2.2 САР воздуха в АД
λвх  800
λк  1.2
Cд  120
H0  5
Tдв  5
k дв  2200
Dд  500
m  10
D  300
5
4
k 1  2  10
k 2  3  10
V0  850
k 3  5
λD  2.1
i  1  10
V  Rвн 
i
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
i
5
10
13
15
17
20
25
30
34
37
40
30
Rвн 20
10
0
0
200
400
600
V
2.3 Гидропривод с ЗГУ
4
k вх  0.5
F  40
k вх  0.7
k п2  0.44 10
G  1.3 10
 10
Tп2  4.1 10
x0  0.8
9
p0  5
ΔP  15
800
3
1 10
Запись уравнений элементов САР и объекта в исходном, нелинеаризованном виде.


λвх g ( t) = Cд  λвх y a  y c = 7Rд
(1)
d 
Cд  y a  y д = Dд  y д 
 dt 


(2)
2
(3)
d
d
Rдв = D y  m
y
2
dt
dt
d 
Tдв  v   v = k дв y
 dt 
(4)
(5)
y c = k c U( v H)
u ( v H) =  k 1  H 



2
k2 V  k3 

1
(6)
g п( t) = g пр ( t)  g пс( t)
(7)
(8)
g пр ( t) = λp  λD


g пс( t) = λc  y c 
d 
yc 
dt 
(9)
( 10)
Rдв = p  F
( 11)
x = k вх y вх  k ох y ос

d 

d 
G x  p п  p сл  p = F  y   k п2  Tп2   p   Tп2  ( p )
t
t
d
d
 

 

( 12)
3. Запись системы уравнений и их линеаризация.
Подставим (6) в (5)
y c = k c  k 1  H 



k2 V  k3 

1
( 13)
2
Подставим (8), (9) в (7)


g п( t ) = λ p  λ D  λ c   y c 
d 
yc 
dt 
Подставим (10) в (3)
2
d
d
p  F = D y  m
y
2
dt
dt
( 15)
( 14)
Линеаризация функции, заданной в табличной форме производится с помощью
касательной, проведенной в рабочей точке. Ее уравнения имеет вид Rн=k*v
Тогда коэффициент линеаризации:
k=
3
ΔRвн
ΔV
k рн 
Линеаризируем уравнение (13)
y c = k c  k 1  H 


k  2 k  V
 =  c 2 0   V


2
2
2
k2 V  k3   

   k2  V0  k3 
1
Линеаризируем уравнение (12)
d

d

G x  p п  p сл  p = F y  k п2   Tп2  p  p
dt
d
t


Разложим функции в ряд Тейлора в режимной точке:
( 34  30)  10
900  800
 40
Н час
км
G x  p п  p сл  p 0 
G x 0  Δp
d

d

= F Δy  k п2   Tп2  Δp  Δp
d
d
t
t
2  p п  p сл  p 0


Опустим Δ, помня, что имеем дело не с функцией, а с её отклонением.
G x 0  p
d

d

G x  p п  p сл  p 0 
= F y  k п2   Tп2  p  p
dt
dt
2  p п  p сл  p 0


Запишем выражения в преобразованном виде:
d
Предварительно введем
dt

=s



λвх g ( t) = λк Cд  y д  Dд  s y д   Cд  y c 




g п( t) = λp  λD  λc y c  s y c
( 16)

( 17)
x = k вх y вх  k ох y ос
yc =
( 18)
 kc 2  k2  V0 

V
2
k V 2  k  
3 
 2 0
( 19)
( 20)
2
p  F = D s y  m s  y
( 21)
Tдв ( s v )  v = k дв y
G x  p п  p сл  p 0 
G x 0  p
2  p п  p сл  p 0

= F sy  k п2  Tп2  sp  p

4. Получение структурной схемы САР
Введем некоторые преобразования, введя передаточные функции
( 22)
yд
W6 g( t)  W8 yс
где:
W6
W8
gп
W7 yd
x
kвх gп
y
W3 p  W4 v
где:
W7
где:
W3
 вх

1 

Dд 
 S    k C д
Cд



  k C д

1 

Dд 
 S    k C д
Cд

р
kрв kм


D S  m
k
W4


D S  m
v
W5 y
где:
W5
yc
W9 v
где:
W9
G x 0  p
D


 1
Tдв S  1
 kc 2k2 v0 


 k v02  k 2 
3 
 2

d

d

= F y  k п2   Tп2  p  p
dt
dt
2  p п  p сл  p 0


Проведем следующие замены:
S
kдв
Рассмотрим подробнее уравнение 22 и проведем ряд замен
G x  p п  p сл  p 0 
S

 1
D


Kz  G p п  p сл  p 0
Tp1  Kп2  Tп2
G x 0
Tp2  Kп2 
2  p п  p сл  p 0
Тогда получим:
Kz x
dp
dy
= Tp1
 p  F
Tp2
dt
dt
Tp1
dp
Kz x
Tp2
dt
Kz x
p=
 F
dy
dt
Tp2
dy
 F
dt

= p Tp1 s  1

Kz
s
W2 = F
Tp1 s  1

W6
gп (t)

g(t)
yd
W7
W1 =
k вх
x
Tp2
Tp1 s  1
P
W1
W3
y
W2
yc
W4
Передаточная функция
v
W6
W9
v
y
W8
W5
Датчик рассогласования
отрицательной обратной связи
ГОС
Преобразуем схему:
g(t)
W6
yd
W7
gп (t)
k вх
x
P
W1
W3
y
W2
W8
V
1
W9
v
W4
y
v
W5
Wэ1
W5
1/W5
W4 W5
ГОС
По основным правилам преобразования упростим структурную схему:
yd
W7
gп(t)
kвх
x
W1
P
W3
Wэ1
W2
W8
Wэ2
W5 W3
1
y
W6
V
g(t)
1/W5
W4 W5  W3 W2
ГОС
v
W
g(t)
W6
W7
yd
gп(t)
kвх
x
W1
Wэ2
v
W9
yc
v
W8
ГОС
W6
g п(t)
W7
yd
k вх
x
W1
Wэ2
W8
v
W9
yc
v
g(t)
ГОС
5. Запись полиномов
Преобразуем выражение:
В результате преобразований получаем:
( А0)
Wp
S5 В5  S4 В4  S3 ( В3)  S2 ( В2)  S ( В1)  ( В0)
А0
2 v0k2 kc  р Cд kдв kрв kм kQ kвх cos ( x0)
 k2v0  k3
2
Dд kп1 mTдв Tп1
В5
В4
В3
A B
CE
C
E
В2
2
FG
F
A
Cд kп1 mTдв Tп1
B
Dд  kп1 mTдв  kп1 mTп1  kп1 DTдв Tп1




Cд  kп1 mTдв  kп1 mTп1  kп1 DTдв Tп1


Cд  kп1 m  kп1 D Tдв  kп1 D Tп1  kм kрв Tдв
G Dд  kп1 D  k kдв kп1 Tп1  kм kрв 
2
2
2
2
Dд  kп1 m  kп1 D Tдв  kп1 D Tп1  kм kрв Tдв
2
2
д
В1

 п1
2
Cд  kп1 D  k kдв kп1 Tп1  kм kрв
дв п1 п1
2
м
   Dдkkдв kп1
k kдв kп1 Cд
В0
Приведем к стандартному виду:
K
Wp
5
4
3
2
S C5  S C4  S C3  S C2  S C1  1
K 
А0
В0
K  1.93177
C5 
В5
В0
C4 
В4
В0
В3
C3 
В0
c
5
c
4
C4 4.16667 10 8
C3  138.90157
c
3
2
C5  0
C2 
В2
В0
C2  61.11663
c
C1 
В1
В0
C1  10.83393
c
рв

Из полученных результатов видно, что С5, и С5 значительно меньше остальных
коэффициентов, поэтому ими можно пренебречь. Выражение для
передаточной функции разомкнутой системы имеет следующий вид:
K
Wp
3
2
S C3  S C2  S C1  1
6. Исследование на устойчивость разомкнутой и замкнутой САР
Запишем выражения для полиномов R(s), Q(s), D(s)=R(s)+Q(s) и передаточных
функций (s)=R(s)/D(s), (s)=Q(s)/D(s):
R ( S) K
Характеристический полином разомкнутой системы:
Q ( S)
3
2
S C3  S C2  S C1  1
0
Характеристический полином замкнутой системы:
3
D ( S)
S C3
1
K
2

S C2
1
K

S C1
1
K
1
Передаточная функция замкнутой системы для выходной переменной по
управляющему воздействию:
Ф ( S)
К

 S3 C3 S2 C2 S C1
( 1  К ) 


 1
 1 K 1 K 1 K 
Передаточная функция замкнутой системы для для ошибки регулирования
3
 ( S)
2
S C3  S C2  S C1  1
 S3 C3
( 1  К) 
 1 K
2

S C2
1
K

S C1
1
K

 1

Проверим устойчивость системы по необходимому и достаточному условию. По
этому условию корни характеристического полинома замкнутой и разомкнутой
системы должны иметь отрицательные вещественные части:
Q ( S)
3
2
S C3  S C2  S C1  1
 1 
 
C1

x  
 C2 
 
 C3 
0
r  polyroots( x)
По необходимому и достаточному
разомкнутом состоянии
3
условию
система
устойчива
в
2
D ( S)
S C3 S C2 S C1


1
1 K
1 K
1 K
D ( S)
S D3  S D2  S D1  1
3
 0.212 
r   0.1  0.36293i 


 0.1  0.36293i 
2
Проведем преобразования и приведем к виду:
D3
D2
D1
C3
( 1  K)
C2
( 1  K)
C1
( 1  K)
 1 
 D1 
 
y   D2 
 D3 
r1  polyroots( y)
 0.38074





0.02963

0.23358i
r1 




 D3 
 
 0 


  0.02963  0.23358i 
По необходимому и достаточному условию система устойчива в замкнутом
состоянии
7. Критерий устойчивости Гурвица
Критерий устойчивости Гурвица:
Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы были
положительны
n
гланых определителей
матрицы
коэффициентов
характеристического уравнения данной системы:
C1 s  C 2 s 2  C 3 s 3  1  0
a1
a0
a3
a2
0
a1
a 0  C 3
0
a  C

2
0 , где  1
a 2  C1
a3
a3  1
 1  a1  0,  2 
a1
a3
a0
a2
a1
 0,  3  a 0
a3
a2
0
0 0
0
a1
a3
Найдем главные определители этой матрицы:
 C3 C1 0 
A3   0 C2 1 
 0 C3 C1 


 C3 C1 

 0 C2 
A3  7.26777  104
A2  
A2  8.4892  103
A1  ( C3 )
A1  138.90157
Вывод: так как все определители положительны, то по методу Гурвица
система устойчива в разомкнутом состоянии.
8. Критерий устойчивости Михайлова
Метод Михайлова заключается в построении годографа на комплексной кривой
(X,Y). Для этого необходимо выделить мнимую и действительную часть в
полиноме.
Q ( S)
Q  
3
2
S C3  S C2  S C1  1
 i  3 C3   i  2 C2   i  C1  1
3
2
( i)  C3  ( 1)  C2  i C1  1
 2
Re       C2  1

Im     C3   C1
3

Годограф имеет следующий вид:
2
1
Im  
6
4
2
0
2
1
2
Re 
Вывод: из графика видно, что кривая начинаясь точке (1;0) проходит второй
квадрант и выходит в третьем (степень полинома равна 3), а значит система
устойчива в разомкнутом состоянии
9. Критерий Найквиста
Частотный критерий устойчивости базируется на частотных характеристиках
разомкнутой цепи системы автоматического управления и дает правила,
согласно которым по виду частотной характеристики разомкнутой цепи можно
судить об устойчивости замкнутой системы.
Если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой
системы необходимо и достаточно, что бы амплитудно‐фазовая характеристика
разомкнутой цепи не охватывает точку (‐1)
Для построения кривой Найквиста необходимо из выражения передаточной
функции выделить действительную и мнимую части.

 

K   s2   s1   s3  s1 s2 s3   i    s1 s2   s2 s3   s1 s3 

C3
  2  s 2    2  s 2    2  s 2 
1
2
3
2
W 
2
2
3



K   s2   s1   s3  s1 s2 s3 


2
Re    

2
2
2
2
2
2
2
2
C3    s1     s2     s3 




K     s1 s2   s2 s3   s1 s3 
3


Im   
2
2
2
2
2
2
C3    s1     s2     s3 




Подставим в выражение корни для разомкнутой системы и получим кривую
Найквиста
s2  ( 0.1  0.14141i)
s1   0.24
s3  ( 0.1  0.14141i)
2
1
Im   
1
0.5
0
1
0.5
1
1.5
2
2
Re  
Вывод: из графика видно, что кривая не охватывает точку (‐1;0), значит, система
в разомкнутом виде устойчива.
10. Построение амплитудной и фазовой частотных характеристик
W s  
Характеристики имеют следующий вид:
k
1  C1 s  C 2 s 2  C 3 s 3
W i  
k
1  C1i  C 2 2  C3 i 3
Для построение характеристик приведем выражение к стандартному виду.
Система колебательная и ее можно представить в следующем виде:
K
Wp
s1  1
 1  0.24
3
2
S C3  S C2  S C1  1
s2  2  i
 2  0.1
s3  2  i
'  0.14141
K' м
Wр ( s)
 C' 1 s  1  C' 22 s2  2C' 2  s  1
1
C' 2 
2
 2  '
C' 2  5.77381
c2
  0.57738
1/c
2
   2 C' 2
q 

q  0.1732
1
 
1
c
C' 2
C' 1 
, где
C' 1  4.16667
1
1
Фазовая характеристика имеет вид :   arctg
t
 C' 
Im W 
ReW 

 1     atan C' 1 
 1  

90
80
70
60
50
40
30
20
10
1
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
20
30
40
50
60
70
80
90
1

 2 C' 2   180

 1  C' 2  2  
2


 21     atan
 2  
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
10
9
8
7
6
5
4
3
2
120 0
40
60
80
100
120
140
160
180
200
1
2


Сложим две характеристики:              
1
2

3
4
5
6
7
8
9
10
270
216
162
108
54
  
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
54
108
162
216
270

Фазовая характеристика в логарифмических координатах:
0.01
0.1
0.210.29
 
10 1
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
10
100
1
 150
 180

Амплитудная характеристика: A  ReW   Im W 
K' м
A   
2
2
2
 1  C' 2  2  2C' C'   2    C'   2C'    C' C' 2  3 
2
1 2
2
1 2

  1

2
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
A  
1
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1

Увеличим:
A  
2
1.98
1.95
1.93
1.9
1.88
1.85
1.83
1.8
1.77
1.75
1.73
1.7
1.68
1.65
1.63
1.6
1.58
1.55
1.52
1.5
0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

Амплитудная характеристика в логарифмических координатах:
0.210.29
0.01
0.1
50
40
30
20
10
10

1
10
20
30
40
50
L 
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

Запасы устойчивости по амплитуде и по фазе по логарифмическим
характеристикам.
Δ L = 6 дб при [Δ L] = 6‐12 дб
Δφ = 30 град при [Δφ] = 30‐60 град
100