INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CIUDAD MADERO
División De Estudios De Posgrado E Investigación
Maestría en Ingeniería Eléctrica
METODOLOGÍAS APLICADAS EN MATLAB
PARA EL ANÁLISIS DE
CIRCUITOS ELÉCTRICOS RC Y RLC
Abraham de Jesús Reyes Moctezuma
N° Control: G13071815
Cd. Madero, Tamps.
1
Matemáticas Avanzadas
Índice
Introducción ........................................................................................................................... 4
1.
1.1
Breve introducción a MATLAB....................................................................................... 5
1.2
Representación gráfica animada en plano x-y de 3 funciones seno desfasadas 120° +
plano polar ..................................................................................................................................... 6
Análisis de circuito RC ............................................................................................................. 7
2.
2.1
Solución analítica............................................................................................................... 8
2.2
Solución simbólica (dsolve) (ezplot) ................................................................................. 9
2.3
Función de transferencia: Respuesta a entrada tipo escalón ...................................... 10
2.4
Función de transferencia: Respuesta a entrada tipo impulso ..................................... 11
2.5
Función de transferencia: Respuesta a entrada tipo rampa ....................................... 12
2.6
Función de transferencia: Respuesta a entrada tipo escalón aplicado en Simulink . 13
2.7
Función de transferencia: Respuesta a entrada tipo tren de pulsos aplicado en
Simulink ....................................................................................................................................... 14
2.8
Diagrama de bloques: Respuesta a entrada tipo tren de pulsos aplicado en Simulink
15
2.9
Aplicación de métodos ODE23 y ODE45 (Solución Numérica de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias) ........................................................................................................... 16
2.10 Comparativa de métodos numéricos Euler, Runge-Kutta 2° orden, Runge-Kutta 3°
orden, Runge-Kutta 4° orden 1/3 Simpson y Runge-Kutta 4° orden 3/8 Simpson para
obtener la respuesta del circuito RC a una entrada del tipo tren de pulsos. ......................... 18
2.11 Comparativa de métodos numéricos Euler, Runge-Kutta 2° orden, Runge-Kutta 3°
orden, Runge-Kutta 4° orden 1/3 Simpson y Runge-Kutta 4° orden 3/8 Simpson, ODE23,
ODE45, Solución Analítica y Matemática Simbólica para obtener la respuesta de Voltaje en
el capacitor ................................................................................................................................... 20
2.12 Comparativa de métodos numéricos Euler, Runge-Kutta 2° orden, Runge-Kutta 3°
orden, Runge-Kutta 4° orden 1/3 Simpson y Runge-Kutta 4° orden 3/8 Simpson, ODE23,
ODE45, Solución Analítica y Matemática Simbólica para obtener la respuesta de Voltaje en
la resistencia................................................................................................................................. 22
2.13 Comparativa de métodos numéricos Euler, Runge-Kutta 2° orden, Runge-Kutta 3°
orden, Runge-Kutta 4° orden 1/3 Simpson y Runge-Kutta 4° orden 3/8 Simpson, ODE23,
ODE45, Solución Analítica y Matemática Simbólica para obtener la respuesta de la
Corriente en el circuito. .............................................................................................................. 24
2.14
3.
Implementación física del circuito y sus gráficas de respuesta ................................... 26
Análisis de circuito RLC ......................................................................................................... 27
3.1
Solución simbólica (dsolve) (ezplot) ................................................................................... 28
3.2
Función de transferencia: Respuesta a entrada tipo escalón .......................................... 29
3.3
Función de transferencia: Respuesta a entrada tipo escalón aplicado en Simulink ..... 30
2
Matemáticas Avanzadas
3.4
Función de transferencia: Respuesta a entrada tipo tren de pulsos aplicado en
Simulink ........................................................................................................................................... 31
3.5
Diagrama de bloques: Respuesta a entrada tipo escalón aplicado en Simulink ............ 32
3.6
Diagrama de bloques: Respuesta a entrada tipo tren de pulsos aplicado en Simulink. 33
3.7
Espacio Estado: Respuesta a entrada tipo escalón aplicado en Simulink ...................... 34
3.8
Espacio Estado: Respuesta a entrada tipo tren de pulsos aplicado en Simulink ........... 35
3.9
Aplicación de métodos ODE23 y ODE45 (Solución Numérica de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias) ............................................................................................................... 36
3.10 Comparativa de métodos numéricos Euler, Runge-Kutta 2° orden, Runge-Kutta 3°
orden, Runge-Kutta 4° orden 1/3 Simpson y Runge-Kutta 4° orden 3/8 Simpson para obtener
la respuesta del circuito RLC a una entrada del tipo escalón. .................................................... 38
3.11 Comparativa de métodos numéricos Euler, Runge-Kutta 2° orden, Runge-Kutta 3°
orden, Runge-Kutta 4° orden 1/3 Simpson y Runge-Kutta 4° orden 3/8 Simpson para obtener
la respuesta del circuito RLC a una entrada del tipo tren de pulsos. ......................................... 41
3.12
Espacio estado a función de transferencia: Respuesta a entrada tipo escalón .............. 44
3.13
Función de transferencia a espacio estado: Respuesta a entrada tipo escalón .............. 45
3.14 Comparativa de métodos numéricos Euler, Runge-Kutta 2° orden, Runge-Kutta 3°
orden, Runge-Kutta 4° orden 1/3 Simpson, Runge-Kutta 4° orden 3/8 Simpson y Solución
Simbólica para obtener la respuesta del circuito RLC a una entrada del tipo escalón. ........... 46
3.15
4.
Implementación física del circuito y sus gráficas de respuesta ....................................... 49
Índice de figuras ...................................................................................................................... 51
3
Matemáticas Avanzadas
1. Introducción
MATLAB es un software de computación numérica para cálculos científicos y de ingeniería
que está siendo cada vez más utilizado por estudiantes, investigadores e ingenieros. La
popularidad de MATLAB se debe a su modo iterativo de operación, funciones integradas,
programación simple, un rico conjunto de funciones gráficas, posibilidades de escritura
funciones adicionales y su gran cantidad de toolboxes.
En el presente documento se tienen por objetivos los que se enlistan a continuación:
1. Proporcionar al lector una introducción práctica a MATLAB, con información simple
y fácil de interpretar.
2. Desarrollar los modelos matemáticos de diferentes circuitos eléctricos (RC y RLC)
3. Aplicar con la ayuda de MATLAB un conjunto de métodos numéricos a fin de
resolver los modelos matemáticos de circuitos y comparar la desviación y/o exactitud
de los resultados obtenidos en cada método.
4. Demostrar la importancia del su uso de MATLAB en la resolución de problemas de
ingeniería eléctrica debido a su capacidad de manejo de datos.
5. Llevar la simulación a la práctica con componentes reales y demostrar el
comportamiento de forma gráfica de los resultados obtenidos en el software con la
ayuda de un osciloscopio y un generador de señales.
6. Servir como un punto de referencia para futuros requerimientos de aplicación.
Este documento se divide en 3 partes:
Una breve introducción a Matlab, además la creación de la representación gráfica
animada de 3 funciones seno defasadas 120° en plano x-y y en el plano polar.
El análisis del circuito RC con el uso de matemática analítica, matemática simbólica,
funciones de transferencia, funciones de transferencia en Simulink, diagramas de control en
Simulink, métodos ODE23 y ODE45, Euler, Runge-Kutta 2°, Runge-Kutta 3°, Runge-Kutta
4° 1/3, Runge-Kutta 4° 3/8 y la demostración física de la respuesta del circuito a una entrada
tren de pulsos.
El análisis del circuito RLC con el uso de matemática simbólica, funciones de transferencia,
funciones de transferencia en Simulink, diagramas de control en Simulink, métodos ODE23
y ODE45, Euler, Runge-Kutta 2°, Runge-Kutta 3°, Runge-Kutta 4° 1/3, Runge-Kutta 4° 3/8
y la demostración física de la respuesta del circuito a una entrada tren de pulsos.
4
Matemáticas Avanzadas
1.1 Breve introducción a MATLAB
El lenguaje del cálculo técnico
Millones de ingenieros y científicos en todo el planeta utilizan MATLAB® para
analizar y diseñar los sistemas y productos que transforman nuestro mundo. El lenguaje de
MATLAB, basado en matrices, es la forma más natural del mundo para expresar las
matemáticas computacionales. Las gráficas integradas facilitan la visualización de los datos
y la obtención de información a partir de ellos. El entorno de escritorio invita a experimentar,
explorar y descubrir. Todas estas herramientas y funciones de MATLAB están probadas
rigurosamente y diseñadas para trabajar juntas.
MATLAB le ayuda a llevar sus ideas más allá del escritorio. Puede ejecutar sus
análisis en conjuntos de datos de mayor tamaño y expandirse a clusters y nubes. El código
de MATLAB se puede integrar con otros lenguajes, lo que le permite desplegar algoritmos y
aplicaciones en sistemas web, empresariales o de producción.
Se enlistan algunos de los comandos más básicos de MATLAB:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
Ver %Version
Home %Pantalla principal
Clc %Borrar pantalla en command window
= %Igual
; %No mostrar dato en command window
== %Igual igual
help function %Ayuda
format long %Formato largo
format short %formato corto
format long e %Formato largo exponencial
format short e %Formato corto exponencial
format hex %Formato hexadecimal
format bank %Formato bancario
format + %Formato más
format rat %Formato fracciones
quit/exit %Salir de MATLAB
who %Muestra las variables existentes
whos %Variables existentes
clear xxx %Borra 1 variable
clear all %Borra variables
what %Muestra Scripts en la carpeta actual
/ % Divide
+ %Suma
– %Resta
* %Multiplica
^ %Exponente
sqrt(a) %Raiz cuadrada
ans %Palabra Reservada
pi %Palabra Reservada
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
i,j %Letras Reservadas
save nombre.mat %Guarda Script
load nombre %Cargar script
xxxxx.m %Script
ctrl N %Abre editor con archivo m en blanco
type xxxx.m
open xxxx.m %xxx=nombre de la funcion
% %Convierte a comentario todo el renglón
sin() %Funcion seno
cos() %Funcion coseno
plot() %Grafica dependiendo entradas
plot(v1,v2,’c’)
plot(v1,v2,’c*’)
plot(v1,v2,’c-’)
title(‘xxxx’)%Titulo de gráfica
xlabel(‘xxxx’)%Rótulo en eje x
ylabel(‘xxxx’) %Rótulo en eje y
grid %cuadricula
figure(xxx) %Despliega figura X
close(xxx) %Cierra figura X
close all %Cierra todas las figuras
plot(v1,v2,’c*-’,’v1’,’v2’,’ms:’)
legend(‘sen’,’cos’)
text(x,y,’texto’,’color’,’r’)
subplot(fila,columna,posición)
axis ‘equal’ %Igualar limites de los ejes x-y
axis off %Desactiva la visualización de los ejes
clf %Borra contenido última ventana usada
t=0:0.1:2*pi
5
Matemáticas Avanzadas
1.2 Representación gráfica animada en plano x-y de 3 funciones seno
desfasadas 120° + plano polar
%Ejercicio 1
clc
clear all
close all
T=input(‘Numero de periodos:’);
t=linspace(0,2*pi*T);
subplot(2,1,1)
hold
axis([0 2*pi*T -1 1])
for x=1:100
%Diagrama x-y
subplot(2,1,1)
plot(t(x),sin(t(x)),’r*’)
plot(t(x),sin(t(x)+deg2rad(120)),’b*’)
plot(t(x),sin(t(x)+deg2rad(240)),’m*’)
%Diagrama Vectorial
subplot(2,1,2)
compass(cos(t(x)),sin(t(x)),’r’)
hold
compass(cos(t(x)+deg2rad(120)),sin(t(x)+deg2rad(120)),’b’)
compass(cos(t(x)+deg2rad(240)),sin(t(x)+deg2rad(240)),’m’)
hold
pause(0.001)
end
Figura 1 Se presentan las gráficas animadas en el plano x-y y en el plano polar
Figura 2 Se presentan las gráficas animadas en el plano x-y y en el plano polar
Matemáticas Avanzadas
6
2. Análisis de circuito RC
La forma más simple de circuito RC es el circuito RC en serie de primer orden, compuesto
simplemente por una resistencia y un condensador. Se realizará el análisis del circuito RC
líneas abajo con los diferentes métodos que se presentan a continuación:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Matemática analítica
Matemática simbólica
Funciones de transferencia
Funciones de transferencia en Simulink
Diagramas de control en Simulink
Métodos ODE23 y ODE45
Métodos Numéricos: Euler, Runge-Kutta 2°, Runge-Kutta 3°, Runge-Kutta 4° 1/3,
Runge-Kutta 4° 3/8
VALORES
R= 1200 ohms
C= 22uf
Vs= 12 V
Al final de este capítulo se encontrará la implementación física del circuito y sus
gráficas de respuesta.
7
Matemáticas Avanzadas
2.1 Solución analítica
%Ejercicio1
clc
clear all
close all
R=1200;
C=22e-6;
Vs=12;
tau=R*C;
N=input('inserte n-veces tau:');
T=tau*N
t=0:tau:T;
Vc=Vs*(1-exp(-t/tau));
plot(t,Vc)
title('Voltaje en el capacitor')
ylabel('Volts')
xlabel(‘Tiempo’)
legend('Vc')
grid on
Figura 3 Gráfica de Voltaje del Capacitor en pasos de tau
Figura 4 Gráfica de Voltaje del Capacitor en pasos de tau
8
Matemáticas Avanzadas
2.2 Solución simbólica (dsolve) (ezplot)
%Ejercicio2
clc
clear all
close all
R=1200;
C=22e-6;
Vs=12;
RC=R*C;
tau=RC;
syms t s
Vcsyms=(Vs/s)*(1/(RC*s+1));
Vcsymt=ilaplace(Vcsyms);
figure(1)
%Voltaje en el capacitor
subplot(3,1,1)
ezplot(Vcsymt,[0 5*RC])
title('Voltaje en el capacitor')
legend('Vc')
xlabel('Tiempo')
ylabel(‘Volts’)
grid on
%Voltaje en la resistencia
subplot(3,1,2)
Vrsyms=(Vs/s)*(RC*s/(RC*s+1));
Vrsymt=ilaplace(Vrsyms);
ezplot(Vrsymt,[0 5*RC])
title('Voltaje en la resistencia')
legend('Vr')
xlabel('Tiempo')
ylabel(‘Volts’)
grid on
%Corriente en el circuito
subplot(3,1,3)
isyms=(Vs/s)*(C*s/(RC*s+1));
isymt=ilaplace(isyms);
ezplot(isymt,[0 5*RC])
title('Corriente en el circuito')
legend('I')
xlabel('Tiempo')
ylabel(‘Ampers’)
grid on
Figura 5 Gráficas: Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y Corriente
Matemáticas Avanzadas
Figura 6 Gráficas: Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y Corriente
9
2.3 Función de transferencia: Respuesta a entrada tipo escalón
%Ejercicio3.0
clc
clear all
close all
R=1200;
C=22e-6;
Vs=12;
G1=tf(1/R)
G2=tf(1,[C 0])
G3=series(G1,G2)
G4=feedback(G3,1)
%Voltaje en el capacitor
subplot(3,1,1)
step(Vs*G4,'b')
title('Voltaje en el capacitor')
legend('Vc')
xlabel('Tiempo')
ylabel(‘Volts’)
grid on
%Voltaje en la resistencia
subplot(3,1,2)
num1=[R*C 0];
den1=[R*C 1];
G5=tf(num1,den1)
step(Vs*G5,'g')
title('Voltaje en la resistencia')
legend('Vr')
xlabel('Tiempo')
ylabel(‘Volts’)
grid on
%Corriente en el circuito
subplot(3,1,3)
num2=[C 0];
den2=[R*C 1];
G6=tf(num2,den2)
step(Vs*G6,'r')
title('Corriente en el circuito')
legend('I')
xlabel('Tiempo')
ylabel(‘Ampers’)
grid on
Figura 7 Gráficas de respuesta a entrada escalón: Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y Corriente
Figura 8 Gráficas de respuesta a entrada escalón: Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y Corriente
Matemáticas Avanzadas
10
2.4 Función de transferencia: Respuesta a entrada tipo impulso
%Ejercicio3.1
clc
clear all
close all
R=1200;
C=22e-6;
Vs=12;
G1=tf(1/R)
G2=tf(1,[C 0])
G3=series(G1,G2)
G4=feedback(G3,1)
%Voltaje en el capacitor
subplot(3,1,1)
impulse(Vs*G4,'b')
title('Voltaje en el capacitor')
legend('Vc')
xlabel('Tiempo')
ylabel(‘Volts’)
grid on
%Voltaje en la resistencia
subplot(3,1,2)
num1=[R*C 0];
den1=[R*C 1];
G5=tf(num1,den1)
impulse(Vs*G5,'g')
title('Voltaje en la resistencia')
legend('Vr')
xlabel('Tiempo')
ylabel(‘Volts’)
grid on
%Corriente en el circuito
subplot(3,1,3)
num2=[C 0];
den2=[R*C 1];
G6=tf(num2,den2)
impulse(Vs*G6,'r')
title('Corriente en el circuito')
legend('I')
xlabel('Tiempo')
ylabel(‘Ampers’)
grid on
Figura 9 Gráficas de respuesta a entrada impulso: Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y Corriente
Figura 10 Gráficas de respuesta a entrada impulso: Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y Corriente
Matemáticas Avanzadas
11
2.5 Función de transferencia: Respuesta a entrada tipo rampa
%Ejercicio3.2
clc
clear all
close all
R=1200;
C=22e-6;
Vs=12;
G1=tf(1/R)
G2=tf(1,[C 0])
G3=series(G1,G2)
G4=feedback(G3,1)
rampa=tf(1,[1 0])
G5=series(rampa,G4)
%Voltaje en el capacitor
subplot(3,1,1)
step(Vs*G5)
title('Voltaje en el capacitor')
legend('Vc')
grid on
ylabel(‘Volts’)
%Voltaje en la resistencia
subplot(3,1,2)
num1=[R*C 0];
den1=[R*C 1];
G6=tf(num1,den1)
G7=series(rampa,G6)
step(Vs*G7,'g')
title('Voltaje en la resistencia')
legend('Vr')
ylabel(‘Volts’)
grid on
%Corriente en el circuito
subplot(3,1,3)
num2=[C 0];
den2=[R*C 1];
G8=tf(num2,den2)
G9=series(rampa,G8)
step(Vs*G9,'r')
title('Corriente del circuito')
legend('I')
ylabel(‘Ampers’)
grid on
Figura 11 Gráficas de respuesta a entrada rampa: Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y Corriente
12
Figura 12 Gráficas
de respuesta a entrada rampa: Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y Corriente
Matemáticas
Avanzadas
2.6 Función de transferencia: Respuesta a entrada tipo escalón aplicado en
Simulink
%Ejercicio4_0
Del script del ejercicio 3.0, Simulink tomará los valores de las variables en el workspace una vez que se ha
corrido el programa.
La representación gráfica del diagrama de bloques en Simulink queda de la siguiente manera:
Figura 13 Bloques de función de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y Corriente con
entrada tipo escalón y medición a la salida
Figura 14 Bloques de función de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y Corriente con
entrada tipo escalón y medición a la salida
Figura 15 Gráfica de respuesta de las funciones de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y
Corriente ante la entrada tipo escalón
13
Matemáticas Avanzadas
Figura 16 Gráfica de respuesta de las funciones de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y
Corriente ante la entrada tipo escalón
2.7 Función de transferencia: Respuesta a entrada tipo tren de pulsos aplicado
en Simulink
%Ejercicio4_1
Del script del ejercicio 3.0, Simulink tomará los valores de las variables en el workspace una vez que se ha
corrido el programa.
La representación gráfica del diagrama de bloques en Simulink queda de la siguiente manera:
Figura 17 Bloques de función de transferencia del Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y Corriente con
entrada tipo tren de pulsos y medición a la salida
Figura 18 Bloques de función de transferencia del Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y Corriente con
entrada tipo tren de pulsos y medición a la salida
Figura 19 Gráfica de respuesta de las funciones de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y
Corriente ante la entrada tipo tren de pulsos
14
Figura 20 Gráfica de respuesta de las funciones de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y
Matemáticas
Avanzadas
Corriente ante la entrada tipo tren de pulsos
2.8 Diagrama de bloques: Respuesta a entrada tipo tren de pulsos aplicado en
Simulink
%Ejercicio5
Del script del ejercicio 3.0, Simulink tomará los valores de las variables en el workspace una vez que se ha
corrido el programa.
La representación gráfica del diagrama de bloques en Simulink queda de la siguiente manera:
Figura 21 Diagrama de bloques de funciones de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje en la
resistencia y Corriente con entrada tipo tren de pulsos y medición a la salida
Figura 22 Diagrama de bloques de funciones de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje en la
resistencia y Corriente con entrada tipo tren de pulsos y medición a la salida
Figura 23 Gráfica de respuesta de las funciones de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y
Corriente ante la entrada tipo tren de pulsos
15
Matemáticas Avanzadas
Figura 24 Gráfica de respuesta de las funciones de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y
Corriente ante la entrada tipo tren de pulsos
2.9 Aplicación de métodos ODE23 y ODE45 (Solución Numérica de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias)
%Ejercicio6
clc
clear all
close all
R=1200;
C=22e-6;
Vs=12;
tau=R*C;
%ODE23
[t23,Vc23]=ode23(@deri1,[0 10*tau],0); %Ver página siguiente para más info @deri1
hold
figure(1)
subplot(3,1,1)
plot(t23,Vc23,'r*--')
title('Voltaje en el capacitor ODE23')
legend('Vc')
xlabel('Tiempo')
ylabel(‘Volts’)
grid on
subplot(3,1,2)
plot(t23,Vs-Vc23,'k*-')
title('Voltaje en la resistencia ODE23')
legend('Vr')
xlabel('Tiempo')
ylabel(‘Volts’)
grid on
subplot(3,1,3)
plot(t23,(Vs-Vc23)/R,'r*--')
title('Corriente del circuito ODE23')
legend('I')
xlabel('Tiempo')
ylabel(‘Ampers’)
grid on
%ODE45
[t45,Vc45]=ode45(@deri1,[0 10*tau],0);
hold
figure(2)
subplot(3,1,1)
plot(t45,Vc45,'r*--')
title('Voltaje en el capacitor ODE45')
xlabel('Tiempo')
ylabel(‘Volts’)
grid on
subplot(3,1,2)
plot(t45,Vs-Vc45,'k*-')
title('Voltaje en la resistencia ODE45')
xlabel('Tiempo')
ylabel(‘Volts’)
grid on
subplot(3,1,3)
plot(t45,(Vs-Vc45)/R,'r*--')
title('Corriente del circuito ODE45')
xlabel('Tiempo')
ylabel(‘Ampers’)
grid on
16
Matemáticas Avanzadas
Función deri1.m (Requerido para ODE23 y ODE45)
function dy= deri1(t,y)
%Circuito RC en serie
dy=(12-y)/26.4e-3;
end
Figura 25 Gráfica de Voltaje en capacitor, Voltaje en la Resistencia y Corriente en el circuito usando ODE23
Figura 26 Gráfica de Voltaje en capacitor, Voltaje en la Resistencia y Corriente en el circuito usando ODE45
17
Matemáticas Avanzadas
2.10 Comparativa de métodos numéricos Euler, Runge-Kutta 2° orden,
Runge-Kutta 3° orden, Runge-Kutta 4° orden 1/3 Simpson y Runge-Kutta 4°
orden 3/8 Simpson para obtener la respuesta del circuito RC a una entrada
del tipo tren de pulsos.
%Ejercicio7_0
%Datos
clc
clear all
close all
R=1200;
C=22e-6;
Vs=12;
T=input('Inserte T en n-veces tau:');
%Condiciones iniciales
t(1)=0;
Vc(1)=0;
tau=R*C;
RC=R*C;
%Condiciones de simulación
t_inicial=0;
t_final=T*tau;
%Paso de integración
h=tau/1000;
%Puntos a integrar
n=round((t_final-t_inicial)/h);
%Método de Euler
for k=1:n
if t(k)<=((T/2)*tau);
Vs=12;
else
Vs=0;
end
Vc(k+1)=Vc(k)+h*((Vs-Vc(k))/RC);
t(k+1)=t(k)+h;
t(k+1);
end
plot(t,Vc,'b*-')
%Método de RK2
trk2(1)=0;
Vcrk2(1)=0;
for k=1:n
if trk2(k)<=((T/2)*tau);
Vs=12;
else
Vs=0;
end
k1=h*((Vs-Vcrk2(k))/RC);
k2=h*((Vs-Vcrk2(k)+k1)/RC);
Vcrk2(k+1)=Vcrk2(k)+(k1+k2)/2;
trk2(k+1)=trk2(k)+h;
trk2(k+1);
end
hold
plot(trk2,Vcrk2,'ro-')
%Método de RK3
trk3(1)=0;
Vcrk3(1)=0;
for k=1:n
if trk3(k)<=((T/2)*tau);
Vs=12;
%Continua en columna derecha
else
Vs=0;
end
k1=h*((Vs-Vcrk3(k))/RC);
k2=h*((Vs-Vcrk3(k)+(k1/2))/RC);
k3=h*((Vs-Vcrk3(k)-k1+(2*k2))/RC);
Vcrk3(k+1)=Vcrk3(k)+(k1+4*k2+k3)/6;
trk3(k+1)=trk3(k)+h;
trk3(k+1);
end
plot(trk3,Vcrk3,'mx-')
%Método de RK4 1/3 simpson
trk4a(1)=0;
Vcrk4a(1)=0;
for k=1:n
if trk4a(k)<=((T/2)*tau);
Vs=12;
else
Vs=0;
end
k1=h*((Vs-Vcrk4a(k))/RC);
k2=h*((Vs-Vcrk4a(k)+(k1/2))/RC);
k3=h*((Vs-Vcrk4a(k)+(k2/2))/RC);
k4=h*((Vs-Vcrk4a(k)+k3)/RC);
Vcrk4a(k+1)=Vcrk4a(k)+(k1+2*k2+2*k3+k4)
/6;
trk4a(k+1)=trk4a(k)+h;
trk4a(k+1);
end
plot(trk4a,Vcrk4a,'ks-')
%Método de RK4 3/8 simpson
trk4b(1)=0;
Vcrk4b(1)=0;
for k=1:n
if trk4b(k)<=((T/2)*tau);
Vs=12;
else
Vs=0;
end
k1=h*((Vs-Vcrk4b(k))/RC);
k2=h*((Vs-Vcrk4b(k)+(k1/3))/RC);
k3=h*((VsVcrk4b(k)+(k1/3)+(k2/3))/RC);
k4=h*((Vs-Vcrk4b(k)+k1-k2+k3)/RC);
Vcrk4b(k+1)=Vcrk4b(k)+(k1+3*k2+3*k3+k4)
/8;
trk4b(k+1)=trk4b(k)+h;
trk4b(k+1);
end
plot(trk4b,Vcrk4b,'gd-')
legend('Euler','RK2','RK3','RK4 1/3
Simpson','RK4 3/8 Simpson')
title('Voltaje en el capacitor')
xlabel('tiempo')
ylabel('Volts')
grid
18
Matemáticas Avanzadas
Figura 27 Métodos numéricos aplicados al Voltaje del capacitor representados en un mismo plano.
Figura 28 Desviación entre los diferentes métodos numéricos aplicados.
19
Matemáticas Avanzadas
2.11 Comparativa de métodos numéricos Euler, Runge-Kutta 2° orden,
Runge-Kutta 3° orden, Runge-Kutta 4° orden 1/3 Simpson y Runge-Kutta 4°
orden 3/8 Simpson, ODE23, ODE45, Solución Analítica y Matemática
Simbólica para obtener la respuesta de Voltaje en el capacitor
%Ejercicio7_1
%Datos
clc
clear all
close all
R=1200;
C=22e-6;
Vs=12;
T=input('Inserte T en n-veces tau:');
%Condiciones iniciales
t(1)=0;
Vc(1)=0;
tau=R*C;
RC=R*C;
%Condiciones de simulación
t_inicial=0;
t_final=T*tau;
%Paso de integración
h=tau/10000;
%Puntos a integrar
n=round((t_final-t_inicial)/h);
%Método de Euler
for k=1:n
Vc(k+1)=Vc(k)+h*((VsVc(k))/RC);
t(k+1)=t(k)+h;
t(k+1);
end
plot(t,Vc)
%Método de RK2
trk2(1)=0;
Vcrk2(1)=0;
for k=1:n
k1=h*((Vs-Vcrk2(k))/RC);
k2=h*((Vs-Vcrk2(k)+k1)/RC);
Vcrk2(k+1)=Vcrk2(k)+(k1+k2)/2;
trk2(k+1)=trk2(k)+h;
trk2(k+1);
end
hold
plot(trk2,Vcrk2,'r')
%Método de RK3
trk3(1)=0;
Vcrk3(1)=0;
for k=1:n
k1=h*((Vs-Vcrk3(k))/RC);
k2=h*((Vs-Vcrk3(k)+(k1/2))/RC);
k3=h*((Vs-Vcrk3(k)k1+(2*k2))/RC);
Vcrk3(k+1)=Vcrk3(k)+(k1+4*k2+k3)/6;
trk3(k+1)=trk3(k)+h;
trk3(k+1);
end
plot(trk3,Vcrk3,'m')
%Método de RK4 1/3 simpson
%Continua en columna derecha
trk4a(1)=0;
Vcrk4a(1)=0;
for k=1:n
k1=h*((Vs-Vcrk4a(k))/RC);
k2=h*((Vs-Vcrk4a(k)+(k1/2))/RC);
k3=h*((Vs-Vcrk4a(k)+(k2/2))/RC);
k4=h*((Vs-Vcrk4a(k)+k3)/RC);
Vcrk4a(k+1)=Vcrk4a(k)+(k1+2*k2+2*k3+k
4)/6;
trk4a(k+1)=trk4a(k)+h;
trk4a(k+1);
end
plot(trk4a,Vcrk4a,'k')
%Método de RK4 3/8 simpson
trk4b(1)=0;
Vcrk4b(1)=0;
for k=1:n
k1=h*((Vs-Vcrk4b(k))/RC);
k2=h*((Vs-Vcrk4b(k)+(k1/3))/RC);
k3=h*((VsVcrk4b(k)+(k1/3)+(k2/3))/RC);
k4=h*((Vs-Vcrk4b(k)+k1k2+k3)/RC);
Vcrk4b(k+1)=Vcrk4b(k)+(k1+3*k2+3*k3+k
4)/8;
trk4b(k+1)=trk4b(k)+h;
trk4b(k+1);
end
plot(trk4b,Vcrk4b,'g')
%ODE23 / ODE45
[t23,Vc23]=ode23(@deri1,[t_inicial
t_final],0);
[t45,Vc45]=ode45(@deri1,[t_inicial
t_final],0);
plot(t23,Vc23,'m*--')
plot(t45,Vc45,'bd--')
%Solución Analítica
Vcex=Vs*(1-exp(-t/tau));
plot(t,Vcex,'b*-')
%Matemática simbólica
syms t s
Vcs=(1/(tau*s+1)*(Vs/s));
Vcsym=ilaplace(Vcs);
ezplot(Vcsym,[t_inicial t_final])
legend('Euler','RK2','RK3','RK4 1/3
Simpson','RK4 3/8
Simpson','ODE23','ODE45','Analítica',
'Simbólica')
title('Voltaje en el capacitor')
xlabel('Tiempo')
ylabel('Volts')
grid
20
Matemáticas Avanzadas
Figura 29 Métodos numéricos aplicados al Voltaje del capacitor representados en un mismo plano.
Figura 30 Desviación entre los diferentes métodos numéricos aplicados.
21
Matemáticas Avanzadas
2.12 Comparativa de métodos numéricos Euler, Runge-Kutta 2° orden,
Runge-Kutta 3° orden, Runge-Kutta 4° orden 1/3 Simpson y Runge-Kutta 4°
orden 3/8 Simpson, ODE23, ODE45, Solución Analítica y Matemática
Simbólica para obtener la respuesta de Voltaje en la resistencia.
%Ejercicio7_2
clc
clear all
close all
R=1200;
C=22e-6;
Vs=12;
T=input('Inserte T en n-veces tau:');
%Condiciones iniciales
t(1)=0;
Vc(1)=0;
tau=R*C;
RC=R*C;
%Condiciones de simulación
t_inicial=0;
t_final=T*tau;
%Paso de integración
h=tau/10000;
%Puntos a integrar
n=round((t_final-t_inicial)/h);
%Método de Euler
for k=1:n
Vc(k+1)=Vc(k)+h*((Vs-Vc(k))/RC);
t(k+1)=t(k)+h;
t(k+1);
VR(k+1)=Vs-Vc(k+1);
end
plot(t,VR)
%Método de RK2
trk2(1)=0;
Vcrk2(1)=0;
for k=1:n
k1=h*((Vs-Vcrk2(k))/RC);
k2=h*((Vs-Vcrk2(k)+k1)/RC);
Vcrk2(k+1)=Vcrk2(k)+(k1+k2)/2;
trk2(k+1)=trk2(k)+h;
trk2(k+1);
VRrk2(k+1)=Vs-Vcrk2(k+1);
end
hold
plot(trk2,VRrk2,'r')
%Método de RK3
trk3(1)=0;
Vcrk3(1)=0;
for k=1:n
k1=h*((Vs-Vcrk3(k))/RC);
k2=h*((Vs-Vcrk3(k)+(k1/2))/RC);
k3=h*((Vs-Vcrk3(k)-k1+(2*k2))/RC);
Vcrk3(k+1)=Vcrk3(k)+(k1+4*k2+k3)/6;
trk3(k+1)=trk3(k)+h;
trk3(k+1);
VRrk3(k+1)=Vs-Vcrk3(k+1);
end
plot(trk3,VRrk3,'m')
%Método de RK4 1/3 simpson
trk4a(1)=0;
Vcrk4a(1)=0;
for k=1:n
k1=h*((Vs-Vcrk4a(k))/RC);
k2=h*((Vs-Vcrk4a(k)+(k1/2))/RC);
k3=h*((Vs-Vcrk4a(k)+(k2/2))/RC);
k4=h*((Vs-Vcrk4a(k)+k3)/RC);
Vcrk4a(k+1)=Vcrk4a(k)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
trk4a(k+1)=trk4a(k)+h;
trk4a(k+1);
VRrk4a(k+1)=Vs-Vcrk4a(k+1);
end
plot(trk4a,VRrk4a,'k')
%Método de RK4 3/8 simpson
trk4b(1)=0;
Vcrk4b(1)=0;
for k=1:n
k1=h*((Vs-Vcrk4b(k))/RC);
k2=h*((Vs-Vcrk4b(k)+(k1/3))/RC);
k3=h*((VsVcrk4b(k)+(k1/3)+(k2/3))/RC);
k4=h*((Vs-Vcrk4b(k)+k1-k2+k3)/RC);
Vcrk4b(k+1)=Vcrk4b(k)+(k1+3*k2+3*k3+k4)/8;
trk4b(k+1)=trk4b(k)+h;
trk4b(k+1);
VRrk4b(k+1)=Vs-Vcrk4b(k+1);
end
plot(trk4b,VRrk4b,'g')
%ODE23 / ODE45
[t23,Vc23]=ode23(@deri2,[t_inicial
t_final],0);
[t45,Vc45]=ode45(@deri2,[t_inicial
t_final],0);
Vr23=Vs-Vc23;
Vr45=Vs-Vc45;
plot(t23,Vr23,'m*--')
plot(t45,Vr45,'bd--')
%Solución Analítica
Vcex=Vs*(1-exp(-t/tau));
Vrex=Vs-Vcex;
plot(t,Vrex,'b*-')
%Usando matemática simbólica
syms t s
Vrs=(RC*s/(tau*s+1)*(Vs/s));
Vrsym=ilaplace(Vrs);
ezplot(Vrsym,[t_inicial t_final])
legend('Euler','RK2','RK3','RK4 1/3
Simpson','RK4 3/8
Simpson','ODE23','ODE45','Analítica','Simb
ólica')
title('Voltaje en la resistencia')
xlabel('Tiempo')
ylabel('Volts')
grid
%Continua en columna derecha
22
Matemáticas Avanzadas
Figura 31 Métodos numéricos aplicados al Voltaje del capacitor representados en un mismo plano.
Figura 32 Desviación entre los diferentes métodos numéricos aplicados.
23
Matemáticas Avanzadas
2.13 Comparativa de métodos numéricos Euler, Runge-Kutta 2° orden,
Runge-Kutta 3° orden, Runge-Kutta 4° orden 1/3 Simpson y Runge-Kutta 4°
orden 3/8 Simpson, ODE23, ODE45, Solución Analítica y Matemática
Simbólica para obtener la respuesta de la Corriente en el circuito.
%%Ejercicio7_3
%Datos
clc
clear all
close all
R=1200;
C=22e-6;
Vs=12;
T=input('Inserte T en n-veces tau:');
%Condiciones iniciales
t(1)=0;
Vc(1)=0;
tau=R*C;
RC=R*C;
%Condiciones de simulación
t_inicial=0;
t_final=T*tau;
%Paso de integración
h=tau/10000;
%Puntos a integrar
n=round((t_final-t_inicial)/h);
%Método de Euler
for k=1:n
Vc(k+1)=Vc(k)+h*((Vs-Vc(k))/RC);
t(k+1)=t(k)+h;
t(k+1);
VR(k+1)=Vs-Vc(k+1);
Ic(k+1)=VR(k+1)/R;
end
plot(t,Ic)
%Método de RK2
trk2(1)=0;
Vcrk2(1)=0;
for k=1:n
k1=h*((Vs-Vcrk2(k))/RC);
k2=h*((Vs-Vcrk2(k)+k1)/RC);
Vcrk2(k+1)=Vcrk2(k)+(k1+k2)/2;
trk2(k+1)=trk2(k)+h;
trk2(k+1);
VRrk2(k+1)=Vs-Vcrk2(k+1);
Icrk2(k+1)=VRrk2(k+1)/R;
end
hold
plot(trk2,Icrk2,'r')
%Método de RK3
trk3(1)=0;
Vcrk3(1)=0;
for k=1:n
k1=h*((Vs-Vcrk3(k))/RC);
k2=h*((Vs-Vcrk3(k)+(k1/2))/RC);
k3=h*((Vs-Vcrk3(k)-k1+(2*k2))/RC);
Vcrk3(k+1)=Vcrk3(k)+(k1+4*k2+k3)/6;
trk3(k+1)=trk3(k)+h;
trk3(k+1);
VRrk3(k+1)=Vs-Vcrk3(k+1);
Icrk3(k+1)=VRrk3(k+1)/R;
end
plot(trk3,Icrk3,'m')
%Método de RK4 1/3 simpson
trk4a(1)=0;
Vcrk4a(1)=0;
for k=1:n
k1=h*((Vs-Vcrk4a(k))/RC);
k2=h*((Vs-Vcrk4a(k)+(k1/2))/RC);
k3=h*((Vs-Vcrk4a(k)+(k2/2))/RC);
k4=h*((Vs-Vcrk4a(k)+k3)/RC);
Vcrk4a(k+1)=Vcrk4a(k)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
trk4a(k+1)=trk4a(k)+h;
trk4a(k+1);
VRrk4a(k+1)=Vs-Vcrk4a(k+1);
Icrk4a(k+1)=VRrk4a(k+1)/R;
end
plot(trk4a,Icrk4a,'k')
%Método de RK4 3/8 simpson
trk4b(1)=0;
Vcrk4b(1)=0;
for k=1:n
k1=h*((Vs-Vcrk4b(k))/RC);
k2=h*((Vs-Vcrk4b(k)+(k1/3))/RC);
k3=h*((VsVcrk4b(k)+(k1/3)+(k2/3))/RC);
k4=h*((Vs-Vcrk4b(k)+k1-k2+k3)/RC);
Vcrk4b(k+1)=Vcrk4b(k)+(k1+3*k2+3*k3+k4)/8;
trk4b(k+1)=trk4b(k)+h;
trk4b(k+1);
VRrk4b(k+1)=Vs-Vcrk4b(k+1);
Icrk4b(k+1)=VRrk4b(k+1)/R;
end
plot(trk4b,Icrk4b,'g')
%ODE23 / ODE45
[t23,Vc23]=ode23(@deri2,[t_inicial
t_final],0);
[t45,Vc45]=ode45(@deri2,[t_inicial
t_final],0);
Vr23=Vs-Vc23;
Vr45=Vs-Vc45;
Ic23=Vr23/R;
Ic45=Vr45/R;
plot(t23,Ic23,'m*--')
plot(t45,Ic45,'bd--')
%Solución Analítica
Vcex=Vs*(1-exp(-t/tau));
Vrex=Vs-Vcex;
Icex=Vrex/R;
plot(t,Icex,'b*-')
%Usando matemática simbólica
syms t s
Vcs=(C*s/(tau*s+1)*(Vs/s));
Vcsym=ilaplace(Vcs);
ezplot(Vcsym,[t_inicial t_final])
legend('Euler','RK2','RK3','RK4 1/3
Simpson','RK4 3/8
Simpson','ODE23','ODE45','Analítica','Simb
ólica')
title('Corriente en el circuito')
xlabel('Tiempo')
ylabel('Ampers')
grid
%Continua en columna derecha
24
Matemáticas Avanzadas
Figura 34 Métodos numéricos aplicados al Voltaje del capacitor representados en un mismo plano.
Figura 33 Desviación entre los diferentes métodos numéricos aplicados.
25
Matemáticas Avanzadas
2.14
Implementación física del circuito y sus gráficas de respuesta
Se realizó la conexión física del circuito RC con el uso de los siguientes elementos pasivos:
-
Resistencia 1200 ohms 1 W a base de carbón
Capacitor Electrolítico 22uf
Figura 35 Circuito RC con valores R=1200 ohms y C=22 uf
Con el uso de un osciloscopio de doble canal + generador de señales 2 en 1 de la marca
FNIRSI Modelo 1014D se realizó la aplicación de una señal de voltaje de entrada tren de pulsos de
100 Hz al circuito descrito anteriormente. Usando los 2 canales disponibles se procedió a colocar las
puntas de prueba en el capacitor y en la resistencia.
Dando como resultado la gráfica inferior donde se pueden apreciar las respuestas de Voltaje
en el Capacitor y Voltaje en la resistencia.
Figura 36 Gráfica en doble canal de Vc (Canal 1-Amarillo) y Vr(Canal 2 - Azul)
26
Matemáticas Avanzadas
3. Análisis de circuito RLC
El circuito RLC en serie es un circuito de segundo orden, compuesto por una resistencia,
un inductor y un condensador. Se realizará el análisis del circuito RLC líneas abajo con los
diferentes métodos que se presentan a continuación:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Matemática simbólica
Funciones de transferencia
Funciones de transferencia Simulink
Diagrama de bloques Simulink
Espacio estado Simulink
Método numérico (ODE23 y ODE45)
Método numérico: Euler, Runge-Kutta 2°, Runge-Kutta 3°, Runge-Kutta 4° 1/3,
Runge-Kutta 4° 3/8
8. Espacio Estado a Función de Transferencia
9. Función de Transferencia a Espacio Estado
10. Gráfica comparativa
VALORES
R= 15 ohms
C= 0.09uf
L=100 mH
Vs= 5 V
Al final de este capítulo se encontrará la implementación física del circuito y sus
gráficas de respuesta.
27
Matemáticas Avanzadas
3.1 Solución simbólica (dsolve) (ezplot)
%Ejercicio1 Matemática Simbólica
clc
clear all
close all
%Datos
Vs=5;
R=15;
L=100e-3;
C=0.09e-6;
%Coeficientes
LC=L*C;
RC=R*C;
%Mat Simbólica
syms t s
Vcs=(Vs/s)*(1/(LC*s^2+RC*s+1));
Vcsym=ilaplace(Vcs)
Ics=(Vs/s)*(C*s/(LC*s^2+RC*s+1));
Icsym=ilaplace(Ics)
figure(1)
subplot(2,1,1)
ezplot(Vcsym,[0 0.1])
title('Voltaje en el capacitor')
legend('Vc')
xlabel('tiempo')
ylabel('Volts')
%Continua en columna derecha
subplot(2,1,2)
ezplot(Icsym,[0 0.1])
title('Corriente en el circuito')
legend('I')
xlabel('tiempo')
ylabel('Ampers')
%Voltaje en el capacitor
Vct=dsolve('2.2e-6*D2y+2.64e4*Dy+y=5','y(0)=0,Dy(0)=0')
figure(2)
subplot(2,1,1)
ezplot(Vct,[0 0.1])
title('Voltaje en el capacitor')
legend('Vc')
xlabel('tiempo')
ylabel('Volts')
%Corriente en el circuito
il=C*diff(Vct);
subplot(2,1,2)
ezplot(il,[0 0.1])
title('Corriente en el circuito')
legend('I')
xlabel('tiempo')
ylabel('Ampers')
Figura 37 Gráfica en 2 planos x-y del Vc y I en el circuito respectivamente
28
Matemáticas Avanzadas
3.2 Función de transferencia: Respuesta a entrada tipo escalón
%Ejercicio2 Funcion de transferencia
clc
clear all
close all
%Datos
Vs=5;
R=15;
L=100e-3;
C=0.9e-6;
%Polinomio caractetristico
den=[L*C R*C 1];
%Para el voltaje en el capacitor
Vc=tf([0 0 1],den)
figure(1)
subplot(4,1,1)
step(Vs*Vc,'r')
title('Voltaje en el capacitor')
legend('Vc')
xlabel('Tiempo')
ylabel('Volts')
grid on
%Para el voltaje de la bobina
Vl=tf([L*C 0 0],den)
subplot(4,1,2)
%Continua en columna derecha
step(Vs*Vl,'b')
title('Voltaje en el inductor')
legend('Vi')
xlabel('Tiempo')
ylabel('Volts')
grid on
%Para el voltaje de la resistencia
Vr=tf([0 R*C 0],den)
subplot(4,1,3)
step(Vs*Vr,'g')
title('Voltaje en la resistencia')
legend('Vr')
xlabel('Tiempo')
ylabel('Volts')
grid on
%Para la corriente
Icto=tf([0 C 0],den)
subplot(4,1,4)
step(Vs*Icto,'m')
title('Corriente en el circuito')
legend('I')
xlabel('Tiempo')
ylabel('Ampers')
grid on
Figura 38 Gráfica de respuesta al escalón de las funciones de transferencia de Vc,VL,Vr y I
29
Matemáticas Avanzadas
3.3 Función de transferencia: Respuesta a entrada tipo escalón aplicado en
Simulink
%Ejercicio3_0
Del script del ejercicio 2.0, Simulink tomará los valores de las variables en el workspace una vez que se ha
corrido el programa.
La representación gráfica del diagrama de bloques en Simulink queda de la siguiente manera:
Figura 39 Diagrama de bloque de función de transferencia Vc, VL, Vr y I con entrada escalón
Figura 40 Gráfica resultante
30
Matemáticas Avanzadas
3.4 Función de transferencia: Respuesta a entrada tipo tren de pulsos aplicado
en Simulink
%Ejercicio3_1
Del script del ejercicio 2.0, Simulink tomará los valores de las variables en el workspace una vez que se ha
corrido el programa.
La representación gráfica del diagrama de bloques en Simulink queda de la siguiente manera:
Figura 41 Funciones de transferencia Vc, VL, Vr y I con entrada tren de pulsos
Figura 42 Gráfico resultante
31
Matemáticas Avanzadas
3.5 Diagrama de bloques: Respuesta a entrada tipo escalón aplicado en
Simulink
%Ejercicio4_0
Del script del ejercicio 2.0, Simulink tomará los valores de las variables en el workspace una vez que se ha
corrido el programa.
La representación gráfica del diagrama de bloques en Simulink queda de la siguiente manera:
Figura 43 Diagrama de bloques de Vc, VL, Vr y I con entrada escalón
Figura 44 Gráfica resultante
32
Matemáticas Avanzadas
3.6 Diagrama de bloques: Respuesta a entrada tipo tren de pulsos aplicado en
Simulink
%Ejercicio4_1
Del script del ejercicio 2.0, Simulink tomará los valores de las variables en el workspace una vez que se ha
corrido el programa.
La representación gráfica del diagrama de bloques en Simulink queda de la siguiente manera:
Figura 45 Diagrama de bloques de Vc, VL, Vr y I con entrada escalón
Figura 46 Gráfica resultante
33
Matemáticas Avanzadas
3.7 Espacio Estado: Respuesta a entrada tipo escalón aplicado en Simulink
%Ejercicio5_0
Del script del ejercicio 2.0, Simulink tomará los valores de las variables en el workspace una vez que se ha
corrido el programa.
La representación gráfica del diagrama de bloques en Simulink queda de la siguiente manera:
Figura 47 Bloques de espacio estado correspondientes a Vc, VL, Vr y I con entrada escalón
Figura 48 Gráfica resultante
34
Matemáticas Avanzadas
3.8 Espacio Estado: Respuesta a entrada tipo tren de pulsos aplicado en
Simulink
%Ejercicio5_1
Del script del ejercicio 2.0, Simulink tomará los valores de las variables en el workspace una vez que se ha
corrido el programa.
La representación gráfica del diagrama de bloques en Simulink queda de la siguiente manera:
Figura 49 Bloques de espacio estado correspondientes a Vc, VL, Vr y I con entrada tren de pulsos
Figura 50 Gráfica resultante
35
Matemáticas Avanzadas
3.9 Aplicación de métodos ODE23 y ODE45 (Solución Numérica de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias)
%Ejercicio6 ODE23 + ODE45
clc
clear all
close all
%Datos
R=15;
L=0.100;
C=0.09e-6;
Vs=5;
tinicial=0;
tfinal=18e-3;
h=0.000000001;
%ODE 23 + ODE45
tinicial1=0;
tinicial2=0;
tfinal1=10e-3;
tfinal2=20e-3;
[t23,vc23]=ode23('RLCcarga1',[tinicial1 tfinal2],[0;0]);
[t223,vc223]=ode23('RLCdescarga1',[tfinal1 tfinal2],[0;5]);
[t45,vc45]=ode45('RLCcarga2',[tinicial1 tfinal2],[0;0]);
[t245,vc245]=ode45('RLCdescarga2',[tfinal1 tfinal2],[0;5]);
figure(1)
plot(t23,vc23,'r')
title('Voltaje en el Capacitor');
legend('Vc ODE23')
xlabel('tiempo')
ylabel('Volts')
figure(2)
plot(t45,vc45,'b')
title('Voltaje en el Capacitor');
legend('Vc ODE45')
xlabel('tiempo')
ylabel('Volts')
Función RLCcarga1
Función RLCcarga2
%Función “RLCcarga1”
function salida=RLCcarga1(t,x)
R=15;
L=0.100;
C=0.1e-6;
Vs=5;
vs=5*heaviside(t)-5*heaviside(t0.01);
salida(1)=(-R/L)*(x(1))(1/L)*(x(2))+(1/L)*vs;
salida(2)=(1/C)*(x(1));
salida=salida';
end
%Función “RLCcarga2”
function salida=RLCcarga2(t,x)
R=15;
L=0.100;
C=0.09e-6;
Vs=5;
vs=5*heaviside(t)-5*heaviside(t0.01);
salida(1)=(-R/L)*(x(1))(1/L)*(x(2))+(1/L)*vs;
salida(2)=(1/C)*(x(1));
salida=salida';
end
36
Matemáticas Avanzadas
Función RLCdescarga1
Función RLCdescarga2
%Función “RLCdescarga1”
function salida=RLCcarga1(t,x)
R=15;
L=0.100;
C=0.09e-6;
Vs=0;
salida(1)=(-R/L)*(x(1))(1/L)*(x(2))+(1/L)*Vs;
salida(2)=(1/C)*(x(1));
salida=salida';
end
%Función “RLCdescarga2”
function salida=RLCcarga1(t,x)
R=15;
L=0.100;
C=0.09e-6;
Vs=0;
salida(1)=(-R/L)*(x(1))(1/L)*(x(2))+(1/L)*Vs;
salida(2)=(1/C)*(x(1));
salida=salida';
end
Figura 51 Gráfica de Vc aplicando el método ODE23
Figura 52 Gráfica de Vc aplicando el método ODE45
37
Matemáticas Avanzadas
3.10 Comparativa de métodos numéricos Euler, Runge-Kutta 2° orden,
Runge-Kutta 3° orden, Runge-Kutta 4° orden 1/3 Simpson y Runge-Kutta
4° orden 3/8 Simpson para obtener la respuesta del circuito RLC a una
entrada del tipo escalón.
%Ejercicio7_0 Metodos Numericos Step
clc
clear all
close all
%Datos
Vs=5;
R=15;
L=100e-3;
C=0.09e-6;
%Condiciones inciales
t(1)=0;
Vc(1)=0;
iL(1)=0;
%Paso de Intregración
h=0.00001;
%Tiempo de simulación
t_inicial=0;
t_final=0.08;
n=round((t_final-t_inicial)/h);
%Metodo de Euler
for k=1:n
Vc(k+1)=Vc(k)+h*(iL(k)/C);
iL(k+1)=iL(k)+h*(Vs-Vc(k)R*iL(k))/L;
t(k+1)=t(k)+h;
t(k+1);
end
%Rutten Kutta 2 orden
trk2(1)=0;
iLrk2(1)=0;
vCrk2(1)=0;
for k=1:n
K1=h*(iLrk2(k)/C);
L1=h*((Vs-vCrk2(k)R*iLrk2(k))/L);
K2=h*((iLrk2(k)+L1)/C);
L2=h*((Vs-(vCrk2(k)+K1)R*(iLrk2(k)+L1))/L);
%Viene de columna izquierda
K2=h*((iLrk3(k)+L1/2)/C);
L2=h*((Vs-(vCrk3(k)+K1/2)R*(iLrk3(k)+L1/2))/L);
K3=h*((iLrk3(k)-L1+2*L2)/C);
L3=h*((Vs-(vCrk3(k)-K1+2*K2)R*(iLrk3(k)-L1+2*L2))/L);
vCrk3(k+1)=vCrk3(k)+(K1+4*K2+K3)/6;
iLrk3(k+1)=iLrk3(k)+(L1+4*L2+L3)/6;
trk3(k+1)=trk3(k)+h;
trk3(k+1);
end
%Rutten Kutta 4 orden
trk4(1)=0;
iLrk4(1)=0;
vCrk4(1)=0;
for k=1:n
K1=h*(iLrk4(k)/C);
L1=h*((Vs-vCrk4(k)R*iLrk4(k))/L);
K2=h*((iLrk4(k)+L1/2)/C);
L2=h*((Vs-(vCrk4(k)+K1/2)R*(iLrk4(k)+L1/2))/L);
K3=h*((iLrk4(k)+L2/2)/C);
L3=h*((Vs-(vCrk4(k)+K2/2)R*(iLrk4(k)+L2/2))/L);
K4=h*((iLrk4(k)+L3)/C);
L4=h*((Vs-(vCrk4(k)+K3)R*(iLrk4(k)+L3))/L);
vCrk2(k+1)=vCrk2(k)+(K1+K2)/2;
iLrk2(k+1)=iLrk2(k)+(L1+L2)/2;
vCrk4(k+1)=vCrk4(k)+(K1+2*K2+2*K3+K4)
/6;
trk2(k+1)=trk2(k)+h;
trk2(k+1);
iLrk4(k+1)=iLrk4(k)+(L1+2*L2+2*L3+L4)
/6;
end
%Rutten Kutta 3 orden
trk3(1)=0;
iLrk3(1)=0;
vCrk3(1)=0;
for k=1:n
K1=h*(iLrk3(k)/C);
L1=h*((Vs-vCrk3(k)R*iLrk3(k))/L);
%Continua en columna derecha
trk4(k+1)=trk4(k)+h;
trk4(k+1);
end
%Rutten Kutta 4 orden 3/8
trk4b(1)=0;
iLrk4b(1)=0;
vCrk4b(1)=0;
for k=1:n
K1=h*(iLrk4b(k)/C);
38
Matemáticas Avanzadas
L1=h*((Vs-vCrk4b(k)R*iLrk4b(k))/L);
%Continua en siguiente hoja
%Viene de hoja anterior columna
derecha
K2=h*((iLrk4b(k)+L1/3)/C);
L2=h*((Vs-(vCrk4b(k)+K1/3)R*(iLrk4b(k)+L1/3))/L);
K3=h*((iLrk4b(k)+L1/3+L2/3)/C);
L3=h*((Vs-(vCrk4b(k)+K1/3+K2/3)R*(iLrk4b(k)+L1/3+L2/3))/L);
K4=h*((iLrk4b(k)+L1-L2+L3)/C);
L4=h*((Vs-(vCrk4b(k)+K1-K2+K3)R*(iLrk4b(k)+L1-L2+L3))/L);
vCrk4b(k+1)=vCrk4b(k)+(K1+3*K2+3*K3+K
4)/8;
iLrk4b(k+1)=iLrk4b(k)+(L1+3*L2+3*L3+L
4)/8;
trk4b(k+1)=trk4b(k)+h;
trk4b(k+1);
end
figure(1)
plot(t,Vc,'r')
hold
plot(trk2,vCrk2,'b')
plot(trk3,vCrk3,'k')
plot(trk4,vCrk4,'g')
plot(trk4b,vCrk4b,'m')
title('Voltaje en el capacitor')
%Continua en columna derecha
%Viene de columna izquierda
legend('Euler','RK2','RK3','RK4','RK4
b')
xlabel('tiempo')
ylabel('Volts')
grid on
figure(2)
plot(t,iL,'r')
hold
plot(trk2,iLrk2,'b')
plot(trk3,iLrk3,'k')
plot(trk4,iLrk4,'g')
plot(trk4b,iLrk4b,'m')
title('Corriente en el circuito')
legend('Euler','RK2','RK3','RK4','RK4
b')
xlabel('tiempo')
ylabel('Ampers')
grid on
figure(3)
plot(Vc,iL,'r')
hold
plot(vCrk2,iLrk2,'b')
plot(vCrk3,iLrk3,'k')
plot(vCrk4,iLrk4,'g')
plot(vCrk4b,iLrk4b,'m')
title('Diagrama de fase')
legend('Euler','RK2','RK3','RK4','RK4
b')
xlabel('Volts')
ylabel('Ampers')
grid on
39
Matemáticas Avanzadas
Figura 53 Gráfica comparativa de Vc con entrada escalón aplicando los métodos numéricos: Euler, RK2,RK3, RK4 1/3 y
RK4 3/8
Figura 54 Gráfica comparativa de I con entrada escalón aplicando los métodos numéricos: Euler, RK2,RK3, RK4 1/3
y RK4 3/8
Figura 55 Plano de fase con entrada escalón aplicando los métodos numéricos: Euler, RK2,RK3, RK4 1/3 y RK4 3/8
40
Matemáticas Avanzadas
3.11 Comparativa de métodos numéricos Euler, Runge-Kutta 2° orden,
Runge-Kutta 3° orden, Runge-Kutta 4° orden 1/3 Simpson y Runge-Kutta
4° orden 3/8 Simpson para obtener la respuesta del circuito RLC a una
entrada del tipo tren de pulsos.
%Ejercicio7_1 Metodos Num Pulsetrain
clc
clear all
close all
%Datos
Vs=5;
R=15;
L=100e-3;
C=0.09e-6;
%Condiciones inciales
t(1)=0;
Vc(1)=0;
iL(1)=0;
%Paso de Intregración
h=0.00001;
%Tiempo de simulación
t_inicial=0;
t_final=0.16;
n=round((t_final-t_inicial)/h);
%Metodo de Euler
for k=1:n
if t(k)<=0.08
Vs=12;
else
Vs=0;
end
Vc(k+1)=Vc(k)+h*(iL(k)/C);
iL(k+1)=iL(k)+h*(Vs-Vc(k)R*iL(k))/L;
t(k+1)=t(k)+h;
t(k+1);
end
%Continua en columna derecha
%Viene de columna izquierda
%Rutten Kutta 3 orden
trk3(1)=0;
iLrk3(1)=0;
vCrk3(1)=0;
%Rutten Kutta 2 orden
trk2(1)=0;
iLrk2(1)=0;
vCrk2(1)=0;
for k=1:n
if trk2(k)<=0.08
Vs=12;
else
Vs=0;
end
K1=h*(iLrk2(k)/C);
L1=h*((Vs-vCrk2(k)R*iLrk2(k))/L);
K2=h*((iLrk2(k)+L1)/C);
L2=h*((Vs-(vCrk2(k)+K1)R*(iLrk2(k)+L1))/L);
%Rutten Kutta 4 orden
trk4(1)=0;
iLrk4(1)=0;
vCrk4(1)=0;
for k=1:n
if trk4(k)<=0.08
Vs=12;
else
Vs=0;
end
K1=h*(iLrk4(k)/C);
L1=h*((Vs-vCrk4(k)R*iLrk4(k))/L);
vCrk2(k+1)=vCrk2(k)+(K1+K2)/2;
iLrk2(k+1)=iLrk2(k)+(L1+L2)/2;
trk2(k+1)=trk2(k)+h;
trk2(k+1);
end
for k=1:n
if trk3(k)<=0.08
Vs=12;
else
Vs=0;
end
K1=h*(iLrk3(k)/C);
L1=h*((Vs-vCrk3(k)R*iLrk3(k))/L);
K2=h*((iLrk3(k)+L1/2)/C);
L2=h*((Vs-(vCrk3(k)+K1/2)R*(iLrk3(k)+L1/2))/L);
K3=h*((iLrk3(k)-L1+2*L2)/C);
L3=h*((Vs-(vCrk3(k)-K1+2*K2)R*(iLrk3(k)-L1+2*L2))/L);
vCrk3(k+1)=vCrk3(k)+(K1+4*K2+K3)/6;
iLrk3(k+1)=iLrk3(k)+(L1+4*L2+L3)/6;
trk3(k+1)=trk3(k)+h;
trk3(k+1);
end
K2=h*((iLrk4(k)+L1/2)/C);
L2=h*((Vs-(vCrk4(k)+K1/2)R*(iLrk4(k)+L1/2))/L);
K3=h*((iLrk4(k)+L2/2)/C);
L3=h*((Vs-(vCrk4(k)+K2/2)R*(iLrk4(k)+L2/2))/L);
K4=h*((iLrk4(k)+L3)/C);
41
Matemáticas Avanzadas
L4=h*((Vs-(vCrk4(k)+K3)R*(iLrk4(k)+L3))/L);
%Continua en siguiente hoja
%Viene de hoja anterior columna
derecha
vCrk4(k+1)=vCrk4(k)+(K1+2*K2+2*K3+K4)/6
;
iLrk4(k+1)=iLrk4(k)+(L1+2*L2+2*L3+L4)/6
;
trk4(k+1)=trk4(k)+h;
trk4(k+1);
end
%Rutten Kutta 4 orden 3/8
trk4b(1)=0;
iLrk4b(1)=0;
vCrk4b(1)=0;
for k=1:n
if trk4b(k)<=0.08
Vs=12;
else
Vs=0;
end
K1=h*(iLrk4b(k)/C);
L1=h*((Vs-vCrk4b(k)R*iLrk4b(k))/L);
K2=h*((iLrk4b(k)+L1/3)/C);
L2=h*((Vs-(vCrk4b(k)+K1/3)R*(iLrk4b(k)+L1/3))/L);
K3=h*((iLrk4b(k)+L1/3+L2/3)/C);
L3=h*((Vs-(vCrk4b(k)+K1/3+K2/3)R*(iLrk4b(k)+L1/3+L2/3))/L);
K4=h*((iLrk4b(k)+L1-L2+L3)/C);
L4=h*((Vs-(vCrk4b(k)+K1-K2+K3)R*(iLrk4b(k)+L1-L2+L3))/L);
vCrk4b(k+1)=vCrk4b(k)+(K1+3*K2+3*K3+K4)
/8;
iLrk4b(k+1)=iLrk4b(k)+(L1+3*L2+3*L3+L4)
/8;
trk4b(k+1)=trk4b(k)+h;
%Continua en columna derecha
%Viene de columna izquierda
trk4b(k+1);
end
figure(1)
plot(t,Vc,'r')
hold
plot(trk2,vCrk2,'b')
plot(trk3,vCrk3,'k')
plot(trk4,vCrk4,'g')
plot(trk4b,vCrk4b,'m')
title('Voltaje en el capacitor')
legend('Euler','RK2','RK3','RK4','RK4b'
)
xlabel('tiempo')
ylabel('Volts')
grid on
figure(2)
plot(t,iL,'r')
hold
plot(trk2,iLrk2,'b')
plot(trk3,iLrk3,'k')
plot(trk4,iLrk4,'g')
plot(trk4b,iLrk4b,'m')
title('Corriente en el circuito')
legend('Euler','RK2','RK3','RK4','RK4b'
)
xlabel('tiempo')
ylabel('Ampers')
grid on
figure(3)
plot(Vc,iL,'r')
hold
plot(vCrk2,iLrk2,'b')
plot(vCrk3,iLrk3,'k')
plot(vCrk4,iLrk4,'g')
plot(vCrk4b,iLrk4b,'m')
title('Diagrama de fase')
legend('Euler','RK2','RK3','RK4','RK4b'
)
xlabel('Volts')
ylabel('Ampers')
grid on
42
Matemáticas Avanzadas
Figura 56 Gráfica comparativa de Vc con entrada tren de pulsos aplicando los métodos numéricos: Euler, RK2,RK3,
RK4 1/3 y RK4 3/8
Figura 57 Gráfica comparativa de I con entrada tren de pulsos aplicando los métodos numéricos: Euler, RK2,RK3, RK4
1/3 y RK4 3/8
Figura 58 Plano de fase con entrada tren de pulsos aplicando los métodos numéricos: Euler, RK2,RK3, RK4 1/3 y RK4
3/8
43
Matemáticas Avanzadas
3.12 Espacio estado a función de transferencia: Respuesta a entrada tipo
escalón
%Ejercicio8 Ft a Ss
clc
clear all
close all
%Datos
Vs=5;
R=15;
L=100e-3;
C=0.09e-6;
%Matrices de variables de estado
A=[0 1/C;-1/L -R/L];
B=[0;1/L];
C1=[1 0];
C2=[-1 -R];
C3=[0 R];
C4=[0 1];
D=0;
sistema=ss(A,B,C1,D)
format long
%Voltaje en el capacitor
[num1,den1]=ss2tf(A,B*Vs,C1,D);
Vc=tf(num1,den1)
subplot(4,1,1)
step(Vc,'r')
title('Voltaje en el Capacitor')
legend('Vc')
xlabel('tiempo')
ylabel('Volts')
%Continua en columna derecha
%Viene de columna izquierda
%Voltaje en el Inductor
[num2,den2]=ss2tf(A,B*Vs,C2,Vs);
Vi=tf(num2,den2)
subplot(4,1,2)
step(Vi,'b')
title('Voltaje en el Inductor')
legend('Vi')
xlabel('tiempo')
ylabel('Volts')
%Voltaje en la Resistencia
[num3,den3]=ss2tf(A,B*Vs,C3,D);
Vr=tf(num3,den3)
subplot(4,1,3)
step(Vr,'g')
title('Voltaje en la Resistencia')
legend('Vi')
xlabel('tiempo')
ylabel('Volts')
%Corriente
[num4,den4]=ss2tf(A,B*Vs,C4,D);
I=tf(num4,den4)
subplot(4,1,4)
step(I,'m')
title('Corriente en el circuito')
legend('I')
xlabel('tiempo')
ylabel('Ampers')
Figura 59 Gráfica de funciones de transferencia desde espacio estado con entrada escalón
44
Matemáticas Avanzadas
3.13 Función de transferencia a espacio estado: Respuesta a entrada tipo
escalón
%Ejercicio9 Ss a Ft
clc
clear all
close all
%Datos
Vs=12;
R=15;
L=100e-3;
Cc=0.09e-6;
Ts=0;
%SS a ft
format short
num_a=[0 0 1/(L*Cc)];
den_t=[1 R/L 1/(L*Cc)];
FT=tf(num_a,den_t)
%Matrices de espacio estado
[A,B,C,D]=tf2ss(num_a,den_t);
sistema=ss(A,B*Vs,C,D)
figure(1)
plot(step(sistema),'r')
title('Voltaje en el Capacitor')
legend('Vc')
xlabel('tiempo')
ylabel('Volts')
grid on
Figura 60 Se muestra la respuesta del sistema en el Vc a la entrada escalón
45
Matemáticas Avanzadas
3.14 Comparativa de métodos numéricos Euler, Runge-Kutta 2° orden,
Runge-Kutta 3° orden, Runge-Kutta 4° orden 1/3 Simpson, Runge-Kutta 4°
orden 3/8 Simpson y Solución Simbólica para obtener la respuesta del
circuito RLC a una entrada del tipo escalón.
%Ejercicio10 Comparativa Métodos
clc
clear all
close all
%Valores
Vs=12;
R=15;
L=100e-3;
C=0.09e-6;
%Condiciones inciales
t(1)=0;
Vc(1)=0;
iL(1)=0;
%Paso de Intregración
h=0.00001;
%Tiempo de simulación
t_inicial=0;
t_final=0.08;
n=round((t_final-t_inicial)/h);
%Metodo de Euler
for k=1:n
Vc(k+1)=Vc(k)+h*(iL(k)/C);
iL(k+1)=iL(k)+h*(Vs-Vc(k)R*iL(k))/L;
t(k+1)=t(k)+h;
t(k+1);
end
figure(1)
plot(t,Vc,'r')
hold
figure(2)
plot(t,iL,'r')
hold
%Rutten Kutta 2 orden
trk2(1)=0;
iLrk2(1)=0;
vCrk2(1)=0;
for k=1:n
K1=h*(iLrk2(k)/C);
L1=h*((Vs-vCrk2(k)R*iLrk2(k))/L);
K2=h*((iLrk2(k)+L1)/C);
L2=h*((Vs-(vCrk2(k)+K1)R*(iLrk2(k)+L1))/L);
vCrk2(k+1)=vCrk2(k)+(K1+K2)/2;
iLrk2(k+1)=iLrk2(k)+(L1+L2)/2;
trk2(k+1)=trk2(k)+h;
trk2(k+1);
%Viene de columna izquierda
for k=1:n
K1=h*(iLrk3(k)/C);
L1=h*((Vs-vCrk3(k)R*iLrk3(k))/L);
K2=h*((iLrk3(k)+L1/2)/C);
L2=h*((Vs-(vCrk3(k)+K1/2)R*(iLrk3(k)+L1/2))/L);
K3=h*((iLrk3(k)-L1+2*L2)/C);
L3=h*((Vs-(vCrk3(k)-K1+2*K2)R*(iLrk3(k)-L1+2*L2))/L);
vCrk3(k+1)=vCrk3(k)+(K1+4*K2+K3)/6;
iLrk3(k+1)=iLrk3(k)+(L1+4*L2+L3)/6;
trk3(k+1)=trk3(k)+h;
trk3(k+1);
end
%Rutten Kutta 4 orden
trk4(1)=0;
iLrk4(1)=0;
vCrk4(1)=0;
for k=1:n
K1=h*(iLrk4(k)/C);
L1=h*((Vs-vCrk4(k)R*iLrk4(k))/L);
K2=h*((iLrk4(k)+L1/2)/C);
L2=h*((Vs-(vCrk4(k)+K1/2)R*(iLrk4(k)+L1/2))/L);
K3=h*((iLrk4(k)+L2/2)/C);
L3=h*((Vs-(vCrk4(k)+K2/2)R*(iLrk4(k)+L2/2))/L);
K4=h*((iLrk4(k)+L3)/C);
L4=h*((Vs-(vCrk4(k)+K3)R*(iLrk4(k)+L3))/L);
vCrk4(k+1)=vCrk4(k)+(K1+2*K2+2*K3+K4)
/6;
iLrk4(k+1)=iLrk4(k)+(L1+2*L2+2*L3+L4)
/6;
end
%Rutten Kutta 3 orden
trk3(1)=0;
iLrk3(1)=0;
vCrk3(1)=0;
%Continua en columna derecha
trk4(k+1)=trk4(k)+h;
trk4(k+1);
end
%Rutten Kutta 4 orden 3/8
trk4b(1)=0;
%Continua en siguiente hoja
46
Matemáticas Avanzadas
%Viene de hoja anterior columna
derecha
iLrk4b(1)=0;
vCrk4b(1)=0;
for k=1:n
K1=h*(iLrk4b(k)/C);
L1=h*((Vs-vCrk4b(k)R*iLrk4b(k))/L);
K2=h*((iLrk4b(k)+L1/3)/C);
L2=h*((Vs-(vCrk4b(k)+K1/3)R*(iLrk4b(k)+L1/3))/L);
K3=h*((iLrk4b(k)+L1/3+L2/3)/C);
L3=h*((Vs-(vCrk4b(k)+K1/3+K2/3)R*(iLrk4b(k)+L1/3+L2/3))/L);
K4=h*((iLrk4b(k)+L1-L2+L3)/C);
L4=h*((Vs-(vCrk4b(k)+K1-K2+K3)R*(iLrk4b(k)+L1-L2+L3))/L);
vCrk4b(k+1)=vCrk4b(k)+(K1+3*K2+3*K3+K
4)/8;
iLrk4b(k+1)=iLrk4b(k)+(L1+3*L2+3*L3+L
4)/8;
trk4b(k+1)=trk4b(k)+h;
trk4b(k+1);
end
%%%%%%%Mat Simbólica%%%%%%%%%
syms t s
Vcc=(Vs/s)*(1/(L*C*s^2+R*C*s+1));
Vcsym=ilaplace(Vcc);
Ic=(Vs/s)*(C*s/(L*C*s^2+R*C*s+1));
Icsym=ilaplace(Ic);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Continua en columna derecha
%Viene de columna izquierda
figure(1)
plot(trk2,vCrk2,'b')
plot(trk3,vCrk3,'k')
plot(trk4,vCrk4,'g')
plot(trk4b,vCrk4b,'m')
ezplot(Vcsym,[t_inicial t_final])
title('Voltaje en el capacitor')
legend('Euler','RK2','RK3','RK4','RK4
b','Simb')
xlabel('tiempo')
ylabel('Volts')
grid on
figure(2)
plot(trk2,iLrk2,'b')
plot(trk3,iLrk3,'k')
plot(trk4,iLrk4,'g')
plot(trk4b,iLrk4b,'m')
ezplot(Icsym,[t_inicial t_final])
title('Corriente en el circuito')
legend('Euler','RK2','RK3','RK4','RK4
b','Simb')
xlabel('tiempo')
ylabel('Ampers')
grid on
figure(3)
plot(Vc,iL,'r')
hold
plot(vCrk2,iLrk2,'b')
plot(vCrk3,iLrk3,'k')
plot(vCrk4,iLrk4,'g')
plot(vCrk4b,iLrk4b,'m')
ezplot(Vcsym,Icsym,[t_inicial,t_final
])
title('Diagrama de fase')
legend('Euler','RK2','RK3','RK4','RK4
b','Simb')
xlabel('Volts')
ylabel('Ampers')
grid on
47
Matemáticas Avanzadas
Figura 61 Gráfica comparativa de Vc con entrada escalón aplicando los métodos numéricos: Euler, RK2,RK3, RK4 1/3 y
RK4 3/8 y solución simbólica
Figura 62 Gráfica comparativa de I con entrada escalón aplicando los métodos numéricos: Euler, RK2,RK3, RK4 1/3 y
RK4 3/8 y solución simbólica
Figura 63 Plano de fase con entrada tren de pulsos aplicando los métodos numéricos: Euler, RK2,RK3, RK4 1/3, RK4 3/8
y solución simbólica
48
Matemáticas Avanzadas
3.15
Implementación física del circuito y sus gráficas de respuesta
Se realizó la conexión física del circuito RLC con el uso de los siguientes elementos pasivos:
-
Resistencia 15 ohms 1/4 W a base de carbón
Inductor de choque doble núcleo corriente compensada 100 mH
Capacitor cerámico 0.09uf
Figura 64 Circuito RLC con valores R=1200 ohms, L=100Mh Y C=0.09uf
Con el uso de un osciloscopio de doble canal + generador de señales 2 en 1 de la marca
FNIRSI Modelo 1014D se realizó la aplicación de una señal de voltaje de entrada tren de pulsos de
40 Hz al circuito descrito anteriormente. El resultado, una gráfica donde se pueden apreciar las
respuestas de Voltaje en el Capacitor y Corriente en el circuito.
Procedimiento
-
-
Habilitar ambos canales en el osciloscopio, y colocar las puntas de prueba en la misma escala.
Colocar una resistencia de valor pequeño (preferentemente 1 ohm) en serie al circuito RLC,
después, proceder a medir la forma de onda con uno de los 2 canales en dicha resistencia.
La gráfica resultante será equivalente a la forma de onda de la corriente en el circuito.
Con el canal restante, medir la forma de onda en el capacitor.
Representar ambas mediciones en la misma pantalla
Para visualizar el plano de fase se requiere colocar la función del osciloscopio en plano x-y.
49
Matemáticas Avanzadas
Figura 65 Gráfica en doble canal de Vc (Canal 1-Amarillo) y I del circuito(Canal 2 - Azul)
Figura 66 Plano de fase con entrada tren de pulsos graficando Vc y I en el circuito
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Matemáticas Avanzadas
4. Índice de figuras
Figura 1 Se presentan las gráficas animadas en el plano x-y y en el plano polar............................... 6
Figura 1 Se presentan las gráficas animadas en el plano x-y y en el plano polar............................... 6
Figura 2 Gráfica de Voltaje del Capacitor en pasos de tau ................................................................. 8
Figura 2 Gráfica de Voltaje del Capacitor en pasos de tau ................................................................. 8
Figura 3 Gráficas: Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y Corriente................................ 9
Figura 3 Gráficas: Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y Corriente................................ 9
Figura 4 Gráficas de respuesta a entrada escalón: Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y
Corriente............................................................................................................................................ 10
Figura 4 Gráficas de respuesta a entrada escalón: Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y
Corriente............................................................................................................................................ 10
Figura 5 Gráficas de respuesta a entrada impulso: Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y
Corriente............................................................................................................................................ 11
Figura 5 Gráficas de respuesta a entrada impulso: Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y
Corriente............................................................................................................................................ 11
Figura 6 Gráficas de respuesta a entrada rampa: Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y
Corriente............................................................................................................................................ 12
Figura 6 Gráficas de respuesta a entrada rampa: Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y
Corriente............................................................................................................................................ 12
Figura 7 Bloques de función de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y
Corriente con entrada tipo escalón y medición a la salida ................................................................ 13
Figura 7 Bloques de función de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y
Corriente con entrada tipo escalón y medición a la salida ................................................................ 13
Figura 8 Gráfica de respuesta de las funciones de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje
en la resistencia y Corriente ante la entrada tipo escalón ................................................................. 13
Figura 8 Gráfica de respuesta de las funciones de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje
en la resistencia y Corriente ante la entrada tipo escalón ................................................................. 13
Figura 9 Bloques de función de transferencia del Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y
Corriente con entrada tipo tren de pulsos y medición a la salida ...................................................... 14
Figura 9 Bloques de función de transferencia del Voltaje en el capacitor, Voltaje en la resistencia y
Corriente con entrada tipo tren de pulsos y medición a la salida ...................................................... 14
Figura 10 Gráfica de respuesta de las funciones de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje
en la resistencia y Corriente ante la entrada tipo tren de pulsos ....................................................... 14
Figura 10 Gráfica de respuesta de las funciones de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje
en la resistencia y Corriente ante la entrada tipo tren de pulsos ....................................................... 14
Figura 11 Diagrama de bloques de funciones de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje en
la resistencia y Corriente con entrada tipo tren de pulsos y medición a la salida ............................ 15
Figura 11 Diagrama de bloques de funciones de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje en
la resistencia y Corriente con entrada tipo tren de pulsos y medición a la salida ............................ 15
Figura 12 Gráfica de respuesta de las funciones de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje
en la resistencia y Corriente ante la entrada tipo tren de pulsos .................................................... 15
Figura 12 Gráfica de respuesta de las funciones de transferencia de Voltaje en el capacitor, Voltaje
en la resistencia y Corriente ante la entrada tipo tren de pulsos .................................................... 15
Figura 13 Gráfica de Voltaje en capacitor, Voltaje en la Resistencia y Corriente en el circuito
usando ODE23 ................................................................................................................................... 17
51
Matemáticas Avanzadas
Figura 14 Gráfica de Voltaje en capacitor, Voltaje en la Resistencia y Corriente en el circuito
usando ODE45 .................................................................................................................................. 17
Figura 15 Métodos numéricos aplicados al Voltaje del capacitor representados en un mismo plano.
........................................................................................................................................................... 19
Figura 16 Desviación entre los diferentes métodos numéricos aplicados. ........................................ 19
Figura 17 Métodos numéricos aplicados al Voltaje del capacitor representados en un mismo plano.
........................................................................................................................................................... 21
Figura 18 Desviación entre los diferentes métodos numéricos aplicados. ........................................ 21
Figura 19 Métodos numéricos aplicados al Voltaje del capacitor representados en un mismo plano.
........................................................................................................................................................... 23
Figura 20 Desviación entre los diferentes métodos numéricos aplicados. ........................................ 23
Figura 21 Desviación entre los diferentes métodos numéricos aplicados. ........................................ 25
Figura 22 Métodos numéricos aplicados al Voltaje del capacitor representados en un mismo plano.
........................................................................................................................................................... 25
Figura 23 Circuito RC con valores R=1200 ohms y C=22 uf ........................................................... 26
Figura 24 Gráfica en doble canal de Vc (Canal 1-Amarillo) y Vr(Canal 2 - Azul) .......................... 26
Figura 25 Gráfica en 2 planos x-y del Vc y I en el circuito respectivamente ................................... 28
Figura 26 Gráfica de respuesta al escalón de las funciones de transferencia de Vc,VL,Vr y I ......... 29
Figura 27 Diagrama de bloque de función de transferencia Vc, VL, Vr y I con entrada escalón ..... 30
Figura 28 Gráfica resultante .............................................................................................................. 30
Figura 29 Funciones de transferencia Vc, VL, Vr y I con entrada tren de pulsos............................. 31
Figura 30 Gráfico resultante .............................................................................................................. 31
Figura 31 Diagrama de bloques de Vc, VL, Vr y I con entrada escalón ........................................... 32
Figura 32 Gráfica resultante .............................................................................................................. 32
Figura 33 Diagrama de bloques de Vc, VL, Vr y I con entrada escalón ........................................... 33
Figura 34 Gráfica resultante .............................................................................................................. 33
Figura 35 Bloques de espacio estado correspondientes a Vc, VL, Vr y I con entrada escalón ......... 34
Figura 36 Gráfica resultante .............................................................................................................. 34
Figura 37 Bloques de espacio estado correspondientes a Vc, VL, Vr y I con entrada tren de pulsos
........................................................................................................................................................... 35
Figura 38 Gráfica resultante .............................................................................................................. 35
Figura 39 Gráfica de Vc aplicando el método ODE23 ..................................................................... 37
Figura 40 Gráfica de Vc aplicando el método ODE45 ..................................................................... 37
Figura 41 Gráfica comparativa de Vc con entrada escalón aplicando los métodos numéricos: Euler,
RK2,RK3, RK4 1/3 y RK4 3/8.......................................................................................................... 40
Figura 42 Gráfica comparativa de I con entrada escalón aplicando los métodos numéricos: Euler,
RK2,RK3, RK4 1/3 ........................................................................................................................... 40
Figura 43 Plano de fase con entrada escalón aplicando los métodos numéricos: Euler, RK2,RK3,
RK4 1/3 y RK4 3/8 ........................................................................................................................... 40
Figura 44 Gráfica comparativa de Vc con entrada tren de pulsos aplicando los métodos numéricos:
Euler, RK2,RK3, RK4 1/3 y RK4 3/8 ............................................................................................... 43
Figura 45 Gráfica comparativa de I con entrada tren de pulsos aplicando los métodos numéricos:
Euler, RK2,RK3, RK4 1/3 y RK4 3/8 ............................................................................................... 43
Figura 46 Plano de fase con entrada tren de pulsos aplicando los métodos numéricos: Euler,
RK2,RK3, RK4 1/3 y RK4 3/8 ......................................................................................................... 43
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Matemáticas Avanzadas
Figura 47 Gráfica de funciones de transferencia desde espacio estado con entrada escalón ............ 44
Figura 48 Se muestra la respuesta del sistema en el Vc a la entrada escalón .................................... 45
Figura 49 Gráfica comparativa de Vc con entrada escalón aplicando los métodos numéricos: Euler,
RK2,RK3, RK4 1/3 y RK4 3/8 y solución simbólica........................................................................ 48
Figura 50 Gráfica comparativa de I con entrada escalón aplicando los métodos numéricos: Euler,
RK2,RK3, RK4 1/3 y RK4 3/8 y solución simbólica ....................................................................... 48
Figura 51 Plano de fase con entrada tren de pulsos aplicando los métodos numéricos: Euler,
RK2,RK3, RK4 1/3, RK4 3/8 y solución simbólica ......................................................................... 48
Figura 52 Circuito RLC con valores R=1200 ohms, L=100Mh Y C=0.09uf ................................... 49
Figura 53 Gráfica en doble canal de Vc (Canal 1-Amarillo) y I del circuito(Canal 2 - Azul) .......... 50
Figura 54 Plano de fase con entrada tren de pulsos graficando Vc y I en el circuito ........................ 50
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Matemáticas Avanzadas