Méthode de Newton
Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒 𝑥 − 1.
1) Déterminer les variations de 𝑓 sur ℝ.
2) Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une solution unique sur l’intervalle [0 ; 2]. On notera  cette
solution.
3) La courbe représentative Cf de 𝑓 est donnée ci-dessous. Soient les points A et B d’abscisses respectives
𝑎 = 0 et 𝑏 = 2.
On veut trouver une valeur approchée de  à l’aide d’une méthode appelée méthode de Newton ou méthode
des tangentes.
On définit 𝑐0 = 𝑏 = 2.
On trace la tangente à Cf en son point d’abscisse 𝑐0 . Cette tangente coupe l’axe des abscisses en un point
dont l’abscisse est notée 𝑐1 comme sur la figure ci-dessus.
On réitère le procédé en considérant la tangente à Cf en son point C1 d’abscisse 𝑐1. Cette tangente coupe
l’axe des abscisses en un point dont l’abscisse est notée 𝑐2 .
On poursuit la construction et on définit une suite ( 𝑐𝑛 ) de premier terme 𝑐0 .
a) Déterminer une équation de la tangente à Cf en son point d’abscisse 𝑐𝑛 .
b) Soit 𝑐𝑛+1 l’abscisse du point d’intersection de l’axe des abscisses et de la tangente à la courbe Cf en son
point d’abscisse 𝑐𝑛 .
Montrer que l’on a la relation de récurrence suivante :
𝑐𝑛+1 = 𝑐𝑛 −
𝑓(𝑐𝑛 )
𝑓′(𝑐𝑛 )
4. Transposer et compléter le programme Python de la page 224 afin que l’appel Newton(n) renvoie le terme
d’indice n de la suite (𝑐𝑛 ) pour la fonction 𝑓 de cet exercice.
5. On admet que la suite (𝑐𝑛 ) converge vers le réel . Faire tourner le programme précédent et déterminer la
valeur retournée à l’appel Newton(3).