2. Ковариантное дифференцирование
2.1 Определение ковариантной производной
Напомним основные положения тензорной алгебры.
Тензорный закон преобразования имеет вид
/
k1/ k2/ ...k p/
Tl /l / ...l /
1 2
q

/
x k1 x k2
x x
i1
i2
...
x
k p/
x j1 x j2
l1/
x x x
ip
l2/
...
В частности для дважды ковариантного тензора имеем
Tk /l / 
xi x j
x x
k/
l/
x
jq
x
lq/
i i ...i
T j11j22 ... jpq
(2.1)
Tij
(2.2)
Найдем закон преобразования следующей конструкции
Ti , j 
Получаем
Ti
.
x j
Ti /
x a   xb  x a xb Tb x a   xb
Ti / , j /  j /  j / a  i / Tb   j / i / a  j / a  i /
x
x x  x
x x  x
 x x x
x a xb Tb
 2 xb
 j / i / a  j / i / Tb .
x x x
x x
(2.3)

 Tb 

Отсюда видно, что данная конструкция не является тензором т.к. закон
преобразования не совпадает с (2.2).
Т.о. мы доказали, что частная производная, в общем случае, не является
тензорной операцией. Попытаемся определить новую производную, которую
будем обозначать точкой с запятой Ti ; j и называть ковариантной
производной, обладающую следующими свойствами:
1) ковариантная производная совпадает с частной производной в декартовой
системе координат;
2) ковариантная производная есть тензорная операция.
Исходя из второго свойства, можем написать что Tk / ;l / 
xi x j
x x
k/
l/
Ti ; j , а,
учитывая первое свойство предположим, что не штрихованная система
координат x1 ,...x N является декартовой, тогда Ti ; j  Ti , j . Объединяя эти два


выражения получим
xi x j Ti
xi Ti
  xi 
 2 xi
Tk / ;l /  k / l / Ti , j  k / l /
 k / l /  l /  k / Ti   Ti l / k / 
j

x
x x
x x
x x
x  x
x x

/

x p  2 xi
 l / Tk /  Tp/
/
/
xi xl x k
x
xi x j
 
1
Введем обозначение
x p  2 xi
 i
/
/ ,
x xl x k
(2.4)
Tk / ;l /  Tk / ,l /  Tp / kp/l / .
(2.5)
/
 kp/l /
/
тогда выражение для ковариантной производной от ковектора примет вид
/
Найдем выражение для ковариантной производной от вектора. Для этого
поступим аналогичным образом, т.е. запишем
T
;l /
k
 x k i 
i  x

 i T   T
i
l/

x

x

x


/
xi x p  2 x k
.
/
/
p
i
x m xl x x
x k x j i
x k x j T i x k T i

 i


/ T ,j 
/
/
/
x xl
xi xl x j xi xl xl
/
k/
/
/
xi x p   x k
/
/
p 
i
x m xl x  x
/
/
 T k
m/
 l/ T  T
  l /  T
x
 x
/
xi x p  2 x k
Покажем, что выражение  m/ l /
по своей конструкции совпадает
p
i

x

x
x x

x i
с (2.4). Для этого «перебросим» производную
на множитель
/ .
x p
x m

 
k/
m/
/
/
Получаем
xi x p  2 x k
x p   xi x k  x p   xi  x k
 m/ l / p i   l / p  m/
 / p

/ 
i 
i
x x x x
x x  x x  xl x  x m  x
/
/
x   x k
  l / p  m/
x x  x
/
p
/
 
  m/

 2 xi x k
 2 xi x k x k  2 xi
.

 l / m/
 i
  l / m/
i
i
l/
l/
m/

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

k/
/
/
/
Т.о. мы получили, что
xi x p  2 x k
x k  2 xi
k/
.
 m/ l / p i  i


/
/
m/l /
x xl x m
x x x x
/
/
(2.6)
Тогда выражение для ковариантной производной от вектора определяется
следующим выражением
T k ;l /  T k ,l /  km/l / T m .
/
/
/
/
(2.7)
Выражения (2.5) и (2.7) определяют ковариантные производные от ковектора
и вектора в произвольной системе координат, и значит, штрихи можно
опустить. Выражения  kml , которые определяются формулами (2.6),
называются символами Кристоффеля или связностями.
При выводе формулы ковариантной производной от тензора типа (p,q) можно
поступить также как и в первых двух случаях и получить следующее
выражение
i ...i
i ...i
ki ...i
i
i ...i k
i ...i
i ...i
1
T j11... jpq  T j11... jpq  ikm
Tj1...2 jq p  ...  kmp Tj11... jpq1   kj1mTkj12 ... pjq  ...   kj pmTj11... jpq 1k . (2.8)
;m
,m
2
Заметим тот факт, что ковариантная производная делает из тензора типа (p,q)
тип (p,q+1).
2.2 Символы Кристоффеля и их свойства
Найдем закон преобразования символов Кристоффеля исходя из их
определения (2.6). Для этого заметим, что формулы (2.6) получены из
предположения, что система
x ,...x 
1
N
произвольная. Перейдем от декартовой
произвольные y1 ,... y N и z1 ,... z N .

 

- декартова, а
системы

/
x1 ,...x N
координат
в
/

-
две
Тогда для этих систем имеем следующие выражения из (2.6)
xi x p
 m l
( y) 
y y
xi x p
k
( z )  ml  
z m z l
k
ml
где
( y)
2 yk
y k  2 xi
,

x p xi xi y l y m
2 zk
z k  2 xi
,

x p xi xi z l z m
(2.9)
(2.10)
 kml - символы Кристоффеля вычислены в произвольной системе


координат y1 ,... y N , а
(z)


k
- в системе z1 ,...z N .
 ml
y m y l
Рассмотрим выражение ( y ) 
тогда с учетом (2.9)
z a z b
m
y l
xi x p  2 y k y m y l
k y
 m l
 (сумма по m l ) 
( y )  ml
z a z b
y y x p xi z a z b
 2 y k xi x p
  y k  xi
  p i a b  сумма по p   b  i  a  добавим и вычтем одно
x x z z
z  x  z
k
ml
  y k
и тоже выражение   b  i
z  x
 xi
 2 xi y k
 2 xi y k
 a  a b i  a b i  перепишем
z z x z z x
 z
  y k  xi
  xi  y k
 2 xi y k
второе слагаемое   b  i  a  b  a  i  a b i 
z  x  z
z  z  x z z x
  y k xi   2 xi y k
2 yk
 2 xi y k
  b  i a  a b i   b a  a b i .
z  x z  z z x
z z
z z x
Т.о. мы получили, что
y m y l
2 yk
 2 xi y k
 b a  a b i .
( y) 
z a z b
z z
z z x
k
ml
Или
y m y l
2 yk
 2 xi y k
.


( y) 
z a z b z b z a z a z b xi
k
ml
3
z p
Умножим это выражение на
, тогда
y k
m
y l z p
 2 y k z p z p  2 xi y k
k y


( y )  ml
z a z b y k z b z a y k y k z a z b xi
Суммируя в правой части по k получаем
y m y l z p
 2 y k z p
 2 xi z p
.


( y) 
z a z b y k z b z a y k z a z b xi
k
ml
p
Заметим, что справа, согласно (2.10), получился символ Кристоффеля ( z )  ab
.
Т.е. мы получили закон преобразования символа Кристоффеля из одной
произвольной системы координат в другую
y m y l z p
 2 y k z p
.
 ( y) 

(z) 
z a z b y k z b z a y k
p
ab
k
ml
(2.11)
Из (2.11) следует, что символ Кристоффеля не является тензором в случае
произвольных преобразованиях. Однако это не есть удивительный факт.
Этого вполне можно было ожидать. Т.к. в выражении для ковариантной
производной T k ;l  T k ,l  kmlT m выражение слева тензор по определению.
Первое слагаемое справа не тензор, значит, очевидно, что втрое слагаемое
тоже не должно являться тензором, просто его закон преобразования такой,
что не тензорная часть в законе преобразования для слагаемого T k ,l
уничтожается не тензорной частью в законе преобразования слагаемого
 kml T m .
Перепишем выражение (2.11) в принятых нами ранее обозначениях, т.е.



/
переход из системы координат x1 ,...x N в систему x1 ,...x N

.
z p x m xl x p  2 x k

/
/ 
/
/ .
x k x a xb
x k xb x a
/
p/
a /b/
/
/
k
ml
(2.12)
Введем в рассмотрение новый объект
p
p
.
Tabp  ab
 ab
(2.13)
Его закон преобразования находится из (2.12) элементарно
z p x m xl x p  2 x k
T     
/
/ 
/
/ 
x k x a xb
x k xb x a
/
/
p/
xl x m x p  2 x k
z p x m xl
k z
k
k
lm k
 k
 k
 ml
 lm

.
b/
a/
a/
b/
a/
b/
x x x
x x x
x x x
/
p/
a /b/
p/
a /b/
p/
b/ a /
/
k
ml
Т.е.
z p x m xl k
 k
/
/ Tml .
x x a xb
/
/
Tap/b/
(2.14)
Из (2.14) видно, что (2.13) является тензором. Такая конструкция называется
тензором кручения.
4
Заметим, что в случае симметричного символа Кристоффеля тензор кручения
равен нулю тождественно.
2.3 Свойства ковариантной производной
Перечислим основные свойства ковариантной производной.
1) Ковариантное дифференцирование – линейная операция.
2) Ковариантная производная для тензора нулевого ранга (скаляра)
совпадает с частной производной f;l  f,l .
3) Ковариантная производная от векторного поля Ai определяется
выражением Ai ; j  Ai , j  imj Am .
4) Ковариантная производная от произведения тензоров определяется
обычным выражением
 A  R      A  
i
j
m
l
i
j
;k
;k
 
Rl    A j Rl  
m
i
m
(2.15)
;k
Эти свойства позволяют получить выражения для ковариантной производной
от тензора любого типа.
Пример
A B  A B  A 
i
i
i
i
i
;k
,k
,k
Bi  Ai  Bi ,k
с другой стороны
A B  A 
i
i
i
;k
;k
Т.о.
A 
i
,k


i
Bi  Ai  Bi ;k  Ai ,k   mk
Am Bi  Ai  Bi ;k


i
Bi  Ai  Bi ,k  Ai ,k   mk
Am Bi  Ai  Bi ;k .
Раскрывая скобки
i
Ai  Bi ,k   mk
Am Bi  Ai  Bi ;k
Или
i
i
Ai  Bi ;k  Ai  Bi ,k   mk
Am Bi  Am  Bm ,k   mk
Am Bi
Тогда


i
Am  Bm ;k  Am Bm,k   mk
Bi .
Так как это выражение должно быть справедливо для любого вектора, то
получается следующая формула
i
Bi .
 Bm ;k  Bm,k   mk
Эта формула совпадает с (2.5)
Получите выражение для ковариантной производной от Ti k .
5
T A   T  A  T  A 
T A   T A    T A  получаем
k
Исходя
k
i
i
k
;m
i
i
i
k
i
,m
i
i
;m
k
pm
p
k
i
;m
i
;m
с
другой
стороны
i
i
2.4 Геометрический смысл ковариантной производной
Частная производная
Ak
x i
не является тензором, так как получена
недопустимой операцией. Вспомним определение производной от скалярной
df
f ( x  x)  f ( x)
. По этой аналогии мы, при
 lim
dx x0
x
определении частной производной, вычитали из конструкции Ak  dAk ,
(которая определена в точке Q с координатами xi  dxi ) вектор, Ak
определенный в точке P с координатами x i . Их разность dAk не является
функции одного аргумента
вектором
dAk 
Здесь dAk ,
Ak i
dx .
x i
Ak
не тензоры, а dx i - тензор (вектор).
i
x
Чтобы получить тензорную операцию необходимо вычесть из конструкции
Ak  dAk не вектор в т. P, а вектор в точке Q, который выступает в роли Ak , т.е.
необходимо Ak из P перенести параллельно в т. Q. Т.о. необходимо
оговорить какое изменение в компонентах Ak будет по определению
рассматриваться как «отсутствия изменения» вектора Ak . Самое простое
предположение, что отсутствие изменения в компонентах и есть
неизменность самого вектора Ak , не приводит к удовлетворительному
результату, т.к. зависит от выбора системы координат. В частности, на
плоскости понятие параллельного переноса интуитивно понятно, однако при
произвольном параллельном переносе компоненты вектора в полярной
системе координат изменяются.
Обозначим «заменитель» Ak в т. Q в виде Ak  Ak . Тогда разность
конструкции Ak  Ak в т. Q и вектора Ak в т. P есть Ak и также не является
вектором (причина та же самая, по которой dAk не есть вектор).
Для определения Ak необходимо сделать ряд предположений. Очевидно, что
Ak зависит как от Ak так и от dx i . Более того, если Ak  0 , то должно быть и
Ak  0 , также, если dxi  0 , то необходимо Ak  0 . Эти условия приводят к
тому, что зависимость должна быть однородной. Пусть также она будет
линейной. Тогда можно написать
Ak   ijk Ai dx j ,
где  ijk набор неизвестных функций.
Отсюда получаем, что «заменитель» вектора Ak в точке Q имеет вид
Ak  Ak  Ak   ijk Ai dx j .
Разность между конструкциями Ak  dAk  и Ak  Ak  обозначим как DAk .
6
Т.о.
 Ak

DAk  Ak  dAk  Ak  Ak   j   ijk Ai dx j .
 x


 

DAk , по определению, является вектором и называется –
ковариантный дифференциал.
Тогда ковариантная производная есть
Ak
A ; j   j A  i   ijk Ai .
x
Ak
В пункте 2.1 мы получили, что Ak ; j  i  ijk Ai . Т.о. для согласования этих
x
двух методов необходимо положить, что ijk   ijk . Причем из второго способа
k
k
не следует симметричность символов Кристоффеля.
7
2.4 Аффинная связность и ее свойства
Определим аффинную связность как некоторый математический объект Г kli ,
m
преобразующийся по закону Г k'i' l' = Г np
xi' x n x p xi'  2 x m
. Этот закон
+
x m x k' xl' x m x k' xl'
преобразования является линейным, но не однородным. Отметим также, что второе
слагаемое симметрично по нижним индексам (k' и l').
Рассмотрим свойства введенного нами понятия.
1) Если в какой-то системе отсчета связность симметрична, т.е. Г kli = Г lki , то и в любой
другой системе отсчета она остается симметричной. Таким образом, симметричность
связности — инвариантное свойство, т. е. Не зависит от выбора системы координат.
Покажем это. Запишем закон преобразования для Г l'i'k' :
m
Г l'i'k' = Г np
m
= Г pn
x i' x n x p x i'  2 x m
= [поменяем местами индексы n и p] =
+
x m x l' x k' x m x l' x k'


i'
p
n
xi'  2 x m
x i' x p x n x i'  2 x m
m x x x
m
m
=
=
= = Г k'i' l'
Г
+
+
Г
=
Г
np
np
pn
m
l'
k'
m
l'
k'
m
l'
k'
m
l'
k'
x x x
x x x
x x x
x x x
2) Рассматривая закон преобразования, можем заключить, что антисимметричность
связности, напротив, зависит от системы координат, т. е. если связность антисимметрична
в какой-то системе координат , это не значит, что она будет антисимметричной в другой
системе координат.
3) Любую связность можно представить в виде суммы симметричной связности Г ikl  и
антисимметричного тензора Tkli  (тензора кручения):
Г kli =

 

1 i
1
Г kl + Г lki + Г kli  Г lki = Г ikl  + Tkli  .
2
2
Отметим также, что если Г kli = Г lki , то Tkli  = 0 , т.е. имеем пространство без кручения.
4) Из-за неоднородного слагаемого в законе преобразования аффинную связность можно
обратить в нуль в некоторой системе координат. В декартовой системе координат все
Г kli = 0 .
5) Если Г kli - связность, то можно ввести бесконечно много связностей вида

Г kli = Г kli + Bkli , где Вkli - произвольный тензор. Для каждой из этих связностей существует

i
Am , для Г kli своя опреация ковариантного дифференцирования (для Г kli - A;i j = A,ij + Г mj
i m
A:ij = A,ij + Г mj
A ).
8
Отметим некоторые следствия:

~
а) Разность любых двух связностей Г kli  Г kli - тензор.

б) Бесконечно малое изменение связности — тензор. Г kli = Г kli + δГ kli

6) Линейная комбинация связностей αГ kli + βГ kli ( α  0, β  0 )является связностью тогда, и
только тогда, когда α + β = 1 .
Докажем это утверждение.
Распишем линейную комбинацию через законы преобразования каждой из связностей

 m x i' x n x p x i'  2 x m
αГ k'i' l' + βГ k'i' l' = α Г np
+
x m x k' x l' x m x k' x l'

  m x i' x n x p x i'  2 x m
+ β  Г np m k'
+
x x x l' x m x k' x l'


 +


 =

 m x i' x n x p
x i'  2 x m
= αГ + βГ np
+ α + β  m k' l'
x m x k' x l'
x x x

m
np


C другой стороны, если мы хотим, чтобы линейная комбинация αГ kli + βГ kli была
связностью, она должна подчиняться закону преобразования для связности

 m x i' x n x p x i'  2 x m
m
αГ k'i' l' + βГ k'i' l' = αГ np
+ βГ np
+
.
x m x k' x l' x m x k' x l'


Сравнивая эти два выражения видим, что α + β = 1 .
Отметим, что αГ kl является связностью тогда, и только тогда, когда α = 1 .
i
9
2.5 Связность, согласованная с метрикой
Запишем ковариантную производную метрического тензора
g
g
 g m  g m  0
ik ; l
ik , l
mk il
im kl
Используя циклическую перестановку, поменяем индексы: i  k , k  l , l  i . Получим
g
g
 g m  g m  0
kl; i
kl, i
ml ki
km li
Далее, опять меняем индексы, переставляя их циклически: k  l , l  i, i  k , и получаем
g
li; k
g
li, k
g
m  g m  0
mi lk
lm ik
1
 1
на    , а g
и g
на и сложим
ik ; l
li; k
kl; i
2
 2
1
1
1
  g
 g m  g m    g
 g m  g m    g
 g m  g m
ik
,
l
mk
il
im
kl
kl
,
i
ml
ki
km
li
li
,
k
mi lk
lm ik
2
2
2
0
Учитывая то, что метрический тензор симметричен, перегруппируем выражение
1
1
1
m
m
m
m
m
m
 1
 g kl, i  g li , k  gik , l   g ml  ki  ik   gim  kl  lk   g mk  il  li   0






 2
2
2
2
Умножим всё на g sl
Умножим g

1 sl 
  1 g sl g   m   m   1 g sl g   m   m   1 g sl g   m   m  
g g
g
g

kl
,
i
li
,
k
ik
,
l
ml  ki
ik  2
im  kl
lk  2
mk  il
li 

 2
2
0
1 sl
1
1
Заметим, что
g g   m   m    s   m   m     s   s  .
ml  ki
ik  2 m  ki
ik  2  ki
ik 
2
Перепишем равенство
1 sl 
1 m
m
  1   s   s   g sl g 1   m   m   g sl g
g g
g
g
 il  li   0

kl
,
i
li
,
k
ik
,
l
ki
ik
im
kl
lk
mk








2
2
2
2
1 sl 
  {s }
g g
g
g
Обозначим
li , k
ik , l  ik
 kl, i
2
1 s
s
s
 ki  ik   (ik ) - симметричная часть

2
1 m
m
m
 kl  lk   [kl] - антисимметричная часть

2
1 m
m
m
 il  li   [il ] - антисимметричная часть


2
Перепишем с новыми обозначениями
{s }   s  g sl g  m  g sl g  m  0
ik
(ik )
im [kl]
mk [il ]
Перенеся симметричную часть в правую сторону, получаем для неё выражение
 s  {s }  g sl g  m  g sl g  m
(ik )
ik
im [kl]
mk [il ]
Добавим к обеим частям  s .
[ik ]
 s   s  {s }  g sl g  m  g sl g  m   s
(ik )
[ik ] ik
im [kl]
mk [il ] [ik ]
Увидим, что
10
1
1
 s   s    s   s     s   s    s
(ik )
[ik ] 2  ik
ki  2  ik
ki 
ik
Тогда
 s  {s }  g sl g  m  g sl g  m   s , где
ik
ik
im [kl]
mk [il ] [ik ]
{ s } - скобки Кристоффеля, симметричные по ik
ik
 s - антисимметрична по ik
[ik ]
Преобразуем выражение g sl g  m  g sl g  m . Вынесем g sl за скобки
im [kl]
mk [il ]
g sl  g  m  g  m 
mk [il ] 
 im [kl]
Заменим индексы i  k
g sl  g  m  g  m 
mi [kl] 
 km [il ]
Увидим, что поскольку метрический тензор симметричен, то вся эта часть симметрична по
ik.
Это означает, что антисимметричную связность можно выбрать любой, и тогда полученная
связность будет параллельно переносить g .
ik
s
s
 0 , то  s  {s } - это единственная симметричная связность,
- тензор. Если 

ik
[ik ]
[ik ]
ik
 0.
согласованна с g
ik ; l
Так как антисимметричная часть связности не влияет на геодезические (ни на «аффиннометрические» параметры), мы можем написать
 s  {s }  g sl  g  m  g  m 
ik
ik
mk [il ] 
 im [kl]
 0 . Это означает, что
ik ; l
данное условие является необходимым, но не достаточным для того, чтобы выражение
q
ds  g dx i dx k согласовывалось с аффинной мерой длины вдоль каждой геодезической.
ik
По этой связности мы получаем одни и те же геодезические по g
11
2.6 Связность в диагональной метрике
Запишем формулы для символа Кристоффеля в диагональной метрике. Имеем
1

 k  g km  g
g
g
 mj, i
ij 2
im, j
ij , m 
Рассмотрим несколько случаев:
а) i  j  k
m может принимать k значений. Перепишем формулу
1
1
    1 g kk  g

 k  g k1  g
g
 g   g k 2 g
g
g
g
g
 1 j, i
 2 j, i


ij 2
i1, j
ij ,1  2
i 2, j
ij ,2 
kj
,
i
ik
,
j
ij
,
k
2

В данном случае, в g kk суммы по k нет.
Так как у нас диагональная метрика, то, следовательно, отличными от нуля будут элементы,
стоящие на диагонали, то есть, элементы с одинаковыми индексами. Таковыми у нас являются
1 kk 
 . Поэтому запишем
g
g
g
g
 kj, i
ik , j
ij , k 
2
1

 k  g kk  g
g
g
 kj, i
ij 2
ik , j
ij , k 
g
g
kj, i
ik , j
 0 , так как j  k
 0 , так как i  k
 0 , так как i  j
ij , k
Следовательно,
g
k  0
ij
б) i  j  k
1
  1 g km 2 g
  1 g kk 2 g

 k   g km  g
g
g
g
g
 mi, i
 mi, i
 ki, i
ii 2
im, i
ii , m  2 
ii , m  2
ii , k 
m
m
 0 , так как i  k .
Суммирования в  k по I нет. Также g
ki, i
ii
jk
Из определения ковариантного и контравариантного тензора мы знаем, что g g
  k . При
ij
i
1
1
i  k ,  k  1 . Отсюда g kk g  1 , и g kk 
. Поэтому, можно
 g kk
i
kk
g
kk

1
1
1
  g kk
g
записать  k   g kk g
ii
ii , k
ii , k
2
2
g
1 ii , k
k
 
ii
2 g
kk
 
 
в) i  j  k
1
  1 g kk  g

 k   g km  g
g
g
g
g
 mk, i
 kk, i
ki 2
im, k
ik , m  2
ik , k
ik , k 
m
g
ik , k
 0 , так как i  k
 
1
1
1
 i  g kk g
 g
g
ki 2
kk, i 2 kk
kk, i
12
g
1 kk, i
i
 
ki 2 g
kk
г) i  j  k
1
  1 g kk  g
  1 g kk g
 k   g km  g
g
g
g
g

 mk, k
 kk, k
kk 2
km, k
kk, m  2
kk, k
kk, k  2
kk, k
m

 
1
1
g
g
kk
kk, k
2
g
1 kk, k
k 
kk 2 g
kk
Пример.
Вычислим символы Кристоффеля на сфере радиуса R.
dl 2  dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2 d 2 , dr 2  0 , поэтому
dl 2  R 2 d 2  R 2 sin 2 d 2
j
Общая формула имеет вид: dl 2  g dx i dx
ij
Точка на сфере имеет две степени свободы, так как для того, чтобы её задать, требуются
два угла. Поэтому i, j  1,2 .
x1   , x 2  
g  g  R2
11

g 22  g  R 2 sin 2
Теперь найдём символы Кристоффеля.
1 g11,1 1 0

1

 11


0
2 g11 2 R 2
1 g11, 2 1 0

0
2 g11
2 R2
1 g11, 2 1 0
1
 21


0
2 g11
2 R2

1

 12



1 g 22,1
1 2 R 2 sin  cos 

  sin  cos 
2 g11
2
R2
1 g11, 2
1
0


 112  

0
2
2 g 22
2 R sin 2 
1 g 22,1 1 2 R 2 sin  cos  cos 


 122 


 ctg 
2 g 22
2 R 2 sin 2 
sin 
1 g 22,1 1 2 R 2 sin  cos  cos 

2

 21



 ctg 
2 g 22
2 R 2 sin 2 
sin 
1 g 22, 2 1
0
2
  22


0
2
2 g 22
2 R sin 2 
1
  22

13
2.7 Геодезические кривые
Рассмотрим кривую, заданную параметрически: x (  ) . Перенесем касательный вектор
i
i
к этой кривой из точки P( x ) в точку ( P  dx ) . Согласно определению
параллельного переноса и учитывая геометрический смысл ковариантной производной,
запишем изменение компонент касательного вектора:
dx i
d
i
i
k
k
dxi
dxi
i dx
l
i dx
  kl
dx 
 kl
dxl .
d
d
d
d
С другой стороны, чтобы найти касательный вектор в точке P( x  dx ) , можно
воспользоваться разложением в ряд Тейлора по  , ограничиваясь первым порядком
малости:
i
i
dxi d 2 xi

d .
d d2
Чтобы вектор, касательный в начальной точке, был касательным и в других точках,
необходимо, чтобы выражения (1) и (2) были равны:
dxi
dx k l dxi d 2 xi
 kli
dx 

d .
d
d
d d2
Отсюда следует, что
d 2 xi
k
i dx
d



dxl  0
kl
2
d

d
или
d 2 xi
k
l
i dx dx
(*)


 0.
kl
d d
d2
Последнее уравнение называется уравнением геодезической. Повторим использованное
выше утверждение: кривая является геодезической, если параллельно переносимый вдоль
неё вектор, бывший касательным к кривой в начальной точке, остаётся касательным везде.
14
Рассмотрим другой пример записи уравнения геодезической. Для этого обозначим
i
касательный вектор T i  dx . Тогда уравнение геодезической выглядит так:
d
T T i  0.
Значок T  T j  j означает ковариантную производную по касательному
направлению. Получим из этого выражения уравнение геодезической вида (*).
i
Вектор ddx может быть, например, скоростью. Тогда уравнение геодезической, с учётом
формул выше, принимает вид:
 u u i  u j u i; j  0.
i
Расписывая ковариантную производную u i; j с учетом того u i  dx получаем (расписать
d
подробно)
d 2 xi
k
l
i dx dx


 0.
kl
d d
d2
15
2.8 Геодезические кривые из принципа наименьшего действия
Рассмотрим движение свободной материальной точки в произвольном пространстве. Её
функция Лагранжа:
m
L  gij q i q j  U ( q ), U ( q )  0.
2
Её движения подчиняются уравнениям Эйлера-Лагранжа:
d L
L
 k  0.
k
dt q
q
Попробуем получить уравнение, схожее с уравнением (*), исходя из уравнений ЭйлераЛагранжа. Подставим в уравнения Эйлера-Лагранжа лагранжиан свободной частицы в
произвольных координатах, при этом необходимо помнить, что метрический тензор функция координат в явном виде, и следовательно, функция времени: g  f q( t ) .
Получим уравнение (расписать)
g kj 1 i j gij
g kj q j  q j q i
 q q
 0.
qi 2
q k
Преобразуем его учитывая, что связность, согласованная с метрикой, имеет вид
g 
 g
g
 ijm  12 g mk  kji  kij  ijk  .
q
q 
 q
Тогда получаем
qm  q j q i  ijm  0.
Таким образом вышло, что движение свободной частицы - это движение по
геодезической кривой.
16
2.9 Ковариантная производная от тензорных плотностей
П.1 Задача 1
Вычислим
т.к. det( ) зависит от через компоненты
т.к det( )=
или на любой другой строчке
=
,где
,
Обратная матрица
=
Обратный порядок индексов (транспонированная матрица алгебраических
доплонений)
Т.к.
=>
=>
=>
= =
=>
Т.к.
=N =>
П.2 Выразим
=0
+
=0
через символ Кристоффеля
Из П.1
Где
=
;
Тензорная плотность веса W
Т.к.
Т.к
17
Тогда объект
Т.к.
det(
, где
) есть скалярная тензорная плотность веса w=-2
Ковариантная производная от
Предположим, что
И выражение
+
Cправедливо для тензорных плотностей
Пусть
+
, где
Что такое
Из П.2:
=>
=0 =>
=>
, где
=>
Ковариантная производная от скалярной плотности веса w
Т.к
есть скалярная плотность веса
w
Т.е.
Найдем
где
,
Получим
Любую тензорную плотность
=0
веса w можно предсавить как
=>
– ф-ла неудобна, т.к. небходимо найти
Для определенности
18
(
=
=>
=>
Где
ЗАДАЧА
Вычислить ковариантную производную от
- плотность веса (w=-1)
Рассмотрим
Сумма по p,но ненулевые значения, если k,l,m,n – разные =>
Из суммы «выживет» только слагаемое, в котором суммы по k нет
=>
Нет суммы по k,l,m,n
Т.к. все klmn должны быть разные (иначе 0)
Таким образом
ЗАДАЧА
Доказать, что
,
19
20