CAPITULO I
ESPACIOS INVARIANTES. TÓPICOS MATRICIALES.
1.1 Espacios Invariantes.
1.2 Operadores Autoadjuntos. Operadores ortogonales. Operadores ortonormales.
1.3 Matrices Asociada a la transformación lineal adjunta.
1.4 El Complemento Ortogonal.
1.5 La Pseudo Inversa.
1.6 Tópicos Matriciales. Matriz de Gram, Eliminación de Gauss. Matriz Triangular.
1.7 Descomposición de Cholesky, Descomposición Iu.
1.8 Determinantes. El determinante como función multilineal. Regla de Cramer.
Propiedades.
1.6 TÓPICOS MATRICIALES. LA MATRIZ DE GRAM. ELIMINACIÓN DE GAUSS. MATRIZ
TRIANGULAR.
LAS MATRICES DE GRAM.
DEFINICIÓN. Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión finita provisto de producto interno.
La matriz de Gram de los vectores 𝑣1 ; 𝑣2 ; … , 𝑣𝑘 ∈ 𝑉 es la matriz dada por 𝐺 =
𝐺(𝑣1 ; 𝑣2 ; … , 𝑣𝑘 ) = [𝑔𝑖𝑗 ] ∈ 𝑀𝑘×𝑘 , donde cada elemento 𝑔𝑖𝑗 es obtenido de la igualdad 𝑔𝑖𝑗 =
⟨𝑣𝑖 ; 𝑣𝑗 ⟩, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘.
EJEMPLO 1. Sea el espacio vectorial 𝑅 3 con el producto interno habitual. Sean los vectores
𝑣1 = (1; 1; 0); 𝑣2 = (1; 0; 1), 𝑣3 = (0; 1; 1) ∈ 𝑅 3, hallar las matrices de Gram:
i) 𝐺(𝑣1 )
ii) 𝐺(𝑣1 ; 𝑣2 )
iii) 𝐺(𝑣1 ; 𝑣2 ; 𝑣3 )
Solución.
i) La matriz de Gram será: 𝐺(𝑣1 ) = [𝑔11 ] = [⟨(1; 1; 0); (1; 1; 0)⟩] = [2]
𝑔11
ii) La matriz de Gram será: 𝐺(𝑣1 ; 𝑣2 ) = [𝑔
21
𝑔12
⟨𝑣1 ; 𝑣1 ⟩ ⟨𝑣1 ; 𝑣2 ⟩
2
𝑔22 ] = [⟨𝑣2 ; 𝑣1 ⟩ ⟨𝑣2 ; 𝑣2 ⟩] = [1
𝑔11
iii) La matriz de Gram será: 𝐺(𝑣1 ; 𝑣2 ; 𝑣3 ) = [𝑔21
𝑔31
2
 𝐺(𝑣1 ; 𝑣2 ; 𝑣3 ) = [1
1
𝑔12
𝑔22
𝑔31
1
]
2
𝑔13
⟨𝑣1 ; 𝑣1 ⟩ ⟨𝑣1 ; 𝑣2 ⟩ ⟨𝑣1 ; 𝑣3 ⟩
𝑔23 ] =[⟨𝑣2 ; 𝑣1 ⟩ ⟨𝑣2 ; 𝑣2 ⟩ ⟨𝑣2 ; 𝑣3 ⟩]
𝑔33
⟨𝑣3 ; 𝑣1 ⟩ ⟨𝑣3 ; 𝑣2 ⟩ ⟨𝑣3 ; 𝑣3 ⟩
1 1
2 1]
1 1
EJEMPLO 2. Hallar la matriz de Gram de los vectores de 𝑃≤2 , 𝑝(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 1, 𝑞(𝑥) =
−2𝑥 2 − 𝑥 − 3. Úsese el producto interno en 𝑃≤2 , si 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; 𝑞(𝑥) = 𝑑𝑥 2 +
𝑒𝑥 + 𝑓  ⟨𝑝(𝑥); 𝑞(𝑥)⟩ = ⟨𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; 𝑑𝑥 2 + 𝑒𝑥 + 𝑓⟩ = 𝑎𝑑 + 𝑏𝑒 + 𝑐𝑓.
Solución.
𝑔11
𝐺(𝑝(𝑥); 𝑞(𝑥)) = [𝑔
31
 𝐺(𝑝(𝑥); 𝑞(𝑥)) = [
𝑔13
⟨𝑝(𝑥); 𝑝(𝑥)⟩ ⟨𝑝(𝑥); 𝑞(𝑥)⟩
1 + 4 + 1 −2 − 2 + 3
𝑔33 ] = [⟨𝑞(𝑥); 𝑝(𝑥)⟩ ⟨𝑞(𝑥); 𝑞(𝑥)⟩] = [−2 − 2 + 3 4 + 1 + 9 ]
6 −1
]
−1 14
EJEMPLO 3. Hallar la matriz de Gram usando la base canónica del espacio vectorial
1
(𝑃≤2 ; 𝑅; +; ∙) con el producto interno en 𝑃≤2 dado por ⟨𝑝(𝑥); 𝑞(𝑥)⟩ = ∫−1 𝑝(𝑥)𝑞(𝑥)𝑑𝑥
Solución.
La base canónica de 𝑃≤2 es {1; 𝑥; 𝑥 2 }, es decir 𝑣1 = 1; 𝑣2 = 𝑥; 𝑣3 = 𝑥 2
𝑔11
La matriz de Gram será: 𝐺(𝑣1 ; 𝑣2 ; 𝑣3 ) = [𝑔21
𝑔31
1
𝑔12
𝑔22
𝑔31
𝑔13
⟨𝑣1 ; 𝑣1 ⟩ ⟨𝑣1 ; 𝑣2 ⟩ ⟨𝑣1 ; 𝑣3 ⟩
𝑔23 ] =[⟨𝑣2 ; 𝑣1 ⟩ ⟨𝑣2 ; 𝑣2 ⟩ ⟨𝑣2 ; 𝑣3 ⟩]
𝑔33
⟨𝑣3 ; 𝑣1 ⟩ ⟨𝑣3 ; 𝑣2 ⟩ ⟨𝑣3 ; 𝑣3 ⟩
1
𝑔11 = ⟨𝑣1 ; 𝑣1 ⟩ = ⟨1; 1⟩ = ∫−1(1)(1)𝑑𝑥 = ∫−1 𝑑𝑥 =[𝑥]1−1 = 1 − (−1) = 2
1
1
1
1
𝑔12 = ⟨𝑣1 ; 𝑣2 ⟩ = ⟨1; 𝑥⟩ = ∫−1(1)𝑥𝑑𝑥 = ∫−1 𝑥 𝑑𝑥 =[2 𝑥 2 ]
1
1
−1
1
1
=2−2=0
1
1
𝑔13 = ⟨𝑣1 ; 𝑣3 ⟩ = ⟨1; 𝑥 2 ⟩ = ∫−1(1)𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫−1 𝑥 2 𝑑𝑥 =[3 𝑥 3 ]
−1
1
1
2
= 3 − (− 3) = 3
2 0
2
3
2
3
0
0
2
5]
Y sucesivamente obteniéndose la matriz de Gram: 𝐺(𝑣1 ; 𝑣2 ; 𝑣3 ) = 0
2
[3
OBSERVACIÓN. Si [𝑢] = {𝑢1 ; 𝑢2 ; … , 𝑢𝑛 } ∈ 𝑉 es una base ortonormal del espacio vectorial
𝑉, entonces 𝐺 = 𝐺(𝑢1 ; 𝑢2 ; … ; 𝑢𝑘 ) = 𝐼𝑛
EJEMPLO 1. Hallar la matriz de Gram de la base ortonormal de 𝑅 3. Úsese el producto interno
1 2 2
2
1 2
2 2
1
habitual: 𝑣1 = (− 3 ; 3 ; 3) ; 𝑣2 = (3 ; − 3 ; 3) ; 𝑣3 = (3 ; 3 ; − 3)
Solución.
⟨𝑣1 ; 𝑣1 ⟩ ⟨𝑣1 ; 𝑣2 ⟩ ⟨𝑣1 ; 𝑣3 ⟩
1
𝐺(𝑣1 ; 𝑣2 ; 𝑣3 ) = [⟨𝑣2 ; 𝑣1 ⟩ ⟨𝑣2 ; 𝑣2 ⟩ ⟨𝑣2 ; 𝑣3 ⟩] =[0
⟨𝑣3 ; 𝑣1 ⟩ ⟨𝑣3 ; 𝑣2 ⟩ ⟨𝑣3 ; 𝑣3 ⟩
0
0 0
1 0]
0 1
OBSERVACIÓN. Sea 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] ∈ 𝑀𝑛×𝑘 la matriz de coordenadas de los vectores 𝑣𝑗 respecto
a la base [𝑢] = {𝑢1 ; 𝑢2 ; … , 𝑢𝑛 } ∈ 𝑉; es decir 𝑣𝑗 = 𝑎1𝑗 𝑢1 + 𝑎2𝑗 𝑢2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 𝑢𝑛 = ∑𝑛𝑠=1 𝑎𝑠𝑗 𝑢𝑠
con 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘
Sea 𝐻 = [ℎ𝑖𝑗 ] ∈ 𝑀𝑛×𝑛 la matriz de Gram de la base [𝑢]; es decir ℎ𝑖𝑗 = ⟨𝑢𝑖 ; 𝑢𝑗 ⟩, entonces para
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 y 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 se tiene:
𝑔𝑖𝑗 = ⟨𝑣𝑖 ; 𝑣𝑗 ⟩ = ⟨∑𝑛𝑟=1 𝑎𝑟𝑖 𝑢𝑟 ; ∑𝑛𝑠=1 𝑎𝑠𝑗 𝑢𝑠 ⟩ = ∑𝑛𝑟,𝑠=1 𝑎𝑟𝑖 𝑎𝑠𝑗 ℎ𝑟𝑠 = ∑𝑛𝑟=1 𝑎𝑟𝑖 (∑𝑛𝑠=1 ℎ𝑟𝑠 𝑎𝑠𝑗 )
= ∑𝑛𝑟=1(𝐴𝑡 )𝑖𝑟 (𝐻𝐴)𝑟𝑗 = (𝐴𝑡 𝐻𝐴)𝑖𝑗
 𝐺 = 𝐴𝑡 𝐻𝐴
EJEMPLO. Sean las bases [𝑢] = {𝑢1 = (1; 1; 0), 𝑢2 = (1; 0; 1), 𝑢3 = (0; 1; 1)} y [𝑣] = {𝑣1 =
(1; 1; 1), 𝑣2 = (0; 1; 1), 𝑣3 = (0; 0; 1)}
a) Obténgase la matriz 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] de coordenadas de 𝑣𝑗 respecto a la base [𝑢]
b) Halle la matriz de Gram de la base [𝑢]
c) Muestre que 𝐺 = 𝐴𝑡 𝐻𝐴
Solución.
𝑎11
a) La matriz será 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] = [𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑣1 = (1; 1; 1) = 𝑎11 (1; 1; 0) + 𝑎21 (1; 0; 1) + 𝑎31 (0; 1; 1)=(𝑎11 + 𝑎21 ; 𝑎11 + 𝑎31 ; 𝑎21 + 𝑎31 )
𝑎11 + 𝑎21 = 1
 {𝑎11 + 𝑎31 = 1
𝑎21 + 𝑎31 = 1
𝑎11 = 1/2
 {𝑎21 = 1/2
𝑎31 = 1/2
𝑎 − 𝑎31 = 0
 { 21
𝑎21 + 𝑎31 = 1
𝑣2 = (0; 1; 1) = 𝑎12 (1; 1; 0) + 𝑎22 (1; 0; 1) + 𝑎32 (0; 1; 1)=(𝑎12 + 𝑎22 ; 𝑎12 + 𝑎32 ; 𝑎22 + 𝑎32 )
𝑎12 + 𝑎22 = 0
 {𝑎12 + 𝑎32 = 1
𝑎22 + 𝑎32 = 1
𝑎 − 𝑎32 = −1
 { 22
𝑎22 + 𝑎32 = 1
𝑎12 = 0
 {𝑎22 = 0
𝑎32 = 1
𝑣3 = (0; 0; 1) = 𝑎13 (1; 1; 0) + 𝑎23 (1; 0; 1) + 𝑎33 (0; 1; 1)=(𝑎13 + 𝑎23 ; 𝑎13 + 𝑎33 ; 𝑎23 + 𝑎33 )
𝑎13 + 𝑎23 = 0
 {𝑎13 + 𝑎33 = 0
𝑎23 + 𝑎33 = 1
𝑎13 = −1/2
 { 𝑎23 = 1/2
𝑎33 = 1/2
𝑎 − 𝑎33 = 0
 { 23
𝑎23 + 𝑎33 = 1
𝑎11
Por lo tanto, 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] = [𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
1/2
𝑎23 ] = [1/2
𝑎33
1/2
0 −1/2
0 1/2 ]
1 1/2
b) La matriz de Gram de [𝑢] = {𝑢1 = (1; 1; 0), 𝑢2 = (1; 0; 1), 𝑢3 = (0; 1; 1)}
⟨𝑢1 ; 𝑢1 ⟩ ⟨𝑢1 ; 𝑢2 ⟩ ⟨𝑢1 ; 𝑢3 ⟩
2 1 1
𝐺(𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 ) = [⟨𝑢2 ; 𝑢1 ⟩ ⟨𝑢2 ; 𝑢2 ⟩ ⟨𝑢2 ; 𝑢3 ⟩] =[1 2 1]
⟨𝑢3 ; 𝑢1 ⟩ ⟨𝑢3 ; 𝑢2 ⟩ ⟨𝑢3 ; 𝑢3 ⟩
1 1 2
1/2 1/2 1/2 2 1 1 1/2 0 −1/2
0
1 ] [1 2 1] [1/2 0 1/2 ]
c) 𝐺 = 𝐴 𝐻𝐴 = [ 0
−1/2
1
1/2 1 1 2 1/2 1 1/2
𝑡
2
= [1
0
2 2 1/2 0
1 2] [1/2 0
1 1 1/2 1
−1/2
3 2
1/2 ] = [2 2
1/2
1 1
1
1]
1
⟨𝑣1 ; 𝑣1 ⟩ ⟨𝑣1 ; 𝑣2 ⟩ ⟨𝑣1 ; 𝑣3 ⟩
3 2
⟨𝑣
⟩
⟨𝑣
⟩
⟨𝑣
⟩
)=
Observe que 𝐺(𝑣1 ; 𝑣2 ; 𝑣3 [ 2 ; 𝑣1
2 ; 𝑣2
2 ; 𝑣3 ] = [2 2
⟨𝑣3 ; 𝑣1 ⟩ ⟨𝑣3 ; 𝑣2 ⟩ ⟨𝑣3 ; 𝑣3 ⟩
1 1
1
1]
1
Siendo [𝑣] = {𝑣1 = (1; 1; 1), 𝑣2 = (0; 1; 1), 𝑣3 = (0; 0; 1)}
OBSERVACIÓN. Cuando se toma la base [𝑢] = {𝑢1 ; 𝑢2 ; … , 𝑢𝑛 } ∈ 𝑉 como ortonormal se
tendrá que 𝐻 = 𝐼𝑛 ; en el resultado anterior resulta 𝐺 = 𝐴𝑡 𝐻𝐴 = 𝐴𝑡 𝐼𝑛 𝐴 =𝐴𝑡 𝐴, siendo 𝐴 la
matriz de las coordenadas de los vectores 𝑣𝑗 respecto a la base ortonormal de 𝑉.
Consecuentemente:
i) Toda matriz de Gram es no negativa.
ii) La matriz de Gram 𝐺(𝑣1 ; 𝑣2 ; … ; 𝑣𝑘 ) = [𝑔𝑖𝑗 ] ∈ 𝑀𝑘×𝑘 es positiva (es decir, inversible) si y
solo si los vectores 𝑣1 ; 𝑣2 ; … ; 𝑣𝑘 son L. I.
iii) Toda matriz no negativa 𝐺(𝑣1 ; 𝑣2 ; … ; 𝑣𝑘 ) = [𝑔𝑖𝑗 ] ∈ 𝑀𝑘×𝑘 es la matriz de Gram de un
conjunto de vectores 𝑣1 ; 𝑣2 ; … ; 𝑣𝑘 ∈ 𝑉.
EJEMPLO. Pruebe que, los vectores 𝑣1 ; 𝑣2 ; … ; 𝑣𝑘 ∈ 𝑉 generan un subespacio vectorial de
dimensión 𝑟 si y solo si la matriz de Gram 𝐺(𝑣1 ; 𝑣2 ; … ; 𝑣𝑘 ) tiene rango 𝑟.
En efecto.
() Si los vectores 𝑣1 ; 𝑣2 ; … ; 𝑣𝑘 ∈ 𝑉 generan un subespacio vectorial de dimensión 𝑟
 𝑊 = 𝐿{𝑣1 ; 𝑣2 ; … ; 𝑣𝑟 } y 𝑣1 ; 𝑣2 ; … , 𝑣𝑟 son L. I.
 𝐺(𝑣1 ; 𝑣2 ; … , 𝑣𝑟 ) = [𝑔𝑖𝑗 ] ∈ 𝑀𝑟×𝑟 es positiva (invertible); 𝑔𝑖𝑗 = ⟨𝑣𝑖 ; 𝑣𝑗 ⟩ > 0
 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐺) = 𝑟
() Si la matriz de Gram 𝐺(𝑣1 ; 𝑣2 ; … , 𝑣𝑟 ) tiene rango 𝑟
 𝑣1 ; 𝑣2 ; … ; 𝑣𝑟 son L. I. y generan un subespacio vectorial de dimensión 𝑟.
 𝑊 = 𝐿{𝑣1 ; 𝑣2 ; … ; 𝑣𝑟 }
OBSERVACIÓN. Si una matriz 𝐺 = [𝑔𝑖𝑗 ] ∈ 𝑀𝑟×𝑟 admite una descomposición del tipo 𝐺 =
𝐴𝑡 𝐴, siendo 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] ∈ 𝑀𝑛×𝑘 , entonces tomando una base ortonormal [𝑢] =
{𝑢1 ; 𝑢2 ; … , 𝑢𝑛 } ∈ 𝑉 y escribiendo 𝑣𝑗 = ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖𝑗 𝑢𝑖 , con 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 se obtienen los vectores
𝑣1 ; 𝑣2 ; … , 𝑣𝑘 ∈ 𝑉 tales que ⟨𝑣𝑖 ; 𝑣𝑗 ⟩ = ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑘𝑖 𝑢𝑘𝑗 = (𝐴𝑡 𝐴)𝑖𝑗 = 𝑔𝑖𝑗 . Es decir 𝐺(𝑣1 ; 𝑣2 ; … , 𝑣𝑘 )
es la matriz de Gram de los vectores 𝑣1 ; 𝑣2 ; … ; 𝑣𝑘
EJERCICIO. Pruebe que 𝐴𝑡 𝐴 es la matriz de Gram de los vectores columna de 𝐴.
Prueba. Sea 𝐴 en términos de sus vectores columnas 𝐴 = [𝐴1 ; … ; 𝐴𝑛 ], entonces
𝐺(𝐴1 ; … ; 𝐴𝑛 ) = [⟨𝐴𝑖 ; 𝐴𝑗 ⟩]
𝑡
𝐴𝑡 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] [𝑎𝑖𝑗 ] = [𝑎𝑗𝑖 ][𝑎𝑖𝑗 ] = [⟨𝐴𝑖 ; 𝐴𝑗 ⟩] = 𝐺(𝐴1 ; … ; 𝐴𝑛 )
1 2
1
EJEMPLO 1. Sea la matriz 𝐴 = [2 1], y sea 𝐴𝑡 = [
2
2 0
1
Entonces 𝐴𝑡 𝐴 = [
2
1
2 2
] [2
1 0
2
2
9
1] = [
4
0
2 2
],
1 0
4
]
5
Por otro lado, haciendo 𝐴1 = (1; 2; 2) ; 𝐴2 = (2; 1; 0), entonces
⟨𝐴 ; 𝐴 ⟩ ⟨𝐴1 ; 𝐴2 ⟩
9
𝐺(𝐴1 , 𝐴2 ) = [ 1 1
] =[
⟨𝐴2 ; 𝐴1 ⟩ ⟨𝐴2 ; 𝐴2 ⟩
4
4
]
5
Con lo cual 𝐴𝑡 𝐴 = 𝐺(𝐴1 , 𝐴2 )
EJEMPLO 2. Sea la matriz
1
Entonces 𝐴𝑡 𝐴 = [2
3
𝐴=[
2
1 2
4] [
2 4
0
1 2
2 4
5
3
] = [10
0
3
1
3
], luego 𝐴 = [2
0
3
2
4]
0
10 3
20 6]
6 9
Por otro lado, haciendo 𝐴1 = (1; 2) ; 𝐴2 = (2; 4) y 𝐴2 = (3; 0), entonces
⟨𝐴1 ; 𝐴1 ⟩ ⟨𝐴1 ; 𝐴2 ⟩ ⟨𝐴1 ; 𝐴3 ⟩
5 10 3
𝐺(𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 ) = [⟨𝐴2 ; 𝐴1 ⟩ ⟨𝐴2 ; 𝐴2 ⟩ ⟨𝐴2 ; 𝐴3 ⟩] =[10 20 6]
⟨𝐴3 ; 𝐴1 ⟩ ⟨𝐴3 ; 𝐴2 ⟩ ⟨𝐴3 ; 𝐴3 ⟩
3
6 9
Con lo cual 𝐴𝑡 𝐴 = 𝐺(𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 )
EJERCICIOS.
ESCALONAMIENTO DE MATRICES.
DIMENSIÓN DEL SUBESPACIO GENERADO POR n VECTORES.
𝑎11
Observando las matrices: 𝐴 = [ 0
0
𝑎12
𝑎22
0
𝑎31
𝑎11
𝑎23 ]; 𝐵 = [ 0
𝑎33
0
𝑎12
𝑎
𝑎22 ]; 𝐶 = [ 011
0
𝑎12
𝑎22
𝑎13
𝑎23 ]
Si los vectores columna de la matriz 𝐴 son L. I. forman el subespacio vectorial 𝑊 de
dimensión 𝑟 = 3 = 𝑛 del espacio vectorial 𝑅 3. El rango de la matriz es 𝑟 = 3 = 𝑛
Si los dos vectores columna de la matriz 𝐵 son L. I. forman el subespacio vectorial 𝑊 de
dimensión 𝑟 = 2 < 𝑛 del espacio vectorial 𝑅 3. El rango de la matriz 𝐵 es 𝑟 = 2 < 𝑛 = 3
Si los vectores fila de la matriz 𝐶 son L. I. forman el subespacio vectorial 𝑊 de dimensión
𝑟 = 2 < 𝑛 del espacio vectorial 𝑅 3. El rango de la matriz 𝐶 es 𝑟 = 2 < 𝑛
DEFINICIÓN. Se dice que una matriz es escalonada si el primer elemento no nulo de cada
una de las filas está a la izquierda del primer elemento no nulo de cada una de las filas
subsiguientes y, además las filas nulas (si las hay) están debajo de las demás filas.
En consecuencia, las filas no nulas de una matriz escalonada son vectores linealmente
independientes. Es decir, una matriz escalonada 𝐴 de orden 𝑛 × 𝑟 tiene rango 𝑟 si sus filas
son todas diferentes de cero.
EJEMPLO. Son matrices escalonadas:
2 3
𝐴 = [0 7
0 0
2
1 2
4
𝐵
=
[0 3]; 𝐶 = [
−1];
0
4
0 0
2
3 1
𝐷
=
];
[0
−1 5
0
4 2
3 4
0 0
8
5]
2
Aquí 𝐴 tiene rango 3; 𝐵 tiene rango 2, 𝐶 tiene rango 2 y 𝐷 tiene rango 3.
OBSERVACIÓN. Para escalonar matrices se usan las operaciones fila (u operaciones
columna) elementales. Las operaciones fila elementales se simbolizan del siguiente modo:
a) 𝐹𝑖𝑗 : Indica, el intercambiando de la fila 𝑖 con la fila 𝑗.
b) 𝐹𝑖 (𝐶): Indica, la fila 𝑖 multiplicarle por el escalar 𝐶; 𝐶 ≠ 0
𝑗
c) 𝐹𝑖 (𝐶): Indica, multiplicar la fila 𝑖 por el escalar 𝐶 y sumarle a la fila 𝑗; 𝐶 ≠ 0
OBSERVACIÓN. Cuando a una matriz 𝐴 se le aplica las operaciones elementales se obtienen
otras matrices 𝐴′ a las cuales se les denominan matrices equivalentes; 𝐴 es equivalente a 𝐴′
0 1
EJEMPLO. Sea la matriz 𝐴 = [2 1
4 2
operaciones fila elementales.
2
3] transformarla en triangular superior usando
1
Solución.
0 1
𝐴 = [2 1
4 2
2
4 2
𝐹13
]
[
2 1
3

1
0 1
1 2
1 4
𝐹
(−
)
1
]
3
2 [0

2
0
4
2
1
𝐹23 0
]
[
0 5/2
 0
1
2
Aquí las cuatro matrices son matrices equivalentes.
EL MÉTODO DE GAUSS-JORDAN.
2
1
1
2 ]
0 5/2
Sirve para calcular la matriz inversa de 𝐴 ∈ 𝑀𝑛×𝑛 . En algunos casos la inversa es necesaria
para resolver el sistema 𝐴𝑋 = 𝐵. La expresión para resolver el sistema es dada por 𝑋 =
𝐴−1 𝐵.
En el proceso de resolución de sistemas se realizan operaciones elementales que al sistema
𝐴𝑋 = 𝐵 lo va transformando en sistemas equivalentes como 𝐴′𝑋 = 𝐵′; hasta llegar a que
𝐴′ = 𝐼𝑛 y luego 𝑋 = 𝐵′ es la solución directa de 𝑋.
La solución del sistema 𝐴𝑋 = 𝐵 es la última columna de la matriz [𝐴′; 𝐵′] que resulta
aplicando la eliminación de Gauss-Jordan a la matriz aumentada [𝐴; 𝐵] hasta obtener que
𝐴′ = 𝐼𝑛
MÉTODO PRÁCTICO PARA CALCULAR LA INVERSA 𝐴−1 .
Se aumenta la matriz 𝐼𝑛 a la derecha de 𝐴, de modo que se tenga la matriz aumentada [𝐴; 𝐼𝑛 ]
de orden 𝑛 × 2𝑛.
Luego se aplican las operaciones fila elementales a la matriz aumentada hasta que la matriz
𝐴 se transforme en la matriz identidad 𝐼𝑛 ; y la matriz 𝐼𝑛 de la derecha se transforma en la
matriz inversa de 𝐴: [𝐼𝑛 : 𝐴−1 ]
En resumen, se tiene [𝐴; 𝐼𝑛 ]~ … ~[𝐼𝑛 ; 𝐴−1 ]
4
EJEMPLO. Hallar la inversa de la matriz 𝐴 = [4
3
2 3
5 6]
2 1
Solución.
𝐴 tiene inversa si es triangular superior:
4 2 3 2
4 2
[4 5 6] 𝐹1 (−1) [0 3

3 2 1
3 2
4
2
3 3
(−3/4) [0
3
3] 𝐹1

0 1/2
1
3
4 2
3
3 ] 𝐹2 (−1/6) [0 3

−5/4
0 0
3
3 ]
−7/4
Hallando la inversa 𝐴−1 , usando la matriz aumentada del método práctico [𝐴; 𝐼𝑛 ]
4
[𝐴; 𝐼𝑛 ]= [4
3
2 3
5 6
2 1
4 2
𝐹12 (−1) [0 3

3 2
3 1 0
3 −1 1
1 0 0
4
𝐹13 (−3/4) [0

1 0
0 1
0 0
0
0]
1
0
0]
1
2
3
1
0
3
3
−1
1
0 1/2 −5/4 −3/4 0
4 2
𝐹23 (−1/6) [0 3

0 0
0
0]
1
3
1
0
0
3
−1
1
0]
−7/4 −7/12 −1/6 1
4 0
𝐹21 (−2/3) [0 3

0 0
4
𝐹31 (4/7) [0

0
5/3
−2/3 0
1
3
−1
1
0]
−7/4 −7/12 −1/6 1
4/3
−16/21 4/7
0
0
3
3
−1
1
0 ]
0 −7/4 −7/12
−1/6
1
4 0
𝐹32 (12/7) [0 3

0 0
4/3
−16/21 4/7
0
0
−2
5/7
12/7]
−7/4 −7/12
−1/6
1
𝐹1 (1/4)
1 0 0
𝐹1 (1/3) ~ [0 1 0
𝐹1 (−4/7) 0 0 1
−1
La inversa de 𝐴 es 𝐴
1/3 −4/21 1/7
−2/3 5/21
4/7 ]= [𝐼𝑛 ; 𝐴−1 ]
1/3 12/21 −4/7
1/3 −4/21 1/7
−2/3
5/21
4/7 ]
=[
1/3
2/21 −4/7
EJEMPLO. Halle una base para el núcleo de cada una de las transformaciones lineales. Use
el escalonamiento de matrices.
a) 𝑇: 𝑅 3 → 𝑅 3 tal que 𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (−3𝑦 + 4𝑧; 3𝑥 − 5𝑧; −4𝑥 + 5𝑦)
b) 𝑇: 𝑃≤𝑛 → 𝑃≤𝑛 tal que 𝑇(𝑝(𝑥)) = 𝑝(𝑥 + 𝑚), 𝑚 ≠ 0
Solución.
a) 𝑁(𝑇) = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝑅 3 ⁄𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (0; 0; 0)}
𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (0; 0; 0)  (−3𝑦 + 4𝑧; 3𝑥 − 5𝑧; −4𝑥 + 5𝑦) = (0; 0; 0)
0𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧
0
0 −3 4 𝑥
0
[ 3𝑥 + 0𝑦 − 5𝑧 ]= [0]  [ 3
0 −5] [𝑦]= [0]
−4𝑥 + 5𝑦 + 0𝑧
0
−4 5
0 𝑧
0
3 0
−5
0 −3 4
3
0 −5 3
𝐹
4 ]
𝐴=[ 3
0 −5] 12 [ 0 −3 4 ] 𝐹1 (4/3) [0 −3


0
5
−20/3
−4 5
0
−4 5
0
3
𝐹23 (5/3) [
0

0
0 −5
−3 4 ]
0
0
3
𝑧 = 5𝑥
4 3
De donde 3𝑥 − 5𝑧 = 0 ; −3𝑦 + 4𝑧 = 0  {
4
4 3
4  (𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑡 (1; 5 ; 5)
𝑦 = 3 𝑧 = 3 (5 𝑥) = 5 𝑥
4 3
 𝑁(𝑇) = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝑅 3 ⁄(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑡 (1; 5 ; 5) , 𝑡 ∈ 𝑅 }
4 3
5 5
Una base del núcleo será 𝐵𝑁(𝑇) = {(1; ; )} ; otra base puede ser 𝐵𝑁(𝑇) = {(5; 4; 3)}
b) Siendo 𝑇: 𝑃≤𝑛 → 𝑃≤𝑛 tal que 𝑇(𝑝(𝑥)) = 𝑝(𝑥 + 𝑚), 𝑚 ≠ 0
 𝑁(𝑇) = {𝑝(𝑥) ∈ 𝑃≤𝑛 ⁄𝑇(𝑝(𝑥)) = 0}
 𝑝(𝑥 + 𝑚) = 0
 𝑎1 (𝑥 + 𝑚) + 𝑎2 (𝑥 + 𝑚)2 + ⋯ + 𝑎𝑛 (𝑥 + 𝑚)𝑛 = 0  𝑥 + 𝑚 = 0 o 𝑥 = −𝑚
Por lo tanto, 𝑇(0) = 0, es decir 𝑇 es inyectiva, por lo que 𝑁(𝑇) = {𝟎}  𝐵𝑁(𝑇) = ∅
EJERCICIOS.
MATRICES TRIANGULARES.
𝑠11
𝑠21
Se definen observando los índices de una matriz: 𝑆 = [𝑠𝑖𝑗 ] = [𝑠
31
𝑠41
𝑠12
𝑠22
𝑠32
𝑠42
𝑠13
𝑠23
𝑠33
𝑠43
𝑠14
𝑠24
𝑠34 ]
𝑠44
DEFINICIÓN. Una matriz 𝑆 = [𝑠𝑖𝑗 ] ∈ 𝑀𝑛×𝑛 es llamada triangular superior si 𝑠𝑖𝑗 = 0 para 𝑖 >
𝑗 (elementos por debajo de la diagonal principal son ceros); y, es llamada triangular inferior
si 𝑠𝑖𝑗 = 0 para 𝑖 < 𝑗 (elementos por encima de la diagonal principal son ceros).
EJEMPLO 1. Son matrices triangulares superiores
𝑎11
a) 𝑆 = [ 0
𝑎12
𝑎22 ]
𝑎11
b) 𝑆 = [ 0
0
𝑎12
𝑎22
0
𝑎31
𝑎23 ]
𝑎33
EJEMPLO 2. Son matrices triangulares inferiores
𝑎
a) 𝑆 = [ 11
𝑎21
0
]
𝑎22
𝑎11
𝑎
b) 𝑆 = [ 21
𝑎31
0
𝑎22
𝑎32
0
0 ]
𝑎33
OBSERVACIÓN. Una matriz triangular superior es la matriz de un operador lineal 𝑇: 𝑅 𝑛 →
𝑅 𝑛 definida por ⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩ = 0 para 𝑖 > 𝑗; es decir 𝑆 = [⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩]
EJEMPLO 1. Sea el operador lineal 𝑇: 𝑅 3 → 𝑅 3 dada por 𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧; 2𝑦 +
3𝑧; 3𝑧), tal que ⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩ = 0 para todo 𝑖 > 𝑗. Muestre que la matriz resultante 𝑆 = [⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩]
es triangular superior.
Solución. La matriz será 𝑆 = [⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩]; 1 ≤ 𝑖 ≤ 3; 1 ≤ 𝑗 ≤ 3
Sea {𝑒1 = (1; 0; 0); 𝑒2 = (0; 1; 0); 𝑒3 = (0; 0; 1)} la base canónica de 𝑅 3
𝑇𝑒1 = (1; 0; 0)
Entonces {𝑇𝑒2 = (2; 2; 0)
𝑇𝑒3 = (3; 3; 3)
⟨𝑒1 ; 𝑇𝑒1 ⟩ ⟨𝑒1 ; 𝑇𝑒2 ⟩ ⟨𝑒1 ; 𝑇𝑒3 ⟩
 𝑆 = [⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩] = [⟨𝑒2 ; 𝑇𝑒1 ⟩ ⟨𝑒2 ; 𝑇𝑒2 ⟩ ⟨𝑒2 ; 𝑇𝑒3 ⟩]
⟨𝑒3 ; 𝑇𝑒1 ⟩ ⟨𝑒3 ; 𝑇𝑒2 ⟩ ⟨𝑒3 ; 𝑇𝑒3 ⟩
⟨(1; 0; 0); (1; 0; 0)⟩ ⟨(1; 0; 0); (2; 2; 0)⟩ ⟨(1; 0; 0); (3; 3; 3)⟩
 𝑆 = [⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩]=[⟨(0; 1; 0); (1; 0; 0)⟩ ⟨(0; 1; 0); (2; 2; 0)⟩ ⟨(0; 1; 0); (3; 3; 3)⟩]
⟨(0; 0; 1); (1; 0; 0)⟩ ⟨(0; 0; 1); (2; 2; 0)⟩ ⟨(0; 0; 1); (3; 3; 3)⟩
1 2
 𝑆 = [⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩] = [0 2
0 0
3
3]; la cual es una matriz triangular superior.
3
Nótese que ⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩ = 0 para todo 𝑖 > 𝑗.
EJEMPLO 2. Sea el operador lineal 𝑇: 𝑅 3 → 𝑅 3 dada por 𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑥) = (𝑥 + 2𝑧; 2𝑦 + 3𝑧; 4𝑧),
tal que ⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩ = 0 para todo 𝑖 > 𝑗. Muestre que la matriz resultante 𝑆 = [⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩] es
triangular superior. Halle una base de 𝑅 3 formada por autovectores de 𝑆.
Solución. La matriz será 𝑆 = [⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩]
Sea {𝑒1 = (1; 0; 0); 𝑒2 = (0; 1; 0); 𝑒3 = (0; 0; 1)} la base canónica de 𝑅 3
𝑇𝑒1 = (1; 0; 0)
Entonces {𝑇𝑒2 = (0; 2; 0)
𝑇𝑒3 = (2; 3; 4)
1 0
 𝑆 = [⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩] = [0 2
0 0
⟨𝑒1 ; 𝑇𝑒1 ⟩ ⟨𝑒1 ; 𝑇𝑒2 ⟩ ⟨𝑒1 ; 𝑇𝑒3 ⟩
 𝑆 = [⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩] = [⟨𝑒2 ; 𝑇𝑒1 ⟩ ⟨𝑒2 ; 𝑇𝑒2 ⟩ ⟨𝑒2 ; 𝑇𝑒3 ⟩]
⟨𝑒3 ; 𝑇𝑒1 ⟩ ⟨𝑒3 ; 𝑇𝑒2 ⟩ ⟨𝑒3 ; 𝑇𝑒3 ⟩
2
3] . Es una matriz triangular superior.
4
Nótese que ⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩ = 0 para todo 𝑖 > 𝑗.
Una base de 𝑅 3 es: {𝑣1 = (1; 0; 0); 𝑣2 = (0; 2; 0); 𝑣3 = (2; 3; 4)}
Otra base, pero formada por los autovalores de 𝑆 será {𝑣1 = (1; 0; 0); 𝑣2 = (0; 2; 0); 𝑣3 =
(0; 0; 4)}. Esta base está formada por los autovectores columna de la matriz 𝑆.
OBSERVACIÓN. Una matriz triangular superior es la matriz de un operador lineal 𝑇: 𝑅 𝑛 →
𝑅 𝑛 tal que ⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩ = 0, para todo 𝑖 > 𝑗. Llamando 𝐹𝑖 𝑅 𝑛 al subespacio vectorial formado
por los vectores (𝑥1 ; … ; 𝑥𝑖 ; … ; 0) cuyas (𝑛 − 𝑖) coordenadas son ceros; la matriz del
operador 𝑇: 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑛 (en la base canónica) es triangular superior si y solo si todos los
subespacios 𝐹0 𝐹1 𝐹2 … 𝐹𝑛 son invariantes por 𝑇.
EJEMPLO 1. Sea el operador lineal 𝑇: 𝑅 3 → 𝑅 3 dada por 𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑥) = (𝑥 + 2𝑧; 𝑦 + 3𝑧; 4𝑧), tal
que ⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩ = 0 para 𝑖 > 𝑗. Muestre los subespacios invariantes por 𝑇, generados respecto
a las columnas de 𝑆.
Solución.
⟨𝑒1 ; 𝑇𝑒1 ⟩ ⟨𝑒1 ; 𝑇𝑒2 ⟩ ⟨𝑒1 ; 𝑇𝑒3 ⟩
La matriz será 𝑆 = [⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩] = [⟨𝑒2 ; 𝑇𝑒1 ⟩ ⟨𝑒2 ; 𝑇𝑒2 ⟩ ⟨𝑒2 ; 𝑇𝑒3 ⟩]
⟨𝑒3 ; 𝑇𝑒1 ⟩ ⟨𝑒3 ; 𝑇𝑒2 ⟩ ⟨𝑒3 ; 𝑇𝑒3 ⟩
Sea {𝑒1 = (1; 0; 0); 𝑒2 = (0; 1; 0); 𝑒3 = (0; 0; 1)} la base canónica de 𝑅 3
𝑇𝑒1 = (1; 0; 0)
Entonces {𝑇𝑒2 = (0; 1; 0)
𝑇𝑒3 = (2; 3; 4)

1
𝑆 = [⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩] = [0
0
0 2
1 3]
0 4
Los subespacios invariantes por 𝑇 generados por las columnas de 𝑆 serán:
i) Tomando el vector columna 𝑆1 = (1; 0; 0), entonces el subespacio vectorial generado
será:
𝐹1 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝑅 3 ⁄(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑡(1; 0; 0), 𝑡 ∈ 𝑅 }: recta.
ii) Tomando los vectores columna 𝑆1 = (1; 0; 0) y 𝑆2 = (0; 1; 0) se obtiene el vector normal
𝑛 = (0; 0; 1), entonces el subespacio vectorial generado será:
𝐹2 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝑅 3 ⁄𝑧 = 0}: plano 𝑋𝑌 → 0𝑥 + 0𝑦 + 1𝑧 = 0
iii) Tomando los vectores columna 𝑆1 = (1; 0; 0) , 𝑆2 = (0; 1; 0) y 𝑆3 = (2; 3; 4), entonces el
subespacio vectorial generado será:
𝐹3 = 𝑅 3: espacio 𝑅 3
iv) El espacio vectorial cero, 𝐹0 = {(0; 0; 0)}
Obsérvese que 𝐹0 𝐹1 𝐹2 𝐹3 = 𝑅 3
PROPIEDADES DE LAS MATRICES TRIANGULARES.
a) El producto de dos matrices triangulares superiores es también una matriz triangular
superior.
En efecto:
Si el espacio 𝐹𝑖 𝑅𝑛 es invariante por cada uno de los operadores 𝑇; 𝑈: 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑛 , entonces
es invariante por el producto (composición) 𝑇𝑜𝑈
b) Una matriz triangular superior 𝑆 = [𝑠𝑖𝑗 ] ∈ 𝑀𝑛×𝑛 es inversible si y solo si los elementos
𝑠𝑖𝑖 de su diagonal son todos diferentes de cero.
En el caso afirmativo, la inversa 𝑆 −1 es triangular superior y los elementos de su diagonal
son de la forma: 𝑠𝑖𝑖−1 =
1
.
𝑠𝑖𝑖
En efecto:
() Si una matriz triangular superior 𝑆 = [𝑠𝑖𝑗 ] ∈ 𝑀𝑛×𝑛 es inversible, entonces los
elementos 𝑠𝑖𝑖 de su diagonal son todos diferentes de cero.
Si 𝑆 = [𝑠𝑖𝑗 ] ∈ 𝑀𝑛×𝑛 (es decir, 𝑇) es inversible entonces, para cada 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 la restricción
𝑇: 𝐹𝑖 → 𝐹𝑖 es también inversible, por lo tanto sobreyectiva.
Suponiendo que 𝑠𝑖𝑖 = ⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑖 ⟩ = 0, se tendría para todo 𝑣 = 𝑥1 𝑒1 + 𝑥2 𝑒2 + ⋯ + 𝑥𝑖 𝑒𝑖 ∈ 𝐹𝑖 ,
⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑣⟩ = ⟨𝑒𝑖 ; 𝑇(𝑥1 𝑒1 + 𝑥2 𝑒2 + ⋯ + 𝑥𝑖 𝑒𝑖 )⟩ = ⟨𝑒𝑖 ; 𝑇(𝑥1 𝑒1 + 𝑥2 𝑒2 + ⋯ + 𝑥𝑖−1 𝑒𝑖−1 )⟩ = 𝑠𝑟𝑟 = 0
 𝑇𝑣 ∈ 𝐹𝑖−1 , con lo cual 𝑇(𝐹𝑖 )𝐹𝑖−1 lo cual contradice el hecho de que 𝑇: 𝐹𝑖 → 𝐹𝑖 es
sobreyectiva.
Es decir, los elementos 𝑠𝑖𝑖 de su diagonal son todos diferentes de cero.
() Si los elementos 𝑠𝑖𝑖 de su diagonal son todos diferentes de cero, entonces la matriz
triangular superior 𝑆 = [𝑠𝑖𝑗 ] ∈ 𝑀𝑛×𝑛 es inversible.
Si todo los 𝑠𝑖𝑖 ≠ 0, 𝑠𝑖𝑖 ∈ 𝑆 y dado un vector 𝑣 ∈ 𝑅 𝑛 se tendrá que 𝑇𝑣 ≠ 0, cuya matriz
asociada respecto a la base canónica es 𝑆.
En efecto:
Haciendo 𝑣 = 𝑥1 𝑒1 + 𝑥2 𝑒2 + ⋯ + 𝑥𝑟 𝑒𝑟 , con 𝑥𝑟 ≠ 0 y como ⟨𝑒𝑟 ; 𝑇𝑒𝑖 ⟩ = 0 para 𝑖 < 𝑟 se tiene:
⟨𝑒𝑟 ; 𝑇𝑣⟩ = ∑𝑟𝑖=1⟨𝑒𝑟 ; 𝑥𝑖 𝑇𝑒𝑖 ⟩ = 𝑥𝑟 ⟨𝑒𝑟 ; 𝑇𝑒𝑟 ⟩ = 𝑥𝑟 𝑠𝑟𝑟 ≠ 0  ⟨𝑒𝑟 ; 𝑇𝑣⟩ ≠ 0  𝑇𝑣 ≠ 0
Por lo tanto, 𝑆 es invertible.
NOTA: La inversa 𝑆 −1 es triangular superior y los elementos de su diagonal son 𝑠𝑖𝑖−1 .
Si la matriz triangular superior es 𝑆 inversible, su operador lineal 𝑇: 𝑅 3 → 𝑅 3 también lo es.
Cada subespacio 𝐹𝑖 𝑅 𝑛 , 𝐹𝑖 = 𝐿{𝑒1 ; 𝑒2 ; … ; 𝑒𝑖 } es invariante por 𝑇 e invariante por 𝑇 −1, pues
𝑇(𝐹)𝐹  𝑇(𝐹) = 𝐹  𝐹 = 𝑇 −1 (𝐹)
Luego, la matriz 𝑆 −1 asociada al operador 𝑇 −1 es triangular superior.
Escribiendo 𝑆 −1 = [𝑟𝑖𝑗 ], la igualdad 𝑆 −1 𝑆 = 𝐼𝑛 , da para cada 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛
1=(𝑆 −1 𝑆)𝑖𝑖 = ∑𝑛𝑘=1 𝑟𝑖𝑘 𝑠𝑘𝑖 = 𝑟𝑖𝑖 𝑠𝑖𝑖 , dado que 𝑟𝑘𝑖 = 0 si 𝑖 > 𝑘 y 𝑟𝑘𝑖 = 0, si 𝑖 < 𝑘
Por lo tanto 1 = 𝑟𝑖𝑖 𝑠𝑖𝑖  𝑟𝑖𝑖 =
1
𝑠𝑖𝑖
 𝑟𝑖𝑖 = 𝑠𝑖𝑖−1
c) Para una matriz triangular superior 𝑆 = [𝑠𝑖𝑗 ] ∈ 𝑀𝑛×𝑛 sus autovalores son los elementos
𝑠𝑖𝑖 de su diagonal.
d) Sea [𝑢] = {𝑢1 ; 𝑢2 ; … ; 𝑢𝑖 }𝑉 una base ortonormal, obtenida por el proceso de GramSchmidt a partir de una base [𝑣] = {𝑣1 ; 𝑣2 ; … ; 𝑣𝑖 }𝑉. La matriz de paso de [𝑣] a [𝑢] es
triangular superior y sus autovalores son todos positivos.
EJEMPLO 1 (Propiedad: a) Sean las transformaciones lineales 𝑇; 𝑈: 𝑅 3 → 𝑅 3 definidas por
𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧; 𝑦 + 2𝑧; 2𝑧) y 𝑈(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧; 2𝑦 + 2𝑧; 3𝑧), tal que
⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩ = 0 para todo 𝑖 > 𝑗. Muestre que el producto de las matrices asociadas es triangular
superior.
Solución.
Forma 1. Usando composición de las transformaciones lineales.
(𝑇𝑜𝑈)(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑇(𝑈(𝑥; 𝑦; 𝑧)) = 𝑇(𝑥 + 𝑦 + 𝑧; 2𝑦 + 2𝑧; 3𝑧)
= (3(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 2(2𝑦 + 2𝑧) + 3𝑧; 2𝑦 + 2𝑧 + 2(3𝑧); 2(3𝑧))
3𝑥 + 7𝑦 + 10𝑧
3 7
= (3𝑥 + 7𝑦 + 10𝑧; 2𝑦 + 8𝑧; 6𝑧) = [ 2𝑦 + 8𝑧 ] = [0 2
0 0
6𝑧
3 7
 𝐴𝑇𝑜𝑈 = [0 2
0 0
10 𝑥
8 ] [𝑦]
6 𝑧
10
8 ] ; es una matriz triangular superior.
6
Forma 2. Usando producto de sus matrices asociadas. Sean las matrices asociadas a las
transformaciones lineales dadas respecto a la base canónica:
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧
3 2
𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧; 𝑦 + 2𝑧; 2𝑧) = [ 𝑦 + 2𝑧 ] = [0 1
0 0
2𝑧
3 2
 𝐴 𝑇 = [0 1
0 0
1 𝑥
2] [𝑦]
2 𝑧
1
2]
2
𝑥+𝑦+𝑧
1 1 1 𝑥
𝑈(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧; 2𝑦 + 2𝑧; 3𝑧) = [ 𝑦 + 2𝑧 ] = [0 2 2] [𝑦]
2𝑧
0 0 3 𝑧
1
 𝐴𝑈 = [0
0
1 1
2 2]
0 3
3 2
Luego, el producto 𝐴 𝑇 𝐴𝑈 = [0 1
0 0
superior.
1 1 1
2] [ 0 2
2 0 0
1
3
2] = [0
3
0
7 10
2 8 ]; es una matriz triangular
0 6
EJEMPLO 2 (Propiedad: b) Sea la transformación lineal 𝑇: 𝑅 3 → 𝑅 3 definidas por
𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧; 𝑦 + 2𝑧; 2𝑧), tal que ⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩ = 0 para todo 𝑖 > 𝑗. Hallar la matriz
inversa de 𝑇.
Solución.
La matriz asociada a 𝑇 respecto a la base canónica:
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧
3 2
𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧; 3𝑥 + 2𝑦; 3𝑥) = [ 𝑦 + 2𝑧 ] = [0 1
0 0
2𝑧
3 2
 𝐴 𝑇 = [0 1
0 0
1 𝑥
2] [𝑦]
2 𝑧
1
2]
2
Usando operaciones fundamentales fila, aplicando: [𝐴 𝑇 ; 𝐼3 ]~ … ~[𝐼3 ; 𝐴−1
𝑇 ]
3 2
[𝐴 𝑇 ; 𝐼3 ] =[0 1
0 0
3 2
[0 1
0 0
1 1 0
0 0 1
1 0 0
3 2 0 1 0
[0 1 0 0 1
0 0 1 0 0
1 1 0
2 0 1
2 0 0
0 ̃ 3
1
0] 𝐹3 (2) [0
1
0
0
3 2
−1 ] 𝐹31̃
(−1) [0 1
1/2
0 0
−1/2
3
(−2) [0
−1 ] 𝐹21̃
1/2
0
2 1 1
1 2 0
0 1 0
0 1
0 0
1 0
0
0
1
0 ] 𝐹32̃
(−2)
0 1/2
0 −1/2
(−1)
1
−1 ] 𝐹31̃
0 1/2
0 0 1 −2 3/2 ̃
1
−1 ] 𝐹1 ( )
1 0 0 1
3
0 1 0 0 1/2
1/3 −2/3 1/2
1 0 0 1 −2/3 1/2
−1
0
1
−1
1
−1 ]
[0 1 0
] . Entonces, se obtiene la inversa: 𝐴 𝑇 = [ 0
0
1/2
0
0
1/2
0 0 1 0
Se observa que los elementos de la diagonal de la inversa 𝐴−1
𝑇 son los inversos de los
elementos de la diagonal de la matriz 𝐴 𝑇
EJEMPLO 3 (Propiedad: c) Sea la transformación lineal 𝑇: 𝑅 3 → 𝑅 3 definida por 𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑧) =
(𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧; 3𝑦 + 4𝑧; 5𝑧), tal que ⟨𝑒𝑖 ; 𝑇𝑒𝑗 ⟩ = 0 para todo 𝑖 > 𝑗; muestre que su matriz
asociada es triangular superior 𝑆 = [𝑠𝑖𝑗 ] ∈ 𝑀𝑛×𝑛 y que sus autovalores son los elementos
𝑠𝑖𝑖 de su diagonal.
Solución.
La matriz asociada a 𝑇 respecto a la base canónica:
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧
1
𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧; 3𝑦 + 4𝑧; 5𝑧) = [ 3𝑦 + 4𝑧 ] = [0
0
5𝑧
1 2
 𝐴 𝑇 = [0 3
0 0
2 3 𝑥
3 4] [𝑦]
0 5 𝑧
3
4]
5
 − 1 −2
−3
Los autovalores se obtienen del determinante: |𝐼 − 𝐴 𝑇 |=| 0
 − 3 −4 | = 0
0
0
−5
 ( − 1)( − 3)( − 5) = 0
Por lo tanto los autovalores son {1; 3; 5}
EJEMPLO 4 (Propiedad: d) Sea la base de 𝑅 3 [𝑣] = {(1; 2; 0); (1; 0; 2); (0; 1; 2)}, obtenga una
base ortonormal usando el proceso de Gram-Schmidt.
a) Muestre que la matriz de paso de [𝑣] a [𝑢] es triangular inferior y sus autovalores son
todos positivos.
b) Muestre que la matriz de paso de [𝑢] a [𝑣] es triangular superior y sus autovalores son
todos positivos.
Solución.
a1) Obteniendo una base ortogonal, usando el proceso de Gram-Schmidt.
Identificando: 𝑣1 = (1; 2; 0); 𝑣2 = (1; 0; 2); 𝑣3 = (0; 1; 2)
Usando el proceso de ortogonalización de Gram Schmidt.
Sea 𝑢1 = (1; 2; 0)
⟨𝑣2 ;𝑢1 ⟩
⟨(1;0;2);(1;2;0)⟩
1
4
2
𝑢 = (1; 0; 2) − ‖(1;2;0)‖2 (1; 2; 0) = (1; 0; 2) − 5 (1; 2; 0) = (5 ; − 5 ; 2)
‖𝑢1 ‖2 1
 𝑢2 = 𝑣2 −
4
2
 𝑢2 = (5 ; − 5 ; 2)
 𝑢3 = 𝑣3 −
⟨𝑣3 ;𝑢1 ⟩
𝑢
‖𝑢1 ‖2 1
−
⟨𝑣3 ;𝑢2 ⟩
𝑢
‖𝑢2 ‖2 2
4
𝑢3 = (0; 1; 2) −
5
2
5
2
⟨(0;1;2);( ;− ;2)⟩ 4
⟨(0;1;2);(1;2;0)⟩
2
5 5
(1; 2; 0) −
(5 ; − 5 ; 2)
2
4 2
‖(1;2;0)‖2
‖( ;− ;2)‖
= (0; 1; 2) − (1; 2; 0) −
5
18/5 4
2
2
3 4
2
( ; − ; 2)= (0; 1; 2) − (1; 2; 0) − ( ; − ; 2)
24/5 5
5
5
4 5
5
2
5
3
5
4
5
= (0 − − ; 1 − +
3
;2 −
10
3
2
0− )
1 1
2 2
 𝑢3 = (−1; ; )
4
2
1 1
Entonces, la base ortogonal será: {𝑢1 = (1; 2; 0); 𝑢2 = (5 ; − 5 ; 2) ; 𝑢3 = (−1; 2 ; 2)}
a2) La matriz de paso de [𝑣] a [𝑢]. Siendo:
[𝑣] = {𝑣1 = (1; 2; 0); 𝑣2 = (1; 0; 2); 𝑣3 = (0; 1; 2)}
4
2
1 1
y {𝑢1 = (1; 2; 0); 𝑢2 = (5 ; − 5 ; 2) ; 𝑢3 = (−1; 2 ; 2)}
𝑝11
Se busca una matriz de la forma: 𝑃 = [𝑝𝑖𝑗 ] = [𝑝21
𝑝31
𝑝12
𝑝22
𝑝32
𝑝13
𝑝23 ]
𝑝33
𝑢1 = (1; 2; 0) = 𝑝11 (1; 2; 0) + 𝑝21 (1; 0; 2) + 𝑝31 (0; 1; 2)
1 = 𝑝11 + 𝑝21
𝑝11 = 1
2
=
2𝑝
+
𝑝
𝑝
(1;
)

2; 0)=(𝑝11 + 𝑝21 ; 2𝑝11 + 𝑝31 ; 2𝑝21 + 2𝑝31  {
11
31  { 21 = 0
0 = 2𝑝21 + 2𝑝31
𝑝31 = 0
4
2
𝑢2 = (5 ; − 5 ; 2) = 𝑝12 (1; 2; 0) + 𝑝22 (1; 0; 2) + 𝑝32 (0; 1; 2)

4
2
(5 ; − 5 ; 2)=(𝑝12
+ 𝑝22 ; 2𝑝12 + 𝑝32 ; 2𝑝22 + 2𝑝32 ) 
4
= 𝑝12 + 𝑝22
5
2
{− = 2𝑝 + 𝑝 
12
32
5
2 = 2𝑝22 + 2𝑝32
1
𝑝12 =
5
{𝑝22 = 1
𝑝32 = 0
1 1
𝑢3 = (−1; 2 ; 2) = 𝑝13 (1; 2; 0) + 𝑝23 (1; 0; 2) + 𝑝33 (0; 1; 2)
1
−1 = 𝑝13 + 𝑝23
𝑝13 = − 12
1
1 1
11
 (−1; 2 ; 2)=(𝑝12 + 𝑝22 ; 2𝑝12 + 𝑝32 ; 2𝑝22 + 2𝑝32 )  { 2 = 2𝑝13 + 𝑝33  𝑝23 = − 12
1
2
1
 [𝑃𝑗𝑖 ] = [0
0
−1/5 −1/12
1
−11/12]
0
2/3
 𝑃 = [𝑃𝑗𝑖 ]
𝑡
= 2𝑝23 + 2𝑝33
{
𝑝33 =
2
3
1
0
0
1
0 ]
 𝑃 = [ −1/5
−1/12 −11/12 2/3
Es la matriz de pasaje 𝑃 de la base canónica [𝑣] a la base [𝑢]. Es una matriz triangular
inferior.
b) Ejercicio para el lector.
EJERCICIOS.
1. Halle la matriz de Gram para los vectores 𝑣1 = (3; 4; 6), 𝑣2 = (4; 6; 9); 𝑣3 = (6; 9; 14)
2. De un ejemplo de una base ortogonal de 𝑅 3, diferente a la base canónica de modo que la
matriz de Gram sea 𝐺(𝑣1 ; 𝑣2 ; 𝑣3 ) = 𝐼3
3. Pruebe que los vectores 𝑣1 ; 𝑣2 ; … ; 𝑣𝑘 ∈ 𝑉 generan un subespacio vectorial de dimensión
𝑟 si y solo si la matriz de Gram 𝐺(𝑣1 ; 𝑣2 ; … ; 𝑣𝑟 ) tiene rango 𝑟.
4. Muestre un ejemplo para el ejercicio anterior 3.
5. Sea la matriz 𝐴 ∈ 𝑀𝑚×𝑛 con solo una fila y una columna no nulas. Dada una matriz 𝐵 ∈
𝑀𝑚×1 , ¿Cuáles son las posibles dimensiones para la variedad afín formada por las soluciones
𝑋 ∈ 𝑀𝑛×1 del sistema 𝐴𝑋 = 𝐵?
6. Obtenga una base para cada subespacio vectorial invariante 𝐹0 𝐹1 𝐹2 𝐹3 generado por
el conjunto de vectores {(1; 2; 3), (1; 4; 9), (1; 8; 27)}
7. Escriba una base para la imagen de cada una de las transformaciones lineales siguientes
y determina su rango.
a) 𝑇: 𝑅 4 → 𝑅 3 tal que 𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑧; 𝑡) = (𝑥 + 2𝑦 − 𝑡; 2𝑥 − 𝑧 + 2𝑡; −2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧)
b) 𝑇: 𝑃≤𝑛 → 𝑃≤𝑛 tal que 𝑇(𝑝(𝑥)) = 𝑝′(𝑥)
8. Considere el operador 𝑇: 𝑅 3 → 𝑅 3 dado por 𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧; 𝑦 + 2𝑧; 3𝑧), cuya
matriz es triangular.
a) Halle una base de 𝑅 3 formada por autovalores de 𝐵.
b) Halle los espacios invariantes por 𝑇.
c) Muestre que 𝑇 es triangular superior y que 𝑇 ∗ también lo es.
9. Considere el operador 𝑇: 𝑅 3 → 𝑅 3 dado por 𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (2𝑥; 𝑦 − 2𝑧; 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧), cuya
matriz es triangular.
a) Halle una base de 𝑅 3 formada por autovalores de 𝐵.
b) Halle los espacios invariantes por 𝑇.
c) Muestre que 𝑇 es triangular inferior y que 𝑇 ∗ también lo es.
10. Muestre que el producto de dos matrices triangulares inferiores es también una matriz
triangular inferior.
4 1 2
11. Hallar los autovalores de la matriz triangular 𝑆 = [𝑠𝑖𝑗 ]= [0 3 3 ]
0 0 −2
4 0 0
12. Hallar los autovalores de la matriz triangular 𝑆 = [𝑠𝑖𝑗 ]= [2 3 0]
3 4 5