Chương 2
ĐỊNH LÝ BAO
2.1. Cực trị tự do
2.2. Cực trị có điều kiện
Nội
dung
GV: Lê Thị Thanh Hải
GV: Lê Thị Thanh Hải
2.1. Cực trị tự do
Định lý bao I
Nếu f  y, x là biểu thức ban đầu (naive version) của hàm
cần tối ưu với y là biến nội sinh, x là biến ngoại sinh và
f *  x  f  y* (x), x là biểu thức tối ưu (clever function)
thì
df  x
*
dx

f  y, x
x

*
y y ( x)
f  y* ( x), x
x
GV: Lê Thị Thanh Hải
2.1. Cực trị tự do
Cực đại hóa lợi nhuận ngắn hạn
Xét mô hình lợi nhuận
  L, w  f  L  wL
L : lượng lao động
W
w  : lương thực sự
P
W: lương hình thức
P: giá bán.
f  L : hàm sản xuất
 df
  w  0  L*  L*  w
L dL
phương án tối ưu
 *  w    L* (w), w)
 f  L* (w)  wL* (w)
lợi nhuận tối ưu
Áp dụng định lý bao I
d *  w   L, w

 L* (w)
dw
w LL* (w)
đường cầu lao động
2.1. Cực trị tự do
Bài giải
Ví dụ 2.1
Cho mô hình lợi nhuận
  L, w  L  wL
Tìm
cách
d  w
*
dw
bằng
a) Tìm hàm tối ưu
b) Áp dụng định lý
bao.
GV: Lê Thị Thanh Hải
GV: Lê Thị Thanh Hải
2.1. Cực trị tự do
Định lý bao II
Nếu f  y, x  là biểu thức ban đầu (naive version) của
hàm cần tối ưu với y   yi n1 là các biến nội sinh, x   xi m1
là các biến ngoại sinh và f *  x   f *  x1, x2 ,..., xm   f  y* ( x), x 
là biểu thức tối ưu thì
f ( x1, x2 ,..., xm ) f  y, x 

xi
xi
f  y ( x), x 
*
*

y  y* ( x )
xi
GV: Lê Thị Thanh Hải
2.1. Cực trị tự do
Cực đại lợi nhuận dài hạn
Xét mô hình lợi nhuận   L, K, P,W, R  PF  L, K  WL  RK

F  L, K 
L*  P,W, R
W  0 
 P
 L
K*  P,W, R
L
K: lượng vốn


F  L, K 


W: lương hình thức   P
 R  0 Q*  P,W, R  F  L*, K* 

K
K
L : lượng lao động
R: lãi suất vốn
P: giá bán.
F(L, K):
hàm sản xuất
phương án tối ưu
 *  P,W, R    L* (P,W, R), K* (P,W, R)P,W, R
= PF  L*, K*  WL*  RK*
lợi nhuận tối ưu
2.1. Cực trị tự do
GV: Lê Thị Thanh Hải
Cực đại lợi nhuận dài hạn
Áp dụng định lý bao II ta có kết quả
 *(P,W, R)
 L*  P,W, R → đường cầu lao động
W
 *(P,W, R)
 K*  P,W, R → đường cầu vốn
R
 *(P,W, R)
*
*
*
 F  L , K   Q  P,W, R → đường cung
P
2.1. Cực trị tự do
Bài giải
Ví dụ 2.2
Cho hàm lợi nhuận tối
ưu
8
3

4
3

 *  P,W, R  30P W R
1
3
Tìm đường cung, cầu
lao động và cầu vốn
của mô hình.
GV: Lê Thị Thanh Hải
GV: Lê Thị Thanh Hải
2.1. Cực trị tự do
Hàm thuần nhất
 Hàm
f  x1 , x2 ,..., xn  gọi là hàm thuần nhất bậc k nếu với
mọi số dương λ ta có
f   x1 ,  x2 ,...,  xn    f  x1 , x2 ,..., xn 
k
f ( x)
f ( x)
 Nếu f thuần nhất bậc k thì kf ( x) 
x1  ... 
xn
x1
xn
f
 Nếu f thuần nhất bậc k thì
thuần nhất bậc (k – 1)
xi
Ví dụ 2.3
1
3
Q  F  L, K   L K
1
6
1 1 1
là hàm thuần nhất bậc k   
3 6 2
2.1. Cực trị tự do
Tính lồi lõm
GV: Lê Thị Thanh Hải
Hàm lõm
Hàm lồi
y  x4
2.1. Cực trị tự do
GV: Lê Thị Thanh Hải
Tính lồi lõm
 Hàm f(x) là hàm lồi (hoặc lõm) nếu và chỉ nếu ma trận
Hessian của nó nửa xác định dương (hoặc nửa xác định
âm) với mọi x.
 Hàm f(x) là hàm lồi ngặt (hoặc lõm ngặt) nếu và chỉ
nếu ma trận Hessian của nó xác định dương (hoặc xác
định âm) với mọi x.
Hàm lồi ngặt (lõm ngặt)
Hàm lồi (lõm)
2.1. Cực trị tự do
GV: Lê Thị Thanh Hải
Tính lồi lõm và tính thuần nhất của hàm tối ưu
Nếu hàm ban đầu được viết dưới dạng f ( y, x)  xT( y)
,
trong đó x   xi m1 ; y   yi n1 ;   y  i  ym1
Khi đó ta có các kết quả sau
 Hàm tối ưu f*(x) là hàm thuần nhất bậc 1.
 Phương án tối ưu y*(x) là hàm thuần nhất bậc 0.
 Nếu mô hình f(y, x) xét bài toán cực đại (hoặc cực tiểu)
thì hàm tối ưu f*(x) là hàm lồi (hoặc lõm).
2.1. Cực trị tự do
GV: Lê Thị Thanh Hải
Tính lồi lõm và tính thuần nhất của hàm lợi nhuận
Xét hàm lợi nhuận
  L, K , P,W , R   PF  L, K  WL  RK  xT ( y)
 F  L, K 
P
L




x  W  ; y    ; ( y)   L 
K

 K 
 R 
1)  *   P, W ,  R   *  P,W , R  → thuần nhất bậc 1
2)  *  P,W , R 
→ hàm lồi
L*   P, W ,  R   L*  P,W , R 

*
*
3) K   P, W ,  R   K  P,W , R   → thuần nhất bậc 0

*
*
Q   P, W ,  R   Q  P,W , R  
2.1. Cực trị tự do
Ví dụ 2.4
Xét mô hình lợi nhuận
dài hạn
  L, K, P,W, R
1
2
1
3
 PL K WL  RK
a) Xác định cầu vốn,
cầu lao động, hàm cung
và hàm lợi nhuận tối ưu
của mô hình.
b) Kết luận về tính lồi
lõm và tính thuần nhất
của các hàm trên.
GV: Lê Thị Thanh Hải
Bài giải
GV: Lê Thị Thanh Hải
2.2. Cực trị ràng buộc
Định lý bao III
 Đặt f (y, x) là hàm cần tối ưu với điều kiện ràng buộc là
h(y, x) = 0, trong đó y là vector các biến nội sinh và x là
vector các biến ngoại sinh.
 Hàm Lagrange là L  , y, x   f ( y, x)  h( y, x) và nếu hàm
tối ưu có dạng f *  x1, x2 ,..., xm  thì ta có
f
*
 x1, x2 ,..., xm  
xi
L  * ( x), y* ( x), x 
xi

L  , y, x 
xi
y  y* ( x )
 * ( x )
2.2. Cực trị ràng buộc
GV: Lê Thị Thanh Hải
Cực tiểu hóa chi phí sản xuất
Xét mô hình chi phí sản  L  W   F  0
 L
L

xuất C  WL  RK
F
 L
 R
0

K
với ràng buộc mức sản  K
xuất là Q  F  L, K 
 L
   Q  F  L, K   0

Khi đó hàm Lagrange
L  , L, K, Q,W, R
 WL  RK    Q  F (L, K )
 L*  Q,W, R
 *
 K  Q,W , R
 *
  Q,W , R
phương án tối ưu
C*  Q,W , R  WL* (Q,W, R)  RK*  Q,W , R
chi phí sản xuất tối ưu
2.2. Cực trị ràng buộc
GV: Lê Thị Thanh Hải
Cực tiểu hóa chi phí sản xuất
Áp dụng định lý bao III ta có kết quả
C * (Q,W , R )
 L*  Q, W , R  → cầu lao động có điều kiện
W
C * (Q,W , R )
 K *  Q, W , R  → cầu vốn có điều kiện
R
*
C (Q,W , R )
  *  Q, W , R  → chi phí biên
Q
2.2. Cực trị ràng buộc
Bài giải
Ví dụ 2.5
Cho hàm chi phí tối
ưu
3
4
C* (Q,W , R)  Q2W R
1
4
Tìm các đường cầu
vốn
và cầu
GV: Lê Thị Thanh Hải
lao
động có điều kiện.
2.2. Cực trị ràng buộc
Bài giải
Ví dụ 2.6
Một nhà máy sản xuất Q
đơn vị sản phẩm với hàm
chi phí C  WL  RK
GV: Lê Thị Thanh Hải
1
2
và hàm sản xuất Q  L K
1
3
Chứng minh rằng chi phí
nhỏ nhất có dạng
C*  Q,W , R
  25 52 53  35  65 53 52
= 2 3  2 3 Q W R


2.2. Cực trị ràng buộc
GV: Lê Thị Thanh Hải
Cực đại hóa lợi ích tiêu dùng
Xét mô hình tiêu dùng 2 L  U  P  0
1
 Q Q
*
1
1

Q
loại hàng hóa Q1, Q2 với 
1  P1, P2 , Y 
 *
L U
 Q2  P1, P2 ,Y 
hàm lợi ích U  U (Q1, Q2 ) Q  Q  P2  0
2
 2
 *
  P1, P2 ,Y 
với ràng buộc thu nhập Y L
 Y  PQ

1 1  PQ
2 2 0
và giá bán 2 loại hàng  
phương án tối ưu
hóa P1, P2 :
Y  PQ
1 1  P2Q2
Khi đó hàm Lagrange
U*  P1, P2 , Y   U  Q1*  P1, P2 ,Y  , Q2*  P1, P2 , Y  
lợi ích tiêu dùng tối ưu
L   , Q1 , Q2 , P1 , P2 , Y   U  Q1 , Q2    Y  PQ
1 1  P2Q2 
2.2. Cực trị ràng buộc
GV: Lê Thị Thanh Hải
Cực đại hóa lợi ích tiêu dùng
Áp dụng định lý bao III ta có kết quả
*

U
(Y , P1, P2 )
*
 (Y , P1, P2 ) 
→ lợi ích biên theo thu nhập
Y
U * (Y , P1, P2 ) 


P

Q1* (Y , P1, P2 )   * 1
U (Y , P1, P2 ) 
 → hàm cầu Marshallian
Y

*
U (Y , P1, P2 )  của hai loại hàng hóa

P2
*
Q2 (Y , P1, P2 )   *

U (Y , P1, P2 ) 

Y
Đồng nhất Roy
2.2. Cực trị ràng buộc
Bài giải
Ví dụ 2.7
Một hộ gia đình tiêu
dùng 2 loại hàng
hóa với điều kiện
Y  PQ
1 1  PQ
2 2
có lợi ích tối đa là
1
1

 

U*  Y  P1 2  P2 2 


1
3
GV: Lê Thị Thanh Hải
2
3
Tìm các hàm cầu
Marshallian của bài
toán trên.
2.2. Cực trị ràng buộc
GV: Lê Thị Thanh Hải
Cực tiểu hóa chi phí tiêu dùng
Xét mô hình tiêu  L  P1   U  0

dùng 2 loại hàng hóa
Q1, Q2 với hàm chi
phí E  PQ
1 1  PQ
2 2
Với ràng buộc về lợi
ích là U0  U  Q1, Q2 
Khi đó hàm Lagrange
Q
Q1
Q1*  P1, P2 ,U0 
 1
 *
U
 L
 P2  
0
 Q2  P1, P2 ,U0 

Q2
 Q2
 *
  P1, P2 ,U0 
 L
 U0 U  Q1, Q2   0

 
E*  P1, P2 ,U0 
phương án tối ưu
*
*
 PQ
P
,
P
,
U

PQ


1 1
1 2
0
2 2  P1 , P2 ,U0 
chi phí tiêu dùng tối ưu
L  , Q1, Q2 , P1, P2 ,U0   PQ
1 1  PQ
2 2   U0 U  Q1 , Q2  
GV: Lê Thị Thanh Hải
2.2. Cực trị ràng buộc
Cực tiểu hóa chi phí tiêu dùng
Áp dụng định lý bao III

E (P1, P2 ,U0 )
*
 Q1 (P1, P2 ,U0 ) 
P1


*
E (P1, P2 ,U0 )
 Q2* (P1, P2 ,U0 )

P2
*
E (P1, P2 ,U0 )
*
  (P1, P2 ,U0 )
U0
*
→ hàm cầu Hicksian
của hai loại hàng hóa
2.2. Cực trị ràng buộc
Ví dụ 2.8
Một hộ gia đình tiêu
dùng 2 loại hàng hóa
Q1, Q2 với giá bán
P1, P2 và thỏa mãn
mức lợi ích
U0  U  Q1, Q2 
1
2
 ln Q1  ln Q2
3
3
Tìm mức chi phí tiêu
dùng nhỏ nhất của
hộ gia đình này.
GV: Lê Thị Thanh Hải
Bài giải
GV: Lê Thị Thanh Hải
2.2. Cực trị ràng buộc
Tính lồi lõm và tính thuần nhất của hàm tối ưu
Nếu hàm ban đầu được viết dưới dạng f ( y, x)  xT  ( y) và
điều kiện ràng buộc không phụ thuộc x, nghĩa là
Khi đó ta có các kết quả sau
h( y , x )  h( y )  0
 Hàm tối ưu f*(x) là hàm thuần nhất bậc 1.
 Phương án tối ưu y*(x) là hàm thuần nhất bậc 0.
 Nếu mô hình f(y, x) xét bài toán cực đại (hoặc cực tiểu)
thì hàm tối ưu f*(x) là hàm lồi (hoặc lõm).
2.2. Cực trị ràng buộc
GV: Lê Thị Thanh Hải
Tính lồi lõm và tính thuần nhất của hàm chi phí sản xuất
Xét hàm chi phí sản xuất C  WL  RK  xT ( y)
với Q cố định.
W 
 L
x    , y    ,  ( y)  y
R
K 
1) C*  Q, W ,  R   C*  Q,W , R  → thuần nhất bậc 1 theo W, R
2) C*  Q,W , R → hàm lõm theo W, R
3)
L*  Q, W ,  R   L*  Q,W , R  
 → thuần nhất bậc 0 theo W, R
*
*
K  Q, W ,  R   K  Q,W , R  
2.2. Cực trị ràng buộc
Bài giải
Ví dụ 2.9
Cho hàm chi phí sản
xuất tối ưu
1 2
2

C  Q,W , R  QW  R

a) Chứng minh C*
hàm thuần nhất bậc
theo W, R.
*
1
2
GV: Lê Thị Thanh Hải



là
1
b) Tìm L*, K* và chứng
minh chúng là hàm
thuần nhất bậc 0 theo W,
R.
2.2. Cực trị ràng buộc
GV: Lê Thị Thanh Hải
Tính lồi lõm và tính thuần nhất của hàm chi phí tiêu dùng
T
Xét hàm chi phí tiêu dùng E  PQ

PQ

x
( y)
1 1
2 2
với U0 cố định.
 P1 
Q1 
x    , y    , ( y)  y
P2 
Q2 
1) E*  P1, P2 ,U0   E*  P1, P2 ,U0  → thuần nhất bậc 1 theo P1, P2
2) E*  P1, P2 ,U0  → hàm lõm theo P1, P2
Q1*  P1, P2 ,U0   Q1*  P1, P2 ,U0  
3)
 → thuần nhất bậc 0 theo P1, P2
*
*
Q2  P1, P2 ,U0   Q2  P1, P2 ,U0 
2.2. Cực trị ràng buộc
Ví dụ 2.10
Bài giải
Một hộ gia đình có thu nhập
Y tiêu dùng 2 loại hàng hóa
với số lượng Q1, Q2 với giá
bán tương ứng là P1, P2 thỏa
mãn hàm lợi ích là
U  Q1, Q2   ln Q12  Q22
a) Tìm các hàm cầu
Marshallian của 2 loại hàng
hóa để lợi ích lớn nhất.
b) Tìm hàm lợi ích tối ưu và
cho biết nó có tính thuần
nhất không?
c) Áp dụng định lý bao cho
biết sự ảnh hưởng của thu
nhập lên lợi ích tối đa?

GV: Lê Thị Thanh Hải
