CIRCUITO RC
OBJETIVOS
●
●
Analizar el comportamiento de un circuito RC mediante herramientas virtuales:
Falstad, Geogebra y Excel.
Determinar la constante de tiempo de carga y descarga de un condensador
FUNDAMENTO TEÓRICO
Considere el circuito RC de la Fig. 1.
Cuando el interruptor S está en la posición (1). La carga que se acumula en el
condensador viene dada por la expresión,
−
1
𝑡
𝑄 = 𝐶𝑉 ( 1 − 𝑒 𝑅𝐶 )
De la ecuación (1) se obtiene el voltaje en las placas del condensador:
1
− 𝑅𝐶 𝑡
𝑉𝑐 = 𝑉 ( 1 − 𝑒
)
La gráfica de la Fig. 2, indica que el voltaje Vc en el condensador aumenta en forma
exponencial hasta obtener el mismo voltaje V de la fuente.
Si se hace t = RC = τ (Constante de tiempo de carga del condensador):
−1
𝑉𝑐 = 𝑉 ( 1 − 𝑒
𝑉𝑐 = 0. 63𝑉
)
Lo anterior indica que la constante de tiempo capacitivo, es el tiempo que tarda el
condensador en obtener un 63% del voltaje máximo V.
La corriente por el circuito viene dada por,
𝑖=
𝑉
𝑅
1
− 𝑅𝐶 𝑡
𝑒
El comportamiento gráfico de la corriente se muestra en la Fig. 3.
La gráfica indica que, en el instante inicial, la corriente que circula por el circuito es
máxima y su valor es V/R, para luego ir disminuyendo en forma exponencial hasta cero,
debido a que el voltaje en el condensador aumenta hasta ser igual al voltaje de la fuente.
Cuando el interruptor S pasa a la posición (2), el circuito queda como se muestra en la
Fig. 4.
La carga que devuelve el condensador al circuito viene dada por la expresión,
−
1
𝑡
𝑄 = 𝐶𝑉𝑒 𝑅𝐶
El voltaje de las placas del condensador viene dado por:
1
− 𝑅𝐶 𝑡
𝑉𝑐 = 𝑉𝑒
La gráfica del comportamiento del voltaje Vc es como se muestra en la Fig.5.
La gráfica anterior indica que el condensador se descarga a través de la resistencia R,
disminuyendo el voltaje en forma exponencial.
Si se hace t = RC = τ (Constante de tiempo de carga del condensador):
−1
𝑉𝑐 = 𝑉 ( 1 − 𝑒
)
𝑉𝑐 = 0. 37𝑉
Lo anterior indica que la constante de tiempo de descarga del condensador, es el tiempo
que tarda en descargarse a un 37% del voltaje máximo.
Derivando la ecuación (4) con respecto a t se tiene la corriente que circula por el
circuito:
𝑖 =−
𝑉
𝑅
1
− 𝑅𝐶 𝑡
𝑒
El signo menos de la ecuación (6) indica que el condensador se descarga a través de la
resistencia R suministrando una corriente en sentido antihorario. El comportamiento de
i sin tener en cuenta el sentido, se muestra en la gráfica de la Fig. 6.
Esta gráfica, muestra cómo la corriente disminuye en forma exponencial, debido a que
el condensador se descarga a través de la resistencia R.
PROCEDIMIENTO
a) Circuito de carga
1. Observe el circuito presentado en el software, verifique que sea igual al de la
figura.
2. Registre el valor de la resistencia y de la capacidad de condensador.
Resistencia ( R ) : 69 Ω
Capacidad del condensador ( C ) : 600 µF
3. Coloque el interruptor S en la posición 1 para conectar la fuente al circuito RC
y comenzar así su carga. Registre el voltaje de carga contra tiempo a través de la
gráfica que se observa en la parte inferior de la simulación. Consigne los datos en
la tabla # 1.
Tabla #1
𝑉𝑐
[V]
t
[s]
0.5828
1.097
1.551
1.952
0.0049
0.01002
0.01514
0.02026
2.306
0.02538
2.62
2.864
3.112
3.332
0.0305
0.03498
0.0401
0.045
Repita el procedimiento (3) y consigne los datos en la tabla # 2.
Tabla # 2
𝑉𝑐
0.6506
1.157
1.551
1.962
2.306
2.62
2.897
3.112
3.332
0.00523
0.01035
0.01483
0.01995
0.0251
0.0302
0.03531
0.0398
0.0449
[V]
t
[s]
Repita el procedimiento (3) y consigne los datos en la tabla # 3.
Tabla # 3
𝑉𝑐
0.6506
1.157
1.551
1.952
2.306
2.62
2.897
3.112
3.332
0.00519
0.01031
0.01479
0.01991
0.02503
0.0302
0.0353
0.0398
0.0449
[V]
t
[s]
Con estos tres registros obtenga un promedio para la carga del condensador.
𝑉𝑐
0.628
1.137
1.551
1.955
2.306
2.62
2.886
3.112
3.332
0.00510
0.0102
0.0149
0.02
0.0252
0.030
0.0352
0.0399
0.0449
[V]
t
[s]
b) CIRCUITO DE DESCARGA
4. Desconecte la fuente del circuito colocando el interruptor en la posición 2,
entonces el condensador comenzará a descargarse a través de la resistencia R.
Registre el voltaje de descarga contra tiempo por medio de la tabla que se
registra en la parte inferior de la simulación. Consigne los datos en la tabla # 4.
Tabla # 4
𝑉𝑐
5
4.474
3.953
3.494
3.087
2.771
2.448
2.163
1.912
0
4.92
10.04
15.16
20.28
24.76
29.88
35
40.12
2.175
1.922
[V]
t
[ms]
Repita el procedimiento (4) y consigne los datos en la tabla # 5.
Tabla # 5
𝑉𝑐
[V]
5
4.499
3.975
3.513
3.104
2.786
2.462
t
[ms]
0
4.91
10.03
15.15
20.27
24.75
29.87
34.99
40.11
Repita el procedimiento (4) y consigne los datos en la tabla # 6.
Tabla # 6
𝑉𝑐
5
4.47
3.95
3.545
3.132
2.768
2.446
2.195
1.94
0
5.19
10.31
14.79
19.91
25.03
30.15
35.27
39.75
[V]
t
[ms]
Con estos tres registros obtenga un promedio para la descarga del condensador.
𝑉𝑐
5
4.481
3.96
3.517
3.107
2.775
2.452
2.178
1.925
0
5.01
10.13
15.03
20.15
24.85
29.97
35.09
39.99
[V]
t
[ms]
CÁLCULOS Y RESULTADOS
1. Utilizando la expresión de la constante de tiempo de descarga para un circuito,
determine su valor.
τ = RC
−2
τ = 69Ω (600 µ𝐹) = 4. 14 𝑥 10 𝑠
2. Con el promedio de los datos obtenidos para la carga del condensador, haga
una gráfica de voltaje de carga Vc del condensador contra tiempo t.
A la hora de realizar la gráfica, se tomó el valor del tiempo en milisegundos para que se
pueda evidenciar de mejor manera.
3. Con el promedio de los datos obtenidos para la carga del condensador, haga
una gráfica de voltaje de carga Vc del condensador contra tiempo t.
A la hora de realizar la gráfica, se tomó el valor del tiempo en milisegundos para que se
pudiera observar de mejor manera la gráfica.
4. Por medio de la gráfica de voltaje de carga Vc contra tiempo t, determine la
constante de tiempo de carga del condensador. Compárelo con el valor teórico
y determine su porcentaje de error cometido.
Valor teórico
−2
τ = 69Ω (600 µ𝐹) = 4. 14 𝑥 10 𝑠
Valor experimental
Para hallar el valor experimental debemos linealizar:
Al graficar y hallar la pendiente obtenemos:
La pendiente es 𝑚 =− 24. 155
Tenemos que 𝑅𝐶𝑒 =−
𝑅𝐶𝑒 =
−
1
−24.155
1
𝑚
, por lo que:
−2
= 4. 139𝑥10 𝑠
Porcentaje de error
−2
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 =
−2
4.14𝑥10 𝑠 − 4.139𝑥10 𝑠
−2
4.14𝑥10 𝑠
· 100% = 0. 024%
5. Por medio de la gráfica de voltaje de descarga Vc contra tiempo t, determine la
constante de tiempo de descarga del condensador. Compárelo con el valor
teórico y determine su porcentaje de error.
Valor teórico
−2
τ = 69Ω (600 µ𝐹) = 4. 14 𝑥 10 𝑠
Valor experimental
Para hallar el valor experimental debemos linealizar:
Al graficar y hallar la pendiente obtenemos:
La pendiente es 𝑚 =− 24. 155
Tenemos que 𝑅𝐶𝑒 =−
𝑅𝐶𝑒 =
−
1
−24.155
1
𝑚
, por lo que:
−2
= 4. 139𝑥10 𝑠
Porcentaje de error
−2
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 =
−2
4.14𝑥10 𝑠 − 4.139𝑥10 𝑠
−2
4.14𝑥10 𝑠
· 100% = 0. 024%
Cuestionario
1. Demuestre por qué la recta tangente en t = 0 para la curva de voltaje de carga
Vc contra tiempo t, intercepta la abscisa del tiempo en el punto
correspondiente a la constante de tiempo de carga del condensador.
El voltaje de un condensador respecto al tiempo está dado por:
𝑡
− 𝑅𝐶
𝑉𝑐 = 𝑉𝑒
Por lo que V’ en t = 0 es igual a:
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=−
𝑉0
𝑅𝐶
Esta es la pendiente de la recta tangente en t=0.
La ecuación de la recta es (𝑦 − 𝑦1) = 𝑚(𝑥 − 𝑥1), para hallar los puntos
evaluamos Vc en t=0
𝑉𝑐(0) = 𝑉
El punto obtenido es (0, V), reemplazamos
(𝑉 − 𝑉0) = 𝑚(𝑡 − 𝑡0)
𝑉 = 𝑚𝑡 − 𝑚𝑡0 + 𝑉0
t0= 0, por lo tanto:
𝑉 = 𝑚𝑡 + 𝑉0,
la recta intercepta en V=0:
0 = 𝑚𝑡 + 𝑉0
Despejamos t:
𝑡=
−𝑉0
𝑚
=
−𝑉0
𝑉0
𝑅𝐶
𝑡 = 𝑅𝐶
2. Demuestre porqué la recta tangente en t = 0 intercepta la abscisa del tiempo
en el punto correspondiente a la constante de tiempo de descarga del
condensador.
El voltaje de un condensador respecto al tiempo está dado por:
𝑡
− 𝑅𝐶
𝑉𝑐 = 𝑉𝑒
Ya que la expresión es la misma que para la carga, la demostración es igual que la
del punto 1.
Documento elaborado por:
Cristian Villarreal
Jeremy Herrera
Anderson Ochoa