Problème : La limite de Betz, rendement optimal des éoliennes (« Wind-energie », 1926)
(extrait du sujet de 2001 de l’Agrégation de Génie Electrique)
(Thème : calcul littéral, identités remarquables, équations du 2nd degré, fonctions, dérivation et recherche
d’optimum ; classes de 3ème et 2nde avec tracé sans dérivation, 1ères, Terminales, BTS)
La production d'énergie éolienne se fait par prélèvement d'énergie cinétique du vent par les pales.
S
S1
V1
S2
V2
V
On considère une veine de vent et on note :
V 1 : vitesse du vent avant l'éolienne
V : vitesse du vent au niveau de l'éolienne
V 2 : vitesse du vent après prélèvement de l'énergie par l'éolienne
On suppose l'air incompressible, ce qui permet d'écrire la conservation du débit volumique q v (en m3/s) :
q v = Cte = S 1 .V 1 = S 2 .V 2 = S.V
Le théorème d'Euler (dont la preuve figure en annexe) permet d'écrire que la force F s'exerçant sur les pales de
l'éolienne est donnée par l'expression : F = ρ S.V.(V 1 -V 2 )
avec ρ la masse volumique de l’air (en kg.m-3), S en m², V 1 et V 2 en m/s.
On en déduit que la puissance mécanique P (en W) fournie par le vent à l'éolienne s'écrit : P = F.V = ρ.S.V².(V 1 V2)
1) Relation entre V, V 1 et V 2 :
La masse d'air élémentaire dm traversant l'éolienne pendant le temps dt est dm = S.V.dt.ρ.
La diminution d'énergie cinétique de cette masse dm lorsque la vitesse passe de la vitesse V 1
à la vitesse V 2 est dE c = 0,5 dm.V 1 ²- 0,5 dm.V 2 ² = 0,5 S.V.dt.ρ.(V 1 ²- V 2 ²)
dE
c
La puissance P peut donc s’écrire aussi P =
= 0,5 S.V.ρ.(V 1 ²- V 2 ²).
S
dl = V.dt
dt
a) A partir des 2 expressions de la puissance P et en utilisant la relation (a +b) × (a - b) = … …., quelle relation
simple existe-t-il entre les trois vitesses V 1 , V 2 et V ?
b) En déduire que la puissance P peut s’écrire P = 0,25 ρ.S.(V 1 + V 2 )².(V 1 - V 2 )
(expression dans laquelle la vitesse V n’apparaît plus).
2) Limite de Betz : On se propose de déterminer dans quelle(s) condition(s), entre V 1 et V 2 , la puissance P extraite
V
par les pales est maximale. On pose x = 2 .
V
1
Ce rapport x varie de 0 à 1 lorsque V 2 augmente de 0 (l’éolienne arrête totalement le vent) à V 1 (l’éolienne ne
freine pas du tout le vent).
a) Montrer que la puissance P peut s’écrire en fonction de x : P(x) = 0,25 ρ.S.V 1 3.(1 + x)².(1 - x)
b) ρ, S et la vitesse du vent à l’« entrée » V 1 étant des constantes, étudier les variations de P(x) pour x ∈ [0 ; 1] et
en déduire la relation devant exister entre V 1 et V 2 pour que la puissance P passe par un maximum.
Représenter graphiquement P en fonction de x pour [0 ; 1].
c) Exprimer alors cette puissance maximale P maxi éolienne en fonction de ρ, S et V 1 .
1
d) Sachant que la puissance contenue dans la veine de vent est donnée par P veine = ρ.S.V 1 3, exprimer le quotient
2
entre P maxi éolienne et P veine .
e) Que représente ce rapport d’un point de vue physique ?
f) - Calculer P maxi éolienne pour S = 10 000 m², ρ air = 1,225 kg.m-3 (correspondant à une altitude voisine de 600 m),
V 1 = 36 km.h-1 = 10 m.s-1.
- Calculer P maxi éolienne pour S = 10 000 m², ρ air = 0,34 kg.m-3 (comme au voisinage de 10000 m d’altitude),
1
V 1 = 252 km.h-1 = 70 m.s-1. Comparez les 2 résultats.
Annexe
S2 S’2
S1’
Preuve du théorème d’Euler (ou des quantités de mouvement) :
S1
Soit une masse m de fluide située, à l’instant t, dans la veine entre S 1 et S 2 .
Cette masse est située, à l’instant t + dt, dans la veine entre S’ 1 et S’ 2 .
dS1
La relation fondamentale de la dynamique pour cette masse m est :
∑ F ext = m.
v2
dS2
(2)
v1
dV
(1)
.
dt
L’écoulement étant permanent, tout se passe comme si le fluide qui, à l’instant t, se trouvait dans la partie (1), était
maintenant venu en (2). On peut alors écrire :
dV
=
v 2 − v1
.
dt
dt
On considère alors un petit tube de courant, de masse dm, entre les surfaces dS 1 et dS 2 .
La relation fondamentale de la dynamique pour cette masse dm devient
∑ F ext = dm.
dv
= dm.
v 2 − v1
=
(
)
(
dm
v 2 − v1 = dq m tube . v 2 − v1
dt
)
dt
dt
avec dq m tube le très petit débit massique du tube de courant.
On obtient le théorème d’Euler en sommant pour tous les tubes de courant.
Théorème d’Euler : La somme vectorielle ∑ F ext des forces appliquées à un tronçon de fluide en écoulement
(
)
permanent est égale au produit du débit massique q m par la différence vectorielle v 2 − v1 des vitesses du fluide en
(
avec ∑ F
ext
)
∑ F ext = q m . v 2 − v 1
en N, q m en kg/s, v 1 (à l’amont) et v 2 (à l’aval) en m/s.
aval et en amont de ce tronçon.
De plus, q m = ρ q v et q v = v S
avec q m le débit massique en kg/s, q v le débit volumique en m3/s,v en m/s et S en m²
S m²
v mètres en 1 s
Corrigé
1) a) (a + b) × (a - b) = a² - b² d’où ρ.S.V².(V 1 -V 2 ) = 0,5 S.V.ρ.(V 1 ²- V 2 ²)
⇔ ρ.S.V².(V 1 -V 2 ) = 0,5 S.V.ρ.(V 1 +V 2 ).(V 1 -V 2 ) ⇔ V = 0,5 (V 1 +V 2 )
V est la valeur moyenne de V 1 et
V2
dE
c
b) P =
= 0,5 S.V.ρ.(V 1 ²- V 2 ²) = 0,5 S.V.ρ.(V 1 +V 2 ).(V 1 -V 2 )
dt
= 0,5 S. 0,5 (V 1 +V 2 ).ρ.(V 1 +V 2 ).(V 1 -V 2 ) = 0,25 ρ.S.(V 1 +V 2 )².(V 1 -V 2 )
2) V 2 = xV 1 ⇒ P = 0,25 ρ.S.(V 1 +V 2 )².(V 1 -V 2 ) = 0,25 ρ.S.(V 1 + xV 1 )².(V 1 - xV 1 )
= 0,25 ρ.S.V 1 ².(1+ x)².V 1 .(1- x) = 0,25 ρ.S.V 1 3.(1+ x)².(1- x) = P(x)
b) P(x) = 0,25 ρ.S.V 1 3.(1+ x)².(1- x) = 0,25 ρ.S.V 1 3.(1+ 2x + x²).(1- x) = 0,25 ρ.S.V 1 3.(- x3 - x² + x +1)
⇒ P’(x) = 0,25 ρ.S.V 1 3.(- 3x² - 2x + 1)
P’(x) = 0
x
P’(x)
0,25 ρ.S.V 1 3.(3x² - 2x + 1) = 0
⇔
⇔ 3x² + 2x - 1 = 0
1
3
0
+
∆ = 16 > 0
0,25 ρ.S.V 1 3
1
3
1
0
P(x) est maximal pour x =
-
c'est-à-dire pour V2 =
16
0,5 ρ.S.V 1 .
.
27
3
P(x)
x 1 = -1 et x 2 =
1
3
1
V1.
3
0
2
V2
1
V1
3
0
V1
y
y = - x3 - x² + x +1
x
c) On a alors P maxi = P(
d)
Pmax i éolienne
Pveine
=
1
16
1
1
4 2
) = 0,25 ρ.S.V 1 3.(1+ )².(1- ) = 0,25 ρ.S.V 1 3. . = 0,5 ρ.S.V 1 3.
.
3
3
3
9 3
27
16
≈ 0,593
27
e) Le rendement du rotor de l’éolienne ne peut pas dépasser 59,3 %, qui constitue la limite de Betz.
16
27
- pour S = 10 000 m², ρ air = 1,225 kg.m-3 (correspondant à une altitude proche de 600 m), V 1 = 36 km.h-1 = 10 m.s1
, P maxi ≈ 3 630 000 W soit 3,63 MW,
- pour S = 10 000 m², ρair = 0,34 kg.m-3 (comme au voisinage de 10000 m d’altitude), V1 = 252 km.h-1 = 70 m.s-1,
Pmaxi ≈ 345 54 000 W soit 345 MW,
d’où l’intérêt de l’exploitation des vents à une altitude proche de 10 000 m où les vitesses sont en permanence très
élevées.
f) P maxi = 0,5 ρ.S.V 1 3.
3