1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина (УрФУ)
Физико-технологический институт
Кафедра “Физики Высокоэнергетических процессов”
УТВЕРЖДАЮ:_________________________
И. О. Зав. кафедрой
Байтимиров Д. Р.
ДИСЦИПЛИНА: «ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ” (5-й завод, варианты 7, 8)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ
ВОПРОС
ЗАДАНИЕ № 1
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1
Базисные векторные поля и криволинейные координаты в трёхмерном евклидовом пространстве: отображения и криволинейные координаты в евклидовом пространстве; натуральные и взаимные базисные векторные поля (доказательство лемм об ортогональности векторов натурального и взаимного базисов).
Найти поток векторного поля (обозначения декартовы)
20/10
15
A x  = x 2 e1 + y 2 e 2 + z 2 e 3
 
→
→
→
→
→
через боковую поверхность конуса


F = ( x; y; z ) : x 2 + y 2  h2 , x 2 + y 2  z  h
ЗАДАНИЕ № 2
в сторону внешней нормали.
Вычислить двойной интеграл
10
 x + y dxdy
2
2
D
D , ограниченной линиями с уравнениями
по области
x 2 + y 2 = a 2 ; x 2 + y 2 = 4a 2 .
ЗАДАНИЕ № 3
Найти общее решение системы ОДУ:
30
 1 0  d  y1   0 −1   y1   tg 2t − 1
.
 0 1  y  +  1 0 y  = 

 dt  2  
  2   tgt 
Указание. Общее решение однородной системы ОДУ искать в виде
y1 (t ) = x1e t , y2 (t ) = x2 e t .
ЗАДАНИЕ № 4
В сплошной упругой среде в декартовом базисе
→e , →e , →e 
 1 2 3


20
напряжённое
состояние задано тензорным полем

→ →
→ →
→ →
T = Tij e i e j = 3x1 x2 e 1 e 1 + 5x22 e 1 e 2 +
→
→
→
→
→ →
+ 5 x22 e 2 e 1 + 2 x3 e 2 e 3 + 2 x3 e 3 e 2 .
Найти напряжение в точке пересечения нормали, проходящей через точку
(
)
M 0 2;1; 3 поверхности с уравнением
x22 + x32 − 4 = 0
и плоскости с уравнением
x1 + x2 + 2x3 − 9 = 0 .