Universidad Abierta y a Distancia de México (UnADM)
División de Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnológicas (DCEIT)
Licenciatura:
Matemáticas
Asignatura:
Introducción al Pensamiento Matemático
Unidad I:
Lógica Proposicional
Actividad 1:
Foro: Análisis de Oraciones
Alumno:
Leonardo Felipe Martínez Estrada - ES202106625
Docente:
Prof. Claudio Ramón Rodríguez Mondragón
Tijuana, B.C., México.
23 de julio de 2020.
Contenido
Capítulo
1 Actividad 1
1.1 Parte A
1.2 Parte B
1.3 Parte C
1.4 Parte D
1.5 Parte E
1.6 Parte F
1.7 Parte G
1.8 Parte H
1.9 Parte I .
1.10 Parte J .
1.11 Parte K
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16
I
Índice de figuras
Figura
Página
1 Cuadro sinóptico de la lógica simbólica como una rama de las ciencias a partir de la filosofía.
Elaborado en Xmind. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2 Cuadro sinóptico de la lógica proposicional que busca concluir con la validez de una proposición mediante el método deductivo. Elaborado en Xmind. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
II
Índice de tablas
Tabla
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Descripción, definición y características de los conectivos lógicos.
Tabla de verdad de la negación (¬). . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tabla de verdad de la conjunción (∧). . . . . . . . . . . . . . . . .
Tabla de verdad de la disyunción inclusiva (∨). . . . . . . . . . . .
Tabla de verdad de la disyunción exclusiva (Y). . . . . . . . . . . .
Tabla de verdad de la condicional (→). . . . . . . . . . . . . . . .
Tabla de verdad de la bicondicional (↔). . . . . . . . . . . . . . .
Tabla de verdad del Ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tabla de verdad del Ejemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tabla de verdad del Ejemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tabla de verdad del Ejemplo 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tabla de verdad del Ejemplo 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III
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14
14
15
1. Actividad 1
1.1.
Parte A
Desarrollar:
1. Realiza y construye un cuadro sinóptico, un mapa mental o un esquema, donde se sitúe la “Lógica
proposicional”, como rama de alguna ciencia previa.
Figura 1: Cuadro sinóptico de la lógica simbólica como una rama de las ciencias a partir de la filosofía.
Elaborado en Xmind.
2. Realiza y construye un cuadro sinóptico, un mapa mental o un esquema, donde se sitúe la “Lógica
proposicional”, y las ramas que puede derivar, esta.
Figura 2: Cuadro sinóptico de la lógica proposicional que busca concluir con la validez de una proposición
mediante el método deductivo. Elaborado en Xmind.
1
CAPÍTULO 1. ACTIVIDAD 1
1.2.
Parte B
Investiga:
1. La Historia de la lógica.
Desde los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.), las diferentes ramas de la Filosofía y las Matemáticas han
estado estrechamente vinculadas en muchos aspectos de la historia. Las Matemáticas son parte central
del conocimiento humano y bajo su rubro existen otras disciplinas importantes como la Lógica Simbólica
(Shapiro, 2005). De acuerdo con Shapiro (2005), la lógica recibió mucha atención por parte de filósofos y
matemáticos en tiempos antiguos y medievales, donde en esos tiempos estaba formulada solamente en
un contexto filosófico y en lenguaje natural. En el estudio de la filosofía lógica se han empleado métodos
matemáticos, por ejemplo, para construir sistemas matemáticos que tengan relación con datos de interés
con la finalidad de obtener conclusiones de ellos. En este sentido, la lógica es considerada una rama de
las matemáticas y un sistema o teoría en la lógica filosófica y la lógica matemática (Curry, 2010).
Bocheński (1985), segmenta la lógica occidental en cinco períodos:
1) El período clásico antiguo (hasta el siglo VI d. C.);
2) La alta edad media (siglos VII-XI);
3) La Escolástica (siglos XI-XV);
4) La época de la moderna lógica “clásica” (siglos XVI-XIX);
5) La lógica matemática (a partir de la mitad del siglo XIX).
Sin embargo, Izquierdo Arroyo (1979) propone el desarrollo histórico de la lógica en un proceso ternario
compuesto por los siguientes acontecimientos:
1) Lógica recibida (“Logica vetus”, “Logica antiquorum”);
2) Lógica innovada (“Logica nova”, “Logica modernorum”);
3) Lógica integrada (“Logica nova-antiqua”).
En su tiempo, Aristóteles no empleó el término lógica como tal para referirse a esta ciencia, si no la
palabra analítica (García Zárate, 2003). Según García Zárate (2003), posiblemente el término lógica se
introdujo por los comentadores de Aristóteles de su obra Órganon, un conjunto de seis trabajos sobre
lógica. La palabra lógica proviene del griego logos y éste de la voz legin. La palabra logos traducido
de forma simple representa un principio de validez universal (García Zárate, 2003). Actualmente, los
matemáticos descubren conceptos aún más fundamentales que los números, esto derivado de la lógica
matemática y la teoría de conjuntos (Stewart, 2012). Por ello, la lógica se sigue conservando como una
rama próspera de las matemáticas y la filosofía (Shapiro, 2005), y por sus aplicaciones en la computación
y mecanismos automáticos.
2. Investiga ¿Cómo eran los pensamientos lógicos del hombre en la prehistoria?
El razonamiento lógico ha sido utilizado en todos los períodos de la historia de los seres humanos. Se
pueden dividir los pensamientos y aportes lógicos por regiones, tales como India, China, Europa del Este,
entre otras regiones. La lógica comenzó independientemente en la antigua India, sin embargo, no se
generaron aportes significativos que influyeran en las lógicas de otras regiones (Bocheński, 1985). Por otro
lado, la geometría y la lógica estaban muy vinculadas en aquellos tiempos. Etimológicamente la palabra
geometría corresponde a la medición de la tierra, lo cual despertó el interés de los egipcios por demostrar
2
CAPÍTULO 1. ACTIVIDAD 1
las conclusiones que surgieran de ésta y, por consiguiente, terminaron descubriendo empíricamente la
geometría. Por lo tanto, fue considerado que los sistemas matemáticos tienen alguna conexión con el
estudio del espacio (Curry, 2010). También los astrónomos babilonios de los siglos VIII-VII a. C. emplearon
la lógica dentro de sus sistemas planetarios predictivos (Brown, 2000).
Si se analizan tiempos más antiguos, es decir, alrededor de 3.6 millones de años atrás, los primeros
homínidos de Australopithecus afarensis carecían de alguna estructura que les permitiría comunicarse
adecuadamente. Fue con el paso de la evolución que el humano fue desarrollando una mejor condición
auditiva y bocal. Sin embargo, el pensamiento lógico como tal comenzó con Aristóteles, quien rechazó
las implicaciones místicas de la Teoría de las Formas de su maestro Platón. Aristóteles creía fundamental
que, para tener un conocimiento general de algo, debía de realizarse las siguientes preguntas: ¿De qué
está hecho?, ¿Cuál es su origen?, ¿Cuál es su propósito? y ¿Cuál es su forma o apariencia? De esta
forma Aristóteles inventó la lógica, siendo un hecho fundamentalmente esencial para el desarrollo de las
ciencias occidentales (Campbell, 2012).
3. Describe 5 ejemplos de pensamiento lógico matemático, de los hombres primitivos.
De acuerdo con Spitz (1972), en tiempos antiguos, el hombre no era capaz de distinguir diferencias entre
un sujeto y un objeto, sin embargo, después se dio cuenta del mundo exterior en el cual él estaba.
Después de ello, el hombre era capaz de distinguir la relación entre padres e hijos. Entonces, cinco
ejemplos de pensamiento lógico matemático son los siguientes en aquella época:
Muchos hombres primitivos realizaban marcas en huesos de animales para hacer cuentas, sin
embargo, según algunos científicos, algunas de estas marcas indican ciertas destrezas matemáticas,
por ejemplo, indicios de multiplicar y dividir (Pickover, 2016).
Por el año 1300 a. C., los egipcios jugaban el tres en raya (comúnmente conocido como el gato), en
el cual deben utilizar su razonamiento lógico matemático para ganar en cada partida. En la época
de los faraones en el antiguo Egipto, este tipo de juegos desempeñan un papel importante en la
vida cotidiana (Pickover, 2016).
Un tipo de pensamiento lógico pudo haberse desarrollado cuando el hombre realizaba pinturas
rupestres en cuevas y rocas, donde muchas de ellas representaban historias y números, lo cual es
un acercamiento de la formalidad matemática empleada actualmente (González Redondo, 2010).
El hombre primitivo solía cazar en grupo y debían crear y contar cada una de sus herramientas de
caza, empleando el razonamiento lógico matemático en ello (González Redondo, 2010).
Algunas tribus de los bosquimanos del suroeste de África (Namibia) utilizaban bastones-calendarios
de madera. El contar el transcurso de los días lo hacían empleando el pensamiento lógico matemático. Cabe destacar que las tribus de los bosquimanos son consideradas de las más antiguas en
el mundo (González Redondo, 2010).
4. Investiga ¿Cuáles de las culturas de la antigüedad?, usaron “lógica” en sus avances “matemáticos
y tecnológicos” Sugerencia: Cultura romana, griega, egipcia, maya, azteca, inca, etc.
Se cree que de las primeras culturas en iniciar con la lógica fue en la India en el siglo IV a. C.
(Bocheński, 1985). Por otro lado, cerca del 3000 a. C., los incas utilizaban quipus (tipo de instrumento
compuesto por cuerdas y nudos) con los cuales, de acuerdo Pickover (2016), mantenían un extenso archivo
codificado gracias al sistema lógico-numérico empleado en estos instrumentos, los cuales les permitían
comunicarse. Sin embargo, Egipto y Mesopotamia fueron las primeras culturas con grandes indicios
matemáticos. Los egipcios y los mesopotámicos utilizan conceptos de geometría y trigonometría con los
cuales construyeron muchas de sus obras arquitectónicas (Curry, 2010). En la antigua Grecia, los griegos
adoraban la simetría y la geometría (Pickover, 2016).
3
CAPÍTULO 1. ACTIVIDAD 1
5. Investiga a los grandes matemáticos de la antigüedad, que establecieron las bases de la “Lógica”
como “Ciencia Lógica”.
De las matemáticas griegas, la referencia más antigua que se tiene corresponde a Tales de Mileto. De
acuerdo con Lara Aparicio (1991), Tales era comerciante y viajaba a Egipto donde aprendió geometría,
y a Babilonia donde aprendió astronomía. Tales pudo demostrar su famoso teorema que dice que un
ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto, por lo cual se le considera el primer matemático
verdadero, fundador del método deductivo (Lara Aparicio, 1991). Alrededor del 445 a. C., el filósofo griego
Zenón de Elea pretendió demostrar racionalmente que el movimiento es imposible, mediante una serie
de argumentos con los cuales se creó su famosa Paradoja de Zenón vinculada una tortuga y a Aquiles,
un héroe griego (Pickover, 2016). Para el 350 a. C., Aristóteles da origen a la lógica como ciencia formal
en su trabajo denominado Órganon. La primera herramienta empleada por Aristóteles fue el silogismo
(Pickover, 2016). Finalmente se encuentra Euclides de Alejandría, que alrededor del 300 a. C. dio origen
a una de las obras más importantes de la historia de las matemáticas, los elementos de Euclides. Su
obra se basa en cinco axiomas o postulados de geometría plana, de la cual se pueden encontrar 465
proposiciones (teoremas) deducidos con un considerable rigor matemático (Pickover, 2016).
6. Investiga a los grandes matemáticos de la actualidad, que han evolucionado y potencializado los
estudios y aplicaciones de la “Ciencia Lógica”.
Actualmente la lógica se ha posicionado como la base de muchas ramas más fuertes en ingeniería
y ciencias, principalmente en la lógica computacional. A mediados del siglo XIX, el estudio de la
lógica se potencializo con los trabajos de George Boole, Augustus De Morgan, Frege y Russell (Curry,
2010). Kouskoulas (2013) describe algunas aplicaciones importantes en tiempos modernos de la lógica
matemática, muchos de ellos derivados de las ciencias computacionales y el modelizado matemático
enfocados en los ceros defectos de diferentes tipos de máquinas y estructuras.
1.3.
Parte C
Investiga:
1) Investiga 10 aplicaciones académicas de la “Lógica proposicional”.
Para realizar demostraciones de teoremas empleando el razonamiento matemático.
El uso de los conectivos lógicos en la elaboración de teoremas, proposiciones y corolarios.
Análisis de argumentos válidos.
Para el análisis de conjuntos y diagramas de Venn (círculos de Euler).
Para la simplificación de circuitos lógicos complejos.
Álgebra Booleana.
Realización de ejercicios matemáticos que impliquen el uso de la lógica.
En lenguajes de programación.
Procesos de modelizado matemático.
Comprobación de leyes y modelos matemáticos.
2) Investiga 10 aplicaciones tecnológicas de la “Lógica proposicional”.
Softwares para robots de cirugía (Kouskoulas, 2013).
4
CAPÍTULO 1. ACTIVIDAD 1
Flujos de trabajo en procesos empresariales que incluyen actividad humana o software (Cravo, 2010).
Inteligencia artificial (Wang, 2020).
Aprendizaje automático (Wang, 2020).
Teoría de autómatas celulares (Cavagnetto, 2009).
Lógica difusa (Wang, 2020).
Modelizado matemático y verificación de software (Stalmarck, 1990).
Problemas de monitorización y control (Tyler, 1999).
Matemáticas puras (Ferrari, 2015).
Redes booleanas.
3) Investiga 10 situaciones de nuestra vida diaria, donde usamos, y/o tenemos que usar, las teorías
aplicadas de la “Lógica proposicional”, y nosotros no nos damos cuenta.
En la realización de operaciones y seleccionar el producto adecuado de acuerdo a nuestro presupuesto al momento de acudir a un supermercado.
Al elegir nuestra vestimenta del día acorde al clima presentado.
Para analizar y resolver acertijos familiares.
Al jugar ajedrez, cartas y jenga.
Organización de eventos.
Administrar y ahorrar dinero para futuros gastos.
Cuando vas manejando y tienes que elegir entre dos caminos de acuerdo al tráfico en cada zona
y el tiempo que demora.
Análisis y clasificación de datos de cualquier índole.
Dibujos técnicos físicos y en computadora.
Al tocar un instrumento musical como el piano.
4) Investiga 5 objetivos del “Pensamiento matemático”.
Adquirir conocimientos, habilidades o destrezas relacionadas al pensamiento matemático (Secretaría
de Educación Pública, 2016).
Modelar situaciones problemáticas diversas en busca de su solución (Secretaría de Educación
Pública, 2016).
Fomentar la capacidad de abstracción para la modelación de la realidad (Secretaría de Educación
Pública, 2016).
Qué los estudiantes amplíen sus conocimientos matemáticos yendo más allá del plan de estudios.
La capacitación adicional en la resolución de problemas matemáticos fomentar el interés de los
estudiantes por participar en competencias (olimpiadas) de matemáticas (Psychico College, 2018).
Lograr un mejor control financiero de los gatos y la generación del dinero (Secretaría de Educación
Pública, 2016).
5) Investiga 5 objetivos de los estudios de la “Lógica proposicional”.
5
CAPÍTULO 1. ACTIVIDAD 1
Utilizar el razonamiento matemático para obtener conclusiones de un determinado fenómeno
(Campbell, 2012).
Demostrar argumentos con base en el análisis lógico de las proposiciones que forman parte de los
argumentos (Curry, 2010).
Razonar y aplicar los métodos y teorías matemáticas adecuadas para la solución de un problema
(García Zárate, 2003).
Formalizar el razonamiento mediante los conectivos lógicos y sus tablas de verdad (García Zárate,
2003).
Traducir las proposiciones simbólicas de diferentes contextos a proposiciones del lenguaje ordinario
(Curry, 2010).
1.4.
Parte D
Realiza una definición formal y breve de:
1. Conocimiento. Conjunto de información adquirida y experimentada con el cual un individuo se desenvuelve en actividades cotidianas, laborales, académicas y sociales. Esta información puede adquirirse a
través de la educación o la experiencia propia. Existen diferentes tipos de conocimiento, algunos son:
empírico, teórico, científico, vulgar, popular y de divulgación (Reza Becerril, 1997).
2. Conocimiento matemático. Tipo de conocimiento adquirido y generado, el cual es aplicado para la
solución de problemáticas y estudios teóricos de cualquier índole que requieran el uso de matemáticas
básicas y avanzadas.
3. Matemáticas abstractas. Las matemáticas abstractas son un sistema teórico separado del mundo físico
y social, en el cual se emplean diferentes términos, variables y/o parámetros en relación con otras estructuras matemáticas, para describir situaciones del mundo real o aspectos teóricos como las matemáticas
puras o la física teórica (Mitchelmore, 2004).
4. Aprendizaje del conocimiento cognitivo. Adquisición de conocimiento atribuible a la experiencia
(Mayer, 2012).
5. Aprendizaje y cocimiento metacognitivo. Adquisición de conocimiento acorde a los propios conocimientos ya adquiridos (Mayer, 2012).
6. Pensar. Fomentar, cambiar y examinar ideas o juicios en la mente, con el fin de expresarlos verbal o
corporalmente hacia otros seres y cosas, o simplemente analizarlos mentalmente (RAE, 2020).
7. Pensamiento. Conjunto de ideas propias de un individuo, de una colectividad o de una época (RAE,
2020).
8. Pensamiento matemático. Proceso mental en el cual se emplean las matemáticas como el razonamiento,
la abstracción, la conjetura, la representación, visualización de patrones, deducción, inducción, análisis,
conectar, sintetizar, generalizar y demostrar (Karadag, 2009).
9. Razonamiento. Serie de conceptos encaminados a demostrar algo, resolver algún problema, extraer
conclusiones de algo o a persuadir o mover a oyentes o lectores (RAE, 2020).
6
CAPÍTULO 1. ACTIVIDAD 1
10. Problema. Conjunto de hechos o circunstancia que dificultan la consecución de algún fin o dificultan la
solución de algo bajo estudio (RAE, 2020).
11. Problema matemático. Problema de cualquier índole que es representado a través de incógnitas y donde
su solución matemática satisface las condiciones vinculadas al problema (Alfaro Carvajal, 2008).
12. Plantear problemas. Considerar todas las variables, hechos, escenarios y relaciones de un problema
para considerar si su investigación o solución es viable (Pólya, 1990).
13. Resolver problemas. Proceso en el cual se identifica, analiza y se proporcionan soluciones a un determinado problema (Pólya, 1990).
14. Abstracción. Proceso en el cual se consideran solamente aspectos cuantitativos, los cuales son separados
de las propiedades cualitativas de las cosas (Mitchelmore, 2004).
15. Premisa. Proposiciones o procesos de razonamiento necesarios para realizar inferencias de algún argumento válido (García Zárate, 2003).
16. Demostración matemática. En oposición a la mostración, la demostración matemática es el razonamiento matemático que se funda en principios ciertos y concluye una proposición cierta o la validez de
alguna expresión matemática (Rivera Márquez, 1980).
17. Argumentación matemática. Grupo de afirmaciones matemáticas en las cuales se establece una relación
antecedente-consecuente (Rivera Márquez, 1980).
18. Justificación matemática. Todos los argumentos y estrategias utilizadas para sustentar o validar enunciados de índole matemática (Pólya, 1990).
19. Conclusión matemática. La conclusión matemática es la que se deriva lógicamente de las proposiciones
llamadas premisas (Rivera Márquez, 1980).
20. Método. Procedimiento que se sigue en las ciencias para hallar la verdad y enseñarla (RAE, 2020).
21. Razonamiento. Una de las formas más elaboradas del pensamiento que consiste en la capacidad para
establecer relaciones entre proposiciones para avanzar en el conocimiento, es decir, la conclusión es la
proposición inferida de las dos anteriores (Rivera Márquez, 1980).
22. Razonamiento deductivo. Tipo de argumento utilizado para analizar lógicamente una o más premisas
hasta inferir en una conclusión lógica (Rivera Márquez, 1980).
1.5.
Parte E
Define formalmente:
1. Reglas de inferencia. Argumentos basados en tautologías que representan métodos de razonamiento
universalmente correctos. Las inferencias pueden ser deductivas o inductivas. Las reglas de inferencia
usan dos tipos de elementos, los datos (hechos o evidencia) y el conocimiento (el conjunto de reglas
almacenadas en una base de conocimientos), para obtener nuevas conclusiones o hechos. Los tipos de
reglas y estrategias de inferencia más utilizadas son la Modus Ponens o el razonamiento directo, Modus
Tollens o razonamiento indirecto, silogismo disyuntivo, silogismo hipotético, simplificación, adición, entre
otras (Villalobos, Desconocido).
7
CAPÍTULO 1. ACTIVIDAD 1
2. Sistemas de premisas. Combinación de dos o más proposiciones simples con operadores, o conectivos
(Smith, 1991).
3. Proposición (sentido coloquial). Oración que es verdadera o falsa, pero no verdadera y falsa a la vez
(Smith, 1991).
4. Proposición matemática. Proposiciones que utilizan un lenguaje simbólico artificial para evitar cualquier
tipo de lenguaje natural. Las proposiciones simples se denotan con literales p, q, r, s, . . . , y luego se
definen ciertos conectivos lógicos (Smith, 1991).
1.6.
Parte F
Describe la definición de:
1. Lógica. Como sustantivo, la lógica es la estructura de razonamiento, forma o modo de pensar o razonar,
o, simplemente, razonamiento. Como adjetivo, hace referencia a un hecho o acción que se esperaba que
sucediese como consecuencia necesaria de un evento determinado (García Zárate, 2003).
2. Lógica matemática. Método de razonamiento matemático a través de un lenguaje simbólico artificial
que se pueda utilizar para simplificar los argumentos lógicos complicados (Smith, 1991).
3. Lógica proposicional. La lógica proposicional toma la formalidad de las matemáticas y aplica el razonamiento matemático, específicamente, el razonamiento deductivo para distinguir las inferencias verdaderas
o falsas de una premisa. Como ciencia formal, la lógica proposicional utiliza el método deductivo a través
de conectivos lógicos, operadores lógicos, tablas de verdad, leyes lógicas, entre otros conceptos, los cuales
permiten formar argumentos válidos (García Zárate, 2003).
4. Diferencia matemática entre una oración y una proposición. Una oración utiliza un lenguaje ordinario y natural a través de una palabra o conjunto de palabras, que declara, pregunta, ordena, solicita, o
exclama algo. Sin embargo, en la lógica simbólica la oración tiene un significado mucho más limitado.
Una proposición es una oración que es verdadera o falsa, pero no verdadera y falsa a la vez. Si la
proposición es demasiado imprecisa o si es una pregunta o una orden, entonces no es una proposición
(Smith, 1991).
5. Conclusiones a partir de premisas. Las conclusiones obtenidas deben ser premisas usadas y afirmadas.
Si las premisas constituyen un fundamento de la conclusión, de manera que, si cada una de las premisas
resulta verdadera, entonces se garantiza también que la conclusión también es verdadera, entonces el
razonamiento deductivo empleado es correcto (García Zárate, 2003).
6. Lenguaje lógico. Disciplina que tiene por objeto estudiar los signos empleados en la lógica, así como
sus propiedades y metodologías (García Zárate, 2003).
7. Operaciones proposicionales. Las operaciones proposicionales son las operaciones que se llevan a cabo
entre dos o más proposiciones representadas con literales p, q, r, s, . . . ,, de las cuales se conoce su valor
de verdad. Las operaciones proposicionales básicas son la negación, conjunción, disyunción (inclusiva y
exclusiva), la condicional y la bicondicional (Smith, 1991).
8. Define “Lógica”, como una ciencia formal. La lógica como ciencia formal estudia los principios de la
demostración e inferencia a partir de proposiciones. También, se define como un método general en el
cual todas las verdades de la razón son reducidas a cálculos lógicos (Smith, 1991).
8
CAPÍTULO 1. ACTIVIDAD 1
9. Proposición simple o atómica. Las proposiciones simples son denotadas con las literales p, q, r, s, . . . ,
y solamente están compuestas por una proposición, por lo cual, carecen de conjunciones gramaticales
típicas o conectivas (García Zárate, 2003).
10. Proposición compuesta o molecular. Las proposiciones compuestas se forman combinando proposiciones simples con operadores, o conectivos tales como y, o, no, si. . . entonces, ni. . . ni, a menos que, y
debido a que (Smith, 1991).
11. Diferencias entre proposiciones atómicas y moleculares. Una proposición simple solo puede ser
verdadera o falsa. La proposición compuesta también puede ser verdadera o falsa, sin embargo, esto
depende sólo de los valores de verdad de cada una de las proposiciones simples que la componen
(Smith, 1991).
12. Definición y objetivos de conectivo lógico. Los conectivos lógicos sirven para unir dos o más proposiciones bajo ciertas condiciones. Cada uno de los conectivos está sujeto a una tabla de verdad que sirve
para verificar la validez de cada proposición lógica (Smith, 1991).
13. ¿Cuáles son los conectivos lógicos? Negación (¬), Conjunción (∧), Disyunción inclusiva (∨), Condicional
(→), Bicondicional (↔) y Negación conjunta (↓) (Smith, 1991).
14. Valor de verdad. Es valor de cualquier proposición, el cual puede ser verdadero (V) o falso (F) (Smith,
1991).
15. Tablas de verdad. Esquema que muestra cómo los valores de verdad de proposiciones compuestas,
dependen de los conectivos usados y de los valores de verdad de las proposiciones componentes simples
(Smith, 1991).
16. ¿Cuál es el objetivo de las tablas de verdad? Relacionar diversas proposiciones simples través de
distintas combinaciones para determinar la validez de la proposición compuesta.
17. Describe, define, y sus características de sus tablas de verdad elementales, de los conectivos lógicos: la negación, la conjunción, la disyunción exclusiva e inclusiva, la condicional o implicación
y bicondicional o doble implicación.
Tabla 1: Descripción, definición y características de los conectivos lógicos.
Conectivo
Símbolo
Nombre
Proposición
lógica
no
¬
Negación
¬p
y
∧
Conjunción
p∧q
o
∨
o...o
Y
Disyunción
inclusiva
Disyunción
exclusiva
Sí,...Entonces...
→
Condicional
p→q
Si y solo si...
↔
Bicondicional
p↔q
p∨q
pYq
9
Definición breve
Su valor de verdad es F si la proposición
es verdadera, y es V si la proposición es falsa.
Su valor de verdad es V si ambas
proposiciones son V, y es F de cualquier otra forma.
Su valor de verdad es F si ambas proposiciones
son F, y es V de cualquier otra forma.
Solo una proposición puede ser V, pero no ambas
pueden serlo.
Su valor de verdad es F cuando el consecuente q es
F, de cualquier otra forma es V.
Su valor de verdad es V en caso de que ambos
componentes sean V o F.
CAPÍTULO 1. ACTIVIDAD 1
Tabla 2: Tabla de verdad de la negación (¬).
p
V
F
¬p
F
V
Tabla 3: Tabla de verdad de la conjunción (∧).
p
V
V
F
F
p∧q
V
F
F
F
q
V
F
V
F
Tabla 4: Tabla de verdad de la disyunción inclusiva (∨).
p
V
V
F
F
p∨q
V
V
V
F
q
V
F
V
F
Tabla 5: Tabla de verdad de la disyunción exclusiva (Y).
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pYq
F
V
V
F
Tabla 6: Tabla de verdad de la condicional (→).
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p→q
V
F
V
V
Tabla 7: Tabla de verdad de la bicondicional (↔).
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p↔q
V
F
F
V
10
CAPÍTULO 1. ACTIVIDAD 1
18. Objetivo de la notación de proposiciones. La notación de las proposiciones tiene objetivo relacionar
de manera práctica los valores de verdad de las proposiciones de un argumento (Smith, 1991).
19. Definición de los conectivos lógicos. Los conectivos lógicos sirven para unir dos o más proposiciones
bajo ciertas condiciones. Cada uno de los conectivos está sujeto a una tabla de verdad que sirve para
verificar la validez de cada proposición lógica (Smith, 1991).
20. Definición de Tablas de verdad. Esquema que muestra cómo los valores de verdad de proposiciones compuestas, dependen de los conectivos usados y de los valores de verdad de las proposiciones
componentes simples (Smith, 1991).
1.7.
Parte G
Realiza:
1. Investiga 10 proposiciones simples y 10 proposiciones compuestas. Anota los ejemplos de las
proposiciones investigadas y el argumento por el cual lo presentaste como proposición simple o
como proposición compuesta.
Proposiciones simples:
Llevo la asignatura de química este semestre.
Curso el quinto semestre en la universidad.
La caja es de color rojo.
La capital de México es la Ciudad de México.
La luna está en cuarto creciente.
Los frijoles son cuadrados.
El pastel es de fresas.
Los peces nadan.
Neil Armstrong caminó sobre la luna.
Tengo un billete de 500 pesos en mi bolsillo del pantalón.
Proposiciones compuestas:
Tengo una moneda de 10 pesos en mi bolsillo y tengo una moneda de 1 peso en mi bolsillo.
Los peces nadan y Neil Armstrong caminó sobre la luna.
Juan está en Rusia o en Australia.
Johanna canta y toca el violín.
Luciana está diciendo la verdad y Luciana si tiene un lápiz.
O Bertha acude a la fiesta o Sofía acude a la fiesta.
Como espinacas y estoy fuerte.
Tanto Claudia como Romina son atractivas.
Madonna es cantante y compositora.
11
CAPÍTULO 1. ACTIVIDAD 1
Las células son eucariotas o procariotas.
2. Escribe 10 ejemplos de oraciones que no se consideran proposición.
¡Viva México!
Lucía, ¿vendrás hoy?
¿Qué estás hacienda?
¡Márchate!
¡Ven a la cocina ya!
No sé si mañana pueda ir al médico.
No sé si quisiera asistir al convivio, posiblemente sí.
Si consumes pizza, entonces, ¿consumiste vino?
Ojalá mañana termine la cuarentena para ir al cine y a comer.
Quizás vaya a ver a mis abuelos el domingo.
1.8.
Parte H
Define:
Define qué son o cuáles son las operaciones proposicionales. Los llamados conectivos lógicos son
los que representan las operaciones entre proposiciones y sus valores de verdad se verifican mediante
una tabla de verdad. Los conectivos lógicos son la Negación (¬), Conjunción (∧), Disyunción inclusiva
(∨), Condicional (→), Bicondicional (↔) y Negación conjunta (↓) (Smith, 1991).
¿Cómo se obtienen y/o se forman las operaciones proposicionales? Las operaciones proposicionales se obtienen al combinar proposiciones simples, donde se deben identificar los conectivos
lógicos dominantes de la proposición. Una vez identificado el conectivo lógico de mayor importancia,
se proceden a realizar operaciones para la simplificación o validación de la proposición (Smith, 1991).
¿Cómo formular proposiciones compuestas a partir de proposiciones atómicas y conectivos
lógicos? Se pueden formar proposiciones compuestas uniendo las composiciones simples a través de
los conectivos lógicos, siempre y cuando se represente de una forma con sentido lógico (Smith, 1991).
¿Qué es formalizar proposiciones? Con formalización se hace referencia a utilizar un tipo de
lenguaje simbólico artificial con el cual se puedan simplificar los argumentos lógicos complicados del
lenguaje natural (Smith, 1991).
Define “Fórmula proposicional”. Las fórmulas proposicionales son representadas con las literales
p, q, r, s, . . . , y con ciertos conectivos lógicos, los cuales describen un argumento que es verdadero
o falso (Smith, 1991).
Características de los enunciados en lenguaje natural. Los enunciados en lenguaje natural son
los comunes, no respetan ninguna regla y están sujetos a muchas interpretaciones (Smith, 1991).
Características de los enunciados en lenguaje formal. Los enunciados en lenguaje formal son
más restrictivos, deben de obedecer una estructura lógica-matemática y están representados simbólicamente (Smith, 1991).
12
CAPÍTULO 1. ACTIVIDAD 1
1.9.
Parte I
Formula o investiga, de los videos compartidos y/o de las bibliografías, 5 ejemplos de operaciones
proposicionales usando la negación, la conjunción, la disyunción exclusiva e inclusiva, la condicional o implicación y bicondicional o doble implicación. Construye las tablas de verdad de estos 5
ejemplos.
Ejemplo 1. Hallar la tabla de verdad del siguiente esquema proposicional.
(¬p ∨ q) → (r ∧ p)
Primero se identifica el número de filas requeridas para la elaboración de la tabla de verdad de
las tres proposiciones p, q y r. Esto se realiza mediante la siguiente fórmula:
Número de filas = 2n ,
(1.9.1)
donde n es la cantidad de proposiciones en el argumento. Por lo tanto, si n = 3, entonces por
la ecuación 1.9.1, se tiene
Número de filas = 8.
Al realizar las ocho combinaciones de verdadero y falso con las tres proposiciones, se consigue
la Tabla 8.
Tabla 8: Tabla de verdad del Ejemplo 1.
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
(¬p
F
F
F
F
V
V
V
V
∨
V
V
F
F
V
V
V
V
q) →
V V
V F
F V
F V
V F
V F
F F
F F
(r
V
F
V
F
V
F
V
F
∧ p)
V V
F V
V V
F V
V F
F F
V F
F F
Ejemplo 2. Hallar la tabla de verdad del siguiente esquema proposicional.
[(p → q) ∧ p] → q.
Al igual que el ejemplo anterior, se procede por calcular el número de filas para las combinaciones mediante la fórmula 1.9.1, con lo cual se obtiene 4 filas. Por lo tanto, al realizar cuatro
combinaciones de verdadero y falso, se obtiene la Tabla 9.
Tabla 9: Tabla de verdad del Ejemplo 2.
p q
V V
V F
F V
F F
[(p
V
V
F
F
→ q) ∧ p] →
V V V V V
F F F V V
F V F F V
F F F F V
13
q
V
F
V
F
CAPÍTULO 1. ACTIVIDAD 1
Ejemplo 3. Ejemplo 3. Hallar la tabla de verdad de la siguiente expresión.
[(¬p ∧ q) → (s ∧ ¬s)] ∧ ¬q
Se procede por calcular el número de filas para las combinaciones mediante la fórmula 1.9.1,
con lo cual se obtiene 8 filas. Por lo tanto, al realizar ocho combinaciones de verdadero y falso,
se obtiene la Tabla 10.
Tabla 10: Tabla de verdad del Ejemplo 3.
p q s
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
[(¬p
F
F
F
F
V
V
V
V
∧
F
F
F
F
V
V
F
F
q) →
V V
V V
F V
F V
V F
V F
F V
F V
∧
F
F
F
F
F
F
F
F
(s
V
F
V
F
V
F
V
F
¬s)] ∧
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
¬q
F
F
V
V
F
F
V
V
Ejemplo 4. Hallar la tabla de verdad de la siguiente expresión.
¬ [¬ (¬p ∨ q) → p] ∨ q
Se procede por calcular el número de filas para las combinaciones mediante la fórmula 1.9.1,
con lo cual se obtiene 4 filas. Por lo tanto, al realizar cuatro combinaciones de verdadero y falso,
se obtiene la Tabla 11.
Tabla 11: Tabla de verdad del Ejemplo 4.
p q
V V
V F
F V
F F
¬ [¬ (¬p
F F
F
F V
F
F F
V
F F
V
∨ q)
V V
F F
V V
V F
→ p] ∨ q
V V V V
V V F F
V F V V
V F F F
Ejemplo 5. Hallar la tabla de verdad de la siguiente expresión.
[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
Se procede por calcular el número de filas para las combinaciones mediante la fórmula 1.9.1,
con lo cual se obtiene 8 filas. Por lo tanto, al realizar ocho combinaciones de verdadero y falso,
se obtiene la Tabla 12.
14
CAPÍTULO 1. ACTIVIDAD 1
Tabla 12: Tabla de verdad del Ejemplo 5.
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
1.10.
[(p → q)
V
V
F
F
V
V
V
V
∨ (q → r)] → (p → r)
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Parte J
Realiza una redacción, usando los conocimientos adquiridos, reafirmados y/o consultados en esta
actividad, que son inherentes al uso del “Pensamiento Matemático”.
La historia de las matemáticas es tan rica que nos permite darnos cuenta de sus alcances y su evolución
hasta la actualidad. La lógica comenzó siendo una forma de pensamiento filosófica, sin embargo, a partir de
Aristóteles, es posible visualizarla como un área primordial para el desarrollo del pensamiento matemático.
La lógica matemática como tal nos permite analizar y demostrar la validez de un argumento a través de
un lenguaje simbólico artificial, lo cual será importante con el transcurso de la carrera. A través de los
conectivos lógicos, las tablas de verdad y las leyes lógicas es posible resolver proposiciones de cualquier
índole. Cabe resaltar que la lógica matemática no solo es aplicada en el ámbito académico, también se
aplica en la ingeniería y las ciencias, principalmente en la computación y la inteligencia artificial.
1.11.
Parte K
Realiza una redacción, expresando tu acuerdo o desacuerdo, de consultar aprendizaje cognitivo
teórico, (aprender teoría) en tu carrera de “Licenciatura en Matemáticas” (Toma en cuenta que, la
matemática pura y aplicada, precisamente, tiene relación estrecha con el pensamiento matemático).
Me parece excelente que la UnADM fomente a los estudiantes a buscar información a través de diversas
fuentes académicas, es decir, a través de vídeos, libros electrónicos, artículos de investigación, artículos de
divulgación, monografías, etc. El aprendizaje que se adquiera buscando en estas fuentes de información,
se complementará con la información proporcionada por la universidad, es decir, el contenido didáctico
de cada asignatura. En mi opinión, es importante que como estudiantes conozcamos todos los temas que
se verán en las asignaturas a través de distintas fuentes de información con el fin de complementar lo
aprendido y que no queden dudas de ello.
1.12.
Parte L
Investiga, describe y relaciona, una (1) teoría fuerte de la ciencia matemática, donde, se conjuguen,
teoría básica matemática, pensamiento matemático y su aplicación en la vida científica y/o académica. Sugerencia: Como ejemplo 1, te puedo expresar que las teorías de DeMoivre y Laplace, son
15
CAPÍTULO 1. ACTIVIDAD 1
bases fuertes para estudios de estadística inferencial, ejemplo 2, los estudios abstractos de Análisis
Matemático, son bases fuertes para el cálculo diferencial e integral, ejemplo 3, tan sencillo, los
postulados de Euclides, son teorías fuertes de la Trigonometría, Geometría Analítica y estos a su
vez, de la ciencia matemática.
Una de mis teorías favoritas es la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales ordinarias. Esta teoría permite
analizar las propiedades cualitativas de las soluciones de las ecuaciones diferenciales no lineales, debido
a que no se pueden solucionar analíticamente. A través del análisis de puntos de equilibrio, análisis de
bifurcaciones y simulaciones numéricas, es posible obtener información valiosa de un sistema de ecuaciones
diferenciales que describa algún fenómeno del mundo real. Por ejemplo, una de las áreas más emergentes
en matemáticas es la Oncología Matemática, que busca estudiar la evolución del cáncer y su respuesta a
tratamiento a través de modelos matemáticos compuestos por ecuaciones diferenciales ordinarias. El análisis
matemático que se haga en torno a esas ecuaciones, es fundamental para comprender el comportamiento
de la enfermedad a largo plazo y avanzar en el desarrollo de tratamientos
16
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