ORGANIZACIÓN Y CONDUCCIÓN DE OBRAS
ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS
MÉTODO DEL CAMINO CRÍTICO (CPM)
TÉCNICAS DE REVISIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS (PERT)
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL – FACULTAD REGIONAL MENDOZA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL
PREPARÓ: ING. MENDEZ GIARRATANA, MAURO EZEQUIEL
REVISÓ: ING. POLIZZI, MIGUEL ANGEL
APROBÓ: ING. MENDOZA, JOSÉ LUIS / ESP. ING. PALENCIA, JUAN CARLOS
Año 2022
UTN – FACULTAD REGIONAL MENDOZA
Cátedra: Organización y Conducción de Obras – Año 2022
ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS
RESUMEN
En las incumbencias del Ingeniero Civil, se observa el fuerte hincapié realizado en las aptitudes de: “Diseñar,
calcular y proyectar estructuras, edificios, obras…” Es por ello, que una casa de altos estudios como lo es la UTN
– FRM, debe proporcionar a los futuros profesionales herramientas y técnicas propicias para la planificación,
gestión, revisión y evaluación de proyectos.
En el presente documento, se detalla de forma resumida, los fundamentos referidos al método del camino crítico
CPM (Critical Path Method) que es utilizado para planear y controlar proyectos. Como así también, el método PERT
(Program Evaluation and Review Techniques), la traducción de las siglas en inglés significa: técnica de revisión
y evaluación de proyectos. Es una técnica estadística y modelo para la administración y gestión de proyectos
desarrollada en el año 1958.
El documento contará con contenido teórico-práctico, llevando a cabo un ejemplo concreto del área de Ingeniería
Civil, esto no quita que pueda ser aplicado a otras especialidades. Se sugiere apoyar los conocimientos obtenidos en
un software, recomendando Microsoft Project.
Para todo aquel que desee ampliar los conocimientos, se recomienda el libro del Ing. Nolberto J. Munier “PERT –
CPM y técnicas relacionadas”, ya que es la principal bibliografía utilizada para realizar el presente apunte.
ABSTRACT
Regarding a civil engineer’s competences, we can witness a strong emphasis on “aptitudes such as design,
calculation and estimation of structures, buildings and construction sites…”. For that reason higher education
institutions, just as UTN-FRM, should provide future professionals with the adequate means and techniques for
planning, management, review and program evaluation.
This current paper details in summarized form the fundamentals of the Critical Path Method (CPM), used for control
and project design; as well as the Program Evaluation and Review Technique (PERT). The latter consists of an
statistical tool developed in 1958 for project management.
The course will also include theoretical-practical content with its correspondent application in the civil engineering
field, although it’s not confined to this particular area of study.
The book “PERT – CPM y técnicas relacionadas”, written by Nolberto J. Munier is highly recommended for further
study due to its helpful guidance for the writing process of this paper.
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ÍNDICE GENERAL
1.
GENERALIDADES ................................................................................................................................ 3
2.
CPM ........................................................................................................................................................ 4
3.
PERT ...................................................................................................................................................... 6
4.
COSTO ASOCIADO AL TIEMPO ....................................................................................................... 11
5.
CONCLUSIONES ................................................................................................................................. 13
6.
PARTE PRÁCTICA ............................................................................................................................. 13
7.
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................................. 20
ÍNDICE DE FIGURAS
FIGURA 1: GRÁFICO TEORÍA DE REDES. ........................................................................................................................................... 3
FIGURA 2: GRÁFICO TEORÍA DE REDES. ........................................................................................................................................... 3
FIGURA 3: INCORPORACIÓN TAREA FICTICIA. .................................................................................................................................. 4
FIGURA 4: DIAGRAMA DE RED. ....................................................................................................................................................... 4
FIGURA 5: BARRIDO DE IZQUIERDA A DERECHA. ............................................................................................................................. 5
FIGURA 6: BARRIDO DE DERECHA A IZQUIERDA. ............................................................................................................................. 5
FIGURA 7: RESOLUCIÓN NODO 4. .................................................................................................................................................... 6
FIGURA 8: RESOLUCIÓN NODO 7. .................................................................................................................................................... 6
FIGURA 9: DIAGRAMA CON TIEMPOS PROBABILÍSTICOS. ................................................................................................................. 7
FIGURA 10: LEY DE DISTRIBUCIÓN Β ............................................................................................................................................... 7
FIGURA 11: RESOLUCIÓN DEL NODO 5. ........................................................................................................................................... 7
FIGURA 12: DIAGRAMA DE FLECHAS PERT. ................................................................................................................................... 8
FIGURA 13: TABLA RESUMEN.......................................................................................................................................................... 8
FIGURA 14: TABLA RESUMEN CAMINO CRÍTICO. ............................................................................................................................. 9
FIGURA 15: CAMPANA DE GAUSS. .................................................................................................................................................. 9
FIGURA 16: CAMPANA DE GAUSS. .................................................................................................................................................. 9
FIGURA 17: TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL. ............................................................................................................................ 10
FIGURA 18: TABLA RESUMEN TAREA 4-10. ................................................................................................................................... 11
FIGURA 19: NÚMERO DE CUADRILLAS Y TIEMPO. .......................................................................................................................... 11
FIGURA 20: COSTOS DIRECTOS E INDIRECTOS. .............................................................................................................................. 12
FIGURA 21: APLICACIÓN DE ΔX Y ΔY AL GRÁFICO DE COSTOS. ..................................................................................................... 12
FIGURA 22: DIAGRAMA DE GANTT................................................................................................................................................ 13
FIGURA 23: DISTINTAS TAREAS CRÍTICAS CON SU REDUCCIÓN DE TIEMPO. ................................................................................... 13
ÍNDICE DE FORMULAS
FORMULA 1: INTERVALO DE FLOTAMIENTO. ................................................................................................................................... 5
FORMULA 2: TIEMPO ESPERADO. .................................................................................................................................................... 7
FORMULA 3: VARIANZA. ................................................................................................................................................................. 8
FORMULA 4: VARIABLE REDUCIDA. ................................................................................................................................................ 9
FORMULA 5: TIEMPO DE TRABAJO, EN BASE A CANTIDAD, RENDIMIENTO Y RECURSOS. ................................................................ 11
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1. GENERALIDADES
<<La finalidad principal consiste en: planificar, programar y ejercer un posterior y
efectivo control de la marcha del proyecto. Su fundamentación se basa en la teoría de
las redes, disciplina matemática ésta>> Munier.
Para lograr ser eficiente y eficaz en este ámbito, es de vital importancia ser sistemático. Para ello, lo principal es que
el objetivo sea claro, preciso y alcanzable, en base a los recursos tangibles e intangibles, plazos y costos. Existen
varios proyectos realizables por un Ingeniero Civil, entre los cuales se puede mencionar: edificios, cualquiera sea su
destino; obras viales y ferroviarias; obras de urbanización y demás. Para continuar con un ejemplo claro, se decide
que el proyecto modelo a analizar es –La construcción de un edificio-. Para este proyecto, su objetivo claro, preciso
y alcanzable es –Entregar el edificio terminado-, las denominaciones deben ser lo más cortas posibles. Se encuentra
implícito que todos los objetivos están ligados al factor “fecha de finalización del proyecto” o “el producto/servicio
tendrá la calidad especificada”.
Luego de definir el proyecto y objetivo, se deben detallar los listados de tareas para llevarlo a cabo. Para lograrlo de
una forma eficiente, se debe conocer el orden de ejecución de las mismas. Es por eso, que las tareas deben enumerarse
y su nombre debe expresar con claridad lo que se debe ejecutar. Por ejemplo, -Excavar cimientos-, -Llenado de
columnas C1-. Como se mencionó anteriormente, el orden cronológico es sumamente importante, ya que nunca
puede preceder el llenado de hormigón a columnas o vigas sin su respectivo encofrado. Cuando se trate de tareas
subcontratadas, no es útil discriminar las subtareas, lo necesario es conocer cuánto tiempo demandará, por ejemplo
el ítem –Instalaciones sanitarias-, y no los detalles, secuencias del trabajo y técnicas operativas, a no ser que el
proyectista vea prudente conocer los detalles.
La forma que utilizan los métodos en estudio para discriminar las tareas es por medio de la teoría de redes, que se
representa de forma gráfica con: los números designados a las tareas, una flecha y su relación de precedencia. Se
establece de la siguiente manera:
Figura 1: Gráfico teoría de redes.
La lectura de la Figura 1 sería la siguiente: Para que pueda llegar a la tarea número 2-3, se necesita tener culminada
la tarea 1-2, que se estima realizar en un tiempo A. También, se pueden obtener diferentes caminos y procedencias
para llegar a la culminación de las tareas, como se puede ver en la Figura 2.
Figura 2: Gráfico teoría de redes.
Se interpreta del gráfico que las tareas 2-3, 2-4 y 2-5 no pueden realizarse sin antes haber terminado la tarea 1-2 en
el tiempo A. Se puede observar que la tarea 1-2 es predecesora de las demás.
Además, existe la posibilidad de la presencia de una tarea ficticia, representada en la Figura 3. Es un
condicionamiento que se representa con una línea punteada y de valor 0 (cero). Un ejemplo de esta puede ser la
espera de la aprobación de planos; la espera de un profesional en particular para desarrollar dicha tarea y demás.
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Figura 3: Incorporación tarea ficticia.
<<La tarea 1-2 debe preceder a las tareas 2-3 y 2-4. La tarea 2-4, debe preceder a la 4-5, pero ésta no puede
comenzarse hasta que no esté terminada la tarea 2-3>> Munier.
Cabe destacar que no es necesario escalar y representar en dimensiones el tiempo que se estime utilizar entre las
tareas. Es decir, que los A, B, C y D, son tiempos: meses, semanas, días u horas. No es necesario que la flecha de 5
semanas tenga mayor longitud que una flecha de 3 semanas. <<Lo importante es la comodidad del dibujo y no el
lapso que representan>> Munier. La seguridad y precisión para lograr emplazar en el lugar correcto las tareas y sus
procedencias, se corresponden a las respuestas de estas tres preguntas:
i.
¿Qué tarea o tareas, deben preceder inmediatamente a ésta?
ii.
¿Qué tarea o tareas, pueden efectuarse en forma paralela o simultáneamente con ésta?
iii.
¿Qué tarea o tareas, deben seguir inmediatamente a ésta?
2. CPM
<<Se presenta ahora el siguiente problema, ¿cuál es el mínimo tiempo en que puede
llevarse a cabo el objetivo?>> Munier.
Lo que debe interpelar el proyectista es que si el objetivo debe estar finalizando en una fecha estimada, que estará
correlacionada con el último evento de nuestro gráfico, debemos conocer en qué fecha debe comenzar el primer
evento (es decir, nuestro evento nº 1). Así nos aseguraremos que el proyecto se cumpla en su totalidad y en su
fecha prevista. Nuestro evento inicial en la construcción de un edificio (si comenzamos a participar del proyecto
desde el terreno natural) sería: -Limpieza de terreno-.
Es así que si se considera al evento 1 la –Limpieza de terreno- y al número 2 como –Desmonte o terrapléntendremos que delimitar cuanto tiempo nos llevará realizarla (según nuestro cómputo y plan de trabajo) para así llegar
al evento número 3 que puede ser –Excavación de cimientos-. Sin experiencia resulta dificultoso estimar tiempos
entre tareas. Por eso, el proyectista debe hacerse ciertas preguntas, una de ellas a modo de ejemplo: ¿Cuánto tiempo
debo esperar para quitar el encofrado de una losa de hormigón recién ejecutada, para así poder reutilizar el encofrado?
Una vez delimitadas las tareas para llevar adelante el objetivo, es de suma utilidad enumerarlas en orden cronológico
de izquierda a derecha dentro del diagrama de flechas. Cuando existan varias tareas simultaneas, se recomienda
adoptar el criterio de numerar en orden creciente de arriba hacia abajo. Luego se deben colocar los tiempos
respectivos en las flechas (en lugar de “A, B, C, etc”). Así se obtiene un diagrama como el de la Figura 4.
Figura 4: Diagrama de red.
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Obtenido el diagrama, se procede a hacer barridos de izquierda a derecha, y viceversa según corresponda, para así
determinar dos incertidumbres: la fecha de fin de obra y el camino crítico para llegar a tal fecha. Entre otras
cosas, por ejemplo, obtener la información de cuantos meses, semanas o días transcurrirán del inicio de obra hasta la
realización del revoque, o del ingreso de un subcontratista a la obra.
Para resolver esto, se trabaja de la siguiente manera: Se coloca encima de cada nodo un recuadro con dos divisiones,
es decir que en el mismo se podrán anotar tres valores. Uno corresponde al Te (fecha más temprana), otro al Ta
(fecha más tardía) y el último es el If (intervalo de flotamiento) que se obtiene de la fórmula:
𝐼𝑓 = 𝑇𝑎 − 𝑇𝑒
Formula 1: Intervalo de flotamiento.
Para obtener él Te (fecha más temprana) se debe desarrollar un barrido de izquierda a derecha, como lo muestra la
Figura 5. Se analizan todas las flechas que LLEGUEN al nodo 4 y se elige el MAYOR valor de tiempo estimado.
Es decir, que si A = 2 semanas, B = 3 semanas y C = 4 semanas. El valor elegido será el C de 4 semanas.
Figura 5: Barrido de izquierda a derecha.
Como muestra la Figura 6, ahora se debe desarrollar un barrido de derecha a izquierda. Se analizan todas las flechas
que PARTEN al nodo 4 y se elige el MENOR valor. Es decir, que si D = 5 semanas, E = 6 semanas. El valor elegido
será el D de 5 semanas.
Figura 6: Barrido de derecha a izquierda.
Luego de haber elegido los valores correctos dependiendo de la dirección del barrido realizado, nos adentramos en
el concepto de los intervalos de flotamientos. Para esto, se analizan los dos valores obtenidos en el nodo o evento
indicado. Ambos corresponden a la fecha más temprana o a la esperada, mientras que la otra a la fecha más tardía o
límite de dicho evento.
Te = Fecha más temprana (ejemplo 4 semanas). Obtenido del barrido izquierda a derecha.
Ta = Fecha más tardía (ejemplo 5 semanas). Obtenido del barrido derecha a izquierda.
La diferencia que se obtiene entra las fechas recibe el nombre de intervalo de flotamiento, y mide la demora o
tolerancia que puede admitirse. En este ejemplo Ta – Te = 5 – 4 = 1 semana. Esto se interpreta de la siguiente manera:
Una demora de una semana en la iniciación de la tarea, con respecto a la fecha más temprana no produce ningún
retraso en el desarrollo del plan. Es decir, 1 semana de posposición permisible. Un ejemplo en la construcción de
nuestro edificio sería que tenemos un intervalo de flotamiento entre las tareas –Revoque- y –Pintura-, en la cual no
es crítico el comienzo de la tarea pintura inmediatamente culminada la tarea revoque.
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Entonces la resolución de nuestro nodo 4, es el siguiente Figura 7:
Figura 7: Resolución nodo 4.
Lo que sucede al tener un valor de intervalo de flotamiento distinto de cero, es una incercia entre la tarea predecesora
y la sucesora. Esto vuelve a esas tareas no críticas. Pero el método CPM, es una herramienta para encontrar esas
tareas que no van a tener una inercia de tiempo determinado continuar el trabajo. Es por eso, se analiza el siguiente
nodo 7 en la Figura 8. En el diagrama, se observa que ambos barridos otorgan el valor de 6 semanas al nodo, entonces
el intervalo de flotamiento es igual a cero. Es decir, que si existe algún cambio en la duración de las tareas estimadas,
nuestros tiempos variaran en todo el camino crítico, causando problemas de eficiencia importantes.
Figura 8: Resolución nodo 7.
Resumiendo, se habla de tareas críticas a aquellas que el intervalo de flotamiento es igual a 0 (cero). Siguiendo
el camino de las tareas críticas desde el inicio hasta el fin del proyecto, obtendremos el camino crítico. Es decir, que
una inminente posposición de alguna de las tareas críticas, cambiará la fecha de finalización estimada del proyecto,
lo cual es grave.
3. PERT
<<La aplicación de cálculo de probabilidades al diagrama, tiende a determinar un tiempo
medio o esperado para cada tarea, tiempo éste que se utiliza para la determinación del
camino crítico>> Munier.
Lo recientemente expuesto en el capítulo de CPM, toma como base la experiencia para la estimación de las duraciones
de las tareas. En cambio, si la ejecución de una actividad suele ser variable o no se conoce con exactitud su duración
por ser una tarea nueva a desarrollar debemos aplicar probabilidades. El concepto que utiliza es el del tiempo medio
o esperado (te), y que se utiliza para la determinación del camino crítico.
Para resolverlo se utiliza el método PERT, para lo cual se formulan para cada tarea tres estimaciones de tiempos,
sus nombres y definiciones:
i.
Tiempo optimista (to): Tiempo estimado con condiciones favorables.
ii.
Tiempo normal (tn): Tiempo estimado en base a la experiencia, debe estimarse con independencia de los
otros dos.
iii.
Tiempo pesimista (tp): Tiempo estimado con condiciones desfavorables.
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Estos tiempos se plasman en el diagrama de la siguiente forma, como vemos en la Figura 9:
Figura 9: Diagrama con tiempos probabilísticos.
El orden de los tiempos se encuentra en orden decreciente teniendo de referencia la anterior mención (to, tn y tp). Es
por eso, que de estos tres tiempos aplicando una formula que se verá a continuación, se llega al tiempo esperado (te)
que se en el cuadro ubicado a la derecha del Tiempo normal (tn). Cabe destacar, que los barridos una vez obtenido
el tiempo esperado, es el mismo que el desarrollado para el método del camino crítico (CPM).
Para llegar al tiempo medio o esperado, no debemos usar un promedio aritmético. Se debe utilizar una sencilla
formula probabilística. Se admite que la duración de cada tarea, se distribuye según una ley β de distribución de
probabilidades (Figura 10). En esta ley, los tiempos optimista y pesimista, corresponden respectivamente a los
extremos: izquierdo y derecho de la campana de la curva de distribución, siendo el tiempo normal, su valor más
probable o moda.
Figura 10: Ley de distribución β
𝑇𝑒 =
1
(𝑡𝑜 + 4 𝑡𝑛 + 𝑡𝑝)
6
Formula 2: Tiempo esperado.
Resuelto el nodo 5 una vez aplicada la Fórmula 2, se observa el resultado en la Figura 11:
Figura 11: Resolución del nodo 5.
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Una aclaración importante: en la primer flecha que llega al nodo 5 (la superior) se tiene una certeza absoluta de que
tal tarea va a tener una duración de 3 semanas, es por eso que no varían los tiempos. Luego, la lectura para la
resolución respetando la fecha más temprana y más tardía para así obtener el intervalo de flotamiento, es identica al
desarrollado en el método CPM. Es decir, eligiendo el mayor valor de izquierda a derecha y el menor de derecha a
izquierda. Efectuando la resta para obtener el intervalo de flotamiento, el resultado da un rango de 1,66 semanas, es
decir que no estamos frente a una tarea crítica.
Una vista general del diagrama de flechas en el método PERT es como muestra la Figura 12:
Figura 12: Diagrama de flechas PERT.
Otro valor muy importante es la varianza, la cual expresa en cierta medida, cual es la situación de los valores extremos
respecto al valor medio. Párrafos siguientes detallarán el porqué es necesario conocerla.
𝑡𝑝 − 𝑡𝑜 2
𝜎 2 (𝑡𝑒) = (
)
6
Formula 3: Varianza.
Para ir desarrollando de manera sistemática los valores obtenidos, lo recomendable es desarrollar una tabla como la
de la Figura 13.
Tarea
1--2
1--7
...
to
1
2
...
tn
2
3
...
tp
5
5
...
te
2,33
3,16
...
0,44
0,25
...
Figura 13: Tabla resumen.
La determinación del camino crítico con tiempos probabilísticos no se diferencia de la antes mencionada en este
documento. Cabe aclarar, que el valor del evento final, cualquiera sea la unidad de tiempo que ha sido designada para
el proyecto, su probabilidad es del 50%. El proyectista debe preguntarse ¿Qué probabilidad existe que el plan
tenga esa duración? La metodología empleada en PERT permite responder a esta pregunta.
Partiendo de la base de contar con un gran número de tareas, se aplica un teorema conocido como “Teorema Central
del Límite” (enunciado en el libro de Munier), que establece la duración total del plan y se distribuye según una ley
de Gauss. <<Esta distribución tendrá un valor medio que se obtiene sumando los valores medios de las tareas críticas,
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y una varianza igual a la suma de las varianzas de dichas tareas críticas>> Munier. Es decir, una vez calculado el
camino crítico, se desarrolla a modo de ejemplo del libro de Munier lo siguiente:
Nuestro camino crítico está conformado por 5 tareas críticas, a modo de ejemplo esas tareas podrían ser: -Limpieza
del terreno- (1,16 días), -Excavación de cimientos- (8,83 días), -Llenado de losas- (4,16 días) -Instalación
eléctrica- (3 días) y –Limpieza de obra- (2,83 días), y sus valores de tiempo esperado están entre paréntesis; los de
varianza ya en la tabla resumen de la Figura 14. Es decir que la sumatoria de nuestros tiempos esperados, solamente
los del camino crítico, nos dan la cantidad de tiempo a transcurrir desde el inicio del proyecto hasta su finalización,
en este caso 19,98 días. (Tiempo tomado a fines académicos para desarrollar el mismo ejemplo que el del libro
de Munier).
Tarea
1
2
3
4
5
∑
te
1,16
8,83
4,16
3
2,83
19,98
0,025
1,34
0,68
0,44
0,25
2,735
Figura 14: Tabla resumen camino crítico.
Como se referenció anteriormente, es evidente que por las ecuaciones utilizadas, la probabilidad obtenida es del 50%,
se puede ver en la Figura 15. Es decir, que hay un 50% de probabilidades de que el proyecto se lleve a cabo en 19,98
días. Ahora la pregunta a hacerse es la siguiente, ¿Cuánta eficiencia tendré en mis recursos frente a tan baja
probabilidad?
Figura 15: Campana de Gauss.
Por eso, si se desea por ejemplo, conocer cuál es la probabilidad de que la duración esté dentro de los 22 días, se
conseguirá aplicando la fórmula de la variable reducida:
𝑧=
𝑇1 − 𝑇𝑜
√𝜎 2 (𝑡𝑒)
Formula 4: Variable reducida.
𝑧=
22 𝑑í𝑎𝑠 − 19,98 𝑑í𝑎𝑠
√2,73
=
2,02
= 1,22
1,65
Figura 16: Campana de Gauss.
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Entrando en la tabla de probabilidades de la ley normal (Figura 17), se halla que para z = 1,22 la probabilidad de
finalizar el proyecto antes de los 22 días es de 88,8%. Es decir que aumentando el tiempo para realizar el proyecto,
se tendrá mayor probabilidad de que sea culminado en lo estipulado. Pero, ¿es correcto ir probando al azar cuantos
días de más me darán mayor probabilidad? Existe otro camino, si se desea tener una mayor seguridad, por ejemplo
del 97%, es evidente que se deberá ampliar el plazo o fecha de culminación, pero no de forma aleatoria.
Volviendo a la tabla de distribución, se procede a la inversa, buscando a qué variable z, corresponde el valor de 97%.
Se debe utilizar una tabla de distribución normal como la de la Figura 17.
Figura 17: Tabla de distribución normal.
Así se encuentra que z vale 1,88. Y luego de la Formula 4, la variable reducida se despeja T1.
𝑇1 = 𝑇𝑜 + 𝑧 . (√𝜎 2 (𝑡𝑒))
𝑇1 = 19,98 + 1,88 . (√2,73)
𝑇1 = 23,08
El nuevo valor será de 23,08 días, lo que significa que redondeando a 23 días tendremos una probabilidad del 97%.
En algunos casos puede interesar conocer, la probabilidad que existe de finalizar el proyecto entre fechas
determinadas. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que el proyecto esté terminado entre tres días antes y tres días
después de la fecha esperada? Para ello, hay una resolución en el libro de Munier para quien desee ampliar sus
conocimientos. No siendo este tema estrictamente necesario para los fines de la cátedra.
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4. COSTO ASOCIADO AL TIEMPO
Hasta el momento se ha expuesto todo lo referido al tiempo para realizar el proyecto, pero no es el único factor
determinante para demostrar la eficiencia en el desarrollo del mismo. Es de suma importancia tener en claro cuáles
son los costos asociados a los tiempos designados y como varían los mismos dependiendo la probabilidad requerida
por el proyectista. La pregunta que debemos hacernos en este momento es ¿cuál es el costo mínimo total de una
tarea? Y además, si tuviese que reducir el tiempo proyectado (puede que el plazo de obra impuesto en la licitación
sea de 8 meses y el cálculo de 9 meses) ¿A qué tarea le acorto el tiempo? ¿Cuál es el costo de acortarle tiempo
a tal tarea? ¿Poseo los recursos necesarios para hacerlo? Parece evidente que se debe acortar el tiempo de las
tareas críticas, pero cuidado, puede suceder que al acortarle tiempo a estas tareas, el camino crítico cambie. Esto es
sumamente perjudicial en la administración de proyectos.
Para desarrollar el tema, se guiará en base un documento desarrollado por el Ing. Miguel Ángel, Polizzi.
Considerando, por ejemplo, que se quiere conocer el costo de disminuir en tiempo la tarea 4-10 de nuestro diagrama
de flechas. El mismo corresponde al ítem –Revoque exterior- de nuestro proyecto. En el cómputo y plan de trabajo
del proyecto, se deben encontrar toda la información requerida para desarrollar una tabla como la de la Figura 18.
Tarea 4-10
Revoque exterior
Cómputo:
1.000,00 m2
Rendimiento: 50m2/(semana*cuadrilla)
Tiempo:
5 semanas
Oficial y ayudante
4 cuadrillas
Recursos:
Materiales
Hormigonera
Costo:
$ 834.000,00
Figura 18: Tabla resumen tarea 4-10.
La Formula 5 para obtener el tiempo, en base al rendimiento y recursos es la siguiente:
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 (𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠) =
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚2
(𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚2 /𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎) ∗ 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 (𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠) =
1.000,00 𝑚2
(50
𝑚2
)∗4
𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎
= 5 semanas
Formula 5: Tiempo de trabajo, en base a cantidad, rendimiento y recursos.
Se puede hacer suposiciones de variación de tiempos en la Figura 19:
Número
de
cuadrillas
1
2
3
4
5
6
Tiempo (semanas)
20
10
6,67
5
4
3,33
Figura 19: Número de cuadrillas y tiempo.
El camino correcto para tomar decisiones es graficando para cada tarea sus costos directos e indirectos. No es
recomendado realizar una regla de tres simple, por más tentadora y fácil que resulta en la Figura 19, ya que en la
composición de un costo por sus directos e indirectos, se sabe: las curvas no son lineales y los costos directos
disminuyen mientras transcurre el tiempo, y los indirectos aumentan al prolongarse en el tiempo. Es por eso que en
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la Figura 20 se representa el gráfico adecuado para la toma de decisión a la pregunta fundamental de este ítem ¿A
qué tareas se le debe restar tiempo para lograr el objetivo de una forma eficiente?
Figura 20: Costos directos e indirectos.
En la Figura 20, aparece el nodo 4 – 10, ya esta es la tarea analizada al momento. Del gráfico se observa que ya el
trabajo esta asignado con su costo mínimo que es de 5 semanas, pero por más que sea mínimo el costo, debemos
acortar su tiempo ya que en el cálculo de nuestro proyecto dio 9 meses (siendo el plazo de obra de 8 meses) y la
presente tarea es crítica. Se deben analizar todas las tareas críticas, para así obtener la que impacte menos en el
costo final del proyecto. Una vez analizados todas las tareas que tengan un valor nulo de su intervalo de flotamiento,
es decir críticas, se vuelve a calcular el camino crítico contemplando todo el diagrama de flechas para verificar que
no ha ocurrido ningún cambio de recorrido.
Para el presente apunte, se analiza el estudio de la tarea 4 – 10, recalcando que es a fines académicos, debiendo
controlar todas las tareas. En la Figura 21, se realiza un corrimiento Δx a partir del costo mínimo hacia la derecha e
izquierda, generando así mismo dos valores de Δy. Evidentemente, el salgo es mayor al acotar el tiempo del trabajo,
es decir que elevaremos nuestro costo por reducir el tiempo de la tarea.
Figura 21: Aplicación de Δx y Δy al gráfico de costos.
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La forma práctica, rápida y útil para decidir a priori que tarea va a sufrir menor variación de costo de los distintos
gráficos, es observando la pendiente de la tangente a la curva, la derivada. Debo quitarle tiempo a la tarea que tenga
menor derivada, es decir, menor pendiente. Prestar especial atención a las siguientes Figuras 22 y 23.
Figura 22: Diagrama de Gantt.
Figura 23: Distintas tareas críticas con su reducción de tiempo.
Como se logra observar en la Figura 23, la tarea crítica número 3 es la que sufre un menor impacto en su costo. Su
pendiente forma un ángulo mayor al de las otras dos, con respecto al eje X, es decir al eje que representa el tiempo.
¡Cuidado! Siempre trabajar con las mismas unidades y distancias en los gráficos, ya que se puede cometer el
error de que la tarea número 3 este en unidades de millones de pesos, frente a la tarea crítica número 2 que
esté en miles de pesos. Generando así una elección deficiente en la administración ¡Muy importante! Siempre
analizar todos los factores y con números certeros.
5. CONCLUSIONES
Los métodos de programación por camino crítico, han recibido distintos nombres tales como PERT, CPM, CPS, etc.
Hasta la actualidad, todos los proyectos pueden aplicarse a estos métodos. Las diferencias principales entre CPM y
PERT son: el primero utiliza tiempos estimados y el segundo tiempos probabilísticos. Pero, la disparidad principal
radica en el objetivo que persigue cada caso.
Objetivo del CPM: Construir una curva de costos para el proyecto, que suministre el mínimo costo posible. Por esta
razón, se emplea generalmente para grandes construcciones. Además de disponer de información gráfica y ordenada
para plasmarla en un diagrama de Gantt.
Objetivo del PERT: Determinar la duración probable o esperada de un proyecto y conocer que probabilidad existe
de poder cumplir con la misma. Más utilizada para medir y evaluar proyectos de investigación y desarrollo o el
lanzamiento de nuevos productos al mercado, en los cuales no se conocen los tiempos de cada tarea, pero si pueden
establecerse tiempos, estimados en forma probabilística.
6. PARTE PRÁCTICA
Esta sección se divide en cuatro ejercicios a desarrollar en clase:
1) Resolución diagrama de flechas por método CPM; 2) Resolución diagrama de flechas por método PERT; 3)
Resolución diagrama de flechas por método CPM y PERT (mixto) y 4) Análisis de costos y compresión de red.
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1) Resolución diagrama de flechas por método CPM
1- Complete la numeración de los nodos, de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. 2- Barra el diagrama de flechas de izquierda a derecha, sumando las duraciones.
Tome la duración mayor cuando a un nodo sucesor convergen dos o más tareas. Estas son las fechas más tempranas, Te. 3- Barra el diagrama de flechas de derecha
a izquierda, desde el nodo final, restando las duraciones. Tome la duración Menor cuando desde un nodo predecesor nacen dos o más tareas. Estas son las fechas más
tardías, Ta. 4- Calcule a continuación los intervalos de flotamiento o demora admitida. IF = Te –Ta 5- Remarque aquellos nodos y tareas en que el IF es igual a cero.
Será el camino crítico, aquel de mayor duración, que determina el Plazo de Obra. 6- Confeccione finalmente el Diagrama de Gantt pertinente.
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2) Resolución diagrama de flechas por método PERT
1- Complete la numeración de los nodos. Llene la planilla de 7 columnas, Tarea, to, tn, tp, te, σ(te)^2, Vcr. Ver tabla adjunta. 2- Calcule el tiempo esperado, según la
ley β de distribución de probabilidades, en cada tarea: te = 1/6 * (to + 4 tn + tp). 3- Calcule la variancia σ(te)^2 = ((tp – to)/6)^2 para cada tarea. 4- Proceda conforme
a C.P.M. y halle el camino crítico. 5- Calcule la duración probable Te, al 50%, sumando los tiempos esperados en las tareas críticas. 6- Calcule la varianza del tiempo
probable, sumando las varianzas de las tareas críticas. 7- Corrija la duración total del punto 5 a una probabilidad del 95% utilizando la Tabla de Gauss. T1 = Te + z *
σ (Te); (el valor de z lo obtiene de la tabla de Gauss). 8- Completar la tabla adjunta para diferentes probabilidades.
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Tarea
to
tn
tp
Te =
Tiempo esperado
1/6*(to+4tn+tp) Camino crítico Te
σ(te)^2 =
Varianza
((tp – to)/6)^2
Camino crítico Vcr
Probabilidad
%
z
50
95
97
0
1-2
1-3
1-7
Tiempo
T1 = Te + z * σ^2
Σte =
2-4
2-5
3-5
3-6
3-7
4-8
4-10
5-8
5-9
6-8
6-9
7-9
8-10
9-10
10-11
SUMA
SUMA
Fecha de inicio
Fecha de fin
Martes 1 de Diciembre del 2020
CPM
PERT
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3) Resolución diagrama de flechas por método CPM y PERT (Mixto)
1- Realizar el método de CPM, integrando la tarea 1-7 y 9-10 con tiempos probabilísticos PERT, ya que no se conoce con exactitud el tiempo estimado de las mismas.
2- Corregir la probabilidad al 97%
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Tarea
to
tn
tp
Te =
Tiempo esperado
1/6*(to+4tn+tp) Camino crítico Te
σ(te)^2 =
Varianza
((tp – to)/6)^2
Camino crítico Vcr
1-2
1-3
Probabilidad
%
z
50
97
0
Tiempo
T1 = Te + z * σ^2
Σte =
1-7
2-4
2-5
3-5
3-6
3-7
4-8
4-10
5-8
5-9
6-8
6-9
7-9
8-10
9-10
10-11
SUMA
SUMA
Fecha de inicio
Fecha de fin
Martes 1 de Diciembre del 2020
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4) Análisis de costos y compresión de red.
1- Analizar el trabajo realizado en el ejercicio número 2 (dos) Método PERT. 2- Realizar una compresión de 1 semana. 3- Analizar gráficos estimativos de costos de
cuatro tareas críticas. 4- Verificar que el camino crítico no haya cambiado su recorrido.
TAREA CRÍTICA NÚMERO:
TAREA CRÍTICA NÚMERO:
TAREA CRÍTICA NÚMERO:
TAREA CRÍTICA NÚMERO:
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Fecha de inicio
Tarea crítica a afectar
Duración total final
Fecha de fin
Martes 1 de Diciembre del 2020
7. BIBLIOGRAFÍA
❖ Ing. Nolberto J. Munier, Libro: PERT – CPM y técnicas relacionadas.
❖ Material didacto realizado por Ing. Miguel Angel, Polizzi.
❖ Apuntes de clase cátadra Organización y Conducción de Obras.
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