Solving Math Problems
Laura Braun
May 25, 2020
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1.1
1.1.1
Funktionen
Grundlegende Eigenschaften
Injektivität, Surjektivität und Bijektivität
Injektivität:
f : A → B, y ∈ B.!∃x ∈ A.f (x) = y
das heißt:
f (x1 ) 6= f (x2 ) ⇒ x1 6= x2
bzw.
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2
Stetige Funktionen, die von einem reellen Intervall in die reellen Zahlen
abbilden sind genau dann injektiv, wenn sie auf dem ganzen Definitionsbereich streng monoton steigend oder fallend sind.
Sind zwei Funktionen f : A → B und g : B → C injektiv, so gilt das auch
für die Komposition (Verkettung) g ◦ f : A → C.
Nachweis:
Zunächst wird angenommen dass die Funktionswerte f (x1 ) und f (x2 ) zu den
Elementen x1 und x2 der Definitionsmenge A gleich sind:
f (x1 ) = f (x2 )
Lässt sich nun zeigen, dass daraus folgt, dass die Elemente x1 und x2 identisch sind, so ist die Funktion f injektiv.
=⇒ x1 = x2
Soll gezeigt werden, dass die betrachtete Abbildung nicht injektiv ist, so
genügt es zwei unterschiedliche Elemente der Definitionsmenge zu finden,
welche durch die Abbildung f auf ein und dasselbe Element y ∈ B geschickt
werden.
Surjektivität: Eine surjektive Funktion muss folgende Aussage erfüllen:
f : A → B, ∀y ∈ B.∃x ∈ A.f (x) = y
Sind zwei Funktionen f : A → B und g : B → C surjektiv, so gilt das auch
für die Komposition (Verkettung) g ◦ f : A → C.
Nachweis:
Da für jedes y ∈ B ein x ∈ A mit y = f (x) existieren muss, wird diese
Gleichung erst einmal formuliert:
y = f (x)
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Anschließend wird diese Gleichung nach x aufgelöst und überprüft, ob der
erhaltene Ausdruck für x, der von y abhängt, auch für alle y ∈ B ein Element
der Definitionsmenge A ist. In diesem Fall ist die Funktion surjektiv.
Bijektivität: Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv
ist.
Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion ist wie folgt definiert:
f −1 : B → A als f −1 (y) = x genau dann, wenn f (x) = y
Die Eigenschaften haben vorallem eine Bedeutung beim Lösen von Gleichungen der Art f (x) = y.
Falls f injektiv ist, hat f höchstens eine Lösung, falls f surjektiv ist, gibt es
mindestens eine Lösung.
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