Übungen zur Vorlesung Mathematik II
für Informatik, Bioinformatik, Medieninformatik,
Medizininformatik und Kognitionswissenschaft
Dr. Britta Dorn
8. Mai 2019
Dr. Rüdiger Zeller
P
Aufgabe
1
2
3
Übungsblatt 3
Punkte
/ 12
/8
/4
/ 24
1. (a) Sei (G, ·) eine Gruppe mit neutralem Element e und a2 = e für alle a ∈ G.
Zeige, dass (G, ·) abelsch ist.
(b) Gegeben sei ein Rechteck ABCD. Bestimme die Menge V4 aller Spiegelungen
und Drehungen, die das Rechteck ABCD in sich selbst überführen. Beschreibe
die Spiegelungen und Drehungen anhand von Permutationen der Ecken.
(c) Stelle eine Verknüpfungstafel für V4 auf und zeige, dass es sich um eine Gruppe
handelt.
(d) Ist V4 abelsch?
(3 + 4 + 4 + 1 Punkte)
2. (a) Es sei M = {1, 2, 3}. Wieviele surjektive, injektive und bijektive Abbildungen
π : M → M gibt es?
(b) Sei n ∈ N. Zeige: Wenn π : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} surjektiv ist, so ist π auch
injektiv und umgekehrt.
(c) Definition 2.8 besagt, dass Sn alle bijektiven Abbildungen der Menge {1, . . . , n}
auf sich selbst enthält. Zeige mit vollständiger Induktion, dass |Sn | = n! für
alle n ≥ 1 (Bem. 2.10).
(2 + 3 + 3 Punkte)
3. (a) Sei (G, ·) eine Gruppe. Für welche x ∈ G gilt x2 = x?
(b) Gib drei verschiedene σ ∈ S4 an, für die σ 3 = σ gilt. Wieviele σ ∈ S4 gibt es,
die diese Gleichung erfüllen?
(1 + 3 Punkte)
Bitte alle Antworten begründen.
Lösungen ohne Lösungsweg werden nicht gewertet.
Abgabe am Mittwoch, 15.5.2019, in der Vorlesungspause.