CEPUNT
MATEMÁTICA
“NÚMEROS PRIMOS –MÍNIMO COMÚN
MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR”
1. NÚMEROS PRIMOS:
1.1. Número Primo Absoluto: Es aquel número que tiene sólo dos
divisores que son el mismo número y la unidad.
Ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... etc.
1.2. Números Compuestos: Son aquellos números que tienen más
de dos divisores.
Ejemplo: 4, 6, 8, 9, 10, etc.
1.3. Números Primos Entre Si (PESI): Llamados también primos
relativos o coprimos, se dicen primos entre si (PESI) cuando el
único divisor común que comparten es la unidad.
Ejemplo: Sean los números: 10, 12, 21 y 20
Veamos los divisores:
D (10) = 1, 2, 5, 10
D (21)= 1, 3, 7, 21
D (12)= 1, 2, 3, 4, 6, 12
D (20)= 1, 2, 4, 5, 10, 20
El único divisor común es el 1, entonces 10, 12, 21 y 20 son PESI.
Nota: Dos números consecutivos son siempre PESI.
1.4. Descomposición de un número en sus factores primos: Todo
número entero (N) mayor que la unidad se puede descomponer
como el producto de factores primos (a, b, c,...) y ligados a ciertos
exponentes (, , ,  ; ...) [Teorema de Gauss].
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CEPUNT
Esta descomposición es
descomposición canónica.
MATEMÁTICA
única
y
se
llama
también
N  a  b  c ...
Ejemplo: Descomponer 8 400 en sus factores primos:
8400 = 24 3  52 7
1.5. Divisores de un Número (DN):
D( N )    1  1  1...
Ejemplo: La cantidad de divisores del número 60 480 es:
N = 60 480 = 26 33 5  7
DN = (6 + 1)(3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 112
El número tiene 112 divisores.
1.6. Divisores de un Número Compuesto: (DN)
D( N )  DCompuestos  DPrimos  1
Ejemplo:
D18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18
Dcomp   6 , 9 , 18  CDcomp   3 ;
D primos   2 , 3  CDcomp   2
CDN  3  2  1  6
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MATEMÁTICA
 
1.7. Suma de los Divisores de N SD :
N
S ( DN ) 
a 1  1 b  1  1 c 1  1


...
a 1
b 1
c 1
Ejemplo: La suma de los divisores del número 4725 es:
N = 4 725 = 33 52 7
S DN 
331  1 521  1 711  1


 40  62  8  19 840
3 1
5 1
7 1
1.8. Suma de las inversas de los divisores de N (SI):
SI D N  
SD
Suma de los divisores de N
 SI  ( N )
N
N
1.9. Producto de los Divisores de N
PD N   N
D N 
2
 N
P  :
D N 
D N 
1.10. Divisor Propio: Son todos aquellos divisores menores que él
mismo.
Ejemplo: De 12 sus divisores propios son: 1; 2; 3; 4 y 6
1.11. Números Perfectos: Son aquellos números cuya suma de sus
divisores propios es igual a él mismo. Entre ellos son: 6; 28; 496;
8128 etc.
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MATEMÁTICA
Ejemplo: De 6 sus divisores propios son: 1; 2 y 3
 Suma = 1 +2 + 3 = 6
Fórmula para hallar un Número Perfecto:


N  Perfecto   2 n  2 n1  1
Donde:
2
n1

 1 es un número primo absoluto. Los valores de
“ n ” son enteros y positivos.
1.12. Números Defectuosos: Son aquellos números que cumplen con
la condición, que la suma de sus divisores propios son menores
que él mismo.
Ejemplo:
35 → Sus divisores propios son 1; 5 y 7 y se observa:
1 + 5 + 7 < 35
1.13. Números Abundantes: Llamados también excesivos. Son
aquellos cuya suma de divisores propios es mayor que él mismo.
Ejemplo:
20 → Sus divisores propios son: 1, 2, 4, 5 y 10 y se observa:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 > 20
1.14. Números Amigos: Dos números enteros positivos son amigos si
la suma de los divisores propios de uno de ellos es igual al otro y
viceversa.
Ejemplo:
Los Números: 220 y 284 son amigos porque:
Los divisores propios de 220 son: 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 11 ; 20 ; 22 ;
44 ; 55 y 110 y la suma de ellos es 284.
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Los divisores propios de 284 son: 1; 2; 4; 71; 142; la suma de
estos divisores es 220.
2. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)
2.1. Máximo Común Divisor: El M.C.D. de varios enteros positivos,
es el mayor de los divisores comunes.
Ejemplo:
D (8) = {1, 2, 4, 8}
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Divisores comunes: {1, 2, 4}
Mayor divisor común: {4}
 El mayor número que divide a 8 y 12 a la vez es 4.
M.C.D (8; 12) = 4
2.2. Determinación del M.C.D.:
2.2.1.Por Factorización Individual: Luego de descomponer a los
números en sus factores primos, se toman únicamente a los
factores comunes afectados de sus menores exponentes.
Ejemplo: Sean los números A, B y C descompuestos en sus
factores primos:
A  23  32  53  7
B  24  52  73 11
C  25  54  7 2 11132
 MCD  23  52  7
2.2.2.Por Factorización Simultánea: Consiste en descomponer
simultáneamente dos o más números en sus factores primos,
hasta obtener números divisores PESI. El MCD es el
producto de los divisores comunes extraídos.
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Ejemplo: Hallar el MCD de 20 y 15
20 – 15 5  MCD
4 – 3
PESI
2.2.3. Algoritmo de Euclides o Divisiones Sucesivas:
Se divide el número mayor entre el menor, a su vez el menor
entre el primer residuo, luego dividimos el primer residuo
entre el segundo residuo y así sucesivamente hasta llegar a
un residuo igual a cero. El último divisor empleado es el
MCD.
Ejemplo: El MCD de 3 450 y 423 es:
Cocientes
Sucesivos
Divisores
Sucesivos
Residuos
Sucesivos
3 450
8
6
2
2
4
423
66
27
12
3
66
27
12
3
0
MCD (3 450, 423) = 3
2.3. Propiedades del M.C.D.
a. El
MCD
de
dos
números PESI es la
unidad:
MCD (A; B ) = 1
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b. Si dos números son divisibles,
el menor de ellos es su MCD.
Ejemplo: El MCD de 108 y 27
es 27 porque 108 es divisible
entre 27.
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c.
El MCD nunca es
mayor que uno de los
números.
e. Si:
MCD (A, B, C) = d
 se cumple:
MCD (A n, B n, C n) = d. n
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d. MCD (A, B, E, F) = MCD (M, N)
donde:
M = MCD(A, B)
N = MCD (E, F)
f.
d
A B C
, ,  =
n
n
n
n


MCD 
Si se dividen a varios números
entre su MCD, los cocientes
obtenidos son números PESI
Si: MCD (A, B, C) = d

A
= p;
d
B
= q;
d
C
=r 
d
A = pd; B = qd; C = rd
o
Donde: A, B y C son
p , q , r son PESI.
d;
3. MINIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.):
3.1. Mínimo Común Múltiplo:
El MCM de varios enteros positivos, es el menor entero que sea
divisible entre cada uno de ellos.
El MCM es el menor de los múltiplos comunes
Ejemplo:
Sean los números 8 y 12, sus múltiplos son:
M (8) = 8, 16, 24, 32, 40, 48,...
M (12) = 12, 24, 36, 48, 60, 72,...
Múltiplos comunes: {24, 48,...}
El MCM de 8 y 12 es 24, que es menor de los múltiplos comunes.
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3.2. Determinación del M.C.M.:
3.2.1. Por Factorización Individual ó
Descomposición
Canónica:
Dados varios enteros y obtenidos la descomposición
canónica de cada uno, el MCM es igual al producto de los
divisores primos comunes y no comunes, elevados a su
mayor exponente con que aparecen en la descomposición
canónica.
Ejemplo: El MCM de 1440 y 2268 es:
1440 = 25 32 5
2268 = 22 34 7
 MCM = 25 34 5  7 = 90720.
3.2.2. Por Descomposición Simultánea:
Para calcular el MCM de varios enteros, se disponen los
enteros en fila y se extraen sus divisores comunes y no
comunes y el MCM se obtiene multiplicándolos divisores
comunes y no comunes extraídos.
Ejemplo: Calcular el MCM (80; 120; 200)
80 - 120 - 200 40
2 - 3 - 5
2
1 - 3 - 5
3
1 - 1 - 5
5
1 - 1 - 1
 MCM (80; 120; 200)


 23  5  2  3  5
 2  3  52
4
1
 1 200
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3.3. Propiedades del MCM:
a. Si A y B son PESI
 MCM (A, B) = A  B
MCM (k, k+1) = k(k + 1)
b. El MCM nunca es menor
que alguno de los
números.
Ejemplo:
MCM (6, 9, 27) = 54
c. Si de varios números, el mayor de
ellos es el múltiplo de los otros,
entonces el MCM es el mayor
número.
Ejemplo:
MCM (5, 10, 15, 90) = 90
d. MCM (A, B, C, D) = MCM
(M, N)
donde:
M = MCM (A, B),
N = MCM (C, D)
e. MCM (n A, n B, n C) =
n.MCM (A, B, C)
f. MCM
g. Si:
A B C
 , , 
n n n
=
1
n
MCM (A, B, C)
n  1n  1.....n  1  n k  1 , donde: n  1
se repite “ k ”
cifras  Dados los números: A; B y C
A  P m  1 ; B  P n - 1 ; C  P r - 1  MCD  P MCDm;n;r   1
PROBLEMAS DE APLICACIÓN:
1. El número de cifras del MCD de los siguientes números:
A = 66 ... 66 (7
y B = 66 ... 66 (7 ,es:
160 cifras
240 cifras
A) 70
B) 75
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C) 80
D) 85
E)90
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Resolución:
A = 7160 – 1
; B = 7240 – 1  MCD (160, 240) = 80
 MCD (A, B) = 780 – 1 = 66 ... 66(7
80 cifras
Clave: C
2. El valor de “ n ” sabiendo que el mínimo común múltiplo de
A  180n  27 y B  40 n  60 tiene 5 400 divisores es:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Resolución:
Descomponiendo canónicamente, se tiene:
A  32 n3  2 2 n  5n ; B  3  23n2  5n1
 MCM  A; B   32 n3  23n2  5n1
DMCM  A;B   2n  4 3n  3n  2   5 400  n  8
Clave: D
N 2 tiene 63 divisores y N 3 tiene 130 divisores. Determinar la
4
suma de las cifras del número de divisores que tiene N .
3. Si
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Resolución:
Sea
N  p a  q b descomposición canónica.
N2= p
2a
 q 2b  D N 2  2a  12b  1  63
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N3= p
3a
MATEMÁTICA
 q 3b  D N 3  3a  13b  1  130
Resolviendo:
a 3 ; b4
N  p 3  q 4 descomposición canónica
Luego reemplazando:
p 4 a  q 4b  D N 4  4a  14b  1  1317  221
4
N =
 S cifras  2  2  1  5
Clave: B
4. Sean los enteros positivos
A y B que cumplen:
MCM A; ( A  B )  94
11
MCD A2  B 2 ; A 
B
El valor de A  B , si se sabe que A no es divisible por 11, es:

 
A) 31
B) 30
C) 28
D) 25
E) 24
Resolución:

 
MCD A2  B 2 ; A 
11
B
Como el MCD es entero, B puede ser 1 ó 11.
Si B =1


 MCD A2  1; A  11
Es imposible porque A y A  1 son PESI.
2
Si B = 11  MCD
A
2

 112 ; A  1
 A  11 A  11 son PESI ya que
MCM A;  A  11  94
Por propiedad: A A  11  94 ya que son PESI
Entonces, A y
A  11  9  A  20
Se pide A  B  A  B  31
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0
A  11
Clave: A
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CEPUNT
MATEMÁTICA
5. Al calcular el MCD de dos números mediante el algoritmo de
Euclides se obtuvieron como cocientes sucesivos a: 2, 3, 5 y 5. Si se
sabe que la segunda división se hizo por exceso, y que los números
son PESI, entonces la suma de las cifras del número es:
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E)10
Resolución:
-
Por el algoritmo de Euclides:
A
2
3
5
5
B
26d
5d
D
26d
5d
d
0
Si la segunda división se hizo por exceso entonces se tiene:
B  326d   5d  73d
A  2B   26d  172d
Pero como
Luego:
A y B son PESI entonces su MCD es 1
A  73 y B  172
Entonces el mayor será 172.
S  1  7  2  10
Clave: E
6. Si el producto de dos números es 3 500 y la suma del
MCM y MCD de ellos es 360, entonces uno de los números es:
A) 35
B) 50
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C) 75
D) 80
E) 90
80
CEPUNT
MATEMÁTICA
Resolución:
Propiedad:
A  B  MCD  A, B   MCM  A, B 
Datos:
A  B  MCD  MCM   500
MCD  MCM  360
Si: A  dx ; B  dy , donde d  MCD  A, B 
Reemplazando:
d dxy  d 2 xy  2 2  53  7
d  dxy  d 1  xy  23  32  5 , se identifica d  2  5  10 y
x  y  5  7  1  x  y  22  32  36  1  x  y  1  35  1  5  7
Luego: x  5; y  7
Los números son:
A  105  50
B  107   70
Clave: B
7. Al sumar los tres primeros números perfectos la suma de sus cifras
que se obtiene es:
A) 8
B) 10
C) 11
D) 12
E) 20
Resolución:
6  28  496  530 6
Entonces la suma de sus cifras  5  3  0  8
Equipo de Matemática
Clave:A
81