2. Całka potrójna
2.1 Całka potrójna w prostopadłościanie
Niech dany będzie prostopadłościan P = [a; b] × [c; d ] × [ p; q ] ⊂ R 3 , przy czym
− ∞ < a < b < ∞ , − ∞ < c < d < ∞ , − ∞ < p < q < ∞ , oraz funkcja ciągła f : P → R ,
f = f ( x, y , z ) .
Całkę potrójną w prostopadłościanie definiujemy wzorem
DEF b  d  q
 
f
(
x
,
y
,
z
)
dxdydz
=

f
(
x
,
y
,
z
)
dz

 dy  dx .
∫∫∫
∫
∫
∫

p
P
a c 
 
Uwagi:
1. dxdydz = dv jest elementem objętości prostopadłościanu.
2. JeŜeli f ( x, y, z ) = f1 ( x) ⋅ f 2 ( y ) ⋅ f 3 ( z ) , to
b
d
q
a
c
p
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ f1 ( x)dx ⋅ ∫ f 2 ( y )dy ⋅ ∫ f 3 ( z )dz .
P
Przykład
Obliczymy całkę I = ∫∫∫
P
2
mamy I = ∫
1
4
dxdydz
, gdzie P = [1;2] × [1;4] × [1;8] . Korzystając z uwagi 2
xyz
8
dx dy dz
2
4
8
⋅∫ ⋅∫
= [ln x ]1 ⋅ [ln y ]1 ⋅ [ln z ]1 = ln 2 ⋅ ln 4 ⋅ ln 8 = 6 ln 3 2 .
x 1 y 1 z
2.2 Całka potrójna w obszarach normalnych i regularnych
Obszar Ω ⊂ R 3 nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny xOy , jeŜeli
moŜna go zapisać w postaci
Ω = ( x, y, z ) ∈ R 3 : ( x, y ) ∈ D xy , p( x, y ) ≤ z ≤ q( x, y ) ,
{
}
gdzie D xy jest obszarem regularnym na płaszczyźnie xOy , a funkcje p, q ∈ C ( D xy ) oraz
p ( x, y ) ≤ q ( x, y ) dla ( x, y ) ∈ D xy .
Całkę potrójną w obszarze Ω normalnym względem płaszczyzny xOy dla funkcji f
ciągłej w Ω określamy następująco
 q ( x, y )

f
(
x
,
y
,
z
)
dxdydz
=
 ∫ f ( x, y, z ) dz  dxdy .
∫∫∫
∫∫

Ω
D xy 
 p( x, y )
Przykład
Obliczymy całkę I = ∫∫∫ xyz dxdydz , Ω jest obszarem ograniczonym płaszczyznami
Ω
x = 0 , y = 0 , z = 0 i powierzchnią kuli x 2 + y 2 + z 2 = 1 ( x, y, z ≥ 0 ).
Obszar Ω : 0 ≤ z ≤ 1 − x 2 − y 2 , ( x, y ) ∈ D xy , gdzie D xy : x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 ,
jest obszarem normalnym. Mamy zatem
 1− x 2 − y 2

1− x 2 − y 2
I = ∫∫  ∫ xyz dz  dxdy = 12 ∫∫ xy z 2 0
dxdy = 12 ∫∫ xy (1 − x 2 − y 2 ) dxdy .

D xy 
Dxy
Dxy
 0

PoniewaŜ D xy jest ćwiartką koła o promieniu 1 i środku w punkcie (0,0), moŜna zastosować
współrzędne biegunowe. Wobec tego
I = ∫∫ r cos ϕ ⋅ r sin ϕ ⋅ 1 − r 2 ⋅ r drdϕ ,
[ ]
(
)
∆
gdzie ∆ : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ π2 , skąd
I=
1
2
π
 sin ϕ = t 
r − r dr ⋅ ∫ sin ϕ ⋅ cos ϕ dϕ = 
=
cos ϕ dϕ = dt 
0
∫(
1
0
3
5
)
[
2
=
[t]
1 1
24 2
2 1
0
=
1 1
2 4
r − r
4
1
6
] ⋅ ∫ t dt =
6 1
0
1
0
1
.
48
JeŜeli obszar D xy jest normalny względem osi Ox , czyli
D xy : a ≤ x ≤ b, c( x) ≤ y ≤ d ( x) , gdzie c, d ∈ C ([a; b]) oraz c( x) ≤ d ( x) dla a ≤ x ≤ b , to
Ω : a ≤ x ≤ b, c( x) ≤ y ≤ d ( x), p ( x, y ) ≤ z ≤ q ( x, y ) oraz
d ( x )  q ( x , y )
 
f
(
x
,
y
,
z
)
dxdydz
=

f
(
x
,
y
,
z
)
dz

 dy  dx .
∫∫∫
∫a  c (∫x )  p ( ∫x, y )
 
Ω
 
b
Wracając do przykładu mamy:
Ω : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x 2 , 0 ≤ z ≤ 1 − x 2 − y 2 ,
zatem
1 
I = ∫

0

1− x 2
∫
0
∫ x[




 
∫0 xyz dz  dy  dx =
 
1− x 2 − y 2
1
=
1
2
1
2
y − x y − y
2
1
2
2
2
1
4
4
0
]
0
1− x 2

∫0 

1
1
2
1− x 2
∫
[ ]
xy z
2
0
0
∫ (x − 2 x
1
dx =
1− x 2 − y 2
1
8
0
3
)

dy  dx =

+ x 5 dx =

x
∫0 

1
1
2
1− x 2
∫ (y − x
0
2

y − y 3 dy  dx =

)
1
.
48
Obszar Ω ⊂ R 3 nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny xOz , jeŜeli
moŜna go zapisać w postaci
Ω = ( x, y, z ) ∈ R 3 : ( x, z ) ∈ D xz , c( x, z ) ≤ y ≤ d ( x, z ) ,
{
}
gdzie D xz jest obszarem regularnym na płaszczyźnie xOz , a funkcje c, d ∈ C ( D xz ) oraz
c( x, z ) ≤ d ( x, z ) dla ( x, z ) ∈ D xz .
Całkę potrójną w obszarze Ω normalnym względem płaszczyzny xOz dla funkcji f
ciągłej w Ω określamy następująco
d ( x, z )

f
x
y
z
dxdydz
=
f
x
y
z
dy
(
,
,
)
(
,
,
)

 dxdz .
∫∫∫
∫∫ c( x∫,z )

Ω
Dxz 

JeŜeli obszar D xz jest normalny względem osi Ox , czyli
D xz : a ≤ x ≤ b, p ( x) ≤ z ≤ q ( x) , gdzie p, q ∈ C ([a; b]) oraz p ( x) ≤ q ( x) dla a ≤ x ≤ b , to
Ω : a ≤ x ≤ b, p ( x) ≤ z ≤ q ( x), c( x, z ) ≤ y ≤ d ( x, z ) oraz
 q ( x ) d ( x, z )
 
f
(
x
,
y
,
z
)
dxdydz
=

f
(
x
,
y
,
z
)
dy

 dz  dx .
∫∫∫
∫a  p∫( x)  c ( x∫, z )
Ω
 
 
b
Obszar Ω ⊂ R 3 nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny yOz , jeŜeli
moŜna go zapisać w postaci
Ω = ( x, y, z ) ∈ R 3 : ( y, z ) ∈ D yz , a( y, z ) ≤ x ≤ b( y, z ) ,
{
}
gdzie D yz jest obszarem regularnym na płaszczyźnie yOz , a funkcje a, b ∈ C ( D yz ) oraz
a ( y, z ) ≤ b( y, z ) dla ( y, z ) ∈ D yz .
Całkę potrójną w obszarze Ω normalnym względem płaszczyzny yOz dla funkcji f
ciągłej w Ω określamy następująco
b ( y , z )

f
(
x
,
y
,
z
)
dxdydz
=
f
(
x
,
y
,
z
)
dx

 dydz .
∫∫∫
∫∫ a ( ∫y ,z )
Ω
D yz 

JeŜeli obszar D yz jest normalny względem osi Oy , czyli
D yz : c ≤ y ≤ d , p ( y ) ≤ z ≤ q ( y ) , gdzie p, q ∈ C ([c; d ]) oraz p ( y ) ≤ q ( y ) dla c ≤ y ≤ d , to
Ω : c ≤ y ≤ d , p ( y ) ≤ z ≤ q ( y ), a ( y, z ) ≤ x ≤ b( y, z ) oraz
 q ( y ) b ( y , z )
 
f
(
x
,
y
,
z
)
dxdydz
=

f
(
x
,
y
,
z
)
dx

 dz  dy .
∫∫∫
∫c  p∫( y ) a ( ∫y , z )
Ω

 

d
Przykład
Obliczyć całkę
I = ∫∫∫ x 2 yz dxdydz , gdzie Ω : x = 2, z = − x, z = x 2 , y = 0, y = x + z .
Ω
Obszar Ω jest normalny względem płaszczyzny xOz , gdyŜ
Ω : 0 ≤ x ≤ 2, − x ≤ z ≤ x 2 , 0 ≤ y ≤ x + z ,
zatem
 x  x+ z
 
245552
I = ∫  ∫  ∫ x 2 yz dy  dz  dx =
.
3465
− x  0
0 
 
2
2
Obszar Ω ⊂ R 3 nazywamy regularnym, jeŜeli
1. Ω = Ω1 ∪ Ω 2 ∪ K ∪ Ω k ,
k∈N,
2. int Ω i ∩ int Ω j = ∅, i ≠ j , i, j = 1,2, K , k ,
3. obszar Ω i ,
lub yOz .
i = 1,2, K , k , jest normalny względem płaszczyzny xOy lub xOz
Całkę potrójną w obszarze regularnym definiujemy wtedy
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz + K + ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz .
Ω
Ω1
Ωk
Wartością średnią funkcji f na obszarze Ω nazywamy liczbę
DEF
1
f śr =
f ( x, y, z )dxdydz .
Ω ∫∫∫
Ω
Przykład
Obliczyć wartość średnią funkcji f ( x, y, z ) = xy 2 z 3 na obszarze
Ω = [0;1] × [0;2] × [0;3] .
Łatwo zauwaŜyć, Ŝe
Ω = 1⋅ 2 ⋅ 3 = 6 .
Ponadto
∫∫∫
Ω
1
2
3
0
0
0
xy 2 z 3 dxdydz = ∫ xdx ⋅ ∫ y 2 dy ⋅ ∫ z 3 dz =
1 8 81
⋅ ⋅ = 27 ,
2 3 4
skąd
f śr =
27 9
= = 4,5 .
6
2
Przykład
W punkcie M = ( x, y, z ) prostopadłościanu P = [0;1] × [0;2] × [0;3] temperatura jest
określona wzorem
T ( x, y, z ) = y sin π x + z .
Obliczyć średnią temperaturę w tym prostopadłościanie.
Objętość tego prostopadłościanu wynosi P = 6 . Obliczymy całkę
1
2
3
1
2
3
0
0
0
0
0
0
∫∫∫ T ( x, y, z)dxdydz = ∫ sin π xdx ⋅ ∫ ydy ⋅ ∫ dz + ∫ dx ⋅ ∫ dy ⋅ ∫ zdz =
P
stąd
Tśr =
12
π
+9,
4 + 3π
.
2π
2.3 Zamiana zmiennych w całkach potrójnych
Niech dane będą obszary: Ω leŜący w przestrzeni xOyz oraz Σ leŜący w przestrzeni
uOvw . Przekształceniem obszaru Σ w obszar Ω nazywamy odwzorowanie Φ : Σ → Ω takie,
Ŝe
Φ
Σ ∋ (u , v, w) →
( x, y , z ) ∈ Ω
czyli
x = x(u, v, w)
Φ : y = y (u, v, w)
(u, v, w) ∈ Σ ,
z = z (u, v, w)
przy czym x, y, z ∈ C 1 (Σ) oraz jakobian przekształcenia
xu'
xv'
x w'
J (u , v, w) = y u'
z u'
y v'
z v'
y w' ≠ 0
z w'
Uwaga
Jakobian J (u , v, w) oznacza się takŜe przez
dla (u , v, w) ∈ int Σ .
∂ ( x, y , z )
D ( x, y , z )
oraz zapisuje się
lub
∂ (u , v, w)
D (u , v, w)
w postaci
∂x
∂u
∂y
J (u , v, w) =
∂u
∂z
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
∂x
∂w
∂y
.
∂w
∂z
∂w
Przy wyŜej podanych załoŜeniach dla funkcji ciągłej f : Ω → R mamy
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f ( x(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w))
Ω
J (u, v, w) dudvdw .
Σ
2.4 Współrzędne walcowe (cylindryczne)
PołoŜenie punktu M = ( x, y, z ) ∈ R 3 moŜna opisać trójką liczb (r , ϕ , z ) , gdzie
r - oznacza odległość rzutu punktu M na płaszczyznę xOy od początku układu
współrzędnych, r ≥ 0 ,
ϕ - oznacza miarę kąta między rzutem promienia wodzącego punktu M na płaszczyznę
xOy , a dodatnią częścią osi Ox , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ,
z - oznacza odległość punktu M od płaszczyzny xOy , − ∞ < z < ∞ .
Trójkę liczb (r , ϕ , z ) nazywamy współrzędnymi walcowymi (cylindrycznymi)
punktu przestrzeni trójwymiarowej.
Współrzędne kartezjańskie ( x, y, z ) punktu przestrzeni we współrzędnych walcowych
(r , ϕ , z ) określone są wzorami
x = r cos ϕ
Φ : y = r sin ϕ
z=z
Funkcje x = x(r , ϕ , z ), y = y (r , ϕ , z ), z = z (r , ϕ , z ) są ciągłe wraz z pochodnymi
dowolnego rzędu oraz
x r'
J (r , ϕ , z ) = y
z
'
r
'
r
xϕ'
x z'
cos ϕ
'
'
z
'
z
= sin ϕ
0
yϕ
zϕ'
y
z
− r sin ϕ
r cos ϕ
0
0
0 =r≠0
1
dla r > 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π , − ∞ < z < ∞ .
Zatem dla dowolnej funkcji ciągłej f : Ω → R , Ω ⊂ R 3 mamy
∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz = ∫∫∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ , z) r drdϕ dz .
Ω
Σ
Przykład
Obliczyć całkę I = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdydz , gdzie Ω : z = 2 x 2 + y 2 , z ≤ 8 .
Ω
Wprowadzając współrzędne walcowe mamy
0≤r≤4
gdzie Σ : 0 ≤ ϕ ≤ 2π ,
2r ≤ z ≤ 8
I = ∫∫∫ r ⋅ r drdϕ dz ,
2
Σ
wobec tego
4 2π 8
4
4
 
 
8
I = ∫  ∫  ∫ r 3 dz  dϕ  dr = 2π ∫ r 3 ⋅ [z ]2 r dr = 2π ∫ 8r 3 − 2r 4 dr = 2π 2r 4 − 25 r 5
0 
0
0
 
 0 2 r
(
)
[
]
4
0
=
1024
π.
5
2.5 Współrzędne sferyczne
PołoŜenie punktu M = ( x, y, z ) ∈ R 3 moŜna opisać trójką liczb (r , ϕ ,ψ ) , gdzie
r - oznacza odległość punktu M od początku układu współrzędnych, r ≥ 0 ,
ϕ - oznacza miarę kąta między rzutem promienia wodzącego punktu M na płaszczyznę
xOy , a dodatnią częścią osi Ox , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ,
ψ - oznacza miarę kąta między promieniem wodzącym punktu M , a płaszczyzną xOy (a
rzutem promienia wodzącego na płaszczyznę xOy ), − π2 ≤ ψ ≤ π2 .
Trójkę liczb (r , ϕ ,ψ ) nazywamy współrzędnymi sferycznymi punktu przestrzeni
trójwymiarowej.
Współrzędne kartezjańskie ( x, y, z ) punktu przestrzeni we współrzędnych
sferycznych (r , ϕ ,ψ ) określone są wzorami
x = r cos ϕ cosψ
Φ : y = r sin ϕ cosψ
z = r sinψ
Funkcje x = x(r , ϕ ,ψ ), y = y (r , ϕ ,ψ ), z = z (r , ϕ ,ψ ) są ciągłe wraz z pochodnymi
dowolnego rzędu oraz
x r'
J (r , ϕ ,ψ ) = y
z
xϕ'
'
r
'
r
'
yϕ
zϕ'
cos ϕ cosψ
xψ'
yψ = sin ϕ cosψ
zψ'
sinψ
'
− r sin ϕ cosψ
r cos ϕ cosψ
0
− r cos ϕ sinψ
− r sin ϕ sinψ = r 2 cosψ ≠ 0
r cosψ
dla r > 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π , − π2 < ψ < π2 .
Zatem dla dowolnej funkcji ciągłej f : Ω → R , Ω ⊂ R 3 mamy
∫∫∫
Ω
f ( x, y, z ) dxdydz = ∫∫∫ f (r cos ϕ cosψ , r sin ϕ cosψ , r sinψ ) r 2 cosψ drdϕ dψ .
Σ
Przykład
Obliczyć całkę
I = ∫∫∫ z 2 x 2 + y 2 + z 2 dxdydz ,
Ω
gdzie Ω jest obszarem ograniczonym powierzchniami z = 4 − x 2 − y 2 , z = 0 .
Wprowadzając współrzędne sferyczne mamy
0≤r≤2
I = ∫∫∫ r 2 sin 2 ψ ⋅ r ⋅ r 2 cosψ drdϕ dψ ,
gdzie Σ : 0 ≤ ϕ ≤ 2π ,
0 ≤ψ ≤
Σ
π
2
wobec tego
2π
2
π
2
I = ∫ r dr ⋅ ∫ dϕ ⋅ ∫ sin 2 ψ cosψ dψ =
5
0
0
0
64
1 64
⋅ 2π ⋅ = π .
6
3 9
2.4 Zastosowania całek potrójnych
-
Objętość obszaru
Niech Ω ⊂ R 3 będzie obszarem regularnym. Objętość Ω tego obszaru wyraŜa się
wzorem
Ω = ∫∫∫ dxdydz .
Ω
W dalszym ciągu będziemy zakładać, Ŝe Ω ⊂ R 3 jest obszarem regularnym o gęstości
objętościowej masy ω = ω ( x, y, z ) , przy czym ω ∈ C (Ω) . JeŜeli obszar Ω jest jednorodny, to
ω = ω 0 = const.
-
Masa obszaru
m = ∫∫∫ ω ( x, y, z ) dxdydz .
Ω
-
Momenty statyczne
względem płaszczyzny xOy
MS xy = ∫∫∫ z ⋅ ω ( x, y, z ) dxdydz ,
Ω
-
względem płaszczyzny xOz
MS xz = ∫∫∫ y ⋅ ω ( x, y, z ) dxdydz ,
Ω
-
względem płaszczyzny yOz
MS yz = ∫∫∫ x ⋅ ω ( x, y, z ) dxdydz .
Ω
-
Współrzędne środka masy
C = ( xC ; y C ; z C )
xC =
-
MS yz
m
Momenty bezwładności
względem osi Ox
,
yC =
MS xz
,
m
(
)
(
)
(
)
zC =
MS xy
m
.
I x = ∫∫∫ y 2 + z 2 ω ( x, y, z ) dxdydz ,
Ω
-
względem osi Oy
I y = ∫∫∫ x 2 + z 2 ω ( x, y, z ) dxdydz ,
Ω
-
względem osi Oz
I z = ∫∫∫ x 2 + y 2 ω ( x, y, z ) dxdydz ,
-
względem punktu O = (0;0;0)
Ω
(
)
I O = ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 ω ( x, y, z ) dxdydz .
Ω
-
NatęŜenie pola elektrycznego
Niech P0 = ( x0 , y 0 , z 0 ) ∈ R 3 będzie punktem ustalonym, P = ( x, y, z ) ∈ Ω ⊂ R 3 - punktem
zmiennym obszaru regularnego Ω . Wektory wodzące tych punktów oznaczmy odpowiednio
r
r
przez r0 = OP 0 , r = OP , gdzie O = (0,0,0) . NatęŜenie pola indukowane w punkcie P0 przez
r
ładunek elektryczny o gęstości objętościowej ω = ω (r ) , rozłoŜony w sposób ciągły na
obszarze Ω wyraŜa się wzorem
r
(rr0 − rr ) ⋅ ω (rr )
−1
E = (4πε 0 ) ⋅ ∫∫∫
r r 3 dxdydz ,
r0 − r
Ω
gdzie ε 0 - przenikalność elektryczna próŜni oraz
r r
r − r0 = PP0 = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 .
Przykład
x2 y2 z2
+
+
≤ 1.
a2 b2 c2
Wprowadzamy uogólnione współrzędne sferyczne
x = a r cos ϕ cosψ
Φ : y = b r sin ϕ cosψ
Obliczyć objętość elipsoidy Ω :
z = c r sinψ
Łatwo sprawdzić, Ŝe J (r , ϕ ,ψ ) = abc r cosψ . Mamy więc
0 ≤ r ≤1
2
Ω = abc ⋅ ∫∫∫ r cosψ dr dϕ dψ , gdzie Σ : 0 ≤ ϕ ≤ 2π . Stąd
Σ
− π2 ≤ ψ ≤ π2
2
2π
1
Ω = abc ⋅ ∫ r dr ⋅ ∫ dϕ ⋅
2
0
0
π
2
∫
π
− 2
1
4
cosψ dψ = abc ⋅ ⋅ 2π ⋅ 2 = π abc .
3
3
Przykład
Obliczyć masę obszaru Ω ograniczonego stoŜkiem z =
z = h ( h > 0 ), jeŜeli ω ( x, y, z ) = z .
h
x 2 + y 2 i płaszczyzną
R
Mamy
m = ∫∫∫ z dxdydz .
Ω
Wprowadzamy współrzędne walcowe i otrzymujemy
0≤r≤R
m = ∫∫∫ z ⋅ r dr dϕ dz , gdzie Σ : 0 ≤ ϕ ≤ 2π ,
Σ
rh
≤z≤h
R
stąd
2π
R
R
h

m = ∫ dϕ ⋅ ∫ r  ∫ z dz  dr = 2π ∫ r
 rh

0
0
0
 R

[z]
1
2
2 h
rh
R

r3 
1
dr = π h 2 ∫  r − 2  dr = π h 2 R 2 .
R
4
R 
0 
Przykład
Obliczyć masę, momenty statyczne, współrzędne środka masy oraz momenty
bezwładności ośmiościanu Ω : x + y + z ≤ 1 , x, y, z ≥ 0 , jeŜeli gęstość objętościowa masy
wyraŜa się wzorem ω ( x, y, z ) = xy .
0 ≤ x ≤1
Obszar Ω moŜna opisać nierównościami Ω : 0 ≤ y ≤ 1 − x . Mamy kolejno
0 ≤ z ≤ 1− x − y
1
m = ∫∫∫ xy dxdydz = ∫
Ω
0
1− x 1− x − y  
1
x  ∫ y  ∫ dz  dy  dx =
,
120
 0  0  
1
1− x
MS xy = ∫∫∫ xyz dxdydz = ∫ x  ∫
 0
0
Ω
1
1− x
2
MS xz = ∫∫∫ xy dxdydz = ∫ x  ∫
0
Ω
 0
1− x − y  
1
y  ∫ z dz  dy  dx =
,
720
 0
 
1− x − y  
1
2
y  ∫ dz  dy  dx =
,
360
 0  
1
1− x 1− x − y  
1
MS yz = ∫∫∫ x 2 y dxdydz = ∫ x 2  ∫ y  ∫ dz  dy  dx =
,
360
 0  0  
0
Ω
C = ( 13 , 13 , 16 ) ,
xC = y C = 13 , z C = 16 ,
1
I x = ∫∫∫ xy ( y + z ) dxdydz = ∫
2
2
Ω
0
1
I y = ∫∫∫ xy ( x + z ) dxdydz = ∫
2
2
Ω
0
1
I z = ∫∫∫ xy ( x 2 + y 2 ) dxdydz = ∫
Ω
I 0 = 12 ⋅ ( I x + I y + I z ) =
0
1
.
360
1− x 1− x − y 2
 
1
x  ∫ y  ∫ ( y + z 2 ) dz  dy  dx =
,
630
 0  0
 
1− x 1− x − y 2
 
1
x  ∫ y  ∫ ( x + z 2 ) dz  dy  dx =
,
630
 
 0  0
1− x 1− x − y 2
 
1
x  ∫ y  ∫ ( x + y 2 ) dz  dy  dx =
,
420
 0  0
 