Discrétisation d’EDS
La méthode de Monte-Carlo utilisée pour approcher E[f (XT )]
suppose que l’on sait simuler la loi de la variable aléatoire XT .
En général, on ne peut pas résoudre explicitement l’équation
différentielle stochastique associée au processus X (C’est le cas de la
plupart des modèles de taux d’intérêt).
De plus, même si on trouve une solution, celle-ci peut être trop
complexe pour être simulée directement.
Il est naturel de chercher à simuler une solution à partir de l’équation
elle-même en utilisant des schémas d’approximation.
La méthode dePMonte-Carlo va consister en l’approximation de
E[f (XT )] par i f (X̄tn ) où X̄tn est le schéma.
L’erreur de ces méthodes à deux causes : une erreur statistique et une
erreur liée à la discrétisation.
–Simulation des modèles financiers, Monte Carlo & différences finies pour les EDP–
–INSEA Déc 2021–
–Yassine EL QALLI–
Le schéma d’Euler
Notre but est de trouver un schéma approchant la solution d’une équation
différentielle stochastique. Soit (Xt , t ≥ 0) le processus d-dimensionnel
solution de
Z t
Z t
Xt = X0 +
b(Xs )ds +
σ(Xs )dWs
(∗∗)
0
0
où (Wt , t ≥ 0) est un mouvement Brownien r-dimensionnel.
Soit n le nombre d’intervalles de discrétisation et h = Tn . La solution
exacte vérifie
Z h
Z h
Xh = X0 +
b(Xs )ds +
σ(Xs )dWs
0
0
Une approximation naturelle de Xh , basée sur la définition de l’intégrale
d’Itô, peut être donnée par
Xh ≃ X0 + b(X0 )h + σ(X0 )(Wh − W0 ).
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En procédant par récurrence, on obtient le schéma d’Euler pour l’EDS
(∗∗)
X0n = X0 ,
n
n
n
n
X(k+1)h
= Xkh
+ b(Xkh
)h + σ(Xkh
)(W(k+1)h − Wkh )
(⊛)
Ce schéma est une généralisation naturelle aux EDS des schémas d’Euler
utilisés pour les équations différentielles ordinaires. La simulation d’un
schéma d’Euler est extrêmement simple puisqu’il suffit de simuler les
variables gaussiennes W(k+1)h − Wkh .
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Théorème (Convergence forte)
Soient b et σ deux fonctions lipschitziennes. Soit (Wt , t ≥ 0) un
mouvement brownien r-dimensionnel. On note (Xt , t ≥ 0) l’unique
solution de
dXt = b(Xt )dt + σ(Xt )dWt , X0 = x,
n , k ≥ 0) la suite de variables définies par l’équation (⊛). Alors,
et par (Xkh
pour tous q ≥ 1
!
E
n
sup |Xkh
− Xkh |2q
≤ Chq .
k,kh≤T
De plus, pour tous α < 21 , presque sûrement
1
n
sup |Xkh
− Xkh | = 0
h→0 hα k,kh≤T
lim
Ce théorème prouve que la vitesse de convergence dans L2 est de l’ordre
de h1/2 .
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Le schéma de Milshtein
Pour les équations différentielles ordinaires, le schéma d’Euler peut
être amélioré par les méthodes de Runge Kutta.
Plusieurs schémas d’ordre supérieur ont été proposés pour les EDS.
Cependant leur mise en œuvre reste délicate.
Le plus simple schéma d’ordre 2 est le schéma de Milshtein. Il permet
de faire converger à une vitesse supérieure dans les espaces Lp mais
est difficile à simuler quand la dimension est strictement plus grande
que 1 et converge en loi à la même vitesse que le schéma d’Euler.
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Le schéma de Milshtein quand d = r = 1 est défini par X̃0n = x et pour
k≥1
n
n
n
n
X̃(k+1)h
= X̃kh
+ b X̃kh
h + σ X̃kh
W(k+1)h − Wkh
Z (k+1)h
′
n
n
+ σ X̃kh σ X̃kh
(Ws − Wkh )dWs
kh
Explication: Pour comprendre comment le nouveau terme apparaı̂t,
considérons l’équation sans drift suivante
dXt = σ(Xt )dWt .
On peut étendre le schéma d’Euler à tous t dans [tk , tk+1 ], (tk = kh), par
interpolation linéaire.
X̂tn = X̂tnk + σ X̂tnk (Wt − Wtk ).
X̂tn donne une approximation de Xt sur [tk , tk+1 ] qui est meilleure que
Xtnk (approxi d’Euler en tk ).
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On peut éspérer aussi que σ X̂tn est une meilleure approximation de
σ(Xt ) que σ(Xtnk ). Un bonne proposition pour un schéma d’ordre
supérieur est
Z t n
n
X̂t = X̂tk +
σ X̂sn dWs
tk
avec une approximation en utilisant la formule de Taylor
σ X̂tn
= σ X̂tnk + σ X̂tnk (Wt − Wtk )
≈ σ X̂tnk + σ ′ X̂tnk σ X̂tnk (Wt − Wtk )
Cela conduit au schéma suivant
X̂tn
=
X̂tnk
+σ
X̂tnk
(Wt − Wtk ) + σ
X̂tnk
σ
′
X̂tnk
Z
t
(Ws − Wtk )dWs .
tk
C’est le schéma de Milstein avec b = 0. Le calcul s’étend au cas où b ̸= 0.
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On note qu’en pratique l’intégrale qui figure dans la formule de Milstein
est calculable par la formule d’Itô
Z
(k+1)h
(Ws − Wkh )dWs =
kh
2
1
W(k+1)h − Wkh − h .
2
Le schéma de Milstein se réécrit comme
n
X̃(k+1)h
=
n
n
n
n
n
W(k+1)h − Wkh
X̃kh
+ b X̃kh
σ X̃kh
h + σ X̃kh
− 21 σ ′ X̃kh
2
n
n
+ 12 σ ′ X̃kh
σ X̃kh
W(k+1)h − Wkh
(∗)
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Exemple
Considérons le cas du modèle de Black-Scholes avec
∆Wk = W(k+1)h − Wkh
dSt = St (rdt + σdWt )
,
S0 = x.
Le schéma d’Euler s’écrit
n
n
X̃(k+1)h
= X̃kh
(1 + rh + σ∆Wk ) .
Le schéma de Milstein
1 2
1 2
2
n
n
X̃(k+1)h = X̃kh 1 + r − σ h + σ∆Wk + σ (∆Wk ) .
2
2
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Théorème
On suppose que b et σ sont deux fois continuement différentiables avec
des dérivées bornées. On note (Xt , t ≥ 0) l’unique solution de
dXt = b(Xt )dt + σ(Xt )dWt
,
X0 = x,
n , k ≥ 0) la suite de variables aléatoires définis par (∗). Alors
et par (X̃kh
!
E
sup
k,kh≤T
n
X̃kh
− Xkh
q
≤ Chq
1
n
sup X̃kh
− Xkh = 0 p.s,
h→0 hα k,kh≤T
lim
∀q ≥ 1.
∀α < 1
Le schéma de Milshtein améliore les vitesses de convergence
√ trajectorielles
: il est d’ordre h alors que le schéma d’Euler est d’ordre h.
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TP
Considérer le modèle de Black-Scholes et comparer les schémas d’Euler et
Milstein avec la solution explicite.
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