Gelson Iezzi
Osvaldo Dolce
Antonio Machado
MATEMÁTICA
Ensino Fundamental
Anos Finais
E REALIDADE
Ensino Fundamental
Anos Finais
MATEMçTICA
E REALIDADE
MANUAL DO PROFESSOR
Gelson Iezzi
Engenheiro metalúrgico pela Escola Politécnica da USP
Licenciado pelo Instituto de Matemática e Estatística da USP
Professor da rede particular de ensino
Osvaldo Dolce
Engenheiro civil pela Escola Politécnica da USP
Professor efetivo da rede pública estadual de São Paulo
Antonio Machado
Licenciado em Matemática e Mestre em Estatística pelo
Instituto de Matemática e Estatística da USP
Professor do Instituto de Matemática e Estatística da USP
Professor de escolas particulares de São Paulo
Direção geral: Guilherme Luz
Direção editorial: Luiz Tonolli e Renata Mascarenhas
Gestão de projeto editorial: Mirian Senra
Gestão e coordenação de área: Julio Cesar Augustus de Paula Santos
e Juliana Grassmann dos Santos
Edição: Marcela Maris, Isabela Ramalho dos Santos
e Fernanda Fugita Oliveira
Gerência de produção editorial: Ricardo de Gan Braga
Planejamento e controle de produção: Paula Godo,
Roseli Said e Marcos Toledo
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Kátia Scaff Marques (coord.),
Rosângela Muricy (coord.), Ana Curci, Ana Paula C. Malfa, Arali Gomes,
Carlos Eduardo Sigrist, Celina I. Fugyama, Cesar G. Sacramento,
Daniela Lima, Diego Carbone, Flavia S. Vênezio, Gabriela M. Andrade,
Hires Heglan, Luís M. Boa Nova, Luiz Gustavo Bazana, Paula T. de Jesus
e Raquel A. Taveira e Sueli Bossi
Arte: Daniela Amaral (ger.), André Gomes Vitale (coord.)
e Alexandre Miasato Uehara (edição de arte)
Diagramação: Grapho Editoração
Iconografia: Sílvio Kligin (ger.), Roberto Silva (coord.)
e Mariana de Oliveira Sampaio (pesquisa iconográfica)
Licenciamento de conteúdos de terceiros: Thiago Fontana (coord.),
Flavia Zambon (licenciamento de textos), Erika Ramires,
Luciana Pedrosa Bierbauer e Claudia Rodrigues (analistas adm.)
Tratamento de imagem: Cesar Wolf e Fernanda Crevin
Ilustrações: Alberto de Stefano, Artur Fujita, Cecília Iwashita,
Estúdio MR, Estúdio MIL, Hélio Senatore, Ilustra Cartoon,
Kanton, Luis Ricardo Montanari, Luigi Rocco, Paulo Cesar Pereira,
Setup, Tiago Donizete Leme e Wilson Jorge Filho
Design: Gláucia Correa Koller (ger.),
Aurélio Gadini Camilo (proj. gráfico e capa)
Composição de capa: Aurélio Gadini Camilo
Foto de capa: Cavan Images/OffSet/Shutterstock
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www.editorasaraiva.com.br
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Iezzi, Gelson
Matemática e realidade 6º ano / Gelson Iezzi,
Antonio Machado, Osvaldo Dolce. -- 9. ed. -São Paulo : Atual Editora, 2018.
Suplementado pelo manual do professor.
Bibliografia.
ISBN 978-85-5769-199-5 (aluno)
ISBN 978-85-5769-200-8 (professor)
1. Matemática (Ensino fundamental) I. Machado,
Antonio. II. Dolce, Osvaldo. III. Título.
18-17555
CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964
2018
Código da obra CL 800936
CAE 627923 (AL) / 627924 (PR)
9a edição
1a impressão
Impressão e acabamento
Uma publicação
Apresentação
E
sta é a mais nova edição desta coleção de Matemática. Por se tratar de uma
obra com finalidade didática, esta coleção procura apresentar a teoria de maneira
lógica e em linguagem acessível.
Nas séries de exercícios e na introdução de alguns capítulos aparecem situações-problema ligadas quase sempre à realidade cotidiana. Algumas dessas propostas são apresentadas por meio da seção Participe, que estimula ações reflexivas, estratégias pessoais, compartilhamento de ideias e conhecimentos prévios
para introduzir o tema tratado a seguir.
Ao fim de cada unidade existe uma série de testes, o Teste seus conhecimentos,
por meio da qual você pode medir seu aproveitamento.
Ao longo do livro são propostos Desafios. O objetivo desses problemas é colocar você diante de situações novas, inesperadas, que o levem a analisar, pensar e
desenvolver a iniciativa, de forma leve, divertida e espontânea.
Existe ainda na coleção a seção de leitura Matemática em notícia, em que a reprodução de um texto de jornal, revista ou site, ligado à Matemática, procura mostrar que a aplicação do conhecimento adquirido é essencial para o acesso aos meios
de comunicação.
Em outra seção de leitura, Matemática no tempo, você entrará em contato com
a interessante história das descobertas matemáticas por meio da abordagem de
um tema ligado ao assunto que está sendo estudado.
Em Dinheiro: aprenda a usar você encontrará atividades individuais e coletivas
sobre temas de educação financeira que podem ajudá-lo no planejamento financeiro – seu e/ou de sua família – buscando sempre melhorar a qualidade de vida.
A seção Mudando de assunto, novidade desta edição presente em todos os volumes, trabalha temas diferentes dos abordados na teoria e algumas habilidades
previstas pela Base Nacional Comum Curricular.
Esperamos que você goste deste livro e que aceite nossa companhia nesta viagem de descoberta dos números e das formas. Se quiser expressar sua opinião
– seja ela qual for – a respeito desta obra, escreva para a editora. Teremos muita
satisfação de saber o que você pensa.
Bons estudos!
Os autores
CAPÍTULO
Conheça seu livro
Participe
14
Operações
com frações
Participe
Temos 3 copos idênticos. Vamos preencher com água
2
3
do copo A e do copo B. O copo C continuará vazio.
7
7
Ilustrações: Hélio Senatore/
Arquivo da editora
O objetivo da seção é
mobilizar conhecimentos
prévios e introduzir o conteúdo
que será tratado a seguir.
a) O que há em comum entre a marcação nos 3 copos?
b) Se despejarmos a água dos copos A e B no copo C, quantas partes desse copo serão ocupadas com água?
c) Que fração do copo C representará essa quantidade?
Desafios
Numere as árvores
d) Que operação pode-se fazer para obter a fração que representa o conteúdo do copo C depois do despejo?
e) Que frações representam as quantidades de líquido em cada copo abaixo?
Karina ka fotos/Shutterstock
Leia as informações a seguir e, com base nelas, tire
algumas conclusões.
Uma floresta tem 1 000 000 de árvores.
Nenhuma árvore tem mais que 300 000 folhas.
Agora, responda às perguntas.
a) No máximo, quantas folhas pode ter uma árvore?
b) No máximo, quantas folhas existem na floresta?
f) Que operação você pode fazer para calcular a quantidade total de líquido dos 3 copos? Represente-a e
dê o resultado.
c) Pode-se tirar a conclusão: “Na floresta existe árvore
com uma só folha”?
d) Pode-se tirar a conclusão: “Na floresta não existe
árvore com uma só folha”?
Confira as respostas no final do livro.
204
Unidade 4
e) Pode-se tirar a conclusão: “Na floresta existem árvores com o mesmo número de folhas”?
Frações
Você gosta dessas frutas?
6o A
Desafio
A seção Desafio propõe
questões curiosas e desafiadoras
que levam a analisar, pensar e
relacionar conteúdos diversos.
6o B
Reprodução/Obmep, 2017.
(Obmep) Uma escola fez uma pesquisa com todos os alunos
do sexto ano para verificar se eles gostavam de banana, maçã
ou laranja. Cada aluno assinalou pelo menos uma dessas três
frutas. A tabela abaixo apresenta os resultados da pesquisa.
6o C
Banana
20
15
Maçã
12
20
12
Laranja
18
5
10
14
Por exemplo, 20 alunos do 6o A assinalaram que gostam de banana. Quantos alunos há, no mínimo e no
máximo, no sexto ano dessa escola?
a) No mínimo 54 e no máximo 126 alunos.
b) No mínimo 54 e no máximo 58 alunos.
c) No mínimo 27 e no máximo 54 alunos.
d) No mínimo 27 e no máximo 126 alunos.
e) No mínimo 31 e no máximo 58 alunos.
Com certeza
(Obmep) Em uma caixa havia seis bolas, sendo três vermelhas, duas brancas e uma preta. Renato retirou quatro bolas da caixa. Qual afirmação a respeito das bolas retiradas é correta?
a) Pelo menos uma bola é preta.
b) Pelo menos uma bola é branca.
c) Pelo menos uma bola é vermelha.
d) No máximo duas bolas são vermelhas.
e) No máximo uma bola é branca.
Capítulo 5
37 Os dois tempos de uma partida de futebol
duraram exatamente 48 min 40 s cada um.
Quanto tempo durou toda a partida, sem
contar o intervalo?
38 Na partida de futebol Brasil 3 Alemanha ci‑
tada anteriormente, o segundo tempo durou
quanto a mais do que o primeiro tempo?
39 Maria Clara leu três livros em exatamente
2 h 44 min. Se ela gastou o mesmo tempo
para ler cada um, em quanto tempo ela leu
os dois primeiros livros?
40 Calcule:
a) 3 h 5 min 1 4 h 37 min
b) 5 h 52 min 2 4 h 47 min
c) (6 h 12 min 5 s) 3 3
d) (8 h 19 min 56 s) ; 4
e) 3 min 2 2 min 38 s
f) (5 d 16 h) 3 5
41 O último jogo de xadrez que Ian disputou
começou às 9 h 50 min 40 s e terminou às
11 h 40 min 36 s, sem intervalos. Qual foi o
tempo de jogo?
Os exercícios são
apresentados em gradação de
dificuldade e têm por objetivo
consolidar o conteúdo estudado.
42 Em um campeonato intermunicipal de vôlei
feminino do estado de Minas Gerais, o time
de Delfinópolis disputou uma partida com o
time de Olhos D’Água. A partida começou
às 8 h 30 min. Foram jogados 5 sets com as
seguintes durações:
• 1o set: 20 min 45 s
• 2o set: 22 min 15 s
• 3o set: 35 min 40 s
• 4o set: 17 min 30 s
• 5o set: 15 min 10 s
Os intervalos entre os sets foram de 3 minu‑
tos. A que horas terminou o jogo?
43 Todos os dias Celso vai a pé para o serviço.
A livraria onde ele trabalha dista 2 208 me‑
tros da sua casa e ele consegue andar ao
ritmo de 80 metros por minuto. Na segun‑
da‑feira, ao sair de casa às 7 h da manhã,
Celso acertou o relógio.
a) Quanto tempo Celso gasta para ir a pé
de casa ao trabalho?
b) Se o relógio de Celso atrasa 1 segundo por
hora, quando for exatamente 8 h da noite,
que horas o relógio estará marcando?
Mudando de assunto
Mudando de assunto
Vamos usar a calculadora
Um instrumento que facilita, e muito, o trabalho de operar com números é a calculadora. Vamos conhecer algumas teclas desse aparelho:
•
Leia esta tirinha de Munhoz e depois responda às questões 44 e 45:
ON/C
– liga a calculadora (“ON”, em português, significa ligado).
• OFF – desliga a calculadora (“OFF”, em português, significa desligado).
© Munhoz/Acervo do cartunista
DENTE DE LEITE
Capítulo 4
Divisão
•
•
CE – limpa as informações que estão na tela da calculadora.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
– algarismos do sistema decimal, uti-
lizados para realizar as operações.
71
•
.
•
1
•
5
– nas calculadoras é utilizado o ponto para representar a vírgula.
2
3
4
– indicam as operações a serem realizadas.
– indica o resultado da operação.
Agora que já sabemos quais são as principais teclas de uma calculadora, vamos começar a utilizá-la
realizando uma adição. Veja como calcular 15 1 37.
Primeiro, ligue a calculadora utilizando a tecla ON/C ; em seguida, digite os algarismos
(nessa ordem). Aparecerá na tela o número 15:
1
e
5
15
Agora, pressione a tecla 1 e, em seguida, os algarismos
3
e
7 . Você pode observar que o
número 15 foi substituído pelo número 37:
37
Finalmente, pressione a tecla
5 . Aparecerá o resultado 52 na tela:
52
Ao seguirmos esses passos, realizamos a operação 15 1 37 5 52. Viu como é simples?
Agora é a sua vez! Efetue a adição de 45 com 138 e anote o resultado para comparar com seus colegas.
(
Mudando a operação, calcule a diferença utilizando a tecla 2
ça de anotar o resultado no caderno.
(
) entre 1 365 e 1 267. Não se esque-
) de 27 por 133.
Por último, faça a divisão (utilizando a tecla 4 ) de 3 072 por 48.
Faça a multiplicação utilizando a tecla
26
4
93
Exercícios
Exercícios
36 Para participar de um congresso de livreiros
em Belo Horizonte (MG), Arnaldo tomou o
ônibus em Campinas às 6 h 40 min e che‑
gou a Belo Horizonte às 14 h 4 min. Ele ficou
tão cansado que foi dormir às 21 h 15 min e
só acordou às 7 h 32 min do dia seguinte.
a) Quanto tempo demorou a viagem?
b) Quanto tempo ele dormiu?
Potenciação e radiciação
3
Seção presente em alguns
capítulos, apresentando conteúdos
e exercícios sobre temas diferentes
daqueles abordados na teoria.
Matemática no tempo
Origens das frações decimais
Melvyn Longhurst/Alamy/Fotoarena
Como é sabido, a diversidade
de línguas em nosso mundo é
muito grande. Mas, felizmente,
apesar dessas diferenças, quase
todos os povos civilizados usam
a mesma linguagem aritmética.
Ou seja, usam os mesmos algarismos (0, 1, 2, …, 9), a mesma
maneira de escrever os números
e essencialmente os mesmos
algoritmos (procedimentos para
operar).
Resumidamente, quase todos os povos usam o sistema
de numeração indo‑arábico. Essa
designação vem do fato de que Estátua de Al-Khwarizmi, em Khiva, Usbequistão, em 2013.
esse sistema de numeração foi
Cristo, já tinham desenvolvido um sistema de
criado na Índia – segundo alguns estudiosos, já
estaria pronto e em uso, inclusive com um símnumeração decimal posicional e que havia, de
bolo para o zero, por volta do ano 700 – e de que
longa data, um significativo intercâmbio cultural
foi graças aos árabes que se disseminou.
e comercial entre China e Índia. Mas o sistema de
numeração hindu acabou prevalecendo.
A mais antiga exposição do sistema indo-arábico é uma obra escrita pelo persa Al-Khwarizmi
É importante salientar que os chineses, antes
(que viveu no século IX) por volta do ano 825.
de Cristo, já usavam seu sistema de numeração
Como os árabes dominaram a península Ibérica de
para representar frações decimais com base no
711 a 1492, certamente levaram para essa reprincípio posicional, o que os hindus não consegião os numerais hindus. Há um manuscrito em
guiram. Como ilustração do princípio posicional
espanhol, do século X, em que eles aparecem —
para frações, consideremos o número 23,45, exsem o zero. Mas os europeus também tomaram
presso com a notação atual. Trata-se de uma fraconhecimento do novo sistema de numeração,
ção decimal em que o 2 vale 20, o 3 vale 3 mesatravés de viagens e do comércio.
4
5
mo, o 4 vale , o 5 vale
. O primeiro registro
E o que levou os hindus a desenvolver um sis10
100
tema de numeração decimal posicional? (Nesse
sistema, o valor do algarismo depende da sua
posição no número. Por exemplo, o algarismo
2 vale 20 em 123 e 200 em 213.)
Por um lado, o povo hindu sempre revelou
grande talento para os aspectos aritméticos da
matemática. Mas também é preciso levar em
conta que os chineses, alguns séculos antes de
de uso de frações decimais depois dos chineses
aparece numa obra de aritmética do século X, do
árabe Al-Uqlidisi. Embora não tenha entrado no
campo das generalizações, o autor usou frações
decimais para expressar, por exemplo, a fração
19
comum 5 . O resultado (correto) obtido por ele
2
foi 0’59375 (5 0,59375).
272
A seção permite que você
entre em contato com relatos
históricos e questionamentos
científicos relacionados a
assuntos ligados ao conteúdo.
Matemática em notícia
Matemática em notícia
Esta seção apresenta textos
de jornais, revistas ou sites, que
levam a observar a realidade
com visão crítica, usando a
Matemática para comparar
dados e situações apresentadas.
População brasileira passa de 207,7 milhões em 2017
Cris Faga/Zuma Press/Fotoarena
Matemática no tempo
Rua 25 de Março, na cidade de São Paulo, SP. Foto de dez. 2016. São Paulo permanece na liderança como o estado mais
populoso, com 45,1 milhões de pessoas.
Pesquisa do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) indica que o Brasil tem 207,7 milhões
de habitantes [...].
No ranking dos estados, os três mais populosos estão na região Sudeste, enquanto os cinco menos po­
pulosos estão na região Norte. O líder é São Paulo, com 45,1 milhões de habitantes, concentrando
%
da população do País. Roraima é o estado menos populoso, com 522,6 mil habitantes (
% da popula­
ção total).
Mais cinco estados têm população acima de 10 milhões de habitantes: Minas Gerais (21.119.536), Rio
de Janeiro (16.718.956), Bahia (15.344.447), Rio Grande do Sul (11.322.895) e Paraná (11.320.892).
O Distrito Federal, que, no ano passado, tinha 2,98 milhões de habitantes, agora tem mais de 3,039 mi­
lhões de pessoas. Acre (829,6 mil), Amapá (797,7 mil) e Roraima (522,6 mil) são os estados que registram
população inferior a 1 milhão de habitantes.
A taxa de crescimento populacional (
%), entretanto, vem desacelerando nos últimos anos, em
razão principalmente da queda na taxa de fecundidade. A projeção demográfica prevê que, daqui a 26 anos
(entre 2042 e 2043), a população vai atingir seu limite máximo (228,4 milhões) e passará a decrescer nos
anos seguintes.
[...]
Fonte: PORTAL Brasil. Disponível em: <www.brasil.gov.br/cidadania­e­justica/2017/08/populacao­
brasileira­passa­de­207­7­milhoes­em­2017>. Acesso em: 8 jun. 2018.
352
Dinheiro: aprenda a usar
Dinheiro: aprenda a usar
O consumo de alimentos não é igual em todas as
famílias. Seja em quantidade ou em variedade, sempre
encontraremos muitas diferenças entre uma família e
outra, assim como em diferentes regiões do país. Por
isso, vamos conhecer um pouco sobre a “cesta básica”.
As atividades a seguir o ajudarão nessa tarefa.
I. Pesquise a definição de “cesta básica”. Que produtos compõem a “cesta básica nacional”?
II. Pesquise a composição e o valor mais recente da
cesta básica em seu estado. A resposta deverá ser
na forma de tabela que indique para cada produto
“quantidade” e “gasto mensal”.
Fernando Favoretto/Criar Imagem
É básico
A seção propõe atividades individuais
e coletivas sobre temas de Educação
financeira, permitindo uma reflexão
sobre o consumo excessivo.
Sugestão: Acesse a internet e procure no portal
do Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos (Dieese), disponível em:
<www.dieese.org.br>.
III. Comparando as colunas “quantidade” e “gasto mensal”, determine o preço por quilograma ou por
litro de cada um dos produtos da tabela obtida na etapa anterior.
Teste seus conhecimentos
IV. Converse com alguém de sua casa para responder às perguntas:
a) Que produtos da cesta básica são consumidos por sua família?
Sugestão: Na primeira coluna, coloque os produtos listados na tarefa IV. a; na segunda coluna, coloque as quantidades listadas na tarefa IV. b; na terceira coluna, coloque os preços obtidos na tarefa III; na quarta coluna, coloque o gasto mensal de sua família com cada produto. Calcule o total dos
valores da quarta coluna.
VI. Anote por três dias tudo o que você consumiu em comidas e bebidas. Em seguida, identifique quais
desses produtos fazem parte da cesta básica.
2
VIII. Você considera que os produtos relacionados na resposta da tarefa VII são essenciais ou são supérfluos?
Converse com os colegas do seu grupo sobre os produtos colocados na cesta básica das famílias (ver
tarefa IV, item a). As listas ficaram iguais? Por quê?
2
Converse com os colegas do seu grupo sobre as quantidades consumidas de cada produto na cesta
básica das famílias (ver tarefa IV, item b). As quantidades ficaram iguais? Por quê?
(Obmep) Joãozinho subtraiu o menor número de três algarismos diferentes do maior
número de três algarismos diferentes. Que
resultado ele obteve?
(Saresp) No número 1 372, foi colocado um
zero entre os algarismos 3 e 7. Pode-se afirmar que, no novo número representado, o
valor do algarismo 3 ficou:
6
Qual é a melhor estimativa de 9 021 ? 1 995?
a) dividido por 10.
b) dividido por 1.
c) multiplicado por 10.
d) multiplicado por 100.
7
(Obmep) Stephani multiplicou 111 por 111 e
somou os algarismos do resultado. Qual é o
valor dessa soma?
a) 73.
b) 703.
VII. Converse com alguém de sua casa para responder à pergunta: “Qual é o gasto mensal de sua família com produtos alimentícios que não fazem parte da cesta básica?”.
1
5
(Saresp) O número formado por sete unidades
de milhar mais três unidades é
3
c) 7 003.
d) 70 003.
a) 882
b) 883
c) 885
a) 90 mil
b) 180 mil
MILHAR
1
0
CENTENA
9
9
2
8
8
3
7
7
4
5
6
6
0
5
DEZENA
1
4
1
0
UNIDADE
9
9
2
2
8
8
3
3
7
7
4
5
6
0
1
2
3
6
5
8
11
33
4
Disponível em: http://www.enersul.com.br.
Acesso em: 26 abr. 2010.
O número obtido pela leitura em kWh, na
imagem, é:
a) 2 614
b) 3 624
Descobrindo os algarismos e somando-os,
obtemos:
a) 10
b) 12
9
c) 14
d) 16
A seguir está representada uma multiplie
são
cação em que os algarismos
desconhecidos. Qual é o valor da soma
1 ?
c) 2 715
d) 3 725
1
4
96
33
6
Somando o maior número de três algarismos distintos com o menor deles, obtemos:
a) 3
b) 4
a) 999
b) 1 089
Observação: Algarismos da mesma cor são
iguais.
Unidade 1
c) 1 099
d) 1 110
Teste seus conhecimentos
Apresenta atividades que
proporcionam revisão de
conteúdo da unidade a partir de
questões testes autorais e de
provas oficiais.
Que algarismos estão faltando nesta conta?
4
A medida é expressa em kWh. O número
obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo
ponteiro.
c) 9 milhões
d) 18 milhões
a) 5
b) 6
c) 9
d) 11
e) 12
(Enem) O medidor de energia elétrica de
uma residência, conhecido por “relógio de
luz”, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura:
354
d) 886
e) 888
Reprodução/Obmep, 2014.
V. Faça uma tabela como a da tarefa II para calcular o preço da cesta básica de sua família.
1
BIS/Arquivo da editora
b) Em que quantidade os produtos da cesta básica são consumidos por sua família em um mês?
c) 5
d) 6
Números e operações
5
Agradecimentos
Consignamos nossa mais sincera gratidão aos colegas pelo apoio recebido durante a elaboração deste trabalho.
Affonso Luiz Reyz de Paula Neves
Hugo José Nascimento
Martha Helena Franco de Andrade
Alvaro Zimmermann Aranha
Iguatemi Coquinot de Alcântara
Mercês Edith Dubeux Beltrão
Ambrogina L. Pozzi Cesar
Nunes
Messias Rosa do Nascimento
Ana Maria de Souza Almeida Matos
Irene Torrano Filisetti
Milton Carvalho Barbosa
Ângela Maria de Carvalho Barroso
Izelda Maciel Ramos
Mitiko Imoto Kawata
Antonio Lourenço de Oliveira
Jaine Rita Celentano Lino
Nelson José Correia
Antonio Renato de Paula Pessoa
João Alfredo Sampaio
Nilze Silveira de Almeida
Arnaldo Mendonça
João Dionísio Amorim
Orozimbo Marinho de Almeida
Augusto C. O. Morgado
João dos Reis Neto
Oscar Augusto Guelli Neto
Bárbara Lutaif
João Pereira dos Santos
Otaviano Alves
Carlos Balbino Pelegrinelli
Joaquim Serafim da Paz
Pelegrino P. Dinard
Cesar Augusto Soares
José Cardoso
Plínio José Oliveira
Cesar Soares dos Reis
José Fonseca Júnior
Regina Célia Santiago do
Cleister Alves Cordeiro
José Geraldo
Amaral Carvalho
Danilo Carvalho Villela
José Jorge Chama
Rêmulo Pifano
Dylson Faria Lima
José Wightnan de Carvalho
Roberto Meconi Júnior
Edjarbas de Oliveira Jr.
Judite David
Ronaldo Schubert Souto
Edna Maria C. Conceição
Júlia Hosi
Rosana Covões
Eldon Nogueira de Albuquerque
Leonor Farsic Fic
Rosângela de Fátima dos Reis Silva
Elias Veiga
Luciano de Oliveira
Sergio Augusto Sepúlveda
Elisabete Longo Santiago
Luiz Angelo Marengão
Figueiredo
El-Mani Gomes
Luiz José de Macedo
Sidney Tognini Martos
Elon Lages Lima
Manoel Benedito Rodrigues
Silvia de Lima Guitti Oliveira
Evaldo Ribeiro da Cunha
Manuel Maria Lourenço de Sousa
Silvia Helena Augusto
Fernando José Campps Lavall
Marcelo Antônio Ferreira
Valéria Araújo Barbosa
Fernando Willer Klein de Aquino
Marcelo Marcio Morandi
Vanda Cotosck
Flávio Leite Mota
Maria Aparecida Olivares Pusas
Vicente Carelli
Francisco Guilherme da Silva
Santos
Vilma Cotosck
Gracia Tereza Bittencourt Martins
Maria Aparecida Simões Okamura
Walfrido Diniz Gattoni
Helena Maria Tonet
Maria Consuelo G. B. da Silva
Wancleber Pacheco
Henriette Tognetti Penha Morato
Maria José R. Pereira
Wilson José da Silva
Hiroko Ando
Marisa Ortegosa da Cunha
Yoshiko Yamamoto Nukai
6
Sumário
UNIDADE 1
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Capítulo 1 – Números .................................................................................................... 12
Expressões aritméticas com as quatro operações ....................... 63
A criação dos números ................................................................................12
Desafio – Negociando sem dinheiro ................................................... 64
Como escrevemos os números ........................................................13
Divisão com resto ........................................................................................ 65
Como os maias escreviam os números.........................................16
Desafios – Pense e economize ............................................................. 67
A numeração dos romanos.................................................................17
Desafio – Paginação ...................................................................................19
Os números naturais .................................................................................. 20
Números, numerais e algarismos ................................................... 20
– Torneio de pingue-pongue .............................................. 67
– Economia ................................................................................ 67
Vamos mudar a unidade de tempo ....................................................... 68
Números naturais.................................................................................. 20
Operações com medidas mistas ........................................................... 69
Par ou ímpar? ........................................................................................... 21
Adição ......................................................................................................... 69
Desafios – A lista de Maria ..................................................................... 24
Subtração .................................................................................................. 69
– Brargentina na Olimpíada ................................................ 24
Multiplicação por um número natural ........................................... 70
Matemática em notícia – O quadro de medalhas ......................... 25
Divisão por um número natural ....................................................... 70
Mudando de assunto – Vamos usar a calculadora ....................... 26
Desafio – A matemática do eclipse ..................................................... 72
Capítulo 2 – Adição e subtração ..................................................................... 28
Problemas sobre partições ...................................................................... 72
Adição................................................................................................................ 28
Desafios – Quem foi ele? ......................................................................... 76
Desafios – Acerte a conta ....................................................................... 32
– Acerte as contas .................................................................. 76
– Que conta é esta? ................................................................ 32
– Quadrado mágico ................................................................ 32
Estimativas .............................................................................................. 33
Subtração ........................................................................................................ 35
Matemática em notícia – Brasileiro tira de circulação
um terço das moedas emitidas
no país por ano ...............................................77
Desafios – Conserte a conta .................................................................. 39
Capítulo 5 – Potenciação e radiciação ................................................... 78
– A maior diferença................................................................. 39
Potência ........................................................................................................... 78
– As sementes da abóbora ................................................. 39
Expressões aritméticas com adição e subtração ........................... 40
Dinheiro: aprenda a usar – De que eu preciso mesmo? ............. 43
Capítulo 3 – Multiplicação ...................................................................................... 45
Multiplicação .................................................................................................. 45
Problemas de contagem..................................................................... 48
Dobro, triplo e quádruplo .................................................................... 50
Cálculo mental .........................................................................................51
Vamos calcular expressões aritméticas com potências............ 82
Quadrados perfeitos ................................................................................... 85
Raiz quadrada.......................................................................................... 85
Propriedades da potenciação ........................................................... 86
Casos especiais de potência ............................................................. 88
Desafio – A lição de Laura ....................................................................... 90
Potências e sistemas de numeração ................................................... 90
A propriedade distributiva da multiplicação ............................... 52
O sistema de numeração binário .................................................... 91
Expressões aritméticas............................................................................. 53
Como se conta no sistema binário? ............................................... 92
Desafios – É permitido fazer estimativas ........................................ 55
Desafios – Numere as árvores ............................................................. 93
– Encha as salas ...................................................................... 55
– Você gosta dessas frutas? .............................................. 93
– Rodízio de filhos ................................................................... 55
– Com certeza ........................................................................... 93
Unidades de tempo ..................................................................................... 55
Matemática em notícia – Água potável ............................................ 58
Matemática no tempo – Os números nas origens da
Matemática ................................................ 94
Capítulo 4 – Divisão .......................................................................................................... 59
Teste seus conhecimentos ................................................................... 96
Divisão .............................................................................................................. 59
Desafio – Descobrindo máximos .......................................................100
7
UNIDADE 2
GEOMETRIA: PRIMEIROS PASSOS
Capítulo 6 – Noções fundamentais ....................................................... 102
A ideia de ângulo nas figuras ..........................................................122
Um pouco de História ...............................................................................102
União de conjuntos..............................................................................122
Formas reais e formas geométricas ..................................................104
Ponto, reta e plano: as mais simples formas geométricas ......109
Representação de ponto, reta e plano........................................ 110
Pontos colineares ................................................................................ 114
Capítulo 7 – Semirreta, segmento de reta e ângulo ......117
Ângulos formados por retas..................................................................126
Matemática em notícia – A Geometria e a obra
de Niemeyer ......................................129
Desafios – Brincando com quatro quatros ....................................128
Semirreta ....................................................................................................... 117
– De olho no relógio..............................................................128
Segmento de reta ...................................................................................... 118
Mudando de assunto – Vamos ler coordenadas .........................130
Interseção de conjuntos ................................................................... 119
Teste seus conhecimentos .................................................................133
Interseção de semirretas .................................................................120
Desafios – Jogando dados ....................................................................135
Ângulo .............................................................................................................122
– Desmonte .............................................................................135
UNIDADE 3
MÚLTIPLOS E DIVISORES
Capítulo 8 – Divisibilidade .................................................................................. 137
Empregando fatoração .....................................................................159
Noção de divisibilidade.............................................................................137
Empregando decomposição simultânea ...................................160
Critérios de divisibilidade ........................................................................ 141
Desafios – Que número é esse? .........................................................145
– Planejando o feriado.........................................................145
– Formando equipes ............................................................145
Capítulo 9 – Números primos. Fatoração..................................... 146
Desafio – Maratona ciclística............................................................... 161
Matemática em notícia – País registra queda nos casos de
dengue, chikungunya e zika .............162
Capítulo 11 – Divisores e máximo divisor comum........... 163
O que é número primo?............................................................................146
Divisores ........................................................................................................163
Como reconhecer um número primo ...........................................148
Descobrindo os divisores de um número ..................................165
Desafios – O aniversário do professor ............................................150
– Quais são os primos .........................................................150
Decomposição em produto ....................................................................150
A fatoração de 60 ................................................................................152
Fatoração de um número........................................................................153
Capítulo 10 – Múltiplos e mínimo múltiplo comum ...... 154
Os múltiplos de um número...................................................................154
Como saber se é múltiplo? ...............................................................155
Desafio – A regularidade dos trens ...................................................156
Múltiplos comuns .......................................................................................156
Mínimo múltiplo comum (mmc) ...........................................................157
Divisores comuns ................................................................................166
Máximo divisor comum (mdc) ...............................................................167
Calculando o mdc .......................................................................................168
Empregando a fatoração ..................................................................168
Empregando decomposição simultânea ...................................170
Calculando o mdc e o mmc ..............................................................171
Desafio – As flores do casamento.....................................................172
Matemática em notícia – O mais longo eclipse total do
Sol neste século ....................................173
Matemática no tempo – Números primos e números
Desafio – Compreendendo um texto ...............................................158
compostos ............................................... 174
Calculando o mmc ......................................................................................158
Teste seus conhecimentos .................................................................176
UNIDADE 4
FRAÇÕES
Capítulo 12 – O que é fração? ......................................................................... 179
Como transformar um número misto em
Frações da unidade....................................................................................179
Frações de um conjunto ..........................................................................181
fração imprópria ......................................................................189
Desafio – Que suco você prefere?......................................................184
Capítulo 13 – Frações equivalentes.
Comparação de frações ............................................... 191
Comparando os termos da fração ......................................................185
Conceito de frações equivalentes .......................................................191
Tipos de fração ............................................................................................186
Como reconhecer frações equivalentes?...................................192
A leitura de fração ......................................................................................182
8
O que é ângulo?.....................................................................................123
Ângulo reto ...................................................................................................124
Simplificação de frações .........................................................................194
Como obter uma fração na forma irredutível ..........................195
Redução de frações ao mesmo denominador .........................197
Comparação de frações ...........................................................................199
Multiplicação ............................................................................................... 208
Desafio – Os 100 metros de Ricardo................................................203
Divisão ............................................................................................................215
Capítulo 14 – Operações com frações ............................................... 204
Potenciação ..................................................................................................221
Adição..............................................................................................................205
Subtração ......................................................................................................205
Adição e subtração com denominadores diferentes ............206
UNIDADE 5
Calculando a fração de um número..............................................213
Desafio – Para não ficar tonto ............................................................214
Matemática em notícia – Falando em média................................223
Teste seus conhecimentos .................................................................224
NÚMEROS DECIMAIS
Capítulo 15 – Fração decimal e numeral decimal ............. 228
Capítulo 16 – Operações com decimais........................................... 250
Fração decimal ............................................................................................228
Adição e subtração ....................................................................................251
Numeral decimal ........................................................................................231
Matemática em notícia – O desflorestamento da
Mata Atlântica ......................................253
Desafio – O valor posicional dos algarismos.................................233
Como transformar um numeral decimal em fração
decimal .......................................................................................... 234
Multiplicação com decimais .................................................................. 254
Potenciação com base decimal ............................................................255
Divisão ............................................................................................................259
Como transformar uma fração decimal em numeral
Divisões exatas ....................................................................................260
decimal .....................................................................................................235
Divisões não exatas............................................................................262
Taxa porcentual...........................................................................................237
Desafio – Excursão ..................................................................................264
Cálculo mental ......................................................................................239
Divisões com decimais ......................................................................265
Desafio – O esporte preferido ............................................................. 241
Dízima periódica simples e composta; fração geratriz ........267
Propriedades dos numerais decimais ...............................................242
Voltando ao cálculo mental .............................................................244
Desafio – Crescimento populacional ................................................245
Comparando numerais decimais .........................................................245
Dinheiro: aprenda a usar – Fique ligado! ........................................248
UNIDADE 6
Decimal exato ou dízima periódica? ............................................ 268
Desafios – O colecionador ....................................................................269
– Oito séculos depois ...........................................................269
Mudando de assunto – Vamos calcular probabilidades ...........270
Matemática no tempo – Origens das frações decimais ...........272
Teste seus conhecimentos .................................................................274
GEOMETRIA E MEDIDAS
Capítulo 17 – Unidades de comprimento...................................... 278
Trapézio ...................................................................................................291
Medindo comprimentos ..........................................................................278
Paralelogramo ......................................................................................292
Unidade padrão de comprimento ........................................................281
Retângulo................................................................................................292
Múltiplos e submúltiplos do metro ..............................................282
Losango ...................................................................................................292
Mudanças de unidade ........................................................................283
Quadrado.................................................................................................292
Capítulo 18 – Poligonal, polígonos e curvas ............................286
Perímetro de um polígono ......................................................................296
Características da poligonal ................................................................. 286
Desafio – Decompondo um quadrado .............................................297
Classificação ..........................................................................................287
Curvas abertas ........................................................................................... 298
O que é polígono? ...................................................................................... 288
Curvas fechadas .........................................................................................299
Classificação ......................................................................................... 289
Interior e exterior .................................................................................299
Nomes dos polígonos ....................................................................... 290
Desafios – Kilos de kilo ...........................................................................302
Quadriláteros ...............................................................................................291
– Sem sobrepor ......................................................................302
9
Capítulo 19 – Unidades de área .................................................................. 303
Mudanças de unidade ........................................................................324
Medidas de área .........................................................................................303
Volume do paralelepípedo (bloco retangular) ................................325
Unidade-padrão de área ........................................................................ 304
Múltiplos e submúltiplos do metro quadrado......................... 304
Mudanças de unidade ....................................................................... 308
Unidades agrárias............................................................................... 309
Áreas de alguns polígonos .....................................................................310
Área do retângulo ................................................................................310
Volume do cubo...........................................................................................326
Unidades de capacidade ..........................................................................327
Mudanças de unidade ........................................................................329
Desafios – Água na piscina ...................................................................330
– O volume da família ..........................................................330
– Equilibrando .........................................................................330
Área do quadrado ................................................................................ 311
Capítulo 21 – Unidades de massa............................................................ 331
Desafios – Quadrado ampliado ..........................................................313
Medindo massa...........................................................................................331
– Ajude o azulejista...............................................................313
Unidade-padrão de massa.....................................................................332
Mudando de assunto – Vamos ampliar ou reduzir
figuras planas ...........................................314
Múltiplos e submúltiplos do grama..............................................333
Matemática em notícia – Incêndio consome 332 mil hectares no
Parque Nacional do Araguaia ..........318
Matemática em notícia – Baleias jubartes do Brasil
estão salvas da extinção ..................335
Capítulo 20 – Unidades de volume......................................................... 319
– População de baleia jubarte
continua crescendo ............................ 336
Medidas de volume ...................................................................................320
Matemática no tempo – O sistema métrico decimal ................337
Unidade-padrão de volume ...................................................................321
Desafio – A libra e a onça.......................................................................339
Teste seus conhecimentos .................................................................339
Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico ................................322
UNIDADE 7
Mudanças de unidade ........................................................................333
ESTATÍSTICA
Capítulo 22 – Noções de Estatística..................................................... 345
Dinheiro: aprenda a usar – É básico .................................................354
Revendo porcentagens ............................................................................345
Desafios – Dupla entrada ......................................................................355
Etapas de uma pesquisa estatística ..................................................347
– Tabelando .............................................................................355
Planejamento ........................................................................................347
Teste seus conhecimentos .................................................................355
Coleta de dados ....................................................................................347
Respostas dos exercícios ...............................................................358
Matemática em notícia – População brasileira passa de
207,7 milhões em 2017..........................352
Bibliografia ............................................................................................... 376
Ilustrações: Banco de imagens/
Arquivo da editora
Apresentação: tabela e gráfico de colunas .............................. 348
10
Alexandre Carvalho/Fotoarena
UNIDADE
1
Números e
operações
Com os números podemos indicar
tanto a quantidade de objetos de
uma coleção como a quantidade de
frutas que foram colhidas de uma
jabuticabeira ou a quantidade de
galhos de uma árvore.
CAPÍTULOS
1. Números
2. Adição e subtração
3. Multiplicação
4. Divisão
5. Potenciação e radiciação
CAPÍTULO
1
Números
A criação dos números
Os números foram inventados pelo ser humano. No entanto, sua criação não aconteceu de repente:
surgiu da necessidade de contar coisas.
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Por exemplo, para contar, o homem primitivo traçava riscos em madeira e em ossos ou, ainda, fazia
nós em uma corda.
Até hoje, às vezes fazemos contagens anotando tracinhos, como no exemplo abaixo.
Exemplo
Em uma atividade, cada aluno do 6o ano deveria responder “sim” ou “não” para a pergunta do professor.
Paulo estava fazendo a contagem dos alunos que respondiam “sim”. Joana, a dos que respondiam “não”.
Veja como eles estavam anotando as contagens:
Paulo
Joana
“Sim”
“Não”
Quantos alunos Paulo já havia contado? E Joana?
13; 17.
Porém, é difícil contar quantidades grandes e efetuar cálculos com pedras, nós ou riscos simples.
A necessidade de efetuar cálculos com maior rapidez levou o ser humano a criar símbolos para representar quantidades.
Foram os hindus que inventaram os símbolos que usamos até hoje:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
Esses símbolos, divulgados pelos árabes, são conhecidos como algarismos indo-arábicos. Com eles
escrevemos todos os números.
12
Unidade 1
Números e operações
Como escrevemos os números
Os hindus contavam juntando os elementos em grupos de dez. Por esse motivo, o sistema de numeração que usavam é chamado sistema decimal, o mesmo que empregamos até hoje. Chamamos:
• dezena: grupo de dez unidades
• centena: grupo de dez dezenas
• milhar: grupo de dez centenas
Exemplos
Acima, temos a representação de quatro dezenas e duas unidades de pedras. Representamos essa
quantidade pelo número 42 (lê-se: quarenta e dois).
2
dezenas
unidades
Ilustrações: Tiago Donizete Leme/Arquivo da editora
4
Acima, temos a representação de uma centena, duas dezenas e seis unidades de pedras. Representamos essa quantidade pelo número 126 (lê-se: cento e vinte e seis).
1
2
6
centena
dezenas
unidades
Capítulo 1
Números
13
No sistema decimal, cada número é representado indicando-se, da direita para a esquerda, a quantidade de unidades simples (até 9), de dezenas (até 9), de centenas (até 9), de unidades de milhares (até 9),
de dezenas de milhares (até 9), e assim por diante. Além disso:
10 representa uma dezena;
•
•
•
•
•
•
•
100 representa uma centena;
1 000 representa um milhar;
10 000 representa uma dezena de milhares;
100 000 representa uma centena de milhares;
1 000 000 representa um milhão (são mil milhares);
1 000 000 000 representa um bilhão (são mil milhões).
Pesquise como se representam um trilhão, um quatrilhão e um quintilhão.
1 000 000 000 000; 1 000 000 000 000 000 e 1 000 000 000 000 000 000
Exemplo
Para o número 37 514 (lê-se: trinta e sete mil, quinhentos e catorze), temos:
3
7
5
1
4
dezenas de milhar
unidades de milhar
centenas
dezena
unidades
30 000
7 000
500
10
4
No sistema decimal de numeração, 205
representa 2 centenas, 0 dezena e 5 unidades.
O valor posicional do algarismo 2 é 200 e o
do algarismo 5 é 5:
205 5 200 1 5
Ou seja:
37 514 5 30 000 1 7 000 1 500 1 10 1 4
Exercícios
1
14
Complete o quadro:
Quantidade agrupada
Representação
Leitura
seis dezenas e três unidades
63
sessenta e três
quatro dezenas
40
quarenta
duas centenas e uma dezena
210
duzentos e dez
sete centenas e oito unidades
708
setecentos e oito
quatro milhares e uma centena
4 100
quatro mil e cem
nove dezenas de milhares
90 000
noventa mil
seis centenas de milhares
600 000
seiscentos mil
um milhão, oito milhares e nove centenas
1 008 900
um milhão, oito mil e novecentos
Unidade 1
Números e operações
2
Escreva como se lê cada número a seguir.
a) 64
3
d) 2 913
sessenta e quatro
b) 391
trezentos e noventa e um
e) 50 617
c) 404
quatrocentos e quatro
f) 101 010
Em cada item, substitua
a) 99 5 90 1
99 5
dezenas e
unidades
1
701 5
dezenas e
1
1
110 5
dezena e
1
dezena e
1
2 473 5
4; 2; 8
unidade
7; 0; 1
100; 10; 0
centena,
e) 2 473 5
unidades
700; 0; 1
centenas,
d) 110 5
9; 9
8
centenas,
c) 701 5
1
milhares,
1
centenas,
unidade
1; 1; 0
2 000; 400; 70; 3
dezenas e
unidades
2; 4; 7; 3
Que número é?
a) 300 1 40 1 7
c) 3 000 1 500 1 2
347
b) 8 000 1 600 1 30 1 2
8 632
d) 2 000 1 20 1 5
3 502
2 025
Faça em duplas: escolha os algarismos que devem substituir cada
para formar um número de 4
algarismos. Peça ao colega que leia os números que você formou. Depois, leia os dele.
0
a)
b)
6
cento e um mil e dez
9
428 5
5
cinquenta mil, seiscentos e dezessete
pelo número correto.
b) 428 5 400 1 20 1
4
dois mil, novecentos e treze
0
0
Leia a informação abaixo e escreva como se lê cada número que aparece nela.
De acordo com o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), o Brasil tinha no primeiro
dia de julho de 2017 uma população estimada em 207 660 929 habitantes.
2017: dois mil e dezessete
207 660 929: duzentos e sete milhões, seiscentos e sessenta mil, novecentos e vinte e nove.
7
Represente numericamente:
a) cinquenta e quatro
b) cento e dezessete
117
c) quinhentos e sessenta
d) trezentos e cinco
e) um mil e quinhentos
54
305
560
1 500
f) oito mil, setecentos e dez
8 710
g) vinte e cinco mil e quinze
25 015
h) novecentos mil, novecentos e nove
Capítulo 1
900 909
Números
15
Texto para os exercícios 8 a 10.
Em um número representado no sistema de numeração decimal, cada algarismo ocupa uma ordem. Eles
são agrupados em classes de três algarismos, da direita para a esquerda: classe das unidades simples, classe dos milhares, classe dos milhões, etc.
milhões
milhares
unidades simples
centenas
dezenas
unidades
centenas
dezenas
unidades
centenas
dezenas
unidades
9a ordem
8a ordem
7a ordem
6a ordem
5a ordem
4a ordem
3a ordem
2a ordem
1a ordem
8
Responda:
a) Em 25 673, qual é o algarismo da ordem das centenas de unidades simples? 6
b) Em 492 108, qual é o algarismo da ordem das dezenas de milhares? 9
4: centenas de milhares
c) Em 8 432 796, o algarismo 4 está na ordem do quê? E o 2? E o 8? 2: unidades de milhares
8: unidades de milhões
d) Em 12 084, o que indica o algarismo 0? Ausência de centenas simples
9
Em cada número abaixo, em que ordem está o algarismo 5? Qual é o valor posicional dele?
c) 3 456 789 dezenas de milhares; 50 000
d) 34 567 890 centenas de milhares; 500 000
a) 345 unidades simples; 5
b) 345 678 unidades de milhares; 5 000
10 Em cada item do exercício anterior, em que ordem está o algarismo 3? Qual é o valor posicional dele?
a) centenas; 300
b) centenas de milhares; 300 000
c) unidades de milhões; 3 000 000
d) dezenas de milhões; 30 000 000
The Bridgeman Art Library/Getty Images/Museu da AmŽrica, Madri, Espanha.
Como os maias escreviam os números
Os maias – indígenas que viveram na América Central – formaram uma civilização bastante avançada
para a sua época. Seus conhecimentos de astronomia
eram impressionantes.
Veja como eles escreviam os números de 0 a 19:
0
1
•
2
3
4
•• ••• ••••
5
10
11 12 13 14 15
• •• ••• ••••
6
•
7
••
8
•••
9
••••
16
•
17
••
18
•••
19
••••
Cinco pontinhos eram trocados por um tracinho horizontal. Assim, para contar até 19, eles agrupavam as
unidades em grupos de cinco. Para contar a partir de
20, eles usavam outras combinações dos símbolos.
Na imagem podemos ver alguns números
representados no sistema maia, em um registro
do período pré-colombiano.
16
Unidade 1
Números e operações
A numeração dos romanos
Os romanos representavam quantidades utilizando as seguintes letras:
uma unidade
V
cinco unidades
X
dez unidades
L
cinquenta unidades
C
cem unidades
D
quinhentas unidades
M
mil unidades
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
I
Essas letras são chamadas de algarismos romanos. No sistema romano não há um símbolo para representar o número zero.
Para representar quantidades, os símbolos eram escritos lado a lado, seguindo algumas regras.
Veja como escreviam os números abaixo:
números de 1 a 9
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
3
4
5
6
7
8
9
XXX
XL
L
LX
LXX
LXXX
XC
20
30
40
50
60
70
80
90
centenas
C
CC
CCC
CD
D
DC
DCC
DCCC
CM
100
300
400
500
600
700
800
900
1
2
dezenas
X
XX
10
200
Símbolos iguais juntos, até três, significam soma de valores. Por exemplo:
• II: 1 1 1 5 2
• XXX: 10 1 10 1 10 5 30
• CCC: 100 1 100 1 100 5 300
Dois símbolos diferentes juntos, com o número maior antes do menor, significam soma de valores.
Por exemplo:
• VI: 5 1 1 5 6
• LX: 50 1 10 5 60
• DC: 500 1 100 5 600
• MD: 1 000 1 500 5 1 500
Capítulo 1
Números
17
Dois símbolos diferentes juntos, com o número menor antes do maior, significam subtração de valores.
Por exemplo:
• IV: 5 2 1 5 4
• XL: 50 2 10 5 40
• XC: 100 2 10 5 90
Para escrever os números de 11 a 99, indicamos as dezenas seguidas das unidades. Por exemplo:
• XXXIV: 30 1 4 5 34
• LVI: 50 1 6 5 56
• XCII: 90 1 2 5 92
Os números de 101 a 999 são escritos indicando-se as centenas, seguidas das dezenas e, por fim,
as unidades. Por exemplo:
• CCXLVII: 200 1 40 1 7 5 247
• CDLXXX: 400 1 80 5 480
• DCCCXCVI: 800 1 90 1 6 5 896
A letra M indica mil unidades e pode se repetir até 3 vezes para representar quantidades. Por exemplo:
• M: 1 000
• MM: 1 000 1 1 000 5 2 000
• MMM: 1 000 1 1 000 1 1 000 5 3 000
Para indicar quantidades a partir de 4 000, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras
correspondentes à quantidade de milhares. Por exemplo:
• IV: 4 000
• V: 5 000
• DC: 600 000
• MD: 1 500 000
Outros exemplos:
• MMMD: 3 000 1 500 5 3 500
• IVCL: 4 000 1 100 1 50 5 4 150
• MDCCCLXXXIX: 1 000 1 800 1 80 1 9 5 1 889
Cultura Motion/Shutterstock
De Agostini Picture Library/Album/Fotoarena/Museu Histórico Nacional, Rio de Janeiro, RJ.
Ainda hoje a numeração romana antiga é usada em algumas situações, como em nomeações de
imperadores, papas e reis, em marcadores de relógio ou em indicações dos volumes de uma coleção
de livros.
Relógio de pulso com números
escritos em algarismos romanos.
Pintura do imperador
dom Pedro II localizada
no Museu Histórico
Nacional, no Rio
de Janeiro.
18
Unidade 1
Números e operações
Exercícios
11 Escreva como os romanos representavam os números abaixo:
56
65
88
100
LVI
LXV
LXXXVIII
C
110
190
200
CX
CXC
CC
12 Escreva os numerais de cada item empregando os algarismos romanos:
c) 2 026 MMXXVI
e) 1 119
a) 428 CDXXVIII
b) 674 DCLXXIV
d) 999 CMXCIX
f) 5 501
MCXIX
VDI
Snap2Art/Shutterstock
13 Reescreva as informações abaixo usando algarismos
indo-arábicos.
a) Várias pessoas contribuíram para o desenvolvimento da televisão, principalmente o estadunidense Philo Taylor Fainsworth, em MCMXXVII. 1927
b) O voleibol foi criado nos Estados Unidos, em
MDCCCXCV, pelo professor William G. Morgan. 1895
c) O paraquedas foi inventado no ano de
MDCCLXXXIII pelo francês L. S. Lenormand. 1783
d) A bicicleta foi inventada em MDCCXC pelo conde francês Sivrac. 1790
e) A batata frita foi criada em MDCCLXXII pelo médico francês Antoine Augustin. 1772
Campeonato de paraquedismo,
África do Sul, abril de 2017.
Fernando Favoretto/Criar Imagem
Desafio
Paginação
Sílvia, Raul e Setsuko
terminaram um trabalho
escrito, redigido em muitas páginas. As páginas
foram numeradas de I a
XXIV, todas em algarismos romanos. Quantas
vezes empregaram o algarismo V na paginação?
11 vezes
Capítulo 1
Números
19
Os números naturais
Marekuliasz/Shutterstock
Números, numerais e algarismos
Número é a ideia que formamos de uma quantidade.
Por exemplo, as fotografias ao lado apresentam a mesma
quantidade e transmitem a ideia do mesmo número.
Numeral é a forma como representamos o número.
Por exemplo: XV, 15 e quinze são numerais que representam
o mesmo número.
Algarismos são símbolos numéricos que utilizamos para escrever numerais.
Na imagem são representados seis gizes
de lousa.
Monkey Business Images/Shutterstock
Por exemplo: os algarismos romanos (I, V, X, L, C, D, M); os
algarismos indo-arábicos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Sistema de numeração é um conjunto de regras que se aplicam ao dispor os algarismos para formar os numerais.
Por exemplo, a quantidade representada pelo número 51, no
sistema decimal, não é 5 1 1, e sim 50 1 1 (cinquenta e um). Já
no sistema romano, VI é V 1 I (seis). Cada sistema de numeração tem suas regras próprias.
Leia o texto Os números nas origens da Matemática, na seção
"Matemática no Tempo”, no capítulo 5.
A imagem representa seis crianças.
Números naturais
Quando contamos quantidades de objetos, animais, estrelas, pessoas, etc., empregamos os números:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...
Esses números são chamados números naturais.
Colocamos as reticências porque existem mais números. Depois do 15
vem o 16, o 17, o 18, e assim por diante, formando uma sequência que não
tem fim. Existem infinitos números naturais.
finito: o que tem fim.
infinito: o que não tem fim
(in 5 prefixo de negação).
Os números naturais podem ser representados em uma reta chamada reta numérica, por pontos
igualmente espaçados:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A seta indica que os números aumentam da esquerda para a direita.
Os números que são vizinhos na sequência acima são chamados números consecutivos.
Exemplos
• 12 e 13 são dois números naturais consecutivos.
• 8, 9 e 10 são três números naturais consecutivos.
20
Unidade 1
Números e operações
Sucessor de um número natural é o número que vem logo em seguida a ele na sequência numérica;
antecessor é o número que vem imediatamente antes.
Exemplos
• O sucessor de 39 é 39 1 1, portanto 40.
• O antecessor de 39 é 39 2 1, portanto 38.
35
36
38
37
39
antecessor
40
41
42
sucessor
Par ou ímpar?
PAR
ÍMPAR
Um número natural é par quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Os números pares são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
Um número natural é ímpar quando termina em 1, 3, 5, 7
ou 9. Os números ímpares são: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ...
Ilustra Cartoon/
Arquivo da editora
Nos números naturais, todo número tem um sucessor e somente o zero não tem antecessor.
Exercícios
14 Observe a reta numérica abaixo.
0
1
2
A
a) Que número é representado pelo ponto A? 9
b) Qual é o sucessor do número representado pelo ponto B?
B
14
15 Abaixo está um trecho da reta numérica:
49
50
51
52
53
54
55
56
a) Dos números aí representados, quantos são números pares? Quais são eles?
b) Qual é o antecessor de 49? 48
c) Qual é o sucessor do sucessor de 56? 58
Quatro; 50, 52, 54, 56
16 Desenhe um trecho da reta numérica indicando os números de 995 a 1 005. Depois, faça um círculo
em volta de cada número ímpar desenhado. 995 996 997 998 999 1 000 1 001 1 002 1 003 1 004 1 005
17 Responda às seguintes questões.
a) Qual é o sucessor de 9 999? 10 000
b) Qual é o antecessor de 100 010? 100 009
c) Qual é o antecessor do antecessor de 1 000 000?
d) Qual é o sucessor do antecessor de 99 999? 99 999
999 998
Capítulo 1
Números
21
Mapa: Banco de imagens/Arquivo da editora
Ilustração: Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
18 Em uma viagem pelo estado de São Paulo, Amanda saiu da cidade de São Paulo, parou em Campinas, em São Carlos, em Araraquara e, por fim, chegou a Olímpia.
45º O
MS
Olímpia
21º S
Araraquara
MG
São Carlos
SP
N
São Paulo
L
O
RJ
Campinas
PR
S
OCEANO
ATLÂNTICO
Capital de estado
0
105 km
Mapa ilustrativo
com desenhos
fora de escala.
Fonte do mapa: IBGE.
Nesse trajeto:
a) que cidade sucedeu São Carlos? Araraquara
b) que cidade antecedeu São Carlos? Campinas
19 O papa Francisco é o sucessor do papa Bento XVI, que sucedeu o papa João Paulo II. Quem foi o antecessor do papa Bento XVI? João Paulo II
20 Escreva com algarismos romanos:
a) o sucessor de XV; XVI
b) o antecessor de XV; XIV
c) o antecessor de LXIII; LXII
d) o sucessor de LXIII. LXIV
21 Veja o significado dos sinais no quadro abaixo:
Sinal
5
Þ
.
,
Lê-se
é igual a
é diferente de
é maior que
é menor que
Agora responda: certo ou errado?
a) 43 5 34
b) 43 Þ 34
errado
certo
c) 43 . 34
d) 43 , 34
certo
errado
e) 34 . 43
f) 34 , 43
errado
certo
22 Talita, Marco Antonio, Nicole e
Figurinhas no álbum
Figurinhas repetidas
João estão colecionando figuriTalita
78
12
nhas. Na tabela ao lado estão os
números de figurinhas que já colaMarco Antonio
83
23
ram em seus álbuns e quantas figuNicole
59
21
rinhas repetidas tem cada um.
João
75
32
a) Quem já colou mais figurinhas
no álbum? Marco Antonio
b) Quem tem menos figurinhas repetidas? Talita
c) Escreva em ordem crescente (do menor para o maior) os números de figurinhas coladas nos
álbuns. 59, 75, 78, 83
d) Escreva em ordem decrescente (do maior para o menor) os números de figurinhas repetidas.
32, 23, 21, 12
22
Unidade 1
Números e operações
Artur Fujita/Arquivo da editora
23 Para uma corrida, cada carro recebeu um dos seguintes números: 213, 231, 312, 132, 123 e 321.
Os carros devem ser alinhados de forma que os números fiquem em ordem decrescente, isto é, do
maior para o menor. Qual é a cor do primeiro carro? E a do segundo? E a do último? cinza; preto; amarelo
24 Organize os trechos a seguir, de forma a compor um texto coerente, colocando os números escritos
em numerais romanos em ordem crescente, do menor para o maior.
A PRIMEIRA
MULHER
ASTRONAUTA
IV
DE 48
ÓRBITAS
CM
EM TORNO
DA
VOSTOK VI,
MC
CD
ELA REALIZOU
UM VOO
DC
FOI
VI
TERRA.
MM
VALENTINA V.
TERESHKOVA.
XL
EM 16/6/1963,
XC
TRIPULANDO
A NAVE
CX
A primeira mulher astronauta foi Valentina V. Tereshkova. Em 16/6/1963, tripulando a nave Vostok VI, ela realizou um voo de 48 órbitas em torno da Terra.
25 Sobre todos os números naturais que se escrevem com dois algarismos, responda:
a) quantos são pares? 45
b) quantos são ímpares? 45
26 Usando apenas os algarismos 1, 2, 3 e 4 e sem repetir algarismos num mesmo número, escreva os
números pares maiores que 100 e menores que 1 000.
a) Qual é o menor desses números? 124
b) Qual é o maior desses números? 432
c) Quantos números é possível escrever? 12
Capítulo 1
Números
23
Desafios
A lista de Maria
(Obmep) Maria faz uma lista de todos os números de dois algarismos usando somente os algarismos
que aparecem no número 2015. Por exemplo, os números 20 e 22 estão na lista de Maria, mas 02 não.
Quantos números diferentes há nessa lista? d
c) 10
b) 9
d) 12
e) 16
Reprodução/Obmep, 2015
a) 8
Brargentina na Olimpíada
(Enem) O quadro apresenta a ordem de colocação dos seis primeiros países em um dia de disputa nas
Olimpíadas. A ordenação é feita de acordo com as quantidades de medalhas de ouro, prata e bronze, respectivamente.
País
Ouro
Prata
Bronze
Total
1o China
9
5
3
17
2o EUA
5
7
4
16
3o França
3
1
3
7
4o Argentina
3
2
2
7
5o Itália
2
6
2
10
6o Brasil
2
5
3
10
Se as medalhas obtidas por Brasil e Argentina fossem reunidas para formar um único país hipotético,
qual a posição ocupada por esse país? b
24
a) 1a
c) 3a
b) 2a
d) 4a
e) 5a
1.
Matemática em notícia
O quadro de medalhas
11o
12o
13o
14 o
15o
16o
17o
18 o
19o
20 o
País
Ouro
Prata
Bronze
Total
Holanda
Hungria
Brasil
Espanha
Quênia
Jamaica
Croácia
Cuba
Nova Zelândia
Canadá
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
7
3
6
4
6
3
3
2
9
3
4
4
6
6
1
2
2
4
5
15
19
15
19
17
13
11
10
11
18
22
Em competições como Jogos Pan-Americanos, Olimpíadas e Paralimpíadas (estas restritas a atletas
com deficiências físicas ou mentais), a classificação dos países é feita levando-se em conta a quantidade
de medalhas de ouro. Havendo empate, contam-se as medalhas de prata; permanecendo o empate,
contam-se as de bronze.
utterstock
Veja os dez primeiros colocados nos Jogos Olímpicos de 2016:
QUADRO DE MEDALHAS
EUA
2
3o
Total
46
37
Reino Unido
27
23
17
67
China
26
18
26
70
4o
Rússia
19
18
19
56
5o
Alemanha
17
10
15
42
6o
Japão
12
8
21
41
42
o
38
121
7
França
10
18
14
8o
Coreia do Sul
9
3
9
21
9o
Itália
8
12
8
28
Austrália
8
11
10
29
o
10o
Ouro
Prata
Filipe Frazao/Sh
País
1o
Bronze
Disponível em: <https://olimpiadas.uol.com.br/
quadro-de-medalhas/>. Acesso em: 5 mar. 2018.
Agora, observe a tabela a seguir, em que constam os países classificados do 11o ao 25o lugar, em
ordem alfabética, e depois responda o que se pede:
País
Ouro
Prata
Bronze
Total
Brasil
7
6
6
19
Canadá
4
3
15
22
Cazaquistão
3
5
9
17
Colômbia
3
2
3
8
Croácia
5
3
2
10
Cuba
5
2
4
11
Espanha
7
4
6
17
Holanda
8
7
4
19
Hungria
8
3
4
15
Irã
3
1
4
8
Jamaica
6
3
2
11
Nova Zelândia
4
9
5
18
Quênia
6
6
1
13
Suíça
3
2
2
7
Uzbequistão
4
2
7
13
1
Escreva, na ordem de classificação nos
Jogos Olímpicos, os países classificados
do 11o ao 20o lugar.
2
De acordo com a tabela ao lado, quais
países terminaram empatados?
Entre os países citados não houve empate.
3
Qual foi a classificação do Brasil?
4
Pesquise em qual país e quando será
realizada a próxima edição dos Jogos
Olímpicos. Depende do ano vigente.
5
Pesquise os dados da participação do
Brasil nos Jogos Olímpicos deste século.
Considere as medalhas obtidas e as respectivas modalidades esportivas, e também as modalidades nas quais o Brasil
tem conquistado mais medalhas.
13o lugar
25
Mudando de assunto
Vamos usar a calculadora
Um instrumento que facilita, e muito, o trabalho de operar com números é a calculadora. Vamos conhecer algumas teclas desse aparelho:
•
ON/C
– liga a calculadora (“ON”, em português, significa ligado).
• OFF – desliga a calculadora (“OFF”, em português, significa desligado).
•
•
CE – limpa as informações que estão na tela da calculadora.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
– algarismos do sistema decimal, uti-
lizados para realizar as operações.
•
.
•
1
•
5
– nas calculadoras é utilizado o ponto para representar a vírgula.
2
3
4
– indicam as operações a serem realizadas.
– indica o resultado da operação.
Agora que já sabemos quais são as principais teclas de uma calculadora, vamos começar a utilizá-la
realizando uma adição. Veja como calcular 15 1 37.
Primeiro, ligue a calculadora utilizando a tecla ON/C ; em seguida, digite os algarismos
(nessa ordem). Aparecerá na tela o número 15:
1
e
5
15
Agora, pressione a tecla 1 e, em seguida, os algarismos
e
3
7 . Você pode observar que o
número 15 foi substituído pelo número 37:
37
Finalmente, pressione a tecla
5 . Aparecerá o resultado 52 na tela:
52
Ao seguirmos esses passos, realizamos a operação 15 1 37 5 52. Viu como é simples?
Agora é a sua vez! Efetue a adição de 45 com 138 e anote o resultado para comparar com seus colegas. 183
(
Mudando a operação, calcule a diferença utilizando a tecla 2
ça de anotar o resultado no caderno. 98
(
) entre 1 365 e 1 267. Não se esque-
) de 27 por 133.
Por último, faça a divisão (utilizando a tecla 4 ) de 3 072 por 48.
Faça a multiplicação utilizando a tecla
26
3
3 591
64
Uma aplicação importante da calculadora é sua utilização durante as compras em um supermercado,
pois temos de adquirir diversos produtos com valores diferentes e em muitas quantidades. Veja este
exemplo:
Se um litro de leite custa R$ 2,61, quanto custarão 6 litros de leite?
Para resolver esse problema, basta multiplicar o valor de um litro (2,61) pela quantidade desejada, ou
seja, digite
2 ,
.
,
6
e
1
seguido da operação
resultado obtido e anote em seu caderno.
3
e, por fim,
6
e
5 . Observe o
15,66
Estúdio MIL/Arquivo da editora
Veja agora esta imagem, que informa os preços de alguns produtos em um determinado supermercado.
Você deseja comprar, utilizando uma calculadora, produtos para o preparo de uma macarronada.
Qual será o valor gasto se comprar dois pacotes de macarrão, três latas de molho de tomate, um vidro
de azeitona, um vidro de palmito e uma garrafa de azeite? Para ajudar, complete a tabela com os valores.
Produto
Quantidade
Valor unitário (R$)
Valor total (R$)
Macarrão
2
3,99
7,98
Molho de tomate
3
2,49
7,47
Palmito
1
8,19
8,19
Azeitona
1
5,89
5,89
Azeite
1
12,49
12,49
Total da compra
42,02
Professor: Neste problema, discuta com a classe sobre os termos utilizados, bem como a correta utilização de uma
tabela e sobre como ela auxilia a organizar a contabilidade de diversos itens.
27
CAPÍTULO
2
Adição e subtração
Adição
Juntando, quantas páginas dá?
Editora Saraiva/Arquivo da editora
Reprodução/Edições SM
A professora de Língua Portuguesa indicou aos alunos do 6o ano os livros que eles deverão ler no
primeiro bimestre do ano letivo:
A criação das criaturas tem 80 páginas, e Machado e Juca, 176 páginas.
Juntando as páginas desses dois livros, quantas páginas, ao todo, os alunos vão ler?
Para responder, devemos contar as 80 páginas de um livro mais as 176 páginas do outro. Isto é, devemos fazer: 80 1 176 5 256
Relembre o passo a passo dessa conta:
1
80
176
1
80
176
6
1
80
176
56
1
1 80
176
256
Os alunos vão ler 256 páginas.
Participe
Roberto, de 46 anos, e Camila, de 45 anos, são os pais de Maria Clara, de 19 anos.
a) Para saber quantos anos têm Roberto e Camila juntos, que conta devemos fazer? 46 1 45
b) Qual é o resultado dessa conta? 91
c) Para saber quantos anos têm Maria Clara e sua mãe juntas, que conta devemos fazer? 19 1 45
d) Qual é o resultado dessa conta? 64
e) Para saber quantos anos têm os três juntos, que contas podemos fazer? 91 1 19 ou 64 1 46.
Há outras respostas.
f) Quantos anos têm os três juntos? 110 anos
28
Unidade 1
Números e operações
Roberto trabalha em um banco e ganha 3 950 reais por mês; Camila trabalha em uma loja e ganha
2 280 reais por mês. Maria Clara é estudante, mas ganha 960 reais por mês trabalhando meio período.
g) Juntando os salários, calculamos a renda familiar. De quanto é a renda familiar deles sem contar o salário de Maria Clara? 3 950 1 2 280 5 6 230. A renda é de 6 230 reais.
h) E de quanto é a renda familiar contando o salário dos três? 6 230 1 960 5 7 190. A renda é de 7 190 reais.
Confira as respostas no final do livro.
Adicionar significa somar, juntar, ajuntar, acrescentar.
80
1
1 176
Na adição ao lado, os números 80 e 176 são as parcelas da adição.
O resultado, 256, é chamado soma.
256
Veja outros exemplos:
11
600 1 280 5 880
parcelas
744
1 657
parcelas
1 401
soma
soma
Exercícios
1
DreamPictures/Pam Ostrow/Blend/Glow Images
Jacir, pai de Gabriela, comprou uma bicicleta de presente para ela. Ele vai pagar a
bicicleta em quatro parcelas: a primeira de
R$ 115,00; a segunda de R$ 50,00 a mais
que a primeira; a terceira de R$ 60,00 a
mais que a segunda; e a quarta parcela igual
à primeira e à segunda juntas.
2
Calcule a soma:
a) do número 137 com o sucessor dele. 275
b) do número 295 com o antecessor dele. 589
3
Observe estes cartões:
1
73 257
32 435
105 692
1
62 748
43 104
105 852
Calcule:
a) Qual é o valor da segunda parcela? R$ 165,00
b) Qual é o valor da terceira parcela? R$ 225,00
c) E da quarta? R$ 280,00
d) Quanto custou a bicicleta? R$ 785,00
a) as somas indicadas nos dois cartões;
b) a soma das somas obtidas nos dois cartões; 211 544
c) a soma da primeira parcela do cartão azul
com a segunda parcela do cartão rosa; 116 361
d) a soma da segunda parcela do cartão
azul com a primeira parcela do cartão
rosa; 95 183
e) a soma da menor parcela do cartão azul
com a menor parcela do cartão rosa; 75 539
f) a soma da maior parcela do cartão azul
com a maior parcela do cartão rosa. 136 005
Confirme todas as respostas usando uma
calculadora.
Capítulo 2
Adição e subtração
29
4
Uma livraria vendeu neste mês 3 216 exemplares do livro O picapau amarelo (R$ 26,00),
de Monteiro Lobato, 1 965 exemplares do livro Nó na garganta (R$ 20,00),
de Mirna Pinsky, 706 exemplares do livro
O Saci (R$ 16,00), de Monteiro Lobato, e
940 exemplares do livro O canguru emprestado (R$ 18,00), de Mirna Pinsky.
a) Quantos anos Sônia tem agora? 45 anos
b) Quanto Roberto gastou nas compras?
R$ 4.337,00
c) Se depois das compras Roberto ainda ficou com R$ 789,00, quanto de dinheiro
ele tinha para gastar com as compras?
R$ 5.126,00
7
5
Se hoje você tem dois anos a mais que Rodrigo, daqui a cinco anos quantos anos você
terá a mais do que ele? Dois anos.
6
Quando Roberto nasceu, Sônia, sua tia, tinha 26 anos. Agora Roberto tem 19 anos e
está com o casamento marcado. Para mobiliar sua casa, ele comprou os utensílios ilustrados abaixo.
Rawpixel.com/Shutterstock
a) Adicionando as vendas das quatro obras,
quantos exemplares a livraria vendeu no
total? 6 827 exemplares
b) Quantos livros de Monteiro Lobato foram
vendidos? 3 922 livros
c) Quantos livros de Mirna Pinsky foram
vendidos? 2 905 livros
d) Considerando o preço unitário de cada
livro indicado entre parênteses, quanto
gastou uma pessoa que comprou os dois
livros de Mirna Pinsky? R$ 38,00
e) Quanto gastou quem comprou os dois livros de Monteiro Lobato? R$ 42,00
f) Quanto gastou quem comprou os quatro
livros? R$ 80,00
Fernanda é doze anos mais nova que Neusa
e cinco anos mais velha que Nice. Nice tem
30 anos. Quantos anos Neusa, Fernanda e
Nice têm juntas? 112 anos
Nos próximos exercícios vamos estudar a leitura de
tabelas.
8
A tabela abaixo resume o número de matrículas de certa escola.
Manhã
meninos meninas meninos meninas
6o ano
109
132
165
110
7 ano
82
116
94
61
8o ano
71
84
53
29
9o ano
55
62
25
14
Tiago Donizete Leme/Arquivo da editora
o
8,00
4
0
.
1
R$
R$ 1.499,00 R$ 710,00
R$ 1.080,00
a) Quantos jovens (meninos e meninas) cursam o 6o ano? 516 jovens
b) Quantos jovens (de ambos os sexos) cursam o 8o ano? 237 jovens
c) Quantas meninas estão matriculadas no
período da tarde? 214 meninas
d) Em que período há mais meninos matriculados? No período da tarde.
e) Quantas meninas cursam o 9o ano?
76 meninas
30
Unidade 1
Números e operações
Tarde
9
11 Vamos adicionar os números 272 e 339 e repetir a conta alterando a ordem das parcelas.
Faça os cálculos e compare os resultados.
a) 272
b) 339
1
1
339
272
Na última eleição para prefeito da cidade
de Alegria havia dois candidatos: Antônio
Carlos e João Pedro. Na tabela abaixo estão computados os votos de todos os eleitores da cidade.
611
Os resultados são iguais.
1a zona eleitoral 2a zona eleitoral
Antônio Carlos
8 546
4 294
João Pedro
5 480
7 352
Votos em branco
258
1 086
611
Propriedade comutativa da adição:
A ordem das parcelas não altera a soma.
Para que serve?
Você pode usar essa propriedade para conferir o resultado de uma adição: troque a ordem das
parcelas e refaça a conta. O resultado será sempre
o mesmo.
Na prática, para efetuar qualquer adição, você
pode colocar as parcelas na ordem que preferir.
a) Quantos foram os votos em branco? 1 344
b) Quem ganhou a eleição? Antônio Carlos
c) Qual foi o total de eleitores da 1a zona
eleitoral? 14 284 eleitores
d) Qual foi o total de eleitores de Alegria?
27 016 eleitores
10 Em um fim de semana, foi registrado o seguinte movimento de carros da cidade de
São Paulo (SP) em direção às praias do litoral
paulista.
12 Calcule:
3 725
1 18 432
6 005
28 162
Volta
Sexta-feira
14 687
6 302
Sábado
34 212
4 825
Domingo
26 104
60 490
Agora, sem calcular, indique o resultado de
cada conta e justifique sua resposta.
a)
Luis Lima Jr/Fotoarena
Ida
Rodovia dos Tamoios, em Jambeiro (SP), uma das
rodovias que ligam São Paulo ao litoral.
a) Nesse fim de semana, quantos carros
desceram a serra em direção ao litoral?
Em que dia desceu a maioria dos carros?
75 003 carros; sábado
b) Quantos carros voltaram do litoral para
São Paulo? Em que dia voltou a maioria
dos carros? 71 617 carros; domingo
Com os exercícios seguintes vamos estudar as propriedades da adição e aplicá-las para fazer contas
mentalmente.
18 432
1 6 005
3 725
b)
6 005
1 3 725
18 432
28 162
28 162
Justificativa: Nas três contas são as mesmas parcelas em ordens
diferentes. A ordem das parcelas não altera o resultado da adição.
13 Calcule a soma dos números 131, 47 e 84,
efetuando primeiro a conta indicada entre
parênteses:
a) (131 1 47) 1 84 262 c) (131 1 84) 1 47
262
b) 131 1 (47 1 84) 262
Agora, compare os resultados obtidos nas
três expressões. São iguais.
Propriedade associativa da adição:
Na adição de três números, associando os
dois primeiros ou os dois últimos, obtemos
resultados iguais.
Para que serve?
Quando precisamos adicionar três ou mais
parcelas, podemos escolher duas quaisquer para
adicionar primeiro. Ao resultado adicionamos outra parcela, e assim por diante.
Capítulo 2
Adição e subtração
31
14 Para calcular 36 1 58, podemos pensar assim:
36 É 30 MAIS 6.
58 É 50 MAIS 8.
30 MAIS 50 É 80, E 6 MAIS 8 É 14.
80 MAIS 14 DÁ 94. O RESULTADO DA
CONTA É 94.
Faça você, mentalmente:
a) 32 1 77
b) 81 1 16
c) 28 1 43
d) 65 1 47
109
15 Calcule mentalmente:
377
c) 235 1 140 1 2
a) 144 1 26 170
d) 856 1 257 1 113
b) 442 1 89 531
16 Quanto é?
a) 1 990 1 0
b) 0 1 1 990
1 990
1 990
17 Calcule 64 1 128 e responda:
a) Quanto é 64 1 128 1 0? 192
b) Quanto é 128 1 0 1 64? 192
97
71
Zero é chamado elemento neutro da adição.
112
Desafios
Acerte a conta
Siga as instruções:
• Figuras iguais representam algarismos iguais.
• Figuras diferentes representam algarismos diferentes.
1
8
3
13
87
100
1
• Nenhuma figura representa algarismo já indicado (3 ou 8).
Que conta é esta?
Siga as instruções:
• Quadradinhos da mesma cor devem ser preenchidos com
algarismos iguais.
• Cores diferentes representam algarismos diferentes.
• Nenhum quadradinho pode ser preenchido com os algarismos já indicados (3 e 8).
1
8
3
877
223
1 100
1
Divida um quadrado em 9 quadradinhos como na figura ao
lado.
Coloque os algarismos de 1 a 9, um em cada quadradinho,
obedecendo às regras:
1a A soma dos três números de cada fileira horizontal deve
ser 15.
2a Em cada fileira vertical a soma também deve ser 15.
3a A mesma soma deve ocorrer em cada diagonal.
2 7 6
9 5 1
4 3 8
Há outros modos.
32
Unidade 1
Números e operações
Ilustrações: Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Quadrado mágico
Estimativas
Experimente:
• indicar com as mãos espalmadas uma disindigolotos/Shutterstock
tância de 1 metro de uma mão à outra.
• indicar com seu polegar e indicador uma distância de 1 centímetro de um dedo a outro.
• escrever quanto é a altura da parede da sua
classe, sem fazer a medição.
Thinkstock/
Getty Images
As distâncias que você indicou, assim como o
valor que escreveu para a altura da parede, não
são exatos, mas você deve ter procurado dar uma
boa ideia de quanto são exatamente essas medidas. O que você fez foi estimar essas medidas.
Estimar uma quantia, ou uma medida, ou o resultado de uma conta, é dar um valor
aproximado daquela quantia, daquela medida ou daquele resultado. Esse valor
aproximado é chamado de estimativa.
Exercícios
19 Imagine que sua classe esteja totalmente vazia, sem nenhuma carteira ou mesa. Quantas pessoas você acha que caberiam na sala,
em pé e bem juntinhas? Resposta pessoal.
Nos exercícios 20 a 22 vamos fazer algumas estimativas de resultados de adições. Para isso, leia o
texto seguinte.
Fátima precisa comprar um liquidificador e uma
batedeira. Ela pesquisou preços de três modelos
de liquidificadores e dois de batedeiras.
Liquidificador Q
Liquidificador F
Fotos: Thinkstock/Getty Images
Liquidificador L
R$ 179,00
R$ 164,00
R$ 138,00
Batedeira B
Vereshchagin Dmitry/Shutterstock
Batedeira A
Stephen VanHorn/Shutterstock
18 Dê uma estimativa de quanto tempo você
leva desde que sai da sua casa até chegar à
escola. Resposta pessoal.
R$ 419,00
R$ 489,00
Para ter ideia de quanto vai gastar, Fátima fez as
contas mentalmente, arredondando os preços para
as centenas exatas mais próximas. Por exemplo:
• 179 está entre 100 e 200, sendo mais próximo
de 200. Então, arredondou o preço do liquidificador L para R$ 200,00.
• 419 está entre 400 e 500, sendo mais próximo
de 400. Então, arredondou o preço da batedeira
A para R$ 400,00.
Adicionando R$ 200,00 a R$ 400,00, Fátima estimou que gastaria aproximadamente R$ 600,00 se
comprasse o liquidificador L e a batedeira A.
O valor exato do gasto seria de:
R$ 179,00 1 R$ 419,00 5 R$ 598,00. Nesse caso,
a estimativa ficou bem próxima do valor exato.
Capítulo 2
Adição e subtração
33
Agora, responda:
20 Arredondando o preço para as centenas
exatas mais próximas, escreva as estimativas
dos preços:
a) do liquidificador Q; R$ 200,00
b) do liquidificador F; R$ 100,00
c) da batedeira A; R$ 400,00
d) da batedeira B. R$ 500,00
21 Empregando as estimativas do exercício anterior, calcule mentalmente o gasto total na
compra:
R$ 600,00
a) do liquidificador Q e da batedeira A;
b) do liquidificador F e da batedeira A;
R$ 500,00
c) do liquidificador Q e da batedeira B;
R$ 700,00
d) do liquidificador F e da batedeira B.
R$ 600,00
22 Calcule os preços exatos em cada item do
a) R$ 583,00 b) R$ 557,00
exercício anterior. c) R$ 653,00 d) R$ 627,00
Capital
População
João Pessoa – PB
811 598
Natal – RN
885 180
Cuiabá – MT
590 118
Porto Velho – RO
519 436
Rio Branco – AC
383 443
João Pessoa e Natal: 800 000 1 900 000 5 1 700 000
24 Observe na tabela a seguir as vendas de quatro
modelos de carros em três anos consecutivos.
Modelo
Popular Médio Luxo Utilitário
Ano
2015
33 603
10 022
2 660
6 303
2016
28 556
6 738
2 250
5 891
2017
32 883
13 451
6 900
8 022
Nestor Rizhniak/Shutterstock
23 Na tabela a seguir encontram-se as populações de algumas capitais brasileiras em
2017, segundo o IBGE.
a) Arredondando para centenas de milhares
exatas de habitantes, João Pessoa tinha
aproximadamente 800 000 habitantes. E
Natal: 900 000; Cuiabá:
as demais capitais? 600 000; Porto Velho: 500 000;
Rio Branco: 400 000
b) Utilizando os arredondamentos do item
anterior, estime a soma dos habitantes
das duas capitais dessa tabela que estão situadas na região Nordeste do país.
Você pode consultar o mapa (representativo e sem escala) abaixo.
Banco de imagens/Arquivo da editora
RORAIMA
AMAPÁ
AMAZONAS
CEARÁ
MARANHÃO
PARÁ
RIO GRANDE
DO NORTE
PARAÍBA
PIAUÍ
PERNAMBUCO
ALAGOAS
ACRE
TOCANTINS
SERGIPE
RONDÔNIA
BAHIA
MATO
GROSSO
DISTRITO
FEDERAL
GOIÁS
MATO GROSSO
DO SUL
MINAS GERAIS
SÃO
PAULO
ESPÍRITO
SANTO
RIO DE
JANEIRO
N
PARANÁ
Norte
Nordeste
Centro-Oeste
Sudeste
SANTA CATARINA
RIO GRANDE
DO SUL
S
0
Sul
L
O
600 km
Fazendo estimativas, cálculos mentais e arredondando para milhares, responda:
a) Aproximadamente quantos carros do
modelo luxo foram vendidos nos três
anos? 12 000
b) Aproximadamente quantos carros dos
quatro modelos foram vendidos em
2015? 53 000
c) Qual dos quatro modelos foi o mais vendido nos três anos? Popular
d) Em que ano foram vendidos mais carros?
2017
34
Unidade 1
Números e operações
Osvaldo Aguilar/Mexsport/Fotoarena
Subtração
Quanto sobrou? Quanto faltou?
Na final da Copa do Mundo de futebol masculino de 2014, a Alemanha ganhou da Argentina e
se tornou campeã mundial pela quarta vez.
A esse jogo, compareceram 74 738 torcedores, lotando completamente o estádio do Maracanã, no Rio de Janeiro.
A capacidade do Maracanã já foi maior, mas
na reforma feita para essa Copa ela ficou reduzida a 74 738 espectadores. Confira o público
presente em outras partidas da Copa do Mundo
de 2014 realizadas nesse estádio:
A final da Copa do Mundo de futebol masculino de 2014 foi
disputada no estádio do Maracanã, no Rio de Janeiro (RJ).
Partida
Número de torcedores
Argentina 2 3 1 Bósnia-Herzegóvina
74 738
Espanha 0 3 2 Chile
74 101
Bélgica 1 3 0 Rússia
73 819
Equador 0 3 0 França
73 749
Colômbia 2 3 0 Uruguai
73 804
França 0 3 1 Alemanha
74 240
• No jogo Espanha 3 Chile, quantos lugares sobraram no estádio? Para responder, devemos tirar da
capacidade total do estádio os lugares que foram ocupados pelos torcedores presentes:
2
74 738
74 101
637
Sobraram 637 lugares.
• No jogo França 3 Alemanha, quantos torcedores faltaram para lotar completamente o estádio? Para
responder, calculamos quantos faltam de 74 240 para 74 738 fazendo:
2
74 738
74 240
498
Faltaram 498 torcedores.
Relembre o passo a passo dessa conta:
6 13
74 738
2
74 240
8
74 738
2
74 240
98
6 13
74 738
2
74 240
498
2
74 738
74 240
00 498
Capítulo 2
Adição e subtração
35
Participe
Veja os preços de dois celulares, A e B, anunciados em um jornal e responda às questões a seguir.
R$ 629,00
a)
b)
c)
d)
FotoSearch/Stock Photos/Latinstock
B
Bobnevv/Shutterstock
A
R$ 539,00
O que é o preço à vista? É o preço para pagamento no ato da compra.
Qual é o celular mais caro? A
Qual é o celular mais barato? B
O celular mais caro custa quanto a mais do que o mais barato?
629 2 539 5 90. Custa 90 reais a mais.
É uma compra para pagar em mais de uma vez. Paga-se em parcelas, ou prestações,
geralmente por um preço maior que o preço à vista.
e) O que é uma compra a prazo?
f) Joana dispõe de 200 reais e quer comprar um celular. Para isso, vai pedir um empréstimo ao seu irmão
para pagar o preço à vista. Quanto ela vai ficar devendo para seu irmão se comprar:
• o celular A? 629 2 200 5 429. Ficará devendo 429 reais.
• o celular B? 539 2 200 5 339. Ficará devendo 339 reais.
Confira as respostas no final do livro.
Subtrair significa tirar, diminuir.
Na subtração ao lado, o número 428 é o minuendo, e o número 316 é o subtraendo.
O resultado, 112, é chamado diferença ou resto.
2
428
316
112
Jorge tinha 80 000 reais no banco. Tirou uma parte
desse dinheiro para pagar uma casa que ele comprou e
ainda restaram 25 000 reais no banco. Quantos reais ele
usou para pagar a casa?
Ele usou a diferença entre o que tinha antes e o que
ficou no banco:
80 000 2 25 000 5 55 000
minuendo
ou
subtraendo
2
diferença ou resto
80 000
25 000
subtraendo
55 000
diferença ou resto
minuendo
Ele usou 55 000 reais para pagar a casa.
36
Unidade 1
Números e operações
Monkey Business Images/Shutterstock
Quanto tirou?
De fato, somando 55 000 com 25 000, temos:
55 000 1 25 000 5 80 000
Observe:
2
80 000
25 000
minuendo
55 000
diferença
1
subtraendo
55 000
25 000
80 000
Note que, ao somar a diferença e o subtraendo da subtração, obtemos o minuendo.
Assim, para saber se uma subtração está correta, podemos fazer essa adição.
Dizemos que a subtração é a operação inversa da adição.
subtração
80 000 2 25 000 5 55 000
80 000 5 25 000 1 55 000
adição
Exercícios
25 Calcule as diferenças.
a) 72 224 2 6 458
c) 131 003 2 88 043 42 960
65 766
d) 1 138 2 909 229
b) 701 2 638 63
Verifique se você acertou os cálculos, usando a operação inversa (adição).
A operação de subtração pode ser
empregada para calcular:
•
•
•
•
quanto sobrou;
quanto foi tirado;
quanto falta;
quanto a mais ou quanto a menos.
26 Leia com atenção as seguintes questões e
responda:
a) Talita ganhou um pacote com 500 folhas
de papel para desenhar. No mesmo dia
em que ganhou, usou 17 delas. Quantas
folhas sobraram? 483 folhas
b) Luana foi à feira com R$ 75,00. Comprou
verduras e frutas e voltou com R$ 48,00.
Quanto ela gastou na feira? R$ 27,00
c) Ênio está fazendo uma poupança para
comprar um carro. Ele já tem R$ 19. 650,00.
O carro custa R$ 28. 325,00. Quanto falta para ele comprar o carro? R$ 8. 675,00
d) Enzo e Laís encheram seus cofrinhos.
Quando abriram, Laís contou 106 moedas, e Enzo, 89. Quantas moedas Laís tinha a mais que Enzo? 17 moedas
27 No ginásio de esportes do Colégio Municipal há 3 250 lugares para o público. Na decisão de um torneio intercolegial de basquete,
compareceram ao ginásio 2 628 pessoas,
sendo 1 863 homens.
a) Quantas mulheres compareceram ao ginásio? 765 mulheres
b) Quantos lugares ficaram vazios? 622 lugares
c) Nos jogos do dia anterior, 1 384 lugares
haviam ficado vazios. Quantas pessoas
compareceram ao ginásio naquele dia?
1 866 pessoas
28 Maurício nasceu em 1987.
a) Quantos anos ele terá em 2025? 38 anos
b) E você, quantos anos terá em 2025?
Resposta pessoal
29 Quando Alberto nasceu, a mãe dele tinha
28 anos. Hoje, ela tem 41 anos. Quantos
anos Alberto tem? 13 anos
Capítulo 2
Adição e subtração
37
a)
1 2 194 5 4 000
b) 614 1
5 901
1 806
287
31 Que números devemos colocar nos quadrinhos A, B e C,
de modo que as somas dos
números nas fileiras horizontais e nas fileiras verticais sejam todas iguais a 1 000?
A
229
771
B
771
C
229
32 Observe o esquema na lousa abaixo e responda:
35 Para ir de casa à lanchonete, saindo no mesmo horário, Alexandre levou meia hora, e
Gabriela, 45 minutos.
Alexandre
a) Quem chegou primeiro à lanchonete?
b) Quanto tempo antes? 15 minutos
36 Eu tinha R$ 380,00. Emprestei R$ 120,00
para Júlia e R$ 112,00 para Ricardo. Júlia
já me pagou R$ 55,00. Que quantia tenho
agora? R$ 203,00
37 Fernanda saiu de casa com R$ 306,00. Agora ela está se lembrando dos gastos com as
compras que fez.
Ilustrações: Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
30 Que números devemos escrever no lugar
?
dos
a) O minuendo é 1 111; o subtraendo é 777.
Qual é a diferença? 334
b) O subtraendo é 152; o resto é 89. Qual é
o minuendo? 241
c) O minuendo é 2 007; a diferença é 939.
Qual é o subtraendo? 1 068
33 Que números devemos escrever no lugar
das letras x e y?
a) x 2 234 5 567 801
b) 1 750 2 y 5 175 1 575
34 Pensei em um número. A ele adicionei 55
e do resultado subtraí 66. Encontrei 33. Em
que número pensei? 44
Fazendo subtrações mentalmente
Quanto é 80 2 37?
De 37 para 40 faltam 3.
De 40 para 80 faltam 40.
Então, de 37 para 80 faltam 3 1 40; logo, 43.
Outro modo
De 80 tira 30: dá 50.
De 50 tira mais 7: dá 43.
Então, 80 2 37 dá 43.
38
Unidade 1
Números e operações
R$ 209,00
a) Quanto Fernanda gastou com as compras?
b) Quantos reais sobraram depois das compras? R$ 97,00
Quanto é 161 2 94?
De 94 para 100 faltam 6.
De 100 para 161 faltam 61.
6 1 61 5 67
A conta dá 67.
Outro modo
De 161 tira 90: fica 71.
Tira mais 4: fica 67.
38 Calcule mentalmente:
a) 100 2 77 23
b) 95 2 49 46
c) 143 2 128
d) 206 2 162
15
nas linhas horizontais sejam todas iguais a
100. Faça os cálculos mentalmente.
44
39 Comprando verduras, legumes e frutas num
mercadinho, Rita gastou R$ 67,00. Ela pagou com uma cédula de R$ 100,00. Quantos reais recebeu de troco? R$ 33,00
40 Complete o quadro a seguir de modo que
as somas dos números nas linhas verticais e
20
70
10
60
15
25
20
15
65
Depois de totalmente preenchido, o quadro
ficou com mais números pares ou com mais
números ímpares? Com mais números pares.
Desafios
Conserte a conta
Ver Manual do Professor – Orientações Didáticas. Professor: daqui em diante, quando fizermos referência a
essa parte do livro, usaremos apenas a expressão “Manual do Professor”.
Tiago Donizete Leme/
Arquivo da editora
A conta está errada. Mas pode ficar correta movendo apenas dois palitos. Você consegue consertar?
V 5 VIII 2 III
A maior diferença
(Obmep) Ana listou todos os números de três algarismos em que um dos algarismos é par e os outros
dois são ímpares e diferentes entre si. Beto fez outra lista com todos os números de três algarismos em
que um dos algarismos é ímpar e os outros dois são pares e diferentes entre si. Qual é a maior diferença
possível entre um número da lista de Ana e um número da lista de Beto? e
a) 795
b) 863
c) 867
d) 873
e) 885
As sementes da abóbora
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
Reprodução/Obmep, 2016.
(Obmep) Três amigos fizeram uma aposta tentando adivinhar quantas sementes havia dentro de uma abóbora. Os
palpites foram os seguintes: 234, 260 e 274. Quando abriram
a abóbora e contaram as sementes, viram que um dos palpites estava errado por 17, outro por 31 e o outro por 9, para
mais ou para menos. Na contagem das sementes, elas foram
agrupadas em vários montinhos, cada um deles com 10, e
um último montinho com menos de 10 sementes. Quantas
sementes havia no último montinho? b
e) 9
Capítulo 2
Adição e subtração
39
Expressões aritméticas com adição e subtração
Qual é o troco?
Observe a cena e o que Aline diz aos meninos.
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
COMPREI ESTAS DUAS
CAMISETAS! UMA DELAS
CUSTOU 22 REAIS E A OUTRA,
16 REAIS.
Como Aline havia levado uma cédula de 50 reais, com quanto ela ficou de troco?
Para resolver esse problema, seu colega Danilo subtraiu da quantia que ela levou o valor pago pela
primeira camiseta:
50 2 22 5 28
Do que restou, subtraiu o valor pago pela segunda camiseta:
28 2 16 5 12
Gustavo adicionou primeiro os gastos:
22 1 16 5 38
Depois subtraiu essa soma de 50:
50 2 38 5 12
Ambos os raciocínios estão corretos e suas contas também. Aline ficou com 12 reais.
O raciocínio de Danilo pode ser representado assim:
50 2 22 2 16
E o raciocínio de Gustavo indicamos assim:
50 2 (22 1 16)
Os parênteses, ( ), são colocados na conta que deve ser feita primeiro.
50 2 22 2 16 e 50 2 (22 1 16) são exemplos de expressões aritméticas.
40
Unidade 1
Números e operações
Expressão aritmética é uma representação de operações aritméticas. Quando a expressão só contém adições e subtrações, sem sinais de associação (como parênteses, por exemplo), estas devem ser
efetuadas na ordem em que aparecem. Veja a expressão correspondente ao raciocínio de Danilo:
5 28
Ilustrações: Ilustra Cartoon/
Arquivo da editora
50 2 22 2 16 5
2 16 5 12
Veja agora a expressão do raciocínio de Gustavo. A primeira operação que ele fez fica indicada entre
parênteses:
50 2 (22 1 16) 5
5 50 2
38
5 12
Note como os parênteses são importantes. Sem eles, o cálculo de 50 2 22 1 16 ficaria assim:
50 2 22 1 16 5
5
28
1 16 5 44
Mas 44 não é o troco de Aline, já que ela levou 50 reais.
Assim, em uma expressão numérica devemos efetuar primeiro as contas que estão entre parênteses.
Exercícios
41 A professora de Matemática incluiu as questões a seguir na prova do 6o ano. Resolva-as
você também.
29 1 (62 2 48) ou 29 1 62 2 48 ou (62 2 48) 1 29 ou 62 2 48 1 29
a) Escreva uma expressão numérica que
possa ser usada para resolver o problema:
“Marcelo tinha 62 figurinhas; Alexandre,
48; e André, 29. Marcelo resolveu dar a
André tantas figurinhas quantas tinha a
mais que Alexandre. Com quantas figurinhas ficou André?”.
b) Calcule a expressão elaborada por você. 43
42 Cada aluno calculou uma expressão com os
mesmos números, mas com sinais associativos em posições diferentes. Observe:
Enzo: 20 2 8 2 (3 1 4 2 1)
Ingo: 20 2 8 2 (3 1 4) 2 1
Laís: 20 2 (8 2 3 1 4 2 1)
Talita: 20 2 (8 2 3) 1 4 2 1
Marco Antonio: 20 2 (8 2 3 1 4) 2 1
Quem encontrou o maior resultado? E o
menor? Talita (18); Ingo (4)
Capítulo 2
Adição e subtração
41
pelos sinais 1 ou 2,
43 Substitua cada
formando sentenças verdadeiras.
a) 13
b) 18
c) 13
1
2
1
10
7
4
2
2
2
12 5 11
8
1
1
2
356
759
44 Faça o que é pedido em cada item.
a) Corrija os resultados das expressões a seguir:
I. 5 2 3 1 1 5 1 3
II. 6 2 4 2 2 5 4 0
III. 12 2 5 2 3 5 10
b) Em uma subtração, se acrescentarmos
15 unidades ao minuendo e 10 unidades
ao subtraendo, o resto aumentará ou diminuirá? Quanto? Aumentará 5 unidades.
c) Em uma subtração, se aumentarmos
20 unidades no minuendo e diminuirmos
30 unidades no subtraendo, o resto aumentará ou diminuirá? Quanto? Aumentará
50 unidades.
Texto para os exercícios 49 e 50.
A tabela abaixo indica a quantidade de pessoas
que assistiram aos jogos de um torneio de futebol.
4
b) Agora coloque parênteses nas expressões para obter os resultados indicados.
I. 5 2 3 1 1 5 1 5 2 (3 1 1) 5 1
II. 6 2 4 2 2 5 4 6 2 (4 2 2) 5 4
III. 12 2 5 2 3 5 10 12 2 (5 2 3) 5 10
45 Insira os parênteses nas expressões de modo
a obter o resultado indicado.
a) 9 2 3 1 1 1 2 5 7 (3 1 1)
b) 10 2 7 2 3 1 1 5 7 (7 2 3)
c) 10 2 7 1 3 1 1 5 1 (7 1 3)
d) 9 2 3 1 1 1 2 5 3 (3 1 1 1 2)
e) 16 2 18 2 11 1 3 5 6 (18 2 11 1 3)
f) 16 2 18 2 11 1 3 5 12 (18 2 11)
46 Crie um problema que possa ser resolvido
pela seguinte expressão aritmética.
40 2 (5 1 8) 2 (7 1 4 1 6)
Depois, resolva-o. Resposta pessoal. Resultado: 10.
47 Em uma adição de três parcelas, a primeira
vale 1 130, a terceira é o sucessor de 3 216 e
a soma é 10 500. Qual é o valor da segunda
parcela? 6 153
48 Catarina, filha de Marília, tem de resolver
questões de Matemática e pediu ajuda à
mãe. Vamos resolver as questões também?
a) Em uma adição, se aumentarmos 16 unidades na primeira parcela e diminuirmos
12 na segunda, a soma aumentará ou diminuirá? Quanto? Aumentará 4 unidades.
Jogo
Pœblico
Cruzeiro 3 Flamengo
32 698
São Paulo 3 Ceará
26 437
Ceará 3 Flamengo
35 203
São Paulo 3 Cruzeiro
22 298
Ceará 3 Cruzeiro
17 315
Flamengo 3 São Paulo
44 281
49 Analisando a tabela, e sem fazer conta, responda:
O total de público foi maior nos jogos do
São Paulo ou do Flamengo? Nos jogos do Flamengo.
50 Responda fazendo a conta ou, então, indique-a e use calculadora:
a) Faça uma estimativa de quantas mil pessoas assistiram aos jogos do Flamengo.
33 1 35 1 44 5 112; 112 mil pessoas
b) Faça uma estimativa de quantas pessoas
assistiram aos jogos do São Paulo.
26 1 22 1 44 5 92; 92 mil pessoas
c) Aproximadamente, quantas mil pessoas
assistiram ao torneio?
112 (do Flamengo) 1 26 1 22 1 17 5 177; 177 mil pessoas
d) Qual foi o total exato de público nos jogos do Flamengo? 112 182 pessoas
e) Qual foi o total exato de público nos jogos do São Paulo? 93 016 pessoas
f) Qual foi o total de público do torneio?
178 232 pessoas
42
Unidade 1
Números e operações
Dinheiro: aprenda a usar
De que eu preciso mesmo?
Esta atividade exige uma consulta de preços, que pode ser feita
em papelaria, supermercado, magazine ou pela internet.
Interdisciplinaridade com Língua Portuguesa.
Nem tudo o que a gente vê na papelaria é necessário no dia a dia da escola. Na hora de comprar
material escolar, verificar o que é realmente necessário e comparar os preços são atitudes muito importantes. As tarefas a seguir apresentam uma maneira de organizar suas compras. Use os conceitos
aprendidos sempre que for fazer uma compra – e isso vale não só para material escolar.
I. Pesquise no dicionário o significado da palavra “essencial” e anote dois sinônimos.
II. Pesquise no dicionário o significado da palavra “supérfluo” e anote dois sinônimos.
III. Abaixo há uma lista de 22 materiais de papelaria:
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Lápis preto, borracha, caneta esferográfica azul, régua, apontador de lápis, caneta esferográfica vermelha, caixa de elásticos, caixa com lápis coloridos, caixa de clipes, caixa com canetas hidrográficas
coloridas, compasso, tesoura, lápis borracha, tubo de cola branca, fita adesiva, lapiseira, caderno
espiral de 100 folhas, esquadro, transferidor, agenda, estojo simples e grampeador.
De acordo com sua opinião, separe os materiais em duas listas:
• com o que você julga que são essenciais na escola;
• com o que você julga que são supérfluos na escola.
O que é essencial ou supérfluo depende da opinião de cada um.
O assunto será debatido em grupo no final da atividade.
IV. Vá a uma papelaria e pesquise os preços dos materiais das duas listas. Organize as informações em
uma tabela. Espera-se que os alunos anotem corretamente os preços, mesmo que não saibam fazer operações com decimais.
43
V. Faça uma estimativa da quantia necessária para comprar os objetos de sua lista de materiais essenciais. Considere um objeto de cada tipo.
VI. Faça uma estimativa da quantia necessária para comprar os objetos de sua lista de materiais supérfluos. Considere um objeto de cada tipo.
VII. Na sua lista de materiais essenciais, há alguns que você poderá usar durante todo o ano letivo e há
outros que se gastarão com o uso e deverão ser repostos. Pensando nisso, separe os objetos essenciais de sua lista em duas colunas, uma com os materiais que deverão ser repostos e outra com
os que não terão essa necessidade.
VIII. Faça uma lista dos materiais essenciais indicando a quantidade de cada material que você acha que
precisará durante todo o ano letivo.
Marcelo Ximenez/Folhapress
IX. Faça uma estimativa da quantia necessária para comprar o total dos materiais essenciais que você
relacionou na tarefa VIII.
Estudante em uma papelaria verificando os preços de alguns materiais escolares.
Forme um grupo com 3 colegas e faça o que se pede a seguir.
1
Converse com os colegas de seu grupo sobre os objetos colocados em cada lista elaborada na tarefa III. As listas de materiais essenciais ficaram iguais? Todos têm a mesma opinião sobre o que é essencial e o que é supérfluo?
2
Converse com os colegas de seu grupo sobre os preços encontrados na tarefa IV. Todas as papelarias
têm os mesmos preços? O que pode ter causado diferentes preços para o mesmo tipo de material?
3
Converse com os colegas de seu grupo sobre quais materiais da lista da tarefa III podem ser utilizados
no ano seguinte na escola. Elabore uma lista com pelo menos 5 materiais.
4
Com base na lista da tarefa III, elabore uma lista com 5 materiais que são muito consumidos e que
cuidados poderiam ser tomados para evitar que sejam muito consumidos.
44
CAPÍTULO
3
Multiplicação
Multiplicação
As horas da semana
Uma semana tem sete dias. Cada dia tem 24 horas. Quantas horas tem uma semana?
Observe:
terça-feira
segunda-feira
24
1
24
quarta-feira
1
24
quinta-feira sexta-feira sábado domingo
1
24
1
24
1
24
1
24 5 168 horas
Devemos adicionar sete parcelas de 24. Isso corresponde a 7 vezes 24 ou 7 3 24.
2
24
editora
37
Tiago Donizete Leme/Arquivo da
168
Relembre o passo a passo dessa conta:
24
37
2
7 3 4 5 28
24
37
2
7 3 2 5 14
14 1 2 5 16
8
24
37
168
Portanto, uma semana tem 168 horas.
Participe
Gustavo vai à escola 5 dias por semana, de segunda a sexta-feira. Em cada dia ele fica 4 horas na escola.
Para saber quantas horas ele fica na escola por semana, responda:
a) Qual é a adição que devemos calcular? 4 1 4 1 4 1 4 1 4
b) Qual é a multiplicação que devemos calcular? 5 3 4
c) Quantas horas são? 20 horas
Na escola há 8 classes, cada uma com 30 alunos.
d) Quantos alunos são?
30 1 30 1 30 1 30 1 30 1 30 1 30 1 30 5 240. 8 3 30 5 240. São 240 alunos.
O ano letivo tem 40 semanas. Cada aluno fica na escola 20 horas por semana, quando comparece todos
os dias.
e) Se não faltar, quantas horas por ano o aluno fica na escola?
40 3 20 5 800. Fica 800 horas.
Confira as respostas no final do livro.
Capítulo 3
Multiplicação
45
Multiplicar significa adicionar quantidades iguais. Assim, 7 3 24 (ou 7 ? 24) é o mesmo que
24 1 24 1 24 1 24 1 24 1 24 1 24.
No exemplo acima, os números 7 e 24 são chamados fatores. O resultado da multiplicação, 168, é
chamado produto. Vejamos outros exemplos a seguir.
Exemplo 1
Uma professora leciona 40 aulas por semana. Quantas aulas ela leciona em cinco semanas?
5
SpeedKingz/Shutterstock
Calculamos 5 3 40:
3 40 5 40 1 40 1 40 1 40 1 40 5 200
1o fator
2o fator
5 parcelas de 40
produto
ou
40
35
200
fatores
produto
Em cinco semanas, essa professora leciona 200 aulas.
Exemplo 2
Monkey Business Images/Shutterstock
Um professor que leciona 16 aulas por semana, quantas aulas leciona em cinco semanas?
5
3 16 5
1o fator
2o fator
16 1 16 1 16 1 16 1 16 5 80
5 parcelas de 16
ou
3
16
35
80
fatores
produto
Em cinco semanas, esse professor dá 80 aulas.
Casos especiais:
• Quando um dos fatores é 1, o produto é igual ao outro fator.
1 3 12 5 12 (uma parcela igual a 12)
• Quando um dos fatores é 0, o produto é igual a 0.
0 3 12 5 0 (nenhuma parcela)
33050101050
46
Unidade 1
Números e operações
produto
Exercícios
Quantas bolinhas há na figura abaixo? Indique por meio de uma multiplicação e calcule. 4 3 15 5 60
2
Numa parede revestida com pastilhas quadradas, há 60 fileiras de 120 pastilhas. Quantas pastilhas foram usadas para revestir a parede? 7 200 pastilhas
Banco de imagens/Arquivo da editora
1
Texto para os exercícios 3 e 4.
No campeonato brasileiro de futebol cada equipe ganha 3 pontos quando vence uma partida, 1 ponto
quando empata e 0 ponto quando perde.
3
No campeonato de 2016, o campeão Palmeiras terminou com 24 vitórias, 8 empates e 6 derrotas.
a) Quantos pontos o Palmeiras ganhou com as 24 vitórias?
b) Quantos pontos ele ganhou com os 8 empates? 8
c) Quantos pontos ele ganhou com as 6 derrotas? 0
d) Com quantos pontos o Palmeiras foi campeão? 80
72
4
No mesmo campeonato de 2016, o time Botafogo terminou com 17 vitórias, 8 empates e 13 derrotas. Quantos pontos o Botafogo ganhou nesse campeonato? 59
5
Para disputar o campeonato paulista de futebol de 2017, cada equipe podia inscrever no máximo
28 jogadores. As 16 equipes participantes inscreveram o máximo possível de jogadores. Quantos jogadores foram inscritos no campeonato? 448
6
Na loja de calçados, um par de sapatos Não Machuca custa 25 reais. No ano passado, foram vendidos 20 736 pares desse sapato. Qual foi o total das vendas, em reais, do sapato Não Machuca no ano
passado? 518 400 reais
© 1992 Bill Watterson/Dist. by
Andrews McMeel Syndication
Leia esta tirinha de Bill Watterson e o texto para os exercícios 7 e 8.
Capítulo 3
Multiplicação
47
Como a proposta de Calvin não foi aceita, vamos
ajudá-lo a fazer as multiplicações dos cartões abaixo:
7
287 280
2 024 000
7 182 3 40
880 3 2 300
1 600 3 102
7 005 3 805
163 200
5 639 025
Calvin pode ter uma ideia dos resultados
das multiplicações fazendo estimativas.
Por exemplo, em 7 182 3 40, podemos pensar que o resultado será um pouco maior que
7 000 3 40 5 280 000
Calcule as multiplicações a seguir.
a) 666 ? 33 21 978
b) (666 ? 33) ? 1 21 978
O número 1 é chamado elemento neutro da
multiplicação.
Numa multiplicação podemos suprimir
fatores iguais a 1.
10 Calcule os produtos indicados.
Efetue as multiplicações sem usar a calculadora e confira se as estimativas estão razoáveis.
a) (1 3 35) 3 702 24 570
b) (804 3 0) 3 777 0
c) 10 500 3 (730 3 1) 7 665 000
d) 1 3 (1 800 3 250) 450 000
e) (3 200 3 106) 3 1 339 200
f) (2 008 3 1) 3 (405 3 1) 813 240
g) (1 3 9 077) 3 (1 002 3 1) 9 095 154
h) (1 3 1 258) 3 (0 3 311) 0
Depois, confirme os resultados obtidos com
o auxílio de uma calculadora.
Confira seus resultados com o auxílio de
uma calculadora.
Já em 880 3 2 300, podemos pensar que
dá um pouco menos que
900 3 2 300 5 2 070 000
a) Faça uma estimativa para 1 600 3 102.
1 600 3 100 5 160 000
b) E outra para 7 005 3 805.
7 000 3 800 5 5 600 000
8
9
De quantos modos?
Laís precisa pintar a figura ao lado.
O círculo deve ser pintado de amarelo ou vermelho. O quadrado deve ser pintado
de azul, preto ou roxo.
De quantos modos Laís pode pintar a figura?
Acompanhe o raciocínio:
O círculo pode ser pintado de dois modos (amarelo ou vermelho) e, para cada
uma dessas possibilidades, o quadrado pode ser pintado de três modos (azul, preto
ou roxo). Podemos indicar essas possibilidades como no esquema abaixo, que chamamos árvore das possibilidades:
círculo
quadrado
possibilidades
azul
amarelo, azul
preto
amarelo, preto
roxo
amarelo, roxo
azul
vermelho, azul
preto
vermelho, preto
roxo
vermelho, roxo
amarelo
vermelho
48
Unidade 1
Números e operações
Banco de imagens/Arquivo da editora
Problemas de contagem
Banco de imagens/Arquivo da editora
Temos, então, 2 3 3 modos de pintar a figura. Laís pode escolher entre seis possibilidades, que são:
Usamos a multiplicação para resolver muitos problemas de contagem, como o do exemplo anterior.
Vamos resolver mais alguns.
Exercícios
b) Quantas visitas ele pode fazer, sem repetir o mesmo percurso de ida e volta? 9 visitas
c) De quantos modos ele pode visitar Talita
indo por um caminho e voltando por outro?
6 modos
13 Enzo adora sorvete. Na sorveteria que ele
frequenta há quatro tipos de sabores: abacaxi, coco, limão e morango. Ele sempre compra uma bola de sorvete com um tipo de
cobertura: morango, chocolate ou caramelo.
Littlekidmoment/Shutterstock
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
11 Ingo dispõe de duas calças e cinco camisas.
a) De quantos modos ele pode escolher
uma calça e uma camisa para se vestir? 10 modos
b) Quantos dias ele pode usar essas peças de
roupa sem repetir o mesmo conjunto calça-camisa, vestindo um conjunto por dia? 10 dias
12 Marco Antônio quer visitar Talita no próximo sábado.
Para chegar à casa da amiga, ele pode escolher um entre três caminhos. Para voltar,
Marco Antônio também pode escolher qualquer um dos três caminhos.
a) De quantos modos ele pode fazer o percurso de ida e volta? 9 modos
12 modos
a) De quantos modos pode ser composto o
sorvete com uma bola e uma cobertura?
b) Hoje Enzo resolveu pedir duas bolas de
sorvete de sabores diferentes, sem cobertura. Escreva todas as possibilidades
que ele tem a escolher. Quantas são?
6 possibilidades: abacaxi e coco, abacaxi e limão, abacaxi e
morango, coco e limão, coco e morango, limão e morango
Capítulo 3
Multiplicação
49
Tiago Donizete Lem
e/
Arquivo da editora
14 Um baralho tem 4 naipes, sendo 2 pretos e 2 vermelhos:
Francesco Abrig
nani/Shutterstock
De cada naipe, há 13 cartas. Como exemplo, veja as cartas de espadas:
a) Quantas cartas pretas há no baralho todo?
26
b) Qual o total de cartas do baralho?
52
Dobro, triplo e quádruplo
O dobro de um número é duas vezes o número. Por exemplo, o dobro de 10 é 2 3 10, que é igual a 20.
O triplo de um número é três vezes o número. Por exemplo, o triplo de 10 é 3 3 10, que é igual a 30.
O quádruplo de um número é quatro vezes o número. Por exemplo, o quádruplo de 10 é 4 3 10, que
é igual a 40.
Banco de imagens/Arquivo da editora
Abaixo, observe três bolinhas representadas, o dobro, o triplo e o quádruplo dessas bolinhas.
133
233
333
433
Exercícios
15 Complete a tabela preenchendo as colunas.
50
Número
Dobro
Triplo
Quádruplo
1
2
3
4
5
10
15
20
22
44
66
88
104
208
312
416
0
0
0
0
n
2n
3n
4n
Unidade 1
Números e operações
16 Numa adição de três parcelas, a primeira é
18, a segunda é o dobro da primeira e a terceira é o triplo da segunda. Qual é a soma?
Propriedade comutativa da multiplicação:
A ordem dos fatores não altera o produto.
162
Para que serve?
17 Doze pessoas ganharam na loteria. O prêmio foi repartido assim:
• três pessoas receberam R$ 100.264,00 cada uma;
• duas pessoas receberam R$ 74.466,00 cada uma;
• as demais receberam
R$ 32.182,00
cada uma.
Ilustra Cartoon/
Arquivo da editora
Qual foi o total
do prêmio?
Você pode usar essa propriedade para conferir
uma multiplicação. Trocando a ordem dos fatores e
refazendo a conta, deve obter o mesmo resultado.
De acordo com a propriedade comutativa, você
pode efetuar uma multiplicação colocando os fatores na ordem que preferir.
R$ 674. 998,00
Nos próximos exercícios vamos apresentar algumas propriedades da multiplicação.
18 Você já sabe que:
•5385818181818
•8355515151515151515
Quanto é 5 3 8? E 8 3 5?
40; 40
19 Calcule os produtos e compare os resultados:
a) 72 3 15 1 080
b) 15 3 72 1 080
20 Vamos multiplicar os números 14, 20 e 50
em três expressões diferentes. Calcule e
resultado nas três
compare os resultados: Oexpressões
é 14 000.
a) (14 3 20) 3 50
c) (14 3 50) 3 20
b) 14 3 (20 3 50)
Propriedade associativa da multiplicação:
Na multiplicação de três números, podemos
multiplicar dois fatores quaisquer e depois
multiplicar o resultado pelo outro fator.
Para que serve?
Em todas as associações possíveis para fazer
a multiplicação de três ou mais números, o resultado é sempre o mesmo. Você pode escolher a associação que preferir.
Os resultados são iguais.
Cálculo mental
Já vimos que a decomposição de números em centenas, dezenas e unidades pode nos ajudar a fazer
contas “de cabeça”, ou seja, mentalmente. Veja os exemplos a seguir.
Exemplo 1
Para calcular 67 1 84, podemos pensar assim:
67 5 60 1 7 e 84 5 80 1 4
60 1 80 5 140 e 7 1 4 5 11
140 1 11 5 151
Então, 67 1 84 5 151.
Podemos também pensar assim:
De 67 para 70 faltam 3.
Subtraindo 3 de 84, obtemos 81.
Calcular 67 1 84 é o mesmo que calcular 70 1 81, o resultado é 151.
Capítulo 3
Multiplicação
51
Exemplo 2
Agora, vamos calcular 183 2 128.
De 128 para 130 faltam 2.
De 130 para 180 faltam 50.
De 180 para 183 faltam 3.
Então, de 128 para 183 faltam 2 1 50 1 3; logo, 183 2 128 5 55.
Exemplo 3
Para calcular 12 3 53, podemos pensar:
53 5 50 1 3
12 3 50 5 600 e 12 3 3 5 36
600 1 36 5 636
Logo, 12 3 53 5 636. Confira o resultado efetuando a multiplicação.
Veja outra maneira de calcular:
12 5 10 1 2
10 3 53 5 530 e 2 3 53 5 106
530 1 106 5 636
Exercícios
Os próximos exercícios devem ser resolvidos em duplas. Efetue os cálculos mentalmente e explique para seu
colega a estratégia utilizada.
21 a) 175 1 44
219
b) 92 1 53
22 a) 93 2 56
37
b) 140 2 72
23 a) 12 3 33
396
b) 7 3 42
145
c) 168 1 94
68
c) 118 2 81
294
c) 5 3 86
262
37
430
d) 116 1 36
152
d) 2 020 2 1 998
d) 20 3 75
22
1 500
A propriedade distributiva da multiplicação
No cálculo mental de 12 3 53 usamos o seguinte procedimento:
12 3 (50 1 3) 5 (12 3 50) 1 (12 3 3)
Distribuímos a multiplicação pelas parcelas e depois adicionamos os resultados. Aplicamos assim a
chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição:
O produto de um número por uma soma indicada por duas ou mais parcelas
é igual à soma dos produtos daquele número pelas parcelas.
52
Unidade 1
Números e operações
Exercícios
24 Calcule a expressão 15 3 (20 1 40) de dois
modos:
15 3 60 5 900
a) fazendo a adição e, depois, a multiplicação;
b) distribuindo a multiplicação e fazendo,
por último, a adição. 300 1 600 5 900
Qual modo você acha mais fácil? Resposta pessoal.
27 Estime a arrecadação obtida com a venda
das cadeiras especiais. Depois, estime a arrecadação total. Resposta pessoal.
28 Calcule o valor exato da arrecadação total
empregando a propriedade distributiva nas
3 40 1 980 3 105
multiplicações. 9(9070
000 1 70) 3 40 1 980 3 (100 1 5) 5
5 465 700 (reais)
Texto para os exercícios 25 a 30.
29 Recalcule a arrecadação total substituindo
pelos valores corretos.
A uma partida da seleção brasileira de basquetebol, compareceram 10 050 espectadores. O ingresso comum custou R$ 40,00 e foram vendidas
980 cadeiras especiais por R$ 105,00 cada uma.
a)
c)
9 070
3 40
1
(1)
(2)
(1)
b)
25 Quantas pessoas adquiriram ingressos comuns?
10 050 2 980 5 9 070
980
3 105
(2)
26 Arredondando os números, faça uma estimativa da arrecadação obtida com a venda
dos ingressos comuns. Resposta pessoal.
30 Confirme o valor total da arrecadação refazendo as contas na calculadora.
Expressões aritméticas
Thinkstock/Getty Images
Qual é a massa?
A massa de uma vaca equivale a 26 arrobas mais 6 quilogramas.
Quantos quilogramas equivalem a essa massa?
Como 1 arroba 5 15 quilogramas, a massa da vaca, em quilogramas, é (26 3 15) 1 6. Vamos calcular essa expressão. Os parênteses indicam a conta a ser feita em primeiro lugar.
(26 3 15) 1 6 5 390 1 6 5 396
Então, a massa desse animal é 396 quilogramas.
O nome da unidade de medida de
massa múltiplo do grama é quilograma,
popularmente conhecida por quilo.
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Para resolver expressões aritméticas com adições, subtrações e
multiplicações, calculamos primeiro as multiplicações. Depois, calculamos as adições e as subtrações na ordem em que aparecem.
14 1 5 3 3 2 2 3 2 5
5 14 1
5
29
15
2
4
5
2
4
5 25
Capítulo 3
Multiplicação
53
Exercícios
34 Estela é costureira. Ela comprou 5 carretéis de linha Vando e dois carretéis de linha
Vavá.
Ilustrações: Ilustra Cartoon/
Arquivo da editora
Hélio Senatore/Arquivo da editora
31 Quantos copos há na ilustração abaixo? Indique numa expressão aritmética e calcule.
4 3 7 1 2 3 5 5 38
Há outras formas de
calcular.
32 Guilherme e Gustavo fizeram duas provas
em um concurso para um estágio. Calcule as pontuações de cada um. Se houver
sinais de associação, faça primeiro o que
está entre parênteses, depois o que está
entre colchetes, [ ].
Vando
80 metros
Vavá
20 metros
440 metros
a) Quantos metros de linha Estela comprou?
Um metro tem 100 centímetros. Calcule
quantos centímetros de linha há:
8 000 centímetros
b) em um carretel de linha Vando;
c) em um carretel de linha Vavá; 2 000 centímetros
d) em três carretéis de linha Vando e em
dois carretéis de linha Vavá juntos.
28 000 centímetros
Dean Drobot/Shutterstock
35 Para obter o resultado indicado, onde você
deve colocar parênteses?
a) 3 1 4 3 2 5 14 (3 1 4)
b) 2 3 5 2 3 3 2 5 8 (5 2 3)
c) 5 3 5 1 6 2 6 3 10 5 25 (6 2 6)
d) 3 1 4 1 2 3 6 2 5 5 9 (6 2 5)
1a PROVA
Guilherme: 6 3 4 2 5 1 3 3 3 28
Gustavo: 22 2 2 3 3 3 2 1 6 3 1
16
2a PROVA
Guilherme: 13 3 [5 2 2 3 (11 2 9)]
Gustavo: 17 2 2 3 (3 1 5 3 1 2 8)
13
36 No casamento de Roberta vai haver uma
grande festa. Jandira já está preparando os
doces (10 dúzias de brigadeiros, 8 dúzias e
meia de quindins, 75 olhos de sogra, 9 dúzias de cajuzinhos e 68 beijinhos) e os salgados (17 dúzias de empadinhas, 15 dúzias e
meia de coxinhas, 18 dúzias de croquetes e
195 bolinhas de queijo).
17
Agora, some as pontuações. Quem obteve
mais pontos? Guilherme: 41 pontos.
33 Descubra os algarismos A, B e C e responda:
2C
3 C
AB5
Quanto é (A 1 B) 3 (C 2 B)? 9
54
Unidade 1
Números e operações
a) Quantos doces Jandira está preparando
para o casamento? 473 doces
b) E quantos salgados? 801 salgados
Desafios
É permitido fazer estimativas
?
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Que algarismos estão faltando nesta multiplicação e devem substituir cada
348
3 92
1 696
3132
32 016
Encha as salas
(Obmep) Os 1 641 alunos de uma escola devem ser distribuídos em salas de aula para a prova da
Obmep. As capacidades das salas disponíveis e suas respectivas quantidades estão informadas na tabela
abaixo:
Capacidade máxima de cada sala
Quantidade de salas disponíveis
30
30
40
12
50
7
55
4
Qual a quantidade mínima de salas que devem ser utilizadas para
essa prova? b
a) 41
d) 45
b) 43
e) 47
c) 44
Reprodução/Obmep, 2015.
Rodízio de filhos
(Obmep) Um casal e seus filhos viajaram de férias. Como reservaram
dois quartos em um hotel por 15 noites, decidiram que, em cada noite, dois
filhos dormiriam no mesmo quarto de seus pais, e que cada filho dormiria
seis vezes no quarto dos pais. Quantos são os filhos do casal? a
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Unidades de tempo
Como nós medimos o tempo?
No nosso dia a dia, são muitos os acontecimentos cuja duração necessitamos medir:
o tempo gasto para ir de casa à escola;
Thaweewong Vichaiururoj/Shutterstock
•
•
•
•
o tempo de duração de uma aula;
o tempo de duração do recreio na escola;
o tempo de duração de um programa de TV.
Esses são apenas alguns exemplos. Cite outros que você considere
importantes.
Capítulo 3
Multiplicação
55
Para medir o tempo de duração de determinado acontecimento, escolhemos uma unidade de medida
de tempo. A unidade de medida de tempo adotada como padrão é o segundo.
O segundo é uma unidade de medida ligada à duração de um fenômeno que se repete periodicamente: o dia solar.
O que é o dia solar? É o tempo necessário para a Terra dar uma volta completa em torno de seu próprio eixo (movimento de rotação). Em média, é o tempo que se passa entre o pôr do sol de um dia e o pôr
do sol do dia seguinte.
A unidade-padrão de tempo é o segundo. Um dia solar tem em média 86 400 segundos.
Para medir o tempo de acontecimentos mais demorados, empregamos como unidade de tempo:
minuto
hora
dia
mês
ano
(min)
(h)
(d)
(me)*
(a)
*Critério estabelecido pelos autores.
Vamos considerar um relógio analógico. Observe:
• O minuto é o tempo gasto pelo ponteiro dos segundos para dar uma volta completa no mostrador.
Um minuto é igual a 60 segundos.
ponteiro dos segundos
1 min 5 60 s
• A hora é o tempo gasto pelo ponteiro dos mi-
nutos para dar uma volta completa no mostrador. Uma hora é igual a 60 minutos. Como
cada minuto equivale a 60 segundos:
1 hora 5 60 3 60 segundos
1 hora 5 3 600 segundos
ras para dar duas voltas completas no mostrador. Um dia é igual a 24 horas. Como cada
hora equivale a 3 600 segundos:
1 dia 5 24 3 3 600 segundos
1 dia 5 86 400 segundos
ponteiro dos minutos
Ilustrações: Hélio Senatore/
Arquivo da editora
56
• O dia é o tempo gasto pelo ponteiro das ho-
ponteiro das horas
1 h 5 60 min
1 h 5 3 600 s
Unidade 1
Números e operações
1 d 5 24 h
1 d 5 86 400 s
Exercícios
37 Contando os meses de julho e agosto e mais três semanas, quantos dias são?
38 Quantos minutos existem:
a) em 5 horas? 300 min
b) em 5 dias? 7 200 min
c) em 5 semanas? 50 400 min
d) em 1 mês? 43 200 min
39 Quantos segundos existem:
a) em 1 hora? 3 600 s
b) em 1 semana? 604 800 s
c) em 1 mês comercial?
d) em 1 ano comercial?
40 Quantos meses tem:
a) um bimestre? 2 meses
2 592 000 s
31 104 000 s
b) um trimestre?
41 Pesquise. Quantos anos tem:
a) um biênio? 2 anos
b) um quinquênio (ou lustro)?
83 dias
3 meses
O mês comercial é o
tempo de 30 dias.
O ano comercial é o
tempo de 360 dias.
Nas questões em
que não se especifica
o mês do ano,
considere que o mês
tem 30 dias.
c) um semestre?
6 meses
c) uma década? 10 anos
d) um século? 100 anos
5 anos
42 Que unidade de tempo Luciana deve usar para medir:
a) uma aula de Matemática na escola? minuto
b) uma viagem de carro de Porto Alegre (RS) até Florianópolis (SC)? hora
c) a queda de um tijolo do décimo andar de um edifício em construção?
d) uma viagem de navio de um porto brasileiro até um porto inglês? dia
segundo
Texto para os exercícios 43 e 44.
Banco de imagens/Arquivo da editora
Para ir de São Paulo ao Rio de Janeiro, um ônibus leva 6 horas.
45º O
MS
MG
21º S
ES
SP
43 Se dois ônibus saírem de São
Paulo às 10 horas da manhã, a
que horas eles chegarão ao Rio
de Janeiro? Às 16 horas
RJ
PR
0
130 km
São Paulo
OCEANO
ATLÂNTICO
Rio de Janeiro
N
L
O
44 Se um ônibus sair de São Paulo às 22 horas de um dia, a que
horas do dia seguinte ele chegará ao Rio de Janeiro? Às 4 horas
S
Fonte: SIMIELLI, Maria Elena. Geoatlas. São Paulo: Ática, 2002.
45 No dia 9 de março de 1500, Pedro Álvares Cabral deu início à viagem que resultou na chegada ao
Brasil em 22 de abril daquele ano. Supondo que ele tenha saído de Portugal às 10 horas da manhã de
9 de março e tenha chegado ao Brasil às 10 horas da manhã de 22 de abril, quantos dias teria durado a viagem? E quantas horas? 44 dias e 1 056 horas
Capítulo 3
Multiplicação
57
Matemática em notícia
Água potável
Você já deve ter ouvido falar que a água potável do planeta, que sempre foi pouca, está se tornando
escassa.
Abaixo estão algumas informações sobre desperdício e economia desse bem natural. Leia-as e depois responda às perguntas.
Faça as contas e calcule como você pode economizar água
3
da editora
Fernando Fav
oretto/Arquivo
1
2
de água por
Uma torneira pingando uma gota
ano. Se
por
s
segundo desperdiça 16 500 litro
casa, a
em
to
10 000 famílias evitarem esse gas
um dia toda
água economizada abasteceria por
ão.
a população de São Luís do Maranh
Se você e mais 5 amigos escovare
m os dentes
com a torneira fechada, economizar
ão 122 litros
de água pura por dia. É o suficiente
para a higiene
e a hidratação diária de uma criança
.
gasta, em
O uso da “vassoura hidráulica”
m lava a
Que
a.
15 minutos, 36 litros de água limp
fora 1 728 litros
calçada uma vez por semana joga
s. Essa água
por ano e, em 20 anos, 34 560 litro
47 anos.
mataria a sede de uma pessoa por
Fonte: Você S/A, n. 122.
1
Se o desperdício é de uma gota por segundo, aproximadamente quantos milhões de gotas de água
limpa são perdidas em um ano? 32 milhões de gotas
2
Releia o quadro 1 e responda de acordo com a estimativa apresentada:
• Quantos milhares de gotas aproximadamente tem um litro de água? 2 mil gotas
• Quantos milhões de litros de água a população de São Luís do Maranhão gasta por dia?
165 milhões de litros
3
De acordo com o quadro 2, quanto de água pura uma pessoa economiza em 30 dias se escovar os
dentes com a torneira fechada? 610 litros
4
Há um pequeno erro nos dados do quadro 3. Para encontrá-lo, responda: Quantas semanas há em
um ano? Se uma “vassoura hidráulica” (esguicho) gasta 36 litros de água limpa quando usada por
15 minutos uma vez por semana, quantos litros de água são jogados fora por ano? E em 20 anos?
52 semanas; 1 872 litros; 37 440 litros
58
CAPÍTULO
4
Divisão
Divisão
Ilustrações: Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Grupos de quantos?
A professora preparou uma lista de oito trabalhos para
a classe fazer.
Ela decidiu distribuir os 32 alunos da classe em oito
grupos com quantidades iguais de alunos. Cada grupo vai
fazer um dos trabalhos.
Quantos alunos vão ficar em cada grupo?
Dividimos os 32 alunos pelos 8 grupos:
Observe:
32 5
1
1
1
1
1
1
1
grupo
grupo
grupo
grupo
grupo
grupo
grupo
grupo
1
2
3
4
5
6
7
8
32 5 8 3
5 4 porque 8 3 4 5 32.
Cada grupo vai ficar com 4 alunos.
Capítulo 4
Divisão
59
Participe
Numa loteria foi sorteado um prêmio de 720 000 reais, que acabou repartido igualmente entre 6 ganhadores.
a) Para saber quanto cada um ganhou, que conta devemos fazer?
b) Qual é o resultado dessa conta?
720 000 ; 6
120 000
c) Como podemos confirmar a resposta?
Multiplicando 120 000 por 6 dá 720 000.
d) E qual é o resultado de 720 000 dividido pelo valor do prêmio de cada ganhador?
720 000 ; 120 000 5 6
Um dos ganhadores pertencia a um grupo de amigos. Eles repartiram o dinheiro e cada um ficou com
24 000 reais.
e) Qual é o total do dinheiro que o grupo repartiu?
120 000 reais
f) Se cada amigo ficou com 24 000 reais, que conta devemos fazer para saber quantos amigos eram?
g) Quantos amigos eram?
120 000 ; 24 000
5
h) Que cálculo podemos fazer para confirmar essa resposta?
5 3 24 000 5 120 000
Confira as respostas no final do livro.
Dividir é repartir em quantidades iguais.
Na divisão ao lado, 32 é chamado dividendo e 8 é o divisor. O resultado,
4, é chamado quociente. Observe que:
32 ; 8 5 4
Para indicar divisão,
usamos ; ou 4.
32 ; 8 5 4 porque 4 ? 8 5 32
O quociente é o número que devemos multiplicar pelo divisor para obter o dividendo.
28
dividendo
30
4
;
5
divisor
5
;
dividendo
7
porque 7 3 4 5 28
quociente
5
divisor
6
porque 6 3 5 5 30
quociente
A divisão é a operação inversa da multiplicação, por exemplo:
divisão
30
;
5
5
6
30
5
5
3
6
multiplicação
60
Unidade 1
Números e operações
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Veja outros exemplos:
Quantos grupos?
A divisão também é usada para descobrir a quantidade de grupos. Veja um exemplo.
Temos 60 livros e queremos colocá-los em pilhas de 12 livros cada uma. Quantas pilhas serão formadas?
60 5 12 1 12 1 ...
Quantas pilhas?
60 5 12
1 12
1 12
1 12
1 12
1
2
3
4
5
total de livros
Ilustrações: Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
livros por pilha
quantidade de pilhas
60 ; 12 5 5 porque 5 3 12 5 60
Serão formadas 5 pilhas de livros.
Exercícios
1
a) Para viajar de Olímpia a São Paulo, quantos litros de gasolina Regina vai gastar, se
o carro dela percorre 12 quilômetros com
um litro? 36 litros
b) Se Regina usar um carro a álcool, que
percorre 8 quilômetros com um litro,
quantos litros de combustível serão necessário para essa viagem? 54 litros
c) Três litros de álcool custam o mesmo que
2 litros de gasolina. Com que tipo de
combustível a viagem é mais econômica?
Para que respondessem a um questionário
de 48 perguntas, a professora decidiu repartir os 30 alunos em grupos de 6 alunos.
a) Quantos grupos foram formados? 5 grupos
b) Cada aluno do grupo deveria responder
à mesma quantidade de questões. Quantas questões cada aluno respondeu? 8
2
Faltam 504 horas para o aniversário da professora Ana Paula. Os alunos se reuniram
para organizar uma festinha. Eles encomendaram 900 docinhos na cantina da escola. Para embalar os doces, a cantina usa
caixas com capacidade para 45 unidades
cada uma.
a) Quantos dias faltam para o aniversário de
Ana Paula? E quantas semanas faltam?
21 dias; 3 semanas
b) Quantas caixas serão necessárias para
embalar os 900 docinhos? 20 caixas
c) Se os 900 docinhos fossem distribuídos
em 15 caixas, todas com a mesma quantidade de doce, quantos doces teriam de
caber em cada caixa? 60 doces
O gasto é igual com qualquer dos dois combustíveis.
4
Quanto Marília recebeu de prêmio? Faça a
conta e confirme o resultado empregando a
operação inversa. R$ 2.370,00
EU ACERTEI NA LOTERIA!
O PRÊMIO DE R$ 481.110,00 FOI
REPARTIDO IGUALMENTE ENTRE
203 GANHADORES.
Relembre aos alunos como se faz a divisão.
3
Regina nasceu em Olímpia, uma cidade do
interior de São Paulo, distante 432 quilômetros da capital do estado.
Capítulo 4
Divisão
61
Responda às seguintes perguntas.
a) Quantos meses há em 240 dias? 8 meses
b) Quantas semanas há em 210 dias? 30 semanas
c) Quantas horas há em 365 dias? 8 760 horas
d) Quantas dúzias há em 6 dezenas? 5 dúzias
6
No cálculo abaixo, os cartões azuis têm o
mesmo valor. Quanto vale cada um? 105
1
320 1
7
8
9
1
5 635
Uma compra no valor de R$ 3. 255,00 vai
ser paga com uma entrada de R$ 995,00
e mais quatro prestações mensais de mesmo valor sem nenhum acréscimo. Qual será
o valor de cada prestação? R$ 565,00
Em um experimento na aula de Ciências,
Rosa coloca uma jarra vazia sobre uma balança e lê no mostrador 450 gramas. Ela,
então, despeja na jarra 2 copos de água e a
indicação passa a ser 810 gramas. Quanto
a balança vai indicar se a jarra tiver 5 copos
de água? 1 350 gramas
Nos cálculos abaixo, cartões de mesma cor
têm valores iguais. Quanto vale o cartão
azul? E o vermelho?
1
5 60
1
1
azul: 20; vermelho: 40
5 80
11 Na divisão, cada termo recebe um nome.
?
Que palavras devem substituir cada
36 ; 4 5 9
quociente
divisor
62
Unidade 1
Números e operações
13 No quadro ao lado, subs1
a
4
titua as letras por nú15
meros, de modo que,
b
2
c
multiplicando os números
6
5
das linhas horizontais ou
d
e
3
2
10
verticais, o resultado seja
sempre o mesmo: 60.
Você pode realizar os cálculos mentalmente.
14 Quais números devem ocupar o lugar de
?
cada
resulta em 9. 16
a) 144 dividido por
.
b) 35 910 dividido por 105 resulta em
342
resulta em 1 640.
c) 40 multiplicado por
41
multiplicado por 65 resulta em 4 225.
d)
65
10 Sabino quer comprar escrivaninhas e cadeiras para mobiliar seu novo escritório. Com
R$ 825,00 ele pode comprar 3 escrivaninhas. Para comprar 4 escrivaninhas e 6 cadeiras, ele precisa de R$ 2.228,00. Ficou
decidido que serão compradas 5 escrivaninhas e 10 cadeiras. Quanto Sabino vai gastar nessa compra? R$ 3.255,00
dividendo
12 Responda às seguintes questões sobre as
operações da divisão e da multiplicação.
a) O divisor é 60 e o dividendo é 6 480.
Qual é o quociente? 108
b) O quociente é 16 e o divisor é 9. Qual é o
dividendo? 144
c) O quociente é 12 e o dividendo é 240.
Qual é o divisor? 20
d) O produto de dois fatores é 1 040 e um
dos fatores é 20. Qual é o outro fator? 52
e) Existe algum número que multiplicado
por 0 resulta em 5? não
f) Existe algum número que multiplicado
por 0 resulta em 0? sim
15 Alguns números se desprenderam do quadro e se misturaram com outros. Descubra
quais são os números e o lugar que cada um
deve ocupar.
11
1 232
60
52
22
Hélio Senatore/Arquivo da editora
5
Expressões aritméticas com as quatro operações
Nas expressões aritméticas com as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, devemos seguir duas etapas:
1a) Efetuamos as multiplicações e as divisões, na ordem em que aparecem.
2a) Efetuamos as adições e as subtrações, na ordem em que aparecem.
Veja os exemplos:
15 + 12 : 4 – 3 × 2 =
= 15 +
3
– 3 × 2 =
= 15 +
3
–
6
=
–
6
= 12
=
18
=
56
=
28
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
7 × 8 : 2 – 15 =
: 2 – 15 =
– 15 = 13
Exercícios
16 Giovana calculou as expressões abaixo e concluiu que todas têm resultado ímpar. Calcule você também e verifique se Giovana está certa ou errada. certa
a) 2 1 3 ? 4 1 16 ; 2 2 7 2 2 ? 4 7
c) 113 2 7 ? 8 ; (3 2 1 ? 2) 57
b) (3 ? 10 1 12) ; (4 1 5 ? 2) 3
d) 32 ; [(4 ? 2 1 32 ; 4) ? 2] 1
17 Nos cálculos abaixo, cartões de mesma cor têm valores iguais. Quais são esses valores?
1
5 6 015
azul: 5 119;
vermelho: 896
60 3 15 2 60 ; 15 5
Nice
R$ 25,00 em 3 dúzias
de laranjas e 4 dúzias
de bananas
Ilustrações: Tiago Donizete Leme/
Arquivo da editora
18 Estas pessoas foram à feira. Veja seus gastos:
Neusa
R$ 20,00 em
5 dúzias de bananas
Fernanda
4 dúzias de laranjas e
3 dúzias de bananas
Quanto Fernanda gastou? R$ 24,00
Capítulo 4
Divisão
63
19 Em que número pensei?
a) Pensei em um número e multipliquei-o por 5. Do resultado, subtraí 30 e encontrei 55.
b) Pensei em um número e o dividi por 4. Do resultado, subtraí 3 e encontrei 6. 36
17
20 Pensei em um número, multipliquei-o por 4 e, do resultado, subtraí 4. Obtive 44. Se tivesse dividido
por 4 e, ao resultado, adicionado 4, quanto encontraria? 7
21 Gabriela está brincando de esconde-esconde. Para ajudá-la a encontrar os colegas, calcule as expressões e compare os resultados obtidos com os números da tabela para descobrir o esconderijo de cada
criança. Se preferir, use uma calculadora.
Esconderijo
Crian•a
atrás da árvore
620
atrás da porta
85
atrás do muro
49 291
no porão
220
embaixo da escada
845
dentro do carro
45 673
atrás do carro
2 736
Qual dos amigos está dentro do carro?
Luis Ricardo Montanari/Arquivo da editora
Luciana: 1 100 2 220 3 4 220
Alexandre: 80 1 40 ; 8 85
Ricardo: 306 3 4 1 108 3 14 2 736
Priscila: 3 801 ; 7 1 1 001 ; 13 620
Maurício: (607 2 388) 3 8 2 92 514 ; 102 845
André: 113 771 2 310 3 208 49 291
Gabriela
Nenhum deles.
Desafio
Negociando sem dinheiro
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Um fazendeiro troca um bezerro e três leitões por 18 galinhas. Ele também troca um bezerro por três
leitões mais seis galinhas.
Quantas galinhas ele troca por um leitão? E por um bezerro? 2; 12
64
Unidade 1
Números e operações
Ilustrações: Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Divisão com resto
Torneio de vôlei
O professor de Educação Física vai
organizar um torneio de vôlei masculino
com os alunos do 6o ano. Se cada equipe
de vôlei tem 6 jogadores, quantas equipes, no máximo, podem ser formadas
com 32 meninos?
Dividimos os 32 alunos em grupos de 6:
dividendo
resto
32
2 30
2
6
5
divisor
quociente
Podem ser formadas 5 equipes de 6 alunos cada e sobram 2 alunos.
A divisão do problema anterior tem resto 2. É uma divisão não exata. A divisão é exata quando o resto
é zero.
Ainda no exemplo anterior, multiplicando o quociente pelo divisor, temos o número de alunos que
formam as 5 equipes:
5 3 6 5 30
Capítulo 4
Divisão
65
Adicionando a esse produto o número de alunos que sobraram (resto), temos o número total de
meninos:
5
3
6
1
2
5
32
quociente
3
divisor
1
resto
5
dividendo
Observe que o número de alunos que sobraram (resto) é menor que o número de elementos de cada
equipe (divisor). Por quê? Se sobrassem 6 ou mais alunos, o que seria feito?
Na divisão, sempre temos:
resto , divisor
(Lê-se: "o resto é menor
que o divisor".)
Sinal
Leitura
,
é menor que
.
é maior que
Exercícios
22 Mário é professor de Educação Física. No colégio em que ele trabalha, 124 alunos jogam
voleibol. Com quantas equipes, no máximo,
Mário pode organizar um campeonato dessa modalidade esportiva? Quantos alunos
sobram? 20; 4
23 Lara e Nicole são irmãs gêmeas nascidas no
dia 16 de fevereiro de 2012, ano bissexto.
No 5o aniversário, quantas semanas de vida
elas completaram? 261 semanas
b) Quantos palitos sobram? 27 palitos
c) Em três dias, quantas caixas são preencaixas;
chidas? Quantos palitos sobram? 41 820
palito
26 Responda às questões abaixo.
a) Em uma divisão, o quociente é 103, o divisor é 45 e o resto é o maior possível.
Qual é o dividendo? 4 679
b) Em uma divisão, o resto é 7, o quociente
é 3 e o divisor é 5. Essa divisão é possível
ou impossível? Por quê?
Impossível; o resto não pode ser maior que o divisor.
Lopolo/Shutterstock
27 Leia cada afirmação a respeito da operação
da divisão e indique se está certa ou errada?
a) O quociente pode ser menor que o divisor.
certa
b) O quociente pode ser maior que o divisor.
certa
c) O resto pode ser menor que o quociente.
certa
d) O resto pode ser maior que o quociente.
certa
e) O resto pode ser menor que o divisor.
certa
f) O resto pode ser maior que o divisor.
errada
24 Contando a partir de um domingo, em que
dia da semana cai o milésimo dia? sexta-feira
25 Uma indústria de fósforos produz caixas
com 40 palitos. Se a produção diária é de
64 267 palitos, responda:
a) Essa produção dá para preencher quantas caixas? 1 606 caixas
66
Unidade 1
Números e operações
28 Após chover na cidade de São Paulo, as
águas da chuva desceram o rio Tietê até o
rio Paraná, percorrendo cerca de 1 000 quilômetros. A cada hora as águas desciam
4 quilômetros.
a) Em quantas horas as águas fizeram o percurso mencionado? 250 horas
b) Quantos dias durou esse percurso?
10 dias e 10 horas
Desafios
Ilustrações: Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Pense e economize
Jarbas precisa alugar uma vaga no estacionamento por um ano. Pagando por mês em vez de pagar por
semana, quanto ele vai economizar ao final do ano? R$ 640,00
Torneio de pingue-pongue
Em uma escola vai ser organizado um campeonato de pingue-pongue com 128 participantes. O sistema utilizado será o de jogos eliminatórios (quem perde sai e quem ganha passa à fase seguinte). Quantas
partidas terão de ser disputadas até se chegar ao campeão do torneio? 127 partidas
Economia
Numa lanchonete, o suco de frutas é vendido em copos de 200 mililitros ou em garrafas de 600 mililitros. O copo, cheio, custa R$ 3,00, e a garrafa, R$ 8,00. Em qual das embalagens o suco sai mais barato?
Na garrafa.
Capítulo 4
Divisão
67
Vamos mudar a unidade de tempo
Hoch Zwei/Zuma Press/Fotoarena
O tempo da corrida
Em uma corrida de Fórmula 1 deste ano, o
piloto campeão levou 1 h 56 min 10 s para completar todas as voltas e ganhar a corrida.
No ano passado, o mesmo piloto ganhou a
corrida em 6 775 s.
Para ganhar a corrida, o campeão demorou
mais tempo neste ano ou no ano passado?
Essa pergunta pode ser respondida de duas
maneiras:
O circuito Albert Park, localizado perto da cidade de
Melbourne, Austrália, recebe a Fórmula 1 desde 1996.
Foto de março de 2018.
• Transformando 1 h 56 min 10 s em segundos:
1 h 56 min 10 s 5 1 hora 1 56 minutos 1 10 segundos
Temos:
1 hora 5 60 minutos 5 60 3 60 segundos 5 3 600 segundos
56 minutos 5 56 3 60 segundos 5 3 360 segundos
Então:
1 h 56 min 10 s 5 3 600 s 1 3 360 s 1 10 s 5 6 970 s
Comparando os resultados, o tempo de 6 775 s do ano passado é menor que o de 6 970 s deste ano.
• Transformando 6 775 s em horas:
Primeiro calculamos quantos minutos
existem em 6 775 s, dividindo
6 775 por 60:
6 775
2 60
77
2 60
175
2 120
55
60
112
Então: 6 775 s 5 112 min 55 s
Agora calculamos quantas horas existem em 112 min, dividindo 112 por 60:
112
2 60
60
1
52
Então, 112 min 5 1 h 52 min e 6 775 s 5 1 h 52 min 55 s
Comparando os resultados, 1 h 52 min 55 s é menos tempo que 1 h 56 min 10 s.
Portanto, o piloto foi mais rápido no ano passado.
Observação: 1 h 52 min 55 s e 1 h 56 min 10 s são exemplos de medidas mistas, isto é, são medidas
expressas em diferentes unidades (nesse caso, hora, minuto e segundo).
68
Unidade 1
Números e operações
Exercícios
29 Quantas horas há:
a) em uma quinzena?
b) em um mês?
30 Quantos minutos há:
a) em um trimestre?
b) em meia hora?
360 h
129 600 min
33 Transforme em número misto:
(me 5 mês comercial)
a) 194 me 16 a 2 me
b) 945 h 1 me 9 d 9 h
720 h
34 Compare as medidas de tempo usando 5,
, ou ..
a) 2 h 17 min e 217 min ,
b) 1 d 4 h e 1 600 min .
30 min
31 Transforme em número misto:
a) 80 000 min
c) 96 s 1 min 36 s
1 me 25 d 13 h 20 min
b) 100 h 4 d 4 h
d) 7 284 s 2 h 1 min 24 s
35 Quantos dias tem 1 a 3 me 4 d?
(a 5 ano comercial)
32 Compare e responda, usando um dos sinais:
5, , (menor) ou . (maior).
a) 7 min 36 s e 456 s 5
b) 3 h 36 min e 12 900 s .
454 d
O ano comercial tem 360 dias.
O mês comercial, 30 dias.
Operações com medidas mistas
Adição
Na histórica partida de futebol Brasil 3 Alemanha da Copa do Mundo de 2014, em Belo Horizonte
(MG), o juiz apitou o final do primeiro tempo quando eram decorridos 45 min 58 s. O segundo tempo
durou 46 min 55 s. Quanto tempo de jogo durou essa partida?
Primeiro tempo:
Segundo tempo:
1
45 min 58 s
46 min 55 s
91 min 113 s
Total:
5
1 min 53 s
92 min 53 s 5 1 h 32 min 53 s
1 h 32 min
A partida teve 1 h 32 min 53 s de jogo.
Subtração
No exemplo “O tempo da corrida”, quanto tempo a mais que no ano passado o piloto gastou este ano
para ganhar a corrida?
este ano:
ano passado:
2
1 h 56 min 10 s
1 h 52 min 55 s
?
2
1 h 55 min 70 s
1 h 52 min 55 s
3 min 15 s
Ele gastou 3 min 15 s a mais que no ano passado.
Capítulo 4
Divisão
69
Multiplicação por um número natural
Vamos imaginar que o piloto tenha feito, em um fim de semana, uma viagem que durou o triplo do
tempo que ele gastou na corrida deste ano.
Quanto tempo durou essa viagem?
Vamos multiplicar 1 h 56 min 10 s por 3. Multiplicamos cada parte da medida mista. Observe:
1 h 56 min 10 s
33
3 h 168 min 30 s 5 5 h 48 min 30 s
2 h 48 min
A viagem durou 5 h 48 min 30 s.
Divisão por um número natural
Exatamente na metade do tempo de duração dessa viagem, o piloto parou para abastecer o carro e
tomar um café. Após quanto tempo do início da viagem ele parou?
Vamos dividir 5 h 48 min 30 s por 2.
Dividimos cada parte da medida mista. Se houver resto, transformamos na unidade imediatamente
inferior antes da divisão seguinte.
Observe:
• 1a etapa
Dividimos as horas.
5 h 48 min 30 s 2
1h
2h
• 2a etapa
Substituímos 1 h por 60 min e adicionamos os minutos. Depois, dividimos a soma dos minutos.
5h
1h
1
48 min
30 s 2
60 min
2 h 54 min
108 min
2
108 min
0
• 3a etapa
Dividimos os segundos.
5h
1h
1
30 s 2
2
60 min 30 s 2 h 54 min 15 s
48 min
108 min
2
108 min
0
Ele parou após 2 h 54 min 15 s de viagem.
70
Unidade 1
Números e operações
0
Exercícios
36 Para participar de um congresso de livreiros
em Belo Horizonte (MG), Arnaldo tomou o
ônibus em Campinas às 6 h 40 min e chegou a Belo Horizonte às 14 h 4 min. Ele ficou
tão cansado que foi dormir às 21 h 15 min e
só acordou às 7 h 32 min do dia seguinte.
a) Quanto tempo demorou a viagem? 7 h 24 min
b) Quanto tempo ele dormiu? 10 h 17 min
37 Os dois tempos de uma partida de futebol
duraram exatamente 48 min 40 s cada um.
Quanto tempo durou toda a partida, sem
contar o intervalo? 97 min 20 s
38 Na partida de futebol Brasil 3 Alemanha citada anteriormente, o segundo tempo durou
quanto a mais do que o primeiro tempo? 57 s
39 Maria Clara leu três livros em exatamente
2 h 44 min. Se ela gastou o mesmo tempo
para ler cada um, em quanto tempo ela leu
os dois primeiros livros? 1 h 49 min 20 s
40 Calcule:
a) 3 h 5 min 1 4 h 37 min 7 h 42 min
b) 5 h 52 min 2 4 h 47 min 1 h 5 min
c) (6 h 12 min 5 s) 3 3 18 h 36 min 15 s
d) (8 h 19 min 56 s) ; 4 2 h 4 min 59 s
e) 3 min 2 2 min 38 s 22 s
f) (5 d 16 h) 3 5 28 d 8 h
41 O último jogo de xadrez que Ian disputou
começou às 9 h 50 min 40 s e terminou às
11 h 40 min 36 s, sem intervalos. Qual foi o
tempo de jogo? 1 h 49 min 56 s
42 Em um campeonato intermunicipal de vôlei
feminino do estado de Minas Gerais, o time
de Delfinópolis disputou uma partida com o
time de Olhos D’Água. A partida começou
às 8 h 30 min. Foram jogados 5 sets com as
seguintes durações:
• 1o set: 20 min 45 s
• 2o set: 22 min 15 s
• 3o set: 35 min 40 s
• 4o set: 17 min 30 s
• 5o set: 15 min 10 s
Os intervalos entre os sets foram de 3 minutos. A que horas terminou o jogo? Às 10 h 33 min 20 s
43 Todos os dias Celso vai a pé para o serviço.
A livraria onde ele trabalha dista 2 208 metros da sua casa e ele consegue andar ao
ritmo de 80 metros por minuto. Na segunda-feira, ao sair de casa às 7 h da manhã,
Celso acertou o relógio.
a) Quanto tempo Celso gasta para ir a pé
de casa ao trabalho? 27 min 36 s
b) Se o relógio de Celso atrasa 1 segundo por
hora, quando for exatamente 8 h da noite,
que horas o relógio estará marcando?
19 h 59 min 47 s
Leia esta tirinha de Munhoz e depois responda às questões 44 e 45:
© Munhoz/Acervo do cartunista
DENTE DE LEITE
Capítulo 4
Divisão
71
44 Se o garoto calculou corretamente quanto
tempo falta para o Natal, em que dia e hora
do mês de dezembro ocorreu esse diálogo?
45 Se o diálogo ocorreu em 2016, em que ano
o menino espera que a previsão (possivelmente da sua mãe) se realize? 2064
dia 8, às 23 h 14 min 33 s
Desafio
A matemática do eclipse
Leia as informações sobre um eclipse lunar ocorrido em 2017.
O eclipse da Lua
4 h 32
A sombra da Terra
começou a cobrir a Lua
5 h 40
A sombra cobriu a
Lua por completo
6 h 53
A sombra começou
a se afastar da Lua
8 h 01
Fim do eclipse: A Lua
estava iluminada pelo Sol
Banco de imagens/Arquivo da editora
Observadores da América do Norte e do oeste da América do Sul puderam observar o fenômeno. Veja as fases do evento, considerando o horário de verão de Brasília.
Às 6 h 21, a Lua se pôs e o Sol nasceu. Assim, o fenômeno pôde ser observado das 4 h 32
até 6 h 21.
Fonte dos dados: <www2.uol.com.br/sciam/noticias/eclipse_lunar_
pode_ser_visto_nesta_madrugada.html>. Acesso em: 14 mar. 2018.
Problemas sobre partições
Os presentes de Natal
Carol e Marco vão retirar R$ 800,00 de sua poupança e dar
aos filhos, Enzo e Bruno, para que comprem eles mesmos os
seus presentes de Natal. Como Enzo é mais velho, vai receber
R$ 100,00 a mais que Bruno. Quanto cada um vai receber?
Separando os R$ 100,00 que Enzo vai receber a mais, o
restante será dividido igualmente entre os dois:
800 2 100 5 700
700 4 2 5 350
Então, Bruno vai receber R$ 350,00 e Enzo, que receberá
R$ 100,00 a mais, ficará com R$ 450,00.
72
Unidade 1
Números e operações
Golden Pixels LLC/Shutterstock
Usando os dados dessa notícia, crie um problema que possa ser resolvido por meio de operações matemáticas. Depois, troque com um colega para que um resolva o problema que o outro criou.
Vamos conferir? Carol e Marco vão retirar R$ 800,00 e o que Enzo e
Bruno vão receber somam:
R$ 450,00 1 R$ 350,00 5 R$ 800,00
Sempre verifique se a
resposta está correta,
de acordo com as
informações dadas.
Portanto, os cálculos estão corretos.
Vamos resolver mais problemas sobre partições e as quatro operações fundamentais. As perguntas
ajudarão a desenvolver o raciocínio em cada situação.
Exercícios
Calculando a soma e a diferença. A soma deve ser
R$ 3.200,00, e a diferença, R$ 840,00.
47 As idades de três irmãos somam 116 anos.
Gustavo, o mais velho, tem 3 anos a mais
que Arnaldo e 7 anos a mais que Eliete, a
mais nova.
a) Quantos anos Arnaldo tem a mais que
Eliete? 4 anos
b) Da soma das três idades, subtraindo os
anos que Gustavo e Arnaldo têm a mais
que Eliete, quantos anos sobram? 105 anos
c) Qual é a idade de Eliete? 35 anos
d) E a de Arnaldo? 39 anos
e) E a de Gustavo? 42 anos
49 As populações das cidades Paraíso e Bela
Vista somam 69 600 habitantes. Paraíso tem
o quíntuplo da população de Bela Vista.
11 600
a) Quantos são os habitantes de Bela Vista?
b) E de Paraíso? 58 000
quíntuplo 5 cinco vezes
50 No Natal, uma loja distribuiu a quantia de
R$ 10.000,00 em prêmios ao gerente e seus
seis vendedores. Se os vendedores receberam partes iguais e o gerente recebeu o
dobro do prêmio de um vendedor, quanto
R$ 2.500,00;
recebeu cada um? Gerente:
cada vendedor: R$ 1.250,00
Pressmaster/Shutterstock
46 Roberto e Renata ganham, juntos, R$ 3.200,00
por mês. Roberto ganha R$ 840,00 a mais
que Renata.
a) Do total dos dois salários, subtraindo o
que Roberto ganha a mais, quanto sobra
para dividir entre ambos? R$ 2.360,00
b) Quanto ganha Renata? R$ 1.180,00
c) Quanto ganha Roberto? R$ 2.020,00
d) Como você pode conferir se as respostas
dos itens b e c estão certas?
48 A soma de dois números é 144. O maior deles é o triplo do menor.
a) Se o maior é três vezes o menor, a soma
dos dois é quantas vezes o menor? 4 vezes
b) Qual é o menor número? 36
c) Qual é o maior? 108
51 As idades de dois irmãos são números ímpares consecutivos. Somando a idade do mais
novo, João, ao triplo da idade do mais velho, Alcides, resulta exatamente 90 anos.
2 anos
a) Quantos anos Alcides tem a mais que João?
b) A idade de Alcides, somada ao seu triplo,
dá quantos anos? 92 anos
c) Essa soma é quantas vezes a idade de
Alcides? 4 vezes
d) Qual é a idade de Alcides? 23 anos
e) E qual é a idade de João? 21 anos
Verifique se as respostas dos itens b e c estão corretas.
Verifique se as respostas dos itens d e e estão
corretas de acordo com as informações dadas.
Verifique se as respostas dos itens c, d e e
estão corretas (de acordo com os dados do
problema).
Capítulo 4
Divisão
73
Confira se as respostas dos itens d e e estão
corretas, calculando o total de veículos e o
total de rodas.
b) Quanto foi arrecadado a mais do que o
valor calculado no item a? R$ 675,00
c) Cada passageiro da classe especial contribui com quanto a mais na arrecadação?
R$ 45,00
d) Quantos eram os passageiros na classe
especial? 15 passageiros
e) E na classe econômica? 62 passageiros
Confira se as respostas dos itens d e e estão corretas.
54 Mário e Paula foram a um show beneficente no estádio municipal. Um pouco antes do
início, foi anunciado pelo alto-falante o público presente, 2 640 pessoas, e o total da
renda arrecadada com a venda dos ingressos, R$ 43.500,00. Quantos ingressos de arquibancada foram vendidos? 2 250 ingressos
53 Num voo com 77 passageiros, a Cia. Aérea
arrecadou um total de R$ 11.070,00 em passagens. Foram vendidas passagens para a
classe econômica, a R$ 135,00 cada uma, e
para a classe especial, a R$ 180,00 cada uma.
a) Se todos os passageiros tivessem viajado
na classe econômica, quanto teria sido
arrecadado? R$ 10.395,00
55 Vamos conhecer o comércio da rua do Sol? Há o Cine Pirapora, a Barbearia do Miguel, o Restaurante do Quim e a Sorveteria Gelada.
Sabe quem também mora na rua do Sol? O Tonhão. No jogo de basquete que disputou ontem,
ele fez 5 pontos a mais que Rafael, e Fabinho fez 3 pontos a mais que Rafael. Juntos, eles fizeram
23 pontos. Quantos pontos fez cada um? Rafael: 5; Tonhão: 10; Fabinho: 8
74
Unidade 1
Números e operações
Ilustrações: Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
52 Ricardo contou o número de rodas dos veículos estacionados na rua do Sol, onde mora:
98 rodas, considerando as rodas de carros e
as de motos. Ao todo, eram 27 veículos.
a) Se fossem 27 motos, quantas rodas seriam? 54 rodas
b) Quantas rodas foram contadas a mais do
que essa quantidade? 44 rodas
c) Essas rodas a mais são devidas aos automóveis. Cada automóvel contribui com
quantas rodas a mais? 2 rodas
d) Quantos são os automóveis? 22 automóveis
e) E as motos? 5 motos
57 Na última sessão do Cine Pirapora, foram
vendidos 240 ingressos e o total arrecadado
com essa venda foi de R$ 2.040,00. Quantos
ingressos foram vendidos para estudantes?
59 Em dia de sol, a Sorveteria Gelada fatura
R$ 250,00 a mais que em dia de chuva. Em
três dias de sol e dois dias de chuva, ela faturou R$ 2.650,00.
a) Quanto ela fatura em dia de chuva? R$ 380,00
b) Quanto ela fatura em dia de sol? R$ 630,00
c) Em dois dias de sol e três dias de chuva,
quanto ela fatura? R$ 2.400,00
Ilustrações: Ilustra Cartoon/
Arquivo da editora
56 Tonhão tem três anos a mais que Ricardo. A
idade de Tonhão mais o quíntuplo da idade
de Ricardo é igual a 75 anos.
a) Qual é a idade de Ricardo? 12 anos
b) E qual é a idade de Tonhão? 15 anos
72 ingressos
58 Miguel fez 12 cortes de cabelo e ganhou
R$ 216,00. Quantos foram os cortes feitos
em adultos? 9 cortes
60 No Restaurante do Quim, foram vendidos
hoje 22 pratos do dia e 14 pratos especiais.
O total arrecadado foi R$ 600,00. Quanto
seria arrecadado se fossem vendidos 30 pratos do dia e 20 pratos especiais? R$ 840,00
Capítulo 4
Divisão
75
Desafios
AP Photo/Glow Images
Quem foi ele?
Certo presidente da República
governou o país durante cinco anos
consecutivos. A soma de todos os
anos de seu mandato é 9 790.
Em que anos o Brasil foi governado por esse homem? Qual é o
nome dele?
De 1956 a 1960; Juscelino Kubitschek de Oliveira.
21o presidente do Brasil, nascido em 1902 e morto em 1976. O lema
de seu governo era: “Cinquenta anos em cinco”. Foto de 1960.
Acerte as contas
a) Trocando um algarismo.
Para que esta conta fique correta, é preciso trocar um mesmo algarismo, em todos os lugares onde ele
aparecer, por outro algarismo, que não apareceu nenhuma vez. Acerte a conta.
1
87 284
72 947
124 231
b) Deslocando dois palitos.
87 684
76 947
164 631
c) Deslocando três palitos.
Esta conta ficará correta se forem mudados
três palitos de lugar. Acerte-a.
Ilustrações: Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Para que esta conta fique correta, é preciso
mudar dois palitos de lugar. Acerte-a.
1
76
Unidade 1
Números e operações
Matemática em notícia
Brasileiro tira de circulação um terço
das moedas emitidas no país por ano
Dado Photos/Shutterstock
O hábito dos brasileiros, de encher cofrinhos, tira de circulação um terço das moedas emitidas no país por ano. Para desespero de comerciantes, caixas e cobradores de ônibus, a população guarda até 7,4 bilhões de unidades que deveriam estar no mercado, facilitando o troco
e viabilizando transações. [...]
O Banco Central (BC) explica que esse fenômeno de guardar moedas em cofrinhos, gavetas
ou no carro, chamado “entesouramento”, ocorre no mundo inteiro. Estudos da instituição apontam que os brasileiros entesouram 7,4 bilhões de moedas. [...] “Em 2017, já foram disponibilizadas
mais 86,7 milhões de moedas, alcançando 119 moedas por habitante”, explica, por meio da assessoria de imprensa. Existem em circulação 24,68 bilhões de unidades de moedas ou R$ 6,23 bilhões em valor, o que corresponde a uma disponibilidade per capita de R$ 30. [...]
Disponível em: <www.correiobraziliense.com.br/app/noticia/economia/2017/02/13/internas_economia,573091/porque-o-brasileiro-tira-de-circulacao-um-terco-das-moedas-emitidas.shtml>. Acesso em: 14 mar. 2018.
As tabelas a seguir exibem a quantidade de moedas em circulação no país em 1o de setembro de 2017.
As moedas atuais são da segunda família, as de inox foram lançadas na criação do Real em 1994.
Moedas – 2a família
Moedas – 1a família (inox)
Denominação
Quantidade
Valor (R$)
Denominação
Quantidade
Valor (R$)
1 centavo
1 200 253 201
12.002.532,01
1 centavo
1 990 854 060
19.908.540,60
5 centavos
5 015 350 542
250.767.527,10
5 centavos
1 319 534 444
65.976.722,20
10 centavos
5 268 314 864
526.831.486,40
10 centavos
1 400 607 009
140.060.700,90
25 centavos
2 484 902 876
621.225.719,00
25 centavos
425 892 783
106.473.195,75
50 centavos
2 313 685 368
1.156.842.684,00
50 centavos
481 819 990
240.909.995,00
1 real
2 812 513 542
2.812.513.542,00
1 real
35 422 946
35.422.946,00
Total
19 095 020 393
5.380.183.490,51
Total
5 654 131 232
608.752.100,45
Fonte: Banco Central do Brasil – Meio Circulante
Disponível em: <www4.bcb.gov.br/adm/mecir/Resposta.asp>. Acesso em: 28 out. 2017.
A falta de moedas cria problemas, principalmente para fazer trocos em pagamentos de pequenos
valores. Responda:
1
Para pagar 3 reais e 83 centavos numa padaria, uma senhora deu uma cédula de 5 reais. Quanto ela
deve receber de troco? Quantas moedas, no mínimo, ela deve receber perfazendo troco exato?
2
Aponte alguns motivos para a falta de moedas no mercado.
3
Pelas tabelas apresentadas, a quantidade de moedas em circulação no país era da ordem de
bilhões de reais. Que números devem ser escritos nos
?
lhões, num valor aproximado de
1 real e 17 centavos; 5 moedas
4
Ver Manual do Professor
bi25; 6
Quantas moedas aproximadamente estavam sendo usadas no dia a dia no ano de 2017, se estimarmos que de cada 10 moedas eram usadas apenas 6? 15 bilhões de moedas
77
CAPÍTULO
5
Potenciação e
radiciação
Potência
Quantos bisavós?
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Veja os retratos dos pais, dos avós e dos bisavós de Gabriela.
bisavós
avós
pais
Gabriela
Os bisavós de Gabriela estão todos vivos. Quantos eles são?
Observe:
• Gabriela tem 2 pais (pai e mãe);
• cada um dos pais tem 2 pais (avós de Gabriela);
• cada um dos avós tem 2 pais (bisavós de Gabriela).
Ao todo, os bisavós de Gabriela são 2 3 2 3 2. Portanto, são 8.
Participe
Na figura a seguir, há duas bolinhas azuis. Cada bolinha azul está ligada a duas bolinhas vermelhas.
Wilson Jorge Filho/
Arquivo da editora
a) Quantas são as bolinhas vermelhas?
78
Unidade 1
Números e operações
23254
Cada bolinha vermelha está ligada a duas bolinhas verdes.
b) Quantas são as bolinhas verdes?
43258
Cada bolinha verde está ligada a duas bolinhas amarelas.
c) Quantas são as bolinhas amarelas?
8 3 2 5 16
Cada bolinha amarela está ligada a duas bolinhas marrons.
d) Quantas são as bolinhas marrons?
16 3 2 5 32
Para continuar a figura, cada bolinha marrom será ligada a 2 bolinhas roxas.
e) Quantas serão as bolinhas roxas?
32 3 2 5 64
Agora, imagine que são três bolinhas azuis, cada uma ligada a três bolinhas vermelhas, cada vermelha
ligada a três verdes, cada verde ligada a três amarelas, cada amarela ligada a três marrons.
f) Quantas serão as bolinhas vermelhas?
g) E as verdes?
33359
9 3 3 5 27
h) E as amarelas?
27 3 3 5 81
i) E as marrons?
81 3 3 5 243
Confira as respostas no final do livro.
O produto 2 3 2 3 2, de três fatores iguais a 2, é exemplo de uma potência. Indicamos:
2 3 2 3 2 5 23 (Lê-se: “dois elevado à terceira”.)
Uma potência é um produto de fatores iguais. Potência é o resultado da operação chamada potenciação.
Na potenciação:
• a base é o fator que se repete;
• o expoente é o número de vezes que repetimos a base.
expoente
base
2358
potência
Veja outros exemplos.
Exemplo 1
10 3 10 3 10 3 10 5 104
expoente
(Lê-se: "dez elevado à quarta".)
base
Temos:
104 5 10 3 10 3 10 3 10 5 10 000
4a potência de 10
4 fatores iguais à base
Exemplo 2
E qual é a potência de base 3 e expoente 5?
35 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 243
Capítulo 5
Potenciação e radiciação
79
Exercícios
a) Quantos eram os carros?
b) Quantas rodas havia? 64
c) Quantos parafusos? 256
2
16
4 3 4 3 4 5 64
131313151
c) 25
d) 26
b)
62
82
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 64
8
Indique na forma de potência:
3
5
2
67
Com bolinhas de isopor ligadas por espetinhos de madeira construímos os quadrados
representados nas figuras abaixo. Indique,
na forma de potência de expoente 2, a
quantidade de bolinhas de cada quadrado.
a)
22
Qual é o valor da potência?
a) A base é 2 e o expoente é 6. 64
b) A base é 0 e o expoente é 9. 0
c) A base é 10 e o expoente é 5. 100 000
d) A base é 6 e o expoente é 2. 36
5
a)
2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 32
a) 7 3 7 3 7 7
b) 8 3 8 3 8 3 8 3 8 8
c) 12 3 12 12
d) 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6
4
Num quadriculado, cada quadradinho é
chamado célula. Quantas células há em
cada quadriculado abaixo? Indique por potências de expoente 2.
Indique na forma de produto e calcule:
a) 43
b) 14
3
7
Eram 4 irmãos. Cada um tinha 4 carros. Cada
carro, 4 rodas, e cada roda, 4 parafusos.
Ilustrações: Banco de imagens/
Arquivo da editora
1
b)
32
Na segunda-feira, 10 pessoas ficaram sabendo de uma notícia. Na terça-feira cada
pessoa contou a notícia para outras 10, e estas, na quarta-feira, contaram, cada qual,
para outras 10. Nenhuma dessas pessoas
sabia da notícia antes.
c)
a) Quantas pessoas ficaram sabendo da notícia na terça-feira? 100
b) Quantas pessoas ficaram sabendo da notícia na quarta-feira? 1 000
c) Até quarta-feira, quantas pessoas já sabiam da notícia? 1 110
6
Qual é maior:
a) 32 ou 23?
b) 42 ou 24?
80
Unidade 1
32
São iguais.
c) 52 ou 25?
d) 03 ou 05?
Números e operações
25
São iguais.
d)
Fotos: Cristina Xavier/Arquivo da editora
Ilustra Cartoon/
Arquivo da editora
42
52
12 Relacione a ficha A com a ficha B:
A segunda potência de um número
é chamada quadrado do número.
Assim, 42 lê-se “quatro ao
quadrado” e o quadrado de 5 é 52
(cinco ao quadrado).
A
cubo de 6
216
9
Calcule o quadrado de cada número.
a) 5 25
b) 10 100
c) 6 36
d) 15 225
e) 12 144
f) 100 10 000
4a potência de 3
81
5a potência de 3
10 Também construímos um cubo com bolinhas de isopor ligadas por espetinhos de
madeira (imagine a forma de um dado). Indique a potência de expoente 3 que representa a quantidade de bolinhas. 2
243
8a potência de 2
256
Cristina Xavier/Arquivo da editora
3
quadrado de 11
121
B
256
243
121
81
216
13 Escreva, sem calcular, como se representa:
a) o dobro de 999;
2 3 999
b) o quadrado de 999;
A terceira potência de um número
é chamada cubo de um número.
Assim, o cubo de 2 é 23 (dois ao cubo).
11 Calcule o cubo de cada número das fichas a
seguir.
a)
2
d)
8
3
27
c) o cubo de 999;
9993
d) o triplo de 999;
3 3 999
e) o dobro do número n;
c)
5
10
125
n3
h) o triplo do número n.
33n
14 Calcule as potências de base 10 e observe o
número de zeros em cada resultado.
a) 102
f)
1 000
c) 10
8
100
n2
g) o cubo do número n;
b) 10
e)
23n
f) o quadrado do número n;
3
b)
9992
4
100
1 000
10 000
d) 105
100 000
6
1 000 000
7
10 000 000
e) 10
f) 10
512
1 000 000
15 Pelo que você observou no exercício anterior, pode-se concluir que 1012 resulta em 1
seguido de quantos zeros? Como se lê esse
número? 12 zeros; um trilhão
Capítulo 5
Potenciação e radiciação
81
16 Digitei na calculadora:
3
5
5
3
5
3
3
5
5
3
5
3
3
5
5
5
O resultado que apareceu no visor foi 390 625.
a) Que potência calculei?
58
b) Quanto é 59?
c) E 57?
1 953 125
78 125
17 Sabendo que 66 5 46 656, por quanto devemos multiplicar 46 656 para calcular 68? Qual é o valor de 68?
36; 1 679 616
18 Com o auxílio de uma calculadora, calcule:
b) 114 14 641
a) 113 1 331
c) 115
19 Sem auxílio de uma calculadora, calcule:
b) 1 0012
a) 1012 10 201
c) 10 0012
1 002 001
161 051
100 020 001
20 Observe o padrão nas respostas do exercício anterior. Seguindo esse padrão, responda sem fazer a
conta: quanto é 100 0012? Confirme sua resposta fazendo a conta. 10 000 200 001
Que número é?
Vamos agora fazer uma conta usando potências!
Qual é o resultado de:
5 ? 103 1 6 ? 102 1 7 ? 10 1 8?
Como 103 5 1 000 e 102 5 100, temos:
5 ? 1 000 1 6 ? 100 1 7 ? 10 1 8
5 000 1 600 1 70 1 8
5 678
O resultado procurado é 5 678.
Vamos calcular expressões aritméticas com potências
As expressões aritméticas com potências podem ser resolvidas da seguinte forma:
• calculamos separadamente cada potência indicada;
• substituímos o valor de cada potência na expressão e, depois, efetuamos as operações indicadas.
Não se esqueça de que, em expressões com parênteses dentro de colchetes e estes dentro de chaves, devemos resolver primeiro os parênteses, em seguida os colchetes e, por último, as chaves.
Observe os exemplos a seguir:
Exemplo 1
Exemplo 2
Calculemos 3 ? 24 1 25.
Calculemos 62 2 32 1 (2 1 1)3.
Temos:
Temos:
2 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 16
62 5 6 ? 6 5 36
25 5 16 ? 2 5 32
32 5 3 ? 3 5 9
4
Então: 3 ? 24 1 25 5 3 ? 16 1 32 5
5 48 1 32 5 80
82
Unidade 1
Números e operações
(2 1 1)3 5 33 5 3 ? 3 ? 3 5 27
Então: 62 2 32 1 (2 1 1)3 5 36 2 9 1 27 5 27 1 27 5 54
Exercícios
21 Na brincadeira da cabra-cega, Ricardo, de olhos vendados, tenta pegar cada um dos seus amigos. Vamos ajudá-lo resolvendo as expressões a seguir. Cada expressão resolvida corresponde a uma criança
pega na brincadeira. As crianças devem ser pegas na ordem das expressões, de a até f. Associe o resultado de cada expressão matemática (indicado na camiseta) ao nome de uma criança.
Alexandre
Maurício
André
Luciana
Maurício; Talita
Priscila
Ricardo
Gabriela
Talita
a) 5 ? 23 1 72 89; Maurício
b) 52 ? 3 2 62 ; 2 57; Gabriela
Luis Ricardo Montanari/Arquivo da editora
Quem vai ser pego primeiro? Qual das crianças não será pega?
c) 32 ? 24 1 1 145; Alexandre
d) 24 2 3 ? 5 1 32 10; André
e) 2 ? 42 1 82 ; 24 36; Luciana
f ) 17 2 3 ? 22 1 25 37; Priscila
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
22 Quem é o dono de cada pipa? Que número está na pipa cujo dono não conhecemos? Descubra, resolvendo as expressões. 81
Raul
5 ? 4 1 25
Marina
25 2 24 1 32
25
52
Lílian
23 ? 10 2 22 ? 23
Gabriel
33 ? 42
Capítulo 5
48
432
Potenciação e radiciação
83
23 Calcule as expressões.
a) (5 1 1)2 2 5 ? 6 6
b) 17 2 (2 ? 2)2 1 (4 2 1)3 28
c) (8 ; 2)3 1 (8 2 2)2 100
24 Numa biblioteca, as crianças escolhem livros para ler. Vamos descobrir quem retirou cada livro calculando as expressões a seguir e associando os resultados aos números impressos nas camisetas
da turma.
a) O menino do dedo verde: (3 1 2)2 ? 4 2 100
b) A história do livro: 7 1 (5 ? 2)2 2 (32 2 8)5
0
106
c) Caçadas de Pedrinho: (5 1 2 ? 3) 2 (17 2 24)
2
120
d) Um trem de janelas acesas: (3 1 22)2 1 4 ? 52
149
e) O menino maluquinho: (2 ; 4 ) 1 (3 2 2 )
2
4
2 10
2
3 9
25
Foto: Stefan Holm/Shutterstock; ilustração: Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
f) Mano descobre o amor: (17 2 2 ? 23)3 ? (25 2 33)2
Rogério
Ana
Raquel
Luísa
Antônio
Tales
Qual desses livros não foi retirado?
Quem não retirou livro algum?
A história do livro
Ana
25 Qual é o expoente?
84
a) 4 5 64
3
c) 10 5 1 000
b) 3 5 81
4
d) 2 5 32
Unidade 1
Números e operações
5
3
Quadrado de quanto?
O número 49 é o quadrado de quanto?
Observe esta tabela de quadrados:
Número
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Quadrado do
número
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
O número 49 é o quadrado de 7. Temos:
72 5 7 ? 7 5 49
Quadrados perfeitos
Elevando ao quadrado os números naturais:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
obtemos os números chamados quadrados perfeitos:
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...
Podemos aumentar essa sequência calculando 112, 122, 132, 142, etc.
Raiz quadrada
O número natural que elevado ao quadrado resulta em um número quadrado perfeito é chamado raiz
quadrada aritmética desse número.
O número 49 é um quadrado perfeito porque 49 5 72.
O número 7 é chamado raiz quadrada aritmética de 49. Indicamos:
49 5 7 (Lê-se: “a raiz quadrada de 49 é 7”.)
Então, podemos construir a tabela:
Quadrado perfeito
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
Raiz quadrada
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Exemplos
0 5 0, 1 5 1, 4 5 2, 9 5 3
Calcular uma raiz quadrada é realizar uma operação chamada radiciação.
Exercícios
26 Indique o valor de:
a) 16
b) 36
4
c)
6
81
9
27 Calcule o valor de:
a) 2 ?
25
2
514
14
b) 3 ?
4 2 9
Capítulo 5
3
Potenciação e radiciação
85
28 Complete a tabela a seguir.
Número n
n é quadrado perfeito?
Em caso afirmativo, quanto é n ?
25
sim
5
64
sim
8
80
não
100
sim
10
121
sim
11
144
sim
12
225
sim
15
75
não
75 não é quadrado perfeito
400
sim
20
625
sim
25
29 Digitei na calculadora as teclas:
1
9
5
6
e apareceu no visor o valor de 196 . Qual foi o resultado?
30 Use uma calculadora com a tecla
a)
2 025
14
e calcule:
b) 12544 1 9 604
45
210
Propriedades da potenciação
Nos exercícios seguintes vamos aprender propriedades da potenciação.
Vamos simplificar 104 ? 103. Observe:
104 ? 103 5 (10 ? 10 ? 10 ? 10) ? (10 ? 10 ? 10) 5 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10
4 fatores
3 fatores
7 fatores
Então: 104 ? 103 5 104 1 3 5 107
Simplificar uma express‹o é transformá-la numa expressão com
menos operações e cujo resultado seja o mesmo.
Agora é a sua vez!
86
Unidade 1
Números e operações
Exercícios
31 Simplifique:
a) 36 ? 32 3
b) 25 ? 27
8
32 Faça o que se pede em cada item.
a) Responda: certo ou errado?
I. 24 ? 22 5 48 errado
b) Substitua o
c) 23 ? 23 ? 24
212
II. 22 ? 23 5 26
d) 104 ? 103 ? 106 ? 107
210
1020
III. 210 ? 22 ? 26 5 218 certo
errado
pelo termo correto:
os expoentes.
Para simplificar o produto de potências de mesma base, conservamos a base e
adicionamos
33 Vamos simplificar 28 ; 25. Observe:
28 ; 25 5
2?2?2?2?2?2?2?2
52?2?2
2?2?2?2?2
3 fatores
Então: 28 ; 25 5 28 2 5 5 23
Agora é a sua vez! Simplifique:
a) 37 ; 32
b) 106 ; 104
35
c) 75 ; 73
102
d) 124 ; 122
72
122
34 Faça o que se pede.
pelo termo correto:
a) Substitua o
os
Para simplificar o quociente de potências de mesma base, não nula, conservamos a base e
subtraímos
expoentes.
b) Simplifique:
I. 107 ; 102
II. 212 ; 27
105
III. 219 ; 211
25
28
35 A expressão (92)3 indica uma potência de expoente 3 cuja base é a potência 92. Dizemos que se trata
de uma potência de potência. Vamos simplificá-la:
(92)3 5 92 ? 92 ? 92 5 92 1 2 1 2 5 93 ? 2
Então: (92)3 5 92 ? 3 5 96
Agora é a sua vez! Simplifique:
a) (35)2
310
b) (23)4
c) (56)3
212
36 Faça o que se pede em cada item.
a) Indique e simplifique:
I. A 5a potência da 3a potência de 8. (8 ) 5 8
II. A 10a potência da 4a potência de 25. (25 )
3 5
15
4 10
b) Substitua o
d) (25)4
518
220
III. O quadrado do cubo de 10. (10 )
IV. O cubo do cubo de 7. (7 ) 5 7
3 2
5 25 40
3 3
5 10 6
9
pelo termo correto:
Para simplificar potência de potência, conservamos a base e
os expoentes.
multiplicamos
Capítulo 5
Potenciação e radiciação
87
Casos especiais de potência
Vamos conhecer potências de expoente 1. As propriedades já estudadas continuam verdadeiras. Observe:
25 ; 24 5 32 ; 16 5 2
Quando as expressões são iguais
25 ; 24 5 25 2 4 5 21
então, 21 5 2.
os resultados devem ser iguais;
Também queremos que 31 ? 32 5 31 1 2 5 33 . Para isso, 31 5 3.
27
?9
Então, definimos:
Potência de expoente 1 é igual à base.
Exemplos
• 21 5 2
• 31 5 3
• 201 5 20
• 1 2371 5 1 237
Vamos conhecer agora potências de expoente 0.
Observe novamente com atenção:
62 ; 62 5 36 ; 36 5 1
Quando as expressões são iguais
62 ; 62 5 62 2 2 5 60
então, 60 5 1.
os resultados devem ser iguais;
Também queremos que 30 ? 32 5 30 1 2 5 32. Para isso, 30 5 1.
9
?9
Então, definimos:
Potência de base não nula e expoente 0 é igual a 1.
Exemplos
• 60 5 1
• 30 5 1
• 200 5 1
• 1000 5 1
• 1 2370 5 1
Exercícios
37 Dê o valor de cada potência.
c) 90 1
a) 71 7
b) 181 18
d) 2720
1
1
38 Classifique cada item como certo ou errado.
a) 1 5 100 certo
b) 170 5 340 certo
88
Unidade 1
Números e operações
39 Indique em cada item qual potência é maior.
a) 1201 ou 1120? 120
b) 3120 ou 0312? 312
0
40 Calcule o valor de cada potência.
a) 442 2 2 1
b) 3082 ; 2 308
41 Qual é o expoente?
a) 5 ? 5 ? 5 5 5
b) 5 ? 5 5 5
3
2
c) 5 5 5
1
d) 1 5 5
0
47 No passeio ao zoológico, as crianças se divertiram muito. Descubra o bicho de que
cada uma mais gostou. Para isso, calcule as
expressões e associe os resultados aos números impressos nas camisetas das crianças.
42 Calcule o valor em cada caso.
a) (80)2
10 0
b) (4 )
c) (33)1
1
27
1 4
d) (10 )
1
girafa
10 000
7
2 ? 51 2 3 ? 50
43 Simplifique, aplicando as propriedades da
potenciação (não precisa calcular):
a) 93 ? 94 ? 9
98
b) 3 ? 3 ? 4 ? 4
2
3
3
c) 520 ; 513
57
d) 517 ; 52
515
e) (32)3 ? (33)4 ? 35
f) 10 ; (10 )
8
2 3
10
6
b) E 9 ?
2 1 2 1 1 22 1 2 3
323
rinoceronte
2
11
32 2 3 ? 21 1 30 · √ 64
9
45 Já calculei 94. Deu 6 561.
a) Quanto é 9 ?
0
35 ? 47
44 Qual é o valor de 10 1 11 1 20 1 21 1 22?
5
elefante
15
4
114
59 049
gorila
0
2 ? 3 1 3 ? √16 1 4 ? 52
531 441
onça
46 Luciana e Gabriela participaram de uma gincana em que foi sorteada uma expressão
para cada garota calcular. O resultado correspondia à caixa que deveria ser aberta
para ver a próxima tarefa. Que caixa não foi
aberta? 3
2
2 ? [7 2 (√ 9 2 100)]
leão
0
16 : [3 1 (52 2 2 ? 51)]
Ilustrações: Luis Ricardo Montanari/Arquivo da editora
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
1
94
Luciana: (2 ? 43 2 32 ? 3 ? 30 2 50) ; 102
Luciana Alexandre Gabriela Nicolau Maurício Priscila Fabinho
1
Gabriela: 4 ? (43 2 32) ; (32 1 31 2 30) 2 23
2
De quem não sabemos a preferência?
Capítulo 5
Maurício
Potenciação e radiciação
89
Desafio
A lição de Laura
Laura recebeu o seguinte desafio:
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
“Encontre a maior soma possível adicionando um número de quatro algarismos a um número de três
algarismos, sendo os sete algarismos diferentes entre si”.
Ela resolveu o desafio brilhantemente e acertou a resposta. Qual foi a resposta de Laura?
10 617
Potências e sistemas de numeração
Fazendo a decomposição:
372 5 300 1 70 1 2
372 5 3 ? 100 1 7 ? 10 1 2 ? 1
372 5 3 ? 102 1 7 ? 101 1 2 ? 100
vemos que o número 372 é uma soma de potências de 10: são 3 potências 102, mais 7 potências 101,
mais 2 potências 100.
3
7
? 10
2
? 101
2
? 100
No sistema decimal,
as unidades são contadas
de dez em dez. Dez
unidades formam uma
dezena, dez dezenas
formam uma centena, etc.
Número escrito em sistema decimal: da direita para a esquerda, os algarismos indicam
de quantas potências de 10, de cada expoente 0, 1, 2, etc., ele é composto.
Outros exemplos:
• 548 5 5 ? 100 1 4 ? 10 1 8 5 5 ? 102 1 4 ? 101 1 8 ? 100
• 9 107 5 9 ? 1 000 1 1 ? 100 1 0 ? 10 1 7 5 9 ? 103 1 1 ? 102 1 0 ? 101 1 7 ? 100
90
Unidade 1
Números e operações
Exercícios
48 Decomponha os números a seguir em soma de potências de base 10 e expoente natural:
a) 1 958 1 ? 10 1 9 ? 10 1 5 ? 10 1 8 ? 10
b) 32 065 3 ? 10 1 2 ? 10 1 6 ? 10 1 5 ? 10
3
2
1
4
0
49 Que número é?
a) 6 ? 103 1 7 ? 102 1 8 ? 101 1 9 ? 100
b) 2 ? 103 1 8 ? 100 2 008
3
1
0
c) 2 ? 104 1 5 ? 103 1 1 ? 100 25 001
d) 6 ? 105 1 7 ? 103 1 8 ? 101 607 080
6 789
50 Um número escrito no sistema decimal tem quatro algarismos, sendo dois deles 1, e os outros dois, 0.
1 001, 1 010, 1 100
Que número é esse? (Dê todas as possibilidades.)
51 No sistema de numeração decimal:
a) qual é o maior número com cinco algarismos? 99 999
b) qual é o maior número com cinco algarismos diferentes? 98 765
c) qual é o menor número com cinco algarismos? 10 000
d) qual é o menor número com cinco algarismos diferentes? 10 234
52 Para paginar um livro, da página 1 à página 240, quantos algarismos são escritos? Lembre-se de contar as repetições e de que se trata de paginação feita no sistema decimal de numeração. 612 algarismos
53 Quais são os números que se escrevem com três algarismos no sistema decimal, usando apenas os algarismos 1 e 2? 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222
O sistema de numeração binário
Vimos que no sistema de numeração decimal os algarismos indicam como se decompõe o número
em soma de potências de 10.
Podemos decompor números em soma de potências de outras bases. Por exemplo, vamos usar a
base 2.
Lembre-se:
• 20 5 1
• 21 5 2
• 22 5 4
• 23 5 8
• 24 5 16
• 25 5 32, etc.
Exemplos
7541211
11 5 8 1 2 1 1
7 5 22 1 21 1 20
11 5 23 1 21 1 20
7 5 1 ? 22 1 1 ? 21 1 1 ? 20
11 5 1 ? 23 1 0 ? 22 1 1 ? 21 1 1 ? 20
Nessa decomposição, cada potência de 2 aparece uma vez ou nenhuma. Os números 7 e 11 escritos
no sistema de numeração de base 2 (sistema binário) ficam assim:
[7]2 5
1
1
1
e
[11]2 5
1
0
1
? 20
?2
2
1
?2
1
? 21
?2
2
? 23
? 20
não aparece na
decomposição de 11
Capítulo 5
Potenciação e radiciação
91
Número escrito em sistema binário (base 2): da direita para a esquerda, os algarismos indicam de
quantas potências de 2, de cada expoente 0, 1, 2, etc., ele é composto.
Qual é o número no sistema decimal que se escreve como 11001 no sistema binário?
1
1
0
0
1
? 24
? 23
? 22
? 21
? 20
Temos: 1 ? 24 1 1 ? 23 1 0 ? 22 1 0 ? 21 1 1 ? 20 5 16 1 8 1 1 5 25
É o número 25.
Como se conta no sistema binário?
Banco de imagens/Arquivo da editora
No sistema binário, as unidades são contadas em grupos de duas. Um grupo de duas unidades simples é uma unidade de segunda ordem. Um grupo de duas unidades de segunda ordem é uma de terceira
ordem; e assim por diante.
7 unidades contadas na
base 2 escreve-se:
1 1 1
1
de terceira
ordem
1
de segunda
ordem
1
unidade
simples
unidade simples
de 2a ordem
de 3a ordem
Exercícios
54 Escreva no sistema binário:
a) 3 11
b) 4 100
c) 5
101
d) 6
110
e) 13
1 101
f) 25
11 001
55 Os números a seguir estão escritos no sistema binário. Escreva-os no sistema decimal.
a) 1010 10
b) 11010 26
56 Decomponha o número 50 em soma de potências de 3. Cada potência pode ser usada até duas vezes.
1 ? 33 1 2 ? 32 1 1 ? 31 1 2 ? 30
Você sabia?
Linguagens de computadores utilizam números escritos no sistema
binário. Nesse sistema, são usados apenas os algarismos 0 e 1.
92
Unidade 1
Números e operações
Desafios
Numere as árvores
Karina ka fotos/Shutterstock
Leia as informações a seguir e, com base nelas, tire
algumas conclusões.
Uma floresta tem 1 000 000 de árvores.
Nenhuma árvore tem mais que 300 000 folhas.
Agora, responda às perguntas.
a) No máximo, quantas folhas pode ter uma árvore?
300 000
b) No máximo, quantas folhas existem na floresta?
300 000 000 000
c) Pode-se tirar a conclusão: “Na floresta existe árvore
com uma só folha”? Não
d) Pode-se tirar a conclusão: “Na floresta não existe
árvore com uma só folha”? Não
e) Pode-se tirar a conclusão: “Na floresta existem árvores com o mesmo número de folhas”? Sim
Você gosta dessas frutas?
6o A
6o B
6o C
Banana
20
15
14
Maçã
12
20
12
Laranja
18
5
10
Reprodução/Obmep, 2017.
(Obmep) Uma escola fez uma pesquisa com todos os alunos
do sexto ano para verificar se eles gostavam de banana, maçã
ou laranja. Cada aluno assinalou pelo menos uma dessas três
frutas. A tabela abaixo apresenta os resultados da pesquisa.
Por exemplo, 20 alunos do 6o A assinalaram que gostam de banana. Quantos alunos há, no mínimo e no
máximo, no sexto ano dessa escola? a
a) No mínimo 54 e no máximo 126 alunos.
b) No mínimo 54 e no máximo 58 alunos.
c) No mínimo 27 e no máximo 54 alunos.
d) No mínimo 27 e no máximo 126 alunos.
e) No mínimo 31 e no máximo 58 alunos.
Com certeza
(Obmep) Em uma caixa havia seis bolas, sendo três vermelhas, duas brancas e uma preta. Renato retirou quatro bolas da caixa. Qual afirmação a respeito das bolas retiradas é correta? c
a) Pelo menos uma bola é preta.
b) Pelo menos uma bola é branca.
c) Pelo menos uma bola é vermelha.
d) No máximo duas bolas são vermelhas.
e) No máximo uma bola é branca.
Capítulo 5
Potenciação e radiciação
93
Matemática no tempo
Os números nas origens da Matemática
Os escritos matemáticos mais antigos desses
povos demonstram, entre outras coisas, o domínio pleno da ideia de número. Assim, por exemplo, no cetro de pedra do rei Menés do Egito (que
viveu por volta do ano 3000 a.C.) encontram-se
gravados, em símbolos, os números “um milhão e
duzentos mil”, “quatrocentos mil” e “cento e vinte
mil”, alusivos a uma de suas vitórias militares.
na posição dos jogadores em campo para entender o que foi dito.
Por outro lado, a necessidade de lidar com
conjuntos cada vez maiores levou à necessidade
de exprimir os números com uma quantidade
pequena de símbolos. O uso de uma base para a
contagem foi a saída para esse desafio. A base 5
talvez tenha sido a primeira a ser usada, remontando suas raízes provavelmente à Pré-História.
Por exemplo, os maias da América Central desenvolveram seu sistema numérico com base 5.
Um estudo envolvendo centenas de tribos de indígenas americanos revelou o uso das bases 2,
3, 5, 10 e 20, com predominância da base decimal, hoje universalizada.
The Royal Belgian Institute of Natural Sciences, Brussels, Bélgica. Autor desconhecido. Ossos de Ishango, c.18 000-20 000 a.C.
No fim da Idade da Pedra Polida, ou período
Neolítico (cerca de 3000 a.C.), alguns povos já se
haviam estabelecido em vales de rios caudalosos e se organizado em comunidades agrícolas. Entre esses povos, foram particularmente
importantes para a civilização ocidental o povo
egípcio (no vale do rio Nilo) e vários outros que
habitaram a Mesopotâmia (nos vales dos rios Tigre e Eufrates), aqui designados genericamente
por babilônios.
Não resta dúvida, porém, que, pelas dificuldades envolvidas, demorou muitos séculos para
que esses povos atingissem tal nível, ou seja,
para que eles se capacitassem a responder perguntas do tipo “Quantos...?” para coleções grandes. Basta observar que, no início do século XX,
foram encontradas tribos que ainda limitavam seu
processo de contagem a “um”, “dois” e “muitos”.
Uma das dificuldades é a seguinte: embora
a pergunta “Quantos...?” se refira a uma dada
coleção de objetos ou seres, a resposta não diz
respeito apenas a essa coleção, mas sim a todas
as coleções cujos elementos podem ser emparelhados um a um (sem sobras), com os da coleção considerada. Por exemplo, com cinco dedos
é possível contar as vogais do alfabeto. Outro
ponto importante provém do fato de que a ordem dos elementos de um conjunto a ser contado não altera a resposta à pergunta “Quantos...?”. Assim, quando dizemos que uma equipe
de futebol tem onze jogadores, não é preciso
pensar nesta ou naquela equipe em especial, ou
94
Duas vistas do Osso de Ishango, que se encontra no
Museu de Ciências Naturais de Bruxelas, na Bélgica.
O artefato, que tem cerca de 20 000 anos, mostra
números naturais preservados na forma de agrupamentos
de entalhes (unidades).
A base 10, que se firmou com o tempo, pode ser decorrência do fato de os seres
humanos terem dez dedos nas mãos. Se a base é 10, dez unidades simples formam
uma unidade de segunda ordem, ou seja, uma dezena, dez dezenas formam uma
centena e assim por diante. Mas nem todos os sistemas de base 10, ou de qualquer outra base, têm a mesma estruturação. O nosso sistema é posicional, pois no número 111,
por exemplo, o primeiro 1 (da direita para a esquerda) vale 1, uma unidade, o segundo
vale 1 ? 10 5 10 e o terceiro vale 1 ? 102 5 100.
No sistema de numeração usado no cetro de Menés havia símbolos específicos para
o 1, o 10, o 102 5 100, ... e por isso ele é decimal. Por exemplo, o 1 era representado por
.
um traço vertical, e a dezena por um símbolo em forma de ferradura, digamos: e
, o valor associado
Mas, quando em um texto egípcio se encontrava o símbolo
a ele é a soma 10 1 10 1 1 5 21 – o que é similar ao sistema de numeração romano.
Resumindo, nosso sistema, além de decimal, é posicional: o valor de um dígito depende
de sua posição na escrita do numeral. Mas, no mundo digital, o sistema de base 2, posicional, é o mais favorável. Um dos motivos é que neste último sistema usam-se apenas
dois símbolos: 0 e 1. Por exemplo, na base 2 o numeral 1 101 exprime o mesmo número
que 1 1 0 ? 2 1 1 ? 22 1 1 ? 23 5 13 na base 10.
1
Como se interpreta o fato de que no século XX algumas tribos ainda contavam
“‘um’, ‘dois’ e ‘muitos’”?
2
De quantas maneiras diferentes é possível emparelhar um a um os elementos dos
seguintes conjuntos: A 5 {1, 2, 3} e B 5 {a, b, c}? Demonstre.
3
No século XX foram estudadas tribos da América do Sul que contavam da seguinte maneira: “‘um’, ‘dois’, ‘três’, ‘quatro’, ‘mão’, ‘mão e um’, ‘mão e dois’...”. Qual é o
sistema de numeração implícito nessa maneira de contar?
4
As bases mais usadas em sistemas de numeração ao longo do tempo foram 5, 10 e
20. Que explicação você daria para esse fato?
5
Mostre, com um exemplo, que o sistema de numeração romano, tal como chegou
até nós, usava, além do princípio aditivo, alguns expedientes para tornar os numerais menores.
6
Em nosso sistema de numeração (decimal, com o princípio posicional), conseguimos
escrever todos os números usando dez dígitos (0, 1, 2, ..., 9). Em um sistema binário (base 2), com o princípio posicional, bastariam dois. Faça uma pesquisa sobre as
vantagens e as desvantagens desse fato.
95
Teste seus conhecimentos
5
(Saresp) O número formado por sete unidades
de milhar mais três unidades é
a) 73.
b) 703.
2
X
c) 7 003.
d) 70 003.
(Saresp) No número 1 372, foi colocado um
zero entre os algarismos 3 e 7. Pode-se afirmar que, no novo número representado, o
valor do algarismo 3 ficou:
X
3
X
a) 90 mil
b) 180 mil
7
(Enem) O medidor de energia elétrica de
uma residência, conhecido por “relógio de
luz”, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura:
3
4
5
9
9
2
0
DEZENA
1
1
8
8
2
2
7
7
3
3
6
6
5
4
4
0
5
UNIDADE
9
9
8
8
7
7
6
0
1
2
3
6
5
8
X
4
X
96
a) 2 614
b) 3 624
Que algarismos estão faltando nesta conta?
11
33
4
Descobrindo os algarismos e somando-os,
obtemos:
Disponível em: http://www.enersul.com.br.
Acesso em: 26 abr. 2010.
O número obtido pela leitura em kWh, na
imagem, é:
X
c) 9 milhões
d) 18 milhões
a) 5
b) 6
c) 9
d) 11
e) 12
4
A medida é expressa em kWh. O número
obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo
ponteiro.
d) 886
e) 888
(Obmep) Stephani multiplicou 111 por 111 e
somou os algarismos do resultado. Qual é o
valor dessa soma?
X
BIS/Arquivo da editora
0
1
CENTENA
a) 882
b) 883
c) 885
Qual é a melhor estimativa de 9 021 ? 1 995?
6
a) dividido por 10.
b) dividido por 1.
c) multiplicado por 10.
d) multiplicado por 100.
MILHAR
(Obmep) Joãozinho subtraiu o menor número de três algarismos diferentes do maior
número de três algarismos diferentes. Que
resultado ele obteve?
Reprodução/Obmep, 2014.
1
a) 10
b) 12
9
X
c) 14
d) 16
A seguir está representada uma multiplie
são
cação em que os algarismos
desconhecidos. Qual é o valor da soma
1 ?
c) 2 715
d) 3 725
33
6
1
Somando o maior número de três algarismos distintos com o menor deles, obtemos:
a) 3
b) 4
a) 999
b) 1 089
Observação: Algarismos da mesma cor são
iguais.
Unidade 1
c) 1 099
d) 1 110
Números e operações
X
c) 5
d) 6
11 (UFRJ) Em uma divisão cujo divisor é 29, temos o quociente igual a 15. Sabendo que o
resto dessa divisão é o maior possível, podemos afirmar que seu dividendo é igual a:
a) 391
c) 435
X
b) 407
d) 463
12 (UEL-PR) Considere todos os números naturais não nulos que divididos por 29 deixam
um resto igual ao quociente. Quantos deles
são menores que 120?
a) 0
c) 2
X d) 3
b) 1
13 No dia VII/IX/MDCCCXXII, foi:
X a) proclamada a independência do Brasil.
b) descoberta a América.
c) descoberto o Brasil.
d) proclamada a república no Brasil.
Reprodução/Saresp, 2015.
14 (Saresp) Para frequentar as aulas de basquete, Rodrigo tem três camisetas, uma preta,
uma amarela e uma branca, e duas bermudas, uma cinza e outra preta.
De quantas maneiras diferentes Rodrigo
pode se vestir para as aulas?
a) 3.
b) 4.
X
c) 5.
d) 6.
15 (Saresp) Lúcia precisava descobrir quantos
números de dois algarismos distintos podem
ser formados, utilizando apenas os algarismos 3, 5, 7 e 8. Ela resolveu, então, representar um diagrama de árvore para facilitar a
contagem. Lúcia iniciou assim:
Dezena
3
Unidade
Número
5
35
7
37
8
38
Reprodução/Arquivo da editora
10 (Fuvest-SP) Num bolão, sete amigos ganharam vinte e um milhões, sessenta e três mil e
quarenta e dois reais. O prêmio foi dividido
em sete partes iguais. Logo, o que cada um
recebeu, em reais, foi:
X a) 3.009.006,00
c) 3.090.006,00
b) 3.009.006,50
d) 3.090.006,50
Depois de completar o diagrama, a quantidade de números de dois algarismos distintos que Lúcia encontrou foi:
a) 8
b) 10
X
c) 12
d) 14
16 Enviei uma carta contendo uma mensagem
para 5 amigos meus. Pedi a cada um deles
que enviasse a mensagem para 5 pessoas
diferentes. Se todos atenderem ao meu pedido, e ninguém receber a mensagem duas
vezes, quantas pessoas receberão a mensagem?
a) 10
c) 25
X d) 30
b) 20
17 (Enem) Jogar baralho é uma atividade que
estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é
a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas.
A primeira coluna tem uma carta, a segunda
tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a
quarta tem quatro cartas e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete
cartas, e o que sobra forma o monte, que
são as cartas não utilizadas nas colunas.
A quantidade de cartas que forma o monte é:
a) 21
X b) 24
Capítulo 5
c) 26
d) 28
Potenciação e radiciação
97
20 Dividindo um número por 10 e subtraindo
10 do resultado, encontramos 10. Se tivéssemos multiplicado aquele número por 10
e somado 10 ao resultado, encontraríamos
um número:
a) menor que 500.
b) entre 500 e 1 000.
c) entre 1 000 e 2 000.
X d) maior que 2 000.
23 (Saresp) Luiza fez uma viagem de ônibus,
de São Paulo a Avaré, que durou 3 horas e
30 minutos. Se Luiza saiu de São Paulo às
7h45min, ela chegou a Avaré às:
X c) 11h15min.
a) 10h25min.
b) 10h30min.
d) 11h25min.
24 (FEI-SP) Um trem faz o percurso da estação
A até a estação B em 2 horas, 22 minutos e
35 segundos. Se o trem chegou na estação
B exatamente às 10 horas, o seu horário de
partida da estação A foi:
a) 6 horas, 38 minutos e 35 segundos.
b) 6 horas, 37 minutos e 25 segundos.
X c) 7 horas, 37 minutos e 25 segundos.
d) 7 horas, 38 minutos e 35 segundos.
25 Na última eleição, cada eleitor de uma seção
levou, em média, 1 min 12 s para votar.
Reprodução/Obmep, 2017.
21 (Obmep) Em uma mesa há nove cartões numerados de 1 a 9. Ana e Beto pegaram três
cartões cada um. A soma dos números
dos cartões de Ana é 7 e a soma dos números dos cartões de Beto é 23. Qual é a diferença entre o maior e o menor dos números dos
três cartões deixados sobre a mesa?
a) 6
b) 9
c) 10
X d) 15
e) 18
Reprodução/Obmep, 2017.
19 Um número diminuído de 24 unidades resulta em 121. Se for acrescido de 24 unidades resultará em:
a) 97
c) 145
X d) 169
b) 101
servou que os dois algarismos 9 que ela havia digitado não apareceram no visor; o que
apareceu foi 2017. Quantas são as possibilidades para o número
que ela digitou?
Elio Rizzo/Esp. CB/D.A Press
18 Oscar paga R$ 600,00 de aluguel. Do que
sobra de seu salário, ele guarda metade na
poupança e fica com R$ 850,00 para outros
gastos. O salário de Oscar é:
a) menor que R$ 1.600,00.
b) um valor entre R$ 1.600,00 e R$ 2.000,00.
X c) um valor entre R$ 2.000,00 e R$ 2.400,00.
d) maior que R$ 2.400,00.
a) 3
X b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
22 (Obmep) Após digitar um número de seis
algarismos em sua calculadora, Cecília ob98
Unidade 1
Números e operações
Se 400 pessoas votaram nessa seção, o tempo total de votação foi de:
X
a) 8 h
b) 7 h 40 min
c) 6 h 30 min
d) 6 h
26 (FEI-SP) Quando o conteúdo de um reservatório é escoado por uma bomba, o tempo necessário para esvaziar completamente
esse reservatório é de 1 hora, 37 minutos e
42 segundos. Se forem utilizadas 2 bombas,
o tempo necessário para esvaziar será de:
a) 46 minutos e 21 segundos.
b) 47 minutos e 21 segundos.
X c) 48 minutos e 51 segundos.
d) 48 minutos e 21 segundos.
27 (Fuvest-SP) Um nadador, disputando a prova dos 400 metros nado livre, completou os
primeiros 300 metros em 3 minutos e 51 segundos. Se esse nadador mantiver a mesma
velocidade média nos últimos 100 metros,
completará a prova em:
a) 4 minutos e 51 segundos.
X b) 5 minutos e 8 segundos.
c) 5 minutos e 28 segundos.
d) 5 minutos e 49 segundos.
28 (Fuvest-SP) Um copo cheio de água tem
325 g. Se jogarmos metade da água fora,
esse valor cai para 180 g. A massa do copo
vazio é:
X c) 35 g
a) 20 g
b) 25 g
d) 40 g
29 (Saresp) Durante uma brincadeira de adivinhação, Juliana pedia que seus amigos falassem dois números para que ela dissesse
um terceiro número, que era calculado a
partir da seguinte regra: Juliana usava o
primeiro número como base e o segundo
como expoente e então calculava a potência. Essa regra, porém, somente ela conhecia e a brincadeira era descobrir a tal regra.
Nessa brincadeira, Mateus falou os números: 21 e 3, nessa ordem. Portanto, o número encontrado por Juliana foi:
a) 504.
c) 1 323.
X d) 9 261.
b) 882.
30 106 é quantas vezes 103?
a) duas
c) cem
X d) mil
b) dez
31 O dobro e a metade do número 222 valem,
respectivamente:
c) 422 e 122
a) 28 e 24
X d) 223 e 221
b) 244 e 211
32 A diferença 2 64 2 (22)3 é igual a:
X a) 192
b) 32
c) 4
d) 0
33 Simplificando-se a expressão [(23)2]3, obtém-se:
X d) 218
b) 68
c) 28
a) 66
34 A que expoente devemos elevar a base 10
para obter um milhão?
X a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
35 Considere todos os números de três algarismos que podem ser formados com os algarismos 5, 4 e 1, sem que estes se repitam. O
menor dos números formados que tem o algarismo 5 na ordem das dezenas representa:
a) cem unidades.
b) cento e quarenta e cinco unidades.
X c) cento e cinquenta e quatro unidades.
d) quatrocentas e quinze unidades.
36 (Saresp) Se adicionarmos 3 ao dobro de idade
da Ana, vamos obter a minha idade, ou seja,
37 anos. Quantos anos Ana tem?
X a) 17 anos.
c) 40 anos.
b) 34 anos.
d) 77 anos.
37 (Saresp) A soma da idade de Carlos e João é
45 anos. Sabendo que a idade de Carlos é o
dobro da idade de João, podemos dizer que
a idade de Carlos é:
a) 20 anos.
c) 40 anos.
X b) 30 anos.
d) 50 anos.
38 (PUCC-SP) A soma dos algarismos que compõem a idade de Pedro é 8. Invertendo-se a
posição de tais algarismos, obtém-se a idade
de seu filho João, que é 36 anos mais novo
que ele. A soma das idades de Pedro e João,
em anos, é:
a) 82
c) 94
X b) 88
d) 96
Capítulo 5
Potenciação e radiciação
99
39 (Saresp) Um caminhão suporta cargas de até
3 000 quilos. Qual é o maior número de caixas que ele pode transportar, se cada uma
delas pesa 120 quilos?
X a) 25
c) 27
b) 26
d) 28
tos em branco. O 1o colocado obteve o triplo dos votos dados ao 2o colocado. Já o
último colocado recebeu apenas 4 votos. O
número de votos conquistados pelo vencedor foi:
a) 12
b) 18
24
d) 36
42 (Obmep) Na figura, quantos quadradinhos
brancos ainda devem ser pintados de preto para que o número total de quadradinhos
pretos passe a ser o dobro do número de
quadradinhos brancos?
Reprodução/Obmep, 2017.
Reprodução/Saresp, 2014.
40 (Saresp) A professora colocou o seguinte desafio:
X c)
Júlia resolveu corretamente o desafio, obtendo o número
a) 1.
b) 2.
c) 3.
X d) 4.
41 (Saresp) Na eleição para a escolha do representante da turma de Carolina, concorreram três candidatos e todos os 36 alunos
votaram, não havendo votos nulos nem vo-
a) 9
b) 10
X c) 11
d) 12
e) 13
Desafio
Descobrindo máximos
a) 16
100
Unidade 1
b) 17
Números e operações
X
c) 591
d) 598
e) 599
Ilustra Cartoon/
Arquivo da editora
Um número natural é menor que o dobro de outro, e este é menor que o triplo de um terceiro. Se esse
terceiro é menor que 100, qual é o maior valor possível do primeiro número?
Vinicius Bacarin/Shutterstock
UNIDADE
2
Geometria:
primeiros
passos
O estudo de ponto, de reta e de
outras formas mais complexas faz
parte da Geometria e tem aplicações
em diversas situações cotidianas.
Muitas construções arquitetônicas,
por exemplo, são inspiradas no
formato de sólidos geométricos.
CAPÍTULOS
6. Noções fundamentais
7. Semirreta, segmento de reta
e ângulo
CAPÍTULO
6
Noções fundamentais
Um pouco de História
Akg-Images/Latinstock/Museu Barbier-Mueller, Genebra, Suiça.
Muito antes de criar as linguagens escritas – tradicional marco do início da civilização –, o homem já tinha atentado para as
formas dos seres e dos objetos existentes
no mundo.
Para sobreviver, o ser humano desenvolveu, já nos tempos pré-históricos, centenas
de objetos com as mais variadas formas.
Eram utensílios domésticos, armas de caça,
armas de defesa, calçados, roupas, etc.
Sandra Moraes/Shutterstock
Laurent Lecat/Album/AKG-Images/Latinstock/Coleção particular.
Nossos antepassados passaram tamUtensílios egípcios de cozinha de cerca de 4500 a.C.
bém a retratar, em pinturas e esculturas, as
formas de animais, paisagens e objetos com os quais estavam em contato.
Pinturas rupestres do Parque Nacional Serra da Capivara, Piauí.
Existem pinturas nessa região datadas de 12000 anos atrás. Junho, 2016.
Vaso chinês de bronze datado de 200 a.C.
O desenvolvimento de importantes sociedades humanas na Antiguidade, por volta de 4000 a.C.,
criou condições para a construção de grandes obras, cuja execução exigiu um profundo estudo de formas e figuras.
102
Unidade 2
Geometria: primeiros passos
Das civilizações antigas, chineses, egípcios, assírios, babilônios e especialmente os gregos deram grandes contribuições ao estudo das formas.
Na Grécia, entre os séculos V e III a.C., vários pensadores se dedicaram
ao estudo das formas e do espaço. Hoje seus nomes aparecem ligados às
suas descobertas nesta área do conhecimento chamada Geometria.
A palavra geometria
resulta de duas palavras
gregas: geo, que significa
“terra”, e metria, que
significa “medida”.
A Geometria tem por objetivo estudar as formas (de objetos ou figuras) e estabelecer
relações entre as medidas de suas partes e entre figuras diferentes.
Reprodução/Biblioteca da Universidade de Cambridge, Inglaterra.
O pensador grego que mais se destacou em Geometria
foi Euclides (século III a.C.). Ele reuniu as descobertas já
feitas, complementou-as e as organizou de forma sistemática em uma obra chamada Os elementos, escrita em
13 volumes.
Essa obra serviu de guia e de base para as pesquisas
em Geometria por mais de dois milênios.
A importância do trabalho de Euclides para a Geometria
foi tanta que os conhecimentos reunidos em Os elementos
– somados aos que derivaram deles – passaram a ser conhecidos como Geometria euclidiana.
gmlykin/Shutterstock
No mundo de hoje, as inúmeras obras de engenharia,
arquitetura, artes plásticas, etc. mostram a imensa quantidade de formas que o homem desenvolveu partindo dos
conhecimentos de Geometria.
R.M. Nunes/Shutterstock
Página de Os elementos, de Euclides,
com notas manuscritas de Isaac Newton.
Torre Eiffel, Paris, França. Abril, 2017.
Catedral de Brasília, no Distrito Federal, projetada
pelo arquiteto Oscar Niemeyer. Novembro, 2017.
Capítulo 6
Noções fundamentais
103
Formas reais e formas geométricas
FotoSearch/Stock
Photos/Latinstock
Ignatius 63/Shutterstock
Observe nesta página fotos de objetos que constituem formas reais, com as quais temos contato.
Ao lado de cada foto está ilustrada a mesma forma, como idealizada pela Geometria, e os respectivos
nomes.
paralelepípedo
tijolo
OZaiachin/Shutterstock
cilindro
Ilustrações: Banco de
imagens/Arquivo da editora
velas
lousa
FotoSearch/Stock
Photos/Latinstock
Thinkstock/Getty Images
retângulo
bolas de gude
esfera
pirâmide
Daniel Chetroni/Shutterstock
FotoSearch/Stock Photos/Latinstock
pirâmides do Egito
cone
casquinha de sorvete
triângulo de segurança automotivo
triângulo
Como se pode perceber, as formas geométricas são formas idealizadas. Por exemplo, as bolas que
aparecem na foto acima apresentam a forma geométrica de esfera, independentemente da aparência
que têm.
104
Unidade 2
Geometria: primeiros passos
Exercícios
Copie o desenho abaixo numa folha de cartolina. Recorte, dobre e cole conforme indicado. Que forma geométrica você está montando? paralelepípedo
Banco de imagens/Arquivo da editora
1
recortar
dobrar
colar
Capítulo 6
Noções fundamentais
105
2
Copie o desenho abaixo numa folha de cartolina. Recorte, dobre e cole conforme indicado.
QUE FORMA
GEOMÉTRICA VOCÊ
ESTÁ MONTANDO?
Banco de imagens/
Arquivo da editora
Artur Fujita/Arquivo da editora
pirâmide de base
quadrangular
recortar
dobrar
colar
106
Unidade 2
Geometria: primeiros passos
Copie o desenho abaixo numa folha de cartolina. Recorte, dobre e cole conforme indicado. Que forma geométrica você está montando? cilindro
Banco de imagens/
Arquivo da editora
3
recortar
dobrar
colar
Capítulo 6
Noções fundamentais
107
4
Copie o desenho abaixo numa folha de cartolina. Recorte, dobre e cole conforme indicado.
QUE FORMA
GEOMÉTRICA VOCÊ
ESTÁ MONTANDO?
Banco de imagens/
Arquivo da editora
Artur Fujita/Arquivo da editora
cone
recortar
dobrar
colar
108
Unidade 2
Geometria: primeiros passos
Participe
Renato construiu uma caixa para guardar suas ferramentas. Ele optou pela forma geométrica do paralelepípedo.
FotoSearch/Stock Photos/Latinstock
Ilustrações: Banco de
imagens/Arquivo da editora
Observe o paralelepípedo que você montou na atividade da página 105, compare com as imagens abaixo
e responda às questões.
A parte do paralelepípedo destacada em roxo é uma face dessa forma geométrica.
a) O que é aresta de um paralelepípedo?
Uma linha comum a duas faces.
b) O que é vértice de um paralelepípedo?
Um ponto determinado pelo encontro de três arestas.
c) Qual das três figuras representa a planificação de um paralelepípedo?
A figura rosa.
Confira as respostas no final do livro.
Ponto, reta e plano: as mais simples formas geométricas
Vamos idealizar um paralelepípedo, observando as características da caixa de ferramentas
acima.
Cada um de seus 8 cantos (vértices) dá a ideia de ponto.
Cada uma de suas 12 dobras (arestas) dá a ideia de “pedaço” de reta. Se pudéssemos prolongar cada
aresta indefinidamente, teríamos uma reta.
Cada uma de suas 6 faces dá a ideia de “pedaço” de plano. Se pudéssemos ampliar cada face indefinidamente, em todas as direções, teríamos um plano.
plano
face
vértice
aresta
reta
ponto
Capítulo 6
Noções fundamentais
109
Ilustrações: Setup/Arquivo da editora
Representação de ponto, reta e plano
A figura ao lado é um geoplano, formado por uma placa quadriculada, com pregos nos vértices de cada quadradinho.
As cabeças dos pregos dão a ideia de pontos. Pode-se dizer que o
ponto não tem tamanho, pois não é possível medi-lo.
Os pontos são indicados por letras maiúsculas. Veja, na figura abaixo, as representações de alguns
pontos.
A
ponto A
ponto D
D
ponto C
C
ponto P
P
ponto B
B
Fernando Favoretto/Arquivo da editora
Um barbante – ou fio de linha – esticado dá a ideia de um pedaço de reta. Prolongado para um lado e
para outro, o barbante dá a ideia de uma reta.
As retas são indicadas por letras minúsculas.
reta
c
c
a
a
ret
a
reta b
110
Unidade 2
Geometria: primeiros passos
b
Toda reta é um
conjunto cujos
elementos são
pontos.
Ilustrações: Setup/Arquivo da editora
Considere a reta r e os pontos A, B, M, P, R e S.
r
M
R
r
M
R
P
P
B
B
S
A
S
A
Os pontos A, B e P pertencem à reta r. A reta r passa pelos pontos A, B e P.
Os pontos M, R e S não pertencem à reta r. Ela não passa pelos pontos M, R e S.
O geoplano serve de auxílio para visualizar um plano.
Os planos podem ser indicados por letras minúsculas do alfabeto grego: a (alfa), b (beta), g (gama),
d (delta), etc.
G
D
E
B
A
H
I
b
F
C
J
K
a
g
plano b
plano a
plano g
Considere o plano a e os pontos A, P, Q e X, representados abaixo.
X
X
Q
Q
A
A
P
P
a
Os pontos A, P, Q e X pertencem ao plano a.
a
Todo plano é um conjunto cujos
elementos são pontos.
Capítulo 6
Noções fundamentais
111
Cristina Xavier/Arquivo da editora
Nazar Yosyfiv/Shutterstock
O que mais dá a ideia de ponto
A marca feita pela ponta de um lápis.
As estrelas no céu.
Cristina Xavier/Arquivo da editora
Tappasan Phurisamrit/Shutterstock
O que mais dá a ideia de reta
Os fios de um varal.
A demarcação das vias de
uma estrada.
Sagir/Shutterstock
Mallmo/Shutterstock
O que mais dá a ideia de plano
A superfície do tampo de uma mesa.
112
Unidade 2
Geometria: primeiros passos
A tela de um computador.
Veja mais um exemplo de que as mais simples formas geométricas estão em nosso dia a dia.
Em uma quadra de futebol society:
Stockxpert/Glow Images
• o piso permite formar a ideia de plano;
• a linha que divide os dois lados da quadra dá a ideia de reta;
• o centro dá a ideia de ponto.
Exercícios
Agora, responda:
Observe o bloco retangular abaixo.
F
B
C
E
H
A
D
Agora, responda:
a) Que pontos são vértices? A, B, C, D, E, F, G e H
b) Quantas retas formam as arestas? 12 retas
c) Quantos planos formam as faces? 6 planos
6
a) Que pontos são vértices? A, B, C e D
b) Quantas retas formam as arestas?
c) Quantos planos formam as faces?
G
Observe a pirâmide abaixo. É uma pirâmide
de base triangular.
D
7
6 retas
4 planos
Na figura abaixo, encontra-se um retângulo.
D
C
A
B
Ilustrações: Banco de imagens/
Arquivo da editora
5
Responda:
a) Qual palavra completa corretamente a
afirmação abaixo?
A, B, C e D são os vértices desse
Os
retângulo. pontos
A
C
B
b) Quantas retas formam os lados do retângulo? 4
c) A superfície do tampo de uma mesa retangular dá ideia de quantos planos? 1
Capítulo 6
Noções fundamentais
113
9
Que palavra completa corretamente a afirmação a seguir?
Na figura abaixo, as
uma região triangular.
Triângulos, quadrados e retângulos são
exemplos de polígonos. Na figura abaixo,
temos outro polígono, cujos vértices são os
pontos M, N, P, Q, R e S.
r, s e t delimitam
retas
R
s
r
Q
S
P
M
t
N
Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora
8
Quantas retas formam os lados desse polígono? 6
Pontos colineares
Observe a reta r que passa pelos pontos A e B.
r
r
Ilustrações: Setup/Arquivo da editora
B
A
B
A
a
Por dois pontos distintos passa uma única reta.
Podemos indicar essa reta por AB .
Além de AB , não existe outra reta que passa pelos pontos A e B.
Veja outros exemplos:
¥ reta s ou reta CD :
s
s
D
D
C
C
a
114
Unidade 2
Geometria: primeiros passos
Ilustrações: Setup/Arquivo da editora
• reta t ou reta EF :
t
t
E
E
F
F
a
• reta u ou reta GH :
u
u
G
G
H
H
a
Considere agora a figura abaixo.
r
D
T
C
B
A
Além de A e de B, existem outros pontos indicados que pertencem à reta AB ?
A resposta a essa pergunta é: Os pontos C e D pertencem à reta AB . O ponto T não pertence à
reta AB .
Em linguagem matemática, os símbolos  (pertence) e Ó (não pertence) ajudam a escrever resumidamente essas sentenças. Veja:
A  AB
B  AB
C  AB
D  AB
T Ó AB
Pontos que pertencem à mesma reta são chamados pontos colineares.
Podemos concluir que:
• os pontos A, B, C e D são colineares;
• a reta r passa pelos pontos A, B, C e D;
• a reta r não passa pelo ponto T.
Capítulo 6
Noções fundamentais
115
Exercícios
10 Que figuras estão representadas no plano
abaixo? retas: a, r, x, t
13 Observe os cinco pontos, A, B, C, D e E.
Ilustrações: Setup/Arquivo da editora
A
r
a
B
E
C
D
Quantas retas podemos construir passando
por dois desses pontos? Quais?
x
10 retas; AB , AC , AD , AE , BC , BD , BE , CD , CE , DE
t
Para os exercícios 14 a 18, observe a figura abaixo.
a
t
u
11 Observe as retas a, b, c, r, s e t.
A
s
b
a
v
r
c
s
B
t
G
E
r
H
B
A
F
C
J
I
D
a, b, c e t
a) Quais dessas retas passam pelo ponto A?
b) Quais dessas retas passam pelo ponto B?
r, s e t
c) Qual(is) dessas retas passa(m) pelos pontos A e B? t
14 Dos pontos destacados, quais pertencem à
reta s? B, H, I e D
12 Observe as retas r, s e t e os pontos A, B, C,
D e E da figura a seguir.
15 Das retas desenhadas, quais passam pelo
ponto J? t e v
C
B
t
D
16 Os pontos A, G, H e C são colineares?
Sim
17 Os pontos A, B, C e D são colineares?
Não
r
A
E
s
Agora, responda:
a) Que pontos pertencem à reta r? C, B e D
b) Que pontos pertencem à reta s? A e E
c) Que pontos pertencem à reta t? A e B
d) Que ponto(s) é (são) colinear(es) com B
e D? C
116
Unidade 2
Geometria: primeiros passos
18 Classifique cada item em certo ou errado.
a) C  u certo
b) C  v certo
c) C Ó t certo
d) E  r certo
e) E Ó v errado
f) E  BF certo
CAPÍTULO
7
Semirreta, segmento
de reta e ângulo
Semirreta
Ilustrações: Setup/Arquivo da editora
Observe uma reta r, que passa pelo ponto O.
r
O
a
Note que o ponto O determina sobre a reta duas partes.
O
O
α
α
Cada uma dessas partes – a verde e a vermelha, ambas incluindo o ponto O – é uma semirreta.
O (origem)
α
As semirretas verde e vermelha são semirretas opostas.
O ponto O é a origem da semirreta verde e é também origem da semirreta vermelha.
Capítulo 7
Semirreta, segmento de reta e ângulo
117
Em uma reta, um ponto determina duas semirretas opostas.
Esse ponto é a origem das duas semirretas.
Observe a reta r passando pelos pontos O, A e B, e as letras a e b indicando cada sentido da reta.
r
A
O
B
a
b
Podemos indicar por:
• Oa ou OA a semirreta de origem em O que contém o ponto A;
• Ob ou OB a semirreta de origem em O que contém o ponto B.
Segmento de reta
Vadarshop/Shutterstoc
k
FotoSearch/Stock Photos/Latinstock
Observe onde podemos encontrar segmentos de reta:
Nas arestas de uma caixa.
D
E
H
Cristina Xavier/
Arquivo da editora
Takashi Sato/Amana Images/Getty Images
A
Nas linhas de um caderno.
B
C
F
Nos fios dos balanços.
118
Unidade 2
Geometria: primeiros passos
G
Nas varetas coloridas.
Participe
BIBLIOTECA
Rua Adelaide
HOSPITAL
Rua Rodolfo Maia
Rua João Mesquita
PRAÇA
Rua Amélia Bueno
Rua Rodolfo Maia
Wilson Jorge Filho/Arquivo da editora
Rua Amélia Bueno
Juliano e Tiago marcaram de se encontrar em determinado lugar do bairro onde moram. De lá eles pretendem seguir até a biblioteca, para a realização de um trabalho escolar.
O ponto de encontro dos amigos é no cruzamento da rua Amélia Bueno com a rua Rodolfo Maia. Observe
a imagem e responda às questões.
POSTO DE
GASOLINA
a) Qual é a localização:
No cruzamento entre as ruas
• do posto de gasolina? Rua Amélia Bueno. • do hospital? Rua Rodolfo Maia. • da praça? Amélia Bueno e Rodolfo Maia.
b) Qual é o elemento comum entre as ruas Amélia Bueno e Rodolfo Maia? É a praça.
c) Podemos dizer que esse elemento comum entre as duas ruas é o elemento de interseção entre elas?
Por quê? Sim. Porque fica localizado exatamente no cruzamento dessas duas ruas.
Confira as respostas no final do livro.
Observe o conjunto A, formado pelas letras da palavra
azul, e o conjunto B, formado pelas letras da palavra anil:
u
A 5 {a, z, u, l}
l
n
A
B 5 {a, n, i, l}
B
z
As letras a e l aparecem nos dois conjuntos; u e z estão
só em A; n e i estão só em B, como representado no diagrama ao lado.
a
i
Banco de imagens/Arquivo da editora
Interseção de conjuntos
Vamos considerar os elementos que estão em A e também em B e formar um novo conjunto, C:
C 5 {a, l}
O conjunto C é chamado interseção de A e B. Indicamos da seguinte maneira:
C 5 A > B ( Lê-se: "A inter B".)
A > B 5 {a, l}
Capítulo 7
Semirreta, segmento de reta e ângulo
119
Interseção de semirretas
Ilustrações: Setup/Arquivo da editora
Observe a seguir a reta r que passa pelos pontos A e B:
B
r
A
a
Agora, observe as semirretas AB (de cor azul) e BA (vermelha).
B
r
B
A
r
A
a
a
A interseção das semirretas AB e BA é “um pedaço” da reta AB .
(de cor verde).
B
A interseção de AB com BA é chamada segmento de reta e é representada por AB .
r
A
Dizemos que:
• A reta AB (ou r) é a reta suporte do segmento AB .
• Os pontos A e B são as extremidades do segmento AB , e os demais
pontos de AB são seus pontos internos.
a
Observe, agora, as imagens de outros segmentos:
R
M
N
C
F
MN ou NM
D
CD ou DC
120
Unidade 2
Geometria: primeiros passos
S
RS ou SR
E
EF ou FE
Exercícios
1
Desenhe uma reta t e marque sobre ela dois
pontos: P e Q.
5
a) Pinte de vermelho a semirreta PQ .
b) Pinte de azul a semirreta QP .
c) Qual é a interseção dessas semirretas?
A
Alberto De Stefano/
Arquivo da editora
6
①
②
③ A
④
A
B
A
B
Agora, identifique pelo número:
a) a semirreta BA ;
b) a semirreta AB ;
3
7
c) a reta AB; 1
d) o segmento AB.
2
4
Responda às questões.
a) Quantas semirretas de r com origem nos
pontos X, Y e Z podemos obter? 6 semirretas
b) Quais são os segmentos com extremidades em dois desses pontos que podemos
obter? XY, XZ e YZ
c) O ponto Y é o ponto interno de qual dos
segmentos obtidos no item b? Quais são
as extremidades desse segmento? XZ; X e Z
B
B
s
C
São dados a reta r e três pontos distintos
dessa reta: X, Y e Z, nessa ordem.
Observe as figuras abaixo.
A
B
a) Quantas semirretas da reta s com origem
em B podemos obter? 2 semirretas: BA e BC
b) Qual é a origem da semirreta AC? A
c) Quantas semirretas da reta s podemos
obter com origem em A, B ou C? 6 semirretas
segmento PQ
2
Observe a figura e responda às perguntas a
seguir.
Trace uma reta x e considere, nessa reta,
5 pontos distintos: A, B, C, D e E.
a) Quantas semirretas de x existem com origem nesses pontos? 10 semirretas
b) Quantos e quais são os segmentos de
reta com extremos nesses pontos?
c) Quais desses segmentos têm uma extremidade no ponto B? AB, BC, BD, BE
3
Observe a figura e responda às questões a
seguir.
r
R
7. b) 10 segmentos: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE e DE
S
8
s
Observe os pontos abaixo.
A
a) Quantas semirretas você pode identificar
nessa figura? Quais são? 4 semirretas: Rr, Rs, Sr, Ss
b) E quantos segmentos de reta? Quais são?
B
1 segmento de reta: RS
4
E
Observe a figura abaixo e pinte com cores
diferentes cada uma das semirretas de origem O.
r
O
s
C
D
Desenhe todos os segmentos de reta que
têm extremidades nos pontos A, B, C, D
e E. Quais são eles? AB, BC, CD, DE, EA, AD, AC, BE, BD e CE
Capítulo 7
Semirreta, segmento de reta e ângulo
121
6348103963/Shutterstock
Ângulo
FotoSearch/Stock Photos/Latinstock
Thinkstock/Getty Images
A ideia de ângulo nas figuras
O ponteiro das horas e o dos
minutos de um relógio.
As pernas de um compasso.
As pernas de uma bailarina.
Em cada imagem acima encontramos o elemento que transmite a ideia de uma figura geométrica
importante: o ângulo.
Participe
Krebs Hanns/Alamy/Fotoarena
Em um jogo de futebol, Jonas
sofreu um pênalti. Colocou
a bola na marca do pênalti
e chutou. O locutor gritou:
“Goooool! Jonas chutou a
bola no ângulo!”.
a) O que o locutor quis dizer
com a expressão “Jonas
chutou a bola no ângulo”?
Que ele chutou a bola no canto superior da trave.
Converse com seus colegas:
b) Você conhece outras expressões que envolvem a
ideia de ângulo? Quais?
Resposta pessoal.
c) O que você entende por
ângulo? Resposta pessoal.
Confira as respostas no final do livro.
União de conjuntos
Vamos retomar os conjuntos A e B da página 119:
A 5 {a, z, u, l}
e
B 5 {a, n, i, l}
Vamos reunir os elementos de A com os de B em um só conjunto, D.
D 5 {a, z, u, l, n, i}
O conjunto D é chamado união (ou reunião) de A e B. Indicamos:
D 5 A < B (Lê-se A u B)
A < B 5 {a, z, u, l, n, i}
122
Unidade 2
Geometria: primeiros passos
A
B
u
z
l
a
n
i
O que é ângulo?
Vejamos agora o conceito de ângulo em Geometria.
a
A
O
B
Ilustrações: Banco de imagens/
Arquivo da editora
Observe a figura abaixo, formada pelas semirretas OA e OB.
b
O ponto O é origem da semirreta OA e também é origem da semirreta OB.
As semirretas OA e OB formam um ângulo: o ângulo AÔB.
A reunião de duas semirretas de mesma origem é um ângulo.
O ponto O é o vértice do ângulo AÔB.
As semirretas OA e OB são os lados do ângulo AÔB.
Observe mais alguns exemplos de ângulos:
a
b
ângulo: aÔb ou bÔa
vértice: O
lados: Oa e Ob
O
A
ângulo: APB ou BPA
vértice: P
lados: PA e PB
P
B
R
ângulo: RST ou TSR
vértice: S
lados: SR e ST
S
T
Capítulo 7
Semirreta, segmento de reta e ângulo
123
Participe
Michael Runkel/Alamy/Fotoarena
O gol que Jonas marcou entrou no canto da trave. Esse canto tem uma característica particular: ele forma
um ângulo especial.
Observe na imagem das portas e das janelas os ângulos formados:
Os ângulos vistos na imagem têm a mesma forma do ângulo formado pela trave?
Sim
Confira as respostas no final do livro.
Ângulo reto
Fotos: Cristina Xavier/Arquivo da editora
Vamos observar o movimento do ponteiro de segundos de um relógio. Ele vai partir do número 12 e
dar uma volta completa no mostrador. Veja sua posição em quatro momentos diferentes:
Início.
Após 15 segundos.
Após 30 segundos.
Após 60 segundos.
1
de volta. O ângulo formado pela posição inicial do
4
ponteiro e por sua posição 15 segundos depois é um ângulo reto.
Em 15 segundos, o ponteiro dos segundos anda
124
Unidade 2
Geometria: primeiros passos
FotoSearch/Stock Photos/Latinstock
Thinkstock/Getty Images
Juan Aunion/Shutterstock
Veja alguns objetos cujas linhas e formas nos transmitem a ideia de ângulo reto:
Participe
Volte a analisar o mapa de ruas da página 119.
As ruas Amélia Bueno e Rodolfo Maia possuem a praça como ponto comum.
a) Podemos afirmar que essas ruas se cruzam?
Sim.
Se imaginarmos que cada uma dessas ruas nos dá a ideia de reta e a praça nos dá a ideia de ponto, podemos afirmar que essas ruas concorrem em um ponto, que é a praça.
b) Como podemos chamar as retas que têm um ponto em comum?
Retas concorrentes.
c) Todas as ruas que aparecem no mapa possuem ponto em comum?
d) Quais ruas não possuem ponto em comum?
Não.
Rua Adelaide e rua Rodolfo Maia; rua João Mesquita e rua Amélia Bueno.
s
A
P
B
r
r
e) O que diferencia uma imagem da outra?
s
Ilustrações: Banco de
imagens/Arquivo da editora
Se representarmos essa situação por meio das mais simples formas geométricas que são o ponto, a reta
e o plano, teremos:
A imagem A mostra duas retas que se cruzam; na imagem B as retas
não se cruzam.
Confira as respostas no final do livro.
Capítulo 7
Semirreta, segmento de reta e ângulo
125
Ângulos formados por retas
t
u
A
C
B
D
r
s
Ilustrações: Setup/Arquivo da editora
Observe as retas da figura abaixo.
a
A representação acima sugere que as retas r, s, t e u estão todas no mesmo plano. Retas que estão
no mesmo plano são retas coplanares.
Vamos observar especialmente as retas r e s, que são coplanares. Por mais que as prolonguemos,
elas nunca vão se encontrar. Por essa razão, r e s são retas paralelas.
Retas paralelas são duas retas coplanares que não se intersectam,
ou seja, não têm ponto de encontro.
Observe agora as retas t e r. Elas são coplanares e se cortam no ponto A.
Por essa razão, t e r são retas concorrentes. Da mesma forma, também são retas concorrentes
t e s, u e r, u e s.
Retas concorrentes são duas retas coplanares que têm um único
ponto de interseção (ou de cruzamento, ou de encontro).
Agora, observe novamente a representação acima, pense e responda: t e r são retas concorrentes
ou paralelas? Concorrentes.
Quando duas retas são concorrentes, elas formam quatro ângulos. Veja:
u
t
A
r
r
Na figura da esquerda, t e r formam quatro ângulos, mas nenhum deles é ângulo reto. Nesse caso,
as retas são oblíquas.
Na figura da direita, u e r formam quatro ângulos e todos são ângulos retos. Nesse caso, as retas são
perpendiculares.
126
Unidade 2
Geometria: primeiros passos
Exercícios
9
Observe a figura:
B
Agora, responda:
a) Quais são os lados do ângulo BÂC? AB e AC
b) Qual é o vértice do ângulo de lados BA e BC ?
c) Quais são os lados do ângulo BĈA? CB e CA
A
C
B
10 Na figura abaixo estão destacados dois ângulos.
D
E
a) Quais são eles? AB̂C e CD̂E
b) Quais são seus vértices? B e D
c) Quais são seus lados? BA, BC , DC e DE
C
A
B
11 Em qual dos horários abaixo encontramos ângulo reto formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio?
X d) 21 h
a) 13 h
b) 16 h
c) 19 h
b
d
a
c
e
Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora
Figura para os exercícios 12, 13 e 14.
12 Agora, complete a tabela abaixo, indicando a posição de uma reta em relação à outra. Veja os exemplos:
a
a
b
c
d
e
concorrentes
paralelas
concorrentes
concorrentes
concorrentes
paralelas
concorrentes
concorrentes
concorrentes
b
concorrentes
c
paralelas
concorrentes
d
concorrentes
paralelas
concorrentes
e
concorrentes
concorrentes
concorrentes
concorrentes
concorrentes
13 Quantos são os pares de retas paralelas? E quantos são os pares de retas concorrentes?
Capítulo 7
2; 8
Semirreta, segmento de reta e ângulo
127
14 Quantos são os pares de retas perpendiculares? Quais são? 4; a e b, a e d, c e d, c e b.
Alberto De Stefano/Arquivo da editora
15 Observe abaixo a planta do centro de uma
cidade.
1
2
3
4
5
A
6
7
8
9
B
C
a) Em que cruzamento o carro vai parar? D8
b) Quantos ângulos retos existem no trajeto
feito pelo carro? cinco
10
D
11
A
E
B
x
C
D
E
Desenhe a trajetória de um carro que parte
de x pela rua 1, vira a terceira rua à direita,
vira a segunda à esquerda, vira a primeira à
direita, segue em frente 7 quarteirões, vira
à direita e a segunda à direita e anda mais
2 quarteirões.
16 Quanto tempo o ponteiro dos minutos leva
para percorrer um ângulo reto?
15 segundos
17 Quanto tempo o ponteiro dos segundos leva
para percorrer um ângulo reto? 15 segundos
18 Quanto tempo o ponteiro das horas leva
para percorrer um ângulo reto? 3 horas
Desafios
Luigi Rocco/Arquivo da editora
Brincando com quatro quatros
Utilizando quatro algarismos 4, quantos sinais de operações quiser e quantos parênteses quiser, construa uma expressão numérica:
c) cujo resultado seja igual a 4; 4 ? (4 2 4) 1 4
a) cujo valor seja igual a 9; 4 1 4 1 4 : 4
b) que resulte em 3; (4 1 4 1 4) : 4
d) que dê 1 040. (44 1 4) ? 4
Durante as vinte e quatro horas de
um dia, quantas vezes os ponteiros
das horas e dos minutos de um relógio
formam um ângulo reto?
a) 4 vezes
b) 24 vezes
X c) 44 vezes
d) 48 vezes
128
Unidade 2
Geometria: primeiros passos
Seup/Arquivo da editora
De olho no relógio
Matemática em notícia
Maremagnum/Getty Images
Oscar Niemeyer (1907-2012) foi arquiteto brasileiro. Responsável
pelo planejamento arquitetônico de vários prédios de Brasília, capital do Brasil. Possui mais de 600 projetos em todo o mundo. É um
dos maiores representantes da arquitetura moderna da história. Tem
como característica principal o uso do concreto armado para as suas
construções, com seu estilo inconfundível.
Oscar Niemeyer nasceu no bairro de Laranjeiras, no Rio de Janeiro, no dia 15 de dezembro de 1907. [...] Em 1929, entrou para a Escola Palácio da Alvorada, em Brasília (DF).
Nacional de Belas Artes no Rio de Janeiro, onde formou-se engenheiro arquiteto, em 1934. [...]
Em 1940, Niemeyer teve a oportunidade de conhecer, o então prefeito de Belo Horizonte, Juscelino Kubitschek. Convidado pelo político, realiza seu primeiro grande projeto, o Conjunto da Pampulha [...].
Em 1947 participou do Comitê Internacional de Arquitetos que
projetou a Sede das Nações Unidas em Nova Iorque. Realizou obras
como o prédio do Banco Nacional Imobiliário (BNI), a Casa Edmundo
Cavanelas, em Petrópolis, e a Biblioteca Pública Estadual Luiz de Congresso Nacional, em Brasília (DF).
Bessa, em Belo Horizonte.
Em 1956, a convite do então presidente da República, Oscar Niemeyer realiza vários projetos para
a cidade de Brasília, a nova capital do Brasil. Entre eles o Palácio da Alvorada, o Palácio do Planalto, o
Itamaraty, o Congresso Nacional, a Catedral, a Praça dos Três Poderes, o Supremo Tribunal Federal e
o Teatro Nacional. A nova capital do Brasil foi inaugurada no dia 21 de abril de 1960.
[...]
Depois de Brasília, Niterói, no Rio de Janeiro, é a cidade que tem um maior número de obras de
Niemeyer, entre elas o Museu de Arte Contemporânea, em estilo futurista, inaugurado em 1991. Em 1996,
recebeu o Prêmio Leão de Ouro da Bienal de Veneza. Em 1999, inaugura o Auditório do Ibirapuera, em São
Paulo, e o Museu Oscar Niemeyer, em Curitiba.
[...]
Oscar Niemeyer Ribeiro Soares Filho faleceu no Rio de Janeiro, no dia 5 de dezembro de 2012.
Galit Seligmann/Getty Images
A Geometria e a obra de Niemeyer
Disponível em: <www.e-biografias.net/oscar_niemeyer/>. Acesso em: 14 mar. 2018.
1
Niemeyer formou-se engenheiro arquiteto. Hoje, a faculdade de Arquitetura é separada da de
Engenharia. Pesquise sobre as diversas atividades de um profissional formado em Arquitetura nos
dias de hoje. Resposta pessoal.
2
Niemeyer faleceu a dez dias de completar quantos anos?
3
Quem era o presidente da República em 1956?
4
Quantos anos tem Brasília?
5
Identifique elementos geométricos nas obras que aparecem nas fotos.
105
Juscelino Kubitschek
A resposta depende do ano em que a atividade foi realizada.
129
Mudando de assunto
Vamos ler coordenadas
¥ No jogo batalha-naval
Nicole está jogando batalha-naval com seu primo Marcos. Cada um dispõe de 15 navios de guerra.
Veja:
5 submarinos:
Tiago Donizete Leme/Arquivo da editora
4 destróieres:
3 hidroaviões:
2 cruzadores:
1 porta-aviões:
Banco de imagens/Arquivo da editora
Na figura 1, observe como Nicole posicionou alguns de seus navios no tabuleiro. De acordo com as
regras do jogo, cada navio não pode ficar encostado nem tocar em outro navio.
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
figura 1
A posição de cada quadradinho é determinada por uma letra, de A a O, e um número, de 1 a 15. A letra
indica a coluna e o número, a linha em que ele está.
Por exemplo, o submarino está na posição A7.
130
1
Quais são as posições ocupadas:
a) pelo destróier? B3 e C3.
b) pelo cruzador? D12, E12, F12 e G12.
c) pelo porta-aviões? K5, K6, K7, K8 e K9.
d) pelos hidroaviões? E4, F5, E6 e L14, M13, N14.
2
Durante o jogo, na vez de Nicole, ela “atirou” na posição M2 de Marcos e ele respondeu que ela
acertou parte de um destróier.
Em que posição pode estar a outra parte desse destróier?
L2 ou N2 ou M1 ou M3.
¥ No sistema de coordenadas
Para localizar pontos em um plano, traçamos duas retas numéricas perpendiculares, que chamamos
eixo das abscissas e eixo das ordenadas.
eixo das ordenadas
Banco de imagens/Arquivo da editora
11
10
9
A
8
F
7
B
6
5
E
4
3
2
C
D
1
figura 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 eixo das abscissas
Os eixos formam um sistema de coordenadas. Eles se cruzam em um ponto que chamamos origem, no
qual é marcado o 0 de cada eixo.
Escolhemos uma unidade de comprimento (por exemplo, o centímetro) para marcar os números em
ambos os eixos. No eixo das abscissas, os números aumentam da esquerda para a direita; no das ordenadas, de baixo para cima.
Para dar a localização de um ponto, nós falamos primeiro a abscissa e depois a ordenada. Por escrito,
anotamos entre parênteses, separadas por vírgula (ou ponto e vírgula), primeiro a abscissa e depois a
ordenada.
Por exemplo, na figura 2, o ponto A tem abscissa 5 e ordenada 8. O ponto A é o ponto de coordenadas (5, 8).
3
Na figura 2, quais são as coordenadas dos pontos B, C, D, E e F?
B(2, 6), C(1, 2), D(4, 1), E(7, 4), F(9, 7).
131
Quais são as coordenadas dos vértices do polígono desenhado abaixo? A(2, 1), B(5, 1), C(7, 3), D(5, 6), E(2, 5), F(0, 2).
Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora
4
eixo das ordenadas
7
D
6
E
5
4
3
2
C
F
1
A
0
1
B
2
3
4
5
6
7
8
eixo das abscissas
Conhecendo as coordenadas, podemos localizar o ponto. Por exemplo, para chegar ao ponto P, de
coordenadas (6, 4), partimos da origem, caminhamos 6 unidades para a direita (no eixo das abscissas) e,
depois, 4 unidades para cima (paralelamente ao eixo das ordenadas). Observe a figura abaixo.
eixo das ordenadas
6
5
P
4
3
2
R
1
Q
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
eixo das abscissas
Para chegar ao ponto Q, de coordenadas (3, 0), basta partir da origem e caminhar 3 unidades para a
direita. Para chegar ao ponto R, de coordenadas (0, 2), basta caminhar duas unidades para cima a partir
da origem.
Agora, construa quatro sistemas de coordenadas, um para cada atividade seguinte.
5
Localize os pontos da tabela abaixo:
ponto
A
B
C
D
E
F
coordenadas
(4, 2)
(3, 6)
(6, 9)
(2, 4)
(7, 0)
(0, 5)
6
Desenhe o triângulo com vértices de coordenadas (2, 2), (10, 4) e (4, 7).
7
Desenhe o quadrilátero com vértices de coordenadas (1, 3), (5, 1), (9, 3) e (5, 5).
8
Desenhe o polígono com vértices de coordenadas (2, 0), (5, 0), (8, 3), (5, 6), (2, 6) e (0, 3).
132
Ver Manual do Professor.
1
3
A figura abaixo representa a planificação de
um sólido geométrico.
Na figura ao lado está representado um sólido geométrico que denominamos
cubo. Ele tem 6 faces.
Ilustrações:
Banco de imagens/
Arquivo da editora
Teste seus conhecimentos
Qual das figuras seguintes
representa a planificação de um cubo?
X a)
Por meio dela montamos o sólido recortando
(deixando abas para colagem), dobrando nas
linhas pontilhadas e colando. Esse sólido é:
a) uma esfera.
b) um paralelepípedo.
X c) uma pirâmide.
d) um cilindro.
(Saresp)
Reprodução/Saresp, 2012.
2
b)
c)
As figuras 1, 2 e 3 correspondem, respectivamente, às planificações dos sólidos:
d)
a) cubo, cone, pirâmide.
X b) pirâmide, cilindro, cubo.
c) cubo, cilindro, pirâmide.
d) pirâmide, cone, cubo.
Capítulo 7
Semirreta, segmento de reta e ângulo
133
6
O número de faces desta caixa é
a) 2
b) 3
7
Planificações: Reprodução/Saresp,2008.
Identifique entre as alternativas abaixo uma
dessas planificações.
a)
(Saresp) Esta é a caixa onde Larissa guarda
seus brinquedos.
Reprodução/
Saresp, 2007.
(Saresp) Observe abaixo o modelo de um
cubo. Ele tem 11 planificações diferentes, isto é, existem 11 diferentes moldes
possíveis para se montar um cubo, por meio
de dobradura.
Reprodução/Saresp,2008.
4
c) 4
X d) 6
(Saresp) Uma barraca de acampamento tem
a forma de uma pirâmide de base quadrangular e cada face dela, inclusive a base, foi
feita com uma cor diferente. Em cada vértice, foi colocado um protetor de couro.
Para fazer esta barraca foi preciso dispor de
a) 5 cortes de lona de cor diferente e 6 protetores de couro.
X b) 5 cortes de lona de cor diferente e 5 protetores de couro.
c) 6 cortes de lona de cor diferente e 5 protetores de couro.
d) 6 cortes de lona de cor diferente e 6 protetores de couro.
X b)
8
Em qual das seguintes alternativas a forma
indicada é mais próxima de segmento de
reta?
a) Uma quadra de vôlei.
b) Uma bola de futebol.
X c) A linha que divide o campo de futebol
ao meio.
d) A linha da meia-lua do campo de futebol.
c)
d)
9
Em qual das seguintes alternativas a forma
indicada é mais próxima de ângulo?
X a)
Os ponteiros de um relógio.
b) A ponta-seca de um compasso.
c) A parte de cima de uma mesa.
d) Um lápis.
5
O cubo tem 6 faces. Quantos são, respectivamente, os vértices e as arestas?
a) 4 e 8
b) 6 e 8
134
Unidade 2
X c)
8 e 12
d) 8 e 8
Geometria: primeiros passos
10 Duas retas perpendiculares formam quantos
ângulos retos?
a) 2
c) 6
X b) 4
d) 8
11 Em uma reta r marcamos três pontos distintos: A, B e C. Indique a alternativa correta.
a) Só existe uma semirreta de r com origem
no ponto A.
b) Existem três semirretas de r com origem
no ponto B.
c) As semirretas AB e BA não têm ponto
em comum.
X d) Existem duas semirretas de r com origem
no ponto C.
13 Na figura do teste 12, quantos pares de retas concorrentes podemos contar?
a) três
c) cinco
X d) seis
b) quatro
14 Na figura abaixo, quantos ângulos de vértice A e lados não coincidentes podemos
contar?
12 Na figura abaixo, os três pontos colineares
são:
a) A, B e C
D
b) A, B e D
C
c) A, C e D
X d) B, C e D
A
B
C
D
a) três
b) quatro
B
X
Ilustrações: Banco de imagens/
Arquivo da editora
A
E
c) seis
d) sete
Desafios
Jogando dados
Reprodução/O
bmep, 2015.
(Obmep) Cinco dados foram lançados e a soma dos pontos obtidos nas faces de cima foi 19. Em cada um desses dados, a soma dos
pontos da face de cima com os pontos da face de baixo é sempre 7.
Qual foi a soma dos pontos obtidos nas faces de baixo?
X c) 16
a) 10
e) 20
b) 12
d) 18
Desmonte
Qual foi a outra peça utilizada?
Reprodução/Obmep, 2015.
X
a)
d)
b)
e)
Figura 1
Reprodução/Obmep, 2015.
(Obmep) A peça da Figura 1 foi montada juntando-se duas peças sem sobreposição.
Reprodução/Obmep, 2015.
Uma das peças utilizadas foi a da Figura 2.
Figura 2
c)
Capítulo 7
Semirreta, segmento de reta e ângulo
135
Hisham Ibrahim/Photographer’s Choice/Getty Images
UNIDADE
3
Múltiplos e
divisores
Nesta imagem, os doces foram
organizados sempre de seis em seis,
de acordo com a cor. Dizemos que
a quantidade total de doces é um
número múltiplo de seis.
CAPÍTULOS
8. Divisibilidade
9. Números primos.
Fatoração
10. Múltiplos e mínimo
múltiplo comum
11. Divisores e máximo
divisor comum
CAPÍTULO
8
Divisibilidade
Noção de divisibilidade
As caixas de bolas de tênis
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
A produção diária de uma fábrica de bolas de tênis é de 17 482 bolas. As caixas de embalagem são
para 3 bolas. É possível embalar o total de bolas deixando todas as caixas cheias? E se a produção for
aumentada para 54 321 bolas?
Vamos efetuar as divisões:
17 482 3
24
5 827
08
22
1
54 321 3
24
18 107
03
021
0
Percebemos que, no primeiro caso, sobra 1 bola. No segundo, nenhuma.
Na produção de 54 321 bolas, teremos todas as caixas cheias, sem sobra.
Participe
As figurinhas de um álbum são vendidas em envelopes. Cada envelope contém 4 figurinhas. Em um dia
foram impressas 56 862 figurinhas.
a) Que conta devemos fazer para saber quantos envelopes foram feitos? 56 862 ; 4
b) Quantos envelopes foram feitos? 14 215
c) Sobrou alguma figurinha? Sim, sobraram duas.
d) Se fossem envelopes de 6 figurinhas, sobraria alguma? Não
Se fossem impressas 65 268 figurinhas:
e) Com envelopes de 4 figurinhas, sobraria alguma? Não
f) Com envelopes de 6 figurinhas, sobraria alguma? Não
g) Com envelopes de 8 figurinhas, sobraria alguma? Sim. Sobrariam quatro.
Capítulo 8
Divisibilidade
137
Dividindo 12 por 4, a divisão é exata (dá resto zero). Por isso, dizemos que 12 é divisível por 4.
porque a divisão de 56 862 por 4 não é exata. Sim, porque a
h) O número 56 862 é divisível por 4? E por 6? Por quê? Não,
divisão de 56 862 por 6 é exata.
i) O número 65 268 é divisível por 4? E por 6? E por 8? Sim; sim; não.
j) O número 0 é divisível por 4? E por 6? E por 8? Sim; sim; sim.
Confira as respostas no final do livro.
O número 54 321 é divisível por 3 (a divisão é exata, com resto 0), enquanto 17 482 não é divisível por 3
(o resto não é 0).
É possível saber a resposta sem precisar dividir? Sim. Nos próximos exercícios, vamos aprender a
identificar se um número é divisível por 2, por 3, por 4, por 5 e por outros números sem efetuar a divisão.
Um número natural é divisível por outro quando a divisão
do primeiro pelo segundo é exata (resto igual a zero).
O número 0 é divisível por qualquer natural não nulo.
Exercícios
1
Fazendo a lição de Matemática, Júlia concluiu que:
a) 427 é divisível por 7;
certo
427 7
07 61
0
2
b) 680 é divisível por 12;
680 12
60 55
0
A seguir, vamos descobrir que números são
divisíveis por 2.
Lembre-se de que os números naturais
pares são os que terminam em 0, 2, 4, 6
ou 8. Os que terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9 são
os ímpares.
Errado, 680 não é divisível por 12.
a) Que resto você encontrou na divisão de
números pares por 2? 0
b) Que resto você encontrou na divisão de
números ímpares por 2? 1
c) Os números pares são divisíveis por 2?
Por quê? Sim. Porque as divisões têm resto zero.
d) Os números ímpares são divisíveis por 2?
Por quê? Não. Porque as divisões não têm resto zero.
e) Substitua
pelo termo que torna a
frase abaixo verdadeira.
Os números divisíveis por 2 são números
pares
.
680 12
80 56
8
c) 53 não é divisível por 5;
certo
53 5
03 10
3
d) 209 não é divisível por 11.
209 11
89 18
1
Errado, 209 é divisível por 11.
209 11
99 19
0
Nem tudo o que Júlia fez está correto. Refaça a lição, corrigindo o que ela errou.
Dados os números 52, 63, 237, 400, 1 106 e
611, divida-os por 2 e responda:
3
Cláudio está fazendo 25 anos. Dos 11 anos
até hoje, quantas vezes ele teve idades representadas por um número divisível por 2?
7 vezes
138
Unidade 3
Múltiplos e divisores
Para isso, é preciso saber que 17 482 não é divisível por 3, mas que 54 321 é.
4
Sem efetuar divisões, identifique os números divisíveis por 2. 12, 78, 102, 134, 1 234, 0, 13 890
12
102
11 101
78
134
1
1 234
0
3 347
3
555
13 890
8
Resolva o problema “As caixas de bolas de
tênis” (página 137) sem efetuar divisões.
Números divisíveis por 6
9
Considere os números 20, 27, 30, 35, 54,
93, 122 e 216. Copie a tabela abaixo e complete-a com esses números.
Resposta no final do livro.
Números divisíveis por 3
Número
5
É divisível
por 2?
É divisível
por 3?
É divisível
por 2 e
por 3?
São dados os números 245, 372, 447, 1 468
372 3
447 3
2 445 3
3
1 468 3
e 2 445. 245
124 0
149
0 815
2
81 0
1 489
a) Efetue a divisão desses números por 3.
b) Identifique quais desses números são divisíveis por 3. Depois, copie e complete
as tabelas abaixo. Resposta no final do livro.
Número
divisível
por 3
Soma de todos
os algarismos
do número
A soma é
divisível
por 3?
10 Divida por 6 os números do exercício anterior que são divisíveis por 2 e também por 3.
Qual é o resto de cada divisão? 0
11 Faça o que se pede em cada item.
a) Copie e complete a tabela abaixo com os
números 158, 99, 731, 192 e 846.
Resposta no final do livro.
Número
Número
não divisível
por 3
c) Complete:
Soma de todos
os algarismos
do número
A soma é
divisível
por 3?
Leia a explicação no Manual do Professor.
Nos números divisíveis por 3, a soma de
um número ditodos os algarismos
é
visível por 3.
6
7
11 10
78
1
1
0
4
102
1 23
3 347
555
134
3
13 890
Tente responder sem fazer a divisão. Se
forem embaladas 19 726 figurinhas em pacotes com 3 unidades e se todos os pacotes
ficarem cheios, vai sobrar alguma figurinha?
Quantas figurinhas vão sobrar? E se forem
Sim. Sobrará 1 figurinha porque
59 175 figurinhas? 1 1 9 1 7 1 2 1 6 5 25; tirando 1 fica
É divisível
por 3?
É divisível
por 6?
b) Complete:
Os números divisíveis por 6 são os divisíe por
.
veis por
2
3
12 Quais dos números abaixo são divisíveis
por 6? 12 300, 67 890, 112 704
Sem efetuar divisões, identifique os números divisíveis por 3. 12, 78, 102, 3, 0, 555, 13 890
12
É divisível
por 2?
12 300
56 789
70 234
41 102
67 890
112 704
13 Observe o quadro abaixo.
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
a) Com lápis de cor azul, faça um X nos nú104, 106, 108, 110, 112,
meros divisíveis por 2. 102,
114, 116, 118
b) Com lápis de cor vermelha, faça um círculo em volta dos números divisíveis por 3.
102, 105, 108, 111, 114, 117
c) Escreva todos os números compreendidos entre 101 e 120 que são divisíveis
por 6. 102, 108, 114
divisível por 3. Não sobrará figurinha, porque 59 175 é divisível por 3.
Capítulo 8
Divisibilidade
139
20 Um número de três algarismos começa com
7 e termina com 3. O algarismo do meio é
desconhecido.
Números divisíveis por 5
14 Efetue as divisões por 5.
3 427 5
2
685
275 5
0
55
4 680 5
0
936
693 5
3
138
Observe os resultados obtidos e responda às
seguintes questões.
a) O número 3 427 é divisível por 5? Em que
algarismo ele termina? não; 7
b) 275 é divisível por 5? Em que algarismo
ele termina? sim; 5
c) 4 680 é divisível por 5? Em que algarismo
ele termina? sim; 0
d) 693 é divisível por 5? Em que algarismo
ele termina? não; 3
e) Os números divisíveis por 5 terminam em
que algarismo? 0 ou 5
15 Em que algarismos terminam os resultados
da tabuada do 5? 0 ou 5
16 Sem efetuar divisões, identifique, entre os
números abaixo, os que são divisíveis por 5.
75, 210, 13 260, 5, 0, 12 345, 4 080
13
210
888
7 346
75
13 260
0
4 080
96
1
5
12 345
Complete:
Os números divisíveis por 5 são os que terou em
.
minam em
0
5
17 Forme quatro números de três algarismos
usando 4, 1 e outro algarismo à sua escolha. Todos os números devem ser divisíveis
por 5. 410, 415, 140 e 145
18 Complete o número de cada item com o algarismo que está faltando para que a afirmação seja verdadeira.
é divisível por 3. 1, 4 ou 7
a) 74
b) 876
é divisível por 3 e por 5. 0
tem três algarismos, mas
19 O número 26
não é possível ler o último algarismo porque
está borrado. Sabendo que o número é divisível por 2 e por 3, descubra o terceiro algarismo desse número. 4
140
Unidade 3
Múltiplos e divisores
3
7
Descubra que algarismo deve ser esse para
que o número seja divisível
a) por 2;
b) por 3. 2, 5 ou 8
a) Qualquer que seja o algarismo do meio, o número não será divisível por 2.
21 Observe os números do quadro abaixo:
0
543 210
7
3 475
10
3
130
132 000
2
1
94
5
12 345
1 001
4
8
6
70
111 111
415
402
9
911
117
a) Quantos números são divisíveis por 2? 12
3, 6, 9, 117, 402, 12 345,
b) Quais são divisíveis por 3? 0,
111 111, 132 000, 543 210
c) Quantos números são divisíveis por 5? 10
d) Quais são divisíveis por 6? 0, 6, 402, 132 000, 543 210
e) E quais são divisíveis por 2 e também
por 5? 0, 10, 70, 130, 132 000, 543 210
Números divisíveis por 10
Observe os números indicados na resposta
do item anterior e responda:
f) Em que algarismos esses números terminam? 0
g) Divida cada um deles por 10. Qual é o
resto de cada divisão? 0
h) Complete:
Os números divisíveis por 10 são os que
.
terminam em
0
22 Sem efetuar divisões, indique quais dos números a seguir são divisíveis por 10.
270, 1 100, 3 000
270
1 998
902
1 001
1 100
3 000
Critérios de divisibilidade
Os critérios de divisibilidade são regras que nos permitem reconhecer se um número é ou não é divisível por outro sem efetuar a divisão. Vamos resumir os que já estudamos:
Um número é divisível por 2 quando ele é par.
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Um número é divisível por 10 quando termina em 0.
Nos exercícios seguintes vamos estudar outros critérios de divisibilidade.
Participe
Em um mercado, as maçãs são embaladas de
duas em duas em bandejas de isopor, protegidas com papel filme. Para comprar 4 maçãs,
colocam-se duas bandejas em um saquinho
plástico.
Estúdio MIL/Arquivo da editora
•
•
•
•
•
Com 84 maçãs:
a) Quantas bandejas podem ser formadas? Sobra alguma maçã? 42; não
b) Com essas bandejas, quantos saquinhos de 2 bandejas podem ser montados? Sobra alguma bandeja?
c) 84 é divisível por 2?
21; não
Sim
d) Qual é o quociente da divisão de 84 por 2?
42
e) Esse quociente é um número divisível por 2?
Sim
f) Pense nas 84 maçãs embaladas em saquinhos de 4 maçãs. Sobra alguma maçã?
g) 84 é divisível por 4?
Não
Sim
h) Se fossem 86 maçãs, quantas bandejas de 2 maçãs seriam? E quantos saquinhos com 2 bandejas cada
um? Sobraria alguma bandeja fora dos saquinhos? 43; 21; sim, sobraria 1 bandeja.
i) Se fossem 86 maçãs embaladas em saquinhos de 4 unidades, sobraria alguma maçã?
j) 86 é divisível por 4?
k) Substitua
Sim, sobrariam 2 maçãs.
Não
pelo termo que torna cada afirmação écorreta.
84 dividido por 2 dá
86 dividido por 2 dá
42
43
, que é divisível por 2; 84
, que não é divisível por 2; 86
divisível por 4.
não é
divisível por 4.
l) Dividindo 50 por 2, o quociente é divisível por 2? 50 é divisível por 4?
Não; não
m) Dividindo 52 por 2, o quociente é divisível por 2? 52 é divisível por 4?
Sim; sim
n) Existe número ímpar divisível por 4?
Não
o) Complete a lacuna:
Um número é divisível por 4 se for par e se dividido por 2 resulta em quociente
.
par (ou divisível por 2)
Confira as respostas no final do livro.
Capítulo 8
Divisibilidade
141
Exercícios
23 Leia o texto e responda à pergunta:
Já os números terminados em 00 são todos
divisíveis por 4. Por exemplo, 100 é divisível
por 4; 200 também é, 300 também.
“Foi feita uma pesquisa com 14 290 professores e 1 056 diretores. Ela revelou que
a maioria dos professores são do sexo feminino e têm, em média, 40 anos de idade e 14 anos de experiência em sala de aula.
Cada diretor lida, em média, com 34 professores e 586 alunos no estabelecimento de ensino. As classes têm, em média, 32 alunos.”
a) Explique por que os números terminados
em 00 são divisíveis por 4.
Porque são somas de parcelas de 100, e 100 é divisível por 4.
Observe as adições abaixo e responda:
b) 1 600 1 28 5 1 628
1 600 é divisível por 4? Sim
28 é divisível por 4? Sim
1 628 é divisível por 4? Sim
c) 12 400 1 34 5 12 434
12 400 é divisível por 4? Sim
34 é divisível por 4? Não
12 434 é divisível por 4? Não
Quais dos números citados no texto são divisíveis por 4? 1 056, 40 e 32
24 Escolha quatro números naturais sendo três
deles divisíveis por 4 e o outro não. Agora,
faça as adições e responda:
a) Somando dois dos números divisíveis por
4, o resultado é divisível por 4? Sim
b) Somando um número divisível por 4 com
o que não é, o resultado é divisível por 4?
Não
25 Um saco tinha 60 laranjas e outro, menor,
36. Todas as laranjas foram colocadas num
mesmo caixote.
a) Quantas dúzias de laranjas havia no saco
maior? E no menor? 5; 3
b) Quantas dúzias ficaram no caixote? 8
c) 60 é divisível por 12? E 36, é divisível
por 12? Sim; sim
d) 60 1 36 é divisível por 12? Sim
26 Invente uma situação e explique com suas
palavras por que é correto o raciocínio:
“O número 66 é divisível por 11, e 110 também é. Então, como 66 1 110 5 176, concluímos que 176 é divisível por 11.”
29 Todo número maior que 100 é a soma de
um número terminado em 00 com outro
formado pelos dois últimos algarismos na
ordem dada. Aplicando isso, complete a tabela a seguir.
Número
Este
formado
número é
Número
pelos dois
divisível
dado
últimos
por 4?
algarismos
Número
dado
O
número
dado é
divisível
por 4?
316
16
sim
300 1 16
sim
4 148
48
sim
4 100 1 48
sim
13 126
26
não
13 100 1 26
não
47 108
08
sim
47 100 1 08
sim
11 222
22
não
11 200 1 22
não
101 010
10
não
101 000 1 10
não
123 456
56
sim
123 400 1 56
sim
Resposta pessoal.
27 Substitua
se correta.
pelo termo que torna a fra-
Se dois números são divisíveis por um outro,
dientão a soma desses dois números
é
visível por esse outro.
28 Nem todo número terminado em 0 é divisível por 4. Por exemplo, 10 não é divisível por
4; 20 é, mas 30 não é.
142
Unidade 3
Múltiplos e divisores
Compare, em cada linha, as respostas da
terceira e da quinta colunas e responda às
questões.
a) Nos números divisíveis por 4, os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4? Sim
b) Nos números não divisíveis por 4, os dois
últimos algarismos formam um número
divisível por 4? Não
30 Complete a lacuna:
34 O número 1 000 é divisível por 8. Podemos
provar fazendo a divisão:
Um número maior que 100 é divisível
por 4 quando seus dois últimos
algarismos formam um número
por 4. divisível
1000 8
20 125
40
0
Sabendo disso e com base numa situação prática, sem efetuar a divisão, explique por que:
31 Entre os números a seguir, quais são divisíveis por 4? 336, 540, 1 608, 1 776 e 18 092
• 336
• 540
• 1 608
• 1 776
• 3 458
• 18 092
Texto para os exercícios 32 e 33.
a) 2 000 também é divisível por 8;
b) 15 000 também é divisível por 8;
c) todo número terminado em 000 é divisível por 8.
35 Use uma calculadora, se necessário, e responda:
Sim; sim; sim
a) 54 000 é divisível por 8? E 160? E 54 160?
b) 60 000 é divisível por 8? E 100? E 60 100?
Sim; não; não
c) 216 000 é divisível por 8? E 432? E
216 432? Sim; sim; sim
Sim; não; não
d) 27 000 é divisível por 8? E 746? E 27 746?
e) 111 000 é divisível por 8? E 25? E 111 025?
Sim; não; não
f) Nos números divisíveis por 8, os três últimos algarismos formam um número divisível por 8? Sim
g) Nos números não divisíveis por 8, os três
últimos algarismos formam um número
divisível por 8? Não
Nos anos bissextos – que ocorrem de quatro em
quatro anos –, o mês de fevereiro tem 29 dias.
Os números correspondentes a anos bissextos são
divisíveis por 4. Mas atenção: os anos terminados em 00 só são bissextos quando são divisíveis
por 400.
Artur Fujita/Arquivo da editora
32 A folha do calendário que Pedro está observando está rasgada e ele não consegue saber de que ano é.
2012 e 2016
Com base no texto anterior, Pedro ficou em
dúvida entre dois anos. Quais foram eles?
33. b) Não, porque termina em 00 e não é divisível por 400.
33 Sobre os anos bissextos, responda aos itens
a seguir:
a) Que anos da década de 2021 a 2030 serão bissextos? 2024 e 2028
b) O ano 3000 será bissexto? Por quê?
c) O ano em que você nasceu foi bissexto?
Resposta pessoal.
Como 1 000 é divisível
por 8, todo número
terminado em 000
também é, porque é
uma soma de parcelas
de 1 000.
36 Explique oralmente para um colega como
podemos saber se um número maior que
1 000 é divisível por 8, sem efetuar a divisão
desse número por 8. Ouça também a expliResposta pessoal. Espera-se que
cação de seu colega. os alunos respondam: um número
maior que 1 000 é divisível por 8 quando os três últimos algarismos
formam um número divisível por 8.
37 Identifique entre os números abaixo os que
são divisíveis por 8.
X a) 45 040
X e) 43 008
b) 420 964
f) 132 028
X c) 28 736
X g) 531 000
X d) 964 024
X h) 456 064
38 Verifique se os números abaixo são divisíveis
por 9. Use uma calculadora se precisar.
a) 720 e 7 1 2 1 0 Sim; sim
b) 477 e 4 1 7 1 7 Sim; sim
c) 1 348 e 1 1 3 1 4 1 8 Não; não
d) 2 466 e 2 1 4 1 6 1 6 Sim; sim
e) 30 218 e 3 1 0 1 2 1 1 1 8 Não; não
Capítulo 8
Divisibilidade
143
Agora, responda:
42 Para responder a estas perguntas você precisa fazer as divisões.
a) 1 243 é divisível por 7? Não
b) 100 001 é divisível por 11? Sim
f) Nos números divisíveis por 9, a soma dos
algarismos também é divisível por 9? Sim
g) Nos números não divisíveis por 9, a soma
dos algarismos é divisível por 9? Não
h) Substitua
pelo termo correto.
soma
de
Nos números divisíveis por 9, a
um número ditodos os algarismos
é
visível por 9.
43 Divida 589 por 13 e, em seguida, responda
às perguntas: 5894 13
45
a) A divisão é exata? Não
b) Qual é o resto dessa divisão? 4
c) Que valor devemos subtrair de 589 para
que o quociente permaneça o mesmo e a
divisão seja exata? 4
d) Qual é o menor valor que devemos somar com 589 para que a divisão fique
exata? 9
39 Sem efetuar a divisão, responda: Quais dos
números abaixo são divisíveis por 9?
X a) 945
X b) 108
c) 1 378
X d) 4 698
e) 10 101
X f) 30 222
44 Observe o envelope abaixo e responda:
Ilustrações: Artur Fujita/Arquivo da editora
40 O jornaleiro me disse que, com o dinheiro que eu tinha, poderia comprar mais de
440 figurinhas e menos de 470. Quantas figurinhas posso comprar, se preciso reparti-las em quantidades iguais entre mim e
meus 8 primos? 441, 450, 459 ou 468
41 Responda se o número 1 234 567 890 é ou
não é divisível:
e) por 6? Sim
a) por 2? Sim
b) por 3? Sim
f) por 8? Não
c) por 4? Não
g) por 9? Sim
d) por 5? Sim
h) por 10? Sim
Explique por quê, sem efetuar divisões.
144
Unidade 3
Múltiplos e divisores
a) O número do prédio da Múltiplo S.A. é
divisível por 11? Não
b) Qual é o menor número natural que devemos adicionar a 11 111 para obter um
número divisível por 11? 10
c) Qual é o menor número natural que devemos subtrair de 11 111 para obter um
número divisível por 11? 1
45 Leia com atenção as afirmações abaixo:
• Todo número natural é divisível por 1.
• O número 0 é divisível por todo número
natural não nulo.
• Todo número natural não nulo é divisível
por ele mesmo.
• Todo número natural maior que 1 é divisível por 1 e por ele mesmo.
Você concorda com todas essas afirmações?
Ou, na sua opinião, alguma delas está errada? Por quê? Todas as afirmações estão corretas.
Desafios
Que número é esse?
É um número maior que 200 e menor que 250.
É divisível por 2, por 3 e por 5.
Não é divisível por 7. 240
Planejando o feriado
Juninho nasceu em 2009, no feriado de 7 de setembro, que caiu em uma segunda-feira. Em que dia da
semana cairá o aniversário da Independência do Brasil no ano 2040? sexta-feira
Formando equipes
VanderWolf Images/Shutterstock
Oleg Kovtun Hydrobio/Shutterstock
A professora de Ciências decidiu pedir a uma classe de 20 alunos que realizasse uma pesquisa sobre
problemas ambientais com os temas abaixo. Para isso, a classe foi dividida em 4 equipes, cada uma com
pelo menos 3 alunos.
Descarte incorreto de lixo.
Poluição de rios.
Desmatamento.
overcrew/Shutterstock
Nikolay Dimitrov - ecobo/Shutterstock
Emissão de poluentes pelas usinas de carvão.
a)
b)
c)
d)
e)
Quantos alunos há na classe? 20
Quantas equipes foram formadas? 4
Qual foi o número mínimo de alunos por equipe? 3
Pode ter sido formada uma equipe com 14 alunos? E com 12 alunos? Não; não
Qual era o número máximo de alunos que uma equipe poderia ter? 11
Capítulo 8
Divisibilidade
145
CAPÍTULO
9
Números primos.
Fatoração
O que é número primo?
No quadro abaixo estão representados os números naturais de 2 a 50.
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
4
14
24
34
44
5
15
25
35
45
6
16
26
36
46
7
17
27
37
47
8
18
28
38
48
9
19
29
39
49
10
20
30
40
50
Contornando o número 2 e, em seguida, apagando todos os outros números que são divisíveis por 2,
que números permanecem?
Observe:
2
11
21
31
41
3
13
23
33
43
5
15
25
35
45
7
17
27
37
47
9
19
29
39
49
Agora, contornando o número 3 e apagando todos os outros números que são divisíveis por 3, quais
números ainda ficam?
2
11
31
41
3
13
23
5
25
35
43
7
17
37
47
19
29
49
Contornando o próximo número, que é o 5, e, em seguida, apagando todos os outros números divisíveis por 5, quais números ainda continuam?
Verifique:
2
11
31
41
146
Unidade 3
Múltiplos e divisores
3
13
23
43
5
7
17
37
47
19
29
49
Se prosseguirmos fazendo assim – contornando o primeiro número não assinalado e apagando os
demais que são divisíveis por ele –, sobrarão apenas os números que foram assinalados. Veja agora os
números que permanecem no quadro:
2
11
31
41
3
13
23
5
7
17
19
29
37
47
43
Esses são números primos. Você sabe o que é um número primo?
Um número natural e maior que 1 é primo quando só é divisível
por 1 e por ele mesmo.
Os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13, por exemplo, são números primos. Cada um deles é divisível por dois
números: 1 e ele mesmo.
Números como 4, 6, 8, 9, 10, 12 e 15 são chamados números compostos. Cada um deles é divisível por
mais de dois números.
Um número natural e maior que 1 é composto quando é divisível
por mais de dois números naturais.
Observe que, de acordo com a explicação acima, os números 0 e 1 não entram na classificação de
primo ou composto. Lendo a seção “Matemática no tempo” do capítulo 11, você vai descobrir a origem
desses nomes.
Exercícios
1
Responda às questões sobre números primos.
a) O número 21 é divisível por quanto? 21 é
primo? 1, 3, 7, 21; não
b) O número 23 é divisível por quanto? 23 é
primo? 1, 23; sim
2
Existe um número par que também é número primo. Qual é esse número? 2
3
Dê três exemplos de:
a) números ímpares primos; Resposta pessoal.
b) números ímpares compostos. Resposta pessoal.
4
Você conheceu os números primos até 50.
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
a) Quais são eles? 2,
41, 43 e 47
b) Agora, escreva no quadro os números naturais maiores que 50 e menores que 100.
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
c) Descubra os números primos existentes
entre 50 e 100, procedendo da seguinte
maneira:
• Primeiro, elimine os números divisíveis
por 2, 3, 5 e 7.
• Depois, verifique se cada número que
sobrou é primo ou não.
São primos: 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97
Capítulo 9
Números primos. Fatoração
147
O NÚMERO
187 É PRIMO OU COMPOSTO?
E 197?
Como reconhecer um número primo
Há infinitos números primos.
Alberto De Stefano/Arquivo da editora
Para saber se um número é primo, devemos dividi-lo sucessivamente pelos números primos (2, 3, 5, 7, etc.) e verificar
o que acontece:
• Encontrando um resto zero, o número não é primo.
• Se nenhum resto é zero, o número é primo.
Exemplo 1
Considere o número 187.
• 187 não é divisível por 2, porque não é par.
• 187 não é divisível por 3, porque a soma dos seus algarismos (1 1 8 1 7 5 16) não é divisível por 3.
• 187 não é divisível por 5, porque não termina em zero ou 5.
• 187 não é divisível por 7, porque nessa divisão ocorre resto 5.
• 187 é divisível por 11, porque nessa divisão ocorre resto 0.
Então, 187 não é primo.
187 7
47 26
5
Observação
Da última divisão podemos escrever que:
187
5
dividendo
11
3
divisor
17
quociente
187 11
77 17
0
Trocando a ordem dos fatores, concluímos que 187 também é divisível por 17:
187
5
dividendo
17
divisor
3
11
quociente
187 17
17 11
0
Numa dessas divisões o divisor é menor que o quociente, na outra, é maior.
Exemplo 2
Agora, considere o número 197.
• 197 não é divisível por 2, porque não é par.
• 197 não é divisível por 3, porque a soma dos seus algarismos (1 1 9 1 7 5 17)
não é divisível por 3.
• 197 não é divisível por 5, porque não termina em zero ou 5.
• 197 não é divisível por 7, porque nessa divisão ocorre resto 1. O quociente (28)
é maior que o divisor (7).
148
Unidade 3
Múltiplos e divisores
197 7
57 28
1
• 197 não é divisível por 11, porque nessa divisão ocorre resto 10. Note que
197 11
87 17
10
• 197 não é divisível por 13, porque nessa divisão ocorre resto 2. O quociente
197 13
67 15
2
aumentando o divisor, de 7 para 11, diminui o quociente, de 28 para 17. Mas o
quociente (17) ainda é maior que o divisor (11).
(15) é maior que o divisor (13).
• 197 não é divisível por 17, porque nessa divisão ocorre resto 10. O quociente
197 17
27 11
10
(11) é menor que o divisor (17).
Não precisamos continuar as divisões. Se tivesse alguma divisão exata com o divisor maior que o
quociente, já teríamos encontrado outra com o divisor menor que o quociente. Não havendo divisão
exata, concluímos que 197 é número primo.
Para saber se um número é primo ou não, precisamos dividi-lo pelos primos 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17... até encontrar um resto zero ou um quociente menor ou igual ao divisor.
Exercícios
5
Classifique cada número abaixo em primo ou composto.
a) 127
6
7
b) 217
primo
composto
c) 271
d) 721
primo
composto
Descubra:
a) Qual é o menor número primo maior que 500?
503
b) Qual é o menor número primo maior que 800?
809
Observe os números abaixo.
Composto
• 101 Primo • 3 876
• 247
• 715
Composto
Composto
Composto
Composto
• 417
• 172
177
• 173 Primo •Composto
Composto
• 179 Primo • 421 Primo • 175
• 423
• 425
• 427
Composto
Composto
Composto
• 277 Primo
• 429
Composto
Quais são números primos e quais são números compostos?
8
Responda às questões abaixo.
a) Qual é o menor número natural primo que se escreve com quatro algarismos?
b) Qual é o maior número primo que se escreve com três algarismos?
9
1 009
997
Use os algarismos 2, 4 e 9, uma vez cada um, para formar números de três algarismos.
a) Quantos números você pode formar?
b) Quais desses números são primos?
seis
nenhum
Capítulo 9
Números primos. Fatoração
149
Desafios
O aniversário do professor
Quando questionado sobre sua data de aniversário, o professor, que só pensa em Matemática, sempre
propõe um enigma:
— O dia em que nasci é um número primo maior que o quadrado e menor que o cubo do mês em que
nasci. A soma do dia com o mês dá um número primo, mas a diferença, não. Quando eu nasci? 19 de abril
2a
x2 1 y2
5a
x
y 5y
Kanton/Arquivo da editora
3x
Quais são os primos
Quais destes anos são números primos?
• 2011
• 2017
• 2021
Use uma calculadora para fazer as divisões necessárias.
• 2027
2011, 2017, 2027
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Decomposição em produto
As idades dos irmãos
A soma das idades de dois irmãos corresponde à idade do
pai deles: 45 anos.
Se as idades dos irmãos forem multiplicadas, o número que
se obtém é o da idade completada pelo Brasil no ano 2000.
Qual é a idade do irmão mais velho?
Acompanhe o raciocínio:
Em 2000, o Brasil completou 500 anos. Logo, o produto das idades é 500.
As multiplicações de dois fatores com resultado 500 são:
1 ? 500
5 ? 100
2 ? 250
10 ? 50
4 ? 125
20 ? 25
Como a soma das idades é 45 anos, vamos adicionar os fatores para descobrir as idades:
1 1 500 5 501
10 1 50 5 60
5 1 100 5 105
4 1 125 5 129
2 1 250 5 252
20 1 25 5 45
As idades são 20 e 25 anos. Então, o mais velho tem 25 anos.
150
Unidade 3
Múltiplos e divisores
Exercícios
10 A professora de Matemática pediu aos alunos da classe que formassem grupos para
fazer um trabalho. Todos os grupos deviam
ter o mesmo número de alunos; era preciso
formar mais de um grupo, e ninguém poderia ficar sozinho. Como a classe tem 36 alunos, poderiam ser formados, por exemplo,
4 grupos com 9 alunos (4 ? 9 5 36). Existem outras possibilidades de formação desses grupos. Quais são elas?
12 Na Grécia antiga, matemáticos da escola pitagórica costumavam associar números a
formas geométricas. As figuras a seguir são
da seção “Matemática no tempo” e mostram como os pitagóricos interpretavam os
números primos e os números compostos:
8 (composto)
5 (primo)
Um número composto pode ser representado por linhas de pedrinhas em forma retangular. Então, um número primo seria
representado por uma só linha, pois não dá
para formar “retângulo”.
Laís deseja dispor os 90 brigadeiros de sua festa de aniversário formando um “retângulo”
composto de linhas de brigadeiros. De quantos modos ela pode formar esse “retângulo”?
2 ? 18; 3 ? 12; 6 ? 6; 9 ? 4; 12 ? 3; 18 ? 2
11 Num colégio há duas classes de 6o ano, uma
delas com 5 alunos a mais que a outra. Multiplicando o número de alunos das duas
classes, o resultado dá 300.
1 ? 300; 2 ? 150; 3 ? 100; 4 ? 75; 5 ? 60; 6 ? 50; 10 ? 30; 12 ? 25; 15 ? 20
a) Escreva as multiplicações de dois números que dão como resultado 300.
b) Quantos alunos há em cada classe? 15 e 20
10 modos
As multiplicações de dois fatores de resultado 500:
1 ? 500
2 ? 250
4 ? 125
5 ? 100
10 ? 50
20 ? 25
são decomposições de 500 em produto.
Há outras decomposições, com mais de dois fatores, como:
2 ? 2 ? 125
5 ? 10 ? 10
2 ? 5 ? 5 ? 10
2?2?5?5?5
Decompor um número em produto é indicar uma multiplicação que tem como
resultado aquele número.
Participe
Vamos trabalhar com o número 60.
a) Indique três multiplicações de dois fatores que dão 60. Por exemplo: 1 ? 60, 2 ? 30, 3 ? 20, 4 ? 15
Possível resposta: 1 ? 6 ? 10; 2 ? 3 ? 10;
b) Escreva três modos de decompor 60 em produto, com mais de dois fatores. 3 ? 4 ? 5
Há outras possibilidades.
c) Existe um modo de decompor o número 60 em que todos os fatores são números primos. Faça essa
decomposição. 2 ? 2 ? 3 ? 5
Agora, considere o número 40.
d) Ele é primo ou composto? Composto
e) Ele é divisível por quais números naturais? 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 e 40
f) Decomponha o número 40 em produto, de modo que todos os fatores sejam primos.
2?2?2?5
Confira as respostas no final do livro.
Capítulo 9
Números primos. Fatoração
151
A fatoração de 60
Vamos ver agora uma forma de organizar os cálculos para decompor um número em fatores primos.
Todo número natural maior que 1 ou é primo ou pode ser decomposto em
um produto de fatores primos.
Qual é o menor número primo pelo qual 60 é divisível? Como 60 é par, é divisível por 2.
60 2
0 30
O quociente dessa divisão é 30.
Agora, vamos encontrar o menor número primo pelo qual 30 é divisível. Como 30 é par, é divisível por 2.
30 2
10 15
0
O quociente dessa divisão é 15.
Vamos agora encontrar o menor número primo pelo qual 15 é divisível. Como 15 é ímpar, não é divisível por 2, mas é divisível por 3.
15 3
0 5
O quociente dessa divisão é 5.
Repetindo esse procedimento até encontrar quociente 1, a sequência de divisões feitas é:
60 2
0 30
30 2
10 15
0
15 3
0 5
5 5
0 1
Calculando mentalmente os quocientes podemos fazer assim:
60
2
30
2
15
3
5
5
1
É usual indicar do modo abaixo, com um traço vertical:
Quocientes das divisões
60
30
15
5
1
2
2
3
5
A decomposição do número 60 em fatores primos é: 60 5 2 ? 2 ? 3 ? 5
Podemos usar potências: 60 5 22 ? 3 ? 5
152
Unidade 3
Múltiplos e divisores
Participe
a) Complete, ao lado, a decomposição do número 40 em fatores primos.
A decomposição em produto de fatores primos é chamada
fatoração.
40 2
20
2
10
2
5
5
b) O número 19 pode ser fatorado? Por quê?
Não; é primo.
c) O número 28 pode ser fatorado? Por quê?
Sim; é maior que 1 e não é primo.
d) Fatore o número em que a resposta é sim.
28 5 22 ? 7
40 5 2 ?
2
?
3
40 5 2 ?
2
5
?
5
1
Confira as respostas no final do livro.
Fatoração de um número
Todo número natural maior que 1 não primo admite uma única decomposição em fatores primos,
sem levar em conta a ordem dos fatores.
Essa decomposição é também chamada fatoração do número.
Fatorar um número significa decompô-lo em um produto de fatores primos.
Exercícios
13 Fatore cada número a seguir.
a) 48 2 ? 3
d) 120 2 ? 3 ? 5
b) 92 2 ? 23
e) 168 2 ? 3 ? 7
c) 98 2 ? 7
f) 180 2 ? 3 ? 5
4
3
2
3
2
2
2
g) 225
h) 250
i) 308
32 ? 52
2 ? 53
22 ? 7 ? 11
14 Observe os cartões abaixo e ligue cada número dos cartões laranja à sua fatoração
correspondente nos cartões verdes.
140
22 ? 5 ? 7
32 ? 5 ? 112
500
2 2 ? 53
2 ? 52 ? 13
5 445
32 ? 5 ? 112
650
2 ? 5 ? 13
3 900
2
22 ? 3 ? 52 ? 13
15 Qual é o menor fator primo de cada número?
c) 323 17
a) 65 5
b) 221 13
d) 29 29
22 ? 5 ? 7
22 ? 53
210 ? 3
22 ? 3 ? 52 ? 13
A fatoração que sobra é a de que número? 3 072
16 O produto de dois números naturais é 80.
1 e 80; 2 e 40;
a) Que números podem ser esses? 4 e 20; 5 e 16;
8 e 10
b) Considerando que a soma deles é 21,
quais são os números? 5 e 16
c) Considerando que a soma deles é a menor possível, quais são os números? 8 e 10
17 Decompondo um número em fatores primos, encontramos 210. Esse número é divisível por todos os números abaixo, exceto
um. Qual?
X a) 80
d) 128
b) 64
e) 16
c) 32
Capítulo 9
Números primos. Fatoração
153
CAPÍTULO
10
Múltiplos e mínimo
múltiplo comum
Os múltiplos de um número
Christos Georghiou/Shutterstock
O alinhamento dos planetas
Concepção artística
e fora de escala do
Sistema Solar.
Em 2006 ocorreu um raro fenômeno: o alinhamento dos planetas Mercúrio, Vênus e Saturno.
Assim como a Terra, esses planetas também giram em torno do Sol. Mercúrio leva aproximadamente 87
dias para completar uma volta em torno do Sol; Vênus leva aproximadamente 225 dias; e Saturno, 28 anos.
• Considerando o momento em que os três planetas se alinham, depois de quantos dias Mercúrio e
Vênus estarão ambos novamente nessa mesma posição?
• Depois de quantos anos, aproximadamente, essa posição dos três planetas se repetirá?
Com o estudo que faremos agora, você poderá resolver questões como essas e muitas outras em
que se emprega raciocínio semelhante e que ocorrem frequentemente em diversas situações práticas.
Participe
Tomando os números naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … e multiplicando cada um por 2, obtemos:
2?050
2?356
2 ? 6 5 12
2?152
2?458
2 ? 7 5 14
2?254
2 ? 5 5 10
...
a) Como se chamam os números obtidos? Números pares.
Esses números também se chamam múltiplos de 2, porque são obtidos multiplicando os números naturais
por 2.
b) Multiplicando os naturais por 3, obtemos os múltiplos de 3. Quais são eles? 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, …
c) Quais são os múltiplos de 4? 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, …
Confira as respostas no final do livro.
154
Unidade 3
Múltiplos e divisores
Os múltiplos de 5 são: 5 ? 0, 5 ? 1, 5 ? 2, 5 ? 3, 5 ? 4, 5 ? 5, 5 ? 6, 5 ? 7, …
0,
5,
10,
15,
20,
25,
30,
35, ...
Os múltiplos de um número natural são obtidos quando esse número
é multiplicado pelos números naturais.
Multiplicando-se qualquer número natural por zero, o resultado é sempre zero. Assim, o único múltiplo de zero é zero.
Como saber se é múltiplo?
Os múltiplos de 6 são: 6 ? 0, 6 ? 1, 6 ? 2, 6 ? 3, 6 ? 4, 6 ? 5, 6 ? 6, 6 ? 7, ...
0,
6,
12,
18, 24,
30,
36, 42, ...
Será que 228 é múltiplo de 6?
Precisamos descobrir se 228 é produto de 6 por algum número natural. Para isso, dividimos 228 por 6:
228 6
48 38
0
228 5 6 ? 38
Estúdio Mil/Arquivo da editora
Logo, 228 é múltiplo de 6 (e também de 38).
Note que 228 é divisível por 6, pois o resto é zero.
Um número natural é múltiplo de outro, não nulo, quando ele é divisível por esse outro número.
Exercícios
1
Escreva os múltiplos de 6 menores que 50.
2
Quais são os múltiplos de 7 maiores que 30 e menores que 60?
3
Observe os números abaixo.
3 11 42 44
22 2
0 81
40 55 7 88
34 99 13 66
0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 e 48
35, 42, 49 e 56
a) Quais desses números são múltiplos de 11?
0, 11, 22, 44, 55, 66, 88 e 99
b) Para indicar todos os múltiplos de 11 menores que 100, que números
você deve acrescentar aos da tabela ao lado? 33 e 77
Capítulo 10
Múltiplos e mínimo múltiplo comum
155
4
a) 333 é múltiplo de 5. 335
b) 335 é múltiplo de 11. 341
c) 348 é múltiplo de 10. 340
d) 340 é múltiplo de 3. 333
e) 341 é múltiplo de 6. 348
Fazendo uma divisão, responda:
a) 3 220 é múltiplo de 7? Sim
b) 11 433 é múltiplo de 7? Não
Se necessário, use uma calculadora.
5
Nas afirmações a seguir, os múltiplos foram trocados de itens. Reescreva cada afirmação, colocando os múltiplos nos itens
certos, de modo que todas as afirmações fiquem corretas:
6
Descubra qual é o menor número natural:
a) múltiplo de 12 com três algarismos; 108
b) múltiplo de 18 com três algarismos; 108
c) múltiplo de 12 e de 18 e diferente de zero. 36
Desafio
A regularidade dos trens
(Saresp) Ester utiliza diariamente o trem para ir de casa para o trabalho. Ela sabe que, de segunda a
sexta, trens passam de 7 em 7 minutos. Ela costuma pegar o trem que passa às 7 horas. Certo dia, ela
acordou atrasada e pegou o trem do primeiro horário depois das 8 horas. Determine o horário em que Ester
pegou esse trem. 8 h 3 min
Múltiplos comuns
As coincidências
Alberto De Stefano/Arquivo da editora
Raul sempre corta o cabelo de 20 em 20 dias, e Artur, de 25 em 25 dias. Certo dia coincidiu de ambos
cortarem o cabelo. Depois de quantos dias essa coincidência ocorrerá novamente?
Contando a partir da primeira coincidência, Raul voltará a cortar o cabelo após 20 dias, após 40 dias,
60 dias, etc.
20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, ... são os múltiplos de 20, com exceção do zero.
Já Artur voltará a cortar o cabelo após 25 dias, 50 dias, 75 dias, etc.
25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, ... são os múltiplos de 25, fora o zero.
Haverá novas coincidências após 100 dias, 200 dias, 300 dias, etc. A segunda coincidência ocorrerá
exatamente após 100 dias.
100, 200, 300, ... são os múltiplos comuns de 20 e 25, fora o zero.
156
Unidade 3
Múltiplos e divisores
Kanton/Arquivo da editora
Participe
a) Escreva com suas palavras o que são os
múltiplos comuns de dois números naturais. Resposta pessoal.
b) Descubra quais são os múltiplos comuns de 2 e 3. 0, 6, 12, 18, 24, ...
c) Se Raul joga basquete nos dias pares e
pratica natação em todos os dias múltiplos de 3, em quais dias do mês de maio
dias 6, 12, 18,
ele pratica os dois esportes? Nos
24 e 30.
d) Qual é o menor múltiplo comum de 2 e
3, fora o zero? 6
Agora, observe a seguinte escala numérica:
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
e) Assinale em azul os múltiplos de 4 e em vermelho os múltiplos de 6.
f) Quais são os múltiplos comuns de 4 e 6?
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20 e 24.
Múltiplos de 6: 6, 12, 18 e 24.
12 e 24
g) Qual é o menor número assinalado em azul e em vermelho?
12
Confira as respostas no final do livro.
Mínimo múltiplo comum (mmc)
O número 100 é o primeiro número, excluindo o zero, que é múltiplo ao mesmo tempo de 20 e de 25.
Ele é chamado mínimo múltiplo comum de 20 e 25.
Indicamos: mmc (20, 25) 5 100.
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais é o menor
número, excluindo o zero, que é múltiplo desses números.
Exercícios
7
c) Indique os múltiplos comuns de 6 e 8.
Observe os números abaixo:
1
2
3
4
5
6
7
24 e 48
8
9
d) Indique o mínimo múltiplo comum de 6 e 8.
24
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
8
Num ponto de ônibus, passa um ônibus da
linha A, de 15 em 15 minutos, e um da linha
B, de 20 em 20 minutos. Às 9 horas passaram os dois ônibus nesse ponto. A que horas voltarão a passar juntos? Às 10 horas.
9
Para determinar o mmc (15, 25), considere
os múltiplos de 25, com exceção do zero,
e veja qual é o menor deles que também é
múltiplo de 15. Qual é o mmc (15, 25)? 75
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
a) Use lápis azul para circular os múltiplos
de 6. 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 e 48
b) Use lápis vermelho para fazer um X nos
múltiplos de 8. 8, 16, 24, 32, 40 e 48
Capítulo 10
Múltiplos e mínimo múltiplo comum
157
10 Determine o mmc dos números em cada item.
a) 12 e 18 36
b) 30 e 40 120
c) 20 e 60
d) 50 e 200
60
200
11 Siga as afirmações que forem verdadeiras para descobrir aonde a classe de Alexandre foi em excursão:
parque de diversões
mmc (2, 4) 5 2
mmc (1, 4) 5 4
mmc (2, 4) 5 4
mmc (1, 4) 5 1
zoológico
mmc (3, 4) 5 12
parque de diversões
mmc (3, 4) 5 4
teatro
cinema
Desafio
Compreendendo um texto
Um computador está programado para fazer uma operação diferente, representada pelo símbolo ★.
Essa operação ★ consiste em adicionar a soma e o produto dos dois números dados.
Veja como é:
4 ★ 3 5 4 1 3 1 4 ? 3 5 19
Calculando (5 ★ 0) ★ 1, vamos obter:
a) 0
b) 1
c) 5
d) 6
X e)
11
Calculando o mmc
Brincando com dominó
Veja estas filas de peças de dois dominós:
Estúdio Mil/Arquivo da editora
20 mm
24 mm
Na primeira fila, as peças medem 20 mm de comprimento e, na segunda, 24 mm. Queremos aumentar as filas até que fiquem com o mesmo comprimento, o menor possível, sempre justapondo as peças
do primeiro dominó na primeira fila e do segundo dominó, na segunda. Com quantos milímetros ficará
cada fila?
O comprimento, em milímetros, da primeira fila é um múltiplo de 20 e o da segunda, de 24.
Para responder à pergunta, precisamos calcular o mmc (20, 24).
158
Unidade 3
Múltiplos e divisores
Os múltiplos não nulos de 24, na ordem crescente, são:
24; 24 ? 2 5 48; 24 ? 3 5 72; 24 ? 4 5 96; 24 ? 5 5 120; ...
O primeiro desses números que também é múltiplo de 20 é 120. Então, mmc (20, 24) 5 120.
As filas vão medir 120 mm.
Empregando fatoração
No problema anterior, calculamos o mmc (20, 24). Vamos estudar outro modo de obter o mmc (20, 24),
empregando a fatoração dos números:
20 2
10 2
5 5
24
12
6
3
1
1
2
2
2
3
• 20 5 2 ? 2 ? 5
• 24 5 2 ? 2 ? 2 ? 3
Um múltiplo de 20, maior que 20, tem necessariamente os fatores 2, 2 e 5 (e outro(s) fator(es)). Um
múltiplo não nulo de 24 tem necessariamente os fatores 2, 2, 2 e 3, podendo ter outros fatores.
Então, um múltiplo comum de 20 e 24 deve ter pelo menos os fatores 2, 2, 2, 3 e 5. O mmc é o que
só tem estes fatores:
mmc (20, 24) 5 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 5 5 120
Empregando potências, escrevemos assim as formas fatoradas:
• 20 5 22 ? 5
• 24 5 23 ? 3
• mmc (20, 24) 5 23 ? 3 ? 5
O fator primo 2 aparece nas decomposições de 20 e de 24; ele é um fator primo comum de 20 e 24.
No mmc, ele aparece com o maior expoente que apresenta nas fatorações dos números.
Já 3 é fator primo de 24, mas não de 20. E 5 é de 20, mas não de 24. Então, 3 e 5 não são fatores
comuns de 20 e 24.
Eles entram na forma fatorada do mmc como aparecem nas fatorações dos números.
Veja este outro exemplo:
144
72
36
18
9
3
1
2
2
2
2
3
3
180
90
45
15
5
1
2
2
3
3
5
• 144 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 5 24 ? 32
• 180 5 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5 5 22 ? 32 ? 5
Na fatoração do mmc (144, 180), o 2 aparece quatro vezes, o 3 duas vezes e o 5 uma vez. Temos:
• mmc (144, 180) 5 24 ? 32 ? 5
• mmc (144, 180) 5 16 ? 9 ? 5 5 720
O mmc é o produto dos fatores primos comuns e não comuns, cada um com o maior
expoente que apresenta nas formas fatoradas dos números dados.
Capítulo 10
Múltiplos e mínimo múltiplo comum
159
Essa regra vale também para calcular o mmc de mais de dois números.
Alberto De Stefano/Arquivo da editora
QUAL É O MMC
DE 18, 25 E 30?
18 2
9 3
3 3
1
25 5
5 5
1
30 2
15 3
5 5
1
• 18 5 2 ? 32
• 25 5 52
• 30 5 2 ? 3 ? 5
Na forma fatorada do mmc entram 2, 32 e 52.
Então: mmc (18, 25, 30) 5 2 ? 32 ? 52 5 2 ? 9 ? 25 5 450
Exercícios
12 Releia o problema proposto sobre o alinhamento dos planetas na abertura deste capítulo.
a) Calcule o mmc (87, 225) e responda à primeira pergunta. 6 525 dias
b) Transforme em número de anos a resposta do item anterior. Aproximadamente 18 anos.
c) Calcule o mmc entre 28 e o número dado
como resposta no item b para responder
à segunda pergunta do problema. 252 anos
13 Um carro e uma moto partem juntos do
ponto inicial do circuito de um autódromo.
O carro percorre o circuito em 210 segundos, e a moto, em 280 segundos. Depois
de quanto tempo o carro e a moto passarão
juntos novamente pelo ponto inicial?
840 segundos (14 min)
14 Calcule:
a) mmc (12, 15, 18) 180
b) mmc (24, 32, 40) 480
Empregando decomposição simultânea
Podemos calcular o mmc de dois ou mais números fazendo a decomposição deles simultaneamente.
Acompanhe a explicação no cálculo do mmc (18, 25, 30):
1o) Escrevemos os números dados, separando-os por vírgulas, e colocamos um traço vertical ao lado
do último número. À direita do traço, colocamos o menor dos fatores primos dos números dados,
seja ele um fator comum ou não (no exemplo, o 2).
18, 25, 30 2
2o) Sob cada número que for divisível pelo fator primo, colocamos o quociente da divisão (no exemplo,
sob o 18 colocamos o 9 e, sob o 30, o 15). Os números não divisíveis pelo fator primo devem ser
repetidos (no exemplo, o 25).
18, 25, 30 2
9, 25, 15
160
Unidade 3
Múltiplos e divisores
3o) Prosseguimos com esse processo até chegar ao quociente 1 sob todos os números.
18, 25, 30 2
9, 25, 15 3
3, 25, 5 3
1, 25, 5 5
1, 5, 1 5
1, 1, 1
4o) O mmc é o produto dos fatores primos colocados à direita do traço:
mmc (18, 25, 30) 5 2 ? 32 ? 52 5 2 ? 9 ? 25 5 450
Exercícios
16 Descubra a classificação das equipes na gincana da escola, calculando o mmc dos números escritos nas placas de cada líder de
equipe. O maior mmc corresponde à equipe
com mais pontos; o menor mmc, à equipe
com menos pontos. Qual foi a equipe vencedora? As equipes azul e branca empataram em 1 lugar.
o
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Kanton/Arquivo da editora
15 Esta é a foto que Adriana tirou de seus amigos em uma festa.
O mmc dos números pintados na camiseta
dos amigos de Adriana coincide com a pontuação de cada um em um jogo eletrônico.
Se Adriana fez 100 pontos, no total, quem
pontuou mais: os cinco meninos ou as cinco
meninas? Quanto a mais? Os meninos; 30 pontos
Desafio
Dois ciclistas largam juntos numa pista, percorrendo-a
com velocidade constante. Waltinho completa cada volta em
2 min 48 s. Raul leva 3 min 36 s em cada volta.
a) Em quantos segundos cada um completa uma volta?
Waltinho, 168 s; Raul, 216 s.
b) Depois de quanto tempo os dois cruzarão juntos pela primeira vez o ponto de largada? 1 512 s ou 25 min 12 s
c) Nesse momento, quantas voltas terá dado cada um?
Waltinho, 9; Raul, 7.
d) Em que momento Waltinho ultrapassará Raul pela primeira
vez? (Lembre-se: nesse momento, Waltinho estará exatamente uma volta à frente de Raul.) 756 s ou 12 min 36 s após a saída.
Rena Schild/Shutterstock
Maratona ciclística
Ciclistas competindo em prova realizada em
Virgínia, Estados Unidos.
Capítulo 10
Múltiplos e mínimo múltiplo comum
161
País registra queda nos casos de
dengue, chikungunya e zika
[...]
Os casos de dengue, chikungunya e zika registraram queda nos três primeiros meses de 2017 em
comparação ao mesmo período do ano passado. [...]
De acordo com o Ministério da Saúde, também
houve queda expressiva no número de óbitos com
dengue, passando de 221, no primeiro trimestre em Aedes aegypti, mosquito transmissor da dengue, da febre
amarela e da febre chikungunya.
2016, para 5 no mesmo período em 2017. [...]
A região Sudeste registrou o maior número de casos prováveis (18 660) [...], seguida das regiões Nordeste (9 655 casos), Centro-Oeste (9 169 casos), Norte (7 447 casos) e Sul (3 246 casos).
Chikungunya
Até 18 de fevereiro, foram registrados 10 294 casos de febre chikungunya no país [...]. A redução é de
em relação ao mesmo período do ano passado, quando foram registrados 43 567 casos. [...]
Zika
em relação a 2016, com 30 683 casos
Foram registrados 1 653 casos de zika no país. Redução de
no mesmo período. [...]
Em relação às gestantes, foram registrados 286 casos prováveis, sendo 30 confirmados por critério
clínico-epidemiológico ou laboratorial. Não houve registro de óbitos por zika em 2017.
Fonte: Portal Brasil com informações do Ministério da Saúde. Disponível em: <www.brasil.gov.br/saude/2017/03/
pais-registra-queda-nos-casos-de-dengue-chikungunya-e-zika>. Acesso em: 1o nov. 2017.
Responda:
1
Que números de casos devem ser colocados nos
2
Usando números que aparecem no texto, dê exemplos de:
18 660, 3 246,
• Múltiplo de 3 218,016,
30.
• Múltiplo de 4 2 016, 18 660.
• Múltiplo de 5 5, 18 660, 9 655, 30.
• Múltiplo de 6
• Múltiplo de 8
?
33 273; 29 030
18 660, 3 246, 18, 2 016, 30.
2 016.
• Múltiplo de 9 2 016, 18.
• Múltiplo de 10 18 660, 30.
3
Em que região do país foi constatado um número múltiplo de 11 de casos de dengue?
4
Em alguma região do país foi constatado um número primo de casos de dengue? Se sim, em qual delas?
5
Que atitudes são recomendadas para prevenir a dengue?
6
Pesquise sobre os sintomas da dengue.
7
Na região em que você mora, há alguma doença endêmica?
162
Região Norte
Não
Ver resposta no Manual do Professor.
Espera-se que os alunos citem: dores musculares, dor de cabeça, febre, manchas
avermelhadas no corpo, entre outros.
Resposta pessoal.
Khlungcenter/Shutterstock
Matemática em notícia
CAPÍTULO
11
Divisores e máximo
divisor comum
Divisores
As caixas de ovos
Senhor Takei vende ovos em sua barraca na feira. Ele recebeu da granja 180 ovos para revender e
precisa embalá-los. Porém, Takei só dispõe de embalagens para oito ou para uma dúzia de ovos.
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Qual é a embalagem mais adequada para que todas fiquem completas e com a mesma quantidade
de ovos?
Para responder à pergunta, precisamos saber se 180 é divisível por 8 ou por 12.
180 8
20 22
4
180 12
60 15
0
Como 180 não é divisível por 8, as embalagens para 8 ovos não são as indicadas, pois uma delas
ficaria incompleta.
O número 180 é divisível por 12; por isso, é melhor que Takei use embalagens para 12 ovos. Serão
necessárias exatamente 15 embalagens.
Um número natural diferente de zero é divisor de outro número
natural quando a divisão do primeiro pelo segundo é exata.
Divisores de um número são também chamados fatores desse número.
180 ; 12 5 15
180 é divisível por 12
12 é divisor de 180
porque
15 ? 12 5 180
15 e 12 são fatores
(ou divisores) de 180
180 é múltiplo de 12 e de 15
Capítulo 11
Divisores e máximo divisor comum
163
Participe
O número 12, que divide exatamente 180, é um
divisor de 180. Já o número 8 não é divisor de 180,
porque 180 não é divisível por 8.
Há outros divisores de 180.
a) Que operação devemos fazer para saber se 9
é divisor de 180? 180 : 9
Sim, porque 180
b) 9 é divisor de 180? Por quê? é divisível por 9.
c) Que cálculo devemos fazer para saber se 24 é
divisor de 180? 180 : 24
Não, porque 180 não é
d) 24 é divisor de 180? Por quê? divisível por 24.
e) 36 é divisor de 180? Sim
O número 96 tem 6 divisores que se escrevem
com dois algarismos.
f) 12 é divisor de 96? Sim
g) 18 é divisor de 96? Não
h) Fazendo tentativas, descubra quais são os divisores de 96 que se escrevem com dois algarismos. 12, 16, 24, 32, 48 e 96
Confira as respostas no final do livro.
Exercícios
Pense e responda:
Sim, porque 36 é
divisível por 9.
6
a) 9 é divisor de 36? Por quê?
b) 11 é divisor de 36? Por quê?
Cartela A
Divida 245 por 25 e por 35. Depois, responda:
Não, porque 36 não é divisível por 11.
2
a) 25 é divisor de 245?
b) 35 é divisor de 245?
3
Não
5
Cartela C
2
3
1
2
3
1
2
3
4
6
7
4
5
7
5
6
7
10 11 12
8
9 12
8
9 10
a) os divisores de 10? Quais são eles? C ; 1, 2, 5 e 10
1, 2, 3,
b) os divisores de 12? Quais são eles? A;
4, 6 e 12
c) os divisores de 8? Quais são eles? B; 1, 2, 4 e 8
Use uma calculadora e responda:
7
A frase escrita no cartaz abaixo está certa
ou errada? certa
Substitua
pelo número 2, 5, 6 ou 10,
de modo que todas as afirmações abaixo fiquem verdadeiras.
a)
é divisor de 275.
b)
é divisor de 28.
c)
é divisor de 150.
10
d)
é divisor de 108.
6
O número 1 é
divisor de qualquer
número natural.
5
2
8
Abaixo, os dividendos foram colocados no
item errado. Troque-os de item, de modo
que todas as afirmações fiquem corretas.
a) 3 é divisor de 680. 3
b) 10 é divisor de 205. 680
c) 2 é divisor de 3. 116
d) 5 é divisor de 116. 205
164
Cartela B
1
Em qual delas você encontra:
Sim
a) 16 é divisor de 322 240? Sim
b) 19 é divisor de 422 700? Não
c) 59 é divisor de 2 360? Sim
d) 45 é divisor de 14 350? Não
4
São dadas as cartelas A, B e C:
Unidade 3
Banco de imagens/
Arquivo da editora
1
Múltiplos e divisores
Decompondo 18 em fatores primos, obtemos
18 5 2 ? 3 ? 3. Então, 2 e 3 são os divisores primos de 18. Outros divisores são encontrados fazendo multiplicações de fatores
que aparecem na decomposição. Sem esquecer o 1, que é divisor de qualquer número natural, escreva todos os divisores de 18.
1, 2, 3, 6, 9 e 18
9
Fatore os números dados e descubra todos
os divisores deles.
a) 110
1, 2, 5, 10, 11,
22, 55 e 110
b) 72
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12,
18, 24, 36 e 72
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Descobrindo os divisores de um número
Existe um modo organizado de obter todos os divisores de um número. Veja como vamos obter os
divisores de 18 (encontrados no exercício 8):
1o) Fatoramos o número 18.
18 2
9 3
3 3
1
2o) Colocamos um traço vertical ao lado dos fatores primos.
18 2
9 3
3 3
1
3o) Ao lado desse novo traço e uma linha acima, colocamos o sinal
de multiplicação e o número 1. Na linha seguinte (a linha do fator 2), colocamos o produto de 2 pelo número que está na linha
acima dele (2 3 1 5 2).
31
18 2 2
9 3
3 3
1
4 ) Na linha seguinte (a linha do fator 3), colocamos o produto de 3
pelos números que estão nas linhas acima dele, à direita do traço
(3 3 1 5 3 e 3 3 2 5 6).
31
18 2 2
9 3 3, 6
3 3
1
o
5o) Repetimos esse procedimento nas outras linhas, anotando cada
resultado uma só vez. Como o produto de 3 3 1 e 3 3 2 já foi
anotado, registramos:
3 3 3 5 9 e 3 3 6 5 18
31
18 2 2
9 3 3, 6
3 3 9, 18
1
Os números colocados à direita da segunda linha vertical são os divisores do número 18:
1, 2, 3, 6, 9 e 18
Capítulo 11
Divisores e máximo divisor comum
165
Exercícios
pelo número correto, re10 Substitua cada
fazendo o exercício 9.
a) 110
3
110 2
55 5
11 11
1
1
3
2
2
2
3
3
1
b) 72
72
36
18
9
3
1
2
5, 10
11, 22, 55, 110
2
11 Considere o número 660.
a) Determine os divisores naturais desse
2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 15, 20, 22, 30, 33, 44,
número. 1,
55, 60, 66, 110, 132, 165, 220, 330 e 660
b) Quantos divisores naturais de 660 são
números primos? quatro (2, 3, 5 e 11)
Texto para os exercícios 12 e 13:
Os divisores de 6, excluindo ele mesmo, são 1, 2
e 3. Somando-os, obtemos 6:
1121356
Por isso, 6 é chamado número perfeito.
Um número perfeito é igual à soma dos seus divisores, excluindo ele mesmo.
4
8
3, 6, 12, 24
9, 18, 36, 72
Depois, confira sua resolução anterior e veja
se não esqueceu de nenhum divisor.
12 Verifique e responda:
a) 10 é um número perfeito?
b) 28 é um número perfeito?
Não
Sim
13 Calcule a soma dos divisores de 100 que são
menores que 100. 117
O número 100 é um número perfeito? Não
Divisores comuns
O número 2 é divisor de 24 e também é divisor de 30. Por isso, dizemos que 2 é divisor comum de 24
e 30. Há outros divisores comuns de 24 e 30.
Participe
a)
b)
c)
d)
Quais são todos os divisores de 24? 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24
Quais são todos os divisores de 30? 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30
Quais são os divisores comuns de 24 e 30? 1, 2, 3 e 6
Qual é o maior divisor comum de 24 e 30? 6
Agora, considere os números dos cartões abaixo.
140
e)
f)
g)
h)
i)
Quais são os divisores de 140? 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 e 140
Quais são os divisores de 150? 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75 e 150
Quais divisores de 140 são também divisores de 150? 1, 2, 5 e 10
Como se chamam esses números? Divisores comuns de 140 e 150.
Qual é o maior divisor comum de 140 e 150? 10
Confira as respostas no final do livro.
166
150
Unidade 3
Múltiplos e divisores
Máximo divisor comum (mdc)
Os números 1, 2, 5 e 10 são os divisores comuns de 140 e 150. O número 10 é o maior divisor comum
de 140 e 150. Ele é chamado máximo divisor comum de 140 e 150. Indicamos, simbolicamente, assim:
mdc (140, 150) 5 10
O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais
é o maior número que é divisor de todos esses números.
Exercícios
didos vão ser empacotados. Todos os pacotes devem ter o mesmo número de livros, e
a quantidade de pacotes deve ser a menor
possível. Determine quantos livros Arnaldo
deve colocar em cada pacote e quantos pacotes ele deve fazer. 18 livros e 22 pacotes
14 Escreva os divisores de 45 e de 60. Depois,
responda:
a) Quais são os divisores comuns? 1, 3, 5 e 15
b) Qual é o máximo divisor comum? 15
15 Estela vai cortar duas peças de tecido em
pedaços de tamanho igual. Esse tamanho
deve ser o maior possível. Uma das peças
tem 90 metros, a outra tem 78 metros. De
que tamanho Estela deve cortar cada pedaço? Com quantos pedaços ela vai ficar?
18 Para achar o mdc (20, 28), considere só os
divisores de 20 e descubra o maior deles
que também é divisor de 28. Qual é o mdc
(20, 28)? 4
Mojo cp/Shutterstock
6 metros; 28 pedaços
19 Determine:
a) mdc (18, 25)
b) mdc (14, 21)
1
7
c) mdc (14, 16, 18)
d) mdc (16, 21, 25)
2
1
Quando dois ou mais números
apresentam o máximo divisor comum
igual a 1, eles são chamados primos
entre si.
16 Um marceneiro recebeu 40 toras com 8 metros de comprimento cada uma e 60 toras
com 6 metros de comprimento cada uma.
Ele deve cortar todas as toras em pedaços
de mesmo tamanho e o maior possível. Qual
será o tamanho de cada pedaço? Quantos
pedaços serão obtidos? 2 metros; 340 pedaços
17 A livraria em que Arnaldo trabalha precisa
atender a dois pedidos: um de 126 livros e
outro de 270 livros. Os livros desses dois pe-
20 Observe os resultados do exercício anterior
e reescreva as frases abaixo, usando uma
das expressões entre parênteses.
a) Os números 18 e 25 (são/não são) primos
entre si. são
b) Os números 14 e 21 (são/não são) primos
entre si. não são
c) Os números 14, 16 e 18 (são/não são) primos entre si. não são
d) Os números 16, 21 e 25 (são/não são) primos entre si. são
Capítulo 11
Divisores e máximo divisor comum
167
Calculando o mdc
Claudete participa de um bazar beneficente com o objetivo de arrecadar
fundos para uma creche. Ela fez, para
vender no bazar, 840 bombons de leite e 900 bombons de fruta. Agora, ela
precisa empacotá-los.
Quatro condições devem ser seguidas no empacotamento. Veja:
• Cada pacote deve ter apenas bombons de um mesmo sabor.
• Todos os pacotes devem ter o mesmo número de bombons.
• Os pacotes devem conter o maior número possível de bombons.
• Não deve sobrar nenhum bombom fora dos pacotes.
Quantos bombons Claudete deve colocar em cada pacote?
Devemos repartir 840 bombons de leite e 900 bombons de fruta em pacotes com a mesma quantidade, com um único sabor e sem que sobrem bombons.
A quantidade de bombons em cada pacote é um divisor comum de 840 e 900.
Como os pacotes devem conter o maior número possível de bombons, precisamos calcular o máximo
divisor comum de 840 e 900.
Você encontrará a resposta resolvendo o exercício 21.
No exercício 14, solicitamos a você que escrevesse todos os divisores de 45 e de 60 para descobrir o
mdc (45, 60). No exercício 18, sugerimos outro modo: você pode escrever apenas os divisores de um dos
números e ver qual deles é o maior que também divide o outro número.
Empregando a fatoração
Podemos determinar o mdc a partir da forma fatorada dos números, sem precisar escrever todos os
divisores de nenhum deles.
Por exemplo, vamos calcular o mdc (45, 60):
45 3
15 3
5 5
1
60
30
15
5
1
2
2
3
5
45 5 3 ? 3 ? 5
60 5 2 ? 2 ? 3 ? 5
O 3 e o 5 são divisores comuns de 45 e 60, e o produto 3 ? 5 também é.
Como não há outros divisores primos comuns, o maior divisor comum que
podemos encontrar é 3 ? 5, portanto: mdc (45, 60) 5 15.
Participe
Para resolver o exercício 17, era necessário saber qual é o mdc (126, 270). Vamos descobri-lo empregando
as fatorações.
a) Decomponha 126 em fatores primos sem usar expoentes. 126 5 2 ? 3 ? 3 ? 7
b) Decomponha 270 em fatores primos sem usar expoentes. 270 5 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 5
c) Quais são os divisores primos comuns de 126 e 270? 2 e 3
168
Unidade 3
Múltiplos e divisores
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Os pacotes de bombons
d) Algum fator primo comum aparece mais de uma vez em ambas as decomposições? Sim, o 3.
e) Quantas vezes ele aparece? Duas vezes em 126 e três vezes em 270.
f) Multiplicando só fatores comuns que aparecem mais de uma vez, qual é o maior divisor comum de 126
e 270 que podemos encontrar? 9, ou seja, 3 ? 3.
g) E, multiplicando fatores comuns repetidos ou não, qual é o maior divisor comum de 126 e 270 que podemos formar? 9 ? 2 5 18
h) Qual é o mdc (126, 270)? 18
126 5 2 ? 32 ? 7; 270 5 2 ? 33 ? 5; 18 5 2 ? 32
i) Agora, escreva as decomposições, usando expoentes, dos números dados e do mdc deles.
j) No mdc, o fator comum apresenta o maior ou o menor expoente das duas fatorações? Menor
Confira as respostas no final do livro.
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
O raciocínio empregado no exemplo anterior e na seção “Participe” da página 168
pode ser aplicado no cálculo do mdc de
mais de dois números.
QUAL É O
MDC DE 180, 240
E 252?
Exemplo
Veja o cálculo do mdc (180, 240, 252):
180
90
45
15
5
1
2
2
3
3
5
240
120
60
30
15
5
2
2
2
2
3
5
252
126
63
21
7
1
2
2
3
3
7
180 5 22 ? 32 ? 5
240 5 24 ? 3 ? 5
252 5 22 ? 32 ? 7
1
Os fatores primos comuns aos três números são 2 e 3.
mdc (180, 240, 252) 5 22 ? 3 5 4 ? 3 5 12
O mdc é o produto dos fatores primos comuns, cada um com o menor expoente
que apresenta nas fatorações dos números dados.
Lembre-se: Se os números dados não apresentam fator primo comum, então o mdc é 1 e os números são primos entre si.
Exercícios
21 Releia o problema “Os pacotes de bombons”, na página 168. Calcule o mdc de 840 e de 900 para
saber quantos bombons Claudete deve colocar em cada pacote. 60
Capítulo 11
Divisores e máximo divisor comum
169
22 Descubra as estações em que o trem vai parar, calculando o mdc dos números pintados
em cada vagão. Cada mdc é o número de
uma estação em que vai haver parada.
a) Quantas serão as paradas? 5
b) Em quais estações serão as paradas?
Estações
Serra das Onças, Pico dos Gaviões, Pererê,
Cidade Feliz e Praia do Sol.
1 Serra das Onças
7 Muriri
2 Poço das Cobras
8 Vale do Perigo
3 Caxinguelê
9 Cidade Feliz
4 Pico dos Gaviões
10 Encruzilhada
5 Pererê
11 Porto dos Sonhos
6 Eldorado
12 Praia do Sol
12
5
180 96 72
50 75 120
40
28
8 4 120
20 28
12
125
4
108
1
18 36 63
9
Empregando decomposição simultânea
Podemos calcular o mdc de dois ou mais números fazendo a decomposição simultânea deles. Acompanhe a explicação no cálculo do mdc de 180, 240 e 252:
1o) Escrevemos os números dados, separando-os por vírgulas, e colocamos um traço vertical ao lado
do último número. À direita do traço, colocamos o menor fator primo comum dos números dados.
Se não houver fator primo comum, os números são primos entre si e o mdc é igual a 1.
180, 240, 252 2
2o) Sob cada número colocamos o quociente da divisão pelo fator primo comum. À direita do traço,
colocamos o menor fator primo comum dos quocientes encontrados.
180, 240, 252 2
90, 120, 126 2
3o) Dividimos cada quociente pelo fator primo comum e indicamos, sob cada número, o resultado
encontrado. Prosseguimos assim até encontrar quocientes que não tenham fator primo comum,
isto é, que sejam primos entre si.
180, 240, 252 2
90, 120, 126 2
45, 60, 63 3
15, 20, 21
não têm fator
primo comum
4o) O mdc é o produto dos fatores primos comuns colocados à direita do traço.
mdc (180, 240, 252) 5 2 ? 2 ? 3
mdc (180, 240, 252) 5 12
170
Unidade 3
Múltiplos e divisores
Alberto De Stefano/Arquivo da editora
4
Calculando o mdc e o mmc
Prosseguindo com a decomposição simultânea após calcularmos o mdc, podemos calcular também
o mmc. Recomeçamos dividindo os quocientes por 2, por 3, por 5, etc., repetindo aqueles não divisíveis,
já que não há mais fator comum.
180, 240, 252 2
90, 120, 126 2
comuns
O mdc é o produto dos fatores primos comuns:
45, 60, 63 3
15, 20, 21 2
mdc (180, 240, 252) 5 2 ? 2 ? 3 5 12
15, 10, 21 2
15,
5, 21 3
5,
5,
7 5
1,
1,
7 7
1,
1,
1
não comuns
O mmc é o produto de todos os fatores primos. Então, multiplicamos o mdc pelos fatores não comuns:
mmc (180, 240, 252) 5 12 ? 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 5 5 040
Exercícios
26 Marcos e Daniel são universitários. O mdc
dos números escritos nas camisetas é a
idade de cada um, e o mmc corresponde
a quanto cada um ganhou trabalhando nas
últimas férias escolares.
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
23 Tenho 84 balas de coco, 144 balas de chocolate e 60 balas de leite. Quero formar saquinhos de balas, sem misturar sabores e
sem que sobrem balas. Todos os saquinhos
devem ter a mesma quantidade de balas,
que deve ser a maior possível.
a) Quantas balas devo colocar em cada saquinho? 12
b) Quantos saquinhos devo formar?
coco: 7; chocolate: 12; leite: 5
24 Determine:
c) mdc (100, 117) 1
a) mdc (81, 80) 1
b) mdc (21, 30, 48) 3 d) mdc (112, 176, 96) 16
Em que itens os números são primos entre si?
aec
25 No Colégio 1o de Maio, matricularam-se:
• 280 alunos de 6o ano;
• 224 alunos de 7o ano;
• 168 alunos de 8o ano;
• 112 alunos de 9o ano.
O diretor gostaria que todas as classes do
colégio tivessem o mesmo número de alunos. O número considerado ideal por ele é
não menos de 20 e não mais de 40 alunos.
Para satisfazer a vontade do diretor:
a) quantos alunos devem ficar em cada
classe? 28
b) quantas classes de cada ano serão formadas? 10, 8, 6 e 4
Marcos
Daniel
Aplique a regra que preferir para calcular o
mdc e o mmc e responda:
a) Quem é o mais velho?
b) Quem ganhou mais?
Marcos tem 20 anos e
Daniel, 21 anos; logo,
Daniel é o mais velho.
Marcos ganhou R$ 840,00 e Daniel, R$ 840,00; logo,
ganharam quantias iguais.
27 Fatore cada número abaixo:
75 5 3 · 52; 98 5 2 ? 72; 320 5 26 ? 5; 480 5 25 ? 3 ? 5
75
98
320
480
Depois, responda:
a) Entre os números dados, há dois que são
primos entre si? Sim, 75 e 98.
b) Qual é a soma dos dois números que têm
mdc igual a 15? 555
c) Qual é o mmc dos dois números que têm
mdc igual a 2? Há duas possibilidades:
23 520 ou 15 680.
Capítulo 11
Divisores e máximo divisor comum
171
I
IV
maçã e pera
pera:
mmc 5 90
12 14
morango:
mdc 5 2
abacaxi:
mdc 5 18
melão:
mmc 5 360
maracujá:
mmc 5 300
Fotos: Thinkstock/Getty Images
maçã:
mdc 5 15
abacaxi e melão
VI
III
limão:
mdc 5 50
pêssego:
mmc 5 336
72 90
500
banana e caju
caju:
mmc 5 2 000
abacate:
mdc 5 30
V
400
Cristina Xavier/
finephoto
carambola:
mmc 5 180
150
limão e maracujá
II
banana:
mdc 5 100
100
30 45
Fotos: Fernando Favoretto/Arquivo da editora
Fotos: Thinkstock/Getty Images
28 Em cada sacola há duas espécies de fruta.
Descubra quais são, calculando o mdc e o
mmc dos números impressos em cada sacola.
a) Que fruta se encontra em duas sacolas? maracujá
b) Que fruta não se encontra em nenhuma
sacola? carambola
16
morango e pêssego
30 60
150
abacate e maracujá
29 Dos anos do século XXI, quais são múltiplos
de 5 e de 9 ao mesmo tempo? 2025 e 2070
30 Pense e responda:
a) Se um número é múltiplo de 4 e de 6, ensempre (é
tão ele é múltiplo de 24? Nem
múltiplo de 12).
b) Que números de dois algarismos são divisíveis por 4 e por 6? 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 e 96
Desafio
Para o casamento de Samantha, Fátima
encomendou 600 rosas, 300 margaridas,
225 cravos e 100 antúrios.
Ela quer fazer arranjos de flores para enfeitar o salão de festas, sem deixar sobrar
nenhuma flor. Todos os arranjos devem ser
iguais e, para isso, devem ter o mesmo número de rosas, de margaridas, de cravos e
também de antúrios. Desejando montar o
maior número possível de arranjos, quantas flores Fátima deve colocar em cada um?
49 flores (24 rosas, 12 margaridas, 9 cravos, 4 antúrios)
172
Unidade 3
Múltiplos e divisores
Fusionstudio/Shutterstock
As flores do casamento
Matemática em notícia
O mais longo eclipse total do Sol neste século
The Asahi Shimbun/Getty Images
Quando já era manhã de quarta-feira na Ásia, a
Lua encobriu completamente o Sol durante alguns
minutos e o dia ficou escuro.
Primeiro no norte da Índia, depois no Nepal, em
Bangladesh, Butão, Mianmar, na China e no sul do
Japão. Sobre o oceano Pacífico, o fenômeno alcançou
a duração máxima: 6 minutos e 39 segundos.
Um eclipse total do Sol tão longo só poderá ser
visto outra vez em junho de 2132. Em Tóquio, [...]
não deu para ver nada porque estava chovendo. Os
japoneses, porém, não podiam perder essa oportunidade única. Uma multidão veio ao Museu de Ciência
Eclipse solar observado de Tóquio, Japão, em julho de 2009.
e Tecnologia de Tóquio para assistir a uma transmissão ao vivo do eclipse do século.
O eclipse total acontece quando a Lua se alinha entre a Terra e o Sol, encobrindo a luz solar na parte do
planeta que estiver na sombra do satélite.
Para muitos cientistas foi uma oportunidade para testar teorias, como a de que a gravidade da Terra
diminui durante um evento como esse. Outros aproveitaram o fenômeno para estudar a corona solar, um
anel luminoso que fica a um milhão de quilômetros do Sol.
Para as diversas regiões da Ásia, o eclipse teve um significado muito especial. Os budistas, por exemplo,
acreditam que tudo o que pensamos, falamos ou fazemos nesse período terá um efeito aumentado.
Os hindus acreditam que é uma manifestação do mal, muitos templos são fechados e as mulheres grávidas não devem sair de casa, mas todos concordam que o fenômeno, registrado há centenas de anos pelo
homem, ainda hoje causa fascínio.
Fonte: <http://g1.globo.com/jornaldaglobo/0,,MUL1238264-16021,00-O+MAIS+LONGO+
ECLIPSE+TOTAL+DO+SOL+NESTE+SECULO.html>. Acesso em: 14 mar. 2018.
Responda:
1
O eclipse descrito no texto ocorreu no dia 22 de julho de 2009. Em 21 de agosto de 2017, outro eclipse total do Sol teve duração máxima de 2 min 44 s e foi observado por milhares de pessoas na América do Norte. Quanto tempo a mais durou o eclipse mais longo do século XXI? 3 min 55 s
Segundo o texto, um eclipse como o de 2009 se repetirá apenas em 2132, no século XXII. Vamos admitir
que esses eclipses mais longos se repitam de tempos em tempos iguais.
2
Em que ano do século XXIII ele se repetirá?
3
Qual é o próximo século que não terá um eclipse tão longo como esse?
4
No momento do eclipse, a Lua está alinhada com a Terra e o Sol. Pesquise as distâncias médias entre
a Terra e o Sol, a Terra e a Lua, e estime a distância da Lua ao Sol durante o eclipse.
2255
século XXV
Aproximadamente 149 milhões de quilômetros.
173
Matemática no tempo
Foi na escola fundada pelo grego Pitágoras de
Samos (que viveu entre 585 a.C. e 500 a.C., aproximadamente), na colônia grega de Crotona, no
sul da Itália, que o raciocínio passou a ser adotado
como a grande arma para a pesquisa matemática.
Uma das áreas da Matemática mais estudadas por Pitágoras e seus seguidores foi a aritmética, restrita ao conjunto {1, 2, 3, ...}, pois por muito
tempo eles acharam, erradamente, como depois
se descobriu, que os números desse conjunto e as
relações entre eles bastavam para o entendimento quantitativo do mundo que os cercava.
Mas, segundo alguns relatos históricos, nos
primeiros tempos os pitagóricos (Pitágoras e os
seguidores de suas ideias) identificavam os números naturais não nulos com conjuntos de pedrinhas ou de “pontos” na areia. E foi talvez por
esse meio que eles perceberam que há dois tipos
de números naturais maiores que 1: os números
primos e os números compostos.
De fato, observaram que o número 8, por
exemplo, pode ser representado por um conjunto
de pedrinhas dispostas em forma retangular de
duas linhas e quatro colunas ou vice-versa (ver figura 1). O mesmo tipo de raciocínio se aplica aos
números 4, 6, 9, 10 e 15 (nesse último caso, cinco
linhas e três colunas ou vice-versa), etc. Mas observaram também que para os números 2, 3, 5 e
7, por exemplo, só há um jeito: uma única linha com
todas as pedrinhas (ver figura 2). Não dá para formar “retângulos”. Como se reduzem unicamente a
uma linha, a primeira, estes últimos foram chamados de números primos. Os já citados números 4,
6, 8, 9, 10, ... são números compostos, pois formam
“retângulos” compostos de linhas de pedrinhas.
174
8 (composto)
5 (primo)
Figura 1
Figura 2
Hercules Milas/Alamy/Fotoarena
Números primos e números compostos
Estátua de Pitágoras, na ilha de Samos, Grécia.
Não se sabe exatamente até onde os pitagóricos chegaram no estudo dos números primos. Mas
a contribuição deles à aritmética deixou marcas que
foram exploradas profundamente, com raciocínios
bastante rigorosos, na obra Elementos (c. 300 a.C.),
de Euclides, uma das mais importantes de toda a
história da Matemática. Além de definir satisfatoriamente número primo, Euclides provou várias
propriedades desses números, entre as quais que
o conjunto dos números primos é infinito.
Quanto a essa propriedade, Euclides na verdade não usou a palavra “infinito”. Ele provou, há mais
de 2 300 anos, que, dada uma coleção qualquer de
números primos, por mais elementos que tenha,
sempre há números primos maiores que os da coleção. Por exemplo, o número 13 é maior que os 4
primeiros números primos, ou seja, 2, 3, 5 e 7. Mas,
se considerarmos, por exemplo, um conjunto com
um bilhão de números primos, há números primos
maiores que todos os números desse conjunto.
O fato de o conjunto dos números primos ser infinito é ainda mais surpreendente porque se pode
provar que há sequências de números naturais consecutivos, com tantos elementos quantos se deseje,
em que não há nenhum número primo. Como essas sequências, com frequência, são formadas de números muito grandes, nos limitaremos a dar estes exemplos simples:
•
•
•
•
•
2 números naturais consecutivos sem nenhum primo: 8, 9
3 números naturais consecutivos sem nenhum primo: 8, 9, 10
4 números naturais consecutivos sem nenhum primo: 24, 25, 26, 27
5 números naturais consecutivos sem nenhum primo: 24, 25, 26, 27, 28
6 números naturais consecutivos sem nenhum primo: 90, 91, 92, 93, 94, 95
É possível construir, por exemplo, uma sequência de 1 000 números naturais consecutivos em que
nenhum deles é número primo.
E atenção: não se deve confundir conjunto infinito com conjunto com um número muito grande de
elementos. Arquimedes (287 a.C.-212 a.C.), o maior matemático da Antiguidade, provou, com base em
medições astronômicas disponíveis na sua época, que o Universo limitado pela esfera das estrelas
fixas poderia ser preenchido com menos do que 1051 grãos de areia, um número enormemente grande
(o numeral que o expressa é formado pelo dígito 1 seguido de cinquenta e um zeros). Ou seja, mostrou
que o conjunto de grãos de areia necessários para preencher o Universo, segundo a concepção usada
por ele, é finito.
1
Dois números naturais são chamados primos gêmeos se ambos são números primos e se a diferença
entre eles é 2. Encontre 5 pares de números primos gêmeos, um deles formado de números maiores
que 100. 5 e 3, 7 e 5, 13 e 11, 19 e 17, 103 e 101
2
Em 1742, o russo C. Goldbach (1690-1764) afirmou que todo número natural par maior que 2 pode
ser expresso como uma soma de dois números primos.
Por exemplo: 12 5 5 1 7 e 28 5 11 1 17. Não há provas de que essa afirmação é verdadeira, mas
desconhecem-se exemplos que mostrem que ela é falsa.
Trata-se então, até agora, de uma conjetura. Escreva como soma de dois números primos: 94, 116 e 318.
94 5 47 1 47; 116 5 57 1 59; 318 5 139 1 179
3
Outra conjetura da aritmética é que todo número natural par pode ser expresso por uma diferença
entre dois números primos de inúmeras maneiras.
Por exemplo: 6 5 17 2 11 5 29 2 23 5 23 2 17 5 137 2 131 5 ...
Escreva o número 10 como diferença entre dois números primos de 5 maneiras diferentes.
Sugestão: 10 5 17 2 7 5 23 2 13 5 29 2 19 5 41 2 31 5 53 2 43
4
Divida os números de 1 a 100 em grupos: de 1 a 10, de 11 a 20, ..., de 91 a 100. Em qual desses grupos há menos números primos? De 91 a 100; apenas 1 número primo: 97.
5
Um palíndromo é um numeral que, lido da direita para a esquerda, ou vice-versa, exprime o mesmo
número, como 23 532. Encontre cinco palíndromos de três algarismos que sejam números primos.
(Dica: despreze a busca por números cujo numeral da unidade seja 0, 2, 4, 5, 6 ou 8.)
Exemplos de resposta: 131, 151, 181, 191, 313.
175
Teste seus conhecimentos
(Ufscar-SP) Um determinado corpo celeste é
visível da Terra a olho nu de 63 em 63 anos,
tendo sido visto pela última vez no ano de
1968. De acordo com o calendário atualmente em uso, o primeiro ano da Era Cristã em que esse corpo celeste esteve visível a
olho nu da Terra foi no ano:
X
2
a) 15
b) 19
c) 23
d) 27
Ache o maior número de 4 algarismos que
é divisível por 13 e o menor número natural
de 4 algarismos que é divisível por 17. A diferença entre os resultados é um número:
a) primo.
X b) múltiplo de 6.
c) menor que 5 000.
d) divisível por 5.
3
O número de três algarismos 41
deve ser
primo. Quantas são as possibilidades para o
algarismo desconhecido, representado por
?
a) nenhuma
X b) uma
8
a) par.
b) ímpar.
9
4
X
Qual é o menor número natural divisível por
6 que se escreve usando apenas os algarismos 1 e 0? 1 110
Esse número dividido por 4 deixa resto:
a) 0
5
b) 1
X
c) 2
d) 3
(IFCE) O algarismo que se deve intercalar entre os algarismos do número 76 de modo
que o número obtido seja divisível por 4 e 9
simultaneamente é:
a) 1
6
b) 7
X
c) 5
d) 6
Babilônia é um pequeno distrito da cidade
de Delfinópolis (MG). Vamos supor que uma
rua de Babilônia tenha apenas 8 casas, numeradas por 7, 12, 19, 25, 31, 39, 46 e 53.
Adicionando os números das casas que são
números primos, obtemos:
X
a) 110
Unidade 3
b) 88
c) 79
Múltiplos e divisores
d) 57
c) primo.
X d) múltiplo de 3.
(Obmep) O número 4 580 254 é múltiplo de
7. Qual dos números abaixo também é múltiplo de 7?
a) 4 580 249
b) 4 580 248
X c) 4 580 247
c) três
d) quatro
c) duas
d) três
A soma de três números naturais consecutivos é sempre um número:
6 41 representa um número de quatro algarismos. Esse número deve ser divisível por
3. Quantas são as possibilidades para o algarismo desconhecido, representado por ?
a) uma
b) duas
176
7
Reprodução/Obmep, 2015.
1
d) 4 580 246
e) 4 580 245
10 (Obmep) Isabel escreveu em seu caderno o
maior número de três algarismos que é múltiplo de 13. Qual é a soma dos algarismos
do número que ela escreveu?
X c) 25
a) 23
e) 27
b) 24
d) 26
11 (Saresp) Dentre os números 56, 45, 40 e 35,
aquele que é múltiplo de 4 e 7 é
X a) 56.
b) 45.
c) 40.
d) 35.
12 (Saresp) O teatro Martins Pena tem 243 poltronas. O número de poltronas do teatro
equivale a
c) 36
d) 37
X b) 35
a) 34
13 (UFRN) Duas escolas, X e Y, decidiram organizar uma gincana estudantil na qual os alunos devem formar todas as equipes com o
mesmo número de componentes. Foram selecionados 49 alunos da escola X e 63 alunos da escola Y. Cada aluno deve participar
de apenas uma equipe. Assim, o número de
equipes participantes das escolas X e Y será,
respectivamente:
c) 8 e 9
X a) 7 e 9
d) 7 e 8
b) 6 e 9
14 (Saresp) Paulão trabalha na seção de embalagens de bolinhas de gude. Ele só usa embalagens de dois tipos: caixa azul, para 6 bolinhas,
ou caixa verde, para 8 bolinhas. Paulão calculou que, com a quantidade de bolinhas produzida sexta-feira passada, ele poderia ter
usado apenas caixas azuis, sem que sobrasse
nenhuma bolinha. Pensando mais um pouco,
ele observou que, se usasse apenas as caixas
verdes, teria acontecido o mesmo!
Assinale a alternativa que mostra o número
de bolinhas que Paulão embalou nessa sexta-feira.
a) 102. X b) 120.
c) 126.
d) 184.
15 (UEL-PR) Considere dois rolos de barbante,
um com 96 m e outro com 150 m de comprimento. Pretende-se cortar todo o barbante dos dois rolos em pedaços de mesmo
comprimento. O menor número de pedaços
que poderá ser obtido é:
a) 38
c) 43
d) 52
X b) 41
16 (Obmep) Mônica e seu namorado foram assistir a uma peça de teatro. O auditório era
organizado em fileiras paralelas ao palco, todas com o mesmo número de cadeiras dispostas lado a lado. Eles se sentaram um ao
lado do outro nos dois últimos lugares vagos. Mônica percebeu que havia, no total,
14 pessoas nas fileiras à sua frente e 21 pessoas nas fileiras atrás da sua. Quantas cadeiras havia no auditório?
a) 37
c) 40
e) 49
b) 38
X d) 42
17 (UFRN) Para os festejos natalinos, uma fábrica de doces lançará uma caixa de chocolates. O número de chocolates poderá ser
dividido igualmente (sem fracioná-los) entre
2, 3, 4, 5 e 6 pessoas, não havendo sobra. O
menor número de chocolates que essa caixa
deverá conter será:
a) 180
b) 120
X
c) 60
d) 30
18 (Fatec-SP) Um certo planeta possui dois satélites naturais (Lua A e Lua B); o planeta gira
em torno do Sol e os satélites, em torno do
planeta, de forma que os alinhamentos são
os seguintes:
• Sol-planeta-Lua A: ocorre a cada 18 anos;
• Sol-planeta-Lua B: ocorre a cada 48 anos.
Se hoje ocorrer o alinhamento Sol-planeta-Lua A-Lua B, então o fenômeno se repetirá daqui a:
a) 48 anos.
c) 96 anos.
X d) 144 anos.
b) 66 anos.
19 (UFSE) Três ônibus A, B e C partem simultaneamente do Terminal Rodoviário de Aracaju para três cidades distintas da região
metropolitana. Sabe-se que A torna a partir do terminal a cada 40 minutos; B, a cada
60 minutos; e C, a cada 90 minutos. Nessas
condições, quanto tempo, em horas, terá
decorrido até que os três ônibus partam novamente juntos desse terminal?
a) 2
b) 4
d) 8
X c) 6
20 (UEL-PR) Em 1982 ocorreu uma conjunção
entre os planetas Júpiter e Saturno, o que
significa que podiam ser vistos bem próximos um do outro quando avistados da
Terra. Se Júpiter e Saturno dão uma volta
completa ao redor do Sol aproximadamente
a cada 12 e 30 anos, respectivamente, em
qual dos anos seguintes ambos estiveram
em conjunção no céu da Terra?
a) 1840
c) 1864
X d) 1922
b) 1852
21 (UFMG) Calculando o máximo divisor comum dos números 756 e 2 205, a soma dos
algarismos dele é igual a:
X c) 9
a) 3
b) 8
d) 13
Capítulo 11
Divisores e máximo divisor comum
177
Francesco De Marco/Shutterstock
UNIDADE
4
Frações
Na imagem, vemos a metade de uma
laranja. Quando dizemos “metade
da laranja”, estamos nos referindo a
uma fração dessa fruta, ou seja, uma
parte do todo.
CAPÍTULOS
12. O que é fração?
13. Frações equivalentes.
Comparação de frações
14. Operações com frações
CAPÍTULO
12
O que é fração?
Ilustrações: Banco de imagens/
Arquivo da editora
Frações da unidade
Separando e juntando partes
Você conhece o material representado ao lado?
Trata-se de um quebra-cabeça milenar, de origem chinesa, chamado
Tch’i Tch’ iao pan, que significa “as sete tábuas da argúcia”.
Esse quebra-cabeça – conhecido pelo nome de Tangram – é formado
por sete peças, com as quais é possível construir um quadrado.
Veja as peças que compõem o Tangram:
1 quadrado
5 triângulos
1 paralelogramo
Com as sete peças do Tangram é possível formar diferentes figuras.
Observe algumas delas:
Gato
Coelho
Capítulo 12
O que é fração?
179
Participe
Ilustrações: Banco de imagens/
Arquivo da editora
Com as sete peças do Tangram construímos um quadrado. Vamos considerar que esse quadrado representa uma unidade (1).
a) Desenhe um quadrado do tamanho da unidade e divida-o só em triângulos do tamanho dos triâne) e f)
dois
gulos azuis.
um
b) Quantos triângulos azuis são necessários para formar a unidade? 4
c) Que parte da unidade representa cada triângulo azul? Um quarto.
d) Como se representa essa parte numericamente?
1
4
quarto
1
4
quartos
2
4
três
quartos
3
4
quatro
quartos
4
4
e) Agora, desenhe quatro quadrados iguais ao que desenhou. No primeiro, pinte um dos triângulos azuis;
no segundo, dois; no terceiro, três; e, no último, pinte os quatro.
f) Ao lado de cada figura que desenhou no item anterior, anote em palavras e numericamente que parte
da unidade representa a parte pintada.
g) A unidade inteira é representada por 1, mas no item anterior aparece outra forma de representá-la.
Qual é? 44
h) Na figura ao lado dividimos a unidade em triângulos iguais a um do Tangram do início da seção. Com que cor ele aparece no Tangram? Roxo.
i) Quantos triângulos dessa cor são necessários para formar a unidade? 8
j) Que parte da unidade representa cada um desses triângulos? Um oitavo.
k) Como se representa essa parte numericamente? 18
l) Escreva com palavras e numericamente que parte da unidade está pintada em cada figura abaixo.
um oitavo ou
1
8
três oitavos ou
3
8
seis oitavos ou
6
8
m) No item anterior, como ficou numericamente representada a unidade inteira?
Confira as respostas no final do livro.
180
Unidade 4
Frações
oito oitavos ou
8
8
8
8
Os números
1 2 3 4 1 3 6 8
, , , , , , e são exemplos de frações.
4 4 4 4 8 8 8 8
Podemos dizer, então, que fração é um número que representa partes de um inteiro.
Nas frações, o número colocado abaixo do traço é chamado denominador e indica em quantas partes
iguais a unidade foi dividida. O número colocado acima do traço é chamado numerador e indica quantas
partes da unidade foram tomadas, por exemplo:
3
8
numerador
denominador
O numerador e o denominador são os termos da fração.
Veja outros exemplos de frações:
Um meio
Dois terços
Cinco sextos
Quatro nonos
1
2
2
3
5
6
4
9
Frações de um conjunto
Filhos e filhas
Jack Hollingsworth/Thinkstock/Getty Images
Um casal tem 5 filhos: Alfredo, Carla, Ênio, Lucas e Marisa.
4
Na família, os homens representam (quatro sétimos) do total de pessoas e as mulheres represen7
3
tam (três sétimos) do total de pessoas.
7
Participe
a) Na fração 4 , qual é o numerador? O que ele representa? 4; quantas partes tomamos.
7
b) Em 4 , qual é o denominador? O que ele representa? 7; o número de partes em que o inteiro foi dividido.
7
c) Como podemos representar com número fracionário o total de pessoas dessa família? 77
Confira as respostas no final do livro.
Capítulo 12
O que é fração?
181
Os meses do ano
Fevereiro
Dezembro
Junho
D
S
T
Q
Q
S
S
1
D
1
S
2
T
3
Q
4
Q
5
S
6
S
7
D
S
1
T
2
Q
3
Q
4
S
5
S
6
2
3
4
5
6
7
8
8
9
10
11
12
13
14
7
8
9
10
11
12
13
15
16
17
18
19
20
21
14
15
16
17
18
19
20
28
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
22
23
29
30
24
25
26
27
5
Que fração representa os domingos no mês de junho do calendário acima? 30
4
E as terças-feiras? 30
Podemos afirmar que a fração
26
é uma fração do conjunto dos dias do mês de junho? Por quê?
30
Sim, porque o total de elementos do conjunto dos dias do mês de junho é igual a 30.
A leitura de fração
Para efetuar a leitura de uma fração, você deve ler o numerador e, em seguida, o nome de cada parte,
que indica o número de partes em que a unidade foi dividida (denominador da fração).
Número de partes Nome de cada parte
Número de partes Nome de cada parte
2
meio
9
nono
3
terço
10
décimo
4
quarto
11
onze avos
5
quinto
12
doze avos
6
sexto
13
treze avos
7
sétimo
100
centésimo
8
oitavo
1 000
milésimo
avo: é a terminação da palavra
“oitavo”. Significa pequena
parte de um todo, pouca coisa.
Exercícios
1
Escreva as frações por extenso:
a) 1
2
b) 3
4
182
um meio
c) 8
11
três quartos
d)
Unidade 4
Frações
1
15
oito onze avos
um quinze avos
e) 2 dois terços
3
7 sete décimos
f)
10
51 cinquenta e um
100 centésimos
trinta e
h) 11 onze
35 cinco avos
g)
Banco de imagens/Arquivo da editora
No ano há quatro meses de 30 dias (abril, junho, setembro e novembro); sete meses de 31 dias (janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro); e um mês de 28 dias (fevereiro), que tem 29 dias
nos anos bissextos.
7
Os meses mais longos representam
do total de meses do ano. O mês mais curto representa
12
1
do total de meses do ano.
12
2
Um vidraceiro está colocando vidros coloridos nas janelas das casas. Indique que fração do total representa os vidros já colocados em cada janela:
8
9
b)
1
4
c)
1
3
d)
2
4
e)
3
4
Ilustrações: Alberto De Stefano/
Arquivo da editora
a)
Esta é uma barra do chocolate CHOKO.
5
Alexandre já comeu as partes correspondentes às letras C e H.
a) Que fração representa a parte que Ale2
xandre comeu? 5
b) Qual é o denominador da fração do item
a? E o numerador? 5; 2
Texto para os exercícios 6 a 8.
Em uma Olimpíada de Matemática, inscreveram-se 250 alunos. O prêmio para os 50 melhores é uma excursão. Gabriela, Alexandre,
Ricardo, Luciana, Maurício, Leonardo, Paulo,
Renato, Pedro, Priscila e Jussara inscreveram-se na Olimpíada e vão se reunir na casa de
Gabriela para estudar. Gabriela possui muitos
livros. Das 7 prateleiras de sua estante, 3 estão repletas de livros de Matemática e as outras estão com livros de outras matérias.
c) Que fração representa a parte que sobrou? 53
d) Qual é o denominador da fração do item
c? E o numerador? 5; 3
a/Arqu
e
ivo da
ditora
Observe a foto que Ricardo tirou com seus
amigos, na excursão ao parque de diversões.
jit
Artur Fu
4
6
7
a) O número de meninos representa que
fração do total de pessoas? 59
b) Que fração do total de pessoas é representada pelas meninas? 49
Este é um ladrilho de cerâmica muito utiliza2
do para recobrir o chão. Pinte do ladrilho de
3
1
uma cor e de outra. Ver Manual do Professor.
3
Thinkstock/Getty Images
3
a) Do grupo que vai se reunir para estudar
na casa de Gabriela, qual é a fração re7
presentada pelos meninos? 11
b) Qual é a fração representada pelas me4
ninas? 11
a) Do total de alunos que vão participar da
Olimpíada, que fração é representada pe50
los alunos que vão ganhar a excursão? 250
b) Qual é a fração representada pelo grupo
que inclui Gabriela e as meninas que vão
11
se reunir na casa dela? 250
Capítulo 12
O que é fração?
183
8
Que fração é representada pelas prateleiras
da estante de Gabriela que não estão com
livros de Matemática? 74
9
Como devem ser lidas as frações abaixo?
1
c) 4 quatro sétimos e) 11
a) um sexto
6
7
50
5
9
cinco doze
b)
d)
f) 7
1000
12 avos
13
3
15 Lucas tem 3 anos. A idade de Lucas é da
5
idade de sua prima. Quantos anos tem a prima de Lucas? 5 anos
9. e) onze cinquenta avos
nove milésimos
sete treze avos
10 Escreva numericamente:
a) quatrocentos e vinte e três milésimos; 1423
000
2
10
c) sete vinte avos;
d) três centésimos;
e) três quintos.
3
5
3
100
11 Calcule quanto é:
a) a quarta parte de 20.
b) a quinta parte de 30.
c) 1 de 24. 8
3
12 Calcule:
5
a) de 14 10
7
17 Alexandre leu 10 páginas de um gibi, e
Maurício leu 28 páginas de um livro. Desse
modo, Alexandre leu 2 do gibi, e Maurício
5
4
leu do livro. Quantas páginas tem o gibi
5
de Alexandre? E o livro de Maurício?
7
20
25 páginas; 35 páginas.
5
Ilustra Cartoon/
Arquivo da editora
b) dois décimos;
16 Ricardo ficou doente e precisou faltar a algumas aulas. Ele sabe que não pode faltar a
mais de 1 das aulas dadas de cada discipli4
na. Se a classe de Ricardo tiver 180 aulas de
Matemática durante o ano, qual será o número máximo de faltas que ele poderá ter
nessa disciplina? 45
6
b) 3 de 24 18
4
c)
2
de 20 8
5
2
13 Sabe-se que de um número é 14.
7
a) Quanto é 1 desse número? 7
7
b) Qual é o número? 49
14 Siga as dicas: Qual é o número?
b) 4 dele é 28.
a) 1 dele é 5. 15
3
5
35
18
5 dos alunos do 6o ano da Escola Indaiá
9
são meninas e 1 dos alunos são canhotos.
12
Ao todo são 40 meninas. Quantos canhotos
há no 6o ano? 6
19 Sabe-se que 2 de um número é 360. Ache:
7
c) 3 desse número.
a) 4 desse número;
560
945
9
4
1
b) desse número;
4
315
Desafio
O Rancho dos Sucos fez uma pesquisa para saber a preferência de seus clientes. A pesquisa apontou
20
15
que
dos entrevistados preferem suco de laranja,
preferem suco de abacaxi, 12 , suco de manga, e o
60
60
60
restante, 195 pessoas, prefere suco de maracujá.
a) Que fração corresponde às pessoas que preferem
13
suco de maracujá? 60
c) 300 entrevistados
b) Quantas pessoas foram entrevistadas? 900 pessoas
c) Quantos entrevistados preferem suco de laranja?
d) Quantos preferem suco de abacaxi? 225 entrevistados
e) Quantos preferem suco de manga? 180 entrevistados
184
Unidade 4
Frações
Artur Fujita/Arquivo da editora
Que suco você prefere?
Comparando os termos da fração
Observe as frações a seguir:
•
17
13
•
13
13
•
21
13
•
23
13
•
13
17
Em quantas dessas frações o numerador é menor do que o denominador?
O numerador é menor do que o denominador nas frações 21 e 13 . Logo, em duas frações.
23 17
Participe
1a situação
Na figura ao lado, o círculo
representa a unidade.
a) Que fração a parte colorida da figura representa? 23
b) Qual é o numerador da
fração? 2
c) Qual é o denominador da fração? 3
d) Compare o numerador da fração com o denominador. Qual é menor? o numerador
e) Quando o numerador é menor que o denominador, a fração é chamada fração própria. A fração do item a é uma fração própria? Sim
f) Dê mais três exemplos de frações próprias.
e) Qual é o numerador da fração? 5
f) Qual é o denominador? 3
g) Compare o numerador da fração com o denominador. Qual é maior? o numerador
h) Quando o numerador é maior ou igual ao denominador, a fração é chamada fração imprópria.
A fração do item d é uma fração imprópria? Sim
i) Dê mais três exemplos de frações impróprias.
Resposta pessoal.
3a situação
Abaixo, temos duas unidades, cada uma representada por um círculo.
Resposta pessoal.
2a situação
Abaixo, cada círculo representa uma unidade.
a) Em quantas partes está dividida cada uma das
duas unidades? 3
b) Que fração da unidade representa cada parte? 13
Agora, observe as figuras e responda às questões
a seguir.
c) No total, quantas partes foram coloridas? 5
d) Que fração representa as partes coloridas
das duas figuras juntas? 53
a) Em quantas partes está dividida cada uma das
unidades? 3
b) Quantas dessas partes foram coloridas? 6
c) Que fração representa as partes coloridas dos
6
dois círculos juntas? 3
d) Qual é o numerador da fração? 6
e) Qual é o denominador da fração? 3
f) Relacionando o numerador da fração com o
denominador, podemos afirmar que o numerador é múltiplo do denominador? Sim
g) Quando o numerador é múltiplo do denominador, a fração é chamada fração aparente. A
fração do item c é uma fração aparente? Sim
h) Quantas unidades inteiras a fração do item c
representa? Duas
i) Que número natural a fração do item c representa? 2
j) Dê mais três exemplos de frações aparentes
e indique os números naturais que elas representam. Resposta pessoal.
Confira as respostas no final do livro.
Capítulo 12
O que é fração?
185
Tipos de fração
Vamos resumir os três tipos de fração que estudamos na seção “Participe”.
Frações próprias são aquelas em que o numerador é menor que o denominador.
Por exemplo, são frações próprias: 2 , 3 , 5 , 10 , 1 , 7 .
5 4 12 11 2 60
Frações impróprias são aquelas em que o numerador é maior ou igual ao denominador.
7 10 20 21
Por exemplo, são frações impróprias: 4 , ,
,
.
,
4 5 3 10 2
Frações aparentes são aquelas em que o numerador é múltiplo do denominador.
Por exemplo, são frações aparentes:
4 6 9 20 8
, , ,
, .
4 3 3 10 2
Note que todas as frações aparentes citadas são também frações impróprias. Frações aparentes são
formas de representar números naturais:
4
6
9
20
8
51
52
53
52
54
•
•
•
•
•
4
3
3
10
2
Também existem frações aparentes de denominador 1. Veja:
1
1
2
1
3
1
1 representa uma unidade, pois: 1 5 1; 2 representa duas unidades, pois: 2 5 2; 3 representa
1
1
1
1
1
três unidades, pois: 3 5 3, e assim por diante.
1
Exercícios
20 Observe as três figuras:
figura 1
4
; aparente e imprópria
4
figura 2
3
; própria
4
7
; imprópria
4
figura 3
a) Que fração representa as partes coloridas
em cada figura?
186
Unidade 4
Frações
b) Classifique cada fração como própria, imprópria ou aparente.
c) Usando as frações obtidas no item a,
por um número na
substitua cada
sentença a seguir, de modo que ela seja
verdadeira:
7
5
4
4
3
4
4
1
4
d) Quantas unidades inteiras a fração re4
presenta? 1
e) Complete a sentença substituindo
pelos números que tornam a igualdade
verdadeira.
3
7
5 1 inteiro 1
4
4
26 Faça o que se pede em cada item.
a) Complete a tabela abaixo com as frações aparentes que você obteve no
10
120
5 2;
5 10;
5 12
exercício 23. 84 5 2; 14
7
1
10
Fração
aparente
21 Classifique as seguintes frações como próimprópria e
prias, impróprias ou aparentes. e)
aparente
2
g) 9
a) própria c) 5 própria e) 4
8
4
6
1
imprópria e
1
8
6
b)
d) imprópria f) própria aparente
9
2
5
imprópria e aparente
5
22 Veja outro modo de representar a fração :
3
1
e
2
3
12
3
1 2 é a forma mista da fração 5 . Significa
3
3
5
representa uma unidade e dois terque
3
5
2
5 1 1 . Agora responda: Qual
ços ou
3
3
é a forma mista da fração 7 do exercício
4
anterior? 1 34
b) Na tabela aparecem duas frações que representam 2. Escreva outras duas que
também representem 2. Resposta pessoal.
c) Escreva o número 2 na forma de fração
de denominador 6. 12
6
d) Escreva cinco frações que representem
um mesmo natural maior que 2. Resposta pessoal.
0
27 Que número natural as frações aparentes ,
1
0 e 0 representam? 0
3 17
0
pode ser interpretada assim: a
3
unidade foi dividida em 3 partes iguais e não
tomamos nenhuma parte dela.
A fração
28 Cada círculo abaixo representa uma unidade.
23 Utilize as frações abaixo para completar a
tabela.
11 , 9 , 19, 2 , 8 , 14 , 10 , 120
3
8
7
1
10
4
7
4
a) Que fração representa as partes coloridas
dos três círculos? 12
4
b) Classifique essa fração como própria, imprópria ou aparente. imprópria e aparente
c) 12 correspondem a quantos inteiros? 3
4
Frações
próprias
impróprias
aparentes
24 Utilizando as frações impróprias e não aparentes do exercício anterior, desenhe as figuras
que elas representam e escreva as frações mis5 3 2 ; 9 5 2 1 ; 19 5 2 3
tas correspondentes. 11
3
3 4
8
4 8
29 Observe as três figuras a seguir.
As frações impróprias e não aparentes
podem ser escritas na forma mista.
3
25 Que número natural as frações aparentes ,
3
4 , 5 e 23 representam? 1
4 5 23
23. própria:
Forma de
número natural
2
11 9 19 8 14 10 120
8 14 10 120
; impróprias:
, ,
, ,
,
,
; aparentes : ,
,
,
7
3 4 8 4 7
1
10
4 7
1
10
3
3
3
3
1
3
a) Que fração representa a parte colorida
em cada figura?
3
b) Quantas unidades a fração representa? 1
3
7
c) Como se escreve
na forma mista? 2 31
3
Capítulo 12
O que é fração?
187
Fração como quociente
Ilustrações: Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
A ideia de fração se relaciona com a operação
de divisão. Veja estes exemplos:
• Dividindo 2 maçãs igualmente entre 4 crianças, quanto de maçã cada uma vai receber?
Como não é possível dar uma maçã inteira
para cada criança, é necessário cortá-las em
partes para dividir entre as crianças.
Cortando cada maçã em 4 partes iguais, ficamos com oito quartos de maçã e, dividindo-os igualmente entre as 4 crianças, cada uma
vai receber dois quartos. Assim, cada criança
2
recebe de maçã.
4
2
Então, 2 ; 4 5 .
4
2
é uma maneira de representar
A fração
4
o quociente da divisão de 2 por 4. Há outro
modo de dividir essas maçãs? Voltaremos a
essa questão mais adiante.
• E se fossem 3 crianças?
Dividindo cada maçã em três partes iguais,
ficamos com seis terços de maçã e damos dois
terços para cada criança.
2
Cada criança vai receber de maçã.
3
2
2 : 3 dá o quociente .
3
• E se fossem 10 maçãs e 3 crianças?
Vamos dividir 10 por 3.
10
1
188
Unidade 4
Frações
3
3
Cada criança receberá 3 maçãs e ainda sobrará 1 maçã a ser repartida entre as três.
Então, dividindo uma das maçãs em 3 partes iguais e dando um terço para cada uma, cada criança vai
1
1
receber 3 maçãs mais de maçã, ou seja, 3 maçãs.
3
3
Portanto, 10 ; 3 5
1
10
53 .
3
3
Toda fração representa o quociente da divisão do numerador pelo denominador.
Como não se divide por zero, o denominador é sempre um número não nulo.
Exercícios
30 Jonas tem 7 netos. Ele comprou uma caixa
de barras de chocolate e quer dividir igualmente entre eles. Mas são 24 barras; ajude-o a fazer a divisão.
a) Quanto Jonas deve dar a cada um? 3 37 barras
b) Como fazer para cada um receber a sua
parte? Ver Manual do Professor.
31 Cada fração representa o quociente de uma
divisão. Escreva esse quociente numa forma
mais simples nos casos:
c) 113 1
a) 40 20
2
113
42 7 ou 3 1
88
8
b)
d)
2
12 2
11
a) Efetue a divisão:
18
7
4
2
b) Qual é o quociente? 2
c) Quantas unidades inteiras estão contidas
18
em ? 2
7
d) Qual é o resto dessa divisão? 4
e) Separando as unidades inteiras contidas
18
em , quantos sétimos sobram? 4
7
7
4
18
f) Como se escreve
na forma mista? 2 7
7
33 Transforme em fração mista as seguintes
frações impróprias:
18
32 A fração 7 é uma fração imprópria. Você
pode escrevê-la na forma mista a partir da
26
a) 5
5
47
6
7
b)
divisão do numerador pelo denominador.
1
5
5
6
59 29 1
c) 2 2
125 15 5
8
d)
8
147 4
e) 13 11 13
1 313 13
f) 25 52 25
Como transformar um número misto em fração imprópria
2
Para transformar um número misto, por exemplo, 1 3 , em fração imprópria, procedemos da seguinte forma:
1o) Transformamos o número natural em fração aparente, utilizando o mesmo denominador da parte fracionária:
2
1 5
3
3
3
2
3
Capítulo 12
O que é fração?
189
2o) Ficando as duas partes com denominadores iguais, podemos somá-las:
1
2
3
3
3
2
3
5
3
De um modo mais direto, procedemos assim:
1
2
3
1 3
3
2
3
2
5
3
3
Exercícios
34 Com as frações apresentadas a seguir, complete a tabela abaixo. Resposta no final do livro.
Número misto
2
1
4
1
2
2
3
Fração imprópria
1
3
2
7
2
7
1
3
1
2
3
5
5
11
7
3
9
7
30
7
4
3
5
2
13
5
38
11
5
35 Marco já pagou 240 reais da compra de uma bicicleta para seu filho Enzo. Ainda falta pagar 1 8 do
total pago. Quanto falta pagar? Por quanto ele comprou a bicicleta? 390 reais; 630 reais
37 Sofia e o pai dela foram conhecer uma cidade que fica a 87 quilômetros
de onde moram. Apenas
2
da estrada que leva à cidade são asfaltados.
3
4
Durante a viagem, Sofia contou 170 veículos, dos quais
eram auto5
móveis. O restante eram caminhões. No meio do caminho, Jurandir, pai
de Sofia, parou no restaurante do Cuca para almoçar. A despesa foi
de R$ 54,00, quantia equivalente a 1 do dinheiro que Jurandir levava.
4
a) Qual é o comprimento do trecho dessa estrada que não tem asfalto? 29 quilômetros
b) Que quantia Jurandir levou nessa viagem? R$ 216,00
c) Quantos caminhões Sofia contou na estrada? 34 caminhões
190
Unidade 4
Frações
Ilustra Cartoon/
Arquivo da editora
7
36 Bruno tem um álbum com 64 figurinhas coladas. Enzo, seu irmão mais velho, já colou 1 8 da quantidade de figurinhas que Bruno colou. Se faltam 76 figurinhas para Enzo completar seu álbum, quantas
faltam para Bruno? 132
CAPÍTULO
13
Frações equivalentes.
Comparação de frações
Conceito de frações equivalentes
De volta ao Tangram
Vamos estudar um pouco mais sobre frações utilizando o Tangram.
Ilustrações: Banco de imagens/
Arquivo da editora
Cada triângulo azul abaixo representa que parte do inteiro? E dois triângulos azuis representam que
parte do inteiro?
1
4
2
4
Vamos dividir a unidade (quadrado formado pelo Tangram) em 2 partes iguais e pintar uma delas de
1
azul. A parte pintada representa do inteiro.
2
1
do inteiro, um meio ou metade do inteiro
2
2
1
Compare a parte representada pela fração com a parte representada pela fração . O que pode4
2
mos concluir?
Ambas representam a metade do inteiro.
2
Na figura ao lado, a parte pintada também representa do inteiro e equivale
4
à metade do inteiro.
Na página 188 resolvemos a divisão de 2 maçãs entre 4 crianças e desco2
brimos que cada criança ficará com de maçã. Mas podemos resolver de outra
4
1
forma: dividindo cada maçã ao meio e dando de maçã a cada criança.
2
2 1
Por essa situação, podemos perceber que e representam a mesma quantidade.
4 2
Capítulo 13
Frações equivalentes. Comparação de frações
191
2 1
e são frações que representam a mesma parte da unidade: metade.
4 2
2 1
As frações e são chamadas frações equivalentes.
4 2
Portanto,
2
1
,
4
2
Indicamos:
ou, então,
2
1
5
4
2
.
(, lê-se: ”é equivalente a“)
Quem comeu mais chocolate?
Luiz e Otávio ganharam barras de chocolate do mesmo tamanho. A barra de Luiz era dividida em
6 partes iguais e ele comeu 4 delas. A de Otávio era dividida em 3 partes iguais e ele comeu 2 partes.
Quem comeu mais chocolate?
Luiz comeu
4
do chocolate.
6
2
do chocolate.
3
Comparando as figuras, observamos que os dois comeram quantidades iguais da barra de chocolate.
4
2
e
representam a mesma parte da unidade e, por isso, são frações equivalentes.
As frações
6
3
Podemos indicar assim:
4
2
5
6
3
Otávio comeu
Duas ou mais frações que representam a mesma quantidade
de uma grandeza são chamadas frações equivalentes.
Como reconhecer frações equivalentes?
Como podemos verificar se duas frações são equivalentes? Veja:
2
1
4
2
5
e 2?254?1
5
e 4?356?2
4
2
6
3
Para saber se 9 e 6 , por exemplo, são equivalentes, procedemos da seguinte maneira:
12 8
o
1 ) Multiplicamos o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda fração:
9
6
12
8
numerador da primeira fração ? denominador da segunda fração; 9 ? 8 5 72
192
Unidade 4
Frações
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Vejamos:
2o) Multiplicamos o denominador da primeira fração pelo numerador da segunda fração:
9
6
12
8
denominador da primeira fração ? numerador da segunda fração: 12 ? 6 5 72
3 ) Comparamos os resultados obtidos e, se obtemos dois produtos iguais, as frações são equivalentes:
o
9 ? 8 5 72
12 ? 6 5 72
Portanto, concluímos que:
9
6
5
12
8
Exercícios
1
2
2
Considere a fração .
3
a) Multiplique os seus termos por 2. Que
fração você obtém? 64
b) Verifique se a fração 2 é equivalente à
3
fração que você encontrou no item a. 23 5 64
c) Multiplique os termos da fração 2 por 7.
3
14
Que fração você obtém? 21
d) Verifique se a fração 2 é equivalente à
3
2
14
fração que você encontrou no item c. 3 5 21
e) Multiplique os termos da fração 2 por 10.
3
20
Que fração você obtém? 30
f) Verifique se a fração 2 é equivalente à
3
fração que você encontrou no item e. 23 5 20
30
Considere agora a fração 20 .
30
a) Divida os seus termos por 2. Que fração
10
você obtém? 15
b) Verifique se a fração 20 é equivalente à
30
5
fração que você encontrou no item a. 20
30
c) Divida os termos da fração 20 por 5. Que
30
fração você obtém? 64
d) Verifique se a fração 20 é equivalente à
30
5
fração que você encontrou no item c. 20
30
4
6
f) Verifique se a fração 20 é equivalente à
30
20
fração que você encontrou no item e. 30 5
2
3
e) Divida os termos da fração 20 por 10.
30
Que fração você obtém? 23
Quando multiplicamos (ou dividimos) os
termos de uma fração por um mesmo número
natural, diferente de zero, obtemos uma fração
equivalente à fração inicial.
3
Classifique como certo ou errado.
a) 1 5 3 certo
2
6
b) 1 5 4 errado
3
9
4
2 certo
c)
5
10
5
d) 2 5 6 certo
5
15
4
10
15
Capítulo 13
Responda às perguntas.
1
2
por um número para encontrar uma fração equivalente de denominador 12. Que
número é esse? 6
24
b) Devemos dividir os termos da fração
36
por um número para encontrar uma fração equivalente de numerador 12. Que
número é esse? 2
a) Devemos multiplicar os termos da fração
c) Devemos multiplicar os termos da fração
3
por um número para obter uma fração
8
equivalente de denominador 40. Qual é
o número procurado? 5
d) Devemos dividir os termos da fração 10
15
por um número para obter uma fração
equivalente de numerador 2. Qual é o
número desconhecido? 5
Frações equivalentes. Comparação de frações
193
Juninho, o irmão caçula de Alexandre, é muito levado! Ele apagou alguns números do caderno do irmão. Vamos ajudar Alexandre a completar a tarefa, antes que a professora corrija a lição.
Substitua
pelo número que torna cada igualdade verdadeira.
a) 1 =
3 12
b) 35 =
28 4
7
8
9
5
4
c) 5 = 15
4
d) 7 = 42
5
15
12
e) 11 =
2
10
55
10
42
30
Obtenha uma fração equivalente a 60 que tenha numerador e denominador primos entre si. 30
49
98
12
Que fração é equivalente a
e a soma do numerador e denominador é 50? 24
26
13
2
Sou uma fração equivalente a . A diferença dos meus termos é 21. Que fração sou eu? 14
35
5
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
6
4
12
Hélio Senatore/Arquivo da editora
5
Depois de percorrer 156 quilômetros de uma estrada, Guilherme parou para abastecer o carro.
3
Ele gastou R$ 75,00, quantia equivalente a
17
do dinheiro que levava. No posto, um mapa indicava que ele havia percorrido, até então, 12 da
19
viagem planejada.
a) De quantos quilômetros era a viagem completa que Guilherme planejou? 247 quilômetros
b) Depois da parada para abastecer, quanto sobrou em dinheiro para Guilherme prosseguir
a viagem? R$ 350,00
Simplificação de frações
Participe
d)
Vamos trabalhar com a fração 24 .
36
a) Quais são os divisores de 24? 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24
b) Quais são os divisores de 36? 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36
c) Quais são os divisores comuns de 24 e 36?
1, 2, 3, 4, 6 e 12
d) Divida os termos da fração pelos divisores comuns de 24 e 36. Que frações você obtém?
e) Todas as frações obtidas no item d são equivalentes. As que são escritas com termos menores que os de 24 são mais simples que ela.
36
Confira as respostas no final do livro.
194
Unidade 4
Frações
f)
g)
h)
i)
2
24 12 8 6 4
,
,
, ,
e
3
36 18 12 9 6
Complete a sequência, substituindo
pe24
las frações mais simples que
.
36
12
8
6
4
2
24 ,
,
,
,
,
18
12
9
6
3
36
2
Qual dessas frações é a mais simples de todas? 3
É possível simplificar ainda mais essa fração?
Não
Qual é o mdc dos termos da fração mais simples? mdc (2, 3) 5 1
Como se chamam dois números que têm mdc
igual a 1? Primos entre si.
Quando os termos de uma fração são ambos divisíveis por um número natural maior que 1, podemos
transformá-la numa fração equivalente e com termos menores que os dela. A esse processo chamamos
simplificação da fração.
Quando os termos de uma fração não apresentam divisor comum maior que 1 (o mdc deles é 1), ela
já está escrita na forma mais simples possível, chamada forma irredutível da fração.
24
até obtermos a forma irredutível
Por exemplo, na seção “Participe” simplificamos a fração
36
2
dela, que é .
3
6
3
1
5 5 .
Veja outro exemplo:
12
6
2
6
1
A forma irredutível da fração
é .
12 2
Simplificar uma fração é dividir seus termos por um mesmo
número diferente de zero e obter termos menores que os iniciais.
Quando simplificamos uma fração e obtemos uma nova fração que
não pode ser simplificada (porque seus termos são primos entre si),
dizemos que foi obtida a forma irredutível da fração dada.
Exercícios
10 Associe as frações da linha de cima com a
sua forma irredutível na linha de baixo:
30
45
120
440
8
20
25
60
5
12
2
3
3
11
2
5
11 Uma fração própria e irredutível apresenta
numerador e denominador que somam 15.
Que fração é essa? Dê todas as possibilidades.
1 , 2 , 4 , 7
14 13 11 8
12 Escreva a forma irredutível das frações a seguir.
66 2
a)
99 3
666 2
b)
999 3
Como obter uma fração na forma irredutível
Método das divisões sucessivas
Dividimos os termos da fração por um divisor comum e repetimos o processo até obter uma fração cujos termos sejam primos entre si.
Observe o exemplo ao lado.
:2
:3
24 5 12 5 6 5 2
18
9
36
3
:2
Método do mdc
:2
:2
:3
Dividimos os termos da fração pelo mdc deles. Veja o exemplo para a
24
fração
.
: 12
36
mdc (24, 36) 5 12 e
2
24
5
3
36
: 12
Capítulo 13
Frações equivalentes. Comparação de frações
195
Exercícios
30 e 40 são equivalentes? Sim18 As frações
105 126
plifique-as e responda. 27 , 20
; não são equivalent es.
63
13 Determine a forma irredutível de cada fração
pelo método das divisões sucessivas.
c) 9 21
e) 63 53
a) 3 21
105
6
18
60 2
4 1
b)
d)
f) 250 53
90 3
12 3
150
19 Quais das frações indicadas nas fichas abaixo
são equivalentes a:
2
;
a) 84 ? 14
21 3
126
14 Simplifique pelo método do mdc.
c) 98 72
a) 84 67
28
72
b) 54 53
d) 147 79
189
90
20
e 62 .
15 São dadas as frações
50 155
a) Qual é a forma irredutível da fração
42
84
b)
20
?
50
44
88
2
5
62 2
?
b) Qual é a forma irredutível da fração
155 5
c) Compare os resultados obtidos nos itens
a e b. São iguais.
2 62
2
20
5 e
5 , então
Observe que, se
5 155
5
50
62
20
,
.
50 155
Duas frações que têm a mesma forma
irredutível são frações equivalentes.
120 e 100 e respon16 Simplifique as frações
75
90
4 4
da: Elas são equivalentes? 3 , 3 ; sim.
55
?
99
14
21
2
3
21
28
126
84
125 15
;
225 27
66
111
125
225
15
27
20 No dinheiro brasileiro, 1 real equivale a 100 centavos de real e as moedas são de 1 centavo,
5 centavos, 10 centavos, 25 centavos, 50 centavos e de 1 real. Responda às questões indicando a fração na forma irredutível.
a) A que fração do real corresponde a moeda
1
de 5 centavos? 20
b) E a de 25 centavos? 14
21 Qual é a fração:
40
e tem o menor
a) que é equivalente a
65
8
denominador possível? 13
b) que é equivalente a 10 e a soma de seus
85
2
termos é a menor possível? 17
196
Unidade 4
Alexandre
18
21
6
7
Ricardo
42
18
7
3
Maurício
220
100
11
5
Vítor
36
60
3
5
Pedro
40
100
2
5
Frações
11
5
Gabriela
2
5
Luciana
6
7
Priscila
7
5
Andreia
Alberto de Stefano/Arquivo da editora
17 Descubra os pares que vão dançar a quadrilha na festa junina da escola, associando as frações à esquerda à sua forma irredutível, à direita. Alexandre e Priscila; Maurício e Gabriela; Pedro e Luciana.
Responda também: Quem não vai dançar a quadrilha? Ricardo, Vítor e Andreia.
Redução de frações ao mesmo denominador
Vamos obter frações equivalentes a 2 , 4 e 5 , de modo que todas tenham o mesmo denominador.
3 5 6
O denominador comum às três frações dadas é múltiplo do denominador de cada uma delas. Assim,
o denominador procurado é múltiplo de 3, 5 e 6.
O menor número com essa propriedade é o mmc de 3, 5 e 6, que é 30.
Para reduzir duas ou mais frações ao menor denominador comum, procedemos do seguinte modo:
1o) Calculamos o mmc dos denominadores. Esse mmc será o menor denominador comum das frações.
2o) Dividimos o denominador comum pelo denominador de cada fração e multiplicamos o resultado
pelo numerador dessa fração.
Logo:
× 10
• 25
3
30
30 ; 3 5 10
2 20
5
3 30
×6
• 45
5
;
30
×5
4 24
5
5 30
30 ; 5 5 6
• 55
6
30
30 ; 6 5 5
5 25
5
6 30
;
;
Exercícios
1 1 1
, ,
2 3 4
1 3 19
, ,
5 7 70
papel
vidro
Reduza as frações escritas nas caixas
de coleta acima ao menor denominador comum. Compare os resultados
obtidos com as frações do quadro ao
lado para saber qual material deve ser
depositado em cada caixa.
metal
Capítulo 13
3 5 7
, ,
4 6 10
plástico
3 19 1
,
,
28 60 70
Rita Barreto/Fotoaren
23 A reciclagem de materiais contribui
para a não poluição do meio ambiente,
além de preservar os recursos naturais.
Em algumas cidades do Brasil existe
coleta seletiva de lixo. Nesse sistema,
papéis, plásticos, vidros e metais são
recolhidos separadamente a fim de serem reciclados.
As caixas de coleta seletiva são identificadas por cores; cada cor é específica
para um tipo de material.
a
7
22 Determine duas frações com denominadores iguais, sendo uma delas equivalente a 25 e a outra
11 84
55
e
.
equivalente a
60 300 300
metal
45 133 60
,
,
420 420 420
vidro
14
,
70
30
,
70
19
70
plástico
45
,
60
50
,
60
42
60
papel
6
,
12
4
,
12
3
12
Frações equivalentes. Comparação de frações
197
24 Descubra o lugar em que cada dupla foi passear. Para isso, reduza as frações das camisetas ao menor denominador comum. Depois, relacione os
resultados obtidos com as frações do quadro. a) cinema; b) sorveteria; c) praia; d) shopping
a)
b)
c)
d)
35
33
e
: shopping
30
30
9
220
e
: cinema
84
84
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
8
12
e
: teatro
15
15
5
6
e
: sorveteria
15
15
4
5
e
: clube
30
30
8
15
e
: praia
60
60
25 Descubra a capital onde cada criança vai passar as férias. Para isso:
a) reduza as frações escritas nas figuras ao menor denominador comum e compare os resultados
com as frações do quadro;
b) localize no mapa os estados visitados pelas crianças.
Recife
(Pernambuco)
Manaus
AM
PE
Recife
MT
Banco de imagens/Arquivo da editora
Manaus
(Amazonas)
Cuiabá
Recife:
SP
Porto Alegre
(Rio Grande do Sul)
PR
RS
Porto Alegre:
São Paulo
Curitiba
N
198
Unidade 4
Frações
São Paulo:
L
O
Manaus:
Porto Alegre
S
0
Curitiba
(Paraná)
36
21
70
,
,
126 126 126
450 km
Cuiabá:
36 20 5
,
,
60 60 60
36
21 140
,
,
126 126 126
80
24 105
,
,
120 120 120
36 20 10
,
,
60 60 60
Curitiba:
18 8 15
,
,
12 12 12
Fonte do mapa: Maria Elena Simielli.
Geoatlas. São Paulo: Ática, 2002.
Dmitry_Tsvetkov/Shutterstock
Comparação de frações
As pizzas
A família Ribeiro, formada por 8 pessoas,
foi a uma pizzaria. João (o pai) pediu 3 pizzas e
pensou: “Vou pedir que repartam cada pizza
em 8 pedaços iguais. Assim, distribuo 3 pedaços para cada pessoa”.
Que fração de pizza cada pessoa vai comer?
Cada pessoa comerá 3 de pizza.
8
Pouco antes de as pizzas ficarem prontas, juntaram-se à família Ribeiro mais 4 sobrinhos de João.
Ele pensou rápido e pediu ao garçom que repartisse cada pizza em 12 pedaços iguais e distribuísse
3 pedaços para cada pessoa. Quanto cada um comeu?
Cada um comeu 3 de pizza.
12
Participe
No problema “As pizzas”:
3
8
3
12
Esta é a parte que cada
um comeu.
Esta é a parte que cada um comeria se
fossem 8 pessoas.
Capítulo 13
Frações equivalentes. Comparação de frações
199
a) A fração 3 representa uma parte maior ou uma parte menor que a representada por 3 ? Menor
12
8
b) Compare as frações e substitua
por . ou ,, formando uma desigualdade verdadeira.
3
12
,
3
8
c) Compare os numeradores das frações 3 e 3 . São iguais
12
8
3
3
3
ou , tem o maior denominador? 12
d) Qual das frações,
12
8
e) No item anterior, as frações têm numeradores iguais. A fração menor é a que tem o maior ou a que tem
o menor denominador? Maior
f) Que fração do Tangram abaixo representa o triângulo azul? E o triângulo lilás? Qual triângulo é menor?
1 1
, , lilás
4 8
g) Substitua
pelas frações correspondentes ao triângulo azul e ao triângulo lilás, em relação ao Tan-
gram, de maneira que a desigualdade abaixo seja verdadeira.
,
1
1
,
8
4
h) No item anterior, os numeradores das frações são iguais. A fração menor é a que tem denominador
maior ou menor? Maior
i) Substitua
pelas frações correspondentes às partes representadas por um triângulo azul e por
dois triângulos azuis no Tangram de maneira que a desigualdade abaixo seja verdadeira.
,
1
2
,
4
4
j) No item anterior, as frações têm denominadores iguais. A fração menor é a que tem numerador maior
ou menor? Menor
k) Complete com as frações representadas em cada figura abaixo, de modo que a frase fique correta.
4
8
,
6
8
1
2
, logo, simplificando as frações,
,
.
3
4
l) No item anterior, escrevendo frações de mesmo denominador, a fração menor é a que tem numerador
maior ou menor? Menor
Confira as respostas no final do livro.
200
Unidade 4
Frações
Na seção “Participe” fizemos comparação de frações.
Observe mais estes exemplos e as conclusões a que chegamos:
5
5
5
8
16
8
e
5
16
têm numeradores iguais.
Como 16 . 8, concluímos
que
5
16
,
5
8
.
Quando duas frações têm numeradores iguais,
a menor delas é a que tem maior denominador.
5
5
10
16
16
16
e
10
16
têm denominadores iguais.
Como 5 , 10, concluímos
que
5
16
,
10
16
.
Quando duas frações têm denominadores iguais,
a menor delas é a que tem menor numerador.
Vamos comparar as frações
7 5
e .
8 6
Essas frações têm numeradores diferentes e denominadores diferentes. Para compará-las, o primeiro passo é reduzi-las ao mesmo denominador, que poderá ser o mmc dos dois denominadores:
mmc (8, 6) 5 24
Com denominador 24, as frações ficam:
7 5 21
8
24
e
5 5 20
6
24
Agora, basta comparar frações de denominadores iguais:
Portanto:
20 , 21
24
24
5 , 7
6
8
Quando comparamos frações com numeradores diferentes e
denominadores diferentes, primeiramente as reduzimos ao
mesmo denominador, para depois fazermos a comparação.
Capítulo 13
Frações equivalentes. Comparação de frações
201
Vamos retomar as frações
7
8
e
5
6
.
Outra forma de reduzir ao mesmo denominador é multiplicar os termos da primeira fração pelo de7
7?6
nominador da segunda:
5
8
8?6
5
5?8
.
5
e os termos da segunda pelo denominador da primeira:
6
6?8
Com denominadores iguais, comparamos os numeradores 7 ? 6 e 5 ? 8. Então, uma maneira rápida de
7 5
comparar e é multiplicar em cruz: 7 ? 6 e 5 ? 8.
8 6
5
7
7
5
Como 7 ? 6 . 5 ? 8, decorre que . . Portanto, , .
6
8
8
6
Exercícios
26 Identifique em cada item a maior fração.
1
1
2
1 2
c) ou ? 21
a) ou ? 3
2
3
3
3
7 ou 11 11
2 ou 2 2
b)
?
d)
?
4
4 4
5
7 5
1
2
2
3
3
5
5
6
7
15
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
27 Indique em cada item a menor fração.
3 ou 4 3
5
5
c)
?
a) ou ? 5
5 4
4
7
12 12
8
7
3 ou 9 3
b)
?
d) ou ? 8
4
5 5
11
11 11
28 Qual é a maior fração em cada item?
1251 ou 24 70 2470
? 27
a) 3 1 ou 2 1? 3 1 c)
27
27
4 4
4
15 ou 15 15
1
1
ou
?
d)
? 1
b)
2
7 2
1000
100 100
por um dos sinais ,, .
29 Substitua
ou 5, comparando as frações corretamente.
3,
2 5
e) 2
a) 1
5
14
7
7
4.
11
11
b)
4,
f)
3
4
4
3
4.
15 5
c)
g) 10
2
3
6
4
5,
3
d) 2
2
8
6
30 O professor Jorge, em conjunto com o professor de Matemática, distribuiu para cada jogador do time de basquete uma fração para
colocar na camiseta. A fração maior fica para o
menino mais alto; a menor, para o mais baixo.
202
Unidade 4
Frações
Júlio
Luca
Alexandre Mário
Paulão
a) Coloque as frações em ordem crescente
e descubra a quem cada fração corres7
1
3
2
5
ponde. 15 : Júlio; 2 : Luca; 5 : Alexa ndre; 3 : Mário; 6 : Paulão
b) No campeonato, o time da escola em
que Jorge trabalha ganhou 5 dos jogos
8
que disputou, e o time de uma outra escola ganhou 7 do mesmo total de jo16
gos. Qual dos dois times obteve melhor
classificação nesse campeonato?
5
7
.
; o time da escola em que Jorge trabalha.
8
16
c) De quantas horas mais Bárbara precisa
para acabar de ler o livro? 2 horas
Wavebreakmedia/Shutterstock
31 Neste bimestre, a professora de Português
pediu aos alunos que lessem um livro. Sérgio leu 2 do livro em 6 horas. Bárbara le7
vou 3 horas para ler 3 do mesmo livro.
5
32 Marina e Viviane combinaram ir de bicicleta até um parque da cidade, mas não conseguiram fazer o percurso de uma só vez e
pararam para descansar. Marina percorreu
9
7
do caminho antes de parar, e Viviane, .
11
10
Qual delas parou para descansar mais perto
do parque? Viviane
a) Quem leu mais páginas do livro: Sérgio
ou Bárbara? Bárbara
b) Mantendo esse ritmo, quantas horas Sérgio vai demorar para ler todo o livro? 21 horas
Desafio
Os 100 metros de Ricardo
Ilustrações: Artur Fujita/Arquivo da editora
Na gincana de esportes promovida pelo professor de Educação Física, Ricardo participou da prova de
100 metros rasos. No final da prova, ele observou que 1 dos corredores havia chegado à sua frente e que
4
2 haviam chegado depois dele.
3
Se menos de 15 pessoas participaram dessa prova:
a) qual foi a classificação de Ricardo? 4o lugar
b) quantos corredores chegaram depois dele? 8
Capítulo 13
Frações equivalentes. Comparação de frações
203
CAPÍTULO
14
Operações
com frações
Participe
2
3
do copo A e do copo B. O copo C continuará vazio.
7
7
Ilustrações: Hélio Senatore/
Arquivo da editora
Temos 3 copos idênticos. Vamos preencher com água
a) O que há em comum entre a marcação nos 3 copos? Todos estão divididos em 7 partes iguais.
b) Se despejarmos a água dos copos A e B no copo C, quantas partes desse copo serão ocupadas com água?
c) Que fração do copo C representará essa quantidade? 57
d) Que operação pode-se fazer para obter a fração que representa o conteúdo do copo C depois do despejo?
2
3
1
e) Que frações representam as quantidades de líquido em cada copo abaixo?
7
7
2
10
4
10
3
10
f) Que operação você pode fazer para calcular a quantidade total de líquido dos 3 copos? Represente-a e
2
4
3
9
dê o resultado. 10
1
1
5
10 10 10
Confira as respostas no final do livro.
204
Unidade 4
Frações
5
Adição
A operação que introduzimos na seção “Participe” é a adição de frações. Indicamos assim:
2 3
5
2
4
3
9
1 5
e
1
1
5
7 7
7
10 10 10 10
Note que estamos adicionando partes iguais do inteiro:
2 sétimos 1 3 sétimos 5 5 sétimos
2 décimos 1 4 décimos 1 3 décimos 5 9 décimos
A soma de frações com denominadores iguais é uma fração cujo denominador é
igual ao das parcelas e cujo numerador é a soma dos numeradores das parcelas.
Veja outros exemplos:
1 4 5
• 91959
3
5
11
19
• 12 1 12 1 12 5 12
Subtração
Dividimos um retângulo em 11 partes iguais e pintamos 8 dessas partes. Que fração do retângulo
foi colorida?
8
11
A seguir, retiramos a cor de 5 das partes coloridas. Que fração do retângulo foi descolorida?
5
11
Que fração do retângulo permaneceu pintada completamente?
3
11
Na situação acima, efetuamos uma subtração de frações:
8
5
3
2
5
11 11 11
8 onze avos 2 5 onze avos 5 3 onze avos
A diferença de duas frações com denominadores iguais é uma fração cujo denominador
é igual ao das frações dadas e cujo numerador é a diferença entre os numeradores.
Capítulo 14
Operações com frações
205
Veja outros exemplos:
7 2 5
• 92959
33
22
11
• 100 2 100 5 100
Adição e subtração com denominadores diferentes
4
5
1 , isto é, 4 nonos mais 5 sextos.
9
6
É uma adição de partes diferentes.
Vamos calcular
O primeiro passo é reduzir as frações ao mesmo denominador, transformando em partes iguais
do inteiro.
mmc (9, 6) 5 18
Reduzindo as frações ao denominador 18:
4
8
5 15
5
5
e
9 18
6 18
Então:
5
8
15
23
4
1 5
1
5
9
6 18 18 18
Para adicionar ou subtrair frações com denominadores diferentes,
devemos primeiro reduzi-las a um mesmo denominador.
Exercícios
1
Efetue as operações com frações.
5
2 7
11
1
5
1
1 1
c)
a)
4
4 4
6
6
6
b)
2
Calcule:
2
3
1
a)
2
3
b)
d)
13
17
2
4
4
13
6
c)
11
7
1
12
20
2
3
2
2
3
5
6
d)
1
5
2
1
1
6
4
3
e) 3
1
3
12
5
5
29
5
g) 5
2
1
22
3
3
10
3
1
2
13
5
5
28
5
h) 3
3
3
22
4
4
1
11
1
2
1
1
5
2
3
f) 2
1
17
15
25
12
e)
1
1
1
2
3
5
6
g) 2
f)
1
3
2
2
4
5
4
h)
5
7
1
12
18
247
30
31
36
Quem vai ganhar o cabo de guerra: o time de camiseta verde ou o de camiseta azul?
Artur Fujita/Arquivo da editora
3
4
3
11
7
2
3
3
17
6
Descubra, adicionando os números de cada time e comparando. Ganha quem tiver a maior soma.
206
11 . 10 1 ; portanto, o time de camiseta verde.
3
Unidade 4
Frações
4
Calcule o valor das expressões.
a)
3
2
5
2
2
1
2
2
5
4
3
b) 1 1
101
60
1
1
7
5
2
2
2
2
5
4
4
4
5
c)
7
5
8
7
2
1
2
8
6
9
9
d) 2
1
1
1
13 25
3
2
6
11
72
2
3
O salão do Centro Esportivo está sendo ladrilha­
do com cerâmica. Aparecido, o pedreiro, come­
1
çou a trabalhar anteontem e conseguiu ladrilhar
7
3
do salão. Ontem ele ladrilhou mais . Nesses dois
8
dias já foram assentados 870 ladrilhos. Quantos la­
drilhos, ao todo, serão colocados no salão? 1 680 ladrilhos
6
4
desse dinheiro na poupança e decidiu comple­
5
tar um álbum de figurinhas com o restante. Com a primeira compra de figurinhas, Marcos conseguiu
5
3
do álbum. Na segunda compra, preencheu mais
do álbum.
preencher
12
8
a) Quanto Marcos guardou na poupança? R$ 184,00
b) Quanto sobrou para ele comprar figurinhas? R$ 46,00
19
c) Com as duas compras de figurinhas, que fração do álbum Marcos preencheu? 24
d) Se no álbum cabe um total de 240 figurinhas e antes das duas compras Marcos não tinha nenhu­
ma figurinha, quantas ficaram faltando para Marcos preencher o álbum? 50 figurinhas
7
Ari e Valdo são atletas e participaram de uma
corrida pelas ruas da cidade. Quando Ari havia
3
4
do percurso, Valdo completou .
completado
4
5
Nesse instante, Ari estava 400 metros atrás de Val­
do. Sabendo que 1 quilômetro tem 1 000 metros,
de quantos quilômetros era a corrida? 8 km
8
Em razão da instalação da rede de água em certo bairro, foi construído um grande reservatório, ali­
1
mentado por uma bomba de água. No primeiro dia de funcionamento da bomba, foi enchido do
3
2
reservatório; no segundo dia, foram completados mais dele. Se ainda faltam 4 400 litros para com­
5
pletar o reservatório, qual é a sua capacidade? 16 500 litros
9
1
Ao voltar de um passeio, Irene aproveitou para continuar a leitura de um livro. Ela leu do livro an­
4
1
teontem e ontem, mas ainda faltam 30 páginas. Qual é o número de páginas do livro? 72 páginas
3
Artur Fujita/Arquivo da editora
5
bbernard/Shutterstock
Marcos ganhou R$ 230,00 do seu avô. Ele guardou
10 Uma torneira enche um tanque da metade até nove décimos do volume em 1 min 4 s. Em quanto
tempo a torneira enche o tanque todo? 2 min 40 s
Capítulo 14
Operações com frações
207
Multiplicação
Quanto é 3 ?
2
7
2
?
7
2
do retângulo ao lado cor7
responde à parte colorida.
Podemos pensar que
2
7
2
é o triplo dessa parte. Observe
7
a figura ao lado.
2
7
2
7
Logo, 3 ?
Então, podemos dizer que:
3?
6
7
2
6
3?2
5 5
7
7
7
Também podemos pensar assim:
2 2 2 2 21212 3?2
6
3? 5 1 1 5
5
5
7 7 7 7
7
7
7
Em palavras: três vezes dois sétimos são seis sétimos.
Vejamos outro exemplo.
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
QUEM SABE QUANTO
3
É4? ?
5
Observe a solução encontrada:
4?
3
3
3
3
3 3131313
4 ? 3 12
5 1 1 1 5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
Em palavras: quatro vezes três quintos são doze quintos.
Nos exemplos anteriores multiplicamos um inteiro por uma fração. E como fazemos se os dois fatores da multiplicação forem frações?
1 1
? ?
3 5
1
Podemos pensar que
do primeiro retângulo ao
5
Por exemplo, quanto é
1
5
lado corresponde à parte colorida.
Logo,
1 1
1
? é igual a da parte colorida (veja o se3 5
3
gundo retângulo ao lado).
208
Unidade 4
Frações
1
5
1
3
O resultado final corresponde a
1
do retângulo. Então:
15
1 1
1
1?1
? 5
5
3 5 15 3 ? 5
Acompanhe mais estes exemplos.
Ilustrações: Ilustra Cartoon/
Arquivo da editora
QUANTO É
1 1
? ?
4 7
A solução encontrada é:
1 1
1
1?1
? 5
5
4 7 28
4?7
QUANTO É
2 5
? ?
3 6
Podemos pensar que
1
4
1
7
2
1 5
1
5 2 ? e 5 5 ? . Então:
3
3 6
6
2 5
1
1
1 1
1
10 2 ? 5
? 5 2?
? 5?
5 (2 ? 5) ?
?
5 10 ?
5
5
3 6
3
6
3 6
18 18 3 ? 6
O produto de duas frações é uma fração cujo numerador é o produto dos
numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores.
Represente a multiplicação acima usando figuras, como nas situações anteriores.
Capítulo 14
Operações com frações
209
Exercícios
11 Que fração representa a parte colorida da figura?
1
5
Agora, calcule:
a) o dobro dessa fração;
2
5
b) o triplo dela.
12 Calcule o quádruplo de cada fração.
11 11
a)
20 5
b)
2
3
b)
2
?3
9
2
3
c)
2 1
?
3 9
2
27
3
5
8
3
13 Calcule:
a)
7
? 11
5
77
5
14 Efetue as multiplicações:
a)
1 1
?
2 5
1
10
1 2
?
3 7
b)
2
21
d)
3 11
?
8 2
33
16
Texto para os exercícios 15 e 16.
Depois de calcular o produto de duas frações, devemos simplificar a fração obtida, colocando-a na
forma irredutível. Veja o exemplo:
44
11
11 4
(forma irredutível)
?
5
5
8 7
56
14
Para facilitar a simplificação, podemos cancelar os fatores comuns aos numeradores e denominadores antes de fazer a multiplicação, como nestes exemplos:
• 4 ? 20
5
7
• 2 ? 9 ? 7
3 5 22
• 4 ? 25
5 12
4
1
4 ? 20 5 16
51 7
7
5
1
4 ? 25 5 5
5 123 3
1
3
2 ? 9 ? 7 5 21
3 5
2211 55
1
1
30
2
15
Bela
1 ? 2
3
5
210
Unidade 4
Frações
1
Cristina
1
1
? ? 5
1
2
3
10
Gabriel
2
? 3
3
2
Neide
· 25
6
5
3
1
2
Mário
· 21
13
14
39
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
15 Carminha pediu a Luciana que entregasse doces nas casas de cinco fregueses.
Para descobrir em que sequência Luciana vai entregar os doces:
a) efetue as multiplicações indicadas nas casas;
b) compare os resultados obtidos, escrevendo­os na ordem decrescente. Essa ordem corresponde à
ordem de entrega. 10, 1, 1 , 2 , 1 ; Neide, Gabriel, Mário, Bela, Cristina
2 15 30
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
16 Em uma partida de basquete os dois times marcaram juntos 126 pontos.
Efetue as multiplicações gravadas nas camisetas e descubra a fração de pontos que cada jogador fez
no jogo. Depois responda:
a) Quantos pontos cada jogador fez?
b) Quem fez mais pontos? Fabiano
c) Quem fez menos pontos? Zelu
a)
17 Calcule:
a) 2 ? 1
3
3
; 27 pontos
14
2
3
2
; 36
36 ponto
p tos
7
2
; 12
12 ponto
p tos
21
1
; 18 pontos
7
b) 5 ?
5
3
11
; 33
33 ponto
p tos
42
25
3
c) 1 ?
4
3
4
3
18 Transforme em fração imprópria:
a) 2
1
3
7
3
b) 5
5
3
20
3
c) 1
4
3
7
3
19 Compare os exercícios 17 e 18. Qual é a diferença entre eles?
O exercício 17 é uma simples multiplicação; já o exercício 18 envolve uma multiplicação e uma adição.
Texto para o exercício 20.
2
3
Trocando entre si o numerador e o denominador da fração , obtemos .
3
2
3
2
Dizemos que é o inverso de .
2
3
Inverso ou recíproco de uma fração diferente de zero é a fração que se
obtém trocando entre si o numerador e o denominador da fração dada.
20 Calcule o produto de cada fração pelo seu inverso.
4
2
3
1
1
1
b)
c)
a)
7
3
5
d)
5
7
e)
1
1
6
1
Compare os resultados obtidos. São iguais.
21 Classifique a sentença do quadro abaixo em verdadeira ou falsa. Verdadeira.
O produto de uma fração pelo seu inverso é igual a 1.
Capítulo 14
Operações com frações
211
22 Calcule o valor de cada expressão.
a)
5 1
1
?
1
3 2
4
b)
2  10
5
2
?
5  7
7
5
4
1  2
3
1
1
?
2
2
3  5
8
c)
4  8
7
3
d)  1  ?  2 
4
3
7
8
2
7
1
48
e) 2
1
5 14
1 ?
2
7 25
29
10
125
224
23 Descubra o brinquedo preferido de cada pessoa no parque de diversões. Para isso, calcule o valor de
cada expressão e relacione o resultado com as frações da tabela.
1
 11 11  2
2
2
?
2
4 5
25 
a) Ricardo:
b) Luciana: 1 1
c) Gabriela:
d) Priscila:
121
; chapéu mexicano
100
1 5
2 5
2
2
?
2 ?
2 4
3 2
5
9
; palácio dos horrores
40
3
1 
1 
1

1 11
? 211 ? 31

2
2 
3 
4
18  2
21 5   7

?
?
21
?
1

35  5
15 49   2
e) Maurício:
2 
2 1
1 
2
? 11 ?
5 
3 4
5  
roda-gigante
171
245
carrossel
204
25
montanha-russa
31
75
trem fantasma
71
4
palácio dos horrores
9
40
chapéu mexicano
121
100
71
; trem fantasma
4
171
; roda-gigante
245
31
; montanha-russa
75
1 
11 13  1
?
1
a) 7 2  2

4
2
5  
2
b)
151
; urso de pelúcia
40
1 1
1 1
1 1
1 1
?
1 ?
2 ?
1 ?
2 5
2 3
5 6
2 13 5 
100
• urso de pelúcia: 151
40
21
• carrinho:
75
212
Unidade 4
Frações
; bola de futebol
• bola de vôlei: 503
900
• bola de futebol: 13
100
Ilustrações: Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
24 Em uma das barracas do parque de diversões, a brincadeira consiste em acertar bolas na boca do pa­
lhaço para ganhar prêmios. Alexandre acertou duas bolas. Para saber que brinquedos ele ganhou, re­
solva as expressões e associe os resultados com as frações do quadro abaixo.
Calculando a fração de um número
3
de 80?
5
Já resolvemos questões como essa no capítulo 12. Primeiro calculamos a quinta parte de 80:
• Quanto é
80 ; 5 5 16
Depois multiplicamos o resultado pelo número de partes que queremos:
3 ? 16 5 48
Então,
3
de 80 é 48.
5
Agora vamos multiplicar
3
por 80:
5
16
3
? 80 5 48
5
Note que em ambos os cálculos realizamos as mesmas operações. Então:
3
3
de 80 é o mesmo que ? 80
5
5
3
1
de ?
5
2
Vamos dividir uma barra ao meio e, cada metade, em cinco partes:
• Quanto é
1
2
3
5
de
1
2
A barra ficou dividida em 10 partes e
Agora vamos multiplicar
Então,
3
1
por :
5
2
3
1
3
1
3
de são 3 partes. Portanto, de equivale a
.
5
2
5
2
10
3 1
3
? 5
5 2 10
3 1
3
1
de é o mesmo que ? .
5 2
5
2
Calcular uma fração de um número é o mesmo que multiplicar
a fração pelo número.
Outros exemplos:
5
5
5
? 40 5 25
de 40 é:
8
81
4
36
1 36
4
1
de
é:
?
5
5
91
5
5
9
Capítulo 14
Operações com frações
213
Exercícios
1
4
26.
25 A barra abaixo é composta de 20 quadradinhos iguais.
3
;
16
3
1
de
4
4
Quantos quadradinhos devem ser coloridos para representar:
a) um décimo de 20?
2
b) sete décimos de 20? 14
26 Quanto é três quartos de um quarto? Faça uma figura representando
3
1
de .
4
4
27 Calcule:
a)
3
de 60
4
45
b)
5
de 20
6
50
3
c)
1
12
de
2
5
6
5
d)
4
35
de
5
16
7
4
1
28 Da quantia que ganhou de seu pai, Luana gastou 3 com brinquedo. Do restante, ela gastou
3
7
4
comprando lanche. Que fração da quantia que Luana ganhou ela gastou com o lanche? 21
2
2
de uma barra de chocolate, e Gabriel comeu do que sobrou. O restante, eles de­
5
3
ram para Maurício.
29 Luciana comeu
a) Quem comeu mais chocolate: Luciana ou Gabriel? Os dois comeram a mesma quantidade.
b) Que fração do chocolate Maurício comeu? 51
30 Walter vendeu em um dia 3 das laranjas que tinha na sua banca de frutas. No dia seguinte, vendeu
5
13 do que havia sobrado e levou as 9 laranjas restantes para casa. Para repor a quantidade inicial que
16
havia na banca de frutas, quantas laranjas Walter deve buscar na Central de Abastecimento? 120
Desafio
Para não ficar tonto
(Obmep) Carlinhos completou 5 voltas e meia correndo ao longo de uma pista circular. Em seguida, inverteu o sentido e correu mais quatro voltas e um terço, faltando percorrer 40 metros para chegar ao ponto
de início. Quantos metros tem essa pista de corrida?
Reprodução/Obmep, 2015.
a) 48
b) 120
c) 200
X
d) 240
e) 300
214
Unidade 4
Frações
Divisão
Dividir uma quantidade significa reparti-la em quantidades menores, todas iguais entre si.
A operação de divisão pode ser usada para:
• sabendo em quantas partes se quer dividir, descobrir quanto haverá em cada parte;
• sabendo quanto haverá em cada parte, descobrir em quantas partes se deve dividir.
Observe os exemplos a seguir.
Repartindo muito leite
Ilustrações: Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Para repartir igualmente 40 litros de leite entre 10 famílias, quantos litros cada família deve receber?
40 ; 10 5 4
Cada família deve receber 4 litros de leite.
Se 40 litros de leite devem ser colocados em jarras de 2 litros cada uma, quantas jarras serão
necessárias?
40 ; 2 5 20
Serão necessárias 20 jarras.
Capítulo 14
Operações com frações
215
Se as jarras forem de 1 litro cada uma, quantas jarras serão necessárias?
40 ; 1 5 40
Serão necessárias 40 jarras.
1
litro cada uma, quantas canecas serão necessárias?
2
1
40 ; 2 5 ?
Ilustrações: Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Se tivermos canecas de
Podemos pensar assim: com cada litro de leite é possível encher 2 canecas; então, com 40 litros podemos encher 40 ? 2 canecas; portanto, 80 canecas.
40 ;
Se tivermos copos de
1
5 80
2
1
de litro cada um, quantos copos serão necessários?
4
40 ; 1 5 ?
4
Podemos raciocinar da seguinte maneira: com cada litro de leite podemos encher 4 copos; então, com
os 40 litros podemos encher 40 ? 4 copos; portanto, 160 copos.
40 ;
216
Unidade 4
Frações
1
5 160
4
4
de litro, quantas garrafas serão necessárias?
5
40 ; 4 5 ?
5
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
E se tivermos garrafas de
4
5 4, para encher 5 garrafas são necessários 4 litros de leite.
5
Dessa forma, dividindo os 40 litros em partes de 4 litros cada uma, obtemos 10 partes. Cada parte
enche 5 garrafas. Então, como 10 ? 5 5 50, serão necessárias 50 garrafas.
4
5 50
40 ;
5
Vamos transformar em multiplicações as divisões que fizemos nos exemplos propostos:
Podemos pensar assim: como 5 ?
• 40 ; 10 5 4 e 4 5
1
40
1  1

5 40 ?
; então, 40 ; 10 5 40 ?
é o inverso de 10

10
10
10  10
• 40 ; 2 5 20 e 20 5
40
1 1
1

é o inverso de 2
5 40 ? ; então, 40 ; 2 5 40 ?


2
2
2
2
• 40 ; 1 5 40 e 40 5 40 ? 1; então, 40 ; 1 5 40 ? 1 (1 é o inverso de 1)
1

1
• 40 ; 5 80 e 80 5 40 ? 2; então, 40 ; 1 5 40 ? 2  2 é o inverso de 
2
2
2
1
1

1
5 160 e 160 5 40 ? 4; então, 40 ; 5 40 ? 4 4 é o inverso de

4
4
4
• 40 ;
40
5
4
4
5
• 40 ; 5 50 e 50 5 10 ? 5 5 4 ? 5 5 40 ? 5 5 40 ? ; então, 40 ; 5 40 ? 4
5
5
4

é o inverso de
4
5
4
4
5
O quociente da divisão de um número natural por uma fração é
igual ao produto desse número natural pelo inverso da fração.
Veja outros exemplos:
• 15 ; 3 5 15 ? 4 5 60 5 20
4
3
3
• 2 ; 3 5 2 ? 8 5 16
8
3
3
Capítulo 14
Operações com frações
217
Rita Barreto/Fotoarena
Repartindo pouco leite
1
Se
litro de leite for repartido igualmente em
2
4 copos, quanto ficará em cada copo?
1
;45?
2
1
2
1
1
;45
8
2
Em cada copo ficará
•
1
de litro de leite.
8
1 1
1 1
1

1
1 1 1
;45
e
5 ? ; então, ; 4 5 ?
é o inverso de 4


8 8
2 4
2
2
2 4 4
Enchendo baldes e baldes
75
litros de leite forem repartidos igualmente em
2
4 baldes, quanto ficará em cada balde?
75 ; 4 5 ?
2
1
1
75
75
; 4 5 75 ? ; 4 5 75 ?
5
8
2
2
8
1
8
Em cada balde ficará
•
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Se
75
3
ou 9 litros de leite.
8
8
75 1
75
75 75
75
75 1  1

;45
e
5
? ; então,
;45
?
é o inverso de 4

2
2 4 4
2
2
4
8
8
O quociente da divisão de uma fração por um número natural não nulo é igual ao produto
dessa fração pelo inverso do número natural.
Veja outros exemplos:
• 3 ;2 5 3 ? 1 5 3
4
4 2
8
• 16 ; 8 5 16 ? 1 5 2
5
5
8
5
Mais divisão de leite
Se
218
75
4
litros de leite forem colocados em garrafas de de litro, quantas garrafas serão necessárias?
2
5
75 ; 4 5 ?
5
2
Unidade 4
Frações
Podemos repetir o raciocínio: para encher 5 garrafas são
necessários 4 litros de leite. Dessa forma, dividindo
75
li2
tros de leite em partes de 4 litros, cada parte enche 5 garIlustra Cartoon/Arquivo da editora
75
, obtemos 75 partes e, como
rafas. Como 75 ; 4 5
8
2
8
375
7
75
7
?55
5 46 , o leite vai encher 46 garrafas e de
8
8
8
8
outra. Logo, serão necessárias 47 garrafas.
Pelos nossos cálculos:
75 4
75
75
375
; 5
;4 ?55
?55
2
5
2
8
8
Como
375
75 ? 5
75 5
75 4 75 5  5
4
5
5
? , temos:
; 5
?
é o inverso de

8
2?4
2 4
2 5
2 4 4
5
O quociente da divisão de uma fração por outra é igual ao produto da primeira fração
pelo inverso da segunda.
Outros exemplos:
• 3;1 5 3 ?25 3
4 2
•
4
2
25 15 25 16 10
;
5
?
5
8 16
8 15
3
Exercícios
31 Associe as frações à direita às suas inversas, à esquerda, formando duplas de crianças. Quem sobrou?
Luciana e Talita; Gabriela e Mariana; Ricardo e Pedro; Alexandre e Nicole; Priscila e Renato; Maurício e Patrícia. Sobraram Paulo e Jussara.
4
3
11
7
9
5
Luciana: 3
4
Alexandre: 1
2
Gabriela: 7
11
Priscila: 3
Ricardo: 5
9
Maurício: 5
2
1
3
1
5
4
3
Nicole: 2
Talita:
Paulo: 9
Mariana:
11
7
Pedro:
9
5
Jussara:
2
3
Patrícia:
1
5
Renato:
1
3
Capítulo 14
Operações com frações
219
32 Calcule o quociente das divisões apresenta­
das em cada item.
a)
7 14 1
;
5 5 2
14
1
;2 2
3
3
b) 5 ;
1
3
e)
15
19 57
;
20 35
c)
d)
7
12
11 9 11
;
4 4 9
1
4 63
2 ;3
4
7 100
f)
1
;2 1
4
2
11 11
;
2 5
5
2
9 7
;
2 4
7 11
;
3 6
14
11
13 2
;
6 9
9 7
;
5 15
18
7
39
4
27
7
33 Calcule o valor de cada expressão. De­
pois responda: Multiplicando os resultados,
quanto dá? 26
5
2  1
4
3
1
;
1
4
4  3
3
3
4
2  3
4
3
1
;
1
2
3  4
3
26
25
1  1
1
1
;
2
2
2
3  4
6
1  2
1
 10
2
;
1
 3
3  5
2
35 Calcule:
6
a) 2
7
3
7
6
b) 5 3
2 5
2
4
:
3
5
c)
5
2
:
3
3
4
2
;
15 3
d)
12 3
;
24 8
1
3
3
10
36 Calcule cada expressão e responda: Quan­
tas têm resultado maior do que 1? Uma
1
5 
1
4
1
1 1
; 22 1
2
3
4 
4
3
25
37
10 7  
1 3
1 3
? 1
?
; 22 ?
3 5
7 5 
2 4
5
10  
37 
2 9
? 2
;
; 22
3 8


49
7
28 
88
65
1
2
10
3
1 
1 
1 
1

12
? 12
? 12
; 12







2
3
4
5
5
16
37 Agora, resolva estes desafios:
Texto para os exercícios 34 e 35.
2
O que significa a expressão 3 ?
4
5
Convenciona­se que essa expressão corresponde
40
2 4
ao quociente da divisão ;
assim como
é
3 5
10
um número igual ao quociente da divisão 40 ; 10.
34 Complete o cálculo:
2
2 4
3
5 ;
5?
4
3 5
5
220
Unidade 4
Frações
5
6
216 74
8
;
12 ;
12
37
2
;
a)
144 102 27
;
;3
24
51
9
1
3 4
3
?
2
?2
2 7
14
14
b)
2 3
7
?
1
?5
3 10
25
239
56
38 Com a venda de doces, Mariana conseguiu
ganhar R$ 2.000,00 neste mês. Com metade
desse dinheiro ela comprou alimentos e com
3
1
, o material escolar da filha Laura. Com
8
4
do que sobrou ela comprou um vestido e o
restante guardou na poupança.
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
39 Em uma pesquisa com todos os moradores
da rua do Sol, foi feita a pergunta “A que
programa de TV você costuma assistir no
horário das 20 h?”. Observe o resultado:
1
•
dos entrevistados prefere o Festival de
2
Palhaçadas.
•
1
do restante prefere o Jornal das Vinte.
2
• Os outros 130 moradores da rua assistem
à novela Amor e Lágrimas.
a) Quantas pessoas moram na rua do Sol?
520 pessoas
b) Quantas assistem ao Festival de Palhaçadas?
a) Quanto Mariana gastou em alimentos?
260 pessoas
R$ 1.000,00
c) Quantas preferem o Jornal das Vinte?
b) Quanto custou o material escolar de Laura?
130 pessoas
R$ 500,00
3
da população
40 Em certo estado do Brasil,
4
1
são pessoas alfabetizadas, mas somente
8
concluiu o Ensino Fundamental. Que fração
das pessoas alfabetizadas concluiu o 9o ano?
c) Qual é o preço do vestido novo de Mariana?
R$ 187,50
d) Quanto Mariana guardou na poupança?
R$ 312,50
e) A quanto do total corresponde em fração
esse investimento?
5
32
1
6
Potenciação
Participe
a) No conjunto dos números naturais temos 23 5 8. Nesse caso, qual é a base? Qual é o expoente?
3
 2
b) Diogo precisa calcular   . Nesse caso, qual é a base? Qual é o expoente?
 3
2; 3
2
;3
3
3
 2
c) Recordando que 23 5 2 ? 2 ? 2 e considerando a multiplicação de frações, qual é o resultado de   ?
 3
8
27
Confira as respostas no final do livro.
Observe o cálculo de algumas potências:
 2
4
•  
3
Elevar uma fração à quarta potência é calcular um produto de quatro fatores iguais à base. Então:
4
2 2 2 2 24 16
 2
5 ? ? ? 5 4 5
 3
3 3 3 3 3
81
4
16
 2
5
 3
81
Capítulo 14
Operações com frações
221
 2
•  
3
1
Toda fração elevada ao expoente 1 dá como resultado a própria fração:
1
2
 2
5
 3
3
 2
0
•  
3
Toda fração com numerador diferente de zero elevada ao expoente 0 dá como resultado o número 1:
0
 2
51
 3
Para elevar uma fração a um dado expoente, devemos elevar o numerador
e o denominador a esse expoente.
Exercícios
41 Calcule as potências a seguir.
a)  1
 2
2
1
b)  
 2
3
1
c)  
 3
4
3
d)  
 2
2
1
8
e)  7 
 8
3
1
81
f)  2 
 5
4
1
4
44 Calcule os valores das expressões e respon­
da: Qual deles é o maior?
9
4
2
 4
 4  4
a)   ?   ;  
5
5
5
4
5
3
3
3
b)   ;  
4
 4  4
343
512
16
625
3
 7
b) 2
 4
2
c)
225
1
5 14
16
16
27
3
53
8
8
43 Qual é o valor de cada expressão?
2
 1
 2
a)   1  
2
3
 3
2
b) 2 2  
2
2
2
25
36
 1
 1
c) 13 1   1  
3
2
2
222
3
3
4
2
1
 1
1
2


5
2
10
Unidade 4
Frações
 5
3
 6
2
529
25
5 14
36
36
5
3
11
20
1
9
O maior é
5
.
3
dá resultado
maior que 10.
2
d)
89
72
5
7
1
11 20
a)  2  ;

6
2
5 99
2
4
3  625
b) 
1
 21
28  7056
c)
3
1
45 Calcule cada expressão e responda: Qual
delas dá resultado maior que 10? Nenhuma
0
7
4
2
d)
2
d)  1 ?  1 ;  1
 3
 3
 3
42 Calcule:
 1
a) 1
 2
c)  3  ;  3 
 5
 5
3
e)
f)
1
3

1
; 12
2

2
3
3 7
 1 3
? 1
 2 8
14 6
2
2
1
 2
;
2
;
 3
7 14
3
1 1
1
2
2
6  27
1
2
1
4
27
2
1
Matemática em notícia
Falando em média
Vamos entender o que é média aritmética.
Imagine que você tenha caminhado 10 000 passos no sábado e 11 000 passos no domingo; somando, são 21 000 passos nos dois dias. Dividindo 21 000 por 2, obtemos 10 500 – a média aritmética de
10 000 e 11 000. Então, você caminhou, em média, 10 500 passos por dia. Isso quer dizer que, se você
tivesse caminhado 10 500 passos no sábado e 10 500 passos no domingo, o total de passos dados nos
dois dias teria sido o mesmo, isto é, 21 000 passos. Mas note bem: você não caminhou 10 500 no sábado nem no domingo; 10 500 é a média do que caminhou por dia nos dois dias.
Editoria de Arte/Folhapress
Agora, leia o infográfico abaixo, publicado no jornal Folha de S.Paulo, e depois responda às perguntas.
Responda:
1
Se uma criança caminha, em média, 10 714 passos por dia no fim de semana e 11 120 passos por dia
nos outros dias da semana, quantos passos ela anda em uma semana? 77 028 passos
2
Quantos passos uma criança deveria andar por semana, segundo a reportagem?
84 000 passos
223
Teste seus conhecimentos
1
Em que figura a parte azul representa a fração
2
3
?
7
a)
X c)
b)
d)
Em um sítio existem 12 cavalos, 8 vacas e 40 frangos. A fração desse conjunto de animais que corres­
ponde aos quadrúpedes é:
a)
2
3
b)
1
5
X c)
1
3
d)
2
15
Se 3 dos 45 alunos de uma classe são meninas, o número de meninos dessa classe é:
5
3
X a)
4
18
b) 27
c) 15
d) 30
(Saresp) A fração de uma hora que corresponde a 15 minutos é:
a) 1
6
5
X b)
1
4
c) 1
3
d) 1
2
(Saresp) Na rua onde Clara mora, há 70 construções, entre casas e prédios. O número de casas é igual
a 9 do número de prédios.
5
O número de casas nesta rua é:
a) 30
b) 35
X
c) 45
d) 55
6
A fração equivalente a 2 e cujo denominador é 35 tem a soma dos termos igual a:
5
X d) 49
a) 37
b) 14
c) 35
7
Cada figura abaixo representa uma fração:
A maior fração aí representada é equivalente a:
X
224
a) 1
2
Unidade 4
b) 2
3
Frações
c) 2
5
d) 4
9
8
Gastei numa compra 3 do meu dinheiro e me sobraram R$ 200,00. A quantia que eu tinha inicial­
4
mente era:
a) R$ 200,00
9
b) R$ 400,00
c) R$ 600,00
X d)
R$ 800,00
(Saresp) Na casa de Mariana o gasto diário de água com descargas correspondia a 2 da capaci­
5
dade da caixa­d’água. Com a troca por descargas mais econômicas, esse consumo passou a ser de
1 da capacidade da mesma caixa­d’água. Logo, a fração da caixa­d’água economizada com essa
4
troca foi de:
a) 1
20
X b)
c) 2
4
3
20
d) 1
5
10 (Saresp) Em uma construtora, exatamente 1 dos funcionários são casados, e exatamente 1 desses
5
7
funcionários que são casados têm filhos. Um valor possível para o número total de funcionários é de:
X a)
105.
b) 100.
c) 49.
d) 12.
Reprodução/
Obmep, 2016.
11 (Obmep) A figura mostra a fração 5 como a soma de duas frações. As manchas encobrem números
11
naturais. Uma das frações tem denominador 3. Qual é o menor numerador possível para a outra fração?
a) 1
b) 2
c) 3
X d)
4
e) 5
Vadim Orlov/Shutterstock
12 Transportando uma carga pesada de Limeira (SP) ao porto de Paranaguá (PR), uma carreta levou
4 dias. No primeiro dia fez 1 do percurso; no segundo fez 1 ; e, no terceiro, 2 . Que fração do per­
3
4
9
curso fez no quarto dia?
a) 1
4
X b)
7
36
c) 2
9
d) 23
36
Capítulo 14
Operações com frações
225
13 Somando­se o dobro de 2 com o triplo de 4 , obtém­se:
5
3
24
X b)
c) 16
a) 26
15
5
5
d) 22
15
14 (Saresp) Numa adição de três parcelas, a primeira é 1 da segunda e esta segunda parcela é 1 da ter­
2
3
ceira. Se a soma é 297, as parcelas são:
a) 27, 54 e 162.
X
b) 33, 66 e 198.
c) 81, 99 e 162.
d) 27, 54 e 198.
Sergey Novikov/Shutterstock
15 Um clube tem 600 sócios. Sabe­se que 3 desses sócios praticam um único esporte, 1 pratica ape­
5
6
1
, três ou mais esportes.
nas dois esportes e
10
O número de sócios que não praticam esporte é:
a) 60
b) 70
X c)
80
d) 90
16 Numa prova, Álvaro acertou 5 das questões, Clóvis acertou 7 e Jarbas acertou 7 .
6
9
12
Pode­se afirmar que:
a) Álvaro acertou menos questões que Clóvis.
b) Clóvis acertou menos questões que Jarbas.
c) Álvaro acertou menos questões que Jarbas.
X
d) Álvaro foi o que acertou o maior número de questões.
17 Um litro e meio de água enchem quantos copos de 3 de litro?
10
a) 3
b) 4
X c)
5
18 A soma dos inversos dos números 3 e 3 elevada ao quadrado dá:
7
64
c) 100
a) 25
X b)
9
9
121
226
Unidade 4
Frações
d) 6
d) 25
UNIDADE
keellla/Shutterstock
5
Números
decimais
Utilizamos números decimais em
várias situações cotidianas, como para
registrar preços.
CAPÍTULOS
15. Fração decimal e
numeral decimal
16. Operações com decimais
CAPÍTULO
15
Fração decimal e
numeral decimal
Fração decimal
O material dourado
Cristina Xavier/Arquivo da editora
Você conhece o material dourado?
O material dourado
foi criado, no início
do século XX, por
uma professora
italiana chamada
Maria Montessori
(1870-1952), para
ajudar as crianças a
compreender os
números por meio
de representações
concretas.
Este é o material dourado, muito usado nas escolas. Ele é composto de quatro tipos de peças, representadas pelos desenhos abaixo:
cubo menor
barra
placa
Observe que:
• uma barra é formada por 10 cubinhos:
é igual a
• uma placa é formada por 10 barras:
5é igual a
228
Unidade 5
Números decimais
cubo maior
¥ um cubo maior é formado por 10 placas:
é igual a
Se tomarmos o cubo maior como unidade, que fração dele a placa representa?
1
10
(um décimo)
Que fração do cubo maior 5 placas representam?
5
10
(cinco décimos)
Que fração do cubo maior uma barra representa? E 3 barras?
O cubo maior tem 10 placas de 10 barras. Como 10 ? 10 5 100, ele tem 100 barras.
1
100
(um centésimo)
3
100
(três centésimos)
Que fração do cubo maior um cubinho representa? E 7 cubinhos?
Capítulo 15
Fração decimal e numeral decimal
229
O cubo maior tem 100 barras de 10 cubinhos. Como 100 ? 10 5 1 000, são 1 000 cubinhos.
7
1 000
(sete milésimos)
1
1 000
(um milésimo)
Observe que os denominadores dessas frações são potências de 10:
1 5
1
3
1
7
,
,
,
,
,
1000 1000
10 10 100 100 1000
Essas frações são chamadas frações decimais.
Chama-se fração decimal toda fração em que o denominador
é uma potência de 10 com expoente natural.
No sistema de numeração decimal, cada número natural é representado por um numeral formado
por um ou mais algarismos.
Cada algarismo que compõe o numeral ocupa uma ordem.
Por exemplo, no numeral 5 672, temos:
Algarismo
5
6
7
2
Ordem
unidade de milhar
centena
dezena
unidade simples
Qual é o valor do algarismo 5 nesse numeral?
O valor do algarismo no numeral depende da ordem que ele ocupa. Assim, 5 na unidade de milhar vale
5 ? 1 000, ou seja, 5 000.
Veja qual o valor do algarismo 5, se ele ocupar a ordem:
• das centenas;
6 5
7
• das dezenas;
2
6 7 5
2
• das unidades simples.
6
2
5
Na ordem das centenas,
Na ordem das dezenas,
Na ordem das unidades
5 vale 5 ? 100.
5 vale 5 ? 10.
simples, 5 vale 5 ? 1.
Quando um algarismo é deslocado uma ordem à direita,
1
seu valor passa a ser
do anterior.
10
230
7
Unidade 5
Números decimais
Numeral decimal
Vamos estudar agora os numerais decimais e aprender outro modo de representar as frações.
Precisamos representar partes da unidade. Então, vamos ampliar o sistema de numeração decimal,
da seguinte maneira:
1o) Colocamos uma vírgula para separar as unidades inteiras das partes de unidade.
2o) Criamos novas ordens à direita da vírgula – ordens (ou casas) decimais.
Não devemos esquecer que cada ordem vale
1
da ordem que está à sua esquerda.
10
100
10
1
100
1
10
1
parte inteira da unidade
1
10 000
1
1 000
1
100 000
s
mo
ési
lion
mi
cen
mi tésim
lés
im os d
os
e
dé
c
mi imos
lés
im de
os
mi
lés
i
mo
s
cen
tés
im
os
os
cim
dé
un
i
sim dade
ple s
s
as
zen
de
cen
ten
as
Observe a representação a seguir:
1
1 000 000
parte decimal da unidade
Veja alguns exemplos:
• 0, 9
: nove décimos
• 0, 1 7
: um décimo e sete centésimos (ou dezessete centésimos)
• 0, 2 5 4
: dois décimos, cinco centésimos e quatro milésimos (ou duzentos e cinquenta e
quatro milésimos)
• 5, 6
: cinco inteiros e seis décimos
• 7, 1 8
: sete inteiros, um décimo e oito centésimos (ou sete inteiros e dezoito centésimos)
• 18, 3 9 1 : dezoito inteiros, três décimos, nove centésimos e um milésimo (ou dezoito inteiros
e trezentos e noventa e um milésimos)
Exercícios
1
Em cada item, substitua os
a) 0,12; 1
b) 0,038; 3
c) 4,5; 4
d) 52,389; 52
e2
pelos termos corretos.
, ou 12
e8
e5
décimo, centésimos, centésimos
, ou 38
centésimos, milésimos, milésimos
inteiros, décimos
,3
,8
e9
ou 52
e 389
Capítulo 15
inteiros, décimos, centésimos,
milésimos, inteiros, milésimos
Fração decimal e numeral decimal
231
Qual é o doce mais vendido por Neusa? Para descobrir, escolha apenas as letras dos cartões que
contêm frações decimais. Siga a ordem indicada
pelas setas.
Início
brigadeiro
B
1
10
O
10
4
R
2
100
F
103
5
L
100
7
G
7
102
A
13
103
O
10
3
I
11
1 000
U
1
101
D
721
106
I
5
10
A
104
7
3
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
2
E
1 010
10
R
277
104
B
2
105
O
1
103
Observe os cartões A e B e substitua os
pelos algarismos 0, 1, 2, 4, 5 ou 8 (sem repetir algarismos
no mesmo cartão), conforme as dicas que os acompanham. Depois, responda às perguntas.
A
B
54,8012
28,4105
,
,
• 8 é o algarismo da ordem dos décimos.
• 1 é o algarismo da ordem dos milésimos.
• 2 é o algarismo dos décimos de milésimos.
• 4 é o algarismo das unidades.
• 0 não é algarismo da parte inteira.
• 8 é algarismo da parte inteira.
• 4 é o algarismo da ordem dos décimos.
• 5 é o algarismo da ordem dos décimos de
milésimos.
• 2 não é algarismo da parte decimal.
• A ordem que o algarismo 8 ocupa vale 1
10
da ordem que o algarismo 2 ocupa.
• A ordem que o algarismo 1 ocupa vale 1
10
da ordem que o algarismo 4 ocupa.
a) Qual é a ordem do algarismo 5 no cartão A? das dezenas
e quatro inteiros
b) Como se escreve por extenso o numeral que se formou nesse cartão? cinquenta
e oito mil e doze décimos de milésimos
c) Qual é a ordem do algarismo 0 no cartão B? dos milésimos
e oito inteiros e quatro mil cento e cinco
d) Como se escreve por extenso o numeral formado nesse cartão? vinte
décimos de milésimos
4
Escreva por extenso:
a) 0,000001
232
Unidade 5
um milionésimo
Números decimais
b) 1,00000128
um inteiro e cento e vinte e oito
centésimos de milionésimos
c) 6,005432
seis inteiros e cinco mil, quatrocentos
e trinta e dois milionésimos
5
Esta é a vitrine de uma loja de doces.
R$ 2,80
quindim
R$ 13,65
torta de banana
Cecília Iwashita/Arquivo da editora
dois reais e oitenta
centavos
R$ 1,84
cajuzinho
treze reais e sessenta
e cinco centavos
R$ 2,35
brigadeiro
R$ 21,18
torta de morango
um real e oitenta e
quatro centavos
vinte e um reais e dezoito
centavos
R$ 0,50
maria-mole
R$ 7,93
bolo de maçã
R$ 1,52
beijinho
dois reais e trinta e cinco centavos um real e cinquenta e dois centavos cinquenta centavos
R$ 7,83
bolo de fubá
sete reais e oitenta e
três centavos
sete reais e noventa
e três centavos
Escreva por extenso o preço indicado na etiqueta de cada doce.
6
R$ 6,27
bolo da casa
seis reais e vinte
e sete centavos
Um professor criou um jogo com fichas coloridas envolvendo números decimais. Ele fala uma cor e
dita um número e os alunos devem escrever corretamente o numeral na ficha correspondente.
Ficha
Numeral
verde
dois centésimos
amarela
vinte e oito milésimos
vermelha
quatro inteiros e três décimos
azul
um inteiro e cento e cinco milésimos
marrom
vinte e seis inteiros e quinhentos e noventa e sete décimos de milésimos
rosa
dois inteiros e sete milésimos
branca
trinta e dois décimos de milésimos
Escreva os numerais a serem anotados em cada ficha, seguindo a tabela.
a)
b)
1,105
0,0032
c)
26,0597
d)
0,02
e)
2,007
f)
g)
4,3
0,028
Desafio
O valor posicional dos algarismos
6
5
4
3
,
4
5
No número representado, o valor posicional do primeiro 5 equivale a quantas vezes o valor posicional
do segundo? 10 000
E o valor posicional do primeiro 4, equivale a quantas vezes o valor posicional do segundo? 100
Capítulo 15
Fração decimal e numeral decimal
233
Como transformar um numeral decimal em fração decimal
Participe
Afonso, o avô de Alice, distribuiu R$ 100,00 entre seus três netos. Para Alice, ele deu R$ 20,00. Jonas recebeu vinte e cinco centésimos do dinheiro e Luana recebeu o restante.
a) Que fração do total representa a quantia que Alice recebeu? Podemos afirmar que essa é uma fração
decimal? Por quê? 20 . Sim, porque seu denominador é 100.
100
b) Que numeral decimal representa a parte do dinheiro que Jonas recebeu? Que fração decimal representa
25
esse numeral? 0,25; 100
c) Quanto Jonas recebeu em dinheiro?
R$ 25,00
d) Que numeral decimal representa a parte que Luana recebeu do avô?
0,55
Confira as respostas no final do livro.
Vamos transformar 0,097 em fração decimal.
Como 0,097 representa 97 milésimos, temos:
0,097 5
97
1000
Agora vamos transformar 5,69 em fração decimal.
Como 5,69 representa 5 inteiros e 69 centésimos, temos:
69
100
5,69 5
569
100
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
5,69 5 5
Para transformar um numeral decimal em fração decimal,
escreve-se uma fração cujo numerador é o numeral
decimal sem vírgula e cujo denominador é o algarismo
1 (um) seguido de tantos zeros quantas forem as casas
decimais do numeral dado.
234
Unidade 5
Números decimais
Exerc’cios
7
Em vez de numerais decimais, este pintor deveria ter pintado frações decimais. Vamos corrigir, transformando os decimais em frações decimais.
31
100
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
10 925
100
8
2
10
37
10
205
100
13 027
1000
594
1000
Transforme em frações decimais:
a) 75,401
75 401
1000
b) 1 986,712
1986712
1000
c) 66,123
66123
1000
d) 0,0013
13
10 000
e) 9,4247
94 247
10 000
Vamos transformar
81
em numeral decimal.
10 000
81
Como
representa 81 décimos de milésimos,
10 000
temos:
81
5 0,0081
10 000
Agora, vamos transformar
Temos:
81
10 000
4 zeros
4 287
0,0081
1 000
4 casas
3 zeros
4,287
Ilustra Cartoon/
Arquivo da editora
Como transformar uma fração decimal em numeral decimal
3 casas
4287
em numeral decimal.
1000
4287 4 000 1 287 4 000
287
287
5
1
5
541
1000
1000 1000
1000
1000
1000
1000
Concluímos que
4287
representa 4 inteiros e 287 milésimos. Logo:
1000
4287
5 4,287
1000
Para transformar uma fração decimal em numeral decimal escreve-se o numerador
da fração com tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador.
Capítulo 15
Fração decimal e numeral decimal
235
Exercícios
9
Transforme as frações decimais em numerais decimais:
a) 6 428
100
4
b)
0,4
10
941
100
281
d)
10
c)
64,28
17
0,17
100
47
0,047
f)
1000
28,1
10 Transforme em numeral decimal:
49 582
897
a)
495,82 b)
0,897
100
1000
27
0,00027
100 000
435
0,435
h)
1000
e)
9,41
c) 1973
10
197,3
d)
1728
10
172,8
g)
e)
59
1000
f)
0,059
77
100
0,77
11 Luís, professor de Educação Física, para um trabalho em parceria com o professor de Matemática,
pediu a Estela que bordasse numerais decimais nas camisetas do time de vôlei da escola. Transforme
as frações decimais em numerais decimais para saber quais são os números das camisetas desse time
diferente.
0,00037
71
103
5,6876
0,0723
723
104
37
105
0,059
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
0,071
59
1 000
56 876
104
Texto para o exercício 12.
Se multiplicarmos os termos da fração
7
por 4, ela se transforma numa fração decimal. Veja:
25
7
7?4
28
5 0,28
5
5
25
25 ? 4
100
12 Transforme as frações abaixo em frações decimais e, depois, em numerais decimais.
3 15
; 1,5
2 10
11 22
b)
; 2,2
5 10
9
50
41
d)
20
c)
a)
375 1875
; 1,875
200 1000
7 35
; 3,5
f)
2 10
18
; 0,18
100
91
5
83
h)
25
e)
205
; 2,05
100
g)
i) 71
125
182
; 18,2
10
568
; 0,568
1000
332
; 3,32
100
13 Na página 272, na seção “Matemática no tempo”, é apresentado um registro do século X sobre a fra19
ção 5 transformada em numeral decimal. Faça a conta e confira se a resposta da obra de aritmética
2
daquela época, do árabe Al-Uqlidisi, estava correta. Sim.
14 As frações de denominador 100 são chamadas frações centesimais.
Converta em numerais decimais as seguintes frações centesimais:
a)
236
7
100
0,07
Unidade 5
b)
30
100
0,3
Números decimais
c)
115
100
1,15
d)
19
100
0,19
e)
80
100
0,8
f)
201
100
2,01
Taxa porcentual
Quantos por cento?
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
De cada 5 alunos da escola Bem-te-vi, 3 são meninas. Quantos por cento dos alunos são meninas?
3
3
60
dos alunos da escola. Como 5
, de cada 100 alunos da escola
5
5 100
60 são meninas. Por isso, dizemos que 60% (sessenta por cento) dos alunos da escola Bem-te-vi são
meninas. Ou seja, 60% é a taxa porcentual (ou percentual) de meninas no total de alunos da escola. 60
As meninas representam
As frações centesimais podem ser representadas em forma de taxa porcentual. Veja alguns exemplos
na tabela:
Fração centesimal
Taxa porcentual
7
100
7% (sete por cento)
30
100
30% (trinta por cento)
115
100
115% (cento e quinze por cento)
No problema acima, vimos que 60% dos alunos da escola Bem-te-vi são meninas.
Se nessa escola há um total de 750 alunos, quantas são as meninas?
Em outras palavras: Quanto é 60% de 750?
60
60
, queremos saber: A fração
dos alunos da escola representa quantos alunos?
100
100
60
60
Devemos calcular
de 750, o que é o mesmo que
? 750. Temos:
100
100
Como 60% 5
6 ? 75
60
5 450
? 750 5
100
1
Portanto, dos 750 alunos da escola Bem-te-vi, 450 são meninas.
Capítulo 15
Fração decimal e numeral decimal
237
Exercícios
15 Complete a tabela abaixo.
Fração centesimal
Taxa percentual
11
100
11%
45
100
45%
95
100
95%
135
100
135%
1
100
1%
31
100
31%
100
100
100%
112
100
112%
231
100
231%
4
100
4%
17 Paulinho e Rafa estavam jogando “par ou
ímpar”. Em 7 de 10 jogadas deu “par”.
a) Que fração das jogadas representa o re70
sultado “par”? 100
b) Qual a porcentagem do resultado “par”
nas jogadas? 70%
18 Responda às perguntas abaixo.
a) Suponha que de cada 5 pessoas no mundo 1 é chinesa. Então, os chineses são
quantos por cento da população mundial?
20%
b) Suponha que de cada 20 brasileiros
3 nasceram na região Sul. Então, quantos
por cento dos brasileiros são sulistas? 15%
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
19 O vidraceiro está colocando vidro nas janelas. Observe cada janela e responda às perguntas abaixo.
16 Complete a tabela a seguir.
238
Taxa
percentual
Fração
centesimal
Forma
irredutível
25%
25
100
1
4
80%
80
100
4
5
75%
75
100
3
4
15%
15
100
3
20
55%
55
100
11
20
147%
147
100
147
100
250%
250
100
5
2
10%
10
100
1
10
Unidade 5
Números decimais
1
; 50%
2
3
; 75%
4
6
; 75%
8
1
; 25%
4
a) Para cada janela, determine a fração que
representa a parte correspondente ao vidro colocado.
b) Quantos por cento de cada janela já estão com vidro?
20 Complete a tabela a seguir como no exemplo:
21 Analise a seguinte igualdade:
10% 3 10% 5 1%
Taxa
percentual
Fração
centesimal
Número
decimal
19%
19
100
0,19
100%
100
100
1
213%
213
100
2,13
151%
151
100
1,51
21%
21
100
0,21
37%
37
100
0,37
4%
4
100
0,04
b) 40% de um número é 150. Qual é esse
número? 375
6%
6
100
0,06
c) 45% de um número é 450. Qual é esse
número? 1 000
Ela é verdadeira ou falsa?
Verdadeira.
22 Calcule:
2
de 14 4
7
b) 20% de 150
a)
30
c) 30% de 1 500
450
d) 75% de 4 000
3 000
23 Responda às perguntas abaixo.
a)
3
de um número é 150. Qual é esse
5
número? 250
Cálculo mental
Vamos treinar o cálculo mental com as taxas 100%, 50%, 25% e 10%.
100% 5
100
51
100
100% é o todo.
50% 5
50
1
5
100 2
50% é metade.
25% 5
25
1
5
100 4
25% é um quarto (ou metade da metade).
10% 5
10
1
5
100 10
10% é um décimo.
Por exemplo: 100% de 20 bolinhas é o todo: 20 bolinhas.
50% de 20 bolinhas é metade: 10 bolinhas.
25% de 20 bolinhas é metade da metade: 5 bolinhas.
10% de 20 bolinhas é um décimo: 2 bolinhas.
(Lembre-se: um décimo de um número é esse número dividido por 10.)
Capítulo 15
Fração decimal e numeral decimal
239
Exercícios
24 Responda, calculando mentalmente, às perguntas sobre um grupo de 80 pessoas:
a) 100% são brasileiras. Quantas pessoas
são brasileiras? 80
b) 50% são homens. Quantos são homens? 40
c) 25% das pessoas são solteiras. Quantas
pessoas são solteiras? 20
Nos exercícios 29 a 32 vamos trabalhar com aumentos e descontos dados em porcentagens.
d) 10% usam óculos. Quantas pessoas usam
óculos? 8
e) Quantas são as mulheres?
29 Contando os alunos de todos os anos, em
2010, o Colégio Céu Azul tinha 1 350 alunos.
Hoje, tem 10% a menos do que em 2010.
a) Quanto é 10% de 1 350? 135
b) Quantos alunos o Colégio Céu Azul tem
hoje? 1 215
40
f) 25% das mulheres são loiras. Quantas
são as mulheres loiras? 10
g) 10% dos solteiros usam óculos. Quantos
solteiros usam óculos? 2
30 Ao comprar um televisor, Antônio optou
por pagar à vista ganhando um desconto de
5%. O preço do televisor, sem o desconto,
era R$ 900,00.
h) 25% dos que usam óculos são mulheres.
Quantas mulheres usam óculos? 2
Iakov Filimonov/Shutterstock
i) 100% dos homens e 10% das mulheres
gostam de futebol. Quantas pessoas gostam de futebol? 44
25 Calcule mentalmente:
a) 25% de 1 200
300
f) 50% de 1 440
720
b) 10% de 680
68
g) 25% de 1 600
400
c) 50% de 310
155
h) 50% de 5 200
2 600
d) 100% de 425
e) 10% de 500
425
50
i) 25% de 30 000
7 500
j) 10% de 1 milhão
26 Resolva mentalmente: Paulo declarou em
seu testamento que metade do que tinha ficaria para sua esposa, e o restante seria dividido igualmente entre seus dois filhos.
a) Que porcentagem dos bens ficará para a
esposa? 50%
b) Que porcentagem dos bens ficará para
cada filho? 25%
27 Responda:
a) Quanto é 25% de 400? 100
b) Quanto é 90% de 50? 45
240
Unidade 5
Números decimais
28 Responda:
a) Se 30% de um número é 51, qual é o número? 170
b) Se 15% de um número é 6, qual é o número? 40
100 000
a) Quanto é 5% de R$ 900,00? R$ 45,00
b) Quanto Antônio pagou à vista pelo televisor? R$ 855,00
31 No ano passado, o pai de Marcos pagava
uma mensalidade escolar de R$ 850,00.
Para este ano, houve um acréscimo de 6%
na mensalidade.
a) Quanto é 6% de R$ 850,00? R$ 51,00
b) Quanto está a mensalidade deste ano?
R$ 901,00
32 Uma loja vendeu em novembro 480 celulares. Em dezembro as vendas aumentaram
30% em relação ao mês anterior, devido às
festas natalinas.
a) Quanto é 30% de 480? 144
b) Quantos celulares foram vendidos em dezembro? 624
Desafio
O esporte preferido
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
O professor Luís, de Educação Física, fez uma pesquisa entre os 100 alunos do 6o ano da escola para
saber quais os esportes que eles gostariam de praticar no segundo semestre. Os alunos podiam escolher
mais de um esporte.
Ao organizar os dados, o professor Luís viu que o resultado da pesquisa foi o seguinte:
Esporte
No de
alunos
Vôlei
75
Basquete
82
Futebol
43
Handebol
55
Depois, ele conclui que a primeira providência a ser tomada seria comprar uma nova bola de basquete,
pois a bola atual, comprada há um ano por R$ 175,00, estava muito gasta.
Além disso, Luís terá muito trabalho. Na classe de Alexandre, por exemplo, 35% dos 40 alunos não sabem jogar basquete.
O professor Luís trabalha 200 horas por mês e ganha R$ 25,00 por hora. Neste mês, por causa de um
campeonato, ele vai ter que trabalhar 60 horas extras.
a) Complete a tabela abaixo respondendo às perguntas:
• Que fração dos alunos escolheu cada esporte?
• Quantos por cento dos alunos escolheram cada esporte?
Esporte
Respostas no Manual do Professor.
Fração centesimal
Taxa porcentual
Vôlei
Basquete
Futebol
Handebol
b) Se nos últimos doze meses o aumento do preço da bola foi de 8%, quanto está custando hoje uma bola
de basquete? R$ 189,00
c) Quantos alunos da classe de Alexandre não sabem jogar basquete? 14 alunos
d) Se o professor Luís ganha 20% a mais nas horas extras, quanto ele vai receber neste mês de campeonato? R$ 6.800,00
e) No ano que vem, o professor Luís vai ter um aumento de 28%. Quanto ele vai passar a receber por aula?
R$ 32,00
Capítulo 15
Fração decimal e numeral decimal
241
Propriedades dos numerais decimais
Participe
A professora dividiu a turma em pequenos grupos para a resolução de algumas operações envolvendo
numerais decimais. Juliana e Pedro devem encontrar numerais decimais, a partir das frações dadas.
Resolução de Juliana
Resolução de Pedro
125 = 1,25
100
1 250 = 1,250
1 000
a) Explique como Juliana e Pedro fizeram para encontrar os numerais decimais. Resposta pessoal.
Sim, porque, se multiplicarmos por 10 o numerador
125 1250
b) As frações
e
são equivalentes? Justifique sua resposta. e o denominador da primeira fração, mantemos a
100 1000
proporção e obtemos a segunda fração.
c) O que os numerais 1,25 e 1,250 têm em comum? São numerais decimais; ambos representam o mesmo valor.
Confira as respostas no final do livro.
• Vamos considerar o numeral decimal 2,51 e transformá-lo numa fração decimal:
2,51 5
251
100
• Agora, vamos multiplicar sucessivamente os termos dessa fração por 10, por 100 e por 1 000:
? 1 000
? 100
? 10
251
100
2 510
1 000
5
25 100
10 000
5
5
251 000
100 000
5
2,51000
? 10
? 100
Quando retiramos ou
acrescentamos um ou
mais zeros à direita da
parte decimal, obtemos
numerais decimais que
representam a mesma
quantidade.
? 1 000
2,51
5
2,510
5
2,5100
• Agora vamos multiplicar 2,516 unidades sucessivamente por 10, 100 e 1 000:
2 516
1 000
?
10
1
2 516
2,516 ? 100 5
1 000
?
100
2 516
5
5 251,6
1
10
2 516
2,516 ? 1 000 5
1 000
? 1 000 5 2 516 5 2 516
1
1
2,516 ?
242
10
Unidade 5
5
Números decimais
5
2 516
5 25,16
100
Para multiplicar por 10,
por 100, por 1 000, etc.,
basta deslocar a vírgula
uma, duas, três ou mais
casas decimais para a
direita, respectivamente.
• Agora vamos dividir 472,38 unidades sucessivamente por 10, por 100 e por 1 000:
10
1
5
47 238
100
?
1
10
5
47 238
5 47,238
1 000
472,38 ; 100 5
47 238
100
;
100
1
5
47 238
100
?
1
100
5
47 238
5 4,7238
10 000
472,38 ; 1 000 5
47 238
1 000
47 238
;
5
100
1
100
?
472,38 ;
10
5
47 238
;
100
1
47 238
5
5 0,47238
1 000
100 000
Para dividir por 10, por 100, por 1 000, etc., basta deslocar a vírgula, respectivamente,
uma, duas, três ou mais casas decimais para a esquerda.
Exercícios
33 Classifique cada item como certo ou errado:
a) 2,54 5 25,4 errado
b) 37,1 5 371 certo
10
c) 0,05 5 0,050 certo
d) 0,07 5 0,7 errado
e) 97,800 5 97,8 certo
48 987
f) 489,87 5
certo
100
34 Efetue as multiplicações, deslocando a vírgula do numeral:
a) 0,71 ? 10 7,1
b) 0,0789 ? 100 7,89
c) 8,9741 ? 1 000 8 974,1
d) 0,1 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 1 000
e) 5,123 ? 100 ? 100 ? 100 ? 100 512 300 000
f) 0,888 ? 1 000 ? 1 000 ? 1 000 ? 1 000
888 000 000 000
g) 0,04 ? 104 400
h) 0,479 ? 105 47 900
35 Descubra que números devemos substituir
para que as igualdades sejam
cada
verdadeiras.
36 Efetue cada uma das divisões a seguir, envolvendo os números 10, 100, 1 000 e 10 000.
a) 0,71 ; 10
0,071
b) 0,09 ; 100
0,0009
c) 476,4 ; 10
47,64
d) 876,5 ; 1 000
e) 85 000 ; 100 ; 100 ; 100 ; 100
g) 896,23 ; 103
h) 9,04 ; 104
0,000825
0,89623
0,000904
37 Efetue as divisões indicadas em cada item a
seguir.
a) 100 ; 10 10
b) 100 ; 10 ; 10 1
c) 100 ; 10 ; 10 ; 10
0,1
d) 100 ; 10 ; 10 ; 10 ; 10
0,01
38 Uma falha na impressão de um livro deixou
alguns espaços borrados. Descubra os números que deveriam estar no lugar dos
para que as igualdades estejam corretas.
5 343
a) 3,43 ?
? 102 5 1 428,61
b)
? 103 5 4,15
c)
? 105 5 9 741 500
97,415
c) 0,0497 ?
d)
; 102 5 0,184152
18,4152
d) 117,8 ;
e)
; 103 5 0,978957
978,957
e) 1,97653 ;
f)
; 105 5 0,019872
1 987,2
f) 1 275 ;
b) 17,41 ?
0,00415
0,00085
f) 825 000 000 ; 1 000 ; 1 000 ; 1 000 ; 1 000
a)
14,2861
0,8765
Capítulo 15
100
5 174,1
10
5 49,7
5 11,78
1 000
10
5 0,197653
5 0,1275
10
10 000
Fração decimal e numeral decimal
243
39 Considere os decimais 2,71 e 1,7942.
a) Quantas ordens decimais tem o decimal 2,71? duas ordens
b) Quantas casas decimais tem o decimal 1,7942? quatro casas
c) Utilizando uma das propriedades dos decimais, escreva os
decimais 2,71 e 1,7942 com o mesmo número de casas
decimais. 2,7100 e 1,7942
Dois numerais decimais
sempre podem ser
representados com o mesmo
número de casas decimais.
Voltando ao cálculo mental
Já sabemos:
100
51
100
10
1
5
10% 5
100 10
1
1% 5
100
100% é o todo
100% 5
10% é um décimo do todo
1% é um centésimo do todo
• Quanto é 10% de 125,5?
1
125,5
? 125,5 5
5 12,55
10
10
Para calcular 10% desse valor, basta deslocar a vírgula uma casa à esquerda.
• Quanto é 1% de 380,5?
1
380,5
? 380,5 5
5 3,805
100
100
Para calcular 1% desse valor basta deslocar a vírgula duas casas à esquerda.
Exercícios
40 Responda calculando mentalmente. Quanto é:
a) 10% de 87,6? 8,76
b) 10% de 350? 35
c) 10% de R$ 2.430,80 R$ 243,08
d) 1% de 134,2? 1,342
e) 1% de 5 000? 50
f) 1% de R$ 1.350.480,00? R$ 13.504,80
41 Resolva calculando mentalmente.
Renato tinha um salário de R$ 1.900,00 no
ano passado. Este ano recebeu um aumento de 10%.
244
Unidade 5
Números decimais
A empresa em que ele trabalha fornece um
plano de saúde opcional, mediante um desconto de 1% do salário. Renato optou por
ter o plano.
a) No ano passado, quanto era descontado
do salário para pagar o plano de saúde?
R$ 19,00
b) De quantos reais foi o aumento do salário
neste ano? R$ 190,00
c) Qual é o salário deste ano?
R$ 2.090,00
d) Quanto é descontado neste ano para o
plano de saúde? R$ 20,90
Desafio
Crescimento populacional
Em 2019, a população de uma cidade era de 50 000 habitantes. O crescimento populacional nessa cidade é de 1% ao ano. Isto significa que todo ano a população tem um acréscimo de 1% com relação à população
do ano anterior. Em 2029, qual será, aproximadamente, o número de habitantes dessa cidade?
Faça mentalmente uma estimativa e depois use uma calculadora para fazer as contas.
Na calculadora: 55 231.
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Estimativa: 55 000.
Comparando numerais decimais
Participe
Voltando ao material dourado, observe as figuras.
A
B
a) Se tomarmos o cubo maior como unidade, qual é o numeral decimal que você deve utilizar para representar a figura A? E para representar a figura B? 0,6 e 0,60.
b) Qual desses numerais decimais é o menor? Justifique sua resposta.
Capítulo 15
Ambos representam a
mesma quantidade.
Fração decimal e numeral decimal
245
Agora observe estas figuras:
C
D
c) Ainda usando o cubo maior como unidade, que numerais decimais estão representados nas
imagens C e D? 2,322; 2,135
d) Qual é o maior? Por quê?
2,322. Os inteiros são iguais, mas 322 milésimos é maior do que 135 milésimos.
Confira as respostas no final do livro.
As notas da prova
Dois amigos, Antônio e Osvaldo, fizeram uma prova de Matemática e tiraram as notas 7,5 e 7,25,
respectivamente.
Quem tirou a maior nota? Por quê? Responda após ler a explicação a seguir.
Vamos comparar os números 0,197 e 0,0985.
Para comparar numerais decimais, procedemos assim:
1o) Reescrevemos os dois numerais decimais com o mesmo número de casas:
4 casas
0,197 5 0,1970
4 casas
0,0985
2o) Eliminamos a vírgula nos dois numerais. Nesse exemplo, eliminar a vírgula significa multiplicar os
dois numerais por 10 000.
0,1970 ? 10 000 5 1 970
0,0985 ? 10 000 5 985
3o) Comparamos os numerais resultantes. Verificamos que:
1 970 . 985; então, 0,197 . 0,0985.
246
Unidade 5
Números decimais
Alberto De Stefano/Arquivo da editora
Agora compare as notas obtidas por Antônio e Osvaldo no problema “As notas da prova” e responda
às perguntas. Antônio. Porque 750 . 725, logo 7,5 . 7,25.
Exercícios
42 Indique qual é maior:
a) 197 ou 1,97
197
b) 0,98 ou 11,1
c) 0,21 ou 0,12
11,1
43 Qual dos sinais . ou , deve ser colocado no lugar de
a) 0,036
0,17
,
b) 9,999
9,997
0,21
?
.
c) 7,878
7,87
.
44 Três pilotos participaram de uma corrida automobilística no circuito de Interlagos, na cidade de
São Paulo. A volta mais rápida de Felipe foi realizada em 1 min 12,182 s, a volta mais rápida de João
Paulo foi de 1 min 11,473 s e a de Hamilton foi 1 min 68 s. Qual deles deu a volta mais rápida nessa
corrida? João Paulo
45 Nesta semana, Pedro arrecadou R$ 1.050,00 com a venda de ovos. Desse total, 35% ele guardou na
poupança, 32% gastou na manutenção do seu sítio e com 8% pagou despesas na farmácia. Ele deu
6% de presente de aniversário para sua filha Manuela e 4% foram usados em pequenas despesas.
a) Quanto Pedro gastou em cada uma dessas despesas? R$ 367,50; R$ 336,00; R$ 84,00; R$ 63,00; R$ 42,00
b) Quantos por cento ainda restam a Pedro? 15%
46 No exercício anterior você ficou sabendo que Manuela ganhou certa quantia de seu pai como presente de aniversário. Desse dinheiro, ela separou 24% para comprar uma lapiseira, 6% para comprar
uma bijuteria e 30% para tomar lanche na escola.
a) Quanto Manuela gastou em cada compra? R$ 15,12; R$ 3,78; R$ 18,90
b) Quantos por cento sobraram do dinheiro que Manuela ganhou do pai? Quantos reais são?
40%; R$ 25,20
Capítulo 15
Fração decimal e numeral decimal
247
Dinheiro: aprenda a usar
Fique ligado!
Esta atividade permite integração com a disciplina de Ciências.
Alguns serviços a gente não paga no momento em que utiliza. Energia elétrica é um deles. Gastamos
a qualquer hora e pagamos uma vez por mês. Nesses casos, é grande o risco de esquecermos o quanto é
importante economizar. Fazendo as atividades a seguir, você vai aprender um pouco mais sobre a conta
de energia e poderá pensar numa maneira de reduzir o consumo e os gastos.
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Para fazer esta atividade, você deve ter em mãos as últimas três contas de luz (energia elétrica) de
sua residência.
248
I. Analise a parte de cada conta que vem com o título “LEITURA” ou “MEDIDOR”.
a) Anote em um papel os números de “Leitura” que aparecem nas contas.
b) Por diferença, calcule o consumo de energia elétrica nos dois últimos meses.
Exemplo:
Se em “Leitura” estão os números 9 163, 9 457 e 9 772, então o consumo foi:
• 9 457 kWh 2 9 163 kWh 5 294 kWh no segundo mês;
• 9 772 kWh 2 9 457 kWh 5 315 kWh no terceiro mês.
(kWh 5 quilowatt-hora)
II. Na descrição do faturamento da última conta, descubra:
a) Qual é a tarifa básica que a empresa cobra por kWh, sem tributos?
b) Qual é o valor cobrado pelo consumo anotado no medidor, sem tributos?
c) O valor que você anotou no item anterior corresponde a que porcentual do valor total da fatura
(conta)?
III. Pesquise o significado dos termos “energia”, “distribuição de energia”, “transmissão de energia”, “encargos” e “tributos”.
a) Verifique na última conta que valor consta para cada um desses itens e anote-o.
b) A quantos por cento do valor total, sem tributos, corresponde cada um desses itens?
IV. Na descrição dos tributos, pesquise:
a) Quais são os tributos?
b) Qual é o governo que recolhe cada tributo (federal, estadual ou municipal)?
c) A quantos por cento do valor total da fatura corresponde cada um desses tributos?
V. Faça uma lista de todos os aparelhos elétricos utilizados em sua residência.
VI. Desses aparelhos, quais ficam consumindo energia apenas por estarem ligados numa tomada,
mesmo sem serem utilizados (consumo do stand by)?
VII. Faça uma estimativa do consumo de energia elétrica de sua residência com a iluminação. Admita que
todas as lâmpadas fiquem acesas por 5 horas em cada dia, durante os 30 dias do mês.
Exemplo:
Uma lâmpada de 100 W (watt) acesa durante 10 h (hora) consome:
100 W ? 10 h 5 1 000 Wh (watt-hora) 5 1 kWh
Em grupos de três ou quatro alunos, realizem as seguintes tarefas:
1
Comparem os resultados que obtiveram no item I. b.
2
Pesquisem e discutam: dos aparelhos elétricos que listaram no item V, qual é o responsável pelo
maior consumo de energia?
3
Discutam: existe um período do ano em que é naturalmente maior o consumo de energia?
249
CAPÍTULO
16
Operações
com decimais
Participe
a) Adição. O aluno pode ter um modo próprio de efetuar esta adição.
Fernando Favoretto/Arquivo da editora
Manuel foi ao supermercado e
comprou uma travessa de inox que
custou R$ 139,90, uma lata de leite
em pó que custou R$ 10,80 e um
pacote de bolachas por R$ 2,80.
a) Que operação você deve utilizar para calcular quanto Manuel
gastou no supermercado? Efetue e registre essa operação.
b) Para adicionar números decimais, podemos transformá-los
em frações centesimais e, em
seguida, fazer os cálculos. Refaça os cálculos do item anterior
utilizando esse processo.
Qual é o resultado em fração?
Qual é o número decimal correspondente? 15350 ; 153,50
100
c) Para efetuar cálculos com números decimais, é mais prática esta disposição:
139,90
1 10,80
2,80
As vírgulas devem
ficar alinhadas.
153,50
Complete o cálculo como se fosse uma adição de números naturais. Não se esqueça de colocar a vírgula
no resultado; ela deve ficar alinhada com as outras.
d) O resultado obtido por você no item a foi o mesmo obtido no item c ? Quanto Manuel gastou no supermercado? Resposta pessoal. Espera-se que sim. R$ 153,50
e) Agora refaça o cálculo com o auxílio de uma calculadora e confira se ele está correto.
1
3
9
?
9
1
1
0
?
8
Não é necessário digitar o último zero das casas decimais. Por quê?
Confira as respostas no final do livro.
250
Unidade 5
Números decimais
1
2
?
8
5
Podemos acrescentar ou eliminar zeros à
direita da parte decimal.
Adição e subtração
Pelo que vimos na seção “Participe”, podemos concluir que, para adicionar números decimais, é possível proceder assim:
1o) Igualar o número de casas decimais das parcelas, acrescentando zeros se necessário.
2o) Alinhar os números colocando vírgula debaixo de vírgula.
3o) Proceder como na adição de números naturais e colocar no resultado uma vírgula alinhada com as
outras.
Para subtrair números decimais, procedemos como na adição.
Veja, por exemplo, como efetuar 29,86 2 17,498:
29, 860
2 17, 498
12, 362
Igualamos o número de casas decimais, colocamos vírgula debaixo de vírgula e procedemos como
na subtração de números naturais. Ao final, colocamos a vírgula no resultado, alinhada com as outras.
Exercícios
1
Efetue as adições a seguir:
a) 4,1 1 5,78
d) 0,0718 1 1,4765
9,88
b) 9,78 1 97,8
e) 5,6 1 0,07895
107,58
c) 0,041 1 5,6 1 9,088
5,67895
f) 5,612 1 437,98 1 99,9
14,729
543,492
Para descobrir quem está conversando com quem nestas linhas cruzadas, efetue as operações indicadas e associe-as com os resultados corretos. Você pode usar uma calculadora.
Ricardo e Priscila; Camila e Gustavo; Luís e Alexandre; Maurício e Bela.
Priscila
492,7382
Alexandre
1 488,94
Bela
8,994
Gustavo
8 662,44
Camila
78,04 1 7 804 1 780,4
8 662,44
Luis Ricardo Montanari/Arquivo da editora
2
1,5483
Maurício
5,91 1 3,084
8,994
Ricardo
0,4172 1 5,941 1 486,38
492,7382
Luís
6 471,25 2 4 982,31
1 488,94
Capítulo 16
Operações com decimais
251
3
Efetue as subtrações a seguir:
a) 5,789 2 1,23
4,559
d) 7,56 2 1,42
b) 6,01 2 5,981
0,029
e) 7,02 2 6,954
c) 47,02 2 30,495
4
6,14
0,066
f) 486,1 2 11,786
16,525
474,314
Em 2017, apenas sete cidades brasileiras tinham mais de 2 milhões de habitantes:
• Belo Horizonte: 2,52 milhões de habitantes
• Brasília: 3,04 milhões de habitantes
• Fortaleza: 2,63 milhões de habitantes
• Manaus: 2,13 milhões de habitantes
• Rio de Janeiro: 6,52 milhões de habitantes
• Salvador: 2,95 milhões de habitantes
• São Paulo: 12,11 milhões de habitantes
a) Quais eram as cinco cidades mais populosas do país em 2017?
São Paulo, Rio de Janeiro, Brasília, Salvador
e Fortaleza.
b) Contando apenas nas cinco cidades mais populosas, quantos habitantes havia?
27,25 milhões
c) “Excluindo o Rio de Janeiro, São Paulo sozinha tinha mais habitantes que as outras cinco cidades
juntas.” Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Falsa
d) Qual cidade tinha aproximadamente 25% da população de São Paulo?
5
Brasília
Mateus foi à padaria e gastou R$ 3,64 na compra de pãezinhos e R$ 8,76 na de muçarela fatiada.
Para pagar essa compra ele deu ao caixa uma nota de R$ 20,00.
a) Quantos reais Mateus deveria receber de troco?
R$ 7,60
b) Para facilitar o troco, Mateus deu ao caixa mais 40 centavos em moedas. Quanto ele recebeu de
troco? R$ 8,00
6
Descubra as personagens desta história efetuando as operações dos cartões e comparando os resultados com o quadro a seguir.
90,346
26,2556
5,08 1 71,77 1 13,496 encontrou 11,008 1 13,2476 1 2 e juntos foram à casa
1,5825
de 10 2 8,4175 .
Lá eles encontraram 497,215 2 389,789 e 117,4 2 98,8715 e a turma toda foi ao cinema.
107,426
18,5285
Nome
Número
Nome
Número
Alexandre
90,346
Priscila
18,5285
26,2556
Gabriela
1,5825
Maurício
Luciana
19,5286
Ricardo
107,426
Alexandre / Maurício / Gabriela / Ricardo / Priscila
Depois, reescreva esse pequeno texto e continue a história. Para não errar nenhum nome na história,
confira se acertou as contas refazendo-as com uma calculadora.
252
Unidade 5
Números decimais
O desflorestamento
da Mata Atlântica
Observe o gráfico abaixo, que apresenta dados do desflorestamento da Mata Atlântica até
o ano 2016. Um hectare equivale a 10 000 m2,
área de um quarteirão de 100 m 3 100 m.
picture alliance/Isaac Risco-Rodriguez/dpa/Glow Images
Matemática em notícia
Banco de imagens/Arquivo da editora
Área desmatada próxima ao Parque Nacional
do Juruena, Mato Grosso. Março de 2017.
Desflorestamento da Mata Atlântica em cinco estados brasileiros (em milhares de hectares)
Mato Grosso do Sul
Rio Grande do Sul
Minas Gerais
Paraná
São Paulo
6 367
707
13 759
1 093
27 236
2 836
19 667
2 284
16 919
área original (1500)
2 346
área atual (2016)
Fonte dos dados: <www.sosma.org.br/106279/desmatamento-da-mata-atlantica-crescequase-60-em-um-ano/>. Acesso em: 11 jul. 2018.
De acordo com o gráfico, responda às questões a seguir:
1
Qual estado apresentava, em 2016, maior área de desflorestamento da Mata Atlântica em relação à
área original? Minas Gerais
2
Em quais estados mais da metade da Mata Atlântica havia sido desflorestada até esse ano?
3
Em 2016, em qual estado restava menos do que 10% da área original?
4
Qual era a área original da Mata Atlântica considerando os cinco estados juntos?
5
Considerando os cinco estados, qual é a diferença entre a área original da Mata Atlântica e a área que
ela cobria em 2016? 74 682 milhares de hectares
6
Escreva as respostas das questões 4 e 5 em milhões de hectares, com aproximação de uma casa decimal.
Em todos os estados.
Rio Grande do Sul
83 948 milhares de hectares
83,9 milhões de hectares e 74,7 milhões de hectares
253
Fazendo compras
No supermercado, Manuel lembrou que precisava comprar 5,4 kg
de um corte de carne que custa R$ 15,75 o quilo.
Quanto ele vai gastar nessa compra?
Para responder a essa questão, precisamos multiplicar 5,4 por 15,75.
Fernando Favoretto/Arquivo da editora
Multiplicação com decimais
Dispondo de uma calculadora, podemos digitar:
5
?
3
4
1
5
?
7
5
5
O resultado aparecerá no visor.
Sem dispor de calculadora, essa operação pode ser feita de
duas maneiras.
1575
54
e 15,75 5
• 5,4 5
100
10
54 1575 85 050
Então: 5,4 ? 15,75 5
?
5
5 85,050
10 100
1000
• 15,75 ? 100 5 1 575 e 5,4 ? 10 5 54
Então:
1575
3 54
6300
7875
85050
Observe que esse valor foi obtido multiplicando-se os fatores por 100 e por 10.
Como 100 ? 10 5 1 000, esse resultado está multiplicado por 1 000. Desse modo, agora precisamos
dividir 85 050 por 1 000.
85 050 ; 1 000 5 85,050
As duas maneiras de efetuar a
operação estão corretas. Mas, para
facilitar os cálculos, vamos aprender uma regra prática:
1o) Multiplicamos os números decimais como se fossem números
naturais.
2o) Calculamos a soma dos números
de casas decimais dos fatores.
Essa soma corresponde à quantidade de casas decimais do produto calculado.
254
Unidade 5
Números decimais
54 ? 1 575 5 85 050
5,4 ? 15,75 5 85,050
1 casa
2 casas
3 casas
Alberto De Stefano/Arquivo da editora
Logo, 5,4 ? 15,75 5 85,050. Então, Manuel vai gastar R$ 85,05.
Potenciação com base decimal
Veja os exemplos a seguir.
Exemplo 1
Vamos calcular a potência (0,5)2:
(0,5)2 5 0,5 ? 0,5 5 0,25
Exemplo 2
Vamos calcular a potência (0,12)3.
Temos:
(0,12)3 5 0,12 ? 0,12 ? 0,12 5 0,0144 ? 0,12 5 0,001728
Veja outra maneira de efetuar esse cálculo:
(0,12)3 5
 12 
 100 
3
(12)3 5 12 ? 12 ? 12 5 1 728
(100)3 5 100 ? 100 ? 100 5 1 000 000
Então:
(0,12)3 5
1728
5 0,001728
1000 000
As duas maneiras de efetuar o cálculo das potências estão corretas. Mas, para facilitar essa operação, vamos aprender uma regra prática:
1o) Desconsideramos a vírgula e elevamos o número ao expoente como se fosse um número natural.
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
2o) Multiplicamos o número de casas decimais da base pelo expoente. Esse resultado corresponde à
quantidade de casas decimais da potência calculada.
123 5 1 728
(0,12)3 5 0,001728
2 casas ? 3
6 casas
Capítulo 16
Operações com decimais
255
7
Descubra os ingredientes desta receita de
bolo efetuando as operações e comparando
o resultado obtido com o da tabela.
Ingrediente
Resultado
farinha de trigo
20,2
um abacaxi
13,14
farinha de rosca
2,02
uma banana
141,3
14,13
4,71 ? 3 com casca e sem semente
uma laranja
20,2
2 xícaras de 5,05 ? 4
farinha de trigo
84,826
fermento
37,74
1 3 xícara de 5,1 ? 7,4
4
açúcar
uma laranja
14,13
sal
377,4
açúcar
37,74
30,618
4 9,72 ? 3,15 pequenos
ovos
84,826
1 colher de sopa de 2,8 ? 4,15 ? 7,3
fermento
8
3,0618
ovos
30,618
Uma lanchonete divide uma pizza em 8 pedaços e os vende a R$ 8,25 cada um.
a) Quanto custam 3 pedaços?
R$ 24,75
b) Quanto custa metade da pizza?
9
óleo
R$ 33,00
Calcule as expressões de cada quadro e depois responda:
Quadro I
Quadro II
42,3 1 0,78 2 37,821 5,259
(0,415 1 9,162) ? 4,3
11,94 ? (1,1)2 2 13,008
0,5 ? 0,25 ? 125
41,1811
a) Em qual dos quadros está a expressão de maior resultado?
1,4394
15,625
Quadro I
b) Em qual dos quadros está uma expressão de resultado compreendido entre 1 e 10?
10 Calcule:
a) 50% de 526,80.
263,40
b) 10% de 1 349,50.
256
Unidade 5
134,95
Números decimais
c) 25% de 120,36.
d) 30% de 7,5.
2,25
30,09
Em ambos
Ilustrações: Artur Fujita/Arquivo da editora
Exercícios
11 Associe os valores de cada ficha da linha de cima com os valores de uma das fichas da linha de baixo:
0,04
(0,2)2
0,4
0,343
1,69
0,064
9,61
0,343
1,21
(1,3)2
(0,4)3
(3,1)2
(0,7)3
(1,1)2
1,21
0,04
1,69
0,064
9,61
0,49
A seguir, responda:
a) Quanto é (1,3)2 2 (0,4)3?
1,626
b) Quanto é (1,3 1 1,1 1 0,7)2?
9,61
Texto para os exercícios 12 e 13.
As taxas percentuais também podem aparecer com casas decimais, como nas afirmações abaixo:
• A inflação no Brasil em dezembro de 2016 foi de 0,3%. Com isso totalizou no ano uma inflação de
6,29%.
• O desmatamento na Mata Atlântica cresceu 57,7% em um ano, entre 2015 e 2016.
• Carlos trabalha como vendedor numa loja de eletrodomésticos e ganha de comissão 2,25% das vendas
que faz.
• O Brasil arrecadou em agosto de 2017, com impostos, 7,9% a mais do que em agosto de 2016.
12 Transforme as porcentagens de cada item em fração decimal. Veja um exemplo: 7,9% 5
a) 2,25%
b) 57,7%
225
10 000
577
1000
7,9
79
5
100 1 000
629
10 000
3
1000
c) 6,29%
d) 0,3%
13 Transforme as porcentagens de cada item em número decimal. Veja um exemplo: 3,5% 5
a) 12,8%
0,128
c) 123%
1,23
b) 7,55%
0,0755
d) 0,6%
0,006
3,5
5 0,035
100
14 Calcule:
a) 8,25% de 600.
49,5
b) 20,5% de 240.
49,2
15 Eugênia tinha um salário de R$ 1.800,00 e recebeu um aumento de 4,8%. Quantos reais correspondem a esse aumento? Quanto Eugênia passou a ganhar? R$ 86,40; R$ 1.886,40
16 Certo município tinha 442 880 habitantes no ano de 2010. Devido ao fechamento de algumas fábricas, muitas pessoas se mudaram para outras cidades em busca de trabalho. Em 2017 o número de
habitantes era 12,5% menor. Quantos eram os habitantes em 2017? 387 520 habitantes
17 Responda:
a) Que fração decimal equivale a 20,4? E a 2,4?
204 24
;
10 10
b) Quanto é 20,4 ; 2,4? Calcule usando frações e depois converta para número decimal.
Capítulo 16
8,5
Operações com decimais
257
18 Marcos e Tereza foram ao supermercado, cada um com sua calculadora. Observe a lista de compras
de cada um e o preço dos produtos que eles compraram.
Lista de compras de Marcos
1 pacote de sal
4 pacotes de açúcar
1 lata de azeite
3 pacotes de macarrão
5 latas de molho de tomate
1 vidro de palmito
4 potes de margarina
2 latas de leite condensado
3 pacotes de feijão
1 pacote de arroz
2 pacotes de macarrão
1 lata de atum
2 vidros de palmito
3 latas de molho de tomate
2 vidros de azeitona
2 latas de ervilha
3 potes de margarina
azeitona
R$ 6,25
sal
R$ 1,50
açúcar
R$ 2,30
óleo
R$ 4,50
feijão
R$ 3,50
arroz
R$ 2,80
macarrão
R$ 2,30
atum
R$ 3,30
azeite
R$ 13,00
margarina
R$ 3,75
ervilha
R$ 1,45
Responda às questões:
palmito
R$ 10,35
leite
condensado
R$ 3,25
molho de
tomate
R$ 2,45
a) Marcos gastou R$ 133,35; sobraram R$ 46,65.
Tereza gastou R$ 82,40; sobraram R$ 47,60.
a) Marcos levou R$ 180,00 e Tereza levou R$ 130,00. Quanto cada um gastou? Quanto sobrou?
b) Com o troco, Tereza comprou 3,5 metros de tecido para fazer uma cortina e pagou R$ 42,00. Qual
é o preço do metro do tecido? R$ 12,00
c) Marcos aproveitou o troco para comprar uma assadeira que estava anunciada por R$ 17,20. O
dono da loja lhe deu um desconto de 15%. Quanto Marcos pagou pela assadeira? R$ 14,62
258
Unidade 5
Números decimais
Ilustrações: Luigi Rocco/Arquivo da editora
3 latas de ervilha
1 vidro de azeitona
4 latas de atum
2 embalagens de óleo
5 latas de leite condensado
2 pacotes de arroz
3 pacotes de feijão
Lista
de compras
de Tereza
Lista
de compras
de dona
Estúdio MR/Arquivo da editora
Divisão
A contribuição de cada aluno
A professora Terezinha vai fazer aniversário e
alguns alunos estão querendo comprar um bolo
para levar à escola nesse dia. O bolo que escolheram custa R$ 30,00, valor que será dividido
igualmente entre eles. Com quanto vai contribuir
cada aluno se:
a) o grupo tiver 6 alunos?
b) o grupo tiver 8 alunos?
• Vamos responder ao item a.
Como 30 ; 6 5 5, se o grupo tiver 6 alunos cada um contribuirá com R$ 5,00. Nesse caso, a divisão
é exata.
30 6
0 5
• Agora, vamos responder ao item b. Para determinar o resultado, dividimos os R$ 30,00 por 8:
30 8
6 3
O quociente é 3 e o resto é 6. Então, se cada aluno contribuir com R$ 3,00 faltarão R$ 6,00 para
comprar o bolo. Assim, cada um deverá contribuir com R$ 3,00 e mais uma parte em centavos.
Com quantos centavos a mais cada um deverá contribuir?
1 centavo é a centésima parte do real, ou seja, 1 real equivale a 100 centavos.
Então, 6 reais correspondem a 600 centavos (6 ? 100 5 600). Dividindo por 8:
600 8
40 75
0
Cada um deverá contribuir, então, com mais 75 centavos, totalizando 3 reais e 75 centavos para cada
um, ou seja, R$ 3,75.
Em uma calculadora, digite as teclas representadas abaixo para determinar a divisão de 30 por 8:
3
0
8
5
O visor mostrará que o resultado é 3,75, indicando que cada um dos 8 alunos deverá contribuir com
R$ 3,75 (três reais e setenta e cinco centavos).
Será que, sem utilizar a calculadora, podemos chegar a esse resultado efetuando uma única divisão?
Veja a seguir que é possível realizar esse cálculo.
Capítulo 16
Operações com decimais
259
Divisões exatas
Vamos retomar o estudo da divisão de números naturais, agora com o conhecimento de números
decimais.
Queremos calcular, com a maior precisão possível, os seguintes quocientes:
• 18 ; 3 5 ?
18 3
0 6
A divisão é exata. O quociente é 6.
• 20 ; 8 5 ?
20 8
4 2
Nesse caso, como há resto 4, temos um quociente aproximado: 2.
Podemos obter um quociente mais preciso (com resto 0), se continuarmos a divisão. Para isso:
1 ) acrescentamos um zero ao resto, transformando 4 unidades em 40 décimos;
o
2o) colocamos vírgula à direita do quociente, para separar a parte inteira da parte decimal;
3o) dividindo 40 por 8, obtemos quociente 5 e resto 0.
20 8
40 2,
20 8
40 2,5
0
45
Concluímos que 20 dividido por 8 é igual a 2,5, ou seja, 2 inteiros e 5 décimos.
• 57 ; 25 5 ?
57 25
07 2
Nesse caso, a cada resto não nulo acrescentamos um zero e continuamos dividindo.
57 25
07 2
57 25
070 2,2
20
57 25
070 2,
57
25
070 2,28
200
00
57 ; 25 5 2,28
• 12 ; 25 5 ? 12 25
Nesse caso, como o dividendo é menor que o divisor:
1 ) acrescentamos um zero ao dividendo, transformando 12 unidades em 120 décimos;
o
2o) colocamos um zero seguido de vírgula no quociente;
3o) dividimos 120 por 25 até obter resto 0.
12 25
120 25
0,
12 ; 25 5 0,48
260
Unidade 5
Números decimais
120 25
200 0,48
00
40
10
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
20 8
4 2
• 1 ; 16 5 ?
1 16
15
Como 1 é menor que 16, procedemos da seguinte forma:
10 100
5
10 100
1o) acrescentamos zeros ao dividendo até ele ficar maior que o divisor;
2o) colocamos também zeros no quociente, com vírgula à direita do primeiro zero;
1 16
100 16
0,0
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
3o) dividimos 100 por 16 até obter resto 0.
100
16
040 0,0625
080
00
1 ; 16 5 0,0625
Há divisões entre números naturais em que, após alguns passos, obtemos um
quociente decimal e resto 0. Nesses casos, o quociente é chamado de decimal exato.
Exercícios
19 Volte ao problema “A contribuição de cada aluno”, responda ao item b, efetuando a divisão de
30 por 8 até obter resto zero. 3,75
20 Calcule os quocientes em cada item:
b) 75 ; 4
a) 63 ; 2 31,5
c) 83 ; 8
18,75
d) 18 104 ; 125
10,375
21 Um pacote com 8 bombons custou R$ 18,00. Quanto custou cada bombom?
22 Efetue as divisões indicadas abaixo:
b) 1 637 ; 20
a) 11 ; 50 0,22
c) 12 647 ; 100
81,85
23 Calcule o resultado de cada divisão.
c) 143 ; 8
a) 3 ; 125 0,024
b) 411 ; 4 102,75
d) 51 ; 25
144,832
R$ 2,25
126,47
d) 6 719 ; 250
26,876
e) 48 ; 5 9,6
f) 749 ; 80 9,3625
17,875
2,04
24 O prêmio de R$ 1.620.385,00 de uma loteria foi repartido entre 4 ganhadores. Quantos reais cada
um recebeu? R$ 405.096,25
25 Escreva cada fração na forma decimal efetuando a divisão do numerador pelo denominador.
7
316
2
1611
107
1
0,4375
b)
63,2
c)
0,08
d)
16,11
e)
2,675
f)
a)
16
5
25
100
40
20
26 Escreva a fração
19
na forma decimal dividindo o numerador pelo denominador.
25
Capítulo 16
0,05
0,59375
Operações com decimais
261
Divisões não exatas
Digite na calculadora:
3
2
1
5
5
Que número aparece no visor?
Há divisões não exatas em que só é possível obter um valor aproximado do quociente, porque o resto
da divisão nunca será igual a zero.
Acompanhe, passo a passo, o cálculo de 32 ; 15.
1o)
32 15
02 2
Como há resto não nulo, o quociente é um número decimal maior que 2 e menor que 3.
Ou seja, 2 é um valor do quociente aproximado por falta, com erro menor que uma unidade.
2o)
32 15
020 2,1
05
Como na divisão de 20 por 15 há resto não nulo, o quociente será maior que 2,1 e menor que 2,2.
1
Ou seja, 2,1 é um valor do quociente aproximado por falta, com erro menor que
da unidade.
10
3o)
32
15
020 2,13
050
05
Como na divisão de 50 por 15 há resto não nulo, o quociente é maior que 2,13 e menor que 2,14.
1
da unidade.
Ou seja, 2,13 é um valor do quociente aproximado por falta, com erro menor que
100
Observe que, mesmo prosseguindo na divisão, jamais obtemos resto zero. O algarismo 5 se repete
como resto nos passos seguintes, e dessa forma obtemos valores do quociente aproximados por falta:
2,133; 2,1333; 2,13333, etc.
O número que aparece no visor da calculadora quando calculamos 32 ; 15 é um desses valores aproximados do quociente, com o número de casas disponíveis na máquina.
Observe que o algarismo 3 se repete periodicamente no quociente.
Há divisões não exatas em que conseguimos obter apenas valores aproximados
(por falta) para o quociente, porque nunca obtemos resto zero.
Nesse caso, pelo fato de haver algarismos que se repetem periodicamente no
quociente, este é chamado dízima periódica.
262
Unidade 5
Números decimais
Exercícios
1
da unidade, isto é,
27 Calcule o valor aproximado por falta de cada quociente, com erro menor que
10
com aproximação de uma casa decimal.
c) 13 ; 6 2,1
a) 7 ; 3 2,3
b) 11 ; 7 1,5
d) 214 ; 3 71,3
28 Divida numerador por denominador e compare as frações
9 12
e
. Qual é a maior?
5
7
9
5
29 Calcule o valor aproximado por falta de cada quociente, com aproximação de duas casas decimais,
1
isto é, com erro menor que
.
100
a) 8 ; 3
b) 9 ; 7
c) 10 ; 6 1,66
d) 171 ; 17 10,05
2,66
1,28
30 Usando uma calculadora, calcule o resultado das divisões e depois responda qual é a maior fração.
a)
17 94
171
,
ou
?
2 11
20
171
20
b)
461
1 537
ou
?
90
300
1537
300
31 Calcule o valor aproximado por falta de cada quociente, de modo que o erro seja menor que
a) 62 ; 6
b) 71 ; 7
c) 42 ; 11 3,818
d) 26 ; 3 8,666
10,333
10,142
1
.
1000
Alberto De Stefano/Arquivo da editora
32 Alguém colou uma mensagem em código no pátio da escola.
1
2 ; 13
1 998 ; 17
2
3
958 ; 19
4 540 ; 21
4
5
1 010 ; 23
819 ; 43
6
Para descobri-la efetue as divisões até a segunda casa decimal e troque os quocientes pelas palavras
correspondentes indicadas no quadro abaixo. A seguir, reescreva a frase. Lugar de lixo é na lixeira.
0,15 – lugar
11,75 – do
117,52 – de
50,42 – lixo
5,42 – lanche
216,19 – é
43,91 – na
57,22 – lancheira
19,04 – lixeira
Capítulo 16
Operações com decimais
263
Hélio Senatore/Arquivo da editora
33 Você sabe quais são as cores do arco-íris? Descubra calculando o valor aproximado por falta de cada
1
. Use a calculadora.
quociente, de modo que o erro seja menor que
1000
4,190
88 ; 21
vermelho
5,266
79 ; 15
laranja
Resultado
Cor
13,857
anil
3,636
azul
27,869
verde
vermelho
91,555
824 ; 9
amarelo
4,190
27,869
641 ; 23
verde
0,3636
marrom
3,636
40 ; 11
azul
41,90
rosa
13,857
97 ; 7
anil
91,555
amarelo
52,692
685 ; 13
violeta
52,692
violeta
5,266
laranja
Desafio
Kanton/Arquivo da editora
Excursão
Uma escola de Ribeirão Preto (SP) decidiu organizar uma excursão a Angra dos Reis (RJ). Inscreveram-se
140 alunos, que serão acompanhados por 10 professores.
A viagem vai ser feita de ônibus. Cada ônibus tem capacidade para 41 passageiros e a empresa de turismo cobra R$ 1.500,00 por ônibus.
Se os 10 professores ganharam a passagem da empresa de ônibus, qual é o valor mínimo que cada
aluno pagará para que a excursão se realize? R$ 42,86
264
Unidade 5
Números decimais
Divisões com decimais
Participe
Fátima dispõe de 15,60 m de tecido para confeccionar toalhas de mesa com 1,20 m de comprimento, mantendo a largura do tecido.
a) Que operação ela deve fazer para calcular a quantidade de toalhas que podem ser confeccionadas com
esse tecido? Represente-a. Divisão; 15,60 ; 1,20
b) Transforme os numerais decimais 15,60 e 1,20 em frações decimais.
1560 120
;
100 100
c) Agora, represente a operação que você indicou no item a usando frações decimais. Como você poderia
realizar esse cálculo? Troque ideias com seus colegas. 1560 ; 120 . Resposta pessoal.
100
100
d) Fátima poderá confeccionar quantas toalhas com o tecido que tem?
e) Digite na calculadora:
1
?
5
Qual resultado aparece no visor?
6
?
1
13 toalhas
5
2
13
Confira as respostas no final do livro.
Vamos calcular o quociente 2,17 ; 0,8.
Existe uma regra prática para dividir dois decimais. Para compreender melhor essa regra, vamos
substituir os decimais pelas frações correspondentes:
2,17 ; 0,8 5
5
217
570
100
200
400
0
217 8
217 80
;
5
;
5
100 10 100 100
217 100 217
?
5
5 217 ; 80
100 80
80
80
2,7125
Logo, dividir 2,17 por 0,8 é o mesmo que dividir 217 por 80.
Assim, podemos resumir a divisão com decimais em três passos:
2o) Eliminamos as vírgulas.
3o) Dividimos os números naturais obtidos.
2,17 ; 0,8 5 2,17 ; 0,80 5 217 ; 80 5 2,7125
2
CASAS
1
CASA
2
CASAS
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
1o) Igualamos o número de casas decimais do dividendo
e do divisor acrescentando
zeros.
2
CASAS
Exercícios
34 Calcule, com duas casas decimais, os quocientes abaixo:
b) 5,85 ; 0,003 1 950,00
a) 2,4 ; 0,12 20,00
c) 14,7 ; 0,003
Capítulo 16
4 900,00
Operações com decimais
265
35 O que cada um vai ganhar de presente de Natal? Descubra calculando os quocientes com duas casas
decimais e comparando-os com o quadro.
Resultado
boneca
303,75
bicicleta
37,50
bola de vôlei
4,08
livro
0,90
camiseta
9
tênis
281,25
tablet
0,09
mochila
2,04
cila
Pris 0,81
9;
0,72 0,90
Gus
2,9 tavo
; 31
,8
0,09
Luis Ricardo Montanari/Arquivo da editora
Presente
Alexandre
6,75 ; 0,024
Maurício
0,3 ; 0,147
281,25
2,04
Gabriela
48,6 ; 0,16
303,75
Ricardo
9,81 ; 2,4
Luciana
0,3 ; 0,008
4,08
37,50
36 Calcule os quocientes com três casas decimais:
a) 0,03 ; 4
0,007
b) 3,7 ; 0,2
18,500
c) 0,750 ; 2,5
0,300
d) 5,14 ; 0,3
17,133
37 Em uma doceria, cada quindim custa R$ 2,80 e cada brigadeiro R$ 2,35. Tatiana levou uma nota de
R$ 10,00 para comprar doces.
3; R$ 1,60
a) Se ela escolher só quindins, no máximo quantos poderá comprar? Quanto vai sobrar de troco?
b) Se ela escolher só brigadeiros, no máximo quantos poderá comprar? Quanto vai sobrar de troco?
4; R$ 0,60
38 Uma garrafa tem 750 mililitros de refrigerante. Quantos copos de 187,50 mililitros podem ser servidos
com duas dessas garrafas? 8
39 Uma tinta é vendida em latas de 18 litros, em galões de 3,6 litros ou em latinhas de 0,90 litro.
a) Quantos galões cabem em uma lata? 1
b) Quantas latinhas cabem em um galão? 4
c) Pedro precisa comprar 30 litros de tinta. Para garantir a menor sobra possível, e carregar o menor
número de embalagens, quantas latas, galões e latinhas deve comprar? 1 lata, 3 galões e 9 latinhas.
40 Transforme as frações irredutíveis em números decimais. Depois, identifique os decimais exatos e as
dízimas periódicas.
5
7
5 0,4545...
11 1,8333...
0,28 (exato)
1,25 (exato)
b)
c)
d)
a)
(dízima periódica)
4
25
11
6 (dízima periódica)
266
Unidade 5
Números decimais
Dízima periódica simples e composta; fração geratriz
Vimos que há divisões em que o quociente é uma dízima periódica.
Numa dízima periódica, o período é o número formado pelos algarismos que se repetem.
Exemplo 1
5
5 5 ; 11 5 0,454545...
11
A dízima periódica 0,454545... tem período 45. Também indicamos assim: 0,45.
A barra é colocada sobre os algarismos que compõem o período.
5
é a fração geratriz da dízima 0,454545... .
11
A dízima periódica 0,45 é simples, porque seu período tem início logo após a vírgula.
Dizemos que
Exemplo 2
11
5 11 ; 6 5 1,8333... ou 1,83
6
A dízima periódica 1,8333... tem período 3.
11
é a fração geratriz da dízima 1,8333... .
6
A dízima periódica 1,83 é composta, pois um dos algarismos após a vírgula (8 décimos) não faz parte
do período.
Dizemos que
Participe
Para transformar as frações em números decimais, Joaquim usou uma calculadora e registrou os resultados com seis casas decimais. Ele anotou:
1
1
5 0,333333
3
3
23
5 3,833333
6
5
120
5 7,500000
16
2
71
5 2,151515
33
4
100
5 7,142857
14
6
50101
5 1,252525
40 000
Ele precisava identificar as frações que geravam dízimas periódicas e respondeu que eram as frações indicadas por 1 , 2 , 3 e 6 . Será que Joaquim acertou a resposta?
Transforme as frações em números decimais e responda:
a) Quais dessas frações geram dízimas periódicas? Quais são decimais exatos?
b) A resposta de Joaquim está correta?
1 , 2 , 3 e 4 ; 5 e 6
Não.
c) Às vezes, quando lemos o resultado de uma divisão na calculadora, pode parecer que uma dízima é periódica, quando na verdade não é. O contrário também pode acontecer. Quais das leituras acima podem
ter enganado Joaquim? 4 e 6
d) Efetuando a divisão na calculadora, só vemos o resultado aproximado com um número finito de casas
decimais (seis nesse registro que ele fez). Podemos ter certeza de que se trata de um decimal exato ou
Porque não sabemos ao certo a quantidade de casas decimais do
de uma dízima periódica? Por quê? Não.
resultado. (Pode ter mais casas decimais do que as que a calculadora mostra
ou, ainda, ter infinitas casas decimais.)
Confira as respostas no final do livro.
Capítulo 16
Operações com decimais
267
Decimal exato ou dízima periódica?
Todas as frações abaixo são irredutíveis e não aparentes.
5
7
1
5
•
•
•
•
4
125
50
11
•
11
6
•
13
15
Sem dividir o numerador pelo denominador, podemos identificar se frações irredutíveis e não aparentes podem ser convertidas em número decimal exato ou em dízima periódica.
Para isso, devemos decompor o denominador de cada fração em um produto de fatores primos. Veja
alguns exemplos.
•
5
4
•
452
2
7
125
(só fator 2)
1
50
•
50 5 2 ? 52
(só fator 5)
(fatores 2 e 5)
7
56
5
5 0,056
125 1000
5 125
5
5 1,25
4 100
Concluímos que
125 5 5
3
1
2
5
5 0,02
50 100
5 7
1
,
e
correspondem a números decimais exatos.
4 125 50
Se a decomposição do denominador contiver apenas os fatores 2 ou 5, então ele é divisor
de uma potência de 10 (10, 100, 1 000, etc.) e, portanto, a fração pode ser convertida em
número decimal exato.
•
5
11
•
11
11
6
(11 é primo)
5
5 0,45
11
652?3
13
15
(tem o fator 3)
11
5 1,83
6
Concluímos que
•
15 5 3 ? 5
(tem o fator 3)
13
5 0,86
15
5 11 13
,
e
correspondem a dízimas periódicas.
11 6 15
Dada uma fração na forma irredutível, se o denominador contiver algum fator primo diferente
de 2 e 5, então ele não é divisor de nenhuma potência de 10 e, portanto, a fração não pode ser
convertida em fração decimal. A fração pode ser escrita como uma dízima periódica.
Por exemplo, vamos retomar as frações da seção “Participe”:
1
1
3
2
71
71
5
33 3 ? 11
1
3
23
23
5
6
2?3
4
100
14
O denominador tem o fator 3. Essa fração gera dízima periódica.
Unidade 5
O denominador tem o fator 3. Essa fração gera dízima periódica.
Deve ser primeiro convertida à forma irredutível:
100
50
5
14
7
268
O denominador tem o fator 3 (ou o 11). Essa fração gera dízima periódica.
O denominador tem o fator 7. Essa fração gera dízima periódica.
Números decimais
5
120 60 30 15
5
5
5
5 7,5
16
8
4
2
6
50 101
40 000
Essa fração corresponde a um número decimal exato.
40 000 5 4 ? 104 5 22 ? (2 ? 5)4
O denominador só tem os fatores 2 e 5. Essa
fração corresponde a um número decimal exato.
Exercícios
exato; 10,25
41 Observe as frações:
dízima;
5,3
dízima;
12,986
dízima;
4,945054
dízima;
0,27
exato;
3,46
41 4 16 93 974 611 450 79 5 217 173 491
, ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
4 9 3 25 75
4
91 125 18 5
50
3
dízima;
0,4
exato;
3,72
exato;
152,75
exato;
0,632
exato;
43,4
dízima;
163,6
a) Identifique quais delas podem ser convertidas em números decimais exatos e quais podem ser
convertidas em dízimas periódicas.
b) Transforme as frações em números decimais.
42 Identifique quais frações abaixo podem ser convertidas em números decimais exatos.
6
28
44
39
X d)
X b)
c)
X a)
15
35
33
26
Estúdio Mil/Arquivo da editora
Desafios
O colecionador
Tiago tem 11 cofrinhos e já juntou 51 moedas. Ele quer distribuir as moedas nos cofrinhos de modo que em cada um fique um número diferente de moedas. Será possível conseguir
o que ele pretende? Não. Ver Manual do Professor.
Oito séculos depois
99
No livro Liber Abaci, de Leonardo de Pisa (conhecido como Fibonacci), a fração
aparece representa100
1
1 1 1
1 1 1 . Todas as parcelas são frações de numerador 1, por isso são chamadas de frações
da por
25 5 4 2
unitárias. E nenhuma parcela é igual a outra. Ele fez isso no século XIII.
73
numa soma de frações unitárias sem repetir nenhuma delas.
100
73
1 1
1
1
5 1 1
1
100 2 5 50 100
Páginas da obra Liber Abaci (1228), de Fibonacci, que
está na Biblioteca Nacional de Florença, na Itália.
Reprodução/Coleção particular
Reprodução/Coleção particular
Decomponha
Retrato de Fibonacci. Autor
desconhecido. Século XVIII.
Capítulo 16
Operações com decimais
269
Mudando de assunto
O professor Jaime, de Língua Portuguesa, sempre solicita que seus alunos levem para a aula uma redação.
Cada aluno pode escolher o tema que quiser, o importante é que toda semana produza um texto.
No início de cada aula, o professor sorteia um aluno
para ler sua redação em voz alta. Ele atribui notas para o
texto e para a leitura.
Robert Daly/Caia Images/Glow Images
Vamos calcular probabilidades
Arlete é aluna do 6o ano e, contando com ela, sua classe tem 22 meninas e um total de 40 alunos.
Numa determinada aula do professor Jaime, qual é a probabilidade de que:
a) Arlete seja sorteada para a leitura da redação?
b) uma menina seja sorteada?
Observe a resolução desse problema:
a) A classe tem 40 alunos. Então há 40 possibilidades para o resultado do sorteio, todas igualmente
prováveis. Arlete é uma dessas possibilidades.
Por ser 1 possibilidade em um total de 40 possibilidades igualmente prováveis, então, dizemos que a
1
probabilidade de Arlete ser sorteada é de
.
40
b) Como a classe tem 22 meninas, para que uma menina seja sorteada, há 22 possibilidades no total
de 40 possibilidades igualmente prováveis. Então, a probabilidade de que seja sorteada uma menina é
22
de .
40
22 11
5
Podemos simplificar essa fração:
40 20
?5
Ou transformá-la em taxa percentual:
11
55
5
5 55%
20 100
?5
Assim, podemos dizer que a probabilidade de que seja sorteada uma menina na aula do professor
11
Jaime é de
. Ou, então, de 55%.
20
Agora, pense e responda, utilizando uma fração irredutível ou uma taxa percentual, as probabilidades
que solicitamos a seguir.
1
Antes de começar uma partida de futebol, o juiz lança uma moeda para sortear quem terá o direito de
escolher o lado do campo em que vai jogar ou se iniciará o jogo com a bola.
O capitão de uma equipe escolhe “cara” e o outro, “coroa”.
Qual é a probabilidade de o time do capitão que escolher “cara” ganhar o sorteio? (Admite-se que os
resultados do lançamento da moeda são igualmente prováveis). 21 (50%)
270
2
Na figura ao lado representamos uma cartela de circunferências organizadas em linhas, que estão numeradas de 1 a 4, e colunas, indicadas pelas letras de A a D.
a) Ao todo, quantas circunferências há na cartela? 16
b) Érica precisava pintar o interior de uma dessas circunferências de
vermelho. O das demais, de outras cores.
Para escolher qual teria o interior pintado de vermelho houve um sorteio pela posição: 1A, 1B, 1C, 1D, 2A, 2B, ..., 4D.
Qual é a probabilidade de que Érica tenha pintado de vermelho:
A
B
C
D
1
2
3
4
1
• o interior da circunferência da posição 4D? 16 (6,25%)
1
• o interior de uma circunferência da primeira linha? 4 (25%)
Tiago Donizete
Leme/
Arquivo da ed
itora
Um dado tem a forma de um cubo e as faces são numeradas de 1 a 6.
Esse dado é não viciado, isso significa que todas as faces têm a mesma probabilidade de serem sorteadas.
Qual é a probabilidade de que ao lançar esse dado a face voltada para
cima contenha:
a) o número 2?
1
(aproximadamente 16,67%)
6
b) um número par?
1
(50%)
2
Experimente!
Utilize um dado para realizar este experimento com um colega.
Stock Photos/Latinstock
3
Procedimento:
Joguem um dado (um de cada vez) e anotem o número de
pontos da face voltada para cima.
Repitam esse procedimento muitas vezes (sugerimos 100 vezes) e anotem as informações em uma tabela como a indicada
ao lado.
Depois, determinem qual porcentagem do total de jogadas
corresponde à observação de:
a) “2 pontos” na face voltada para cima;
Pontos
Número
de vezes
1
2
b) “número par” na face voltada para cima.
3
Comparem essas porcentagens às probabilidades calculadas
no exercício 3. Não se espera que elas sejam iguais, mas que sejam valores aproximados das probabilidades calculadas. Quanto
mais lançamentos forem realizados, mais essas porcentagens
se aproximam das probabilidades calculadas. Lembre-se: no cálculo das probabilidades supomos um dado não viciado.
4
5
6
Total de
lançamentos
271
Matemática no tempo
Como é sabido, a diversidade
de línguas em nosso mundo é
muito grande. Mas, felizmente,
apesar dessas diferenças, quase
todos os povos civilizados usam
a mesma linguagem aritmética.
Ou seja, usam os mesmos algarismos (0, 1, 2, …, 9), a mesma
maneira de escrever os números
e essencialmente os mesmos
algoritmos (procedimentos para
operar).
Resumidamente, quase todos os povos usam o sistema
de numeração indo-arábico. Essa
designação vem do fato de que Estátua de Al-Khwarizmi, em Khiva, Usbequistão, em 2013.
esse sistema de numeração foi
Cristo, já tinham desenvolvido um sistema de
criado na Índia – segundo alguns estudiosos, já
estaria pronto e em uso, inclusive com um símnumeração decimal posicional e que havia, de
bolo para o zero, por volta do ano 700 – e de que
longa data, um significativo intercâmbio cultural
foi graças aos árabes que se disseminou.
e comercial entre China e Índia. Mas o sistema de
numeração hindu acabou prevalecendo.
A mais antiga exposição do sistema indo-arábico é uma obra escrita pelo persa Al-Khwarizmi
É importante salientar que os chineses, antes
(que viveu no século IX) por volta do ano 825.
de Cristo, já usavam seu sistema de numeração
Como os árabes dominaram a península Ibérica de
para representar frações decimais com base no
711 a 1492, certamente levaram para essa reprincípio posicional, o que os hindus não consegião os numerais hindus. Há um manuscrito em
guiram. Como ilustração do princípio posicional
espanhol, do século X, em que eles aparecem —
para frações, consideremos o número 23,45, exsem o zero. Mas os europeus também tomaram
presso com a notação atual. Trata-se de uma fraconhecimento do novo sistema de numeração,
ção decimal em que o 2 vale 20, o 3 vale 3 mesatravés de viagens e do comércio.
4
5
mo, o 4 vale , o 5 vale
. O primeiro registro
E o que levou os hindus a desenvolver um sis10
100
de uso de frações decimais depois dos chineses
tema de numeração decimal posicional? (Nesse
aparece numa obra de aritmética do século X, do
sistema, o valor do algarismo depende da sua
árabe Al-Uqlidisi. Embora não tenha entrado no
posição no número. Por exemplo, o algarismo
campo das generalizações, o autor usou frações
2 vale 20 em 123 e 200 em 213.)
decimais para expressar, por exemplo, a fração
Por um lado, o povo hindu sempre revelou
19
grande talento para os aspectos aritméticos da
comum 5 . O resultado (correto) obtido por ele
2
matemática. Mas também é preciso levar em
foi 0’59375 (5 0,59375).
conta que os chineses, alguns séculos antes de
272
Melvyn Longhurst/Alamy/Fotoarena
Origens das frações decimais
Apesar disso, as frações decimais quase não foram usadas na Europa na Idade Média e mesmo em
boa parte do Renascimento. Mas essa situação começou a mudar com a publicação, em 1585, de um
livreto intitulado De Thiende (A arte dos décimos), do holandês Simon Stevin (1548-1620), cujo subtítulo era “Ensinando como todos os cálculos que se encontram nos negócios podem ser efetuados sem
a ajuda de frações [comuns]”. Duas das notações usadas por Stevin para separar a parte inteira de uma
fração decimal da parte fracionária podem ser vistas a seguir para o número 34,567:
34
0
5
1
6
2
7
3
ou
0 1 2 3
34 5 6 7
Muitas formas de separar a parte inteira da parte fracionária foram usadas posteriormente à obra
de Stevin. O grande matemático escocês John Napier (1550-1617) usou o ponto e, mais tarde, sugeriu
também a vírgula com essa finalidade. Os países anglo-saxões, de maneira geral, optaram pela primeira
sugestão de Napier ao passo que, no Brasil e na França, por exemplo, a opção foi pela vírgula. Mas, com
o uso das calculadoras e a globalização, a preferência pelo ponto poderá se impor com o tempo.
Respostas no Manual do Professor.
1
Quando as calculadoras portáteis foram introduzidas, parecia que as frações comuns estavam com os
dias contados. Mas isso não aconteceu porque as frações comuns e as taxas percentuais também facilitam os cálculos. Mostre, com exemplos, uma vantagem da utilização de frações decimais, frações
comuns e taxas percentuais em cálculos matemáticos.
2
Sabendo que
32
5
5 2,13 e 5 1,6, como você efetuaria a multiplicação 2,13 ? 1,6? Qual é o re15
3
sultado?
3
O livro Liber Abaci (1228), de Leonardo de Pisa (ou Fibonacci), tinha como um de seus objetivos principais introduzir o sistema de numeração indo-arábico na Europa. Mas ele só usou três tipos de frações:
comuns (próprias), unitárias (comuns com numerador 1) e sexagesimais. Assim, ignorou as frações
decimais. Por exemplo:
a)
99
1
1
1
1
aparece com
1 1 1 (mas sem o símbolo de adição, ainda não usado no sécu100
25
5
4
2
lo XIII). Essa igualdade é verdadeira?
b) O valor, até a segunda casa sexagesimal, da resposta de um problema resolvido por ele é:
4 ? 27’24”. Transforme esse número numa fração decimal.
4
Para calcular o produto 0,000378 ? 0,54, Stevin procederia da maneira mostrada abaixo. Explique
esse procedimento.
4 5 6
3
1 5
1 8 9
2 0 4
4 5 6
7
5
1
0
1
7
8
4 2
2
2
8
273
Teste seus conhecimentos
(Saresp) Assinale a alternativa que mostra um número compreendido entre 2,31 e 2,32.
a) 2,305
b) 2,205
2
X c)
2,315
d) 2,309
(Saresp) A representação decimal da fração
5
é
2
a) 5,2
b) 5,0
3
X c)
2,5
d) 2,0
Que fração corresponde ao número 0,35?
7
20
7
b)
40
7
50
7
d)
2
c)
X a)
4
Em 2,4175 quanto vale o algarismo 7?
a) 70
c)
7
100
7
10
X d)
7
1 000
b)
5
(Saresp) Em uma corrida de 100 metros entre dois amigos, um deles percorreu a distância em 22,5 segundos, e o outro em 23,34 segundos. O vencedor da corrida chegou à frente do outro em:
a) 0,16 segundo.
b) 0,46 segundo.
6
Somando-se três inteiros e vinte e sete centésimos com dois inteiros e duzentos e oitenta e um milésimos, obtém-se:
X a)
5,551
b) 5,451
7
c) 0,71 segundo.
X d) 0,84 segundo.
c) 5,308
d) 5,450
(Obmep) Artur deu duas notas de cem reais para pagar uma conta de
R$ 126,80. Qual é o valor do troco que ele deve receber?
a) R$ 71,20
b) R$ 71,80
c) R$ 72,20
d) R$ 73,80
X e) R$ 73,20
8
(Saresp) Júlia foi ao shopping fazer compras com R$ 120,00. Ela comprou uma sandália por R$ 37,90,
uma bolsa por R$ 26,40 e um livro por R$ 32,50.
Após essas compras, a quantia que sobrou foi
a) R$ 22,10.
X b) R$ 23,20.
274
Reprodução/Obmep, 2015
1
Unidade 5
Números decimais
c) R$ 23,50.
d) R$ 23,60.
9
(Enem) Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu
75% dela com conceitos e explicações, conforme a figura seguinte.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
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x
x
x
x
x
x
x
x
Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez, utilizando 40% do espaço dela.
Uma representação possível para essa segunda situação é:
a)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
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b)
x
x
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X c)
x
x
x
x
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xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
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xxxxxxxxxxxx
d)
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
e)
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
10 Luiz Carlos foi a um mercado e comprou 3 pães de queijo a R$ 2,20 cada um e 2 refrigerantes a
R$ 2,35 cada um. Pagou a conta com uma nota de R$ 20,00. Quanto ele recebeu de troco?
a) R$ 10,90
c) R$ 8,90
X d) R$ 8,70
b) R$ 9,30
Capítulo 16
Operações com decimais
275
11 Bento, ao comprar uma bicicleta cujo preço à vista era R$ 1.560,00, deu R$ 480,00
de entrada e pagou o restante em 12 prestações de R$ 108,50. Se tivesse comprado a
bicicleta à vista, teria economizado:
a) R$ 187,00
X b) R$ 216,00
c) R$ 262,50
d) R$ 300,00
12 (UFPA) Da turma de 96 alunos da pequena
escola de uma comunidade no interior da
Amazônia, 24 crianças tiveram que abandonar a sala de aula vítimas de leishmaniose e
malária. O porcentual de alunos que continuam a estudar nessa escola é:
a) 12,5%
d) 50%
X e) 75%
b) 25%
c) 37,5%
13 (Saresp) Helena vende sanduíches naturais
na cantina da escola e, devido ao aumento de custos, teve que reajustar os preços
em 6%. Calcule qual será o novo preço de
um sanduíche que custava antes do aumento R$ 2,50.
X c) R$ 2,65
a) R$ 2,45
b) R$ 2,55
d) R$ 2,75
16 Quanto é (0,01)3?
a) 0,0001
b) 0,00001
X c) 0,000001
d) 0,0000001
17 Multiplicando 25 por 400 obtém-se 10 000.
Quanto é o produto de 0,025 por 40?
a) 0,01
b) 0,1
X c) 1
d) 10
18 Considerando as frações abaixo, qual delas
pode ser convertida numa dízima periódica?
1
a)
50
11
b)
4
1
X c)
18
21
d)
25
14 O litro de gasolina comum custava R$ 3,60
e houve um aumento de 10% no preço.
Com esse valor reajustado, quanto Aurélio
vai pagar por 40 litros de gasolina?
a) R$ 144,00
b) R$ 154,00
X c) R$ 158,40
d) R$ 165,80
19 Dos habitantes de certa região, 55% têm
1
idade inferior a 30 anos e tem idade va5
riando de 30 a 45 anos. O porcentual de habitantes dessa região com idade superior a
45 anos é:
a) 20%
X b) 25%
c) 30%
d) 33%
e) 35%
15 Márcia foi promovida no trabalho e teve
um aumento de 15%, passando a receber
R$ 205,50 a mais em seu salário. Quanto
Márcia recebia antes do aumento?
a) R$ 1.475,00
b) R$ 1.425,00
c) R$ 1.390,00
X d) R$ 1.370,00
20 (Udesc) De 150 candidatos que participaram
de um concurso, 60 foram aprovados. Isso
significa que:
a) 20% foram reprovados.
b) 30% foram reprovados.
c) 40% foram reprovados.
d) 50% foram reprovados.
X e) 60% foram reprovados.
276
Unidade 5
Números decimais
ge
s
yI
ma
ett
rce
/G
ou
eS
/Im
ag
lou
tos
Sa
Pe
te
UNIDADE
6
Geometria
e medidas
Para medir a extensão de uma
plantação, por exemplo, podemos
usar unidades de medida de área,
como o metro quadrado e o
quilômetro quadrado.
CAPÍTULOS
17. Unidades de comprimento
18. Poligonal, polígonos e curvas
19. Unidades de área
20. Unidades de volume
21. Unidades de massa
CAPÍTULO
17
Unidades de
comprimento
Medindo comprimentos
Um pouco da história das unidades de comprimento
Os primeiros padrões de medida de que se tem notícia baseavam-se em partes do corpo humano:
Cristo, era representado pelo comprimento do antebraço, desde a extremidade
do dedo médio até o cotovelo.
1 polegada
1 cúbito
• A polegada era igual à largura do polegar. Hoje, uma polegada equivale a 2,54 cm. É uma unidade usada, por exemplo, nas medidas
de aparelhos de televisão, monitores de computador, diâmetro de
tubos, aros de pneus de bicicletas e automóveis.
1 palmo
• O palmo corresponde à distância entre a extremidade
do polegar e a ponta do dedo mínimo, considerando a
mão aberta.
278
Unidade 6
Geometria e medidas
Ilustrações: Paulo Cesar Pereira/Arquivo da editora
• O cúbito (ou côvado), usado pelos egípcios e babilônios muitos séculos antes de
Paulo Cesar Pereira/Arquivo da editora
¥ O pé era utilizado para fazer medidas desde o tempo do Império Romano. Hoje,
1 pé equivale a 12 polegadas, tamanho médio dos pés masculinos. Três pés
correspondem a uma jarda. No futebol, a medida oficial da largura do gol é
8 jardas (7,32 m) e a altura, 8 pés (2,44 m).
Essas unidades geravam muita imprecisão nas medidas, uma vez
que as partes do corpo variam de pessoa para pessoa. Com a
criação de uma unidade padronizada de comprimento, o metro,
como veremos adiante, esse problema foi resolvido. A polegada, o pé e a jarda, por exemplo, ainda são usados, mas
com valores padronizados.
1 pé
Participe
a) Você acha que André fez a melhor escolha? Justifique.
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
André e Leandro devem comprar ripas de madeira para cercar a horta
da escola. No dia combinado para a
medição, os dois se encontraram na
horta, porém se esqueceram de levar
uma trena para fazer as medições.
André teve uma ideia: pegar um pedaço de madeira para medir as laterais da horta.
Leandro ficou intrigado: “Vamos levar esse pedaço de madeira para o
marceneiro?”. Pensou melhor e sugeriu: “Vamos pegar um pedaço de
barbante, esticamos e medimos o
comprimento e depois levamos até
o marceneiro”.
Resposta pessoal.
b) O que mais os meninos poderiam ter utilizado para fazer as medições?
c) Que instrumentos usados para medir comprimentos você conhece?
Palmos e pés, por exemplo.
Resposta pessoal. Os instrumentos são:
régua, fita métrica, trena, metro de madeira,
entre outros.
Confira as respostas no final do livro.
Estes desenhos são curvas simples.
Como poderíamos medir o comprimento de cada uma dessas curvas?
Capítulo 17
Unidades de comprimento
279
Se fosse possível esticar uma curva, teríamos um segmento de reta como representado a seguir.
Esse segmento tem comprimento igual ao da curva.
A
B
B
A
Quando queremos medir a extensão de uma curva simples, nós a associamos a um segmento de reta
de igual comprimento e, em seguida, medimos esse segmento.
Para medir um segmento de reta AB, escolhemos um segmento unitário u, que será a unidade de
medida: u .
Em seguida, verificamos quantas vezes u cabe em AB e obtemos a medida do comprimento de AB
na unidade u.
A
B
u
AB 5 4 u
A medida do comprimento de AB é igual a 4 u.
Rita Barreto/Acervo da fotógrafa
Vamos agora imaginar que cortamos um pedaço de barbante e desenhamos com ele uma curva
simples AB. Observe:
B
A
Vamos medir o comprimento de uma curva usando duas unidades de medida diferentes e ver o que
acontece:
• unidade escolhida:
u
medida obtida: AB 5 8 u
A
B
• unidade escolhida:
v
A
medida obtida: AB 5 4 v
B
Observe que, medindo a mesma curva, obtivemos números diferentes. Isso é o que aconteceria se
cada pessoa pudesse escolher livremente uma unidade para medir comprimento. Por exemplo, se uma
pessoa escolher o palmo e outra escolher o pé para medir o mesmo comprimento, provavelmente cada
uma obterá uma medida diferente.
280
Unidade 6
Geometria e medidas
Unidade padrão de comprimento
Existe, então, a necessidade de definir uma unidade de medida de comprimento padrão, isto é, uma
unidade de medida de comprimento que seja conhecida por todos.
A unidade de medida padronizada de comprimento é o metro (m).
Por muito tempo, o metro foi estabelecido como a décima milionésima parte da distância do equador
ao polo norte. Era o comprimento de uma barra metálica que se encontra no Museu Internacional de
Pesos e Medidas, na cidade de Sèvres, na França.
Hoje, define-se metro como a distância linear percorrida pela luz no vácuo, durante um intervalo
1
segundo.
de
299792 458
Leia mais sobre a criação do metro na seção “Matemática no tempo” da página 337.
Que unidade de comprimento usar?
Qual é a distância entre Campo Grande (MS) e Cuiabá (MT)?
694 km
Para medir grandes extensões, podemos empregar como unidade de medida de comprimento um
dos múltiplos do metro:
• decâmetro (dam)
• hectômetro (hm)
• quilômetro (km)
Dessas unidades, a mais utilizada é o quilômetro.
Alberto De Stefano/Arquivo da editora
Quanto mede a largura desse quadro na parede da classe?
Para medir pequenas extensões, empregamos como unidade de medida um dos submúltiplos do metro:
• decímetro (dm)
• centímetro (cm)
• milímetro (mm)
Capítulo 17
Unidades de comprimento
281
Múltiplos e submúltiplos do metro
Apresentamos, a seguir, uma tabela com as unidades de medida de comprimento, seus símbolos e os
valores correspondentes em metros:
Múltiplos
Unidade
Submúltiplos
quilômetro
hectômetro
decâmetro
metro
decímetro
centímetro
milímetro
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
1 000 m
100 m
10 m
1m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
Observe que cada unidade de comprimento é igual a 10 vezes a unidade imediatamente inferior:
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
1 000 m
100 m
10 m
1m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
? 10
? 10
? 10
? 10
? 10
? 10
E cada unidade de comprimento é igual a 1 décimo da unidade imediatamente superior:
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
1 000 m
100 m
10 m
1m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
; 10
; 10
; 10
; 10
; 10
; 10
Veja nestes exemplos como devem ser lidos comprimentos expressos em metros:
•
•
•
•
0,1 m
lê-se 1 décimo de metro (ou 1 decímetro)
0,25 m
lê-se 25 centésimos de metro (ou 25 centímetros)
6,37 m
lê-se 6 inteiros e 37 centésimos de metro (ou 6 metros e 37 centímetros)
0,005 m
lê-se 5 milésimos de metro (ou 5 milímetros)
Exercícios
Meça a largura de sua carteira escolar usando uma régua. Qual é a medida?
Resposta pessoal.
2
Luciana mediu a largura de sua carteira escolar usando um lápis como unidade de
medida. Júlia mediu a largura da mesma
carteira usando como unidade de medida o
centímetro. Quem obteve o maior número?
4
Ajude o carteiro a colocar cada envelope no
escaninho correto, de acordo com o “destino” indicado. Para isso, associe os nomes
das unidades de medida aos respectivos
símbolos.
Júlia
3
282
Ricardo mediu o comprimento da quadra de esportes da escola usando como unidade de medida o seu passo; Alexandre mediu o mesmo
comprimento usando como unidade de medida
o metro. Quem obteve o maior número? Ricardo
Unidade 6
Geometria e medidas
cm
mm
dm
m
km
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
1
5
Que unidade de medida de comprimento é mais adequada para medir:
a) a largura do seu caderno?
centímetro
b) a distância entre São Paulo e Rio de Janeiro?
c) a altura de um prédio de 20 andares?
6
quilômetro
metro
Reescreva as igualdades substituindo cada
pela unidade correta.
a) 37,2 m 5 37
c) 1,213 m 5 1
b) 1,07 m 5 1
e2
e7
metros; decímetros
e 213
metro; milímetros
metro; centímetros
Participe
Lucas fará uma viagem com a família. Irá até a casa dos avós, numa cidade distante 300 km da dele.
Chegando à cidade, e considerando como ponto de referência a prefeitura, eles ainda devem percorrer
mais 300 metros até a casa dos avós.
a) O que diferencia a distância entre as cidades e a distância entre a prefeitura e a casa dos avós de Lucas?
distância entre as cidades foi medida em quilômetro e a
Justifique sua resposta. Adistância
entre a prefeitura e a casa dos avós, em metro.
b) É possível fazer comparações com unidades de medida diferentes, por exemplo, 250 km e 300 m?
milímetros; centímetros.
Hélio Senatore/
Arquivo da editora
c) Observe a régua. O que demarcam os tracinhos menores? E os maiores?
Sim.
d) Medir 1 cm é o mesmo que medir 10 mm? Por quê?
e) 5 cm equivalem a quantos milímetros?
Sim, porque ambos possuem o mesmo comprimento.
5 cm equivalem a 50 mm.
f) 80 mm equivalem a quantos centímetros?
80 mm equivalem a 8 cm.
g) Se você comparar 5 cm com 80 mm, qual dessas medidas é a maior? Como você fez a comparação?
80 mm. Resposta pessoal. Possibilidade: “Utilizando a mesma unidade de medida”.
h) As transformações que você utilizou chamam-se mudanças de unidade. Em sua opinião, por que em
algumas situações temos a necessidade de utilizar mudanças de unidade?
Confira as respostas no final do livro.
Resposta pessoal. Possibilidade: “Para fazer comparações
entre comprimentos ou, ainda, realizar cálculos”.
Mudanças de unidade
Já vimos que cada unidade de medida de comprimento equivale a 10 vezes a unidade imediatamente
inferior e a 0,1 da unidade imediatamente superior. Daí decorrem as seguintes regras práticas para realizar mudanças de unidade:
¥ Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior, devemos fazer uma multiplicação
por 10, ou seja, basta deslocar a vírgula um algarismo para a direita.
Exemplo
Vamos expressar 3,72 cm em milímetros. Como 1 cm 5 10 mm, temos:
3,72 cm 5 (3,72 ? 10) mm 5 37,2 mm
Capítulo 17
Unidades de comprimento
283
• Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por 10,
ou seja, basta deslocar a vírgula um algarismo para a esquerda.
Exemplo
1
dm, temos:
10
Vamos expressar 389,2 cm em decímetros. Como 1 cm 5
389,2 cm 5 (389,2 ; 10) dm 5 38,92 dm
• Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das regras
anteriores.
Exemplo
Vamos expressar:
• 3,54 km em metros: 3,54 km 5 35,4 hm 5 354 dam 5 3 540 m
ou diretamente (pois 1 km 5 1 000 m): 3,54 km 5 (3,54 ? 1 000) m 5 3 540 m
• 87,5 cm em metros: 87,5 cm 5 8,75 dm 5 0,875 m
ou diretamente [pois 1 cm 5
1
m]: 87,5 cm 5 (87,5 ? 0,01) m 5 0,875 m
100
Exercícios
7
Os símbolos das unidades despencaram do quadro! Recoloque-os nos lugares corretos.
0,01 m 5 1
cm
0,001 m 5 1
dam
8
100 m 5 1
hm
km
dam
hm
mm
dm
1 000 m 5 1
dm
km
cm
c) 1,7 km? 1 700 m
d) 129 cm? 1,29 m
e) 548 mm?
0,548 m
Quantos centímetros correspondem a:
a) 1 m? 100 cm
b) 1 dm? 10 cm
c) 1 km? 100 000 cm
d) 2,1 m? 210 cm
10 No seu aniversário, a professora Ana Paula recebeu um presente diferente de cada classe. Expresse as somas em metros e associe os resultados às palavras do quadro para descobrir quais
foram os presentes dos alunos.
6 A: 2,1 m 1 4,75 m 1 5,001 m 11,851 m; colar
6o B: 0,064 km 1 12,7 dm 1 0,097 km 162,27 m; sapatos
6o C: 81,7 cm 1 972 mm 1 5 m 6,789 m; perfume
o
284
0,1 m 5 1
Quantos metros correspondem a:
a) 10 dm? 1 m
b) 1 km? 1 000 m
9
mm
10 m 5 1
Unidade 6
Geometria e medidas
e) 37 mm?
3,7 cm
flores
10,851 m
perfume
6,789 m
bombons
12,852 m
sapatos
162,27 m
colar
11,851 m
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
11 Descubra a mensagem escrita na faixa, expressando as somas em metros e associando os valores às
palavras do quadro.
30,54 m
professora
2 347 m
feliz
30,54 m
Ana Paula
1,297 m
Vanda
12,97 m
aniversário
494 m
494 m
1,297 m
2 347 m
Feliz aniversário, professora Ana Paula!
12 Medi os lados do tampo de vidro de uma mesa quadrada usando uma régua de 30 cm. Em cada lado
do tampo cabem 2 réguas e meia.
a) Quantos centímetros mede cada lado do tampo da mesa?
b) Quantos metros mede cada lado do tampo da mesa?
75 cm
0,75 m
13 Uma polegada equivale a 2,54 cm. Quantos milímetros correspondem a uma polegada?
14 Um pé equivale a 12 polegadas. Quantos centímetros equivalem a um pé?
25,4 mm
30,48 cm
15 Uma jarda equivale a 3 pés. No futebol, a marca do pênalti ficava oficialmente a 12 jardas da linha do
gol. Essa medida corresponde a quantos metros? Dê a resposta aproximada com duas casas decimais.
10,97 m; atualmente essa distância está padronizada em 11 m.
16 Observe a ilustração e responda:
a) Quantos centímetros equivalem a 3,52 m?
352 cm
b) Quantos livros com 2,2 cm de lombada podem ser colocados, lado a lado, na prateleira?
160 livros
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
2,2 cm
3,52 m
Capítulo 17
Unidades de comprimento
285
CAPÍTULO
18
Poligonal, polígonos
e curvas
Características da poligonal
Unindo segmentos
Observe as figuras abaixo e responda: Quais são as extremidades do segmento FG? E do segmento GH?
G
H
R
S
T
F
As extremidades do segmento FG são os pontos F e G e as do segmento GH são os pontos G e H.
Observe que G é extremidade comum dos segmentos FG e GH. Dizemos que FG e GH são segmentos
de reta consecutivos.
Dois segmentos de reta que têm uma extremidade comum são segmentos consecutivos.
Os segmentos RS e ST também são consecutivos?
R
S
T
Sim. RS e ST são segmentos consecutivos, porque S é extremidade comum de RS e ST.
Concluímos que:
• FG e GH são segmentos consecutivos;
• RS e ST também são segmentos consecutivos.
Os segmentos RS e ST, além de consecutivos, estão na mesma reta. Por isso, dizemos que RS e ST
são segmentos consecutivos e colineares.
Dois segmentos consecutivos são colineares quando estão na mesma reta.
286
Unidade 6
Geometria e medidas
Agora considere a figura a seguir.
B
C
D
A
E
Nesse caso, podemos afirmar que:
• são quatro segmentos sucessivamente consecutivos: AB, BC, CD e DE;
• não há dois segmentos vizinhos colineares.
Dizemos que essa figura é uma poligonal.
Poligonal é a figura formada pelos pontos de um número finito de segmentos de reta
sucessivamente consecutivos, com quaisquer dois segmentos vizinhos não colineares.
As características da poligonal acima são indicadas assim:
• poligonal: ABCDE
• vértices: pontos A, B, C, D e E
• lados: AB, BC, CD e DE
• extremidades: A e E
Classificação
Observe abaixo como podemos classificar as poligonais:
B
G
C
F
C
E
D
simples
J
D
E
F
I
I
E
J
H
G
não simples
E
F
D
G
H
H
G
F
simples
I
não simples
Nas poligonais simples, dois lados que não são vizinhos não se tocam.
Nas poligonais não simples existem dois lados não consecutivos que se tocam.
Uma poligonal é simples quando dois lados não consecutivos quaisquer
nao têm ponto comum. Caso contrário, ela é não simples.
Capítulo 18
Poligonal, polígonos e curvas
287
Exercícios
1
3
Veja o esquema do que eles fizeram:
①
A
B
A
D
① consecutivos: AB e BC; AB e
BD; BC e BD; consecutivos e
colineares: AB e BD
C
③ consecutivos:
AB e BC; AB e
BD; BC e BD;
consecutivos
e colineares:
BC e BD
B
② consecutivos: AB e BC; AB e
BD; AB e BE; BC e BD; BC
e BE; BD e BE; consecutivos
e colineares: AB e BD
E
E ④ consecutivos:
AO e BO;
Em cada figura:
4
C
AO e CO; AO e DO; AO e
EO; BO e CO; BO e DO; D
BO e EO; CO e DO; CO e
EO; DO e EO; consecutivos e colineares:
AO e DO; BO e EO
a) quais são os segmentos consecutivos?
b) quais são os segmentos consecutivos e
colineares?
2
①
Observe cada uma destas figuras e depois
responda às questões.
A
②
I
G
B
F
C
E
①
a) poligonal
b) A e G
c) A, B, C, D, E, F, G D
d) AB, BC, CD, DE, EF, FG
M
Observe as figuras:
①
7 vértices;
6 lados;
simples
②
5 vértices;
4 lados;
não simples
K
Número
Figura
de
vértices
O que é polígono?
Observe as poligonais desenhadas abaixo. Qual é a diferença entre elas?
B
N
O
C
E
D
M
Q
ABCDE é uma poligonal aberta, e MNOPQ é uma poligonal fechada.
288
Unidade 6
Geometria e medidas
③
④
8 vértices;
7 lados;
não simples
7 vértices;
6 lados;
não simples
Agora, construa uma tabela para organizar
as características de cada figura.
L
A
não simples;
8 vértices e
7 lados
J
②
a) poligonal
b) H e M
c) H, I, J, K, L, M
d) HI, IJ, JK, KL, LM
H
não simples;
7 vértices e
6 lados
B
O
D
③
a) Quais dessas poligonais são simples?
Quais são não simples?
b) Dê o número de vértices e o número de
lados de cada poligonal.
A
④
②
simples;
7 vértices e
6 lados
C
②
Observe as figuras:
①
D
③
C
B
A
a) Qual é o nome dessas figuras?
b) Quais são as extremidades?
c) Quais são os vértices?
d) Quais são os lados?
A professora de Matemática pediu aos alunos que se reunissem em grupos e, usando
barbantes coloridos, construíssem no geoplano figuras de segmentos consecutivos e
colineares.
P
Número Tipo de poligonal
de
não
simples
lados
simples
A poligonal fechada também é chamada polígono e nesse caso é indicada por MNOPQ.
Polígono é uma poligonal em que as extremidades coincidem.
Considerando o polígono MNOPQ, observamos que:
• seus vértices são os pontos M, N, O, P e Q;
• seus lados são os segmentos MN, NO, OP, PQ e QM;
• seus ângulos são QM̂N, MN̂O, NÔP, OP̂Q e PQ̂M.
O número de lados de um polígono é igual ao número de vértices.
Classificação
Agora, observe alguns polígonos:
não simples
não simples
não simples
simples
simples
simples
Nos polígonos simples, dois lados que não são vizinhos não se tocam. Os polígonos não simples têm
dois lados não vizinhos que se tocam.
Participe
3m
E
A
3m
G
3m
1m
D
4m
2m
B
Banco de imagens/Arquivo da editora
2m
Renato fez um esboço da planta baixa da casa de seus sonhos para representar como gostaria que o espaço fosse dividido. Veja a imagem:
a) O que os polígonos utilizados por
Renato nesse esboço têm em copolígonos simples. Todos são
mum? São
quadriláteros: têm 4 lados e 4 vértices.
b) Que polígonos são representados
pelas letras B e C? retângulos
c) Que polígonos são representados
pelas letras E e F? quadrados
3m
H
C
F
2m
3m
4m
d) Qual é a letra que representa um
trapézio? Letra G
3m
Confira as respostas no final do livro.
Capítulo 18
Poligonal, polígonos e curvas
289
Nomes dos polígonos
Os polígonos recebem nomes de acordo com o número de lados ou de vértices que apresentam. Veja
na tabela a seguir os nomes dos principais polígonos.
Polígono
290
Unidade 6
Geometria e medidas
Nome do polígono
Vértices
Lados
triângulo
3
3
quadrilátero
4
4
pentágono
5
5
hexágono
6
6
heptágono
7
7
octógono
8
8
eneágono
9
9
decágono
10
10
undecágono
11
11
dodecágono
12
12
pentadecágono
15
15
icoságono
20
20
Bridgeman Images / Glow Images/Museu Municipal de Haia, Holanda.
Quadriláteros
Composição com
vermelho, amarelo,
preto, cinza e azul
(1921), do pintor
holandês Piet
Mondrian. Essa obra
apresenta diversos
quadriláteros em sua
composição.
Como vimos na tabela da página anterior, um quadrilátero é um
polígono que tem 4 lados.
D
C
No quadrilátero ABCD ao lado, temos:
A
• lados: AB, BC, CD e DA
• vértices: A, B, C e D
• ângulos: DÂB, AB̂C, BĈD e CD̂A
B
Por sua importância na Geometria, alguns quadriláteros têm denominação própria. Os principais quadriláteros são os seguintes:
Trapézio
É um quadrilátero simples que tem dois lados paralelos. Nos trapézios ABCD abaixo, temos AB paralelo a CD.
D
C
D
C
C
B
D
A
B
A
B
A
Capítulo 18
Poligonal, polígonos e curvas
291
Paralelogramo
É um quadrilátero que tem dois pares de lados paralelos. Nos paralelogramos ABCD abaixo, AB é
paralelo a CD e BC é paralelo a DA.
D
C
D
C
C
B
D
B
A
A
A
B
Retângulo
É um paralelogramo que tem todos os ângulos retos. Observe isso nos retângulos ABCD abaixo.
D
C
sinal gráfico
indicador de
ângulo reto
C
D
C
D
B
A
B
A
B
A
Losango
É um paralelogramo em que todos os lados são congruentes, isto é, têm medidas iguais. Observe os
losangos abaixo. Os tracinhos em cada figura indicam que as medidas dos lados são iguais.
C
C
D
D
B
B
A
A
Quadrado
É um paralelogramo em que todos os ângulos são retos e todos os lados têm medidas iguais. Veja
estes quadrados.
D
C
D
D
C
C
A
A
A
292
Unidade 6
B
Geometria e medidas
B
B
Exercícios
Que polígono cada criança vai desenhar? Descubra observando as camisetas.
Priscila
Luciana
hexágono
eneágono
pentágono
Alexandre
6
Ricardo
octógono
heptágono
Luis Ricardo Montanari/Arquivo da editora
5
decágono
Gabriela
Maurício
Observe os polígonos abaixo e responda às questões a seguir:
①
②
A
a) quadrilátero
b) 4 vértices: A, B, C, D
c) lados: AB, BC, CD, DA
D
I
H
O
N
J
K
B
C
L
M
a) octógono
b) 8 vértices: H, I, J, K, L, M, N, O
c) lados: HI, IJ, JK, KL, LM, MN, NO, OH
a) Qual é o nome de cada polígono?
b) Quantos e quais são os vértices de cada polígono?
c) Quais são os lados de cada polígono?
7
Complete a tabela abaixo com os dados dos seguintes polígonos: triângulo, decágono, pentágono,
quadrilátero e hexágono.
Nome do polígono
Vértices
Lados
Ângulos
triângulo
3
3
3
decágono
10
10
10
pentágono
5
5
5
quadrilátero
4
4
4
hexágono
6
6
6
Capítulo 18
Poligonal, polígonos e curvas
293
8
Observe as figuras abaixo:
①
②
③
④
⑤
⑥
Agora responda:
a) Quais têm dois pares de lados paralelos? 2, 3, 5 e 6
b) Quais têm todos os lados de mesma medida? 3 e 6
c) Quais têm todos os ângulos retos? 2 e 3
d) Quais são paralelogramos? 2, 3, 5 e 6
e) Quais são losangos? 3 e 6
f) Quais são retângulos? 2 e 3
g) Quais são quadrados? 3
h) Que nome recebe o quadrilátero da figura 4? trapézio
Observe uma representação da bandeira do Brasil.
tsvetina_ivanova/Shutterstock
9
O contorno externo da região verde e o da região amarela são quadriláteros.
Analise as afirmações a seguir sobre esses dois quadriláteros:
I. Ambos são retângulos.
II. Ambos são losangos.
III. Ambos são paralelogramos.
Qual(is) das afirmações é(são) verdadeira(s)?
294
Unidade 6
Geometria e medidas
III
O comprimento da cerca
Pedro quer fazer uma cerca em uma parte do sítio para colocar suas galinhas. A área do terreno que
ele vai cercar tem a forma de um polígono com as seguintes medidas:
5,0 m
2,6 m
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
2,0 m
3,0 m
2,6 m
De quanto será o comprimento dessa cerca?
Para calcular esse comprimento, Pedro precisa adicionar as medidas do terreno:
2,6 m 1 2,6 m 1 2,0 m 1 5,0 m 1 3,0 m 5 15,2 m
Portanto, a cerca vai medir 15,2 m de comprimento.
Participe
Hélio Senatore/Arquivo da editora
Cláudio, Frederico e Oscar compraram terrenos e precisam cercá-los com 3 voltas de fios de arame cada
um. Veja as imagens:
Cláudio
Frederico
Oscar
Medir os lados de cada terreno, adicionar essas medidas e multiplicar por 3.
a) Como eles devem proceder para saber quantos metros de arame utilizarão para cercar cada terreno?
b) O terreno de Frederico tem as seguintes medidas: 24 m de largura por 60 m de comprimento.
• Quantos metros de arame serão necessários para uma volta da cerca?
• Quantos metros serão necessários para as três voltas?
168 m
504 m
Confira as respostas no final do livro.
Capítulo 18
Poligonal, polígonos e curvas
295
Perímetro de um polígono
A soma da medida do comprimento de todos os lados de um polígono chama-se perímetro.
O perímetro do polígono da figura que representa o cercado de Pedro, no problema ”O comprimento
da cerca“, é de 15,2 m.
O perímetro de um polígono é a soma da medida
do comprimento de todos os lados do polígono.
Exercícios
10 Calcule o perímetro de cada polígono abaixo:
a)
3,5 cm
c)
7 cm
3,5 cm
3,5 cm
14 cm
7 cm
3,5 cm
10 cm
24 cm
3,5 cm
d)
3,5 cm
5 cm
12 cm
b)
5 cm
3,5 cm
5 cm
e)
7 cm
17 cm
5 cm
5 cm
3,5 cm
296
Unidade 6
Geometria e medidas
17 cm
11 Calcule, em metros, o perímetro de um triângulo cujos lados medem 2 m, 0,003 km e 350 cm.
12 Calcule o perímetro de um quadrado de lado 3,8 cm.
15,2 cm
42 m
m
20
21
19
m
m
15 m
13 Quantos metros de arame serão necessários
para cercar o terreno indicado na figura ao
lado, sabendo que vai ser feita uma cerca de
5 fios? 875 m
8,5 m
320 m
60
m
Ilustrações: Alberto De Stefano/Arquivo da editora
14 Calcule o perímetro do campo de futebol do município de Alegria.
58 m
100 m
15 Quantos metros de corda são necessários para cercar um ringue de boxe em forma de quadrado,
com lado de 4 m? (Lembre-se de que serão usadas cordas em três níveis diferentes.) 48 m
16 Gilberto deu 7 voltas correndo na pista em torno de um parque que tem a forma de losango com
55 m de lado. Que distância ele percorreu? 1 540 m
17 Os quarteirões de certa cidade são retangulares e medem 85 m por 112 m. Se um carro vai
do ponto A ao ponto B pela trajetória indicada na figura, quantos metros ele percorre?
1 661 metros
Desafio
Decompondo um quadrado
Um quadrado, de 1 metro de lado, está dividido em quadradinhos de 1 milímetro de lado. Se colocássemos todos os quadradinhos em fila reta, um encostado lado a lado no outro, quantos quilômetros teria
essa fila? 1 quilômetro
Capítulo 18
Poligonal, polígonos e curvas
297
O monumento da avenida
Ronnie 1//Wikimedia Commons
Observe na fotografia abaixo o monumento projetado pela artista plástica Tomie Ohtake (1913-2015)
para homenagear os 80 anos da imigração japonesa no Brasil. Ele está localizado no canteiro central da
Avenida 23 de Maio, em São Paulo (SP), e foi inaugurado em 1988.
Avenida 23 de Maio, São Paulo (SP), em 2017.
Qual é o formato desse monumento: curva aberta ou curva fechada?
Ele é uma curva aberta.
Curvas abertas
As figuras abaixo representam curvas que são abertas e que não se cruzam. São curvas abertas simples.
As figuras a seguir representam curvas abertas que se cruzam. São curvas abertas não simples.
298
Unidade 6
Geometria e medidas
Curvas fechadas
As figuras a seguir representam curvas fechadas que não se cruzam. São curvas fechadas simples.
Os polígonos simples são curvas poligonais fechadas simples.
As figuras abaixo representam curvas fechadas que se cruzam. São curvas fechadas não simples.
Os polígonos não simples são curvas poligonais fechadas não simples.
Observe as curvas abaixo e suas classificações.
curva aberta
simples
curva fechada
simples
curva aberta
não simples
curva fechada
não simples
Interior e exterior
Na figura abaixo está representada uma curva fechada simples. Os pontos A, B e C são pontos internos à curva, pois estão do “lado de dentro” dela.
A
C
B
interior
O conjunto de pontos internos de uma curva é chamado
interior da curva. É a região interior da curva.
Capítulo 18
Poligonal, polígonos e curvas
299
Na figura abaixo está representada outra curva fechada simples. Os pontos R, S e T são pontos externos à curva, pois estão do “lado de fora” dela.
R
S
T
exterior
O conjunto dos pontos externos de uma curva é chamado
exterior da curva. É a região exterior da curva.
Exercícios
18 Classifique cada curva abaixo de acordo com os critérios: a (aberta), f (fechada), s (simples) e ns (não
simples).
a)
c)
e)
a, s
f, s
f, s
b)
d)
f)
f, ns
f, s
a, s
19 Luciana e Ricardo desenharam curvas e alguns pontos:
O
A
B
P
E
S
R
Q
C
D
desenho de Luciana
T
desenho de Ricardo
internos: A, C e E; externos: B e D
a) Em relação à curva que Luciana desenhou, identifique os pontos internos e os pontos externos.
b) Faça o mesmo em relação à curva que Ricardo desenhou.
300
Unidade 6
Geometria e medidas
internos: O, Q e T; externos: P, R e S
20 Observe as curvas seguintes.
①
⑤
fechada
simples
②
fechada
não simples
⑥
fechada
simples
aberta
não simples
③
⑦
aberta
simples
fechada
simples
④
⑧
fechada
simples
fechada
simples
Construa uma tabela para organizar as características de cada curva.
Curva
Aberta/fechada
Simples/não simples
21 Se imaginarmos uma pista de corrida de automóveis como uma linha, como podemos classificar as
curvas de:
simples, fechada
Fred Vuich/Sports Illustrated/Getty Images
b) um circuito de Fórmula Indy?
simples, fechada
Rodolfo Buhrer/La Imagem/Fotoarena
a) um circuito de Fórmula 1?
Vista aérea do Autódromo de Interlagos, em São Paulo (SP),
Brasil, em 2009.
Circuito de Indianápolis, na cidade de mesmo nome,
Estados Unidos, em 2011.
Capítulo 18
Poligonal, polígonos e curvas
301
Desafios
Kilos de kilo
Em informática utiliza-se muito a unidade de medida byte (B) e seus múltiplos kilobyte (KB), megabyte (MB) e gigabyte (GB). Observe a tabela de correspondência entre essas unidades:
Pai, olha o
que eu achei!
O que é isso?
1 MB 5 1 024 KB
1 GB 5 1 024 MB
Mas, pai, meu
pendrive tem
32 GB!
1,44 MB???
Ah! Isso é um
disquete, que serve
para armazenar
dados. Esse
tem capacidade
para armazenar
1,44 MB de dados.
Tiago Donizete Leme/Arquivo da editora
1 KB 5 1 024 B
É, eu sei que
é muito pouco.
Isso é coisa do
passado. Um CD
pode armazenar
cerca de 700 MB.
Nossa! Isso
equivale a mais de
22 000 disquetes!
O número 1 024 é uma potência de base 2. Então, qual é a soma de todos os expoentes no quadro abaixo?
1 KB 5 2 B
1 MB 5 2 KB
100
10
1 MB 5 2 B
10
1 GB 5 2 MB 10
1 GB 5 2 KB
20
1 GB 5 2 B
20
30
Sem sobrepor
Observe as peças A, B, C, D e L a seguir.
L
A
302
Unidade 6
Geometria e medidas
B
C
D
Banco de imagens/Arquivo da editora
Quais das peças A, B, C e D podem ser montadas dispondo de quantidade suficiente de pecinhas iguais
à L, sem sobreposição? A, B e D
CAPÍTULO
19
Unidades de área
Medidas de área
Recordando o Tangram
Cada uma das sete peças do Tangram representa uma região plana ou superfície plana.
Setup/Arquivo da editora
Como medir essas superfícies?
Participe
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Diogo quer revestir o piso de sua sala com cerâmica e precisa determinar quantas placas do piso que escolheu deve comprar. Veja a representação da sala:
a) O formato da sala lembra qual polígono? retângulo
b) Qual é a unidade de medida utilizada por Diogo? 1 placa de piso cerâmico.
c) Diogo verificou que cabem 15 placas de piso no lado maior e 10 placas de piso no lado menor da sala.
Como ele pode fazer para descobrir a quantidade total de placas que serão utilizadas para cobrir essa
superfície? Possibilidade: multiplicando 15 por 10.
d) Quantas placas Diogo deve comprar? 150 placas
Confira as respostas no final do livro.
Capítulo 19
Unidades de área
303
Medir uma superfície significa compará-la com outra, tomada como unidade, e estabelecer quantas
vezes essa unidade cabe na superfície a ser medida.
Nos exemplos abaixo, a superfície S está sendo comparada com a unidade u e com a unidade v.
S 5 32 u
S54v
v
u
Observe que a superfície S apresenta medidas de acordo com a unidade usada.
Unidade padrão de área
Como no caso das medidas de comprimento, também foi necessário criar uma unidade de área padrão — uma unidade com forma e
tamanho conhecidos e que fosse aceita por todos. A unidade escolhida
é o metro quadrado, indicado por m2.
1m
A unidade de área padrão é o metro quadrado (m2).
O metro quadrado é a área de uma região
quadrangular de 1 metro de lado.
1m
Múltiplos e submúltiplos do metro quadrado
Que unidade usar para medir grandes superfícies?
RR
AP
AMAZONAS
1 570 745 km2
MA
PA
CE
PI
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
AC
PE
TO
RO
SE
BA
MT
RN
PB
AL
DF
GO
MG
ES
MS
SP
RJ
PR
Fonte: SIMIELLI,
Maria Elena. Geoatlas.
São Paulo: Ática, 2002.
Observe a resposta no mapa.
304
Unidade 6
Geometria e medidas
N
SC
RS
L
O
S
0
450 km
Banco de imagens/Arquivo da editora
QUANTO MEDE O
TERRITÓRIO DO
ESTADO DO AMAZONAS?
Para medir grandes superfícies, o metro quadrado é uma unidade muito “pequena”. Nesse caso, utilizamos como unidade de medida um dos múltiplos do metro quadrado:
• decâmetro quadrado (dam2)
• hectômetro quadrado (hm2)
• quilômetro quadrado (km2)
O decâmetro quadrado, por exemplo, é a área de uma região quadrangular de 1 decâmetro de lado.
As figuras dessa página
representam um quadrado
cujos lados medem 1 dam,
ou seja, 10 m.
1 dam
1 dam
Vamos dividir cada lado dessa região em 10 partes iguais. Como 1 dam 5 10 m, cada parte vai medir
1 m de lado.
1m
1 m2
1 dam
1m
1 dam
Como 10 ? 10 5 100, podemos concluir que: essa região ficou dividida em 100 quadradinhos de 1 m2.
Então: 1 dam2 5 100 m2.
Usando o mesmo raciocínio, chegamos a:
1 hm2 5 100 dam2 5 (100 ? 100) m2 5 10 000 m2
1 km2 5 100 hm2 5 10 000 dam2 5 1 000 000 m2
Capítulo 19
Unidades de área
305
Que unidade usar para medir pequenas superfícies?
A área de uma folha deste livro mede, mais ou
menos, 566 cm2.
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
QUANTO MEDE
A ÁREA DE UMA
FOLHA DE SEU LIVRO
DE MATEMÁTICA?
Para medir pequenas superfícies, empregamos os submúltiplos do metro quadrado:
• decímetro quadrado (dm2)
• centímetro quadrado (cm2)
• milímetro quadrado (mm2)
Como exemplo, vamos considerar uma superfície quadrangular de 1 m2 dividida em 100 partes iguais.
Cada lado da superfície mede 1 m, portanto será dividido em 10 partes de 1 dm cada uma.
1 dm
1 dm2
A figura ao lado representa
um quadrado de 1 m2 de
área, ou seja, 100 dm2.
1m
1 dm
1m
Como 10 ? 10 5 100, então:
1 m2 5 100 dm2
Concluímos que 1 dm2 corresponde a
1
de m2:
100
1 dm2 5 0,01 m2
Se os lados forem divididos em 100 ou em 1 000 partes iguais, vamos concluir que:
1 m2 5 (100 ? 100) cm2 5 10 000 cm2
1 m2 5 (1 000 ? 1 000) mm2 5 1 000 000 mm2
1 cm2 5 0,0001 m2
1 mm2 5 0,000001 m2
Na tabela abaixo, estão apresentadas as unidades de área, seus símbolos e o valor correspondente
em metros quadrados.
Múltiplos
Unidade
Submúltiplos
quilômetro
quadrado
hectômetro
quadrado
decâmetro
quadrado
metro
quadrado
decímetro
quadrado
centímetro
quadrado
milímetro
quadrado
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
1 000 000 m2
10 000 m2
100 m2
1 m2
0,01 m2
0,0001 m2
0,000001 m2
306
Unidade 6
Geometria e medidas
Observe que cada unidade de área é igual a 100 vezes a unidade imediatamente inferior:
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
1 000 000 m2
10 000 m2
100 m2
1 m2
0,01 m2
0,0001 m2
0,000001 m2
? 100
? 100
? 100
? 100
? 100
? 100
E cada unidade de área é igual a 1 centésimo da unidade imediatamente superior:
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
1 000 000 m2
10 000 m2
100 m2
1 m2
0,01 m2
0,0001 m2
0,000001 m2
; 100
; 100
; 100
; 100
; 100
; 100
Observe nestes exemplos como se devem ler áreas expressas em metros quadrados.
• 0,01 m2: lê-se 1 centésimo de metro quadrado (ou 1 decímetro quadrado)
• 0,17 m2: lê-se 17 centésimos de metro quadrado (ou 17 decímetros quadrados)
• 2,8 173 m2: lê-se 2 inteiros e 8 173 décimos-milésimos de metro quadrado (ou 2 metros quadrados
e 8 173 centímetros quadrados)
Exercícios
1
Associe o nome das medidas expressas nas cartas aos símbolos correspondentes nos selos:
cm2
dm2
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
m2
km2
2
Alexandre mediu a área da sala de aula usando como unidade de medida uma folha de seu caderno;
Júlia mediu a área da mesma sala usando como unidade de medida o metro quadrado. Quem obteve maior número? Alexandre
3
Que unidade você usaria para medir a área de sua sala de aula? E a da tela de um telefone celular?
4
5
m2; cm2
2
Uma região de 1 m mede:
a) quantos dm2? 100
b) quantos cm2?
c) quantos mm2?
10 000
Uma região de 1 km2 equivale a quantos metros quadrados?
1 000 000
1 000 000
Capítulo 19
Unidades de área
307
Mudanças de unidade
Já vimos que cada unidade de área é igual a 100 vezes a unidade imediatamente inferior e é igual a
1 centésimo da unidade imediatamente superior. Daí, decorrem as seguintes regras práticas para realizar mudanças de unidades.
1a) Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior, devemos fazer uma multiplicação
por 100, ou seja, basta deslocar a vírgula dois algarismos para a direita.
Exemplo
Vamos expressar 611,72 m2 em decímetros quadrados. Como 1 m2 5 100 dm2, temos:
611,72 m2 5 (611,72 ? 100) dm2 5 61 172 dm2
2a) Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por
100, ou seja, basta deslocar a vírgula dois algarismos para a esquerda.
Exemplo
Vamos expressar 9,6 cm2 em decímetros quadrados. Cada cm2 é 1 centésimo do dm2, então:
9,6 cm2 5 (9,6 ; 100) dm2 5 0,096 dm2
3a) Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das regras
anteriores.
Exemplo
Vamos expressar:
• 3,5 m2 em centímetros quadrados.
• 107 cm2 em metros quadrados.
3,5 m2 5 350 dm2 5 35 000 cm2
107 cm2 5 1,07 dm2 5 0,0107 m2
ou, de modo direto:
ou, de modo direto:
3,5 m2 5 (3,5 3 10 000) cm2 5 35 000 cm2
107 cm2 5 (107 ; 10 000) m2 5 0,0107 m2
Exercícios
6
Que unidades de área devem ser escritas no
lugar de cada
?
9,47 m2
8
dm2
b) 0,9872 m2 5 9 872
c) 0,01 m 5 1
2
dm
d) 15,47 m 5 1 547
dm2
h) 10 000 m2 5 1
i) 1 000 000 m2 5 1
Unidade 6
2
b) 10 122 300 mm2?
10,1223 m2
2
Uma área de 0,16 km será dividida em quatro partes iguais. Quantos metros quadrados deverá medir cada parte? 40 000 m
2
e) 10,32 m2 5 103 200
g) 100 cm2 5 1
3 000 000 m2
9
2
b) 10 615 cm2? 1,0615 m
Quantos metros quadrados são:
a) 3 km2?
cm2
2
f) 0,0001 m2 5 1
Quantos metros quadrados são:
a) 947 dm2?
a) 0,13 m2 5 13
308
7
cm2
cm2
10 Expresse em metros quadrados.
a) 4 m2 1 250 cm2 4,025 m
b) 0,5 km2 1 600 m2 500 600 m
c) 2 m2 1 3 dm2 1 4 cm2 2,0304 m
d) 0,1 km2 1 9,3 hm2 1 74,3 dam2
2
dm2
2
hm2
km2
Geometria e medidas
2
200 430 m2
Unidades agrárias
Para medir grandes extensões de terra são usadas unidades de área especiais chamadas unidades
agrárias. São elas:
• o are (a): 1 a 5 100 m2
• o hectare (ha): 1 ha 5 100 a 5 10 000 m2
• o alqueire: 1 alqueire 5 2,42 ha 5 24 200 m2
Note que:
1a 5 1 dam2
1 ha 5 1 hm2
1 alqueire 5 2,42 ha
Veja que as unidades decâmetro quadrado e hectômetro quadrado são pouco utilizadas,
exceto como medidas agrárias, porém com os nomes de are e hectare, respectivamente.
Esse alqueire aqui apresentado é o “alqueire paulista”. Há algumas variações regionalizadas no Brasil:
o “alqueire do Norte” mede 27 225 m2 (2,72 ha), o “alqueire mineiro” mede 48 400 m2 (4,84 ha) e o “alqueire baiano” mede 96 800 m2 (9,68 ha).
Exercícios
11 O que é mais provável medir 1 hectare: o
terreno de uma casa ou o quarteirão de
uma cidade? O quarteirão.
15 Qual é a área da fazenda Lago Azul em metros quadrados? 4 840 000 m
E em quilômetros quadrados? 4,84 km
12 Que unidade, are, hectare ou alqueire, é
mais conveniente para expressar a área de
uma fazenda? Alqueire.
16 Qual é a área ocupada pela plantação de
eucaliptos em metros quadrados? 1 379 400 m
13 Quantos metros quadrados mede uma região de:
a) 15 a? 1 500 m
b) 1,25 ha? 12 500 m
c) 6,2 a? 620 m
d) 5,9 ha? 59 000 m
e) 2 alqueires? 48 400 m
2
2
2
Texto para os exercícios 17 e 18.
Leia esta manchete publicada no jornal regional
no dia 26 de julho de 2017:
Incêndio no Parque Rio Vermelho, em Florianópolis, atinge 5 hectares de mata.
2
2
2
Disponível em: <https://ndonline.com.br/florianopolis/
noticias/incendio-no-parque-do-rio-vermelho-emflorianopolis-atinge-5-hectares-de-mata>.
Acesso em: 9 nov. 2017.
2
2
Texto para os exercícios 14 a 16.
O sítio de Augusta mede 15 ha. Ao lado do sítio
fica a fazenda Lago Azul, que mede 200 alqueires.
Na Lago Azul, uma plantação de eucaliptos cobre
uma área equivalente a 57 alqueires.
14 Qual é a área do sítio de Augusta em metros
quadrados? 150 000 m
2
E em quilômetros quadrados?
0,15 km
2
Ao todo, a área do parque é de 1 532 hectares.
Um campo de futebol mede aproximadamente
7 000 m2.
17 A área de mata atingida pelo incêndio corresponde a aproximadamente quantos campos de futebol? 7
18 Qual é a área do parque do Rio Vermelho
em quilômetros quadrados? 15,32 km
2
Capítulo 19
Unidades de área
309
Áreas de alguns polígonos
Um polígono delimita uma região do plano, que é o seu interior.
O polígono e seu interior formam uma região poligonal.
No exemplo abaixo, um pentágono está delimitando uma região do plano. O pentágono e essa região
formam uma região pentagonal.
região pentagonal
pentágono
A área da região poligonal pode ser medida ou calculada. Daqui em diante, essa área será chamada
simplesmente área do polígono.
Quando dizemos área do quadrado estamos nos referindo à área da superfície
que é constituída pelo polígono quadrado e seu interior.
O mesmo vale para outros polígonos. Assim, área do triângulo, por exemplo, é
a área da superfície constituída pelo triângulo e seu interior.
Área do retângulo
Se um retângulo tem 4 cm de comprimento e 3 cm de largura, qual é a sua área?
3 cm
4 cm
Para calcular essa área, podemos dividir o comprimento em 4 partes de 1 cm e a largura em 3 partes de 1 cm. Traçando as linhas divisórias, o retângulo fica dividido em 12 centímetros quadrados. Ou seja,
sua área é 12 cm2:
A área do retângulo é igual ao produto do comprimento pela largura:
área do retângulo 5 comprimento ? largura
área 5 4 cm ? 3 cm 5 12 cm2
Note que o comprimento e a largura devem apresentar medidas na mesma unidade. Se essa unidade
for o centímetro, a área será dada em centímetros quadrados. Se a unidade for o metro, a área será dada
em metros quadrados.
310
Unidade 6
Geometria e medidas
Área do quadrado
Se um quadrado tem 4 cm de lado, qual é a sua área?
4 cm
4 cm
Note que esse quadrado é um retângulo de comprimento 4 cm e largura 4 cm. Então, dividindo esse
polígono em 16 quadrados com 1 cm de lado, concluímos que sua área equivale a 16 cm2:
área 5 4 cm ? 4 cm 5 16 cm2
A área do quadrado é igual ao produto da medida do lado por ela mesma:
área do quadrado 5 lado ? lado
Exercícios
19 Calcule a área da superfície colorida em cada item:
a)
c)
1 cm
e)
1 cm
5m
1 cm
1 cm
8m
2 cm
40 m2
2 cm
2 cm
32 cm
9 cm
2 cm
9 cm
2
81
cm2
2
4 cm
b)
d)
1 cm
f)
2,1 cm
4 cm
1 cm
2 cm
7 cm
22 cm
2
1 cm
2 cm
7,2 cm
1 cm
7,56 cm2
2
Capítulo 19
Unidades de área
311
20 Calcule a área de:
a) um retângulo de base 12 cm e altura 8 cm 96 cm d) um quadrado de lado 2,7 m 7,29 m
b) um retângulo de dimensões 6,5 cm e 2,5 cm
e) um quadrado cujo perímetro é igual a 20 cm
16,25 cm
c) um quadrado de lado 1,2 cm 1,44 cm
2
2
25 cm2
2
2
21 O salão de uma escola tem a forma de um quadrado com 10 m de lado. Quantas lajotas quadradas
com 20 cm de lado são necessárias para ladrilhar todo o piso do salão? 2 500 lajotas
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
22 Deseja-se colocar azulejos nas paredes laterais e no fundo de uma piscina retangular de comprimento 7,50 m, largura 4,50 m e profundidade 1,50 m. Os azulejos escolhidos são quadrados e medem
15 cm de lado. Quantos azulejos são necessários para forrar toda a piscina? 3 100 azulejos
23 O serviço de um pintor custa R$ 6,25 por metro quadrado. Quanto esse pintor deve cobrar para pintar as quatro paredes e o teto de um salão retangular de 10 m de comprimento, 6 m de largura e 3 m
de altura? R$ 975,00
24 Um livro de 208 páginas (104 folhas) tem o formato de um retângulo com dimensões 21 cm 3 28 cm.
Quantos metros quadrados de papel há no livro? 6,1152 m
2
25 Uma casa está construída em um terreno retangular que mede 12 m por 25 m. A construção ocupa
uma parte quadrada dentro do terreno, de 10 m por 10 m. Qual é a área do terreno em que não há
construção? 200 m
2
Alberto De Stefano/Arquivo da editora
25 m
10 m
12 m
10 m
312
Unidade 6
Geometria e medidas
2 cm
A janela é composta de duas vidraças basculantes.
Calcule a área do vidro utilizado na janela.
2 cm
0,8928 m2
3 cm
1m
2 cm
Alberto De Stefano/Arquivo da editora
26 Esta é a representação da janela da sala de uma casa.
2 cm
1m
1,5 m
4,00 m
2,80 m
3,00 m
3,00 m
3,00 m
3,5 m
1,00 m
2,5 m
1,00 m
Alex Silva/Arquivo da editora
27 Esta é a planta da casa de Luciana. Observe que as medidas são todas dadas em metros.
Qual é a área:
a) da cozinha? 7,5 m
b) do banheiro? 4,5 m
c) da sala? 12 m
2
2
2
d) do quarto que possui duas camas de solteiro?
e) do quarto com uma cama de casal? 10,5 m
f) da casa toda? 57,2 m
8,4 m2
2
2
28 Altair comprou 40 m2 de grama para plantar em um jardim. Ele quer um gramado retangular.
a) Se o gramado tiver 10 m de comprimento, quanto medirá a largura? 4 m
b) Se for um gramado de 2,5 m de largura, quanto medirá o comprimento? 16 m
Desafios
Quadrado ampliado
Se aumentarmos 2 cm o lado de um quadrado, sua área aumentará 16 cm2. Quanto mede o lado do
novo quadrado? 5 cm
Ajude o azulejista
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Uma parede quadrada, que mede 3 m por 3 m, vai ser
revestida com azulejos quadrados de 20 cm de lado. Alguns azulejos são brancos e outros são azuis. Quantos
azulejos brancos serão necessários se:
a) as diagonais forem cobertas com azulejos azuis e os
demais forem todos brancos? 196 azulejos
b) os azulejos forem colocados de modo que não haja
dois azulejos vizinhos com a mesma cor? 112 ou 113 azulejos
Capítulo 19
Unidades de área
313
Mudando de assunto
Vamos ampliar ou reduzir figuras planas
Vamos ampliar e reduzir figuras planas utilizando malhas
quadriculadas com medidas diferentes.
Primeiro desenhamos a figura ao lado em uma malha com
quadradinhos de lado medindo 1 cm. Esta será nossa figura
original.
Depois, reproduzimos a figura original em uma malha com quadrados de lado 2 cm, obtendo a figura I
e, em outra com quadradinhos de lado 0,5 cm, obtendo a figura II:
Figura I
Figura II
314
Agora vamos reproduzir a figura original em uma malha com retângulos de 1 cm por 2 cm (figura III)
e em outra malha com retângulos de 2 cm por 1 cm (figura IV):
Figura III
Figura IV
315
Observando as figuras construídas, notamos que as figuras I e II mantêm a forma da figura original,
enquanto as figuras III e IV não – na figura III, a altura foi aumentada, porém a largura permaneceu a
mesma; na figura IV, a largura foi alterada, enquanto a altura permaneceu a mesma.
Na figura I as dimensões da figura original aumentaram igualmente (foram duplicadas) e, na figura II,
elas diminuíram igualmente (foram reduzidas à metade). Além disso, os ângulos observados nas figuras
I e II são iguais aos correspondentes na figura original. Então, dizemos que a figura I é uma ampliação da
figura original, enquanto a figura II é uma redução da original.
Por isso, as figuras I e II são chamadas figuras semelhantes à figura original.
Quando ampliamos ou reduzimos uma figura, todas as dimensões dela são multiplicadas por um
mesmo número (uma constante) e todos os ângulos são mantidos. Desse modo, a figura mantém a sua
forma e o resultado é uma figura semelhante à original.
Observação: Ao reduzir ou ampliar uma figura, todas as dimensões devem variar proporcionalmente – isto é, serem multiplicadas pela mesma constante – e os ângulos devem ter medidas iguais
aos originais.
1
Analise os retângulos desenhados nas malhas abaixo:
b) Sim, o amarelo é uma ampliação do laranja.
a) Meça com uma régua e responda: quais são as dimensões do retângulo laranja? E do amarelo? 4 cm e 2 cm;
8 cm e 4 cm
b) Esses retângulos são semelhantes? Por quê?
c) O perímetro do retângulo amarelo é quantas vezes o
do laranja? Duas vezes.
d) A área do retângulo amarelo é quantas vezes a do laranja? Quatro vezes.
316
2
Use malhas quadriculadas para reproduzir a figura dada em cada item e, depois, faça uma ampliação
e uma redução dela. Nas ampliações multiplique as dimensões da figura por 2; nas reduções, multiplique por 0,5.
a)
b)
3
Calcule os perímetros das figuras originais, ampliadas e reduzidas, construídas no exercício 2. Por
quanto ficou multiplicado o perímetro de cada figura na ampliação? E na redução? por 2; por 12
4
Calcule as áreas das figuras originais, ampliadas e reduzidas, construídas no exercício 2. Por quanto
ficou multiplicada a área de cada figura na ampliação? E na redução? por 4; por 14
5
Ao construir uma figura semelhante a uma original, por ampliação ou por redução, o perímetro fica
multiplicado pelo mesmo número que as dimensões foram multiplicadas? E a área?
sim; não, pois a área fica multiplicada pelo quadrado daquele número.
6
Na malha quadriculada abaixo temos um triângulo ABC. Na sua opinião, qual ou quais dos demais
triângulos desenhados é semelhante ao triângulo ABC? Se necessário, faça medidas. Os triângulos PQR e OST.
G
N
T
C
L
E
A
7
F
B
M
Q
P
R
O
S
Um quadrado de lado 5 cm e outro de lado 8 cm são figuras semelhantes? Por quê?
8
Sobre a figura ao lado aplicamos uma malha de quadradinhos de 0,5 cm de lado. Amplie essa figura em uma
malha de quadrados maiores, à sua escolha.
Tiago Donizete Leme/Arquivo da editora
Sim. O quadrado de lado de 8 cm é uma ampliação do quadrado de lado de 5 cm.
317
Matemática em notícia
Há quase um mês, o Parque Nacional do Araguaia (TO) vem sofrendo com queimadas que já destruíram 332 412 hectares. Os incêndios se concentram na região da Mata do Mamão, mas há outros focos em
alguns pontos da unidade.
O saldo dessa destruição até agora é o equivalente a duas cidades de São Paulo. [...]
O clima seco não ajuda. As temperaturas estão acima dos 40 graus celsius, com sensação térmica por
volta de 53 °C, umidade abaixo de 25% e ventos acima de 40 km/h. Situação favorável para o aparecimento
de grandes incêndios florestais.
O Parque Nacional do Araguaia está localizado no norte da Ilha do Bananal, no sudoeste de Tocantins, em pleno cerrado, e abrange os municípios de Pium e Lagoa da Confusão. Com área total de 557 714
hectares, a unidade de conservação abriga espécies da fauna como a ariranha, ameaçada de extinção em
algumas regiões, onça-pintada e tamanduá-bandeira.
Os incêndios constituem uma
das principais ameaças ao parque que em 99% dos casos são
provocados pela ação humana.
[...]
Disponível em: <www.oeco.org.br/
noticias/incendio-consome-332-milhectares-no-parque-nacional-doaraguaia/>.
Acesso em: 10 nov. 2017.
Vista aérea do Parque Nacional
do Araguaia, localizado na ilha
do Bananal, Tocantins.
Responda:
1
Qual é aproximadamente a área do Parque Nacional do Araguaia arredondando para um número inteiro de mil hectares? E em alqueires paulistas? 558 mil ha; 230 mil alqueires
2
Se 332 mil hectares foram consumidos nesse incêndio, quantos por cento do parque foram devastados? Dê o valor aproximado com uma casa decimal. 59,5%
3
A área da cidade de São Paulo é estimada nesse texto em quantos mil hectares? Em quantos alqueires paulistas? 166 mil ha; 69 mil alqueires
4
Consulte qual é a previsão do tempo na sua cidade hoje. É preciso algum cuidado especial para lidar
com esse clima? Resposta pessoal.
5
Cite algumas atitudes que podem prevenir incêndios em áreas florestais.
318
Ver Manual do Professor.
Zé Paiva/Pulsar Imagens
Incêndio consome 332 mil hectares
no Parque Nacional do Araguaia
CAPÍTULO
20
Unidades de volume
Participe
Luísa está fazendo algumas experiências.
Experiência 1
Ela colocou duas bolinhas de gude dentro de um copo que já estava cheio de água, e a água do copo
transbordou.
Experiência 2
Ilustrações: Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Ela também tentou colocar 7 embalagens de 1 litro de leite dentro de uma caixa com capacidade para
6 embalagens de 1 litro de leite.
a)
b)
c)
d)
A água transbordou porque as bolinhas
Na experiência 1, por que a água transbordou? ocuparam o espaço da água dentro do copo.
Na experiência 2, ela conseguirá colocar as 7 embalagens na caixa? Não.
Se fossem 5 embalagens de leite, caberiam na caixa? A caixa ficaria cheia? Sim. Não.
resposta: a quantidade de espaço
Que medida você acha que está envolvida nessas duas experiências? Possível
ocupado por um objeto, o volume.
Confira as respostas no final do livro.
Capítulo 20
Unidades de volume
319
Os objetos no espaço
Todo ser e todo objeto é constituído de matéria. Essa matéria ocupa certo
espaço e apresenta uma forma própria.
Os seres e objetos têm, em geral, formas complexas.
Abacaxi
Cadeira
Guarda-Chuva
FRDMR/Shutterstock
Stock Photos/Latinstock
ilovezion/Shutterstock
Yeamake/Shutterstock
Os elementos desta página estão
representados em tamanhos não
proporcionais entre si.
Girafa
tom
Stock Photos/Latinstock
ter
hut
monticello/Shutterstock
Os objetos de forma mais simples lembram a forma dos sólidos geométricos. Veja alguns exemplos:
ck
sto
/S
eqs
Brinquedo com formato
de pirâmide
Bola com formato
de esfera
Alis Photo/Shutterstock
josefauer/Shutterstock
FotoS
e
arch/S
tock
Photo
s/Lati
nstoc
k
Bloco de madeira com
formato de cubo
Casquinha de sorvete com
formato de cone
Tronco de árvore com
formato cilíndrico
Tijolo com formato de
bloco retangular
Medidas de volume
Observe a representação do material dourado.
cubo menor
320
Unidade 6
barra
Geometria e medidas
placa
cubo maior
Podemos medir a quantidade de espaço ocupado pelo cubo maior em quantidades de placas, ou de
barras, ou de cubos menores:
1 cubo maior ocupa o espaço correspondente ao ocupado por 10 placas
1 cubo maior ocupa o espaço correspondente ao ocupado por 100 barras
1 cubo maior ocupa o espaço correspondente ao ocupado por 1 000 cubinhos menores
Os números 10, 100 e 1 000 expressam o volume do cubo maior, tomando como unidades de medida
a placa, a barra e o cubinho menor, respectivamente.
Em geral, para medir a quantidade de espaço ocupado por um sólido, escolhemos uma unidade de
medida e verificamos quantas vezes ela cabe nesse sólido. A quantidade encontrada é chamada volume
do sólido.
Observe outros exemplos:
V1
U1
U1 cabe 4 vezes em V1, isto é, V1 5 4 U1.
V2
U2
U2 cabe 2 vezes em V2, isto é, V2 5 2 U2.
V3
U3
U3 cabe 6 vezes em V3, isto é, V3 5 6 U3.
Se cada pessoa pudesse escolher livremente uma unidade de volume para medir o espaço ocupado
por determinado sólido, existiriam diferentes valores, dependendo da unidade usada, para expressar o
mesmo volume. Por isso, adota-se uma unidade-padrão de volume.
Unidade-padrão de volume
Para não haver variação nos valores das medidas de volume, definiu-se uma unidade-padrão, isto é,
uma unidade com forma e tamanho conhecidos e aceita por todas as pessoas.
1m
1m
A unidade-padrão de volume é o metro cúbico (m3).
O metro cúbico é o volume de um cubo cuja aresta
mede 1 m.
1m
Capítulo 20
Unidades de volume
321
Thinkstock/Getty Images
Grandes volumes: que unidade usar?
Alberto De Stefano/Arquivo da editora
QUAL É O VOLUME
DA TERRA?
O volume da Terra é de 1 083 319 780 000 km3!
Planeta Terra, visto do espaço.
Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico
Para medir o espaço ocupado por corpos muito grandes, empregamos como unidade de volume um
dos múltiplos do metro cúbico:
• decâmetro cúbico (dam3)
• hectômetro cúbico (hm3)
• quilômetro cúbico (km3)
O decâmetro cúbico, por exemplo, é o volume de um
cubo cuja aresta mede 1 dam, isto é, 10 m.
1 dam
1 m3
1 dam
Dividindo cada aresta em 10 partes iguais a 1 m,
podemos notar que o cubo se divide em 10 ? 10 ? 10
cubinhos de 1 m³. Então:
1 dam3 5 (10 ? 10 ? 10) m³ 5 1 000 m3
1 dam
Por raciocínio semelhante, temos:
1 hm3 5 1 000 dam3 5 (1 000 ? 1 000) m3 5 1 000 000 m3
1 km3 5 1 000 hm3 5 1 000 000 dam3 5 1 000 000 000 m3
QUAL É O VOLUME
DE UM DADO?
322
Unidade 6
Geometria e medidas
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Pequenos volumes: que unidade usar?
Para medir o espaço ocupado por corpos pequenos, empregamos como unidade de volume um dos
submúltiplos do metro cúbico:
• decímetro cúbico (dm3)
• centímetro cúbico (cm3)
• milímetro cúbico (mm3)
O decímetro cúbico, por exemplo, é o volume de um cubo cuja aresta mede 1 dm.
Se tomarmos um cubo de aresta 1 m, portanto, de
volume 1 m3 e dividirmos cada aresta em 10 partes
iguais a 1 dm, podemos notar que o cubo fica dividido
em 10 ? 10 ? 10 cubinhos de 1 dm³. Então:
1m
1 dm3
1 m3 5 (10 ? 10 ? 10) dm³ 5 1 000 dm3
1m
Conclusão:
1 m3 5 1 000 dm3
1
m3 5 0,001 m3
1 dm3 5
1000
1m
Por raciocínio semelhante, temos:
1 m3 5 (100 ? 100 ? 100) cm3 5 1 000 000 cm3
1 cm3 5 0,000001 m3
1 m3 5 (1 000 ? 1 000 ? 1 000) mm3 5 1 000 000 000 mm3
1 mm3 5 0,000000001 m3
Na tabela abaixo, você encontra as unidades de volume, seus símbolos e os valores correspondentes
em metros cúbicos.
Múltiplos
Unidade
Submúltiplos
quilômetro
cúbico
hectômetro
cúbico
decâmetro
cúbico
metro
cúbico
decímetro
cúbico
centímetro
cúbico
milímetro
cúbico
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
1 000 000 000 m3
1 000 000 m3
1 000 m3
1 m3
0,001 m3
0,000001 m3
0,000000001 m3
Observe que cada unidade de volume é igual a 1 000 vezes a unidade imediatamente inferior:
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
1 000 000 000 m3
1 000 000 m3
1 000 m3
1 m3
0,001 m3
0,000001 m3
0,000000001 m3
? 1 000
? 1 000
? 1 000
? 1 000
? 1 000
? 1 000
E cada unidade de volume é igual a 1 milésimo da unidade imediatamente superior:
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
1 000 000 000 m3
1 000 000 m3
1 000 m3
1 m3
0,001 m3
0,000001 m3
0,000000001 m3
; 1 000
; 1 000
; 1 000
; 1 000
; 1 000
; 1 000
Veja exemplos de como se devem ler volumes expressos em metros cúbicos:
• 0,001 m3
• 0,028 m3
• 3,193 m3
tros cúbicos)
lê-se 1 milésimo de metro cúbico (ou 1 decímetro cúbico)
lê-se 28 milésimos de metro cúbico (ou 28 decímetros cúbicos)
lê-se 3 inteiros e 193 milésimos de metro cúbico (ou 3 metros cúbicos e 193 decíme-
Capítulo 20
Unidades de volume
323
Exercícios
Quem obteve a medida numericamente maior: Ricardo, que mediu o volume de
água de um balde usando um copo, ou Luciana, que mediu o mesmo volume de água
usando uma jarra? Ricardo.
2
a) 0,028 m
b) 5,735 m
a) vinte e oito decímetros cúbicos
3
Que unidade de medida você usaria para
expressar:
a) o volume de refrigerante contido em uma
garrafa; cm
b) o volume de ar contido na sua sala de
aula; m
c) o volume de água de uma piscina. m
3
3
4
Um metro cúbico equivale a:
a) quantos decímetros cúbicos? 1 000
b) quantos centímetros cúbicos? 1 000 000
c) quantos milímetros cúbicos? 1 000 000 000
cinco metros cúbicos e setecentos e
Escreva por extenso: b) trinta
e cinco decímetros cúbicos
3
3
3
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
1
c) 0,000001 m
5
3
Um quilômetro cúbico equivale a quantos
metros cúbicos? 1 000 000 000 m
3
c) um centímetro cúbico
Mudanças de unidade
Já vimos que cada unidade de volume é igual a 1 000 vezes a unidade imediatamente inferior e é igual
a 1 milésimo da unidade imediatamente superior.
Desse fato, decorrem as seguintes regras práticas para realizar mudanças de unidade:
1a) Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior, devemos fazer uma multiplicação
por 1 000, ou seja, basta deslocar a vírgula três algarismos para a direita.
Exemplo
Vamos expressar 3,85 m3 em decímetros cúbicos. Em 1 m3 cabem 1 000 dm3. Então:
3,85 m3 5 (3,85 ? 1 000) dm3 5 3 850 dm3
2a) Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por
1 000, ou seja, basta deslocar a vírgula três casas para a esquerda.
Exemplo
Vamos expressar 900 cm3 em decímetros cúbicos. 1 cm3 é um milésimo de 1 dm³. Então:
900 cm3 5 (900 ; 1 000) 5 0,9 dm3
3a) Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das regras
anteriores.
Exemplo
Vamos expressar:
• 0,52 m3 em centímetros cúbicos: 0,52 m3 5 520 dm3 5 520 000 cm3
ou 0,52 m3 5 (0,52 ? 1 000 000) cm3 5 520 000 cm3
• 7 800 cm3 em metros cúbicos: 7 800 cm3 5 7,8 dm3 5 0,0078 m3
ou 7 800 cm3 5 (7 800 ; 1 000 000) m3 5 0,0078 m3
324
Unidade 6
Geometria e medidas
Exercícios
6
10 A represa de Tucuruí, no Pará, é uma das
maiores represas brasileiras em volume, com
aproximadamente 45 500 milhões de metros cúbicos de água. Qual é o seu volume
em quilômetros cúbicos? 45,5 km
Quantos centímetros cúbicos cabem em:
3
a) 1 m ? 1 000 000 cm
b) 1 dm3? 1 000 cm
c) 1 km3? 1 000 000 000 000 000 cm
3
3
Copie as sentenças, substituindo cada
pelo número correto:
a) 1 dm3 5
b) 1 dm3 5
c) 1 cm3 5
8
dam3 0,000001
m3 0,001
m3 0,000001
Quantos metros cúbicos cabem em:
a) 10 dm3? 0,01 m
b) 1 900 cm3? 0,0019 m
c) 6 485 dm3? 6,485 m
3
3
9
3
Chico Ferreira/Pulsar Imagens
7
3
d) 9 840 dm3? 9,84 m
e) 1,2 dam3? 1 200 m
f) 67 800 cm3? 0,0678 m
3
3
3
3
Expresse em metros cúbicos:
a) 6,4 m3 1 1 240 dm3 7,64 m
b) 2 m3 1 30 dm3 1 400 cm3 2,0304 m
c) 48 m3 1 4,8 m3 1 1 200 dm3 54 m
3
3
Vertedouro da barragem da usina hidrelétrica Tucuruí,
formada pelo Rio Tocantins. Tucuruí (PA). Abril de 2017.
3
Volume do paralelepípedo (bloco retangular)
Se um paralelepípedo mede 5 cm de comprimento por 3 cm de largura e 4 cm de altura, qual
é seu volume?
Podemos pensar assim: vamos dividir a altura
em 4 partes iguais de 1 cm cada uma e imaginar
que o paralelepípedo foi dividido em “fatias”, todas com altura de 1 cm.
1 cm
1 cm
4 cm
1 cm
1 cm
3 cm
5 cm
Capítulo 20
Unidades de volume
325
Examinemos agora uma dessas “fatias”. Ela tem dimensões de 5 cm, 3 cm e 1 cm. E pode ser dividida,
conforme mostra a figura, em 15 cubinhos (5 ? 3 5 15) de 1 cm3 de volume cada um.
1 cm
3 cm
5 cm
Portanto, o volume da “fatia” é de 15 cm3.
Como o paralelepípedo inicial foi decomposto em 4 “fatias”, então seu volume é dado por:
15 cm3 ? 4 5 60 cm3
ou seja:
(5 ? 3 ? 4) cm3
O volume de um paralelepípedo (ou bloco retangular) é igual ao produto
do seu comprimento pela sua largura e pela sua altura.
Volume do cubo
Se um cubo tem arestas de 2 cm, qual é o seu volume?
2 cm
2 cm
2 cm
Podemos pensar assim: um cubo é um paralelepípedo que tem comprimento, largura e altura de
medidas iguais. Então, seu volume é dado por:
(2 ? 2 ? 2) cm3 5 8 cm3
O volume de um cubo é igual a um produto de três fatores iguais à medida da aresta.
326
Unidade 6
Geometria e medidas
Exercícios
2,016 m3
12 Qual é o volume de ar em uma sala, com
formato de bloco retangular com 5 m de
comprimento, 3,2 m de largura e 2,3 m
de altura? 36,8 m
3
13 Um depósito tem o formato de um paralelepípedo com área da base igual a 34 m2
e altura de 22 m. Quantos metros cúbicos
de grãos de milho podem ser armazenados
nesse depósito? 748 m
15 A betoneira é uma máquina destinada ao
preparo de concreto (mistura de cimento,
areia, pedra e água). As betoneiras grandes
são instaladas em caminhões e são capazes
de produzir 8 m3 de concreto a cada vez que
são abastecidas.
Quantas betoneiras são necessárias para encher de concreto a laje de um prédio em
construção, sabendo-se que ela tem o formato de um bloco retangular cujas dimensões são 10 m, 15 m e 30 cm? 6 betoneiras
Virojt Changyencham/Shutterstock
11 A caixa-d’água de uma casa tem forma de
paralelepípedo e dimensões 1,2 m, 1,2 m e
1,4 m. Qual é o volume desse paralelepípedo?
3
14 Uma rua plana de 50 m de comprimento e
8 m de largura vai receber uma camada de
asfalto de 12 cm de espessura. Qual é o volume de asfalto necessário para realizar esse
trabalho? 48 m
3
Atenção
Para calcular o volume, as três medidas
devem estar na mesma unidade!
Caminhões betoneiras são utilizados
para transportar e misturar os materiais
utilizados no preparo do concreto.
Unidades de capacidade
Stock Photos/Latinstock
Quando você enche totalmente um copo com suco, o líquido ocupa todo o
espaço interno do copo. O copo é o recipiente, e o espaço ocupado pelo suco
é a capacidade do copo.
De modo geral, os líquidos e os gases tomam a forma do recipiente que
os contém.
Quando um recipiente está cheio de um líquido ou de um gás, a sua capacidade é equivalente ao volume desse líquido ou gás.
EyeEm/Getty Images
Os líquidos assumem a
forma dos recipientes em
que estão armazenados.
Os cilindros de ar usados em
mergulho contêm aproximadamente
2 400 L de ar comprimido.
Capítulo 20
Unidades de volume
327
As grandezas capacidade e volume estão relacionadas. Podemos expressar medidas de capacidade
usando a unidade metro cúbico, seus múltiplos e submúltiplos.
Entretanto, é comum medir a capacidade de recipientes com a unidade litro (L), seus múltiplos e submúltiplos.
O litro é a capacidade de um cubo que tem aresta de 1 dm, isto é:
1 L 5 1 dm3
Cristina Xavier/finephot
o
Observe estas imagens:
1 dm
Elas mostram que recipientes diferentes podem ter a mesma capacidade. Nesse caso, a jarra e uma
caixa com formato cúbico com aresta de 1 dm têm capacidade de 1 L.
Na tabela abaixo, você encontra as unidades de capacidade, seus símbolos e os valores correspondentes em litros.
Múltiplos
Unidade
Submúltiplos
quilolitro
hectolitro
decalitro
litro
decilitro
centilitro
mililitro
kL
hL
daL
L
dL
cL
mL
1 000 L
100 L
10 L
1L
0,1 L
0,01 L
0,001 L
Observe que cada unidade de capacidade é igual a 10 vezes a unidade imediatamente inferior:
kL
hL
daL
L
dL
cL
mL
1 000 L
100 L
10 L
1L
0,1 L
0,01 L
0,001 L
? 10
? 10
? 10
? 10
? 10
? 10
E cada unidade de capacidade é igual a 1 décimo da unidade imediatamente superior:
kL
hL
daL
L
dL
cL
mL
1 000 L
100 L
10 L
1L
0,1 L
0,01 L
0,001 L
; 10
; 10
; 10
; 10
; 10
; 10
A leitura de medidas de capacidade é feita de modo parecido com a leitura de medidas de comprimento. Veja estes exemplos:
• 0,01 L
• 0,17 L
• 5,178 L
328
lê-se 1 centésimo de litro (ou 1 centilitro)
lê-se 17 centésimos de litro (ou 17 centilitros)
Unidade 6
lê-se 5 inteiros e 178 milésimos de litro (ou 5 litros e 178 mililitros)
Geometria e medidas
Mudanças de unidade
As mudanças de unidade de capacidade são feitas de modo parecido com as mudanças de unidade
de comprimento. Veja:
• 1 L 5 10 dL, então: 6,84 L 5 (6,84 ? 10) dL 5 68,4 dL

• 1 dL é um décimo do litro, então: 81,7 dL 5  81,7 ?
1
L 5 8,17 L
10 
• 4 500 mL 5 450 cL 5 45 dL 5 4,5 L
ou, como 1 mL é um milésimo do litro: 4 500 mL 5 (4 500 ? 0,001) L 5 4,5 L
• 1 kL 5 1 000 L, então: 13,4 kL 5 (13,4 ? 1 000) L 5 13 400 L
Exercícios
16 Quantos litros correspondem a:
c) 9,48 daL? 94,8 L
a) 2 kL? 2 000 L
b) 3,5 hL? 350 L
d) 4,5 kL? 4 500 L
17
21 Quantos litros cabem em um recipiente cujo
volume é:
a) 2 m3?
2 000 L
b) 1,8 m3?
Substitua cada
pela unidade de medida que torna a frase verdadeira.
3
c) 5 dm ?
1 800 L
5L
3
litros,
d) 500 cm ? 0,5 L
e4
. decilitros
a) 2,4 L é igual a 2
litros,
e 51
. centilitros
b) 7,51 L é igual a 7
22 Quantos metros cúbicos equivalem a:
e 417
. litros,
c) 12,417 L é igual a 12
mililitros
a) 72 L? 0,072 m
litro ou 5
.
d) 0,5 L é igual a
meio, decilitro
b) 1,3 kL 1,3 m
18 Quantos litros de água cabem em uma caic) 8 000 L? 8 m
xa-d’água em forma de cubo cujas arestas
d) 10 000 mL? 0,01 m
medem 1 m? 1 000 L
3
3
3
3
19 Em uma garrafa de 1 L podem ser colocados:
a) quantos centímetros cúbicos de água? 1 000
b) quantos milímetros cúbicos de água? 1 000 000
20 A informação abaixo está na bula de um remédio:
Informação nutricional
Porção de 0,036 mL (1 gota)
Quantidade por porção
% VD
a) Quantos mililitros tem uma gota desse
remédio? 0,036 mL
b) Quantos milímetros cúbicos tem uma
gota desse remédio? 36 mm
3
23 Com o conteúdo de uma garrafa de 1 L de
capacidade podemos encher exatamente 8 copinhos iguais. Qual é a capacidade
de cada copinho? 125 mL
24 Um refrigerante é vendido em latinhas de
330 mL. Se o produto fosse vendido em caixinhas cúbicas, de aresta de 7 cm, caberia
mais ou menos refrigerante? Mais
25 Um perfume vem acondicionado numa embalagem em forma de bloco retangular de
4 cm por 2 cm por 1 dm. Quantos mililitros
de perfume cabem nessa embalagem? 80 mL
Capítulo 20
Unidades de volume
329
Desafios
Água na piscina
Ilustrações: Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
Uma piscina de 25 m por 10 m tem 2 m de profundidade. O nível da água está 10 cm abaixo da borda.
Quantos litros de água há na piscina? 475 000 L
O volume da família
Quando todas as pessoas de uma família estão
mergulhando nessa piscina, o nível da água sobe
2,5 mm. Qual é o volume de água deslocado por essa
família na piscina, em metros cúbicos? 0,625 m3
Equilibrando
No Armazém Geral há uma antiga balança de dois
pratos. O proprietário, Expedito, tem meia dúzia de
pesos, assim numerados:
Eduardo Santaliestra/Arquivo da editora
• dois pesos com o número 1, cada um com 100 g
de massa; 1 1
• dois pesos com o número 3, cada um com 300 g
de massa; 3 3
• dois pesos com o número 9, cada um com 900 g
de massa. 9
9
sim; com os dois pesos com o número 9
a) É possível pesar 2 quilogramas de arroz? Com quais pesos? e os dois pesos o número 1.
b) Usando apenas esses pesos, que quantidades de arroz cada cliente pode pedir?
100 g, 200 g, 300 g, 400 g, ..., até 2 600 g
330
Unidade 6
Geometria e medidas
CAPÍTULO
21
Unidades de massa
Medindo massa
O que mostra a balança?
Sérgio Dotta Jr./Arquivo da editora
Observe, na imagem ao lado, dois béqueres iguais: um contém água e o outro contém óleo. Os volumes de água e de óleo
são iguais.
Você sabe dizer qual dos dois béqueres está mais pesado?
Se colocarmos os dois béqueres numa balança de dois pratos, a balança pende para o lado do béquer com água. Portanto,
o béquer com água é mais pesado.
Por que isso acontece?
O béquer com água contém mais matéria que o béquer com óleo.
Sérgio Dotta Jr./Arquivo da editora
Então, podemos concluir que a massa da água é maior que a massa do óleo.
De modo geral, massa é a medida da quantidade
de matéria que um corpo contém.
Sérgio Dotta Jr./Arquivo da editora
Vamos, agora, pesar dois béqueres com o mesmo volume de água. O que acontece?
Os pratos da balança se equilibram porque os dois corpos têm massas iguais.
Capítulo 21
Unidades de massa
331
Unidade-padrão de massa
Paulo César Pereira/Arquivo da editora
Para determinar a quantidade de massa de um corpo C, devemos escolher um outro corpo como unidade
de massa e verificar quantas dessa unidade são necessárias para equilibrar o corpo C numa balança.
Se cada pessoa pudesse escolher livremente uma
unidade de massa para determinar a massa de um corpo, haveria valores diferentes para um mesmo corpo,
dependendo da unidade escolhida.
Foi preciso, então, definir uma unidade-padrão de massa, isto é, uma quantidade de matéria aceita
por todas as pessoas.
Segundo os órgãos internacionais de padronização de unidades de medida,
a unidade-padrão para medidas de massa é o quilograma (kg).
Na prática, também utilizamos o grama (g), submúltiplo do quilograma:
1 kg 5 1 000 g
e
1g5
1
kg
1000
O quilograma é a massa de uma peça de platina que se encontra no Museu
Internacional de Pesos e Medidas, na cidade de Sèvres, na França.
Que unidade de massa usar?
Qual é a massa de um elefante?
gualtiero boffi/Shutterstock
Para determinar a massa de corpos muito pesados, empregamos como unidade de
massa um dos múltiplos do grama:
• decagrama (dag)
• hectograma (hg)
• quilograma (kg)
A massa de um elefante
pode chegar a 7 500 kg.
Qual é a massa de uma borboleta?
• decigrama (dg)
• centigrama (cg)
• miligrama (mg)
Algumas borboletas
podem ter massa
menor do que 1 grama.
332
Unidade 6
Geometria e medidas
suns07butterfly/Shutterstock
Para determinar a massa de corpos muito pequenos e leves, empregamos como unidade de massa
um dos submúltiplos do grama:
Os elementos dessa página
estão representados
em tamanhos não
proporcionais entre si.
Múltiplos e submúltiplos do grama
Na tabela abaixo, você encontra as unidades de massa, seus símbolos e os valores correspondentes
em gramas.
Múltiplos
Unidade
Submúltiplos
quilograma
hectograma
decagrama
grama
decigrama
centigrama
miligrama
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
1 000 g
100 g
10 g
1g
0,1 g
0,01 g
0,001 g
Observe que cada unidade de massa é igual a 10 vezes a unidade imediatamente inferior:
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
1 000 g
100 g
10 g
1g
0,1 g
0,01 g
0,001 g
? 10
? 10
? 10
? 10
? 10
? 10
E cada unidade de massa é igual a 1 décimo da unidade imediatamente superior:
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
1 000 g
100 g
10 g
1g
0,1 g
0,01 g
0,001 g
; 10
; 10
; 10
; 10
; 10
; 10
A leitura de medidas de massa é muito semelhante à leitura de medidas de comprimento. Veja como
medidas de massa devem ser lidas:
• 0,001 g lê-se 1 milésimo de grama (ou 1 miligrama).
• 0,32 g lê-se 32 centésimos de grama (ou 32 centigramas).
• 57,8 g lê-se 57 inteiros e 8 décimos de grama (ou 57 gramas e 8 decigramas).
Mudanças de unidade
As mudanças de unidade de massa são feitas de modo semelhante às mudanças de unidade de
comprimento. Veja:
• 7,41 kg 5 (7,41 ? 1 000) g 5 7 410 g
• 8 dg 5 (8 ; 10) g 5 0,8 g
• 7 370 g 5 737 dag 5 73,7 hg 5 7,37 kg ou 7 370 g 5 (7 370 ? 0,001) kg 5 7,37 kg
Exercícios
1
Que unidade de massa você usaria para medir:
quilograma ou tonelada
2
a) um elefante?
c) um lápis? grama
quilograma
b) um automóvel?
a) 1 L de água? 1 kg
b) 1 mL de água? 1 g
c) 1 dm3 de água? 1 kg
d) 1 m3 de água? 1 000 kg
Você sabia?
•
•
•
•
1 cm3 de água equivale a aproximadamente 1 g.
1 L de água corresponde a 1 kg.
1 tonelada (t) é o mesmo que 1 000 kg.
1 m3 de água tem 1 t de massa.
Qual é a massa de:
3
Qual é a massa de:
a) 20 L de água?
b) 50 L de água?
20 kg
c) 21 mL de água?
21 g
50 kg
Capítulo 21
Unidades de massa
333
a) 2 t?
b) 3 t?
2 000 kg
5
3 000 kg
c) 16,1 t?
A massa da vaca Mimosa é 380 kg e a do
cavalo Valente é 31 arrobas.
16 100 kg
Quantas toneladas são:
a) 4 000 kg?
b) 6 500 kg?
6
7
Quantos quilogramas são:
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
4
4t
c) 82 000 kg?
82 t
6,5 t
Adicione as medidas de massa e expresse as
somas em gramas.
a) 8,41 g 1 0,0701 kg 78,51 g
b) 3,45 kg 1 6 g 3 456 g
c) 0,635 kg 1 0,0816 kg 1 987 dg 815,3 g
d) 10,7 g 1 0,611 kg 1 6 156 mg 627,856 g
e) 2,46 g 1 0,072 kg 1 71 dg 1 2 336 mg 83,896 g
f) 37 g 1 1,007 kg 1 727 dg 1 13 dg 1 118 g
Lembrando que 1 arroba equivale a 15 kg,
responda:
a) Quantas arrobas tem a vaca Mimosa?
Quantos quilos excedem? 25 arrobas; 5 kg
b) De quantos quilogramas é a massa do cavalo Valente? 465 kg
Texto para os exercícios 8 a 18.
Em grupos de dois ou três alunos, leiam o texto a seguir. Discutam e resolvam as questões e, depois, troquem ideias com os demais grupos.
A Galeria de Artes de Alegria está passando por uma grande reforma, porque no mês que vem acontece uma importante exposição,
reunindo os pintores mais famosos do país.
Por causa das reformas, o trânsito da rua Gaivota, onde fica a galeria, está complicado. A rua não é muito grande e tem 697 cm de
largura. Neste momento, por exemplo, um caminhão carregado
com 122 sacos de cimento com 50 kg cada um está estacionado
na porta da galeria para descarregar. Depois de vazio, esse caminhão vai pesar 3,25 t.
Na entrada da galeria está sendo construído um poço com 2,5 m de
comprimento, 1,3 m de largura e 2,2 m de profundidade, para abrigar um chafariz. Por causa desse chafariz, foi preciso construir uma
caixa-d’água em forma de cubo com 2 m de aresta (medida interna).
Junto com a exposição de quadros, vai ocorrer um ciclo de palestras
num auditório que tem as seguintes dimensões: 85 m de comprimento, 16 m de largura e 3,2 m de altura. Ainda bem que o auditório é
grande, porque devem comparecer muitas pessoas às palestras.
O coquetel de recepção já está sendo preparado. Foram encomendados 37 500 g de legumes para a maionese, comprados a
R$ 3,80 o quilograma. Para os canapés, foram compradas várias latas de biscoito. Cada lata cheia pesa 3,47 kg e vazia pesa 0,59 kg.
O vinho, que veio do Rio Grande do Sul, está acondicionado em
um tonel com capacidade para 218 L e vai ser engarrafado em recipientes de 9 dL. Para quem não bebe vinho, 0,80 m3 de guaraná
será engarrafado em recipientes com capacidade para 0,5 L.
Mas ainda há quem prefira água. Por isso, 19 L de água serão
acondicionados em um tipo de recipiente que, vazio, pesa 780 g.
334
Unidade 6
Geometria e medidas
Ilustrações: Luigi Rocco/Arquivo da editora
Exposição na galeria
8
9
13 Quanto foi gasto com os legumes para a
maionese? R$ 142,50
Rafael, dono da galeria, mediu a largura da
rua Gaivota usando o próprio pé como unidade e obteve a medida de 17 pés. Quantos
centímetros mede o pé de Rafael? 41 cm
14 Qual é a massa dos biscoitos para os canapés dentro de cada lata? 2,88 kg
Qual é a massa do caminhão de cimento
carregado? 9,35 t
15 Se a massa de cada biscoito é 60 g, quantos
biscoitos vêm em cada lata? 48 biscoitos
10 Quantos litros de água serão necessários para
encher completamente o poço do chafariz?
16 Quantas garrafas de vinho serão enchidas?
242 garrafas
7 150 litros
17 Quantas garrafas de guaraná serão obtidas?
11 Quantos litros de água serão necessários
para encher a caixa-d’água que está sendo
construída? 8 000 litros
12 Qual é o volume de ar existente no auditório?
1 600 garrafas
4 352 m3
18 Qual será a massa do recipiente para água
quando estiver com os 19 litros de água se a
massa de 1 litro de água pura é 1 kg? 19,78 kg
Matemática em notícia
[...]
A população local da espécie, que cem anos atrás era de aproximadamente 25 mil baleias, foi dizimada a míseros 2% disso (cerca
animais) em meados do século 20, por causa da caça prede
datória no Oceano Antártico, para onde as baleias migram entre
dezembro e junho para se alimentar. Uma moratória global à caça
foi decretada em 1986 pela Comissão Baleeira Internacional (CBI) e
reproduzida em lei pelo governo brasileiro no ano seguinte.
Hoje, 28 anos mais tarde, a população de jubartes que visita
anualmente as águas calmas e mornas do Nordeste brasileiro para
se reproduzir é de aproximadamente 15 mil baleias – cerca de 60%
do que era “originalmente”. Daí a decisão de retirá-la da lista de
espécies ameaçadas do Brasil.
[...]
A jubarte é uma espécie global. A população que vive na costa
leste da América do Sul é uma de várias que ocorrem pelo planeta
– todas elas em processo de recuperação. [...] estima-se que havia
cerca de 140 mil jubartes no planeta no início do século 20, e hoje
%).
há cerca de 80 mil (
A União Internacional para Conservação da Natureza (IUCN) já
considera a espécie como não ameaçada globalmente desde 2008.
Arte AE/Agência Estado
Baleias jubartes do Brasil estão salvas da extinção
Fonte: <http://sustentabilidade.estadao.com.br/noticias/geral,baleiasjubartes-do-brasil-estao-salvas-da-extincao,1169762>.
Acesso em: 11 nov. 2017.
335
Leia o texto e responda às perguntas:
1
Em que semestre do ano as baleias visitam
as águas do Nordeste brasileiro? Para qual
finalidade? Segundo semestre; reprodução.
2
Em que polo fica a Antártida?
3
Que número foi omitido com o símbolo
na notícia? 500
4
E com o símbolo
5
Se 15 mil baleias representam 60% das que
“originalmente” visitavam o Nordeste brasileiro há 28 anos, quantas baleias frequentavam a costa nessa época? 25 mil
Sul
?
57
População de baleia jubarte continua crescendo
No Brasil, a temporada de baleias poderá ter recorde de
filhotes. [...]
A população da baleia jubarte (Megaptera novaeangliae)
atualmente é estimada em 17 mil indivíduos, sendo metade disso fêmeas, alcançando o número de 8 500. Entretanto, os especialistas levam em conta que nem toda fêmea
estará em idade fértil nesse período, mas metade delas
provavelmente sim, ou seja, um total de 4 250 jubartes em
estado reprodutivo. Dessas, apenas a metade deverá ter
filhotes: “geralmente podemos esperar um ano com filhote e um ano sem filhote. Desta forma, metade das fêmeas
em idade reprodutiva teria filhotes num determinado ano.
Isso daria 2 125 fêmeas se reproduzindo numa população
de 17 mil jubartes”, explica Milton Marcondes, coordenador de pesquisa do Projeto Baleia Jubarte.
[...]
Fonte: <www.oeco.org.br/noticias/populacao-de-baleiajubarte-continua-crescendo/>. Acesso em: 11 nov. 2017.
6
Se metade das baleias é fêmea, metade das fêmeas está em idade fértil e metade destas se
reproduz em determinado ano, responda:
a) Que fração do total de baleias se reproduz
nesse ano? 18
b) Contando os novos filhotes, qual é o percentual de aumento da população de baleias nesse ano se não houver mortes de
animais? 12,5%
Em média, um brasileiro do sexo masculino tem
1,70 m de altura e massa igual a 70 kg.
7
336
Quantos homens dessa altura, deitados,
são necessários para formar uma fileira que
Leonardo Merçon/Zuma Press/Fotoarena
Baleia jubarte fotografada no litoral do Espírito
Santo, na cidade de Vitória.
tenha o mesmo comprimento de uma baleia jubarte? 10
8
A massa de uma baleia jubarte é quantas
vezes a massa de um brasileiro médio?
Quinhentas vezes.
9
Imagine uma piscina com 35 toneladas de
água. Qual é o comprimento, a largura e a
profundidade dessa piscina? Considere que
1 m3 de água tenha 1 tonelada de massa.
Há várias respostas; por exemplo: 7 m ? 5 m ? 1 m.
10 Há outras espécies de baleia. Pesquise sobre
elas e você vai encontrar informações interessantes. Você pode, por exemplo, descobrir quais são as maiores baleias do mundo.
Matemática no tempo
O sistema métrico decimal
No mundo daquela época – estamos falando
de antes do século XVIII – havia uma diversidade
muito grande de unidades de pesos e medidas, o
que dificultava o comércio entre as nações. Porém, já se pensava na possibilidade de um sistema único, universal, decimal. Não era fácil conseguir essa uniformização, mas, no século XVIII,
a Academia de Ciências da França nomeou uma
comissão de grandes cientistas (como os matemáticos Laplace, Lagrange e Monge) para fazer
um projeto com essa finalidade.
ensino do sistema métrico decimal nas escolas.
A partir de 1o de julho de 1873, o uso do sistema
antigo implicaria multas e até prisão.
Ocorreu então, no Brasil, um fato que entrou
para a história. Talvez porque a vigência do novo
sistema de medidas tivesse coincidido com um
aumento de impostos, algumas províncias do
Nordeste tentaram resistir à sua adoção e desencadearam uma insurreição que ficou conhecida como Revolta do Quebra-Quilos. Naquela
ocasião, chefiava o Gabinete do Governo o Visconde de Rio Branco, um estadista de grande valor e que não era homem de se intimidar.
Reprodução/Museu Carnavalet, Paris, França.
Palavras como arrátel e côvado, que soam estranhas para nós hoje em dia, foram tão familiares a nossos antepassados como, guardadas as
proporções, as palavras quilo e centímetro atualmente. Arrátel e côvado designavam, respectivamente, uma unidade de peso e uma unidade
de comprimento do sistema de pesos e medidas
brasileiro que vigorava antes da adoção do sistema métrico decimal. Aliás, esse sistema antigo
deixava a desejar por vários motivos, entre os
quais o fato de não obedecer a uma estruturação
consistente e não adotar a escala decimal.
Dos trabalhos dessa comissão, encerrados
em 1799, nasceu o sistema métrico decimal,
hoje praticamente universalizado. O metro – a
unidade de medida – foi definido como a décima milionésima parte da distância do equador
ao Polo Norte. (Hoje é possível definir o metro de
uma maneira mais precisa.)
O sistema métrico decimal só começou a se
tornar realidade em 1837, quando seu uso passou a ser obrigatório na França.
No Brasil, ele foi introduzido por uma lei em
26 de junho de 1862. Essa lei era bastante prudente, pois estabelecia um prazo de dez anos
para que cessasse por completo o uso das antigas unidades de medida. Nesse meio-tempo, se
prepararia o terreno para a mudança, com a vinda dos novos padrões da França e a inclusão do
Gravura francesa do século XVIII, de J. P. Delion,
representando o uso de unidades de medida.
Encontra-se no Museu Carnavalet, em Paris, França.
337
ThelmaElaine/Shutterstock
Entre os líderes dos quebra-quilos, havia padres e senhores de engenho, o que, a princípio,
acarretou uma certa adesão popular ao movimento. Mas, para enfrentar a firme reação do governo, os líderes da rebelião recrutaram bandoleiros e bandidos, o que acabou por enfraquecer o
movimento. Pouco mais de um ano depois de iniciada a revolta, os insurretos tiveram de se render.
Diante das represálias do governo, algumas províncias do Nordeste baixaram leis locais para fazer
com que o novo sistema coexistisse com o antigo.
Porém, o governo do Império estava inflexível e demonstrou a inconstitucionalidade dessas leis.
Hoje nos parece absurdo que uma mudança como essa, tão importante para o comércio
internacional, pudesse ter acarretado derramamento de sangue. Mas, mesmo que não houvesse outros motivos, a tradição arraigada é
uma barreira difícil de transpor. Por exemplo, nos
Estados Unidos, a maior economia do mundo, o
sistema métrico decimal ainda não substituiu o
sistema inglês de pesos e medidas, tradicional
do país. Esse sistema inclui unidades como o pé
e a milha (unidades de comprimento) e a libra (de
massa), e ainda está em pleno uso.
Placa em estrada americana no estado do Oregon indicando
velocidade (35 milhas por hora 5 35 M.P.H. 5 55 km/h) e
distância (3 milhas 5 3 MI 5 4,8 km).
1
Escreva em numerais: “um décimo milionésimo”.
2
O texto menciona uma definição mais precisa do metro, que utilizamos hoje em dia. Faça uma pesquisa
para encontrar essa definição.
3
O texto fala em “províncias” do Nordeste. Como passaram a se chamar as províncias no Brasil, com o
regime republicano?
4
Responda:
Respostas no Manual do Professor.
a) Qual era o regime político do Brasil em 1873?
b) Quem era o mandatário supremo?
c) Qual era o papel do chefe do Gabinete nesse regime?
5
Uma libra equivale a 453,6 g. Qual é a massa, em libras, de uma pessoa com 72 kg?
6
Em inglês, como se escrevem as unidades de medida pé e libra?
338
Desafio
© 1986 Bill Watterson/Dist. By Atlantic Syndication/
Dist. by ANDREWS McMEEL SYNDICATION
A libra e a onça
Como disse Calvin, 1 libra equivale a 16 onças. Se 1 quilograma equivale a 2,2 libras, aproximadamente,
uma onça equivale a quantos gramas? 28,4
A libra e a onça são unidades de massa usadas com frequência nos Estados Unidos e em uma região da
Europa. Pesquise e responda qual é essa região. Na Grã-Bretanha (no Reino Unido).
Teste seus conhecimentos
1
X
2
Ela observou que o pátio da escola tinha a
forma de um quadrado e mediu um lado
do pátio com seus próprios passos. Descobriu que um lado desse quadrado media 150 passos. Sabendo que Fernanda deu
passos de aproximadamente meio metro de
comprimento, pode-se afirmar que o perímetro do pátio mede, em metros, cerca de:
(Saresp) Qual é o instrumento e a unidade
de medida mais adequados para medir a largura de uma praça?
a) a trena e o centímetro.
b) a trena e o metro.
c) a régua e o quilômetro.
d) a régua e o metro.
(Saresp) Ângela foi a uma loja procurar um
espelho para sua sala. Como não levou nenhum instrumento para medir, ela utilizou
seu palmo. O espelho de que ela gostou
tem quatro palmos e meio de comprimento.
a) 650
b) 475
4
3
c) 63 cm.
d) 54 cm.
(Saresp) Fernanda fazia os preparativos
para a festa junina de sua escola e precisou da medida do perímetro do pátio.
c) 300
d) 200
(Saresp) Para o acabamento de um tapete
de retalho, Miriam precisa de uma tira de
tecido de pelo menos 6 metros. Ela mediu
4 tiras de tecido obtendo diferentes medidas: 45 cm; 1,25 m; 2 m e 64 cm. Assim,
para terminar o tapete, Miriam precisa de
mais uma tira de
Como o palmo de Ângela mede 18 cm, o
comprimento do espelho de que ela gostou
mede
a) 90 cm.
X b) 81 cm.
X
X
a) 1,66 m.
b) 2,36 m.
c) 3,02 m.
d) 4,34 m.
Capítulo 21
Unidades de massa
339
b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.
A escada representada na figura tem sete
degraus iguais e altura 1,54 m. A altura de
cada degrau, em cm, é:
Ao optar pelas medidas a e b em metros,
obtêm-se, respectivamente,
Alberto de Stefano/Arquivo da editora
5
a) 0,23 e 0,16
X b) 2,3 e 1,6
c) 23 e 16
d) 230 e 160
e) 2 300 e 1 600
9
a) 18
X b) 22
6
João mediu o comprimento do seu sofá com
o auxílio de uma régua. Colocando 12 vezes
a régua na direção do comprimento, sobraram 15 cm da régua; por outro lado, estendendo 11 vezes, faltaram 5 cm para atingir o
comprimento total. O comprimento do sofá,
em centímetros, é igual a:
X
X
a)
b)
c) 40
d) 38
(Enem) Um mecânico de uma equipe de
corrida necessita que as seguintes medidas
realizadas em um carro sejam obtidas em
metros:
c)
Estúdio Mil/Arquivo da editora
a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro;
340
X
a 5 2 300 mm
Unidade 6
Geometria e medidas
c) 11 m
d) 12 m
11 Qual das figuras a seguir é um polígono
com exatamente cinco vértices?
c) 225
d) 220
b 5 160 cm
X
10 O heptágono é um polígono que tem:
X a) 7 lados
c) 5 lados
b) 6 lados
d) 3 lados
(Uece) Uma peça de tecido, após a lavagem,
1
perdeu
de seu comprimento e este ficou
10
medindo 36 metros. Nessas condições, o
comprimento, em metros, da peça antes da
lavagem era igual a:
a) 44
b) 42
8
a) 9 m
b) 10 m
c) 25
d) 28
a) 240
b) 235
7
Uma polegada equivale a 2,54 cm. Um pé
são 12 polegadas. Uma jarda são 3 pés. Se a
marca do pênalti fica a 12 jardas da linha do
gol, a quantos metros ela fica?
d)
Reprodução/Saresp, 2015
12 (Saresp) Observe as figuras.
Essas figuras são classificadas, respectivamente, como:
a) cone e quadrado.
b) prisma e retângulo.
c) triângulo e pirâmide.
X d) triângulo e cubo.
Reprodução/Obmep, 2016
13 (Obmep) Observe a figura. Qual é a soma
dos números que estão escritos dentro do
triângulo e também dentro do círculo, mas
fora do quadrado?
X
a) 10
b) 11
c) 14
d) 17
e) 20
14 Na figura, o polígono azul tem área de
0,5 cm2.
Então, a área do polígono vermelho é:
X
a) 3,75 cm2
b) 4 cm2
c) 4,25 cm2
d) 5 cm2
15 O tampo de uma mesa tem forma quadrada, e seu perímetro é 40 dm. A área dessa
mesa, em metros quadrados, é:
X d) 1,0
a) 16
b) 1,6
c) 1,2
16 Uma pessoa deseja cobrir o piso de uma garagem de formato retangular com lajotas
que medem 20 cm por 30 cm. Se a garagem tem área de 51 m2, o número mínimo
de lajotas necessário será:
X e) 850
a) 85
c) 306
b) 255
d) 510
17 (Etec-SP) A criação de área de preservação permanente e reservas legais são medidas importantes de proteção ambiental para
a conservação do solo e da água, elementos
essenciais para a vida na terra. Uma fazenda
apresenta as seguintes características:
• área total: 80 ha;
• área para lavoura: 28 ha;
• área para plantação de eucalipto: 15 ha;
• área ocupada por benfeitoria/desmatada:
12 ha;
• a área restante é destinada à preservação
ambiental/reserva legal.
Se a região destinada à preservação ambiental/reserva legal dessa fazenda tem
forma retangular, as dimensões desse retângulo podem ser
a) 50 m 3 50 m.
b) 50 m 3 500 m.
X c) 500 m 3 500 m.
d) 500 m 3 5 000 m.
e) 5 000 m 3 5 000 m.
Lembre-se de que:
• 1 are (a) equivale a 100 m2
• 1 hectare (ha) equivale a 100 a
18 (Enem) A maior piscina do mundo, registrada no livro Guinness, está localizada no Chile,
em San Alfonso del Mar, cobrindo um terreno de 8 hectares de área. Sabe-se que 1 hectare corresponde a 1 hectômetro quadrado.
Qual é o valor, em metros quadrados, da área
coberta pelo terreno da piscina?
a) 8
d) 8 000
X e) 80 000
b) 80
c) 800
Capítulo 21
Unidades de massa
341
22 (Saresp) Na figura abaixo tem-se uma caixa
sem tampa que foi preenchida com cubos
cujos lados medem 1 cm.
Reprodução/Saresp, 2007
Reprodução/Saresp, 2007
19 (Saresp) Vivian recortou
9 quadrados de cores diferentes para fazer uma
face de uma almofada,
na forma da figura ao
lado.
Se cada lado do quadrado mede 6 cm, a
área total desta face da almofada é igual a
a) 144 cm2.
b) 216 cm2.
c) 274 cm2.
X d) 324 cm2.
20 (Saresp) Se a área do losango L, pintado de
roxo na figura abaixo, é 1 cm2, qual é a área
do polígono P?
Qual é o volume dessa caixa?
X
a) 60 cm3
b) 50 cm3
c) 40 cm3
d) 30 cm3
Texto para os testes 23 a 25
Reprodução/Saresp, 2007
Uma torneira com defeito deixa vazar 1 gota de
água a cada 5 segundos.
a) 12 cm2.
b) 8 cm2.
X
c) 6 cm2.
d) 4 cm2.
Reprodução/Obmep, 2017
21 (Obmep) A área da figura azul é igual à
soma das áreas de quantos quadradinhos
do quadriculado?
a) 12
X b) 22
c) 32
342
Unidade 6
d) 64
e) 100
Geometria e medidas
23 Qual das unidades abaixo é a mais conveniente para expressar o volume de uma
gota?
a) tonelada
c) grama
X d) mililitro
b) polegada
24 Quantas gotas de água saem da torneira nas
24 horas de um dia em que ela não for aberta?
a) 8 640
b) 16 460
X c) 17 280
d) mais de 20 000
25 Se cada gota tiver 0,5 mL, qual recipiente a
seguir é o menor que podemos deixar sob a
torneira para recolher toda a água que pinga da meia-noite às 4 h da manhã?
X c) uma jarra
a) uma xícara
b) um copo
d) um balde
26 Quantas garrafas de 80 cL são necessárias
para engarrafar 1 m3 de água?
a) 500
b) 625
c) 875
X d) mais de 1 000
29 O preço do litro de gasolina no posto perto da minha casa é R$ 3,999. Então o posto
está vendendo cada litro a:
a) três reais e 999 décimos de real.
b) três reais e 999 centavos.
X c) três reais e 999 milésimos de real.
d) quatro reais.
30 Uma balança é usada para medir qual grandeza?
a) tempo
c) capacidade
X b) massa
d) temperatura
31 A libra é uma unidade que equivale a aproximadamente 454 g. Uma encomenda recebida do exterior veio num pacote que
1
pesava 2 libras.
4
O peso do pacote em quilogramas era, aproximadamente,
a) 0,8 kg
c) 1,3 kg
X b) 1,0 kg
d) 1,5 kg
Reprodução/Obmep, 2015
28 (Obmep) Pedrinho colocou 1 copo de suco
em uma jarra e, em seguida, acrescentou
4 copos de água. Depois decidiu acrescentar
mais água até dobrar o volume que havia
na jarra. Ao final,
qual é o percentual de suco na
jarra?
a) 5%
X b) 10%
c) 15%
d) 20%
e) 25%
32 (Obmep) Nas balanças da figura objetos
iguais têm pesos iguais. Qual dos objetos é
o mais pesado?
Reprodução/Obmep, 2017
27 (PUC-MG) Um reservatório, contendo 200 litros de água, está sendo esvaziado por meio
de uma torneira cuja vazão é de 200 cm3
por minuto. O tempo necessário para esvaziar completamente o reservatório, em minutos, é:
X d) 1 000
a) 1
b) 10
e) 10 000
c) 100
X
a)
d)
b)
e)
c)
33 (Enem) Nos Estados Unidos, a unidade de
medida de volume mais utilizada em latas
de refrigerante é a onça fluida (fl oz), que
equivale a aproximadamente 2,95 centilitros (cL).
Sabe-se que o centilitro é a centésima
parte do litro e que a lata de refrigerante
usualmente comercializada no Brasil tem capacidade de 355 mL. Assim, a medida do
volume da lata de refrigerante de 355 mL
em onça fluida (fl oz) é mais próxima de
a) 0,83
d) 104,73
b) 1,20
e) 120,34
X c) 12,03
34 (Obmep) Um garrafão cheio de água pesa
10,8 kg. Se retirarmos metade da água nele
contida, pesará 5,7 kg. Quanto pesa, em
gramas, esse garrafão vazio?
a) 400
d) 700
b) 500
e) 800
X c) 600
Capítulo 21
Unidades de massa
343
UNIDADE
Ismar Ingber/Pulsar Imagens
7
Estatística
Ao coletar dados para o Censo, o
IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia
e Estatística) utiliza os conhecimentos
da Estatística para entender melhor as
características da população brasileira.
CAPÍTULO
22. Noções de Estatística
CAPÍTULO
22
Noções de Estatística
Revendo porcentagens
Intenção de voto da próxima eleição
para prefeito de Alegria
Quem vai ganhar a eleição?
Na cidade de Alegria, há 3 candidatos a prefeito:
Antônio Carlos, João Pedro e Maria Clara. Foi feita uma pesquisa de intenção de voto, em que foram consultados 600 eleitores. O jornal Tabloide
Alegrense publicou o resultado da pesquisa em sua
primeira página (veja ao lado).
46%
38%
Pela pesquisa, o candidato Antônio Carlos é o favorito para ganhar a eleição.
As pesquisas eleitorais são baseadas em dados
estatísticos. Vamos estudar as primeiras noções de
Estatística. Com essas noções, veremos como são
feitas pesquisas como as de intenção de voto.
16%
Antônio Carlos
João Pedro
Maria Clara
Fonte: Tabloide Alegrense.
Alex Mares-Manton/AsiaPix RF/Getty Images
Você é canhoto?
Dos 1 200 alunos da Escola Juquiti, 8% são canhotos. Quantos são os alunos canhotos?
A taxa percentual 8% é o mesmo que a fração
8
. Então, para calcular 8% de 1 200 basta fazer:
100
8
? 1 200 5 96
100
Nessa escola, 96 alunos são canhotos.
Exercício
1
O número de meninas da Escola Juquiti corresponde a 55% dos alunos. Quantas meninas há na escola?
660
A população de um município é de 25 000 pessoas, sendo 5 000 residentes na zona rural e as
demais na zona urbana. Qual é a taxa percentual dos residentes na zona rural? E a dos residentes na
zona urbana?
Capítulo 22
Noções de Estatística
345
5 000
. Vamos transfor25 000
má-la em taxa percentual. Para isso, basta chegar à fração equivalente com denominador 100:
Os residentes na zona rural constituem uma fração da população, a fração
1
20
5 000
5 5
5 20%
25 000 5 100
Podemos fazer esse cálculo de outro modo: transformamos a fração para a forma decimal e, depois,
em taxa percentual. Veja:
5 000
20
5 0,20 5
5 20%
25 000
100
50 000 25 000
0 0,2
Na zona rural, residem 20% da população. A população total é 100%. Como
100% 2 20% 5 80%
na zona urbana residem 80% da população.
Podemos calcular algumas porcentagens mentalmente.
Por exemplo, 10% equivalem a 1 décimo. Da população de 25 000 pessoas, 10% são 2 500 pessoas. O
dobro, as 5 000 pessoas da zona rural, são 20% da população.
Exercícios
2
De acordo com o Detran, em fevereiro de
2017, a cidade de São Paulo tinha um pouco mais de 8 000 000 de veículos, dos quais
71% eram automóveis. Quantos eram os
automóveis? 5 680 000
3
Experimente realizar os cálculos mentalmente.
a) Quanto é 10% de 500? 50
b) E 20% de 500? 100
c) 100% é o todo. E quanto é 50%? E 25%?
Metade do todo; metade da metade ou um quarto do todo.
4
Quanto é:
a) 20% de 4 000? 800 c) 75% de 3 600? 2 700
b) 25% de 3 800? 950 d) 80% de 3 200? 2 560
5
Numa classe de 40 alunos, em que 2 são canhotos, qual é a porcentagem de canhotos? 5%
6
As taxas percentuais podem ser expressas
na forma de fração decimal. Por exemplo:
75
7,5
7,5% 5
5
100
1000
Expresse na forma de fração decimal:
9
a) 0,9% 1 000
346
Unidade 7
Estatística
b) 11,25%
1125
10 000
7
Transforme as frações a seguir em taxas percentuais:
53,75%
23
200
43
80%
46%
d)
g)
a)
50
250
80
89
7
15
37,5%
35%
b)
e)
h)
400
20
40
22,25%
15
8
62,5%
32%
c)
f)
24
25
8
No Colégio ABC estudam 160 alunos no
6o ano. São 72 meninos e 88 meninas. Na
classe de Gabriela há 40 alunos, dos quais
24 são meninas. Contando todas as classes,
são 1 280 alunos.
a) Contando só alunos do 6o ano, qual é a
taxa percentual dos meninos? 45%
b) Contando só alunos do 6o ano, qual é a
taxa percentual dos alunos da classe de
Gabriela? 25%
c) Na classe de Gabriela, qual é a taxa percentual dos meninos? 40%
d) Qual é a taxa percentual dos alunos (contando meninos e meninas) do 6o ano no
colégio? 12,5%
Etapas de uma pesquisa estatística
Planejamento
A professora do 6o ano do Colégio Municipal de Alegria simulou uma pesquisa de intenção de voto
referente às eleições municipais.
Ela entregou a todos os alunos um cartão a ser preenchido com alguns dados: cada aluno deveria
assinalar seu sexo, o local de residência e o candidato em que votaria.
Sexo:
masculino
feminino
Residência:
Centro
Zona Norte
Zona Sul
Candidato:
Antônio Carlos
João Pedro
Maria Clara
Com esses dados, diversos cálculos estatísticos poderiam ser feitos a respeito dos “eleitores”. Por
exemplo, intenção de voto por sexo e por região da cidade.
Coleta de dados
Recebendo os cartões preenchidos de uma classe em que havia 40 alunos, a professora fez esta
tabela:
Aluno
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Sexo
F
M
F
F
M
M
F
F
F
M
F
M
F
M
F
F
M
F
F
M
Região
C
C
N
C
N
C
N
S
C
C
C
C
N
S
N
C
S
S
C
C
Voto
AC
AC
JP
MC AC
AC
AC
JP
JP
AC
AC MC
JP
AC
AC
AC
JP
MC
JP
AC
Aluno
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Sexo
F
M
M
M
F
F
M
F
F
F
F
M
M
F
F
F
M
F
F
M
Região
S
C
C
N
C
S
N
C
C
N
N
C
S
C
N
C
S
C
C
C
Voto
JP
JP
AC
JP
AC
JP
JP
JP
AC
AC
AC
JP
AC MC AC
MC AC
M 5 masculino
F 5 feminino
S 5 Zona Sul
C 5 Centro
N 5 Zona Norte
AC 5 Antônio Carlos
MC 5 Maria Clara
JP 5 João Pedro
AC MC
JP
A partir daí, ela fez os cálculos desejados, apresentando os resultados em tabelas e gráficos. Vejamos como isso foi feito.
Capítulo 22
Noções de Estatística
347
Apresentação: tabela e gráfico de colunas
O primeiro cálculo estatístico foi sobre o sexo dos alunos da classe.
• Conta-se o número de alunos de cada sexo:
sexo masculino (
): 16
sexo feminino (
): 24
• Faz-se o cálculo das porcentagens que esses números representam em relação ao total de alunos:
sexo masculino (
):
16
5 0,40 5 40%
40
sexo feminino (
):
24
5 0,60 5 60%
40
Esses resultados estão representados na tabela a seguir:
Sexo
Número de alunos
Porcentagem
masculino
16
40%
feminino
24
60%
40
100%
total
Para melhor visualização, os resultados podem ser representados numa figura denominada gráfico
(ou diagrama) de colunas. Veja como é esse gráfico:
Sexo dos alunos do 6o ano do CMA
60%
40%
masculino
( )
feminino
( )
Começamos colocando o título do gráfico: Sexo dos alunos do 6o ano do CMA (Colégio Municipal de Alegria). As colunas do gráfico são retângulos de bases iguais, que ficam apoiadas numa linha reta horizontal
(há também gráficos de barras retangulares horizontais, com bases apoiadas numa linha reta vertical).
A medida das bases (largura das colunas) não importa, mas normalmente elas são iguais para facilitar a
compreensão do gráfico. Tendo bases iguais, as alturas dos retângulos correspondem às porcentagens
observadas, sendo determinadas por um paSexos dos alunos do 6o ano do CMA
drão escolhido, que chamamos escala.
Por exemplo, escolhemos uma altura de
1 cm para representar 20% dos alunos. Assim,
a altura da coluna referente ao sexo masculino
terá 2 cm (porque 40% ; 20% 5 2) e a outra,
referente ao sexo feminino, terá 3 cm (porque
60% ; 20% 5 3).
% de alunos
Acima de cada coluna podemos anotar as
porcentagens correspondentes ou podemos
indicar a escala das alturas, como na figura ao
lado.
10
348
Unidade 7
Estatística
60
50
40
30
20
0
masculino
( )
feminino
( )
sexo
Exercícios
Os exercícios 9 a 11 referem-se à pesquisa apresentada na página 347.
9
O segundo cálculo estatístico foi a respeito do local de residência dos alunos.
a) Observe a tabela a seguir e complete-a.
Local de residência
Número de alunos
Porcentagem
Centro
22
55%
Zona Norte
10
25%
Zona Sul
8
20%
Total
40
100%
b) Represente os dados da tabela em um gráfico de colunas, indicando as porcentagens. Respostas
no Manual
c) Onde mora a maioria dos alunos? Dê uma explicação possível para esse fato.
do Professor.
No Centro. Possivelmente porque o colégio se localiza ali ou nas proximidades.
10 O terceiro cálculo estatístico foi a respeito da intenção de voto dos “eleitores”.
a) Complete a tabela a seguir e faça um gráfico de colunas para representar esses dados estatísticos.
Respostas no Manual do Professor.
Intenção de voto
Número de alunos
Porcentagem
Antônio Carlos
20
50%
João Pedro
14
35%
Maria Clara
6
15%
Total
40
100%
b) Considere apenas os votos dos meninos. Complete a tabela a seguir e faça um gráfico de colunas.
Respostas no Manual do Professor.
Intenção de voto
Número de meninos
Porcentagem
Antônio Carlos
8
50%
João Pedro
6
37,5%
Maria Clara
2
12,5%
Total
16
100%
Respostas
c) Agora considere só os votos das meninas. Faça uma tabela e um gráfico de colunas. no Manual
do Professor.
d) Compare e responda: Entre os meninos a intenção de voto é a mesma que entre as meninas?
Explique. A intenção de voto é praticamente a mesma.
11 Faça uma tabela e um gráfico de colunas da intenção de voto pelo local de residência:
Respostas no Manual do Professor.
a) considerando apenas os alunos residentes no Centro da cidade;
b) considerando apenas os alunos residentes na Zona Norte;
c) considerando apenas os alunos residentes na Zona Sul.
Não. Isso fica claro na
Podemos dizer que a intenção de voto é a mesma em todas as regiões? Por quê? observação dos gráficos.
Capítulo 22
Noções de Estatística
349
Texto para os exercícios 12 e 13.
Na classe da Talita, a professora propôs que os alunos fizessem algumas pesquisas estatísticas cujo tema
eles escolheriam.
Os meninos escolheram pesquisar o esporte preferido pelos alunos, e as meninas, o mês do aniversário.
Os dados que eles coletaram estão na tabela abaixo. Professor, use dados de seus alunos em pesquisas escolhidas por eles.
Aluno
350
Sexo
Esporte preferido
Mês de aniversário
1. Adriana
feminino
voleibol
março
2. Ana Paula
feminino
voleibol
setembro
3. Ângela
feminino
natação
agosto
4. Artur
masculino
natação
junho
5. Camila
feminino
futebol
julho
6. Célia
feminino
voleibol
março
7. Cristina
feminino
natação
junho
8. Enzo
masculino
futebol
julho
9. Fernando
masculino
futebol
fevereiro
10. Gisele
feminino
futebol
junho
11. Hélio
masculino
futebol
maio
12. Ingo
masculino
futebol
julho
13. Juliana
feminino
futebol
junho
14. Kelly
feminino
voleibol
abril
15. Laís
feminino
natação
janeiro
16. Luana
feminino
natação
janeiro
17. Marcelo
masculino
futebol
janeiro
18. Marco Antônio
masculino
futebol
dezembro
19. Mariana
feminino
voleibol
setembro
20. Mônica
feminino
voleibol
novembro
21. Natália
feminino
natação
dezembro
22. Natasha
feminino
natação
fevereiro
23. Patrícia
feminino
futebol
julho
24. Paulo
masculino
natação
janeiro
25. Pedro
masculino
futebol
fevereiro
26. Priscila
feminino
voleibol
agosto
27. Raul
masculino
natação
abril
28. Regina
feminino
voleibol
novembro
29. Renato
masculino
futebol
abril
30. Samantha
feminino
natação
julho
31. Tadeu
masculino
futebol
fevereiro
32. Talita
feminino
natação
maio
33. Tânia
feminino
voleibol
outubro
34. Telma
feminino
voleibol
agosto
35. Ubiratan
masculino
futebol
abril
36. Verônica
feminino
voleibol
março
37. Vivian
feminino
voleibol
junho
38. Waldir
masculino
futebol
novembro
39. Walter
masculino
natação
março
40. Wellington
masculino
futebol
março
Unidade 7
Estatística
12 Represente numa tabela e num gráfico de colunas os resultados sobre o esporte preferido:
Resposta no
a) considerando todos os alunos; final do livro. c) considerando apenas as meninas. Resposta no final do livro.
b) considerando apenas os meninos;
d) A preferência é a mesma entre meninos e meninas?
Não.
Resposta no final do livro.
13 Para facilitar, a professora sugeriu contar os aniversários de cada trimestre do ano.
a) Represente os aniversários de todos os alunos em uma tabela como a seguinte e em um gráfico de
colunas.
Aniversário
Número de alunos
Porcentagem
1o trimestre (jan./fev./mar.)
13
32,5%
2o trimestre (abr./maio/jun.)
11
27,5%
3o trimestre (jul./ago./set.)
10
25%
4o trimestre (out./nov./dez.)
6
15%
Total
40
100%
Não. Há mais aniversários no 1o trimestre
b) Os aniversários estão igualmente distribuídos pelos trimestres? e menos no 4 .
c) Represente os aniversários dos meninos em cada trimestre do ano em uma tabela e em um gráfico
de colunas. Resposta no final do livro.
d) Repita o procedimento, considerando apenas os aniversários das meninas. Resposta no final do livro.
e) Os gráficos que você fez nos itens c e d são parecidos ou são muito diferentes? Você esperava que
gráficos são diferentes. Quanto a esperar esse resultado, a resposta é pessoal.
fossem assim? Os
Não há motivo, porém, para esperar esse resultado.
o
14 O Brasil é dividido em cinco grandes regiões: Norte (N),
Nordeste (NE), Sudeste (SE), Sul (S) e Centro-Oeste (CO).
Na tabela abaixo estão representadas a área e a população
de cada região de acordo com o Censo de 2010, realizado
pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).
RORAIMA
AMAZONAS
CEARÁ
MARANHÃO
PARÁ
Regiões brasileiras – Área e população
Região
RIO GRANDE
DO NORTE
PARAÍBA
PIAUÍ
PERNAMBUCO
ALAGOAS
ACRE
TOCANTINS
SERGIPE
RONDÔNIA
BAHIA
Área
População
(milhões de km2) (milhões de habitantes)
MATO
GROSSO
DISTRITO
FEDERAL
GOIÁS
Norte
3,9
15,9
Nordeste
1,5
53,1
Sudeste
0,9
80,4
Sul
0,6
27,4
Centro-Oeste
1,6
14,1
Fonte: <www.brasil.gov.br/governo/2011/02/demografia>.
Acesso em: 11 nov. 2017.
MATO GROSSO
DO SUL
MINAS GERAIS
SÃO
PAULO
ESPÍRITO
SANTO
RIO DE
JANEIRO
Banco de imagens/Arquivo da editora
AMAPÁ
N
PARANÁ
Norte
SANTA CATARINA
Nordeste
Centro-Oeste
RIO GRANDE
DO SUL
Sudeste
S
0
Sul
L
O
600 km
Fonte: SIMIELLI, Maria Elena.
Geoatlas. São Paulo: Ática, 2002.
a) Qual é aproximadamente a área total do Brasil? 8,5 milhões de km
b) Qual era a população brasileira em 2010? 190,9 milhões de habitantes
c) Represente num gráfico de colunas a área de cada região. Não é preciso calcular porcentagens —
basta indicar os valores da tabela. Sugestão: para as alturas das colunas, use a escala de 1 cm para
cada milhão de km2.
d) Represente num gráfico de colunas as populações das regiões.
e) Pesquise: O que é um censo populacional? De quantos em quantos anos é feito no Brasil?
2
É uma contagem de toda a população com coleta de diversos dados a respeito dela. No Brasil, costuma ser feito de 10 em 10 anos.
Capítulo 22
Noções de Estatística
351
Matemática em notícia
Cris Faga/Zuma Press/Fotoarena
População brasileira passa de 207,7 milhões em 2017
Rua 25 de Março, na cidade de São Paulo, SP. Foto de dez. 2016. São Paulo permanece na liderança como o estado mais
populoso, com 45,1 milhões de pessoas.
Pesquisa do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) indica que o Brasil tem 207,7 milhões
de habitantes [...].
No ranking dos estados, os três mais populosos estão na região Sudeste, enquanto os cinco menos populosos estão na região Norte. O líder é São Paulo, com 45,1 milhões de habitantes, concentrando
%
21,7
da população do País. Roraima é o estado menos populoso, com 522,6 mil habitantes (
% da popula0,3
ção total).
Mais cinco estados têm população acima de 10 milhões de habitantes: Minas Gerais (21.119.536), Rio
de Janeiro (16.718.956), Bahia (15.344.447), Rio Grande do Sul (11.322.895) e Paraná (11.320.892).
O Distrito Federal, que, no ano passado, tinha 2,98 milhões de habitantes, agora tem mais de 3,039 milhões de pessoas. Acre (829,6 mil), Amapá (797,7 mil) e Roraima (522,6 mil) são os estados que registram
população inferior a 1 milhão de habitantes.
A taxa de crescimento populacional (
%), entretanto, vem desacelerando nos últimos anos, em
0,77
razão principalmente da queda na taxa de fecundidade. A projeção demográfica prevê que, daqui a 26 anos
(entre 2042 e 2043), a população vai atingir seu limite máximo (228,4 milhões) e passará a decrescer nos
anos seguintes.
[...]
Fonte: PORTAL Brasil. Disponível em: <www.brasil.gov.br/cidadania-e-justica/2017/08/populacaobrasileira-passa-de-207-7-milhoes-em-2017>. Acesso em: 8 jun. 2018.
352
Veja também a tabela com a estimativa de população por estado em 1o de julho de 2017.
1
São Paulo
45 094 866
15
Espírito Santo
4 016 356
2
Minas Gerais
21 119 536
16
Rio Grande do Norte
3 507 003
3
Rio de Janeiro
16 718 956
17
Alagoas
3 375 823
4
Bahia
15 344 447
18
Mato Grosso
3 344 544
5
Rio Grande do Sul
11 322 895
19
Piauí
3 219 257
6
Paraná
11 320 892
20
Distrito Federal
3 039 444
7
Pernambuco
9 473 266
21
Mato Grosso do Sul
2 713 147
8
Ceará
9 020 460
22
Sergipe
2 288 116
9
Pará
8 366 628
23
Rondônia
1 805 788
10
Santa Catarina
7 001 161
24
Tocantins
1 550 194
11
Maranhão
7 000 229
25
Acre
829 619
12
Goiás
6 778 772
26
Amapá
797 722
13
Amazonas
4 063 614
27
Roraima
522 636
14
Paraíba
4 025 558
Fonte dos dados: IBGE. Disponível em: <ftp://ftp.ibge.gov.br/Estimativas_de_Populacao/
Estimativas_2017/estimativa_dou_2017.pdf>. Acesso em: 8 jun. 2018.
No texto, substitua
pelas taxas percentuais corretas e responda:
1
Que porcentagem da população do país está concentrada no Estado de São Paulo? E em Roraima?
2
Em 2016 o IBGE havia estimado nossa população em 206 081 432 habitantes. Escreva esse dado em
milhões aproximado por uma casa decimal. 206,1 milhões
3
Aproximadamente, de quantos milhões de habitantes foi o aumento da população do país de
2016 para 2017? De qual percentual, aproximadamente, foi esse aumento em relação à população
em 2016? 1,6 milhão; 0,77%
4
Aproximando as populações dos estados em milhões, com uma casa decimal, e depois adicionando os resultados, qual era a população da região Sudeste em 2017? Você pode consultar o mapa da
p. 351. 86,9 milhões
5
Quais eram as estimativas para as populações das demais regiões brasileiras em 2017?
6
Represente em um gráfico as estimativas das populações das cinco regiões em 2017.
21,7%; 0,25%
N 5 18,0
NE 5 57,2
CO 5 15,8
S 5 29,6 (milhões)
Ver Manual do Professor.
353
Além de educação financeira, aproveite esta atividade
para exercitar as ideias já trabalhadas da Estatística,
desde a seleção das informações a serem utilizadas até
a organização dos dados coletados. Oriente os alunos a
copiar corretamente as informações
que eles terão que localizar
entre muitas outras. Aproveite
para mostrar que nem todas as
informações disponíveis são úteis
na resolução de um problema.
Dinheiro: aprenda a usar
O consumo de alimentos não é igual em todas as
famílias. Seja em quantidade ou em variedade, sempre
encontraremos muitas diferenças entre uma família e
outra, assim como em diferentes regiões do país. Por
isso, vamos conhecer um pouco sobre a “cesta básica”.
As atividades a seguir o ajudarão nessa tarefa.
Respostas pessoais.
I. Pesquise a definição de “cesta básica”. Que produtos compõem a “cesta básica nacional”?
II. Pesquise a composição e o valor mais recente da
cesta básica em seu estado. A resposta deverá ser
na forma de tabela que indique para cada produto
“quantidade” e “gasto mensal”.
Sugestão: Acesse a internet e procure no portal
do Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos (Dieese), disponível em:
<www.dieese.org.br>.
III. Comparando as colunas “quantidade” e “gasto mensal”, determine o preço por quilograma ou por
litro de cada um dos produtos da tabela obtida na etapa anterior.
IV. Converse com alguém de sua casa para responder às perguntas:
a) Que produtos da cesta básica são consumidos por sua família?
b) Em que quantidade os produtos da cesta básica são consumidos por sua família em um mês?
V. Faça uma tabela como a da tarefa II para calcular o preço da cesta básica de sua família.
Sugestão: Na primeira coluna, coloque os produtos listados na tarefa IV. a; na segunda coluna, coloque as quantidades listadas na tarefa IV. b; na terceira coluna, coloque os preços obtidos na tarefa III; na quarta coluna, coloque o gasto mensal de sua família com cada produto. Calcule o total dos
valores da quarta coluna.
VI. Anote por três dias tudo o que você consumiu em comidas e bebidas. Em seguida, identifique quais
desses produtos fazem parte da cesta básica.
VII. Converse com alguém de sua casa para responder à pergunta: “Qual é o gasto mensal de sua família com produtos alimentícios que não fazem parte da cesta básica?”.
VIII. Você considera que os produtos relacionados na resposta da tarefa VII são essenciais ou são supérfluos?
1
Converse com os colegas do seu grupo sobre os produtos colocados na cesta básica das famílias (ver
tarefa IV, item a). As listas ficaram iguais? Por quê?
2
Converse com os colegas do seu grupo sobre as quantidades consumidas de cada produto na cesta
básica das famílias (ver tarefa IV, item b). As quantidades ficaram iguais? Por quê?
354
Fernando Favoretto/Criar Imagem
É básico
Desafios
Dupla entrada
O professor Flávio planejou uma pesquisa sobre preferência por disciplina escolar no Colégio Granja
Juliana.
Consultando os alunos do 6o ao 9o ano, ele organizou os dados coletados na tabela de dupla entrada
abaixo. Nas linhas aparecem as disciplinas preferidas e, nas colunas, os anos em que estão os alunos consultados. Por exemplo, no 6o ano, 20 alunos preferem Ciências, 16 preferem Geografia, 36 preferem História.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
6o ano
7o ano
8o ano
9o ano
Total
Ciências
20
18
15
14
67
Geografia
16
16
18
14
64
História
36
26
18
18
98
Matemática
32
22
16
16
86
Português
24
20
23
18
85
Total
128
102
90
80
400
Responda:
Quantos alunos foram consultados? 400 alunos
Quantos alunos são do 6o ano? 128 alunos
Que porcentagem dos alunos consultados está no 6o ano? 32%
Quantos alunos preferem Matemática? 86 alunos
Que porcentagem dos alunos consultados prefere Matemática?
Quantos alunos do 6o ano preferem Matemática? 32 alunos
Que porcentagem de alunos do 6o ano prefere Matemática? 25%
Que porcentagem de alunos do 9o ano prefere Matemática? 20%
21,5%
Tabelando
cinema
TV
meninos
12
3
total
15
meninas
13
8
21
soma
25
11
36
Em uma classe, há 36 alunos, sendo 21 meninas. Quando questionados se preferiam assistir a filmes
no cinema ou na TV, 25 alunos, dos quais 12 meninos, responderam que preferiam no cinema. Todos os
demais responderam que preferiam assistir a filmes na TV.
O desafio é organizar numa tabela de dupla entrada os dados acima. Disponha-os nas linhas “meninos”
e “meninas” e nas colunas “cinema” e “TV”. Mas atenção ao completar a tabela! E não se esqueça dos totais.
Teste seus conhecimentos
1
A fração irredutível equivalente a 6,25% é:
X
a)
1
8
c)
5
8
b)
1
16
d)
25
4
2
(Saresp) Em uma pesquisa eleitoral, foram
ouvidos 3 000 eleitores. Desses, 1 200 afirmaram que votariam no candidato 7. O
percentual de eleitores que pretende votar
em 7 é igual a
a) 1,2%
b) 4%
Capítulo 22
c) 12%
X
d) 40%
Noções de Estatística
355
(Saresp) As notas de Carlos, Mário e Joel na
última prova de Matemática estão indicadas
no gráfico abaixo.
4
Número de
passageiros
Segunda-feira
250
Terça-feira
183
Quarta-feira
241
Quinta-feira
194
Sexta-feira
269
Sábado
124
6
356
Unidade 7
Estatística
Atividades domésticas
1
1
Atividades escolares
5
1
Atividades de lazer
2
4
Descanso, higiene
e alimentação
10
12
Outras atividades
3
3
b) 21
c) 24
d) 25
X
e) 27
Consumo mensal de energia elétrica
(em quilowatt-hora)
kWh
200
150
100
50
0
jan.
fev.
mar.
abr.
maio
jun.
Em quantos meses o consumo superou
150 kWh?
a) 1
7
X
b) 2
c) 3
d) 4
(Saresp) A tabela abaixo apresenta a variação da população de Xavantina no período
entre 1985 e 2005.
a) Segunda-feira.
b) Quarta-feira.
X c) Sexta-feira.
d) Sábado.
(Enem) Uma pesquisa realizada por estudantes
da Faculdade de Estatística mostra, em hora
por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos
gastam seu tempo, tanto durante a semana
(de segunda-feira a sexta-feira), como no fim
de semana (sábado e domingo). A seguinte
tabela ilustra os resultados da pesquisa.
3
O gráfico mostra o consumo de energia em
uma residência em quilowatt-hora (kWh) no
primeiro semestre de um ano.
Em que dia dessa semana ele transportou o
maior número de passageiros?
5
3
a) 20
(Saresp) A tabela abaixo mostra o número
de passageiros transportados por um ônibus em uma certa semana.
Dia da semana
Assistir à televisão
De acordo com essa pesquisa, quantas horas do seu tempo gasta um jovem entre 12
e 18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares?
A nota de
a) Carlos foi igual à de Mário.
b) Mário foi menor do que a de Joel.
c) Joel foi maior do que a de Carlos.
X d) Mário foi a maior das três.
Durante a No fim de
semana
semana
Rotina juvenil
Reprodução/Saresp,2007.
3
Ano
População
1985
750
1990
920
1995
800
2000
900
2005
950
Nesse período, o maior aumento de população de Xavantina ocorreu entre:
X
a) 1985 e 1990.
b) 1990 e 1995.
c) 1995 e 2000.
d) 2000 e 2005.
8
(Saresp) Mário está treinando para uma corrida e tem marcado, a cada mês, o tempo (em minutos)
que ele leva para correr 10 km.
Reprodução/Saresp,2015.
O resultado está no gráfico a seguir.
a) maior em fevereiro do que em janeiro.
b) menor em abril do que em março.
X c) maior em maio do que em junho.
d) menor em abril do que em maio.
no de alunos
12
10
8
Quantos são os alunos dessa classe?
a) 22
b) 24
X
Conceito na avalia•‹o
Banco de imagens/Arquivo da editora
O gráfico ao lado representa o número de alunos de uma classe para cada conceito recebido
em uma avaliação.
6
c) 27
d) 30
4
2
0
D
10 Uma pesquisa com os 40 alunos do 6o ano A da
Escola Amoreira revelou os dados que estão no
gráfico ao lado sobre a fruta de preferência de
cada um.
C
B
conceito
A
Banco de imagens/Arquivo da editora
9
Podemos concluir que o tempo médio
que Mário levou para correr 10 km foi
Fruta de preferência do 6o ano A
30%
20%
15%
20%
15%
fruta
m
am
ão
aç
ã
lar
m
an
na
na
ba
ac
a
xi
c) 10
d) 15
ab
a) 4
X b) 6
ja
Quantos alunos responderam que preferem abacaxi?
Banco de imagens/Arquivo da editora
11 A quantidade de chuva em uma região é medida em milímetros de chuva (1 mm de chuva equivale ao
acúmulo de 1 L de água numa superfície plana horizontal de 1 m2). No gráfico abaixo está a quantidade média mensal (mm) de chuva numa região.
Em quantos meses
Quantidade mŽdia de chuva
do ano não chove
(mm)
nessa região?
a) 2 meses
300
b) 3 meses
200
c) 4 meses
X d) 5 meses
100
Capítulo 22
z.
de
v.
no
t.
ou
t.
se
o.
ag
l.
ju
n.
ju
aio
m
r.
ab
ar
.
m
v.
fe
jan
.
0
Noções de Estatística
(mês)
357
Respostas dos exercícios
Unidade 1
Números e operações
Capítulo 1 Números
Exercícios
1. 40; quarenta
210; duzentos e dez
sete centenas e oito unidades; setecentos
e oito
quatro milhares e uma centena; 4 100
90 000; noventa mil
600 000; seiscentos mil
1 008 900; um milhão e oito mil e novecentos
2. a) sessenta e quatro
b) trezentos e noventa e um
c) quatrocentos e quatro
d) dois mil, novecentos e treze
e) cinquenta mil, seiscentos e dezessete
f) cento e um mil e dez
3. a) 9
9; 9
b) 8
4; 2; 8
c) 700; 0; 1
7; 0; 1
d) 100; 10; 0
1; 1; 0
e) 2 000; 400; 70; 3
2; 4; 7; 3
4. a) 347
b) 8 632
c) 3 502
d) 2 025
5. Resposta pessoal.
6. 2017: dois mil e dezessete;
207 660 929: duzentos e sete milhões,
seiscentos e sessenta mil e novecentos e
vinte e nove
7. a) 54
b) 117
c) 560
d) 305
e) 1 500
f) 8 710
g) 25 015
h) 900 909
8. a) 6
b) 9
c) 4: centenas de milhares
2: unidades de milhares
8: unidades de milhões
d) Ausência de centenas simples.
9. a) unidades simples; 5
b) unidades de milhares; 5 000
c) dezenas de milhares; 50 000
d) centenas de milhares; 500 000
358
Respostas dos exercícios
10. a) centenas simples; 300
b) centenas de milhares; 300 000
c) unidades de milhões; 3 000 000
d) dezenas de milhões; 30 000 000
11. 56: LVI; 65: LXV; 88: LXXXVIII; 100: C;
110: CX; 190: CXC; 200: CC
12. a) CDXXVIII
b) DCLXXIV
c) MMXXVI
d) CMXCIX
e) MCXIX
f) VDI
13. a) 1927
b) 1895
c) 1783
d) 1790
e) 1772
14. a) 9
b) 14
15. a) Quatro; 50, 52, 54, 56
b) 48
c) 58
16. Os números ímpares são 995, 997, 999,
1001, 1003 e 1005.
17. a) 10 000
b) 100 009
c) 999 998
d) 99 999
18. a) Araraquara
b) Campinas
19. João Paulo II
20. a) XVI
b) XIV
c) LXII
d) LXIV
21. a) errado
b) certo
c) certo
d) errado
e) errado
f) certo
22. a) Marco Antonio
b) Talita
c) 59, 75, 78, 83
d) 32, 23, 21, 12
23. cinza; preto; amarelo
24. A primeira mulher astronauta foi Valentina V. Tereshkova. Em 16/6/1963, tripulando a nave Vostok VI, ela realizou um voo
de 48 órbitas em torno da Terra.
25. a) 45
b) 45
26. a) 124
b) 432
c) 12
Capítulo 2 Adição e subtração
Participe
a) 46 1 45
b) 91
c) 19 1 45
d) 64
e) 91 1 19 ou 64 1 46.
Há outras respostas.
f) 110 anos
g) 3 950 1 2 280 5 6 230.
A renda é de 6 230 reais.
h) 6 230 1 960 5 7 190.
A renda é de 7 190 reais.
Exercícios
1. a) R$ 165,00
b) R$ 225,00
c) R$ 280,00
d) R$ 785,00
2. a) 275
b) 589
3. a) cartão azul: 105 692; cartão rosa: 105 852
b) 211 544
c) 116 361
d) 95 183
e) 75 539
f) 136 005
4. a) 6 827 exemplares
b) 3 922 livros
c) 2 905 livros
d) R$ 38,00
e) R$ 42,00
f) R$ 80,00
5. 2 anos
6. a) 45 anos
b) R$ 4.337,00
c) R$ 5.126,00
7. 112 anos
8. a) 516 jovens
b) 237 jovens
c) 214 meninas
d) No período da tarde.
e) 76 meninas
9. a) 1 344
b) Antônio Carlos
c) 14 284 eleitores
d) 27 016 eleitores
10. a) 75 003 carros; sábado
b) 71 617 carros; domingo
11. a) 611
b) 611
Os resultados são iguais.
12. 28 162
a) 28 162
b) 28 162
13. a) 262
b) 262
c) 262
Os resultados são iguais.
14. a) 109
b) 97
c) 71
d) 112
15. a) 170
b) 531
c) 377
d) 1 113
16. a) 1 990
b) 1 990
17. a) 192
b) 192
18. Resposta pessoal.
19. Resposta pessoal.
29. 13 anos
31. A: 229; B: 771; C: 229
Participe
a) É o preço para pagamento no ato da
compra.
b) A
c) B
d) Custa 90 reais a mais.
e) É uma compra cujo pagamento é feito
em parcelas ou prestações, geralmente
por um preço maior que o preço à vista.
f) Ficará devendo 429 reais.
g) Ficará devendo 339 reais.
Exercícios
25. a) 65 766
b) 63
c) 42 960
d) 229
26. a) 483 folhas
b) R$ 27,00
c) R$ 8. 675,00
d) 17 moedas
Exercícios
32. a) 334
b) 241
c) 1 068
1. 4 3 15 5 60
2. 7 200 pastilhas
33. a) 801
b) 1 575
21. a) R$ 600,00
b) R$ 500,00
c) R$ 700,00
d) R$ 600,00
24. a) 12 000
b) 53 000
c) popular
d) 2017
a) 4 1 4 1 4 1 4 1 4
b) 5 3 4
c) 20 horas
d) 240 alunos
e) 800 horas
30. a) 1 806
b) 287
34. 44
23. a) Natal: 900 000
Cuiabá: 600 000
Porto Velho: 500 000
Rio Branco: 400 000
b) 1 700 000
Participe
28. a) 38 anos
b) Resposta pessoal.
20. a) R$ 200,00
b) R$ 100,00
c) R$ 400,00
d) R$ 500,00
22. a) R$ 583,00
b) R$ 557,00
c) R$ 653,00
d) R$ 627,00
Capítulo 3 Multiplicação
27. a) 765 mulheres
b) 622 lugares
c) 1 866 pessoas
3. a) 72
b) 8
c) 0
d) 80
35. a) Alexandre
b) 15 minutos
4. 59
36. R$ 203,00
5. 448
37. a) R$ 209,00
b) R$ 97,00
6. R$ 518. 400,00
7. a) 1 600 3 100 5 160 000
b) 7 000 3 800 5 5 600 000
38. a) 23
b) 46
c) 15
d) 44
8. Os resultados são: 287 280; 2 024 000;
163 200; 5 639 025.
39. R$ 33,00
40. O quadro ficou com mais
números pares.
20 70 10
60 15 25
20 15 65
41. a) 29 1 (62 2 48) ou 29 1 62 2 48 ou
(62 2 48) 1 29 ou 62 2 48 1 29
b) 43
42. Talita (18); Ingo (4)
43. a) 13 1 10 2 12 5 11
b) 18 2 7 2 8 1 3 5 6
c) 13 1 4 2 1 2 7 5 9
9. a) 21 978
b) 21 978
10. a) 24 570
b) 0
c) 7 665 000
d) 450 000
e) 339 200
f) 813 240
g) 9 095 154
h) 0
11. a) 10 modos
b) 10 dias
44. a) I. 3; II. 0; III. 4
b) I. 5 2 (3 1 1) 5 1; II. 6 2 (4 2 2) 5 4;
III. 12 2 (5 2 3) 5 10
12. a) 9 modos
b) 9 visitas
c) 6 modos
45. a) (3 1 1)
b) (7 2 3)
c) (7 1 3)
d) (3 1 1 1 2)
e) (18 2 11 1 3)
f) (18 2 11)
13. a) 12 modos
b) 6 possibilidades: abacaxi e coco; abacaxi e limão; abacaxi e morango; coco
e limão; coco e morango; limão e morango
46. Resposta pessoal. Resultado: 10.
47. 6 153
48. a) Aumentará 4 unidades.
b) Aumentará 5 unidades.
c) Aumentará 50 unidades.
49. Nos jogos do Flamengo.
50. a) 112 mil pessoas
b) 92 mil pessoas
c) 177 mil pessoas
d) 112 182 pessoas
e) 93 016 pessoas
f) 178 232 pessoas
14. a) 26
b) 52
15. Número Dobro
Triplo Quádruplo
1
2
3
4
5
10
15
20
22
44
66
88
104
208
312
416
0
0
0
0
n
2n
3n
4n
16. 162
17. R$ 674.998,00
18. 40; 40
Respostas dos exercícios
359
19. a) 1 080
b) 1 080
Os resultados são iguais.
40. a) 2 meses
b) 3 meses
c) 6 meses
20. a) 14 000
b) 14 000
c) 14 000
Os resultados são iguais.
41. a) 2 anos
b) 5 anos
c) 10 anos
d) 100 anos
21. a) 219
b) 145
c) 262
d) 152
42. a) minuto
b) hora
c) segundo
d) dia
22. a) 37
b) 68
c) 37
d) 22
43. às 16 horas
20. 7
44. às 4 horas
21. 220; 85; 2 736; 620; 845; 49 291
23. a) 396
b) 294
c) 430
d) 1 500
24. a) 900
b) 900
25. 9 070
26. Resposta pessoal.
27. Resposta pessoal.
28. R$ 465.700,00
29. a)
9 070
3
40
362 800
b)
980
3 105
102 900
c)
362 800
1 102 900
465 700
30. R$ 465.700,00
31. Resposta possível: 4 3 7 1 2 3 5 5 38
32. 1a prova: 28; 16; 2a prova: 13; 17
Guilherme obteve mais pontos.
33. 9
35. a) (3 1 4)
b) (5 2 3)
c) (6 2 6)
d) (6 2 5)
36. a) 473 doces
b) 801 salgados
37. 83 dias
38. a) 300 min
b) 7 200 min
c) 50 400 min
d) 43 200 min
39. a) 3 600 s
b) 604 800 s
c) 2 592 000 s
d) 31 104 000 s
Respostas dos exercícios
15. 11; 1 232; 60; 52; 22
16. 7; 3; 57; 1. Giovana está certa.
17. azul: 5 119; vermelho: 896
18. R$ 24,00
19. a) 17
b) 36
Nenhum deles.
22. 20; 4
Capítulo 4 Divisão
Participe
a) 720 000 ; 6
b) 120 000
c) A multiplicação de 120 000 por 6 resulta em 720 000.
d) 720 000 ; 120 000 5 6
e) 120 000
f) 120 000 ; 24 000
g) 5
h) 5 3 24 000 5 120 000
Exercícios
1. a) 5 grupos
b) 8
2. a) 21 dias; 3 semanas
b) 20 caixas
c) 60 doces
3. a) 36 litros
b) 54 litros
c) O gasto é igual com qualquer um dos
dois combustíveis.
4. R$ 2. 370,00
34. a) 440 metros
b) 8 000 centímetros
c) 2 000 centímetros
d) 28 000 centímetros
360
45. 44 dias; 1 056 horas
14. a) 16
b) 342
c) 41
d) 65
5. a) 8 meses
b) 30 semanas
c) 8 760 horas
d) 5 dúzias
6. 105
7. R$ 565,00
8. 1 350 gramas
9. azul: 20; vermelho: 40
23. 261 semanas
24. sexta-feira
25. a) 1 606 caixas
b) 27 palitos
c) 4 820 caixas; 1 palito
26. a) 4 679
b) Impossível; o resto não pode ser maior
que o divisor.
27. a) certa
b) certa
c) certa
d) certa
e) certa
f) errada
28. a) 250 horas
b) 10 dias e 10 horas
29. a) 360 h
b) 720 h
30. a) 129 600 min
b) 30 min
31. a) 1 me 25 d 13 h 20 min
b) 4 d 4 h
c) 1 min 36 s
d) 2 h 1 min 24 s
32. a) 5
b) .
33. a) 16 a 2 me
b) 1 me 9 d 9 h
34. a) ,
b) .
35. 454 d
36. a) 7 h 24 min
b) 10 h 17 min
10. R$ 3.255,00
37. 97 min 20 s
11. 36: dividendo; 4: divisor; 9: quociente
38. 57 s
12. a) 108
b) 144
c) 20
d) 52
e) não
f) sim
13. a 5 15; b 5 6; c 5 5; d 5 10; e 5 2
39. 1 h 49 min 20 s
40. a) 7 h 42 min
b) 1 h 5 min
c) 18 h 36 min 15 s
d) 2 h 4 min 59 s
e) 22 s
f) 28 d 8 h
41. 1 h 49 min 56 s
Exercícios
42. Às 10 h 33 min 20 s
1. a) 16
b) 64
c) 256
43. a) 27 min 36 s
b) 19 h 59 min 47 s
44. dia 8, às 23 h 14 min 33 s
45. 2 064
46. a) R$ 2.360,00
b) R$ 1.180,00
c) R$ 2.020,00
d) Calculando a soma e a diferença.
A soma deve ser R$ 3.200,00 e a diferença, R$ 840,00.
2. a) 4 3 4 3 4 5 64
b) 1 3 1 3 1 3 1 5 1
c) 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 32
d) 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 64
3. a) 73
b) 85
c) 122
d) 67
4. a) 64
b) 0
c) 100 000
d) 36
47. a) 4 anos
b) 105 anos
c) 35 anos
d) 39 anos
e) 42 anos
5. a) 100
b) 1 000
c) 1 110
48. a) 4 vezes
b) 36
c) 108
49. a) 11 600
b) 58 000
50. O gerente recebeu R$ 2.500,00 e cada
vendedor recebeu R$ 1.250,00
6. a) 32
b) São iguais.
c) 25
d) São iguais.
7. a) 6
b) 82
2
51. a) 2 anos
b) 92 anos
c) 4 vezes
d) 23 anos
e) 21 anos
8. a) 22
b) 32
c) 42
d) 52
52. a) 54 rodas
b) 44 rodas
c) 2 rodas
d) 22 automóveis
e) 5 motos
9. a) 25
b) 100
c) 36
d) 225
e) 144
f) 10 000
53. a) R$ 10. 395,00
b) R$ 675,00
c) R$ 45,00
d) 15 passageiros
e) 62 passageiros
10. 23
54. 2 250 ingressos
55. Rafael: 5; Tonhão: 10; Fabinho: 8
56. a) 12 anos
b) 15 anos
12. cubo de 6; 216
4 a potência de 3; 81
5a potência de 3; 243
8a potência de 2; 256
quadrado de 11; 121
57. 72 ingressos
58. 9 cortes
59. a) R$ 380,00
b) R$ 630,00
c) R$ 2. 400,00
60. R$ 840,00
Capítulo 5 Potenciação e radiciação
Participe
a) 4
b) 8
c) 16
d) 32
e) 64
11. a) 8
b) 125
c) 1 000
d) 27
e) 512
f) 1 000 000
f) 9
g) 27
h) 81
i) 243
15. 12 zeros; um trilhão
16. a) 58
b) 1 953 125
c) 78 125
17. 36; 1 679 616
18. a) 1 331
b) 14 641
c) 161 051
19. a) 10 201
b) 1 002 001
c) 100 020 001
20. 10 000 200 001
21. Maurício; Talita
a) 89; Maurício
b) 57; Gabriela
c) 145; Alexandre
d) 10; André
e) 36; Luciana
f) 37; Priscila
22. Raul: 52; Gabriel: 432; Marina: 25;
Lílian: 48
23. a) 6
b) 28
c) 100
24. a) 0
b) 106
c) 120
d) 149
e) 2
f) 25
A história do livro; Ana.
25. a) 3
b) 4
c) 3
d) 5
26. a) 4
b) 6
c) 9
27. a) 14
b) 3
28.
Número
n
13. a) 2 3 999
b) 9992
c) 9993
d) 3 3 999
e) 2 3 n
f) n2
g) n3
h) 3 3 n
14. a) 100
b) 1 000
c) 10 000
d) 100 000
e) 1 000 000
f) 10 000 000
Em caso
né
afirmativo,
quadrado
perfeito? quanto é n ?
25
sim
64
sim
5
8
80
não
80 não é
quadrado
perfeito
100
sim
10
121
sim
11
144
sim
12
225
sim
15
75
não
75 não é
quadrado
perfeito
400
sim
20
625
sim
25
29. 14
Respostas dos exercícios
361
30. a) 45
b) 210
Participe
50. 1 001; 1 010; 1 100
a) Uma linha comum a duas faces.
b) Um ponto determinado pelo encontro
de três arestas.
c) A figura rosa.
31. a) 3
b) 212
c) 210
d) 1020
51. a) 99 999
b) 98 765
c) 10 000
d) 10 234
32. a) I. errado; II. errado; III. certo
b) adicionamos
52. 612 algarismos
53. 111; 112; 121; 122; 211; 212; 221; 222
Exercícios
33. a) 35
b) 102
c) 72
d) 122
54. a) 11
b) 100
c) 101
d) 110
e) 1 101
f) 11 001
5. a) A, B, C, D, E, F, G e H
b) 12 retas
c) 6 planos
8
34. a) subtraímos
b) I. 105; II. 25; III. 28
55. a) 10
b) 26
35. a) 310
b) 212
c) 518
d) 220
56. 1 ? 33 1 2 ? 32 1 1 ? 31 1 2 ? 30
37. a) 7
b) 18
c) 1
d) 1
38. a) certo
b) certo
39. a) 1201
b) 3120
40. a) 1
b) 308
41. a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
42. a) 1
b) 1
c) 27
d) 10 000
44. 9
45. a) 59 049
Teste seus conhecimentos
47. Gabriela (7): girafa; Luciana (11): rinoceronte; Fabinho (94): onça; Priscila (15):
elefante; Alexandre (114): gorila; Nicolau (1): leão. Não sabemos a preferência
de Maurício.
22. d
10. Quatro retas: a, r, x e t
2. c
23. c
3. a
24. c
11. a) a, b, c e t
b) r, s e t
c) t
4. b
25. a
5. c
26. c
6. d
27. b
7. c
28. c
29. d
13. Dez retas: AB , AC, AD, AE, BC, BD, BE ,
CD, CE e DE
14. B, H, I e D
9. d
30. d
10. a
31. d
15. t e v
11. d
32. a
16. sim
12. d
33. d
17. não
13. a
34. a
18. a) certo
b) certo
c) certo
d) certo
e) errado
f) certo
14. d
35. c
15. c
36. a
16. d
37. b
17. b
38. b
18. c
39. a
19. d
40. d
20. d
41. c
21. b
42. c
Unidade 2
Geometria: primeiros passos
Capítulo 6 Noções fundamentais
Exercícios
2. pirâmide de base quadrangular
49. a) 6 789
b) 2 008
4. cone
Respostas dos exercícios
12. a) C, B e D
b) A e E
c) A e B
d) C
8. d
48. a) 1 ? 10³ 1 9 ? 10² 1 5 ? 10¹ 1
1 8 ? 10 0
b) 3 ? 10 4 1 2 ? 10³ 1 6 ? 10¹ 1
1 5 ? 10 0
c) 25 001
d) 607 080
9. 6
1. c
b) 531 441
46. A caixa 3.
362
7. a) pontos
b) 4
c) 1
8. retas
36. a) I. (83)5 5 815; II. (254)10 5 2540;
III. (103)2 5 10 6; IV. (73)3 5 79
b) multiplicamos
43. a) 98
b) 35 ? 47
c) 57
d) 515
e) 323
f) 102
6. a) A, B, C e D
b) 6 retas
c) 4 planos
1. paralelepípedo
3. cilindro
Capítulo 7 Semirreta, segmento de
reta e ângulo
Participe
a) • Rua Amélia Bueno.
• Rua Rodolfo Maia.
• No cruzamento entre as ruas Amélia
Bueno e Rodolfo Maia.
b) A praça.
c) Sim. Porque fica localizado exatamente no cruzamento dessas duas ruas.
Exercícios
1. c) O segmento PQ.
2. a) 2
b) 4
c) 1
d) 3
3. a) Quatro semirretas: Rr, Rs , Sr , Ss
b) Um segmento de reta: RS
16. 15 minutos
5. a) Duas semirretas: BA e BC
b) A
c) Seis semirretas
18. 3 horas
17. 15 segundos
8. AB, BC, CD, DE, EA, AD, AC, BE , BD e
CE
a) Ele quis dizer que Jonas chutou a bola
no canto superior da trave.
b) Resposta pessoal.
c) Resposta pessoal.
7. b
9. a
10. b
Participe
a) sim
b) Retas concorrentes.
c) não
d) Rua Adelaide e Rua Rodolfo Maia;
rua João Mesquita e rua Amélia Bueno.
e) A imagem A mostra duas retas que se
cruzam, enquanto na imagem B as retas não se cruzam.
Exercícios
9. a) AB e AC
b) B
c) CB e CA
ˆ e CDE
ˆ
10. a) ABC
b) B e D
c) BA, BC, DC e DE
11. d
b
c
d
e
a
concorrentes
concor- para- concorrentes lelas rentes
para- concorlelas rentes
concor- concorrentes rentes
d
concor- para- concorrentes lelas rentes
e
concor- concor- concor- concorrentes rentes rentes rentes
concorrentes
15
sim
245
11
não
1 468
19
não
7. Sim; 1 figurinha. Não.
8. Resposta pessoal.
9.
É
Número divisível
por 2?
É
divisível
por 3?
É
divisível
por 2 e
por 3?
11. d
20
sim
não
não
12. d
27
não
sim
não
30
sim
sim
sim
35
não
não
não
54
sim
sim
sim
93
não
sim
não
122
sim
não
não
216
sim
sim
sim
Unidade 3
Múltiplos e divisores
10. 0
Capítulo 8 Divisibilidade
11. a)
Participe
a) 56 862 ; 4
b) 14 215
c) Sim, sobraram duas.
d) não
e) não
f) não
g) Sim. Sobrariam quatro.
h) Não, porque a divisão de 56 862 por 4
não é exata. Sim, porque a divisão de
56 862 por 6 é exata.
i) sim; sim; não
j) sim; sim; sim
Exercícios
concor- para- concor- concorrentes lelas rentes rentes
sim
2 445
c) é
14. c
sim
sim
6. 12, 78, 102, 3, 0, 555, 13 890
13. d
Participe
c
4. b
8. c
Participe
b
3. a
6. d
12
15
N não Soma de todos A soma é
divisível os algarismos divisível
por 3
do número
por 3?
2. b
5. c
372
447
o
1. c
7. a) Dez semirretas
b) Dez segmentos: AB, AC, AD, AE, BC,
BD, BE , CD, CE e DE
c) AB, BC, BD e BE
a
No
Soma de todos A soma é
divisível os algarismos divisível
por 3
do número
por 3?
Teste seus conhecimentos
6. a) Seis semirretas
b) XY, XZ e YZ
c) XZ; X e Z
12.
b)
1. a) Certo
b) Errado; 680 não é divisível por 12.
c) Certo
d) Errado; 209 é divisível por 11.
2. a) 0
b) 1
c) Sim. Porque as divisões têm resto zero.
d) Não. Porque as divisões não têm resto
zero.
e) pares
13. 2; 8
3. 7 vezes
14. 4; a e b; a e d; c e d; c e b
4. 12, 78, 102, 134, 1 234, 0, 13 890
15. a) D8
b) cinco
5. a) 81 (resto 2); 124; 149; 489 (resto 1);
815
É
É
É
Número divisível divisível divisível
por 2?
por 3?
por 6?
158
sim
não
não
99
não
sim
não
731
não
não
não
192
sim
sim
sim
846
sim
sim
sim
b) 2; 3
12. 12 300, 67 890, 112 704
13. a) 102, 104, 106, 108, 110, 112, 114, 116,
118
b) 102, 105, 108, 111, 114, 117
c) 102, 108, 114
14. 685 (resto 2); 55; 936; 138 (resto 3)
a) não; 7
b) sim; 5
c) sim; 0
d) não; 3
e) 0 ou 5
15. 0 ou 5
16. Os números divisíveis por 5 são: 75, 210,
13 260, 5, 0, 12 345 e 4 080.
Os números divisíveis por 5 são os que
terminam em 0 ou em 5.
17. 410, 415, 140, 145
18. a) 1, 4 ou 7
b) 0
19. 4
20. a) Qualquer que seja o algarismo do meio,
o número não será divisível por 2.
b) 2, 5 ou 8
Respostas dos exercícios
363
21. a) 12
b) 0, 3, 6, 9, 117, 402, 12 345, 111 111,
132 000, 543 210
c) 10
d) 0, 6, 402, 132 000, 543 210
e) 0, 10, 70, 130, 132 000, 543 210
f) 0
g) 0
h) 0
22. 270, 1 100, 3 000
Participe
32. 2012 e 2016
33. a) 2024 e 2028
b) Não, porque termina em 00 e não é
divisível por 400.
c) Resposta pessoal.
34. a) 2 000 é a soma de duas parcelas
de 1 000.
b) 15 000 é a soma de quinze parcelas
de 1 000.
c) Como 1 000 é divisível por 8, todo número terminado em 000 também é, porque é uma soma de parcelas de 1 000.
35. a) sim; sim; sim
b) sim; não; não
c) sim; sim; sim
d) sim; não; não
e) sim; não; não
f) sim
g) não
a) 42; não
b) 21; não
c) sim
d) 42
e) sim
f) não
g) sim
h) 43; 21; sim, sobraria 1 bandeja.
i) sim, sobrariam 2 maçãs.
j) não
k) 42; é. 43; não é.
l) não; não
m) sim; sim
n) não
o) par (ou divisível por 2)
36. Resposta pessoal.
37. a; c; d; e; g; h
38. a) sim; sim
b) sim; sim
c) não; não
d) sim; sim
e) não; não
f) sim
g) não
h) soma; é
Exercícios
23. 1 056, 40 e 32
39. a; b; d; f
24. a) sim
b) não
40. 441, 450, 459 ou 468
41. a) sim
b) sim
c) não
d) sim
e) sim
f) não
g) sim
h) sim
25. a) 5; 3
b) 8
c) sim; sim
d) sim
26. Resposta pessoal.
27. é
28. a) Porque são somas de parcelas de 100,
e 100 é divisível por 4.
b) sim; sim; sim
c) sim; não; não
29.
Número
Este
formado número
Número
pelos dois
é
dado
últimos divisível
algarismos por 4?
Número
dado
O
número
dado é
divisível
por 4?
316
16
sim
300 1 16
sim
4 148
48
sim
4 100 1 48
sim
não
13 126
26
não
13 100 1 26
47 108
08
sim
47 100 1 08
sim
11 222
22
não
11 200 1 22
não
101 010
10
não
101 000 1 10
não
123 456
56
sim
123 400 1 56
sim
a) Sim
b) Não
42. a) não
b) sim
43. a) não
b) 4
c) 4
d) 9
44. a) não
b) 10
c) 1
45. Todas as afirmações estão corretas.
Capítulo 9 Números primos.
Fatoração
Exercícios
1. a) 1, 3, 7 e 21; não
b) 1 e 23; sim
30. divisível
2. 2
31. 336, 540, 1 608, 1 776 e 18 092
3. Respostas pessoais.
364
Respostas dos exercícios
4. a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
41, 43 e 47
c) São primos: 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,
83, 89 e 97
5. a) primo
b) composto
c) primo
d) composto
6. a) 503
b) 809
7. primos: 101, 179, 421, 173, 277; compostos: 247, 423, 3 876, 715, 425, 417, 175,
427, 172, 177, 429
8. a) 1 009
b) 997
9. a) seis
b) nenhum
10. 2 ? 18; 3 ? 12; 6 ? 6; 9 ? 4; 12 ? 3; 18 ? 2
11. a) 1 ? 300; 2 ? 150; 3 ? 100; 4 ? 75; 5 ? 60;
6 ? 50; 10 ? 30; 12 ? 25; 15 ? 20
b) 15 e 20
12. 10 modos
Participe
a) Possível resposta: 1 ? 60, 2 ? 30, 3 ? 20,
4 ? 15
b) Possível resposta: 1 ? 6 ? 10; 2 ? 3 ? 10;
3?4?5
c) 2 ? 2 ? 3 ? 5
d) composto
e) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 e 40
f) 2 ? 2 ? 2 ? 5
Participe
a) 40 5 2 ? 2 ? 2 ? 5 5 23 ? 5
b) Não; é primo.
c) Sim; é maior que 1 e não é primo.
d) 28 5 22 ? 7
Exercícios
13. a) 48 5 24 ? 3
b) 92 5 22 ? 23
c) 98 5 2 ? 72
d) 120 5 23 ? 3 ? 5
e) 168 5 23 ? 3 ? 7
f) 180 5 22 ? 32 ? 5
g) 225 5 32 ? 52
h) 250 5 2 ? 53
i) 308 5 22 ? 7 ? 11
14. 140 5 22 ? 5 ? 7; 500 5 22 ? 53;
5 445 5 32 ? 5 ? 112; 650 5 2 ? 52 ? 13;
3 900 5 22 ? 3 ? 52 ? 13
A fatoração que sobra é do número 3 072.
15. a) 5
b) 13
c) 17
d) 29
16. a) 1 e 80; 2 e 40; 4 e 20; 5 e 16; 8 e 10
b) 5 e 16
c) 8 e 10
17. a
Capítulo 10 Múltiplos e mínimo
múltiplo comum
Participe
a) Números pares.
b) 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...
c) 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...
Exercícios
1. 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 e 48
Capítulo 11 Divisores e máximo
divisor comum
Participe
a) 180 ; 9
b) Sim, porque 180 é divisível por 9.
c) 180 ; 24
d) Não, porque 180 não é divisível por 24.
e) sim
f) sim
g) não
h) 12, 16, 24, 32, 48 e 96
2. 35, 42, 49 e 56
3. a) 0, 11, 22, 44, 55, 66, 88 e 99
b) 33 e 77
Exercícios
4. a) sim
b) não
1. a) Sim, porque 36 é divisível por 9.
b) Não, porque 36 não é divisível por 11.
5. a) 335
b) 341
c) 340
d) 333
e) 348
2. a) não
b) sim
6. a) 108
b) 108
c) 36
Participe
a) Resposta pessoal.
b) 0, 6, 12, 18, 24, ...
c) Nos dias 6, 12, 18, 24 e 30.
d) 6
e) Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20 e 24.
Múltiplos de 6: 6, 12, 18 e 24.
f) 12 e 24
g) 12
3. a) sim
b) não
c) sim
d) não
4. a) 5
b) 2
c) 10
d) 6
5. a) 3
b) 680
c) 116
d) 205
6. a) C; 1, 2, 5 e 10
b) A; 1, 2, 3, 4, 6 e 12
c) B; 1, 2, 4 e 8
7. certo
8. 1, 2, 3, 6, 9, 18
Exercícios
7. a) 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 e 48
b) 8, 16, 24, 32, 40 e 48
c) 24 e 48
d) 24
8. Às 10 horas
9. 75
10. a) 36
b) 120
c) 60
d) 200
9. a) 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110,
b) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
10. a) 1; 2; 5, 10; 11, 22, 55, 110
b) 1; 2; 4; 8; 3, 6, 12, 24; 9, 18, 36, 72
11. a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 15, 20, 22,
30, 33, 44, 55, 60, 66, 110, 132, 165,
220, 330 e 660
b) quatro (2, 3, 5 e 11)
12. a) não
b) sim
13. 117; não
11. parque de diversões
12. a) 6 525 dias
b) Aproximadamente 18 anos
c) 252 anos
13. 840 segundos (14 min)
14. a) 180
b) 480
15. os meninos; 30 pontos
16. As equipes azul e branca empataram em
1o lugar.
Participe
a) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24
b) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30
c) 1, 2, 3 e 6
d) 6
e) 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 e 140
f) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75 e 150
g) 1, 2, 5 e 10
h) Divisores comuns de 140 e 150.
i) 10
Exercícios
14. a) 1, 3, 5, 15
b) 15
15. 6 metros; 28 pedaços
16. 2 metros; 340 pedaços
17. 18 livros e 22 pacotes
18. 4
19. a) 1
b) 7
c) 2
d) 1
20. a) são
b) não são
c) não são
d) são
Participe
a) 126 5 2 ? 3 ? 3 ? 7
b) 270 5 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 5
c) 2 e 3
d) Sim, o 3.
e) Duas vezes em 126 e três em 270.
f) 9 (é 3 ? 3)
g) 9 ? 2 5 18
h) 18
i) 126 5 2 ? 32 ? 7; 270 5 2 ? 33 ? 5;
18 5 2 ? 32
j) menor
Exercícios
21. 60 bombons
22. a) 5
b) Serra das Onças, Pico dos Gaviões, Pererê, Cidade Feliz e Praia do Sol
23. a) 12
b) coco: 7; chocolate: 12; leite: 5
24. a) 1
b) 3
c) 1
d) 16
Os números dos itens a e c são primos
entre si.
25. a) 28
b) 6o ano: 10; 7o ano: 8; 8o ano: 6; 9o ano: 4
26. a) Marcos tem 20 anos e Daniel, 21 anos;
logo, Daniel é o mais velho.
b) Marcos ganhou R$ 840,00 e Daniel,
R$ 840,00; logo, eles ganharam
quantias iguais.
27. a) Sim, 75 e 98.
b) 555
c) Há duas possibilidades: 23 520 ou
15 680.
28. a) maracujá
b) carambola
29. 2025 e 2070
30. a) nem sempre (é múltiplo de 12)
b) 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 e 96
Respostas dos exercícios
365
h) roxo
i) 8
j) um oitavo
1
k)
8
Teste seus conhecimentos
1. a
2. b
3. c
1
3
; três oitavos ou ;
8
8
8
6
seis oitavos ou ; oito oitavos ou
8
8
8
m)
8
l) um oitavo ou
4. c
5. c
6. a
9. a) um sexto
b) nove milésimos
c) quatro sétimos
d) cinco doze avos
e) onze cinquenta avos
f) sete treze avos
423
1000
2
b)
10
7
c)
20
3
d)
100
3
e)
5
10. a)
7. b
8. d
Participe
9. c
a) 4; quantas partes tomamos.
b) 7; o número de partes em que o inteiro
foi dividido.
7
c)
7
10. c
11. a
12. b
13. a
Exercícios
14. b
19. c
1. a) um meio
b) três quartos
c) oito onze avos
d) um quinze avos
e) dois terços
f) sete décimos
g) cinquenta e um centésimos
20. d
h) onze trinta e cinco avos
15. b
16. d
17. c
18. d
8
9
1
b)
4
1
c)
3
21. c
2. a)
Unidade 4
Frações
2
4
3
e)
4
Participe
2
5
b) 5; 2
3
c)
5
d) 5; 3
3. a)
a)
b) 4
c) um quarto
1
d)
4
4. a)
5
9
b)
4
9
e)
5. Há várias possibilidades. Uma delas:
7
11
4
b)
11
6. a)
g)
366
1
4
2
dois quartos
4
um quarto
três quartos
12. a) 10
b) 18
c) 8
13. a) 7
b) 49
14. a) 15
b) 35
15. 5 anos
16. 45
17. 25 páginas; 35 páginas
18. 6
19. a) 560
b) 315
c) 945
d)
Capítulo 12 O que é fração?
f)
11. a) 5
b) 6
c) 8
3
4
quatro quartos
4
4
Respostas dos exercícios
4
4
50
7. a)
250
11
b)
250
8.
4
7
Participe
a
1 situação
2
a)
3
b) 2
c) 3
d) o numerador
e) sim
f) Resposta pessoal.
2a situação
a) 3
1
b)
3
c) 5
5
d)
3
e) 5
f) 3
g) o numerador
h) sim
i) Resposta pessoal.
3a situação
a) 3
b) 6
6
c)
3
d) 6
e) 3
f) sim
g) sim
h) duas
i) 2
j) Resposta pessoal.
3
barras
7
b) Dividir 3 barras em 7 partes iguais cada
uma e dar 3 barras inteiras e três sétimas partes para cada neto.
Exercícios
4 3 7
; ;
4 4 4
b) imprópria e aparente; própria; imprópria
4
3
1
c)
4
4
d) 1
3
e)
4
20. a)
21. a) própria
b) imprópria e aparente
c) própria
d) imprópria
e) imprópria e aparente
f) própria
g) imprópria e aparente
31. a) 20
b) 8
c) 1
7
1
d) ou 3
2
2
32. a) O quociente é 2 e o resto é 4.
b) 2
c) 2
d) 4
4
e)
7
4
f) 2
7
1
5
5
b) 7
6
33. a) 5
1
2
5
d) 15
8
4
e) 11
13
13
f) 52
25
Frações
próprias
impróprias
2
7
aparentes
11
3
14
7
8
4
9
4
10
1
14
7
19
8
120
10
10
1
8
4
34.
30
49
1
3
7
3
7.
24
26
2
1
7
9
7
8.
14
35
2
25. 1
2
7
30
7
1
1
3
4
3
1
2
5
2
3
2
5
5
3
11
13
5
14
7
2
10
1
10
120
10
12
b) Resposta pessoal.
12
c)
6
d) Resposta pessoal.
27. 0
12
28. a)
4
b) imprópria e aparente
c) 3
3 3 1
29. a) ; ;
3 3 3
b) 1
1
c) 2
3
2
Forma de
número natural
2
5. a) 4
b) 5
c) 12
d) 30
e) 55
6.
120
10
8
4
3. a) certo
b) errado
c) certo
d) certo
Fração imprópria
4
Fração aparente
10
15
20
10
b)
5
30
15
4
c)
6
20
4
d)
5
30
6
2
e)
3
20
2
f)
5
30
3
2. a)
Número misto
11
2 9
1 19
3
53 ; 52 ;
24.
52
3
3 4
4 8
8
26. a)
e)
4. a) 6
b) 2
c) 5
d) 5
c) 29
3
22. 1
4
23.
20
30
2
20
f) 5
3
30
30. a) 3
9. a) 247 quilômetros
b) R$ 350,00
Participe
a) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24
b) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36
c) 1, 2, 3, 4, 6 e 12
24 12 8 6 4 2
d)
;
;
; ; ;
36 18 12 9 6 3
24
12
8
6
4
2
e)
,
,
, , ,
36
18
12
9
6
3
2
f)
3
g) não
h) 1
i) primos entre si
38
11
35. 390 reais; 630 reais
36. 132
37. a) 29 quilômetros
b) R$ 216,00
c) 34 caminhões
Capítulo 13 Frações equivalentes.
Comparação de frações
Exercícios
4
6
2
4
b) 5
3
6
14
c)
21
2 14
d) 5
3
21
1. a)
Exercícios
10.
8
2 25
5 30
2 120
3
, ;
,
;
, ;
,
20
5 60
12 45
3 440
11
11. a)
12.
1 2 4 7
;
; ;
14 13 11 8
2 2
;
3 3
1
2
1
b)
3
13. a)
Respostas dos exercícios
367
1
2
2
d)
3
3
e)
5
5
f)
3
c)
7
6
3
b)
5
7
c)
2
7
d)
9
14. a)
2
5
2
b)
5
c) São iguais.
15. a)
16.
4 4
; ; sim
3 3
17. Os pares que vão dançar são: Alexandre
e Priscila; Maurício e Gabriela; Pedro e
Luciana.
Não vão dançar: Vítor, Ricardo e Andreia.
18. 30 5 2 e 40 5 20 . As frações não são
105 7
126 63
equivalentes.
14 2
;
21 3
125 15
b)
;
225 27
19. a)
1
20. a) 20
1
b)
4
8
13
2
b)
17
21. a)
22.
84
55
e
300 300
23. azul: papel; verde: vidro; vermelho: plástico;
amarelo: metal
24. a) cinema
b) sorveteria
c) praia
d) shopping
25. b) Alexandre: Paraná; Ricardo: Amazonas;
Roberta: Pernambuco; Maurício: Rio
Grande do Sul.
Participe
a) menor
3
3
,
b)
12
8
c) São iguais.
3
d)
12
e) maior
1 1
f) , , lilás
4 8
1
1
g) ,
8
4
368
Respostas dos exercícios
h) maior
1
2
i)
,
4
4
j) menor
4
6 1
3
k) , , ,
8
8 2
4
l) menor
Exercícios
1. a)
7
4
b)
4
3
17
6
d) 1
c)
Exercícios
2
3
11
b)
4
1
c)
2
2
d)
5
26. a)
5
12
3
b)
11
3
c)
4
8
d)
5
f)
28
5
10
3
h) 1
2. a)
13
6
5
6
17
c)
15
b)
25
12
5
e)
6
d)
1
4
15
b)
2
2 470
c)
27
1
d)
100
28. a) 3
7
1
3
: Júlio; : Luca; : Alexandre;
15
2
5
2
5
: Mário; : Paulão
3
6
5
7
; o time da escola em que Jorge
b) .
8
16
trabalha.
29
5
g)
27. a)
29. a) 5
b) ,
c) .
d) ,
e) ,
f) .
g) 5
e)
f)
5
4
g)
247
30
h)
31
36
1
3. 11 . 10 ; portanto, o time de camiseta
3
verde.
101
60
4
b)
5
11
c)
72
2
d)
3
4. a)
30. a)
5. 1 680 ladrilhos
6. a) R$ 184,00
b) R$ 46,00
31. a) Bárbara
b) 21 horas
c) 2 horas
32. Viviane
Capítulo 14 Operações com frações
Participe
a) Todos estão divididos em 7 partes
iguais.
b) 5
5
c)
7
2
3
d) 1
7
7
2 4 3
e)
,
,
10 10 10
2
4
3
9
f)
1
1
5
10
10
10
10
19
24
d) 50 figurinhas
c)
7. 8 quilômetros
8. 16 500 litros
9. 72 páginas
10. 2 min 40 s
11.
1
5
2
5
3
b)
5
a)
11
5
8
b)
3
12. a)
77
5
2
b)
3
24. a)
1
10
2
b)
21
2
c)
27
33
d)
16
25. a) 2
14. a)
15. a) Bela:
26.
2
1
; Gabriel: 1;
; Cristina:
30
15
1
Neide: 10; Mário:
2
1 2 1
,
b) 10, 1, ,
, ou seja: Neide,
2 15 30
Gabriel, Mário, Bela e Cristina.
16. a) Gabi: 27 pontos; Tonhão: 18 pontos;
Zelu: 12 pontos; Fabiano: 36 pontos;
Marta: 33 pontos
b) Fabiano
c) Zelu
2
3
25
b)
3
4
c)
3
17. a)
20. a) 1
b) 1
c) 1
d) 1
e) 1
Os resultados são iguais.
28.
b)
c)
d)
e)
121
; chapéu mexicano
100
9
b)
; palácio dos horrores
40
71
c)
; trem fantasma
4
171
; roda-gigante
d)
245
31
e)
; montanha-russa
75
23. a)
7
4
4
21
29. a) Os dois comeram a mesma quantidade.
1
b)
5
30. 120
31. Luciana e Talita; Gabriela e Mariana; Ricardo e Pedro; Alexandre e Nicole; Priscila
e Renato; Maurício e Patrícia.
Sobraram Paulo e Jussara.
1
;2
2
7
b) 15;
12
11 63
c)
;
9 100
1 5
d) ;
4 2
18 14
e)
;
7 11
39 27
f)
;
4 7
32. a)
33.
26
5
34.
5
6
3
7
3
b)
5
1
c)
3
3
d)
10
35. a)
21. verdadeira
5
4
2
7
1
48
125
224
29
10
3
16
d)
7
3
20
b)
3
7
c)
3
19. O exercício 17 envolve uma multiplicação;
já o exercício 18 envolve uma multiplicação e uma adição.
b) 14
27. a) 45
50
b)
3
6
c)
5
18. a)
22. a)
Participe
151
; urso de pelúcia
40
13
; bola de futsal
b)
100
13. a)
36. uma
37. a) 1
239
b)
56
38. a) R$ 1.000,00
b) R$ 500,00
c) R$ 187,50
d) R$ 312,50
5
e)
32
39. a) 520 pessoas
b) 260 pessoas
c) 130 pessoas
40.
1
6
a) 2; 3
2
b) ; 3
3
8
c)
27
Exercícios
41. a)
b)
c)
d)
e)
f)
1
4
1
8
1
81
9
4
343
512
16
625
27
3
53
8
8
225
1
b)
5 14
16
16
529
25
c)
5 14
36
36
42. a)
25
36
7
b)
4
89
c)
72
11
d)
20
43. a)
44. a) 1
3
b)
4
5
c)
3
d)
1
9
O maior é
5
.
3
20
99
625
b)
7 056
c) 2
3
d)
8
e) 1
1
f)
27
Nenhuma tem resultado maior que 10.
45. a)
Teste seus conhecimentos
1. c
2. c
3. a
4. b
5. c
6. d
7. a
Respostas dos exercícios
369
Participe
8. d
9. b
15. Fração centesimal
20
a)
. Sim, porque seu denominador
100
é 100.
25
b) 0,25;
100
c) R$ 25,00
d) 0,55
10. a
11. d
12. b
13. b
14. b
15. c
Exercícios
16. d
10 925
31
2
7. 109,25:
;
; 0,31:
; 0,2:
100
10
100
205
594
13 027
; 0,594:
2,05:
; 13,027:
;
1000
100
1000
37
3,7:
10
17. c
18. b
Unidade 5
Números decimais
Capítulo 15 Fração decimal e
numeral decimal
Exercícios
1. a) décimo, centésimos, centésimos
b) centésimos, milésimos, milésimos
c) inteiros, décimos
d) inteiros, décimos, centésimos, milésimos, inteiros, milésimos
2. brigadeiro
3. A: 54,8012; B: 28,4105
a) ordem das dezenas
b) cinquenta e quatro inteiros e oito mil e
doze décimos de milésimos
c) ordem dos milésimos
d) vinte e oito inteiros e quatro mil, cento
e cinco décimos de milésimos
4. a) um milionésimo
b) um inteiro e cento e vinte e oito centésimos de milionésimos
c) seis inteiros e cinco mil, quatrocentos e
trinta e dois milionésimos
5. Quindim: dois reais e oitenta centavos;
torta de banana: treze reais e sessenta e
cinco centavos; cajuzinho: um real e oitenta e quatro centavos; torta de morango:
vinte e um reais e dezoito centavos; bolo
de fubá: sete reais e oitenta e três centavos; brigadeiro: dois reais e trinta e cinco
centavos; beijinho: um real e cinquenta e
dois centavos; maria-mole: cinquenta
centavos; bolo de maçã: sete reais e noventa e três centavos; bolo da casa: seis
reais e vinte e sete centavos.
6. a) 1,105
b) 0,0032
c) 26,0597
d) 0,02
e) 2,007
f) 0,028
g) 4,3
370
Respostas dos exercícios
75 401
8. a)
1000
1986 712
b)
1000
66123
c)
1000
13
d)
10 000
94 247
e)
10 000
16.
11. 0,071; 0,00037; 0,0723; 5,6876; 0,059
15
; 1,5
10
22
b)
; 2,2
10
18
c)
; 0,18
100
205
; 2,05
d)
100
1875
e)
; 1,875
1000
35
f)
; 3,5
10
182
; 18,2
g)
10
332
h)
; 3,32
100
568
i)
; 0,568
1000
12. a)
13. sim
14. a) 0,07
b) 0,3
c) 1,15
d) 0,19
e) 0,8
f) 2,01
11%
45
100
45%
95
100
95%
135
100
135%
1
100
1%
31
100
31%
100
100
100%
112
100
112%
231
100
231%
4
100
4%
Taxa
Fração
porcentual centesimal
9. a) 64,28
b) 0,4
c) 9,41
d) 28,1
e) 0,17
f) 0,047
g) 0,00027
h) 0,435
10. a) 495,82
b) 0,897
c) 197,3
d) 172,8
e) 0,059
f) 0,77
Taxa porcentual
11
100
Forma
irredutível
80%
80
100
4
5
75%
75
100
3
4
15%
15
100
3
20
55%
55
100
11
20
147%
147
100
147
100
250%
250
100
5
2
10%
10
100
1
10
70
100
b) 70%
17. a)
18. a) 20%
b) 15%
1 3 6 1
; ; ;
2 4 8 4
b) 50%; 75%; 75%; 25%
19. a)
20.
Taxa
Fração
porcentual centesimal
Numeral
decimal
100%
100
100
1
213%
213
100
2,13
151%
151
100
1,51
21%
21
100
0,21
37%
37
100
0,37
4%
4
100
0,04
6%
6
100
0,06
21. verdadeira
22. a) 4
b) 30
c) 450
d) 3 000
23. a) 250
b) 375
c) 1 000
24. a) 80
b) 40
c) 20
d) 8
e) 40
f) 10
g) 2
h) 2
i) 44
25. a) 300
b) 68
c) 155
d) 425
e) 50
f) 720
g) 4 00
h) 2 600
i) 7 500
j) 100 000
26. a) 50%
b) 25%
27. a) 100
b) 45
28. a) 170
b) 40
29. a) 135
b) 1 215
30. a) R$ 45,00
b) R$ 855,00
31. a) R$ 51,00
b) R$ 901,00
32. a) 144
b) 624
d) 1 000
e) 512 300 000
f) 888 000 000 000
g) 400
h) 47 900
35. a) 14,2861
b) 0,00415
c) 97,415
d) 18,4152
e) 978,957
f) 1 987,2
36. a) 0,071
b) 0,0009
c) 47,64
d) 0,8765
e) 0,00085
f) 0,000825
g) 0,89623
h) 0,000904
37. a) 10
b) 1
c) 0,1
d) 0,01
38. a) 100
b) 10
c) 1 000
d) 10
e) 10
f) 10 000
39. a) duas ordens
b) quatro casas
c) 2,7100 e 1,7942
40. a) 8,76
b) 35
c) R$ 243,08
d) 1,342
e) 50
f) R$ 13. 504,80
41. a) R$ 19,00
b) R$ 190,00
c) R$ 2. 090,00
d) R$ 20,90
Participe
a) Resposta pessoal.
b) Sim, porque, se multiplicarmos por 10
o numerador e o denominador da primeira fração, mantemos a proporção e
óbtemos a segunda fração.
c) São numerais decimais; ambos representam o mesmo valor.
Participe
a) 0,6 e 0,60
b) Ambos representam a mesma quantidade.
c) 2,322; 2,135
d) 2,322. Os inteiros são iguais e 322 milésimos é maior que 135 milésimos.
Exercícios
33. a) errado
b) certo
c) certo
d) errado
e) certo
f) certo
34. a) 7,1
b) 7,89
c) 8 974,1
Exercícios
42. a) 197
b) 11,1
c) 0,21
43. a) ,
b) .
c) .
44. João Paulo
45. a) poupança: R$ 367,50
manutenção: R$ 336,00
despesas de farmácia: R$ 84,00
presente para Manuela: R$ 63,00
pequenas despesas: R$ 42,00
b) 15%
46. a) lapiseira: R$ 15,12; bijuteria: R$ 3,78;
lanche: R$ 18,90
b) 40%; R$ 25,20
Capítulo 16 Operações com decimais
Participe
a) Adição. Resposta pessoal.
15 350
b)
; 153,50
100
c) 153,50
d) Resposta pessoal.
e) Resposta pessoal.
Exercícios
1. a) 9,88
b) 107,58
c) 14,729
d) 1,5483
e) 5,67895
f) 543,492
2. Ricardo e Priscila; Camila e Gustavo; Luís e
Alexandre; Maurício e Bela
3. a) 4,559
b) 0,029
c) 16,525
d) 6,14
e) 0,066
f) 474,314
4. a) São Paulo, Rio de Janeiro, Brasília, Salvador, Fortaleza
b) 27,25 milhões
c) falsa
d) Brasília
5. a) R$ 7,60
b) R$ 8,00
6. Alexandre encontrou Maurício e juntos
foram à casa de Gabriela. Lá eles encontraram Ricardo e Priscila e a turma toda foi
ao cinema.
7. uma laranja; farinha de trigo; açúcar; ovos;
fermento
8. a) R$ 24,75
b) R$ 33,00
9. a) No quadro I.
b) Em ambos.
10. a) 263,40
b) 134,95
c) 30,09
d) 2,25
11. (0,02)2 5 0,04; (1,3)2 5 1,69; (0,4)3 5 0,064;
(3,1)2 5 9,61; (0,7)3 5 0,343; (1,1)2 5 1,21
a) 1,626
b) 9,61
Respostas dos exercícios
371
225
10 000
577
b)
1000
629
c)
10 000
3
d)
1000
12. a)
13. a) 0,128
b) 0,0755
c) 1,23
d) 0,006
14. a) 49,5
b) 49,2
204 24
;
10 10
b) 8,5
17. a)
3. a
33. vermelho, laranja, amarelo, verde, azul, anil
e violeta
4. d
19. R$ 3,75
20. a) 31,5
b) 18,75
c) 10,375
d) 144,832
6. a
7. e
1560 120
;
100 100
1560 120
c)
;
. Resposta pessoal.
100 100
d) 13 toalhas
e) 13
b)
8. b
9. c
10. d
11. b
13. c
Exercícios
34. a) 20,00
b) 1950,00
14. c
c) 4 900,00
35. Gustavo: tablet; Priscila: livro; Alexandre:
tênis; Maurício: mochila; Gabriela: boneca;
Ricardo: bola de vôlei; Luciana: bicicleta
36. a) 0,007
b) 18,500
c) 0,300
d) 17,133
37. a) 3; R$ 1,60
b) 4; R$ 0,60
38. 8
21. R$ 2,25
39. a) 1
b) 4
c) 1 lata, 3 galões e 9 latinhas.
22. a) 0,22
b) 81,85
c) 126,47
d) 26,876
40. a) 1,25 (exato)
b) 0,28 (exato)
c) 0,4545... (dízima periódica)
d) 1,8333... (dízima periódica)
23. a) 0,024
b) 102,75
c) 17,875
d) 2,04
e) 9,6
f) 9,3625
Participe
a) dízimas periódicas: ①, ②, ③ e ④
decimais exatos: ⑤ e ⑥
b) não
c) ④ e ⑥
d) Não. Porque não sabemos se a divisão
termina. (Pode terminar com mais casas
decimais do que as que a calculadora
mostra, ou ter infinitas casas decimais.)
24. R$ 405.096,25
25. a) 0,4375
b) 63,2
c) 0,08
d) 16,11
e) 2,675
f) 0,05
15. d
16. c
17. c
18. c
19. b
20. e
Unidade 6
Geometria e medidas
Capítulo 17 Unidades de
comprimento
Participe
a) Resposta pessoal.
b) Palmos e pés, por exemplo.
c) Resposta pessoal.
Exercícios
1. Resposta pessoal.
2. Júlia
3. Ricardo
4. milímetro: mm; centímetro: cm; decímetro: dm; metro: m; quilômetro: km
26. 0,59375
Exercícios
27. a) 2,3
b) 1,5
c) 2,1
d) 71,3
41. a) decimais exatos:
41 93 611 79 217 173
,
,
,
,
,
4 25 4 125 5
50
dízimas periódicas:
9
5
4 16 974 450 5 491
,
,
,
,
,
9 3 75 91 18 3
29. a) 2,66
b) 1,28
c) 1,66
d) 10,05
171
20
5. d
12. e
18. a) Marta gastou R$ 133,35 e sobraram
R$ 46,65; Tereza gastou R$ 82,40 e
sobraram R$ 47,60.
b) R$ 12,00
c) R$ 14,62
372
32. Lugar de lixo é na lixeira.
1. c
a) Divisão; 15,60; 1,20
16. 387 520
30. a)
2. c
Teste seus conhecimentos
Participe
15. R$ 86,40; R$ 1.886,40
28.
31. a) 10,333
b) 10,142
c) 3,818
d) 8,666
b) 10,25; 0, 4; 5, 3; 3,72; 12,986; 152,75;
4,945054; 0,632; 0,27; 43,4; 3,46;
163,6
b)
1537
300
Respostas dos exercícios
42. a, b e d
5. a) centímetro
b) quilômetro
c) metro
6. a) metros; decímetros
b) metro; centímetros
c) metro; milímetros
Participe
a) A distância entre as cidades foi medida em quilômetro e a distância entre a
prefeitura e a casa dos avós, em metro.
b) sim
c) Milímetros. Centímetros.
d) Sim, porque ambos possuem o mesmo
comprimento.
e) 5 cm equivalem a 50 mm.
f) 80 mm equivalem a 8 cm.
g) 80 mm. Resposta pessoal.
h) Resposta pessoal.
Exercícios
Participe
a) São polígonos simples. Todos são quadriláteros: têm 4 lados e 4 vértices.
b) Retângulos.
c) Quadrados.
d) Letra G.
Exercícios
7. 0,01 m 5 1 cm; 10 m 5 1 dam
0,1 m 5 1 dm; 0,01 m 5 1 mm
100 m 5 1 hm; 1 000 m 5 1 km
8. a) 1 m
b) 1 000 m
c) 1 700 m
d) 1,29 m
e) 0,548 m
5. Priscila: hexágono; Luciana: octógono; Ricardo: eneágono; Alexandre: heptágono;
Maurício: pentágono; Gabriela: decágono
6. a) ①: quadrilátero; ②: octógono
b) ①: 4 vértices: A, B, C, D; ②: 8 vértices:
H, I, J, K, L, M, N, O
c) ①: AB , BC , CD, DA;
②: HI, IJ , JK , KL , LM, MN, NO, OH
9. a) 100 cm
b) 10 cm
c) 100 000 cm
d) 210 cm
e) 3,7 cm
7.
Nome do
polígono
Vértice Lados Ângulos
triângulo
3
3
3
decágono
10
10
10
10. 6o A: 11,851 m, colar; 6o B: 162,27 m,
sapatos; 6o C: 6,789 m, perfume.
pentágono
5
5
5
quadrilátero
4
4
4
11. Feliz aniversário, professora Ana Paula!
hexágono
6
6
6
12. a) 75 cm
b) 0,75 m
13. 25,4 mm
14. 30,48 cm
15. 10,97 m
16. a) 352 cm
b) 160 livros
Capítulo 18 Poligonal, polígonos
e curvas
Exercícios
1. a) ①: AB e BC, AB e BD, BC e BD
②: AB e BC, AB e BD, AB e BE, BC e
BD, BC e BE , BD e BE
③: AB e BC, AB e BD, BC e BD
8. a) 2, 3, 5 e 6
b) 3 e 6
c) 2 e 3
d) 2, 3, 5 e 6
e) 3 e 6
f) 2 e 3
g) 3
h) trapézio
CO e DO, CO e EO, DO e EO
b) ①: AB e BD; ②: AB e BD; ③: BC e BD;
④: AO e DO, BO e EO
2. a) ①: poligonal; ②: poligonal
b) ①: A e G; ②: H e M
c) ①: A, B, C, D, E, F, G; ②: H, I, J, K, L, M
d) ①: AB, BC, CD, DE , EF , FG ;
②: HI, IJ, JK , KL, LM
3. a) ①: simples; ②: não simples; ③: não
simples
b) ①: 7 vértices e 6 lados; ②: 7 vértices e
6 lados; ③: 8 vértices e 7 lados
4.
Figura
Número Número
de vértices de lados
Tipo de
poligonal
①
7
6
simples
②
5
4
não simples
③
8
7
não simples
④
7
6
não simples
20.
Curva
Aberta/
fechada
Simples/
não simples
①
fechada
simples
②
fechada
simples
③
aberta
simples
④
fechada
simples
⑤
fechada
não simples
⑥
aberta
não simples
⑦
fechada
simples
⑧
fechada
simples
21. a) simples, fechada
b) simples, fechada
Capítulo 19 Unidades de área
Participe
a) retângulo
b) 1 placa de piso cerâmico
c) Possibilidade: multiplicando 15 por 10.
d) 150 placas
Exercícios
1. metro quadrado: m2; decímetro quadrado:
dm2; centímetro quadrado: cm2; quilômetro quadrado: km2
2. Alexandre
3. m2 e cm2
9. III
4. a) 100
b) 10 000
c) 1 000 000
Participe
5. 1 000 000
a) Medir os lados de cada terreno, somar
essas medidas e multiplicar por 3.
b) • 168 metros
• 504 m
④: AO e BO, AO e CO, AO e DO, AO
e EO, BO e CO, BO e DO, BO e EO,
19. a) internos: A, C e E; externos: B e D
b) internos: O, Q e T; externos: P, R e S
Exercícios
10. a) 24 cm
b) 17 cm
c) 14 cm
d) 12 cm
e) 17 cm
11. 8,5 m
12. 15,2 cm
13. 875 m
14. 320 m
15. 48 m
16. 1 540 m
17. 1 661 m
18. a) f, s
b) a, s
c) f, s
d) f, s
e) a, s
f) f, ns
6. a) dm2
b) cm2
c) dm2
d) dm2
e) cm2
f) cm2
g) dm2
h) hm2
i) km2
7. a) 9,47 m2
b) 1,0615 m2
8. a) 3 000 000 m2
b) 10,1223 m2
9. 40000 m²
10. a) 4,025 m2
b) 500 600 m2
c) 2,0304 m2
d) 200 430 m2
11. o quarteirão
12. alqueire
13. a) 1 500 m²
b) 12 500 m²
c) 620 m²
d) 59 000 m²
e) 48 400 m²
Respostas dos exercícios
373
14. 150 000 m²; 0,15 km²
15. 4 840 000 m²; 4,84 km²
b) 1 000 cm3
c) 1 000 000 000 000 000 cm3
7. a) 0,000001
b) 0,001
c) 0,000001
16. 1 379 400 m²
17. 7
18. 15,32 km²
8. a) 0,01 m3
b) 0,0019 m3
c) 6,485 m3
d) 9,84 m3
e) 1 200 m3
f) 0,0678 m3
19. a) 40 m2
b) 22 cm2
c) 32 cm2
d) 2 cm2
81 2
e)
cm
2
f) 7,56 cm2
9. a) 7,64 m3
b) 2,0304 m3
c) 54 m3
20. a) 96 cm2
b) 16,25 cm2
c) 1,44 cm2
d) 7,29 m2
e) 25 cm2
10. 45,5 km2
21. 2 500 lajotas
22. 3 100 azulejos
23. R$ 975,00
24. 6,1152 m2
25. 200 m2
26. 0,8928 m2
8. 41 cm
13. 748 m3
9. 9,35 t
14. 48 m3
10. 7 150 litros
15. 6 betoneiras
11. 8 000 litros
16. a) 2 000 L
b) 350 L
c) 94,8 L
d) 4 500 L
12. 4 352 m3
28. a) 4 m
b) 16 m
19. a) 1 000
b) 1 000 000
Capítulo 20 Unidades de volume
20. a) 0,036 mL
b) 36 mm3
2. a) vinte e oito decímetros cúbicos
b) cinco metros cúbicos e setecentos e
trinta e cinco decímetros cúbicos
c) um centímetro cúbico
4. a) 1 000
b) 1 000 000
c) 1 000 000 000
5. 1 000 000 000 m3
374
22. a) 0,072 m3
b) 1,3 m3
c) 8 m3
d) 0,01 m3
3
Respostas dos exercícios
13. R$ 142,50
14. 2,88 kg
15. 48 biscoitos
16. 242 garrafas
17. 1 600 garrafas
18. 19,78 kg
Teste seus conhecimentos
1. b
2. b
3. c
4. a
5. b
6. c
7. c
8. b
9. c
24. mais
10. a
25. 80 mL
11. d
12. d
Capítulo 21 Unidades de massa
Exercícios
3. a) cm3
b) m3
c) m3
6. a) 1 000 000 cm
21. a) 2 000 L
b) 1 800 L
c) 5 L
d) 0,5 L
23. 125 mL
1. Ricardo
6. a) 78,51 g
b) 3 456 g
c) 815,3 g
d) 627,856 g
e) 83,896 g
f) 1 118 g
12. 36,8 m3
18. 1 000 L
Exercícios
5. a) 4 t
b) 6,5 t
c) 82 t
7. a) 25 arrobas; 5 kg
b) 465 kg
17. a) 2 litros e 4 decilitros
b) 7 litros e 51 centilitros
c) 12 litros e 417 mililitros
d) meio litro ou 5 decilitros
a) A água transbordou porque as bolinhas ocuparam o espaço da água dentro do copo.
b) não
c) sim; não
d) Resposta pessoal.
4. a) 2 000 kg
b) 3 000 kg
c) 16 100 kg
11. 2,016 m3
27. a) 7,5 m2
b) 4,5 m2
c) 12 m2
d) 8,4 m2
e) 10,5 m2
f) 57,2 m2
Participe
3. a) 20 kg
b) 50 kg
c) 21 g
1. a) quilograma ou tonelada
b) quilograma
c) grama
2. a) 1 kg
b) 1 g
c) 1 kg
d) 1 000 kg
13. b
14. a
15. d
16. e
17. c
18. e
19. d
20. c
21. b
10. a)
22. a
23. d
24. c
No de
alunos
Porcentagem
Antônio Carlos
20
50%
1o trimestre
7
43,75%
João Pedro
14
35%
2o trimestre
5
31,25%
Maria Clara
6
15%
3o trimestre
2
12,5%
Total
40
100%
4o trimestre
2
12,5%
Total
16
100%
Aniversário
No de
meninas
Porcentagem
37,5%
1o trimestre
6
25%
12,5%
2o trimestre
6
25%
100%
3o trimestre
8
33,33%
4o trimestre
4
16,67%
Total
24
100%
25. c
26. d
b)
27. d
28. b
No de
Porcentagem
meninos
Intenção
de voto
Antônio Carlos
8
João Pedro
29. c
6
Maria Clara
30. b
2
Total
31. b
32. a
c)
33. c
34. c
16
Antônio Carlos
12
50%
João Pedro
8
33,33%
Maria Clara
4
16,67%
Total
24
100%
d) A intenção do voto é praticamente a
Capítulo 22 Noções de Estatística
Exercícios
e) Os gráficos são diferentes. Resposta
pessoal.
14. a) 8,5 milhões de km2
b) 190,9 milhões de habitantes
c)
(milhões de km2)
3,9
mesma.
11. A intenção de voto não é a mesma em toCarlos; na Zona Sul ganha João Pedro; na
2. 5 680 000
3. a) 50
b) 100
c) Metade do todo; metade da metade
ou um quarto do todo.
4. a) 800
b) 950
c) 2 700
d) 2 560
12. a)
b)
Esporte
No de
alunos
Porcentagem
voleibol
12
30%
futebol
16
40%
natação
12
30%
Total
40
100%
Esporte
N de
meninos
voleibol
0
0%
futebol
12
75%
natação
4
25%
Total
16
100%
Esporte
No de
meninas
Porcentagem
voleibol
12
50%
futebol
4
16,67%
natação
8
33,33%
Total
24
100%
d) Não. Entre os meninos, a maioria pre-
8. a) 45%
b) 25%
c) 40%
d) 12,5%
Centro
13. a)
No de
alunos
22
Porcentagem
55%
N
d)
0,6
SE
S
CO
(milhões de habitantes)
80,4
53,1
27,4
15,9
N
4. c
1o trimestre
6. b
13
32,5%
11
27,5%
7. a
o
10
25%
3 trimestre
10
25%
8. c
Zona Sul
8
20%
4o trimestre
6
15%
9. c
Total
40
100%
Total
40
100%
10. b
b) Não. Há mais aniversários no 1o trimes-
CO
5. e
o
2 trimestre
S
1. b
3. d
Porcentagem
SE
2. d
ferência por futebol é da minoria.
Aniversário
NE
Teste seus conhecimentos
fere o futebol; entre as meninas, a pre-
No de
alunos
14,1
e) É uma contagem de toda a população
com coleta de diversos dados a respeito dela. No Brasil, costuma ser feito de
10 em 10 anos.
Zona Norte
c) No Centro. Possivelmente porque o colégio se localiza ali ou nas proximidades.
NE
Porcentagem
9
6. a)
1000
1125
b)
10 000
c)
0,9
o
5. 5%
7. a) 46%
b) 35%
c) 32%
d) 80%
e) 37,5%
f) 62,5%
g) 53,75%
h) 22,25%
1,6
1,5
Zona Norte há equilíbrio entre os dois.
Local de
residência
No de
Porcentagem
meninos
das as regiões. No Centro vence Antônio
1. 660
9. a)
d)
50%
Aniversário
No de
Porcentagem
meninas
Intenção de
voto
Unidade 7
Estatística
c)
Intenção de
voto
11. d
tre e menos no 4 o.
Respostas dos exercícios
375
Bibliografia
100 jogos geométricos, de Pierre Berloquin (Lisboa: Gradiva, 1999).
100 jogos numéricos, de Pierre Berloquin (Lisboa: Gradiva, 1991).
A arte de resolver problemas, de George Polya (Rio de Janeiro: Interciência, 2005).
Ah, descobri!, de Martin Gardner (Lisboa: Gradiva, 1990).
Anuários do Conselho Nacional de Professores de Matemática dos EUA (NCTM) (São Paulo: Atual, 1995).
As maravilhas da Matemática, de Malba Tahan (Rio de Janeiro: Bloch, 1987).
As seis etapas do processo de aprendizagem em Matemática, de Zoltan P. Dienes (São Paulo: EPU, 1986).
Aventuras matemáticas, de Miguel de Guzman (Lisboa: Gradiva, 1990).
Coleção O Prazer da Matemática, de vários autores (Lisboa: Gradiva).
Coleção Pra que serve Matemática?, de Luiz Márcio Pereira Imenes e outros (São Paulo: Atual, 2004).
Coleção Vivendo a Matemática, de vários autores (São Paulo: Scipione, 1996).
Da realidade à ação – Reflexões sobre educação e Matemática, de Ubiratan D’Ambrósio (São Paulo:
Summus, 1986).
Didática da resolução de problemas de Matemática, de Luiz Roberto Dante (São Paulo: Ática, 1999).
Divertimientos lógicos y matemáticos, de M. Mataix (Barcelona: Marcombo, 1993).
El discreto encanto de las matemáticas, de M. Mataix (Barcelona: Marcombo, 1986).
Estatística básica, de Wilton de O. Bussab e Pedro A. Morettin (São Paulo: Saraiva, 2017).
Etnomatemática – Elo entre as tradições e a modernidade, de Ubiratan D’Ambrósio (Belo Horizonte:
Autêntica, 2016).
Fazer e compreender Matemática, de Jean Piaget (São Paulo: Melhoramentos, 1978).
História da Matemática, de Carl B. Boyer. Tradução de: Elza F. Gomide (São Paulo: Edgard Blücher/Edusp,
2012).
Matemática divertida e curiosa, de Malba Tahan (Rio de Janeiro: Record, 2008).
Matemática e língua materna, de Nilson José Machado (São Paulo: Cortez, 2001).
Na vida dez, na escola zero, de David Carraher e outros (São Paulo: Cortez, 2010).
O homem que calculava, de Malba Tahan (Rio de Janeiro: Record, 2008).
O livro dos desafios, v. 1, de Charles Barry Townsend (Rio de Janeiro: Ediouro, 2004).
Quebra-cabeças, truques e jogos com palitos de fósforo, de Gilberto Obermair (Rio de Janeiro: Ediouro,
2000).
Revista do Professor de Matemática (São Paulo: SBM).
Revista Nova Escola (São Paulo: Fundação Victor Civita).
Revista Temas e Debates (São Paulo: SBEM).
376
MANUAL DO
PROFESSOR
Orientações Didáticas
Sumário
Apresentação .......................................................................................................................................................... 3
Objetivos gerais da obra................................................................................................................................... 4
Estrutura da obra ................................................................................................................................................. 4
Principais temas.................................................................................................................................................... 7
Avaliação do processo educativo................................................................................................................ 8
Para ler e refletir ................................................................................................................................................ 10
Leituras recomendadas ao professor ................................................................................................... 16
O 6o ano: Temas abordados......................................................................................................................... 21
Capítulos e objetivos de aprendizagem ............................................................................................... 22
Em aula .................................................................................................................................................................... 28
Resoluções das atividades propostas
Unidade 1................................................................................................................................................................ 37
Unidade 2................................................................................................................................................................ 57
Unidade 3................................................................................................................................................................ 60
Unidade 4................................................................................................................................................................ 75
Unidade 5................................................................................................................................................................ 91
Unidade 6............................................................................................................................................................. 106
Unidade 7..............................................................................................................................................................116
2
Apresentação
Esta é a mais nova versão da obra Matemática e
realidade. Nela redistribuímos o conteúdo, o que levou
à reorganização dos exercícios. Tal mudança se deve ao
desejo de atender às sugestões dos professores que
usam esta coleção em sala de aula.
São destaques nesta edição:
• a seção "Participe", que visa mobilizar conhecimentos prévios e introduzir o tema a ser tratado
a seguir;
• a seção "Dinheiro: aprenda a usar", com atividades
individuais e coletivas que abordam conceitos de
educação financeira e sugere aplicações práticas;
• a seção "Matemática em Notícia", que explora
textos de jornais, sites e revistas para contextualizar a teoria;
• a seção "Matemática no Tempo", que apresenta
informações sobre a história das descobertas
matemáticas;
• a seção “Mudando de assunto”, que acrescenta
conteúdos recomendados, para o respectivo ano,
pela Base Nacional Comum Curricular (BNCC);
• uma unidade de Estatística e Probabilidade em
cada ano;
• exercícios/problemas apresentados em gradação crescente de dificuldade;
• inclusão de novos exercícios autorais e de provas oficiais, como Saresp, Obmep, etc.;
• exercícios interligando Geometria e Álgebra;
• uma série de testes ao final de unidades, que inclui testes de vestibulares;
• novos desafios criativos e interessantes.
e problemas variados, relacionados ao cotidiano dos
alunos, que conduzam à realização de operações mentais diversificadas; e introduzir problemas não clássicos que estimulem a curiosidade do aluno.
O texto da obra possibilita que o aluno compreenda as definições e as propriedades centrais da Matemática em nível elementar. Os conceitos são
explorados a partir de exemplos concretos, eventualmente por meio da seção "Participe!". Procura-se deduzir as propriedades em linguagem coloquial
e enunciá-las a posteriori.
Os exercícios e problemas propostos visam conduzir o aluno à compreensão de conceitos e propriedades, sem, contudo, negligenciar o desenvolvimento das técnicas de cálculo. Estas, à medida que
são abordadas, vão sendo aplicadas na resolução de
problemas.
Diversos estudos na área de ensino da Matemática sugerem que um caminho para que ocorra
a aprendizagem é propor diferentes atividades que
estimulem os alunos a buscar estratégias pessoais
de resolução. Pensando nisso, esta coleção propõe
diferentes situações-problema com o objetivo de incentivar os alunos a resolvê-las por meio de estratégias pessoais.
Outra preocupação presente na obra é quanto
ao desenvolvimento equilibrado do conteúdo. Assuntos centrais são aprofundados mais do que assuntos
secundários. Pretende-se, com isso, que o professor desenvolva aquilo que é absolutamente essencial e aborde a maior quantidade possível de itens do
programa.
Esta coleção entende que o curso de Matemática
contribui para a educação básica do adolescente, na
medida em que está inserido nos objetivos gerais propostos pela escola. Cabe ao professor planejar situações de ensino e atividades que favoreçam a aprendizagem. Ao longo deste Ma nual do Professor são
apresentadas orientações didáticas e atividades com
o objetivo de auxiliar o professor nesse planejamento.
Esta coleção pode também ser utilizada para estimular o gosto pela leitura; para isso o professor deve
incentivar o aluno a explorar as informações contidas
nas seções “Matemática no Tempo” e “Matemática em
Notícia”, promovendo a sua leitura individual (silenciosa) ou coletiva (em voz alta) na sala de aula.
Pretendendo ser um dos materiais de apoio às atividades didáticas, esta coleção busca: organizar formalmente a teoria por meio de um texto correto, conciso e claro; intercalar a teoria com séries de exercícios
Esperamos continuar contando com sugestões e
comentários dos professores para produzir um trabalho cada vez mais adequado às necessidades do
ensino.
No fim da unidade é apresentada uma série de testes, destinada à revisão e à autoavaliação.
3
Este Manual
Este Manual do Professor foi organizado para:
• apresentar a relação dos conteúdos de cada
ano, detalhando os objetivos de aprendizagem
dos itens tratados;
• apresentar a resolução de todos os exercícios,
desafios e testes e das questões propostas nas
seções “Matemática em Notícia”, “Matemática
no Tempo”, "Mudando de assunto" e "Dinheiro:
aprenda a usar". As respostas das questões da
seção "Participe" são apresentadas apenas no
livro do aluno. As dos desafios, apenas no Manual do Professor;
• apresentar sugestões de atividades e avaliação.
Objetivos gerais da obra
• Contribuir para a inserção do aluno na sociedade
em que vive, proporcionando-lhe conhecimentos
básicos de teoria e prática da Matemática.
• Estimular a curiosidade, o interesse e a criatividade do aluno, para que ele explore novas
ideias e descubra novos caminhos na aplicação dos conceitos adquiridos e na resolução
de problemas.
discussão e uso correto da linguagem, contribuindo para o desenvolvimento intelectual do aluno.
• Desenvolver a capacidade de classificar, seriar,
relacionar, reunir, representar, analisar, sintetizar,
conceituar, deduzir, provar e julgar.
• Possibilitar o reconhecimento da inter-relação
entre os vários campos da Matemática e desta
com outras áreas do conhecimento.
• Desenvolver o senso crítico, por meio da leitura
e da interpretação matemática de fatos e dados publicados.
• Desenvolver o uso do pensamento, a capacidade de elaborar hipóteses, descobrir soluções,
estabelecer relações e tirar conclusões.
• Desenvolver hábitos de estudo, rigor, precisão,
ordem, clareza, concisão, iniciativa, raciocínio, perseverança, responsabilidade, cooperação, crítica,
• Proporcionar atividades lúdicas e desafiadoras,
incentivando o gosto pela Matemática e o desenvolvimento do raciocínio.
Estrutura da obra
Esta é uma obra composta de quatro volumes,
um para cada ano, do 6 o ao 9 o, acompanhados do
Manual do Professor. Os volumes são divididos em
unidades.
As unidades
Apresentam-se subdivididas em capítulos, que
obedecem a uma sequência lógica e de nível de complexidade, de modo a facilitar a aprendizagem.
Os capítulos
Cada capítulo contém uma dose necessária de teoria, com alguns conceitos e propriedades, de modo a
facilitar a identificação das informações apresentadas.
Os capítulos começam com problemas ou textos motivadores, muitos acompanhados da seção “Participe”. A
teoria é intercalada com séries de exercícios e problemas.
4
Os exercícios
São numerados em sequência dentro de cada capítulo e apresentados em grau de dificuldade crescente.
Sempre que possível, retratam situações semelhantes
às do cotidiano do aluno, tais como compra e venda, esportes, notícias, brincadeiras, etc.
Além disso, permitem que o aluno se interesse pela
manipulação de material concreto, o que o auxilia na
compreensão de conceitos e na aquisição de novos
conhecimentos.
Sugerimos ao professor deixar alguns exercícios
como lição de casa para seus alunos. O objetivo que se
tem em vista com as tarefas de casa é possibilitar que
o aluno: revise o que foi feito em classe; habitue-se a
uma rotina sistemática de estudo; analise situações
novas sem ajuda do professor; pratique a leitura e a
redação, etc.
Para facilitar o trabalho de alunos e professores,
fornecemos as respostas de todos os exercícios. No livro do aluno elas são apresentadas no final do volume.
No do professor, aparecem também junto aos exercícios, em outra cor.
As seções
As seções que tradicionalmente permeiam esta obra
têm a função de motivar, tornar mais leve e lúdico o
estudo da Matemática, ao mesmo tempo que complementam o conteúdo estudado. São elas:
Participe – Traz situações-problema relacionadas
ao cotidiano que estimulam os alunos a agir de forma
reflexiva, privilegiando o levantamento de hipóteses,
as resoluções por meio de estratégias pessoais e o
compartilhamento de ideias.
As atividades dessa seção propiciam ao aluno uma
breve retomada de conceitos trabalhados, estabelecendo conexões com o conteúdo que está por vir, ao
mesmo tempo que possibilita ao docente uma avaliação das ações educativas necessárias.
Se julgar conveniente, em razão de sua análise
quanto aos conhecimentos prévios dos alunos, pode-se ampliar as atividades ou situações propostas, diversificando os temas e as operações mentais antes
que um novo conteúdo seja estudado.
Encoraje os alunos a encontrar soluções para as
questões apresentadas na seção, de modo que criem
estratégias próprias de resolução, justifiquem suas escolhas, discutam com os colegas as estratégias adotadas na resolução e validem as respostas, tornando-os
autônomos no processo de aprendizagem dos conteúdos matemáticos e responsáveis por seu aprendizado.
Desafio – Propõe questões curiosas e lúdicas, não
necessariamente atreladas ao conteúdo abordado no
capítulo, mas sempre exigindo do aluno conhecimentos que foram desenvolvidos nos capítulos ou volumes
anteriores.
Matemática no Tempo – Traz a história de descobertas científicas ligadas a assuntos tratados na
unidade em que está inserida. É útil especialmente para levar o aluno a perceber que o conhecimento vem sendo construído ao longo dos séculos e não
é algo acabado, mas que pode ser reformulado de
acordo com as novas descobertas, exigindo das pessoas envolvidas em algum estudo muita dedicação e
empenho.
TEMAS ABORDADOS NA SEÇÃO
“MATEMÁTICA NO TEMPO”
6o ANO
Os números nas origens da Matemática – Unidade 1
Números primos e números compostos – Unidade 3
Origens das frações decimais – Unidade 5
O sistema métrico decimal – Unidade 6
7o ANO
Números negativos – Unidade 1
A sabedoria geométrica das abelhas – Unidade 6
Equações – Unidade 7
Juro – Unidade 8
8o ANO
A primeira crise no desenvolvimento da Matemática –
Unidade 1
Origens da Geometria – Unidade 2
Estatísticas e Estatística – Unidade 3
Da Álgebra Retórica à Álgebra Literal – Unidade 4
Coordenadas na Geometria – Unidade 7
9o ANO
A semelhança de triângulos na construção de um túnel –
Unidade 4
Teorema de Pitágoras – Unidade 4
Cara ou coroa e Probabilidade – Unidade 5
O número π – Unidade 6
Matemática em Notícia – Traz textos de notícias
e artigos publicados em jornais, revistas ou sites, que
levam o aluno a analisar criticamente a realidade por
meio da Matemática, comparando dados e as situações apresentadas. É uma oportunidade para ampliar
os conhecimentos gerais e discutir temas contemporâneos que tratam de diversas áreas: educação, saúde,
meio ambiente, entre outros, e constituem boa oportunidade para auxiliar na construção da cidadania.
5
NOTÍCIAS APRESENTADAS NA SEÇÃO
9o ANO
"MATEMÁTICA EM NOTÍCIA"
6o ANO
Formigas ajudam a reduzir pragas urbanas ao comer quilos
de lixo nas ruas – Unidade 1
O quadro de medalhas – Unidade 1
Brasileiro tira de circulação um terço das moedas emitidas
no país por ano – Unidade 1
Água potável – Unidade 1
A Geometria e a obra de Niemeyer – Unidade 2
País registra queda nos casos de dengue, chikungunya e zika
– Unidade 3
O mais longo eclipse total do Sol neste século – Unidade 3
Falando em média – Unidade 4
O desflorestamento – Unidade 5
Incêndio consome 332 mil hectares no Parque Nacional do
Araguaia – Unidade 6
Baleias jubartes do Brasil estão salvas da extinção –
Unidade 6
População brasileira passa de 207,7 milhões em 2017 –
Unidade 7
Real completa 20 anos em circulação com perda de 80% de
seu valor – Unidade 2
Preço do m2 ao redor de linha do metrô prometida para este
ano em São Paulo varia 160% – Unidade 3
Cigarro mata mais de 5 milhões de pessoas, segundo OMS –
Unidade 4
Exposição na UFRJ mostra problemas de acessibilidade nas
grandes cidades – Unidade 4
Criador de regras seguras para senhas se arrepende de dicas
pouco práticas – Unidade 5
Como fazer a contagem de multidões: técnicas e desafios –
Unidade 6
Italianos batem recorde com maior pizza do mundo –
Unidade 6
7o ANO
Campeonato Brasileiro de 2017 – Unidade 1
Crioterapia utiliza o frio para ajudar recuperação de atletas –
Unidade 1
22% dos brasileiros vivem abaixo da linha da pobreza, diz
estudo – Unidade 1
Kobra estabelece novo recorde com maior mural do mundo
em São Paulo – Unidade 2
60% do esgoto circula a céu aberto, e 1/4 do país não tem
coleta, diz estudo – Unidade 3
Como salvar vidas com Matemática – Unidade 4
IMC – Unidade 5
No DF, pimentão vira principal fonte de renda de moradores
de Planaltina – Unidade 7
Sono e aprendizagem: o que diz a neurociência – Unidade 8
A partir de hoje, lei permite desconto em compra à vista
desde que loja avise consumidor – Unidade 8
8o ANO
‘Dia do Pi’ é comemorado nesta terça pelos fãs da
matemática – Unidade 1
A corrente do bem: Como iniciar grandes transformações a
partir de pequenos passos – Unidade 1
A magia da Geometria – Unidade 2
O Brasil em Olimpíadas – Unidade 2
Pirâmide etária – Unidade 3
Radiografando a coleta seletiva – Unidade 5
A maior réplica de Mondrian do mundo deixou esta cidade
holandesa mais colorida – Unidade 6
A Matemática e o número que você calça – Unidade 7
Cientistas descobrem esqueleto de dinossauro “mais
completo” – Unidade 8
6
O que acontece com o corpo quando passamos a beber 8
copos d'água por dia? – Unidade 7
Com nova lei trabalhista, empregado pode receber só pelo que
produz; entenda – Unidade 7
De três! Como Stephen Curry mudou o basquete e a NBA
para sempre – Unidade 7
Dinheiro: aprenda a usar – Se a principal função da
escola é preparar para a vida, ensinar alguns princípios
sobre planejamento financeiro torna-se muito importante. E a Matemática é a ciência que, por excelência,
pode ajudar nesse propósito.
A seção "Dinheiro: aprenda a usar" trata de um
tema que não pode mais faltar no currículo escolar:
Educação Financeira.
Ao longo desta coleção, procuramos apresentar
situações próximas da realidade do aluno. Embora alguns conceitos de macroeconomia estejam presentes,
"Dinheiro: aprenda a usar" não foi pensada como uma
seção teórica, e sim como um espaço para que o aluno
reflita sobre sua realidade e utilize a Matemática como
instrumento para melhorar a qualidade de vida – sua e
de sua família. As atividades sobre consumo, por exemplo, têm o objetivo de ajudar o aluno a analisar esse assunto com viés mais crítico.
Para finalizar a seção, é proposto um trabalho em
grupo, o que deve ajudar os alunos a compartilhar informações e estratégias, desenvolver o senso crítico e
adquirir espírito comunitário.
Além de respeitar a necessidade de pré-requisitos
para as atividades propostas, a distribuição dos temas
procurou levar em conta a maturidade dos alunos.
Mudando de assunto - A seção é novidade nesta edição e está presente em todos os volumes. Ela trabalha
alguns objetos do conhecimento e habilidades previstas
pela BNCC para o ano.
TEMAS ABORDADOS NA SEÇÃO
TÓPICOS DA SEÇÃO "MUDANDO DE ASSUNTO"
"DINHEIRO: APRENDA A USAR"
6o ANO
6o ANO
Vamos ler coordenadas – Unidade 2
De que eu preciso mesmo? – Unidade 1
Vamos calcular probabilidades – Unidade 5
Fique ligado! – Unidade 5
Vamos ampliar ou reduzir figuras planas – Unidade 7
É básico – Unidade 7
7o ANO
7o ANO
Quanto gasta cada um? – Unidade 4
Vamos recordar MDC e MMC – Unidade 7
Vamos conhecer o número – Unidade 8
Qual é a renda por pessoa? – Unidade 5
Poupar ou comprar a prazo? – Unidade 8
8o ANO
Com ou sem inflação? – Unidade 1
8o ANO
Recordando equações – Unidade 1
Vamos resolver equações quadráticas simples – Unidade 1
Vamos aplicar rotações – Unidade 4
O melhor preço – Unidade 4
Como posso pagar? – Unidade 5
Aceita cartão? – Unidade 7
9o ANO
Um lar para chamar de seu – Unidade 1
Modos de poupar – Unidade 3
Quanto custa ter um carro? – Unidade 5
Telefone para contato? – Unidade 6
9o ANO
Vamos calcular percentuais sucessivos – Unidade 1
Vamos recordar o sistema cartesiano – Unidade 7
Os testes
A seção "Teste seus conhecimentos" possibilita uma
revisão do conteúdo da unidade. Os testes propostos
podem ser usados pelos alunos para autoavaliação.
Principais temas
O programa desenvolvido nos quatro volumes pode
ser resumido em oito temas, a saber:
1. Números
2. Aritmética aplicada
3. Estatística, contagem e probabilidade
4. Geometria
Note que nesse programa não há uma referência
explícita à resolução de problemas. Isso porque acreditamos que os problemas ou as situações-problema
devem ter presença constante ao longo do desenvolvimento de todos os temas de Matemática.
Os conteúdos de cada ano tiveram sua escolha
baseada:
5. Medidas
• em uma sequência lógica;
6. Cálculo algébrico
• no desenvolvimento intelectual do adolescente;
7. Equações, inequações e sistemas
• na preferência da grande maioria dos professores;
8. Funções
Esses oito temas correspondem às unidades temáticas propostas pela BNCC: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas, Probabilidade e estatística.
• nos programas oficiais.
Números – O tema é desenvolvido nos quatro volumes da coleção. No do 6o ano apresentamos os números
7
naturais e os racionais absolutos. No do 7o ano, tratamos dos números inteiros e dos números racionais. No
do 8o ano, introduzimos o estudo dos números reais e no
do 9o ano, o estudo dos radicais.
Os símbolos dos conjuntos numéricos, N, Z, Q e
R, são apresentados apenas no 8 o ano. Símbolos da
teoria dos conjuntos vão sendo apresentados no momento em que começam a ser empregados.
Aritmética aplicada – Os assuntos razões e proporções e suas aplicações práticas são aqui denominados Aritmética aplicada.
A Aritmética aplicada pode ser desenvolvida depois de o aluno se familiarizar com os números racionais e as equações do 1o grau. Optamos por enfocar esse assunto a partir do
7o ano. Porcentagens são trabalhadas em todos os
anos, desde o 6o, quando introduzimos as taxas percentuais no estudo das frações centesimais e as utilizamos na unidade que trata de Estatística.
Estatística, contagem e probabilidade – As noções referentes a esse tema são apresentadas nos
quatro volumes, nas unidades sobre Estatística e nas
seções "Matemática em Notícia", "Mudando de assunto" e ”Teste seu conhecimento“.
Problemas de contagem de possibilidades aparecem ao longo de várias unidades dos quatro livros,
tanto nos capítulos referentes à Aritmética como à
Geometria e Álgebra e nos desafios. Noções de probabilidade são apresentadas no 9o ano.
Geometria – A esse tema é dado o mesmo tratamento conferido aos demais. No 6o e no 7o anos procuramos uma abordagem intuitiva, experimental e a
mais concreta possível. No 8o e no 9o, sem subestimar
suas bases concretas, avançamos nas abstrações e no
encadeamento lógico.
As construções geométricas com régua, compasso e esquadros são intercaladas ao longo do conteúdo
apresentado.
Em todos os anos, buscamos antecipar os capítulos
referentes à Geometria, como forma de sugerir ao professor que eles não deixem de ser abordados.
Medidas – Esse tema é introduzido no 6o ano, em
uma unidade com Geometria, logo na primeira unidade
com as medidas de tempo. Ele ganha mais destaque
na Unidade 6 do 6o ano e, sempre que necessário, é
abordado nos demais anos.
Cálculo algébrico – A representação de um valor
desconhecido por letras é introduzida no 7o ano, mas
já aparece em alguns exercícios do 6 o ano. O tema
Cálculo algébrico é estudado no 7o, no 8 o e no 9 o ano.
Equações, inequações e sistemas – Esses assuntos são abordados, em diferentes níveis, no 7o, no 8o e
no 9o ano.
Funções – Esse tema é desenvolvido no volume
do 9 o ano, mas as primeiras noções referentes a ele
aparecem já no 7o ano, quando tratamos de grandezas proporcionais, e aplicadas a partir daí.
Avaliação do processo educativo
O principal objetivo da educação é criar homens capazes de fazer coisas novas, não
simplesmente de repetir o que outras gerações fizeram – homens criativos, inventivos e
descobridores.
O segundo objetivo da educação é formar mentes que possam verificar e não aceitar tudo
o que lhes é oferecido. O maior perigo, hoje, é o dos slogans, opiniões coletivas, tendências
de pensamento ready-mades. Temos que estar aptos a resistir individualmente, a criticar, a
distinguir o que está provado do que não está.
Portanto, precisamos de discípulos ativos, que aprendam cedo a encontrar as coisas por
si mesmos, em parte por sua atividade espontânea e, em parte, pelo material que preparamos para eles, que aprendam cedo a dizer o que é verificável e o que é simplesmente ideia
que lhes veio.
Jean Piaget
8
Conceituamos avaliação não como uma etapa isolada, mas como uma parte do processo educativo, no qual
professor, alunos e outros profissionais da escola participam dessa etapa.
f) Para que servem os resultados da avaliação
participativa?
Entendemos a avaliação participativa como um recurso a serviço do desenvolvimento do aluno, que o leva
a assumir um compromisso com a aprendizagem e não
só com a obtenção de notas, conceitos ou média para a
aprovação. Nesse sentido, a avaliação se constitui um
instrumento de diagnóstico do processo educativo.
• para orientar o planejamento das situações de
aprendizagem;
Para repensarmos o que é avaliar, qual é o papel da
escola, do professor e do aluno nesse processo, apresentamos algumas questões que visam contribuir com
essa reflexão.
• para tornar conhecido pelo aluno o que foi avaliado e o que foi alcançado por ele.
a) Quem avalia?
A escola, o professor e o aluno.
b) Por que avaliar?
Porque a avaliação participativa possibilita direcionar intervenções de natureza administrativa e
pedagógica.
c) O que a avaliação participativa requer?
• planejamento participativo;
• autoavaliação dos envolvidos no processo educativo;
• capacidade de aceitar críticas;
• decisões tomadas em conjunto.
d) Para que a avaliação participativa deve servir?
• como diagnóstico do processo ensino-aprendizagem, consistindo em ponto de orientação para
a continuidade do trabalho escolar e estímulo
para aprimorar o conhecimento;
• como fonte de informações que, referindo-se
aos profissionais da escola e aos alunos, poderão orientar uma posterior intervenção voltada para um replanejamento das situações de
ensino-aprendizagem.
• para levar à análise geral do aluno, sempre no
contexto do processo ensino-aprendizagem;
• para verificar como o aluno está interagindo com
o conhecimento;
• para tomar decisões para a melhoria da qualidade do processo educativo (replanejamento);
g) E o que dizer da recuperação?
• não deve servir principalmente para recuperar notas e conceitos, mas para levar o aluno a
aprender.
Na recuperação, a escola deve:
• contribuir para que a avaliação seja participativa, conscientizando todos os envolvidos do papel de cada um no aprimoramento do processo
educativo;
• garantir que o conselho de classe não seja visto
como um trabalho isolado para aprovar, reprovar
ou expulsar o aluno, mas assegurar que seu desempenho seja resultante de um trabalho conjunto de todos os profissionais da escola.
Na recuperação, o professor deve:
• diagnosticar as dificuldades e facilidades do aluno, para que ele compreenda seu processo de
aprender;
• encaminhar a observação do aluno de modo
que ele reconheça o que não sabe e identifique os meios que lhe possibilitem sanar suas
dificuldades;
• redimensionar o conteúdo da avaliação (o que é
significativo e o que o aluno aprendeu);
e) Em quais situações a avaliação participativa não é
indicada?
• intervir após todo e qualquer momento da
avaliação;
• quando é o único instrumento para a decisão
quanto à aprovação ou à reprovação do aluno;
• criar momentos para que os alunos superem,
com a ajuda também dos colegas e da família, as
dificuldades apresentadas;
• se utilizada para justificar a exclusão do aluno da
escola, causando prejuízo ao seu autoconceito e
impedindo que tenha acesso ao conhecimento
sistematizado;
• se utilizada para levantamento de dados e informações apenas no final do bimestre, pois adia
decisões que poderiam ser tomadas a cada momento do processo.
• identificar o que é preciso ser mudado para
favorecer o cumprimento dos objetivos previstos e assumidos pelo coletivo da escola;
• registrar as suas observações nos trabalhos
dos alunos, ajudando-os a perceber por que
não atingiram o nível máximo; ou, se o atingiram, fazer um comentário como estímulo.
9
Na recuperação, o aluno deve:
h) E sobre a autoavaliação?
• reconhecer suas necessidades e ter consciência
da importância de seu compromisso com os objetivos em vista;
• contribuir para que a avaliação seja um instrumento de medida de sua evolução no processo
de aquisição de conhecimento;
• tornar-se responsável e interessado pelo que
deve aprender.
• é fundamental que seja feita pelo professor e
pelo aluno;
• através dela o professor deve refletir sobre sua
prática e adquirir informações que, se necessário, o levem a alterar sua atuação;
• é importante para que o aluno se comprometa com a própria aprendizagem.
Para ler e refletir
Folha de S.Paulo, terça-feira, 8 de julho de 2014.
MÃOS À OBRA
Apesar de competir com tablets e computadores nas salas de aula, escrita à mão ajuda
a fixar mais os dados e é uma ginástica mental poderosa, apontam estudos
REINALDO JOSÉ LOPES
Colaboração para a Folha
Não é uma boa ideia aposentar a tradicional escrita à mão, com lápis e caderno, como
ferramenta didática.
Estudos recentes mostram que tanto as crianças que estão sendo alfabetizadas quanto adultos
podem ter vantagens no aprendizado quando colocam as palavras no papel, à maneira antiga.
No caso dos pequenos, traçar as letras com lápis e caneta parece ser uma ginástica mental mais poderosa do que simplesmente procurá-las num teclado, além de potencializar o
aprendizado do vocabulário e ser mais útil contra problemas como a dislexia. Para os jovens,
anotações feitas em cadernos têm mais potencial para ajudá-los a fixar o conteúdo da aula.
Ler e escrever, em especial do jeito tradicional, são tarefas cognitivas complexas. É preciso juntar numa única orquestra de neurônios áreas cerebrais de ação motora, de linguagem e de raciocínio.
Num estudo publicado na revista científica “Trends in Neuroscience and Educations”,
pesquisadoras observaram o que acontece no cérebro de crianças com idades entre quatro
e cinco anos que estavam começando a ler.
Meninos e meninas foram divididos em três grupos. O primeiro era ensinado a traçar
letras de fôrma manualmente; o segundo cobria uma linha pontilhada; o terceiro tinha de
identificar a letra num teclado de computador.
Depois as crianças foram colocadas em aparelhos de ressonância magnética e reviam,
lá dentro, as letras que tinham praticado.
As imagens de ressonância deram às cientistas uma ideia sobre o grau de ativação de
cada região do cérebro das crianças. Tanto a diversidade de áreas cerebrais ativadas quanto
a intensidade dessa ativação foram mais acentuadas nos pequenos que tinham sidos treinados a escrever as letras “do zero”.
Para os autores, os achados apoiam a hipótese de que a escrita tradicional ajudaria o
desenvolvimento mental infantil, em especial na capacidade de abstração.
Isso porque a criança precisa conseguir perceber que um “a” é sempre um “a”, por exemplo, independentemente da letra ou da fonte usada.
10
O resultado desse processo pode ser percebido em alunos de universidades. Um artigo
na revista “Psychological Science” mostrou que aqueles que anotavam o conteúdo de palestras à mão retiveram mais da aula do que os que usaram notebooks.
Ao anotar à mão, o aluno precisa reorganizar os dados da aula com sua própria lógica, o
que o ajuda a entender melhor o que o professor está explicando.
LOPES, Reinaldo José. Mãos à obra. Folha de S.Paulo,
São Paulo, 8 de jul. de 2014.
Dificuldades com a Matemática
Em relação a esse tema, os extremos são muito frequentes: ama-se ou odeia-se a Matemática. Para alguns, o tema é sedutor, lugar de harmonias, equivalências, simetrias, ordenações e relações caprichosas e surpreendentes, expressão de beleza que tangencia a poesia.
Para outros, trata-se de um território árido, povoado por números frios e cálculos insípidos,
compreensíveis apenas por especialistas, pessoas com dons especiais, do qual nos afastamos
tanto quanto as necessidades do dia a dia nos permitem. E elas não nos permitem muito
afastamento: tanto nos apreciadores quanto nos detratores, há uma clara consciência da importância do tema na comunicação e nas ações cotidianas. [...]
Consideramos que a maior fonte de dificuldades com a Matemática resulta da falta de entusiasmo dos alunos pelo tema. Injustamente associada apenas a operações com números ou a
técnicas de fazer contas, a matemática perde grande parte de seu encanto.
É certo que as ferramentas matemáticas nos ajudam a lidar com a realidade concreta. Seu
uso reiterado no dia a dia e sua importância como linguagem das ciências, em todas as áreas,
são indiscutíveis. Mas há algo na Matemática que escapa a qualquer sentido prático/utilitário, que expressa relações – às vezes surpreendentes – e nos ajuda a construir o significado do
mundo da experiência, no mesmo sentido em que um poema o faz. Um poema nunca se deixa traduzir em termos de utilidade prática: ele nos faz sentir, compreender, instaura novos
sentidos, dá vida e contextos ficcionais. Não vivemos de ficções, mas a abertura propiciada
pelo fictício é essencial. A matemática partilha com a poesia esse potencial de criar novos
mundos, inspirados na realidade, mas cheios de encantamento.
Para enfrentar as dificuldades com o ensino de Matemática, mais do que despertar o
interesse por suas aplicações práticas, é fundamental desvelar sua beleza intrínseca, sua
vocação para a apreensão dos padrões e das regularidades na natureza, suas relações diretas com os ritmos, a música, as artes de modo geral. É necessário pensar e sentir, consumir e produzir, compreender e fruir os temas que estudamos. É preciso compreender a
Matemática como um sistema básico de expressão e compreensão do mundo, em sintonia
e em absoluta complementaridade com a língua materna. Em outras palavras, é preciso
reencantar a Matemática [...]
ARANTES, Valéria Amorim (Org.); D'AMBRÓSIO, Ubiratan; MACHADO, Nilson José.
Ensino de Matemática: pontos e contrapontos. São Paulo: Summus, 2014. p. 41-44.
Ensino com significado: centro de interesse
Naturalmente, não se pode pretender que exista apenas uma forma adequada de tratamento dos diversos conteúdos disciplinares, o que constituiria uma mistura de ingenuidade e arrogância. Consideramos, no entanto, que algumas ideias gerais sobre o tema merecem ser destacadas no que se refere à forma de apresentação dos conteúdos selecionados.
11
Em primeiro lugar, em qualquer disciplina, conhecer é sempre conhecer o significado,
ou seja, o grande valor a ser cultivado é a apresentação de conteúdos significativos para os
alunos. O significado é mais importante do que a utilidade prática, que nem sempre pode
ser associada ao que se ensina – afinal, para que serve um poema? Um poema não se usa,
ele significa algo... Sempre que os alunos nos arguem sobre a utilidade prática, o que eles de
fato desejam é que apresentemos um significado para aquilo que pretendemos que aprendam. E, na construção dos significados, uma ideia norteadora é a de que as narrativas são
muito importantes, são verdadeiramente decisivas na arquitetura de cada aula. É contando
histórias que os significados são construídos. E, ainda que tais narrativas sejam, muitas
vezes, construções fictícias ou fantasiosas – como ocorre, por exemplo, no caso do recurso
a jogos –, uma fonte primária para alimentar as histórias a ser contadas é a história em
sentido estrito: história da Matemática, história da ciência, história das ideias, história...
Na verdade, não parece concebível ensinar nenhuma disciplina sem despertar o interesse
em sua história – e na História em sentido pleno. Ainda que se possa tentar ensinar os
conceitos que nos interessam tais como eles se nos apresentam hoje, os significados são
vivos, transformam-se, têm uma história. E é na História que se busca não apenas uma
compreensão mais nítida dos significados dos conceitos fundamentais, mas principalmente
o significado das mudanças conceituais, ou seja, o significado das mudanças de significado.
Em todos os assuntos, o professor precisa ser um bom contador de histórias. Preparar uma
aula será sempre arquitetar uma narrativa, tendo em vista a construção do significado das
noções apresentadas.
Para contar uma boa história, é necessário, no entanto, ganhar a atenção dos alunos,
criar centros de interesse. De fato, diante de um aluno que desconhece conteúdos específicos, por mais simples que sejam, o professor não enfrenta problemas sérios: quanto mais
simples for o tema desconhecido, mais improdutivo será reclamar da sua ausência e mais
eficaz será ensinar imediatamente tal tema, desde, claro, que o aluno em questão queira
sabê-lo. Estamos diante de um problema sério, não diante de um aluno que não sabe algo,
mas de um aluno que não quer sabê-lo, não tem interesse por tal conteúdo. É fácil constatar,
por exemplo, que os alunos se interessam – ou não – por uma foto que lhes apresentamos:
os elementos visuais principais, as relações entre eles, o enraizamento da imagem na experiência pessoal de cada um dos fatores que contribuem para despertar a atenção. Uma foto,
no entanto, é constituída por milhares e milhares de pontos, convenientemente agrupados
para compô-la. A maior parte dos alunos não se interessa, de início, por pormenores pontuais ou referentes a alguma característica técnica especial utilizada na composição da foto.
Tal fato sugere que é mais eficaz para o professor, na busca de despertar o interesse dos
alunos, partir de imagens “fotográficas”, representadas e imediatamente percebidas pelos
estudantes, mesmo sem prestar muita atenção aos pormenores, e seguir daí para os pontos
específicos que precisem ser destacados, em vez de partir dos pontos específicos para com
eles, paulatinamente, construir uma imagem, que só então seria percebida e explicada. A
inversão do caminho natural que vai da foto para os pontos, configurada pela expectativa
de um percurso que começa nos pontos e vai até a imagem fotográfica, é, em geral, pouco
interessante, salvo quando lidamos com especialistas ou alunos previamente interessados
no tema, o que não constitui a regra geral.
Na exploração de cada centro de interesse, uma estratégia muito fecunda é a via da problematização, da formulação e do equacionamento de problemas, da tradução de perguntas
formuladas em diferentes contextos em equações a ser resolvidas. Muito além dos proble12
mas estereotipados em que a solução consiste em construir procedimentos para usar os
dados e com eles chegar aos pedidos, os problemas constituem, em cada situação concreta,
um poderoso exercício da capacidade de inquirir, de perguntar. Problematizar é explicitar
perguntas bem formuladas a respeito de determinado tema. E, uma vez formuladas as perguntas, para respondê-las é necessário distinguir o que é relevante do que não é no caminho para a resposta. A competência na distinção entre a informação essencial e a supérflua
para a obtenção da resposta é decisiva e deve ser permanentemente desenvolvida. Convém
registrar que, na escola, os alunos costumam ser mais induzidos a dar respostas do que a
formular perguntas. Todas as caricaturas da escola – algumas bem grotescas – resumem
a atividade do professor à mera formulação de questões a ser respondidas pelos alunos. O
desenvolvimento da inteligência, no entanto, tem muito mais relação com a capacidade de
fazer as perguntas pertinentes relativas ao tema, as perguntas que de fato nos interessam
do que com fornecer as respostas certas às perguntas oriundas de interesses que não são
nossos – ou que não fomos levados a tornar nossos.
Um caso especialmente importante para a criação e a exploração de centros de interesse
é o dos problemas que envolvem situações de otimização de recursos em diferentes contextos, ou seja, problemas de máximos ou de mínimos. Procurar, em cada problema, não apenas uma solução, mas a melhor solução – no sentido de minimizar os custos ou maximizar
os retornos, por exemplo –, pode constituir um atrativo a mais na busca de contextuação
dos conteúdos estudados.
Outro aspecto a ser considerado na busca da criação de centros de interesse é o fato de
que suas fontes principais não costumam ser os próprios conteúdos disciplinares, mas se
encontram, primordialmente, nas relações interdisciplinares ou nas temáticas transdisciplinares. Por exemplo, a água é fundamental para todos os seres vivos, sendo estudada em
diferentes disciplinas, mas constitui um tema que ultrapassa os limites disciplinares. Um
aluno que assiste a uma palestra sobre a importância da água na natureza, na manutenção
da vida, pode sentir-se motivado para estudar a água disciplinadamente, na perspectiva
da Química (H2O, pH...), da Física (densidade, calor específico...), da Geografia (bacias hidrográficas, usinas hidrelétricas...), da Literatura (a presença e o papel dos rios nas obras
literárias) etc. Analogamente, um livro que se lê, um filme ou uma peça de teatro a que se
assiste costumam deflagrar a busca de mais informações sobre alguns aspectos da temática
apresentada, seja no âmbito da economia, da preservação ambiental ou até mesmo da natureza ética, entre outros. As matérias anunciadas por um jornal ou por uma revista podem
despertar mais facilmente o interesse dos alunos do que os conteúdos estritamente disciplinares. Assim, uma boa estratégia para a condução dos trabalhos em sala de aula parece
ser partir dos centros de interesse interdisciplinares ou transdisciplinares, e examiná-los na
perspectiva das diversas disciplinas.
ARANTES, Valéria Amorim (Org.); D'AMBRÓSIO, Ubiratan; MACHADO, Nilson José.
Ensino de Matemática: pontos e contrapontos. São Paulo: Summus, 2014. p. 57-60.
[Sobre a resolução de problemas]
Resolver problemas é a essência da Matemática, por várias razões: apresentaremos uma
apenas, que consideramos decisiva. Como já se afirmou, um problema traduz sempre uma
pergunta e no caminho em busca da resposta está o equacionamento dele. Também é conhecido o fato de que a linguagem matemática é composta apenas de sentenças declarativas às
quais se pode associar um e somente um dos valores: verdadeiro (V) ou falso (F). Não exis13
tem sentenças exclamativas nem interrogativas, como “Minha nossa!” ou “Que dia é hoje?”
na linguagem matemática. Mas as perguntas são vitais nos problemas, em especial na Matemática... Como lidar com isso? A resposta é simples: por meio de equações. Uma equação
é uma sentença declarativa que envolve um elemento desconhecido, ou uma incógnita. A
pergunta “Qual é o número que somado com 8 dá 13?” na linguagem matemática pode ser
representada pela afirmação “O número x somado com 8 dá 13, ou seja, “ x + 8 = 13”. A sentença “ x 1 8 5 13” é uma sentença aberta que chamamos de equação. Para cada número
colocado no lugar de x, temos um valor para a sentença, que pode ser verdadeiro ou falso.
Resolver uma equação é encontrar os valores da incógnita x que tornam a sentença verdadeira. O equacionamento de um problema complexo pode conduzir a um sistema de equações,
envolvendo mais de uma incógnita. E as incógnitas podem ser objetos matemáticos mais
sofisticados do que os números: uma equação diferencial tem como incógnita uma função.
Em todos os níveis, resolver problemas é a essência do trabalho do matemático. Não
é possível, portanto, imaginar um modo eficaz de ensinar tal tema sem situar o foco da
atividade docente na resolução de problemas, sem esquecer, reiteremos, as etapas fundamentais da caracterização da situação problema, de onde ele emerge, e da problematização,
sem a qual o problema é do professor, mas não do aluno. [...]
[Sobre a linguagem na sala de aula]
O trabalho na sala de aula depende de uma linguagem, entendida no sentido amplo de
comunicação. A fala do professor é uma questão da narrativa na sala de aula. Um conto
de fadas conta uma história, expondo algo que acontece no imaginário ou mesmo no real,
com linguagem acessível e atraente. Mas sempre tem um foco que se traduz em lições de
história das tradições, enaltecendo feitos passados, como são em geral os épicos, os textos
mitológicos e religiosos, ou em lições de vida, com exemplos de comportamento e ação cujo
resultado deve ser o bem comum, Um exemplo dessas lições é o gênero parábola, que aparece de forma dominante na pedagogia de Cristo, relatada nos evangelhos. O conjunto de
valores propostos é evidente. As conhecidas narrativas do clássico As mil e uma noites são
de mesma natureza, assim como os clássicos de outras tradições. O mesmo pode ser dito de
contos, novelas e romances.
Alguns matemáticos decidiram refletir sobre Matemática e educação na forma de narrativas. Temos alguns exemplos. Em 1735, o escritor Jonathan Swift publicou As viagens de
Gulliver, que criticava a sociedade inglesa da época. Depois de ir para a terra dos anões (a
viagem mais conhecida), o protagonista ruma para a terra dos gigantes e em seguida para
Laputa, ilha onde todos os habitantes se dedicavam apenas à Matemática e à Música, privilegiando somente o saber teórico; o povo não tinha casas nem alimentação dignas. Outro
exemplo é o matemático lógico inglês Charles l. Dodgson, que publicou em 1865, com o
pseudômino Lewis Carrol, Alice nos País das Maravilhas, baseado na lógica do absurdo. Ele
trabalha principalmente as relações entre linguagem e Matemática e dá enorme oportunidade para reflexões fantasiosas. Muito importante para entender como um adolescente vê
os primeiros passos para uma Matemática abstrata, como a introdução da raiz quadrada de
21, é a novela O jovem Törless, publicada em 1906 por Robert Musil, matemático puro que
fez seu doutorado na Universidade de Viena sobre Matemática e Mecânica teórica. O mesmo
autor publicou em 1933 sua obra-prima, o monumental romance O homem sem qualidades,
em que mostra profeticamente as relações da Matemática com a emergência do nazismo e
prevê a eclosão da Segunda Guerra Mundial em 1939. Não podemos nos esquecer da interessantíssima Aritmética de Emília, de Monteiro Lobato, publicada em 1935, nem, é claro,
14
do famoso livro O homem que calculava. Publicado em 1938 pelo matemático Júlio Cesar
de Mello e Souza com o pseudônimo Malba Tahan, o livro foi traduzido em muitas línguas,
sendo utilizado em várias escolas de outros países. [...]
Justifica-se nos aprofundarmos um pouco na linguagem matemática. Numa famosa
conferência no Congresso internacional de Matemáticos de 1900, em Paris, David Hilbert,
um dos maiores matemáticos do mundo na transição do século XIX para o século XX, disse
que uma teoria matemática só se completa se puder “ser explicada ao primeiro homem que
se encontre na rua”. Observação semelhante, feita por um dos maiores matemáticos da
atualidade, Mikhail Gromov, em 1998, alerta que ideias matemáticas fundamentais devem atingir uma audiência maior que apenas matemáticos. A questão básica é a linguagem
rebuscada e fechada dos especialistas. Se isso é crítico entre os cientistas profissionais,
imaginem quão grave é o prejuízo na educação. A dificuldade de atingir uma audiência
maior, de fazer a Matemática chegar aos que a praticam mesmo estando fora do ambiente
acadêmico e a utilizam e aplicam é, sobretudo, uma questão de desmistificar a linguagem.
Em 1910, o eminente cientista inglês Silvanus Thompson publicou o livro Calculus made
easy. A intenção era desmistificar o cálculo diferencial e integral, tornando-o acessível à população geral. No prefácio, ele diz que alguns artifícios de cálculo são muito fáceis, mas apresentados da maneira mais difícil. A questão básica é que no ensino utilizamos uma narrativa
inacessível aos não iniciados. A narrativa científica é o discurso caracterizado pela organização formal, procurando evitar redundâncias e metáforas e, naturalmente, fantasias. Uma
maneira de superar esse obstáculo é o recurso à fantasia e à narrativa não formal.
O que é linguagem? Na sala de aula, dá-se o encontro entre indivíduos. Eles interagem
e comunicam-se, como todos os animais. No caso de humanos, desenvolveu-se uma situação muito especial, característica do ser humano: uma forma de comunicação organizada,
interativa, corporalizada. A linguagem, nesse sentido amplo, utiliza códigos e símbolos,
organizados de vários modos: oralmente, mediante escritos, gestos e movimentos. Esses
vários modos, personalizados, têm implicações qualitativas, revelando emoções, como alegria e tristeza, cansaço, energia e, sobretudo, volição, que implicam escolha e decisão. As
emoções e a volição são essenciais no processo de cognição. A partir daí parte-se para o estudo de motivação. A motivação é um elemento essencial para o sucesso na sala de aula. [...]
ARANTES, Valéria Amorim (Org.); D'AMBRÓSIO, Ubiratan; MACHADO, Nilson José.
Ensino de Matemática: pontos e contrapontos. São Paulo: Summus, 2014. p. 168-172.
Bye bye quilograma
Mostrou a foto de uma barra de metal. “O Metro”, disse, é o comprimento dessa barra. Aquela
fita que sua mãe usa tem quase o mesmo comprimento. Quase, como quase? Um pouco maior,
ou menor. Nunca vamos saber. Não tem um metro, mas foi fabricada com base no comprimento
de “O Metro”. Não satisfeito com o impacto causado, o professor mostrou outra foto, agora uma
barra de platina e irídio. Esse é “O Quilograma”, disse. Está trancado em um cofre em Paris, junto com “O Metro”. E completou: eles não podem ser tocados. Se “O Metro” esquentar ao toque
da mão vai dilatar e seu comprimento, mudar. No caso de “O Quilo”, o simples atrito das mãos
arranca átomos da superfície diminuindo sua massa. Foi assim que aprendi sobre esses deuses
universais, Metro e Quilo.
Mas por que a humanidade criou esses objetos místicos? Foi a necessidade de comparar
comprimentos e pesos de objetos em diferentes locais. Os primeiros padrões eram partes do
corpo, palmo, pé, polegada. Não deve ter demorado para perceberem que pés diferentes possuem comprimentos diferentes. Muito espertalhão deve ter se aproveitado disso. Foi então
que surgiram medidas-padrão, como o pé-padrão. Com o aumento da sofisticação das medi15
das, os padrões tiveram de ser mais bem definidos. Até desembocarmos, no final do século
19, nesses objetos santificados, trancados em Paris.
Mas objetos-padrão são um problema. São mutáveis, podem ser roubados e destruídos e
precisam ser copiados para que cada país tenha seu metro e quilo. A solução surgiu quando
físicos descobriram que existem certos números, chamados constantes, que são fixos e imutáveis e podem ser usados para definir unidades de medida.
Um dos primeiros atingidos foi o metro. Em 1983, um grupo de cientistas conseguiu medir com precisão uma dessas constantes universais, a velocidade da luz. Ela se propaga a exatos
299 792 458 metros por segundo em todo o universo. Com esse número, foi possível redefinir o
1
metro como a distância percorrida pela luz em
segundos (a definição do se299 792 458
gundo é outra história). Com essa nova definição qualquer pessoa pode, com os instrumentos adequados, produzir um metro, em qualquer lugar. E o deus físico da distância,
“O Metro”, pôde ir do cofre para o museu.
Tudo indica que agora é a vez do quilograma ser redefinido. E como base será usada outra
constante, a de Plank, descoberta pelo próprio em 1900. A maneira como ela pode ser usada
para definir o quilo está relacionada a uma balança especial, a de Kibble, inventada em 1975.
Parece uma balança de dois pratos. Em um você coloca o que quer pesar e do outro lado existe
um magneto que passa pelo interior de uma bobina elétrica. A medida que se aumenta a voltagem nessa bobina, a corrente elétrica cria um campo eletromagnético que puxa o magneto para
baixo, equilibrando os pratos.
Kibble demonstrou que dependendo de como se opera a balança, a massa de um lado
pode ser diretamente relacionada à constante de Planck. Assim, com o valor da constante
de Planck é possível calcular a massa no outro prato. O problema era a precisão da medida
da constante de Plank. Em 2013, um grupo de cientistas decidiu que o quilograma só seria redefinido quando a constante de Planck fosse determinada com precisão melhor que
50 partes por bilhão. Até recentemente as melhores medidas tinham erro de 300 partes
por bilhão. Agora, um grupo canadense anunciou que conseguiu uma precisão de 9,1 partes por bilhão.
Em 1o de julho, cientistas vão se reunir para se certificar que essa precisão foi atingida. Se
for o caso, a definição de quilo vai passar a ser um múltiplo da constante de Planck. E então “O
Quilo”, aquele que fica em um cofre em Paris, e de onde foi retirado só quatro vezes para ser
copiado (a última em 2014) perderá sua glória e importância. O objeto físico construído pelo
homem será substituído por uma constante universal, um simples número que acreditamos
fazer parte das leis que regem o universo. Assim como o livro e a música perderam seu caráter
material (livros e CDs) se transformando em números que trafegam por fios, o metro e o quilo
deixam de necessitar de representação material.
REINACH, Fernando. Bye bye quilograma. O Estado de S. Paulo, São Paulo, 20 maio 2017.
Leituras recomendadas ao professor
Indiscutivelmente, o bom professor é o que está sempre em busca de atualização e aperfeiçoamento. O professor de Matemática precisa estar sempre em busca de
mais conhecimento sobre essa ciência e de informações
sobre os mecanismos da aprendizagem dessa ciência.
Para coordenar um curso de Matemática, o professor de hoje precisa conhecer não só o programa curricular de Matemática, mas também informações sobre
a história das descobertas matemáticas, curiosidades,
16
brincadeiras e jogos logicomatemáticos, bons livros
paradidáticos para estimular o interesse por essa área
do conhecimento, etc.
Pensando nisso, tomamos a liberdade de sugerir livros, revistas e sites que podem contribuir para o aprimoramento da formação dos colegas que trabalham no
Ensino Fundamental.
Algumas dessas obras estão esgotadas, mas podem
ser encontradas em bibliotecas públicas e sebos.
Aprofundamento em Matemática
Coleção Matemática: aprendendo e ensinando, de vários
autores (São Paulo: Atual/Mir, 1995).
Essa coleção é composta de traduções de uma coleção russa publicada pela editora Mir e complementada
por obras de autores nacionais. Cada obra aborda um
tema de Matemática em linguagem bem acessível. Foram publicados os seguintes volumes:
Sistemas de numeração
A demonstração em Geometria
Curvas notáveis
Figuras equivalentes e equicompostas
Método de indução matemática
Erros nas demonstrações geométricas
Equações algébricas de grau qualquer
Álgebra booleana
Atividades em Geometria
Construindo gráficos
A Matemática do Ensino Médio, v. 1, de Elon Lages Lima
e outros (Rio de Janeiro: SBM, 2016).
Essa obra apresenta noções de conjuntos, um estudo das diferentes categorias numéricas e uma ideia
geral das funções.
Estatística básica, de Wilton de O. Bussab e Pedro A.
Morettin (São Paulo: Saraiva, 2017)
A obra trata da análise de dados unidimensionais
e bidimensionais, com atenção especial para métodos
gráficos, dos conceitos básicos de probabilidades e variáveis aleatórias e os tópicos principais da interferência estatística, além de alguns temas especiais, como
regressão linear simples.
Fundamentos de Matemática elementar, v. 1, de Gelson
Iezzi e outros (São Paulo: Atual, 2013).
Essa obra trata dos conjuntos numéricos, da noção de função e do estudo de algumas das funções
elementares.
Fundamentos de Matemática elementar, v. 9, de Osvaldo
Dolce e outros (São Paulo: Atual, 2013).
Essa obra trata da Geometria plana usualmente
estudada na escola fundamental. Seu texto é rigoroso
e as séries de exercícios são bastante aprofundadas.
Fundamentos de Matemática elementar, v. 11, de Gelson
Iezzi e outros (São Paulo: Atual, 2013).
Essa obra aborda conceitos introdutórios de Matemática Comercial, Matemática Financeira e Estatística
Descritiva.
Matemática – Temas e metas, v. 1, de Antônio dos Santos Machado (São Paulo: Atual, 1985).
Parte de uma coleção em 6 volumes, o volume 1
trata de conjuntos numéricos e funções, incluindo noções de Lógica.
Probabilidade e Estatística, v. 1, de William Mendenhall
(Rio de Janeiro: Campus, 1985).
No Capítulo 1, a obra procura identificar a natureza
da Estatística, seus objetivos e o modo pelo qual ela
exerce uma função importante nas ciências, na indústria e particularmente em nossa vida diária. Os exercícios são classificados por assunto: meio ambiente,
engenharia/tecnologia, economia/negócios, política,
agricultura, educação, etc.
Ensino-aprendizagem em Matemática
A arte de resolver problemas, de George Polya (Rio de
Janeiro: Interciência, 1978).
A obra analisa métodos criativos de resolução de
problemas, revela as quatro etapas básicas da resolução de qualquer problema e sugere formas de trabalhar os problemas em sala de aula.
Didática da resolução de problemas de Matemática, de Luiz
Roberto Dante (São Paulo: Ática, 1999).
A obra mostra os objetivos da resolução de problemas, os vários tipos de problemas, as etapas da resolução de um problema e o encaminhamento da solução
de um problema em sala de aula. A obra sugere ainda
formas de propor enunciados e como conduzir o assunto
problemas em sala. Os exemplos dados têm em vista especialmente o Ensino Fundamental.
Anuários do Conselho Nacional de Professores de Matemática dos EUA (NCTM) (São Paulo: Atual, 1995).
Essa coleção é formada por traduções de livros-anuários do NCTM. Cada livro aborda um tema sob a
ótica do ensino-aprendizagem da Matemática, à luz da
experiência de professores norte-americanos. Foram
publicados os seguintes volumes:
Aprendendo e ensinando Geometria
Aplicações da Matemática escolar
As ideias da Álgebra
A resolução de problemas na Matemática escolar
Ensino de matemática: pontos e contrapontos, de Nilson
José Machado, Ubiratan D'Ambrósio e Valéria Amorim
Arantes (Org.) (São Paulo: Summus, 2014).
Fazer e compreender Matemática, de Jean Piaget (São
Paulo: Melhoramentos, 1978).
As seis etapas do processo de aprendizagem em Matemática, de Zoltan P. Dienes (São Paulo: EPU, 1986).
17
Da realidade à ação – Reflexões sobre educação e Matemática, de Ubiratan D’Ambrósio (São Paulo: Summus, 1986).
www.geogebra.org (em inglês) – Disponibiliza progra-
Matemática e língua materna, de Nilson José Machado
(São Paulo: Cortez, 2011).
www.gregosetroianos.mat.br – Traz informações mate-
Etnomatemática – Elo entre as tradições e a modernidade, de Ubiratan D’Ambrósio (Belo Horizonte: Autêntica, 2016).
sível, gráficos animados, artigos, exercícios resolvidos e
Na vida dez, na escola zero, de David Carraher e outros
(São Paulo: Cortez, 2011).
Revistas e sites
Revistas
Revista do Professor de Matemática (São Paulo: SBM).
Trata-se de revista quadrimestral que procura apresentar artigos variados e de interesse para o professor
de Matemática. São abordados temas controversos,
problemas desafiadores, comentários sobre livros,
questões de olimpíadas, experiências pedagógicas inovadoras, etc.
ma especialmente desenvolvido para o ensino de Álgebra e Geometria.
máticas diversificadas, apresentadas em linguagem acesuma seção sobre erros mais comuns em Matemática.
www.matematica.br – Desenvolvido por professores do
Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de
São Paulo (IME-USP), o site traz informações diversificadas classificadas por temas matemáticos, informações
históricas e indicações de programas e cursos.
www.obm.org.br – Traz todas as provas realizadas
nas Olimpíadas Brasileiras de Matemática com os
exercícios resolvidos.
www.obmep.org.br – Traz todas as provas realizadas
nas Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas
Públicas com os exercícios resolvidos. Além disso, publica Bancos de questões, com questões aplicadas em
Para mais informações sobre a publicação, acesse:
http://rpm.org.br (Acesso em 26 abr. 2018).
Olimpíadas nacionais e internacionais.
Nova Escola (São Paulo: Associação Nova Escola).
sidades e material de apoio – incluindo jogos. Apresen-
A revista é destinada a professores e gestores e aborda
temas como gestão da sala de aula, mudanças de políticas educacionais, etc.
Encontra-se disponível nas formas impressas e digitais.
Para mais informações, acesse: https://novaescola.org.
br/ (acesso em 26 abr. 2018)
Educação Matemática em Revista (São Paulo: SBEM).
Periódico semestral que apresenta temas de interesse
dos professores de Matemática.
Informações sobre a revista podem ser encontradas
em: www.sbembrasil.org.br (acesso em 26 abr. 2018)
Sites (acesso em: 26 abr. 2018)
www.bussolaescolar.com.br – Com links para todas as
disciplinas escolares, traz uma seção de jogos variados.
Clicando em "Matemática", encontram-se os temas classificados em Ensino Fundamental, Ensino Médio, Geometria e História da Matemática.
www.cabri.com (em inglês) – Cabri-geometre é um
software educacional desenvolvido especialmente para
o ensino de Geometria. No site é possível encontrar
versões demo para baixar e testar, além dos manuais
para sua utilização.
18
www.somatematica.com.br – Portal com dicas, curiota indicações de livros, DVDs e outros materiais. Tem
comunidade virtual, fórum e um espaço para contato
entre professores e alunos.
www2.mat.ufrgs.br/edumatec – Além de artigos
e orientações sobre uso de tecnologia, disponibiliza
softwares especialmente desenvolvidos para auxiliar
no ensino de Matemática.
Uso de tecnologia no ensino
Livros
Escritos sobre tecnologia educacional e educação profissional, de Jarbas Novelino Barato. São Paulo: Editora
Senac, 2002.
A árvore do saber-aprender, de Hélène Trocmé-Fabre.
São Paulo: Editora Triom, 2004.
Integração das tecnologias na educação, organizado
por Maria Elizabeth Bianconcini Almeida e José Manuel Moran. Brasília: Ministério da Educação/Seed,
2005. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seed/
arquivos/pdf/iniciaissf.pdf>. Acesso em: 26 abr. 2018.
Informática em Psicopedagogia, de Vera Barros de Oliveira. São Paulo: Editora Senac, 1996.
Novas tecnologias e mediação pedagógica, de José Manuel Moran, Marcos T. Masetto e Marilda Aparecida
Behrens. São Paulo: Papirus, 2017.
A educação que desejamos: novos desafios e como chegar
lá, de José Manuel Moran. São Paulo: Papirus, 2011.
Redes de aprendizagem – um guia para ensino e aprendizagem on-line, de Linda Harasim, Murray Turoff, Lucio Teles
e Starr Roxanne Hiltz. São Paulo: Editora Senac, 2005.
Sites (acesso em: 26 abr. 2018.)
http://portaldoprofessor.mec.gov.br – Disponibiliza
recursos como vídeo, imagem e animações para auxiliar o professor em sala de aula.
http://tecedu.pro.br/ – Revista eletrônica semestral
com artigos e relatos de professores sobre o uso da
tecnologia em sala de aula.
http://webeduc.mec.gov.br/codigo_aberto – Oferece softwares para uso gratuito em diversas disciplinas
como ferramenta de apoio ao processo de ensino-aprendizagem.
http://www2.eca.usp.br/moran/ – Disponibiliza textos sobre educação e sobre tecnologia aplicada ao contexto educacional.
www.erte.dgidc.min-edu.pt/publico/web20/manual_
web20-professores.pdf – Esse manual, disponível no
site do Ministério da Educação de Portugal, traz explicações sobre ferramentas disponíveis na web 2.0 e orientações de como utilizá-las no contexto educacional.
máximo 8 páginas), denominados cápsulas, nos quais
é abordado algum assunto ligado ao tema. Assim, por
exemplo, no volume sobre Geometria existe uma cápsula contendo várias demonstrações do teorema de
Pitágoras.
Introdução à história da Matemática, de Howard Eves
(Campinas: Unicamp, 2007).
Conceitos fundamentais da Matemática, de Bento de Jesus Caraça (Lisboa: Gradiva, 1998).
A experiência matemática, de Philip Davis e Reuben
Hirsh (Lisboa: Gradiva, 1995).
História da Matemática, de Carl B. Boyer (São Paulo:
Edgard Blücher, 2012).
Introdução à história da educação matemática, de Maria
Ângela Miorim (São Paulo: Atual, 1998).
Os números: a história de uma grande invenção, de
Georges Ifrah (Rio de Janeiro: Globo, 1992).
Uma história concisa da Matemática no Brasil, de Ubiratan D'Ambrósio (Petrópolis, RJ: Vozes, 2008).
Obras paradidáticas
Coleção Pra que serve Matemática?, de Luiz Márcio Pereira Imenes e outros (São Paulo: Atual, 2004).
Essa coleção busca responder à comum e clássica
pergunta dos alunos “Pra que isto serve?”. Por meio de
exemplos do cotidiano, de jogos e de aplicações, os autores procuram responder à pergunta com relação a:
Álgebra
Ângulos
Equação do 2 o grau
História da Matemática
Frações e números decimais
Coleção Tópicos de história da Matemática – Para uso em
sala de aula, de vários autores (São Paulo: Atual, 1996).
Estatística
Essa coleção procura dar ao leitor uma visão abrangente da história das descobertas matemáticas. Está dividida em 6 volumes:
Números negativos
Números e numerais
Álgebra
Geometria
Trigonometria
Computação
Cálculo
Em cada volume é abordada a história da criação e
do desenvolvimento de um grande tema matemático.
O volume é dividido em tópicos bastante curtos (de no
Geometria
Proporções
Semelhanças
Coleção Vivendo a Matemática, de vários autores (São
Paulo: Scipione, 1996).
Essa coleção busca criar o gosto pela Matemática por meio do conhecimento das ligações entre essa
ciência e objetos ou fatos da realidade. Foram publicados os volumes:
Brincando com números
Geometria dos mosaicos
Descobrindo o teorema de Pitágoras
19
Medindo comprimentos
Problemas curiosos
Polígonos, centopeias e outros bichos
Geometria das dobraduras
Lógica? É lógico
Os poliedros de Platão e os dedos da mão
Semelhança não é mera coincidência
Os números na história da civilização
A numeração indo-arábica
Par ou ímpar
Na terra dos noves-fora
Desenhos da África
Coleção Contando a história da Matemática, de Oscar
Augusto Guelli Neto (São Paulo: Ática, 2000).
Coleção A descoberta da Matemática, de Luzia Faraco e
outros (São Paulo: Ática, 2007).
Curiosidades de Matemática
As maravilhas da Matemática, de Malba Tahan (Rio de
Janeiro: Bloch, 1987).
Matemática divertida e curiosa, de Malba Tahan (Rio de
Janeiro: Record, 2008).
20
O homem que calculava, de Malba Tahan (Rio de Janeiro:
Record, 2008).
O andar do bêbado: como o acaso influencia nossas vidas, de Leonard Mlodinow (Rio de Janeiro: Zahar, 2011).
Almanaque das curiosidades matemáticas, de Ian
Stewart (Rio de Janeiro: Zahar, 2009).
A Matemática do dia a dia, de Steven Strogatz (Rio de
Janeiro: Alta Books, 2017).
O livro dos desafios, v. 1, de Charles
Townsend (Rio de Janeiro: Ediouro, 2004).
Barry
Divertimientos lógicos y matemáticos, de M. Mataix (Barcelona: Marcombo, 1982).
El discreto encanto de las matemáticas, de M. Mataix
(Barcelona: Marcombo, 1986).
Quebra-cabeças, truques e jogos com palitos de fósforo,
de Gilberto Obermair (Rio de Janeiro: Ediouro, 2000).
100 jogos geométricos, de Pierre Berloquin (Lisboa:
Gradiva, 1999).
100 jogos numéricos, de Pierre Berloquin (Lisboa: Gradiva, 1991).
Aventuras matemáticas, de Miguel de Guzman (Lisboa:
Gradiva, 1990).
Ah, descobri!, de Martin Gardner (Lisboa: Gradiva, 1990).
O 6o ano: Temas abordados
Números
Os números naturais
Esse tema é desenvolvido em duas unidades: “Números e operações” e “Múltiplos e divisores”.
Iniciamos com a retomada dos conceitos estudados
nos anos anteriores, utilizando uma linguagem compatível com os alunos do 6o ano.
A unidade 1, "Números e operações", aborda o conjunto dos números naturais e o sistema de numeração
decimal. São retomadas as operações adição, subtração,
multiplicação e divisão, suas propriedades e discutidos
alguns problemas de aplicação. Foi nossa preocupação
distribuir os exercícios de forma equilibrada ao longo da
teoria, evitando concentrá-los em determinados capítulos ou unidades.
Também abordamos o estudo das unidades de tempo, enriquecendo por meio delas as atividades com as
operações, principalmente multiplicação e divisão.
Inciamos o estudo da potência de expoente natural,
explorando o caso do expoente maior ou igual a 2. Em
seguida, discutimos as primeiras propriedades da potenciação para, então, definir as potências de expoente
1 e 0, mostrando a coerência entre essas definições e
as propriedades estudadas.
Quanto à radiciação, introduzimos a raiz quadrada
aritmética dos naturais quadrados perfeitos.
Além disso, trabalhamos com o sistema decimal e
exploramos o sistema binário a partir da decomposição de um número em soma de potências de mesma
base. Essa abordagem foi motivada pela aplicação
dos conceitos de potência, valorizando o estudo dessa operação.
Já na unidade 3, "Múltiplos e divisores", encontram-se pré-requisitos ao aprendizado de conceitos e operações relativos às frações.
Iniciamos a abordagem do tema com a noção de
divisibilidade, levando o aluno a concluir as regras
que consideramos essenciais (divisibilidade por 2,
por 3 e por 5), que serão aplicadas na decomposição
de um número em fatores primos. Tanto essas como
as outras regras de divisibilidade são apresentadas
no decorrer da série de exercícios e resumidas ao final dela.
Após apresentar os números primos e a decomposição de um número em fatores primos, discutimos
o conceito de múltiplo de um número natural e como
determinar a sequência de múltiplos de um número
natural, bem como determinar o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números. Depois, apresentamos
o conceito de divisor de um número natural e como
determinar os divisores de um número natural, bem
como determinar o máximo divisor comum de dois ou
mais números. Para isso trabalhamos a decomposição
em fatores primos de cada número e a decomposição
simultânea dos números dados.
Os números racionais
Esse tema é desenvolvido em duas unidades: na unidade 4, “Frações”, e na unidade 5, “Numerais decimais”.
Trata-se de pré-requisito para vários assuntos, entre
eles o de medidas.
Na unidade 4 exploramos o conceito de fração e
desenvolvemos o trabalho com frações equivalentes,
comparação e operações.
Já na unidade 5, trabalhamos a noção de fração decimal e sua representação na forma decimal. O aluno
vai operar com os racionais representados na forma
decimal.
Nessa unidade também introduzimos o conceito de
taxas porcentuais.
Geometria
Neste volume, os conteúdos de Geometria são desenvolvidos em duas unidades: na unidade 2, “Geometria: primeiros passos”, e na unidade 6, “Geometria e
medidas”.
Na unidade 1, depois de uma pequena introdução
histórica, a partir de objetos do dia a dia são apresentadas algumas figuras geométricas para daí se trabalhar as ideias de ponto, reta, plano e as definições de
semirreta, segmento de reta e ângulo.
Na unidade 6, iniciamos o estudo dos polígonos e
das curvas. Destacamos os nomes dos polígonos e os
quadriláteros notáveis. Apresentamos a noção de perímetro associada à noção da grandeza comprimento.
Apresentamos a ideia de área de uma figura plana
e de um polígono, bem como discutimos o procedimento para calcular a área do retângulo e a do quadrado. Além disso, exploramos a noção de volume e o
procedimento para calcular volume do bloco retangular (pa ralelepípedo reto-retângulo) e do cubo.
21
Grandezas e medidas
Estatística e probabilidade
Esse tema é apresentado em conjunto com Geometria, exceto as unidades de tempo que são trabalhadas na
unidade 1, junto com as operações nos números naturais.
No 6o ano, a unidade 7, “Estatística”, aborda a coleta
e a organização de dados, a construção de tabelas e de
gráficos de colunas. São feitas referências apenas a variáveis qualitativas, como local de residência, esporte preferido, etc.
Nosso foco foi trabalhar com algumas grandezas
e conceitos que auxiliam na compreensão de outras
ciências exatas, notadamente a Física e a Química,
além da Matemática.
Aproveitamos a oportunidade para retomar porcentagens e avançar no estudo desse tópico. Nos exercícios da unidade, o aluno é levado a demonstrar compreensão do tema, fazer análises, comparações, tirar
conclusões e elaborar hipóteses.
Inicialmente optamos por caracterizar a grandeza
que será medida (comprimento, área, volume, massa
ou tempo). Em seguida, discutimos as ideias de medida, unidade de medida e unidade-padrão de medida.
Depois apresentamos as unidades múltiplas ou submúltiplas da unidade-padrão e discutimos as relações
de transformação de uma unidade em outra.
Nessa unidade também iniciamos a leitura e interpretação de notícias de jornais e revistas em que
os dados são apresentados em gráfico ou tabelas.
O professor pode enriquecer suas aulas com outros
materiais coletados de publicações recentes e temas de interesse dos alunos.
Fazemos uma primeira abordagem do cálculo da
área de algumas figuras planas e do volume de alguns
sólidos, deixando para aprofundar esse assunto nos
anos posteriores.
Capítulos e objetivos de aprendizagem
Unidade 1 – Números e operações
CAPÍTULOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Reconhecer os algarismos romanos.
• Representar um número por meio de numeral romano.
• Associar às unidades de 1a, 2a, 3a e 4a ordens os valores 1, 10, 100, 1 000 e os respectivos
nomes: unidade simples, dezena, centena, unidade de milhar.
• Aplicar o conceito do valor posicional, decompondo um número nas unidades de diversas
ordens.
1. NÚMEROS
• Identificar os números naturais.
• Compreender que cada número natural a partir do 1 contém uma unidade a mais que o antecedente.
• Distinguir finito e infinito.
• Comparar números e expressar essa comparação usando os sinais 5,
, ou ..
• Representar o antecessor e o sucessor de um número natural.
• Classificar os naturais em pares ou ímpares.
22
• Associar a adição a situações de juntar e contar e a situações de acrescentar.
• Resolver problemas com situações de adição.
• Compreender a terminologia adição, parcelas e soma.
• Verificar as propriedades comutativa e associativa e a existência do elemento neutro da
adição.
• Aplicar as propriedades da adição em diferentes estratégias de cálculo, incluindo o cálculo
mental, e utilizá-las para verificar resultados.
2. ADIÇÃO E
SUBTRAÇÃO
• Resolver expressões numéricas com adição.
• Associar a subtração às situações de tirar e contar, de diminuir e de completar.
• Resolver problemas com situações de subtração.
• Reconhecer a subtração como operação inversa da adição.
• Usar a relação entre adição e subtração para verificar resultados de subtrações e calcular
números desconhecidos.
• Compreender a terminologia minuendo, subtraendo e diferença.
• Calcular expressões numéricas com adição e subtração.
• Associar a multiplicação a situações que representam adição de parcelas iguais.
• Resolver problemas com situações de multiplicação.
• Compreender a terminologia multiplicação, fatores e produto.
• Compreender o significado de dobro, triplo, quádruplo, etc.
• Calcular expressões numéricas com multiplicação, adição e subtração.
3. MULTIPLICAÇÃO
• Verificar as propriedades comutativa e associativa e a existência do elemento neutro da
multiplicação.
• Verificar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.
• Aplicar a propriedade distributiva da multiplicação.
• Aplicar as propriedades da multiplicação em diferentes estratégias de cálculo, incluindo
cálculo mental, e utilizá-las para verificar resultados.
• Reconhecer o segundo como unidade-padrão de tempo.
• Relacionar diferentes unidades de tempo.
• Resolver problemas a respeito de medidas de tempo.
• Associar a divisão ao processo de repartir em partes iguais, tanto para calcular o tamanho de
cada parte como para determinar o número de partes.
• Associar a divisão à situação de descoberta de um fator desconhecido de uma multiplicação.
• Reconhecer a divisão como operação inversa da multiplicação.
• Compreender a terminologia dividendo, divisor e quociente.
4. DIVISÃO
• Calcular expressões numéricas com adição, subtração, multiplicação e divisão exata.
• Determinar o quociente e o resto numa divisão de números naturais.
• Reconhecer a divisão exata como um caso particular da divisão com resto.
• Resolver operações que envolvem medidas mistas.
• Interpretar o enunciado de um problema.
• Formular questões sequenciando a resolução de um problema.
• Verificar se a resposta de um problema está correta.
23
• Associar a potenciação a situações que representam multiplicações de fatores iguais.
• Compreender a terminologia base, expoente e potência.
• Calcular expressões numéricas com potências.
• Reconhecer um quadrado perfeito e sua raiz aritmética.
5. POTENCIAÇÃO
E RADICIAÇÃO
• Compreender as propriedades da potenciação e aplicá-las em cálculos simples.
• Compreender a definição para o caso dos expoentes 1 e 0 como resultados naturais que
ampliam a aplicação das propriedades.
• Calcular potência por recorrência.
• Associar a representação no sistema decimal com as potências de 10.
• Aplicar a decomposição de números na realização de cálculos mentais.
• Representar um número no sistema binário, decompondo-o em soma de potências de base 2.
Unidade 2 – Geometria: primeiros passos
CAPÍTULOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Reconhecer que as figuras geométricas constituem abstrações de formas e objetos.
• Compreender, partindo de formas e objetos, as noções de ponto, reta e plano.
6. NOÇÕES
FUNDAMENTAIS
• Reconhecer uma figura geométrica como um conjunto de pontos.
• Representar e nomear retas através de dois de seus pontos.
• Estabelecer a relação de pertinência entre pontos e reta e empregar os símbolos
correspondentes a ela.
• Identificar quando dois ou mais pontos são colineares.
• Reconhecer semirreta como cada uma das partes de uma reta, determinada por um de seus
pontos.
• Descrever segmento de reta como intersecção de semirretas.
• Discriminar as extremidades de um segmento.
7. SEMIRRETA, SEGMENTO
DE RETA E ÂNGULO
• Reconhecer ângulo como reunião de duas semirretas de mesma origem.
• Identificar vértice e lados de um ângulo.
• Compreender a ideia de ângulo reto.
• Classificar duas retas coplanares como paralelas ou concorrentes.
• Classificar duas retas concorrentes como oblíquas ou perpendiculares.
24
Unidade 3 – Múltiplos e divisores
CAPÍTULOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Reconhecer se um número é divisível por outro.
8. DIVISIBILIDADE
• Compreender e aplicar as regras de divisibilidade por 2, por 3 e por 5.
• Compreender e aplicar outras regras de divisibilidade.
• Reconhecer um número natural primo como aquele que é divisível por exatamente dois naturais.
• Determinar se um número natural é primo.
9. NÚMEROS PRIMOS.
FATORAÇÃO
• Reconhecer números compostos.
• Reconhecer que todo número composto pode ser decomposto em um produto de fatores
primos.
• Determinar a fatoração completa de um número.
• Determinar os múltiplos de um número natural.
• Reconhecer se um número é múltiplo de outro.
10. MÚLTIPLOS E MÍNIMO
MÚLTIPLO COMUM
• Identificar os múltiplos comuns de dois ou mais números e reconhecer o mínimo múltiplo
comum.
• Determinar o mmc de dois ou mais números.
• Reconhecer os múltiplos comuns de dois números como sendo os múltiplos do mmc.
• Reconhecer se um número é divisor de outro.
• Determinar os divisores naturais de um número.
11. DIVISORES E MÁXIMO
DIVISOR COMUM
• Identificar os divisores comuns de dois naturais e reconhecer o máximo divisor comum.
• Identificar dois ou mais números naturais primos entre si.
• Determinar o mdc de dois números.
• Reconhecer os divisores comuns de dois números como sendo os divisores do mdc.
Unidade 4 – Frações
CAPÍTULOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Entender que uma fração é uma parte de um todo.
• Reconhecer fração da unidade e fração de um conjunto.
12. O QUE É FRAÇÃO?
• Verificar, por meio de representações concretas, que dividir a por b é o mesmo que dividir uma
unidade em b partes iguais e tomar a dessas partes.
• Reconhecer fração como um quociente.
• Distinguir frações próprias, frações impróprias e frações aparentes.
a
• Identificar números naturais escritos sob a forma .
b
• Representar uma fração imprópria na forma mista e vice-versa.
25
• Reconhecer frações equivalentes como representações diferentes de um número racional.
• Compreender a propriedade fundamental das frações equivalentes.
13. FRAÇÕES
EQUIVALENTES.
COMPARAÇÃO
DE FRAÇÕES
• Simplificar frações, aplicando a fatoração e a propriedade fundamental das frações equivalentes.
• Determinar a forma irredutível de uma fração.
• Reconhecer que reduzir frações ao mesmo denominador é determinar outras frações
equivalentes às primeiras, porém de mesmo denominador.
• Comparar frações.
• Efetuar a adição e a subtração de duas ou mais frações.
• Calcular expressões numéricas com adição e subtração de frações.
• Efetuar a multiplicação de duas ou mais frações.
14. OPERAÇÕES
COM FRAÇÕES
• Efetuar a divisão de duas frações.
• Calcular expressões numéricas com adição, subtração, multiplicação e divisão de frações.
• Calcular potências com base fracionária.
• Calcular expressões numéricas com potências.
Unidade 5 – Números decimais
CAPÍTULOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Reconhecer uma fração decimal.
• Representar um número na forma decimal em fração decimal.
15. FRAÇÃO DECIMAL
E NUMERAL DECIMAL
• Representar uma fração decimal na forma decimal.
• Reconhecer as propriedades dos numerais decimais.
• Comparar decimais.
• Associar taxa porcentual a fração e ao decimal.
• Efetuar a adição, a subtração e a multiplicação de decimais.
• Calcular expressões numéricas com adição, subtração e multiplicação de numerais decimais.
16. OPERAÇÕES
COM DECIMAIS
• Determinar o quociente decimal exato de uma divisão de dois números naturais.
• Determinar o quociente aproximado por falta de uma divisão de dois números naturais.
• Efetuar a divisão de dois decimais.
• Reconhecer uma fração irredutível e não aparente como um decimal exato ou uma dízima
periódica.
26
Unidade 6 – Geometria e medidas
CAPÍTULOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Reconhecer que o processo de medir implica a escolha de uma unidade padronizada que tenha
a mesma natureza da grandeza a ser medida.
17. UNIDADES DE
COMPRIMENTO
• Reconhecer as unidades padronizadas de medida de comprimento.
• Reconhecer as relações existentes entre unidades de medida de comprimento e o sistema decimal.
• Transformar uma unidade de medida de comprimento em outra, percebendo a relação
existente entre essas transformações e o sistema decimal.
• Identificar dois segmentos consecutivos.
• Reconhecer e representar dois segmentos consecutivos e colineares.
• Reconhecer uma poligonal simples e uma poligonal não simples como reuniões de segmentos.
• Discriminar em uma poligonal os vértices, os lados e as extremidades.
• Reconhecer um polígono como uma poligonal em que as extremidades coincidem.
18. POLIGONAL,
POLÍGONOS E CURVAS
• Discriminar em um polígono os vértices e os lados.
• Reconhecer polígono simples e polígono não simples.
• Nomear polígonos.
• Nomear quadriláteros.
• Determinar a soma das medidas dos lados de um polígono.
• Identificar curvas abertas simples e curvas abertas não simples.
• Identificar curvas fechadas simples e curvas fechadas não simples.
• Reconhecer a região interior e a região exterior de uma curva fechada simples.
• Reconhecer que medir uma superfície é compará-la com outra superfície tomada como unidade.
• Reconhecer as unidades de medida padronizadas de superfície.
19. UNIDADES
DE ÁREA
• Transformar uma unidade de superfície em outra, mostrando a relação existente entre essas
transformações e o sistema decimal.
• Reconhecer as unidades de medidas agrárias.
• Determinar a área de alguns quadriláteros.
• Reconhecer as unidades de medida padronizadas de volume.
• Transformar uma unidade de volume em outra, percebendo a relação existente entre essas
transformações e o sistema decimal.
20. UNIDADES
DE VOLUME
• Determinar o volume de alguns poliedros.
• Reconhecer as unidades de medida padronizadas de capacidade.
• Relacionar o litro e o decímetro cúbico.
• Transformar uma unidade de capacidade em outra, percebendo a relação existente entre
essas transformações e o sistema decimal.
• Compreender o conceito de massa de um corpo.
21. UNIDADES
DE MASSA
• Reconhecer as unidades de medida padronizadas de massa.
• Transformar uma unidade de massa em outra, percebendo a relação existente entre essas
transformações e o sistema decimal.
Unidade 7 – Estatística
CAPÍTULOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Calcular taxas porcentuais.
22. NOÇÕES
DE ESTATÍSTICA
• Coletar dados e apresentá-los em valores absolutos e relativos.
• Elaborar e interpretar tabelas.
• Construir e interpretar gráficos de colunas.
• Analisar dados estatísticos e utilizá-los para fazer comparações e levantar hipóteses.
27
Em aula
Alguns comentários e orientações
• Vamos usar a calculadora
Este texto é apresentado ao final do capítulo 1 para preparar o aluno a utilizar esse instrumento no estudo
das operações numéricas.
Sugerimos ao professor propor as tarefas nele incluídas e verificar se todos os alunos sabem manusear a
calculadora, pelo menos para executar operações básicas.
• Cadê o resto?
Ao apresentar a divisão com resto, no capítulo 4, sugerimos retomar o uso da calculadora para:
• reconhecer se uma divisão é exata ou não;
• calcular o resto numa divisão não exata.
A seguir, veja um exemplo de como orientar os alunos neste momento:
1. Vamos dividir 16 por 8.
Peça aos alunos que liguem a calculadora e digitem na sequência:
1
4
6
5
8
no visor
no visor
16
8
no visor
2
O resultado da divisão é 2.
Essa divisão é exata.
2. Agora, vamos dividir 19 por 8.
O que aparece no visor?
2.375
3. Compare esse resultado com o resultado da divisão anterior. O que eles têm de parecido? E o que eles têm de
diferente?
4. No segundo cálculo, aparece uma vírgula no resultado (lembre-se de que o ponto na calculadora é a vírgula na
nossa forma de escrever). O que ela indica?
Ouça as respostas dos alunos.
Após, explique que ela indica que a divisão não é exata. Há um resto, mas não é ele que aparece no visor.
5. Vamos realizar as mesmas operações empregando o algoritmo da divisão:
16
8
19
8
0
2
3
2
No segundo cálculo, como fazer para encontrar o resto 3 na calculadora? O quociente 2 aparece no visor antes
da vírgula.
6. Temos no visor
2
5
2
no visor
2
28
2.375 . Vamos tirar a parte antes da vírgula. Digite na sequência:
no visor
0.375
7. O que ficou no visor é uma parte do resto. Como a divisão é por 8, se essa parte for multiplicada por 8, vamos
obter o resto da divisão.
3
5
8
no visor
3
8. Agora, vamos dividir 65 por 4.
65
4
65
Na calculadora:
4
16,25
25 16
1
9. Vamos obter o resto 1 na calculadora.
(Professor, indique no quadro todas as passagens para que percebam as operações realizadas.)
6
5
4
5
4
no visor
no visor
65
4
2
1
6
5
no visor
3
5
4
no visor
16
4
no visor
no visor
no visor
16.25
0.25
1
10. Proponha outras questões para resolver com a calculadora. Por exemplo:
I. Qual é o resto da divisão de 125 por 8? 5
II. E o resto da divisão de 906 por 40? 26
III. Quais das divisões abaixo são exatas?
a) 7 677 ; 21
x b)
4 488 ; 102
c) 1 4348 ; 86
x d)
1 4965 ; 73
IV. Cidinha e Cleide fizeram, cada uma, 630 docinhos portugueses para vender em uma feira. Cidinha montou forminhas com 8 doces e Cleide, com 12 doces. Para qual delas sobraram menos doces não embalados? Ficaram com a mesma sobra: 6 doces cada uma (ambas as divisões, 630 ; 8 e 630 ; 12, dão resto 6)
• O cálculo mental e as estimativas
Na unidade 1 estão propostas atividades de cálculo mental e estimativas principalmente nos capítulos 2, 3 e 5.
Convém ao professor preparar outros cálculos para levar a estas aulas e, sempre que possível, exercitar essa atividade mesmo que não esteja explicitamente proposta no livro. Muitas das operações que o aluno terá de fazer para
resolver os exercícios e os problemas propostos poderão ser executados mentalmente.
O professor deve incentivá-lo nessa tarefa e, na medida do possível, ao menos uma vez por semana propor
oralmente a resolução de cálculos mentais – reserve uns minutos de uma aula para isso.
Mais adiante, na unidade 5, voltamos a enfocar esse trabalho quando apresentamos as taxas porcentuais.
• Os problemas
Problemas sobre as quatro operações fundamentais são propostos nas séries de exercícios.
Para resumir o trabalho com essas operações, nos naturais, destacamos uma série deles ao final do capítulo 4,
“Divisão”. A ideia é que sejam resolvidos sem a formulação de equações, mas empregando o raciocínio característico de cada operação. Alguns deles vêm propostos com uma série de perguntas que encaminham o raciocínio;
em outros o aluno é desafiado a elaborar estratégias pessoais de resolução.
Incentive a resolução desses problemas e alerte que às vezes um mesmo problema pode ser resolvido usando
diferentes estratégias.
29
Ao longo do livro, o aluno encontrará muitos outros problemas e situações-problemas, destacando os de aplicação do mdc e do mmc na unidade 3, os de frações e aplicações de decimais nas unidades 4 e 5, os de porcentagem nas unidades 5 e 7 e, em toda a unidade 6, as situações envolvendo o trabalho com medidas.
¥ Os desafios
Há uma grande variedade de desafios propostos ao longo do livro. A finalidade é que o aluno desenvolva
a perseverança, a iniciativa, a criatividade e o raciocínio lógico matemático. Alguns deles se prestam também
ao desenvolvimento da capacidade de leitura e entendimento de textos e de instruções, tabelas, etc., por
exemplo:
— Formando equipes (Unidade 3, capítulo 8)
— Compreendendo um texto (Unidade 3, capítulo 10)
— O esporte preferido (Unidade 5, capítulo 15)
— Dupla entrada (Unidade 7, capítulo 22)
— Tabelando (Unidade 7, capítulo 22)
— A libra e a onça (Unidade 6, capítulo 21)
Há desafios que podem ser explorados em aula, por exemplo:
— Que conta é esta? (Unidade 1, capítulo 2)
— É permitido fazer estimativas (Unidade 1, capítulo 3), que o professor pode usar para relembrar os algoritmos da adição e da multiplicação.
O desafio
— Brincando com quatro quatros (Unidade 2, capítulo 7)
pode gerar boas perguntas e ser “ampliado” para obter, por exemplo, resultados de 1 a 10, ou de 1 a 20, ou
outros, com quatro quatros e os sinais das operações.
Além dos desafios, a seção “Participe” é proposta para introduzir um conceito.
As seções “Matemática em Notícia”, “Matemática no Tempo” e “Dinheiro: aprenda a usar” podem ser inseridas
na programação do professor para diversas finalidades: trabalho em grupo, leitura e compreensão de textos,
discussões, construção de cidadania, educação financeira, transdisciplinaridade e outras.
Uma boa prática é começar a leitura pelas perguntas formuladas ao final. Elas podem aguçar a curiosidade e
conduzir o aluno a uma leitura mais atenta do texto.
Durante a leitura incentive o aluno a fazer anotações em seu caderno, destacando trechos importantes e dados numéricos a serem utilizados na resolução das questões propostas.
Algumas das propostas apresentadas podem ser utilizadas no processo de avaliação adotado pelo professor.
Explicações teóricas
I. A definição de ângulo (Unidade 2)
O ângulo é tratado no 6o, 7o e 8o anos. Definimos:
“A reunião de duas semirretas de mesma origem é um ângulo”.
Note que essa definição inclui o ângulo nulo e o ângulo raso, mas estes somente são destacados a partir do
o
7 ano, quando são apresentadas as medidas de ângulo.
No 6o ano não chamamos a atenção para ângulo nulo e ângulo raso, trabalhamos apenas com ângulos formados por duas semirretas de mesma origem, distintas e não opostas.
30
II. A divisibilidade por 3 e por 9 (Unidade 3)
Vamos considerar um número formado por quatro algarismos, a, b, c e d, nesta ordem, escrito no sistema de
numeração decimal. Seu valor é:
a
b
c
d
unidades
dezenas
centenas
milhares
a b c d 5 1 000a 1 100b 1 10c 1 d 5 999a 1 99b 1 9c 1 (a 1 b 1 c 1 d)
número divisível por 3
e divisível por 9
?
Isto mostra que, se a soma dos algarismos, a 1 b 1 c 1 d, é divisível por 3 (ou por 9), então, o número dado
também é, pois se trata de uma soma de duas parcelas divisíveis por 3 (por 9).
A recíproca é verdadeira: se o número dado é divisível por 3 (ou por 9), então, a soma dos seus algarismos
também é, pois:
a 1 b 1 c 1 d 5 a b c d 2 (999a 1 99b 1 9c)
divisível por 3
(e por 9)
divisível por 3
(ou por 9)
Como a 1 b 1 c 1 d é a diferença entre dois números divisíveis por 3 (ou por 9), concluímos que é divisível por
3 (por 9).
Sugerimos não apresentar essa justificativa para o aluno do 6o ano, porém é possível, por meio de alguns
exemplos, discutir os argumentos usados na demonstração acima.
Por exemplo:
a) 741 5 7 ? 100 1 4 ? 10 1 1
5 7 ? (99 1 1) 1 4 ? (9 1 1) 1 1
5 7 ? 99 1 7 1 4 ? 9 1 4 1 1
5 (7 ? 99 1 4 ? 9) 1 (7 1 4 1 1)
divisível por 3
divisível por 3
Conclusão: 741 é divisível por 3.
b) 742 5 7 ? 100 1 4 ? 10 1 2
5 7 ? (99 1 1) 1 4 ? ( 9 1 1) 1 2
5 7 ? 99 1 7 1 4 ? 9 1 4 1 2
5 (7 ? 99 1 4 ? 9) 1 (7 1 4 1 2)
divisível por 3
não é divisível por 3
Conclusão: 742 não é divisível por 3 porque 7 + 4 + 2 não é divisível por 3.
III. A definição do trapézio (Unidade 7)
Na teoria, optamos por definir:
“Trapézio é um quadrilátero simples que tem dois lados paralelos” (1)
Há outros autores que optam por:
“Trapézio é um quadrilátero simples que tem apenas dois lados paralelos” (2)
A diferença nessas duas definições é que, adotando (1), consideramos um paralelogramo como caso particular
de trapézio, em que há dois pares de lados paralelos. Ambas as definições podem ser adotadas; o professor deverá estar atento no estudo das propriedades desses quadriláteros (nos anos seguintes).
31
Atividades com números naturais
Atividade 1
Objetivo
• Incentivar o aluno a exercitar as tabuadas da multiplicação do 1 ao 10.
Material
Desenvolvimento
1. Jogue dominó comum com a turma, comentando
após cada lance as possibilidades de jogadas.
2. Apresente o dominó da atividade, explicando a regra básica, que é justapor a cada quadro com uma
divisão indicada um quadro com outra divisão indicada, diferente da anterior, mas com resultado
idêntico. Exemplo: 6 : 3 e 14 : 7.
• placar com todos os possíveis produtos das tabuadas, desde o 1 até o 100
3. Divida a classe em dois grupos, A e B, tendo cada
• cartelas numeradas com 15 números dispostos em
3 linhas e 5 colunas
de 28 alunos, será necessário dividi-la em mais de
Desenvolvimento
1. Distribua a cada aluno uma cartela na qual deverão ser
marcados a lápis os números sorteados. Explique as
regras do jogo, destacando especialmente o fato de
que é proibido falar o resultado de cada lance que é
anunciado.
2. Defina as premiações que serão oferecidas aos
ganhadores. O primeiro ganhador será o aluno que
completar antes de todos uma fila (linha ou coluna
da cartela). O outro ganhador será o que completar
a cartela antes de todos.
3. Anuncie um produto, por exemplo: “3 3 7”. Os
aluno pelo menos uma ficha. Se a classe tiver mais
dois grupos e fazer um torneio. Cada jogo é disputado por apenas duas equipes.
4. Peça aos alunos que façam as divisões indicadas nas
fichas em seu poder e esclareça possíveis dúvidas.
5. Sorteie o aluno da equipe A que fará o a primeira
jogada, que consiste em colocar uma das fichas sobre a mesa.
6. Peça a um aluno da equipe B que faça a segunda jogada. Ele poderá escolher em que ponta colocará sua
ficha. Se errar a associação, sua equipe perderá a vez.
7. Solicite a um aluno da equipe A que faça a terceira
jogada, e assim por diante.
alunos que têm o 21 na sua cartela marcam o
8. Vence a equipe que terminar de colocar todas as
número. Registre o 21 no placar que está em seu
suas fichas antes da outra, ou, se o jogo se encerrar,
poder e que não é visível para os alunos.
vence a equipe que tiver em mãos o menor número
4. O jogo prossegue até que um aluno tenha completado uma fila e, depois, uma cartela. Confira
as marcações, usando para isso o placar. Estando
tudo certo, entregue o prêmio.
de fichas. A equipe vencedora tem o direito de elaborar um problema para a outra equipe resolver.
9. O professor avalia o problema elaborado e a resolução e pode atribuir pontos para contar na avaliação
ao aluno. É interessante fixar uma faixa de pontua-
Atividade 2
Objetivo
• Estimular o aluno a exercitar a divisão de números naturais em operações exatas e com o divisor de apenas
um algarismo.
• Estimular o aluno a elaborar e resolver problemas.
Material
• dominó de 28 fichas de cartolina de 14 cm 3 4 cm,
divididas em dois quadros, cada um deles contendo
uma divisão exata indicada, com quocientes de 1 a 7
(as 28 fichas devem apresentar 28 pares diferentes
de números, como ocorre no dominó comum).
32
ção para quem formulou (por exemplo, 0,5 a 1,0
ponto) e outra para quem resolveu (0 a 0,5 ponto).
Atividade 3
Objetivo
• Favorecer a fixação dos conceitos de múltiplo e de
divisor.
• Estimular a formulação e resolução de problemas.
Material
• dominó de fichas de cartolina de 14 cm 3 4 cm, divididas em dois quadros, cada um deles contendo um
número natural múltiplo de 2, 3, 5, 7, 11, 13 ou 17
Desenvolvimento
1. Jogue dominó comum com a turma, comentando
após cada lance as possibilidades de jogadas.
2. Apresente o dominó da atividade, explicando a re-
• Analisar os principais elementos das figuras
geométricas planas e tridimensionais.
• Trabalhar a construção de figuras geométricas.
Material
gra básica, que é justapor a cada quadro com um
• embalagens das mais variadas formas possíveis
número múltiplo de um dos sete primeiros números
• um conjunto de blocos lógicos
primos um quadro que contenha outro múltiplo do
mesmo número primo. Exemplo: 18 e 21 (múltiplos
de 3).
3. Divida a classe em dois grupos, A e B, tendo cada
aluno pelo menos uma ficha. Se a classe tiver mais
alunos do que o número de fichas disponíveis, será
necessário dividi-la em mais de dois grupos e fazer
um torneio. Cada jogo é disputado por apenas duas
equipes.
4. Peça aos alunos que verifiquem nas fichas em seu
poder quais são os divisores dos números dados e
esclareça possíveis dúvidas.
5. Sorteie o aluno da equipe A que fará a primeira jogada que consiste em colocar uma das fichas sobre
a mesa.
6. Peça a um aluno da equipe B que faça a segunda
jogada. Ele poderá escolher em que ponta colocará
sua ficha. Se errar a associação, sua equipe perderá
a vez.
7. Solicite a um aluno da equipe A que faça a terceira
jogada, e assim por diante.
8. Vence a equipe que terminar de colocar todas as suas
fichas antes da outra, ou, se o jogo se encerrar, vence a equipe que tiver em mãos o menor número de
fichas. A equipe vencedora tem o direito de elaborar
um problema para a outra equipe resolver.
Desenvolvimento
1. Peça aos alunos que levem para a escola embalagens
vazias de diversos tipos. Dê exemplos de algumas
embalagens e combine com eles um prazo.
2. No dia combinado, peça aos alunos que coloquem sobre uma mesa grande e central as embalagens que
trouxeram. Leve você também algumas embalagens
de modo que estejam disponíveis todas as formas a
serem estudadas.
3. Classifique as embalagens pelo critério da forma:
paralelepípedo (ou bloco retangular), cubo, prisma,
pirâmide, cilindro, cone, esfera.
4. Mostre aos alunos que há corpos que podem rolar
com facilidade (chamados corpos redondos) e corpos que não rolam (chamados poliedros).
5. Faça com a classe uma análise do paralelepípedo
(ou bloco retangular), introduzindo as noções de
face, vértice e aresta: peça aos alunos que contem
os elementos (face, vértice, ângulo) do paralelepípedo, desmontem uma caixa de pasta de dentes,
estendam-na na carteira (tendo antes o cuidado
de eliminar as rebarbas) e desenhem no caderno o
resultado do molde do paralelepípedo contornando a caixa aberta; peça que pintem da mesma cor
as arestas iguais (mesma medida); analise com os
alunos os polígonos que são as faces de um para-
9. O professor avalia o problema elaborado e a re-
lelepípedo levando-os a observar de que tipo são;
solução e pode atribuir pontos para contar na
entregue a cada aluno uma folha de cartolina com a
avaliação bimestral. É interessante fixar uma
planificação do paralelepípedo e oriente-os a mon-
faixa de pontuação para quem formulou (por
tar o sólido.
exemplo, 0,5 a 1,0 ponto) e outra para quem resolveu (0 a 0,5 ponto)
Atividade relativa a Geometria
Objetivos
6. Siga os procedimentos do item 5 para analisar o
cubo, o prisma de base triangular, a pirâmide de
base quadrangular, o cilindro e o cone.
7. Faça com a classe uma lista com todas as regiões
planas que surgiram da planificação dos sólidos geo-
• Estabelecer relações entre os objetos do cotidiano e os sólidos geométricos.
métricos estudados. Dê o nome dos contornos des-
• Classificar os sólidos geométricos.
ponto, segmento de reta, interior e exterior.
sas figuras e aproveite para introduzir as noções de
33
Explique como os alunos podem construir quadrados
8. Solicite aos alunos que resolvam o mesmo pro-
e retângulos com auxílio de régua e esquadro, am-
blema, agora com seis peças e estipule um tem-
pliar ou reduzir figuras planas usando papel quadri-
po para essa atividade, por exemplo, 30 minutos.
culado e a construir polígonos com palitos.
Como ninguém vai resolvê-lo, expresse a dúvida:
8. Apresente à classe os blocos lógicos (completos, são
48 peças) e proponha exercícios de classificação das
peças segundo um ou mais atributos. Lembre os alunos dos quatro atributos: forma (quadrado, retângulo, triângulo, círculo), cor (amarelo, azul e vermelho),
tamanho (grande, pequeno) e espessura (grosso,
fino).
dê uma dica: só há 7 maneiras de escolher as 6
peças para montar (para cada escolha, uma peça
fica de fora). Se não conseguirem montar com nenhuma das 7 escolhas, o problema não deve ter
solução. E peça que façam algumas tentativas de
montagem como tarefa de casa. Na próxima aula,
explique que, de fato, o problema não tem solução
Atividade com o Tangram
Objetivos
• Explorar as figuras que compõem o Tangram.
• Reconhecer formas geométricas a partir da observação das peças do Tangram.
e que isto será provado no 8 o ano.
Professor, veja resolução do desafio Tangram no
livro do 8 o ano.
Atividade com frações
Objetivos
• Desenvolver a criatividade.
• Compreender o conceito de fração.
• Desenvolver a capacidade de enfrentar situações-problema.
• Explorar o conceito de frações equivalentes.
Material
• Tangram
• cartolina
• tesoura
• régua com escala
Desenvolvimento
1. Construa com os alunos o Tangram, que deverá ter
12 cm de lado.
2. Solicite aos alunos que formem silhuetas de animais
e objetos usando as peças do Tangram.
3. Analise com os alunos as 7 peças que compõem
o Tangram, observando o número de lados e o tamanho de cada peça. Nomeie os polígonos que formam o Tangram.
4. Estabeleça com os alunos qual é a fração que cada peça
representa em relação ao quadrado de 12 cm de lado.
5. Solicite aos alunos que tentem montar um quadrado
usando apenas duas peças do Tangram; peça que
desenhem no caderno a montagem encontrada.
6. Solicite aos alunos que façam o mesmo, agora com
três peças. Peça aos alunos que façam no caderno
um desenho da montagem encontrada.
7. Siga os procedimentos do item 6 com quatro, com
cinco e com sete peças.
34
“Será que o problema tem solução?”. Em seguida
• Comparar frações.
• Calcular a adição e a subtração de frações.
Material
• 12 retângulos (de cores variadas) de 20 cm 3 2 cm,
divididos em 1, 2, 3, 4, ..., 12 partes iguais
• 12 círculos (de cores va riadas) de diâmetro
10 cm, divididos respectivamente em 1, 2, 3,
4, ..., 12 setores circulares iguais
Desenvolvimento
Sugerimos vários experimentos, desenvolvidos na
seguinte ordem:
1. Utilizando o retângulo como unidade, nomeie as
frações que as partes resultantes das várias divisões do retângulo constituem, explique como representá-las com símbolos e mostre o significado
do numerador e do denominador.
2. Utilizando o círculo como unidade, repita o procedimento anterior.
3. Solicite aos alunos que nomeiem e façam a representação simbólica de frações constituídas por partes (mais de uma) resultantes de uma certa divisão
do retângulo. Recorde com a classe o significado do
numerador e do denominador.
4. Solicite aos alunos que representem algumas frações (próprias e impróprias) utilizando partes dos
retângulos decompostos.
5. Usando como unidade o círculo, repita o procedimento do item 3.
6. Usando como unidade o círculo, repita o procedimento do item 4.
7. Dadas duas frações, solicite aos alunos que as representem (usando como unidade para ambas, ora o
retângulo ora o círculo) e identifiquem qual é a maior.
8. Dada uma fração, solicite aos alunos que a representem concretamente (usando como unidade ora o
retângulo, ora o círculo) e, utilizando o material, encontrem uma fração com determinado denominador equivalente à primeira e depois a representem
simbolicamente.
Nas atividades 9 e 10, as duas frações devem ser
representadas no círculo ou as duas no retângulo.
9. Dadas duas frações com denominadores iguais, solicite aos alunos que as representem e, utilizando o
material, estabeleçam sua soma ou diferença e depois representem simbolicamente a operação.
10. Dadas duas frações com denominadores diferentes,
solicite aos alunos que as representem e, utilizando
o material, estabeleçam sua soma ou diferença e
depois representem simbolicamente a operação.
Atividades envolvendo medidas
das na lousa e coloque em discussão o porquê de os
resultados serem diferentes.
2. Solicite aos alunos que meçam a largura da sala de
aula usando o palmo como unidade e seu comprimento usando o pé como unidade. Para cada medição, anote todos os resultados na lousa e converse com a classe sobre as diferenças encontradas.
Leve a classe à conclusão de que é necessário
padronizar a unidade de medida de comprimento
para que todos realizem a medida do comprimento
com a mesma base de comparação.
3. Proponha aos alunos que meçam a largura da mesa
do professor usando um palito de sorvete como unidade de medida e registrem os resultados encontrados. Anote todos os resultados na lousa. Havendo
ainda diferenças, pergunte à classe por quê. Os alunos que erraram devem ser estimulados a realizar
nova medição.
4. Oriente os alunos a medir o comprimento da lousa
usando como unidade uma medida escolhida pela
classe. Leve a classe a concluir que é necessário
existir uma unidade de medida padrão de comprimento que seja reconhecida por todos (na escola,
no bairro, na cidade, no país e no mundo).
5. Peça aos alunos que meçam novamente a carteira,
a mesa e a lousa, agora usando como instrumento
a fita métrica e como unidade de medida o centí-
Atividade 1
metro. A seguir, peça que meçam novamente o
Objetivos
usando como instrumento a fita métrica e como
comprimento e a largura da sala de aula, desta vez
• Compreender o conceito de medida de comprimento.
unidade de medida o metro. Discuta com a classe
• Compreender a necessidade de padronização das
unidades de comprimento.
6. Proponha a medição do comprimento de uma linha
• Medir o comprimento de objetos.
Material
• fitas métricas
• barbante
• palitos de sorvete
• metro ou réguas com escalas
Desenvolvimento
Podem ser feitas muitas atividades usando esses
materiais. Nossa sugestão:
os resultados de cada medição.
não reta usando como instrumentos o barbante e a
fita métrica. Leve a classe a concluir que só é possível
medir o comprimento de uma linha reta (ou retificada).
7. Peça à classe que se organize em duplas. Em cada
dupla, um aluno mede a altura do outro usando
barbante e fita métrica.
8. Oriente os alunos a medirem uma mesa de pingue-pongue, uma quadra poliesportiva, por exemplo,
usando o metro como unidade.
9. Solicite aos alunos que meçam o comprimento e a
1. Peça aos alunos que meçam a largura da carteira
largura da quadra de esportes da escola usando o
usando o polegar como unidade de medida e regis-
metro como unidade. Oriente-os a desenhá-la no
trem o resultado no caderno. Anote todas as medi-
caderno usando o centímetro como unidade.
35
10. Proponha aos alunos desenharem a planta da própria residência ou de um pavimento do prédio da
escola.
Atividade 3
Objetivos
• Compreender o significado das várias unidades de
volume.
Atividade 2
Objetivos
• Compreender o significado das várias unidades de
área.
• Compreender as relações entre as unidades de área.
Material
• Compreender as relações entre as unidades de
volume.
Material
• isopor
• cola
• régua
• fita métrica
• cartolina
• lápis
• papel
• régua
• esquadro
• fita métrica
• esquadro
• cartolina
• lápis
Desenvolvimento
Desenvolvimento
1. Construa junto com a classe um cubo de 10 cm de
1. Construa junto com a classe um quadrado de
aresta. Em seguida dê o nome oficial desse cubo:
10 cm de lado. Em seguida dê o nome oficial desse
decímetro cúbico ou litro. Peça aos alunos que di-
quadrado: decímetro quadrado. Peça aos alunos
vidam as arestas desse cubo em 10 partes iguais
que dividam os lados desse quadrado em 10 par-
e, depois, que liguem com segmentos paralelos
tes iguais e depois que liguem com segmentos pa-
os pontos divisores às arestas do cubo. Diante do
ralelos os pontos divisores dos lados do quadrado.
quadriculado que surge, leve os alunos a concluir
Diante do quadriculado que surge, leve os alunos a
que o cubo pode ser dividido em cubinhos de 1 cm
concluir que cada um dos quadradinhos tem 1 cm
de lado e, portanto, seu nome oficial é centímetro
quadrado. Peça à classe que estabeleça a relação
entre o decímetro quadrado e o centímetro quadrado, verificando que:
de aresta cujo nome oficial é centímetro cúbico. Peça
à classe que estabeleça a relação entre o decímetro
cúbico e o centímetro cúbico, verificando que:
1 dm3 5 1 000 cm3
2. Construa junto com a classe um cubo de 1 m de
1 dm2 5 100 cm2
2. Construa junto com a classe um quadrado de
1 m de lado. Em seguida dê o nome oficial desse
quadrado: metro quadrado. Peça aos alunos que dividam os lados desse quadrado em 10 partes iguais
e, depois, que liguem com segmentos paralelos os
pontos divisores dos lados do quadrado. Diante do
quadriculado que surge, leve os alunos a concluir que
cada um dos quadradinhos tem 1 dm de lado e, portanto, seu nome oficial é decímetro quadrado. Peça
à classe que estabeleça a relação entre o metro qua-
aresta. Em seguida dê o nome oficial desse cubo:
metro cúbico. Peça aos alunos que dividam as arestas desse cubo em 10 partes iguais e, depois, que
liguem com segmentos paralelos os pontos divisores das arestas do cubo. Diante do quadriculado
que surge, leve os alunos a concluir que o cubo pode
ser dividido em cubinhos de 1 dm de aresta cujo nome
oficial é decímetro cúbico. Peça à classe que estabeleça a relação entre o metro cúbico e o decímetro cúbico, verificando que:
1 m3 5 1 000 dm3
drado e o decímetro quadrado, verificando que:
1 m2 5 100 dm2
3. Estimule a classe a estabelecer a relação entre
3. Estimule a classe a estabelecer a relação entre o metro
quadrado e o centímetro quadrado, verificando que:
2
2
2
1 m 5 100 ? 100 cm 5 10 000 cm
36
o metro cúbico e o centímetro cúbico, verificando
que:
1 m3 5 1 000 ? 1 000 cm3 5 1 000 000 cm3
Resoluções das atividades propostas
Nesta parte do manual, apresentamos a resolução de todos os exercícios contidos no Livro do Aluno.
A exceção é a seção “Participe”, cujas questões referem-se a conhecimentos prévios e à formulação
de hipóteses. Suas respostas estão no final do Livro
do Aluno, inseridas na ordem em que as questões
aparecem.
A seção “Dinheiro: aprenda a usar” quase sempre
é constituída de questões que exigem pesquisas. No
entanto, é preciso sempre confirmá-las no momento
da aplicação da atividade.
Unidade 1 – Números e operações
Capítulo 1 – Números
Exercícios
1 a 10. Ver Livro do Aluno.
11.
56
65
88
100
110
190
200
LVI
LXV
LXXXVIII
C
CX
CXC
CC
12. a) CDXXVIII;
b) DCLXXIV;
c) MMXXVI;
d) CMXCIX;
e) MCXIX;
f) VDI
13. a) 1 927
c) 1 783
b) 1 895
d) 1 790
e) 1 772
Desafio
Paginação
O algarismo V foi empregado nas páginas IV, V, VI,
VII, VIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII e XXIV. No total,
11 vezes.
Exercícios
14 a 18. Ver Livro do Aluno.
19. A sucessão dos três papas é: João Paulo II,
Bento XVI, Francisco. Portanto, o antecessor de
Bento XVI foi João Paulo II.
20 a 22. Ver Livro do Aluno.
23. Ordenando os números em ordem decrescente,
temos: 321, 312, 231, 213, 132 e 123. As cores
correspondentes são: cinza, preto, verde,
vermelho, azul e amarelo.
Então, o primeiro carro é cinza; o segundo, preto;
e o último, amarelo.
24. Ordenando os numerais, temos:
IV, VI, XL, XC, CX, CD, DC, CM, MC, MM.
Então, o texto é: “A primeira mulher astronauta
foi Valentina V. Tereshkova. Em 16/6/1963,
tripulando a nave Vostok VI, ela realizou um voo
de 48 órbitas em torno da Terra”.
25. a) Os números pares de dois algarismos são: 10,
12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36,
38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60,
62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84,
86, 88, 90, 92, 94, 96 e 98; totalizando 45
números.
b) Os números ímpares de dois algarimos são: 11,
13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39,
41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65,
67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91,
93, 95, 97 e 99; totalizando 45 números.
26. Os números são: 124, 132, 134, 142, 214, 234, 312,
314, 324, 342, 412 e 432.
a) O menor é 124.
b) O maior é 432.
c) 12 números.
Desafios
A lista de Maria
Os números podem começar por 2, por 1 ou por 5.
O algarismo das unidades pode ser 2, ou 0, ou 1, ou 5.
São eles:
22, 20, 21, 25
12, 10, 11, 15
52, 50, 51, 55
Portanto, são 12 números.
Alternativa: d
Professor, após resolução dos problemas de
contagem do capítulo 3, proponha novamente este
desafio.
Há 3 possibilidades para o algarismo das dezenas
e, para cada uma delas, 4 possibilidades para o das
unidades. Então, podem ser escritos 3 3 4 números.
Brargentina na Olimpíada
Brasil e Argentina juntos têm 5 medalhas de ouro;
logo perdem para a China, empatam com os EUA e
37
ganham dos demais. Nas medalhas de prata, Brasil e
Argentina somam 7, logo ainda empatam com os EUA.
Nas de bronze, Brasil e Argentina somam 5 e ganham
dos EUA, que têm 4. Portanto, Brasil e Argentina juntos
ficariam em 2o lugar.
4. a) 3 216  1 965  706  940 5 6 827. A livraria
vendeu 6 827 exemplares.
b) 3 216  706 5 3 922. Foram vendidos 3 922
livros de Monteiro Lobato.
c) 1 965  940 5 2 905. Foram vendidos 2 905
livros de Mirna Pinsky.
Alternativa: b
d) R$ 20,00  R$ 18,00 5 R$ 38,00
Matemática em notícia
e) R$ 26,00  R$ 16,00 5 R$ 42,00
f) R$ 26,00  R$ 20,00  R$ 16,00 
 R$ 18,00 5 R$ 80,00
O quadro de medalhas
1.
País
Ouro
Prata
Bronze
Total
11o
Holanda
8
7
4
19
12o
Hungria
8
3
4
15
13o
Brasil
7
6
6
19
14o
Espanha
7
4
6
17
15o
Quênia
6
6
1
13
16o
Jamaica
6
3
2
11
17
Croácia
5
3
2
10
18o
Cuba
5
2
4
11
Nova Zelândia
4
9
5
18
Canadá
4
3
15
22
o
19
o
5. Você sempre terá dois anos a mais que Rodrigo.
Portanto, daqui a cinco anos, terá 2 anos a mais
que ele.
6. a) 26  19 5 45. Logo, Sônia tem 45 anos.
b) Ele gastou: R$ 1.048,00  R$ 1.499,00 
 R$ 710,00  R$ 1.080,00 5 R$ 4.337,00.
c) Ele tinha: R$ 4.337,00  R$ 789,00 5
5 R$ 5.126,00.
7.
Nice tem 30 anos. Fernanda é 5 anos mais velha,
portanto tem 35 anos.
2. Entre os países dados não houve empate.
Fernanda é 12 anos mais nova que Neusa. Então,
Neusa tem 12 anos a mais que Fernanda:
35  12 5 47
3. O Brasil ficou em 13o lugar.
Juntas, elas têm 112 anos:
4. Informação depende do ano vigente.
47  35  30 5 112
20o
5. Pesquisa feita pelos alunos.
Capítulo 2 – Adição e subtração
Exercícios
8. a) Lendo a primeira linha da tabela, concluímos
que o total de alunos do 6o ano é:
109  132  165  110 5 516
b) Lendo a terceira linha da tabela, concluímos
que o total de alunos do 8o ano é:
71  84  53  29 5 237
1. a) 2 parcela: R$ 115,00  R$ 50,00 5 R$ 165,00
a
b) 3a parcela: R$ 165,00  R$ 60,00 5 R$ 225,00
c) 4a parcela: R$ 115,00  R$ 165,00 5 R$ 280,00
d) A bicicleta custou R$ 115,00  R$ 165,00 
 R$ 225,00  R$ 280,00 5 R$ 785,00.
2. a) 137  138 5 275
b) 295  294 5 589
3. a)
73 257
 32 435
105 692
d)
32 435
 62 748
95 183
62 748
 43 104
105 692
e)
 105 852
2 1 1 544
c)
73 257
 43 104
116 361
38
110  61  29  14 5 214
d) No período da manhã, temos que o total de
meninos é:
109  82  71  55 5 317
No período da tarde, temos que o total de
meninos é:
165  94  53  25 5 337
Então, há mais meninos no período da tarde.
e) Lendo a última linha da tabela, temos que o
total de meninas do 9o ano é:
62  14 5 76
105 852
b)
c) Lendo a última coluna da direita, concluímos
que o total de alunas do período da tarde é:
f)
32 435
 43 104
75 539
73 257
 62 748
136 005
9. a) O total de votos em branco é: 258  1 086 5 1 344.
b) O total de votos de Antônio Carlos foi:
8 546  4 294 5 12 840
O total de votos de João Pedro foi:
5 480  7 352 5 12 832
Quem ganhou a eleição foi Antônio Carlos.
Como 1  8 5 9, a soma 3  n é maior do que 9.
Então, o n só pode ser 7 ou 9, pois não pode ser 8.
8 546
c)
 5 480
258
14 284
d)
13
 87
100
8 546
5 480
258
 4 294
7 352
1 086
27 016
13
ou  89
102
5
Þ
Então, s é 0, e a conta é
13
 87
100
10. a)
14 687
 34 212
26 104
75 003
O total de carros foi 75 003 e a maioria desceu
no sábado.
b)
6 302
 4 825
60 490
71 617
O total de carros foi 71 617 e a maioria voltou no
domingo.
b)
339
11. a) 272
339
 272
611
611
Os resultados são iguais.
Que conta é esta?
12.
O quadradinho lilás não pode ser preenchido com o
algarismo 9, pois, nesse caso, o quadradinho rosa teria
de ser preenchido com o algarismo 2, que já foi usado
no quadradinho verde.
3 725
18 432
6 005
28 162
a)
18 432
 6 005
3 725
28 162
b)
6 005
 3 725
18 432
28 162
13. a) (131  47)  84 5 178  84 5 262
b) 131  (47  84) 5 131  131 5 262
c) (131  84)  47 5 215  47 5 262
Os resultados são iguais.
14 e 15. Cálculo mental.
16. a) 1 990  0 5 1 990
b) 0  1 990 5 1 990
17. 64  128 5 60  120  4  8 5 180  12 5 192
a) 64  128  0 5 192
b) 128  0  64 5 192
Desafios
Acerte a conta
O u só pode ser 1, pois o resultado da conta não é
mais que uma centena.
1 3
 8n
1ss
A única opção possível para preencher o quadradinho azul é com o algarismo 1.
Temos, então:
8 L L

V V 3
1 1
R R
Como nenhum quadradinho pode ser preenchido
com o algarismo 3, o quadradinho verde só pode ser
preenchido com o algarismo 2.
Temos, então:
8 L L
2 2 3

1 1
R
R
O quadradinho lilás também não pode ser
preenchido com o algarismo 8, já indicado. Não pode
ser preenchido com um algarismo menor ou igual a
6, pois a soma com o 2 seria menor que 10. Então,
o quadradinho lilás tem de ser preenchido com o
algarismo 7.
Temos, então:
8 7 7
2 2 3

1 1 R R
Assim, o quadradinho rosa tem de ser preenchido
com o algarismo 0.
Finalmente, temos:
877
 223
1 100
Quadrado mágico
Na linha e coluna onde aparece o 1, os outros dois
números devem somar 14. Só podem ser 5 e 9 ou 6 e
8. Como só há duas possibilidades, o 1 não pode ser
colocado em uma diagonal. Vamos colocá-lo:
1
1
ou
ou
1 ou
1
39
Na linha e coluna do 9, os outros dois números
devem somar 6. Assim, só podem ser 1 e 5 ou 2 e 4.
Então, o 9 não pode ser colocado em uma diagonal e
sim numa linha ou coluna do 1. Podemos então colocar
o 9 e também o 5 das seguintes maneiras:
1
1
5
9
5 9
9 5

72224
6458
65766
70 1
6 3 8
63
c)
1 3 1 003
 88043
Agora, na linha e coluna do 1 devemos colocar 6
e 8, e na do 9, ficam 2 e 4, levando em conta que a
diagonal deve somar 15.
6
2
1 5 9
8
4
8
4
1 5 9
6
2
6
1 8
5
2 9 4
8
1 6
5
4 9 2
2
6
9 5 1
4
8
4
8
9 5 1
2
6
2 9 4
5
6 1 8
4 9 2
5
8 1 6
Agora é só colocar o 3 e o 7 em seus lugares
corretos, obedecendo às somas iguais a 15.
Exercícios
18. Resposta pessoal.
19. Resposta pessoal. Professor, uma sugestão para
fazer esta estimativa é considerar, por exemplo,
6 pessoas em cada metro quadrado. Estimar a
área da sala em m2 e multiplicar a medida por 6.
20. a) 164 está entre 100 e 200, mais perto de 200.
b) 138 está entre 100 e 200, mais perto de 100.
c) 419 está entre 400 e 500, mais perto de 400.
d) 489 está entre 400 e 500, mais perto de 500.
21. Cálculo mental.
22. a) 164  419 5 583
b) 138  419 5 557
c) 164  489 5 653
d) 138  489 5 627
23. a) Natal: 885 180 está entre 800 000 e 900 000,
mais perto de 900 000. Raciocínio análogo para
as demais.
b) Dentre os dados, as capitais do Nordeste são
João Pessoa e Natal.
800 000  900 000 5 1 700 000 (habitantes).
24. a) 3 000  2 000  7 000 5 12 000
b) 34 000  10 000  3 000  6 000 5 53 000
c) O modelo popular foi o mais vendido nos três anos.
40
25. a)
b)
9
5
1
1
d) Em 2017, o modelo popular vendeu um pouco
menos que em 2015, mas os outros modelos
venderam mais. No total, em 2017 foram
vendidos mais carros que nos outros anos.
42960
d)

1 1 38
909
229
26. a) 500  17 5 483. Sobraram 483 folhas.
b) Luciana gastou: R$ 75,00  R$ 48,00 5 R$ 27,00.
c) Faltam: R$ 28.325,00  R$ 19.650,00 5
5 R$ 8.675,00.
d) 106  89 5 17. Laís tinha 17 moedas a mais que
Enzo.
27. a) 2 628  1 863 5 765
Compareceram 765 mulheres.
b) 3 250  2 628 5 622
Ficaram vazios 622 lugares.
c) 3 250  1 384 5 1 866
Compareceram 1 866 pessoas.
28. a) 2025  1987 5 38. Ele vai fazer 38 anos.
b) Resposta pessoal obtida pela diferença entre
2025 e o ano em que o aluno nasceu.
29. A diferença entre a idade da mãe e a de Alberto é
sempre de 28 anos. Hoje ela tem 41 anos.
41  28 5 13
Alberto tem 13 anos.
30. a) Aqui inicia-se o emprego da operação inversa
para determinar um número desconhecido.
Pode-se pensar nos caminhos de ida e de volta.
Ida: adicionamos
a 2 194 e obtemos 4 000.
Volta: subtraímos 2 194 de 4000 e obtemos .
5 4 000  2 194 5 1 806
b) Analogamente, temos:
a 614 e obtemos 901.
Ida: adicionamos
Volta: subtraímos 614 de 901 e obtemos .
5 901  614 5 287
31. Se A  771 5 1 000, então:
A 5 1 000  771 5 229
Se 771  C 5 1 000, então:
C 5 1 000  771 5 229
Como B  229 5 1 000, então:
B 5 1 000  229 5 771
32. a)
A maior diferença
1 1 1 1
777
334
A diferença é 334.

b)
A maior diferença possível é obtida com o maior
número da lista de Ana (987) e o menor da lista de
Beto (102).
minuendo
152
89
O minuendo é: 152  89 5 241.

c)
2 007
 subtraendo
939
O subtraendo é: 2 007  939 5 1 068.
33. a) x 5 567  234 ⇒ x 5 801
b) y 5 1 750  175 ⇒ y 5 1 575
34. Faça o caminho de volta, usando operações inversas.
Ida: adicionamos
a 55, subtraímos 66 e
obtemos 33.
Volta: adicionamos 33 a 66, subtraímos 55 e
obtemos .
5 (33  66)  55 5 44
O número é 44.
35. a) Quem levou menos tempo, ou seja, Alexandre.
b) Como meia hora equivale a 30 minutos, ele
chegou 15 minutos antes: 45  30 5 15.
36. Eu tinha R$ 380,00. Emprestei R$ 120,00 
 R$ 112,00 5 R$ 232,00 e sobraram
R$ 380,00  R$ 232,00 5 R$ 148,00.
Como Júlia já me pagou R$ 55,00, fiquei com
R$ 148,00  R$ 55,00 5 R$ 203,00.
37. a) Ela gastou R$ 84,00  R$ 28,00  R$ 97,00 5
5 R$ 209,00.
b) Sobraram R$ 306,00  R$ 209,00 5 R$ 97,00.
38. Cálculo mental.
39. 100  67 5 33. O troco é de R$ 33,00.
40. Comece pela segunda linha, depois resolva a
primeira coluna, em seguida a primeira linha,
segunda coluna e, por fim, a terceira coluna.
(Pode ser feito em outra ordem também.)
20 70
10
60 15
25
20
65
15
O quadro tem 5 números pares e 4 ímpares, logo
tem mais números pares.
Desafios
Conserte a conta
987  102 5 885
Alternativa: e
As sementes da abóbora
Palpites: 234, 260 e 274
Erros para mais ou para menos: 17, 31 e 9
A diferença entre o palpite maior e o menor é:
274  234 5 40
Como 31  9 5 40, o palpite maior e o menor são
os que apresentam os erros 31 e 9, um para mais e
outro para menos. Então, o número de sementes está
compreendido entre 234 e 274, e o palpite 260 está
errado por 17. Temos:
260  17 5 277 (é maior que 274)
260  17 5 243 (está entre 234 e 274).
O número de sementes é 243. Separando em
montinhos de 10, formam 24 montinhos e sobram 3
sementes.
Alternativa: b
Exercícios
41. a) Marcelo tinha (62  48) figurinhas a mais que
Alexandre. André ficou com 29  (62  48),
que também pode ser representado por 29 
 62  48 ou (62  48)  29 ou 62  48  29.
b) 29  (62  48) 5 29  14 5 43
42. Enzo: 20  8  3  4  1 5 12  3  4  1 5
5 9  4  1 5 13  1 5 12
Ingo: 20  8  (3  4)  1 5 12  7  1 5 5  1 5 4
Laís: 20  (8  3  4  1) 5 20  (5  4  1) 5
5 20  8 5 12
Talita: 20  (8  3)  4  1 5 20  5  4  1 5
5 15  4  1 5 19  1 5 18
Marco Antônio: 20  (8  3  4)  1 5
5 20  8  3  4  1 5 12  3  4  1 5
5 9  4  1 5 13  1 5 12
O maior resultado foi encontrado por Talita (18), e
o menor, por Ingo (4).
43. a) 13  10  12 5 23  12 5 11
b) 18  7  8  3 5 11  8  3 5 3  3 5 6
c) 13  4  1  7 5 17  1  7 5 16  7 5 9
44. a) I. 5  3  1 5 2  1 5 3
II. 6  4  2 5 2  2 5 0
III. 12  5  3 5 7  3 5 4
b) I. 5  (3  1) 5 5  4 5 1
II. 6  (4  2) 5 6  2 5 4
III. 12  (5  3) 5 12  2 5 10
41
45. a) 9  (3  1)  2 5 9  4  2 5 5  2 5 7
b) 10  (7  3)  1 5 10  4  1 5 6  1 5 7
c) 10  (7  3)  1 5 10  10  1 5 0  1 5 1
d) 9  (3  1  2) 5 9  6 5 3
e) 16  (18  11  3) 5 16  (7  3) 5 16  10 5 6
f) 16  (18  11)  3 5 16  7  3 5 9  3 5 12
f)
46. Resposta pessoal.
Dinheiro: aprenda a usar
O resultado deve ser: 40  13  17 5 27  17 5 10.
47. A terceira parcela é 3 217, e a segunda é
.
Como 1 130 
 3 217 5 10 500, então

 4 347 5 10 500 e
5 10 500  4 347 5 6 153.
48. Como exemplo, o professor pode levar os alunos a
concluir que:
• Numa adição, aumentando o valor de uma
parcela, a soma aumenta; diminuindo o valor
de uma parcela, a soma diminui na mesma
quantidade.
• Numa subtração, aumentando o valor do
minuendo, a diferença aumenta; diminuindo
o valor do minuendo, a diferença diminui na
mesma quantidade.
• Numa subtração, aumentando o valor do
subtraendo, a diferença diminui; diminuindo o
valor do subtraendo, a diferença aumenta na
mesma quantidade.
Depois, responda aos itens da atividade:
a) A soma aumenta 16 unidades e, depois, diminui
12 unidades. Como 16  12 5 4, a soma aumenta
em 4 unidades.
b) A diferença aumenta em 15 unidades e, depois,
diminui em 10 unidades. Como 15  10 5 5, a
diferença aumenta 5 unidades.
c) A diferença aumenta 20 unidades e, depois,
aumenta 30 unidades. Como 20  30 5 50, a
diferença aumenta 50 unidades.
De que eu preciso mesmo?
As respostas dependem de situações individuais ou
de informações a serem pesquisadas no momento da
aplicação das atividades.
Capítulo 3 – Multiplicação
Exercícios
1. 4 3 15 5 60. Há 60 bolinhas.
2. 60 3 120 5 7 200. Foram usadas 7 200 pastilhas.
3. a) 24 3 3 5 72
b) 8 3 1 5 8
c) 6 3 0 5 0
d) 72  8  0 5 80
4. 17 3 3  8 3 1  13 3 0 5 51  8  0 5 59
5. 16 3 28 5 448
6. 20 736 3 R$ 25,00 5 R$ 518.400,00
7.
a) 1 600 3 100 5 160 000
b) 7 000 3 800 5 5 600 000
8.
3
49. Nos jogos do Flamengo.
50. a) 33  35  44 5 112. Portanto, 112 mil pessoas.
b) 26  22  44 5 92. Portanto, 92 mil pessoas.
c) 112 (do Flamengo)  26  22  17 5 177.
32 698
26 437
35 203
 22 298
1 731 5
44 28 1
1 78 232
3
7 182
40
287 280
1 600
102
3 200
1 600 
163 200
Portanto, 177 mil pessoas.
d)
Do Flamengo
32 698
 35 203
44 28 1
1 1 2 1 82
e) Do São Paulo
26 437
 22 298
44 28 1
93 0 16
42
9. a)
3
3
3
880
2 300
2 640
1 7 60
2 024 000
7 005
805
35 025
0000
56 040 
5 639 025
666
33
1 998
1 998
21 978
b) (666 3 33) 3 1 5 21 978 3 1 5 21 978
10. a) (1 3 35) 3 702 5 35 3 702 5 24 570
b) (804 3 0) 3 777 5 0 3 777 5 0
c) 10 500 3 (730 3 1) 5 10 500 3 730 5 7 665 000
d) 1 3 (1 800 3 250) 5 1 3 450 000 5 450 000
e) (3 200 3 106) 3 1 5 339 200 3 1 5 339 200
f) (2 008 3 1) 3 (405 3 1) 5 2 008 3 405 5 813 240
g) (1 3 9 077) 3 (1 002 3 1) 5 9 077 3 1 002 5
5 9 095 154
h) (1 3 1 258) 3 (0 3 311) 5 1 258 3 0 5 0
11. a) 2 3 5 5 10. Ele pode escolher de 10 modos.
b) 10 dias.
12. a) Para ir, ele tem 3 opções. Independentemente
do caminho escolhido para ir, existem 3 opções
para voltar. Então, o total de opções é 3 3 3 5 9.
Sugestão: Para deixar mais claro, chame os
caminhos de A, B e C. Em seguida, conte as
opções para ida e volta: A–A, A–B, A–C, B–A,
B–B, B–C, C–A, C–B, C–C.
b) 9 visitas.
c) Na volta, sem repetir o percurso da ida, existem
6 opções: A–B, A–C, B–A, B–C, C–A, C–B.
13. a) São 4 sabores de sorvete e 3 tipos de cobertura.
4 3 3 5 12. Então, são 12 modos.
b) São 6 possibilidades: abacaxi e coco, abacaxi e
limão, abacaxi e morango, coco e limão, coco e
morango, limão e morango.
b) 4 3 13 5 52
14. a) 2 3 13 5 26
15.
Número
Dobro
Triplo
Quádruplo
1
2
3
4
5
10
15
20
22
44
66
88
104
208
312
416
0
0
0
0
n
2n
3n
4n
16. A primeira parcela é 18; a segunda é 2 3 18 5 36;
e a terceira é 3 3 36 5 108.
A soma é 18  36  108 5 162.
17. Três pessoas receberam R$ 100.264,00 cada, um
total de 3 3 R$ 100.264,00 5 R$ 300.792,00.
Duas pessoas receberam R$ 74.466,00 cada, um
total de 2 3 R$ 74.466,00 5 R$ 148.932,00.
As outras 7 pessoas receberam R$ 32.182,00 cada,
um total de 7 3 R$ 32.182,00 5 R$ 225.274,00.
R$ 300.792,00  R$ 148.932,00  R$ 225.274,00 5
5 R$ 674.998,00.
O total do prêmio foi: R$ 674.998,00.
18. 40; 40
19. a)
3
72
15
360
7 2
1080
b)
3
15
72
30
10 5
1080
Os resultados são iguais.
20. a) (14 3 20) 3 50 5 280 3 50 5 14 000
b) 14 3 (20 3 50) 5 14 3 1 000 5 14 000
c) (14 3 50) 3 20 5 700 3 20 5 14 000
Os resultados são iguais.
21. a 28. Ver Livro do Aluno.
29. a)
980
c)
362 800
105
 102 900
4 900
465 700
000
980
102 900
A arrecadação foi de R$ 465.700,00.
30. Uso de calculadora. A resposta é R$ 465.700,00.
31. 4 3 7  2 3 5 5 28  10 5 38
ou
5 3 6  4 3 2 5 30  8 5 38
Há outras formas de calcular.
3
9 070
40
362 800
b)
3
32. 1a prova
Guilherme: 24  5  9 5 19  9 5 28
Gustavo: 22  12  6 5 10  6 5 16
2a prova
Guilherme: 13 3 [5  2 3 2] 5 13 3 [5  4] 5
5 13 3 1 5 13
Gustavo: 17  2 3 (3  5  8) 5 17  2 3 (8  8) 5
5 17  2 3 0 5 17  0 5 17
Guilherme obteve mais pontos, no total 41.
33. C 3 C termina em 5. Então, o algarismo C é 5.
25
35
. Então, A 5 1 e B 5 2.
A conta é:
125
(A  B) 3 (C  B) 5 (1  2) 3 (5  2) 5 3 3 3 5 9
34. a) 5 3 80  2 3 20 5 400  40 5 440. Estela
comprou 440 metros.
b) 80 metros correspondem a:
80 3 100 5 8 000 centímetros
c) 20 metros correspondem a:
20 3 100 5 2 000 centímetros
d) 3 3 8 000  2 3 2 000 5 24 000  4 000 5
5 28 000 centímetros
35. a) (3  4) 3 2 5 7 3 2 5 14
b) 2 3 (5  3) 3 2 5 2 3 2 3 2 5 8
c) 5 3 5  (6  6) 3 10 5 25  0 3 10 5 25  0 5 25
d) 3  4  2 3 (6  5) 5 7  2 3 1 5 7  2 5 9
43
36. a) 10 3 12  8 3 12  6  75  9 3 12  68 5
5 120  96  6  75  108  68 5 473.
Jandira está preparando 473 doces.
b) 17 3 12  15 3 12  6  18 3 12  195 5
5 204  180  6  216  195 5 801.
Jandira está preparando 801 salgados.
Desafios
É permitido fazer estimativas
Sequência de preenchimento:
1a linha: 3 ou 8. Com 3, a continuação não dá certo;
com 8, sim.
3a linha: 6.
2a linha: 4 ou 9. Com 4, a continuação não dá certo;
com 9, sim.
a
4 linha: 3 e 1 (da direita para a esquerda).
5a linha: 0 e 2 (da direita para a esquerda).
348
Então temos:
3 92
696
3132
32 016
Encha as salas
Para obter a quantidade mínima de salas, devemos
começar preenchendo as salas maiores:
55 3 4 5 220, 50 3 7 5 350, 40 3 12 5 480
220  350  480 5 1 050
Preenchidas as salas maiores, o número de alunos
que sobram é:
1 641  1 050 5 591
Eles serão colocados em salas de 30 alunos.
591 30
291 19
21
Ainda são necessárias 19 salas com 30 alunos e
mais uma com 21 alunos. Ao todo, o número de salas é:
4  7  12  19  1 5 43
Alternativa: b
Rodízio de filhos
Em cada noite, os pais abrem “2 vagas” no quarto
deles para serem preenchidas por dois filhos. Como
são 15 noites, ao todo serão: 15 3 2 vagas 5 30 vagas.
Se cada filho vai ocupar “6 vagas”, o número de filhos
é 30 4 6 5 5.
Alternativa: a
Exercícios
37. 2 3 31  3 3 7 5 62  21 5 83. São 83 dias.
44
38. a) 5 h 5 5 3 60 min 5 300 min
b) 5 d 5 5 3 24 h 5 120 h 5 120 3 60 min 5 7 200 min
c) 5 3 7 d 5 35 d 5 35 3 24 h 5 840 h 5
5 840 3 60 min 5 50 400 min
d) 1 mês 5 30 d 5 30 3 24 h 5 720 h 5
5 720 3 60 min 5 43 200 min
39. a) 1 h 5 60 min 5 60 3 60 s 5 3 600 s
b) 7 d 5 7 3 24 h 5 168 h 5 168 3 60 min 5
5 10 080 min 5 10 080 3 60 s 5 604 800 s
c) 30 d 5 30 3 24 h 5 720 h 5 720 3 60 min 5
5 43 200 min 5 43 200 3 60 s 5 2 592 000 s
d) 360 d 5 360 3 24 h 5 8 640 h 5
5 8 640 3 60 min 5 518 400 min 5
5 518 400 3 60 s 5 31 104 000 s
40. a) 2 meses
b) 3 meses
41. a) 2 anos
b) 5 anos
c) 10 anos
d) 100 anos
c) 6 meses
42. a) o minuto
c) o segundo
b) a hora
d) o dia
43. 10 h  6 h 5 16 h
44. Das 22 h às 24 h são 2 h de viagem. Ainda restam
4 h. Portanto, chegará às 4 h do dia seguinte.
45. Das 10 h do dia 9 de março às 10 h do dia 31 de
março, como 31  9 5 22, são 22 dias. Das 10 h do
dia 31 de março às 10 h de 22 de abril são mais 22
dias. Ao todo, a viagem durou, em dias:
22  22 5 44
Em horas: 44 3 24 5 1 056
Matemática em notícia
Água potável
1. 1 dia tem: 24 horas 5 (24 3 60) minutos 5
5 (24 3 60 3 60) segundos 5 86 400 segundos.
365 dias 5 (365 3 86 400) segundos 5
5 31 536 000 segundos > 32 milhões de segundos.
Logo, em 1 ano são perdidas aproximadamente
32 milhões de gotas.
2.
Se 1 gota por segundo corresponde a 16 500 litros
em um ano, cada litro tem 32 000000 4 16 500
gotas, ou seja, 2 000 gotas, aproximadamente.
A população de São Luís do Maranhão gasta por
dia o quanto 10 000 famílias evitariam gastar
em um ano, ou seja, 10 000 3 16 500 litros, que
são 165 milhões de litros.
3. Se 6 pessoas economizam 122 litros por dia, em 30
dias elas economizam 122 3 30 litros. Cada pessoa
economiza em 1 mês (30 dias): (122 3 30) 4 6 5
5 610, ou seja, 610 litros.
4. 1 ano 5 365 dias e 1 semana 5 7 dias.
365 4 7 • 52. Portanto, são 52 semanas.
Se a “vassoura hidráulica” gasta 36 litros por
semana, então, em 1 ano, serão desperdiçados
1 872 litros (52 3 36).
Em 20 anos serão economizados: 37 440 litros
(20 3 1 872).
Observação: O termo “vassoura hidráulica” tem
sido usado, como no texto, para designar o uso
de mangueira para remover toda a sujeira de
uma área, em vez de varrer e esfregar antes
com vassoura. No entanto, há também um
equipamento industrial com esse nome.
Capítulo 4 – Divisão
Seis cadeiras custam:
R$ 2.228,00  R$ 1.100,00 5 R$ 1.128,00
Cada cadeira custa:
R$ 1.128,00 : 6 5 R$ 188,00
O preço de 5 escrivaninhas e 10 cadeiras é:
5  R$ 275,00  10  R$ 188,00 5 R$ 1.375,00 
 R$ 1.880,00 5 R$ 3.255,00
11. dividendo
36  4 5 9
Exercícios
1. a) 30  6 5 5. Foram formados 5 grupos.
b) 48  6 5 8. Couberam 8 questões a cada aluno.
2. a) 504  24 5 21. Faltam 21 dias.
21  7 5 3. Faltam 3 semanas.
b) 900  45 5 20. Serão necessárias 20 caixas.
c) 900  15 5 60. Teriam de caber 60 doces.
3. a) 432  12 5 36. Regina vai gastar 36 L.
b) 432  8 5 54. Serão necessários 54 L.
36
54
5
5 18 , o gasto é igual com
c) Como
2
3
qualquer dos dois combustíveis.
4. R$ 481.110,00  203 5 R$ 2.370,00
5. a) 240  30 5 8. Há 8 meses.
b) 210  7 5 30. Há 30 semanas.
c) 365  24 5 8 760. Há 8 760 horas.
d) 6  10 5 60
60  12 5 5. Há 5 dúzias.
6. Cada cartão azul vale (635  320)  3 5 105.
7. O valor das quatro prestações é:
R$ 3.255,00  R$ 995,00 5 R$ 2.260,00
Cada uma das prestações tem valor de:
R$ 2.260,00  4 5 R$ 565,00
8. Subtraindo-se do peso da jarra com os 2 copos
de água o peso da jarra vazia, tem-se o peso de 2
copos de água:
810 g  450 g 5 360 g
Então:
360 g  2 5 180 g (peso de 1 copo de água)
Logo, a jarra com 5 copos de água pesa 450 g 
 5  180 g 5 450 g  900 g 5 1 350 g.
9. Na segunda conta foi acrescentado um cartão
azul e a soma passou de 60 para 80. Então, o
cartão azul vale 80  60 5 20. Como o cartão
vermelho mais o azul somam 60, o cartão
vermelho vale 60  20 5 40.
10. Cada escrivaninha custa:
R$ 825,00  3 5 R$ 275,00
Quatro escrivaninhas custam:
4  R$ 275,00 5 R$ 1.100,00
quociente
divisor
12. a) 6 480  60 5
Logo,
b)
5 108.
 9 5 16 porque 16  9 5
Logo,
c) 240 
Logo,
d) 20 
Logo,
.
5 144.
5 12 porque 12 
5 240.
5 240  12 5 20.
5 1 040
5 1 040  20 5 52.
e) Não, pois multiplicando-se qualquer número
por 0 o produto é igual a 0.
f) Sim, pois multiplicando-se qualquer número
por 0 o produto é igual a 0.
13. Na primeira linha horizontal, temos: 1  a  4 5 60,
ou seja, 4  a 5 60 e a 5 60  4 5 15.
Na terceira linha vertical, temos: 4  c  3 5 60,
ou seja, 12  c 5 60 e c 5 60  12 5 5.
O quadro fica:
1
15
4
b
2
5
d
e
3
Na segunda linha horizontal, temos: b  2  5 5 60,
ou seja, 10b 5 60 e b 5 60  10 5 6.
Na segunda linha vertical, temos: 15  2  e 5 60,
ou seja, 30  e 5 60; portanto, e 5 60  30 5 2.
O quadro fica:
1
15
4
6
2
5
d
2
3
Na terceira linha horizontal, temos: 6  d 5 60, ou
seja, d 5 60  6 5 10.
45
Finalmente, o quadro completo é:
1
15
4
6
2
5
10
2
3
5 9 porque 9 
14. a) 144 
5 144  9 5 16.
b) 35 910  105 5 342
3 5 9 1 0 105
0 4 4 1 342
0 2 1 0
0
5 1 640, então
c) 40 
5 144, então
(12  4)  4 5 7
A resposta é 7.
5 1 640  40 5 41.
André: 113 771  64 480 5 49 291
5 4 225, então
5 4 225 : 65 5 65.
Nenhum deles está dentro do carro.
Desafio
Negociando sem dinheiro
5 374  34 5 11.
5 56  22 5 1 232.
5 15, então
5 68, então
5 900  15 5 60.
5 1 560  (6  5) 5 52.
5 (6  15)  68 5 22.
16. a) 2  12  8  7  8 5 22  7  8 5 15  8 5 7
b) (30  12)  (4  10) 5 42  14 5 3
c) 113  56  (3  2) 5 113  56  1 5 113  56 5 57
d) 32  [(8  8)  2] 5 32  [16  2] 5 32  32 5 1
Giovana está certa.
17. 60  15  60  15 5 900  4 5 896
 896 5 6 015
5 6 015  896
5 5 119
Logo, o número do cartão azul é 5 119 e o do
cartão vermelho é 896.
18. Neusa pagou R$ 20,00 por 5 dúzias de bananas,
então cada dúzia custou R$ 4,00. Nice pagou
R$ 25,00 por 3 dúzias de laranjas e 4 dúzias de
bananas. Se o preço das bananas é R$ 16,00,
então o das laranjas é R$ 25,00  R$ 16,00 5
5 R$ 9,00. Cada dúzia de laranjas custa
R$ 9,00  3 5 R$ 3,00. Fernanda gastou
4  R$ 3,00  3  R$ 4,00, portanto, R$ 24,00.
46
Alexandre: 80  5 5 85
Maurício: 219  8  970 5 1 752  907 5 845
 5 5 1 560, então
6  15 
21. Luciana: 1 100  880 5 220
Priscila: 543  77 5 620
 22 5 56, então
6
20. Primeiro, descobrimos o número pensado:
Ricardo: 1 224  1 512 5 2 736
5 374, então
900 
Volta: adicionamos 55 a 30, dividimos por 5 e
obtemos , ou seja, (55  30)  5 5 17.
O número é 17.
b) (6  3)  4 5 36
O número é 36.
Depois, calculamos quanto seria encontrado por
meio das novas operações:
65
3 65
325
390 
4225
15. 34 
por 5, subtraímos 30 e
(44  4)  4 5 12
40
3
41
40
160
1 640
d) 65 
19. a) Ida: multiplicamos
obtemos 55.
É dado que 1 bezerro 5 3 leitões  6 galinhas.
Adicionando 3 leitões a cada lado da igualdade,
temos que 1 bezerro  3 leitões 5 3 leitões  6 galinhas 
 3 leitões.
1 bezerro  3 leitões 5 6 leitões  6 galinhas
18 galinhas
5 6 leitões  6 galinhas
12 galinhas 5 6 leitões, então 1 leitão 5 2 galinhas.
1 leitão 5 2 galinhas e 3 leitões 5 6 galinhas.
Finalmente, temos que 1 bezerro 5 3 leitões  6
galinhas 5 6 galinhas  6 galinhas 5 12 galinhas.
Exercícios
22. 124 6
04 20
4
Formam-se 20 equipes e sobram 4 alunos.
23. 365 7
15 52
1
365 dias 5 52 semanas  1 dia
No 5o aniversário, dia 16 de fevereiro de 2017,
como 2012 e 2016 são anos bissextos, elas
completam:
5  (52 semanas  1 dia)  2 dias 5 260 semanas 
 5 dias  2 dias 5 261 semanas.
24. Precisamos descobrir quantas semanas
completas há em 1 000 dias e quantos dias
sobram.
1 0 0 0 7
3 0
142
2 0
6
Em 1 000 dias há 142 semanas completas e
sobram 6 dias. Contando-se a partir de um
domingo, o milésimo dia (o sexto dia da semana)
será uma sexta-feira.
25. 6 4 2 6 7 40
2 4 2
1606
0 2 6 7
2 7
a) 1 606 caixas.
b) Sobram 27 palitos.
c) Em três dias, a produção é de 3  64 267 5
5 192 801, ou seja, 192 801 palitos, que
preenchem 4 820 caixas e sobra 1 palito.
1 9 2 8 0 1 40
3 2 8
4820
0 8 0
0 1
26. a) Se o divisor é 45, o maior resto possível é 44.
Então, o dividendo é: 103  45  44 5
5 4 635  44 5 4 679
b) A divisão é impossível, pois o resto (7) não pode
ser maior do que o divisor (5).
27. Certas: a, b, c, d, e.
Errada: f.
28. a) 1 000  4 5 250
Eles fizeram o percurso em 250 horas.
b) 250 24
010 10
10
O percurso durou 10 dias e 10 horas.
Desafios
Pense e economize
Pagando por mês, Jarbas vai gastar:
12  R$ 120,00 5 R$ 1.440,00
Em um ano há 52 semanas:
365 5 52  7  1
Pagando por semana, ele vai gastar:
52  R$ 40,00 5 R$ 2.080,00
Pagando por mês, Jarbas vai economizar:
R$ 2.080,00  R$ 1.440,00 5 R$ 640,00
Torneio de Pingue-Pongue
Cada partida é disputada por 2 jogadores.
Inicialmente serão jogadas 64 partidas (pois 128  2 5
5 64) e 64 jogadores estarão classificados. Na etapa
seguinte, serão jogadas 32 partidas. Depois 16, 8, 4, 2 e
finalmente a partida que vai indicar o campeão. Serão
disputadas, portanto, 127 partidas: 64  32  16  8 
 4  2  1 5 127.
Outro modo de resolver: em cada partida, só o
perdedor é eliminado. Para chegar ao campeão, serão
eliminados 127 jogadores. Portanto, serão 127 partidas.
Economia
É preciso comparar os preços para quantidades
iguais de suco nas duas embalagens.
• 1 copo tem 200 mL e custa R$ 3,00; portanto,
3 copos têm 600 mL e custam 3  R$ 3,00 5
5 R$ 9,00.
• 1 garrafa tem 600 mL e custa R$ 8,00.
Na garrafa, 600 mL custam menos do que em
copos, portanto, na garrafa o suco sai mais barato.
Exercícios
29. a) 15  24 h 5 360 h
b) 30  24 h 5 720 h
30. a) 3  30 d 5 90 d 5 90  24 h 5 2 160 h 5
5 2 160  60 min 5 129 600 min
b) 1 h  2 5 60 min  2 5 30 min
31. a) 80 000 min 60
20 0
1 333 h
2 00
200
20 min
80 000 min 5 1 333 h 20 min
1 333 h
133
13 h
24
55 d
80 000 min 5 55 d 13 h 20 min
55 d
25 d
30
1 me
80 000 min 5 1 me 25 d 13 h 20 min
b) 100 h 24
04 h 4 d
100 h 5 4 d 4 h
c) 96 s 60
36 s 1 min
96 s 5 1 min 36 s
d) 7 284 s 60
1 28
121 min
084
24 s
121 min 60
01 min 2 h
7 284 s 5 2 h 1 min 24 s
47
32. a) 456 s 60
36 s 7 min
7 min 36 s 5 456 s
b) 12 900 s 60
0 90
215 min
300
0
40. a)
3 h 5 min
 4 h 37 min
7 h 42 min
b)
5 h 52 min
 4 h 47 min
1 h 5 min
215 min 60
35 min 3 h
Como 12 900 s 5 3 h 35 min, então:
3 h 36 min . 12 900 s
33. a) 194 me 12
74
16 a
2 me
194 me 5 16 a 2 me
34. a) 217 min
37 min
60
3h
217 min 5 3 h 37 min
2 h 17 min , 217 min
c)
b) 945 h 24
225
39 d
9h
39 d 30
9 d 1 me
945 h 5 1 me 9 d 9 h
d) 8 h 19 min 56 s
19 min 56 s
236 s
36 s
0s
b) 1 600 min 60
400
26 h
40 min
e)
b)
24 h 0 min
21 h 15 min
?
23 h 60 min
 21 h 15 min
2 h 45 min
2 h 45 min
 7 h 32 min
9 h 77 min
9 h 77 min 5 10 h 17 min
37. 48 min 40 s
32
96 min 80 s
96 min 80 s 5 97 min 20 s
Os dois tempos duraram 97 min 20 s.
38.
46 min 55 s
 45 min 58 s
45 min 115 s
 45 min 58 s
2 min 60 s
 2 min 38 s
22 s
f) 5 d 16 h
3 5
35. 1 a 3 me 4 d 5 (360  3  30  4) dias 5 454 dias
13 h 64 min
 6 h 40 min
7 h 24 min
3 min
?
1 600 min 5 1 d 2 h 40 min
1 d 4 h . 1 600 min
14 h 4 min
6 h 40 min
?
4
2 h 4 min 59 s
2 min 38 s
26 h 24
2h 1d
36. a)
6 h 12 min 5 s
33
18 h 36 min 15 s
25 d 80 h
25 d 80 h 5 28 d 8 h
41.
11 h 40 min 36 s
 9 h 50 min 40 s 
?
11 h 39 min 96 s
 9 h 50 min 40 s
10 h 99 min 96 s
 9 h 50 min 40 s
1 h 49 min 56 s
42. Foram 4 intervalos de 3 minutos cada um, num
total de 12 minutos.
A duração do jogo foi:
20 min 45 s
22 min
15 s
35 min 40 s
17 min
30 s
15 min
10 s
12 min
00 s
121 min 140 s
57 s
O segundo tempo durou 57 s a mais que o primeiro.
121 min 140 s 5 123 min 20 s 5 2 h 3 min 20 s
39. 2 h 44 min 5 120 min  44 min 5 164 min
Tempo para ler um livro: 164 min  3 5 54 min 40 s
Tempo para ler os dois primeiros livros:
(54 min 40 s)  2 5 108 min 80 s 5 109 min 20 s 5
5 1 h 49 min 20 s
Se a partida começou às 8h30min, terminou às
10 h 33 min 20 s:
48
8 h 30 min
 2 h 03 min 20 s
10 h 33 min 20 s
43. a) 2 208 80
608 27
48
Se ele anda 80 metros em 1 minuto (60
segundos), ele anda 4 metros em 3 segundos
e vai andar 48 metros em 36 segundos.
Assim, Celso gasta 27 min 36 s para chegar ao
trabalho.
b) Das 7 h da manhã às 8 h da noite (20 h),
transcorrem 13 horas (20  7). Como o relógio
atrasa 1 segundo por hora, estará atrasado
13 segundos e marcará 20 h  13 s 5
5 19 h 59 min 47 s.
20 h
 13 s
?

19 h 60 min

13 s
?
19 h 59 min 60 s
13 s
19 h 59 min 47 s
44. 360 h 45 min 27 s 5 15 d 45 min 27 s
Admitindo que o Natal se inicia à meia-noite do
dia 24 de dezembro, calculemos o momento do
diálogo:
24 d  15 d 45 min 27 s
do mês de dezembro.
dia 8, às 23 h 14 min 33 s
45. 420 000 h 5 17 500 d e 17 500  365 > 47,95
A previsão se realizará aproximadamente 48 anos
depois, em 2064.
Desafio
A matemática do eclipse
Resposta pessoal.
Exercícios
46. a) Sobram R$ 3.200,00  R$ 840,00 5
5 R$ 2.360,00.
b) Renata ganha R$ 2.360,00  2 5 R$ 1.180,00.
c) Roberto ganha R$ 1.180,00  R$ 40,00 5
5 R$ 2.020,00.
d) A soma dos salários deve ser R$ 3.200,00 e a
diferença, R$ 840,00.
47. a) Se Eliete tivesse, por exemplo, 10 anos, Gustavo
teria 17. Mas Gustavo tem 3 a mais que Arnaldo.
Então, Arnaldo teria 14, ou seja, 4 anos a mais
que Eliete.
b) Subtraindo os anos que Gustavo e Arnaldo têm
a mais que Eliete, temos 116  7  4 5 105.
c) Vamos chamar a idade de Gustavo de G, a idade
de Arnaldo de A e a idade de Eliete de E.
Sabemos que: G 5 A  3; A 5 E  4; E 5 G  7.
Tomando como base a idade de Arnaldo, temos:
G 5 E  4  3 e E 5 E  4  3  7.
A soma das idades é igual a 116, ou seja:
E  4  3  E  4  E  4  3  7 5 116
3E 5 116  11 ⇒ E 5 35
Portanto, Eliete tem 35 anos.
d) 39 anos: 35  4 5 39
e) 42 anos: 35  7 5 42
48. a) A soma do menor com o maior é igual à soma
do menor com o triplo do menor, que é igual a 4
vezes o menor.
b) O menor é igual a 144  4 5 36.
c) O maior é o triplo do menor: 36  3 5 108.
49. a) população de Paraíso 5 5  população de
Bela Vista
5  população de Bela Vista  população de
Bela Vista 5 69 600
6  população de Bela Vista 5 69 600
69 600  6 5 11 600
Logo, a população de Bela Vista é de 11 600
habitantes.
b) 5  11 600 5 58 000. Ou seja, 58 000 habitantes.
50. Como o prêmio do gerente equivale ao de dois
vendedores, dividimos o total em 8 partes iguais.
O gerente vai ficar com duas partes e cada
vendedor com uma.
10 000  8 5 1 250
1 250  2 5 2 500
O gerente recebeu R$ 2. 500,00 e cada vendedor,
R$ 1 .250,00.
Conferindo: 2 500  6  1 250 5 2 500  7 500 5
5 10 000.
51. a) A diferença entre dois números ímpares
consecutivos vale 2. Assim, Alcides tem 2 anos
a mais que João.
b) Sendo J a idade de João e A a idade de Alcides,
J  3A 5 90. Como João tem 2 anos a menos
que Alcides, A  2  3A 5 90 e então: A  3A 5
5 92. A soma da idade de Alcides com o triplo
dela resulta em 92 anos.
c) Essa soma é quatro vezes a idade de Alcides.
d) A idade de Alcides é:
92 anos  4 5 23 anos
e) A idade de João é:
23 anos  2 anos 5 21 anos
Verificação: 21 e 23 são dois números ímpares
consecutivos e, além disso, 21  3  23 5 21 
 69 5 90.
52. a) 27  2 5 54. Seriam 54 rodas.
b) 98  54 5 44. Foram 44 rodas a mais.
c) Cada automóvel contribui com 2 rodas a mais.
44
d) O número de automóveis é
5 22.
2
e) O número de motos é 27  22 5 5.
Verificação: o total de veículos é 22  5 5 27 e o
total de rodas é 22  4  5  2 5 88  10 5 98.
49
53. a) 77  R$ 135,00 5 R$ 10.395,00
b) R$ 11.070,00  R$ 10.395,00 5 R$ 675,00
c) R$ 180,00  R$ 135,00 5 R$ 45,00
d) R$ 675,00  R$ 45,00 5 15 passageiros
e) 77  15 5 62 passageiros
Verificação: a arrecadação foi 15  R$ 180,00 
 62  R$ 135,00 5 R$ 2.700,00  R$ 8.370,00 5
5 R$ 11.070,00.
54. Arrecadação, se todos os ingressos fossem de
numerada: 2 640  R$ 25,00 5 R$ 66.000,00.
Valor arrecadado a menos que esse:
R$ 66.000,00  R$ 43.500,00 5 R$ 22.500,00
Esse valor a menos é devido aos ingressos de
arquibancada. Cada ingresso de arquibancada
vale R$ 10,00 a menos. Então, o número
de ingressos de arquibancada vendidos foi:
22 500  10 5 2 250.
55. Anulando os pontos que Tonhão e Fabinho
fizeram a mais, os três ficariam com a mesma
quantidade de pontos de Rafael.
5358
23  8 5 15
Pontos do Rafael: 15  3 5 5
Pontos do Tonhão: 5  5 5 10
Pontos do Fabinho: 5  3 5 8
Para conferir: 5  10  8 5 23
56. Se Tonhão tivesse 3 anos a menos, teria a idade
de Ricardo.
Nesse caso, a idade de Tonhão mais 5 vezes a de
Ricardo seria igual a 6 vezes a de Ricardo e seria:
75 anos  3 anos 5 72 anos.
a) Idade de Ricardo: 72 anos  6 anos 5 12 anos.
b) Idade de Tonhão: 12 anos  3 anos 5 15 anos.
57. Se todos os ingressos tivessem sido vendidos por
R$ 10,00, o total arrecadado seria 240  R$ 10,00,
portanto, R$ 2.400,00.
A diferença R$ 2.400,00  R$ 2.040,00 é o que
os estudantes pagaram a menos.
Como cada estudante paga R$ 5,00 a menos,
dividimos essa diferença por R$ 5,00 para
calcular o número de estudantes.
R$ 2.400,00  R$ 2.040,00 5 R$ 360,00
R$ 360,00  R$ 5,00 5 72
Foram vendidos 72 ingressos para estudantes.
58. 12  R$ 20,00 5 R$ 240,00 (total, se fossem só
adultos)
R$ 240,00  R$ 216,00 5 R$ 24,00 (dinheiro
ganho a menos)
R$ 20,00  R$ 12,00 5 R$ 8,00 (cada criança
paga a menos)
R$ 24,00  R$ 8,00 5 3 (número de crianças)
12  3 5 9 (número de adultos)
Foram 9 cortes em adultos.
50
59. O faturamento em 3 dias de sol e 2 de chuva
equivale ao de 5 dias de chuva mais o que se
arrecada a mais nos dias de sol, que é 3  R$ 250,00.
Assim, subtraindo 3  R$ 250,00 do total faturado,
ficamos com o faturamento de 5 dias de chuva.
3  R$ 250,00 5 R$ 750,00
R$ 2.650,00  R$ 750,00 5 R$ 1.900,00
a) R$ 1.900,00  5 5 R$ 380,00
b) R$ 380,00  R$ 250,00 5 R$ 630,00
c) 2  R$ 630,00  3  R$ 380,00 5 R$ 1.260,00 
 R$ 1.140,00 5 R$ 2.400,00
60. Veja na ilustração que o preço do prato do dia é
metade do preço do prato especial. Assim, um
prato especial vale por dois pratos do dia.
O preço dos 22 pratos do dia e 14 pratos especiais
é o mesmo que o preço de quantos pratos do dia?
14  2 5 28
22  28 5 50
São 50 pratos do dia.
Tendo o total arrecadado, calculamos o preço do
prato do dia fazendo a divisão:
R$ 600,00  50 5 R$ 12,00
O prato especial custa o dobro do prato do dia,
portanto, R$ 12,00  2 5 R$ 24,00.
Se fossem vendidos 30 pratos do dia e 20 especiais:
30  R$ 12,00  20  R$ 24,00 5 R$ 360,00 
 R$ 480,00 5 R$ 840,00.
Seriam arrecadados R$ 840,00.
Desafio
Quem foi ele?
Vamos descobrir o número do primeiro ano do
mandato desse presidente.
Como são 5 números consecutivos, as unidades a
mais que os outros números têm são 1, 2, 3 e 4.
1  2  3  4 5 10
Subtraindo 10 da soma dos 5 números, obtemos o
quíntuplo do menor ano:
9 790  10 5 9 780
Dividindo por 5, obtemos o menor ano:
9 780  5 5 1 956
O primeiro ano do mandato foi 1956.
Esse presidente governou o Brasil de 1956 a 1960 e
se chamava Juscelino Kubitschek de Oliveira.
Acerte as contas
a) Fazendo a conta, percebemos erro na casa do
milhar. O algarismo errado só pode ser o 2 (não
é o 7 nem o 4 por causa das unidades). Agora é
só verificar que o 2 deve ser trocado pelo 6.
87 684
 76 947
164 631
b)
2. a) 43 5 4  4  4 5 64
c)
b) 14 5 1  1  1  1 5 1
c) 25 5 2  2  2  2  2 5 32
Ilustra Cartoon/Arquivo da editora
d) 26 5 2  2  2  2  2  2 5 64
3. a) 7  7  7 5 73
b) 8  8  8  8  8 5 85
c) 12  12 5 122
d) 6  6  6  6  6  6  6 5 67
4. a) 26 5 2  2  2  2  2  2 5 64
b) 09 5 0  0  0  0  0  0  0  0  0 5 0
c) 105 5 10  10  10  10  10 5 100 000
Matemática em notícia
Mercado sofre com a escassez de moedas
d) 62 5 6  6 5 36
5. a) 10  10 5 100. Assim, 100 pessoas.
b) 10  10  10 5 103 5 1 000. Assim, 1 000 pessoas.
1. (5 reais)  (3 reais e 83 centavos) 5 (4 reais e
100 centavos)  (3 reais e 83 centavos) 5 1 real e
17 centavos.
Em moedas:
• 1 de 1 real;
• 1 de 10 centavos;
• 1 de 5 centavos;
• 2 de 1 centavo.
No mínimo 5 moedas. Poderia ser necessário mais
moedas. Por exemplo, trocando a moeda de 1 real
por duas de 50 centavos.
2. Moedas guardadas em casa, ou perdidas, são
os principais motivos. (Levamos em conta que
o Banco Central coloca em circulação uma
quantidade suficiente de moedas para atender ao
mercado.)
3. A soma das quantidades de moedas nas duas
tabelas é aproximadamente 25 bilhões, e a soma
de valores, 6 bilhões de reais.
4. São 25 bilhões de moedas, aproximadamente. De
cada 10 moedas, usam 6. Como 25 5 10  10  5,
de cada 25, usam 6  6  3 5 15. Estavam sendo
usadas aproximadamente 15 bilhões de moedas.
Capítulo 5 – Potenciação e radiciação
Exercícios
1. a) Como cada um dos 4 irmãos tinha 4 carros, o
número de carros era 4  4 5 16.
b) Como cada carro tem 4 rodas, o número de
rodas é 4  16 5 64, ou seja, 43 5 64.
c) Como cada roda tem 4 parafusos, o número de
parafusos é 4 4 5 256.
c) Na segunda-feira, eram 10 pessoas. Na terça-feira,
eram 10  10. Na quarta-feira, eram 10  10  10.
Então, no total eram: 10  102  103 5 1 110
6. a) 32 5 3  3 5 9 e 23 5 2  2  2 5 8
O maior é 32.
b) 42 5 4  4 5 16 e 24 5 2  2  2  2 5 16
São iguais.
c) 52 5 5  5 5 25 e 25 5 2  2  2  2  2 5 32
O maior é 25.
d) 03 5 0  0  0 5 0 e 05 5 0  0  0  0  0 5 0
São iguais.
7.
a) 6  6 5 62
b) 8  8 5 82
8. a) 22
b) 32
c) 42
d) 52
9. a) 52 5 5  5 5 25
b) 102 5 10  10 5 100
c) 62 5 6  6 5 36
d) 152 5 15  15 5 225
e) 122 5 12  12 5 144
f) 1002 5 100  100 5 10 000
10. 2  2  2 5 23
11. a) 23 5 2  2  2 5 8
b) 53 5 5  5  5 5 125
c) 103 5 10  10  10 5 1 000
d) 33 5 3  3  3 5 27
e) 83 5 8  8  8 5 512
f) 1003 5 100  100  100 5 1 000 000
12. O cubo de 6 é 63 5 216.
A 4a potência de 3 é 34 5 81.
A 5a potência de 3 é 35 5 243.
A 8a potência de 2 é 28 5 256.
O quadrado de 11 é 112 5 121.
51
13. a) 2  999
b) 9992
3
c) 999
d) 3  999
g) n3
e) 2  n
h) 3  n
f) n
Lílian: 23  10  22  23 5 8  10  4  8 5
5 80  32 5 48
Gabriel: 33  42 5 27  16 5 432
Não conhecemos o dono da pipa que tem o
número 81.
2
14. a) 10 5 100 (2 zeros)
2
b) 103 5 1 000 (3 zeros)
c) 104 5 10 000 (4 zeros)
d) 105 5 100 000 (5 zeros)
e) 106 5 1 000 000 (6 zeros)
f) 107 5 10 000 000 (7 zeros)
15. 12 zeros: 1 000 000 000 000
Lê-se 1 trilhão.
16. a) 58
b) 59 5 58  5 5 390 625  5 5 1 953 125
c) 57 5 58  5 5 390 625  5 5 78 125
17. 66 5 46 656
68 5 6  6  6  6  6  6  6  6 5 46 656  36
1442443 {
66
36
68 5 46 656  36 5 1 679 616
18. a) 113 5 1 331
b) 114 5 14 641
c) 115 5 161 051
19. a) 1012 5 10 201
b) 1 0012 5 1 002 001
c) 10 001 5 100 020 001
20. As bases das potências começam e terminam por
1 e os demais algarismos são zeros. O resultado
começa e termina por 1. O algarismo central é 2,
precedido e sucedido por tantos zeros quanto são
os da base da potência.
100 001 → 10000200001
123 123
123
2
4 zeros
4 zeros
23. a) (5  1)2  5  6 5 62  5  6 5 36  5  6 5
5 36  30 5 6
b) 17  (2  2)2  (4  1)3 5 17  42  33 5 17  16 
 27 5 1  27 5 28
c) (8  2)3  (8  2)2 5 43  62 5 64  36 5 100
24. a) (3  2)2  4  100 5 52  4  100 5
5 25  4  100 5 100  100 5 0 (Raquel)
b) 7  (5  2)2  (32  8)5 5 7  102  (9  8)5 5
5 7  102  15 5 7  100  1 5 107  1 5 106
c) (5  2  3)2  (17  24) 5 (5  6)2  (17  16) 5
5 112  1 5 121  1 5 120 (Antonio)
d) (3  22)2  4  52 5 (3  4)2  4  52 5 72 
 4  52 5 49  4  25 5 49  100 5 149
(Rogério)
e) (24  42)10  (32  23)9 5 (16  16)10  (9  8)9 5
5 110  19 5 1  1 5 2 (Tales)
f ) (17  2  23)3  (25  33)2 5
5 (17  2  8)3 
 (32  27)2 5 (17  16)3  52 5
5 1  25 5 25 (Luísa)
O livro não retirado foi A história do livro.
Quem não retirou o livro foi a Ana.
25. a) 3, pois 43 5 64
b) 4, pois 34 5 81
c) 3, pois 103 5 1 000
d) 5, pois 25 5 32
26. a) 16 5 4, pois 42 5 16.
b) 36 5 6, pois 62 5 36.
c) 81 5 9, pois 92 5 81.
4 zeros
100 001 5 10 000 200 001
2
21. a) 5  2  7 5 5  8  49 5 40  49 5 89
(Maurício)
3
b) 52  3  62  2 5 25  3  36  2 5 75  18 5 57
(Gabriela)
c) 32  24  1 5 9  16  1 5 144  1 5 145
(Alexandre)
d) 24  3  5  32 5 16  3  5  9 5 16  15  9 5
5 1  9 5 10 (André)
e) 2  42  82  24 5 2  16  64  16 5 32  4 5 36
(Luciana)
f) 17  3  22  25 5 17  3  4  32 5 17  12 
 32 5 37 (Priscila)
O primeiro a ser pego é Maurício, e Talita não
será pega.
22. Raul: 5  4  25 5 5  4  32 5 20  32 5 52
Marina: 25  24  32 5 32  16  9 5 16  9 5 25
52
27. a) 2 
b) 3 
2
28.
25  4 5 2  5  4 5 10  4 5 14
4 
Número n
9 532356353
n é quadrado Em caso afirmativo,
perfeito?
quanto é n?
25
sim
5
64
sim
8
80
não
80 não é quadrado
perfeito
100
sim
10
121
sim
11
144
sim
12
225
sim
15
75
não
75 não é quadrado
perfeito
400
sim
20
625
sim
25
29.
196 5 14 (pois 142 5 196)
30. a) 2025 5 45 (pois 452 5 2 025)
12544 
b)
9604 5 112  98 5 210
62
31. a) 3  3 5 3
5 38
b) 25  27 5 25  7 5 212
c) 23  23  24 5 23  3  4 5 210
d) 104  103  106  107 5 104  3  6  7 5 1020
6
2
32. a) I. errado → 24  22 5 24  2 5 26
Il. errado → 22  23 5 22  3 5 25
Ill. certo → 210  22  26 5 210  2  6 5 218
b) Para simplificar produtos de potências
de mesma base, conservamos a base e
adicionamos os expoentes.
33. a) 37  32 5 37  2 5 35
b) 106  104 5 106  4 5 102
c) 75  73 5 75  3 5 72
d) 124  122 5 124  2 5 122
45. a) 95 5 94  1 5 94  91 5 6 561  9 5 59 049
b) 96 5 94  2 5 94  92 5 6 581  81 5 531 441
5 [128  27  1]  100 5
5 [101  1]  100 5 100  100 5 1
Gabriela:
4  (43  32)  (32  31  30)  23 5
5 2  (64  9)  (9  3  1)  8 5
5 2  55  (12  1)  8 5
5 2  55  11  8 5 110  11  8 5 10  8 5 2
A caixa 3 não foi aberta.
47. 2  51  3  50 5 2  5  3  1 5 10  3 5 7
Quem gostou da girafa foi Gabriela.
32  3  2 1  3 0  64 5 9  3  2  1  8 5
5 9  6  8 5 3  8 5 11
Quem gostou do rinoceronte foi Luciana.
2  [72  ( 9  100)] 5 2  [49  (3  1)] 5
5 2  [49  2] 5 2  47 5 94
Quem gostou da onça foi Fabinho.
36. a) I. (83)5 5 815
20  21  22  23 5 1  2  4  8 5 15
40
Quem gostou do elefante foi Priscila.
Ill. (103)2 5 106
IV. (73)3 5 79
b) Para simplificar potência de potência,
conservamos a base e multiplicamos os
expoentes.
c) 90 5 1
d) 2720 5 1
37. a) 71 5 7
b) 181 5 18
b) certo → 170 5 1 e 340 5 1
39. a) 1201 5 120 e 1120 5 1. O maior é 1201.
b) 3120 5 1 e 0312 5 0. O maior é 3120.
5 44 5 1
40. a) 44
b) 3082  2 5 3081 5 308
0
41. a) 3, pois 5  5  5 5 53
b) 2, pois 5  5 5 52
2  30  3  16  4  52 5 2  1  3  4  4  25 5
5 2  12  100 5 114
Quem gostou do gorila foi Alexandre.
16  [30  (52  2  51)] 5 16  [1  (25  2  5)] 5
5 16  [1  (25  10)] 5 16  [1  15] 5 16  16 5 1
Quem gostou do leão foi Nicolau.
Não sabemos a preferência de Maurício.
38. a) certo → 1 5 100
22
44. 10  11  20  21  22 5 1  1  1  2  4 5 9
5 [2  64  9  3  1  1]  100 5
35. a) (35)2 5 35  35 5 35  5 5 310 ou (35)2 5 35  2 5 310
b) (23)4 5 23  23  23  23 5 23  3  3  3 5 212 ou
(23)4 5 23  4 5 212
c) (56)3 5 56  56  56 5 56  6  6 5 518 ou (56)3 5
5 56  3 5 518
d) (25)4 5 25  25  25  25 5 25  5  5  5 5 220 ou
(25)4 5 25  4 5 220
Il. (25 ) 5 25
43. a) 93  94  91 5 93  4  1 5 98
b) 32  3  43  4 5 35  47
c) 520  13 5 57
d) 517  2 5 515
e) 32  3  33  4  35 5 36  312  35 5 36  12  5 5 323
f ) 108  (102)3 5 108  102  3 5 108  106 5 108  6 5 102
46. Luciana: [2  43  32  3  30  50]  102 5
34. a) Para simplificar o quociente de potências de
mesma base, não nula, conservamos a base e
subtraímos os expoentes.
b) I. 107  102 5 107  2 5 105
Il. 212  27 5 212  7 5 25
Ill. 219  211 5 219  11 5 28
4 10
42. a) (80)2 5 12 5 1
b) (410)0 5 410  0 5 40 5 1
c) (33)1 5 271 5 27
d) (101)4 5 104 5 10 000
c) 1, pois 51 5 5
d) 0, pois 50 5 1
Desafio
A lição de Laura
Queremos encontrar a maior soma possível. O
algarismo maior (9) vai para a casa do milhar. Dos que
sobram, os maiores (8 e 7) vão para as casas das centenas
— uma de cada número. As casas das dezenas serão
preenchidas com 6 e 5, e as das unidades, com 4 e 3.
53
A maior soma possível é: 9 863  753
d) Pelo item anterior, também não é possível concluir
que não existe árvore com uma só folha.
9  1 000  (8  7)  100 
 (6  5)  10  (4  3) 5 10 617
O problema pede a maior soma possível. Não é
preciso dizer quais números estão sendo somados. Há
oito possibilidades para essa adição:
9 864
9 863
9 854
9 853
 753
 754
 763
 764

9 764
853

9 764
854

9 754
863
9 753
 864
Exercícios
48. a 53. Ver livro do aluno.
54. a) 3 5 2  1 5 1  21  1  20; 11 no sistema binário
b) 4 5 22 5 1  22  0  21  0  20; 100 no sistema
binário
c) 5 5 4  1 5 22  20 5 1  22  0  21  1  20;
101 no sistema binário
d) 6 5 4  2 5 22  21 5 1  22  1  21  0  20;
110 no sistema binário
e) 13 5 8  4  1 5 23  22  20 5 1  23  1  22 
 0  21  1  20; 1 101 no sistema binário
f) 25 5 16  8  1 5 24  2 3  20 5 1  24 
 1  2 3  0  2 2  0  2 1  1  20; 11 001 no
sistema binário
55. a) 1010: 1  23  0  22  1  21  0  20 5
5180412015
5 8  0  2  0 5 10
b) 11010: 1  24  1  23  0  22  1  21  0  20 5
5 1  16  1  8  0  4  1  2  0 5
5 16  8  2 5 26
27
3
50 5 1  3
 99 

2  32

Com certeza
Bolas: 3 vermelhas (v), 2 brancas (b), 1 preta (p)
Possibilidades para 4 bolas:
3v e 1b, 3v e 1p, 2v e 2b, 2v e 1b e 1p, 1v e 2b e 1p.
Em todas as possibilidades, pelo menos uma bola é
vermelha.
Alternativa: c
Matemática no tempo
Os números nas origens da Matemática
56. 30 5 1; 31 5 3; 32 5 9; 33 5 27; 34 5 81
50 5
e) Numerando as árvores de 1 a 1 000 000, as
primeiras 300 000 podem ter números de folhas
diferentes (veja o que pode acontecer: uma tem
1 folha, outra tem 2 folhas, outra tem 3 folhas, e
assim por diante, até uma que tem 300 000 folhas).
Mas ainda sobram 700 000 árvores com o mesmo
número de folhas, já que o número de folhas de
cada uma terá de ser, no máximo, 300 000. E pode
até existir árvore sem folha alguma.
Você gosta dessas frutas?
No 6o A o número mínimo de alunos é 20 (caso em
que todos da classe gostam de banana) e o número
máximo é:
20  12  18 5 50 (caso em que todos gostam de
só uma fruta)
No 6o B: mínimo 5 20, máximo 5 15  20  5 5 40
No 6o C: mínimo 5 14, máximo 5 14  12  10 5 36
Adicionando as três classes:
Mínimo 5 20  20  14 5 54 e máximo 5 50  40 
 36 5 126
Alternativa: a
3

11
1  31

2  30
Desafios
1. Para essas tribos, todas as coleções de objetos ou
seres com três ou mais elementos se confundiam,
quantitativamente.
2. De seis maneiras diferentes, 1a) 1a, 2b, 3c; 2a) 1a,
2c, 3b; 3a) 2b, 1a, 3c; 4a) 1b, 2c, 3a; 5a) 1c, 2a, 3b;
6a) 1c, 2b, 3a.
Numere as árvores
3. Base 5.
a) Pela segunda afirmação, uma árvore pode ter, no
máximo, 300 000 folhas.
4. Uma resposta plausível é que é comum
o ser humano ter 5 dedos em cada mão (10
dedos nas duas mãos) e 5 dedos em cada pé (10
dedos nos dois pés); entre mãos e pés, 20 dedos.
Possivelmente os povos antepassados contavam
usando como base os dedos, itens que são
contáveis, próximos e conhecidos.
b) Se todas as árvores tiverem 300 000 folhas, na
floresta haverá:
300 000  1 000 000 5 300 000 000 000 5
5 300 bilhões
Esse é o número máximo de folhas que pode existir
na floresta.
c) Pelas afirmações feitas, pode existir árvore com
uma só folha, assim como pode não existir.
Então, não é possível concluir que existe árvore
com uma só folha.
54
5. Além de símbolos para 1, 10, 100, 1 000 etc., foram
introduzidos, com o tempo, símbolos para o 5 (V),
50 (L) e 500 (D). Além disso, a partir de algum
momento, foi adotado um princípio subtrativo,
como se vê em: IV 5 5  1 5 4, IX 5 10  1 5 9.
6. No sistema decimal, os numerais são menores do
que no sistema binário. Por exemplo, no sistema
decimal: vinte e dois 5 22; no sistema binário:
vinte e dois 5 10 110. Além disso, o número 10
tem mais divisores que o 2, o que facilita a escala
de pesos e medidas calcada na base decimal.
Por outro lado, o código binário é especialmente
favorável nos computadores, pois utiliza dois
símbolos apenas, 0 e 1, representados pela
ausência (0) ou presença (1) de um sinal elétrico.
Temos, então:
3 3
126
Para que o produto seja 128, o quadradinho lilás
deve ser 4.
Temos, agora:
126
A soma é 6.
Alternativa: d
1. 7 000  3 5 7 003
2. Em 1 372, o 3 tem valor posicional 300. Em 13 072, o
3 vale 3000. Ficou multiplicado por 10.
3. A seta sobre o relógio indica o sentido em que
gira o ponteiro. O último algarismo ultrapassado
é, respectivamente, o 2, o 6, o 1 e o 4.
Alternativa: a
4. O maior número de três algarismos distintos é
987 e o menor deles é 102. A soma deles é 1 089.
Alternativa: b
5. Menor número de três algarismos diferentes: 102
Maior número de três algarismos diferentes: 987
987  102 5 885
Alternativa: c
6. 9 021  1 995 pode ser estimado por 9 000 
 2 000 5 18 000 000, ou seja, 18 milhões.
Alternativa: a
28
29
15
O maior resto possível é 28.
Dividendo 5 divisor  quociente  resto 5 29  15 
 28 5 435  28 5 463.
Alternativa: d
12. Sabe-se que dividendo 5 divisor  quociente 
 resto.
As possibilidades são: 29  1  1 5 30
29  2  2 5 60
29  3  3 5 90
Alternativa: d
13. VII / IX / MDCCCXXII é 7/9/1822, dia em que foi
proclamada a independência do Brasil.
Alternativa: a
14. 3  2 5 6
Alternativa: d
Alternativa: d
7.
10. 21 063 042,00  7 5 3 009 006,00
11.
Alternativa: c
42
33
Teste seus conhecimentos
Alternativa: c
L 2
111  111 5 12 321
15.
1232159
Alternativa: c
8.
1
1

Para que o produto
termine em 4, a única
possibilidade para este
algarismo é 8.
3
4
Efetuando o produto, temos:
1
3
1
8
3
3
5
4
A soma desses algarismos é 16.
Alternativa: d
9. Para que o produto termine em 6, o quadradinho
amarelo deve ser 2.
São 12 números.
Alternativa: c
55
16. Eu enviei a mensagem para 5 amigos. Se cada
um deles enviou a mensagem para 5 pessoas
diferentes, eles enviaram 5  5 5 25 mensagens.
Adicionando as que eu enviei às que eles
enviaram, temos um total de 30.
23.
7h 45min
 3h 30min
10h 75min
123 → 11h 15min
1 h 15min
Ela chegou às 11 h 15 min.
Alternativa: d
17. Cartas nas colunas:
1  2  3  4  5  6  7 5 28
Cartas no monte:
52  28 5 24
Alternativa: b
18. Se ele guarda metade e fica com R$ 850,00 é
porque sobraram 2  R$ 850,00 5 R$ 1.700,00.
Alternativa: c
24. O horário de partida é encontrado subtraindo-se
a duração da viagem do horário de chegada, ou
seja:
10 h
 2 h 22 min 35 s
?
Adicionando os R$ 600,00 do aluguel, temos o
valor de R$ 2.300,00.
9 h 59 min 60 s
 2 h 22 min 35 s
7 h 37 min 25 s
Alternativa: c
Alternativa: c
19. Se
 24 5 121, o número é 121  24 5 145.
Se for acrescido de 24 unidades, resultará em:
Alternativa: d
 10  10 5 10
Dividimos
25. O tempo total é o produto de 400 por 1 min 12 s,
ou seja:
1 min 12 s
3 400
145  24 5 169
20. Ida:
9 h 60 min
 2 h 22 min 35 s
?
por 10, subtraímos 10 e obtemos 10.
Volta: adicionamos 10 a 10, multiplicamos por 10 e
obtemos .
(10  10)  10 5 200, que é o número procurado.
Se ele for multiplicado por 10 e adicionarmos 10
ao resultado, encontraremos 200  10  10 5
5 2 000  10 5 2 010.
400 min 4 800 s
Mas 4 800 s 5 80 min 5 1 h 20 min.
Então, 400 min 4 800 s 5 1 h 420 min.
Mas 420 min 5 7 h e 1 h 420 min 5 8 h.
Alternativa: a
26. Com duas bombas, o tempo deverá ser metade de
1 h 37 min 42 s, ou seja, como 1 h 5 60 min, será a
metade de 97 min 42 s, que é 48 min 51 s.
97 min 42 s
1 7 min 42 s
60 s
102 s
02 s
0s
Alternativa: d
21.
2
48 min 51 s
Alternativa: c
Ficaram sobre a mesa: 3, 5, 7.
A diferença entre o maior e o menor é: 7  3 5 4
Alternativa: b
22. Com os dois algarismos juntos: | 2 | 0 | 1 | 7 |
| indica posição possível para 99
992017, 299017, 209917, 201997, 201799
Com os dois 9 separados: fixando um 9 da
esquerda para a direita, | indica posição possível
do outro 9
92 | 0 |1 | 7|
929017, 920917, 920197, 920179
290 | 1 | 7|
290917, 290197, 290179
2091 | 7|
209197, 209179
20197|
201979
São 15 possibilidades.
Alternativa: d
56
27. Se ele nadou 300 m em 3 min 51 s, deverá nadar
100 m em 3 min 51 s : 3, que é 1 min 17 s.
Adicionando esse tempo ao tempo inicial, temos:
3 min 51 s
 1 min 17 s
4 min 68 s
Alternativa: b
5 min 8 s
28. A diferença 325  180 5 145 corresponde à
metade da água que foi jogada fora. A água do
copo tem, então, 2  145 5 290 g. O que falta
para completar 325 g, que é 325  290 5 35 g,
corresponde à massa do copo vazio.
Alternativa: c
29. 213 5 21  21  21 5 9 261
Alternativa: d
30. 106 5 103 ? 2 5 (103)2 5 103  103 5 1 000  103
Alternativa: d
31. O dobro de 222 é 2  222 5 21  222 5 223
A metade de 222 é 222  2 5 222  21 5 2222  1 5 221
Alternativa: d
32. 2 64  (22)3 5 28  43 5 256  64 5 192
Alternativa: a
33. [(23)2]3 5 (23 ? 2)3 5 (26)3 5 26 ? 3 5 218
ou
[(23)2]3 5 (23)2 ? 3 5 (23)6 5 23 ? 6 5 218
Alternativa: d
34. 6, pois 1 000 000 5 106
Alternativa: a
35. Os números são 145, 154, 415, 451, 514 e 541.
Dois deles têm o algarismo 5 na ordem das
dezenas: 154 e 451. O menor deles é 154.
Alternativa: c
36. Idade de Ana  2 5 dobro da idade de Ana
dobro da idade de Ana  3 5 37 anos
Assim, o dobro da idade de Ana é: 37  3 5 34
E a idade de Ana é 34 : 2 5 17.
Alternativa: a
37. Como Carlos tem o dobro da idade de João, a
soma das idades é três vezes a idade de João
(o dobro mais uma vez).
45 : 3 5 15
Então, João tem 15 anos e Carlos tem 30 anos.
Alternativa: b
38. A idade de Pedro deve ser maior que 36 anos, e a
soma dos algarismos deve ser 8. As possibilidades
são 44, 53, 62, 71 e 80. Como a idade de seu filho
pode ser obtida invertendo-se os algarismos,
sobram as possibilidades 53 e 35, 62 e 26 e 71
e 17. Somente na possibilidade 62 e 26 tem-se o
filho 36 anos mais novo que o pai. A soma das
idades é 88 anos.
Alternativa: b
39. 3 000  120 5 25
25 caixas pesam 3 000 quilos.
Alternativa: a
40. Antes de adicionar 10 ela tinha: 58  10 5 48
Antes de multiplicar por 12, ela tinha: 48  12 5 4
O número que ela pensou foi 4.
Conferindo: 4  12 5 48 e 48  10 5 58
Alternativa: d
41. Tiramos os votos do último colocado:
36  4 5 32
Esses 32 votos correspondem a quatro vezes
(o triplo mais uma vez) o número de votos do
2o colocado:
32  4 5 8
O 2o colocado recebeu 8 votos e o 1o colocado,
3  8 5 24.
Alternativa: c
42. Total de quadradinhos: 6  4 5 24
Como o número de quadradinhos pretos deve ser
o dobro do de brancos, o total será três vezes o
número de brancos (o dobro mais uma vez).
24  3 5 8
Serão 8 quadradinhos brancos e o dobro, 16, de
pretos. Como já tem 5 pretos, faltou ser pintados:
16  5 5 11
Alternativa: c
Desafio
Descobrindo máximos
O terceiro número é menor que 100; logo, é no
máximo 99.
O triplo do terceiro é, então, no máximo 3  99 5
5 297. O segundo número é menor que 297; logo, é no
máximo 296.
O dobro do segundo número é, então, no máximo,
2  296 5 592. O primeiro número é menor que 592;
logo, é no máximo 591.
Alternativa: c
Unidade 2 – Geometria: primeiros passos
Capítulo 6 – Noções fundamentais
Exercícios
1. Paralelepípedo.
2. Pirâmide de base quadrada.
3. Cilindro.
4. Cone.
5. a) A, B, C, D, E, F, G e H.
c) 6 planos.
b) 12 retas.
6. a) A, B, C e D.
b) 6 retas.
c) 4 planos.
7 a 9. Ver livro do aluno.
10. Retas: a, r, x e t.
11. a) As retas a, b, c e t.
b) As retas r, s e t.
c) Somente a reta t.
12. a) Os pontos C, B e D.
b) Os pontos A e E.
c) Os pontos A e B.
d) O ponto C.
13. Podemos construir 10 retas: AB, AC, AD, AE, BC,
BD, BE , CD, CE e DE.
57
9. a) AB e AC.
15. As retas t e v.
10. a) AB̂C e CD̂E.
b) B e D.
c) BA e BC ; DC e DE .
16. Sim.
17. Não.
18. a) Certo.
b) Certo.
c) Certo.
d) Certo.
e) Errado.
f ) Certo.
11. a)
11
b) B.
12
c)
1
10
Capítulo 7 – Semirreta, segmento de reta
e ângulo
3
7
6
1. a)
P
b)
P
Q
t
b)
t
c) O segmento de reta PQ.
2. a) 2
b) 4
11
d) 3
d)
1
3. a) Quatro semirretas: Rr, Rs, Sr e Ss.
b) Um segmento de reta: RS.
12
1
2
3
9
4
8
5
7
O ângulo não é reto.
r
11
4
6
5
10
3
8
6
O ângulo não é reto.
2
7
4
8
7
9
c) 1
4.
12
2
3
5
10
1
9
4
8
12
10
O ângulo não é reto.
Q
11
2
9
Exercícios
c) CA e CB.
Ilustrações: Banco de imagens/
Arquivo da editora
14. Os pontos B, H, I, D.
6
5
O ângulo é reto.
12.
O
a
s
a
b
c
concorrentes
paralelas
d
e
concorrentes concorrentes
5. a) Duas semirretas: BA e BC.
b concorrentes
b) O ponto A.
c
c) Seis semirretas.
X
6.
Y
Z
d concorrentes
r
a) Seis semirretas.
c) Y é ponto interno de XZ. As extremidades desse
segmento são X e Z.
A
B
concorrentes
paralelas
paralelas
concorrentes
concorrentes concorrentes
concorrentes
concorrentes
e concorrentes concorrentes concorrentes concorrentes
b) XY, XZ e YZ.
7.
paralelas
concorrentes
C
D
E
13. São dois pares de retas paralelas: a e c, b e d.
São oito pares de retas concorrentes: a e b, a e d,
a e x, b e c, b e x, c e d, c e x, d e x.
14. São quatro pares: a e b, a e d, c e d, c e b.
15.
a) Dez semirretas.
b) Dez segmentos de reta: AB, AC, AD, AE, BC, BD,
BE, CD, CE e DE.
c) AB, BC, BD e BE.
8.
B
A
C
E
D
Os segmentos são: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE,
CD, CE e DE.
58
O carro sai de X e vai pela rua 1 até a rua C
(terceira rua). Entra na rua C à direita e vai até
5.
Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora
a rua 3 (segunda rua). Entra na rua 3 à esquerda
e vai até a rua B (primeira rua). Entra na rua
B à direita e vai até a rua 10, percorrendo 7
quarteirões. Entra à direita na rua 10 e vai até a
rua D (segunda rua). Entra à direita em D e vai
até a rua 8 (dois quarteirões).
a) O carro vai parar no cruzamento das ruas D e 8.
b) No trajeto existem cinco ângulos retos: no
cruzamento de 1 e C, no cruzamento de 3 e C,
no cruzamento de 3 e B, no cruzamento de 10 e
B, no cruzamento de 10 e D.
16. O ponteiro dos minutos percorre um ângulo de
30° a cada 5 minutos; para percorrer 90° ele leva
15 minutos.
17. 15 segundos.
18. Em 3 horas.
6.
Desafios
Brincando com quatro quatros
a) 4  4  4  4
b) (4  4  4)  4. Outro modo: (4  4  4)  4
c) 4  (4  4)  4
d) (4 4  4)  4
De olho no relógio
Da 0 h à 1 h os ponteiros formam ângulo reto
2 vezes; da 1 h às 2 h, também. Das 2 h às 3 h
também, sendo que uma das vezes é exatamente às
3 h. Das 3 h às 4 h são dois ângulos retos, contando
o das 3 h. E assim por diante.
7.
Nas 24 horas, o número de ângulos retos será
24  2, descontando as repetidas das 3 h, 9 h, 15 h e
21 h. Portanto, são:
24  2  4 5 48  4 5 44.
A resposta é 44 vezes.
Alternativa: c
Matemática em notícia
A Geometria e a obra de Niemeyer
1. Resposta pessoal.
8.
2. 2012  1907 5 105
3. O presidente era Juscelino Kubitschek.
4. A resposta depende do ano em que a atividade foi
realizada.
5. Resposta pessoal.
Mudando de assunto
1 a 4. Ver Livro do Aluno.
59
Teste seus conhecimentos
1. É uma pirâmide de base quadrada.
Alternativa: c
2. Alternativa: b
3. Apenas a figura da alternativa a pode ser
recortada e dobrada nas linhas pontilhadas de
modo a formar um cubo.
Alternativa: a
4. Alternativa: b
5. Um cubo tem 6 faces. Cada face tem 4 arestas, o
que daria 6  4 5 24 arestas. Porém, cada aresta
é compartilhada por 2 faces, assim, 24  2 5 12,
ou 12 arestas no total. O mesmo raciocínio vale
para os vértices: seriam 24 vértices, porém
cada um é compartilhado por 3 faces; assim,
24  3 5 8, ou 8 vértices.
Alternativa: c
6. A figura é um cubo, que tem 6 faces.
14. Os ângulos de vértice A e lados não coincidentes são:
BÂC, BÂD, BÂE, CÂD, CÂE e DÂE.
São seis ângulos.
Alternativa: c
Desafios
Jogando dados
Em cada dado, a soma da face de cima com a de
baixo é 7.
Em cinco dados, as faces de cima com as de baixo
somam: 5  7 5 35.
Como a soma das faces de cima foi 19, a soma das
faces de baixo foi: 35  19 5 16.
Alternativa: c
Desmonte
Precisamos desmontar a peça da figura 1 em duas,
sendo uma igual à da figura 2. Retirando da peça da
figura 1 uma peça igual à da figura 2, deve sobrar
apenas uma peça.
Uma pirâmide de base quadrangular tem 5 faces:
a base e mais 4 faces laterais. O número de
vértices é 5, sendo 4 deles na base. Então, foi
preciso dispor de 5 lonas de cores diferentes e de
5 protetores de couro.
Alternativa: b
8. Uma quadra de vôlei tem a forma de um
retângulo; uma bola de futebol tem a forma de
uma esfera; e a linha da meia-lua do campo de
futebol tem a forma de uma semicircunferência.
Alternativa: c
9. A ponta-seca de um compasso dá a ideia de um
segmento de reta; a parte de cima de uma mesa
dá a ideia de plano; e um lápis dá a ideia de um
segmento de reta.
Alternativa: a
10. Alternativa: b
11.
A
B
C
r
a) Errada, pois existem duas semirretas de r com
origem em A.
b) Errada, pois existem duas semirretas de r com
origem em B.
c) Errada, pois as duas semirretas têm em comum
todos os pontos do segmento de reta AB.
d) Correta.
Alternativa: d
12. Os três pontos colineares são B, C e D.
Alternativa: d
13. Alternativa: d
60
Sobra mais de uma peça
nessas opções.
Banco de imagens/Arquivo da editora
Alternativa: d
7.
Alternativa: a
Unidade 3 – Múltiplos e divisores
Capítulo 8 – Divisibilidade
Exercícios
1. a) Certo, pois o resto da divisão é 0.
b) Errado, pois o resto da divisão não é 0.
680 12
80 56
8
c) Certo, pois o resto da divisão não é 0.
d) Errado, pois o resto da divisão é 0.
209 11
99 19
0
2. a) Na divisão de números pares por 2, o resto é 0.
b) Na divisão de números ímpares por 2, o resto é 1.
c) Sim, os números pares são divisíveis por 2,
porque as divisões têm resto 0.
d) Não, os números ímpares não são divisíveis por
2, porque as divisões não têm resto 0.
e) Os números divisíveis por 2 são números pares.
3. Dos 11 anos até hoje suas idades foram: 11, 12, 13, 14,
15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 e 25 anos. Foram
representadas por números divisíveis por 2 as idades
de 12, 14, 16, 18, 20, 22 e 24 anos, num total de 7.
4. Os números divisíveis por 2 são os números pares:
12, 78, 102, 134, 1 234, 0 e 13 890.
5. a) 245 3
05 81
2
1 468 3
26 489
28
1
b)
Número
divisível por 3
372 3
07 124
12
0
447 3
14 149
27
0
2 445 3
04 815
15
0
Soma de todos os
A soma é
algarismos do número divisível por 3?
12
sim
447
15
sim
Número não
divisível por 3
15
É divisível
por 2?
É divisível
por 3?
É divisível
por 2 e por 3?
20
sim
não
não
27
não
sim
não
30
sim
sim
sim
35
não
não
não
54
sim
sim
sim
93
não
sim
não
122
sim
não
não
216
sim
sim
sim
10. 30 6
0 5
11. a)
54 6
0 9
216 6
36 36
0
Número
É divisível
por 2?
É divisível
por 3?
É divisível
por 6?
158
sim
não
não
sim
Soma de todos os
A soma é
algarismos do número divisível por 3?
245
11
não
1 468
19
não
c) Nos números divisíveis por 3, a soma de todos
os algarismos é um número divisível por 3.
6. Adicionando-se os algarismos de cada número,
verifica-se que são divisíveis por 3 os números 12,
78, 102, 3, 0, 555, 13 890.
7.
Número
O resto é 0.
372
2 445
9.
19 726 3
17
6 575
22
16
1
Se forem embaladas em pacotes de 3 figurinhas,
sobrará 1 figurinha. Sem efetuar a divisão,
verifica-se que a soma dos algarismos é 25, que
não é divisível por 3.
59 175 3
29
19 725
21
07
15
0
Caso sejam 59 175 figurinhas embaladas em
pacotes de 3 unidades, não sobrarão figurinhas.
Sem efetuar a divisão, verifica-se que a soma dos
algarismos é 27, divisível por 3.
8. O número 17 482 não é divisível por 3, pois a soma
de seus algarismos é 22, que não é divisível por 3.
O número 54 321 é divisível por 3, pois a soma de
seus algarismos é 15, que é divisível por 3.
99
não
sim
não
731
não
não
não
192
sim
sim
sim
846
sim
sim
sim
b) Os números divisíveis por 6 também são
divisíveis por 2 e por 3.
12. 12 300 é divisível por 2 e por 3.
41 102 é divisível por 2 e não é divisível por 3.
56 789 não é divisível por 2 nem por 3.
67 890 é divisível por 2 e por 3.
70 234 é divisível por 2 e não é divisível por 3.
112 704 é divisível por 2 e por 3.
Portanto, são divisíveis por 6 os números 12 300,
67 890 e 112 704.
13. a) e b)
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
c) 102, 108 e 114.
14. 3 427 5
42
685
27
275 5
25 55
0
2
4 680 5
18
936
693 5
19
138
30
43
0
3
61
a) 3 427 não é divisível por 5; ele termina em 7.
b) 275 é divisível por 5; ele termina em 5.
c) 4 680 é divisível por 5; ele termina em 0.
d) 693 não é divisível por 5; ele termina em 3.
e) Os números divisíveis por 5 terminam em 0 ou 5.
15. Os resultados da tabuada do 5 terminam em 0 ou 5.
16. São divisíveis por 5 os números terminados em
0 ou 5: 75, 210, 13 260, 5, 0, 12 345, 4 080.
17. 410, 415, 140 e 145.
18. a) 1, 4 ou 7, pois 741, 744 e 747 são divisíveis por 3.
b) Para ser divisível por 5, o número deve
terminar em 0 ou 5. O número 8 765 não
é divisível por 3, pois a soma de seus
algarismos é 26. Portanto, o algarismo
que falta para completar o número é 0:
8 760 é divisível por 3, pois a soma de seus
algarismos é 21.
19. Para ser divisível por 2, o último algarismo
deve ser par. As opções são 260, 262, 264,
266 e 268. Para ser divisível por 3, a soma
dos algarismos deve ser múltiplo de 3, o que
só acontece com 264. Portanto, o terceiro
algarismo é 4.
20. a) Qualquer que seja o algarismo do meio, o
número não será divisível por 2, pois seu último
algarismo não é par.
b) Os únicos algarismos que, adicionados a 7 e 3,
resultam em um número divisível por 3 são: 2,
5 ou 8.
21. a) São divisíveis por 2 os números: 0, 2, 4, 6, 8, 10,
70, 94, 130, 402, 132 000, 543 210, um total de
12 números.
b) São divisíveis por 3 os números: 0, 3, 6, 9, 117,
402, 12 345, 111 111, 132 000, 543 210.
c) São divisíveis por 5 os números: 0, 5, 10, 70,
130, 415, 3 475, 12 345, 132 000, 543 210, um
total de 10 números.
d) São divisíveis por 6 os números: 0, 6, 402,
132 000, 543 210.
e) São divisíveis por 2 e por 5 os números: 0, 10,
70, 130, 132 000, 543 210.
f) Os números divisíveis por 2 e por 5 terminam
em 0.
g) O resto da divisão desses números por 10 é 0.
h) Os números divisíveis por 10 são os que
terminam em 0.
22. São os que terminam em 0: 270, 1 100 e 3 000.
23. São divisíveis por 4 os números 1 056, 40 e 32,
porque quando divididos por 2, o quociente é par.
24. A escolha é pessoal, mas as respostas são sempre:
a) Sim.
b) Não.
62
25. a) Quantidade de dúzias no saco maior: 60  12 5 5.
Quantidade de dúzias no saco menor: 36  12 5 3.
b) 5  3 5 8
c) Sim, pois as divisões são exatas.
d) 60  36 5 96 e 96  12 5 8. Então 96 é
divisível por 12.
26. Um exemplo: Distribuindo 66 figurinhas, em
partes iguais, entre 11 meninos, cada um recebe
6 figurinhas e não sobra nenhuma. Distribuindo
mais 110 figurinhas, cada menino vai receber mais
10 e não sobrará nenhuma. Então, 66  110 é
divisível por 11.
27. Se dois números são divisíveis por um outro,
então a soma daqueles dois números é divisível
por esse outro.
28. a) Os números terminados em 00 são divisíveis
por 4 porque são somas de parcelas de 100 e
100 é divisível por 4.
b) 1 600 é divisível por 4; 28 é divisível por 4; 1 628
é divisível por 4.
c) 12 400 é divisível por 4; 34 não é divisível por 4;
12 434 não é divisível por 4.
29.
Número
dado
Número
formado
pelos dois
últimos
algarismos
Este
número é
divisível
por 4?
Número
dado
O número
dado é
divisível por
4?
316
16
sim
300  16
sim
4 148
48
sim
4 100  48
sim
13 126
26
não
13 100  26
não
47 108
08
sim
47 100  08
sim
11 222
22
não
11 200  22
não
101 010
10
não
101 000  10
não
123 456
56
sim
123 400  56
sim
a) Sim, nos números divisíveis por 4, os dois
últimos algarismos formam um número divisível
por 4.
b) Não, nos números não divisíveis por 4, os dois
últimos algarismos não formam um número
divisível por 4.
30. Um número maior que 100 é divisível por 4
quando seus dois últimos algarismos formam um
número divisível por 4.
31. São divisíveis por 4 os números: 336, 540, 1 608,
1 776 e 18 092.
32. Pelo calendário, o ano é bissexto e, como ele deve
ser divisível por 4, pode ser 2012 ou 2016.
33. a) Serão bissextos os que forem divisíveis por 4:
2024, 2028.
b) Não será bissexto, pois termina em 00 e não é
divisível por 400.
c) Resposta pessoal.
34. a) Porque 2 000 5 1 000  1 000. Como 1 000
é divisível por 8, a soma de duas parcelas de
1 000 também é.
b) 15 000 é a soma de 15 parcelas de 1 000,
portanto é divisível por 8.
c) Todo número terminado em 000 é soma de
parcelas de 1 000, que é divisível por 8 e,
portanto, a soma é divisível por 8.
35. a) Os três números são divisíveis por 8.
b) Apenas 60 000 é divisível por 8.
c) Os três números são divisíveis por 8.
d) Apenas 27 000 é divisível por 8.
e) Apenas 111 000 é divisível por 8.
f) Sim, nos números divisíveis por 8, os três últimos
algarismos formam número divisível por 8.
g) Não.
36. Ver Livro do Aluno.
37. São divisíveis por 8 os números: 45 040, 43 008,
28 736, 531 000, 964 024, 456 064, pois os três
últimos algarismos formam um número divisível
por 8. Logo, as alternativas que indicam números
divisíveis por 8 são: a, c, d, e, g e h.
38. a) 720 e 7  2  0 são divisíveis por 9.
b) 477 e 4  7  7 são divisíveis por 9.
c) 1 348 e 1  3  4  8 não são divisíveis por 9.
d) 2 466 e 2  4  6  6 são divisíveis por 9.
e) 30 218 e 3  0  2  1  8 não são divisíveis
por 9.
f) Sim, nos números divisíveis por 9, a soma dos
algarismos também é divisível por 9.
g) Não, nos números não divisíveis por 9, a soma
dos algarismos não é divisível por 9.
h) Nos números divisíveis por 9, a soma de todos os
algarismos é um número divisível por 9.
d) É divisível por 5, pois termina em 0.
e) É divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3.
f) Não é divisível por 8, pois seus três últimos
algarismos (890) não formam número divisível
por 8.
g) É divisível por 9, pois a soma de seus
algarismos é 45, que é divisível por 9.
h) É divisível por 10, pois termina em 0.
42. a) 1 243 não é divisível por 7.
1 243 7
54 177
53
4
b) 100 001 é divisível por 11.
100 001 11
1 00 9 091
11
0
43. 589 13
69 45
4
a) A divisão não é exata.
b) O resto da divisão é 4.
c) Para que o quociente permaneça o mesmo e a
divisão seja exata, devemos subtrair 4 de 589.
d) O menor valor que devemos adicionar a 589 é
9, pois 598  13 5 46.
44. a) Não, 11 111 não é divisível por 11.
11 111 11
0 11 1 010
01
39. São divisíveis por 9 os números: 945, 108, 4 698 e
30 222, pois a soma de seus algarismos é divisível
por 9. Logo, são divisíveis por 9 os números
indicados pelas alternativas: a, b, d e f.
b) Se adicionarmos 10 a 11 111, o quociente será 1 011
e o resto será 0.
40. O número de figurinhas deve ser divisível por 9 e
compreendido entre 440 e 470.
c) Se subtrairmos o resto 1 de 11 111, o quociente
continuará sendo 1 010 e o resto será 0.
O primeiro número é 441, porque 4  4  1 5 9,
que é divisível por 9.
Os demais são obtidos acrescentando-se 9, sem
ultrapassar 470: 441  9 5 450, 450  9 5 459,
459  9 5 468.
Podem ser compradas 441, 450, 459 ou 468
figurinhas.
41. a) É divisível por 2, pois é par.
b) É divisível por 3, pois a soma de seus
algarismos é 45, que é divisível por 3.
c) Não é divisível por 4, pois seus dois últimos
algarismos (90) não formam número divisível
por 4.
1
45. Todas as afirmações são corretas.
Desafios
Que número é esse?
• É maior que 200
2
• É divisível por 2 e por 5
.
2
0.
• É divisível por 3 e menor que 250
240.
• Não é divisível por 7
210 ou
240.
O número é 240.
63
Planejando o feriado
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70
Para saber quantas semanas inteiras isso representa, calculamos:
72 73 74 75 76 77 78 79
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
São 1 617 semanas inteiras e sobram 4 dias. Se o
feriado em 2009 caiu numa segunda-feira, contamos
então 4 dias começando numa terça-feira.
c) Os números primos entre 50 e 100 são: 53, 59,
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.
5. a) 127 é primo.
b) 217 é composto, pois é divisível por 1, 7, 31 e 217.
Formando equipes
c) 271 é primo.
a) Sabemos pelo texto que há 20 alunos na classe.
b) Sabemos pelo texto que a classe foi dividida em
4 equipes.
71
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
11 323 7
4 1 617
Portanto, em 2040 o feriado da Independência do
Brasil cairá numa sexta-feira.
51 52 53 54 55 56 57 58 59
b)
De 8/9/2009 a 7/9/2040 passarão 31 anos.
Desses 31 anos, 8 serão bissextos, ou seja, o mês de
fevereiro terá 29 dias. Passarão, portanto, 31  365 
 8 5 11 323 dias.
d) 721 é composto, pois é divisível por 1, 7, 103 e 721.
6. a) Analisando os números maiores do que 500:
c) O número mínimo de alunos em cada equipe,
segundo o texto, foi 3.
501 é divisível por 3, além de 1 e 501.
d) Com 14 alunos numa equipe, sobrariam
20  14 5 6 alunos para compor as outras três
equipes. Nesse caso, haveria equipe com menos
de 3 alunos, o que não pode ocorrer. Com
12 alunos numa equipe, sobrariam 20  12 5 8
alunos para as outras três equipes. Nesse caso,
também haveria equipe com menos de 3 alunos,
o que não pode acontecer. Portanto, não pode
ter sido formada equipe com 14 alunos nem
com 12.
503 é primo, pois só é divisível por 1 e 503.
502 é divisível por 2, além de 1 e 502.
503 é, portanto, o menor número primo maior
que 500.
b) Analisando os números maiores do que 800:
801 é divisível por 3, além de 1 e 801.
802 é divisível por 2, além de 1 e 802.
803 é divisível por 11, além de 1 e 803.
804 é divisível por 2, além de 1 e 804.
e) Se uma equipe tiver o número máximo de alunos
possível, as outras três terão o número mínimo
possível, ou seja, 3 alunos em cada. Assim, essas
três equipes totalizarão 9 alunos. Nesse caso,
a quarta equipe terá 20  9 5 11 alunos, que é
o número máximo de alunos que uma equipe
poderia ter.
805 é divisível por 5, além de 1 e 805.
806 é divisível por 2, além de 1 e 806.
807 é divisível por 3, além de 1 e 807.
808 é divisível por 2, além de 1 e 808.
809 é primo, pois só é divisível por 1 e 809.
809 é, portanto, o menor número primo maior
que 800.
Capítulo 9 – Números primos. Fatoração
7.
Exercícios
1. a) O número 21 é divisível por 1, 3, 7 e 21. Ele não é
primo.
b) O número 23 é divisível por 1 e 23. Ele é primo.
São compostos os números pares: 3 876 e 172.
São compostos os números divisíveis por 3: 417,
177, 423 e 429.
São compostos os números divisíveis por 5: 715,
175 e 425.
É composto o número divisível por 7: 427.
2. O número 2 é par e é primo.
É composto o número divisível por 13: 247.
3. a) Resposta pessoal. Exemplos: 7, 11 e 13.
Os demais são primos: 101, 173, 179, 421 e 277.
b) Resposta pessoal. Exemplos: 9, 21 e 27.
4. a) Os números primos menores do que 50 são: 2,
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47.
64
8. a) Analisando os números de quatro algarismos:
1 000 é divisível por 8.
1 001 é divisível por 7.
1 002 é divisível por 2.
1 003 é divisível por 17.
1 004 é divisível por 2.
1 005 é divisível por 5.
1 006 é divisível por 2.
1 007 é divisível por 19.
1 008 é divisível por 2.
1 009 é primo e, portanto, o menor número
natural primo que se escreve com quatro
algarismos.
b) Analisando os números de três algarismos, em
ordem decrescente:
999 é divisível por 3.
998 é divisível por 2.
997 é primo e, portanto, o maior número primo
que se escreve com três algarismos.
9. a) Podem ser formados seis números: 249, 294,
429, 492, 924, 942.
b) Nenhum deles é primo. Todos são divisíveis por
3, pois a soma dos algarismos é 15.
Desafios
O aniversário do professor
As condições enunciadas para achar o dia e o mês
são cinco:
Os demais anos são números primos, pois não
são divisíveis por 2, nem por 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43 e 47, sendo que as divisões por 47 dão
quocientes menores que 47.
Exercícios
10. É possível formar 2 grupos com 18 alunos (2  18);
3 grupos com 12 (3  12); 6 grupos com 6 (6  6);
9 grupos com 4 (9  4); 12 grupos com 3 (12  3) e
18 grupos com 2 (18  2).
11. a) As multiplicações de resultado 300 são:
1  300
2  150
3  100
4  75
5  60
6  50
10  30
15  20
b) Como uma delas tem 5 alunos a mais que a
outra, uma classe tem 15, e a outra tem 20.
12. O retângulo pode ser de 2 linhas de 45
brigadeiros, ou 3 de 30, ou 5 de 18, ou 6 de 15,
ou 9 de 10, ou 10 de 9, ou 15 de 6, ou 18 de 5, ou
30 de 3, ou 45 linhas de 2 brigadeiros. Portanto,
são 10 modos.
13. a) 48 2
d) 120 2
(1) O dia é um número primo.
24 2
60 2
(2) dia . (mês)2
12 2
30 2
(3) dia , (mês)
6 2
15 3
(4) (dia  mês) é número primo.
3 3
5 5
(5) (dia  mês) não é número primo.
1
3
Para satisfazer às condições 1, 2 e 3, as
possibilidades são:
fevereiro
março
22 , dia primo , 23
32 , dia primo , 33
dias 5 e 7
dias 11, 13, 17, 19 e 23
abril
42 , dia primo , 43
dias 17, 19, 23 e 29
maio
52 , dia primo , 53
dias 29 e 31
Janeiro fica eliminado pela condição 3, e os demais
meses, pela condição 2.
A condição 4 elimina: 7/2, todos os dias de
março, 17/4, 23/4, 29/4 e os dias de maio. Ficamos
com apenas duas datas: 5/2 e 19/4. A condição 5
elimina 5/2.
Logo, o aniversário do professor é no dia 19 de
abril.
Quais são os primos?
O ano 2021 não é primo, porque 2021 5 43  47, ou
seja, é divisível por 43.
1
48 5 2  3
4
120 5 23  3  5
b) 92 2
e) 168 2
46 2
84 2
23 23
42 2
1
21 3
7 7
1
92 5 2  23
2
168 5 23  3  7
c) 98 2
f) 180 2
49 7
90 2
7 7
45 3
15 3
1
5 5
98 5 2  7
2
1
180 5 22  32  5
65
g) 225 3
i) 308 2
75 3
154 2
25 5
77 7
5 5
11 11
1
1
225 5 32  52
308 5 22  7  11
h) 250 2
125 5
25 5
5 5
1
250 5 2  53
14. 140 5 2  5  7
500 5 22  53
5 445 5 32  5  112
650 5 2  52  13
3 900 5 22  3  52  13
A fatoração que sobra é 210  3, que corresponde ao
número 3 072.
2
15. a) O menor fator primo de 65 é 5.
b) O menor fator primo de 221 é 13.
c) O menor fator primo de 323 é 17.
d) O menor fator primo de 29 é 29.
16. a) Os números possíveis são: 1 e 80; 2 e 40; 4 e
20; 5 e 16; 8 e 10.
b) Se a soma é 21, os números são 5 e 16.
4. a) 3 220 7
42 460
00
O número 3 220 é múltiplo de 7.
b) 11 433 7
44
1 633
23
23
2
O número 11 433 não é múltiplo de 7.
5. a) 335 é múltiplo de 5.
b) 341 é múltiplo de 11.
c) 340 é múltiplo de 10.
d) 333 é múltiplo de 3.
e) 348 é múltiplo de 6.
6. a) Os múltiplos de 12 são: 0, 12, 24, 36, 48, 60,
72, 84, 96, 108, ... . O menor deles com três
algarismos é 108.
b) Os múltiplos de 18 são: 0, 18, 36, 54, 72, 90,
108, ... . O menor deles com três algarismos é 108.
c) O menor múltiplo de 12 e de 18 diferente de zero
é o 36.
Desafio
A regularidade dos trens
Como os trens passam de 7 em 7 minutos, o tempo
decorrido a partir das 7 h até o horário em que Ester
embarcou, em minutos, é múltiplo de 7. Das
7 h às 8 h são 60 minutos. Como ela pegou o primeiro
trem depois das 8 h, o tempo que ela atrasou foi de
63 minutos, que é o primeiro múltiplo de 7 maior que
60. Então, ela pegou o trem das 8 h 03 min.
Exercícios
c) Se a soma é a menor possível, os números são
8 e 10.
17. 210 só é divisível pelas potências de 2, de expoente
0 até 10, isto é, 210 só é divisível por 20, 21, 22, 23, ...
até 210.
a) e b)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19 20
Dos números dados, 80 não é potência de 2, pois
80 5 24  5. Logo, 210 não é divisível por 80.
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Alternativa: a
31
32 33 34 35 36 37 38 39 40
41
42 43 44 45 46 47 48 49 50
Capítulo 10 – Múltiplos; mínimo
múltiplo comum
Exercícios
1. Os múltiplos de 6 menores que 50 são: 0, 6, 12, 18,
24, 30, 36, 42 e 48.
2. Os múltiplos de 7 maiores que 30 e menores que
60 são: 35, 42, 49 e 56.
3. a) São múltiplos de 11 os números: 0, 11, 22, 44, 55,
66, 88 e 99.
b) Devem-se acrescentar o 33 e o 77.
66
7.
c) Os múltiplos comuns de 6 e 8 são: 24 e 48.
d) O mínimo múltiplo comum de 6 e 8 é 24.
8. Os horários dos ônibus da linha A são: 9 h,
9 h 15 min, 9 h 30 min, 9 h 45 min, 10 h,
10 h 15 min, etc.
Os horários dos ônibus da linha B são: 9 h,
9 h 20 min, 9 h 40 min, 10 h, 10 h 20 min, etc.
Os ônibus voltarão a passar juntos às 10 horas.
9. Os múltiplos de 25, fora o zero, são: 25, 50, 75,
100, 125, ... . O menor deles que também é múltiplo
de 15 é o 75. Portanto, mmc (15, 25) 5 75.
10. a) Os múltiplos de 18, fora o zero, são: 18, 36, 54,
... . O menor deles que também é múltiplo de 12
é o 36.
mmc (12, 18) 5 36
mmc (30, 40) 5 120
c) Os múltiplos de 60, fora o zero, são: 60, 120,
180, 240, ... . O menor deles que também é
múltiplo de 20 é o 60.
mmc (20, 60) 5 60
d) Os múltiplos de 200, fora o zero, são: 200, 400,
600, 800, ... . O menor deles que também é
múltiplo de 50 é o 200.
mmc (50, 200) 5 200
11. Os múltiplos de 4, fora o zero, são: 4, 8, 12, ... .
O menor deles que também é múltiplo de 1 é o 4.
Portanto, mmc (1, 4) 5 4.
O menor dos múltiplos de 4, fora o zero, que
também é múltiplo de 2 é o 4. Portanto,
mmc (2, 4) 5 4.
O menor dos múltiplos de 4, fora o zero, que
também é múltiplo de 3 é o 12. Portanto,
mmc (3, 4) 5 12.
Seguindo as afirmações verdadeiras, sabemos que
a classe de Alexandre foi ao parque de diversões.
Desafio
Compreendendo um texto
5 w 0 5 (5  0)  (5  0) 5 5
(5 w 0) w 1 5 5 w 1 5 (5  1)  (5  1) 5 11
Alternativa: e
Exercícios
75 3
25 5
87 3
29 29
225 5 32  52
87 5 3  29
1
5 5
1
3  5  29 5 6 525
mmc (87, 225) 5 6 525
Mercúrio e Vênus estarão na mesma posição,
simultaneamente, depois de 6 525 dias.
2
2
b) Vamos supor que todos os anos tenham 365 dias.
6 525 365
2 875 17 anos
320 dias
30
320
20 dias 10 meses
b) Os múltiplos de 40, fora o zero, são: 40, 80,
120, 160, ... . O menor deles que também é
múltiplo de 30 é o 120.
12. a) 225 3
Vamos supor que todos os meses tenham
30 dias.
Então, 6 525 dias correspondem a 17 anos,
10 meses e 20 dias, ou seja, aproximadamente
18 anos.
c) 28, 18 2
14, 9 9
14, 1 14
1, 1
mmc (28, 18) 5 2  9  14 5 252
A posição dos três planetas se repetirá depois
de 252 anos.
13. O problema é resolvido determinando-se o mmc
de 210 e 280.
210 5 2  3  5  7
280 5 23  5  7
mmc (210, 280) 5 23  3  5  7 5 840
O carro e a moto passarão juntos novamente pelo
ponto inicial depois de 840 segundos ou 14 minutos
(840  60).
14. a) 12 5 22  3
15 5 3  5
18 5 2  32
mmc (12, 15, 18) 5 22  32  5 5 180
b) 24 5 23  3
32 5 25
40 5 23  5
mmc (24, 32, 40) 5 25  3  5 5 480
15. 6, 8, 10
3, 4, 5
3, 2, 5
3, 1, 5
1, 1, 5
1, 1, 1
2
2
2
3
5
mmc (6, 8, 10) 5 23  3  5 5 120
150, 50
75, 25
25, 25
5, 5
1, 1
2
3
5
5
mmc (150, 50) 5 2  3  52 5 150
20,
10,
5,
1,
1,
25
25
25
5
1
2
2
5
5
mmc (20, 25) 5 22  52 5 100
67
30, 45
15, 45
5, 15
5, 5
1, 1
16. Equipe vermelha
2
3
3
5
8,
4,
2,
1,
1,
mmc (30, 45) 5 2  32  5 5 90
24,
12,
6,
3,
3,
1,
16
8
4
2
1
1
2
2
2
2
3
30, 60, 40
15, 30, 20
15, 15, 10
15, 15, 5
5, 5, 5
1, 1, 1
Equipe branca
4, 8, 10,
2, 4, 5,
1, 2, 5,
1, 1, 5,
1, 1, 5,
1, 1, 1,
2
2
2
2
3
12
6
3
3
1
1
2
2
2
3
5
mmc (4, 8, 10, 12) 5 23  3  5 5 120
Equipe verde
mmc (8, 12, 16) 5 24  3 5 48
2,
1,
1,
1,
1,
3,
3,
3,
1,
1,
4,
2,
1,
1,
1,
5, 6
5, 3
5, 3
5, 1
1, 1
2
2
3
5
10, 15 2
5, 15 3
5, 5 5
1, 1
mmc (2, 3, 4, 5, 6) 5 22  3  5 5 60
As equipes azul e branca empataram no primeiro
lugar.
mmc (10, 15) 5 2  3  5 5 30
Desafio
20,
10,
5,
5,
1,
12, 15
6, 15
3, 15
1, 5
1, 1
2
2
3
5
mmc (20, 12, 15) 5 22  3  5 5 60
Quantidade de pontos dos meninos: 150  100 
 48  120  30 5 448.
Quantidade de pontos que as meninas marcaram:
100  120  90  48  60 5 418.
Portanto, a quantidade de pontos que os meninos
marcaram a mais foi:
448  418 5 30
68
2
2
2
3
5
mmc (30, 60, 40) 5 23  3  5 5 120
2
2
2
3
5
12, 16
6, 8
3, 4
3, 2
3, 1
1, 1
2
2
2
3
Equipe azul
mmc (40, 30) 5 23  3  5 5 120
8,
4,
2,
1,
1,
1,
1
1
1
1
1
mmc (8, 12, 1) 5 23  3 5 24
mmc (24, 16) 5 24  3 5 48
40, 30
20, 15
10, 15
5, 15
5, 5
1, 1
12,
6,
3,
3,
1,
Maratona ciclística
a) Waltinho: 2 min 48 s 5 2  60 s  48 s 5 168 s
Raul: 3 min 36 s 5 3  60 s  36 s 5 216 s
b) 168, 216
84, 108
42, 54
21, 27
7, 9
7, 3
7, 1
1, 1
2
2
2
3
3
3
7
mmc (168, 216) 5 23  33  7 5 1 512
Após 1 512 s ou 25 min 12 s, eles cruzarão juntos,
pela primeira vez, o ponto de largada.
c) Waltinho terá dado 9 voltas: 1 512  168 5 9.
Capítulo 11 – Divisores; máximo
divisor comum
Exercícios
Raul terá dado 7 voltas: 1 512  216 5 7.
d) Quando cruzarem juntos a linha de chegada,
após 1512 s, Waltinho estará exatamente duas
voltas à frente de Raul, pois Raul completou
7 voltas e Waltinho, 9. Então, exatamente na
metade desse tempo, 756 s ou 12 min 36 s,
Waltinho estará uma volta à frente de Raul, ou
seja, estará ultrapassando pela primeira vez
seu competidor.
Matemática em notícia
País registra queda nos casos de dengue,
chikungunya e zika
1. Número de casos a menos:
Chikungunya: 43 567  10 294 5 33 273
Zika: 30 683  1 653 5 29 030
2. Ver Livro do Aluno.
3. Dos números 18 660, 9 655, 9 169, 7 447 e 3 246, o
único múltiplo de 11 é 7 447, que é igual a
11  677. Os demais não são divisíveis por 11. O
número 7 447 foi constatado na Região Norte.
4. 18 660 e 3 246 são divisíveis por 2; 9 655 é
divisível por 5; 7 447 é divisível por 11. Resta saber
se 9 169 é número primo.
Dividindo 9 169 sucessivamente pelos primos 7, 11, 13,
17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, descobrimos que
9 169 5 53  173, portanto não é primo.
Em nenhuma região foi constatado número primo
de casos.
5. Para a população, a recomendação é eliminar os
criadouros presentes no ambiente doméstico,
como pratos de vasos de planta, calhas obstruídas
e recipientes como embalagens plásticas e
garrafas. Além disso, devem ser adotadas
medidas de proteção contra a infestação causada
pelo mosquito Aedes aegypti em locais como
caixas-d’água, tonéis e outros recipientes de
armazenagem de água.
6. Normalmente, a primeira manifestação da
dengue é a febre alta (39 °C a 40 °C) de início
abrupto que geralmente dura de 2 a 7 dias,
acompanhada de dor de cabeça, dores no corpo
e articulações, prostração, fraqueza, dor atrás
dos olhos, erupção e prurido cutâneo. Perda de
peso, náuseas e vômitos são comuns. Nessa fase
febril inicial da doença pode ser difícil diferenciá-la de outras doenças febris, por isso uma prova
do laço positiva aumenta a probabilidade de
dengue.
7.
Resposta pessoal.
1. a) Sim, 9 é divisor de 36 porque 36 é divisível por 9.
b) Não, 11 não é divisor de 36 porque 36 não é
divisível por 11.
2. a) Não, 25 não é divisor de 245 porque 245 não é
divisível por 25.
b) Sim, 35 é divisor de 245 porque 245 é divisível
por 35.
3. a) 16 é divisor de 322 240.
b) 19 não é divisor de 422 700.
c) 59 é divisor de 2 360.
d) 45 não é divisor de 14 350.
4. a) 5 é divisor de 275.
b) 2 é divisor de 28.
c) 10 é divisor de 150.
d) 6 é divisor de 108.
5. a) 3 é divisor de 3.
b) 10 é divisor de 680.
c) 2 é divisor de 116.
d) 5 é divisor de 205.
6. a) Os divisores de 10 estão na cartela C: 1, 2, 5 e
10.
b) Os divisores de 12 estão na cartela A: 1, 2, 3, 4,
6 e 12.
c) Os divisores de 8 estão na cartela B: 1, 2, 4 e 8.
7.
O cartaz está certo: O número 1 é divisor de
qualquer número natural.
8. Os divisores de 18 são: 1, 2, 3, 6, 9 e 18.
9. a) 110 5 2  5  11
Os divisores de 110 são: 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55 e 110.
b) 72 5 2  2  2  3  3
Os divisores de 72 são: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18,
24, 36 e 72.
10. a)
3 1
110 2 2
55 5 5, 10
11 11 11, 22, 55, 110
1
Os divisores de 110 são: 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55 e 110.
b)
3 1
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
2
4
8
3, 6, 12, 24
9, 18, 36, 72
Os divisores de 72 são: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24,
36 e 72.
69
11.
660
330
165
55
11
3 1
2 2
2 4
3 3, 6, 12
5 5, 10, 20, 15, 30, 60
11 11, 22, 44, 33, 66, 132, 55, 110, 220,
165, 330, 660
1
a) Os divisores naturais de 660 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
10, 11, 12, 15, 20, 22, 30, 33, 44, 55, 60, 66, 110,
132, 165, 220, 330 e 660.
b) O número 660 tem quatro divisores primos: 2,
3, 5 e 11.
12. a) Os divisores de 10 são: 1, 2, 5, 10. A soma
1  2  5 não é igual a 10. Portanto, 10 não é
um número perfeito.
b) Os divisores de 28 são: 1, 2, 4, 7, 14, 28. A soma
1  2  4  7  14 é igual a 28. Portanto, 28 é
um número perfeito.
13. Os divisores de 100 são: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50,
100. A soma 1  2  4  5  10  20  25  50
é igual a 117. Portanto, o número 100 não é
perfeito.
14. Os divisores de 45 são: 1, 3, 5, 9, 15, 45.
Os divisores de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20,
30, 60.
a) Os divisores comuns de 45 e 60 são: 1, 3, 5, 15.
b) O máximo divisor comum de 45 e 60 é 15.
15. Como os pedaços devem ter o mesmo tamanho,
esse tamanho (em metros) deve ser um divisor
comum de 90 e 78.
Se o tamanho deve ser o maior possível, então
esse número é o mdc de 90 e 78.
Os divisores de 78 são: 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78.
Os divisores de 90 são: 1, 2, 3, 6, 9, 10, 15, 18, 30,
45, 90.
Os divisores comuns de 78 e de 90 são: 1, 2, 3, 6.
Logo, mdc (90, 78) 5 6. Portanto, cada pedaço
deve ter 6 metros. Para obter a quantidade de
pedaços, calculamos:
90  6 5 15
78  6 5 13
Serão, então, 28 pedaços (15  13).
16. Os divisores de 8 são: 1, 2, 4, 8. Os divisores de
6 são: 1, 2, 3, 6. Os divisores comuns de
6 e 8 são 1 e 2. O máximo divisor comum é 2;
portanto, o tamanho de cada pedaço será
2 metros. Cada uma das 40 toras de 8 metros
será cortada em 4 pedaços de 2 metros, num
total de 160 pedaços. Cada uma das 60 toras
de 6 metros será cortada em 3 pedaços de
2 metros, num total de 180 pedaços. Serão
obtidos 340 pedaços (160  180).
70
17. Como são pacotes com o mesmo número de
livros, a quantidade de livros em cada pacote é
um divisor comum de 126 e 270. Quanto mais
livros houver em cada pacote, menor será o
número de pacotes. Assim, teremos o menor
número de pacotes quando a quantidade de
livros em cada um for o maior divisor comum de
126 e 270.
Os divisores de 126 são: 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42,
63, 126. Os divisores de 270 são: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10,
15, 18, 27, 30, 45, 54, 90, 225, 270.
Os divisores comuns de 126 e 270 são: 1, 2, 3, 6, 9,
18. Logo, mdc (126, 270) 5 18.
Portanto, seu Arnaldo deve colocar 18 livros em
cada pacote. Para saber quantos pacotes ele deve
fazer, calculamos:
126  18 5 7
270  18 5 15
Logo, seu Arnaldo deve fazer 22 pacotes (7  15).
Observe que, para calcular o número de pacotes,
também podemos considerar o total de livros e
dividir por 18.
126  270 5 396. São 396 livros.
396  18 5 22. Logo, 22 pacotes.
18. Os divisores de 20 são: 1, 2, 4, 5, 10, 20. O maior
deles que também é divisor de 28 é o 4.
19. a) Os divisores de 18 são: 1, 2, 3, 6, 9, 18. O único
deles que também é divisor de 25 é o 1.
b) Os divisores de 14 são: 1, 2, 7, 14. O maior deles
que também é divisor de 21 é o 7.
c) Os divisores de 14 são: 1, 2, 7, 14. O maior deles
que também é divisor de 16 e 18 é o 2.
d) Os divisores de 16 são: 1, 2, 4, 8, 16. O único
deles que é também divisor de 21 e 25 é o 1.
20. a) Os números 18 e 25 são primos entre si.
b) Os números 14 e 21 não são primos entre si.
c) Os números 14, 16 e 18 não são primos entre si.
d) Os números 16, 21 e 25 são primos entre si.
21. 840, 900
420, 450
210, 225
70, 75
14, 15
2
2
3
5
mdc (840, 900) 5 22  3  5 5 60
Claudete deve colocar 60 bombons em cada
pacote.
22. a) 50, 75, 120 5
10, 15, 24
180, 96,
90, 48,
45, 24,
15, 8,
72 2
36 2
18 3
6
mdc (50, 75, 120) 5 5
mdc (180, 96, 72) 5
5 22  3 5 12
28, 40 2
14, 20 2
7, 10
mdc (28, 40) 5 22 5 4
25. a) O número de alunos em cada classe deve ser
um divisor comum de 280, 224, 168 e 112.
Vamos encontrar o mdc desses números:
280, 224, 168, 112 2
84, 120 2
42, 60 2
21, 30 3
7, 10
140, 112, 84, 56 2
70, 56, 42, 28 2
mdc (84, 120) 5 22  3 5 12
35, 28,
5,
20, 28 2
10, 14 2
5, 7
4,
21, 14 7
3,
2
mdc (280, 224, 168, 112) 5 23  7 5 56
mdc (20, 28) 5 22 5 4
mdc (125, 108) 5 1, pois esses números são primos
entre si.
18, 36, 63 3
6, 12, 21 3
2, 4, 7
mdc (18, 36, 63) 5 32 5 9
Considerando que cada mdc corresponde ao
número de uma estação em que vai haver parada,
serão ao todo 5 paradas.
b) As paradas serão nas estações de números
1, 4, 5, 9 e 12, ou seja, Serra das Onças, Pico dos
Gaviões, Pererê, Cidade Feliz e Praia do Sol.
23. a) 84, 144, 60 2
42, 72, 30 2
21, 36, 15 3
7, 12, 5
mdc (84, 144, 60) 5
5 22  3 5 12
Em cada saquinho, devem ser colocadas 12
balas.
b) Para obter o número de saquinhos, dividimos o
número de balas pelo mdc.
Balas de coco: 84  12 5 7.
O mdc é 56. Porém, o número de alunos não
pode ser maior que 40 nem menor que 20.
Então, devemos tomar outro divisor comum dos
números dados.
Os divisores comuns são os divisores do mdc,
56, que são 1, 2, 4, 8, 7, 14, 28 e 56. Entre 20
e 40, o divisor comum é 28. Logo, cada classe
deve ter 28 alunos.
b) O número de classes formadas será:
• de 6o ano: 280  28 5 10
• de 7o ano: 224  28 5 8
• de 8o ano: 168  28 5 6
• de 9o ano: 112  28 5 4
26. Marcos
140, 120 2
70, 60 2 comuns
35, 30 5
7,
7,
7,
1,
6 2
3 3 não comuns
1 7
1
mdc (100, 120) 5 22  5 5 20
Balas de chocolate: 144  12 5 12.
mmc (100, 120) 5 20  2  3  7 5 840
Balas de leite: 60  12 5 5.
Marcos tem 20 anos e ganhou R$ 840,00.
Serão ao todo 24 saquinhos (7  12  5).
Daniel
24. a) mdc (81, 80) 5 1
168, 105 2
b) 21, 30, 48 3
7, 10, 16
84, 105 3
mdc (21, 30, 48) 5 3
c) mdc (100, 117) 5 1
d) 112,
56,
28,
14,
7,
176, 96
88, 48
44, 24
22, 12
11, 6
2
2
2
2
28, 35 7
comuns
4,
5 2
2,
5 2 não comuns
1,
5 5
1,
1
mdc (84, 105) 5 3  7 5 21
mmc (84, 105) 5 21  23  5 5 840
mdc (112, 176, 96) 5 24 5 16
Daniel tem 21 anos e ganhou R$ 840,00.
Nos itens a e c os números dados são primos
entre si.
a) O mais velho é Daniel.
b) Eles ganharam quantias iguais.
71
27.
75 3
25 5
5 5
1
75 5 3  52
98 2
49 7
7 7
1
98 5 2  72
320 2
160 2
80 2
40 2
20 2
10 2
5 5
1
320 5 26  5
480 2
240 2
120 2
60 2
30 2
15 3
5 5
1
480 5 25  3  5
a) 75 e 98 não têm fator primo comum, logo são
primos entre si.
b) mdc 5 15 5 3  5
15 é o mdc de 75 e 480.
75  480 5 555
c) 2 5 mdc (98, 320) 5 mdc (98, 480).
mmc (98, 320) 5 26  5  72 5 15 680
mmc (98, 480) 5 25  3  5  72 5 23 520
30 2
15 3
5 5
1
2
2
2
2
5
5
500
250
125
25
5
1
400 5 24  52
2
2
5
5
150
75
25
5
1
100 5 22  52
2
3
5
5
150 5 2  3  52
mdc (100, 150) 5 2  52 5 50
mmc (100, 150) 5 22  3  52 5 300
A sacola IV contém limões e maracujás.
Sacola V
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
90
45
15
5
1
2
3
3
5
90 5 2  32  5
72 5 23  32
2
mdc (72, 90) 5 2  3 5 18
Sacola VI
2
2
5
5
5
500 5 22  53
Sacola III
14 2
7 7
1
14 5 2  7
12 5 22  3
mdc (12, 14, 16) 5 2
16
8
4
2
1
30 2
15 3
5 5
1
60
30
15
5
1
2
2
3
5
30 5 2  3  5
60 5 22  3  5
mdc (30, 60, 150) 5 2  3  5 5 30
150
75
25
5
1
2
3
5
5
150 5 2  3  52
mmc (30, 60, 150) 5 22  3  52 5 300
A sacola VI contém abacates e maracujás.
a) A fruta que se encontra em duas sacolas é o
maracujá.
b) A fruta que não se encontra em nenhuma
sacola é a carambola.
mdc (400, 500) 5 22  52 5 100
mmc (400, 500) 5 24  53 5 2 000
A sacola II contém bananas e cajus.
72
100
50
25
5
1
A sacola V contém abacaxis e melões.
45 3
15 3
5 5
1
30 5 2  3  5
45 5 32  5
mdc (30, 45) 5 3  5 5 15
mmc (30, 45) 5 2  32  5 5 90
A sacola I contém maçãs e peras.
Sacola II
12 2
6 2
3 3
1
Sacola IV
mmc (72, 90) 5 23  32  5 5 360
28. Sacola I
400
200
100
50
25
5
1
mmc (12, 14, 16) 5 24  3  7 5 336
A sacola III contém morangos e pêssegos.
2
2
2
2
16 5 24
29. O século XXI compreende os anos de 2001 a
2100. Para ser múltiplo de 5, o ano deve terminar
em 0 ou 5: 2005, 2010, 2015, 2020, ..., 2090,
2095, 2100. Para ser múltiplo de 9, a soma dos
algarismos deve ser divisível por 9. Isso só ocorre
nos anos 2025 e 2070.
30. a) Nem sempre. O número 36, por exemplo, é
múltiplo de 4 e de 6, mas não é múltiplo de 24.
Como 4 5 22 e 6 5 2  3, o mmc (4, 6) 5
5 22  3 5 12. Todo número múltiplo de 12 é
múltiplo de 4 e de 6.
b) Os números de dois algarismos divisíveis por 4
e por 6 são os múltiplos de 12 menores que 100:
12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96.
Desafio
2. O número de 4 algarismos é 9 999. Dividindo-o
por 13, temos:
As flores do casamento
9 9 9 9 13
0 8 9
769
1 1 9
2
O número de arranjos deve ser de tal forma que
600, 300, 225 e 100 sejam divisíveis por ele, ou seja,
ele é um divisor comum desses números.
Para que seja o maior número possível de arranjos,
ele deve ser o máximo divisor comum de 600, 300,
225 e 100, que é 25.
Subtraindo o resto, 2 unidades, encontramos o
número 9 997, que é divisível por 13. O menor número
de 4 algarismos é 1 000. Dividindo-o por 17, temos:
1 000 17
150 58
14
Então, em cada arranjo deve haver:
Rosas → 600  25 5 24
Margaridas → 300  25 5 12
A diferença entre 17 e o resto (14) é 3.
Acrescentando 3 ao divisor, encontramos o
número 1 003.
Cravos → 225  25 5 9
Antúrios → 100  25 5 4
24  12  9  4 5 49. Ela deve colocar 49 flores.
Matemática em notícia
O mais longo eclipse total do Sol neste século
1. 6 min 39 s  2 min 44 s 5 3 min 55 s
2. 2 132  2 009 5 123 e 2 132  123 5 2 255.
No ano 2255.
3. 2 255  123 5 2 378 (ano 2378, século XXIV),
2 378  123 5 2 501 (ano 2501, século XXVI).
Não ocorrerá no século XXV.
4. Distância média entre Terra e Sol: 149 509 000 km;
Distância média entre Terra e Lua: 384 365 km
149 509 000  384 365 5 149 124 635.
Então, a distância entre a Lua e o Sol durante o
eclipse foi, aproximadamente, 149 milhões de km.
Matemática no tempo
Números primos e números compostos
A diferença entre os resultados é 9 997  1 003 5
5 8 994, que é múltiplo de 6.
Alternativa: b
3. A soma 6 
 4  1 deve ser divisível por 3, ou
seja,
 11 deve ser divisível por 3. O algarismo
desconhecido pode ser 1, 4, 7, num total de três
possibilidades.
Alternativa: c
4. Um número divisível por 6 é divisível por 2 e
por 3. Usando só os algarismos 0 e 1, o número
deve ser par (terminado em 0) e a soma dos
algarismos deve ser divisível por 3, ou seja, deve
ter algarismo 1. O número é 1 110. Dividindo-o por
4, o resto é 2.
Alternativa: c
5. Intercalando-se o algarismo
, o número é
7
6. Para ser divisível por 4, o número
6
formado pelos dois últimos algarismos deve ser
divisível por 4. As possibilidades para
são:
1, 3, 5, 7 e 9. Para ser divisível por 9, a soma
7
 6 deve ser divisível por 9, o que só
ocorre se
for 5.
1. 5 e 3, 7 e 5, 13 e 11, 19 e 17, 103 e 101.
2. 94 5 47  47; 116 5 57  59; 318 5 139  179
3. 10 5 17  7 5 23  13 5 29  19 5 41  31 5
5 53  43
4. De 91 a 100, apenas 1 (um) número primo: 97.
5. Resposta pessoal. Exemplos: 313, 929, 757, etc.
Teste seus conhecimentos
1.
Alternativa: c
6. Os números primos são: 7, 19, 31 e 53.
7.
7  19  31  53 5 110
Alternativa: a
não pode ser par, o que torna o
O algarismo
número divisível por 2. Não pode ser 1 ou 7, o que
o torna divisível por 3. Não pode ser 5, pois seria
divisível por 5. Não pode ser 3, pois 413 é divisível
por 7. A única possibilidade é 9, pois 419 é primo.
Alternativa: b
1968 63
078 31
15
Em 1 968 anos, ele foi visto de 63 em 63 anos por
31 vezes. O resto 15 indica o ano em que ele foi
visto pela primeira vez na Era Cristã.
Alternativa: a
é um número natural,
 1 é seu
8. Se
sucessor e
 1 é seu antecessor. A soma dos
três é
1

 1 5 3  , que é um
número múltiplo de 3.
Alternativa: d
9. 4 580 245  7 5 4 580 247
Alternativa: c
73
10. 999 13
89 76
11
999
 11
988
988 é o maior múltiplo de 13 com três algarismos.
9  8  8 5 25
Alternativa: c
11. Um múltiplo de 4 e de 7 é múltiplo do mmc (4; 7),
que é 28. Os múltiplos de 28 são: 0, 28, 56, ... .
Alternativa: a
18. O problema é resolvido pelo mmc de 18 e 48.
12.
243
81
27
9
3
1
3
3
3
3
3
243 5 35
Alternativa: b
13. Como 49 5 72 e 63 5 32  7, o mdc (49, 63) 5 7.
As equipes devem ter 7 alunos. A escola X formou
7 equipes e a Y, 9 equipes.
Alternativa: a
14. O número de bolinhas é múltiplo de 6 e de 8,
portanto é múltiplo do mmc (6; 8), que é 24. Os
múltiplos de 24 são: 0, 24, 48, 72, 96, 120, ... .
Note que:
184 24
16 7
184 não é múltiplo de 24.
Alternativa: b
15. O menor número de pedaços é obtido cortando-os com o maior comprimento possível, que será o
mdc de 96 e 150.
96, 150 2
comuns
48, 75 3
16, 25
mdc (96, 150) 5 2  3 5 6
O rolo de 96 m fornece 96  6 5 16 pedaços; o de
150 m fornece 150  6 5 25 pedaços. O total de
pedaços é 16  25 5 41.
Alternativa: b
16. 14 5 2  7 e 21 5 3  7.
Como as fileiras tinham o mesmo número de
cadeiras, à frente de Mônica havia 2 fileiras
de 7 cadeiras e atrás, 3 fileiras de 7 cadeiras.
Contando a fileira em que estavam sentados, são
ao todo 6 fileiras de 7 cadeiras. Como 6  7 5 42,
o auditório tinha 42 cadeiras.
Alternativa: d
74
17. O número deve ser múltiplo de 2, 3, 4, 5 e 6. Para
ser múltiplo de 5, deve terminar em 0 ou 5, e para
ser múltiplo de 2, deve ser par. Logo, ele deve
terminar em 0.
A soma de seus algarismos deve ser um
múltiplo de 3, e o número formado pelos dois
últimos algarismos deve ser múltiplo de 4. O
menor número possível é 60, que é o mmc de
2, 3, 4, 5 e 6.
Alternativa: c
18, 48
9, 24
9, 12
9, 6
9, 3
3, 1
1, 1
2
2
2
2
3
3
mmc (18, 48) 5 24  32 5 144
Alternativa: d
19. O problema é resolvido pelo mmc de 40, 60 e 90.
40, 60, 90
20, 30, 45
10, 15, 45
5, 15, 45
5, 5, 15
5, 5, 5
1, 1, 1
2
2
2
3
3
5
mmc (40, 60, 90) 5 23  32  5 5 360
O tempo de 360 minutos corresponde a 6 horas.
Alternativa: c
20. O problema é resolvido pelo mmc de 12 e 30.
12, 30
6, 15
3, 15
1, 5
1, 1
2
2
3
5
mmc (12, 30) 5 22  3  5 5 60
A conjunção ocorre a cada 60 anos. Se ocorreu em
1982, ocorreu também em 1922.
Alternativa: d
21. 756, 2 205 3
252, 735 3 comuns
84, 245 7
12,
35
mdc (756, 2 205) 5 32  7 5 63, cuja soma dos
algarismos é 9.
Alternativa: c
Unidade 4 – Frações
Capítulo 12 – O que é fração?
Exercícios
1. a) um meio
b) três quartos
c) oito onze avos
d) um quinze avos
e) dois terços
f) sete décimos
g) cinquenta e um centésimos
h) onze trinta e cinco avos
3
8
1
c)
e)
4
3
9
2
1
d)
b)
4
4
2
3. a)
5
b) O denominador é 5, e o numerador é 2.
3
c)
5
d) O denominador é 5, e o numerador é 3.
2. a)
4. São 9 pessoas: 4 meninas e 5 meninos.
5
4
a)
b)
9
9
5. Há várias opções. Veja algumas:
8.
4
7
9. a) um sexto
b) nove milésimos
c) quatro sétimos
10. a) 423
1 000
2
b)
10
7
c)
20
d) cinco doze avos
e) onze cinquenta avos
f) sete treze avos
d)
3
100
e)
3
5
1
de 20.
4
Dividindo-se 20 unidades em 4 partes, cada
parte terá 5 unidades.
1
b)
de 30
5
Dividindo-se 30 unidades em 5 partes, cada
parte terá 6 unidades.
1
c)
de 24
3
Dividindo-se 24 unidades em 3 partes, cada
parte terá 8 unidades.
12. a) 5 de 14
7
Dividindo-se 14 unidades em 7 partes, cada
parte terá 2 unidades, e 5 dessas partes terão,
ao todo, 10 unidades.
b) 3 de 24
4
11. a)
Dividindo-se 24 unidades em 4 partes, cada
parte terá 6 unidades, e 3 dessas partes terão,
ao todo, 18 unidades.
2
c) de 20
5
Dividindo-se 20 unidades em 5 partes, cada
parte terá 4 unidades, e 2 dessas partes terão,
ao todo, 8 unidades.
2
1
do número é 14, então
é a metade de
7
7
14, ou seja, é 7.
7
do número é 7 ? 7 5 49.
b)
7
3
1
14. a) Se
do número é 5, então
do número são
3
3
3
3 ? 5 5 15. Como
correspondem ao inteiro,
3
13. a) Se
6. Reuniram-se 11 alunos, sendo 4 meninas e
7 meninos.
7
4
b)
a)
11
11
7.
50
250
b) 11
250
a)
então o número é 15.
1
4
do número é 28, então
do número é
5
5
1
do número é 7, então o número
28 : 4 5 7. Se
5
b) Se
que corresponde a
5
é igual a 5 ? 7 5 35.
5
75
15. Se 3 anos correspondem a
3
da idade da prima,
5
b) Se
1
da idade dela é 1 ano. A idade dela, que
5
5
corresponde ao inteiro, ou , é igual a 5 ? 1 5
5
5 5 anos.
1
dos entrevistados é 195 ; 13 5 15 pessoas.
60
então
1
das aulas
4
dadas, o número máximo de faltas que ele poderá
1
1
do mínimo de aulas, ou seja,
de 180, que
ter é
4
4
é igual a 45.
16. Se ele não pode faltar a mais de
17. • Gibi de Alexandre
1
2
do gibi têm 10 páginas, então
do gibi tem
5
5
5
5 páginas (10 : 2), e
do gibi têm 25 páginas
5
(5 ? 5).
O total de pessoas entrevistadas é, portanto,
60 ? 15 5 900.
1
? 900 5 300
3
d) 1 ? 900 5 225
4
e) 1 ? 900 5 180
5
c)
Exercícios
4
4
3
figura 2:
4
7
figura 3:
4
4
é uma fração imprópria e aparente.
b)
4
3
é uma fração própria.
4
7
é uma fração imprópria.
4
3
7
4
5
1
c)
4
4
4
20. a) figura 1:
• Livro de Maurício
1
4
do livro
do livro têm 28 páginas, então
5
5
5
tem 7 páginas (28 : 4) e
do livro têm 35 páginas
5
(5 ? 7).
5
18.
dos alunos são meninas e ao todo são 40
9
meninas. Então:
1
dos alunos são 40 ; 5 5 8 alunos.
9
9
dos alunos são 8 ? 9 5 72 alunos.
9
1
dos alunos são canhotos. O número de
12
canhotos é: 72 ; 12 5 6.
Há 6 alunos canhotos no sexto ano da Escola
Indaiá.
4
representa 1 unidade.
4
3
e) 7 5 1 inteiro
inteiro 1
4
4
d) A fração
a)
2
é própria.
8
8
é fração imprópria. Como 8 é
b) 8 . 2, logo
2
8
múltiplo de 2, a fração
também é aparente.
2
5
é própria.
c) Como 5 , 6, a fração
6
6
d) Como 6 . 5, a fração
é imprópria.
5
4
e) Como 4 é múltiplo de 4, a fração
é
4
imprópria e aparente porque tem numerador e
denominador iguais.
Desafios
f) Como 1 , 9, a fração
21. a) Como 2 , 8, a fração
1
2
do número é 360, então
do número é
7
7
7
do número é 7 ? 180 5
360 ; 2 5 180; portanto,
7
5 1260.
19. Se
4
de 1 260 é 560.
9
1
de 1 260 é 315.
b)
4
3
c)
de 1 260 é 945.
4
Que suco você prefere?
maracujá é
60
20
15
13
12
2
2
2
5
.
60
60
60
60
60
1
é própria.
9
g) Como 9 . 1 e 9 é múltiplo de 1, a fração
imprópria e aparente.
a) A fração dos entrevistados que preferem suco de
76
13
dos entrevistados são 195 pessoas, então
60
22.
3
7
51
4
4
9
é
1
23.
Frações
próprias
impróprias
2
7
aparentes
11
3
14
7
8
4
9
4
10
1
14
7
19
8
120
10
10
1
8
4
24.
120
10
11
3
29. Cada parte representa 1 de uma unidade.
3
3
a) figura azul:
3
3
figura laranja:
3
3
figura verde:
3
1
figura lilás:
3
3
b)
representam 1 unidade.
3
c) 7 5 2 1
3
3
3
24
53
7
7
b) Três barras de chocolate devem ser divididas
em 7 partes iguais cada uma, obtendo 21 partes
1
de barra. Cada neto deve receber 3
de
7
1
de barra.
barras e 3 partes de
7
c) 1
31. a) 40 ; 2 5 20
7
1
b) 88 ; 11 5 8
d) ou 3
2
2
30. a) 24 ; 7 5
11
correspondem a 3 2
3
3
9
4
9
1
correspondem a 2
4
4
19
8
32. a) 18 7
19 correspondem a 3
2
8
8
25. 3 , 4 , 5 , 23 representam o número natural 1.
3 4 5 23
26. a)
Fração aparente
Forma de número natural
8
2
4
14
2
7
10
10
1
120
c) 2 5 12
6
18
há 2 unidades inteiras.
7
d) O resto da divisão é 4.
18
14
e) Se de
separarmos
(que são 2 inteiros),
7
7
4
sobram
.
7
18
4
52
f)
7
7
c) Em
33. a) 26 5
26
1
55
5
5
1 5
12
10
b) Resposta pessoal. Por exemplo:
4 2
b) O quociente é 2.
2 4 6
, ,
1 2 3
d) Exemplo: 3 , 6 , 9 , 12 , 15
1 2 3 4 5
27. 0 , 0 , 0 representam o número natural 0.
1 3 17
28. Cada parte representa 1 de uma unidade.
4
12
a)
4
b) É uma fração imprópria e aparente, pois 12 . 4
e 12 é múltiplo de 4.
12
c)
correspondem a 3 inteiros.
4
5
47
57
6
6
b) 47 6
5 7
c) 59 2
19
59
1
5 29
2
2
29
1
d) 125 8
125
5
5 15
8
8
45 15
5
e) 147
17
4
f) 1 313
63
13
13
11
147
4
5 11
13
13
25
52
1313
13
5 52
25
25
77
34. 2
1
9
2
7
2
5
1
5
7
7
7
7
4
1
Enzo já colou 120 figurinhas e ainda faltam 76
para completar seu álbum. Então, o número de
figurinhas do álbum é: 120 1 76 5 196.
6
1
1
7
5
1
5
3
3
3
3
Como Bruno já colou 64, para ele faltam:
196 2 64 5 132.
28
30
2
2
5
1
5
7
7
7
7
2
dos 87 quilômetros da
3
1
não recebeu asfalto e 1
estrada, portanto,
3
3
de 87 quilômetros são 29 quilômetros.
1
da quantia levada
b) Se R$ 54,00 representam
4
por seu Jurandir, então ele levou
37. a) São asfaltados
3
1
1
4
5
1
5
3
3
3
3
2
5
1
4
1
5
1
5
2
2
2
2
2
3
10
3
13
5
1
5
5
5
5
5
3
5
33
5
38
5
1
5
11
11
11
11
4 ? R$ 54,00 5 R$ 216,00.
1
dos veículos
5
1
que Sofia contou na estrada, e
de 170 é 34.
5
c) Os caminhões representavam
A tabela completa é
Número misto
2
1
4
1
2
2
3
Fração imprópria
1
7
3
3
2
9
7
7
2
30
7
7
1
4
3
3
1
5
2
2
3
13
5
5
5
38
11
11
5 1 ? 8 1 5 13
5
35. 1 5
8
8
8
Falta pagar
13
de 240 reais.
8
1
de 240 reais é, em reais, 240 ; 8 5 30.
8
13
de 240 reais são, em reais, 13 ? 30 5 390.
8
Falta pagar 390 reais.
A bicicleta foi comprada por:
240 reais 1 390 reais 5 630 reais.
7 1 ? 8 1 7 15
5
36. 1 5
8
8
8
1
de 64 é: 64 ; 8 5 8
8
15
de 64 são: 15 ? 8 5 120
8
78
Capítulo 13 – Frações equivalentes.
Comparação de frações
Exercícios
2 ? 2
4
5
3 ? 2
6
2
4
5 , pois 2 ? 6 5 3 ? 4
b)
3
6
2 ? 7
14
5
c)
3 ? 7
21
2 14
d) 5 , pois 2 ? 21 5 3 ? 14
3 21
2 ? 10 20
e)
5
3 ? 110 30
2 20
, pois 2 ? 30 5 3 ? 20
f) 5
3 30
1. a)
20 ; 2
10
5
30 ; 2 15
20 10
5 , pois 20 ? 15 5 10 ? 30
b)
30 15
2. a)
20 ; 5
4
5
30 ; 5 6
d) 20 5 4 , pois 20 ? 6 5 4 ? 30
30 6
c)
20 ; 10
2
5
30 ; 10 3
f) 20 5 2 , pois 20 ? 3 5 30 ? 2
30 3
e)
3. a) Certo, pois 2 ? 3 5 6 ? 1.
b) Errado, pois 1 ? 9 Þ 3 ? 4.
c) Certo, pois 4 ? 5 5 10 ? 2.
d) Certo, pois 2 ? 15 5 5 ? 6.
dessa viagem é, em quilômetros, 156 ; 12 5 13.
4. a) Devemos multiplicar o denominador e o
1?6
6
5 .
numerador por 6, isto é,
2 ? 6 12
Portanto, o total da viagem é, em quilômetros,
19 ? 13 5 247.
b) Devemos dividir o numerador e o denominador
24 ; 2 12
por 2, isto é,
5 .
36 ; 2 18
c) Devemos multiplicar o numerador e o
3 ? 5 15
denominador por 5, isto é,
5
.
8 ? 5 40
d) Devemos dividir o numerador e o denominador
10 ; 5 2
por 5, isto é,
5 .
15 ; 5 3
5. a) Multiplicando-se os termos da primeira fração
4
por 4, obtém-se
.
12
b) Dividindo-se os termos da primeira fração por 7,
obtém-se 5 .
4
c) Multiplicando-se os termos da primeira fração
15
.
por 3, obtém-se
12
d) Multiplicando-se os termos da primeira fração
42
.
por 6, obtém-se
30
e) Multiplicando-se os termos da primeira fração
55
.
por 5, obtém-se
10
60
6. Dividindo-se os termos da fração
por 2, obtém98
30
, cujos termos são números primos
-se a fração
49
entre si.
7.
Multiplicando-se os termos da fração
12
por 2,
13
24
, cujos termos somam 50.
26
2
é 5 2 2 5 3.
8. A diferença entre os termos da fração
5
obtém-se a fração
Para obter uma fração equivalente a
2
, devemos
5
multiplicar ambos os termos pelo mesmo número.
Fazendo isso, a diferença entre os termos da
fração equivalente será o produto de 3 por esse
número.
Como a diferença entre os termos da fração
equivalente é 21, então a fração foi multiplicada
pelo número 7 (que é igual a 21 ; 3). Portanto, a
14
.
fração é
35
12
9. a) Se 156 quilômetros correspondem a
da
19
viagem planejada por seu Guilherme, então
1
19
b) Guilherme gastou R$ 75,00, que correspondem
3
do dinheiro que levava. Portanto, 1 do
17
7
dinheiro dele é R$ 75,00 ; 3 5 R$ 25,00. Então,
a
ele levava 17 ? R$ 25,00 5 R$ 425,00. Como ele
gastou R$ 75,00, sobraram:
R$ 425,00 2 R$ 75,00 5 R$ 350,00.
10.
30 ; 15
5
0;4
40
120
3
5
440 ; 40 11
25 ; 5 5
5
60 ; 5 12
2
3
45 ; 15
8;4
2
5
20 ; 4 5
11. Frações próprias em que o numerador e o
denominador somam 15:
1 2 3 4 5 6 7
, , , , , e .
14 13 12 11 10 9 8
Destas, são irredutíveis:
3
12. a) 66
99
11
666
999
2
3
22
33
3
b)
1 2 4 7
, , e .
14 13 11 8
111
222
333
2
3
3
1
5
6
2
b) 4 5 2 5 1
12
6
3
13. a)
c)
9
3
1
5
5
18
6
2
d)
60
30
10
2
5
5
5
90
45
15
3
e)
63
3
21
5
5
105
35
5
f)
250
125
25
5
5
5
5
150
75
15
3
14. a) Como mdc (84, 72) 5 12,
b) Como mdc (54, 90) 5 18,
c) Como mdc (98, 28) 5 14,
d) Como mdc (147, 189) 5 21,
84 ; 12
72 ; 12
54 ; 18
90 ; 18
98 ; 14
28 ; 14
5
7
6
5
3
5
5
147 ; 21
189
9;2
21
7
2
5
7
9
79
15. a) Como mdc (20, 50) 5 10,
b) Como mdc (62, 155) 5 31,
20 ; 10
5
50 ; 10
62 ; 31
31
155
5;3
2
5
5
2
5
c) Os resultados são iguais.
0;3
120
30 4
16. 120 5
5
90
90 ; 30 3
0;2
25 4
100 100
5
5
75
75 ; 25
3
120 100
e
são equivalentes.
90
75
18 ; 3 6
17. Como 18 5
5 , Alexandre dança com
21 21 ; 3 7
Priscila.
Sim, as frações
42 ; 6 7
Como 42 5
5 , Ricardo não vai dançar,
18
18 ; 6 3
7
pois nenhuma menina corresponde a .
3
220 ; 20 11
Como 220 5
5 , Maurício dança com
0 ; 20
2
100 100
5
Gabriela.
36
36 : 12
3
5
5
Como
e nenhuma menina
60
60 : 12
5
3
corresponde a , Vitor não vai dançar.
5
40 ; 20 2
Como 40 5
5 , Pedro dança com
20 5
100 100
0;2
Luciana.
Andreia não vai dançar porque nenhum menino
7
correspondia a fração equivalente a .
5
30 ; 15 2
18. 30 5
5
5 ; 115 7
105 105
40 ; 2 20
40
5
5
126 126
6 ; 2 63
30
40
e
Não, as frações
não são equivalentes.
105 126
84
42
14
2
5
5
5
19. a)
126
63
21
3
14
2
84
As frações
e
são equivalentes a
.
21
3
126
55
5
5
b)
99
9
44
1
5
(não é equivalente)
88
2
66
22
5
(não é equivalente)
111
37
125
5
5
(é equivalente)
225
9
15
5
5
(é equivalente)
27
9
80
As frações 125 e 15 são equivalentes a 55 .
225 27
99
20. a)
1
5
1
5
de
. A moeda de 5 centavos vale
20
100 20
real.
b) 25 5 5 5 1 . A moeda de 25 centavos vale
100 20 4
1
de real.
4
40 40 ; 5 8
5
5 .
21. a) Como mdc (40, 65) 5 5,
65 65 ; 5 13
b) A soma dos termos da fração será a menor
possível se o numerador e o denominador forem
os menores possíveis, o que ocorre se a fração
estiver na forma irredutível.
10 ; 5
2
Então, 10 5
5
85 85 ; 5 17
22. 25, 60
2
25, 30
2
25, 15
3
25,
5
5
5,
1
5
1,
1
mmc (25, 60) 5 22 ? 3 ? 52 5 300
7 ? 12
84
7
5
5
25 25 ? 12 300
11 ? 5
55
11
5
5
60 60 ? 5 300
23. Caixa azul
2, 3, 4
2
1, 3, 2
2
1, 3, 1
3
1, 1, 1
mmc (2, 3, 4) 5 22 ? 3 5 12
1?6
6
1
5
5
2 2 ? 6 12
1?4
1
4
5
5
3 3 ? 4 12
1?3
3
1
5
5
4 4 ? 3 12
Na caixa azul, deve-se depositar papel.
Caixa verde
5,
5,
1,
1,
3?3
3
9
5
5
28 28 ? 3 84
7, 70 2
7, 35 5
7, 7 7
1,
1
55 55 ? 4 220
5
5
21
21 ? 4
84
mmc (5, 7, 70) 5 2 ? 5 ? 7 5 70
b) 3, 5
1, 5
1, 1
1 ? 14
1
14
5
5
5 5 ? 114 70
3 3 ? 10 30
5
5
7 7 ? 10 70
Na caixa verde, deve-se depositar vidro.
Caixa vermelha
4,
2,
1,
1,
1,
6,
3,
3,
1,
1,
10
5
5
5
1
2
2
3
5
mmc (4, 6, 10) 5 2 ? 3 ? 5 5 60
2
3 3 ? 15 45
5
5
4 4 ? 15 60
5 5 ? 110 50
5
5
6 6 ? 110 60
7?6
7
42
5
5
10 10 ? 6 60
Na caixa vermelha, deve-se depositar plástico.
Caixa amarela
28,
14,
7,
7,
7,
1,
60,
30,
15,
5,
1,
1,
70
35
35
35
7
1
Foram ao cinema.
2
2
3
5
7
3
5
mmc (3, 5) 5 3 ? 5 5 15
1?5
5
1
5
5
3 3 ? 5 15
2 2?3 6
5
5
5 5 ? 3 15
Foram à sorveteria.
c) 15,
15,
15,
5,
1,
4
2
1
1
1
2
2
3
5
mmc (15, 4) 5 22 ? 3 ? 5 5 60
2?4
8
2
5
5
15 15 ? 4 60
1 ? 15
15
1
5
5
4 4 ? 15 60
Foram à praia.
d) 6, 10
3, 5
1, 5
1, 1
2
3
5
mmc (6, 10) 5 2 ? 3 ? 5 5 30
7 7 ? 5 35
5
5
6 6 ? 5 30
mmc (28, 60, 70) 5 22 ? 3 ? 5 ? 7 5 420
1
3 ? 15
3
45
5
5
28 28 ? 15 420
11 ? 3 33
11
5
5
10 10 ? 3 30
Foram ao shopping.
25. a) Roberta:
1?6
6
1
5
5
70 70 ? 6 420
7,
7,
7,
7,
1,
Na caixa amarela, deve-se depositar metal.
mmc (7, 6, 9) 5 2 ? 32 ? 7 5 126
19 ? 7
19
133
5
5
60 60 ? 7 420
24. a) 28,
14,
7,
7,
1,
21
21
21
7
1
2
2
3
7
6,
3,
1,
1,
1,
9
9
3
1
1
2
3
3
7
2 2 ? 18 36
5
5
7 7 ? 18 126
mmc (28, 21) 5 22 ? 3 ? 7 5 84
1 ? 21
1
21
5
5
6 6?2
21 126
5 5 ? 114 70
5
5
9 9 ? 114 126
81
Roberta vai para Recife.
Ricardo:
3,
3,
3,
3,
1,
1,
5,
5,
5,
5,
5,
1,
8
4
2
1
1
1
2
2
2
3
5
b) Roberta vai para Pernambuco, Ricardo vai para
o Amazonas, Maurício vai para o Rio Grande do
Sul e Alexandre vai para o Paraná.
26. a) 2 . 1
b) 7 , 11
c) 2 , 3
mmc (3, 5, 8) 5 2 ? 3 ? 5 5 120
3
2 2 ? 40 80
5
5
3 3?4
40 120
1 ? 24
1
24
5
5
5 5?2
24 120
7 7 ? 15 105
5
5
8 8 ? 115 120
d) 5 , 7
5
5
5
.
. A menor é
.
7
12
12
3
9
3
, . A menor é .
b) 3 , 9
11
11
11
3
15
16
4
5
5
c)
e
. Como 15 , 16, então
4
20
5
20
27. a) 7 , 12
15
16
3
3
4
,
,
e
. A menor é
.
20
20
4
5
4
Ricardo vai para Manaus.
Maurício:
5,
5,
5,
5,
1,
6,
3,
3,
1,
1,
12
6
3
1
1
2
2
3
5
1
3 3 ? 12
36
5
5
5 5 ? 112 60
2 2 ? 10 20
5
5
6 6 ? 110 60
1?5
5
1
5
5
12 12 ? 5 60
Maurício vai para Porto Alegre.
Alexandre:
3,
3,
3,
1,
4
2
1
1
2
2
3
mmc (2, 3, 4, 6) 5 22 ? 3 5 12
3 3 ? 6 18
5
5
2 2 ? 6 12
2 2?4 8
5
5
3 3 ? 4 12
5 5 ? 3 15
5
5
4 4 ? 3 12
Alexandre vai para Curitiba.
82
d)
35
8
32
7
5
5
e
. Como 35 . 32, então
4
20
5
20
35
32
8
8
7
.
.
e
. A menor é .
20
20
4
5
5
13
9
1
1
5
e 2 5 . Como 13 . 9, então
4
4
4
4
13
9
1
.
. A maior é 3 .
4
4
4
15
15
15
.
b) Como 2 , 7, então
. A maior é
.
2
7
2
1251 , 2470
c) Como 1 251 , 2 470, então
.
27
27
A maior é 2470 .
27
1
1
,
.
d) Como 1000 . 100, então
1000
100
1
.
A maior é
100
28. a) 3
mmc (5, 6, 12) 5 22 ? 3 ? 5 5 60
2,
1,
1,
1,
2
2
1
. . A maior é .
3
3
3
7
11
11
,
. A maior é
.
4
4
4
1
1
1
. . A maior é .
2
3
2
2
2
2
.
. A maior é .
5
5
7
1
2
5
7
14
16
11
b) 4 5 16 e e
então
ntão
,
1
4
4
4
3
9
8
3
4
4
c)
5
e
5 , então
.
2
6
3
6
2
3
3
15
5
20
5
21
d) 2 6 5 6 5 2 5 8 e 2 8 5 8 ,
3
5
então 2 , 2
6
8
e) 2 5 14 e 3 5 15 , então 2 , 3
5
35 7
35
5
7
33
16
11
4
11
4
f)
5
e
5
, então
.
4
12
3
12
4
3
29. a)
g) 10 5 5 e 15 5 5 , então 10 5 15
4
2
6
2
4
6
30. a)
15 2
20 3
18 5
25
1
5
5
;
;
;
5
5
;
2
30 3
30 5
30 6
30
7
14
5
15
30
Como
15
18
20
25
14
,
,
,
,
, então:
30
30
30
30
30
7
1
,
15
2
Júlio
,
3
5
,
Luca Alexandre
2
3
Mário
,
5
6
Paulão
5
10
5
b)
8
16
10
5
7
7
.
.
, então,
.
16
16
8
16
O time da escola de Ricardo obteve melhor
classificação.
O único número que satisfaz às três condições é o 12.
1
de 12, que é igual a 3
4
2
de 12, que é
corredores; chegaram depois de Ricardo
3
igual a 8 corredores. Ricardo chegou em 4o lugar. Assim:
Assim, chegaram antes de Ricardo
a) 4o lugar
b) 8
Capítulo 14 – Operações com frações
Exercícios
Como
31. a) 2 5 10 e 3 5 21
7
35 5
35
Como 10 , 21 , resulta que 2 , 3 ; portanto,
35
35
7
5
Bárbara leu mais páginas que Sérgio.
b) Sérgio leu
2
do livro em 6 horas; portanto,
7
leu 1 do livro em 6 ; 2 5 3 horas e, em
7
consequência, lerá o livro todo em 3 ? 7 5
5 21 horas.
c) Bárbara leu
3
do livro em 3 horas; portanto,
5
leu 1 do livro em 3 ; 3 5 1 hora e, em
5
consequência, lerá o livro todo em 1 ? 5 5
5 5 horas. Para acabar de ler o livro, Bárbara
precisa de 5 2 3 5 2 horas.
3
do percurso e para
10
2
Viviane, . Comparando essas frações, temos
11
3
2
,
; portanto, Viviane está mais próxima do
11
10
32. Para Marina, falta percorrer
parque.
Desafio
Os 100 metros de Ricardo
O número de corredores é menor que 15 e
1
divisível por 4 (pois
dos corredores deve ser uma
4
2
dos corredores
quantidade inteira) e por 3 (pois
3
também deve ser uma quantidade inteira).
5
2
7
1
5
4
4
4
11
7
4
2
5
b)
3
3
3
5
11
1
17
1
1
5
c)
6
6
6
6
13
17
4
2
5
51
d)
4
4
4
3
16
13
29
1
1
5
e) 3 1 2 5
5
5
5
5
5
1. a)
f) 2
28
1
2
11
17
1
5
13 5
5
5
5
5
5
g) 5
10
2
1
17
7
22 5
2
5
3
3
3
3
3
h) 3
3
3
15
11
4
22 5
2
5
51
4
4
4
4
4
2. a)
3
9
13
2
4
1
5
1
5
2
3
6
6
6
b)
3
9
5
2
4
2
5
2
5
2
3
6
6
6
c)
35
33
68
7
11
17
1
5
1
5
5
12
20
60
60
60
15
d)
5
15
8
25
1
2
2
1
1
5
1
1
5
6
4
3
12
12
12
12
e)
3
5
1
1
2
1
5
1
5
2
3
6
6
6
f)
3
6
5
1
1
2
5
2
5
2
4
4
4
4
g) 2 2 1
5
72
5
30
7
1
h)
12
11
1
12
11
1
1
5
1
1
5
2
3
5
2
3
165
10
247
1
1
5
30
30
30
5
10
31
21
5
1
5
18
36
36
36
3. Camiseta verde:
5
5
40
30
2
7
77
14 115
1
5
5 11
1
7
7
7
7
7
7
83
Camiseta azul:
13
31
1
1
2
4
14
1
1 14 14 5
1
1
5
5 10
3
3
3
3
3
3
3
3
1
Como 11 . 10 , ganha o time de camiseta verde.
3
8.
4. a)  3 2 2  1  5 2 2  5
2
4
5
3
8
4
 15
 15
5 
2
2  5
 1 
 10
10 
12
12 
5
66
35
101
11
7
1
5
1
5
10
12
60
60
60
5
1
1
7
b) 1 1  2  2  2  5
2
4
5
4
3
2
2
5
1
511 
2
5
511
2
 2
 10
10 
4
10
2
5
10
3
5
8
4
1
2
5
5
10
10
10
10
5
c)  7 2 5  1  8 2 7  5
8
9
6
9
20 
1
1
1
 21
1
5
5 
1
5
 1
 24
9
24
9
24 
3
8
11
5
1
5
72
72
72
d) 2 1 1 3 1 2 5 1 5 7 1 7 2 31 5
3
2
6
3
2
6
31
14
21
4
2
5
5
5
1
2
6
6
6
6
3
5.
3
29
1
1
5
do salão foram ladrilhados. Se
7
8
56
29 correspondem a 870 ladrilhos, então, 1 do
56
56
salão corresponde a 870 : 29 5 30 ladrilhos, e
o salão todo necessita de 1 680 ladrilhos (30 ? 56).
4
de R$ 230,00 5 R$ 184,00.
5
b) Sobraram R$ 230,00 2 R$ 184,00 5 R$ 46,00.
6. a) Marcos guardou
7.
84
c) Ele preencheu 3 1 5 5 19 do álbum.
8
12
24
d) 19 de 240 correspondem a 190 figurinhas.
24
Portanto, ficaram faltando 240 2 190 5 50
figurinhas para preencher o álbum.
A diferença de 400 metros entre Valdo e Ari
corresponde a:
15
4 3 16
1
2 5
2
5
(do percurso).
5 4 20 20 20
Então, o percurso completo era de:
20 ? 400 metros 5 8 000 metros.
Como cada 1 000 metros é 1 quilômetro, o percurso
media em quilômetros: 8 000 ; 1 000 5 8.
A corrida era de 8 quilômetros.
1
2
11 do reservatório foram preenchidos
1
5
3
5
15
com água; portanto, falta encher 1 2 11 5 4 do
15
15
reservatório.
1
do
Se isso corresponde a 4 400 litros, então
15
reservatório é 4 400 litros : 4 5 1 100 litros, e o
reservatório todo tem capacidade para
15 ? 1 100 litros 5 16 500 litros.
9.
1
1
7 do livro foram lidos;
1
5
4
3
12
5
7
5
do livro estão por ler.
12
12
Se 5 correspondem a 30 páginas, então 1
12
12
corresponde a 6 páginas (30 : 5).
12
O livro todo tem 72 páginas (12 ? 6).
10. A fração do volume da metade até
9
é:
10
9
9
5
1
4 2
2 5 2 5 5
10 2 10 10 10 5
2
Então, a torneira enche
do tanque em 1 min 4 s.
5
Temos:
1 min 4 s 5 (60 1 4) s 5 64 s
64 ; 2 5 32
1
do tanque em 32 s.
5
Para encher o tanque todo leva, em segundos:
32 ? 5 5 160
A torneira enche
160 60
40 2
A torneira enche o tanque todo em 160 s, ou
2 min 40 s.
11. A parte colorida representa 1 da figura.
5
1 2
a) O dobro é: 2 ? 5
5 5
1 3
b) O triplo é: 3 ? 5
5 5
12. a) 4 ? 11 5 44 5 11
20 20 5
13. a)
b)
7 ? 11 77
7
? 11 5
5
5
5
5
2?3 6 2
2
?35
5 5
9
9
9 3
1? 1
1 1
1
14. a) 2 ? 5 5 2 ? 5 5 10
b)
b) 4 ? 2 5 8
3 3
1 2 1? 2
2
? =
5
3 7 3 ? 7 21
2? 1
2 1
2
? 5
5
3 9 3 ⋅ 9 27
3 11 3 ? 11 33
5
d) ? 5
8 2 8 ? 2 16
c)
15. a) Bela:
1 2 2
? 5
5 3 15
c) O inverso de
2 3
3
2
é
e ? 5 1.
3
2
3 2
Cristina:
1 1 1
1
? ? 5
2 3 5 30
d) O inverso de
5 7
5
7
é
e ? 5 1.
7 5
7
5
Gabriel:
2 3
? 51
3 2
e) O inverso de
1
1
é 6 e ?6 51 .
6
6
Neide: 6 ? 25 5 2 ? 5 5 10
5 3
13 21
1 3 1
?
5 ? 5
Mário:
14 39 2 3 2
Os resultados são iguais.
21. Verdadeira.
1 2
1
,
b) 10, 1, ,
2 15 30
A ordem de entrega será: Neide, Gabriel, Mário,
Bela, Cristina.
16. a) Gabi
3
3
2 3
1 3
?
5
?
5
e
? 126 5 3 ? 9 5 2
27
7 4
7 2
14
14
Tonhão
4 2
1
1
?
5
e ? 126 5 18
1
7 8
7 7
Zelu
1 2
2
2
e
?
5
? 126 5 2 ? 6 5 112
3 7
21 21
Fabiano
9
147
4
2 2
?
?
e ? 126
5
6 5 2 ? 18 5 36
18
49 21
7 7
Marta
18
2
22
1 11
11
·
·
·
e
5
5
12 28 9
3 14
42
11
? 126 5 11
11 ? 3 5 33
42
b) O cestinha foi Fabiano.
c) Quem fez menos pontos foi Zelu.
18. a) 2
1
7
5
3
3
5
20
5
3
3
b) O inverso de
4 7
4
7
é
e ? 51 .
7
4
7 4
b) 2 ?  10 2 5  5 2 ? 5 5 2
5  7
7
5 7
7
3
1
1 2
c)  1  ?  2  5
2
3  5
8
15 
5
1
1
3
2   16
2
?
5
5  1  ? 
 5
6
40 
6 40
48
6   40
3
4  8
7
d)  1  ?  2  5
4


3
7
8
9
16   64
49 
25
15
?
5 
1
2
5
 ? 
 5
 12
12
56
56
12
56
125
5
224
5
5
25
29
1
14
2
4
?
5
1
5
1
5
e) 2 1
2
7 25
2
5
10
10
10
 10
1 
11
11
121
11
22
1
?
5
5 
2  ? 
 5
 4
25 
4 25
100
4   25
Ricardo prefere o chapéu mexicano.
1 5
2 5
2
b) 1 1
?
2
?  2  5
2 4
3 2
5
5
c) 1
4
7
5
3
3
19. No exercício 17, efetuou-se apenas multiplicação.
No exercício 18, efetuaram-se multiplicação e
adição.
5
3 5
e ? 51.
20. a) O inverso de 3 é
3
5 3
5
5 3
5
?
5
3 4
4
511
4 4
c) 1 ? 5
3 3
b) 5
5
23. a)  11 2 11  ?  2 1 1  5
2
4  5
25 
Assim, Gabi fez 27 pontos, Tonhão fez 18 pontos,
Zelu fez 12 pontos, Fabiano fez 36 pontos e
Marta fez 33 pontos.
1 2
17. a) 2 ? 5
3 3
5 25
b) 5 ? 5
3
3
22. a) 5 ?  1 1 1  5 5 ?  2 1 1  5
2
3
4
3 4
4
5
2  25
4
2
? 
2
 5
8
3  10
10 
5 2
9
8
21 13 7 65 56
1 2 ?
5 2 5
2
5
8
8 3
10 8 5 40 40 40
Luciana prefere o palácio dos horrores.


c) 3 1  1 1 1  ?  2 1 1 1  ?  3 1 1  5



2
2
3 
4
2
3
1 6
4   12
1
1 5
5
1  1  ?  1  ? 





2
2
2
3
3
4
4
3
3 10 13
3
65
5
1
?
?
5
1
5
2
2
3
4
2
4
6
65
71
5
1
5
4
4
4
Gabriela prefere o trem fantasma.
85
Priscila prefere a roda-gigante.

e) 2 ? 1 1 2
5 
3

2
5
? 1 1
5 
2 
5
? 1 1
5 
2  30
5
? 
5  30
1
1 
?  2  5
4
5 
2  5
4 
2
? 
 5

3
20
20  
2
1 
2 
1 
?
? 1 1
 5
 5
3 20 
5 
30 
31
31
1 
2
1
?
5
 5
30 
5 30
75
Maurício prefere a montanha-russa.
24. a) 7 2  11 2 13 ?  1 1 1   5
4 2
5 
2
 11
13  5
2 
572  2
? 
1
 5
4  10
10  
2
13
91 
11
7
11
?
5 7 2  2
5 7 2  2
5
4
10 
40 
2
2
220
91 
129
5
5 7 2 
2
572
40 
40
 40
5
280
129
151
2
5
40
40
40
Ganhou um urso de pelúcia.
b)
1 1
1
1
1 1
1
1
?  1
?  1
?  5
?  2
2 5
2 3
5 6
2 5
5
1 1
1
1 1
1
?  1
?  1  2
 5
2 5
6
5 6
10 
do inteiro
h
do inteiro
h
1 inteiro
de
do inteiro
3
 3
27. a)  de 60 5 ? 60 5 45
4
 4
15
1
5
 5
50
b)  de 20 5 ? 20 5
6
 6
3
10
3
6
12 6


c)  1 de 12  5 1 ?
5
2
5
5 2 5
1
1
7
4
35  4 35 7
5
d)  de
5 ?
5
16  5 16
4
1
4
3
do que
7
3
4
5
possuía, ela ficou, então, com 1 2
do
7
7
1
que tinha. Desse valor ela gastou
em lanche;
3
1 4
4
?
5
portanto, gastou
.
3 7
21
28. Se Luana gastou com brinquedos
2
da barra de chocolate; logo,
5
3
2
sobraram . Gabriel comeu
da sobra, ou seja,
5
3
2 3
2
?
5
da barra. Assim, Luciana e Gabriel
3 5
5
comeram a mesma quantidade de chocolate.
b) Maurício comeu o restante: 1 2 2 2 2 5 1 .
5
5
5
3
30. No 1o dia, Walter vendeu das laranjas.
5
2
Sobraram .
5
13
2
de
No 2o dia, vendeu
das laranjas:
16
5
29. a) Luciana comeu
1
5
3
1  6
1  5
? 
1
? 
1
 2
 5



2
30
30
5
30
30 
2
13
? 5
16 5 40
5
8
1
11
1
11
4
?
2
?
5
2
5
2 30
5 30
60
75
5
55
16
39
13
2
5
5
300
300
300
100
Contando os dois dias, a quantidade de laranjas que
3
13
13
37
24
5
1
5
Walter vendeu: 1
.
5 40 40 40 40
3
das laranjas,
Então, após o 2o dia, sobraram
40
que correspondem às 9 laranjas restantes. Temos:
5
Ganhou uma bola de futsal.
 1

1
25. a)  de 20 5 ? 20 5 2
10
10
 7

7
b)  de 20 5 ? 20 5 14
10
10
86
3?1
3
3
1 3 1
5
26.  de  5 ? 5
4

4
4 4 4 ? 4 16
h

18  2
5  7
21
?
?  1
 ?  2 1 5
35  5
15 49   2
18  2
1  7
2
5
?  1  ?  2 5
35  5
7  2
2
18  14
5 5
1
5
? 
5
 ?
35  35
35  2
18
19 5
9
19
171
5
?
?
5
?
5
35 35 2
7 35
245
h
d)
13
8
9;353
3 ? 40 5 120
A quantidade inicial que havia na quitanda era
120 laranjas.
Desafios
11 9
11
;
5
4 4
4
1
4
2 ;3 5
4
7
1
1
?
d) ; 2 5
2
2
4
11
5
9
9
9 25
9
63
7
;
?
5
5
4
7
4 25
100
1
1
5
2
4
5
11 11
11 5
;
5
?
5
2 5
2 11
2
9
9 4
18
7
;
5
?
5
e)
2 4
2 7
7
7 11
7 6
14
;
5
?
5
3 6
3 11
11
13 2
13 9
39
;
5
5
?
f)
6
9
6
2
4
9
9 15
7
27
;
5
?
5
5 15
5
7
7
c)
Para não ficar tonto
O trecho de 40 metros corresponde a meia volta
menos um terço da volta.
1
1 3 2 1
2 5 2 5
2 3 6 6 6
Parada para inverter o sentido
4 voltas e um terço
nesse sentido
1 da volta
3
40 metros
5 voltas e meia
nesse sentido
Início
1
da volta são 40 metros, a volta completa tem
6
em metros:
6 ? 40 5 240.
33. 26
5
3
5 5
5 3
3
2  1
4
;
5
?
5
 1  ;  1  5
4
4
3
3
4 3
4 5
4
 9 4   9 16 
 3 2  3 4 
 1  ;  1  5  1  ;  1  5
2 3
4 3
6 6
12 12
•
•
Como
Alternativa: d
3
4
e
; Luciana e Talita
3
4
1
e 2; Alexandre e Nicole
2
7
11
e ; Gabriela e Mariana
11
7
3e
1
; Priscila e Renato
3
5 9
e ; Ricardo e Pedro
9 5
1
5 e ; Maurício e Patrícia
5
Sobraram Paulo e Jussara.
32. a) 7 ; 14 5 7 ? 5 5 1
5
5
5 14
2
14 ; 1 5 14 ; 7 5 14 ? 3 5
2
2
3
7
3
3
3
3
b) 5 ; 1 5 5 ? 3 5 15
3
1
19
57
19
35
7
;
5
?
5
20 35
20 57
12
13 25
13 12
26
;
?
5
5
6
12
6 25
25
1
 3 2  3
1  1
1
2
 2  ;  2  5  2  ;  2  5
2 3
4 6
6 6
12 12
5
•
1
;
6
 10
2

3
5
Exercícios
31. Associando frações inversas, temos:
?
•
5
1
1
12
?
52
5
12
6
1
9 4
5
1 2
1
;
1
 ;  1  5
 5
3  5
2
3  10
10 
9
9
9 10
10
?
5
;
5
3 10
3
9
3
2
3
5
2 4
2 5
34.
5
5
;
?
5
4
3 5
3 4
6
5
6
6
6
3
2
1
5
;7 5
?
5
35. a)
7
2
2 7
7
6
5
6
6
3
1
b)
5
;2 5
?
5
2
5
5 2
5
5
2 4
2 5
;
?
3 5
3 4
6
5 5 5 2 1
5
5
5 ; 5 ? 5
c)
5 2
5 3
5
6 2 6 5 3
;
?
3 3
3 2
2
4
2
4 3
2
;
·
15 3
15 2
5
2 4
5
5
5
5
;
d)
3
4
5 3
12
12 8
;
·
3
24 8
24 3
3
2 3
5
·
5
5 4
10
87
36. Uma.
1
1
 2
6
5 
 12
25
5
12
•
•

5
1
1
4
1  : 2 2
1  5

3
4
4
3


15
3
16 
4
24
1
2
1
1
 : 
 5
12
12
12
12
12 
37
25
25
12
:
5
?
5
12
12
37
37
1 3
10 7  
3
1
?  : 2 2
? 5
?
1
 3 5
7
5 
2 4


1
3
5  1 2 :  2 2  5
5


8
1
10   16
3
5  1
2 5
 :
5
5  8
8
11 13
11 8 88
5 ? 5
:
5 8
5 13 65
2 9
5 10  
37 
? 2
:
: 22  5
 3 8 49 7  
28 
5
•
3
5 7
5  2
?
 4 49 10 
 56 2 37 
:
 5

28 
3
1  19  21 2 2  19
5 2  :
5
:
5
 4 14  28  28  28
19 28
5
?
51
28 19
•  1 2 21  ?  1 2 31  ?  1 2 41  :  1 2 51  5
2 1 3 1  4 1  5 1
5 2  ? 2  ? 2  :  2  5
 2 2  3 3  4 4   5 5
1 2 3 4 1 5 5
5 ? ? : 5 ? 5
2 3 4 5 4 4 16
37. a)
216
74
:
12
37
12 :
8
2
:
5
27 :
144 : 102
3
9
24
51
9 3
5
:
5 3:3 5 1
3 1
3 4
3
?
2
?2
2 7
14
145
b)
3
2
7
?
1
?5
3 10
25
18 : 2
12 : 4
:
5
6 : 2
3 : 3
R$ 500,00 2 R$ 187,50 5 R$ 312,50.
e) R$ 312,50 5 5
32
R$ 2 .000,00
1
da população prefere o Festival de
2
1
1
1
prefere o Jornal das
Palhaçadas e
?
5
2 2
4
1
1
1
2
5
Vinte. Resta 1 2
da população.
2
4
4
1
Se
da população corresponde a 130 pessoas,
4
então os moradores da rua do Sol são 4 ? 130 5
5 520 pessoas.
1
? 520 5
b) Assistem ao Festival de Palhaçadas
2
5 260 pessoas.
1
? 520 5 130 pessoas preferem o Jornal das
c)
4
Vinte.
3
40. Notemos que
da população são alfabetizados
4
1
da mesma população concluiu o 9o ano.
e
8
É claro que todas as pessoas que concluíram o
9o ano são alfabetizadas.
1
da população é
A questão é saber quanto
8
3
dos
da população formada pelas pessoas
4
alfabetizadas.
3
1
1
4
4
1
;
5
?
5
5
Solução:
8 4
8 3
24
6
39. a)
População
6
3
2
7
7
145
1
7
1
5
5
15
15
239
224
145
1
5
56
56
56
56
38. a) Mariana gastou 1 de R$ 2.000,00 5
2
5 R$ 1.000,00 em alimentos.
b) O material escolar de Laura custou
1 de R$ 2.000,00 5 R$ 500,00.
4
88
3
de R$ 500,00 5 R$ 187,50.
8
d) Mariana guardou na poupança:
O vestido custou
Confira analisando a figura:
3
3
8
3 5
7
5
145
145
:
145
?
8
7
5
7 8
5
5
c) Sobraram:
R$ 2.000,00 2 R$ 1.000,00 2 R$ 500,00 5
5 R$ 500,00.
 1
9o ano  
8
 3
pessoas alfabetizadas  
 4
3
1
1
do inteiro é o mesmo que
de
do inteiro.
8
6
4
 1
41. a)  
2
2
 1
b)  
 2
3
 3
c)  
 2
2
5
1
1
1
?
5
2 2
4
5
1
1
1
1
?
?
5
2 2 2
8
5
3 3
9
?
5
2 2
4
 3
d)  
 2
2
 7
e)  
 8
3
 2
f )  
5
4
16
2 2 2 2
?
?
?
5
5 5 5 5
625
5
 1
42. a)  1 
 2
3
 3
5  
 2
 7
b)  2 
4
2
 5
c)  3 
 6
2
 1
43. a)  
2
3
2
3
5
 15 
5  
 4
15 15
225
1
?
5
5 14
4
4
16
16
5
 23 
5  
 6
 2
1  
 3
3 3 3
3
27
5
?
?
53
2 2 2
8
8
2
2
23 23
529
25
?
5
5 14
6
6
36
36
5
2
1
1
2 2
?
1
?
5
2 2
3 3
5
5
2
542
3 3
9
?
542
5
2 2
4
2
?
5
5
 3
:  
 4
4
5
3
5
5
 3
; 
 5
3
5
5
5
11
2
9
 16
1
5 

 84
84 
2
 25 
5  
 84 
2
5
25
25
625
?
5
84 84
7056
0
1
1

2
1
1
; 1 2  5 1 ;  2  5
2

2
2
 3
 4 
5
 3
 
4
4
 3
 
5
2
 3
 
5
3
3
5
5
5 1;
5 1?
5
5
3
3
5
1
1
1
1
?
?
5
1
4
2 2 2
2
f)  1 2 1 
2
6
3
3
5
3
1
5  2 
6
6
3
 2
5  
 6
3
5
1
1
1
1
5
?
?
3 3 3
27
Nenhuma das expressões tem resultado maior
que 10.
5
5
3
3
1
1
2
1
1
5
1
5
4
8
8
8
8
 1
5  
 3
 3  3  3  3
  ?   ?   ?  
4
4
4
4
2
?
 2
2
1
4
2  ;
5
e) ;


7 14
3
27
2 14
2 2 27
5 ?
2 ? ?
542351
7
1
3 3 4
16
64
4
?
:
5
25 5
125
 3  3  3  3  3
  ?   ?   ?   ?  
4
4
4
4
4
c)  3 
 5 
2
5
20
2 2 5
5
?
?
5
11
3 3 11
99
d) 3 ? 7 1  1 
 2
14 6
16
4 125
5
?
?
51
25 5
64
b)  3 
 4
?
7
3
11
5  2 

5
6
6
1
3
4
 4
:  
 5
5
5
 1
1
2
5 1;   5 1;
5 1?
52
 2
2
1
8
5
2
1
1
2
11
1
2
5
1
2
5
5
4
10
20
20
20
20
 4
44. a)  
 5
;
2
c)  3 1 1 


2
2
 
 
c) 13 1  1  1  1  5 1 1 1 ? 1 1 1 ? 1 ? 1 5
 2
 3
3 3
2 2 2
8
9
89
1
1
72
511 1 5
1
1
5
9
8
72
72
72
72
2


2
1
1
2
1
1
1
5
?
2
5
1
d) 1   2
5
2
10
5
2 2
10
5
 4
5  
 6
5
16
9
7
2
5
4
4
4
2
2
45. a)  7 2 1 
6
2
b)  4 1 3 
 21
28 
9
16
25
1
4
5
1
5
1
5
4
9
36
36
36
 3
b) 22 2  
 2
4
 1
 1
 1
d)   ?   ;   5
 3
 3
 3
1
1
1  1
1
1
1
?
?
?
?
?
?
 3 3 3   3 3 3 3 
5
5
1
1
1
1 1
?
?
?
?
3 3 3 3 3
1
1
1
5
?
5
9
3 3
5
O maior valor encontrado é .
3
3 3
9
5
?
2 2
4
343
7 7 7
5
?
?
5
8 8 8
512
5
Matemática em notícia
3
5
4
 3  3
?
 5   5 
 3  3  3
?
?
 5   5   5 
Falando em média
5
1. No fim de semana, a criança caminha 2 ? 10 714 5
5 21 428 passos. Nos outros dias, 5 ? 11 120 5
5 55 600 passos. Logo, em uma semana, ela
caminha 21 428 1 55 600 5 77 028 passos.
2. Se a quantidade ideal por dia é de 12 mil passos,
então em uma semana a criança deveria andar:
7 ? 12 000 5 84 000 passos.
89
Teste seus conhecimentos
9.
Alternativa: b
1. Alternativa: c
2. O total de animais é 12 1 8 1 40 5 60.
O número de quadrúpedes é 12 1 8 5 20.
Os quadrúpedes correspondem a 20 5 1 , logo
60
3
20
1 do total.
5
60
3
Alternativa: c
3. O número de meninas é 3 ? 45 5 27 .
5
O número de meninos é 45 2 27 5 18.
Alternativa: a.
Outra maneira de resolver:
3
Se o número de meninas é
do total, o de
5
2
do total, ou seja, 2 ? 45 5 18 .
meninos é
5
5
4. 1 h 5 60 min
15
5
1
5
5
60 20 4
Alternativa: b
9
5. O número de prédios mais
dele resulta em 70.
5
9 14
1 5
5 5
14
do número de prédios é 70.
5
1
do número de prédios é: 70 4 14 5 5.
5
O número de prédios é: 5 ? 5 5 25
O número de casas é: 70 2 25 5 45
9
 9
ou  de 25 5 ? 25 5 9 ? 5 5 45
5
 5
Alternativa: c
5
6. Multiplicando-se os termos da fração
tem-se
2
por 7,
5
por 35. Então, o número de funcionários pode ser:
35, 70, 105, ...
Alternativa: a
11. A fração totalmente desconhecida é igual à
diferença:
5 W 15 11? W
2 5 2
11 3 33 33
Que pode ser: 15 2 0 5 15 5 5
33 33 33 11
Ou
15
11
4
2
5
33 33 33
O menor numerador possível para a outra fração
é 4.
Alternativa: d
12. Do percurso inteiro devemos tirar as partes já
percorridas:
12
36 2 12 2 9 2 8
1
1
2
7
2
2
5
5
3
4
9
36
36
Alternativa: b
13. O dobro de
2
4
2
4
5
é2?
; o triplo de
é
5
5
5
3
Alternativa: b
14. A primeira parcela é
1
da segunda.
2
1
da terceira.
3
1
1
Então, a primeira é de da terceira.
2
3
1
1
1 1
1 .
 de  5 ? 5
2
3
2 3
6
A segunda é
4 4
4
,
e
. A maior é
9 8
10
4 4
1
e
∼ .
8 8
2
Alternativa: a
8. Se gastei 3 do que eu tinha, sobrou 1 , que é
4
4
1
é R$ 200,00, o total que eu
R$ 200,00. Se
4
tinha era 4 ? R$ 200,00 5 R$ 800,00.
Alternativa: d
90
1
do número de funcionários
35
tem filhos, o número de funcionários é divisível
Como exatamente
4
5 4.
3
20
4
4
24
145
1
5
A soma de ambos é
.
5
5
5
5
237
14
5
. A soma de seus termos é
537
35
As frações são:


10.  1 de 1  5 1 ? 1 5 1
7
5
7 5
35
3?
14 1 35 5 49.
Alternativa: d
7.
8
5
3
2 1
2 5
2
5
5 4 20 20 20
Assim, a segunda parcela é 2 vezes a primeira; a
terceira parcela é 6 vezes a primeira. A soma das
três parcelas é 9 vezes a primeira.
297 4 9 5 33
A primeira parcela é 33, a segunda é 66 (2 ? 33) e
a terceira, 198 (6 ? 33).
Alternativa: b
Como o 4 é o algarismo dos décimos e o 1
1
da do 4, o
ocupa uma posição que vale
10
1 é o algarismo dos décimos. O 0 ocupa a
posição que falta: a dos milésimos. O número
é 28,4105.
15. 3 ? 600 5 3 ? 120 5 360
5
1
? 600 5 100
6
1
? 600 5 60
10
Praticam esportes: 360 1 100 1 60 5 520
a) O 5 é o algarismo das dezenas.
Não praticam esportes: 600 2 520 5 80
b) Lê-se: cinquenta e quatro inteiros e oito mil e
doze décimos de milésimos.
Alternativa: c
c) O algarismo 0 é o algarismo dos milésimos.
16. Comparando-se as três frações, tem-se:
d) Vinte e oito inteiros e quatro mil cento e cinco
décimos de milésimos.
5
30 7
28 7
21
5
5
;
5
;
.
6
36 9
36 12
36
4. a) um milionésimo.
Como 21 , 28 , 30 ⇒ 7 , 7 , 5
36
36
36
12
9
6
Então, Jarbas acertou menos e Álvaro acertou
mais.
b) um inteiro e cento e vinte e oito centésimos de
milionésimos.
c) seis inteiros e cinco mil quatrocentos e trinta e
dois milionésimos.
Alternativa: d
3
1
.
por
10
2
3 3
3 10
1 3
1 :
?
55
:
5
5
2 10
2 10
2
3
17. Devemos dividir 1
5. Quindim: dois reais e oitenta centavos.
Torta de banana: treze reais e sessenta e cinco
centavos.
Cajuzinho: um real e oitenta e quatro centavos.
Alternativa: c
18. O inverso de 3 é
3
1
7
; o de
é . A soma deles é
7
3
3
2
Torta de morango: vinte e um reais e dezoito
centavos.
Bolo de fubá: sete reais e oitenta e três centavos.
8  8
64
1
7
1
5
e  5
.
3
3
3  3
9
Alternativa: b
Brigadeiro: dois reais e trinta e cinco centavos.
Beijinho: um real e cinquenta e dois centavos.
Maria-mole: cinquenta centavos.
Unidade 5 – Números decimais
Capítulo 15 – Fração decimal e número decimal
Exercícios
1
10
B
7
2
11
100 1000 102
R
I
Bolo da casa: seis reais e vinte e sete centavos.
6. a) 1,105
1. a) décimo, centésimos, centésimos
b) centésimos, milésimos, milésimos
c) inteiros, décimos
d) inteiros, décimos, centésimos, milésimos,
inteiros, milésimos
2.
Bolo de maçã: sete reais e noventa e três
centavos.
G
13
3
10
A
721 1010
6
10
10
D
E
e) 2,007
b) 0,0032
f) 0,028
c) 26,0597
g) 4,3
d) 0,02
Desafio
5
10
277
4
10
1
3
10
I
R
O
3. A: Se 0 não é algarismo da parte inteira, ele só
pode ser o dos centésimos. Sobra o algarismo
5, que deve ser o das dezenas. O número é
54,8012.
B: Se 2 não é algarismo da parte decimal, é
da parte inteira. Como o 8 está em uma
1
posição que vale
da posição do 2, o 8 é o
10
algarismo das unidades, e o 2, o das dezenas.
O valor posicional dos algarismos
5
.
• O primeiro 5 vale 500 e o segundo,
100
5
, para obter 500, precisamos multiplicar por
De
100
10 000.
Outro modo: O segundo 5 deve se deslocar 4 casas
para ficar na posição do primeiro. Como o valor fica
multiplicado por 10 a cada casa deslocada para a
esquerda, o primeiro 5 vale 10 ? 10 ? 10 ? 10 vezes o
segundo, o que dá 10 000 vezes.
• O 4 deve se deslocar apenas duas casas, então o
primeiro deles vale 100 vezes o valor do segundo.
91
Exercícios
7.
12. a)
b) 11 5 11 ? 2 5 22 5 2,2
5
5? 2
10
9
9? 2
18
5
5
5 0,18
c)
50
50 ? 2
100
41 ? 5
205
41
5
5
5 2,05
d)
20
20 ? 5
100
1 875
375
375
5? 5
5
5
5 1,875
e)
200
200
0? 5
1 000
7? 5
35
7
5
5
5 3,5
f)
2? 5
2
10
10 925
100
205
2,05 5
100
109,25 5
31
100
37
3,7 5
10
13 027
13,027 5
1 000
594
0,594 5
1 000
2
0,2 5
10
75401
8. a) 75,401 5
1 000
1 986 712
b) 1 986,712 5
1 000
66 123
c) 66,123 5
1 000
6428
9. a)
5 64,28
100
b) 4 5 0,4
10
941
c)
5 9,41
100
0,31 5
d) 281 5 28,1
10
10. a)
13
10000
94 247
e) 9,4247 5
10 000
d) 0,0013 5
e)
h) 435 5 0,435
1000
e) 59 5 0,059
1000
f) 77
5 0,77
100
71
71
5 0,071
11. 3 5
1000
10
37
37
5
5 0,00037
5
100000
10
723
723
5
5 0,0723
10000
104
56876
5 5,6876
10000
10
59
5 0,059
1000
92
19
19
5
5
5
2 ?2 ? 2 ? 2 ? 2
2
5
17
5 0,17
100
47
5 0,047
1 000
27
g)
5 0,00027
100000
897
5 0,897
1000
c) 1973 5 197,3
10
1728
5 172,8
d)
10
4
13.
19 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5
5
2?5?2?5?2?5?2?5 ?2?5
59375
5 0,59375
100 000
A resposta estava correta.
5
f)
b)
5
91
91 ? 2
182
5
5
5 18,2
5
5? 2
10
83
83 ? 4
332
5
5
5 3,32
h)
25
25 ? 4
100
71 ? 8
568
71
5
5
5 0,568
i)
125
125
5? 8
1 000
g)
49 582
49 500
82
82
5
1
5 49
495
51
5
100
100
100
100
0,82 5 495,82
5 495
495 1 0
56876
3
3? 5
15
5
5
5 1,5
2
2? 5
10
14. a) 7 5 0,07
100
b) 30 5 0,
30 5 0,3
0,30
100
115
5 1,15
c)
100
15.
d) 19 5 0,19
100
e) 80 5 0,80 5 0,8
100
201
f)
5 2,01
100
Fração centesimal
Taxa percentual
11
100
11%
45
100
45%
95
100
95%
135
100
135%
1
100
1%
31
100
31%
100
100
100%
112
100
112%
231
100
231%
4
100
4%
16.
Taxa percentual Fração centesimal
5
4
5
21. 10% ? 10% 5 10 ? 10 5 1 ? 1 5 1 5 1%
100 100 10 10 100
A afirmação é verdadeira.
5
3
4
22. a)
Forma irredutível
80 ; 20
80%
80
100
2
100
0 ; 20
75%
75
100
2
100
0 ; 25
15%
15
100
100
0;5
55%
55
100
100
0;5
147%
147
100
147
100
250%
250
100
250
0;5
50
5
5
100
0 ; 50
2
5
10%
10
100
1
100
0 ; 10
75 ; 25
15 ; 5
55 ; 5
10 ; 10
5
3
20
5
11
20
5
1
10
17. a) 7 5 70
10 100
A fração centesimal é 70
100
b) 70 5 70%
100
1
18. a) 1 em 5 pode ser representado pela fração .
5
2
1 ? 20
20
1
5
5
Como
, os chineses são
5
5 ? 20
2
100
20% da população mundial.
b)
3
3? 5
15
5
5
5 15%
20
20 ? 5
100
20.
Janela
(b)
1
2
5
1 ? 50
50
5
5 50%
5
2 ? 50
100
3
4
3? 2
25
75
5 75%
5
100
4 ? 25
2
6
1
6 ? 12,5
1
8 ? 12,5
1
4
4 ? 25
2
1? 2
25
O número é 375.
45
9
9
5
;
c) 45% 5
do número é 450.
100
20 20
450 ; 9 5 50
O número é 1 000.
(a)
8
5 ? 75 5 375
20 ? 50 5 1 000
Logo, 15% dos brasileiros são sulistas.
19.
2
? 14 5 4
7
20
30
? 150
053
b)
100
30
? 1 500 5 450
c)
100
d) 75 ? 4000 5 3000
100
3
do número é 150.
23. a)
5
1
do número é: 150 ; 3 5 50
5
5
do número é: 5 ? 50 5 250
5
O número é 250.
40
2 2
5 ;
b) 40% 5
do número é 150.
100
5 5
150 ; 2 5 75
5
5
75
5 75%
100
25
100
5 25%
24. a) 100% é o total, portanto, as 80 pessoas são
brasileiras.
b) 50% é metade, portanto, 80 5 40 são
2
homens.
c) 25% é um quarto, portanto, 80 5 20 são
4
solteiras.
80
d) 10% é um décimo, portanto,
5 8 usam
10
óculos.
e) Das 80 pessoas, se metade são homens, a
outra metade são mulheres. São 40 mulheres.
Taxa percentual
Fração centesimal
Numeral decimal
100%
100
100
1
213%
213
100
2,13
151%
151
100
1,51
21%
21
100
0,21
37%
37
100
0,37
4%
4
100
0,04
6%
6
100
0,06
40
5 10.
4
g) São 20 pessoas solteiras (conforme o item c)
e 10% correspondem a um décimo. Logo,
f) 25% de 40 são
1
? 20 5 2 pessoas usam óculos.
10
h) 8 pessoas usam óculos (conforme item d )
e 25% correspondem a um quarto. Logo,
1
? 8 5 2 mulheres usam óculos.
4
i) Dos 40 homens, 100% gostam de futebol, ou
seja, os 40 homens. Das 40 mulheres, um décimo
gosta de futebol, ou seja, 4 delas. No total são
40 1 4 5 44 pessoas.
93
25. a) 1 ? 1 200 5 300
4
b) 1 ? 680 5 68
10
1
? 310 5 155
c)
2
100
d)
? 425 5 425
100
e) 1 ? 500 5 50
10
f ) 1 ? 1 440 5 720
2
1
g)
? 1 600 5 400
4
Desafios
O esporte preferido
a)
h) 1 ? 5 200 5 2 600
2
i) 1 ? 30 000 5 7 500
4
j) 1 ? 1 000 000 5 100 000
10
26. a) Se metade dos bens vai ficar com a esposa,
então ela ficará com 50%.
b) A outra metade, ou seja, 50%, será dividida
igualmente entre os dois filhos. Portanto, cada
um ficará com 25%.
27. a) 25 ? 40
400
0 5 1100
100
b) 90 ? 50 5 45
100
30
3
5
100
10
51 ; 3 5 17
10 ? 17 5 170
O número é 170.
15
3
5
b) 15% 5
100
20
6;352
20 ? 2 5 40
O número é 40.
28. a) 30% 5
(
)
10
? 1 350 5 135
100
b) 1 350 2 135 5 1 215.
Hoje, o Colégio Céu Azul tem 1 215 alunos.
29. a) 10% de 1 350 5
(
)
30. a) 5% de 900 5 5 ? 900 5 45 . São 45 reais.
100
b) 900 2 45 5 855.
Antônio pagou R$ 855,00 pelo televisor.
(
)
6
? 850 5 51 . São 51 reais.
31. a) 6% de 850 5
100
b) 850 1 51 5 901. A mensalidade deste ano está
R$ 901,00.
30
? 480 5 144.
32. a) 30% de 480 5
100
b) 480 1 144 5 624. Em dezembro foram
vendidos 624 celulares.
(
94
)
Esporte
Fração centesimal
Taxa percentual
vôlei
75
100
75%
basquete
82
100
82%
futebol
43
100
43%
handebol
55
100
55%
b) R$ 175,00 1 8% de R$ 175,00 5 R$ 175,00 1
1 8 ? 175,00 5 R$ 175,00 1 14,00 5
100
5 R$ 189,00
A bola está custando R$ 189,00.
c) 35% de 40 alunos são 35 ? 40 5 14
100
São 14 alunos.
d) 200 ? R$ 25,00 5 R$ 5.000,00 (salário normal)
R$ 25,00 1 20% de R$ 25,00 5 R$ 25,00 1
1 R$ 5,00 5 R$ 30,00 (hora extra)
60 ? R$ 30,00 5 R$ 1.800,00 (salário extra)
R$ 5.000,00 1 R$ 1.800,00 5 R$ 6.800,00
(salário total)
e) Ele vai passar a receber R$ 25,00 1
1 [R$ 25,00 ? 28 ] 5 R$ 25,00 1 R$ 7,00 5
100
5 R$ 32,00 por aula.
Exercícios
33. a) Errado, pois 2,54 é o numeral dois inteiros e
cinquenta e quatro centésimos e 25,4 é vinte
e cinco inteiros e quatro décimos.
370
01 1
370
37
0
1
b) Certo, pois 371 5
5
1
5
10
10
10
10
1 , ou seja, 37,1 e 37 1 1
5 37 1
10
10
representam trinta e sete inteiros e um décimo.
50
c) Certo, pois 0,05 5 5 ; 0
0,050
,050 5
e
100
1 000
50
5
5
.
1 000
100
d) Errado, pois 0,07 são sete centésimos e 0,7 são
sete décimos.
800
8
97
; 97,8
859
e) Certo, pois 97,800 5 97
1 000
10
800
8
e
5
.
1 000
10
87
f) Certo, pois 489,87 5 489
489
5
100
48900
018
48987
87
5
5
.
100
100
34. a) 0,71 ? 10 5 7,1
b) 0,0789 ? 100 5 7,89
c) 8,9741 ? 1 000 5 8 974,1
d) 0,1 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 5 1 ? 10 ? 10 ? 10 5
5 1 000 ou 0,1 ? 104 5 1 000
e) 5,123 ? 100 ? 100 ? 100 ? 100 5 512,3 ?
? 100 ? 100 ? 100 5 51 230 ? 100 ? 100 5
5 512 300 000 ou 5 123 ? 108 5 512 300 000
f) 0,888 ? 1 000 ? 1 000 ? 1 000 ? 1 000 5 888 ?
? 1 000 ? 1 000 ? 1 000 5 888 000 000 000 ou
0,888 ? 1012 5 888 000 000 000
g) 0,04 ? 104 5 0,04 ? 10 000 5 400
h) 0,479 ? 10 5 0,479 ? 100 000 5 47 900
c) 1 000, pois 0,0497 ? 1 000 5 49,7.
d) 10, pois 117,8 : 10 5 11,78.
e) 10, pois 1,97653 : 10 5 0,197653.
f) 10 000, pois 1 275 : 10 000 5 0,1275.
39. a) 2,71 tem duas ordens decimais.
b) 1,7942 tem quatro casas decimais.
c) 2,7100 e 1,7942.
40. Cálculo mental. Ver Livro do Aluno.
41. a) 1% de R$ 1.900,00 5 R$ 19,00
b) 10% de R$ 1.900,00 5 R$ 190,00
c) R$ 1.900,00 1 R$ 190,00 5 R$ 2.090,00
d) 1% de R$ 2.090,00 5 R$ 20,90
5
35.a)
? 102 5 1 428,61
5
b)
102
? 103 5 4,15
5
c)
1428,61
4,15
103
5 14,2861
5 0,00415
? 105 5 9 741 500
5
9 741 500
d)
5 97,415
105
: 102 5 0,184 152
e)
5 0,184 152 ? 102 5 18,4152
: 103 5 0,978957
f)
5 0,978957 ? 103 5 978,957
: 105 5 0,019872
5 0,019872 ? 105 5 1 987,2
36. a) 0,71 : 10 5 0,071
b) 0,09 : 100 5 0,0009
c) 476,4 : 10 5 47,64
d) 876,5 : 1 000 5 0,8765
e) 85 000 : 100 : 100 : 100 : 100 5
5 850 : 100 : 100 : 100 5 8,5 : 100 : 100 5
5 0,085 : 100 5 0,00085
f) 825 000 000 : 1 000 : 1 000 : 1 000 : 1 000 5
5 0,000825
g) 896,23 : 103 5 896,23 : 1 000 5 0,89623
h) 9,04 : 104 5 0,000904
37. a) 100 : 10 5 10
b) 100 : 10 : 10 5 10 : 10 5 1
c) 100 : 10 : 10 : 10 5 10 : 10 : 10 5 1 : 10 5 0,1
d) 100 : 10 : 10 : 10 : 10 5 10 : 10 : 10 : 10 5
5 1 : 10 : 10 5 0,1 : 10 5 0,01
38. a) 100, pois 3,43 ? 100 5 343.
b) 10, pois 17,41 ? 10 5 174,1.
Desafio
Crescimento populacional
Para fazer uma estimativa, considere que um
aumento de 1% ao ano vai dar, em 10 anos,
aproximadamente 10%. Então:
50 000 1 10% de 50 000 5 50 000 1 5 000 5
5 55 000
Fazendo a conta ano a ano, arredondando para o
inteiro mais próximo, obtém-se a cada ano, até 2020:
50 500; 51 005; 51 515; 52 030; 52 550; 53 076;
53 607; 54 143; 54 684; 55 231.
Exercícios
42. a) 197 ou 1,97
Com o mesmo número de casas:
197,00 ou 1,97
Eliminando as vírgulas:
19 700 ou 197
Como 19 700 . 197, temos 197 . 1,97
b) 0,98 ou 11,1
0,98 ou 11,10
98 , 1 110
O maior é 11,1.
c) 0,21 ou 0,12
21 . 12
O maior é 0,21.
43. a) 0,036 ou 0,170
36 , 170
O sinal é ,.
b) 9,999 ou 9,997
9 999 . 9 997
O sinal é ..
c) 7,878 ou 7,870
7 878 . 7 870
O sinal é ..
95
44. 11,473 , 11,680 , 12,182
c)
0,041
5,600
1 9,088
Então, a volta mais rápida (em menor tempo) foi a
de João Paulo.
45. a) Poupança:
f)
5,612
437,980
1 99,900
14,729
35 ? R$ 1.050,00 5 R$ 367,50
100
Manutenção:
32 ? R$ 1.050,00 5 R$ 336,00
100
Despesas na farmácia:
8 ? R$ 1.050,00 5 R$ 84,00
100
Presente para Manuela:
6 ? R$ 1.050,00 5 R$ 63,00
100
Pequenas despesas:
4 ? R$ 1.050,00 5 R$ 42,00
100
b) Restam a seu Pedro:
100% 2 35% 2 32% 2 8% 2 6% 2 4% 5 15%.
46. a) Lapiseira: 24 ? R$ 63,00 5 R$ 15,12
100
Bijuteria: 6 ? R$ 63,00 5 R$ 3,78
100
Lanche: 30 ? R$ 63,00 5 R$ 18,90
100
b) 24% 1 6% 1 30% 5 60%
2.
543,492
78,04
7 804,00
1 780,40
8 662,44
Camila conversa com Gustavo.
5,910
1 3,084
8,994
Maurício conversa com Bela.
0,4172
5,9410
1 486,3800
492,7382
Ricardo conversa com Priscila.
6 471,25
2 4 982,31
1 488,94
Luís conversa com Alexandre.
3. a)
5,789
2 1,230
d)
4,559
7,56
2 1,42
6,14
Sobra: 100% 2 60% 5 40%
b)
40 ? R$ 63,00 5 R$ 25,20
100
6,010
2 5,981
0,029
Dinheiro: aprenda a usar
Fique ligado!
As respostas dependem de situações individuais ou
de informações a serem pesquisadas no momento da
aplicação das atividades.
Capítulo 16 – Operações com decimais
4,10
1 5,78
9,78
1 97,80
107,58
96
0,066
47,020
2 30,495
f ) 486,100
2 11,786
16,525
474,314
4. a) 12,11 . 6,52 . 3,04 . 2,95 . 2,63 . 2,52 . 2,13
As cinco cidades mais populosas são:
São Paulo, Rio de Janeiro, Brasília, Salvador e
Fortaleza.
b) 12,11 1 6,52 1 3,04 1 2,95 1 2,63 5 27,25
c) Vamos somar as populações das outras 5 cidades:
d)
9,88
b)
7,020
2 6,954
27,25 milhões de habitantes
Exercícios
1. a)
c)
e)
0,0718
1 1,4765
1,5483
e)
5,60000
1 0,07895
5,67895
3,04 1 2,95 1 2,63 1 2,52 1 2,13 5 13,27
(milhões de habitantes)
Como 12,11 , 13,27, a afirmação é falsa.
1
.
d) 25% é
4
1

 de 12 milhões 5 3 milhões
4
Como a população de São Paulo é pouco maior
1
que 12 milhões,
dela é pouco maior que
4
3 milhões. A cidade que mais se aproxima dessa
4. Em mil ha: 6 367 1 13 759 1 27 236 1 19 667 1
1 16 919 5 83 948
5. Área desflorestada 5 área original – área atual
Área original (em mil ha): 83 948
população é Brasília.
Área atual (em mil ha): 707 1 1 093 1 2 836 1
1 2 284 1 2 346 5 9 266
5. a) 3,64 1 8,76 5 12,40
20,00 2 12,40 5 7,60
O troco seria de R$ 7,60.
b) Dei ao caixa: 20,00 1 0,40 5 20,40
A área desflorestada nos cinco estados é
(em mil ha): 83 948 2 9 266 5 74 682.
6. Respectivamente: 83,9 milhões de hectares e
74,7 milhões de hectares.
20,40 2 12,40 5 8,00
Exercícios
Recebi R$ 8,00 de troco.
6.
5,080
71,770
1 13,496
90,346
Alexandre
11,0080
13,2476
1 2,0000
26,2556
Maurício
497,215
2 389,789
107,426
Ricardo
117,4000
2 98,8715
18,5285
Priscila
10,0000
2 8,4175
1,5825
Gabriela
7.
5,1
4,71
5,05
3 7,4
33
34
204
14,13
20,20
357
37,74
uma
laranja
farinha
de trigo
9,72
2,8
3 3,15
3 4,15
4 860
140
972
28
2 916
Alexandre encontrou Maurício e juntos foram à
casa de Gabriela. Lá eles encontraram Ricardo
e Priscila, e a turma toda foi ao cinema.
Matemática em notícia
O desflorestamento da Mata Atlântica
1. O estado que apresenta maior área de
desflorestamento da Mata Atlântica é Minas
Gerais, que apresenta a maior diferença entre a
área original e a área atual (em mil ha): 27 623 2
2 2 836 5 24 787.
2. Em todos os estados foi desflorestada mais da
metade da Mata Atlântica, porque a área atual é
menor do que a metade da área original.
3. 10% é 1
10
Para obter 1 da área original é só colocar uma
10
casa decimal:
MS 5 638,6; RS 5 1 385,7; MG 5 2 762,3;
PR 5 1 963,8; SP 5 1 707,3
Apenas no Rio Grande do Sul resta menos do que
10% da área original.
3 0,6180
ovos
açúcar
11,62
3 7,3
3 486
8 134
112
8 4,826
11,620
fermento
8. a) R$ 8,25 ? 3 5 R$ 24,75
b) R$ 8,25 ? 4 5 R$ 33,00
9. Quadro I
• 42,3 1 0,78 2 37,821 5 43,08 2 37,821 5 5,259
42,30
43,080
1 0,78
2 37,821
43,08
5,259
• (0,415 1 9,162) ? 4,3 5 9,577 ? 4,3 5 41,1811
0,415
9,577
1 9,162
3 4,3
9,577
28 73 1
38 3081
4 1,1 8 1 1
97
Quadro II
123
5 1,23
100
0,6
d) 0,6% 5
5 0,006
100
c) 123% 5
• 11,94 ? (1,1)2 2 13,008 5
5 11,94 ? 1,21 2 13,008 5
5 14,4474 2 13,008 5 1,4394
1,1
3 1,1
11,94
3 1,21
14,4474
2 13,0080
11
1 11
1 1 94
2 388
1 1 94 1
1,4394
1,21
14,4474
0,125
3 125
25
101
625
250
125 1
0,1 2 5
b) 20,5% ? 240 5
8,25
100
20,5
? 600 5 49,5
? 240 5 49,2
100
4 ,8
? 1 800 5 86 ,40
15. 4 ,8% ? 1 800 5
100
1 800,00 1 86,40 5 1 886,40
O acréscimo foi de R$ 86,40. Passou a ganhar
• 0,5 ? 0,25 ? 125 5 15,625
0,5
3 0,2 5
14. a) 8,25% ? 600 5
R$ 1.886,40.
16. 12,5% ? 442 880 5
12,5
? 442 880 5 55 360
100
442 880 2 55 360 5 387 520
Em 2017 eram 387 520 habitantes.
17. a) 20,4 5
15,625
204
24
e 2,4 5
10
10
a) O maior valor é 41,1811 do quadro I.
b) Nos dois quadros há valores compreendidos
entre 1 e 10, como: 5,259 e 1,4394.
17
51
1
(
)
(
)
1
? 526 ,80 5 263,40
2
1
b) 10% de 1 349,50 5 ? 1 349,50 5 134 ,95
10
1
c) 25% de 120,36 5 ? 120,36 5 30,09
4
3
d) 30% de 7,5 5 ? 7,5 5 2,25
10
11. (0,2)2 5 0,2 ? 0,2 5 0,04
(1,3)2 5 1,3 ? 1,3 5 1,69
(0,4)3 5 0,4 ? 0,4 ? 0,4 5 0,16 ? 0,4 5 0,064
(3,1)2 5 3,1 ? 3,1 5 9,61
(0,7)3 5 0,7 ? 0,7 ? 0,7 5 0,49 ? 0,7 5 0,343
(1,1)2 5 1,1 ? 1,1 5 1,21
)
(
)
a) 1,69 2 0 ,064 5 1,626
2,25
225
100
10 000
57,7
577
?5
b) 57,7% 5
100
1 000
6 ,29
629
5
c) 6 ,29% 5
100
10 000
0,3
3
5
d) 0,3% 5
100 1 000
12. a) 2,25% 5
13. a) 12,8% 5
12,8
b) 7,55% 5
98
100
5
5 0,128
7,55
100
5 0,0755
b) 9,61
62
5
1
5 8 5 8 5 8,5
2
10
10. a) 50% de 526 ,80 5
(
1
204 24 204 10
17
:
5
?
5 5
b) 20,4 : 2,4 5
10 10
2
10 24
18. a)
Compra de Marta:
3 ? 1,45 5 4,35
1 ? 6,25 5 6,25
4 ? 3,30 5 13,20
2 ? 4,50 5 9,00
5 ? 3,25 5 16,25
2 ? 2,80 5 5,60
3 ? 3,50 5 10,50
1 ? 1,50 5 1,50
4 ? 2,30 5 9,20
1 ? 13,00 5 13,00
3 ? 2,30 5 6,90
5 ? 2,45 5 12,25
1 ? 10,35 5 10,35
4 ? 3,75 5 15,00
Total: R$ 133,35
Compra de Tereza:
2 ? 3,25 5 6,50
2 ? 10,35 5 20,70
3 ? 3,50 5 10,50
3 ? 2,45 5 7,35
1 ? 2,80 5 2,80
2 ? 6,25 5 12,50
2 ? 2,30 5 4,60
2 ? 1,45 5 2,90
1 ? 3,30 5 3,30
3 ? 3,75 5 11,25
Total: R$ 82,40
Marta:
R$ 180,00 2 R$ 133,35 5 R$ 46,65
Tereza:
R$ 130,00 2 R$ 82,40 5 R$ 47,60
b) R$ 42,00 ; 3,50 5 R$ 12,00
c) Desconto: 15% de R$ 17,20 5 R$ 2,58
R$ 17,20 2 R$ 2,58 5 R$ 14,62
8
19. 30
60
3,75
40
0
4
b) 411
011
30
20
Se o grupo tiver 8 alunos, cada um vai contribuir
com R$ 3,75.
2
20. a) 63
03
31,5
10
0
8
c) 83
03
10,375
30
60
40
0
125
d) 1 8 1 0 4
560
144,832
604
1 040
400
2 50
0
4
b) 75
35
18,75
30
20
0
21. 18
0
8
c) 143
63
17,875
70
60
40
0
25
d) 51
10
2,04
100
0
5
e) 48
30 9,6
8
20
40
0
102,75
0
2,25
80
f) 749
290
Cada bombom custou R$ 2,25.
22. a) 110
9,3625
500
200
50
400
100 0,22
0
0
24. 1620385 4
020
405096 ,25
038
25
10
20
0
20
b) 1 637
37
81,85
170
100
0
c) 12647 : 100 5
12647
5 126,47
100
250
d) 6 719
1719
26,876
Cada um recebeu R$ 405.096,25.
25. a) 70
16
60
120
80
2190
0
1900
23. a)
0,4375
7
5 0,4375
16
1500
b) 316
0
16
300 125
500 0,024
5
63,2
316
5 63,2
5
10
0
99
200 25
c)
2
5 0,08
25
0 0,08
d)
30. a) Até a 2a decimal:
94
17
171
5 8,50,
5 8,54 e
5 8,55.
2
11
20
171
.
A maior fração é
20
1 611
5 16,11
100
40
e) 107
270
107
5 2,675
40
2,675
300
b) Até a 3a decimal:
200
0
100 20
f)
1
5 0,05
20
0 0,05
26. 190
32
300
94
17
171
5 8,50,
5 8,54 e
5 8,55.
2
11
20
171
A maior fração é
.
20
19
19
5
5 0,59375
5
32
2
0,59375
120
1 537
461
5 5,122 e
5 5,123.
90
300
1 537
A maior é
.
300
1 537
461
5 5,122 e
5 5,123.
90
300
1 537
A maior é
.
300
31. a) 62
240
020
160
3
c)
10 2,3
10 2,1
1
04
1
5
9
12
40 1,8
1
Como 1,8 . 1,7, temos
29. a) 8
20
6
2
0,15
5
17
117,52
1 2 8
9 0
1,66
40
5 0
2
4
1 6
7
20
1,28
17
d) 171
010
10,05
19
958
080 50,42
60
100
40
4
15
2
8,666
20
13
70
20
20
2 9
6
40
32. 20
3
d) 26
10,142
20
b) 9
100
2,66
2
1 9 9 8
9 12
. .
5
7
c) 10
3
20
7
50 1,7
0
2
30
10
5
90
7
71,3
3,818
20
010
3
d) 214
7
40 1,5
28.
90
20
b) 71
4
b) 11
10,333
6
13
11
c) 42
20
0
27. a) 7
6
21
4 540
34
216,19
130
40
190
1
Desafio
Excurs‹o
Farão a viagem:
140 alunos 1 10 professores 5 150 passageiros.
Como 150 : 41 ù 3,6, o número mínimo de ônibus
para essa excursão é 4.
23
1010
90
43,91
210
30
7
Ou seja, 3 ônibus levam 3 ? 41 5 123 passageiros e
ainda se necessita do 4o ônibus para os 27 passageiros
restantes.
O custo dos ônibus é: 4 ? R$ 1.500,00 5
5 R$ 6.000,00.
Esse custo deverá ser coberto pela quantia que
os alunos pagam, pois os professores ganharam a
passagem da empresa de ônibus. Como:
43
819
389
19,04
200
28
R$ 6.000,00 : 140 ù R$ 42,85, se cada aluno pagar
R$ 42,85, faltará R$ 1,00. Então, cada aluno deverá
pagar R$ 42,86 e sobrarão R$ 0,40.
A frase é “Lugar de lixo é na lixeira”.
33. 88
21
40
4,190
190
40
5,266
100
10
100
10
10
vermelho
laranja
9
824
14
91,555
50
50
50
5
amarelo
23
641
181
27,869
200
160
220
13
verde
11
40
70
3,636
40
70
4
azul
7
97
27
13,857
60
40
50
1
anil
13
685
35
52,692
90
120
30
4
violeta
Exercícios
15
79
34. a) 2,4 : 0,12 5 2,40 : 0,12 5 240 : 12 5 20
b) 5,85 : 0,003 5 5,850 : 0,003 5 5 850 : 3 5
5 1 950
c) 14,7 : 0,003 5 14,700 : 0,003 5 14 700 : 3 5
5 4 900
35. Gustavo:
2,9 : 31,8 5 29 : 318
2900 318
38 0,09
Gustavo vai ganhar um tablet.
Priscila:
0,729 : 0,81 5 0,729 : 0,810 5 729 : 810
7 290 810
0 0,9
Priscila vai ganhar um livro.
Alexandre:
6,75 : 0,024 5 6,750 : 0,024 5 6 750 : 24
6 750
24
1 95
281,25
30
60
120
0
Alexandre vai ganhar um tênis.
101
d) 5,14 : 0,3 5 5,14 : 0,30 5 514 : 30
Maurício:
0,3 : 0,147 5 0,300 : 0,147 5 300 : 147
147
300
600
2,04
514
30
214
17,133
40
100
12
100
Maurício vai ganhar uma mochila.
10
Gabriela:
48,6 : 0,16 5 48,60 : 0,16 5 4 860 : 16
16
4 860
060
303,75
R$ 2,80 ? 3 5 R$ 8,40
Vai sobrar de troco: R$ 10,00 2 R$ 8,40 5
120
5 R$ 1,60. Com esse troco não dá para comprar
80
0
outro quindim.
Gabriela vai ganhar uma boneca.
Ricardo:
9,81 : 2,4 5 9,81 : 2,40 5 981 : 240
240
981
2100 4,08
Ricardo vai ganhar uma bola de vôlei.
Luciana:
0,3 : 0,008 5 0,300 : 0,008 5 300 : 8
8
300
60
Conclusão: Tatiana pode comprar no máximo
3 quindins e terá R$ 1,60 de troco.
b) Como Tatiana levou R$ 10,00, não dá para
comprar 5 brigadeiros, pois o custo passaria de
R$ 10,00.
Como 4 brigadeiros custam menos de R$ 10,00,
daria para comprar 4 e o troco seria:
R$ 10,00 2 R$ 9,40 5 R$ 0,60
180
37,5
40
0
Luciana vai ganhar uma bicicleta.
36. a) 0,03 : 4 5 0,03 : 4,00 5 3 : 400
3 000 400
200 0,007
b) 3,7 : 0,2 5 37 : 2
37
2
17
18,5
10
0
18,5 5 18,500
c) 0,750 : 2,5 5 0,750 : 2,500 5 750 : 2 500
7500 2 500
0 0,3
0,3 5 0,300
102
37. a) Como Tatiana levou R$ 10,00, dá para comprar
3 quindins por:
38. 750 ? 2 5 1 500
1 500 : 187,5 5 8
Podem ser servidos 8 copos.
39. a) 18 ; 3,6 5 5. Cabem 5 galões em 1 lata.
b) 3,6 ; 0,9 5 4. Cabem 4 latinhas em 1 galão.
c) Para carregar o menor número de embalagens
devemos começar pelos maiores. Cada lata tem
18 litros. Para comprar 30 litros:
30
18
12
1
2 ? 18 5 36
36 2 30 5 6
Comprando 2 latas vão sobrar 6 litros.
Comprando 1 lata vão faltar 12 litros.
Vamos dividir 12 por 3,6:
12 ; 3,6 > 3,3
Comprando 1 lata e 4 galões vão sobrar 2,4 litros:
4 ? 3,6 5 14,4
14,4 2 12 5 2,4
Comprando 1 lata e 3 galões vão faltar:
12 2 3 ? 3,6 5 12 2 10,8 5 1,2 (litros)
Cada latinha tem 0,9 litro. Para comprar
1,2 litro, portanto só uma latinha não basta.
Comprando 2 latinhas vão sobrar:
2 ? 0,9 2 1,2 5 1,8 2 1,2 5 0,6 (litro)
A menor sobra possível é 0,6 litro. Para
garantir essa sobra, com o menor número
de embalagens, Pedro deve comprar 1 lata,
3 galões e 9 latinhas.
40. a) 5
4
10
⇒
1,25
4
b) 41
01
10,25
10
20
0
5
5 1,25 (exato)
4
20
41 5 10,25
4
0
16
25
b) 70
200
10
10
1
7
⇒
5 0,28 (exato)
25
0,28
0
11
60
50
25
5,33...
180
50
0
3,72
6
d) 11
50
974 5 12,986
75
611 5 152,75
4
450
91
860
4,9450549...
410
460
0500
450
860
41
790
125
400
0,632
250
0
450 5 4,945054
91
79 5 0,632
125
50
18
217
140
140
14
0,277...
⇒
1,833...
20
20
20
2
Exercícios
Fração Denominador Tipo
22
exato
Fração Denominador Tipo
450
91
7 ? 13
dízima
4
9
32
dízima
79
125
53
exato
16
3
3
dízima
5
18
2 ? 32
dízima
exato
217
5
5
exato
93
25
5
974
75
3 ? 52
dízima
173
50
2 ? 52
exato
611
4
22
exato
491
3
3
dízima
2
93 5 3,72
25
11
5 1,8333...
6
(dízima periódica)
5
41
4
93
974
224
740
650
500
500
50
60
41. a)
3
5
5 0,4545...
11
(dízima periódica)
⇒
0,4545...
9
40 0,444...
4
4 5 0,4
9
16 5 5,3
3
c) 50
40
75
12,9866...
611
21
11
30
20
0
17
20
0
4
152,75
5
43,4
5 5 0,27
18
217 5 43,4
5
173
50
491
3
230
300
0
3,46
19
11
20
20
2
163,66...
173 5 3,46
50
491 5 163,6
3
103
42. a) 6 5 2 5 4 5 0,4
5
10
15
28
8
4? 2
4
5
5 0,8
5
5
b)
5? 2
35
5
10
c) 44 5 4 5 1,333...
33
3
39
3
d)
5
5 1,5
26
2
Das frações acima, a única que não pode ser
convertida em decimal exato é a do item c.
Desafio
Mudando de assunto
1. Há 2 resultados possíveis, igualmente prováveis,
no lançamento da moeda: cara, coroa. “Cara” é 1
possibilidade em 2 igualmente prováveis.
Então, a probabilidade de dar “cara” é: 1 .
2
Em porcentagem: 50%.
2. a) Na cartela temos 4 ? 4 5 16 circunferências.
b) A circunferência da posição 4D é a possibilidade
em 16 possibilidades igualmente prováveis no
sorteio.
O colecionador
Como 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1
1 9 1 10 5 55, para que os 11 cofrinhos fiquem
com números diferentes de moedas, no mínimo
precisamos de 55 moedas.
Como Tiago só tem 51, não conseguirá o que
pretende. Pelo menos dois cofrinhos ficarão com
quantidades iguais.
Note que até o 10o cofrinho ele consegue, porque
0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 5 45. Daí,
no último cofrinho ficarão 6 moedas e já tem outro
com essa quantidade.
Oito séculos depois
Em qualquer fração equivalente a uma
fração unitária, o numerador é um divisor do
denominador. Por exemplo:
1 é divisor de 25
1
2
4 
5
5
2 é divisor de 50
25
50
100 
4 é divisor de 100
73
numa soma de
100
frações unitárias, devemos decompor 73 em
Assim, para decompor
uma soma de divisores de 100. Empregando
divisões diferentes, obteremos frações unitárias
diferentes. Como os divisores de 100 são 1, 2, 4, 5,
10, 20, 25, 50 e 100, temos:
73
50 1 20 1 2 1 1
5
5
100
100
20
50
2
1
5
1
1
1
100
100
100
100
Então:
73
50
20
2
1
5
1
1
1
100
100
100
100
100
73 5 1 1 1 1 1 1 1
100
2
5
50
100
104
1
2
3
4
A B C D
A probabilidade de Nuno ter pintado a
circunferência 4D é:
6 ,25
1
5 0,0625 5
5 6 ,25%
16
100
c) Na 1a linha há as circunferências: 1A, 1B, 1C e 1D.
Então, há 4 possibilidades de que Nuno tenha
pintado de vermelho uma circunferência
de 1a linha, em 16 possibilidades igualmente
prováveis.
A probabilidade pedida é:
4
1
5 5 25%
16 4
3. As possibilidades de resultado são os números:
1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Elas são igualmente prováveis (com a suposição
de dado não viciado).
a) O “número 2” é uma possibilidade em 6
possibilidades igualmente prováveis. A
probabilidade de que saia o número 2 na face
superior é:
16 ,67
1
• 0,1667 5
5 16 ,67%
6
100
b) As possibilidades para número par são: 2, 4, 6.
Portanto, 3 possibilidades em 6 igualmente
prováveis.
A probabilidade de que saia um número par na
face superior é:
3 1
5 5 50%
6 2
Matemática em tempo
4. 7 está na casa dos milésimos, portanto vale
Origens das frações decimais
1. Resposta pessoal. Damos a seguir alguns
exemplos.
a) Observe a adição:
4? 3 1 1? 5
3
1
17
5
1
5
5
4
20
20
3
3
Como, porém,
5 0,6 e
5 0,25, então
5
5
0,6 1 0,25 5 0,85. Logo, a adição com frações
decimais exatas é muito mais fácil e prática.
b) Numa corrida de 10 000 m, quando o corredor
passou pela marca de 7 500 m, dizemos
3
comumente que ele já percorreu
(ou 75%)
4
da prova e não 0,75 da prova.
c) Numa loja que está fazendo uma liquidação
pode-se encontrar, por exemplo, um cartaz
junto a um artigo com os dizeres “20% de
desconto”. Dificilmente 1 de desconto ou 0,2
5
de desconto.
2. 2,1333... ? 1,666... 5
32 5 5
?
15 3
5 160 5 32 5 3,555...
45
9
3. a) Sim: 1 1 1 1 1 1 1 5
25
5
4
2
4 1 20 1 25 1 5
50
99
5
5
100
100
14 400 1 1 620 1 24
27
24
b) 4 1
5
1
5
3 600
60
3 600
5 4,45666...
4. O 6 envolvido por um círculo indica que 8
é a sexta casa decimal do multiplicando. O
2 envolvido por um círculo indica que 4 é a
segunda casa decimal do multiplicador. Como
há seis casas decimais no primeiro fator e duas
no segundo, no produto há 6 1 2 5 8 casas
decimais, logo 4 zeros à frente do 2 inicial. Em
simbologia moderna:
0,000378 ? 0,54 5 0,00020412
Teste seus conhecimentos
1. 2,31 5 2,310 e 2,32 5 2,320.
Das alternativas apresentadas, apenas 2,315 está
compreendido entre 2,310 e 2,320.
Alternativa: c
2. Alternativa: c
3.
35
7
5
100
20
Alternativa: a
0,35 5
7
.
1 000
Alternativa: d
5. 22,5 s é um tempo menor do que 23,34 s. A
diferença é:
23,34 s 2 22,5 s 5 0,84 s
Alternativa: d
6.
3,270
1 2,281
5,551
Alternativa: a
7.
2 ? R$ 100,00 5 R$ 200,00
R$ 200,00 2 R$ 126,80 5 R$ 73,20
Alternativa: e
8. Total das compras:
37,90 1 26,40 1 32,50 5 96,80
Sobra: 120,00 2 96,80 5 23,20
Alternativa: b
9. 40% 5 40 5 4 5 2
100
10
5
Alternativa: c
10. Ele gastou 3 ? R$ 2,20 1 2 ? R$ 2,35 5
5 R$ 6,60 1 R$ 4,70 5 R$ 11,30. O troco foi de
R$ 20,00 2 R$ 11,30 5 R$ 8,70.
Alternativa: d
11. Ele pagou R$ 480,00 1 12 ? R$ 108,00 5
5 R$ 480,00 1 R$ 1.296,00 5 R$ 1.776,00.
Se tivesse comprado à vista, economizaria
R$ 1.776,00 2 R$ 1.560,00 5 R$ 216,00.
Alternativa: b
12. O número de alunos que continuam a estudar é
96 2 24 5 72. O porcentual é 72 5 6 5
96
8
3
25
75
3? 2
5
5
5
5 75%.
4
4 ? 25
100
Alternativa: e
(
)
13. 6% de 2,50 5
6
? 2,50 5 0,15
100
Novo preço: 2,50 1 0,15 5 2,65
Alternativa: c
14. O litro passou a custar R$ 3,60 1 10% de R$ 3,60,
1
ou seja, R$ 3,60 1
? R$ 3,60 5
10
5 R$ 3,60 1 R$ 0,36 5 R$ 3,96.
Para encher um tanque de 40 litros, vai gastar
40 ? R$ 3,96 5 R$ 158,40.
Alternativa: c
105
15. R$ 205,50 correspondem a 15% do salário antigo.
15
3
15% 5
5
100 20
1
do salário antigo era: 205,50 ; 3 5 68,50
20
O salário antigo era: 68,50 ? 20 5 1 370,00
Alternativa: d
3


1
16. (0,001)3 5  1  5
5 0,000001
 100 
1 000000
Alternativa: c
17. 25 ? 400 5 10 000
0,025 ? 40 5
10 000
25
400
?
5
51
1 000
10
10 000
Alternativa: c
18. a)
1
2
(não)
5
50
100
b) 11 5 275 (não)
4
100
c)
1
5 0,055... (sim)
18
84
d) 21 5
(não)
25
100
Alternativa: c
20
1
5
5 20%
5
100
19.
O percentual de habitantes com idade superior a
45 anos é 100% 2 55% 2 20% 5 25%.
Alternativa: b
20. 60 em 150 correspondem a 60 5 2 5 40 5
150
5
100
5 40%. Os 100% 2 40% 5 60% restantes foram
reprovados.
Alternativa: e
5. a) A unidade mais adequada para medir a largura
do caderno é o centímetro.
b) A unidade mais adequada para medir a
distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é
o quilômetro.
c) A unidade mais adequada para medir a altura
de um prédio de 20 andares é o metro.
6. a) 37,2 m 5 37 metros e 2 decímetros.
b) 1,07 m 5 1 metro e 7 centímetros.
c) 1,213 m 5 1 metro e 213 milímetros.
7.
0,01 m 5 1 cm
10 m 5 1 dam
0,1 m 5 1 dm
0,001 m 5 1 mm
100 m 5 1 hm
1 000 m 5 1 km
8. a) 10 dm correspondem a 1 m.
b) 1 km corresponde a 1 000 m.
c) 1,7 km corresponde a 1 700 m.
d) 129 cm correspondem a 1,29 m.
e) 548 mm correspondem a 0,548 m.
9. a) 1 m corresponde a 100 cm.
b) 1 dm corresponde a 10 cm.
c) 1 km corresponde a 100 000 cm.
d) 2,1 m correspondem a 210 cm.
e) 37 mm correspondem a 3,7 cm.
10. 6o A: 2,1 m 1 4,75 m 1 5,001 m 5 11,851 m
6o B: 0,064 km 1 12,7 dm 1 0,097 km 5
Unidade 6 – Geometria e medidas
5 64 m 1 1,27 m 1 97 m 5 162,27 m
Capítulo 17 – Unidades de comprimento
6o C: 81,7 cm 1 972 mm 1 5 m 5
Exercícios
1. Resposta pessoal.
2. Certamente o lápis de Luciana mede mais do que
1 centímetro e caberá menos vezes na largura da
carteira do que o centímetro. Logo, a medição
feita por Júlia resultará em um número maior que
o da medição feita por Luciana.
3. Certamente o passo de Ricardo mede menos do
que 1 metro e caberá mais vezes no comprimento
da quadra. Logo, Ricardo obteve um número
maior que o obtido por Alexandre.
4. metro m
centímetro cm
decímetro dm
quilômetro km
milímetro mm
106
colar
sapatos
5 0,817 m 1 0,972 m 1 5 m 5 6,789 m
perfume
11. 21 m 1 74 dm 1 214 cm 5 21 m 1 7,4 m 1
1 2,14 m 5 30,54 m feliz
104 m 1 0,39 km 5 104 m 1 390 m 5
5 494 m aniversário
2 km 1 3 hm 1 4 dam 1 7 m 5 2 000 m 1
1 300 m 1 40 m 1 7 m 5 2 347 m professora
817 mm 1 18 cm 1 3 dm 5 0,817 m 1 0,18 m 1
1 0,3 m 5 1,297 m Ana Paula
Feliz aniversário, professora Ana Paula!
12. a) 2,5 ? 30 cm 5 75 cm
b) 75 cm 5 0,75 m
13. 2,54 cm 5 25,4 mm
14. 12 ? 2,54 cm 5 30,48 cm
15. 12 jardas 5 12 ? 3 pés 5 36 pés 5 36 ? 30,48 cm >
> 1 097 cm 5 10,97 m
16. a) 3,52 m 5 352 cm
b) Para saber o número de livros, basta dividir o
comprimento total da prateleira (3,52 m) pela
lombada de cada livro (2,2 cm), após colocar
ambas as medidas na mesma unidade.
3,52 m 5 352 cm
352 ; 2,2 5 160
5. Priscila: 6 vértices hexágono
Luciana: 8 lados octógono
Ricardo: 9 vértices eneágono
Alexandre: 7 vértices heptágono
Maurício: 5 lados pentágono
Gabriela: 10 lados decágono
6. figura ①:
Cabem 160 livros na prateleira.
a) quadrilátero
Capítulo 18 – Poligonal, polígonos e curvas
b) 4 vértices: A, B, C, D
c) lados: AB, BC, CD, DA
Exercícios
figura ②:
1. figura ①
a) consecutivos: AB e BC; AB e BD; CB e BD
b) consecutivos e colineares: AB e BD
figura ②
a) consecutivos: AB e BC; AB e BD; AB e BE; BC
e BD; BC e BE; BD e BE
b) consecutivos e colineares: AB e BD
figura ③
a) consecutivos: AB e BC; AB e BD; CB e BD
b) consecutivos e colineares: CB e BD
figura ④
a) consecutivos: AO e OE; AO e OB; AO e OC; AO e
OD; BO e OE; BO e OC; BO e OD; CO e OE; CO e
OD; DO e OE
b) consecutivos e colineares: EO e OB; AO e OD
7.
Nome do polígono
Vértices
Lados
Ângulos
triângulo
3
3
3
decágono
10
10
10
pentágono
5
5
5
quadrilátero
4
4
4
hexágono
6
6
6
8. a) As figuras ②, ③, ⑤ e ⑥ têm dois pares de lados
paralelos.
b) As figuras ③ e ⑥ têm todos os lados iguais.
c) As figuras ② e ③ têm todos os ângulos retos.
f) As figuras ② e ③ são retângulos.
g) Apenas a figura ③ é um quadrado.
h) A figura ④ é um trapézio.
9. O contorno externo da região verde é um
retângulo; o da amarela é um losango. Ambos são
paralelogramos.
Apenas a afirmação III é verdadeira.
10. a) 7 cm 1 10 cm 1 7 cm 5 24 cm
3. a) É simples a poligonal da figura ①; as das
figuras ② e ③ não são simples.
b) A figura ① tem 7 vértices e 6 lados.
b) 5 cm 1 5 cm 1 7 cm 5 17 cm
c) 3,5 cm 1 3,5 cm 1 3,5 cm 1 3,5 cm 5 14 cm
d) 3,5 cm 1 3,5 cm 1 5 cm 5 12 cm
A figura ② tem 7 vértices e 6 lados.
A figura ③ tem 8 vértices e 7 lados.
①
②
③
④
c) lados: HI, IJ, JK, KL, LM, MN, NO, OH
e) As figuras ③ e ⑥ são losangos.
figura ②
a) poligonal
b) extremidades: H e M
c) vértices: H, I, J, K, L, M
d) lados: HI, IJ, JK, KL, LM
Figura
b) 8 vértices: H, I, J, K, L, M, N, O
d) As figuras ②, ③, ⑤ e ⑥ são paralelogramos.
2. figura ①
a) poligonal
b) extremidades: A e G
c) vértices: A, B, C, D, E, F, G
d) lados: AB, BC, CD, DE, EF, FG
4.
a) octógono
e) 3,5 cm 1 5 cm 1 3,5 cm 1 5 cm 5 17 cm
Tipo de poligonal
Número
de vértices
Número
de lados
7
6
5
4
sim
8
7
sim
7
6
sim
simples não simples
sim
11. 2 m 1 0,003 km 1 35 dm 5 2 m 1 3 m 1 3,5 m 5
5 8,5 m
12. 3,8 cm 1 3,8 cm 1 3,8 cm 1 3,8 cm 5 15,2 cm
13. O perímetro é 20 m 1 42 m 1 19 m 1 58 m 1
1 15 m 1 21 m, ou seja, 175 m. Cada volta de
arame deve ter 175 m e o arame deve medir
5 ? 175 m, ou seja, 875 m.
14. 60 m 1 100 m 1 60 m 1 100 m 5 320 m
107
15. O perímetro do ringue é 4 ? 4 m 5 16 m. Como são
3 cordas, serão necessários 3 ? 16 m, ou seja, 48
m de corda.
16. Em uma volta, ele percorreu 4 ? 55 m, que são 220 m.
Em 7 voltas, percorreu 7 ? 220 m, que são 1 540 m.
17. Ele percorreu: 112 m 1 (2 ? 85 m) 1 (3 ? 112 m) 1
1 (2 ? 85 m) 1 112 m 1 85 m 1 (3 ? 112 m) 1 (4 ? 85 m) 5
5 112 m 1 170 m 1 336 m 1 170 m 1 112 m 1 85 m 1
1 336 m 1 340 m 5 1 661 m
Desafio
Kilos de kilo
1 024 5 210. Então, 1 KB 5 210 B
1 MB 5 210 KB 5 210 ? 210 B 5 210 1 10 B 5 220 B
1 GB 5 210 MB 5 210 ? 210 KB 5 220 KB 5 220 ? 210 B 5
5 230 B
10 1 10 1 20 1 10 1 20 1 30 5 100.
Sem sobrepor
Desafio
A
B
C
D
Decompondo um quadrado
O quadrado tem 1 000 mm de lado. O quadrado pode
ser dividido em 1 000 ? 1 000, ou seja, 1 000 000 de
quadradinhos, cada um com 1 mm de lado.
Colocando 1 000 000 de quadradinhos em fila, um ao
lado do outro, a fila teria 1 000 000 de mm, ou seja,
1 000 m ou, ainda, 1 km.
4 peças L
4 peças L
Vamos tentar “cobrir” a peça C com a peça L, sem
sobreposição. O quadradinho assinalado com
pode ser coberto de quatro modos:
x
Exercícios
4 peças L
y
x
y
x
x
y
18. a) curva fechada simples
b) curva aberta simples
No 1o modo, o quadradinho assinalado com
x não pode ser coberto por uma peça L sem
sobreposição. Nos demais, o x só pode ser coberto
de uma maneira, que deixa y inacessível sem
sobreposição.
c) curva fechada simples
d) curva fechada simples
e) curva aberta simples
f ) curva fechada não simples
19. a) São internos os pontos A, C, E; são externos os
pontos B e D.
b) São internos os pontos O, Q, T; são externos os
pontos P, R, S.
20.
Curva
Aberta/Fechada
Simples/Não simples
①
fechada
simples
②
fechada
simples
③
aberta
simples
④
fechada
simples
⑤
fechada
não simples
⑥
aberta
não simples
⑦
fechada
simples
⑧
fechada
simples
22. a) Um circuito de Fórmula 1 é uma curva fechada,
simples.
b) Um circuito de Fórmula Indy é uma curva
fechada, simples.
108
Portanto, a peça C não pode ser montada com
peças L sem sobreposição. As peças A, B e D
podem, como mostram as figuras acima.
Capítulo 19 – Unidades de área
Exercícios
1. decímetro quadrado dm2
quilômetro quadrado km2
metro quadrado m2
centímetro quadrado cm2
2. Certamente a área da folha do caderno é menor
do que 1 m2 e cabe mais vezes na sala de aula.
Logo, Alexandre obteve um número maior do que
o número obtido por Júlia.
3. A área da sala de aula seria medida em metros
quadrados; a tela de um telefone celular, em
centímetros quadrados.
4. a) 1 m2 5 100 dm2
b) 1 m2 5 10 000 cm2
c) 1 m2 5 1 000 000 mm2
5. 1 km2 5 1 000 000 m2
6. a) 0,13 m2 5 (0,13 ? 100) dm2 5 13 dm2
b) 0,9872 m2 5 (0,9872 ? 100) dm2 5 98,72 dm2 5
5 (98,72 ? 100) cm2 5 9 872 cm2
c) 0,01 m 5 (0,01 ? 100) dm 5 1 dm
2
2
2
15. A fazenda Lago Azul mede 200 alqueires 5
5 (200 ? 24 200) m2 5 4 840 000 m2 e
4 840 000 m2 5 48 400 dam2 5 484 hm2 5
5 4,84 km2
16. A plantação de eucaliptos mede 57 alqueires 5
5 (57 ? 24 200) cm2 5 1 379 400 m2
17. Área atingida pelo incêndio:
d) 15,47 m2 5 (15,47 ? 100) dm2 5 1 547 dm2
e) 10,32 m2 5 (10,32 ? 100) dm2 5 1 032 dm2 5
5 (1 032 ? 100) cm2 5 103 200 cm2
f) 0,0001 m2 5 (0,0001 ? 100) dm2 5 0,01 dm2 5
5 (0,01 ? 100) cm2 5 1 cm2
g) 100 cm2 5 (100 ; 100) dm2 5 1 dm2
h) 10 000 m2 5 (10 000 ; 100) dam2 5 100 dam2 5
5 (100 ; 100) hm2 5 1 hm2
5 ha 5 (5 ? 10 000) m2 5 50 000 m2
50 000 m2 : 7 000 m2 5 7
Aproximadamente 7 campos de futebol.
18. 1 532 ha 5 (1 532 ? 10 000) m2 5 15 320 000 m2 5
5 15,32 km2
19. a) 5 m ? 8 m 5 40 m2
b) A figura deve ser dividida em duas regiões:
4 cm
i) 1 000 000 m2 5 (1 000 000 ; 100) dam2 5
5 10 000 dam2 5 (10 000 ; 100) hm2 5 100 hm2 5
5 (100 ; 100) km2 5 1 km2
7.
4 cm
a) 947 dm2 5 (947 ; 100) m2 5 9,47 m2
2 cm
b) 10 615 cm2 5 (10 615 ; 100) dm2 5 106,15 dm2 5
5 (106,15 ; 100) m2 5 1,0615 m2
3 cm
8. a) 3 km2 5 (3 ? 100) hm2 5 300 hm2 5
5 (300 ? 100) dam2 5 30 000 dam2 5
5 (30 000 5 100) m2 5 3 000 000 m2
A área é (4 cm ? 4 cm) 1 (2 cm ? 3 cm) 5
5 16 cm2 1 6 cm2 5 22 cm2
Outro modo:
b) 10 122 300 mm2 5 (10 1 22 300 ; 100) cm2 5
5 101 223 cm2 5 (101 223 ; 100) dm2 5
5 1012,23 dm2 5 (1 01 2 023 ; 100) m2 5
5 10,1223 m2
4 cm
2 cm
9. 0,16 km2 5 0,16 ? 1 000 000 m2 5 160 000 m2
2 cm
160 000 m2 : 4 5 40 000 m2
10. a) 4 m2 1 250 cm2 5 4 m2 1 0,025 m2 5 4,025 m2
b) 0,5 km 1 600 m 5 500 000 m 1 600 m 5
5 500 600 m2
2
2
2
2
c) 2 m2 1 3 dm2 1 4 cm2 5
5 2 m2 1 0,03 m2 1 0,0004 m2 5 2,0304 m2
d) 0,1 km2 1 9,3 hm2 1 74,3 dam2 5 100 000 m2 1
1 93 000 m2 1 7 430 m2 5 200 430 m2
11. O quarteirão.
12. O alqueire.
13. a) 15 a 5 (15 ? 100) m2 5 1 500 m2
b) 1,25 ha 5 (1,25 ? 10 000) m2 5 12 500 m2
c) 6,2 a 5 (6,2 ? 100) m2 5 620 m2
d) 5,9 ha 5 (5,9 ? 10 000) m2 5 59 000 m2
e) 2 alqueires 5 (2 ? 24 200) m2 5 48 400 m2
14. O sítio do Gustavo mede: 15 ha 5
5 (15 ? 10 000) m2 5 150 000 m2 e 150 000 m2 5
5 1 500 dam2 5 15 hm2 5 0,15 km2
7 cm
A área é (4 cm ? 2 cm) 1 (7 cm ? 2 cm) 5
5 8 cm2 1 14 cm2 5 22 cm2
c) Cada retângulo tem área de 2 cm ? 1 cm 5
5 2 cm2. Como são 16 retângulos, a área é
16 ? 2 cm2 5 32 cm2.
d) Juntando-se 2 dos triângulos, forma-se um
quadrado com 1 cm de lado. Os 4 triângulos
formam, então, 2 quadrados de 1 cm de lado e a
área é 2 ? (1 cm ? 1 cm) 5 2 cm2.
e) A área do quadrado é 9 cm ? 9 cm 5 81 cm2.
A área do triângulo é metade da área do
quadrado, ou seja, 81 cm2 .
2
f) A área do retângulo é 2,1 cm ? 7,2 cm 5
5 15,12 cm2. A área do triângulo é metade da
área do retângulo, ou seja, 7,56 cm2.
20. a) 12 cm ? 8 cm 5 96 cm2
b) 6,5 cm ? 2,5 cm 5 16,25 cm2
c) 1,2 cm ? 1,2 cm 5 1,44 cm2
109
d) 2,7 m ? 2,7 m 5 7,29 m2
e) Se o lado mede x cm, o perímetro é 4x cm.
Como o perímetro é 20 cm, o lado mede
20 cm
5 5 cm.
x5
4
A área é 5 cm ? 5 cm 5 25 cm
2
21. A área do salão é 10 m ? 10 m 5 100 m 5
5 1 000 000 cm2. O lado da lajota mede 20 cm e a
área de cada uma é 20 cm ? 20 cm 5 400 cm2.
2
Desafios
Quadrado ampliado
Suponhamos que o quadrado inicial ① tenha o lado ,.
Quando aumentamos em 2 cm o seu lado,
formamos um novo quadrado, representado pelo
quadrado inicial mais dois retângulos de lados , e
2 cm e um quadrado menor de lado 2 cm.
2
1 000 000 ; 400 5 2 500. Logo, são necessárias
2 500 lajotas.
22. área das paredes laterais:
1,5 m ? (7,5 1 4,5 1 7,5 1 4,5) m 5 36 m2
área do fundo: 7,5 m ? 4,5 m 5 33,75 m2
área total a revestir: 36 m2 1 33,75 m2 5 69,75 m2
área de cada azulejo: 0,15 m ? 0,15 m 5 0,0225 m2
número de azulejos: 69,75 ; 0,0225 5 3 100
23. área das paredes: 2 ? 18 m2 1 2 ? 30 m2 5 96 m2
área do teto: 60 m2
área total: 156 m2
O pintor deve cobrar: 156 ? R$ 6,25 5 R$ 975,00
24. Cada folha tem área de 21 cm ? 28 cm 5 588 cm2.
As 104 folhas do livro têm área igual a
104 ? 588 cm2 5 61 152 cm2 5 6,1152 m2
25. A área do terreno é 12 m ? 25 m 5 300 m2.
A construção ocupa uma área de 10 m ? 10 m 5
5 100 m2.
A área do terreno em que não há construção é
300 m2 2 100 m2 5 200 m2.
26. A altura da janela é 1 m. Subtraindo-se as duas barras
de 2 cm, a altura do vidro é 1 m 2 (2 ? 2) cm 5
5 1 m 2 2 ? 0,02 m 5 0,96 m.
A largura da janela é 1 m. Subtraindo-se as duas
barras de 2 cm e a barra de 3 cm, a largura do
vidro é 1 m 2 (2 ? 2) cm 2 3 cm 5
5 1 m 2 (2 ? 0,02) m 2 0,03 m 5 0,93 m.
A área da parte de vidro é 0,96 m ? 0,93 m 5
5 0,8928 m2.
27. a) A área da cozinha é 3 m ? 2,5 m 5 7,5 m2.
b) A área do banheiro é 3 m ? 1,5 m 5 4,5 m2.
c) A área da sala é 4 m ? 3 m 5 12 m2.
d) A área do quarto com duas camas de solteiro é
2,8 m ? (2 1 1) m 5 8,4 m2.
e) A área do quarto com uma cama de casal é
3,5 m ? 3 m 5 10,5 m2.
f) A área do corredor que vai da cozinha ao
banheiro é 1 m ? (2,5 m 1 3,5 m 1 1,5 m) 5
5 1 m ? 7,5 m 5 7,5 m2.
A área dos dois corredores ao lado da sala é
1 m ? 2,8 m 1 1 m ? 4 m 5 6,8 m2.
A área da casa toda é: 7,5 m2 1 10,5 m2 1 4,5 m2 1
1 12 m2 1 8,4 m2 1 7,5 m2 1 6,8 m2 5 57,2 m2.
110
º
①
º
2
2
º
2
Não vamos considerar a área do quadrado inicial.
Como a área aumentou 16 cm2 e o quadrado menor
tem área de 4 cm2, então os dois retângulos têm
área de 16 cm2 2 4 cm2 5 12 cm2; portanto, cada
um deles tem área de 6 cm2.
Como um lado do retângulo mede 2 cm, então o
outro mede 3 cm. Portanto, , 5 3 cm.
Assim, o novo quadrado tem lado de 5 cm.
Ajude o azulejista
A parede tem 9 m2 e cada azulejo tem 0,04 m2;
então, serão assentados 9 m2 ; 0,04 m2 5 225
azulejos em 15 filas horizontais e 15 colunas
verticais.
a) Em cada diagonal serão colocados 15 azulejos
azuis, mas o total de azulejos azuis nas
diagonais é 29, porque um deles é comum a
duas colunas. Dessa forma, o total de azulejos
brancos é 225 2 29 5 196.
b) Nesse caso, tudo depende da cor dos azulejos
usados nos cantos da parede. Se eles forem
brancos, haverá 8 filas horizontais com
8 azulejos brancos e 7 filas horizontais com
7 azulejos brancos; o total de azulejos brancos
será, então, 64 1 49 5 113. Se eles forem
azuis, o total de azulejos azuis será 113 e, em
consequência, os azulejos brancos serão
225 2 113 5 112.
Mudando de assunto
1. a) As dimensões do retângulo laranja são: 4 cm e
2 cm.
As dimensões do retângulo amarelo são 8 cm e
4 cm.
b) Sim, pois o retângulo amarelo pode ser obtido
pela ampliação do retângulo laranja.
d) área do retângulo laranja: 8 un
área do retângulo amarelo: 32 un
Logo, a área do retângulo amarelo equivale a
quatro vezes a área do retângulo laranja.
2. a) Redução
0,5 cm
0,5 cm
3. Figura do item a
Perímetro da figura original: 20 cm
Perímetro da figura reduzida: 10 cm
Perímetro da figura ampliada: 40 cm
Figura do item b
Perímetro da figura original: 26 cm
Perímetro da figura reduzida: 13 cm
Perímetro da figuram ampliada: 52 cm
Ampliação
Nas ampliações, o perímetro da figura original foi
multiplicado por 2; nas reduções, por 1 .
2
4. Figura do item a
Área da figura original: 12 cm2
Área da figura reduzida: 3 cm2
Área da figura ampliada: 48 cm2
2,0 cm
Figura do item b
Área da figura original: 19 cm2
Área da figura reduzida: 4,75 cm2
Área da figura ampliada: 76 cm2
2,0 cm
Nas ampliações, a área da figura original foi
multiplicada por 4; nas reduções, por 1 .
4
5. O perímetro será multiplicado pelo mesmo
número, mas a área será multiplicada pelo
quadrado desse número.
6. Os triângulos PQR e OST são semelhantes ao
triângulo ABC.
b) Redução
7.
0,5 cm
0,5 cm
Sim. O quadrado de lado 8 cm é uma ampliação
do quadrado de lado 5 cm. Além disso, todos os
quadrados são semelhantes entre si.
8. Desenho feito pelo aluno em malha quadriculada.
Matemática em notícia
Incêndio consome 332 mil hectares
no Parque Nacional do Araguaia
1. 557 714 ha > 558 mil ha
Em alqueires paulistas (1 alqueire 5 2,42 ha):
557 714 ; 2,42 > 230 mil
Ampliação
2,0 cm
2,0 cm
2.
332 mil
558 mil
ù 0,595 5
59,5
100
5 59,5%
3. Pelo texto, a área destruída é equivalente a 2
cidades de São Paulo.
332 mil ha ; 2 5 166 mil ha
Em alqueires paulistas:
166 mil ; 2,42 > 69 mil
4. Resposta pessoal.
5. Por exemplo: não queimar lixo, nem folhas secas
ou troncos caídos no chão; não jogar pontas de
cigarro aceso na beira da estrada; ao notar fogo,
avisar autoridades (como bombeiros) para que
possam combatê-lo.
111
Capítulo 20 – Unidades de volume
11. O volume da caixa é 1,2 m ? 1,2 m ? 1,4 m 5 2,016 m3
12. O volume de ar é 5 m ? 3,2 m ? 2,3 m 5 36,8 m3
Exercícios
1. Como o volume do copo é menor do que o da
jarra, então foi Ricardo que obteve a medida
numericamente maior.
b) cinco metros cúbicos e setecentos e trinta e
cinco decímetros cúbicos.
O número de betoneiras é 45 m3 ; 8 m3 5 5,625.
Então, são necessárias pelo menos 6 betoneiras.
16. a) 2 kL 5 (2 ? 1 000) L 5 2 000 L
c) 1 centímetro cúbico.
3. a) Para o refrigerante contido em uma garrafa se
usaria o cm3.
b) Para o ar contido na sala se usaria o m .
c) Para a água de uma piscina se usaria o m3.
3
c) 1 m 5 1 000 000 000 mm
c) 9,48 daL 5 (9,48 ? 10) L 5 94,8 L
17. a) 2 litros e 4 décimos de litro ou 2 litros e 4
decilitros.
b) 7 litros e 51 centésimos de litro ou 7 litros e 51
centilitros.
b) 1 m3 5 1 000 000 cm3
3
b) 3,5 hL 5 (3,5 ? 100) L 5 350 L
d) 4,5 kL 5 (4,5 ? 1000) L 5 4 500 L
3
4. a) 1 m 5 1 000 dm
14. O volume do asfalto é 50 m ? 8 m ? 0,12 m 5 48 m3
15. O volume de concreto é 10 m ? 15 m ? 0,30 m 5 45 m3
2. a) vinte e oito decímetros cúbicos.
3
13. Podem ser armazenados 34 m2 ? 22 m 5 748 m3
de grãos de milho.
3
5. 1 km3 5 1 000 000 000 m3
c) 12 litros e 417 milésimos de litro ou 12 litros e
417 mililitros.
6. a) 1 m3 5 (1 ? 1 000) dm3 5 1 000 dm3 5
d) 0,5 L é meio litro ou 5 décimos de litro ou
5 decilitros.
5 (1 000 ? 1 000) cm3 5 1 000 000 cm3
b) 1 dm 5 (1 ? 1 000) cm 5 1 000 cm
3
3
3
c) 1 km3 5 (1 ? 1 000) hm3 5 1 000 hm3 5
5 (1 000 ? 1 000) dam3 5 1 000 000 dam3 5
5 (1 000 000 ? 1 000) m3 5 1 000 000 000 m3 5
5 (1 000 000 000 ? 1 000) dm3 5
5 1 000 000 000 000 dm3 5
5 (1 000 000 000 000 ? 1 000) cm3 5
5 1 000 000 000 000 000 cm3
7.
a) 1 dm3 5 (1 ; 1 000) m3 5 0,001 m3 5
5 (0,001 ; 1 000) dam3 5 0,000001 dam3
b) 1 dm3 5 (1 ; 1 000) m3 5 0,001 m3
8. a) 10 dm 5 (10 ; 1 000) m 5 0,01 m
3
3
d) 500 cm3 5 0,5 dm3 5 0,5 L
e) 1,2 dam3 5 (1,2 ? 1 000) m3 5 1 200 m3
f) 67 800 cm3 5 (67 800 ; 1 000) dm3 5 67,8 dm3 5
5 (67,8 ; 1 000) m3 5 0,0678 m3
9. a) 6,4 m3 1 1 240 dm3 5 6,4 m3 1 1,24 m3 5 7,64 m3
b) 2 m 1 30 dm 1 400 cm 5
5 2 m3 1 0,03 m3 1 0,0004 m3 5 2,0304 m3
3
c) 48 m 1 4,8 m 1 1 200 dm 5
5 52,8 m3 1 1,2 m3 5 54 m3
3
3
3
10. 45 500 000 000 m3 5 45,5 km3
112
b) 1 L 5 1 dm3 5 1 000 cm3 5 1 000 000 mm3
1
L 5 1 000 mm3 e
Então 1 mL 5
1 000
0,036 mL 5 (0,036 ? 1 000) mm3 5 36 mm3.
3
d) 9 840 dm3 5 (9 840 ; 1 000) m3 5 9,84 m3
3
20. a) Pela bula, 1 gota tem 0,036 mL.
c) 5 dm3 5 5 L
3
c) 6 485 dm3 5 (6 485 ; 1 000) m3 5 6,485 m3
3
b) 1L 5 1 000 cm3 5 1 000 000 mm3
b) 1,8 m3 5 1 800 dm3 5 1 800 L
b) 1 900 cm 5 (1 900 ; 1 000) dm 5 1,9 dm 5
5 (1,9 ; 1 000) m3 5 0,0019 m3
3
19. a) 1L 5 1 dm3 5 1 000 cm3
21. a) 2 m3 5 (2 ? 1 000) dm3 5 2 000 dm3 5 2 000 L
c) 1 cm3 5 (1 ; 1 000) dm3 5 0,001 dm3 5
5 (0,001 ; 1 000) m3 5 0,000001 m3
3
18. O volume da caixa é 1 m ? 1 m ? 1 m 5 1 m3. Como
1 m3 5 1 000 dm3 e 1 dm3 5 1 L, então 1 m3 5
5 1 000 L. Cabem na caixa 1 000 L de água.
22. a) 72 L 5 72 dm3 5 0,072 m3
b) 1,3 kL 5 1 300 L 5 1 300 dm3 5 1,3 m3
c) 8 000 L 5 8000 dm3 5 8 m3
d) 10 000 mL 5 10 L 5 10 dm3 5 0,01 m3
23. A capacidade de cada copinho é:
1 L ; 8 5 1 000 mL ; 8 5 125 mL
24. A capacidade da caixinha é:
(7 ? 7 ? 7) cm3 5 343 cm3 5 343 mL
Caberia mais refrigerante na caixinha do que na
lata.
25. Como 1 dm 5 10 cm, a capacidade da embalagem é:
(4 ? 2 ? 10) cm3 5 80 cm3 5 80 mL
3. a) 20 L de água correspondem a 20 kg de água.
Desafio
Água na piscina
Se a piscina tem 2 m de profundidade e o nível
da água está 10 cm abaixo da borda, a altura da água
contida na piscina é 2 m 2 10 cm 5 2 m 2 0,1 m 5 1,9 m.
O volume de água é 25 m ? 10 m ? 1,9 m 5 475 m3 5
5 475 000 dm3 5 475 000 L
O volume da família
O nível da água sobe 2,5 mm. O volume do espaço
ocupado na piscina passa a ser 475 m3 (da água) mais
25 m ? 10 m ? 2,5 mm (da família).
Então, o volume ocupado pelas pessoas da família é:
(25 ? 10 ? 0,0025) m3 5 0,625 m3
b) 50 L de água correspondem a 50 kg de água.
21
L de água correspondem a
c) 21 mL 5
1 000
21
kg 5 21 g de água.
1 000
4. a) 2 t 5 (2 ? 1 000) kg 5 2 000 kg
b) 3 t 5 (3 ? 1 000) kg 5 3 000 kg
c) 16,1 t 5 (16,1 ? 1 000) kg 5 16 100 kg
5. a) 4 000 kg 5 4 ? 1 000 kg 5 4 ? 1 t 5 4 t
b) 6 500 kg 5 (6 500 ; 1 000) t 5 6,5 t
c) 82 000 kg 5 (82 000 ; 1 000) t 5 82 t
6. a) 8,41 g 1 0,0701 kg 5 8,41 g 1 70,1 g 5 78,51 g
b) 3,45 kg 1 6 g 5 3 450 g 1 6 g 5 3 456 g
Equilibrando
Pesos disponíveis:
c) 0,635 kg 1 0,0816 kg 1 987 dg 5
5 635 g 1 81,6 g 1 98,7 g 5 815,3 g
1 : 1 ? 100 g
3 : 3 ? 100 g
9 : 9 ? 100 g
d) 10,7 g 1 0,611 kg 1 6 156 mg 5
5 10,7 g 1 611 g 1 6,156 g 5 627,856 g
1 : 1 ? 100 g
3 : 3 ? 100 g
9 : 9 ? 100 g
e) 2,46 g 1 0,072 kg 1 71 dg 1 2 336 mg 5
5 2,46 g 1 72 g 1 7,1 g 1 2,336 g 5 83,896 g
a) 2 quilogramas 5 2 000 g 5 20 ? 100 g
Como 20 5 9 1 9 1 1 1 1, então:
2 000 g 5 9 ? 100 g 1 9 ? 100 g 1 1 ? 100 g 1
1 1 ? 100 g
É possível pesar 2 quilogramas usando os dois
pesos de número 9 e os dois de número 1.
b) A quantidade máxima que pode ser pedida é a
representada pela reunião de todos os pesos:
26 ? 100 g 5 2 600 g
Os números de 1 a 26 podem ser decompostos
em uma soma das potências de 3 (30 5 1, 31 5 3 e
32 5 9), usando-se até duas vezes cada potência.
Dessa forma, podem ser pesadas quantidades
de 1 ? 100 g, 2 ? 100 g, 3 ? 100 g, 4 ? 100 g, etc., até
26 ? 100 g.
Portanto, os clientes podem pedir quantidades
de 100 g, 200 g, 300 g, 400 g etc., até 2 600 g.
Capítulo 21 – Unidades de massa
Exercícios
1. a) Para o elefante se usaria o quilograma ou a
tonelada.
b) Para o automóvel se usaria o quilograma.
c) Para o lápis se usaria o grama.
2. a) 1 L de água corresponde a 1 kg de água.
b) 1 mL de água corresponde a 1 g de água.
c) 1 dm3 5 1 L e 1 L de água corresponde a 1 kg de
água.
d) 1 m3 5 1 000 dm3 5 1 000 L e 1 000 L de água
correspondem a 1 000 kg de água.
f) 37 g 1 1,007 kg 1 727 dg 1 13 dg 5
5 37 g 1 1 007 g 1 1 72,7 g 1 1,3 g 5 1 118 g
7.
a) A vaca Mimosa tem 380 kg ; 15 kg ù
ù 25 arrobas. Se efetuarmos a divisão,
380
80
5
15
25
obtemos 25 arrobas e restarão 5 quilogramas.
b) A massa de Valente é 31 ? 15 kg 5 465 kg.
8. A largura da rua é 697 cm e então o pé de Rafael
mede 697 cm ; 17 5 41 cm.
9. O caminhão vazio tem massa igual a 3,25 t; cheio,
sua massa é 3 250 kg 1 122 ? 50 kg 5
5 3 250 kg 1 6 100 kg 5 9 350 kg 5 9,35 t.
10. Serão necessários 2,5 m ? 1,3 m ? 2,2 m 5
5 7,15 m3 5 7 150 L de água.
11. O volume da caixa é 2 m ? 2m ? 2m 5 8 m3 5
5 8 000 litros.
12. O volume do ar é o mesmo do auditório:
85 m ? 16 m ? 3,2 m 5 4 352 m3
13. Foram comprados 37,5 kg de legumes e foram
gastos 37,5 ? R$ 3,80 5 R$ 142,50.
14. A massa dos biscoitos é 3,47 kg 2 0,59 kg 5 2,88 kg.
15. Como a massa dos biscoitos em cada lata é
2 880 g, então vêm 2 880 g ; 60 g 5 48. Ou seja,
48 biscoitos em cada lata.
16. A capacidade de cada recipiente é 9 dL 5 0,9 L.
218 L ; 0,9 L 5 242. Serão cheias 242 garrafas.
113
17. Tem-se 0,80 m3 5 800 dm3 5 800 L de guaraná.
800 L ; 0,5 L 5 1 600. Serão obtidas 1 600
garrafas.
18. O recipiente vazio tem massa igual a 780 g 5
5 0,78 kg e os 19 litros de água têm massa igual a
19 kg. O total é 0,78 kg 1 19 kg 5 19,78 kg.
4. a) Monarquia, estruturada sobre quatro poderes:
executivo, legislativo, judiciário e moderador,
este último exercido pelo imperador.
b) O imperador D. Pedro II.
c) O chefe do gabinete, escolhido pelo
imperador, tinha o papel de escolher os
ministros e presidir o ministério.
5. 72 ? 0,4536 ù 32,6592 libras
Matemática em notícia
6. pé 5 foot; libra 5 pound.
Baleias jubartes do Brasil estão salvas da extinção
1. No segundo semestre, para se reproduzirem.
2. Polo Sul.
2
? 25 000 5 500
100
80 mil
57
4
5
ù 0,57 5
5 57%
140 mil
7
100
Desafio
A libra e a onça
1 kg equivale a 2,2 ? 16 onças.
3. 2% de 25 000 5
4.
1 000 g ù 35,2 onças
Então, uma onça equivale a 1 000 g ; 35,2. Isso
resulta em aproximadamente 28,4 g.
5. 60% são 15 mil.
1% são: 15 mil 5 250
60
100% são: 100 ? 250 5 25 000
6. a) Metade da metade da metade é:
1 ? 1 ? 1 5 1
2 2 2
8
1
b) 5 0,125 5 12,5 5 12,5%
8
100
16 m
7.
ù 9,41
1,70 m
São necessários, no mínimo, 10 homens.
8. 35 t 5 35 000 kg
35 000 kg
5 500 vezes
70 kg
9. 35 t de água 5 35 000 kg de água 5 35 000 L de
água 5 35 m3 de água.
A resposta é pessoal. Uma possível piscina:
7 m ? 5 m ? 1 m.
10. A baleia-azul é o maior animal que já habitou a
Terra, supera os dinossauros. Sugira aos alunos
procurar por baleia-azul em um site de buscas.
Matemática em tempo
O sistema métrico decimal
1
1. 0,0000001 ou
10 000 000
2. O padrão atual do metro, considerado mais
preciso, é o comprimento da trajetória da luz em
1
de segundo. (A velocidade da luz é
299 992 458
uma constante universal.)
3. Estados.
114
Teste seus conhecimentos
1. A largura de uma praça é medida usualmente em
metros. A trena é o instrumento mais adequado
para medir.
Alternativa: b
2. 18 cm ? 4,5 5 81 cm
Alternativa: b
3. O perímetro é: 4 ? 150 passos 5 600 passos.
Como cada passo mede aproximadamente 0,5 m:
600 ? 0,5 m 5 300 m.
Alternativa: c
4. 6 m 2 45 cm 2 1,25 m 2 2 m 2 64 cm 5
5 2,75 m 2 0,45 2 0,64 m 5 1,66 m
Alternativa: a
5. A altura da escada é 1,54 m 5 154 cm. Cada
degrau mede 154 cm ; 7 5 22 cm.
Alternativa: b
6. Se, ao colocarmos a régua 11 vezes na direção
do comprimento, faltaram 5 cm para atingir o
comprimento total e, ao colocarmos 12 vezes,
sobraram 15 cm, a régua mede: 5 cm 1 15 cm 5
5 20 cm. O comprimento do sofá é 11 ? 20 cm 1
1 5 cm 5 225 cm ou 12 ? 20 cm 2 15 cm 5 225 cm.
Alternativa: c
7.
Se a peça perdeu 1 de seu comprimento, ficou
10
9
9
do comprimento. Se
do comprimento
com
10
10
1
do comprimento
correspondem a 36 m, então
10
corresponde a 36 m ; 9 5 4 m. Logo, o comprimento
antes da lavagem era 10 ? 4 m 5 40 m.
Alternativa: c
8. 2 300 mm 5 2,3 m
21.
(metade de 2 quadradinhos) ⫽
⫽1 quadradinho
160 cm 5 1,6 m
Alternativa: b
9. 12 jardas 5 12 ? 3 pés 5
5 12 ? 3 ? 12 polegadas 5
tr•s quadradinhos e meio
5 12 ? 3 ? 12 ? 2,54 cm 5 1 097,28 cm
5 10,9728 m • 11 m
Cabem na figura azul: (3,5 1 1 1 1) ? 4 5 5,5 ? 4 5
5 22 quadradinhos
Alternativa: c
10. O heptágono é um polígono que tem 7 lados.
Alternativa: a
Alternativa: b
22. O volume de cada cubo é 1 cm3.
Na caixa cabem: (5 ? 4 ? 3) cubos 5 60 cubos.
11. Alternativa: d
O volume da caixa é 60 cm3.
12. Alternativa: d
Alternativa: a
13. Dentro do triângulo estão os números: 3, 4, 5, 6, 7
Destes, estão dentro do círculo: 4, 5, 6
Destes, estão fora do quadrado: 5 e 6
23. Das alternativas apresentadas, a mais
conveniente é o mililitro.
Alternativa: d
5 1 6 5 11
24. 24 h 5 24 ? 60 ? 60 s 5 86 400 s.
Alternativa: b
14. No polígono vermelho cabem 7 polígonos e meio
iguais ao polígono azul. Portanto, a área é:
7,5 ? 0,5 cm ? 3,75 cm
2
2
86 400 : 5 5 17 280
Alternativa: c
Alternativa: a
25. Número de gotas: 4 ? 60 ? 60 ; 5 5 2 880
15. Se o perímetro é 40 dm, cada lado mede 40 dm ; 4 5
5 10 dm 5 1 m. A área do tampo da mesa é 1 m ? 1 m 5
5 1 m2.
Alternativa: d
16. A área da lajota é 20 cm ? 30 cm 5 600 cm2.
A área da garagem é 51 m 5 510 000 cm . Como
510 000 4 600 5 850, serão necessárias
850 lajotas, no mínimo.
2
2
Alternativa: e
17. 80 ha 2 28 ha 2 15 ha 2 12 ha 5 25 ha
25 ha 5 25 ? 10 000 m2 5 250 000 m2 5
5 (500 ? 500) m2
As dimensões do retângulo podem ser
500 m ? 500 m.
Alternativa: c
18. 8 ha 5 8 km2 5 8 ? 10 000 m2 5 80 000 m2
Alternativa: e
19. 9 ? 62 cm2 5 9 ? 36 cm2 5 324 cm2
Alternativa: d
20. O losango L cabe 6 vezes em P. Como a área de L
é 1 cm2, a de P é: 6 ? 1 cm2 5 6 cm2.
Alternativa: c
A cada 5 s pinga uma gota. Então, o número de
gotas é:
2 880 ? 0,5 mL 5 1 440 mL 5 1,44 L
1
Como equivale a quase 1
L de água, não cabe
2
em uma xícara nem em um copo, mas cabe em
uma jarra. A jarra é menor que o balde.
Alternativa: c
26. 1 m3 de água 5 1 000 dm3 de água 5 1 000 L de água.
1 000 L : 80 cL 5 100 000 cL : 80 cL 5 1 250
Alternativa: d
27. A torneira esvazia, por minuto, 200 cm3 5
5 0,2 dm3 5 0,2 L. Como 0,2 L ? 1 000 5 200 L, o
tempo necessário para esvaziar o reservatório é
1 000 minutos.
Alternativa: d
28. O volume final na jarra é: 2 ? (1 1 4) copos 5 10 copos.
Dos 10 copos, 1 é de suco. O percentual de suco na
jarra é:
1
5 10%
10
Alternativa: b
29. 3,999 são três inteiros e 999 milésimos.
Alternativa: c
30. A balança é o instrumento para medir massa.
Alternativa: b
115
31. 2 1 libras 5 9 libras 5 9 ? 454 g 5
4
4
4
5 1 021,5 g 5 1,0215 kg ù 1,0 kg
Alternativa: b
32. Vamos nominar as peças por A, B, C, D, E
conforme a alternativa em que aparece.
balança à direita e acima B pesa mais que C
balança à esquerda E pesa tanto quanto B e D
juntas
Então, E pesa mais que B, mais que D e mais que C.
balança à direita e abaixo A pesa mais que E.
Conclusão: A é a mais pesada.
Alternativa: a
33. 1 fl oz 5 2,95 cL 5 29,5 mL
355 : 29,5 ù 12,03
Alternativa: c
34. A água retirada pesa: 10,8 kg 2 5,7 kg 5 5,1 kg
Como foi retirada metade da água, toda a água
pesava: 2 ? 5,1 kg 5 10,2 kg.
O garrafão vazio (sem água) pesa:
10,8 kg 2 10,2 kg 5 0,6 kg
0,6 kg 5 0,6 ? 1 000 g 5 600 g
Alternativa: c
Unidade 7 – Estatística
Capítulo 22 – Noções de Estatística
Exercícios
1.
55
? 1 200 5 660
100
2.
71
? 8 000 000 5 5 680 000
100
3. a) 10 ? 500
500 5 50
100
b)
20
? 500
500 5 100
100
c) Metade do todo; metade da metade ou um
quarto do todo.
4. a) 20% de 4 000 é 20 ? 4 000 5 800
100
25
? 3 800 5 950
b) 25% de 3 800 é
100
75
c) 75% de 3 600 é
? 3 600 5 2 700
100
d) 80% de 3 200 é 80 ? 3 200 5 2 560
100
5. A porcentagem de canhotos é 2 5 1 5 5 5 5%.
40
20
100
0,9
9
6. a) 0,9% 5
5
100
1000
116
b) 11,25% 5
7.
11,25
100
5
1 125
10000
a) 23 5 46 5 46%
50
100
35 5 35%
7
b)
5
20
100
8
32 5 32%
c)
5
25
100
d) 200 5 20 5 80 5 80%
250
25
100
37,5
15
e)
5 0,375 5
5 37,5%
40
100
62,5
f) 15 5 0,625 5
5 62,5%
24
100
53,75
g) 43 5 0,5375 5
5 53,75%
100
80
22,25
5 22,25%
h) 89 5
400
100
8. a) Dos 160 alunos do 6o ano, 72 são meninos.
O percentual é 72 5 0,45 5 45 5 45%.
160
100
b) Dos 160 alunos do 6o ano, 40 são da classe de
Gabriela. O percentual é 40 5 1 5 25 5 25%.
160
4
100
c) Dos 40 alunos da classe de Gabriela, 24 são
meninas e os 40 2 24 5 16 restantes são
meninos.
A porcentagem é 16 5 4 5 40 5 40%.
40
10
100
d) Dos 1 280 alunos do colégio, 160 são do 6o ano.
12,5
160
O percentual é
5 0,125 5
5 12,5%.
1 280
100
9. a)
Local de residência
Número de alunos Porcentagem
Centro
22
55%
Zona Norte
10
25%
Zona Sul
8
20%
Total
40
100%
b) Local de resid•ncia dos alunos
55%
25%
20%
Centro Zona Zona
Norte Sul
c) A maioria dos alunos mora no Centro.
Possivelmente o colégio se localiza ali ou nas
proximidades.
10. a)
Intenção de voto
Número de alunos
Porcentagem
Antônio Carlos
20
50%
João Pedro
14
35%
Maria Clara
6
15%
Total
40
100%
Inten•‹o de voto
50%
35%
15%
Antônio
Carlos
b)
João
Pedro
desprezada for 0, 1, 2, 3 ou 4; caso contrário, a ele
adiciona-se 1.
Veja como ficam as aproximações do item a:
Aproximação Aproximação
Porcentagem sem decimal
com uma
(por inteiro) casa decimal
Aproximação
com duas
casas
decimais
63,6363...%
64%
63,6%
63,64%
22,7272...%
23%
22,7%
22,73%
13,6363...%
14%
13,6%
13,64%
Total
101%
99,9%
100,01%
Convém comentar que, no total de valores
aproximados, o resultado pode não ser
exatamente 100%.
Maria
Clara
a)
Intenção de voto
Número de alunos
Porcentagem
Antônio Carlos
14
63,6%
João Pedro
5
22,7%
Intenção de voto
Número de
meninos
Antônio Carlos
8
50%
Maria Clara
3
13,6%
João Pedro
6
37,5%
Total
22
99,9%
Maria Clara
2
12,5%
Total
16
100%
Porcentagem
Inten•‹o de voto
63,6%
Inten•‹o de voto
50%
37,5%
22,7%
13,6%
12,5%
Antônio
Carlos
João
Pedro
Antônio
Carlos
Maria
Clara
b)
c)
João
Pedro
Maria
Clara
Intenção de voto
Número de alunos
Porcentagem
Antônio Carlos
4
40%
Intenção de voto
Número de
meninas
Porcentagem
João Pedro
4
40%
Antônio Carlos
12
50%
Maria Clara
2
20%
João Pedro
8
33,33%
Total
10
100%
Maria Clara
4
16,67%
Total
24
100%
Inten•‹o de voto
Inten•‹o de voto
40%
40%
50%
20%
33,33%
16,67%
Antônio
Carlos
Antônio
Carlos
João
Pedro
Maria
Clara
d) A intenção de voto é praticamente a mesma.
11. É importante explicar ao aluno o critério para
aproximação: o último algarismo considerado não
sofre alteração se o primeiro algarismo da parte
c)
Intenção de voto
João
Pedro
Número de alunos
Maria
Clara
Porcentagem
Antônio Carlos
2
25%
João Pedro
5
62,5%
Maria Clara
1
12,5%
Total
8
100%
117
Esporte preferido dos alunos
Inten•‹o de voto
50%
62,5%
33,33%
16,67%
25%
12,5%
Voleibol
Antônio
Carlos
João
Pedro
Maria
Clara
Esporte
Número de alunos
Porcentagem
voleibol
12
30%
futebol
16
40%
natação
12
30%
Total
40
100%
13. a)
Aniversário
Número de alunos
Porcentagem
1 trimestre
(jan./fev./mar.)
13
32,5%
2o trimestre
(abr./maio/jun.)
11
27,5%
3o trimestre
(jul./ago./set.)
10
25%
4 o trimestre
(out./nov./dez.)
6
15%
Total
40
100%
o
Esporte preferido dos alunos
40%
30%
Nata•‹o
A preferência não é a mesma.
A intenção de voto não é a mesma em todas as
regiões.
12. a)
Futebol
Trimestre de anivers‡rio dos alunos
30%
32,5%
27,5% 25%
15%
Voleibol
b)
Futebol
Natação
1°
Esporte
Número de meninos
Porcentagem
voleibol
0
0%
futebol
12
75%
natação
4
25%
Total
16
100%
2°
3°
4°
b) Não; há mais aniversários no 1o trimestre e
menos no 4o.
c)
Aniversário
Número de meninos
Porcentagem
1 trimestre
7
43,75%
2o trimestre
5
31,25%
o
o
3 trimestre
2
12,5%
Esporte preferido dos alunos
4 o trimestre
2
12,5%
75%
Total
16
100%
Trimestre de anivers‡rio dos alunos
43,75%
31,25%
25%
12,5% 12,5%
0%
Voleibol
c)
118
1°
Futebol Nata•‹o
d)
Aniversário
o
2°
3°
4°
Número de meninas
Porcentagem
6
25%
Esporte
Número de meninas
Porcentagem
voleibol
12
50%
2 trimestre
6
25%
futebol
4
16,67%
3o trimestre
8
33,33%
natação
8
33,33%
4 o trimestre
4
16,67%
Total
24
100%
Total
24
100%
1 trimestre
o
Trimestre de aniversário dos alunos
33,33%
25%
25%
16,67%
4. Região Sudeste: SP, RJ, MG, ES. O número, em
milhões de habitantes dessa região, é:
45,1 1 16,7 1 21,1 1 4,0 5 86,90
5. Em milhões de habitantes:
Região Norte: AM, PA, TO, AP, RR, AC, RO
1°
2°
3°
4°
4,1 1 8,4 1 1,6 1 0,8 1 0,5 1 0,8 1 1,8 5 18,0
e) São diferentes. O motivo: resposta pessoal (não
há motivo, porém, para esperar esse resultado).
14. a) A área é (3,9 1 1,5 1 0,9 1 0,6 1 1,6) milhões
de km2, ou seja, 8,5 milhões de km2.
b) A população brasileira em 2010 era (15,9 1 53,1 1
1 80,4 1 27,4 1 14,1) milhões de habitantes, ou
seja, 190,9 milhões de habitantes.
c)
Milhões de km2
Região Nordeste: BA, SE, AL, PE, PB, RN, CE, PI, MA
15,312,313,419,514,013,519,013,217,0557,2
Região Centro-Oeste: MT, MS, GO, DF
3,3 1 2,7 1 6,8 1 3,0 5 15,8
Região Sul: PR, SC, RS
11,3 1 7,0 1 11,3 5 29,6
6.
População brasileira por regiões em 2017
3,9
1,5
N
NE
1,6
0,9
0,6
SE
S
CO
d)
Milh›es de habitantes
80,4
Milhões de habitantes
80
60
40
20
0
53,1
N
NE
SE
S
CO
Regiões brasileiras
(fonte: IBGE)
27,4
15,9
N
14,1
NE
SE
S
CO
e) É a contagem de toda a população e coleta
de diversos dados a respeito dela. No Brasil,
costuma ocorrer de 10 em 10 anos.
Matemática em notícia
SP :
45,1 milhões
207,7 milhões
0,52 milhões
ù 0,217 5
21,7
5 21,7%
100
0,25
RR :
ù 0,0025 5
5 0,25%
207,7 milhões
100
2. 206 081 432 ù 206,1 milhões
3. 207,7 milhões 2 206,1 milhões 5 1,6 milhão
1,6 milhão
206,1 milhões
ù 0,0077 5
É básico
As respostas dependem de situações individuais ou
de informações a serem pesquisadas no momento da
aplicação das atividades.
Desafios
Dupla entrada
População brasileira passa de 207,7 milhões em 2017
1.
Dinheiro: aprenda a usar
0,77
100
5 0,77%
a) 400 alunos
b) 128 alunos
c) 128 5 0,32 5 32%
400
d) É a soma da quarta linha: 86.
e) 86 5 0,215 5 21,5%
400
f) É o número da quarta linha da primeira coluna:
32.
g) 32 5 0,25 5 25%
128
119
h) O 9o ano tem 80 alunos, dos quais 16 preferem
Matemática. A taxa percentual é 16 5 0,20 5
80
5 20%.
2.
1200
3000
5
40
5 40%
100
Alternativa: d
3. A maior nota foi a de Mário, a menor foi a de Joel.
Tabelando
Alternativa: d
Dados no texto:
Cinema
meninos
TV
Soma
4. O maior número de passageiros é 269, na sexta-feira.
12
Alternativa: c
meninas
21
Total
25
36
5. São 5 horas por dia durante a semana e 1 hora no
fim de semana:
Começamos completando a 1a e a 3a colunas:
5 ? 5 1 2 ? 1 5 25 1 2 5 27
25 2 12 5 13 e 36 2 21 5 15.
Alternativa: e
Cinema
TV
Soma
meninos
12
15
meninas
13
21
Total
25
36
6. O consumo superou 150 kWh nos meses de maio e
julho.
Alternativa: b
7.
Aumento entre 1985 e 1990: 920 2 750 5 170.
Agora, completamos as três linhas:
Entre 1990 e 1995 houve diminuição.
15 2 12 5 3, 21 2 13 5 8 e 36 2 25 5 11
(ou 3 1 8 5 11)
Aumento entre 1995 e 2000: 900 2 800 5 100
Tabela completa:
Cinema
TV
Soma
meninos
12
3
15
meninas
13
8
21
Total
25
11
36
Aumento entre 2000 e 2005: 950 2 900 5 50
O maior aumento foi de 170 habitantes e ocorreu
entre 1985 e 1990.
Alternativa: a
8. O tempo foi maior em maio do que em junho.
Nas demais alternativas as afirmações são falsas.
Alternativa: c
Teste seus conhecimentos
34
1.
6,25% 5
6,25
100
5
34
Alternativa: b
120
9. Quantidade de alunos: 4 1 8 1 10 1 5 5 27
Alternativa: c
10. 15% de alunos 5 6 alunos
25
1
5
400
16
Alternativa: b
11. Não chove nos meses: junho, julho, agosto,
setembro e outubro. Portanto, em 5 meses.
Alternativa: d
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Matemática em uma linguagem concisa e acessível, o que facilita
a compreensão das definições e das propriedades elementares da
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lógico e a elaboração de hipóteses. E, para atender às propostas
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