LÍMITE SUPERIOR E INFERIOR
ANÁLISIS
1. Limite superior: Definición y ejemplos
Sea {an }n∈N una sucesión de números reales extendidos cualquiera. Construiremos el lı́mite superior:
lim sup an = lim an .
n→+∞
n→+∞
El primer paso será construir una sucesión auxiliar {Mn }n∈N asociada a la anterior como sigue:
Mn = sup {ak : k ≥ n + 1} = sup {an+1 , an+1 , . . .} .
(1)
Tendremos que considerar dos casos:
? Caso a: La sucesión {an }n∈N es acotada.
? Caso b: La sucesión {an }n∈N no es acotada.
1.1. Estudio del caso a). Si la sucesión {an }n∈N es acotada, la sucesión Mn ∈ R
verifica las siguientes propiedades:
• La sucesión {Mn }n∈N es acotada. En efecto, por hipótesis sabemos que existen
números reales m y M tales que
m ≤ an ≤ M
para todo n ∈ N
y por lo tanto
m ≤ Mn = sup {ak : k ≥ n + 1} ≤ M
para todo n ∈ N
• La sucesión {Mn }n∈N es decreciente.
En efecto, podemos notar que:
{ak : k ≥ n + 2} = {an+2 , an+3 , . . .} ⊆ {an+1 , an+2 , an+3 , . . .} = {ak : k ≥ n + 1} ,
lo cual implica que
Mn+1 = sup {an+1 , an+2 , . . .} ≤ sup {an , an+1 , an+2 , . . .} = Mn .
y por lo tanto, la sucesión {Mn }n∈N es decreciente.
• La sucesión {Mn }n∈N tiene lı́mite. En efecto, como {Mn }n∈N es acotada, entonces
{Mn }n∈N es acotada inferiormente. Ahora, usando un resultado bien conocido
sabemos que si una sucesión es decreciente y acotada inferiormente, entonces tiene
lı́mite, el cual está dado por:
lim Mn
n→+∞
=
inf{Mn : n ∈ N}.
Date: Abril 2021.
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ANÁLISIS
1.2. Estudio del caso b). Si la sucesión {an }n∈N es no es acotada, entonces ya
no se puede asegurar que la sucesión
Mn = sup {ak : k ≥ n + 1} = sup {an+1 , an+1 , . . .} .
es acotada Podemos ver que:
• lim Mn = −∞ si y solo si an → −∞. Esto se deduce por el hecho de que
n→+∞
{Mn }n es una sucesión decreciente.
• lim Mn = ∞ si y solo si Mn = +∞ para todo n. Esto ocurre si y solo si existe
n→+∞
una subsucesión {anm }m que verifica
lim anm = +∞.
m→+∞
1.3. Una definición formal. Los casos vistos anteriormente se pueden resumir
como sigue:


±∞
si {an }n∈N no es acotada

lim sup an =

n→+∞
 inf sup{ak : k ≥ n + 1} si {an }n∈N es acotada
n∈N
Ejemplo 1. Consideremos la sucesión {an }n∈N definida por an = (−1)n . Es fácil
notar que
Mn = sup{(−1)k : k ≥ n + 1} = 1
para todo n ∈ N. Por lo tanto, se tiene que
lim sup(−1)n = 1
n→+∞
2. Lı́mite superior: Caracterización
El lı́mite superior tambien puede ser caracterizado de una manera alternativa:
Teorema 1. Sea {an }n una sucesión de números reales extendidos. Entonces
lim sup an = A si y solo si se verifican las siguientes condiciones:
n→+∞
a) Si L < A entonces an > L para infinitos valores de n ∈ N.
b) Si A < M entonces an < M para todo valor de n aribtrariamente grande.
Proof. ⇐) Supongamos que se verifican las propiedades a) y b).
Por la propiedad a) tenemos que si L < A entonces para todo k fijo se verifica
que:
L < sup{ak , ak+1 , . . .}
y por lo tanto podemos deducir que L ≤ lim sup an .
n→+∞
Como esta propiedad es válida para todo L < A en particular es válida para
L = A − ε con ε > 0 arbitrariamente pequeño. Entonces
A − ε ≤ lim sup an ∀ ε > 0 ⇒ A ≤ lim sup an .
n→+∞
n→+∞
Por la propiedad b) sabemos que si k es arbitrariamente grande entonces
M < sup{ak , ak+1 , . . .}
para todo M > A y por lo tanto M ≤ lim sup an .
n→+∞
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Como esta propiedad es válida para todo A < M en particular es válida para
M = A + ε con ε > 0 arbitrariamente pequeño. Entonces
lim sup an ≤ A + ε ∀ ε > 0 ⇒ lim sup an ≤ A
n→+∞
n→+∞
y se concluye que lim sup an = A.
n→+∞
(⇒ Ahora supondremos que lim sup an = A. Si L < A, esto implica que
n→+∞
inf sup{ak : k ≥ n + 1}
L<A =
n∈N
L
< sup{ak : k ≥ n + 1}
L
< sup{ak , ak+1 , . . .}
∀n ∈ N
∀k ∈ N.
Entonces, para todo k fijo, existe n ≥ k tal que L < an y por lo tanto se verifica
la condición a).
Si A < M esto significa que:
(2)
sup{ak , ak+1 , . . .} < M
para algun k ∈ N,
en efecto, en caso contrario se tendrı́a que
sup{ak , ak+1 , . . .} > M
para todo k ∈ N ⇒ A ≥ M,
obteniendo una contradicción.
Entonces por (2) tenemos que an < M si n ≥ k y por lo tanto se verifica la
propiedad b).
3. Lı́mite Superior: Propiedades
Teorema 2. Sean {an }n y {bn }n dos sucesiones de números reales. Se tiene que
lim sup(an + bn ) ≤ lim sup an + lim sup bn
n→∞
n→+∞
n→+∞
Proof. Usamos una propiedad básica del supremo:
sup {ak + bk : k ≥ n + 1} ≤ sup {ak : k ≥ n + 1} + sup {ak : k ≥ n + 1} ,
luego la propiedad inf(A + B) = inf(A) + inf(B) nos permite deducir que
inf sup {ak + bk : k ≥ n + 1} ≤ inf sup {ak : k ≥ n + 1} + inf sup {bk : k ≥ n + 1} ,
n∈N
n∈Z
lo cual concluye la demostración
n∈N