МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича
РЕФЕРАТ
на тему: «Сравнение узлов»
Выполнила:
студентка 2 курса магистратуры
направления подготовки
44.04.01 Педагогическое
образование,
профиль «Математическое
образование»
Шкурай И. А.
г. Ростов-на-Дону,
2019
Содержание
Введение ................................................................................................................... 3
1. Основные понятия теории узлов ....................................................................... 5
2. Проблема сравнения узлов ................................................................................. 6
3. Инварианты узла ................................................................................................. 7
4. Полином Конвея ................................................................................................ 10
Заключение ............................................................................................................ 13
Список использованной литературы ................................................................... 14
2
Введение
Узлы появились в доисторические времена - вместе с первыми нитками
и веревками. В глубь истории уходят практические навыки обращения с
узлами - ими пользовались первые мореплаватели, ткачи, строители. А вот
ученые стали систематически изучать узлы лишь сравнительно недавно: в
конце прошлого века.
Развитие теории узлов инициировал великий английский физик Дж.
Максвелл. Он пришёл к выводу, что волны осуществляют электромагнитные
взаимодействия, а потом его осенила ещё более смелая мысль: сами
взаимодействующие частицы - тоже волны; но так как частицы (атомы) очень
маленькие, а волны - длинные, волны-атомы должны замыкаться на себя на
небольшом участке пространства: это узелки, в памяти которых хранится вся
физико-химическая информация об атоме, закодированная в самом характере
заузливания атома. Максвел и его ученики принялись за исследование узлов,
начали их систематическую классификацию в виде таблиц. Но эта теория была
быстро вытеснена теорией Д. И. Менделеева с его периодической системой
элементов. Наиболее успешно теория узлов стала развиваться лишь вместе с
топологией - наукой о свойствах фигур, сохраняющихся при гомеоморфизмах.
Математиков привлекла сама красота предмета.
Однако в последние годы теория узлов перестала быть увлечением лишь
небольшого числа специалистов, неожиданно превратившись в одно из самых
модных увлечений математиков, физиков и даже генетиков [4].
В теории узлов есть одна главная нерешенная задача — понять, когда
два, на первый взгляд, совершенно разных узла топологически представляют
собой одно и то же. Эту проблему называют проблемой сравнения узлов. Над
ней бьются многие великие ученые вот уже более полутора веков. Достаточно
упомянуть имена К.Ф. Гаусса, лорда Кельвина, А. Пуанкаре, М. Дена, а также
имена четырех лауреатов медали Филдса Э. Виттена, В. Джонса, В.
Дринфельда и М. Концевича, получивших свои награды за открытия,
3
связанные с теорией узлов. Проблема распознавания узлов решена лишь
частично – алгоритм, решающий ее, существует, но очень сложен и
нереализуем на компьютере. Однако на пути решения этой задачи возникло
много важных и интересных открытий [5].
4
1. Основные понятия теории узлов
Узел – древнейшее изобретение, намного более древнее, чем колесо, и
настолько привычное, что его трудно назвать изобретением. В течение
тысячелетий искусством «вязания» и «развязывания» узлов овладевали
кружевницы и ткачи, матросы парусных кораблей и любители головоломок. А
математическая теория узлов, раздел обширной области математики –
топологии, возникла около ста лет тому назад.
Книги античных историков сохранили для нас легенду-притчу о том, как
македонский царь Александр, проходя с войском во время своего
победоносного похода в глубины Азии через персидский город, посетил храм
и увидел одну из достопримечательностей Персии — узел, сплетенный
мудрецом Гордием; предание гласило, что тот, кто развяжет этот узел, станет
царем Вселенной. Юный царь разрубил узел мечом.
Даже если Александр хорошо знал античную математику, он, конечно, был бы
удивлен, узнав, что задача, от решения которой он так по-царски уклонился,
математическая. Тем более, что решена эта задача была только в наше время,
около сорока лет тому назад, когда был придуман метод, позволяющий по
виду или описанию узла определять, развязывается данный узел или нет [1].
Изучая какие-либо предметы реальной жизни, математики обычно заменяют
их подходящими математическими объектами. Так и узел в математике – это
некая абстракция, рассматривается не веревка и не шнур, а бесконечно тонкая,
гибкая и растяжимая нить.
Одним из вопросов, побудивших математиков заняться узлами, был вопрос,
какие узлы можно развязать, не порвав, и какие нельзя. Концы веревки
приходится закреплять, потому что если не запретить ими манипулировать,
все узлы окажутся одинаково завязанными (в самомом деле, любой узел на
веревке можно развязать, протягивая конец веревки поочередно через петли
узла).
5
При изучении узлов удобно считать, что свободные концы каждого из них
соединены друг с другом. В результате кусок веревки превращается в
заузленное кольцо [2].
Узел – это замкнутая линия в пространстве, гладкая или ломаная, которая
может быть как угодно закручена и переплетена. Самый простой узел –
тривиальный, он представляет собой обычную, незаузленную окружность.
На рисунке 1 представлены узлы – трилистник, восьмерка и тривиальный узел.
Рис. 1
Зацеплением называется конечный набор замкнутых непересекающихся
ориентированных ломаных в пространстве.
Узел – частный случай
зацепления (набор из одной ломаной).
Узлы изображаются на плоских рисунках специальным образом – в виде
диаграмм. Диаграммой называется такая проекция узла на плоскость, при
которой кривая самопересекается только по изолированным двойным точкам,
притом пробел в проекции указывает, какая из двух ветвей проходит ниже.
Два узла считаются эквивалентными (т. е. одинаковыми), если можно один
превратить в точную копию другого, двигая, изгибая, растягивая и сжимая эту
нить в пространстве, не разрывая ее [3].
2. Проблема сравнения узлов
Изменяя непрерывным образом положение замкнутой кривой (веревки) в
пространстве (не разрывая и не склеивая ее), мы получаем всегда один и тот
же узел, но его плоское изображение может при этом измениться до
неузнаваемости. Поэтому сравнить два узла бывает очень трудно, и даже не
всегда понятно, завязана ли вообще данная петля в узел. Легко понять даже
на примере тривиального узла, что его можно перекрутить, и узел останется
6
таким же, топология никак не поменяется, а на диаграмме добавится лишний
перекресток. И выглядеть узлы будут совершенно по-разному.
Диаграммы (а) и (г) на рис. 1 представляют один узел — трилистник;
действительно, на этом же рисунке можно видеть, как представление (а) может
быть переведено в представление (г) [5].
Рис.2
Таким образом, в теории узлов есть две связанные задачи:
1. Проблема распутывания, которая заключается в нахождении алгоритма,
который позволит по любой диаграмме узла определить, тривиален узел или
нет.
2. Проблема сравнения, которая заключается в нахождении алгоритма,
который позволит по любой диаграмме определить, эквивалентны они или
нет. Проблема распутывания – это проблема сравнения с тривиальным узлом
[4]
При сравнении узлов одного ощущения, что два узла «похожи» или «не
похожи», мало. Даже простые узлы можно изображать и завязывать поразному.
3. Инварианты узла
Для сравнения узлов используют признаки и свойства узлов, которые не
зависят от способа их реализации или изображения и которые совпадают
поэтому для всех узлов одного типа. Такие признаки называют инвариантами
узла. Инвариант (слово латинского происхождения) — неизменный, не
зависящий от формы.
7
Если инварианты разные, то и узлы разные. Если верно еще и обратное
(совпадение инвариантов влечет эквивалентность узлов), то инвариант
называется полным.
Большинство известных инвариантов определяется и вычисляется довольно
сложно. Рассмотрим лишь простейшие числовые инварианты.
Для достаточно простых узлов значения этих инвариантов находятся почти
сразу по диаграмме узла. Но доказать, что найденное число и есть значение
инварианта, как правило, очень сложно.
1) Минимальное число скрещиваний узла
Из всех диаграмм узла В выберем ту, для которой число точек скрещивания
минимально. Это число М (В) и называется минимальным числом
скрещиваний узла В.
2) «Изломанность» узла
В соответствии с определением ручных узлов представим узел А в виде
замкнутой ломаной с наименьшим возможным числом звеньев. Назовем это
число И (А) «изломанностью» узла А.
3) «Кондитерское число» узла
Из всех узлов только окружность можно нарисовать на сфере без точек
самопересечения; клеверный лист можно нарисовать на «бублике» (торе), а
для восьмерки нужен «крендель»; как расположить эти узлы на таких
поверхностях, видно из рис. 2
Рис. 3
8
И тор, и «крендель» получаются из гибкой сферы, к которой приклеены
полые гибкие «ручки» (см. рис. 3).
Рис. 4
Наименьшее число ручек, которые нужно приклеить к сфере, чтобы на
получившейся поверхности можно было разместить узел А без точек
самопересечения — числовой инвариант К (А). Этот инвариант К (А) иногда
называют «кондитерским числом» узла [1].
4) Число правильных раскрасок диаграммы узла в три цвета
Для доказательства неизотопности узлов оказывается полезно раскрашивать
их диаграммы, соблюдая некоторые правила. Раскраска диаграммы узла в
черный, красный и синий цвета называется правильной, если каждый ее
участок окрашен в один цвет и вблизи каждой точки скрещивания либо все
три участка окрашены в один цвет, либо встречаются все три цвета. Примеры
правильной раскраски показаны на рисунке 4.
Рис. 5
Справедлива следующая теорема о трехцветных раскрасках.
Теорема. Число правильных раскрасок диаграммы узла в три цвета является
инвариантом.
Следствие. Если диаграмма узла допускает правильную раскраску, в которой
участвуют все три цвета, то узел нетривиален.
9
Из следствия вытекает нетривиальность трилистника (см. рис. 4, в) и многих
других узлов.
4. Полином Конвея
Рассмотрим инвариант, который называется Полином Конвея по имени
английского математика Дж. Конвея. В научной литературе этот полином
чаще
называют
полиномом
Александера-Конвея.
Дж.
Александер,
выдающийся американский тополог, придумал свой полином раньше Конвея,
в 1933 году. Полином Конвея от полинома Александера отличается простой
заменой переменных. Однако конструкция Александера хоть и изысканно
красива, но далеко не элементарна. Заслуга Конвея состоит в совершенно
элементарном аксиоматическом построении полинома.
Конвей постулировал, что каждой диаграмме узла или зацепления L поставлен
в
соответствие
полином
(многочлен)
от
переменной
x
с
целыми
коэффициентами. Этот полином обозначается PL(x). При этом должны
выполняться три аксиомы:
1. Эквивалентным диаграммам L и L’ отвечает один и тот же полином:
PL(x)=PL’(x).
2. Тривиальному узлу отвечает полином (нулевой степени), равный 1:
P0(x) =1.
3. Трем зацеплениям L+, L–, L0, которые всюду одинаковы, кроме небольшого
кружочка, где они выглядят так, как показано на рисунке 5, отвечают
полиномы, связанные соотношением
𝑃𝐿+ (𝑥) – 𝑃𝐿– (𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑃𝐿0 (𝑥).
Рис. 6
Рассмотрим примеры вычисления полинома Конвея.
10
На рисунке 7 изображена диаграмма (обозначенная L+) тривиального узла с
одной двойной точкой. Из аксиом 1 и 2 следует, что полином 𝑃𝐿+ (𝑥) равен 1.
Если заменить двойную точку диаграммы L+ на противоположную, а затем
двойную точку уничтожить (в соответствии с аксиомой 3), то получим другую
диаграмму тривиального узла L– и пару незацепленных окружностей L0.
Применяя соотношение 3, получим
𝑃𝐿+ (𝑥) – 𝑃𝐿– (𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑃𝐿0 (𝑥),
т. е. 1–1=𝑥 ∙ 𝑃𝐿0 (𝑥), откуда 𝑃𝐿0 (𝑥) = 0, т. е. пара незацепленных окружностей
имеет нулевой полином Конвея.
Рис. 7
Теперь вычислим полином Конвея пары зацепленных окружностей. Начнем с
замечания: поскольку мы рассматриваем ориентированные линии, такие пары
бывают двух видов: правые и левые. Условимся считать одну из окружностей
первой, другую – второй. Линия, протыкающая плоскость первой окружности,
получает направление по «обратному» правилу буравчика; если вторая
окружность имеет именно такую ориентацию, мы считаем зацепленную пару
левой, в противном случае – правой (см. рис. 8).
Рис. 8
11
Правое (левое) зацепление останется правым (левым), если поменять порядок
окружностей, но станет левым (правым), если у одной из окружностей
поменять ориентацию.
На рисунке 9 L+ есть правая пара зацепленных окружностей. Применяя
аксиому 3 к правой двойной точке, получаем последнюю диаграмму L–,
эквивалентную паре незацепленных окружностей, и тривиальный узел (с
одной двойной точкой) L0.
Рис. 9
Используя аксиому 1 и предыдущий подсчет, получаем 𝑃𝐿– (𝑥) = 0. Затем по
аксиомам 1 и 2 получаем 𝑃𝐿0 (𝑥) = 1. Подставляя эти значения в соотношение
3, находим
𝑃𝐿+ (𝑥) = 𝑥,
т. е. полином Конвея правого простейшего зацепления двух окружностей
равен –x, в этом можно убедиться, мысленно обратив верхнюю стрелку на
рисунке 9 (при этом L+ и L– поменяются ролями) [4].
12
Заключение
Отыскание математических методов, позволяющих сравнивать узлы, а также
отличать узлы от простых (незаузленных) петель, является одной из
важнейших проблем теории узлов.
Для сравнения узлов используют инварианты – характеристики узла (в
простейшем число, но может быть многочленом, группой и так далее),
определённые для каждого узла и одинаковые для эквивалентных узлов.
Простейшими числовыми инвариантами являются:
1. минимальное число скрещиваний узла,
2. «изломанность» узла,
3. «кондитерское число» узла,
4. число правильных раскрасок диаграммы узла в три цвета.
Более эффективным является инвариант, получивший название полинома
Конвея. Полином Конвея – достаточно тонкий инструмент, позволяющий
различать узлы и зацепления и устанавливать их нетривиальность, т.к.
установлен факт существования и единственности полинома Конвея для
каждого узла или зацепления.
Теория узлов остается живой и загадочной. Главные проблемы по-прежнему
открыты. По-прежнему неизвестно, обладают ли узлы легко вычислимой
полной системой инвариантов. И наконец, та фундаментальная роль, которую,
как полагают, они играют в физике, еще до конца не определилась.
13
Список использованной литературы
1. Белага Э. Г. Узел на столе математика // Квант. – 1975. –№7
2. Виро О. Раскрашенные узлы // Квант. – 1981. –№3
3. Сосинский А. Б. Узлы и косы: — М.: МЦНМО, 2001.
4. Сосинский А. Б. Узлы, зацепления и их полиномы // Квант. – 1989. –№4
5. Сосинский А. Б. Узлы. Хронология одной математической теории: —
М.: МЦНМО, 2005.
14