1
УрФУ-ФТИ
ЛЕКЦИЯ 4 (СОКРАЩЁННАЯ)
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведём ряд
понятий относительно систем ОДУ.
Определение 4.1. Система соотношений вида
1
  1 2
dy 2
dy n 
n dy
 = 0,
,
, ,
 F1  t , y , y , , y ,
dt
dt
dt

 
1
  1 2
dy 2
dy n 
n dy
 = 0,
 F2  t , y , y , , y ,
,
, ,
(4.11)
 
dt dt
dt 
 .............................................................,

1
2
n
F  t , y1 , y 2 , , y n , dy , dy , , dy  = 0,
 n 
dt dt
dt 

определённых на промежутке (a, b ) изменения независимой переменной t , где
y1, y 2 , , y n – искомые функции независимой переменной t , а функции Fk
(k = 1, 2, , n ) – известные функции своих аргументов, называется системой
ОДУ порядка n. Система непрерывно дифференцируемых на промежутке (a, b )
функций
y
1

= y1 (t ), y 2 = y 2 (t ), , y n = y n (t )
называется решением системы ОДУ (4.11), если при подстановке этих функций
в уравнения системы последние обращаются в тождества на всём промежутке
(a, b ) изменения независимой переменной t . •
Далее рассматриваются только системы ОДУ первого порядка, разрешённые относительно производных искомых функций:
 dy1
1
2
n
1
 dt + g t , y , y , , y = 0,
 2
 dy + g 2 t , y1 , y 2 , , y n = 0,
 dt
 .........................................,
 dy n

+ g n t , y1 , y 2 , , y n = 0.
 dt
(
(
)
)
(
)
(4.12)
Системы вида (4.12) называются системами ОДУ в нормальной форме, или просто нормальными системами.
Если функции в правой части системы ОДУ (4.12) зависят от искомых
функций
y (t ), y (t ), , y (t ) линейным образом, то есть
1
2
n
2
(
)
УрФУ-ФТИ
n
g k t , y1 , y 2 , , y n =  p kj y j − f k (t ),
j =1
то систему ОДУ (4.12) можно переписать в виде
 dy1 n 1 j
1
 dt +  p j y = f (t ),
 2 j =1
n
 dy
+  p 2j y j = f 2 (t ),
 dt j =1
...................................,
 n n
 dy +  p nj y j = f n (t ).
 dt j =1
(4.13)
Система ОДУ (4.13) может быть переписана в эквивалентной матричновекторной форме
I
d
y(t ) + P(t ) y(t ) = f (t ) ,
dt
(4.14)
где введены обозначения для матричного дифференциального оператора
 p11 (t ) p12 (t )  p1n (t ) 
1 0  0 
 2



2
2
0
1

0
d

 d  p1 (t ) p2 (t )  pn (t ) 
L = I + P(t )  
+
,


.................... dt ..........................................
dt




n
n
n


 0 0  1
 p1 (t ) a2 (t )  pn (t ) 
и вектор-столбцов
 y1 (t ) 
 f 1 (t ) 
 2 
 2 
 y (t )
 f (t )
(
)
,
.
y(t ) = 
f
t
=



  
  
 y n (t )
 f n (t )




Задача Коши для нормальной системы ОДУ (4.12) или (4.13) ставится так:
найти решение
y
1

= y1 (t ), y 2 = y 2 (t ), , y n = y n (t )
системы (4.12), удовлетворяющее начальным условиям
y1 (t0 ) = y10 , y 2 (t0 ) = y02 , , y n (t0 ) = y0n ,
(4.15)
где t0 , y0 , y0 ,, y0 – начальные значения независимой переменной (заданные числа).
1
Если
Коши.
2
n
y10 = y02 =  = y0n = 0 , то задача Коши называется нулевой задачей
3
УрФУ-ФТИ
Фазовое пространство и фазовые траектории. Вводя обозначения
(
f k t , y1 , y 2 ,
)
(
, y n = − g k t , y1, y 2 ,
, yn
),
k = 1, n , запишем нормальную систему ОДУ в виде
 dy1
1
1
2
n
 dt = f t , y , y , , y ,
 2
 dy = f 2 t , y1 , y 2 , , y n ,
(4.16)
 dt
 ...................................,
 dy n

= f n t , y1 , y 2 , , y n .
 dt
1
2
n
Пусть t истолковывается как время, а y , y , , y – координаты точки в проn
1
2
n
странстве R . Пространство переменных y , y , , y называется фазовым
пространством. Например, при n = 2 имеем фазовую плоскость.
где
(
(
)
)
(
)
Каждое решение системы (4.16)
y1 = y1 (t ), y 2 = y 2 (t ), , y n = y n (t )

(4.17)
задаёт движение W (t ) : R → R в фазовом пространстве, а путь, который проходит точка в фазовом пространстве, называется фазовой траекторией, или фазовым следом движения. Если в фазовом пространстве зафиксирован канонический базис, то векторная параметризация движения может быть записана в виде
1
n
y(t ) = y1 (t ) e1 + y 2 (t ) e2 +  + y n (t ) en ,
(4.18)
где
1
0
0
 
 
 
0
1
 
 
0
e1 =   , e2 =   , , en =   .



 
 
 
0
0
1
Левые части уравнений системы (4.16) – это компоненты вектора скорости
фазовой точки, поэтому система (4.16) задаёт поле скоростей движения. Если
скорость, с которой точка проходит положение
времени явно, то есть система (4.16) имеет вид
(y ; y ; ; y ), не зависит от
1
2
n
4
УрФУ-ФТИ
 dy1
1 1
2
n
 dt = f y , y , , y ,
 2
 dy = f 2 y1 , y 2 , , y n ,
 dt
 ...................................,
 dy n

= f n y1 , y 2 , , y n ,
 dt
(
(
)
)
(
)
(4.19)
то система называется стационарной, или автономной.
(
)
Если правые части системы (4.16) в некоторой точке y0 ; y0 ; ; y0 равны нулю при любых допустимых значениях параметра t , то путь будет постоянным. Такое движение называется состоянием покоя системы.
Задача Коши, или начальная задача для системы ОДУ (4.16), заключается в
нахождении параметризации движения (4.17), или (4.18), удовлетворяющей
начальным условиям (4.15), то есть
1
2
n
y1 (t0 ) = y10 , y 2 (t0 ) = y02 , , y n (t0 ) = y0n .
Отметим, наконец, что задача Коши может быть записана в векторной форме:
(
)
d
y = f t , y1, y 2 , , y n , y(t0 ) = y0 .
dt
Общее и частное решение нормальной системы. Для системы ОДУ в
нормальной форме справедлива теорема существования и единственности решения (Пикара).
Теорема 4.3. Если правые части уравнений системы (4.12) непрерывны в
некоторой окрестности точки
(t , y ; y ; ; y )  R
1
0
0
2
0
n
0
n +1
и имеют в этой
окрестности непрерывные частные производные по переменным
то система ОДУ (4.12) имеет единственное решение
(
)
y k = y k t , t0 , y10 , y02 , , y0n ,
определённое в некоторой окрестности точки
y1, y 2 , , y n ,
(t , y ; y ; ; y ) и удовлетво0
1
2
0
0
y02 , ,
n
0
y (t0 ) = y0 .
ряющее начальным условиям y (t0 ) = y0 , y (t0 ) =
Рассмотрим нормальную систему ОДУ (4.12).
Определение 4.6. Система непрерывно дифференцируемых относительно
независимой переменной t функций
1
1
2
n
n
5
УрФУ-ФТИ
 y1 = 1 (t , C1 , C2 , , Cn ),
 2
 y = 2 (t , C1 , C2 , , Cn ),

 ...................................,
 y n = n (t , C1 , C2 , , Cn ),
(4.20)
n +1
некоторой области G  R
изменения переменных
t , C1, C2 , , Cn , называется общим решением системы уравнений (4.12), если
выполнены следующие условия:
1) система уравнений (4.20) разрешима в области G относительно произвольных постоянных C1 , C2 , , Cn , то есть
определённых
в
(
)
Ck =  k y1 , y 2 , , y n , k = 1, 2, , n ;
(4.21)
2) система функций (4.20) является решением системы уравнений (4.12)
при всех допустимых значениях произвольных постоянных C1 , C2 , , Cn , определяемых формулами (4.21), когда точка
G
(t; C1; C2 ; ; Cn )
пробегает область
изменения переменных t , C1 , C2 , , Cn . •
Чтобы найти решение задачи Коши с любыми начальными данными
t0 , y10 , y02 , , y0n из области G за счёт выбора значений произвольных постоянных C1 , C2 , , Cn достаточно заменить в (4.20) величины
t , y1, y 2 , , y n
1
2
n
начальными данными t0 , y0 , y0 , , y0 :
 y10 = 1 (t0 , C1, C2 , , Cn ),
 2
 y0 = 2 (t0 , C1, C2 , , Cn ),
(4.22)

 ...................................,
 y0n = n (t0 , C1, C2 , , Cn ).
Далее систему (4.22) нужно разрешить относительно произвольных постоянных C1 , C2 , , Cn :
C1 = C10 , C2 = C20 , , Cn = Cn0
и подставить найденные значения постоянных в (4.20). Тогда получаем:
(
(
)
)
(
)
 y1 = 1 t , C10 , C20 , , Cn0 ,
 2
0
0
0
 y = 2 t , C1 , C2 , , Cn ,

 ...................................,
 y n = n t , C10 , C20 , , Cn0 .
(4.23)
6
УрФУ-ФТИ
Формулы (4.23) дают искомое решение.
Если в правых частях формул (4.20) в качестве произвольных постоянных
C1, C2 , , Cn фигурируют начальные значения искомых функций при t = t0 ,
то есть
y10 , y02 , , y0n , то решение записывается в форме Коши:
(
(
)
)
(
)
 y1 = 1 t , y10 , y02 , , y0n ,
 2
1
2
n
 y = 2 t , y0 , y0 , , y0 ,

 ...................................,
 y n = n t , y10 , y02 , , y0n .
(4.24)
Связь обыкновенного дифференциального уравнения порядка n с системой ОДУ первого порядка. Уравнение порядка n в нормальной форме

dny
dy d 2 y
d n −1 y 
= f  t , y, , 2 , , n −1 
n
dt dt
dt
dt 

(4.25)
всегда можно привести к системе ОДУ в нормальной форме, вводя дополнительные переменные. Действительно, введём дополнительные переменные по формулам
2
n −1
dy
d n−2 y
y
2 d y
3
n −1 d
y=y,
= y , 2 = y , , n − 2 = y , n −1 = y n .
dt
dt
dt
dt
1
Для вновь введённых функций, таким образом, получаем систему дифференциальных уравнений следующего вида:








 n
 dy = f
 dt
dy1
= y2,
dt
dy 2
= y3 ,
dt
,
n −1
dy
= yn ,
dt
(4.26)
(t, y , y , y , , y ).
1
2
3
n
Если найти решение системы (4.26), то найдём и решение уравнения (4.25), так
как
y = y1 .
Пример 4.2. Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка
d2y
+ 4t = 0 .
2
dt
Приведём его к нормальной системе двух уравнений.
7
УрФУ-ФТИ
Введём дополнительные переменные, полагая
 dy
 dt = u,

 du
 = −4t.
 dt
dy
= u . Тогда получаем:
dt
Линейные однородные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений. Прежде чем перейти к решению линейной неоднородной системы
дифференциальных уравнений (4.14), которая в сокращённой индексной форме
записывается как
dyi n i
(4.27)
+  pk (t ) y k = f i (t ) ,
dt k =1
где i = 1, n , рассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
Однородная система уравнений, соответствующая неоднородной системе
(4.27), имеет вид:
dy i n i
(4.28)
+  pk (t ) y k = 0 ,
dt k =1
i
где pk (t ) (i = 1, n ) – известные непрерывные функции. В матричном виде система (4.28) записывается так:
1 0  0   y1 (t )   p11 (t ) p12 (t )  p1n (t )  y1 (t )   0 
 2   

  2   2
2
2
 0 1  0  d  y (t )  p1 (t ) p2 (t )  pn (t )  y (t )  0 
 .................... dt    +  ..........................................   =  .

  

  n   n
n
n
n



  


 0 0  1  y (t )  p1 (t ) a2 (t )  pn (t )  y (t )  0 
(4.29)
В дальнейшем для упрощения выкладок часто будем рассматривать векторноматричную форму записи системы (4.28)
I
d
y(t ) + P(t ) y(t ) = 0 .
dt
(4.30)
Решения линейной однородной системы уравнений (4.28), (4.29) или (4.30)
образуют n -мерное векторное пространство. Таким образом, если вектор-столбы
 y1m (t )
 y11 (t ) 
 y12 (t ) 
 2 
 2 
 2 
 y (t )
 y (t )
 y (t )
y1 =  1  , y2 =  2  , , ym =  m 
  
  
  
 y n (t )
 y n (t )
 y n (t )
 1 
 2 
 m 
8
УрФУ-ФТИ
являются некоторыми частными решениями системы ОДУ, то их линейная комбинация
 y11 ( t ) 
 y12 ( t ) 
 2 
 2 
y1 ( t ) 
y (t )

y ( t ) = C1 
+ C2   2  +




 n 
 n 
y
t
(
)
1


 y2 ( t ) 
m

 Ck  y1k ( t ) 

 y1m ( t )   k =1

 2  m
2
ym ( t )   Ck  yk ( t ) 


+ Cm 
=

  k =1

 n  

 ym ( t )   m

n
C

y
t
(
)



k
k
 k =1

(4.31)
также является решением той же системы уравнений. Действительно, прямой
подстановкой (4.31) в (4.29) проверяется, что линейная комбинация
m
y(t ) =  Ck yk (t )
(4.32)
k =1
любого конечного числа частных решений
 y1 (t ) ,
y2 (t ) , , ym (t ) 
(
линейной однородной системы с произвольными коэффициентами Сk k
также является её решением. В индексной форме записи для (4.32) имеем:
y (t ) =  C k y ki (t ) (i = 1, n ).
i
= 1, m)
m
(4.33)
k =1
Система
 y1 (t ) ,
y2 (t ) , , yn (t ) 
из n частных решений системы (4.29) называется линейно независимой на промежутке (a, b ) , если (t  (a, b ))
1 y1 (t ) +  2 y2 (t ) +  +  n yn (t ) = 0  1 =  2 =  =  n = 0 .
(4.34)
Если же равенство
1 y1 (t ) +  2 y2 (t ) +  +  n yn (t ) = 0
 k (k = 1, n),
промежутке (a, b ) . Из
выполняется и при неравных одновременно нулю коэффициентах
то система решений называется линейно зависимой на
тождества (4.34) следует система линейных алгебраических уравнений
 1 y11 +  2 y12 + +  n y1n = 0,

2
2
2
 1 y1 +  2 y2 + +  n yn = 0,

............................................ ,
 1 y1n +  2 y2n + +  n ynn = 0,
(4.35)
9
(
)
позволяющая найти коэффициенты  k k = 1, n .
Справедлива следующая теорема.
Теорема 4.1. Если y1 (t ) , y 2 (t ) , , y n (t )

УрФУ-ФТИ
 – линейно независимая си-
стема частных решений системы уравнений (4.30), то любое её решение имеет
вид
n
y(t ) =  Ck yk (t ) .
k =1
Линейно независимая система
(4.36)
 y1 (t ) ,
y2 (t ) , , yn (t )  из n частных
решений системы уравнений (4.29) или (4.30) называется фундаментальной системой решений (ФСР) этой системы. Векторы ФСР можно расположить в виде
матрицы, составленной из их координат по столбцам:
 y11 (t ) y12 (t )  y1n (t ) 
 2

2
2
 y (t ) y 2 (t )  yn (t )
Y (t ) =  1
.

.........................


 y n (t ) y n (t )  y n (t )
 1

2
n
(4.37)
Эта матрица называется фундаментальной матрицей однородной системы
уравнений (4.28) – (4.30). Фундаментальная матрица (4.37) невырождена, так как
её определитель, являясь определителем Вронского линейно независимой системы частных решений, всегда отличен от нуля. Справедлива следующая теорема.
Теорема 4.2. Система частных решений y1 (t ) , y 2 (t ) , , y n (t ) явля-


ется фундаментальной системой решений для системы уравнений (4.29), (4.30)
на промежутке (a, b ) в том и только в том случае, если определитель Вронского этой системы решений
y11 (t ) y12 (t )  y1n (t )
y12 (t ) y 22 (t )  y n2 (t )
W (t ) =
.........................
y1n (t ) y 2n (t )  y nn (t )
не обращается в нуль ни в одной точке t  (a, b ) .
Для доказательства достаточно убедиться, что W (t )  0 в любой точке
t 0  (a, b), так как если W (t 0 )  0 , то и t  (a, b ) W (t )  0 .
Примером ФСР является система частных решений, удовлетворяющая
начальным условиям Коши следующего вида
10
УрФУ-ФТИ
y1 (t 0 )
1
0
0
 
 
 
0
1
 
 
0
=   , y 2 (t 0 ) =   , , y n (t 0 ) =   ,



 
 
 
0
0
1
так как вронскиан для этой системы решений очевидным образом W (t 0 ) = 1  0 .
Эта ФСР называется нормированной.
Общее решение линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Если линейная однородная система уравнений (4.30)
имеет в промежутке t  (a, b ) фундаментальную систему решений
 y1 (t ) ,
y2 (t ) , , yn (t ) ,
то линейная комбинация
n
y(t ) =  Ck yk (t ) ,
(4.38)
k =1
где C1 , C2 , , Cn – произвольные постоянные коэффициенты, являясь решением (4.30) при любых значениях коэффициентов, будет общим решением системы
(4.30) в области
t  (a, b ) , yk 
1
yk yk 2
 + (k = 1, n),
(4.39)
в том смысле, что вектор-функция (4.38) или что, то же самое система скалярных
функций
 y1 = n C y1 (t ),
 k k

k =1

 .......................,
 n n
n
(t ),
y
=
C
y

k
k

k =1

(4.40)
содержит в себе за счёт возможности выбора произвольных постоянных
C1 , C2 , , Cn все решения системы (4.30) с начальными данными
t 0 , y1 (t 0 ) = y10 , y 2 (t 0 ) = y 20 , , y n (t 0 ) = y n0
из области (4.39). Следовательно, каждое такое решение – это линейная комбинация
n
y(t ) =  Ck0 yk (t )
k =1
решений
виде:
 y1 (t ) ,
(4.41)
y2 (t ) , , yn (t ) , которая может быть записана в скалярном
11
УрФУ-ФТИ
 y1 (t ) = n C 0 y1 (t ),
 k k

k =1

 .......................,
n
 n
0 n
(
)
y
t
=
C
y k (t ).

k

k =1

0
Значения постоянных C k (k = 1, n ) находятся из СЛАУ
 n C y1 (t ) = y1 ,
k k 0
0
 k
=1

 .......................,
n
n
n
(
)
C
y
t
=
y
,

k
k
0
0
k =1

(4.42)
которая совместна и определённа, так как её определитель, являясь вронскианом,
не принимает нулевого значения ни в одной точке t 0  (a, b ). Общее решение
(4.38) (или (4.40)) записывается через фундаментальную матрицу в виде:
или
 y1 (t )   y11 (t ) y12 (t )  y1n (t )  C1 
 
 2   2
2
2
 y (t )  y1 (t ) y 2 (t )  y n (t ) C2 
   ,
  =
..........
..........
.....
 

 
 y n (t )  y n (t ) y n (t )  y n (t ) C 

  1
 n 
2
n
(4.43)
y(t ) = Y (t ) C .
(4.44)
Решение задачи Коши
I
d
y + P(t ) y = 0 , y(t 0 ) = y0
dt
(4.45)
получается из формулы (4.44) за счёт выбора произвольного числового вектора
C . Действительно, имеем
y0 = Y (t 0 ) C  C = Y −1 (t0 ) y0 ,
Y −1 (t 0 ) существует, так как матрица Y (t 0 ) невырожденная. Подставляя найденный вектор C в (4.44), получаем решение задачи
причём обратная матрица
Коши (4.45) в виде
y(t ) = Y (t )Y −1 (t 0 ) y0 .
(4.46)
В формуле (4.46) матричная функция
G(t , t0 ) = Y (t )Y −1 (t0 )
– это так называемая функция Коши.
(4.46’)
12
УрФУ-ФТИ
Структура общего решения линейной неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Вернёмся к линейной неоднородной
системе обыкновенных дифференциальных уравнений
d
(4.47)
y(t ) + P(t ) y(t ) = f (t ) .
dt
Пусть z (t ) – некоторое частное решение системы (4.47), то есть, выполняI
ется тождество
I
d
z(t ) + P(t ) z(t )  f (t ) .
dt
(4.48)
Подставляя в (4.47)
y(t ) = u(t ) + z(t ) ,
где u (t ) – новая неизвестная вектор-функция, получим
d
d
I u(t ) + P(t ) u(t ) + I
z(t ) + P(t ) z(t ) = f (t ) ,
dt
dt
(4.49)
откуда в силу (4.48) имеем:
I
d
u(t ) + P(t ) u(t ) = 0 .
dt
(4.50)
Система (4.50) – это линейная однородная система, соответствующая неоднородной системе (4.47). Если Y (t ) – фундаментальная матрица системы
(4.50), то по формуле (4.44) общее решение этой системы находится в виде
u(t ) = Y (t ) C .
(4.51)
Подстановка (4.51) в (4.49) даёт:
y(t ) = Y (t ) C + z(t ) ,
или
(4.52)
 y1 (t )   y11 y12  y1n  C1   z1 (t ) 
   2 
 2   2
2
2
 y (t )  y1 y 2  y n  C2   z (t )
   =  .........................    +    .
  

 

 y n (t )  y n y n  y n  C   z n (t )

  1

2
n  n  
(4.53)
Итак, общее решение линейной неоднородной системы (4.47) равно сумме
общего решения (4.51) соответствующей однородной системы (4.50) и какоголибо частного решения неоднородной системы.
Функция Коши и общий вид решения задачи Коши для неоднородной
системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка. Пусть известна фундаментальная система решений линейной однородной системы (4.45)
y1 (t ) , y2 (t ) , , yn (t ) ,
(4.54)


13
УрФУ-ФТИ
где
 y1k (t ) 
 2 
 y (t )
yk (t ) =  k  (k = 1, 2,, n ) .
  
 y n (t )
 k 
(4.55)
Частное решение линейной неоднородной системы (4.47) будем искать в виде линейной комбинации
n
y(t ) =  Ak (t ) yk (t ) ,
(4.56)
k =1
где
Ak (t ), k = 1, 2,, n – новые функции, подлежащие определению.
Формулу (4.56) перепишем в виде, аналогичном (4.44):
y(t ) = Y (t ) A(t ) .
(4.57)
Подставляя (4.57) в уравнение (4.47)
I
d
y(t ) + P(t ) y(t ) = f (t ) ,
dt
получаем:
d A(t )
dY (t )
(4.58)
A(t ) + Y (t )
+ P(t )Y (t ) A(t ) = f (t ) .
dt
dt
Так как столбцы фундаментальной матрицы Y (t ) являются решениями однородной системы (4.45)
I
то есть
d
yk + P ( t ) yk = 0
dt
,
dY ( t )
d
yk ( t ) = − P ( t ) yk ( t ) 
+ P ( t )Y ( t ) = O ,
dt
dt
то система (4.58) с учётом (4.57) преобразуется так
d A(t )
 dY ( t )

+ P ( t )Y ( t ) A ( t ) + Y ( t )
= f (t ) 

dt
dt


=O
d
A(t ) = f (t ) .
dt
−1
Умножая обе части на Y ( t ) , получаем
 Y (t )
14
УрФУ-ФТИ
d
A( t ) = Y −1 ( t ) f (t )
dt
.
Интегрируя последнее векторное уравнение, приходим к формуле
t
A(t ) = C +  Y −1 (s ) f (s ) ds .
(4.59)
t0
В формуле (4.59)
C – произвольный постоянный вектор-столбец, а t 0  (a, b)
– произвольная точка.
Подставляя A(t ) из (4.59) в формулу (4.57), получаем общее решение неоднородной системы (4.47) в виде
t
y(t ) = Y (t ) C + Y (t )  Y −1 (s ) f (s ) ds .
(4.60)
t0
При выводе формулы (4.60) использована первообразная Барроу. Эту формулу можно записать, используя обычную первообразную:
y ( t ) = Y ( t ) C + Y ( t )  Y −1 ( t ) f ( t ) dt .
В формуле (4.60) имеются две части. Первое слагаемое
(4.60.1)
Y (t ) C в соответ-
ствие с формулой (4.44) представляет собой общее решение линейной однородной системы уравнений (4.45). Если решается задача Коши (4.45) с начальными
условиями
y(t 0 ) = y0 ,
то вектор
C определяется через начальные условия. Действительно, так как
y0 = Y (t 0 ) C ,
то
C = Y −1 (t0 ) y0 .
(4.61)
Подставляя (4.61) в формулу (4.60), получаем
y(t ) = Y (t )Y
−1
(t0 ) y0
t
+ Y (t )  Y −1 (s ) f (s ) ds .
(4.62)
t0
Так как второе слагаемое в формуле (4.60) и, следовательно, в формуле (4.62)
определяется только неоднородным членом в (4.47), то формула (4.62) даёт решение задачи Коши для неоднородной системы уравнений (4.47) с начальными
условиями
y(t 0 ) = y0 .
Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема 2.5.3. Если коэффициенты и правая часть неоднородной системы
уравнений (4.47) являются непрерывными функциями на всём промежутке (a, b )
15
УрФУ-ФТИ
изменения независимой переменной t и известна ФСР соответствующей однородной системы уравнений (4.45), то решение задачи Коши
I
d
y(t ) + P(t ) y(t ) = f (t ) , y(t 0 ) = y0
dt
(4.63)
даётся формулой Коши
y(t ) = Y (t )Y
−1
(t0 ) y0
t
+ Y (t )  Y −1 (s ) f (s ) ds .
(4.64)
t0
Как будет видно из дальнейшего изложения, условие теоремы, состоящее в
том, что ФСР соответствующей однородной системы должна быть известна, является весьма существенным. Только при выполнении этого условия для решения
задачи Коши (4.63) можно применить формулу Коши (4.64). Для общего случая
однородной системы уравнений (4.45) с переменными элементами матрицы P(t )
(коэффициентами системы) фундаментальная система решений может быть
найдена только в исключительных случаях.
Интегрирование линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом Эйлера.
Из изложенного выше следует, что полученная в предыдущем пункте формула
Коши (4.64) может быть применена для решения задачи Коши в общем случае системы уравнений с переменными коэффициентами только в исключительных случаях, когда известна фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений. Однако фундаментальная система решений однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем случае
найдена быть не может. Поэтому большое значение приобретает случай систем с
постоянными коэффициентами, когда фундаментальная система решений всегда
находится в конечном виде. Приведённое ниже изложение теории в значительной
степени не зависит от изложения в предыдущем пункте.
Пусть дана линейная однородная система вида (4.28) (или (4.30)) обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
d
dy i (t ) n i j
+  a j y (t ) = 0 ,
y (t ) + A y = 0 
dt
dt
j =1
где
(4.65)
i = 1, n . Предполагая, что a ij  R1 , решение системы (4.65) будем искать в
координатном виде
y1 (t ) = x1e −t , y 2 (t ) = x 2 e −t , , y n (t ) = x n e −t ,
(4.66)
или, что то же самое, в векторном виде
y(t ) = e −t x .
В представлениях (4.66) или (4.67)
1
2
n
(4.67)
  R1 , или   C
числа x , x , , x не равны нулю одновременно.
Дифференцируя (4.66), или (4.67), получаем
– одно и то же число, а
16
УрФУ-ФТИ
y i ( t ) = −  x i e − t ,
d
y ( t ) = −  e − t x
dt
,
где i = 1, n ,
и подставляя результат в (4.65), после сокращения на неравный нулю множитель
e −t
приходим к системе линейных алгебраических уравнений следующего вида:
(
)
(
 a11 −  x1 + a12 x 2 +  + a1n x n = 0,
 2 1
2
2
2 n
 a1 x + a2 −  x +  + an x = 0,

....................................................,
 a1n x1 + a2n x 2 +  + ann −  x n = 0.
)
(
(4.68)
)
Однородная СЛАУ (4.68) нетривиально совместна в том и только в том случае,
если определитель её матрицы равен нулю, то есть, если число  является корнем уравнения
a11 −  a12  a1n
a12 a22 −   an2
= 0.
..............................
a1n a2n  ann − 
(4.69)
Уравнение (4.69) называется характеристическим уравнением системы (4.65), а
его корни – характеристическими числами системы (4.65). Находя корни характеристического уравнения, и подставляя их в СЛАУ (4.68), можем решить задачу нахождения собственных векторов матрицы
( )
A = a ij .
Из линейной алгебры известно, что в зависимости от структуры матрицы A
возможны три случая существования корней характеристического уравнения
(4.69):
1) корни уравнения (4.69) вещественные и различные (простые вещественные
корни);
2) корни уравнения (4.69) различные, но среди них имеются комплексносопряжённые;
3) среди корней характеристического уравнения (4.69) имеются кратные корни.
Приведём правила построения фундаментальной матрицы решений системы
(4.65) в перечисленных трёх случаях, известные как метод Эйлера.
Случай 1. Пусть все корни 1 ,  2 , ,  n уравнения (4.69) различные и
вещественные. Этот случай реализуется, если матрица A является матрицей простой структуры. Совершая последовательные подстановки  k k = 1, n в СЛАУ
(4.68), получим n экземпляров СЛАУ для нахождения собственных векторов
матрицы A :
(
)
17
(
)
УрФУ-ФТИ
 a11 −  k x1 + a12 x 2 +  + a1n x n = 0,
 2 1
2
2
2 n
a1 x + a2 −  k x +  + an x = 0,
(4.70)

..........
..........
..........
..........
..........
..
,

a1n x1 + a2n x 2 +  + ann −  k x n = 0.
Решив n экземпляров СЛАУ (4.70), найдём линейно независимую систему
собственных векторов матрицы A :
 x1n 
 x11 
 x12 
 2
 2
 2
x 
x 
x 
(4.71)
x1 =  1  , x2 =  2  , , xn =  n  .


 
 xn 
 xn 
 xn 
 1
 2
 n
(
)
(
)
Из (4.71) с учётом (4.66) или (4.67) получаем линейно независимую систему частных решений системы уравнений (4.65) в векторной форме:
 y1n (t ) 
 x1n 
 y11 (t ) 
 x11   y12 (t ) 
 x12 
 2 
 2
 2 
 2  2 
 2
 y n (t ) −nt  xn 
 y1 (t ) −1t  x1   y 2 (t ) −2t  x2 
=
e
=
e
,
,
,

   = e  .
  
   
 


 


  

 
 y n (t )
 x n   y n (t )
 xn 
 y n (t )
 xn 
 1 
 1  2 
 2
 n 
 n
(4.72)
Систему решений (4.72) можно записать в виде фундаментальной матрицы:
 x11e −1t x12 e −2t  x1n e −nt 
 2 − t

2 − 2t
2 −  nt
1
x2 e
 xn e
x e

Y (t ) =  1
.
 .............................................. 
 x n e −1t x n e −2t  x n e −nt 
 1

2
n
Из (4.51) и (4.73) следует, что общее решение системы (4.65) имеет вид
 y1 (t )   x11e− 1t x12e−  2t  x1ne−  n t   C1 
 
 2   2 − t
2 −  2t
2 − nt
1
x2 e
 xn e
  C2 
 y (t )  x1 e
=
    ..............................................     =
 

 
 y n (t )  x ne− 1t x ne−  2t  x ne−  n t   C 

  1
 n 
2
n
(4.73)
18
УрФУ-ФТИ
 C1x11e− 1t + C2 x12e− 2t +  + Cn x1ne− nt 


2 − 1t
2 −  2t
2 −  nt
+  + Cn xn e 
 C x e + C2 x2 e
= 1 1
,
..........
..........
..........
..........
..........
......


 C x ne− 1t + C x ne− 2t +  + C x ne− nt 
 11

2 2
n n
(4.74)
или
n
y i =  C j x ij e
− jt
j =1
(i = 1, n).
(4.75)
Пример 4.3. Найти общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений
 dy1
1
2
 dt + y + y = 0,
 2
 dy − 2 y1 + 4 y 2 = 0.
 dt
(1)
Р е ш е н и е. Частное решение системы (1) ищем в виде
y1 = x1e− t , y 2 = x 2e− t .
Соответствующее характеристическое уравнение
1− 
1
= 0 ,  2 − 5 + 6 = 0 .
−2 4−
Корни характеристического уравнения
1 = 2 , 2 = 3.
Собственные векторы находятся из системы уравнений
 (1 −  )x1 + x 2 = 0,

1
2
− 2 x + (4 −  )x = 0
подстановкой соответствующих характеристических значений.
Первый собственный вектор, соответствующий значению
подставляя в систему уравнений
1 = 2 , находим,
1 = 2 и решая получившуюся СЛАУ
 − x1 + x 2 = 0,

1
2
− 2 x + 2 x = 0.
Эта СЛАУ эквивалентна одному уравнению
− x1 + x 2 = 0 .
Вводя свободное неизвестное x = C , получаем
тор, соответствующий собственному значению 1
2
x1 = C , или собственный век=2
19
УрФУ-ФТИ
 x11 
1
x1 =  2  = C   .
1
 x1 
Поэтому собственному значению
 y11   e −2t 
 2  =  −2t  .
 y  e 

 1 
Аналогично, значению
1 = 2 соответствует частное решение
2 = 3 соответствует частное решение
1 
 y12   1 e − 3t 
 x12 
x2 =  2  = C  2    2  =  2− 3t  .


 y2   e
 x2 
 1 

Фундаментальная матрица системы уравнений имеет вид
 e − 2t
Y (t ) =  − 2t
e

1 e−3t 
,
2
− 3t 
e

откуда по формуле (2.5.24) или (2.5.25) для общего решения получаем
 e − 2t
 y1 
 2  = Y (t ) C = 
y 
 e − 2t
 

1 e−3t  C1 
  ,
2
− 3t  C 
e
 2 
или
 y1 = C1e − 2t + 1 C2e − 3t ,
2

 2
− 2t
 y = C1e + C2e − 3t .
Случай 2. Пусть корни характеристического уравнения (4.69) различные,
но среди них имеются комплексно-сопряжённые. Тогда частные решения (4.72) и,
следовательно, общее решение (4.75) будут комплексными функциями. Выделим
одну из пар комплексно-сопряжённых корней: 1 =  + i ,  2 =  − i . Этой
паре корней соответствуют вещественные частные решения. Исследуем их.
Построим частное решение, соответствующее корню 1 =  + i . Это
комплексное решение имеет вид
 y11 
 x11 + iz11   y12 
 x12 + iz12 
 2
 2
  2
 2

2
2
 y1  −( +i )t  x1 + iz1   y 2  −( +i )t  x2 + iz2 
 = e
  ,  = e
  ,
 

  


 yn 
 x n + iz n   y n 
 x n + iz n 
 1
 1
 2
1   2 
2 
(4.76)
20
УрФУ-ФТИ
 y1n 
 x1n + iz1n 
 2
 2

2
y 
 x + izn 
.....................................,  n  = e −( +i )t  n
.


 


 yn 
 x n + iz n 
 n
 n
n 
Теорема 2.5.4. Вещественные и мнимые части всякого комплексного решения линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
вида (4.65) образуют линейно независимые системы вещественных решений этой
системы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, пусть комплексное решение, соответствующее
комплексному корню характеристического уравнения, имеет вид
y(t ) = u(t ) + i v(t )
.
Подставляя его в систему уравнений (4.65), записанную в векторной форме
d
y(t ) + A y(t ) = 0 ,
dt
получаем
I
d
d
u(t ) + iI v(t ) = − A u(t ) − iA v(t )
dt
dt
.
Приравнивая вещественные и мнимые части, получаем
d
u(t ) + A u(t ) = 0 ,
dt
d
I v(t ) + A v(t ) = 0 .
dt
I
Таким образом, вещественная и мнимая части решения сами являются решениями однородной системы (4.65). Эти решения в совокупности образуют линейно независимую систему,
так как отношения координат вектор-функций
k
u (t )
 const
v k (t )
и, следовательно, координаты и сами вектор-функции непропорциональны.
••
Аналогично находятся вещественные частные решения, соответствующие
второму корню  2 =  − i , которые, однако, будут линейно зависимыми с ре-
шениями, соответствующими корню 1 =  + i .
Находя частные решения, соответствующие всем корням характеристического уравнения (4.69), получим фундаментальную систему решений и, записав её
в виде фундаментальной матрицы решений системы, по формуле (4.74) выразим
общее решение системы (4.65).
Пример 4.4. Решить систему уравнений
21
УрФУ-ФТИ
 dy1
− 4 y1 + y 2 = 0,

dt
 2
 dy − 5 y1 − 2 y 2 = 0.
 dt
Р е ш е н и е. Частное решение системы (1) ищем в виде
y1 = x1e− t , y 2 = x 2e− t .
Подстановка в уравнения системы (1) даёт:
( + 4)x1 − x 2 = 0,
 1
2
 5 x + ( + 2)x = 0.
Это однородная система линейных алгебраических уравнений. Критерий нетривиальной совместности приводит к характеристическому уравнению:
+4
5
−1
= 0   2 + 6 + 13 = 0 .
+2
Корни характеристического уравнения
1 = −3 + 2i , 2 = −3 − 2i .
Выбираем
 = 1 = −3 + 2i .
Тогда получаем систему уравнений для нахождения
(1 + 2i )x1 − x 2 = 0,
 1
2
5 x + (− 1 + 2i )x = 0.
x1 и x 2 :
Решаем систему методом Гаусса:
−1 0 
1 + 2i


− 1 + 2i 0 
 5
Первую строку мысленно умножим на 1− 2i и вычтем из второй, получим:
1 + 2i

 0
−1 0 
 .
0 0
СЛАУ свелась к одному уравнению
(1 + 2i )x1 − x2 = 0 .
Полагаем свободным неизвестным
x2 = C .
Тогда получаем
x1 =
C
= C (1 − 2i ) .
1 + 2i
22
УрФУ-ФТИ
Здесь положили
C  C в силу произвольности постоянной.
5
Таким образом, получаем
 x1 
 a1 
1 − 2i 
  = C 
 = C  2  .
 x2 
1


 
a 
Откуда имеем:
 y1  − t  a1  −(−3+ 2i )t 1 − 2i  3t − 2ti 1 − 2i 
 =e  =e

 = e e 
 =
 y2 
 a2 
1
1




 
 
1 − 2i  3t
1 − 2i 
= e3t cos(− 2t ) + i sin (− 2t )
 = e (cos 2t − i sin 2t )
 =
 1 
 1 
 (1 − 2i )(cos 2t − i sin 2t )
= e3t 
 =
cos 2t − i sin 2t


 (cos 2t − 2 sin 2t ) − i(sin 2t + 2 cos 2t )
= e3t 
 =
cos
2
t
−
i
sin
2
t


 cos 2t − 2 sin 2t 
 (sin 2t + 2 cos 2t )
= e3t 
 − ie3t 
 .
cos
2
t
sin
2
t




Теперь общее решение принимает вид:
 y1 (t ) 
 cos 2t − 2 sin 2t 
3t  (sin 2t + 2 cos 2t )

 = C1e3t 
 + C2e 
 =
 y 2 (t )
cos
2
t
sin
2
t






 C (cos 2t − 2 sin 2t ) + C2 (sin 2t + 2 cos 2t )
 . 
= e3t  1
C1 cos 2t + C2 sin 2t


Случай 3. Пусть среди корней характеристического уравнения (4.69) имеется корень 1 кратности k . Можно показать, что тогда ему соответствует решение системы (4.65) вида
y1 = F1 (t )e −1t , y 2 = F2 (t )e −1t ,  , y n = Fn (t )e −1t ,
(4.77)
где F1 (t ) , F2 (t ),  , Fn (t ) – многочлены от t степени не выше чем k − 1 , имеющие в совокупности k произвольных коэффициентов. Полагая последовательно
в решении (4.77), что один из произвольных коэффициентов многочленов равен
единице, а остальные – нулю, получим линейно независимую систему k частных
решений системы уравнений (4.65).
Если 1 – вещественное характеристическое число, то полученные частные
решения будут вещественными.
23
УрФУ-ФТИ
Если 1 =  + i – комплексное характеристическое число, то имеется
комплексно-сопряжённое характеристическое число  − i той же кратности.
Построив k линейно независимых комплексных частных решений, соответствующих характеристическому числу 1 =  + i и отделив в них вещественные и мнимые части, получим 2k линейно независимых частных решений. Таким
образом, паре комплексно-сопряжённых характеристических чисел   i кратности k соответствует 2k линейно независимых вещественных частных решений.
В общем случае каждому простому вещественному корню характеристического уравнения соответствует одно частное решение, каждой паре простых комплексно-сопряжённых корней соответствуют два вещественных линейно независимых частных решения, вещественному корню характеристического уравнения
кратности k соответствуют k линейно независимых частных решения, а каждой
паре комплексно-сопряжённых корней кратности k характеристического уравнения соответствуют 2k линейно независимых частных решения. В совокупности
получается n линейно независимых частных решений, из которых можно составить фундаментальную матрицу и, следовательно, записать общее решение (4.44)
системы (4.65).
Пример 4.5. Решить систему уравнений
 dy1
− 4 y1 + y 2 = 0,

dt

2
dy
1
2

−
y
−
2
y
= 0.
 dt
(1)
Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение:
+4
−1
= 0   2 + 6 + 9 = 0   = 1 = 2 = −3.
1
 +2
Так как не известно, будет ли в общем решении множитель t , то решение ищем с
этим множителем в виде:
 y1 (t )  3t  C1 
C 

 = e  t + e3t  2  .
 y 2 (t )
 C4 
 C3 


(2)
В этих выражениях среди коэффициентов только два могут быть произвольными, следовательно, оставшиеся два через них должны выражаться. Для
нахождения этой зависимости подставим выражения (2) в (1). После сокращения
e3t получаем:
− C1t + C3t + C1 − C2 + C4 = 0 ,
− C1t + C3t + C3 − C2 + C4 = 0 .
на экспоненту
Так как эти равенства должны выполняться при любых значениях
что
t , получаем,
24
C3 = C1, C4 = C2 − C1 .
Здесь постоянные C1 и C2 – произвольные.
Теперь общее решение принимает вид:
y1 (t ) = (C1t + C2 )e3t ,
y 2 (t ) = (C3t + C4 )e3t = (C1t + C2 − C1 )e3t . 
УрФУ-ФТИ