,
corresponde a una rentabilidad del 16 %, con un riesgo del 2,6966 %.
EJEMPLO 3.45
Con los datos de rentabilidad y riesgo que figuran en el archivo correspondiente, se pide:
a) Determinar la cartera óptima para un inversor que considera que la misma debe tener mínimo riesgo y un rendimiento igual a la media entre los
rendimientos de las dos carteras que delimitan la frontera eficiente.
b) Determinar la cartera eficiente óptima cuyos valores de rentabilidad y
riesgo estén comprendidos entre los correspondientes a las carteras que
delimitan la frontera eficiente, y que tenga la mayor rentabilidad por unidad de riesgo.
Resolución
a) Diseñamos la hoja de cálculo introduciendo las fórmulas correspondientes para calcular el riesgo y la rentabilidad de una cartera. Así podemos determinar la rentabilidad y el riesgo de la cartera G de mínimo riesgo global. Utilizamos
Solver, minimizando la varianza con las restricciones: la suma de las ponderaciones ha de ser la unidad, y las ponderaciones han de ser no nulas. La cartera en la
que empieza la frontera eficiente es:
De acuerdo con los datos, la cartera J de máxima rentabilidad se obtiene al
invertir el 100 % en el activo 5 de mayor rendimiento esperado (17,40 %) y riesgo
del 3,6718 %.
Todas las carteras eficientes p verifican:
14, 0174% ≤ E p ≤ 17, 40%
2, 08% ≤ σ p ≤ 3,6718%
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217
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Inversiones financieras: selección de car teras
La cartera que el inversor considera óptima, de acuerdo con el enunciado,
verifica:
Mínimo 2p
E *p =
EG + EJ
= 15,7087%
2
n
xi = 1; xi 0
i
Se obtiene:
b) La cartera pedida verifica:
Máximo
Ep
σp
n
∑ xi = 1; xi ≥ 0
i
14, 0174% ≤ E p ≤ 17, 40%
2, 08% ≤ σ p ≤ 3,6718%
Se obtiene:
218
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4
Ampliaciones del modelo
de Markowitz
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
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Carteras con ventas en descubierto.
Carteras mixtas.
Carteras mixtas con préstamo y carteras mixtas con endeudamiento.
Determinación de la cartera óptima con riesgo.
Consideración de distintos tantos de interés.
Selección de la cartera mixta óptima.
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4.1. CARTERAS CON VENTAS EN DESCUBIERTO
En la lección anterior hemos analizado la problemática de la formación de
carteras en la hipótesis de que las mismas fuesen «legítimas» en el sentido dado
por Markowitz, o sea, que todos los valores del vector de proporciones fuesen no
negativos e inferiores a la unidad. Vamos a ampliar el análisis suprimiendo las
restricciones anteriores, por lo que se admite que algún valor del vector de proporciones pueda ser negativo o superior a la unidad; es decir, está permitida la
venta en descubierto u operar a corto. Así, por ejemplo, supongamos un inversor
que dispone de 1.000 € de recursos propios para formar una cartera. Decide invertir 800 € en el activo 1 y 600 en el 2. La cuantía invertida en exceso sobre sus
recursos la financia con la venta a corto o en descubierto1 del título 3 por importe
de 400 €. Por tanto, su cartera sigue valiendo 1.000 €, que es el importe de los recursos propios invertidos, siendo las ponderaciones sobre la citada cuantía de
recursos propios: x1 = 80 %; x2 = 60 %; x3 = −40 %. Vemos, pues, que si se permiten las ventas a corto en cualquier activo, la ponderación correspondiente al mismo es negativa.
1
Operar a corto o realizar una venta en descubierto supone vender activos que no se poseen, por
lo que el inversor vende al contado títulos que pide prestados y se compromete a devolverlos transcurrido un plazo, abonando también sus correspondientes rendimientos. En nuestro caso, dicho
plazo coincide con el horizonte de planificación de la cartera. Por tanto, una venta en descubierto
puede interpretarse como la petición de un préstamo en efectivo, pues, finalizado el horizonte de
planificación, el inversor deberá comprar en los mercados financieros los títulos vendidos en descubierto para poder devolverlos, o sea, cancelar el préstamo. También se puede interpretar como la
emisión de activos con las mismas características de rentabilidad y riesgo que los de los títulos que
se venden en descubierto. En síntesis, una venta en descubierto equivale a mantener una ponderación
negativa en alguna de las clases de activos componentes de la cartera.
220
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
De acuerdo con lo expuesto, suprimiendo la restricción de no negatividad y
conservando la relativa a que las ponderaciones han de sumar la unidad2, en este
nuevo escenario son válidas todas las expresiones deducidas en las lecciones anteriores, con las modificaciones que indicaremos en cada caso3.
Sabemos que la rentabilidad esperada verifica:
E p = x1E1 + x2 E2 + x3 E3 + + xn En =
n
∑ xi Ei
i=1
Como ahora pueden existir ponderaciones negativas, la rentabilidad esperada
es una combinación lineal de las rentabilidades de los n títulos que componen la
cartera. Además, recordemos que en las carteras sin ventas en descubierto el conjunto de valores de la rentabilidad está acotado, verificándose:
( )
( )
mín. Ei ≤ E p ≤ máx. Ei
{i = 1, 2, 3, , n}
Si se permiten las ventas en descubierto, debido a los pesos negativos, existirán
carteras cuya rentabilidad no verificará la desigualdad anterior, pudiendo tomar
cualquier valor, por lo que el conjunto de valores de la rentabilidad esperada no
estará acotado superiormente, pero sí inferiormente4, verificándose: 0 ≤ Ep.
También sabemos que en las carteras con ponderaciones no negativas el conjunto de valores de la volatilidad está acotado, verificándose:
0 ≤ σ p ≤ máx. (σ i )
{i = 1, 2, 3, , n}
.
Si se permiten las ventas en descubierto, el riesgo de las carteras no estará limitado superiormente5, pudiendo alcanzar cualquier valor, verificándose: 0 ≤ sp.
2
En consecuencia, los valores de xi pueden ser cualesquiera dentro del conjunto de los números
reales.
3
Recordemos que el valor de cada peso, xi, representa el cociente entre la cuantía total invertida en el activo i y el valor total de la cartera o cuantía de los recursos propios invertidos en la misma.
Por ello, un valor negativo en un peso representa el tanto unitario que de los recursos propios se ha
obtenido en préstamo o mediante una venta en descubierto.
4
Aceptando que carece de sentido financiero formar e invertir en carteras con rendimiento esperado negativo.
5
Como el riesgo es la raíz cuadrada positiva de la varianza de la cartera, el menor valor que
puede tomar, en cualquier caso, es cero.
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Inversiones financieras: selección de car teras
4.1.1. Carteras con n clases de activos
Debido a que todo xi puede tomar un valor cualquiera, positivo o negativo, el
conjunto de carteras posibles no es el mismo que sin ventas en descubierto, pues
se ve ampliado por las posibilidades de operar a corto. Además, la frontera de
mínimo riesgo y la eficiente son distintas a las correspondientes sin ventas en descubierto. Por ello, la cartera de mínimo riesgo global no coincide con la de mínimo riesgo global cuando no son permitidas las ponderaciones negativas.
a) Frontera de mínimo riesgo
En este nuevo contexto, cualquier cartera de menor varianza, con vector de
proporciones X, es el resultado del siguiente problema de optimización con las
restricciones que se indican:
Minimizar σ 2p = X ′SX
{xi ; i = 1, 2, , n}
E p = X ′ E = E *p
n
∑ xi = 1
1
Siendo U un vector columna de n unos, la última restricción también se puede
expresar en forma matricial, verificándose: X'U = 1.
El conjunto de carteras de menor varianza o frontera de mínimo riesgo se
obtiene resolviendo el problema anterior de forma repetida y fijando en cada caso
un rendimiento esperado Ep diferente.
Podemos determinar cada cartera de menor varianza utilizando, como hasta
aquí, Solver de Excel, o bien deducir una expresión analítica general mediante el
método de los multiplicadores de Lagrange, la cual nos va a permitir generar la
frontera eficiente.
La función de Lagrange se define como una función de n + 2 variables6 que
verifica:
⎛ n
⎞
⎛ n
⎞
L = σ 2p + λ1 ⎜ ∑ xi − 1⎟ + λ2 ⎜ ∑ xi Ei − E *p ⎟
⎝ 1
⎠
⎝ 1
⎠
Podemos determinar el valor de cada variable igualando a cero las n + 2 derivadas parciales con respecto a xi, li, l2.
6
222
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Los n pesos del vector de proporciones y los dos multiplicadores de Lagrange, l1, l2.
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
Teniendo en cuenta la expresión de la varianza de una cartera,
n
n
∂ σ 2p
= 2xiσ i2 + 2∑ x jσ ij . Por tanto:
σ 2p = ∑ x12σ i2 + 2∑ xi x jσ ij , se verifica:
∂ xi
j =1
i=1
i< j
i≠ j
∂L
= (2x1σ 12 + 2x2σ 12 + + 2xnσ 1n ) + λ1 + λ2 E1 = 0
∂ x1
∂L
= (2x1σ 21 + 2x2σ 22 + + 2xnσ 2 n ) + λ1 + λ2 E2 = 0
∂ x2
∂L
= (2x1σ n1 + 2x2σ n2 + + 2xnσ n2 ) + λ1 + λ2 En = 0
∂ xn
∂L
= x1 + x2 + + xn − 1 = 0
∂ λ1
∂L
= x1E1 + x2 E2 + + xn En − E *p = 0
∂ λ2
Tenemos un sistema de n + 2 ecuaciones con n + 2 incógnitas que, recordando
la multiplicación e igualdad de matrices, puede expresarse de la siguiente forma:
⎛ 2σ 12 2σ 12
⎜
2
⎜ 2σ 21 2σ 2
⎜ ⎜
⎜ 2σ n1 2σ n2
⎜ 1
1
⎜
⎜⎝ E1
E2
2σ 1n
2σ 2 n
2σ n2
1
En
E1 ⎞ ⎛
⎟⎜
1 E2 ⎟ ⎜
⎟⎜
⎟⎜
1 En ⎟ ⎜
0 0 ⎟⎜
⎟⎜
0 0 ⎟⎠ ⎝
1
⎞ ⎛ 0 ⎞
⎟ ⎜
⎟
⎟ ⎜ 0 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟ =⎜ 0 ⎟
⎟ ⎜
⎟
λ1 ⎟ ⎜ 1 ⎟
*
⎟
λ2 ⎠ ⎜⎝ E p ⎟⎠
x1
x2
xn
Denominando C a la matriz de coeficientes, W al vector de incógnitas y K al
de términos independientes, se verifica:
CW = K
Observando la matriz de coeficientes, se ve que los elementos de varianzascovarianzas son de cuantía doble a los correspondientes de la matriz S de varianzas-covarianzas de los activos disponibles para formar carteras.
Si el determinante de la matriz C es distinto de cero, el vector de incógnitas
verifica:
W =C –1K
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Inversiones financieras: selección de car teras
Una vez conocidos los componentes del vector W, podemos determinar los
valores del vector de proporciones X.
Teniendo en cuenta la matriz de varianzas-covarianzas, S, así como el vector
de rentabilidades esperadas, E, y siendo U un vector columna de n unos, en forma
esquemática tenemos:
⎛
⎛ x ⎞ ⎜ 2S U
W =⎜
=
U 0
⎟
⎝ λ ⎠ ⎜ E 0
⎝ ′
E
0
0
⎞⎛ 0 ⎞
⎟⎜ 1 ⎟
⎟⎜ * ⎟
⎠⎝ E ⎠
Es preciso destacar que la metodología anterior únicamente es aplicable en la
hipótesis de que se permitan las ventas en descubierto.
EJEMPLO 4.1
Se dispone de seis activos, cuyos datos de rentabilidad y matriz de varianzascovarianzas figuran en el correspondiente archivo. Se pide: determinar la composición y el riesgo de una cartera de mínimo riesgo y rentabilidad esperada del
23 %, en las hipótesis:
a) No se permiten las ventas en descubierto.
b) Se permiten las ventas en descubierto:
1.
2.
c)
Utilizando Solver.
Utilizando el método de Lagrange.
Generar la frontera de mínimo riesgo, variando la rentabilidad esperada
en 2 puntos porcentuales, desde el 4 % al 40 %, y permitiéndose las ventas
en descubierto.
Resolución
a) Como no se permiten las ventas en descubierto, utilizamos Solver para obtener la cartera de riesgo mínimo. Diseñamos la hoja correspondiente, siendo la
función objetivo a minimizar la correspondiente a la varianza, verificándose las restricciones de no negatividad y suma igual a uno. Al realizar los cálculos obtenemos:
224
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
b.1) Al permitirse las ventas en descubierto, no se verifica la restricción de
no negatividad de los pesos del vector de proporciones. Utilizando Solver de la
forma ya descrita, pero sin la restricción de no negatividad, se obtiene:
b.2) Para resolver el sistema de ecuaciones propio de la metodología de los
multiplicadores de Lagrange diseñamos la hoja correspondiente. Para ello debemos tener en cuenta que, al tener seis activos, la matriz C consta de 8 filas y 8
columnas (6 correspondientes a los activos y 2 a los multiplicadores de Lagrange).
Además, 8 × 1, y el vector U tiene seis unos:
El vector K es:
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Inversiones financieras: selección de car teras
Al calcular el producto W =C −1K se obtiene la solución correspondiente, la
cual coincide con la obtenida por Solver en el apartado precedente. En consecuencia, a efectos de cálculo, si con Solver llegamos rápidamente a obtener una
solución, cabe preguntarse la utilidad de la metodología de Lagrange. La utilidad es generar el conjunto de carteras de mínimo riesgo7, en combinación con
la función tabla de Excel, como se pone de manifiesto en el siguiente apartado.
c) Diseñamos la hoja de cálculo para utilizar la función tabla y se obtiene la rentabilidad y el riesgo de 19 carteras de mínimo riesgo. El gráfico correspondiente es:
Como se puede apreciar en el archivo de Soluciones, con la metodología de
Lagrange la obtención de la rentabilidad y el riesgo de las carteras de mínima
varianza se realiza rápidamente, obteniéndose todas de forma simultánea. En
cambio, con Solver su obtención es cartera por cartera.
EJEMPLO 4.2
Con los datos del ejemplo precedente, se pide:
a) Determinar la composición y el riesgo de una cartera de mínimo riesgo y
rentabilidad esperada del 25 %, en las hipótesis siguientes, comparando
los resultados:
7
Y también para generar el conjunto de carteras eficientes, que es un subconjunto del de carteras de mínimo riesgo.
226
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
1.
2.
No se permiten las ventas en descubierto.
Se permiten las ventas en descubierto.
b) Ídem para una rentabilidad esperada del 40 %.
Resolución
a.1) Es preciso minimizar la varianza y considerar las restricciones:
n
E *p = 25%; ∑ xi = 1; xi ≥ 0
1
Utilizando Solver obtenemos:
a.2) Si se permiten las ventas en descubierto, no es válida la restricción de
no negatividad, conservándose las otras dos. Con Solver y mediante los multiplicadores de Lagrange se obtienen los mismos resultados:
Se observa que si se permiten las ventas en descubierto, la cartera formada
tiene menor riesgo que la correspondiente sin ventas en descubierto.
b) La mayor rentabilidad de los activos disponibles es el 37,0083 %, por lo
que si no se permiten las ventas en descubierto no es posible formar una cartera
con rentabilidad esperada del 40 %. En cambio, si son permitidas las ventas en
descubierto es posible formar una cartera con rentabilidad del 40 %. Su obtención
se realiza siguiendo la metodología expuesta, tomando ahora como rentabilidad
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Inversiones financieras: selección de car teras
esperada el 40 %. Utilizando Solver, o bien por el método de los multiplicadores
de Lagrange, se obtiene:
Observemos que el vector X anterior tiene dos valores negativos y uno superior a la unidad, si bien todos suman uno.
b) Cartera de mínimo riesgo global
Tal y como hemos señalado, de entre todas las carteras de la frontera de carteras de mínimo riesgo, a la cartera con menor riesgo se le denomina cartera de
mínimo riesgo global.
La composición, riesgo y rentabilidad de dicha cartera se obtiene al optimizar:
Minimizar 2p = X SX
{xi ; i = 1, 2, ..., n}
n
xi = 1
1
Podemos utilizar Solver o bien mediante los multiplicadores de Lagrange, para
lo cual el lagrangiano se define como una función de n + 1 variables:
⎛ n
⎞
L = σ 2p + λ ⎜ ∑ xi − 1⎟
⎝ 1
⎠
Realizando idéntico desarrollo al expuesto para el caso de considerar la restricción Ep = E*p se obtienen expresiones similares, pero suprimiendo en la matriz
de coeficientes la columna y la fila con las rentabilidades de los activos, por lo que,
de forma esquemática, queda:
⎛ x ⎞ ⎛ 2S U ⎞ ⎛ 0 ⎞
W =⎜
⎟ =⎜
⎟⎜
⎟
⎝ λ ⎠ ⎝ U 0 ⎠⎝ 1 ⎠
228
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
EJEMPLO 4.3
Con los datos de rentabilidad y matriz de varianzas-covarianzas correspondientes al ejemplo anterior, determinar la composición, riesgo y rentabilidad de
la cartera de mínimo riesgo global.
Resolución
Diseñamos la hoja correspondiente y minimizamos la varianza con las restricciones indicadas. Utilizando Solver se obtiene:
En el archivo correspondiente hemos implementado las expresiones matriciales correspondientes al método de los multiplicadores de Lagrange, obteniéndose
idénticos resultados a los proporcionados por Solver.
c) Carteras eficientes
En las carteras con ventas en descubierto, la frontera eficiente también comienza con la cartera de mínimo riesgo global y puede prolongarse ilimitadamente hacia la derecha, dependiendo de las ponderaciones negativas que figuren en la
misma. En consecuencia, podrían conseguirse valores elevados de rendimiento y
volatilidad. En cualquier caso, tanto la rentabilidad como el riesgo de cualquier
cartera eficiente han de ser, como mínimo, iguales a los correspondientes de la
cartera G de mínimo riesgo global:
EG ≤ E p
σG ≤ σ p
La determinación de las carteras eficientes se realiza tal y como hemos señalado para las carteras sin ventas en descubierto, pero suprimiendo la restricción
de no negatividad:
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Inversiones financieras: selección de car teras
a) Minimizando el riesgo para distintos niveles de rentabilidad:
Minimizar σ 2p = X ′SX
E p = E *p ;
n
∑ xi = 1
i
b) Maximizando la rentabilidad esperada para distintos niveles de riesgo:
Maximizar E p = X ′ E
σ p = σ *p ;
n
∑ xi = 1
i
EJEMPLO 4.4
Con los datos de rentabilidad y de la matriz de varianzas-covarianzas del
ejemplo anterior, se forman dos carteras eficientes p y q, con rentabilidad esperada del 13,60 % y del 42 %, respectivamente. Se pide:
a) Si se forma una tercera cartera invirtiendo el 40 % en la cartera p y el resto en la q, determinar la rentabilidad y el riesgo de dicha cartera, verificando que es eficiente.
b) Si la tercera cartera se forma invirtiendo en p el 140 %, determinar su rentabilidad y su riesgo y verificar si dicha cartera es eficiente.
Resolución
Como las carteras p y q son eficientes, se determina su composición y riesgo,
minimizando la varianza con la restricción de suma uno para los pesos y con rentabilidad esperada, respectivamente, del 13,60 % y del 42 %. Con Solver obtenemos:
230
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
a) Para determinar el riesgo de la tercera cartera, obtenida al invertir un
40 % en la cartera p y un 60 % en la q, es preciso conocer la covarianza entre
las rentabilidades de ambas carteras, para a continuación hallar su matriz de
varianzas-covarianzas. Sabemos que la covarianza entre las rentabilidades
de dos carteras p y q se determina por la expresión: spq = X'SY. Por tanto,
efectuando los cálculos obtenemos la matriz de varianzas-covarianzas entre
p y q:
Al efectuar los cálculos, obtenemos para la tercera cartera una rentabilidad
esperada del 30,64 %, con un riesgo del 21,8992 %.
Para verificar que la citada tercera cartera es eficiente es preciso comprobar
que cumple las dos condiciones de eficiencia, o sea, para una rentabilidad esperada del 30,64 % el riesgo mínimo es el 21,8992 %, y que para un riesgo del
21,8992 % la rentabilidad máxima es el 30,64 %. Podemos realizar ambas comprobaciones utilizando Solver. Así, minimizando la varianza para una rentabilidad esperada del 30,64 %, vemos que efectivamente el riesgo mínimo correspondiente a la misma es el 21,8992 %. También, para el citado riesgo, al maximizar
la rentabilidad esperada se obtiene el 30,64 %. En consecuencia, la cartera formada es eficiente8.
En el siguiente gráfico se muestran las distintas carteras que se obtienen al
combinar, en proporciones positivas, las carteras p y q:
8
En general, cualquier cartera obtenida al combinar en proporciones positivas dos carteras eficientes es una cartera eficiente.
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Inversiones financieras: selección de car teras
b) Si la tercera cartera se forma invirtiendo el 140 % del presupuesto en la
cartera p, en la q se invierte el −40 %, por lo que el inversor, para obtener recursos
adicionales del 40 % de sus recursos propios, emite un título con las mismas características (rentabilidad y riesgo) que las de la cartera q. Teniendo en cuenta la
matriz de varianzas-covarianzas ya calculada para las carteras p y q, la cartera
combinación tiene una rentabilidad esperada del 2,24 %, con un riesgo del
15,6720 %.
De la misma forma que la señalada anteriormente, para verificar si esta cartera es eficiente es preciso comprobar si para la rentabilidad obtenida el riesgo es
mínimo, y si para dicho riesgo la rentabilidad es la máxima posible. Utilizando
Solver podemos realizar ambas verificaciones. Así, minimizando la varianza para
una rentabilidad esperada del 2,24 %, vemos que efectivamente el riesgo mínimo
correspondiente a la misma es el 15,6720 %. Pero, para el citado riesgo, la máxima
rentabilidad no es el 2,24 %, sino el 24,8652 %. En consecuencia, la cartera formada no es eficiente, pues si bien tiene el mínimo riesgo en su clase de rentabilidad, no tiene la máxima rentabilidad en su clase de riesgo. Además, en el ejemplo
precedente hemos visto que, con los mismos datos, la cartera de mínimo riesgo
global tiene una rentabilidad esperada del 13,5526 % y un riesgo de 7,9403 %. Por
tanto, las carteras eficientes deben ser tales que su rentabilidad sea superior a
13,5526 %, lo que no se cumple en la cartera combinada que estamos analizando.
También observamos que la cartera de mínimo riesgo domina a la cartera combinada, pues tiene mayor rentabilidad y menor riesgo. Por tanto, desde cualquier
punto de vista, la cartera combinada no es eficiente, pues, si bien procede de
combinar dos carteras eficientes, se ha obtenido combinando las mismas con un
peso negativo9.
9
En general, toda cartera eficiente se puede obtener como una combinación de dos carteras
eficientes, si bien no toda combinación de carteras eficientes produce una cartera eficiente. Al combinar dos carteras eficientes se obtiene otra cartera eficiente si el vector de proporciones en que se
232
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
En el siguiente gráfico se muestran las distintas carteras que se obtienen al
combinar, en proporciones positivas y en negativas, las carteras p y q:
En el gráfico anterior se observa claramente cómo para todas las carteras situadas en la parte convexa de la curva (las de rentabilidad inferior a la de la cartera de mínimo riesgo) existe otra cartera situada en la parte cóncava con rentabilidad superior, tanto respecto a la correspondiente a la de mínimo riesgo como
a la de la cartera situada en la parte inferior.
EJEMPLO 4.5
Con los datos de rentabilidad y de la matriz de varianzas-covarianzas del
ejemplo anterior, obtener la composición, riesgo y rentabilidad de una cartera de
mínimo riesgo, de tal forma que su rendimiento sea como mínimo del 30 %.
Resolución
La cartera pedida ha de ser de mínima varianza y además verificar las siguientes restricciones:
E *p ≥ 30%;
6
∑ xi = 1
i
hace la combinación tiene sus componentes no nulos. Puede verse: Marín, J. M y Rubio, G. (2001:
255) y Benninga, S. (2008: 272).
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Inversiones financieras: selección de car teras
Al realizar los cálculos con Solver, se obtiene:
EJEMPLO 4.6
Con los datos que figuran en el archivo correspondiente, relativos a cinco activos, si se permiten las ventas en descubierto y utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, se pide:
a) Composición, rentabilidad y riesgo de la cartera de mínimo riesgo global.
b) Composición y riesgo de una cartera eficiente con rentabilidad esperada
del 17 %.
c) Generar la frontera eficiente, variando la rentabilidad esperada en 2 puntos porcentuales, desde el 19 % al 43 %.
Resolución
a) Diseñamos la hoja correspondiente para resolver el sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas, propio de la metodología de los multiplicadores de
Lagrange. Al efectuar los cálculos se obtiene:
b) Se pide la obtención de una cartera eficiente con rentabilidad esperada del
17 %, que es inferior a la de la cartera con mínimo riesgo global. Tal y como hemos expuesto, las carteras eficientes tienen rentabilidad igual o superior a la de la
cartera de mínimo riesgo global. Por tanto, no existe una cartera eficiente con
rentabilidad del 17 %, si bien podemos determinar la cartera de mínimo riesgo con
tal rendimiento esperado, y comprobaremos que no es eficiente.
Diseñamos la hoja correspondiente para resolver en este caso un sistema de siete ecuaciones con siete incógnitas, pues es preciso tener en cuenta la restricción relativa al valor esperado de la rentabilidad, 17 %. Al efectuar los cálculos se obtiene:
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
Eb = 17%; σ b = 17,7558%
Vemos que es una cartera con rendimiento inferior al de G, pero de mayor
riesgo. Se trata, en consecuencia, de una cartera ineficiente. Podemos utilizar Solver y determinar la cartera con rentabilidad máxima que tiene un riesgo del
17,7558 %. Se obtiene:
Tenemos, pues, que existe una cartera con riesgo del 17,7558 % y cuya rentabilidad es superior al 17 %, lo que confirma lo expuesto en cuanto a la no eficiencia de la cartera con rendimiento del 17 %.
c) Partiendo de la hoja diseñada anteriormente para calcular la cartera con
rendimiento esperado del 17 %, utilizamos la función tabla y obtenemos la rentabilidad y el riesgo de 13 carteras eficientes, modificando la rentabilidad en 2 puntos porcentuales, desde el 19 % al 43 %. El gráfico correspondiente es:
EJEMPLO 4.7
Determinado inversor dispone de unos recursos propios de 80.000 € para formar una cartera con los activos cuyos datos de rentabilidad esperada, matriz de
varianzas-covarianzas y cotización actual se indican en el archivo correspondien© Ediciones Pirámide
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Inversiones financieras: selección de car teras
te. Decide tomar en préstamo 200 títulos de la clase 1 y 100 de la clase 2 para,
inmediatamente, venderlos en la cotización actual de los mismos e invertir el importe correspondiente, junto con sus recursos propios, en las tres restantes clases
de activos. Se pide:
a) ¿Cuántos títulos (números enteros) debe adquirir de las tres últimas clases
de activos para formar una cartera eficiente con rentabilidad esperada del
18 %?
b) Si sólo desea pedir prestados títulos de la clase 1, ¿cuántos debe pedir
(número entero) para formar una cartera eficiente con riesgo del 4 %?
Resolución
a) Los recursos ajenos que obtiene importan:
A1 = 200 × 40 = 8.000
A2 = 100 × 60 = 6.000
Tales recursos representan el 10 % y el 7,5 %, respectivamente, de los recursos
propios. Por tanto, sus pesos en la cartera a formar son fijos y valen, respectivamente: x1 = −0,10 y x2 = −0,075.
Siendo N3, N4, N5 el número entero de títulos a adquirir de las restantes clases,
el peso de cada clase sobre los recursos propios, teniendo en cuenta su cotización
actual, es:
x3 =
80N3
50N4
70N5
; x4 =
; x5 =
80.000
80.000
80.000
Con las expresiones ya conocidas determinamos la rentabilidad y el riesgo de
la cartera. Como es preciso que la misma sea eficiente con rentabilidad esperada
del 18 %, para obtener el número de títulos a adquirir en cada una de las tres últimas clases hemos de minimizar la varianza, siendo las incógnitas N3, N4, N5, con
las siguientes restricciones:
E *p = 18%
N 3 , N 4 , N5 0
5
NiCi = 80.000
i=1
N3 , N4 , N5 int
Al efectuar los cálculos con Solver, se obtiene una cartera eficiente con rentabilidad esperada del 18 %, riesgo del 3,0081 % e integrada por 667 títulos de la
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
clase 3, 656 de la 4 y 112 de la 5, habiendo solicitado en préstamo el número de
títulos ya señalado. La inversión total es de 94.000 €, suma de los recursos propios
y los ajenos obtenidos por ventas en descubierto.
b) En este caso las incógnitas son todos los números de títulos, debiendo
obtener una cartera con máxima rentabilidad y riesgo del 4 %. Para obtener Ni
maximizamos la rentabilidad esperada, siendo Ni las incógnitas, debiendo verificarse las siguientes restricciones:
σ *p = 4%
N1 ≤ 0
N 2 , N 3 , N 4 , N5 ≥ 0
5
∑ NiCi = 80.000
i=1
N1, N2 , N3 , N4 , N5 int
Al resolver mediante Solver obtenemos:
En consecuencia, se ha de solicitar en préstamo y vender en descubierto 653
títulos de la clase 1, e invertir todos los recursos, 106.120 €, en las clases de activos 3, 4 y 5. La cuantía invertida en las citadas clases se ha obtenido por la
suma de los recursos propios (80.000 €) y los obtenidos por la venta en descubierto (26.120 €).
4.1.2. Carteras con dos clases de activos
Tal y como hemos señalado en la lección anterior, cuando en la composición
de la cartera entren sólo dos títulos, con ponderaciones x1 = x y x2 = 1 − x, todas
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Inversiones financieras: selección de car teras
las expresiones relativas a las carteras con n títulos se simplifican. Así, para la
rentabilidad y la varianza tenemos:
E p = xE1 + (1 − x) E2
σ 2p = x 2σ 12 + (1 − x) σ 22 + 2x (1 − x)σ 1σ 2 ρ12
2
Supongamos dos clases de activos, A1 = (E1, s1) y A2 = (E2, s2), que verifican:
E1 < E2
σ1 < σ 2
Si se opera a corto con el activo de menor rendimiento esperado, la rentabilidad esperada de la cartera es superior a la del activo de mayor rendimiento esperado. En efecto, si x1 = −c < 0, es x2 = 1 − x1 = 1 + c, por lo que la rentabilidad
de la cartera es:
E p = −cE1 + (1 + c) E2 = E2 + c (E2 − E1) > E2
Si se opera a corto con el activo de mayor rendimiento esperado, la rentabilidad de la cartera es inferior a la del activo de menor rendimiento esperado:
x2 = 1 − x1 = −c ⇒ x1 = 1 + c
E p = (1 + c) E1 − cE2 = E1 − c (E2 − E1) < E1
Para el riesgo de la cartera no se verifican las mismas desigualdades anteriores,
pues depende del valor del coeficiente de correlación lineal entre los rendimientos
de ambas clases de activos.
También sabemos que la cartera de mínimo riesgo global tiene las siguientes
ponderaciones:
x1 =
22 12
22 12
=
12 + 22 2 12 12 + 22 2 1 112
x2 =
12 12
12 12
=
12 + 22 2 12 12 + 22 2 1 112
En las expresiones anteriores, el denominador es positivo para cualquier valor
del coeficiente de correlación lineal. Así, para r12 = 1, el denominador es:
D = σ 12 + σ 22 − 2σ 12 = σ 12 + σ 22 − 2σ 1σ 2 = (σ 2 − σ 1) > 0
2
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
Para valores de r12 < 1, si no se modifican los riesgos, el sustraendo de la diferencia anterior disminuye, por lo que para cualquier valor de r12 es
σ 12 + σ 22 > 2σ 12 . En consecuencia: D = σ 12 + σ 22 − 2σ 12 = σ 12 + σ 22 − 2σ 1σ 2 > 0 .
Por tanto, el signo de los pesos de la cartera de menor riesgo global depende del
signo del numerador de la expresión respectiva. Así, en la expresión de x1, el numerador también es positivo para cualquier valor del coeficiente de correlación
lineal, pues se verifica: σ 22 − σ 12 = σ 22 − σ 1σ 2 ρ12 = σ 2 (σ 2 − σ 1ρ12 ) > 0 , ya que
s2 > s1. En consecuencia, la cartera de mínimo riesgo global no tendrá ventas en
descubierto en el activo de menor rentabilidad y menor riesgo de entre los dos
elegidos para combinar.
En la expresión de x2, el numerador será positivo, y por tanto en la cartera de
mínimo riesgo global no habrá ventas en descubierto, si se verifica:
σ 12 − σ 12 ρ12 = σ 12 − σ 1σ 2 = σ 1 (σ 1 − σ 2 ρ12 ) > 0 ⇒ ρ12 <
σ1
σ2
También podemos señalar que existirán ventas en descubierto en la cartera de
σ
mínimo riesgo global si el coeficiente de correlación lineal verifica: ρ12 > 1 .
σ2
De igual forma a lo realizado en la lección precedente, vamos a efectuar el
análisis de distintas hipótesis sobre el coeficiente de correlación lineal entre las
rentabilidades de ambas clases de títulos.
a) r12 = 1. Sabemos que en esta hipótesis la relación entre la rentabilidad
esperada de una cartera y su riesgo es lineal, verificándose, según vimos en la lección anterior:
E p = a + b p
a=
E1 2 E2 1
2 1
b=
E2 E1
2 1
La varianza verifica:
σ 2p = ⎡⎣xσ 1 + (1 − x)σ 2 ⎤⎦
2
En consecuencia, la desviación típica es una combinación lineal de las desviaciones estándar de ambos activos: sp = xs1 + (1 − x)s2. Como se admiten ponderaciones negativas, y el riesgo es un valor no nulo, podemos señalar que el mismo
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Inversiones financieras: selección de car teras
es el valor absoluto del promedio ponderado de las volatilidades de ambas clases
de activos:
σ p = xσ 1 + (1 − x)σ 2
Cuando no se admiten las ventas en descubierto, hemos señalado que al ser el
riesgo el promedio ponderado de los riesgos de los títulos, no existen ventajas en
la diversificación, estando el riesgo de las distintas carteras comprendido entre el
del activo de menor volatilidad y el del activo de mayor riesgo. En cambio, al admitir ventas en descubierto, el riesgo de la cartera puede ser inferior al del activo
de menor riesgo, por lo que existirán ventajas en la diversificación.
Si se opera a corto con el activo de menor riesgo, la volatilidad de la cartera
es superior a la del activo de mayor riesgo. En efecto, siendo c > 0 es:
σ p = −cσ 1 + (1 + c)σ 2 = σ 2 + c (σ 2 − σ 1) > σ 2
Si se opera a corto con el activo de mayor riesgo, la volatilidad de la cartera
es inferior a la del activo de menor riesgo:
σ p = (1 + c)σ 1 − cσ 2 = σ 1 − c (σ 2 − σ 1) < σ 1
Las ponderaciones en la cartera de mínimo riesgo global se obtienen al hacer
r12 = 1 en las ecuaciones respectivas, obteniéndose después de simplificar:
x1 =
2
>0
2 1
x2 =
1
<0
2 1
En consecuencia, la cartera de mínimo riesgo global se forma operando a corto en el activo de mayor rentabilidad y mayor riesgo, siendo nulo dicho riesgo
mínimo global, como puede comprobarse al sustituir en la expresión correspondiente del riesgo:
σ p = (1 + c)σ 1 − cσ 2 = σ 1 −
σ1
(σ 2 − σ 1) = 0
σ2 − σ
El siguiente gráfico muestra el conjunto de carteras posibles, correspondiendo
el trozo comprendido entre los puntos A1 y A2 a las carteras sin ventas en descubierto, y los restantes a las carteras con pesos negativos:
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Ep
E2
E1
A2
A1
s1
s2
sp
Figura 4.1
Si se opera a corto con el activo A1, las carteras están por encima del punto
A2. Y se opera a corto con el activo A2, las carteras están por debajo del punto
A1. Se observa cómo operando a corto en el activo A2 se podrá eliminar completamente el riesgo.
EJEMPLO 4.8
Para dos clases de activos se dispone de la siguiente información:
Activos
Rentabilidad
Riesgo
1
11 %
8%
2
14 %
12 %
Si el coeficiente de correlación lineal entre los rendimientos de ambas clases
de activos es 1, se pide:
a) Composición, rentabilidad y volatilidad de la cartera de mínimo riesgo
global.
b) Porcentaje de inversión en el activo 1 para obtener una rentabilidad del
20 %.
c) Valores del vector de proporciones para los cuales la rentabilidad de la
cartera es negativa.
d) Gráfico del conjunto de carteras invirtiendo en el activo 1 el 450 %, e ir
disminuyendo en 50 puntos porcentuales hasta operar a corto en dicho
activo en un 450 %.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Resolución
a) De acuerdo con las expresiones ya deducidas, tenemos:
x1 =
0,12
σ2
=
= 3; x2 = −2
σ 2 − σ 1 0,12 − 0, 08
A idéntico resultado se llega si calculamos la matriz de varianzas-covarianzas
y utilizamos Solver:
Observemos que el mínimo riesgo global es nulo.
También sabemos que la cartera de mínimo riesgo global tiene ventas en desσ
cubierto si se verifica ρ12 > 1 . Y en este caso, tal desigualdad es cierta, pues
σ
2
0, 08
ρ12 = 1 >
= 0,67 .
0,12
b) Podemos sustituir en la ecuación de la rentabilidad esperada:
E p = xE1 + (1 − x) E2
0,20 = 0,11x + 0,14 (1 − x) ⇒ x = −2
También podemos utilizar Solver, obteniendo idéntico resultado. En consecuencia, para obtener una rentabilidad del 20 % es preciso operar a corto con el
activo 1 e invertir los recursos propios y los obtenidos de la venta en descubierto,
en el activo 2. El riesgo de la cartera también es del 20 %.
c) Ha de verificarse:
E p = xE1 + (1 − x) E2 < 0
x<
242
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E2
= 466,67%
E2 − E1
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
d) Para obtener el gráfico pedido calculamos la rentabilidad y el riesgo de
diversas carteras, modificando el porcentaje x de inversión en la cartera10:
En la tabla anterior observamos, por ejemplo, que invirtiendo un 450 % en el
activo 1 la rentabilidad de la cartera es el 0,50 %, con un riesgo del 6 %. En cambio,
invirtiendo en dicho activo el 150 % se obtienen idénticos valores de rentabilidad y
riesgo. Por tanto, la primera cartera no es eficiente. En el siguiente gráfico se observa que las carteras situadas en la parte con pendiente negativa no son eficientes:
10
La tabla se ha obtenido con la siguiente secuencia en Excel: Datos, Análisis y si, Tabla de Datos. En Celda de entrada (columna) indicamos la celda correspondiente que figura en la fórmula de
la rentabilidad y en la del riesgo para el valor de x.
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b) r12 = 0. Sabemos que, en esta hipótesis, la relación entre la rentabilidad
esperada y el riesgo no es lineal, y la línea de combinación de activos o conjunto
de carteras que se pueden formar combinando ambos títulos es una línea curva
situada a la izquierda de la recta que une los puntos representativos de ambos
activos:
Ep
A2
E2
E1
A1
s1
s2
sp
Figura 4.2
Las carteras con ventas en descubierto están situadas a la derecha de los puntos A1 (ventas en descubierto en el activo 2) y A2 (ventas en descubierto en el activo 1).
La composición de la cartera de mínimo riesgo global se obtiene al sustituir
en las expresiones correspondientes, obteniéndose:
x1 =
22 12
22
=
12 + 22 2 12 12 + 22
x2 =
12 12
12
=
12 + 22 2 12 12 + 22
Se observa que en la composición de la cartera de mínimo riesgo global no
existen ventas en descubierto. Además, sustituyendo en la expresión de la varianza, se obtiene:
2
2
⎛ σ2 ⎞
⎛ σ2 ⎞
σ 2σ 2
σ 2p = ⎜ 2 2 2 ⎟ σ 12 + ⎜ 2 1 2 ⎟ σ 22 = 2 1 2 2
σ1 + σ 2
⎝ σ1 + σ 2 ⎠
⎝ σ1 + σ 2 ⎠
244
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Por tanto, el riesgo mínimo viene dado por la expresión:
1
p = 1 2 ( 12 + 22 ) 2
Tenemos, pues, que el riesgo no se puede anular completamente. Además, las
carteras situadas debajo de la de mínimo riesgo global no son eficientes.
EJEMPLO 4.9
Para dos clases de activos se dispone de la siguiente información:
Activos
Rentabilidad
Riesgo
1
15 %
12 %
2
20 %
18 %
Si las rentabilidades de ambos títulos son independientes, se pide:
a) Composición de la cartera eficiente con rentabilidad esperada del 25 %.
b) Gráfico del conjunto de carteras invirtiendo, operando a corto en el activo
1, un 300 %, e ir disminuyendo en 50 puntos porcentuales hasta un 300 %.
Resolución
a) Hemos de obtener el vector de proporciones que corresponde a una varianza mínima, con las restricciones de que sus componentes sumen la unidad y que la
rentabilidad esperada de la cartera sea del 25 %. Como la rentabilidad de la cartera
supera a la del activo 2, se trata de una cartera con ventas en descubierto en el activo 1. Calculamos la matriz de varianzas-covarianzas y mediante Solver obtenemos:
b) Calculamos los valores del riesgo y de rentabilidad para las distintas carteras:
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Inversiones financieras: selección de car teras
El gráfico es:
En el gráfico anterior se observa que el conjunto de carteras con ventas en
descubierto en el activo 2, o sea, las que están situadas en la parte inferior de la
curva, no son eficientes, pues para cada una de ellas existe otra con el mismo riesgo y mayor rentabilidad, situada en la parte superior. Así, por ejemplo, si se opera a corto en el activo 2 con x1 = 150 % y x2 = −50 %, en la tabla anterior observamos que la cartera tiene un riesgo del 20,12 % y una rentabilidad del 12,50 %.
Con Solver podemos obtener una cartera de máxima rentabilidad para el citado
riesgo, deduciéndose que la composición de la misma es x1 = −11,54 % y
x2 = 111,54 %, siendo el riesgo el citado 20,12 % y la rentabilidad el 20,58 %, claramente superior al 12,50 %.
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
c) r12 = −1. De acuerdo con lo expuesto en la lección anterior, la línea de
combinación de activos viene dada por dos rectas con la misma ordenada en el
origen y pendientes opuestas. Además, la cartera de mínimo riesgo global no tiene ventas en descubierto, y dicho riesgo es nulo.
Gráficamente:
Ep
A2
E2
E1
A1
s1
s2
sp
Figura 4.3
Las carteras con ventas en descubierto están situadas a la derecha de los puntos A1 (ventas en descubierto en el activo 2) y A2 (ventas en descubierto en el activo 1). Además, de igual forma a lo señalado en la lección precedente, las carteras
situadas en la recta inferior no son eficientes.
EJEMPLO 4.10
Para dos clases de activos se dispone de la siguiente información:
Activos
Rentabilidad
Riesgo
1
18 %
12 %
2
24 %
20 %
Determinar el intervalo de valores del coeficiente de correlación lineal en los
cuales la cartera de mínimo riesgo global es una cartera con ventas en descubierto.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Resolución
Sabemos que la cartera de mínimo riesgo global no posee ventas en descubierto en el título de menor rentabilidad y menor riesgo. Y tendrá ventas en descu0,12
σ
= 0,6. Por tanto, habrá venbierto en el otro activo si se verifica ρ12 > 1 =
σ 2 0,20
tas en descubierto cuando el coeficiente de correlación entre las rentabilidades de
ambos activos verifique: 0,6 < r12 ≤ 1.
A idénticos resultados podemos llegar teniendo en cuenta que el peso del título 2 en la cartera de mínimo riesgo global se obtiene de acuerdo con la expresión:
x2 =
0,122 − 0,12 × 0,20 ⋅ ρ
0, 0144 − 0, 024 ρ
σ 12 − σ 12
=
=
2
2
2
2
σ 1 + σ 2 − 2σ 12 0,12 + 0,20 − 2 × 0,12 × 0,20 ⋅ ρ 0, 0544 − 0, 048 ρ
Tal y como hemos señalado, el denominador de la expresión anterior es siempre positivo, pues si fuese negativo se verificaría 0,0544 − 0,048 r < 0 ⇒ r > 1,13,
lo cual es absurdo. Por tanto, para que existan ventas en descubierto, el numerador
de la ecuación anterior ha de ser negativo, y por tanto: 0,0144 − 0,024 r < 0 ⇒ r > 0,6.
EJEMPLO 4.11
De dos activos se conocen los siguientes datos:
Activos
Rentabilidad
Riesgo
1
13 %
4%
2
17 %
10 %
Determinar:
a) El riesgo de una cartera formada con ambos activos si su rentabilidad
esperada es del 20 %, sabiendo que la cartera de mínimo riesgo global
formada supone una venta en descubierto del activo 2 en un 6,4516 %.
b) El coeficiente de correlación lineal entre las rentabilidades de las dos carteras anteriores.
Resolución
a) Para poder calcular el riesgo pedido hemos de conocer la covarianza entre
las rentabilidades de ambos activos. Teniendo en cuenta que la ponderación del
activo 2 en la cartera de mínimo riesgo global es −6,4516 %, podemos sustituir en
la expresión correspondiente:
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
x2 =
6, 4516% =
12 12
12 + 22 2 12
0, 042 12
; 12 = 0, 00208
0, 042 + 0,102 2 12
Conocida la covarianza, podemos obtener la matriz de varianzas-covarianzas:
⎛ 0, 00160 0, 00208 ⎞
S=⎜
⎟
⎝ 0, 00208 0, 01000 ⎠
La composición de la cartera pedida se obtiene al sustituir en la expresión de
la rentabilidad esperada, teniendo en cuenta que la misma es del 20 %:
0,20 = 0,13x + (1 − x) 0,17 ⇒ x = x1 = −0,75; x2 = 1,75
Una vez conocida la composición de la cartera y la matriz de varianzas-covarianzas, podemos calcular el riesgo pedido, obteniéndose un 16,1447 %.
b) Las dos carteras anteriores son la de rentabilidad del 20 % y la de mínimo
riesgo global. El vector de proporciones de cada cartera es, respectivamente:
⎛ −0,75 ⎞
⎛ 1, 064516 ⎞
X =⎜
⎟; Y = ⎜
⎟
⎝ 1,75 ⎠
⎝ −0, 064516 ⎠
Recordemos que la covarianza entre las rentabilidades de dos carteras viene
dada por la expresión:
σ pq = X ′Qq = X ′SY
Al realizar los cálculos se obtiene una covarianza igual a 0,001569, lo que implica un coeficiente de correlación lineal de 0,3923.
EJEMPLO 4.12
Las rentabilidades anuales de dos activos i y j se ajustan a la ecuación rj = 0,05 +
+ 0,40ri. Además, la distribución de probabilidad de la rentabilidad del activo i es
la siguiente:
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Inversiones financieras: selección de car teras
Rentabilidad
Probabilidad
−20 %
10 %
−5 %
20 %
12 %
30 %
30 %
25 %
40 %
15 %
Se pide:
a) Composición de la cartera integrada por ambos activos para que el riesgo
de la misma sea nulo.
b) Rentabilidad esperada y composición de la cartera con un riesgo 15 %
anual.
Resolución
Hemos de calcular en primer lugar la rentabilidad esperada y el riesgo de cada
activo, así como la matriz de varianzas-covarianzas.
La distribución de rentabilidad del activo j la obtenemos de acuerdo con la
ecuación que relaciona los valores de sus rentabilidades con los correspondientes
del activo i:
Rentabilidad del activo j
Probabilidad
−3,00 %
10 %
3,00 %
20 %
9,80 %
30 %
17,00 %
25 %
21,00 %
15 %
Recordemos que, para dos activos y h valores de rentabilidad, se verifica:
Ei = ri =
h
∑ rsi ps ;
h
∑ rsj ps
E j = rj =
s=1
σ i2 =
2
∑(
h
)
rsi − ri ps ; σ 2j =
s=1
σ ij =
s=1
∑(
h
2
)
rsj − rj ps
s=1
∑ (rsi − ri ) (rsj − rj ) ps
h
s=1
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
Al realizar los cálculos en la hoja correspondiente al archivo de Soluciones,
obtenemos:
Ei = 14,10%; σ i = 18,8252%
E j = 10,64%; σ j = 7,5301%
σ ij = 0, 0141756; ρij = 1
Observamos que el coeficiente de correlación línea es la unidad, como corresponde a la relación lineal con pendiente positiva entre las rentabilidades de ambos
activos.
La matriz de varianzas-covarianzas es:
⎛ 0, 035439 0, 014176 ⎞
S=⎜
⎟
⎝ 0, 014176 0, 005670 ⎠
a) Para determinar el vector de proporciones que anula el riesgo, podemos
sustituir los valores conocidos en la expresión del riesgo y despejar, o bien realizando los cálculos con Excel se llega a:
x1 = −66,6668%; x2 = 166,6668%; E p = 8,3333%
b) Para un riesgo del 15 % anual, al sustituir en la expresión del mismo podemos obtener la proporción a invertir en cada activo. Y al sustituir en la ecuación
de la rentabilidad obtenemos la misma. También podemos utilizar Solver, fijando
como celda objetivo la correspondiente al riesgo con un valor del 15 %, incluyendo como restricción la correspondiente a suma uno de las proporciones. Se obtiene una rentabilidad esperada del 12,9282 %, invirtiendo en el activo i el 66,1337 %,
y en el j el 33,8663 %.
4.2. CARTERAS MIXTAS
Tal y como hemos señalado, en el modelo de Markowitz se considera que el
inversor distribuye todo su presupuesto en activos con riesgo. Ahora bien, el inversor puede destinar parte de sus recursos a invertir en un activo o cartera con
riesgo, y la otra parte en un activo sin riesgo. También puede endeudarse, aumentando así los recursos para invertir en un activo o cartera con riesgo, dando lugar
a una posición apalancada.
En cualquier caso, una ampliación del modelo de Markowitz consiste en introducir ambas posibilidades, dando origen a las carteras completas, en las que se
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incluyen tanto activos arriesgados como activos sin riesgo. Cuando los activos
arriesgados formen una cartera eficiente, bien sin ventas en descubierto o bien
permitiéndose las mismas, a las carteras completas se les denomina carteras mixtas. Por tanto, las carteras mixtas son carteras obtenidas al combinar un activo
libre de riesgo con una cartera eficiente con riesgo11.
Por activo libre de riesgo se entiende el que proporciona un rendimiento cierto durante el período de tenencia, por lo que al adquirir tal activo al inicio del
mismo se conoce exactamente cuál será su valor al final de dicho período12. En
consecuencia, su rentabilidad no es una variable aleatoria y su varianza es nula,
así como la covarianza con cualquier otro activo.
De acuerdo con lo expuesto, se introduce la posibilidad de prestar o tomar en
préstamo cualquier cuantía a un tipo de interés libre de riesgo. Así, por ejemplo,
un inversor que dispone de 100 u.m. puede invertir 80 en activos arriesgados y 20
en letras de Tesoro, o bien, si desea invertir una cuantía superior a 100, por ejemplo 115, se acepta la hipótesis según la cual podrá pedir prestadas 15 u.m., que
retribuirá al tipo de interés libre de riesgo.
La consideración de los activos sin riesgo nos permite introducir dos nuevos
conceptos. Así, se define la prima absoluta de riesgo, dp, de un activo o cartera,
como la diferencia entre la rentabilidad esperada y la correspondiente al activo
libre de riesgo, rf. Representa la recompensa por asumir riesgos:
δ p = E p − rf
Al cociente entre la prima absoluta de riesgo y la volatilidad correspondiente
se le denomina ratio de recompensa por volatilidad, precio del riesgo o prima relativa de riesgo, Zp:
Zp =
δ p E p − rf
=
σp
σp
La prima relativa de riesgo indica, por cada unidad de volatilidad, la rentabilidad adicional obtenida sobre la del activo libre de riesgo13.
11
Esta ampliación del modelo de Markowitz la realizó inicialmente J. Tobin en un trabajo publicado en 1958, por lo que se le suele denominar modelo de Tobin. Con posterioridad, W. F. Sharpe
en 1964 y J. Litner en 1965 la desarrollaron, si bien con planteamientos diferentes.
12
Se toman como activos libres de riesgo los valores del Tesoro (letras y bonos) con plazo hasta el vencimiento igual al horizonte temporal de la cartera en la que se van a incluir tales activos.
Cuando el tiempo hasta el vencimiento del valor del Tesoro no coincida con la amplitud del período
de tenencia, tal activo no está libre de riesgo, pues está sometido al riesgo de precio y al riesgo de
tasa de reinversión. Puede verse Alexander et al. (2003: 170).
13
También se le denomina Índice de Sharpe.
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
EJEMPLO 4.13
Determinado inversor dispone de 800.000 € para forma una cartera invirtiendo en un activo arriesgado el 80 % y el resto en un activo sin riesgo. El activo con
riesgo tiene una rentabilidad esperada del 10 % anual con una volatilidad del 4 %.
El activo sin riesgo proporciona una rentabilidad del 6 %. La duración de la inversión es de un año. Determinar:
a) Resultado esperado de su inversión.
b) Rentabilidad esperada y riesgo de la cartera formada.
c) Primas de riesgo.
Resolución
a) El resultado total esperado de la cartera completa, Gp, verifica:
G p = 80% × 800.000 × 10% + 20% × 800.000 × 6% = 73.600 €
En consecuencia, la rentabilidad anual esperada de la inversión es:
Ep =
73.600
= 9,20%
800.000
b) También podemos determinar la rentabilidad esperada de la cartera completa teniendo en cuenta que las ponderaciones son 80 % y 20 %, por lo que se
verifica:
E p = 80% × 10% + 20% × 6% = 9,20%
Al ser nulas la varianza del activo libre de riesgo y su covarianza con el activo
arriesgado, el riesgo de la cartera completa verifica:
σ 2p = (0,80 × 0, 04) ⇒ σ p = 3,20%
2
c) Las primas de riesgo son:
δ p = 9,20% − 6% = 3,20%
Zp =
3,20%
=1
3,20%
EJEMPLO 4.14
Determinado inversor dispone de unos recursos propios de 1.200.000 €. Desea
invertir 1.500.000 € durante un año en una cartera arriesgada con rentabilidad del
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12 % anual y riesgo del 8 %. Para ello solicita un préstamo cuyo coste es del 7 %
anual. Determinar:
a) Resultado esperado de la inversión.
b) Rentabilidad esperada y riesgo de la cartera formada.
Resolución
Se trata de una cartera completa con posición apalancada, invirtiendo en total
1.500.000 €, de los cuales 300.000 € son recursos ajenos, que representan un 25 %
de los recursos propios invertidos.
a) El resultado esperado de la inversión viene dado por la diferencia entre el
resultado esperado de la cartera con riesgo y el coste de los recursos ajenos:
G p = 1.500.000 × 12% − 300.000 × 7% = 159.000 €
Por tanto, la rentabilidad esperada de la cartera o rentabilidad esperada de los
recursos propios invertidos es:
Ep =
159.000
= 13,25%
1.200.000
Podemos observar que el resultado esperado, 159.000 €, se compone de dos
sumandos: un resultado, 144.000 €, obtenido al invertir los recursos propios al
12 %, y otro resultado, 15.000 €, obtenido al invertir los recursos ajenos a un tipo
de rendimiento superior al de su coste:
1.200.000 × 12% = 144.000
300.000 × (12% − 7%) = 15.000
Igual descomposición podemos realizar para la rentabilidad esperada:
E p = 12% + 0,25 (12% − 7%) = 13,25%
b) Los recursos ajenos invertidos representan el 25 % de los recursos propios,
por lo que la cuantía total invertida representa el 125 % de los recursos propios.
Por tanto, las ponderaciones son: el 125 % en la cartera arriesgada y −25 % en el
activo con riesgo. En consecuencia, el resultado esperado de la cartera completa
también lo podemos determinar por la expresión:
E p = 1,25 × 12% − 0,25 × 7% = 13,25%
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
Para el riesgo tenemos:
σ p = 1,25 × 8% = 10%
4.3. CARTERAS MIXTAS CON PRÉSTAMO Y CARTERAS MIXTAS
CON ENDEUDAMIENTO
De acuerdo con lo expuesto, podemos señalar dos tipos de carteras en las que
intervenga un activo libre de riesgo: carteras con préstamo y carteras con endeudamiento.
Una cartera con préstamo es aquella en la que el inversor destina parte de sus
recursos a un activo o cartera con riesgo, y la otra parte la presta o invierte al tipo
de interés libre de riesgo. Cuando la cartera arriesgada sea eficiente, hablamos de
carteras mixtas con préstamo o carteras eficientes invertidas. Con cualquier denominación, se trata de carteras en las que el inversor cede o invierte parte de sus
recursos al tipo libre de riesgo.
Una cartera con endeudamiento, o cartera con apalancamiento, es una cartera
formada con cantidades tomadas en préstamo. Por tanto, se trata de una cartera
en la que el inversor invierte tanto sus recursos propios como los ajenos, obtenidos
a un tipo de interés libre de riesgo, en un activo o cartera arriesgada. Cuando la
cartera arriesgada sea eficiente, hablamos de carteras mixtas con endeudamiento o
carteras eficientes en préstamo. Se trata, pues, de carteras en las que el inversor
invierte una cuantía superior a sus recursos propios, debiendo retribuir al tipo de
interés libre de riesgo la cuantía en que se endeuda14.
Teniendo en cuenta la conducta racional de cualquier inversor, vamos a considerar que la inversión en activos arriesgados se hace en carteras eficientes, por
lo que consideraremos exclusivamente carteras mixtas.
Supongamos que una parte de los recursos se invierte en una cartera eficiente
arriesgada H, de rentabilidad esperada EH, y riesgo sH. La otra parte se invierte
en el activo libre de riesgo F, de rentabilidad rf, o se obtiene un préstamo al mismo
tipo rf. Siendo las ponderaciones en la cartera mixta y e y', la rentabilidad esperada de la cartera mixta p verifica:
E p = yEH + y′rf
El riesgo del activo F en el que se invierte, como el del préstamo que se obtiene, son nulos. También es nula la covarianza con la rentabilidad de la cartera H,
por lo que el riesgo de la cartera mixta verifica:
σ 2p = y2σ H2 ⇒ σ p = yσ H
14
El endeudamiento puede ser a través de la obtención de un préstamo, o bien mediante la emisión de un activo carente de riesgo o de la venta en descubierto del mismo.
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Como se ha verificar y + y' = 1, al realizar operaciones en las dos expresiones precedentes se llega a la siguiente expresión de la rentabilidad de las carteras
mixtas:
⎛ E − rf ⎞
E p = rf + ⎜ H
σp
⎝ σ H ⎟⎠
La ecuación anterior representa la relación entre la rentabilidad y el riesgo de
todas las carteras mixtas que se pueden formar invirtiendo en la cartera eficiente H
y en el activo libre de riesgo F (carteras con préstamo). Y también la relación entre
la rentabilidad y el riesgo de todas las carteras mixtas que se pueden formar invirtiendo en la cartera eficiente H y pidiendo un préstamo al tipo de interés libre de riesgo
que coincide con el tipo de rentabilidad del activo F (carteras con endeudamiento).
La ecuación anterior es la de una recta, denominándose línea de asignación de
activos o línea de asignación de capitales. Su pendiente o coeficiente angular es
igual a la prima relativa de riesgo de la cartera arriesgada eficiente H:
ZH =
EH − rf
σH
Si en la ecuación de la línea de asignación de activos pasamos al primer miembro la rentabilidad del activo libre de riesgo, así como el riesgo de la cartera mixta, tenemos:
E p − EF
E − EF
= H
σp
σH
En consecuencia, la prima relativa de riesgo de la cartera eficiente arriesgada
y la correspondiente a la cartera mixta son iguales: ZH = ZP. Por tanto, la ecuación que relaciona la rentabilidad y el riesgo de las carteras mixtas también se
puede expresar de las dos formas siguientes:
E p = rf + ZH σ p
E p = rf + Z pσ p ⇒ δ p = Z pσ p
Siendo P la cuantía total de los recursos propios disponibles, y A la correspondiente a los recursos ajenos, tenemos que el peso de la inversión en la cartera
arriesgada verifica:
y=
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P+A
P
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Por tanto, el peso en el activo libre de riesgo es:
y′ = 1 − y =
−A
P
En una cartera con préstamo es A = 0, por lo que el inversor distribuye exclusivamente sus recursos propios entre el activo F y la cartera H, verificándose15:
0 ≤ y ≤1
0 ≤ y′ ≤ 1
Por consiguiente, cualquier cartera con préstamo tendrá una rentabilidad y un
riesgo que corresponden a un punto sobre la recta que une los puntos rf y H, verificándose:
rf ≤ E p ≤ EH
0 ≤ σ p ≤ σH
Gráficamente:
E
EH
H
p
rf
sH
s
Figura 4.4
En una cartera con endeudamiento es A > 0, por lo que se verifica: 1 < y;
y' < 0. Por consiguiente, cualquier cartera con endeudamiento tendrá una rentabilidad y un riesgo que corresponden a un punto sobre la prolongación de la línea
15
En teoría podría ser y < 0, o sea, una venta en descubierto de la cartera arriesgada, invirtiendo todos los recursos iniciales, más los obtenidos de esta venta en descubierto, en el activo libre de
riesgo, con lo que y′ > 0. Ello constituiría una cartera completa no eficiente, pues se está obteniendo
un préstamo (venta en descubierto de H) a un tipo de interés superior al correspondiente a la inversión en el activo seguro, ya que, en condiciones normales de mercado, es EH > rf.
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recta que une rf con H, o, lo que es lo mismo, un punto situado a la derecha del
H, verificándose:
EH < E p
σH < σ p
Gráficamente:
E
p
EH
H
rf
sH
s
Figura 4.5
Podemos señalar, pues, que todas las carteras mixtas están en la recta que conecta rf con H, o sea, que pasa por los puntos de coordenadas (0, rf) y (sH, EH),
respectivamente. Dependiendo de sus preferencias, un inversor se situará en un
punto anterior al H, o bien, si desea obtener una rentabilidad superior a la de la
cartera H, se situará a la derecha, endeudándose para obtener recursos adicionales a los propios para invertirlos todos en la citada cartera H.
Podemos sintetizar en un solo gráfico ambas situaciones:
E
EH
rf
H
s
ra o
rte stam
a
C pré
n
co
c
o
as ent
ter ami
r
Ca eud
d
en
on
sH
s
Figura 4.6
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Es interesante destacar que la cartera eficiente H se forma invirtiendo en n
activos arriesgados y según los pesos (x1, x2, ..., xn). En cambio, las carteras mixtas se forman con H y F según los pesos (y, y'). Las distintas carteras mixtas se
obtienen al modificar el valor de y, aunque tales modificaciones (o sea, las distintas formas de invertir en H y en F, o de pedir prestado) no alteran la composición
de la cartera eficiente H.
EJEMPLO 4.15
Determinada persona invierte en una cartera eficiente arriesgada con rendimiento esperado del 18 % anual y volatilidad del 9 %, y en un activo con rendimiento cierto del 6 % anual. Si la mixta tiene un riesgo del 6,48 %, calcular:
a) Rendimiento esperado de la cartera completa.
b) Primas de riesgo.
Resolución
a) Sabemos que el riesgo de la cartera mixta verifica:
σ p = yσ H ⇒ 0, 0648 = 0, 09y ⇒ y = 72%; y′ = 28%
En consecuencia, el rendimiento esperado de la cartera mixta es:
E p = 0,72 × 18% + 0,28 × 6% = 14,64%
b) Las primas de riesgo de la inversión son:
δ p = E p − rf = 14,64% − 6% = 8,64%
Zp =
E p − rf
8,64%
=
= 1,33
σp
6, 48%
En consecuencia, el inversor obtiene un rendimiento adicional de 8,64 puntos
porcentuales sobre el correspondiente al activo libre de riesgo. Además, por cada
unidad de riesgo obtiene un rendimiento adicional sobre el correspondiente al activo libre de riesgo de 1,33 unidades. O, lo que es equivalente, por cada incremento de
una unidad porcentual en el riesgo de la cartera mixta, el incremento en su rentabilidad esperada, o en la prima absoluta de riesgo, debe ser de 1,33 puntos porcentuales.
EJEMPLO 4.16
Determinada empresa ha realizado una inversión en una cartera A con volatilidad del 7 %, y en un activo libre de riesgo. La prima absoluta de riesgo de A es
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el 5 %, y la de la cartera total es el 3 %.Sabiendo que el activo libre de riesgo proporciona una rentabilidad del 5 %, determinar la rentabilidad, el riesgo y la prima
relativa de riesgo de la cartera completa.
Resolución
Teniendo en cuenta las primas absolutas de riesgo, se verifica:
δ A = 5% = EA − rf ⇒ EA = 10%
δ p = 3% = E p − rf ⇒ E p = 8%
A partir de la rentabilidad de la cartera completa podemos determinar el peso
de la inversión en la cartera A:
E p = 0,10y + 0, 05 (1 − y) = 8% ⇒ y = 0,60
Por tanto, el riesgo de la cartera completa es:
σ p = yσ A = 0,60 × 7% = 4,2%
La prima relativa de riesgo de la cartera completa es:
Zp =
E p − rf
3%
=
= 0,7143
σp
4,2%
Podemos comprobar que la prima de riesgo anterior coincide con la prima de
riesgo de la cartera A:
ZA =
EA − rf
5%
=
= 0,7143
σA
7%
En consecuencia, el inversor, por cada unidad de riesgo, obtiene un rendimiento adicional sobre el del activo libre de riesgo de 0,7143 unidades. O, lo que es
equivalente, por cada incremento de una unidad porcentual en el riesgo de la
cartera completa, el incremento en su rentabilidad esperada, o en la prima absoluta de riesgo, es de 0,7143 puntos porcentuales.
Podemos expresar la ecuación del conjunto de carteras completas, con las
condiciones señaladas, a través de la expresión:
E p = rf + ZAσ p = 0, 05 +
260
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5
σp
7
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EJEMPLO 4.17
Un inversor dispone de 60.000 € para invertir en una cartera eficiente de activos con riesgo del 9 % y rendimiento esperado es del 16 %. Decide solicitar un
préstamo de 12.000 € a fin de realizar una mayor inversión. Dicho préstamo, obtenido al tipo de interés libre de riesgo, tiene un coste del 6 %. Determinar la rentabilidad esperada y el riesgo de la cartera formada.
Resolución
Invierte 60.000 + 12.000 = 72.000 €, que representa el 120 % sobre los recursos
72.000
propios disponibles para invertir: y =
= 1,2 . En consecuencia, la cartera
60.000
mixta se forma invirtiendo en la proporción y = 1,2 en la cartera con riesgo y endeudándose al 6 % en una cuantía que representa el 20 % de los recursos propios
⎛ 12.000
⎞
= 0,20⎟ , por lo que es 1 − y = y' = −0,20. Por tanto, la rentabilidad y el
⎜⎝
⎠
60.000
riesgo de la cartera mixta verifican:
E p = 1,20 0,16 0,2 0, 06 = 18%
p = y H = 1,20 0, 09 = 10,8%
EJEMPLO 4.18
Dos inversores A y B desean cada uno formar una cartera mixta invirtiendo
en la misma cartera eficiente, cuya rentabilidad esperada es del 13 % anual con un
riesgo estimado del 9 % anual. El inversor A forma una cartera con préstamo,
invirtiendo el 15 % de sus recursos en el activo libre de riesgo con rentabilidad del
5 % anual. En cambio, el inversor B solicita un préstamo del 20 % de sus recursos
propios para invertir la totalidad de los recursos en la cartera con riesgo. El tipo
de interés del préstamo solicitado por B es del 7 % anual. Se pide:
a) Determinar la rentabilidad y el riesgo de cada una de las carteras mixtas.
b) Si el inversor A desea que el riesgo de su cartera sea del 6,3 %, ¿cuánto
debe invertir en el activo libre de riesgo?
c) Si el inversor B desea obtener una rentabilidad del 15,7 %, ¿en cuánto debe
endeudarse?
Resolución
a) La rentabilidad esperada verifica:
EA = 0,85 13% + 0,15 5% = 11,80%
EB = 1,20 13% 0,20 7% = 14,20%
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Inversiones financieras: selección de car teras
El riesgo es:
σ A = 0,85 × 9% = 7,65%
σ B = 1,20 × 9% = 10,80%
b) De la ecuación del riesgo se deduce:
σ A = 6,3% = 0, 09y ⇒ y = 70%; y′ = 30%
En el activo libre de riesgo debe invertir el 30 % de sus recursos propios.
c) De la expresión de la rentabilidad deducimos:
EB = 15,7% = 0,13y + 0, 07 (1 − y) ⇒ y = 1, 45
Debe endeudarse en un 45 % de la cuantía de sus recursos propios.
EJEMPLO 4.19
Un inversor desea solicitar un préstamo de cuantía igual al 15 % de sus recursos propios disponibles, a fin de invertir en una cartera eficiente con riesgo y sin
ventas en descubierto. Dicha cartera se forma con los cuatro activos cuyos datos
figuran en el archivo correspondiente. Sabiendo que el tipo de interés libre de
riesgo al que se endeuda es el 5 %, determinar la rentabilidad esperada y el riesgo
de su inversión en cada uno de los supuestos siguientes:
a) La cartera eficiente con riesgo tiene rentabilidad del 16,5 %.
b) La cartera eficiente tiene un riesgo del 3 %.
Resolución
a) Como se endeuda en un 15 % de sus recursos, invierte en la cartera con
riesgo el 115 % de tales recursos. Por tanto, la rentabilidad esperada de la cartera
mixta verifica:
Ea = 1,15 × 16,5% − 0,15 × 5% = 18,2250%
Para determinar el riesgo de la cartera mixta a es preciso conocer el correspondiente a la cartera eficiente H con rentabilidad del 16,5 %. Para su determinación planteamos las siguientes expresiones:
Minimizar H2 = X SX
EH = 16,5%
4
xi = 1
1
xi 0
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
Al utilizar Solver obtenemos la ponderación y el riesgo de la cartera eficiente
en la que se invierte. El riesgo de dicha cartera es 2,1179 %. En consecuencia, el
riesgo de la cartera mixta es:
σ a = 1,15 × 2,1179% = 2, 4356%
b) Si la inversión es en una cartera eficiente q con riesgo del 3 %, la volatilidad de la cartera mixta b verifica:
σ b = 1,15 × 3% = 3, 45%
Para calcular la rentabilidad de la cartera mixta b es preciso conocer el rendimiento esperado de la cartera eficiente q en la que se invierte, sabiendo que su
riesgo es el 3 %. Para su determinación planteamos las siguientes expresiones:
Maximizar Eq = X ′ E
σ q2 = 3%
4
∑ xi = 1
1
xi ≥ 0
Al utilizar Solver obtenemos que la rentabilidad de la cartera eficiente es
20,8383 %. En consecuencia, la rentabilidad de la cartera mixta es:
Eb = 1,15 × 20,8383% − 0,15 × 5% = 23,2141%
4.4. DETERMINACIÓN DE LA CARTERA ÓPTIMA CON RIESGO
Dado un conjunto de n activos con riesgo, con los cuales se puede formar la
frontera de carteras eficientes, cabe preguntarse si es indiferente elegir cualquiera
de tales carteras eficientes para formar una cartera mixta, o si existe alguna cartera que sea mejor que las demás.
Sabemos que el conjunto de carteras mixtas está en la línea que, en los ejes
riesgo-rendimiento, conecta el punto representativo del activo libre de riesgo con
el de la cartera eficiente arriesgada elegida para formar las carteras mixtas. Por
tanto, la cartera eficiente con riesgo a combinar con el activo libre de riesgo vendrá determinada por el punto de intersección entre la línea de carteras mixtas y
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Inversiones financieras: selección de car teras
la curva de carteras eficientes. Ahora bien, como se observa en el siguiente gráfico, existen infinitos puntos de intersección:
E
rf
L3
L2 L
1
G
s
Figura 4.7
En el gráfico anterior vemos que, por ejemplo, si se elige la cartera arriesgada
eficiente situada en el punto de corte de la línea 1 (L1), el conjunto total de carteras mixtas está situado en dicha línea. Pero vemos que existen carteras mixtas
situadas en la línea 2, que proporcionan, para el mismo nivel de riesgo que el de
una cartera situada en la línea 1, un mayor rendimiento. Y las situadas en la línea
3 proporcionan aún un mayor rendimiento. Por tanto, la cartera eficiente arriesgada a elegir será la situada en la parte más alta posible. Será, pues, la cartera
situada en el punto de tangencia entre la línea de asignación de activos y el conjunto de carteras eficientes:
E
T
rf
G
s
Figura 4.8
264
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
Por tanto, la cartera óptima arriesgada para combinar con el activo libre de
riesgo es la cartera T, correspondiente al punto de tangencia entre la línea de
asignación de activos y la curva de carteras eficientes. Observemos que no es posible situarse en una línea con mayor pendiente que la correspondiente a la recta
anterior, pues no existen carteras arriesgadas con riesgo igual al de la cartera T y
de mayor rendimiento esperado.
De acuerdo con lo expuesto, la introducción del activo libre de riesgo modifica el conjunto eficiente del modelo de Markowitz, pues la nueva frontera de carteras eficientes, con n activos arriesgados y un activo libre de riesgo, deja de ser
una curva y pasa a ser la recta rfT. Como la citada recta está por encima de la
curva que constituye la frontera eficiente formada exclusivamente con activos
arriesgados, las carteras situadas en dicha recta dominan a las situadas en la curva16. Por tanto, el inversor puede obtener un mayor rendimiento para cada nivel
de riesgo, pues dispone de oportunidades de inversión que, operando sólo con
activos arriesgados, son inalcanzables. Dicha recta es la de máxima pendiente de
entre todas las que parten del punto (0, rf). Tenemos, pues, que combinando la
cartera tangente T con el activo seguro, de rendimiento rf, los inversores pueden
situarse en cualquier punto de la recta rfT. Dependiendo de su aversión al riesgo,
unos inversores se situarán antes de T (carteras con préstamo), y otros a la derecha (carteras con endeudamiento).
La ecuación de la línea de asignación de activos, para el conjunto de carteras
mixtas formadas combinando el activo libre de riesgo con la citada cartera óptima
arriesgada T, viene dada por la expresión:
E p = rf +
ET − rf
σp
σT
Como es sabido, en la ecuación anterior, el coeficiente de sp es la pendiente
de la recta, y representa la prima relativa de riesgo o precio del riesgo de la cartera T:
ZT =
ET − rf
σT
Por tanto:
E p = rf + ZT σ p
16
Recordemos que una cartera domina a otra cuando, a igual riesgo, tiene mayor rentabilidad;
o, a igual rentabilidad, tiene menor riesgo.
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Inversiones financieras: selección de car teras
De acuerdo con lo expuesto, la composición de la cartera tangente, o cartera
eficiente óptima arriesgada para combinar con el activo libre de riesgo, se obtiene
al maximizar la prima relativa de riesgo o pendiente de la recta de asignación de
activos. Por tanto, en el conjunto de sus posibilidades de inversión, cualquier inversor elegirá, para combinar con el activo libre de riesgo, aquella cartera eficiente arriesgada que le proporcione la máxima prima relativa de riesgo, o sea, la
máxima prima absoluta sobre el rendimiento del activo libre de riesgo y por unidad de riesgo.
La composición de la cartera tangente T o cartera óptima arriesgada se deduce de:
Maximizar ZT =
ET − rf
σT
n
∑ xi = 1
1
Si no se admiten ventas en descubierto en la cartera tangente, es preciso añadir la restricción de no negatividad: xi ≥ 0.
En consecuencia, una vez calculados los valores del vector de proporciones
de la cartera tangente, así como su rentabilidad y su riesgo, el inversor formará
las carteras mixtas cambiando los valores de y, obteniendo la rentabilidad y el
riesgo según las expresiones ya analizadas:
E p = yET + (1 − y) rf
E p = rf +
ET − rf
⋅σ p
σT
σ p = yσ T
Destaquemos que la elección de la cartera T no depende de las preferencias
del inversor, sino que es un problema técnico: es la cartera cuyo precio del riesgo
es máximo. Por ello, si todos los inversores dispusieran de los mismos n activos
arriesgados para invertir, del mismo activo sin riesgo, y tuvieran las mismas expectativas en cuanto a rentabilidad esperada y a la matriz de varianzas-covarianzas (expectativas homogéneas), todos elegirían la misma cartera arriesgada óptima17 T. Las carteras mixtas que formen sí dependen de sus preferencias, pues en
17
Lo expuesto constituye el Teorema de la Separación, propuesto por J. Tobin en 1958: «La
cartera óptima formada por activos con riesgo no depende de la actitud frente al riesgo de los inversores individuales, sino que es la misma para todos ellos».
266
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
función de ellas se situarán en distintos puntos a lo largo de la línea de asignación
de activos.
De acuerdo con lo expuesto, la elección de una cartera se puede separar en
dos fases18: a) determinación de la cartera arriesgada óptima, y b) elección personal de la mejor combinación entre la cartera arriesgada óptima y el activo carente de riesgo. O, lo que es equivalente: las decisiones de inversión (invertir en T) y
de financiación (invertir o pedir prestado al tipo de interés sin riesgo) son independientes. Lo anterior implica que todos los inversores, con independencia de su
grado de aversión al riesgo, tendrán la misma cartera arriesgada para invertir, y
en función de sus preferencias distribuirán sus recursos o se endeudarán.
EJEMPLO 4.20
Con los datos que figuran en el archivo correspondiente, se pide:
a) Composición, rentabilidad, riesgo y precio del riesgo de la cartera arriesgada óptima para combinar con el activo libre de riesgo cuyo rendimiento es el 4 %.
b) Ecuación de la recta de carteras mixtas.
c) Representación gráfica de la línea de asignación de activos.
Resolución
a) Diseñamos la hoja correspondiente, calculando la rentabilidad esperada,
el riesgo y la prima relativa de riesgo con los datos correspondientes. Al utilizar
Solver para maximizar la prima relativa de riesgo, obtenemos:
⎛ 9,1272% ⎞
⎟
⎜
X = ⎜ 49, 0488% ⎟ ; ET = 16,6540%; σ T = 3,7323%; ZT = 3,3904
⎜⎝ 41,8240% ⎟⎠
b) Sabemos que cualquier cartera mixta verifica:
E p = rf + ZT σ p
En consecuencia, al sustituir tenemos:
E p = 0, 04 + 3,3904σ p
18
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Bodie, Z., Kane, A. y Marcus, A. J. (2004: 140-141).
267
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Inversiones financieras: selección de car teras
c) Para representar la ecuación anterior determinamos dos puntos cualesquiera de la misma. Así, por ejemplo, para un riesgo nulo la rentabilidad es del
4 %, y para un riesgo del 1 % el rendimiento esperado es 7,3904 %:
EJEMPLO 4.21
Se dispone de los activos cuya rentabilidad y riesgo se indican, así como el
activo libre de riesgo con rentabilidad del 5 %. Determinar:
a) Rentabilidad y riesgo de la cartera mixta invirtiendo el 60 % del presupuesto disponible en la cartera arriesgada óptima sin ventas en descubierto.
b) Rentabilidad y riesgo de la cartera mixta apalancada, solicitando un préstamo del 20 % de los recursos propios disponibles.
Resolución
Hemos de determinar la composición, rentabilidad y riesgo de la cartera óptima tangente. Para ello maximizamos la prima relativa de riesgo de la misma,
teniendo en cuenta que las ponderaciones en dicha cartera han de sumar uno;
como se indica que no se permiten en la misma las ventas en descubierto, ha de
ser xi ≥ 0. Utilizamos Solver y obtenemos:
ET = 21, 0607%; σ T = 2,5639%
a) La rentabilidad y el riesgo de la cartera mixta con y = 60 % verifican:
Ea = 0,60 × 21, 0607% + 0, 40 × 5% = 14,6364%
σ a = 0,60 × 2,5639% = 1,5383%
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
b) Para la cartera mixta con y = 120 % es:
Eb = 1,20 × 21, 0607% − 0,20 × 5% = 24,2728%
σ b = 1,20 × 2,5639% = 3, 0767%
EJEMPLO 4.22
Se forma una cartera mixta invirtiendo en el activo libre de riesgo y en la cartera óptima arriesgada, de acuerdo con los datos que figuran en el archivo correspondiente. Si la rentabilidad esperada de la cartera mixta es el 16 %, se pide:
a) Rentabilidad y riesgo de la cartera arriesgada óptima.
b) Composición y riesgo de la cartera mixta anterior.
Resolución
a) La composición de la cartera arriesgada óptima es independiente de la
distribución que se haga en la cartera mixta entre la inversión en T y la inversión
en el activo libre de riesgo. La composición de la cartera arriesgada óptima se
obtiene al maximizar su pendiente, con la restricción de que la suma de todos los
pesos sea uno. Al utilizar Solver se llega a:
⎛
⎜
⎜
⎜
X =⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
41, 4272%
−5, 0708%
27,6414%
4,3634%
−44, 4989%
84,8645%
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟ ; ET = 18,1795%; σ T = 9,6742%
⎟
⎟
⎟
⎠
b) Si la cartera mixta tiene una rentabilidad del 16 %, podemos determinar el
peso de la misma en la cartera T y en el activo libre de riesgo de rentabilidad 4 %:
E p = 18,1795% y + 4% (1 − y) = 16% ⇒ y = 84,6291%; y′ = 15,3709%
σ p = 84,6291% × 9,6742% = 8,1872%
Como se ha de invertir el 84,6291 % del presupuesto en la cartera arriesgada
óptima, y el resto en el activo libre de riesgo, el peso de la cartera del inversor en
cada activo arriesgado es wi = yxi, y en el activo libre de riesgo es y' = 15,3709 %.
Por tanto, el vector total de proporciones de la cartera mixta es el siguiente, sien© Ediciones Pirámide
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do los seis primeros pesos los correspondientes a los activos arriesgados y el último al activo libre de riesgo:
La suma de los pesos positivos en los activos arriesgados es 130,2722 %, que,
junto al 15,3709 % invertido en el activo libre de riesgo, supone invertir el
145,6431 % de los recursos propios. El exceso de inversión sobre los recursos propios se financia a través de ventas en descubierto en los activos arriesgados de la
clase 2 (4,2914 %), de la clase 4 (3,6927 %) y de la clase 5 (37,6590 %).
También podemos obtener la solución a las cuestiones planteadas resolviendo
el problema de determinar la composición de una cartera eficiente con siete activos (seis arriesgados y el libre de riesgo), de tal forma que su rendimiento esperado sea el 16 %, sabiendo que el activo libre de riesgo tiene volatilidad cero y su
covarianza con los demás también es nula. Por ello, la matriz de varianzas-covarianzas de los siete activos es la de los seis arriesgados, añadiendo una séptima fila
y una séptima columna de ceros. Por tanto, se ha de resolver:
Minimizar 2p = X SX
{xi ; i = 1, 2, , 7}
E p = X E = E *p = 16%
7
xi = 1
1
Al utilizar Solver se obtiene:
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
EJEMPLO 4.23
Con los datos de rentabilidad y matriz de varianzas-covarianzas del problema
anterior se pide:
a) Dibujar en un mismo gráfico el conjunto de carteras mixtas y el conjunto
de carteras arriesgadas de menor varianza, formadas al combinar dos
carteras A y B de mínimo riesgo, con rentabilidad del 7 % y del 40 %, respectivamente.
b) ¿La cartera óptima arriesgada de entre las carteras combinación de A y B
es la misma que con los seis activos arriesgados?
Resolución
a) La cartera óptima T con los seis activos coincide lógicamente con la que hemos determinado en el ejemplo precedente, pues los datos son los mismos. La cartera A tiene el mínimo riesgo y rentabilidad esperada del 7 %. Por tanto, se verifica:
Minimizar σ A2 = X ′SX
{xi ; i = 1, 2, , 6}
EA = X ′ E = EA* = 7%
6
∑ xi = 1
1
Iguales restricciones para la cartera B, pero con rendimiento esperado del
40 %. Utilizando Solver se obtiene:
EA = 7%; σ A = 11,1490%
EB = 40%; σ A = 32,5711%
Las carteras combinación C se obtienen con peso a en la A y 1 − a en la B.
Para calcular el riesgo de C es preciso conocer la covarianza entre A y B. Recordemos que, de acuerdo con lo explicado en la lección anterior, siendo X el vector
de proporciones de la cartera A e Y el de la B, se verifica:
σ AB = X ′SY
Realizando los cálculos, la matriz de varianzas-covarianzas entre A y B es:
⎛ 0, 012430 −0, 018417 ⎞
⎜
⎟
⎝ −0, 018417 0,106088 ⎠
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Inversiones financieras: selección de car teras
Podemos, pues, determinar la rentabilidad esperada y el riesgo de cada cartera C al ir variando a. La tabla con los primeros valores es:
Para las carteras mixtas sabemos que se verifica:
E p = yET + (1 − y) rf = 0,181795y + 0, 04 (1 − y)
σ p = 0, 096742y
Al ir modificando los valores de y obtenemos distintas carteras mixtas:
272
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
Al representar en un mismo gráfico se obtiene:
b) Como las carteras A y B pertenecen a la frontera de mínimo riesgo formada con los seis activos, la cartera óptima arriesgada, al combinar A y B, es la
misma que la obtenida al combinar dichos seis activos. Podemos comprobarlo
realizando los cálculos adecuados, obteniéndose que la misma tiene una prima
relativa de riesgo de 1,4657, coincidente con la de T, y está formada invirtiendo
en A el 66,12 % y en B el 33,885. La rentabilidad y el riesgo efectivamente coinciden con los calculados para T con los seis activos.
EJEMPLO 4.24
Para un activo libre de riesgo con rendimiento del 5 % y los datos de rentabilidad y matriz de varianzas-covarianzas de cinco activos, los cuales figuran en el
archivo correspondiente, se pide:
a) Composición, riesgo y rentabilidad de la cartera arriesgada óptima para
combinar con el activo libre de riesgo.
b) Dibujar en un mismo gráfico el conjunto de carteras mixtas y el conjunto
de carteras arriesgadas de menor varianza, formadas modificando el rendimiento en 2 puntos porcentuales desde el 3 % al 39 %
Resolución
a) Tal y como hemos señalado, la composición de la cartera arriesgada óptima se obtiene al maximizar su pendiente, con la restricción de que la suma de
todos los pesos sea la unidad. Al utilizar Solver se llega a:
ET = 32, 0791%; σ T = 24,6992%
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b) Utilizamos la metodología de los multiplicadores de Lagrange para generar la frontera de mínimo riesgo con rentabilidad esperada entre el 3 % y el 39 %.
Para las carteras mixtas sabemos que se verifica:
E p = yET + (1 − y) rf = 0,320791y + 0, 05 (1 − y)
σ p = 0,246992y
Al ir modificando los valores de y en 10 puntos porcentuales, desde el 200 %
hasta cero, obtenemos distintas carteras mixtas.
Al representar las carteras arriesgadas de menor varianza y las carteras mixtas
en un mismo gráfico, obtenemos:
EJEMPLO 4.25
Con los datos de rentabilidad y matriz de varianzas-covarianzas del problema
anterior, se pide:
a) Composición, rentabilidad y riesgo de la cartera óptima arriesgada si los
pesos en dicha cartera han de estar entre el −20 % y el 120 %.
b) Rentabilidad de una cartera mixta, invirtiendo en la cartera óptima anterior, tal que su riesgo sea del 27 %.
c) Sin las restricciones de a) y utilizando los multiplicadores de Lagrange,
determinar la composición y riesgo de una cartera mixta con rendimiento
esperado del 32 %. El activo libre de riesgo tiene un rendimiento del 3 %.
Resolución
a) La cartera óptima arriesgada es una cartera con ventas en descubierto y
con restricciones a las mismas, pues sus pesos han de verificar:
−0,20 ≤ xi ≤ 1,20
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
En consecuencia, T se determina según las expresiones:
Maximizar ZT =
ET − rf
σT
−0,20 ≤ xi ≤ 1,20
n
∑ xi = 1
1
Al utilizar Solver se obtiene la cartera arriesgada óptima con una rentabilidad
esperada del 29,5397 % y un riesgo del 22,8456 %.
b) De la expresión del riesgo de una cartera mixta podemos obtener el peso
que la misma tiene en la cartera T para que el riesgo de aquélla sea el 27 %. En
consecuencia, se verifica:
σ p = 0,228456y = 0,27 ⇒ y = 1,1818
E p = yET + (1 − y) rf = 1,1818 × 29,5397% − 0,1818 × 3% = 34,3646%
Se trata de una cartera mixta con endeudamiento, pues el inversor ha de solicitar un préstamo del 18,18 % al tipo de interés libre de riesgo.
c) El problema a resolver es el de obtener la composición y el riesgo de una
cartera eficiente con seis activos (cinco arriesgados y el libre de riesgo), de tal forma
que su rendimiento esperado sea el 32 %, sabiendo que el activo libre de riesgo tiene
volatilidad cero y su covarianza con los demás también es nula. Por ello, la matriz
de varianzas-covarianzas de los seis activos es la de los cinco arriesgados, añadiendo
una última fila y una última columna de ceros. Por tanto, se ha de resolver:
Minimizar σ 2p = X ′SX
{xi ; i = 1, 2, , 6}
E p = X ′ E = E *p = 32%
6
∑ xi = 1
1
Podemos utilizar Solver o los multiplicadores de Lagrange. De las dos formas se llega al mismo resultado, obteniéndose un riesgo para la cartera mixta
del 24,5757 %, debiendo el inversor endeudarse en el activo libre de riesgo en
un 5,8839 %.
También podemos determinar la cartera T sin restricciones, tal y como indica el enunciado, obteniendo para la misma un rendimiento esperado del
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30,3885 % y un riesgo del 23,2101 %. Teniendo en cuenta la ecuación del rendimiento esperado y la del riesgo de la cartera mixta, se llega a los mismos resultados anteriores:
E p = yET + (1 y) rf = 0,303885y + 0, 03 (1 y) = 0,32 y = 1, 058839; y´= 5,8839% p = 0,232101y = 24,5758%
EJEMPLO 4.26
Una empresa puede formar una cartera de renta variable integrada por seis
activos, de los que se facilitan sus datos en el archivo correspondiente, todos
ellos en tanto unitario anual. La empresa dispone de unos recursos propios para
invertir de 600 millones de euros. El Comité de Inversiones decide acudir al endeudamiento e invertir los recursos totales (propios y ajenos) en la cartera óptima arriesgada, integrada por los seis activos señalados, de tal forma que la
cartera mixta proporcione una rentabilidad del 26 % anual. Sabiendo que los
recursos ajenos carecen de riesgo y tienen un coste del 6 % anual, así como que
no se permiten las ventas en descubierto de los activos con riesgo, determinar:
a) Cuantía a solicitar en préstamo en las condiciones señaladas.
b) Rentabilidad y riesgo de la cartera óptima arriesgada. No considerar los
gastos de adquisición de los activos.
Resolución
a) Podemos enfocar el problema a resolver como el de obtener la composición y el riesgo de una cartera eficiente con siete activos (seis arriesgados y el libre
de riesgo), de tal forma que su rendimiento esperado sea el 26 %, sabiendo que el
activo libre de riesgo tiene volatilidad cero y su covarianza con los demás también
es nula. Por ello, la matriz de varianzas-covarianzas de los siete activos tiene nulas
tanto la última fila como la última columna. Además, en los activos con riesgo no
se admiten las ventas en descubierto. Por tanto, se ha de resolver:
Minimizar σ 2p = X ′SX
{xi ; i = 1, 2, , 7}
E p = X ′ E = E *p = 26%
{xi ≥ 0; i = 1, 2, , 6}
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∑ xi = 1
1
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Al utilizar Solver se obtiene:
En consecuencia, se ha de solicitar en préstamo el 32,4469 % de los recursos
propios, o sea, una cuantía de 194.681.400 €, esperándose obtener una rentabilidad anual del 26 %, con un riesgo de 3,4041 %.
b) De acuerdo con los resultados obtenidos, en la cartera óptima con riesgo
se invierte el 132,4469 % de los recursos propios. Al conocer la rentabilidad esperada y el riesgo de la cartera mixta, podemos determinar la rentabilidad esperada
y el riesgo de la cartera arriesgada óptima:
E p = yET + yrf ; 26% = 1,324469ET 0,324469 6% ET = 21,1004%
p = y T ; 3,4041% = 1,324469 T T = 2,5702%
También podemos obtener las soluciones pedidas determinando en primer
lugar la composición de la cartera T. Para ello es preciso resolver:
Maximizar ZT =
ET − rf
σT
6
∑ xi = 1
1
xi ≥ 0
Obtenemos:
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Como sabemos que de la cartera mixta se espera una rentabilidad del 26 %, se
verifica:
E p = yET + y′rf ; 26% = 0,211004y + 0, 06 (1 − y) ⇒ y = 1,324468
En consecuencia19, se ha de solicitar en préstamo un 32,4468 % de los recursos
propios, o sea, 194.680.800 €.
EJEMPLO 4.27
Una Sociedad de Inversiones dispone de una cuantía de 100.000 € para formar
una cartera, sin ventas en descubierto, integrada por los títulos cuyos datos figuran
en el archivo correspondiente. Se desea que en dicha cartera entren 100 títulos de
la clase 3; que la cuantía invertida en títulos de la clase 4 sea como mínimo 15.000 €,
y que el peso de los títulos de la clase 2 sea como máximo un 10 %. Se pide:
a) Calcular el número de títulos a adquirir, con el fin de que la cartera formada sea eficiente y tenga una rentabilidad no inferior al 14 % anual.
b) Si el activo libre de riesgo tiene una rentabilidad del 4 % anual, ¿cuál es la
prima relativa de riesgo de la cartera anterior?
c) ¿Cuál es la composición de la cartera, considerando todas las restricciones
anteriormente señaladas, que proporciona una prima relativa de riesgo
máxima?
Resolución
a) Denominando Ni, Ci al número de títulos de cada clase y su respectivo
coste unitario, se ha de verificar:
4
NiCi = 100.000
i
Ni 0
N3 = 100
N4C4 15.000
x2 0,10
NC
xi = 4 i i
NiCi
i
E p 14%
19
Los resultados coinciden con los obtenidos anteriormente, excepto en el último decimal. En
cualquier caso, de las dos formas descritas es posible resolver el problema, pues las diferencias en los
resultados no son significativas.
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
Diseñamos la hoja de cálculo correspondiente, calculando la rentabilidad y el
riesgo de la cartera. Como la cartera ha de ser eficiente, en Solver consideramos
como función objetivo la correspondiente a la varianza con valor mínimo. Las
celdas cambiantes son las correspondientes al número de títulos. Las restricciones
son las señaladas anteriormente y la correspondiente a que el número de títulos
ha de ser entero. Al resolver obtenemos el número de títulos a adquirir:
N1 = 1.236; N2 = 66; N3 = 100; N4 = 1.385
b) La cartera anterior tiene una rentabilidad del 15,8829 % con un riesgo del
2,1540 %. Por tanto, su prima relativa de riesgo es:
Zp =
E p − rf 15,8829% − 4%
=
= 5,5167
σp
2,1540%
c) La composición pedida es la que verifica el conjunto de restricciones señaladas en a) y además maximiza la prima relativa de riesgo. Al utilizar Solver se
obtiene una cartera con rentabilidad esperada del 17,9514 % y riesgo del 2,3313 %,
estando integrada por los títulos:
N1 = 864; N2 = 0; N3 = 100; N4 = 2.105
EJEMPLO 4.28
Determinado inversor posee una cartera integrada por los títulos cuyos datos
de precio actual, rentabilidad anual esperada y riesgo anual se indican en el archivo correspondiente. El inversor desea modificar el número de títulos de su cartera,
añadiendo o vendiendo títulos de las clases 3, 4 y 5 de tal forma que la nueva
cartera sea eficiente con rentabilidad igual o superior al 18 % anual. Determinar
cuántos títulos (números enteros) debe adquirir o vender de cada clase, de tal forma que la nueva cartera tenga un valor perteneciente al intervalo cerrado de extremos 30.000 y 40.000 euros.
Resolución
Diseñamos la hoja de cálculo, determinando la rentabilidad y el riesgo de la
cartera, debiendo verificarse:
5
30.000 NiCi 40.000
i
xi =
NiCi
5
NiCi
i
E p 18%
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Inversiones financieras: selección de car teras
Al ser la nueva cartera eficiente, utilizamos Solver para minimizar el riesgo,
cambiando las celdas correspondientes a N3, N4, N5. También hay que considerar
la restricción de que N3, N4, N5 sean números enteros. No forman parte de las
celdas cambiantes el número de títulos de las clases 1 y 2, pues es el mismo que
en la cartera inicial. Tampoco consideramos la restricción de no negatividad para
Ni, pues el enunciado nada dice, por lo que entendemos que están permitidas las
ventas en descubierto.
Se obtiene la nueva cartera con rentabilidad del 18,0013 % y riesgo del
3,1154 %, siendo su estructura la siguiente:
Vemos que la nueva cartera conlleva una venta en descubierto de 72 activos
de la clase 4 por importe de 3.600 €.
Los números de títulos de cada clase que integran la cartera inicial y la nueva
son:
Vemos, pues, que es preciso comprar 388 títulos de la clase 5, así como vender
57 de la clase 3 y 152 de la clase 4. Además, la cartera inicial tenía un valor de
25.000 €, y el de la nueva es de 40.000 €, por lo que hay un incremento de 15.000 €,
correspondiente a un aumento en los recursos propios invertidos. Tal incremento
corresponde a la compra de 388 títulos de la clase 5 por importe de 27.160 €, financiándose dicha compra con 15.000 € de recursos propios y con las siguientes
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
ventas: 57 títulos de la clase 3 de la cartera inicial, por valor de 4.560 €; y 152 títulos de la clase 4 en 7.600 €, que corresponden a 80 títulos de la cartera inicial,
por importe de 4.000 €, y a 72 títulos en descubierto, por importe de 3.600 €.
EJEMPLO 4.29
En relación con la cartera inicial anterior, el inversor desea modificar el número de títulos de la misma, añadiendo o vendiendo títulos de las clases 3, 4 y 5, de
tal forma que la nueva cartera sea óptima para combinar con un activo libre de
riesgo con rendimiento del 5 %. Determinar cuántos títulos (números enteros)
debe adquirir o vender, de tal forma que la citada cartera óptima tenga un rendimiento esperado no inferior al 18 %, sabiendo que el inversor está dispuesto a
añadir a su cartera fondos propios en cuantía no superior a 20.000 €.
Resolución
Sabemos que la cartera inicial tiene un valor de 25.000 €. Por tanto, si el inversor sólo puede aportar una cuantía máxima de 20.000 €, el valor de la nueva
cartera no puede superar los 45.000 €. Además, considerando el resto de restricciones, debe verificarse:
5
NiCi 45.000
i
xi =
NiCi
5
NiCi
i
E p 18%
Hemos de maximizar el valor de ZT, cambiando las celdas correspondientes a
N3, N4, N5. También hay que considerar la restricción de que N3, N4, N5 sean números enteros. No forman parte de las celdas cambiantes el número de títulos de
las clases 1 y 2, pues es el mismo que en la cartera inicial. Al utilizar Solver obtenemos que el valor de la nueva cartera es 45.000 €, siendo:
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Inversiones financieras: selección de car teras
Por tanto, se adquieren 408 títulos de la clase 5 (28.560 €), obteniéndose los
recursos a través de 20.000 € que aporta el inversor de sus recursos propios, y de
las siguientes operaciones: venta de 37 títulos de la cartera inicial, correspondientes a la clase 3 (por importe de 2.960 €); venta de 80 títulos de la cartera inicial
(clase 4), por importe de 4.000 €, y venta en descubierto de 32 títulos de la clase
4, por importe de 1.600 €.
4.5. CONSIDERACIÓN DE DISTINTOS TANTOS DE INTERÉS
Sabemos que, en los mercados financieros, el tipo de interés sin riesgo al que
se puede invertir es distinto al tipo al que es posible endeudarse. Por ello, existirán
dos carteras tangentes: T1 para prestar al tipo sin riesgo rf 1, y T2 para pedir prestado al tipo sin riesgo rf 2. En consecuencia, las líneas representativas de las carteras mixtas también son distintas:
E p1 = rf 1 + ZT 1σ p1
E p2 = rf 2 + ZT 2σ p2
Gráficamente, tenemos:
E
rf2
T2
T1
rf1
s
Figura 4.9
Lógicamente, también la frontera eficiente resulta alterada. Así, un primer
conjunto de carteras eficientes es el correspondiente a las carteras con préstamo
(tramo de préstamo), representadas por el segmento con inicio en rf 1 y final en su
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
cartera arriesgada óptima T1. Un segundo conjunto es la parte curva (tramo de
riesgo), formada exclusivamente por activos arriesgados, o sea, las carteras comprendidas entre los puntos T1 y T2. Y un tercer conjunto (tramo de endeudamiento) representado por las carteras con endeudamiento, o sea, las que están en la
recta a partir del punto T2. Las carteras comprendidas en la parte discontinua de
la recta rf 2 T2 no representan oportunidades reales de inversión, pues el tipo de
interés para prestar es rf 1 y no rf 2.
EJEMPLO 4.30
Dos inversores A y B tienen el mismo conjunto de activos con riesgo para
invertir, de acuerdo con los datos de rentabilidad y riesgo que figuran en el archivo correspondiente. El inversor A dispone de unos recursos propios para invertir
de 90.000 €, y desea formar una cartera mixta prestando una parte de sus recursos
al tipo libre de riesgo del 4 %, e invirtiendo el resto en la cartera arriesgada óptima, de tal forma que el riesgo total de su inversión sea del 3 %. En cambio, el
inversor B, que posee 100.000 € para invertir, desea obtener un préstamo, al 7 %
libre de riesgo, de tal forma que pueda invertir 125.000 € en la correspondiente
cartera arriesgada óptima. Se pide:
a) Rentabilidad esperada del inversor A.
b) Rentabilidad y riesgo del inversor B.
Resolución
a) Hemos de determinar la cartera tangente para el inversor A, maximizando la pendiente de su ecuación de carteras mixtas para un rendimiento seguro del
4 %. Dicha cartera tangente verifica:
Max. ZTA =
ETA rfA
TA
xi = 1
Al utilizar Solver se obtiene que para el inversor A la cartera óptima arriesgada tiene una rentabilidad esperada del 17,1805 %, con un riesgo del 5,6164 %.
Como desea una cartera mixta con un riesgo del 3 %, podemos determinar la
distribución de su presupuesto entre la cartera con riesgo y el activo carente de él,
ya que se verifica:
σ pA = 3% = yAσ TA = 5,6164% yA ⇒ yA = 53, 4150%; yA′ = 46,5850%
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Inversiones financieras: selección de car teras
En consecuencia, ha de invertir el 53,4150 % (48.073,50 €) de sus recursos en
la cartera óptima arriesgada, y el resto en el activo libre de riesgo. De esta forma,
la rentabilidad esperada de su cartera mixta verifica:
E pA = 53, 4150% × 17,1805% + 46,5850% × 4% = 11, 0404%
b) El inversor B ha de solicitar un préstamo de 25.000 €, formando una cartera mixta con endeudamiento al 7 %. Para determinar la rentabilidad y el riesgo
de dicha cartera es preciso obtener en primer lugar su cartera tangente óptima,
maximizando la pendiente de su ecuación de carteras mixtas. De igual forma a lo
señalado anteriormente, para un tipo libre de riesgo del 7 % utilizamos Solver y
obtenemos que la cartera tangente es de rentabilidad esperada del 19,6520 %, con
un riesgo del 6,8230 %.
Como invierte 125.000 € (un 125 % de sus recursos propios), la rentabilidad y
el riesgo de su cartera mixta verifican:
E pB = 1,25 × 19,6520% − 0,25% × 7% = 11, 0404% = 22,8150%
σ pB = 1,25 × 6,8230% = 8,5288%
EJEMPLO 4.31
Con los mismos datos de rentabilidad y riesgo de los activos del ejemplo anterior, un inversor C puede prestar y endeudarse al 6 % libre de riesgo. Se pide: intervalo de valores que puede tomar la cuantía invertida en la cartera tangente, con
el objetivo de que la rentabilidad de la cartera mixta así formada esté comprendida entre el 18 % y el 22 %, y su riesgo entre el 3 % y el 7 %. El inversor posee unos
recursos propios para invertir de 200.000 €.
Resolución
Hemos de determinar en primer lugar la cartera tangente para un tipo de interés libre de riesgo del 6 %. Maximizando la correspondiente pendiente, se obtiene para dicha cartera una rentabilidad esperada del 18,5781 %, con un riesgo del
6,2650 %. En consecuencia, para un tanto unitario y de inversión en la cartera
arriesgada óptima, la cartera mixta verifica:
18% E p = yET + (1 y) rf 22%
3% p = y T 7%
Sustituyendo en la rentabilidad esperada y realizando operaciones:
18% ≤ 0,185781y + (1 − y) 0, 06 ≤ 22%
95, 40% ≤ y ≤ 127,20%
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Ampliaciones del modelo de Markowitz
De igual forma, para el riesgo:
3% 0, 062650y 7%
47,89% y 111,73%
Tenemos que si se invierte en la cartera arriesgada entre un 95,40 % y un
127,20 %, la rentabilidad esperada de la cartera mixta estará entre el 18 % y el
22 %. Además, si se invierte entre un 47,89 % y un 111,73 %, el riesgo estará entre
el 3 % y el 7 %. Por tanto, se verificarán ambas condiciones si se invierte en la cartera tangente entre un 95,40 % y un 111,73 %. Y como el inversor C tiene unos
recursos propios de 200.000 €, el citado intervalo equivale a invertir en la cartera
tangente entre 190.800 € y 223.460 €.
4.6. SELECCIÓN DE LA CARTERA MIXTA ÓPTIMA
Hemos señalado que cualquier inversor distribuye sus recursos entre la cartera
arriesgada óptima y el activo libre de riesgo. Además, si todos los inversores tienen
expectativas homogéneas y pueden prestar y pedir prestado al mismo tipo de interés
libre de riesgo, la cartera óptima con riesgo es la misma para todos. Por tanto, el
problema que queda por resolver es el relativo a la distribución de los recursos entre
la cartera arriesgada óptima y el activo libre de riesgo. Dicha distribución la realiza
cada inversor en función de su aversión al riesgo, o sea, teniendo en cuenta sus curvas de indiferencia. Así, unos inversores preferirán soportar un riesgo inferior al de
la cartera óptima arriesgada, por lo que formarán carteras con préstamo. Y otros
inversores desearán obtener una rentabilidad superior a la de la cartera tangente,
por lo que estarán dispuestos a soportar un riesgo mayor que el de dicha cartera,
por lo que formarán carteras con endeudamiento o apalancadas. En cualquier caso,
la cartera mixta óptima para un inversor concreto vendrá dada por el punto de
tangencia entre sus curvas de indiferencia y la línea de asignación de activos.
Para las carteras mixtas con préstamo, la cartera óptima P* verifica:
E
Cartera
óptima
P*
T
rf
s
Figura 4.10
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285
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Inversiones financieras: selección de car teras
La cartera óptima formada exclusivamente por activos arriesgados verifica:
E
Cartera
óptima
P*
T
rf
s
Figura 4.11
Para la cartera óptima con endeudamiento:
E
Cartera
óptima
P*
T
rf
s
Figura 4.12
286
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5
Análisis del modelo de mercado
y de los modelos de valoración
de activos financieros
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
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El modelo de mercado: análisis de los activos.
El modelo de mercado: análisis de las carteras.
Comparación del modelo de mercado con el modelo de Markowitz.
El modelo CAPM.
Los modelos factoriales.
El modelo APT.
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5.1. EL MODELO DE MERCADO: ANÁLISIS DE LOS ACTIVOS
Sabemos que para aplicar el modelo de Markowitz es preciso disponer de un
elevado número de estimaciones, de tal forma que, tal y como hemos señalado,
n (n + 3)
.
para generar carteras con n activos el número total de datos precisos es
2
Por ello, y con el objetivo de simplificar dicho modelo, Sharpe publica1 un nuevo
modelo, denominado indistintamente modelo de mercado, modelo de índice único
o modelo de Sharpe. Con dicho modelo no sólo se simplifica el de Markowitz, sino
que se introduce una importante descomposición del riesgo total de cualquier
activo y de cualquier cartera, así como una clasificación de los títulos y carteras
en función del impacto que tenga sobre su rendimiento esperado una modificación en un determinado índice bursátil que se tome como referente.
5.1.1. Rentabilidad y riesgo
La hipótesis básica del modelo consiste en suponer que las rentabilidades de
los títulos están relacionadas entre sí únicamente a través de las relaciones comunes con el rendimiento del mercado, que, en la práctica, se puede aproximar por
el rendimiento de un índice bursátil representativo del mercado.
En general, en el modelo se considera que la variable aleatoria representativa
de la rentabilidad de cualquier activo financiero sigue un proceso estocástico en
el tiempo relacionado linealmente con el seguido por la variable aleatoria indica1
El modelo de mercado, mencionado inicialmente por Markowitz en una nota al pie de la página 100 de su libro, fue desarrollado por Sharpe, W. F. (1963: 277-293).
288
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
tiva de la rentabilidad del mercado2. Así, disponiendo de un conjunto de n activos,
para uno cualquiera i la variable aleatoria indicativa de su rentabilidad, ri, se relaciona con la variable aleatoria representativa de la rentabilidad del mercado, rM,
a través de la conocida ecuación del modelo de regresión lineal simple:
ri = ai + βi rM + ui i = 1, 2, , n
En general, para cualquier momento t del tiempo, es:
rit = ai + βi rMt + uit i = 1, 2, , n; t = 1, 2, , T
De acuerdo con las expresiones anteriores, la rentabilidad de cualquier título
arriesgado i es una variable aleatoria que depende linealmente de los siguientes
componentes:
— ai: Intersección u ordenada en el origen, o rentabilidad del activo cuando
la del mercado es nula3. Refleja la parte de la rentabilidad que no puede
ser explicada por la evolución del mercado, pero sí por las características
propias no aleatorias, y por tanto predecibles, de la empresa emisora de
dicho título.
— bi: Pendiente o coeficiente de regresión lineal de la rentabilidad del activo
i sobre la rentabilidad del mercado. También se denomina coeficiente beta
o coeficiente de volatilidad del activo i con relación al mercado4. El producto birMt refleja la parte de rentabilidad debida a aquellas causas que
afectan a la rentabilidad del título que pueden ser explicadas por la evolución general del mercado.
— ui: Error o perturbación aleatoria. Es una variable aleatoria no observable,
indicativa de la parte de rentabilidad del activo que depende de las características propias de dicho activo y no del mercado. En la perturbación
aleatoria se recogen los efectos, positivos y negativos, sobre la rentabilidad
2
En general, tal y como señalan Alexander et al. (2003: 168), con el seguido por cualquier variable que se crea tenga mayor influencia en los rendimientos del título, como por ejemplo el pronóstico de incremento en la producción industrial, en el producto interior bruto, en la inflación, etc. Por
tanto, el modelo de mercado vincula la rentabilidad de cualquier activo arriesgado con indicadores
principalmente macroeconómicos, cuya evolución queda plasmada en la correspondiente a la cartera de mercado. En consecuencia, la cartera de mercado es simplemente una cartera cuya rentabilidad
sirve de índice fiel de la actividad económica global.
3
A veces se le denomina coeficiente alfa de la regresión, pero no debe confundirse con el coeficiente alfa de un activo, el cual analizaremos en el estudio del CAPM.
4
También se puede simbolizar por bi |M para indicar que es el coeficiente determinado en relación
con la variable aleatoria rM. Obviamente, si el coeficiente beta de i se calcula con respecto a otra variable, su valor es otro.
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Inversiones financieras: selección de car teras
del título, provocados por causas inherentes al mismo, aunque no predecibles.
Tanto en ai como en ui se recogen características propias de la empresa emisora del título i. No obstante, tales características son completamente distintas, pues
los efectos que refleja ai son de carácter determinista, por lo que son predecibles,
mientras que los reflejados en ui son fortuitos, impredecibles o aleatorios.
De acuerdo con lo expuesto, las variables aleatorias del modelo son observables (rentabilidad de cualquier activo, ri, y rentabilidad del mercado, rM) o no
observables (error aleatorio, ui).
En el modelo se introducen un conjunto de hipótesis, propias del modelo de
regresión lineal simple, y relacionadas con las perturbaciones aleatorias. Así, para
cada título i y en cualquier período de tiempo t, tenemos:
1.
Su esperanza matemática es nula, ya que se supone que en el error aleatorio se incluyen múltiples factores individualmente irrelevantes y estadísticamente independientes, que actúan de forma aditiva y compensándose
unos con otros:
E (ui ) = 0
2.
Las perturbaciones aleatorias no dependen de la rentabilidad del mercado, por lo que ambas variables se distribuyen de forma estadísticamente
independiente, siendo, pues, su covarianza nula:
cov (ui , rM ) = σ uiM = E ⎡⎣ui (rM − EM )⎤⎦ = 0
3.
Las perturbaciones aleatorias de dos firmas cualesquiera no se influyen
entre sí, por lo que no están correlacionadas, siendo, en consecuencia,
nula su covarianza:
(
)
( )
cov ui , u j = σ uiuj = E ui u j = 0
4.
Esta hipótesis implica que la única razón para que las rentabilidades
de los títulos varíen conjuntamente es un movimiento conjunto con el
mercado.
La perturbación aleatoria de un período temporal no influye ni está influenciada por la de otro período, por lo que son independientes:
cov (uit , uit′ ) = 0, ∀t ≠ t ′
290
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
5.
La perturbación aleatoria sigue una distribución independiente de t con
varianza constante:
E (uit ) = σ ui2 , ∀i = 1, 2, , n; ∀t = 1, 2, , T
2
6.
La perturbación aleatoria sigue una distribución normal:
ui → N (0, σ ui2 ) , ∀i = 1, 2, n
Sabemos que si disponemos de T observaciones temporales de las rentabilidades, rit y rMt, para t = 1, 2, ..., T, podemos estimar la rentabilidad, el riesgo y la
covarianza5, a través de las expresiones:
T
T
rit
Ei =
rMt
t=1
= ri ; EM =
T
T
rit ri
i = t=1
T 1
(
t=1
= rM
T
1
2
)
2
T
rMt rM
; M = t=1
T 1
(
1
2
)
2
T
iM =
(rit ri ) (rMt rM )
t=1
T 1
Aplicando el método de mínimos cuadrados para estimar los parámetros a ai
y bi, o coeficientes de regresión, se llega a la siguiente expresión para la beta6:
βi =
σ iM
2
σM
Recordando la expresión del coeficiente de correlación lineal, se verifica:
ρiM =
σ iM
⇒ σ iM = σ iσ M ρiM
σ iσ M
5
Recordemos que la media muestral, la cuasivarianza y la cuasicovarianza son estimadores
insesgados de la media, de la varianza y de la covarianza poblacional, respectivamente.
6
Su deducción puede consultarse en cualquier manual de Econometría, en el epígrafe dedicado
al análisis del modelo de regresión lineal simple.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Y por tanto, también podemos determinar el coeficiente beta a través de la
expresión:
βi =
σ i ρiM
σM
Para determinar ai tengamos en cuenta que se verifica:
E (ri ) = Ei = E (ai + βi rM + ui ) ⇒
⇒ Ei = ai + βi EM
En consecuencia:
ai = Ei − βi EM
En cuanto a la varianza de la rentabilidad de cualquier activo, se verifica7:
σ 2 (ai + βi rM + ui ) = σ i2 = σ 2 (ai ) + σ 2 (βi rM + ui ) + 2 cov (ai , βi rM + ui ) ⇒
2
⇒ σ i2 = βi2σ M
+ σ ui2
La expresión anterior permite descomponer la varianza total de la rentabilidad de cualquier activo en dos sumandos: el primero relacionado con la rentabilidad del mercado, y el segundo con el error aleatorio, vinculado a las características propias del activo.
Al sumando bi2sM2 se le denomina riesgo sistemático o riesgo de mercado del
activo i, y expresándolo a través de la desviación típica, como hemos hecho hasta
aquí, es ssi = bi sM. El riesgo de mercado mide la parte del riesgo atribuible a la
incertidumbre común a todo el sistema económico, y depende tanto de la variabilidad de la rentabilidad del mercado como de la beta del activo. Es un riesgo
presente sistemáticamente, pues no es posible su eliminación.
Al sumando s ui2 se le denomina riesgo específico o riesgo único del activo i, que
expresado mediante la desviación típica es sui. El riesgo específico o riesgo no
sistemático mide la parte del riesgo atribuible a las características o factores de
riesgo propios o específicos de la empresa en concreto, siendo, pues, la parte de la
variabilidad de la rentabilidad del activo que es independiente del mercado. Se
trata de un riesgo eliminable al combinar adecuadamente varios títulos entre sí,
por lo que también se le denomina riesgo diversificable.
7
292
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Ténganse en cuenta las hipótesis relativas a la perturbación aleatoria.
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Tenemos, pues, un resultado importante del modelo de mercado, como es la
interpretación del total riesgo de activo8 mediante su descomposición en dos sumandos: riesgo de mercado y riesgo específico:
2
σ i2 = βi2σ M
+ σ ui2
σ i2 = σ si2 + σ ui2
EJEMPLO 5.1
Se dispone de las series históricas correspondientes a la rentabilidad de un
activo y a la del mercado, las cuales se indican en el archivo correspondiente de
Datos. Se pide:
a) Estimar los coeficientes de regresión de dicho activo.
b) Calcular el riesgo sistemático y el específico del título.
c) Porcentaje que representa el riesgo de mercado (varianza) sobre el riesgo
total (varianza).
Resolución
Estimamos en primer lugar la rentabilidad del activo y la del mercado, las
varianzas y la covarianza. Utilizando Excel, sabemos que se obtiene el valor estimado de la rentabilidad con la función PROMEDIO, y el de la varianza con VAR.
Se llega a los siguientes resultados:
Ei = 5,80%; EM = 7,20%
2
σ i2 = 0, 000174; σ M
= 0, 000203
Para estimar la covarianza entre la rentabilidad del activo y la del mercado,
recordemos que es preciso multiplicar el resultado obtenido con la función COT
VAR por el factor
. Al efectuar los cálculos se obtiene:
T −1
σ iM = 0, 000090
8
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Medido en este caso por la varianza.
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Inversiones financieras: selección de car teras
a) Los coeficientes de regresión son9:
βi =
σ iM 0, 000090
=
= 0, 443350
2
σM
0, 000203
ai = Ei − βi EM = 0, 0580 − 0, 443350 × 0, 0720 = 0, 026079
b) Hemos calculado el valor de la varianza del activo (0,000174), por lo que
su riesgo total es si = 1,3191 %. Para el riesgo sistemático y el específico, medidos
por la varianza, se verifica:
2
σ si2 = βi2σ M
= 0, 4433502 × 0, 000203 = 0, 000039902
2
σ ui2 = σ i2 − βi2σ M
= 0, 000174 − 0, 000039902 = 0, 000134
Si utilizamos la desviación típica, el riesgo sistemático y el específico verifican10:
si = i M = 0, 443350 0, 0002030,5 = 0,6317%
ui = 0, 0001340,5 = 1,1576%
c) El porcentaje pedido se obtiene al calcular:
2
βi2σ M
σ si2
=
= 22,9322%
σ i2
σ i2
Desde el punto de vista estadístico, el resultado anterior indica que el 22,9322 %
de la varianza de la rentabilidad del activo está explicado por el modelo de regresión. Se denomina coeficiente de determinación, y suele simbolizarse por R2, siendo su raíz cuadrada el coeficiente de correlación lineal entre la rentabilidad del
activo y la del mercado. En efecto, teniendo en cuenta la expresión de beta, se
obtiene:
R2 =
βi2σ i2
σ
βσ
σ σM
σ
⇒ R = si = i M = iM
= iM = ρiM
2
σ i2
σi
σi
σM
σi
σ Mσ i
9
Las estimaciones de los coeficientes deben ser estadísticamente significativas. Para comprobarlo
es preciso efectuar los contrastes de hipótesis correspondientes, los cuales pueden consultarse en
cualquier texto de Econometría.
10
Tal y como hemos expuesto, si utilizamos la varianza, el riesgo total es la suma del riesgo
sistemático con el específico. En cambio, si utilizamos la desviación típica, lógicamente, el riesgo total
es distinto de la suma del sistemático con el específico.
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
EJEMPLO 5.2
Resolver el ejemplo precedente utilizando las funciones disponibles en Excel.
Resolución
a) Mediante la función REGRESIÓN:
En Excel seguimos la siguiente secuencia: DATOS, ANÁLISIS DE DATOS,
REGRESIÓN, llegándose a:
Los valores correspondientes a la rentabilidad del activo son los que deben
figurar en el rango «y» de entrada, mientras que los correspondientes a la rentabilidad del mercado han de figurar en el rango «x» de entrada.
Con los datos disponibles, se obtiene la siguiente salida:
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Inversiones financieras: selección de car teras
El coeficiente de regresión ai es el correspondiente a intersección: 0,0260563;
el coeficiente bi es el de la variable x1: 0,443662.
Al dividir la suma de cuadrados de regresión entre el número de datos menos
uno, se obtiene el riesgo sistemático (varianza):
σ si2 =
2
0, 000559014
βi2σ M
=
= 0, 00003993
2
σi
14
Igualmente, al tomar como dividendo la suma de cuadrados de residuos, se
obtiene el riesgo específico (varianza):
σ ui2 =
0, 001880986
= 0, 00013436
14
El riesgo total (varianza) se puede obtener la sumar los dos valores precedentes, o bien dividiendo la suma de cuadrados total entre 14:
σ i2 =
0, 00244
= 0, 00017429
14
También proporciona el valor del coeficiente de determinación:
R 2 = 0,229104
b) Mediante las funciones INTERSECCIÓN.EJE y PENDIENTE:
La primera nos da el valor del coeficiente ai y la segunda el de beta. Se llega a
los mismos resultados que anteriormente.
c) Mediante ESTIMACIÓN LINEAL:
Devuelve los datos en forma matricial con 5 filas y 2 columnas. A nuestros
efectos, nos interesan:
⎛ βi
ai
⎜
−
⎜ −
2
⎜ R
−
⎜ −
T −2
⎜
⎝ SCR SCr
296
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⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
En la matriz anterior, SCR indica la suma de cuadrados de regresión, y SCr la
suma de cuadrados de los residuos. Recordemos, tal y como hemos señalado anteriormente, que se verifica:
σ si2 =
SCR
SCr
; σ ui2 =
T −1
T −1
Al efectuar los cálculos obtenemos:
En cualquier momento t del tiempo, el valor ajustado de la rentabilidad del
título i, o rendimiento estimado por el modelo, viene dado por la expresión:
rit* = ai + βi rMt
La diferencia entre el valor observado de la rentabilidad y el correspondiente
valor ajustado constituye el residuo:
eit = rit − rit*
La recta de ecuación r* = ai + bi rM se denomina línea característica del título i.
EJEMPLO 5.3
Con los datos y resultados del ejemplo precedente, se pide:
a) Determinar los valores ajustados de la rentabilidad y los residuos.
b) Su media y su varianza.
c) Gráfico de dispersión y línea de tendencia.
Resolución
a) Hemos determinado anteriormente los coeficientes de regresión, obteniéndose: ai = 0,026056; bi = 0,443662. En consecuencia, para determinar los
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Inversiones financieras: selección de car teras
valores ajustados de la rentabilidad, desde t = 1 hasta t = 15, calculamos los valores dados por la ecuación:
rit* = ai + βi rMt = 0, 026056 + 0, 443662rMt
La ecuación precedente es la ecuación de la línea característica del título o de
la recta de regresión ajustada.
En la siguiente tabla se muestran todos los valores obtenidos para la rentabilidad ajustada y los correspondientes residuos:
b) Al calcular la media de la rentabilidad ajustada se obtiene la misma que
la estimada con los valores observados. Además, se comprueba que la media de
los residuos es cero:
ri* = ri ; ei = 0
En cuanto a las estimaciones dadas por la cuasivarianza, la correspondiente
a los valores de la rentabilidad ajustada coincide con el riesgo sistemático (medido por la varianza), y la de los residuos coincide con el riesgo específico (medido
por la varianza):
2
σ 2 (ri* ) = σ si2 = βi2σ M
2
σ 2 (ei ) = σ ui2 = σ i2 − βi2σ M
298
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Las expresiones anteriores de rentabilidad y varianza son válidas para cualquier conjunto de datos observados de la rentabilidad de cualquier activo y del
mercado, pues se demuestra11 que, en general, la media aritmética de los valores
observados coincide con la media aritmética de los valores ajustados, y que la
varianza de los valores observados es igual a la suma de las varianzas de los valores ajustados y de los residuos12.
c) Los datos correspondientes se pueden representar en un gráfico, tomando
en el eje horizontal los valores de la rentabilidad del mercado y en el eje vertical
los correspondientes a la rentabilidad del título. Una vez seleccionado el gráfico
Dispersión sólo con marcadores, si nos situamos en cualquiera de los puntos, con
el botón derecho del ratón podemos seleccionar agregar línea de tendencia lineal
y presentar ecuación en el gráfico. Se obtiene el siguiente gráfico:
En el gráfico anterior, la distancia entre el valor de la rentabilidad del activo
dado por un punto situado en la recta y el correspondiente valor en la nube de
puntos representa el residuo respectivo.
EJEMPLO 5.4
Con los datos históricos de rentabilidad que figuran en el archivo correspondiente, se pide: estimar la rentabilidad esperada y el riesgo del activo:
11
Pueden verse las demostraciones en cualquier manual de Estadística o de Econometría.
En nuestro contexto supone, tal y como hemos señalado, que la esperanza matemática de la
rentabilidad es estimada por la media muestral, y que el riesgo total (estimado por la cuasivarianza
muestral) es la suma del riesgo sistemático con el específico.
12
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Inversiones financieras: selección de car teras
a) De acuerdo con el modelo de mercado.
b) De acuerdo con los datos históricos.
c) Gráfico de dispersión con línea de tendencia y coeficiente de determinación.
Resolución
a) De acuerdo con el modelo de mercado, estimamos los parámetros del
modelo utilizando la función Regresión. Al efectuar los cálculos se obtiene13:
ai = 0,114404; βi = 0,263938
Por tanto, la ecuación de la línea característica del activo es:
ri* = 0,114404 + 0,263938rM
Como la rentabilidad media del mercado es el 18,4025 %, la rentabilidad esperada del activo es:
ri* = 0,114404 + 0,263938 × 18, 4025% = 16,2975%
Tal y como hemos señalado anteriormente, el riesgo sistemático (varianza) lo
obtenemos dividiendo la suma de cuadrados de regresión entre 19, pues hay 20
datos disponibles de rentabilidad. El riesgo específico (varianza) se obtiene al dividir la suma de cuadrados de residuos entre 19. La suma de ambos valores nos da
la varianza total, que también se puede estimar dividiendo la suma de cuadrados
total entre 19. Al efectuar los cálculos obtenemos:
σ si2 = 0, 00010850
σ ui2 = 0, 00111733
σ i2 = 0, 00122583
Al calcular la raíz cuadrada de cada resultado anterior obtenemos el valor del
riesgo correspondiente:
σ si = 1, 0416%
σ ui = 3,3426%
σ i = 3,5012%
13
Cuando únicamente sea necesario estimar los parámetros ai y bi, se pueden utilizar las funciones INTERSECCIÓN.EJE y PENDIENTE, respectivamente, tal y como hemos hecho anteriormente.
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Al ejecutar la función Regresión y seleccionar Residuos, también se obtienen
los valores ajustados de la rentabilidad (columna Pronóstico para Y), así como los
correspondientes residuos.
b) De acuerdo con los datos históricos calculamos la rentabilidad media, el
riesgo y la covarianza14:
Ei = 16,2975%; EM = 18, 4025%; i = 3,5012%; M = 3,9464%; iM = 0, 00041107
En consecuencia:
σ iM 0, 00041107
=
= 0,263945
2
σM
0, 0394642
βi =
ai = Ei − βi EM = 16,2975% − 0,263945 × 18, 4025% = 0,114403
El riesgo sistemático y el específico valen:
σ si = βiσ M = 0,263945 × 3,9464% = 1, 0416%
σ ui = (σ i2 − σ si2 )
0,5
= (0, 0350122 − 0, 0104162 )
0,5
= 3,3427%
c) En la hoja Excel insertamos el gráfico Dispersión sólo con marcadores y
agregamos una línea de tendencia lineal, seleccionando, además, presentar ecuación en el gráfico y presentar el valor de R cuadrado. Se obtiene el siguiente gráfico:
14
Recordemos que en Excel utilizamos las funciones: PROMEDIO, DESVEST y COVAR ×
T
, respectivamente.
×
T−1
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Inversiones financieras: selección de car teras
EJEMPLO 5.5
De determinado activo financiero se sabe que su rentabilidad esperada es el
21 %, con un riesgo total (d.t.) del 13,25 % y uno específico del 5 %. El índice de
mercado con respecto al cual se ha estimado el valor de beta tiene una rentabilidad del 10 %, con un riesgo del 7 %. Determinar:
a) Ecuación de la línea característica del título.
b) Coeficiente de correlación lineal entre la rentabilidad del activo y la del
mercado.
Resolución
a) Para determinar la ecuación de la línea característica del título es preciso
conocer ai y bi. Para su cálculo tenemos en cuenta las siguientes ecuaciones en las
que sustituimos los datos correspondientes:
Ei = ai + βi EM ⇒ 0,21 = ai + 0,10 βi
2
σ i2 = βi2σ M
+ σ ui2 ⇒ 0,13252 = 0, 072 βi2 + 0, 052
Al realizar operaciones obtenemos: ai = 0,03471; bi = 1,7529. En consecuencia,
la ecuación de la recta característica del título es:
ri* = 0, 03471 + 1,7529rM
b) Sabemos que el coeficiente de correlación lineal entre la rentabilidad del
activo y la del mercado es la raíz cuadrada del coeficiente de determinación, R2,
y éste es el cociente entre el riesgo sistemático, medido por la varianza, y el riesgo
total del activo, también medido por la varianza:
R2 =
2
βi2σ M
σ
⇒ R = si = ρiM
2
σi
σi
El riesgo sistemático verifica:
σ si = (σ i2 − σ ui2 )
0,5
= (0,13252 − 0, 052 )
0,5
= 0,122704
Por tanto, el coeficiente de correlación lineal es:
ρiM =
302
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σ si 0,122704
=
= 0,9261
σi
0,1325
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
5.1.2. Covarianza entre rentabilidades
Sabemos que la covarianza entre la rentabilidad del activo i y la del título j
viene dada por la expresión:
σ ij = E ⎡⎣(ri − Ei ) (rj − E j )⎤⎦
Teniendo en cuenta las expresiones ya deducidas, al sustituir se obtiene:
{
}
σ ij = ⎡⎣(ai + βi rM + ui ) − (ai + βi rM )⎤⎦ ⎡⎣(a j + β j rM + u j ) − (a j + β j rM )⎤⎦
Después de simplificar y realizar operaciones se llega a:
σ ij = βi β j E ⎡⎣(rM − EM )⎤⎦ + βi E (u j ) − βi EM E (u j ) + β j rM E (ui ) − β j EM E (ui )
2
Teniendo en cuenta las hipótesis relativas a la perturbación aleatoria y que
E [(rM − EM)]2 = sM2 , se llega a la siguiente expresión:
2
σ ij = βi β j σ M
, ∀i ≠ j
Recordemos que en el modelo de mercado, las rentabilidades de los títulos
están relacionadas entre sí únicamente a través de las relaciones comunes con el
rendimiento del mercado, lo cual se pone de manifiesto con la expresión anterior,
pues de acuerdo con la misma la covarianza entre el rendimiento de dos activos
individuales cualesquiera sólo depende del comportamiento del rendimiento del
mercado.
De acuerdo con lo expuesto, la matriz de varianzas-covarianzas del modelo de
mercado es:
{(
2
SM = σ ii ; σ ij = βi β jσ M
,i≠ j
⎛
σ 12
⎜
2
⎜ β2 β1σ M
2
= ⎜ β3β1σ M
⎜
⎜
⎜ β βσ2
⎝ n 1 M
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2
β1β2σ M
2
β1β3σ M
σ 22
2
β2 β3σ M
2
β3β2σ M
2
β n β2σ M
σ 32
2
β n β3σ M
)} =
2
⎞
β1β nσ M
⎟
2
β2 β nσ M
⎟
2 ⎟
β3β nσ M
⎟
⎟
⎟
2
σn
⎠
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Inversiones financieras: selección de car teras
EJEMPLO 5.6
Con los datos que figuran en el archivo correspondiente, se pide:
a)
b)
c)
d)
Estimar la rentabilidad y el riesgo total de cada activo y del mercado.
Estimar los parámetros de regresión para cada activo.
Determinar la covarianza entre los rendimientos de los dos activos.
Gráfico de dispersión y línea característica del activo B.
Resolución
a) Determinamos el promedio de cada conjunto de rentabilidades observadas,
así como su desviación típica, obteniéndose la rentabilidad esperada y el riesgo:
EA = 20,2348%; σ A = 5, 0237%
EB = 27,9465%; σ B = 8,5361%
EM = 7,8395%; σ M = 2, 4832%
b) Utilizando las funciones INTERSECCIÓN.EJE y PENDIENTE obtenemos los parámetros de cada título:
aA = 0, 044675; β A = 2, 011254
aB = 0, 010349; β A = 3, 432816
Por tanto, las ecuaciones que nos proporcionan las rentabilidades ajustadas o
líneas características son:
rA* = 0, 044675 + 2, 011254rM
rB* = 0, 010349 + 3, 432816rM
c) La covarianza es:
2
σ AB = β Aβ Bσ M
= 2, 011254 × 3, 432816 × 0, 0248322 = 0, 004257
Si calculamos la covarianza entre los valores observados, el resultado, tanto si
dividimos entre 20 como si dividimos entre 19, no coincide con el anterior. En
cambio, si determinamos la covarianza entre los valores ajustados 15, la covarianza
15
Los valores ajustados los podemos deducir de las ecuaciones r*A y r*B. También, al ejecutar la
función Regresión y seleccionar Residuos, se obtienen en la columna Pronóstico para Y.
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
coincide con la calculada mediante la expresión sAB = bA bB sM2 . La justificación
está en el hecho de que, de acuerdo con las hipótesis del modelo de mercado, las
rentabilidades de los títulos están relacionadas entre sí únicamente a través de las
relaciones comunes con el rendimiento del mercado, por lo que las covarianzas
entre las rentabilidades se estiman mediante las covarianzas entre los valores ajustados o mediante la expresión ya señalada.
d) El gráfico pedido para el activo B es:
EJEMPLO 5.7
Con los datos que figuran en el archivo correspondiente, se pide:
a)
b)
c)
d)
Rentabilidad y riesgo de cada activo y del mercado.
Coeficientes de regresión de cada activo.
Riesgo específico (d.t.) de cada activo.
Matriz de varianzas-covarianzas del modelo de mercado.
Resolución
a), b) y c) De acuerdo con los datos disponibles, al realizar los cálculos se
obtiene:
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Inversiones financieras: selección de car teras
Para calcular la rentabilidad hemos utilizado la función PROMEDIO; para el
riesgo, DESVEST; para la varianza, VAR; el coeficiente ai lo calculamos con la
función INTERSECCION.EJE; la beta con PENDIENTE, y el riesgo específico
con la expresión sui = (s i2 − bi2sM2 )0,5.
d) Sabemos que los elementos de la matriz de varianzas-covarianzas del modelo de mercado verifican:
2
⎧ βi β j σ M
, ∀i ≠ j
⎪
σ ij = ⎨
2
σ i , ∀i
⎪⎩
Utilizando las funciones de Excel SI, MMULT y TRANSPONER, podemos
calcular todos los términos de la citada matriz:
Los términos de la matriz se han obtenido con la función16:
=SI(B30:F30=A31:A35;B25:F25;MMULT(TRANSPONER(B27:F27);
B27:F27)*$G$25)
16
Recordemos que la función lógica SI tiene tres argumentos. El primero es un test lógico, cuyo
resultado puede ser VERDADERO o FALSO. Si es VERDADERO, la función ejecuta las operaciones señaladas en el segundo argumento. Si es FALSO, ejecuta las operaciones señaladas en el tercer
argumento.
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
El primer argumento se refiere a los elementos de la matriz: si pertenecen a la
diagonal principal, su valor (segundo argumento) es la varianza si2; si no pertenecen a la diagonal principal, su valor (tercer argumento) es sij = bi bj sM2.
EJEMPLO 5.8
Con los datos que se indican, determinar la matriz de varianzas-covarianzas:
Resolución
Teniendo en cuenta la expresión que permite calcular la covarianza, es preciso
obtener el coeficiente beta de cada activo. De la expresión que relaciona la rentabilidad de un activo con la del mercado, podemos despejar beta:
Ei = ai + βi EM ⇒ βi =
Ei − ai
EM
En consecuencia:
De acuerdo con lo explicado en el ejemplo precedente, podemos calcular la
matriz de varianzas-covarianzas:
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Inversiones financieras: selección de car teras
EJEMPLO 5.9
Con los datos que se indican en el archivo correspondiente, determinar la matriz de varianzas-covarianzas.
Resolución
Determinamos en primer lugar la beta de cada activo, obteniéndose:
Calculamos ahora la matriz de varianzas-covarianzas, teniendo en cuenta que
los datos para dicha matriz están en columnas, por lo que es preciso trasponer
tanto el vector de varianzas17 como el de betas:
17
Como puede comprobarse en el archivo correspondiente de Soluciones, se llega a idénticos
resultados sin necesidad de trasponer el vector de varianzas, si bien sigue siendo necesario trasponer
el de betas.
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
5.1.3. Clasificación de los activos según su beta
El coeficiente beta de un activo indica la sensibilidad de la rentabilidad del
mismo con respecto a las variaciones en la rentabilidad del mercado. Por ello, en
general, si la rentabilidad del mercado se modifica en k puntos, la rentabilidad del
activo se modifica en bi k puntos:
Ei = ai + βi EM
Ei′ = ai + βi (EM + k)
Ei′ − Ei = βi k
Si por ejemplo un activo tiene una beta de 1,3, y si se espera que el mercado
experimente un incremento de 5 puntos porcentuales en la rentabilidad durante
el período siguiente, es de esperar que la acción experimente un alza en su rentabilidad de 6,5 puntos (1,3 × 5). De igual forma, si la rentabilidad del mercado
descendiese en 3 puntos porcentuales, es de esperar que la del activo descienda en
3,9 puntos porcentuales.
Las acciones con beta mayor que uno responden en mayor medida que el mercado a los cambios en la rentabilidad del mismo, por lo que son más arriesgadas
(o volátiles) que el mercado. Se dice que son títulos agresivos, ya que ante variaciones en la rentabilidad del mercado las variaciones en su rentabilidad son mayores18.
Las acciones con beta menor que uno19 responden en menor medida que el
mercado a los cambios en la rentabilidad del mismo, por lo que son menos arriesgadas (o menos volátiles) que el mercado. Se dice que son títulos defensivos, ya que
ante variaciones en la rentabilidad del mercado las variaciones en su rentabilidad
son menores20.
Las acciones con beta igual a uno responden con la misma intensidad que el
mercado ante las variaciones en la rentabilidad del mismo. Se dice que son títulos
normales21, pues su beta coincide con la del mercado.
18
Por ello, si estimamos que el mercado puede subir, formaremos carteras eligiendo títulos con
beta superior a la unidad, pues de esta forma el incremento en nuestra rentabilidad superará al de la
rentabilidad del mercado.
19
La gran mayoría de las acciones tienen beta positiva. Una beta negativa indica que, ante un
alza en la rentabilidad del mercado, la acción correspondiente experimentará un descenso en su rentabilidad.
20
Si estimamos que el mercado puede bajar, al formar carteras elegiremos acciones con beta
inferior a la unidad, pues así el descenso en nuestra rentabilidad será inferior al correspondiente en
la rentabilidad del mercado.
sMM
21
La beta del mercado vale uno: bM =
= 1.
sM2
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Inversiones financieras: selección de car teras
Sabemos que se verifican las siguientes expresiones, en las que se indica la
descomposición del riesgo total (varianza) de un activo en sus dos componentes:
riesgo sistemático y riesgo específico:
2
σ i2 = βi2σ M
+ σ ui2
σ i2 = σ si2 + σ ui2
Por tanto, y de acuerdo con lo expuesto, podemos señalar que el coeficiente
beta es un indicador del riesgo sistemático de un título, verificándose, tal y como
hemos señalado:
σ si = βiσ M
5.2. EL MODELO DE MERCADO: ANÁLISIS DE LAS CARTERAS
Sabemos que la rentabilidad de una cartera verifica:
rp = x1r1 + x2 r2 + x3r3 + + xn rn =
n
∑ xi ri
i=1
Por tanto, al sustituir ri por la expresión correspondiente de acuerdo con el
modelo de mercado, tenemos:
rp =
n
n
n
n
i=1
i=1
i=1
i=1
∑ xi (ai + βi rM + ui ) = ∑ xi ai + ∑ xi βi rM + ∑ xi ui
Hacemos los siguientes cambios de variables, siendo bp la beta de la cartera:
ap =
n
n
n
i=1
i=1
i=1
∑ xi ai ; β p = ∑ xi βi ; u p = ∑ xi ui
También la beta de la cartera se puede determinar por la expresión:
βp =
310
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σ pM
2
σM
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
En efecto, de acuerdo con la expresión de la covarianza entre la rentabilidad
de la cartera y la de mercado, así como con las hipótesis relativas a la perturbación aleatoria, se tiene22:
(
)
(
)
(
)
2
cov rp ,rM = cov a p + β prM + u p ,rM = cov β prM ,rM = β pσ M
Como consecuencia de lo expuesto, la variable aleatoria rentabilidad de una
cartera queda descompuesta en los siguientes sumandos, en los que rM y up son
variables aleatorias:
rp = a p + β prM + u p
5.2.1. Rentabilidad y riesgo
( ) ∑ x E (r ); siendo X el
La rentabilidad esperada de la cartera verifica E rp =
n
i
i
i=1
vector columna de pesos y E el de rentabilidades esperadas, tenemos: Ep = X′E.
Siendo SM = {(sii ; sij = bi bj sM2 , i ≠ j)} la matriz de varianzas-covarianzas del
modelo de mercado, la varianza total de la cartera se puede determinar por la
expresión sp2 = X′SMX, siendo su raíz cuadrada el riesgo.
En síntesis, pues, utilizando las matrices X, E y SM podemos utilizar todas las
expresiones correspondientes al modelo de Markowitz.
EJEMPLO 5.10
Con los resultados de rentabilidad y matriz de varianzas-covarianzas del ejemplo anterior, determinar:
a) Composición y rentabilidad esperada de una cartera con riesgo total (d.t.)
del 5 %.
b) Composición y riego total de una cartera con riesgo mínimo y rentabilidad esperada del 22 %.
c) Si en la cartera del apartado anterior no se permiten las ventas en descubierto, ¿cuál es el riesgo de la cartera?
22
Recordemos que para las variables aleatorias X, Y, Z se verifica: cov(X + Y, Z) = cov(X, Z)
+ cov(Y, Z).
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Inversiones financieras: selección de car teras
Resolución
a) Tal y como hemos efectuado en las lecciones anteriores, diseñamos la hoja
de Excel, formando el vector columna de rentabilidades esperadas de los activos
y el vector columna de proporciones. Utilizamos las expresiones matriciales precedentes, relativas a la rentabilidad y al riesgo. En Solver la función objetivo es la
correspondiente al riesgo (desviación típica), con valor del 5 %, y las incógnitas
son las relativas a los valores del vector X, poniendo como restricción que la suma
de los valores de X sea la unidad. Al realizar los cálculos obtenemos:
b) Es preciso minimizar la varianza y considerar las restricciones:
n
E *p = 22%; ∑ xi = 1
1
Utilizando Solver obtenemos:
c) Si no se permiten las ventas en descubierto, es preciso considerar la restricción de no negatividad de los elementos del vector X, obteniendo como solución:
312
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
No obstante lo anterior, es importante disponer, en función de los parámetros
característicos del modelo de mercado, de las ecuaciones correspondientes a la
rentabilidad y al riesgo. Para ello, recordemos que, de acuerdo con las hipótesis
relativas a la perturbación aleatoria, se verifica: E(ui) = 0; suiM = 0; suiuj = 0. Por
( ) ∑ x E (u ) = 0 . En consecuencia, la rentabilidad esperada de la
tanto: E u p =
n
i
i
i=1
cartera viene dada por la expresión:
E p = a p + β p EM
En forma matricial, podemos poner:
⎛
⎜
⎜
E p = (x1, x2 ,, xn ) ⎜
⎜
⎜
⎜⎝
⎛ a1 + β1EM
E1 ⎞
⎜
⎟
E2 ⎟
⎜ a2 + β2 EM
⎟ = (x1, x2 ,, xn ) ⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜⎝ an + β n EM
En ⎟⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
En cuanto a la varianza, se verifica23:
2
2
σ 2p = β 2pσ M
+ σ up
En la ecuación anterior es:
2
⎞
⎛ n
2
β = ⎜ ∑ xi βi ⎟ ; σ up
=
⎠
⎝ i=1
2
p
n
∑ xi2σ ui2
i=1
De igual forma a lo señalado para los títulos, el riesgo total de una cartera,
medido por la varianza, se puede descomponer en dos sumandos: riesgo sistemático o de mercado, y riesgo propio o específico:
2
σ 2p = σ sp2 + σ up
El riesgo de mercado de una cartera, s sp2 , mide la parte del riesgo atribuible a
la incertidumbre común a todo el sistema económico y depende de la variabilidad
23
Para su cálculo tenemos en cuenta las propiedades citadas de la perturbación aleatoria y,
además, tal y como hemos señalado, si por ejemplo es Z = k1 × Z1 + k2 × Z2 + k3 × Z3, siendo Z1,
Z2, Z3 variables aleatorias, y k1, k2, k3 constantes, la varianza de la variable Z verifica: s 2(Z) =
= k21 s 2(Z1) + k22 s 2(Z2) + k23 s 2(Z3) + 2k1k2s12 + 2k1k3s13 + 2k2k3s23.
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Inversiones financieras: selección de car teras
de la rentabilidad del mercado, de la beta de cada activo y del peso del mismo en
la cartera. Se trata de un riesgo presente sistemáticamente, pues no es posible su
eliminación.
2
El riesgo específico o riesgo no sistemático, s up
, constituye la parte del riesgo
vinculado a las características específicas de los activos que forman la cartera y
del peso correspondiente. Es, pues, la parte de la variabilidad de la rentabilidad
de la cartera que es independiente del mercado. Se trata de un riesgo eliminable24
al combinar adecuadamente varios títulos entre sí, por lo que también se le denomina riesgo diversificable.
Para expresar la ecuación del riesgo total en forma matricial definimos dos
nuevas matrices para el modelo de mercado: el vector Xu y la matriz Su de covarianzas específicas, siendo:
⎛
⎜
⎜
Xu = ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2
⎛ σ u1
0
x1 ⎞
⎜
⎟
2
x2 ⎟
⎜ 0 σ u2
⎟ ; Su = ⎜ ⎜
⎟
xn ⎟
0
⎜ 0
⎜
⎟
βp ⎠
0
⎝ 0
0
0
2
σ un
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟
⎟
⎟
0 ⎟
2 ⎟
σM
⎠
Por tanto, recordado la multiplicación de matrices, tenemos:
σ 2p = X u′ Su X u
Observamos que todos los elementos de la matriz Su son nulos, excepto los de
la diagonal principal, por lo que es una matriz diagonal, lo que justifica que también al modelo de mercado se le denomine modelo diagonal.
En la matriz Su observamos que las covarianzas entre las rentabilidades de
cada dos activos que integran una cartera no figuran como causa explícita del
riesgo de la misma, ya que, de acuerdo con las hipótesis del modelo, el efecto ejercido por tales covarianzas es explicado por la rentabilidad del mercado. Por ello,
la matriz de varianzas específicas indica relaciones entre perturbaciones aleatorias25.
24
A medida que una cartera se diversifica el riesgo específico tiende a cero, y cuando se incluyan
en la misma todos los títulos del mercado (cartera de mercado) el riesgo específico vale cero, como
veremos en el apartado correspondiente.
25
El hecho de que la matriz sea diagonal pone también de manifiesto la nula consideración de
la dependencia directa entre las rentabilidades de los activos, siendo sustituida dicha dependencia por
la correspondiente a cada rentabilidad con la del mercado.
314
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
EJEMPLO 5.11
Utilizando las expresiones matriciales precedentes, realizar los cálculos correspondientes al ejemplo anterior.
Resolución
Diseñamos las hojas de Excel correspondientes, teniendo en cuenta que para
determinar la rentabilidad esperada consideramos los vectores X y E ya definidos,
y, en cambio, para el riesgo consideramos26 Xu y Su. Teniendo en cuenta que los
2
elementos de la diagonal principal de la matriz son s ui2 , y el último s M
, para formar la matriz Su los calculamos previamente, obteniendo:
Los elementos de la matriz Su los calculamos utilizando la función SI, obteniéndose:
a) Para calcular la composición y rentabilidad esperada de una cartera con riesgo total del 5 % utilizamos las expresiones Ep = X′E y s p2 = X′u Su Xu, así como la función Solver, en la que la función objetivo es la correspondiente al riesgo (desviación
típica), con valor del 5 %; las incógnitas son los valores correspondientes al vector X,
considerando como restricciones que la suma de los valores de X sea la unidad. Al
realizar los cálculos obtenemos los mismos resultados que en el ejemplo precedente:
n
26
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Téngase en cuenta que el último elemento del vector Xu es la beta de la cartera bp =
∑ xi bi.
i=1
315
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Inversiones financieras: selección de car teras
b) Hemos de determinar la composición y el riesgo total de una cartera de
mínimo riesgo y rentabilidad esperada del 22 %. Para ello utilizamos Solver, tomando como función objetivo a minimizar la celda correspondiente a la varianza
calculada con la expresión s p2 = X′u Su Xu, considerando, además, las restricciones
n
E *p = 22%; xi = 1. Realizando los cálculos se obtienen prácticamente los mis1
mos resultados que los correspondientes obtenidos en el ejemplo anterior:
c) Si no se permiten las ventas en descubierto, añadimos la restricción de no
negatividad a los elementos del vector X, obteniéndose:
De acuerdo con lo expuesto, podemos sintetizar las expresiones algebraicas
que permiten calcular la rentabilidad y el riesgo de una cartera:
a) Ep = X′E y s p2 = X′SM X, siendo:
⎛
⎜
⎜
X =⎜
⎜
⎜
⎜⎝
316
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⎛
⎞
⎛ E1 ⎞
σ 12
⎜
⎟
⎟
⎜
2
⎜ β2 β1σ M
⎟
⎜ E2 ⎟
2
⎟ ; E = ⎜ E3 ⎟ ; SM = ⎜ β3β1σ M
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ ⎟
⎜ β βσ2
⎜⎝ En ⎟⎠
xn ⎟⎠
⎝ n 1 M
x1
x2
x3
2
β1β2σ M
2
β1β3σ M
σ 22
2
β2 β3σ M
2
β3β2σ M
2
β n β2σ M
σ 32
2
β n β3σ M
2
⎞
β1β nσ M
⎟
2
β2 β nσ M
⎟
2 ⎟
β3β nσ M
⎟
⎟
⎟
2
σn
⎠
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
b) Ep = X′E, s p2 = X′u Su Xu y bp = X′b, siendo:
E=
a1 + 1EM
a2 + 2 EM
=
En an + n EM
E1
E2
E3
2
u1
x1 0
2
0 u2
x2 ; X u = ; Su = x 0
0
n 0
p 0
=
1
2
3
n
0
0
2
un
0
0 0 ;
0 2 M
EJEMPLO 5.12
De acuerdo con los datos que figuran en el archivo correspondiente, determinar la cartera de mínimo riesgo global en la hipótesis de que se permitan las ventas en descubierto:
a) Utilizando la matriz de varianzas-covarianzas del modelo de mercado, SM.
b) Utilizando la matriz de varianzas específicas, Su.
c) Determinar el riesgo de mercado y el riesgo específico de la cartera anterior.
Resolución
De acuerdo con las funciones ya utilizadas, calculamos la rentabilidad y el
riesgo, los coeficientes de regresión y la varianza específica, obteniendo:
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Inversiones financieras: selección de car teras
Con los resultados anteriores, y de acuerdo con lo realizado en ejemplos precedentes, calculamos las matrices SM y Su, obteniendo:
Sabemos que para determinar la cartera de mínimo riesgo global es preciso
n
minimizar la varianza y tener en cuenta la restricción
∑ xi = 1 . Por tanto, dise1
ñamos las hojas correspondientes para calcular Ep y s p2, sabiendo que en cualquier
caso la expresión de la rentabilidad de la cartera verifica: Ep = X′E.
a) En este caso, tal y como hemos expuesto, la varianza de la cartera verifica:
s p2 = X′SM X. Utilizamos Solver para minimizar la varianza. Siendo las incógnitas
los elementos de la matriz del vector X, y teniendo en cuenta la restricción que
indica que la suma de tales elementos es la unidad27, obtenemos:
27
Recordemos que si no estuviesen permitidas las ventas en descubierto, sería preciso considerar
también la restricción de no negatividad para los elementos del vector de proporciones.
318
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
b) La varianza de la cartera verifica: s p2 = X′u Su Xu. Las incógnitas son los
elementos del vector X. Los seis primeros elementos del vector Xu son los mismos
que los correspondientes del vector X, y el último es bp = X′b. Diseñamos la hoja
correspondiente y utilizamos Solver para minimizar la varianza, teniendo en cuenta la restricción que indica que la suma de los elementos del vector X es la unidad.
Al ejecutar Solver obtenemos los mismos resultados que en el apartado a), por lo
que, obviamente, con cualquiera de las dos formas de calcular el riesgo y la rentabilidad se llega a idénticos resultados.
2
c) Sabemos que el riesgo total (varianza) de la cartera verifica: s p2 = b p2 s M
+
2
+ s up. En consecuencia, al sustituir se obtiene:
El riesgo específico (varianza) lo hemos obtenido por diferencia entre el riesgo
total y el riesgo sistemático. No obstante, podemos comprobar que también es
2
=
posible obtenerlo mediante la expresión σ up
6
∑ xi2σ ui2 .
i=1
5.2.2. Determinación de las carteras eficientes y selección
de la cartera óptima
En el modelo de mercado, de acuerdo con las expresiones correspondientes al
mismo, relativas a la rentabilidad y al riesgo de una cartera, son aplicables los
conceptos ya estudiados en lecciones precedentes sobre carteras eficientes y selección de la cartera óptima.
EJEMPLO 5.13
De acuerdo con los datos correspondientes al ejemplo anterior, y suponiendo
que no se admiten las ventas en descubierto, determinar:
a) La cartera de mínimo riesgo global.
b) El riesgo específico de la cartera anterior.
c) La cartera eficiente con rentabilidad esperada comprendida entre el 18 %
y el 24 %.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Resolución
n
a)
Hemos de minimizar la varianza total con las restricciones
∑ xi = 1
y
1
xi ≥ 0. Si utilizamos la matriz de varianzas-covarianzas del modelo de mercado,
SM, a través de Solver obtenemos:
Al calcular el riesgo mediante la matriz de varianzas específicas, Su, se llega a
los mismos resultados anteriores.
2
b) Sabemos que el riesgo total (varianza) de la cartera verifica: s p2 = b p2 s M
+
2
+ s up. En consecuencia, al sustituir se obtiene:
c) La cartera pedida verifica:
Minimizar σ 2p = X ′SM X
18% ≤ E *p = X ′ E ≤ 24%
6
∑ xi = 1; xi ≥ 0
i
Si utilizamos la matriz de varianzas específicas, se ha de verificar:
Minimizar σ 2p = X u′ Su X u
18% ≤ E *p = X ′ E ≤ 24%
6
∑ xi = 1; xi ≥ 0
i
320
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Utilizando Solver, en ambos casos se llega a los mismos resultados:
EJEMPLO 5.14
De acuerdo con los datos correspondientes al ejemplo anterior, y suponiendo
que se permiten las ventas en descubierto, determinar:
a) La cartera eficiente con rentabilidad esperada comprendida entre el 25 %
y el 30 %, sabiendo que su beta vale 0,08.
b) Riesgo sistemático y riesgo específico de la cartera anterior.
Resolución
a) La cartera pedida verifica:
Minimizar σ 2p = X u′ Su X u
25% ≤ E *p = X ′ E ≤ 30%
6
∑ xi = 1; β p = 0, 08
i
Mediante Solver obtenemos:
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Inversiones financieras: selección de car teras
b) De acuerdo con la expresión del riesgo total, tenemos:
Se denomina grado de diversificación de una cartera al porcentaje que representa su riesgo sistemático sobre el riesgo total de la misma28:
dp =
2
σ sp2
β 2p σ M
=
σ 2p
σ 2p
Cuanto mayor sea el valor del grado de diversificación, menor será el porcentaje que representa el riesgo específico sobre el riesgo total. Por ello, a medida que
una cartera se diversifica, su riesgo específico tiende a cero.
EJEMPLO 5.15
De acuerdo con los datos correspondientes al ejemplo anterior, se pide:
a) Determinar el grado de diversificación de una cartera eficiente en la que
no se permiten las ventas en descubierto, sabiendo que su rentabilidad
esperada es del 20 %.
b) Determinar la composición, rentabilidad, riesgo total y grado de diversificación de una cartera sin ventas en descubierto y con riesgo específico
mínimo, tal que su rendimiento esperado no resulte inferior al 26 %, y su
riesgo total esté comprendido entre el 4 % y el 8 %.
Resolución
a) La cartera de la que hemos de calcular su grado de diversificación es eficiente, sin ventas en descubierto y con rentabilidad esperada del 20 %. En consecuencia, verifica:
Minimizar σ 2p = X u′ Su X u
E *p = 20%;
6
∑ xi = 1; xi ≥ 0
i
28
De acuerdo con la definición dada, el grado de diversificación coincide con el coeficiente de
determinación: dp = R2.
322
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Utilizamos Solver y obtenemos:
El riesgo total y su descomposición es:
Al sustituir por los valores calculados, llegamos a:
dp =
σ sp2
0, 00029299
=
= 34,5691%
2
σ p 0, 00084755
b) La cartera pedida es sin ventas en descubierto, con riesgo específico mínimo, rentabilidad esperada no inferior al 26 % y riesgo total entre el 4 % y el 8 %.
En consecuencia, ha de verificar:
2
=
Minimizar σ up
n
∑ xi2σ ui2
i=1
n
∑ xi = 1; xi ≥ 0
i=1
E ≥ 26%; 4% ≤ σ p ≤ 8%
*
p
Realizando los cálculos mediante Solver, obtenemos29:
29
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Si únicamente se pidiese que el riesgo específico fuese mínimo, habría infinitas soluciones.
323
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Inversiones financieras: selección de car teras
El riesgo y el grado de diversificación son:
EJEMPLO 5.16
De acuerdo con los datos correspondientes al ejemplo anterior, un inversor
considera que su cartera óptima, sin ventas en descubierto, debe tener una rentabilidad esperada no inferior al 25 % y un grado de diversificación no inferior
al 70 %. Determinar la composición, riesgo sistemático y rentabilidad de dicha
cartera.
Resolución
La cartera óptima es una cartera eficiente que ha de verificar:
Minimizar σ 2p = X u′ Su X u
25% ≤ E *p
6
∑ xi = 1; xi ≥ 0
d p ≥ 70%
i
324
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Al ejecutar Solver, obtenemos:
5.2.3. Las carteras mixtas en el modelo de mercado
El activo libre de riesgo es un título que carece de cualquier clase de riesgo,
tanto sistemático como específico, por lo que, en el contexto del modelo de mercado, para un activo de rentabilidad rf se verifica:
a f = rf ; σ 2f = 0; σ uf2 = 0; β f = 0
De acuerdo con lo expuesto en el apartado 4.4 correspondiente a la lección
anterior, la cartera óptima arriesgada T para combinar con el activo libre de riesgo es la de máxima prima relativa de riesgo. Además, tal y como sabemos, en las
carteras mixtas se verifica:
rp = yrT + (1 − y) rf
La rentabilidad de la cartera arriesgada T verifica:
rT = aT + βT rM + uT
aT =
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n
n
n
i=1
i=1
i=1
∑ xi ai ; βT = ∑ xi βi ; uT = ∑ xi ui
325
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Inversiones financieras: selección de car teras
Al sustituir tenemos:
rp = yaT + yβT rM + yuT + (1 − y) rf
Por tanto:
rp = a p + β p rM + u p + (1 − y) rf
a p = yaT ; β p = yβT ; u p = yuT
En consecuencia, la rentabilidad esperada y el riesgo de la cartera mixta p
verifican:
E p = a p + β p EM + (1 − y) rf
2
2
2
σ 2p = β 2pσ M
+ σ up
= σ sp2 + σ up
En la expresión anterior30 también se verifica:
2
2
2
2
σ sp2 = β 2pσ M
= ( yβT ) σ M
= y2 βT2 σ M
= y2σ sT
2
2
2
σ up
= y2σ uT
En consecuencia:
2
σ 2p = y2σ sp2 + y2σ up
= y2σ T2
Podemos sintetizar indicando que los parámetros ap y beta de la cartera mixta
p son los correspondientes a la cartera arriesgada T multiplicados por31 y; y los
riesgos (total, sistemático y específico), medidos por las varianzas, de la cartera
mixta, son los de la cartera T multiplicados por y2:
a p = yaT ; β p = yβT
2
2
2
σ 2p = y2σ T2 ; σ sp2 = y2σ sT
; σ up
= y2σ uT
30
También podemos considerar que el coeficiente alfa de la cartera p es ap = yaT + (1 − y)rf, por
lo que la expresión de la rentabilidad esperada de la cartera mixta es: Ep = ap + bpEM.
31
En tal caso, la rentabilidad esperada de la cartera mixta se obtiene, tal y como hemos señalado,
por la expresión: Ep = ap + bpEM + (1 − y)rf.
326
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
EJEMPLO 5.17
Con los activos del ejemplo precedente, determinado inversor desea formar
una cartera mixta, sin ventas en descubierto en los títulos con riesgo, sabiendo
que el activo libre de riesgo tiene una rentabilidad del 5 %. Se pide:
a) Composición de la cartera arriesgada óptima para combinar con el activo
libre de riesgo.
b) Riesgos y grado de diversificación de una cartera mixta con rentabilidad
esperada del 20 %.
Resolución
a) De acuerdo con lo expuesto, sabemos que la cartera optima arriesgada T
para combinar con el activo libre de riesgo es la de máxima pendiente o máxima
prima relativa de riesgo. Por tanto, teniendo en cuenta que en la cartera pedida
no se admiten las ventas en descubierto, se verifica:
Maximizar ZT =
ET − rf
σT
n
∑ xi = 1; xi ≥ 0
1
En la hoja de cálculo implementamos las expresiones correspondientes, y utilizando Solver obtenemos la cartera tangente T:
La descomposición del riesgo de la citada cartera es:
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Inversiones financieras: selección de car teras
b.1) En las carteras mixtas sabemos que se verifica:
E p = yET + (1 − y) rf = 20% = 0,213337y + 0, 05 (1 − y)
Al despejar obtenemos y = 0,918347. En consecuencia, la cartera mixta se
forma invirtiendo en la cartera arriesgada óptima el 91,8347 % del presupuesto de
inversión, y el 8,1653 % en el activo libre de riesgo. Además, el peso de la cartera
del inversor en cada activo arriesgado es wi = yxi, y en el activo libre de riesgo es
y′ = 8,1653. Por tanto, el vector total de proporciones de la cartera mixta es el
siguiente, siendo los seis primeros pesos los correspondientes a los activos arriesgados y el último al activo libre de riesgo:
Sabemos que el riesgo verifica:
2
2
2
σ 2p = y2σ T2 ; σ sp2 = y2σ sT
; σ up
= y2σ uT
En consecuencia, teniendo en cuenta que y = 0,918347, así como la descomposición del riesgo de la cartera T, expuesto anteriormente, para la cartera mixta
tenemos:
El grado de diversificación de la cartera mixta es:
dp =
328
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σ sp2
0, 00039387
=
= 49, 0083%
2
σ p 0, 00080368
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
b.2) También podemos responder a las cuestiones planteadas resolviendo el
problema de obtener la composición de una cartera eficiente con siete activos (seis
arriesgados y el libre de riesgo), de tal forma que su rendimiento esperado sea el
20 %. Recordando que para el activo libre de riesgo es s uf2 = 0, los riesgos específicos (varianzas) de los siete activos y del mercado, de acuerdo con los datos disponibles, son:
Por ello, una vez calculada la matriz de varianzas específicas Su, hemos de
resolver:
Minimizar 2p = X u Su X u
{xi ; i = 1, 2, , 7}
E p = X E = E *p = 20%
7
xi = 1; xi 0
1
Al utilizar Solver se obtiene:
5.3. COMPARACIÓN DEL MODELO DE MERCADO
CON EL MODELO DE MARKOWITZ
De acuerdo con lo expuesto, el modelo de mercado, a diferencia del de
Markowitz, permite distinguir explícitamente entre riesgo sistemático y riesgo
específico, tanto de los títulos como de las carteras. Además, tal y como hemos
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Inversiones financieras: selección de car teras
señalado, la matriz de varianzas específicas del modelo de mercado, Su, indica las
relaciones entre las perturbaciones aleatorias de los distintos activos, mientras
que, tal y como sabemos, la matriz S de varianzas-covarianzas del modelo de
Markowitz expresa las relaciones entre los rendimientos esperados de los activos.
En cuanto al número de estimaciones necesarias para cada modelo, son sensiblemente distintas, como pondremos de manifiesto a continuación. En efecto,
para generar carteras con n activos, en el modelo de Markowitz necesitamos los
elementos de las matrices E y S:
⎛
⎜
⎜
E=⎜
⎜
⎜
⎜⎝
⎛ σ 11 σ 12
E1 ⎞
⎜
⎟
E2 ⎟
⎜ σ 21 σ 22
⎟; S = ⎜ ⎜
⎟
⎟
⎜ ⎜⎝ σ n1 σ n2
En ⎟⎠
σ 1n ⎞
⎟
σ 2n ⎟
⎟
⎟
⎟
σ nn ⎟⎠
En consecuencia, tal y como hemos señalado en la lección 2, las estimaciones
n (n + 3)
necesarias en el modelo de Markowitz ascienden a
.
2
En el modelo de mercado podemos utilizar las matrices E y Su:
⎛ a1 + β1EM
⎜
⎜ a2 + β2 EM
E=⎜
⎜
⎜
⎜⎝ an + β n EM
2
⎛ σ u1
⎞
0
⎜
⎟
2
⎜ 0 σ u2
⎟
⎟ ; Su = ⎜ ⎜
⎟
0
⎜ 0
⎟
⎜ 0
⎟⎠
0
⎝
0
0
2
σ un
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟
⎟
⎟
0 ⎟
2 ⎟
σM
⎠
Por tanto, para el vector E es preciso estimar la rentabilidad del mercado y n
coeficientes ai, así como n coeficientes bi. Y para la matriz Su es preciso estimar
n riesgos específicos. En consecuencia, en el modelo de mercado el número de
estimaciones necesarias es 3n + 2.
De otra forma, en el modelo de mercado podemos utilizar las matrices E y
2
SM = {(sii; sij = bi bj s M
, i ≠ j)}:
⎛
⎜
⎜
E=⎜
⎜
⎜
⎜⎝
330
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⎛
σ 12
E1 ⎞
⎜
⎟
2
E2 ⎟
⎜ β2 β1σ M
2
⎟ ; SM = ⎜ β3β1σ M
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜ β βσ2
En ⎟⎠
⎝ n 1 M
2
β1β2σ M
2
β1β3σ M
σ 22
2
β2 β3σ M
2
β3β2σ M
2
β n β2σ M
σ 32
2
β n β3σ M
2
⎞
β1β nσ M
⎟
2
β2 β nσ M
⎟
2 ⎟
β3β nσ M
⎟
⎟
⎟
2
σn
⎠
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Por tanto, para el vector E es preciso estimar la rentabilidad del mercado y n
valores Ei. Y para la matriz SM es preciso estimar la varianza del mercado, así
como n coeficientes bi y n riesgos totales. En consecuencia, el número de estimaciones necesarias también es32 3n + 2.
EJEMPLO 5.18
Se dispone de la serie histórica correspondiente a las rentabilidades mensuales
durante 10 años de 100 activos y a un índice de mercado. Se pide:
a) Número de estimaciones necesarias para formar carteras según el modelo
de Markowitz.
b) Ídem según el modelo de mercado.
c) ¿Para qué número de activos el número de estimaciones es el mismo en
ambos modelos?
Resolución
a) Al sustituir en la expresión correspondiente, tenemos:
n (n + 3) 100 × 103
=
= 5.150
2
2
b) Para el modelo de mercado, se verifica:
3n + 2 = 302
c) El número de estimaciones será el mismo en ambos modelos si el número
de activos disponibles es 4:
n (n + 3)
= 3n + 2 ⇒ n2 + 3n − 4 = 0 ⇒ n = 4
2
32
Vemos que, con independencia de cómo se calcule la rentabilidad y el riesgo de una cartera, el
número de estimaciones en el modelo de mercado es el mismo, ya que, una vez estimados los valores
ai, bi, EM, obtenemos los valores de Ei; y una vez estimados sM2 , sui2 , obtenemos los correspondientes
a s i2, sij.
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Inversiones financieras: selección de car teras
EJEMPLO 5.19
De acuerdo con los datos que figuran en el archivo correspondiente, y suponiendo que no se admiten las ventas en descubierto, determinar:
a) Cartera de mínimo riesgo global de acuerdo con el modelo de Markowitz.
b) Ídem de acuerdo con el modelo de mercado.
c) Cartera eficiente sin ventas en descubierto, según cada modelo, con rendimiento esperado del 23 %.
d) Riesgo sistemático de la cartera anterior.
Resolución
Con la función PROMEDIO determinamos la rentabilidad media de cada
activo, y con la función DESVEST estimamos el riesgo, obteniéndose:
a) De acuerdo con lo expuesto en las lecciones anteriores, obtenemos la matriz S de varianzas-covarianzas del modelo de Markowitz:
Sabemos que, de acuerdo con el Modelo de Markowitz, la cartera de mínimo
riesgo global sin ventas en descubierto consta de un vector de proporciones xi ≥ 0
tal que:
Minimizar σ 2p = X ′SX
{xi ; i = 1, 2, , n}
n
∑ xi = 1; xi ≥ 0
i=1
332
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Implementamos en la hoja correspondiente las expresiones respectivas de la
rentabilidad y el riesgo de la cartera, y al utilizar Solver obtenemos para la cartera de mínimo riesgo global:
b) Los valores obtenidos anteriormente para la rentabilidad y el riesgo de
los activos también son los que utilizaremos en el modelo de mercado. Como necesitamos la matriz de varianzas específicas, Su, hemos de estimar los parámetros
ai y beta de cada activo, así como las varianzas específicas. De acuerdo con lo
expuesto anteriormente obtenemos:
Calculamos la matriz Su e implementamos las fórmulas correspondientes, a fin
de obtener la cartera de mínimo riesgo global, la cual, como sabemos, verifica:
Minimizar σ 2p = X u′ SX
{xi ; i = 1, 2, , n}
n
∑ xi = 1; xi ≥ 0
i=1
Realizando los cálculos con Solver, obtenemos:
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Inversiones financieras: selección de car teras
Podemos sintetizar en la siguiente tabla los resultados obtenidos en cada
modelo:
Como se observa, en este caso la composición de cada cartera es prácticamente la misma, con lo que la rentabilidad es coincidente, pero no así el riesgo.
c) Como sabemos, se trata de obtener la cartera de mínimo riesgo con rendimiento esperado del 23 %. Para ello se minimiza la varianza de cada cartera,
según el modelo, siendo los pesos no negativos y de suma la unidad. Utilizando
Solver se obtiene:
d) El riesgo sistemático sólo es posible hallarlo utilizando el modelo de mercado, verificándose, de acuerdo con lo expuesto:
2
σ sp2 = β 2pσ M
= 1,178429882 × 0, 00074027 = 0, 001028
EJEMPLO 5.20
De acuerdo con los datos del ejemplo anterior, y suponiendo que no se admiten las ventas en descubierto, para una cartera eficiente con rentabilidad esperada
del 20 % se pide:
a) Determinar la beta de cada activo de acuerdo con el modelo de mercado.
b) Ídem de acuerdo con el modelo de Markowitz.
334
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Resolución
En cualquiera de los dos modelos, la cartera indicada es de mínima varianza
total y rentabilidad esperada del 20 %, siendo positivos los pesos del vector de
proporciones y sumando los mismos la unidad.
De igual forma que en el ejemplo precedente, realizamos los cálculos y obtenemos:
Como puede observarse, las carteras eficientes pedidas no coinciden en ambos
modelos, si bien, como es lógico, la rentabilidad es del 20 % en ambos.
a) Sabemos que en el modelo de mercado, la beta de cualquier activo i es el
coeficiente de volatilidad del mismo con relación a la variable aleatoria que se
tome como representativa del mercado, obteniéndose como la pendiente o coeficiente de regresión lineal de la rentabilidad del activo i sobre la rentabilidad del
σ
mercado, verificándose: βi = iM
. Además, la beta de cualquier activo no depende
2
σM
de la proporción en que el mismo participe en una cartera, pues sólo depende de
la rentabilidad del mismo y de la rentabilidad del mercado. Por tanto, de acuerdo
con lo expuesto en ejemplos anteriores, las betas de los activos de este ejemplo, en
relación con la cartera de mercado, son:
b) De acuerdo con lo expuesto en la lección 3, en relación con el riesgo de
las carteras en el modelo de Markowitz, la contribución del título i al riesgo total
de la cartera en la que participa, por unidad de riesgo total y por unidad de proporción en la cartera, constituye el coeficiente beta del título i en la citada cartera.
Se obtiene por la misma expresión que en el modelo de mercado, si bien sustitu© Ediciones Pirámide
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yendo la rentabilidad del mercado por la rentabilidad de la cartera p en la que
participa dicho título:
βi =
σ ip
σ 2p
Además, según lo expuesto en la citada lección, el vector de betas verifica:
⎛
⎜
⎜
1
β= 2⎜
σp ⎜
⎜
⎜
⎝
σ 1p ⎞
⎟
σ2p ⎟
σ3p ⎟
⎟
⎟
σ np ⎟⎠
También sabemos que se cumple:
⎛
⎜
⎜
Qp = ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
σ 1p ⎞
⎟
σ2p ⎟
σ 3 p ⎟ = SX
⎟
⎟
σ np ⎟⎠
Por tanto, realizando los cálculos obtenemos el vector de betas según el modelo de Markowitz (betas con relación a la cartera p), o contribución proporcional
de cada título al riesgo de la cartera indicada:
En el modelo de mercado, el coeficiente beta de un activo indica la sensibilidad
de la rentabilidad del mismo con respecto a las variaciones en la rentabilidad del
mercado, obteniéndose como el coeficiente angular de la recta de regresión de la
rentabilidad del activo sobre la rentabilidad del mercado. En cambio, en el modelo de Markowitz, el coeficiente beta de un activo indica, por unidad de riesgo
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
total y por unidad de proporción en la cartera, la contribución de dicho título al
riesgo total de la cartera en la que participa. Por ello, en el modelo de Markowitz,
cada título tendrá un coeficiente beta distinto, en función de la proporción en la
que participe en la cartera con respecto a la cual se calcula. En cualquier caso, al
calcular el coeficiente beta de un activo es preciso señalar con respecto a qué cartera se realiza el cálculo.
5.4. EL MODELO CAPM
Hemos visto que al combinar un activo libre de riesgo con una cartera eficiente H con riesgo, las carteras mixtas33 se encuentran en una línea recta, denominada línea de asignación de activos o línea de asignación de capitales, de ecuación:
⎛ E − rf ⎞
E p = rf + ⎜ H
σ p . La inversión en cualquiera de estas carteras implica dis⎝ σ H ⎟⎠
tribuir el presupuesto entre el activo libre de riesgo y la cartera eficiente con riesgo H. Además, si todos los inversores pueden formar carteras con los mismos n
activos arriesgados, disponen de idéntica información sobre ellos y cuentan con
iguales expectativas en cuanto a la rentabilidad, riesgo y covarianzas de los mismos, todos tendrán el mismo conjunto de oportunidad e idéntica frontera eficiente, y por tanto elegirán la misma cartera arriesgada óptima T para combinar con
el activo libre de riesgo. En consecuencia, la determinación de la citada cartera
óptima o cartera tangente T es un problema técnico y no depende de las preferencias sobre rentabilidad y riesgo de los inversores: la cartera arriesgada óptima para
combinar con el activo libre de riesgo es la misma para todos los inversores. En
cambio, determinar la cartera mixta óptima sí depende de las preferencias de cada
inversor, pues unos preferirán invertir más en el activo sin riesgo (los inversores
de mayor aversión al riesgo), y otros más en la cartera arriesgada (los inversores
con menor aversión al riesgo). Lo expuesto conduce, tal y como hemos señalado,
al teorema de la separación: «La cartera óptima formada por activos con riesgo
no depende de la actitud frente al riesgo de los inversores individuales, sino que
es la misma para todos ellos».
Con las ideas recordadas se puede abordar el CAPM, en el que la cartera T es
sustituida por la cartera de mercado M, estableciendo dicho modelo una relación
entre la prima de riesgo (absoluta) de cualquier título, su beta, y la prima de riesgo del mercado34.
33
Recordemos que hemos definido una cartera mixta como la integrada por un activo libre de
riesgo y una cartera arriesgada eficiente.
34
El modelo de valoración de activos de capital o modelo CAPM (Capital Asset Pricing Model)
nació gracias a los trabajos de Sharpe (1964), Lintner (1965) y Mossin (1966). En general, el conjunto de hipótesis, así como las deducciones y conclusiones derivadas de las mismas (CML, SML,
CAPM, etc.), conforman la Teoría del mercado de capitales, siendo justo considerar la misma como
una consecuencia lógica del modelo de Markowitz.
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Inversiones financieras: selección de car teras
5.4.1. La línea del mercado de capitales
El modelo CAPM se basa en todas las hipótesis expuestas para el modelo de
Markowitz y, además, en las siguientes35:
1.
2.
3.
4.
Existe un activo libre de riesgo al que cualquier inversor puede prestar o
pedir prestado.
La tasa libre de riesgo es la misma para todos los inversores.
No existen restricciones para las ventas en descubierto.
La información está a disposición de todos los inversores, los cuales tienen expectativas homogéneas, es decir, tienen las mismas percepciones
con respecto a los rendimientos esperados, riesgos y covarianzas de los
rendimientos de los títulos.
En la situación descrita por todas las hipótesis anteriores, la cartera óptima T
de activos con riesgo en la que todos los inversores invierten para formar sus carteras mixtas, se convierte en la cartera de mercado, simbolizada por M. Dicha
cartera está integrada por todos los n títulos con riesgo del mercado36. Cada título estará en M en idéntica proporción a como está en el mercado según su capitalización bursátil. Así, denominando Ci a la cotización de cada uno de los Ni
títulos de la clase i que existen en el mercado, la proporción de los citados títulos
en la cartera M es:
xi =
Ci Ni
n
∑ Ci Ni
i=i
En la situación descrita, se dice que el mercado financiero está en equilibrio, lo
que significa37:
1.
2.
El tipo de interés libre de riesgo es único, determinándose el valor a través
del juego de la oferta y la demanda, de forma que la cuantía de dinero
prestado y tomado a préstamo se igualan.
Todos los títulos con riesgo tienen una demanda igual a su oferta, por lo
que el exceso de demanda es cero y todos los títulos pertenecerán a algún
inversor. El ajuste entre la oferta y la demanda se realiza a través de la
variación de precios.
35
Alexander G. J. et al. (2003: 191).
En realidad no existe la cartera de mercado, por lo que se sustituye por la integrada por los
activos de un índice bursátil que sea representativo del mercado.
37
Alexander, G. J. et al. (2003: 193).
36
338
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
En consecuencia a lo expuesto, en equilibrio, tal y como hemos señalado, M
consta de todos los títulos con riesgo del mercado y en la misma proporción en
que cada activo está en el mismo38.
En la situación descrita, o sea, sustituyendo la cartera óptima de activos con
riesgo T por la cartera de activos con riesgo M (cartera de mercado), la denominada línea de asignación de activos o línea de asignación de capitales, en la que
se encuentran las carteras mixtas, se convierte en la línea del mercado de capitales
(Capital Market Line o CML), cuya ecuación es:
⎛ E − rf ⎞
E p = rf + ⎜ M
σp
⎝ σ M ⎟⎠
Gráficamente:
E
CML
M
rf
s
Figura 5.1
En síntesis, en la situación de equilibrio, todos los inversores distribuyen su
presupuesto de inversión entre la cartera de mercado M y el activo libre de riesgo,
de tal forma que quienes deseen un mayor rendimiento que el ofrecido por el mercado deberán pedir prestado al tipo libre de riesgo para situarse a la derecha de
M. En cambio, quienes deseen soportar un menor riesgo que el de M deberán
prestar al tipo libre de riesgo, situándose en un punto anterior a M.
38
La ponderación de cualquier título en la cartera M no puede ser negativa, pues si existiese
algún título con ponderación negativa (venta en descubierto del mismo), debido a la hipótesis de
expectativas homogéneas, todos los inversores desearían tomar una posición corta en el mismo, con
lo cual no existirían inversores a los que se les pudiera vender dicho título.
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Inversiones financieras: selección de car teras
De acuerdo con lo expuesto, la ecuación de la línea del mercado de capitales
la verifican todas las carteras eficientes integradas por un activo libre de riesgo y
la cartera arriesgada M. Además, dichas carteras sólo tienen riesgo sistemático o
de mercado, siendo nulo su riesgo específico. En efecto, recordemos, tal y como
expusimos en la lección anterior, que la rentabilidad de cualquier cartera mixta p
formada al invertir en el activo libre de riesgo y en la cartera de mercado, verifica:
rp = yrM + (1 − y) rf
En consecuencia:
2
σ 2p = y2σ M
⇒ σ p = yσ M
Tenemos que ysM = ssp es el riesgo de mercado de la cartera p, que vemos
coincide con su riesgo total, por lo que su riesgo específico es nulo: sup = 0. En
consecuencia, todas las carteras situadas en la CML son carteras eficientes con
riesgo específico nulo, por lo que están bien diversificadas39. Por ello, la CML
establece una relación entre la rentabilidad de una cartera eficiente y su riesgo
sistemático, y al ser nulo el riesgo específico se pone de manifiesto que el mercado
sólo remunera el riesgo sistemático, pero no el específico.
De igual forma a lo señalado en las carteras mixtas, en la ecuación de la CML
la rentabilidad consta de dos sumandos:
La ordenada en el origen, rf , es la recompensa por esperar, es decir, por no
consumir ahora sino más tarde. Se denomina precio del tiempo o precio del consumo inmediato.
E − rf
El coeficiente angular o pendiente, M
= ZM , constituye la prima relatiσM
va de riesgo del mercado, o precio del riesgo o ratio de recompensa por volatilidad40. Es la recompensa por unidad de riesgo sistemático41. También se denomina
precio de mercado del riesgo o precio de equilibrio del riesgo. Por tanto, la ecuación
de la CML, en función de ZM, es:
E p = rf + ZT σ p
39
Las carteras bien diversificadas son aquellas en las que su riesgo no sistemático es insignificante. Además, recordemos que el grado de diversificación de una cartera viene dado por el cociente
entre su riesgo sistemático y su riesgo total. Por ello, como el riesgo de mercado de las carteras situadas en la CML coincide con su riesgo total, el grado de diversificación de tales carteras es el 100 %.
Lo anterior justifica que también al riesgo específico de un título se le denomine riesgo diversificable.
40
Recordemos que también se denomina Índice de Sharpe.
41
Desde otro punto de vista, es el precio, en unidades de rentabilidad esperada, por disminuir
una unidad de riesgo. En general, ZM representa el número de unidades en que varía la rentabilidad
esperada al modificarse en una unidad el riesgo.
340
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De acuerdo con lo expuesto, cualquier cartera eficiente proporciona una rentabilidad que se compone de dos sumandos:
E p = Precio del tiempo + (Precio del riesgo) (Número de unidades de riesgo que estemos dispuestos a asumir)
EJEMPLO 5.21
Para las carteras que verifican la CML, se pide:
a) Demostrar que su rentabilidad está perfecta y positivamente correlacionada con la rentabilidad de la cartera de mercado.
b) Calcular el coeficiente beta.
Resolución
a) Como consecuencia de ser nulo el riesgo específico de cualquier cartera
situada en la CML, su rentabilidad está perfecta y positivamente correlacionada
con la rentabilidad de la cartera de mercado. No obstante, también podemos demostrarlo analíticamente calculando el coeficiente de correlación lineal. En efecσ pM
. Teniendo en cuenta la
to, sabemos que dicho coeficiente verifica: ρ pM =
σ pσ M
expresión de la rentabilidad y las propiedades de la covarianza, se verifica:
σ pM = cov (rp , rM ) = cov ⎡⎣ yrM + (1 − y) rf , rM ⎤⎦ =
2
= cov ( yrM , rM ) + cov ⎡⎣(1 − y) rf , rM ⎤⎦ = yσ M
Por tanto, sabiendo que sp = ysM, tenemos42:
ρ pM =
2
σ pM
yσ M
=
=1
σ pσ M
yσ M σ M
42
Si en lugar de considerar la cartera de mercado considerásemos una cartera arriesgada cualquiera, se llega a la misma conclusión: una cartera completa, formada invirtiendo en el activo libre
de riesgo y en una cartera arriesgada, está perfecta y positivamente correlacionada con la citada
cartera arriesgada.
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Inversiones financieras: selección de car teras
b) En cuanto al coeficiente beta de la cartera p, su valor coincide con el tanto unitario que del presupuesto total se invierte en la cartera de mercado, pues se
verifica:
βp =
2
σ pM
yσ M
=
=y
2
2
σM
σM
EJEMPLO 5.22
Supongamos que en un mercado sólo se cotizan tres activos con riesgo, de los
que se conoce su matriz de varianzas-covarianzas y el vector de rendimientos esperados:
⎛ 0, 0025 0, 0022 0, 0010 ⎞
⎛ 15%
⎟
⎜
S = ⎜ 0, 0022 0, 0049 0, 0024 ⎟ ; E = ⎜ 20%
⎜
⎜⎝ 0, 0010 0, 0024 0, 0169 ⎟⎠
⎝ 24%
⎞
⎟
⎟
⎠
Además, el activo libre de riesgo al que cualquier inversor puede prestar o
endeudarse tiene un rendimiento del 8 %. En condiciones de equilibrio, se pide:
a) Composición porcentual de la cartera de mercado.
b) Ecuación de la CML.
c) Una cartera completa con rentabilidad esperada del 24 % y riesgo del
10 %, ¿es eficiente?
d) Riesgo de una cartera eficiente con rentabilidad esperada del 18 %.
Resolución
a) De acuerdo con lo expuesto, la cartera M de mercado ha de ser la cartera
eficiente de máxima pendiente y con pesos no negativos. Por tanto, su composición verifica:
Maximizar ZM =
EM − rf
σM
n
∑ xi = 1; xi ≥ 0
1
Teniendo en cuenta las expresiones matriciales correspondientes, podemos
determinar la rentabilidad y el riesgo de M. Al utilizar Solver podemos determinar su composición, obteniéndose:
342
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
b) La ecuación de la línea de mercado de capitales es:
E p = rf + ZT σ p = 8% + 1,942458σ p
c) De acuerdo con la ecuación anterior, una cartera con riesgo del 10 % debe
tener una rentabilidad del 27,4246 %:
E p = 8% + 1,942458 × 0,10 = 27, 4246%
Como la cartera dada tiene una rentabilidad del 24 %, se trata de una cartera
no eficiente, ya que a su nivel de riesgo corresponde un rendimiento esperado,
según la CML, del 27,4246 %. A idéntica conclusión llegamos al calcular la prima
relativa de riesgo o índice de Sharpe de la cartera:
Zp =
E p − rf
24% − 8%
=
= 1,6
σp
10%
Vemos que al ser Zp < ZM = 1,942858, la cartera p remunera el riesgo peor que
cualquier cartera eficiente, por lo que p es una cartera ineficiente.
d) A una cartera con rentabilidad esperada del 18 % le corresponde un riesgo
del 5,1481 %:
E p = 8% + 1,942458σ p = 18% ⇒ σ p = 5,1481%
EJEMPLO 5.23
Con los datos del ejemplo anterior, se pide:
a) Coeficiente beta de cada uno de los tres títulos.
b) Demostrar que existe una relación lineal entre las rentabilidades esperadas de los activos y sus betas.
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Inversiones financieras: selección de car teras
c)
Calcular el riesgo sistemático y el riesgo específico de una cartera eficiente con riesgo del 9 %.
Resolución
a) Hemos de calcular el coeficiente beta de cada título con respecto a la cartera M, verificándose:
βi =
σ iM
2
σM
⎛
⎜
1 ⎜
; β= 2 ⎜
σM ⎜
⎜
⎜⎝
σ 1M
σ 2M
σ 3M
σ nM
⎞
⎛ σ 1M
⎟
⎜
⎟
⎜ σ 2M
⎟ ; QM = ⎜ σ 3M
⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟⎠
⎜⎝ σ nM
⎞
⎟
⎟
⎟ = SX
⎟
⎟
⎟⎠
Implementando las expresiones anteriores en la hoja de cálculo, obtenemos:
Podemos calcular la beta de la cartera de mercado, de acuerdo con la expresión ya conocida, βM =
n
∑ xi βi , obteniendo, como es lógico, el valor 1.
1
b) Supongamos que la relación lineal entre las rentabilidades esperadas y las
betas es la siguiente:
Ei = a + kβi
Al sustituir para los títulos 1 y 2, se verifica:
0,15 = a + 0,62817958k
0,20 = a + 1, 07687549k
Al resolver obtenemos:
a = 0, 07999941
k = 0,11143404
344
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Podemos comprobar que dicha relación también se cumple para el tercer activo. En consecuencia, la relación lineal pedida es:
Ei = 0, 07999941 + 0,11143404βi
Teniendo en cuenta que la rentabilidad del activo libre de riesgo es del 8 %, y
que la rentabilidad de la cartera de mercado, calculada anteriormente, es el
19,1434 %, la relación anterior es:
(
)
Ei = rf + EM − rf βi
En situaciones de equilibrio del mercado, la ecuación citada se verifica para
cualquier activo o cartera, denominándose línea del mercado de títulos, o SML,
como veremos en el apartado siguiente.
c) Sabemos que cualquier cartera eficiente p verifica la ecuación de la CML,
por lo que si su riesgo es del 9 %, tenemos:
σ p = yσ M
0, 09 = 0, 057367y
En consecuencia, al despejar obtenemos y = 1,56884620, por lo que la cartera
p se forma invirtiendo en la cartera de mercado el 156,884620 % del presupuesto
de inversión (recursos propios), y pidiendo un préstamo, al tipo libre de riesgo del
8 %, por importe del 56,884620 % del citado presupuesto. Por tanto, el peso de
cada activo i en la cartera de mercado es wi = yxi, i = 1, 2, 3, siendo la composición completa de la cartera p:
w1 = 1,56884620 × 32, 4701% = 50,9406%
w2 = 1,56884620 × 48,3583% = 75,8667%
w3 = 1,56884620 × 19,1717% = 30, 0773%
w4 = 1 − y = 1 − 1,56884620 = −56,884620%
De acuerdo con la ecuación de la CML, la rentabilidad de la cartera es:
E p = rf + ZT σ p = 8% + 1,942458 × 0, 09 = 25, 4821%
Recordando que la rentabilidad de la cartera de mercado es el 19,1434 %, también podemos obtener la rentabilidad de la cartera p sustituyendo en la ecuación:
E p = yEM + (1 − y) rf = 1,56884620 × 0,191434 − 0,56884620 × 0, 08 = 25, 4823%
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Inversiones financieras: selección de car teras
Asimismo, como la cartera p es eficiente con riesgo del 9 %, podemos obtener
su composición invirtiendo en los cuatro activos (los tres de la cartera M en los
que los pesos han de ser no negativos, y el libre de riesgo), de tal forma que se
verifique43:
Maximizar E p
{wi ; i = 1, 2, 3, 4}
σ p = 9%;
4
∑ wi = 1
i=1
{wi ≥ 0; i = 1, 2, 3}
Utilizando Solver obtenemos44:
Para determinar el riesgo específico de la cartera p es preciso calcular su beta.
Se verifica45:
p =
4
wi i = 50,9406% 0,62817958 + 75,8667% 1, 07687549 +
1
+ 30, 0773% 1, 43581997 56,884620% 0 = 1,568844
Teniendo en cuenta que el riesgo de la cartera de mercado es el 5,7367 %, el
riesgo sistemático de la cartera eficiente p es:
σ p = β pσ M = 1,568844 × 5,7367% = 9%
43
Téngase en cuenta que la matriz de varianzas-covarianzas es la correspondiente a la de los tres
activos arriesgados, con una cuarta fila y cuarta columna con valor cero, pues el activo libre de riesgo tiene varianza nula.
44
Las pequeñas diferencias con respecto a los resultados anteriores son debidas a los distintos
redondeos efectuados.
45
Obtenemos, tal y como hemos demostrado anteriormente: bp = y.
346
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Por tanto, comprobamos cómo al ser p una cartera eficiente, su riesgo sistemático coincide con su riesgo total, siendo, en consecuencia, nulo el riesgo específico, tal y como hemos señalado anteriormente.
EJEMPLO 5.24
De acuerdo con las expresiones deducidas para las carteras mixtas en el modelo de mercado, demostrar que las carteras situadas en la CML carecen de riesgo específico.
Resolución
Cuando analizamos las carteras mixtas en el modelo de mercado, llegamos a
las siguientes expresiones:
a p = yaT ; β p = yβT
2
2
2
σ 2p = y2σ T2 ; σ sp2 = y2σ sT
; σ up
= y2σ uT
Como para las carteras situadas en la CML, la cartera tangente T es la cartera de mercado M, la cual sólo tiene riesgo sistemático, se verifica:
2
2
2
β p = yβM = y; σ 2p = y2σ M
= σ sp2 = y2σ sM
⇒ σ up
= σ 2p − σ sp2 = 0
EJEMPLO 5.25
De acuerdo con los datos de los ejemplos anteriores, así como con los resultados obtenidos relativos a rentabilidad y riesgo de la cartera de mercado y betas
de los activos, se pide:
a) Una cartera con rentabilidad esperada del 17 % y riesgo del 6 %, ¿es eficiente?
b) Calcular el riesgo sistemático y el riesgo específico de la cartera anterior.
Resolución
a) Hemos visto que la ecuación de la línea de mercado de capitales es:
E p = rf + ZT σ p = 8% + 1,942458σ p
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Inversiones financieras: selección de car teras
Por tanto, de acuerdo con la ecuación anterior, una cartera con riesgo del 6 %
debe tener una rentabilidad del 19,6547 %:
E p = 8% + 1,942458 × 0, 06 = 19,6547%
Como la cartera dada tiene una rentabilidad del 17 %, se trata de una cartera
no eficiente, ya que a su nivel de riesgo corresponde un rendimiento esperado,
según la CML, del 19,6547 %.
b) La cartera ineficiente anterior se ha formado invirtiendo en los tres activos arriesgados y en el activo libre de riesgo, tal que46:
E p = 17%; σ p = 6%
{wi ; i = 1, 2, 3, 4}
4
{wi ≥ 0; i = 1, 2, 3} ; ∑ wi = 1
i=1
Utilizando Solver obtenemos:
4
La beta de la cartera se ha obtenido de acuerdo con la expresión β p = ∑ wi βi ,
1
teniendo en cuenta que la beta del activo libre de riesgo es cero.
Sabemos que la varianza de la cartera de mercado vale 0,00329102, por lo que
el riesgo sistemático (varianza) de la cartera p anterior es:
2
σ sp2 = β 2pσ M
= 0,807659052 × 0, 00329102 = 0, 00214676
Teniendo en cuenta que el riesgo total (varianza) de p es 0,0036, su riesgo específico es:
2
σ up
= σ 2p − σ sp2 = 0, 0036 − 0, 00214676 = 0, 00145324 ≠ 0
46
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Seguimos considerando que no se admiten las ventas en descubierto en los activos arriesgados.
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Tenemos, pues, que al tratarse de una cartera no eficiente, su riesgo específico
no es nulo, por lo que se trata de una cartera no bien diversificada, cuyo grado de
diversificación es el 59,63 %.
5.4.2. La línea del mercado de títulos
Sabemos que todo punto de la CML es una combinación de la cartera de
mercado M y del título libre de riesgo con rentabilidad rf. Además, la ecuación de
la línea del mercado de capitales expresa la relación entre la rentabilidad de las
carteras eficientes y su riesgo sistemático, por lo que, en equilibrio, todos los inversores escogerán un punto situado en dicha línea.
Observemos que exclusivamente las carteras eficientes están en la CML, mientras que las restantes, así como los títulos aislados, se sitúan por debajo de ella47.
En consecuencia, podemos preguntarnos si existe alguna relación similar a la de
la CML que verifiquen las carteras no eficientes o los títulos individuales. Para
responder a esta cuestión, supongamos que se forma una cartera p, de tal manera
que sea a el tanto unitario del presupuesto a invertir en un activo cualquiera i, y
(1 − a) el correspondiente tanto unitario a invertir en la cartera de mercado48. La
rentabilidad de p verifica:
rp = ari + (1 − a) rM
La rentabilidad esperada de la combinación anterior y el riesgo correspondiente son:
E p = aEi + (1 − a) EM
2
σ 2p = a 2σ i2 + (1 − a) σ M
+ 2a (1 − a)σ iM
2
Al ir modificando el valor de a se obtienen distintas carteras que están todas
en la curva iMj. Cuando todos los recursos se inviertan en el activo i es a = 1.
Cuando sea a = 0, la cartera p está formada exclusivamente por la cartera M de
mercado. Cuando a sea negativo, la cartera p es un punto j. En cualquier caso,
47
Por encima de la CML no pueden existir ni carteras ni títulos, pues en caso contrario implicaría la existencia de una cartera o un título que, a igual riesgo que una cartera situada en la CML,
tiene mayor rentabilidad, lo cual es absurdo, pues estamos señalando que en la CML están todas las
posibles combinaciones eficientes.
48
El título i puede ser cualquier título con riesgo menor o mayor que el de M. Además, la inversión sólo en i es ineficiente, pues para su nivel de riesgo existe una cartera situada en la CML que
proporciona mayor rentabilidad que la de i.
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Inversiones financieras: selección de car teras
como la cartera de mercado incluye a todos los títulos del mismo, también incluye al título i.
La curva iMj es tangente a la CML en el punto M, pues incluye dicho punto,
representativo de la cartera de mercado, común tanto a la CML como a la curva
de carteras eficientes y a la citada curva iMj. Gráficamente:
CML
E
M
j
i
rf
s
Figura 5.2
Si la curva iMj no fuese tangente en M a la CML, se podría dar alguna de las
situaciones de los gráficos siguientes:
CML
E
q*
rf
M
q
j
i
s
Figura 5.3
350
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
CML
E
z*
z
M
rf
j
i
s
Figura 5.4
Si fuese posible cualquiera de las dos situaciones anteriores, existiría una cartera situada encima de la CML que sería eficiente, pues tendría, a igual riesgo,
mayor rendimiento que una situada en la CML, y eso es imposible, pues en la
CML están todas las carteras eficientes. Por tanto, la única situación posible es
que la curva iMj tenga en M la misma pendiente que la CML, por lo que dicha
curva es tangente en M a la CML.
La pendiente de la curva iMj en el punto M se obtiene al hacer a = 0 en la
derivada de la rentabilidad de la cartera p con respecto a su riesgo. Como ha de
EM − rf
= ZM .
coincidir con la de la recta CM, verifica:
σM
Para obtener dicha derivada vamos a calcular primero la derivada de la rentabilidad con respecto a a, y después la derivada del riesgo, verificándose:
dE p
dE p
= da
dσ p
dσ p
da
De la expresión de la rentabilidad deducimos:
dE p
= E i −EM
da
De la expresión del riesgo, al derivar, se deduce:
2dσ p
2
σ p = 2aσ i2 + 2 (−1)(1 − a)σ M
+ 2σ iM − 4aσ iM
da
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Inversiones financieras: selección de car teras
Al simplificar y despejar tenemos:
2
dσ p aσ i2 − (1 − a)σ M
+ (1 − 2a)σ iM
=
da
σp
En consecuencia:
dE p
dE p
E i −EM
= da =
=
2
dσ p
aσ i2 − (1 − a)σ M
+ (1 − 2a)σ iM
dσ p
da
σp
=
(E i −EM ) σ p
2
aσ i2 − (1 − a)σ M
+ (1 − 2a)σ iM
Para a = 0, la cartera p coincide con la M, por lo que se verifica:
E p = EM ; σ p = σ M
Sustituyendo y haciendo a = 0, obtenemos la pendiente de la curva iMj:
dE p
dσ p
a=0
(E i −EM ) σ M
=
2
σ iM − σ M
Al igualar la expresión anterior con la de la pendiente de la CML, tenemos:
(E i −EM ) σ M
σ iM − σ
=
2
M
EM − rf
σM
Al realizar operaciones y simplificar obtenemos:
Ei = rf +
352
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(E
M
)
− rf σ iM
σ
2
M
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Teniendo en cuenta la beta de i, queda49:
(
)
Ei = rf + EM − rf βi
La expresión anterior constituye la ecuación de la línea del mercado de títulos
(Security Market Line o SML) y es la ecuación del modelo de valoración de activos de capital (Capital Asset Pricing Model o CAPM).
Para un activo cualquiera, la ecuación de la SML proporciona, en situación
de equilibrio del mercado, el tipo de rendimiento esperado del mismo, ajustado a
su nivel de riesgo.
La ecuación de la SML pone de manifiesto que la prima absoluta de riesgo de
cualquier título es b veces la prima de riesgo del mercado, y si éste está en situación de equilibrio la verifican todos los títulos del mismo:
δ i = Ei − rf ; δ M = EM − rf
δ i = δ M βi
Observemos que la ecuación de la SML es lineal con respecto al coeficiente
beta, y gráficamente se trata de una recta que pasa por los puntos (0, rf) y (1, EM):
Ei
EM
M
rf
1
bi
Figura 5.5
49
La deducción de la SML puede consultarse también, por ejemplo, en: Sharpe, W. F. (1974:
181); Francis, J. C. y Archer, S. H. (1977: 153); Gordon, J. A y Sharpe, W. F. (1989: 181). Además, en
el texto de Francis y Archer se ofrecen varias demostraciones alternativas.
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Inversiones financieras: selección de car teras
EJEMPLO 5.26
Si el tipo de interés libre de riesgo es del 4 %, y el rendimiento esperado de la
cartera de mercado es del 12 % anual, determinar el rendimiento esperado, según
el CAPM, para un activo cuya beta vale 0,75.
Resolución
La SML para dicho activo es: Ei = rf + (EM − rf) bi = 0,04 + 0,08bi. Al sustituir
se obtiene que la rentabilidad esperada es el 10 %.
EJEMPLO 5.27
La acción i tiene una beta de 0,5 y los inversores esperan de la misma una
rentabilidad anual del 7 %. La acción j tiene una beta de 1,5 y los inversores esperan de la misma una rentabilidad del 15 % anual. Si el mercado está en equilibrio,
se pide:
a) Rentabilidad esperada del mercado y su prima de riesgo.
b) Ecuación de la SML.
Resolución
a) De acuerdo con los datos y la ecuación del CAPM planteamos el siguiente sistema de ecuaciones:
0, 07 = rf + 0,5δ M ⎫⎪
⎬ ⇒ δ M = 8%; rf = 3%; EM = 11%
0,15 = rf + 1,5δ M ⎭⎪
b) Se verifica:
(
)
Ei = rf + EM − rf βi = 0, 03 + 0, 08βi
EJEMPLO 5.28
De dos activos cuyas rentabilidades esperadas verifican la ecuación del CAPM,
se conocen los siguientes datos:
E1 = 13,68%; σ 1 = 12%; ρ1M = 0,8
E2 = 14,64%; σ 1 = 18%; ρ1M = 0,6
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Si el mercado tiene un riesgo del 10 %, se pide:
a) Riesgo específico de cada activo.
b) Rentabilidad esperada del mercado.
c) Rentabilidad del activo libre de riesgo.
Resolución
a) Sabemos que el riesgo específico (varianza) de un título se obtiene por
diferencia entre el riesgo total y el riesgo sistemático. Además, para determinar el
riesgo sistemático es preciso conocer la beta de cada activo.
Teniendo en cuenta la expresión de la beta y la del coeficiente de correlación
lineal, se verifica:
βi =
β1 =
σ iM
σ
ρ σ
; ρiM = iM ⇒ βi = iM i
2
σM
σ iσ M
σM
0,8 × 0,12
0,6 × 0,18
= 0,96; β2 =
= 1, 08
0,10
0,10
En consecuencia, para el riesgo específico se tiene:
2
σ ui2 = σ i2 − βi2σ M
2
σ u1
= 0,122 − (0,96 × 0,10) = 0, 005184
2
2
σ u2
= 0,182 − (1, 08 × 0,10) = 0, 020736
2
b y c) Como se verifica el CAPM podemos formar el siguiente sistema de
ecuaciones:
(
(
)
)
13,68% = rf + EM − rf 0,96⎫
⎪
⎬ ⇒ rf = 6%; EM = 14%
14,64% = rf + EM − rf 1, 08 ⎪⎭
EJEMPLO 5.29
Demostrar que la SML se verifica para cualquier cartera.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Resolución
Supongamos una cartera p integrada por n activos. Para un activo cualquiera
se verifica la SML:
(
)
Ei = rf + EM − rf βi
Multiplicamos por xi (peso del título i en la cartera p) los dos miembros de la
ecuación anterior, obteniendo:
(
)
Ei xi = rf xi + EM − rf βi xi
Al sumar llegamos a:
∑ Ei xi = ∑ rf xi + ∑ (EM − rf ) βi xi
n
n
n
i=1
i=1
i=1
Teniendo en cuenta que
tenemos:
n
n
n
n
i=1
i=1
i=1
i=1
∑ Ei xi = E p , ∑ rf xi = rf ∑ xi = rf , β p = ∑ βi xi , ob-
(
)
E p = rf + EM − rf β p
En consecuencia, en situación de equilibrio del mercado, la SML también la
verifica cualquier cartera, independiente de que sea eficiente o no.
EJEMPLO 5.30
De acuerdo con los datos que figuran en el archivo correspondiente, referidos
a seis activos y al mercado, y en la hipótesis de que la rentabilidad del activo libre
de riesgo sea el 6 %, se pide:
a) ¿Existen más títulos en el mercado, o puede suponerse que sólo lo forman
los seis títulos citados?
b) Si la rentabilidad del primer activo verifica la ecuación del CAPM, ¿cuál
es su beta?
Resolución
a) Sabemos que la cartera de mercado es la cartera eficiente de máxima pendiente y con pesos no negativos. Por tanto, su composición verifica:
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Maximizar ZM =
EM − rf
σM
n
∑ xi = 1; xi ≥ 0
1
Si únicamente integran la cartera de mercado los seis activos arriesgados citados, podemos determinar con los mismos la composición, la rentabilidad y el
riesgo de la citada cartera. Teniendo en cuenta las expresiones matriciales correspondientes, al utilizar Solver obtenemos:
Por tanto, si únicamente formasen parte de la cartera de mercado los activos
citados, la rentabilidad esperada sería del 21,7874 %, con un riesgo del 12,9126 %.
Sin embargo, los datos disponibles indican que el mercado tiene una rentabilidad
esperada del 30 %, con un riesgo del 25 %. En consecuencia, la cartera de mercado
no es la formada por los seis activos citados, sino que existen otros activos que
también forman parte de la misma.
b) Los datos disponibles son:
E1 = 32,1751%; EM = 30%; rf = 6%
Si, tal y como se indica en el enunciado, se verifica el CAPM, tenemos:
(
)
E1 = rf + EM − rf β1
32,1751% = 6% + (30% − 6%) β1 ⇒ β1 = 1, 0906
EJEMPLO 5.31
Demostrar que las carteras situadas en la CML también verifican la SML.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Resolución
En un ejemplo anterior hemos demostrado que cualquier cartera verifica también la ecuación de la SML, por lo que las carteras situadas en la CML también
verificarán la SML. No obstante, veamos otra forma de efectuar la demostración.
Sabemos que una cartera p que verifique la CML tiene una rentabilidad esperada según la expresión:
⎛ E − rf ⎞
σp
E p = rf + ⎜ M
⎝ σ M ⎟⎠
Sabemos que el coeficiente de correlación lineal entre la rentabilidad de la
cartera p y la del mercado es la unidad, por lo que se verifica:
ρ pM =
σ pM
= 1 ⇒ σ pM = σ pσ M
σ pσ M
Teniendo en cuenta que la beta de la cartera p, con respecto al mercado, es
σ
, al sustituir en la ecuación de la CML se llega a la expresión de
β pM = β p = pM
2
σM
la SML (o CAPM) aplicada a una cartera p:
(
)
E p = rf + EM − rf β p
EJEMPLO 5.32
Un inversor dispone de 90.000 € para invertir en la cartera de mercado. Pide
un préstamo de cuantía A € para invertir también en dicha cartera. En la hipótesis de que se verifique el CAPM, la beta de la cartera mixta así formada vale 1,45.
Determinar la cuantía A.
Resolución
De acuerdo con la ecuación del CAPM, la cartera p del inversor, integrada por
su inversión en la cartera de mercado y por el préstamo solicitado, verifica:
(
)
E p = rf + EM − rf 1, 45
358
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
El peso de los recursos totales invertidos en la cartera de mercado, sobre los
recursos propios, es:
y=
90.000 + A
A
= 1+
90.000
90.000
Como el peso en el activo libre de riesgo es 1 − y, la rentabilidad esperada de
su cartera es:
(
E p = yEM + (1 − y) rf = rf + y EM − rf
)
Al igualar las dos expresiones de la rentabilidad, se obtiene: y = 1,45. En consecuencia:
y = 1+
A
= 1, 45 ⇒ A = 40.500 €
90.000
EJEMPLO 5.33
En un determinado mercado de capitales cotizan únicamente los títulos cuyos
datos de rentabilidad, riesgo y covarianzas se indican en el archivo correspondiente. En la hipótesis de una situación de equilibrio, el índice de Sharpe de la cartera
de mercado vale 2,330737. Se pide:
a) Composición, rentabilidad y riesgo de la cartera de mercado.
b) Valores de ai y de bi del modelo de mercado para los títulos con riesgo.
Resolución
a) Es preciso calcular la rentabilidad del activo libre de riesgo para poder
determinar los valores pedidos correspondientes a la cartera de mercado. Podemos utilizar Solver, sabiendo que se verifica:
Maximizar ZM =
n
∑ xi = 1; xi ≥ 0; rf
EM − rf
σM
≥ 0; ZM = 2,330737
1
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Inversiones financieras: selección de car teras
Las incógnitas son los valores del vector de proporciones y el valor de la rentabilidad del activo libre de riesgo. Al resolver obtenemos rf = 6,9722 %, y:
b) Sabemos que, según el modelo de mercado, la rentabilidad esperada de
cualquier activo verifica: Ei = ai + bi EM. Teniendo en cuenta que al estar el mercado en equilibrio todos los títulos verifican la ecuación de la SML, podemos
calcular el coeficiente beta de cada título mediante la expresión:
Ei − rf
= βi
EM − rf
Al sustituir los valores conocidos queda:
β1 =
22% − 6,9722%
= 1, 0491
21,2970% − 6,9722%
β2 =
18% − 6,9722%
= 0,7698
21,2970% − 6,9722%
β1 =
25% − 6,9722%
= 1,2585
21,2970% − 6,9722%
β1 =
20% − 6,9722%
= 0,9095
21,2970% − 6,9722%
Sustituyendo en la ecuación de la rentabilidad del modelo de mercado obtenemos los valores de ai:
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
En general, si desarrollamos la ecuación de la SML obtenemos:
(
)
Ei = rf + EM − rf βi = rf (1 − βi ) + EM βi
Al comparar la ecuación anterior con la de la rentabilidad según el modelo de
mercado, obtenemos el valor teórico del coeficiente ai:
ai = rf (1 − βi )
Por tanto, para expresar el modelo de mercado en situación de equilibrio debe
ser cierta la expresión anterior.
EJEMPLO 5.34
De acuerdo con los datos de rentabilidad y riesgo del ejemplo anterior, y para
un activo libre de riesgo con rentabilidad del 5 %, se pide:
a) Rentabilidad y riesgo de dos carteras A y B, formadas invirtiendo el 75 %
y el 80 %, respectivamente, en la cartera de mercado, y el resto en el activo
libre de riesgo.
b) Coeficiente beta de cada una de las carteras anteriores.
c) Rentabilidad y riesgo de una cartera C formada invirtiendo en la cartera
A y en la B de tal forma que, en el activo libre de riesgo, la inversión total
sea del 22 %.
d) Coeficiente beta de la cartera anterior.
e) Índice de Sharpe de la cartera C.
Resolución
a) Hemos de calcular la rentabilidad y el riesgo de la cartera de mercado
para un tipo de interés libre de riesgo del 5 %. De igual forma a lo realizado en
ejemplos anteriores, obtenemos para la cartera de mercado:
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Inversiones financieras: selección de car teras
Las carteras A y B son carteras mixtas para las que sabemos que se verifica:
rp = yrM + (1 − y) rf
E p = yEM + (1 − y) rf
σ p = yσ M
Al sustituir obtenemos:
EA = 75% × 20,8251% + 25% × 5% = 16,8688%; σ A = 75% × 5,9411% = 4, 4558%
EB = 80% × 20,8251% + 20% × 5% = 17,6601%; σ B = 80% × 5,9414% = 4,7531%
b) Sabemos que la beta de cualquier cartera es la media ponderada de las
betas de los títulos que la integran. Por tanto:
A = 0,75M + 0,25 f = 0,75
B = 0,80 M + 0,2075 f = 0,80
c) Si en el activo libre de riesgo se invierte el 22 %, en la cartera de mercado
se invertirá el 78 %. En consecuencia, para la cartera C tenemos:
EC = 78% × 20,8251% + 22% × 5% = 17,3436%; σ A = 78% × 5,9411% = 4,6341%
Otro planteamiento consiste en considerar que z es el tanto unitario invertido
en la cartera A y 1 − z en la cartera B, verificándose:
rC = zrA + (1 − z) rB
Como la cartera A está formada en un 25 % por el activo libre de riesgo, y la
cartera B en un 20 %, el peso en la cartera C de dicho activo verifica:
0,25z + 0,20 (1 − z) = 0,22 ⇒ z = 40%
En consecuencia, la cartera C se obtiene invirtiendo el 40 % en la cartera A y
el 60 % en la B, por lo que se verifica:
EC = 40% × 16,8688% + 60% × 17,6601% = 17,3436%
d) La beta de la cartera C es:
βC = 0, 40 β A + 0,60 β B = 0, 40 × 0,75 + 0,60 × 0,80 = 0,78
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
e) Como la cartera C se ha formado invirtiendo en la cartera de mercado y
en el activo libre de riesgo, se trata de una cartera eficiente que verifica la ecuación
de la CML:
⎛ E − rf ⎞
EC = rf + ⎜ M
σC
⎝ σ M ⎟⎠
Al realizar operaciones deducimos que la prima relativa de riesgo o índice de
Sharpe de la cartera C coincide con el de la cartera de mercado:
EC − rf
E − rf 17,3436% − 5% 20,8251% − 5%
= M
=
=
= 2,6637
σC
σM
4,6341%
5,9411%
Podemos sintetizar lo expuesto en relación con las ecuaciones CML y SML:
a) La ecuación de la CML la cumplen exclusivamente las carteras eficientes,
pero no las ineficientes o los títulos.
b) La ecuación de la SML la verifica cualquier título o cartera (eficiente o
no), por lo que es más general que la CML, recibiendo por ello el nombre
de ecuación fundamental del CAPM 50.
c) Las carteras eficientes, obtenidas al combinar un activo libre de riesgo con
la cartera de mercado, únicamente tienen riesgo sistemático.
5.4.3. Los precios de equilibrio de los activos financieros
Para un activo financiero cualquiera, se define el precio teórico o precio de
equilibrio en el momento actual como el precio que permite obtener al inversor la
rentabilidad correspondiente según la ecuación de la SML de dicho activo.
Denominemos Ce0i al precio teórico actual o de equilibrio del activo financiero
i; C1i al precio aleatorio del activo en el mercado dentro de un período, el cual
incluye la cotización futura y cualquier flujo de caja que genere dicho activo a
favor del inversor. En consecuencia, la variable aleatoria rentabilidad del activo
verifica:
ri =
C1i − C0ie
C0ie
50
Es preciso destacar que se han realizado múltiples trabajos de investigación con diferentes
activos cotizados en diversos mercados financieros, a fin de, utilizando la metodología estadística
adecuada, contrastar la validez del CAPM.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Siendo E (C1i) la esperanza matemática del precio aleatorio dentro de un período, la rentabilidad esperada verifica:
E (ri ) = Ei =
E (C1i ) − C0ie
C0ie
Al despejar obtenemos el precio teórico actual o precio de equilibrio:
C0ie =
E (C1i )
1 + Ei
Ahora bien, sabemos que en situación de equilibrio del mercado, el rendimiento esperado de un activo viene dado por la ecuación de la SML del mismo, por
lo que podemos poner:
C0ie =
E (C1i )
1 + rf + EM − rf βi
(
)
La expresión anterior pone de manifiesto que, una vez estimados los flujos
futuros que se espera obtener por un activo, al actualizar tales flujos con el tipo
de rendimiento esperado según su SML obtenemos el precio teórico o de equilibrio en el momento actual.
EJEMPLO 5.35
El valor esperado de una acción dentro de un año es 90 €. El tipo de interés
libre de riesgo es el 3 % anual, la prima de riesgo del mercado es el 8 % anual y la
beta de la acción es 1,4. En situación de equilibrio del mercado, ¿cuánto estaría
dispuesto a pagar un inversor por dicha acción?
Resolución
La rentabilidad esperada según el CAPM es:
(
)
Ei = rf + EM − rf βi = 3% + 8% × 1, 4 = 14,20%
Por tanto, el precio actual de equilibrio o precio teórico es:
C0ie =
364
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90
= 78,81 €
1,1420
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
EJEMPLO 5.36
Se estima que los capitales que se percibirán dentro de un año por la posesión
de una acción de la clase i verifican:
Situación de la economía
Capitales (euros)
Probabilidad
Recesión
60
0,10
Normal
70
0,70
Expansión
80
0,20
Además, se sabe que la rentabilidad de la cartera de mercado es el 10 % anual,
que el tipo de interés libre de riesgo es el 4 % y que las acciones de la citada clase
tienen un coeficiente beta de 1,3. Sabiendo que la cotización actual en el mercado
es 65 €, se pide:
a) Precio actual de equilibrio.
b) Rentabilidad esperada y riesgo de acuerdo con la cotización actual de
mercado y las previsiones señaladas.
Resolución
a) La rentabilidad esperada de acuerdo con el CAPM es:
(
)
Ei = rf + EM − rf βi = 4% + (10% − 4%)1,3 = 11,80%
La esperanza matemática de los capitales aleatorios a percibir dentro de un
año es:
E (C1i ) = 60 × 0,10 + 70 × 0,70 + 80 × 0,20 = 71
En consecuencia, el precio teórico actual o precio de equilibrio es:
C0ie =
E (C1i )
71
=
= 63,51 €
1,1180
1 + Ei
b) De acuerdo con el precio actual de mercado y las previsiones de cobros
futuros, la rentabilidad esperada es:
Eia =
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71
− 1 = 9,2308%
65
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Inversiones financieras: selección de car teras
También podemos hallar la distribución de la rentabilidad:
60
70
− 1 = −7,6923% con probabilidad del 10 %; r2 =
1 = 7,6923% con
65
65
80
probabilidad del 70 %; y r3 =
1 = 23, 0769%, con probabilidad del 20 %. En
65
consecuencia, la rentabilidad esperada es:
r1 =
Eia = −7,6923% × 10% + 7,6923% × 70% + 23, 0769% × 20% = 9,2308%
La varianza es:
σ i2 = (−7,6923% − 9,2308%) × 10% + (7,6923% − 9,2308%) × 70% +
2
2
+ (23, 0769% − 9,2308%) × 20% = 0, 006863892
2
El riesgo anual es:
σ i = 0, 006863892 = 8,2849%
EJEMPLO 5.37
Un cierto título está correctamente valorado según el CAPM. Su precio actual
es 50 € y se espera una rentabilidad del 12,70 %. Se sabe que la prima de riesgo del
mercado es el 7 % y que el tipo de interés libre de riesgo es el 5 %. En la hipótesis
de que el valor esperado dentro de un año sea el correspondiente al precio actual
dado, pero la covarianza de la rentabilidad del título con el mercado sea el doble,
determinar el precio de equilibrio actual.
Resolución
Con un precio actual de 50 € y una rentabilidad esperada según el CAPM del
12,70 %, el precio futuro esperado verifica:
C0ie =
E (C1i )
E (C1i )
= 50 =
⇒ E (C1i ) = 56,35 €
1 + Ei
1 + 12,70%
De la ecuación de la SML podemos obtener la beta actual:
Ei = 5% + 7% βi = 12,70% ⇒ βi = 1,1 =
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σ iM
2
σM
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Si la covarianza es el doble, la rentabilidad esperada es:
Ei′ = 5% + 7% × 2,2 = 20, 40%
En consecuencia, el nuevo precio de equilibrio, según las hipótesis expuestas, es:
C0i′e =
E (C1i )
56,35
=
= 46,80 €
1 + Ei′ 1,2040
5.4.4. El alfa de un activo financiero
En la hipótesis de que el CAPM no se cumpla, estaremos en una situación de
desequilibrio del mercado y los títulos presentarán una rentabilidad distinta de la
establecida por la ecuación del CAPM. En tal caso, la diferencia entre la rentabilidad real de un activo y la rentabilidad esperada, dada por la ecuación de la
SML, según el correspondiente riesgo, constituye el alfa de dicho activo.
Llamando E ia a la rentabilidad real, derivada del precio de mercado, y Ei a la
rentabilidad de equilibrio, dada por la ecuación del CAPM, la cual implica un
precio de equilibrio, el coeficiente alfa es: ai = E ia − Ei.
EJEMPLO 5.38
Según el CAPM, la rentabilidad esperada de un activo i es del 14 % anual,
mientras que la rentabilidad real es el 16 % anual. Para un activo j, la rentabilidad
según su cotización de mercado es el 11 % anual, mientras que la esperada según
el CAPM es el 12 % anual. Se pide:
a) Determinar el coeficiente alfa de cada activo.
b) Comentar los resultados.
Resolución
a) Se tiene:
α i = Eia − Ei = 16% − 14% = 2%
α j = E aj − E j = 11% − 12% = −1%
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Inversiones financieras: selección de car teras
b) El activo i ofrece un rendimiento superior al establecido por el CAPM, o
sea, el rendimiento real supera al que le corresponde según su nivel de riesgo.
En consecuencia, su precio de mercado es inferior al de equilibrio, por lo que
está infravalorado. Ello originará un incremento es su demanda que llevará a un
aumento en su precio, lo que hará disminuir el rendimiento hasta situarlo en el de
equilibrio.
El activo j ofrece un rendimiento real menor que el correspondiente según su
nivel de riesgo. En consecuencia, su precio de mercado es superior al de equilibrio,
por lo que está sobrevalorado. Ello originará un incremento es su oferta que llevará a una disminución en su precio, lo cual hará aumentar el rendimiento hasta
situarlo en el de equilibrio.
En general, el precio de equilibrio y el de mercado verifican:
C0ie =
E (C1i )
1 + Ei
C0i =
E (C1i )
1 + Eia
En consecuencia, si α i = Eia − Ei > 0 ⇒ Eia > Ei ⇒ C0i < C0ie : el precio de mercado es inferior al precio de equilibrio, por lo que el título está infravalorado y los
inversores tenderán a comprarlo, ocasionando un incremento en el precio hasta
llegar al de equilibrio, con lo que la rentabilidad se situará en la esperada según
el CAPM.
Si α i = Eia − Ei < 0 ⇒ Eia < Ei ⇒ C0i > C0ie : el precio de mercado supera al
precio de equilibrio, por lo que el título está sobrevalorado y los inversores tenderán a venderlo, ocasionando una disminución en el precio hasta llegar al de equilibrio, con lo que la rentabilidad se situará en la esperada según el CAPM.
Introduciendo el coeficiente alfa, la ecuación que proporciona la rentabilidad
de mercado de un título es: E ai = rf + (EM − rf) bi + ai. De aquí se desprende
que los títulos con un alfa positiva presentan una rentabilidad superior51 a la predicha por el CAPM y tienen en el mercado un precio inferior al de equilibrio.
También los títulos con un alfa negativa presentan una rentabilidad inferior a
la predicha por el CAPM, teniendo en el mercado un precio superior al de equilibrio.
La figura 5.6 muestra las dos situaciones anteriores:
51
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Ello justifica que, al formar carteras, se suela elegir acciones con un alfa positiva.
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Ei
Infravalorado
L
SM
M
EM
Sobrevalorado
rf
1
bi
Figura 5.6
EJEMPLO 5.39
Disponemos de la siguiente información referente a dos activos con riesgo:
Activo
Beta
Precio actual
Precio estimado al final
del período
A
0,73
200
220
B
0,80
190
207
Sabiendo que el activo libre de riesgo tiene una rentabilidad anual del 3 % y
que la prima de riesgo del mercado es el 9 % anual, determinar:
a) Coeficiente alfa de cada activo.
b) Su precio teórico según el CAPM.
Resolución
a) La rentabilidad según el precio actual de mercado verifica:
Eia =
EAa =
EBa =
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E (C1i )
−1
C0i
220
− 1 = 10%
200
207
− 1 = 8,95%
190
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Inversiones financieras: selección de car teras
Para la rentabilidad según el CAPM tenemos:
(
)
Ei = rf + EM − rf βi
EA = 3% + 9% × 0,73 = 9,57%
EB = 3% + 9% × 0,80 = 10,20%
En consecuencia:
α A = EAa − EA = 10% − 9,57% = 0, 43% > 0
α B = EBa − EB = 8,95% − 10,20% = −1,25% < 0
El título A tiene una rentabilidad real superior a la del CAPM, por lo que está
infravalorado, siendo su cotización actual inferior al precio de equilibrio. El título B está sobrevalorado, siendo su rentabilidad real inferior a la del CAPM y su
precio de mercado superior al de equilibrio.
b) Los precios de equilibrio verifican:
C0ie =
E (C1i )
1 + Ei
C0eA =
220
= 200,78 > 200 = C0 A
1 + 9,57%
e
C0B
=
1.900
= 172, 41 < 190 = C0B
1 + 10,20%
EJEMPLO 5.40
Se invierten 300.000 € en letras del tesoro con rentabilidad del 4 % anual, y
900.000 € en la cartera de mercado, cuya rentabilidad esperada para el próximo
año es del 10,20 %. Calcular:
a) La rentabilidad esperada de la inversión total.
b) La rentabilidad esperada de una acción cuya beta sea 0,70.
c) Comentar el resultado anterior en relación con el precio de la acción.
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Resolución
a) De la cuantía total a invertir, 1.200.000 €, se invierte un 25 % en el activo
libre de riesgo y el 75 % en la cartera de mercado. En consecuencia, la rentabilidad
esperada de la cartera formada es del 8,65 % anual:
E p = 25% × 4% + 75% × 10,20% = 8,65%
b) Para una acción i con beta 0,70, cualquier inversor exigirá una rentabilidad dada por la SML:
Ei = 0, 04 + (0,1020 − 0, 04) 0,70 = 8,34%
c) Si la compra de la acción i supone abonar por la misma un precio tal que
la rentabilidad de la misma sea inferior al 8,34 %, los inversores no la adquirirán
hasta que su precio no disminuya hasta un nivel tal que permita subir la rentabilidad hasta el 8,34 %. En cambio, si el precio es tal que la rentabilidad es superior
al 8,34 %, todos los inversores querrán adquirirla, lo que hará aumentar su precio
hasta que el rendimiento disminuya hasta el 8,34 %. En consecuencia, al menos
teóricamente, el juego de la oferta y la demanda sobre los activos hace que se
cumpla la ecuación expuesta para el CAPM.
EJEMPLO 5.41
Determinado inversor posee una cartera integrada exclusivamente por acciones de la clase i, cuyo rendimiento esperado es del 16 %, con un riesgo del 19,6 %.
El rendimiento esperado del mercado es el 12 %, con un riesgo del 14,7 %. La
covarianza entre el rendimiento de la cartera del inversor y la cartera de mercado
es 0,0288. Suponiendo que el activo libre de riesgo tiene un rendimiento del 10 %,
se pide:
a) ¿Verifica la cartera del inversor la ecuación de la CML?
b) En situación de equilibrio del mercado, ¿cuál es la rentabilidad esperada
de la cartera del inversor?
c) Comentar el resultado anterior.
Resolución
a) De acuerdo con la CML, tenemos:
⎛ E − rf ⎞
12% − 10%
E p = rf + ⎜ M
σ p = 10% +
× 19,6% = 12,67%
14,7%
⎝ σ M ⎟⎠
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Inversiones financieras: selección de car teras
Si la cartera p del inversor verifica la ecuación anterior, su rentabilidad esperada debe ser del 12,67 %. Como la rentabilidad esperada es del 16 %, es evidente
que no la verifica, por lo que la citada cartera proporciona, para su nivel de riesgo, un rendimiento superior al de la CML.
b) La cartera p tiene el siguiente coeficiente beta con respecto a la cartera de
mercado:
βp =
σ iM 0, 0288
=
= 1,33
2
0,1472
σM
En situación de equilibrio del mercado, se ha de verificar el CAPM, por lo que
la rentabilidad esperada de la cartera es:
(
)
E p = rf + EM − rf β p = 10% + (12% − 10%) × 1,33 = 12,67%
c) En equilibrio, la rentabilidad requerida para la cartera p, de acuerdo con
su nivel de riesgo, es del 12,67 %. Como la rentabilidad de la cartera es del 16 %,
se provocarán ajustes en el mercado, adquiriendo los inversores acciones de la
clase i, lo que conllevará un incremento en su precio y la consiguiente disminución
en el rendimiento, bajando éste hasta situarse en el de equilibrio con el mercado
(12,67 %).
5.5. LOS MODELOS FACTORIALES
Estos modelos suponen que el rendimiento de cualquier activo financiero está
vinculado, de forma simultánea, a los movimientos de diversos factores o índices,
y, en general, a los movimientos de cualquier variable que pueda tener influencia
en la rentabilidad del correspondiente activo financiero, como por ejemplo la rentabilidad del mercado, los tipos de interés esperados, los cambios en la tasa de
inflación esperada, los cambios en el nivel del PIB, etc. En síntesis, un modelo
factorial intenta capturar las principales fuerzas económicas que sistemáticamente inciden en los precios de todos los activos financieros52.
52
Además, mediante un modelo factorial se introduce un proceso de generación de rendimientos,
entendiendo por tal un modelo estadístico que describe cómo se produce el rendimiento de un valor.
Puede verse: Alexander, G. J. et al. (2003: 208).
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
5.5.1. Análisis de los activos
De acuerdo con lo expuesto, podemos considerar que la variable aleatoria
representativa de la rentabilidad de cualquier activo financiero sigue un proceso
estocástico en el tiempo relacionado con el seguido por las variables aleatorias
vinculadas a múltiples factores. Así, el rendimiento de un título en cualquier momento t del tiempo se puede expresar por la ecuación:
k
rit = ai + βi1F1t + βi 2 F2t + βi 3 F3t + + βik Fkt + uit = ai + ∑ βih Fht + uit
h=1
En la ecuación anterior tenemos:
Fhth = 1, 2, ..., k; t = 1, 2, 3, ..., T: k factores de riesgo sistemático o k variables
aleatorias explicativas de la rentabilidad del activo i, para T momentos del
tiempo.
ai: valor esperado de la rentabilidad del título i cuando el valor esperado de
los factores es nulo.
bih: coeficiente beta del activo i con respecto al factor h. Mide la sensibilidad
de la rentabilidad del título i a los movimientos del factor h-ésimo, suponiendo que no haya ningún cambio en los restantes factores.
uit: errores aleatorios para las T observaciones.
De la forma descrita, la variable aleatoria rentabilidad del activo i tiene la siguiente expresión53:
k
ri = ai + βi1F1 + βi 2 F2 + βi 3 F3 + + βik Fk + ui = ai + ∑ βih Fh + ui
h=1
Denominando E (Fh) = EFh al valor esperado del factor h, la rentabilidad esperada del activo i viene dada por la expresión54:
k
Ei = ai + ∑ βih EFh
h=1
53
Se aceptan las siguientes hipótesis: el error aleatorio tiene media cero y está incorrelacionado
con cualquier factor; los errores aleatorios de dos títulos cualesquiera no están correlacionados, y los
rendimientos de dos activos financieros cualesquiera sólo están correlacionados a través de las
respuestas comunes a los factores.
54
Observemos que el modelo de mercado, en el que la rentabilidad está vinculada a un solo
factor, es un caso particular de los modelos factoriales.
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Inversiones financieras: selección de car teras
De acuerdo con lo expuesto, en el análisis de los activos y para estimar cualquier modelo factorial55 es preciso identificar, mediante las metodologías econométricas adecuadas, tanto los factores que inciden en la rentabilidad de tales activos como la sensibilidad de los rendimientos a los movimientos de dichos factores.
Además, como los precios de los activos reflejan las estimaciones actuales de los
inversores acerca de las expectativas futuras en las rentabilidades de los mismos, es
necesario seleccionar factores que midan los cambios en tales expectativas56, como
pueden ser: la tasa de inflación esperada, el nivel del PIB, el nivel de actividad industrial, la dispersión entre los tipos de interés a largo y a corto plazo, la dispersión
entre los rendimientos de las empresas de alto y bajo rendimiento, etc.
Para n activos, la matriz de sensibilidades o de las betas de tales activos es:
⎛ β11 β12
⎜
⎜ β21 β22
β=⎜ ⎜
⎜
⎜⎝ β n1 β n2
β1k ⎞
⎟
β2 k ⎟
⎟
⎟
⎟
β nk ⎟⎠
Para determinar el riesgo es preciso conocer las covarianzas entre los factores.
Así, para n activos, la matriz de varianzas-covarianzas entre los factores es:
⎛ σ F2 1 σ F 1F 2
⎜
2
⎜ σ F 2F1 σ F 2
SF = ⎜
⎜
⎜
⎜ σ FkF 1 σ FkF 2
⎝
σ F 1Fk ⎞
⎟
σ F 2 Fk ⎟
⎟
⎟
⎟
2
⎟
σ Fk
⎠
En la hipótesis de que los factores estén incorrelacionados57 entre sí, por lo
que sus covarianzas son nulas, el riesgo verifica:
k
2
σ i2 = ∑ βih2 σ Fh
+ σ ui2
h=1
55
Es posible utilizar diversos métodos para estimar modelos factoriales, sintetizándose en los
tres grupos siguientes: a) métodos de series temporales, b) métodos de corte transversal y c) métodos de factor analítico. Puede verse: Alexander, G. J. et. al. (2003: 230); Marín, J. M. y Rubio, G.
(2001: 467).
56
Alexander, G. J. et. al. (2003: 217).
57
Cuando los factores están incorrelacionados, cada uno de ellos proporciona al modelo
información singular y relevante para explicar y predecir la rentabilidad del activo, lo que no sucede
cuando están correlacionados.
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
k
En la expresión anterior, el sumando
∑ βih2 σ Fh2 = σ si2 indica la parte del riesgo
h=1
total (varianza) del título i que depende de los k factores. Se le denomina riesgo
atribuible a factores o riesgo sistemático. El sumando sui2 indica el riesgo del activo
no atribuible a los factores, riesgo específico, riesgo propio o único del título i.
En el caso particular de un modelo de dos factores correlacionados, teniendo
en cuenta la expresión de la varianza de una variable aleatoria que es suma de
otras dos, el riesgo total de un activo i viene dado por la expresión:
σ i2 = βi12σ F2 1 + βi22σ F2 2 + 2 βi1βi 2σ F 1F 2 + σ ui2
De igual forma a como se ha realizado en el modelo de mercado para dos
activos i y j, se puede obtener la covarianza entre sus rentabilidades58, llegándose
a la siguiente expresión:
σ ij = βi1β j1σ F2 1 + βi 2 β j 2σ F2 2 + (βi1β j 2 + βi 2 β j1) σ F 1F 2
EJEMPLO 5.42
Supongamos que los rendimientos de dos activos financieros i y j se generan
a través de un modelo bifactorial del que se conocen los siguientes datos:
Activos
Coeficiente a
Varianza
I
0,0585
0,002460
J
0,0320
0,003225
Factores
Valor esperado
1
5,83 %
2
3,98 %
58
Recordemos que se acepta la hipótesis de que los rendimientos de dos valores están
correlacionados sólo a través de las relaciones comunes a uno o más de los factores especificados en
el modelo. Por ello, las covarianzas entre los rendimientos de dos activos quedan determinadas por
las betas respecto de los factores y las covarianzas de los mismos.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Matriz de sensibilidades:
⎛ 2,1406 −0,6399 ⎞
β=⎜
⎟
⎝ 2,7073 −0,3954 ⎠
Matriz de varianzas-covarianzas de los factores:
⎛ 0, 000302 0, 000053 ⎞
SF = ⎜
⎟
⎝ 0, 000053 0, 000280 ⎠
Se pide:
a) Rentabilidad esperada de cada activo.
b) Riesgo específico de cada activo.
c) Coeficiente de correlación lineal entre las rentabilidades de los dos activos.
Resolución
a) Tenemos:
Ei = ai + βi1EF 1 + βi 2 EF 2 = 0, 0585 + 2,1406 × 5,83% − 0,6399 × 3,98% = 15,78%
E j = a j + β j1EF 1 + β j 2 EF 2 = 0, 0320 + 2,7073 × 5,83% − 0,3954 × 3,98% = 17, 41%
b) El riesgo específico de cada activo se determina al restar del riesgo total
(varianza) el riesgo sistemático o atribuible a los factores. Para el caso de dos factores, la varianza del título i verifica:
i2 = i12 F2 1 + i22 F2 2 + 2 i1i 2 F 1F 2 + ui2 =
= 0, 002460 = 2,14062 0, 000302 + (0,6399) 0, 000280 +
2
+ 2 2,1406 (0,6399) 0, 000053 + ui2 ui2 = 0, 001107
Para el título j se tiene:
2j = 2j1 F2 1 + 2j 2 F2 2 + 2 j1 j 2 F 1F 2 + uj2 =
= 0, 003225 = 2,70732 0, 000302 + (0,3954) 0, 000280 +
2
+ 2 2,7073 (0,3954) 0, 000053 + ui2 ui2 = 0, 001081
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Por tanto, la descomposición del riesgo (varianza) de cada activo es:
σ i2 = 0, 002460; σ si2 = 0, 001353; σ ui2 = 0, 001107
σ 2j = 0, 003225; σ sj2 = 0, 002144; σ uj2 = 0, 001081
c) La covarianza entre las rentabilidades de ambos activos es:
σ ij = βi1β j1σ F2 1 + βi 2 β j 2σ F2 2 + (βi1β j 2 + βi 2 β j1) σ F 1F 2 =
= 2,1406 × 2,7073 × 0, 000302 + (−0,6399) × (−0,3954) × 0, 000280 +
+ ⎡⎣2,1406 × (−0,3954) + (−0,6399) × 2,7073⎤⎦ × 0, 000053 = 0, 001684
En consecuencia, el coeficiente de correlación lineal entre ambas rentabilidades es:
ρij =
σ ij
0, 001684
=
= 0,5979
σ iσ j (0, 002460 × 0, 003225)0,5
En el caso general de k factores correlacionados59, el riesgo total de un activo
verifica60:
σ i2 = σ 2 (ai + βi1F1 + βi 2 F2 + βi 3 F3 + + βik Fk + ui ) =
=
k
∑ βih2 σ Fh2 + 2∑ βih βilσ FhFl + σ ui2 = σ si2 + σ ui2
h=1
h<l
El riesgo sistemático verifica:
si2 = 2 (ai + i1F1 + i 2 F2 + i 3 F3 + + ik Fk + ui ) =
= si2 =
k
ih2 Fh2 + 2 ih il FhFl
h=1
h<l
59
Tengamos en cuenta que cuando dos factores están correlacionados, cada uno de ellos no
proporciona al modelo información singular y relevante para explicar y predecir la rentabilidad de
los activos. Por ello, se deben utilizar factores incorrelacionados. No obstante, analizamos el caso
general de factores correlacionados, pues es muy sencillo pasar de las expresiones generales de tal
caso a las particulares de factores incorrelacionados, en los que la matriz de varianzas-covarianzas
entre los mismos tiene nulos todos sus elementos, excepto los de la diagonal principal.
60
Recuérdese la expresión de la varianza de una suma de variables aleatorias, así como que la
perturbación aleatoria está incorrelacionada con los factores.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Si denominamos biF al vector fila de las betas del activo i con respecto a los
factores, biF = (bi1, bi2, bi3, ..., bik), la expresión anterior del riesgo sistemático (varianza) constituye una forma cuadrática del vector traspuesto del biF, asociada a
la matriz simétrica SF de varianzas-covarianzas entre los factores. Por tanto, se
puede determinar mediante la multiplicación de matrices61:
σ si2 = biF SF biF′
EJEMPLO 5.43
Supongamos que las rentabilidades esperadas de dos activos se generan a través de un modelo de tres factores, siendo:
ri = 0, 09 + 3F1 + 2F2 − 0,5F3 + ui
rj = 0,10 + 4F1 + 2,5F2 − 0,8F3 + u j
La matriz de varianzas-covarianzas de los factores es:
⎛ 0, 00250 0, 00280 0, 00160 ⎞
⎟
⎜
SF = ⎜ 0, 00280 0, 00490 0, 00504 ⎟
⎜⎝ 0, 00160 0, 00504 0, 00640 ⎟⎠
Determinar para cada activo el riesgo atribuible a factores.
Resolución
Tenemos:
biF =
b jF =
( 3,
( 4;
2, −0,5
2,5; −0,8
)
)
En consecuencia:
σ si2 =
σ sj2 =
( 3,
( 4;
)
2, −0,5 SF biF′
)
2,5; −0,8 SF b′jF
61
Puede observarse que, formalmente, esta expresión coincide con la de la varianza de la
rentabilidad de una cartera p, explicada en el modelo de Markowitz, siendo: S = SF; s p2 = s si2 ; X′ =
= biF; X = b′iF.
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Al efectuar los cálculos, se obtiene:
σ si2 = 0, 062420 ⇒ σ si = 24,9830%
σ sj2 = 0,100321 ⇒ σ sj = 31,6735%
5.5.2. Análisis de las carteras
Para una cartera integrada por n activos en los que la rentabilidad de cada uno
de ellos sigue un modelo factorial, la variable aleatoria que expresa la rentabilidad
de la misma verifica:
rp =
=
n
n
n
i=1
i=1
∑ xi ri = ∑ xi (ai + βi1F1 + βi 2 F2 + βi 3F3 + + βik Fk + ui ) =
⎛
n
n
n
n
i=1
i=1
i=1
i=1
⎞
n
∑ xi ai + ⎜⎝ ∑ xi βi1F1 + ∑ xi βi 2 F2 + ∑ xi βi 3F3 + + ∑ xi βik Fk ⎟⎠ + ∑ xi ui
i=1
i=1
Podemos denominar:
ap =
n
∑ xi ai
i=1
β p1 =
n
∑ xi βi1
i=1
β p2 =
n
∑ xi βi 2
i=1
β pk =
n
∑ xi βik
i=1
up =
n
∑ xi ui
i=1
En consecuencia:
rp = a p + β p1F1 + β p2 F2 + + + β pk Fk + u p
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Inversiones financieras: selección de car teras
Vemos que la sensibilidad de la rentabilidad de una cartera a cualquier factor
es una media ponderada de las sensibilidades de los activos, siendo las ponderaciones las proporciones invertidas en los mismos. Además, siendo X′ el vector fila,
traspuesto del vector columna de pesos, y bFh el vector columna de las betas de los
activos con respecto al factor h, se verifica:
X = (x1, x2 , x3 , ..., xn )
Fh
ph =
=
1h
2h
3h
nh
n
xi ih = X Fh
i=1
h = 1, 2, 3, ..., k
La rentabilidad esperada de la cartera verifica:
k
E p = a p + ∑ β ph EFh = X ′ E
h=1
En cuanto al riesgo de una cartera, al ser la variable aleatoria rentabilidad de
la misma una suma de variables aleatorias, es preciso conocer las covarianzas entre las rentabilidades y entre los factores. Por ello, determinadas de acuerdo con
la expresión ya indicada las covarianzas entre las rentabilidades de cada dos títulos, se puede formar la matriz S de varianzas y covarianzas, con lo que el riesgo
de la cartera se obtiene a través de la conocida expresión del modelo de Markowitz
para calcular la varianza de una cartera:
σ 2p = X ′ S X
Teniendo en cuenta las hipótesis del modelo en cuanto a que el error aleatorio
de cualquier título está incorrelacionado con cualquiera de los factores, y que los
errores aleatorios de dos títulos cualesquiera no están correlacionados, el riesgo
propio (varianza) de la cartera se puede determinar por la expresión:
2
σ up
=
n
∑ xi2σ ui2
i=1
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
2
En consecuencia, el riesgo sistemático de la cartera es: σ sp2 = σ 2p − σ up
.
De igual forma a lo señalado para los activos, si denominamos bpF al vector fila
de las betas de la cartera p con respecto a los factores, bpF = (bp1, bp2, bp3, ..., bpk), el
riesgo sistemático (varianza) o riesgo atribuible a factores de la cartera se puede
determinar mediante la multiplicación de matrices62:
σ sp2 = bpF SF bpF
′
EJEMPLO 5.44
Se sabe que las rentabilidades esperadas de dos activos se generan a través de
un modelo de dos factores, siendo:
rA = 0, 03 + 1,25F1 + 0,80F2 + uA
rB = 0, 07 + 1,50F1 − 0, 09F2 + uB
El coeficiente de correlación lineal entre los factores es 0,70, disponiendo además de la siguiente información:
Factores
Valor esperado
Varianza
1
10 %
0,0016
2
12 %
0,0025
Activos
Riesgo específico
(varianza)
A
0,0169
B
0,0064
Se pide:
a) Rentabilidad y riesgo de una cartera formada invirtiendo el 60 % en el
título A.
b) Riesgo atribuible a los factores.
c) Sensibilidad de la cartera anterior a cada uno de los dos factores.
d) Proceso generador de rendimientos de la cartera.
62
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Recordemos que SF representa la matriz de varianzas-covarianzas entre los factores.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Resolución
a) La rentabilidad de cada activo verifica:
EA = 0, 03 + 1,25 × 10% + 0,80 × 12% = 25,10%
EB = 0, 07 + 1,50 × 10% − 0, 09 × 12% = 20,92%
Para calcular el riesgo de cada título es preciso conocer la covarianza entre los
factores. Teniendo en cuenta la expresión del coeficiente de correlación lineal, se
verifica:
ρF 1F 2 =
σ F 1F 2
0,5
= 0,70 ⇒ σ F 1F 2 = 0,70 × (0, 0016 × 0, 0025) = 0, 0014
σ F 1σ F 2
Para la varianza del título A tenemos:
2
2
2
σ A2 = β A1
σ F2 1 + β A2
σ F2 2 + 2 β A1β A2σ F 1F 2 + σ uA
=
= 1,252 × 0, 0016 + 0,802 × 0, 0025 + 2 × 1,25 × 0,80 × 0, 0014 + 0, 0169 = 0, 0238
Para la varianza del título B tenemos:
2
2
2
B2 = B1
F2 1 + B2
F2 2 + 2 B1 B2 F 1F 2 + uB
= 1,502 0, 0016 + (0, 09) 0, 0025 + 2 1,50 (0, 09) 0, 0014 + 0, 0064 = 0, 0096
2
La covarianza entre las rentabilidades de ambos activos es:
σ AB = β A1β B1σ F2 1 + β A2 β B2σ F2 2 + (β A1β B2 + β A2 β B1) σ F 1F 2 =
= 1,25 × 1,50 × 0, 0016 + 0,80 × (−0, 09) × 0, 0025 +
+ ⎡⎣1,25 × (−0, 09) + 0,80 × 1,50⎤⎦ × 0, 0014 = 0, 0043
En consecuencia, el vector de rendimientos esperados y la matriz de varianzascovarianzas son:
⎛ 0,2510 ⎞
⎛ 0, 0238 0, 0043 ⎞
E=⎜
⎟; S = ⎜
⎟
⎝ 0,2092 ⎠
⎝ 0, 0043 0, 0096 ⎠
El vector de proporciones es:
⎛ 0,60 ⎞
X =⎜
⎟
⎝ 0, 40 ⎠
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Teniendo en cuenta las expresiones ya conocidas, obtenemos:
E p = X ′ E = 23, 43%
σ 2p = X ′ S X = 0, 012168 ⇒ σ p = 11, 03%
b) El riesgo no atribuible a factores es:
2
σ up
=
n
∑ xi2σ ui2 = 0,602 × 0, 0169 + 0, 402 × 0, 0064 = 0, 007108 ⇒ σ up = 8, 43%
i=1
En consecuencia, el riesgo atribuible a factores es:
2
σ sp2 = σ 2p − σ up
= 0, 012168 − 0, 007108 = 0, 00506 ⇒ σ sp = 7,11%
c) La sensibilidad de la rentabilidad de la cartera al factor k se obtiene mediante la expresión:
β pk =
n
∑ xi βik
i=1
Por tanto:
β p1 = x1β A1 + x2 β B1 = 0,60 × 1,25 + 0, 40 × 1,50 = 1,35
β p2 = x1β A2 + x2 β B2 = 0,60 × 0,80 + 0, 40 × (−0, 09) = 0, 44
d) Podemos calcular el coeficiente ap de la cartera, verificándose, tal y como
hemos expuesto:
ap =
n
∑ xi ai = 0,60 × 0, 03 + 0, 40 × 0, 07 = 0, 046
i=1
En consecuencia, el proceso generador del rendimiento de la cartera verifica
la expresión:
rp = 0, 046 + 1,35F1 + 0, 44F2 + u p
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Inversiones financieras: selección de car teras
EJEMPLO 5.45
Con los datos del ejemplo precedente, utilizando las expresiones matriciales
correspondientes, se pide:
a) Sensibilidad de la cartera a cada uno de los dos factores.
b) Riesgo sistemático de la cartera.
Resolución
Tenemos los siguientes datos:
X =
( 0,60;
0, 40
)
1,25 0,80 F 1 = ; F 2 = 1,50 0, 09 0, 0016 0, 0014 SF = 0, 0014 0, 0025 a) Se verifica:
β p1 = X ′ β F 1 = 1,35; β p2 = X ′ β F 2 = 0, 444
bpF =
( 1,35;
0, 044
)
b) Es63:
σ sp2 = bpF SF bpF
′ = 0, 00509
EJEMPLO 5.46
Con los datos del ejemplo precedente, determinar la composición y el riesgo
de una cartera eficiente con rentabilidad esperada del 24 %.
63
El resultado obtenido en el ejemplo anterior es 0,00506. La diferencia con respecto al ahora
obtenido es debida a los redondeos efectuados en los cálculos de dicho ejemplo.
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Resolución
La cartera pedida verifica:
Minimizar σ 2p = X ′SX
E p = X ′ E = 24%
2
∑ xi = 1
1
Utilizando Solver se obtiene:
⎛ 0,7369 ⎞
X =⎜
⎟ ; E p = 24%; σ p = 12,35%
⎝ 0,2631 ⎠
EJEMPLO 5.47
Con los datos del ejemplo precedente, determinar la composición de una cartera cuya rentabilidad no dependa del factor dos.
Resolución
La sensibilidad con respecto al segundo factor ha de ser nula, verificándose:
β p2 = x1β A2 + x2 β B2 = 0,80x1 − (1 − x1) 0, 09 = 0 ⇒ x1 = 10,11%; x2 = 89,89%
EJEMPLO 5.48
Con los datos del ejemplo precedente, y para un tipo de interés libre de riesgo
del 6 %, se pide:
a) Composición, rentabilidad y riesgo de la cartera tangente.
b) Composición, rentabilidad y riesgo de una cartera mixta para un inversor
que se endeude en un 25 % de sus recursos propios.
Resolución
a) Sabemos que la composición de la cartera tangente T o cartera óptima
arriesgada se deduce de:
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Inversiones financieras: selección de car teras
Maximizar ZT =
ET − rf
σT
n
∑ xi = 1
1
Al utilizar Solver se obtiene una cartera formada al invertir en el activo A el
30,40 % del presupuesto, y en el B el 69,60 % restante. La rentabilidad esperada de
la cartera es del 22,19 %, con un riesgo del 9,31 %.
b) Sabemos que en las carteras mixtas se verifica:
E p = yET + y′rf
σ p = yσ T
Al sustituir queda:
E p = 1,25 × 22,19% − 0,25 × 6% = 26,24%
σ p = 1,25 × 9,31% = 11,64%
EJEMPLO 5.49
Existe una cartera p cuyos rendimientos están vinculados a dos factores conocidos. Se conocen los siguientes datos:
β p1 = 1,8; β p2 = 0,9
La matriz de sensibilidades de tres activos a los mismos factores que la cartera p, es:
⎛ 4 2,5 ⎞
⎟
⎜
⎜ 0,5 0,8 ⎟
⎜⎝ 1,2 3 ⎟⎠
Con los tres activos citados se desea formar una cartera q que tenga la misma
sensibilidad, con respecto a los dos factores, que la cartera p.
386
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Resolución
El vector de proporciones de la cartera q es:
⎛ x1 ⎞
⎟
⎜
X = ⎜ x2 ⎟
⎜⎝ x3 ⎟⎠
Las betas de la cartera q con respecto a cada factor verifican:
βq1 = x1β11 + x2 β21 + x3β31 = 4x1 + 0,5x2 + 1,2x3
βq2 = x1β12 + x2 β22 + x3β32 = 2,5x1 + 0,8x2 + 3x3
Como los pesos han de sumar la unidad, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
4x1 + 0,5x2 + 1,2x3 = 1,8
2,5x1 + 0,8x2 + 3x3 = 0,9
x1 + x2 + x3 = 1
Resolvemos el sistema anterior y obtenemos:
⎛ 0, 4286
⎜
X = ⎜ 0,8571
⎜⎝ −0,2857
⎞
⎟
⎟
⎟⎠
Como las carteras p y q tienen los mismos coeficientes beta con respecto a los
dos factores comunes, ambas tienen el mismo riesgo sistemático o atribuible a los
factores.
a) Carteras réplica
En general, supongamos que existe una cartera p de la que se sabe que su proceso generador de rendimientos está vinculado a un cierto número k de factores
conocidos, verificándose:
rp = a p + β p1F1 + β p2 F2 + β p3 F3 + + β pk Fk + u p
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Inversiones financieras: selección de car teras
Si existen n activos o carteras cuyos rendimientos también estén vinculados a
los mismos k factores anteriores, es posible formar una cartera q que tenga el
mismo riesgo sistemático que la cartera p, constituyendo dicha cartera q una cartera réplica de la cartera p.
Para que las carteras p y q tengan el mismo riesgo sistemático64, como ambas
están influenciadas por los mismos factores, la cartera réplica q debe tener un
vector de proporciones X tal que las betas de la misma coincidan con las betas de
la cartera p:
βqh = X ′β Fh = β ph , ∀ h h = 1, 2, , k
Para determinar los valores del vector X se forma el sistema de ecuaciones65:
βq1 = X ′β F 1 = β p1
βq2 = X ′β F 2 = β p2
βq3 = X ′β F 3 = β p3
βqk = X ′β Fk = β pk
n
∑ xi = 1
i=1
Como existen k + 1 ecuaciones, el sistema anterior tendrá solución si existe, al
menos, el mismo número de incógnitas, por lo que es preciso que el número n de
activos verifique: n ≥ k + 1.
EJEMPLO 5.50
Existe una cartera p cuyos rendimientos están vinculados a tres factores conocidos, de tal forma que se verifica:
rp = 0,10 + 2F1 + 4F2 − 1F3 + u p
64
En la práctica, las carteras p y q deben estar bien diversificadas para que su riesgo específico
sea insignificante o nulo.
65
Tiene sentido formar una cartera réplica si el número de activos de la misma es sensiblemente
inferior al número de activos de la cartera a replicar.
388
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Se desea formar con cuatro activos, cuyos rendimientos están vinculados a los
mismos factores que la cartera p, una cartera réplica de la misma, siendo:
r1 = 0, 08 + 1,8F1 + 1,9F2 + 0,2F3 + u1
r2 = 0, 04 + 2,1F1 + 2, 4F2 + 0, 4F3 + u2
r3 = 0, 06 + 2,5F1 + 3F2 − 0,1F3 + u3
r4 = a4 + 3,2F1 − 1,5F2 + 1,7F3 + u4
Determinar:
a) Vector de pesos de la cartera réplica.
b) Valor de a4 para que ambas carteras tengan la misma rentabilidad esperada.
Resolución
a) Las betas de la cartera réplica q y los pesos del vector de proporciones
verifican:
βq1 = 1,8x1 + 2,1x2 + 2,5x3 + 3,2x4 = 2
βq2 = 1,9x1 + 2, 4x2 + 3x3 − 1,5x4 = 4
βq3 = 0,2x1 + 0, 4x2 − 0,1x3 + 1,75x4 = −1
x1 + x2 + x3 + x4 = 1
Al resolver se obtiene66:
x1 = 1,1376; x2 = −1,3105; x3 = 1, 4985; x4 = −0,3256
También podemos plantear las ecuaciones anteriores teniendo en cuentas las
expresiones matriciales correspondientes. Así, tenemos:
βF 1
⎛
⎜
=⎜
⎜
⎜
⎝
1,8
2,1
2,5
3,2
⎛ x1 ⎞
⎞
⎛ 0,2 ⎞
⎛ 1,9 ⎞
⎛ 1⎞
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ ⎟
x
⎟ ; β F 2 = ⎜ 2, 4 ⎟ ; β F 3 = ⎜ 0, 4 ⎟ ; X = ⎜ 2 ⎟ ;U = ⎜ 1 ⎟
⎜ x3 ⎟
⎟
⎜ −0,1 ⎟
⎜ 3 ⎟
⎜ 1⎟
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜⎝ 1 ⎟⎠
⎜ −1,5 ⎟
⎜⎝ x4 ⎟⎠
⎠
⎝
⎠
⎝ 1,7 ⎠
66
El sistema de ecuaciones se puede resolver al multiplicar la matriz inversa de los coeficientes
por el vector de términos independientes.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Por tanto:
X ′β F 1 = 2
X ′β F 2 = 4
X ′β F 3 = −1
X ′U = 1
Utilizamos Solver para resolver el sistema anterior, considerando la primera
ecuación como objetivo y las tres restantes como restricciones. Se llega a la misma
solución que la obtenida anteriormente.
b) Como las rentabilidades de ambas carteras están vinculadas a los mismos
factores, las mismas tendrán igual rentabilidad esperada si ap = aq, por lo que tenemos: a4 = 0,0875.
EJEMPLO 5.51
De acuerdo con los datos del ejemplo anterior, se sabe que la matriz de varianzas-covarianzas de los factores es:
⎛ 0, 00360 0, 00336 0, 00270 ⎞
⎟
⎜
SF = ⎜ 0, 00336 0, 00490 0, 00210 ⎟
⎜⎝ 0, 00270 0, 00210 0, 00250 ⎟⎠
Se pide:
a) Riesgo sistemático de cada activo.
b) Riesgo sistemático de la cartera.
Resolución
a) De acuerdo con los datos de cada activo, tenemos:
( 1,8; 1,9; 0,2 )
= ( 2,1; 2, 4; 0, 4 )
= ( 2,5; 3; −0,1 )
= ( 3,2; −1,5; 1,7 )
b1F =
b2 F
b3F
b4F
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
El riesgo sistemático de cualquier activo verifica:
σ si2 = biF SF biF′
Al efectuar los cálculos se obtiene:
b) Para cualquiera de las dos carteras tenemos:
bpF =
( 2;
4; −1
)
σ sp2 = bpF SF bpF
′ = 0,121460
EJEMPLO 5.52
Para determinado índice bursátil (cartera p), su proceso de generación de rendimientos está vinculado a tres factores, de tal forma que se verifica:
rp = 0, 08 + 3F1 + 2F2 − 1,5F3 + u p
Se dispone de cinco activos cuyos rendimientos están vinculados a los mismos
factores que la cartera p, siendo:
r1 = 0, 03 + 1,6F1 + 2,3F2 − 1,1F3 + u1
r2 = 0, 02 + 2,1F1 + 1,8F2 − F3 + u2
r3 = 0, 01 + 1,3F1 + 1,2F2 + F3 + u3
r4 = 0, 06 + 1,5F1 + 2,3F2 − 1,8F3 + u4
r5 = 0, 05 + 2,1F1 + 1,3F2 − 1, 4F3 + u5
El vector de varianzas específicas de los activos es:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜⎝
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0, 000100
0, 00425
0, 010201
0, 000001
0, 005329
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
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Inversiones financieras: selección de car teras
Para los factores, el vector de valores esperados y la matriz de varianzas-covarianzas, son, respectivamente:
⎛ 0, 08 ⎞
⎛ 0, 00160 0, 00216 0, 00224
⎟
⎜
⎜
EF = ⎜ 0, 09 ⎟ ; SF = ⎜ 0, 00216 0, 00360 0, 00084
⎜⎝ 0, 07 ⎟⎠
⎜⎝ 0, 00224 0, 00084 0, 00490
⎞
⎟
⎟
⎟⎠
Se desea formar una cartera q, réplica de p, que tenga riesgo específico mínimo. Calcular:
a) Su composición.
b) Su riesgo total.
c) Su rentabilidad esperada.
Resolución
a) Los vectores de betas, bFh, de los activos con respecto a los factores son:
βF 1
⎛
⎜
⎜
=⎜
⎜
⎜
⎜⎝
1,6
2,1
1,3
1,5
2,1
⎞
⎛ 2,3 ⎞
⎛ −1,1 ⎞
⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 1,8 ⎟
⎜ −1 ⎟
⎟ ; β F 2 = ⎜ 1,2 ⎟ ; β F 3 = ⎜ 1 ⎟
⎟
⎟
⎜
⎜ −1,8 ⎟
⎟
⎜ 2,3 ⎟
⎟
⎜
⎜⎝ −1, 4 ⎟⎠
⎟⎠
⎜⎝ 1,3 ⎟⎠
El riesgo específico de la cartera q es:
2
σ uq
=
5
∑ xi2σ ui2
i=1
Sabemos que la cartera q será réplica de la cartera p si ambas tienen los mismos coeficientes de sensibilidad con respecto a los factores comunes. Por tanto:
X ′β F 1 = 3
X ′β F 2 = 2
X ′β F 3 = −1,5
X ′U = 1
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Además, como q ha de ser de riesgo específico mínimo, la composición de la
cartera ha de verificar:
5
2
= Minimizar xi2 ui2
Minimizar uq
i=1
Al implementar todas las expresiones anteriores en la hoja de cálculo, utilizando Solver se llega a:
⎛
⎜
⎜
X =⎜
⎜
⎜
⎜⎝
2,3032
1, 0947
−0,8852
−2,2391
0,7264
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
b) Sabemos que el riesgo total (varianza) es la suma del riesgo sistemático
con el riesgo específico. El riesgo específico se ha obtenido en el apartado anterior
y vale 0,01643341. En cuanto al riesgo sistemático, tenemos:
bqF =
( 3;
2; −1,5
)
σ sq2 = bqF SF bqF
′ = 0, 040545
En consecuencia, el riesgo total es:
σ q2 = 0,040545 + 0,016433 = 0,056978
c) Sabemos que la cartera q tiene las mismas betas que la cartera p, por lo
que su proceso de generación de rendimientos viene dado por la expresión:
rq = aq + 3F1 + 2F2 − 1,5F3 + uq
El valor de aq es:
aq =
5
∑ xi ai = −0, 015888
i=1
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Inversiones financieras: selección de car teras
En consecuencia, la rentabilidad de la cartera es:
k
E p = a p + ∑ β ph EFh = −0, 015888 + 3 × 0, 08 + 2 × 0, 09 − 1,5 × 0, 07 = 29,9112%
h=1
b) Carteras básicas
Supongamos que existen n activos o carteras cuyos rendimientos están vinculados a los mismos k factores comunes. Se desea combinar adecuadamente los
activos o carteras anteriores, de tal forma que se obtenga una cartera cuyos rendimientos sólo sean sensibles a uno de los k factores. En este contexto, se define
una cartera básica asociada a un determinado factor de riesgo sistemático, o cartera factorial o cartera réplica de un determinado factor, como aquella cartera cuya
beta con respecto a dicho factor es la unidad, y cero con respecto a los demás
factores. En consecuencia, la rentabilidad esperada de una cartera básica únicamente es sensible a las variaciones del factor al que va asociada67.
EJEMPLO 5.53
Supongamos que los rendimientos de cuatro carteras bien diversificadas son
sensibles a tres factores de riesgo, verificándose:
E1 = 0,10 + 2EF 1 + 1,5EF 2 − EF 3
E2 = 0,12 + 2,5EF 1 + 2,1EF 2 + EF 3
E3 = 0,13 + 1,2EF 1 + 1,9EF 2 + 1,1EF 3
E4 = 0, 09 + 1, 4EF 1 + 1,5EF 2 + 1,3EF 3
Determinar:
a) Composición de una cartera factorial sensible al factor 1.
b) Valor del coeficiente a correspondiente a la ecuación del rendimiento de
la cartera anterior.
67
Además, para que una cartera básica tenga prácticamente nulo su riesgo específico debe estar
integrada por un elevado número de activos, o bien formada por carteras bien diversificadas que
carecen de riesgo no sistemático.
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Resolución
a) Hemos de encontrar los pesos de tal forma que la cartera sea sensible exclusivamente al factor 1, por lo que su beta con respecto a dicho factor ha de
valer la unidad, y la beta con respecto a los demás factores ha de ser cero. De
acuerdo con los datos, tenemos:
βF 1
⎛
⎜
=⎜
⎜
⎜
⎝
2
2,5
1,2
1, 4
⎛ x1 ⎞
⎛ 1,5 ⎞
⎞
⎛ −1 ⎞
⎛ 1⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜ ⎟
x
2,1
1
⎟ ; βF 3 = ⎜
⎟ ; βF 2 = ⎜
⎟ ; X = ⎜ 2 ⎟ ;U = ⎜ 1 ⎟
⎜ x3 ⎟
⎜ 1,9 ⎟
⎟
⎜ 1,1 ⎟
⎜ 1⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜⎝ 1 ⎟⎠
⎟
⎟
⎜
1,3
⎜⎝ x4 ⎟⎠
⎠
⎝
⎠
⎝ 1,5 ⎠
En consecuencia, se ha de verificar:
X ′β F 1 = 1
X ′β F 2 = 0
X ′β F 3 = 0
X ′U = 1
Utilizando Solver se obtiene:
⎛
⎜
X =⎜
⎜
⎜
⎝
0,8913
−1,2034
−1,9449
3,2570
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
b) De acuerdo con lo expuesto se verifica:
4
aq1 =
xi ai =
i=1
= 0,8913 0,10 1,2034 0,12 1,9449 0,13 + 3,2570 0, 09 = 0, 014985
EJEMPLO 5.54
De acuerdo con los datos del ejemplo anterior, ¿cuál debe ser el valor esperado del factor 3 para que el rendimiento esperado de la cartera básica asociada a
dicho factor sea del 15 %?
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Inversiones financieras: selección de car teras
Resolución
Los pesos en la cartera básica asociada al factor 3 verifican:
X ′β F 1 = 0
X ′β F 2 = 0
X ′β F 3 = 1
X ′U = 1
Se obtiene:
⎛
⎜
X =⎜
⎜
⎜
⎝
0, 4566
−1,7314
−1,1530
3, 4278
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Por tanto:
4
aq3 =
xi ai =
i=1
= 0, 4566 0,10 1,7314 0,12 1,1530 0,13 + 3, 4278 0, 09 = 0, 003496
En consecuencia, el rendimiento esperado de la cartera sensible sólo al factor
3 verifica:
Eq3 = −0, 003496 + EF 3 = 0,15
Por tanto, el valor esperado del factor 3 es el 15,3496 %.
5.6. EL MODELO APT
El modelo de valoración por arbitraje68 o modelo APT es un modelo factorial
en el que los diversos factores del mismo están incorrelacionados y no son espe-
68
El modelo de valoración por arbitraje (Arbitrage Pricing Theory) fue formulado por S. A.
Ross (1976).
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
cificados a priori69. En dicho modelo, el rendimiento por período de cualquier
título oscila alrededor de su esperanza matemática, separándose de la misma de
forma aleatoria debido al efecto de diversos factores cuyo comportamiento no es
predecible. Por tanto, el rendimiento de un título en cualquier momento t del
tiempo se puede expresar por la ecuación70:
k
rit = ai + βi1F1t + βi 2 F2t + βi 3 F3t + + βik Fkt + uit = ai + ∑ βih Fht + uit
h=1
En la ecuación anterior tenemos:
ai: valor esperado de la rentabilidad del título i cuando el valor esperado de
los factores es nulo.
Fhth = 1, 2, ..., k; t = 1, 2, 3, ..., T: k factores de riesgo sistemático o k variables
aleatorias explicativas de la rentabilidad del activo i, para T momentos del
tiempo71.
bih: coeficiente beta o coeficiente de volatilidad del activo i con respecto al factor h. Mide la sensibilidad de la rentabilidad del título i a los movimientos
del factor h-ésimo, suponiendo que no haya ningún cambio en los restantes
factores.
uit: errores aleatorios para las T observaciones.
El modelo APT se basa en la hipótesis de ausencia de arbitraje72, de tal forma
que no hay posibilidades de encontrar carteras de arbitraje cuando todos los ac69
Además, se acepta la hipótesis de que existe un gran número de activos individuales, de forma
que la diversificación permite eliminar el riesgo no atribuible a los factores, por lo que el riesgo
específico es nulo.
70
Al ser un modelo factorial, se aceptan las hipótesis propias del mismo que ya hemos señalado.
71
Se admite que la fuente más importante de información sobre las rentabilidades y los factores
que inciden en las mismas viene dada por la observación de tales rentabilidades. Por ello, a partir de
las series históricas de rentabilidad de los títulos pueden obtenerse los valores correspondientes a Fht
a través de métodos estadísticos de análisis multivariante (como el Análisis factorial). Con tales valores, y mediante regresión lineal múltiple, se pueden calcular los coeficientes de sensibilidad a los
distintos factores. Para ello, los valores de la variable dependiente para cada activo son los correspondientes en su serie histórica de rentabilidad, y los valores de la variable independiente son los de
los factores. Además, es importante destacar que en diversos trabajos se han identificado varios
factores explicativos, tales como la tasa de crecimiento en la producción industrial, la tasa de inflación
o el diferencial entre tipos de interés a medio y a largo plazo. Puede verse Alexander et al. (2003: 236)
o Marín, J. M. y Rubio, G. (2001: 352 y 469).
72
Recordemos que el arbitraje es el proceso de obtener ganancias sin soportar riesgo, aprovechando la distinta cotización de un activo en mercados diferentes. Por tanto, el arbitraje consiste en
comprar un determinado activo en el mercado en el que esté más barato y venderlo simultáneamente en el que se cotice más caro, consiguiendo de esta forma un beneficio sin soportar riesgo. O, lo que
es lo mismo, vender en descubierto el activo en el mercado donde su precio sea más alto, comprándolo en el mercado en el que el precio sea más bajo, y entregando el activo para cumplir con la ope-
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Inversiones financieras: selección de car teras
tivos están correctamente valorados y sus rendimientos verifican la siguiente ecuación, en la que los coeficientes l son los parámetros del modelo73:
Ei = λ0 + βi1λ1 + βi 2 λ2 + + βik λk
Una cartera de arbitraje no requiere inversión alguna y tiene sensibilidad cero
con respecto a todos los factores, por lo que carece de riesgo sistemático, y su
rendimiento esperado es distinto de cero. Por tanto, si el modelo postula la inexistencia de carteras de arbitraje, implica que no es posible mejorar el rendimiento
de una inversión si no se aumenta el capital invertido y/o se asume un mayor riesgo. Por otra parte, una cartera de arbitraje tampoco puede tener riesgo específico, por lo que suponemos que el correspondiente a los activos es prácticamente
nulo, para así poder despreciarlo, o bien que el número de activos de la cartera
tiende a infinito.
En general, supongamos un determinado inversor que desea formar una cartera de arbitraje, sabiendo que posee una cartera integrada por n activos cuyas
rentabilidades están vinculadas a k factores de riesgo. Vamos a denominar wi (en
tanto unitario sobre el valor de la cartera que posee el inversor74) al peso de los
títulos de la clase i en la cartera q de arbitraje. Las condiciones que ha de verificar
dicha cartera implican que la misma se formará aumentando la inversión en determinadas clases de activos y vendiendo de otras clases, de tal forma que la cuantía total de las compras se cubra con la de las ventas, pues el inversor no ha de
aportar nuevos recursos. Además, su sensibilidad a todos los factores ha de ser
nula, y su rentabilidad esperada positiva. En consecuencia, tenemos:
w1 + w2 + w3 + + wn =
n
∑ wi = 0
i=1
βqh = w1β1h + w2 β2h + w3β3h + + wn β nh =
n
∑ wi βih = 0
i=1
h = 1, 2, 3,, k
Eq = w1E1 + w2 E2 + w3 E3 + + wn En =
n
∑ wi Ei > 0
i=1
ración de venta. Si estas operaciones las realizan todos los inversores, las posibilidades de ganancia
se anulan, pues se igualarán los precios en ambos mercados. El modelo APT supone que no existen
oportunidades de arbitraje.
73
Dichos parámetros pueden obtenerse por regresión del vector de rentabilidades esperadas de
los activos sobre los coeficientes de volatilidad.
74
Para formar una cartera de arbitraje, si wi > 0 se ha de efectuar una compra, y si wi < 0 es
preciso realizar una venta.
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Si consideramos el vector W de pesos, el vector U de unos, los de sensibilidades de los activos con respecto a cada uno de los k factores y el de rendimientos
esperados E de los activos, tenemos:
W =
1h
1
1
2h
;U = 1 ; Fh = 3h
1
nh
wn w1
w2
w3
E1 E2 ; h = 1, 2, 3,, k; E = E3 En WU = 0
W Fh = 0
W E > 0
h = 1, 2, 3,, k
Para determinar el valor de las n incógnitas nos encontramos con k + 1 ecuaciones y una inecuación, por lo que, en general, existirán infinitas soluciones o
infinitas carteras de arbitraje. Por tanto, para obtener carteras de arbitraje será
preciso fijar algunos de los pesos y obtener a partir de éstos el valor de los restantes. Se habrá obtenido efectivamente una cartera de arbitraje cuando la rentabilidad esperada de la misma sea positiva75. Ahora bien, el modelo se fundamenta en
la hipótesis de que el mercado estará en equilibrio y los activos correctamente
valorados cuando no se puedan formar carteras de arbitraje con rendimiento distinto de cero76, debiéndose verificar, en consecuencia, Eq = 0. Por tanto, las ecuaciones del modelo son77:
75
Si un conjunto de valores del vector de proporciones da un rendimiento esperado negativo, al
multiplicar cada uno por −1 se obtiene una cartera de arbitraje con rendimiento esperado positivo.
76
Por tanto, un inversor no puede obtener una rentabilidad adicional si no realiza aportación
de recursos financieros y/o acepta incrementar su riesgo.
77
Además, tal y como hemos señalado, las carteras de arbitraje carecen de riesgo, por lo que el
n
riesgo específico también ha de ser nulo, para lo cual es preciso que se verifique:
∑ wi ui = 0.
i=1
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Inversiones financieras: selección de car teras
w1 + w2 + w3 + + wn = 0
βq1 = w1β11 + w2 β21 + w3β31 + + wn β n1 = 0
βq2 = w1β12 + w2 β22 + w3β32 + + wn β n2 = 0
βq3 = w1β13 + w2 β23 + w3β33 + + wn β n3 = 0
βqk = w1β1k + w2 β2 k + w3β3k + + wn β nk = 0
Eq = w1E1 + w2 E2 + w3 E3 + + wn En = 0
O bien expresadas en forma matricial:
W′U = 0
W ′ βF 1 = 0
W ′ βF 2 = 0
W ′ βF 3 = 0
W ′ β Fk = 0
W′ E = 0
Las expresiones anteriores constituyen un sistema homogéneo de k + 2 ecuaciones con n incógnitas, en el que se verifica que el vector W′ es ortogonal al vector unitario U y a los k vectores columna bF. Por tanto, el vector E es combinación
lineal de los k + 1 vectores precedentes, por lo que existen k + 1 coeficientes l que
verifican:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜⎝
⎛
⎞
⎛ 1⎞
⎜
⎟
⎜ 1⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎟ = λ0 ⎜ 1 ⎟ + λ1 ⎜
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎟
⎜
⎜ 1⎟
⎜
⎝ ⎠
En ⎟⎠
⎝
E1
E2
E3
β11
β21
β31
β n1
⎞
⎛
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ + λ2 ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
β12
β22
β32
β n2
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟ + λ3 ⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝
β13
β23
β33
β n3
⎞
⎛
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ + + λk ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
β1k
β2 k
β3k
β nk
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
En consecuencia, para cualquier activo i la ecuación general del modelo APT es:
k
Ei = λ0 + βi1λ1 + βi 2 λ2 + + βik λk = λ0 + ∑ βih λh
h=1
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Supongamos la existencia de un activo libre de riesgo con rentabilidad rf.
Como dicho activo tiene sensibilidad nula con respecto a todos los factores, se
verifica: l0 = rf. Por otra parte, supongamos un activo j con sensibilidad unitaria
a un solo factor h y nula con respecto a los demás78. Según la ecuación del APT,
su rentabilidad esperada verifica:
E j = λ0 + β jh λh = λ0 + λh ⇒ λh = E j − λ0
Como la rentabilidad esperada del título j sólo depende del factor h, dicha
rentabilidad ha de coincidir con el valor esperado del citado factor, verificándose:
Ej = EFh. Por tanto:
λh = EFh − λ0 ; h = 1, 2, , k
Tenemos, pues, que los coeficientes l son las primas por unidad de riesgo sistemático con respecto a cada factor79, pudiéndose expresar la ecuación del APT
de la forma siguiente:
(
)
(
)
(
)
(
Ei = rf + βi1 EF 1 − rf + βi 2 EF 2 − rf + βi 3 EF 3 − rf + + βik EFk − rf
)
Si existiese únicamente un factor de riesgo k, la ecuación anterior quedaría:
(
Ei = rf + βik EFk − rf
)
Si ese único factor es la cartera de mercado, la ecuación anterior es la correspondiente a la SML. Por tanto, el CAPM es un caso particular del APT en el que
sólo existe un factor de riesgo.
EJEMPLO 5.55
Un inversor posee una cartera integrada por los activos que se indican, de
los cuales se sabe que su proceso generador de rendimientos es un modelo factorial con tres factores de riesgo sistemático, y que el riesgo propio de los títulos
es prácticamente nulo. Los datos correspondientes a dicha cartera son los siguientes:
78
O una cartera básica, factorial o cartera réplica de dicho factor, tal y como la hemos definido
con anterioridad.
79
Lógicamente, lh = EFh − l0 representa la prima de riesgo asociada al factor h.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Activos
Inversión
Rentabilidad
esperada
Sensibilidad
al factor 1
Sensibilidad
al factor 2
Sensibilidad
al factor 3
1
138.000
19,9254 %
0,8
1,5
−0,1
2
132.000
22,9612 %
1,2
1,8
−0,3
3
102.000
20,7592 %
1,4
0,6
0,7
4
120.000
23,5084 %
0,9
0,4
1,1
5
108.000
20,4291 %
0,6
1,5
0,4
a) Formar una cartera de arbitraje.
b) Calcular la rentabilidad de la nueva cartera del inversor si se modifica la
cartera inicial de acuerdo con la cartera de arbitraje obtenida.
Resolución
a) De acuerdo con lo expuesto, se verifica:
w1 + w2 + w3 + w4 + w5 = 0
βq1 = 0,8w1 + 1,2w2 + 1, 4w3 + 0,9w4 + 0,6w5 = 0
βq2 = 1,5w1 + 1,8w2 + 0,6w3 + 0, 4w4 + 1,5w5 = 0
βq3 = −0,1w1 − 0,3w2 + 0,7w3 + 1,1w4 + 0, 4w5 = 0
Eq = 0,199254w1 + 0,229612w2 + 0,207592w3 + 0,235084w4 + 0,204291w5 > 0
Tenemos cuatro ecuaciones y cinco incógnitas, por lo que el sistema de ecuaciones es indeterminado, admitiendo infinitas soluciones. Valdrán las soluciones
que impliquen un rendimiento esperado positivo. Así, por ejemplo, si se invierte
en los activos de la clase 1 un 20 % del valor actual de mercado de la cartera
(600.000 €), o sea, se compran activos de dicha clase por valor de 120.000 €, tenemos un sistema determinado:
w2 + w3 + w4 + w5 = −0,20
1,2w2 + 1, 4w3 + 0,9w4 + 0,6w5 = −0,16
1,8w2 + 0,6w3 + 0, 4w4 + 1,5w5 = −0,30
−0,3w2 + 0,7w3 + 1,1w4 + 0, 4w5 = 0, 02
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Podemos resolver el sistema anterior utilizando el método de la matriz inversa.
En la hoja correspondiente de Excel obtenemos la solución:
Si con las ponderaciones anteriores calculamos la rentabilidad de la cartera de
arbitraje se obtiene un valor negativo. Por ello, multiplicamos los valores anteriores por −1 para así formar una cartera de arbitraje con rentabilidad esperada
positiva. En consecuencia, el vector de proporciones (sobre el valor de mercado
de la cartera poseída por el inversor) es:
Calculamos la rentabilidad esperada de la cartera de arbitraje mediante la
expresión matricial Eq = W′E, obteniendo un 2,7459 %.
La cartera de arbitraje anterior implica vender activos de la clase 1 por importe del 20 % del valor de la cartera inicial; comprar de la clase 2 por importe del
46,2264 % de dicho valor; vender de la clase 3 por importe del 49,6226 %; comprar
de la clase 4 por importe del 53,2075 %, y vender una cuantía de activos de la clase 5 por valor del 29,8113 % de 600.000. Si realiza tales operaciones, el valor de la
nueva cartera no se modifica, ni el riesgo sistemático, pues los coeficientes de
sensibilidad de la cartera de arbitraje son nulos. Como hemos supuesto que el
riesgo específico es prácticamente despreciable, tampoco se modifica el mismo. En
consecuencia, si se realizan las operaciones anteriores se obtiene una rentabilidad
adicional sin incrementar la inversión y sin aumentar el riesgo. La composición
de la nueva cartera es:
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Inversiones financieras: selección de car teras
b) Si calculamos la rentabilidad esperada de la cartera inicial obtenemos un
valor del 21,5423 %. Si el inversor modifica su cartera inicial de acuerdo con los
pesos de la cartera de arbitraje, construye una nueva cartera cuyos pesos son los
iniciales incrementados en los de la cartera de arbitraje:
⎛
⎜
⎜
X =⎜
⎜
⎜
⎜⎝
0, 03
0,682264
−0,326226
0,732075
−0,118113
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
La nueva cartera tiene una rentabilidad estimada del 24,2881 %, que es la
suma de la rentabilidad esperada de la cartera inicial (21,5423 %) con la rentabilidad de la cartera de arbitraje (2,7459 %).
Tal y como hemos señalado, el modelo APT acepta la hipótesis de que las
carteras de arbitraje no son posibles, o su rentabilidad esperada es nula, pues el
juego de la oferta y la demanda de los títulos hará que la cotización de mercado
de los mismos se acerque a su valor teórico de acuerdo con el tanto de rendimiento esperado dado por la ecuación de dicho modelo80. Por tanto, para que el
mercado esté en equilibrio, o sea, que los activos estén correctamente valorados de acuerdo con su nivel de riesgo, el modelo supone que un inversor no puede obtener una rentabilidad adicional si no realiza aportación de recursos financieros y/o acepta incrementar su riesgo. Para ello, la rentabilidad esperada de
cada uno de los activos del mercado, y de las carteras, ha de verificar la ecuación
del APT.
También podemos obtener la composición de la cartera de arbitraje utilizando
las expresiones matriciales indicadas anteriormente, siendo:
F 1
=
0,8
1,2
1, 4
0,9
0,6
1,5 0,1 1,8 0,3 ; F 2 = 0,6 ; F 3 = 0,7 0,4 1,1 1,5 0,4 80
De igual forma que para el CAPM, y utilizando la metodología estadística adecuada, también
se han realizado múltiples trabajos de investigación a fin de contrastar la validez del modelo APT.
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
En la hoja de cálculo correspondiente implementamos las expresiones matriciales siguientes:
W′U = 0
W ′ β Fh = 0
h = 1, 2, 3
Utilizamos Solver considerando como función objetivo con valor cero la expresión W′U. Las restricciones son las sensibilidades de la cartera de arbitraje,
con valor cero, y el peso de los activos de la clase 1 con valor del 20 %. Como
todas las ecuaciones son de primer grado podemos adoptar el modelo lineal, obteniendo, como es lógico, los mismos resultados que los iniciales anteriores.
EJEMPLO 5.56
Con los datos del ejemplo anterior, formar una cartera de arbitraje de tal forma que el peso de los títulos de la clase 2 en dicha cartera sea del 30 %.
Resolución
Se ha de verificar:
w1 + 0,30 + w3 + w4 + w5 = 0
βq1 = 0,8w1 + 1,2 × 0,30 + 1, 4w3 + 0,9w4 + 0,6w5 = 0
βq2 = 1,5w1 + 1,8 × 0,30 + 0,6w3 + 0, 4w4 + 1,5w5 = 0
βq3 = −0,1w1 − 0,3 × 0,30 + 0,7w3 + 1,1w4 + 0, 4w5 = 0
Eq = 0,199254w1 + 0,229612 × 0,30 + 0,207592w3 + 0,235084w4 + 0,204291w5 > 0
Resolviendo el sistema por el método de la matriz inversa, se obtiene:
En consecuencia, el conjunto solución es:
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Inversiones financieras: selección de car teras
Al calcular el rendimiento esperado mediante la expresión matricial Eq = W′E,
obtenemos un 1,7820 %.
b) O bien en forma matricial:
W′U = 0
W ′ β Fh = 0
h = 1, 2, 3
w2 = 30%
Utilizamos Solver y obtenemos los mismos resultados que anteriormente.
EJEMPLO 5.57
Con los datos del ejemplo anterior, se pide:
a) Formar una cartera de arbitraje que implique ventas del activo de la clase
5 por importe de 90.000 €.
b) Formar una cartera de arbitraje de tal forma que su rendimiento esperado
sea del 2,5 % del valor de la cartera inicial que posee el inversor.
Resolución
a.1) Teniendo en cuenta que la cartera que posee el inversor tiene un valor
actual de mercado de 600.000 €, una cartera de arbitraje en la que se vendan activos de la clase 5 por importe de 90.000 € implica que el peso correspondiente sea:
w5 = −
90.000
= −15%
600.000
Para determinar los restantes pesos tenemos:
w1 + w2 + w3 + w4 − 0,15 = 0
βq1 = 0,8w1 + 1,2w2 + 1, 4w3 + 0,9w4 − 0,6 × 0,15 = 0
βq2 = 1,5w1 + 1,8w2 + 0,6w3 + 0, 4w4 − 1,5 × 0,15 = 0
βq3 = −0,1w1 − 0,3w2 + 0,7w3 + 1,1w4 − 0, 4 × 0,15 = 0
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Al resolver mediante la matriz inversa, y teniendo en cuenta que w5 = −0,15,
los pesos en la cartera de arbitraje son:
a.2) En forma matricial:
W′U = 0
W ′ β Fh = 0
h = 1, 2, 3
w5 = −15%
Se obtienen los mismos resultados que anteriormente, siendo la rentabilidad
esperada de la cartera de arbitraje: Eq = W′E = 1,3816 %.
b.1) Una cartera de arbitraje con rendimiento esperado del 2,5 % ha de verificar:
w1 + w2 + w3 + w4 + w5 = 0
βq1 = 0,8w1 + 1,2w2 + 1, 4w3 + 0,9w4 + 0,6w5 = 0
βq2 = 1,5w1 + 1,8w2 + 0,6w3 + 0, 4w4 + 1,5w5 = 0
βq3 = −0,1w1 − 0,3w2 + 0,7w3 + 1,1w4 + 0, 4w5 = 0
Eq = 0,199254w1 + 0,229612w2 + 0,207592w3 + 0,235084w4 + 0,204291w5 = 2,5%
Tenemos un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas. Al resolver obtenemos:
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Inversiones financieras: selección de car teras
b.2) En forma matricial:
W′U = 0
W ′ β Fh = 0
h = 1, 2, 3
W ′ E = 2,5%
Se obtienen los mismos resultados que anteriormente.
b.3) Anteriormente hemos calculado la rentabilidad esperada de la cartera
inicial, obteniendo un valor del 21,5423 %. Si el inversor modifica su cartera inicial de acuerdo con los pesos de la cartera de arbitraje anterior, construye una
nueva cartera cuyos pesos son los iniciales incrementados en los de la cartera de
arbitraje. La nueva cartera es:
La nueva cartera tiene una rentabilidad estimada del 24,0423 %, que es la
suma de la rentabilidad esperada de la cartera inicial (21,5423 %) con la rentabilidad de la cartera de arbitraje (2,5 %). Vemos que, efectivamente, sin realizar
nuevas aportaciones a la cartera ni asumir más riesgo, se espera obtener una rentabilidad adicional del 2,5 %. Tal situación no sería posible si todos los activos
estuviesen correctamente valorados y sus rendimientos esperados verificasen la
ecuación del APT. En cualquier caso, el juego de la oferta y la demanda de los
títulos en el mercado hará que los precios se vayan ajustando hasta la desaparición de las oportunidades de arbitraje.
EJEMPLO 5.58
Se dispone de las siguientes series históricas de rentabilidades de cinco activos
y de los valores tomados por dos factores. Supongamos que, realizadas las pruebas estadísticas correspondientes, se comprueba que los rendimientos de los activos están vinculados a los factores que se señalan. Formular el modelo APT
empírico.
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Resolución
De acuerdo con lo expuesto, en primer lugar estimamos los coeficientes de
regresión81. Para ello utilizamos la función Regresión. Obtenemos la siguiente
matriz de sensibilidades o de betas, en la que también incluimos las rentabilidades esperadas obtenidas como el promedio de los rendimientos pasados de cada
activo:
Una vez obtenidas las betas, los parámetros l del modelo APT se estiman por
regresión del vector de rentabilidades esperadas de los activos sobre los coeficientes de volatilidad. Se obtienen los siguientes resultados82:
λ0 = 0,134007; λ1 = 0, 081476; λ2 = 0, 066579
Por tanto, la ecuación estimada del modelo APT es:
Ei = 0,134007 + 0, 081476βi1 + 0, 066579βi 2
EJEMPLO 5.59
Supongamos que en un mercado financiero existen los siguientes activos, cuyas
rentabilidades están influenciadas por tres factores relevantes, pudiéndose considerar que el riesgo específico de tales activos es prácticamente nulo:
81
De acuerdo con lo que hemos señalado, en la práctica, para estimar el modelo, es preciso
disponer de un mayor número de activos. Además, una vez obtenidos los coeficientes de regresión,
es necesario medir la bondad del ajuste a través del coeficiente de determinación y realizar los contrastes de hipótesis para el análisis de la significación de tales coeficientes. Todo ello es ajeno al objetivo de nuestro texto y puede estudiarse en cualquier manual de Econometría.
82
También para estos coeficientes es preciso realizar los contrastes indicados anteriormente.
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409
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Inversiones financieras: selección de car teras
Activos
Rentabilidad
esperada
Sensibilidad al
factor 1
Sensibilidad al
factor 2
Sensibilidad al
factor 3
1
17,95 %
1,1
1,4
1,3
2
13,45 %
2,4
2,6
−1,1
3
13,15 %
3,1
2,3
−1,5
4
17,75 %
1,4
−1,4
2,3
Se pide:
a) Ecuación del modelo APT para dichos activos.
b) Indicar si los activos A4 y A5 están bien valorados, sabiendo que, de acuerdo con su cotización actual de mercado, el rendimiento esperado es el
16,40 % y el 15,60 %, respectivamente, siendo, además:
Activos
Sensibilidad al
factor 1
Sensibilidad al
factor 2
Sensibilidad al
factor 3
5
0,6
1,5
0,4
6
1,6
0,8
1,8
Resolución
a) Los parámetros de la ecuación del modelo APT los podemos estimar a
través de la regresión lineal del rendimiento esperado de los cuatro activos sobre
sus betas, obteniéndose:
λ0 = 0, 06; λ1 = 0, 03; λ2 = 0, 02; λ3 = 0, 045
Por tanto, la ecuación del modelo APT es:
Ei = 0, 06 + 0, 03βi1 + 0, 02 βi 2 + 0, 045βi 3
Como disponemos de los datos de cuatro activos y es preciso determinar el
valor de cuatro parámetros, también podemos calcularlos sustituyendo los valores
de la rentabilidad esperada y los de las betas en la ecuación del APT y resolviendo
el sistema de ecuaciones correspondiente83:
83
En el caso más general en el que el número de ecuaciones supere al de incógnitas, los parámetros del modelo se obtienen por regresión lineal.
410
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
0,1795 = λ0 + 1,1λ1 + 1, 4λ2 + 1,3λ3
0,1345 = λ0 + 2, 4λ1 + 2,6λ2 − 1,1λ3
0,1315 = λ0 + 3,1λ1 + 2,3λ2 − 1,5λ3
0,1775 = λ0 + 1, 4λ1 − 1, 4λ2 + 2,3λ3
Con el método de la matriz inversa obtenemos lógicamente los mismos valores
que mediante la regresión lineal.
b.1) De acuerdo con la ecuación del APT, la rentabilidad esperada del activo A4 es:
E4 = 0, 06 + 0, 03 × 0,6 + 0, 02 × 1,5 + 0, 045 × 0, 4 = 12,60%
En función de su precio actual de mercado, el activo A4 ofrece un rendimiento
esperado del 16,40 %, que es superior al que le corresponde según su nivel de riesgo (12,60 %). Por tanto, su cotización actual es inferior a la de equilibrio, por lo
que está infravalorado.
b.2) De acuerdo con la ecuación del APT, la rentabilidad esperada del activo A5 es:
E5 = 0, 06 + 0, 03 × 1,6 + 0, 02 × 0,8 + 0, 045 × 1,8 = 20,50%
El activo A5 ofrece un rendimiento actual (15,60 %) inferior al que le corresponde según su nivel de riesgo (20,50 %). Por tanto, su cotización actual es superior a la de equilibrio, por lo que está sobrevalorado.
EJEMPLO 5.60
Supongamos que en el mercado existen los siguientes activos, cuyos rendimientos están vinculados a tres factores de riesgo, siendo prácticamente nulo el
riesgo específico de dichos activos:
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Activos
Rentabilidad
esperada
Sensibilidad
al factor 1
Sensibilidad
al factor 2
Sensibilidad
al factor 3
1
16,50 %
1,2
1,3
1,4
2
12,60 %
2,4
2,1
−1,2
3
13,30 %
3,4
2,3
−1,6
4
17,80 %
1,4
−1,4
2,3
5
15,80 %
1,7
0,8
1,8
411
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Inversiones financieras: selección de car teras
Para un inversor que puede invertir en los citados activos, identificar una cartera de arbitraje.
Resolución
De acuerdo con los datos disponibles, el inversor no posee una cartera para
modificar, sino que puede invertir y formar, si existe, una cartera de arbitraje. Sea
Ii la cuantía invertida (no el porcentaje) en el activo i e Ip el total invertido formando una cartera cualquiera p. Por tanto, en función de las cuantías invertidas, y
para n activos y k factores, el total invertido y el resultado de la cartera p verifican,
respectivamente:
n
Ip =
Ii = I U
i=1
Gp =
n
=
n
n
i=1
i=1
Ii ri = Ii (ai + i1F1 + i 2 F2 + i 3F3 + + ik Fk + ui ) =
n
n
n
n
i=1
i=1
i=1
i=1
n
Ii ai + Ii i1F1 + Ii i 2 F2 + Ii i 3F3 + + Ii ik Fk + Ii ui
i=1
i=1
Por tanto, cualquier coeficiente beta de la cartera p, expresado en unidades
monetarias, es:
β ph =
n
∑ Ii βih = I ′ β Fh ; h = 1, 2, , k
i=1
Si existe una cartera q de arbitraje, la misma ha de tener inversión total nula
y también deben ser nulos sus coeficientes beta. Por tanto, se verifica:
Iq = 0 ⇒ I ′ U = 0
βqh =
n
∑ Ii βih = 0 ⇒ I ′ β Fh = 0
i=1
h = 1, 2, , k
De acuerdo con los datos disponibles, tenemos:
F 1
412
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=
1,2
2, 4
3, 4
1, 4
1,7
1,3 1,4 2,1 1,2 ; F 2 = 2,3 ; F 3 = 1,6 1,4 2,3 0,8 1,8 © Ediciones Pirámide
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
En la hoja de cálculo correspondiente implementamos las expresiones matriciales siguientes:
IU = 0
I Fh = 0
h = 1, 2, 3
a) Tenemos un sistema de cuatro ecuaciones con cinco incógnitas, por lo que
admite infinitas soluciones, siendo válidas las que proporcionen para la cartera de
arbitraje un rendimiento esperado positivo. Podemos utilizar Solver para obtener
un conjunto de valores para las cinco incógnitas. Para ello consideramos como
función objetivo con valor cero la expresión I′U, siendo las restricciones, con valor cero, las sensibilidades de la cartera de arbitraje. Además, para que las cuantías a comprar o a vender no sean muy pequeñas, consideramos como restricción
que, por ejemplo, en el activo de la clase uno, el importe invertido sea de 1.000 €.
Al ser las ecuaciones de primer grado, podemos adoptar el modelo lineal. Las
cuantías obtenidas son:
⎛
⎜
⎜
I =⎜
⎜
⎜
⎜⎝
1.000, 00
−885,87
689,59
173,98
−977,70
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
La cartera anterior supone comprar activos de las clases correspondientes a las cuantías positivas (activos 1, 3 y 4), vendiendo en descubierto los de
las clases 2 y 5. De esta forma, el resultado de la cartera, o margen por arbitraje, es de 21,59 €, obtenido según la expresión: Gq = I′E. No se puede hablar de
tanto esperado de rendimiento, sino de un resultado de la cartera, pues la inversión en la cartera de arbitraje es cero. Indiquemos, además, que el resultado anterior se obtiene sin realizar desembolso alguno y sin soportar ningún
riesgo.
Podemos determinar los flujos de caja esperados para la cartera anterior en
un período. Así, por comprar 1.000 € del activo 1, se realiza un desembolso inicial
de 1.000, percibiendo al final del período 1.000 × 1,1650 = 1.165 €. Por la venta
en descubierto del activo 2 se percibe inicialmente 885,87 €, debiendo abonar al
final del período 885,87 × 1,1260 = 997,49 €. Se procede de igual forma para los
demás activos. Se sintetizan todos los resultados en la siguiente tabla:
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413
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Inversiones financieras: selección de car teras
Activos
Operación
Flujo inicial
Flujo final
−1.000,00
1.165,00
885,87
−997,49
1
Comprar
2
Venta en descubierto
3
Comprar
−689,59
781,31
4
Comprar
−173,98
204,95
5
Venta en descubierto
977,70
−1.132,18
0,00
21,59
Suma
b) Si en lugar de comprar 1.000 € de activos de la clase 1, ponemos en Solver
como restricción comprar, por ejemplo, 30.000 €, el resultado de la cartera de
arbitraje sería de 647,63 €.
EJEMPLO 5.61
Supongamos que en el mercado existen los siguientes activos que se consideran correctamente valorados según el modelo APT. Los rendimientos correspondientes están vinculados a tres factores de riesgo, siendo prácticamente nulo el
riesgo específico de dichos activos:
Activos
Rentabilidad
esperada
Sensibilidad
al factor 1
Sensibilidad
al factor 2
Sensibilidad
al factor 3
1
26,00 %
1,20
1,50
1,20
2
14,10 %
2,10
2,40
−1,30
3
20,10 %
3,10
2,30
−1,40
4
29,60 %
1,20
−1,50
2,40
Se pide:
a) Ecuación del modelo APT para los activos correctamente valorados.
b) Indicar si los activos A5 y A6 están bien valorados, sabiendo que, de acuerdo con su cotización actual de mercado, el rendimiento esperado es el
25 % y el 23 %, respectivamente, siendo, además:
414
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28/11/12 16:25
Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
c)
Activos
Sensibilidad
al factor 1
Sensibilidad
al factor 2
Sensibilidad
al factor 3
5
1,6
1,4
0,5
6
1,3
0,8
1,6
Si los activos A5 y A6 no estuviesen correctamente valorados, identificar
una cartera de arbitraje.
Resolución
a) Con los activos correctamente valorados, sabemos que los parámetros de
la ecuación del modelo APT los podemos estimar a través de la regresión lineal
del rendimiento esperado de los activos sobre sus betas, obteniéndose:
λ0 = 0, 05; λ1 = 0, 07; λ2 = 0, 02; λ3 = 0, 08
Por tanto, la ecuación del modelo APT es:
Ei = 0, 05 + 0, 07 βi1 + 0, 02 βi 2 + 0, 08βi 3
También podemos calcular los coeficientes sustituyendo los valores de la rentabilidad esperada y los de las betas en la ecuación del APT y resolviendo el sistema de ecuaciones correspondiente:
0,2600 = λ0 + 1,2 λ1 + 1,5λ2 + 1,2 λ3
0,1410 = λ0 + 2,1λ1 + 2, 4λ2 − 1,3λ3
0,2010 = λ0 + 3,1λ1 + 2,3λ2 − 1, 4λ3
0,2910 = λ0 + 1,2 λ1 − 1,5λ2 + 2, 4λ3
Con el método de la matriz inversa obtenemos lógicamente los mismos valores
que mediante la regresión lineal.
b.1) De acuerdo con la ecuación del APT, la rentabilidad esperada del activo A5 es:
E5 = 0, 05 + 0, 07 × 1,6 + 0, 02 × 1, 4 + 0, 08 × 0,5 = 23%
En función de su precio actual de mercado, el activo A5 ofrece un rendimiento
esperado del 25 %, que es superior al que le corresponde según su nivel de riesgo
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Inversiones financieras: selección de car teras
(23 %). Por tanto, su cotización actual es inferior a la de equilibrio, por lo que está
infravalorado.
b.2) De acuerdo con la ecuación del APT, la rentabilidad esperada del activo A6 es:
E6 = 0, 05 + 0, 07 × 1,3 + 0, 02 × 0,8 + 0, 08 × 1,6 = 28,50%
El activo A6 ofrece un rendimiento actual del 23 %, que es inferior al que le
corresponde según su nivel de riesgo (28,50 %). Por tanto, su cotización actual es
superior a la de equilibrio, por lo que está sobrevalorado.
c.1) Hemos visto que el activo A5 está infravalorado en el mercado, cotizándose a un precio inferior al de equilibrio, por lo que, para diseñar una cartera de
arbitraje, debe comprarse. Dicha cartera estará formada por los cuatro primeros
activos y por el A5 con una inversión positiva, pues debe comprarse.
Si existe una cartera q de arbitraje, formada por los activos indicados, la misma ha de tener inversión total nula y también deben ser nulos sus coeficientes
beta. Por tanto, se verifica:
Iq = 0 ⇒ I ′ U = 0
βqh =
5
∑ Ii βih = 0 ⇒ I ′ β Fh = 0
i=1
h = 1, 2, 3
De acuerdo con los datos disponibles, para los activos del 1 al 5, tenemos:
βF 1
⎛
⎜
⎜
=⎜
⎜
⎜
⎜⎝
1,2
2,1
3,1
1,2
1,6
⎞
⎛ 1,5 ⎞
⎛ 1,2
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜ 2, 4 ⎟
⎜ −1,3
⎟ ; β F 2 = ⎜ 2,3 ⎟ ; β F 3 = ⎜ −1, 4
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜ −1,5 ⎟
⎜ 2, 4
⎟⎠
⎜⎝ 1, 4 ⎟⎠
⎜⎝ 0,5
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
En la hoja de cálculo correspondiente implementamos las expresiones matriciales siguientes:
I′U = 0
I ′ β Fh = 0
h = 1, 2, 3
416
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
Tenemos un sistema de cuatro ecuaciones con cinco incógnitas, por lo que
admite infinitas soluciones, siendo válidas las que proporcionen para la cartera de
arbitraje un rendimiento esperado positivo. Podemos utilizar Solver para obtener
un conjunto de valores para las cinco incógnitas. Para ello consideramos como
función objetivo con valor cero la expresión I′U, siendo las restricciones, con valor cero, las sensibilidades de la cartera de arbitraje. Además, consideramos como
restricción que en el activo de la clase cinco (el que está incorrectamente valorado)
el importe a comprar sea de, por ejemplo, 1.000 €. Al ser las ecuaciones de primer
grado, podemos adoptar el modelo lineal. Las cuantías obtenidas son:
⎛
⎜
⎜
I =⎜
⎜
⎜
⎜⎝
−528,30
−245,28
−94,34
−132, 08
1.000, 00
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
La cartera anterior supone vender en descubierto activos de las clases correspondientes a las cuantías negativas, para financiar la compra de activos de la
clase 5 por importe de 1.000 €. De esta forma, el resultado de la cartera, o margen
por arbitraje, es de 20 €, obtenido según la expresión: Gq = I′E. No se puede hablar de tanto esperado de rendimiento, sino de un resultado de la cartera, pues la
inversión en la cartera de arbitraje es cero. Indiquemos, además, que el resultado
anterior se obtiene sin realizar desembolso alguno y sin soportar ningún riesgo.
Podemos determinar los flujos de caja esperados para la cartera anterior en
un período, sintetizándose todos los resultados en la siguiente tabla:
Activos
Operación
Flujo inicial
Flujo final
1
Venta en descubierto
528,30
−665,66
2
Venta en descubierto
245,28
−279,87
3
Venta en descubierto
94,34
−113,30
4
Venta en descubierto
132,08
−171,17
5
Comprar
−1.000,00
1.250,00
0,00
20,00
Suma
Vemos que, efectivamente, invirtiendo 1.000 € en el activo mal valorado y financiando dicha inversión con la venta en descubierto de los restantes, al cabo de
un período se obtiene un resultado de 20 €.
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417
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Inversiones financieras: selección de car teras
c.2) Hemos visto que el activo A6 está sobrevalorado en el mercado, cotizándose a un precio superior al de equilibrio, por lo que, para diseñar una cartera de
arbitraje, debe venderse. Dicha cartera estará formada por los cuatro primeros
activos y por el A6 con una inversión negativa, pues debe venderse.
Si existe una cartera q de arbitraje, la misma ha de tener inversión total nula
y también deben ser nulos sus coeficientes beta. Por tanto, se verifica:
Iq = 0 ⇒ I ′ U = 0
βqh =
∑ Ii βih = 0 ⇒ I ′ β Fh = 0
h = 1, 2, 3
De acuerdo con los datos disponibles, para los activos del 1 al 4 y el 6, tenemos:
βF 1
⎛
⎜
⎜
=⎜
⎜
⎜
⎜⎝
1,2
2,1
3,1
1,2
1,3
⎞
⎛ 1,5 ⎞
⎛ 1,2
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜ 2, 4 ⎟
⎜ −1,3
⎟ ; β F 2 = ⎜ 2,3 ⎟ ; β F 3 = ⎜ −1, 4
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜ −1,5 ⎟
⎜ 2, 4
⎟⎠
⎜⎝ 0,8 ⎟⎠
⎜⎝ 1,6
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
En la hoja de cálculo correspondiente implementamos las expresiones matriciales siguientes:
I′U = 0
I ′ β Fh = 0
h = 1, 2, 3
Tenemos un sistema de cuatro ecuaciones con cinco incógnitas, por lo que
admite infinitas soluciones, siendo válidas las que proporcionen para la cartera
de arbitraje un rendimiento esperado positivo. Podemos utilizar Solver para
obtener un conjunto de valores para las cinco incógnitas. Para ello consideramos como función objetivo con valor cero la expresión I′U, siendo las restricciones, con valor cero, las sensibilidades de la cartera de arbitraje. Además,
consideramos como restricción que, en el activo de la clase seis (el que está incorrectamente valorado), el importe a vender sea de, por ejemplo, 1.000 €. Al ser
las ecuaciones de primer grado podemos adoptar el modelo lineal. Las cuantías
obtenidas son:
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
⎛ 858, 49
⎜
⎜ −226, 42
I = ⎜ 159,88
⎜
⎜ 208, 04
⎜⎝ −1.000, 00
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
De esta forma, el resultado de la cartera, o margen por arbitraje, es de 55 €,
obtenido según la expresión: Gq = I′E. El resultado anterior se obtiene sin realizar
desembolso alguno y sin soportar ningún riesgo.
Podemos determinar los flujos de caja esperados para la cartera anterior en
un período, sintetizándose todos los resultados en la siguiente tabla:
Activos
Operación
1
Comprar
2
Venta en descubierto
3
Flujo inicial
Flujo final
−858,49
1.081,70
226,42
−258,34
Comprar
−159,88
192,02
4
Comprar
−208,04
269,62
6
Venta en descubierto
1.000,00
−1.230,00
0,00
55,00
Suma
EJEMPLO 5.62
Con los datos correspondientes a los seis activos del ejemplo anterior, diseñar
una cartera de arbitraje para que el resultado de la misma sea una ganancia no
inferior a 10.000 €.
Resolución
Se tiene:
βF 1
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⎛
⎜
⎜
⎜
=⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1,2
2,1
3,1
1,2
1,6
1,3
⎞
⎛ 1,5
⎟
⎜
⎟
⎜ 2, 4
⎟
⎜ 2,3
⎟ ; βF 2 = ⎜
⎟
⎜ −1,5
⎟
⎜ 1, 4
⎟
⎜
⎠
⎝ 0,8
⎛ 0,2600 ⎞
⎞
⎛ 1,2 ⎞
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜ 0,1410 ⎟
⎟
⎜ −1,3 ⎟
⎜ 0,2010 ⎟
⎟
⎜ −1, 4 ⎟
⎟
⎟ ; βF 3 = ⎜
⎟ E=⎜
⎜ 0,2960 ⎟
⎟
⎜ 2, 4 ⎟
⎜ 0,2500 ⎟
⎟
⎜ 0,5 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝ 0,2300 ⎠
⎠
⎝ 1,6 ⎠
419
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Inversiones financieras: selección de car teras
La cartera de arbitraje ha de verificar:
I′U = 0
I ′ β Fh = 0
h = 1, 2, 3
Gq = I ′ E ≥ 10.000
Implementamos las expresiones anteriores en la hoja de cálculo y utilizamos
Solver, tal y como hemos señalado, obteniéndose:
139.750,17 66.188,01 26.335,09 I =
33.557,84 76.260,13 209.715,22 El beneficio de la operación de arbitraje es de 13.059,54 €, obtenido de acuerdo con la expresión Gq = I′E.
Los flujos de caja esperados para la cartera anterior en un período son los
siguientes:
Activos
Operación
1
Comprar
2
Venta en descubierto
3
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Flujo final
−139.750,17
176.085,22
66.188,01
−75.520,52
Comprar
−26.335,09
31.628,45
4
Comprar
−33.557,84
43.490,96
5
Comprar
−76.260,13
95.325,16
6
Venta en descubierto
209.715,22
−257.949,73
0,00
13.059,54
Suma
420
Flujo inicial
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
EJEMPLO 5.63
Supongamos que en un determinado mercado se considera que se verifica el
modelo APT, estando las rentabilidades de los activos vinculadas a dos factores
de riesgo sistemático. Se sabe que la prima de riesgo estimada con respecto al
factor 1 vale 0,05, y con respecto al factor 2 es 0,06. Para tres activos se dispone
de la siguiente información:
Activos
Sensibilidad
al factor 1
Sensibilidad
al factor 2
1
1,8
1,4
2
2,3
0,8
3
2,1
1,3
Determinar la prima de riesgo de una cartera formada invirtiendo 600 € en el
activo 1, 500 en el 2, 800 en el 3 y pidiendo un préstamo de 900 € al tipo de interés
libre de riesgo.
Resolución
Las cuantías que forman la cartera p son las siguientes:
Activos
Inversión
1
600
2
500
3
800
Libre de riesgo
−900
Suma
1.000
Por tanto, el vector de proporciones de p es:
⎛
⎜
X =⎜
⎜
⎜
⎝
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0,60
0,50
0,80
−0,90
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
421
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Inversiones financieras: selección de car teras
De acuerdo con el modelo APT, la rentabilidad esperada de la cartera p verifica:
E p = λ0 + β p1λ1 + β p2 λ2
Sabemos que l0 es el tipo de interés del activo libre de riesgo, por lo que la
prima de riesgo de p es: dp = Ep − l0. Además, de acuerdo con lo expuesto, se verifica:
β ph = x1β1h + x2 β2h + x3β3h + x4 β 4h = X ′ β Fh ; h = 1, 2
De acuerdo con los datos disponibles, los vectores de betas con respecto a los
dos factores son:
βF 1
⎛ 1,8 ⎞
⎛ 1, 4
⎟
⎜
⎜
2,3 ⎟
0,8
; βF 2 = ⎜
=⎜
⎜ 2,1 ⎟
⎜ 1,3
⎟
⎜
⎜
⎝ 0 ⎠
⎝ 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Utilizando las expresiones matriciales, al realizar los cálculos obtenemos:
β p1 = X ′ β F 1 = 3,91
β p2 = X ′ β F 2 = 2,28
A idénticos resultados llegamos realizando los cálculos siguientes:
β p1 = 0,60 × 1,8 + 0,50 × 2,3 + 0,80 × 2,1 − 0,90 × 0 = 3,91
β p2 = 0,60 × 1, 4 + 0,50 × 0,8 + 0,80 × 1,3 − 0,90 × 0 = 2,28
Por tanto, la rentabilidad esperada de la cartera p, según el modelo APT, es:
E p = λ0 + 0, 05 × 3,91 + 0, 06 × 2,28 = λ0 + 0,3323
En consecuencia, la prima de riesgo es: dp = Ep − l0 = 33,23 %.
422
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Análisis del modelo de mercado y de los modelos de valoración de activos financieros
EJEMPLO 5.64
De acuerdo con los datos del ejemplo anterior, un inversor forma una determinada cartera. Para ello obtiene un préstamo, al tipo de interés libre de riesgo,
de 36.000 €, e invierte según se detalla en la siguiente tabla:
Activos
Inversión
1
21.000
2
18.000
3
27.000
Suma
66.000
Si la rentabilidad esperada, de acuerdo con el modelo APT, de la citada cartera es el 41,43 %, calcular la rentabilidad esperada del activo 2.
Resolución
Las cuantías que forman la cartera p son las siguientes:
Activos
Inversión
1
21.000
2
18.000
3
27.000
Libre de riesgo
−36.000
Suma
30.000
Por tanto, el vector de proporciones de p es:
⎛
⎜
X =⎜
⎜
⎜
⎝
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0,70
0,60
0,90
−1,20
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
423
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Inversiones financieras: selección de car teras
Utilizando las expresiones matriciales, al realizar los cálculos obtenemos:
β p1 = X ′ β F 1 = 4,53
β p2 = X ′ β F 2 = 2,63
Por tanto, la rentabilidad esperada de la cartera p, según el modelo APT, es:
E p = λ0 + 0, 05 × 4,53 + 0, 06 × 2,63 = λ0 + 0,3843 = 0, 4143 ⇒ λ0 = 0, 03
Teniendo en cuenta que l1 = 0,05; l2 = 0,06 y b21 = 2,23; b22 = 0,8, la rentabilidad esperada del activo 2 es:
E2 = λ0 + λ1β21 + λ2 β22 =
= 0, 03 + 0, 05 × 2,3 + 0, 06 × 0,8 = 19,30%
424
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6
La evaluación de la gestión
de carteras
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
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Introducción.
Medidas de rentabilidad.
Medidas de evaluación ajustadas al riesgo.
El VaR de una cartera.
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6.1. INTRODUCCIÓN
Es preciso efectuar la evaluación de la gestión de cualquier cartera con el fin
de analizar si el gestor ha cumplido con los objetivos establecidos para la misma,
valorando, también, los resultados obtenidos gracias a su actividad. Además, la
evaluación es necesaria con el fin de determinar si es preciso modificar las restricciones impuestas al gestor correspondiente, alterar los objetivos de inversión señalados, modificar las cuantías invertidas, etc.
Tanto para la evaluación de la gestión de una determinada cartera de valores
como para la comparación de dos o más carteras con distinta rentabilidad y riesgo, es preciso disponer de medidas o indicadores de evaluación. A esa necesidad
responde el concepto de perfomance de una cartera, entendiendo por tal la composición del resultado de la misma. Por ello, con la perfomance de una cartera se
trata de disponer de medidas o indicadores de evaluación de los resultados de la
misma, empleándose un conjunto de índices que tengan en cuenta los diversos
factores que influyen en la bondad de la gestión de una cartera.
En general, la evaluación de una cartera suele realizarse para períodos de cinco años, con rentabilidades generalmente mensuales.
6.2. MEDIDAS DE RENTABILIDAD
Las diferentes medidas de rentabilidad de una cartera durante un cierto período temporal comparan el valor de la misma al inicio y al final del período, teniendo en cuenta los dividendos y otros cobros percibidos y las aportaciones realizadas. Se utilizan datos efectivamente obtenidos por la cartera objeto de estudio,
por lo que se trata de una rentabilidad a posteriori.
426
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La evaluación de la gestión de car teras
Se calcula la rentabilidad bruta antes de deducir la comisión de gestión y los
impuestos del inversor. Además, el valor de mercado de los títulos que componen
la cartera se computa antes de deducir los costes de su posible venta. Cuando
realmente se vendan, el importe correspondiente será el neto después de deducir
los costes de transacción.
6.2.1. Rentabilidad simple
Para aquellos casos en los que no se realizan nuevas inversiones ni se procede
a la venta de parte de los activos antes del final del período, un indicador de rentabilidad es la rentabilidad simple o aritmética:
r=
Vn − V0 + D
V0
siendo Vn el valor de mercado de la cartera al final del período, V0 el valor de
mercado al inicio del período y D todos los cobros obtenidos durante dicho período1, derivados de la posesión de la cartera2.
EJEMPLO 6.1
Un inversor posee una cartera de la que se conocen los siguientes datos referidos a los últimos ocho meses:
Número de títulos
Valor
de mercado inicial
Valor
de mercado final
A
350
38
41
2
B
240
50
55
1,5
C
120
32
33
2,5
D
300
28
31
1
E
500
64
67
0,5
Activos
Dividendos
percibidos por título
Suponiendo que los dividendos se han percibido al final de los ocho meses,
determinar la rentabilidad simple.
1
Se acepta que todos los cobros tienen lugar al final del período.
Por ejemplo, dividendos, venta de derechos de suscripción y cualesquiera otros cobros que se
obtuviesen.
2
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Inversiones financieras: selección de car teras
Resolución
El valor inicial de la cartera es:
V0 = 350 × 38 + 240 × 50 + 120 × 32 + 300 × 28 + 500 × 64 = 69.540
El valor final asciende a:
Vn = 350 × 41 + 240 × 55 + 120 × 33 + 300 × 31 + 500 × 67 = 74.310
El importe total de los dividendos percibidos es:
D = 350 × 2 + 240 × 1,5 + 120 × 2,5 + 300 × 1 + 500 × 0,5 = 1.910
Por tanto, la rentabilidad de los últimos ocho meses es:
r=
74.310 + 1.910 − 69.540
= 9,605982%
69.540
En consecuencia, la rentabilidad simple mensual es la octava parte de la anterior, o sea, un 1,200748 % mensual.
6.2.2. Rentabilidad del inversor
Cuando en el valor de una cartera se producen variaciones motivadas por
nuevas aportaciones del inversor para la adquisición de nuevos activos, o por la
venta de algunos títulos, o bien tienen lugar cobros de dividendos o por otros
conceptos, no es adecuado utilizar la rentabilidad simple. En tales casos, así como
en aquellos en los que la inversión dure varios períodos, una medida de la rentabilidad es el tanto interno de rendimiento (TIR), tanto efectivo activo o tanto de
rentabilidad del inversor3. Para su determinación se plantea la ecuación de equivalencia financiera en capitalización compuesta entre el conjunto prestación, integrado por el valor de mercado inicial de la cartera (V0) y los pagos (Ps), inversiones
o depósitos posteriores, y el conjunto contraprestación, compuesto por los cobros
obtenidos (Ct) (dividendos, venta de activos y otros cobros) y el valor final de
mercado de la cartera (Vn).El tipo de interés, ia, que verifica la ecuación citada,
constituye el tanto efectivo activo, tanto interno de rendimiento o tanto de rentabilidad del inversor:
n
V0 + ∑ Ps (1 + ia )
s=1
−s
= Vn (1 + ia )
−n
n
+ ∑ Ct (1 + ia ) ⇒ ia
−t
t=1
3
También se denomina rentabilidad media ponderada por el valor de los flujos de caja o tanto de
rendimiento ponderado por efectivo.
428
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La evaluación de la gestión de car teras
La ecuación anterior también se puede expresar de otra forma: en el primer
miembro figura el valor actualizado del valor de mercado inicial de la cartera y
de los depósitos posteriores que el inversor realice, y en el segundo miembro figura el valor actual de los cobros o retiros que el inversor efectúe, así como el valor
actualizado del valor final de mercado de la cartera4. Expresado de forma más
sencilla, el inversor calcula su rentabilidad comparando el valor actualizado de lo
que pone con el valor actualizado de lo que obtiene. El tipo de interés que verifica dicha igual es su tanto de rentabilidad.
Para calcular la rentabilidad del inversor, en los cobros o retiros se computa
el dinero que el inversor retira efectivamente de la cartera. O sea, el dinero que
obtiene y retira por ser propietario de la cartera (por venta de activos, dividendos
e intereses que no se reinvierten, etc.). En el caso de que los dividendos (o los intereses de los activos de renta fija) no se retirasen, sino que fuesen reinvertidos, no
se computarían en los cobros, pues al reinvertirse se computarán en el cálculo del
valor de la cartera con posterioridad5.
En los pagos o depósitos se computa el dinero que se invierte, o sea, se consideran
los pagos que el inversor realiza o las cuantías que va añadiendo a la cartera para
ser reinvertidas. Por tanto, se considera el dinero nuevo que se añade a la cartera6.
EJEMPLO 6.2
El 25 de marzo de un determinado año, una empresa forma una cartera invirtiendo 100.000 €. El día 20 del mes siguiente aumenta la inversión en 10.000 €. El
día 18 de junio siguiente invierte 20.000 €. El día 20 del mes siguiente vende activos por valor de 30.000 €. El día 15 del mes de octubre retira de la cartera 10.000 €.
El día 15 de enero del año siguiente la cartera tiene un valor de mercado de
105.000 €. Determinar el tanto anual de rentabilidad del inversor.
Resolución
Para calcular el tanto anual de rentabilidad utilizamos el criterio Actual/Actual 7, computando los días reales existentes entre cada dos vencimientos, plan4
El valor actual se refiere al valor actualizado al tipo de rentabilidad del inversor y al momento
que se toma como origen.
5
O bien se computan en los cobros y, como se reinvierten, también se computan en los pagos,
por lo que se anulan, siendo, pues, el resultado el mismo que si no se computasen ni en los cobros ni
en los pagos.
6
Naturalmente, los pagos que se realizan con recursos obtenidos de la propia cartera no se
computan como tales. Por ejemplo, si se venden unos activos (y no se computa su importe como cobro, pues no se retira) y se adquieren con dicho importe otros activos, tal cuantía tampoco se computa como un pago. En consecuencia, los cobros y pagos hacen referencia, respectivamente, al dinero
que el inversor retira de la cartera y al que añade a la misma.
7
O criterio Real/Real, según el cual se computan los días reales existentes entre dos vencimientos. Para convertir los días en fracción de años se divide entre 366 o entre 365, según que entre tales
vencimientos esté o no, respectivamente, el 29 de febrero.
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Inversiones financieras: selección de car teras
teando la ecuación de equivalencia financiera el 25 de marzo. Por tanto, los vencimientos de los distintos capitales, contados los días desde el 25 de marzo, son,
respectivamente: 26, 85, 117, 204 y 296. La ecuación de equivalencia financiera es:
100.000 + 10.000 (1 + ia )
= 30.000 (1 + ia )
− 117
365
26
− 365
+ 20.000 (1 + ia )
+ 10.000 (1 + ia )
− 204
365
85
− 365
=
+ 105.000 (1 + ia )
− 296
365
Podemos resolver la ecuación anterior pasando todos los términos al primer
miembro y utilizando Solver, considerando la expresión correspondiente como la
función objetivo con valor cero. Al realizar operaciones se obtiene que el tanto
anual de rentabilidad es el 18,3556 %.
También podemos determinar la rentabilidad utilizando la función TIR.
NO.PER de Excel, llegándose al mismo resultado que anteriormente8. Para utilizar dicha función consideramos los pagos con signo negativo, y los cobros con
signo positivo.
6.2.3. Rentabilidad del gestor
Hemos señalado que un objetivo del cálculo de la rentabilidad de una cartera
es ayudar en la evaluación de la gestión de la misma, valorando los resultados
obtenidos gracias a la actividad del gestor. Para ello se utiliza la rentabilidad del
gestor o rentabilidad media ponderada por el tiempo, entendida como el tipo de
rendimiento, en capitalización compuesta, que se obtiene con los recursos invertidos en cada intervalo temporal, teniendo en cuenta el correspondiente valor de
mercado de la cartera, así como los recursos nuevos que se añaden a la misma y
los que se detraen de ella.
Supongamos, por ejemplo, que la evaluación se realiza para un horizonte temporal de cinco años y con rentabilidades por períodos mensuales. En tal caso, para
obtener la rentabilidad del gestor en cada período mensual se van calculando los
factores de capitalización en cada intervalo o subperíodo, y a partir de los mismos
se determina la rentabilidad del correspondiente mes. La duración de cada intervalo o subperíodo es el tiempo que transcurre entre cada dos alteraciones de la
cartera o dos flujos de efectivo como consecuencia de una retirada de dinero efectuada por el inversor o por un incremento de la cuantía invertida. Por tanto, un
intervalo finaliza cuando se produce una retirada de fondos de la cartera (un cobro
para el inversor o salida de recursos de la cartera). En cambio, un intervalo se
8
430
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Esta función utiliza el criterio Actual/365.
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La evaluación de la gestión de car teras
inicia cuando se produce un depósito de fondos en la cartera (un pago del inversor
o entrada de fondos, bien del inversor o del exterior).
Los cobros o retiradas de fondos por el inversor (también los dividendos o
intereses que se retiran) se computan como mayor valor de la cartera al final del
intervalo, por lo que son salidas de recursos de la cartera.
Los pagos o depósitos (inversión nueva que realiza el inversor) se computan
como mayor valor de la cartera (mayor capital invertido) al principio del intervalo, de modo que son entradas de recursos en la cartera9.
EJEMPLO 6.3
Una determinada cartera tiene un valor al final del mes de agosto de cierto
año de 200.000 €. Al final del día 12 del mes siguiente el inversor retira de la cartera 20.000 €, siendo inmediatamente el valor de cartera de 198.000 €. Al final del
día 22 el valor de cartera es 199.980 €, e inmediatamente el inversor deposita en
la cartera 18.020 €. Al finalizar el mes de septiembre el inversor retira 40.000 €,
siendo inmediatamente después el valor de la cartera de 188.900 €. Determinar la
rentabilidad mensual del gestor.
Resolución
El primer intervalo se inicia el día 31 de agosto, siendo el capital invertido de
200.000 €, y finaliza el día 12 de septiembre, al retirar 20.000 €. El valor de la
cartera después de retirar dicha cuantía es 198.000 €, por lo que el capital invertido al inicio del intervalo (31 de agosto) se ha convertido en la suma de las dos
cuantías precedentes. En consecuencia, el factor de capitalización correspondiente al primer intervalo es:
u1 =
198.000 + 20.000
= 1, 09
200.000
El segundo intervalo se inicia con un capital invertido de 198.000 € y finaliza
con un capital invertido de 199.980 €, por lo que el factor de capitalización es:
u2 =
199.980
= 1, 01
198.000
9
Cualquier entrada de recursos en la cartera se considera un incremento del capital invertido.
Así, si se obtienen dividendos o intereses de los activos que forman la cartera, si el inversor no los
retira constituyen un mayor capital invertido. En cambio, si el inversor los retira no forman parte del
capital invertido, pero sí se computan para el tanto efectivo de rentabilidad del inversor.
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Inversiones financieras: selección de car teras
El tercer intervalo se inicia con un capital invertido en la cartera igual a la suma
del valor de la misma, con la nueva aportación de 18.020 €. El intervalo finaliza al
retirar el inversor 40.000 €, después de lo cual el valor de la cartera es 188.900 €,
por lo que el capital invertido al inicio del intervalo se ha convertido en la suma de
las dos cuantías precedentes. En consecuencia, el factor de capitalización es:
u3 =
188.900 + 40.000
= 1, 05
199.980 + 18.020
La rentabilidad del gestor es el 15,5945 % mensual, deducido de la expresión:
1, 09 × 1, 01 × 1, 05 = 1 + rg(m) ⇒ rg(m) = 15,5945%
EJEMPLO 6.4
El día 14 de mayo cierto inversor forma una cartera de acciones por valor
total de 10.000 €. El día 23 de dicho mes retira de la cartera 400 €, siendo inmediatamente el valor de la misma de 9.300 €. El día 31 de mayo el valor de cartera
es 9.400 € e inmediatamente el inversor añade títulos a la cartera por valor de
600 €. El día 19 de agosto el valor de la cartera es 10.100 €. Determinar:
a) Rentabilidad del gestor en cada mes.
b) Rentabilidad mensual del gestor.
c) Rentabilidad mensual del inversor.
Resolución
El primer intervalo del mes de mayo se inicia el día 14, invirtiendo 10.000 €,
y finaliza el día 23 al retirar 400 €. El valor de la cartera, después de retirar 400 €,
es 9.300 €. Por tanto, la cuantía inicialmente invertida se ha convertido en
10.700 €, por lo que el factor de capitalización correspondiente al primer intervalo es:
u1 =
9.300 + 400
= 0,97
10.000
El segundo intervalo temporal se inicia el día 23 de mayo, con una cuantía
invertida de 9.300 €, y finaliza el día 31, siendo el valor de la cartera 9.400 €. Por
tanto, el factor de capitalización del segundo intervalo es:
u2 =
432
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9.400
9.300
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La evaluación de la gestión de car teras
El factor de capitalización promedio correspondiente al mes de mayo es:
u1 = u1u2 = 0,97 ×
94
93
El tercer intervalo temporal se inicia el día 31 de mayo, siendo la cuantía invertida la suma del valor de la cartera en dicho día con la nueva aportación. La
inversión se convierte en 10.100 € el día 19 de agosto. Por tanto, el factor de capitalización es:
u3 =
10.100
= 1, 01
10.000
a) La rentabilidad del mes de mayo se obtiene teniendo en cuenta el factor
de capitalización de dicho mes, así como la amplitud temporal correspondiente
(17 días):
(
94
= 1 + r1g(m)
93
u1 = u1u2 = 0,97 ×
)
17
31
Por tanto, la rentabilidad el mes de mayo es del −3,539837 % mensual.
Para el período comprendido entre el inicio del mes de junio y el día 19 de
agosto, de amplitud 80 días, la rentabilidad anual del gestor es:
(
1, 01 = 1 + ra1g
)
80
365
⇒ ra1g = 4,644466%
Para dicho período, la rentabilidad mensual del gestor es:
(
1 + 4,644466% = 1 + r2(mg )
)
12
⇒ r2(mg ) = 0,379036%
b) Para obtener la rentabilidad mensual del gestor tenemos en cuenta todos
los factores de capitalización, así como la amplitud del intervalo temporal (97
días). Determinamos en primer lugar la rentabilidad anual, y a partir de la misma
deducimos la rentabilidad mensual:
u1u2 u3 = 0,97 ×
(
94
× 1, 01 = 1 + rag
93
)
97
365
⇒ rag = −3,625392%
En consecuencia, la rentabilidad mensual del gestor es del −0,307256 %, deducido de la expresión:
(
1 − 3,625392% = 1 + rg(m)
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)
12
⇒ rg(m) = −0,307256%
433
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Inversiones financieras: selección de car teras
c) Para obtener la rentabilidad anual del inversor tenemos en cuenta los pagos y cobros del inversor, siendo los vencimientos de los distintos capitales, contados los días desde el 14 de mayo, 9, 17 y 97, respectivamente. La ecuación de
equivalencia financiera es:
10.000 + 600 (1 + ia )
17
− 365
= 400 (1 + ia )
9
− 365
+ 10.100 (1 + ia )
97
− 365
Utilizando Solver obtenemos un tanto anual del −3,663441 %, por lo que la
rentabilidad mensual es:
(
1 − 3,663441% = 1 + ia(m)
)
12
⇒ ia(m) = −0,310536%
Utilizando la función TIR.NO.PER obtenemos también el mismo valor para
la rentabilidad anual.
EJEMPLO 6.5
El día 12 de marzo de cierto año se forma una cartera de valores invirtiendo
400.000 €. El valor de mercado de la cartera el día 31 de dicho mes es 404.000 €.
El día 18 de abril se aumenta la inversión en 30.000 €, siendo previamente el valor
de la cartera 407.232 €. El día 30 de abril el valor de la cartera es 441.167 €. El día
31 de mayo, antes de retirar de la cartera 10.000 €, su valor de mercado es 445.579 €.
El día 30 de junio la cartera tiene un valor de mercado de 430.500. Determinar:
a) Rentabilidad mensual del gestor en cada mes.
b) Rentabilidad mensual del gestor.
Resolución
Los factores de capitalización son:
u1 =
404.000
407.232
; u2 =
400.000
404.000
u3 =
u4 =
441.167
407.232 + 30.000
445.579
430.500
; u5 =
441.167
435.579
a) La rentabilidad mensual del gestor en cada mes es:
a.1) Marzo:
(
404.000
= 1 + r1g(m)
400.000
434
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)
19
31
⇒ r1g(m) = 1,6367%
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La evaluación de la gestión de car teras
a.2) Abril:
407.232 441.167
×
= 1 + r2(mg ) ⇒ r2(mg ) = 1,7072%
404.000 437.232
a.3) Mayo:
445.579
= 1 + r3g(m) ⇒ r3g(m) = 1, 000075%
441.167
a.4) Junio:
430.500
= 1 + r4(mg ) ⇒ r4(mg ) = −1,1660%
435.579
b) Para el intervalo temporal comprendido entre el 12 del marzo y el 30 de
junio, de amplitud 110 días, la rentabilidad anual del gestor es:
441.167
445.579 430.500
404.000 407.232
=
400.000 404.000 407.232 + 30.000 441.167 435.579
(
= 1 + rag
)
110
365
rag = 8,685393%
Por tanto, la rentabilidad mensual es:
(
1, 08685393 = 1 + rg(m)
)
12
⇒ rg(m) = 0,6964%
EJEMPLO 6.6
El día 3 de enero de cierto año se invierte en una cartera eficiente una cuantía
de 100.000 €. El día 28 del mes de junio el valor de la cartera es 105.000 €, e inmediatamente el inversor invierte en dicha cartera 15.000 €. Al finalizar el día 24
de noviembre, el inversor retira de la cartera x €, siendo inmediatamente el valor
de la misma de 120.000 €. Se sabe que al final del día 25 del mes de febrero siguiente el valor de la cartera es 127.200 €. Sabiendo que la rentabilidad anual del
gestor es el 12,670282 %, calcular el tipo anual de rentabilidad del inversor.
Resolución
Los factores de capitalización son:
u1 =
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105.000
120.000 + x
127.200
= 1, 05; u2 =
; u3 =
= 1, 06
100.000
120.000
120.000
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Teniendo en cuenta que la amplitud del intervalo temporal total es 418 días,
la ecuación del tanto de rentabilidad anual del gestor es:
1, 05 ×
120.000 + x
× 1, 06 = 1 + rag
120.000
(
)
418
365
= 1,12670282 365
418
Al realizar operaciones se obtiene x = 3.600 €.
Para calcular la rentabilidad anual del inversor tenemos en cuenta los pagos y
cobros efectuados. Los días de vencimiento de cada cuantía, contados desde el 3
de enero, son: 176, 325 y 418. La ecuación de equivalencia financiera es:
400.000 + 15.000 (1 + ia )
− 176
365
= 3.600 (1 + ia )
− 325
365
+ 127.200 (1 + ia )
418
− 365
Mediante Solver se obtiene un tipo anual del 12,7002 %. A igual resultado se
llega mediante la función TIR.NO. PER.
EJEMPLO 6.7
En un determinado momento se invierte un millón de euros en una cartera de
renta variable. En los dos primeros meses, la rentabilidad instantánea obtenida es
el 1 % mensual. Inmediatamente después se retiran de la cartera 200.000 €, y transcurridos tres meses la rentabilidad simple correspondiente a dichos tres meses es
el 1,1 % mensual. Determinar la rentabilidad mensual del gestor correspondiente
al intervalo de cinco meses.
Resolución
Al ser la rentabilidad instantánea correspondiente a los dos primeros meses el
1 % mensual, el valor de la cartera al final de dichos meses es:
V1 = 1.000.000e 2×0,01 = 1.020.201,34
Como inmediatamente se retiran de la cartera 200.000 €, queda invertida una
cuantía de 820.201,34 €, la cual en los siguientes tres meses produce una rentabilidad simple del 1,1 % mensual, por lo que se verifica:
V2 = 820.201,34 (1 + 3 × 1,1%) = 847.267,98
En consecuencia, los factores de capitalización que nos permitirán determinar
la rentabilidad mensual del gestor son:
u1 =
436
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1.020.201,34
847.267,98
= 1, 02020134; u2 =
= 1, 0330
1.000.000
820.201,34
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La evaluación de la gestión de car teras
En consecuencia, la ecuación para calcular la rentabilidad mensual es:
(
)
5
1, 02020134 × 1, 0330 = 1 + rg(m) ⇒ rg(m) = 2,684751%
EJEMPLO 6.8
En un determinado momento se invierten 100.000 € en una cartera eficiente de
renta variable. Transcurridos 38 días, el rendimiento obtenido es del 1 % del capital
invertido inicialmente. Inmediatamente, el inversor retira de la cartera 2.000 €.
Transcurridos 30 días después de los 38 precedentes, el valor de mercado de la cartera es V €, y el inversor inmediatamente invierte en la misma 11.020 €. Al finalizar
los 52 días siguientes a los 68 anteriores, el valor de mercado de la cartera es 113.680 €,
habiendo obtenido en dichos 52 días una rentabilidad simple del 1,5 % sobre el capital invertido al inicio de los citados 52 días. Para el intervalo total de tiempo considerado desde el momento en que se invirtieron los 100.000 €, determinar:
a) Rentabilidad anual del gestor.
b) Rentabilidad anual del inversor.
Resolución
Al haber obtenido en los primeros 38 días un rendimiento del 1 % sobre el
capital invertido inicialmente, el valor de la cartera al final de dichos 38 días es
101.000 €. Por ello, el primer factor de capitalización es 1,01. El segundo intervalo se inicia con un capital invertido de 99.000 € y finaliza con un valor V de la
cartera, por lo que el factor de capitalización es:
u2 =
V
99.000
El tercer intervalo se inicia con un capital invertido igual a V + 11.020, finalizando con un valor de 113.680. Por tanto, el tercer factor de capitalización es:
u3 =
113.680
V + 11.020
Además, al ser la rentabilidad simple, correspondiente a dicho tercer intervalo,
el 1,5 %, se verifica:
113.680 − (V + 11.020)
= 1,5%
V + 11.020
Al realizar operaciones se obtiene: V = 100.980. Al sustituir el valor anterior
de V en las expresiones de los factores de capitalización, obtenemos:
u2 = 1, 02; u3 = 1, 015
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a) Teniendo en cuenta que la amplitud del intervalo temporal total es 120
días, la rentabilidad anual del gestor se obtiene de la ecuación:
(
1, 01 × 1, 02 × 1, 015 = 1 + rag
)
120
365
⇒ rag = 14,5435%
b) Para calcular la rentabilidad anual del inversor planteamos la siguiente
ecuación de equivalencia financiera:
100.000 + 11.020 (1 + ia )
68
− 365
= 2.000 (1 + ia )
38
− 365
+ 113.680 (1 + ia )
− 120
365
Utilizando Solver obtenemos un tanto del 14,3546 % anual.
6.3. MEDIDAS DE EVALUACIÓN AJUSTADAS AL RIESGO
Tal y como hemos señalado, las medidas de evaluación de una cartera pretenden valorar la gestión de la misma durante un cierto período de tiempo pasado,
siendo preciso para ello disponer de los rendimientos periódicos durante un intervalo de tiempo, por ejemplo rendimientos mensuales durante cinco años. Todas
las medidas de evaluación ajustadas al riesgo consisten en índices o indicadores
que comparan la rentabilidad obtenida por la cartera a evaluar con la de otra
cartera de referencia.
De entre las medidas de rentabilidad de la cartera que hemos explicado anteriormente, la más adecuada para la evaluación de la gestión es la rentabilidad del
gestor o rentabilidad media ponderada por el tiempo.
En general, supongamos que hay T períodos, siendo rpt la rentabilidad obtenida por la cartera en el período t siendo t = 1, 2, 3, ..., T. La rentabilidad promedio es:
T
rp =
∑ rpt
t=1
T
La desviación estándar se calcula por la expresión:
T
rpt rp
p = t=1
T 1
(
438
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2 12
)
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La evaluación de la gestión de car teras
El valor obtenido para la desviación estándar indica la cantidad de riesgo total que tuvo la cartera durante el horizonte temporal objeto de evaluación.
Para obtener el riesgo sistemático o de mercado que la cartera tuvo durante el
horizonte temporal de evaluación, podemos determinar su beta ex post, teniendo
en cuenta el rendimiento de un índice de mercado sustituto de la cartera de mercado durante dicho horizonte temporal. O sea, se procede a calcular la beta10 del
modelo de mercado de Sharpe, por lo que se verifica:
βp =
σ pM
2
σM
Para el cálculo de la beta es preciso disponer durante T períodos de la rentabilidad del índice de mercado rMt, siendo t = 1, 2, 3, ..., T. La rentabilidad promedio del índice de mercado es:
T
rM =
∑ rMt
t=1
T
Y su desviación estándar:
M
T
rMt rM
= t=1
T 1
(
12
2
)
Para el horizonte temporal de evaluación podemos determinar una línea del
mercado de valores (SML) ex post para una cartera. Para ello es preciso disponer
de la rentabilidad promedio del activo libre de riesgo en el mismo horizonte temporal citado:
T
rf =
∑ rft
t=1
T
En consecuencia, la ecuación de la SML ex post es:
(
rbp = rf + β p rM − rf
)
10
A veces se utiliza, en lugar de la rentabilidad, los excesos de rentabilidad sobre la rentabilidad
media del activo libre de riesgo: erpt = rpt – rft; erMt = rMt – rft. Los valores de beta obtenidos de una u
otra forma son similares.
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Inversiones financieras: selección de car teras
El rendimiento promedio dado por la ecuación anterior, teniendo en cuenta
la beta de la cartera, se puede utilizar como un rendimiento de referencia para dicha cartera. Es la rentabilidad ex post dada por la ecuación del CAPM o rentabilidad esperada por el inversor.
Veamos algunas medidas de la evaluación ajustadas al riesgo11.
a) Índice de Jensen
Una medida del desempeño ajustada al riesgo de una cartera es la diferencia
entre su rendimiento promedio y el rendimiento de su cartera de referencia correspondiente. Dicha diferencia es el alfa ex post o alfa de Jensen, que viene determinada por la diferencia entre su rendimiento promedio y el del CAPM ex post:
α p = rp − rbp
Un valor positivo de alfa indica que la cartera tuvo un rendimiento promedio
mayor que el rendimiento de la cartera de referencia. También se dice que el gestor de la cartera está batiendo al mercado, pues ha obtenido una rentabilidad superior a la esperada según el CAPM. Cuando el valor es nulo, se trata de una
cartera de gestión pasiva, pues sólo replica al índice.
El alfa de Jensen permite medir la deseabilidad de las carteras. Así, cuanto
mayor sea su valor para una cartera, mayor será su perfomance, indicando que el
gestor ha mostrado una mayor habilidad para pronosticar el futuro o ha sabido
seleccionar títulos infravalorados por el mercado.
Sustituyendo el valor de rbp en la ecuación anterior, se llega a:
α p = (rp − rf ) − β p (rM − rf )
b) Ratio de Treynor
El índice o ratio de Treynor nos da la prima de riesgo por unidad de riesgo
sistemático (medido por la beta)12:
Ty p =
rp − rf
βp
11
El término perfomance hace referencia a la estructura del resultado de la gestión de una determinada cartera en intervalo de tiempo.
12
Por tanto, cuanto mayor sea la ratio, mejor será la gestión de la cartera.
440
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La evaluación de la gestión de car teras
La referencia para la comparación con esta medida de evaluación es la misma
ratio correspondiente a la cartera de mercado aproximada por el índice correspondiente según el cual se ha calculado la beta de la cartera:
TyM =
rM − rf
= rM − rf
βM
Si la ratio de la cartera supera a la del mercado, indica que la cartera ha superado al mercado, no habiéndolo superado en el caso contrario:
Ty p =
rp − rf
> TyM = rM − rf ⇒
βp
(
)
⇒ rp > rf + β p rM − rf ⇒ rp > rbp
El motivo de introducir la beta (riesgo sistemático) proviene de suponer que
el gestor ha eliminado el riesgo específico y únicamente gestiona el riesgo sistemático, por lo que la remuneración proviene del riesgo sistemático soportado por los
inversores.
c) Ratio de Sharpe
La ratio de Sharpe o índice de Sharpe nos da la relación por cociente entre la
prima de riesgo de la cartera y su riesgo total13:
Sp =
rp − rf
σp
El índice anterior nos indica en cuánto se incrementa la rentabilidad de una
cartera por unidad de incremento del riesgo.
Para la cartera objeto de evaluación, de riesgo sp, el rendimiento dado por la
CML ex post, en el horizonte temporal de evaluación, se obtiene según la siguiente ecuación y se puede usar como un rendimiento de referencia:
⎛ r − rf ⎞
σp
rcp = rf + ⎜ M
⎝ σ M ⎟⎠
13
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Es la prima relativa de riesgo ya estudiada.
441
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Inversiones financieras: selección de car teras
La pendiente de la recta anterior es el índice de Sharpe para la cartera de mercado:
SM =
rM − rf
σM
En consecuencia, si el índice de Sharpe de la cartera es superior al de mercado,
la cartera objeto de evaluación ha superado al mercado. Y no lo ha superado en
caso contrario.
d) La medida M 2 de Modigliani y Modigliani
Su cálculo se basa en el siguiente razonamiento: Se forma una cartera mixta
o «cartera ajustada», de rentabilidad media rp* , de tal forma que tenga el mismo
2
riesgo que la cartera de mercado: σ 2p* = σ M
. Dicha cartera ajustada se forma invirtiendo en la cartera a evaluar, p, y en el activo libre de riesgo, en las proporciones respectivas y y (1 − y). Además, se considera que la cartera a evaluar es la
cartera óptima de activos con riesgo para combinar con el activo libre de riesgo.
La rentabilidad promedio y el riesgo de la cartera ajustada verifican:
(
)
rp* = yrp + (1 − y) rf = rf + rp − rf y
2
σ 2p* = y2 σ 2p = σ M
⇒ σ M = yσ p
Y en consecuencia, se llega a:
⎛r − r ⎞
rp* = rf + ⎜ p f ⎟ σ M
⎝ σp ⎠
La medida14 M 2 es la rentabilidad anterior: M p2 = rp* , siendo preciso comparar dicha rentabilidad con la de la cartera de mercado, de tal forma que si dicha
medida supera a la rentabilidad de mercado la evaluación es positiva, siendo negativa en caso contrario.
Si tenemos en cuenta la expresión del índice de Sharpe, al sustituir se llega a:
M 2 = rf + S p M
Por tanto, la clasificación de un conjunto de carteras es la misma con la M 2
que con el índice de Sharpe.
14
Dicha medida fue propuesta por el Premio Nobel Franco Modigliani y su nieta, Leah Modigliani, en 1997. De ahí su nombre: M2: Modigliani, F. y Modigliani, L. (1997: 45-54).
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La evaluación de la gestión de car teras
e) Tracking error
Sea rp y rb la rentabilidad promedio del gestor, para un determinado período
de análisis, de la cartera que se desea evaluar y la de una cartera de referencia o
benchmark, respectivamente.
En general, supongamos que hay T períodos de tiempo, siendo rpt la rentabilidad media obtenida por la cartera en el período t, siendo t = 1, 2, 3, ..., T, y rb
la rentabilidad media del benchmark.
Para cada momento t del tiempo podemos calcular el diferencial de rentabilidad entre la de la cartera y la del benchmark: dt = rpt − rbt, cuyo valor promedio
es d = rp − rb La desviación típica de la serie constituida por el diferencial de rentabilidad se denomina tracking error (error de seguimiento) y mide el riesgo que
asume el gestor: σ ( p−b) :
( pb)
T
dt d
= d = t=1
T 1
(
12
2
)
Constituye una medida de lo que separa la rentabilidad obtenida en la cartera
gestionada con la obtenida por la cartera de referencia o benchmark, por lo que
se puede decir que mide el riesgo que asume el gestor.
Cuanto mayor sea el tracking error, mayor será la diferencia entre la rentabilidad de la cartera y la del benchmark. Puede pensarse que el gestor ha obtenido
una rentabilidad mucho mayor que la del benchmark, pues el exceso es grande.
Pero esta ratio no ofrece información sobre si la diferencia es positiva o negativa.
Por tanto, el tracking error sólo indica que ha obtenido resultados muy diferentes
del benchmark, pero no indica si han sido mejores o peores.
f) Ratio de información
Mide la perfomance de una cartera gestionada con relación a la evolución de
una cartera de referencia o benchmark, teniendo en cuenta el riesgo relativo asumido por el gestor al alejarse en mayor o menor medida de su índice de referencia.
Es el cociente entre el exceso de rentabilidad media y el tracking error:
Rp =
Rp =
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d
( pb)
rp rb
( pb)
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Inversiones financieras: selección de car teras
Cuanto mayor sea el ratio de información de una cartera, mayor será el
excedente de rentabilidad que se obtiene por cada punto de desviación típica
con respecto a la cartera de referencia y, por tanto, mayor será también su perfomance.
Las principales ventajas de esta medida de la perfomance son que no asume el
cumplimiento de ningún modelo específico de equilibrio del mercado de capitales
y que mide adecuadamente el valor añadido por el gestor al estimar el diferencial
de rentabilidad entre la cartera evaluada y la de referencia.
También es preciso señalar que, si bien la ratio de información o cociente de
información es útil desde el punto de vista de los gestores de carteras, no tiene
realmente en cuenta el riesgo de la cartera evaluada.
Como d puede ser positivo, nulo o negativo, pero el tracking error siempre es
positivo, si Rp es positivo lo será si d lo ha sido. Por tanto, se deberá elegir un
gestor con un cociente (o ratio) de información positivo. Y entre dos gestores se
preferirá el de mayor ratio de información.
EJEMPLO 6.9
Se dispone de la siguiente información:
Cartera a evaluar
Índice de mercado
Activo libre de riesgo
Rentabilidad media
25 %
30 %
6%
Riesgo
10 %
12 %
—
Sabiendo que la cartera a evaluar ha tenido una beta de 1, 2, calcular las medidas de perfomance ajustadas al riesgo.
Resolución
(
)
a) Rendimiento de referencia. Al sustituir en la ecuación rbp = rf + β p rM − rf
se obtiene: rbp = 0, 06 + 1,2 (0,30 0, 06) = 0,348 , con lo que el Alfa de Jensen
vale –0,098, obtenido de α p = rp − rbp = 0,25 − 0,348 = −0, 098 < 0 . En consecuencia, la cartera ha tenido un rendimiento promedio inferior al de mercado en 9,8
puntos porcentuales.
b) Ratio de Treynor. Sustituyendo en la ecuación correspondiente, cal0,25 − 0, 06
culamos la ratio para la cartera y para el mercado: Ty p =
= 0,158;
1,2
0,30 − 0, 06
= 0,24 . Al ser la ratio de la cartera inferior a la de mercado,
TyM =
1
se deduce que la cartera no ha superado al mercado.
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La evaluación de la gestión de car teras
Ratio de Sharpe. Sustituyendo en la ecuación correspondiente calcu0,25 − 0, 06
= 1,9;
lamos la ratio para la cartera y para el mercado: S p =
0,10
0,30 − 0, 06
= 2. Al ser la ratio de la cartera inferior a la de mercado, se
SM =
0,12
deduce que la cartera no ha superado al mercado.
d) Medida de Modigliani. La cartera ajustada se forma invirtiendo en la
cartera a evaluar y en el activo libre de riesgo (o pidiendo prestado) en la proporción y, de tal manera que tal cartera ajustada tenga un riesgo coincidente con el
de mercado. Así, la rentabilidad promedio y el riesgo de la cartera ajustada verifican:
c)
rp* = yrp + (1 y) rf = 0,25y + (1 y) 0, 06
2
2p* = y2 2p = M
= 0,122 0,12 = y p y =
0,12
= 1,2
0,10
1 y = 0,2 rp* = 1,2 0,25 0,2 0, 06 = 0,288
Utilizando directamente la fórmula deducida anteriormente también se llega
⎛r − r ⎞
0,25 − 0, 06
al mismo resultado: rp* = rf + ⎜ p f ⎟ σ M = 0, 06 +
× 0,12 = 0,288.
0,1
⎝ σp ⎠
Por tanto: M p2 = 0,288 < 0,30 = rM , lo que indica una valoración negativa de la
cartera.
EJEMPLO 6.10
Calcular las medidas de perfomance de las carteras cuyos datos medios correspondientes a un período de cuatro años son:
Cartera
Rentabilidad media
Riesgo
Coeficiente beta
1
13,75 %
9,25 %
0,85
2
11,25 %
6,35 %
1,05
3
9,70 %
5,80 %
1,20
En el mismo período, se sabe que el índice representativo de la cartera de mercado ha tenido un rendimiento medio del 12,30 %, con un riesgo del 6,15 %. El
rendimiento medio del activo libre de riesgo ha sido del 4,75 %.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Resolución
Podemos implementar en una hoja de Excel las expresiones correspondientes
a las distintas medidas, obteniéndose:
De acuerdo con el Índice de Jensen, sólo la cartera 1 ha obtenido un rendimiento superior al esperado según el CAPM. La cartera de mejor índice es la 1.
De acuerdo con el Índice de Treynor, sólo la cartera 1 tiene una ratio que supera a la del mercado (0,0755). La cartera de mejor índice es el 1.
Según el Índice de Sharpe, ninguna de las carteras ha superado al índice de
mercado. La cartera de mejor índice es la 2.
Al ser la rentabilidad del mercado del 12,30 %, resulta superior a todos los
M p2 , lo que indica una valoración negativa de las carteras. La cartera con mejor
valoración es la 2, pues la clasificación de un conjunto de carteras es la misma con
la M2 que con el índice de Sharpe.
EJEMPLO 6.11
Con los datos de rentabilidad y varianzas-covarianzas que se indican en el
archivo correspondiente de Datos, y sabiendo que la rentabilidad media esperada
del mercado es el 17,25 %, con un riesgo del 12,40 %, se pide:
a) Determinar la composición de la cartera sin ventas en descubierto y con
valor máximo del Índice de Sharpe.
b) Determinar el valor de M p2 correspondiente a dicha cartera.
Resolución
En la correspondiente hoja de cálculo implementamos las expresiones correspondientes para determinar la rentabilidad esperada, el riesgo, el Índice de Sharpe y el valor de M p2 .
a) Utilizamos Solver:
Max. S p =
E p − rf
σp
∑ xi = 1; xi ≥ 0
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La evaluación de la gestión de car teras
Se obtiene la composición de la cartera con un Índice de Sharpe esperado
máximo:
b) Para la cartera anterior, de acuerdo con la expresión correspondiente, se
obtiene:
M p2 = 21, 09% > EM = 17,25%
6.4. EL VaR DE UNA CARTERA
El valor en riesgo o VaR (Value at Risk) de una inversión permite cuantificar
la máxima pérdida esperada (o peor pérdida) a lo largo de un horizonte temporal
y de acuerdo con un intervalo de confianza15. Así, por ejemplo, supongamos que
el VaR de una cartera para un intervalo temporal de un día y un nivel de confianza del 95 %, es 800.000 €. Sus significados son los siguientes:
a) Existe una probabilidad del 95 % de que la pérdida diaria en la cartera sea
inferior a 800.000 €, o sea, la máxima pérdida esperada, con una probabilidad del 95 %, es 800.000 €. Por tanto, existe una probabilidad del 5 % de
que la pérdida diaria sea superior a 800.000 €.
b) Se espera que la pérdida diaria de la cartera sea inferior a 800.000 € en 95
de cada 100 días. Por tanto, la pérdida diaria en 5 de cada 100 días se estima superior a 800.000 €, o sea, en promedio, se estima que en uno de
cada 20 días de negociación16 el valor de la cartera caerá en 800.000 €.
Es importante señalar que el VaR no representa la máxima pérdida que puede
sufrir una inversión, sino que constituye una estimación de la pérdida esperada
para un determinado período de tiempo y un nivel de confianza elegido. Así, por
ejemplo, si el VaR a un día es 15.000 €, con un nivel de confianza del 95 %, ello
no quiere decir que obligatoriamente se pierdan 15.000 €, sino que, en el caso de
15
16
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Jorion, P. (1999: 108).
El 5 % de 20 es 1.
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que existan pérdidas, lo máximo que se puede perder en un día de negociación, y
con una probabilidad del 95 %, son 15.000 €.
El VaR se puede calcular en términos absolutos y en términos relativos o con
relación a la media. El VaR absoluto es la diferencia entre el valor inicial de la
cartera y el valor final peor, mientras que el VaR relativo es la diferencia entre el
valor final esperado y el valor final peor. Las expresiones que permiten calcular
el VaR de una cartera son17:
(
VaR(abs.) = I 0 qσ p − E p
)
VaR = I 0 q σ p
En consecuencia:
VaR(abs.) = VaR − I 0 E p
En las expresiones anteriores, es:
VaR(abs.): VaR absoluto.
VaR: VaR relativo.
I0: Valor cierto de una cartera, en unidades monetarias, al inicio de
un determinado intervalo temporal.
c: Nivel de confianza.
q: Para una variable aleatoria rp* tal que rp* → N (0, 1) , es P (r* < q) = c .
De las tablas N(0,1) se obtiene:
(
c = 99%; P (r
)
< q) = 99% ⇒ q = 2,33
c = 95%; P rp* < q = 95% ⇒ q = 1,65
*
p
Ep, sp: Rentabilidad esperada y riesgo, respectivamente, de la cartera18.
EJEMPLO 6.12
Determinar el VaR de una inversión de 5.000 euros en cualquiera de los activos A, B y C. Para datos de rentabilidad instantánea, se sabe que el riesgo de cada
activo es: 14,25 % anual para el activo A; 13,75 % anual para el B; y 15,43 % anual
para el C. Considerar un nivel de confianza del 95 % y un horizonte temporal de
un día.
17
Ferrando et al. (2005: 343); Jorion, P. (1999: 109-113).
Para el cálculo del VaR se utilizan datos de rentabilidad, riesgo y matriz de varianzas-covarianzas en tantos instantáneos.
18
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La evaluación de la gestión de car teras
Resolución
Al conocer sólo el riesgo de cada activo, hemos de estimar el VaR relativo.
Como el horizonte temporal es de un día, es preciso pasar el riesgo anual a diario.
Sabemos que considerando que existen 252 días de negociación, se verifica:
a2 = 252 d2 d =
a
252
Con los datos considerados, el riesgo diario de los activos es: 0,8977 %,
0,8662 % y 0,9720 %.
Para el nivel de confianza del 95 %, el valor de q es 1,65, por lo que sustituyendo en la expresión del VaR, tenemos:
VaR (A) = 5.000 × 1,65 × 0,8977% = 74, 06 €
VaR (B) = 5.000 × 1,65 × 0,8662% = 71, 46 €
VaR (C ) = 5.000 × 1,65 × 0,9720% = 80,19 €
Estos resultados implican que si invertimos 5.000 €, por ejemplo, en el activo
A, en 5 de cada 100 días de negociación (o en 1 de cada 20) podemos perder una
cuantía diaria superior a 74,06 €. O bien, si invertimos los 5.000 € en el activo B,
existe una probabilidad del 95 % de que la pérdida diaria sea inferior a 71,46 €. Y si
se invirtiese en el activo C, se espera que la pérdida diaria sea inferior a 80,19 € en
95 de cada 100 días.
Los resultados anteriores indican pérdidas en relación al valor esperado de la
inversión al cabo de un día (VaR relativo).
Si a partir del VaR relativo calculado para 1 día queremos calcular el VaR
relativo para n días, razonamos de la siguiente forma:
El VaR a 1 día viene dado por la expresión VaR1d = I0qsp, en la que la desviación típica es diaria. Para calcular el VaR a n días, VaRnd = I0qspnd, hemos de expresar la desviación típica en n días, que vale σ 2pnd = nσ 2p ⇒ σ pnd = σ p n . Por
tanto, al sustituir en VaRnd = I0qspnd, se llega a:
VaRnd = VaR1d n
EJEMPLO 6.13
Calcular el VaR mensual de una inversión de 1.000 euros en un activo del que
se sabe que su riesgo anual es del 17,85 % y la rentabilidad esperada del 22,08 %.
Considerar un nivel de confianza del 99 %.
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Inversiones financieras: selección de car teras
Resolución
Del activo se conoce su riesgo anual y su esperanza de rentabilidad anual. Por
ello podemos determinar tanto el VaR absoluto como el relativo para un intervalo de un mes, siendo preciso referir tanto el riesgo como la rentabilidad a datos
mensuales. Para pasar la rentabilidad anual a mensual suponemos que aquélla fue
estimada a través de la rentabilidad instantánea, por lo que la mensual equivalente se obtiene dividiendo la anual entre 12. Queda, pues:
a2 = 12 m2 m =
Em =
a
12
Ea
12
Se obtiene un riesgo mensual del 5,152851 % y una rentabilidad mensual del
1,84 %. Además, para un nivel de confianza del 99 %, el valor de q es 2,33, por lo
que se verifica:
VaR(abs.) = I 0qσ p − I 0 E p = 1.000 (2,33 × 5,152851% − 1,84%) = 101,66 €
VaR = I 0qσ p = 1.000 × 2,33 × 5,152851% = 120, 06 €
Los resultados anteriores nos indican que, con una probabilidad del 99 %, la
pérdida máxima mensual respecto al valor inicial de la cartera es 101,66 €, y con
respecto al valor esperado, 120,06 €. O también, que existe una probabilidad del
1 % de incurrir en una pérdida mensual superior a 101,66 € (con respecto al valor
inicial de la inversión), o superior a 120,06 € con respecto al valor esperado. O lo
que es lo mismo, existe una probabilidad del 99 % de que la pérdida mensual sea
inferior a 101,66 € (o 120,06 €). De forma equivalente, la pérdida de la inversión
se espera inferior a las cuantías citadas en 99 de cada 100 meses.
EJEMPLO 6.14
Un determinado inversor posee una cartera formada hace 36 meses e integrada por los títulos cuyas características se indican:
Activo 1
Activo 2
Activo 3
Activo 4
18
25
23
25
Número de títulos
2.400
3.500
5.350
7.600
Rentabilidad esperada (tanto instantáneo
mensual)
1,56 %
1,75 %
1,23 %
1,65
Precio unitario actual (euros)
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La matriz de varianzas-covarianzas referida a rentabilidades instantáneas
mensuales es:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
0, 0051
0, 0038
0, 0021
0, 0043
0, 0038 0, 0021 0, 0043
0, 0056 0, 0027 0, 0054
0, 0027 0, 0064 0, 0051
0, 0054 0, 0051 0, 0053
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Para un nivel de confianza del 95 %, determinar el VaR para un plazo de un
mes y el del un horizonte temporal de un día.
Resolución
Para aplicar las fórmulas del VaR para el plazo de un mes es preciso determinar el valor actual de la cartera, la rentabilidad mensual esperada de la misma y
su riesgo mensual, tomando q el valor 1,65. Al efectuar los cálculos obtenemos:
Utilizando las expresiones matriciales correspondientes calculamos la rentabilidad esperada mensual y el riesgo, y a partir de ellos los correspondientes valores diarios:
Con los datos mensuales calculamos después la rentabilidad y el riesgo diario
para el VaR a un día. O bien, considerando que en un mes hay 20 sesiones de negociación, podemos relacionar el VaR relativo de un mes (20 sesiones) y el de un
día a través de la expresión señalada anteriormente:
VaRnd = VaR1d n
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Los resultados obtenidos son:
EJEMPLO 6.15
El valor actual de cierta cartera eficiente, en la que no se admiten ventas en
descubierto, y rentabilidad esperada comprendida entre el 10 % y el 14 % anual
instantáneo, es V €. Dicha cartera se ha formado invirtiendo en los activos cuyos
datos anuales de rentabilidad instantánea y matriz de varianzas-covarianzas se
indican en el archivo correspondiente. Para un nivel de confianza del 95 % y para
el plazo de un mes el VaR absoluto es 1.730,07 €. Determinar V.
Resolución
Al tratarse de una cartera eficiente, su riesgo ha de ser mínimo. Utilizamos
las expresiones matriciales ya conocidas para calcular la rentabilidad esperada
y el riesgo de la cartera. Utilizando Solver podemos considerar como función
objetivo la correspondiente al riesgo, así como las restricciones siguientes:
10% E p 14%
xi = 1; xi 0
Al efectuar los cálculos se obtienen los valores de la rentabilidad y del riesgo
anual:
E p = 10%; σ p = 4,7764%
En consecuencia, los valores mensuales son:
E′ =
10%
4,7764%
= 0,8333%; σ ′ =
= 1,3788%
12
12
Teniendo en cuenta el valor conocido del VaR absoluto, podemos sustituir en
la expresión correspondiente, teniendo en cuenta que el valor de q es 1,65:
1.730, 07 = V (1,65 × 1,3788% − 0,8333)
Al realizar operaciones se obtiene V = 120.000 €.
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EJEMPLO 6.16
Determinada cartera eficiente, sin ventas en descubierto, de valor actual
10.250.000 €, está formada por los títulos cuyos datos de rentabilidad anual esperada y riesgo anual se indican en el archivo correspondiente de Datos. Se sabe que
el VaR relativo de dicha cartera eficiente, para un nivel de confianza del 95 % y un
horizonte temporal de un mes, vale 1.082.417 €. Determinar la composición de la
cartera, su rentabilidad anual esperada y el riesgo anual.
Resolución
Sustituyendo en la expresión del VaR podemos obtener el valor del riesgo mensual:
1.082.417 = 10.250.000 × 1,65σ m
El riesgo anual es:
σ a = σ m 12 =
1.082.417
12 = 22,170599%
1,65 × 10.250.000
En consecuencia, la cartera eficiente es de máxima rentabilidad anual para un
riesgo del 22,170599 % anual instantáneo. Mediante Solver, y utilizando las expresiones matriciales correspondientes, determinamos la composición y rentabilidad
de la cartera:
Max. E p
p = 22,170599%
xi = 1; xi 0
Se obtiene una rentabilidad anual del 16,2338 % instantáneo, siendo la composición:
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TÍTULO RELACIONADO
MATEMÁTICAS
FINANCIERAS
Juan García Boza (Coord.)
ÍNDICE_____________________________________________________________
Conceptos básicos. Magnitudes financieras. Sistemas financieros clásicos de capitalización y de
descuento. Rentas financieras. Valoración de rentas financieras. Operaciones de constitución.
Operaciones de amortización de préstamos. Métodos clásicos de amortización de préstamos.
Otros métodos de amortización de préstamos. Préstamos amortizables con tipos de interés
referenciados o indiciados. Valor financiero del préstamo, del usufructo y de la nuda propiedad.
Coste y rendimiento de las operaciones financieras. Operaciones bancarias a corto plazo.
Estudio general de los empréstitos. Empréstitos con características. Valor financiero, usufructo
y nuda propiedad de un empréstito. Soluciones de los ejercicios y problemas propuestos.
CONTENIDO_________________________________________________________
La obra es una introducción a la variada problemática de las Matemáticas financieras, que
servirá de ayuda a todos los interesados en la disciplina y, especialmente, a los estudiantes
de los diversos grados universitarios en los que se cursa dicha asignatura. En ella se ofrece
una selección de ejercicios y problemas cuya resolución razonada permite afianzar los
conocimientos teóricos adquiridos a través del estudio correspondiente. Asimismo, posibilita
el planteamiento y la resolución de distintas problemáticas para enfrentarse en la actividad
profesional a situaciones reales y tomar decisiones en el ámbito financiero. Incluye ejemplos
resueltos a continuación de las explicaciones teóricas correspondientes, supuestos con
resolución detallada y ejercicios y problemas propuestos, de los cuales, al final de la obra,
se ofrecen los resultados procedentes. En total se compone de 562 ejercicios y problemas.
2011; 728 págs.; 19 x 24 cm; rústica; código: 220656; ISBN: 978-84-368-2532-9
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V. Navarro Miquel, V. Sanchis Berenguer y A. Soler Movilla.
Dirección financiera de la empresa, A. Partal Ureña, F. Moreno Bonilla, M. Cano Rodríguez
y P. Gómez Fernández-Aguado.
Dirección financiera de la empresa. Teoría y práctica, J. L. Jiménez Caballero, C. Pérez López y
A. de la Torre Gallegos.
Dirección financiera del riesgo de interés, L. Ferruz Agudo (coord.), M.ª P. Portillo Tarragona y
J. L. Sarto Marzal.
Finanzas corporativas, S. Durbán Oliva.
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Espasa, A. Reig Pérez y A. Rodrigo González.
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