Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Matemáticas discretas
Teoría de grafos - Introducción
Mtro. Hugo Aarón González Galindo
Universidad Tres Culturas - Ecatepec
Semana 05
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Ejercicios
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Índice I
1
2
Objetivos de la unidad
Introducción a teoría de grafos
¿Dónde comenzó todo?
Definiciones y conceptos
Primeras definiciones
Ejemplos de grafos
Mtro. Hugo A. González
3
4
5
Terminología en teoría de grafos
Familias distinguidas de grafos
simples
Ejercicios
Ejercicio (1a parte) Ejercicio (2a parte) -
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Objetivos temas de la unidad I
Objetivos
♠ Conocer los conceptos básicos de la teoría de grafos.
♠ Modelar problemas usando grafos.
♠ Resolver problemas usando grafos.
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Ejercicios
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Sección 1
Introducción a teoría de
grafos
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Introducción a teoría de grafos I
La Teoría de Grafos nace del análisis sobre una inquietud presentada en la isla
Kueiphof en (Pomerania) ya que el río
que la rodea se divide en dos brazos.
Mtro. Hugo A. González
Sobre los brazos estaban construidos
siete puentes y para los habitantes era
motivo de distracción descubrir un itinerario de manera que pudieran regresar al punto de partida, después de haber cruzado por los siete puentes pero
pasando sólo una vez por cada uno de
ellos.
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Introducción a teoría de grafos II
El problema reducido a puntos y líneas
equivale a un grafo.
El problema ahora se convierte en dibujar el grafo, partiendo de un punto, sin
volver a pasar sobre cualquier línea y sin
levantar el lápiz del papel.
El problema
no tiene solución.
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Sección 2
Definiciones y conceptos
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Conceptos básicos I
Definición 1. Conceptos básicos
♠ Un grafo simple G = (V, E) consta de V, un conjunto no vacío de vértices,
y de E, un conjunto de pares no ordenados de elementos distintos de V.
A estos pares se les llama aristas.
♠ Un multigrafo G = (V, E) consta de un conjunto V de vértices, un conjunto
E de aristas y una función f de E en {{u, v} | u, v ∈ V, u , v}. Se dice que
las aristas e1 y e2 son aristas múltiples o paralelas si f (e1 ) = f (e2 ).
♠ Un pseudografo G = (V, E) consta de un conjunto V de vértices, un
conjunto E de aristas y una función f de E en {{u, v} | u, v ∈ V}. Una arista
e es un bucle, o lazo, si f (e) = {u, u} = {u} para algún u ∈ V.
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Conceptos básicos II
♠ Un grafo dirigido (V, E) consta de un conjunto V de vértices y de un
conjunto E de aristas, que son pares ordenados de elementos de V.
♠ Un multigrafo dirigido g = (V, E) consta de un conjunto V de vértices, un
conjunto E de aristas y una función f de E en {(u, v) | u, v ∈ V}. Se dice
que las aristas e1 y e2 son aristas múltiples si f (e1 ) = f (e2 ).
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Conceptos básicos III
Tipos
Aristas
¿Tiene aristas múltiples?
¿Tiene bucles?
Grafo simple
No dirigidas
No
No
Multigrafo
No dirigidas
Sí
No
Pseudografo
No dirigidas
Sí
Sí
Grafo dirigido
Dirigidas
No
Sí
Multigrafo dirigido
Dirigidas
Sí
Sí
Cuadro: Terminología de teoría de grafos
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Examen Parcial I
c
a
b
a
a
d
e
b
e
b
c
f
(a) Grafo simple
c
d
(b) Multigrafo
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
d
(c) Pseudografo
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Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Examen Parcial II
c
b
a
b
c
a
d
e
f
(d) Grafo dirigido
Mtro. Hugo A. González
d
e
f
(e) Multigrafo dirigido
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Sección 3
Terminología en teoría de
grafos
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Terminología en teoría de grafos I
Introduciremos vocabulario básico de la
teoría de grafos. Utilizaremos este vocabulario para resolver distintos tipos de
problemas.
Determinación si un grafo es plano.
Introduciremos varias familias de
grafos.
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Ejercicios
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Terminología en teoría de grafos II
Definición 2.
Se dice que dos vértices u y v de un grafo no dirigido G son adyacentes
(o vecinos) en G si {u, v} es una arista de G. Si e = {u, v}, se dice que la
arista e es incidente con los vértices u y v. También se dice que la arista
e conecta u y v. Se dice que los vértices u y v son extremos de la arista
e.
El grado de un vértice de un grafo no dirigido es el número de aristas
incidentes con él, exceptuando los bucles, cada uno de los cuales contribuye con dos unidades el grado del vértice. El grado del vértice v se
denota por δ(v).
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Terminología en teoría de grafos III
Si (u, v) es una arista del grafo dirigido G, se dice que u es adyacente a
v y que v es adyacente desde u. Al vértice u se le llama vértice inicial
de (u, v) y a v se le llama vértice final o terminal de (u, v). Los vértices
inicial y final de un bucle coinciden.
En un grafo dirigido, el grado de entrada de un vértice v, denotado por
δ− (v), es el número de aristas que tienen a v como vértice final. El grado
de salida de un vértice v, denotado por δ+ (v), es el número de aristas que
tienen a v como vértice inicial (un bucle contribuye con una unidad tanto
al grado de entrada como al grado de salida del vértice correspondiente).
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Terminología en teoría de grafos IV
Teorema 1. El teorema de los apretones de manos
Sea G = (V, E) un grafo no dirigido con e aristas. Entonces,
X
2e =
δ(v)
v∈V
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Ejercicios
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Sección 4
Familias distinguidas de
grafos simples
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Familias distinguidas de grafos simples I
Introduciremos a continuación varias
clases de grafos simples. Estos grafos
se usan con frecuencia como ejemplos
y aparecen en muchas aplicaciones.
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Ejercicios
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Familias distinguidas de grafos simples II
Definición 3.
Grafos completos El grafo completo de n vértices, que se denota por Kn ,
es el grafo simple que contiene exactamente una arista entre cada par
de vértices distintos.
Ciclos El ciclo Cn , n ≥ 3, consta de n vértices v1 , v2 , . . . , vn y aristas
{v1 , v2 }, {v2 , v3 }, . . . , {vn−1 , vn } y {vn , v1 }.
Ruedas Obtenemos la rueda Wn cuando añadimos un vértice adicional al ciclo
Cn , para n ≥ 3, y conectamos este nuevo vértice con cada uno de los
vértices de Cn mediante una nueva arista.
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Familias distinguidas de grafos simples III
n-Cubos El cubo n-dimensional, o n−cubo, denotado por Qn , es el grafo cuyos
vértices representan las 2n cadenas de bits de longitud n. Dos vértices son
adyacentes si, y sólo si, las cadenas de bits a las que representan difieren
exactamente en un bit.
Grafos bipartitos Un grafo simple G es bipartito si su conjunto de vértices V
se puede dividir en dos conjuntos disjuntos V1 y V2 tales que cada arista
del grafo conecta un vértice de V1 con un vértice de V2 .
Grafos bipartitos completos El grafo bipartito completo Km,n es el grafo
cuyo conjunto de vértices está formado por dos subconjuntos con m y n
vértices, respectivamente, y hay una arista entre dos vértices si, y sólo
si, un vértice está en el primer subconjunto y el otro vértice está en el
segundo subconjunto.
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Familias distinguidas de grafos simples IV
(a) K1
(b) K2
(e) K5
(c) K3
(f) K6
Figura: Los grafos Kn para 1 ≤ n ≤ 6
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
(d) K4
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Familias distinguidas de grafos simples V
(a) C3
(b) C4
(c) C5
Figura: Los ciclos C3 , C4 , C5 y C6 .
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
(d) C6
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Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Familias distinguidas de grafos simples VI
(a) W3
(b) W4
(c) W5
Figura: Las ruedas W3 , W4 , W5 y W6 .
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
(d) W6
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Familias distinguidas de grafos simples VII
110
10
111
11
010
011
100
0
1
(a) Q1
00
01
000
(b) Q2
Figura: Los n-cubos Qn , par n = 1, 2, 3.
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
101
001
(c) Q3
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Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Familias distinguidas de grafos simples VIII
(a) K2,3
(b) K3,3
(c) K4,4
(d) K2,5
Figura: Algunos grafos completos bipartitos
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Ejercicios
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Sección 5
Ejercicios
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Ejercicios
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Ejercicio 1a parte I
Ejercicio 1.
Determinar si los grafos que se muestra es un grafo simple, un multigrafo (y
no un grafo simple), un pseudografo (y no un multigrafo), un grafo dirigido o
un multigrafo dirigido (y no un grafo dirigido).
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
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Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Ejercicio 1a parte II
a
b
c
d
a
b
c
(a)
b
c
d
d
(b)
Mtro. Hugo A. González
a
(c)
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Ejercicio 1a parte III
b
a
b
c
e
a
e
c
d
d
(d)
(e)
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Ejercicio 1a parte IV
a
b
f
a
c
e
d
e
d
b
c
(f)
(g)
Figura: Ejercicio 1
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Ejercicio 1a parte V
Ejercicio 2.
El grafo de intersección de una colección de conjuntos A1 , A2 , . . . , An es el
grafo que tiene un vértice por cada conjunto y que tiene una arista entre
los vértices que representan a dos conjuntos si esos dos conjuntos tienen
intersección no vacía. Construye el grafo de intersección de las siguientes
colecciones de conjuntos:
2.1. A1
A2
A3
A4
A5
= {0, 2, 4, 6, 8},
= {0, 1, 2, 3, 4},
= {1, 3, 5, 7, 9},
= {5, 6, 7, 8, 9},
= {0, 1, 8, 9}.
2.2. A1
A2
A3
A4
A5
Mtro. Hugo A. González
= {. . . , −4, −3, −2, −1, 0},
= {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .},
= {. . . , −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, . . .},
= {. . . , −5, −3, −1, 1, 3, 5, . . .},
= {. . . , −6, −3, 0, 3, 6, . . .}.
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicio 1a parte VI
2.3. A1
A2
A3
A4
A5
A6
= {x | x < 0},
= {x | −1 < x < 0},
= {x | 0 < x < 1},
= {x | −1 < x < 1},
= {x | x > −1}
= R.
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Ejercicios
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Ejercicio 1a parte VII
Ejercicio 3.
Dibuja un grafo que represente el que Tom y Patricia, Tom y Hope, Tom y
Sandy, Tom y Amy, Tom y Marika, Jeff y Patricia, Jeff y Mary, Patricia y
Hope, Amy y Hope y Amy y Marika se conocen, pero que ningún otro par de
las personas enumeradas se conoce.
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
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Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Ejercicio 1a parte VIII
Ejercicio 4.
Construye un grafo de influencias para la junta directiva de una empresa si
el presidente puede influir en el director de investigación y desarrollo, en el
director de marketing y en el director de operaciones; el director de investigación y desarrollo puede influir en el director de operaciones; el director de
marketing puede influir en el director de operaciones, y nadie puede influir en
el director financiero ni tampoco ser influido por él.
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Ejercicio 1a parte IX
Ejercicio 5.
Construye un grafo
S 1 : x := 0
S 2 : x := x + 1
S 3 : y := 2
S 4 : z := y
S 5 : x := x + 2
S6 : y = x + z
S 7 : z := 4
de
precedencia
Mtro. Hugo A. González
para
el
Matemáticas discretas
siguiente
programa:
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Ejercicio (2a parte) - I
Ejercicio 6.
Dibuja los siguiente grafos.
6.1. K7
6.2. K1,8
6.3. K4,4
6.4. C7
6.5. W7
Ejercicio 7.
Determina si cada uno de los grafos es o no bipartito.
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
6.6. Q4
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Ejercicio (2a parte) - II
b
a
c
b
a
d
e
c
d
e
(a)
(b)
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Ejercicio (2a parte) - III
b
c
a
a
d
e
f
b
c
f
e
(c)
d
(d)
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicio (2a parte) - IV
b
a
c
f
d
e
(e)
Figura
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Ejercicios
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Ejercicio (2a parte) - V
Ejercicio 8.
¿Para qué valores de n son bipartitos los siguientes grafos?
8.1. Kn
8.2. Cn
8.3. Wn
8.4. Qn
Ejercicio 9.
¿Existe algún grafo simple de cinco vértices con los grados siguientes? Si es
así, dibuja un grafo con esa propiedad.
9.1. 3,3,3,3,2
9.2. 1,2,3,4,5
9.3. 1,2,3,4,4
9.4. 3,4,3,4,3
9.5. 0,1,2,2,3
9.6. 1,1,1,1,1
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Ejercicio (2a parte) - VI
A1
A1
A5
A2
A3
A4
A5
A2
(a) A
Mtro. Hugo A. González
A3
A4
(b) B
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Ejercicio (2a parte) - VII
A1
A1
A5
A2
A3
A4
A5
A2
(c) C
Mtro. Hugo A. González
A3
A4
(d) D
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicio (2a parte) - VIII
Figura
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Ejercicios
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Ejercicio (2a parte) - IX
A1
A2
A6
A1
A3
A5
A4
A2
A6
A3
A5
(a) A
A4
(b) B
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicios
Ejercicio (2a parte) - X
A1
A1
A2
A2
A6
A6
A3
A3
A5
A5
A4
A4
(c) C
(d) D
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ejercicio (2a parte) - XI
Figura
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Ejercicios
Introducción
Definiciones y conceptos
Terminología
Familia de grafos simples
Ralph P. Grimaldi.
Matemáticas discreta y combinatoria.
Addison-Wesley, México, D.F., 3a edition, 1997.
Richard Johnsonbaugh.
Matemáticas discretas.
Pearson Educación, México, 6a edition, 2005.
Kenneth H. Rosen.
Matemáticas discretas y sus aplicaciones.
McGraw-Hill Educación, Madrid, España, 5a edition, 2004.
Mtro. Hugo A. González
Matemáticas discretas
Ejercicios