SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
𝟕 𝟐
Encontrar el polinomio característico 𝑷(𝝀) de la matriz 𝑨 = (
)
𝟑 𝟓
7 2
1 0
𝐷𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡 ((
)−𝜆(
))
3 5
0 1
7−𝜆
= 𝑑𝑒𝑡 (
3
2
)
5−𝜆
= (7 − 𝜆)(5 − 𝜆) − 6
= 35 − 12𝜆 + 𝜆2 − 6 = 𝜆2 − 12𝜆 + 29
𝟏 −𝟏
Encontrar los eigenvalores de 𝑨 = (
)
𝟐 𝟒
1 −1
1 0
𝐷𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡 ((
)−𝜆(
))
2 4
0 1
1−𝜆
= 𝑑𝑒𝑡 (
2
−1
)
4−𝜆
= 4 − 4𝜆 − 𝜆 + 𝜆2 + 2 = 𝜆2 − 5𝜆 + 6
= (𝜆 − 2)(𝜆 − 3)
𝟒 𝟎
Encontrar los eigenvalores de 𝑨 = (
)
𝟎 −𝟏
4 0
1 0
𝐷𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡 ((
)−𝜆(
))
0 −1
0 1
4−𝜆
= 𝑑𝑒𝑡 (
0
0
)
−1 − 𝜆
= (𝜆 − 4)(𝜆 + 1)
Encuentre los valores propios 𝝀𝟏 , 𝝀𝟐 y los vectores propios 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 (eigenvalores y
eigenvectores) correspondientes de la matriz
0 −1
𝐴=(
)
−1 0
0 −1
1 0
𝐷𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡 ((
)−𝜆(
))
−1 0
0 1
−𝜆 −1
= 𝑑𝑒𝑡 (
) = 𝜆2 − 1 = 0
−1 −𝜆
(𝜆 − 1)(𝜆 + 1) = 0
Luego los eigenvalores son:
𝝀𝟏 = 𝟏, 𝝀𝟐 = −𝟏
Eigenvectores para 𝝀𝟏 = 𝟏
0 −1
1
𝐴 − 𝜆1 𝐼 = (
)−1(
−1 0
0
0
−1 −1
)=(
)
1
−1 −1
−1 −1
(
)𝒗 = 0
−1 −1 𝟏
−1 −1 𝑎1
(
)( ) = 0
−1 −1 𝑎2
−𝑎1 − 𝑎2 = 0
𝑎1 = 1,
𝑎2 = −1
1
𝒗𝟏 = ( )
−1
Eigenvectores para 𝝀𝟐 = −𝟏
0 −1
1
𝐴 − 𝜆1 𝐼 = (
)+1(
−1 0
0
0
1 −1
)=(
)
1
−1 1
1 −1
(
) 𝒗𝟐 = 0
−1 1
1 −1 𝑎1
(
) (𝑎 ) = 0
−1 1
2
𝑎1 − 𝑎2 = 0
𝑎1 = 𝑎2
𝑎1 = 1,
𝑎2 = 1
1
𝒗𝟏 = ( )
1
Sea 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 (𝒂, 𝒃 𝒓𝒆𝒂𝒍) un número complejo. Podemos usar una matriz 𝑨𝒛 para
representar la operación de multiplicación por z tal que
𝑠𝑖 𝑧(𝑥 + 𝑦𝑖) = 𝑣 + 𝑤𝑖
(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑤 𝑟𝑒𝑎𝑙)
𝑥
𝑣
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴𝑧 (𝑦) = ( )
𝑤
Encuentre v, w en términos de a, b, x, y
Escriba la matriz 𝑨𝒛 en términos de a, b
(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖) = 𝑣 + 𝑤𝑖
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦𝑖 + 𝑏𝑥𝑖 − 𝑏𝑦 = 𝑣 + 𝑤𝑖
𝑎
(
𝑏
(
𝑣
−𝑏 𝑥
) (𝑦) = ( )
𝑤
𝑎
𝑎𝑥 − 𝑏𝑦
𝑣
)=( )
𝑤
𝑏𝑥 + 𝑎𝑦
Luego
𝑣 = 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦
𝑤 = 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦
Y
𝑎
𝐴𝑧 = (
𝑏
−𝑏
)
𝑎
Escriba los valores de 𝐴𝑧 cuando z=2, z=i y z=1+i
2 0
𝟐 = 𝟐 + 𝟎𝒊 𝐴𝑧 = (
)
0 2
0
𝒊 = 𝟎 + 𝟏𝒊 𝐴𝑧 = (
1
1
𝟏 + 𝒊 = 𝟏 + 𝟏𝒊 𝐴𝑧 = (
1
−1
)
0
−1
)
1