תרגיל 1שאלה ,2תרגיל 2שאלה – 2עיבוד תמונה 2011 סוכם ע"י ברק איטקין – http://barak-itkin.blogspot.com תזכורת הסתברות של משתנה מקרי רציף שמתקיים: מוגדרת באמצעות פונקציית צפיפות ()probability density function ) ( ∫ ) כך ( תרגיל 1 שאלה 2 הערה :אני הולך לרמות מעט בפתרון ואז לתקן בסוף .אם תפשתם אותי ,אתם כנראה שולטים מספיק בחומר לעבור לשאלה הבאה אם ננסח את השאלה בעברית ,נתונה לנו פונקציית צפיפות שבעצם מראה לנו כמה פיקסלים יש מכל רמת במין צורה כזו של משולש .אם תנסו ו- בהירות .אנו יכולים לראות שיש בעצם פיקסלים רק בין הרמות ,כלומר סכום ההסתברויות לכל רמות הבהירות הוא באמת לחשב את שטח הצורה באמת תראו ששטחה הוא .אם אנו רוצים לחשב מה ההסתברות לפיקסל שבהירותו בין ל , -פשוט נחשב את השטח של הפונקציה בתחום זה. עכשיו ,כשסיימנו את החזרה על הסתברות ,נעבור לפתור את השאלה עצמה. מבקשים מאיתנו לחלק את התמונה לשתי רמות אפור תוך שימוש ב .Uniform Qunatizer1-הכוונה היא שבעצם נחלק את רמות האפור שמופיעות לנו לשני חלקים זהים בגודלם ,כלומר שני חלקים שגודל הטווח של רמות ( ו)- האפור שלהם זהה .באופן לא מפתיע ,החלוקה של הטווח תהיה ) ( וזאת פשוט לפי הסימטריה. כעת ,מבקשים שעבור כל אחד מהטווחים נמצא את הערך המייצג שלו ,כלומר את הערך שאליו כל הפיקסלים בטווח ימופו .במה שהגדרנו בתור ,Ideal Quantizer2אנו רוצים שתתקיימנה הזהות ) ( ∫ ) ( ∫ ) הוא הממוצע המשוקלל של התחום (המונה הוא סכום של כלומר ,הערך המייצג ( ) של התחום (בין ל- בהירות ( ) כפול הסיכוי שניפול עליה () ( ) ,והמכנה הוא סכום כל ההסתברות ליפול בטווח). נחשב את הערך המייצג בתחום ) 1 בעברית ,מכמת אחיד 2 בעברית ,מכמת אידיאלי ( (שימו לב שבתחום זה הפונקציה בשרטוט היא ) ] ) ( ]) ( ) ( ) ( [ ] [ ] [ [ נחשב את הערך המייצג בתחום ) | | | ) ( ∫ ) ( ∫ | ) ) ( (שימו לב שבתחום זה הפונקציה בשרטוט היא ) ( ∫ ) ( ∫ ( ) ) ) ∫ ( ∫ ] ] נחשב את ה- ( ( ∫ ) ( ∫ [ ] [ [ ] ∫ ) ( ∫ ) ( ∫ ( ∫ ) ) ( ∫ ) ( ∫ [ ,כלומר סכום הסטיות הריבועיות: ) ( ⏟ הסתברות למקרה זה ) ( ) ( ⏟ ) ) ( ⏟ ∫ הסתברות למקרה זה ריבוע השגיאה ( ∫ )) ) ( ) ( ( ∫ ⏟ ריבוע השגיאה ( ∫ אני אתן לכם להמשיך לבד .אני לא נהנה עד כדי כך להקליד במחשב :P בכל מקרה ,אמרתי שרימיתי .איפה? ובכן ,אני התייחסתי לשני תחומים ) ( ו)- ( ,מה שנתן את האשלייה שמתקיים אבל בפועל ,נהוג להגדיר את ה- -ים של הקצוות כפלוס אינסוף ומינוס אינסוף: זאת בשביל שלא יהיו לנו איזורים עם מיפוי לא מוגדר .בפועל ,מכיוון שאנו יודעים שכל הקלט היה בין ( ו)- אז חישבנו את האינטגרל רק בתחום הזה ולא עד האינסוף (זאת משום שבתחומים ) מקבלים אינטגרל של אפס וזה מתאפס). ל- ( היינו תרגיל 2 שאלה 2 ננסה להסביר את השאלה בעברית :נתונה לי היסטוגרמה ואני רוצה למפות אותה להיסטוגרמה .אזי אני והיא תקרא פונקציית המיפוי .אזי תחת ההנחה שיש לנו מיפוי מונוטוני עולה ,3אם אגדיר פונקציה ) ( אזי כמות הפיקסלים שכהים מ -בתמונה המקורית (נסמן ) ( ) זהה לכמות הפיקסלים שכהים מ -בתמונה לאחר המיפוי (נסמן ) ( ). עכשיו נעבור למונחים של הסתברות .להיסטוגרמה אנו רוצים שתהיה פונקציית צפיפות כמו שמתואר (עזבו את פונקציית הצפיפות של .אזי ,לפי השוויון בין כמויות הפיקסלים שהגדרנו, רגע מה זו בדיוק ) .נסמן מתקיים ) ) ( ( ) ( נניח לשם פשטות כי ) | [ ) לערך וגם ( ) + ) ( ( * ! ) ( 3 ( ∫ ] כלומר לא יכול להיות שעבור ∫ ( (תיכף נראה למה זה בסדר): | וקיבלנו מה שרצינו – מיפוי מערך ) ) ( + * יתקיים שבהירות ) ( תמופה לבהירות ובהירות תמופה ל-
