Teoría y ejercicios
Luis Zegarra Agramont
GEOMETRÍA VECTORIAL
Capítulo 2
(Continuación)
Vectores unitarios
Se dice que un vector es unitario si y solo si su magnitud o norma es "Þ
Un vector unitario, aunque no en exclusiva se acostumbran a denotar por s
/Þ
"
Si +t Á !t entonces
+t es un vector unitario, y además en la dirección y
t
ll+ll
t note que +t œ ll+ll
t s
sentido de +ß
+Þ
Producto punto
t @t dos vectores, se define el producto punto o también llamado producto
Dados ?ß
escalar, por
t t -9= >ß siendo > el ángulo que forman ?t y @t
?t † @t œ ll?llll@ll
Discusión:
t entonces ?t † @t y
Como ||?t|| y ||@t|| son siempre positivos para ?t y @t distintos de 0,
el -9= > tendrán el mismo signo, en las figuras siguientes están representados los
todos los casos posibles
r
u
t
r
u
r
v
> œ1
t
r
v
1
#
>1
r
u
90°
r
v
>œ
1
#
r
u
t = 0°
r
r
u
v
t
r
v
!>
1
#
> œ !°
-9= > œ  "
-9= >  !
-9= > œ ! -9=>  ! -9= > œ "
dirección opuesta
?t † @t  !
?t † @t œ ! ?t † @t  ! misma dirección
Propiedades 1:
1. ?t † @t œ @t † ?t
t † @t œ 5Ð?t † @Ñ
t
2. Ð5?Ñ
3.
t œ ?t † @t  ?t † At
?t † Ð@t  AÑ
4.
?t † ?t
!ß ?t † ?t œ ! Í ?t œ !t
Norma de un vector
t por
Vamos a definir la norma o magnitud del vector ?ß
|| ?t || œ È?t † ?t
Propiedades 2:
0à || ?t || œ ! Í ?t œ !t
1. || ?t ||
2. || 5?t || œ l5l || ?t ||
3. || ?t ||# œ ?t † ?t
4. | ?t † @t l Ÿ || ?t|| || @t ||
5. || ?t  @t || Ÿ || ?t||  || @t ||
Ángulo entre dos vectores
Sean ?t y @t dos vectores no nulos, el ángulo > entre ellos se calcula mediante
-9= > œ
?t † @t
, 0Ÿ>Ÿ1
||?t|| ||@t ||
Note que el ángulo entre el vector cero y otro vector no esta definido por ésta
relación.
Ejercicio 1.
t t, y t- tales que +t  t,  t- œ !t con || +t || œ $ß || t, || œ & y
Dados los vectores +ß
|| t- || œ (Þ Calcule el ángulo que forman +t y t,Þ
Solución.
Efectuando +t † ß t, † y t- † sucesivamente sobre +t  t,  t- œ !t resultan
+t † +t  +t † t,  +t † t- œ ! Í +t † t,  +t † -t œ  *
t, † +t  t, † t,  t, † t- œ ! Í +t † t,  t, † -t œ  #&
t- † +t  t- † t,  t- † t- œ ! Í +t † t-  t, † t- œ  %*
Resolviendo éste sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, para +t † t, se tiene
1
"&
+t † t,
"&
"
+t † t, œ
Ê -9= > œ
œ
œ Ê>œ
#
#†$†&
#
$
|| +t || || t, ||
Ejercicio 2.
Demuestre que el triángulo inscrito en una semi circunferencia es rectángulo.
C
r
c
A
r
−b
O
r
b
B
Demostración.
t œ  ,t
t œ t,ß SE
Se sabe que: || t, || œ ||  t, || œ || t- || œ <ß SF
t † FG
t œ !ß en efecto de la figura se tiene
por demostrar que EG
t † FG
t œ Ò-t  Ð  t,ÑÓ † Ð,t  -Ñ
t œ ,t † ,t  -t † -t œ || ,t ||#  || -t ||# œ < #  < # œ !
EG
Ortogonalidad
Dos vectores +t y t, son ortogonales entre sí, si el ángulo entre ellos es de 90°
Como el vector !t tiene dirección arbitraria, se considera ortogonal a cualquier
t
vector +t por tanto es ortogonal a !Þ
Propiedad 3.
Los vectores +t y t, son mutuamente ortogonales si y solo si +t † t, œ ! , a+t,t, Á 0t
Demostración.
t t -9= > œ ! Í -9= > œ ! ß pues +t,,t Á 0t Ê > œ *!°
Si +t † t, œ ! Í ll+llll,ll
ahora si +t y t, son ortogonales entonces > œ *!° Ê +t † t, œ !.
Propiedad 4.
Si +t y t, son dos vectores arbitrarios, entonces
t
t ll,ll
l +t † t, l Ÿ ll+ll
Demostración.
t luego
Si +t ” t, œ !t se verifica la igualdad, por tanto sean +t,t, Á 0,
#
t † ÐB+t  ,Ñ
t œ ll+ll
t #
t B#  # +t † ,t B  ll,ll
llB+t  t,ll# œ ÐB+t  ,Ñ
!
Para que este trinomio de segundo grado sea siempre positivo o cero y dado que
#
t  ! entonces se debe tener que J Ÿ 0, de aquí que
ll+ll
#
t # Ÿ ! Í l +t † ,t l Ÿ ll+ll
t
t ll,ll
t ll,ll
Ð# +t † t,Ñ#  % ll+ll
Observación.
También es válido el siguiente argumento,
t | -9= > | Ÿ ll+llll,ll
t ll,ll
t t , pués es sabido que | -9= > l Ÿ "
| +t † t, | œ ll+ll
Notemos que el signo igual se cumple para -9= > œ „ " y esto es para > œ ! ß
t t
> œ 1 o bien +ll,Þ
Propiedad 5.
Si +t y t, son dos vectores arbitrarios, entonces
t
t  ll,ll
ll+t  t, ll Ÿ ll+ll
Demostración.
t œ ll+ll
t # , pero por la proiedad
t #  # +t † ,t  ll,ll
ll+t  t, ll# œ Ð+t  t,Ñ † Ð+t  ,Ñ
t entonces se deduce,
t ll,ll
anterior +t † t, Ÿ l +t † t, l Ÿ ll+ll
t  ll,ll
t # Ê ll+t  ,t ll Ÿ ll+ll
t
t #  #ll+ll
t ll,ll
t  ll,ll
ll+t  t, ll# Ÿ ll+ll
Proyección ortogonal.
t entonces
La proyección ortogonal de +t sobre t, la denotaremos por :<9Ct, +ß
:<9Ct, +t œ
+t † t, t
,ß +t,t, Á 0
#
t
ll,ll
Demostración.
r
|| a ||cos t
r
a
t
r
proybr a
r
b
De la figura, :<9Ct, +t œ ||+t|| -9= > s/ß donde
s/ es un vector unitario en el
" t
sentido y dirección de t,ß es decir s/ œ
,
||t,||
+t † t, " t
+t † t, t
por tanto :<9Ct, +t œ ||+t||
, œ
,.
t #
||+t|| ||t,|| ||t,||
ll,ll
Producto cruz.
t @t dos vectores, se define el producto cruz o también llamado producto
Dados ?ß
vectorial, por
t t =/8 > s/ ß siendo > el ángulo que forman ?t y @t , s/ es un
?t ‚ @t œ ll?llll@ll
t !Ÿ>Ÿ1
vector unitario perpendicular al plano que forman los vectores ?t y @ß
De inmediato entonces ?t ‚ @t † ?t œ ?t ‚ @t † @t œ !Þ
r r
u ×v
v̂
ê
r
u
t t =/8 >
Note que: || ?t ‚ @t || œ ll?llll@ll
Observe también que que no tenemos que escribir | =/8 > lß pues =/8 >
! para
!Ÿ>Ÿ1
Propiedades 6.
1. ?t ‚ @t œ  @t ‚ ?t
t ‚ @t œ 5Ð?t ‚ @Ñ
t
2. Ð5?Ñ
3.
4.
t œ ?t ‚ @t  ?t ‚ At
?t ‚ Ð@t  AÑ
?t † ?t œ !t
Propiedad 7.
t a+t,t, Á 0t
Dos vectores +t y t, paralelos si y solo si +t ‚ t, œ !ß
Demostración.
Si +t y t, son paralelos entonces +t œ 5 t, Í +t ‚ t, œ 5Ð,t ‚ t,Ñ œ !t
Si +t ‚ t, œ !t entonces || +t ‚ t, || œ ! Ê || +t ||| t, || =/8 > œ ! Í =/8 > œ !ß con
lo que > œ ! o > œ ")!° Ê +t y t, son paralelos.
Área de un paralelógramo y de un triángulo
El área de un paralelógramo de lados +t y t, está dada por: || +t ‚ t, ||
"
El área de un triángulo de lados +t y t, está dada por :
|| +t ‚ t, ||
#
B
r
b
O
t
C
h
r
a
Demostración.
Sea el paralelógramo SEGF entonces,
A
Área œ || +t || 2 œ || +t || || t, || =/8 > œ || +t ‚ t, ||
para el triángulo SEF , es inmediato que su área es la mitad de la del
paralelógramo.
Triple producto escalar
El triple producto escalar de tres vectores se acostumbra a denotar por +t † t, ‚ tcuyo resultado es un escalar. Geométricamente es igual al volumen del
t t,ß t-Þ
paralelepípedo de lados +ß
r r
b ×c
r
a h
r
t c
r
b
Volumen del paralelepípedo œ Z œ área de la base ‚ 2 œ || t, ‚ t- || 2 pero
2 œ || +t || -9= >ß entonces Z œ || t, ‚ t- || || +t || -9= > œ +t † t, ‚ t- como bien
éste resultado puede ser positivo o negativo, por tanto si se trata de calcular el
volumen del paralelepípedo habrá que considerar el módulo.
Nótese que:
Si 0  >  *!° Ê +t † t, ‚ t-  !ß
Si *!°  >  180° Ê +t † t, ‚ t-  !Þ
Propiedades 8.
t t, y t- coplanares si y solo si +t † t, ‚ t- œ !
1. +ß
2. Si dos vectores cualquiera de un triple producto escalar son iguales, entonces
ese producto es 0.
3. +t † t, ‚ t- œ +t ‚ t, † tNotación.
La propiedad 3 de las propiedades 8, muestra que en un triple producto escalar, el
punto y la cruz pueden intercambiarse sin variar su valor, se acostumbra a denotar
tt t- ÓÞ
este producto por Ò +,
Ejercicio 3.
Usando el triple producto escalar , demostrar que
+t ‚ Ð,t  t-Ñ œ +t ‚ t,  +t ‚ tDemostración.
Sea ?t œ +t ‚ Ð,t  t-Ñ  +t ‚ t,  +t ‚ t- el producto escalar de ?t con un vector
t resulta:
arbitrario @ß
?t † @t œ @t † +t ‚ Ð,t  t-Ñ  @t † +t ‚ ,t  @t † +t ‚ œ @t ‚ +t † Ð,t  t-Ñ  @t ‚ +t † t,  @t ‚ +t † - œ !
Así, ?t † @t œ !ß como @t es arbitrario se puede elegir @t œ ?t de modo que si
t luego
?t † ?t œ ! Ê ?t œ !ß
+t ‚ Ð,t  t-Ñ œ +t ‚ t,  +t ‚ t-
Triple producto vectorial.
Al vector +t ‚ Ð,t ‚ t-Ñ o bien Ð+t ‚ t,Ñ ‚ t- se llama triple producto vectorial,
nótese que +t ‚ Ð,t ‚ t-Ñ Á Ð+t ‚ t,Ñ ‚ tPropiedad 9.
t t
+t ‚ Ð,t ‚ t-Ñ œ Ð+t † t-Ñ,t  Ð+t † ,Ñt t
t t  Ð-t † ,Ñ+
Ð+t ‚ t,Ñ ‚ t- œ Ð-t † +Ñ,
Propiedad 10.
t œ +t † tÐ+t ‚ t,Ñ † Ð-t ‚ .Ñ
»t
, † t-
+t † .t
t, † .t »
Demostración.
t œ Ð+t ‚ t,Ñ ‚ -t † .t œ Ò Ð-t † +Ñ,
t t † .t
t t  Ð-t † ,Ñ+Ó
Note que Ð+t ‚ t,Ñ † Ð-t ‚ .Ñ
t  Ð,t † t-ÑÐ+t † .Ñ
t
œ Ð+t † t-ÑÐ,t † .Ñ
œ»
+t † tt, † t-
+t † .t
t, † .t »
Propiedad 1".
t œ Ò+,.Ótt t t
tt t t  Ò+,-Ó.
ttt t œ Ò+-.Ó,
tt t t  Ò,-.Ó+
Ð+t ‚ t,Ñ ‚ Ð-t ‚ .Ñ
Demostración.
t œ ÒÐ+t ‚ ,Ñ
t † .Ót t  ÒÐ+t ‚ ,Ñ
t † -Ó.
t t œ Ò+,.Ótt t t  Ò+,-Ó.
tt t t
Ð+t ‚ t,Ñ ‚ Ð-t ‚ .Ñ
y también
t œ ÒÐ-t ‚ .Ñ
t † +Ó,
t † ,Ó+
t t œ Ò+-.Ó,
tt t t
t t  ÒÐ-t ‚ .Ñ
tt t t  Ò,-.Ó+
Ð+t ‚ t,Ñ ‚ Ð-t ‚ .Ñ
Ejercicio 4.
Demuestre que cualquier vector <t en el espacio, puede expresarse como una
t t, y t-Þ
combinación lineal de tres vectores cualquiera no coplanares, +ß
Demostración.
Primera forma:
Por la propiedad 11, siendo <t œ .t se tiene
ttt t
tt t t  Ò+,-Ó<
ttt t œ Ò+-<Ó,
ttt t  Ò,-<Ó+
Ò+,<Ót t, ß t- son no coplanares, entonces Ò+,-Ó
ttt Á 0 y por tanto
Como +ß
<t œ
tt t
ttt t Ò+,<Ó
tt t
Ò<,-Ó
Ò+<-Ó
t+t 
,
tt t
tt t
tt t
Ò+,-Ó
Ò+,-Ó
Ò+,-Ó
t t, ß t- .
expresión que nos dice que <t está en combinación lineal de los vectores +ß
Segunda forma:
ttt œ 5 Ò+,-Óß
ttt como
De inmediato <t œ 7 +t  : t,  ; t- Î † Ð,t ‚ t-Ñ Ê Ò<,-Ó
tt t
ttt
tt t
Ò<,-Ó
Ò+<-Ó
Ò+,<Ó
tt t Á 0 Ê 7 œ
Ò+,-Ó
ß analogamente :t œ
y ;œ
tt t
tt t
tt t
Ò+,-Ó
Ò+,-Ó
Ò+,-Ó
Ejercicios Resueltos
1. Demuestre que todo vector +t se puede expresar como la suma de su proyección
ortogonal sobre un vector ,t y otro vector que es ortogonal con t,Þ +t no paralelo
a t,Þ
Demostración.
Es claro que +t œ
+t † t, t
+t † t, t
+t † t, t
,  Ð+t 
,Ñß siendo :<9Ct, +t œ
,ß
t #
t #
t #
ll,ll
ll,ll
ll,ll
y nótese que Ð+t 
+t † t, t t
,Ñ † , œ !ß por tanto este otro vector es ortogonal a t,Þ
t #
ll,ll
2. Sean +t y t, dos vectores unitarios y > el ángulo entre ellos, demuestre que
>
¼+t  t,¼ œ # ¸=/8 ¸
#
Demostración.
¼+t  t,¼# œ Ð+  ,Ñ † Ð+  ,Ñ œ +#  #+ † ,  , # œ #  #+ † ,
œ #Ð"  m+mm,m -9=>Ñ
œ #Ð"  -9=>Ñ œ %=/8# #> ß Ê
¼+t  t,¼ œ #l=/8 #> l
t t,ß t- son tres vectores coplanares, demostrar que +t ‚ t,ß t, ‚ t-ß t- ‚ +t también
3. Si +ß
lo son.
Demostración.
t t,ß t- son tres vectores coplanares, entonces Ò+,-Ó
ttt œ ! por demostrar que
Si +ß
t œ !ß en efecto À
Ò+t ‚ t, t, ‚ t- t- ‚ +Ó
ttt ,t  Ò+,,Ó
ttt -×
t † -t ‚ +t œ !t † -t ‚ +t œ !
Ð+t ‚ t,Ñ ‚ t, ‚ t- † t- ‚ +t œ ÖÒ+,-Ó
tt t #
4. a) Demostrar que Š+t ‚ t,‹ † Št, ‚ t- ‹ ‚ at- ‚ +tb œ Ò+,-Ó
b) Resolver
aBt † +tb+t  aBt ‚ +tb œ +t ‚ t,
Solución.
t -t  Ð,t ‚ -t † -Ñ
t +t ‘
a) Š+t ‚ t,‹ † Št, ‚ t- ‹ ‚ at- ‚ +tb œ Š+t ‚ t, ‹ † Ð,t ‚ -t † +Ñ
t Ð+t ‚ t, † t-Ñß pués t, ‚ -t † -t œ !
œ Ð,t ‚ t- † +Ñ
tt t #
œ Ð+t ‚ t, † t-Ñ Ð+t ‚ t, † t-Ñ œ Ò+,-Ó
b) aBt † +tb+t  aBt ‚ +tb œ +t ‚ t, / † +t Ê
aBt † +tb+t † +t œ ! como +t † +t Á ! Ê Bt † +t œ ! a"b
Por otra parte aBt † +tb+t  aBt ‚ +tb œ +t ‚ t, / ‚ +t Ê
aBt ‚ +tb ‚ +t œ Ð+t ‚ t,Ñ ‚ +t Í
t +t  Ð+t † +Ñ
t Bt œ Ð+t † +Ñ
t ,t  Ð+t † t,Ñ +t
Ð+t † BÑ
Ê Bt œ
5.
"
Ð+t † t,Ñ +t  t,ß +t Á !t
t #
ll+ll
t demuestre que: +t ‚ t,  t, ‚ t-  t- ‚ +t œ $ +t ‚ ,t
Si +t  t,  t- œ !ß
Demostración.
t Ê
De +t  t,  t- œ ! Ê Ð+t ‚ t,  +t ‚ t- œ !t • t, ‚ +t  ,t ‚ -t œ !Ñ
+t ‚ t, œ  +t ‚ t- œ t- ‚ +t
+t ‚ t, œ t, ‚ t+t ‚ t, œ +t ‚ t,
Sumando miembro a miembro estas tres expresiones resulta:
+t ‚ t,  t, ‚ t-  t- ‚ +t œ $ +t ‚ t,
6.
Demuestre que el ángulo que forman las proyecciones: :<9C@t ?t y :<9C?t @t es el
mismo que forman los vectores ?t y @t
Solución.
t t Ð@t † ?Ñ?
t t
Ð?t † @Ñ@
†
?t † @t
t #
t #
ll@ll
ll?ll
-9= > œ
œ
ß y esta expresión es igual al coseno del
#
t
Ð?t † @Ñ
t ll@ll
t
ll?ll
t ll?ll
t
ll@ll
t
ángulo que forman los vectores ?t y @Þ
7. Demuestre que si À ?t  @t y ?t  @t son ortogonales entre si, entonces
||?t|| œ ||@t||ß interprete geometricamente este resultado.
Demostración.
t † Ð?t  @Ñ
t œ!
?t  @t y ?t  @t ortogonales entre si, entonces: Ð ?t  @Ñ
t t  @t † @t œ ! Í ll?ll
t # œ ll@ll
t # Í ll?ll
t œ ll@ll
t
?Þ?
r r
u −v
r
v
r r
u +v
r
u
?t  @t y ?t  @t son las diagonales de un rombo
9. Demuestre que los puntos Eß Fß G y H son coplanares, si:
ttt  Ò+.-Ó
t tt  Ò+,.Ó
tt t  Ò +,ttt Ó œ !
Ò.,-Ó
Demostración.
tt t t es decir
tt t t  Ò+,-Ó.
ttt t œ Ò+-.Ó,
tt t t  Ò,-.Ó+
Por la propiedad 11, Ò+,.Óttt t  Ò+.-Ó,
t tt t  Ò+,.Ótt t t  Ò +,ttt Ó.t œ !t y la condición de coplanares implica
Ò.,-Ó+
ttt  Ò+.-Ó
t tt  Ò+,.Ó
tt t  Ò +,ttt Ó œ !
que: Ò.,-Ó
t
t
10. Dado un triángulo EFGß sean , œ llEGll
y - œ llEFllÞ
Probar que el vector:
@t œ
t
t  -EG
,EF
,-
es el que da la dirección de la bisectriz del ángulo FEGÞ
Prueba.
C
D
A
t2
t1
r
v
B
Sea la bisectriz EHß vamos a demostrar que >" œ ># o bien que -9= >" œ -9= >#
t
t
t † ,EF-EG
t
t
t † @t
t † EG
t † EG
EF
EF
,- #  -EF
,-  EF
,-9= >" œ
œ
œ
œ
t || ||@t||
- ||@t||
-Ð,  -Ñ ||@t||
Ð,  -Ñ ||@t||
||EF
Analogamente
t
@t † EG
-9= ># œ
œ
t ||
||@t|| ||EG
t
t  -EG
,EF
t
† EG
,-
||@t|| ,
œ
t  -,
t † EG  -, #
t † EG
,EF
EF
œ
|@t||Ð,  -Ñ ,
||@t|| Ð,  -Ñ
Por tanto -9= >" œ -9= ># .
11. Por un punto interior a un círculo dado se trazan dos semi-rectas perpendiculares
entre si. Sean E y F los puntos en que ellas cortan a la circunferencia. Hallar
vectorialmente el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas EFÞ
P
×
O
A
•
M
B
Solución.
Sea S el origen, se tiene que À
t  :t † :t œ !
t † Ð,t  :Ñ
t œ ! Í +t † ,t  :t † Ð+t  ,Ñ
TtE † TtF œ ! Í Ð+t  :Ñ
pero:
#
"
"
t entonces
ÒÐ+t  t,Ñ#  Ð+t#  t, ÑÓ y como 7t œ Ð+t  ,Ñ
#
#
#
+t † t, œ #7t#  <# ß siendo +t † +t œ +t# œ <# œ ,t ß < radio
+t † t, œ
" #
"
t œ Ð#<#  :t# Ñ
#7t#  <#  :t † #7t  :t# œ ! Í Ð7t  :Ñ
#
%
"
"
lo que representa a una circunferencia, de centro :t y radio É#<#  :t#
#
#
luego
12. Demostrar el teorema del coseno aprovechando el producto punto.
r
b
r
c
t
r
a
Demostrar.
t œ +t † +t  #+t † ,t  ,t † ,t Í
De la figura t- œ +t  t, Ê t- † t- œ Ð+t  t,Ñ † Ð+t  ,Ñ
|| t- ||# œ || +t ||#  || t, ||#  # || +t || || t, || -9= > Í - # œ +#  , #  #+, -9= >
13. Demostrar que si en un tetraedro dos pares de aristas opuestas son perpendiculares,
las del tercer par son también perpendiculares, y la suma de los cuadrados de dos
aristas opuestas es la misma para cada par.
D
r
b
r
a
r
c
A
B
C
Demostrar.
t œ +ß
t œ -t
t œ t,ß HG
t HF
Sea H el origenß entonces À HE
t † EF
t œ ! Í t- † Ð,t  +Ñ
t œ ! Í -t † ,t œ -t † +t
Por hipótesis À HG
t † FG
t œ ! Í +t † Ð-t  t,Ñ œ ! Í +t † t- œ +t † ,t
HE
t œ!
t † GE
t- † t, œ +t † t, Í t, † Ð+t  t-Ñ œ ! Í HF
a#b  a"b Ê
t ß HG
t y FG
t y EF
t
t y GE
t y HE
La suma de los cuadrados de À HF
a"b
a#b
t,#  Ð+t  t-Ñ# œ t, #  +t#  t- #  # +t † t#
t- #  Ð,t  +Ñ
t # œ t,  +t#  t- #  # t, † +t
#
+t#  Ð-t  t,Ñ# œ t,  +t#  t- #  # t- † t,
estas tres expresiones son iguales, pues +t † t- œ t, † +t œ t- † t,Þ
14. Demostrar que:
|| +t ‚ t, ||# œ || +t ||# || t, ||#  Ð+t † t,Ñ#
Demostración.
|| +t ‚ t, ||# œ || +t ||# || t, ||# =/8# > œ || +t ||# || t, ||# Ð"  -9=# >Ñ
t #
œ || +t ||# || t, ||#  || +t ||# || t, ||# -9=# > œ || +t ||# || t, ||#  Ð+t † ,Ñ
15. Si desde un punto E de una recta perpendicular a un plano T ß se baja la
perpendicular a una recta V del plano T Þ Demostrar que la recta determinada por
los pies de las perpendiculares, es perpendicular a la recta PÞ
Demostración.
A
r
m1
r
m2
r
m3
r
m
R
P
Por hipótesis:
7t † 7t# œ ! • 7t † 7t" œ !
De la figura: 7t# œ 7t$  7t" Î7t † Ê 7t † 7t# œ 7t † 7t$  7t † 7t" Ê 7t † 7t$ œ !
16. Demostrar que
t
Si +t ‚ t, œ t- ‚ .t y +t ‚ t- œ t, ‚ .t entonces +t  .t es paralelo a t,  -Þ
Demostración.
Si +t ‚ t, œ t- ‚ .t y +t ‚ t- œ t, ‚ .t Ê +t ‚ t,  +t ‚ -t œ -t ‚ .t  ,t ‚ .t
t œ .t ‚ Ð,t  -Ñ
t Í
+t ‚ t,  +t ‚ t- œ .t ‚ t,  .t ‚ t- Í +t ‚ Ð,t  -Ñ
t ‚ Ð,t  t-Ñ œ !t Ê +t  .t es paralelo a t,  t-Þ
Ð+t  .Ñ
17. Demostrar
t  Ð,t ‚ t-Ñ † Ð+t ‚ .Ñ
t  Ð-t ‚ +Ñ
t œ !t
t † Ð,t ‚ .Ñ
Ð +t ‚ t,Ñ † Ð-t ‚ .Ñ
Demostración.
t œ Ð +t ‚ t,Ñ ‚ -t † .t œ ÖÐ-t † +Ñ,
t t † .t
t t  Ð-t † ,Ñ+×
Ð +t ‚ t,Ñ † Ð-t ‚ .Ñ
t
t
t t † .ÑÐt † t,ÑÐ+t † .Ñ
œ Ð-t † +ÑÐ,
a"b
analogamente
t œ Ð+t † t,ÑÐ-t † .ÑÐt
t
t † +ÑÐ,
t t † .Ñ
Ð,t ‚ t-Ñ † Ð+t ‚ .Ñ
t œ Ð-t † t,ÑÐ+t † .ÑÐt
t t † ,Ñ
t
t † Ð,t ‚ .Ñ
t † .ÑÐ+
Ð-t ‚ +Ñ
Sumando a"bß a#b y a$b se obtiene
a#b
a$b
t  Ð,t ‚ t-Ñ † Ð+t ‚ .Ñ
t  Ð-t ‚ +Ñ
t œ !t
t † Ð,t ‚ .Ñ
Ð +t ‚ t,Ñ † Ð-t ‚ .Ñ
18. Demostrar
t  Ð,t ‚ t-Ñ ‚ Ð+t ‚ .Ñ
t  Ð-t ‚ +Ñ
t œ  #Ò+,-Ó.
t ‚ Ð,t ‚ .Ñ
tt t t
Ð +t ‚ t,Ñ ‚ Ð-t ‚ .Ñ
Demostración.
t œ Ò+,.Ótt t t  Ò+,-Ó.
tt t t
Ð +t ‚ t,Ñ ‚ Ð-t ‚ .Ñ
t œ Ò,-.Ó+
tt t t  Ò+,-Ó.
tt t t
Ð,t ‚ t-Ñ ‚ Ð+t ‚ .Ñ
t œ Ò-+.Ó,
t ‚ Ð,t ‚ .Ñ
t t t t  Ò+,-Ó.
tt t t
Ð-t ‚ +Ñ
sumando estas tres expresiones se obtiene:
ttt t  Ò+.-Ó,
t tt t  Ò+,.Ótt t t  $Ò+,-Ó.
tt t t
œ Ò.,-Ó+
y por propiedad 11. se tiene que
ttt t  Ò+.-Ó,
ttt t œ Ò.,-Ó+
t tt t  Ò+,.Ótt t t
Ò+,-Ó.
entonces
t  Ð,t ‚ t-Ñ ‚ Ð+t ‚ .Ñ
t  Ð-t ‚ +Ñ
t œ  #Ò+,-Ó.
t ‚ Ð,t ‚ .Ñ
tt t t
Ð +t ‚ t,Ñ ‚ Ð-t ‚ .Ñ
19. En un triángulo EFGß si EH es la mediana del lado FGÞ Demostrar que
"
EF #  EG # œ #EH#  FG #
#
Demostración.
A
r
b
B
r
c
r
d
D
C
Considerando E como el origen, se tiene:
t œ t-  t,ß EF
t œ -t
t œ .t œ " Ð,t  t-Ñß FG
t œ ,t y EG
EH
#
entonces,
"
"
"
t † Ð-t  ,Ñ
t
#EH#  FG # œ Ð,t  t-Ñ † Ð,t  t-Ñ  Ð-t  ,Ñ
#
#
#
œ t, † t,  t, † t-  t- † t,  t- † t- œ EF #  EG #
20. Resolver:
a) !Bt  ÐBt † t,Ñ+t œ t,ß !  +t † t, Á !ß ! Á !
t +ß
tt t t  Bt ‚ t-  .t œ !ß
t t,ß t- son no coplanares.
b) Ò+,BÓSolución.
t t † ,Ñ
t œ ,# Ê
a) !Bt  ÐBt † t,Ñ+t œ t, / † t, Ê !ÐBt † t,Ñ  ÐBt † ,ÑÐ+
ÐBt † t,Ñ œ
,#
" t
,#
, así Bt œ Ò, 
+t Ó
!
!  +t † t,
!  +t † t,
b) Por una parte,
ttt t  Ò+,BÓtt t t Ê
Ð +t ‚ t,Ñ ‚ ÐBt ‚ t-Ñ œ Ò+,-ÓB
t ‚ ÐBt ‚ -Ñ
tt t t œ Ò+,-ÓB
ttt t  Ð +t ‚ ,Ñ
t
Ò+,BÓ-
a"b
por otro lado
tt t t † t-  Bt ‚ t- † t-  .t † t- œ ! Ê Ò+,BÓ
tt t œ 
Ò+,BÓ-
.t † tß
-#
también
.t † tBt ‚ t- œ  .t  # t-ß remplazando estas últimas expresiones en a"b
t
t ,ß t- son no coplanares, entonces Ò+,-Ó
ttt Á 0 luego resulta
y como +ß
Bt œ
"
.t † t.t † tÖÐ +t ‚ t,Ñ ‚ Ð  .t  # t-Ñ   # t- ×
tt t
Ò+,-Ó
21. Demostrar que las alturas de un triángulo son concurrentes.
Demostración.
B
r
b
r
c
C
O
r
a
A
En el triángulo de la figura suponemos que las alturas trazadas desde F y G
t œ +ß
t œ t-Þ
t œ t,ß SG
t SF
concurren en SÐorigen), entonces SE
Como SF y GE son perpendicularesß lo mismo que SG y EFß
t œ ! Í t, † Ð+t  t-Ñ œ ! Í t, † +t œ ,t † -t
t † GE
SF
t † EF
t œ ! Í t- † Ð,t  +Ñ
t œ ! Í t- † t, œ -t † +t
SG
Entonces,
t, † +t œ t- † +t Í +t † Ð-t  t,Ñ œ !
Por lo tanto, SE es perpendicular a FG y se demuestra lo pedido.
Ejercicios Propuestos
1. Demostrar que la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelógramo es
igual a la suma de los cuadrados de sus lados.
2. Demuestre que +t † t, œ ! si y solo si || +t  t, || œ || +t  t, ||
3. Si ||+t|| œ # y +t † t- œ t, † +t œ t- † t,, demuestre que:
t ‚ Ð+t ‚ t,Ó œ $,t
Ò t, ‚ Ð-t ‚ +Ñ
4. Si las diagonales de un paralelógramo son ortogonales, entonces demostrar que el
paralelógramo es un rombo.
5. Demuestre que +t y t, son paralelos si y solo si +t ‚ t, œ !t
6. Demostrar que Ð+t  t,Ñ ‚ Ð+t  t,Ñ œ # +t ‚ t, y dar una interpretación geométrica.
t t,ß t- son vectores no paralelos y que +t ‚ t, œ t, ‚ t- œ t- ‚ +t
7. Demostrar que si +ß
t ¿Cuál es la interpretación geométrica que se puede dar?
entonces +t  t,  t- œ !Þ
8. Si +t ‚ t, œ +t ‚ t-ß ¿puede concluírse que t, œ t- ?
9. Demuestre la identidad de Jacobi:
t ‚ ,t œ !t
Ð+t ‚ t,Ñ ‚ t-  Ð,t ‚ t-Ñ ‚ +t  Ð-t ‚ +Ñ
10. Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que
+t ‚ Ð,t ‚ t-Ñ œ Ð+t ‚ t,Ñ ‚ t- es que Ð+t ‚ t-Ñ ‚ ,t œ !t
11. Sea un triángulo EFGß y S un origen cualquiera, demostrar que el área del
triángulo está dada por
"
# ||
+t ‚ t,  t, ‚ t-  t- ‚ +t ||
12. Demostrar que
t œ # Ò+,tt t Ó
Ð+t  t,Ñ † Ð,t  t-Ñ ‚ Ð-t  +Ñ
13. Demostrar que los puntos medios de las seis aristas de un cubo que no cortan a una
diagonal, son coplanares.
14. Aproveche el producto vectorial, para deducir el teorema del seno en un triángulo.
Utilice un triángulo en donde el tercer lado t- sea igual a +t  t,Þ
15. Las normales exteriores de las caras de un tetraedro tienen longitudes
proporcionales al área de sus caras respectivas. Demostrar que la suma de estos
vectores es cero.
16. Demostrar que si se une el punto medio de uno de los lados no paralelos de un
trapezoide a los extremos del lado opuesto, se obtiene un triángulo cuya área es la
mitad de la del trapezoide.
17. Sean +t y t, son dos vectores no paralelos dados por:
t- œ Ð7  8  "Ñ+t  Ð7  8Ñ,t y .t œ Ð7  8Ñ+t  Ð#7  8  "Ñ,t
t
Hallar 7 y 8 tales que t- œ $.Þ
18. Demostrar la fórmula de Herón para el área de un triángulo de cuyos lados son
t t,ß t-Þ
+ß
19. Si Eß Fß Gß H son cuatro puntos en el espacio, demostrar que:
t ‚ FHß
t ‚ EH
t ‚ GH
t  FG
t  GE
t es independiente de HÞ
EF
20Þ Resolver
a) Bt ‚ +t œ t,ß con +t † t, œ !
t +t  Bt ‚ +t œ +t ‚ t,
b) ÐB † +Ñ
t œ ,t ‚ Ð-t ‚ +t Ñ
ttt Ó Ð Bt ‚ +Ñ
t  ÐBt † t,Ñ-t  t- ‚ Ð +t ‚ ,Ñ
c) Ò+,1
y la longitud de ?t
%
t
$Þ Determinar la magnitud de @t tal que ?t  @t sea ortogonal con ?Þ
21. Los vectores ?t y @t forman entre ellos un ángulo de
22. Demostrar que
â
â +t † .t
â
t t t Ó œ â t, † .t
ttt Ò./0
Ò+,-Ó
â
â t
â t- † .
+t † /t
t, † /t
t- † /t
â
+t † 0t ââ
t, † 0t ââ
â
t- † 0t â
#$Þ Si s
+ † s, œ !ß s, † s- œ " y s- † s
+ œ # ß demuestre que
ttt œ Ð"  !#  " #  # #  #!"# Ñ"Î#
Ò+,-Ó
24. Si K es el centroide del sistema de masas Q3 ß 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8 colocadas en los
puntos T3 Þ Probar que:
t#
a) ! Q3 :t#3 œ Q 1t#  ! Q3 Ð:t3  1Ñ
8
8
3œ"
3œ"
siendo Q œ ! Q3
b) Q # 1t# œ Q ! Q3 :t#3  !Q3 Q4 Ð:t4  :t3 Ñ#
8
3œ"
3Á4
8
3œ"
t#
c) !Q3 Q4 Ð:t4  :t3 Ñ# œ Q ! Q3 Ð:t3  1Ñ
8
3Á4
3œ"
25. Dados 8 puntos se une cada uno de ellos con el baricentro de los otros Ð8  "ÑÞ
Demostrar que las 8 rectas así formadas concurren en el baricentro de los 8
puntos.
26. Un segmento EF es dimidiado por T" à T" F es dimidiado por T# à T# F por T$ à
y así sucesivamente. En los 8 puntos T " ß T# ß T$ ß Þ Þ Þ se colocan partículas de
masas 7ß "# 7ß #"# 7ß Þ Þ Þ respectivamente. Demostrar que la distancia del baricentro
a F es igual a un tercio de EFÞ
27. Sea ?
s un vector unitario, !ß " escalares, +t es un vector dado y tales que ! Á !
y +t#  % ! " Þ
t
Resolver la ecuación ! Bt#  +t † Bt  " œ ! y expresar Bt en la forma # ?
s  $ +Þ