1
מבוא לקומבינטוריקה ותורת הגרפים
הרצאות
גרסא לא סופית .עודכן לאחרונה.19/07/2009 :
תוכן עניינים
1
עקרונות בסיסיים של מניה3 .........................................................................................................
1.1
עקרון הסכום 3 ..............................................................................................................
1.2
עקרון הכפל 3 ................................................................................................................
1.3
הכללות של עיקרון הכפל ושל עקרון הסכום 4 ......................................................................
1.4
בעיות מניה בסיסיות 5 .....................................................................................................
המקדמים הבינומיים 7 .............................................................................................................
2
2.1
אונימודלית של המקדמים הבינומיים 7 ................................................................................
2.2
הוכחת זהויות קומבינטוריות8 ...........................................................................................
2.3
מספרי קטלן9 ................................................................................................................
2.4
הכללות של המקדמים הבינומיים 10 ...................................................................................
2.4.1
מעל 10 ........................................................................................................ ℝ
2.4.2
המקדמים המולטינומים 11 ...................................................................................
3
עקרון שובך היונים (דירכלה) 12 ...............................................................................................
4
עקרון ההכלה וההדחה 13 ........................................................................................................
4.1
פונקצית 𝑛𝜑 של אוילר (𝑟𝑒𝑙𝑢𝐸) 16 .................................................................................
4.2
תמורות ללא נקודות שבת 17 ............................................................................................
הערכות אסימפטוטיות18 .........................................................................................................
5
6
5.1
קצב גידול של פונקציות 18 ..............................................................................................
5.2
הערכה אסימפטוטית ל21 ............................................................................................ n!-
5.3
מקדמים בינומיים 22 .......................................................................................................
5.4
המקדם הבינומי האמצעי 23 ..............................................................................................
נוסחאות נסיגה 23 ......................................................................................................................
6.1
שיטות לפיתרון של נוסחת נסיגה 25 ...................................................................................
6.2
נוסחאות נסיגה ליניאריות 26 ............................................................................................
6.2.1
7
נוסחאות נסיגה ליניאריות לא הומוגניות 29 ..............................................................
פונקציות יוצרות31 ....................................................................................................................
7.1
פעולות 32 ....................................................................................................................
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
2
שימושים34 ..................................................................................................................
7.2
8
תורת הגרפים 36 ....................................................................................................................
8.1
דרגות 37 ......................................................................................................................
8.2
הילוכים ,מסלולים ומעגלים37 ..........................................................................................
8.3
גרפים קשירים ורכיבי קשירות 37 .....................................................................................
8.4
גרפים דו-צדדים 38 ........................................................................................................
8.4.1
משפט הול לגרפים דו-צדדיים 39 ...........................................................................
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
3
הבהרה :הכל סופי אלא אם נאמר אחרת.
1
עקרונות בסיסיים של מניה
1.1
עקרון הסכום
עקרון הסכום (משפט) :תהינה 𝐵 𝐴,קבוצות סופיות זרות ,אזי |𝐵| . 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 +
הוכחה :נניח } 𝑚𝑎 .B = {𝑏1 , … , 𝑏𝑚 } ,A = {𝑎1 , … ,לכן .𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑎1 , … , 𝑎𝑚 , 𝑏1 , … , 𝑏𝑛 :אז
|𝐵| . 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑚 + 𝑛 = 𝐴 +
מסקנה :תהיינה 𝐵 𝐴,קבוצות סופיות כאשר 𝐵 ⊆ 𝐴 אזי |𝐴| |𝐵\𝐴| = |𝐵| −
הוכחה( 𝐵 = 𝐴 ∪ (𝐵\𝐴) :כאשר הקבוצות זרות זו לזו) .לכן לפי עיקרון הסכום מקבלים
|𝐴\𝐵| |𝐵| = |𝐴| +ומכאן |𝐴| .|𝐵\𝐴| = |𝐵| −
2.1
עקרון הכפל
מכפלה ישרה (הגדרה) :תהיינה A,Bקבוצות .המכפלה הישרה של Aושל ,Bהמסומנת ב ,𝐴 × 𝐵 -מוגדרת באופן
הבא:
}𝐵 ∈ 𝑏 𝑎, 𝑏 𝑎 ∈ 𝐴,
= 𝐵×𝐴
דוגמה 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ,𝐴 = {1,2} :אז })𝑐 .𝐴 × 𝐵 = {(1, 𝑎), (1, 𝑏), (1, 𝑐), (2, 𝑎), (2, 𝑏), (2,נשים
לב |𝐴| = 2 :ו |𝐵| = 3 -ולכן |𝐵| ∙ |𝐴| = |𝐵 × 𝐴|.
עקרון הכפל (משפט) :תהיינה 𝐵 𝐴,קבוצות סופיות ,אזי |𝐵| ∙ |𝐴| = |𝐵 × 𝐴|
הוכחה :נניח } 𝑚𝑎 ,|𝐴| = 𝑚, 𝐴 = {𝑎1 , … ,ו .|𝐵| = 𝑛 ,𝐵 = {𝑏1 , … , 𝑏𝑛 } -לכן:
השורה של 𝑎1היא:
𝑛𝑏 𝑎1 , 𝑏1 , 𝑎1 , 𝑏2 , … , 𝑎1 ,
השורה של 𝑎2היא:
𝑛𝑏 𝑎2 , 𝑏1 , 𝑎2 , 𝑏2 , … , 𝑎2 ,
…
השורה של 𝑛𝑎 היא:
𝑛𝑏 𝑎𝑚 , 𝑏1 , 𝑎𝑚 , 𝑏2 , … , 𝑎𝑚 ,
הצגנו את הקבוצה 𝐵 × 𝐴 כטבלה בה יש 𝑚 שורות (כמספר האיברים ב ,)𝐴-ובכל שורה יש בדיוק 𝑛 איברים
(כמספר האיברים ב .)𝐵-לכן בטבלה הזאת וב 𝐴 × 𝐵-יש בדיוק |𝐵| ∙ |𝐴| = 𝑛 ∙ 𝑚 איברים.
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
4
3.1
הכללות של עיקרון הכפל ושל עקרון הסכום
עקרון הכפל המוכלל ( 1משפט) :תהיינה 𝐵 𝐴,קבוצות סופיות ותהי 𝐵 × 𝐴 ⊆ 𝑅 קבוצה (כלומר שהיא יחס
בינארי על 𝐵 .)𝐴,
א .אם קיים 𝑠 טבעי כך שלכל 𝐴 ∈ 𝑎 𝑎 ,משתתף בבדיוק 𝑠 זוגות מ 𝑅-כאיבר ראשון ,אז 𝑠 ∙ |𝐴| = |𝑅|
ב .אם קיים 𝑡 טבעי כך שלכל איבר 𝐵 ∈ 𝑏 משתתף בבדיוק 𝑡 זוגות מ 𝑅-כאיבר שני אז |𝐵| ∙ 𝑡 = |𝑅|
הוכחה :נניח } 𝑚𝑎 .|𝐵| = 𝑚 ,𝐵 = {𝑏1 , … 𝑏𝑚 } ,|A| = m ,𝐴 = {𝑎1 , … ,בהינתן 𝑅 ,נגדיר מטריצה 𝑀 עם
𝑚 שורות ו 𝑛-עמודות באופן הבא:
𝑅 ∈ 𝑗𝑏 1, 𝑎𝑖 ,
𝑅 ∉ 𝑗𝑏 0, 𝑎𝑖 ,
=
𝑗𝑖
𝑀
𝑛≤ 𝑗≤1
∀1 ≤𝑖≤ 𝑚 ,
מכאן לפי ההגדרה של 𝑀 ,העוצמה של 𝑅 שווה למספר האחדות ב.𝑀-
א) לפי הנתון ,בכל שורה של 𝑀 יש בדיוק 𝑠 אחדות ,ולכן מספר האחדות הכולל ב 𝑀 -הוא
𝑠 ∙ 𝑚 = 𝑠 ∙ |𝐴|.
ב) לפי הנתון ,בכל עמודה של 𝑀 יש בדיוק 𝑡 אחדות ,ולכן מספר האחדות הכולל ב M-הוא
𝑡 ∙ 𝑛 = 𝑡 ∙ |𝐵|
דוגמה :נספור את כמות המספרים האי זוגיים מ 0-עד 99עם ספרות שונות.
פתרון :נסמן } 𝐴 = {1,3,5,7,9ו 𝐵 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}-ניתן לזהות כל מס' אי-זוגי 𝑥 בין 0לבין 99עם
זוג ) (a, bכאשר a ∈ Aו 𝑏 ∈ 𝐵 -באופן הבא .𝑥 = 10 ∙ 𝑏 + 𝑎 :נסמן ב 𝑅-את הזוגות )𝑏 (𝑎,עם 𝐴 ∈ 𝑎 ו-
𝐵 ∈ 𝑏 כאשר .a ≠ bלפי הגדרת 𝑅 ,נובע כי |𝑅| הוא המספר המבוקש .נשים לב כי כל איבר a ∈ Aמשתתף
בדיוק ב 9-זוגות 𝑅 ∈ )𝑏 (𝑎,לכן לפי הכללת עיקרון הכפל|𝑅| = |𝐴| ∙ 9 = 5 ∙ 9 = 45 ,
דוגמה :בשיעור משתתפים 20בנים ומס' בנות .כל בן בקבוצת שיעור מכיר בדיוק 4בנות וכל בת מכירה בדיוק 5
בנים .מהו מס' הבנות בשיעור?
פתרון :נסמן את קבוצת הבנים ב ,𝐵-ואת קבוצת הבנות ב .𝐺 -כמו כן ,נסמן ב 𝑅-את יחס ההיכרות בין הבנים ובין
הבנות בכיתה ,כלומר 𝑅 ∈ )𝑏 (𝑎,אם בן 𝑎 מכיר בת 𝑏 .לפי עיקרון הכפל:
|𝐵| ∙ 4 = |𝑅| = |𝐺| ∙ 5
80 = 20 ∙ 4 = 𝐺 ∙ 5 ⇒ 𝐺 = 6
הערה :ביצענו פה ספירה כפולה כדי למצוא את הנעלם.
עקרון החיבור המוכלל (משפט) :תהיינה 𝑛𝐴 𝐴1 , … ,קבוצות סופיות זרות בזוגות אזי
𝑛
𝑛
= 𝑖𝐴
𝑖𝐴
𝑖=1
𝑖=1
הוכחה :באינדוקציה על 𝑛
הגדרה :תהיינה 𝑛𝐴 𝐴1 , … ,קבוצות הכפלה הישרה של 𝑛𝐴 𝐴1 , … ,המסומנת ב A1 × 𝐴2 × … × 𝐴𝑛 -הוא
קבוצה המוגדרת ע"י } 𝑛𝐴 ∈ 𝑛𝑎 A1 × 𝐴2 × … × 𝐴𝑛 = { 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 : 𝑎1 ∈ 𝐴1 , … ,
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
5
עקרון הכפל המוכלל ( 2משפט) :תהיינה 𝑛𝐴 𝐴1 , … ,קבוצות סופיות אזי
𝑛
= | 𝑛𝐴 × … × |A1 × 𝐴2
𝑖𝐴
𝑖=1
הוכחה :באינדוקציה על 𝑛.
דוגמה :תהי Aקבוצה של nאיברים .נחשב את מספר תתי הקבוצות של .A
פיתרון :נרשום } A = {a1 , … , anתהי 𝐴 ⊆ 𝑋 תת קבוצה ,ניתן לאפיין את Xע"י וקטור ) 𝑛𝜖 𝜒𝑋 = (𝜖1 , … ,
𝑋 ∈ 𝑖𝑎 1,
= 𝑖 𝑋𝜒
כאשר
𝑋 ∉ 𝑖𝑎 0,
דוגמה .𝝌𝒙 = 1,0,0,1,0 , 𝑋 ⊆ 𝐴, 𝐴 = {1,2,3,4,5} :יתרה מזאת קיימת התאמה חח"ע ועל בין התת-
קבוצות של 𝐴 ⊆ 𝑋 לבין וקטורים של 0או 1באורך 𝑛 .לכן מספר תתי הקבוצות של 𝐴 שווה למספר הוקטורים
באורך 𝑛 אשר כל רכיב בהם הוא 0או .1נשים לב כי קבוצות הוקטורים הנ"ל היא בעצם 𝑛} .{0,1לכן ,לפי
עיקרון הכפל המוכלל ב 0,1 𝑛 -יש 𝑛 2איברים ,וזאת כמות תתי הקבוצות של 𝐴.
4.1
בעיות מניה בסיסיות
סימון :עבור 𝑛 ∈ ℕנסמן 𝑛 𝑛 = 1,2,3, … ,
בעיה בסיסית – 𝐴 :קבוצה של 𝑛 איברים - 𝑘 .פרמטר.
בכמה אופנים ניתן לבחור 𝑘 איברים מתוך 𝐴? על מנת לענות על שאלה זאת ,יש לציין:
האם סדר הבחירה חשוב או לא (האם מדובר בקבוצות או בסדרות)
האם חזרות מותרות או אסורות
אסורות חזרות
ב .מספר הסדרות באורך 𝑘 עם
איברים ב 𝐴-עם חזרות אסורות
ד .מספר תתי הקבוצות של 𝐴
בגודל 𝑘.
יש חשיבות לסדר
אין חשיבות לסדר
א.
ב.
𝑘
סופרים :מספר הסדרות באורך 𝑘 עם איברים ב .𝐴-למעשה ,מדובר בקבוצה 𝑘𝐴 בה יש 𝑘𝑛 =
מספר הסדרות באורך 𝑘 עם איברים ב 𝐴-ללא חזרות
תמורה (הגדרה) :תהי 𝐴 קבוצה של 𝑛 איברים .תמורה 𝜋 על 𝐴 היא פונקציה חח"ע ועל.𝜋: 𝐴 → 𝐴 :
נשים לב :ניתן לזהות כל תמורה 𝜋 על 𝐴 עם סדרה באורך 𝑛 בה כל איבר ב 𝐴-מופיע בדיוק פעם אחת.
טענה :תהי Aקבוצה בת 𝑛 איברים .מספר התמורות על 𝐴 שווה ל.𝑛!-
הוכחה :נזהה את התמורה על 𝐴 עם סדרות באורך 𝑛 בהן כל איבר מופעי בדיוק פעם אחת .נספור את מספר
הסדרות הנ"ל :אם ) 𝑛𝜖 𝜖 = (𝜖1 , … ,סדרה כזאת .את האיבר הראשון 𝜖1ניתן לבחור ב 𝑛-אופנים שונים.
בהינתן 𝜖1ניתן לבחור את 𝜖2ב (𝑛 − 1)-אופנים .ממשיכים בצורה דומה ,ואז מספר הבחירות הכולל הוא:
!𝑛 = ∙ … ∙ .𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛 − 2ולכן מספר התמורות על 𝐴 גם הוא !𝑛 .כלומר ,מספר הסדרות באורך
𝑘 בלי חזרות
ג.
מותרות חזרות
א .מספר הסדרות באורך 𝑘 עם
איברים ב𝐴-
ג .מספר המולטי-קבוצות של 𝐴
באורך 𝑘.
!𝑛
הוא:
! 𝑘𝑛−
𝐴 איברים
= .𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛 − 2 ∙ … ∙ 𝑛 − 𝑘 + 1
סופרים :מספר תתי הקבוצות של 𝑘 איברים מתוך הקבוצה 𝐴 בגודל 𝑛 (נניח 𝑛 ≤ 𝑘 ,אחרת יש 0
אפשרויות).
משפט :יהיו 𝑘, 𝑛 ∈ ℕכך ש .0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 -מספר התת-קבוצות בגודל 𝑘 מתוך הקבוצה 𝐴 של 𝑛 איברים
!𝑛
הוא:
! 𝑘𝑘! 𝑛−
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
6
הוכחה :נסמן ב 𝑥-את המספר המבוקש .בהינתן קבוצה 𝑆 של 𝑘 איברים מתוך ]𝑛[ ,ניתן ליצור ממנה !𝑘
סדרות שונות באורך 𝑘 .באופן זה ,ניתן לקבל את כל הסדרות באורך 𝑘 של איברים מתוך ]𝑛[ ,וכל סידרה
כזאת מתקבלת בדיוק פעם אחת .לכן מספר הסדרות הנ"ל הוא !𝑘 ∙ 𝑥 .מצד שני ,הוכחנו בסעיף ב' כי מספר
הסדרות הנ"ל
!𝑛
!𝑛
הוא ! 𝑘 𝑛−ולכן
! 𝑘𝑛−
סימון :עבור 𝑛 ≤ 𝑘 ≤ 0שלמים,
ד.
!𝑛 = 𝑥.
!𝑛
נסמן
! 𝑘𝑛−
!𝑘 =
𝑛
𝑘
.בנוסף ,עבור 𝑛 > 𝑘 נסמן = 0
𝑛
𝑘
.עבור
. 00 = 1
סופרים :את מספר תתי הקבוצות הלא סדורות כאשר חזרות מותרות בעלות 𝑘 איברים מקבוצה בגודל 𝑛.
כלומר ,מספר האופנים לבחור מולטי קבוצה בגודל 𝑘 מתוך ]𝑛[.
נשים לב ,ניתן לתאר כל מולטי קבוצה כזאת ע"י 𝑛-יה ( 𝑛𝑥 )𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , . . . ,כאשר 𝑥𝑖 ≥ 0שלם ו
𝑛𝑥 .𝑘 = 𝑥1 + ⋯ +יתרה מזאת ,ההתאמה הזאת היא חח"ע ועל .לכן ,למעשה ,עלינו לספור את מספר
הפיתרונות של המשוואה 𝑥1 + ⋯ + 𝑥𝑛 = 𝑘 :בטבעיים.
𝑛+𝑘−1
משפט :מספר הפיתרונות של משוואה 𝑘 = 𝑛𝑥 𝑥1 + ⋯ +בטבעיים שווה ל. 𝑘 -
הוכחה :בהינתן פתרון ) 𝑛𝑥 (𝑥1 , … ,למשוואה הנ"ל נוכל לייצגו בצורה הבאה:
𝑠𝑒𝑚𝑖𝑡 𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑚𝑖𝑡 𝑥 2
𝑠𝑒𝑚𝑖𝑡 𝑥 1
𝑛 11. . .1 | 22. . .2 | … | 𝑛𝑛. . .
כאשר 1מופיע 𝑥1פעמים וכך הלאה .קיבלנו רשימה באורך 𝑘 + 𝑛 − 1המורכבת מ 𝑘-מספרים מתוך ]𝑛[
ו 𝑛 − 1 -מחיצות .יתרה מזאת ,בהינתן מיקום )(𝑛 − 1במחיצות נוכל לשחזר את הפיתרון בצורה חד
משמעית .בהתאם לכך ,קיימת התאמה חח"ע ועל בין הפתרונות של המשוואה הנתונה בטבעיים לבין סידור של
𝑛 − 1מחיצות מתוך רשימה באורך .𝑛 − 𝑘 − 1הכמות האחרונה היא מספר האופנים לבחור 𝑛 − 1
מחיצות בתוך קבוצה בגודל .𝑛 + 𝑘 − 1ולכן המספר האחרון שווה ל-
𝑛+𝑘−1
𝑘
=
𝑛+𝑘−1
𝑛+𝑘−1 − 𝑛−1
𝑛+𝑘−1
=
𝑛−1
דוגמה :נמצא את מספר הפיתרונות של אי-שוויון 𝑘 ≤ 𝑛𝑥 ( 𝑥1 + ⋯ +שלמים חיוביים) בטבעיים.
פתרון :עבור פתרון ) 𝑛𝑥 (𝑥1 , … ,של אי-השיוויון הנתון ,נסמן ) 𝑛𝑥 ,𝑦 = 𝑘 − (𝑥1 + ⋯ +אזי:
𝑦 )1הוא טבעי.
𝑥1 + ⋯ + 𝑥𝑛 + 𝑦 = 𝑘 )2
כמו כן ,בהינתן 𝑛𝑥 𝑦, 𝑥1 , … ,כנ"ל 𝑛𝑥 𝑥1 , … ,הוא פיתרון טבעי לאי השיוויון הנתון .מכאן ,מספר
הפיתרונות של אי-השיוויון הנתון שווה למספר הפתרונות של 𝑘 = 𝑦 𝑥1 + ⋯ + 𝑥𝑛 +בטבעיים והאחרון
𝑘𝑛+
= 𝑛+1+𝑘−1
שווה ל-
𝑛
𝑛+1−1
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
7
2
ים
המקדמים הבינומי
הבינום של ניוטון (משפט) :לכל 𝑛 טבעי ולכל 𝑥, 𝑦 ∈ ℝמתקיים 𝑘𝑥 𝑘 ∙ 𝑦 𝑛−
𝑛
𝑛
𝑘 𝑘=0
=
𝑛
𝑦. 𝑥+
הוכחה:
𝑠𝑒𝑚𝑖𝑡 𝑛
𝑦= 𝑥+𝑦 𝑥+𝑦 … 𝑥+
𝑛
𝑦𝑥+
כשנפתח את המכפלה הנ"ל ,כל גורם יהיה מהצורה 𝑘 𝑥( 𝑥 𝑘 ∙ 𝑦 𝑛−נבחר מתוך 𝑘 סוגריים 𝑦 ,נבחר מתוך 𝑘 𝑛 −
סוגריים) ,לכן 𝑘 . 𝑥 + 𝑦 𝑛 = 𝑛𝑘=0 𝐶𝑘 𝑥 𝑘 ∙ 𝑦 𝑛−על מנת לקבוע את הערך של המקדם 𝑘𝐶 ,נשים לב כי הוא
שווה למספר האופנים ליצור איבר 𝑘 ,𝑥 𝑘 ∙ 𝑦 𝑛−כלומר למספר האופנים לבחור 𝑘 סוגריים מהם ילקח 𝑥 .לכן לפי
ההגדרה של המקדם הבינומי 𝑘𝑛 ,נובע כי 𝑘𝑛 = 𝑘𝐶.
מסקנה= 2𝑛 :
𝑛
𝑛
𝑘 𝑘=0
הוכחה :נציב 𝑥 = 𝑦 = 1בנוסחת הבינום ונקבל
𝑛
𝑘
זהות פסקל (משפט):
𝑛−1
𝑘
𝑛−1
𝑘−1
+
𝑛
𝑛
𝑘𝑛 𝑘 𝑛−
1 ∙1
=
𝑘
𝑘=0
=
𝑛
𝑛
2 = 1+1
𝑘=0
𝑛
𝑘
=
הוכחה אלגברית :קל
הוכחה קומבינטורית :נסמן ב 𝐹𝑛 -את משפחת תתי הקבוצות של ]𝑛[ בגודל 𝑘 .הוכחנו ש-
𝑛
𝑘
= 𝑘𝐹 .נסמן
𝑋 ∈ 𝑛 𝐹 ′ = 𝑋 ⊆ 𝑛 | 𝑋 = 𝑘,
𝑋 ∉ 𝑛 𝐹 ′′ = 𝑥 ⊆ 𝑛 | 𝑋 = 𝑘,
( 𝐹 ′ = 𝑛−1יש
נשים לב ש 𝐹 ′ ∩ 𝐹 = 𝜙, 𝐹 ′ ∪ 𝐹 ′′ = 𝐹𝑘 -מכאן | , 𝑛𝑘 = 𝐹𝑘 = 𝐹 ′ + |𝐹 ′′אבל
𝑘−1
( 𝐹 ′′ = 𝑛−1יש לבחור קבוצה בגודל kמתוך
לבחור את 𝑘 − 1האיברים הנותרים מתוך ] .)[𝑛 − 1כמוכן
𝑘
𝑛−1
𝑘
קבוצה ] .)[𝑛 − 1מכאן
+
𝑛−1
𝑘−1
1.2
נסתכל על הסדרה
𝑛
𝑘=0
𝑘𝑎 כאשר
𝑛
𝑘
=
.
אונימודלית של המקדמים הבינומיים
𝑛
𝑘
= 𝑘𝑎.
סדרה אונימודלית (הגדרה) :סדרה 𝑏𝑘 𝑛𝑘=0נקראת אונימודלית (עולה) אם קיים מספר טבעי 𝑛 ≤ 0 ≤ 𝑘0כך
ש 𝑏1 ≤ 𝑏2 ≤ ⋯ ≤ 𝑏𝑘 0וכן 𝑛𝑏 ≥ ⋯ ≥ .𝑏𝑘 0 ≥ 𝑏𝑘 0 +1
טענה:
א) אם 𝑛 זוגי אז
𝑛
𝑛
ב) אם 𝑛 אי זוגי אז
הוכחה:
𝑛
𝑘
>⋯>
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
+1
2
>⋯>
𝑛
𝑛
2
>
=
𝑛
<
𝑛
2
𝑛
𝑛
2
𝑛
𝑛
−1
2
<⋯<
𝑛
1
<
𝑛
0
<⋯<
𝑛
1
<
𝑛
0
= 𝑘𝑎 .נסתכל על המנה של 2איברים העוקבים בסדרה:
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
8
>1
𝑛−𝑘+1
𝑘
⇔ ⇒ 𝑎𝑘 > 𝑎𝑘−1
𝑛−𝑘−1
𝑘
=
!𝑛
! 𝑘𝑘! 𝑛 −
!𝑛
! 𝑘−1 ! 𝑛 −𝑘−1
=
𝑛
𝑘
𝑛
𝑘−1
=
𝑘𝑎
𝑎 𝑘−1
ולכן
⇒>1
𝑛−𝑘+1
𝑘
1 𝑛 > 2𝑘 − 1 ⇔ 𝑎𝑘 > 𝑎𝑘−1
2 𝑛 = 2𝑘 − 1 ⇔ 𝑎𝑘 = 𝑎𝑘−1
3 𝑛 < 2𝑘 − 1 ⇔ 𝑎𝑘 < 𝑎𝑘−1
בדיקה המקרה של 𝑛 זוגי ושל 𝑛 אי זוגי נותנת את אותן תוצאות.
2.2
.1
𝑛
𝑘𝑛−
=
הוכחת זהויות קומבינטוריות
𝑛
𝑘
הוכחה :ישיר מהגדרות
𝑛
𝑛
𝑘 𝑘 𝑘=1
= 𝑛 ∙ 2𝑛−1 .2
הוכחה :לפי הבינום של ניוטון עם y = 1מקבלים 𝑘 𝑥 𝑘𝑛 = 𝑛𝑘=0
כשיוויון בין שתי פונקציות של משתנה 𝑥 ,ונגזור אותן לפי 𝑥 .נקבל:
𝑛
𝑥 . 1 +נסתכל על השיוויון הנ"ל
𝑛
∙ 𝑘 ∙ 𝑥 𝑘−1
𝑘
נציב 𝑥 = 1ונקבל:
𝑛
=
לכן:
𝑛∙ 𝑥+1
𝑘=1
𝑛
𝑛
𝑘
הוכחה אלטרנטיבית:
𝑛−1
= 𝑛 ∙ 2𝑛−1
∙𝑘
𝑘=1
𝑛
!𝑛
𝑘
∙𝑘 =
𝑘
!𝑘 ! 𝑘 𝑛 −
!𝑛
=
! 𝑛−𝑘 ! 𝑘−1
! 𝑛−1
∙𝑛=
! 𝑛−𝑘 ! 𝑛−1
𝑛−1
∙𝑛=
𝑘−1
𝑛−1
𝑘−1
𝑛−1
𝑘−1
n−1
k
𝑛
∙𝑛
𝑛
𝑘=1
𝑛
=
𝑘
𝑛
∙𝑘
𝑘=1
∙𝑛=
𝑘=1
𝑛−1
∙𝑛 =
𝑘=0
= 𝑛 ∙ 2𝑛−1
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
9
הוכחה קומבינטורית :ניתן לפרש איבר 𝑘𝑛 ∙ 𝑘 כמספר האופנים לבחור קבוצה ]𝑛[ ⊆ 𝑆 של 𝑘 איברים
ולאחר מכן לבחור 𝑆 ∈ 𝑠 .לכן ,אגף שמאל סופר את מספר הזוגות 𝑆 ∈ 𝑠 . 𝑆, 𝑠 𝑆 ⊆ 𝑛 ,אותה כמות
ניתן לספור בדרך אחרת :קודם נבחר ]𝑛[ ∈ 𝑠 ואז נבחר ]𝑛[ ⊆ 𝑆 כך ש 𝑆 ∈ 𝑠 .את ]𝑛[ ∈ 𝑠 ניתן לבחור ב-
𝑛 אופנים ,ואחרי שהוא נבחר ניתן לבחור את ]𝑛[ ⊆ 𝑆 אשר מכילה אותה ב 2𝑛−1 -אופנים .לכן המספר
הכולל של הזוגות )𝑠 (𝑆,כנ"ל הוא .𝑛 ∙ 2𝑛−1לכן. 𝑛𝑘=1 𝑘 𝑛𝑘 = 𝑛 ∙ 2𝑛−1 ,
= 0 .3
𝑛 𝑘
𝑘
−1
𝑛
𝑘=0
הוכחה קומבינטורית:
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
+
+
⋯+
1
3
5
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
=
−
+
− ⋯ + −1
𝑘
0
1
2
𝑛
𝑛
𝑛
+
+
+⋯ −
0
2
4
𝑛
𝑘
−1
𝑘=0
=
הסכום ⋯ 𝑛0 + 𝑛2 + 𝑛4 +סופר את מספר הקבוצות במשפחה 𝐹1של תתי קבוצות של ]𝑛[ בעוצמה זוגית.
הסכום ⋯ 𝑛1 + 𝑛3 + 𝑛5 +סופר את מספר הקבוצות במשפחה 𝐹2של תתי קבוצות של ]𝑛[ בעוצמה אי-
זוגית .לכן ,די להראות שהעוצמה של 𝐹1היא העוצמה של .𝐹2נגדיר את ההתאמה 𝜑: 𝐹1 → 𝐹2באופן הבא :לכל
𝑇∉𝑛 𝑛 ∪𝑇
= 𝑇 𝜑 (לדוגמה ,אם 𝑛 = 5אז 𝑇 1,2,3 = 1,2,3,5ו-
קבוצה 𝑇 ∈ 𝐹1נגדיר
𝑇 ∈ 𝑛 𝑛 \𝑇
.)𝑇 2,3,5 = 2,3נשים לב שלכל 𝑇 ∈ 𝐹1מתקיים 𝜑 𝑇 = 𝑇 + 1 :או . 𝜑 𝑇 = 𝑇 − 1ובשני
המקרים שונה מזו של |𝑇| .לכן 𝜑 מעבירה קבוצות זוגיות אל קבוצות אי-זוגיות ומכאן ,אכן .𝜑: 𝐹1 → 𝐹2 ,כמוכן,
קל לראות ש φ -היא חח"ע ועל ולכן | , 𝐹1 = |𝐹2כרצוי.
3.2
מספרי קטלן
𝑛 𝑎𝑖 2של ±1נקראת מאוזנת אם ≥ 0
סדרה מאוזנת (הגדרה) :סדרה 𝑖=1
הסכומים החלקיים של הסדרה הם אי-שליליים.
שאלה :מהו מספר הסדרות המאוזנות
𝑛2
𝑖=0
𝑘
𝑖𝑎 𝑖=1
𝑖𝑎 כאשר 𝑎𝑖 ∈ 1, −1ו= 0 -
לכל 𝑛 .1 ≤ 𝑘 ≤ 2ז"א כל
𝑛2
𝑖𝑎 𝑖=1
?
הוכחה :נסמן ב 𝑆𝑛 -את משפחת הסדרות של 𝑛 אחדות ושל 𝑛 מינוס אחדות .נסמן 𝑛𝑠 = 𝑛𝑆 .נשים לב
𝑛 .𝑠𝑛 = 2כמו כן ,נסמן ב 𝐵𝑛 -את משפחת הסדרות המאוזנות באורך 2nונסמן 𝑛𝐵 = 𝑛𝑏 .כמו כן ,נסמן
𝑛
𝑛𝐵\ 𝑛𝑆 = 𝑛𝑈 את הסדרות הלא מאוזנות באורך 2nונסמן 𝑛𝑢 = 𝑛𝑈 .כיוון ש 𝑛𝑈⨄ 𝑛𝐵 = 𝑛𝑆 מתקיים
𝑛2
𝑛 𝑎 = 𝑎𝑖 2סדרה לא מאוזנת אז לפי ההגדרה קיים 𝑛 1 ≤ 𝑘 ≤ 2כך
𝑛𝑢 .𝑏𝑛 = 𝑠𝑛 − 𝑢𝑛 = 𝑛 −תהי 𝑖=1
𝑘
𝑛 𝑎′ = 𝑎𝑖′ 2באופן
ש . 𝑖=1 𝑎𝑖 < 0נסמן 𝑘0את ה 𝑘 -הראשון עבורו זה מתקיים .כעת ,נגדיר סדרה חדשה 𝑖=1
−𝑎𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘0
= ( 𝑎𝑖′בהמשך נקרא לפעולה זו פעולת ההיפוך).
הבא:
𝑛𝑎𝑖 , 𝑘0 + 1 ≤ 𝑖 ≤ 2
אז מתקיים
=1
𝑛2
𝑖𝑎 𝑖=𝑘 0 +1
= −1,
𝑘0
𝑖𝑎 𝑖=1
)(1
נחשב
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
10
=
𝑛2
′
𝑖𝑎 𝑖=𝑘 0 +1
=
+
𝑘0
′
𝑖𝑎 𝑖=1
𝑛2
𝑖𝑎 𝑖=𝑘 0 +1
=
𝑛2
𝑖=1 𝑎𝑖 ′
=
−𝑎𝑖 +
𝑛2
𝑖𝑎 𝑖=𝑘 0 +1
+
)(2
𝑘0
𝑖=1
𝑘0
𝑖𝑎 𝑖=1
−
ומ )1(-נקבל
1+1=2
𝑛𝑎′ = 𝑎𝑖′ 2
נוכיח כי הפעולה הנ"ל הופכת סדרות לא מאוזנות לסדרות לעיל היא חח"ע ועל .בהינתן סדרה 𝑖=1
כנ"ל נגדיר 𝑘0להיות המקום הראשון בו הסכום החלקי ( 𝑘𝑖=1 𝑎𝑖′ > 0מקום זה קיים כי הסכום הכולל הוא .)2
−𝑎𝑖′ , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘0
= 𝑖𝑎 וקיבלנו סידרה לא מאוזנת ובה 𝑘0
𝑛 𝑎 = 𝑎𝑖 2ע"י
נגדיר עתה סדרה𝑖=1 :
𝑛𝑎𝑖 , 𝑘0 + 1 ≤ 𝑖 ≤ 2
המקום הראשון עם סכום חלקי שלילי .לכן נפעיל את פעולת ההיפוך על 𝑎 שקיבלנו ונקבל את 𝑎′בחזרה ולכן
ההתאמה היא אכן חח"ע ועל .אז הראינו שקבוצת הסדרות הלא מאוזנות באורך 𝑛 2היא שוות עוצמה לסדרת
𝑛2
𝑛 𝑠𝑛 = 2אז מכאן
𝑛+1ו-
הסדרות באורך 𝑛 2עם 𝑛 + 1מינוס אחדות אבל עוצמת הקבוצה השנייה היא
𝑛
𝑛2
𝑛+1
= 𝑛𝑢 .
= 𝑛𝑢 𝑏𝑛 = 𝑠𝑛 −
=
=
𝑛2
𝑛+1
𝑛2
𝑛
−
! 𝑛2
! 𝑛2
! − 𝑛+1 ! 2𝑛−𝑛−1
!𝑛!𝑛
=
1
𝑛+1
=
−
! 𝑛2
1
𝑛 ! 𝑛! 𝑛−1
! 𝑛2
1
∙
𝑛! 𝑛−1 ! 𝑛 𝑛+1
= !𝑛!𝑛 ∙
1
𝑛+1
!𝑛2
∙
1
𝑛+1
𝑛2
𝑛
הגדרה :המספר
𝑛2
𝑛
1
∙ 𝐶𝑛 = 𝑛+1נקרא מספר קטלן ( )Catalanו-
4.2
הכללות של המקדמים הבינומיים
1.4.2
ראינו
𝑛≤𝑘≤0
!𝑛
,
! 𝑘𝑘! 𝑛−
0, 𝑘 > 𝑛 ≥ 1
הגדרה 𝑥 ∈ ℝ :ו 𝑘-טבעי:
הבינומי הרגיל.
=
∞
𝑛=1
𝑛𝐶 -סדרת מספרי קטלן.
𝑛
𝑘
מעל ℝ
כאשר .𝑛, 𝑘 ∈ ℕ
𝑥 𝑥−1 … 𝑥−𝑘+1
!𝑘
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
=
𝑥
𝑘
.נשים לב שאם 𝑥 = 𝑛 ∈ ℕנקבל את הגדרת המקדם
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
11
𝑛2
𝑛
דוגמה :הוכח כי
∙
𝑛 −1
𝑛4
=
1
−
2
𝑛
.
פיתרון:
=
5
2
1
2
3
2
!𝑛
=
=
135
2𝑛 −1
∙…∙ ∙ ∙ ∙ 𝑛 −1
2
!𝑛
∙ 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ … ∙ 2𝑛 − 1
∙…∙∙ 2∙4∙6
𝑛 −1
𝑛𝑛!2
! 𝑛2
𝑛∙…∙2𝑛 1∙2
∙
𝑛 −1
𝑛𝑛!2
! 𝑛2
!𝑛!𝑛
∙
𝑛 −1
𝑛4
=
! 𝑛2
𝑛2
𝑛−1 𝑛 2
𝑛
𝑛4
טענה :עבור 𝛼 ∈ ℝקיים 𝑥 < 1כך ש 𝑘 𝑥
הוכחה :אם 𝛼 = 𝑛 ∈ ℕנקבל 𝑘 𝑥 ∙
𝑘 𝑥 𝑘𝑛 . 𝑛𝑘=0המשך
𝛼
∞
𝑘 𝑘=0
=
𝑛
∞
𝑘 𝑘=0
2.4.2
המקדמים המולטינומים
מספר הסדרות של 0,1עם 𝑎 אפסים ו 𝑏-אחדות הוא
𝑥 . 1 +נזכור כי = 0
𝑏𝑎+
𝑎
=
𝑥. 1+
=
𝑛
222
𝑛 −1
𝑛𝑛!2
=
𝛼
1
2
− ∙ − ∙ − ∙…∙ − −𝑛+1
1
= − 𝑛2
𝑛
𝑘
עבור 𝑛 > 𝑘 ולכן למעשה
.
דוגמה :נחשב את מספר המילים באורך 𝑐 𝑎 + 𝑏 +מעל א"ב } .{0,1,2כאשר 0מופיעה 𝑎 פעמים 1 ,מופיעה 𝑏
פעמים 2 ,מופיעה 𝑐 פעמים.
𝑐 𝑎+𝑏+אופנים .נשארו 𝑐 𝑏 +מקומות .אז ל 1-נקבל
פיתרון :ל0-
𝑎
אופציות אז הפיתרון הוא
𝑐𝑏+
𝑏
𝑐𝑏+
! 𝑐𝑎+𝑏+𝑐 ! 𝑏+
! 𝑐𝑎+𝑏+
=
∙
=
𝑏
! 𝑐 𝑎! 𝑏 +
!𝑐 !𝑏
!𝑐 !𝑏 !𝑎
ומה שנשאר זה 2אבל אין עוד
𝑐𝑎+𝑏+
𝑎
משפט :יהי 𝑘𝑛 𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ +מספר המילים מעל א"ב 𝑘 1,2, … ,באורך 𝑛 בהן האות 𝑖 מופיעה 𝑖𝑛
!𝑛
פעמים הוא
! 𝑛…! 𝑛! 𝑛
𝑘
2
1
הוכחה :באינדוקציה על .k
נוסחת המוליטינום (הגדרה) :אם 𝑛1 , … 𝑛𝑘 ≥ 0שלמים כך ש= 𝑛-
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
𝑛
𝑖𝑛 𝑖=1
אז
𝑛
𝑘 𝑛𝑛 1 ,𝑛 2 ,…,
≔
!𝑛
! 𝑘 𝑛…! 𝑛 1 !𝑛 2
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
12
משפט :לכל 𝑘𝑥 𝑥1 , … ,ממשיים לכל nטבעי מתקיים,
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑘 𝑘𝑥 ∙ … ∙ 𝑥 1 ∙ 𝑥2 2
𝑛1 , 𝑛2 , … , 𝑛𝑘 1
=
𝑛
𝑘𝑥 𝑥1 + ⋯ +
𝑘 𝑛𝑛 =𝑛 1 +⋯+
𝑛 1 ,…,𝑛 𝑘 ∈ℕ
הוכחה :שתי אפשרויות:
באינדוקציה על .nאו,
כל מחבר בתוצאה מתקבל ע"י בחירה של 𝑖𝑥 כלשהו בכל אחד מ n-הסוגריים ולכן מהצורה
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑘 𝑘𝑥 ∙ … ∙ 𝑥1 1כאשר 𝑘𝑛 .𝑛 = 𝑛1 + ⋯ +כמו כן ,המקדם של 𝑘 𝑘𝑥 ∙ … ∙ 𝑥1 1הוא מספר האופנים
להרכיב מילה באורך 𝑛 באותיות }𝑘 {1, … ,שבה האות 𝑖 מופיעה 𝑖𝑛 פעמים .במספר הזה שווה לפי
הגדרה ל-
𝑛
𝑘 𝑛𝑛 1 ,𝑛 2 ,…,
3
.
עקרון שובך היונים
( דירכלה )
משפט :אם מכניסים 𝑛 + 1יונים ל 𝑛-שובכים אז יש לפחות שובך אחד עם לפחות שתי יונים.
הוכחה :אם בכל שובך לכל היותר יונה אחת אז = 𝑛 + 1מספר היונים ≤ מספר השובכים = 𝑛 סתירה.
ניסוח נוסף :אם 𝑓 פונקציה ]𝑛[ → 𝑓: 𝑛 + 1אז 𝑓 לא חח"ע.
דוגמה :תהי ]𝑛 𝑋 ⊆ [2בת 𝑛 + 1איברים שונים .הוכיחו שיש שניים שמתחלקים ללא שארית.
הוכחה :לכל מספר טבעי 𝑘 ניתן לרשום כך 𝑘 = 2𝑙 ∙ 𝑏 :כאשר bאי זוגי ו .𝑙 ≥ 0 -נסמן
.𝑋 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛+1נסיק גם 𝑖𝑏 ∙ 𝑖 𝑙 ,𝑥𝑖 = 2כאשר 𝑖𝑏 אי זוגי .בקבוצה ]𝑛 [2יש 𝑛 מספרים אי זוגיים.
אבל ,יש לנו -𝑏𝑖 𝑛 + 1ים .לכן ,מעיקרון שובך היונים יש איזשהם 𝑗 ≠ 𝑖 כך ש 𝑗𝑏 = 𝑖𝑏 .כעת ,נניח בה"כ
𝑥
𝑗𝑥 > 𝑖𝑥 אז 𝑖 𝑥 =
𝑗
𝑖 𝑏∙ 𝑖 𝑙2
𝑗𝑙
𝑗 𝑏∙ 2
= 𝑗 𝑙.ℕ ∋ 2𝑙 𝑖 −
תרגיל :הוכיחו כי בסדרה 7,77,777,7777, … :יש מספר שמתחלק ב.2009-
הוכחה :נראה שיש מספר כזה כבר ב 2009-האיברים הראשונים .הביט באיברי הסדרה מודולו ( 2009השארית
בחלוקה ב .)2009-אם יש איבר שמשאיר שארית 0בחלוקה ב 2009-אז סיימנו .אחרת ,יש שני איברים של
הסדרה ששווים מודולו .2009בגלל עקרון שובך היונים (ע.ש.ה) יש 2008שובכים ,השאריות האפשריות
2008..1ויש 2009יונים ,.סדרת השאריות -השאריות שמתקבלות מהסדרה .כלומר ,יש 𝑖𝑥 𝑥𝑗 ,שונים כך ש-
𝑟 𝑥𝑖 = 𝑐𝑖 ∙ 2009 +ו .𝑥𝑗 = 𝑐𝑗 ∙ 2009 + 𝑟 -בה"כ נניח 𝑗𝑥 > 𝑖𝑥 (𝑗 > 𝑖) אז
𝑗𝑥 . 𝑐𝑖 − 𝑐𝑗 2009 = 𝑥𝑖 −
𝑗𝑖−
𝑗
𝑗𝑖−
𝑗𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 = 7. . .7 0 … 0 = 7. . .7 ∙ 10
𝑗𝑖−
𝑗 10זר ל ,2009-לכן 𝑥𝑖−𝑗 = 7. . .7מתחלק ב.2009-
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
13
משפט :Erdӧs-Szekersלכל סדרה של 𝑛2 + 1ממשיים שונים אז או שיש תת סדרה מונוטונית עולה ממש
באורך 𝑛 + 1או שיש תת סדרה מונוטונית יורדת ממש באורך .𝑛 + 1
הוכחה :נסמן את אברי הסדרה ב .)𝑠 = 𝑛2 + 1( 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑠 -לכל 𝑠 ≤ 𝑖 ≤ 1נסמן ב 𝑝𝑖 -את אורך תת
הסדרה המאקסימאלית המונוטונית עולה עד לנקודה 𝑖 .בדומה ,נסמן ב 𝑞𝑖 -את אורך תת הסדרה המונוטונית יורדת
הארוכה ביותר עד המקום ה.𝑖-
לדוגמה (8,3,7,6, 𝟗, 1,12,4) ,אז עבור .𝑝5 = 3, 𝑞5 = 1 : 𝑖 = 5
אם עבור 𝑖 מסויים 𝑝𝑖 ≥ 𝑛 + 1או 𝑞𝑖 ≥ 𝑛 + 1אז סיימנו .נניח בשלילה שאין 𝑖𝑞 או 𝑖𝑝 כאלה אז לכל 𝑖
𝑛 ≤ 𝑖𝑞 .1 ≤ 𝑝𝑖 ,כמה ערכים אפשריים יש ל ) 𝑖𝑞 𝑛2 ?(𝑝𝑖 ,מעיקרון הכפל .יש לנו 𝑠 = 𝑛2 + 1זוגות
… . 𝑝1 , 𝑞1 , 𝑝2 , 𝑞2 , 𝑝3 , 𝑞3מעיקרון שובך היונים יש 𝑗 ≠ 𝑖 כך ש 𝑗𝑝 = 𝑖𝑝 וגם 𝑗𝑞 = 𝑖𝑞 .נניח בה"כ ש
𝑗 > 𝑖 ,נניח גם 𝑗𝑥 > 𝑖𝑥 אז יש סידרה מונוטונית עולה באורך 𝑗𝑝 המסתיימת ב .𝑥𝑗 -אם נוסיף לה את 𝑖𝑥 ,נקבל
סדרה מונוטונית עולה המסיימת ב 𝑥𝑖-באורך .𝑝𝑗 + 1 = 𝑝𝑖 + 1וקיבלנו סתירה .לכן קיימת סדרה מונוטונית
באורך .𝑛 + 1
האם משפט ארקש-סקרש הדוק? כן .לדוגמה הסדרה ) (7,8,9,4,5,6,1,2,3בעלת 9 = 32איברים אין סדרה
עולה או יורדת באורך .4כלומר ,חייבים לדרוש שהסדרה תהיה באורך .𝑛2 + 1
תרגיל :תחרות שח עם 𝑛 מתמודדים .כל אחד משחק משחק אחד וכל אחד משחק משחק אחד מול כל יריב .הראו
שבכל רגע נתון ,יש שני אנשים שהשלימו אותו מספר משחקים.
פיתרון :ניתן להתבונן על השאלה כגרף .כאשר מחברים שני צמתים בקשת אם השחקנים שיחקו .מחפשים שני
צמתים שדרגתם זהה .מהן הדרגות האפשריות? .0,1,2, … , 𝑛 − 1אז יש 𝑛 דרגות אפשריות .אבל אם יש צומת
מדרגה 0אז אין צומת מדרגה .𝑛 − 1לכן במצב כזה יש 𝑛 − 1דרגות אפשריות ו 𝑛 -צמתים אז מעיקרון שובך
היונים יש שני צמתים עם אותה דרגה .אם אין צומת מדרגה 0אז באופן דומה.
תרגיל :צלף יורה 𝑠 חיצים למטרה מצורת משולש שווה צלעות עם אורך צלע ( 2כל החיצים פגעו
במטרה) .הראו שיש שניים שמרחקם אחד מהשני הוא לכל היותר מטר אחד.
1
1
1
אם מכניסים 𝑛 − 𝑘 + 1יונים ל 𝑘-שובכים אז יש לפחות שובך אחד עם 𝑛 + 1יונים.
𝑓: 𝑛𝑘 + 1 → 𝑘 ⇒ ∃𝑥∈ 𝑘 𝑓 −1 𝑥 ≥ 𝑛 + 1
1
פתרון :מעיקרון שובך היונים יש שני חצים שפגעו באותו משולש וסיימנו.
עקרון שובך היונים המוכלל:
4
עקרון ההכלה
1
1
1
1
1
וההדחה
בעיה :בהינתן קבוצות 𝑛𝐴 𝐴1 , … ,וגודליהן וגודלי כל החיתוכים שלהם .כלומר ,ידוע
𝐴1 ∩ … ∩ 𝐴𝑛 , … , 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 , 𝐴𝑛−1 ∩ 𝐴𝑛 , … , 𝐴1 ∩ 𝐴2
איך מחשבים את גודל האיחוד 𝑛𝐴 ∪ … ∪ ?𝐴1נחשב עבור :𝑛 = 2
טענה. 𝐴1 ∪ 𝐴2 = 𝐴1 + 𝐴2 − 𝐴1 ∩ 𝐴2 :
הוכחה :נשווה את שני האגפים של השוויון הנ"ל .יהי 𝑥1 ∈ 𝐴1 ∪ 𝐴2תורם 1לאגף שמאל .לאגף ימין יש מספר
אופציות:
( )1אם 𝑥1 ∈ 𝐴1 \𝐴2אז 𝑥1תורם 1באגף ימין.
( )2אם 𝑥1 ∈ 𝐴2 \𝐴1אז 𝑥1תורם 2באגף ימין.
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
14
( )3אם 𝑥1 ∉ 𝐴2 \𝐴1וגם 𝑥1 ∉ 𝐴1 \𝐴2אז 𝑥1כלומר 𝑥 ∈ 𝐴1 ∩ 𝐴2אז 𝑥1תורם 1ל 𝐴1 -ותורם 1ל-
𝐴2ותורם −1ל 𝐴1 ∩ 𝐴2 -ובסה"כ .1
אז בסה"כ האגפים שווים.
עבור 𝑛 = 3נקבל
𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 − 𝐴1 ∩ 𝐴2 − 𝐴2 ∩ 𝐴3 − 𝐴1 ∩ 𝐴3 + 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3
עקרון ההכלה וההדחה (משפט) :תהיינה 𝑛𝐴 𝐴1 , … ,קבוצות סופיות אזי
𝑛
𝑛
𝐼 −1
𝑖𝐴
−1
𝑘−1
= 𝑖𝐴
𝑛 ⊆𝐼≠𝜙
𝐼∈𝑖
𝐼∈𝑖
−1
𝑛 ⊆𝐼
𝑘= 𝐼
= 𝑖𝐴
𝑘=1
𝑖=1
הוכחה :יהיה 𝑛𝐴 ∪ … ∪ .𝑥 ∈ 𝐴1אז 𝑥 תורם בדיוק 1לאגף שמאל .נחשב את התרומה של 𝑥 לאגף ימין .נניח כי
𝑥 שייך לבדיוק 𝑡 קבוצות כאשר 𝑛 ≤ 𝑡 ≤ .1
עבור הגורמים 𝑖𝐴 נקבל ש 𝑥-תורם
𝑡
1
= 𝑡.
עבור הגורמים 𝑗𝐴 ∩ 𝑖𝐴 נקבל ש 𝑥-תורם
עבור חיתוך של 3קבוצות 𝑥 תורם
𝑡
2
–
𝑡
3
𝑡−1
ממשיכים באותה צורה ומקבלים שעבור חיתוך של 𝑡 קבוצות 𝑥 תורם
לכן התרומה של 𝑥 היא סה"כ:
𝑖−1
∙ −1
𝑡
𝑡
𝑖 𝑖=1
= −1
𝑡 𝑡−1
𝑡
. −1
.
כבר ראינו זהות דומה שמתחילה ב 0-ולא ב= 0( 1-
𝑛 𝑘
𝑘
−1
𝑖
−1
𝑖
𝑛
𝑘=0
) אז
𝑡
𝑡
∙ −1
𝑖
𝑡
∙ −1
𝑖
=1−1−
𝑡
𝑖=1
𝑖−1
𝑡
∙ −1
𝑖
𝑡
𝑖=1
=1−1−
𝑖=0
=1
מכאן ש 𝑥 -תורם 1בדיוק לאגף ימין (ללא תלות ב )𝑡-ולכן שני האגפים שווים.
הצורה המשלימה של עקרון ההכלה וההדחה (מסקנה) :תהיינה 𝑆 ⊆ 𝑛𝐴 𝐴1 , … ,תת קבוצות סופיות של קבוצה
סופית 𝑆 .אזי 𝑖𝐴 𝐼∈𝑖 𝑆\ 𝐴1 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 = 𝑆 − 𝜙 ≠𝐼⊆ 𝑛 −1 𝐼 −1כי 𝑖𝐴\𝑆 = 𝑖𝐴 אז,
𝑛𝐴 ∩ … ∩ 𝑆\ 𝐴1 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 = 𝐴1 ∩ 𝐴2
דוגמה :נחשב את מספר הפיתרונות של משוואה 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 9מעל השלמים עם האילוצים
1 ≤ 𝑥1 ≤ 2
−2 ≤ 𝑥2 ≤ 4
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
15
2 ≤ 𝑥3 ≤ 4
פיתרון :נזכור כי מספר הפיתרונות בטבעיים של משוואה 𝑘 = 𝑘𝑦 𝑦1 + 𝑦2 + ⋯ +הוא
𝑛+𝑘−1
𝑛−1
.
( )1החלפת משתנים:
𝑦1 = 𝑥1 − 1
𝑦2 = 𝑥2 + 2
𝑦3 = 𝑥3 − 2
המשוואה החדשה היא 𝑦1 + 1 + 𝑦2 − 2 + 𝑦3 + 2 = 9או
)∗(𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 8
0 ≤ 𝑦1 ≤ 1
∧
0 ≤ 𝑦2 ≤ 6
0 ≤ 𝑦3 ≤ 2
𝑆 = 10ללא האילוצים .נשתמש
( )2נסמן ב 𝑆-את קבוצת הפיתרונות של )∗( בטבעיים אז = 45
2
בעיקרון ההכלה וההדחה על מנת להדיח את הפיתרונות שלא עומדים באילוצים .נסמן:
- A1קבוצת הפיתרנות של (*) בטבעיים כאשר 𝑦1 ≥ 2
- A2קבוצת הפיתרנות של (*) בטבעיים כאשר 𝑦2 ≥ 7
- A3קבוצת הפיתרנות של (*) בטבעיים כאשר 𝑦3 ≥ 3
עלינו לחשב את | . 𝑆\(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3לפי עיקרון ההכלה וההדחה:
= | 𝑆\(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3
𝑆 − 𝐴1 − 𝐴2 − 𝐴3 − 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 + 𝐴1 ∩ 𝐴2 + 𝐴2 ∩ 𝐴3 + 𝐴1 ∩ 𝐴3
𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 |𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 8, 𝑦1 ≥ 2
= 𝐴1
נחליף משתנים
𝑧1 = 𝑦1 − 2
𝑧2 = 𝑦2
𝑧3 = 𝑦3
נקבל
𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 6
8
2
=
כלומר = 28
. 𝐴3 = 2
נחשב את . 𝐴1 ∩ 𝐴3
3+6−1
3−1
= . 𝐴1נבצע פעולות דומות עבור 𝐴2 , 𝐴3ונקבל , A2 = 3
𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 |𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 8, 𝑦1 ≥ 2, 𝑦3 ≥ 3
= 𝐴1 ∩ 𝐴3
נקבל באופן דומה 𝐴1 ∪ 𝐴3 = 10, 𝐴2 ∩ 𝐴3 = 0, 𝐴1 ∩ 𝐴2 = 0 :ולכן גם
. 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 = 0ולכן
=3
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
𝑆\ 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
16
1.4
פונקצי ת 𝑛 𝜑 של אוילר ( 𝑟𝑒𝑙𝑢𝐸)
𝑛
𝑥
טענה :יהיו 𝑛 ≤ 𝑥 ≤ 1מספרים שלמים אז קיימים בדיוק
𝑥.
מספרים שלמים בין 1לבין 𝑛 אשר מתחלקים ב-
הוכחה :הכפולות של 𝑥 בתוך הקבוצה 𝑛 הן 𝑥𝑘 𝑥, 2𝑥, 3𝑥, … ,כאשר 𝑛 ≤ 𝑥𝑘 ולכן
𝑛
𝑥
= 𝑘.
דוגמה :כמה מספרים שלמים בין 1לבין 600לא מתחלקים ב 3,5-או ב?7-
פיתרון :נגדיר 𝑆 = 600ו-
𝑥 𝐴1 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝑆, 3
𝑥 A2 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝑆, 7
𝑥 𝐴3 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝑆, 5
עלינו לחשב ) 𝑆\(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3ומתקיים
= 85
600
7
= 40
600
15
= = 120, 𝐴3
600
5
600
3
= = 200, 𝐴2
= 𝑆 = 600, 𝐴2
= 𝐴1 ∩ 𝐴2 = 𝑥 ∈ 𝑆 3 𝑥 ∧ 5|𝑥 = 𝑥 ∈ 𝑆| 15|𝑥 ⇒ 𝐴1 ∩ 𝐴2
ובאופן דומה נקבל . 𝐴1 ∩ 𝐴3 = 28, 𝐴2 ∩ 𝐴3 = 17, 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 = 5מכאן התשובה היא
600 − 200 + 120 + 85 + 40 + 28 + 17 − 5 = 275
הגדרה :פונקציות אוילר 𝑛 𝜑 מוגדרת באופן הבא:
𝜑 1 =1
𝜑 𝑛 = 𝑚 | 1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛, gcd 𝑚, 𝑛 = 1
כלומר ,לכל 𝑛 φ 𝑛 ,היא עוצמת קבוצת כל המספרים שאין להם גורמים משותפים עם 𝑛 פרט ל 1-בין 1ל.𝑛-
משפט אוילר :יהי 𝑛 שלם חיובי ויהיו 𝑘𝑝 𝑝1 , … ,כל המחלקים החיוביים של 𝑛 אז
1
𝑖𝑝
𝑘
𝑛= 𝑛 𝜑
1−
𝑖=1
הוכחה :נגדיר
𝑛 =𝑆
𝑥| 𝑖𝑝 𝐴𝑖 = 𝑥| 1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑛,
לכן
𝑘
𝑖𝐴 𝑖=1
𝑗 ≠ 𝑖 מתקיים
\𝑆 = 𝑛 𝜑 מעיקרון ההכלה וההדחה .לכל 𝑛 ≤ 𝑖 ≤ 1מתקיים
𝑛
𝑗 𝑝∙ 𝑖
𝑝=
𝑛
𝑗 𝑝∙ 𝑖 𝑝
𝑛
𝑖𝑝
=
𝑛
𝑖𝑝
= 𝑖𝐴 לכן ,לכל
= 𝑗𝐴 ∩ 𝑖𝐴 .באופן כללי לכל 𝑘 ⊆ 𝐼 ≠ 𝜙 מתקיים
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
17
𝑛
= 𝑖𝐴
𝑖𝑝 𝐼∈𝑖
𝐼∈𝑖
לכן ,לפי עקרון ההכלה וההדחה
𝐼 −1
𝑖𝐴
𝜑 𝑛 = 𝑆 −
−1
𝑛 ⊆𝐼≠ 𝜙
𝐼∈𝑖
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
=𝑛−
+ + ⋯+
+
+
⋯+
𝑘 − ⋯ + −1
𝑝1 𝑝2
𝑘𝑝
𝑝1 𝑝2 𝑝1 𝑝3
𝑘𝑝 𝑝𝑘−1
𝑘𝑝 ∙ … ∙ 𝑝1
1
1
1
1
𝑛
= 𝑛 1 − − ⋯− +
+ ⋯+
∙ 𝑘 + ⋯ + −1
𝑝1
𝑝𝑛 𝑝1 𝑝2
𝑘𝑝 𝑝𝑘−1
𝑘𝑝 ∙ … ∙ 𝑝1
1
𝑖𝑝
2.4
𝑘
𝑛=
1−
𝑖=1
תמורות ללא נקודות שבת
תמורה (הגדרה) 𝑓: 𝑛 → 𝑛 :נקראית תמורה אם 𝑓 חח"ע ועל.
סימון 𝑆𝑛 :קבוצת כל התמורות על 𝑛 איברים.
נקודת שבת (הגדרה) 𝑖 ∈ 𝑛 :נקראית נקודת שבת של 𝑛𝑆 ∈ 𝜎 אם 𝑖 = 𝜎.
5
דוגמה:
2
2 3 4
5 1 4
1
3
= 𝜎 ,כאן 4היא נקודת שבת של 𝜎.
תרגיל :מהו מספר התמורות על 𝑛 איברים ללא נקודות שבת?
פיתרון :עבר 𝑛 ≤ 𝑖 ≤ 1נסמן 𝑛𝑆 ⊆ 𝑖 = 𝑖 𝜎| 𝑛𝑆 ∈ 𝜎 = 𝑖𝐴 .לכן ,יש לחשב את העוצמה של
𝑛𝐴 ∪ … ∪ .𝑆\ 𝐴1נשים לב שעבור 𝑛 ≤ 𝑖 ≤ 1מתקיים ! 𝐴𝑖 = 𝑛 − 1כי מסדרים את כל האיברים
מחדש פרט ל .𝑖-כמו כן,
𝐴1 ∩ 𝐴2 = 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 | 𝜎 1 = 1, 𝜎 2 = 2
ולכן ! . 𝐴1 ∩ 𝐴2 = 𝑛 − 2באופן כללי יותר ,לכל 𝑛 ⊆ 𝐼 ≠ 𝜙 נקבל ! 𝐼 = 𝑛 −
לפי עיקרון ההכלה וההדחה מקבלים
𝐼 −1
𝑖𝐴
−1
! 𝑖𝑛−
! 𝑖𝑛−
𝑖−1
−1
𝑛
𝑖
= 𝑛! −
!𝑛
−1
! 𝑖 𝑖! 𝑛 −
𝑖−1
!𝑛
−1
!𝑖
−1 𝑖−1
!𝑖
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
𝑛𝐴 ∪ … ∪ 𝑆\ 𝐴1
𝑛 ⊆𝐼≠𝜙
𝑛
𝐼∈𝑖
𝑖−1
= 𝑛! −
𝑖𝐴 𝐼∈𝑖
.לכן,
𝑛
𝑖=1
𝑛
= 𝑛! −
𝑖=1
𝑛
= 𝑛! −
𝑖=1
= 𝑛! 1 −
𝑖=1
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
18
−1 𝑖−1
!𝑖
הערה :נזכור כי
𝑖
𝑥 ∞
!𝑖 𝑖=0
= 𝑥 𝑒 (טור טיילור סביב )0נציב 𝑥 = −1ונקבל
𝑛 מספיק גדול התשובה היא
!𝑛
בערך 𝑒 .
𝑖
𝑛
!𝑛 =
𝑖=0
)∞ (−1
!𝑖 𝑖=0
1
= .𝑒 = 𝑒 −1אז עבור
בעיה זו נקראת גם "בעיית הכובעים " 𝑛 .גברים במסיבה מניחים את הכובע בכניסה כשמגיעים .כולם עוזבים בו זמנית
כאשר כל אחד לוקח כובע באופן אקראי .השאלה היא כמה צורות יש לגברים לקחת את הכובעים שלהם כאשר אף
אחד לא מקבל את הכובע שלו חזרה.
הערכות אסימפטוטיות
5
קצב גידול של
1.5
פונקציות
דוגמא:
𝑛𝑓4 𝑛 = 2
4
16
256
65536
4294967296
𝑓3 𝑛 = 𝑛2
4
16
64
256
1024
𝑛 = 𝑛 𝑓2
2
4
8
16
32
𝑛 𝑓1 𝑛 = log 2
1
2
3
4
5
ניתן להסיק𝑓1 ≪ 𝑓2 ≪ 𝑓3 ≪ 𝑓4 :
סימונים :תהיינה
∞
𝑛=1
𝑛 𝑓
∞
ו𝑛=1 -
𝑛 𝑔 סדרות של מספרים אי-שליליים כך ∞
∞→𝑛
𝑛 𝑔𝑓 𝑛 ,
נכתוב 𝑔 𝑂 = 𝑓 אם קיים 𝑐 > 0כך ש 𝑛 𝑔 ∙ 𝑐 ≤ 𝑛 𝑓 𝑛∀
נכתוב 𝑔 𝑓 = Ωאם קיים 𝑐 > 0כך ש 𝑛 𝑔 ∙ 𝑐 ≥ 𝑛 𝑓 𝑛∀
נכתוב 𝑔 𝑓 = Θאם קיימים קבועים 𝑐1 , 𝑐2כך ש 𝑛 𝑔 ∙ ∀𝑛 𝑐1 ∙ 𝑔 𝑛 ≤ 𝑓 𝑛 ≤ 𝑐2
נכתוב 𝑔 𝑜 = 𝑓 אם = 0
𝑛 𝑓
𝑛
𝑔 ∞→𝑛.lim
דוגמאות:
()1
()2
()3
()4
()5
אם 𝑏 ≤ 𝑎 ≤ 0אז 𝑏𝑛 𝑂 = 𝑎𝑛
אם 𝑏 < 𝑎 < 0אז 𝑏𝑛 𝑜 = 𝑎𝑛
לכל 𝑎 > 1 , 𝑐 > 0מתקיים ) 𝑛𝑎(𝑜 = 𝑐𝑛
𝑐
לכל 𝑎 > 0ולכל 𝑐 > 0מתקיים 𝑎𝑛 𝑜 = 𝑛 log
הטור ההרמוני:
1
𝑘 𝑘−1
(א) 𝑖 . 𝑛 = 𝑛𝑖=1לכל 𝑘 שלם וחיובי נסמן 𝑔𝑘 = 2 , 2ומתקיים
נתבונן בסכום
1
1
≤ 𝑘−1 ∙ 𝑔𝑘 = 1
𝑖 2
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
. 𝑔𝑘 = 2𝑘−1
𝑘 𝑔∈𝑖
1
1
≤ 𝑘𝑔 ∙ 𝑘 =
2 2
.
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
19
לכן
1
≤ log 2 𝑛 + 1
𝑖
log 2 𝑛 +1
𝑘=1
𝑘 𝑔∈𝑖
1
≤
𝑖
𝑛
= 𝑛
𝑖=1
כמו כן
1 1
𝑛 ≥ log 2
𝑖 2
𝑛 log 2
𝑘 𝑔∈𝑖
𝑘=1
1
≥
𝑖
𝑛
= 𝑛
𝑖=1
אז
1
log 2 𝑛 ≤ 𝑛 ≤ log 2 𝑛 + 1
2
אז
𝑛 𝑛 = Θ log 2
()6
𝑛
3
𝑖 𝑖=1
= 𝑛 𝑓
𝑛
𝑖 3 ≤ 𝑛 ∙ 𝑛3 = 𝑛4
= 𝑛 𝑓
𝑖=1
𝑛4 1 4
𝑛 =
24 6
אז
באופן כללי
4
𝑛
𝑘
𝑖 𝑖=1
=
𝑛 𝑛
∙
2 2
3
𝑛
𝑛
3
≥ 𝑖3
≥ 𝑖
𝑛
=𝑖
2
= 𝑛 𝑓
𝑖=1
𝑛 𝑓 𝑛 =Θ
= 𝑛 𝑓 מקיים .𝑓 𝑛 = Θ 𝑛𝑘+1
קירוב על ידי שימוש באינטגרל (משפט) :תהי 𝑓: ℝ → ℝ+פונקציה רציפה.
( )1אם 𝑓 מונוטונית לא יורדת אז
𝑛
𝑛+1
≤ 𝑖 𝑓
𝑥𝑑 𝑥 𝑓
𝑚
( )2אם 𝑓 מונוטונית לא עולה אז
𝑥𝑑 𝑥 𝑓
≤ 𝑥𝑑 𝑥 𝑓
𝑚 −1
𝑚=𝑖
𝑛
𝑛+1
≥ )𝑖(𝑓
𝑚
𝑛
𝑛
≥ 𝑥𝑑 𝑥 𝑓
𝑚=𝑖
𝑚 −1
הוכחה :נסמן 𝑘 𝑓 הוא שטח המלבן בגובה 𝑘 ורוחב .1כלומר ,בחלוקה לקטעים באורך 1שטח המלבן מתחת
לגרף .אז 𝑘 𝑓 = 𝑖 𝑓.
( )1מלבנים מתחת לגרף אז
𝑛
𝑛+1
≤ 𝑖 𝑓
𝑥𝑑 𝑥 𝑓
𝑚
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
𝑚=𝑖
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
20
ו 𝑓 לא יורדת אז
𝑛
𝑛
≤ 𝑥𝑑 𝑥 𝑓
𝑖 𝑓
𝑚 −1
𝑚=𝑖
החסרנו שטח בגודל 𝑥𝑑 𝑥 𝑓
𝑚
𝑛+1
𝑛∫ והוספנו שטח בגודל 𝑥𝑑 𝑥 𝑓 .∫𝑚 −1
( )2באותו אופן אם ניקח את הפונקציה 𝑓 ונסובב אותה סביב מרכז הקטע 𝑛 𝑚,נקבל את מקרה ( .)1נשנה
חזרה את כיווני אי השוויון ונקבל את (.)2
דוגמה :הטור ההרמוני
1
פיתרון :נגדיר 𝑥 = 𝑥 𝑓 ואז 𝑖
𝑛
𝑓 𝑖=1
= 𝑛
= ln 𝑛 + 1 − ln(1) = ln 𝑛 + 1
𝑛 = ln
𝑥𝑑
)𝑥(= ln
𝑥
𝑛+1
1
𝑛
1
𝑛+1
≤ 𝑛
1
𝑛
≥ 𝑛
𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ln
1
אז
ln 𝑛 ≤ 𝑛 ≤ ln 𝑛 + 1
דוגמה:
𝑛
3
𝑖 𝑖=1
= 𝑛 𝑓
פיתרון:
1
4
4
−
𝑛+1
4
𝑛+1
=
1
𝑥4
4
= 𝑥𝑑 𝑥 3
𝑛
𝑛+1
≤ 𝑖3
1
4
𝑛+1 −1
4
𝑖=1
𝑛
≤ 𝑖3
𝑖=1
𝑛4
=
≤
4
𝑛
𝑥4
= 𝑥𝑑 𝑥
4
3
0
𝑛
0
4
𝑛
≤
4
ולכן
𝑛4
+ 𝑂 𝑛3
4
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
𝑛
= 𝑖3
𝑖=1
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
21
הערכה אסימפטוטית ל N! -
2.5
המטרה :למצוא פונקציה "יותר מפורשת" )𝑛(𝑓 כך ש 𝑛 𝑓 .𝑛! = 1 + 𝑜 1
צעד ראשון :נשים לב 𝑛 ∙ … ∙ 𝑛! = 1 ∙ 2ולכן
𝑛
= 𝑛 ∙ … ∙ ln 𝑛! = ln 1 ∙ 2
𝑖 ln
𝑖=1
לכן
n+1
2
𝑛
𝑛+1
ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − x
≤ 𝑖 ln
1
= !𝑛 ln
𝑖=1
= 𝑛 + 1 ln 𝑛 + 1 − 𝑛 + 1 + 1
𝑛 = 𝑛 + 1 ∙ ln(n + 1) −
ולכן
𝑛+1 𝑛 +1
𝑛𝑒
𝑛 𝑛+1 ln 𝑛+1
=
𝑒 ≤ !𝑛
באופן דומה,
𝑛
1
𝑛
𝑛
𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 −
≥ 𝑖 ln
1
= !𝑛 ln
𝑖=1
= 𝑛 ln(𝑛) − 𝑛 + 1
ולכן
𝑛𝑛
𝑛
∙𝑒=𝑒∙
𝑛
𝑒
𝑒
𝑛
=
𝑛 −𝑛−1
𝑛𝑙𝑛 𝑒 ≥ !𝑛
בסה"כ
𝑛+1
𝑛+1
𝑛𝑒
≤ !𝑛 ≤
𝑛
𝑛
𝑒
𝑒
.
נוסחת סטירלינג (= 1 :)Stirling
𝑛 𝑛
𝑒
𝑛
!𝑛
∙ 𝑛𝜋2
𝑛
𝑒
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
∞→𝑛 limובאופן שקול
∙ 𝑛𝜋2
𝑛! = 1 + 𝑜 1
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
22
מקדמים בינומיי ם
3.5
טענה :לכל 𝑥 ≥ 0מתקיים 𝑥 𝑒 ≤ 𝑥 .1 +
הוכחה :נתבונן ב 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 − 𝑥 − 1 -ונוכיח 𝑓 𝑥 ≥ 0לכל .𝑥 ≥ 0
𝑓 ′ 𝑥 = 𝑒 𝑥 − 1, 𝑓 ′ 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 0
𝑓 ′′ 0 = 𝑒 𝑥 , 𝑓 ′′ 0 = 1 > 0
מכאן 𝑥 = 0היא נקודת מינימום 𝑓 0 = 𝑒 0 − 0 − 1 = 0 ,מכאן ש 𝑓 𝑥 ≥ 0לכל 𝑥.
טענה :לכל 𝑛 < 𝑘 ≤ 1קיים
הוכחה:
𝑘 𝑛
𝑘
𝑛−𝑘+1
1
≥
𝑛
𝑘
𝑛−1
𝑘 𝑛
𝑘
𝑛
∙ … ∙ = 𝑘 ∙ 𝑘−1
𝑛
𝑘
≥
!𝑛
! 𝑘𝑛−
!𝑘 =
𝑛
𝑘
𝑛
(נשים לב ש 𝑘 השבר הקטן ביותר מבין כולם) ולכן
.
טענה :לכל 𝑛 < 𝑘 ≤ 1מתקיים:
הוכחה :נוכיח טענה יותר חזקה,
𝑘 𝑛𝑒
𝑘
𝑘 𝑛𝑒
𝑘
≤
≤
𝑛
𝑘
𝑛
𝑘
+ ⋯+
𝑛
0
.לכל 𝑥 ≥ 0מתקיים
𝑖 𝑛
𝑥
𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑖 𝑛
≥ 𝑥
𝑖
𝑛
=
𝑛
𝑥1+
𝑖=0
נחלק את שני האגפים ב 𝑥 𝑘 -ונקבל
𝑛
𝑘
𝑛
1
𝑥 𝑘−1
+ ⋯+
+
𝑛
0
𝑘𝑥
𝑛
≥
𝑥1+
𝑘𝑥
אם בנוסף נניח כי 𝑥 ≤ 1אז נובע
𝑛
𝑛
𝑛
+
+ ⋯+
0
1
𝑘
𝑛
≥
𝑥1+
𝑘𝑥
𝑘
נבחר 𝑛 = 𝑥 ,נקבל
𝑘 𝑛
𝑘
∙
𝑛 𝑘
𝑛= 1+
𝑛 𝑘
𝑛
𝑘 𝑘
1+
<
𝑛
𝑘
𝑛
1
+ ⋯+
+
𝑛
0
𝑛
ובגלל ש 𝑥 𝑒 ≤ 𝑥 1 +אז
.
𝑘 𝑛𝑒
𝑘
=
𝑘 𝑛
𝑘
∙
𝑛
𝑘
𝑛𝑒 ≤
𝑘 𝑛
𝑘
∙
𝑛 𝑘
𝑛1+
אם 0 ≤ 𝑘 ≤ 2אז
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
23
4.5
המקדם האמצעי:
ה מקדם הבינומ י האמצעי
𝑛
𝑛
2
𝑛
𝑛= 2
𝑖
𝑛
𝑛
כמו כן ,הוכחנו כי
2
𝑛
𝑖=0
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
≤
+
+ ⋯+ 𝑛 + ⋯+
=
2
0
1
𝑛
2
הוא הגדול ביותר מבין המקדמים הבינומיים
𝑛
𝑘
באשר 𝑛 ≤ 𝑘 ≤ .0
לכן,
𝑛2
𝑛+1
=
𝑛
𝑛
𝑖 𝑖=0
𝑛+1
≥
𝑛
𝑛
2
כלומר
𝑛
𝑛2
𝑛≤ 𝑛 ≤ 2
𝑛+1
2
מסטירלינג נקבל קירוב יותר מדויק:
𝑛2
𝑛𝜋2
2
𝑛
∙
= 1+𝑜 1
2
𝑛
2
6
𝑛
𝑒 ∙ 𝑛𝜋2
𝑛
2𝜋𝑛 2
∙
2
𝑒
∙
!𝑛
𝑛
𝑛
𝑛 =
𝑛 = 1+𝑜 1
2
!
!
2
2
נוסחאות נסיגה
דוגמא :נסמן ב 𝑔(𝑛) -את מספר הסדרות באורך 𝑛 מעל א"ב . 0,1,2בהן אין איברים עוקבים שווים .נחשב את
)𝑛(𝑔.
פיתרון .𝑔 2 = 6 ,𝑔 1 = 3 :נטען שלכל 𝑛 ≥ 2מתקיים .𝑔 𝑛 = 2 ∙ 𝑔 𝑛 − 1אינטואיטיבית זה נכון
כי מוסיפים עוד איבר לסדרה ,הוא לא יכול להיות האיבר האחרון בדרה הקודמת אז נשארות שתי אופציות אז
כופלים ב .2-לכל סדרה חוקית 𝑎1 , … , 𝑎𝑛−1יש בדיוק שתי דרכים להרחיבה לסדרה באורך .nזאת ,ע"י בחירה
של 𝑎𝑛 ≠ 𝑎𝑛−1ויש סה"כ שתי בחירות כאלו.
קיבלנו 𝑔 1 = 3ו 𝑔 𝑛 = 2 ∙ 𝑔 𝑛 − 1 -עבור .𝑛 ≥ 2הנוסחא השנייה נקראת נוסחת נסיגה (נסוגים
אחורה כדי לחשב את האיבר הבא) .ויש לנו הגדרה חד משמעית של )𝑛(𝑔 .כעת נרצה לפתור את נוסחת הנסיגה
כלומר לקבל נוסחא ישירה ללא רקורסיה .די ברור מנוסחת הנסיגה ש .𝑔 𝑛 = 3 ∙ 2𝑛−1 :צריך להוכיח את זה.
נוכיח את הנוסחא הישירה באמצעות אינדוקציה על .nעבור 𝑔 1 = 3 ,n=1כרצוי .נניח עבור 𝑛 − 1
שמתקיים 𝑔 𝑛 − 1 = 2𝑛−2 ∙ 3ונוכיח עבור .n
𝑔 𝑛 = 2 ∙ 𝑔 𝑛 − 1 ∙ 3 = 2𝑛−1 ∙ 3
כרצוי.
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
24
סדרת פיבונצ'י ( :)Fibonacciנגדיר סדרה
𝐹 𝑛 − 2כאשר .𝑛 ≥ 2
∞
𝑛=0
𝑛 𝐹 ע"י 𝐹 0 = 𝐹 1 = 1ו𝐹 𝑛 = 𝐹 𝑛 − 1 +-
… = 1,1,2,3,5,8,13,
∞
𝑖=0
𝑛 𝐹
ננסה לכתוב נוסחא מפורשת עבור סידרת פיבונצ'י .ניתן הערכה ראשונית לקצה הגידול של סדרת פיבונצ'י.
𝑛 𝐹 היא סדרה לא יורדת.
𝑛𝐹 𝑛 = 𝐹 𝑛 − 1 + 𝐹 𝑛 − 2 ≤ 2𝐹 𝑛 − 1 ≤ 4𝐹 𝑛 − 2 ≤ ⋯ ≤ 2
𝑛
F 𝑛 = 𝐹 𝑛 − 1 + 𝐹 𝑛 − 2 ≥ 2𝐹 𝑛 − 2 ≥ 4𝐹 𝑛 − 4 ≥ ⋯ ≥ 2 2
מגדלי האנוי ( :)Hanoiשלוש מוטות מאונכים לקרקע .על מוט מספר אחד מושחלות 𝑛 טבעות בגדלים שונים.
צריך להעביר את הטבעות למוט אחר ובתהליך אסור בשום מקרה שטבעת גדולה תהיה מונחת על טבעת קטנה.
פיתרון עבור :𝑛 = 3
Ring 1 => Bar 3
Ring 2 => Bar 2
Ring 1 => Bar 2
Ring 3 => Bar 3
Ring 1 => Bar 1
Ring 2 => Bar 3
Ring 1 => Bar 3
)(1
)(2
)(3
)(4
)(5
)(6
)(7
כל פעולה כזאת שעשינו היא פעולה אלמנטארית במערכת הזו.
נסמן ב 𝑛 -את מספר הפעולות המינימאלי הנחוץ בכדי להעביר 𝑛 הטבעות.
ראינו. 1 = 1, 3 ≤ 7 :
משפט :לכל ,𝑛 ≥ 1מתקיים . 𝑛 = 2𝑛 − 1
הוכחה :נוכיח תחילה את החסם העליון ,ע"י תיאור של האלגוריתם שמבצע את המשימה ב 2𝑛 − 1-פעולות .נוכיח
כי . 𝑛 ≥ 2 𝑛 − 1 + 1האלגוריתם:
( )1נעביר את n-1הטבעות הקטנות ממוט 1אל מוט .2ניתן לעשות זאת ב 𝑛 − 1 -פעולות.
( )2נעביר את הטבעת ה 𝑛-ממוט 1למוט .3
( )3נעביר את הטבעות 1, … , 𝑛 − 1ממוט 2למוט 3וזאת אנחנו עושים ב 𝑛 − 1 -פעולות.
אז . 𝑛 ≤ 2 ∙ 𝑛 − 1 + 1
נוכיח את החסם התחתון . 𝑛 ≥ 2 ∙ 𝑛 − 1 + 1 :נניח שיש אלגוריתם אופטימאלי ונסתכל על הרגע בו
טבעת 𝑛 עוברת למוט מספר .3ברגע זה
( )1מוט 3ריק
( )2על מוט 2מסודרות טבעות 1, … , 𝑛 − 1
( )3על מוט 1מונחת רק טבעת 𝑛.
לפי אינדוקציה על מנת להעביר את 𝑛 − 1הטבעות הקטנות למוט 2נחוצות לפחות 𝑛 − 1פעולות .פעולה 3
לפי אינדוקציה לוקחת לפחות 𝑛 − 1פעולות .לכן החסם התחתון הוא .2 ∙ 𝑛 − 1 + 1אז הראינו עד כה
1 = 1, 𝑛 = 2 ∙ 𝑛 − 1 + 1
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
25
וקל לראות ולהוכיח פורמאלית ש . 𝑛 = 2𝑛 − 1
מטרה :למצוא נוסחא כללית וישירה לאיבר הכללי אשר נתונה ע"י נוסחת נסיגה
1.6
שיטות לפיתרון של נוסחת נסיגה
.1החלפת משתנים
דוגמא= (1,3,7,15,31,63, … ) :
פיתרון :נגדיר סדרה חדשה
∞
𝑛=1
∞
𝑛=1
𝑛 או 𝑛 = 2 𝑛 − 1 + 1
𝑛 𝑔 ע"י 𝑔 𝑛 = 𝑛 + 1אז … = 2,4,8,16,32,64,
∞
𝑛=1
𝑛 𝑔 .
𝑔 𝑛 − 1 = 𝑛 = 2 𝑛 − 1 + 1 = 2 𝑔 𝑛 − 1 − 1 + 1 = 2𝑔 𝑛 − 1 − 1
ולכן קיים 𝑔 𝑛 = 2𝑔 𝑛 − 1 , 𝑛 ≥ 2ועבור 𝑛 = 1נגדיר .𝑔 1 = 2
אז הפיתרון .𝑔 𝑛 = 2𝑛 :ולכן . 𝑛 = 𝑔 𝑛 − 1 = 2𝑛 − 1
.2הצבה חוזרת
דוגמא. 1 = 1, 𝑛 = 2 𝑛 − 1 + 1 :
פיתרון:
𝑛 = 2 𝑛 − 1 + 1
= 2 2 𝑛 − 2 + 1 + 1
= 4 𝑛 − 2 + 3
= 4 2 𝑛 − 3 + 1 + 3
= 8( 𝑛 − 3 + 7
ניתן לנחש כי
𝑛 = 2𝑘 𝑛 − 𝑘 + 2𝑘 − 1
נציב 𝑘 = 𝑛 − 1ונקבל
𝑛 = 2𝑛−1 1 + 2𝑛−1 − 1 = 2𝑛 − 1
לכן ,הניחוש הוא
𝑛 ≥ 1 , 𝑛 = 2𝑛 − 1
נוודא כי הניחוש הנ"ל אכן פותר את נוסחת הנסיגה .באינדוקציה על 𝑛 .עבור 𝑛 = 1
1 = 21 − 1 = 1
צעד האינדוקציה:
𝑛 = 2 𝑛 − 1 + 1 = 2 ∙ 2𝑛−1 − 1 + 1 = 2𝑛 − 1
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
26
2.6
נוסחאות נסיגה ליניאריו ת
נוסחת נסיגה ליניארית (הגדרה):
)𝑛(𝑔 𝑓 𝑛 = 𝑐1 𝑓 𝑛 − 1 + 𝑐2 𝑓 𝑛 − 2 + ⋯ + 𝑐𝑟 𝑓 𝑛 − 2 +
כאשר 𝑐𝑟 ≠ 0נקראת נוסחת נסיגה ליניארית מסדר 𝑟.
לדוגמה סידרת פיבונצ'י היא ליניארית ומסדר 2
נוסחא נסיגה ליניארית הומוגנית (הגדרה) :נוסחא נסיגה ליניארית כאשר 𝑔 𝑛 = 0
פיתרון נוסחת נסיגה (הגדרה) :סדרה
∞
𝑛=0
𝑛 פותרת את נוסחת הנסיגה
𝑟
𝑓 𝑛 =𝑔 𝑛 +
)𝑖 𝑐𝑖 𝑓(𝑛 −
𝑖=1
אם
𝑟
𝑓 𝑛 =𝑔 𝑛 +
𝑖 𝑐𝑖 𝑛 −
𝑖=1
תנאי התחלה (הגדרה) :בהינתן נוסחא ליניארית מסדר 𝑟 ,כלומר 𝑟-ית מספרים
𝑓 0 , 𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓 𝑟 − 1נקראת תנאי התחלה עבור סדרה.
הערה :בהינתן נוסחת נסיגה מסדר 𝑟 קביעת תנאי התחלה קובעת חד-משמעית את הסדרה.
משפט :תהי )𝑖 )*( 𝑓 𝑛 = 𝑟𝑖=1 𝑐𝑖 𝑓(𝑛 −נוסחת נסיגה ליניארית הומוגנית מסדר 𝑟 ,אז קבוצה 𝑊 של כל
הפתרונות של )*( הוא תת מרחב ליניארי כאשר 𝑟 = 𝑊 .dim
הוכחה:
()1
𝑊 הוא תת-מרחב של מרחב הסדרות .יש לוודא ש
א) 𝜙 ≠ 𝑊
ב) לכל a̅ , b̅ ∈ Wמתקיים 𝑊 ∈ 𝑏 .𝑎 +
ג) לכל 𝑊 ∈ 𝑎 ולכל 𝜆 ∈ ℝמתקיים 𝑊 ∈ 𝑎𝜆.
תרגיל.
()2
נוכיח 𝑟 ≥ 𝑊 .dimלכל 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 − 1נגדיר תנאי התחלה מספר 𝑖 באופן הבא:
𝑟
0, … 0, 1 ,0 , . . . ,0
כאשר 1במיקום ה.𝑖 -
עתה ,עבור 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 − 1נציב תנאי התחלה מספר 𝑖 ונקבל את הפיתרון
𝑟
… 𝑢𝑖 = 0, … 0,1,0, … ,0 , 𝑐𝑖 ,
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
לדוגמה𝑓 𝑛 = 𝑓 𝑛 − 1 + 𝑓(𝑛 − 2) :
תנאי התחלה 1,0 :0אז ) … = (1,0,1,1,2,
תנאי התחלה 0,1 :1אז ) … 𝑢1 = (0,1,1,2,
𝑢0
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
27
קיבלנו 𝑟 וקטורים 𝑢0 , … , 𝑢𝑟−1שהם פתרונות של נוסחא (*) ל 𝑟-תנאי התחלה שונים ולכן הם
כולם שייכים ל .𝑊 -נשים לב ,ב 𝑟 -הקורדינאטות הראשונות הווקטורים נראים כך:
1
0
⋱
0
𝑟×𝑟 1
וכיוון שקיבלנו את מטריצת היחידה נובע כי הווקטורים 𝑢0 , … , 𝑢𝑟−1הם בלתי תלויים ליניארית.
()3
נוכיח ש 𝑢0 , … , 𝑢𝑟−1 -פורשת את 𝑊 .יהי
∞
𝑛=1
𝑛 𝑥 = ̅𝑥 אז נגדיר 𝑖𝑢 𝑖
𝑟
𝑥 𝑖=0
= 𝑦 .נראה
ש 𝑦-פיתרון של )*( .כיוון ש 𝑊 -תת מרחב ו 𝑢0 , … , 𝑢𝑟−1 ∈ 𝑊 -גם 𝑊 ∈ 𝑦 כצירוף ליניארי של
וקטורים בתת המרחב .נשים לב ,לכל 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 − 1מתקיים 𝑖 𝑥 = 𝑖 𝑖𝑢 𝑖 𝑥 = 𝑖 𝑦 .לכן,
𝑦 𝑥̅ ,מזדהים על 𝑟 קואורדינאטות ראשונות .כיוון ש 𝑥̅ -ו 𝑦-הם פתרונות של נוסחת נסיגה מסדר 𝑟,
𝑥𝑖 𝑟−1וגם 𝑦 = ̅𝑥 .קבלנו ש ̅𝑥 כלשהו הוא צירוף
שניהם נקבעים באופן יחיד ע"י תנאי התחלה 𝑖=0
ליניארי של . 𝑢0 , … , 𝑢𝑟−1לכן 𝑢0 , … , 𝑢𝑟−1היא קבוצה הפורשת את 𝑊.
הערה :נשים לב כי וקטור 𝑖𝑢 עדיין מוגדר ע"י נוסחת נסיגה ולא ע"י נוסחא ישירה.
פולינום אופייני (הגדרה) :בהינתן נוסחת נסיגה הומוגנית 𝑖 𝑛 −
𝑟
𝑖𝑐 𝑖=1
= 𝑛 𝑓 מסדר 𝑟 .הפולינום
𝑟
𝑟
𝑖𝑐𝑖 𝑥 𝑟−
− ⋯ − 𝑐𝑟−1 𝑥 − 𝑐𝑟 = 𝑥 −
𝑟−2
𝑥 − 𝑐2
𝑟−1
𝑟
𝑥 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 𝑐1
𝑖=1
נקרא הפולינום האופייני של נוסחת הנסיגה )𝑛(𝑓.
לדוגמה 𝑓 𝑛 = 𝑓 𝑛 − 1 + 𝑓(𝑛 − 2) :הפולינום האופייני שלו הוא .𝑃 𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 − 1
משפט :תהי 𝑖 𝑓 𝑛 = 𝑟𝑖=1 𝑐𝑖 𝑛 −נוסחת נסיגה מסדר 𝑟 .נניח כי 𝜆 ∈ ℝהוא שורש של הפולינום
האופייני )𝜆(𝑃 של הנוסחא .אזי הסדרה ) … 𝑥̅ = (1, 𝜆, 𝜆2 ,המוגדרת ע"י 𝑥 𝑛 = 𝜆𝑛 , 𝑛 ≥ 0היא פיתרון של
נוסחת הנסיגה.
הוכחה :כיוון ש 𝜆-הוא שורש של 𝑥 𝑃 מתקיים 𝑟𝑐 .𝜆𝑟 = 𝑐1 𝜆𝑟−1 + 𝑐2 𝜆𝑟−2 + ⋯ + 𝑐𝑟−1 𝜆 +לכן סדרה ̅𝑥
מקיימת
𝑟𝜆 = 𝑟 𝑥
𝑟𝑐 = 𝑐1 𝜆𝑟−1 + 𝑐2 𝜆𝑟−2 + ⋯ + 𝑐𝑟−1 𝜆 +
= 𝑐1 𝑥 𝑟 − 1 + 𝑐2 𝑥 𝑟 − 2 + ⋯ + 𝑐𝑟−1 𝑥 1 + 𝑥 0
לכן )𝑟(𝑥 מקיים את נוסחת הנסיגה הנתונה .כמו כן ,לכל 𝑟 > 𝑛 מתקיים
= 𝑟𝜆 𝑟𝜆𝑛 = 𝜆𝑛−
𝑟𝑐 = 𝜆𝑛−𝑟 𝑐1 𝜆𝑟−1 + 𝑐2 𝜆𝑟−2 + ⋯ + 𝑐𝑟−1 𝜆 +
𝑟= 𝑐1 𝜆𝑛−1 + 𝑐2 𝜆𝑛−2 + ⋯ + 𝑐𝑟−1 𝜆𝑛−𝑟+1 + 𝑐𝑟 𝑐 𝑛−
𝑟 = 𝑐1 𝑥 𝑛 − 1 + 𝑐2 𝑥 𝑛 − 2 + ⋯ + 𝑐𝑟 𝑥 𝑛 −
ולכן גם איבר )𝑛(𝑥 עבור 𝑟 > 𝑛 מקיים את נוסחת הנסיגה .הוכחנו כי סדרה ̅𝑥 מקיימת את נוסחת הנסיגה ,ולכן ̅𝑥
הוא פיתרון שלה.
הערה :להבדיל מ 𝑢𝑖 -של המשפט הקודם ,הווקטור ̅𝑥 הוגדר ע"י נוסחא ישירה של האיבר הכללי 𝑛𝜆 = 𝑛 𝑥.
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
28
משפט :תהי 𝑖 𝑓 𝑛 = 𝑟𝑖=1 𝑐𝑖 𝑛 −נוסחת נסיגה מסדר 𝑟 .נניח כי לפולינום האופייני 𝑥 𝑃 שלה קיימים
𝑟 שורשים שונים 𝑟𝜆 .𝜆1 , … ,אז הפיתרון הכללי של הנוסחא הוא:
𝑟
𝑖𝑛𝜆 𝑖𝑎
𝑛 ≥ 0,
= 𝑛 𝑓
𝑖=1
𝑓 0 , 𝑓 1 , … , 𝑓 𝑟 − 1קיימת בחירה יחידה של
כאשר 𝑎1 , … , 𝑎𝑟 ∈ ℝכמו כן ,לכל תנאי התחלה
המקדמים 𝑟𝑎 … .𝑎1 ,
הוכחה :נגדיר 𝑟 וקטורים (סדרות למעשה) 𝑟 𝑥 𝑥 1 , … ,באופן הבא
) … 𝑥 𝑖 = (1, 𝜆𝑖 , 𝜆2𝑖 , … , 𝜆𝑟𝑖 ,
לפי משפט קודם קיבלנו 𝑟 פיתרונות של הנוסחא .נוכיח כי הקבוצה 𝑟 𝑥 𝑥 1 , … ,היא בת"ל .נסתכל על 𝑟
הקורדינטות הראשונות של 𝑟 𝑥 𝑥 1 , … ,נקבל מטריצה:
𝜆1𝑟−1
𝜆12
…
1
𝜆1
⋮
⋮
𝑟𝜆2
𝜆𝑟−1
𝑟
𝑟𝜆
=𝑀
1
מטריצה זו נקראת מטריצת Vandermondeוהדטרמיננטה שלה:
= 𝑀 det
𝑗𝜆 𝜆𝑖 −
𝑗<𝑖
כיוון שהנחנו שיש 𝑟 שורשים שונים לפולינום האופייני )השורות של 𝑀) נובע כי .det 𝑀 ≠ 0לכן ,השורות
של Mהן בת"ל ומכאן 𝑟 𝑥 𝑥 1 , … ,הם בת"ל .כיוון שהמימד של מרחב הפיתרונות 𝑊 של הנוסחא הוא 𝑟 ו-
𝑊 ∈ 𝑟 𝑥 𝑥 1 , … ,נובע כי 𝑟 𝑥 𝑥 1 , … ,הוא בסיס ל .𝑊 -מכאן הפיתרון הכללי של הנוסחא ,כלומר הווקטור
הכללי של 𝑊 הוא:
𝑟
𝑖 𝑥 𝑖𝑎
= ̅𝑥
𝑖=1
עבור 𝑎1 , … , 𝑎𝑟 ∈ ℝקבועים .כמוכן ,כל קביעת תנאי התחלה
הפיתרון ̅ 𝑥 וכל פתרון ̅𝑥 הוא צירוף ליניארי של 𝑟 𝑥 .𝑥 1 , … ,
𝑓 0 , … , 𝑓 𝑟 − 1קובעת חד-משמעית את
איך מוצאים את המקדמים 𝒓𝒂 ?𝒂𝟏 , … ,בהינתן תנאי התחלה .𝑓 0 , … , 𝑓 𝑟 − 1נרשום
את תנאי ההתחלה ונקבל:
𝑟
𝑖
𝑥 𝑖𝑎 𝑖=1
= ̅𝑥
𝑟
𝑟𝑎 𝑖𝜆
= 𝑖 𝑓 ∀0≤𝑖≤𝑟−1
𝑖=1
קבלנו מערכת משוואות ליניארית עם 𝑟 משוואות (כמספר תנאיי ההתחלה) ו 𝑟 -משתנים 𝑟𝑎 .𝑎1 , … ,למערכת קיים
פיתרון יחיד כי מטריצת המקדמים שלה היא מטריצת ( Vandermondeהמשוחלפת).
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
29
דוגמא :סדרת פיבונצ'י
𝑓 𝑛 = 𝑓 𝑛 − 1 + 𝑓 𝑛 − 2 ; 𝑓 0 = 1; 𝑓 1 = 1
פיתרון :הפולינום האופייני של הנוסחא הוא .𝑃 𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 − 1השורשים של )𝑥(𝑃 הם
1± 5
2
= .𝜆1,2
לכן הפיתרון הכללי הוא .𝑓 𝑛 = 𝑎1 𝜆𝑛1 + 𝑎2 𝜆𝑛2נשתמש בתנאי ההתחלה למצוא את .𝑎1 , 𝑎2נקבל
𝑓 0 = 1 = 𝑎1 𝜆01 + 𝑎2 𝜆02 = 𝑎1 + 𝑎2
𝑓 1 = 1 = 𝑎1 𝜆1 + 𝑎2 𝜆2 = 𝑎1 𝜆1 + 𝑎2 𝜆2
קבלנו מערכת ליניארית בשתי משתנים .פותרים את המערכת
לכן ,הפיתרון לשאלה היא הסדרה
∞
𝑛=0
5− 5
ומקבלים
10
=
5+ 5
, 𝑎2
10
= .𝑎1
𝑛 𝑓 = 𝐼 המוגדרת ע"י
𝑛
5− 5 1− 5
+
∙
10
2
𝑛+1
𝑛
1
5+ 5 1+ 5
= 𝑛 𝑓
∙
10
2
1− 5
−
2
5
𝑛+1
1
1+ 5
=
2
5
הערה :הנוסחא תמיד נותנת מספר שלם.
שורשים מרובים לפולינום אופייני (משפט) :תהי .𝑓 𝑛 = 𝑟𝑖=1 𝑐𝑖 𝑓 𝑛 − 𝑖 , 𝑐𝑟 ≠ 0נניח כי 𝑘𝜆 𝜆1 , … ,
כל השורשים השונים של הפולינום האופייני 𝑖𝑐 ∙ 𝑖 𝑃 𝑥 = 𝑟𝑖=0 𝜆𝑟−עם ריבויים אלגבריים 𝑘𝑆 𝑆1 , … ,כאשר
𝑟 = 𝑖𝑆 . 𝑘𝑖=1אזי תת המרחב של הפתרונות נפרש על ידי הסדרות הבאות שהן מהוות בסיסו .לכל 𝑖 הסדרות
הבאות
∞
𝑛=0
𝑖𝑛𝜆 ∙ 𝑛 𝑆1 −1
∞
𝑛=0 , … ,
𝑖𝑛𝜆 ∙ 𝑛
∞
𝑛=0 ,
𝑖𝑛𝜆
כך שכל שורש תורם 𝑖𝑆 סדרות לבסיס תת המרחב המבוקש.
הוכחה :תרגיל .צריך לבדוק שאכן כל הסדרות האלו הן פיתרון וגם שהקבוצה הזו היא בת"ל.
1.2.6נוסחאות נסיגה ליניאריות לא הומוגניות
משפט :תהי )𝑛(𝑓 משוואת נסיגה ליניארית לא הומוגנית
𝑟
∗∗ 𝑓 𝑛 = 𝑔 𝑛 +
𝑖 𝑐𝑖 𝑓 𝑛 −
𝑖=1
ותהי המשוואה ההומוגנית המתאימה
𝑟
= 𝑛 𝑓 ∗
𝑖 𝑐𝑖 𝑓 𝑛 −
𝑖=1
∞
∞ 𝑛 𝑏 =𝑏
המשוואה ההומוגנית המתאימה .נניח כי סדרה 𝑎 = 𝑎 𝑛 𝑛=0פותרת את ∗∗ אז סדרה 𝑛=0
פותרת את ∗∗ אמ"מ הסדרה 𝑏 = 𝑎 −המוגדרת ע"י )𝑛(𝑏 𝑛 = 𝑎 𝑛 −היא פיתרון של ∗ .
הוכחה:
( )1כיוון ראשון 𝑏 :פותרת את ∗∗ ויש להוכיח כי פותרת את ∗ .נתון 𝑏 𝑎,פותרת את ∗∗ ולכן
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
30
𝑛 𝑔 𝑎 𝑛 = 𝑐1 𝑎 𝑛 − 1 + ⋯ + 𝑐𝑟 𝑎 𝑛 − 𝑟 +
𝑛 𝑔 𝑏 𝑛 = 𝑐1 𝑏 𝑛 − 1 + ⋯ + 𝑐𝑟 𝑏 𝑛 − 𝑟 +
𝑟 𝑎 𝑛 − 𝑏 𝑛 = 𝑐1 𝑎 𝑛 − 𝑏 𝑛 + ⋯ + 𝑐𝑟 𝑎 𝑛 − 𝑟 − 𝑏 𝑛 −
כלומר
ולכן
∞
𝑛=0
𝑟 𝑛 = 𝑐1 𝑛 − 1 + ⋯ + 𝑐𝑟 𝑛 −
𝑛 = הוא פיתרון של המשוואה ההומוגנית ∗
( )2כיוון שני :נתון
.𝑏 = 𝑎 −
∞
𝑛=0
𝑛 = פותרת את ∗ ונתון 𝑎 פותרת את ∗∗ .אז יש להוכיח
𝑛 𝑔 𝑎 𝑛 = 𝑐1 𝑎 𝑛 − 1 + ⋯ + 𝑐𝑟 𝑎 𝑛 − 𝑟 +
𝑟 𝑛 = 𝑐1 𝑛 − 1 + ⋯ + 𝑐𝑟 𝑛 −
נחסיר את המשוואות ונקבל
𝑛 𝑔 𝑏 𝑛 = 𝑐1 𝑏 𝑛 − 1 + ⋯ + 𝑐𝑟 𝑏 𝑛 − 𝑟 +
ולכן גם 𝑏 פותרת את ∗∗ .
מסקנה :הפיתרון הכללי של משוואת נסיגה לא הומוגנית הוא פתרון פרטי של המשוואה הלא הומוגנית +פיתרון
כללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה.
דוגמה :סדרה
∞
𝑛=0
𝑛 = המוגדרת ע"י . 𝑛 = 2 𝑛 − 1 + 1, 0 = 0
פיתרון :נסתכל תחילה על משוואת נסיגה לא הומוגנית . 𝑛 = 2 𝑛 − 1 + 1נשים לב הסדרה
) … 𝑏 = (−1, −1,פותרת את המשוואה .המשוואה ההומוגנית המתאימה היא . 𝑛 = 2 𝑛 − 1הפולינום
האופייני הוא .𝑝 𝑥 = 𝑥 − 2השורש של )𝑥(𝑝 הוא 𝜆 = 2ולכן הפתרון הכללי של הנוסחא ההומוגנית הוא
𝑛 . 𝑛 = 𝑎 ∙ 2לכן ,ממשפט קודם ,הפיתרון הכללי של המשוואה הלא הומוגנית הוא . 𝑛 = 𝑎 ∙ 2𝑛 − 1
לפי תנאי התחלה 0 = 0 = 𝑎 ∙ 2𝑛 − 1אז 𝑎 = 1אז . 𝑛 = 2𝑛 − 1
אלגוריתם לפיתרון נוסחאות נסיגה לא הומוגניות (מהתרגול):
תהי )𝑛(𝑓 נוסחת נסיגה לא הומוגנית:
𝑛𝑠𝛿 ∙ 𝑛 𝑠𝑝 ⋯ 𝑓 𝑛 = 𝑐1 𝑓 𝑛 − 1 + 𝑐2 𝑓 𝑛 − 2 + ⋯ + 𝑐𝑟 𝑓 𝑛 − 𝑟 + 𝑝1 𝑛 ∙ 𝛿1𝑛 +
𝑟𝑎 = 𝑟 𝑓 𝑓 1 = 𝑎1 , 𝑓 2 = 𝑎2 , … ,
הפולינום האופייני הוא 𝑟𝑐 𝑥 𝑟 − 𝑐1 𝑥 𝑟−1 − ⋯ −
.1מוצאים את הפולינום האופייני .מוצאים את שורשי הפולינום האופייני את ריבויים .לכל שורש 𝛼 נסמן
את ריבויו ב .𝑚 𝛼 -אם 𝛼 אינו שורש של הפולינום האופייני אז .𝑚 𝛼 = 0
.2לכל איבר לא הומוגני מהצורה 𝑛𝑖𝛿 𝑛 𝑖𝑝 מתאימים איבר בפתרון 𝑛𝑖𝛿 ) 𝑖 𝛿( 𝑚𝑛 𝑛 𝑖𝑞 ודרגת 𝑖𝑞 כדרגת
𝑖𝑝 .מוצאים את 𝑖𝑞 על ידי הצבה בנוסחת הרקורסיה .נסמן
𝑖 𝑝 deg
𝑖 𝑥 𝑖𝑏
= 𝑛 𝑖𝑞
𝑖=0
ונמצא את
𝑠
𝑛𝑖𝛿 𝑛 𝑖𝑝
𝑖 𝑝 deg
𝑖=0
+
𝑖𝑏 מקדמי 𝑖𝑞 ,על ידי הצבה בנוסחת הנסיגה באופן הבא:
𝑟
𝑗𝑛−
𝑖𝛿 ∙
𝑖𝛿 𝑚
= 𝑛𝑖𝛿 ∙
𝑗 𝑐𝑗 ∙ 𝑞𝑖 𝑛 − 𝑗 ∙ 𝑛 −
𝑖=1
נשווה את מקדמי הפולינום אחרי פיתוח ונקבל את
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
𝑗 =1
𝑝 deg
𝑖 𝑏𝑖 𝑖=0
𝑖𝛿
𝑚𝑛 ∙ 𝑛 𝑖𝑞
.
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
31
.3צורת הפתרון היא
𝑚 𝜆 𝑖 −1
𝑠
𝑛𝑖𝛿
𝑖𝛿
𝑘
𝑎𝑖𝑗 𝑛 𝑗 𝜆𝑛𝑖 +
𝑚𝑛 𝑛 𝑖𝑞
= 𝑛 𝑓
𝑖=1
𝑖=1
𝑗 =0
𝑘 מספר השורשים השונים 𝜆𝑖 ,הוא השורש ה .𝑖 -את 𝑗𝑖𝑎 מוצאים מתנאי ההתחלה ע"י הצבה.
הוכחה :הובא ללא הוכחה
7
פונקציות יוצרות
דוגמא :סדרת פיבונצ'י
𝑓 𝑛 = 𝑓 𝑛 − 1 + 𝑓 𝑛 − 2 ; 𝑓 0 = 1; 𝑓 1 = 1
נגדיר פונקציה 𝑛 𝑥 𝑛
∞
𝑓 𝑛=0
= 𝑥 𝐹 .אז
∞
= 𝑛𝑥 𝑛 𝑓
𝐹 𝑥 = 1+𝑥+
𝑛=2
∞
𝑛𝑥 𝑓 𝑛 − 1 + 𝑓 𝑛 − 2
=1+𝑘+
𝑛=2
∞
∞
𝑛𝑥 𝑓 𝑛 − 2
𝑓 𝑛 − 2 𝑥 𝑛−2
2
𝑛=2
מסביב ל .)0-השורשים
𝑓 𝑛−1 𝑥 +
𝑛=2
∞
קיבלנו 𝑥 𝐹 𝑥 + 𝑥 2
𝑛
1
𝐹𝑥 𝐹 𝑥 = 1 +ולכן,
1−𝑥−𝑥 2
−1− 5
של 1 − 𝑥 − 𝑥 2הם 𝜆2 = 2
𝑥+
=1+𝑘+
𝑛=2
∞
𝑛−1
𝑥= 1+𝑥+
𝑥 𝑓 𝑛−1
𝑛=2
𝑥 𝐹= 1 + 𝑥 + 𝑥 𝐹 𝑥 − 1 + 𝑥2
𝑥 𝐹 = 1 + 𝑥𝐹 𝑥 + 𝑥 2
= 𝑥 𝐹 .נפתח את )𝑥(𝐹 לטור מקלורן (טור טיילור
−1+ 5
,
2
= .𝜆1ולכן
1
1 − 𝑥 − 𝑥2
1
1
1
=
−
𝑥 𝑥 5 1 + 𝜆2 𝑥 1 − 𝜆1
= 𝑋 𝐹
נזכור ⋯ = 1 + 𝑘𝑥 + 𝑘 2 𝑥 2 +
1
𝑥𝑘1−
אז
∞
𝑛
𝑘 𝜆1
∞
−
𝑛
𝑘 −𝜆2
𝑛=0
𝑛𝑥
𝑛
− −𝜆1
1
𝑛=0
∞
𝑛
−𝜆2
𝑥 5
1
𝑥 5 𝑛=0
∞
𝑥 𝑛+1
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
𝑛
− −𝜆1
𝑛
−𝜆2
1
5 𝑛=0
=
=
=
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
32
מכאן:
𝑛+1
פונקציה יוצרת (הגדרה) :תהי
היוצרת של 𝑎.
משפט :נניח כי עבור סדרה
∞
𝑛
𝑥 𝑛𝑎 𝑛=0
𝑥 = 0וכן
מתכנס בקטע
𝑓 𝑛 0
!𝑛
∞
𝑛=0
∞
𝑛=0
1 1
𝑘−𝑘 ,
5−1
2
𝑛𝑎 = 𝑎 סדרה .הפונקציה
1
5
∞
𝑛
𝑥 𝑛𝑎 𝑛=0
𝑛+1
−
5+1
2
1
5
= 𝑛 𝑓
= 𝑥 𝑓 נקראת הפונקציה
𝑛𝑎 = 𝑎 קיים קבוע 𝑘 > 0כך ש 𝑛 𝑘 ≤ 𝑛𝑎 עבור כל 𝑛 .אז הטור
.יתרה מזאת ,לפונקציה
∞
𝑛
𝑥 𝑛𝑎 𝑛=0
= 𝑥 𝑓 יש נגזרות מכל סדר ב-
= 𝑛𝑎.
הוכחה :חדו"א 2
דוגמאות:
1
( 𝑎 = (0, … ,0, 𝑘 , 0, … ) )1שונה מ 0-במקום ה .𝑘 -אז הפונקציה המתאימה היא 𝑘 𝑥 = 𝑥 𝑓.
()2
1
… 𝑎 = 1,1,1,אז 𝑥𝑓 𝑥 = 1−
1
באופן כללי אם יש פונקציה 𝑥𝑘 𝑓 𝑥 = 1−אז הוא מתאים לסדרה ) … 𝑎 = (1, 𝑘, 𝑘 2 , 𝑘 3 ,
( )3תזכורת :עבור ℝ
אז 𝑛 𝑥
𝛼
∞
𝑛 𝑛=0
היוצרת של 𝑎.
𝛼 𝛼−1 ∙…∙ 𝛼−𝑛+1
∈ 𝛼 ו 𝑛 ∈ ℕ-נסמן
!𝑛
∞ 𝛼
𝑛 =𝑎
= 𝑛 𝛼 1 +לכן ,אם
𝑛=0
1.7
𝛼
𝑛
=
אז
𝛼
𝑥 𝑓 𝑥 = 1 +היא הפונקציה
פעולות
הסדרות 𝑏 𝑎,והפונקציות היוצרות שלהן 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥 ,בהתאמה.
( )1סכום :מתקיים שעבור הסדרה 𝑏 𝑎 +היא 𝑥 𝑔 𝑓 +
( )2כפל בסקלר 𝛼 ∙ 𝑎 :והפונקציה היוצרת שלה 𝑥 𝑓𝛼
( )3הזזה ימינה 𝑎′ = (0, … ,0, 𝑎0 , 𝑎1 , … ) :הזזה ב 𝑘-צעדים אז הפונקציה המתאימה
𝑥 𝑓 𝑘𝑥 = 𝑥 𝑓′
( )4הזזה שמאלה:
∞ 𝑛𝑎 = 𝑎 והפונקציה היוצרת
דוגמה𝑛=0 :
∞
𝑛
𝑥 𝑛𝑎 𝑛=0
= 𝑥 𝑓 .נסתכל על
∞
2
𝑛 𝑥 𝑛𝑎
= 𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑎0 − 𝑎1 𝑥 − 𝑎2
𝑛=2
∞
= 𝑥3
𝑎𝑛 𝑥 𝑛−3
𝑛=3
∞
= 𝑥3
𝑛 𝑥 𝑎𝑛+3
𝑛=0
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
33
ולכן
𝑓 𝑥 −𝑎 0 −𝑎 1 𝑥−𝑎 2 𝑥 2
𝑥3
=
∞
𝑛
𝑥 𝑛=0 𝑎𝑛+3
𝑥2
ולכן הפונקציה היוצרת של הסדרה ) … (𝑎3 , 𝑎4 ,היא
𝑓 𝑥 −𝑎 0 −𝑎 1 𝑥−𝑎 2
𝑥3
( )5החלפת 𝒙 ב𝜶𝒙-
אם 𝑓 פונקציה יוצרת של 𝑎 אז 𝑥𝛼 𝑓 יוצרת את הסדרה 𝑛𝑎 𝛼 = 𝑛𝑐
𝑛
( )6החלפת 𝒙 ב :𝒙𝒌-אם 𝑓 פונקציה יוצרת של 𝑎 אז ) 𝑘 𝑥(𝑓 יוצרת את 𝑛𝑏 כאשר 𝑛𝑎 = 𝑘𝑛𝑏 ואם 𝑚 ∤ 𝑘
אז .𝑏𝑚 = 0
𝑛
דוגמה :נמצא פונקציה יוצרת של הסדרה 𝑛𝑎 המוגדרת ע"י 𝑎𝑛 = 2 2
) … 𝑎𝑛 = (1,1,2,2,4,4,8,8,
1
1
יוצרת את ) … .(1,2,4,8,אז אנחנו רוצים לרווח את הסדרה .ונציב 𝑥 2ונקבל
אז
1−2𝑥 2
𝑥1−2
𝑥1+
𝑥
את ) … .(1,0,2,0,4,0,מהזזה ימינה 1−2𝑥 2יוצרת את ) … .(0,1,0,2,0,4,מסכום 1−2𝑥 2יוצרת
שיוצרת
את
המבוקש.
( )7גזירה :אם 𝑓 יוצרת את 𝑛𝑎 = 𝑎 אז 𝑓 ′יוצרת את הסדרה … .𝑏 = 𝑎1 , 2𝑎2 , 3𝑎3 ,
1
דוגמה :נמצא פונקציה יוצרת עבור הסדרה .𝑒̅ = 𝑒𝑛 ; 𝑒𝑛 = 𝑛2יודעים 𝑥 1−יוצרת את
1 ′
1 2
=
) … (1,1,1,1,ואז
𝑥1−
𝑥1−
′
𝑥
יוצרת את 𝑏 עבור 𝑛 = 𝑛𝑏 אז
1−𝑥 2
𝑥+𝑥 2
ימינה ונקבל 1−𝑥 3יוצרת את 𝑛2
יוצרת את ) … 𝑎𝑛 = (1,2,3,4,אז .𝑎𝑛 = 𝑛 + 1
יוצרת את
2
𝑥
1−𝑥 2
𝑛 + 1 𝑏𝑛+1 = 𝑛 + 1נזיז מקום אחד
𝑥
( )8אינטגרציה :אם 𝑥 𝑓 יוצרת את 𝑎 אז 𝑡𝑑 𝑡 𝑓 ∫0יוצרת את 𝑏 כאשר 𝑏0 = 0
𝑎 𝑛 −1
ו
𝑛
= 𝑛𝑏
( )9כפל :אם 𝑔 𝑓,יוצרות את 𝑏 𝑎,בהתאמה אז המכפלה 𝑔 ∙ 𝑓 יוצרת את הסדרה 𝑐 כאשר ∙ 𝑛𝑎 = 𝑛𝑐
𝑖𝑏0 + 𝑎𝑛−1 𝑏1 + ⋯ + 𝑎0 𝑏𝑛 = 𝑛𝑖=0 𝑎𝑖 𝑏𝑛−
הוכחה:
∞
∞
𝑚 𝑥 ∙ 𝑚𝑏
𝑛
∙
𝑥 ∙ 𝑛𝑎
𝑚 =0
=𝑔∙𝑓
𝑛=0
⋯ = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ ∙ 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥 2 +
𝑓
( )01סכימה :אם 𝑓 פונקציה יוצרת את 𝑎 אז 𝑥 1−יוצרת את ̅𝑐 כאשר
𝑛
𝑖𝑎 𝑖=0
= 𝑛𝑐
הוכחה :מקרה פרטי של ( )9עם … 𝑎 = 1,1,1,
דוגמה :מצאו את
𝑛
2
𝑘 𝑘=1
.נמצא פונקציה יוצרת.
פיתרון :מצאנו את הפונקציה היוצרת של 𝑎𝑛 = 𝑛2אז מ)10(-
𝑥+𝑥 2
1−𝑥 4
מהו המקדם של 𝑛 𝑥 בפיתוח לטור של הפונקציה היוצרת? נשים לב
ו-
6
1−𝑥 4
=
′
2
3
𝑥1−
=
1
ש
1−𝑥 2
𝑥+𝑥 2
1−𝑥 3
′
=
1
∙ 𝑥 1−יוצרת את
1
𝑥1−
2
ו-
1−𝑥 3
𝑛
2
𝑘 𝑘=1
′
1
=
.
1−𝑥 2
לכן,
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
34
′′′
∞
𝑛
𝑥
𝑛=0
∞
𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 𝑥 𝑛−3
𝑛=0
∞
𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 𝑥 𝑛−3
𝑛=3
∞
𝑚𝑥 𝑚 + 3 𝑚 + 2 𝑚 + 1
1
=
6
4
1
𝑥1−
1
=
6
1
6
1
6
=
=
𝑚 =0
∞
𝑚 𝑚+3
𝑥
3
=
𝑚 =0
לכן
𝑥 + 𝑥2
1−𝑥 4
∞
𝑛 𝑛+3
𝑥=
𝑥 + 𝑥2
3
= 𝑥 𝑔
∞
𝑛 𝑛+3
𝑥
3
𝑛=0
∞
𝑛 + 3 𝑛+2
𝑥
3
𝑚 𝑚+1
𝑥
3
כלומר המקדם של 𝑛 𝑥 הוא
𝑛+1
3
+
𝑛+2
3
𝑛=0
∞
𝑛=0
∞
𝑛 + 3 𝑛+1
𝑥
+
3
𝑚 =2
𝑚 𝑚+2
𝑥 +
3
=
𝑛=0
∞
=
𝑚 =1
ונפתח
𝑛 𝑛+2 𝑛+1
𝑛+1 𝑛 𝑛−1
𝑛 + 1 𝑛 2𝑛 + 1
+
=
6
6
6
2.7
שימושים
∞
𝑛
𝑥 𝑛𝑎 𝑛=0
טענה 𝑆1 , … , 𝑆𝑘 ⊆ ℕ ∪ 0 :קבוצות אזי
לקבל את 𝑛 כסכום 𝑘𝑠 𝑠1 + 𝑠2 + ⋯ +כאשר .si ∈ Si
= 𝑛𝑥
𝑖𝑆∈𝑛
𝑘
𝑖=1
כאשר 𝑛𝑎 הוא מספר הדרכים
הוכחה :נובע מהשוואת המקדם של 𝑛 𝑥 בשני האגפים .קומבינטוריקה על הכפל והסכום.
לדוגמה .𝑆1 = 0,1,2 , 𝑆2 = ℕ𝑒𝑣𝑒𝑛 ∪ 0 , 𝑆3 = 1,7,10
1 + 𝑥 + 𝑥 2 1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + 𝑥 6 + ⋯ 𝑥 + 𝑥 7 + 𝑥 10
דוגמה :נוכיח כי
פיתרון:
∞
𝑛
𝑥 𝑛=0
𝑛+𝑘−1
∞
𝑛=0 𝑘−1
=
𝑘 1
𝑥1−
.
1
= 𝑥 .1−אם נסמן 𝑆𝑖 = ℕ ∪ 0לכל 𝑘 ≤ 𝑖 ≤ 1אז נקבל
∞
𝑛 𝑥 𝑛𝑎
=
𝑛=0
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
𝑘
1
= 𝑥
𝑥1−
𝑘
𝑛
𝑖𝑆∈𝑛 𝑖=1
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
35
כאשר 𝑛𝑎 הוא מספר הדרכים לקבל את 𝑛 כסכום של 𝑘𝑠 𝑠1 + 𝑠2 + ⋯ +לכל
𝑛+𝑘−1
𝑘−1
= 𝑛𝑎.
דוגמה :מצאו את מספר הפיתרונות של המשוואה 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 9כאשר ,−2 ≤ 𝑥2 ≤ 4 ,1 ≤ 𝑥1 ≤ 2
.2 ≤ 𝑥3 ≤ 4נסמן
𝑦1 = 𝑥1 − 1, 𝑦2 = 𝑥2 + 2 , 𝑦3 = 𝑥3 − 2
נמצא את מספר הפתרונות בשלמים למשוואה 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 8כאשר ≤ 0 ≤ 𝑦1 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦2 ≤ 6, 0
.𝑦3 ≤ 2נסמן:
𝑆1 = 0,1 , 𝑆2 = 0,1,2, … ,6 , 𝑆3 = 0,1,2
ונחפש את המקדם של 𝑥 8ב-
1 − 𝑥3
𝑥1−
1 − 𝑥7
𝑥1−
𝑥 1 + 𝑥 1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥6 1 + 𝑥 + 𝑥2 = 1 +
1 + 𝑥 1 − 𝑥7 1 − 𝑥3
2
1 + 𝑥 1 − 𝑥 3 − 𝑥 7 + 𝑥 10
2
1
𝑥1−
1
=
𝑥1−
=
ומתרגיל קודם נקבל
𝑛 𝑛+1
𝑥
1
∞
𝑛𝑥 𝑛 + 1
= 1 + 𝑥 1 − 𝑥 3 − 𝑥 7 + 𝑥 10
𝑛=0
8
7
4
3
⋯= 1+𝑥−𝑥 −𝑥 −𝑥 −𝑥 +
𝑛=0
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
∞
=9+8−6−5−2−1
=3
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
36
8תורת הגרפים
גרף (הגדרה) :גרף הוא 𝐸 𝐺 = 𝑉,זוג סדור .כאשר 𝑉 הינה קבוצה הנקראת קבוצת הקודקודים ו 𝐸 -היא
קבוצת הזוגות של איברי 𝑉.
הערות:
()1
()2
()3
()4
אם )𝐺(𝐸 ∈ 𝑣 𝑢,צלע של גרף 𝐺 ועבור 𝑣 = 𝑢 הצלע תקרא לולאה.
אם בין 𝑢 ל 𝑣 -מחברות בגרף 𝐺 יותר מצלע אחת ,נאמר כי ב 𝐺 -יש צלע כפולה בין 𝑢 ל.𝑣 -
אם צלעות של 𝐺 הן זוגות סדורים ,אז 𝐺 נקרא גרף מכוון.
אם צלעות 𝐺 הן צלעות לא סדורים ,אז 𝐺 נקרא גרף לא מכוון.
מכאן והלאה ,נדון רק בגרפים לא מכוונים ,ללא לולאות ,ללא צלעות כפולות בלבד וכאשר 𝑉 סופי.
איזומורפיזם של גרפים (הגדרה) :יהיו ) 𝐺1 = 𝑉1 , 𝐸1 , 𝐺2 = (𝑉2 , 𝐸2גרפים .הפונקציה 𝜑: 𝑉1 → 𝑉2
נקראת איזומורפיזם אם
( 𝜑 )1חח"ע ועל 𝑉2
( )2לכל 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉1מתקיים ∈ 𝐸2
𝑣 𝜑 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐸1 ⇔ 𝜑 𝑢 ,
גרפים איזומורפיים (הגדרה) :גרפים 𝐺1 , 𝐺2נקראים איזומורפיים אם קיים איזומורפיזם 𝜑 בין 𝐺1לבין .𝐺2
טענה :יחס האיזומורפיזם על גרפים הוא יחס שקילות.
הוכחה :מיידי.
הגדרה :מחלקת שקילות תחת יחס איזומורפיזם של גרפים נקראת גרף לא מסומן .כלומר ,גרף ללא שמות של
קודקודים.
טענה :נסמן ב 𝑓 𝑛 -את מספר הגרפים הלא מסומנים על 𝑛 קודקודים אזי
𝑛
2
הוכחה :נשים לב כי גרף Gעם קבוצת קודקודים 𝑛 מתואר על ידי
𝑛
𝑛
𝑛
2
𝑛
≤𝑓 𝑛 ≤2
2 2
!𝑛
.
זוגות של צלעות אפשריות לכן יש סה"כ
2 2גרפים מסומנים על 𝑛 קודקודים לכן .𝑓 𝑛 ≤ 2 2בהינתן גרף 𝐸 𝐺 = 𝑉,על 𝑛 קודקודים יש בדיוק
!𝑛 פונקציות 𝑉 → 𝑉 𝜑:חח"ע ועל 𝑉 .לכן נקבל לכל היותר !𝑛 גרפים על 𝑛 קודקודים שאיזומורפיים ל( 𝐺 -כולל
𝑛
זהות) .לכן 2 2 ,גרפים מסומנים על 𝑛 קודקודים מחולקים למחלקות שקילות (לפי איזומורפיזם) כך שבכל
𝑛
מחלקת שקילות יש לכל היותר !𝑛 גרפים .לכל מספר מחלקות השקילות הוא לפחות
מסקנה:
הוכחה:
1−𝑜 1
𝑛
2
𝑛
2
2 2
!𝑛
𝑓 𝑛 = 2
𝑓 𝑛 ≤2
1−𝑜 1
𝑛
2
𝑛
=2
!𝑛 −ln
𝑛
2
22
≥ 𝑛 𝑓
=2
!𝑛
תת גרף (הגדרה) :גרף 𝐹 𝐻 = 𝑈,הוא תת גרף של גרף 𝐸 𝐺 = 𝑉,אם 𝑉 ⊆ 𝑈 ו.𝐹 ⊆ 𝐸 -
תת גרף פורש (הגדרה) :אם 𝐹 𝐻 = 𝑈,הוא תת-גרף של 𝐸 𝐺 = 𝑉,אבל 𝑉 = 𝑈 נאמר ש 𝐻-תת-גרף
פורש של 𝐺.
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
37
גרף נפרש (הגדרה) :יהי 𝐸 𝐺 = 𝑉,גרף ותהי 𝑉 ⊆ 0 ≠ 𝑉0קבוצת קודקודים בתוך 𝐺 .הגרף הנפרש ע"י 𝑉0
המסומן ע"י 𝐺 𝑉0הוא תת גרף של 𝐺 המוגדר ע"י 𝑉 𝐺 𝑉0 = 𝑉0ו-
.𝐸 𝐺 𝑉0 = 𝑒 ∈ 𝐸 𝐺 | 𝑒 ∩ 𝑉0 = 2
1.8
דרגות
דרגה (הגדרה) :יהי 𝐸 𝐺 = 𝑉,גרף .הדרגה של קודקוד 𝐺 𝑉 ∈ 𝑣 ,המסומנת ב 𝑑𝐺 𝑣 -מוגדרת ע"י
𝑒 ∈ 𝑣| 𝐺 𝐸 ∈ 𝑒 = 𝑣 𝐺𝑑.
טענה :לכל גרף 𝐸 𝐺 = 𝑉,מתקיים 𝐸 𝑣 = 2
𝐺𝑑 𝑉∈𝑣
הוכחה :בספירה באגף שמאל כל צלע 𝐺 𝐸 ∈ 𝑒 = 𝑣 𝑢,נספרת בדיוק פעמיים כל צלע (פעם אחת עבור 𝑢
ופעם אחת עבור 𝑣) ולכן הסכום שווה ל.2 𝐸 -
מסקנה :בכל גרף 𝐸 𝐺 = 𝑉,יש מספר זוגי של קודקודים מדרגה אי זוגית (כי אחרת היינו מקבלים שהסכום אי
זוגי).
גרף 𝒅-רגולרי (הגדרה) :גרף 𝐸 𝐺 = 𝑉,נקרא 𝑑-רגולרי אם 𝑑 = 𝑣 𝐺𝑑 לכל 𝐺 𝑉 ∈ 𝑣
דוגמה :האם קיים גרף 5רגולרי על 13קודקודים? לא ,סכום הדרגות אי-זוגי אז לא יתכן.
הילוכים ,מסלולים ומעגלים
2.8
הילוך (הגדרה) :יהי 𝐸 𝐺 = 𝑉,גרף .סדרת קודקודים 𝑘𝑣 𝑊 = 𝑣0 , 𝑣1 , … ,נקראת הילוך ב 𝐺 -אם
𝐺 𝐸 ∈ 𝑣𝑖 , 𝑣𝑖+1לכל .0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 − 1האורך של הילוך כזה הוא 𝑘.
מסלול (הגדרה) :יהי 𝐸 𝐺 = 𝑉,גרף .הילוך 𝑝 בו כל קודקוד מופיע פעם אחת נקרא מסלול.
טענה :יהי 𝑊 הילוך בגרף 𝐸 𝐺 = 𝑉,המחבר בין 𝑢 לבין 𝑣 .אז 𝑊 מכיל מסלול 𝑝 המחבר בין 𝑢 לבין 𝑣.
הוכחה :באינדוקציה על האורך של 𝑊 (נסמנו ב.)𝑙 -
( )1עבור :𝑙 = 0במקרה כזה .𝑊 = 𝑣0אז ניתן לקחת 𝑊 = 𝑃.
( )2צעד האינדוקציה :נניח שיש 𝑙𝑣 𝑊 = 𝑣0 , 𝑣1 , … ,אם ב 𝑊 -אף קודקוד לא חוזר על עצמו אז סיימנו.
אחרת ב 𝑊 -קיים קודקוד 𝑖𝑣 אשר חוזר על עצמו .נסלק מ 𝑊 -את כל הצלעות בין 2הופעות סמוכות של
𝑖𝑣 ,נקבל הילוך 𝑊 ′אשר עדיין מחבר בין 𝑢 לבין 𝑣 והוא יותר קצר מ .𝑊 -לכן לפי הנחת האינדוקציה,
𝑊 ⊆ 𝑊 ′מכיל מסלול 𝑝 המחבר בין 𝑢 לבין 𝑣.
3.8
גרפים קשירים ורכיבי קשירות
גרף קשיר (הגדרה) :גרף 𝐸 𝐺 = 𝑉,נקרא גרף קשיר אם לכל 𝑉 ∈ 𝑣 ,𝑢,גרף 𝐺 מכיל מסלול 𝑝 המחבר בין 𝑢
לבין 𝑣.
יחס קשירות (הגדרה) :יהי 𝐸 𝐺 = 𝑉,גרף .יחס קשירות 𝑅 על 𝐺 מוגדר באופן הבא :אם 𝑉 ∈ 𝑣 𝑢,אז
𝑅 ∈ 𝑣 𝑢,אם 𝐺 מכיל מסלול המחבר בין 𝑢 לבין 𝑣.
טענה :לכל גרף 𝐸 𝐺 = 𝑉,יחס הקשירות 𝑅 על 𝐺 הוא יחס שקילות:
הוכחה:
( )1רפלקסיביות :יש לוודא 𝑅 ∈ 𝑣 𝑣,לכל 𝑉 ∈ 𝑣 .כי אפשר לבחור 𝑣 = 𝑊.
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
38
( )2סימטריות :אם 𝑅 ∈ 𝑣 𝑢,אז 𝑅 ∈ 𝑢 𝑣,מסלול 𝑝 המחבר בין 𝑢 ל 𝑣 -מחבר גם בין 𝑣 ל ( 𝑢 -הגרף
שלנו אינו מכוון).
( )3טרנזיטיביות :יש אם 𝑅 ∈ 𝑤 𝑢, 𝑣 , 𝑣,אז גם 𝑅 ∈ 𝑤 . 𝑢,כיוון ש 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑅-גרף 𝐺 מכיל
מסלול 𝑝1המחבר בין 𝑢 לבין 𝑣… משתמשים בטענה שקיים מסלול גם לשרשור של המסלולים
(מרפלקסיביות)
רכיב קשירות (הגדרה) :יהי 𝐸 𝐺 = 𝑉,גרף .אם קבוצה 𝑉 ⊆ 𝑉0היא מחלקת שקילות של 𝐺 לפי יחס
קשירות ,אז 𝑉0נקרא רכיב קשירות.
מעגל (הגדרה) :יהי 𝐸 𝐺 = 𝑉,גרף .הילוך 𝑘𝑣 𝑊 = 𝑣0 , … ,ב 𝐺 -נקרא מעגל אם 𝑘 ≥ 3וגם 𝑘𝑣 = 𝑣0
וכל שאר הקודקודים שונים מ 𝑣0 -ושונים זה מזה.
מעגל זוגי ואי זוגי (הגדרה) :מעגל 𝐶 בגרף 𝐺 נקרא זוגי אם הוא האורך זוגי אם הוא באורך זוגי ונקרא אי זוגי
אחרת.
גרפים דו -צדדים
4.8
גרף דו-צדדי (הגדרה) :גרף 𝐸 𝐺 = 𝑉,נקרא גרף דו צדדי אם קיימת חלוקה של 𝐵 ∪ 𝐴 = 𝑉 כך ש
(𝐴 ∩ 𝐵 = 𝜙 )1
(= 𝑒 ∩ 𝑉 𝐵 = 1 )2
𝐴 𝑉∩𝑒
𝐺
𝐸∈𝑒∀
מרחק (הגדרה) :בהינתן גרף 𝐸 𝐺 = 𝑉,ו 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 𝐺 -אז המרחק בין 𝑢 ל 𝑣 -המסומן ב 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑢, 𝑣 -הוא
האורך המינימאלי של מסלול ב 𝐺-אשר מחבר בין 𝑢 ל .𝑣 -אם ב 𝐺 -אין מסלול המחבר בין 𝑢 ל 𝑣 -אז נסמן
𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑢, 𝑣 = ∞.
משפט :גרף 𝐸 𝐺 = 𝑉,הוא דו-צדדי אמ"מ 𝐺 אינו מכיל מעגלים אי-זוגיים
הוכחה:
( )1נתון 𝐺 דו צדדי .צ"ל ש 𝐺 -אינו מכיל מעגלים אי-זוגיים.
כיוון ש 𝐺 -דו צדדי קיימת חלוקה 𝐵 ⊎ 𝐴 = 𝑉 כך ש 𝑒 ∩ 𝐵 = 𝑒 ∩ 𝐴 = 1-לכל 𝐺 𝐸 ∈ 𝑒 .נניח
בשלילה כי 𝐺 מכיל מעגל 𝐶 = 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣2𝑘+1 , 𝑣1באורך .2𝑘 + 1בלי הגבלת הכלליות נניח כי
𝐴 ∈ .𝑣2לכן ,כיוון ש 𝐺-דו צדדי נובע כי 𝐵 ∈ 𝑣1ואז 𝐵 ∈ 𝑣3ולבסוף 𝐵 ∈ .𝑣2𝑘+1אבל אז
𝐴 ∈ 𝑣2𝑘+1 , 𝑣1ו . 𝑣1 , 𝑣2𝑘+1 ∈ 𝐸 𝐺 -סתירה.
( )2נתון 𝐺 אינו מכיל מעגלים אי-זוגיים וצריך להוכיח ש 𝐺-דו צדדי.
נוכל להניח כי גרף 𝐺 הוא גרף קשיר .אם 𝑡𝑐 𝑐1 , … ,הם רכיבי הקשירות של 𝐺 ו 𝑐𝑖 -הוא גרף דו צדדי
עם חלוקה 𝑖𝐵 ⊎ 𝑖𝐴 המוגדרת ע"י 𝑡𝐵 ∪ … ∪ 𝐵 = 𝐵1 ∪ 𝐵2ו 𝐴 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑡 -היא
חלוקה דו-צדדית של 𝐺 .נניח אם כן כי 𝐺 הוא גרף קשיר ללא מעגלים אי-זוגיים .נבחר קודקוד שרירותי
𝑉 ∈ 𝑉0ולכל 𝑖 ≥ 0נגדיר 𝑖 = 𝑢 .𝑉𝑖 = 𝑢 ∈ 𝑉 | 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑉0 ,נשים לב ,אם 𝐺 𝐸 ∈ 𝑣 , 𝑢,
𝑖𝑉 ∈ 𝑢 𝑣 ∈ 𝑉𝑗 ,אז . 𝑖 − 𝑗 ≤ 1נגדיר חלוקה של 𝐵 ∪ 𝐴 = 𝑉 באופן הבא:
… ∪ 𝐴 = 𝑉0 ∪ 𝑉2 ∪ 𝑉4
… ∪ 𝐵 = 𝑉1 ∪ 𝑉3 ∪ 𝑉5
כיוון ש 𝐺 -הוא גרף קשיר ,נובע כי 𝐵 ⊎ 𝐴 = 𝑉 (ברור כי 𝜙 = 𝐵 ∩ 𝐴).
כיוון ששמנו לב כי אין צלע בין 𝑗𝑉 𝑉𝑖 ,כאשר 𝑖 − 𝑗 ≥ 2נותר לבדוק כי לכל 𝑖 ≥ 0הקבוצה 𝑖𝑉 לא
מכילה אף צלע .נניח בשלילה כי שכבה 𝑖𝑉 מכילה צלע 𝐺 𝐸 ∈ 𝑣 𝑢,ויהי 𝑤𝑃 מסלול באורך 𝑖 מ𝑤-
ל .𝑉0 -יהי 𝑗𝑉 ∈ ∗ 𝑣 הקודקוד הראשון בו 𝑤𝑃 𝑃𝑢 ,נפגשים (יתכן .)𝑣 ∗ = 𝑉0 ,𝑗 = 0קיבלנו שני
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
39
מסלולים באורך 𝑗 ,𝑖 −הראשון מ 𝑢-אל ∗ 𝑣 והשני מ 𝑤-אל ∗ 𝑣 .שני המסלולים האלה ,ביחד עם צלע
𝑤 𝑢,סוגרים מעגל 𝐶 באורך 2 𝑖 − 𝑗 + 1ולכן 𝐶 הוא מעגל אי-זוגי וקיבלנו סתירה.
1.4.8
משפט הול לגרפים דו-צדדיים
זיווג (הגדרה) :בניתן גרף 𝐸 𝐺 = 𝑉,קבוצת צלעות 𝐸 ⊆ 𝑀 נקראית זיווג ב 𝐺-אם 𝜙 = 𝑒1 ∩ 𝑒2לכל
𝑀 ∈ .𝑒1 , 𝑒2
הרוויה (הגדרה) :בהינתן גרף דו-צדדי 𝐺 = 𝐸 𝐴 ∪ 𝐵,זיווג 𝐸 ⊆ 𝑀 מרווה את צד 𝐴 אם 𝐴 = 𝑀 .
מטרתנו למצוא תנאי מספיק והכרחי לקיום של זיווג מרווה צד נתון בגרף דו צדדי.
סימון :יהי 𝐸 𝐺 = 𝐴 ∪ 𝐵,גרף דו צדדי ותהי 𝐴 ⊆ .𝐴0הסביבה של 𝐴0ב 𝐺 -המסומנת ב 𝑁(𝐴0 )-מוגדרת
ע"י
𝑁 𝐴0 = 𝑏 ∈ 𝐵 | ∃𝑒∈𝐸 𝑏 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒\{𝑏} ∈ 𝐴0
תנאי הול (𝒍𝒍𝒂𝑯) :עבור צד 𝐴 בגרף דו-צדדי 𝐸 𝐺 = 𝐴 ∪ 𝐵,לכל 𝐴 ⊆ 𝐴0מתקיים ≥ 𝐴0
.
. 𝑁 𝐴0
משפט הול :יהי 𝐸 𝐺 = 𝐴 ∪ 𝐵,גרף דו צדדי .ב 𝐺 -קיים זיווג 𝑀 בגודל 𝐴 ≥ 𝑀 (כלומר זיווג שמרווה את
𝐴) אמ"מ תנאי הול מתקיים עבור צד 𝐴.
הוכחה:
( )1נתון שב 𝐺 -קיים זיווג 𝑀 המרווה את 𝐴 וצריך להוכיח שתנאי הול מתקיים עבור צד .Aנניח כי
𝑛𝑎 𝐴 = 𝑎1 , … ,ו .𝑀 = 𝑎1 , 𝑏1 , … , 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 -כיוון ש 𝑀-זיווג מתקיים 𝑗𝑏 ≠ 𝑖𝑏 𝑛≤ 𝑗≠𝑖≤.∀1
נניח 𝐴 ⊆ .𝐴0נגדיר 𝐵0 = 𝑏𝑖 | 𝑎𝑖 ∈ 𝐴0אז 𝐵0 = 𝐴0ו 𝐵0 ⊆ 𝑁 𝐴0 -ולכן
. 𝑁 𝐴0 ≥ 𝐵0 = 𝐴0
( )2נתון שתנאי הול מתקיים עבור 𝐴 וצריך להוכיח שקיים ב 𝐺-זיווג 𝑀 המרווה את 𝐴 .ההוכחה
באינדוקציה על 𝐴 .
בסיס האינדוקציה. 𝐴 = 1 :
נניח 𝐴 = 𝑎1כיוון שתנאי הול מתקיים עבור 𝐴 ,נובע כי לקודקוד 𝑎1יש שכן 𝑏1בצד 𝐵 .לכן צלע
𝑒 = 𝑎1 , 𝑏1היא הזיווג הרצוי.
צעד האינדוקציה:
נניח שתנאי הול מתקיים עבור 𝑛 = 𝐴 ונראה שהיא מתקיים עבור 𝐴 = 𝑛 + 1
מקרה ראשון :לכל 𝐴 ⊆ 𝜙 ≠ 𝐴1מתקיים . 𝑁 𝐴1 ≥ 𝐴1 + 1במקרה כזה ,נבחר קודקוד
𝑎1 ∈ 𝐴1שרירותית .אחרי זה ,נבחר קודקוד 𝐵 ∈ 𝑏1עבורו 𝐸 ∈ . 𝑎1 , 𝑏1נסלק את 𝑎1 , 𝑏1ונקבל
גרף חדש 𝐺 ′עם צדדים .𝐴′ , 𝐵′נשים לב כי תנאי הול מתקיים עבור 𝐴′בגרף 𝐺 ′כי לכל 𝐴 ⊆ 𝐴0
מתקיים
𝑁𝐺 ′ 𝐴0 ≥ 𝑁𝐺 𝐴0 − 1 ≥ 𝐴0 + 1 − 1 = 𝐴0
ולכן לפי הנחת האינדוקציה ב 𝐺 ′ -קיים זיווג 𝑀′בגודל . 𝑀′ = 𝐴′ = 𝐴 − 1נוסיף ל 𝑀′ -את
הצלע 𝑎1 , 𝑏1ונקבל זיווג 𝑀 בגודל 𝑀 = . 𝐴 = 𝑀′ + 1
מקרה שני :קיימת קבוצה 𝐴 ⊆ 𝜙 ≠ 𝐴0כך ש . 𝑁 𝐴0 = 𝐴0 -נגדיר 𝐵1 = 𝑁𝐺 𝐴1נגדיר
.𝐴2 = 𝐴\𝐴1 , 𝐵2 = 𝐵\𝐵1 , 𝐺1 = 𝐺 𝐴1 ∪ 𝐵1 , 𝐺2 = 𝐴2 ∪ 𝐵2נשים לב ,קבוצות
הקודקודים של 𝐺1 , 𝐺2זרות זו לזו .נמצא זיווג 𝑀1בגודל 𝑀1 = 𝐴1ב 𝐺1 -ונמצא זיווג 𝑀2בגודל
𝑀2 = 𝐴2ב 𝐺2 -ואז קבוצה 𝑀 = 𝑀1 ∪ 𝑀2היא זיווג ב 𝐺-בגודל = 𝐴 = 𝑀1 + 𝑀2
𝑀.
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
40
גרף :𝐺1נשים לב כי לכל 𝑋 ⊆ 𝐴1ו .𝑁𝐺1 𝑋 = 𝑁𝐺 𝑋 -כיוון שתנאי הול מתקיים ב 𝐺-עבור 𝐴
נובע כי 𝑋 ≥ 𝑋 𝐺𝑁 ולכן גם 𝑋 ≥ 𝑋 𝑁𝐺1ואז תנאי הול מתקיים גם עבור 𝐴1ב .𝐺1 -מכאן,
לפי הנחת האינדוקציה ,ב 𝐺1 -קיים זיווג 𝑀1בגודל . 𝑀1 = 𝐴1
גרף :𝐺2תהי .𝑁𝐺 𝐴1 ∪ 𝑋 = 𝑁𝐺 𝐴1 ∪ 𝑁𝐺 𝑋 .𝜙 ≠ 𝑋 ⊆ 𝐴2נפריד בצורה מלאכותית
𝑁𝐺 𝐴1 ∪ 𝑋 = 𝑁𝐺 𝐴1 ∪ 𝑁𝐺 𝑋 \𝑁𝐺 𝐴1
נשים לב כי
𝑁𝐺2 = 𝑁𝐺 𝑋 \𝐵1 = 𝑁𝐺 𝐴1
ולכן
𝑋 𝑁𝐺 𝐴1 ∪ 𝑋 = 𝑁𝐺 𝐴1 ⊎ 𝑁𝐺2
כלומר
𝑋 + 𝑁𝐺2
= 𝑁𝐺 𝐴1
𝑋 ∪ 𝑁𝐺 𝐴1
ולכן לפי תנאי הול עבור 𝐺
𝑋 ≥ 𝐴1 ∪ 𝑋 = 𝐴1 +
ומכאן 𝑋 ≥
𝑋 + 𝑁𝐺2
= 𝑁𝐺 𝐴1
𝑋 ∪ 𝑁𝐺 𝐴1
𝑋 𝑁𝐺2
לכן ,תנאי הול מתקיים עבוד צד 𝐴2ב 𝐺2 -ולפי אינדוקציה ב 𝐺2 -קיים זיווג 𝑀2בגודל . 𝑀2 = 𝐴2
נסמן .𝑀 = 𝑀1 ∪ 𝑀2כיוון של 𝐺1 -ו 𝐺2 -קודקודים זרים 𝑀 ,הוא זיווג בגודל
𝐴 = 𝑀 = 𝑀1 + 𝑀2 = 𝐴1 + 𝐴2
וסיימנו.
1.1.4.8
משפט הול ומערכות נציגים
שאלה :בהינתן קבוצות 𝑛𝑆 ( 𝑆1 , 𝑆2 , … ,לאו דווקא זרות) .האם קיימת בחירת נציגים 𝑎𝑖 ∈ 𝑆𝑖 𝑛𝑖=1כך שלכל
𝑛 ≤ 𝑗 ≠ 𝑖 ≤ 1מתקיים 𝑗𝑎 ≠ 𝑖𝑎? אם בחירה כזאת קיימת ,נאמר כי ל 𝑆1 , 𝑆2 , … , 𝑆𝑛 -קיימת מערכת נציגים
שונים (מנ"ש).
משפט :למשפחת קבוצות 𝑛𝑆 𝑆1 , … ,קיימת מנ"ש אמ"מ לכל קבוצת אינדקסים 𝑛 ⊆ 𝐼 ≠ 𝜙 מתקיים
𝐼 ≥ 𝑖𝑆 𝐼∈𝑖 .
הוכחה :תרגיל.
סיכום :בר וינוגרד
מרצה :פרופ' מיכאל קריבלביץ'
אוניברסיטת תל אביב – – 2009סמסטר ב'
www.barvinograd.com/university
uni@barvinograd.com
