Congreso Nacional de Control
Automático, AMCA 2015,
Cuernavaca, Morelos, México.
81
Control Basado en Pasividad para
un quadrotor UAV
M. E. Guerrero ∗,∗∗ R. Lozano ∗∗ C. D. Garcı́a ∗
∗
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico,
CENIDET, Internado Palmira s/n, Col. Palmira, CP 62490,
Cuernavaca, Mor., México.(e-mail:
maria-eusebia.guerrero-sanchez@hds.utc.fr)
∗∗
Sorbonne universités, Université de technologie de Compiègne,
CNRS, Heudiasyc UMR 7253, CS 60 319, 60 203 Compiègne cedex.
Resumén: En este trabajo se presentan los resultados de un modelo matemático y de una
estrategia de control para una clase especial de sistemas subactuados, un Vehı́culo Aéreo
no Tripulado (UAV). El modelo matemático se basa en la formulación de Euler-Lagrange,
donde las ecuaciones de movimiento se expresan en el formalismo Hamiltoniano. Se diseña
un Control Basado en Pasividad por Asignación de Interconexión y de Amortiguamiento
(IDA-PBC) para un UAV. El objetivo de control es estabilizar al quadrotor en posición y
orientación. Se llevan a cabo simulaciones numéricas para validar el enfoque general de la
estrategia de control.
1. INTRODUCCIÓN
Los vehı́culos aéreos no tripulados son cada vez más
comunes, han sido el tema de estudio de varias investigaciones y trabajos académicos, debido a su amplia
aplicabilidad y al reto que se ofrece en el área de control.
Existen varias configuraciones de UAV’s, pero entre ellas
destaca el quadrotor, debido a su capacidad de despegar
y de aterrizar verticalmente, alta maniobrabilidad, bajo
costo y mantenimiento fácil [Erginer y Altug (2007)].
Aunque se han propuesto muchas leyes de control en
la literatura para un quadrotor UAV, la propiedad de
pasividad que tienen estos vehı́culos no ha sido explorada
ampliamente. El objetivo de este trabajo consiste en
explorar la aplicación de una técnica de control no lineal,
que aproveche la propiedad de pasividad de un sistema
quadrotor, para resolver el problema de seguimiento de
trayectoria. La técnica de control que se utiliza es IDAPBC.
La Asignación de Interconexión y de Amortiguamiento
es una metodologı́a de Control Basada en Pasividad
aplicada a una clase especial de sistemas mecánicos
subactuados, la cual se basa en sistemas descritos por
un modelo Hamiltoniano Controlado por Puerto (PCH).
Esta metodologı́a consiste en asignar un modelo PCH
Reserva de Derechos No. EN TRÁMITE, ISSN. EN TRÁMITE
nuevo en lazo cerrado con la asignación de interconexión
y de amortiguamiento [Ortega et al. (2002)].
En el presente trabajo, la metodologı́a IDA-PBC se
utiliza para incorporar información sobre la estructura
del sistema subactuado y para tratar con el concepto
de energı́a total en la estrategia de control. La principal
ventaja de la estrategia IDA-PBC es su robustez inherente con respecto a la dinámica no modelada y a las
incertidumbres paramétricas.
Hay varias investigaciones recientes donde se aplica el
IDA-PBC a vehı́culos aéreos no tripulados. Por ejemplo,
en [Acosta et al. (2014)] se desarrolla un control robusto
para un manipulador aéreo subactuado utilizando IDAPBC. Además, en ([Souza et al. (2014)] se desarrolla una
aplicación de una técnica de control no lineal basado
en pasividad, para resolver el problema de seguimiento
de trayectoria para un quadrotor. En [Yuksel et al.
(2013)] se presenta un control basado en pasividad para
un quadrotor UAV, en este trabajo solo se moldea la
energı́a potencial. En [Yuksel et al. (2013)] se propone
un controlador basado en una extensión del IDA-PBC
para un quadrotor UAV, en este trabajo se moldea
tanto la energı́a cinética como la energı́a potencial. El
control desarrollado es capaz de cambiar los parámetros
dinámicos aparentes del sistema.
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En [Muñoz et al. (2013)] se presenta un control por
retroalimentación para estabilizar un quadrotor; el enfoque hace uso de la propiedad de pasividad y de la
teorı́a de programación dinámica. El diseño de control
se basa en la propuesta de una función de Lyapunov que
ha sido definida como la función de la energı́a. En [Souza
et al. (2012)] se desarrolla un diseño de control de un
avión VTOL por medio de la metodologı́a de PBC. En
este trabajo, el problema de seguimiento de trayectoria
se resuelve para un modelo de un quadrotor real. Por
otra parte, una acción de control integral se añade a la
estrategia de control para el rechazo de perturbaciones.
En [Guerrero et al. (2015)] se aplica la metodologı́a de
IDA-PBC a un sistema de un quadrotor con una carga
suspendida por un cable, en este trabajo se aprovechan
las ventajas de la estrategia de control para minimizar
el ángulo de oscilación de la carga.
En la mayorı́a de los trabajos anteriores sólo se moldea la
energı́a potencial. En este trabajo, el objetivo principal
es moldear la energı́a total (cinética y potencial) del
sistema subactuado de un quadrotor.
Este artı́culo está organizado de la siguiente manera: en
la sección II, se describe el modelo matemático basado
en la formulación de Euler-Lagrange para un quadrotor UAV. En la sección III, se desarrolla la estrategia
de control de Asignación de Interconexión y de Amortiguamiento para el sistema en estudio. En la sección
IV, se presentan las simulaciones y resultados numéricos.
Finalmente, en la sección V, se dan las conclusiones y las
perspectivas.
2. MODELO DINÁMICO
En esta sección, se presenta una breve descripción del
modelo matemático. La Figura 1 muestra un quadrotor
UAV. El sistema en cuestión tiene seis grados de libertad
y sólo cuatro grados están actuados.
Se usa la siguiente notación de acuerdo a la Figura
1, se considera una referencia inercial de coordenadas
O = {ex , ey , ez }, fija a la tierra y una referencia de
coordenadas fija al cuerpo B = {e1 , e2 , e3 }, la cual
coincide con el centro de masa del quadrotor. La con[
]T
figuración de variables son q = ξ η
∈ R6 , donde
[
]T
ξ = x y z
∈ R3 denota la posición del centro de
masa del UAV relativo a la referencia inercial fija O,
[
]T
η = ψ θ ϕ
∈ R3 son los ángulos de Euler yaw,
pitch y roll, respectivamente. d es la distancia entre los
motores. Finalmente, f1 , f2 , f3 y f4 son las fuerzas de
empuje proporcionadas por cada uno de los rotores.
82
Fig. 1. Diagrama esquemático de un Quadrotor UAV
[
]T
La entrada de control se define como u = f τ
∈ R4 ,
donde f = f1 + f2 + f3 + f4 es la magnitud de la fuerza
[
]T
de empuje total, τ = τψ τθ τϕ , τψ = Σ4i=1 τMi , τθ =
(f2 − f4 )d y τϕ = (f3 − f1 )d son las entradas de torque,
ası́ como τMi es el momento producido por el motor
Mi , i = 1, ..., 4, alrededor del centro gravitacional del
quadrotor. R es la matriz de rotación de la referencia del
cuerpo a la inercial. Usando la notación corta sθ = sin(θ)
y cθ = cos(θ) se expresa como

cψ cθ −sψ cϕ + cψ sθ sϕ sψ sϕ + cψ sθ cϕ
R =  sψ cθ cψ cϕ + sψ sθ sϕ −cψ sϕ + sψ sθ cϕ 
−sθ
cθ sϕ
cθ cϕ

2.1 Ecuaciones Euler-Lagrange
El modelo matemático se obtiene via la formulación
Euler-Lagrange. Las expresiones para las energı́as cinética
y potencial se presentan con el propósito de obtener el
lagrangiano del sistema. La función de la energı́a cinética
total K(q, q̇) del sistema del quadrotor UAV, resultante
de los movimientos de traslación y de rotación se expresa
como
KU AV =
1 ˙T ˙ 1 T
M ξ ξ + η̇ J η̇
2
2
(1)
donde la matriz J = J(η) actua como la matriz de
inercia para la energı́a cinética rotacional completa del
quadrotor, se expresa en términos de las coordenadas
generalizadas η (detalles en [Castillo et al. (2005)] y, se
define como

Iψ s2θ + Iθ c2θ s2ϕ + Iϕ c2θ c2ϕ cθ cϕ sϕ (Iθ − Iϕ ) −Iψ sθ
J =
cθ cϕ sϕ (Iθ − Iϕ )
Iθ c2ϕ + Iϕ s2ϕ
0 
−Iψ sθ
0
Iψ

Octubre 14-16, 2015.
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[
]T
G = 0 0 Mg 0 0 0
En la expresión anterior, Iψ , Iθ e Iϕ son los momentos
de inercia del quadrotor, mientras M representa la masa
del quadrotor.
La función de energı́a potencial total V (q) del sistema
es
V (q) = M gz
(2)
Usando (1) y (2), el lagrangiano se puede escribir como
1
1
L = M (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) + (Iψ s2θ + Iθ c2θ s2ϕ + Iϕ c2θ c2θ )ψ̇ 2
2
2
1
2
2 2
+ (Iθ cϕ + Iϕ sϕ )θ̇ + (Iθ cθ cϕ sϕ − Iϕ cθ cϕ sϕ )ψ̇ 2 θ̇2
2
1
+ Iψ ϕ̇2 − Iψ sθ ψ̇ 2 ϕ̇2 − M gz
(3)
2
2.2 Ecuaciones de movimiento
Aplicando la formulación de Euler-Lagrange, se obtienen
las ecuaciones que modelan el movimiento total del
sistema, en forma matricial se expresan como
M(q)q̈ + C(q, q̇)q̇ + G = b(q)u

sϕ sψ + cϕ cψ sθ cϕ sθ sψ − cψ sϕ cθ cϕ

0
0
0
b=

0
0
0
0
0
0
Mq̈ + G = b(q)u
donde
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
c44
c54
c64
0
0
0
c45
c55
c65

0
0 


0 

c46 

c56 
0
T
0
0

0
1
(5)

M 0 0
M(q) =  0 M 0 
0 0 Iθ




sin θ 0
0
G(q) =  M g  , b(q) =  cos θ 0 
0 1
0

3. ESTRATEGIA DE CONTROL

0
0


0
C(q) = 
0

0
0
0
0
1
0
Con el objetivo de simplificar el diseño de la estrategia
de control, se considera al sistema dentro del plano
longitudinal (i.e., y = ψ = ϕ). Entonces se tiene la
siguiente representación
donde M(q) ∈ R6×6 es la matriz de inercia, la cual es
simétrica y definida positiva, C(q, q̇) ∈ R6×6 es la matriz
de Coriolis, G(q) ∈ R6 es el vector gravitacional y la
matriz b(q) ∈ R6×4 se determina a partir de la entrada
del sistema u ∈ R4 , no es invertible, ya que el sistema
no es completamente actuado. Estas matrices se definen
por:

0
1
0
0
2.3 Modelo dinámico simplificado para el plano longitudinal
(4)

M 0 0
0
0
0
 0 M 0
0
0
0 




0
0
0 
 0 0 M
M(q) = 

 0 0 0 m44 m45 −Iψ sθ 


 0 0 0 m54 m55
0 
0 0 0 −Iψ sθ 0
Iψ
2
2
2
2
donde m44 = Iψ sθ + cθ (Iθ sϕ + Iϕ cϕ ), m45 = m54 = (Iθ −
Iϕ )(cθ sϕ cϕ ) y m55 = Iθ c2ϕ + Iϕ s2ϕ .
83
Se aplica el enfoque IDA-PBC al modelo (5) con energı́a
total
1
(6)
H(q, p) = pT M−1 (q)p + V (q)
2
donde q ∈ R3 , p ∈ R3 , son la posición y el momento generalizado, respectivamente y H(q, p) es el Hamiltoniano.
Las ecuaciones de movimiento se pueden escribir como
]
] [
][
[ ] [
0
∇q H
0 In
q̇
u
(7)
+
=
b(q)
∇p H
−In 0
ṗ
donde In ∈ R3×3 es una matriz identidad, ∇q H =
∂H/∂q y ∇p H = ∂H/∂p.
donde c44 = Iψ θ̇sθ cθ − (Iθ + Iϕ )(θ̇sθ cθ s2ϕ ) + (Iθ −
Iϕ )ϕ̇c2θ sϕ cϕ , c45 = Iψ ψ̇sθ cθ −(Iθ −Iϕ )(θ̇sθ cϕ cϕ + ϕ̇cθ s2ϕ )−
(Iθ + Iϕ )(ψ̇sθ cθ c2ϕ − ϕ̇cθ c2ϕ ), c46 = −(Iψ θ̇cθ − (Iθ −
Iϕ )(ψ̇c2θ sϕ cϕ )), c56 = ψ̇sθ cθ (−Iψ + Iθ s2ϕ + Iϕ c2ϕ ), c55 =
−(Iθ − Iϕ )(ϕ̇sϕ cϕ ), c56 = Iψ ψ̇cθ + (Iθ − Iϕ )(−θ̇sθ cϕ +
ψ̇cθ c2ϕ − ψ̇cθ s2ϕ ), c64 = −(Iθ − Iϕ )(ψ̇c2θ sϕ cϕ ) y c65 =
−Iψ ψ̇cθ + (Iθ − Iϕ )(θ̇sϕ cϕ + ψ̇cθ s2ϕ − ψ̇cθ c2ϕ ).
Se propone la siguiente forma para la función de energı́a
deseada:
1
Hd (q, p) = pT Md −1 (q)p + Vd (q)
(8)
2
donde Md = MTd > 0 y Vd representan la matriz de
inercia de lazo cerrado y la función de energı́a potencial,
respectivamente. Se requiere que la función Vd tenga un
mı́nimo en q∗ , esto es
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q∗ = arg min Vd (q)
(9)
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84

a1 0 a3
Md =  0 a4 0  ,
a3 0 a6

En PBC, la entrada de control es naturalmente descompuesta en dos términos
u = ues (q, p) + udi (q, p)
(10)
donde el primer término representa el moldeo de energı́a
y el segundo término la inyección de amortiguamiento.
La dinámica deseada del hamiltoniano controlado por
puertos tiene la siguiente forma [Ortega et al. (2002)]
]
[
[ ]
∇q Hd
q̇
= [Jd (q, p) − Rd (q, p)]
∇p Hd
ṗ
donde
[
Jd = −JdT =
M−1 Md
−M−1 Md J2 (q, p)
0
[
Rd =
RdT
=
0
0
0 bKv bT
(11)
cos θ
]
≥0
donde J2 es una matriz antisimétrica y Kv = KvT > 0.
El término de inyección de amortiguamiento se expresa
por
udi (q, p) = −Kv bT ∇p Hd
(12)
Para obtener el término del moldeo de energı́a, ues del
controlador, se remplaza (10) y (12) en (7) y se iguala
con (11), resultando
[
(13)
El primer renglón de las ecuaciones se satisface claramente. En el segundo, el conjunto de las PDE (Ecuaciones Diferenciales Parciales) dan el término del moldeo
de la energı́a dado por
( )−1 T (
ues = bT b
b ∇q H − Md M−1 ∇q Hd
)
+J2 M−1
d p
Entonces, el controlador (14) se reduce a
)
( )−1 T (
(17)
ues = bT b
b ∇q H − Md M−1 ∇q Hd
[
]
Con b⊥ = cos θ − sin θ 0 , la PDE de la energı́a
potencial (16) toma la forma:
[
]
]
] [
][
0
∇q H
0 In
ues
+
b(q)
∇p H
−In 0
]
][
[
∇q Hd
0
M−1 Md
=
∇p Hd
−M−1 Md J2 (q, p)
donde a1 a6 > a23 .
(14)
Las PDEs (13) se pueden separar en las ecuaciones
{
b⊥ ∇q (pT M−1 p) − Md M−1 ∇q (pT M−1
d p)
}
(15)
+2J2 M−1
d p =0
}
{
−1
⊥
(16)
b ∇q V − Md M ∇q Vd = 0
la cual se resuelve y la energı́a potencial deseada se
obtiene como:
M gIp
Vd =
ln cos θ + Φ(•)
a3
donde Φ es una función diferenciable arbitraria de θ −
Ip a1
M a3
que la selección de
Ip(
a1 x y z − M a3 ln cos θ. Note
)
I
a
a3
p 1
Φ θ− M
Ip a1 x, z − M a3 ln cos θ depende de la condición
dada en (9). Para esto, la condición necesaria ∇q Vd (q∗ ) =
0 y la condición suficiente ∇2q Vd (q∗ ) > 0 se mantendrán
si el de Hessiano de Φ(x, z, θ) en q∗ es positivo [Ortega
et al. (2002)]. En este caso, se elige Φ(x, z, θ) como una
función cuadrática
(
)2
M gIp
M a3
1
Vd =
ln cos θ + kpx θ −
(x − xD )
a3
2
Ip a 1
(
)2
Ip a1
1
ln cos θ
+ kpz z − zD −
2
M a3
donde (xD , zD , 0) denota la configuración de equilibrio
y kpx , kpz son las ganancias proporcionales y se usan
como parámetros de sintonización. Para obtener la ley
de control final, primero se determina el término de
moldeo de la energı́a ues de (17), en este se considera
a1 = a4 = M y a6 = Ip , tomando la forma:
(
)


M gsθ
sθ
dsθ
− kpz
β − kpz cθ β + M gcθ


dcθ
dcθ
ues = 

M gsθ
sθ
a3 d
α+
− kpz
β − kpx α
kpx
M
dcθ
dcθ
donde
(
)
a3
α(x, θ) = θ − (x − xD )
Ip
)
(
Ip
ln cos θ
β(z, θ) = z − zD −
a3
a3
d= ,
Ip
donde b⊥ es un aniquilador izquierdo de rango completo
de b(q).
En el moldeo de energı́a, se nota que la matriz M es
independiente de q, entonces podemos tomar J2 = 0 y
Md como una matriz constante, la cual denotamos por
]
[
]
a3 ∂Vd
M 2g
a4 ∂Vd
∂Vd
+
−
− sin θ
=0
∂x
Ip a1 ∂θ
a1 ∂z
a1
(18)
y después se determina el término de inyección de
amortiguamiento udi de (12)
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
sθ e(θ̇(+ sẋ) +
cθ ż
)


θ̇
=

t ẋ −
d
85

udi
3.5
3
2.5
e=−
a 3 Ip
a3 M
M
,s = − , t = −
M Ip − a23
a3
M Ip − a23
posición z (m)
donde
2
1.5
1
0.5
4. RESULTADOS Y SIMULACIONES
0
5
10
tiempo (seg)
15
16
20
θ
θD
14
12
Tabla 1. Parámetros
Parámetros
M
Iθ
g
0
Fig. 3. Resultados de simulación de la evolución del
estado y.
Ángulo pitch (grados)
El objetivo de la simulación es mover el quadrotor de
alguna posición inicial a una posición deseada. En la
simulación se usaron los parámetros del modelo cerca
de los que tienen las plataformas aéreas reales. Tales
parámetros se muestran en la Tabla I. Para las simulaciones, los parámetros de control fueron seleccionados a
prueba y error. Las ganancias para el término del moldeo
de energı́a ue s fueron elegidas como kpx = 4 y kpz = 5.
z
zD
Valor[unidades]
0.4[Kg]
0.177[kgm2 ]
9.8[m/s2 ]
10
8
6
4
2
0
En las Figuras 2 a 4 se muestra la evolución de los
estados con las condiciones de equilibrio deseadas como
xD = 5, zD = 3 y θD = 0, donde se aprecia que el
comportamiento del esquema de control propuesto es
bastante satisfactorio y que el objetivo de control se logra
en menos de 10 segundos.
−2
−4
0
5
10
tiempo (seg)
15
20
Fig. 4. Resultados de simulación de la evolución del
estado θ.
Concerniente a las entradas de control, en las Figuras 5
y 6 se puede observar la evolución de f y τ , respectivamente.
70
60
50
Fuerza total (N)
6
5
posición x (m)
4
40
30
20
3
10
2
0
−10
1
0
−1
x
xD
0
5
10
tiempo (seg)
15
0
5
10
tiempo (seg)
15
20
Fig. 5. Resultados de simulación del control f .
20
5. CONCLUSIÓN
Fig. 2. Resultados de simulación de la evolución del
estado x.
Este artı́culo presenta el modelo matemático bajo la
formulación Euler-Lagrange de un vehı́culo aéreo no
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7
6
Momento (N−m)
5
4
3
2
1
0
−1
0
5
10
tiempo (seg)
15
20
Fig. 6. Resultados de simulación del control τ .
tripulado. Las ecuaciones de movimiento se expresaron
en el formalismo Hamiltoniano.
Se presentó la estrategia de control IDA-PBC para un
quadrotor UAV.
La ley de control desarrollada presenta un buen desempeño, considerando el objetivo de control.
86
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Como trabajo futuro se tienen realizar experimentos en
tiempo real.
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