Alumno: Efrén Martínez Bautista
CIDESI
Posgrado Interinstitucional en Ciencia y Tecnología
Control por modos deslizantes
Tarea 1
1. Un movimiento longitudinal simplificado m de un vehículo submarino se puede describir
mediante
mẍ + k ẋ|ẋ| = u
(1)
donde x denota la posición del vehículo, u es la entrada de control (una fuerza que es
proporcionada por una hélice), m es la masa del vehículo y k > 0 es el coeficiente de
arrastre. Asumiendo que el valor de m es conocido exactamente, el coeficiente de arrastre
es acotado k1 ≤ k ≤ k2 y la posición y la derivada (velocidad) x, ẋ son medidos:
a) Obtener el modelo en espacio de estados del vehículo, usando x1 = x, x2 = ẋ como
las variables de estado.
ẋ1 = x2
u − kx2 |x2 |
ẋ2 =
m
b) Diseñe una ley de control de modo deslizante convencional u que impulse x1 , x2 → 0
conforme el tiempo crece.
Primero se propone una superficie deslizante
σ = x2 + cx1
(2)
Después se propone una función candidata de Lyapunov, sea
1
V = σ2
2
(3)
Para cumplir con la condición de estabilidad asintótica global, se debe garantizar
que
V̇ = σ σ̇ < 0
(4)
se sigue que
V̇
= σ (ẋ2 + cx2 )
k
u
= σ − x2 |x2 | +
+ cx2
m
m
¿Cómo se debe elegir el control u para garantizar que se cumpla la ec. (4)?
Se elige la siguiente ley de control u
u = −mcx2 − (1.9x22 + ρ)sgn(σ)
entonces
V̇ = −
1
σ 1.9x22 sgn(σ) + kx2 |x2 | + ρsgn(σ)
m
1
(5)
Puesto que la función k ẋ|ẋ|, puede acotarse como
|k ẋ |ẋ|| ≤ k2 ẋ2 = 1.9ẋ2
luego entonces
|kx2 |x2 || ≤ 1.9x22 ⇒ 1.9x22 − |kx2 |x2 || ≥ 0
esto va a implicar que
1.9x22 sgn(σ) + kx2 |x2 | ≤ 1.9x22 − |kx2 |x2 || sgn(σ)
(6)
por lo tanto
V̇ ≤ −
1
σ (ρsgn(σ))
m
(7)
esto es
ρ √ 1/2
ρ
|σ| = −
2V
(8)
m
m
Se debe de asegurar que V = 0 en un tiempo finito tr , resolviendo la ec. (8), da
como resultado
m
tr ≤ |σ(0)|
(9)
ρ
V̇ ≤ −
c) Simular el sistemade control para x1 (0) = 2m, x2 (0) = 0.5m/s, m = 4kg y k =
kg
. Grafique a través del tiempo la variable deslizante, la función
1.5 + 0.4 sin(2t) ms
de control u, la posición x1 y la velocidad x2
Se implemento el siguiente código en MATLAB
clc
clear
clf
% condiciones iniciales
x1_0= 2; % m- posición
x2_0=0.5; % m/s - velocidad
% parámetros
% K= k1 + k2 sin(w1) [kg/ms]
m= 4; % kg - masa
k1=1.5;
k2=0.4;
w=2;
% Hint - constante
cte1= 1.9;
% Control
% u=-c x2 - ro sing(sigma)
c=1;
rho=4;
2
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Y se implementó el siguiente diagrama en SIMULINK
Fig. 1: Sistema con ley de control u y función SIGN
Primero se se grafico el comportamiento del sistema sin una ley de control para ver
el comportamiento de posición y velocidad. La posición tiende a una constante y la
velocidad tiende a cero.
Variables de estado sin control
2.5
x1
x2
2
1.5
x1,x2
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
Fig. 2: Variables de estado en el tiempo sin control
3
10
Las siguientes gráficas son los resultados obtenidos con los parámetros mencionados. La siguiente Fig. muestra que las variables de estado si convergen asintóticamente
Convergencia asintótica de variables de estado
2.5
x1
2
x2
1.5
x1,x21
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
Fig. 3: Convergencia asintótica de las variables de estado
Variables de estado
0.5
0
x2
-0.5
-1
0
0.5
1
1.5
x1
Fig. 4: Variables de estado
4
2
2.5
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La siguiente Fig. muestra la variable deslizante
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
Fig. 5: Variable deslizante
Finalmente se gráfica el control u
Control u
1.5
u
1
0.5
u
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t
Fig. 6: Sistema con control u y función sign
5
9
10
d) Identificar las cantidades que llegan a cero en tiempo finito y las que se acercan a cero
asintóticamente.
La función σ tiende a cero en tiempo finito, y los estados x1 y x2 tienden a cero
asintóticamente.
2. Repita el ejercicio anterior aproximando la función sign en la ley de control por la función
σ
sigmoid, sign(σ) ≈ |σ|+ϵ
y por separado por la función saturación.

 1 if σ > ϵ
σ
if |σ| ≤ ϵ
sign(σ) ≈
 ϵ
−1 if σ < −ϵ
El comportamiento de la superficie deslizante y la convergencia asintótica de las variables
de estado es la misma que en el caso anterior, la diferencia se nota en el control, ahora el
resultado de la gráfica utilizando la función aproximación es
Control u aprox sign
1.4
u
1.2
1
0.8
u
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
Fig. 7: Sistema con control u y con función aproximación de sign
Para la función saturación se implemento el siguiente código en MATLAB
function sign_01 = fsign(sigma)
%
Función saturación
s_sigma = sigma(1);
epsilon = 0.01;
if s_sigma > epsilon
sign_01 =1;
elseif abs(s_sigma) <= epsilon
6
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sign_01 = s_sigma/epsilon;
elseif s_sigma <-epsilon
sign_01 =-1;
end
end
Fig. 8: Sistema con ley de control u y función saturación
El comportamiento de la superficie deslizante y la convergencia asintótica de las variables
de estado es la misma que si se utilizará la función sign y la función de aproximación, lo
que cambia es la gráfica de la ley de control, la cuál es
Control u aprox sign
1.5
u función saturación
1
u
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
Fig. 9: Sistema con control u y función saturación
7
10
Finalmente, en la siguiente Fig. se muestra la comparación de la ley de control utilizando función aproximación y función saturación.
Control u aprox sign
1.5
u aproximación
u función saturación
1
u
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
Fig. 10: Control u con función aproximación vs control u con función saturación
8