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PI-2609 Probabilidad y Estadística
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Brandon Granados Rojas - 2019069756
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Practica para segundo parcial
𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑙𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜𝑠
𝑝 = 0,10
𝑛 = 100
a) ¿Cuántos de esos rollos se espera que estén defectuosos?
𝐸(𝑥) = 𝜇 = 𝑛𝑝
𝐸(𝑥) = 100 ∗ 0,10
𝐸(𝑥) = 10
R/ Se espera que 10 de un lote de cien rollos de tela sean defectuosos
b)¿Cuál es la variabilidad promedio (desviación estándar) del numero de rollos de tela
que se espera estén defectuosos?
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 100 ∗ 0,10(1 − 0,10)
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 9
Entonces:
𝜎 = √𝑉𝑎𝑟(𝑥)
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Practica para segundo parcial
𝜎 = √9
𝜎=3
R/ La variabilidad promedio del número de rollos de tela que se espera estén
defectuosos es de 3
a) Calculo de la media y la varianza poblacional.
Fórmula para la media:
𝑁
𝜇=∑
𝑖=1
𝜇=
𝑥𝑖 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑁
=
𝑁
𝑁
1 + 3 + 4 + 7 + 8 + 11
6
𝜇 = 5,667
Fórmula para la varianza:
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Practica para segundo parcial
𝑁
2
𝑆𝑁−1
2
(∑𝑁
1
𝑖=1 𝑥𝑖 )
=
[∑ 𝑥𝑖2 −
]
𝑁−1
𝑁
𝑖=1
(34)2
1
=
[260 −
]
6−1
6
2
𝑆𝑁−1
2
𝑆𝑁−1
= 13,467
b) Calculo de la media y la varianza para todas las muestras posibles de tamaño 2 que
se obtienen de la población, tomadas sin reemplazo.
El numero total de todas las muestras posibles de tamaño 2 tomadas sin reemplazo
está dada por:
𝑛
𝑛!
( )=
𝑥
𝑥! (𝑛 − 𝑥)!
Con x=2 y n=6
6
6!
( )=
= 15 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠
2
2! (6 − 2)!
Como en este caso hay que calcular la media y la varianza para todos los posibles
resultados, se hará en tabla en vez de utilizar el diagrama de árbol
Fórmula para la media muestral:
𝑁
𝑥̅ = ∑
𝑖=1
𝑥𝑖 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
=
𝑛
𝑛
Formula para la varianza muestral:
𝑛
2
𝑆𝑛−1
(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )2
1
=
[∑ 𝑥𝑖2 −
]
𝑛−1
𝑛
𝑖=1
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Practica para segundo parcial
N°
𝑥1
𝑥2
𝑥̅
muestra
𝑛
𝑛
∑ 𝑥𝑖2
𝑖=1
(∑ 𝑥𝑖 )
2
2
𝑆𝑛−1
𝑖=1
1
1
3
2,0
10
16
2,0
2
1
4
2,5
17
25
4,5
3
1
7
4,0
50
64
18,0
4
1
8
4,5
65
81
24,5
5
1
11
6,0
122
144
50,0
6
3
4
3,5
25
49
0,5
7
3
7
5,0
58
100
8,0
8
3
8
5,5
73
121
12,5
9
3
11
7,0
130
196
32,0
10
4
7
5,5
65
121
4,5
11
4
8
6,0
80
144
8,0
12
4
11
7,5
137
225
24,5
13
7
8
7,5
113
225
0,5
14
7
11
9,0
170
324
8,0
15
8
11
9,5
185
361
4,5
Verificación:
𝐸(𝑥̅ ) =
2 )
𝐸(𝑆𝑛−1
=
85
= 5,667
15
202
= 13,467
15
2 )
2
Por lo que 𝐸(𝑥̅ ) = 𝜇 y 𝐸(𝑆𝑛−1
= 𝑆𝑁−1
c) Comprobar para muestras tomadas sin reemplazo
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Practica para segundo parcial
𝑉(𝑋𝑝 ) =
𝑉(𝑋𝑝 ) =
2
𝑆𝑛−1
𝑁−𝑛
𝑛
𝑁
13,467 (6 − 2)
2
6
𝑉(𝑋𝑝 ) = 4,4889
Utilizando los datos de la tabla anterior se tiene:
𝑉(𝑋𝑝 )
2
2
2
2
2
∑15
𝑖=1(2 − 5,667) + (2,5 − 5,667) + (4 − 5,667) + (4,5 − 5,667) + ⋯ + (9,5 − 5,667)
=
15
𝑉(𝑋𝑝 ) = 4,4889
Utilizando la aproximación normal a la binomial
Formula:
𝑍=
𝑋 − 𝑛𝑝
√𝑛𝑝𝑞
Definición de variables:
𝑥 = 𝑇𝑢𝑏𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑃. 𝑉. 𝐶 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜𝑠
𝑛 = 1000
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Practica para segundo parcial
𝑝 = 0,15
𝑞 = 1 − 𝑝 = 0,85
a) No más de 165 están defectuosos
𝑃(𝑋 < 165) = 𝑃(𝑋 < 164,5)
𝑍=
𝑍=
(𝑋 − 0,5) − 𝑛𝑝
√𝑛𝑝𝑞
(165 − 0,5) − (1000 ∗ 0,15)
√1000 ∗ 0,15 ∗ 0,85
𝑍 = 1,28
Entonces:
𝑃(𝑋 < 165) = 𝑃(𝑍 < 1,28)
Buscando en la tabla Z = 1,28 se tiene:
𝑃(𝑋 < 165) = 0,8997
R/La probabilidad de que no más de 165 tubos estén defectuosos es de 0,8997
b) Exactamente 150 están defectuosos
𝑃(𝑋 = 150) = 𝑃(149,5 < 𝑋 < 150,5)
Con X = 149,5
𝑍=
(𝑋 − 0,5) − 𝑛𝑝
√𝑛𝑝𝑞
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Practica para segundo parcial
𝑍=
(150 − 0,5) − (1000 ∗ 0,15)
√1000 ∗ 0,15 ∗ 0,85
𝑍 = −0,004
Con X = 150,5
𝑍=
𝑍=
(𝑋 + 0,5) − 𝑛𝑝
√𝑛𝑝𝑞
=
(150 + 0,5) − (1000 ∗ 0,15)
√1000 ∗ 0,15 ∗ 0,85
𝑍 = 0,004
Entonces:
𝑃(𝑋 = 150) = 𝑃(149,5 < 𝑋 < 150,5) = 𝑃(𝑍 < 0,04) − 𝑃(𝑍 < −0,04)
Buscando en la tabla Z = -0,04 y Z =0,004:
𝑃(𝑋 = 1150) = 0,5160 − 0,4840
𝑃(𝑋 = 1150) = 0,032
R/ La probabilidad de que exactamente 150 tubos estén defectuosos es de 0,032
c) Mas de 125 estén defectuosos
𝑃(𝑋 > 125) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 125)
𝑍=
(𝑋 + 0,5) − 𝑛𝑝
√𝑛𝑝𝑞
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Practica para segundo parcial
𝑍=
(125 + 0,5) − (1000 ∗ 0,15)
√1000 ∗ 0,15 ∗ 0,85
𝑍 = −2,17
Entonces:
1 − 𝑃(𝑋 ≤ 125) = 1 − 𝑃(𝑍 < −2,17)
Buscando en la tabla Z = -2,17 se tiene:
𝑃(𝑋 > 125) = 1 − 0,0150
𝑃(𝑋 > 125) = 0,985
R/La probabilidad de que más de 125 tubos estén defectuosos es de 0,985
a) Distribución de probabilidad para el número de computadoras defectuosas
utilizando distribución hipergeométrica
Formula:
ℎ(𝑥; 𝑁, 𝑛, 𝑘) =
(𝑘𝑥)(𝑁−𝑘
)
𝑛−𝑥
(𝑁𝑛)
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Practica para segundo parcial
Donde x es la variable aleatoria hipergeométrica, N es el numero total de computadoras,
n es el tamaño de la muestra y k es el número de computadoras defectuosas que
contiene el lote.
Definición de variables:
𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑙𝑎
𝑁 = 20
𝑛=2
𝑘=3
Análisis de todos los posibles resultados:
Como la escuela compra 2 computadoras al azar, puede que ninguna de las dos
computadoras sea defectuosa, una de ellas sea defectuosa o las dos computadoras
compradas sean defectuosas, entonces: x puede asumir los valores de 0, 1 y 2.
Para x = 0
ℎ(0; 20,2,3) =
(30)(20−3
)
2−0
(20
)
2
ℎ(0; 20,2,3) =
(30)(17
)
2
(20
)
2
ℎ(0; 20,2,3) =
68
95
Para x = 1
ℎ(1; 20,2,3) =
(31)(20−3
)
2−1
(20
)
2
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Practica para segundo parcial
ℎ(2; 20,2,3) =
(31)(17
)
1
(20
)
2
ℎ(2; 20,2,3) =
51
190
Para x = 2
ℎ(2; 20,2,3) =
(32)(20−3
)
2−2
ℎ(2; 20,2,3) =
(20
)
2
(32)(17
)
0
ℎ(0; 20,2,3) =
(20
)
2
3
190
Por lo tanto, la distribución de probabilidad para el numero posible de computadoras
defectuosas compradas por la escuela es:
𝒙
𝟎
𝟏
𝟐
𝒉(𝐱; 𝟐𝟎, 𝟐, 𝟑)
68
95
51
190
3
190
a) Formula para la distribución de probabilidad del número de automóviles con bolsas
de aire laterales entre los siguientes cuatro vehículos que venda la agencia.
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𝑥
= 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚ó𝑣𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑏𝑜𝑙𝑠𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 4 𝑣𝑒ℎ𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠
Como la probabilidad de vender un automóvil con bolsas de aire laterales es 0.50 y se
asume que todos los posibles resultados tienen la misma probabilidad de ocurrencia, y
además únicamente importa si los 4 vehículos siguientes que se vendan en la agencia
están equipados o no con bolsas de aire laterales, los puntos en el espacio muestral
están dados por S = 24 = 16, por lo que el denominador para todas las probabilidades
es 16. Ahora bien, el evento de vender x automóviles equipados con bolsas de aire
laterales puede ocurrir de (𝑥4) formas. Finalmente, de los 4 siguientes automóviles que
se vendan en la agencia, puede que ninguno este equipado con bolsas de aire laterales
o puede que uno, dos, tres o los cuatro estén equipados con bolsas de aire laterales,
entonces x puede asumir los valores de 0, 1, 2, 3 y 4.
Dando como resultado la fórmula para la distribución de probabilidad:
𝑓(𝑥) =
1 4
( ) , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0,1,2,3,4
16 𝑥
b) Calculo de la función de la distribución acumulativa de la variable aleatoria X
Función de la distribución acumulativa:
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∑ 𝑓(𝑡),
𝑝𝑎𝑟𝑎 − ∞ < 𝑥 < ∞
𝑡≤𝑥
Entonces, el calculo de función de la distribución acumulativa de la variable aleatoria
X que puede tomar los valores de 0, 1, 2, 3 y 4 es:
𝐹(0) = 𝑓(0) =
1 4
1
( )=
16 0
16
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Practica para segundo parcial
1 4
1 4
5
𝐹(1) = 𝑓(0) + 𝑓(1) = ( ( )) + ( ( )) =
16 0
16 1
16
1 4
1 4
1 4
11
𝐹(2) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) = ( ( )) + ( ( )) + ( ( )) =
16 0
16 1
16 2
16
1 4
1 4
1 4
1 4
𝐹(3) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) = ( ( )) + ( ( )) + ( ( )) + ( ( ))
16 0
16 1
16 2
16 3
=
15
16
𝐹(4) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + 𝑓(4)
=(
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
( )) + ( ( )) + ( ( )) + ( ( )) + ( ( )) = 1
16 0
16 1
16 2
16 3
16 4
Por lo tanto
0,
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 0
1
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 < 1
16
5
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑥 < 2
16
𝐹(𝑥) =
11
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 2 ≤ 𝑥 < 3
16
15
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 3 ≤ 𝑥 < 4
16
{ 1,
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 4
3
c) Verificación de que 𝑓(2) = 8
𝑓(2) = 𝐹(2) − 𝐹(1)
𝑓(2) =
11 5
−
16 16
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𝑓(2) =
6
3
=
16 8
a) Verificación de que f(x) es una función de densidad.
Para que f(x) sea una función de densidad se debe verificar que:
𝑓(𝑥) ≥ 0 ; ∀𝑥
∞
{
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
−∞
La primera condición si se cumple, entonces verificando la segunda condición:
+∞
∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
−∞
2
2
𝑥2
𝑥3
∫
𝑑𝑥 = |
9 −1
−1 3
=
8 1 9
+ = =1
9 9 9
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b) Calculo de 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 1)
1
1
𝑥2
𝑥3
𝑃(0 < 𝑋 ≤ 1) = ∫
𝑑𝑥 = |
9 0
0 3
=
1 0 1
− =
9 9 9
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