CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH TÍN HIỆU LIÊN TỤC THEO THỜI GIAN
BIẾN ĐỔI FOURIER
Nội dung
4.1 Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng tích phân Fourier
4.2 Một số dạng biến đổi
4.3 Một số đặc tính của biến đổi Fourier
4.4 Truyền tín hiệu qua hệ thống liên tục, tuyến tính, bất biến (LT-TT-BB)
4.5 Mạch lọc lý tưởng và mach lọc thực tế
4.6 Năng lượng tín hiệu
4.7 Ứng dụng trong thông tin: Điều chế biên độ
4.8 Điều chế góc
4.9 Giới hạn dữ liệu: Hàm cửa sổ
4.10 Tóm tắt
Tài liệu tham khảo:
B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998
Trong chương 3, ta đã biểu diễn tín hiệu tuần hoàn thành dạng tổng các thành phần sin hay
dạng mũ (không dừng). Chương này biểu diễn dạng phổ cho các tín hiệu không tuần hoàn.
4.1 Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng tích phân Fourier
Phép tính giới hạn chứng tõ tín hiệu không tuần hoàn biểu diễn được thành tổng liên tục (tích
phân) của các hàm mũ không dừng. Để biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn f (t ) trong hình 4.1
dùng các hàm mũ không dừng, ta tạo một tín hiệu tuần hoàn f T0 (t ) bằng cách lặp lại nhiều lần tín
hiệu f (t ) tại các thời khoảng T0 giây như hình 4.1b. Chu kỳ T0 cần đủ lớn để tránh trùng lắp các
tín hiệu. Tín hiệu tuần hoàn f T0 (t ) biểu diễn được bằng chuỗi Fourier mũ. Khi cho T0 ® ¥ , các
xung trong tín hiệu tuần hoàn lặp lại sau một thời khoảng vô hạn, do đó:
lim f T0 (t ) = f (t )
T0 ®¥
Vậy, chuỗi Fourier biểu diễn f T0 (t ) cũng biểu diễn f(t) trong giới hạn T0 ® ¥ . Chuỗi hàm
mũ Fourier của f T0 (t ) được cho bởi:
f T0 (t ) =
Với
Và
CuuDuongThanCong.com
1
T0
2p
w0 =
T0
Dn =
¥
åD
n = -¥
T0 / 2
ò
-T0 / 2
n
e jnw0t
(4.1)
f T0 (t )e - jnw0t dt
(4.2a)
(4.2b)
https://fb.com/tailieudientucntt
æ T T ö
Ta thấy tích phân f T0 (t ) trong khoảng ç - 0 , 0 ÷ giống tích phân của f(t) trong khoảng
è 2 2ø
.
Viết
lại
phương
trình
(4.2a)
(-¥, ¥)
1 ¥
(4.2c)
Dn = ò f (t )e - jnw0t dt
T0 -¥
Xét bản chất thay đổi của phổ khi tăng giá trị T0 , định nghĩa F (w ) là hàm liên tục theo w :
¥
F (w ) = ò f (t )e - jwt
(4.3)
-¥
Các phương trình (4.2c) và (4.3) cho:
1
Dn = F (nw0 )
T0
(4.4)
Điều này có nghĩa là các hệ số Dn là tích của (1 / T0 ) với các mẩu của F (w ) , phân bố đều tại
các khoảng w 0 , vẽ ở hình 4.2a. Như thế, (1 / T0 ) F (w ) là đường biên của các hệ số Dn . Khi cho
T0 ® ¥ bằng cách bước lặp đôi T0 . Khi tăng hai lần T0 thì tần số cơ bản w 0 giảm còn 1/2
[phương trình (4.2b)], nên không nhân đôi như một số thành phần (các mẫu) trong phổ. Tuy nhiên,
khi nhân đôi T0 , thì đường bao (1 / T0 ) F (w ) giảm nửa, vẽ ở hình 4.2b. Nếu ta tiếp tục lần lượt tăng
đôi T0 nhiều lần, phổ càng dày hơn, và biên độ giảm nhỏ đi. Tuy nhiên, cần chú ý là hình dạng
tương đối của đường bao vẫn giữ như củ [tăng tỉ lệ với F (w ) theo phương trình (4.3)]. Trong giới
hạn T0 ® ¥ , w0 ® 0 và Dn ® 0 . Kết quả này có nghĩa là phổ rất đặc nên có thành phần phổ chỉ
cách nhau khoảng zêrô (vô cùng bé). Trong thời gian này, biên độ của các thành phần là zêrô (vô
cùng bé).
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Thay phương trình (4.4) vào phương trình (4.1)
¥
F (nw0 ) jnw0t
f T0 (t ) = å
e
(4.5)
T0
n = -¥
Khi T0 ® ¥ , w0 trở thành vô cùng bé ( w0 ® 0 ). Nên ta sẽ thay w0 bằng một ý niệm thích hợp,
Dw. Từ đó, viết lại phương trình (4.2b)
2p
và phương trình (4.5) viết lại thành:
Dw =
T0
f T0 (t ) =
é F (nDw )Dw ù ( jnDw ) t
úûe
2p
n = -¥
¥
å êë
(4.6a)
Phương trình (4.6a) cho thấy f T0 (t ) viết được thành tổng của các hàm mũ không dừng có tần số
0,± Dw ,±2Dw ,±3Dw ,L, (chuỗi Fourier). Số lượng các thành phần tần số nDw là [F (nDw )] / 2p .
Khi T0 ® ¥ , Dw ® 0 và f T0 (t ) ® f (t ) . Do đó:
1 ¥
(4.6b)
F (nDw )e ( jnDw ) t Dw
å
T0 ®0 2p
n = -¥
Tổng bên vế phải của phương trình (4.6b) có thể được xem là vùng diện tích của hàm F (w )e jwt ,
trong hình 4.3. Vậy
1 ¥
(4.7)
f (t ) =
F (w )e jwt dw
ò
¥
2p
Tích phân bên vế phải được gọi là tích phân Fourier. Về cơ bản thì tích phân này là chuỗi Fourier
(trong giới hạn) với tần số cơ bản Dw ® 0 , như trong phương trình (4.6). Số lượng các hàm mũ
e jnDwt là [F (nDw )] / 2p . Nên hàm F (w ) trong phương trình (4.3) hoạt động như hàm phổ.
f (t ) = lim
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Ta gọi F (w ) là biến đổi Fourier trực tiếp của f (t ) và f (t ) là biến đổi Fourier nghịch của
F (w ) . Ta còn gọi f (t ) và F (w ) là cặp biến đổi Fourier và được viết theo:
F (w ) = F[f(t)] và f(t) = F-1[F(w)]
f (t ) Û F (w )
Tóm lại
¥
F (w ) = ò f (t )e - jwt dt
(4.8a)
-¥
f (t ) =
1
2p
ò
¥
-¥
F (w )e jwt dw
(4.8b)
Cần nhớ là tích phân Fourier trong phương trình (4.8b) là bản chất của chuỗi Fourier với
tần số cơ bản Dw ® 0 (phương trình (4.6b). Do đó, hầu hết các tính chất của chuỗi Fourier đều
dùng được cho biến đổi Fourier. Có thể vẽ phổ F (w ) theo w . Do F (w ) là phức, ta có phổ biên độ
và phổ pha theo
(4.9)
F (w ) = F (w ) e jÐF (w )
Trong đó F (w ) là phổ biên độ và ÐF (w ) là góc (hay pha) của F (w ) . Từ phương trình (4.8a), ta
có:
¥
F (-w ) = ò f (t )e jwt dt
-¥
Vậy khi f (t ) là hàm thực theo t, thì F (w ) và F (-w ) là liên hợp. Do đó:
F (-w ) = F (w )
Ð F (-w ) = -Ð F (w )
(4.10a)
(4.10b)
Do đó, với hàm thực f (t ) , thì phổ biên độ F (w ) là hàm chẵn, và phổ pha ÐF (w ) là hàm lẻ theo
w. Đặc tính này (đặc tính đối xứng liên hợp) chỉ đúng cho hàm thực f (t ) . Các kết quả này đã tìm
được trong phần phổ Fourier của tín hiệu tuần hoàn (phương trình 3.77), vậy biến đổi F (w ) là đặc
tính tần số của f (t ) .
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
■ Thí dụ 4.1:
Tìm biến đổi Fourier của e - at u (t ) ?
Từ định nghĩa [phương trình (4.8a)]
¥
¥
-¥
-¥
F (w ) = ò e -at u (t )e - jwt dt = ò e -( at + jw ) t dt =
Do e
- j wt
= 1 , nên khi t ® ¥ , e
F (w ) =
1
a + jw
- ( a + jw ) t
- 1 -( at + jw )t
e
a + jw
- at - jwt
=e e
¥
0
= 0 nếu a > 0 , do đó:
a>0
(4.11a)
Dạng cực
F (w ) =
1
a2 + w 2
e
w
- j tan -1 ( )
a
(4.11b)
Vậy:
æw ö
và ÐF (w ) = - tan -1 ç ÷
(4.12)
èaø
a2 + w 2
Phổ biên độ và phổ pha được vẽ trong hình 4.4b. Ta thấy phổ biên độ là hàm chẵn và phổ pha
là hàm lẻ theo tần số w . ■
F (w ) =
1
Tồn tại của biến đổi Fourier.
Trong thí dụ 4.1, ta thấy là khi a < 0, biến đổi Fourier của e - at u (t ) không hội tụ. Do đó, biến
đổi Fourier của e - at u (t ) không hội tụ nếu a < 0 (hàm mũ tăng). Tức là không phải mọi tín hiệu đều
có biến đổi Fourier. Tồn tại của biến đổi Fourier cho hàm f (t ) được bảo đãm nhờ điều kiện
Dirichlet. Điều kiện đầu tiên là
ò
¥
-¥
f (t ) dt < ¥
(4.13)
Do e - jwt = 1 , từ phương trình (4.8a) ta có
F (w ) £ ò
¥
-¥
f (t ) dt
Bất đẳng thức này cho thấy biến đổi Fourier tồn tại nếu thỏa điều kiện (4.13). Ngược lại thì không
bảo đãm. Thí dụ 4.1 cho thấy biến đổi Fourier không tồn tại với tín hiệu hàm mũ tăng (đã vi phạm
điều kiện này). Mặc dù đây là điều kiện đủ, chứ không là điều kiện cần cho tồn tại biến đổi Fourier
của tín hiệu. Thí dụ, tín hiệu sin(at ) / t vi phạm điều kiện (3.13), nhưng có biến đổi Fourier. Các
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
tín hiệu thực tế thường thỏa điều kiện Dirichlet nên có biến đổi Fourier. Như thế, tồn tại thực tế
của tín hiệu là điều kiện đủ để tồn tại biến đổi Fourier.
Tính tuyến tính của biến đổi Fourier.
Biến đổi Fourier là biến đổi tuyến tính, tức là nếu
f1 (t ) Û F1 (w ) và f 2 (t ) Û F2 (w ) thì
(4.14)
a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t ) Û a1 F1 (w ) + a2 F2 (w )
Chứng minh đơn giản và lấy từ phương trình (4.8a). Kết quả mở rộng được khi có nhiều thừa số
hơn nũa.
4.1-1 Đánh giá thực tế về biến đổi Fourier.
Để hiểu được các nét của biến đổi Fourier, ta cần nhớ là biểu diễn Fourier là phương thức
biểu diễn tín hiệu thành các tín hiệu sin (hay mũ) không dừng. Phổ Fourier của tín hiệu chỉ ra các
biên độ và pha tương đối của các sóng sin cần thiết để tổng hợp tín hiệu này. Phổ Fourier của tín
hiệu tuần hoàn có các biên độ hữu hạn và tồn tại các tần số rời rạc (w0 và các bội tần), phổ dạng
này dễ nhận thấy, nhưng phổ tín hiệu không tuần hoàn không dễ nhìn thấy do có dạng phổ liên tục.
Ý niệm phổ liên tục có thể hiễu được qua xem xét một hiện tượng tương đồng, hữu hình. Một
thí dụ về phân phối liên tục là tải của xà ngang. Xét một xà ngang với tải là các đơn vị trọng lượng
D1 , D2 , D3 ,..., Dn , tại các điểm cách đều nhau x1 , x2 , x3 ,..., xn , vẽ trong hình 4.5a. Tải chung WT đặt
vào xà ngang là tổng của từng tải tại n điểm:
n
WT = å Di
i =1
Xét trường hợp tải liên tục trên xà ngang, vẽ trong hình 4.5b. Trường hợp này, dù có vẻ là tải
xuất hiện tại các điểm, nhưng tải tại từng điểm lại là zêrô. Điều này không có nghĩa là không có tải
trên xà. Trường hợp này thì đo lường thích hợp nhất là không là tải tại từng điểm, mà nên là mật
độ tải trên đơn vị dài của xà ngang. Gọi F (x ) là mật độ tải trên đơn vị dài của xà. Theo đó thì tải
trên chiều dài xà ngang là Dx (Dx ®0) tại một điểm x là F ( x)Dx . Để tìm tải trên xà ngang, ta chia
xà ngang thành các khoảng cách nhau Dx (Dx ®0). Tải của n đoạn có chiều dài Dx là F (nDx)Dx .
Tải chung WT là:
xn
WT = lim å F (nDx)Dx = ò F ( x)dx
D x ®0
x1
xn
x1
Trường hợp tải rời rạc trong hình 4.5a, tải chỉ tồn tại ở n điểm rời rạc. Các điểm khác không
có tải. Nói cách khác, trong trường hợp tải liên tục, tải có tại mỗi điểm nhưng tại một điểm cụ thể
x, thì tải là zêrô. Tuy nhiên, tải tại môt đoạn nhỏ Dx là F (nDx)Dx (hình 4.5b). Do đó, dù tải tại một
điểm x là zêrô thì tải tương đối tại đó là F(x).
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Lập luận tương tự cho trường hợp phổ tín hiệu. Khi f (t ) tuần hoàn thì phổ là rời rạc, và có
thể viết f (t ) thành tổng các hàm mũ rời rạc có biên độ hữu hạn:
f (t ) = å Dn e jnw0t
n
Khi tín hiệu không tuần hoàn, phổ trở thành liên tục; tức là phổ tồn tại cho từng giá trị của w,
nhưng biên độ của mỗi thành phần trong phổ là zêrô. Đo lường có nghĩa trong trường hợp này
không phải là biên độ của thành phần tại một số tần số mà là mật độ phổ trên đơn vị băng thông.
Phương trình (4.6b) cho thấy là f (t ) được tổng hợp bằng cách cộng các hàm mũ dạng e jnDwt , theo
đó đóng góp của một thành phần mũ là zêrô. Nhưng đóng góp của hàm mũ trong dải tần vô cùng
bé Dw tại vị trí w = nDw là (1 / 2p ) F (n Dw)Dw , và việc lấy tổng mọi thành phần cho f (t ) có
dạng:
1 ¥
1 ¥
f (t ) = lim
F (nDw )e ( jnDw ) t Dw =
F (w )dw (4.15)
å
Dw ®0 2p
2p ò-¥
n = -¥
1
Đóng góp của thành phần trong dải tần dw là
F (w )dw = F (w )dF , với dF là băng thông
2p
tính theo Hertz. Rõ ràng, F(w) là mật độ phổ trên đơn vị băng thông (Hertz). Cũng cần thấy là cho
dù biên độ của một thành phần nào đó là zêrô, thì lượng tương đối của thành phần tại tần số w là
F(w). Mặc dù F(w) là mật độ phổ, nhưng trong thực tế lại thường đươc gọi là phổ của f (t ) thay vì
là mật độ phổ của f (t ) . Do đó, gọi F(w) là phổ Fourier (hay biến đổi Fourier) của f (t ) .
Sự hài hòa kỳ diệu
Điểm quan trọng cần nhớ ở đây là f (t ) được biểu diễn (hay tổng hợp) dùng các hàm mũ (hay
sin) là hàm không dừng (hay không nhân quả). Xét việc tổng hợp tín hiệu xung f (t ) tồn tại trong
thời gian giới hạn (hình 4.6) bằng các thành phần sóng sin trong phổ Fourier. Tín hiệu f (t ) chỉ tồn
tại trong khoảng (a,b) và là zêrô ở ngoài khoảng này. Phổ của f (t ) chứa vô hạn các hàm mũ (hay
sin) bắt đầu tại t = -¥ và tiếp tục mãi mãi. Biên độ và pha của các thành phần này phải hợp lại
thành đúng f (t ) trong khoảng giới hạn, và là zêrô ngoài khoảng này. Sắp xếp biên độ và pha của
vô số thành phần này đòi hỏi sự hài hòa và trí tưởng tưởng tinh tế của con người, nhưng biến đổi
Fourier lại thực hiện được việc này theo trình tự , không phải suy nghĩ gì.
Một vài ý niệm
Trong chương 2, ta định nghĩa hàm truyền H(s) là
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
¥
H ( s ) = ò h(t )e -st dt
(4.16)
-¥
Cho s = jw
¥
H ( jw ) = ò h(t )e - jwt dt
(4.17)
-¥
Vế phải là biến đổi Fourier của h(t ) , và theo ý niệm từ phương trình (4.3) thì đó là H (w ) ,
trong khi có ý niệm tương tự là H ( jw ) trong chương 2. Do đó, trung thành với ý niệm trước, ta
gọi biến đổi Fourier là F ( jw ) thay vì F (w ) trong phương trình (4.3). Thực ra, ý niệm F ( jw ) cho
biến đổi Fourier thường dùng trong nhiều tài liệu. Do đó, ta tiếp tục dùng hai ý niệm, với ghi nhớ
là F (w ) và F ( jw ) biểu diễn cùng đặc tính.
Điều này chỉ quan trọng khi ta bàn về biến đổi Laplace và tính lọc trong các chương kế, như
thế cần nhớ là H (w ) và H ( jw ) biểu diễn cùng đặc tính.
4.1-2 Khảo sát đáp ứng của hệ LT – TT – BB dùng biến đổi Fourier.
Để biểu diễn tín hiệu f (t ) thành tổng các hàm mũ (không dừng) nhằm tìm đáp ứng hệ thống
f (t ) là tổng của các đáp ứng thành phần mũ của f (t ) . Xét hệ LT – TT – BB ổn định tiệm cận có
hàm truyền H(s). Đáp ứng của hệ thống này với hàm mũ không dừng e jwt là H (w )e jwt . Cặp vào–
ra này được biểu diễn như sau:
e jwt Þ H (w )e jwt
Vậy
e j ( nDw ) t Þ H (nDw )e j ( nDw ) t
Và
é F (nDw )Dw ù j ( nDw )t
é F (nDw ) H (n Dw)Dw ù j ( nDw ) t
e
Þê
êë
ú
úû e
2p
2p
û
ë
Do tính tuyến tính
¥
¥
é F (nDw )Dw ù j ( nDw )t
é F (nDw )H (nDw )Dw ù j ( nDw ) t
lim å ê
e
Þ
lim
å
ú
ê
úû e
Dw ®0
D
w
®
0
2p
2p
û
n = -¥ë
n = -¥ë
Ngõ vào f (t )
Ngõ ra y (t )
Þ
Vế phải là ngõ vào f (t ) [xem phương trình (4.6a) và (4.6b)], và vế phải là đáp ứng y (t ) . Nên:
¥
1
1
lim å F (nDw ) H (nDw )e j ( nDw ) t Dw =
2p Dw ®0 n=-¥
2p
1 ¥
y (t ) =
Y (w )e jwt dw
2p ò-¥
Với Y (w ) là biến đổi Fourier của y (t ) , cho bởi
Y (w ) = F (w ) H (w )
y (t ) =
ò
¥
-¥
F (w ) H (w )e jwt dw
(4.18)
(4.19)
Gút lại, khi hệ LT – TT – BB có hàm truyền là H(s) có ngõ vào là f (t ) , và ngõ ra là y (t ) thì
nếu
CuuDuongThanCong.com
f (t ) Û F (w ) thì y (t ) Û Y (w )
https://fb.com/tailieudientucntt
Các bước trong phương pháp miền tần số giống hệt trường hợp trong miền thời gian. Trong
miền thời gian ta biểu diễn f (t ) thành tổng các thành phần xung; còn trong miền tần số, ngõ vào
được viết thành tổng các hàm mũ (hay sin) không dừng. Trong trường hợp đầu, đáp ứng y (t ) là
tổng của các đáp ứng thành phần xung từ phép tích phân chập; còn trong miền tần số thì đáp ứng là
tổng các đáp ứng hệ thống thành phần của hàm không dừng dạng mũ lấy từ tích phân Fourier. Ý
tưởng này được diễn đạt một cách toán học như sau:
1. Trong miền thời gian
d (t ) Þ h(t )
đáp ứng xung của hệ thống là h(t )
¥
f (t ) = ò f ( x)d (t - x)dx biểu diễn f (t ) thành tổng các thành phần xung, và
-¥
¥
y (t ) = ò f ( x)h(t - x)dx
-¥
biểu diễn y (t ) thành tổng các đáp ứng thành phần xung
2. Trong miền tần số
đáp ứng hệ thống của e jwt là H (w )e jwt
e Þ H (w )e jwt
1 ¥
f (t ) =
F (w )e jwt dw ; f (t ) thành tổng các thành phần hàm mũ không dừng, và
ò
¥
2p
1 ¥
y (t ) =
F (w ) H (w )e jwt dw ; y (t ) là tổng đáp ứng các thành phần hàm mũ
2p ò-¥
j wt
Quan điểm miền tần số nhìn nhận hệ thống theo đáp ứng tần số (đáp ứng hệ thống với nhiều dạng
thành phần sóng sin). Khi xem tín hiệu là tổng của nhiều thành phần sóng sin. Truyền tín hiệu qua
hệ (tuyến tính) được xem là truyền nhiều thành phần sóng sín của tín hiệu qua hệ thống.
4.2 Biến đổi Fourier của một số hàm hữu ích
Để tiện, ta giới thiệu các ý niệm cô đọng về một số hàm hữu ích như xung vuông góc, xung
tam giác, và các hàm nội suy.
Xung vuông góc đơn vị
Được định nghĩa là hàm rect(x) là xung vuông góc có chiều cao đơn vị và độ rộng đơn vị,
nằm cách đều gốc, vẽ ở hình 4.7a;
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
ì 0
ï
rect = í1 / 2
ï 1
î
x > 1/ 2
x = 1/ 2
x < 1/ 2
(4.20)
Xung cổng trong hình 4.7b là xung cổng đơn vị rect (x) mở rộng theo thừa số t và có thể viết
thành rect (x/t) (xem phần 1.3-2). Ta thấy là t, mẫu số của (x/t), cho thấy độ rộng của xung.
Xung tam giác đơn vị
Xung tam giác đơn vị D(x) là xung tam giác có độ cao đơn vị và độ rộng đơn vị, nằm cách
đều gốc, vẽ ở hình 4.8a
ì 0
D ( x) = í
î1 - 2 x
x ³ 1/ 2
x < 1/ 2
(4.21)
Xung hình 4.8b là D( x / t ) . Ta thấy là trường hợp này giống trường hợp xung cổng, mẫu số t của
D( x / t ) chỉ độ rộng xung.
Hàm nội suy sinc(x)
Hàm sinx/x còn gọi là sinc(x), là hàm có vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu, còn gọi là
hàm lọc hay hàm nội suy. Định nghĩa:
sin x
(4.22)
sin c( x) =
x
Xét phương trình (4.22) ta thấy:
1. sinc(x) là hàm chẵn theo x.
2. sin(x) = 0 khi sin x = 0 trừ giá trị x = 0 (xuất hiện dạng vô định), tức là sin x = 0 khi
x = ±p ,±2p ,±3p ,...
3. Dùng định L’Hopital, ta có sin (0) =1.
4. sin(x) là tích của sóng dao động sin x (có chu kỳ 2p) và hàm đơn điệu giảm 1/x. Như thế,
hàm sinc (x) là dao động sin với chu kỳ 2p, có biên đô giảm liên tục theo 1/x.
Hình 4.9a vẽ tín hiệu sinc (x). Ta thấy sinc (x) = 0 tại các giá trị x dương và âm với bội số
của p. Hình 4.9b vẽ sinc (3w/7). Đối số (3w/7) = p khi w = 7p/3. Do đó, zêrô đầu tiên của hàm
xuất hiện tại w = 7p/3.
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
D Bài tập E 4.1
p
æw ö
æ 3pw ö
æ t ö
Vẽ (a) rect ( ) (b) Dç ÷ (c) sin cç
÷ (d) sin c(t )rect ç
÷. Ñ
8
è 10 ø
è 2 ø
è 4p ø
■ Thí dụ 4.2:
æt ö
Tìm biến đổi Fourier của f (t ) = rect ç ÷ (hình 4.10a)
èt ø
¥
ætö
F (w ) = ò rectç ÷e - jwt dt
-¥
èt ø
t
t
ætö
Do hàm rect ç ÷ = 1 khi t < và là 0 khi t >
2
2
èt ø
æ wt ö
æ wt ö
2 sin ç
sin ç
÷
÷
t /2
1 - jwt / 2
è w ø =t
è w ø = t sin cæ wt ö
F (w ) = ò e - jwt dt = (e
- e jwt / 2 ) =
ç
÷
-t / 2
jw
w
æ wt ö
è 2 ø
ç
÷
è w ø
Do đó
ætö
æ wt ö
(4.23)
rect ç ÷ Û t sin cç
÷
èt ø
è 2 ø
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
wt
æ wt ö
Nhắc lại là sinc (x) = 0 khi x = ± np. Do đó, sin cç
= ± np ; tức là khi
÷ = 0 khi
2
è 2 ø
2 np
, ( n = 1, 2, 3, …) vẽ trong hình 4.10b. Biến đổi Fourier F(w) vẽ trong hình 4.10b cho
w=±
t
thấy các giá trị dương và âm. Các biên độ âm có thể xem là giá trị dương với pha là – p hay p.
æ wt ö
Dùng quan sát này để vẽ phổ biên độ F (w ) = sin cç
÷ trong hình 4.10c và phổ pha ÐF (w )
è 2 ø
trong hình 4.10d. Phổ pha phải là hàm lẻ theo w, có thể vẽ theo nhiều cách khác nhau do giá trị âm
có thể được tính bằng góc pha ± np, với n là số dương lẻ bất kỳ. Các biểu diễn này đều tương
đương nhau.
t
Băng thông của rect ( )
t
t
Phổ F(w) trong hình 4.10 có đỉnh tại w = 0 và giảm theo tần số cao. Do đó, hàm rect ( ) là
t
hàm thông thấp tín hiệu với hầu hết năng lượng tín hiệu nằm trong thành phần tần số thấp hơn. Nói
một cách nghiêm ngặt hơn, do phổ mở rộng từ 0 đến ¥ , nên băng thông là ¥. Hơn nữa, nhiều phổ
2p
tập trung trong búp thứ nhất (từ w = 0 đến w =
). Do đó, có thể tính gần đúng băng thông của
t
2p
1
xung vuông với độ rộng t giây là
rad/s, hay
Hz. Chú ý vể quan hệ tương hỗ giữa độ rộng
t
t
xung và băng thông, ta sẽ xem xét kết quả này.
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
■ Thí dụ 4.3:
Tìm biến đổi Fourier của xung đơn vị d (t )
Từ đặc tính lấy mẩu của xung [phương trình (1.24)], ta có
F [d (t )] = ò d (t )e - jwt dt = 1
¥
(4.24a)
-¥
Hay
d (t ) Û 1
Hình 4.11 vẽ d (t ) và phổ
(4.24b)
■
■ Thí dụ 4.4:
Tìm biến đổi nghịch của d (w )
Dùng phương trình (4.8b) và đặc tính lấy mẩu của hàm xung
1 ¥
1
F- -1 [d (w )] =
d (w )e jwt dw =
ò
¥
2p
2p
1
Vậy
Û d (w )
2p
Hay
1 Û 2pd (w )
(4.25a)
(4.25b)
Kết quả này cho thấy phổ của tín hiệu hằng f (t ) = 1 là xung 2pd (w ) , vẽ trong hình 4.12.
Nhắc lại biến đổi Fourier của f (t ) là biểu diễn phổ của f (t ) theo thành phần hàm mủ
không dừng dạng e jwt . Để biểu diễn một tín hiệu hằng f (t ) = 1 , ta chỉ cần hàm không dừng e jwt
với w = 0. Một cách khác để quan sát tình huống này là f (t ) = 1 là tín hiệu f (t ) = 1 là tín hiệu dc
■
chỉ có một tần số w = 0 (dc).
Nếu xung tại w = 0 là phổ của tín hiệu dc, thì xung tại w = w0 biểu diễn gì? Thí dụ sau sẽ trả
lời câu hỏi này.
■ Thí dụ 4.5:
Tìm biến đổi nghịch của d (w - w0 )
Dùng đặc tính lấy mẩu của hàm xung
1 ¥
1 jw0t
F- -1 [d (w - w0 )] =
d (w - w0 )e jwt dw =
e
ò
¥
2p
2p
1 jw0t
Vậy
e Û d (w - w0 )
2p
Hay
e jw0t Û 2pd (w - w0 )
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
(4.26a)
Kết quả này cho thấy phổ của tín hiệu không dừng e jw0t là một xung tại w = w0 . Để biểu
diễn tín hiệu mủ không dừng e jw0t , ta chỉ cần một hàm mủ không dùng e jw0t với w = w0 , đo đó,
phổ chỉ gồm một thành phần tần số tại w = w0 .
Từ phương trình (4.26a), ta có
e - jw0t Û 2pd (w + w0 )
(4.26b) ■
■ Thí dụ 4.6:
Tìm biến đổi biến đổi Fourier của tín hiệu sin không dừng cos w0t .
Từ công thức Euler
1
cos w0t = ( e jw0t + e - jw0t )
2
Dùng hai phương trình (4.26a) và (4.26b), ta có
(4.27)
cos w0t Û p [d (w + w0 ) + d (w - w0 )]
Phổ của cos w0t gồm hai xung tại w0 và - w0 , vẽ trong hình 4.13. Kết quả cho thấy tín hiệu không
dừng cos w0t có thể được tổng hợp từ hai hàm mủ không dừng e jw0t và e - jw0t . Do đó, phổ Fourier
chỉ gồm hai thành phần tại tần số w0 và - w0 . ■
■ Thí dụ 4.7:
Tìm biến đổi Fourier của hàm bước đơn vị u (t ) .
Thử tìm biến đổi Fourier của u (t ) bằng phương pháp tích phân trực tếp sẽ dẫn đến kết quả
không xác định, do:
¥
U (w ) = ò u (t )e
-¥
CuuDuongThanCong.com
- j wt
¥
dt = ò e
0
- j wt
- 1 - jwt
dt =
e
jw
¥
0
https://fb.com/tailieudientucntt
Ta thấy cận trên của e - jwt khi t ® ¥ là không xác định, do đó, ta nên xem u (t ) là hàm mủ giảm
e - at u (t ) với giới hạn a ® 0 (hình 4.14a). Vậy
u (t ) = lim e - at u (t ) , và
a®0
U (w ) = lim F {e -at u (t )} = lim
a ®0
a ®0
1
a + jw
(4.28a)
Viết lại theo các thành phần thực và ảo
w ù
é a
é a ù 1
(4.28b)
U (w ) = lim ê 2
-j 2
= lim ê 2
+
2
2
ú
a ®0 a + w
a + w û a®0 ë a + w 2 úû jw
ë
Hàm a /(a 2 + w 2 ) có đặc tính rất thú vị. Thứ nhất, hàm có diện tích (hình 4.14b) là p bất chấp giá
trị của a.
¥
a
-1 w
ò-¥ a 2 + w 2 dw = tan a = p
Thứ hai, khi a ® 0 , hàm tiến về zêrô với mọi w ¹ 0 , và tất cả phần diện tích ( p ) sẽ tập trung tại
một điểm w = 0 . Rõ ràng, khi a ® 0 , hàm trở thành xem có cường độ là p, vậy:
1
(4.29)
U (w ) = pd (w ) +
jw
Chú ý là u (t ) không phải là tín hiệu dc (thực) do không là hằng số trong suốt khoảng từ - ¥
đến ¥. Để tổng hợp tín hiệu dc (thực) ta chỉ cần một hàm mủ không dừng với w = 0 (xung tại
w = 0 ). Tín hiệu u (t ) có bước nhảy gián đoạn tại t = 0 , nên không thể tổng hợp tín hiệu dạng này
chỉ dùng một hàm mủ không dừng e jwt . Để tổng hợp tín hiệu này dùng hàm mủ không dừng, ta
cần có thểm xung tại w = 0 , các thành phần tần số, do 1 / jw trong phương trình (4.29).
■
D Bài tập E 4.2
Chứng minh biến đổi Fourier của tín hiệu hàm dấu sgn(t ) vẽ trong hình 4.15a là 2 / jw .
Hướng dẫn: chú ý là hàm sgn(t ) dời đi giá trị 1 là 2u (t ) . Ñ
D Bài tập E 4.3
Chứng minh biến đổi Fourier nghịch của F (w ) vẽ trong hình 4.15b là f (t ) =
Vẽ f (t ) . Ñ
D Bài tập E 4.4
Chứng minh: cos(w0t + q ) Û p [d (w + w0 )e - jq + d (w - w0 )e jq ]
1
Hướng dẫn: . cos(w0t + q ) Û [e j (w0t +q ) + e - j (w0t +q ) ] Ñ
2
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
w0
sin c(w0t ) .
p
4.3 Một số đặc tính của biến đổi Fourier.
Ta nghiên cứu một số đặc tính quan trọng của biến đổi Fourier với các hàm ý và ứng dụng.
Trước hết, ta cần giải thích một số dáng vẽ quan trọng và nổi tiếng của biến đổi Fourier: tính đối
ngẫu thời gian – tần số:
f (t ) f
- at
1
e u (t )
2
e - at u (-t )
3
e
4
te - at u (t )
5
t n e - at u (t )
6
7
8
d (t )
1
9
-a t
e -w0t
cos w0t
11
sin w0t
u (t )
12
sgn(t )
13
cos w0tu (t )
10
14
sin w0tu (t )
15
e - at sin w0tu (t )
CuuDuongThanCong.com
Bảng 4.1 Bảng biến đổi Fourier
F (w )
1
a>0
a + jw
1
a>0
a - jw
2a
a>0
2
a + w2
1
a>0
( a + jw ) 2
n!
a>0
(a + jw ) n+1
1
2pd (w )
2pd (w - w0 )
p [d (w - w0 ) - d (w + w0 )]
jp [d (w + w0 ) - d (w + w0 )]
1
pd (w ) +
jw
2
jw
p [d (w - w0 ) + d (w + w0 )] +
jw
+
w - w2
2
0
w
p
[d (w - w0 ) - d (w + w0 )] + 2 0 2
2j
w0 - w
w0
a>0
(a + jw ) 2 + w02
https://fb.com/tailieudientucntt
16
e - at cos w0tu (t )
a + jw
(a + jw ) 2 + w02
17
rect ( tt )
18
W
sin c(Wt )
p
19
ætö
Dç ÷
èt ø
W
æ w ö
sin 2 ç
÷
2p
è 2W ø
æ wt ö
t sin cç
÷
è 2 ø
æ w ö
rect ç
÷
è 2W ø
t
æ wt ö
sin c 2 ç
÷
2
è 4 ø
æ w ö
Dç
÷
è 2W ø
20
¥
21
å d (t - nT )
n= -¥
22
e
- t 2 / 2s 2
¥
w0 å d (w - nw0 )
n = -¥
s 2p e -s w
2
2
a>0
w0 =
2p
T
/2
4.3-1 Tính đối xứng giữa toán tử thuận và nghịch: Đối ngẫu thời gian - tần số
Phương trình (4.8) cho thấy một vấn đề rất thú vị: các toán tử thuận và nghịch đều rất giống
nhau. Các toán tử này cần thiết để biến f (t ) thành F (w ) , được vẽ trong hình 4.16. Chỉ có hai
khác biệt nhỏ: thừa số 2p chỉ xuất hiện trong toán tử nghịch, và chỉ số mủ trong hai toán tử có dấu
đối nhau. Nói cách khác, hai toán tử này đối xứng. Quan sát này có ảnh hưởng lớn đến nghiên cứu
về biến đổi Fourier. Đây là cơ sở của cái gọi là tính đối ngẫu thời gian – tần số.
Với các quan hệ giữa f (t ) và F (w ) , ta có kết quả đối ngẫu nhau, từ cách thay đổi vai trò
của f (t ) và F (w ) trong kết quả gốc (đôi khi cần có thay đổi nhỏ do yếu tố có thừa số 2p hay đảo
dấu). Thí dụ, trong tính dời theo thời gian, nếu ta có f (t ) Û F (w ) , thì
(4.30a)
f (t - t 0 ) Û F (w )e - jwt0
Đối ngẫu của tính chất này (tính dời theo tần số) cho rằng
(4.30b)
f (t )e jw0t Û F (w - w0 )
Quan sát tính hoán vị giữa thời gian và tần số trong hai phương trình (với thay đổi nhỏ là sự đảo
dấu trong chỉ số mủ). Giá trị của nguyên lý này dựa trên sự kiện là bao giờ ta tìm ra một kết quả,
thì luôn tồn tại kết quả đối ngẫu. Khả năng này cho ta nhìn thấy trước được một số đặc tính và kết
quả khi xử lý tín hiệu.
Các đặc tính của biến đổi Fourier không chỉ hữu ích để tìm biến đồi thuận và nghịch của
các hàm, mà còn giúp tìm nhiều kết quả có giá trị khi xử lý tín hiệu. Ta bắt đầu với đặc tính đối
xứng, là một trong những hệ quả của nguyên lý đối ngẫu vừa nói trên.
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
4.3-2 Tính đối xứng,
nếu f (t ) Û F (w ) , thì
F (t ) Û 2pf (-w )
Chứng minh: theo phương trình (4.8b)
¥
1 ¥
f (t ) =
F ( x)e jxt dx , do đó 2pf (-t ) = ò F ( x)e - jxt dx
ò
-¥
2p -¥
Thay đổi t thành w , có lại phương trình (4.31).
(4.31)
■ Thí dụ 4.8:
Thí dụ này dùng tính đối xứng [phương trình (4.31)] với cặp biến đồi trong hình 4.17a. Từ
phương trình (4.23), ta có:
ætö
æ wt ö
(4.32)
rectç ÷ Û t sin cç
÷
t
2
è
ø
è
ø
1
424
3
14243
f (t )
F (w )
Ngoài ra, F (t ) giống F (w ) khi thay w bằng t, và f (-w ) là f (t ) khi thay t bằng - w . Dùng tính
đối xứng (4.31), ta có:
æ tt ö
æ -w ö
æw ö
t sin cç ÷ Û 2prect ç
(4.33)
÷ = 2prect ç ÷
2
t
t
è
ø
è
ø
è
ø
14243
142
4 43
4
F (t )
2pf ( - w )
Trong phương trình (4.33) ta cho rect (- x) = rect ( x) do rect là hàm chẵn. Hình 4.17b vẽ cặp biến
đổi này. Quan sát việc hoán vị giữa t và w (với thay đổi nhỏ là thừa số 2p). Kết quả này xuất hiện
trong cặp biến đổi thứ 18 trong bảng 4.1 (với t/2 = W)
Độc giả nên tạo tính đối ngẫu của các cặp trong bảng 4.1 dùng tính đối xứng. ■
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
4.3-3 Tính tỉ lệ
Nếu f (t ) Û F (w ) thì với số thực a bất kỳ f (at ) Û
1 æw ö
Fç ÷
a èaø
Chứng minh
Với số thực dương a,
1 ¥
1 æw ö
f ( x)e ( - jw / a ) x dx = F ç ÷
ò
-¥
¥
a
a èaø
Tương tự, có thể chứng tõ là nếu a < 0,
-1 æ w ö
f (at ) Û
Fç ÷
a èaø
là phương trình (3.34).
F [ f (at )] = ò f (at )e - jwt dt =
¥
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
(4.34)
Ý nghĩa vủa tính tỉ lệ
Hàm f (at ) biểu diễn hai hàm f (t ) nén theo thời gian với tỉ lệ a (xem phần 1.3-2). Tương
æw ö
tự, hàm F ç ÷ biểu diễn hàm F (w ) giãn theo tần số với thừa số a. Theo tính tỉ lệ thì nén tín hiệu
èaø
theo thời gian làm giãn phổ tín hiệu, và giãn theo thời gian tức là nén theo phổ. Một cách trực giác
thì nén theo thời gian với thừa số a tức là tín hiệu thay đổi nhanh hơn với cùng thừa số này. Để
tổng hợp tín hiệu dạng này, tần số của sóng sin phải tăng với thừa số a, và phổ tần số phải giãn với
thừa số a. Tương tự, tín hiệu giãn theo thời gian thay đổi chậm hơn, nên tần số các thành phần tần
số thấp xuống; do đó, phổ tần số bị nén lại. Thí dụ, tín hiệu cos 2w0t là tín hiệu cos w0t nén theo
thời gian với tỉ lệ 2. Rõ ràng thì, phổ của tín hiệu đầu (xung tại ± 2w0 ). Ảnh hưởng của tỉ lệ này
được mô tả trong hình 4.18.
Tính tương hỗ giữa độ rộng tín hiệu và băng thông.
Theo tính tỉ lệ, nếu f (t ) càng rộng, thì phổ hẹp lại, và ngược lại. Độ rộng tín hiệu tăng hai
lần làm băng thông giảm nửa. Tức là băng thông tín hiệu tăng tỉ lệ nghịch với độ rộng tín hiệu
(tình bằng giây). Ta kiểm nghiệm lại là trong trường hợp xung cổng, khi băng thông với độ rộng t
giây là (1/t) Hz.
Khi cho a = -1 trong phương trình (4.34), ta có đặc tính nghịch chuyển giữa thời gian và tần
số.
f (-t ) Û F (-w )
(4.35)
■ Thí dụ 4.9
at
Tìm biến đổi Fourier của e at u (-t ) và e
Dùng phương trình (4.35) vào cặp biến đổi 1 (bảng 4.1), ta có:
1
at
, và e = e - at u (t ) + e at u (-t ) , do đó
e at u (-t ) Û
a - jw
1
1
2a
at
e Û
+
= 2
a + jw a - jw a + w 2
Tín hiệu e
-a t
CuuDuongThanCong.com
và phổ được vẽ ở hình 4.19.
(4.36)
■
https://fb.com/tailieudientucntt
4.3-4 Tính dời theo thời gian
Nếu f (t ) «Û F (w ) thì f (t - t0 ) «Û F (w )e - jwt0
(4.37a)
Từ định nghĩa
F [ f (t - t 0 )] = ò f (t - t0 )e - jwt dt . Đặt t - t 0 = x , ta có
¥
-¥
¥
¥
-¥
-¥
F [ f (t - t0 )] = ò f ( x)e - jw ( x+t0 ) dx =e - jwt0 ò f ( x)e - jwx dx = F (w )e - jwt0
(3.47b)
Kết quả này cho thấy là khi dời tín hiệu đi t0 giây thì không làm thay đổi phổ biên độ. Tuy
nhiên, phổ pha bị thay đổi - wt 0 .
Giải thích thực tế về pha tuyến tính
Trễ theo thời gian trong tín hiệu là nguyên nhân tạo dời pha tuyến tính trong phổ. Kết quả
này còn được tìm ra từ luận chứng thực tế. Tưởng tượng là f (t ) được tổng hợp từ các thành phần
Fourier, là các sóng sin với biên độ và pha nào đó. Tín hiệu f (t - t 0 ) có thể được tổng hợp với các
thành phần sóng sin này mỗi thành phần được dời đi t 0 giây. Biên độ các thành phần vẫn giữ
không đổi. Do đó, phổ biên độ của f (t - t 0 ) giống hệt f (t ) . Mỗi thành phần sóng sin được dời
theo t 0 , điều này làm thay đổi pha của mỗi thành phần.
Xét sóng cos wt được dời đi t 0 được cho bởi
cos w (t - t 0 ) = cos(wt - wt 0 )
Do đó, khi dời sóng sin có tần số w đi t 0 theo thời gian tạo ra độ dời pha wt 0 . Đây là hàm tuyến
tính theo w, tức là các thành phần tần số cao hơn phải có độ dời pha cao hơn nhằm có được cùng
thời gian trễ.
Hiện tượng này được vẽ trong hình 4.20 với hai sóng sin, tần số sóng vẽ bên dưới có tần số
gấp đôi sóng vẽ phía trên. Với cùng thời gian trễ t0 tạo độ dời pha là p/2 cho sóng phía trên và dời
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
pha p cho sóng phía dưới. Điều này cho thấy một thực tế là để đạt được cùng thời gian trễ, các
sóng sin tần số cao phải có độ dời pha cao hơn. Nguyên tắc về dời pha tuyến tính rất quan trọng và
ta sẽ khảo sát lại trong ứng dụng truyền tín hiệu không méo và lọc.
■ Thí dụ 4.10
- a t - t0
Tìm biến đổi Fourier của e
.
-a t
Hàm được vẽ trong hình 4.21a, là dạng dời theo thời gian của e
(vẽ trong hình 4.19a). Từ
phương trình (4.36) và (4.37), ta có
2a
- a t - t0
(4.38)
e
Û 2
e - j wt 0
a + w2
- a t -t0
Phổ của e
(hình 4.19b), trừ việc có thêm độ dời pha - wt 0 .
Quan sát thấy thời gian trễ tạo phổ pha tuyến tính - wt 0 . Thí dụ này làm rõ thêm ảnh hưởng
của dời theo thời gian. ■
■ Thí dụ 4.10
Tìm biến đổi Fourier của e
- a t - t0
.
-a t
Hàm vẽ trong hình 4.21a, là dạng dời theo thời gian của e
(vẽ trong hình 4.19a). Từ
phương trình (4.36) và (4.37), ta có
2a
- a t - t0
e
Û 2
e - jwt0
(4.38)
2
a +w
- a t -t0
Phổ của e
(hình 4.19b), trừ việc có thêm độ dời pha - wt 0 .
Quan sát thấy thời gian trễ tạo phổ pha tuyến tính - wt 0 . Thí dụ này làm rõ thêm ảnh hưởng
của dời theo thời gian. ■
■ Thí dụ 4.11
Tìm biến đổi Fourier của xung cổng f (t ) vẽ trong hình 4.22a
æt ö
Xung f (t ) là xung cổng rect ç ÷ trong hình 4.10a được làm trễ t/2 giây. Vậy, theo phương
èt ø
t
- jw
æt ö
trình (4.37a) có biến đổi là biến đổi Fourier của rect ç ÷ nhân với e 2 , nên:
èt ø
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
t
æ wt ö - jw 2
F (w ) = t sin cç
÷e
è 2 ø
Phổ biên độ F (w ) (vẽ trong hình 4.22b) của xung giống với trường hợp vẽ ở hình 4.10c. Nhưng
phổ pha có thêm thừa số wt/2. Do đó, phổ pha của f (t ) giống trường hợp trong hình 4.10b cộng
thêm thừa số tuyến tính - wt / 2 , và vẽ ở hình 4.22c. ■
D Bài tập E 4.6
Dùng đặc tính dời theo thời gian vào các cặp 18, chứng minh là biến đổi Fourier của
æ w ö - j wT
p
÷÷e
rect çç
. Vẽ phổ biên độ và phổ pha của biến đổi Fourier. Ñ
sin c[w0 (t - T )] là
w0
è 2w0 ø
4.3-5 Tính dời theo tần số.
Nếu f (t ) Û F (w ) thì f (t )e jw0t Û F (w - w0 )
Chứng minh: từ định nghĩa
[
]
¥
¥
-¥
-¥
(4.39)
F f (t )e jw0t = ò f (t )e jw0t e - jwt dt = ò f (t )e - j (w -w0 ) t dt = F (w - w0 )
Từ đặc tính này, phép nhân tín hiệu với thừa số e jw0t dời phổ tín hiệu lên w = w0 . Chú ý tính
đối ngẫu giữa dời theo thời gian và dời theo tần số.
Thay đổi w thành - w0 , ta có
f (t )e - jw0t Û F (w + w0 )
(4.40)
Do e jw0t là hàm không dễ tạo ra trong thực tế, nên thường ta nhân f (t ) với sóng sin để tại
dời tần số. Do
1
f (t ) cos w0t = f (t )e jw0t + f (t )e - jw0t
2
Từ hai phương trình (4.39) và (4.40), ta có
1
(4.41)
f (t ) cos w0t Û [ F (w - w0 ) + F (w + w0 )]
2
[
CuuDuongThanCong.com
]
https://fb.com/tailieudientucntt
Điều này cho thấy là phép nhân tín hiệu f (t ) với sóng sin có tần số w0 , dời phổ F (w ) giá
trị ± w0 , như vẽ trong hình 4.23.
Nhân hàm cos w0t với f (t ) tạo điều chế biên độ, và dạng điều chế này được gọi là điều chế
biên độ. Hàm cos w0t gọi là sóng mang, tín hiệu f (t ) được gọi là tín hiệu điều chế và
f (t ) cos w0t gọi là tín hiệu được điều chế. Phần 4.7 và 4.8 sẽ thảo luận sâu hơn về vấn đề này.
Để vẽ tín hiệu f (t ) cos w0t , ta nhận thấy:
ì f (t ) khi cos w0t = 1
f (t ) cos w0t = í
î- f (t ) khi cos w0t = -1
Do đó, f (t ) cos w0t dính với f (t ) khi cos w0t ở vị trí đỉnh dương và là - f (t ) khi cos w0t ở
vị trí định âm. Tức là f (t ) và - f (t ) hoạt động như đường bao của tín hiệu f (t ) cos w0t (xem
hình 4.23). Tín hiệu - f (t ) là ảnh của f (t ) qua trục ngang. Hình 4.23 vẽ các tín hiệu f (t ) ,
f (t ) cos w0t và phổ tương ứng.
■ Thí dụ 4.12
Tìm và vẽ biến đổi Fourier của tín hiệu được điều chế f (t ) cos10t với f (t ) là xung cổng
æt ö
rect ç ÷ vẽ trong hình 4.24a
è4ø
ætö
Dùng cặp biến sđổi 17 (bảng 4.1), ta có rectç ÷ Û 3 sin c(2w ) , vẽ ở trong hình 4.24b.
è4ø
Phương trình (4.41) cho
1
f (t ) cos 10t Û [ F (w + 10) + F (w - 10)]
2
Trường hợp này, F (w) = 4 sin c (2w ) , do đó:
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
f (t ) cos 10t Û 2 sin c[2 (w + 10)] + 2 sin c[2(w - 10)]
Phổ của tín hiệu f (t ) cos10t có được bằng cách dời F (w ) trong hình 4.24b sang trái 10 và đồng
thời dời sang phải là 10, rồi nhân với (1/2), như vẽ trong hình 4.24d. ■
D Bài tập E 4.7
-t
Vẽ tín hiệu e cos 10t. Tìm biến đổi Fourier của tín hiệu này và vẽ phổ tín hiệu.
1
1
Đáp số: F (w ) =
. Phổ có dạng hình 4.19b (với a =1), dời đi
+
2
(w - 10) + 1 (w + 10) 2 + 1
±10 và nhân với (1/2). Ñ
Ứng dụng vào điều chế
Điều chế được dùng để dời phổ tín hiệu. Một số trường hợp cần dời phổ tín hiệu là:
1. Khi có nhiều tín hiệu, mỗi tín hiệu chiếm cùng dải tần số, được truyền đồng thời trong cùng
môi trường, chúng sẽ gây nhiễu lên nhau. Tại máy thu, ta không thể tách hay khôi phục lại tín
hiệu. Thí dụ, nếu tất cả các đài phát thanh quyết định phát đồng thời các tín hiệu âm tần, thì các
máy thu không thể nào tách chúng ra được. Vấn đề này được giải quyết dùng phương pháp
điều chế, theo đó, mỗi đài phát thanh dùng tần số mang riêng biệt. Mỗi trạm phát tín hiệu được
điều chế. Phương pháp này dời phổ tín hiệu đến các dải tần số của đài mình, không vi phạm
đến các đài khác. Máy thu chỉ việc giải điều chế (làm ngược lại quá trình điều chế). Giải điều
chế bao gồm các phổ dời khác cần thiết để khôi phục lại tín hiệu của băng tần gốc. Chú ý là cả
quá trình điều chế và giải điều chế đều thực hiện dời tần số; do đó, quá trình giải điều chế là
tương tư quá trình điều chế (xem phần 4.7).
Phương pháp truyền đồng thời nhiều tín hiệu trong một kênh truyền bằng cách chia sẻ dải
tần số được gọi là FDM (ghép kênh bằng cách phân chia theo tần số: frequency-division
multiplexing)
2. Để có công suất phát sóng hiệu quả, thì kích thước anten phải ở bước sóng của tín hiệu được
phát. Tín hiệu âm tần rất thấp (bước sóng rất dài) nên không thề thiết lập anten phát sóng trong
thực tế. Do đó, khi dời phổ tín hiệu đến tần số cao hơn (bước sóng ngắn hơn) bằng cách điều
chế giải quyết được vấn đề này.
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
4.3-6 Tích phân chập.
Đặc tính tích phân chập theo thời gian cùng đối ngẫu là đặc tính tích phân chập theo tần số,
cho rằng, nếu:
f1 (t ) Û F1 (w ) và f 2 (t ) Û F2 (w ) thì:
Tích phân chập theo thời gian
f1 (t ) * f 2(t ) Û F1 (w )F2 (w )
(4.42)
Tích phân chập theo tân số
1
f1 (t ) f 2(t ) Û
F1 (w ) * F2 (w )
(4.43)
2p
Chứng minh: từ định nghĩa
¥
¥
¥
¥
F [ f1 (t ) * f 2 (t )] = ò e - jwt é ò f1 (t ) f 2 (t - t )dt ù dt = ò f1 (t )é ò e - jwt f 2 (t - t )dt ù dt
êë -¥
úû
êë -¥
úû
-¥
-¥
Tích phân bên trong của biến đổi Fourier là f 2 (t - t ) , cho bởi đặc tính dời theo thời gian trong
phương trình (4.37) là F (w )e - jwt . Do đó:
F [ f1 (t ) * f 2 (t )] =
ò
¥
-¥
f1 (t )e - jwt F 2(w )dt = F 2(w ) ò
¥
-¥
f1 (t )e - jwt dt = F 1(w ) F 2(w )
Ta đã chứng minh trong phương trình (2.48) là hàm truyền H (w ) là biến đổi Fourier của đáp ứng
xung h(t ) , vậy
(4.44a)
h(t ) Û H (w )
Áp dụng đặc tính tích phân chập theo thời gian cho y (t ) = f (t ) * h(t ) (với giả sử là f (t ) và
h(t ) đều có biến đổi Fourier) , ta có.
(4.44b)
Y (w ) = F (w ) H (w )
Đây chính xác là điều đã chứng minh trong phương trình (4.19)
Đặc tính tích phân chập theo tần số (4.43) có thể được chứng minh tương tự bằng cách thay đổi vai
trò của f (t ) và F (w ) .
■ Thí dụ 4.13
Dùng đặc tính tích phân chập theo thời gian, chứng minh nếu
t
F (w)
f (t ) Û F (w ) thì ò f (t )dt Û
+ pF (0)d (w )
-¥
jw
Do
ì1 t £ t
u (t - t ) = í
nên
î0 t > t
¥
t
-¥
-¥
f (t ) * u (t ) = ò f (t )u (t - t )dt = ò f (t )dt
Dùng đặc tính tích phân chập theo thời gian [phương trình (4.42)]
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
(4.45)
t
é 1
ù
f (t ) * u (t ) = ò f (t )dt Û F (w) ê
+ pd (w )ú
-¥
ë jw
û
Để tìm kết quả này, ta dùng phương trình (1.23a)
■
D Bài tập E 4.8
Dùng đặc tính tích phân chập theo thời gian, chứng tõ là f (t )d (t ) = f (t ) . Ñ
D Bài tập E 4.9
Dùng đặc tính tích phân chập theo thời gian, chứng tõ là
1
e -at u (t ) * e -btu (t ) =
e -at - e -bt u (t )
b-a
Hướng dẫn: Dùng đặc tính (4.42) để tìm biến đổi Fourier của e - at u (t ) * e -btu (t ) . Rồi dùng
khai triển đa thức để tìm biến đổi Fourier nghịch. Ñ
[
]
4.3-7 Vi phân và Tích phân theo thời gian.
Nếu f (t ) Û F (w ) , thì
Vi phân theo thời gian
df
(4.46)
Û jwF (w )
dt
Tích phân theo thời gian
t
F (w )
(4.47)
ò-¥ f (t )dt Û jw + pF (0)d (w )
Chứng minh:
Lấy vi phân hai vế của phương trình (4.8b), ta có
df
1 ¥
df
=
jwF (w )e jwt dw , tức là
= jwF (w )
ò
dt 2p -¥
dt
Lặp lại nhiều lần đặc tính này, ta có
dn f
(4.48)
= ( jw ) n F (w )
n
dt
Đặc tính về tích phân theo thời gian [phương trình (4.47)] được chứng minh trong thí dụ 4.13.
Toán tử
Phép cộng
Phép nhân vô hướng
Phép đối xứng
Tỉ lệ (a: số thực)
Bảng 4.2 Các toán tử của biến đổi Fourier
f (t )
F (w )
f1 (t ) + f 2 (t )
F1 (w ) + F2 (w )
kf (t )
kF (w )
F (t )
2pf (-w )
f (at )
1
w
F( )
a
a
Dời theo thời gian
f (t - t 0 )
Dời theo tân số (w0 số thực)
f (t )e jw0t
CuuDuongThanCong.com
F ( w ) e - j wt 0
F (w - w 0 )
https://fb.com/tailieudientucntt
Tích chập theo thời gian
Tích chập theo tần số
f1 (t ) * f 2 (t )
f1 (t ) f 2 (t )
Vi phân theo thời gian
dn f
dt n
Tích phân theo thời gian
ò
t
-¥
f ( x)dx
F1 (w ) F2 (w )
1
F1 (w ) * F2 (w )
2p
( jw ) n F (w )
F (w )
+ pF (0)d (w )
jw
■ Thí dụ 4.14
ætö
Dùng đặc tính vi phân theo thời gian, tìm biến đổi Fourier của xung tam giác Dç ÷
èt ø
Vẽ trong hình 4.25a.
Để tìm biến đổi Fourier của xung này, ta lấy vi phân nhiều lần, như trong hình 4.25b và 4.25c.
Do df / dt là hằng, nên có đạo hàm d 2 f / dt 2 là zêrô. Nhưng do df / dt có bước nhảy dương gián
đoạn 2/t tại t = ±(t/2) và bước nhảy âm gián đoạn 4/t tại t =0. Nhắc lại là đạo hàm của tín hiệu có
bước nhảy gián đoạn là xung tại điểm gián đoạn có cường độ bằng với lượng bước nhảy. Do đó,
d 2 f / dt 2 , đạo hàm của df / dt , gồm chuỗi các xung, vẽ trong hình 4.25c, tức là:
d2 f 2 é
t
t ù
= êd (t + ) - 2d (t ) + d (t - )ú
2
dt
të
2
2 û
(4.49)
Từ tính vi phân theo thời gian (4.48)
d2 f
Û ( j w) 2 F (w ) = -w 2 F (w )
2
dt
Đồng thời, từ tính dời theo thời gian (4.37)
CuuDuongThanCong.com
(4.50a)
https://fb.com/tailieudientucntt
d (t - t0 ) Û e - jwt0
(4.50b)
Lấy biến đổi Fourier của phương trình (4.49) và sùng kết quả trong phương trình (4.50), ta có
wt
wt
-j
ù 4æ
2é j2
wt
8
ö
æ wt ö
2
- w F (w ) = ê e - 2 + e 2 ú = ç cos
- 1÷ = - sin 2 ç
÷
të
2
t
ø
è 4 ø
û tè
Và
2
é æ wt ö ù
sin ç
÷
8
t ê è 4 øú t
wt ö
2 æ wt ö
ú = sin 2 æç
F (w ) = - 2 sin ç
(4.51)
÷=- ê
÷
wt
2 ê wt ú
2
è 4 ø
è 4 ø
êë
úû
4
Phổ F (w ) vẽ trong hình 4.25d. Phương pháp tìm biến đổi Fourier này có thể dùng cho hàm f (t )
bất kỳ dùng phép tuyến tính hóa từng đoạn với f (t ) ® 0 khi t ® ¥ . Đạo hàm bậc hai của các tín
hiệu này là chuỗi các xung có biến đổi Fourier tìm bằng cách kiểm tra. Thí dụ này gợi ra phương
pháp số để tìm biến đổi Fourier của hàm f (t ) bất kỳ bằng cách xấp xỉ tín hiệu bằng những đoạn
đường thẳng. ■
D Bài tập E 4.8
æt ö
Dùng tính vi phân theo thời gian, tìm biến đổi Fourier của rect ç ÷ . Ñ
èt ø
4.4 Truyền tín hiệu qua hệ thống LT – TT – BB.
Nếu f (t ) và y (t ) là ngõ vào và ngõ ra của hệ LT – TT – BB có hàm truyền H (w ) , thì
theo phương trình (4.44b)
(4.52)
Y (w ) = H (w ) F (w )
Kết quả này chỉ dùng được khi hệ thống ổn định tiệm cận (và ở biên ổn định). Ngoài ra, còn có
yêu cầu là f (t ) phải có biến đổi Fourier. Do đó, các ngõ vào là hàm mủ tăng thì không dùng được
phương pháp này.
Trong chương 6, ta sẽ thấy là biến đổi Laplace, có dạng tổng quát hơn biến đổi Fourier, có
tính đa năng hơn và phân tích được mọi dạng hệ thống LT – TT – BB từ ổn định, khoông ổn định,
hay ở biên ổn định. Biến đổi Laplace còn dùng được với ngõ vào có dạng hàm mủ tăng. Khi phân
tích hệ thống thì biến đổi Laplace vượt trội hơn biến đổi Fourier. Do đó, biến đổi Laplace thích
hợp hơn khi phân tích hệ thống LT – TT – BB, nên ta cần mất công sức để ứng dụng biến đổi
Fourier trong phân tích hệ thống LT – TT – BB. Xem thí dụ sau
■ Thí dụ 4.15
Tìm đáp ứng trạng thái – zêrô của hệ thống LT – TT – BB ổn định có hàm truyền
1
(4,53)
H ( s) =
s+2
1
1
với ngõ vào f (t ) = e -t u (t ) Û F (w ) =
và H (w ) = H ( s ) s = jw =
jw + 1
jw + 2
Do đó Y (w ) = H (w ) F (w ) =
CuuDuongThanCong.com
1
( jw + 2)( jw + 1)
https://fb.com/tailieudientucntt
Dùng khai triển đa thức (xem phần B.5)
1
1
Y (w ) =
, và
( jw + 1) ( jw + 2)
y (t ) = (e -t - e -2t )u (t )
■
D Bài tập E 4.11
Trong hệ thống ở thí dụ 4.15, chứng minh là đáp ứng ngõ vào –zêrô của ngõ vào e t u (-t ) là
1
y (t ) = e t u (-t ) + e -2t u (t )
3
Hướng dẫn: Dùng cặp biến đổi 2 (bảng 4.1) để tìm biến đổi Fourier của e t u (-t ) . Ñ
[
]
4.4-1 Méo tín hiệu khi truyền
Hệ thống có hàm truyền H (w ) , nếu F (w ) và Y (w ) là phổ của các tín hiệu ngõ vào và ngõ
ra, thì:
(4.55)
Y (w ) = F (w ) H (w )
Truyền tín hiệu vào f (t ) qua hệ thống là biến đổi tín hiệu thành ngõ ra y (t ) . Phương trình (4.55)
cho thấy bản chất của thay đổi này. Trường hợp này với F (w ) và Y (w ) là phổ của các tín hiệu
ngõ vào và ngõ ra, thì H (w ) là đáp ứng phổ của hệ thống. Phương trình (4.55) cho ta thấy rõ về
vấn đề định dạng phổ (hay thay đổi) của tín hiệu từ hệ thống, được viết theo dạng cực là
Y (w ) e ÐY (w ) = F (w ) H (w ) e ÐF (w )+ÐH (w )
Do đó
Y (w ) = F (w ) H (w )
(4.56a)
Và
(4.56b)
ÐY (w ) = ÐF (w ) + ÐH (w )
Trong quá trình truyền, phổ tín hiệu vào F (w ) được đổi thành F (w ) H (w ) .
Tương tự, phổ pha tín hiệu vào ÐF (w ) được đổi thành ÐF (w ) + ÐH (w ) . Thành phần phổ tần số
w được thay đổi biên độ với tỉ lệ H (w ) và dời pha một góc ÐH (w ) . Như thế, H (w ) là đáp ứng
biên độ và ÐH (w ) là đáp ứng pha của hệ thống. Đồ thị của H (w ) và ÐH (w ) theo w cho biết
phương thức hệ thống thay đổi biên độ và pha của tín hiệu vào sin. Do đó, H (w ) là đáp ứng tần
số của hệ thống. Trong quá trình truyền qua hệ thống, một số thành phần tần số được gia tăng biên
độ, và một số khác bị suy giảm. Pha tương đối của nhiều thành phần cũng bị thay đổi. Thông
thường, dạng sóng ra sẽ khác dạng sóng vào
Biến đổi Fourier của phương trình này là
Y (w ) = kF (w )e - jwtd , nhưng Y (w ) = F (w ) H (w ) nên H (w ) = ke - jwtd
Đây là hàm truyền cần cho việc truyền không méo. Phương trình trên cho ta
H (w ) = k
Ð H (w ) = -wt d
CuuDuongThanCong.com
(4.58a)
(4.58b)
https://fb.com/tailieudientucntt
Kết quả này cho thấy khi truyền không méo, đáp ứng biên độ H (w ) phải là hằng số và đáp ứng
pha ÐH (w ) phải là hàm tuyến tính theo w với độ dốc -t d với t d là thời gian trễ của ngõ ra theo
ngõ vào (hình 4.26).
Giải thích một cách trực giác về điều kiện truyền không méo
Cũng nên tìm hiểu một cách trực giác về điều kiện truyền không méo. Một lần nữa, tưởng
tượng f (t ) bao gồm nhiều thành phần sóng sin (các thành phần phổ), đi qua hệ thống không méo.
Trường hợp không méo, thì tín hiệu ngõ ra là tín hiệu vào nhân với k và làm trễ đi t d . Để tổng hợp
tín hiệu này, ta cần có các thành phần chính xác của f (t ) , với từng thành phần được nhân với k và
làm trễ đi t d . Như thế, hàm truyền hệ thống H (w ) có mỗi thành phần sóng sin phải chịu sự suy
giảm k và thời gian trễ t d giây. Điều kiện đầu tiên là
H (w ) = k
Ta thấy là để có cùng thời gian trễ t d với mỗi thành phần tần số thì cần trễ pha tuyến tính là wt d
(hình 4.20). Do đó:
Ð H (w ) = -wt d
Phương trình này cho thấy thời gian trễ do truyền tín hiệu qua hệ thống với đáp ứng pha có độ dốc
ÐH (w ) , tức là
d
(4.59)
t d (w ) = ÐH (w )
dw
Nếu độ dốc của ÐH (w ) là hằng số (tức là ÐH (w ) là tuyến tính theo w), mọi thành phần bị trễ với
cùng khoảng thời gian t d . Nhưng nếu độ dốc là hằng, thì thời gian trễ thay đổi theo tần số. Thay
đổi này tức là các thành phần tần số khác nhau sẽ có lượng thời gian trễ thay đổi khác nhau, do đó
các sóng ra sẽ không là bản sao của tín hiệu vào. Để quan sát được tính tuyến tính của pha ta nên
vẽ t d là hàm theo tần số. Trong hệ thống không méo, t d nên là hằng trong dải tần số công tác.
Thường có suy nghĩ (tuy không đúng) là chỉ cần có đáp ứng biên độ H (w ) phẳng (flatness)
là đủ bảo đảm được chất lượng tín hiệu. Tuy nhiên, ghi nhận được là hệ thống có đáp ứng biên độ
phẳng vẫn bị méo nếu đáp ứng pha không tuyến tính ( t d không là hằng số)
Bản chất méo dạng tín hiệu auđiô và viđêo
Nói chung, tai người có thể cảm nhận nhanh méo biên độ, dù tương đối không nhạy cảm với
méo pha. Trường hợp ghi nhận được méo pha, thì thay đổi của thời gian trễ
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
[thay đổi với độ dốc của ÐH (w ) ] cần so sánh được với độ rộng của tín hiệu (hay độ rộng cảm
nhận thực tế, khi tín hiệu tự thân đã là dài). Trường hợp tín hiệu auđiô, từng âm tiết được xem là
từng tín hiệu riêng biệt. Độ rộng trung bình của âm tiết là từ 0,01 đến 0,1 giây. Hệ thống auđiô có
thể có pha phi tuyến, nhưng độ méo tín hiệu do các hệ thống auđiô thực tế ghi nhận được với độ
thay đổi lớn nhất của độ dốc ÐH (w ) thường chỉ là vài phần của miligiây. Đây là lý do để kết luận
là “tai người tương đối không nhạy cảm với méo pha” . Kết quả là các nhà sản xuất thiết bị auđiô
thường chỉ chú tâm hoàn thiện các đặc tính H (w ) của thiết bị.
Ngược lại, trong trường tín hiệu viđêo thì mắt người nhạy cảm với méo pha nhưng tương đối
không nhạy cảm với méo biên độ. Méo biên độ trong tín hiệu truyền hình cho thấy phá hỏng nửa
tông giá trị của hình ảnh có được, không dễ được mắt người nhận ra. Méo pha (pha phi tuyến), thì
làm tạo các thời gian trễ khác nhau trong các phần tử ảnh. Kết quả này làm hình ảnh bị lem luốt,
nên mắt người dễ nhận ra. Méo pha cũng rất quan trọng trong thông tin số do đặc tính pha phi
tuyến của kênh truyền làm xung bị tán xạ (phân bố ra), là, xung gây nhiễu lên các xung lân cận, tao
sai số cho máy thu: bit 1 sẽ được đọc là 0, và ngược lại.
4.5 Mạch lọc lý tưởng và mạch lọc thực tế.
Mạch lọc lý tưởng truyền không méo một dải tần số và triệt mọi thành phần tần số còn lại.
Thí dụ, mạch lọc thông thấp lý tưởng (hình 4.27), truyền không méo các thành phần tần số thấp
hơn w = W radian/giây và triệt mọi thành phần tần số lớn hơn w = W. Hình 2.28 vẽ các đặc tính
và băng thông của mạch lọc thông cao.
Mạch lọc thông thấp lý tưởng trong hình 4.27a có pha tuyến tính với độ dốc -t d , tạo thời
gian trễ t d cho mọi thành phần tần số tín hiệu vào thấp hơn W radian/giây. Do đó, nếu tín hiệu vào
f (t ) có băng thông giới hạn W radian/giây, ngõ ra y (t ) là tín hiệu f (t ) bị trễ t d , tức là
y (t ) = f (t - t d )
Tín hiệu f (t ) được hệ thống truyền không méo, nhưng có thời gian trễ là t d . Với bộ lọc này
æ w ö
- jtw
H (w ) = rect ç
÷ và ÐH (w ) = e d , nên
2
W
è
ø
æ w ö - j wt d
H (w ) = ret ç
÷e
è 2W ø
(4.60a)
Đáp ứng xung h(t ) của bộ lọc có được từ cặp biến đổi 18 (bảng 4.1) và đặc tính dời theo thời
gian
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
é
æ w ö - j wt d ù W
ú = p sin c[W (t - t d )]
h(t ) = F- -1 êrect çè 2W ÷øe
ë
û
(4.60b)
Nhắc lại h(t ) là đáp ứng của hệ thống với xung vào d (t ) , áp vào tại t = 0 . Hình 4.27b vẽ
thực tế là: đáp ứng h(t ) bắt đầu trước khi đưa tín hiệu vào ( t = 0 ). Rõ ràng, bộ lọc là không nhân
quả và không thực hiện được trong thực tế. Tương tự, ta chứng mih được là các mạch lọc lý tưởng
khác (như lọc thông cao lý tưởng hay thông dải lý tưởng) đều không thực hiện được trong thực tế.
Đối với các hệ thống thực hiện được trong thực tế, thì h(t ) phải là nhân quả, tức là
h(t ) = 0 khi t < 0
Trong miền tần số, điều kiện này tương đương với tiêu chuẩn nổi tiếng Paley-Wiener, theo
đó điều kiện cần và đủ để đáp ứng biên độ H (w ) thực hiện được là
ò
¥
ln H (w )
dw < ¥
(4.61)
1+ w2
Nếu H (w ) không thỏa điều kiện này, thì không thực hiện được. Chú ý là nếu H (w ) = 0
-¥
trong một dải tần số giới hạn, ln H (w ) = ¥ trong dải tần số này, và điều kiện (4.61) bị vi phạm.
Tuy nhiên, nếu H (w ) = 0 tai một tần số (hay tập các tần số rời rạc), thì tích phân trong phương
trình (4.61) có thể vẫn còn hữu hạn dù thành phần lấy tích phân là vô hạn. Do đó, thực hiện được
trong thực tế, H (w ) có thể bằng zêrô tại một số tần số rời rạc nhưng không thể là zêrô trong một
khoảng tần hữu hạn. Từ tiêu chuẩn này, các bộ lọc lý tưởng trong hình (4.27) và (4.28) là không
thực hiện được.
Đáp ứng xung h(t ) trong hình 4.27 là không thực hiện được. Hướng thực tế để thiết kế bộ
lọc là cắt bớt h(t ) khi t < 0 . Điều này tạo đáp ứng xung nhân quả hˆ(t ) , với
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
hˆ(t ) = h(t )u (t )
thực hiện được do là nhân quả (hình 4.29). Nếu t d là đủ lớn, hˆ(t ) sẽ xấp xỉ gần đúng h(t ) , kết quả
là bộ lọc Hˆ (w ) sẽ xấp xỉ tốt bộ lọc lý tưởng. Điều này thực hiện được do tăng giá trị của thời gian
trễ t d . Quan sát này cho thấy giá phải trả cho xấp xỉ gần đúng là phải có thời gian trễ lớn; đây là
điều thường gặp trong các hệ thống không nhân quả. Về mặt lý thuyết, thì thời gian trễ t d = ¥ cần
cho việc thực hiện bộ lọc lý tưởng. Trong hình 4.27b thì thời gian trễ t d là từ 3 đến 4 lần giá trị
(p/W) là đủ cho hˆ(t ) xấp xỉ hợp lý h(t - t ) . Thí dụ, bộ lọc tín hiệu auđiô cần hoạt động với tần
d
số đến 20 kHz (W = 40.000p). Trường hợp này thì t d vào khoảng 0,1ms là một lựa chọn hợp lý.
Tác động cắt bớt (cắt phần đuôi để h(t ) trở thành nhân quả), tuy nhiên điều này cũng tạo ra một số
vấn đề. Ta sẽ thảo luận tiếp về vấn đề này trong phần 4.9.
Trong thực tế, ta có thể thực hiện bộ lọc có đặc tính gần lý tưởng. Các đặc tính bộ lọc lý
tưởng tăng dần, không có bước nhảy gián đoạn trong đáp ứng biên độ. Ta sẽ nghiên cứu các bộ lọc
họ này (Butterworth và Chebyshev) trong phần 7.4 và 7.5. Hình 7.17 vẽ đáp ứng biên độ của mạch
lọc Butterworth.
D Bài tập E 4.12
2
Chứng tõ là bộ lọc có hàm truyền H (w ) = e -aw là không thực hiện được. Làm với hai
phương pháp: đầu tiên bằng cách chứng minh là đáp ứng xung là không nhân quả, rồi chứng tõ là
H (w ) vi phạm tiêu chuẩn Paley-Wiener.
Hướng dẫn: Dùng cặp biến đổi 22 trong bảng 4.1. Ñ
Suy nghĩ về miền thời gian và miền tần số:
Quan điểm hai chiều của tín hiệu và hệ thống.
Cả tín hiệu và hệ thống đều có hai tính cách đối ngẫu; miền thời gian và miền tần số. Để
hiểu rõ hơn, ta hảy xem xét và tìm hiểu cả hai tính cách này do chúng cung cấp kiến thức bổ sung
nhau. Thí dụ trong tín hiệu dạng mủ, được đặc trưng bằng mô tả trong miền thời gian là e -2t u (t )
hay bằng biến đổi Fourier (mô tả trong miền tần số) là 1 /( jw + 2) . Mô tả trong miền thời gian cho
thấy dạng sóng tín hiệu. Mô tả trong miền tần số cho thấy các thành phần phổ (các thành phần biên
độ tương đối và pha của sóng sin (hay hàm mủ)). Thí dụ, tín hiệu e -2t miền thời gian miêu tả tín
hiệu giảm theo dạng mủ với hằng số thời gian là 0,5. Mô tả trong miền tần số cho tấy đây là mạch
lọc thông thấp, có thể được tổng hợp dùng các sóng sin có biên độ giảm tại tần số chừng 1/w.
Hàm truyền H (w ) đặc trưng cho đáp ứng tần số; tức là đáp ứng của hệ thống với ngõ vào
dạng mủ hay sin với nhiều tần số khác nhau. Đây rõ ràng là đặc tính lọc của hệ thống.
Các kỹ sư có kinh nghiệm thường có xu hướng suy nghĩ trực giác về cả hai miền (thời gian
và tần số) khi có thể được. Khi họ nhìn vào tín hiệu, họ đều xem xét dạng sóng, độ rộng tín hiệu,
và tốc độ tại đó dạng sóng giảm. Đây là quan điểm trong miền thời gian. Họ còn suy nghĩ về tín
hiệu theo phổ tần số tức là theo các thành phần sin cùng biên độ tương đối và pha. Đây là quan
điểm trong miền tần số.
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Nói đến hệ thống, họ nghĩ đến đáp ứng xung h(t ) . Độ rộng của h(t ) cho thấy hằng số thời
gian (thời gian đáp ứng); tức là, hệ thống có thể đáp ứng với ngõ vào nhanh đến đâu, và tạo tán xạ
tín hiệu đến đâu. Đây là quan điểm trong miền thời gian. Theo quan điểm miền tần số, các kỹ sư
này xem hệ thống là mạch lọc, với tính truyền chọn lọc một số thành phần tần số và loại trừ các tần
số khác [đáp ứng tần số H (w ) ]. Khi biết được phổ tín hiệu vào và đáp ứng tần số của hệ thống, họ
có được hình ảnh về phổ tín hiệu ra. Ý niệm này được biểu diễn chính xác là Y (w ) = F (w ) H (w ) .
Ta có thể phân tích hệ thống TT – BB dùng kỹ thuật miền thời gian hay dùng miền tần số.
Nhưng tại sao phải nghiên cứu cả hai? Lý do là hai miền này bổ sung kiến thức cho nhau về hoạt
động của hệ thống. Một số nét dễ nắm bắt trong một miền; các nét khác lại dễ thấy được trong
miền khác. Cả miền thời gian và miền tần số đều cần cho nghiên cứu tín hiệu và hệ thống như
người ta phải có hai mắt để cảm nhận tốt tín hiệu thực, con người có thể nhìm với một mắt, nhưng
để cảm nhận đúng ãnh thực ba chiều thì đòi hỏi phải dùng hai mắt.
Điều quan trọng là phải giữa hai miền này riêng biệt, và không nên trộn lẫn chúng lại. Nếu ta
dùng miền tần số để xác định đáp ứng của hệ thống, ta cần các tín hiệu được biểu diễn theo phổ
(biến đôi Fourier) và mọi hệ thống được viết theo hàm truyền. Thí dụ, để xác định đáp ứng hệ
thống y (t ) theo ngõ vào f (t ) , đầu tiên ta chuyển đổi tín hiệu vào thành môt tả trong miền tần số
F (w ) . Mô tả hệ thống còn phải trong miền tần số; tức là hàm truyền là H (w ) . Phổ tín hiệu ra
Y (w) = F (w )H (w ) , vậy kết quả (tín hiệu ra) cũng là trong miền tần số. Đề xác định được đáp số
cuối y (t ) , ta cần lấy biến đổi nghịch của Y (w ) .
4.6 Năng lượng tín hiệu.
Năng lượng tín hiệu E f của tín hiệu f (t ) được định nghĩa trong chương 1 là:
Ef = ò
¥
-¥
2
(4.62)
f (t ) dt
Năng lượng tín hiệu có thể quan hệ với phổ tín hiệu F (w ) bằng cách thay phương trình (4.8b)
vào phương trình trên:
¥
¥
é 1 ¥
ù
E f = ò f (t ) f * (t )dt = ò f (t ) ê
F (w)e - jwt dw ú dt
ò
-¥
-¥
¥
ë 2p
û
*
Ta dùng f (t ) , là liên hợp của f (t ) , có thể biểu diễn thành phần liên hợp của vế phải phương
trình (4.8b). Thay đổi thứ tự lấy tích phân, ta có:
1 ¥ *
é ¥ f (t )e - jwt dt ù dw = 1 ¥ F (w ) F * (w )dw = 1 ¥ F (w ) 2 dw (4.63)
Ef =
F
(
w
)
êë ò-¥
úû
2p ò-¥
2p ò-¥
2p ò-¥
Do đó
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
1 ¥
2
F ( w ) dw
(4.64)
ò
¥
2p
Đây là công thức nổi tiếng Parseval (dùng cho biến đổi Fourier). Kết quả tương tự có được
trong phương trình (3.42) và (3.82) của tín hiệu tuần hoàn và chuỗi Fourier tương ứng. Kết quả
này cho phép ta xác định năng lượng tín hiệu từ đặc tính miền thời gian f (t ) hay đặc tính trong
miền tần số F (w ) của cùng tín hiệu.
Phương trình (4.63) có thể biểu diễn theo năng lượng tín hiệu f (t ) là kết quả từ năng lượng
đóng góp bởi mọi thành phần phổ của tín hiệu f (t ) . Năng lượng chung là vủng diện tích
Ef = ò
¥
-¥
f (t ) 2 dt =
F (w ) (chia cho 2 p ). Nếu ta xét một đoạn nhỏ Dw ( Dw ® 0 ), vẽ trong hình 4.30, thì năng lượng
2
DE f của thành phần phổ của đoạn này là diện tích F (w ) của đoạn này (chia cho 2p) :
2
1
Dw
2
2
F (w ) Dw = F (w ) D F
= D F Hz
(4.65)
2p
2p
Do đó, năng lượng đóng góp từ các thành phần trong đoạn này là DF (tính bằng Hz) là
DE f =
F (w ) DF . Năng lượng tổng là tổng các năng lượng từ các đoạn này và được cho bởi vùng diện
2
tích F (w ) theo phương trình (4.63). Như thế F (w ) là mật độ phổ năng lượng (theo đơn vị
băng thông là Hz)
2
Đối với tín hiệu thực, F (w ) và F (-w ) là liên hợp, nên F (w ) là hàm chẵn theo w, do
2
2
F (w ) = F (w ) F * (w ) = F (w ) F ( -w )
Do đó, phương trình (4.63) viết lại
1 ¥
2
(4.66)
E f = ò F (w ) dw
0
p
Năng lượng tín hiệu E f , là kết quả từ các đóng góp của mọi thành phần tần số từ w = 0 đến
2
¥, được cho bởi phần diện tích của F (w ) (chia cho 1/p) khi w = 0 đến ¥. Vậy năng lượng đóng
2
góp từ các thành phần tần số giữa w1 và w2 là
1 w2
2
(6.67)
DE f = ò F (w ) dw
w
1
p
■ Thí dụ 4.16
Tìm năng lượng tín hiệu f (t ) = e - at u (t ) . Xác định tần số W (rad/s) để năng lượng đóng góp
từ các thành phần phổ của các tần số thấp hơn W là 95% năng lượng tín hiệu Ef.
Ta có
¥
¥
1
E f = ò e -at u (t )dt =ò e -2 at dt =
-¥
0
2a
Có thể kiểm nghiệm kết quả dùng định lý Parseval. Với tín hiệu
1
và
F (w ) =
jw + a
1
Ef =
p
CuuDuongThanCong.com
ò
¥
0
1
F (w ) dw =
p
2
ò
¥
0
1
1
w
d = tan -1
2
2 w
w +a
pa
a
¥
=
0
1
2a
https://fb.com/tailieudientucntt
Dải tần w = 0 đến w = W chứa 95% năng lượng tín hiệu, tức là 0,95/2a, nên từ phương trình (4.67)
với w1 = 0 và w2 = W , ta có
0,95 1 ¥ dw
1
w
1
W
= ò 2
=
tan -1
=
tan -1
2
2a p 0 w + a
pa
a 0 pa
a
0,95
W
= tan -1 Þ W = 12,706a rad/s
2a
a
Kết quả này cho thấy là thành phần phổ của f (t ) trong dải tần từ 0 (dc) đến 12,706a rad/s
(2,02a Hz) đóng góp 95% năng lượng tổng; các thành phần phổ còn lại (trong dải từ 12,706a rad/s
đến ¥) chỉ đóng góp 5% của năng lượng tín hiệu. ■
W
D Bài tập E 4.13
Dùng định lý Parseval, chứng tõ là năng lượng tín hiệu
2a
2p
là
f (t ) = 2
2
t +a
a
Hướng dẫn: Tìm F (w ) dùng cặp biến đổi 3 và đặc tính đối xứng. Ñ
Băng thông chủ yếu của tín hiệu
Phổ của nhiều tín hiệu mở rộng đến vô cùng. Tuy nhiên, do năng lượng của các tín hiệu thực
tế là hữu hạn, nên phổ tín hiệu phải tiến về 0 khi w ® ¥ . Hầu hết năng lượng tín hiệu nằm trong
băng thông B Hz, và năng lượng đóng góp từ các thành phần phổ cao hơn B Hz là không đáng kể.
Ta có thể loại phổ tín hiệu lớn hơn B Hz mà không ảnh hưởng đến hình dạng và năng lượng tín
hiệu. Băng thông B được gọi là băng thông chủ yếu của tín hiệu. Tiêu chuẩn chọn lựa B phụ
thuộc vào dung sai cho phép của từng ứng dụng cụ thể. Thí dụ, ta có thể chọn B là dải tần chứa
95% năng lượng tín hiệu. Chọn lựa này có thể thấp hơn 95% tùy theo độ chính xác mong muốn.
Dùng tiêu chuẩn này, ta có thể xác định bằng thông chủ yếu của tín hiệu. Băng thông chủ yếu B
của tín hiệu e - at u (t ) , theo tiêu chuẩn 95%, đã được xác định trong thí dụ 4.16 là 2,02a Hz.
Triệt mọi thành phần phổ của f (t ) cao hơn băng thông chủ yếu tạo tín hiệu fˆ (t ) , là xấp xỉ
gần đúng của f (t ) . Nếu dùng tiêu chuẩn 95% cho băng thông chủ yếu, năng lượng của sai biệt
giữa f (t ) - fˆ (t ) là 5% của E .
f
Tìm mật độ phổ năng lượng từ hàm tự tương quan
Tương quan giữa hàm f (t ) với chính nó được gọi là hàm tự tương quan y f (t ) , khi f (t )
là hàm thực, thì [xem phương trình (3.32)]:
¥
y f (t ) = ò f ( x) f ( x - t )dx
(4.68a)
-¥
Đồng thời từ phương trình (3.31) khi g (t ) = f (t ) , thì
y f (t ) = f (t ) * f (-t )
Từ phương trình (4.68b)
y f (-t ) = f (-t ) * f (t ) = y f (t )
(4.68b)
Như thế, khi hàm f (t ) thực, thì hàm tự tương quan y f (t ) là hàm chẵn theo t. Biến đổi Fourier
của phương trình (4.68b) cho
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
y f (t ) Û F (w )
2
(4.69)
Do đó, biến đổi Fourier của hàm tự tương quan là mật độ phổ năng lượng F (w ) . Rõ ràng là
2
y f (t ) cung cấp trực tiếp thông tin phổ cho f (t ) .
Quan hệ trực tiếp giữa hàm tự tương quan với thông tin phổ có thể được giải thích một cách
trực giác như sau. Hàm tự tương quan y f (t ) là tương quan của tín hiệu với chính nó được làm trể
đi t giây. Tín hiệu f (t ) tương quan hoàn toàn với chính nó khi thời gian trễ là zêrô. Nhưng khi
thời gian trễ tăng, tính tương đồng giảm đi.
Do đó, hàm tự tương quan y f (t ) là hàm không tăng theo t. Nếu f (t ) là tín hiệu thay đổi
chậm (tín hiệu có tần số thấp), là tín hiệu thay đổi chậm theo t. Do đó, các tín hiệu này có thể là
tương đồng hay tương quan với chính nó ngay cả khi có thời gian trễ lớn. Hàm tự tương quan
y f (t ) giảm chậm theo t và có độ rộng dài. Nói cách khác, khi tín hiệu thay đổi nhanh, tín hiệu
tương đồng sẽ giảm nhanh với thời gian trễ t và y f (t ) có độ rộng hẹp lại. Như thế, hình dạng của
y f (t ) có quan hệ trực tiếp với thông tin phổ của f (t ) .
4.7 Ứng dụng trong thông tin: Điều chế biên độ.
Điều chế làm dời phổ tín hiệu và được dùng để có các ưu điểm như trong phần 4.3-5.
Nói rộng hơn, có hai dạng điều chế: Điều chế biên độ (tuyến tính) và điều chế góc (phi tuyến), là
nội dung của hai phần kế tiếp. Phần này, ta thảo luận một số dạng thực tế của điều chế biên độ.
4.7-1 Điều chế hai biên triệt sóng mang (DSB – SC: Double Sideband, Suppressed Carrier)
Khi điều chế biên độ, biên độ A của sóng mang A cos(wc t + q c ) thay theo tín hiệu nền (tin
tức) m(t ) (được gọi là tín hiệu điều chế). Tần số wc và pha q c là hằng số. Nếu biên độ sóng mang
A thay đổi tỉ lệ với tín hiệu điều chế m(t ) , tín hiệu sau điều chế là m(t ) cos wc t (hình 4.31a). Theo
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
phương trình (4.41) dạng điều chế này chỉ đơn giản dời phổ của m(t ) đến tần số`sóng mang (hình
4.31c). Do đó, nếu
m(t ) Û M (w ) , thì
1
(4.70)
m(t ) cosw c t Û [M ( w + wc ) + M (w - wc )]
2
Nhắc lại M (w - wc ) là M (w) dời phải đi wc và M (w + wc ) là M (w) dời trái đi wc . Do đó, quá
trình điều chế dời phổ tín hiệu điều chế sang phải và sang trái một lượng wc . Chú ý là nếu băng
thông của m(t ) là B Hz. Ta cũng thấy là phổ tín hiệu điều chế tập trung tại wc gồm hai phần: một
phần nằm trên wc , được gọi là biên tần trên (USB: upper side band), và phần nằm dưới wc được
gọi là biên tần dưới (LSB: lower side band). Tương tự, phổ tập trung tại - wc cũng có biên tần
trên và biên tần dưới. Dạng điều chế này được gọi là điều chế hai biên (DSB: double side band).
Quan hệ giữa B và wc rất thú vị. Hình 4.31c cho thấy wc ³ 2pB nhằm tránh trùng lắp và
mất thông tin của m(t ) trong quá trình điều chế, tổn thất này làm không thể khôi phục lại thông tin
m(t ) từ tín hiệu m(t ) cos wc t .
■ Thí dụ 4.17
Tín hiệu điều chế m(t ) = cos wm t , tìm tín hiệu DSB, và vẽ phổ. Nhận dạng biên tần trên và
biên tần dưới.
Ta sẽ giải bài toán trong miền tần số và miền thời gian nhằm làm rõ ý niệm về DSB-SC.
Theo hướng miền tần số, ta khảo sát phổ tín hiệu. Phổ của tín hiệu điều chế m(t ) = cos wm t được
cho bởi:
M (w) = p [d (w - wm ) + d (w + w m )]
Phổ gồm hai xung tại vị trí ± w m , vẽ trong hình 4.32a. Phồ của DSB-SC, vẽ theo phương trinh
(4.40), là tín hiệu điều chế trong hình 4.32a dời phải wc (nhân ½), vẽ trong hình 4.32b. Phổ này
gồm các xung tại ± (wc - w m ) và ± (wc + wm ) . Phổ bên trên wc gọi là biên tần trên (USB) và phổ
nằm ben dưới wc gọi là biên tần dưới (LSB). Quan sát rằng phổ DSB – SC không chứa thành phần
tần số sóng mang wc . Do đó phương thức này còn gọi là điều chế hai biên triệt sóng mang.
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Theo hướng miền thời gian, ta xử lý trực tiếp tín hiệu trong miền thời gian. Với tín hiệu điều
chế (tín hiệu nền) m(t ) = cos wm t , tín hiệu DSB – SC j DSB-SC là
1
j DSB-SC = m(t ) cos wct = cos wmt cos wc t = [cos(wc + w m )t + cos(wc - wm )t ] (4.71)
2
Kết quả này cho thấy là khi tín hiệu tần số nền (tin tức) là một sóng sin có tần số wm , tín hiệu được
điều chế gồm hai thành phần sòng sin: thành phần tần số wc + w m (biên tần trên) và thành phần tần
số wc - wm (biên tần dưới). Hình 4.32b vẽ chính xác phổ của tín hiệu j DSB-SC . Do đó, từng thành
phần tần số wm trong tín hiệu điều chế tạo hai thành phần tần số wc + w m và wc - wm trong tín
hiệu được điều chế. Đây là trường hợp của điều chế DSB – SC (triệt sóng mang), không có thành
phần sóng mang tần số wc trong vế phải của phương trình trên.
Giải điều chế DSB – SC
Điều chế DSB – SC chuyển hay dời phổ tần số sang trái hay phải của wc (tức + wc và – wc ),
theo phương trình (4.70). Để khôi phục tín hiệu gốc m(t ) từ tín hiệu được điều chế, ta phải chuyển
lại phổ về vị trí ban đầu. Quá trình khôi phục tín hiệu từ tín hiệu được điều chế (dời ngược lại phổ
về vị trí ban đầu) được gọi là giải điều chế hay tách sóng. Quan sát thấy nếu phổ của tín hiệu
được điều chế trong hình 4.31c, có chứa các thành phần phổ nền (baseband) mong muốn và thành
phần phần phổ không mong muốn tại ± 2wc , và có thể loại dùng mạch lọc thông thấp. Như thế,
giải điều chế hầu như giống với quá trình điều chế, bao gồm phép nhân tín hiệu được điều chế
m(t ) cos wc t với sóng mang cos wc t rồi qua lạch lọc thông thấp, vẽ trong hình 4.33a. Ta có thể
kiểm tra trực tiếp kết luận này trong miền thời gian thông qua quan sát tín hiệu e(t ) trong hình
4.33a là
1
(4.72a)
e(t ) = m(t ) cos 2 wc t = [m(t ) + m(t ) cos 2wc t ]
2
Biến đổi Fourier của tín hiệu e(t ) :
1
1
E (w) = M (w ) + [ M (w + 2wc ) + M (w - 2wc )]
2
4
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
(4.72b)
1
1
m(t ) và m(t ) cos 2wc t , và phổ tương ứng, như vẽ trong hình
2
2
4.33b. Phổ của thành phần thứ hai, được điều chế với sóng mang tần số 2wc , tập trung tại ± 2wc .
1
Do đó, thành phần này bị loại bằng mạch lọc trong hình 4.33a. Thành phần mong muốn M (w ) ,
2
1
là phổ thông thấp (tập trung tại w = 0 ), đi qua mạch lọc, tạo sóng ra m(t ) .
2
Dạng đặc tính có thể có của mạch lọc thông thấp vẽ (đường chấm) trong hình 4.33b. Phương
pháp khôi phục tín hiệu băng thông nền được gọi là tách sóng đồng bộ, hay tách sóng coherent,
theo đó ta dùng chính xác cùng tần số (và pha) của sóng mang dùng khi điều chế. Nên để giải điều
chế ta cần tạo sóng mang tại máy thu với tần số và pha đồng bộ với sóng mang dùng khi điều chế.
Thí dụ 4.18 minh họa để thấy tầm quan trọng của vấn đề về đồng bộ tần số và pha.
Do đó, e(t ) gồm hai thành phần
■ Thí dụ 4.18
Thảo luận về ảnh hưởng khi thiếu đồng bộ (coherent) của tần số và pha giữa sóng mang tại bộ
điều chế (máy phát) và bộ giải điều chế (máy thu) trong DSB – SC .
Gọi sóng mang tại bộ điều chế là cos wc t (hình 4.31a). Tại bộ giải điều chế trong hình 4.33a,
ta xem xét hai trường hợp: (1) trường hợp đầu với sóng mang cos(wc t + q ) (sai số pha q) và (2)
trường hợp thứ 2 với sóng mang cos(wc + Dw )t (sai số tần số Dw).
(a)
Khi tần số sóng mang tại bộ giải điều chế là cos(wc t + q ) (thay vì cos wc t ), ngõ ra của bộ
nhân là e(t ) = m(t ) cos wc t cos(wc t + q ) thay vì là m(t ) cos 2 wc t . Dùng đẳng thức lượng giác,
ta có:
1
e(t ) = m(t ) cos wc t cos(wc t + q ) = m(t )[cos q + cos(2wc t - q )]
2
1
Phổ của thành phần m(t )[cos q + cos(2wc t - q )] tập trung tại ± 2wc . Do đó, bị bộ lọc
2
1
thông thấp triệt bỏ tại ngõ ra bộ giải điều chế. Thành phần m(t ) cos q là tín hiệu m(t ) nhân
2
1
với hằng số
cos q . Phổ của thành phần này tập trung tại w = 0 (phổ thông thấp) và sẽ đi
2
1
qua mạch lọc thông thấp tại ngõ ra, có được m(t ) cos q .
2
Nếu q là hằng số, pha không đồng bộ chỉ đơn thuần bị suy giảm tại ngõ ra (với thừa số
cosq. Điều khoông may là trong thực tế q thường là sai biệt về pha giữa sóng mang do hai
máy phát khác nhau tạo ra, thay đổi ngẫu nhiên theo thời gian. Thay đổi này sẽ tạo ngõ ra với
độ lợi thay đổi ngẫu nhiên theo thời gian.
(b)
Trường hợp sai tần số, sóng mang tại bộ giải điều chế là cos(wc + Dw )t . Tình trạng này rất
giống như trường hợp sai pha trong trường hợp (a) với q được thay bằng (Dw )t . Dùng cách
phân tích ở phần (a), biểu diễn được tích tại bộ giải điều chế e(t ) là
1
e(t ) = m(t ) cos wc t cos(wc + Dw)t = m(t )[cos(Dw )t + cos(2wc + Dw )t ]
2
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
1
m(t ) cos(2wc + Dw )t tập trung tại ± (2wc + Dw ) . Do đó, bị bộ lọc
2
1
thông thấp triệt bỏ tại ngõ ra bộ giải điều chế. Thành phần m(t ) cos(Dw )t là tín hiệu m(t )
2
nhân với sóng mang tần số thấp Dw. Phổ của thành phần này tập trung tại ±Dw. Trong thực
1
tế, sai biệt tần số (Dw) thường rất bé. Do đó, tín hiệu m(t ) cos(Dw )t (có phổ tập trung tại
2
1
±Dw) là tín hiệu thông thấp và qua bộ lọc thông thấp, tạo ngõ ra
m(t ) cos(Dw )t . Ngõ ra là
2
tín hiệu mong muốn m(t ) nhân với sóng sin tần số rất bé cos(Dw )t . Thí dụ, nếu tần số sóng
mang tại máy phát và máy thu chỉ sai nhau 1 Hz, thì ngõ ra là tín hiệu mong muốn m(t ) nhân
với tín hiệu thay đổi theo thời gian có độ lợi từ tối đa đến 0 từng nửa giây. ■
Phổ của thành phần
4.7-2 Điều chế biên độ (AM: Amplitude Modulation)
Trong sơ đồ triệt sóng mang vừa rồi, máy thu phải tạo được tần số sóng mang đồng bộ về
biên độ và pha với sóng mang tại máy phát được đặt cách đó hàng ngàn dậm. Tình trạng này cần
có máy thu phức tạp, nên rất tốn kém. Một phương thức khác là máy phát, phát sóng mang
A cos wc t [cùng với tín hiệu được điều chế m(t ) cos wc t ] do đó máy thu không cần tạo sóng mang.
Trường hợp này máy phát cần phát công suất lớn hơn, với chi phí tốn kém hơn. Tuy nhiên, trong
hệ thống thông tin quãng bá, dùng một máy phát cho rất nhiều máy thu, nên tiêu tốn chi phí cho
một máy phát với công suất lớn, đắc tiền, còn máy thu thì đơn giản, rẻ tiền là điều hợp lý. Trường
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
hợp này thì lựa chọn truyền sóng mang với máy phát là hợp lý. Phương thức truyền này được gọi
là điều chế biên độ (điều chế AM: Amplitude Modulation), theo đó tín hiệu truyền j AM (t ) là:
j AM (t ) = A cos wc t + m(t ) cos wc t
j AM (t ) = [ A + m(t )] cos wc t
(4.73a)
(4.73b)
Nhắc lại: tín hiệu DSB – SC là m(t ) cos wc t . Theo phương trình (4.73b), thì tín hiệu AM giống với
tín hiệu DSB – SC với tín hiệu điều chế là A + m(t ) [thay vì m(t ) ]. Do đó, để vẽ j AM (t ) , ta vẽ
A + m(t ) và – [ A + m(t ) ] rồi cho vào sóng sin tần số sóng mang. Xét hai trường hợp trong hình
4.34. Trường hợp đầu, A đủ lớn để A + m(t ) ³ 0 (là không âm) với mọi giá trị của t. Trường hợp
thứ hai, A không đủ lớn để thỏa mãn điều kiện này. Trong trường hợp đầu, đường bao trong hỉnh
(4.34d) có cùng hình dạng của m(t ) . Trường hợp thứ hai, dạng đường bao không giống m(t ) , một
số phần bị nắn đi (hình 4.34e). Do đó, ta có thể khôi phục tín hiệu mong muốn m(t ) dùng cách
tách lấy đường bao trong trường hợp đầu. Trường hợp thứ hai, phương thức tách đường bao như
trên không thực hiện được. Ta sẽ thấy là việc tách lấy đường bao là cực kỳ đơn giản và rẽ tiền, do
không cần tạo sóng mang cục bộ tại phần giải điều chế. Nhưng ta biết là đường bao của AM chỉ có
thông tin về m(t ) khi tín hiệu AM [ A + m(t )] cos wc t thỏa điều kiện A + m(t ) > 0 với mọi giá trị
của t. Vậy điều kiện cho tách sóng AM là
với mọi t
(4.74)
A + m(t ) ³ 0
Nếu m p là biên độ đỉnh (dương hay âm) của m(t ) (xem hình 4.34), thì m(t ) ³ -m p (t ) , vậy điều
kiện (4.74) tương đương với
A ³ mp
(4.75)
Vậy biên độ tối thiểu cần cho tách sóng được là m p , như minh họa trong hình 4.34.
Định nghĩa chỉ số điều chế m là
m
(4.76)
m= p
A
Trong đó A là biên độ sóng mang. Chú ý m p là hằng với tín hiệu m(t ) . Do A ³ m p và do A không
có giới hạn đường bao trên, nên
(4.77)
0 £ m £1
Là điều kiện cần để giải điều chế AM được từ phương pháp tách sóng đường bao.
Khi A < m p , phương trình (4.76) cho m > 1 (quá điều chế). Trường hợp này không dùng
được phép tách sóng đường bao.. Ta phải dùng phương pháp tách sóng đổng bộ. Chú ý là phương
pháp tách sóng đồng bộ có thể dùng với mọi giá trị của m (xem bài tập 4.7-4). Phương pháp tách
sóng đuuờng bao, được xem là đơn giản và rẻ tiền hơn so với phương pháp tách sóng đồng bộ, chỉ
dùng được khi m £ 1 .
■ Thí dụ 4.19
Vẽ j AM (t ) khi tín hiệu điều chế là m = 0,5 (điều chế 50%) và m = 1 (điều chế
100%) khi m(t ) = B cosw m t . Trường hợp này còn gọi là điều chế tone (tone modulation) do tín
hiệu điều chế là tín hiệu thuần sin (hay tone).
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Trường hợp này m p = B và chỉ số điều chế (theo phương trình 4.76) là
m=
Do đó, B = mA và
B
A
m(t ) = B cos w m t = mA cos w m t
Vậy
j AM (t ) = [ A + m(t )] cos wc t = A[1 + m cos w mt ] cos wc t
Hình 4.35a và b vẽ tín hiệu được điều chế tương ứng với m = 0,5 và m = 1. ■
(4.78)
Giải điều chế AM: Tách sóng đường bao
Tín hiệu AM có thể được giải điều chế đồng bộ bằng cách tạo ra sóng mang cục bộ (xem bài
tập 4.7-4). Tuy nhiên phương thức giải điều chế AM đồng bộ (với m £ 1 ) có thể làm mất tính tiên
dụng của giải điều chế AM, nên ít được dùng trong thực tế. Ta tiếp tục khảo sát phương thức giải
điều chế AM không đồng bộ, phương pháp tách sóng đường bao.
Trong phương thức tách sóng đường bao, ngõ ra của bộ tách sóng đi theo đường bao của tín
hiệu được điều chế ngõ vào. Mạch hình 4.36a là mạch tách sóng đường bao. Trong chu kù dượng
của tín hiệu vào, điốđ dẫn và tụ C nạp đến trị đỉnh của điện áp vào (hình 4.36b). Khi tín hiệu vào
giảm thấp hơn giá trị đỉnh, điốđ tắt, do điện áp qua tụ (gần giá trị đỉnh) lớn hơn tín hiệu vào, làm
điốđ tắt, tụ phóng điện qua điện trở R với hằng số thời gian RC. Trong chu kỳ dương tiếp theo, quá
trình tiếp tục: khi tín hiệu vào lớn hơn điện áp tụ, điốđ tiếp tục dẫn, tụ nạp đến trị định của chu kỳ
này. Khi điện áp vào thấp hơn trị đỉnh mới, điốđ lại tắt và tụ xả điện từ từ.
Do đó, điện áp ra qua tụ vC (t ) bám theo đường bao của tín hiệu vào. Quá trình nạp và xả
điện của tụ tao tín hiệu nhấp nhô (ripple signal) với tần số vC (t ) tại ngõ ra. Độ nhấp nhô có thể
được giảm thiểu bằng cách tăng hằng số thời gian RC ( RC £ 1 / wc ). Khi RC quá lớn, tụ không
b1m theo được đường bao (xem hình 4,36b). Nên RC cần lớn so với 1 / wc , nhưng nên nhỏ hơn
1 / 2pB , với B là tần số cao nhất của m(t ) . Như thế, hai điều kiện này cần có wc >> 2pB , điều kiện
cần để khôi phục được đường bao.
Ngõ ra bộ tách sóng đường bao vC (t ) là A + m(t ) cộng với thành phần nhấp nhô tần số
wc > Thành phần dc A được loại dùng tụ hay mạch lọc thông cao RC đơn giản. Sóng nhấp nhô
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
giảm thiểu được từ bộ lọc (thông thấp) RC khác. Trường hợp tín hiệu auđiô, loa không thể đáp ứng
với tần số nhấp nhô cao, và tự thân là mạch lọc thông thấp.
4.7-3 Điều chế đơn biên (SSB: Single Side Modulation)
Hình 4.37a và 4.37b vẽ phổ sóng băng nền M (w ) , và phổ của tín hiệu được điều chế DSB –
SC m(t ) cosw c t . Phổ của DSB trong hình 4.37b có hai biên tần: biên tần trên (USB: Upper Side
Band) và biên tần dưới (LSB: Lower Side Band), cả hai đều chứa thông tin về M (w ) [xem
phương trình (4.10)]. Rõ ràng sẽ là thừa khi truyền cả hai biên tần, đòi hỏi hai băng thông của tín
hiệu băng nền (baseband). Sơ đồ chỉ truyền một biên tần gọi là truyền đơn biên (SSB: Single Side
Band), chỉ cần một nửa khổ sóng của của tín hiệu DSB. Do đó, ta có thể chỉ truyền biên tần trên
(hình 4.37c) hay truyền biên tần dưới (hình 4.37d).
Tín hiệu SSB cần được giải điều chế đồng bộ. Thí dụ, nhân tín hiệu SSB (hình 4.37c) với
cos wc t làm dời phổ sang trái và sang phải lượng wc , có phổ vẽ trong hình 4.37e. Lọc thông thấp
tín hiệu này cho ta lại tín hiệu baseband gốc. Tương tự cho trường hợp LSB. Do đó, giải điều chế
SSB rất giống với giải điều chế DSB – SC, dùng bộ giải điều chế đồng bộ như vẽ trong hình 4.33a.
Chú ý là ta chỉ lấy tín hiệu SSB và không có thêm sóng mang, nên còn được gọi là SSB – SC (triệt
sóng mang).
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
■ Thí dụ 4.20
Tìm các tín hiệu USB (biên tần trên) và LSB (biên tần dưới) khi m(t ) = cosw m t . Vẽ phổ, và
chứng tõ các tín hiệu SSB có thể được giải điều chế dùng bộ giải điều chế trong hình 4.33a.
Tín hiệu DSB – SC trong trường hợp này là
1
(4.79)
j DSB-SC (t ) = m(t ) cos wc t = cos w m t cos wc t = [cos(wc - w m )t + cos(wc + wm )t ]
2
1
1
Thí dụ 4.17 cho thấy các thừa số cos(wc + w m )t và cos(wc - wm )t lần lượt biểu diễn biên tần
2
2
trên và biên tần dưới. Hình 4.38a và b vẽ phổ của USB và LSB. Quan sát thấy các phổ này có được
từ phổ của DSB – SC trong hình 4.32b bằng cách loại bỏ biên tần không mong muốn dùng mạch
lọc thích hợp. Thí dụ, tín hiệu USB trong hình 4.38a có được bằng cách cho tín hiệu DSB – SC
(hình 4.32b) qua mạch lọc thông cao với tần số cắt wc . Tương tự, tín hiệu LSB trong hình 4.38b có
được bằng cách cho tín hiệu DSB – SC (hình 4.32b) qua mạch lọc thông thấp với tần số cắt wc .
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Nếu ta cho tín hiệu LSB
1
cos(wc - w m )t đến bộ giải điều chế trong hình 4.33a, ngõ ra bộ
2
nhân là:
e(t ) =
Thừa số
1
1
cos(wc - wm )t cos wc t = [ cos w m t + cos(2wc - w m )t ]
2
4
1
cos(2wc - w m )t bị triệt dùng mạch lọc thông thấp, kết quả là tín hiệu mong muốn
4
1
cos w mt (chính là m(t ) / 4 ). Phổ của thừa số này là (p / 4)[d (w + w0 ) + d (w - w0 )] vẽ trong hình
4
4.38c. Tương tự có thấy là tín hiệu USB có thể được giải điều chế dùng bộ tách sóng đồng bộ.
Trong miền tần số, giải điều chế (nhân với cos wc t để dời phổ LSB (hình 4.38b) sang trái
lượng wc (nhân với ½) rồi triệt tần số cao, như vẽ trong hình 4.38c). Phổ biểu diễn tín hiệu mong
1
muốn m(t ) .
4
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Tạo tín hiệu SSB
Hai phương pháp thường dùng để tạo tín hiệu SSB. Phương pháp đầu tiên là phương phá p
lọc – chọn dùng bộ lọc với độ chọn lọc cao để loại các biên tần không mong muốn, và phương
pháp thứ hai dùng mạng dịch pha để thực hiện mục tiêu trên. Phần này chỉ khảo sát phương pháp
thứ nhất.
Phương pháp lọc - chọn là phương pháp được dùng nhiều nhất để tạo tín hiệu SSB. Trong
phương pháp này, tín hiệu DSB – SC được đi qua bộ lọc (sharp cutoff filter) để triệt biên tần
không mong muốn.
Để có tín hiệu USB, bộ lọc cho qua mọi thành phần có tần số cao hơn wc , và triệt hoàn toàn
các thần số thấp hơn wc . Điều này cần phải có bộ lọc lý tưởng, tức là không thực hiện được. Tuy
nhiên, có thể thực hiện gần đúng nếu có một số phân cách giữa passband và stopband. May mắn là
tín hiệu thoại (tiếng nói) cung cấp được điều kiện này, do có phổ vẽ ở hình 4.39 cho thấy là các
thành phần có tần số thấp hơn 300 Hz là không quan trọng, tức là ta có thể triệt các thành phần tần
số âm thoại thấp hơn 300 HZ mà không làm ảnh hưởng đến thông tin. Nhờ vậy, việc lọc biên tần
không mong muốn rất dễ cho tín hiệu thoại do ta còn có vùng chuyển tiếp 600Hz quanh tần số cắt
wc . Trường hợp các tín hiệu tần số thấp (có công suất tương đối tập trung quanh w = 0 ) thì
phương pháp SSB tạo méo dạng tín hiệu lơn. Thí dụ trường hợp tín hiệu vieđêo. Do đó, thay vì
dùng SSB, ta dùng kỹ thuật VSB (vestigal sideband), kết hợp các ưu điểm của SSB và DSB và bỏ
đi các yếu điểm của hai phương pháp này. Tín hiệu VSB tương đối dễ tạo ra, còn băng thông thì
chỉ hơi lớn hơn trường hợp SSB (khoảng 25%). Trong tín hiệu VSB, thay vì loại hoàn toàn một
biên tần (như trong SSB) ta chấp nhấp cắt dần dần một biên tần.
4.8 Điều chế góc.
Sóng sin được đặc trưng bằng biên độ và góc (bao gồm tần số và pha). Trong các tín hiệu
được điều chế biên độ, thông tin chứa trong tín hiệu baseband (tin tức) m(t ) xuất hiện trong độ
thay đổi cũa sóng mang. Trong phương pháp điều chế góc, thông tin chứa trong m(t ) do góc của
sóng mang truyền đi. Điều chế góc còn được gọi là điều chế dạng mủ.
Sóng mang được điều chế góc (điều chế hàm mủ) thường được mô tả theo
(4.80)
j EM (t ) = A cos[wc t + ky (t )]
Trong đó k là hằng số bất kỳ và y (t ) là đo lường của m(t ) , có được từ toán tử tuyến tính khả
nghịch lên m(t ) . Nói cách khác, y (t ) là ngõ ra của hệ thống tuyến tính nào đó, có ngõ vào là
m(t ) và hàm truyền H (s ) , như vẽ trong hình 4.40. Nếu h(t ) là đáp ứng xung đơn vị của hệ thống,
tức là nếu h(t ) Û H ( s ) , thì
y (t ) = m ò m(a )h(t - a )da
t
(4.81)
-¥
Nếu chọn h(t ) thích hợp, ta có thể có nhiều lớp con điều chế góc. Thí dụ, nếu chọn h(t ) = u (t ) , thì
kết quả ta có dạng điều chế nổi tiếng là điều chế tần số (FM: Frequency Modulation). Ngược lại,
khi chọn h(t ) = d (t ) ta có điều chế pha (PM: Phase Modulation). Ngoài ra còn có thể còn nhiều
khả năng khác. Mặc dù, trong thông tin số, kỹ thuật điều chế tần số và điều chế pha rất thường gặp,
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
tuy nhiên, trong thông tin quảng bá FM, thì đây không phải là dạng FM truyền thống, mà là dạng
tổng quát của điều chế pha và có thêm mạch lọc nâng trước (preemphasis filter) dùng cải thiện
khả năng triệt nhiễu, do đó có sự cải tiến trong kỹ thuật FM để có tính năng tốt hơn.
Trong điều chế biên độ, tần số sóng mang là hằng số và biên độ thì tay đổi theo m(t ) . Ngược
lại, trong điều chế góc, biên độ sóng mang thường là không đổi, nhưng tần số sóng mang thay đổi
liên tục theo tin tức m(t ) . Từ định nghĩa, sóng sin cần có tần số không đổi; do đó, sự thay đổi tần
số theo thời gian có vẽ là nghịch lý so với định nghĩa truyền thống về tần số sóng sin. Do đó, ta cần
tổng quát ý niệm sóng sin nhằm tạo ý niệm về thay đổi tần số theo thời gian. Điều này. dẫn đến ý
niệm về tần số tức thời.
4.8-1 Ý niệm về tần số tức thời
Như đã thấy, tần số sóng mang thay đổi liên tục theo từng thời điểm trong FM. Thoạt nhìn,
điêu này có vẽ vô lý vì theo định nghĩa của tần số, ta phải có tín hiệu sin với ít nhất một chu kỳ tần
số giống nhau. Ta không thể tưởng tượng sóng sin mà tần số lại thay đổi theo từng chu kỳ. Vấn đề
này nhắc nhở ta phải quan tâm đến ý niệm về vận tốc tức thời trong giáo trình nhập môn về cơ
học. Cho đến lúc này, ta chỉ nghĩ là vận tốc là hằng số trong khoảng thời gian, và ta không nghĩ là
vận tốc có thể thay đổi theo thời gian.
Xét tín hiệu sóng sin tổng quát j (t ) cho bởi
(4.82)
j (t ) = A cos q (t )
Trong đó q (t ) là góc tổng quát, là hàm theo thời gian t. Hình 4.41 minh họa một trường hợp của
q (t ) . Góc tổng quát của sóng sin truyền thống A cos(wct + f0 ) là wct + f0 và được vẽ là đường
thẳng có độ dốc wc là cắt f0 trong hình 4.41. Hình vẽ q (t ) trong trường hợp giả định là tiệm cận
với góc ( wct + f0 ), tại thời điểm t. Điểm mấu chốt là trong khoảng nhỏ Dt ® 0 , tín hiệu
j (t ) = A cos q (t ) và sóng sin A cos(wct + f0 ) là giống nhau, tức là:
j (t ) = A cos(wc t + f0 ) t1 < t < t 2
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Có thể nói rằng trong khoảng thời gian bé Dt này, tần số của j (t ) là wc . Do ( wct + f0 ) tiếp tuyến
với j (t ) là độ dốc của góc q (t ) trong thời gian bé. Ta có thể tổng quát ý niệm này tại mỗi thời
điểm và nói rằng tần số tức thời wi tại thời điểm t là độ dốc của q (t ) tại t. Vậy j (t ) trong phương
trình (4.82), tần số tức thời wi (t ) là
dq
dt
(4.83a)
q (t ) = ò wi (a )da
(4.83b)
wi (t ) =
t
-¥
Đối với sóng sin truyền thống A cos(wct + f0 ) , ta có q (t ) = wc t + f0 và wi (t ) = dq / dt = wc là hằng
số, như mong muốn. Rõ ràng thò định nghĩa tổng quát về tần số tức thời không xung đột với ý
niệm truyền thống về tần số.
Bây giờ, ta xem xét khả năng truyền thông tin của m(t ) bằng cách thay đổi góc q của sóng
mang. Có hai khả năng là điều chế pha PM (phase modulation) và điều chế tần số FM
(frequency modulation). Trong trường hợp PM, góc q (t ) thay đổi tuyến tính theo m(t ) :
q (t ) = wc t + k p m(t )
(4.84a)
Trong đó k p là hằng số và wc là tần số sóng mang. Sóng PM có được là:
j PM (t ) = A cos[wc t + k p m(t )]
(4.84b)
Tần số tức thời wi (t ) trong trường hợp này là
dq
(4.84c)
wi (t ) =
= wc + k p m(t )
dt
Vậy trong điều chế pha, tần số tức thời wi thay đổi tuyến tính theo đạo hàm của tín hiệu điều chế.
Nếu tần số tức thời wi thay đổi tuyến tính theo tín hiệu điều chế, ta có phương pháp điều chế tần
số. Do đó, trong FM. Tần số tức thời wi là
wi (t ) = wc + k f m(t )
(4.85a)
Với k f là hằng số. Phương trình (4.83b) cho ta góc q (t ) là:
q (t ) = ò [wc + k f m(a )da ] = wct + k f ò m(a )da
t
t
-¥
-¥
(4.85b)
Trường hợp này, ta giả thiết là thừa số hằng trong q (t ) là zêrô mà không làm mất đi tính tổng quát.
Vậy, sóng FM là
t
j FM (t ) = A cos[wc t + k f ò m(a )da
(4.85c)
-¥
Quan sát là cả PM và FM là các trường hợp của tín hiệu được điều chế hàm mủ j EM (t ) trong
phương trình (4.80). Nếu h(t ) = d (t ) trong phương trình (4.81), rồi dùng đặc tính lấy mẩu của
xung trong phương trình (4.81), ta có y (t ) = m(t ) , và phương trình (4.80) giảm thành PM trong
phương trình (4.84b). Tương tự, nếu h(t ) = u (t ) , và sự kiện u (t - a ) = 1 trong khoảng - ¥ < a £ t
ta có
ò m(a )h(t - a )da = ò m(a )da , và phương trình (4.80) giảm thành FM trong phương trình
(4.85c).
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Tất cả trong một
Phương trình (4.84b) và (4.85c) cho thấy PM và FM không chỉ giống nhau mà còn không thể
tách rời nhau được. Thay m(t ) trong phương trình (4.84b) bằng
t
ò m(a )da
làm thay đổi từ PM
thành FM. Tương tự, sóng PM tương ứng với m(t ) là sóng FM tương ứng với m& (t ) (hình 4.42b).
Ta kết luận là khi mới nhìn vào sóng điều chế góc, thì không thể biết đó là FM hay PM, thực
ra, điều này không cần thiết để biết sóng điều chế góc là PM hay FM.
Ta đã thấy là PM hay FM không phải là các dạng điều chế khác, nhưng là hai trường hợp đặc
biệt của phương pháp điều chế góc tổng quát. Điều này rất hữu ích do ta có thể hoán chuyển từ
một dạng điều chế góc này (thí dụ PM) sang một dạng điều chế góc khác (thí dụ FM). Việc hoán
chuyển này được minh họa trong hình 4.42. Thí dụ, ta thấy là băng thông của FM xấp xỉ là 2k f m p ,
với m p là biên độ đỉnh của m(t ) . Ta có thể tìm ra kết quả tương tự cho PM từ hình 4.42b,
Cho thấy PM chính là FM khi tín hiệu điều chế là m& (t ) . Rõ ràng, băng thông của PM xấp xỉ là
2k f m' p , với m' p là biên độ đỉnh của m& (t ) . Điều này cho thấy là nếu ta phân tích một dạng điều
chế góc (thí dụ FM) ta có thể dễ dàng mở rộng sang một dạng điều chế góc khác.
Về mặt lịch sử, ý niệm về điều chế góc bắt đầu với FM. Do đó, thường ta bắt đầu phân tích
sóng FM rồi mới chuyển kết quả sang các dạng điều chế góc khác. Tuy nhiên, điều này không có
nghĩa là FM có ưu điểm hơn so với các dạng điều chế góc khác. Ngược lại, PM có ưu điểm hơn so
với FM trong hầu hết các tín hiệu analog như là tín hiệu auđiô và viđêo. Thực ra, tính ưu việt
không từ PM hay FM, nhưng lại phụ thuộc vào bản chất của tín hiệu tin tức (băng nền).
Phần trên cho thấy là không nhất thiết phải thảo luận phương pháp tạo lập và giải điều chế
từng loại điều chế. Hình 4.42 cho thấy là có thể tạo PM từ máy phát FM, và ngược lại có thể tạo
FM từ máy phát PM. Một trong những phương pháp tạo sóng FM trong thực tế (hệ thống FM
không trực tiếp Armstrong) là tích hợp m(t ) và dùng trong điều chế pha cho sóng mang. Chú ý
tương tự khi giải điều chế FM và PM.
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
■ Thí dụ 4.21
Vẽ sóng FM và PM cho tín hiệu điều chế m(t ) vẽ trong hình 4.43a. Các hằng số k f và k p
lần lượt là 2p (105 ) và 10p , và tần số sóng mang Fc là 100 MHz.
Trường hợp FM (xem phương trình 4.85a) wi (t ) = wc + k f m(t ) . Chia cho 2p , ta có phương trình
theo biến Fc (tần số tính theo Hz). Tần số tức thời Fi là
kf
Fi = Fc +
m(t ) = 108 + 105 m(t )
2p
( Fi ) min = 108 - 105 [m(t )]min = 99,9 MHz
( Fi ) max = 108 + 105 [m(t )]min = 100,1MHz
Do m(t ) tăng và giảm tuyến tính theo thời gian, tần số tức thời tăng tuyến tính từ 99,9 và 100,1
MHZ trong nửa chu kỳ và giảm tuyến tính từ 100,1 đến 99,9 MHz trong nửa chu kỳ còn lại của tín
hiệu điều chế (hình 4.43b).
Trường hợp PM
PM cho m(t ) là FM cho m& (t ) . Điều này thể hiện từ phương trình (4.84c) hay hình 4.42c.
kp
Fi = Fc +
m& (t ) = 108 + 5m& (t )
2p
( Fi ) min = 108 - 5 [m& (t )]min = 108 - 105 = 99,9 MHz
( Fi ) max = 108 + 5 [m& (t )]min = 108 + 105 = 100,1MHz
Do m& (t ) chuyển tới và lui từ giá trị - 20.000 đến 20.000, tần số sóng mang chuyển tới và lui từ
99,9 và 100,1 MHZ trong nửa chu kỳ của m& (t ) như vẽ trong (hình 4.43d).
Phương pháp gián tiếp để vẽ PM (dùng m& (t ) để điều chế tần số sóng mang) hoạt động bao
lâu mà m(t ) còn là liên tục. Nếu m(t ) là gián đoạn, m& (t ) chứa các xung, và phương pháp này
không còn thích hợp. Trong trường hợp này, nên dùng phương pháp trực tiếp như trong thí dụ kế.
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
4.8-2 Băng thông của các tín hiệu điều chế góc
Khác với phương pháp điều chế biên độ, không có quan hệ đơn giản cho sóng tín hiệu băng
nền (tin tức) với sóng điều chế góc tương ứng. Điều này cũng đúng cho phổ của chúng. Từ bản
chất phi tuyến trong điều chế góc, việc tìm phổ tần số F EM (w ) của tín hiệu điều chế góc là cực kỳ
phức tạp và chỉ có thể có được trong một số trường hợp đặc biệt. Thông thường, băng thông của
tín hiệu đều chế góc là vô hạn ngay khi băng thông của tín hiệu tin tức là có giới hạn. Ta sẽ thử
tính băng thông chủ yếu của một tín hiệu điều chế góc.
Hảy bắt đầu với tín hiệu điều chế góc trong phương trình (4.80), và xem xét trường hợp đẩu
tiên của k ( k ® 0 ).
j EM (t ) = A cos[wc t + ky (t )] = A cos wc t cos[ky (t )] - A sin wct sin[ky (t )]
» A cos wc t - Aky (t ) sin wc t k ® 0
(4.86)
So sánh vế phải của biểu thức với j AM (t ) trong phương trình (4.73a) cho thấy hai biểu thức tương
tự nhau. Thừa số thứ nhất là sóng mang, và thừa số thứ hai biểu diễn các biên tần, có cùng dạng
với tín hiệu DSB – SC tương ứng với tín hiệu băng nền Aky (t ) . Khác biệt cơ bản là sóng mang
là sin thay vì là cos. Điều này tức là pha của sóng mang cách nhau p / 2 .
Do đó, băng thông của tín hiệu điều chế góc giống với tín hiệu AM tương ứng có tín hiệu băng nên
là y (t ) . Nếu m(t ) có băng thông giới hạn là B Hz, thì băng thông của y (t ) cũng là B Hz. Vậy,
băng thông của j EM (t ) là 2B Hz, giống như trường hợp AM. Tuy nhiên, điều này chỉ đúng khi
k ® 0 . Ta hảu xem xét trường hợp tổng quát hơn.
Trong điều chế góc, tần số sóng mang thay đổi từ giá trị đứng nghĩ wc . Gọi độ dời tần tối đa
của tần số sóng mang là Dw . Nói khác, tần số sóng mang thay đổi từ wc - Dw đến wc + Dw . Do
tần số sóng mang luôn duy trì trong băng tần có độ rộng là 2Dw radian/s, ta có thể nói là phổ có
được là năm trong băng tần này và băng thông của tín hiệu điều chế góc là 2Dw không? Điều này
khẳng định là khi sóng sin có tần số tức thời là w x , thì phổ có được chỉ tập trung tại w x . Điều này
chỉ đúng khi sóng mang có độ rộng hữu hạn. Khi tín hiệu sin có tần số hữu hạn w x , thì phổ không
chỉ tập trung trung tại w x , nhưng trải ra hai bên của w x , như vẽ trong hình 4.24d của thí dụ 4.12.
Trong tín hiệu điều chế góc tiêu biểu thì tần số sóng mang tỉ lệ trực tiếp với m(t ) là hàm theo t. Do
đó, tần số tức thời cũng sẽ thay đổi liên tục theo t. Tính dời liên tục theo tần số sẽ tạo phổ trải ra
quanh 2Dw . Rõ ràng, băng thông của tín hiệu điều chế góc sẽ lớn hơn 2Dw rad/s. Nhưng lơn hơn
bao nhiêu? Xem lại kết quả có từ trường hợp k ® 0 . Trước hết, ta cần xác định Dw .
Từ phương trình (4.80), ta có
wi (t ) = wc + k f y& (t )
(4.87)
Nếu biên độ đỉnh của y& (t ) là y ' p t ) , thì tần số sóng mang thay đổi từ wc - ky ' p đến wc + ky ' p .
Do đó:
Dw = ky ' p
Độ dời tần số sóng mang DF tính theo Hz là:
Dw
k
DF =
=
y 'p
2p 2p
CuuDuongThanCong.com
(4.88a)
(4.88b)
https://fb.com/tailieudientucntt
Như đã trình bày, do phổ rải, nên băng thông tín hiệu điều chế góc hơi lớn hơn 2DF . Gọi băng
thông thực BEM (Hz) là
k
(4.89)
BEM = 2DF + X =
y 'p + X
2p
Với X là ẩn, và để xác định, ta hảy trở về trường hợp k ® 0 , ta thấy băng thông là 2 B . Nhưng
theo phương trình (4.89) thì đây là băng thông của X khi k ® 0 . Vậy X = 2 B , và
(4.90)
BEM = 2(DF + B) Hz
Chú ý là khi k ® 0 , DF ® 0 và DF << B . Nói cách khác khi k rất lớn, DF >> B . Trường hợp
đầu gọi là điều chế góc băng hẹp, còn trường hợp thứ hai gọi là điều chế góc băng rộng.
Nhắc lại với FM, y& (t ) = m(t ) và y ' p (t ) = m p , với m p là biên độ đỉnh của m(t ) . Tương tự,
với PM, y (t ) = m(t ) . Do đó, y ' p = m' p với m' p là biên độ đỉnh của m& (t ) . Vậy:
(DF )FM
=
kf
m p và
(DF )PM
=
kp
(4.91)
m' p
p
p
Ta thấy đươc điều thú vị trong điều chế góc. Băng thông của tín hiệu điều chế góc được điều
chỉnh thông qua việc chọn thích hợp giá trị của DF hay các hằng số k ( k f cho FM, và k p cho
PM). Điều chế biên độ không có tính chất này. Băng thông của từng sơ đồ AM là cố định. Đây là
nguyên lý tổng quát trong lý thuyết thông tin khi mở rộng băng thông của tín hiệu làm tăng tính
chống nhiễu khi truyền dẫn. Do đó, khi tăng băng thông truyền dẫn làm tín hiệu điều chế góc càng
tăng tính chống nhiễu. Hơn nữa, tính chất này cho phép giảm công suất tín hiệu với củng chất
lượng truyền dẩn. Vậy, điều chế góc cho phép ta giảm công suất khi tăng băng thông.
Ngoài ra, do có biên độ không đổi nên phương pháp điều chế góc có ưu điểm lớn so với điều
chế biên độ, do ít bị ảnh hưởng của méo phi tuyến. Ta sẽ thấy trong phần 4.8-3 là không có méo
khi ta cho tín hiệu điều chế góc qua linh kiện phi tuyến với quan hệ vào –ra là y (t ) = x 2 (t )
[trường hợp tổng quát y (t ) = å an x n (t ) ]. Yếu tố phi tuyến này rất nguy hiểm trong hệ thống điều
chế biên độ. Đây là lý do cơ bản làm cho phương thức điều chế góc được dùng trong các hệ thống
chuyển tiếp vi ba, trong đó không thể tránh mạch khuếch đại và các linh kiện có tính phi tuyến, và
cần có mức công suất cao. Hơn nữa, biên độ không đổi của FM cho phép chống được nhiễu do pha
đing nhanh. Ảnh hưởng của sự thay đổi biên độ do yếu tố pha định nhanh có thể tránh được dùng
hệ thống tự điều khuếch và phương pháp băng thông giới hạn. Điều chế góc còn ít bị ảnh hưởng
của nhiễu giao thoa giữa các kênh kề cận. Nhưng cái giá phải trả là phải tăng băng thông. Ta se
chứngminh được là với cùng băng thông, phương pháp điều chê xung mã (PCM) sẽ trình bày trong
chương 5, có tính ưu việt hơn so với điều chế góc.
4.8-3 Tạo và giải điều chế tin hiệu điều chế góc
Trong phương trình (4.86), ta thấy tín hiệu điều chế góc băng hẹp (hay hàm mủ) (NBEM:
narrowband angle (exponential) modulated) gồm thừa số sóng mang và thừa số DSB – SC có sóng
mang dời pha p/2. Do đó, ta có thể tạo tín hiệu này theo các bước ở phần 4.7. Điều chế băng rộng
(WBEM : wideband) có thể tạo từ NBEM bằng cách cho tín hiệu NBEM qua linh kiện phi tuyến.
Thí dụ, xét linh kiện phi tuyến có ngõ vào x(t ) và ngõ ra y (t ) theo quan hệ y (t ) = x 2 (t ) . Nếu ngõ
vào là tín hiệu điều chế góc cos[wc t + ky (t )] , thì ngõ ra là:
1 1
y (t ) = cos 2 [wc t + ky (t )] = + cos[2wc t + 2ky (t )]
2 2
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Khi cho tín hiệu này qua mạch lọc thông dải có tần số trung tâm là 2wc , ngõ ra sẽ là:
1
z (t ) = cos[2wct + 2ky (t )]
2
Nhận thấy thành phần phi tuyến bậc hai đã nhân đôi tần số sóng mang cùng với giá trị hiệu dụng
của k mà không làm méo dạng nào. Tương tự, ta chứng minh được là phi tuyến bậc n tăng n lần tần
số sóng mang cùng giá trị hiệu dụng của k. Điều này cho phép chuyển từ tín hiệu điều chế góc
băng hẹp NBEM sang tín hiệu điều chế góc băng rộng WBEM.
Ta còn có thể tạo tín hiệu điều chế góc dùng phương pháp gián tiếp, bằng cách dùng bộ dao
động điều khiển bằng điện áp (VCO: voltage controlled oscillator). Ngõ ra của bộ VCO là tín
hiệu sin có biên độ không đổi, có tần số tức thời thay đổi trực tiếp với điện áp vào m(t ) . Rõ ràng,
bộ VCO là máy phát FM. Như đã thảo luận trước đây thì máy phát FM, qua một số thay đổi nhỏ,
thì có thể tạo nên bất kỳ dạng điều chế góc nào.
Giải điều chế
Phần này thảo luận phương pháp giải điều chế FM. Như đã giải thích, bộ giải điều chế FM,
qua một số thay đổi nhỏ, thì có thể được dùng giải mã bất kỳ dạng điều chế góc nào. Do tần số tức
thời của sóng FM tăng tuyến tính với tín hiẹu băng nền m(t ) , và bộ giải điều chế FM là linh kiện
có ngõ ra tỉ lệ với tần số tín hiệu vào. Do đó, độ lợi H (w ) của bộ giải điều chế FM phải có dạng
c1w + c2 . Bộ vi phân lý tưởng có được đặc tính này. Nếu ngõ vào của bộ vi phân lý tưởng là tín
hiệu điều chế góc x(t ) = cos[wc t + ky (t )] , thì ngõ ra là:
y (t ) =
dx(t )
= -[wc + ky& (t )] sin[wc t + ky (t )] = [wc + ky& (t )] sin[wct + ky (t ) + p ]
dt
Ngõ ra cũng là tín hiệu điều chế góc, với đường bao là wc t + ky& (t ) . Do đó, bộ vi phân lý tưởng
bám theo bằng bộ tách đường bao sẽ tạo được ngõ ra wc t + ky& (t ) . Sau khi loại phần phần dc, ta
có được ngõ ra mong muốn là ky& (t ) . Nhắc lại là với FM, y (t ) = ò m(a )da . Do đó, y& (t ) = m(t ) .
t
Một linh kiện khác có thể dùng giài điều chế FM là mạch điều hợp (tuned circuit) có tần số cộng
hưởng được chọn trên hay dưới tần số sóng mang của tín hiệu FM cần giải điều chế. Đáp ứng tần
số của mạch điều hợp chỉnh lệch (dưới tần số cộng hưởng) là xấp xỉ tuyến tính với tần số vào (ít
nhất trong một dải tần nhỏ). Sơ đồ dạng này do chịu ảnh hưởng độ dốc của H (w ) của mạch điều
hợp chỉ tuyến tính trong một dải tần nhỏ nên ngõ ra bị méo dạng. Có thể sửa chửa một phần dùng
bộ tách sóng cân bằng (balanced discriminator) dùng hai mạch cộng hưởng, một chỉnh ở tần số
trên wc và một được chỉnh ở tần số thấp hơn wc .
Hiện nay, vòng khóa pha (PLL: phase - locked loop) ưu việt hơn so với các phương pháp đã
thảo luận trước đây (đặc biệt trong điều kiện môi trường có nhiều nhiễu) càng trở nên phổ biến
trong bộ giải điều chế góc do có giá thành ngày càng thấp. Đọc thêm phần tham khảo 4 về các
phương pháp điều chế và giải điều chế góc.
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
4.8-4 Ghép kênh bằng cách phân chia theo thời gian FDM:
Ghép kênh tín hiệu cho phép truyền đồng thời nhiều tín hiệu trên cùng kênh truyền. Trong
chương 5, ta sẽ thảo luận về phương pháp ghép kênh dùng cách phân chia theo thời gian (TDM),
với nhiều tín hiệu được truyền theo cách phân phối thời gian trên một kênh truyền, như cáp hay
cáp quang. Trong phương pháp ghép kênh dùng cách phân chia theo tần số (FDM: Frequency
Division Multiplexing), qua việc dùng phương pháp điều chế với nhiều tín hiệu, mỗi tín hiệu đượ
điều chế với tần số sóng mang khác nhau, để chia sẻ băng thông của kênh truyền như vẽ trong hình
4.45. Các sóng mang khác nhau được phân cách đủ để không bị trùng lắp (giao thoa) giữa phổ của
các tín hiệu được điều chế. Các sóng mang được gọi là sóng mang phụ. Mỗi tín hiệu có thể dùng
nhiều dạng điều chế khác nhau (thí dụ DSB – SC, AM, SSB – SC, VSB – SC hay ngay cả FM hay
PM). Phổ các tín hiệu được điều chế có thể được phân cách dùng một dải bảo vể để tránh giao thoa
và giúp máy thu chọn lọc dễ dàng hơn.
Khi tất cả các phổ tín hiệu được điều chế được thêm vào, ta có tín hiệu hỗn hợp được xem
như tín hiệu băng nền. Đôi khi, tín hiệu hôõn hợp này có thể được dùng cho điều chế khác ở tần số
sóng mang cao hơn (tần số rađiô, hay RF) để truyền đi.
Tại máy thu, tín hiệu thu trước hết được giải điều chế dùng sóng mang RF để khôi phục tín
hiệu hỗn hợp băng nền, rổi đưa qua bộ lọc thông dải để tách từng tín hiệu được điều chế. Sau đó,
các tín hiệu này được giải điều chế riêng biệt với sóng mang thích hợp để có được các tín hiệu
băng nền gốc.
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
4.9 Giới hạn tín hiệu: Hàm cửa sổ.
Ta thường cần giới hạn tín hiệu trong nhiều trường hợp khác nhau, từ việc tính toán số học
hay thiết kế mạch lọc. Thí dụ, khi cần tính toán số của biến đổi Fourier của một số tín hiệu, thí dụ
e -t u (t ) trên máy tính, ta sẽ phân tín hiệu e - t u (t ) với giá trị đủ lớn của t (thường là năm lần hằng
số thời gian). Lý do là khi tính toán số, ta cần xử lý dữ liệu có chiều dài hữu hạn. Tương tự, đáp
ứng xung h(t ) của bộ lọc lý tưởng là không nhân quả, và tiệm cận về zêrô khi t ® ¥ . Để thiết kế
thực tế, ta cần giới hạn h(t ) trong tầm giá trị đủ lớn của t để làm cho h(t ) thành nhân quả. Khi
lấy mẩu tín hiệu, để tránh trùm phổ (aliasing) ta cần giới hạn phổ tín hiệu trong nửa tần số lấy mẩu
w s / 2 , dùng bộ lọc chống trùm phổ. Một lần nũa, khi ta muốn tổng hợp tín hiệu tuần hoàn bằng
cách cộng n sóng hài đầu tiên và giới hạn các sóng hài bậc cao hơn, Các thí dụ này cho thấy việc
giới hạm dữ liệu có thể xuất hiện trong cả miền thời gian và miền tần số. Trên mắt phẳng thì việc
giới hạn có vẽ như là bài toán đơn giản bằng cách cắt bớt dữ liệu tại điểm được cho là đủ nhỏ.
Điều không may là thực tế không phải như vậy, phương pháp giới hạn đơn giản có thể tạo ra thêm
rắc rối.
Hàm cửa sổ
Tác động giới hạn có thể được xem là việc nhân tín hiệu có độ rộng lớn với hàm cửa sổ có
chiều rộng bé hơn. Giới hạn đơn giản thường dùng hàm cửa số vuông wR (t ) (hình 4.48a) trong
đó, ta đặt trọng số là đơn vị cho mọi dữ liệu trong cửa số có chiều rộng ( t < T / 2) , và cho trọng số
là zêrô các dữ liệu nằm ngoải cửa số ( t > T / 2 ) . Ngoải ra còn có thể dùng cửa số theo đó dữ liệu
bên trong cửa sổ có thể không là hằng số. Thí dụ, trong cửa số tam giác wT (t ) , theo đó, trọng số
giảm tuyến tính theo chiều rộng cửa số (hình 4.48b).
Xét tín hiệu f (t ) và hàm cửa số w(t ) . Nếu f (t ) Û F (w ) , và w(t ) Û W (w ) , và nếu hàm
qua cửa sổ (bị giới hạn) f w (t ) Û Fw (w ) thì
1
f w (t ) = f (t ) w(t ) và Fw (w ) =
F (w ) * W (w )
2p
Dùng đặc tính về độ rộng của phép tích phân chập, ta thấy độ rộng của Fw (w ) bằng tổng của độ
rộng của F (w ) và W (w ) . Do đó, giới hạn tín hiệu làm tăng băng thông một lượng là băng thông
của w(t ) . Rõ ràng giới hạn tín hiệu làm làm phổ trải ra một lượng bằng băng thông của w(t ) .
Nhắc lại là băng thông tín hiệu là tỉ lệ nghịch với độ rộng tín hiệu. Do đó, cửa sổ càng rộng thì
băng thông càng hẹp, và trải phổ càng hẹp. Kết quả này là dự báo được do cửa sổ càng rộng tức
là ta chấp nhận them dữ liệu (xấp xỉ càng đúng), càng làm giảm méo (độ trải phổ càng bé đi)/ CỬa
sổ càng hẹp (xấp xỉ xấu hơn) làm độ trải phổ càng tăng (méo tăng lên). Ngoài ra còn có thêm tác
động do W (w ) thực ra không phải là băng thông được giới hạn nghiêm ngặt, và phổ chỉ ® 0 một
cách tiệm cận. Điều này cũng làm cho phổ Fw (w ) ® 0 một cách tiệm cận với cùng tốc độ của
W (w ) , ngay cả khi F (w ) có phổ được giới hạn nghiêm ngặt. Như thế, tạo cửa sổ làm cho phổ của
F (w ) bị rò ở dải tần được gia sử là zêrô. Hiện tượng này được gọi là rò phổ. Hai ảnh hưởng này,
trải phổ và rò phổ, sẽ được thí dụ sau làm rõ.
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
ætö
Thí dụ, xét f (t ) = cos w0t và hàm cửa sổ vuông wR (t ) = rect ç ÷ , trong hình 4.46b. Lý do
èT ø
chọn f (t ) là sin do có phổ gồm nhiều đường phổ có độ rộng là zêrô (hình 4.46a). Chọn lựa này
cho phép thấy được ảnh hưởng của phổ rải và yếu tố rò phổ. Phổ của tín hiệu giới hạn f w (t ) là
tích phân chập của hai xung của F (w ) với phổ sinc của hàm cửa sổ. Do phép tích phân chập của
hàm bất kỳ với xung là chính hàm này (dời đến vị trí của xung), phổ có được từ tín hiệu bị giới hạn
là hai xung sinc (nhân với 1/2p) tại ± w0 , vẽ trong hình 4.46c. So sánh phổ của F (w ) và Fw (w )
cho thấy ảnh hưởng của giới hạn. Đó là:
1.
Các đường phổ của F (w ) có độ rộng zêrô. Nhưng tín hiệu được giới có phổ trải ra 4p / T
quanh mỗi đường phổ. Lượng rải bằng với độ rộng của búp chính (mainlobe) của phổ cửa
sổ. Một ảnh hưởng là yếu tố rải phổ, tức là nếu f (t ) có hai thành phần phổ tần số cách
nhau ít hơn 4p / T rad/s (2/T Hz), nên không thể phân biệt được chúng khi tín hiệu có giới
hạn. Kết quả là độ phân giải phổ bị mất đi. Ta cần có rải phổ (độ rộng của búp chính) càng
bé càng tốt.
2.
Bên cạnh vấn đề rải của búp chính, tín hiệu có giới hạn còn có các búp biên (sidelobes),
suy giảm chậm theo thời gian. Phổ của f (t ) là zêrô tại mọi nơi khác ± w0 . Mặt khác, phổ
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
của tín hiệu có giới hạn Fw (w ) là không còn là zêrô do có búp biên. Các búp biên nay giảm
theo 1 / w . Do đó, giới hạn tạo rò phổ trong dải tần mà phổ của f (t ) là zêrô. Đỉnh của búp
biên là 0,217 lần biên độ búp chính (13,3 dB dưới biên độ đỉnh búp chính. Đồng thời, búp
biên giảm theo 1 / w , tức là – 6dB/octave (hay – 20 dB/decade). Đây là tốc độ rolloff của
búp biên. Ta cần có búp biên nhỏ hơn và tốc độ giảm nhanh hơn (tốc độ rolloff lớn hơn).
Hình 4.46d vẽ WR (w ) (tính theo dB) là hàm theo w. Hình này cho thấy rõ tính năng của
búp chính và búp biên, với biên độ cũa búp biên là – 13,3 dB dưới biên độ búp chính, và
tốc độ giảm của búp biên là – 6 dB/octave (hay – 20 dB/decade).
Ta chỉ mới thảo luận về tín hiệu có giới hạn (giới hạn trong miền thời gian) của phổ tín hiệu.
Nhờ tính đối ngẫu thời gian –tần số, ảnh hưởng của giới hạn phổ (giới hạn trong miền tần số) của
hình dạng tín hiệu cũng tương tự.
Khắc phục ảnh hương phụ của giới hạn
Để có kết quả tốt hơn, ta phải tìm cách giảm thiểu hai ảnh hưởng của tác dụng phụ là rải phổ
(của búp chính) và rò phổ (búp biên). Hảy xét từng yếu điểm này.
1. Rải phổ (độ rộng búp chính) của tín hiệu giới hạn là bằng với băng thông của hàm cửa số
w(t ) . Ta biết là băng thông của tín hiệu tỉ lệ nghịch với độ rộng của tín hiệu (thời gian tồn
tại). Do đó, để giảm rải phổ (độ rộng búp chính), ta cần tăng độ rộng cứa số.
2. Để cải thiện yếu tố rò phổ, ta phải tìm kiếm nguyên nhân làm búp biên giảm chậm. Trong
chương 3, ta đã biết là phổ Fourier giảm theo 1 / w cho tín hiệu có bước nhảy gián đoạn, và
giảm theo 1 / w 2 với tín hiệu có đạo hàm bậc nhất gián đoạn, v.v..,. Độ mịn (smoothness)
của tín hiệu được đo từ số đạo hàm liên tục của tín hiệu. Tín hiệu càng mịn, thì phổ giảm
càng nhanh. Do đó, ta có thể giảm tác động rò phổ bằng cách chọn hàm cửa sổ có độ mịn
thích hợp.
3. Với cùng độ rộng cửa sổ, các cách khác phục của hai ảnh hưởng lại không tương thích
nhau. Khi ta có cải thiện yếu tố này, thì lại làm xấu đi yếu tố khác. Thí dụ, trong các độ
rộng cửa sổ, thì cửa sổ vuông có rải phổ bé nhất (độ rộng búp chính), nhưng lại có búp
biên độ có biên độ cao nhất và giảm chậm nhất. Loại cửa số hình nón (mịn) có cùng độ
rộng nhưng lại có búp biên bé va giảm nhanh nhất, nhưng búp chính lại rộng hơn. Nhưng ta
có thể tăng độ rộng cửa sổ để giảm biên độ búp chính. Vậy ta có thể khắc phục cả hai yếu
điểm của giới hạn bằng cách chọn cửa sổ đủ mịn và độ rộng đủ lớn.
Có nhiều dạng hàm cửa sổ hình hình nón nổi tiếng như cửa sổ Bartlett (tam giác). Hanning
(von Hann), Hamming, Bleckman và Kaiser, có cách giới hạn dần dần dữ liệu. Các cửa sổ cho
nhiều chọn lựa giữa rải phổ (độ rộng búp chính) biên độ đỉnh búp biên, và tốc độ giảm rò phổ như
trong bảng 4.3. Quan sát thấy mọi cửa số là đối xứng quanh gốc (hàm chẵn theo t). Từ đặc tính
này, W (w ) là hàm thực theo w; và ÐW (w ) là 0 hay p. Do đó, hàm pha của tín hiệu có giới hạn đã
giảm thiểu được méo dạng.
HÌnh 4.47 vẽ hai dạng hàm cửa sổ nổi tiếng, là hàm cửa sổ von Hann (hay Hanning)
wHAN (x) và hàm cửa sổ Hamming wHAM (x) . Ta chủ định chọn biến x do giới hạn cửa sổ có thể
thực hiện trong miền thời gian cũng như trong miền tần số; nên x có thể là t hay w, tùy theo ứng
dụng.
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Có hàng trăm loại cửa sổ với các đặc tính khác nhau. Việc chọn lựa tùy theo từng ứng dụng
đặc thù. Cửa sổ vuông có búp chính hẹp nhất. Cửa sổ Bartlett (tam giác; còn gọi là cửa sổ Fejer
hay Cesaro) có yếu điểm so với cửa sổ Hanning, nên ít dùng trong thực tế. Cửa số Hanning tốt hơn
Hamming khi phân tích phổ do có búp biên giảm nhanh hơn. Nhưng khi ứng dụng làm mạch lọc,
thì cửa sổ Hamming lại được chọn do có biên độ búp biên bé nhất với dùng độ rộng búp chính.
Cửa sổ Hamming được dùng nhiều nhất, trong những ứng dụng thông thường. Cửa sổ Kaiser,
dùng I 0 (a ) , của hàm Bessel bậc 0, nên có tính đa năng hơn và chỉnh định được. Việc chọn giá trị
a đúng (0 £ a £ 10) cho phép người thiết kế chọn được cửa sổ thích hợp với các ứng dụng điều
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
khiển cân bằng giữa búp chính và các búp biên. Khi a = 0 , cửa sổ Kaiser là cửa sổ vuông. Khi
a = 5,4414 thì đó là cửa sổ Hamming, và khi a = 8,885 , thì đó là cửa sổ Blackman. Khi a tăng,
độ rộng búp chính tăng và biên độ búp biên giảm.
Ta sẽ thiết kế mạch lọc thông thấp lý tưởng có băng thông W rad/s. Mạch lọc này có đáp ứng
W
xung là h(t ) = sin c(Wt ) (hình 4.48c) là không nhân quả, nên không thực hiện được. Giới hạn
p
hàm h(t ) dùng cửa sổ thích hợp (hình 4.48a) cho phép thực hiện mạch lọc này, dù mạch lọc có
được là dạng xấp xỉ của mạch lọc lý tưởng cần có. Ta có thể dùng của sổ vuông wR (t ) và cửa sổ
tam giác wT (t ) để giới hạn h(t ) . Đáp ứng giới hạn là hR (t ) và ht (t ) của hai trường hợp được vẽ ở
hình 4.48d.
hR (t ) = h(t ) wR (t ) và hT (t ) = h(t ) wT (t )
Do đó, hàm truyền các mạch lọc có giới hạn là tích phân chập của H (w ) với biến đổi Fourier của
cửa sổ, vẽ trong hình 4.48e và f. Ta có các quan sát sau:
1. Phổ của mạch lọc có giới hạn cho thấy tính rải phổ tại rìa, và thay vì có thay đổi đột ngột ta
có chuyển tiếp từ từ từ dải dẫn sang dải ngưng của mạch lọc. Dải chuyển tiếp nhỏ (2p/T
rad/s) cho trường hợp cửa sổ vuông so với trường hợp tam giác (4p/T rad/s).
2. Dù H (w ) đã có giới hạn, nhưng bộ lọc qua cửa sổ thì không. Nhưng hoạt động của dải
ngưng (stopband) trong trường hợp cửa sổ tam giác tốy hơn nhiều so với trường hợp cửa sổ
vuông. Trong cửa sổ vuông, rò phổ tại dải ngưng giảm chậm (1/w) so với trường hợp cửa
sổ tam giác là ( 1 / w 2 ). Hơn nữa, trường hợp cửa sổ vuông còn có biên độ đỉnh búp biên cao
hơn so với trường hợp cửa số tam giác.
Bảng 4.3
Một số hàm cửa sổ và đặc tính
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
4.10
Tóm tắt
Trong chương 3 ta đã giới thiệu tín hiệu tuần hoàn là tổng của các sóng (không dừng) sin
hay hàm mủ (chuỗi Fourier). Chương này mở rộng kết quả cho tín hiệu không tuần hoàn, dùng tích
phân Fourier (thay cho chuỗi Fourier). Một tín hiệu không tuần hoàn f (t ) có thể xem là tín hiệu
tuần hoàn với chu kỳ T0 ® ¥ , sao cho tích phân Fourier về cơ bản là chuỗi Fourier với tần số cơ
bản tiến về zêrô. Do đó, đối với tín hiệu không tuần hoàn, phổ Fourier là liên tục. Tính liên tục này
cho phép biểu diễn tín hiệu thành tổng của sóng sin (hay hàm mủ) của mọi tần số trong khoảng tần
số liên tục. Biến đổi Fourier F (w ) là mật độ phổ (trên đơn vị băng thông là Hz).
Một dáng vẽ khác của biến đổi Fourier là tính đối ngẫu giữa thời gian và tần số, tạo điều
kiên đối ngẫu cho tín hiệu f (t ) và biến đổi F (w ) . Tính đối ngẫu này xuất hiện do phương trình
gần-đối xứng của biến đổi Fourier trực tiếp và gián tiếp. Nguyên lý đối ngẫu rất hữu ích khi phân
tích tín hiệu.
Tính tỉ lệ cho kết luận là băng thông của tín hiệu tỉ lệ nghịch với độ rộng tín hiệu. Tính dời
theo thời gian không làm thay đổi biên độ phổ, nhưng làm phổ pha tăng tuyến tính. Nhân tín hiệu
với hàm mủ e jw0t làm dời phổ đi w0 . Trong thực tế, dời phổ được thực hiện bằng cách nhân tín
hiệu với sóng sin như cos w0t (thay vì hàm mủ e jw0t ). Quá trình này gọi là điều chế biên độ. Nhân
hai tín hiệu tạo tích phân chập cho phổ, và tích phân chập hai tích hiệu tạo phép nhân phổ.
Khi hệ LT – TT – BB có hàm truyền H (w ) , các phổ ngõ vào và ngõ ra lần lượt là F (w ) và
Y (w ) quan hệ với nhau theo phương trình Y (w ) = F (w ) H (w ) . Điều này chỉ đúng với hệ ổn định
tiệm cận. Để truyền không méo tín hiệu qua hệ thống LT – TT – BB, đáp ứng biên độ H (w ) của
hệ thống phải là hằng số, và đáp ứng pha ÐH (w ) phải là hàm theo w trong dải tần công tác. Lọc
lý tưởng, cho phép truyền không méo trong một dải tần nào đó và triệt mọi thành phổ tần số còn
lại, thường không thực hiện được trong thực tế (do hệ không nhân quả). Trong thực tế, không thể
thực hiện được hệ vật lý mà có độ lợi zêrô [ H (w ) = 0 ] trong một dải tần hữu hạn. Các hệ thống
này (bao gồm cả lọc lý tưởng) chỉ có thể thực hiện với hệ có đáp ứng với thời gian trễ hữu hạn.
Năng lượng của tín hiệu f (t ) là 1 / 2p nhân với vùng diện tích của F (w )
2
(định lý
Parseval). Năng lượng do thành phần phổ đóng góp trong dải tần DF (Hz) là F (w ) DF . Do đó,
2
F (w )
2
là mật độ phổ năng lượng của tín hiệu f (t ) là biến đổi Fourier của hàm tự tương quan
y f (t ) của tín hiệu f (t ) . Do đó, hàm tự tương quan có quan hệ trực tiếp với thông tin phổ.
Quá trình điều chế dời phổ tín hiệu đến các tần số khác. Điều chế được dùng với nhiểu lý do:
để truyền đồng thời nhiều bản tin trên cùng một kênh truyền, dùng kênh có băng thông rộng, hay
để phát xạ với hiệu suất lớn nhất qua đường truyền vô tuyến, để dời phổ tín hiệu lên tần số cao hơn
nhằm tránh được các khó khăn của việc xử lý tín hiệu ở tần số thấp, v.v,.. Nói rộng hơn, thì có hai
dạng điều chế chính: điều chế biên độ và điều chế góc. Các dạng điều chế này còn được chia thành
nhiều dạng nhỏ hơn. Băng thông của điều chế AM thường cố định, còn băng thông trong điều chế
góc thì điều khiển được. Sơ đồ có băng thông càng cao, thì tính chống nhiễu càng lớn.
Trong thực tế, ta thường phải giới hạn dữ liệu. Giới hạn dữ liệu được xem như việc quan sát
qua cửa sổ, chỉ thấy được những gì cửa sổ cho phép thấy. Cửa sổ vuông cho phép ta giới hạn đột
ngột dữ liệu, khi cho trong số đơn vị dữ liệu qua cửa sổ và phần dữ liệu còn lại có trọng số là 0.
Các cửa sổ hình nón, thì cho phép trọng số giảm từ từ, từ 0 đến 1. Giới hạn dữ liệu có thể tạo thêm
rắc rối. Thí dụ, khi tính biến đổi Fourier, thì cửa sổ giới hạn có thể làm rải phổ, tùy theo hàm cửa
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
sổ nào được dùng, Cửa sổ vuông ít tạo rải phổ nhất, nhưng lại có rò phổ ở búp biên và giảm chậm
theo 1 / w . Cửa sổ dạng nón thường có rải phổ lớn hơn, nhưng rò phổ nhỏ hơn và giảm nhanh hơn
với tần số. Điều may mắn là có thể giảm rải phổ bằng cách tăng chiều rộng cửa sổ. Do đó, ta có thể
giải quyết kết hợp yếu tố rải phổ và rỏ phổ bằng cách chọn thích hợp hàm cửa sổ với độ rộng T đủ
lớn.
Tham khảo
1. Churchill, R.V., and J.W. Brown, Fourier Series and Boundery Value Problems, 3rd Ed.,
McGraw-Hill, New York, 1978.
2. Bracewell, R.N., Fourier Transform and Its Applications, revised 2nd Ed., McGraw-Hill,
New York, 1986.
3. Guillemain. E.A., Theory of Linear Physical Systems, Wiley, New York, 1963.
4. Lathi, B.P., odern Digital and Analog Communication Systems, 3rd Ed., Oxford University
Press, New York, 1998.
5. J. Carson, “Notes on Theory of Modulation” Proc. IRE, vol 10. Febuary 1922, pp. 57-64.
6. J. Carson, “The Reduction of Asmospheric Disturbances” Proc. IRE, vol 16. July 1928, pp.
966-975.
7. Armstrong E.H. “A Method of Reducing Disturbances in Radio Signalling by a System of
Frequency Modulation” Proc. IRE, vol 24. May 1936, pp. 689 – 740 .
8. Hamming R.W., Digital Filters, 2nd Ed. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J. 1983.
9. Harris, F. J., “On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier
Transform” Proc. IEEE, vol 66. No. 1, January 1978, pp. 51-83.
BÀI TẬP
4.1-1 Chứng tõ là khi f (t ) là hàm chẵn theo t, thì
¥
F (w ) = 2 ò f (t ) cos wtdt và nếu f (t ) là hàm lẻ theo t, thì
0
¥
F (w ) = -2 j ò f (t ) sin wtdt
0
Từ đó, chứng minh là khi f (t ) là hàm thực và chẵn theo t, thì F (w ) là hàm thực và chẵn
theo w. Hơn nũa, nếu f (t ) là hàm lẻ theo t, thì F (w ) là hàm phức và lẻ theo w.
4.1-2 Chứng tõ là với hàm thực f (t ) , phương trình (4.8b) được viết thành
1 ¥
f (t ) = ò F (w) cos[wt + ÐF (w)]dw
p 0
Đây là dạng lượng giác của tích phân Fourier. So sánh với dạng chuỗi Fourier lương giác
4.1-3 Tín hiệu f (t ) có thể biểu diễn thành tổng các thành phần chẵn f e (t ) và lẻ f 0 (t ) (xem phần
1.5-2)
f (t ) = f e (t ) + f 0 (t )
(a) Nếu f (t ) Û F (w ) , chứng minh là với hàm thực f (t )
f e (t ) Û Re[ F (w )] và f o (t ) Û j Im[ F (w )]
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
(b) Kiểm nghiệm lại kết quả bằng cách tìm biến đổi Fourier của các thành phần hàm chẵn
và hàm lẻ của các tín hiệu sau: (i) u (t ) (ii) e - at u (t )
4.1-4
4.1-5
4.1-6
4.1-7
Từ định nghĩa (4.8a), tìm biến đổi Fourier của tín hiệu f (t ) trong hình P4.1-4.
Từ định nghĩa (4.8a), tìm biến đổi Fourier của tín hiệu f (t ) trong hình P4.1-5.
Từ định nghĩa (4.8b), tìm biến đổi Fourier nghịch của phổ vẽ trong hình P4.1-6.
Từ định nghĩa (4.8b), tìm biến đổi Fourier nghịch của phổ vẽ trong hình P4.1-7.
4.2-1 Vẽ các hàm sau:
ætö
æ 3w ö
(a) rect ç ÷ (b) Dç
÷
è2ø
è 100 ø
ætö
æ t ö
(f) sin cç ÷rect ç
÷
è5ø
è 10p ø
æx-aö
Hướng dẫn: f ç
÷ là
è b ø
CuuDuongThanCong.com
æ t - 10 ö
æ pw ö
æ w - 10p ö
(c) rect ç
÷ (d) sin cç
÷ (e) sin cç
÷
5 ø
è 8 ø
è 5 ø
è
æxö
f ç ÷ dời phải đoạn a.
èbø
https://fb.com/tailieudientucntt
æw ö
4.2-2 Từ định nghĩa (4.8b) chứng tõ là biến đổi Fourier của rect (t – 5) là sin cç ÷e - j 5w . Vẽ phổ
è2ø
biên độ và phổ pha.
æ w - 10 ö
j10t
4.2-3 Từ định nghĩa (4.8b) chứng tõ là biến đổi Fourier của rectç
÷ là sin c(pt )e .
è 2p ø
4.2-4 Tìm biến đổi Fourier nghịch của F (w ) của các phổ vẽ trong hình P4.2-4a và P4.2-4b.
Hướng dẫn: F (w ) = F (w ) e jÐF (w ) . Bài tập này cho thấy phương thức khi các phổ pha khác
nhau biểu diễn tín hiệu hoàn toàn khác nhau (dù có cùng phổ biên độ)
4.3-1 Dùng đặc tính đối xứng cho các cặp thích hợp trong bảng 4.1 để chứng minh là
1é
jù
(a) êd (t ) + ú Û u (w )
(b) d (t + T ) + d (t - T ) Û 2 cos Tw
2ë
pt û
(c) d (t + T ) - d (t - T ) Û 2 j sin Tw
4.3-2 Biến đổi Fourier của xung tam giác f (t ) trong hình P4.3-2a là
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
(
)
1 jw
e - j we j w - 1
2
w
Dùng thông tin này, và các đặc tính dời theo thời gian và tỉ lệ theo thời gian, tìm biến
đổi Fourier của các tìn hiệu f t (t ) (i = 1,2,3,4,5) vẽ trong hình P4,3-2
Hướng dẩn: Xem phần 1.3 về các phép tính đối với tín hiệu. Xung f t (t ) (i = 1,2,3,4,5) có
thể xem là tổ hợp của f (t ) và f1 (t ) với các thời gian trễ thích hợp (có thể là dương hay âm)
F (w ) =
4.3-3 Chỉ dùng tính dời theo thời gian và bảng 4,1, tìm biến đổi Fourier của tín hiệu vẽ trong hình
P4.3-3. Hướng dẫn: Tín hiệu trong các hình b, c, và d có thể viết thành dạng
f (t )[ u (t ) - u (t - a)] .
4.3-4 Dùng đặc tính dời theo thời gian, chứng tõ
nếu f (t ) Û F (w ) thì f (t + T ) + f (t - T ) Û 2 F (w) cos Tw .
Đây là dạng đối ngẫu của phương trình (4.41). Dùng kết quả này và cặp 17, cặp 19 trong
bảng 4.1 để tìm biến đổi Fourier của các tín hiệu trong hình P4.3-4.
4.3-5 Chứng tõ các kết quả sau đối ngẫu lẫn nhau
1
f (t ) sinw 0 t Û
[F (w - w0 ) - F (w + w0 )]
2j
1
[ f (t + T ) - f (t - T )] Û F (w ) sin Tw
2j
Dùng các kết quả này và bảng 4.1, tìm biến đổi Fourier của tín hiệu trong hình P4.3-5.
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
4.3-6 Các tín hiệu trong hình P4.3-6 là tín hiệu đã điều chế với sóng mang cos 10t . Tìm biến đổi
Fourier của các tín hiệu này dùng đặc tính thíc hợp của biến đổi Fourier và bảng 4.1. Vẽ
phổ biên độ và phổ pha của phần (a) và (b).
4.3-7 Dùng đặc tính dời theo tần số và bảng 4.1, tìm biến đổi Fourier nghịch của phổ vẽ trong
hình P4.3-7.
4.3-8 Dùng đặc tính tích chập theo thời gian, chứng tõ cặp 2, 4, 13 và 14 trong bảng 2.1 (giả sử
l < 0 trong cặp 2, l1 và l2 < 0 trong cặp 4, l1 < 0 và l2 > 0 trong cặp 13, l1 và l2 > 0
trong cặp 14).
Hướng dẫn: Dùng khai triển đa thức. Đối với cặp 12, dùng kết quả từ phương trình (1.23)
4.3-9 Tín hiệu f (t ) có băng thông giới hạn ở B Hz. Chứng tõ là tín hiệu f n (t ) có băng thông
nB Hz. Hướng dẫn: Bắt đầu với n = 2. Dùng đặc tính của tích chập theo tần số và đặc tính
về độ rộng của phép tích chập.
4.3-10 Tìm biến đổi Fourier của tín hiệu trong hình P4.3-3a với ba phương pháp khác nhau:
(a) Lấy tích phân trực tiếp từ định nghĩa (4.8a)
(b) Chỉ dùng cặp 17 và đặc tính dời theo thời gian
(c) Dùng các đặc tính vi phân và dời theo thời gian, và d (t ) Û 1
Hướng dẫn: 1 - cos 2 x = 2 sin 2 x
4.3-11 (a) Chứng minh đặc tính vi phân theo tần số (đối ngẫu với vi phân theo thời gian)
d
- jtf (t ) Û
F (w )
dw
(b) Dùng đặc tính này và cặp 1 (bảng 4.1), xác định biến đổi Fourier của te - at u (t )
4.4- 1 Hệ thống LT – TT – BB có hàm truyền
1
H ( s) =
s +1
Tìm đáp ứng trạng thái zêrô nếu ngõ vào f (t ) là:
(a) e -2t u (t ) (b) e -t u (t ) (c) e t u (-t ) (d) u (t )
Hướng dẫn: Từ phần (d), cần áp dụng kết quả của phương trình (1.23)
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
4.4-2
Hệ thống LT – TT – BB có hàm truyền
-1
H ( w) =
jw - 21
Tìm đáp ứng xung của hệ thống và chứng tõ đây là hệ thống không nhân quả. Tìm đáp
ứng trạng thái – zêrô của hệ thống khi ngõ vào f (t ) là: (a) e - t u (t ) (b) e t u (-t )
4.4-3 Tín hiệu f1 (t ) = 10 4 rect (10 4 t ) và f 2 (t ) = d (t ) là các ngõ vào của bộ lọc thông thấp lý
w
w
æ
ö
æ
ö
tưởng H 1 (w ) = rect ç
÷ và H 2 (w ) = rect ç
÷ (hình P4.4-3). Các ngõ ra
è 40.000p ø
è 20.000p ø
y1 (t ) và y2 (t ) của các bộ lọc được nhân với nhau để có y (t ) = y1 (t ) y2 (t ) .
(a) Vẽ F1 (w ) và F2 (w )
(b) Vẽ H1 (w ) và H 2 (w )
(c) Vẽ Y1 (w ) và Y2 (w )
(d) Tìm băng thông của y1 (t ) , y2 (t ) và y (t )
Hướng dẫn cho phần (d): Dùng đặc tính tích phân chập và đặc tính về độ rộng của tích
phân chập để xác định băng thông của y1 (t ) y2 (t ) .
4.4-4 Hằng số thời gian của bộ lọc thông thấp thường được định nghĩa là độ rộng của đáp ứng
xung h(t ) (xem phần 2.7-2). Xung vào p(t ) có cường độ bằng với điện tích của p(t ) nếu
độ rộng của p (t ) là rất bé so với hằng số thời gian của hệ thống. Giả sử p(t ) là xung thông
thấp, tức là có phổ tập trung tại các tần số thấp. Kiểm tra lại đáp ứng bằng cách xét hệ
æ t ö
thống có đáp ứng xung đơn vị là h(t ) = rectç -3 ÷ . Xung vào là xung tam giác
è 10 ø
æ t ö
p (t ) = Dç -6 ÷ . Phần diện tích của xung là A = 0,5 x10 -6 . Chứng tõ là đáp ứng của hệ
è 10 ø
thống với xung này rất giống với đáp ứng hệ thống khi ngõ vào là Ad (t ) .
4.4-5 Hằng số thời gian của bộ lọc thông thấp thường được định nghĩa là độ rộng của đáp ứng
xung h(t ) (xem phần 2.7-2). Xung p (t ) vào hệ thống không bị méo trong thực tế, nếu độ
rộng của p (t ) rất lớn hơn hằng só thời gian của hệ thống. . Giả sử p(t ) là xung thông thấp,
tức là có phổ tập trung tại các tần số thấp. Kiểm tra lại đáp ứng bằng cách xét hệ thống có
æ t ö
đáp ứng xung đơn vị là h(t ) = rect ç -3 ÷ . Xung vào là xung tam giác p(t ) = D(t ) . Chứng
è 10 ø
tõ là đáp ứng của hệ thống với xung này rất gần kp(t ) với k là độ lợi của hệ thống khi ngõ
vào là tín hiệu dc, tức là k = H (0) .
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
4.4-6 Tín hiệu nhân quả h(t ) có biến đổi Fourier là H (w ) . Nếu R(w ) và X (w ) là phần thực và
phần ảo của H (w ) , tức là H (w ) = R (w ) + jX (w ) , chứng minh:
1 ¥ X (w )
1 ¥ R(w )
R(w ) = ò
và
X (w ) = - ò
p -¥ w - y
p -¥ w - y
Giả sử h(t ) không có xung tại gốc, thì cặp tích phân trên gọi là biến đổi Hilbert.
Hướng dẫn: gọi he (t ) và ho (t ) là các thành phần chẵn và lẻ của h(t ) . Dùng kết quả
trong bài tập 4.1-3, xem phương trình 1.24 để tìm quan hệ giữa he (t ) và ho (t ) . Nhắc lại
sgn(t ) Û 2 / jw . Dùng đặc tính tích phân chập.
Bài tập này cho thấy các đặc tính quan trọng của hệ thống nhân quả: là phần thực và
phần ảo quan hệ với nhau trong hàm truyền của hệ thống nhân quả. Nếu đã đặc trưng phần
thực thì phần ảo không thể đặc trưng độc lập nũa. Phần ảo đã được định trước từ phần thực,
và ngược lại. Kết quả này dẫn đến kết luận là biên độ và pha của H (w ) có quan hệ với nhau
khi mọi cực và zêrô đều nằm bên trái mặt phẳng phức.
4.5-1 Xét bộ lọc có hàm truyền H (w ) = e - ( kw + jwt0 )
Chứng tõ hàm truyền này là không thực hiện được trong thực tế dùng các tiêu chuẩn trong
miền thời gian [hàm h(t ) không nhân quả và các tiêu chuẩn trong miền tần số (Paley-Wiener). Bộ
lọc này có thể thực hiện xấp xỉ không với việc chọn t 0 đủ lớn? Dùng tiêu chuẩn riêng về xấo xỉ
của bạn để xác định t0 . Hướng dẫn: Dùng cặp 22 trong bảng 4.1.
2
4.5-2 Chứng tõ bộ lọc với hàm truyền
2(105 ) - jwt0
H (w ) = 2
e
w + 1010
Là không thực hiện được. Có thể thực hiện mạch xấp xỉ khi cho t0 đủ lớn? Dùng tiêu chuẩn
xấp xỉ của bạn để xác định t0.
Hướng dẫn: chứng tõ và đáp ứng xung là không nhân quả.
4.5-3 Xác định xem các bộ lọc với hàm truyền sau là thực hiện được trong thực tế
Nếu không thực hiện được, thì có thể thực hiện chúng một cách chính xác hay xấp xỉ bằng
cách cho thời gian trễ hữu hạn trong đáp ứng?
w
æ
ö
(c) 2pd (w )
H (w ) = (a) 10 -6 sin c(10 -6 w ) (b) 10 -4 Dç
÷
è 40.000p ø
4.6-1 Chứng tõ là năng lượng của xung Gauss
t2
1
1
2
. Kiểm nghiệm kết quả bằng cách tìm năng lượng E f từ
f (t ) =
e 2e là
2s p
s 2p
F (w ) dùng định lý Parseval. Hướng dẫn: Xem cặp 22 trong bảng 4,1. Dùng sự kiện
ò
¥
e- x
-¥
2
/2
dx = 2p
4.6-2 Chứng tõ là
ò
¥
-¥
sin c 2 (kx)dx =
CuuDuongThanCong.com
p
k
https://fb.com/tailieudientucntt
Hướng dẫn: thừa nhận là tích phân trên là năng lượng của f (t ) = sin c(kt ) . Tìm năng lượng
dùng định lý Parseval.
4.6-3 Tín hiệu thông thấp f (t ) được đưa qua linh kiện có tính bình phương. Ngõ ra f 2 (t ) được
đưa qua mạch lọc thông thấp có băng thông là DF (Hz) trong hình P4.6-3. Chứng tõ là nếu
DF rất nhỏ ( DF ® 0 ), thì ngõ ra là tín hiệu dc y (t ) » 2 E f Df .
Hướng dẫn: Nếu
f 2 (t ) Û A(w ) , chứng minh là Y (w ) » [4pA(0)DF ]d (w ) nếu DF ® 0 , chứng minh rằng
A(0) = E f
4.6-4 Tổng quát hóa định lý Parseval để chứng minh là với tín hiệu thực, có biến đổi Fourier
f1 (t ) và f 2 (t ) thì
¥
1 ¥
1 ¥
f
(
t
)
f
(
t
)
dt
=
F
(
w
)
F
(
w
)
d
w
=
F1 (w )F2 (-w )dw
1
2
1
2
ò-¥
2p ò-¥
2p ò-¥
4.6-5 Cho tín hiệu
2a
t + a2
Xác định băng thông chủ yếu B Hz của f (t ) sao cho năng lượng chứa trong các thành
phần phổ của f (t ) có tần số thấp hơn B Hz là 99% của năng lượng tín hiệu E f . Hướng dẫn: Xem
bài tập E 4.5b
f (t ) =
2
4.7-1 Với mỗi trong ba tín hiệu băng nền
(i) m(t ) = cos 1000t (ii) m(t ) = 2 cos 1000t + cos 2000t (iii) m(t ) = 1000t cos 3000t
(a) Vẽ phổ của m(t )
(b) Vẽ phổ của tín hiệu DSB – SC m(t ) cos 10.000t .
(c) Tìm phổ của biên tần trên (USB) và biên tần dưới (LSB)
(d) Tìm các tần số trong băng nền, và các tần số tương ứng của phổ DSB – SC, USB và LSB. Tìm
bản chất của sự dời tần trong từng trường hợp.
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
4.7-2 Bạn được yếu cầu thiết kế bộ điều chế DSB – SC tạo tín hiệu điều chế km(t ) cos wc t , trong
đó m(t ) là tín hiệu có băng thông giới hạn là B Hz (hình P4.7-2a). Hình P4.7-2b vẽ bộ điều
chế DSB – SC thích hợp. Bộ lọc thông dải chỉnh ở tần số wc . Máy phát sóng mang không
tạo ra cos wc t mà tạo ra cos 3 wct
(a) Bạn có thể tạo ra tín hiệu cần thiết chỉ dùng thiết bị này không? nếu được, cho biết k là
bao nhiêu?
(b) Xác định phổ tín hiệu tại điểm b và c, và cho biết dải tần số của các phổ trên
(c) Cho biết giá trị tối thiểu để wc còn được dùng?
(d) Sơ đồ này có hoạt động được không nếu ngõ ra của máy phát sóng mang là cos 3 wc t ?
Giải thích?
(e) Sơ đồ này có hoạt động được không nếu ngõ ra của máy phát sóng mang là cos n wc t ?
Với các giá trị số nguyên n ³ 2 ?
4.7-3 Trong thực tế, việc nhân tín hiệu analog thường phức tạp và tốn kém. Do đó, trong bộ điều
chế biên độ, cần tìm ra cách khác để nhân m(t ) với cos wc t . May mắn là trong trường hợp
này, ta có thể thay phép nhân bằng tác động chuyển mạch. Tương tự cho trường hợp giải
điều chế. Trong sơ đồ hình P4.7-3a, chu kỳ của xung vuông tuần hoàn x(t ) trong hình
P4.7-3b là T0 = 2p / wc . Bộ lọc thông dải có tần số trung tâm là ± wc . Chú ý là phép nhân
xung vuông tuần hoàn x(t ) trong hình P4.7-3b thực ra là chuyển mạch on –off theo chu kỳ
của m(t ) . Đây là sơ đồ tương đối đơn giản và rẽ tiền.
Chứng tõ là sơ đồ này có thể tạo tín hiệu đã điều chế k cos wc t . Xác định giá trị của k.
Chứng tõ là sơ đồ này còn có thể dùng giải điều chế khi thay bộ lọc thông dải trong hình
P4.7-3a bằng bộ lọc thông thấp (hay băng nền).
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
4.7-4 Hình P4.7-4 giới thiệu sơ đồ giải điều chế đồng bộ. Chứng tõ là sơ đồ này có thể giải điều
chế tín hiệu AM, [ A + m(t )] cos wc t bất chấp giá trị A.
4.7-5 Vẽ tín hiệu AM, [ A + m(t )] cos wc t của tín hiệu tuần hoàn tam giác m(t ) vẽ trong hình
P4.7-5 tương ứng với các chỉ số điều chế (a) m = 0,5 (b) m = 1 (c) m = 2 và (d) m = ¥ .
Hảy diễn giải trường hợp m = ¥
4.7-6 Với từng tín hiệu trong ba tín hiệu băng nền
(i) m(t ) = cos 100t (ii) m(t ) = cos 100t + 2 cos 300t (iii) m(t ) = cos 100t cos 500t
(a) Vẽ phổ của m(t )
(b) Vẽ phổ của tín hiệu DSB – SC 2m(t ) cos 1.000t .
(c) Từ phổ của phần (b), loại phổ biên tần dưới (LSB) để có phổ biên tần trên USB.
(d) Biết được phổ USB trong (b), viết biểu thức jUSB (t ) của tín hiệu USB.
(e) Làm lại phần (c) và (d) đề có tín hiệu LSB j LSB (t )
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
4.8-1 Vẽ j FM (t ) và j PM (t ) của tín hiệu điều chế m(t ) trong hình P4.8-1, cho biết wc = 2px10 7 ,
k f = 2px105 và k p = 50p .
4.8-2 Một tín hiệu băng nền m(t ) là tín hiệu sóng răng cưa vẽ trong hình P4.8-2. Vẽ j FM (t ) và
k f = 20.000p và k p = p / 2 . Giải
j PM (t ) của tín hiệu điều chế m(t ) nếu wc = 2px10 6 ,
thích tại sao phải có k p < p trong trường hợp này?
4.8-3 Tín hiệu điều chế
m(t ) = 2 cos 100t + 18 cos 2.000pt
Tìm băng thông tương ứng với j FM (t ) và j PM (t ) nếu k f = 1.000p và k p = 1 .
4.8-4
Tín hiệu điều chế góc mô tả bằng phương trình
j EM (t ) = 10 cos(wc t + 0,1sin 2 000pt)
(a) Tìm độ dời tần DF
(b) Ước lượng băng thông của j EM (t )
4.8-5
Làm lại bài tập P4.8-4 nếu
j EM (t ) = 5 cos(wc t + 20 sin 1000pt + 10 sin 2000pt )
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt