מספרים מרוכבים בעיות גיאומטריות במישור גאוס בבעיות גיאומטריות במישור גאוס לעיתים נצטרך להיעזר בתכונות של צורות .לכן ,מומלץ לבצע חזרה קצרה על משפטים בגיאומטריה. דוגמה :קדקוד אחד של ריבוע החסום במעגל שמרכזו בראשית הצירים הואz1=1+√3i : מצאו את שלושת הקדקודים האחרים של הריבוע. פתרון :נמקם על מישור גאוס את הנקודה המייצגת את המספר המרוכז הנתון ונשרטט ריבוע חסום במעגל. נמצא את rו: θ- נתוןx=1 ,y=√3 : נציב את xו y-בביטויים הבאים.tanθ=y/x ,r=√x2 +y2 : r=√x2 +y2 = √1+3 = 2 r= 2 y √3 = =tanθ =√3 x 1 במחשבוןshift tan(√3) : הפתרון הכללי הוא: θ=60°+180k המספר המרוכב נמצא ברביע הראשון ולכן θ=60° כלומרz = 2cis(60°) , הזווית שבין אלכסוני הריבוע בנות 90מעלות ולכן כדי להגיע לקדקוד השני ,נוסיף 90מעלות נוספות. נחזור על הפעולה עד למציאת הקדקוד הרביעי. )z2 = 2cis(60°+90°) =2cis(150° )z3 = 2cis(150°+90°) =2cis(240° )z4 = 2cis(240°+90°) =2cis(330° 28 © כל הזכויות שמורות למכון simplexללימודי בגרויות ופסיכומטרי. אין להעתיק או להדפיס דפי עבודה אלה או קטעים מהם בכל צורה ובכל אמצעי ,או ללמדם-כולם או חלקים מהם -בלא אישור מכתב ממכון simplexללימודי בגרויות ופסיכומטרי. מספרים מרוכבים מציאת מקום גיאומטרי במישור גאוס דוגמה :מצאו את המקום הגיאומטרי המקיים את המשוואה הבאה: |z-3+4i|=4 פתרון: נציבz=x+yi : | x+yi-3+4i|=4 | (x-3)+(y+4)i|=4 מהגדרת הערך המוחלט: √(x-3)2 +(y+4)2 = 4 נעלה בריבוע: (x-3)2 +(y+4)2 = 16 קיבלנו שהמקום הגיאומטרי הוא מעגל שרדיוסו 4ומרכזו בנקודה ).(3,-4 29 © כל הזכויות שמורות למכון simplexללימודי בגרויות ופסיכומטרי. אין להעתיק או להדפיס דפי עבודה אלה או קטעים מהם בכל צורה ובכל אמצעי ,או ללמדם-כולם או חלקים מהם -בלא אישור מכתב ממכון simplexללימודי בגרויות ופסיכומטרי. מספרים מרוכבים פתרו: ( )1המספר 4-3iמתאר קדקוד זווית חדשה של משולש ישר זווית ושווה שוקיים .המשולש חסום על ידי מעגל במרכזו בראשית הצירים .מצאו את שני הקדקודים האחרים של המשולש .קיימות שתי אפשרויות. ( )2משולש שווה צלעות חסום במעגל קנוני במישור גאוס .אחד מקדקודי המשולש הוא - .1+√3iמצאו את שאר הקדקודים של המשולש. ( )3נתון המספר המרוכב .zמצאו את המקום הגיאומטרי במישור גאוס המתקבל עבור המשוואה|z-4i|=6 : ( )4נתון המספר המרוכב .zמצאו את המקום הגיאומטרי במישור גאוס המתקבל עבור המשוואה|z+i|+ |z̅ +1|=|1+3i| : תשובות: ( 3+4i, -4+3i )1או -3-4i, -4+3i (-1-√3i, √3-i, -√3+i )2 (x2 + (y-4)2 = 25 )3 (=1 )4 2y2 5 + 2x2 3 30 © כל הזכויות שמורות למכון simplexללימודי בגרויות ופסיכומטרי. אין להעתיק או להדפיס דפי עבודה אלה או קטעים מהם בכל צורה ובכל אמצעי ,או ללמדם-כולם או חלקים מהם -בלא אישור מכתב ממכון simplexללימודי בגרויות ופסיכומטרי.