‫‪https://slideplayer.com/slide/5979188/‬‬
‫ימוד חשבון כבסיס ללימוד אלגברה פיתוח חשיבה התייחסותית מותאם מ‪ ...‬תומס קרפנטר אוניברסיטת ויסקונסין‪-‬‬
‫מדיסון‪.‬‬
‫הוצאת הילארי קרייגשונה לפני יותר מ‪ 6-‬שנים‬
‫‪1‬‬
‫ְל ַׁשבֵּ ץ‬
‫הורד מצגת‬
‫מצגת בנושא‪" :‬לימוד חשבון כבסיס ללימוד אלגברה פיתוח חשיבה התייחסותית מותאם מ‪ ...‬תומס קרפנטר‬
‫אוניברסיטת ויסקונסין‪-‬מדיסון‪ —".‬תמליל המצגת‪:‬‬
‫‪ 1‬לימוד חשבון כבסיס ללימוד אלגברה פיתוח חשיבה התייחסותית מותאם מ‪ ...‬תומס קרפנטר אוניברסיטת‬
‫ויסקונסין‪-‬מדיסון‬
‫‪2‬הגדרת אלגברה מבוגרים רבים משווים אלגברה בית ספרית עם מניפולציה של סמלים ‪ -‬פתרון משוואות‬
‫מסובכות ופישוט ביטויים אלגבריים ‪.‬אכן‪ ,‬הסמלים האלגבריים והנהלים לעבודה איתם הם הישג מתמטי מתנשא‬
‫ומתנשא והם קריטיים בעבודה מתמטית ‪.‬אבל אלגברה היא יותר מהזזת סמלים ‪.‬התלמידים צריכים להבין את‬
‫מושגי האלגברה‪ ,‬את המבנים והעקרונות השולטים במניפולציה של הסמלים‪ ,‬וכיצד ניתן להשתמש בסמלים עצמם‬
‫לצורך הקלטת רעיונות וקבלת תובנות לגבי מצבים )‪. (NCTM, 2000, p. 37‬מבוגרים רבים משווים אלגברה בית‬
‫ספרית עם מניפולציה של סמלים ‪ -‬פתרון משוואות מסובכות ופישוט ביטויים אלגבריים ‪.‬אכן‪ ,‬הסמלים האלגבריים‬
‫והנהלים לעבודה איתם הם מתנשאים ‪,‬הישג מתמטי היסטורי והם קריטיים בעבודה מתמטית ‪.‬אבל אלגברה היא‬
‫יותר מהזזת סמלים ‪.‬התלמידים צריכים להבין את מושגי האלגברה‪ ,‬את המבנים והעקרונות השולטים במניפולציה‬
‫של הסמלים‪ ,‬וכיצד ניתן להשתמש בסמלים עצמם לצורך הקלטת רעיונות וקבלת תובנות לגבי מצבים ‪. (NCTM,‬‬
‫‪2000,‬עמ' ‪)37‬‬
‫‪ 3‬לעולם לא יפגשו השניים ההפרדה המלאכותית בין חשבון לאלגברה מונעת מהתלמידים דרכים חזקות לחשיבה‬
‫על מתמטיקה בכיתות המוקדמות ומקשה עליהם ללמוד אלגברה בכיתות המאוחרות ‪.‬ההפרדה המלאכותית בין‬
‫חשבון ואלגברה מונעת מהתלמידים דרכים חזקות לחשיבה על מתמטיקה בכיתות המוקדמות ומקשה עליהם‬
‫ללמוד אלגברה בכיתות המאוחרות‪.‬‬
‫‪4‬חשבון מול אלגברה אריתמטי חישוב תשובות חישוב תשובות = מסמל שהתשובה היא הבאה = מסמל‬
‫שהתשובה היא הבאה אלגברה שינוי ביטויים שינוי ביטויים = כיחס = כיחס‬
‫‪5‬אריתמטי ‪ U‬אלגברה אריתמטי שינוי ביטויים שינוי ביטויים = כיחס = כיחס אלגברה שינוי ביטויים שינוי ביטויים =‬
‫כיחס = כיחס‬
‫‪ 6‬פיתוח היגיון אלגברי בבית הספר היסודי במקום ללמד נהלי אלגברה לילדי בית ספר יסודי‪ ,‬המטרה שלנו היא‬
‫לתמוך בהם בפיתוח דרכי חשיבה על חשבון התואמות יותר את הדרכים שתלמידים צריכים לחשוב כדי ללמוד‬
‫אלגברה בהצלחה ‪.‬במקום ללמד נהלי אלגברה לילדי בית ספר יסודי‪ ,‬המטרה שלנו היא לתמוך בהם בפיתוח דרכי‬
‫חשיבה על חשבון התואמות יותר את הדרכים שתלמידים צריכים לחשוב כדי ללמוד אלגברה בהצלחה‪.‬‬
‫‪7‬פיתוח חשיבה אלגברית בבית הספר היסודי משפר את לימוד החשבון בכיתות היסודי ‪.‬משפר את לימוד החשבון‬
‫בכיתות היסודי ‪.‬מחליק את המעבר ללימוד אלגברה בחטיבת הביניים ובתיכון ‪.‬מחליק את המעבר ללימוד אלגברה‬
‫בחטיבת הביניים ובתיכון‪.‬‬
‫‪https://slideplayer.com/slide/5979188/‬‬
‫‪8‬חשיבה התייחסותית התמקדות ביחסים ולא רק בחישוב תשובות התמקדות ביחסים ולא רק בחישוב תשובות‬
‫התבוננות בביטויים ומשוואות בשלמותם ולא כפרוצדורות שיש לבצע שלב אחר שלב‪ .‬הליכים שיש לבצע שלב‬
‫אחר שלב עיסוק בחשיבה מקדימה עיסוק בחשיבה מקדימה שימוש במאפיינים בסיסיים של חשבון כדי לקשר או‬
‫לשנות כמויות וביטויים שימוש במאפיינים בסיסיים של חשבון כדי לקשר או להפוך כמויות וביטויים חיבור מחדש‬
‫של מספרים וביטויים חיבור מחדש של מספרים וביטויים שימוש גמיש של פעולות ויחסים שימוש גמיש בפעולות‬
‫ויחסים‬
‫‪96+2=□+3‬‬
‫‪11‬דוד‪ :‬השעה ‪ .5‬דוד‪ :‬השעה ‪ .5‬גב' פ‪ :‬איך אתה יודע שזה ‪ ,5‬דיוויד ?גב' פ‪ :‬איך אתה יודע שזה ‪ ,5‬דיוויד ?דוד‪:‬‬
‫יש שם ‪. 6+2‬יש שם ‪. 3‬לא הצלחתי להחליט בין ‪ 5‬ל‪ .7-‬שלוש היה אחד יותר מ‪ ,2-‬ו‪ 5-‬היה אחד פחות מ‪ .6-‬אז זה‬
‫היה ‪ 5‬דוד‪ :‬זה ‪ 2 + 6‬שם ‪.‬יש שם ‪. 3‬לא הצלחתי להחליט בין ‪ 5‬ל‪ .7-‬שלוש היה אחד יותר מ‪ ,2-‬ו‪ 5-‬היה אחד‬
‫פחות מ‪ .6-‬אז זה היה ‪5‬‬
‫‪12 57 + 38 = 56 + 39‬דוד‪ :‬אני יודע שזה נכון‪ ,‬כי זה כמו השני שעשיתי‪ 2 + 6 ,‬זהה ל‪ .3 + 5-‬דוד‪ :‬אני יודע שזה‬
‫נכון‪ ,‬כי זה כמו השני שעשיתי‪ 2 + 6 ,‬זהה ל‪ .3 + 5-‬גב ‪' F.‬זה אותו דבר ‪.‬איך זה אותו הדבר ?גב' פ‪ .‬זה אותו‬
‫דבר ‪.‬איך זה אותו הדבר ?דוד‪ 57 :‬יש שם‪ ,‬ו‪ 56-‬יש‪ ,‬ו‪ 6-‬יש ו‪ 5-‬יש‪ ,‬ויש ‪ 38‬שם ו‪ 39-‬שם ‪.‬דוד‪ 57 :‬יש שם‪ ,‬ו‪56-‬‬
‫יש‪ ,‬ו‪ 6-‬יש ו‪ 5-‬יש‪ ,‬ויש ‪ 38‬שם ו‪ 39-‬שם ‪.‬גב' פ‪ .‬אני קצת מבולבל ‪.‬אמרת שה‪ 57-‬הוא כמו ה‪ 5-‬וה‪ 56-‬הוא כמו ה‪-‬‬
‫‪ .6‬למה ?גב' פ‪ .‬אני קצת מבולבל ‪.‬אמרת שה‪ 57-‬הוא כמו ה‪ 5-‬וה‪ 56-‬הוא כמו ה‪ .6-‬למה ?דוד‪ :‬בגלל שה‪ 5-‬וה‪-‬‬
‫‪ ,56‬שניהם מספר אחד נמוך מהמספר השני ‪.‬המספר הגבוה ביותר הוא הנמוך ביותר ‪,‬וזה במספר הנמוך ביותר‬
‫למעלה יהיה יותר ‪.‬אז זה נכון ‪.‬דוד‪ :‬בגלל שה‪ 5-‬וה‪ ,56-‬שניהם מספר אחד נמוך מהמספר השני ‪.‬האחד במספר‬
‫הגבוה ביותר הוא הנמוך ביותר‪ ,‬והאחד במספר הנמוך ביותר למעלה יהיה יותר ‪.‬אז זה נכון‪.‬‬
‫)‪13 57 + 38 = 56 + 39 (56 + 1) + 38 = 56 + (1 + 38‬‬
‫‪14‬חיבור מחדש של מספרים ‪= □5 + )2 + 8( □ = )5 + 2( + 8 □ = 7 + 8‬‬
‫‪15‬חיבור מחדש של מספרים□ = )¼ ‪½ + ¾ = □ ½ + (½ +‬‬
‫‪16‬שימוש במאפיינים בסיסיים הקשורים לאריתמטיקה ואלגברה ‪X 10 + 4 X 10 = (7 + 4) X 10 = (7 7 = 40 + 70‬‬
‫‪+ 4) X 10 = 110 = 110 7/12 + 4/12 = 7(1/ 12) + 4(1/12) = (7 + 4) X 1/12 = (7 + 4) X 1/12 7‬א ‪4 +‬א = ‪(7‬א) ‪+‬‬
‫‪(4‬א) = (‪)4 + 7‬א‪= (7 + 4)a = 11a = 11a‬‬
‫‪17‬שימוש במאפיינים בסיסיים (לא) ‪a + 4 b = 11ab7‬‬
‫‪18 X 2 - X - 2 = 0 (X – 2)(X + 1) = 0 X + 1 = 0X – 2 = 0 X = -1X = 2‬‬
‫‪19 X 2 - X - 2 = 0 (X + 1)(X - 2) = 0 X + 1 = 0X – 2 = 0 X = -1X = 2 (X + 1)(X - 2) = 6‬‬
‫‪20 X 2 - X - 2 = 0 (X + 1)(X - 2) = 0 X + 1 = 0X – 2 = 0 X = -1X = 2 (X + 1)(X - 2) = 6 X + 1 = 6X – 2 = 6X = 5X = 8‬‬
‫= ‪21 X 2 - X - 2 = 0 (X + 1)(X - 2) = 0 X + 1 = 0X – 2 = 0 X = -1X = 2 (X + 1)(X - 2) = 6 X + 1 = 6X – 2 = 6 X = 5X‬‬
‫‪8 (5 + 1)(5 - 2) = 18 (8 + 1)(8 -2) = 54‬‬
‫‪22‬מאפייני הכפל של אפס ‪ ax0 = 0 ax0 = 0 axb = 0‬מרמז על ‪ a = 0‬או ‪ b = 0 axb = 0‬מרמז על ‪ a = 0‬או‪b = 0‬‬
‫‪23‬שוויון כיחס ‪5 + □ = 4 + 8 5 + □ = 4 + 8‬‬
‫‪24‬אחוז התלמידים המציעים פתרונות שונים ל‪ =  + 5 4 + 8-‬תגובה‪ /‬ציון ‪ 12 17 17 12 12 7‬ו‪ 1 17-‬ו‪???? 3 2-‬‬
‫ו‪???? 5 4-‬ו‪???? 246-‬‬
‫‪https://slideplayer.com/slide/5979188/‬‬
‫‪25‬אחוז מהתלמידים המציעים פתרונות שונים ל‪ =  + 5 4 + 8-‬תגובה‪ /‬כיתה ‪& 17 1 12 17 17 12 12 7‬ו‪5 2-‬‬
‫‪ 3 8 13 13 58 58‬ו‪2 21 21 7 6 7 7 6 10 5 25 25 49 49 9 4-‬‬
‫‪26‬אתגר ‪ -‬נסה את זה !מהן התגובות השונות שתלמידים יכולים לתת למשפט המספר הפתוח הבא‪ :‬מהן‬
‫התגובות השונות שתלמידים יכולים לתת למשפט המספר הפתוח הבא‪=  + 8 9 + 7 =  + 8 267 + 9 :‬‬
‫‪28‬מאתגר את תפיסות השוויון של התלמידים ‪5 + 9 0 + 14 = 5 + 9 0 + 14 = 5 + 9 14 = 5 + 9 14 = 5 + 9‬‬
‫= ‪1 + 13 = 5 + 9 1 + 13 = 5 + 9 14 + 0 = 5 + 9 14 + 0‬‬
‫‪29‬מאתגר את תפיסות השוויון של התלמידים ‪= 11 11 = 11 4 + 7 = 11 4 + 7 = 11 11 = 4 + 7 11 = 4 + 7‬‬
‫‪7 + 4 = 4 + 7 7 + 4 = 4 + 7 4 + 7 = 4 + 7 4 + 7 = 4 + 7 11‬‬
‫‪30‬פתרונות נכונים ל‪ =  + 5 4 + 8-‬לפני ואחרי הוראה ציון ציון לפני אינסט ‪.‬לפני אינסט ‪.‬לאחר אינסט ‪.‬לאחר‬
‫אינסט ‪. 1‬ו‪ 1 2-‬ו‪ 3 66 66 5 2-‬ו‪ 3 4-‬ו‪ 5 72 72 9 4-‬ו‪ 5 6-‬ו‪84 84 2 6-‬‬
‫‪ 31‬לימוד חשיבה יחסי‪ ,‬חשיבה יחסית ללמידה שימוש במשפטי מספר נכונים‪/‬לא נכון ופתוחים (משוואות) כדי‬
‫להעסיק את התלמידים בחשיבה גמישה יותר ומעמיקה יותר על חשבון שימוש במשפטי מספר נכונים‪/‬לא נכון‬
‫ופתוחים (משוואות) כדי להעסיק את התלמידים בחשיבה גמישה יותר ועוד יותר לעומק על חשבון‬
‫‪ 32‬לימוד חשיבה יחסי‪ ,‬חשיבה יחסית ללמידה שימוש במשפטי מספרים נכונים‪/‬לא נכון ופתוחים (משוואות) כדי‬
‫להעסיק את התלמידים בחשיבה גמישה יותר ומעמיקה יותר על חשבון שימוש במשפטי מספר נכונים‪/‬לא נכון‬
‫ופתוחים (משוואות) כדי להעסיק את התלמידים בחשיבה גמישה יותר ובאופן מעמיק יותר על אריתמטיקה‬
‫בדרכים התואמות את הדרכים שהם צריכים לחשוב על אלגברה ‪.‬בדרכים התואמות את הדרכים שהם צריכים‬
‫לחשוב על אלגברה‪.‬‬
‫‪33‬משפטי מספר נכונים ושקריים ‪+ 457 543 = 356 + 457 13 = 6 + 5 13 = 6 + 5 12 = 5 + 7 12 = 5 + 7‬‬
‫‪0 = 0÷12 0 = 0÷12 11/15 4 = 17/18 2 – 13/16 11/1 7 4 = 17/18 2 – 13/16 7 543 = 356‬‬
‫‪34‬אתגר ‪ -‬נסה את זה !בנו סדרה של משפטים נכונים‪/‬לא נכונים שעשויים לשמש כדי להעלות את אחת‬
‫מההשערות בטבלה ‪ .4.1‬בנו סדרה של משפטים נכונים‪/‬לא נכון שיכולים לשמש כדי להעלות את אחת‬
‫מההשערות בטבלה ‪( 4.1‬בעמודים ‪ . ()54-55‬בעמ' ‪). 3454-55‬‬
‫‪35‬ללמוד לחשוב באופן יחסי ‪=  26 + 18 - 18 =  17 - 9 + 8 =  17 - 9 + 8 = 18 - 18 + 26‬‬
‫‪36‬ללמוד לחשוב באופן יחסי ‪=  750 + 387 +250 =  7 + 9 + 8 + 3 + 1 =  7 + 9 + 8 + 3 + 1 250+ 387 + 750‬‬
‫‪=‬‬
‫‪37‬בעיות מאתגרות יותר‪A. 98 + 62 = 93 + 63 +  B. 82 – 39 = 85 – 37 -  C. 45 – 28 =  - 24‬‬
‫‪38‬נכון או לא נכון ‪45 × 37 = 47 × 35 45 × 37 = 47 × 35 45 + 37 = 47 + 35 45 + 37 = 47 + 35‬‬
‫‪39 35 + 47 = 37 + 45‬נכון ‪5 + 40 + 7 + 30 = 7 + 40 + 5 + 30‬‬
‫‪40 35 × 47 = 37 × 45‬שקר‬
‫‪41 35 × 47 = 37 × 45‬שקר ‪+ 40 × 30( = 7 × )5 + 30( + 40 × )5 + 30( = )7 + 40( × )5 + 30( = 47 × 35‬‬
‫‪+ 40×30( = 5 × )7 + 30( + 40× )7 + 30( = )5 + 40( × )7 + 30( = 45 × 37 )7×5 + 7×30( + )40 × 5‬‬
‫‪) + (30×5 + 7×5)40×7‬‬
‫‪https://slideplayer.com/slide/5979188/‬‬
‫‪42 35 × 47 = 37 × 45‬שקר ‪+ 40 × 30( = 7 × )5 + 30( + 40 × )5 + 30( = )7 + 40( × )5 + 30( = 47 × 35‬‬
‫‪+ 40×30( = 5 × )7 + 30( + 40× )7 + 30( = )5 + 40( × )7 + 30( = 45 × 37 )7×5 + 7×30( + )40 × 5‬‬
‫‪) + (30×5 + 7×5)40×7‬‬
‫‪43‬מקבילים עם כפל בינומים ‪(X + 7)(X + 5) = (X + 7)(X + 5) = (X + 7)X + (X + 7) 5 = (X + 7)X + (X + 7) 5 = X 2 +‬‬
‫‪7X +5X + 35 = X 2 + 7X +5X + 35 = X 2 +(7 +5)X + 35 = X 2 +(7 +5)X + 35 = X 2 +12X + 35 X 2 +12X + 35‬‬
‫‪ 44‬חשיבה יחסית ללמידה לימוד עובדות מספרים עם הבנה לימוד עובדות מספרים עם הבנה בניית אלגוריתמים‬
‫והליכים להפעלה על מספרים ושברים שלמים בניית אלגוריתמים והליכים להפעלה על מספרים ושברים שלמים‬
‫‪45‬משפטי מספר לפיתוח חשיבה יחסית (מספרים גדולים משמשים כדי להרתיע חישוב) (מספרים גדולים‬
‫משמשים כדי למנוע חישוב) דירוג מהקל לקשה ביותר דירוג מהקל לקשה ביותר א) ‪+ da) 73 + 71 = 56 + 73‬‬
‫‪56 = 71 + db) 92 – 57 = g – 56‬ב) ‪= g – 56 c) 68 + b = 57 + 69 c) 68 + b = 57 + 69 d) 56 – 23 = f – 57 – 92‬‬
‫‪25‬ד) ‪ = f – 25 23 – 56‬ה) ‪ + pe) 96 + 67 = 67 + pf) 87 + 45 = y + 46 67 = 67 + 96‬ו) ‪ = y + 46 45 + 87‬גרם)‬
‫‪ - 75 = 37 – 74‬ק"ג) ‪ - 75 = 37 – 74‬ש'‬
‫‪ 46‬לימוד עובדות הכפל באמצעות חשיבה יחסית ג'ולי קוהלר זרינגו ג'ולי קוהלר זרינגו‬
‫‪ 47‬מסלול למידה לחשיבה התייחסותית להתחיל לחשוב באופן יחסי להתחיל לחשוב באופן יחסי סימן השוויון‬
‫כסמל יחסי סימן השוויון כסמל יחסי שימוש בחשיבה יחסית ללימוד כפל שימוש בחשיבה יחסית ללימוד כפל כפל‬
‫כחיבור חוזר כפל כחיבור חוזר התחלה ל השתמש במאפיין החלוקתי התחלת להשתמש במאפיין החלוקתי זיהוי‬
‫יחסים הכוללים כפילים‪ ,‬חמישיות ועשרות זיהוי יחסים הכוללים כפילים‪ ,‬חמישיות ועשרות ייחוס אסטרטגיות‬
‫יחסיות כדי לגזור עובדות מספר ייחוס אסטרטגיות יחסיות כדי לגזור עובדות מספר‬
‫‪48‬כפל כחיבור חוזר ‪ 7 = 7 + 7 + 7 4  7 = 7 + 7 + 7 + b 6 + 6 = 2  6 2  9 = h + h3‬‬
‫‪49‬תחילת השימוש בתכונה החלוקתית ‪ 6 + 6 = 4  6 3  6 + 6 = 4  6 3  6 + 3 = 4  6 3  6 + 3 = 4  6 5 3‬‬
‫=‪4=4+4+854=24+4+856=36+g56=36+g67=a7+b77=76‬‬
‫‪7+b767=h7+h767=h7+h7‬‬
‫‪50 Multiplication facts x123456789 1123456789 224681012141618 3369121518212427‬‬
‫‪44812162024283236 551015202530354045 661218243036424854 771421283542495663‬‬
‫‪881624324048566472 991827364554637281‬‬
‫‪51‬הפקת עובדות מספר על סמך כפילים ‪+ 16 = 8 × 3 8 + 16 = 8 × 3 8 + 8 × 2 = 8 × 3 8 + 8 × 2 = 8 × 3‬‬
‫‪9×2+9×2=9×49×2+9×2=9×43×8=8×33×8=8×38‬‬
‫‪52 Multiplication facts x123456789 1123456789 224681012141618 3369121518212427‬‬
‫‪44812162024283236 551015202530354045 661218243036424854 771421283542495663‬‬
‫‪881624324048566472 991827364554637281‬‬
‫‪53‬הפקת עובדות מספר עבור תשעים וחמישיות ‪9 - 7 × 10 = 7 × 9 7 - 7 × 10 = 7 × 9 7 - 7 × 10 = 7 × 9‬‬
‫‪+ 10 + 10 = 5 × 7 5 + 10 + 10 + 10 = 5 × 7 □ - 7 × 10 = 7 × 9 □ - 7 × 10 = 7 × 9 9 - 7 × 10 = 7 × 9‬‬
‫‪5 + 10‬‬
‫‪54 Multiplication facts x123456789 1123456789 224681012141618 3369121518212427‬‬
‫‪44812162024283236 551015202530354045 661218243036424854 771421283542495663‬‬
‫‪881624324048566472 991827364554637281‬‬
‫‪https://slideplayer.com/slide/5979188/‬‬
‫‪55‬ייחוס אסטרטגיות יחסיות כדי לגזור עובדות מספר ‪7 - 9 × 7 = 8 × 7 6 + 5 × 6 = 6 × 6 6 + 5 × 6 = 6 × 6‬‬
‫‪7-9×7=8×7‬‬
‫‪56‬מסלול למידה לחשיבה התייחסותית להתחיל לחשוב באופן יחסי להתחיל לחשוב באופן יחסי סימן השוויון‬
‫כסמל יחסי סימן השוויון כסמל יחסי שימוש בחשיבה יחסית ללימוד כפל שימוש בחשיבה יחסית ללימוד כפל כפל‬
‫כחיבור חוזר כפל כחיבור חוזר התחלה ל השתמש במאפיין החלוקתי התחלת להשתמש במאפיין החלוקתי זיהוי‬
‫יחסים הכוללים כפילים‪ ,‬חמישיות ועשרות זיהוי יחסים הכוללים כפילים‪ ,‬חמישיות ועשרות ייחוס אסטרטגיות‬
‫יחסיות כדי לגזור עובדות מספר ייחוס אסטרטגיות יחסיות כדי לגזור עובדות מספר‬
‫" ‪58 3  7 = 7 + 7 + 7 Ms L:‬האם תוכלי לקרוא את משפט המספר הזה בשבילי ולומר לי אם הוא נכון או לא‬
‫נכון ?"קלי‪" :‬שלוש כפול ‪ 7‬זהה ל‪ 7-‬ועוד ‪ 7‬ועוד ‪ .7‬זה נכון‪ ,‬כי זמנים פירושם קבוצות של ויש ‪ 3‬קבוצות של ‪3 ,7‬‬
‫כפול ‪ 7‬פשוט אומר את זה בצורה קצרה יותר ‪".‬גב' ל‪" :‬אוקיי‪ ,‬הסבר נחמד‪".‬‬
‫‪59 3  7 = 14 + 7‬גב' ל‪" :‬מה דעתך על זה‪  7 = 14 + 7, 3 ,‬האם זה נכון או שקר ?"קלי‪" :‬זה נכון ‪".‬גב' ל‪" :‬וואו‪ ,‬זה‬
‫היה מהיר‪ ,‬איך אתה יודע שזה נכון ?"קלי‪" :‬האם נוכל לחזור לכאן [מצביע על ‪  7 = 7 + 7 + 7]"? 3‬גב' ל‪:‬‬
‫"בטח ‪".‬קלי‪" :‬שבע ו‪ 7-‬זה ‪ ,14‬זה בדיוק כאן [לצייר קו המחבר בין שתי ‪ 7‬במשפט המספר הראשון ולכתוב ‪14‬‬
‫מתחתיהן] ‪. 14‬נכנסו ישר לכאן [מצביע על ה‪ 14-‬במשפט המספר השני] ‪.‬אז נשאר ‪ 7‬אחד שמצביע על ה‪7-‬‬
‫השלישי במשפט המספר הראשון]‪ ,‬וזה הלך ממש כאן [מצביע על ה‪ 7-‬האחרון במשפט המספר השני‪]”.‬‬
‫‪60 4  6 = 12 + 12‬גב' ל‪" :‬אוקיי‪ ,‬יש לי עוד אחד בשבילך ‪  6 = 12 + 12, 4‬נכון או לא נכון ?"קלי‪" :‬זה נכון ‪".‬גב' ל‪:‬‬
‫"אוקיי‪ ,‬איך השגת את זה כל כך מהר ?"קלי‪" :‬שש ועוד ‪ 6‬זה ‪ ,12‬במקרה הזה‪ ,‬יש ‪ 4‬קבוצות של ‪ ,6‬אז זה ככה‬
‫[לכתוב ‪. ]6 + 6 + 6 + 6‬שש ו‪ 6-‬זה ‪ ,12‬זה משאיר עוד ‪ 6‬ו‪ ,6-‬וזה שווה ‪ .12‬אז אחד ‪ 12‬הוא כאן ואחד ‪ 12‬הלך‬
‫לכאן [מציין את שתי ה‪ 12-‬בבעיה ‪].‬מה שאני מנסה לומר זה שיש ארבע ‪ 6‬ושברת אותם לשניים ועשיתם מהם‬
‫שתי ‪".12‬‬
‫‪61 4  6 = 12 + 12‬המשך גב' ל‪" :‬נחמד !קלי‪ ,‬את יודעת מיד מה זה ‪ 4‬כפול ‪"? 6‬קלי‪" :‬כן ‪".‬גב' ל‪" :‬מה זה "?קלי‪:‬‬
‫"זה [השהיה] שלושים ושתיים [השהייה ארוכה] "‪.‬גב' ל‪" :‬אוקיי‪ ,‬את יודעת מה זה ‪ 12‬ועוד ‪"? 12‬קלי‪" :‬כן ‪.‬זה אותו‬
‫דבר‪". 32 ,‬גב' ל‪" :‬יש לך דרך לעשות ‪ 12‬פלוס ‪ ,12‬לבדוק את זה ?"קלי‪" :‬ובכן‪ ,‬יש שתי ‪ -20 ,10‬אה רגע‪ ,‬חשבתי‬
‫על אחת אחרת !"גב' ל'‪" :‬חשבת על בעיית כפל אחרת ?"קלי‪" :‬כן ‪. 4‬כפול ‪ 6‬זה ‪ ,24‬כי ‪ 10‬ו‪ 10-‬הם ‪ ,20‬ו‪ 2-‬ו‪2-‬‬
‫הם ‪ ,4‬חבר את אלה יחד ואת ה‪ 24-‬שלו‪.‬‬
‫□ = ‪62 4  7‬גב' ל‪" :‬אוקיי‪ ,‬הנה עוד אחד ‪.‬ארבע כפול ‪ 7‬שווה קופסה ‪.‬אני רוצה שתגיד לי מה היית מכניס לקופסה‬
‫כדי להפוך את זה למשפט מספר אמיתי ‪".‬קלי‪" :‬זו תהיה [הפוגה קצרה] ‪". 28‬גב' ל‪" :‬אוקיי‪ ,‬איך הגעת לגיל‬
‫‪"? 28‬קלי‪" :‬ובכן‪ ,‬היו לי בעיות אחרות‪ ...‬שנכנסו לבעיה הזו ‪.‬אם תעלה לכאן [מצביע על ‪  7 = 7 + 7 + 7] 3 3‬כפול‬
‫‪ 7‬זהה ל‪ 7-‬ועוד ‪ 7‬פלוס ‪ .7‬הבעיה הזו עזרה לי והשתמשתי בה עם הבעיה הזו‪[ ,‬מצביע על ‪ 7 = 14 + 7] 3 3‬‬
‫שביעיות זהות ל‪ 14-‬ו‪ ...7-‬אתה מוסיף עוד שבע וזה יגיע ממש לכאן[ ‪.‬ואז היא מצביעה על ‪  6 = 12 + 12.] 4‬בעיה‬
‫זו גם עזרה לי כי ‪  7 4‬זה כמו‪ ...‬המוח שלי חזר לכאן [מצביע על ‪  7 = 14 + 7], 3‬ואמרתי‪ ,‬שם זה עוד ‪ 7‬כדי‬
‫שאוכל לחבר את שני השבעים האלה ביחד‪ ,‬זה ‪ ,14‬ויש שני ‪ 10 ,14‬ו‪ 10-‬זה ‪ 4 ,20‬ו‪ 4-‬זה ‪".28 ,8‬‬
‫‪63‬רצף בעיות ‪ 7 = 7 + 7 + 7 3  7 = 14 + 7 4  6 = 12 + 12 4  7 = □3‬‬
‫‪64‬המצאת אלגוריתמים ‪155 155 5- 5- 40- 40- 1 200 1 200 299- 457- 299- 457- 612300‬‬
‫‪65 292 87 292 87 -549 -49.02 -549 -49.02 -30040.00 -30040.00 50 -2.00 50 -2.00 -7 -.02 -7 -.02 -25737.98‬‬
‫‪-25737.98‬‬
‫‪66 300 300 -294 5/8 6-5/8 5 3/8 5 3/8‬‬
‫‪https://slideplayer.com/slide/5979188/‬‬
‫‪67 5 ½ ÷ __ = ‬אפשרויות מספרים ½‪ 3/8 ,¾ ,¼ ,‬בחרו אחד מהמספרים בהתאם לרמת התלמידים שלכם ‪.‬בחר‬
‫אחד מהמספרים בהתאם לרמת התלמידים שלך ‪.‬שנה את הבעיה כדי להוסיף אתגר נוסף לפי הצורך ‪.‬שנה את‬
‫הבעיה כדי להוסיף אתגר נוסף לפי הצורך ‪.‬אפשרו לתלמידים לבחור אחד כדי לשנות את הבעיה ולאפשר‬
‫בחירה ‪.‬אפשרו לתלמידים לבחור אחד כדי לשנות את הבעיה ולאפשר בחירה‪.‬‬
‫‪68 5 ½ ÷ __ = ‬אפשרויות מספרים ½‪ 3/8 ,¾ ,¼ ,‬הכניסו את הבעיה להקשר ‪.‬הכניסו את הבעיה להקשר ‪.‬צריך‬
‫__ כוס סוכר כדי להכין אצווה של עוגיות ‪.‬יש לי ‪ 5‬וחצי כוסות סוכר ‪.‬כמה קבוצות של עוגיות אני יכול להכין ?צריך‬
‫__ כוס סוכר כדי להכין אצווה של עוגיות ‪.‬יש לי ‪ 5‬וחצי כוסות סוכר ‪.‬כמה קבוצות של עוגיות אני יכול להכין ?פתור‬
‫‪ 3/8‬כוס סוכר למנה ‪.‬פתור ‪ 3/8‬כוס סוכר למנה‪.‬‬
‫‪69‬צריך ‪ 3/8‬כוס סוכר כדי להכין אצווה של עוגיות ‪.‬יש לי ‪ 5‬וחצי כוסות סוכר ‪.‬כמה קבוצות של עוגיות אני יכול‬
‫להכין?‬
‫½ ‪70 5 ½ ÷ 3/8 =  5 ½ ÷ 3/8 =   × 3/8 = 5 ½  × 3/8 = 5‬‬
‫‪71  × 3/8 = 5 ½ 8 × 3/8 = 3 8 × 3/8 = 3 4 × 3/8‬יהיה ½ מתוך ‪ 3‬או ‪ 3/8 × 4 ½ 1‬יהיה ½ מתוך ‪ 3‬או ‪12 ½ 1‬‬
‫× ‪ ½ => 4 ½ 4 = 3/8‬כוסות עושה ‪ 12‬מנות ‪ ½ => 4 ½ 4 = 3/8 × 12‬כוסות עושה ‪ 12‬קבוצות צריך להשתמש בכוס‬
‫אחת נוספת של סוכר צריך להשתמש בעוד כוס סוכר אחת כי ‪ ,3 = 8/ 3 × 8‬שליש יותר יהיה ‪ 1‬מכיוון ש‪3/8 × 8-‬‬
‫= ‪ ,3‬שליש מזה יהיה ‪ 1‬כלומר ‪ 1 = )3/8 × 8( × 1/3‬כלומר ‪ 1 = )3/8 × 8( × 1/3‬אז אתה צריך ‪ 1/3‬מתוך ‪,8‬‬
‫שזה ‪ 8/3‬אז אתה צריך ‪ 1/3‬מתוך ‪ ,8‬שזה ‪ 8/3‬כלומר ‪ 1‬כוס עושה ‪ 8/3‬מנות ‪.‬כלומר כוס אחת עושה ‪ 8/3‬מנות ‪.‬אז‬
‫בסך הכל אתה מקבל סה"כ ‪ 8/3 + 12‬או ‪ 2/3 14‬אצוות אז בסך הכל אתה מקבל סך של ‪ 8/3 + 12‬או ‪2/3 14‬‬
‫אצוות‬
‫= ‪72  × 3/8 = 5 ½ 8 × 3/8 = 3 8 × 3/8 = 3 ½(8 × 3/8) = ½ × 3 ½(8 × 3/8) = ½ × 3 (½×8)×3/8 = 1 ½ (½×8)×3/8‬‬
‫½ ‪1 ½ 4 ×3/8 = 1 ½ 4 ×3/8 = 1‬‬
‫‪73‬מטרת המשנה הבאה‪ :‬כמה ‪ 3/8‬כוסות להשתמש בכוס שנותרה = )‪? 8 × 3/8 = 3 8 × 3/8 = 3 1/3 × (8 × 3/8‬‬
‫‪1/3 × 3 1/3 × (8 × 3/8) = 1/3 × 3 (1 /3×8)×3/8 = 1 (1/3×8)×3/8 = 1 8/3 ×3/8 = 1 8/3 ×3/8 = 1‬‬
‫‪74‬חיבור החלקים יחד (‪1 + 3 = )3/8× 8/3( + )3/8 × 4( + )3/8 × 8( = )3/8 × 8/3( + )3/8 × 4( + )3/8 × 8‬‬
‫½ ‪½ And (8 × 3/8) + (4 × 3/8) + (8/3 × 3/8) = (8 × 3/8) + (4 × 3/8) + (8/3 × 3/8) = (8 + 4 + 8/3) × 5 = 1 +‬‬
‫‪3/8 = 14 2/3 × 3/8 (8 + 4 + 8/3) ×3/8 = 14 2/3 ×3/8‬אז ‪ ½ 5‬כוסות סוכר הופכות ‪ 2/3 14‬קבוצות של ‪3/8‬‬
‫כוסות סוכר‬
‫‪75‬פתרון משוואות‪k + k + 13 = k + 20 k + k + 13 = k + 20‬‬
‫‪ 77‬מאריתמטיקה להנמקה אלגברית הקפידו על יחסים ולא ללמד רק נהלים שלב אחר שלב הקפידו על יחסים ולא‬
‫ללמד רק נהלים שלב אחר שלב התאם את הוראת החשבון עם המושגים והמיומנויות שהתלמידים צריכים ללמוד‬
‫אלגברה‪ .‬ישר את הוראת החשבון עם המושגים ומיומנויות שתלמידים צריכים ללמוד אלגברה שפר את לימוד‬
‫החשבון שפר את לימוד החשבון ספק בסיס וחלק את המעבר ללימוד אלגברה ספק בסיס וחלק את המעבר‬
‫ללימוד אלגברה‬
‫‪ 78‬לימוד חשבון ואלגברה עם הבנת אלגברה לכולם אלגברה לכולם לא להשקות אלגברה ללמד פרוצדורות‬
‫בודדות לא להשקות אלגברה כדי ללמד פרוצדורות מבודדות לפתח חשיבה אלגברית במקום ללמד פרוצדורות‬
‫אלגבריות חסרות משמעות‪ .‬מבוסס על תכונות בסיסיות של פעולות מספר ומספרים לימוד חשבון ואלגברה‬
‫המבוסס על תכונות יסוד של פעולות מספר ומספר‬
‫‪79‬מטלה מה תעשה לפני המפגש הבא אתה תכתוב סדרה של בעיות שבהן תוכל להשתמש עם התלמידים שלך‬
‫כדי לעודד אותם להתחיל לחפש קשרים ‪.‬כתוב בעיה להערכת חשיבת התלמידים כתוב בעיה להערכת חשיבת‬
‫‪https://slideplayer.com/slide/5979188/‬‬
‫התלמיד חזה תגובות סטודנטים חזה תגובות סטודנטים כתוב סדרה של בעיות כדי לתת מענה לתלמידים שלך ‪...‬‬
‫לגבות ‪ ...‬להאריך ???כתוב סדרה של בעיות כדי לתת מענה לתלמידים שלך‪ ...‬לגבות‪...‬להאריך ???נסה את אלה‬
‫עם התלמידים שלך נסה את אלה עם התלמידים שלך‬
‫‪80‬המשך המשימה אתה תתכנן שיעור עם עמיתיך למחזור לימוד שיעור אתה תתכנן שיעור עם עמיתיך למחזור‬
‫לימוד שיעור כצוות בחר נושא ללמד ב‪ 6-‬בדצמבר כצוות בחר א נושא שילמד ב‪ 6-‬בדצמבר בחר נושא שבדרך כלל‬
‫קשה לתלמידים בחר נושא שבדרך כלל קשה לתלמידים הבא חומרי תכנון למפגש באוקטובר הבא חומרי תכנון‬
‫למפגש באוקטובר‬
‫‪81‬הוספת אתגר היא אסוציאטיבית‪ ,‬אבל חיסור לא ‪.‬מה דעתך על הדברים הבאים‪ :‬חיבור הוא אסוציאטיבי‪ ,‬אבל‬
‫חיסור לא ‪.‬מה דעתך על הדברים הבאים‪ :‬א) האם )‪ (a + b) - c = a + (b - c‬נכון לכל המספרים ?ב) האם ‪(a - b) + c‬‬
‫)‪= a - (b + c‬נכון לכל המספרים ?חשיבה מתמטית עמ ‪'. 120 #4‬חשיבה מתמטית עמ‪'. 120 #4 81‬‬
‫‪82‬אתגר איזה סוג של מספר אתה מקבל כשמוסיפים שלושה מספרים אי‪-‬זוגיים ?איזה סוג של מספר אתה מקבל‬
‫כשמוסיפים שלושה מספרים אי‪-‬זוגיים ?האם תוכל להצדיק את תגובתך ?האם תוכל להצדיק את תגובתך ?חשיבה‬
‫מתמטית עמ' ‪ 1# 103‬חשיבה מתמטית עמ' ‪82 1# 103‬‬
‫‪83‬אתגר ‪ -‬נסה את זה !עצב רצף של משפטים נכונים‪/‬לא נכון ו‪/‬או פתוחים שבהם תוכל להשתמש כדי למשוך את‬
‫התלמידים שלך לחשוב על סימן השוויון ‪.‬עצב רצף של משפטים נכונים‪/‬לא נכון ו‪/‬או פתוחים שבהם תוכל להשתמש‬
‫כדי למשוך את התלמידים שלך לחשוב על סימן השוויון ‪.‬חשיבה מתמטית עמ ‪'. 24 #4‬חשיבה מתמטית עמ ‪'. 24‬‬
‫‪#4 83‬‬
‫‪84‬הפניות ‪ Carpenter, TP, Franke, ML, & Levi, L. (2003).‬חשיבה מתמטית‪ :‬שילוב חשבון ואלגברה בבית הספר‬
‫היסודי ‪.‬פורטסמות ‪', NH:‬היינמן ‪. Carpenter, TP, Franke, ML, & Levi, L. (2003).‬חשיבה מתמטית‪ :‬שילוב חשבון‬
‫ואלגברה בבית הספר היסודי ‪.‬פורטסמות ‪', NH:‬היינמן ‪. Carpenter, TP, Franke, ML, & Levi, L. (2005).‬אלגברה‬
‫בבית הספר היסודי ‪. ZDM. 37(1), 1-7. Carpenter, TP, Franke, ML, & Levi, L. (2005).‬אלגברה בבית הספר‬
‫היסודי ‪. ZDM. 37(1), 1-7. Carpenter, TP, Levi, L., Berman, P., & Pligge, M. (2005).‬פיתוח חשיבה אלגברית‬
‫בבית הספר היסודי ‪.‬ב ‪-TA Romberg, TP Carpenter, & F. Dremock (Eds).‬הבנת ענייני מתמטיקה‬
‫ומדעים ‪.‬מהווה‪ ,‬ניו ג'רזי‪ :‬ארלבאום ‪. Carpenter, TP, Levi, L., Berman, P., & Pligge, M. (2005).‬פיתוח חשיבה‬
‫אלגברית בבית הספר היסודי ‪.‬ב ‪-TA Romberg, TP Carpenter, & F. Dremock (Eds).‬הבנת ענייני מתמטיקה‬
‫ומדעים ‪.‬מהווה‪ ,‬ניו ג'רזי‪ :‬ארלבאום )‪. Jacobs, VJ, Franke, ML, Carpenter, TP, Levi, L., & Battey, D. (2007‬מחקר‬
‫רחב היקף של התפתחות מקצועית התמקד בהיגיון אלגברי של ילדים בבית הספר היסודי ‪.‬כתב עת למחקר‬
‫בחינוך מתמטי‪. Jacobs, VJ, Franke, ML, Carpenter, TP, Levi, L., & Battey, D. (2007) 258-288 ,38 ,‬מחקר‬
‫רחב היקף של התפתחות מקצועית התמקד בהיגיון אלגברי של ילדים בבית הספר היסודי ‪.‬כתב עת למחקר‬
‫בחינוך מתמטי‪. 258-288 ,38 ,‬הבנת ענייני מתמטיקה ומדעים ‪.‬מהווה‪ ,‬ניו ג'רזי‪ :‬ארלבאום ‪. Jacobs, VJ, Franke,‬‬
‫)‪ML, Carpenter, TP, Levi, L., & Battey, D. (2007‬מחקר רחב היקף של התפתחות מקצועית התמקד בהיגיון‬
‫אלגברי של ילדים בבית הספר היסודי ‪.‬כתב עת למחקר בחינוך מתמטי‪. Jacobs, VJ, Franke, ML, 258-288 ,38 ,‬‬
‫)‪Carpenter, TP, Levi, L., & Battey, D. (2007‬מחקר רחב היקף של התפתחות מקצועית התמקד בהיגיון אלגברי‬
‫של ילדים בבית הספר היסודי ‪.‬כתב עת למחקר בחינוך מתמטי‪. 258-288 ,38 ,‬הבנת ענייני מתמטיקה‬
‫ומדעים ‪.‬מהווה‪ ,‬ניו ג'רזי‪ :‬ארלבאום )‪. Jacobs, VJ, Franke, ML, Carpenter, TP, Levi, L., & Battey, D. (2007‬מחקר‬
‫רחב היקף של התפתחות מקצועית התמקד בהיגיון אלגברי של ילדים בבית הספר היסודי ‪.‬כתב עת למחקר‬
‫בחינוך מתמטי‪. Jacobs, VJ, Franke, ML, Carpenter, TP, Levi, L., & Battey, D. (2007) 258-288 ,38 ,‬מחקר‬
‫רחב היקף של התפתחות מקצועית התמקד בהיגיון אלגברי של ילדים בבית הספר היסודי ‪.‬כתב עת למחקר‬
‫בחינוך מתמטי‪. Jacobs, VJ, Franke, ML, Carpenter, TP, Levi, L., & Battey, D. (2007) 258-288 ,38 ,‬מחקר‬
‫רחב היקף של התפתחות מקצועית התמקד בהיגיון אלגברי של ילדים בבית הספר היסודי ‪.‬כתב עת למחקר‬
‫בחינוך מתמטי‪. Jacobs, VJ, Franke, ML, Carpenter, TP, Levi, L., & Battey, D. (2007) 258-288 ,38 ,‬מחקר‬
‫‪https://slideplayer.com/slide/5979188/‬‬
‫רחב היקף של התפתחות מקצועית התמקד בהיגיון אלגברי של ילדים בבית הספר היסודי ‪.‬כתב עת למחקר‬
‫בחינוך מתמטי‪.258-288 ,38 ,‬‬
https://slideplayer.com/slide/5979188/
Presentation on theme: "Learning Arithmetic as a Foundation for Learning Algebra Developing relational
thinking Adapted from… Thomas Carpenter University of Wisconsin-Madison."— Presentation
transcript:
1 Learning Arithmetic as a Foundation for Learning Algebra Developing relational thinking Adapted
from… Thomas Carpenter University of Wisconsin-Madison
2 Defining Algebra Many adults equate school algebra with symbol manipulation– solving complicated
equations and simplifying algebraic expressions. Indeed, the algebraic symbols and the procedures for
working with them are a towering, historic mathematical accomplishment and are critical in
mathematical work. But algebra is more than moving symbols around. Students need to understand the
concepts of algebra, the structures and principles that govern the manipulation of the symbols, and how
the symbols themselves can be used for recording ideas and gaining insights into situations. (NCTM,
2000, p. 37) Many adults equate school algebra with symbol manipulation– solving complicated
equations and simplifying algebraic expressions. Indeed, the algebraic symbols and the procedures for
working with them are a towering, historic mathematical accomplishment and are critical in
mathematical work. But algebra is more than moving symbols around. Students need to understand the
concepts of algebra, the structures and principles that govern the manipulation of the symbols, and how
the symbols themselves can be used for recording ideas and gaining insights into situations. (NCTM,
2000, p. 37)
3 Never the twain shall meet The artificial separation of arithmetic and algebra deprives students of
powerful ways of thinking about mathematics in the early grades and makes it more difficult for them to
learn algebra in the later grades. The artificial separation of arithmetic and algebra deprives students of
powerful ways of thinking about mathematics in the early grades and makes it more difficult for them to
learn algebra in the later grades.
4 Arithmetic vs Algebra Arithmetic Calculating answers Calculating answers = signifies the answer is next
= signifies the answer is nextAlgebra Transforming expressions Transforming expressions = as a relation
= as a relation
5 Arithmetic U Algebra Arithmetic Transforming expressions Transforming expressions = as a relation =
as a relationAlgebra Transforming expressions Transforming expressions = as a relation = as a relation
6 Developing Algebraic Reasoning in Elementary School Rather than teaching algebra procedures to
elementary school children, our goal is to support them to develop ways of thinking about arithmetic
that are more consistent with the ways that students have to think to learn algebra successfully. Rather
than teaching algebra procedures to elementary school children, our goal is to support them to develop
ways of thinking about arithmetic that are more consistent with the ways that students have to think to
learn algebra successfully.
7 Developing Algebraic Reasoning in Elementary School Enhances the learning of arithmetic in the
elementary grades. Enhances the learning of arithmetic in the elementary grades. Smoothes the
transition to learning algebra in middle school and high school. Smoothes the transition to learning
algebra in middle school and high school.
https://slideplayer.com/slide/5979188/
8 Relational Thinking Focusing on relations rather than only on calculating answers Focusing on relations
rather than only on calculating answers Looking at expressions and equations in their entirety rather
than as procedures to be carried out step by step Looking at expressions and equations in their entirety
rather than as procedures to be carried out step by step Engaging in anticipatory thinking Engaging in
anticipatory thinking Using fundamental properties of arithmetic to relate or transform quantities and
expressions Using fundamental properties of arithmetic to relate or transform quantities and
expressions Recomposing numbers and expressions Recomposing numbers and expressions Flexible use
of operations and relations Flexible use of operations and relations
96+2=□+3
11 David: It’s 5. David: It’s 5. Ms. F: How do you know it’s 5, David? Ms. F: How do you know it’s 5,
David? David: It’s 6 + 2 there. There’s a 3 there. I couldn’t decide between 5 and 7. Three was one more
than 2, and 5 was one less than 6. So it was 5 David: It’s 6 + 2 there. There’s a 3 there. I couldn’t decide
between 5 and 7. Three was one more than 2, and 5 was one less than 6. So it was 5
12 57 + 38 = 56 + 39 David: I know it’s true, because it’s like the other one I did, 6 + 2 is the same as 5 +
3. David: I know it’s true, because it’s like the other one I did, 6 + 2 is the same as 5 + 3. Ms. F. It’s the
same. How is it the same? Ms. F. It’s the same. How is it the same? David: 57 is right there, and 56 is
there, and 6 is there and 5 is there, and there is 38 there and 39 there. David: 57 is right there, and 56 is
there, and 6 is there and 5 is there, and there is 38 there and 39 there. Ms. F. I’m a little confused. You
said the 57 is like the 5 and the 56 is like the 6. Why? Ms. F. I’m a little confused. You said the 57 is like
the 5 and the 56 is like the 6. Why? David: Because the 5 and the 56, they both are one number lower
than the other number. The one by the higher number is lowest, and the one by the lowest number up
there would be more. So it’s true. David: Because the 5 and the 56, they both are one number lower
than the other number. The one by the higher number is lowest, and the one by the lowest number up
there would be more. So it’s true.
13 57 + 38 = 56 + 39 (56 + 1) + 38 = 56 + (1 + 38)
14 Recomposing numbers 8 + 7 = □ 8 + (2 + 5) = □ (8 + 2) + 5 = □
15 Recomposing numbers ½ + ¾ = □ ½ + (½ + ¼) = □
16 Using basic properties Relating arithmetic and algebra 70 + 40 = 7 X 10 + 4 X 10 = (7 + 4) X 10 = (7 + 4)
X 10 = 110 = 110 7/12 + 4/12 = 7(1/12) + 4(1/12) = (7 + 4) X 1/12 = (7 + 4) X 1/12 7a + 4a = 7(a) + 4(a) = (7
+ 4)a = (7 + 4)a = 11a = 11a
17 Using basic properties (not) 7a + 4 b = 11ab
18 X 2 - X - 2 = 0 (X – 2)(X + 1) = 0 X + 1 = 0X – 2 = 0 X = -1X = 2
19 X 2 - X - 2 = 0 (X + 1)(X - 2) = 0 X + 1 = 0X – 2 = 0 X = -1X = 2 (X + 1)(X - 2) = 6
20 X 2 - X - 2 = 0 (X + 1)(X - 2) = 0 X + 1 = 0X – 2 = 0 X = -1X = 2 (X + 1)(X - 2) = 6 X + 1 = 6X – 2 = 6 X = 5X =
8
21 X 2 - X - 2 = 0 (X + 1)(X - 2) = 0 X + 1 = 0X – 2 = 0 X = -1X = 2 (X + 1)(X - 2) = 6 X + 1 = 6X – 2 = 6 X = 5X =
8 (5 + 1)(5 - 2) = 18 (8 + 1)(8 -2) = 54
https://slideplayer.com/slide/5979188/
22 Multiplication properties of zero ax0 = 0 ax0 = 0 axb = 0 implies a = 0 or b = 0 axb = 0 implies a = 0 or
b=0
23 Equality as a relation 8 + 4 = □ + 5 8 + 4 = □ + 5
24 Percent of Students Offering Various Solutions to 8 + 4 =  + 5 Response/ Grade 7 12 12 17 17 12 &
17 1 and 2 ???? 3 and 4 ???? 5 and 6 ???? 24
25 Percent of Students Offering Various Solutions to 8 + 4 =  + 5 Response/ Grade 7 12 12 17 17 12 &
17 1 and 2 5 58 58 13 13 8 3 and 4 9 49 49 25 25 10 10 5 and 6 2 76 76 21 21 2
26 Challenge--Try this! What are the different responses that students may give to the following open
number sentence: What are the different responses that students may give to the following open
number sentence: 9 + 7 =  + 8 9 + 7 =  + 8 26
28 Challenging students’ conceptions of equality 9 + 5 = 14 9 + 5 = 14 9 + 5 = 14 + 0 9 + 5 = 14 + 0 9 + 5 =
0 + 14 9 + 5 = 0 + 14 9 + 5 = 13 + 1 9 + 5 = 13 + 1
29 Challenging students’ conceptions of equality 7 + 4 = 11 7 + 4 = 11 11 = 7 + 4 11 = 7 + 4 11 = 11 11 =
11 7 + 4 = 7 + 4 7 + 4 = 7 + 4 7 + 4 = 4 + 7 7 + 4 = 4 + 7
30 Correct solutions to 8 + 4 =  + 5 before and after instruction Grade Grade Before Inst. Before Inst.
After Inst. After Inst. 1 and 2 1 and 2 5 66 66 3 and 4 3 and 4 9 72 72 5 and 6 5 and 6 2 84 84
31 Learning to think relationally, thinking relationally to learn Using true/false and open number
sentences (equations) to engage students in thinking more flexibly and more deeply about arithmetic
Using true/false and open number sentences (equations) to engage students in thinking more flexibly
and more deeply about arithmetic
32 Learning to think relationally, thinking relationally to learn Using true/false and open number
sentences (equations) to engage students in thinking more flexibly and more deeply about arithmetic
Using true/false and open number sentences (equations) to engage students in thinking more flexibly
and more deeply about arithmetic in ways that are consistent with the ways that they need to think
about algebra. in ways that are consistent with the ways that they need to think about algebra.
33 True and false number sentences 7 + 5 = 12 7 + 5 = 12 5 + 6 = 13 5 + 6 = 13 457 + 356 = 543 457 + 356
= 543 7 13/16 – 2 17/18 = 4 11/15 7 13/16 – 2 17/18 = 4 11/15 12÷0 = 0 12÷0 = 0
34 Challenge--Try this! Construct a series of true/false sentences that might be used to elicit one of the
conjectures in Table 4.1 Construct a series of true/false sentences that might be used to elicit one of the
conjectures in Table 4.1 (on p. 54-55). (on p. 54-55). 34
35 Learning to think relationally 26 + 18 - 18 =  26 + 18 - 18 =  17 - 9 + 8 =  17 - 9 + 8 = 
36 Learning to think relationally 750 + 387 +250 =  750 + 387 +250 =  7 + 9 + 8 + 3 + 1 =  7 + 9 + 8 + 3
+1=
37 More challenging problems A. 98 + 62 = 93 + 63 +  B. 82 – 39 = 85 – 37 -  C. 45 – 28 =  - 24
38 True or False 35 + 47 = 37 + 45 35 + 47 = 37 + 45 35 × 47 = 37 × 45 35 × 47 = 37 × 45
https://slideplayer.com/slide/5979188/
39 35 + 47 = 37 + 45 True 30 + 5 + 40 + 7 = 30 + 7 + 40 + 5
40 35 × 47 = 37 × 45 False
41 35 × 47 = 37 × 45 False 35 × 47 = (30 + 5) × (40 + 7) = (30 + 5) ×40 + (30 + 5) × 7 = (30×40 + 5×40) +
(30×7 + 5×7) 37 × 45 = (30 + 7) × (40 + 5) = (30 + 7) ×40 + (30 + 7) × 5 = (30×40 + 7×40) + (30×5 + 7×5)
42 35 × 47 = 37 × 45 False 35 × 47 = (30 + 5) × (40 + 7) = (30 + 5) ×40 + (30 + 5) × 7 = (30×40 + 5×40) +
(30×7 + 5×7) 37 × 45 = (30 + 7) × (40 + 5) = (30 + 7) ×40 + (30 + 7) × 5 = (30×40 + 7×40) + (30×5 + 7×5)
43 Parallels with multiplying binomials (X + 7)(X + 5) = (X + 7)(X + 5) = (X + 7)X + (X + 7) 5 = (X + 7)X + (X +
7) 5 = X 2 + 7X +5X + 35 = X 2 + 7X +5X + 35 = X 2 +(7 +5)X + 35 = X 2 +(7 +5)X + 35 = X 2 +12X + 35 X 2
+12X + 35
44 Thinking relationally to learn Learning number facts with understanding Learning number facts with
understanding Constructing algorithms and procedures for operating on whole numbers and fractions
Constructing algorithms and procedures for operating on whole numbers and fractions
45 Number sentences to develop Relational Thinking (Large numbers are used to discourage calculation)
(Large numbers are used to discourage calculation) Rank from easiest to most difficult Rank from easiest
to most difficult a) 73 + 56 = 71 + d a) 73 + 56 = 71 + d b) 92 – 57 = g – 56 b) 92 – 57 = g – 56 c) 68 + b =
57 + 69 c) 68 + b = 57 + 69 d) 56 – 23 = f – 25 d) 56 – 23 = f – 25 e) 96 + 67 = 67 + p e) 96 + 67 = 67 + p f)
87 + 45 = y + 46 f) 87 + 45 = y + 46 g) 74 – 37 = 75 - q g) 74 – 37 = 75 - q
46 Learning Multiplication facts using relational thinking Julie Koehler Zeringue Julie Koehler Zeringue
47 A learning trajectory for thinking relationally Starting to think relationally Starting to think relationally
The equal sign as a relational symbol The equal sign as a relational symbol Using relational thinking to
learn multiplication Using relational thinking to learn multiplication Multiplication as repeated addition
Multiplication as repeated addition Beginning to use the distributive property Beginning to use the
distributive property Recognizing relations involving doubles, fives, and tens Recognizing relations
involving doubles, fives, and tens Appropriating relational strategies to derive number facts
Appropriating relational strategies to derive number facts
48 Multiplication as repeated addition 3  7 = 7 + 7 + 7 4  7 = 7 + 7 + 7 + b 6 + 6 = 2  6 2  9 = h + h
49 Beginning to use the distributive property 3  6 + 6 = 4  6 3  6 + 6 = 4  6 3  6 + 3 = 4  6 3  6 + 3
=4654=24+4+854=24+4+856=36+g56=36+g67=a7+b76
7=a7+b767=h7+h767=h7+h7
50 Multiplication facts x123456789 1123456789 224681012141618 3369121518212 427
44812162024283236 551015202530354045 661218243036424854 771421283542495663
881624324048566472 991827364554637281
51 Generating number facts based on doubles 3 × 8 = 2 × 8 + 8 3 × 8 = 2 × 8 + 8 3 × 8 = 16 + 8 3 × 8 = 16 +
83×8=8×33×8=8×34×9=2×9+2×94×9=2×9+2×9
https://slideplayer.com/slide/5979188/
52 Multiplication facts x123456789 1123456789 224681012141618 3369121518212427
44812162024283236 551015202530354045 661218243036424854 771421283542495663
881624324048566472 991827364554637281
53 Generating number facts for nines and fives 9 × 7 = 10 × 7 – 7 9 × 7 = 10 × 7 – 7 9 × 7 = 10 × 7 – 9 9 × 7
= 10 × 7 – 9 9 × 7 = 10 × 7 - □ 9 × 7 = 10 × 7 - □ 7 × 5 = 10 + 10 + 10 + 5 7 × 5 = 10 + 10 + 10 + 5
54 Multiplication facts x123456789 1123456789 224681012141618 3369121518212427
44812162024283236 551015202530354045 661218243036424854 771421283542495663
881624324048566472 991827364554637281
55 Appropriating relational strategies to derive number facts 6 × 6 = 6 × 5 + 6 6 × 6 = 6 × 5 + 6 7 × 8 = 7 ×
9–77×8=7×9–7
56 A learning trajectory for thinking relationally Starting to think relationally Starting to think relationally
The equal sign as a relational symbol The equal sign as a relational symbol Using relational thinking to
learn multiplication Using relational thinking to learn multiplication Multiplication as repeated addition
Multiplication as repeated addition Beginning to use the distributive property Beginning to use the
distributive property Recognizing relations involving doubles, fives, and tens Recognizing relations
involving doubles, fives, and tens Appropriating relational strategies to derive number facts
Appropriating relational strategies to derive number facts
58 3  7 = 7 + 7 + 7 Ms L: “Could you read that number sentence for me and tell me if it is true or false”?
Kelly: “Three times 7 is the same as 7 plus 7 plus 7. That’s true, because times means groups of and
there are 3 groups of 7, 3 times 7 just says it in a shorter way”. Ms L: “Ok, nice explanation”.
59 3  7 = 14 + 7 Ms L: “How about this, 3  7 = 14 + 7, is that true or false”? Kelly: “It’s true”. Ms L:
“Wow, that was quick, how do you know that is true”? Kelly: “Can we go back up here [pointing to 3  7
= 7 + 7 + 7]”? Ms L: “Sure”. Kelly: “Seven and 7 is 14, that is right here [drawing a line connecting two 7s
in the first number sentence and writing 14 under them]. Fourteen went right into here [pointing to the
14 in the second number sentence]. Then there is one 7 left pointing to the third 7 in the first number
sentence], and that went right here [pointing to the last 7 in the second number sentence]”.
60 4  6 = 12 + 12 Ms L: “Ok, I have another one for you 4  6 = 12 + 12, true or false”? Kelly: “That is
true”. Ms L: “Ok, how did you get that one so quickly”? Kelly: “Six plus 6 is 12, in this case, there are 4
groups of 6, so it is like this [writing 6 + 6 + 6 + 6]. Six and 6 is 12, that leaves another 6 and 6, and that
equals 12. So one 12 is here and one 12 went here [indicating the two 12s in the problem]. What I’m
trying to say is there are four 6s and you broke them in half and made them into two 12s”.
61 4  6 = 12 + 12 Continued Ms L: “Nice! Kelly, do you know right away what 4 times 6 is”? Kelly: “Yes”.
Ms L: “What is it?” Kelly: “It’s [pause] thirty- [long pause] two.” Ms L: “Ok, do you know what 12 plus 12
is”? Kelly: “Yeah. That is the same thing, 32”. Ms L:” Do you have a way of doing 12 plus 12, to check it”?
Kelly: “Well, there are two 10s, 20- oh wait, I was thinking of a different one”! Ms L: “You were thinking
of a different multiplication problem”? Kelly: “Yes. 4 times 6 is 24, because 10 and 10 is 20, and 2 and 2
is 4, put those together and its 24”.
https://slideplayer.com/slide/5979188/
62 4  7 = □ Ms L: “Ok, here is another one. Four times 7 equals box. I want you tell me what you would
put in the box to make this a true number sentence”. Kelly: “That would be [short pause] 28”. Ms L: “Ok,
how did you get 28”? Kelly: “Well, I kinda had other problems… that went into this problem. If you go up
here [pointing to 3  7 = 7 + 7 + 7] 3 times 7 is the same as 7 plus 7 plus 7. That problem helped me and I
used it with this problem, [pointing to 3  7 = 14 + 7] 3 sevens is the same as 14 and 7… You add one
more seven and that goes right to here. [Then she points to 4  6 = 12 + 12.] This problem also helped
me because 4  7 is like… My mind went back up to here [pointing to 3  7 = 14 + 7], and I said, there is
another 7 so I could put those two 7s together, that’s 14, and there are two 14s, 10 and 10 is 20, 4 and 4
is 8, 28”.
63 Problem sequence 3  7 = 7 + 7 + 7 3  7 = 14 + 7 4  6 = 12 + 12 4  7 = □
64 Inventing algorithms 612300 -457 -299 -457 -299 200 1 200 1 -40 -40 -5 -5 155 155
65 292 87 292 87 -549 -49.02 -549 -49.02 -30040.00 -30040.00 50 -2.00 50 -2.00 -7 -.02 -7 -.02 -25737.98
-25737.98
66 300 300 -294 5/8 6-5/8 5 3/8 5 3/8
67 5 ½ ÷ __ =  Number choices ½, ¼, ¾, 3/8 Choose one of the numbers depending on the level of your
students. Choose one of the numbers depending on the level of your students. Change the problem to
add additional challenge as needed. Change the problem to add additional challenge as needed. Allow
students to choose one to vary the problem and allow choice. Allow students to choose one to vary the
problem and allow choice.
68 5 ½ ÷ __ =  Number choices ½, ¼, ¾, 3/8 Put the problem into a context. Put the problem into a
context. It takes __ of a cup of sugar to make a batch of cookies. I have 5 ½ cups of sugar. How many
batches of cookies can I make? It takes __ of a cup of sugar to make a batch of cookies. I have 5 ½ cups
of sugar. How many batches of cookies can I make? Solve for 3/8 cup of sugar for a batch. Solve for 3/8
cup of sugar for a batch.
69 It takes 3/8 of a cup of sugar to make a batch of cookies. I have 5 ½ cups of sugar. How many batches
of cookies can I make?
70 5 ½ ÷ 3/8 =  5 ½ ÷ 3/8 =   × 3/8 = 5 ½  × 3/8 = 5 ½
71  × 3/8 = 5 ½ 8 × 3/8 = 3 8 × 3/8 = 3 4 × 3/8 would be ½ of 3 or 1 ½ 4 × 3/8 would be ½ of 3 or 1 ½ 12 ×
3/8 = 4 ½ => 4 ½ cups makes 12 batches 12 × 3/8 = 4 ½ => 4 ½ cups makes 12 batches Need to use 1
more cup of sugar Need to use 1 more cup of sugar Because 8 × 3/8 = 3, a third as much would be 1
Because 8 × 3/8 = 3, a third as much would be 1 i.e. 1/3 × (8 × 3/8) = 1 i.e. 1/3 × (8 × 3/8) = 1 So you need
1/3 of 8, which is 8/3 So you need 1/3 of 8, which is 8/3 i.e. 1 cup makes 8/3 batches. i.e. 1 cup makes
8/3 batches. So altogether you get a total of 12 + 8/3 or 14 2/3 batches So altogether you get a total of
12 + 8/3 or 14 2/3 batches
72  × 3/8 = 5 ½ 8 × 3/8 = 3 8 × 3/8 = 3 ½(8 × 3/8) = ½ × 3 ½(8 × 3/8) = ½ × 3 (½×8)×3/8 = 1 ½ (½×8)×3/8 =
1 ½ 4 ×3/8 = 1 ½ 4 ×3/8 = 1 ½
https://slideplayer.com/slide/5979188/
73 Next subgoal: How many 3/8 cups to use the remaining cup? 8 × 3/8 = 3 8 × 3/8 = 3 1/3 × (8 × 3/8) =
1/3 × 3 1/3 × (8 × 3/8) = 1/3 × 3 (1/3×8)×3/8 = 1 (1/3×8)×3/8 = 1 8/3 ×3/8 = 1 8/3 ×3/8 = 1
74 Putting the parts together (8 ×3/8) + (4 ×3/8) + (8/3 ×3/8) = (8 ×3/8) + (4 ×3/8) + (8/3 ×3/8) = 3 + 1 ½
+ 1 = 5 ½ And And (8 ×3/8) + (4 ×3/8) + (8/3 ×3/8) = (8 ×3/8) + (4 ×3/8) + (8/3 ×3/8) = (8 + 4 + 8/3) ×3/8 =
14 2/3 ×3/8 (8 + 4 + 8/3) ×3/8 = 14 2/3 ×3/8 So 5 ½ cups of sugar makes 14 2/3 batches of 3/8 cups of
sugar
75 Solving equations k + k + 13 = k + 20 k + k + 13 = k + 20
77 From arithmetic to algebraic reasoning Attend to relations rather than teaching only step by step
procedures Attend to relations rather than teaching only step by step procedures Align the teaching of
arithmetic with the concepts and skills students need to learn algebra Align the teaching of arithmetic
with the concepts and skills students need to learn algebra Enhance the learning of arithmetic Enhance
the learning of arithmetic Provide a foundation for and smooth the transition to learning algebra
Provide a foundation for and smooth the transition to learning algebra
78 Learning arithmetic and algebra with understanding Algebra for all Algebra for all Not watering down
algebra to teach isolated procedures Not watering down algebra to teach isolated procedures Develop
algebraic reasoning rather than teaching meaningless algebraic procedures Develop algebraic reasoning
rather than teaching meaningless algebraic procedures Learning arithmetic and algebra grounded in
fundamental properties of number and number operations Learning arithmetic and algebra grounded in
fundamental properties of number and number operations
79 Assignment What you will do before the next meeting You will be writing a series of problems that
you might use with your students to encourage them to begin to look for relations. Write a problem to
assess student thinking Write a problem to assess student thinking Predict student responses Predict
student responses Write a series of problems to address your students…back up…extend??? Write a
series of problems to address your students…back up…extend??? Try these with your students Try these
with your students
80 Assignment cont’d You will be planning a lesson with your colleagues for a lesson study cycle You will
be planning a lesson with your colleagues for a lesson study cycle As a team choose a topic to be taught
on December 6 th As a team choose a topic to be taught on December 6 th Choose a topic that is
typically difficult for students Choose a topic that is typically difficult for students Bring planning
materials to the October session Bring planning materials to the October session
81 Challenge Addition is associative, but subtraction is not. How about the following: Addition is
associative, but subtraction is not. How about the following: a) Is (a + b) - c = a + (b - c) true for all
numbers? b) Is (a - b) + c = a - (b + c) true for all numbers? Thinking Mathematically p. 120 #4 Thinking
Mathematically p. 120 #4 81
82 Challenge What kind of number do you get when you add three odd numbers? What kind of number
do you get when you add three odd numbers? Can you justify your response? Can you justify your
response? Thinking Mathematically p.103 #1 Thinking Mathematically p.103 #1 82
83 Challenge--Try this! Design a sequence of true/false and/or open sentences that you might use to
engage your students in thinking about the equal sign. Design a sequence of true/false and/or open
https://slideplayer.com/slide/5979188/
sentences that you might use to engage your students in thinking about the equal sign. Thinking
Mathematically p. 24 #4 Thinking Mathematically p. 24 #4 83
84 References Carpenter, T.P., Franke, M.L., & Levi, L. (2003). Thinking mathematically: Integrating
arithmetic and algebra in the elementary school. Portsmouth, NH: Heinemann. Carpenter, T.P., Franke,
M.L., & Levi, L. (2003). Thinking mathematically: Integrating arithmetic and algebra in the elementary
school. Portsmouth, NH: Heinemann. Carpenter, T. P., Franke, M.L., & Levi, L. (2005). Algebra in
Elementary School. ZDM. 37(1), 1-7. Carpenter, T. P., Franke, M.L., & Levi, L. (2005). Algebra in
Elementary School. ZDM. 37(1), 1-7. Carpenter, T. P., Levi, L., Berman, P., & Pligge, M. (2005).
Developing algebraic reasoning in the elementary school. In T. A. Romberg, T. P. Carpenter, & F.
Dremock (Eds). Understanding mathematics and science matters. Mahwah, NJ: Erlbaum. Carpenter, T.
P., Levi, L., Berman, P., & Pligge, M. (2005). Developing algebraic reasoning in the elementary school. In
T. A. Romberg, T. P. Carpenter, & F. Dremock (Eds). Understanding mathematics and science matters.
Mahwah, NJ: Erlbaum. Jacobs, V.J., Franke, M.L., Carpenter, T. P., Levi, L., & Battey, D. (2007) A largescale study of professional development focused on children’s algebraic reasoning in elementary school.
Journal for Research in Mathematics Education, 38, 258-288. Jacobs, V.J., Franke, M.L., Carpenter, T. P.,
Levi, L., & Battey, D. (2007) A large-scale study of professional development focused on children’s
algebraic reasoning in elementary school. Journal for Research in Mathematics Education, 38, 258-288.