Chapitre1 : Programmation Linéaire 1 Chapitre1 : Programmation Linéaire 1. Introduction La « direction et la gestion » de grands systèmes d’hommes, de matériaux et d’argents dans l’industrie, la gouvernance et la défense nécessitent l’application des méthodes d’optimisation et de recherche opérationnelle. Ces méthodes permettent aux responsables de pallier éventuellement l’insuffisance du bon sens et de les aider dans l’élaboration des meilleures décisions. La diminution des ressources naturelles et des sources de financement combinées à une concurrence toujours plus vive entre les entreprises, entrainent une répartition optimale des moyens disponibles. Cette répartition constitue la tâche principale des responsables politiques et économiques de notre société. Ce problème se retrouve dans tous les domaines de l’activité économique, politique, scientifique et sociale. En raison de l’importance des enjeux, le gestionnaire ne peut plus prendre de décisions hâtives et justifier un choix d’attribution fondé sur un raisonnement instinctif ou des calculs naïfs. Une bonne résolution de ce type de problèmes nécessite la connaissance de méthodes approuvées ainsi que la maîtrise des outils mathématiques et informatiques développés à cet effet. 2. Formulation de la fonction objective et des contraintes. Mathématiquement il s’agit de déterminer les valeurs (niveaux d’activité des variables ou activités) x1 , x2 , x3 .....xn représentant les paramètres du programme. Ces valeurs devant satisfaire simultanément à un certain nombre de « contraintes » relatives aux ressources (disponibilités), et de plus, rendre maximale ou minimale une fonction de coûts (fonctionnelle, fonction objective ou fonction économique) Comme par exemple on peut chercher dans une entreprise les valeurs d’activités X j , les ressources étant limitées stockage, x j d’un certain nombre b1 pour l’investissement, b2 pour les frais de b3 pour les heures de travail, b4 pour la consommation de l’énergie et ainsi de suite. En supposant connus, pour chaque activité X j l’investissement unitaire a1 j , le coût de stockage unitaire a2 j , le temps de fabrication unitaire a3 j , la consommation unitaire de l’énergie a4 j etc. Après avoir évalué le profit unitaire c j escompté sur chaque activité X j et si on cherche à maximiser le profit total le programme linéaire à résoudre sera : 2 Chapitre1 : Programmation Linéaire Max F c j x j n P . L a ij x j b j 1 j m i 1 x j 0 3. Résolution du programme linéaire par la méthode graphique. Nous allons prendre un exemple simple pour résoudre un programme linéaire par la méthode graphique. Exemple : Une petite entreprise fabrique deux types d’écrous. Un écrou peut être fabriqué en trois opérations : Opération de coupe : découpage d’une barre hexagonale (2 machines sont disponibles pour cette opération) Opération de perçage : un trou est réalisé dans chaque pièce découpée (4 machines sont disponibles pour cette opération) Opération de filetage : à l’intérieur de chaque trou on procède à un filetage (17 machines sont disponibles pour cette opération) Cette entreprise travaille 8 heures par journée et les machines suivant le tableau cidessous : Opérations Ecrou de type 1 Ecrou de type 2 Coupe 2 secondes 2s Perçage 5s 3s Filetage 10s 20s Le profit attendu est de 3 unités (3 D.A par exemple) pout un écrou de type 1 et de 4 unités pout un écrou de type 2. Le problème qui se pose au gérant de cette entreprise est le suivant : Combien d’écrous de chaque type devrait-on fabriqué pour que le profit soit maximum ? Formulation du P.L. : Nous allons d’abord établir le modèle mathématique du PL. Définitions des variables : Soit : X1 le nombre d’écrous de type 1. X2 le nombre d’écrous de type 2. 3 Chapitre1 : Programmation Linéaire Disponibilité des machines (contraintes): Coupe 2x (8x60x60) 57.600 s Perçage 4x (8x60x60) 115.200 s Filetage 17x (8x60x60) 489.600 s Le P.L. à résoudre est: MaxF 3x1 4 x2 2 x 2 x 57.600 2 1 P.L 5 x1 3x2 115.200 10 x 20 x 489.600 2 1 x1 , x2 0 La résolution graphique consiste à tracer les droites (x1,x2) pour chaque contrainte et ainsi déterminer le domaine des solutions possible pour enfin trouver le point (x1,x2) qui maximise la fonction économique F. La figure ci-dessous montre « le domaine des solutions possibles ». Tous les points situés à l’intérieur du polyèdre OABCDO sont des solutions possibles. Le couple (x1,x2) qui maximise la fonction économique est le point le plus éloigné possible de l’origine O (x1=0,x2=0) donc c’est forcément l’un des sommets A, B, C, ou D. 4 Les coordonnées des ces points sont : Chapitre1 : Programmation Linéaire x2 0. x2 0. A intersection de F A 69.120 5 x 3 x 115 . 200 x 23 . 040 2 1 1 2 x1 2 x2 57.600 x1 14.400 B intersection de F B 100.800 5 x 3 x 115 . 200 x 14 . 400 2 1 2 2 x1 2 x2 57.600 x1 8.640 C intersection de F C 106.560 10 x 20 x 489 . 600 x 20 . 160 2 1 2 x1 0. x1 0. D intersection de F D 97.920 10 x 20 x 489 . 600 x 24 . 480 2 1 2 Nous constatons que la fonction économique F (106 560) est maximale au point C dont les coordonnées sont : x1=8 640 et x2=20 160. La solution de ce P.L. est : x1 8.640 F 106.560 x 20 . 160 2 Remarque : Vérification des contraintes : en remplaçant : x1 et x2 par leurs valeurs dans les inéquations définissant les contraintes nous obtenons : 2 x1 2 x2 57.600 5 x1 3x2 103.680 115.200 10 x1 20 x2 489.600 Ce qui veut dire que les machines destinées à la coupe et au filetage travaillent à plein temps et celles destinées au perçage restent inoccupées pendant (115 200-103 680 = 11 520 s) correspondant à 3h 12’. Remarque : la méthode graphique que nous venons de voir s’applique seulement aux modèles comportant 2 ou au maximum 3 variables. La méthode du simplexe permet la résolution de programmes linéaires de taille quelconque. 4. Résolution du programme linéaire par la méthode du simplexe. La méthode du « simplexe » ou méthode de Dantzig est une technique qui permet de trouver la solution optimale d’un P.L. d’une façon ordonnée et précise. Nous allons la détaillée sur un exemple simple. Le P.L. à résoudre est le suivant : 5 Chapitre1 : Programmation Linéaire Max F 4 x 1 3 x 2 x 4 . 000 1 P . L x 2 6 . 000 x 3 2 x 6 . 000 2 1 x 1 , x 2 0 1ère étape : La première étape consiste à mettre le P.L. sous forme standard c'est-à-dire transformer les inégalités en égalités en ajoutant des variables d’écart. La forme standard du P.L. est : 1 x 1 0 x 2 1 x 3 0 x 4 0 x 5 4 . 000 a ij x j b i 0 x 1 1 x 2 0 x 3 1 x 4 0 x 5 6 . 000 x 3 2 x 0 x 0 x 1 x 6 . 000 2 3 4 5 1 F Max 4 x 1 3 x 2 0 x 3 0 x 4 0 x 5 et Avec : x1, x2 : variables principales (inconnues du problème) x3, x4, x5: variables d’écart (variables de base) Nous exprimons cette forme standard du P.L. sous forme de tableau : Tableau N°1 : V. X1 X2 X3 X4 X5 bi X3 1 0 1 0 0 4000 X4 0 1 0 1 0 6000 X5 1 3/2 0 0 1 6000 F 4 3 0 0 0 0 V.B. Les coefficients des variables d’écart forment une matrice unitaire I qui est la base initiale. Ce tableau présente la première solution admissible c'est-à-dire : x1 0 .0 x 2 0 .0 Point O ( 0 , 0 ) x 3 4 . 000 x 4 6 . 000 x 5 6 . 000 Max F 4 x 3 x 4 x 0 3 x 0 0 . 0 1 2 2ère étape : Pour débuter le processus de la recherche de la solution optimale du P.L. on s’appui sur les 2 critères de Dantzig : 6 Chapitre1 : Programmation Linéaire Premier critère : Pour déterminer la colonne xj qui doit entrer dans la base, on choisit celle qui comporte le coefficient positif le plus grand dans la dernière rangée (coefficients de la fonction économique). Deuxième critère : On calcul le rapport entre les bi et les coefficients de la nouvelle variable qui entre dans la base et la variable qui doit sortir de cette base est celle dont le rapport est le plus petit. V. X1 X2 X3 X4 X5 bi Rapport V.B. bi/aj X3 1 0 1 0 0 4000 pivot 4000/1=4000 X3 sort de la base X4 0 1 0 1 0 6000 6000/0=∞ X5 1 3/2 0 0 1 6000 6000/1=6000 F 4 3 0 0 0 0 X1 entre dans base En appliquant ces critères pour notre cas c’est la variable x1 qui rentre dans la base et la variable x3 qui sort de la base. Le pivot représente le terme aij qui se trouve à l’intersection de la colonne j et de la ligne i des variables qui entre et qui sort de la base. 3ère étape : Transformation du tableau (recherche d’une autre solution). Le tableau précédent sera transformé en adoptant les règles suivantes : 1] On repère le pivot (intersection de la colonne j et de la ligne i des variables qui entre et qui sort de la base) 2] On divise la ligne i de la variable qui sort de la base par le pivot. V. X1 X2 X3 X4 X5 bi 1/1 0/1 1/1 0/1 0/1 4000/1 V.B. X1 intègre la base 3] Pour les lignes du tableau qui comportent un 0 dans la colonne de la variable qui entre dans la base ne seront pas modifiées (ligne i=2 pour la variable de base x4). 7 Chapitre1 : Programmation Linéaire V. X1 X2 X3 X4 X5 bi 0 1 0 1 0 6000 V.B. X4 4] Pour les autres lignes du tableau qui comportent un élément ≠ 0 dans la colonne de la variable qui entre dans la base on multiplie les éléments de la ligne i (ligne du pivot) par l’élément ≠ 0 divisé par le pivot et on retranche le résultat des éléments correspondant de la ligne à modifiée. Ceci est valable pour la colonne des bi et ceux de la fonction économique. Pour la valeur de la fonction économique il faut ajouter et non retrancher. Application pour la variable x5 : Ligne à modifiée (X5) 1 3/2 0 0 1 6000 Ligne du pivot (X1) 1 0 1 0 0 4000 Coefficient multiplicateur Cm=1/1=1 Ligne à modifiée (X5) - Cm x Ligne du pivot (X1) 1 3/2 0 0 1 6000 -1x1 -1x0 -1x1 -1x0 -1x0 -1x4000 0 3/2 -1 0 1 2000 Coefficients de la ligne modifiée Application pour les coefficients de la fonction économique F : Ligne à modifiée (F) 4 3 0 0 0 0 Ligne du pivot (X1) 1 0 1 0 0 4000 Coefficient multiplicateur Cm=4/1=4 ligne à modifiée (F) - Cm x Ligne du pivot (X1) Coefficients de la ligne modifiée 4 3 0 0 0 0 -4x1 -4x0 -4x1 -4x0 -4x0 +4x4000 0 3 -4 0 0 +16000 8 Chapitre1 : Programmation Linéaire Nous obtenons une nouvelle solution donnée par le tableau N°2 Tableau N°2 : V. X1 X2 X3 X4 X5 bi X1 1 0 1 0 0 4000 X4 0 1 0 1 0 6000 X5 0 3/2 -1 0 1 2000 F 0 3 -4 0 0 +16000 V.B. Point x 2 0 .0 x 1 4 . 000 A ( 4 . 000 , 0 ) x 3 0 . 000 x 4 6 . 000 x 5 2 . 000 Max F 4 x 3 x 4 x 4 . 000 3 x 0 16 . 000 1 2 4ère étape : Arrêt du processus : Le processus de la recherche de la solution optimale du P.L. sera arrêté lorsque tous les coefficients des variables hors base de la fonction économique F sont ≤ 0. Pour un problème de maximisation et ≥ 0. Pour un problème de minimisation. Si cette condition n’est pas satisfaite il faut revenir à l’étape N°3. Dans le cas de notre P.L. nous constatons que, dans la rangée de la fonction économique, le coefficient de la variable hors base x2 est positif (+3) mais celui de l’autre variable hors base x3 est négatif (-4) et donc le processus doit continuer car la solution optimale n’est pas encore atteinte. Il faut revenir à l’étape 3. 3ère étape : Transformation du tableau N°2 V. X1 X2 X3 X4 X5 bi V.B. Rapport bi/aj X1 1 0 1 0 0 4000 4000/0=∞ X4 0 1 0 1 0 6000 6000/1=6000 X5 0 3/2 -1 0 1 2000 2000/3 /2=4000/3 Pivot F 0 3 X5 sort de la base -4 0 0 +16000 X1 entre dans base 9 Chapitre1 : Programmation Linéaire 1] On repère le pivot, c’est 3/2 2] On divise la ligne i de la variable qui sort de la base par le pivot. V. X1 X2 X3 X4 X5 bi 0/3/2 3/2/3/2 -1/3/2 0/3/2 1/3/2 2000/3/2 0 1 -2 /3 0 2/3 4000/3 V.B. X2 intègre la base 3] Les coefficients de la ligne i=1 pour la variable de base x1 ne changent pas V. X4 X1 X2 X3 X5 bi 1 0 1 0 0 4000 V.B. X1 4] Pour les autres lignes du tableau qui restent : Ligne i=2 x4 : Ligne à modifiée (X4) 0 1 0 1 0 6000 Ligne du pivot (X5) 0 3/2 -1 0 1 2000 Coefficient multiplicateur Cm=1/3/2=2/3 Ligne à modifiée (X4) - Cm x Ligne du pivot (X5) 0 1 0 1 0 6000 -2/3x0 -2/3x3/2 -2/3x-1 -2/3x0 -2/3x1 -2/3x2000 0 0 2/3 1 -2/3 14000/3 Coefficients de la ligne modifiée Ligne de la fonction économique F : Ligne à modifiée (F) 0 3 -4 0 0 +16000 Ligne du pivot (X1) 0 3/2 -1 0 1 2000 Coefficient multiplicateur Cm=3/3/2=2 10 Chapitre1 : Programmation Linéaire ligne à modifiée ( F) - Cm x Ligne du pivot (X1) Coefficients de la ligne modifiée 0 3 -4 0 0 +16000 -2x0 -2x3/2 -2x-1 -2x0 -2x1 +2x2000 0 0 -2 0 -2 +20000 Nous obtenons une nouvelle solution donnée par le tableau N°3 Tableau N°3 : V. X1 X2 X3 X4 X5 bi X1 1 0 1 0 0 4000 X4 0 0 2/3 1 -2/3 14000/3 X2 0 1 -2/3 0 2/3 4000/3 F 0 0 -2 0 -2 +20000 V.B. Nous obtenons une nouvelle solution qui est : x 2 4000 3 x 1 4000 Point B ( 4 . 000 , 0 ) x 3 0 . x 4 14000 3 x 5 0 . Max F 4 x 3 x 4 x 4 . 000 3 x 4000 3 20 . 000 1 2 Arrêt du processus : Dans le cas de notre P.L. nous constatons que, dans la rangée de la fonction économique, les coefficients des variables hors base x3 et x5 sont négatifs (-2) et donc le processus doit s’arrêter et la solution optimale atteinte. Vérification de la solution par la méthode graphique : La résolution graphique est donnée dans la figure ci-dessous. Tous les points situés à l’intérieur du polyèdre OABCO sont des solutions possibles. Le couple (x1,x2) qui maximise la fonction économique est le point le plus éloigné possible de l’origine O (x1=0,x2=0) c’est le sommet B. x1 4.000 x1 4000 B intersection de F B 20.000 x 3 2 x 6 . 000 x 4000 3 2 1 2 Nous pouvons vérifier qu’au point A (x1=4000,x2=0) la fonction économique est FA=16000 et qu’au point C (x1=0,x2=4000) la fonction économique est FC=12000 11 Chapitre1 : Programmation Linéaire Pour résumer la méthode du simplexe un organigramme de l’algorithme de celle-ci est donné dans la page suivante. 12 Chapitre1 : Programmation Linéaire Etape N°1 Mise en équation du P.L. Etape N°2 Construction du tableau inital Solution Optimale ? Oui Fin Non Etape N°3 Choix de la variable entrante variabuation du P.L. Etape N°4 Choix de la variable sortante Il n’en existe pas Fin variabuation du P.L. Etape N°5 Pivotage Etape N°6 Construction du nouveau tableau inital Organigramme de l’algorithme de la méthode du simplexe. 13 Chapitre1 : Programmation Linéaire REMARQUE : 1. Dans tous ce que l’on vient de considérer toutes les contraintes des différents P.L. contenaient des signes ≤. Quand le P.L. contient des signes ≥ ou = on transforme le problème de sorte qu’il soit écrit sous une forme canonique. Pour y arriver on introduit des « variables artificielles » puis on applique la méthode du simplexe. Les contraintes k de type a j 1 k type a j 1 ij ij k a x j b i sont transformées en x j b i sont transformées en j 1 k a j 1 ij ij x j x k 1 y i b i et celles de x j y i b i dans lesquelles les variables yi sont des variables artificielles qui initialement serviront de variables de base et qui doivent être égales à 0. dans le tableau final. Pour s’assurer que ces variables ne seront pas dans la solution finale on leur associe un « coût fictif » arbitrairement grand (M) dans la fonction économique F lorsqu’on minimise, ou un « profit fictif » (- M) lorsqu’on maximise. Nous traiterons un exemple pour bien illustrer ces nouvelles notions. 2. La solution optimale ne peut être atteinte dans tous les cas de figure (solutions non réalisables, solutions réalisables sans bornes, solutions multiples, solutions dégénérées…) 5. Dualité. C’est un aspect important de la programmation linéaire. A partir d’un P.L. on peut former un autre P.L. intimement lié au premier. A tout problème de maximisation correspond un problème de minimisation impliquant les mêmes données. L’un des problèmes est appelé « le primal » et l’autre le « dual ». Ces programmes linéaires possèdent les caractéristiques suivantes : La fonction économique d’un des problèmes est maximisée l’autre est minimisée. Minimisation des contraintes ≥ et maximisation des contraintes ≤. La matrice des coefficients de l’un des problèmes est la transposée de la matrice des coefficients de l’autre. Le coté droit des contraintes de l’un des problèmes est la fonction économique de l’autre. A chaque contrainte du « primal » correspond une variable du « dual » et vice versa. Exemple : Nous allons considérer un P.L. quelconque comme « primal » et nous nous proposons de construire son P.L. « dual ». 14 Chapitre1 : Programmation Linéaire Soit le P.L. suivant : P . L Primal Max F 3 x 1 4 x 2 x x 600 2 1 2 x 1 x 2 1000 x 2 x 1000 2 1 x 1 , x 2 0 Le P.L. « primal » possède 2 variables principales (x1, x2) et 3 contraintes donc le P.L. « dual » va avoir 3 variables principales (y1, y2 et y3) et 2 contraintes. Le P.L. « primal » maximise F donc le P.L. « dual » minimise F’ Les contraintes du P.L. « primal » sont ≤ celles du P.L. « dual » seront ≥. A ce stade nous pouvons écrire : P . L Primal Max F 3 x 1 4 x 2 x x 600 2 1 2 x 1 x 2 1000 x 2 x 1000 2 1 x 1 , x 2 0 Min F ' . y 1 . y 2 . y 3 . y . y 2 . y 2 . P . L Dual 1 . y 1 . y 2 . y 2 . y , y , y 0 1 2 3 Il faut maintenant remplacer les points des coefficients du P.L. « dual » par les chiffres qui leurs correspondent. La matrice des coefficients du P.L. « dual » est la matrice transposée du P.L. « primal » donc : 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 Et d’autres parts les coefficients du coté droit du P.L. « primal » sont ceux de la fonction économique du P.L. « dual » donc Min F ' 600 y 1 1000 y 2 1000 y 3 Et finalement nous obtenons : Max F 3 x 1 4 x 2 x x 600 2 1 P . L P 2 x 1 x 2 1000 x 2 x 1000 2 1 x 1 , x 2 0 Min F ' 600 y 1 1000 y 2 1000 y 3 1 y 2 y 2 1 y 2 3 P .L D 1 1 y 1 1 y 2 2 y 2 4 y , y , y 0 1 2 3 15 Chapitre1 : Programmation Linéaire Nous nous proposons de résoudre P.L. « dual » par la méthode du simplexe et comparer la solution avec celle donnée par la résolution du P.L. « primal » (méthode du simplexe et graphique). Résolution du P.L. dual par la méthode du simplexe : Min F ' 600 y 1 1000 y 2 1000 y 3 1 y 2 y 2 1 y 2 3 P . L Dual 1 1 y 1 1 y 2 2 y 2 4 y , y , y 0 1 2 3 Obtention de la forme canonique : k Les contraintes sont de type j 1 k j 1 a ij y j b i elles seront transformées en a ij y j y k 1 x i b i Nous obtenons : 1 y 1 2 y 2 1 y 2 y 4 x1 3 (I ) 1 y1 1 y 2 2 y 2 y 5 x 2 4 ( II ) y1, y2, y3 sont les variables principales, y4 et y5 les variables d’écarts et x1 et x2 sont les variables artificielles Et la fonction économique devient : Min F ' 600 y 1 1000 y 2 1000 y 3 0 y 4 0 y 5 Mx 1 Mx 2 Maintenant nous exprimons la fonction économique F’ en fonction des principales et des variables d’écarts seulement : Les équations (I) et (II) deviennent : Mx 1 3 1 y 1 2 y 2 1 y 2 y 4 M Mx 2 4 1 y 1 1 y 2 2 y 2 y 5 M En remplaçant ces valeurs dans la première expression de la fonction économique F’ nous obtenons une deuxième expression de la fonction économique F’ qui sera bien commode pour la résolution du P.L. par la méthode du simplexe. Min F ' ( 600 2 M ) y 1 (1000 3 M ) y 2 (1000 3 M ) y 3 My 4 My 5 7 M Le P.L. dual à résoudre par la méthode du simplexe est le suivant : 16 Chapitre1 : Programmation Linéaire Min F ' 600 y 1 1000 y 2 1000 y 3 0 y 4 0 y 5 Mx 1 Mx 2 ou bien ' Min F ( 600 2 M ) y 1 (1000 3 M ) y 2 (1000 3 M ) y 3 My 4 My 5 7 M P . L Dual 1 y 1 2 y 2 1 y 2 3 1 y 1 y 2 y 4 2 2 1 y1 , y 2 , y 3 0 Tableau N°1 : V. Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 X1 X2 bi V.B. Rapport bi/aj X1 1 2 1 -1 0 1 0 3 3/2 X2 1 1 2 0 -1 0 1 4 4/1 F’ 600 1000 1000 0 0 M M 0 -2M -3M -3M M M 0 0 7M Les coefficients des variables artificielles forment une matrice unitaire I qui est la base initiale. La rangée de F est divisée en 2 lignes, la première ligne est la première expression de F (en fonction des variables artificielles) et la seconde ligne qui est la deuxième expression de F. Ce tableau présente la première solution admissible c'est-à-dire : y3 0 y4 0 y5 0 Point O ( 0 , 0 , 0 ) x 1 3 . 0 x 2 4 . 0 ' 600 y 1 1000 y 2 1000 y 3 0 y 4 0 y 5 Mx 1 Mx 2 7 M Min F En appliquant les critères de la méthode du simplexe pour ce cas c’est la variable y2 qui rentre dans la base et la variable x1 qui sort de la base. Le pivot est égal à 2 et on transforme ce premier tableau pour déterminer une autre solution. Comme x1 qui est une variable artificielle et qui sort de la base elle ne doit plus figurer dans les tableaux à venir. Transformation du tableau (recherche d’une autre solution). Le tableau précédent sera transformé en adoptant les règles suivantes : Ligne du pivot : On divise la ligne i de la variable qui sort de la base par le pivot. V. Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 X2 bi 1/2 2/2 1/2 -1/2 0/2 0/2 3/2 V.B. Y2 17 Chapitre1 : Programmation Linéaire Pour les autres lignes du tableau qui restent : Ligne i=2 x2 : Coefficient multiplicateur Cm=1/2=1/2 V. Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 X2 bi 1 1 2 0 -1 1 4 -1/2x 1 -1/2x 2 -1/2x 1 -1/2x -1 -1/2x 0 -1/2x 0 -1/2x 3 1/2 0 3/2 1/2 -1 1 5/2 V.B. X2 Ligne à modifiée - Cm x Ligne du pivot (X1) Coefficients de la ligne modifiée 1ère ligne de la fonction économique F : Coefficient multiplicateur Cm=1000/2=500 V. Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 X2 bi 600 1000 1000 0 0 M 0 -500x 1 -500x 2 -500x 1 -500x -1 -500x 0 100 0 500 500 0 V.B. Ligne à modifiée - Cm x Ligne du pivot -500x 0 -500x 3 (X1) Coefficients de la ligne M 1500 modifiée 2ème ligne de la fonction économique F : Coefficient multiplicateur Cm=-3M/2=-3M/2 V. Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 X2 bi -2M -3M -3M M M 0 7M 3M/2x1 3M/2x2 3M/2x1 3M/2x-1 3M/2x0 -3M/2x0 3M/2x3 -M/2 0 -3M/2 -M/2 M 0 5M/2 V.B. Ligne à modifiée - Cm x Ligne du pivot (X1) Coefficients de la ligne modifiée 18 Chapitre1 : Programmation Linéaire Nous obtenons une nouvelle solution donnée par le tableau N°2 Tableau N°2 : V. Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 X2 bi V.B. Rapport bi/aj Y2 1/2 1 1/2 -1/2 0 0 3/2 3 X2 1/2 0 3/2 1/2 -1 1 5/2 5/3 F’ 100 0 500 500 0 M 1500 -M/2 0 -3/2M -M/2 M 0 5/2M Le processus de la méthode du simplexe continue c’est la variable y3 qui rentre dans la base et la variable x2 qui sort de la base. Le pivot est égal à 3/2 et on transforme ce tableau pour déterminer une autre solution. Comme x2 qui est une variable artificielle et qui sort de la base elle ne doit plus figurer dans les tableaux à venir. Transformation du tableau (recherche d’une autre solution). Le tableau précédent sera transformé en adoptant les règles suivantes : Ligne du pivot : On divise la ligne i de la variable qui sort de la base par le pivot. Nous obtenons : V. Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 bi 1/3 0 1 1/3 -2/3 5 /3 V.B. Y3 Pour les autres lignes du tableau qui restent : Ligne i=2 x2 : Coefficient multiplicateur Cm=1/2/3/2=1/3 V. Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 bi 1/2 1 1/2 -1/2 0 3/2 -1/3x1/2 -1/3x 0 -1/3x 3/2 -1/3x 1/2 -1/3x -1 -1/3x 5/2 1/3 1 0 -2/3 1/3 2/3 V.B. Y2 Ligne à modifiée - Cm x Ligne du pivot (X2) Coefficients de la ligne modifiée 19 Chapitre1 : Programmation Linéaire Lignes de la fonction économique : Première ligne : Cm=1000/3 V. Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 bi 100 0 500 500 0 1500 -1000/3x1/2 -1000/3x 0 -1000/3x 3/2 -1000/3x 1/2 -1000/3x -1 -1000/3x 5/2 -200/3 0 0 1000/3 1000/3 7000/3 V.B. 1ère ligne de F’ à modifiée - Cm x Ligne du pivot (X2) Coefficients de la ligne modifiée Deuxième ligne : Cm=-3/2Xm/3/2=-M V. Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 bi -M/2 0 -3/2M -M/2 M 5/2M -Mx-1/2 -Mx 0 -Mx 3/2 -Mx -1/2 -Mx -1 -Mx 5/2 0 0 0 0 0 0 V.B. 1ère ligne de F à modifiée - Cm x Ligne du pivot (X2) Coefficients de la ligne modifiée Nous obtenons une nouvelle solution donnée par le tableau N°3. Tableau N°3 : 20 Chapitre1 : Programmation Linéaire V. Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 bi Rapport V.B. bi/aj Y2 1/3 1 0 -2/3 1/3 2/3 2 Y3 1/3 0 1 1/3 -2/3 5/3 5 F’ -200/3 0 0 1000/3 1000/3 7000/3 0 0 0 0 0 0 Le processus de la méthode du simplexe continue c’est la variable y1 qui rentre dans la base et la variable y2 qui sort de la base. Le pivot est égal à 1/3 et on transforme ce tableau pour déterminer une autre solution. Transformation du tableau (recherche d’une autre solution). Le tableau précédent sera transformé en adoptant les règles suivantes : Ligne du pivot : On divise la ligne i de la variable qui sort de la base par le pivot. Nous obtenons : V. Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 bi 1 3 0 -2 1 2 V.B. Y1 Pour les autres lignes du tableau qui restent : Ligne i=2 y2 : Coefficient multiplicateur Cm=1/3/1/3=1 V. Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 bi 1/3 0 1 1/3 -2/3 5/3 -1x1/3 -1x 1 -1x 0 -1x -2/3 -1x 1/3 -1x 2/3 0 -1 1 1 -1 1 V.B. Y2 Ligne à modifiée - Cm x Ligne du pivot (Y2) Coefficients de la ligne modifiée Ligne de la fonction économique: 21 Chapitre1 : Programmation Linéaire Coefficient multiplicateur Cm=-200/3/1/3=-200 V. Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 bi Ligne de F à modifiée -200/3 0 0 1000/3 1000/3 7000/3 - Cm x Ligne du pivot 200x1/3 200x 1 200x 0 200x -2/3 200x 1/3 200x 2/3 0 200 0 200 400 2200 V.B. (Y2) Coefficients de la ligne modifiée Nous obtenons une nouvelle solution donnée par le tableau N°4. Tableau N°4 : V. Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 bi Y1 1 3 0 -2 1 2 Y3 0 -1 1 1 -1 1 F’ 0 200 0 200 400 2200 V.B. Arrêt du processus : Dans le cas de ce P.L. nous constatons que, dans la rangée de la fonction économique, les coefficients des variables hors base y2, y2 et y5 sont positifs (minimisation) et donc le processus doit s’arrêter et la solution optimale atteinte. Cette solution est : y1 2 y4 0 y2 0 y5 0 y3 1 F ' 2200 Nous allons maintenant résoudre le programme primal pour pouvoir tirer certaines conclusions importantes Max F 3 x 1 4 x 2 x x 600 2 1 P . L P 2 x 1 x 2 1000 x 2 x 1000 2 1 x 1 , x 2 0 22 Chapitre1 : Programmation Linéaire La forme standard du P.L. est : 1 x 1 1 x 2 1 x 3 0 x 4 0 x 5 600 a ij x j b i 2 x 1 1 x 2 0 x 3 1 x 4 0 x 5 1000 x 2 x 0 x 0 x 1 x 1000 2 3 4 5 1 et F Max 3 x 1 4 x 2 0 x 3 0 x 4 0 x 5 Avec : x1, x2 : variables principales (inconnues du problème) x3, x4, x5: variables d’écart (variables de base) Le processus de la méthode du simplexe étant déjà bien expliqué nous donnons à titre d’information les différents pour aboutir à la solution optimale. Tableau N°1 : V. X1 X2 X3 X4 X5 bi V.B. X3 1 1 1 0 0 600 X4 2 1 0 1 0 1000 X5 1 2 0 0 1 1000 F 3 4 0 0 0 0 X1 X2 X3 X4 X5 bi X3 1/2 0 1 0 -1/2 100 X4 3/2 0 0 1 -1/2 1000/3 X2 1/2 1 0 0 1/2 1000 F 1 0 0 0 -2 2000 Tableau N°2 : V. V.B. Tableau N°3 : 23 Chapitre1 : Programmation Linéaire V. X1 X2 X3 X4 X5 bi V.B. X1 1 0 2 0 -1 200 X4 0 0 -3 1 1 200 X2 0 1 -1 0 1 400 F 0 0 -2 0 -1 2200 La solution optimale (confirmée par la méthode graphique) du P.L. primal est : x 2 400 x 1 200 x5 0 x 3 0 x 4 200 F 2200 Comparaison des solutions du P.L. primal et du P.L. dual : Nous rappelons les deux P.L. leurs derniers tableaux ainsi que leurs solutions pour pouvoir les comparer. Max F 3 x 1 4 x 2 x x 600 2 1 P . L P 2 x 1 x 2 1000 x 2 x 1000 2 1 x 1 , x 2 0 Min F ' 600 y 1 1000 y 2 1000 y 3 1 y 2 y 2 1 y 2 3 P .L D 1 1 y 1 1 y 2 2 y 2 4 y , y , y 0 1 2 3 Dernier tableau du P.L. primal V. X1 X2 X3 X4 X5 bi X1 1 0 2 0 -1 200 X4 0 0 -3 1 1 200 X2 0 1 -1 0 1 400 V.B. F Δ1=0 Δ1=0 Δ1=-2 Δ1=0 Δ1=-1 2200 Dernier tableau du P.L. dual V. Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 bi Y1 1 3 0 -2 1 2 Y3 0 -1 1 1 -1 1 V.B. F’ Δ’1=0 Δ’2=200 Δ’3=0 Δ’4=200 Δ’5=400 2200 24 Solution du P.L. primal x 2 400 x 1 200 x5 0 x 3 0 x 4 200 Chapitre1 : Programmation Linéaire Solution du P.L. dual F 2200 y1 2 y4 0 y2 0 y5 0 y3 1 F ' 2200 Nous remarquons que : Les fonctions économiques des deux P.L. sont égales F = F’ Les valeurs des variables principales du P.L. primal (x1=200, x2=400) sont égales aux coefficients des valeurs des variables d’écart dans la ligne de la fonction économique F’ du P.L. dual (Δ’4=200, Δ’5=400) Les valeurs des variables principales du P.L. dual (y1=2, y2=0, y3=1) sont égales (aux signes prés) aux coefficients des valeurs des variables d’écart dans la ligne de la fonction économique F du P.L. primal (Δ3=-2, Δ4=0, Δ5=-1) 25
