Propiedades Mecánicas.
Ejercicio 1. La figura muestra la curva tensión-deformación ingenieril obtenida en un ensayo de
tracción de una probeta metálica:
Estimar el valor de las constantes siguientes:
(a) El módulo de Young (E).
(b) El límite elástico (σy).
(c) La máxima tensión uniforme (σUTS = σU).
(d) La fuerza máxima durante el ensayo de tracción.
(e) La deformación real máxima uniforme (hasta el momento de la formación del cuello).
(f) La tensión real que soporta el material en ese momento.
Parte (a)
El módulo de elasticidad (Young) es la pendiente de la porción inicial o elástica de la curva tensióndeformación. La pendiente de esta región lineal es el cambio en la tensión dividido por el cambio
correspondiente en la deformación expresado mediante la siguiente ecuación:
𝐸 = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 =
𝜎2 − 𝜎1
𝜀2 − 𝜀1
(1)
Puesto que el segmento pasa por el origen, es conveniente tomar σ1 y ε1 igual a cero, mientras que σ2 =
200 MPa tomado de la grafica.
𝐸=
(200 − 0)𝑀𝑃𝑎
= 100 𝐺𝑃𝑎 = 100 𝑥109 𝑁/𝑚2
(2 𝑥 10−3 − 0)
Parte (b). Para determinar el límite elástico (σy) vamos a utilizar el método convencional que consiste en
trazar una línea recta paralela a la línea elástica del diagrama de la tensión-deformación desplazada por
una determinada deformación, usualmente 0,002. La tensión correspondiente a la intersección de esta
línea con el diagrama tensión-deformación cuando este se curva se denomina limite elástico, σy [Callister
y Rethwisch, 2018]. Ver figuras 1.a y 1.b
𝜎𝑦 ≈ 450 𝑀𝑃𝑎
(b)
(a)
Figura 1. (a) Curva de tracción típica de un metal que muestra las deformaciones elástica y plástica. (b)
Curva tensión-deformación ingenieril.
Parte (c). La máxima tensión uniforme (σUTS = σU), es la tensión en el máximo del diagrama tensióndeformación (Figura 1.b). Esto corresponde a 1a máxima tensión que puede ser soportada por una
estructura a tracción; si esta tensión es aplicada y mantenida, se producirá la fractura. Tomando este valor
de la figura 1.b tenemos:
𝜎𝑈 = 500 𝑀𝑃𝑎
Parte (d) la fuerza máxima durante el ensayo de tracción se calcula mediante la siguiente ecuación:
𝜎=
𝐹
→ 𝐹 = 𝜎𝐴 (2)
𝐴
Donde, σ es la tensión máxima igual a σU, A es el área de la sección transversal de la probeta (5 mm2 o
5 x10-6 m2)
𝐹 = (500 𝑀𝑃𝑎)(5 𝑥 10−6 𝑚2 ) = 2500 𝑁
Parte (e) Para determinar la deformación real máxima uniforme (hasta el momento de la formación del
cuello) vamos usar una ecuación que relaciona deformación real εT con la deformación que podemos
obtener del grafico (llamada deformación ingenieril ε = εE), esta deformación ingenieril corresponde a
la deformación obtenida para una σU.
𝜀𝑇 = 𝑙𝑛(1 + 𝜀𝐸 ) (3)
𝜀𝑇 = 𝑙𝑛(1 + 0,2) = 0,18
Parte (f). Para determinar la tensión real que soporta el material en ese momento vamos a usar la
siguiente ecuación
𝜎𝑇 = 𝜎𝐸 (1 + 𝜀𝐸 )
(4)
Donde σE es la tensión ingenieril que es igual a la tensión máxima uniforme.
𝜎𝑇 = 500 𝑀𝑃𝑎(1 + 0,2) = 600 𝑀𝑃𝑎
Ejercicio 3. En el ensayo de tracción de una barra de cobre de 12.5 mm de diámetro y 50 mm de longitud,
se han registrado los siguientes valores de fuerza (tensil) y alargamiento axial:
F (N)
0
7500
15100
18600
27500
34600
33300
26600
ΔL (mm)
0
0,025
0,05
2,5
10,2
20,3
25,4
27
Determine:
a) La curva tensión-deformación σ-ε.
b) El módulo de Young, E.
c) El límite elástico convencional, σy
d) La σUTS (la máxima tensión ingenieril que soporta a tracción el material).
e) El índice de endurecimiento n del cobre, suponiendo que el comportamiento plástico sigue una ley de tipo
Hollomon (power law):
𝜎 = 𝜎0 𝜀𝑝𝑛
Parte (a). para determinar la curva tensión-deformación σ-ε la ecuación (2) para determinar los valores
de tensión para cada fuerza de la tabla anterior, asi como la ecuación (5) para determinar la deformación:
𝜀=
∆𝐿
(5)
𝐿0
En la ecuación para obtener el valor del área de la barra usamos la ecuación del área de un cilindro
obteniendo el siguiente valor A = 0,12 x 10-3 m.
σ (MPa)
ε
61
0,5 x 10-3
0
0
123
1 x 10-3
152
0,05
224
0,20
282
0,41
271
0,51
217
0,54
320
u = 282 MPa
280
 (MPa)
240
200
y =137 MPa
160
120
80
40
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5

Figura 3.1. Curva tensión-deformación σ-ε.
Parte b). El módulo de Young, E.
𝐸=
(61 − 0)𝑀𝑃𝑎
= 122 𝐺𝑃𝑎
(0,5 𝑥 10−3 − 0)
Parte c). El límite elástico convencional, σy
𝜎𝑦 ≈ 137 𝑀𝑃𝑎
Parte d). La σU (la máxima tensión ingenieril que soporta a tracción el material).
𝜎𝑈 = 282 𝑀𝑃𝑎
Parte e). El índice de endurecimiento n del cobre, suponiendo que el comportamiento plástico sigue una ley de
tipo Hollomon (power law):
𝜎 = 𝜎0 𝜀𝑝𝑛
La anterior expresión empírica, conocida como ecuación de Hollomon relaciona la tensión verdadera
(σT) y la deformación plástica verdadera (εp) en la región de deformación plástica uniforme reescribiéndose
de la siguiente forma:
𝑛
𝜎𝑇 = 𝐾(𝜀𝑝 )
(6)
donde los parámetros K y n se conocen como coeficiente de resistencia y exponente de endurecimiento por
deformación, respectivamente. La ecuación (6) describe la deformación plástica de muchos metales y es muy
utilizada debido a su simplicidad. El exponente n es una propiedad relacionada con la capacidad de estiramiento
de un metal durante un proceso de conformado. Mientras más alto es este valor menor es la tendencia del material
a causar deformaciones localizadas, lo que posibilita un mejor conformado. También brinda una medida del
incremento de la resistencia del material debido a la deformación plástica. Los valores de n, para metales dúctiles
a temperatura ambiente, varían generalmente entre 0,02 y 0,5. La norma ASTM E 646, que establece el
método de ensayo para la determinación del exponente n, utiliza en los cálculos εT en lugar de
εp. [Matusevich et al., Vol. 17, pp. 171-182, 2013].
Para determinar el valor de n vamos a considerar que cuando se alcanza la tensión máxima, se empieza
a formar una disminución localizada en el área de la sección transversal en algún punto de la probeta, lo
cual se denomina necking, donde σ = dσ/dε, por lo tanto, de la ecuación (6) tenemos
𝑑𝜎
𝑑[𝐾(𝜀𝑇 )𝑛 ]
𝜎=
→ 𝜎𝑇 =
𝑑𝜀
𝑑𝜀
𝜎𝑇 = 𝐾𝑛𝜀
𝜎𝑇 =
𝑛−1
𝐾𝑛𝜀𝑇𝑛
=
𝜀𝑇
𝑛𝜎𝑇
→ 𝑛 = 𝜀𝑇
𝜀𝑇
Donde
𝜀𝑇 = 𝑙𝑛(1 + 𝜀𝐸 ) → 𝜀𝑇 = 𝑙𝑛(1 + 0,41) = 0,34
𝑛 = 0,34
Ejercicio 4. Explicar cuándo y cómo se produce la estricción (necking) en un ensayo de tracción. Si un
material tiene una ley de endurecimiento plástico tipo Hollomon (𝜎 = 𝐾𝜀𝑛 ) determinar el valor de la
deformación máxima uniforme.
Después de iniciarse la deformación plástica, la tensión necesaria para continuar la deformación en los
metales aumenta hasta un máximo, punto M en la Figura 4.1, y después disminuye hasta que finalmente
se produce la fractura, punto F. La resistencia a la tracción TS (MPa 0 psi) es la tensión en el máximo
del diagrama tensión-deformación ingenieril (Figura 4.1). Esto corresponde a 1a máxima tensión que
puede ser soportada por una estructura a tracción; si esta tensión es aplicada y mantenida, se producirá
la fractura. Hasta llegar a este punto, toda la deformación es uniforme en 1a región estrecha de la probeta.
Sin embargo, cuando se alcanza la tensión máxima, se empieza a formar una disminución localizada en
el área de la sección transversal en algún punto de la probeta, lo cual se denomina estricción o cuello
(necking), y toda la deformación subsiguiente esta confinada en la estricción, tal como se indica
esquemáticamente en la Figura 4.1. [Callister y Rethwisch, 2018].
Figura 4.1. Curva típica de tracci6n hasta la fractura, punta F. La resistencia a la tracción TS está indicada
en el punto M. Los insertos circulares representan la geometría de la probeta deformada en varias puntas
de la curva.
Siguiendo el procedimiento del ejercicio anterior podemos determinar el valor de la deformación máxima
uniforme
𝜀=𝑛
Ejercicio 8. Curvas de creep.
Se obtuvieron los siguientes datos para la termofluencia de una aleación de aluminio, a 200oC sometida
a dos tensiones diferentes, 60 MPa y 35 MPa, constantes. Representar los resultados y calcular el valor
del esfuerzo que ocasionará una rapidez de deformación de creep de 4.8x10-3 mm m-1 h-1.
Tiempo (h)
0
20
60
90
120
140
170
Deformación a 60 MPa (mm/m) Deformación a 35 MPa (mm/m)
0,32
0,108
0,532
0,215
0,815
0,332
1
0,4
1,2
0,477
1,32
0,532
1,477
0,61
220
1,8
0,732
Deformación (mm/m)
2,0
60 MPa
35 MPa
0,0066x + 0,3863 (R2=0,994)
0,0027x + 0,1456 (R2=0,990)
1,6
1,2
0,8
0,4
0,0
0
50
100
150
200
250
Tiempo (h)
Figura 8.1. Datos para la termofluencia de una aleación de aluminio, a 200oC sometida a dos tensiones
diferentes, 60 MPa y 35 MPa, constantes.
Para calcular el esfuerzo que ocasionará una rapidez de deformación de creep de 4.8x10-3 mm m-1 h-1
vamos usar la siguiente ecuación´:
𝜎 𝑛
𝑐
𝜀̇𝑠𝑠
= 𝜀̇0 ( ) (7)
𝑠
Donde s es la tensión de referencia que produce la tasa de deformación 𝜀̇0 . Para este caso 𝜀̇0 corresponde
al valor de corte de la ordenada con la curva obtenida de la ecuación de la recta de la figura 8.1.
Aplicando logaritmo a ambos lados de la ecuación (7) tenemos
𝜎
log(𝜀̇𝑠𝑐𝑠 ) = log(𝜀̇0 ) + 𝑛 log ( )
𝑠
log(𝜀̇𝑠𝑐𝑠 ) = log(𝜀̇0 ) + 𝑛[log(𝜎) − log(𝑠)] (8)
Sustituyendo valores tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
log(4,8 𝑥 10−3 ) = log(0,3863) + 𝑛[log(60 𝑥 106 ) − log(𝑠)] (9)
log(4,8 𝑥 10−3 ) = log(0,1456) + 𝑛[log(35 𝑥 106 ) − log(𝑠)] (10)
Despejando log(s) de la ecuación (9) y sustituyéndola en la ecuación (10) tenemos:
log(4,8 𝑥 10−3 ) − log(0,3863) = 𝑛[log(60 𝑥 106 ) − log(𝑠)]
log(𝑠) =
1,91
𝑛
+ 7,78
1,91
log(4,8 𝑥 10−3 ) = log(0,1456) + 𝑛 [log(35 𝑥 106 ) − (
+ 7,78)]
𝑛
0,43 = 7,54𝑛 − 1,91 − 7,78𝑛
−0,24𝑛 = 0,43
𝑛 = −1,8
Sustituyendo el valor de n en la ecuación (9) para 60 MPa σ es igual a
log(4,8 𝑥 10−3 ) = log(0,3863) + 𝑛[log(60 𝑥 106 ) − log(𝑠)] (9)
log(4,8 𝑥 10−3 ) − log(0,3863) = (−1,8)[log(60 𝑥 106 ) − log(𝑠)]
−log(𝑠) =
−1,91
−1,8
− 7,78
log(𝑠) = 6,71
𝑠 = 5,1 𝑀𝑃𝑎
Ahora de la ecuación (10)
log(4,8 𝑥 10−3 ) − log(0,1456) = (−1,8)[log(35 𝑥 106 ) − log(𝑠)]
[log(35 𝑥 106 ) − log(𝑠)] =
log(4,8 𝑥 10−3 ) − log(0,1456)
(−1,8)
log(𝑠) = −0,82 + log(35 𝑥 106 )
log(𝑠) = 6,72
𝑠 = 5,2 𝑀𝑃𝑎
Ejercicio 6. Considerar una barra compuesta por dos metales, acero (S) y una aleación de aluminio (AA),
de 16 in de longitud, como se muestra en la figura. Determinar las tensiones internas en cada elemento
de la barra, considerando que los extremos E son rígidos y que se aplica una carga P de 30 kg. E A=
17x106 psi; ES=30x106 psi. En primer término, expresar todas las magnitudes en unidades MKS y luego
el resultado también
Datos
ES= 30x106 psi = 206, 84 GPa.
EA= 17x106 psi = 117,21 GPa.
L = 16 in = 0,4064 m = 406,4 mm
P = 30 kgF = 294 N.
AA = (0,4064 m) x 1/3 m =
∆𝐿 = ∆𝐿𝐴 = ∆𝐿𝑠
𝜎 = 𝜀𝐸;
𝑃 = 𝑃𝐴 + 𝑃𝑆
𝜎=
𝑃
;
𝐴
𝜀=
∆𝐿
𝐿
𝑃 ∆𝐿
∆𝐿
=
𝐸→𝑃=
𝐸𝐴
𝐴
𝐿
𝐿
𝑃𝐴 =
∆𝐿
∆𝐿
𝐸𝐴 𝐴𝐴 ; 𝑃𝑆 =
𝐸𝐴
𝐿
𝐿 𝑆 𝑆
𝑃 = 2𝑃𝐴 + 𝑃𝑆 = (2𝐸𝐴 𝐴𝐴 + 𝐸𝑆 𝐴𝑆 )
𝜀=
∆𝐿
𝐿
∆𝐿
𝑃
=
(2𝐸𝐴 𝐴𝐴 + 𝐸𝑆 𝐴𝑆 )
𝐿
Ejercicio 5. Considerar una barra compuesta por dos metales A (acero) y B (bronce), como la mostrada
en la figura. Si se aplica un esfuerzo tensil P = 20 kpsi, determinar la elongación total de la barra
compuesta. En primer término, expresar todas las magnitudes en unidades MKS y luego el resultado
también.
EB =200 GPa = 200 x 109 N/m2
A
B
= 0,003 m2
P = 0,14 GPa = 0,14 x 109 N/m2 = σ
EA = 117 GPa = 117 x 109 N/m2
AA = 0,001 m2