Natuurkunde
Deel 1
Mechanica en thermodynamica
Douglas C.Giancoli
Formularium
1 Inleiding, meten en schatten
Voorvoegsel
Exa
Peta
Tera
Giga
Mega
Kilo
Hecto
Deca
Deci
Centi
Milli
Micro
Nano
Pico
Femto
Atto
Tabel 1:
Afkorting
E
P
T
G
M
k
h
da
d
c
m
µ
n
p
f
a
Waarde
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
SI metrieke voorvoegsels.
2 Beweging beschrijven: Kinematica in één dimensie
Gemiddelde snelheid:
gemiddelde snelheid =
afgelegde afstand
verstreken tijd
Gemiddelde vectoriële snelheid:
gemiddelde vectoriële snelheid = v̄ =
1
verplaatsing
∆x
=
verstreken tijd ∆t
(2.1)
Grootheid
Eenheid
Eenheid (afkorting)
Lengte
meter
Tijd
seconde
Massa
kilogram
Stroomsterkte
ampère
Temperatuur
kelvin
Hoeveelheid v.e. stof
mol
Lichtsterkte
candela
Tabel 2:
Momentane snelheid:
m
s
kg
A
K
mol
cd
SI Eenheden.
∆x
dx
=
∆t→0 ∆t
dt
v = lim
Gemiddelde versnellingsvector:
gemiddelde versnellingsvector = ā =
Momentane versnelling:
verandering van snelheidsvector ∆v
=
verstreken tijd
∆t
dv
d2 x
∆v
=
= 2
a = lim
∆t→0 ∆t
dt
dt
(2.3)
(2.4)
(2.6)
Beweging met constante versnelling:
(2.7)
(2.8)
v = v0 + at
x = x0 + v̄t
v + v0
v̄ =
2
(2.9)
1
x = x0 + v0 t + at2
2
v 2 = v02 + 2a (x − x0 )
(2.10)
(2.11)
Versnelling van de zwaartekracht of valversnelling:
g = 9, 80 m/s2
Variabele versnelling:
Z
t2
x2 − x 1 =
v (t) dt
t
Z 1t2
v2 − v1 =
a (t) dt
t1
3 Kinematica in twee en drie dimensies; vectoren
Gemiddelde snelheidsvector:
~v =
2
∆~r
∆t
(3.7)
Momentane snelheidsvector:
∆~r
d~r
dx
dy
dz
=
= ~ex + ~ey + ~ez = vx~ex + vy~ey + vz~ez
∆t→0 ∆t
dt
dt
dt
dt
~v = lim
(3.8)
Momentane versnellingsvector:
d~v
dvx
dvy
dvz
∆~v
~ex +
~ey +
~ez = ax~ex + ay~ey + az~ez
=
=
∆t→0 ∆t
dt
dt
dt
dt
~a = lim
(3.11)
Constante versnelling:
~v = ~v0 + ~at
~r = ~r0 + ~v0 t + 21 ~at2
(3.12a)
(3.12b)
Kogelbaan:
vy = vy0 − gt
1
y = vy0 t − gt2
2
2
2
vy = vy0 − 2gy
vy0
g
y=
x−
x2
2
vx0
2vx0
(3.14)
4 Dynamica: De bewegingswetten van Newton
Tweede wet van Newton:
Derde wet van Newton:
Zwaartekracht:
~ = m~a
F
(4.1)
~ GP = −F
~ PG
F
(4.2)
~ G = m~g
F
(4.3)
X
5 De wetten van Newton: wrijving, cirkelvormige beweging, weerstandskrachten
Glijdende (kinetische) wrijving:
Fwr = µk FN
Statische wrijving:
Fwr ≤ µs FN
3
Cirkelbeweging:
v2
= ω2r
r
1
T =
f
2πr
v=
T
dv
atan =
dt
~a = ~aR + ~atan
q
a = a2tan + a2R
aR =
(5.1)
(5.2)
(5.4)
(5.5)
Centripetale kracht bij cirkelbeweging:
X
FR = maR = m
v2
= mω 2 r
r
(5.3)
6 De zwaartekracht en de synthese van Newton
Algemene gravitatiewet:
m1 m2
r2
Nm2
G = 6, 67 · 10−11 2
kg
~ 12 = −G m1 m2 r̂21
F
2
r21
F =G
(6.1)
(6.2)
Zwaartekracht aan het aardoppervlak:
g=G
4
mA
2
rA
(6.3)
Derde wet van Kepler:
Naam
Aarde
Maan
Zon
T1
T2
2
=
r1
r2
3
(6.7)
Straal (km)
Massa (kg)
Gem. afstand tot de aarde (km)
6, 95 · 105
5, 98 · 1024
7, 35 · 1022
1, 99 · 1030
3, 84 · 105
1, 496 · 108
6380
1738
-
Zwaartekrachtveld:
~g =
~
F
m
(6.8)
7 Arbeid en energie
Arbeid, verricht door een constante kracht:
W = Fk d = F d cos θ
(7.1)
~ ·B
~ = AB cos θ
A
= Ax Bx + Ay By + Az Bz
(7.2)
(7.4)
Inwendig vectorproduct:
Arbeid, verricht door een constante kracht, vectorieel:
~ · ~d = F d cos θ
W =F
(7.3)
Arbeid, verricht door een variabele kracht:
Z
W =
b
Z
F cos θd` =
a
a
5
b
~ · d~`
F
(7.7)
Wet van Hooke voor een veer:
(7.8)
FV = −kx
Arbeid bij een veer:
WV = 12 kx2
Kinetische energie van een puntmassa:
Arbeid-energiestelling:
K = 12 mv 2
(7.10)
1
1
Wnet = ∆K = mv22 − mv12
2
2
(7.11)
8 Behoud van energie
Potentiële energie van een voorwerp in het gravitatieveld (dicht bij het aardoppervlak):
(8.3)
U = mgy
Verandering van potentiële energie, horend bij een conservatieve kracht:
Z
2
∆U = U2 − U1 = −
~ · d~` = −W
F
(8.4)
1
Potentiële energie van een veer:
Uel = 21 kx2
(8.5)
Kracht in functie van de potentiële energie (één dimensie en 3 dimensies):
F (x) = −
dU (x)
dx
(8.7)
~ (x, y, z) = −~ex ∂U − ~ey ∂U − ~ez ∂U = −grad U = −∇U
F
∂x
∂y
∂z
Behoud van energie voor conservatieve krachten:
E = K + U = constant
(8.8)
∆K + ∆U + [verandering in alle andere vormen van energie] = 0
(8.14)
Behoud van energie :
Potentiële energie in een gravitatieveld:
GmM
r
(8.17)
dW
~ · ~v
=F
dt
(8.20)
U (r) = −
Momentaan vermogen:
P =
6
9 Impuls
Impuls van een voorwerp:
(9.1)
~p = m~v
Tweede wet van Newton in geval van constante massa:
X
~ = d~p = d (m~v) = m d~v = m~a
F
dt
dt
dt
(9.2)
Behoud van impuls (tweede wet van Newton voor een systeem):
X
~
dP
~ uitw
=
F
dt
Stoot bij een botsing:
~J =
Z
t2
(9.5)
(9.6)
~ = ∆~p
Fdt
t1
Elastische botsing in 1 dimensie:
(9.8)
vA − vB = − (vA0 − vB0 )
Massamiddelpunt van een verzameling puntmassa's:
P
xMM =
P
m i xi
M
mi y i
M
yMM =
P
zMM =
mi zi
M
P
mi~ri
M
~rMM =
(9.11)
(9.12)
Massamiddelpunt van een ruimtelijk lichaam:
xMM
1
=
M
Z
xdm
Z
yMM
1
=
M
Z
~rMM
1
=
M
ydm
zMM
1
=
M
~rdm
Z
zdm
(9.13)
(9.14)
Tweede wet van Newton voor ruimtelijke lichamen:
~ uitw
M~aMM = F
(9.17)
Tweede wet van Newton voor een systeem met variabele massa:
M
dM
d~v ~
= Fuitw + ~vrel
dt
dt
7
(9.19)
10 Rotatiebeweging
Grootheden bij rotatie:
l
r
dθ
ω=
dt
dω
α=
dt
v = Rω
atan = Rα
(10.1)
θ=
(10.2)
(10.3)
(10.4)
(10.5)
v2
(Rω)2
aR =
=
= ω2R
R
R
ω
f=
2π
1
T =
f
(10.6)
(10.7)
(10.8)
Constante hoekversnelling:
(10.9a)
ω = ω0 + αt
1
θ = θ0 + ω0 t + αt2
2
ω 2 = ω02 + 2α (θ − θ0 )
ω + ω0
ω=
2
(10.9d)
τ = R⊥ F = RF⊥ = RF sin θ
(10.10)
Krachtmoment:
Traagheidsmoment:
I=
Rotationele dynamica:
X
X
mi Ri2
[vaste as]
τ = Iα
(10.9b)
(10.9c)
(10.13)
(10.14)
Rotatie-equivalent van de tweede wet van Newton, voor rotatie om een as met vaste
oriëntatie, ook in beweging:
τMM = IMM αMM
(10.15)
Traagheidsmoment van een ruimtelijk lichaam:
Z
I=
R2 dm
8
(10.16)
Evenwijdige-assenstelling (stelling van Steiner):
I = IMM + M h2
(10.17)
Loodrechte-assenstelling voor vlakke voorwerpen:
Iz = Ix + Iy
(10.18)
Kinetische energie bij rotatie om een vaste as:
K = 21 Iω 2
Arbeid bij rotatie:
Z
θ2
W =
τ dθ
θ1
9
(10.19)
(10.20)
Vermogen bij rotatie:
P =
dW
= τω
dt
(10.21)
Principe arbeid en energie bij rotatie:
Z
θ2
W =
θ1
(10.22)
τ dθ = 21 Iω22 − 21 Iω12
Totale kinetische energie van een star lichaam met een rotatie-as met vaste oriëntatie:
(10.23)
2
+ 12 IMM ω 2
K = 21 M vMM
11 Impulsmoment; algemene rotatie
Impulsmoment bij rotatie om een vaste as (component van L langs de rotatie-as):
(11.1)
L = Iω
Tweede wet van Newton voor rotatie:
X
τ=
dL
dt
(11.2)
Behoud van impulsmoment:
dL
= 0 en L = Iω = constant
dt
hX
i
τ =0
Uitwendig product van 2 vectoren:
(11.3a)
~ ×B
~ = AB sin θ
A
~ ×B
~ =
A
~i
~j ~k
Ax Ay Az
Bx By Bz
(11.3b)
= (Ay Bz − Az By ) ~ex + (Az Bx − Ax Bz ) ~ey + (Ax By − Ay Bx ) ~ez
(11.3c)
Eigenschappen van het uitwendig product:
~ ×A
~ =0
A
(11.4a)
~ ×B
~ = −B
~ ×A
~
A
~ × B
~ +C
~ = A
~ ×B
~ + A
~ ×C
~
A
(11.4b)
Krachtmomentvector:
(11.4c)
~
~
d ~
~ = dA × B
~ +A
~ × dB
A×B
dt
dt
dt
(11.4d)
~
~τ = ~r × F
(11.5)
10
Krachtmoment op een verzameling puntmassa's:
X
~
~ri × Fi
~τ =
Impulsmoment van een puntmassa:
~ = ~r × ~p
L
(11.6)
Rotationele tweede wet van Newton op een puntmassa in een inertiaalstelsel:
X
~τ =
~
dL
dt
(11.7)
Rotationele tweede wet van Newton op een lichaam in een inertiaalstelsel:
X
~τuitw =
~
dL
dt
(11.9a)
Rotationele tweede wet van Newton op een lichaam (algemeen):
X
Impulsmoment:
~ = I~ω
L
~τMM =
~ MM
dL
dt
[rotatie-as = symmetrie-as]
(11.9b)
(11.11)
Coriolisversnelling in een roterend assenstelsel:
acor = −2ωv
(11.15)
en vectoriëel:
~acor = −2~ω × ~v
Centrifugaalversnelling in een roterend assenstelsel:
~acent = −~ω × (~ω × ~r)
12 Statisch evenwicht; elasticiteit en breuk
Evenwichtsvoorwaarden:
X
~ =0
F
X
~τ = 0
(12.1)
(12.2)
Lengteverandering van een voorwerp onder invloed van een kracht:
∆l =
1F
l0
EA
(12.4)
∆l =
1F
l0
GA
(12.6)
Afschuiving:
Volumeverandering van een voorwerp onder invloed van druk:
∆V
1
= − ∆P
V0
K
11
(12.7)
13 Vloeistoen
Dichtheid van een stof:
ρ=
Gewicht van een voorwerp:
m
V
(13.1)
mg = ρV g
Druk op een oppervlak:
F
A
(13.2)
P = P0 + ρgh
(13.3)
druk = P =
Druk in een vloeistof:
12
Wet van Pascal:
Fuit
Auit
=
Fin
Ain
Wet van Archimedes:
FB = mV g
Continuïteitsvergelijking:
Wet van Bernoulli:
ρ1 A1 v1 = ρ2 A2 v2
(13.7)
1
P + ρv 2 + ρgy = constant
2
(13.8)
Wet van Torricelli:
v1 =
Verband kracht - viscositeit:
F = ηA
Wet van Poiseuille:
Q=
(13.9)
p
2g (y2 − y1 )
v
l
(13.11)
πR4 (P1 − P2 )
8ηl
(13.12)
F
l
(13.13)
Oppervlaktespanning van een vloeistof:
γ=
14 Trillingen
Terugroepende kracht van een veer (wet van Hooke):
(14.1)
F = −kx
Bewegingsvergelijking voor de enkelvoudige harmonische oscillator:
k
d2 x
+ x=0
2
dt
m
met
ω2 =
(14.3)
k
m
(14.4)
Enkelvoudige harmonische beweging:
x = A cos (ωt + φ) = A cos
1
f=
2π
r
2πt
+φ
T
= A cos (2πf t + φ)
r
k
m
T = 2π
m
k
(14.6)
(14.7)
Totale mechanische energie van een harmonische oscillator:
1
1
E = mv 2 + kx2
2
2
13
(14.10)
Periode van een enkelvoudige slinger (kleine uitwijking):
s
l
g
(14.12)
I
mgh
(14.14)
T = 2π
Periode van een fysische slinger:
s
T = 2π
Periode van een torsieslinger:
r
ω=
K
I
als
τ = −Kθ
Bewegingsvergelijking van een gedempte harmonische beweging:
m
d2 x
dx
+ b + kx = 0
2
dt
dt
(14.15)
Oplossing van een gedempte harmonische beweging:
x = Ae−γt cos ω 0 t
b
γ=
2m
r
k
b2
ω0 =
−
m 4m2
(14.16)
(14.17)
(14.18)
Bewegingsvergelijking van een gedwongen gedempte harmonische beweging:
m
d2 x
dx
+ b + kx = F0 cos ωt
2
dt
dt
(14.21)
Oplossing van bovenstaande bewegingsvergelijking:
A0 =
x = A0 sin (ωt + φ0 )
(14.22)
F0
q
2
m (ω 2 − ω02 ) + b2 ω 2 /m2
(14.23)
ω02 − ω 2
ω (b/m)
mω0
Q=
b
(14.24)
φ0 = tan−1
(14.25)
15 Golfbeweging
Voortplantingssnelheid van een golf:
v = λf
14
(15.1)
Snelheid van een golf in een gespannen snaar:
s
v=
FT
µ
(15.2)
Snelheid van een longitudinale golf in een massieve staaf:
s
v=
E
ρ
(15.3)
Snelheid van een longitudinale golf in een vloeistof of gas:
s
v=
K
ρ
(15.4)
Intensiteit van een golf:
I=
P̄
= 2π 2 vρf 2 A2
S
(15.7)
Wiskundige voorstelling van een eendimensionale golf die zich naar rechts voortplant:
2π
(x − vt) = A sin (kx − ωt)
D = A sin
λ
(15.13)
∂ 2D
1 ∂ 2D
=
∂x2
v 2 ∂t2
(15.16)
2`
,
n
(15.18)
Golfvergelijking:
Golengte van een trillende snaar:
λn =
Brekingswet van Snellius:
n = 1, 2, 3, . . .
sin θ2
v1
=
sin θ1
v2
(15.19)
16 Geluid
Snelheid van het geluid in lucht (T = temperatuur in ◦ C):
v ≈ (331 + 0, 60 T ) m/s
Intensiteitsniveau van een geluid (met I0 = 1, 0 · 10−12 W/m2 ):
β (in dB) = 10 log
I
I0
(16.6)
Staande golven in een open buis:
f1 =
v
,
2L
f2 =
v
,
L
15
f3 =
3v
...
2L
Staande golven in een gesloten buis:
f1 =
v
,
4L
f2 =
3v
,
4L
f3 =
5v
...
4L
Dopplereect voor een bewegende bron (+: bron beweegt weg van de (stilstaande) waarnemer):
1
(16.7)
f0 =
vbron f
1±
vgeluid
Dopplereect voor een bewegende waarnemer (+: waarnemer beweegt naar de (stilstaande) bron toe):
f0 =
1±
vwaarn
vgeluid
f
(16.8)
17 Temperatuur, thermische expansie en de ideale gaswet
Temperatuurschalen:
5
[T (◦ F ) − 32]
9
9
T (◦ F ) = T (◦ C) + 32
5
T (K) = T (◦ C) + 273, 15
(17.3)
∆` = α`0 ∆T
(17.4)
T (◦ C) =
Lineaire expansie:
16
(17.1)
(17.2)
Volume expansie:
∆V = βV0 ∆T
(17.5)
P V = nRT = N kT
(17.6)
Ideale gaswet:
18 Kinetische gastheorie
Gemiddelde translatie-energie:
K = 12 mv 2 = 32 kT
Eectieve snelheid:
ve =
p
r
v2 =
Maxwell-snelheidsverdeling:
f (v) = 4πN
3kT
m
m 32
1 mv 2
v 2 e− 2 2kT
2πkT
(18.1)
(18.2)
(18.3)
Clausius-toestandsvergelijking:
P
V
−b
n
17
= RT
(18.4)
Van der Waals-toestandsvergelijking:
P+
a
(V /n)2
Gemiddelde vrije weglengte:
`M =
V
−b
n
= RT
1
√
4π 2r2 (N/V )
Diusievergelijking:
J = DA
dC
dx
(18.5)
(18.6)
(18.7)
19 Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica
Inwendige energie ideaal gas:
Einw = 32 N kT = 32 nRT
(19.1)
Q = mc∆T
(19.2)
Q = mL
(19.3)
Soortelijke warmte:
Latente warmte:
18
Eerste hoofdwet:
∆Einw = Q − W
(19.4)
∆K + ∆U + ∆Einw = Q − W
(19.5)
Uitbreiding van de eerste hoofdwet:
Arbeid:
W =
Arbeid isotherm proces, ideaal gas:
Z VB
VA
P dV
(19.7)
VB
VA
(19.8)
W = nRT ln
Arbeid isobaar proces:
W = P ∆V
(19.9a)
VB
W = nRTB 1 −
VA
(19.9b)
Arbeid isobaar proces, ideaal gas:
Molaire soortelijke warmtes voor gassen:
[constant volume]
[constante druk]
Q = nCV ∆T
Q = nCP ∆T
(19.10a)
(19.10b)
CP − CV = R
(19.11)
∆Einw = 32 nR∆T = nCV ∆T
(19.12)
CV = 32 R
(19.13)
Voor een ideaal eenatomig gas:
Adiabatische expansie van een gas:
γ=
CP
CV
19
(19.14)
Warmtegeleiding:
Warmtestraling:
Warmtestraling van Zon:
P V γ = cte
(19.15)
T1 − T2
∆Q
= kA
∆t
`
dQ
dT
= −kA
dt
dx
(19.16a)
(19.16b)
∆Q
= σA T14 − T24
∆t
(19.18)
∆Q
= 1000 W/m2 A cos θ
∆t
(19.19)
20 De tweede hoofdwet van de thermodynamica
Rendement:
e=
W
QH
e=1−
20
QL
QH
(20.1a)
(20.1b)
Carnotcyclus:
QL
TL
=
QH
TH
eideaal = 1 −
Prestatiecoëciënt:
COP =
QL
W
QL
QH − QL
TL
COPideaal =
TH − TL
COP =
Entropie:
Reversibele cyclus:
(20.2)
TL
TH
(20.3)
[koelkast, airconditioner]
(20.4a)
[koelkast, airconditioner]
(20.4b)
[koelkast, airconditioner]
(20.4c)
Z b
dQ
dS =
∆S =
a T
a
Z b
I
dQ
=0
T
(20.8)
(20.11)
Tweede hoofdwet:
∆S = ∆Ssyst + ∆Somg > 0
(20.13)
S = k ln W
(20.14)
Statische betekenis entropie:
Thermodynamische temperatuur:
T = (273, 16 K)
met Ttp = 273, 16 K het tripelpunt van water.
21
Q
Qtp