ICF415 Sistemas Acoplados forzados Dr. Fabián Torres. Departamento de Ciencias Fı́sicas Universidad de La Frontera. 1/12 F. A. Torres-Ruiz (FICA-UFRO) ICF415 Sistemas Acoplados forzados 1 / 12 Índice 1 Introducción 2 Resonancia en Sistemas de 2 grados de libertad Introducción Fuerzas sobre un sistema acoplado 2/12 F. A. Torres-Ruiz (FICA-UFRO) ICF415 Sistemas Acoplados forzados 2 / 12 Introducción Introducción En esta clase veremos el caso de forzamiento externo al sistema y analizaremos los casos de resonancia. 3/12 F. A. Torres-Ruiz (FICA-UFRO) ICF415 Sistemas Acoplados forzados 3 / 12 Resonancia en Sistemas de 2 grados de libertad Introducción Introducción Uno de los temas importantes de analizar en la mecánica estructural tiene que ver con el análisis de resonancia en sistemas acoplados sometidos a una fuerza externa. En general se analiza el caso de fuerzas periódicas, ya que cualquier fuerza se puede descomponer como una suma de funciones sinusoidales1 . Ahora estudiaremos como una fuerza externa actúa sobre nuestro sistema acoplado. 1 Este tema lo veremos mas adelante F. A. Torres-Ruiz (FICA-UFRO) ICF415 Sistemas Acoplados forzados 4/12 4 / 12 Resonancia en Sistemas de 2 grados de libertad Introducción “Effect of short and high frequency earthquakes on multi-storey buildings” 5/12 F. A. Torres-Ruiz (FICA-UFRO) ICF415 Sistemas Acoplados forzados 5 / 12 Resonancia en Sistemas de 2 grados de libertad Fuerzas sobre un sistema acoplado Cuando estudiamos el caso de M.A.S. forzado, notamos que las soluciones de las ecuaciones de movimiento presentan singularidades cuando ωext se aproxima a la frecuencia angular natural ω0 del sistema. Este fenómeno de aumento en la amplitud de oscilación producto de una fuerza externa periódica se conoce como resonancia. En el caso de sistemas con mas partı́culas como dos o más péndulos por ejemplo, cada vez que aplicamos una fuerza externa periódica de frecuencia angular ω, y esta es cercana a una frecuencia natural de algún modo normal, entonces se puede observar un aumento en la amplitud de dicho modo de oscilación. 6/12 F. A. Torres-Ruiz (FICA-UFRO) ICF415 Sistemas Acoplados forzados 6 / 12 Resonancia en Sistemas de 2 grados de libertad Fuerzas sobre un sistema acoplado Consideremos por ejemplo el caso de dos péndulos acoplados nuevamente, pero agreguemos ahora una fuerza externa actuando sobre el péndulo a. Supongamos además que la expresión para la fuerza externa es F = F0 cos(ωt) (1) Supongamos además la presencia de rose proporcional a la velocidad de cada péndulo, fr = −bẋi . Con esto, las ecuaciones de movimiento serán: mg xa − k(xa − xb ) − bẋa + F0 cos ωt L mg mẍb = − xb + k(xa − xb ) − bẋb L mẍa = − (2) (3) 7/12 F. A. Torres-Ruiz (FICA-UFRO) ICF415 Sistemas Acoplados forzados 7 / 12 Resonancia en Sistemas de 2 grados de libertad Fuerzas sobre un sistema acoplado Dado que se trata de un sistema de ecuaciones inhomogéneo, tendremos nuevamente una solución homogénea y una solución particular para cada péndulo. Ya conocemos las soluciones para el caso homogéneo, las cuales están dadas por g 1 , Xp = (xa + xb ) L 2 2k 1 g 2 , X− = (xa − xb ) ω2 = + L m 2 Modo 1: xa (t) = xb (t), Modo 2: xa (t) = −xb (t), ω12 = (4) (5) en donde Xp y Xm son las coordenadas normales del sistema. 8/12 F. A. Torres-Ruiz (FICA-UFRO) ICF415 Sistemas Acoplados forzados 8 / 12 Resonancia en Sistemas de 2 grados de libertad Fuerzas sobre un sistema acoplado Si utilizamos las mismas coordenadas normales para describir el sistema inhomogéneo, entonces el conjunto de ecuaciones diferenciales con forzamiento externo se pueden escribir como: mg xa − k(xa − xb ) − bẋa + F0 cos ωt L mg mẍb = − xb + k(xa − xb ) − bẋb L ⇒ g b F0 Ẍp = − Xp − Ẋp + cos ωt L m 2m 2k b F0 g Xm − Ẋm + cos ωt Ẍm = − Xm − L m m 2m b k F0 g Xm − Ẋm + +2 cos ωt =− L m m 2m mẍa = − (6) (7) (8) (9) 9/12 F. A. Torres-Ruiz (FICA-UFRO) ICF415 Sistemas Acoplados forzados 9 / 12 Resonancia en Sistemas de 2 grados de libertad Fuerzas sobre un sistema acoplado De esta forma obtenemos dos ecuaciones desacopladas, y además cada una corresponde a una ecuación de oscilador armónico amortiguado forzado como las ya analizadas previamente en este curso. La coordenada Xp se comportan entonces como un oscilador armónico simple con masa m y constante de amortiguamiento b, impulsado por una fuerza F20 cos ωt. La coordenada Xm se comportan entonces como un oscilador armónico k simple con masa m, constante elástica k = mωc2 = m Lg + 2 m y constante de amortiguamiento b, impulsado por una fuerza F20 cos ωt. las dos ecuaciones son independientes de modo que podemos escribir las soluciones estacionarias para Xp y Xm separadamente. Vemos entonces que cada modo se comporta como un oscilador armónico unidimensional forzado. 10/12 F. A. Torres-Ruiz (FICA-UFRO) ICF415 Sistemas Acoplados forzados 10 / 12 Resonancia en Sistemas de 2 grados de libertad Fuerzas sobre un sistema acoplado Vemos entonces que ahora el sistema presenta resonancia en dos frecuencias distintas: p Si w se aproxima a ω0 = Lg , entonces el modo Xp es excitado, y la amplitud de ese modo aumenta significativamente. q k Por otro lado, si w se aproxima al valor de ωc = Lg + 2 m , entonces es el modo Xm el que se excita, y adquiere una amplitud mayor. Dado que el análisis de sistemas forzados lo realizamos previamente, dejaremos este problema hasta aquı́. 11/12 F. A. Torres-Ruiz (FICA-UFRO) ICF415 Sistemas Acoplados forzados 11 / 12 Resonancia en Sistemas de 2 grados de libertad Fuerzas sobre un sistema acoplado Ejercicio Determine explı́citamente la amplitud de cada modo normal utilizando fasores para la solución, y exprese las soluciones para cada péndulo en función del tiempo. 12/12 F. A. Torres-Ruiz (FICA-UFRO) ICF415 Sistemas Acoplados forzados 12 / 12
