1. Una muestra aleatoria de ocho viviendas de un barrio tenía los siguientes precios de
venta (en miles de dólares):
192 183 312 227 309 396 402 390
a. Busque pruebas de la ausencia de normalidad.
b. Halle una estimación puntual de la media poblacional que sea insesgada y
eficiente.
c. Utilice un método de estimación insesgada para hallar una estimación puntual de
la varianza de la media muestral (pista: utilice la desviación típica muestral para
estimar la desviación típica poblacional).
d. Utilice un estimador insesgado para estimar la proporción de viviendas de este
barrio que se venden por menos de $250.500
Resolviendo:
a)
Σxi
n
μ=
s=
√
=
Σ(xi −μ) 2
n
curtosis =
g1 =
2411
8
= 301.375
=
√
Σ(xi −μ) 4
(n)(s4 )
( 1n )Σ(xi −μ) 4 (ni )
(( 1n )Σ(xi −μ) 3 (ni ))
58611.875
7
=
3
2
= 91.5
614467166.7
(8)(91.44 )
= 1.095
= 0.26
Como la curtosis es menor a tres se tiene que es mesocúrtica y obteniendo un
coeficiente de asimetría menor a uno podemos decir que la distribución es asimétrica
negativa; existe mayor concentración de valores a la izquierda de la media que a su
derecha.
b)
μ=
Σxi
n
=
2411
8
= 301.375
c)
s=
√
Σ(xi −μ) 2
n
2
=
√
58611.875
7
= 91.5
S 2 = 91.5 = 8372.25
d)
P =
[A]
N
3
8
=
= 0.375
2. Una muestra aleatoria de diez economistas ha realizado las siguientes
predicciones del crecimiento porcentual del producto interno real bruto del
próximo año:
2.2 2.8 3.0 2.5 2.4 2.6 2.5 2.4 2.7 2.6
Utilice métodos de estimación insesgada para hallar estimaciones puntuales de:
1.
2.
3.
4.
La media poblacional.
La varianza poblacional.
La varianza de la media muestral.
La proporción poblacional de economistas que han predicho un crecimiento del
producto interior real bruto de al menos un 2.5%
Resolviendo:
a)
μ=
Σxi
n
=
25.7
8
= 2.57
b)
2
Σ(xi −μ) 2
n
=
4.61
10
= 0.461
2
Σ(xi −μ) 2
(n−1)
=
4.61
9
= 0.512
σ =
c)
s =
d)
[A]
7
N = 9 = 0.777
3. Parta de una distribución normal que tiene una varianza poblacional conocida.
P =
Calcule el margen de error (intervalo de confianza) para estimar la media
poblacional, μ=60, en los casos siguientes:
a. Un nivel de confianza del 98%; n=64; σ​2​= 144
b. Un nivel de confianza del 99%; n=120; σ​2​= 100
Resolviendo:
a)
Z = 2.32
μ ± z σn
144
60 ± [(2.32)( √64
)]
(59.56, 60.43)
b)
Z = 2.58
144
60 ± [(2.58)( √64
)]
(59.51, 60.48)
4. Considera el conjunto de los números enteros impares {1, 3, 5, 7, 9}.
a. Haz una lista de todas las muestras de tamaño 2 que puedan ser seleccionadas
de este conjunto (muestreo con reposición).
b. Construye la distribución de muestreo de las medias muestrales para muestras
de tamaño 2 seleccionadas de este conjunto.
c. Construye las distribuciones de muestreo de las amplitudes muestrales para las
muestras de tamaño 2 del conjunto usado.
Resolviendo:
a)
(1, 3), (1, 5), (1, 7), (1, 9), (3, 5), (3, 7), (3, 9), (5, 7), (5, 9), (7, 9)
b)
n1 = 3, n2 = 5
s 12 = 0.001, s 22 = 0.002
I .C = 95 y 99%
t = 2.36 y 3.49
I .C = (x 1 − x 2 ) ± t
I .C
I .C
0.95
0.95
α
2
=
√
s12
n1
+
s22
n2
= (− 0.0103 ≤ μ 1 − μ 1 ≤ 0.1103 )
= (− 0.0392 ≤ μ 1 − μ 1 ≤ 0.1392 )
5. Se ha pedido a 20 personas de una gran zona metropolitana que anoten
el
​
tiempo (en minutos) que tardan en desplazarse en automóvil al trabajo. Estos
tiempos son los siguientes:
30 42 35 40 45 22 32 15 41 45
28 32 45 27 47 50 30 25 46 25
a. Calcule el error típico.
b. Calcule la amplitud de un intervalo de confianza al 95% de la media poblacional
del tiempo que se tarda en desplazarse al trabajo
Resolviendo:
a)
error = σ x =
2
σ =
Σ(xi −μ) 2
n
2
σ
√n
= 97.36
σ = √σ = 9.87
error = σ x = 9.87
= 2.21
√20
b)
μ ± zσ x
media = 35.1
35.1 ± 4.33
z = 1.96
intervalo : (30.77, 39.43)
6. Halle el margen de error, desviación estándar, para estimar la proporción de la
población en cada uno de los casos siguientes:
a. n=350; p= 0.30 ; α=0.01
b. n=275; p= 0.45 ; α=0.05
c. n=500 ; p= 0.05 ; α=0.10
Resolviendo:
a)
σp=
√
p(1−p)
n
=
√
(0.3)(1−0.3)
350
= 0.02
(z α2 )( √σn ) = error
−3
error = (2.58)( √0.02
)
=
(
2.76)(10
)
350
z=
P −p
σp
P = (z)(σ p ) + p
P = [(2.58)(0.02) + 0.3] = 0.35
b)
σp=
√
p(1−p)
n
=
√
(0.45)(1−0.45)
275
= 0.03
(z α2 )( √σn ) = error
error =
z=
P −p
σp
(9.75)(10 −3 )
(1.64)( √500 )
= (9.75)(10 −3 )
P = (z)(σ p ) + p
P = [(1.64)(2.75)(10 −3 ) + 0.05] = 0.066
7. Calcule el intervalo de confianza para estimar la proporción de la población en
cada uno de los casos siguientes:
a. Un nivel de confianza del 98%; n=450; p=0.1
b. Un nivel de confianza del 95%; n=240 P=0.8 c. α=0.04; n=265; p=0.50
Resolviendo:
a)
σp=
z=
√
p(1−p)
n
=
P −p
σp
√
(0.1)(1−0.1)
450
= 0.014
P = (z)(σ p ) + p
P = [(2.32)(0.014) + 0.01] = 0.13
0.13 ± 2.32(0.014)
intervalo de conf ianza : (0.098, 0.16)
b)
σp=
z=
√
p(1−p)
n
=
P −p
σp
√
(0.8)(1−0.8)
240
= 0.026
P = (z)(σ p ) + p
P = [(1.96)(0.026) + 0.8] = 0.85
0.85 ± 1.96(0.026)
intervalo de conf ianza : (0.8, 0.9)
c)
σp=
z=
√
p(1−p)
n
=
P −p
σp
P = (z)(σ p ) + p
√
(0.5)(1−0.5)
275
= 0.031
P = [(2.05)(0.031) + 0.05] = 0.564
0.564 ± 2.05(0.031)
intervalo de conf ianza : (0.5, 0.628)
8. Halle el intervalo de confianza de la varianza poblacional para cada una de las
siguientes poblaciones normales:
a. n=21; α=0.05; s​2​= 16
b. n=16; α=0.05; s= 8
c. n=28; α=0.01; s​2​= 15
Resolviendo:
a)
σ 2 = (n − 1)s 2
σ 2 = (21 − 1)(16) = 302
x
σ2
α ,n−1
2
302
34.17
<σ2<
2
σ2
x 1− α ,n−1
2
302
< σ < 31.41
8.84 < σ 2 < 9.61
b)
σ 2 = (n − 1)s 2
σ 2 = (16 − 1)(16) = 960
x
σ2
α ,n−1
2
960
27.49
<σ2<
2
σ2
x 1− α ,n−1
2
960
14.47
<σ <
34.92 < σ 2 < 66.34
c)
σ 2 = (n − 1)s 2
σ 2 = (28 − 1)(15) = 405
x
σ2
α ,n−1
2
405
49.64
<σ2<
2
σ2
x 1− α ,n−1
2
405
26.34
<σ <
8.16 < σ 2 < 15.38
9. Considere la siguiente muestra aleatoria extraída de una población normal:
12 16 8 10 9
a. Halle el intervalo de confianza al 90% de la varianza poblacional
b. Halle el intervalo de confianza al 95% de la varianza poblacional
a)
2
σ =
x
σ2
α ,n−1
2
8
9.49
Σ(xi −μ) 2
n
2
<σ <
=
40
5 =
σ2
8
x 1− α ,n−1
2
2
8
< σ < 3.69
0.84 < σ 2 < 2.17
b)
x
σ2
α ,n−1
2
8
11.14
2
<σ <
2
σ2
x 1− α ,n−1
2
8
3.49
<σ <
0.72 < σ 2 < 2.29
10. Suponga que se realiza un muestreo aleatorio simple. Realice una estimación
del intervalo de confianza al 95% de la media poblacional en cada uno de los
casos siguientes:
a. N=1.200; n=80; s=10; x = 142
b. N=1.425; n=90; s​2​=64; x = 232.4
c.
N=3.200; n=200; s​2​=129; x = 59.3
Resolviendo:
x − z √sn , xz √sn
a)
10
142 − 1.96( √10
),
1
42
+
1
.96(
)
√80
80
(139.81, 144.19)
b)
232.4 − 1.96( √890 ), 232.4 + 1.96( √890 )
(230.75, 234.1)
c)
11.36
59.3 − 1.96( 11.36
),
5
9.3
+
1
.96(
)
√200
√200
(57.73, 60.87)
12. ¿De qué tamaño debe ser una muestra para estimar la proporción poblacional
en cada uno de los casos siguientes?
a. ME=0.03; α=0.05
b. ME=0.05; α=0.05
c. Compare y comente las respuestas a los apartados (a) y (b)
Resolviendo:
a)
√
2.57
0.5
√n
0.5
√n
≤
(0.3)(0.5)
n
0.03
2.57
≤ 0.03
≤ 0.011
0.5
√n ≤ 0.011
√n ≤ 4.54
n ≥ 20.66
b)
√
2.57
0.5
√n
(0.5)(0.5)
n
≤ 0.05
≤ 0.019
0.05
√n ≤ 0.019
n ≤ (2.63) 2
n ≥ 6.92
13. ¿De qué tamaño debe ser una muestra para estimar la proporción poblacional
en cada uno de los casos siguientes? Usar p=0.4
a. ME=0.05; α=0.01
b. ME=0.05; α=0.10
c. Compare y comente las respuestas a los apartados (a) y (b)
a)
b)
M E = 0.05
α = 0.01
p = 0.4
α
2 = 0.005
Z α2 = 2.576
M E = 0.05
α = 0.1
p = 0.4
α
2 = 0.05
Z α2 = 1.645
n=
(2.576) 2 (0.4)(1−0.4)
(0.05) 2
n = 259.778
n = 637.034
14. Halle el tamaño de la muestra necesario en cada una de las situaciones
siguientes:
a. N=1.650; σ=500; Z=1.96; σ​x =
​ 50
b. N=1.650; σ=500; Z=1.96; σ​x =
​ 100
c. N=1.650; σ=500; Z=1.96; σ​x =
​ 200
d. Compare y comente sus respuestas a los apartados (a) a (c)
Resolviendo:
M E = 0.5
(z) 2 (n)(σ) 2
(M E)((z) 2 +(n−1)(σ x )
a)
17214.46
b)
8877.44
c)
4561.93
15. El cobre sólido, producido por sinterización (calentamiento sin fundir) de un
polvo en condiciones ambientales especificadas, se mide a continuación para
ver su porosidad (en fracción de volumen debido a huecos) en un laboratorio.
Una muestra de n1 = 4 mediciones independientes de porosidad tienen una
media de y̅1 = 0.22 y varianza de s1 2 = 0.001. Un segundo laboratorio repite el
mismo proceso n cobre sólido formado de un polvo idéntico y obtienen de n1 = 5
mediciones independientes de porosidad con media de y̅1 = 0.17 y varianza de
s1 2 =0.002. Calcule la diferencia real entre las medias poblacionales para estos
dos laboratorios, con un coeficiente de confianza del 90, 95, 975 y 99%.
Resolviendo:
I .C = (x 1 − x 2 ) ± t
α
2
√
s 12
n1
+
s 22
n2
gl = n 1 + n 2 − 2 = 7
90%
95%
97.5%
99%
α
0.1
0.05
0.025
0.01
α
2
0.05
0.025
0.0125
0.005
1.895
2.365
2.998
3.499
t
α
2
I .C 0.9 = (1.686)(10 −3 ) ≤ μ 1 − μ 1 ≤ 0.0983
I.C 0.95 = (− 0.0103 ≤ μ 1 − μ 1 ≤ 0.01103)
I.C 0.975 = (− 0.027 ≤ μ 1 − μ 1 ≤ 0.127)
I.C 0.99 = (− 0.0392 ≤ μ 1 − μ 1 ≤ 0.1392)
16. Los siguientes datos representan el tamaño de partículas de dos muestras
tomadas aleatoriamente dentro de un bloque de acero. Los datos se muestran a
continuación:
65.7
11.5
86.9
14.9
25.0
13.9
444.5
46.9
53.7
64.0
31.6
34.9
28.5
19.3
41.4
40.8
55.7
27.7
24.0
10.5
64.0
19.5
47.7
10.2
64.4
22.7
67.4
9.4
8.4
15.0
31.3
a. Calcular las varianza de cada muestra
b. Encontrar el intervalo de confianza del 95, 98 y 99% para la
comparación de varianzas.
c. Encontrar el intervalo de confianza del 90, 97.5 y 98% para la
comparación de desviación estándar
a)
b)
c)