https://en.rotterdam.info/locations/erasmusbrug/
Mechanica 3
Dynamica
Tori Robeerts
Kamer D1.071
t.robeerts@hhs.nl
Iris Groeneveld
Kamer
i.groeneveld@hhs.nl
Zoë Karthaus
Kamer D1.082
z.j.karthaus@hhs.nl
Weekplanning
2
Week 1
Kinematica van een puntmassa
Week 2
Kinetica van een puntmassa: kracht en
versnelling
Week 3
Kinetica van een puntmassa: arbeid en
energie
Week 4
Kinematica van een star lichaam
Week 5
Kinetica van een star lichaam: kracht en
versnelling
Week 6
Trillingen
Week 7
Uitloop
Week 8
Toets
Week 9
Terugkoppeling
Week 10
Herkansing
Week
1
KINEMATICA VAN EEN PUNTMASSA §1.6,
§1.7, §1.9 EN §1.10
3
§1.6 Beweging van een projectiel
• Luchtweerstand verwaarloosd
• Enige kracht: eigen gewicht
• Constante neerwaartse versnelling van 9,81 m/s2
4
Hibbeler, Dynamica (13e ed.)
§1.6 Beweging van een projectiel
• Horizontale beweging: ax = 0
vx = (v0 ) x
v = v0 + act;
1 2
x = x0 + v0t + act
x = x0 + (v0 ) x t
2
v 2 = v02 + 2ac ( x − x0 ) vx = (v0 ) x
• Verticale beweging: ay = –g
v y = v0 y − gt
v = v0 + act
1
y = y0 + v0t + act 2
2
v 2 = v02 + 2ac ( y − y0 )
5
Hibbeler, Dynamica (13e ed.)
1
y y = y0 y + v0 y t − gt 2
2
v y2 = v02y − 2 g ( y − y0 )
Voorbeeld 1.11
Een zak glijdt van de helling met een
horizontale snelheid van 12 m/s. De helling
begint 6 m boven de grond. Bepaal de tijd die
de zak erover doet om de grond te bereiken
en de afstand R waar de zakken zich
beginnen op te stapelen.
6
Hibbeler, Dynamica (13e ed.)
F1.19
Een puntmassa beschrijft een parabolische
baan y=0,25x2. De afgelegde afstand is
x=(2t2) m, waarbij t de tijd is, uitgedrukt in
seconden. Bepaal de grootte van de snelheid
en versnelling van de puntmassa op t=2 s.
7
Hibbeler, Dynamica (13e ed.)
1.76
De snelheid van een puntmassa kan gedefinieerd worden met
behulp van de formule 𝐯 = {16𝑡 2 𝐢 + 4𝑡 3 𝐣 + 5𝑡 + 2 𝐤} m/s, waarbij
t de tijd is, uitgedrukt in seconden. De puntmassa bevindt zich ter
plaatsen van de oorsprong als t=0 s. Bepaal de grootte van de
versnelling van de puntmassa op t=2 s. Wat zijn de x-, y-, en zcoordinaten van de puntmassa op dit ogenblik?
8
Hibbeler, Dynamica (13e ed.)
1.79
Een auto die langs de rechte gedeelten van
de weg rijdt, heeft bij aankomst in de punten
A, B en C de snelheden zoals aangegeven in
de figuur. Als het 3 s duurt om van A naar B te
gaan, en vervolgens 5 s om van B naar C te
gaan, bepaal dan de gemiddelde versnelling
tussen de punten A en B en tussen de punten
A en C.
9
Hibbeler, Dynamica (13e ed.)
§1.7 Kromlijnige
beweging:
normaalcomponenten
en tangentiële
componenten
• 𝑛- en 𝑡-coördinaten: Oorsprong op
beschouwde tijdstip in puntmassa
• Snelheid valt samen met raaklijn
aan de baan: v = vut met v = s
• Versnelling:
a = v = vut + vu t
a = at ut + anu n
met at = v of at ds = vdv en an =
10
Hibbeler, Dynamica (13e ed.)
a=
at2
+ an2
v2

§1.7 Kromlijnige beweging:
normaalcomponenten en
tangentiële componenten
• Puntmassa beweegt zich langs een rechte lijn:
𝜌 = ∞ → 𝑎 = 𝑎𝑡 = 𝑣ሶ
De tangentiële versnellingscomponent weergeeft de mate
waarmee de grootte van de snelheid verandert.
• Puntmassa beweegt zich langs een kromme:
𝑎𝑡 = 𝑣ሶ = 0 en 𝑎 = 𝑎𝑛 =
𝑣2
𝜌
De loodrechte versnellingscomponent weergeeft de mate
11
waarmee de richting van de snelheid verandert.
§1.7 Kromlijnige beweging:
normaalcomponenten en
tangentiële componenten
12
Hibbeler, Dynamica (13e ed.)
§1.7 Kromlijnige beweging:
normaalcomponenten en
tangentiële componenten
Analyseprocedure
Coördinatenstelsel
•
Bepaal, als de baan van de puntmassa bekend
is, een set n- en t-coördinaten met een vaste
oorsprong
•
De positieve raaklijn ligt in de richting van de
beweging
•
De n- en t-as worden gebruikt om de snelheid
en de versnelling van de puntmassa te
bestuderen
13
§1.7 Kromlijnige beweging:
normaalcomponenten en
tangentiële componenten
Analyseprocedure (vervolg)
Snelheid
•
De richting van de snelheid v valt altijd samen met de
raaklijn van de baan
•
De grootte van de snelheid volgt uit de tijdsafgeleide van de
afgelegde weg langs de baan:
14
v = s
§1.7 Kromlijnige beweging:
normaalcomponenten en
tangentiële componenten
Analyseprocedure (vervolg)
Tangentiële versnelling
•
•
Voor rechtlijnige beweging geldt: at = v en at ds = vdv
1
2
s
=
s
+
v
t
+
(
a
)
t
Als at constant is, geldt:
0
0
t c
2
v = v0 + (at ) c t
v 2 = v02 + 2(at ) c ( s − s0 )
15
§1.7 Kromlijnige beweging:
normaalcomponenten en
tangentiële componenten
Analyseprocedure (vervolg)
Versnelling in normaalrichting
v2
•
De grootte van de normale component is: an =
•
Wanneer de baan wordt uitgedrukt als y = f(x), kan de

kromtestraal ρ op elk punt van de baan berekend worden uit
de vergelijking:
16
=
[1 + (dy / dx)2 ]3 / 2
d 2 y / dx2
F1.27
De boot beschrijft een cirkelvormige baan met een snelheid
𝑣 = (0,0625𝑡 2 ) m/s, waarbij t de tijd is, uitgedrukt in
seconden. Bepaal de grootte van de versnelling op 𝑡 = 10 s.
17
Hibbeler, Dynamica (13e ed.)
Voorbeeld 1.14
Wanneer de skiër het punt A op de parabolische baan bereikt, heeft
hij een snelheidsgrootte van 6 m/s die met 2 m/s2 toeneemt. Bepaal
de richting van zijn snelheid en de richting en grootte van zijn
versnelling op dit moment. Verwaarloos bij de berekening de grootte
van de skiër.
18
Hibbeler, Dynamica (13e ed.)
1.122
Het wagentje van de achtbaan start vanuit stilstand bij A en
de snelheid ervan neemt toe met 𝑎𝑡 = (6 − 0,06𝑠) m/s2.
Bepaal de grootte van de versnelling van het wagentje bij B
als 𝑠𝐵 = 40 m.
19
Hibbeler, Dynamica (13e ed.)
§1.9 Afhankelijke beweging van
twee puntmassa’s ten opzichte van
absolute assen
• Totale touwlengte: lT
• Relatie tussen plaatscoördinaten
en touwlengte:
s A + lCD + sB = lT
• Tijdsafgeleide:
ds A dsB
+
=0
dt
dt
20
Hibbeler, Dynamica (13e ed.)
of
vB = − v A
aB = − a A
§1.9 Afhankelijke beweging van
twee puntmassa’s ten opzichte van
absolute assen
• Relatie tussen plaatscoördinaten
en touwlengte:
2 sB + h + s A = l
• Uit de tijdsafgeleide volgt:
2vB = −vA , 2aB = −aA
21
Hibbeler, Dynamica (13e ed.)
§1.9 Afhankelijke beweging van
twee puntmassa’s ten opzichte van
absolute assen
• Relatie tussen plaatscoördinaten
en touwlengte:
2(h − sB ) + h + s A = l
• Uit de tijdsafgeleide volgt:
2vB = v A , 2aB = a A
22
Hibbeler, Dynamica (13e ed.)
§1.9 Afhankelijke beweging van
twee puntmassa’s ten opzichte van
absolute assen
Analyseprocedure
• Bepaal de plaatscoördinaten met de oorsprong
ter plaatse van een vast punt of een referentielijn.
• Bepaal de relatie tussen de plaatscoördinaten en
de lengte van het touw.
• Neem de tijdsafgeleide om de relatie tussen de
snelheden en versnellingen van de puntmassa’s
de bepalen.
23
Hibbeler, Dynamica (13e ed.)
Voorbeeld 1.22
Bepaal de snelheid van blok
A als blok B een opwaartse
snelheid heeft van 6 m/s.
24
Hibbeler, Dynamica (13e ed.)
1.205
Het touw wordt in de richting van de
motor M getrokken met een snelheid
3
2
𝑣𝑀 = (5𝑡 ) m/s, waarbij t de tijd is in
seconden. Bepaal de snelheid van
de cilinder A op t = 1 s.
25
Hibbeler, Dynamica (13e ed.)
§1.10 Relatieve beweging van
twee puntmassa’s via
translerende assen
• Tot nu toe 1 assenstelsel
• Vaak makkelijker om op te delen in twee of meerdere
assenstelsels → Translerende assenstelsels
26
§1.10 Relatieve beweging van
twee puntmassa’s via
translerende assen
1.10.1 Plaats
𝐫𝐵 = 𝐫𝐴 + 𝐫𝐵/𝐴
27
§1.10 Relatieve beweging van
twee puntmassa’s via
translerende assen
1.10.2 Snelheid
𝒗𝐵 = 𝒗𝐴 + 𝒗𝐵/𝐴
28
§1.10 Relatieve beweging van
twee puntmassa’s via
translerende assen
1.10.3 Versnelling
𝒂𝐵 = 𝒂𝐴 + 𝒂𝐵/𝐴
29
§1.10 Relatieve beweging van
twee puntmassa’s via
translerende assen
• Bij vectoroptelling ontstaat een driehoek
• Max 2 onbekenden
30
Voorbeeld 1.25
Een trein die met een constante snelheid
van 60 km/u rijdt, steekt een weg over.
Bepaal de grootte en de richting van de
relatieve snelheid ten opzichte van de
auto, als auto A met een snelheid van 45
km/u over de weg rijdt.
31
Hibbeler, Dynamica (13e ed.)