‫מספרים מרוכבים‬
‫בעיות גיאומטריות במישור גאוס‬
‫בבעיות גיאומטריות במישור גאוס לעיתים נצטרך להיעזר בתכונות של צורות‪ .‬לכן‪ ,‬מומלץ לבצע‬
‫חזרה קצרה על משפטים בגיאומטריה‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬קדקוד אחד של ריבוע החסום במעגל שמרכזו בראשית הצירים הוא‪z1=1+√3i :‬‬
‫מצאו את שלושת הקדקודים האחרים של הריבוע‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬נמקם על מישור גאוס את הנקודה המייצגת את המספר המרוכז הנתון ונשרטט ריבוע חסום‬
‫במעגל‪.‬‬
‫נמצא את ‪ r‬ו‪: θ-‬‬
‫נתון‪x=1 ,y=√3 :‬‬
‫נציב את ‪ x‬ו‪ y-‬בביטויים הבאים‪.tanθ=y/x ,r=√x2 +y2 :‬‬
‫‪r=√x2 +y2 = √1+3 = 2‬‬
‫‪r= 2‬‬
‫‪y √3‬‬
‫= =‪tanθ‬‬
‫‪=√3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫במחשבון‪shift tan(√3) :‬‬
‫הפתרון הכללי הוא‪:‬‬
‫‪θ=60°+180k‬‬
‫המספר המרוכב נמצא ברביע הראשון ולכן ‪θ=60°‬‬
‫כלומר‪z = 2cis(60°) ,‬‬
‫הזווית שבין אלכסוני הריבוע בנות ‪ 90‬מעלות ולכן כדי להגיע לקדקוד השני‪ ,‬נוסיף ‪ 90‬מעלות נוספות‪.‬‬
‫נחזור על הפעולה עד למציאת הקדקוד הרביעי‪.‬‬
‫)‪z2 = 2cis(60°+90°) =2cis(150°‬‬
‫)‪z3 = 2cis(150°+90°) =2cis(240°‬‬
‫)‪z4 = 2cis(240°+90°) =2cis(330°‬‬
‫‪28‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למכון ‪ simplex‬ללימודי בגרויות ופסיכומטרי‪.‬‬
‫אין להעתיק או להדפיס דפי עבודה אלה או קטעים מהם בכל צורה ובכל אמצעי‪ ,‬או ללמדם‪-‬כולם או חלקים מהם‪ -‬בלא אישור מכתב ממכון ‪ simplex‬ללימודי בגרויות ופסיכומטרי‪.‬‬
‫מספרים מרוכבים‬
‫מציאת מקום גיאומטרי במישור גאוס‬
‫דוגמה‪ :‬מצאו את המקום הגיאומטרי המקיים את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪|z-3+4i|=4‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נציב‪z=x+yi :‬‬
‫‪| x+yi-3+4i|=4‬‬
‫‪| (x-3)+(y+4)i|=4‬‬
‫מהגדרת הערך המוחלט‪:‬‬
‫‪√(x-3)2 +(y+4)2 = 4‬‬
‫נעלה בריבוע‪:‬‬
‫‪(x-3)2 +(y+4)2 = 16‬‬
‫קיבלנו שהמקום הגיאומטרי הוא מעגל שרדיוסו ‪ 4‬ומרכזו בנקודה )‪.(3,-4‬‬
‫‪29‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למכון ‪ simplex‬ללימודי בגרויות ופסיכומטרי‪.‬‬
‫אין להעתיק או להדפיס דפי עבודה אלה או קטעים מהם בכל צורה ובכל אמצעי‪ ,‬או ללמדם‪-‬כולם או חלקים מהם‪ -‬בלא אישור מכתב ממכון ‪ simplex‬ללימודי בגרויות ופסיכומטרי‪.‬‬
‫מספרים מרוכבים‬
‫פתרו‪:‬‬
‫(‪ )1‬המספר ‪ 4-3i‬מתאר קדקוד זווית חדשה של משולש ישר זווית ושווה שוקיים‪ .‬המשולש‬
‫חסום על ידי מעגל במרכזו בראשית הצירים‪ .‬מצאו את שני הקדקודים האחרים של‬
‫המשולש‪ .‬קיימות שתי אפשרויות‪.‬‬
‫(‪ )2‬משולש שווה צלעות חסום במעגל קנוני במישור גאוס‪ .‬אחד מקדקודי המשולש הוא ‪-‬‬
‫‪ .1+√3i‬מצאו את שאר הקדקודים של המשולש‪.‬‬
‫(‪ )3‬נתון המספר המרוכב ‪ .z‬מצאו את המקום הגיאומטרי במישור גאוס המתקבל עבור‬
‫המשוואה‪|z-4i|=6 :‬‬
‫(‪ )4‬נתון המספר המרוכב ‪ .z‬מצאו את המקום הגיאומטרי במישור גאוס המתקבל עבור‬
‫המשוואה‪|z+i|+ |z̅ +1|=|1+3i| :‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫(‪ 3+4i, -4+3i )1‬או ‪-3-4i, -4+3i‬‬
‫(‪-1-√3i, √3-i, -√3+i )2‬‬
‫(‪x2 + (y-4)2 = 25 )3‬‬
‫(‪=1 )4‬‬
‫‪2y2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2x2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪30‬‬
‫© כל הזכויות שמורות למכון ‪ simplex‬ללימודי בגרויות ופסיכומטרי‪.‬‬
‫אין להעתיק או להדפיס דפי עבודה אלה או קטעים מהם בכל צורה ובכל אמצעי‪ ,‬או ללמדם‪-‬כולם או חלקים מהם‪ -‬בלא אישור מכתב ממכון ‪ simplex‬ללימודי בגרויות ופסיכומטרי‪.‬‬