‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי – בחירה חכמה‪ ,‬נקודה‪.‬‬
‫‪ 5‬יח"ל במתמטיקה‪ ,‬שאלון ‪ ,581‬וקטורים – עמוד ‪ 1‬מתוך ‪14‬‬
‫וקטורים (גישה אלגברית)‬
‫גאומטריה אנליטית‬
‫במרחב תלת מימדי‬
‫‪ .1‬וקטור אלגברי דו‪-‬מימדי – הנקודה )‪ A(2,4‬בשרטוט מוצגת במישור‬
‫הדו מימדי ‪ .xy‬החץ היוצא מהנקודה ‪( O‬ראשית הצירים) ומסתיים‬
‫‪y‬‬
‫)‪A(2,4‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ ואם‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗‪ ,‬ניתן לאמר כי )‪OA = (2,4‬‬
‫בנקודה )‪ A(2,4‬מסומן ע"י ‪OA‬‬
‫נסמן וקטור זה ע"י ‪ u‬נאמר כי )‪ .u = (2,4‬כל נקודה הנמצאת‬
‫‪x‬‬
‫במישור ‪ xy‬וצורתה )‪ (x, y‬נקראת וקטור דו מימדי והיא מתארת‬
‫)‪O (0,0‬‬
‫את החץ המתחיל בראשית הצירים ומסתיים בנקודה עצמה‪ .‬מכאן‪ ,‬נכון לומר כי וקטור הוא‬
‫נקודה‪ ,‬אך נשים לב שהכוונה היא לחץ‪ ,‬קטע בעל אורך וכיוון שראשיתו בנקודה )‪ (0,0‬וסופו‬
‫בנקודה הנידונה‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ .2‬וקטור אלגברי תלת מימדי – הנקודה )‪ A(1,6,3‬בשרטוט‬
‫מוצגת במרחב התלת מימדי ‪ ,xyz‬החץ היוצא מנקודה ‪O‬‬
‫)‪A(1,6,3‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗‪,‬‬
‫(ראשית הצירים) ומסתיים בנקודה )‪ A(1,6,3‬מסומן ע"י ‪OA‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ ‪ .‬ואם נסמן וקטור זה ע"י ‪ u‬נאמר‬
‫ניתן לומר )‪OA = (1,6,3‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(0,0,0‬‬
‫כי )‪ .u = (1,6,3‬כל נקודה הנמצאת במרחב ‪ xyz‬וצורתה )‪(x, y, z‬‬
‫נקראת וקטור תלת מימדי והיא מתארת חץ המתחיל בראשית הצירים ומסתיים בנקודה‬
‫עצמה‪ .‬מכאן‪ ,‬נכון לומר כי וקטור הוא נקודה‪ ,‬אך נשים לב שהכוונה היא לחץ‪ ,‬לקטע שראשיתו‬
‫בנקודה )‪ (0,0,0‬וסופו בנקודה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬לרוב נעסוק במרחב התלת מימדי‪.‬‬
‫‪ .3‬גודלו (אורכו) של וקטור – את האורך של הווקטור )‪ u = (x, y, z‬מסמנים |‪ |u‬והוא מוגדר‬
‫להיות המרחק בין הנקודה )‪ (x, y, z‬לבין ראשית הצירים‪ ,‬ולכן ‪.|u| = √x 2 + y 2 + z 2‬‬
‫‪ .4‬וקטור שגודלו יחידה אחת – וקטור שאורכו יחידה אחת‪ ,‬שגודלו שווה ‪ ,1‬נקראת וקטור יחידה‪.‬‬
‫‪ .5‬חיבור וקטורים אלגבריים – נסמן‪ ,v = (v1 , v2 , v3 ) ,u = (u1 , u2 , u3 ) :‬ונאמר כי ניתן לחבר‬
‫את ‪ u‬ו‪ ,v -‬נסמן זאת‪ ,u + v :‬ונגדיר זאת‪.u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 ) :‬‬
‫דוגמה‪.u = (2,3,5) , v = (−1,4,7) ⇒ u + v = (2 + (−1), 3 + 4,5 + 7) = (1,7,12) :‬‬
‫‪ .6‬חיסור וקטורים אלגבריים – נסמן‪ ,v = (v1 , v2 , v3 ) ,u = (u1 , u2 , u3 ) :‬ונאמר כי ניתן‬
‫לחסר את ‪ v‬מ‪ ,u -‬נסמן זאת ‪ ,u − v‬ונגדיר זאת‪.u − v = (u1 − v1 , u2 − v2 , u3 − v3 ) :‬‬
‫דוגמה‪.u = (1,3,2) , v = (−2,0,9) ⇒ u − v = (1 − (−2), 3 − 0,2 − 9) = (3,3, −7) :‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי בע"מ‬
‫בגרות | פסיכומטרי | שיעורים פרטיים | הוצאת ספרים‬
‫טל' ‪www.aviramfeldman.co.il | 077-420-40-60‬‬
‫‪x‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי – בחירה חכמה‪ ,‬נקודה‪.‬‬
‫‪ 5‬יח"ל במתמטיקה‪ ,‬שאלון ‪ ,581‬וקטורים – עמוד ‪ 2‬מתוך ‪14‬‬
‫‪ .7‬מכפלת וקטור בסקלר – יהי וקטור אלגברי ) ‪ ,a = (a1 , a2 , a3‬ויהי סקלאר ‪ ,t‬מכפלת‬
‫הוקטור ‪ a‬בסקלאר ‪ t‬מסומנת ‪ ta‬ומוגדרת להיות‪.ta = t(a1 , a2 , a3 ) = (ta1 , ta2 , ta3 ) :‬‬
‫)‪3 ∙ (−2,4,1) = (−6,12,3‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫הערה‪ :‬אם ‪ t > 1‬אנו "מותחים" את ‪ a‬ושומרים על כיוונו‪,‬‬
‫אם ‪ t = 1‬הוקטור ‪ a‬לא משתנה‪,‬‬
‫אם ‪ 0 < t < 1‬אנו "מכווצים" את ‪ a‬ושומרים על כיוונו‪,‬‬
‫אם ‪ t = 0‬אנו "מכווצים" את ‪ a‬להיות נקודה‪ ,‬כלומר ‪,a = 0‬‬
‫אם ‪ t < 0‬אנו משנים את כיוונו של ‪ a‬באופן מנוגד‪.‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ כאשר נתונות הנקודות ‪ A‬ו‪– B -‬‬
‫‪ .8‬מציאת הוקטור 𝐁𝐀‬
‫) ‪B(b1 , b2 , b3‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫יהיו שתי הנקודות ) ‪ A(a1 , a2 , a3‬ו‪ ,B(b1 , b2 , b3 ) -‬הוקטור ‪AB‬‬
‫המתחיל בנקודה ‪ A‬ומסתיים בנקודה ‪ B‬מוגדר להיות‪:‬‬
‫) ‪A(a1 , a2 , a3‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫) ‪AB = B − A = (b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3‬‬
‫דוגמה‪⃗⃗⃗⃗⃗ = B − A = (5, −4,3) − (2, −2,1) = (3, −2,2) :‬‬
‫‪.A(2, −2,1) , B(5, −4,3) ⇒ AB‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ שווה לוקטור שראשיתו )‪ O(0,0,0‬וסופו בנקודה )‪.(3, −2,2‬‬
‫הערה‪ :‬הוקטור ‪AB‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ מוגדר להיות ‪.A – B‬‬
‫‪ .9‬מהו הכיוון של הוקטור האלגברי? – הכיוון של הוקטור ‪AB‬‬
‫הערה‪ :‬כיוון של וקטור אלגברי‪ ,‬במידה מסוימת‪ ,‬מזכיר לנו שיפוע של קו ישר‪.‬‬
‫‪ .10‬הכיוונים של ציר ה‪ ,x -‬ציר ה‪ y -‬וציר ה‪– z -‬‬
‫𝑧‬
‫נבחר ‪ 2‬נקודות על ציר ה‪ A(1,0,0) :x -‬ו‪,B(2,0,0) -‬‬
‫ראשית הצירים‬
‫)𝟎 ‪(𝟎, 𝟎,‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗‪,‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ יהיה‪AB = B − A = (1,0,0) :‬‬
‫הוקטור ‪AB‬‬
‫‪y‬‬
‫מקובל לומר שכיוונו של ציר ה‪ x -‬יהיה )‪ ,(1,0,0‬עם‬
‫‪x‬‬
‫זאת יודגש כי אפשר שכיוונו יהיה )‪ (3,0,0‬או )‪(6,0,0‬‬
‫אך משיקולי נוחות נתייחס לווקטור )‪ (1,0,0‬כאל כיוונו של ציר ה‪ ,x -‬באופן דומה נאמר כי‬
‫כיוונו של ציר ה‪ y -‬הוא )‪ (0,1,0‬ושל ציר ‪ z‬הוא )‪.(0,0,1‬‬
‫הערה‪ :‬מותר ונכון משיקולי נוחות לצמצם כיוון של וקטור‪ ,‬כך למשל אם הכיוון של וקטור‬
‫הוא )‪ (8, −6,2‬יהיה נוח לצמצם ב‪ 2 -‬ולקבל )‪.(4, −3,1‬‬
‫) ‪a(a1 , a2 , a3‬‬
‫‪ .11‬אמצע קטע – הנקודה‪ /‬הוקטור ) ‪ c(c1 , c2 , c3‬תהיה נקודת‬
‫אמצע הקטע שקצותיו ) ‪ a(a1 , a2 , a3‬ו‪b(b1 , b2 , b3 ) -‬‬
‫אם מתקיים‪:‬‬
‫‪a3 +b3‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪, c3‬‬
‫‪a2 +b2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪, c2‬‬
‫‪a1 +b1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪.c1‬‬
‫) ‪c(c1 , c2 , c3‬‬
‫) ‪b(b1 , b2 , b3‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי בע"מ‬
‫בגרות | פסיכומטרי | שיעורים פרטיים | הוצאת ספרים‬
‫טל' ‪www.aviramfeldman.co.il | 077-420-40-60‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי – בחירה חכמה‪ ,‬נקודה‪.‬‬
‫‪ 5‬יח"ל במתמטיקה‪ ,‬שאלון ‪ ,581‬וקטורים – עמוד ‪ 3‬מתוך ‪14‬‬
‫‪ .12‬חלוקת קטע ביחס נתון – הנקודה ) ‪ c(c1 , c2 c3‬מחלקת‬
‫) ‪a(a1 , a2 , a3‬‬
‫‪ L‬יחידות‬
‫את הקטע שקצותיו הם ) ‪ a(a1 , a2 , a3‬ו‪b(b1 , b2 , b3 ) -‬‬
‫) ‪c(c1 , c2 , c3‬‬
‫ביחס ‪ L: K‬כפי שמוצג בשרטוט משמאל‪ ,‬אם מתקיים‪:‬‬
‫‪K ∙ a1 + L ∙ b1‬‬
‫‪K+L‬‬
‫= ‪c1‬‬
‫‪K ∙ a 2 + L ∙ b2‬‬
‫‪K+L‬‬
‫= ‪c2‬‬
‫‪K ∙ a 3 + L ∙ b3‬‬
‫‪K+L‬‬
‫= ‪c3‬‬
‫‪ K‬יחידות‬
‫) ‪b(b1 , b2 , b3‬‬
‫‪ .13‬מכפלה סקלרית (בגישה האלגברית) – יהיו שני וקטורים ) ‪ a(a1 , a2 , a3‬ו‪,b(b1 , b2 , b3 ) -‬‬
‫המכפלה סקלרית של ‪ a‬ו‪ b -‬מסומנת ע"י ‪ a ∙ b‬ומוגדרת להיות‪:‬‬
‫‪a ∙ b = (a1 , a2 , a3 ) ∙ (b1 , b2 , b3 ) = a1 ∙ b1 + a2 ∙ b2 + a3 ∙ b3‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪a = (1,2, −2) , b = (3, −1, −1) ⇒ a ∙ b = (1,2, −2) ∙ (3, −1, −1) = 3 + 2(−2) + 2 = 3‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫(‪ )1‬תוצאות המכפלה סקלרית הינה מספר חופשי (סקלר)‪ ,‬ומכאן זהו שמה‪.‬‬
‫(‪ )2‬אם‪ , u ∙ v = 0 :‬אז‪( u ⊥ v :‬גם להיפך)‪.‬‬
‫‪ .14‬אורך וקטור‪/‬אורך קטע‪/‬מרחק בין שתי נקודות –‬
‫) ‪a(a1 , a2 , a3‬‬
‫אורכו (גודלו) של הוקטור שבציור‪ ,‬הוא גם אורך הקטע‬
‫אשר קצותיו הם‪ a(a1 , a2 , a3 ) :‬ו‪ ,b(b1 , b2 , b3 ) -‬והוא‬
‫גם המרחק בין שתי הנקודות ‪ a‬ו‪ ,b -‬נסמנו ע"י ‪ d‬ונגדיר‬
‫) ‪b(b1 , b2 , b3‬‬
‫אותו להיות‪.d = √(a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2 + (a3 − b3 )2 :‬‬
‫)‪B(5, −1,3‬‬
‫‪ .15‬מציאת זווית הכלואה בין שני וקטורים –‬
‫הדוגמה הבאה תציג את התהליך הנדרש למציאת ‪,α‬‬
‫נסתפק בה מבלי להציג זאת באופן כללי‪.‬‬
‫)‪C(−3,2,8‬‬
‫‪α‬‬
‫)‪A(1,2, −2‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗‪:‬‬
‫צעד ‪ – 1‬מציאת ‪AB‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫)‪AB = B − A = (5, −1,3) − (1,2, −2) = 4, −3,5‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗‪:‬‬
‫צעד ‪ – 2‬מציאת ‪AC‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫)‪AC = C − A = (−3,2,8) − (1,2, −2) = (−4,0,10‬‬
‫צעד ‪ – 3‬מציאת | ⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫‪:|AB‬‬
‫= ‪⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(5 − 1)2 + (−1 − 2)3 + (3 + 2)2‬‬
‫‪|AB‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי בע"מ‬
‫בגרות | פסיכומטרי | שיעורים פרטיים | הוצאת ספרים‬
‫טל' ‪www.aviramfeldman.co.il | 077-420-40-60‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי – בחירה חכמה‪ ,‬נקודה‪.‬‬
‫‪ 5‬יח"ל במתמטיקה‪ ,‬שאלון ‪ ,581‬וקטורים – עמוד ‪ 4‬מתוך ‪14‬‬
‫‪ √50‬יח‪⃗⃗⃗⃗⃗ | = √169 + 9 + 25 = ′‬‬
‫‪|AB‬‬
‫צעד ‪ – 4‬מציאת | ⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫‪:|AC‬‬
‫= ‪⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(−3 − 1)2 + (2 − 2)3 + (8 + 2)2‬‬
‫‪|AC‬‬
‫‪√116‬יח‪⃗⃗⃗⃗⃗ | = √16 + 0 + 100 = ′‬‬
‫‪|AC‬‬
‫צעד ‪ – 5‬הפעלת נוסחת המכפלה הסקאלרית‪:‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫‪⃗⃗⃗⃗⃗ = |AB‬‬
‫‪⃗⃗⃗⃗⃗ | ∙ |AC‬‬
‫‪⃗⃗⃗⃗⃗ | ∙ cosα‬‬
‫‪AB ∙ AC‬‬
‫‪(4, −3,5) ∙ (−4,0,10) = √50 ∙ √116 ∙ cosα‬‬
‫‪−16 + 0 + 50 = √50 ∙ √116 ∙ cosα‬‬
‫‪= cosα‬‬
‫‪34‬‬
‫‪√50 ∙ √116‬‬
‫‪α = 63.484°‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫(‪ )1‬נתבונן בשטח משולש ‪ ABC‬בציור המופיע בראשית העמוד‪ ,‬ניתן לחשב אותו ע"י‬
‫‪⃗⃗⃗⃗⃗ | ∙ |AC‬‬
‫הנוסחה הבאה‪⃗⃗⃗⃗⃗ | ∙ sinα ∙ 1 :‬‬
‫‪ ,S∆ = |AB‬כלומר – בהינתן שלושה קדקודי משולש נדע‬
‫‪2‬‬
‫לחשב את שטחו‪ ,‬באופן רחב יותר נאמר כי אם נתונות לנו נקודות של מצולע מסוים נוכל‬
‫לחשב את שטחו ע"י חלוקת משולשים‪ ,‬כעת אנו מסיקים שביכולתנו לחשב שטח של כל מצולע‬
‫בהינתן שיעורי קדקודיו‪.‬‬
‫‪⃗⃗⃗⃗⃗ = |AB‬‬
‫‪⃗⃗⃗⃗⃗ | ∙ |AC‬‬
‫(‪ )2‬ממשוואת המכפלה הסקלרית‪⃗⃗⃗⃗⃗ | ∙ cosα :‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ ‪ ,‬נחלץ את ‪,cosα‬‬
‫‪AB ∙ AC‬‬
‫‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫‪AB‬‬
‫‪ , cosα = |AB‬כיוון שהמכנה חיובי נוכל להתפנות לבחון את הסימן של המונה‪:‬‬
‫‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|AC‬‬
‫| ⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ ‪ ,‬אז‪ , cosα > 0 :‬ולכן‪.0° < α < 90° :‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ‪AB‬‬
‫* אם‪AC > 0 :‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ ‪ ,‬אז‪ , cosα = 0 :‬ולכן‪ , α = 90° :‬ולכן‪⃗⃗⃗⃗⃗ :‬‬
‫* אם‪⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 :‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗‪.‬‬
‫‪AB ⊥ AC‬‬
‫‪AB ∙ AC‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ ‪ ,‬אז‪ , cosα < 0 :‬ולכן‪.90° < α < 180° :‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ‪AB‬‬
‫* אם‪AC < 0 :‬‬
‫(‪ )3‬יש להקפיד ששני הווקטורים "יוצאים" מאותה נקודה או "נכנסים" לאותה נקודה‪.‬‬
‫‪ .16‬הצגה פרמטרית של ישר במרחב – הצגתו הפרמטרית של הישר ‪ l1‬שכיוונו ‪ b‬והוא עובר דרך‬
‫‪l1 : a + t ∙ b‬‬
‫הנקודה ‪ a‬היא ‪ ,a + t ∙ b‬כותבים זאת כך –‬
‫דוגמה‪ l2 :‬הוא ישר העובר דרך )‪ (1,2,3‬וכיוונו )‪ ,(−1,2,4‬נציג אותו –‬
‫)‪l2 : (1,2,3) + t(−1,2,4‬‬
‫הערה‪ :‬ניתן להציג את ‪ l2‬כנקודה כללית )‪ ,(1 − t, 2 + 2t, 3 + 4t‬צורה זו נקראת גם נקודה‬
‫אופיינית של הישר‪ ,‬ניתן גם לומר שהצגנו את ‪ l2‬בצורת שלשה‪.‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי בע"מ‬
‫בגרות | פסיכומטרי | שיעורים פרטיים | הוצאת ספרים‬
‫טל' ‪www.aviramfeldman.co.il | 077-420-40-60‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי – בחירה חכמה‪ ,‬נקודה‪.‬‬
‫‪ 5‬יח"ל במתמטיקה‪ ,‬שאלון ‪ ,581‬וקטורים – עמוד ‪ 5‬מתוך ‪14‬‬
‫‪ .17‬מציאת נקודה כלשהי שנמצאת על קו ישר – נחזור לישר ‪ ,(1,2,3) + t(−1,2,4) l2‬נציגו‬
‫שוב כשלשה )‪ (1 − t, 2 + 2t, 3 + 4t‬וכעת נציב ‪ t = 2‬ונקבל את הנקודה )‪,(−1,6,11‬‬
‫נקודה זו שהתקבלה ע"י הצבת ‪ t = 2‬נמצאת על ‪ ,l2‬כל ערך של ‪ t‬שנציב בהצגת הישר יוביל‬
‫למציאת נקודה נוספת על הישר‪.‬‬
‫הערה‪ :‬נתבונן בנקודה הכללית הבאה )‪ ,(3 + 2t, 5 − t, −2 + t‬ניתן לצאת ממנה להצגה‬
‫פרמטרית של הישר )‪ , (3,5, −2) + t(2, −1,1‬ע"י הוצאת המספרים החופשיים להיות‬
‫נקודה שעל הישר‪ ,‬והוצאת ‪ t‬כגורם משותף‪ ,‬ואז מקדמיו בהתאמה יהיו הכיוון של הישר‪.‬‬
‫‪ .18‬בדיקה האם נקודה כלשהי נמצאת על הישר או שהיא חיצונית לישר – מציגים את הישר‬
‫כנקודה כללית (שלשה)‪ ,‬משווים בין שיעורי הנקודה הנבדקת לבין שיעורי הנקודה הכללית וכך‬
‫מקבלים ‪ 3‬משוואות באמצעות משתנה יחיד (בד"כ ‪ ,)t‬ומכאן‪ :‬יש לפתור את ‪ 3‬המשוואות‪,‬‬
‫אם נקבל ערך יחיד של ‪ t‬נאמר כי הנקודה על הישר ואם לא יש לומר שהנקודה חיצונית לישר‪.‬‬
‫‪ .19‬מציאת הצגה פרמטרית של הישר העובר דרך שתי נקודות – הצגתו הפרמטרית של הישר ‪l3‬‬
‫העובר דרך הנקודות ‪ a‬ו‪ b -‬תהיה )‪l3 : a + t( b − a‬‬
‫דוגמה‪ :‬הישר ‪ l3‬עובר דרך )‪ A(2,1,3‬ו‪ , B(5,1, −2) -‬הצגתו הפרמטרית תהיה‬
‫)‪ , l3 : A + t(B − A‬כלומר ‪.l3 : (2,1,3) + t(3,0, −5) -‬‬
‫‪ .20‬הצגה פרמטרית של הצירים – ציר ‪t(1,0,0) :x‬‬
‫ציר ‪t(0,1,0) :y‬‬
‫ציר ‪t(0,0,1) :z‬‬
‫‪ .21‬בדיקה האם שלוש נקודות נמצאות על קו ישר אחד – יהיו שלושה נקודות כל שהן ‪ B ,A‬ו‪.C -‬‬
‫אם ⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ ‪ ,‬אז ‪ B ,A‬ו‪ C -‬על ישר אחד‪ ,‬אחרת אינם על ישר אחד‪.‬‬
‫‪AB = AC‬‬
‫הערה‪ :‬אם שלוש נקודות על ישר אחד ניתן לקבוע איזו נקודה נמצאת בין השתיים האחרות‬
‫עפ"י שיעורי הנקודות‪ ,‬שיעוריה של הנקודה הפנימית יהיו בהתאמה בין שיעוריהן של הנקודה‬
‫החיצונית‪ ,‬למשל אם ‪ A‬בין ‪ B‬לבין ‪ C‬תמיד יתקיים ‪ xB < xA < xC‬או להפך ‪,xC < xA < xC‬‬
‫כנ"ל לגבי ‪ yA‬ו‪.zA -‬‬
‫‪ .22‬הצגה קנונית של קו ישר – נתבונן במשוואות הבאות‬
‫‪z−4‬‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫‪y+1‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫‪x−6‬‬
‫‪2‬‬
‫המציגות קשרים‬
‫ליניאריים בין ‪ y ,x‬ו‪ ,z -‬צורה זו נקראת הצגה קנונית של ישר במרחב‪.‬‬
‫‪ .23‬מעבר מהצגה קנונית של קו ישר להצגתו הפרמטרית – יש להשוות כל אחד מאגפי המשוואות‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי בע"מ‬
‫בגרות | פסיכומטרי | שיעורים פרטיים | הוצאת ספרים‬
‫טל' ‪www.aviramfeldman.co.il | 077-420-40-60‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי – בחירה חכמה‪ ,‬נקודה‪.‬‬
‫‪ 5‬יח"ל במתמטיקה‪ ,‬שאלון ‪ ,581‬וקטורים – עמוד ‪ 6‬מתוך ‪14‬‬
‫לפרמטר ‪ ,t‬כך נקבל מהישר הר"מ שלוש משוואות‪= t :‬‬
‫)‪(x−6‬‬
‫‪2‬‬
‫וכן ‪= t‬‬
‫‪y+1‬‬
‫‪3‬‬
‫וכן ‪= t‬‬
‫‪z−4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪,‬‬
‫מכאן‪ y = 3t − 1 , x = 2t + 6 :‬ו‪.z = 5t + 4 -‬‬
‫קיבלנו את השלשה )‪ (2t + 6 , 3t − 1 , 5t − 4‬שהיא הישר )‪.l: (6, −1,4) + t(2,3,5‬‬
‫‪ .24‬מעבר מהצגה פרמטרית של הישר להצגתו הקנונית – נבחר ישר )‪l: (1,2,1) + t(−2,3,1‬‬
‫ונציגו כשלשה )‪ , (1 − 2t , 2 + 3t , 1 + t‬כלומר‪:‬‬
‫‪=t‬‬
‫‪x−1‬‬
‫‪−2‬‬
‫⇒ ‪x = 1 − 2t‬‬
‫)‪(y − 2‬‬
‫‪=t‬‬
‫‪3‬‬
‫⇒ ‪y = 2 + 3t‬‬
‫‪z= 1+t ⇒z−1=t‬‬
‫ולסיכום נאמר כי‪= z − 1 :‬‬
‫‪y−2‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫‪x−1‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .25‬מציאת זוויות בין שני ישרים – זווית בין ישרים מוגדרת להיות הכלואה בין וקטורי הכיוון‬
‫של הישרים‪ ,‬מוצאים אותה ע"י שימוש במשוואת המכפלה הסקלרית‪ .‬נאמר כי הכיוון של ‪l1‬‬
‫הוא ‪ a‬והכיוון של ‪ l2‬הוא ‪ b‬והזווית שבין ‪ l1‬לבין ‪ l2‬היא ‪ ,α‬הרי שמתקיים‪:‬‬
‫‪a ∙b‬‬
‫‪ , a ∙ b = |a| ∙ |b| ∙ cosα‬כלומר‪.cosα = |a|∙|b| :‬‬
‫הערות‪ )1( :‬אם ‪ , a ∙ b = 0‬אז‪.α = 90° :‬‬
‫(‪ )2‬אם ‪ , a ∙ b > 0‬אז ‪ α‬זווית חדה‪.‬‬
‫(‪ )3‬אם ‪ , a ∙ b < 0‬אז ‪ α‬זווית קהה‪.‬‬
‫(‪ )4‬אין זה משנה אם מצאנו זווית חדה בין ישרים או את הזווית הקהה הצמודה לה‪.‬‬
‫‪ .26‬מציאת נקודת החיתוך בין שני ישרים – חיפוש נקודת חיתוך בין שני ישרים יתבצע כך‪:‬‬
‫(‪ )1‬הצגת כל אחד משני הישרים כשלשה (נקודה כללית)‪ .‬בד"כ‪ ,‬ישר אחד יוצג כשלשה‬
‫באמצעות הפרמטר ‪ t‬והישר השני באמצעות ‪.s‬‬
‫(‪ )2‬בניית מערכת של שלוש משוואות ושני משתנים ע"י השוואת שיעור ה‪ x -‬של הישר האחד‬
‫לשיעור ה‪ x -‬של הישר השני‪ ,‬שיעור ה‪ y -‬של האחד לשיעור ה‪ y -‬של השני וכנ"ל לגבי‬
‫שיעור‬
‫ה‪ z -‬של הישרים‪.‬‬
‫(‪ )3‬פתרון מערכת המשוואות שהתקבלה‪ :‬בוחרים את שתי המשוואות הנוחות יותר‪ ,‬ופותרים‬
‫את מערכת המשוואות המורכבת מהשתיים הללו בשיטת ההצבה או בשיטת השוואת‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי בע"מ‬
‫בגרות | פסיכומטרי | שיעורים פרטיים | הוצאת ספרים‬
‫טל' ‪www.aviramfeldman.co.il | 077-420-40-60‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי – בחירה חכמה‪ ,‬נקודה‪.‬‬
‫‪ 5‬יח"ל במתמטיקה‪ ,‬שאלון ‪ ,581‬וקטורים – עמוד ‪ 7‬מתוך ‪14‬‬
‫המקדמים‪ ,‬בהתאם לצורת המשוואות‪.‬‬
‫(‪)4‬‬
‫אפשרות ‪:2‬‬
‫אפשרות ‪:1‬‬
‫אין למערכת של שתי המשוואות‬
‫יש למערכת המשוואות המורכבת מהשתיים‬
‫פתרון‪ ,‬ולכן נאמר שלישרים אין‬
‫שבחרנו פתרון יחיד‪ ,‬למשל‪.s = 3 , 𝑡 = 1 :‬‬
‫נקודת חיתוך‪ ,‬ברור מכאן שהישרים‬
‫בשלב זה יש לבדוק האם הפתרון הנ"ל מקיים‬
‫מקבילים או מצטלבים‪ ,‬אם כיוונם‬
‫גם את המשוואה השלישית ע"י הצבת ערכי‬
‫זהה הישרים מקבילים ואם כיוונם‬
‫‪ t‬ו‪ s -‬שהתקבלו כפתרון במשוואה השלישית‪,‬‬
‫שונה הישרים מצטלבים‪.‬‬
‫זו שלא בחרנו‪.‬‬
‫(‪)5‬‬
‫אפשרות ‪:1‬‬
‫אפשרות ‪:2‬‬
‫התקבל פסוק אמת‬
‫התקבל פסוק שקר‬
‫מהצבת ערכי ‪ t‬ו‪s -‬‬
‫מהצבת ערכי ‪ t‬ו‪s -‬‬
‫במשוואה ה‪ 3 -‬נאמר‬
‫במשוואה השלישית‪,‬‬
‫כי הישרים נחתכים‬
‫בנקודה אחת‪ .‬כדי‬
‫למצוא את הנקודה‬
‫הנ"ל נציב את ערכו‬
‫של ‪ t‬בישר שהוצג‬
‫באמצעות ‪ t‬או את‬
‫ערכו של ‪ s‬בישר‬
‫שהוצג באמצעות ‪,s‬‬
‫בכל מקרה נקבל את‬
‫נאמר כי הישרים לא‬
‫נחתכים‪ ,‬אין נקודת‬
‫חיתוך ולכן הישרים‬
‫בהכרח מקבילים או‬
‫מצטלבים (אם כיוונם‬
‫זהה הם מקבילים‬
‫ואם כוונם שונה‬
‫הם מצטלבים)‪.‬‬
‫אותה הנקודה‪.‬‬
‫‪ .27‬ארבעה מצבים הדדים בין שני קווים ישרים – במרחב התלת מימדי ישנם ארבעה מצבים‬
‫הדדים אפשריים בין כל שני ישרים‪ ,‬אלה הם‪:‬‬
‫(‪ )1‬ישרים מתלכדים – כל נקודה על הישר האחד נמצאת גם על הישר השני‪ ,‬כך גם להפך‪.‬‬
‫(‪ )2‬שני ישרים שכיוונם זהה ואין להם נקודה משותפת‪.‬‬
‫(‪ )3‬ישרים נחתכים – שני ישרים שכיוונם שונה ויש להם בדיוק נקודה אחת משותפת‪.‬‬
‫(‪ )4‬ישרים מצטלבים – שני ישרים שכיוונם שונה ואין להם נקודה משותפת‪.‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי בע"מ‬
‫בגרות | פסיכומטרי | שיעורים פרטיים | הוצאת ספרים‬
‫טל' ‪www.aviramfeldman.co.il | 077-420-40-60‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי – בחירה חכמה‪ ,‬נקודה‪.‬‬
‫‪ 5‬יח"ל במתמטיקה‪ ,‬שאלון ‪ ,581‬וקטורים – עמוד ‪ 8‬מתוך ‪14‬‬
‫‪ .28‬מציאת המצב הדדי של שני ישרים – קביעת המצב הדדי בין שני ישרים תבוצע כך‪:‬‬
‫(‪ )1‬נבחן את הכיוונים של שני הישרים‪ ,‬ייתכן שהכיוונים זהים וייתכן שהם שונים‪.‬‬
‫אם לישרים יש כיוונים שונים‬
‫(‪ )2‬אם לישרים יש כיוונים זהים‬
‫נאמר שהישרים מקבילים או‬
‫נאמר שהישרים נחתכים או‬
‫מתלכדים‪.‬‬
‫מצטלבים‪.‬‬
‫(‪ )3‬כעת נבדוק האם נקודת המוצא‬
‫כעת נבדוק האם יש לישרים‬
‫של הישר האחד נמצאת על הישר‬
‫נקודת חיתוך (פעולה ראשונה‬
‫השני (פעולה שלישית בעמוד ‪)5‬‬
‫בעמוד ‪.)7‬‬
‫אם נקודת המוצא‬
‫אם יש לישרים‬
‫אם אין לישרים‬
‫של הישר האחד‬
‫של הישר האחד לא‬
‫נקודת חיתוך נאמר‬
‫נקודת חיתוך נאמר‬
‫נמצאת על הישר‬
‫נמצאת על הישר‬
‫שהם נחתכים‪ ,‬כיוון‬
‫שהישרים מצטלבים‪,‬‬
‫השני נאמר ששני‬
‫השני נאמר ששני‬
‫שכיוונם שונה ויש‬
‫כיוון שכיוונם שונה‬
‫הישרים מתלכדים‪,‬‬
‫הישרים מקבילים‪,‬‬
‫להם נקודה משותפת‬
‫ואין להם נקודה‬
‫כיוון שכיוונם זהה‬
‫זאת כיוון שכיוונם‬
‫אחת‪.‬‬
‫משותפת‪.‬‬
‫ויש להם נק' משותפת‪.‬‬
‫זהה ואין להם‬
‫(‪ )4‬אם נקודת המוצא‬
‫נקודה משותפת‪.‬‬
‫נסכם זאת בטבלה הבאה‪:‬‬
‫נק'‬
‫משותפת‬
‫יש‬
‫אין‬
‫כיוון‬
‫שונה‬
‫זהה‬
‫מתלכדים נחתכים‬
‫מקבילים‬
‫מצטלבים‬
‫‪ .30‬משוואה אלגברית של מישור – משוואה מהצורה ‪ A ∙ x + B ∙ y + C ∙ z + D = 0‬נקראת‬
‫משוואה אלגברית של מישור‪.‬‬
‫‪ .31‬נורמל של מישור – הוקטור )‪ (A, B, C‬מאונך למישור ‪ , Ax + By + Cz + D = 0‬זהו‬
‫"וקטור המקדמים" של המישור‪ ,‬נגדיר אותו להיות הנורמל של המישור‪.‬‬
‫‪ .32‬ישר המאונך למישור – כל ישר שווקטור הכיוון שלו הוא )‪ (A, B, C‬מאונך למישור שמשוואתו‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי בע"מ‬
‫בגרות | פסיכומטרי | שיעורים פרטיים | הוצאת ספרים‬
‫טל' ‪www.aviramfeldman.co.il | 077-420-40-60‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי – בחירה חכמה‪ ,‬נקודה‪.‬‬
‫‪ 5‬יח"ל במתמטיקה‪ ,‬שאלון ‪ ,581‬וקטורים – עמוד ‪ 9‬מתוך ‪14‬‬
‫‪. Ax + By + Cz + D = 0‬‬
‫‪ .33‬מציאת משוואת מישור עפ"י וקטור שמאונך לו ונקודה שעליו – נאמר שהמישור ‪ π1‬מכיל‬
‫את הנקודה )‪ (2,1,3‬ומאונך לוקטור )‪ .(1, −1,4‬משוואת ‪ π1‬היא ‪x − y + 4z + D = 0‬‬
‫כיוון שהווקטור )‪ (1, −1,4‬מאונך לו‪ ,‬וכעת כדי למצוא את ‪ D‬נציב את הנקודה )‪(2,1,3‬‬
‫במשוואת המישור‪ ,‬נקבל ‪ ,2 − 1 + 12 + D = 0‬כלומר ‪ ,D = −13‬ולכן נאמר שמשוואת‬
‫המישור היא ‪.x − y + 4z − 13 = 0‬‬
‫‪ .34‬הצגה פרמטרית של מישור – מישור מתאפיין ע"י נקודה‬
‫שעליו ושני כיוונים שונים המוכלים בו‪ .‬נאמר שהמישור‬
‫‪c‬‬
‫‪ π‬מכיל את הנקודה ‪ a‬ואת שני הכיוונים ‪ b‬ו‪ c -‬אשר‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫שונים זה מזה‪ ,‬הצגתו הפרמטרית של ‪ π‬תהיה זו –‬
‫‪π‬‬
‫‪.π: a + t ∙ b + s ∙ c‬‬
‫‪ .35‬מציאת הצגה פרמטרית של מישור עפ"י שלוש נקודות שעליו –‬
‫יהיו ‪ B , A‬ו‪ C -‬שלוש נקודות שאינן על ישר אחד המכילות במישור ‪ ,π‬הצגתו הפרמטרית של‬
‫המישור ‪ π‬תהיה – )‪ t( , π: A + t(B − A) + S(C − A‬ו‪ s -‬סקלרים)‪.‬‬
‫הערה‪ :‬ניתן לבחור כל נקודה שנרצה "כנקודת מוצא"‪ ,‬כך גם ניתן למצוא כל שני כיוונים‬
‫שנרצה וניצור מהנקודות ‪ B ,A‬ו‪ C -‬בתנאי שיהיו שונים זה מזה‪.‬‬
‫‪ .36‬מכפלה וקטורית – יהיו שני וקטורים ‪ a‬ו‪ b -‬היוצאים‬
‫מאותה נקודה‪ ,‬המכפלה הווקטורית של ‪ a‬ו‪ b -‬מסומנת‬
‫ע"י ‪ axb -‬ותוצאתה תהיה הוקטור ‪ h‬המאונך גם‬
‫לווקטור ‪ a‬וגם לוקטור ‪ , b‬כלומר‪, axb = h :‬‬
‫‪h‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫אז‪ a ⊥ h) a ∙ h = b ∙ h = 0 :‬וגם ‪.(b ⊥ h‬‬
‫‪ .37‬כיצד כופלים וקטורית בין שני וקטורים? – יהיו שני וקטורים ) ‪u = (u1 , u2 , u3‬‬
‫ו‪ .v = (v1 , v2 , v3 ) -‬המכפלה הוקטורית ‪ u x v‬מוגדרת כך‪:‬‬
‫) ‪u x v = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫(‪ )1‬כדאי לבצע את המכפלה הווקטורית בצורה אנכית "בשיטה האצבעות"‪.‬‬
‫(‪ )2‬תוצאה המכפלה הווקטורית הינה וקטור‪ ,‬ומכאן שמה כפי שתוצאת המכפלה הסקלרית‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי בע"מ‬
‫בגרות | פסיכומטרי | שיעורים פרטיים | הוצאת ספרים‬
‫טל' ‪www.aviramfeldman.co.il | 077-420-40-60‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי – בחירה חכמה‪ ,‬נקודה‪.‬‬
‫‪ 5‬יח"ל במתמטיקה‪ ,‬שאלון ‪ ,581‬וקטורים – עמוד ‪ 10‬מתוך ‪14‬‬
‫בין שני וקטורים הינה סקלר‪.‬‬
‫‪ .38‬מציאת משוואת מישור עפ"י שלוש נקודות שעליו – מוצאים שני כיוונים שונים שעל‬
‫המישור‪ ,‬מכפילים וקטורית בין שני הכיוונים הללו כדי לקבל את הנורמל )‪ (A, B, C‬של‬
‫המישור‪ ,‬וכעת מציבים את אחת הנקודות במשוואת המישור למציאת ‪.D‬‬
‫‪ .39‬מעבר מהצגה פרמטרית של המישור למשוואה של מישור – מכפלה וקטורית בין כיוונים של‬
‫המישור תוביל למציאת הנורמל )‪ ,(A, B, C‬את ‪ D‬נמצא ע"י הצבת נקודת המוצא במשוואה‪.‬‬
‫‪ .40‬מעבר ממשוואת מישור להצגתו הפרמטרית (לא שימושי) – מוצאים שלוש נקודות שאינן על‬
‫ישר אחד המקיימות את משוואת המישור‪ ,‬מכאן נמשיך כפי שהוסבר בסעיף ‪.35‬‬
‫‪ .41‬מציאת נקודות חיתוך של המישור עם הצירים – למציאת נקודות החיתוך עם ציר ה‪ x -‬נציב‬
‫‪ y = z = 0‬במשוואת המישור ונמצא את ‪ ,x‬למציאת נקודת החיתוך עם ציר ה‪ z -‬נציב‬
‫‪ x = y = 0‬במשוואת המישור ונמצא את ‪( .z‬במידה והמישור מוצג פרמטרית נעבירו תחילה‬
‫למשוואה אלגברית‪ ,‬סעיף ‪.)39‬‬
‫‪ .42‬מישורים מיוחדים –‬
‫שם המישור‬
‫משוואת המישור‬
‫‪xy‬‬
‫‪z=0‬‬
‫‪xz‬‬
‫‪y=0‬‬
‫‪yz‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪ .43‬מישור העובר דרך ראשית הצירים – משוואתו מהצורה ‪ , Ax + By + Cz = 0‬כלומר‪.D = 0 :‬‬
‫‪ .44‬מציאת משוואת מישור המכיל את 𝟏𝐥 ומקביל ל‪ – 𝐥𝟐 -‬נציג את המישור פרמטרית ע"י נקודת‬
‫המוצא של ‪ , l1‬כיוונו של ‪ l1‬וכיוונו של ‪( l2‬נשים לב שהכיוונים שונים) ובכדי לעבור למשוואה‬
‫אלגברית נקרא שוב את סעיף ‪.39‬‬
‫‪ .45‬מציאת משוואת מישור הנקבע ע"י שני ישרים נחתכים – נציג את המישור פרמטרית ע"י‬
‫נקודת המוצא של אחד הישרים ושני הכיוונים השונים של הישרים‪ ,‬נעביר זאת למשוואה‬
‫אלגברית‪ .‬כפי שהוסבר בסעיף ‪.39‬‬
‫‪ .46‬מציאת משוואת מישור הנקבע ע"י שני ישרים מקבילים – נמצא תחילה את הכיוון הנוצר‬
‫ע"י ‪ 2‬נקודות המוצא של הישרים‪ ,‬יחד עם הכיוון הזהה של הישרים ונקודת המוצא של אחד‬
‫הישרים נציג פרמטרית את המישור‪ ,‬המעבר למשוואה אלגברית הוסבר בסעיף ‪.39‬‬
‫‪ .47‬פרישת מישור ע"י שני ישרים –‬
‫מצב הדדי בין שני ישרים‬
‫מתלכדים‬
‫מקבילים‬
‫נחתכים‬
‫מספר המישורים המכילים את הישרים‬
‫אין סוף‬
‫אחד‬
‫אחד‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי בע"מ‬
‫בגרות | פסיכומטרי | שיעורים פרטיים | הוצאת ספרים‬
‫טל' ‪www.aviramfeldman.co.il | 077-420-40-60‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי – בחירה חכמה‪ ,‬נקודה‪.‬‬
‫‪ 5‬יח"ל במתמטיקה‪ ,‬שאלון ‪ ,581‬וקטורים – עמוד ‪ 11‬מתוך ‪14‬‬
‫אפס‬
‫מצטלבים‬
‫‪ .48‬מצב הדדי בין נקודה למישור – נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המישור‪ ,‬קבלת פסוק‬
‫אמת מלמדת שהנקודה על המישור‪ ,‬פסוק שקר מלמד שהנקודה חיצונית למישור (במידה‬
‫והמישור מוצג פרמטרית נעבירו תחילה למשוואה אלגברית כפי שהוסבר בסעיף ‪.)39‬‬
‫‪ .49‬שלושה מצבים הדדים בין ישר ומישור – (א)‪ .‬מקבילים – אין נקודות משותפות‪.‬‬
‫(ב)‪ .‬נחתכים בנקודת חיתוך – נקודה משותפת אחת‪.‬‬
‫(ג)‪ .‬הישר מוכל במישור – כל נקודות הישר נמצאות‬
‫על המישור‪.‬‬
‫‪ .50‬מציאת המצב ההדדי בין ישר ומישור – נציג את הישר בצורת שלשה (נקודה כללית)‪ ,‬נציב את‬
‫הנקודה הכללית במשוואה האלגברית של המישור (במידה והמישור מוצג פרמטרית נעבירו‬
‫למשוואה אלגברית כפי שהוסבר בסעיף ‪ ,)39‬ונקבל משוואה פשוטה עם משתנה אחד (בדר"כ‬
‫הסקלר ‪ ,)t‬ומכאן‪:‬‬
‫* אפשרות ראשונה – למשוואה אין פתרון ⇐ אין לישר ולמישור נקודה משותפת ⇐ הישר‬
‫והמישור מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫* אפשרות שנייה – למשוואה יש אין סוף פתרונות (מתקבל פסוק אמת) ⇐ כל נקודה שעל‬
‫הישר מוכלת במישור ⇐ הישר מוכל במישור (המישור מכיל את הישר)‪.‬‬
‫* אפשרות שלישית – למשוואה יש פתרון יחיד (נניח ‪ ⇐ )t = 4‬נציב ‪ t = 4‬בנקודה הכללית‬
‫שעל הישר ונמצא את נקודת החיתוך של הישר והמישור‪.‬‬
‫‪ .51‬זווית בין ישר ומישור – יהי ‪ a‬כיוונו של הישר ‪ l1‬ו‪ h -‬הנורמל של ‪ ,π1‬הזווית ‪ α‬הנמצאת בין‬
‫‪a∙h‬‬
‫‪ l1‬לבין ‪ π1‬מוגדרת ע"י‪.sinα = ||a|∙|h|| :‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫(‪ )1‬הערך המוחלט מבטיח שנקבל זווית חדה‪.‬‬
‫(‪ )2‬במידה והמישור מוצג פרמטרית נמצא את ‪ h‬ע"י מכפלה וקטורית בין כיווניו‪.‬‬
‫‪ .52‬מצב הדדי בין שני משורים – (א)‪ .‬מתלכדים – כל נקודה הנמצאת על המישור האחד נמצאת‬
‫גם על המישור השני‪ ,‬וכל נקודה הנמצאת על המישור השני‬
‫נמצאת גם על המישור הראשון‪.‬‬
‫(ב)‪ .‬מקבילים – אין נקודה משותפת‪.‬‬
‫(ג)‪ .‬נחתכים בישר חיתוך – אין סוף נקודות חיתוך (נקודות‬
‫משותפות) הנמצאות כולן על קו ישר אחד‪.‬‬
‫‪ .53‬מציאת המצב ההדדי בין שני מישורים – תחילה נוודא ששני המישורים מוצגים כמשוואה‬
‫אלגברית‪ ,‬במידה ואחד מהם או שניהם מוצגים פרמטרית‪ ,‬נעביר זאת למשוואה אלגברית‪ ,‬כפי‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי בע"מ‬
‫בגרות | פסיכומטרי | שיעורים פרטיים | הוצאת ספרים‬
‫טל' ‪www.aviramfeldman.co.il | 077-420-40-60‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי – בחירה חכמה‪ ,‬נקודה‪.‬‬
‫‪ 5‬יח"ל במתמטיקה‪ ,‬שאלון ‪ ,581‬וקטורים – עמוד ‪ 12‬מתוך ‪14‬‬
‫שהוסבר כבר בסעיף ‪ ,39‬נניח כעת שמשוואת המישורים הן‪:‬‬
‫‪π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0‬‬
‫‪π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫אם ‪ , A1 = B1 = C1 = D1‬אז המישורים מתלכדים זה עם זה‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫אם ‪ , A1 = B1 = C1 ≠ D1‬אז המישורים מקבילים זה לזה‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ואם המישורים לא מתלכדים ולא מקבילים‪ ,‬אז המישורים נחתכים בישר חיתוך‪.‬‬
‫הערה‪:‬‬
‫אם המישורים נחתכים בישר חיתוך אז הנורמלים שלהם אינם פרופורציוניים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .54‬זווית בין שני מישורים – יהיו שני מישורים כלשהם‪ π1 ,‬שהנורמל שלו ‪ h1‬ו‪ π2 -‬שהנורמל‬
‫‪ , h2‬נאמר שהזווית בין ‪ π1‬לבין ‪ π2‬תהיה ‪ α‬ויודגש כי זווית זו מוגדרת להיות הזווית‬
‫שלו‬
‫שבין‬
‫‪ h1‬לבין ‪ , h2‬נמצא אותה ע"י שימוש בנוסחת המכפלה הסקלארית בין ‪ h1‬לבין ‪ , h2‬כך‪:‬‬
‫‪h ∙h‬‬
‫|| ‪( .cosα = ||h 1|∙|h2‬הערך המוחלט מבטיח קבלת זווית חדה)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .55‬מישורים מאונכים – כל שני מישורים אשר הזווית בניהם ישרה נקראים מישורים מאונכים‪,‬‬
‫לשון אחר‪ :‬יהיו שני מישורים‪ π1 :‬ו‪ π2 -‬אשר ‪ h1‬ו‪ h2 -‬הם הנורמלים שלהם בהתאמה‪,‬‬
‫אם ‪ , h1 ∙ h2 = 0‬אז ‪( h1 ⊥ h2‬גם להיפך)‪.‬‬
‫‪ .56‬מציאת ישר חיתוך של שני מישורים נחתכים – יהיו שני מישורים ‪ π1‬ו‪ π2 -‬שמשואותיהם הן‬
‫‪ x + 3y + z − 10 = 0‬ו‪ .π2 : 4x − 2y − 3z + 9 = 0 -‬כיוון שהנורמלים של המישורים‬
‫אינם פרופורציוניים הרי שהם נחתכים ע"י ישר חיתוך‪ ,‬כדי למצוא את הצגתו הפרמטרית‬
‫עלינו למצוא שלשה כלשהי (במונחי ‪ )t‬שהצבתה בשתי המשוואות של המישורים תוביל לפסוק‬
‫אמת מהצורה ‪ , 0 = 0‬שלשה זו הינה ישר החיתוך אותו אנו מחפשים (במידה והמישורים‬
‫מוצגים פרמטרית נעבירם לצורת משוואה כפי שהוסבר בסעיף ‪.)39‬‬
‫כיצד עושים זאת? ‪ -‬נתייחס לשתי המשוואות כאל מערכת של שתי משוואות ושלושה‬
‫משתנים‪" ,‬נבטל" את אחד המשתנים (בדוגמה שלנו נכפול את ‪ π1‬ב‪ 3 -‬ונחבר במאונך‪ ,‬כך‬
‫"נבטל" את ‪ ,)z‬מכאן נישאר עם משוואה אחת ושני משתנים (בדוגמא נישאר עם משוואה‬
‫המקשרת בין ‪ x‬ל‪ ,.)y -‬נסמן ע"י ‪ t‬את אחד המשתנים (נניח ‪ , )x‬נביע באמצעות ‪ t‬את המשתנה‬
‫הנותר (‪ y‬במקרה זה)‪ ,‬וכעת משהבענו את ‪ x‬ו‪ y -‬ע"י ‪ t‬נציבם באחת ממשוואות המישור‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי בע"מ‬
‫בגרות | פסיכומטרי | שיעורים פרטיים | הוצאת ספרים‬
‫טל' ‪www.aviramfeldman.co.il | 077-420-40-60‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי – בחירה חכמה‪ ,‬נקודה‪.‬‬
‫‪ 5‬יח"ל במתמטיקה‪ ,‬שאלון ‪ ,581‬וקטורים – עמוד ‪ 13‬מתוך ‪14‬‬
‫(נניח ‪ )π1‬כדי למצוא את שיעורי ‪ z‬במונחי ‪ .t‬וכעת‪ ,‬כל שנותר הוא להפוך את הנקודה הכללית‬
‫)‪ (x, y, z‬שהובעה באמצעות ‪ t‬להיות הצגה פרמטרית של ישר החיתוך של שני המישורים‪.‬‬
‫נשלים את מציאת ישר החיתוך בדוגמה שהובאה‪:‬‬
‫‪π1 : 3x + 9y + 3z − 30 = 0‬‬
‫‪π2 : 4x − 2y − 3z + 9 = 0‬‬
‫‪7x + 7y − 21 = 0 /÷ 7‬‬
‫‪x+y−3= 0‬‬
‫‪x = t ⇒ y = 3 − t ⇒ 3t + 9(3 − t) + 3z − 30 = 0‬‬
‫‪3t + 27 − 9t + 3z − 30 = 0‬‬
‫‪3z = 3 + 6t /÷ 3‬‬
‫‪z = 1 + 2t‬‬
‫התקבלה השלשה הבאה‪ , (t, 3 − t, 1 + 2t) :‬כלומר הישר‪.l: (0,3,1) + t(1, −1,2) :‬‬
‫‪ .57‬מרחקים – ‪ 7‬סוגי מרחקים יש להכיר‪:‬‬
‫(‪ )1‬מרחק בין ‪ 2‬נקודות‪.‬‬
‫(‪ )2‬מרחק נקודה ממישור (הנקודה החיצונית לישר)‪.‬‬
‫(‪ )3‬מרחק נקודה ממישור (הנקודה החיצונית למישור)‪.‬‬
‫(‪ )4‬מרחק בין שני ישרים מקבילים‪.‬‬
‫(‪ )5‬מרחק בין ישרים מצטלבים‪.‬‬
‫(‪ )6‬מרחק בין ישר ומישור (הישר מקביל למישור)‪.‬‬
‫(‪ )7‬מרחק בין מישורים מקבילים‪.‬‬
‫‪ .58‬מרחק בין שתי נקודות – ראה סעיף ‪ 14‬בעמוד ‪.3‬‬
‫‪ .59‬מרחק נקודה מישר – יהיה ‪ l1‬קו ישר‪ ,‬תהי ‪A‬‬
‫נקודה חיצונית לישר‪ ,‬ותהי ‪ B‬נקודה כללית על‬
‫‪B‬‬
‫‪ l1‬הקרובה ביותר לנקודה ‪ ,A‬קרי הקטע ‪AB‬‬
‫מאונך ל‪ .l1 -‬אורך הקטע ‪ ,AB‬הינו המרחק‬
‫‪A‬‬
‫בין ‪ A‬לבין ‪ .l1‬בכדי למצוא את אורכו של ‪AB‬‬
‫נמצא תחילה את ‪ ,B‬והמרחק בין ‪ A‬ל‪ ,B -‬יחושב‬
‫כמרחק בין שתי נקודות (סעיף ‪ 14‬עמוד ‪.)3‬‬
‫כיצד נמצא את ‪?B‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי בע"מ‬
‫בגרות | פסיכומטרי | שיעורים פרטיים | הוצאת ספרים‬
‫טל' ‪www.aviramfeldman.co.il | 077-420-40-60‬‬
‫‪𝑙1‬‬
‫‪+‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי – בחירה חכמה‪ ,‬נקודה‪.‬‬
‫‪ 5‬יח"ל במתמטיקה‪ ,‬שאלון ‪ ,581‬וקטורים – עמוד ‪ 14‬מתוך ‪14‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ באמצעות ‪ ,t‬נכפול סקלרית את‬
‫נציג את ‪ B‬כ‪" -‬שלשה" ‪ ,‬הרי ‪ B‬על ‪ ,l1‬נביע את הכיוון ‪AB‬‬
‫הכיוון שמצאנו בכיוונו של ‪ l1‬ונשווה לאפס‪ ,‬כך נמצא את ‪ t‬עבורו ‪ , AB ⊥ l1‬ובכך את ‪.B‬‬
‫‪ .60‬מרחק נקודה ממישור – המרחק בין הנקודה ) ‪ (x1 , y1 , z1‬למישור ‪Ax + By + Cz + D = 0‬‬
‫יחושב ע"י הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫|‪|Ax1 +By1 +Cz1 +D‬‬
‫‪√A2 +B2 +C2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .61‬מרחק בין ישרים מקבילים – בוחרים נקודה כלשהי על ‪ l1‬ומוצאים את מרחקה מ‪ l2 -‬כפי‬
‫שהוסבר בסעיף ‪.59‬‬
‫‪ .62‬מרחק בין ישרים מצטלבים – יהיו ‪ l1‬ו‪ l2 -‬ישרים מצטלבים‪" ,‬נפרוש" מישור ‪ ,π1‬המכיל‬
‫את ‪ l1‬ומקביל ל‪ , l2 -‬המרחק בין ‪ π1‬ל‪ l2 -‬הינו המרחק הנדרש‪.‬‬
‫‪ .63‬מרחק בין ישר ומישור (מקבילים) – בוחרים נקודה כלשהי על הישר ומחשבים את מרחקה‬
‫מהמישור ע"י הנוסחה מסעיף ‪.60‬‬
‫‪ .64‬מרחק בין מישורים מקבילים – בוחרים נקודה על אחד המישורים‪ ,‬מוצאים את המרחק בינה‬
‫לבין המישור האחר ע"י הנוסחה מסעיף ‪.60‬‬
‫אבירם פלדמן בגרות ופסיכומטרי בע"מ‬
‫בגרות | פסיכומטרי | שיעורים פרטיים | הוצאת ספרים‬
‫טל' ‪www.aviramfeldman.co.il | 077-420-40-60‬‬