Part I
Series de Fourier.
1
De…nición.
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) fue un ingeniero y matemático francés que introdujo
un tipo de series funcionales que permiten representar funciones más generales que las que se
representan mediante series de potencias. Por ejemplo, funciones con discontinuidades de salto
…nito, frecuentes en ingeniería electrónica.
Estas series constituyen una herramienta fundamental en la resolución de una gran variedad
de problemas (conducción de calor, vibraciones mecánicas, etc.) que involucran ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales y han tenido también un papel fundamental en el desarrollo
del análisis matemático. Pasamos a de…nirlas.
Definición .1 Se llama serie trigonométrica a una serie funcional expresada mediante senos
y cosenos del modo siguiente:
1
X
1
(an cos nx + bn sin nx)
S (x) = a0 +
2
n=1
Los términos a0 , an y bn se llaman coe…cientes de la serie trigonométrica.
Vamos a ver que, bajo ciertas condiciones, una serie de este tipo puede representar a una
función f (x) que siempre será periódica de periodo 2 debido a la periodicidad de las funciones
sin x y cos x:
Recordemos que una función real de variable real f (x) es periódica de periodo T > 0 si se
veri…ca que
f (x + T ) = f (x)
para todo x 2 Domf: Notar que si f (x + T ) = f (x), entonces f (x + nT ) = f (x); para todo
n natural, luego el periodo es el menor de los valores que cumple la condición de la de…nición.
Además, las funciones periódicas tienen algunas propiedades interesantes que vamos a reseñar:
T
ya
1. Si f (x) es periódica de periodo T y a 6= 0, entonces f (ax) es periódica de periodo
a
que si
g(x) = f (ax);
T
T
g(x + ) = f (a(x + )) = f (ax + T ) = f (ax) = g(x):
a
a
2. Si f (x) es periódica de periodo T , entonces para cualquier entero positivo n,
f (x) + f (nx)
es una función periódica con periodo T .
1
F. Andrés, D. Castaño, J. Muñoz. EIIA de Toledo. UCLM
Más adelante analizaremos la convergencia de la serie trigonométrica a una función f (x) y
cuando dicha convergencia ocurra escribiremos
1
X
1
f (x) = a0 +
(an cos nx + bn sin nx) :
2
n=1
(1)
Además esta función f (x) será quien determine las sucesiones de coe…cientes de la serie.
1.1
Determinación de los coe…cientes.
Supongamos, por el momento, que tenemos una función f sobre el intervalo
< x
y deseamos encontrar los coe…cientes a0 , an y bn de forma que f admita la escritura (1).
Supongamos que la convergencia de la serie es uniforme, de suerte que podemos integrarla
haciéndolo término a término. Para ello tenemos en cuenta que
Z
Z
cos nxdx =
sin nxdx = 0; para n = 1; 2; :::
Por tanto, la integración directa da
Z
f (x)dx = a0 ;
o lo que es igual
a0 =
1
Z
f (x)dx:
Para calcular el resto de los coe…cientes de la serie utilizamos la ortogonalidad del sistema de
funciones
f1; sin x; cos x; sin 2x; cos 2x; :::; sin nx; cos nx; ::::g
con respecto al producto escalar
lo que signi…ca que
Z
Z
Z
Además sabemos que
Z
f (x) g (x) dx;
sin nx sin mxdx = 0 si n 6= m;
cos nx cos mxdx = 0 si n 6= m;
cos nx sin mxdx = 0; para todo n
Z
2
cos nxdx =
Z
1 y todo m
1:
sin2 nxdx =
2
F. Andrés, D. Castaño, J. Muñoz. EIIA de Toledo. UCLM
Si multiplicamos ahora en (1) por cos kx resulta que
1
X
a0
f (x) cos kx =
cos kx +
(an cos nx cos kx + bn sin nx cos kx);
2
n=1
e integrando término a término se tiene que,
Z
Z
a0
cos kxdx +
f (x) cos kxdx =
2
Z
1 Z
X
an cos nx cos kxdx +
=
n=1
Z
Entonces
1
ak =
bn sin nx cos kxdx
ak cos2 (kx) dx = ak :
Z
f (x) cos (kx) dx; k
1
Si multiplicamos ahora en (1) por sin kx, integramos y razonamos de la misma forma se obtiene
que
Z
1
bk =
f (x) sin (kx) dx; k 1
Luego los coe…cientes responden a las siguientes fórmulas generales:
Z
1
an =
f (x) cos nxdx; n 0
bn =
1
Z
f (x) sin nxdx; n
(2)
(3)
1:
De esta forma, acabamos de ver que si f tiene un desarrollo en serie de Fourier como (1)
entonces necesariamente sus coe…cientes se calculan mediante las fórmulas (2) y (3).
Puesto que no sabemos de antemano si f coincide con una serie trigonométrica, lo que haremos
será, dada una función f; construir su serie de Fourier con ayuda de (2) y (3). Basta que estas
fórmulas tengan sentido para poder hacerlo, y una vez hechos los cálculos escribiremos
f (x)
1
X
1
a0 +
(an cos nx + bn sin nx) :
2
n=1
La razón de que hagamos esto es obvia en virtud de la introducción dada. Por tanto, lo esperado
es, que en lugar tengamos una igualdad para x 2 ( ; ]:
Nótese que en esta tarea hemos de ver que la serie converge y luego veri…car que lo hace a
f (x) :
Ejemplo 1.1 Dada la función
f (x) =
0
<x<0
0 x
x
3
F. Andrés, D. Castaño, J. Muñoz. EIIA de Toledo. UCLM
tenemos que
a0 =
an =
1
1
Z
Z
f (x)dx =
1
Z
(
x) dx =
0
f (x) cos nxdx =
1
Z
(
1
2
x) cos nxdx
0
Z
1
=
sin nx +
sin nxdx
n
n 0
0
1 1
1 ( 1)n
=
(cos
n
1)
=
n2
n2
Z
Z
1
1
f (x) sin nxdx =
(
x) sin nxdx
bn =
0
Z
1
1
(
x)
=
cos nx
cos nxdx
n
n 0
0
1
1
=
=
n
n
Ahora vamos a mostrar grá…camente como las sumas parciales se va aproximando a la función
1
(
x)
en la medida en que vamos aumentando el número de sumandos.
1
2
S1 = a0 + a1 cos x + b1 sin x = + cos x + sin x
2
4
S2 =
4
+
2
cos x + x +
1
sin 2x
2
4
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S5 =
1
2
1
sin 2x +
cos 3x + sin 3x
4
2
9
3
2
1
1
cos 5x + sin 5x
+ sin 4x +
4
25
5
+
2
cos x + sin x +
Podríamos continuar y encontraríamos que
La sucesión de las sumas parciales se parece cada vez mas a la función. Esta es la idea de
convergencia.
Ejemplo 1.2 Dada la función
f (x) =
1
2
<x<0
x
0
tenemos que
a0 = 1; an = 0; bn = 3
1
( 1)n
n
5
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y por tanto
1 6
+ sin x
2
1 6
2
= S4 = + sin x + sin 3x
2
1 6
2
6
= S6 = + sin x + sin 3x +
sin 5x
2
5
1 6
2
= S8 = + sin x + sin 3x
2
6
6
+ sin 5x +
sin 7x
5
7
S1 = S2 =
S3
S5
S7
Ahora nos …jamos en las aproximación grá…ca.
6
F. Andrés, D. Castaño, J. Muñoz. EIIA de Toledo. UCLM
Ejercicio 1 Comprobar que los coe…cientes de Fourier de la función f (x) = x, 8 x 2 [
son
; )
an = 0; 8n
bn
0
2
= ( 1)n+1 ; 8n
n
1
y escribir la serie de Fourier.
Ejercicio 2 Encontrar la serie de Fourier de la función f (x) = jxj; x 2 [
1.2
; ):
Extensión a intervalos arbitrarios.
El procedimiento descrito nos ha permitido encontrar la serie de Fourier de una función de…nida
en ( ; ]. Vamos ahora a generalizarlo para encontrar la serie de Fourier de una función,
de…nida sobre un intervalo simétrico ( L; L]. Esto se logra haciendo un cambio de variable.
Si x 2 ( L; L], introducimos una variable t 2 ( ; ] del modo siguiente:
x
t=
L
Así
Lt
= g (t) :
f (x) = f
Si g se puede representar mediante su serie de Fourier,
1
X
1
g (t) = a0 +
(an cos nt + bn sin nt)
2
n=1
entonces f también se podrá y escribiremos:
1
X
1
n
n
f (x) = a0 +
an cos
x + bn sin
x
2
L
L
n=1
Donde los coe…cientes de la serie, tras el cambio de variable quedarían como sigue:
Z
Z
1
1 L
x
an =
g(t) cos nt dt =
f (x) cos n dx; n 0
L L
L
Z
Z L
1
1
x
bn =
g(t) sin nt dt =
f (x) sin n dx; n 1
L L
L
7
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Si suponemos ahora que el intervalo donde vamos a desarrollar la función es I = (a; b]; hacemos
el cambio
a+b
x
t
2
=
2
b a
la serie de Fourier de una función f (x) en (a; b] es
con
1
X
2 n
1
an cos
f (x) = a0 +
2
b a
n=1
2
b
2
b a a
b
Z b
2
2
=
f (x) sin
b a a
b
an =
bn
Z
a+b
2
x
+ bn sin
n
x
a
n
x
a
f (x) cos
2 n
b a
a+b
2
a+b
2
a+b
2
x
dx; n
0
dx; n
1
Ejercicio 3 Encontrar la serie de Fourier de las funciones
a
f (x) =
0;
2<x 0
:
1; 0 < x 2
b
f (x) = x2 ; x 2 [1; 3]:
1.3
Otras formas de escribir la serie.
Otra forma de escribir una serie trigonométrica es
f (x) = A0 +
1
X
An sin(
n=1
n
x+
L
n)
1
la frecuencia.
L
p
a0
an
A0 = ; An = a2n + b2n ; n = arctan
2
bn
donde An es la amplitud,
2
n
es la fase y
Series de Fourier de funciones pares e impares.
Definición .2 Una función de…nida sobre un intervalo simétrico [ L; L] se dice que es par si
veri…ca que
f ( x) = f (x)
para todo x 2 [ L; L]: Se dice impar si veri…ca que
f ( x) =
f (x)
para todo x 2 [ L; L]:
8
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Proposición 2.1 Las funciones pares e impares veri…can:
1. El producto de funciones pares es par.
2. El producto de dos funciones impares es par.
3. El producto de una función par por una impar es impar.
Observación 1 La integral del una función impar sobre un intervalo simétrico [ L; L] es cero.
La integral del una función par sobre un intervalo simétrico [ L; L] es el doble de la integral
de la función sobre el intervalo [0; L].
Teorema 2.2 Sea f (x) una función integrable de…nida en ( L; L]: Si es una función par, su
serie de Fourier tiene sólo términos en coseno y sus coe…cientes vienen dados por
Z
n x
2 L
f (x) cos
dx; bn = 0
an =
L 0
L
Si es una función impar, su serie de Fourier tiene sólo términos en seno y sus coe…cientes vienen
dados por
Z
2 L
n x
an = 0; bn =
f (x) sin
dx
L 0
L
Ejemplo 2.1 Función de onda cuadrada
f (x) =
1;
1; 0
x<0
x<
es una función impar.
bn =
2
Z
0
=
2
( cos n + 1)
n
0; n = 2k; k 2 N
( 1)n ) =
4
; n = 2k 1; k 2 N
n
sin nx dx =
2
(1
n
La serie de Fourier de la función es
4
sin x +
sin 3x sin 5x
sin (2k 1) x
+
+ ::: +
+ :::
3
5
2k 1
1
4 X sin (2k 1) x
=
2k 1
k=1
9
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Vamos ahora a representar grá…camente la función junto con diferentes aproximaciones de la
serie
Ejemplo 2.2 La serie de Fourier de la función f (x) = x en el intervalo (
ya que la función es impar.
2 sin x
sin 2x +
2
sin 3x
3
1
2
sin 4x + sin 5x
2
5
; ] es en senos
1
sin 6x + :::
3
La …gura siguiente representa
S5 (x) = 2 sin x
sin 2x +
2
sin 3x
3
1
2
sin 4x + sin 5x
2
5
10
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Observar que en x =
la serie y la función toman valores diferentes.
Ejemplo 2.3 f (x) = jxj, con x 2 ( ; ] es una función par, por lo que su SF es de tipo
coseno.
4
1
1
cos x + cos 3x +
cos 5x + :::
2
9
25
Observando los dos ejemplos anteriores vemos que en el intervalo [0; ] las funciones x y jxj
coinciden. Es decir la función f (x) = x se puede desarrollar sólo en senos
2 sin x
sin 2x +
o sólo en cosenos
4
2
sin 3x
3
cos x +
2
1
2
sin 4x + sin 5x
2
5
1
sin 6x + :::
3
1
1
cos 3x +
cos 5x + :::
9
25
si nos restringimos al intervalo [0; ] :
El hecho anterior motiva el siguiente Teorema:
Teorema 2.3 Si f (x), cuando x 2 [0; L], se puede desarrollar en serie de Fourier, entonces,
en dicho intervalo, la función se puede desarrollar en serie de cosenos como sigue
n
a0 X
an cos
+
x
2
L
n=1
1
o bien en serie de senos
1
X
bn sin
n=1
Los coe…cientes en cada caso serán
an
bn
n
x
L
Z
2 L
n x
=
f (x) cos
dx; n
L 0
L
Z
2 L
n x
=
f (x) sin
dx; n
L 0
L
0
1
Prueba. Dada una función f (x), de…nida en el intervalo [0; L] podemos de…nir las funciones
8
si
L<x<0
< f ( x)
0
si
x=0
g(x) =
:
f (x) si
0<x L
h(x) =
f ( x)
f (x)
si
si
L<x<0
0 x L
Es claro que g (x) es una función impar de…nida en ( L; L] que coincide con la función f (x),
en el intervalo [0; L]: Esta función se suele denominar extensión impar de la función f (x) : El
desarrollo en serie de Fourier de la función g sólo contiene términos en seno y sería
S (x) =
1
X
bn sin
n=1
n
x
L
11
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donde
2
bn =
L
Z
L
f (x) sin
0
n x
dx; n
L
1
Del mismo modo vemos que h (x) es una función par de…nida en ( L; L] que coincide con la
función f (x), en el intervalo [0; L]: Esta función se suele denominar extensión par de la función
f (x) : El desarrollo en serie de Fourier de la función h sólo contiene términos en coseno y sería
n
a0 X
+
an cos
x
2
L
n=1
1
donde
2
an =
L
Z
L
f (x) cos
0
n x
dx; n
L
0
Observación 2 En general, la serie de Fourier de tipo seno no convergerá a la función en los
extremos del intervalo.
Ejemplo 2.4 Si consideramos la función f (x) = cos x; x 2 [0; ] admite un desarrollo en serie
de senos que tendría los siguientes coe…cientes:
(
Z
0; n = 1
2
n
cos x sin nx dx =
bn =
2n 1+( 1)
n2 1
0
Es decir
b2n
1
= 0; b2n =
8n
(4n2 1)
Ejercicio 4 Hallar las series de Fourier de tipo coseno y de tipo seno de
f (x) = x2 ; 0
3
x
:
Convergencia
Por sencillez en la notación, volvemos a considerar funciones f (x) de…nidas inicialmente en
( ; ], o bien[ ; ). Estas funciones se pueden extender a toda la recta real utilizando la
siguiente condición de periodicidad
f (x + 2 ) = f (x);
y de este modo, se de…ne en toda la recta real una función periódica que se llama extensión
periódica de la función f: Se procedería del mismo modo para obtener la extensión periódoca
de una función de…nida en un intervalo simétrico ( L; L]:
12
F. Andrés, D. Castaño, J. Muñoz. EIIA de Toledo. UCLM
Ejemplo 3.1 La extensión periódica de la función
f (x) =
1;
<x
1; 0 < x
0
es la función
Ejemplo 3.2 La extensión periódica de la función f (x) = x; x 2 (
; ] es la función
Observación 3 Al hacer las extensiones en ambos ejemplos siempre se toma f (
)=f( )
A continuación, vamos a analizar las condiciones que debe cumplir una función f (x) para que
podamos asegurar la convergencia de la serie a la función f , lo que va a signi…ca que la serie
aproxima a la función, no sólo en el intervalo ( ; ], sino que aproxima a la extensión periódica
de f en toda la recta real. En ese caso podremos escribir para cada x,
1
X
1
(an cos nx + bn sin nx)
f (x) = a0 +
2
n=1
Definición .3 Una función f (x) se dice derivable a trozos en un intervalo [a; b] si su grá…ca
consta de un número …nito de curvas continuas en cada una de las cuales existe f 0 (x) y es
continua. Además en los extremos de las curvas (designamos por f (x+ ) y f (x ) los valores
que toma la función a la derecha y a la izquierda de x respectivamente) existen los siguientes
límites:
f (x + h) f (x+ )
f (x + h) f (x )
lim+
y
lim
h!0
h!0
h
h
Teorema 3.1 (Teorema de Dirichlet) Sea f (x) una función periódica de periodo 2 ,
acotada y derivable a trozos en ( ; ]: Entonces la serie de Fourier de f (x) converge en
cada punto x a
1
f x+ + f x
2
es decir,
1
X
1
1
a0 +
(an cos nx + bn sin nx) =
f x+ + f x
2
2
n=1
Esto signi…ca que en los puntos donde la función es continua la serie y la función coinciden.
13
F. Andrés, D. Castaño, J. Muñoz. EIIA de Toledo. UCLM
Si en los puntos de discontinuidad de la función esta se rede…ne como
f (x) =
1
f x+ + f x
2
entonces la serie representará a esta función rede…nida en todos los puntos.
El teorema seguirá siendo válido cuando se trate de la serie de Fourier de una función de…nida
en un intervalo simétrico ( L; L] y también cuando se trate de desarrollos en serie de senos o
de cosenos en un intervalo [0; L].
El Teorema pone de mani…esto que la continuidad de una función no es necesaria ni su…ciente
para la convergencia de su serie de Fourier. Una función discontinua del tipo de las que aparecen
en el siguiente ejemplo, muy frecuentes en las aplicaciones de ingeniería, puede representarse
en todo punto mediante su serie de Fourier.
Ejemplo 3.3
Ejemplo 3.4 El Teorema de Dirichlet permite asegurar la convergencia de la función onda
cuadrada
1;
<x 0
f (x) =
1; 0 < x
Por tanto en los puntos de continuidad
f (x) =
4
sin x +
sin (2k 1) x
sin 3x sin 5x
+
+ ::: +
+ :::
3
5
2k 1
1
4 X sin (2k 1) x
=
2k 1
k=1
Además vemos que
S (0) = 0 =
f (0+ ) + f (0 )
2
Teniendo en cuenta que la función es continua en el Teorema nos ayuda a sumar una serie
2
numérica ya que
f
2
= 1
=
=
0
4@
sin
4
1
sin 3
2
+
1 1
+
3 5
3
2 +
sin 5
5
1
+ :::
7
2 + ::: +
sin (2k
2k
1)
1
1
2 + :::A
14
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Luego
1 1
+
3 5
1
1
+ ::: =
7
4
Ejercicio 5 Para cada una de las funciones siguientes, comprobar que se veri…can las hipótesis
del teorema de Dirichlet y hallar las series de Fourier correspondientes.
a
0;
f (x) =
b
g (x) =
c
h (x) =
8
>
>
<
x<0
x<
; 0
8
>
<
2
>
:
>
>
:
;
2
x<0
; 0
x<
2
1
x;
2
2
1
x; 0
2
x<0
x<
Ejercicio 6 Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de periodo 2 de…nida por
0;
<x
x; 0 < x
f (x) =
0
a Comprobar que se veri…can las hipótesis del teorema de Dirichlet.
b Calcular el valor de la serie de Fourier en x =
y en x = 0:
c Utilizar el resultado del apartado anterior para demostrar que:
1
X
n=1
d Calcular
X1
n=0
1
(2n
1)
2
y
X1
n=3
1)2
(2n
1
(2n
2
1
1)2
=
8
:
Ejercicio 7 Dada la función periódica de periodo 2 de…nida por
f (x) =
0;
<x
2
x ; 0<x
0
;
se pide:
15
F. Andrés, D. Castaño, J. Muñoz. EIIA de Toledo. UCLM
a Probar que
2
f (x) =
6
+2
1
1
X
X
( 1)n
( 1)n+1
sin nx
cos
nx
+
2
n
n
n=1
n=1
1
4X
n=1
1
sin (2n
1)3
(2n
b Evaluar la serie en los puntos x = 0 y x =
1) x
para probar los resultados siguientes:
1
1
2 X
2
X
1
( 1)n+1
;
=
=
n2
6 n=1
n2
12
n=1
Ejercicio 8 Desarrollar en serie de senos en el intervalo (0; ) la función f (x) = y utilizar
4
el resultado para calcular la suma de las siguientes series numéricas:
a
1 1
+
3 5
1
b
1+
3.1
1
5
1
7
1
+ :::
7
1
1
1
+
+
11 13 17
:::
Derivación e integración de una serie de Fourier
Teorema 3.2 Sea f (x) una función continua en R y con periodo 2L y f 0 (x) continua a trozos
en [ L; L]: Entonces la serie de Fourier de la función f 0 (x) se puede obtener de la serie de
f (x) mediente derivación término a término. Es decir, si
1
X
n
1
n
an cos
x + bn sin
x
f (x) = a0 +
2
L
L
n=1
entonces
0
f (x) =
1
X
n
n=1
L
an sin
n
n
x + bn cos
x
L
L
Teorema 3.3 Sea f (x) continua a trozos en [ L; L] con serie de Fourier
f (x)
1
X
1
n
n
a0 +
an cos
x + bn sin
x :
2
L
L
n=1
Entonces 8x 2 [ L; L] se veri…ca
Z
1 Z
X
1
f (t) dt = a0 (x + L) +
2
L
n=1
x
x
an cos
L
n
n
t + bn sin
t dt
L
L
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Ejemplo 3.5 Las funciones
f (t) =
1; 0
1;
t<
t<2
t; 0
t;
; g (t) =
se relacionan como sigue:
0
g (t) = f (t); g (t) =
Z
t<
t<2
t
f (x)dx
0
Comprobar que sus series de Fourier
1
4 X sen (2n 1) t
f (x) =
; g (x) =
(2n
1)
2
n=1
1
4 X cos (2n 1) t
(2n 1)2
n=1
se relacionan del mismo modo.
4
Expresión compleja de una serie de Fourier.
Vamos a ver que la serie de Fourier de una función f periódica de periodo 2 , de…nida en
( ; ] puede expresarse como una serie de potencias de la función eix .
De la fórmula de Euler
eix = cos x + i sin x
podemos deducir la igualdad
cos nx =
einx + e
2
inx
; sin nx =
einx
e
2i
inx
Por tanto
an cos nx + bn sin nx
einx + e inx
= an
+ bn
2
= cn einx + c n e inx
siendo
cn =
Si hacemos c0 =
1
(an
2
ibn ) ; c
n
=
einx
e
2i
inx
_
1
(an + ibn ) = cn
2
a0
, podemos escribir la serie como
2
::: + c 3 e 3ix + c 2 e
n=+1
X
=
cn einx
2ix
+ c 1e
ix
+ c0 + +c1 eix + +c2 e2ix + +c3 e3ix + :::
n= 1
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en la que los nuevos coe…cientes se
Z
1 1
cn =
2
Z
1
=
2
Z
1
=
2
c
5
n
pueden calcular a partir de los anteriores como sigue:
Z
1
f (x) cos nxdx i
f (x) sin nxdx
f (x) (cos nxdx
f (x) e
=
_
cn
inx
1
=
2
i sin nx) dx
dx
Z
f (x) einx dx
El problema de Sturm-Liouville.
Enel tema siguiente vamos a utilizar las series de Fourier para resolver problemas que implican
a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Vamos a utilizar un método que nos transformara la EDP en un par de EDOs de segundo orden en las que además de condiciones iniciales
habrá condiciones de contorno.
A diferencia de los problemas de valor inicial ( con solución única), los problemas con condiciones
de contorno se caracterizan por poseer in…nitas soluciones.
Tienen la forma general siguiente:
8 d
dy
+ (r (x) + (x)) y = 0
< dx p (x) dx
0
1 y (a) + 1 y (a) = 0
:
0
2 y (b) + 2 y (b) = 0
es un parámetro
1;
1;
2;
2
son constantes para las que se veri…ca que (
(0; 0) :
1;
1)
6= (0; 0) y (
p; r y son funciones de…nidas en el intervalo [a; b] y tales que p (x)
cada x 2 [a; b]:
0 y (x)
2;
2)
6=
0 para
La forma en la que aparece la EDO se denomina forma autoadjunta. En particular nos centraremos en los casos en los que p (x) = (x) = 1 y r (x) = q (x) = 0; es decir,
8
y 00 + y = 0
<
0
1 y (a) + 1 y (a) = 0
:
0
2 y (b) + 2 y (b) = 0
y buscaremos soluciones distintas de cero.
La ecuación carácterística r2 + = 0 nos lleva a que la solución general de la ecuación diferencial
será:
Si
< 0; entonces y (x) = Ae
p
x
+ Be
p
x
:
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Si
Si
= 0;entonces y (x) = A + Bx:
p
p
> 0; entonces y (x) = A cos
x + B sin
x:
Ejemplo 5.1
Si
< 0; entonces y (x) = Ae
p
8 00
< y + y=0
y (0) = 0
:
y( ) = 0
x
p
+ Be
x
:
y (0) = A + B = 0
y ( ) = Ae
p
+ Be
p
=0
Luego A = B = 0; y por tanto no existen soluciones diferentes de cero.
Si
= 0;entonces y (x) = A + Bx:
y (0) = A = 0
y( ) = A+B = 0
Luego A = B = 0; y por tanto tampoco existen soluciones diferentes de cero en este caso.
p
p
Si > 0; entonces y (x) = A cos
x + B sin
x
y (0) = A = 0
p
y ( ) = B sin
= 0 () sin
p
=0
Es fácil concluir que el problema tiene in…nitas soluciones no nulas que se llaman autofunciones
del problema y que se expresan
yn (x) = An sin nx; n 2 N
con An una constante arbitraria no nula. Cada una de estas autofunciones se corresponde con
un valor del parámetro
2
n = n
que se denomina autovalor asociado a la autofunción.
Ejemplo 5.2
8 00
< y + y=0
y (0) = 0
: 0
y ( )=0
Repitiendo el procedimiento del ejemplo anterior llegamos a que sólo hay soluciones no nulas
para los valores
2
2n 1
=
n
2
y correspondes a
2n 1
yn (x) = An sin
x; n 2 N
2
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Ejercicio 9 Determinar las autofunciones y los autovalores de los siguientes problemas de
Sturm-Liouville.
1.
y 00 + y = 0
y (0) = y (1) = 0
y 00 + y = 0
y 0 (0) = y 0 (1) = 0
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