Universidad Industrial de Santander
Facultad de Ciencias
Escuela de Matemáticas
Lista # 1 Cálculo II - 20253
Coordinador Cálculo Integral
Prof. Arnoldo Teherán Herrera1
Elaboró: Colectivo de Profesores
Septiembre de 2019
Nota: El objetivo de las Listas es abordar algunos ejercicios y problemas que evidencien la potencialidad de las
técnicas y resultados indicados en clase, con la intención de hacerlo notar en nuestros estudiantes. Los ejercicios y problemas
pueden ser del LIBRO Texto, otros textos u otros que nos planteemos. Todas las observaciones son Bienvenidas.
1. (Antiderivadas)
a) Si F (x) es una antiderivada de f (x), use la defición de antiderivada general para obtener que:
ˆ
ˆ
0
F (x) dx = F (x) + C
Además para a 6= 0,
y
f (x) dx = f (x).
ˆ
ˆ
1
f (ax) dx = F (ax)+C1 ,
a
b) Desarrolle
d
dx
ˆ
f (x+b) dx = F (x+b)+C2
y
f (ax+b) dx =
1
F (ax+b)+C3 .
a
cada uno de los siguientes ı́tem:
i) Si f (x) = |x| y F está dada por
F (x) =
− 12 x2 ,
1 2
2x ,
si x < 0,
si x ≥ 0.
¿Es F una antiderivada de f , dónde lo es? Justifique su respuesta.
ii) Sean f (x) = 1 para todo x ∈ (−1, 1) y g(x) dada por
−1, si − 1 < x ≤ 0,
g(x) =
1, si 0 < x < 10.
Entonces f 0 (x) = 0 para todo x ∈ (−1, 1) y g(x) = 0 siempre que g 0 exista en (−1, 1). ¿Es
cierto que f (x) = g(x) + K, K ∈ R? Justifique su respuesta
´
1
dx:
x3 − 1
1
1
1
1 x+1
i) Verifique que 3
=
−
.
x −1
3 (x − 1) 3 x2 + x + 1
c) Considere la integral indefinida
´
1
dx.
x3 − 1
d ) Determine en cada caso la antiderivada más general:
ii) Use i) para calcular
ˆ
2. (Antiderivadas
3 tan(θ) − 4 cos2 (θ)
dθ
cos(θ)
ˆ
y
(2 cot2 (θ) − 3 tan2 (θ)) dθ.
& Cambio de Variable)
Si a, b; α, β ∈ R, determine en cada caso la antiderivada más general:
1 A great discovery solves a great problem but there is a grain of discovery in the solution of any problem.
Your problem may be modest; but if it challenges your curiosity and brings into play your inventive faculties,
and if you solve it by your own means, you may experience the tension and enjoy the triumph of discovery.
George Polya.
— Tomado de Calculus 6th Edition; James Stewart; Thomson Brooks/Cole —
´
(i)
(ii)
´
´
(iii)
´
(iv)
´
(v)
3. (Más
sin(x) − cos(x)
dx.
sin(x) + cos(x)
´
2
(vi)
1
dx.
(a + b) + (a − b)x2
vii)
1
dz.
sin(ax) cos(ax)
p
3
1 + ln(x)
dx.
x
p
√
3
1+ 4x
√
dx.
x
viii)
ix)
´
´
´
´
p
3
´ 1
√
dx.
xi)
e −1
´√
xii)
e − 1 dx.
´
1
√
1+ 4x
√
.
x
x
√
eαx a − beαx dx
x
xiii)
dx 3
.
2x + 3
xiv)
αx x
3
e dx.
´
4α−βx dx.
x)
´
xv)
´
Sustituciones) [Integrandos con expresiones ax2 + bx + c,
a) Sean a 6= 0, b, c ∈ R y considere integrales del tipo
x(4 − ln2 (x))
dx.
sin(x) cos(x)
q
dx.4
4
2 − sin (x)
earctan(x) + x ln(1 + x2 ) + 1
dx.
1 + x2
a 6= 0]
1
dx:
ax2 + bx + c
i) Obtenga que
2
"
ax +bx+c = a
b
x+
2a
2
+
c
b2
− 2
a 4a
#
Concluya
z}|{
=
#
 "
2

b

2

+K ,
a x+


2a


si
c
b2
> 2,
a
4a
"
#

2


b

2


−K ,
 a x + 2a
si
c
b2
< 2.
a
4a
ii) Concluya usando un cambio variable adecuado que
ˆ
ˆ
1
1
dx =
ax2 + bx + c
a
1
du
u2 ± K 2
y obtenga las posibles respuestas para la integral inicial.
iii) Use lo anterior para obtener
ˆ
ˆ
1
1
dx = √ tan−1
2
3x − 2x + 4
11
3x − 1
√
+C;
11
´
b) Si a 6= 0, b, c; A 6= 0, B ∈ R considere integrales del tipo
si u = ax2 + bx + c, entonces du = (2ax + b) dx para:
i) Establezcer
ˆ
I=
ˆ
Ax + B
dx =
ax2 + bx + c
1
2
dx = √ arctan
2
2x − 5x + 7
31
4x − 5
√
+C.
31
Ax + B
dx y use el hecho que
ax2 + bx + c
Ab
+ b) + B −
2a
ax2 + bx + c
A
2a (2ax
dx.
´
ii) Escriba la integral I anterior como la suma de dos integrales, I = I1 + I2 . Use el cambio de
Ax + B
variable evidente y el ı́tem 3(a) para obtener la antiderivada más general de
dx.
ax2 + bx + c
iii) Use el ı́tem anterior para obtener
ˆ
ˆ 7 (12x + 1) + 1 − 7
ˆ
12
7x + 1
7
5
1
12
dx =
dx =
ln |6x2 +x−1|+
dx+C.
6x2 + x − 1
6x2 + x − 1
12
12
6x2 + x − 1
Ahora bien, verifique los siguientes hechos y úselos para obtener la antiderivada en rojo:
"
2 2 #
1
5
1
1
1
1
1
2
6x +x−1 = 6 x +
−
y
=
=
−
.
12
12
w2 − k2
(w − k)(w + k)
2k w − k w + k
c) Realice un tratamiento similar con integrales del tipo
ˆ
ˆ
dx
√
2
ax + bx + c
y
Use su razonamiento para obtener:
d
ln(f (x))?
dx
1
1
a
3
=
1−
ó tome u = 2x + 3 y use la idea del ı́tem b)i).
a+b
b
a+b
4 Tome w = sin2 (x).
2¿
√
Ax + B
dx.
ax2 + bx + c
ˆ
i)
ˆ
x+3
1
√
dx =
2
2
x + 2x + 2
ii)
ˆ
2x + 2
√
dx + 2
2
x + 2x + 2
1
p
dx + C.5
(x + 1)2 + 1
ˆ
ˆ
√
1
dx =
2 − 3x − 4x2
r
1
1
dx = sin−1
√ 2
2
2
41
− 2 x + 38
4
d ) ¿Qué hacer en el caso de tener integrando f (x) =
e) Realice la sustitución inversa
8x + 3
√
41
+ C.6
Ax + B
, k ∈ N?
+ bx + c)k
(ax2
1
= t en integrales del tipo
mx + n
ˆ
dx
√
.
(mx + n) ax2 + bx + c
Establezca que:
ˆ
ˆ
1
√
dx = − sin−1
2
x x +x−1
4. (Notación
Sigma
2−x
√
+C;
5x
(x − 1)
1
√
x2
−2
dx = − sin−1
2−x
√
(1 − x) 2
x>
P
)
P
:
a) Escriba los siguientes números usando la Notación Sigma
i) 0, 11111111
ii) 0, 3737373737
iii) 0, 153153
.{z
. . 153153}
|
n veces
¿Podemos hacer algo similar con expresiones periódicas infinitas?
b) Evalúe cada una de las sumas:
i)
n
X
2k − 2k−1
iii)
k=−3
ii)
106 X
k=1
1
1
−
k k+1
iv)
n
X
2
j(j
− 1)
j=−2
j6=0,1
n
X
−k
(3 − 3k )2 ) − (3k−1 − 3−k+1 )2
k=1
c) (Ejercicio guiado) Establezca cada una de las siguientes afirmaciones:
n
X
i)
(k + 1)2 k 2 = n2 + 2n.
k=1
ii) Use la igualdad (k + 1)2 − k 2 = 2k + 1 para obtener que:
n
n
X
X
(k + 1)2 k 2 = n + 2
k.
k=1
k=1
iii) Use los ı́tem a) y b) para deducir la expresión compacta de
n
X
k.
k=1
¿Es válido este procedimiento para la suma de los “primeros” n cuadrados, n cubos, ... etc?
d ) Determine la expresión reducida de las siguientes sumas:
i)
n
X
4j + 3
j=1
ii)
n2
iii)
i=1
i6=0,2
n
X
4i2 (i − 1)
i=1
2
10
X
n4
iv)
2019
X
2
i(i − 2)
(1 + m)
m=0
e) Use la Notación Sigma para escribir las siguientes expresiones:
√
d
ln(x + x2 + a2 )?
dx
6 ¿ d arcsin x ?
a
dx
5¿
√
2.
11
1
2
3
2 − 31
i) 5
+3 + 5
+3 + 5
+ 3 ··· 5
+3
8
8
8
8
"
"
2 # "
2 # 2 # 2
2·2
2n
2
2
2
ii) 1 −
−1
+ 1−
−1
+ ··· 1 −
−1
n
n
n
n
n
n
s
2 s
2
s
2
1
0
1
1
1
n−1
iii)
1−
+
1−
+ ···
1−
n
n
n
n
n
n
5. (Notación
Sigma
P
e Integral Definida)
a) Considere las siguientes expresiones:
r
r
n
n
X
X
4k 2 2
a2 k 2 a
ii) lı́m
i) lı́m
4− 2 .
a2 − 2 .
n→∞
n→∞
n n
n n
iii) lı́m
n→∞
k=1
k=1
n
X
s
a2
k=1
2a
− −a + k
n
2
2a
.
n
Dibuje la región cuya área A está dada por cada una de las expresiones anteriores. Reescriba cada
una de las expresiones como una Integral Definida. Determine el valor del área A en cada caso.
b) Valiéndose de las Integrales Definidas, hallar el valor de los siguientes lı́mites:
1p + 2p + 3p + · · · + np
1
1
1
1
,
p
>
0
i) lı́m
iii)
lı́m
+
+
+
·
·
·
+
n→+∞
np+1
n→ +∞ n + 1
n+2 n+3
n+n
3
n X
3k
3
2
3
n−1
1
iv) lı́m
1+
+ 2 + 2 + ··· +
ii) lı́m
n→+∞
n
n
2
2
n→ +∞ n
n
n
n
k=1
c) Determine el valor de cada una de las siguientes Integrales Definidas interpretándolas como la
medida del área de una región plana R, es decir, use una fórmula geométrica. Cuando sea el
caso, suponga a > 0 y r > 0:
´
i)
´
ii)
´
iii)
´
sin(x) dx.
π
2
cos(x) dx.
−2
a
−a
0
(3 + |x + 4|) dx.
2
√
2x − x2 dx.
0
a2 − x2 dx.
viii)
5
´
ix)
(|x − 2| − 3) dx.
´´
x)
(1 − |x|) dx.
´´
xi)
(a − |x|) dx.
´´
7
(|x + 3| − 5) dx.
−5
|x| dx.
√
5
0
π
−π
4
iv)
´
v)
´
vi)
´
vii)
´
5π
2
√
−1
5 + 4x − x2 dx.
−1
1
−1
a
−a
xii)
a
−a
r dx.
d ) Considere la progresión geométrica, P.G, dada por a, ar, ar2 , . . . , arn−1 :
i) Establezca que la suma de los términos de la P.G anterior es igual a:
n
X
ark−1 = a
k=1
1 − rn
.
1−r
ii) Use el ı́tem anterior y la Regla de l’Hôpital7 para calcular el área A bajo la gráfica de
y = f (x) = e−x sobre el intervalo I = [0, 1].
e) Determine si la afirmación dada es verdadera (V) o falsa (F). Justifique exactamente dos
de ellas:
´
b
i) Si
f (x) dx existe, entonces f es continua en el intervalo I = [a, b].
´
n+1
ii) Si g(x) es una función diferenciable, entonces [g(x)]n g 0 (x) dx = [g(x)]
+ C.
n+1
´
iii)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
a
4a
−a
f (x) dx no existe, si f (x) viene dada por:
´
iv) El valor de I =


x + 1,
f (x) = x,


3,
a
√
−a
a2 − x2 dx
I = πa2 .
es
v) Si f es una función continua que verifica
ˆ
x
f (t) dt = xe
0
2x
si − a ≤ x < 0,
si 0 ≤ x < 2a,
si 2a ≤ x ≤ 4a.
ˆ
x
2
e−t f (2t) dt, para todo x,
+
0
entonces el único valor x no-permitido para f es −2 ln(2).
7 http://www.100ciaquimica.net/biograf/cientif/L/lhopital.htm