1
Дополнение к УМП «Разработка управленческого решения» по теме
«Методы выбора альтернатив в условиях неопределенности и риска»
автор Плетнев Д.А.
1. Выбор альтернатив в условиях неопределенности.
Критерии
1.1.1. Критерий Вальда
1.1.2. Критерий крайнего оптимизма
1.1.3. Критерий Лапласа
1.1.4. Критерий Байеса-Лапласа
1.1.5. Критерий Сэвиджа
1.1.6. Критерий Гурвица
1.1.7. Критерий Хоменюка
1.2. Выбор наилучшей альтернативы.
2. Выбор альтернатив в условиях риска
2.1. Критерии
2.1.1. Критерий ожидаемого значения
2.1.2. Критерий комбинации ожидаемого значения и дисперсии
2.1.3. Критерий известного предельного уровня
2.1.4. Критерий наиболее вероятного события в будущем
2.2. Выбор альтернативы для каждого ЛПР.
2.3. Метод дерева решений.
Принятие решений - основная часть работы менеджеров любого звена
любого предприятия. Поэтому понимание всех тонкостей процесса принятия
решений в различных условиях, знание и применение различных методов и
2
моделей
принятия
решений
играет
значительную
роль
в
повышении
эффективности работы управленческого персонала.
Различные специалисты дают различные определения понятию «решение»,
но из всех определений следует, что решение - это выбор альтернативы.
На процесс принятия решений влияют такие факторы как личностные
оценки руководителя, среда принятия решений, информационные ограничения,
поведенческие ограничения и т.д.
Среда принятия
Определенность
решения
Предполагает
Риск
Неопределенность
Можно определить
гарантию получения
желаемого
результата
как риск,
Возможность
неполучения
желаемого
результата
вероятность
которого нельзя
измерить
Условия применения
Действием
неуправляемых
факторов можно
пренебречь
Определенность.
Риск.
Ситуация типичная, или
действует мало
неуправляемых
факторов, так что можно
предсказать результат
Действует множество
разнонаправленных
неуправляемых
факторов или ситуация
нетипичная
Решение принимается в условиях определенности, когда
руководитель может с точностью определить результат каждого
альтернативного решения, возможного в данной ситуации.
Уровень определенности при принятии решений зависит от
внешней среды. Он увеличивается при наличии твердой
правовой базы, ограничивающей количество альтернатив и
снижающей уровень риска.
К решениям, принимаемым в условиях риска, относятся такие
3
Неопределенность.
решения, результаты которых не являются определенными, но
вероятность каждого возможного результата можно
определить. Вероятность определяется в промежутке от 0 до 1 и
представляет собой степень возможности совершения данного
события. Сумма вероятностей всех альтернатив должна быть
равна единице.
Решение принимается в условиях неопределенности, когда
невозможно оценить вероятность потенциальных результатов.
Неопределенность характерна для некоторых решений,
принимаемых в быстро меняющихся условиях.
Выбор альтернатив в условиях неопределенности
При решении конкретных задач с учетом неопределенностей ЛПР
сталкивается с разными их типами.
Неопределенность
целей
В
приведенной
Неопределенность
наших знаний об
окружающей
обстановке и
действующих в
данном явлении
факторах
(неопределенность
природы)
выше
классификации
Неопределенность
действий
активного или
пассивного
партнера или
противника
тип
неопределенностей
рассматривается с позиций того или иного элемента математической модели. Так,
например, неопределенность целей отражается при постановке задачи на выборе
либо отдельных критериев, либо всего вектора полезного эффекта.
С другой стороны, два другие типа неопределенностей влияют, в основном,
на составление целевой функции уравнений ограничений и метода принятия
решения. Конечно, приведенное выше утверждение является достаточно
условным, как, впрочем, и любая классификация.
Кроме рассмотренной выше классификации неопределенностей надо
учитывать их тип (или "род") с точки зрения отношения к случайности.
Стохастическая
Поведенческая
Природная
4
П р и ч и н ы
Случайности
Мотивы поведения
Отсутствие
контрагента
информации о среде
Источники информации о возможных исходах
Данные статистики
Разведка
Гипотезы
Для ЛПР, действующего в условиях неопределенности и невозможности
получения дополнительной информации о неопределенных факторах, элементами
описания ситуации являются:
1. множество допустимых стратегий (множество возможных альтернатив
действий ЛПР) А={A1, A2, …, Am};
2. множество возможных состояний внешней среды (множество гипотез)
Z={Z1, Z2, …, Zn}
Предполагается, что на множестве отношений А*Z можно задать некоторую
функцию полезности f(Ai, Zj), которая выступает в качестве меры желательности
или полезности соответствующей альтернативы. Если множества A и Z конечны,
то мера для оценки эффективности действий ЛПР (полезность исходов)
представима в виде матрицы. Каждое конкретное значение элемента матрицы
Xij=f(Ai, Zj) характеризует выбор i-стратегии (альтернативы Ai) при состоянии
внешней среды Zj.
Альтернативы, Аi
Состояние внешней среды (гипотезы)
Z1
Z2
...
Zn
A1
X11
X12
…
X1n
A2
X21
X22
…
X2n
…
…
…
…
…
Am
Xm1
Xm2
…
Xmn
Вероятности гипотез, pj p1
p2
…
pn
При выборе альтернатив в условиях неопределенности используются
специальные критерии.
Критерий Вальда
Крайнего пессимизма
заключается в выборе в
5
«Максимин»
Критерий крайнего
оптимизма
«Максимакс»
Критерий Лапласа
Равновероятных исходов
Критерий Сэвиджа
Минимизации
потенциальных потерь
«Минимакс»
Критерий Гурвица
Компромиссный критерий
Критерий
Хоменюка
Взвешенный критерий
качестве оптимальной той
альтернативы, которая имеет
наибольшее среди наименее
благоприятных состояний
внешней среды значение
функции полезности.
предполагает возможность
получения максимального
уровня желательности
результата.
применяется, если состояния
внешней среды неизвестны,
но их можно считать
равновероятными
характеризует те
потенциальные потери,
которые фирма будет иметь,
если выберет неоптимальное
решение.
представляет собой
комбинацию принципа
гарантированного результата
и принципа оптимизма.
критерий с расчетом весов
Пример."Поставщик".
Выпуск продукции фирмы существенно зависит от скоропортящегося
материала, например, молока или ягод, поставляемого партиями стоимостью
100ед.
Если поставка не прибывает в срок, фирма теряет 400 ед. от недовыпуска
продукции.
Фирма может послать к поставщику свой транспорт (расходы 50 ед.).
Однако опыт показывает, что в половине случаев транспорт возвращается
ни с чем.
Можно увеличить вероятность получения материала до 80%, если
предварительно послать своего представителя, но расходы увеличатся еще на
50 ед.
6
Существует возможность приобретать более дорогой (на 50%) материалзаменитель у другого, вполне надежного поставщика, однако, кроме расходов на
транспорт (50 ед.) возможны дополнительные издержки хранения материала в
размере 30 ед., если его количество на складе превысит допустимую норму,
равную одной партии.
Какой стратегии должен придерживаться завод в сложившейся ситуации?
Формализация. У природы два состояния: 1-поставщик надежный и 2поставщик ненадежный.
У фирмы - четыре стратегии:
A1 - не осуществлять никаких дополнительных действий,
A2 - послать к поставщику свой транспорт,
A3 - послать к поставщику представителя и транспорт,
A4 - купить и привезти материал-заменитель от другого поставщика.
Составим таблицу расчетов:
Затраты и убытки фирмы-изготовителя
Ситуация Стоимос Недовыпуск Транспор КомандиИздержк Общая
ть
продукции т
ровочные
и
сумма
материал
расходы
хранения
а
A1.1
- 100
0
0
0
0
- 100
A1.2
0
- 400
0
0
0
- 400
A2.1
- 100
0
- 50
0
0
- 150
A2.2
- 50
- 200
- 50
0
0
- 300
A3.1
- 100
0
- 50
- 50
0
- 200
A3.2
- 80
- 80
- 50
- 50
0
- 260
A4.1
- 250
0
- 50
0
- 30
- 330
A4.2
- 150
0
- 50
0
0
- 200
Решение. На основе полученных результатов вычислений можно составить
платежную матрицу:
A1
A2
надежный
- 100
- 150
ненадежный
- 400
- 300
7
A3
A4
- 200
- 330
- 260
- 200
Критерий Вальда
Полностью
исключает риск
K В = max min X ij
i
j
Xij - показатель, характеризующий положительный результат реализации i-ой
альтернативы при j-ом варианте.
Правило выбора решений:
надежный
ненадежный
min
A1
- 100
- 400
- 400
A2
- 150
- 300
- 300
A3
- 200
- 260
- 260 - 260
A4
- 330
- 200
- 330
Нужно
придерживаться
Ответ.
max
третьей стратегии и затраты не превысят
260
ед.,
если
послать
к
поставщику
Матрица решений
дополняется еще
одним столбцом из
наименьших
результатов каждой
строки. Выбрать
надлежит тот
вариант, в строке
которого стоит
наибольшее
значение этого
столбца
представителя и транспорт.
Применение этого критерия может быть оправдано если:
1 о вероятности появления Xj ничего не известно;
2 с появлением состояния Xj необходимо считаться;
3 реализуется лишь малое количество решений;
4 не допускается никакой риск.
8
Критерий крайнего оптимизма
предполагает возможность
получения
максимального
уровня
желательности
результата.
K о = max max X ij
i
Правило выбора решений:
надежный
ненадежный max
A1
- 100
- 400
- 100 -100*
A2
- 150
- 300
- 150
A3
- 200
- 260
- 200
A4
- 330
- 200
- 200
Ответ:
По
критерию
крайнего
max
оптимизма
j
Матрица решений
дополняется еще одним
столбцом из
наименьших
результатов каждой
строки. Выбрать
надлежит тот вариант, в
строке которого стоит
наибольшее значение
этого столбца
наилучшим считается решение А1
Критерий Лапласа
В ряде случаев представляется правдоподобным следующее рассуждение:
поскольку неизвестны будущие состояния природы, постольку можно считать их
равновероятными.
Kл
1
= max
i
n
Правило выбора решений:
A1
A2
A3
A4
надежный
- 100
- 150
- 200
- 330
ненадежный
- 400
- 300
- 260
- 200
max
-250
-225 -225
-230
-265
n
∑
j =1
X ij
Для решения задачи для
каждого
решения
подсчитывается
математическое
ожидание
выигрыша
(вероятности
состояний
природы
полагаются равными yj = 1/n, j
= 1:n), и выбирается то
решение,
при
котором
величина этого выигрыша
9
Ответ. Решением по критерию
Лапласа является вторая стратегия
Гипотеза
!
является
о
равновероятности
довольно
искусственной,
состояний
поэтому
природы
принципом
Лапласа можно пользоваться лишь в ограниченных случаях.
В более общем случае следует считать, что состояния природы не
равновероятны и использовать для решения критерий Байеса-Лапласа.
Критерий Байеса-Лапласа
Этот критерий отступает от условий полной неопределенности - он
предполагает,
что
возможным
состояниям
природы
можно
приписать
определенную вероятность их наступления и, определив математическое
ожидание выигрыша для каждого решения, выбрать то, которое обеспечивает
наибольшее значение выигрыша:
в отличие от
критерия Вальда,
учитывает каждое из
возможных следствий
всех вариантов
решений
Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом:
матрица
решений
[Xij]
дополняется
еще
одним
столбцом,
содержащим
математическое ожидание значений каждой из строк. Выбирается тот вариант, в
строках которого стоит наибольшее значение Xir этого столбца.
Этот
метод
предполагает
возможность
использования
какой-либо
предварительной информации о состояниях природы. При этом предполагается
как повторяемость состояний природы, так и повторяемость решений, и прежде
10
всего, наличие достаточно достоверных данных о прошлых состояниях природы.
То есть основываясь на предыдущих наблюдениях прогнозировать будущее
состояние природы (статистический принцип).
Правило выбора решений:
Возвращаясь
к
задаче
предположим,
что
руководители
фирмы-
потребителя, прежде чем принять решение, проанализировали, насколько точно
поставщик ранее выполнял сроки поставок, и выяснили, что в 25 случаях из 100
сырье поступало с опозданием.
A1
A2
A3
A4
надежный
- 100
- 150
- 200
- 330
Ответ.
Байеса-Лапласа
ненадежный
- 400
- 300
- 260
- 200
Тогда
∑
- 175*
-187,5
- 215
- 297,5
согласно
критерию
оптимальным
является
Исходя из этого,
можно приписать
вероятность
наступления
первого состояния
природы
вероятность pj =
0,75 = (1-0,25),
второго - pj = 0,25.
решение А1.
Критерий Сэвиджа
На практике, выбирая одно из возможных решений, часто останавливаются на
том, осуществление которого приведет к наименее тяжелым последствиям, если
выбор окажется ошибочным. Этот подход к выбору решения математически был
сформулирован американским статистиком Сэвиджем в 1954 году и получил
название принципа Сэвиджа.
В соответствии с критерием Сэвиджа в качестве оптимальной выбирается
такая стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в
самой неблагополучной ситуации:
11
K c = min max L ij
i
j
Правило выбора решений:
A1
A2
A3
A4
надежный
- 100
- 150
- 200
- 330
ненадежный
- 400
- 300
- 260
- 200
0
50
100
230
200
100
60
0
max
200
100*
100*
230
Ответ: Наилучший вариант А2 и А3
Стратегия
выбора
по
принципу
Сэвиджа
характеризует те потенциальные потери, которые
фирма будет иметь, если выберет неоптимальное
Для каждого состояния
внешней
среды
по
конкретной
альтернативе
определяется максимальное
значение
функции
полезности.
Разности
образуют матрицу остатков.
Эта матрица пополняется
столбцом
наибольших
разностей. Выбирается тот
вариант, в строке которого
стоит наименьшее значение.
решение.
!
Критерий Сэвиджа удобен, если для предприятия приемлем
некоторый риск..
Критерий Гурвица
где α –
коэффициент
пессимизма
Гурвица; обычно
α = [0,3; 0,7] .
K Г = max⎛⎜ α min X ij + (1 − α ) max X ij ⎞⎟
j
i ⎝
j
⎠
№
Значения α
Описание ЛПР
12
п/п
1.
Меньше 0,3
Крайний оптимист
2.
0,35 … 0,45
Разумный оптимист
3.
0,55 … 0,65
Разумный пессимист
4.
Больше 0,7
Крайний пессимист
Коэффициент в критерии Гурвица выбирается из
субъективных соображений: чем опаснее ситуация, тем
больше ЛПР желает подстраховаться.
!
Правило выбора решений:
A1
A2
A3
A4
надежный ненадежный
max
0,3*(-400)+(1-0,3)*(-100)
-190*
- 100
- 400
0,3*(-300)+(1-0,3)*(-150)
-195
- 150
- 300
0,3*(-260)+(1-0,3)*(-200)
-218
- 200
- 260
0,3*(-330)+(1-0,3)*(-200)
-239
- 330
- 200
Ответ: По критерию Гурвица наилучшей альтернативой является А1
Критерий Хоменюка
Использует потенциальные
потери для расчета
«вероятностей» - весов
различных вариантов
развития событий
n
K x = max ∑ p j X ij
i
j =1
n
pj =
∑L
ij
i =1
m
n
∑∑ L
j =1 i =1
ij
Правило выбора решений:
Матрица остатков
дополняется
строкой с
13
A1
A2
A3
A4
надежный
- 100
- 150
- 200
- 330
ненадежный
- 400
- 300
- 260
- 200
∑ = 740
pi
0
50
100
230
380
200
100
60
0
360
∑piXij
98
74,5
29,91
117,3*
0,51 0,49
Ответ: Выбираем альтернативу А4
Выбор наилучшей альтернативы.
А1
А2
Критерий Вальда
Критерий крайнего оптимизма
*
*
*
Критерий Сэвиджа
Критерий Гурвица
А4
*
Критерий Лапласа
Критерий Байеса-Лапласа
А3
*
*
*
Критерий Хоменюка
*
Ответ: Альтернатива А1 является лучшей по большинству критериев. Для более точно
можно провести многокритериальную оценку бальным методом.
Выбор альтернатив в условиях риска
Принятие решений в условиях риска может быть основано на одном из
следующих критериев:
- известного предельного уровня;
- наиболее вероятного события в будущем.
14
- комбинации ожидаемого значения;
- комбинации ожидаемого значения и дисперсии;
1. Критерий ожидаемого значения (КОЗ).
Использование КОЗ предполагает принятие решения, обуславливающего
максимальную прибыль при имеющихся исходных данных о вероятности
полученного результата при том или другом решении.
Если обозначить КОЗ
Е(x1, x2, ... , xN)
то
E(xI) (ρ) M(xI)
где x1, x2, ... , xN принимаемые
решения
при
их
количестве, равном n
где M(xI) математическое
ожидание критерия.
По существу, КОЗ представляет собой выборочные средние значения случайной
величины. Естественно, что достоверность получаемого решения при этом будет
зависеть от объема выборки.
Применяется:
когда однотипные решения в сходных ситуациях приходится принимать
большое число раз.
Пример:
Пусть мастерская имеет n станков, причем ремонт отказавшего станка
производится индивидуально, а если станки не отказывают, то через T
интервалов времени производится профилактический ремонт всех станков.
Задача заключается в определении оптимального значения T, при котором общие
затраты на ремонт будут минимальны. Очевидно, что задача может быть
15
решена, если известна вероятность pt отказа одного станка в момент времени t.
Эта неопределенность и представляет в данном случае элемент "риска".
КОЗ для данного случая запишется так:
E[C(T)] = (C1
E(nt) + C2 n)/T,
где E[C(T)] - КОЗ затрат на ремонт станков за один интервал времени;
C1 - затраты на ремонт одного станка при внезапном отказе;
E(nt) - математическое ожидание вышедших из строя станков в момент t;
C2 - затраты на профилактический (плановый) ремонт одного станка.
2. Критерий "ожидаемого значения - дисперсия".
Как указывалось выше, КОЗ имеет область применения, ограниченную
значительным числом однотипных решений, принимаемых в аналогичных
ситуациях. Этот недостаток можно устранить, если применять комбинацию КОЗ и
2
выборочной дисперсии s . Возможным критерием при этом является минимум
выражения:
E(Z, σ) = E(Z) ± k*U(Z)
E(Z,
σ)
критерий
"ожидаемого
значения
дисперсия";
k
постоянный
коэффициент;
U(Z)
выборочный
коэффициент вариации;
U(Z) = mZ/S
mZ
оценка
математического
ожидания;
S - оценка среднего
квадратического
ожидания.
16
!
Знак "минус" ставится в случае оценки прибыли, знак
"плюс" - в случае затрат.
Из этой зависимости видно, что в данном случае точность предсказания
результата повышается за счет учета возможного разброса значений E(Z), то есть
введения своеобразной "страховки". При этом степень учета этой страховки
регулируется коэффициентом k, который как бы управляет степенью учета
возможных отклонений. Так, например, если для ЛПР имеет большое значение
ожидаемые потери прибыли, то k>>1 и при этом существенно увеличивается роль
отклонений от ожидаемого значения прибыли E(Z) за счет дисперсии.
3. Критерий предельного уровня.
Этот критерий не имеет четко выраженной
математической
формулировки
и
основан
в
значительной степени на интуиции и опыте ЛПР.
При
этом
соображений
ЛПР
на
основании
определяет
наиболее
субъективных
приемлемый
Тип ЛПР:
• Пессимист
• Реалист
• Оптимист
способ действий. Критерий предельного уровня
обычно
не
используется,
когда
нет
полного
представления о множестве возможных альтернатив.
Учет ситуации риска при этом может производиться
за счет введения законов распределений случайных
факторов для известных альтернатив.
Несмотря
на
отсутствие
формализации
критерием предельного уровня пользуются довольно
Склонность ЛПР к
риску:
• Несклонный
• Безразличный
• Склонный
17
часто, задаваясь их значениями на основании
экспертных или опытных данных.
4. Критерий наиболее вероятного исхода.
Этот
критерий
предполагает
замену
случайной
ситуации
детерминированной путем замены случайной величины прибыли (или затрат)
единственным значением, имеющим наибольшую вероятность реализации.
Использование данного критерия, также как и в предыдущем случае в
значительной степени опирается на опыт и интуицию. При этом необходимо
учитывать два обстоятельства, затрудняющие применение этого критерия:
!
- критерий нельзя использовать, если наибольшая
вероятность события недопустимо мала;
- применение критерия невозможно, если несколько
значений вероятностей возможного исхода равны между
собой.
Выбор альтернативы для каждого ЛПР
Мат. ожидание
18
Дисперсия
склонный к риску ЛПР
не склонный к риску ЛПР
Предпочтение отдается той точке (альтернативе), которая лежит на ближней
кривой безразличия данного ЛПР.
Метод дерева решений
Дерево решений – метод науки управления – схематичное представление
19
проблемы принятия решений – используется для выбора наилучшего направления
действий из имеющихся вариантов.
Метод дерева решений может применяться как в ситуациях, в которых
применяется платежная матрица, так и в более сложных ситуациях, в которых
результаты одного решения влияют на последующие решения. То есть дерево
решений – удобный метод для принятия последовательных решений.
Первая Возможные
События
точка
действия
(значение
принятия
вероятности
решения
событий)
Вторая Возможные Ожидаемый
Ожидаемый
точка
действия
выигрыш
выигрыш
(последствия принятия
решений
реально
происходящего
конкретного
события)
1
Б
А
2
Используя дерево решений, руководитель может рассчитать результат
каждой альтернативы и выбрать наилучшую последовательность действий.
Результат альтернативы рассчитывается путем умножения ожидаемого результата
на вероятность и последующим суммированием таких же произведений,
находящихся правее на дереве решений.
20
Пример: С помощью дерева решений примем решение о способе доставки
груза из одного города в другой: автомобилем, поездом, самолетом.
Если использовать автомобиль, то вероятность того, что груз дойдет в
срок – 0.9, дойдет, но не в срок – 0,8 и не дойдет – 0,02.
В случае доставки самолетом вероятности равны соответственно 0,85;
0,1495 и 0,0005.
Р = 0,9
1
Р = 0,08
автомобилем
А
поездом
Р = 0,02
2
самолетом
Р = 0,85
3
Р = 0,1495
Р = 0,0005
После построения дерева решений следует определить для каждой
альтернативы и каждого конечного исхода затраты и результаты их
реализации:
21
Р = 0,9
Р = 0,02
1
-2000
автомобилем
поездом
А
9 000
Р = 0,08
……….
……….
……….
2
самолетом
-5000
Р = 0,85
Р = 0,1495
3
9 000
Р = 0,0005
Далее необходимо «свернуть» дерево решений, вычислить для каждой
рисковой ситуации ожидаемый доход, а в каждой точке выбора альтернативы
выбрать альтернативу с наилучшим результатом:
7120
-2000
автомобилем
А
1
поездом
самолетом
-5000
4830,5
9120
3
9830,5
22
Недостатки метода
Не позволяет
учесть риски
Сложность в получении точных
оценок вероятности
Для полного анализа реальных
ситуаций может потребоваться очень
сложное дерево решений