Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Уральский государственный университет путей сообщения
Кафедра «Электрические машины»
А. П. Сухогузов
И. Б. Падерина
Теоретические основы
электротехники
Екатеринбург
УрГУПС
2019
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Уральский государственный университет путей сообщения
Кафедра «Электрические машины»
А. П. Сухогузов
И. Б. Падерина
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Практикум для студентов специальности
23.05.05 «Системы обеспечения движения поездов»
по дисциплине «Теоретические основы
электротехники»
Екатеринбург
УрГУПС
2019
УДК 621.3 (072)
С89
С89
Сухогузов, А. П.
Теоретические основы электротехники : практикум / А. П.
Сухогузов, И. Б. Падерина. – Екатеринбург : УрГУПС, 2019. –
221, [1] с.
Практикум подготовлен на основе многолетнего опыта преподавания дисциплины и включает в себя большое количество задач на различные темы практических занятий. Большинство задач приведено
с решениями, что позволяет студенту закрепить знания по отдельным
темам и использовать их при выполнении расчетно-графических и
лабораторных работ. С целью закрепления полученных знаний
приводятся также задачи для самостоятельного решения.
Предназначен для студентов специальности 23.05.05 «Системы
обеспечения движения поездов» всех форм обучения.
УДК 621.3 (072)
Издано по решению редакционно-издательского
совета университета
Авторы:
А. П. Сухогузов - профессор кафедры «Электрические машины», канд. техн. наук, УрГУПС
И. Б. Падерина – ассистент кафедры «Электрические машины», УрГУПС
Рецензент:
Р. Я. Сулейманов – профессор кафедры «Электрические машины», канд. техн. наук, УрГУПС
© Уральский государственный университет
путей сообщения (УрГУПС), 2019
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1. Линейные электрические цепи постоянного тока . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Основные термины, понятия и законы (вводное занятие) . . . 7
1.2. Эквивалентные преобразования пассивных элементов
линейных электрических цепей постоянного тока . . . . . . . . . 12
1.3. Метод законов Кирхгофа. Баланс мощностей.
Потенциальные диаграммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Метод наложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5. Метод контурных токов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6. Метод узловых потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7. Метод эквивалентного генератора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2. Линейные электрические цепи однофазного
синусоидального тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1. Основные положения и соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2. Расчет простейших цепей переменного тока
символическим методом. Понятия о треугольниках
сопротивлений и проводимостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3. Расчет разветвленных электрических цепей
синусоидального тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4. Улучшение коэффициента мощности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5. Резонансные явления. Резонанс напряжений . . . . . . . . . . . . . 59
2.6. Резонанс токов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.7. Применение векторных диаграмм при расчете цепей
синусоидального тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.8. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3. Трехфазные цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1. Основные положения и соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2. Расчет симметричных трехфазных цепей . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3. Расчет несимметричных трехфазных цепей
со схемой соединения «звезда» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3
3.4. Р
асчет несимметричных трехфазных цепей
со схемой соединения «треугольник» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5. Аварийные режимы работы трехфазных цепей . . . . . . . . . . . . 92
4. Классический метод расчета переходных процессов
в линейных электрических цепях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.1. Основные положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
ереходные процессы в цепи с одним накопителем
4.2. П
энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
ереходные процессы в простейшей цепи
4.3. П
с накопителями энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.4. Переходные процессы в разветвленных цепях . . . . . . . . . . . . 121
собенности расчета переходных процессов
4.5. О
при синусоидальном источнике питания . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5. Операторный метод расчета переходных процессов . . . . . . . . . . 133
5.1. Основные положения и соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
етодика расчета переходных процессов операторным
5.2. М
методом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.3. Переход от изображений к оригиналам . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.4. Примеры расчета операторным методом . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.5. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6. Несинусоидальные токи и напряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.1. Основные положения и соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
асчет несинусоидальных величин в цепях
6.2. Р
однофазного тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.3. Расчет несинусоидальных величин в трехфазных цепях . . . 157
6.4. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7. Четырехполюсники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.1. Основные положения и соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.2. Расчет параметров четырехполюсника . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.3. Круговая диаграмма нагруженного четырехполюсника . . . . 168
8. Цепи с распределенными параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.1. Основные положения и соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.2. Р
асчет установившихся режимов работы длинной
линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.3. Задача для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4
9. Нелинейные цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9.1. Основные положения и соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9.2. Нелинейные цепи постоянного тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.3. Нелинейные цепи с постоянными намагничивающими
силами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.4. Нелинейные цепи переменного тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.5. Задача для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10. Вторичные источники электропитания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
10.1. Основные положения и соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
10.2. Расчет неуправляемого одноимпульсного
выпрямителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10.3. Расчет неуправляемого двухпульсового выпрямителя . . . . 213
10.4. Трехфазные схемы выпрямления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5
Введение
Практикум предназначен для студентов, изучающих
дисциплину «Теоретические основы электротехники».
Усвоение этой дисциплины невозможно без приобретения
практических навыков расчета электрических и магнитных
цепей, что заложено в основу соответствующих компетенций
современных государственных стандартов образования.
Основная цель авторов сборника – оказать помощь студентам
в их самостоятельной работе. Поэтому к большому количеству
задач по различным темам даны подробные решения и
пояснения. Часть задач выделена для закрепления знаний и не
содержит подробных пояснений.
В практикуме представлены задачи по основным разделам
дисциплины. Перед каждым разделом даны краткие положения
теории, приводятся термины и важнейшие формулы, которые
могут быть использованы при решении задач, в том числе при
выполнении расчетно-графических и лабораторных работ.
Отдельные разделы сборника могут быть полезны в качестве
дополнительной информации при изучении других дисциплин.
6
1. Линейные электрические цепи
постоянного тока
1.1. Основные термины, понятия и законы
(вводное занятие)
Для формирования систематизированных знаний необходимо
ввести следующие понятия и термины:
электрическая цепь – совокупность различных устройств и соединяющих их проводников, по которым может протекать электрический ток. Под устройствами понимают источники и приемники электрической энергии. В источниках электрической энергии
происходит преобразование химической, механической, тепловой
и других видов энергии в электрическую. В приемниках электрической энергии происходит обратное преобразование: электрической
энергии в тепловую, механическую, световую и др.
электрическая схема – условное графическое изображение электрической цепи. В схеме приводятся условные обозначения элементов цепи и способы их соединения. Любая подобная схема содержит
элементы, которые являются математической моделью, описывающей физические явления в реальном элементе.
При изучении электротехники используют чаще идеальные
(идеализированные) источники электродвижущей силы (источники ЭДС) и источники тока. В качестве примеров можно привести
электрические схемы и внешние вольт-амперные характеристики различных источников энергии (рис. 1.1), а также случаи эквивалентных преобразований реальных источников ЭДС и тока
(рис. 1.2). Идеальные (идеализированные) источники энергии не
должны подвергаться эквивалентным преобразованиям, так как
это не имеет смысла с физической точки зрения в силу идеальности
элементов.
Реальный источник ЭДС должен характеризоваться значением
Rвн << Rн, а для реального источника тока необходимо, чтобы выполнялось соотношение
Rвн >>Rн,
где Rвн – внутреннее сопротивление источника энергии;
7
Rн – сопротивление приемника энергии;
E – источник ЭДС;
J – источник тока;
I – значение тока;
U – напряжение на выходе источника.
а
б
в
Рис. 1.1. Условная схема и внешняя характеристика:
а – реального источника ЭДС, б – идеальных источников ЭДС,
в – идеальных источников тока
8
Рис.1.2. Примеры эквивалентных преобразований реальных
источников ЭДС и источников тока
Электрическая ветвь – участок электрической цепи, по которому протекает один и тот же ток. В электрической ветви элементы
могут быть соединены только последовательно. В простейшем случае ветвь может содержать только один источник энергии или только один приемник энергии.
Примечание. В подавляющем большинстве случаев проводники,
соединяющие элементы цепи, имеют ничтожно малое значение сопротивления, поэтому им пренебрегают при выполнении расчетов
электрической цепи. Если такое допущение невозможно, то рекомендуется включать значения сопротивления проводников в состав
приемников соответствующей ветви.
Электрический узел – место или точка соединения трех и более
ветвей. В литературе встречается также определение узла как места
соединения ветвей.
Электрический контур – любая замкнутая часть электрической цепи. Данное понятие используется обычно при анализе
9
электрических цепей. Вводят понятие «независимый электрический
контур», т. е. контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь.
В этом случае в любой электрической цепи число независимых контуров становится определенным.
При расчете электрических цепей находят широкое применение
закон Ома, законы Кирхгофа. Для участка цепи с сопротивлением
R (рис. 1.3, а) напряжение на сопротивлении, падение напряжения, или разность потенциалов Uаb (все три названия правомерны,
но чаще применяют термин «падение напряжения») определяют по
формуле Uаb = I · R,
или
а
I=
U ab ja - jb
=
.
R
R
б
(1.1)
в
Рис. 1.3. Примеры применения закона Ома
В формуле (1.1) φa и φb представляют собой потенциалы соответствующих точек; предусматривается, что φa > φb, т. е. ток в сопротивлении всегда протекает от более высокого потенциала к более
низкому, что обусловлено воздействием источника энергии.
Для участков цепи, содержащих источник ЭДС и сопротивление
(рис. 1.3, б и 1.3, в), закон Ома представляют в следующем виде:
I=
(ja - jс ) ± Е U ас ± Е
.
=
R
R
(1.2)
Знак (+) справедлив для случая рис. 1.3, б, когда направление
тока I и источника ЭДС Е совпадают, а знак (–) при несовпадении
этих величин по направлению
ϕa – IR + E = ϕc,
или
I=
10
jа - jс + Е
.
R
Первый закон Кирхгофа, справедливый для электрического узла,
можно сформулировать двояко:
1. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю.
2. Сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих
из узла. При использовании первой формулировки входящие в узел
токи следует считать положительными, а выходящие – отрицательными.
а
б
Рис. 1.4. Примеры применения законов Кирхгофа:
а – первый закон Кирхгофа, б – второй закон Кирхгофа
Поэтому для рис. 1.4, а будет справедлив вариант
n
еI
k =1
или
k
(1.3)
= 0,
I1 – I2 + I3 – I4 = 0.
При использовании второй формулировки справедлива запись
I1 + I3 = I2 + I4.
Физически первый закон Кирхгофа означает, что ни в одном
узле заряды, движущиеся в цепи, не могут скапливаться.
Второй закон Кирхгофа, справедливый для электрического контура, также можно сформулировать двояко, однако с целью формирования единого подхода рекомендуется применять следующую
формулировку: алгебраическая сумма ЭДС замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжений в нем, т. е.
n
т
еЕ = еI
k =1
k
k =1
k
Rk .
(1.4)
11
В каждую из сумм со знаком (+) входят слагаемые, если они совпадают с направлением обхода контура и со знаком (–) при их несовпадении. Например, для контура (рис. 1.4, б) с указанным направлением обхода будет справедлива следующая запись:
E1 – E2 = I1 · R1 + I1 · R6 – I2 · R2 + I4 · R4.
При составлении уравнения по второму закону Кирхгофа необходимо не только выбрать положительное направление токов в ветвях (или знать их направление и величину), но и выбрать направление обхода этого контура (в общем случае произвольно).
1.2. Эквивалентные преобразования
пассивных элементов линейных
электрических цепей постоянного тока
Любая электрическая цепь может содержать как источники электрической энергии, или активные элементы цепи, так и приемники
электрической энергии в виде резисторов, или пассивные элементы
цепи. Пассивные элементы в линейных цепях имеют линейную вольтамперную характеристику, проходящую через начало координат.
При последовательном соединении сопротивлений они могут
быть эквивалентно заменены на одно сопротивление, так как по
ним должен протекать один и тот же ток (это следует из определения электрической ветви). Тогда, например, для цепи на рис. 1.5, а
с тремя последовательно соединенными сопротивлениями R1, R2, R3
можно записать
n
RЭ = R1 + R2 + R3 = е Ri .
(1.5)
i =1
Можно показать, что при последовательном соединении элементов падения напряжения на них будут пропорциональны этим
сопротивлениям, т. е.
U = U1 + U2 + U3 = I · R1 + I · R2 + I · R3.
Данное правило распространяется на любое число последовательно соединенных сопротивлений.
При параллельном соединении сопротивлений также возможна
эквивалентная замена рис. 1.5, б.
12
n
1
1
1
1
1
1
=
+
+
=е .
или в общем случае
RЭ R1 R2 R3
RЭ i =1 Ri
(1.6)
Из этих формул следует, что при параллельном соединении элементов удобнее использовать не значения сопротивлений, а проводимости параллельных ветвей. В то же время допускается при параллельном соединении двух сопротивлений следующая запись:
RЭ =
R1 Ч R2
,
R1 + R2
(1.7)
а для трех элементов возможна запись вида:
RЭ =
R1 Ч R2 Ч R3
.
R1 Ч R2 + R2 Ч R3 + R3 Ч R1
(1.8)
а
б
в
Рис. 1.5. Примеры соединения пассивных элементов цепи:
а – последовательное; б – параллельное; в – звезда-треугольник
13
Здесь показаны варианты записи уравнения (1.6). Кроме того,
R
в случае R1 =R2 = R3 =R, получим RЭ = , где n – число одинаковых
n
параллельно соединенных сопротивлений.
Студент должен иметь четкое представление о том, что при последовательном соединении общее или эквивалентное сопротивление увеличивается, а при параллельном соединении уменьшается
относительно исходных (до преобразования).
При смешанном соединении элементов рекомендуется воспользоваться формулами (1.5) и (1.6) с учетом реального соединения
элементов.
Наибольшую сложность при расчетах создают варианты соединения «трехлучевая звезда» (в дальнейшем звезда) и «треугольник».
Примеры подобных соединений показаны на рис. 1.5, в, где 1, 2, 3 –
узловые точки с присоединением других ветвей, в данном случае не
влияющих на результаты эквивалентных преобразований R1, R2, R3
или R12, R23, R31.
Если известны параметры звезды R1, R2, R3, то переход к эквивалентным сопротивлениям R12, R23, R31 возможен по следующим формулам (возможны и другие варианты):
R12 = R1 + R2 +
R1 Ч R2
;
R3
R23 = R2 + R3 +
R2 Ч R3
;
R1
R31 = R3 + R1 +
R3 Ч R1
.
R2
(1.9)
Из формул видно, что в случае перехода к варианту соединения
«треугольник» будет наблюдаться увеличение сопротивлений R12,
R23, R31 относительно исходных.
При обратном преобразовании (из треугольника в звезду) рекомендуется использовать следующие формулы:
R1 =
R12 Ч R31
R23 Ч R12
R31 Ч R12
; R2 =
; R3 =
. (1.10)
R12 + R23 + R31
R12 + R23 + R31
R12 + R23 + R31
Примеры эквивалентных преобразований пассивных элементов
цепи приведены ниже.
14
Пример 1
Для цепи (рис. 1.6) найти эквивалентное сопротивление между
зажимами:
1) a и b; 2) с и d; 3) d и f, если
R1 = 6 Ом; R2 = 5 Ом; R3 = 15 Ом; R4 = 30 Ом; R5 = 6 Ом.
Рис. 1.6. Расчетная схема
Решение
Вариант 1 предусматривает параллельное соединение сопротивлений R4 и R5. Их общее сопротивление R45 может быть найдено на
основании формул (1.6) или (1.7). Тогда
R45 =
R4 Ч R5
30 Ч 6
=
= 5 Ом.
R4 + R5 30 + 6
Полученное сопротивление R45 соединено последовательно с сопротивлением R2. Продолжая анализ, легко показать справедливость следующих расчетов:
Rʹ = R2 + R45 = 5 + 5 = 10 Ом;
Rab = R1 +
R3 Ч R ў
15 Ч10
=6+
= 12 Ом.
ў
15 + 10
R3 + R
Для варианта задания (Rcd) необходимо подтвердить, что при
смешанном соединении получим
R ўў = R3 +
R4 Ч R5
= 15 + 5 = 20 Ом.
R4 + R5
15
Тогда
Rcd =
R2 Ч R ўў 5 Ч 20
=
= 4 Ом.
R2 + R ўў 5 + 25
Для варианта задания (Rdf) сопротивление R1, как и в предыдущем случае не используется, а сопротивления R2 и R3 окажутся соединенными последовательно, т. е.
R23 = R2 + R3 = 5 +15 = 20 Ом.
Тогда все три сопротивления (R23; R4; R5) будут соединены параллельно, что позволяет воспользоваться формулой (1.6)
1
1
1
1
1
1 1 1
=
+
+
=
+
+ = ,
Rdf R23 R4 R5 20 30 6 4
откуда Rdf = 4 Ом.
Пример 2
Определить эквивалентное сопротивление цепи относительно
зажимов a и b при разомкнутом и замкнутом положениях ключа K,
если известно, что
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = R7 = 10 Ом.
Рис. 1.7. Расчетная схема
решение
Если ключ разомкнут, необходимо показать, что при принятом
допущении о пренебрежении сопротивлением соединенных проводников сопротивления R3 и R1, (аналогично R4 и R6) соединены между собой параллельно, а сопротивления R5 и R7 – последовательно.
Рекомендуется показать этот вариант в виде расчетной схемы с очевидными соединениями элементов.
16
В результате выполненных расчетов получим
ж
R4 Ч R6 ц
з R5 + R7 +
ч Ч R2
R4 + R6 ш
R1 Ч R3 и
Rab =
+
= 12,1 Ом.
R ЧR
R1 + R3
R5 + R7 + 4 6 + R2
R4 + R6
Если ключ «К» замкнут, получится новый вариант соединения
элементов. При этом сопротивления R5 и R6 окажутся исключенными из расчетной схемы, а R2, R4, R7, будут включены параллельно.
Тогда
R13 =
R1 Ч R3 10 Ч10
=
= 5 Ом.
20
R1 + R3
1
1
1 1 1
1
1
3
=
+
+ =
+ +
= .
R ў R4 R7 R 10 10 10 10
Rab = R13 + R ў = 5 +
10
= 8,33 Ом.
3
1.3. Метод законов Кирхгофа
Баланс мощностей. Потенциальные диаграммы
В данной теме наибольший практический интерес представляют принципы расчета линейных электрических цепей с использованием метода законов Кирхгофа, хотя известно, что данный метод не всегда является рациональным, особенно в разветвленных
цепях. При применении данного метода необходимо составить
(N – 1) уравнений по первому закону Кирхгофа, где N – число узлов электрической цепи, и (M) уравнений по второму закону Кирхгофа, где M – число независимых электрических контуров. Необходимо отметить, что ветви с источниками тока не могут создавать
новые независимые контуры (для них нельзя составить уравнения
по второму закону Кирхгофа). Например, для схемы на рис. 1.8 необходимо составить шесть уравнений, из них три по первому закону
Кирхгофа (N – 1 = 3) и три – по второму закону Кирхгофа, хотя
по формальным признакам в схеме четыре независимых контура.
17
Действительно, ток в ветви с идеальным источником тока I = J, поэтому число неизвестных токов составит шесть, т. е. число равное
уравнениям.
К этим уравнениям можно отнести следующие (предварительно
выбирают положительные направления токов в ветвях и направления обхода каждого независимого контура):
1 узел: I1 + I2 – I3 + J = 0,
2 узел: –I1 – I5 – I4 = 0,
3 узел: I5 – I2 – I6 = 0,
1 контур: E1 – E2 = I1(R1 + R7) – I2R2 – I5R5,
2 контур: E2 – E3 = I2R2 – I6R6 + I3R3,
3 контур: E4 = I4R4 – I5R5 – I6R6.
Рис. 1.8. Расчетная схема
Из примера видно, что число необходимых уравнений и сложность расчета значительно возрастают в разветвленных электрических цепях.
В относительно простых электрических цепях метод законов
Кирхгофа не требует громоздких уравнений и не создает сложностей при расчете (рис.1.9).
Пример 3
Пусть E1 = 80 В; E2 = 64 B; R1 = 6 Ом; R2 = 4 Ом; R3 = 3 Ом;
R4 = 1 Ом.
Необходимо выполнить расчет неизвестных токов I1, I2, I3.
18
Рис. 1.9. Расчетная схема
Решение
Если выбрать положительное направление токов в ветвях и направление обхода каждого контура так, как это указано на рис. 1.9,
то будут справедливы следующие уравнения (общее число уравнений равно трем):
I1 + I2 – I3 = 0; E1 + E2 = I1 · R1 – I2 · R 2;
–E2 = I2 · R2 + I3(R3 + R4).
Совместное решение уравнений, например методом подстановки, дает следующие ответы:
I1 = 14 A; I2 = –15 A; I3 = –1 A.
Знак (–) перед токами I2 и I3 указывает на ошибку при начальном
выборе направлений токов, поэтому необходимо изменить их на истинные (указаны на схеме пунктиром).
Уравнение баланса мощностей в общем случае будет записано
в следующем виде:
n
еE
i =1
i
n
n
i =1
i =1
Ч I i + еU i Ч J i = е I i2 Ч Ri .
Сумма мощностей источников энергии цепи должна быть равна
сумме мощностей, расходуемых в приемниках этой цепи.
В левой части уравнения могут быть составляющие как со знаком
(+), так и со знаком (–). В первом случае направления ЭДС и тока
в источнике совпадают, т. е. данный элемент цепи действительно
19
выполняет функцию источника энергии; во втором случае при разных направлениях этот элемент выполняет функцию приемника
энергии. Аналогом является, например работа системы питания
двигателей электровоза постоянного тока в режиме тяги от источников энергии тяговых подстанций, когда направления ЭДС двигателя и тока в нем противоположны. Очевидно, такой элемент цепи
является не источником, а активным приемником энергии, что
и подтверждается знаком в уравнении баланса мощностей.
В записанном уравнении вторая группа представляет собой мощность источников тока с известными напряжениями Ui. Для расчета этой величины используют, как правило, ветви, подключенные
параллельно источнику тока. В качестве примера можно воспользоваться принятыми обозначениями и направлениями токов в третьей ветви на рис. 1.9
Ui = E3 + I3 · R3.
Правая часть уравнения баланса мощности учитывает мощность
тепловых потерь в сопротивлениях. Так, применительно к расчетной схеме рис. 1.9 необходимо записать следующее уравнение баланса мощностей:
E1 Ч I1 + E 2 Ч I 2 = I12 R1 + I 22 Ч R2 + I 32 Ч (R3 + R4 ),
или в цифровом варианте
80 · 14 + 64 · 15 = 142 · 6+152 · 4 + 12 · 4.
В результате расчета получим: 2080 Bт = 2080 Bт.
На примере рис. 1.9 рассмотрим применение потенциальных
диаграмм. Под потенциальной диаграммой понимают график изменения потенциала вдоль какого-либо участка цепи или контура.
По оси абсцисс в определенном масштабе откладывают значения
сопротивлений в том порядке, в каком они расположены на выбранном пути обхода. Обычно одну из точек участка цепи заземляют, т. е. принимают потенциал этой точки за нуль, тогда потенциалы остальных точек приобретают определенные значения по
отношению к нулевой. При заземлении любой одной точки цепи
токораспределение в ней не изменяется, так как при этом не образуется новых ветвей. Заземление двух или более точек цепи не
допускается.
По оси ординат строят значения потенциала очередной точки
схемы, расчет которой выполняют на основе закона Ома. Например,
20
если на схеме рис. 1.9 заземлить точку С, выбрать направление обхода контура c – d – a – e – c по часовой стрелке, то потенциальная
диаграмма приобретет вид (рис. 1.10).
При построении этой диаграммы использованы следующие
данные:
φс = 0;
φd = φc – I1 · R1 = 0 – 14 · 6 = –84 B;
φa = φd + E1 = –84 + 80 = –4 B;
φe = φa+ I3 · R3 = –4 + 1 · 3 = –1 B;
φc = φc + I3 · R4 = –1 + 1 · 1 = 0 B.
Рис. 1.10. Потенциальная диаграмма
Потенциальная диаграмма позволяет не только оценить потенциал любой точки цепи (или контура), но и определить разность
потенциалов между любыми двумя точками цепи. Наклон отрезков
прямых на участках с сопротивлениями определяется значениями
тока в них, при этом понижение потенциала происходит на сопротивлениях, в которых направление тока совпадает с направлением
обхода. При изменении точки заземления или направления обхода
потенциальные диаграммы примут другой вид.
21
1.4. Метод наложения
Данный метод основан на принципе наложения, который формулируется следующим образом: ток в любой ветви равен алгебраической сумме токов, возникающих в этой ветви от всех источников
энергии в отдельности.
Метод наложения предполагает определенную последовательность действий: поочередно рассчитывают токи от действия каждого источника энергии, мысленно удаляя из цепи остальные источники по правилу: идеальные источники ЭДС «закорачивают»,
а ветви с идеальными источниками тока «разрывают» (при наличии реальных источников в расчетной схеме необходимо сохранить
их внутренние сопротивления). После расчета всех простых схем
(их число должно быть равно числу источников энергии) вычисляют реальные токи каждой ветви в алгебраической форме с учетом
и величины, и направления частичных токов. Метод наложения
нельзя применять в нелинейных электрических цепях, а также для
расчета мощности как суммы мощностей от частичных токов, так
как мощность является квадратичной функцией тока P = I 2 · R.
Метод наложения, как и метод законов Кирхгофа, имеет ограниченное применение из-за громоздких расчетов (в сравнении с более совершенными, например, методами контурных токов, узловых
потенциалов и др.). Рассмотрим пример расчета схемы по рис. 1.8
методом наложения при тех же исходных условиях.
Первая расчетная схема имеет вид, представленный на рис. 1.11, а.
Для расчета этой схемы рекомендуется воспользоваться методом
эквивалентных преобразований пассивных элементов.
Тогда, зная, что R34 = R3 + R4 = 4 Ом, получим
ў = R1 +
Rэкв
R2 Ч R34
4Ч4
=6+
= 8 Ом;
R2 + R34
8
I1ў =
22
E1
80
=
= 10 A ;
Rэкв
8
I 2ў = I1ў
R34
4
= 10 Ч = 5 A ;
R2 + R34
8
I 3ў = I1ў
R2
4
= 10 Ч = 5 A .
R2 + R34
8
а
б
в
Рис. 1.11. Расчетные схемы:
а – для ЭДС E1; б – для ЭДС E2; в – для реальной цепи
В результате расчета получены частичные токи в ветвях при
включении в цепь только источника Е1. Следует отметить, что эти
токи известны по величине и направлению.
Аналогично можно выполнить расчет второй схемы (рис. 1.11),
когда в цепь включен источник энергии Е2:
ўў = R2 +
Rэкв
I1ўў = I 2ўў Ч
R1 Ч R34
E
6Ч4
64
=4+
= 6,4 Ом; I 2ўў = 2 =
= 10 А ;
ўў
10
R1 + R34
Rэкв 6,4
R34
R1
4
6
= 10 Ч = 4 A ; I 3ўў = I 2ўў Ч
= 10 Ч = 6 A.
R1 + R34
R1 + R34
10
10
Если в цепи присутствует «n» источников, то необходимо выполнить расчет «n» простых схем, что может создать определенные
23
трудности, поэтому, как правило, данный метод при n > 3 применять нецелесообразно.
Для рассмотренной электрической цепи реальные токи определяют после анализа результатов расчета частичных токов (рис. 1.11, в)
I1 = I1ў + I ўў = 10 A;
I 2 = I 2ў + I 2ўў = 5 + 10 = 15 A;
I 3 = I 3ўў - I 3ў = 6 - 5 = 1 A.
По результатам расчета рекомендуется выполнять проверку решения по законам Кирхгофа. Так, для верхней узловой точки можно записать
I1 + I3 – I2 = 0; 14 + 1 = 15 = 0.
Аналогично можно выполнить проверку по второму закону
Кирхгофа, например для внутренних контуров
E1 + E2 = I1R1 + I2R2; 80 + 64 = 84 + 60; 144 В = 144 В;
E2 = I2R2 + I3(R2 + R4); 64 = 60 + 4; 64 В = 64 В.
При использовании метода наложения следует обратить особое
внимание студентов на порядок исключения идеальных источников
энергии. Внутренние сопротивления идеальных источников ЭДС
принимаются равными нулю, поэтому при составлении расчетной
схемы ветви, содержащие только эти источники, представляют собой короткозамкнутые участки цепи и могут шунтировать другие
параллельно включенные ветви. В отличие от источника ЭДС, идеальный источник тока обладает бесконечно большим внутренним
сопротивлением, поэтому при его исключении происходит разрыв
ветви. Примеры составления расчетных схем в этих случаях приведены на рис. 1.12 б, в, г (без расчета).
Например, в схеме 1.12, в и г сопротивление R3 не должно учитываться. Включение в цепь источника тока J сопротивления R6 не
имеет определенного физического смысла в связи с идеальным характером источника энергии, при расчете R6 не учитывается.
Данная задача рекомендуется для самостоятельного решения,
в общем виде.
24
а
б
в
г
Рис. 1.12. Расчетные схемы: а – исходная схема; б – при включении ЭДС E1;
в – при включении ЭДС E2; г – при включении источника тока J
25
1.5. Метод контурных токов
Данный метод расчета линейных электрических цепей относится к числу наиболее эффективных и основан на использовании
фиктивных контурных токов, число которых определяется необходимым числом уравнений по второму закону Кирхгофа, или числом
независимых контуров цепи. Метод контурных токов более экономичен, чем метод законов Кирхгофа.
Расчетная система уравнений по методу контурных токов для «n»
независимых контуров имеет вид
м I11 R11 + I 22 R12 + I 33 R13 + ... + I nn R1n = E11
п
п I11 R21 + I 22 R22 + I 33 R23 + ... + I nn R2 n = E 22
п
п
н I11 R31 + I 22 R32 + I 33 R33 + ... + I nn R3 n = E33 .
п
п
п
по I11 Rn1 + I 22 Rn 2 + I 33 Rn3 + ... + I nn Rnn = E nn
(1.11)
В этой системе использованы следующие обозначения:
R11, R22, R33 … Rn – полное или собственное сопротивление соответствующего контура (1, 2, 3… n);
R21 = R12, R1 3 = R31 – взаимное или общее сопротивление соответствующих контуров (1 и 2, 1 и 3, …);
E11, E22, E33, … Еnn – контурная ЭДС соответствующего контура
(1, 2, 3, … n).
В схеме (рис. 1.13) три независимых контура, поэтому потребуется три уравнения с использованием фиктивных контурных токов.
Выбрав токи внутри каждого контура по направлению (в общем
случае произвольно), можно изложить следующие правила составления системы уравнений:
1. Полное или собственное сопротивление контура должно
включать в себя все его сопротивления, а именно:
R11 = R1 + R7 + R2 + R5; R22 = R2 + R3 + R6; R33 = R4 + R5 + R6.
2. Взаимные или общие сопротивления контуров типа Rin= Rni
необходимо записывать со знаком (+), если соответствующие контурные токи в них совпадают по направлению, со знаком (–), если
26
не совпадают и принимаются равными нулю, если эти контуры не
имеют общих ветвей. Применительно к расчетной схеме рис. 1.13
можно записать
R12 = R21 = +R2; R13 = R31 = –R5; R23 = R32 = +R6.
Если выбрать внутри данных контуров направления токов в одну
сторону, например по часовой стрелке, эти сопротивления будут со
знаком (–).
Рис. 1.13. Расчетная схема
3. В контурную ЭДС соответствующего контура типа Е11, Е22, …
со знаком (+) записывают только те ЭДС, которые совпадают с направлением контурного тока, и со знаком (–), если имеет место несовпадение, например для расчетной схемы рис. 1.13
E11 = E1 + E2 – E5; E22 = E2 + E3; E33 = E4 + E5.
Таким образом, универсальная система уравнений (1.11) для
данной конкретной схемы приобретает следующий вид:
м I11 (R1 + R7 + R2 + R5 ) + I 22 (+ R2 ) + I 33 (- R5 ) = E1 + E 2 - E5
пп
.
н I11 (+ R2 ) + I 22 (R2 + R3 + R6 ) + I 33 (+ R6 ) = E 2 = E3
п
по I11 (- R5 ) + I 22 ( + R6 ) + I 33 (R4 + R5 + R6 ) = E 4 + E5
27
После расчета системы и определения неизвестных токов I11, I22,
I33 можно рекомендовать следующий алгоритм действий:
1. Если значения контурных токов получены со знаком (+), то
сохраняют принятые направления для дальнейших расчетов. Если
какой-либо из контурных токов получен со знаком (–), то необходимо изменить направление этого тока.
2. Реальный ток каждой ветви определяют с учетом величины
и направления контурных токов в ней. Если, например, принять
мысленно, что направления контурных токов истинные, а I11 > I22
и I11 > I33, то можно записать
I1 = I11; I2 = I11 – I22; I3 = I22; I4 = I33;
I5 = I11 – I33; I6 = I22 + I33.
При наличии в электрических цепях ветвей с идеальными источниками тока возникают некоторые особенности. Считают, что
по ветви с источником может протекать только один контурный
ток, тогда величина контурного тока становится известной. В этом
случае число неизвестных контурных токов будет определяться необходимым числом уравнений по второму закону Кирхгофа, т. е. за
исключением контура с источником тока.
Пример 4
Дано: Е1 = 80 В; Е2 = 64 В; R1 = 6 Ом; R2 = 4 Ом; R3 = 3 Ом;
R4 = 1 Ом.
Необходимо найти токи в ветвях методом контурных токов.
Рис. 1.14. Расчетная схема
28
Решение
Выберем независимые контуры и токи в них (I11 и I22).
Тогда с учетом изложенного выше можно записать
мп I11 (R1 + R2 ) + I 22 ( - R2 ) = E1 + E 2 ;
н
по I11 (- R2 ) + I 22 (R2 + R3 + R4 ) = - E 2 ;
мп I11 Ч10 + I 22 Ч ( -4) = 144;
н
по I11 Ч (-4) + I 22 Ч 8 = -64.
В результате расчета получено I11 = 14 A; I22 = –1 A.
Изменив направление контурного тока I22 на противоположное,
легко показать, что I1 = I11 = 14 A; I2 = I11 + I22 = 15 A; I3 = I22 = 1 A.
1.6. Метод узловых потенциалов
Данный метод основан на использовании первого закона Кирхгофа и предполагает составление системы уравнений вида:
мj1 Ч G11 - j2 Ч G12 - j3 Ч G13 - ... - j n Ч G1n = I11
п
п-j1 Ч G21 + j2 Ч G22 - j3 Ч G23 - ... - j n Ч G2 n = I 22
п
п
н-j1 Ч G31 - j2 Ч G32 + j3 Ч G33 - ... - j n Ч G3 n = I 33
п
п
п
по-j1 Ч Gn1 - j2 Ч Gn 2 - j3 Ч Gn3 - ... + j n Ч Gnn = I nn
В этой системе уравнений следует принять следующие обозначения:
φ1, φ2, φ3,… φn – неизвестные потенциалы соответствующих узловых точек;
G11, G22, … Gnn – собственная проводимость всех ветвей, сходящихся в расчетном узле 1,2, … n;
G12 = G21 (Gin = Gni) – взаимная проводимость ветви (ветвей), соединяющей узловые точки 1 и 2 (i и n);
I11, I22, … Inn – узловой ток соответствующего узла (1,2, … n), учитывающий влияние источников энергии в этом узле.
Для более подробного изложения каждого параметра рассмотрим схему рис. 1.15.
Как известно заземление одной точки цепи не вызывает изменения распределения токов, поэтому принятие за нуль потенциала
29
какого-либо узла, например 4, позволит уменьшить число неизвестных с «n» до «n – 1» (в данном случае до трех). Основные правила составления уравнений можно сформулировать следующим образом:
Рис. 1.15. Расчетная схема
1. Собственная проводимость ветвей, сходящихся в расчетном
узле, определяется как обратная функция сопротивлению данных
ветвей, при этом идеальный источник тока имеет нулевую проводимость. Тогда можно записать
G11 =
1 1
1
1
1
1
+ + ; G22 =
+
+ ;
R1 R2 R3
R1 R5 R4
G33 =
1
1
1
1
1
1
+
+ ; G44 =
+
+ .
R2 R5 R6
R3 R6 R4
2. Взаимная проводимость ветви (ветвей) между узловыми точками при данном варианте записи системы (1.13) представляется
в следующем виде:
G12 = G21 =
1
1
1
; G13 = G31 = ; G23 = G32 = ;
R1
R2
R5
G34 = G43 =
1
1
; G24 = G42 = .
R6
R4
3. Узловой ток типа Iii учитывает влияние всех источников энергии, связанных с i-тым углом. Если источник энергии направлен
30
к расчетному узлу, то это слагаемое записывают со знаком (+).
В рассматриваемом примере имеем
I11 = E1 Ч
I 22 = - E1 Ч
1
1
1
+ E2 Ч
- E3 Ч + J ;
R1
R2
R3
1
1
1
+ E 4 Ч ; I 33 = - E 2 Ч ;
R1
R4
R2
I 44 = E3 Ч
1
1
- E4 Ч
- J.
R3
R4
Таким образом, для цепи на рис. 1.15 с учетом, что φ4 = 0, можно
записать три уравнения следующего вида:
ж 1
1
1 ц
1
1
1
1
1
j1 Ч з +
+ ч - j 2 Ч - j3 Ч
= E1 Ч + E 2 Ч
- E3 Ч + J ;
R1
R2
R1
R2
R3
и R1 R2 R3 ш
-j1 Ч
ж 1
1
1
1 ц
1
1
1
+ j2 Ч з +
+
= - E1 Ч + E 4 Ч ;
ч = j3 Ч
R1
R5
R1
R4
и R1 R5 R4 ш
-j1 Ч
ж 1
1
1
1
1 ц
1
- j 2 Ч + j3 з
+
+ ч = - E2 Ч .
R2
R5
R
R
R
R
5
6 ш
2
и 2
После числового расчета полученной системы уравнений необходимо определить токи в каждой ветви по закону Ома. Например,
для расчета тока в первой ветви можно записать уравнение
j2 - I1 R1 + E1 = j1 ® I1 =
j2 - j1 + Е
.
R1
Аналогичные уравнения составляют для расчета токов остальных ветвей.
При наличии в электрических цепях ветвей с идеальными источниками ЭДС возникают некоторые особенности. Во-первых,
необходимо заземлять один из узлов, с которым связана эта ветвь.
Тогда потенциал другого узла становится известным. Такой вариант
представлен на рис. 1.16.
Если заземлить, например, узел 1, то потенциал узла 2 становится известным и равным (–Е2). Таким образом, для расчета цепи
31
потребуются два уравнения (относительно узловых точек 2 и 4), которые будут иметь вид:
м
ж 1
1
1 ц
1
1
1
+
= - E1 Ч
пj 2 Ч з +
ч - j3 Ч - j 4 Ч
R5
R4
R1
и R1 R5 R4 ш
пп
н
п
ж 1
1
1
1
1 ц
1
+ j4 Ч з +
+ ч = E3 Ч .
п-j2 Ч - j3 Ч
R
R
R
R
R
R
по
6
4
4
6 ш
3
и 3
Рис. 1.16. Расчетная схема
Вторая особенность связана с вычислением тока в ветви с идеальной ЭДС, так как применение закона Ома здесь исключено.
Принято вычислять ток в этой ветви по первому закону Кирхгофа
в одной из узловых точек, а затем убедиться в правильности расчета
в другой узловой точке, также связанной с этой ветвью.
Числовой пример с использованием метода узловых потенциалов приведен на рис.1.17.
Пример 5
Дано: Е1 = 30 В; Е2 = 10 В; Е3 = 200 В; E4 = 56 В; R1 = 20 Ом;
R2 = 30 Ом; R3 = 6 Ом; R4 = 8 Ом; R5 = 15 Ом; R6 = 40 Ом; R7 = 10 Ом.
Необходимо найти токи во всех ветвях методом узловых потенциалов.
32
Рис. 1.17. Расчетная схема
Решение
Примем потенциал узловой точки 3 за нуль, тогда на основании
системы уравнений (1.13) и изложенных правил можно записать
м ж 1
ж 1
1
1
1 ц
1 ц
+
+
+
пj1 з
ч - j2 з +
ч=
и R5 R1 + R7 ш
п и R1 + R7 R5 R6 R4 ш
п
1
1
п = E1 Ч
+ E4 Ч
R1 + R7
R4
п
п
н
ж 1
ж 1
1 ц
1
1
1 ц
п
п-j1 з R + R + R ч + j2 з R + R + R + R + R ч =
7
5 ш
7
5
2
3 ш
и 1
и 1
п
п
п =E Ч 1 - E Ч 1 - E Ч 1
2
1
3
по
R2
R1 + R7
R3
После подстановки числовых значений и решения системы
уравнений потенциалы узловых точек 1 и 2 составляют
φ1 = –80 В; φ2 = –140 В.
Примечание: физический смысл проведенных расчетов сводится к тому, что потенциалы точек 1 и 2 оказались ниже, чем потенциал точки 3, однако изменять знаки на противоположные недопустимо.
33
Тогда по закону Ома искомые токи составят
I1 =
j1 - j2 - E1 -80 + 140 - 30
=
= 1 A;
R1
30
I2 =
I3 =
j3 - j2 + E 2 140 + 10
=
= 5 A;
R2
30
j2 - j3 + E3 -140 + 200
=
= 10 A;
R3
6
I4 =
j3 - j1 - E 4 80 - 56
=
= 3 A;
R4
8
I5 =
j - j2 -80 + 140
=
= 4 A;
R5
15
I6 =
j3 - j1 80
=
= 2 A.
R6
40
Если принять за нуль потенциал узла 1, то легко установить, что
потенциалы остальных узлов составят φ3 = +80 В; φ2 = +60 В.
1.7. Метод эквивалентного генератора
Данный метод применяется в тех случаях, когда возникает необходимость расчета тока только в одной ветви сложной электрической цепи. В литературе такой метод иногда называют методом
активного двухполюсника, или методом холостого хода и короткого
замыкания. В дальнейшем используется только первое название –
метод эквивалентного генератора.
При использовании метода на практике рекомендуется следующий вариант расчета. Пусть необходимо найти ток ветви Iab
(рис. 1.18) в цепи, обозначенной в виде активного двухполюсника А, где Rab – известное сопротивление.
1. Размыкают ветвь ab любым, обычно наиболее рациональным
методом, вычисляют разность потенциалов между точками разомкнутой ветви ab. Эта величина получает название ЭДС эквивалентного генератора (Uab 0 = E0).
34
Рис. 1.18. Расчетная схема
2. При разомкнутой ветви ab в активном двухполюснике А исключают все источники энергии по известным правилам (ЭДС –
«закорачивают», источник тока – размыкают). Полученная схема
получает вид пассивного двухполюсника, т. е. содержит только сопротивления. Внутреннее сопротивление двухполюсника относительно разомкнутых зажимов принято называть эквивалентным,
или внутренним сопротивлением генератора (Rэкв = Rвнутр).
3. Определяют ток в расчетной ветви по формуле
I ab =
E0
.
Rвнутр + Rab
Направление тока уточняют по знаку, полученному в процессе
расчета. Если Iab > 0, то ток в этом элементе протекает от точки а
к точке b.
Данный метод привлекателен тем, что позволяет оценить знания и умение студентов в использовании изученных ранее методов
расчета, включая метод эквивалентных преобразований пассивных
цепей.
Некоторые примеры применения данного метода рассмотрены
ниже (в числовом или общем виде).
Пример 6
На рис. 1.19, а приведена одна из схем с известными параметрами:
Е = 10 В; R1 = R4 = 1 Ом; R2 = 4 Ом; R3 = 2 Ом; R5 = 2 Ом.
Необходимо найти ток в диагонали моста, т. е. в сопротивлении R5.
Решение
1. Разомкнем ветвь ab (рис.1.19, б) и проанализируем основные
приемы расчета разности потенциалов Uab или ЭДС эквивалентного генератора. В данном случае можно воспользоваться методом
35
узловых потенциалов: если φ2 = 0, то φ1 = Е, без дополнительных
расчетов этого потенциала. Выберем направления токов I ʹ и I ʺ. Их
величина соответственно
Iў=
j1
j1
10
10
=
= 3, 33 А; I ўў =
=
= 2 А.
R1 + R3 3
R2 + R4 5
а
б
в
Рис. 1.19. Расчетные схемы: а – исходная схема;
б – после разрыва ветви «ab»; в – схема пассивных элементов цепи
36
Тогда
ja + I ўR1 - I ўўR2 = jb ® ja - jb = E 0 = I ўўR2 - I ўR1 = 4,67 В.
2. Определим внутреннее сопротивление пассивного двухполюсника относительно разомкнутых зажимов ab. Если мысленно
закоротить ветвь с идеальным источником ЭДС, то получим схему
вида 1.19, в. Тогда
R'экв =
R1 Ч R3
R ЧR
1 Ч 2 4 Ч1
+ 2 4 =
+
= 1, 47 Ом.
R1 + R3 R2 + R4
3
5
3. Определим значение тока в ветви ab
I ab = I 5 =
E0
4,67
=
= 1, 346 А.
Rэкв + Rab 1,47 + 2
Из анализа данного метода следует, что после разрыва ветви ab
исходная схема значительно упрощается (для сравнения: в исходной схеме четыре узла, а в расчетной для определения Е0 – только
два узла). Это позволяет достаточно эффективно и быстро определить одну из искомых величин. При определении эквивалентного
сопротивления пассивного двухполюсника схема также значительно упрощается. Если сопротивление ветви ab будет заменено на другое значение, то нет необходимости повторять расчет первых двух
параметров. Все это вместе придает методу эквивалентного генератора особую значимость.
Пример 7
Пусть известны параметры цепи: E1 = 100 В; Е2 = 200 В; Е6 = 50 В;
R1 = 4 Ом; R2 = 9 Ом; R3 = 6 Ом; R4 = 5 Ом; R5 = 8 Ом; R6 = 3 Ом.
Необходимо определить ток в сопротивлении R3.
Решение
Разомкнем ветвь ab, содержащую сопротивление R3, и получим
схему вида 1.20, б. Как и в предыдущем примере, полученная схема
упрощается после размыкания ветви. В частности, вместо четырех
узлов осталось только два. Заземлив узел 1, запишем
ж 1
1
1
j2 Ч з
+
+
+
+
R
R
R
R
R6
2
4
5
и 1
ц
ж 1
ч = ( E 2 - E1 ) Ч з
и R1 + R2
ш
ж 1
ц
ч - E6 Ч з
ш
и R5 + R6
ц
ч.
ш
37
После подстановки параметров цепи получим φ2 = 8,555 В.
а
б
Рис. 1.20. Расчетные схемы: а – исходная схема; б – после разрыва ветви ab
Для определения потенциалов расчетных точек а и b воспользуемся законом Ома, выбрав направление соответствующих токов I ʹ и I ʺ.
j1 + E 2 - I ў(R1 + R2 ) - E1 = j2 ® I ў =
j1 - j2 + E 2 - E1
= 7,03 А;
R1 + R2
j2 - I ўў Ч R6 + I ўў Ч R5 + E6 = j1 ® I ўў =
j2 - j1 + Е6
= 5,82 А.
R5 + R6
Тогда, очевидно, можно записать
ja + I ў Ч R2 - E 2 + I ўў Ч R5 = jb ®
ja - jb = E 0 = E 2 - I ў Ч R2 - I ўў Ч R5 = 94,11 В.
Положительное значение Е0 свидетельствует о том, что в расчетной цепи ток направлен от точки а к точке b (φа > φb).
Расчетная схема для определения внутреннего сопротивления
генератора приведена на рис. 1.21.
Здесь возникает необходимость в эквивалентных преобразованиях треугольника сопротивлений в трехлучевую звезду или наоборот. Преобразуем, например, сопротивления треугольника R1, R2, R4
в звезду R12; R24, R41.
38
Рис. 1.21. Расчетная схема
R12 =
R1 Ч R2
R2 Ч R4
= 2 Ом; R24 =
= 2, 5 Ом;
R1 + R2 + R4
R1 + R2 + R4
R41 =
R4 Ч R1
= 1,11 Ом;
R1 + R2 + R4
R146 = R6 + R41 = 4,11 Ом; R245 = R24 + R6 = 10, 5 Ом;
Rэкв = Rвнутр = R12 +
R146 Ч R245
= 4,95 Ом.
R146 + R245
В результате расчета получим
I ab = I 3 =
Е0
94,11
=
= 8,59 А.
Rэкв + Rab 4, 95 + 6
1.8. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1
Определить эквивалентное сопротивление цепи относительно
зажимов «ab», если R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ом.
39
Задача 2
Дано:
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 10 Ом.
Определить эквивалентное сопротивление относительно точек
а – b.
Ответ: 10 Ом (предварительно преобразовать трехлучевую звезду
или треугольник).
Задача 3
Дано:
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = R7 =
= 30 Ом.
Определить эквивалентное сопротивление относительно точек
а – b.
Задача 4
Дано:
E1 = 40 В; E2 = 5 B; E3 = 25 B;
R1= 5 Ом; R2 = R3 = 10 Ом.
Определить методом законов
Кирхгофа токи в ветвях и вычислить показание вольтметра, приняв RV =∞.
Ответ: I1 = 5 А; I2 = 1 А; I3 = 4 А;
Uba = 30 В.
40
Задача 5
Дано:
U = 2,5 В; R1 = 1300 Ом; R2 = 800 Ом;
R3 = 400 Ом; R5 = 600 Ом.
Найти R4, используя законы Кирхгофа.
Ответ: R4 = 750 Ом.
41
2. линейные элекТрические цеПи
однофАЗного синУсоидАльного ТокА
2.1. основные положения и соотношения
Любой ток, изменяющийся во времени, получает название переменного тока. Гармоническим током называют переменный периодический ток, изменяющийся во времени по закону синуса или
косинуса. Пример такого изменения тока показан на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Синусоидальный (гармонический) ток
В математической форме такой ток может быть представлен
в виде функции
i(t ) = I m Ч sin(wt + y),
где
i(t) – мгновенное значение тока;
Im – амплитуда гармонического тока (напряжение, ЭДС) или
максимальное значение функции;
T – период, или время, за которое совершается одно полное колебание;
2p
w=
– угловая частота;
T
42
1
– частота или число периодов в секунду;
T
ψ – начальная фаза, которая определяет значение функциии
в начальный момент времени t = 0.
В сложившейся практике частота гармонического тока f измеряется с помощью внесистемной величины Гц, а угловая частота ω,
имеющая размерность, рад/с, обычно записывается в виде с-1.
В России принято за стандарт принимать частоту f = 50 Гц, тогда
f =
ω = 2πf = 314 рад/с = 314 с-1.
Период такой функции T = 0,02 c.
Для характеристики синусоидального тока применяют такие понятия, как среднее значение, действующее значение, коэффициент
амплитуды, коэффициент формы и т. п. За среднее значение синусоидального тока принимают величину, определяемую по приведенной ниже формуле за время действия положительной полуволны
T
тока, т. е. за .
2
Примечание: как известно из математики, среднее значение синусоидальной функции за период равно нулю, чем и вызван переход
к расчету за половину периода
T
I ср
2I
22
= т I m Ч sin(wt + y) Ч dt = m » 0,637 Ч I m .
T 0
p
За действующее значение синусоидального тока принимают его
тепловой эквивалент постоянному току, или среднеквадратичное
значение тока за период
I=
T
T
I
1 2
1 2
(
)
i
t
Ч
dt
=
I m Ч sin ( wt + y ) Ч dt = m » 0,707 Ч I m .
т
т
T0
T0
2
Из последней формулы следует, что между амплитудным и действующим значениями тока (напряжения, ЭДС) возникает постоянный коэффициент 2 , который получает название «коэффициент амплитуды»
KА =
Im
= 2.
I
43
Коэффициентом формы называют отношение действующего
значения тока (напряжения, ЭДС) к среднему значению
KФ =
Im Ч p
I
=
= 1,11.
I ср
2 Ч 2 Ч Im
В общем случае при расчете линейных электрических цепей однофазного синусоидального тока используют те же методы и приемы, которые были применены для линейных электрических цепей
постоянного тока, включая метод преобразований, метод законов
Кирхгофа, метод узловых потенциалов, метод контурных токов
и т. п. Однако наибольшее распространение в последние годы они
получили в сочетании с символическим или комплексным методом
расчета, при котором выполняют условный переход от дифференциальных или интегральных уравнений к символам в алгебраической, показательной или тригонометрической форме, используя
условную замену
di
I
i(t ) I,
j wI или т i Ч dt
,
dt
jw
где İ – символ изображения комплекса действующего значения тока.
Например, если i(t) = Im · sin(wt + ψ), то в комплексной форме
изображением этого тока будет функция
i(t) = Im · sin(wt + ψ) ≓ Im · e jψ(I · e jψ).
Переход выполняют к действующим или амплитудным значениям комплексов тока. Например, для действующих значений вектора
тока İ (рис. 2.2) можно записать
İ = a + jb = I · e jψ = I · cosψ + jI · sinψ.
Рис. 2.2. Изображение тока на комплексной плоскости
44
Легко показать, что
b
I = a 2 + b 2 ; y = arctg .
a
Такой формализованный переход существенно облегчает расчет
цепей однофазного тока, особенно сложных или разветвленных цепей. В символической форме будут справедливы те же законы Кирхгофа
n
е I
i =1
i
=0 и
n
е Е = е I Z ,
i =1
i
1
i
где İi, Ėi, Zi – соответственно комплексы действующих значений
тока, ЭДС и сопротивлений участков цепи.
Формулировка законов Кирхгофа при данной форме записи может быть озвучена следующим образом:
1. Алгебраическая сумма комплексов действующих токов, сходящихся в узел, равна нулю. Таким образом, при записи закона в символической форме используют те же правила учета направления
каждого тока по отношению к узлу, как и для цепей постоянного
тока.
2. Алгебраическая сумма комплексов действующих значений
ЭДС в контуре равна алгебраической сумме падений напряжений
на комплексных сопротивлениях этого контура.
Основные свойства и правила применения символического метода излагаются в соответствующих разделах высшей математики. Достаточно вспомнить некоторые правила, например, при сложении,
вычитании или делении комплексных чисел.
При использовании символического метода расчета однофазных
цепей синусоидального тока за активное сопротивление переменному току принимают его омическое сопротивление постоянному
току (при этом пренебрегают эффектом вытеснения тока к поверхности проводника). Модули реактивных сопротивлений цепи определяют по следующим формулам:
XL = wЧL и XC =
1
,
wЧC
где L и С – соответственно индуктивность и емкость реактивного
элемента.
45
Комплексы этих сопротивлений в различных формах записи
имеют следующий вид:
Z L = j wL = jX L = X L Ч e j 90° и Z C = -
1
= - jX C = X C Ч e - j 90° .
j wC
2.2. Расчет простейших цепей
переменного тока символическим методом.
Понятия о треугольниках сопротивлений
и проводимостей
Данный раздел практических занятий является продолжением
начального этапа знакомства с символическим методом расчета на
примере простейших цепей.
Пример 1
Пусть имеется цепь, содержащая активное сопротивление R
и индуктивность L (рис. 2.3).
Все результаты приведены для действующих значений, тем более, что многие приборы измеряют именно действующее (среднеквадратичное значение. Необходимо вычислить комплексные значения тока, сопротивления, проводимости и построить векторную
диаграмму тока и напряжений.
Известны результаты измерения на частоте f = 50 Гц; U = 65 В;
I = 5 А; Р = 300 Вт.
Рис. 2.3. Расчетная схема
46
Решение
По результатам измерений можно вычислить следующие значения:
Z=
U 65
=
= 13 Ом – модуль полного сопротивления цепи;
I
5
cos j =
P
300
=
= 0,923, j = 22,7° – угол сдвига фаз;
U Ч I 65 Ч 5
Z = Z · e jϕ = 13 · e j22,7° = 13 · cos22,7° + j13 · sin22,7° = (12 + j5) – комплекс сопротивления цепи;
Y =
1
= (7,1 Ч10 -2 - j 2,96 Ч10 -2 ) См. – комплекс проводимости
Z
цепи.
Если принять комплекс входного напряжения совпадающим
с осью вещественных чисел, т. е. = 65 · e j0°, то комплексное значение тока будет иметь вид:
U
I = = U ЧY = 5 Ч e - j 22,7° A .
Z
Величина комплекса сопротивления цепи определяет так называемый угол сдвига фаз j. При этом величина угла составляет
j = ju – ji,
где φu и φi – соответственно начальная фаза напряжения и тока на
элементе или во всей цепи.
Из теоретического материала известно, что в обычном активном
сопротивлении угол сдвига фаз jR = 0°, в индуктивности jL = +90°,
а в емкости jС = –90°. При смешанном варианте соединения этих
элементов возможны изменения угла фаз в пределах –90° ≤ j ≤ +90°.
Таким образом, при протекании тока по элементам цепи соответствующие напряжения на них будут найдены следующим образом:
R
L
= İ · R = 5 · e–j22,7° · 12 = 60 · e–j22,7° В;
= İ · jXL = İ · X11· e j90° = 5 · ej90° · 5e j90° · = 25 · e j67,8° В.
Величина индуктивности цепи L
L=
X1
X
5
= L =
» 0,0155 Гн = 15,5 мГн.
w 2 p f 6,28 Ч 50
47
По результатам расчета строится векторная диаграмма (рис. 2.4).
На этом примере можно показать основные принципы построения на комплексной плоскости треугольника сопротивлений и треугольника проводимостей (рис. 2.5).
Рис. 2.4. Векторная диаграмма
а
б
Рис. 2.5. Треугольники: а – сопротивлений; б – проводимостей
Пример 2
В цепи заданы U = 24 B; R = 30 Ом; С = 5 мкФ; ω = 5000 с–1.
Необходимо найти ток в цепи, напряжения на элементах, построить треугольники сопротивлений, проводимостей и векторную
диаграмму.
Рис. 2.6. Расчетная схема
48
Решение
Найдем основные параметры
CС =
1
1
=
= 40 Ом;
w Ч С 5000 Ч 5 Ч10 -6
Z = R - jX C = 30 - j 40 = 50e - j 53,2° Ом;
U
24e j 0
U = 24e j 0° В; I = =
= 0,48 e j 53,2° А;
Z 50e - j 53,2
U R = I Ч R = 0,48 Ч e j 53,2 Ч 30 = 14,4e j 53,2 В;
U C = I Ч ( - jX C ) = 0,48 Ч e j 53,2 Ч 40 Ч e - j 90 = 19,2 Ч e - j 36,8 В;
Y =
1
1
= 0,02 Ч e + j 53,2 ; j = ju - ji = 0° - 53,2° = -53,2°.
=
Z 50e - j 53,2
а
б
в
Рис. 2.7. Векторная диаграмма: а – напряжений; б – сопротивлений;
в – треугольник проводимостей
49
2.3. расчет разветвленных электрических цепей
синусоидального тока
Пример 3
На рис. 2.8 приведена цепь, для которой известны параметры
E1 , E 2 , R1 , L1 , f и т. д. Можно показать варианты решения задачи
с использованием различных методов.
Рис. 2.8. Расчетная схема
решение
1. Метод законов Кирхгофа. Если выбрать положительные направления токов в ветвях и направления обхода каждого независимого контура, то можно записать
м
ж
1 ц
п E1 = I1 Ч R1 + I1 Ч j w L1 + I3 Ч R3 + I3 з - j
ч;
C3 ш
w
и
п
п
1 ц
н



 ж
п E 2 = I 2 Ч R2 + I 2 Ч j w L2 + I 3 Ч R3 + I 3 з - j w C ч;
3 ш
и
п
п I + I = I .
2
3
о 1
2. По методу контурных токов для внутренних контуров (использованы контурные токи (İ11 и İ22) будут справедливы уравнения
м ж
1 ц  ж
п I11 з R 1 + j w L1 + R3 - j
ч + I 22 з R3 - j
w C3 ш
п и
и
н
1 ц  ж
п ж
п I11 з R3 - j w C ч + I 22 з R2 + j w L2 + R3 3 ш
и
о и
50
1 ц 
ч = E1 ;
w C3 ш
j
1 ц 
ч = E3 .
w C3 ш
3. По методу узловых потенциалов, если заземлить, например
узел 1, получим j 1 = 0
ж
з
1
1
1
j 2 Ч з
+
+
R2 + j wL2
з R1 + j wL1 R - j 1
3
з
C
w
3
и
ц
ч
E1
E 2
ч=
.
+
ч R1 + j wL1 R2 + j wL2
ч
ш
Далее, используя закон Ома для каждой ветви, определяют ток
в каждой ветви. Например, в первой ветви
j 2 + I1 (R1 + j wL1 ) - E1 = j 1 = 0
E - j 2
или I1 = 1
и т. д.
R1 + j wL1
Для закрепления навыков расчета однофазных цепей синусоидального тока символическим методом рассмотрим числовой пример для схемы рис. 2.9.
Пример 4
Заданы параметры цепи: R1 = 8 Ом; L1 = 15 мГн; С1 = 200 мкФ;
R2 = 10 Ом; L2 = 75 мГн; С2 = 600 мкФ; R3 = 14 Ом; L3 = 30 мГн;
f = 50 Гц; Umg = 50 Ч 2 В; ψu = 60°; где ψu – начальная фаза напряжения на участке mg.
Необходимо найти токи и напряжения на всех участках цепи,
выполнить проверки решения по законам Кирхгофа, составить баланс мощностей.
Рис. 2.9. Расчетная схема
51
Решение
1. Определим модули и комплексы сопротивлений отдельных
участков и всей цепи.
X L1 = wL1 = 2pf Ч L1 = 6,28 Ч 50 Ч15 Ч10 -3 = 4,71 Ом;
X C1 =
1
1
1
=
=
= 15,92 Ом;
wC1 2p Ч f Ч C1 314 Ч 200 Ч10 -6
XL2 = 23,55 Ом; XL3 = 9,42 Ом; XC2 = 5,31 Ом;
Zmn = R1 + jXL1 = 8 + j 4,71 = 9,28 · e j30,49° Ом;
Zmgn = jXL1 – jXC1 = –j 11,21 = 11,21e–j90° Ом;
ў Z mn Ч Z mgn
Z =
= 10,1e - j 20,5° = (9,46 - j 3,53) Ом;
Z mn + Z mgn
Z 1 = Z ў - jX C 1 = 21,63e - j 64,1° Ом;
Z 2 = R2 + j ( X L 2 - X C 2 ) = 10 + j18,24 = 20,8e + j 61,27° Ом;
Z 3 = R3 + jX L3 = 14 + j 9,42 = 16,87e j 33,93° Ом;
Z 23 =
Z2 ЧZ3
= 9,57e j 46,15° = (6,63 + j 6,71) Ом;
Z2 +Z3
Z ВХ = Z 1 + Z 23 = 20,41e - j 37,06° = (16,09 - j12,55) Ом.
2. Расчет комплексов токов и напряжений. Если учесть, что
U mg = 50 Ч 2 Ч sin(314t + 60°) , то для действующего значения это напряжение в символической форме можно записать
U = 50 Ч e j 60° В,
mg
U mg
= 10,62 Ч e - j 60° A; U mn = I1n Ч Z mgn = 119 Ч e - j120° В;
тогда I1n =
jX L1
U
U
I1m = mn = 12,82e - j150,48° A; I1 = mn = 11,79e - j 99,5° A;
Z 1m
Z1
52
U1 = I1 Ч Z 1 = 255e - j163,6° B; U 23 = I1 Ч Z 23 = 112,9 e - j 53,35° B;
U BX = I1 Ч Z ВХ = 240,6e - j137,4° B;
U
U
I2 = 23 = 5,43e - j114,6° A; I3 = 23 = 6,72 Ч e - j 87,3° A.
Z2
Z3
При расчете токов и напряжений не рекомендуется использовать
уравнения по первому и второму законам Кирхгофа, которые должны применяться лишь для проверки правильности решения задачи.
Мгновенные значения этих величин
umn = 119,2 Ч 2 Ч sin(314 t - 120°) B;
i1n = 10,62 Ч 2 Ч sin(314 t - 60°) А;
i1m = 12,82 Ч 2 Ч sin(314 t - 150,48°) А;
i1 = 11,79 Ч 2 Ч sin(314 t - 99,5°) А и т. д.
3. Проверка по законам Кирхгофа может быть выполнена как
в символической форме записи, так и для мгновенных значений,
например,
I1 = I2 + I3 и I1 = I1m + I1n А;
i1(0 ) = i2 (0 ) + i3(0 ) и i1(0 ) = i1m(0 ) + i1n(0 )
Аналогично по второму закону Кирхгофа можно записать
UВХ = U1 + U 23 или U ВХ (0 ) = U 1(0 ) + U 2 (0 ) .
4. При проверке решения по уравнению баланса мощностей
можно записать
*
UВХ Ч I1 = I12 Ч Z 1 + I 22 Ч Z 2 + I 32 Ч Z 3 ,
*
где I1 – комплекс сопряженного тока на входе цепи, а I1, I2, I3 – соответственно модули токов на участках цепи. В результате расчета
получим
2236,1 – j1744,6 = 2238,5 – j1743,3.
53
Однако на практике принято сравнивать отдельно баланс активных и баланс реактивных мощностей.
Тогда 2236,1 Вт ≈ 2238,5 Вт и 11744,6 вар ≈ 1743,3 вар.
5. Мгновенные значения входных параметров могут быть представлены в следующем виде:
iвх = 11,79 Ч 2 Ч sin (314 t - 99,5°) А;
uвх = 240,6 Ч 2 Ч sin (314 t - 157,4°) В;
PВХ = uВХ Ч iВХ = U ВХ Ч I1 Ч йлcos(yUВХ - yi1 ) - cos(2 Ч w t + yUВХ + yi1 )щы =
= 240,6 Ч11,7 Ч [ cos( -37,9°) - cos(628 t - 236,96°)] =
= 2236,1 + 2836,17 Ч sin(628 t + 33,04°).
2.4. Улучшение коэффициента мощности
Принято выделять три основных вида мощности в цепях синусоидального тока.
1. Активная мощность, или среднее значение мгновенной мощности за период изменения синусоидальной функции
T
P=
1
p Ч dt = U Ч I Ч cos j.
T т0
Активная мощность всегда положительна и характеризует долю
энергии, которая расходуется в активных сопротивлениях приемников. Размерность мощности – Вт. Случай Р = 0 возможен для цепи,
теоретически содержащей только идеальные реактивные элементы.
2. Реактивную мощность Q вводят только для учета доли энергии,
которая совершает колебания между реактивными элементами цепи
и (или) источником энергии. Мощность связана с процессом накопления или отдачи энергии магнитного поля в индуктивных элементах цепи или энергии электрического поля в емкости этой цепи.
Q = U · I · sinϕ.
Размерность этой мощности – вар. Реактивная мощность может
быть как положительной (φ > 0), так и отрицательной (φ < 0).
54
3. Полную мощность S вводят для учета максимальной мощности цепи или установки при чисто активном характере нагрузки, поэтому в некоторых случаях ее называют кажущейся, т. е. возможной
при заданных значениях напряжения и тока
S = U · I.
Размерность этой мощности В · А.
Отношение активной мощности Р к полной мощности цепи S
называют коэффициентом мощности
км =
P U Ч I Ч cos j
=
= cos j.
S
U ЧI
В цепях синусоидального тока численное значение коэффициента мощности равно косинусу угла сдвига фаз.
Примечание. На практике, учитывая наличие счетчиков активной и реактивной энергии, в некоторых случаях можно применять
коэффициент tgφ, т. е. отношение реактивной мощности к активной мощности
tg j =
Q
.
P
Для цепей синусоидального тока активная, реактивная и полная
мощности всегда связаны соотношениями
S2 = P2 + Q2 или S = P 2 + Q 2 .
Рассмотрим простейшую цепь с последовательным соединением
элементов (рис. 2.10), то для нее будут справедливы известные соотношения, если принять X = XL – XC
P = U · I · cosj = I2 · R Вт;
Q = U · I · sinj = I2 · X вар;
S = U · I = I2 · Z В · А.
Входное сопротивление большинства потребителей электрической энергии имеет активно-индуктивный характер; и их коэффициент мощности составляет 0,6–0,8, что отражает высокую долю
реактивной составляющей в общей доле энергии.
55
Рис. 2.10. Расчетная схема
Для снижения потерь энергии в генераторе и подводящих (питающих) проводах линий необходимо уменьшать эту долю энергии,
подключив, например батарею конденсаторов вблизи приемника.
Принципиальная схема такого подключения и векторная диаграмма приведены на рис. 2.11.
а
б
Рис. 2.11. Принципиальная схема улучшения:
а – коэффициента мощности, б – векторная диаграмма
Из векторной диаграммы следует, что применение батареи конденсаторов с известным током IC = U · w · C приводит к уменьшению
угла сдвига фаз между напряжением и током источника энергии,
что называется компенсацией сдвига фаз (а устройства – компенсаторами). Такая задача возникает для всех энергоемких потребителей, так как рекомендуемый угол сдвига фаз потребителей должен
быть доведен до значений, при которых cosϕ = 0,9–0,95. С физической точки зрения улучшение коэффициента мощности связано
56
с частичным сокращением пути колебаний реактивной энергии после подключения батареи конденсаторов.
Пример 5
Дано: Pн = 7000 Вт, cosjн = 0,7 (φн = 45.5°), U = 100 В, f = 50 Гц.
Определить:
1) значения всех токов и мощностей до подключения батареи
конденсаторов С и после ее подключения, если необходимо обеспечить cosφг = 0,95 (φг = 15°);
2) параметры всех элементов цепи (Rн; Xн) и емкость батареи конденсаторов С.
Рис. 2.12. Расчетная схема
Решение
1. До подключения батареи конденсаторов неизвестные мощности и ток приемника (нагрузки) составляют
Sн =
Pн
7000
=
= 10000 ВА;
cos j н
0,7
Qн = Sн2 - Рн2 = 10000 2 - 7000 2 = 7140 вар;
Iн =
Рн
7000
=
= 100 А;
U Ч cos j н 100 Ч 0,7
Pн = I н2 Ч Rн или Rн =
Qн = I н2 Ч X н или X н =
Pн 7000
=
= 0,7 Ом;
I н2 10000
Qн 7140
=
= 0,714 Ом;
I н2 10000
57
S н = I н2 Ч Z н или Z н =
S н 10000
=
= 1 Ом.
I н2 10000
2. После подключения батареи конденсаторов не может измениться активная мощность приемника и напряжение на приемнике (при заданных условиях сопротивление линии не учитывается). Поэтому легко показать, что для источника (генератора)
будут изменяться полная и реактивная мощности, а также ток
генератора
Sг =
Pн
7000
=
= 7368 ВА;
cos j г 0,95
Qг = S г2 - Рн2 = 73682 - 7000 2 = 2300 вар;
Iг =
S г 7368
=
= 73,68 А.
U
100
Таким образом, необходимая реактивная мощность батареи конденсаторов составит
QC = Qн – Qг = 7140 – 2300 = 4840 вар.
Емкость этой батареи
С=
QC
4840
=
= 1540 Ч10 -6 Ф = 1540 мкФ.
2
U Ч w 100 2 Ч 2p Ч 50
Протекающий по батарее конденсаторов ток
IC =
U
= U Ч w Ч C = 100 Ч 2p Ч 50 Ч1540 Ч10 -6 = 48,35 А.
XC
При улучшении коэффициента мощности в электроэнергетических установках возникает ряд проблем:
1. Мощность компенсирующего устройства и его стоимостные
и массогабаритные показатели становятся соизмеримыми с аналогичными показателями приемника (нагрузок), особенно в случаях
повышения значения cosφ с минимально возможных (0,6–0,7) до
максимально допустимых значений (0,95).
2. Превышение коэффициентом мощности значения 0,95
вследствие ошибочного подбора параметров компенсирующего
устройства или временного изменения характера приемника может
58
привести к возникновению опасного явления – резонанса, при котором происходит существенное изменение токов или напряжений.
При решении задач на улучшение коэффициента мощности возможны другие варианты. Так, в случае решения задачи, подобно рассмотренной выше, можно было использовать составляющие проекции векторов токов İн и İг на ось мнимых чисел и по разности этих
проекций вычислить величину необходимого тока батареи конденсаторов IС и, следовательно, ее емкость, реактивную мощность и т. п.
IC = Iн · sinjн – Iг · sinjг.
2.5. Резонансные явления.
Резонанс напряжений
В электрической цепи, содержащей разнохарактерные реактивные элементы, при определенных условиях напряжение и ток
на входе цепи могут совпадать по фазе, так как эквивалентное сопротивление становится чисто активным по своему характеру. Это
явление получило название «резонанс». Необходимо различать два
варианта резонанса. Первый вариант: если разнохарактерные реактивные элементы соединены последовательно, происходит явление
резонанса напряжений, во втором варианте при параллельном соединении этих элементов – резонанс токов. Рассмотрим резонанс
напряжений и основные его характеристики.
В простейшей цепи (рис. 2.10) комплекс полного сопротивления
при резонансе становится чисто активным
Z = R + j wL - j Ч
1
1
=0.
= R = Z Ч e j 0° , при этом X = wL wC
wC
Для оценки резонансных характеристик используют:
r – характеристическое сопротивление контура, или модуль реактивного сопротивления каждого элемента при резонансе
r = w0 L =
где w0 =
1
L
=
Ом,
w0 C
C
1
– угловая резонансная частота;
LC
59
Q – добротность контура отражается соотношением модулей напряжения на реактивном элементе и входе цепи при резонансе
Q=
r Uр
=
,
R UR
где Uр – напряжение на одном из реактивных элементов при резонансе;
d – затухание резонансного контура
d=
1
.
Q
В более сложных электрических цепях для определения резонансного состояния цепи необходимо использовать базовые понятия
и явление резонанса напряжений. Например, для схемы (рис. 2.12.)
резонанс напряжений возможен в следующем случае:
Z вх =
j wL Ч R1
1
-j
+ R2 = Rвх , т. е. Хвх = 0.
j wL + R1
wC
Рис. 2.13. Расчетная схема
Как правило, при анализе подобных схем выделяют реактивную
составляющую комплекса входного сопротивления путем умножения одного из слагаемых на комплекс сопряженного знаменателя
сопротивления
R1 Ч j wL R1 - j wL
R 2 Ч j wL
R1 Ч (wL)2
Ч
= 21
+
= R ў + jX ў,
R1 + j wL R1 - j wL R1 + (wL)2 R12 + (wL)2
где Rʹ – эквивалентное активное сопротивление параллельной группы элементов;
Xʹ – модуль эквивалентного реактивного сопротивления этой
группы элементов.
60
Тогда Z вх = R2 +
ж R 2 Ч wL
R1 Ч (wL)2
1 ц
1
з
ч = Rвх .
j
+
з R 2 + ( wL ) 2 w C ч
R12 + (wL)2
и 1
ш
Поэтому эквивалентное активное входное сопротивление цепи
будет определяться первыми двумя слагаемыми, а следствием резонанса будет условие
R12 (wL)
1
=
.
2
2
wС
R1 + (wL)
Пример 6
В неразветвленной цепи (рис. 2.14) известно: U = 50 2 sinR =
= 10 Ом; L = 100 мкГн; С = 100 пФ.
Найти:
1) ток при резонансе напряжения на элементах цепи;
2) основные характеристики резонансного контура.
Рис. 2.14. Расчетная схема
Решение
Угловая резонансная частота для такой цепи при резонансе
ж
1 ц
з w0 L =
ч может быть найдена по формуле
w0 C ш
и
w0 =
Тогда f0 =
1
1
=
= 107 рад/с.
-6
-12
LC
100 Ч10 Ч100 Ч10
w0 107
=
» 1, 6 Ч106 Гц.
2p 6, 28
61
Остальные параметры при резонансе
U
U U 50 Ч е j 0°
=
= =
= 5 Ч е j 0° А;
I =
Z вх Rвх R 10 Ч е j 0°
U R = I Ч R = 50 Ч е j 0° В;
U L = I Ч w0 L Ч e j 90° = 5 Ч е j 0° Ч107 Ч10 -4 Ч e j 90° = 5000 Ч e j 90° В;
1
Ч e - j 90° = 5 Ч е j 0° Ч1000 Ч e - j 90° = 5000 Ч e - j 90° В;
U С = I Ч
w0 С
r = w0 L =
1
10 -4
L
=
=
= 1000 Ом;
w0 C
C
10 -10
Q=
r
1
= 100; d = = 0,01.
R
Q
Векторная диаграмма для случая резонанса напряжений на качественном уровне имеет вид, представленный на (рис. 2.15).
Диаграмма построена при условии, что İ = I · e j0°.
Рис. 2.15. Векторная диаграмма при резонансе напряжений
Таким образом, в простейшей цепи с последовательным соединением R–L–C при резонансе напряжений происходит компенсация составляющих напряжений L и C, а напряжение на активном
сопротивлении окажется равным входному напряжению источника
питания.
62
Пример 7
Для схемы (рис. 2.16) известно: U = 100 В; R = 15 Ом; XL = 5 Ом;
XC = 10 Ом.
Необходимо найти:
1) RX, при котором в цепи возникает резонанс;
2) ток и составляющие напряжений при резонансе.
Рис. 2.16. Расчетная схема
Решение
Определим комплекс входного сопротивления при резонансе
Z вх = R + jX L +
= R + jX L +
RX Ч ( - jX C ) RX + jX C
Ч
=
RX - jX C RX + jX C
RX Ч X C2
RX2 Ч X C
j
=
R X2 + X C2
RX2 + X C2
ж
R Ч X C2 ц ж
RX2 Ч X C ц
RX Ч X C2
j
X
R
= з R + 2X
+
=
+
.
ч
з
ч
L
RX + X C2 ш и
RX2 + X C2 ш
RX2 + X C2
и
Тогда из условия резонанса следует
XL =
RX2 Ч X C
или RX =
RX2 + X C2
X C2 Ч X L
100 Ч 5
=
= 10 Ом.
5
XC - XL
63
Если принять, что
U
U
=
=
I =
Z вх Rвх
Тогда
= 100 · e j0°, то
U
100 Ч e j 0°
=
= 5 Ч e j 0° А.
RX Ч X C2 15 + 10 Ч100
R+ 2
100 + 100
RX + X C2
R
= İ · R = 5 · e j0° · 15 = 75 · e j0° В;
U L = I Ч X L Ч e j 90° = 5 Ч е j 0° Ч 5 Ч e j 90° = 25 Ч e j 90° В;
R Ч ( - jX C )
= 5 Ч е j 0° Ч 7,07 Ч e - j 45° = 35,35 Ч e - j 45° В.
U С = I Ч Z RC = I Ч X
RX - jX C
Векторная диаграмма тока и напряжения для этого случая имеет
вид, представленный на (рис. 2.17).
Рис. 2.17. Векторная диаграмма
Пример 8
Для цепи (рис. 2.18) известно, что при w = 0 Zвх(0) = 5 Ом, а при
ω = ω0Zвх(ω0) = 2,5 Ом.
Определить значения R, XL, XC.
Рис. 2.18. Расчетная схема
64
Решение
Z вх = jX +
= jX +
где X вх = X L Rвх =
R Ч ( - jX
R - jX C
)
Ч
R jX
=
R + jX C
R Ч X С2
R2 Ч X С
j
= Rвх + jX вх
R 2 + X C2
R 2 + X C2
R2 Ч X С
– модуль реактивного сопротивления;
R 2 + X C2
R Ч X С2
– эквивалентное активное сопротивление.
R 2 + X C2
На резонансной частоте
X вх = X L -
R2 Ч X С
R Ч X С2
=
0,
а
R
=
= 2,5 Ом.
вх
R 2 + X C2
R 2 + X C2
Так как на частоте ω = 0 имеем Zвх(0) = R = 5 Ом, то с учетом
приведенных формул после преобразования получим XL = 2,5 Ом,
XC = 5 Ом.
2.6. Резонанс токов
Резонанс токов имеет ту же физическую природу, что и резонанс
напряжений, однако он возникает при параллельном соединении
разнохарактерных реактивных элементов относительно источника
питания. Потому при рассмотрении задач на эту тему рекомендуется использовать свойство равенства нулю эквивалентной реактивной проводимости цепи. Например, для простейшей цепи с параллельным соединением основных элементов (рис. 2.19), можно
1
1
записать Y вх = + j wC - j
.
wL
R
Тогда при резонансе токов
Y вх =
1
1 ц 1
ж
+ j з wC = = Gвх .
R
L шч R
w
и
65
Рис. 2.19. Расчетная схема
Реактивная проводимость такой цепи при резонансе токов равна
нулю
wC =
1
.
wL
При таких свойствах резонансной цепи ее входное сопротивление становится максимальным, а при R = ∞ также становится бесконечно большим, поэтому ток оказывается минимальным из всех
возможных значений. Для определения резонансной частоты в простейшей цепи можно использовать ту же формулу
w0 =
1
.
LC
Пример 9
Для схемы рис. 2.20 дано: U = 100 В; R = 50 Ом; L = 282 мкГн;
С = 0,1 мкФ.
Определить: 1) резонансную частоту, токи при резонансе; 2) токи
при увеличении частоты вдвое (ω = 2ω0).
Рис. 2.20. Расчетная схема
66
Решение
1. Пусть
w0 =
= 100 · e j0°.
1
1
=
= 18,83 Ч103 рад/с;
-6
LC
282 Ч10 Ч 0,1 Ч10 -6
f0 =
w0 18,83 Ч103
=
= 3000 Гц;
2p
6,28
U 100 Ч e j 0°
= 2 Ч e j 0° А;
IR = =
50
R
100 Ч e j 0°
U
=
= 1,88 Ч e - j 90° А;
IL =
j w0 L 18,83 Ч103 Ч 282 Ч10 -6 Ч e j 90°
U
= U Ч j w0 C = 1,88 Ч e j 90° А; I = IR + IL + IC = 2 Ч е j 0° А.
IС =
- jX C
2. Для другой частоты ω = 2ω0 = 37,66 · 103 рад/с получим
U
IR = = 2 Ч e j 0° А; IL = 0,94 Ч e - j 90° А; IС = 3,76 Ч e j 90° А;
R
I = IR + IL + IC = 3,45 Ч е j 54° А;
Векторные диаграммы для обоих случаев приведены на рис. 2.21.
а
б
Рис. 2.21. Векторные диаграммы:
а – при w0; б – при 2w0
67
Пример 10
Дано: U = 50 В; R = 25 Ом; L1 = 2 мГн; L2 = 0,4 мГн; С = 1 мкФ.
Найти: 1) резонансные частоты; 2) токи при резонансах.
Рис. 2.22. Расчетная схема
решение
1. При параллельном соединении индуктивности L2 и емкости С
может иметь место явление резонанса токов, при котором
w0 C =
1
или w0 =
w0 L2
1
1
=
= 5 Ч10 4 рад/с.
-3
L2 C
0, 4 Ч10 Ч1 Ч10 -6
В этом случае эквивалентная входная проводимость всей цепи
равна нулю, поэтому напряжение источника питания оказывается приложенным к параллельной группе элементов. С учетом
= 50 · e j0° можно записать
U
50 Ч e j 0°
=
= 2,5 Ч e - j 90° А;
IL =
4
j w0 L 5 Ч10 Ч 0,4 Ч10 -3 Ч e j 90°
IС = U Ч j w0 C = 2,5 Ч e j 90° А; I = IL + IC = 0 А.
2. Резонанс напряжений возможен при последовательном соединении индуктивности L1 и группы элементов L2 и С, имеющих
емкостной характер на определенной частоте ω2
ж
1 ц
j w2 L2 Ч з - j
ч
w
2C ш
и
Z вх (w2 ) = R + j w2 L1 +
=
1
j w2 L2 - j
w2 C
1
ж
w2 L2 Ч
з
w2 C
= R + j з w2 L1 1
з
w2 L2 з
w2 C
и
68
ц
ч
ж
w2 L2 ц
ч = R + j з w2 L1 +
ч = Rвх = R.
1 - w22 L2 C ш
ч
и
ч
ш
Откуда следует
w2 =
L2 + L1
2,4 Ч10 -3
=
= 5,48 Ч10 4 рад/с.
L1 Ч L2 Ч C
0,4 Ч 2 Ч10 -6 Ч10 -6
Тогда
U
50 Ч e j 0°
I =
=
= 2 Ч e j 0° А; U L1 = I Ч j w2 L1 = 219 Ч e j 90° В;
Z вх 25 Ч e j 0°
U L C
= 10 Ч e - j180° = -10 А;
U L2 C = -U L1 = 219 Ч e - j 90° В; IL =
j w2 L1
IС = U L2 C Ч j w0 C = 12 Ч e j 0° А.
Пример 11
Для приведенной на рис. 2.23 схемы известно: R1 = 2 Ом;
XL = 8 Ом; XC = 16 Ом. Определить значение R2 при резонансе.
Рис. 2.23. Расчетная схема
решение
При решении подобных задач становится более очевидным
принцип расчета цепей для случая резонанса токов через проводимости. Например, в этом случае модули реактивных проводимостей
составят
BC =
XC
X
, BL = 2 L 2 .
2
R + XC
R2 + X L
2
1
Тогда при резонансе токов
XC
XL
=
.
R + X C2 R22 + X L2
2
1
69
Откуда
R2 =
X L Ч X C2 + X L Ч R12 - X C Ч X L2
= 8,17 Ом.
XC
Так как в этой задаче нет количественных данных от источника питания, то на рис. 2.24 приведена качественная векторная диаграмма токов и напряжений в предположении, что = U · e j0°.
Рис. 2.24. Векторная диаграмма
В любом случае необходимо отметить, что векторы напряжения
и тока на входе цепи должны совпадать по фазе, как и в случае резонанса напряжений.
2.7. Применение векторных диаграмм
при расчете цепей синусоидального тока
Задачи подобного типа возникают, если в качестве исходных
(известных) величин используют напряжения или токи на отдельных участках цепи и необходимо определить параметры цепи: активные сопротивления, индуктивность, емкость или их сопротивления. В ряде случаев приходится строить качественную векторную
диаграмму с последующим ее уточнением по результатам расчета.
В любом случае при построении векторных диаграмм необходимо
четко представлять основные закономерности и правила ориентации векторов.
70
Пример 12
Для схемы известны показания приборов электромагнитной системы (действующие значения): I1 = 5,64 А; I4 = 4 А; I5 = 3 А.
Определить показания приборов А2 и А3.
Рис. 2.25. Расчетная схема
решение
Для расчета цепи необходимо учесть основные соотношения
векторов напряжения и токов.
Так, приняв = U · e j0°, можно показать возможную ориентацию
токов (рис. 2.26).
Рис. 2.26. Векторная диаграмма
Токи İ4 и İ5 дают возможность определить модуль тока I3
I 3 = I 42 + I 52 = 4 2 + 32 = 5 А.
71
Если учесть, что ток I1 по модулю незначительно превышает модуль тока I3, то такой вариант возможен, если I2 > I5, что и заложено
в основу построения диаграммы. Реактивный ток этой цепи
Iр = I2 – I5 или I р = I12 - I 42 = 5,64 2 - 4 2 = 3,97 А.
Следовательно, I2 = Iр + I5 = 3,97 + 3 = 6,97 А.
Пример 13
Известно: I2 = 15 А; I3 = 25 А; U1 = 100 В; Р = 200 Вт.
Найти параметры цепи R1 и Х1.
Рис. 2.27. Расчетная схема
решение
Построим качественную векторную диаграмму. В подобных
случаях целесообразно использовать наиболее общий вектор, к которому надо отнести вектор 23. В общем случае он неизвестен, но
позволяет ориентировать вполне определенно векторы токов İ2 и İ3,
следовательно, вектор İ1. Пример подобного построения приведен
на рис. 2.28.
Рис. 2.28. Векторная диаграмма
Из диаграммы следует, что значение тока İ1 становится известным İ1 = İ2 + İ3, а его модуль I1 = 10 А.
72
Тогда, зная, что P = I12 Ч R1 , получим R1 =
P 200
=
= 2 Ом.
I12 100
Из треугольника сопротивлений R1, X1, Z1 следует, что, если
Z1 =
U 1 150
=
= 10 Ом, то X 1 = Z 12 - R12 » 9,8 Ом.
I1 10
Пример 14
Для схемы известны некоторые параметры: R1 = 2 Ом; f = 50 Гц;
cosφ1 = 0,707.
Определить значение подключаемой емкости С2, если необходимо увеличить коэффициент мощности до cosφ2 = 0.9. Определить
также значение L1.
Рис. 2.29. Расчетная схема
решение
Если принять = U · e j0° (в данном случае напряжение неизвестно), то вероятная ориентация векторов токов становится очевидной, а треугольники проводимостей для двух случаев будут иметь
вид, представленный на рис. 2.30.
Рис. 2.30. Векторная диаграмма и треугольники проводимостей
73
Тогда G1 =
R1
X
, B1 = 2 1 2 .
2
R + X1
R1 + X 1
2
1
Так как φ1 = 45°, то G1 = B1.
Х1 = 2 Ом; L1 =
X1
R
= 0,063 Гн; G1 = 2 1 2 = 0,25 См.
w
R1 + X 1
После повышения коэффициента мощности до значения
cosφ2 = 0,9 изменится только реактивная составляющая тока
Iр = I1 · sinφ1 – I · sinφ2 и реактивная составляющая проводимости
всей цепи. Изменяемая часть реактивной проводимости
B2 = B1 - BC =
X1
- wC .
R + X 12
2
1
Из диаграммы следует, что
B2 = G1 · tgφ2 или B2 = Y2 · sinφ2.
Тогда B2 = G1 · tgφ2 = 0,122 См,
wC = B1 - B2 = 0,25 - 0,122 = 0,128 См.
C=
BС 0,128
=
= 4 Ч10 -4 Ф = 400 мкФ.
w
314
Примечание. Задача этого типа может быть рассмотрена на занятии «Улучшение коэффициента мощности» как альтернатива варианту решения с использованием реактивных мощностей.
Пример 15
Для схемы (рис. 2.31) известно: U = 30 В; I = 0,225 А; I1 = 0,375 А;
ω = 5000 рад/с.
Найти значение емкости С при резонансе в цепи.
Рис. 2.31. Расчетная схема
74
Решение
Данная задача может быть решена как традиционным путем, например, через проводимости цепи при резонансе токов, так и с использованием векторных диаграмм. Рассмотрим оба варианта расчета.
Вариант 1. При резонансе токов комплекс входной проводимости имеет вид
Yвх =
=
R - j wL
1
+ j wC =
+ j wC =
2
R + j wL
R 2 + ( wL )
R
R + ( wL )
2
Тогда wС =
2
ж
wL
+ j з wC 2
2
з
R + ( wL )
и
wL
R + ( wL )
2
2
ц
ч = Gвх + jBвх = Gвх .
ч
ш
,
R 2 + ( wL ) U
1
30
=
= =
= 133,3 Ом.
Gвх
R
I 0,225
2
а Z вх =
Поэтому R2 + (wL)2 = 133,3 · R.
В качестве дополнительного условия можно записать
I1 =
Тогда
R 2 + (wL)2 =
U
R + (wL)2
2
= 0,375 А.
30
= 80 Ом; R2 + (wL)2 = 6400 Ом 2.
0,375
Из совместного решения получим
R=
6400
6400 - 2304
= 48 Ом, L =
= 12,8 Ч10 -3 Гн = 12,8 мГн.
133,3
5 Ч w3
Вариант 2
Из векторной диаграммы при резонансе токов (рис. 2.32) следует
I 2 = I12 + I 2 = 0,3752 - 0,2252 = 0,3 А.
75
Рис. 2.32. Векторная диаграмма
Тогда Х С =
U
30
1
1
=
= 100 Ом, С =
=
= 2 Ч10 -6 Ф.
I 2 0,3
Х С Ч w 100 Ч 5000
Из этого примера следует, что вариант с использованием векторной диаграммы может дать более эффективное решение.
Пример 16
Для схемы при резонансе напряжений известны значения
U12 = 50 B; U = 40 B; P = 200 Вт.
Необходимо определить параметры цепи R, ХL, ХС.
Рис. 2.33. Расчетная схема
76
Решение
Для расчета подобной цепи рекомендуется построить векторную
диаграмму (рис. 2.36).
Пусть 12 = U12 · e j0°, тогда расположение основных векторов становится определенным, а если учесть резонансный режим, то векторы тока İ и напряжения на входе должны совпадать по фазе
U L = U 122 - U 2 = 50 2 - 40 2 = 30 В.
P = U 12 Ч I R или I R =
P
200
=
= 4 А.
U 12 50
R=
U 12 50
U
=
= 12,5 Ом, cos j =
= 0,8.
4
IR
U 12
I=
IR
4
=
= 5 А, I C = I 2 - I R2 = 3 А.
cos j 0,8
XC =
U 12 50
U
30
=
= 16,66 Ом, X L = L =
= 6 Ом.
IC
I
3
5
Рис. 2.34. Векторная диаграмма
2.8. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1
Через реостат R = 40 Ом и катушку индуктивности с параметрами RL = 40 Ом, wL = 18 Ом, соединенные последовательно, протекает ток I = 2,2 А.
77
Определить величину приложенного напряжения, напряжений
на элементах цепи.
Задача 2
Приняв ток İ = 2,2e j0 A, вычислить комплексы напряжений и построить векторную диаграмму всех напряжений в задаче 1.
Задача 3
Дано: u = 10 · sin105t; R = 10 Ом; L = 0,4 мГн; С1 = 0,1 мкФ.
Определить значение емкости С2 и все токи, если в цепи возникает резонанс.
78
3. ТрехфАЗные цеПи
3.1. основные положения и соотношения
Трехфазные цепи получили самое широкое применение во всем
мире благодаря ряду преимуществ перед цепями однофазного тока,
в том числе из-за снижения потерь энергии в линиях при передаче
той же мощности, экономии цветных металлов для линий передач,
а также благодаря возможности получения кругового вращающегося магнитного поля в трехфазных электрических машинах.
В трехфазной симметрической системе ЭДС напряжения имеют одинаковую амплитуду и частоту, но сдвинуты относительно
друг друга на 120°. Обычно одну из этих ЭДС обозначают как ЭДС
фазы А, тогда отстающую ЭДС – ЭДС фазы В, а опережающую на
120° – ЭДС фазы С (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Векторная диаграмма
Под трехфазной цепью понимают совокупность трехфазной
системы ЭДС, трехфазной нагрузки и соединительных проводов.
Отдельная часть многофазной системы получила название фазы.
Наибольшее применение получили соединение «звезда с нулевым
проводом», «звезда без нулевого провода» и «треугольник». Рассмотрим подробнее схему соединением «звезда с нулевым проводом»
(рис. 3.2).
Общая точка соединения обмоток генератора получила название нулевой точки генератора (0), а для приемника – нулевой точки
79
приемника (0ʹ). Провод, соединяющий нулевые точки генератора
и приемника, получил название нулевого или нейтрального провода, а провода, соединяющие соответствующие выводы генератора
и приемника, – линейные провода.
Рис. 3.2. Пример трехфазной цепи «звезда с нулевым проводом»
Токи, протекающие по линейным проводам, получили название
линейных токов, а напряжение между ними – линейных или междуфазных напряжений.
Трехфазная цепь считается симметричной, если модули генераторных напряжений одинаковы и сдвинуты по фазе на 120◦, а в качестве приемников используют одинаковые сопротивления (в комплексной форме).
Для схемы соединения «звезда» в симметричном режиме работы
линейный ток должен быть равен фазному току генератора или приемника (рис. 3.1 и 3.2), а линейное напряжение по модулю в 3 раз
больше фазного напряжения. Эти соотношения являются базовыми
и широко используются в расчетах.
Пример соединения приемника в «треугольник» приведен на
рис. 3.3.
При симметричном варианте исполнения этой цепи, а значит
и приемника, (Zab = Zbc = Zca) будут справедливы соотношения: линейное напряжение генератора равно фазному напряжению приемника, а линейный ток больше фазного тока в 3 раз.
Расчет симметричной трехфазной цепи может быть выполнен по
законам Кирхгофа, по закону Ома или любым другим рациональным методом, однако, учитывая условия симметрии, такой расчет
достаточно провести для одной фазы.
80
Рис. 3.3. Пример соединения приемника в «треугольник»
Активная мощность любой симметричной трехфазной цепи может быть найдена по формуле
P = 3 ЧU ф Ч I ф Ч cos j = 3 ЧU лин Ч I лин Ч cos j.
Несоблюдение хотя бы одного из условий симметрии трехфазной цепи приводит к ее несимметрии и, как правило, к усложнению
принципов расчета. Более подробно о методах расчета трехфазных
цепей изложено в примерах.
3.2. расчет симметричных трехфазных цепей
Пример 1
Дана симметричная трехфазная цепь со схемой соединения
«звезда с нулевым проводом»
uАB = 220 Ч 2 Ч sin ( wt + 30°); Z = 24 + j 7 = 25e j16,26° Ом.
Необходимо:
1) определить значения токов в фазах приемника и нулевом проводе;
2) вычислить активную, реактивную, полную мощности;
3) построить векторную диаграмму токов и напряжений.
81
Рис. 3.4. Расчетная схема
решение
1. Для симметричной трехфазной цепи со схемой соединения
«звезда с нулевым проводом», используя известные свойства, можно записать
U лин = 3 ЧU Ф и I лин = I Ф .
Тогда, приняв
следует
220 Ч e
U А =
3
j 30°
AB
= 220e j30, из построений диаграммы рис. 3.1.
Ч e - j 30° = 127 e + j 0 В;
B
= 220e–j120° В;
C
= 127e+j120° В.
Расчет подобной системы можно вести для одной фазы, например для фазы А. Необходимо отметить, что в этой схеме фазные напряжения генератора и приемника одинаковы
U
U
127 e - j 0°
IА = а = А =
= 5,08 Ч e - j16,25° .
Z а Z а 25 Ч e j16,25°
Тогда
IВ = IА Ч e - j120° = 5,08 Ч e - j136,25° A ; IC = IA Ч e + j120° = 5,08 Ч e + j103,75° .
Геометрическая сумма этих токов равна нулю
IA + IB + IC = IN = 0.
82
2. Мощности цепи определяем по формулам
P = 3 ЧU ЛИН Ч I ЛИН Ч cos j = 1,73 Ч 220 Ч 5,08 Ч cos16,25 = 1860 Вт;
Q = 3 ЧU ЛИН Ч I ЛИН sin j = 1,73 Ч 220 Ч 5,08 Ч sin16,25 = 540 вар;
S = P 2 + Q 2 = 3 ЧU ЛИН Ч I ЛИН = 1,73 Ч 220 Ч 5,08 = 1958 ВА.
3. Векторная диаграмма токов и напряжений приведена на
рис. 3.5.
Рис. 3.5. Векторная диаграмма
При отсутствии нулевого провода в силу симметрии цепи результаты расчета были бы те же. Таким образом, данный пример отражает свойства двух соединений: «звезда с нулевым проводом» и «звезда
без нулевого провода».
Пример 2
Для симметричной трехфазной цепи со схемой соединения «треугольник» (рис. 3.6) известно
U АВ = 220 Ч 2 Ч sin(wt ); Z = 22e j 70° Ом.
Определить фазные и линейные токи, построить диаграммы токов и напряжений.
83
Рис. 3.6. Расчетная схема
решение
Пусть AB = 220e j0, тогда BC = 220e–j120°; CA = 220e+j120° В, при этом
фазные напряжения приемников оказываются равными этим линейным напряжениям, а именно
j0
–j120°
В.
ab =
AB = 220e ;
bc =
BC = 220e
Расчет токов в фазах приемника удобнее выполнить по закону
Ома, а линейных токов – по первому закону Кирхгофа
U
U
220 e j 0
Iаb = ав = АВ =
= 10 e - j 30° А;
Z
Z
22 e j 30°
I = 10 e - j150° A; I = 10 e + j 30° А;
bс
СА
IA = Iаb - Ibа = 17,3 e - j 60° A; IB = Ibс - Iаb = 17,3 e - j180° A;
IC = Ica - Ibс = 17,3 e + j 60° A.
Векторную диаграмму напряжений и токов удобнее строить относительно известных линейных напряжений генератора. Пример
построения приведен на рис. 3.7.
Рис. 3.7. Векторная диаграмма
84
3.3. Расчет несимметричных трехфазных цепей
со схемой соединения «звезда»
Методика расчета несимметричной трехфазной цепи со схемой
соединения «звезда» может быть сведена к следующим приемам:
1. Определяют напряжение смещения нейтрали
U ЧY + U B ЧYb + U C ЧYc
U N = U O ўO = A а
,
Ya + Yb + Yc + Y N
где
(3.1)
A,
B,
C – фазные напряжения генератора;
Ya, Yb, Yc – проводимости фаз и нейтрального провода.
2. Вычисляют напряжения на фазах приемника
U a = U A - U N ; U в = U B - U N ; U c = U C - U N .
(3.2)
3. Определяют токи в фазах и нейтральном проводе по закону
Ома
IA = U a ЧYa ; IB = U b ЧYb ; IC = U c ЧYc ;
IN = U N ЧYN или IN = IA + IB + IC .
(3.3)
Если приемник соединен по схеме «звезда без нулевого провода» и известны только линейные напряжения генератора AB, BC,
CA, то расчет фазных напряжений приемника удобнее определять
по формулам (3.4)
м  U AB ЧYb - U CA ЧYc
;
пU a =
Ya + Yb + Yc
п
п
п  U BC ЧYc - U AB ЧYa
;
нU b =
Ya + Yb + Yc
п
п
п  U CA ЧYC - U BC ЧYb
.
пU c = Y + Y + Y
a
b
c
о
(3.4)
В этом случае геометрическая сумма фазных токов İA + İB +İC = 0.
85
Пример 2
В расчетной схеме фазное напряжение симметричного генератора UФ = 127 В, а модуль сопротивления R = XL = XC = 6,35 Ом.
Определить все токи и построить векторную диаграмму.
Рис. 3.8. Расчетная схема
решение
Так как проводимость нейтрального провода YN = ∞, то напряжение смещения нейтрали равно нулю, поэтому можно записать,
если принять A = 127e j0 В; a = A = 127e j0 В; b = B = 127e–j120° В;
+j120°
В.
c=
C = 127e
Тогда токи в фазах и нейтральном проводе могут быть вычислены по закону Ома и по первому закону Кирхгофа
U
127e j 0
IA = U a ЧYa = a =
= 20e j 0 А;
Z a 6,35e j 0
U
127e - j120°
= 20 e - j 210° А;
IB = b =
Z b 6,35e j 90°
U
127e + j120°
= 20 e + j 210° А;
IC = c =
Z c 6,35e - j 90°
IN = IA + IB + IC = 14,6e + j180° = 14,6e - j180° = -14,6 А.
Примечание. Если сопротивление нейтрального провода не равно нулю, то при расчете тока провода удобнее использовать закон
Ома, а уравнение по первому закону Кирхгофа применить для проверки правильности решения задачи.
86
Векторная диаграмма для данного примера приведена на рис. 3.9.
Рис. 3.9. Векторная диаграмма
Пример 3
В схеме (рис. 3.10) симметричный генератор с Uлин = 206 В осуществляет питание приемника, у которого
Za = 8 + j6 = 10e j36,8 Ом; Zb = 8 – j6 = 10e–j36,8 Ом;
Zc = 25e j0 Ом.
Выполнить расчет токов и напряжений (с построением векторных диаграмм) для следующих вариантов: ZN = 0; 2. ZN = ∞; 3.
ZN = 2,77e j56,33° Ом.
Рис. 3.10. Расчетная схема
87
решение
1. (ZN = 0). Для симметричного генератора с этой схемой соединения имеем
UФ =
U лин
3
=
206
» 120 В.
1,73
Тогда, приняв A = 120e j0 В, можно записать
+120°
В.
C = 120e
Воспользуемся формулами (3.1; 3.2; 3.3.)
B
= 120e–120° В;
U N = U O ўO = 0 (так как YN = Ґ);
IA = U a ЧYa = 120e j 0 Ч 0,1e - j 36,8 = 12e - j 36,8 А;
IB = U b ЧYb = 120e - j120 Ч 0,1e + j 36,8 = 12e - j 83,2 А;
IC = U c ЧYc = 120e j120 Ч 0,04 = 4,8e j120 А;
IN = IA + IB + IC = 17,24e - j 60 А.
Векторная диаграмма токов и напряжений имеет вид, представленный на рис. 3.11.
Рис. 3. 11. Векторная диаграмма
2. (ZN = ∞). При обрыве нулевого провода, используя ту же методику, получим
88
U ЧY + U B ЧYb + U C ЧYc
U N = U O ўO = A a
=
Ya + Yb + Yc
=
120e j 0 Ч 0,1e - j 36,8° + 120e - j120° Ч 0,1e + j 36,8° + 120e + j120° Ч 0,04
=
0,1e - j 36,8° + 0,1e + j 36,8° + 0,04
= 86,2e - j 60° = ( 43,2 - j 74,8) В.
U a = U A - U N = 107e j 44,33° В; IA = U a ЧYa = 10,7e j 7,5° А;
U b = U D - U N = 107e - j164° В; IB = U b ЧYb = 10,7e - j127,2° А;
U c = U C - U N = 206 e + j120° В; IC = U c ЧYc = 8,24e + j120° А.
В качестве проверки решения можно использовать уравнение по
первому закону Кирхгофа İA + İB + İC ≈ 0.
Векторная диаграмма токов и напряжений для этого случая
представлена на рис. 3.12.
Рис. 3.12. Векторная диаграмма
3. (ZN = 2,77e j56,33°). Не приводя подробных расчетов, можно показать, что
U
U N = U 01d = 34,5e - j 56,3° B; IN = N = 12,45e - j 70,5° А;
ZN
U a = 89,4e j 8,7° B; IA = 8,9e - j 28° А;
89
U b = 128,8e - j135,3° B; IB = 12,88e - j 98,6° А;
U c = 149e j128° B; IC = 5,96e j128° А.
Векторная диаграмма приведена на рис. 3. 13.
Рис. 3.13. Векторная диаграмма
Этот пример дает возможность оценить роль нулевого провода
и конкретных значений его сопротивления. Действительно, при
прочих равных параметрах обрыв нулевого провода вызвал значительное увеличение напряжения смещения нейтрали и, как следствие, рост напряжения на фазе С до недопустимых пределов.
3.4. расчет несимметричных трехфазных цепей
со схемой соединения «треугольник»
Методика расчета трехфазных цепей с соединением приемника в «треугольник» не имеет особых отличий от расчета симметричных трехфазных цепей, поэтому ниже рассмотрим лишь один
пример. Для придания задаче большей роли рассмотрим вариант с использованием ваттметров. Расчетная схема приведена на
рис. 3.14.
90
Пример 4
Пусть симметричный генератор с известным линейным напряжением Uлин = 220 В осуществляет питание приемника Zab = 10e j0 Ом;
Zbc = 6 + j8 = 10e j53,2° Ом; Zca = –j10 = 10e–j90° Ом.
Определить все токи и показания ваттметров Р1 и Р2.
Рис. 3.14. Расчетная схема
решение
то
Из известных ранее свойств следует, что если
–j120°
В; ca = CA = 220e+j120° В.
bc =
BC = 220e
По закону Ома имеем
ab
=
AB
= 220e j0° В,
U
U
220e j 0
Iаb = аb =
= 22e j 0 A; Iвс = bс = 22e - j173,2 A;
j0
Z аb 10e
Z bс
U
Ica = ca = 22e j 210° A.
Z ca
Из первого закона Кирхгофа для каждой узловой точки следует
IA = Iаb - Ica = 42,5e j 5° A, IB = Ibс - Iаb = 43,8e - j176,6° A,
IC = Ica - Ibс = 8,95e - j 71,6° A.
При проверке İA + İB + İC ≈ 0.
91
Показания ваттметров (их сумма)
(
*
*
)
P = P1 + P2 = Pe U AB Ч I A + U CB Ч I C = 9020 - 1310 = 7710 Вт.
Данный способ включения ваттметров дает возможность определить реальную или активную мощность трехфазной цепи (это доказано в теоретическом курсе). Для подтверждения этого достаточно определить активную мощность.
P = I аb2 Ч Rаb + I bс2 Ч Rbс = 222 Ч10 + 222 Ч 6 » 7740 Вт.
Отличие в результатах расчета не превышает допустимых значений (±5 %).
3.5. Аварийные режимы работы трехфазных
цепей
В трехфазных цепях, как и в обычных однофазных цепях, могут
возникать случаи обрыва или короткого замыкания одной фазы или
нескольких фаз. Эти аномальные режимы можно рассматривать как
крайние случаи несимметрии, поэтому приведенные выше методики расчета могут быть использованы и для анализа этих режимов.
Ниже рассмотрены наиболее характерные случаи аварийных ситуаций в трехфазных цепях.
Пример 5
В трехфазной цепи с симметричным генератором (Uлин = 220В)
включены сопротивления Za = Zb = Zc = 7 + j24 = 25e j73,7° Ом.
Определить токи: 1) в исходном режиме; 2) при обрыве фазы А;
3) при коротком замыкании фазы А.
Рис. 3. 15. Расчетная схема
92
Решение
1.
Uф =
В
U лин
3
исходном
симметричном
= 127 B и обозначаем
A
режиме
= 127e j0 В,
B
принимаем
= 127e–j120° В;
C
=
= 220e+j120° В, тогда величина токов в фазах составит
U
U
127e j 0
IA = a = A =
= 5,08e - j 73,7° A;
Za
Z
25e j 73,7°
IB = 5,08e - j193,7° A;
IC = 5,08e + j 46,3° A.
При этом İA + İB + İC = 0.
Студентам рекомендуется самим построить векторную диаграмму.
2. При обрыве фазы А трехфазная цепь становится несимметричной, при этом
Ya =
1
1
= 0; Yb = Yc = = 0,04e - j 73,7° Ом.
Za
Z
Тогда, используя известную методику расчета, получим
U ЧY + U B ЧYв + U C ЧYc
U N = U O ўO = A a
=
Ya + Yв + Yc
=
U B ЧY + U C ЧY
U
= - A = -63,5e j 0 B;
2Y
2
U a = U A - U N = 127e + j 0 + 63,5e j 0 = 190,5e j 0 B;
U b = U B - U N = 127e - j 127° + 63,5e j 0 = 110e - j 90 B;
U c = U C - U N = 127e + j127 + 63,5e j 0 = 110e j 90 B;
IA = 0;
U
110 e - j 90
= 4,4 e - j163,7° A.
IB = - IC = b =
Z b 25 e j 73,7
93
Рис. 3.16. Векторная диаграмма
При обрыве фазы возможен и другой вариант расчета, так как
возникает двухфазный режим с питанием приемников в фазах В и С
(они соединяются последовательно) от линейного напряжения BC.
°
U BC 220e - j 90


=
= 4,4e - j163,7° A.
Поэтому I B = - I C =
2 Z 50e + j 73,7°
3. При коротком замыкании фазы А сопротивления фаз приемников
Za = 0 (Ya = ∞), Zb = Zc = Z (Yb = Yc = Y).
Тогда
U N = U 0ў0
Y
Y
Y
U A Ч a + U B Ч b + U C Ч c
U A ЧYa + U B ЧYb + U C ЧYc
Ya
Ya
Ya
=
=
= U A ;
Ya Yb Yc
Ya + Yb + Yc
+ +
Ya Ya Ya
U a = U A - U N = 0;
U b = U B - U N = U B - U A = 127e - j120° - 127e j 0 = 220 e - j150 B;
U c = U C - U N = U C - U A = 127e j120° - 127e j 0 = 220e + j150° B;
94
U
IB = b = U b ЧY = 220e - j150° Ч 0,04e - j 73,7° = 8,8e - j 223,7° B;
Zb
U
IC = c = U c ЧY = 220e j150° Ч 0,04e - j 73,7° = 8,8e j 76,3 A;
Zc
IA = -( IB + IC ) = 15,24e - j 73,7 A.
Векторная диаграмма для этого случая представлена на рис. 3.17.
Рис. 3.17. Векторная диаграмма
При обрыве одной фазы напряжения на остальных фазах умень3
раз, что составляет более 10 % отклонения от номишаются в
2
нального значения. При коротком замыкании фазы напряжения на
остальных фазах возрастают в 3 раз, что недопустимо. Поэтому
применение трехфазных цепей с такой схемой соединения возможно лишь на неответственных участках электроснабжения.
Пример 6
К трехфазной цепи (рис. 3.15) с теми же параметрами подключили нулевой провод с сопротивлением ZN = 0.
Определить токи: 1) в исходном режиме; 2) при обрыве фазы А;
3) при обрыве двух фаз (А и В).
95
Решение
1. Так как в исходном режиме имеет место симметричная трехфазная цепь, то наличие или отсутствие нулевого провода не сказывается на результатах расчета. Поэтому, как и в первом примере
IA = 5,08e - j 73,7° A; IB = 5,08e - j193,7° A;
IC = 5,08e + j 46,3° A; IN = 0.
2. При обрыве фазы А сохраняется нормальный режим работы
двух остальных фаз благодаря наличию нулевого провода, поэтому
IA = 0; IB = 5,08 e - j 193,7° A; IC = 5,08 e j 46,3° A,
a IN = IB + IC = 5,08 e j 106,8° A.
Векторная диаграмма для этого случая приведена на рис. 3.18.
Рис. 3.18. Векторная диаграмма
3. При обрыве двух фаз А и В будет сохранен нормальный режим
питания фазы С, поэтому можно записать
IA = IB = 0; IC = 5,08e j 46,3° A;
IN = IA + IB + IC = IC = 5,08e j 46,3° A.
В трехфазной цепи с нулевым проводом при коротком замыкании возникает контур с бесконечно малыми сопротивлениями, что
приводит к резкому и значительному увеличению токов в фазах генератора и требует его отключения устройствами защиты.
96
Пример 7
Симметричный генератор с Uф = 220 В осуществляет питание
приемника, соединенного в «треугольник», при этом
Z аb = - j19 Ом; Z bс = j19 Ом; Z ca = 19 Ом.
Вычислить все токи: 1) в исходном режиме; 2) при обрыве фазы
аb; 3) при обрыве линейного провода А-а.
Рис. 3.19. Расчетная схема
решение
1. При расчете режима воспользуемся известной методикой
с применением закона Ома и первого закона Кирхгофа. Если учесть,
что
U лин = 3 ЧU ф = 380 В и обозначить
U AB = 380e j 0 B; U BC = 380e - j120° B; U CA = 380e + j120° B,
то получим следующие результаты:
U
U
380e j 0
Iав = AB =
= 20e j 90° A; Ibc = BC = 20e - j 210° A;
- j 90°
Z аb 19e
Z bс
U
Ica = ca = 20e j120° A; IA = Iаb - Ica = 10,35e j15° A;
Z ca
IB = Ibс - Iаb = 34,64e - j120° A; IC = Ica - Iвс = 28,28e j 75° A.
Векторная диаграмма для этого режима представлена на рис. 3.20.
97
Рис. 3.20. Векторная диаграмма
2. При обрыве ab нарушается режим питания только этой фазы,
поэтому
Iаb = 0; Ibс = 20e - j 30° A; Ica = 20e j120° A.
Изменение происходит и в значениях линейных токов, а именно
IA = Iаb - Ica = - Ica = -20e j120° A; IB = Ibс - Iаb = Ibс = 20e - j 30° A;
IC = Ica - Ibс = 10,35e j 45° A.
3. При обрыве линейного провода А-а происходит переход
к двухфазному режиму питания приемников, причем одна из этих
фаз bc имеет номинальное напряжение, а две другие соединяются
последовательно (рис. 3.21).
Рис. 3.21. Расчетная схема
98
Поэтому
Ibс = 20e - j 30° A; Iаb = Ica = -
U BC
380e - j120°
== 14,1e j105° A.
Z аb + Z ca
19 - j19
Следовательно, изменятся линейные токи
IA = Iаb - Ica = 0 A; IB = - IC = Ibс - Iаb = 14,1e - j165° A.
99
4. клАссический МеТод
рАсчеТА Переходных Процессов
в линейных элекТрических цеПях
4.1. основные положения
В электрических цепях могут происходить включения и отключения отдельных участков или всей цепи, короткие замыкания, переключения отдельных ветвей и т. п. В результате таких изменений,
которые называют коммутационными, или просто коммутациями,
в цепи возникают переходные процессы. Во время переходных процессов происходит переход цепи из одного устойчивого состояния
в другое устойчивое состояние. Здесь необходимо выделить несколько базовых понятий.
Итак, коммутация – это любое переключение электрической
цепи. Принято считать, что коммутация происходит мгновенно.
Учитывая закон сохранения энергии, согласно которому невозможно ее скачкообразное изменение, могут быть сформулированы два
основных закона коммутации.
В любой ветви с индуктивностью ток и магнитный поток в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, дальше начинают изменяться
именно с этих значений.
Рис. 4.1. Пояснение первого закона коммутации
100
Пояснение первого закона коммутации на примере тока в ветви с индуктивностью представлено на рис. 4.1, где t = (0–) – момент времени непосредственно перед коммутацией, t = (0+) – то же
в первый момент коммутации, а t = 0 – начало отсчета переходного
процесса. С математической точки зрения первый закон коммутации можно представить в следующем виде:
iL(0+) = iL(0–) = iL(0).
Аналогично для магнитного потока (или потокосцепления)
можно записать
ψ(0+) = ψ(0–) = ψ(0).
Необходимо иметь в виду, что требование неизменности магнитного потока является более жестким, чем требование неизменности
тока в ветви с индуктивностью, например в сложных цепях со взаимной индукцией, для которых остается неизменным общий магнитный поток таких цепей.
В любой ветви с конденсатором напряжение и заряд на емкости
сохраняют в момент коммутации те же значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем начинают
изменяться именно с этих значений.
С математических позиций второй закон коммутации выглядит
следующим образом:
uC(0+) = uC(0–) = uC(0); q(0+) = q(0–) = q(0).
В сложных электрических цепях неизменность заряда на обкладках конденсатора является более жестким условием, чем сохранение напряжения на конденсаторе.
Оба закона коммутации основаны на известных уравнениях
энергии электрического и магнитного полей
Wэ =
2
2C
=
C Чи
2
и Wэ =
2
2L
=
LЧi
.
2
На основании законов коммутации могут быть записаны значения тока в ветви с индуктивностью и значения напряжения на
конденсаторе в начальный момент времени, которые в дальнейшем
получают название «основные начальные условия».
При рассмотрении переходных процессов в линейных электрических цепях исключают нелинейный элемент, а именно, электрическую дугу, возникшую при коммутации. Принято считать, что
101
переключатель, осуществляющий коммутацию, включается или отключается мгновенно и без дуги. За начало переходного процесса
принимается сам момент коммутации, который в дальнейшем будет
представлен как t = 0 = 0+. Влияние дуги может быть учтено лишь
при изучении нелинейных электрических цепей.
При расчете переходных процессов классическим методом предполагается решение неоднородных линейных дифференциальных
уравнений и вычисление постоянных интегрирования. Последовательность расчета в общем случае может быть выбрана произвольно.
Ниже приводится один из вариантов, который в дальнейшем будет
принят за основу.
1. Расчет установившегося режима работы цепи до коммутации,
т. е. при t = 0–. По результатам расчета могут быть сформулированы и записаны законы коммутации для данной конкретной цепи.
Расчет цепи выполняется по известным методикам в зависимости
от конфигурации цепи, рода источника питания и других условий.
2. Запись основных начальных условий (в дальнейшем ОНУ
в соответствии с законами коммутации. В этой части расчета применительно к конкретной схеме уточняются два основных параметра
iL(0+) = iL(0–) и uC(0+) = uC(0–).
3. Расчет неосновных начальных условий (ННУ) при t = 0+. Величина неосновных начальных условий определяется не законами
коммутации, а конкретным расположением элементов в цепи после
коммутации, поэтому определение ННУ связано с расчетом дифференциальных уравнений, составленных в п. 3, в момент времени
t = 0+.
4. Расчет установившихся (принужденных) значений после окончания переходного процесса. Из теории известно, что длительность
переходного процесса теоретически бесконечно велика, поэтому
в качестве временного показателя используется t = ∞ и, принято
считать, что в этот момент времени все токи и напряжения приобретают устойчивые значения. Расчет данного режима выполняется
по тем же правилам и приемам, что и в п. 1 и представляет собой
частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
Примечание: как уже отмечалось, последовательность расчета
переходных процессов может быть выбрана произвольной. Так, например, расчет установившихся (принужденных) значений можно
проводить независимо или одновременно как для момента времени
t = 0–, так и для момента времени t = ∞.
102
5. Определение корней характеристического уравнения. В классическом варианте расчета неоднородного линейного дифференциального уравнения предусмотрено решение любого параметра
в виде
X(t) = Xуст(t) + Xсвоб(t),
где X(t) – ток или напряжение в переходный период,
Xуст(t) – установившееся (принужденное) значение этой величины
после окончания переходного процесса или частное решение неоднородного дифференциального уравнения,
Xсвоб(t) – сводная составляющая переходного процесса или общее
решение однородного линейного дифференциального уравнения.
Из математики известно, что свободная составляющая переходного процесса может быть представлена, например в виде суммы
экспонент
X своб (t ) = A1e p1 + + A2 e p2 + + A3 e p3 + + ... ,
где А1, А2, А3 … – постоянные интегрирования;
р1, р2, р3 … – корни характеристического уравнения.
Характеристическое уравнение может быть составлено на основе
однородного линейного дифференциального уравнения, на практике, особенно при наличии в цепи одного источника питания получим распространенный прием, основанный на вычислении полного
сопротивления цепи относительно источника и приравнивании его
к нулю. Более подробно такой прием изложен в примерах.
6. Общее решение. Определяют значения постоянных интегрирования. Обычно записывают законы изменения искомого параметра в момент времени t = 0+ = 0, при необходимости вычисляют
первую производную этого параметра в этот же момент времени.
Как правило, совместное решение позволяет вычислить значения
постоянных интегрирования и записать решение дифференциального уравнения в окончательном виде.
7. Проверка решений для граничных моментов времени. Рекомендуется проверить правильность решения для двух моментов
времени t = 0+ и t = ∞. Подобная проверка и сравнение ее результатов с промежуточными вычислениями позволит исключить математические неточности, которые могли возникнуть в ходе решения
задачи.
8. Графическое представление решения. Данный раздел расчета
позволяет студенту реально оценить влияние параметров цепи на
103
характер переходного процесса. Например, для цепи с одним накопителем энергии темп переходного процесса будет определяться ве1
, где p – корень характеристического уравличиной времени t =
р
нения. Для цепи с двумя накопителями энергии темп переходного
процесса определяется характером процесса и будет рассмотрен на
конкретных примерах.
4.2. Переходные процессы
в цепи с одним накопителем энергии
Источник энергии определяет лишь установившиеся (принужденные) значения токов и напряжений, а наиболее сложная часть
расчета связана с определением свободных составляющих, которые
не зависят от рода источника питания, а определяются многими
другими параметрами, в том числе пассивными элементами цепи R,
L, C. Результаты расчета свободных составляющих во многом определяют их практическую значимость.
Пример 1
Включение цепи R, L на источник постоянной ЭДС. Расчетная
схема приведена на рис. 4.2.
Рис. 4.2. Расчетная схема
Расчет необходимо провести в общем виде с последующим анализом результатов расчета для конкретных значений.
решение
Используя предложенную ранее методику, можно записать следующее:
104
1. До коммутации, т. е. при t = 0, цепь находилась в отключенном
состоянии, поэтому результаты расчета такой цепи очевидны
i(0 -) = 0; uR (0 -) = i(0 -) Ч R = 0; uL (0 -) = L Ч
di
dt
= 0.
t =0
2. Основные начальные условия (ОНУ). В данной цепи применяется лишь один накопитель энергии, поэтому достаточно воспользоваться законом коммутации для тока с индуктивностью
i(0+) = i(0–) = 0.
3. Дифференциальные уравнения по законам Кирхгофа. После
замыкания рубильника (после коммутации) цепь приобретет состояние замкнутой в виде одного контура, поэтому для описания ее состояния достаточно воспользоваться уравнением по второму закону
Кирхгофа
uR + uL = E или i Ч R + L Ч
di
= E.
dt
(*)
Полученное уравнение представляет собой неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка и имеет известное решение
i(t) = iуст(t) + iсвоб(t).
Для расчета каждой составляющей предусмотрены соответствующие разделы предложенной методики.
4. Расчет неосновных начальных условий выполняем по уравнению (*) для начального момента переходного процесса t = 0+ = 0.
Подставляя в него известное основное начальное условие (см. п. 2),
получим
i (0 +) Ч R + L Ч
di
dt
= E или 0 Ч R + L Ч
t =0+
di
dt
= E.
t =0+
Тогда становятся очевидными значения остальных параметров
в начальный момент времени
uR (0 + ) = i(0 + ) Ч R = 0; uL (0 + ) = L Ч
di
dt
= E.
t =0+
5. Расчет установившихся (принужденных) значений при t = ∞.
Если учесть, что в момент времени t = ∞ при наличии в цепи
105
источника постоянной ЭДС все токи и напряжения примут устойчивые, неизменные во времени значения, то уже из уравнения (*)
di
следует, что, если
= 0 , то
dt t =Ґ
iуст Ч R = E или iуст =
E
.
R
Остальные величины
uR уст = iуст Ч R = E ; uL уст = L Ч
di
dt
= 0.
t =Ґ
Следует отметить, что расчет подобных простейших цепей с источником постоянной ЭДС можно выполнить непосредственно по
схеме рис. 3.2, предусмотрев в принужденном режиме uL уст = 0.
6. Характеристическое уравнение. Теоретически возможны два
варианта составления этого уравнения. Во-первых, приравняв первую часть уравнения (*) к нулю, получим
i ЧR + LЧ
Тогда, обозначив i ≓ 1,
нение следующего вида:
di
= 0.
dt
di
≓ p, получим характеристическое уравdt
R
R + L Ч p = 0 или p = - .
L
Во-вторых, учитывая единственный источник в цепи, можно записать компекс входного сопротивления
Zвх = R + jwL = 0.
Обозначив jw = p, получим
Z вх ( p) = R + pL = 0 или p = -
R
.
L
Из приведенного расчета следует, что в обоих вариантах получен одинаковый единственный корень характеристического уравнения.
106
7. Общее решение. С учетом всего изложенного выше решение
дифференциального уравнения (*) относительно тока приобретает
следующий вид:
i(t ) = iуст + Ae pt или i(t ) =
R
- t
E
+ Ae L .
R
(4.1)
Для определения постоянной интегрирования достаточно записать полученное уравнение при t = 0+ = 0
i(0 +) = 0 =
E
E
+ A или A = - .
R
R
Тогда окончательно получим
i(t ) =
E E - RL t
- e ;
R R
uR (t ) = i(t ) Ч R = E - Ee
uL (t ) = L Ч
R
- t
L
;
R
R
- t
di
ж E цж R ц - t
= L Ч з - чз - ч e L = Ee L .
dt
и R ши L ш
(4.2)
(4.3)
8. Проверка решений. Полученные уравнения подлежат проверке при t = 0+ = 0 и при t = ∞ путем сравнения результатов с промежуточными вычислениями.
Так, при t = 0+ после подстановки имеем
i(0+) = 0; uR(0+) = 0; uL(0+) = E.
Эти же результаты получены соответственно в п. 2, 4.
При t = ∞ после подстановки этого времени в расчетные уравE
нения имеем iуст = , uR уст = E , uR уст = 0, что полностью совпадает
R
с результатами промежуточных вычислений п. 5.
9. Графическое представление решений. Если учесть, что вели1 L
= , то уравнения (3.1) … (3.2)
чина постоянной времени t =
p R
удобнее представить в виде
i(0 +) =
E E - tt
- e ,
R R
(4.4)
107
-
t
(4.5)
uR ( t ) = E - Ee t ,
-
t
(4.6)
uL( t ) = Ee t .
Задаваясь значениями t в долях, кратных τ, можно составить
табл. 4.1.
Таблица 4.1
Зависимость основных параметров цепи от времени
Параметр
t
0–
0+
τ
2τ
i(t)
0
0
0,633
uR(t)
uL(t)
0
0
0
E
0,633E
0,367E
E
R
0,865
3τ
E
R
0,865E
0,135E
0,95
4τ
E
R
0,95E
0,05E
0,982
5τ
E
R
0,982E
0,018E
0,994
E
R
0,994E
0,006E
Графическое представление некоторых результатов расчета показано на рис. 4.3.
Рис. 4.3. Графики переходного процесса
Полученные графики дают возможность сделать один важный
вывод: реальная длительность переходного процесса может быть
ограничена временем tпп ≈ (3…5 τ) в зависимости от заданной точности расчета, так как по истечении этого времени отличие от установившихся (принудительных) значений не превышает (1…5)%.
108
Если придать значению t некоторые конкретные значения,
то можно выяснить, что в реальных устройствах длительность
переходного процесса составляет микросекунды, миллисекунды
и лишь в некоторых случаях доли секунд. Например, если L = 1 Гн,
R = 10 Ом, то t = 0,1 с. Если увеличить значение индуктивности или
уменьшить значение активного сопротивления, то произойдет увеличение постоянной времени и, следовательно, процесс нарастания
тока в ветви с индуктивностью замедлится.
Пример 2
Короткое замыкание в реальной катушке.
Рис. 4. 4. Расчетная схема
решение
Если рассмотреть схему по типу рис. 4.4, то в определенный момент (обычно принятый за t = 0) произойдет замыкание источника
накоротко, но накопленная в индуктивности энергия не исчезнет
мгновенно, а будет уменьшаться до нуля в течение определенного
времени. В этом примере нет подробного разъяснения методики расчета, а приводятся лишь основные результаты на отдельных этапах
i(0 -) =
LЧ
E
Rвнутр + R
; i(0 +) = i(0 -) =
E
Rвнутр + R
;
di
Rц
ж
+ i Ч R = 0; iуст = 0; Lp = 0 з p = - ч;
dt
Lш
и
i(t ) = A Ч e rt = A Ч e
R
- t
L
;
109
i(0 +) =
uR (t ) = i(t ) Ч R =
E
Rвнутр + R
= A; i(t ) =
E
Rвнутр + R
Чe
R
- t
L
;
R
R
- t
- t
E ЧR
E
Ч e L и uL (t ) =
(- R) Ч e L .
Rвнутр + R
Rвнутр + R
Графики переходного процесса i(t) и uL(t) в общем виде приведены на рис. 4.5.
Рис. 4.5. Графики переходных процессов
Из представленных графиков видно, что с течением времени
произойдет снижение тока до нуля по экспоненте, а напряжение на
индуктивности примет в начальный момент отрицательное значение, затем эта величина будет стремиться к нулю.
Пример 3
Включение цепи R, C к источнику постоянной ЭДС.
Рис. 4.6. Расчетная схема
110
Расчетная схема приведена на рис. 4.6. При этом предполагается,
что до начала переходного процесса конденсатор мог быть заряжен
с указанной полярностью до значения U0. Необходимо определить
uC(t), i(t), uR(t).
Решение
Воспользуемся предложенной ранее методикой и зафиксируем
наиболее значимые параметры
1. При t = 0–. i(0–) = 0; uC(0–) = U0; uR(0–) = 0.
2. uC(0+) = uC(0–) = U0.
3. i Ч R + uC = E и i = C Ч
duC
du
Ю R Ч C Ч C + uc = E .
dt
dt
4. i(0 +) Ч R + uC (0 +) = E ; i(0 +) = C Ч
duC
dt
(*)
Ю i(0 +) =
t =0+
E -U 0
;
R
uR(0+) = E – U0.
5. iуст = C Ч
duC
dt
t =Ґ
= 0; uC уст = E ; uR уст = 0.
6. R Ч С Ч p + 1 = 0; p = -
1
.
RC
7. uC (t ) = uC уст + uC своб Ю uC (t ) = E + A Ч e
где при
-
1
t
RC
,
t = 0 + uC (0 +) = U 0 = E + A; A = U 0 - E = -( E - U 0 ).
uC (t ) = E - ( E - U 0 ) Ч e
-
t
RC
t
; i(t ) = C Ч
uR (t ) = i(t ) Ч R = ( E - U 0 ) Ч e
-
t
RC
duC E - U 0 - R C
=
Чe
;
dt
R
.
E -U 0
; uR (0 +) = E - U 0 .
R
9. При графическом варианте расчета рекомендуется рассмотреть
различные значения начального напряжения на конденсаторе. Так,
при uC(0–) = U0 = 0 график переходного процесса uC(t) в масштабе
напряжений будет повторять форму кривой тока в индуктивности
8. При t = 0 + . uC (0 +) = U 0 ; i(0 +) =
111
на рис. 4.3 (кривая 1). Если u0 = 0,5E, то решение уравнения на графике будет соответствовать кривой 2 на рис. 4.7.
Рис. 4.7. Графики переходного процесса
4.3. Переходные процессы
в простейшей цепи с накопителями энергии
Пример 4
Подключение неразветвленной цепи R, L, C к источнику постоянной ЭДС (рис. 4.8).
Рис. 4.8. Расчетная схема
В качестве искомых величин использованы i(t), uC(t), uR(t), uL(t).
Предположим, что до коммутации конденсатор заряжен до значения U0, с указанной на рис. 4.8 полярностью.
112
Решение
Воспользуемся предложенной ранее методикой расчета:
1. i(0–) = 0; uC(0–) = U0; uR(0–) = 0; uL(0–) = 0.
2. i(0+) = i(0–) = 0 и uC(0+) = uC(0–) = U0.
3. i Ч R + L Ч
du
di
+ uC = E (a) и i = C Ч C
dt
dt
4. i(0 +) Ч R + L Ч
di
dt
t =0+
( б ).
+ uC (0 +) = E и i(0 +) = C Ч
duC
dt
t =0+
,
где i(0+) = 0, а uC(0+) = U0.
Тогда
uL (0 +) = L Ч
di
dt
t =0+
di
dt
= E -U 0;
t =0+
=
E -U 0
duC
;
L
dt
duC
di
t =Ґ = 0 и
dt
dt
нения п. 3 приобретут следующий вид:
5. Если учесть, что при t = Ґ
iуст Ч R + uC уст = E и iуст = C Ч
duC
dt
t =Ґ
t =Ґ
t =0+
= 0.
= 0, то урав-
= 0.
В этом случае iуст = 0; uC уст = E, uR уст = 0, uL уст = 0.
1
= 0 , или
j wC
6. Z вх = R + j wL +
Z вх ( p) = R + pL +
1
RpC + p2 LC + 1
=
= 0,
pC
pC
поэтому p2LC + pRC + 1 = 0.
Если принять коэффициент при p2 равным единице, то уравнение примет следующий вид:
p2 + p
где
R 1
+
= 0 или p2 + 2dp + w20 = 0,
L LC
R
1
= 2d,
= w20 .
L
LC
113
Решение уравнения примет следующий вид:
p1,2 = -d ± d2 - w20 = -
R
R2
1
±
.
2
2L
4 L LC
Примечание: характеристическое уравнение может быть получено стандартным путем, если записать уравнения из п. 3, например относительно UC(t), и выделить однородную часть полученного
уравнения с последующей заменой производной на jw или p.
RC Ч
Тогда RC Ч
dU C
d 2U C
+ LC Ч
+U C = E.
dt
dt 2
dU C
d 2U C
+ LC Ч
+U C = 0 ,
dt
dt
или RC Ч p + LC Ч p2 + 1 = 0 Ю p2 + p
R 1
+
= 0.
L LC
При любом варианте расчета полученное квадратное уравнение
может иметь различные корни:
а) корни p1 и p2 – действительные, отрицательные, разные, если
d2 > w20 или
R2
1 ж
Lц
>
зз R > 2
ч.
2
C чш
4 L LC и
Свободная составляющая имеет апериодический характер и описывается уравнением следующего вида:
X своб (t ) = A1e p1t + A2 e p2t ,
где А1 и А2 – постоянные интегрирования;
б) корни p1 и p2 – действительные отрицательные и равные
(p1 = p2). Данный вариант на практике встречается относительно
редко и представляет собой предельный случай апериодического
ж
Lц
режима зз Rкр = 2
ч . Из математики известно, что общее решение
C чш
и
может быть представлено в виде
X своб (t ) = ( A1 + A2 Ч t )e pt , где p = 114
R
.
2L
Этот случай можно также привести к варианту 1, если после решения рассмотреть предел p1 → p2;
ж
Lц
в) корни p1 и p2 – комплексные, сопряженные зз Rкр < 2
ч . СвоC чш
и
бодная составляющая имеет периодический, затухающий характер
и ее решение может быть представлено в виде
X своб (t ) = A Ч e -dt Ч sin ( wўt + b),
где wў = w20 - d2 =
1
R2
- 2 – угловая частота свободных колеLC 4 L
баний;
A и b – постоянные интегрирования.
Для расчета постоянных интегрирования приходится, как правило, продифференцировать имеющиеся уравнения и решить их совместно для начального момента времени t = 0+ = 0. Примеры таких
решений приведены в дальнейшем.
7. Общее решение. Пусть корни характеристического уравнения
действительные, отрицательные и разные (1 вариант). Тогда общее
решение, например относительно UC, примет вид
uC(t) = uC уст + uC своб или uC (t ) = E + A1e p1t + A2 e p2t .
После дифференцирования получим
duC
= A1 p1e p1t + A2 p2 E p2t .
dt
Тогда для начального момента времени t = 0 оба уравнения примут вид
U C (0) = E + A1 + A2 = U 0
duC
dt
t =0
= A1 p1 + A2 p2 = 0
Из совместного решения следует
A2 = -
( E - U 0 ) Ч p1
( E - U 0 ) Ч p2
и A1 =
.
p1 - p2
p1 - p2
115
Окончательно получим
uC (t ) = E +
( E - U 0 ) Ч p2 p1t ( E - U 0 ) Ч p1 p2t
Чe Чe ,
p1 - p2
p1 - p2
или uC (t ) = E +
( E - U 0 ) Ч ( p2 e p1t - p1e p2t )
.
p1 - p2
Законы изменения остальных искомых функций можно определить аналогично, либо воспользоваться известными законами и соотношениями. Во втором случае получим
i(t ) = C Ч
duC ( E - U 0 ) Ч ( p1 p2 e p1t - p1 p2 e p2t )
=
Ч C,
dt
p1 - p2
или i(t ) =
если учесть, что p1 Ч p2 = w20 =
uL (t ) = L Ч
( E - U 0 ) Ч (e p1t - e p2t )
,
L Ч ( p1 - p2 )
1
.
LC
di ( E - U 0 ) Ч ( p1e p1t - p2 e p2t )
=
,
dt
p1 - p2
uR (t ) = i Ч R =
( E - U 0 ) Ч (e p1t - e p2t ) Ч R
.
L Ч ( p1 - p2 )
Если принять U0 = 0, то в общем виде графики некоторых искомых величин примут вид кривых, приведенных на рис. 3.8.
Рис. 4.9. Графические зависимости
116
Кривая UC(t) будет монотонно возрастать до значения Е, а точка
перегиба кривой приведет к появлению максимума в кривой тока.
Кривая UL(t) имеет максимальное значение i(t) в начальный момент
времени t = 0+, а затем происходит уменьшение до нуля и ниже.
Кривая UR(t) имеет вид, аналогичный i(t), поэтому здесь не приводится.
Для подтверждения зависимостей зададим конкретные цифровые значения, пусть
ж
Lц
E = 100 B; R = 100 Ом; L = 0,1 Гн; C = 100 мкФ з R > 2
ч.
з
C чш
и
Тогда
p1,2 = -
R
R2
1
100
±
=± 250000 - 100000 = -500 ± 387,2;
2
2L
0,2
4 L LC
p1 = -112,8 c -1 и p2 = -887,2 c -1 .
Следует иметь в виду, что модули корней могут существенно отличаться, поэтому в различные моменты времени влияние экспонент свободных составляющих будет различным. На практике рекомендуется длительность переходного процесса оценивать по корню
с минимальным значением модуля, в данном случае
tпп » (3...5) Ч
1
1
= (3...5) Ч
= ( 0,026...0,044 ) C .
112,8
p1
Законы изменения некоторых искомых величин с данными цифровыми значениями примут следующий вид (рис 3.9):
uC (t ) = 100 - 114,56e -112,8t + 14,56e -887,2t ;
i(t ) = 1,29(e -112,8t - e -887,2t );
uL (t ) = -14,56e -112,8t + 114,56e -887,2t .
Из анализа этих зависимостей следует, что в наибольшей степени изменения функций происходят в интервале от 0 до τ, поэтому
при построении графиков рекомендуется эту часть временного интервала исследовать более тщательно, задаваясь, например значениями 0,05t; 0,1t; 0,2t и т. д.
117
Рис. 4.10. Графические зависимости
Данный пример был рассмотрен для случая U0 = 0. Можно показать, что для других значений начального напряжения на конденсаторе общие закономерности, рассмотренные выше, сохранятся, однако новые условия изменяют положение кривой UC(t), амплитуду
тока i(t), амплитуду напряжения на индуктивности UL(t) и т. п. Конечные значения (принужденные или установившиеся) сохраняются такими же.
Рассмотрим случай, когда переходный процесс приобретает пеL
. Как уже
риодический, затухающий характер, т. е. когда R < 2
C
отмечалось, общее решение удобнее представить в следующем виде:
uC (t ) = uC уст + uC своб = E + A Ч e -dt sin(wўt + b).
Для процесса постоянных интегрирования рекомендуется вычислить первую производную и решить совместно оба уравнения
для начального момента времени, что и показано ниже
duC
= A( -d) Ч e -dt sin ( wўt + b) + A Ч e -dt wў cos ( wўt + b) .
dt
При t = 0+ = 0.
мuC (0) = E + A Ч sin b = U 0 ;
п
н du
п C t = 0 = A (-d)sin b + A Ч wў cos b = 0.
о dt
118
Из решения следует, что в данном случае
b = arctg
U -E
wў
, a A= 0
.
sin b
d
При рассмотрении затухающих процессов рекомендуется использовать числовые параметры цепи, так как анализ в общем виде
затруднен. Воспользуемся основными исходными условиями первого примера, приняв
ж
Lц
E = 0,1 Гн; R = 100 Ом; L = 0,1 Гн; С = 10 мкФ з R < 2
ч.
з
C чш
и
Тогда
p1,2 = -
R
R2
1
±
= -500 ± 250000 - 1000000 = -500 ± j 866.
2L
4 L2 LC
Таким образом, d = –500 c–1; wʹ = 866 c–1.
Тогда b = arctg
U - 100
100 - U 0
wў
» 60, A = 0
=.
sin 60°
0,866
d
Если вновь предположить, что U0 = 0, то основные законы изменения в цифровом варианте примут вид
uC (t ) = 100 - 115,47 Ч sin (866 t + 60°) Ч e -500 t ;
i(t )C Ч
duC
= +10 -5 йл -115,47 Ч e -500 t Ч ( -500) Ч sin(866 t + 60°) dt
-115,47 Ч e -500 t Ч 866 Ч cos(866 t + 60°)щы =
= +0,577 Ч e -500 t Ч sin(866 t + 60°) - 0,999 Ч e -500 t Ч cos(866 t + 60°).
Необходимо обратить внимание студентов на то, что формулу
тока, содержащую две составляющие, легко можно привести к одной из функций, например, к синусоиде, так как cosa = sin(90 – a).
Эти преобразования можно выполнить и в символической форме
0,577 Ч e j 60° + 0,999 Ч e - j 30° =
= +0,285 + j 0,499 + 0,865 - j 0,499 = +1,154.
119
Тогда окончательно запишем
i(t ) = +1,154 Ч e -500 t Ч sin866 t .
uC (t ) = 100 - 115,47 Ч sin(866 t + 60°) и т. п.
При построении подобных графиков возникает ряд проблем.
Прежде всего за длительность переходного процесса принимается
1
в первом приближении величина tпп » (3...5) Ч .
d
Графики этих функций необходимо построить самостоятельно. На качественном уровне они могут иметь вид, приведенный на
рис. 4.11.
Рис. 4. 11. Графики зависимостей uC(t) и i(t)
Важную роль при построении графиков играет показатель экспоненты d, который определяет скорость затухания периодической
функции с течением времени. Чем больше d по модулю, тем быстрее
происходит процесс затухания. В научной литературе вводят такой
параметр, как логарифмический декремент свободных колебаний.
120
lnD = d · T ʹ.
Если при расчете будут заданы ненулевые начальные условия, то
это повлияет лишь на начальное положение кривых.
В некоторых случаях расчет переходных процессов удобнее вести предполагая, что корни характеристического уравнения вещественные, а переход к истинным корням следует выполнять после
всех необходимых расчетов и преобразований, используя известные формулы Эйлера. В частности, для цепи с двумя накопителями
энергии переход от одной формы корней к другой можно выполнить по следующим формулам:
e p1t - e p2t e -dt
=
Ч sin wўt;
p1 - p2
wў
w
p1 Ч e pt1 - p2 Ч e p2t
= - 0 Ч e -dt Ч sin(wўt - b);
wў
p1 - p2
w
p2 Ч e p1t - p1 Ч e p2t
= - 0 Ч e -dt Ч sin(wўt + b);
wў
p1 - p2
где b = arctg
wў
.
d
4.4. Переходные процессы
в разветвленных цепях
В разделе 4.3 рассматривались варианты переходных процессов
в простейшей цепи с двумя накопителями энергии. На практике
нередко встречаются более сложные случаи, когда переходные процессы происходят в разветвленных цепях. Этой теме рекомендуется
посвятить два практических занятия, которые позволили бы студенту более четко усвоить как общую методику расчета, так и понимание основных физических процессов в таких цепях. Для проверки знаний в дальнейшем рекомендуется провести контрольную
работу по всему разделу «Классический метод расчета переходных
процессов».
121
Пример 5
Расчетная схема приведена на рис. 4.12. Конденсатор С предварительно разряжен. Найти законы изменения основных величин
iL(t), uC(t), iC(t), uL(t) и т. п.
Рис. 4. 12. Расчетная схема
решение
Воспользуемся той же методикой и в краткой форме зафиксируем основные результаты.
E
1. До коммутации uC (0 -) = 0; iC (0 -) = 0; iR (0 -) = iL (0 -) = ;
R
di
uL (0 -) = L Ч t = 0 - = 0 (так как до коммутации имеет место устаноdt
вившийся, или принужденный режим при E = const).
2. Основные начальные условия (ОНУ)
iL (0 -) = iL (0 +) =
E
; uC (0 -) = uC (0 +) = 0.
R
3. Дифференциальные уравнения по законам Кирхгофа после
коммутации
E = LЧ
du
diL
+ uC ; uC = iR Ч R; iL = iR + iC и iC = C Ч C .
dt
dt
4. Неосновные начальные условия (ННУ)
LЧ
122
diL
dt
t =0
ж di
= E - uC (0) = E ; з L
и dt
t =0
=
u (0)
Eц
= 0;
; iR (0) = C
L чш
R
iC (0) = iL (0) - iR (0) =
duC
E
;
R
dt
t =0+
=
E
.
RC
5. Принужденный (установившийся) режим при t = ∞.
Если учесть, что в этот момент времени все токи и напряжения примут устойчивые значения, так как E = const, то достаточно
в уравнения п. 3 подставить значения
diL
dt
Тогда uC уст = E ; iR уст =
t =Ґ
=0 и
duC
dt
t =0
.
E
E
; iC уст = 0; iL уст = ; uL уст = 0.
R
R
Эти же значения легко получить, если для принужденного режима изобразить схему, в которой индуктивность L будет представлена
в виде элемента короткого замыкания, а емкость С как разрыв ветви
для участка постоянного тока (рис. 4.13).
Рис. 4.13. Расчетная схема
Из этой схемы следует, что
iC уст = 0; iL уст = iL уст =
E
;
R
uC уст = iL уст · R = E; uL уст = 0, т. е. результаты совпадают.
123
6. Корни характеристического уравнения
1
R
p2 LCR + pL + R
pC
= pL +
=
= 0.
Z вх ( p) = pL +
1
RpC + 1
RpC + 1
R+
pC
RЧ
Следовательно, характеристическое уравнение примет вид
p2 + p
1
1
+
= 0.
CR LC
Здесь и в дальнейшем будем предполагать, что корни полученного уравнения вещественные, отрицательные и разные, т. е.
p1 < 0 и p2<0.
7. Общее решение относительно, например, uC(t) можно записать
uC (t ) = uC уст + uC своб = E + A1 Ч e p1t + A2 Ч e p2t .
Тогда
duC
= A1 p1e p1t + A2 p2 e p2t , а при t = 0+ = 0
dt
мuC (0) = E + A1 + A2 = 0
п
н du
E .
п C t = 0 = A1 p2 + A2 p2 =
RC
о dt
Из совместного решения получим
E
E
Ep2 +
RC , A =
RC .
A2 = 1
p1 - p2
p1 - p2
Ep1 +
Окончательно можно записать
E
E
Ep1 +
p1t
RC
RC
Чe Ч e p2t .
uC (t ) =
p1 - p2
p1 - p2
Ep2 +
124
Аналогичные действия повторить для определения закона изменения iL(t)
iL (t ) = iL уст + В1 Ч e p1t + B2 Ч e p2t =
E
+ B1 Ч e p1t + B2 Ч e p2t .
R
diL
= B1 Ч p1 Ч e p1t + B2 Ч p2 Ч e p2t .
dt
Из совместного решения при t = 0 + получим
iL (t ) =
Тогда uL (t ) =
E
E Ч e p1t
E Ч e p2t
+
.
R L Ч ( p1 - p2 ) L Ч ( p1 - p2 )
u (t )
E Ч p1 Ч e p1t - E Ч p2 Ч e p2t
, a iR (t ) = C .
p1 - p2
R
8. Проверки решения выполняют для двух известных моментов
времени t = 0+ = 0 и t = ∞.
9. Графики искомых функций в общем виде представлены на
рис. 4.14.
Рис. 4. 14. Графики функций
При построении графиков использованы следующие свойства
функций:
125
1. Для графика uC(t):
uC (0 -) = uC (0 +) = 0
duC
dt
t =0
=
E
; uC уст = Е .
RC
2. Для графика iL(t):
iL (0 -) = iL (0 -) = iL (0 +) =
diL
E
;
R
dt
t =0
=
E
E
; iL уст = .
L
R
3. Для графика uL(t):
uL (0 -) = 0; uL (0 +) = E ; uL уст = 0; uL = L Ч
Пример 6
diL
.
dt
Расчетная схема приведена на рис. 4.15. Найти законы изменения iL(t), iC(t), uC(t) и т. д.
Рис. 4.15. Расчетная схема
решение
1. До коммутации при E = const имеем
iC (0 -) = 0; iL (0 -) = iR (0 -) =
uC (0 -) = iR (0-) Ч R =
126
E
;
2R
E
; uL (0-) = 0.
R
2. ОНУ iL (0 +) = iL (0 -) =
E
E
; uC (0 +) = uC (0 -) = .
2R
2
3. После коммутации основные уравнения по законам Кирхгофа
имеют вид
E =L
diL
di
+ iC Ч R + uC ; E = L L + iR Ч R;
dt
dt
iL = iC + iR ; iC = C Ч
duC
.
dt
4. Расчет ННУ
E
E
и uC (0) =
2R
2
после совместного решения уравнений получим
С учетом известных значений iL (0) =
R Ч iR (0) = E - L
diL
dt
t =0
; iC (0) = iL (0) - iR (0) Ю
R Ч iR (0) = iL (0) Ч R - iR (0) Ч R + uC (0),
E E
uC (0) + iL (0) Ч R 2 + 2
E
iR (0) =
=
=
;
2R
2R
2R
iC (0) = iL (0) - iR (0) =
duC
dt
= 0;
t =0
diL
dt
=
t =0
E
E
= 0;
R
2
2R
E - iR (0) Ч R E
=
.
L
2L
5. При t = ∞ имеем
iL уст = iR уст =
E
; iC уст = 0; uC уст = E ; uL уст = 0.
R
6. Характеристическое уравнение цепи
1 ц
ж
R Чз R +
pC чш 2 p2 RLC + pL + pR 2 C + R
=
= 0,
Z вх ( p) = pL + и
1
2 RpC + 1
2R +
pC
127
тогда
p2 + p
L + R2C
L + R2C
1
1
+
= 0, или
= 2d и
= w20
2RLC
2 LC
2RCL
2 LC
p2 + 2dp + w02 = 0 или p1,2 = -d ± d2 - w20 .
Считаем в дальнейшем возможные корни вещественными, отрицательными и разными.
7. Общее решение
Относительно uC(t) имеем
uC (t ) = uC уст + uC своб = E + A1 Ч e p1t + A2 Ч e p2t ,
тогда
duC
= A1 Ч p1 Ч e p1t + A2 Ч p2 Ч e p2t .
dt
При t = 0+ = 0 имеем
E
м
пuC ( 0 ) = E + A1 + A2 = 2
п
н
п duC
= A1 Ч p1 + A2 Ч p2 = 0
п dt
t =0
о
Из совместного решения определим A1 и A2.
A1 =
E Ч p2
E Ч p1
и A2 = .
2 Ч ( p1 - p2 )
2 Ч ( p1 - p2 )
Окончательно можно записать
uC (t ) = C Ч
=
duC E Ч p2 Ч p1 Ч e p1t Ч C E Ч p1 Ч p2 Ч e p2t Ч C
=
=
dt
2 Ч ( p1 - p2 )
2 Ч ( p1 - p2 )
E Ч e p1t
E Ч e p2t
и т. д.
4 L Ч ( p1 - p2 ) 4 L Ч ( p1 - p2 )
8. Проверки
При t = 0 + = 0 uC (0) =
128
E
, a iC (0) = 0.
2
9. Графики
Для полученных зависимостей качественные графики приведены на рис. 4.16.
Рис. 4.16. Графики
При их построении использованы следующие свойства:
1. Для графика uC(t)
uC (0 -) = uC (0 +) = uC (0) =
duC
E
; uC уст = E ;
dt
2
= 0.
t =0
2. Для графика iC(t)
iC (0 -) = 0; iC (0 +) = 0; iC уст = 0; iC = C Ч
duC
.
dt
4.5. особенности расчета
переходных процессов при синусоидальном
источнике питания
Пример 7
Расчетная схема приведена на рис. 4.17.
Пример с синусоидальным источником, пусть
e = 100 · sin314t, Вт; R = 10 Ом; C = 200 мкФ; L = 0,1 Гн.
129
Рис. 4.17. Расчетная схема
решение
1. Расчет цепи до коммутации рекомендуется выполнять в символической форме, например для комплексов амплитуд
1
Е М = 100e j 0° B; Z вх = R - j
+ j wL = 18,42e j 57,1° Ом;
wC
E
Iвх M = ICM = M = 5,42 Ч e - j 57,1° A;
Z вх
1 ц
ж
- j 147,1°
U CM = ICM з - j
B.
ч = 86,2 Ч e
и wC ш
В результате при переходе к оригиналам получим
uC = 86,2 Ч sin (314t - 147,1); iL = 0.
Тогда при t = 0–
uC (0 -) = 86,2 Ч sin(-147,1°) = -46,84 B; iL (0 -) = 0.
Примечание. Основной целью расчета докоммутационного режима следует считать определение величин, обуславливающих законы коммутации.
2. ОНУ uC(0+) = uC(0–) = uC0 = –46,84 В; iL(0+) = iL(0–) = iL0 = 0.
3. Дифференциальные уравнения после коммутации
e = iC Ч R + uC + L Ч
130
du
diL
di
; L L = iR Ч R; iC = iL + iR ; iC = C Ч C .
dt
dt
dt
4. Для расчета ННУ запишем уравнения п. 3 для начального момента времени и подставим в них известные ОНУ
e(0) = 0 = iC (0) Ч R + ( -46,84) + L Ч
LЧ
diL
dt
t =0+
diL
dt
;
t =0+
= iR (0) Ч R; iC (0) = 0 + iR (0); iC (0) = C Ч
duC
dt
.
t =0
В результате расчета получим
duC
dt
iC (0) = 0,067 A;
= 335
t =0
B diL
;
C
dt
= 461,7
t =0
A
.
C
iR (0) = 4,617 A и т. д.
5. Для установившегося (принужденного) режима имеем
Z вх = R - j
1
R Ч j wL
+
= 23,1e - j 34,3 Ом;
w C R + j wL
E
E M = 100e j 0 ; ICM = M = 4,33e j 34,3° A;
Z вх
ILM = ICM Ч
R
= 1,31e - j 38,0° A;
R + j wL
1 ц
ж
- j 65,7
U CM = ICM Ч з - j
B.
ч = 68,93e
и wC ш
Тогда
iL уст = 1,31 · sin(314t – 38) А; uC уст = 68,93 · sin(314t – 65,7) В.
6. Корни характеристического уравнения
Z pX ( p) = R +
1
R Ч pL 2 p2 RLC + p Ч ( L + CR 2 ) + R
+
=
= 0;
pC R + pL
pC (R + pL)
F ( p) = p2 + p Ч
L + CR 2
1
+
= 0;
2 LCR
2 LC
p1,2 = -150 ± j 50.
131
Полученные корни определяют периодический, затухающий характер переходного процесса.
7. Общее решение
Относительно uC(t) можно записать
uC (t ) = uC уст + uC своб = 68,93 Ч sin(314 t - 65,7) + A Ч e -150 t Ч sin(50 t + b)
duC
= 68,93 Ч 314 Ч cos(314 t - 65,7) + A ( -150) e -150 t Ч sin(50 t + b) +
dt
+ A Ч e -150 t Ч 50 Ч cos(50 t + b).
Из совместного решения уравнений при t = 0 с учетом известных
ж
duC
Bц
= 335 ч получим
начальных условий з uC 0 = -46,84 B;
C
dt
t =0
и
ш
A = –233,32 B; b = –7,85°.
Окончательно можно записать
uC (t ) = 68,93 Ч sin(314 t - 65,7) - 233,3 Ч e -50 t Ч sin(50 t - 7,85).
Аналогично выполняют расчет для других искомых величин.
При расчете переходных процессов с синусоидальным источником сохраняется та же методика, что и ранее, но определение установившихся значений токов и напряжений необходимо выполнять
с использованием символического метода расчета.
132
5. Операторный метод расчета
переходных процессов
5.1. Основные положения и соотношения
Расчет переходных процессов в линейных цепях сводится к решению дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Операторный метод – особый метод решения таких уравнений.
Сущность метода состоит в том, что функциям вещественного
переменного f(t), которые называют оригиналами, сопоставляются
по определенным правилам функции комплексного переменного p,
которые называют изображениями.
f(t) ≓ F(p).
Аналогии: для действий над числами вводят логарифмы, что облегчает расчеты. Для облегчения операции над синусоидами вводят
комплексы – изображения синусоид.
Введение операторных изображений упрощает операции дифференцирования и интегрирования. Как и другие изображения, они
вводятся при расчете, затем делается переход к оригиналам.
В отличие от (классического) символического метода, операторный позволяет получить изображение любых функций.
Переход от оригинала к изображению осуществляется по одной
из двух формул
Ґ
F ( p) = т e - pt Ч f (t ) Ч dt – по Лапласу,
0
Ґ
F ( p) = p т e - pt Ч f (t ) Ч dt – по Карсону-Хевисайду.
0
Наибольшее распространение получили изображения по Лапласу.
1. Пусть f(t) = A, тогда
Ґ
F ( p) = т e - pt Ч A Ч dt = 0
A - pt
e
p
Ґ
0
=-
A
A
( 0 - 1) =
p
p
133
A≓
A
p
2. Пусть f(t) = eat, тогда
Ґ
Ґ
- ( p -a )
F ( p) = т e - pt Ч e at Ч dt = т e
0
1
- p -a
e ( )
p-a
Ч dt = -
0
e at
Ґ
0
=
1
p-a
1
p-a
3. Для синусоидальных функций справедливы соотношения
sin t
w
; cos t
p 2 + w2
p
.
p 2 + w2
При выводе используются формулы Эйлера
sin wt =
e j wt - e - j wt
1
; cos wt = (e j wt + e - j wt ).
2j
2
Таким образом можно найти изображение практически всех
функций, с которыми имеют дело в электротехнике и радиотехнике.
Основные свойства операторных преобразований обладают целым рядом свойств:
1. A · f(t) ≓ A · F(p).
Умножению оригинала на А соответствует умножение изображения на ту же постоянную.
2. a · f1(t) + b · f2(t) ≓ a · F1(p) + b · F2(p).
Изображение суммы есть сумма изображений.
3. Теорема дифференцирования.
Задано f(t) ≓ F(p). По общему правилу.
f ў(t )
df
dt
Ґ
тe
0
f ў(t )
- pt
df
dt
dt
pF ( p)
Ґ
тe
- pt
df (t )
0
f (0).
Если f(0) = 0, то f ʹ(t) ≓ pF(p), т. е. дифференцирование оригинала
соответствует умножению изображения на p.
134
4. Теорема интегрирования.
t
F ( p)
, т. е. интегрироваp
0
нию оригинала соответствует деление изображения на p.
Рассмотрим подробнее применение этих свойств для индуктивности катушки и емкости конденсатора.
При любом законе изменения тока в катушке индуктивности
di
можно написать uL = L .
dt
Обозначим изображение тока I(p). Тогда, пользуясь теоремой
дифференцирования, определим
Задано f(t) ≓ F(p). Без вывода
т f (t )
dt
uL(t) ≓ UL(p) = L · [pI(p) – i(0)] = LpI(p) – Li(0).
i(0) – значение тока в момент начала отсчета времени. Если
i(0) = 0, то
UL(p) = pLI(p).
При синусоидальном токе в комплексной форме L = jwL · İ.
Сравнив последние два выражения, можно записать индуктивное
сопротивление в операторной форме xL(p) = pL.
Если выражением jwL можно оперировать только при синусоидальном токе, то pL и pM верны для любого закона.
Напряжение на конденсаторе в общем виде
t
uC =
1
iC (t ) Ч dt + uC (0).
C т0
Обозначим изображение тока I(p) и воспользуемся теоремой интегрирования
uC ( ) U C ( p)
I C ( p)
pC
uC (0)
,
p
где uC(0) – напряжение на конденсаторе в момент начала отсчета
времени. При uC(0) = 0
U C ( p) =
1
Ч I ( p).
pC
1 
Ч IC .
При синусоидальном токе в символической форме U C =
j wC
135
Сравнивая два последних выражения, можно записать
X C ( p) =
1
.
pC
В операторной форме будут справедливы основные законы электрических цепей с некоторыми изменениями. Рассмотрим ветвь
(рис. 5.1), для которой будут справедливо уравнение
t
uab = ua + uL + uC = i Ч R + L
di 1
+
i(t ) Ч dt + uC (0).
dt C т0
Рис. 5.1. Оригинальная электрическая схема
Переходим к операторной форме записи
U аb ( p) = I ( p) Ч R + pL Ч I ( p) - Li(0) +
U (0)
1
.
Ч I ( p) + C
pC
p
Получим алгебраическое уравнение вместо дифференциального.
Можно определить ток
I ( p) =
U ab ( p) + L Ч i(0) -
U C (0)
p
1
R + pL +
pC
,
т. е. закон Ома для участка цепи с источниками. При нулевых начальных условиях [i(0) = uC(0) = 0]
I ( p) =
U ab ( p)
R + pL +
Выражение R + pL +
торной форме.
136
1
pC
.
1
= Z ( p) – сопротивление ветви в операpC
uC (0)
играют роль добавочных ЭДС. Полуp
чим схему, соответствующую данной, с учетом добавочных источников (рис. 5.2).
Слагаемые L · i(0) и
Рис. 5.2. Электрическая схема
После введения добавочных ЭДС следует считать в цепи начальные условия нулевыми.
Такие схемы называются операторными, они весьма удобны для
расчетов, в них учтены нулевые начальные условия, сопротивления
всех элементов записаны в операторной форме.
Первый и второй законы Кирхгофа в операторной форме имеют
следующий вид:
еE
K
( p) = е I K ( p) Ч Z K ( p);
еI
K
( p) = 0.
Из этого следует, что расчет цепи можно вести всеми методами,
применяемыми при расчете цепей постоянного тока.
5.2. Методика расчета переходных процессов
операторным методом
Можно наметить три основных варианта расчета.
1. Для цепи составляются дифференциальные уравнения по законам Кирхгофа, иногда по методу контурных токов. От дифференциальных уравнений переходят к операторной форме записи
с учетом основных начальных условий. Получается система алгебраических уравнений. Решая ее, получаем изображения неизвестных величин-токов и напряжений.
2. Сразу переходят к эквивалентной операторной схеме, учитывая
основные начальные условия включения добавочных источников.
137
Токи и напряжения в схеме рассчитывают любым способом,
применяемым при расчете цепей постоянного тока.
3. Сведение переходного процесса к нулевым начальным условиям. Используя теорему об эквивалентном генераторе, можно доказать, что ток и напряжение во время переходного процесса состоят
из тока и напряжения, существовавших до коммутации, и тех токов и напряжений, которые возникнут после включения источника
ЭДС, если рубильник замыкался, и источника тока, если произошло размыкание рубильника. Источники включаются вместо рубильника. Определяется направление источника ЭДС от знака «+»
к знаку «–». Направление источника тока противоположно тому,
которое имел ток через ключ до коммутации. При решении задачи
необходимо иметь в виду, что токи в схеме до коммутации и операторной могут не совпадать по направлению.
После решения задачи любым операторным методом необходимо выполнить обратные действия: переход от изображений к оригиналам функций.
5.3. Переход от изображений к оригиналам
Такой переход может быть сделан по таблицам, о которых упоминалось ранее, а также по теореме разложения.
Изображение получим в виде
Ip =
G ( p) am Ч p m + am -1 Ч p m -1 + ... + a1 Ч p + a0
,
=
F ( p) вn Ч p n + вn -1 Ч p n -1 + ... + в1 Ч p + в0
где G(p) и F(p) – многочлены, при этом m ≤ n и G(p) = 0 и F(p) = 0 не
имеют общих корней;
ak и bk – вещественные числа.
Из курса алгебры имеем
n
An
Ak
A1
A2
G ( p)
,
=
+
+ ... +
=е
F ( p) p - p1 p - p2
p - pn k =1 p - pk
где pk – корни характеристического уравнения F(p) = 0.
Из курса математики
Ak =
138
G ( pk )
G ( p) n G ( pk )
1
=е
Ч
; тогда
.
ў
F ( pk )
F ( p) k =1 F ( pk ) p - pk
1
1
≓ epkt.
, следовательно
p-a
p - pk
Для тока тогда получим
Известно, что eat ≓
G ( pk ) pk t
Чe ,
k =1 F ў( pk )
n
I ( p) = е
откуда оригинал тока
G ( pk ) pk t
Чe .
k =1 F ў( pk )
n
i(t ) = е
Это теорема разложения, позволяющая по известному изображению найти оригинал. Если выражение для тока будет иметь вид
I ( p) =
G ( p)
,
p Ч F ( p)
т. е. появится дополнительный корень p = 0, то теорема разложения
будет иметь вид
i(t ) =
G (0) n G ( pk )
+е
Ч e pk t .
F (0) k =1 pk Ч F ў( pk )
На основе теоремы разложения с учетом значения корней характеристического уравнения могут быть получены формулы перехода
к оригиналам. Без вывода ниже приведены эти формулы при двух
накопителях энергии с учетом характера корней, а именно, при апериодическом и периодическом затухающих процессах. Во втором
случае величина b определяется по формуле
b = arctg
wў
,
d
где wʹ и d – частота свободных затухающих колебаний и степень затухания соответственно.
Известны выражения
1
F ( p)
1
F ( p)
e p1t - e p2t
p1 - p2
p1 Ч e p1t - p2 Ч e p2t
p1 - p2
e -dt
sin ўt;
wў
w0 -dt
sin( ўt
e
wў
);
139
1
p Ч F ( p)
1 й
к1
w20 л
p2 e p1t - p1e p2t щ
ъ
p1 - p2
ы
1 й w0
1
sin ( ўt
w20 кл wў
щ
)e -dt ъ .
ы
При вводе уравнений использовались следующие обозначения:
F ( p) = p2 + 2dp + w02 = 0 – характеристическое уравнение цепи,
wў = d2 - w20 – частота свободных колебаний.
5.4. Примеры расчета операторным методом
Пример 1
Определить закон изменения тока iL после размыкания рубильника.
Рис. 5.3. Расчетная схема
решение
2E
.
3R
Уравнение по 2-му закону Кирхгофа для послекоммутационной
схемы
Определим ток iL до коммутации: iL (0 -) =
iL Ч 2R + L
diL
= E.
dt
Запишем это уравнение в операторной форме
I L ( p) Ч 2R + L Ч [ p Ч I L ( p) - iL (0)] =
E
.
p
Определим ток iL (p)
E 2E
+
ЧL
3R + 2 pL
E
E
G ( p)
p 3R
;
I L ( p) =
=
Ч
=
Ч
2R ц 3RL p Ч F ( p)
3RL ж
pL + 2R
pз p +
L чш
и
140
G ( p) = 3R + 2 pL; F ( p) = p +
2R
.
L
Характеристическое уравнение F(p) = 0.
Определим корень p = -
2R
.
L
Переход от изображения к оригиналу осуществим по формуле
iL (t ) =
G ( p1 ) p1 t щ
E й G (0)
e ъ;
Чк
+
3RL л F (0) p1 F ў( p1 )
ы
G (0) = 3R : F (0) =
2R
:
L
G ( p1 ) = - R : F ў( p) = 1 = F ў( p1 )
iL (t ) =
E й 3RL RL p1t щ E
E - 2LR Чt
e ъ=
e
.
+
+
к
3RL л 2R 2R Ч1 ы 2R 6R
Проверка правильности решения
iL (0) =
E
E 2E
E
; iL уст =
.
+
=
2R 6R 3R
2R
Операторная схема будет иметь вид (рис. 5.4).
Рис. 5.4. Операторная схема
E
+ iL (0) Ч L
p
I L ( p) =
– выражение аналогично предыдущему.
pL + 2R
141
Пример 2
Определить закон изменения напряжения на конденсаторе после
замыкания рубильника. До коммутации uC(0–) = E, следовательно,
uC(0+) = E.
Рис. 5.5. Расчетная схема
решение
Составим уравнения по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы
i1 = iC + i2 ;
E = i1 Ч R + uC ;
t
uC = i2 Ч R2 uC =
1
i(t ) Ч dt + uC (0).
C т0
Запишем эти уравнения в операторной форме
I1 ( p) = I C ( p) + I 2 ( p);
U (0)
E
1
;
= I1 ( p) Ч R +
Ч I C ( p) + C
p
pC
p
U (0)
1
Ч I C ( p) + C
= I C ( p) Ч R2 .
pC
p
Решая уравнения совместно, можно найти выражение в операторной форме для любого тока, затем и выражение для напряжения
на конденсаторе. Для сложной, разветвленной цепи такой метод не
является рациональным.
Составим операторную схему (рис. 5.6).
142
Рис. 5.6. Операторная схема
Схема содержит два узла, разность потенциалов между точками
2 и 1 равна напряжению на конденсаторе.
Пусть ϕ1 = 0, тогда
й1
1 щ E U C (0)
j2 ( p) к + pC + ъ =
+
Ч pC;
R2 ы pR1
p
л R1
j2 ( p) =
1 + R1 pC
E (1 + R1 pC ) Ч R2
E
Ч
=
Ч
p R1 R2 pC + R1 + R2 R1Cp ж
R1 + R2
з p+
R1 R2 C
и
где G ( p) = 1 + R1 pC; F ( p) = p +
ц
ч
ш
=
E
G ( p)
Ч
;
R1C p Ч F ( p)
R1 + R2
.
R1 R2 C
Характеристическое уравнение
F ( p) = 0 = p +
R1 + R2
R + R2
; p1 = - 1
.
R1 R2 C
R1 R2 C
Закон изменения uC(t) будем определять по формуле
uC (t ) =
щ
G ( p1 )
E й G (0)
Чк
+
Ч e p1t ъ ;
R1C л F (0) p1 F ў( p1 )
ы
G (0) = 1; F (0) =
G ( p1 ) = 1 - R1C Ч
R1 + R2
; F ў( p) = 1 = F ў( p1 );
R1 R2 C
R1 + R2
; F ў( p) = 1 = F ў( p1 );
R1 R2 C
143
R +R
uC (t ) =
- 1 2 Чt
ER2
RE
+ 1
Ч e R1R2 C ;
R1 + R2 R1 + R2
t = 0; uC (0) = E ;
t = Ґ; uC уст =
ER2
.
R1 + R2
Изображения для токов можно определить из следующих уравнений:
I 2 ( p) Ч R2 = U C ( p);
j1 ( p) +
U C (0)
1
+ I C ( p) Ч
= j2 ( p) = U C ( p);
p
pC
j1 ( p) +
E
- I1 ( p) = R1 = j2 ( p) = U C ( p).
p
Пример 3
Определить закон изменения напряжения на конденсаторе после размыкания рубильника.
Рис. 5.7. Расчетная схема
решение
Основные начальные условия uC (0) = E ; iL (0) =
раторную схему (рис. 5.8).
144
E
, составим опеR2
Рис. 5.8. Операторная схема
Составим уравнение по методу узловых потенциалов. Пусть
ϕ1 = 0, тогда
й
щ E E
к 1
ъ
1
1
p p iL (0) Ч L
j2 ( p) Ч к
+
+ ъ=
1
pL R2 ъ
pL
кR + 1
R
+
1
кл 1 pC
ъы
pC
й
1
1
1 щ
E ЧL
E
j2 ( p) Ч к
+
+ ъ==R2 Ч pL
pR2
л R1 pC + 1 pL R2 ы
j2 (0)
pCR2 pL + ( R1 pC + 1)R2 + pL(R1 pC + 1)
E
=(R1 pC + 1) pL Ч R2
pR2
j2 ( p) = - E
= -Е
L(R1 pC + 1)
=
p ( LCR2 + LCR ) + p(R1 R2 C + L) + R2
2
L(R1 pC + 1)
й
щ
RR C+L
R2
LC (R1 + R2 ) к p2 + p 1 2
+
ъ
LC (R1 + R2 ) LC ( R1 + R2 ) ы
л
;
В квадратных скобках получим характеристическое уравнение
RR C+L
R2
= 2d,
= w02 , выражение будет
F(p), в котором 1 2
LC (R1 + R2 )
LC (R1 + R2 )
иметь вид
145
R1 pC + 1
.
C (R1 + R2 ) Ч F ( p)
j2 ( p) = - E
Корни характеристического уравнения определяются из уравнения
F ( p) = 0 = p2 + 2d p + w20 ; p1,2 = - d ± d2 - w20 .
Закон изменения j2(t) можно определить, воспользовавшись теоремой разложения
G ( pk ) pk t
Чe ,
k =1 F ў( pk )
n
j2 (t ) = - E Ч е
где n – число корней характеристического уравнения.
Решение будет более простым, если воспользоваться приведенными ранее формулами.
Для апериодического процесса, когда d2 > w02 ,
1
F ( p)
e p1t - e p t
;
p1 + p2
1
pF ( p)
1 й
к1
w20 л
p
F ( p)
p1e p1t - p2 e p2t
p1 - p2
p2 e p1t - p1e p2t щ
ъ.
p1 - p2
ы
Для колебательного процесса, когда w20 > d2 и корни p1,2 = –d ± jwʹ,
где wў = w20 - d2
1
F ( p)
1
pF ( p)
e -d+
sin ўt;
wў
1
w20
p
F ( p)
й w0 -dt
sin( ўt
к1 wў e
л
w0 -dt
e
sin( ўt
wў
)
щ
)ъ, где
ы
wў
.
d
arctg
Задачу рационально решать в общем виде, числовые значения
подставлять в конечное выражение. Для определения UC(p) необходимо определить IC(p)
j1 ( p) +
146
E
1 щ E
й
- I C ( p) к R1 +
ъ - p = j2 ( p);
p
pC
л
ы
I C ( p) =
j2 ( p)
R pC + 1
E
pC
E
p
=
Ч 1
Ч
=
Ч
;
1
C (R1 + R2 ) F ( p) R1 pC + 1 R1 + R2 F ( p)
R1 +
pC
U C ( p) =
E
E
E
1
1
+ I C ( p) Ч
= +
Ч
.
p
pC p C (R1 + R2 ) F ( p)
Приводить к общему знаменателю не нужно. Воспользуемся
основным свойством операторных преобразований: изображение
суммы есть сумма изображений.
При апериодическом процессе
uC (t ) = E +
E
e p1t - e p2t
Ч
.
C (R1 + R2 ) p1 - p2
При колебательном процессе
uC (t ) = E +
E
Ч sin wўt .
C (R1 + R2 )wў
5.5. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1
Найти законы изменения тока в ветви с индуктивностью и напряжения на конденсаторе.
147
Задача 2
Найти законы изменения тока в ветви с индуктивностью и напряжения на конденсаторе.
Задача 3
Найти законы изменения тока в ветви с индуктивностью и напряжения на конденсаторе.
Задача 4
Найти законы изменения тока в ветви с индуктивностью и напряжения на конденсаторе.
148
6. Несинусоидальные токи
и напряжения
6.1. Основные положения и соотношения
В реальных электрических цепях могут возникать токи и напряжения, существенно отличающиеся по форме от синусоидальной.
Если функция периодическая и удовлетворяет условию Дирихле
(конечное число точек разрыва первого рода и конечное число максимумов и минимумов), то она может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье. Разложение возможно в двух формах
Ґ
f (t ) = A0 + е (an Ч cos nw1t + bn Ч sin w1t )
n =1
Ґ
или f (t ) = A0 + е Cn Ч sin(nw1t + y n ),
n =1
где A0 =
T
1
f ( t ) Ч dt – значение нулевой гармоники или постоянной
T т0
составляющей
T
ь
2
f (t ) Ч cos nw1t Ч dt п
т
T0
п
э – коэффициенты ряда основной и высT
п ших гармоник.
2
bn = т f (t ) Ч sin nw1t Ч dt п
T0
ю
an =
an
.
bn
При симметрии периодических функций, например относительно оси ординат, будут отсутствовать гармоники с синусоидальными составляющими (bn = 0), относительно начала координат – отсутствует постоянная составляющая и гармоники ряда косинуса
(A0 = an = 0) и т. п.
Практика применения разложения периодических функций
в электротехнике показывает, что с достаточной степенью точности
При этом Ст = an2 + bn2 и tgy n =
149
можно ограничить число составляющих ряда 3…5 членами, так как
высшие гармоники напряжения и тока имеют тенденцию к существующему уменьшению при n ≥ 5.
Для расчета действующего значения несинусоидального тока используется формула вида
T
I=
1
2
f ( t ) Ч dt = I 02 + I12 + I 22 + I 32 + ...,
T т0
где I0; I1; I2,... – действующие значения соответствующих гармоник
тока.
Аналогичная формула справедлива для действующего значения
напряжения.
При расчете токов и напряжений необходимо учитывать ряд особенностей. Во-первых, приходится использовать принцип наложения, т. е. вести расчет от каждой гармоники отдельно; во‑вторых,
реактивное сопротивление для каждой гармоники определяется порядковым номером гармоники
X L ( K ) = K w1 L и X C ( K ) =
1
,
K w1C
где ω1 – угловая частота основной гармоники или исходной периодической функции.
Активная, реактивная и полная мощности определяются по формулам
P=
Ґ
еU
K =0
Q=
K
Ч I K Ч cos j K Вт;
K
Ч I K Ч sin j K вар;
Ґ
еU
K =0
S =U Ч I =
Ґ
Ґ
еU Ч е I
K =0
2
K
K =0
2
K
B Ч A.
Необходимо отметить, что в цепях несинусоидального тока применяется и мощность искажения, которая учитывает несовпадение
форм напряжения и тока
T = S 2 - (P 2 + Q 2 ) В Ч А .
150
Для несинусоидальных величин в ряде случаев выполняют расчет коэффициентов формы, амплитуды и искажения
Kф =
I
I
I
; K A = M ; Kи = 1 ,
I ср
I
I
где Iср – среднее по модулю значение тока.
Наибольшую сложность при расчете гармоник создают трехфазные цепи, для которых необходимо учитывать как схему соединения, так и порядковый номер гармоники, но это более подробно
будет рассмотрено отдельно.
6.2. Расчет несинусоидальных величин
в цепях однофазного тока
Пример 1
Напряжение на входе цепи после разложения в ряд Фурье имеет
следующий вид:
u(t ) = 100 Ч sin wt + 30 Ч sin 2wt B.
Определить коэффициенты формы, амплитуды и искажения напряжения.
Решение
Расчетные коэффициенты определяют из следующих формул:
KФ =
U (1)
U
U
; K A = max ; K и =
,
U ср
U
U
где U – действующее значение,
Uср – среднее значение,
U(1) – действующее значение первой (основной) гармоники,
Umax – амплитудное значение.
При этом
2
2
ж 100 ц ж 30 ц
2
2
+ U (2)
= з
U = U (1)
ч +з
ч = 73,8 B.
и 2 ш и 2ш
151
Среднее значение удобнее вычислить за половину периода, учитывая симметрию кривой относительно абсцисс
p
=
U ср =
1
(U 1M Ч sin wt + U 2 M Ч sin 2wt ) d wt =
p т0
p
p
1
1
U 1M Ч sin wt Ч d wt + тU 2 M Ч sin 2wt Ч d wt =
т
p0
p0
p
=
1
2 Ч100
= 63,7 В.
100 Ч sin wt Ч d wt = +
p т0
p
Амплитудное значение Umax следует определять из условия
du
= U 1M Ч cos wt + 2U 2 M Ч cos2wt = 0,
dt
где cos2wt = 2cos2wt – 1 или 120 · cos2wt + 100 · cos wt = 0
cos wt = 0,444 или wt = 66,17°
Тогда
U max = 100 Ч sin 66,17° + 30 Ч sin132,34° = 116,7 B.
KФ =
U
U
73,8
116,7
=
= 1,16; K A = max =
= 1,58;
73,8
U ср 63,7
U
Ku =
U (1)
U
=
100
2 Ч 73,8
= 0,96.
Пример 2
К цепи, расчетная схема которой приведена на рис. 6.1, приложено напряжение
U = 100 + 200 Ч sin wt + 100 Ч sin(3wt - 90°) + 50 Ч sin(5wt + 45°) B.
R = 10 Ом; wL = 10 Ом;
1
= 90 Ом.
wС
Определить мгновенные значения тока и напряжений на элементах, а также мощности.
152
Рис. 6.1. Расчетная схема
решение
Воспользуемся методом наложения и выполним расчет токов
и напряжений от каждой гармоники отдельно:
1. На угловой частоте ω = 0 (нулевая гармоника).
U = 100 B; Z 0 = Ґ; I 0 = 0; U R (0) = 0; U L(0) = 0; U C (0) = 100 B.
2. На основной частоте ω (первая гармоника)
Z (1) = R + j wL - j
1
= 10 + j10 - j 90 = 10 - j 80 = 80,6 Ч e - j 82,9° Ом;
wC
200 Ч e j 0
U M (1) = 200 Ч e j 0° В; IM (1) =
= 2,48 Ч e j 82,9° A.
80,6 Ч e - j 82,9
U RM (1) = IB (1) Ч R = 24,8 Ч e j 82,9° Ом;
U LM (1) = IM (0) Ч j wL = 24,8 Ч e j172,9° В;
ж
1 ц
- j 7,1°
U CM (1) = IM (1) Ч з - j
В.
ч = 223 Ч e
w
Cш
и
3. На угловой частоте 3w
Z (3) = R + 3wL - j
1
= 10 + j 30 - j 30 = 10e j 0
3wC
(на данной частоте в цепи возникает резонанс напряжений);
- j 90°
100e
U M (3) = 100e - j 90° ; IM (3) =
10e j 0
= 10e - j 90° ; U RM = 100e - j 90° ;
153
U LV (3) = 300e j 0 B; U CM = 300e - j180° B.
4. На угловой частоте 5ω
Z (5) = R + j 5wL - j
IM (5) =
1
= 10 + j 50 - j18 = 33,6e j 72,67° Ом;
5wC
50e j 45°
= 1,49 Ч e - j 27,67° A.
33,6e j 72,67°
U RM = 14,9e - j 27,67° B; U LM = 74,5e j 62,33° B; U CV = 26,8e - j117,67° B.
Мгновенные значения тока и напряжений
i(t ) = 2,48 Ч sin(wt + 82,9°) + 10 Ч sin(3wt - 90°) +
+1,49 Ч sin(5wt - 27,67°) А;
uR (t ) = 2,48 Ч sin(wt + 82,9°) + 100 Ч sin(3wt - 90°) +
+14,9 Ч sin(5wt - 27,67°) B.
5. Мощности в цепи
Активная мощность
P = U 0 Ч I 0 + U 1 Ч I1 Ч cos j1 + U 3 Ч I 3 Ч cos j3 + U 5 Ч I 5 Ч cos j5 =
= 1000 +
+
200 Ч 2,48
100 Ч10
Ч cos82,9° +
Ч cos0° +
2
2
50 Ч1,49
cos72,67° = 541,3 Вт.
2
Не составляет большого труда показать, что активная мощность
может быть определена и из формулы
ж 2,482 + 10 2 + 1,492
P = I 2 Ч R = I 02 + I12 + I 32 + I 52 Ч R = з
2
и
(
)
ц
ч Ч10 » 541,3 Вт.
ш
Для расчета реактивной мощности цепи необходимо использовать формулу следующего вида:
n
Q = еU i Ч I i Ч sin ji = U 1 Ч I1 Ч sin j1 + U 3 Ч I 3 Ч sin j3 + U 5 Ч I 5 Ч sin j5 .
i =1
154
После подставки конкретных числовых значений получим
Q=
200 Ч 2,48
50 Ч1,49
Ч sin82,9° +
Ч sin 72,67° =
2
2
= 261,05 вар.
Полная мощность такой цепи составит
S = U Ч I = U 02 + U 12 + U 32 + U 52 Ч I12 + I 32 + I 52 =
 

= 247,48 Ч 7,36 = 1821,7 BA.
Из этих расчетов следует S2 ≠ P2 + Q2, что определено наличием
реактивных элементов в цепи и их существенным влиянием на форму тока. Мощность искажения в этой цепи составит
T = S 2 - (P 2 + Q 2 ) = 1821,72 - (541,32 + 261,052 ) =
= 1719,7 ВА.
Большое значение мощности искажения вполне коррелируется
с соответствующим значением и коэффициента искажения
Kn =
I (1)
I
=
2,48
2 Ч 7,36
» 0,238.
Основной причиной является резонанс напряжений на третьей
гармонике, вызвавший значительное увеличение тока этой гармоники.
Пример 3
В схеме (рис. 6.2) известны параметры цепи
R1 = 12 Ом; R2 = 14 Ом; wL = 8 Ом;
1
= 18 Ом.
wС
Определить показание вольтметра электродинамической системы, если известно, что
u = 50 + 80 Ч cos wt - 30 Ч sin(2wt + 60°) B.
155
Рис. 6.2. Расчетная схема
решение
Воспользуемся вновь методом наложения.
1. На первой гармонике U0 = 50 В.
В левой ветви ток I1 протекать не может, а ток правой ветви будет
определяться лишь значением сопротивления R2
I 2(0) =
U 0 50
=
= 3,57 A.
R2 14
На данной гармонике показание вольтметра, очевидно, составит
U1(0) = 50 B.
2. На основной гармонике
u = 80 Ч cos wt = 80 Ч sin(wt + 90°) = U M (1) = 80 e j 90° B;
Z 1(1) = R1 - j
1
= 12 - j18 = 22,2 Ч e -56,33° Ом;
wC
Z 2(1) = R2 + j wL = 14 + j 8 = 16,2 Ч e + j 29,66° Ом.
Тогда
U M (1)
U M (1)
I1(1) =
= 2,56 Ч e j146,33 A; I2(1) =
= 3,48 Ч e j 63,33 A.
2 Ч Z 1(1)
2 Ч Z 2(1)
UV (1) = I2(1) Ч R2 - I1(1) Ч R1 = 3,48 Ч e j 63,33 Ч14 - 2,56 Ч e j146,33 Ч12 =
= 34 + j 23,27 - 7,47 + j 29,79 = 26,53 + 6 j 53,06 = 59,32 Ч e j 70,48 В.
156
3. На второй гармонике
U = -30 Ч sin(2w t + 60°) = U M (3) = -30 Ч e j 60° B.
Z 1(2) = 12 - j 9 = 15 Ч e - j 36,66° Ом; Z 2(2) = 14 + j16 = 21 Ч e j 48,83° Ом.
I1(2) = -
30 Ч e j 60
2 Ч15 e - j 36,66
I2(1) = -
= -1,41 Ч e - j 96,66° = 1,41 Ч e j 83,34° A;
30 Ч e j 60°
2 Ч 59,32 Ч e j 48,83
= -1,01 Ч e j11,17° A.
UV (2) = I2(2) Ч R2 - I1(2) Ч R1 = -14,1 Ч e j11,17° - 16,9 Ч e j 83,34° =
= -13,88 - j 2,46 - 4,37 - j16,32 = -18,25 - j18,78 = 26,18 Ч e - j 50,9° B.
Окончательно имеем
2
U V = U V (0)
+ U V2(1) + U V2(2) = 50 2 + 59,322 + 26,182 = 81,87 B.
6.3. Расчет несинусоидальных величин
в трехфазных цепях
В симметричных трехфазных цепях кривые напряжения в фазах В и С воспроизводят форму напряжения в фазе А со сдвигом на
треть периода
ж Tц
ж Tц
uA (t ) = f (t ); uB (t ) = f з t - ч; uC (t ) = f з t + ч.
3
3ш
и
ш
и
Таким образом, для какой-то К-й гармоники можно записать,
если принять, например
uAK = UKM · sinKwt,
то
й
й
ж T цщ
ж T цщ
uDK = U KV Ч sin к K w з t - ч ъ и uCK = U KM Ч sin к K w з t + ч ъ ,
3 шы
3 шы
и
и
л
л
K wt ц
K wt ц
ж
ж
или uBK = U KM Ч sin з K wt и uCK = U KM Ч sin з K wt +
.
ч
3 ш
3 чш
и
и
157
Учитывая, что, wT = 2π можно заметить, что начальные фазы
гармоник будут зависеть от порядкового номера этих гармоник.
Так, например, если К = 1, то получим систему напряжений прямой
последовательности с нормальным чередованием фаз типа А–В–С.
Данное свойство сохранится для всех гармоник с кратностью
К = 3n + 1, где n – целое число. Поэтому все гармоники порядка 1; 4;
10; 13 и так далее в трехфазных цепях с несинусоидальными функциями будут образовывать системы прямой последовательности.
Гармоники вида К = 3n – 1 или К = 3n + 2 будут создавать систему обратной последовательности, и в их число войдут 2, 5, 8, 11 гармоники. И, наконец, если К = 3n, то гармоники будут образовывать
нулевую последовательность.
Именно гармоники нулевой последовательности создают наибольшую сложность при расчете токов и напряжений в трехфазных
цепях.
Более подробно о проблемах расчета трехфазных цепей при несинусоидальных формах напряжения или тока изложено в примерах.
Пример 4
Рис. 6.3. Расчетная схема
В трехфазной цепи (рис. 6.3) задано напряжение фазы А симметричного генератора
uA (t ) = 100 Ч 2 Ч sin(wt + 30°) + 60 2 Ч sin(3wt ) +
+30 2 Ч sin(5wt - 30°) B;
158
Z a(1) = 10 Ом; Z b(1) = 10 3 Ч e j 90° Ом; Z C (1) = 10 3 Ч e - j 90° Ом.
Необходимо определить мгновенные значения токов и напряжений, показания приборов электродинамической системы.
Решение
В основу расчета положены свойства реактивных элементов,
принцип наложения и особенности протекания токов в трехфазных
цепях в зависимости от схемы соединения приемников и генераторов. Так, например, в трехфазной цепи с нулевым проводом составляющие токов нулевой последовательности могут замыкаться через
нулевой провод, а при отсутствии нулевого провода протекание подобных токов исключено.
Воспользуемся символическим методом расчета.
1. Для первой (основной) гармоники напряжений
U A1 = 100 Ч e j 30° B; U B1 = 100 Ч e - j 90° B; U C1 = 100 Ч e + j150° B.
С учетом нулевых значений сопротивлений линейных проводов
и наличием нулевого провода можно записать
U
100 Ч e j 90°
= 10 Ч e j 30° A;
IA(1) = A1 =
Z a(1)
10 Ч e j 0
10 - j180°
10 + j 240°
A; IC 1 =
A;
Чe
Чe
IB1 =
3
3
IN (1) = IA1 + IB1 + IC1 = 10 Ч e j 30° + 5,78 Ч e - j180° + 5,78 Ч e + j 240° = 0.
U CA(1) = U C (1) - U A(1) = 100 Ч e j150° - 100 e j 30° = 173 Ч e j180° B.
Мгновенные значения этих величин
iA(1) = 10 2 Ч sin(wt + 30°) A, uCA(1) = 173 2 Ч sin(wt + 180°).
2. Для третьей гармоники имеем в символической форме
U A(3) = U B (3) = U C (3) = 60 Ч e j 0° B,
а Z b = 30 3 Ч e j 90° Ом; Z C =
10
3
Ч e - j 90° Ом.
159
Тогда
U A(3) 60 Ч e j 0°
=
= 6 Ч e j 0 A;
IA(3) =
Z a(3) 10 Ч e j 0
IB (3) =
60 Ч e j 0°
30 3 Ч e
j 90°
=
2
3
Ч e - j 90° = 1,156 Ч e - j 90° A;
60 Ч e j 0 Ч 3
= 6 3 Ч e j 90° = 10,38 Ч e j 90° A;
IC (3) =
10 Ч e - j 90°
IN (3) = IA(3) + IB (3) + IC (3) = 6 - j1,156 + j10,38 = 11 Ч e j 56,9° A;
U CA(3) = U C (3) - U A(3) = 0;
iA(3) = 6 Ч sin3wt A; iB (3) = 1,156 Ч sin (3wt - 90°) A.
3. Для пятой гармоники, входящей в группу составляющих обратной последовательности, можно записать
U A(5) = 30 Ч e - j 30 B; U B (3) = 30 Ч e + j 90° B; U C (3) = 30 Ч e - j150° B.
При этом
Z a(5) = 10 Ом; Z b(5) = 50 3 Ч e j 90° Ом; Z C (5) = 2 3 Ч e - j 90° Ом.
Тогда
- j 30
IB (5)
30 Ч e
IA(5) =
= 3 Ч e - j 30° A;
10 Ч e j 0
= 0,346 Ч e j 0° A; IC (5) = 8,67 Ч e - j 60° A.
IN (5) = IA(5) + IB (5) + I C (5) = 3 Ч e - j 30° + 0,346 Ч e j 0 + 8,67 Ч e - j 60° =
= 11,53 Ч e -51° A;
U CA(5) = U C (5) = U A(5) = 30 Ч e - j150° - 30 Ч e - j 30° = 51,9- j180° B;
iA(5) = 3 2 Ч sin (5wt - 30°) A;
iB (3) = 0,346 Ч 2 Ч sin (5wt ) A.
160
4. Окончательно для действующих значений можно записать
I A = I A2(1) + I A2(3) + I A2(5) = 10 2 + 62 + 32 = 12 A;
I B = I B2(1) + I B2(3) + I B2(5) = 5,782 + 1,1562 + 0,3462 = 5,9 A;
I C = I C2(1) + I C2(3) + I C2(5) = 5,782 + 10,382 + 8,672 = 14,7 A;
I N = I N2 (1) + I N2 (3) + I N2 (5) = 0 2 + 112 + 11,532 = 15,93 A;
2
2
2
2
U CA = U CA
(1) + U CA (5) = 173 + 51,9 = 180,6 B.
Мгновенные значения токов или напряжений для различных гармоник имеют вид iA = 10 2 Ч sin ( wt + 30°) + 6 2 Ч sin (5wt - 30°) и т. д.
Пример 5
Рис. 6.4. Расчетная схема
Обмотка симметричного трехфазного генератора соединена
в «звезду» (рис. 6.4). Определить показания приборов электромагнитной системы, если
uA( t ) = 100 Ч sin wt + 50 Ч sin (3wt + 15°) B.
решение
Вольтметр V1 позволяет измерить действующие значения любых гармоник, а вольтметр V2 с учетом известных свойств гармоник
161
напряжения с кратностью К = 3n будет измерять в этом случае только линейное напряжение первой или основной гармоники. Поэтому
2
UV 1
2
100
ж 100 ц ж 50 ц
= з
Ч 3 = 122,7 B.
ч +з
ч = 79 B; и U V 2 =
2
и 2 ш и 2ш
Пример 6
Рис. 6.5. Расчетная схема
Обмотка симметричного трехфазного генератора соединена
в треугольник (рис. 6.5). Определить показания приборов электродинамической системы, если сопротивление обмотки одной фазы
Z (1) = j 5 Ом, a uФ (t ) = 100 Ч sin wt + 150 Ч sin (3wt + 30°) B.
решение
Из теоретического курса известно, что при соединении генератора в «треугольник» создается замкнутый контур для протекания
токов гармоник с кратностью К = 3n. Из-за этого линейные напряжения генератора с подобным соединением не содержат гармоник
этой кратности. Поэтому можно записать
UV =
100
2
= 70,7 B; Z (3) = j15 = 15 Ч e j 90° Ом;
I=
162
3U (3)
3 Z (3)
=
3 Ч150
2 Ч 3 Ч15
= 7,07 A.
6.4. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1
Обмотки симметричного трехфазного генератора соединены
в разомкнутый «треугольник» в точке В. Определить показания приборов электромагнитной системы, если
uф (t ) = 100 Ч sin ( wt + 30°) + 70 Ч sin (3wt + 60°) B.
Задача 2
Расчетная цепь подключена к источнику
u(t ) = 121 Ч sin wt + 26,8 Ч sin3wt + 4,84 Ч sin5wt
Параметры приемников
R = 10 Ом; L = 40,5 мГн; C = 200 мкФ; f = 50 Гц.
Определить показания приборов электромагнитной системы
(действующие значения).
163
Задача 3
К приемнику приложено несинусоидальное напряжение вида
u(t ) = U 1M Ч sin wt + 0,4U 1M Ч sin3wt .
Известно, что ω = 314 с-1, а при U = 60 B, а I = 15 А показание
ваттметра составило 225 Вт.
Необходимо определить параметры R и L.
Задача 4
Определить показание вольтметра, включенного в разрыв симметричного трехфазного генератора, соединенного по схеме «треугольник», если в одной из фаз действует ЭДС вида
eФ = 100 + 300 Ч sin wt + 45 Ч sin3wt + 45 Ч sin3wt +
+36 Ч sin5wt + +20 Ч sin 7wt + 10 Ч sin 9wt .
Задача 5
Указать, какие гармоники напряжения могут иметь место на зажимах симметричного трехфазного приемника, соединенного по
схеме «треугольник», если источником энергии является симметричный генератор, также соединенный в «треугольник» и содержащий все возможные гармоники.
164
7. чеТырехПолЮсники
7.1. основные положения и соотношения
Четырехполюсник – это устройство, имеющее две пары зажимов, одна из которых служит для подключения к источнику,
а другая пара к приемнику. Четырехполюсники бывают активными (А), т. е. содержащими источники электрической энергии,
и пассивными (П), т. е. без источников энергии внутри четырехполюсника.
7.1. Расчетная схема
В дальнейшем изучению подлежат только пассивные четырехполюсники, которые бывают симметричными и несимметричными, линейными и нелинейными. Существует шесть форм записи уравнений четырехполюсника. Наиболее часто используется
А-форма
1
= A·
2
+ B · İ2; İ1 = C ·
2
+ D·
2;
A · D – B · C = 1.
В этих уравнениях A, B, C, D называются коэффициентами,
или постоянными четырехполюсника. Из соотношений видно, что
только три из четырех коэффициентов считаются независимыми.
Это свойство реализуется при расчете параметров эквивалентных
схем замещения, в которых применяются три элемента, включенных по Т-образной или П-образной схемам.
Четырехполюсники могут быть соединены каскадно, параллельно, последовательно (рис. 7.2).
165
а
б
в
Рис. 7.2. Способы соединения четырехполюсников:
а – каскадное; б – параллельное; в – последовательно
7.2. расчет параметров четырехполюсника
Пример 1
Четырехполюсник в А-форме имеет уравнения
U1 = U 2 + j100 Ч I2 ,
I1 = - j 0,02 ЧU 2 + 3I2 .
Необходимо определить:
1. Напряжение на входе 1, если нагрузкой является конденсатор
сопротивлением ZH = –j150 Ом, а ток İ2 = 0,2 А.
2. Найти ток холостого хода при U20 = –j100 В.
3. Найти напряжение U1K и ток короткого замыкания I1K, если
İ2K = 1 А.
решение
1. U 2 = I2 Z H = 0,2 Ч 500e - j 90 = - j100 B,
U1 = U 2 + j100 Ч I2 = - j100 + j100 Ч 0,2 = - j 80 B.
2. İ10 = –j0,02 · (–j100) = –2 А.
3.
1K
= j100 · 1,0 = j100 В, İ1K = İ2K = 3 А.
Пример 2
Четырехполюсник имеет вид, представленный на рис 7.3. Определить коэффициенты A, B, C, D.
166
Рис. 7.3. Расчетная схема
решение
Известны уравнения А – формы
1
= A·
İ1 = C ·
2
2
+ B · İ2;
+ D·
2
.
Уравнения в режиме холостого хода принимают вид
1 = A · 20 и İ1 = C · 20.
Тогда A =
U1
I
=1 и C = 1 = 0 .
U 20
U 20
Уравнения в режиме короткого замыкания
I
U
U1K = D Ч I2 K ; I1K = D Ч I2 K или D = 10 = 1; B = 1K = R.
I 2K
I 2K
Этот четырехполюсник относится к группе симметричных, т. к.
A = D.
Пример 3
Уравнения четырехполюсника А – формы имеют вид
U1 = (1 - j 0,5)U 2 + 500 Ч I2 ,
I1 = - j 0,001 ЧU 2 + I2 .
Необходимо вычислить входное сопротивление цепи в режиме
холостого хода и короткого замыкания.
решение
В режиме холостого хода İ2 = 0 и уравнения примут вид
U10 = (1 - j 0,5)U 2 , I10 = - j 0,001 ЧU 2 ,
Z 10 =
U10 1 - j 0,5
=
= j1000 + 500.
I10 - j 0,001
167
В режиме короткого замыкания U2 = 0, и уравнения примут вид
U
U1K = 500 I2 K , I1K = I2 K , Z 1K = 1K = 500 Ом.
I1K
7.3. Круговая диаграмма
нагруженного четырехполюсника
Если на входе пассивного четырехполюсника поместить приемник электрической энергии Z 2 = Z 2 Ч e j j2 , который обладает следующими свойствами: Z2 = 0 ÷ ∞, а j2 = const, то для таких четырехполюсников можно использовать графический метод расчета
основных параметров, который получил название « метод круговых
диаграмм». Для построения круговой диаграммы необходимо задать или расчетным (опытным) путем определить следующие параметры:
1 – напряжение источника питания на входе,
İ10, İ1К – ток холостого хода и короткого замыкания на входе,
20 – напряжение холостого хода на входе,
Z 2 K = Z 2 K Ч e j j2 K – комплекс сопротивления четырехполюсника
в режиме обратного короткого замыкания,
Z 2 = Z 2 Ч e j j2 – переменное сопротивление приемника,
Z
K = 2 – переменный параметр цепи,
Z 2K
ψ = φ2 – φ2K – постоянный угол сдвига.
Пример и последовательность построения круговой диаграммы
представлены на рис. 7.4.
1. Отложим на комплексной плоскости в удобных масштабах
значения 1, İ10, İ1К.
2. Соединив концы векторов İ10 и İ1К прямой, обозначим концы
хорды АВ.
3. Определяют положение центра дуги окружности «0». Для этого
строят один перпендикуляр к середине хорды АВ и второй перпендикуляр к касательной, проведенной под углом y к продолжению
хорды АВ.
4. Из центра «0» проводят дугу окружности радиусом R = АВ = 0В.
168
5. На хорде выделяют произвольный отрезок АL и через точку L
под углом – ψ проводят линию переменного параметра К. На этой
линии определяют отрезок LN = К · АL, где К – один из расчетных
параметров соотношения Z2 и Z2K.
6. Соединяют точки А и N прямой и на пересечении ее с дугой
окружности определяют положение конца расчетного вектора İ1.
Параметр İ1 вычисляют с помощью линейки и транспортира.
Задаваясь другими значениями Z2, следовательно другими параметрами К, можно определить ток İ1 по величине, так и по фазе.
Из теории круговой диаграммы известно, что по круговой диаграмме можно вычислить многие другие параметры. Не вдаваясь
в доказательство, ограничимся только результатами
U 2 = mU 2 Ч BC; mU 2 =
U 20
;
AB
I 2 = mI 2 Ч AC; mI 2 =
I 2K
;
AB
P = mS Ч MP ;
Q = mS Ч PC;
S = mS Ч MC; mS =
S
.
MC
Рис. 7.4. Круговая диаграмма четырехполюсника
Примечание. Для определения масштаба мощностей достаточно
для одного из режимов определить полную мощность и длину отрезка МС.
169
8. Цепи с распределенными
параметрами
8.1. Основные положения и соотношения
В линиях электропередач с относительно невысоким уровнем
напряжения (33 кВ и ниже) при частоте 50 Гц, как правило, учитывают активное (омическое) и индуктивное сопротивления. В подобных устройствах можно с достаточной степенью точности пренебречь емкостью между проводами и токами смещения, а также
проводимостью изоляции и токами утечки.
С ростом рабочего уровня напряжения (> 35 кВ) или при высоких частотах (последнее характерно для линии связи), а также
с увеличением протяженности этих линий пренебречь токами
смещения и токами утечки и через гирлянды изоляторов недопустимо. Следовательно, ток в проводах неодинаков в разных сечениях линии. Кроме того, протекающий в проводах ток будет
создавать в индуктивных элементах линии ЭДС самоиндукции,
поэтому напряжения между проводами на разных участках будут
различаться. Таким образом, напряжение и ток в каждой линии
будут отличаться от напряжения и тока в любой другой точке
линии.
Все перечисленное требует перехода к представлению линии
электропередач в виде цепи с распределенными параметрами или
длинной линии, у которой сколь угодно малый элемент линии будет
обладать всеми четырьмя свойствами, а именно, активным сопротивлением и индуктивностью, а между проводами – проводимостью
и емкостью. Длинная линия, обладающая одинаковыми свойствами
во всех элементах, получила название однородной. Это условие является неоднородной идеализацией, так как в реальных условиях
токи утечки через гирлянды изоляторов наблюдаются в сосредоточенных точках.
Пример схемы замещения однородной длинной линии приведен
на рис. 8.1.
170
Рис. 8.1. Общая схема замещения длинной линии
На схеме указаны:
R0 – удельное продольное активное сопротивление линии, т. е.
сопротивление проводов на единицу длины, Ом/м;
L0 – удельная продольная индуктивность линии, Гн/м;
G0 – удельная поперечная активная проводимость линии, т. е. проводимость для учета утечки через изоляцию линии на единицу длины, См/м;
С0 – удельная поперечная емкость линии, Ф/м.
Все перечисленные величины составляют первичные параметры
длинной линии.
Для однородной линии справедливы волновые уравнения вида
di
м du
п- dt = R0 Ч i + L0 dt
п
н
du
п di
по- dx = G0 ЧU + C0 dt .
(8.1)
(8.2)
Уравнения имеют множество решений в зависимости от режима
работы линии (установившийся или переходный процессы), граничных условий, т. е. решения относительно начала или конца линий, рода источника питания и других условий. Примеры решения
волновых уравнений приведены в соответствующих разделах пособия. Некоторые положения теории длинных линий используются
при изучении волновых процессов в обмотках трансформатора.
При анализе установившихся режимов работы длинных линий
за основу принимают линии электропередач переменного тока
с синусоидальным характером его изменения. Это позволяет применить символический метод расчета и исключить одну из переменных (время), т. е. использовать в качестве основного параметра
171
координату конкретной точки линии. При таком подходе уравнения (8.1) и (8.2) примут следующий вид:
м dU
= ( R0 + j w L0 ) Ч I = Z 0 Ч I;
(8.3)
пп dx
н
п dI
(8.4)
= (G0 + j w C0 ) ЧU = U 0 ЧU ,
по dx
где Z0 = R0 + jwL0 – удельное комплексное продольное сопротивление линии;
Y0 = G0 + jwC0 – удельная комплексная поперечная проводимость
линии.
Решение уравнений относительно напряжения и тока имеют вид
U ( x ) = A1 Ч e - jx + A2 Ч e - jx ;
(8.5)
A Ч e - jx A2 Ч e - jx
,
I( x ) = 1
Zc
Zc
(8.6)
где А1 и А2 – комплексные постоянные интегрирования, имеющие
размерность напряжения;
g = Z 0 U 0 = a + jb – комплексный коэффициент распространения, включающий в себя коэффициент затухания (a) и коэффициент фазы (b);
Z0
ZC =
– комплекс волнового сопротивления длинной лиU0
нии, определяющий отношение напряжения к току в любой точке
линии.
Параметры g и ZC являются вторичными параметрами длинной
линии.
Кроме перечисленных параметров при анализе режимов работы
длинной линии учитывают фазную скорость движения волны
V =
w l
= = lЧ f,
b T
(8.7)
где w – циклическая частота переменного тока;
l – длина волны или расстояние между двумя точками линии, на
котором укладывается полная волна,
1
Т=
– период синусоидальной функции.
f
172
Принято считать волну, движущуюся от начала линии, прямой,
а движущуюся от конца линии – обратной.
Уравнения (8.5) и (8.6) могут быть решены при известных значениях напряжения и тока в начале линии, т. е. при x = 0, а также при
известных параметрах 2 и İ2 в конце линии, т. е. при x = l.
Примеры решения уравнений приведены ниже. Если заданы 1
и İ1 в начале линии, то уравнения (8.5) и 8.6) примут вид
1
1
U ( x ) = U1 + I1 Z c Ч e - gx + U1 + I1 Z c Ч e + gx ;
2
2
(8.8)
ц
ц
1 ж U
1 ж U
I( x ) = з 1 + I1 ч Ч e - gx - з 1 - I1 ч Ч e + gx .
2и Z c
2
Z
ш
и c
ш
(8.9)
(
)
(
)
Эти же уравнения в гиперболических функциях
мU ( x ) = U1 Ч chgx - I1 Ч Z c Ч shgx и
(8.10)
пп
н
U
(8.11)
п I( x ) = I1 Ч chgx - 1 Ч shgx.
Zc
по
Если в качестве исходных граничных условий принять напряжение и ток в конце линии ( 2 и İ2), то целесообразно ввести новую
координату y = l – x, т. е. отсчет вести от конца линии. Тогда в гиперболических функциях можно записать уравнения
мU ( y) = U 2 Ч chgy + I2 Ч Z c Ч shgy и
(8.12)
пп
н
U
п I( y) = I2 Ч chgy - 2 Ч shgy.
(8.13)
Zc
по
Входное сопротивление линии рассчитывают по формуле
Z вх =
U1 ( y = l ) U 2 Ч chgl + I2 Ч Z c Ч chgl
.
=
I1 ( y = l )
U 2

I 2 Ч chgl +
Ч chgl
Zc
(8.14)
Теоретические сведения о других свойствах длинных линий,
в том числе о линиях без искажения, линиях без потерь и случаях
согласования нагрузки приведены в соответствующих разделах пособия.
173
8.2. Расчет установившихся режимов работы
длинной линии
Пример 1
Кабель длиною l = 80 км имеет следующие первичные параметры:
R0 = 11,4
Ом
Гм
; L0 = 0,6 Ч10 - 3
;
км
км
С0 = 38 Ч10 - 9
Ф
Cм
; G0 = 0,8 Ч10 - 6
.
км
км
Определить волновое сопротивление линии, коэффициент распространения и его составляющие, а также фазовую скорость движения волны и время ее прохождения для двух частот: 1) f1 = 300 Гц;
2) f2 = 2400 Гц.
Решение
1. Расчет при частоте f1 = 300 Гц.
Z 0 = R0 + j w L0 =
= 11,4 + j 2p Ч 300 Ч 0,6 Ч10 - 311,4 + j1,13 = 11,5e j 5,66°
(
Ом
;
км
)
Y0 = G0 + j wC0 = 10 - 6 0,8 + j 2p Ч 300 Ч 38 Ч10 - 3 =
= 10 - 6 ( 0,8 + j 71,6) = 71,6 Ч10 - 6 e j 89,33
См
.
км
Волновое сопротивление и коэффициент распространения
в этом случае составят
Zc =
Z0
U0
= 400 Ч e - j 41,83° Ом
и g = Z 0 Ч U 0 = 28,8 Ч10 -3 Ч e j 47,5° = 15,5 Ч10 - 3 + j 21,3 Ч10 -3.
При этом коэффициент затухания a = 19,5 Ч10 -3
циент фазы b = 21,3 · 10–3 рад/км.
174
1
, а коэффикм
Тогда имеем
V =
t=
км
w 6,28 Ч 300
=
= 88,5 Ч103
– фазовая скорость;
с
b 21,3 Ч103
l
80
=
» 0,9 Ч10 - 3 c – время прохождения волны.
V 88,5 Ч103
2. Расчет при частоте f2 = 2400 Гц.
Здесь используют тот же алгоритм, поэтому приведены лишь результаты. Запишем их условно со знаком (ʹ).
Z ў0 = 14,5 Ч e j 38,5
Ом
См
; Y0ў = 572 Ч10 - 6 Ч e j 90°
;
км
км
(
Z ў0 = 159 Ч e - j 25,66 Ом; g ў = aў + jbў = 39,4 Ч10 -3 - j 82 Ч10 -3
V ў = 183,8 Ч103
)
1
;
км
км
; t ў = 0,435 Ч10 -3 c.
с
Пример 2
Линия длиной l = 100 км на частоте f = 104 Гц характеризуется вторичными параметрам Zc = 548e–j1,66° и g = a + jb = (4,7 · 10–3 +
+ j0,219) 1/км. Возможные варианты расчета:
а) линия работает в режиме холостого хода: u2 = 10 · sin104t, B.
б) линия работает в режиме короткого замыкания: i2 = 10 · sin104t, A.
Для каждого из режимов необходимо найти напряжение и ток
в начале линии, а также входное сопротивление линии.
Расчет проводим для каждого варианта отдельно.
Решение
Вариант А. В режиме холостого хода i2 = 0, поэтому уравнения
(8.11) и (8.12) применительно к началу линии y = l примут вид
U
U1 = U 2 Ч chgl и I1 = 2 Ч shgl .
Zc
Наибольшую сложность в подобных расчетах представляет вычисление гиперболических функций комплексного переменного.
Известно, что эти функции вычисляются по формулам
175
ch( x + jy) = chx Ч cos y + jshx Ч sin y;
sh( x + jy) = shx Ч cos y + jchg Ч sin y,
где х – вещественная часть; y – модуль мнимой части.
В данном примере
chgl = ch(4,7 Ч10 -3 + j 0,219) Ч100 = ch ( 0,47 + j 21,0 );
shgl = sh(0,47 + j 21,9),
где x = 0,47
100 км;
1
учитывает степень затухания на участке линии
км
рад
рад
= ( 6p + 3,05)
определяет фазовый сдвиг по накм
км
пряжению и току на этом участке линии.
Числовые значения гиперболических функций
y = 21,9
ch0,47 = 1,112; sh0,47 = 0,487;
cos (3,05) = -0,996; sin (3,05) = 0,0915.
ch ( 0,47 + j 21,9) = 1,108 Ч e j177,66° ; sh ( 0,47 + j 21,9) = 0,495 Ч10 j168,16°.
Если принять 2M = U2M e j0 = 10 · e j0, то в символической форме
получим значения напряжения и тока в начале линии
U1M
11,08 e j177,66°
I1M
9,1 e j169,33
(
)
11,08 sin 10 4 t 177,66 В;
(
)
9,1 sin 10 4 t 166,33 мА.
Входное сопротивление линии в режиме холостого хода составит
Z вх =
U1M
U 2 M chgl
Z
=
= C = 1217 Ч e j 8,33° Ом.


I1M U 2 M Ч Z C Ч shgl tg gl
Вариант Б. При коротком замыкании линии U2 = 0, поэтому
уравнения применительно к началу линии примут вид
U1 = I2 Ч Z C Ч shgl и I1 = I2 Ч chgl .
176
Используя уже известные формулы результаты расчета для гиперболических функций и приняв İ2M = 10 · 10–3e j0° A, получим
U1M
10 10 - 3 548 e - j1,16 0,495 e j168
2,74 e j169,38° B
(
)
2,74 sin 10 4 t 167,33 ;
I1M
10 10 -3 1,108 e j177,66 11,08 e j177,66 мА
(
)
11,08 sin 10 4 t 177,66 , мА;
Z вх =
U1M
= 247,3 Ч e - j10,33 Ом.
I1M
Пример 3
Линия с параметрами предыдущей задачи l = 100 км; f = 104 Гц;
1
Zc = 548e–j1,66° Ом; g = 4,7 Ч10 -3 + j 0,219
нагружена на сопрокм
тивление Z2 = 500 · e–j10°. Напряжение в конце линии составило
u2 = 10 2 Ч sin10 4 t . Необходимо найти значения напряжения и тока
в начале линии, а также значения прямой и обратной волн напряжения в начале линии, распространяющихся по линии.
(
)
Решение
В этом случае после перехода к символической форме записи
j0
2 = 10 · e удобно использовать уравнения (8.12) и (8.13), приняв
U
10 Ч e j 0
во внимание, что I2 = 2 =
= 0,02 Ч e - j10° A.
Z 2 500 Ч e j10°
Значения гиперболических функций уже известны из расчета
предыдущей задачи, поэтому здесь достаточно лишь привести расчетные формулы и результаты расчета
U1 = U 2 Ч chgl + I2 Ч Z C Ч shgl ,
U
I1 = I2 Ч chgl + 2 Ч shgl ,
Zc
где chgl = 1,108 Ч e j177,66° ; shgl = 0,495 Ч10 j168,16°.
177
В итоге получим
U1 16,6 e j 2,5 16,6 2 sin(10 4 t
I1
0,031 e j 4,83
2,5 ) B;
0,031 2 sin(10 4 t
4,83 ) A.
Напряжения прямой и обратной волн в начале линии
1 jy
U 1 I1 Z c U1пр e пр 16,8 e j 3,25
2
16,8 2 sin 10 4 t 3,25 B;
(
U1пр
)
(
1 U1
2
(
U1обр
I1 Z c
)
)
jy
U1обр e обр
(
0,6 2 sin 10 4 t 132,16
0,6 e - j132,16
) B.
Из теории известно, что для расчета падающих и отраженных
волн в любой другой точке линии х необходимо и достаточно:
1) ввести множитель е–ac для учета затухания амплитуды;
2) вместо координаты t ввести параметр t -
x
.
V
Пример 4
Рассмотрим один из примеров расчета линий с согласованием
нагрузки.
Волновое сопротивление линии Zc = 600 Ом. Коэффициент расж 1 ц
пространения g = 12 Ч10 -3 + j 8 Ч10 -3 , з
ч длина линии – 40 км, лии км ш
ния нагружена на сопротивление Z2 = Zc. Определить напряжение
в начале линии, чтобы ток в приемнике был I2 = 0,15 А.
Решение
Пусть İ2 = 0,15 · e j0° А, тогда 2 = İ2 · Zc = 90 · e j0° В.
Напряжение в начале линии составит: (y = l) =
3
e al = e12Ч10
Тогда
178
1
=
2
Ч40
= e 0,481,616, а e jbl = e j 8Ч10
· 1,616 · e j5,5 B.
-3
Ч40
2
· e ax · e jbl, где
= e j 0,096 e j 5,5° .
Пример 5
Дано: параметры кабельной линии:
R0 = 20
Ом
Гн
Ф
Cм
; L0 = 10 -3
; С0 = 20 Ч10 -9
; G0 = 10 -6
.
км
км
км
км
Необходимо определить:
1) величину дополнительной индуктивности Lдоп, которую нужно подключить на каждый километр линии, чтобы линия стала линией без искажения;
2) во сколько раз изменится фазовая скорость и коэффициент
затухания после включения дополнительной индуктивности при
рад
частоте w = 5000
.
c
Решение
1. Для получения неискажающих свойств необходимо выполнить условие (2.14). Тогда необходимая индуктивность (суммарная)
единичного участка длинной линии составит
L=
R0 Ч C0 20 Ч 20 Ч10 -9
=
= 0,4 Гн.
G0
10 -6
Таким образом, дополнительная индуктивность Lдоп = L – L0 =
= 399 мГн ≈ 0,4 Гн.
2. Определим коэффициент распространения до и после подключения дополнительной индуктивности
g = Z 0 Ч U0 =
( 20 + j 5)(1 + j100) Ч10 -6
= 45,4 Ч10 -3 e j 52° =
= 27,95 Ч10 -3 + j 35,77 Ч10 -3 = a + jb.
1
рад
, а b = 35,77 Ч10 -3
.
км
км
После подключения дополнительной индуктивности
Таким образом, a = 27,95 Ч10 -3
a = R0 Ч G0 = 20 Ч10 -6 = 4,48 Ч10 -3
1
.
км
В результате подключения дополнительной индуктивности коэффициент затухания уменьшился в 6,24 раза.
179
При расчете фазовых скоростей используются известные формулы. До подключения дополнительной индуктивности скорость
была равна
V =
a
5000
км
.
=
= 139,8 Ч103
-3
с
b 35,77 Ч10
После подключения дополнительной индуктивности эта скорость составила
V =
1
L0 Ч C0
=
1
0,4 Ч 20 Ч10
-9
= 11,18 Ч103
км
.
с
Таким образом, фазовая скорость уменьшилась примерно
в 19,4 раза, что объясняется с физических позиций включением
в цепь значительной дополнительной индуктивности.
Пример 6
Линия без потерь длиной l = 35 м имеет волновое сопротивление
505 Ом. Длина волны l = 50 м. Определить:
1) входное сопротивление линии в режиме короткого замыкания;
2) входное сопротивление линии в режиме короткого замыкания, если длина уменьшится до 23 м. Найти: при какой длине линии
ее сопротивление равно нулю и бесконечности.
Решение
1. Для режима короткого замыкания линии расчетные формулы
(2.18) и (2.19) примут вид
U ( y) = jI2 Ч Z c Ч sin by и I( y) = I2 Ч cos by.
Тогда для начала линии, где y = l, получим
Z вх ( y = l ) = jZ c Ч tg by = jZ c Ч tg
2pl
,
l
или в цифрах
Z вх ( y = 35 м ) = j 505 Ч tg2p Ч
35
= j 505 Ч tg1,4p =
50
= j 505 Ч tg252° = j1554 Ом.
Характер этого сопротивления чисто индуктивный.
180
2. При новой длине линии l = 23 м получим
Z вх ( y = 23 м) = j 505 Ч tg6,28 Ч
23
= - j129,8 Ом.
50
Это сопротивление имеет чисто емкостной характер. Сопро2pl
=0.
тивление линии будет равно нулю в тех токах линии, где tg
l
Отсюда
2pl
l
= pn или l = n .
2
l
Задаваясь значениям n = 0, 1, 2, 3, …, получим, что для данной
линии расчетными длинами окажутся l = 25, 50, 75… м.
Сопротивления линии будут равны бесконечности, если
2pl
tg
= Ґ , отсюда
l
2pl p
2n + 1
= (2n + 1) или l =
l.
l
2
4
Таким образом, расчетными длинами линий можно считать l =
= 12,5; 37,5; 62,5 и далее с чередованием через 25 м.
8.3. Задача для самостоятельного решения
Задача 1
Линия без потерь, нагруженная на индуктивность L = 5 мкГн
имеет параметры L0 = 2 мкГн/м, С0 = 0,8 · 10–9 Ф/м, рабочая частота
f = 107 Гц.
Необходимо:
1) определить вторичные параметры длинной линии,
2) доказать наличие в линии стоячих волн напряжения и тока;
3) определить расстояние от конца линии до первых узлов напряжения и тока.
181
9. Нелинейные цепи
9.1. Основные положения и соотношения
Нелинейные цепи, или цепи, содержащие элементы с нелинейными вольт-амперными характеристиками, представляют собой
большую группу устройств различного назначения. В эту группу
входят магнитные цепи при постоянных токах, нелинейные цепи
переменного тока, нелинейные цепи с источниками ЭДС и тока
одинаковой и различной частот.
Все нелинейные элементы можно условно разбить на ряд групп
в зависимости от их характеристик и свойств:
1. Симметричные и несимметричные нелинейные элементы.
В симметричных нелинейных элементах вольт-амперные характеристики не зависят от направления тока или напряжения на их
зажимах. К числу таких элементов относятся, например, электрические лампы накаливания, термисторы, варисторы и т. п. В качестве
примеров несимметричных нелинейных элементов можно перечислить полупроводниковые диоды, триоды и т. п.
2. Инерционные и безинерционные нелинейные элементы.
Безинерционные нелинейные элементы характеризуются мгновенной реакцией на изменение любого из параметров и к ним можно отнести полупроводниковые диоды, варисторы и т. п. В то же
время в работе магнитных усилителей мощности может наблюдаться временной сдвиг между подачей рабочего сигнала и реакцией на
него, так как процесс перемагничивания сердечника всегда связан
с определенными временными затратами.
Сложность нелинейных цепей, их разнообразие, нестабильность параметров предполагают ограничение возможности использования известных методов расчета. Разработанные в настоящее время методы расчета можно условно разделить на три
группы.
1. Графические методы расчета
При применении этих методов вольт-амперные характеристики нелинейных элементов должны быть известны и заданы
в виде графиков (таблиц). Весь расчет предполагает применение
182
в графическом варианте известных законов Кирхгофа с учетом реального соединения нелинейных элементов.
2. Графоаналитические методы расчета
При использовании этих методов часть задачи решают графическим путем, как и в первом случае, а какая-то часть может быть решена в аналитической форме с использованием известных методов
расчета. Как правило, вольт-амперные характеристики нелинейных
элементов заданы в графической форме.
3. Аналитические методы расчета
При использовании методов расчета этого направления вольтамперные характеристики нелинейных элементов должны быть
заданы в аналитической форме, например, путем аппроксимации
характеристики, т. е. подбора аналитического выражения, которое с достаточной степенью точности описывает опытную кривую.
В дальнейшем расчет проводят также в аналитической форме, поэтому полученные решения позволяют оценить влияние различных
факторов на результаты расчета. Применение этих методов расчета
ограничено по разным причинам. На практике возможно применение методов расчета из различных групп.
9.2. Нелинейные цепи постоянного тока
Нелинейные цепи постоянного тока характеризуются наличием одного или нескольких резисторов с нелинейными свойствами.
Методика расчета таких цепей зависит от конфигурации цепи и от
исходных условий. Если вольт-амперные характеристики заданы
в виде графиков и таблиц, то возможно применение графических
и графоаналитических методов. Для расчета статических параметров используют формулы вида (рис. 9.1)
RстA
UA
IA
tg ,
где UA и IA – известные значения напряжения и тока в расчетной
точке А;
tga – тангенс угла наклона секущей, проведенной из начала координат к расчетной точке А.
183
Рис. 9.1. Характеристики нелинейного элемента
При анализе переходных процессов часто используются дифференциальные или динамические параметры
RдифА
du
di
tg ,
A
du
– значение производной в расчетной точке А,
di A
tgb – тангенс угла наклона касательной в точке А.
Статические и дифференциальные параметры в соседних точках
изменяют свои значения, что существенно усложняет расчет подобных цепей, рис. 9.1. Применение графической и аналитической
аппроксимации приводит в некоторых случаях к упрощению решения, однако может повлиять на заданную точность расчета. Все перечисленное подтверждает правило, по которому каждая задача по
нелинейным цепям постоянного тока оригинальна т. е. практически
не имеет аналогов.
Рассмотрим задачи с различными методами на качественном
уровне.
Последовательное соединение двух нелинейных элементов
и вольт-амперные характеристики показано на рис. 9.2. При решении следует использовать графический метод.
Если известно входное напряжение U, то графическое решение задачи будет сводиться к замене нелинейных элементов одним
где
184
эквивалентным и построению эквивалентной вольт-амперной характеристики (НЭ).
а
б
Рис. 9.2. Последовательное соединение нелинейных элементов:
а – расчетная схема; б – вольт-амперная характеристика
При построении характеристики принято во внимание последовательное соединение элементов, поэтому сложение характеристик
выполнялось при известном значении тока. Дальнейший ход решения показан на рис. 9.2, б.
Графический метод можно применить не только при последовательном соединении двух или нескольких нелинейных элементов,
но и при параллельном соединении, в том числе, в сочетании с линейными элементами цепи.
Если элементы цепи имеют смешанный характер соединения, то
и в этом случае возможен вариант графического решения. Студентам рекомендуется рассмотреть самостоятельно один из перечисленных случаев.
Рассмотрим качественный пример графоаналитического метода
расчета нелинейной цепи постоянного тока.
Расчетная схема и вольт-амперная характеристика нелинейного
элемента приведены на рис. 9.3, для которого необходимо определить ток и напряжение. А – любая активная линейная часть электрической цепи.
Основная задача – определение тока и напряжения только в нелинейном элементе, поэтому метод эквивалентного генератора
имеет предпочтение перед другими известными методами. Разомкнем ветвь с нелинейным элементом, тогда оставшаяся часть цепи
(А) окажется линейной и разность потенциалов на разомкнутой
185
а
б
Рис. 9.3. Графо-аналитический метод расчета:
а – расчетная схема; б – вольт-амперные характеристики
ветви, или ЭДС эквивалентного генератора, может быть определена
любым рациональным методом. Аналогично после исключения источников энергии можно определить эквивалентное внутреннее сопротивление генератора. В результате расчетная схема цепи примет
вид (рис. 9.4).
Рис. 9.4. Расчетная схема
На этом аналитическая часть расчета заканчивается и можно
перейти к графической части с использованием графиков, рис
9.3, а. Вольт-амперная характеристика линейного элемента цепи
(RЭ) может быть построена по одной задаваемой точке, так как
представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Дальнейшее решение показано на графиках рис. 9.3, б.
Рассмотрим качественный пример аналитического расчета нелинейной цепи постоянного тока. Расчетная схема приведена на
рис. 9.5.
186
Рис. 9.5. Расчетная схема
В качестве исходных параметров заданы входное напряжение U,
сопротивление R0, вольт-амперные характеристики нелинейных
элементов в аналитической форме I1 = a ЧU 122 - b ЧU 12 ; I 2 = с ЧU 122 , где
a, b, c – коэффициенты, полученные в результате аппроксимации.
Необходимо определить напряжение U12 и все токи (I0, I1, I2). При
решении использованы законы Кирхгофа
I0 = I1 + I2 и U = I0 · R0 + U12.
В результате совместного решения имеем
U = ( I1 + I 2 ) Ч R0 + U 12 = (a ЧU 122 - b ЧU 12 ) Ч R0 + c ЧU 122 + U 12 .
Считая U12 неизвестной величиной, получим квадратное уравнение следующего вида:
U 122 ( a Ч R0 + c ) + U 12 (1 - b Ч R0 ) - U = 0.
Определяем значение U12, а затем искомые токи I0, I1, I2.
Пример 1
Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента приведена на рис. 9.6. Необходимо определить статическое и динамическое
сопротивление в точке А.
решение
RстА =
RдифА =
du
di
UA
50
=
» 8330 Ом,
I A 6 Ч10 -3
»
A
Du
Di
=
A
18
» 4500 Ом.
4 Ч10 -3
187
Рис. 9.6. Характеристика нелинейного элемента
При расчете дифференциального сопротивления часто выполнен переход от производных к приращениям, поэтому погрешность
будет определяться выбранным диапазоном Du и Di.
Пример 2
Вольт-амперные характеристики двух нелинейных элементов,
соединенных параллельно, приведены на рис. 9.7. Необходимо
определить значения статических сопротивлений элементов и эквивалентной цепи при U = 30 В.
а
б
Рис. 9.7. Нелинейная цепь:
а – вольт-амперные характеристики; б – расчетная схема
188
решение
Здесь возможны два варианта расчета. По первому варианту вычисляют непосредственно статические параметры сопротивления
в расчетной точке, например
Rст1 =
Тогда Rст экв =
30
30
» 86 Ом, Rст 2 =
» 200 Ом.
0,35
0,15
Rст1 Ч Rст2 86 Ч 200
=
» 60 Ом.
Rст1 + Rст2
286
По второму варианту можно построить эквивалентную характеристику и вычислить последовательно Rст экв, а затем Rст1 и Rст2, используя свойства характеристик.
Пример 3
Вольт-амперная характеристика одного нелинейного элемента
приведена на рис. 9.8. Известно, что E = 12 В, R = 12 Ом. Определить мощность потерь в резисторе R.
а
б
Рис. 9.8. Нелинейный элемент:
а – вольт-амперная характеристика; б – расчетная схема
решение
И в этом случае возможны два варианта. По первому варианту предлагается получить эквивалентную вольт-амперную характеристику (R имеет характеристику; 2) и по заданному входному
189
напряжению вычислить ток всей цепи (проделать самостоятельно),
тогда мощность потерь в резисторе составит P = I 2 · R.
Второй вариант выгоден более компактным решением: из метода эквивалентного генератора следует, что ток короткого замыкаE
ния равен I K = = 1 A , тогда, проведя прямую линию через точки
R
E = 12 В и IK = 1 A в точке пересечения, получим IK = 0,6 A , U1 = 5 B.
Из второго закона Кирхгофа получим U2 = 7 B.
Итого P = I 2 · R = P = U2 · I = 7 · 0,6 = 4,2 Вт.
9.3. нелинейные цепи
с постоянными намагничивающими силами
При расчете нелинейных цепей с постоянными намагничивающими силами принимают ряд допущений:
1. Принято считать, что весь магнитный поток Ф0 замыкается
только по сердечнику, т. е. пренебрегают потоками рассеивания ФS,
который частично замыкается по воздуху (рис. 9.9).
Рис. 9.9. Расчетная схема
Применительно к рисунку можно записать, что Ф0 = const,
а ФS = 0. Это допущение для разветвленных цепей позволяет приn
менить первый закон Кирхгофа е i =1 Фi = 0 .
190
2. Принято считать, что силовые линии магнитного потока Ф0
равномерно распределены в поперечном сечении сердечника. Допущение возможно, так как на низких частотах, близких к нулю,
практически отсутствует эффект вытеснения магнитных силовых
линий с поверхности магнитопровода. Принятие такого допущения
позволяет использовать в расчетах среднюю длину силовой линии.
3. Принято считать, что на границе раздела двух магнитных сред
силовые линии вектора магнитной индукции не испытывают искривления. Допущение позволяет принять равными магнитные индукции в сердечнике и в воздушном зазоре.
Расчет неразветвленных магнитных цепей проводят, как правило, с использованием второго закона Кирхгофа для магнитных контуров
n
еI
i =1
где
n
еI
i =1
n
i =1
ЧU i = е H i Ч li ,
i =1
ЧWi – алгебраическая сумма намагничивающих сил контура,
i
еH
n
i
i
Ч li – алгебраическая сумма магнитных напряжений на эле-
ментах контура.
Если принять направление обхода магнитного контура на рис. 9.9
по часовой стрелке, то будет справедливо уравнение
Iw = H1l1 + H 2 l2 + H 3l3 + H 4 l4 + H d d,
где H1, H2, H3, Hd – напряженности магнитного поля на соответствующих участках цепи l1, l2, l3, l4, d.
Примечание. Направление намагничивающей силы определяется по правилу правой руки, в соответствии с которым направление
намотки проводника должно совпадать с током и вытянутыми пальцами. Тогда отогнутый большой палец укажет направление намагничивающей силы.
При расчете магнитных цепей с относительно простой конфигурацией возможно применение закона Ома
Ф=
F
Rмагн
=
F Чm Чm 0 Ч S
,
R
где Ф – значение магнитного потока;
191
F – намагничивающая сила катушки (Iw);
Rмагн – магнитное сопротивление;
µ0 = 4π · 10–12 – магнитная постоянная;
S – поперечное сечение;
l – длина магнитной цепи.
В зависимости от исходных условий решение задач возможно
в аналитической и графической формах. Рассмотрим ряд примеров.
Пример 4
В кольцевом сердечнике с сечением S = 6 см2 магнитная индукция равна 1 Тл, а магнитное напряжение в сердечнике и в воздушном зазоре составили соответственно 360 А и 500 А.
Определить значения намагничивающей силы катушки, магнитный поток и магнитное сопротивление цепи.
Рис. 9.10. Расчетная схема
решение
F = е H i li = 360 + 500 = 860 A,
Ф = B Ч S = 1 Ч 6 Ч10 -4 = 6 Ч10 -4 Вт,
Rмагн =
Пример 5
F
860
=
= 143 Ч10 4 Гн -1 .
Ф 6 Ч10 -4
В магнитопроводе (рис. 9.10) величина магнитной индукции на
третьем участке B3 = 1,0 Тл, а воздушный 0,628 мм.
Определить значение магнитного напряжения в зазоре.
192
решение
Так как в соответствии с допущением магнитная индукция в сердечнике и смежном зазоре считается неизменной, то можно записать
Ud = Hd · d, где H d =
тогда
Ud =
B
,
m0
B Ч d 1,0 Ч 0,628 Ч10 -2
=
= 500 A.
m0
4p Ч10 -7
Пример 6
В магнитопроводе магнитная индукция на четвертом участке
B4 = 1,0 Тл, длины участков соответственно l1 = l3 = 0,6 м, l2 = l4 = 0,6 м,
а сечение S = 10 см2 на всех участках магнитной цепи.
Определить значения магнитного потока, намагничивающей
силы и магнитного сопротивления цепи, если µ = 1000.
Рис. 9.11. Расчетная схема
решение
Ф = B4 · S = 1,0 · 10 · 10–4 = 10–3 Вб,
Rмагн =
l
2,0 Ч10 -4
=
= 1,59 Ч106 Гн -1 ,
mm 0 S 4p Ч10 -7 Ч1000 Ч10
F = Ф · Rмагн = 1590 А.
193
Пример 7
Дано: Ф = 2мВб, w = 200, I = 0,8 А. Найти индуктивность катушки.
Рис. 9.12. Расчетная схема
решение
L=
y Фw 2 Ч10 -3 Ч 200
=
=
= 0,5 Гн.
I
I
0,8
При расчете разветвленных магнитных цепей возникают задачи
двух типов:
1. Прямая задача. Заданы геометрические размеры сердечника,
намагничивающая сила обмотки, кривая намагничивания B = f (H).
Необходимо определить значения магнитных потоков в ветвях,
магнитную индукцию и напряженность магнитного поля на каждом
участке магнитной цепи.
2. Обратная задача. Заданы геометрические размеры сердечника,
кривая намагничивания и, например, значение магнитного потока.
Необходимо определить значения намагничивающих сил.
Прямая задача, как правило, является более сложной и требует
применения графоаналитичесих методов расчета. Ниже приведен
пример расчета прямой задачи в общем виде.
Схема разветвленной магнитной цепи и эскиз сердечника трехстержневого магнитопровода представлены на рис. 9.13.
Характеристика намагничивания стали задана в виде таблицы
и приведена в числе других исходных данных. При расчете магнитной цепи принимают во внимание отсутствие потоков рассеяния,
равномерность распределения магнитного поля в сердечнике и т. п.
Расчет магнитной цепи следует начинать с уточнения геометрических параметров сердечника. Для этого намечают среднюю магнитную силовую линию (рис. 9.13, а) и определяют длину, сечение ярма
194
и стержней магнитопровода. Например, при принятых обозначениях можно записать
l1 = l + c; l2 = L + c – d; l3 = l + c.
a a ц
a a ц
ж
ж
l3ў = 2 Ч з b + 1 + 2 ч; l3ў = 2 Ч з b + 2 + 3 ч;
2 2ш
2 2ш
и
и
s1 = a1 Ч d ; s1ў = c Ч d ; s3 = a3 Ч d ; s3ў = c Ч d ; s2 = a2 Ч d ;
где l1, l2, l3 – высоты соответствующих стержней,
l1ў, l2ў – длины ярем (горизонтальных участков магнитопровода),
s1, s2, s3 – поперечное сечение соответствующих стержней,
s1ў, s3ў – поперечное сечение ярма соответствующих участков.
a
б
Рис. 9.13. Расчетная схема:
а – разветвленная магнитная цепь; б – эскиз сердечника
Следует заметить, что практически l1 = l2 = l3 = l + c, так как обычно воздушный зазор имеет малое значение.
После уточнения размеров сердечника составляют уравнения
по закону Ома для каждой магнитной ветви. Для этого необходимо
задать положительные направления магнитных потоков, намагничивающих сил I1 · w1 и I2 · w2; можно записать для каждой магнитной
ветви
U маб = I1 Ч w1 - H1 Ч l1 - H1ў Ч l1ў;
U маб = Н 2 Ч l2 + H d Ч d;
U маб = H 3 Ч l3 + H 3ў Ч l3ў - I 3 Ч w3 ,
195
где H1 и H1ў – соответственно напряженность магнитного поля
в стержне и ярме первой ветви;
H2 и Hd – соответственно напряженность магнитного поля
в стержне и воздушном зазоре второй магнитной ветви,
H3 и H 3ў – соответственно напряженность магнитного поля
в стержне и ярме третьей магнитной ветви.
Для других схем магнитных цепей уравнения составляются аналогично.
По первому закону Кирхгофа для узла «а» можно записать уравнение
Ф1 = Ф2 + Ф3.
В связи с нелинейностью магнитных характеристик решение
уравнений в данной работе выполняется графически. Для этого необходимо задать 10-12 значений магнитного потока, а затем рассчитать магнитную индукцию в отдельных участках магнитопровода по
формулам
В1 =
Ф1
Ф
; В1ў = 1 и т. д.
s1
s1
Максимальное значение магнитного потока можно определить
по данным поперечного сечения сердечника магнитной цепи и максимальной индукции применяемой стали. Так, например, если
Вmax = 1,75 Тл; s1 = s1ў = 40 Ч10 -4 м 2 ,
то
Ф1 max = 7,3 Ч10 -3 Вб = 7,3 мВб.
Следовательно, задавая значения Ф1 в интервале (0…7,3) 10–3 Вб,
можно получить значения магнитной индукции, а по кривой намагничивания – и напряженности магнитного поля. Результаты расчета рекомендуется внести в таблицу.
По данным таблиц вебер-амперных характеристик графики приведены на рис. 9.14.
При отсутствии воздушного зазора в стержне вебер-амперная характеристика в ином масштабе повторяет форму кривой намагничивания B = f (H) и имеет смещение, вызванное намагничивающей
силой катушки I · w в стержне. При наличии воздушного зазора вебер-амперная характеристика приобретает практически линейный
вид, что показано на примере графика Ф2 = f (Uмаб).
196
Рис. 9.14. Вебер-амперные характеристики
Графическое решение уравнения предусматривает сложение
кривых Ф2 и Ф3, что показано на рис. 9.14. Очевидно, точка пересечения результирующей кривой с графиком Ф1 = f (Uмаб) дает возможность вычислить искомые величины Ф1, Ф2, Ф3, в том числе,
определить значение магнитного напряжения Uмаб.
По данным графического решения необходимо сделать проверку уравнений. При этом допустимая погрешность расчета не должна превышать 20 %, что принято обычно для графических методов
расчета.
При расчете нелинейных магнитных цепей возникают некоторые сложности. Так, в ряде случаев, при заданных числовых данных кривые Ф1 и Ф2 + Ф3 могут не пересекаться, т. е. графическое
решение исключено. Одним из вариантов решения проблемы
можно считать расширение диапазона магнитной индукции для
одной из ветвей до значения 1,8 Тл. Как правило, при этом наблюдается резкое увеличение напряженности магнитного поля и одна
из кривых может получить продолжение до пересечения с другими
кривыми.
197
9.4. Нелинейные цепи переменного тока
9.4.1. Катушка с ферромагнитным сердечником
Данный элемент является наиболее часто встречаемым в практике нелинейных параметров. Расчетная схема и схема замещения
катушки приведена на рис. 9.15.
a
б
Рис. 9.15. Катушка с ферромагнитным сердечником:
а – расчетная схема; б – эквивалентная схема замещения
Величина Rм учитывает активное (омическое) сопротивление обмотки, параметр Ls учитывает влияние магнитного потока рассеяния Фs, активная проводимость G0 представляет собой фиктивную
величину, связанную с потерями в сердечнике на гистерезис и вихревые токи, а параметр В0 обусловлен особенностями протекания
основного магнитного потока Ф0 по сердечнику, обладающему нелинейными свойствами. Ток Iµ получил название «намагничивающий ток», а ток IА – «активный фиктивный ток».
В основу расчета нелинейной катушки с ферромагнитным сердечником положен метод эквивалентных синусоид, применение которого позволяет считать протекающие токи синусоидальными по
форме (в действительности это не так), а петля гистерезиса сердечника заменяется на эквивалентный по площади эллипс.
При расчете катушки с ферромагнитным сердечником применяются следующие расчетные формулы:
U = I Ч Rм + I Ч j wLS + U 0 – основное уравнение;
U0 = 4,44 · Bм · S · f · W – основное напряжение на катушке;
Pм = I 2 · Rм – составляющие потерь в обмотке;
Pст – потери в сердечнике катушки (потери в стали).
198
Полная векторная диаграмма катушки с ферромагнитным сердечником приведена на рис 9.16, где ϕ – угол сдвига фаз; a – угол
магнитных потерь.
Пример 8
Обмотка катушки со стальным сердечником (марка стали известна) имеет W = 150 витков, сечение 44 · 10–4 м2. Толщина листа в сердечнике a = 0,5 мм. Длина средней индукционной линии l = 80 см.
Магнитопровод имеет 4 стыка.
Рис. 9.16. Векторная диаграмма
Необходимо определить величину тока в катушке при подаче на
нее синусоидального напряжения U = 220 В (f = 50 Гц).
Примечание. Каждый стык при расчете следует приравнять воздушному зазору толщиной 0,005 см. Активным сопротивлением катушки Rм и потоком рассеяния пренебречь.
решение
Основное уравнение катушки в этом случае принимает вид:
U = U 0 = - E 0 ,
где U0 = 44,4 · f · W · S · Bм.
U
220
=
= 1,5 Тл – ам4,44 ЧW Ч f Ч S 4,44 Ч150 Ч 50 Ч 44 Ч10 -4
плитуда магнитной индукции.
Тогда Вм =
199
Из закона полного тока имеем
I mм ЧW = H м ст Ч lст + H мв Ч lв ,
где I mм – намагничивающий ток (амплитудное значение),
lв = 4 · 0,0005 = 0,02 см = 2 · 10–4 м – эквивалентная длина воздушного зазора;
А
H в = 0,8 Ч10 +6 Ч Вм = 1,2 Ч106
– напряженность магнитного поля
М
в зазоре;
А
Н м ст = 1500
– справочная величина (при Bм = 1,5 Тл).
М
В результате расчета получим
I mм =
Im =
I mм
2
1500 Ч 0,8 + 20010 -6 Ч1,2 Ч106
= 9,6 А.
150
= 6,8 А – действующее значение тока.
Пример 9
При подаче на катушку синусоидального напряжения U = 200 В
ток I = 5 А, Р = 300 Вт. Активное сопротивление обмотки Rм = 6 Ом,
число витков W = 600. Амплитуда магнитного потока Фом = 12·10–4 Вб.
Считая Ф и I синусоидальными, определить параметры схемы замещения и построить векторную диаграмму (f = 50 Гц).
Решение
Из известных ранее формул вычислим основные параметры.
U 0 = E 0 = 4,44 Ч f ЧW Ч Фом = 4,44 Ч 50 Ч 600 Ч12 Ч10 -4 = 160 В – основное напряжение;
Р м = I 2 Ч Rм = 52 Ч 6 = 150 Вт – потери в обмотке;
Рст = Р - Р м = 300 - 150 = 150 Вт – потери в стали;
Р
150
I A = ст =
= 0,938 А – фиктивный ток или активная составU 0 160
ляющая тока;
I m = I 2 - I A2 = 4,91 А – намагничивающий ток катушки;
200
G0 =
В0 =
I A 0,938
=
= 5,86 Ч10 -3 – активная проводимость;
160
U0
Im
U0
cos j =
=
4,91
= 3,07 Ч10 -2 См – реактивная проводимость;
160
P
300
=
= 0,3 , (j = 72,5°).
U Ч I 200 Ч 5
Для определения индуктивности рассеяния запишем основное
уравнение катушки в символической форме, приняв следующие условия:
 = Ф Ч е j 0 , I = 5e j10,7 A, U = 200 e j 83,2 B, U = 160 e j 90° B,
Ф
ом
ом
0
Xs =
U - U 0 - I Ч Rм
= 6,7 Ом.
jI
Пример эквивалентной схемы замещения катушки приведен на
рис. 9.15, а векторная диаграмма на рис. 9.16.
Пример 10
При включении катушки со стальным сердечником на постоянное напряжение U = 2,1 В ток в ней равен I = 1,4 A. При включении
катушки на переменное напряжение U = 100 В ток I = 4 А, а мощность Р = 60 Вт. Определить ЭДС, наводимую основным магнитным
потоком, индуктивное сопротивление рассеяния, если активная составляющая тока – 10 % тока катушки.
Решение
Из первого опыта (на постоянном токе) определяем активное
(омическое) сопротивление обмотки Rм= 1,5 Ом.
Для разделения потерь вычислим потери в обмотке
Р м = I 2 Ч Rм = 24 Вт.
Потери в стали
Рст = Р - Рм = 60 - 24 = 36 Вт.
201
Основные углы
cos j =
P
= 0,15 или j = 81,3°,
U ЧI
sin a =
IA
= 0,1 или a = 5,7°.
I
Основное напряжение
U0 =
Pст 3,6
=
= 90 B ( I A = 0,1 A, I = 0,4 A ) .
I A 0,4
Основное уравнение
U = I Ч Rм + I Ч jX s + U 0 ,
где принято
I = I Ч e j 0 , U = 100 Ч e j 81,3 B, U 0 = 90 Ч e j 84,3 B
Xs =
U - I Ч Rм - U 0
= 2,3 Ом.
jI
Пример построения векторной диаграммы показан на рис. 9.16.
Следует отметить, что в некоторых случаях, например при расчете Xs в лабораторных условиях, можно воспользоваться графическим приемом определения Xs. Для этого достаточно знать угол
магнитных потерь a, модуль напряжения U0 и составляющую напряжения İ · Rм. Пример графического расчета пояснен на рис. 9.17.
Рис. 9.17. Векторная диаграмма
202
 и I
На комплексной плоскости откладывают векторы Ф
0
(со сдвигом на угол a). Затем в определенном масштабе напряжений строят векторы U 0 и I Ч Rм . Если из конца вектора İ · Rм провести перпендикуляр до пересечения с дугой окружности, численно
равной входному напряжению, то полученный отрезок в этом же
масштабе напряжений будет равен напряжению на индуктивности
рассеяния US = I · XS, значит
XS =
US
.
I
9.4.2. Трансформатор с ферромагнитным сердечником
Трансформатор с ферромагнитным сердечником отличается от
катушки наличием как минимум еще одной обмотки, получившей
название вторичной, в которую энергия передается с помощью магнитного поля из первичной цепи.
Принципиальная схема двухобмоточного однофазного трансформатора приведена на рис. 9.18.
При подключении к зажимам вторичной обмотки нагрузки в виде
сопротивления Zn возникающие токи i1 и i2 имеют несинусоидальную форму, поэтому здесь применяется метод эквивалентных синусоид. В дальнейшем протекающие токи считают синусоидальными
по форме, что позволяет применить символический метод расчета.
Рис. 9.18. Расчетная схема
В реальном трансформаторе число витков первичной и вторичной обмоток различно, что существенно усложняет расчет,
поэтому на практике переходят к условному, или приведенному
трансформатору, для которого W1 = W2ў . В этом случае становится
203
возможным применять при расчете эквивалентную схему замещения (рис. 9.19), в которой все параметры вторичной обмотки приведены к первичной обмотке с соблюдением ряда требований.
Рис. 9.19. Схема замещения приведенного трансформатора
Для такого трансформатора будут справедливы следующие уравнения:
мU1 = I1 Ч R1м + I1 Ч j w L1s + j w ЧW1 Ч Ф0
п
п
ў + I2ў Ч j wL2ўs + U нў .
н- j ww1 Ч Ф0 = I2ў Ч R2м
п
 

оп I1 + I 2ў = I 0
(1)
(2)
(3)
Векторная диаграмма для приведенного трансформатора при активно-индуктивной нагрузке приведена на рис. 9.20.
Рис. 9.20. Векторная диаграмма приведенного трансформатора
204
Пример 11
Расчет приведенного трансформатора.
Для определения параметров схемы замещения однофазного
приведенного трансформатора проведены опыты холостого хода
и короткого замыкания. Результаты опытов:
1. Холостой ход: U1 = U10 = 120 B; I10 = 0,05 A; Р10 = 2 Вт; U20 = 12 В.
2. Короткое замыкание: U1к = 20 B; I1к = 0,5 A; Р1к = 5 Вт.
Необходимо выполнить расчет трансформатора при напряжении U1 = 120 В и нагрузке на вторичных зажимах (активное сопротивление) Rн = 10 Ом. Определить значение магнитной индукции
в сердечнике, сечение S = 10 cм 2. Число витков первичной обмотки
W1 = 500.
Решение
При проведении опыта холостого хода и расчете параметров
можно пренебречь значениями R1м и L1s первичной обмотки, поэтому схема замещения имеет только G0 и В0 (см. рис. 9.19), которые
определяются из известных формул
P10 = U 10 Ч I10 = U 102 Ч G0 , I10 = U 10 ЧY0 , B0 = Y02 - G02 ;
тогда G0 =
Y0 =
P10
2
=
= 1,38 Ч10 -4 См;
2
2
U 10 120
I10 0,05
=
= 4,16 Ч10 -4 См;
U 10 120
B0 =
(4,16
2
)
- 1,382 Ч10 -8 = 3,92 Ч10 -4 См;
I А = U 10 Ч G0 = 120 Ч1,38 Ч10 -4 = 0,016 A;
I m = I102 - I A2 = 0,047 A;
KТ =
w1 U 1 120
=
=
= 10.
w2 U 2 12
При проведении короткого замыкания пренебрегают параметрами цепи намагничивания вследствие малого значения тока холостого
хода при пониженном напряжении. Поэтому в расчетную цепь в данном опыте входят элементы схемы замещения R1М , L1S , R2ўМ , L2ўS .
205
По данным опыта короткого замыкания имеем
Z 1К =
U 1K 20
=
= 40 Ом – модуль сопротивления,
I1K 0,5
cos jK =
P1K
5
=
= 0,5 (jK = 60).
U 1K Ч I1K 20 Ч 0,5
Тогда
Z 1K = Z 1K Ч e j j1K = 40 Ч e j 60° = ( 20 + j 34,6 ) Ом.
R1М = R2ўМ = 10 Ом, X 1S = X 2ўS = 17,3 Ом.
Режим нагрузки рассчитывается при Rн = 10 Ом, значит после
приведения
Rнў = Rн Ч К 2 = 10 Ч10 2 = 1000 Ом.
Расчетная схема в этом режиме приведена на рис. 9.21,
Рис. 9.21. Расчетная схема
где Z 0 =
1
ў + jX 2ўS , Z нў = Rнў = 1000 Ом.
, Z 1 = R1М + j Ч X 1S , Z 2ў = R2М
Y0
В результате расчета получим
Z экв = Z 1 +
= 10 + j17,3 +
Z 0 ( Z 2ў + RНў )
=
Z 0 + Z 2ў + RНў
2400e j 70,6 (10 + j17,3 + 1000)
= 900 e j 45° ,
2400 e j 70,6 + 10 + j17,3 + 1000
U
120e j 0
= 0,14e - j 45 A,
I1 = 1 =
Z экв 900e j 45
206
I2ў = - I1
Z0
= 0,107e j178° A,
Z 0 + Z 2ў + RНў
U Н = I2ў Ч RНў = 107e j178° В.
Тогда
U ў
= 10,7e j178° В; I2 = I2ў Ч K Т = 1,07e j178° A.
UН =
KТ
Магнитная индукция в сердечнике определяется из известной
формулы
U1 = U10 = E10 = 4,44 Ч w1 Ч f Ч B1M Ч S .
B1М =
U1
120
=
» 1,1 Тл.
4,44 Ч w1 Ч S Ч f 4,44 Ч 50 Ч 500 Ч10 Ч10 -4
9.5. Задача для самостоятельного решения
При разделении потерь в сердечнике трансформатора были измерены величины для двух режимов.
1. U1 = 120 B, f1 = 60 Гц, Pст1 = 150 Вт.
2. U2 = 80 B, f2 = 40 Гц, Pст2 = 80 Вт.
Пренебрегая активным (омическим) сопротивлением обмоток
и потоками рассеяния, определить потери на вихревые токи и потери на гистерезис в каждом режиме.
207
10. вТоричные
исТочники элекТроПиТАния
10.1. основные положения и соотношения
Источники электропитания можно разделить на две группы.
В первую группу входят первичные источники, в которых электрическую энергию получают в основном за счет происходящих реакций: аккумуляторы, батареи питания и т. д.
Во вторую группу входят устройства, входные параметры которых зависят от способа преобразования сигнала: выпрямители, инверторы, преобразователи частоты и напряжения.
В этой части рассматриваются только выпрямительные устройства, в которых переменный сигнал синусоидальной формы преобразуется в постоянное напряжение с помощью элементов, обладающих
односторонней проводимостью (или электрических выпрямителей).
Структурная схема выпрямительного устройства приведена на
рис. 10.1.
Рис. 10.1. Блочно-структурная схема выпрямительного устройства
Трансформатор (Т) служит для подачи на выпрямитель переменного напряжения определенной величины, при которой к нагрузке приложено постоянное напряжение требуемого значения.
Выпрямитель (В) может состоять из одного или нескольких вентилей. Фильтр (Ф) предназначен для уменьшения пульсаций выпрямительного напряжения, а стабилизатор (Ст) поддерживает напряжение на нагрузочном резисторе неизменным при изменениях
переменного напряжения и сопротивления нагрузки. В качестве нагрузки в работе использован резистор RН.
Фильтр и стабилизатор применяются только в случаях, когда это
необходимо.
208
10.2. расчет неуправляемого
одноимпульсного выпрямителя
Однопульсовая схема выпрямления (рис. 10.2), простейшая из
всех возможных, содержит один диод VD, обладающий односторонней проводимостью.
Рис. 10.2. Расчетная схема
Если считать его идеальным, т. е. Uпр = 0, iобр = 0, то в первую
часть периода кривые напряжения и тока на нагрузке будут повторять по форме приложенное напряжение U2 (в идеале UH = U2 в эту
часть периода), если в качестве приемника используется резистор
RH. (другие случаи будут рассмотрены позже). Волновая диаграмма
одноимпульсного выпрямителя представлена на рис. 10.3. Такая
схема в литературе может называться однополупериодной или однотактной, одноимпульсовой.
Итак, пусть u2(1) = U2Msinwt,
тогда iH =
u2 (1)
U
, а его амплитуда составит I M = 2M .
RH
RH
Кривая этого тока, как и кривая выпрямоленного напряжения,
после разложения в ряд Фурье имеет вид
i(t ) =
IM IM
2I
+
sin wt - M cos2wt - ....
2
3p
p
Следовательно, такая кривая будет содержать и переменные соIM
ставляющие разных частот, и постоянную составляющую
.
p
209
Рис. 10.3. Волновые диаграммы одноимпульсного выпрямителя
Средние значения выпрямленного напряжения Ud и выпрямленного тока Id составят
p
Ud =
210
p
1
1
жwц U
U 2 M sin wt Ч dt = тU 2 M sin wt Ч d з ч t = 2 M » 0,318U 2 M .
т
2p 0
2p 0
p
иwш
Или по отношению к действующему значению напряжения U2M
Ud =
2U 2
» 0,45 ЧU 2 ; U 2 » 2,22 ЧU d .
p
По отношению к току также можно записать
Id =
IM
» 0,318 Ч I M .
p
Действующее значение тока вторичной обмотки I2 составит
I2 =
1
T
T 2
т
0
i(t ) Ч dt =
1
T
T 2
тI
2
M
Ч sin 2 wt Ч dt =
0
I M pI d
=
= 1,57 I d .
2
2
К недостаткам одноимпульсовых схем следует отнести:
1. Высокую степень пульсации выпрямленного напряжения
и тока. Коэффициент пульсации р для данной схемы составит
p=
DU П U 2 max - U 2 min U 2 M U 2 M Ч p p
=
=
=
= = 1,57.
2U d
2U d
2U d U 2 M Ч 2 2
(В некоторых источниках коэффициенты пульсации определяют
по отношению амплитуды первой гармоники к среднему выпрямленному значению).
2. Недостаточное использование обмоток трансформатора, например мощность вторичной обмотки
S2 = U 2 I 2 = 2,22U d Ч1,57 Ч I d » 3,48 Ч Pd .
Значит, необходимая расчетная мощность вторичной обмотки
должна превышать мощность на выходе выпрямителя более чем
в 3 раза.
3. Подмагничивание сердечника трансформатора из-за наличия
постоянной составляющей тока.
Обратное напряжение на диоде будет определяться амплитудой
вторичного напряжения трансформатора
U обр = U M = 3,14 ЧU d .
Вариант однопульовой схемы с фильтром приведен на рис. 10.4.
211
Рис. 10.4. Расчетная схема
Подключение на вход выпрямителя конденсатора фильтра Cф
существенно изменяет параметры выпрямленного напряжения
и тока. Примеры диаграммы напряжения в этом случае приведены
на рис. 10.4. Чем больше емкость, тем больше постоянная времени
разряда этой емкости на резистор в период возможной паузы. Теоретически при Cф → ∞ напряжение может быть достаточно стабильным, что приведет к снижению пульсации до нуля.
Если в качестве приемника использовать индуктивность или
последовательно с приемником включить индуктивность, то ток
в приемнике будет поддерживаться более длительное время, чем
0,5Т за счет накопленной энергии в магнитном поле, значит, можно
добиться аналогичного эффекта (подобно конденсатору).
Если вместо неуправляемого диода поместить, например тиристор, то кривая выпрямленного напряжения (и тока) будет определяться в том числе моментом открытия тиристора.
Примечание. Однопульсовые схемы выпрямления в современных условиях могут использоваться только при малых мощностях
из-за недостатков, перечисленных выше.
212
Пример 1
Пусть на выходе выпрямителя, работающего на резистор Ud = 12 В,
Id = 10 A. (Pd = 100 Вт). Первичное напряжение 220 В, f = 50 Гц.
Необходимо найти параметры диода и трансформатора.
Решение
1. Вторичное напряжение трансформатора U2
U2 =
pU d
2
» 2,2U d = 2,22 Ч12 = 26,64 B.
2. Ток вторичной обмотки трансформатора
I 2 » 1,57 I d = 1,57 Ч10 = 15,7 A.
3. Типовая мощность вторичной обмотки
S2 = U 2 I 2 = 26,64 Ч15,7 = 418,2 B Ч A.
4. Расчетный коэффициент трансформации
KT =
U1
220
=
= 8,26.
U 2 26,64
5. Расчетный ток первичной обмотки
I1 =
I 2 15,7
=
» 1,9 A.
K T 8,26
6. Обратное напряжение на диоде Uобр ≈ 3,14Ud = 3.14 · 12 = 27,7 B.
Выбор должен быть с запасом K3 ≈ 2, Uдоп = 75 B.
Выбираем, например, выпрямительный диод КД-2016, у которого
U обр = 100 B, I пр = 10 A, U пр = 1 B, fmax < 1,1 кГц, I обр = 3 мA.
10.3. Расчет неуправляемого
двухпульсового выпрямителя
Двухпульсовые схемы выпрямления имеют целый ряд преимуществ перед однопульсовыми и широко применяются на подвижном составе. Различают двухпульсовую однотактную схему выпрямления со средней точкой или двухпульсовую однотактную
и двухпульсовую мостовую схему, или двухпульсовую двухтактную.
213
Рассмотрим работу двухпульсовой однотактной схемы (рис. 10.5.)
при работе на активную нагрузку RН. Нетрудно заметить, что фактически схема состоит из двух одноимпульсовых схем с поочередной
работой каждой их них.
Рис. 10.5. Двухпульсовая однотактная схема
Важную роль играет выбор одноименных зажимов вторичных
обмоток таким образом, чтобы относительно средней точки напряжения обмоток находились в противофазе (см. рис. 10.6). Тогда в первую половину периода, если U 2ў > 0 в прямом направлении
оказывается диод VD1, а во вторую половину периода, если U 2ў > 0
открывается диод VD2.
В этом случае на нагрузке можно получить две пульсации за период, что существенно снижает не только коэффициент пульсации,
но и улучшает использование трансформатора, в частности, в сердечнике нет подмагничивания постоянным магнитным потоком.
При разложении кривой тока или напряжения в ряд Фурье получим
4
ж2 4
ц
U H (t ) = U M Ч з - cos2wt cos4wt + .... ч.
3
15
p
p
p
и
ш
Постоянная составляющая напряжения (или тока), т. е. среднее
значение выпрямленного напряжения определяется по формулам
Ud =
Id =
214
2U M
2 2U 2
= 0,64U M =
» 0,9U 2 .
p
p
2I M
Ю ( I d » 0,9 I 2 ) или U 2 » 1,11U d .
p
Рис. 10.6. Волновые диаграммы
Коэффициент пульсации составит
p=
4U M Ч p 2U M
=
» 0,667.
3p Ч 2U M
3
Среднее значение тока одного диода (плеча)
Ia =
Id
.
2
215
Обратное напряжение плеча (максимальное обратное напряжение на диоде)
U обр = 2U 2M = 2 2U 2
pU d
2 2
= pU d .
Эффективные значения токов первичных и вторичных обмоток
I2 =
p
pI
I
1
I M2 Ч sin 2 wt Ч dt = M = d » 0,785I d .
2p т0
2
4
2
2
p 2
ж pI ц ж pI ц
I1 = I 2ў2 + I 2ўў2 = з d ч + з d ч =
I d » 1,11I d .
4
и 4 ш и 4 ш
S2 = U 2 I 2 =
2pU d pI d
Ч
= 1,73U d I d = 1,73Pd – расчетная мощность
2 2 4
диода.
S1 = U1I1 ≈ 1,23Pd – расчетная мощность первичной обмотки.
Расчетная или типовая мощность преобразовательного трансS + S2
» 1,48Pd .
форматора составит ST = 1
2
Коэффициент использования трансформатора будет равен
Kp =
Pd
1
=
» 0,68.
ST 1,48
Двухпульсовая мостовая схема (или двухпульсовая двухтактная)
приведена на рис. 10.7 и представляет собой комбинацию из катодной группы диодовVD1 и VD3 анадной группы (VD2 и VD4).
Рис. 10.7. Двухпульсовая мостовая схема
216
Такие диоды работают попарно, например, при положительной
полярности на выводах трансформатора в проводящем направлении оказывается диод VD1. Ток проходит через резистор нагрузки
RH и диод VD2, на катоде которого оказывается минимальное отрицательное напряжение.
Путь протекания этого тока показан на рис. 10.7. Во вторую часть
периода в работе оказываются диоды VD3 и VD4, а в обмотке трансформатора Тр. – в том же направлении. В результате обмотка трансформатора используется более эффективно при двух пульсациях за
период.
Основные расчетные параметры приведены ниже: среднее зна2U
2 2U 2
» 0,9U 2 – сочение выпрямленного напряжения U d = M =
p
p
впадает или U2 = 1,11Ud.
Среднее значение тока диода I a =
Id
.
2
Обратное напряжение на одном диоде Uобр = 1,57Ud, так как два
диода соединены последовательно.
Эффективные токи обмоток трансформатора
I2 =
IM 2
2
=
tI d
2 2
= 1,11I d .
Тогда расчетная мощность обмоток составит
S2 = S1 = U 2 I 2 = 1,11U d Ч1,11I d = 1,23Pd .
Расчетная типовая мощность трансформатора
ST =
S1 + S2
= 1,23Pd .
2
Коэффициент использования трансформатора по мощности
Kp =
Pd
» 0,815.
1,23Pd
Пример 2
Пусть на выходе выпрямителя, работающего на резистор
Ud = 12 В, Id =10 A. (Pd = 100 Вт). Первичное напряжение 220 В,
f = 50 Гц.
217
Решение
1. Вторичное напряжение U2 = 1,1Ud = 1,11 · 12 = 13,32 B.
2. Вторичный ток I2 = 1,1Id = 1,11 · 12 = 13,32 A.
3. Типовая мощность S1 = S2 = U2I2 = 1,23Pd = 1,23 ·120 = 147,6 B · A
4. Средний ток диода I a =
Id
= 5 A.
2
5. Обратное напряжение на диоде Uобр = 1,5Ud = 1,5 · 12 = 18 В.
С двойным запасом Ud ≈ 36 – 36 В.
Выбираем КД-202Ф (как пример). В реальности много типов
U обр = 35 B, I пр = 5 A, U пр = 0,9 B, I обр = 1 мА, fmax = 1,2 Гц.
В этой схеме необходимы 4 диода типа КД-202А.
10.4. Трехфазные схемы выпрямления
Трехфазные схемы выпрямления бывают 3, 6, 12, 24 пульсовыми
(и т. д.).
Простейшая трехфазная схема с нейтральной (нулевой) точкой
приведена на рис. 10.8. Данная схема относится к числу трехимпульсовых схем. Нетрудно заметить, что в этом случае в проводящем направлении оказывается диод, имеющий более высокий потенциал
относительно двух зажимов. Он проводит ток в течение одной трети
периода. Затем процесс аналогичный будет происходить во втором
диоде, в третьем диоде. Не вдаваясь в подробности расчета, запишем основные параметры выпрямительной группы
1
Ud =
2p
p
3
3
т
2U ф cos wt Ч dt » 1,11U ф ,
p
3
где Uф – действующее значение напряжения одной фазы вторичной
обмотки.
U обр = 2U ф 3 » 2,09U ф – обратное напряжение на диоде фазы
и т. д.
218
Эта схема имеет один существенный недостаток: так как токи
в каждой вторичной обмотке направление не меняют, то во взаимно
связанных стержнях трехфазного трансформатора должна возникать постоянная составляющая магнитного потока, т. е. происходит
намагничивание.
Для исключения насыщения магнитной системы необходимо
увеличивать сечение стержней магнитопровода, поэтому данную
схему применяют в относительно маломощных устройствах (до 10–
20 кВт).
Рис. 10.8. Трехпульсовая схема выпрямления
Наибольшее распространение имеет трехфазная мостовая схема,
в которой данный недостаток исключен, фактически это сочетание
двух трехимпульсовых схем, что позволяет уменьшить коэффициент пульсации и эффективно использовать обмотку трансформатора. Пример протекания токов в какой-то момент показан на
рис. 1.8, из которого видно, что в работе всегда оказываются две
обмотки трансформатора и два диода разных катодных и анодных
групп.
Многоимпульсовые выпрямители (12, 24…) можно получить
путем сочетания двух 6-импульсовых, получающих питание от
первичного напряжения, соединенных по схеме «звезда и треугольник».
219
Рис. 10.9. Трехфазная мостовая схема
220
Библиографический список
1. Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники / К. С. Демирчян. – 5 изд. − Т. 1. – СПб. : ООО «Питер Пресс», 2009. –
512 с.
2. Ермуратский П. В. Основы электротехники и электроники /
П. В. Ермуратский. – М. : ДМК пресс, 2011. – 514 с.
3. Борисов Ю. М. Электротехника / Ю. М. Борисов. – СПб. : БХВПетербург, 2012. – 587 с.
4. Кононенко В. В. Электротехника и электроника / В. В. Кононенко. – Ростов-н/Д : Феникс, 2010. – 778 с.
5. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники / Л. А. Бессонов. – М. : Гардарики, 2007. – 702 с.
6. Касаткин А. С. Электротехника / А. С. Касаткин, М. В. Немцов. – М. : Академия, 2012 . – 540 с.
221
Учебное издание
Сухогузов Александр Петрович
Падерина Ирина Борисовна
ТеореТические
ич
основы
элекТроТехники
Практикум для студентов специальности
23.05.05 «Системы обеспечения движения поездов»
по дисциплине «Теоретические основы
электротехники»
Редактор С. В. Пилюгина
Верстка С. Н. Наймушиной
Подписано в печать 20.12.2019.
Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 12,9.
Электронная версия. Заказ 352
УрГУПС
620034, Екатеринбург, Колмогорова, 66