Figuras de Lissajous
El osciloscopio es un aparato de alta sensibilidad que sirve para observar ondas acústicas
yhertzianas. Lo constituyen un tubo de rayos catódicos que proyecta sirve una pantalla
lasimágenes de las ondas de una manera absolutamente fiel. Puede decirse que es el
microscopiodonde los ingenieros vemos la energía radiante.Ya que los electrones son los que
proyectan directamente las figuras sobre la pantalla, elosciloscopio es el aparato ideal para ver
como se enrolla la energía.El físico francés Jules Antoine Lissajous, hizo interaccionar una onda
horizontal con otravertical y observó que, a determinadas frecuencias, formaban figuras
aparentementeestáticas.Desde entonces se llaman figuras de Lissajous. Una figura de Lissajous es
la trayectoria de unpunto móvil cuyas coordenadas rectangulares son movimientos armónicos
simples.En matemáticas, la curva de Lissajous, también conocida como figura de Lissajous o curva
deBowditch, es la gráfica del sistema de ecuaciones paramétricas correspondiente a
lasuperposición de dos movimientos armónicos simples en direcciones perpendiculares:
La apariencia de la figura es muy sensible a la relación , esto es, la relaciónentre las frecuencias de
los movimientos en x e y. Para un valor de 1, la figura es unaelipse, con los casos especiales del
círculo (
A
=
B
, = /2 radianes) y de las rectas ( =0) incluidos. Otra de las figuras simples de Lissajous es la
parábola (
a/b
= 2, = /2).Otros valores de esta relación producen curvas más complicadas, las cuales sólo
soncerradas si es un número racional, esto es, si y son conmensurables.Entonces existirán dos
números naturales, n
x
yn
y
, tales quey, obviamente, el periodo del movimiento resultante es el valor de
T
Obtenido utilizando los valores más pequeños que satisfagan la relación (fracciónirreducible).La
apariencia de estas curvas a menudo sugiere un nudo de tres dimensiones u otrostipos de nudos,
incluyendo los conocidos como nudos de Lissajous, proyección en elplano de las figuras de
Lissajous.
MEDICIONES DE FASE POR MEDIO DE LAS FIGURAS DE LISSAJAUS También se
pueden utilizar estas figuras para determinar la relación de fase entre dos ondas
senoidales de la misma frecuencia. Lo mismo que en el caso de las mediciones de
frecuencia, una de las señales se aplica en la entrada vertical y la otra señal en
laentrada horizontal del osciloscopio. Se inhabilita el barrido interno del
osciloscopio
poniéndolo en la posición
Si las señales tienen la misma fase, la
figuraresultante será una recta inclinada que sube de izquierda a derecha. El ángulo
deinclinación dependerá de la amplitud de las dos señales. Cuando el ángulo de
faseentre ambas señales cambie, la figura de Lissajous variará.
Uno de los requisitos para que los resultados sean correctos es que la curva
de Lissajous debeestar centrada en los ejes X e Y del osciloscopio. Para ello, se conectarán
os dos canales al
masa (GND) y se eliminará la base de tiempos, poniendo el selector en la posición
calcular el ángulo de fase al sustituir Y
Tudo sobre Feiras | Projetos 5a/8a séries | Aparelhos indispensáveis | Cinemática | Dinâmica | Estática | Fluidos |
Térmica Óptica | Ondas e Acústica | Eletrostática | Eletrodinâmica | Eletromagnetismo | Corrente
Alternada | Eletrônica | Estroboscopia Sugestões Didáticas | Artigos | Leituras/Teorias Recomendadas | Fichas -- Lab
Física | Eletroquímica | Motores Gerais Mundo Atômico e Relatividade | Astronomia | Perpetuum Móbile | Biologia | A
Científico | Corredor dos Links
.
Fale com o professor
Lista geral do site
Página inicial
Envie a um amigo
FIGURAS DE LISSAJOUS EM 3 DIMENSÕES
Prof. Luiz Ferraz Netto [Léo]
leobarretos@uol.com.br
Introdução
As figuras de Lissajous, em nível de 2o grau, ensino médio e técnico, são estudadas como resultantes
de superposições de dois movimentos harmônicos simples que se desenvolvem em direções
perpendiculares.
Dois movimentos harmônicos simples coplanares e de direções perpendiculares entre si, dando como
resultante uma figura de Lissajous.
Você pode obter tais figuras projetadas em telas (imagens reais), por efeito de persistência retiniana, de
vários modos, tais como:
1 - Projeto com diapasões
Colar dois pequenos espelhos planos em uma das extremidades livres de dois diapasões que vibram
em planos perpendiculares e incidir sobre eles um pincel de luz (de preferência , de laser) que,
refletindo-se em ambos, incida na tela.
Dois diapasões vibrando em planos perpendiculares
2 - Projeto com alto falantes
Colar dois pequenos espelhos planos nos centros de dois cones de alto-falantes, dispostos em planos
perpendiculares, e incidir um feixe de luz laser que, refletindo-se em ambos, atinge a tela. Os altofalantes devem ser excitados por dois pequenos amplificadores de áudio (5 a 10 W) independentes e,
cada um deles, por sua vez, excitado por um gerador de áudio freqüência. Os devidos ajustes das
freqüências componentes, assim como suas amplitudes, permitem visualizar na tela (duas dimensões)
toda a gama de figuras de Lissajous.
Dois espelhos perpendiculares entre si, fixos aos cones de dois alto-falantes
Nota: Esse projeto foi posto, em detalhes, nessa Sala 10; clique AQUI !
Nosso novo projeto
Esse novo projeto, permite a visualização de tais figuras em três dimensões. E' um trabalho audacioso
para alunos do segundo grau, que, porém, deve ser tentado. Vencer desafios é a meta do ser humano
culto e integrado na educação.
Vejamos a idéia básica do projeto.
Você deve ver as tais figuras de Lissajous, logo, a luz deve partir de algum lugar e incidir em seu globo
ocular. Então, necessitaremos de uma fonte de luz. Essa, pode ser proveniente de um projetor de
‘slides’, um projetor de ‘loops’, ou qualquer outra fonte colimada (dotada de lentes que permitam o
ajuste da focalização).
Essa luz não poderá vir diretamente da fonte para os nossos olhos, ela deverá ser refletida (ou melhor,
difundida) por alguém (superfície difusora) e daí seguir para os olhos de vários observadores (e não só
para os seus!). Além disso, essa luz difundida para os vários observadores, deverá produzir, por
persistência retiniana, a figura de Lissajous em 3 dimensões; logo, já deverá ser a resultante de
movimentos harmônicos perpendiculares entre si.
Eis como se pode obter tudo isso:
Um pequeno motor elétrico, cuja rotação possa ser controlada eletronicamente (ver comentários
adiante), leva em seu eixo um disco de madeira (pintado com tinta preta opaca) de 10 a 12cm de
diâmetro e 1cm de espessura. Próximo à periferia desse disco, prende-se, perpendicularmente ao seu
plano, uma haste cilíndrica de madeira, de diâmetro 0,6 a 0,8cm e comprimento de 10 a 12cm, pintada
com tinta branca (tinta látex, branco neve). Um lápis de cor, branco, pode ser usado, sem problemas.
Eis a ilustração dessa parte da montagem:
Disposição do motor (1), disco, haste e controle de velocidade.
Ligando-se o motor elétrico, a haste branca põe-se a girar, descrevendo uma superfície cilíndrica, em
relação ao eixo de rotação. Se o período de rotação do eixo do motor for menor que 1/10 do segundo,
não veremos a haste deslocando-se de uma posição para a outra e sim um ‘tubo branco’, devido à
persistência retiniana. Olhando-se tal "tubo", de lado, tal como se observa na figura acima, veremos
apenas uma "faixa branca". Essa faixa branca nada mais é que a projeção do movimento da haste, num
plano vertical (plano z O y), que é um movimento harmônico simples (MHS), de freqüência f (igual à do
rotor do motor) e amplitude r (distância do centro do disco à haste). A figura a seguir mostra o
movimento da haste, no plano z O y.
MHS, visto no plano vertical (zOy)
Vista desse plano, o movimento de um ponto da haste, no eixo de referência z é dado pela equação:
z = r.cos(2..f.t)
(1)
onde r é a amplitude do movimento , f sua freqüência e z a elongação do ponto da haste, medida a
partir do eixo de rotação. Assumimos fase inicial nula, ou seja, a haste encontra-se na posição extrema
A (+r), no instante ao qual se associa t=0. Se olharmos o movimento da haste, por cima, ou seja, visto
no plano x O y , também teremos um MHS, de amplitude r, freqüência f e defasado do movimento
vertical [de equação (1)] em /2 radianos. Você deslocou seus olhos do plano vertical para o plano
horizontal  deslocou-se de /2 radianos. Matematicamente, no instante inicial já adotado, o ponto da
haste encontra-se em O e não em B. A figura a seguir ilustra tal situação.
MHS, visto no plano horizontal (xOy)
A figura a seguir mostra, em perspectiva tais movimentos harmônicos simples.
Perspectiva dos movimentos componentes segundo (xOy) e (zOy)
Esse movimento, observado no plano horizontal, tem equação:
x = r.cos(2. .f.t - /2)
x = r.sen(2. .f.t)
ou
(2)
Superpondo-se esses dois movimentos harmônicos simples de direções perpendiculares, com mesmas
amplitudes, mesmas freqüências e defasados de /2 radianos, tem-se como resultado um movimento
circular e uniforme, de raio r e freqüência f, que é o movimento de qualquer ponto da haste branca, no
espaço. A haste toda descreverá, portanto, a superfície cilíndrica, vista por persistência retiniana.
As equações (1) e (2) são as equações paramétricas desse MCU.
A trajetória resultante, de cada ponto da haste branca, tem equação obtida a partir de (1) e (2), com a
eliminação do parâmetro t.
x = r.sen(2. .f.t)
z = r.cos(2. .f.t)
elevando-se ao quadrado:
x2 = r2.sen2(2t.f)
= r2.cos2(2tf)
z2
somando-se, membro a membro:
x2 + z2 = r2
(3)
uma vez que sen2(2tf) + cos2(2tf) = 1
A (3) é a equação da circunferência de raio r e centro na origem do sistema de coordenadas (O).
Observe, portanto, que o simples movimento da haste ao redor do centro do disco já é a composição de
dois movimentos harmônicos simples perpendiculares entre si, dando como visual, em alta rotação, a
superfície cilíndrica branca.
A seguir, vamos introduzir o terceiro movimento harmônico simples no sistema. Esse terceiro
movimento harmônico será o de uma estreita faixa luminosa vertical, percorrendo a extensão da haste
branca, horizontalmente. A figura abaixo ilustra a inclusão desse movimento no sistema.
Movimento oscilatório da faixa luminosa ao longo da haste branca
Essa faixa luminosa vertical, em movimento harmônico horizontal é obtida a partir de um cartão preto,
que contém uma fresta de 2 a 3mm de largura por 5cm de comprimento, que oscila na frente do feixe de
luz proveniente do projetor.
Esse movimento oscilatório do cartão pode ser conseguido de vários modos. Vejamos alguns:
(a) Um deles, consiste em converter o movimento circular de um disco (cuja periferia encosta-se ao eixo
de um motor elétrico) em um movimento 'quase' harmônico através da técnica manivela-biela. Você
saberia dizer porque tal movimento do cartão não é um perfeito MHS?
Obtenção do terceiro movimento oscilatório (quase) harmônico
(b) Eis outra sugestão, que faz com que o cartão realize realmente um MHS:
(c) Uma boa versão da (b) é a seguinte:
(d) Mais possibilidades para fazer a fresta executar um vai-vem periódico:
(e) Outra solução, é colocar guias para o movimento do cartão e ligar a biela diretamente do disco ao
cartão, como se ilustra a seguir.
Outro modo de se obter o terceiro movimento
A rotação desse motor (cujo eixo revestido de borracha toca na periferia do disco) também deve ser
controlada eletronicamente (ver comentários adiante).
Optei pela primeira das posibilidades presentadas por já se encontrar pronta na fase de
desenvolvimento desse projeto. Com essa montagem, a luz que passa pela fresta do cartão percorrerá
a haste branca, ao longo de sua extensão (eixo y), com equação:
y = b.cos(2. .f’.t)
(4)
onde b é a amplitude do movimento (cerca da metade do comprimento da haste; esse ajuste faz-se
através das posições relativas entre fresta, haste e projetor) e f’ é a freqüência do movimento do cartão
[ajustável, no motor (2)].
A figura a seguir dá um visual geral da montagem:
Aspectos gerais da montagem
Com a haste branca em repouso [motor (1) desligado] e com o cartão em movimento [motor (2) ligado] ,
a faixa luminosa vertical percorrerá toda a extensão da haste branca num movimento de vai e vem [é o
movimento dado pela equação (4)] ; com o motor (1) ligado, observar-se-á a superposição dos 3
movimentos, de equações (1) , (2) e (4), simultaneamente, pela luz difundida pela haste branca. Em
ambiente escurecido o visual é surpreendente.
O parafuso (1) que aciona a biela pode ser deslocado ao longo do raio do disco e, com isso, ajustar a
extensão do percurso horizontal (a) executado pelo cartão. O parafuso (2) que fixa a fonte de luz pode
permitir ajuste da distância desta fonte até a fresta e, com isto, ajustar a largura da faixa luminosa que
atinge a vareta branca.
São as famosas figuras de Lissajous, vistas em três dimensões. A figura exibe (se desculparem
minha veia artística) dois desses visuais.
Exemplos de figuras de Lissajous observadas
As equações:
x = r.sen(2t.f)
z = r.cos(2t.f)
y = b.cos(2f’.t)
são as equações paramétricas da figura de Lissajous obtida, em 3 dimensões. Essa figura, estará
contida na superfície do cilindro com base de raio r e altura 2b, como se ilustra na figura a seguir:
A figura de Lissajous forma-se sobre a superfície cilíndrica
Veja, mais abaixo, algumas figuras de Lissajous, em duas dimensões, em função das defasagens dos
dois movimentos componentes.
Nota: Para o terceiro MHS poderíamos tentar a técnica de fazer uma pequena caneta laser oscilar
verticalmente na posição da fresta F. Que tal você experimentar isso e contar-me o resultado?
Comentários
Alguns detalhes construtivos são postos a seguir, no intuito de orientá-lo. Modificações técnicas são
sempre possíveis, dependentes sempre dos recursos à disposição. Não se acanhe em pedir ajuda ao
professor, aos familiares, ao marceneiro de sua rua, ao torneiro conhecido. Basta que você e seus
colegas participantes do projeto conversem seriamente com tais pessoas, destacando o projeto
científico.
Pequenos motores elétricos universais (dotados de escovas), para 110v, são os mais indicados para o
projeto (tipo motor de máquina de costura, furadeiras elétricas portáteis, pequenos agitadores elétricos
de cozinha etc.), por admitirem ajuste eletrônico de velocidade. O circuito eletrônico mais simples para
tais controles é o ilustrado na figura a seguir:
Esquema do controle de potência para motores universais
Para a montagem do controle de velocidade (ou de potência), cuja esquema apresentamos, o material é
o seguinte:
1 TRIAC - TIC-226D, 1 DIAC comum, 1 potenciômetro linear 220K, 1 resistor 3K3/1W, 1 capacitor de
poliéster (0,05 a 0,1 F x 400V).
Esse controle, dado a sua simplicidade e o número de componentes, pode ser montado numa barra de
terminais ou, para montadores mais experientes, em um circuito impresso.
Dois "dimmers" de luz, comerciais, também resolvem os problemas dos controles de velocidade dos
dois motores do Projeto.
O movimento do cartão, com fresta vertical, não precisa ser exageradamente rápido; daí a redução
proposta, pela técnica de encostar o eixo do motor (2) na periferia do disco de madeira. Um tubinho de
borracha ou plástico encaixado justo nesse eixo garante o atrito necessário ao não escorregamento.
Esse disco de madeira pode ter diâmetro em torno dos 12cm, desse modo o pino da biela poderá ser
ajustado para vários braços de manivela (modificação do raio) e, com isso, ajustar a amplitude do
movimento.
Apresentamos, a seguir, algumas Figuras de Lissajous, à duas dimensões, em função das defasagens
de dois movimentos ortogonais.
Agradecimentos e sugestões
Desejamos total sucesso nesse empreendimento científico. Ele é recomendado, para Feiras Científicas,
Trabalhos Escolares, Exposições e estudos em vários níveis de profundidade. É indispensável para
alunos da 1a. série do 3o grau, nas áreas de exatas.
O autor desenvolveu esse projeto em fins de junho de 1993, no Laboratório de Demonstrações do
Instituto de Física da Universidade de São Paulo, setor esse então, sob a responsabilidade do Prof. Dr.
Ernst W. Hamburger, ao qual já agradeci a leitura e comentários sobre esse artigo.
Colaboraram na elaboração do instrumental, à época, os técnicos Cidemar Divanir Forcemo e Wilson
Luís da Silva.
Em tempo:
Na época em que lá trabalhei (IFUSP), tal projeto (e mais de 100 outros de igual importância ao
desenvolvimento da Física Clássica) encontravam-se á disposição de alunos e interessados, de
segunda a sexta, das 8 ás 21h (IFUSP, Ed. Principal, Ala Central, Laboratório de Demonstrações).
Além de uma visita a esse local de demonstrações, recomendo, também, uma visita á Estação Ciência,
na Lapa - SP.
Nesse texto, adaptado para a WWW, colaborou na revisão e indicou valiosas sugestões, o Prof. Antonio
Carlos M. de Queiroz (veja nossa Sala de bons Links), ao qual acrescento meus agradecimentos. Como
de praxe, apreciaríamos suas sugestões e o relato de suas tentativas, erros e sucessos. Tais
comentários (com as devidas autorizações) serão colocados em nossas páginas para orientação e
ajuda aos demais jovens que optarem por tal projeto.
Participe com o processo da Educação.
Figuras lissajous
Una figura de Lissajous es la trayectoria de un punto móvil cuyas coordenadas rectangulares son
movimientos armónicos simples.
Se dice que un punto sigue un movimiento vibratorio armónico simple (m.a.s.) cuando su posición
en función del tiempo es una sinusoide. Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo
oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos
iguales de tiempo. Una partícula sometida a este tipo de movimiento tendrá un punto central,
alrededor del cual oscilará.
Las figuras de Lissajous fueron descubiertas por el astrónomo y matemático americano Nathaniel
Bowditch en 1815 cuando estudiaba el movimiento del péndulo compuesto.
La intención del articulo es enfocar las figuras lissajous hacia la aplicación en la electrónica, las
figuras lissajous son muy utilizadas para la medida de fase de señales sinosuidales.
Las “curvas de Lissajous”, se puede utilizar igualmente para averiguar el desfase en grados
existente entre dos señales distintas de la misma frecuencia. Hacemos trabajar el osciloscopio con
deflexión horizontal exterior(se coloca ext en el osciloscopio), aplicando a sus entradas horizontal y
vertical (X/Y) las dos señales que se desean comparar. Mediante esta conexión se formará en la
pantalla una “curva de Lissajous” que debidamente interpretada nos dará la diferencia de fase
existente entre las dos formas de onda que se comparan.
Si las señales tienen la misma fase, la figura resultante será una recta inclinada que sube de
izquierda a derecha. El ángulo de inclinación dependerá de la amplitud de las dos señales. Cuando
el ángulo de fase entre ambas señales cambie, la figura de Lissajous variará.
...
CAPITULO IV
APLICACIONES Y LIMITACIONES
Como aparato de medición, en los osciloscopios de propósito general
encontramos tres mediciones básicas que se acostumbran llevar a cabo en un
sinnúmero de experimentos y montajes de prueba y cuya descripción detallada es
necesario presentar para que el principiante aprenda a manejar de una manera
adecuada los controles del osciloscopio, a la vez que aprende los detalles de estas
técnicas de medición. Estas mediciones son la de amplitud, frecuencia y fase de una
señal eléctrica, que para propósitos ilustrativos, las describiremos en relación a una
onda de voltaje senoidal obtenida de un generador de funciones. Enseguida
presentamos la descripción de estas mediciones siguiendo la secuencia más
aconsejable para llevarlas a cabo. Será necesario referirse a la descripción y figura
del osciloscopio Hitachi V-222 presentadas en el capítulo anterior.
Montaje
Para empezar, se debe
disponer primero de un
generador de funciones
de propósito general,
como por ejemplo el
Hewwllet Packard HP3311A. Encienda este
aparato y disponga sus
controles en tal forma que
en su salida se produzca
una onda senoidal de 10
Khz. de frecuencia y de
10 volts de amplitud pico
a pico. Para esto podrá
ser necesario consultar al
instructor o al manual de
operación del generador.
Enseguida encienda el
osciloscopio y establezca
POSICIÓN
CONTROL
POSICIÓN
sus controles como
enseguida se indica:
CONTROL
11
12
13
14
15
16
21
AC
AC
2 v/div
1 v/div
oprimido
oprimido
CH1
26
27 y 28
29
30
31
32
34
35
apagado
oprimido
afuera
INT
CH1
adentro
auto
20 μs/div