b. Qué diferencias encuentra entre las razones trigonométricas y las funciones
trigonométricas?
Para definir las razones trigonométricas de un ángulo
, de un vértice A, se parte de
un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este
triángulo rectángulo son:



La hipotenusa (h)
es el lado
opuesto al
ángulo recto, o
lado de mayor
longitud del
triángulo
rectángulo.
El cateto
opuesto (a) es el
lado opuesto al
ángulo
.
El cateto
adyacente (b) es
el lado adyacente
al ángulo
.
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma
de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier
triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes (90°).
Teniendo esto claro podemos expresar que las razones ó relaciones trigonométricas son
el cociente entre dos de los lados de un triángulo rectángulo con respecto a un ángulo (α
) y el operador trigonométrico que los relaciona obteniendo un valor
, es decir:
Dado un triángulo rectángulo con α como uno de sus ángulos agudos, se define:
Ahora bien, las funciones trigonométricas son las funciones determinadas con el objetivo
de extender la definición de las razones trigonométricas de un triángulo trazado en
una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen
como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su
extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Dada una circunferencia de radio r, considerando un punto sobre la circunferencia de
coordenadas (a, b) y el ángulo en posición normal asociado al punto, se define:
En conclusión:
Las razones trigonométricas son aquellas que relacionan las magnitudes de los lados del
triángulo con respecto a los ángulos, en cambio las funciones trigonométricas extienden
el concepto de estas razones y estudian el comportamiento de las mismas al variar el valor
de los ángulos.
c. Si una aerolínea desea crear rutas que conecten dichas ciudades, escriba una
función para establecer el costo del combustible por vuelo? Sugerencia: tenga en
cuenta el tipo de aeronave y especifique las variables que usa.
Tipo de
aeronave
Consumo de
combustible
Velocidad
crucero
Boing 737-800
64,2 gl/Km
830Km/h
Sabiendo el consumo de la aeronave a una velocidad crucero podemos definir la función
solicitada tomando las siguientes variables:




Costo de combustible por vuelo($)= f(x)
Valor del combustible por galón($/gl) = v
Distancia recorrida(Km) = d
Consumo de combustible(gl/Km)= c
De este modo la función quedaría del siguiente modo:
Nótese que al simplificar las unidades la función nos queda en unidades de costo ($)
d. ¿Qué son las coordenadas polares, y su relación con las coordenadas cartesianas.
Realice un ejemplo?
Primero, coloquemos en contexto que son las coordenadas cartesianas.
La coordenadas cartesianas o rectangulares son un tipo de coordenadas ortogonales
utilizadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una relación
matemática o del movimiento o posición, caracterizadas por tener como referencia
ejes ortogonales entre sí que concurren en el punto de origen. En las coordenadas
cartesianas se determinan las coordenadas al origen como la longitud de cada una de
las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La
denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien las utilizó por
primera vez de manera formal.
El sistema en sí es un sistema bidimensional, que se denomina plano cartesiano. El punto
de intersección de las rectas, por definición, se considera como el punto cero de las rectas y
se conoce como origen de las coordenadas. Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna
los números reales de las equis ("x"); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los
números reales de las ye ("y").
Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen con
el nombre de cuadrantes:




Primer
cuadrante "I":
Región
superior
derecha
Segundo
cuadrante "II":
Región
superior
izquierda
Tercer
cuadrante
"III": Región
inferior
izquierda
Cuarto
cuadrante
"IV": Región
inferior
derecha
Por su parte las coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el
que cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo. De manera más
precisa, como sistema de referencia se toma: (a) un punto O del plano, al que se
llama origen o polo; y (b) una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O,
llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). Con este sistema de
referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de
puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la
distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta
dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido
horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector»,
mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».
Podemos relacionar estas coordenadas (cartesianas y polares) viéndolo en términos
vectoriales:


Coordenadas cartesianas: las componentes (x, y) de un vector
Coordenadas polares: la magnitud (longitud) y dirección (ángulo) de un vector = (r,
)
Si poseemos las coordenadas cartesianas, al ubicar el punto y unirlo con con una recta
desde el origen del plano podremos obtener que dicha recta tendrá una longitud (la cuál se
mide desde el origen hasta el punto marcado por las coordenadas cartesianas) y un ángulo
de elevación formado por el eje "x" y la recta trazada. Y si tenemos el caso contrario -en el
que tenemos las coordenadas polares- al graficar la recta de acuerdo a la longitud y ángulo
obtendremos un punto con valores en los ejes "x" y "y" del plano cartesiano. Su relación se
estrecha si lo analizamos desde las funciones trigonométricas:
seno( ) = y/r → y = r * seno( )
coseno( ) = x/r → x = r * coseno( )
Aplicando estas funciones podemos pasar de coordenadas cartesianas a polares y viceversa.
Ejemplo: ProcessingJS es un puerto JavaScript de un lenguaje de programación llamado
Processing el cuál sirve para escribir visualizaciones, imágenes y contenido
interactivo. Permite que los navegadores web muestren animaciones, aplicaciones visuales,
juegos y otro contenido gráfico rico sin la necesidad de un subprograma de Java o
un complemento de Flash.
Cada vez que se despliega una figura en ProcessingJS, se tiene que especificar la ubicación
en pixeles, un conjunto de coordenadas (x, y) coordenadas cartesianas. Sin embargo, a
veces es mucho más conveniente para el programador pensar en coordenadas polares
cuando está diseñando, la cuestión es que las funciones para dibujar en ProcessingJS no
entienden coordenadas polares. Afortunadamente, gracias a la trigonometría se puede pasar
de coordenadas polares a cartesianas y de regreso, lo que permite diseñar con cualquier
sistema de coordenadas que se necesite.
e. ¿Qué son las coordenadas esféricas, y su relación con las coordenadas cartesianas.
Realice un ejemplo?
Las coordenadas esféricas se basan en la misma idea que las coordenadas polares y se
utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos
ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres
magnitudes: el radio



, el ángulo polar o colatitud θ y el azimutal φ.
La
coordenada radial r:
distancia al origen.
La
coordenada polar θ:
ángulo que el vector
de posición forma
con el eje Z.
La
coordenada azimutal
φ: ángulo que la
proyección sobre el
plano XY forma con
el eje X.
La relación entre coordenadas esféricas y cartesianas está dada por las siguientes
igualdades:
y sus correspondientes relaciones inversas (cartesianas / esféricas) es:
Ejemplo: El uso más evidente de las coordenadas esféricas lo constituye la geografía. Para
identificar un punto de la superficie terrestre indicamos su latitud y su longitud.
La latitud es la altura respecto al ecuador. Este ángulo es el complementario de la
coordenada polar θ (por lo cual a ésta se la llama también colatitud). La latitud, en lugar de
variar de 0 (en el Polo Norte) a (en el Polo Sur) lo hace desde 90° a -90°.
La longitud es la distancia angular respecto a un meridiano fijo (el de Greenwich). Equivale
a la coordenada azimutal φ.
La coordenada radial corresponde a la distancia al centro de la Tierra. La altitud z de un
punto de la superficie equivale al valor de
con
como el radio de la Tierra
(suponiendo ésta una esfera, lo que es solo una aproximación).