MATEMÁTICA
GUÍA DE ESTUDIOS
3 CRÉDITOS
Autor:
ÁREA DE MATEMÁTICAS
IAN
UNIDAD No. 1
ÁLGEBRA BÁSICA
GUÍA DIDÁCTICA PARA EL APRENDIZAJE
PERÍODO ACADÉMICO
2022-S1
Importante: El profesor designado monitoreará y evaluará el cumplimiento de todas las
actividades de aprendizaje incorporadas en la presente guía como parte del ejercicio
académico que cada estudiante debe desarrollar en esta materia.
Página 1
Unidad: 1 Álgebra Básica
Resultado de aprendizaje de la unidad
Utilizar las propiedades de las operaciones aritméticas y algebraicas en la resolución de
ejercicios.
Ejes Temáticos
NÚMEROS
REALES
FACTORIZACIÓN
ALGEBRA
BÁSICA
EXPONENTES
Y
RADICALES
EXPRESIONES
ALGÉBRAICAS
Página 2
Tabla de contenidos
Unidad: 1 Álgebra Básica ..............................................................................................................................2
Ejes Temáticos ..........................................................................................................................................2
Simbología....................................................................................................................................................5
Tema 1: Números Reales ..............................................................................................................................6
Propiedades de los números reales..........................................................................................................7
Razones, Proporciones, Porcentajes y Regla de 3 ....................................................................................9
Razón ....................................................................................................................................................9
Proporción ..........................................................................................................................................12
Porcentaje. .........................................................................................................................................15
Regla de 3 simple................................................................................................................................16
Tema 2: Exponentes y radicales .................................................................................................................20
Potencia .................................................................................................................................................20
Leyes de la Potenciación ....................................................................................................................21
Radicación ..............................................................................................................................................24
Tema 3: Expresiones algebraicas. ...............................................................................................................27
Reducción de términos semejantes. ......................................................................................................30
Operación de expresiones algebraicas. ..................................................................................................31
Suma de polinomios ...........................................................................................................................31
Resta de polinomios ...........................................................................................................................32
Multiplicación de Polinomios. ............................................................................................................34
División de expresiones algebraicas ...................................................................................................36
Productos Notables ................................................................................................................................38
Cuadrado de un binomio ....................................................................................................................38
Cuadrado de un trinomio ...................................................................................................................39
Binomios conjugados .........................................................................................................................40
Binomios con término común ............................................................................................................41
Cubo de un binomio ...........................................................................................................................42
Tema 4: Factorización. ...............................................................................................................................48
Factor Común. ........................................................................................................................................48
Página 3
Factor Común por Agrupamiento ...........................................................................................................49
Trinomio de la Forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄........................................................................................................50
Trinomio de la Forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ....................................................................................................52
Suma o diferencia de potencias impares iguales ....................................................................................53
Bibliografía .................................................................................................................................................56
Webgrafía ...................................................................................................................................................56
Directrices Generales de Unidad ................................................................................................................57
Actividades a desarrollar en la unidad....................................................................................................57
Página 4
Simbología

Conjunto



|

n(C)
Elemento del conjunto
No es elemento del conjunto
Existe
Tal que
Para todo
Cardinalidad del conjunto C
U




Conjunto Universo
Conjunto vacío
Sub conjunto de
Sub conjunto propio de
No es subconjunto propio de

=


>


Por lo tanto
Igualdad
No es igual a
Equivalencia
Mayor que
Mayor o igual que
Menor que

Menor o igual que
C





A
Conjunto complemento de A
...
Unión de conjuntos
Intersección de conjuntos
El conjunto continúa
o
y
Negación
Entonces
Si y solo si
Alfabeto Griego
alfa
beta
ganma
delta
épsilon
dseta
A α
B β
Γ γ
Δ δ
E ε
Z ζ
eta
teta
iota
kappa
lambda
mi
H
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ni
xi
omicron
pi
rho
sigma
Ν
Ξ
Ο
Π
Ρ
Σ
ν
ξ
ο
π
ρ
σ ς
tau
ípsilon
fi
xi
psi
omega
Τ

Φ
Χ
Ψ
Ω
τ
υ
 φ
χ
ψ
ω
Página 5
Tema 1: Números Reales
El número es un concepto matemático que expresa cantidad; en principio se usaron las
falanges de 4 dedos de una mano (12) o los dedos de las manos (10 números),
precisamente este último es el sistema de numeración más usado Base 10, aunque
también se usan Base 12, Base 2, Base 16, etc.
Números naturales. se notan matemáticamente por
pueden contar, los naturales son:
, son los números que se
= 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,...
Recta numérica
Es línea que representa el ordenamiento de los números
0
1
2
3
4
5
6
7

Números enteros. Son los números naturales más sus opuestos incluyendo
el número cero, su notación matemática es
y son:
= ... − 4, −3 − 2 − 1,0,1, 2,3, 4,... ; se representan en la recta numérica es:
Números Racionales. Son todos los números que se pueden representar como
fracción; es decir, se representan mediante una fracción a/b, donde a y b
son números enteros y además b es distinto de cero; se notan por
8 7
2
128 

= ...-2, - , - , -0.3567 ,1, 1.5, , 7,
,...
5 6
3
5


Números Irracionales. Son los números que NO se pueden representar como fracción.
Se notan por I


I = ..., 2, 3,  , e ,...
Números reales (R): Son todos los números en la recta numérica, incluyen
los números racionales e irracionales juntos, se notan matemáticamente por
−
-3
-2
-1
Números Negativos
=
0
Cero
1
2
3

Números Positivos
+I
Página 6
Representación de los números reales
Los números reales se pueden representar en forma entera, forma decimal, o por un
símbolo.
14
=7
2
Al realizar la operación, el resultado no tiene ningún decimal.
1
= 0, 2
5
Al realizar la operación, el resultado sólo tiene 1 decimal.
1
= 0,33333333...
3
Al realizar la operación, el número 3 se repite en forma indefinida.
2
= 0.285714285714...
7
Operando, el número 285714, se repite indefinidamente.
Los números irracionales, en su parte decimal no tienen un patrón de repetición.
 = 3,141592653589793238462...
2 = 1, 414213562373095...
https://youtu.be/xOjQ3u7jSLQ
Propiedades de los números reales
Si a, b y c números reales, entonces cumplen con las siguientes propiedades
Adición (+)
Operación
Propiedad
Ejemplo
a+b = b+a
Conmutativa
6+1=7
; 1+6 =7
(a+b)+c= (a+b)+c
Asociativa
(3+4)+5=12 ; 3+(4+5) = 12
a+0=a
0 es el neutro aditivo
7+0=7
a+b=0
b es el inverso aditivo
6+(-6)=0
Multiplicación (●)
OPERACIÓN
PROPIEDAD
Ejemplo
a●b=b●a
Conmutativa
2●3=6
; 3●2=6
(a●b) ●c= (a●b) ●c
Asociativa
(2●4)●3=24 ; 2●(4●3)=24
a●1=a
1 es el neutro multiplicativo
7●1=7
a●b=1
b es el inverso multiplicativo
5●(-5)=1
Página 7
Multiplicación y adición (●,+)
OPERACIÓN
a●(b+c)=a●b+ a●c
PROPIEDAD
Distributiva
Ejemplo
2●(3+6)=18
2●3+2●6=6+12=18
https://youtu.be/q5miPBhLNuc
Números Primos
Números Compuestos
Números Pares
Números Impares
Página 8
Razones, Proporciones, Porcentajes y Regla de 3
Razón
Es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una
fracción.
Si las cantidades a comparar son: a y b, la razón entre ellas matemáticamente se
escribe como:
a :b
a :b
; a ;
a
b
; a ; ab
b
b
Se lee:
a es a b; o a de b
Donde a es el antecedente y b el término consecuente
Razón Aritmética
Razón Geométrica
a-b=r
a/b = k
r es la razón aritmética
k es la razón geométrica
El resultado de la resta entre el antecedente y el consecuente se llama razón
aritmética; el resultado división entre el antecedente y el consecuente se denomina
razón geométrica
Las razones se usan, por ejemplo, para describir el costo de un mes de arriendo
comparado con el salario ganado por mes, o para comparar el número de aves de
corral con el número total de animales en una granja o la cantidad de calorías por de
dos o marcas diferentes de helado, etcétera.
Propiedades de las razones
•
Si al antecedente y consecuente de una razón aritmética se suma o resta un
mismo número; la razón aritmética no varía.
•
Si al antecedente y consecuente de una razón geométrica, se multiplica o divide
por un mismo número; la razón geométrica no varía.
Nota: Si no se específica el tipo de razón; se asume que se trata de una razón
geométrica
Ejemplos:
Página 9
a) Hallar la razón (aritmética y geométrica) entre 2 niños de 10 y 4 años
Razón Aritmética
Razón Geométrica
a −b = r
a
=k
b
10 − 4 = 6
5
10
=
2
4
r =6
k=
5
2
b) En un aula de clases hay 8 mujeres y 18 hombres. ¿
relación numérica existe entre el número de mujeres y el número de hombres?
La razón es: "8 es a 18"; o "8 de 18 ".
c) Una charola que contiene 10 galletas de azúcar y 20 de chocolate, comparar las
galletas usando una razón geométrica.
GalletasdeAzúcar
10
= 1 ;
=
GalletasdeChocolate 20
2
GalletasdeChocolate 20
= 2
=
GalletasdeAzúcar
10
1
Es decir: hay dos galletas de chocolate por cada galleta de azúcar.
d) Ana invitó a un grupo de amigos a una fiesta. Incluyendo Ana, hay un total de 22
personas, 10 de las cuales son mujeres. Cuál es mayor: ¿la razón entre mujeres
y hombres en la fiesta, o la razón de mujeres y el total de personas presentes en
la fiesta?
Primera razón:
NúmerodeMujeres 10 5
= =
NúmerodeHombres 12 6
Segunda razón:
NúmerodeMujeres
10 5
=
=
NúmeroTotalPersonas 22 11
La razón entre mujeres y hombres en la fiesta 5 es mayor que la razón entre
6
mujeres y número total de personas en la fiesta 5
11
Página 10
e) Una encuesta en la Universidad Técnica de Manabí, encontró que 4,000 de cada
6,000 estudiantes son solteros. Encuentra la razón entre estudiantes solteros y
estudiantes casados.
Número total de estudiantes = 6000
Número de estudiantes solteros =4000
Se deduce que el Número de estudiantes casados = 2000
Resolviendo;
EstudiantesSolteros 4000 2
=
=
EstudiantesCasados 2000 1
La razón entre estudiantes solteros con relación a los casados 2 a 1
Ejercicios Propuestos
a) Hallar la razón aritmética y geométrica de los siguientes números
• 60 y 12
• 55 y 11
•
11 5
y
12 6
• 5.8 y 3.5
b) La razón de dos números es 5 ; si el menor es 20. ¿cuál es el mayor?
6
c) El mayor de dos números es 42 y la relación entre ellos es de 5 a 7 ¿Hallar el
número menor?
d) Dos números son entre sí como 2 es a 17, si el menor es 14 ¿Cuál es el número
mayor?
Página 11
Proporción
Es la relación de igualdad entre dos razones; se representa de dos maneras:
a c
=
b d
o a : b :: c : d
a c
=
b d
se e lee a es a b como c es a d.
a y c; son los antecedentes y b y d; son los consecuentes
a y d términos extremos; b y c términos medios
Proporción Aritmética
Proporción Geométrica
a - b = c-d = r
a/b = c/d= k
r es la proporción aritmética
k es la proporción geométrica
Propiedades de las proporciones
•
En una proporción a = c
b
d
el producto de los términos extremos es igual al
producto de los términos medios a * d = c * d
•
Recíprocamente: dos productos iguales a * d = c * d ; pueden escribirse como una
proporción: a = c siempre que b, d  0
b
d
Existen 2 tipos de proporción, la continua y la discreta.
En la proporción continua, los términos medios son iguales, mientras que la
proporción discreta tiene los 4 términos son diferentes.
Proporción Continua
a/b=b/c
a −b = b−c
Proporción Discreta
a/b=c/d
a −b = c −d
b: media
b: media diferencial d: cuarta
d: cuarta
proporcional o
o media aritmética
diferencial
proporcional
media geométrica
c: tercera
c: tercera
proporcional
diferencial
Página 12
Ejemplos:
a) Si a un negocio de pizzas le cuesta $20 elaborar 2 pizzas (20/2 = 10), de modo que
para elaborar 4 pizzas costaría $40 (40/4 = 10).
Ambas razones se expresan en una fórmula: 20/2 = 40/4. Es una proporción.
b) Calcular el término desconocido de la proporción
9 12
12*12
= ; x *9 = 12*12; x =
; x = 16
12 x
9
c) Un sastre compra 3,5 m. de tela y paga $ 58,60.
Pregunta 1:
Pregunta 2:
Pregunta 3:
Si necesita 8 m. de la
Si necesita 12,5 m. de
¿Si dispone de $100,
misma tela, ¿cuánto
la misma tela, ¿cuánto
cuántos metros de tela
debe pagar?
debe pagar?
podrá adquirir?
3,5m
8m
=
$58,60
x
x *3,5m = 8m *$58,60
8m *$58,60
x=
3,5m
x = $133,94
Respuesta 1
Debe pagar $133,94
3,5m 12,5m
=
$58,60
x
x *3,5m = 12,5m *$58,60
12,5m *$58,60
x=
3,5m
x = $209, 29
3,5m
x
=
$58,60 $100
$100 *3,5m = x *$58,60
$100 *3,5m
x=
$58,60
x = 5,97 m
Respuesta 2
Respuesta 3
Debe pagar $209,29
Puede adquirir 5,97m
d) Las canchas de futbol tienen una proporción de 2 veces el largo por 1 de ancho, si
el ancho de una cancha es 30m, ¿cuál metros tendrá del largo?
ancho 1
=
la rg o 2
30m 1
=
l arg o 2
2*30m = 1* l arg o
l arg o = 60m
Página 13
Ejercicios propuestos
a) Calcular el término desconocido de las siguientes proporciones:
•
4 12
=
6 x
•
15 5
=
x 2
•
70 x
=
35 2
•
x 2
=
18 1
b) En cincuenta litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal común ¿Cuántos litros
de agua de mar contendrán 5200 gramos de sal?
c) Sonia ha cobrado por repartir propaganda durante 5 días $46 ¿Cuántos días
deberá trabajar para cobrar $138
d) En una panadería necesitan 40 kg de harina para hacer 1875 panes. ¿Cuántos kg
de harina serán necesarios para hacer 1250 panes?
e) He comprado 3kg de manzanas por $3,50. ¿Cuánto costará 1kg, 2Kg, 5kg, 12kg,
23kg?
f) Un grifo pierde 4 litros de agua cada 5 horas,
¿Cuántos litros de agua se desperdicia en 1 semana?
¿Cuántos litros de agua se desperdicia en 30 días?
g) 3 alumnos se demoran 2 horas y 20 minutos en resolver problemas de estadística.
¿Cuánto tiempo hubieran tardado 5 alumnos?
¿Cuánto tiempo hubieran tardado 4 alumnos?
h) Una piscina se llena con manguera de tanquero, a razón de 1725 litros de agua
cada 15 minutos.
¿Cuántas horas se requieren para vaciar un tanquero de 7880 litros?
¿Cuántas horas se requieren para vaciar un tanquero de 12250 litros?
Videos de refuerzo- Proporción
https://youtu.be/jboHWe4_6D8
https://youtu.be/Ft6b1UI_2C4
https://youtu.be/h4FxrmM8wgM
Página 14
Porcentaje.
Hace referencia a una cantidad respecto a 100, esto quiere decir que, de cada 100
partes se tiene una cantidad, se representa al porcentaje con el signo %; por ejemplo,
el 2% serían 2 partes de 100; el 75% serían 75 partes de 100.
Ejemplos
El costo de un repuesto de vehículo por $87 más el 12% de IVA.
87 *0,12 = 10, 44
a. ¿Cuál es el valor del IVA?
b. ¿Cuánto se pagó por el repuesto?
87 + 10, 44 = 97, 44
De un premio de lotería 125.000 dólares, el ganador debe pagar el 18% en impuestos.
a. ¿Cuánto pago de impuestos?
125.000 * 0,18 = 22.500
b. ¿Cuánto dinero recibió por el premio?
125.000 − 22.500 = 102.500
Ejercicios propuestos
a. Un pantalón que cuesta $25 tiene un descuento del 15%. ¿Cuánto fue el
descuento? ¿Cuánto se pagó por el pantalón?
b. En un grupo de 60 estudiantes, el 40% son varones; el resto son mujeres ¿Cuántos
son varones? ¿Cuántas estudiantes son mujeres?
c. La capacidad del tanque de combustible de una volqueta es 200 litros, si esta lleno
en un 35%. ¿Cuántos litros hay actualmente en el tanque?
d. En un grupo de 60 estudiantes, el 40% son varones; el resto son mujeres ¿Cuántos
son varones? ¿Cuántas estudiantes son mujeres?
Videos de refuerzo – Porcentaje
https://youtu.be/ETvdnLWIFhU
https://youtu.be/PjXpBwI6P0M
https://youtu.be/XPHBUlzweTY
https://youtu.be/kn5-Yux5cTs
Página 15
Regla de 3 simple.
Se usa para resolver problemas de proporcionalidad entre tres valores conocidos y una
incógnita, se pretende con ella es hallar el cuarto término de una proporción conociendo
los otros tres.
Regla de 3 simple directa.
Es la relación de cantidades con proporcionalidad directa, es decir cuando crece la
primera cantidad, la otra también crece; de la misma forma si decrece una cantidad, la
otra también decrece; se dice que esas dos cantidades son directamente
proporcionales.
Ejemplo:
Un vehículo en velocidad constante, recorrió en 3 horas, 180 km.
¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas con la misma velocidad?,
Solución:
Analizando el problema, mientras más tiempo pasa el vehículo recorre más km, de la
misma forma, mientras menos tiempo transcurre, el vehículo recorrerá menos km;
entonces la proporcionalidad entre las cantidades es directa
3 horas → 180km
2 horas → x
x=
2horas*180km
=120km
3horas
El vehículo recorrió 120km en 2 horas.
Regla de 3 simple e inversa.
Es la relación de cantidades con proporcionalidad inversa, es decir cuando crece la
primera cantidad, la otra disminuye; de la misma forma si decrece una cantidad, la otra
aumenta; se dice que esas dos cantidades son inversamente proporcionales.
Página 16
Ejemplo:
3 trabajadores levantan una cosecha de maíz en 8 horas.
¿Qué tiempo se hubieran demorado 4 trabajadores en levantar la misma cosecha?
Solución:
Normalmente el planteamiento del problema sería:
3 trabajadores → 8 horas
4 trabajadores → x
Analizando el problema, más trabajadores se demorarían menos tiempo en recoger la
cosecha maíz, entonces se trata de una proporcionalidad inversa; por lo que se debe
intercambiar cualquiera de los términos de la proporción.
3 trabajadores → x
4 trabajadores → 8 horas
4 trabajadores → 8 horas
3 trabajadores → x
Aplicando la regla de 3 directa a cualquiera de estas proporciones:
x=
3 trabajadores * 8 horas
= 6 horas
4 trabajadores
4 trabajadores se hubiesen demorado 6 horas en levantar la cosecha.
La regla de 3 se puede utilizar para calcular porcentajes.
Ejemplo:
Si 1 millón es el 100% de habitantes, qué porcentaje representarían 285000 personas.
Multiplica 285000 por 100, dividir este resultado por 1000000.
El resultado es 28,5%.
1000000
285000
100%
x
x=
285000*100%
1000000
x = 28.5%
Página 17
Ejercicios resueltos
(Cálculo realizado con 2 decimales)
a)
El precio de la gasolina super se subió en 12,56% respecto al valor del mes
anterior que era de $1,86
¿Qué valor se incrementó?
¿Cuánto costará la gasolina este mes?
Aplicando regla de 3 simple:
$1,86 − − − −  100%
x − − − − − −  +12,56%
x=
$1,86*12,56%
100%
x = $0,23
Nuevo valor de gasolina super 1,86 + 0,23 = 2,09
•
Se incremento en $0,23
•
Este mes la gasolina costará $2,09
b) Por liquidación de mercadería un almacén ofrece el 35% de descuento en
electrodomésticos; si el precio de un televisor era $623 ¿Cuánto fue el valor de la
rebaja? ¿Cuánto cuesta ahora?
$623 − − − −  100%
•
x − − − − − −  −35%
La
de $218,05
•
x=
−35% *$623
rebaja x = $ − 218.05 fue
100%
El televisor ahora cuesta $623 - $218,05 = $404,95
Ejercicios propuestos
a) De 35 estudiantes del curso sólo 12 enviaron la tarea.
¿Qué porcentaje de estudiantes cumplió la tarea?
b) El Ecuador al 30 de septiembre del 2021 reporta 32.762 personas fallecidas por
Covid19 de los 509.238 casos detectados. ¿Cuál es el porcentaje de fallecidos?
c) De 165 estudiantes de nivelación, 40% es menor de 20 años.
¿Cuántos estudiantes son menores de 20 años?
d) Compré un teléfono celular por $234, si deseo obtener una ganancia del 15%.
¿Cuál será el precio de venta?
e) Una llanta cuesta $128, cuál es el precio que se cancelará por 4 llantas después
de cobrar el 12% de IVA.
Página 18
f) ¿Qué precio de venta se tendrá que poner a un artículo comparado a $280 para
únicamente perder el 6%?
g) Según los datos del censo del 2010, la provincia de Manabí tenía 1.369.780
habitantes, de los cuales el 50,36% corresponde a hombres y el 49,74%
corresponde a mujeres. ¿Cuántos habitantes son hombres? ¿Cuántos habitantes
son mujeres?
h) Luego de comprar una mesa de comedor en $128, me enteré que lo adquirí con
el 30% de descuento ¿Cuál era su valor original?
i) El Ecuador al 9 de diciembre del 2020 reporta 174.188 personas que se
recuperaron de Covid19 de los 198.752 casos detectados.
¿Cuál es el porcentaje de personas recuperadas?
j) Según los datos del censo del 2010, la provincia de Manabí tenía 343.088
hogares, para cocinar los alimentos; 287.929 utilizaba gas, 48.528 aprovechaban
la leña o carbón y 597 hogares usaban electricidad ¿Qué porcentaje de hogares
usaban gas? ¿Qué porcentaje de hogares emplean leña o carbón? ¿Qué
porcentaje de hogares utilizaba electricidad?
k) 6 pintores necesitan 54 días para pintar un edificio. ¿En cuánto tiempo lo
pintarán 18 pintores?
l) Un grifo que tiene un caudal de 18 litros de agua por minuto tarda 14 horas en
llenar una cisterna. ¿Cuánto se tardaría en llenar la cisterna si su caudal fuera
de 7 litros por minuto?
Videos de refuerzo – Regla de tres
https://youtu.be/Xphb-tzJj24
https://youtu.be/yPhxJO4Waw8
https://youtu.be/OyEcoAV3oFY
Página 19
Tema 2: Exponentes y radicales
Las propiedades de la potenciación y radicación son contenidos que debemos dominar
ya que son necesarios para desarrollar operaciones de algebra, pre cálculo y cálculo que
se trabajarán a lo largo de las diferentes carreras universitarias, he aquí su importancia.
Este tema lo desarrollaremos inicialmente trabajando las propiedades de la potenciación
y radicación por separado. Al final se detallan videos en dónde se combinan las
propiedades en la búsqueda de simplificar una expresión.
Por último, se muestra un video de racionalización que es transcendental dominar para
temas posteriores.
Potencia
Es la operación en la cual la cantidad llamada base se debe multiplicar por ella misma
las veces que lo indique el exponente
Resuelva:
𝟔𝟐
El exponente es 2, por lo tanto, debemos multiplicar 2 veces la base, que en este caso
62 = (6)(6) = 36
es 6.
Resuelva:
𝟏 𝟑
(𝟑)
El exponente es 3, por lo tanto, debemos multiplicar la fracción 3 veces.
1 3
1 1 1
1
( ) = ( )( )( ) =
3
3 3 3
27
IMPORTANTE: Cuando un número negativo se eleva a una potencia par, el
resultado es positivo, pero si se eleva a una potencia impar, el resultado es
negativo.
Página 20
Resuelva:
(−𝟖)𝟒
Solución
La potencia es un numero par, por consiguiente, el resultado será positivo.
(−8)4 = 84 = (8)(8)(8)(8) = 4096
Resuelva:
(−𝟓 + 𝟐)𝟒
Resolvemos lo que está dentro del paréntesis y luego procedemos con la potencia
(−5 + 2)4 = (−3)4 = 34 = 81
Leyes de la Potenciación
Multiplicación de Potencias de igual base.
Al multiplicar dos potencias de igual base, se mantienen la misma base y se suman los
exponentes.
𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
Resuelva:
𝟑𝟐 ∙ 𝟑𝟒
Conservamos la misma base que es 3 y sumamos los exponentes 2 y 4. Luego
resolvemos la potencia que nos quedó, en este caso seria 6.
32 ∙ 34 = 32+4 = 36 = 729
Resuelva:
(−𝟓)𝟑 (−𝟓)𝟐
Conservamos la misma base que es -5 y sumamos los exponentes 3 y 2. Luego
resolvemos la potencia que nos quedó, en este caso seria 5, al ser impar el resultado nos
dará negativo.
(−5)3 (−5)2 = (−5)3+2 = (−5)5 = −3125
División de Potencias de igual base
Al dividir dos potencias de igual base, se mantienen la misma base y se restan los
𝑎𝑚
exponentes.
Resuelva:
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛
𝟑𝟔
𝟑𝟑
Conservamos la misma base que es 3 y restamos los exponentes 6 y 3. Luego
resolvemos la potencia que nos quedó, en este caso sería 3.
Página 21
36
= 36−3 = 33 = 27
33
Potencia de exponentes naturales opuestos
Al tener una potencia con exponente negativo, se puede obtener el inverso multiplicativo
de la base y expresar la potencia con exponente positivo.
Resuelva:
1
𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛
𝟑−𝟒
Se aplica la ley de exponentes naturales opuestos y luego se desarrolla 34 para obtener
1
Resuelva:
1
1
3−4 = 34 = (3)(3)(3)(3) = 81
el resultado.
𝟏 −𝟐
( 𝟗)
Se aplica la ley de exponentes naturales opuestos y luego se desarrolla 92 para obtener
1 −2
( 9)
el resultado.
9 2
= (1) = 92 = 81
Potencia de una potencia
Cuando se calcula la potencia de otra potencia, se mantiene la misma base y se
multiplican los exponentes.
Resuelva:
(𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛
(𝟒𝟑 )𝟐
Conservamos la base, que en este caso es 4 y multiplicamos los exponentes 3 y 2, luego
procedemos a resolver la potencia, que en este caso sería 6.
(43 )2 = 43𝑥2 = 46 = 4096
Potencia de un producto
Al calcular la potencia de un producto, se distribuye el exponente a cada uno de los
factores.
Resuelva:
(𝑎 ∙ 𝑏 ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 ∙ 𝑏 𝑛
(𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟒)𝟐
Solución:
Se distribuye a cada factor el exponente 22 , 32 , 42 y resolvemos.
(2 ∙ 3 ∙ 4)2 = 22 ∙ 32 ∙ 42 = 4 ∙ 9 ∙ 16 = 576
Página 22
Potencia de un cociente
Al calcular la potencia del cociente, se distribuye el exponente al dividendo y al divisor.
𝑎 𝑛 𝑎𝑛
( ) = 𝑛
𝑏
𝑏
IMPORTANTE: Todo número real diferente de cero, con exponente cero da como
resultado 1.
Videos de refuerzo – Exponentes
https://www.youtube.com/watch?v=qrYjWS-Yjbs
https://www.youtube.com/watch?v=6m-Qzh3NDjk
https://www.youtube.com/watch?v=rhfNNh-alBI
https://www.youtube.com/watch?v=mQiYuVeXZxM
Ejercicios propuestos de potenciación
Problema
Respuestas
1.
53 ∙ 53
1.
2.
4−5 ∙ 42
2.
3.
22 ∙ 2−3
3.
1
4.
(37 ∙ 4−4 )(3−5 ∙ 44 )
4.
9
5.
(2−5 ∙ 4−4 )(33 ∙ 2−7 ∙ 46 )
5.
27
6.
57
6.
125
15625
1
64
2
54
1
7.
68
610
7.
8.
4−6
4 −10
8.
256
9.
75
75
9.
1
36
Página 23
9
10. 37 ∙4−5
35 ∙4−4
10.
11. (32 )4
11. 6561
12. (43 )2
12. 4096
13.
1
3
6
4
13. 25
(5 )
14. (4 ∙ 6)2
14. 576
15. (3−3 ∙ 42 )2
15.
16. (2−2 ∙ 42 )(23 ∙ 4−3 ∙ 6)2
16.
256
729
9
4
Radicación
Es la operación que permite hallar una cantidad que multiplicado tantas veces como lo
indica el índice, dé el valor que se encuentra dentro del radical, el cual recibe el nombre
𝑛
√𝑎𝑚
de radicando.
𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒, 𝑚 = 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑛 = í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒
Leyes de la Radicación
Raíz enésima de un producto
Al calcular la raíz enésima de un producto, se distribuye la raíz a cada uno de los factores.
𝑛
𝑛
𝑛
√𝑎 ∙ 𝑏 = √𝑎 ∙ √𝑏
𝟑
Resuelva: √𝟔𝟒 ∙ 𝟏𝟐𝟓
Distribuimos la raíz cubica a cada factor y operamos.
3
3
3
√64 ∙ 125 = √64 ∙ √125 = 4 ∙ 5 = 20
3
3
6
3
√64 = √26 = 23 = 22 = 4
3
3
√125 = √53 = 53 = 51 = 5
Raíz enésima de un cociente
Se distribuye la raíz tanto al dividendo como al divisor.
𝑛
𝑎 √𝑎
√ =𝑛
𝑏
√𝑏
𝑛
Página 24
IMPORTANTE: El divisor o denominador, es un número real diferente de cero, por
consiguiente, 𝑏 ≠ 0
𝟒
𝟖𝟏
Resuelva: √𝟐𝟓𝟔
4
81
√256 =
Distribuimos la raíz cuarta al dividendo y al divisor.
4
√81
√256
4
3
=4
Raíz enésima de una raíz enésima
Se debe multiplicar los índices de la raíz enésima (𝑚) y la raíz enésima (𝑛)
𝑛
√ 𝑚√𝑎 =
𝑛∙𝑚
√𝑎
𝟑
Resuelva: √√𝟔𝟒
Distribuimos la raíz cuarta al dividendo y al divisor.
3
6
√√64 = 3∙2√26 = 6√26 = 26 = 21 = 2
Raíz enésima de una potencia
𝑚
𝑛
√𝑎𝑚 = 𝑎 𝑛
Se debe dividir la potencia para el índice de la raíz.
𝟓
Resuelva: √𝟕𝟏𝟎
Dividimos la potencia para el índice de la raíz
5
10
√710 = 7 5 = 72 = 49
Para reforzar más los contenidos puedes revisar el texto base.
Revise en el TEXTO BASE Matemáticas Simplificadas, páginas 86 hasta la 95.
Videos de refuerzo – Propiedades de las raíces
https://www.youtube.com/watch?v=qjPLcUJa85A
https://www.youtube.com/watch?v=MPmNWyybP38
https://www.youtube.com/watch?v=tqATketubq8
https://www.youtube.com/watch?v=njtfAFTbjNs
https://www.youtube.com/watch?v=z9SeB3z8AdI
Página 25
Ejercicios propuestos de radicación
Página 26
Tema 3: Expresiones algebraicas.
Una expresión algebraica es la combinación de letras y números ligada por los signos de
las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación, a las letras
se las conocen como variables y normalmente representan un número desconocido.
Las expresiones algebraicas se pueden traducir al lenguaje común de la siguiente
manera.
Lenguaje común
Expresión algebraica
Un número aumentado en cuatro
x+4
Un número disminuido en siete
x-7
El doble de un número, el triple de un
número
2x, 3x
La mitad de un número, la cuarta parte del
numero
x
,
2
El doble de un número disminuido en uno
2x-1
Un tercio del número aumentado en cuatro
x
+4
3
Tres números consecutivos
x, x+1, x+2
x
4
Como se observar la expresión algebraica tiene los siguientes compuestos:
−2a
Signo, coeficiente numérico y parte literal (letra)
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más
cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o
indeterminadas y se representan por letras.
Las expresiones algebraicas permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.
Página 27
•
Longitud de la circunferencia: 𝐿 = 2 𝜋 𝑟, donde r es el radio de la circunferencia.
•
Área del cuadrado: S =
•
Volumen del cubo: V = a , donde a es la arista del cubo.
l 2 , donde l es el lado del cuadrado.
3
Expresiones Algebraicas Comunes
A continuación, se muestran ejemplos de cómo se puede describir una expresión del
lenguaje común al lenguaje algebraico:
•
El doble o duplo de un número:
•
El triple de un número: 3x
•
El cuádruplo de un número:
•
La mitad de un número:
x
2
•
Un tercio de un número:
x
3
•
Un cuarto de un número:
•
Un número es proporcional a
•
Un número al cuadrado:
•
Un número al cubo:
•
Dos números consecutivos:
•
Dos números consecutivos pares:
•
Dos números consecutivos impares:
•
Descomponer 24 en dos partes:
•
La suma de dos números es 24:
•
La diferencia de dos números es 24:
2x
4x
x
4
2,3,4,...2x,3x,4x,...
x2
x3
x
x +1.
y
2x
x
x
y
2x + 2
2x +1
y
y
24 − x
y
24 − x
x
y
2x + 3
24 + x .
Página 28
•
•
El producto de dos números es 24:
x
El cociente de dos números es 24;
x
y
y
24
x
24
x
El Valor Numérico de una Expresión Algebraica
Es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las
operaciones indicadas.
(𝑟) = 2𝜋𝑟
𝑟 = 5 𝑐𝑚. 𝐿 (5)= 2·𝜋·5=10𝜋 𝑐𝑚
(l ) = l 2
l = 5cm (5) = 52 = 5cm2
( a ) = a3
a = 5cm (5) = 53 = 125cm3
Tipos De Expresiones Algebraicas.
Según el número de términos
Por el grado:
Página 29
Te invito a revisar el siguiente video para reforzar y ampliar los contenidos.
Nociones básicas de expresiones algebraicas.
https://www.youtube.com/watch?v=qIh4kUkyoQ0
Reducción de términos semejantes.
Los términos semejantes que son aquellos que tienen la misma parte literal y exponente,
por ejemplo:
Sea el polinomio: P ( x ) = 2x3 + 5x -3 + 4x -3x2 + 2x3 ; reducirlo
1. Se ordenan los monomios según el término del mismo grado
P ( x ) = 2 x3 + 2 x3 − 3x 2 + 5 x − 4 x − 3
2. Se agrupan los monomios según el término del mismo grado
P ( x ) = (2 x3 + 2 x3 ) − 3x 2 + (5 x − 4 x) − 3
3. Se operan (suman o restan) los monomios agrupados
P ( x ) = 4 x3 − 3x 2 + x − 3
Página 30
Operación de expresiones algebraicas.
Suma de polinomios
Se escriben los polinomios uno seguido del otro y se reducen los términos semejantes.
Ejemplos
10
Sumar los siguientes polinomios:
P( x) = 5 x3 - 3x 2 - 6 x - 4;
Q( x) = -8 x3 + 2 x 2 - 3;
R( x) = 7 x 2 - x + 1
Solución
Los polinomios se escriben de la siguiente forma
P ( x) + Q( x) + R( x)
5 x3 - 3x 2 - 6 x - 4 + (-8 x3 + 2 x 2 - 3) + (7 x 2 - x + 1)
Se realiza la reducción de términos semejantes:
5 x3 - 3x 2 - 6 x - 4 - 8 x3 + 2 x 2 - 3 + 7 x 2 - x + 1
5 x3 - 8 x3 + 7 x 2 + 2 x 2 - 3x 2 - 6 x - x - 4 - 3 + 1
5 x3 - 8 x3
+ 7 x 2 + 2 x 2 - 3x 2
- 6x - x
- 4 - 3 +1
-3 x3 + 6 x 2 - 7 x – 6
Efectuar la siguiente operación, sean los polinomios:
P( x) = 2x − 7 y − 3z + 6;
Q( x) = −9x + 4 z; R( x) = − x + 4 y + z − 8
Realizar la suma
( 2x − 7 y − 3z + 6) + ( −9x + 4z ) + ( − x + 4 y +
z − 8)
Solución: Con un fin más práctico, se ordenan los polinomios haciendo coincidir los
términos semejantes en columnas; asimismo, se reducen los coeficientes término a
término.
2 x − 7 y − 3z + 6
−9 x
+ 4z
− x + 4y + z −8
− 8x − 3 y + 2 z – 2
El resultado de la suma − 8x − 3 y + 2z – 2 es:
Página 31
Resta de polinomios
En esta operación es importante identificar el minuendo y el sustraendo, aplicar
correctamente la ley de los signos, para posteriormente realizar la reducción de términos
semejantes.
Ejemplos
Sean los polinomios: P( x) = 4a − 2b − 5c;
Realizar las operaciones:
P( x) − Q( x) =
P( x) − Q( x)
4a − 2b − 5c − (3a − 5b − 7c)
4a − 2b − 5c − 3a + 5b + 7c
4a − 3a + 5b − 2b + 7c − 5c
a + 3b + 2c
Q( x) = 3a − 5b − 7c
y
Q( x) - P( x)
Q( x) - P( x) =
3a − 5b − 7c − (4a − 2b − 5c)
3a − 5b − 7c − 4a + 2b + 5c
3a − 4a + 2b − 5b + 2b − 7c + 5c
−a − 3b − 2c
Realizar la operación: De 16x2 − 7 x − 8 restar 6x2 − 3x + 6
16 x 2 − 7 x − 8
16x 2 − 7 x − 8
−(6 x 2 − 3x + 6)
− 6 x 2 + 3x − 6
10x2 − 4x −14
Página 32
Ejercicios resueltos
a)
( 2x
Encuentre la suma:
4
+ x3 − 8x + 1) + ( 3x4 − 4 x2 + 9 x + 6 )
= 2 x 4 + x3 − 8 x + 1 + 3x 4 − 4 x 2 + 9 x + 6
eliminado los paréntesis
= ( 2 + 3) x + x − 4 x + ( 9 − 8 ) x + (1 + 6 )
operando los coeficientes de las potencias semejantes de x
= 5 x 4 + x3 − 4 x 2 + x + 7
simplificando
b)
( 2x
4
3
2
Encuentre la diferencia:
4
+ x3 − 8x + 1) − ( 3x4 − 4 x2 + 9 x + 6 )
= 2 x 4 + x3 − 8 x + 1 − 3x 4 + 4 x 2 − 9 x − 6
eliminado los paréntesis
= ( 2 − 3) x 4 + x3 + 4 x 2 + ( −9 − 8 ) x + (1 − 6 )
operando los coeficientes de las potencias semejantes de x
= − x + x + 4 x − 17 x − 5
simplificando
c)
(x
4
3
2
Encuentre la suma:
3
+ 8 x 2 − 5 x ) + ( 2 x5 + x3 − 7 x + 6 )
= x3 + 8 x 2 − 5 x + 2 x5 + x3 7 x + 6
eliminado los paréntesis
= 2 x + (1 + 1) x + 8 x + ( −5 − 7 ) x + 6
operando los coeficientes de las potencias semejantes de x
= 2 x5 + 2 x3 + 8 x 2 − 12 x + 6
simplificando
5
d)
3
2
Encuentre la diferencia:
(x
2
+ 8) − ( 3x3 − 4 x 2 + 1)
= x 2 + 8 − 3 x 3 + 4 x 2 − 14
eliminado los paréntesis
= −3x 3 + (1 + 4 ) x 2 + ( 8 − 1)
operando los coeficientes de las potencias semejantes de x
= −3x 3 + 5 x 2 + 7
simplificando
Página 33
Ejercicios propuestos
Respuestas
( 3x − 2 x − x + 7 ) + ( 7 x − 8 x + 2 x )
( x + 15x + 6 x − 3) + ( 2 x − 3x − 9 x + x )
( x − 7 x + 5x ) − ( −9 x + 2 x + 8)
( x + 14 x − 20 ) − ( 30 x − 4 x + 11)
5
2
3
3
5
2
2
2
2
4
2
3
3
2
10 x5 − 10 x 2 + x + 7
2 x 4 + x3 + 12 x 2 − 3 x + 1
10 x3 − 7 x 2 + 3x − 8
−30 x 3 + 5 x 2 + 14 x − 31
Revise en el TEXTO BASE Matemática simplificada, páginas desde 272 - 275.
Revisar los siguientes videos para reforzar y ampliar los contenidos.
Videos de refuerzo – Suma y resta de expresiones algebraicas.
14
https://www.youtube.com/watch?v=zRlJgiDVcPo
https://www.youtube.com/watch?v=Pj95vjGSctg
https://www.youtube.com/watch?v=FoRrDsGm2EQ
Multiplicación de Polinomios.
En este apartado vamos a trabajar la siguiente operación básica que es la multiplicación,
es importante tener en cuenta los preconceptos obtenidos en las operaciones anteriores
para hacerlo de forma correcta lo importante es que se logre multiplicar entre polinomios
sin ninguna dificultad.
Ejercicios resueltos
a) Encuentre el producto: (2 x + 1)(7 x − 5)
= (2 x)(7 x) + (2 x) ( −5 ) + (1) (7 x) + (1)( −5 )
Aplicando la propíedad distributiva
= 14 x 2 − 10 x + 7 x − 5
Multiplicando término por término
= 14 x 2 − 3 x − 5
Simplificando términos y ordenando el polinomio
Página 34
(
2
b) Encuentre el producto: ( 4 x − 8) x + 3
)
= ( 4 x ) ( x 2 ) + ( 4 x )( 3) − ( 8) ( x 2 ) − (8)( 3)
Aplicando la propíedad distributiva
= 4 x3 + 12 x − 8 x 2 − 24
Multiplicando término por término
= 4 x − 8 x + 12 x − 24
Ordenando el polinomio
3
2
(
)(
2
4
Encuentre el producto: 2 x + 3x − 7 3x − 2
c)
= 2 x 2 ( 3x 4 − 2 ) + 3x ( 3x 4 − 2 ) − 7 ( 3x 4 − 2 )
)
Propíedad distributiva
= ( 2 x 2 )( 3x 4 ) + ( 2 x 2 ) ( −2 ) + ( 3x ) ( 3x 4 ) + ( 3x )( −2 ) − ( 7 ) ( 3x 4 ) − ( 7 )( −2 )
= 6 x 6 − 4 x 2 + 9 x5 − 6 x − 21x 4 + 14
Multiplicando término por término
= 6 x 6 + 9 x5 − 21x 4 − 4 x 2 − 6 x + 14
Ordenando el polinomio
(
)(
4
2
3
Encuentre el producto: x − 4 x + 5 8x + 2 x − 9
d)
= x 4 (8 x3 + 2 x − 9 ) − 4 x 2 (8 x3 + 2 x − 9 ) + 5 (8 x3 + 2 x − 9 )
)
Propíedad distributiva
= ( x 4 )( 8 x3 ) + ( x 4 ) ( 2 x ) + ( x 4 ) ( −9 ) − ( 4 x 2 )(8 x3 ) − ( 4 x 2 ) ( 2 x ) − ( 4 x 2 ) ( −9 ) + ( 5 ) (8 x 3 ) + ( 5 )( 2 x ) + ( 5 )( −9 )
= 8 x 7 + 2 x5 − 9 x 4 − 32 x5 − 8 x3 + 36 x 2 + 40 x3 + 10 x − 45
Multiplicando término por término
= 8 x 7 − 30 x5 − 9 x 4 + 32 x3 + 36 x 2 + 10 x − 45
Ordenando el polinomio
Ejercicios propuestos
Encuentre el producto:
( 5x − 10 ) ( 3x + 2 )
( 6 x + 8x + 9 )( x − 7 )
(10 x + 3x + 2 x − 4 )( 5x
Respuestas
15 x3 + 10 x 2 − 30 x − 20
2
3
6 x 7 + 8 x5 + 9 x 4 − 42 x3 − 56 x − 63
4
6
3
2
+ 10 x − 6 )
50 x8 + 100 x 7 − 60 x 6 + 15 x5 + 30 x 4 − 8 x3 − 52 x + 24
Revise en el TEXTO BASE Matemáticas Simplificadas, desde6 página 278 - 283.
Página 35
Videos de refuerzo – Multiplicación de expresiones algebraicas.
https://www.youtube.com/watch?v=jaGobuIkw6U
https://www.youtube.com/watch?v=oETfhOKO1so
https://www.youtube.com/watch?v=xRC447bTueU&t=58s
División de expresiones algebraicas
Monomio entre monomio.
−16a5b 4c 6
Cuando se dividen monomios:
8a 2b3c
Primero se realiza la división de los coeficientes y después se aplica la ley de los exponentes
para las bases. Si la división de los coeficientes no es exacta, entonces se deja especificada; si
las bases no son iguales, entonces se deja expresado el cociente.
−16 5−2 4−3 6−1
a b c
8
= −2a3bc5
=
Polinomio entre monomio
Se divide cada término del polinomio entre el monomio, como se muestra en los
siguientes ejemplos.
Ejercicios resueltos
2 x 4 − 5 x3 + x 2
− x2
2 x 4 5 x3
x2
−
+
− x2 − x2 − x2
= −2 x 4−2 + 5 x3−2 − x 2−2
=
= −2 x 2 + 5 x − x 0
= −2 x 2 + 5 x − 1
16 x 6 y 5 z − 12 x 4 y 6 z 2 + 6 x3 y 9
−4 x 2 y
16 x 6 y 5 z 12 x 4 y 6 z 2 6 x3 y 9
−
+
−4 x 2 y
−4 x 2 y
−4 x 2 y
3
= −4 x 6− 2 y 5+1 z + 3x 4−2 y 6−1 z 2 − x3−2 y 9−1
2
3
= −4 x 4 y 4 z + 3x 2 y 5 z 2 − xy 8
2
=
Ejercicios Propuestos
Página 36
Revise en el TEXTO BASE Matemáticas Simplificadas, página 286.
Videos de refuerzo – División de expresiones algebraicas.
https://www.youtube.com/watch?v=2PWac_RQ6lc
https://www.youtube.com/watch?v=aqxgWHBe1aE
https://www.youtube.com/watch?v=tc20GDFkPoc
Revise en el TEXTO BASE Matemáticas Simplificadas, páginas 86 hasta la 95.
Página 37
Productos Notables
Los productos notables son multiplicaciones especiales entre expresiones algebraicas,
que por sus características destacan de las demás multiplicaciones, se obtienen con un
simple desarrollo, sin necesidad de efectuar a operación producto.
Cuadrado de un binomio
El desarrollo de la suma de dos cantidades al cuadrado, es igual al cuadrado del primer
término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del
segundo; esta regla general se expresa con la fórmula: ( a + b )2
= a 2 + 2ab + b 2
A la expresión resultante se le conoce como TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
Demostración
( a + b ) = ( a + b )( a + b )
( a + b )( a + b ) = aa + ab + ba + bb
2
= a + ab + ab + b
2
= a + 2ab + b
2
2
2
Propiedad distributiva
Ordendo los térmnos
Sumando los términos semejantes
Ejercicios Resueltos:
Desarrolle el ejercicio: ( x + 7 )2
x2
2( x)(7)
El cuadrado del primer término
El doble producto del primer término por el segundo
72
El cuadrado del segundo término
x + 14 x + 49
2
( x + 7)
2
Se suman todos los término dado la expresión
= x + 14 x + 49
2
( 3m + 5n )
Desarrolle el ejercicio:
2
Aplicando directamente la fórmula del cuadarado de un binomio
( 3m + 5n )
2
= ( 3m ) + 2 ( 3m )( 5n ) + ( 5n ) =9m2 +30m+25n 2
2
2
Ejercicios Propuestos
Respuestas
x 2 + 16 x + 64
a) ( x + 8)2
5
1
b)  x − 
3
4
2
25 2 5
1
x − x+
16
6
9
Página 38
Cuadrado de un trinomio
El desarrollo de la expresión: (a + b + c)2 es igual a:
La suma de los cuadrados de cada uno de los términos,
Más los dobles productos de las combinaciones entre ellos.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Demostración
(a + b + c) 2 = (a + b + c)(a + b + c )
= a ( a + b + c ) + b( a + b + c ) + c (a + b + c )
=a + ab + ac + ab + b + bc + ac + bc + c
2
2
Propiedad distributiva
2
Multiplicando término por término
=a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc
2
2
2
Agrupando términos y ordenando el polinomio
Ejercicios Resueltos
( x + 2 y + 3z ) 2
Desarrolle el ejercicio:
( x + 2 y + 3z ) 2 = ( x + 2 y + 3 z )( x + 2 y + 3 z )
= x( x + 2 y + 3 z ) + 2 y ( x + 2 y + 3 z ) + 3 z ( x + 2 y + 3 z )
= x + 2 xy + 3 xz + 2 xy + 4 y + 6 yz + 3xz + 6 xy + 9 z
2
2
= x + 4 y + 9 z + 4 xy + 6 xz + 12 yz
2
( x + 2 y + 3z ) 2
2
2
Propiedad distributiva
Multiplicando término por término
Agrupando términos y ordenando el polinomio
Aplicando directamente la fórmula del cuadrado de un trinomio
= x( x) + (2 y)(2 y) + (3 z )(3 z ) + 2( x)(2 y ) + 2( x)(3z ) + 2(2 y )(3z )
= x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 + 4 xy + 6 xz + 12 yz
Desarrolle el ejercicio:
(4m − 7 n − 5) 2
2
Multiplicando término por término
(4m − 7n − 5)2
Aplicando directamente la fórmula del cuadrado de un trinomio
= 4m(4m) + (−7n)(−7 n) + (−5)(−5) + 2(4m)(−7m) + 2(−7n)(−5) + 2(4m)(−5)
= 16m 2 + 49n 2 + 25 − 56mn + 70mn − 40m
Multiplicando término por término
Ejercicios Propuestos
Respuestas:
a. ( 4m + 5n + p )2
2
3
1
b.  + − 
x y z
2
16m2 + 25n2 + p2 + 40mn + 8mp + 10np
4
9
1 12 4 6
+
+ + − −
x 2 y 2 z 2 xy xz yz
Página 39
Binomios conjugados
Son de la forma ( a + b )( a − b ) , su resultado es la diferencia de los cuadrados de ambas
cantidades, como se ilustra en la fórmula:
( a + b )( a − b ) = a2 − b2
Demostración
( a + b )( a − b ) = aa + ab − ba − bb
= a + ab − ab − b
2
= a -b
2
Propiedad distributiva
2
Ordendo los térmnos
2
Simplificando los términos semejantes
Ejercicios Resueltos:
Desarrolle el ejercicio: ( x + 6)( x − 6)
x2
6
El cuadrado del primer término
2
El cuadrado del segundo término
x −6
2
2
El cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término
( x + 6 )( x − 6 ) = x 2 − 62 = x 2 − 36
Desarrolle el ejercicio: ( m + 4 )( m − 4)
Aplicando directamente la fórmula se obtiene: m2 − 42 = m2 −16
Desarrolle el ejercicio:
( −2 x
3
+ 7 )( −2 x3 − 7 )
Aplicando directamente la fórmula se obtiene: ( −2 x3 ) - 7 2 = 4 x 6 − 49
2
( −2 x
3
+ 7 )( −2 x3 − 7 ) = 4 x 6 − 49
Ejercicios Propuestos
Respuestas
a)
1 
1

 2b −  2b + 
3 
3



6


4b 2 −
6


b)  3x 4 − y 3  3x 4 + y 3 
5
5
1
9
 8 36 6 
y 
 9x −
25 

Página 40
Binomios con término común
Son de la forma (𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃), su resultado es un trinomio cuyo desarrollo es:
•
•
•
El cuadrado del término común,
Más la suma de los términos no comunes por el término común,
Más el producto de los no comunes.
Ejemplo:
(𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) = 𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏
Demostración
Se realiza el producto de los binomios:
(𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) = 𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏
Se agrupan los términos semejantes y se obtiene la fórmula:
(𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) = 𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏 = 𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏
Ejercicios Resueltos:
1. Desarrolle el siguiente ejercicio propuesto: (𝒙 – 𝟔)(𝒙 + 𝟒).
Solución
Se desarrolla el procedimiento descrito:
•
•
El cuadrado del término común: (𝒙)𝟐 = 𝒙𝟐
La suma de los términos no comunes, multiplicada por el término común:
(− 𝟔 + 𝟒)(𝒙) = − 𝟐𝒙
• El producto de los términos no comunes: (− 𝟔)(𝟒) = − 𝟐𝟒
• Se suman los términos anteriores y se obtiene como resultado:
(𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟒) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒
2. Desarrolle el siguiente ejercicio propuesto: (𝒎 – 𝟑)(𝒎 – 𝟓)
Solución
•
Al aplicar la fórmula, se obtiene:
(𝒎 − 𝟑)(𝒎 − 𝟓) = 𝒎𝟐 + (− 𝟑 − 𝟓)𝒎 + (− 𝟑)(− 𝟓) = 𝒎𝟐 − 𝟖𝒎 + 𝟏𝟓
Página 41
3. Desarrolle el siguiente ejercicio propuesto: (𝟓𝒙 – 𝟒)(𝟓𝒙 − 𝟐)
Solución
•
Al aplicar la fórmula, se obtiene:
(𝟓𝒙 − 𝟒)(𝟓𝒙 − 𝟐) = (𝟓𝒙)𝟐 + [(−𝟒) + (−𝟐)](𝟓𝒙) + (− 𝟒)(−𝟐)
= 𝟐𝟓𝒙𝟐 + (− 𝟔)(𝟓𝒙) + 𝟖
= 𝟐𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝟎𝒙 + 𝟖
Ejercicios Propuestos
1. (𝑎2 𝑥 3 + 𝑏 4 )(𝑎2 𝑥 3 + 2𝑏 4 )
1
3
3
4
2
7
7
5
2. ( 𝑥 + 𝑦) ( 𝑦 − 𝑥)
Respuestas:
1. (𝑎4 𝑥 6 + 3𝑎2 𝑥 3 𝑏 4 + 2𝑏 8 )
9
2.
49
𝑦2 −
9
70
2
𝑥𝑦 − 𝑥 2
5
Cubo de un binomio
Es de la forma (𝒂 + 𝒃)𝟑 , su desarrollo es un polinomio de cuatro términos, al que se
denomina cubo perfecto y su desarrollo es:
•
•
•
•
El cubo del primer término,
Más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo,
Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo,
Más el cubo del segundo.
Aplicando la fórmula sería
(𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝑎3 + 3 𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3
Demostración
La expresión (𝒂 + 𝒃)𝟑 es equivalente al producto (𝒂 + 𝒃)𝟐 (𝒂 + 𝒃)
Entonces: (𝒂 + 𝒃)𝟑 = (𝑎 + 𝑏)2 (𝑎 + 𝑏) = (𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 )(𝑎 + 𝑏)
= 𝑎3 + 𝑎2 𝑏 + 2𝑎2 𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 𝑎𝑏2 + 𝑏3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3
Página 42
Ejercicios Resueltos:
1. Desarrolle el siguiente ejercicio propuesto: (𝒎 + 𝟓)𝟑
Solución
Se obtiene cada uno de los términos que conforman al cubo perfecto:
•
•
•
•
•
El cubo del primer término: (𝒎)𝟑 = 𝒎𝟑
El triple del cuadrado del primero por el segundo: 𝟑(𝒎)𝟐 (𝟓) = 𝟏𝟓𝒎𝟐
El triple del primero por el cuadrado del segundo: 𝟑(𝒎)(𝟓)𝟐 = 𝟑(𝒎)(𝟐𝟓) = 𝟕𝟓𝒎
El cubo del segundo: (𝟓)𝟑 = 𝟏𝟐𝟓
Estos resultados se suman y se obtiene: (𝒎 + 𝟓)³ = 𝒎³ + 𝟏𝟓𝒎² + 𝟕𝟓𝒎 + 𝟏𝟐𝟓
2. Desarrolle el siguiente ejercicio propuesto (𝒙 – 𝟒)𝟑
Solución
El binomio se expresa de la siguiente manera: (𝒙 – 𝟒)𝟑 = [(𝒙) + (− 𝟒)]𝟑 , se obtiene cada
uno de los términos del cubo perfecto:
•
•
•
•
•
El cubo del primer término: (𝒙)𝟑 = 𝒙𝟑
El triple del cuadrado del primero por el segundo: 𝟑(𝒙)𝟐 (− 𝟒) = − 𝟏𝟐𝒙𝟐
El triple del primero por el cuadrado del segundo: 𝟑(𝒙)(−𝟒)𝟐 = 𝟑(𝒙)(𝟏𝟔) = 𝟒𝟖𝒙
El cubo del segundo término: (− 𝟒)𝟑 = − 𝟔𝟒
Finalmente, el desarrollo es: (𝒙 – 𝟒)𝟑 = 𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝟖𝒙 – 𝟔𝟒
3. Desarrolle el siguiente ejercicio propuesto (− 𝟐𝒎 – 𝟑𝒏)𝟑
Solución
El binomio se representa como: (− 𝟐𝒎 − 𝟑𝒏)𝟑 = [(− 𝟐𝒎) + (− 𝟑𝒏)]𝟑, se aplica la regla
general:
(− 𝟐𝒎 − 𝟑𝒏)𝟑 = (− 𝟐𝒎)𝟑 + 𝟑(− 𝟐𝒎)𝟐 (−𝟑𝒏) + 𝟑(− 𝟐𝒎)( − 𝟑𝒏)𝟐 + (− 𝟑𝒏)𝟑
= (− 𝟖𝒎𝟑 ) + 𝟑(𝟒𝒎𝟐)(− 𝟑𝒏) + 𝟑(− 𝟐𝒎)(𝟗𝒏𝟐) + (− 𝟐𝟕𝒏𝟑 )
= − 𝟖𝒎𝟑 − 𝟑𝟔𝒎𝟐 𝒏 – 𝟓𝟒𝒎𝒏𝟐 − 𝟐𝟕𝒏𝟑
Página 43
Ejercicios Propuestos
1. (2𝑥 2𝑎−3 − 3𝑦 4𝑎+1 )3
1
2. (3 𝑥 4 + 𝑦)
3
Respuestas:
1. (8𝑥 6𝑎−9 − 36𝑥 4𝑎−6 𝑦 4𝑎+1 + 54𝑥 2𝑎−3 𝑦 8𝑎+2 − 27𝑦 12𝑎+3
2.
1
1
𝑥 12 + 3 𝑥 8 𝑦 + 𝑥 4 𝑦 2 + 𝑦 3
27
Otra manera de resolver estos productos, llamados productos notables, ocurren con
frecuencia en álgebra.
Se calcula con facilidad usando el método PP-PS-SP-SS (primero por primero, primero
por segundo, segundo por primero, segundo por segundo) para multiplicar dos binomios.
Ejemplo #1: Uso PP-PS-SP-SS
Ejercicios resueltos por este método:
a. (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟑) = 𝑥 2 + 3𝑥 − 3𝑥 − 9 = 𝑥 2 − 9
PP PS SP SS
b. (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟏) = 𝑥 2 + 𝑥 + 3𝑥 + 3 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 3
c. (𝟐𝒙 + 𝟏)(𝟑𝒙 + 𝟒) = 6𝑥 2 + 8𝑥 + 3𝑥 + 4 = 6𝑥 2 + 11𝑥 + 4
Página 44
Ejercicios Propuestos:
Multiplique los polinomios usando el método PP-PS-SP-SS. Exprese su respuesta como
un polinomio en la forma estándar:
Ejercicios Propuestos
1. (𝑥 + 2)(𝑥 + 4)
2. (2𝑥 + 3𝑦)(𝑥 − 𝑦)
3. (𝑥 − 2𝑦)(𝑥 + 𝑦)
Respuestas:
1. 𝑥 2 + 6𝑥 + 8
2. 2𝑥 2 + 𝑥𝑦 − 3𝑦 2
3. 𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 2𝑦 2
Algunos productos tienen nombres especiales debido a su forma. Los siguientes
productos notables están basados en los siguientes ejemplos:
Diferencia de Cuadrados:
Binomio al Cuadrado o Cuadrado Perfecto:
Uso de las fórmulas de productos notables:
a)
b)
c)
d)
(𝑥 − 5)(𝑥 + 5) = 𝑥 2 − 52 = 𝑥 2 − 25
(𝑥 + 7)2 = 𝑥 2 + 2(𝑥 )(7) + 72 = 𝑥 2 + 14𝑥 + 49
(2𝑥 + 1)2 = (2𝑥 )2 + 2(2𝑥 )(1) + 12 = 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1
(3𝑥 − 4)2 = (3𝑥 )2 − 2(3𝑥 )(4) + 42 = 9𝑥 2 − 24𝑥 + 16
Página 45
Ejercicios propuestos
Multiplique los polinomios usando el método PP-PS-SP-SS. Exprese su respuesta como
un polinomio en la forma estándar:
Ejercicios Propuestos
1.
2.
3.
4.
5.
(−2𝑥 + 3)(𝑥 − 4)
(𝑥 + 2)2
(4𝑥 − 3)2
(2𝑥 − 3𝑦)2
(3𝑥 − 2)2
Respuestas:
1.
2.
3.
4.
5.
−2𝑥 2 + 11𝑥 − 12
𝑥 2 + 4𝑥 + 4
16𝑥 2 − 24𝑥 + 9
4𝑥 2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦 2
27𝑥 3 − 54𝑥 2 + 36𝑥 − 8
ENLACES DE VIDEOS PARA REFORZAR
Productos Notables
https://youtu.be/TsBWIp2-1fg
https://www.youtube.com/watch?v=I1L8F3o93q0
ENLACES DIDÁCTICOS PARA PRACTICAR
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/ejerciciosinteractivos-de-identidades-notables.html
https://es.educaplay.com/recursos-educativos/5272528-productos_notables.html
https://es.educaplay.com/recursos-educativos/9320556-productos_notables.html
https://es.liveworksheets.com/worksheets/es/Matem%C3%A1ticas/Algebra/Productos_N
otables_dn1031780sd
Página 46
https://www.matematicasonline.es/algebraconpapas/recurso/tests/identidadesnotables/n
otables01.htm
https://www.cerebriti.com/juegos-de-matematicas/cuadrado-de-un-binomio
https://www.cerebriti.com/juegos-de-matematicas/cuadrado-de-un-trinomio
https://www.cerebriti.com/juegos-de-matematicas/practiquemos-cubo-de-binomio-
Se recomienda ir practicando todos los ejercicios mientras se ven los videos para mejor
entendimiento de las operaciones y poder recordar cada una de ellas.
COMO AUTOPREPARACION REALIZAR LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:
TEXTO BASE Matemáticas Simplificadas: Capitulo 3 Algebra: Productos Notables.
Ejercicios # 34
Pagina 296
Ejercicios # 35
Pagina 299
Ejercicios # 36
Pagina 302
Ejercicios # 37
Pagina 304
SOLUCIONARIO DE LOS EJERCICIOS: PAGINA # 1467 y 1468
Revise en el TEXTO BASE Matemáticas Simplificadas, páginas 294 hasta la 304.
Página 47
Tema 4: Factorización.
Factorizar es expresar una suma o diferencia de términos como el producto indicado de
sus factores; éstos se presentan en la forma más simple.
Factor Común.
Es la expresión común que tienen todos los términos de una expresión algebraica.
Ejercicios Resueltos:
1. Factorice la siguiente expresión: 𝟐𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟖 𝒙𝟒
Solución:
• Se determina el máximo común divisor (números y letras) y el exponente con menor
valor: 𝟐𝒙𝟐
• Dividimos cada término para el factor común, obteniendo como resultado
𝟐𝒙𝟐 (𝒙 + 𝟐 − 𝟒𝒙𝟐)
2. Factorice la siguiente expresión: 𝟓𝒙𝟒 𝒚𝟐 − 𝟑𝒙𝟓 𝒚𝟑 + 𝟐𝒙𝟑 𝒚𝟒
Solución:
• Se determina el máximo común divisor (números y letras) y el exponente con menor
valor: 𝒙𝟑 𝒚𝟐
• Dividimos cada término para el factor común, obteniendo como resultado
𝒙𝟑 𝒚𝟐 (𝟓𝒙 − 𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝟐𝒚𝟐 )
Atención: Se recomienda en cada uno de los ejercicios propuestos no ver las soluciones hasta
resolver de forma autónoma. Las respuestas a continuación están solo para confirmar que el proceso
se ha realizado de forma correcta, llegando a su respuesta
Ejercicios Propuestos
1. 3𝑥 2 𝑦 − 6𝑥𝑦 2 + 12 𝑥𝑦
2. 60𝑎5 𝑏2 − 48𝑎𝑏3 − 72𝑎𝑏2
Respuestas:
1. 3𝑥𝑦(𝑥 − 2𝑦 + 4)
2. 12𝑎𝑏 2 (5𝑎4 − 4𝑏 − 6)
Página 48
Factor Común por Agrupamiento
Se agrupan los términos que tengan algún factor en común, de tal modo que la expresión
restante pueda factorizarse.
Ejercicios Resueltos:
1. Factorice la siguiente expresión: 𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒂𝒚 + 𝒃𝒚
Solución:
• Agrupe los términos, precedidos del signo más, debido a que el tercer término
contiene ese signo: (𝒂𝒙 + 𝒃𝒙) + (𝒂𝒚 + 𝒃𝒚)
• Busque los respectivos factores comunes de ambos grupos: El factor común del
primer grupo es: 𝒙 y del segundo grupo es: 𝒚.
• Se factoriza cada agrupación, obteniendo lo siguiente: 𝒙(𝒂 + 𝒃) + 𝒚(𝒂 + 𝒃)
• Se observa que hay un factor común que es: (𝒂 + 𝒃)
• Por tanto, se obtiene como resultado: (𝒂 + 𝒃)(𝒙 + 𝒚)
2. Factorice la siguiente expresión: 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝒚 − 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚
Solución:
• Agrupe los términos, precedidos del signo menos, debido a que el tercer término
contiene ese signo: (𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝒚) − (𝟒𝒙 − 𝟔𝒚)
• Busque los respectivos factores comunes de ambos grupos. Se puede percatar que
en el segundo término solo los coeficientes tienen factor común: 𝒙(𝟐𝒙 − 𝟑𝒚) −
𝟐(𝟐𝒙 − 𝟑𝒚)
• Se observa que hay un factor común que es: (𝟐𝒙 − 𝟑𝒚)
• Por tanto, se obtiene como resultado: (𝟐𝒙 − 𝟑𝒚) (𝒙 − 𝟐)
Nota Importante: La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que
los términos que se agrupan tengan algún factor común, y siempre que los términos que quedan
dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales.
Página 49
Ejercicios Propuestos
1. 3𝑚2 − 6mn + 4m − 8n
2. 3𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 − 2𝑏𝑥 − 6𝑎 + 3𝑎𝑦 + 4𝑏
Respuestas:
a) (𝑚 − 2𝑛)(3𝑚 + 4)
b) (3𝑎 − 2𝑏)(𝑥 + 𝑦 − 2)
Trinomio de la Forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Esta expresión resulta del producto de binomios con término común.
Ejercicios Resueltos:
1. Factorice la siguiente expresión: 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔
Solución
a) El trinomio se descompone en un producto de dos factores binomios cuyo primer
término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio (ya ordenado).
(𝒙
)(𝒙
)
b) El signo del primer factor es igual al signo del segundo término del trinomio y el
signo del segundo factor es igual a la multiplicación del signo del segundo
término por el signo del tercer término.
+ ∗ +
𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 = (𝒙 +
=+
)(𝒙 +
)
c) Descomponemos el tercer término en sus factores primos y si los signos de los
dos factores son iguales se buscan dos números cuya suma sea el coeficiente del
segundo término y cuyo producto o multiplicación sea el igual al tercer término
independiente.
Página 50
d) Si los signos son distintos se buscan dos números que cuya diferencia sea el
coeficiente de segundo término y cuyo producto sea igual al tercer término.
𝒕𝒆𝒓𝒄𝒆𝒓 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 = 𝟔 ⇒ 𝟑 ∗ 𝟐
𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 = (𝒙 + )(𝒙 + )
= (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐)
Ejercicios Resueltos:
1. Factorice la siguiente expresión: 𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐
Solución
•
Descomponemos el tercer término en factores primos: 𝒕𝒆𝒓𝒄𝒆𝒓 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 = 𝟏𝟐 =
𝟒 ∗ 𝟑 = 𝟔 ∗ 𝟐 = 𝟏𝟐 ∗ 𝟏
•
Buscamos dos números cuya suma sea el coeficiente del segundo término y cuyo
producto o multiplicación sea el igual al tercer término independiente: 𝟒 ∗ 𝟑
•
Por tanto, se obtiene la siguiente solución: (𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟑)
2. Factorice la siguiente expresión: 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟏𝟒
Solución
•
•
•
Descomponemos el tercer término en factores primos: 𝒕𝒆𝒓𝒄𝒆𝒓 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 = 𝟕 ∗ 𝟐 =
𝟏𝟒 ∗ 𝟏
Buscamos dos números cuya suma sea el coeficiente del segundo término y cuyo
producto o multiplicación sea el igual al tercer término independiente: +(−𝟕) ∗ 𝟐
Por tanto, se obtiene la siguiente solución: (𝒙 − 𝟕)(𝒙 + 𝟐)
Atención: Se recomienda en cada uno de los ejercicios propuestos no ver las
soluciones hasta resolver de forma autónoma. Las respuestas a continuación están
solo para confirmar que el proceso se ha realizado de forma correcta, llegando a su
respuesta
Ejercicios Propuestos
1. 𝑥 2 − 7x − 30
2. 7𝑎 + 𝑎2 − 18
Respuestas:
1. (𝑥 − 10)(x + 3)
2. (𝑎 + 9)(𝑎 − 2)
Página 51
Trinomio de la Forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
En este trinomio el coeficiente del término cuadrático es diferente de uno.
Ejercicios Resueltos (METODO 1):
1. Factorice la siguiente expresión: 𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟔
Solución
a) Se multiplica y divide todo el polinomio por el coeficiente del primer término. En el
caso del segundo término sólo se deja indicada la multiplicación
𝟐(𝟐𝐱 𝟐 ) + 𝟐(𝟕𝐱) + 𝟐(𝟔)
2
𝟒𝐱 𝟐 + 𝟕(𝟐𝐱) + 𝟏𝟐
𝟐
(𝟐𝐱)𝟐 + 𝟕(𝟐𝐱) + 𝟏𝟐
𝟐
b) Se factoriza la expresión con el trinomio de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 del numerador y
se obtiene:
(𝟐𝐱 + 𝟒 ) + (𝟐𝐱 + 𝟑)
𝟐
c) Se extrae factor común en uno o en los dos factores.
𝟐(𝐱 + 𝟐 ) + (𝟐𝐱 + 𝟑)
𝟐
d) Por último, se simplifica
(𝒙 + 𝟐)(𝟐𝒙 + 𝟑)
Ejercicios Resueltos (METODO 2):
1. Factorice la siguiente expresión: 𝟔𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟔
Solución
a) Descomponemos el primer y el tercer término del polinomio ordenado y
multiplicamos en forma de aspa o cruz
Si este resultado no nos da el segundo término se ensaya con
otros factores.
Página 52
b) Si el resultado de la suma nos da el segundo término entonces se toman los factores
en forma horizontal: (𝟑𝒙 + 𝟐)(𝟐𝒙 − 𝟑)
Atención: Se recomienda en cada uno de los ejercicios propuestos no ver las
soluciones hasta resolver de forma autónoma. Las respuestas a continuación están
solo para confirmar que el proceso se ha realizado de forma correcta, llegando a su
respuestaPropuestos
Ejercicios
1. 6𝑚2 − 13am − 15𝑎2
2. 6𝑥 2 − 19x + 15
Respuestas:
1. (6𝑚 + 5𝑎)(m − 3a)
2. (3𝑥 − 5)(2𝑥 − 3)
Suma o diferencia de potencias impares iguales
Dadas las expresiones de la forma 𝒂𝒏 + 𝒃𝒏 𝒐 𝒂𝒏 − 𝒃𝒏 − siendo n un número impar, su
factorización es de la siguiente forma:
𝒂𝒏 + 𝒃𝒏 = (𝒂 + 𝒃)( 𝒂𝒏−𝟏 − 𝒂𝒏−𝟐 𝒃 + 𝒂𝒏−𝟑 𝒃𝟐 − ⋯ − 𝒂𝒃𝒏−𝟐 + 𝒃𝒏−𝟏 )
𝒂𝒏 − 𝒃𝒏 = (𝒂 − 𝒃)( 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 𝒃 + 𝒂𝒏−𝟑 𝒃𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒃𝒏−𝟐 + 𝒃𝒏−𝟏 )
Ejercicios Resueltos:
1. Factorice la siguiente expresión: 𝒙𝟕 + 𝒚𝟕
Solución
• Se extrae la raíz séptima de ambos términos:
𝟕
√𝒙𝟕 = 𝒙
𝟕
√𝒚𝟕 = 𝒚
• Se sustituye en su fórmula y se obtiene como resultado:
𝒙𝟕 + 𝒚𝟕 = (𝒙 + 𝒚)(𝒙𝟕−𝟏 − 𝒙𝟕−𝟐 𝒚 + 𝒙𝟕−𝟑 𝒚𝟐 − 𝒙𝟕−𝟒𝒚𝟑 + 𝒙𝟕−𝟓𝒚𝟒 − 𝒙𝟕−𝟔𝒚𝟓 + 𝒚𝟔 )
= (𝒙 + 𝒚)(𝒙𝟔 − 𝒙𝟓 𝒚 + 𝒙𝟒 𝒚𝟐 − 𝒙𝟑 𝒚𝟑 + 𝒙𝟐 𝒚𝟒 − 𝒙𝒚𝟓 + 𝒚𝟔 )
2. Factorice la siguiente expresión: 𝒙𝟓 − 𝟑𝟐
Página 53
Solución
Se descompone 32 en sus factores primos y se aplica la fórmula:
𝒙𝟓 − 𝟑𝟐 = 𝒙𝟓 −𝟐𝟓
= (𝒙 − 𝟐)(𝒙𝟓−𝟏 + 𝒙𝟓−𝟐 (𝟐) + 𝒙𝟓−𝟑 (𝟐)𝟐 + 𝒙𝟓−𝟒 (𝟐)𝟑 + (𝟐)𝟒 )
= (𝒙 − 𝟐)(𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔
Ejercicios Propuestos
1. 𝑥 3 + 64𝑦 3
2. 243 − 32𝑥 2
Respuestas:
1. (𝑥 + 4𝑦)(𝑥 2 − 4xy + 16𝑦 2 )
2. (3 − 2𝑥)(81 + 54𝑥 + 36𝑥 2 + 24𝑥 3 + 16𝑥 4 )
ENLACES DE VIDEOS PARA REFORZAR
Ahora observa el siguiente video para reforzar el contenido de factorización:
https://www.youtube.com/watch?v=DpeJFPbxlks
https://youtu.be/LbT-_s7aqug
ENLACES DIDÁCTICOS PARA PRACTICAR
https://es.educaplay.com/recursos-educativos/7829093-factorizacion.html
https://es.educaplay.com/recursos-educativos/6709049-factorizacion_1.html
https://es.educaplay.com/recursos-educativos/6040201trinomio_de_la_forma_x2_bx_c.html
https://es.educaplay.com/recursos-educativos/7817944-factorizacion.html
https://www.cerebriti.com/juegos-de-matematicas/-practica-ejercicios-matematicos
https://www.cerebriti.com/juegos-de-matematicas/factorizacion-3
Página 54
COMO AUTOPREPARACION REALIZAR LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:
TEXTO BASE Matemáticas Simplificadas: Capitulo 4 Algebra:
Factorización.
Ejercicios # 39
Pagina 309
Ejercicios # 40
Pagina 310
Ejercicios # 41
Pagina 312
Ejercicios # 43
Pagina 317
Ejercicios # 44
Pagina 320
Ejercicios # 45
Pagina 321
Ejercicios # 46
Pagina 323
SOLUCIONARIO DE LOS EJERCICIOS: PAGINA # 1468,1469 y 1470
Revise en el TEXTO BASE Matemáticas Simplificadas, Páginas 308 hasta 323.
Página 55
Bibliografía
•
Márquez Aguilar Arturo, Matemáticas Simplificadas, Person, 2 ed., 2009
•
ESPOL, Fundamentos de matemáticas para bachillerato, ESPOL, 2 ed., 2006.
•
Lara Jorge, Arroba Jorge, Análisis Matemático, Centro Matemática Universidad
Central del Ecuador, 2007.
•
Fernández Hernández, Sarmiento Lugo, Estadística descriptiva, Ediciones de la U, 1
ed., 2013.
•
Martinez Bencardino, Estadística y muestreo, Ecoe, 13 ed., 2012.
•
Mario F. Triola, Estadística, Pearson, a, 2009.
•
Myers W., Probabilidad y estadística para ingenieros, Mc Graw Hill, 8A, 2000.
•
Barbancho, Ejercicio de Estadística Descriptiva, ARIEL, 1, 1975.
•
KUBY, J., Estadística Elemental, Cengage Learning., 11, 2012.
•
Del Castillo Galarza, R. y Salazar Pinto, R. (2018). Fundamentos básicos de
estadística. Quito, Ecuador: Del Castillo Galarza, Raúl Santiago,2018
Webgrafía
https://www.ecuadorencifras.gob.ec/estadisticas/
Consultado 12 diciembre 2020
https://www.salud.gob.ec/actualizacion-de-casos-de-coronavirus-en-ecuador/
Consultado 3 enero 2021
Página 56
LAS SIGUIENTES INDICACIONES SÓLO SE
APLICAN PARA LOS ASPIRANTES QUE
ESCOGIERON EL CURSO REGULAR
Directrices Generales de Unidad
La tabla muestra las fechas de inicio y finalización de la unidad 1; así como fechas de
apertura y cierre de las actividades calificadas.
UNIDAD
1
INICIA
FINALIZA ACTIVIDADES POR UNIDAD PUNTOS
20-jun
Crucigrama Unidad 1
Práctica Unidad 1
Test Unidad 1
15-jul
1
5
10
FECHA ACTIVIDAD
Apertura Cierre
6-jul
10-jul
6-jul
10-jul
11-jul
15-jul
Actividades a desarrollar en la unidad
La presente guía de estudios plantea el desarrollo de actividades que contribuirán al
aprendizaje integral de los contenidos propuestos en cada uno de los ejes temáticos que
corresponden a la presente unidad. Ante lo expuesto, los estudiantes deberán:
Actividad No. 1 (Autoaprendizaje) Revisión de material didáctico
Desarrollar lectura comprensiva e inferencial, observación y escucha de resolución de
ejercicios resueltos y de aplicación activa de documentos y materiales audiovisuales a
los cuales podrán acceder mediante enlaces compartidos en este documento o
directamente de Aula Virtual de Nivelación de la Asignatura Matemáticas.
Los contenidos expuestos en cada uno elementos del material didáctico serán
considerados en la Práctica Unidad 1, el Crucigrama1 y el Test Unidad1.
Página 57
Componente: Prácticas de Aplicación y Experimentación.
Actividad No. 2 Juego: Crucigrama 1
En Aula Virtual de Nivelación de la Asignatura Matemáticas, Realizar el Crucigrama1.
Serán considerados los contenidos de la Guía de Estudios de la Unidad 1 y del material
de autoaprendizaje; el crucigrama 1 se ponderará con 1 punto en el parámetro
Prácticas de Aplicación y Experimentación.
Fechas de inicio:
6 de julio del 2022 00h00
Fecha de cierre:
10 de julio del 2022 23h55
Número de palabras:
5
Tiempo:
5 minutos
Número de intentos:
1
Componente: Prácticas de Aplicación y Experimentación.
Actividad No. 3 Práctica Unidad 1
En Aula Virtual de Nivelación de la Asignatura Matemáticas, realizar la Práctica de la
Unidad 1.
Serán considerados los contenidos de la Guía de Estudios de la Unidad 1 y del material
de autoaprendizaje, la Práctica 1 se ponderará con 5 puntos en el parámetro
Prácticas de Aplicación y Experimentación.
Fechas de inicio:
6 de julio del 2022 00h00
Fecha de cierre:
10 de julio del 2022 23h55
Número de preguntas:
5
Puntaje por pregunta:
1 pto.
Tiempo:
15 minutos
Número de intentos:
1
Página 58
Componente: Docencia.
Actividad No. 4 Test Unidad 1
En Aula Virtual de Nivelación de la Asignatura Matemáticas, realizar el Test de la unidad
1.
Serán considerados los contenidos de la Guía de Estudios de la Unidad 1 y del material
de autoaprendizaje, el test de la Unidad 1 ponderará con 10 puntos en el parámetro
de Docencia.
Fechas de inicio:
11 de julio del 2022 00h00
Fecha de cierre:
15 de julio del 2022 23h55
Número de preguntas:
10
Puntaje por pregunta:
1 pto.
Tiempo:
30 minutos
Número de intentos:
1
Página 59