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CAP
1
6
Urgencias
T
COMPUESTO POR MÁS DE 6134 TUBERÍAS DE
Superposición
y ondas estacionarias
TAMAÑOS AMPLIAMENTE VARIOS, ESTE ÓRGANO ES
CAPAZ DE TOCAR NOTAS QUE VAN DESDE UNA AC
QUE ESTÁ POR DEBAJO DEL DO MÁS BAJO DE UN
PIANO Y TIENE UNA FRECUENCIA DE SÓLO 16 Hz
HASTA UNA NOTA QUE ES UNA OCTAVA COMPLETA Y
UN TERCERO MÁS ALTA QUE LA NOTA MÁS ALTA DE
UN PIANO Y TIENE UNA FRECUENCIA DE 10.548 Hz. (
16-1 superposición de ondas
16-2 Ondas estacionarias
* 16-3
Ted Soqui/Corbis.)
Temas adicionales
T
Para obtener una comprensión clara del movimiento ondulatorio simple, en el Capítulo 15
examinamos el movimiento de una secuencia de perturbaciones a través de un medio. Sin
embargo, si ha estado en el océano, tal vez haya observado lo que sucede cuando estas
perturbaciones chocan y se cortan entre sí. Cuando dos o más ondas se superponen en el
espacio, sus perturbaciones individuales se superponen y se suman algebraicamente para
crear una onda resultante. Para el caso de las ondas armónicas, las ondas superpuestas
de la misma frecuencia producen patrones de ondas sostenidos en el espacio.
El Walt Disney Concert Hall en Los Ángeles, California, que alberga el órgano de tubos que se muestra
aquí, es una maravilla acústica y de la ingeniería. Los ingenieros estructurales y civiles trabajaron para
establecer la integridad estructural del órgano diseñado por Frank Gehry y para garantizar que el órgano
sea lo suficientemente fuerte como para soportar terremotos. Los ingenieros acústicos crearon modelos
para pruebas acústicas. Uno de esos modelos, escalado a una décima parte del tamaño real, incluso
incluía figuras de plomo cubiertas de fieltro para representar a los miembros de la audiencia. (Se
utilizaron ondas de sonido a 10 veces la frecuencia normal, y una décima parte de la longitud de onda
normal, para probar el diseño).
Sin embargo, nuestro estudio de las ondas no termina con este capítulo. Continuaremos
nuestro examen de las ondas en el Capítulo 34, donde la naturaleza ondulatoria de los electrones
y otros objetos materiales son parte integral de nuestra comprensión de la física cuántica.
533
?
¿Cuál es la longitud del tubo de órgano
que produce la nota de 16 Hz? (Consulte
el Ejemplo 16-9.)
534
|
Superposición y ondas estacionarias
CAPÍTULO 1 6
En este capítulo, comenzamos con la superposición de pulsos de onda en una cuerda y luego
consideramos la superposición e interferencia de ondas armónicas. Examinamos el
fenómeno de los latidos y estudiamos las ondas estacionarias, que ocurren cuando las
ondas armónicas están confinadas en el espacio. Finalmente, consideramos el análisis de
tonos musicales complejos.
16-1 SUPERPOSICIÓN DE ONDAS
Figura 16-1a muestra dos pulsos de onda de pequeña amplitud de diferentes duraciones que se
mueven en direcciones opuestas en una cuerda. La forma de la cuerda cuando se superponen se
puede encontrar sumando los desplazamientos que produciría cada pulso por separado. El
principio de superposición es una propiedad del movimiento ondulatorio, que establece:
Cuando dos o más ondas se superponen, la onda resultante es la suma algebraica
de las ondas individuales.
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Es decir, cuando hay dos pulsos en la cuerda, la función de onda total es la suma
algebraica de las funciones de onda individuales. Mientras que el principio de
superposición es válido para muchas ondas, no lo es para todas las ondas. Por
ejemplo, el principio de superposición no se cumple si la suma de dos
desplazamientos excede el límite proporcional* del medio. A lo largo de las
discusiones que siguen, asumimos que se cumple el principio de superposición.
En el caso especial de dos pulsos que son idénticos excepto que uno está invertido con respecto al
otro, como en la figura 16-1B, hay un instante en que los pulsos se superponen exactamente y suman
cero. En este instante la cuerda es horizontal. Poco tiempo después emergen los pulsos individuales,
cada uno continuando en su dirección original. Es decir, salen de la región de superposición con el
mismo aspecto que tenían antes de entrar en la región de superposición.
!
Después de que dos pulsos de onda que
viajan en direcciones opuestas “chocan”,
cada uno continúa moviéndose con la misma
velocidad, tamaño y forma que tenían antes
de la “colisión”.
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(a)
FIGURA 1 6 - 1Pulsos
(B)
de onda que se mueven en direcciones opuestas en una cuerda. La forma de la cuerda cuando los pulsos se superponen se
encuentra sumando los desplazamientos debidos a cada pulso por separado. (a) Superposición de dos pulsos con desplazamientos en la
misma dirección (hacia arriba). La figura muestra la forma de la cuerda en intervalos de tiempo iguales de duración.¢t.Cada pulso viaja la
longitud del pulso 2 durante el tiempo¢t. (B) Superposición de dos pulsos que tienen desplazamientos iguales en direcciones opuestas. Aquí la
suma algebraica del desplazamiento equivale a la resta de las magnitudes.
* El límite proporcional de un material elástico es la deformación máxima para la cual la tensión es proporcional a la deformación. El esfuerzo y la
deformación se analizan en la Sección 8 del Capítulo 12.
superposición de ondas
Ejemplo 16-1
|
SECCIÓN 1 6 - 1
535
Conceptual
Pulsos que chocan
Un pulso vertical en una cuerda tensa se mueve hacia la derecha, mientras
y
Bordes de ataque
que un pulso invertido del mismo tamaño y forma se mueve hacia la
izquierda. Cuando estos pulsos se superponen, hay un instante en que la
cuerda está plana y no se ven pulsos. Todo esto está de acuerdo con el
X
principio de superposición. La pregunta es, ¿por qué reaparecen los pulsos
y continúan después de la colisión?
IMAGEN El desplazamiento de cada punto de la cuerda es cero en el
instante en que la cuerda es plana, pero ¿la velocidad de cada punto es
cero en ese instante? Para un pulso vertical, la cuerda en el borde de
ataque del pulso se mueve hacia arriba y la cuerda en el borde de
salida se mueve hacia abajo. Para un pulso invertido ocurre lo
contrario: la cuerda en el borde de ataque se mueve hacia abajo y la
cuerda en el borde de salida se mueve hacia arriba.
vy
X
RESOLVER
1. Grafique tanto la posición como la velocidad de la cuerda frente a la
posición a lo largo de la cuerda antes de que los pulsos se superpongan
(Figura 16-2). Para un pulso vertical, la cuerda en el borde de ataque se
mueve hacia arriba y la cuerda en el borde de salida se mueve hacia
abajo. Para un pulso invertido, ocurre lo contrario; la cuerda en el borde
de ataque se mueve hacia abajo y la cuerda en el borde de salida se
FIGURA 1 6 - 2
y
mueve hacia arriba.
2. Esta vez, grafique tanto la posición como la velocidad de la cuerda frente a la
X
posición a lo largo de la cuerda en el instante en que los pulsos se
superponen por completo (Figura 16-3).
3. ¿La velocidad es cero en todos los
En el paso 1, los perfiles de velocidad de la
puntos de la cuerda en el instante
cuerda son idénticos para los dos pulsos,
en que la cuerda está plana?
por lo que cuando los dos pulsos se
vy
superponen, el
los desplazamientos suman cero, pero
las velocidades no suman cero. Los
X
pulsos se reforman después de
superponerse porque la cuerda se
mueve y tiene inercia. Por lo tanto, no
se queda plano.
FIGURA 1 6 - 3
* SUPERPOSICIÓN Y LA ECUACIÓN DE ONDA
El principio de superposición se deriva del hecho de que la ecuación de onda (Ecuación
15-10B) es lineal para pequeños desplazamientos transversales. Es decir, la función y(x, t) y
sus derivados ocurren solo a la primera potencia. La propiedad definitoria de una ecuación
lineal es que siy yy son dos soluciones
de la ecuación, entonces la combinación lineal
1
2
y-cy
3
11
C2y2
16-1
dondeC yC1 son constantes
cualesquiera, también es una solución. La linealidad de la ecuación de
2
onda se puede mostrar mediante la sustitución directa dey en la
ecuación de onda. El resultado es
3
el enunciado matemático del principio de superposición. Si dos ondas cualesquiera satisfacen una
ecuación de onda, entonces su suma algebraica también satisface la misma ecuación de onda.
536
|
Ejemplo 16-2
Superposición y ondas estacionarias
CAPÍTULO 1 6
Superposición y la Ecuación de Onda
Demuestre que si las funcionesy1yy ambos
satisfacen la ecuación de onda
2
2y
X2
-
1 2y
v2 t2
(Ecuación 15-10B)
entonces la funcióny dada
por la Ecuación 16-1 también satisface la ecuación de onda.
3
IMAGEN Sustituiry en la ecuación
de onda, suponga quey yy cada uno
satisface
la ecuación de
3
1
2
onda y muestra que, como consecuencia, la combinación linealC y ecuación
de onda
C 2ysatisface
el
11
2
RESOLVER
1. Sustituya la expresión por
2y
3
y3 en la Ecuación 16-1 a la izquierda
X2
lado de la ecuación de onda, luego sepárelo en términos separados
para
y yy:2
1
2y
1X2
2. Ambosy1yy satisfacer
la función de onda. Escriba la ecuación
2
de onda para ambosy
yy: 2
1
2y
3
3. Sustituya los resultados del paso 2 en el resultado del paso 1 y elimine los
X2
términos comunes:
2y
3
4. Mueva las constantes dentro de los argumentos de las derivadas y
exprese la suma de las derivadas como la derivada de la suma:
X2
:
5. El argumento de la derivada temporal en el paso 4 es y
-
1
v2
- C
-
(C 1y1
C 2y2) - C
2y
1
2y
1
1
t2
2
C1y1
1
a
v2
t2
2y
1
C
2C
1
v2
2y
2t2
1
2v2
y
22
t2
C2
X2
1
2y
2X2
y
t2
1v2
2y
3X2
‹
3
2
X2
B-
2y
2
X2
2y
2
t2
2y
1
1
aC
v2 1 t2
1 2
(C y
v2 t2 1 1
C2
2y
2B
t2
C 2y2)
2y
3
1
v2
t2
CHEQUE El resultado del paso 5 es dimensionalmente consistente. El término de la izquierda tiene
dimensiones de [L]>[L]2- [L]-1 y el término de la derecha tiene dimensiones de {[T]2>[I]2}{[I]>[T]2}-[L]-1 .
INTERFERENCIA DE ONDAS ARMÓNICAS
El resultado de la superposición de dos ondas armónicas de la
misma frecuencia depende de la diferencia de fase D entre las olas.
Dejary (x, t)sea1 la función de onda para una onda armónica que
viaja hacia la derecha con amplitud A, frecuencia angular v, y
número de onda k:
y
A
d
y = A pecado(kx + δ )
2
16-2
y1- unpecado(kx -vt)
kx
Para esta función de onda, hemos elegido que la constante de fase sea
cero.* Si tenemos otra onda armónica que también viaja hacia la
derecha con la misma amplitud, frecuencia y número de onda,
entonces la ecuación general para su función de onda se puede escribir
y2- unpecado(kx -vt
y1=Apecadokx
16-3
D)
FIGURA
16-4
Desplazamiento versus posición en (un
instante) para dos ondas armónicas que tienen la misma amplitud,
frecuencia y longitud de onda, pero que difieren en fase porD.
dondeD es la constante de fase. Las dos ondas descritas por las Ecuaciones 16-2 y 16-3 difieren en
fase porD.La figura 16-4 muestra un gráfico de las dos funciones de onda frente a la posición en el
tiempot-0 La onda resultante es la suma
y1
y2- unpecado(kx -vt)
Apecado(kx -vt
D)
16-4
Podemos simplificar la Ecuación 16-4 usando la identidad trigonométrica
pecadotu
1
-
pecadotu-2 porque1(tu
2 1
2
tu)pecado21(tu
2
1
tu)
2
información sobre
16-5
* Esta elección es conveniente pero no obligatoria. Si, por ejemplo, elegimost-0 cuando el desplazamiento era máximo en
1
X - 0, escribiríamosy - unporquekx
-vt)-Apecado(kx -vt
pags).
1
2
Ver
MatemáticasTutorialpara más
Trigonometría
superposición de ondas
Para este caso,tu-kx
-vtytu-kx -vt 2
1
D,de modo que
1
(tu1 - tu )2 - -1D
2
SECCIÓN 1 6 - 1
Ola 2
|
537
Onda resultante
2
y
1
2(tu
1
1
2D
tu)
-kx -vt
2
Ola 1
Por lo tanto, la ecuación 16-4 se convierte en
y1
1
2D)
y 2- [2Aporque1 2D]pecado(kx -vt
16-6
FIGURA
SUPERPOSICIÓN DE DOS ONDAS DE LA MISMA AMPLITUD Y FRECUENCIA
amplitudes de las ondas individuales. Las ondas 1 y 2 son
idénticas, por lo que aparecen como una sola onda
armónica. La onda 1 se muestra como una curva
de dos ondas armónicas que tienen el mismo número de onda k y frecuencia ves una onda
armónica que tiene número de onda k y frecuencia v. La onda resultante tiene am-
discontinua roja y la onda 2 se muestra como una curva
discontinua negra.
y una fase igual a la mitad de la diferencia entre las fases del
ondas originales. El fenómeno de la superposición de dos o más ondas de la misma o
casi la misma frecuencia para producir un patrón observable en la intensidad se
denominainterferencia. En este ejemplo, la intensidad, que es proporcional al
cuadrado de la amplitud, es uniforme. Si las dos ondas están en fase, entonces D - 0,
cos 0 - 1, y la amplitud de la onda resultante es 2UNA. La interferencia de dos ondas en
fase se llama interferencia constructiva (Figura 16-5). si los dos
Ola 1
FIGURA 1 6 - 6 Interferencia destructiva. Si dos ondas
armónicas de la misma frecuencia difieren en fase
en 180°, la amplitud de la onda resultante es la
diferencia entre las amplitudes de las ondas
individuales. Si las ondas originales tienen
amplitudes iguales, se cancelan por completo.
PROBLEMA DE PRÁCTICA 16-1
Dos ondas con la misma frecuencia, longitud de onda y amplitud viajan en la misma
dirección. (a) Si difieren en fase por 90.0° y cada uno tiene una amplitud de 4.00 cm,
¿cuál es la amplitud de la onda resultante? (B) ¿Para qué diferencia de fase D ¿La
amplitud resultante será igual a 4,0 cm?
Latidos La interferencia de dos ondas sonoras con frecuencias ligeramente diferentes
produce el interesante fenómeno conocido como latidos Considere dos ondas de sonido
que tienen frecuencias angulares de vyvy
la misma
amplitud de presión pags . ¿Qué
1
2
0
escuchamos? En un punto fijo, la dependencia espacial de la onda simplemente aporta una
constante de fase, por lo que podemos despreciarla. La presión en el oído debida a que
cualquiera de las ondas actúe sola será una función armónica simple del tipo
pags
- pags
pecadovt
1
0
1
y
pags
- pags
pecadovt
2
0
2
donde hemos elegido funciones seno, en lugar de funciones coseno por conveniencia, y
hemos asumido que las ondas están en fase en el tiempo t-0. Usando la identidad
trigonométrica
pecadotu-2 porque1 2(tu - tu ) pecado12(tu
2
1
2
1
tu)
2
para la suma de dos funciones seno, obtenemos para la onda resultante
pag pecadovt
0
1
si escribimosAVv - (v
1
pags
pecadovt-2pags
porque
1(v-v)tpecado1 2(v
2
0
2
0
1
2
1
v 2)t
v 2)>2 para la frecuencia angular media y ¢v-v-v
para la diferencia de frecuencias angulares, la función de onda resultante es
pags -2pags porque1 2¢vt)
0
donde¢f- ¢v>(2pags) yF
pecadov
AV
t-2pags porque (2pags1 2¢ pie) pecado 2pagspie
AV
- v AV> (2pags).
Onda resultante
2
la onda resultante es cero. La interferencia de dos ondas desfasadas 180° se llama
interferencia destructiva (Figura 16-6).
1
Ola 2
D2 - 0, y la amplitud de la
las ondas están desfasadas 180°, entonces d-p, porque11
pecadotu
Interferencia constructiva.
fase, la amplitud de la onda resultante es la suma de las
donde hemos usado cos(-1 2D) -porque12D.Vemos que el resultado de la superposición
plenitud 2Aporque12D
16-5
Si dos ondas armónicas de la misma frecuencia están en
0
AV
1
16-7
2
|
538
CAPÍTULO 1 6
Superposición y ondas estacionarias
pags
La figura 16-7 muestra un gráfico de variaciones de presión en función del
tiempo. Las ondas están inicialmente en fase. Por lo tanto, se suman
pags0
constructivamente en el momentot-0. Debido a que sus frecuencias difieren, las
ondas se desfasan gradualmente y, al mismo tiempo,testán
desfasados 180° e
1
(a )
t
interfieren destructivamente.* Un intervalo de tiempo igual después (tiempoten
t1
la figura),
las dos ondas vuelven a estar en fase e interfieren constructivamente.
2
t2
t3
t2
t3
Cuanto mayor es la diferencia en las frecuencias de las dos ondas, más
rápidamente oscilan dentro y fuera de fase.
Cuando dos diapasones vibran con amplitudes iguales y
con frecuencias casi igualesFyf ,el
tono 2que escuchamos tiene
1
una frecuencia def - (ff)>2
y una
amplitud
de
AV
1
2
2pags porque (2pags
2 1¢
0
F t). (Para algunos valores detla amplitud es negativa
tivo porque -costu-porquetu
pags),un cambio en el signo de la
amplitud es equivalente a un cambio de fase de 180°.) La amplitud
oscila con la frecuencia1
2¢F.porque la intensidad del sonido
es proporcional al cuadrado de la amplitud, el sonido es fuerte
siempre que la función de amplitud sea un máximo o un
mínimo. Así, la frecuencia de esta variación de intensidad,
llamó alfrecuencia de latido,es dos veces1 2¢F:
F
derrotar
16-8
- ¢F
FRECUENCIA DE BATIDO
pags
Amplitud
2pags0
(B)
t1
FIGURA 1 6 - 7Latidos.
t
(a) Dos ondas armónicas de frecuencias diferentes pero
casi iguales que están en fase ent-0 están 180° fuera de fase en algún
momento posteriort.En un tiempo
aún posterior,t ,están
de nuevo en fase. (B)
1
2
La resultante de las dos ondas mostradas en (a). La frecuencia de la onda
resultante es aproximadamente la misma que las frecuencias de las ondas
originales, pero la amplitud se modula como se indica. La intensidad es
máxima en los tiempos 0 yt ,y cero a vecestyt.
2
1
3
La frecuencia de pulsación es igual a la diferencia en la frecuencia individual.
frecuencias de las dos ondas. Si golpeamos simultáneamente dos diapasones que tienen las
frecuencias 241 Hz y 243 Hz, escucharemos un tono pulsante a la frecuencia promedio de 242 Hz
que tiene una intensidad máxima a intervalos de medio segundo; es decir, la frecuencia de
pulsación es de 2 Hz. El oído puede detectar latidos con frecuencias de latido de hasta
aproximadamente 15 a 20 por segundo. Por encima de esta frecuencia, las fluctuaciones de
volumen son demasiado rápidas para distinguirlas.
El fenómeno de los latidos se usa a menudo para comparar una frecuencia desconocida con una
frecuencia conocida, como cuando se usa un diapasón para afinar la cuerda de un piano. Los pianos se
afinan haciendo sonar el diapasón y golpeando una tecla simultáneamente, mientras que al mismo
tiempo se ajusta la tensión de la cuerda del piano hasta que los latidos estén muy separados, lo que
indica que la diferencia en la frecuencia de los dos generadores de sonido es muy pequeña.
Ejemplo 16-3
afinar una guitarra
Cuando se golpea un diapasón de 440 Hz (concierto A) al mismo tiempo que se toca la cuerda A de una guitarra
ligeramente desafinada, se escuchan 3,00 latidos por segundo. La cuerda de la guitarra se tensa un poco para
aumentar su frecuencia. A medida que la cuerda de la guitarra se aprieta lentamente, escuchará que la
frecuencia de pulsación aumenta lentamente. ¿Cuál era la frecuencia inicial de la cuerda de la guitarra (la
frecuencia antes de que se apretara)?
IMAGEN Debido a que inicialmente se escucharon 3,00 latidos por segundo, la frecuencia inicial de
la cuerda de la guitarra fue de 437 Hz o 443 Hz. Cuanto mayor sea la diferencia entre la frecuencia
de la cuerda y la frecuencia del diapasón, mayor será la frecuencia de pulsación. La frecuencia de
la cuerda aumenta con el aumento de la tensión.
RESOLVER
1. Debido a que la frecuencia de pulsación aumenta a
f-f
A
F
derrotar
- 440 Hz
medida que aumenta la tensión, la frecuencia
inicial debe haber sido de 443 Hz:
3,00 Hz -
443 Hz
Se ha golpeado el diapasón y se ha tocado una
cuerda. Al escuchar los latidos, el hombre está
apretando (o aflojando) la cuerda para llevar la
frecuencia del latido a cero. A medida que la
frecuencia del pulso se acerca a cero, la frecuencia
CHEQUE La respuesta tiene el número correcto de cifras significativas.
* La cancelación completa ocurre solo cuando las amplitudes de presión de las dos ondas son iguales.
de la cuerda se acerca a la frecuencia del diapasón.(
Fotografía de Ray Malace.)
superposición de ondas
Diferencia de fase debido a la diferencia de caminoUna causa común de una diferencia
de fase entre dos ondas son las diferentes longitudes de camino entre las fuentes de las
ondas y el punto donde ocurre la interferencia. Suponga que dos fuentes oscilan en fase (las
crestas positivas salen de las fuentes al mismo tiempo) y emiten ondas armónicas de la
misma frecuencia y longitud de onda. Ahora considere un punto en el espacio para el cual
las longitudes de camino a las dos fuentes difieren. Si la diferencia de trayectoria es de una
longitud de onda, como en el caso de la figura 16-8a, o cualquier otro número entero de
longitudes de onda, la interferencia es constructiva. Si la diferencia de trayectoria es la
mitad de una longitud de onda o un número impar de medias longitudes de onda, como en
la figura 16-8B, el máximo de una onda al mismo tiempo que el mínimo de la otra y la
interferencia es destructiva.
SECCIÓN 1 6 - 1
|
539
S1
PAGS1
S2
Las funciones de onda para ondas de dos fuentes que oscilan en fase se pueden
escribir
(a)
S1
pag
pecado(kx
-vt)
1
0
1
y
PAGS2
pag
pecado(kx
-vt)
2
0
2
La diferencia de fase para estas dos funciones de onda es
D - (kx -vt)
- (kx - vt) -1k(x - x ) - k ¢X2
2
1
S2
Utilizando k-2p>l, tenemos
D - k ¢X - 2pags
¢X
yo
FIGURA
16-9
(B)
1 6 - 8 Ondas
de dos fuentes S yS están en 1
fase cuando
se encuentran en un punto PAGS . (a)
2
Cuando la
diferencia de camino es una longitud de onda
1
DIFERENCIA DE FASE POR DIFERENCIA DE TRAYECTORIA
yo, las ondas están en fase en PAGS y por lo tanto1
interferir constructivamente. (B) Cuándo
la diferencia de ruta es 1 2yo, las olas en PAGS son
2
fuera de fase por 180° y por lo tanto interfieren
destructivamente. Si las ondas son de igual amplitud en
Ejemplo 16-4
PAGS2 , se cancelarán por completo en este punto.
Una onda de sonido resultante
Dos altavoces idénticos son impulsados en fase por un oscilador de audio común. En un punto a
5,00 m de un cono de altavoz y a 5,17 m del otro, la amplitud del sonido de cada uno espags .
Encuentre0 la amplitud de la onda resultante en ese punto si la frecuencia de las ondas sonoras es (
a) 1000 Hz, (B) 2000 Hz, y (C) 500 Hz. (Use 340 m>s para la velocidad del sonido).
IMAGEN La amplitud de la onda resultante debido a la superposición de dos ondas que difieren en fase
por D es dado por A - 2pags porque1D0
2
(Ecuación 16-6), donde
pags
es la amplitud de cualquiera
0
ola y D - 2pags ¢x>yo (La ecuación 16-9) es la diferencia de fase. Nos dan la diferencia de ruta,¢X - 5,17 m
- 5,00 m - 0,17 m, por lo que todo lo que se necesita es la longitud de onda yo
RESOLVER
(a) 1. La longitud de onda es igual a la velocidad dividida por la frecuencia.
yo-
Calcularyo por f- 1000 Hz:
2. para yo- 0.340 m, la diferencia de trayectoria dada (¢X - 0,17 m) es
1
2yo,
340 m>s
v
- 0,340m
F
1000 Hz
D - 2pags
así que esperamos una interferencia destructiva. Utilice este valor deyo yA -
D (Ecuación 16-6), para calcular la fase
diferenciaD,y luego usar D para calcular la amplitudA:
2pags porque1 0
2
(B) 1. Calcularyo por f- 2000 Hz:
2. para yo- 0,170 m, la diferencia de trayectoria es igualyo, así que esperamos
¢X
yo
0,17 metros
2pags
0,340m
- pags
1
pags
D - 2pags porque
0
2
2
entonces
A - 2pags porque
yo-
340 m>s
v
- 0,170 m
F
2000 Hz
0
D - 2pags
una interferencia constructiva. Calcule la diferencia de fase y la amplitud:
entonces
¢X
yo
0,170 m
2pags
0,17 metros
-
0,0 metros
2pags
A - 2pags porque12D - 2pags porquepags 0
0
- 2pags
0
|
540
CAPÍTULO 1 6
Superposición y ondas estacionarias
340 m>s
v
- 0,680m
F
500 Hz
¢X
0,17 metros
pags
D - 2pags
- 2pags
yo
0,680m
2
yo-
(C) 1. Calcularyo por f- 500 Hz:
2. Calcule la diferencia de fase y la amplitud:
entonces
CHEQUE Cada una de las tres respuestas está entre -2pags0 y
1
pags
D - 2pags porque
0
2
4
A - 2pags porque
0
12pags
0
2pags ,por lo que las respuestas están dentro de la
0
rango esperado.
LLEVÁNDOLO MÁS ALLÁ En parte (B),Ase encuentra negativa. La ecuación 16-6 se puede escribir
y1
y-Apecadoakx-vt
2
D
B,que también se puede escribir y
2
1
D
2
y2- -A pecadoakx-vt
pagsB.
Un cambio de fase depags -180° es equivalente a multiplicar por -1.
Ejemplo 16-5
Intensidad de sonido de dos altavoces
Los dos altavoces idénticos del ejemplo 16-4 ahora se giran uno frente al otro a una
distancia de 180 cm. Además, ahora funcionan a 686 Hz. Localice los puntos entre los
altavoces a lo largo de una línea que los une para los cuales la intensidad del sonido es (
a) máximo, y (B) mínimo. (Ignore la variación de intensidad con la distancia desde
cualquiera de los altavoces y use 343 m>s para la velocidad del sonido).
X
IMAGEN Elegimos que el origen esté en el punto medio entre los altavoces (Figura 16-9).
Debido a que el origen es equidistante de los altavoces, es un punto de máxima
intensidad. Cuando nos movemos una distanciaX desde el origen hacia uno de los
altavoces, la diferencia de camino entre nosotros y los dos altavoces es 2X. La
intensidad será máxima en los puntos donde 2X - 0, yo, 2yo, 3yo, A , y mínimo
– 90cm
0
+ 90cm
FIGURA 1 6 - 9 Los
dos altavoces están en el X eje con X 0 a mitad de camino entre ellos.
donde 2X - 1 2yo, 32yo, 52yo, UNA .
RESOLVER
(a) 1. La intensidad será máxima cuando 2X es igual a un
2X - 0, yo, 2yo, 3yo, A
número entero de longitudes de onda:
343 m>s
v
- 0,500 m - 50,0 cm
F
686 Hz
2. Calcular la longitud de onda:
yo-
3. Resuelva para X usando la longitud de onda calculada:
X - 0,
(B) 1. La intensidad será mínima cuando 2X es igual a un número
2X -
1
2yo,
1
2yo,
yo, 32yo, A 3
2yo,
5
2yo,
0, 25,0 cm,
50,0 cm,
75,0cm
A
impar de medias longitudes de onda:
2. Resuelve para X usando la longitud de onda calculada:
X-
1
4 yo,
3
4 yo,
5
4
yo, A -
CHEQUE Las respuestas para Partes (a) y (B) se complementan entre sí, con los mínimos de intensidad ubicados a
medio camino entre los máximos de intensidad, como era de esperar.
LLEVÁNDOLO MÁS ALLÁ Los máximos y mínimos serán máximos relativos y mínimos relativos,
porque en cada máximo (y mínimo) la amplitud del hablante más cercano será ligeramente mayor
que la del hablante más lejano. Solo se usaron siete términos para los máximos y solo ocho
términos para los mínimos, porque cualquier término adicional no estaría en la región entre los
dos hablantes.
Figura 16-10a muestra el patrón de onda en un tanque de ondas producido por dos fuentes
puntuales que oscilan en fase. Cada fuente produce ondas con frentes de onda circulares. Todos
los frentes de onda circulares que se muestran tienen la misma fase (todos son crestas) y están
separados por una longitud de onda. Podemos construir un patrón similar con una brújula
dibujando arcos circulares que representen las crestas de onda de cada fuente en algún instante
particular de tiempo (Figura 16-10B). Donde las crestas de cada fuente se superponen, las ondas
interfieren constructivamente. En estos puntos, las longitudes de camino de las dos fuentes
12,5 cm, 37,5 cm,
62,5 cm,
87,5cm
superposición de ondas
|
SECCIÓN 1 6 - 1
541
son iguales o difieren en un número entero de longitudes de onda. Las líneas
discontinuas indican los puntos que son equidistantes de las fuentes o cuyas
rutas difieren de las fuentes en una longitud de onda, dos longitudes de onda
o tres longitudes de onda. En cada punto a lo largo de cualquiera de estas
líneas, la interferencia es constructiva, por lo que estas son líneas de máxima
interferencia. Entre las líneas de máximos de interferencia hay líneas de
mínimos de interferencia. En una línea de mínimos de interferencia, la longitud
del camino desde cualquier punto de la línea hasta cada una de las dos fuentes
difiere en un número impar de medias longitudes de onda. En toda la región
donde se superponen las dos ondas, la amplitud de la resultante
onda está dada porA - 2pags porque
1 2D,dondepags
0
0
es la amplitud de cada
ondear por separado yD está relacionado con la diferencia de trayectoria¢rpor D - 2
(a)
pags ¢r>yo (Ecuación 16-9).
La figura 16-11 muestra la intensidadIde la onda resultante de dos fuentes en
función de la diferencia de trayectoria¢X. En los puntos donde la interferencia es
constructiva, la amplitud de la onda resultante es el doble de la de cualquiera de las
Δr=0
Δr=λ
Δr=2λ
Δr=λ
Δr=2λ
ondas solas, y debido a que la intensidad es proporcional al cuadrado de la
Δr=3λ
amplitud, la intensidad es 4I ,dondeIes la intensidad debida a cualquiera
de las 0
0
fuentes solas. En los puntos de interferencia destructiva, la intensidad es cero. La
Δr=3λ
intensidad promedio, mostrada por la línea discontinua en 2Ien la figura, es el doble
λ
de la intensidad debida a0cualquiera de las fuentes solas, un resultado requerido por
la conservación de la energía. La interferencia de las ondas de las dos fuentes
redistribuye así la energía en el espacio. La interferencia de dos fuentes de sonido se
puede demostrar activando dos altavoces separados con el mismo amplificador (de
modo que siempre estén en fase) alimentados por un generador de señales de
audio. Moviéndose por la habitación, uno puede detectar de oído las posiciones de
S1
interferencia constructiva y destructiva.* Esta demostración se realiza mejor en una
habitación llamada sala.cámara anecoica,donde se minimizan los reflejos (ecos) de
las paredes de la habitación.
FIGURA
16-10
(B)
S2
(a) Ondas de agua en un tanque de ondas producidas
por dos fuentes que oscilan en fase. (B) Dibujo de crestas de onda para las
CoherenciaNo es necesario que dos fuentes estén en fase para producir
un patrón de interferencia. Considere dos fuentes que están desfasadas
180°. (Dos altavoces que están en fase pueden desfasarse 180°
simplemente cambiando los cables a uno de los altavoces). El patrón de I
intensidad es el mismo que el de la Figura 16-11, excepto que las
ubicaciones de los se intercambian máximos y mínimos. En los puntos 4
enI0
los que la distancia difiere en un número entero de longitudes de onda, la
interferencia es destructiva porque las ondas están desfasadas 180°.
En los puntos donde la diferencia de trayectoria es un número impar de
fuentes en (a). Las líneas discontinuas indican puntos para los cuales la
diferencia de trayectoria es un número entero de longitudes de onda.
(Parte (a) Berenice Abbott, 8J 1328/Photo Researchers.)
2I0
medias longitudes de onda, las ondas ahora están en fase porque la
diferencia de fase de 180° de las fuentes se compensa con la diferencia de
fase de 180° debida a la diferencia de trayectoria.
Dos fuentes cualesquiera cuya diferencia de fase permanezca constante
producirán patrones de interferencia similares. Dos fuentes que
0
1
2λ
λ
3λ
2
2λ
5λ
2
ΔX
permanecen en fase o mantienen una diferencia de fase constante
se dice que las referencias son coherente. Las fuentes coherentes de ondas de agua en un tanque de
FIGURA 1 6 - 1 1 Intensidad
versus diferencia de
ondas son fáciles de producir accionando ambas fuentes con el mismo motor. Las fuentes de sonido
trayectoria para dos fuentes que están en fase. I es
coherentes se obtienen activando dos altavoces con la misma fuente de señal y amplificador.
la intensidad debida a cada fuente individualmente.
Las fuentes de ondas cuya diferencia de fase no es constante, sino que varía aleatoriamente,
se dice que son fuentes incoherentes. Hay muchos ejemplos de fuentes incoherentes, como dos
altavoces alimentados por diferentes amplificadores o dos violines tocados por
* En esta demostración, la intensidad del sonido no será del todo cero en los puntos de interferencia destructiva debido a los reflejos
del sonido en las paredes o en los objetos de la habitación.
0
542
|
CAPÍTULO 1 6
Superposición y ondas estacionarias
diferentes violinistas. Para fuentes incoherentes, la
interferencia en un punto particular varía rápidamente de
constructivo a destructivo, y ningún patrón de interferencia
se mantiene lo suficiente como para ser observado. La
intensidad resultante de las ondas de dos o más fuentes
incoherentes es simplemente la suma de las intensidades
debidas a las fuentes individuales.
A
(a)
norte
norte
(B)
norte
norte
(C)
A
A
2
2L
2
2
v
2L
3
2L
3
3
v
2L
(D)
4
2L
4
4v
2L
5
2L
5
5v
2L
A
norte
norte
norte
norte
Cuarto armónico
norte
(mi)
A
norte
A
A
norte
A
A
norte
norte
norte
Quinto armónico
L
Las ondas estacionarias tienen importantes aplicaciones en
FIGURA
1 6 - 1 2 Ondas
estacionarias en una cuerda que está fija en ambos extremos.
Los antinodos están etiquetados como A y los nodos están etiquetados como N. Los norteel armónico tiene
norte antinodos, donde n-1, 2, 3,UNA .
Cuerda fija en ambos extremos Si fijamos un extremo de una cuerda
flexible tensa y movemos el otro extremo de la cuerda hacia arriba y hacia
abajo con un movimiento armónico simple de pequeña amplitud,
encontramos que en ciertas frecuencias, los patrones de ondas
estacionarias como los que se muestran en la figura 16-12 son producido.
Las frecuencias que producen estos patrones se llamanfrecuencias de
resonancia del sistema de cuerdas. Cada una de estas frecuencias, con su
correspondiente función de onda, se denominaModo de vibración. La
frecuencia de resonancia más baja se llamafundamentalfrecuenciaF.
1
Produce el patrón de onda estacionaria que se muestra en la figura 16-12a,
que se llama elmodo fundamentalde vibración o laprimer armónico.La
segunda frecuencia más bajaFproduce el patrón que
se muestra en la figura
2
16-12B. Este modo de vibración tiene una frecuencia el doble de la
frecuencia fundamental y se denomina segundo armónico. La tercera
frecuencia más bajaFes tres veces la frecuencia 3fundamental y produce el
tercer patrón armónico que se muestra en la figura 16-12C. El conjunto de
todas las frecuencias resonantes se denominaespectro de frecuencia
resonantede la cuerda
Muchos sistemas que admiten ondas estacionarias tienen espectros de
frecuencia resonante en los que las frecuencias resonantes no son múltiplos
enteros de la frecuencia más baja. En todos los espectros de frecuencia
resonante, la frecuencia resonante más baja se denomina frecuencia
fundamental (o simplemente la fundamental), la siguiente frecuencia
resonante más baja se denomina primeraarmónico,el siguiente más bajo,
el segundo sobretono, y así sucesivamente. Esta terminología tiene sus
raíces en la música. Solo si cada frecuencia resonante es un múltiplo entero
de la frecuencia fundamental, se denominan armónicos.
Ondas estacionarias en una cuerda hecha para oscilar por un vibrador conectado al extremo
izquierdo de la cuerda. Estas ondas estacionarias ocurren solo en frecuencias específicas.
(Richard Megna/Fotografías Fundamentales, Nueva York).
norte
norte
Tercer armónico
A
norte
un patrón de vibración estacionario llamadoonda estacionaria.
ONDAS ESTACIONARIAS EN CUERDAS
v
2L
A
norte
frecuencias para las cuales la superposición da como resultado
instrumentos musicales y en la teoría cuántica.
norte
A
norte
hacen que las ondas viajen en ambas direcciones. Estas ondas
superposición. Para una cuerda o tubería dada, hay ciertas
1
Fnorte
Segundo armónico
Si las ondas están confinadas en el espacio, como las ondas en
superpuestas interfieren de acuerdo con el principio de
1
2L
1
A
16-2 ONDAS ESTACIONARIAS
las ondas de luz en un láser, los reflejos en ambos extremos
λnorte
Fundamental, primer armónico A
A
una cuerda de piano, las ondas de sonido en un tubo de órgano o
norte
Ondas estacionarias
Observamos en la figura 16-12 que para cada armónico hay ciertos puntos en la cuerda
(el punto medio en la figura 16-12B, por ejemplo) que no se mueven. Tales puntos se llaman
nodos. A mitad de camino entre cada par de nodos adyacentes hay un punto de máxima
amplitud de vibración llamado antinodo. Un extremo fijo de la cuerda es, por supuesto, un
nodo. (Si un extremo está conectado a un diapasón u otro vibrador en lugar de estar fijo,
seguirá siendo aproximadamente un nodo porque la amplitud de la vibración en ese
extremo es mucho menor que la amplitud en los antinodos). el primer armónico tiene un
antinodo, el segundo armónico tiene dos antinodos, y así sucesivamente.
!
|
SECCIÓN 1 6 - 2
543
No todas las frecuencias resonantes se
denominan armónicos. Solo las frecuencias
que forman parte de un espectro de frecuencia
resonante que se compone de múltiplos enteros
de la frecuencia fundamental (más baja) se
denominan armónicos.
Podemos relacionar las frecuencias de resonancia con la velocidad de onda en la cuerda y la
longitud de la cuerda. La distancia entre un nodo y el antinodo más cercano es un cuarto de la
L
λ/2
longitud de onda. Por lo tanto, la longitud de la cuerdaLes igual a la mitad de la longitud de onda
en el modo fundamental de vibración (Figura 16-13) y, como revela la Figura 16-12, Les igual a dos
λ
medias longitudes de onda para el segundo armónico, tres medias longitudes de onda para el
tercer armónico, y así sucesivamente. En general, siyo es la longitud de onda de la nortearmónico,
norte
tenemos
yo
L-nnorte
2
n-1, 2, 3,A
FIGURA 1 6 - 1 3 Para el primer armónico de una
cuerda tensa fija en ambos extremos, yo- 2l
16-10
CONDICIÓN DE ONDA ESTACIONARIA, AMBOS EXTREMOS FIJOS
Este resultado se conoce como elcondición de onda estacionaria.Podemos encontrar la frecuencia
de lanortearmónico por el hecho de que la velocidad de la ondaves igual a la frecuenciaF
norte
veces la longitud de onda. Por lo tanto,
f-
norte
v
v
yo 2L>n
n-1, 2, 3,A
norte
o
f-n
norte
v
- nf 1
2L
n-1, 2, 3,A
16-11
FRECUENCIAS DE RESONANCIA, AMBOS EXTREMOS FIJOS
dondef-v>(2L)es
la frecuencia fundamental.
1
L
Varilla de soporte
Podemos entender las ondas estacionarias en términos
de resonancia. Considere una cadena de longitudLque se
une en un extremo a un vibrador (Figura 16-14) y se fija en
el otro extremo. La primera cresta de onda enviada por el
vibrador viaja por la cuerda una distanciaL al extremo fijo,
donde se refleja y se invierte. Eso
Polea
alambre o cuerda
Mecánico
conductor
FRECUENCIA HERZIOS
ESPERA
FORMA DE ONDA
PRODUCCIÓN
WR
VERTICAL
infrarrojos
POSITIVO
PASCO
CIENTÍFICO
AJUSTAR
MENOS
AMPLITUD
Función
generador
CD
PI - 9 5 8 7 B
FUNCIÓN DIGITAL
GENERADOR -
HD
AMPLIFICADOR
BAJO
ALTO
luego viaja de regreso una distanciaLy se refleja e invierte de
nuevo en el vibrador. El tiempo total de ida y vuelta es de 2L>v.
Si este tiempo es igual al período del vibrador, la cresta de la
onda doblemente reflejada se superpone exactamente a la
Abrazadera
cresta de la segunda onda producida por el vibrador, y las dos
Ondas en una cuerda o un alambre
crestas interfieren constructivamente, produciendo una cresta
con el doble de la amplitud original. La cresta de la onda
Masa
combinada viaja por la cuerda y de regreso y se suma a la
tercera cresta producida por el vibrador, aumentando la
amplitud tres veces, y así sucesivamente. Así, el vibrador está
FIGURA
16-14
El conductor mecánico envía ondas por la cuerda. El
las ondas se reflejan en la polea.
en resonancia con el
cuerda. La longitud de onda es igual a 2Ly la frecuencia es igual av>(2L).
La resonancia también ocurre en otras frecuencias de vibrador. El vibrador está en resonancia
con la cuerda si el tiempo que tarda la cresta de la primera onda en recorrer la distancia 2L es
cualquier entero norte veces el periodo T del vibrador. Es decir, si 2L>v - nT, donde 2L>v es el
norte
tiempo de ida y vuelta de la cresta de una ola. Por lo tanto,
f-
norte
1
T
norte
v
2L
norte
n-1, 2, 3,A
|
544
CAPÍTULO 1 6
Superposición y ondas estacionarias
es la condición para la resonancia. Este resultado es el mismo resultado que encontramos
ajustando un número entero de medias longitudes de onda en la distancial Varios efectos de
amortiguación, como la pérdida de energía durante la reflexión y el arrastre del aire en la cuerda,
ponen un límite a la amplitud máxima que se puede alcanzar.
Las frecuencias de resonancia dadas por la Ecuación 16-11 también se denominan
frecuencias naturalesde la cuerda Cuando la frecuencia del vibrador no es una de las
frecuencias naturales de la cuerda vibrante, no se producen ondas estacionarias.
Después de que la primera onda viaja la distancia 2Ly se refleja desde la horquilla,
difiere en fase de la onda que se genera en el vibrador (Figura 16-15). Cuando esta
onda resultante ha viajado la distancia 2Ly se refleja de nuevo en el vibrador, diferirá
en fase de la próxima onda generada. En algunos casos, la nueva onda resultante se
superpondrá a la onda anterior para producir una onda de mayor amplitud, en otros
casos la nueva amplitud será menor. En promedio, la amplitud no aumentará ni
disminuirá, sino que permanecerá en el orden de la amplitud de la primera onda
generada, que es la amplitud del vibrador. Esta amplitud es muy pequeña en
comparación con las amplitudes alcanzadas en las frecuencias de resonancia.
La resonancia de las ondas estacionarias es análoga a la resonancia de un oscilador
armónico simple con una fuerza impulsora armónica. Sin embargo, una cuerda que
vibra no tiene una sola frecuencia natural, sino una secuencia de frecuencias naturales
que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. Esta secuencia se llama serie
armónica.
FIGURA
16-15
Ondas en una cuerda
producido por un conductor de ondas mecánicas cuya
frecuencia no está en resonancia con las frecuencias
naturales de la cuerda. La onda que sale del impulsor
de ondas por primera vez (línea roja discontinua) no
está en fase con las ondas que se han reflejado dos o
más veces (líneas grises), y estas ondas no están en
fase entre sí, por lo que no hay acumulación en
amplitud. La onda resultante (línea negra) tiene
aproximadamente la misma amplitud que las ondas
individuales, que es aproximadamente la amplitud del
conductor.
ESTRATEGIA DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Uso de la condición de onda estacionaria para resolver problemas
IMAGEN No debe molestarse en memorizar la ecuación 16-11. Simplemente dibuje
la figura 16-12 para recordar la condición de onda estacionaria,yo- 2L>n, y luego
usar v - f yo
nn
norte
RESOLVER
1. Reconstruya la Figura 16-12 para los primeros armónicos (no la expresión a
la derecha de la figura, solo las imágenes de la cuerda). En cada extremo
de la cuerda hay un nodo, y la distancia entre un nodo y un
el antinodo adyacente es invariablemente1 4yo
2. Relaciona la velocidad de la onda con la frecuencia usandov - fyo
3. Relacione la velocidad de la onda con la tensión usandov- 2F >metro.T
CHEQUE Verifique que sus resultados sean dimensionalmente correctos.
Las ondas estacionarias generadas por vientos de 45 mi>h generaron ondas estacionarias en el puente colgante de Tacoma Narrows, lo que provocó
su colapso el 7 de noviembre de 1940, solo cuatro meses después de que se abrió al tráfico.(Universidad de Washington.)
Ondas estacionarias
|
SECCIÓN 1 6 - 2
545
Dame una A
Ejemplo 16-6
Una cuerda se estira entre dos soportes fijos separados 0.700 m y la tensión se ajusta hasta que la
frecuencia fundamental de la cuerda sea la de concierto, 440 Hz. ¿Cuál es la velocidad de las ondas
transversales en la cuerda?
IMAGEN La velocidad de onda es igual a la frecuencia por la longitud de onda. Para una cuerda fija en
ambos extremos, en el modo fundamental hay un solo antinodo en el medio de la cuerda. Por lo tanto, la
longitud de la cuerda es igual a la mitad de la longitud de onda.
RESOLVER
v - f yo
11
1. La velocidad de la onda está relacionada con la frecuencia y la longitud de onda
Nos dan la frecuencia fundamental f :
1
yo2L
1
2. Utilice la figura 16-12 para relacionar la longitud de onda de la fundamental con
la longitud de la cuerda:
v - f yoF2L- 2f
L- 2(440
Hz)(0,700 m) 11
1
1
3. Usa esta longitud de onda y la frecuencia dada para encontrar la velocidad:
616 m>s
CHEQUE Para comprobar la plausibilidad de esta respuesta, comprobamos las unidades. La unidad de frecuencia
es el hercio, donde 1 Hz - 1 cy>s, o simplemente 1 s-1 (porque un ciclo es adimensional). Por lo tanto, 1 Hz por 1 m
es igual a 1 m>s, que son las unidades correctas para la velocidad.
PROBLEMA DE PRÁCTICA 16-2 La velocidad de las ondas transversales en una cuerda estirada es de 200 m>s. Si la cuerda
tiene 5,0 m de largo, encuentre las frecuencias de la fundamental y de los armónicos segundo y tercero.
Rico en contexto
Probando PianoWire
Ejemplo 16-7
Tienes un trabajo de verano en una tienda de música, ayudando al dueño a construir instrumentos. Él le
pide que pruebe un nuevo cable para su posible uso en pianos. Él le dice que el alambre de 3.00 m de
largo tiene una densidad de masa lineal de 0.00250 kg>m y ha encontrado dos frecuencias resonantes
adyacentes a 252 Hz y a 336 Hz. Quiere que determines la frecuencia fundamental del cable y determines
si el cable es una buena opción para cuerdas de piano o no. Usted sabe que los problemas de seguridad
comienzan a surgir si la tensión en el cable supera los 700 N.
IMAGEN La tensión F se encuentra
de v- 2F >metro, donde
la velocidad vse puede encontrar desde v - fyo
T
T
utilizando cualquier armónico. La longitud de onda de la fundamental es el doble de la longitud del cable.
Para encontrar la frecuencia fundamental, sea 252 Hz la frecuencia de lanortearmónico. Entonces f-nf yF
1
norte
norte
1
- (norte
1)f 1,dondeF
norte
1
-
336 Hz. Podemos resolver estas dos ecuaciones paraF. 1
RESOLVER
2. La velocidad de la onda está relacionada con la longitud de onda y la frecuencia:
v - fyo
3. Utilice la figura 16-12 para relacionar la longitud de onda de
yo2L
1
la fundamental con la longitud del cable:
4. Utilice los resultados de los pasos 2 y 3 para relacionar la
velocidad v a la frecuencia fundamental1 f :
5. Sustituya en el resultado del paso 1 para encontrar la tensión:
6. Los armónicos consecutivos FyF
frecuencia fundamental f1:
norte
norte
1
están relacionados con el
7. Dividiendo estas ecuaciones elimina Fy nos
permite
1
determinar norte:
9. Usando el resultado del paso 5, resuelve para F :
10. ¿Es segura la tensión?
1
2L- 2f L 1
F-Tmetrov2- 4metroF2L12
nf-1 252 Hz
1)f-1 336 Hz
252 Hz
- 0.750 ⇒ n-3
1 336 Hz
F
F
252 Hz
norte
norte
f-nf
norte
T
1
entonces
f1
norte -
norte
3-
3
3
- 84,0 Hz
F-T 4metroF12L2- 4(0,00250 kg>m)(84,0 Hz)2(3,00 metros)2- 635 norte
La tensión es inferior al límite de seguridad de 700 N. El cable es seguro de usar.
CHEQUE Que la tensión sea del mismo orden de magnitud que el límite de seguridad hace plausible la
respuesta.
de una cuerda de piano. (Cortesía de Buck Rogers/
Craftsmen Piano Rebuilders North Attleboro, MA.)
v - f yoF
11
(norte
8. Resuelva para f 1:
Un técnico usa un micrómetro para medir el diámetro
v- 2F >metro
entonces F- metrov
2
T
T
1. La tensión está relacionada con la velocidad de la onda:
|
546
Superposición y ondas estacionarias
CAPÍTULO 1 6
Cuerda fija en un extremo, libre en el otro La figura 16-16 muestra una cuerda que
tiene un extremo fijo y otro unido a un anillo que puede deslizarse libremente hacia arriba y
hacia abajo en un poste sin fricción. El movimiento vertical del anillo es impulsado por la
componente vertical de la fuerza de tensión (estamos despreciando los efectos de la
gravedad). Idealmente, dejamos que la masa del anillo se acerque a cero. Entonces, el
movimiento vertical del extremo de la cuerda que está unida al anillo no está restringido,
por lo que se dice que es unextremo libre. Cualquier fuerza vertical finita ejercida por la
cuerda sobre el anillo sin masa le daría al anillo una aceleración infinita. Sin embargo, la
aceleración del anillo seguirá siendo finita mientras la tangente a la cuerda en el punto
donde se une al anillo permanezca paralela a la posición de equilibrio de la cuerda. Para una
cuerda que oscila en una onda estacionaria, los antinodos son los únicos puntos donde la
tangente a la cuerda permanece paralela a la posición de equilibrio de la cuerda. De ello se
deduce que hay un antinodo al final de la cuerda unida al anillo.
En el modo fundamental de vibración de una cuerda fija en un extremo y libre en el otro,
hay un nodo en el extremo fijo y un antinodo en el extremo libre, por lo queL- 1
4yo
FIGURA
16-16
Una aproximación de un
Se puede producir una cuerda fija en un extremo y
libre en el otro conectando el extremo "libre" de la
cuerda a un anillo que puede moverse libremente en
un poste. El extremo unido al conductor de ondas
mecánicas está aproximadamente fijo porque la
amplitud del conductor es muy pequeña.
(Figura 16-17). (Recuerde que la distancia de un nodo a un antinodo adyacente es igual a un
cuarto de longitud de onda).
En cada modo de vibración que se muestra en la figura 16-18 hay un número impar de
cuartos de longitud de onda en la longitudl Es decir,L-n1 4yo,donden-1, 3, 5,UNA .El
L
λ/4
norte
por lo tanto, la condición de onda estacionaria se puede escribir
yo
L-nnorte
4
λ
n-1, 3, 5,A
16-12
FIGURA 1 6 - 1 7Para el primer armónico de una
cuerda tensa fija en un extremo y libre en el
otro,yo- 4l
CONDICIÓN DE ONDA ESTACIONARIA, UN EXTREMO LIBRE
entonces yo- 4L>n.Por lo tanto, las frecuencias de resonancia están
A
norte
dadas por
norte
v
yo
f-
norte
norte
v
- nf 1
4L
n-1, 3, 5,A
norte
λnorte
1
4L
1
1
v
4L
3
4L
3
3
v
4L
5
4L
5
5
v
4L
7
4L
7
7v
4L
9
4L
9
9v
4L
Fundamental, primer armónico
16-13
A
A
norte
norte
FRECUENCIAS DE RESONANCIA, UN EXTREMO LIBRE
Fnorte
norte
Tercer armónico
donde
f-1
A
v
4L
norte
16-14
es la frecuencia fundamental. Las frecuencias naturales de este
sistema se dan en las proporciones 1:3:5:7:A , lo que significa
que faltan todos los armónicos pares.
Funciones de onda para ondas estacionariasSi una cuerda
Quinto armónico
A
norte
norte
A
norte
A
A
norte
norte
dondeves la frecuencia angular,D
norte
norte
FIGURA
norte
es la fase con-
constante, que depende de las condiciones iniciales, yun (x)
1 6 - 1 8Ondas
estacionarias en una cuerda fijada en un solo extremo. Un
el antinodo existe en el extremo libre.
norte
es la amplitud, que depende de la posiciónX del punto La funciónun (x)
es la forma de la cadena cuando cos(vt
D ) -1 (el instante en que la vibración ha
norte
norte
norte
su desplazamiento máximo). La amplitud de una cuerda que vibra en sunorteEl modo es
descrito por
A (x) - A
norte
pecadokx
norte
norte
norte
L
D)
norte
A
A
norte
Noveno armónico
norte
y (x, t) - A (x)porquevt
norte
norte
Séptimo armónico
con un movimiento armónico simple. su desplazamientoy (x, t)es
dada por
A
A
A
norte
vibra en sunorteEn el modo th, cada punto de la cuerda se mueve
norte
A
A
norte
norte
16-15
Ondas estacionarias
SECCIÓN 1 6 - 2
|
547
dondek-2pag>les el número de onda. La función de onda para una onda estacionaria en el
norteel armónico se puede escribir así
norte
norte
y (x, t) - A
norte
pecado(kx)porquevt
norte
norte
norte
D)
16-16
norte
Es útil recordar las dos condiciones necesarias para el movimiento de onda estacionaria,
que son las siguientes:
1. Cada punto de la cuerda permanece en reposo u oscila con un movimiento
armónico simple. (Los puntos que quedan en reposo son los nodos).
2. Cualesquiera dos puntos oscilantes en la cuerda oscilan en fase o 180° fuera
de fase.
CONDICIONES NECESARIAS PARA UN MOVIMIENTO DE ONDA ESTACIONARIA EN UNA LONGITUD DE CUERDA
Ondas estacionarias
Ejemplo 16-8
Inténtalo tú mismo
(a) Las funciones de onda para dos ondas que tienen la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda,
vt).
pero que viajan en direcciones opuestas, están dadas pory
- ypecado(kx
-vt) yy - ypecado(kx
1
0
2
0
Demuestre que la superposición de estas dos ondas es una onda estacionaria. (B) Una onda estacionaria en una
cuerda que está fija en ambos extremos viene dada por y(x, t) - (0,024 m) sen(52,3 m-1 X) porque (480 s-1 t).
Encuentre la velocidad de las ondas en la cuerda y encuentre la distancia entre los nodos adyacentes para las
ondas estacionarias.
IMAGEN Demostrar que la superposición de las dos ondas dadas es una onda estacionaria
es demostrar que la suma algebraica de y yy1 se puede2 escribir en forma de
D ) (Ecuación 16-16). Para hallar la velocidad de onda y la
y (x, t) - A pecado(kx)porquevt
norte
norte
norte
norte
norte
longitud de onda, comparamos la función de onda dada con la Ecuación 16-16 e identificamos el número
de onda y la frecuencia angular. Conociendo estos, podemos determinar la longitud de onda y la
velocidad de onda.
RESOLVER
Cubre la columna de la derecha y prueba esto por tu cuenta antes de ver las respuestas.
Pasos
respuestas
(a) 1. Escriba la Ecuación 16-16. Si la suma dey yy 1se puede
escribir de esta forma,
2
y(x, t) - A pecadokx porquevt
entonces la superposición de las dos ondas viajeras es una onda
estacionaria:
2. Sume las dos funciones de onda y use la identidad trigonométrica
pecadotu
1
(tu1
pecadotu-2 pecado 1 2
2
tu)porque12
2
(tu1 - tu).
2
y - ypecado(kx
-vt)
0
-
y pecado(kx
0
vt)
2y pecadokx porquevt
0
Esta es de la forma dada por la Ecuación 16-16 (con A - 2y ),
entonces la superposición es una onda estacionaria.
k-
52,3 metros-1
2. Calcula la velocidad desde v- v>k:
v-
9,18 m>s
3. Encuentra la longitud de onda yo- 2p>k, y utilícelo para encontrar la distancia
yo
2
6,01cm
(B) 1. Identifique el número de onda y la frecuencia angular:
entre nodos adyacentes:
CHEQUE Cualquiera esperaría que la superposición de una onda que viaja hacia la derecha y
otra onda idéntica que viaja hacia la izquierda no sea una onda viajera. (Si fuera una onda
viajera, ¿en qué dirección viajaría?) Por lo tanto, no nos sorprende que la superposición de
las dos ondas viajeras sea una onda estacionaria.
, v- 480 s-1
0
|
548
CAPÍTULO 1 6
Superposición y ondas estacionarias
ONDAS SONORAS ESTACIONARIAS
Un tubo de órgano es un ejemplo familiar del uso de ondas estacionarias en columnas de aire. En
el tubo de órgano tipo chimenea, se dirige una corriente de aire contra el borde afilado de una
abertura (puntoAen la Figura 16-19). El complicado movimiento giratorio del aire cerca del borde
genera vibraciones en la columna de aire. Las frecuencias de resonancia de la tubería dependen
de la longitud de la tubería y de si la parte superior está parada (cerrada) o abierta.
En un tubo de órgano abierto, la presión no varía apreciablemente cerca de cada extremo
abierto. (Permanece a la presión atmosférica.) Debido a que la presión más allá de los extremos
no varía apreciablemente, hay un nodo de presión cerca de cada extremo. Si la onda de sonido en
el tubo es una onda unidimensional, lo cual es en gran parte correcto si el diámetro del tubo es
mucho más pequeño que la longitud de onda, entonces el nodo de presión está muy cerca del
1 6 - 1 9Vista
en corte de un
extremo abierto del tubo. En la práctica, sin embargo, el nodo de presión se encuentra
FIGURA
ligeramente más allá del extremo abierto del tubo. La longitud efectiva de la tubería es L-L
sección de un tubo de órgano tipo chimenea. Se sopla
aire contra el borde, lo que provoca un movimiento
¢L,donde¢Les la corrección final, que es algo menor que la
efecto
giratorio del aire cerca del puntoAque excita ondas
diametro del tubo. La condición de onda estacionaria para este sistema es la misma que para una
estacionarias en la tubería. Hay un nodo de presión cerca
cuerda fija en ambos extremos, dondeLes reemplazado porL (la longitud efectiva del tubo), y se
del puntoA, que está abierto a la atmósfera.
efecto
aplican todas las mismas ecuaciones.
En un tubo de órgano cerrado (abierto por un extremo y cerrado por el otro), hay un nodo de
presión cerca de la abertura (puntoAen la figura 16-19) y un antinodo de presión en el extremo
cerrado. La condición de onda estacionaria para este sistema es la misma que para una cuerda
con un extremo fijo y otro libre. La longitud efectiva del tubo es igual a un entero impar porl>4. Es
decir, la longitud de onda del modo fundamental es cuatro veces la longitud efectiva del tubo y
solo están presentes los armónicos impares.
Como vimos en el Capítulo 15, una onda de sonido se puede considerar como una onda de
presión o como una onda de desplazamiento. Las variaciones de presión y desplazamiento en una
onda de sonido están desfasadas 90°. Así, en una onda sonora estacionaria, los nodos de presión
son antinodos de desplazamiento y viceversa. Cerca del extremo abierto de un tubo de órgano
hay un nodo de presión y un antinodo de desplazamiento, mientras que en el extremo cerrado
hay un antinodo de presión y un nodo de desplazamiento.
Ejemplo 16-9
Ondas de sonido de pie en una columna de aire: I
Inténtalo tú mismo
Un tubo de órgano sin tapar (abierto por ambos extremos) tiene una longitud efectiva igual a 1,00 m. (a)
Si la velocidad del sonido es de 343 m>s, ¿cuáles son las frecuencias y longitudes de onda permitidas
para las ondas sonoras estacionarias en este tubo? (B) La velocidad del sonido en el helio es de 975 m>s.
¿Cuáles son las frecuencias permitidas para las ondas sonoras estacionarias en este tubo si está lleno y
rodeado de helio?
IMAGEN Hay un antinodo de desplazamiento (y un nodo de presión) en cada extremo. Por lo tanto, la
longitud efectiva de la tubería es igual a un número entero de medias longitudes de onda.
RESOLVER
Cubre la columna de la derecha y prueba esto por tu cuenta antes de ver las respuestas.
Pasos
respuestas
(a) 1. Utilizando la figura 16-12, determine la longitud de onda del modo fundamental:
yo2L
1
2. Usov - fyo para calcular la frecuencia fundamentalf :
f-1
1
3. Escribe expresiones para las frecuenciasFy longitudes de onda yo de los otros armónicos
norte
norte
en términos de norte:
órgano lleno de helio:
-
2,00 metros
f - nf - n(172
Hz)
1
n-1, 2, 3,A
yo-
n-1, 2, 3,A
norte
2L
norte
(B) 1. Repetir parte (a) para calcular el espectro de frecuencia resonante del tubo de
efecto
v
- 172 Hz
yo
1
f-nf-n
norte
-
- (2,00 metros)>norte
norte
1
v
yo
1
norte(488 Hz)
v
2L
norte
975 m>s
norte
2,00 metros
n-1, 2, 3,A
Ondas estacionarias
SECCIÓN 1 6 - 2
-
CHEQUE El producto de las dos partes-(a) los resultados del paso 3 no dependen de norte. (El norte's
cancelar cuando se toma el producto.) Esto es lo esperado porque el producto es igual a la velocidad de
la onda, que no depende de la frecuencia o la longitud de onda.
|
549
VERIFICACIÓN DE CONCEPTOS 16-1
¿Por qué tu voz cambia de tono
cuando hablas después de inhalar el
contenido de un globo lleno de helio?
PROBLEMA DE PRÁCTICA 16-3 El tubo de órgano más largo es el que tiene una frecuencia
fundamental igual a 16 Hz, la frecuencia más baja audible para los humanos. ¿Cuál es la longitud
de un tubo de órgano sin tapa que tiene una frecuencia fundamental de 16,0 Hz?
Ondas sonoras estacionarias en una columna de aire: II
Ejemplo 16-10
Cuando se sostiene un diapasón de frecuencia de 500 Hz sobre un tubo que está parcialmente lleno de agua,
como en la figura 16-20, se encuentran resonancias cuando el nivel del agua está a distancias L- 16,0, 50,5, 85,0 y
119,5 cm desde la parte superior del tubo. (a) ¿Cuál es la velocidad del sonido en el aire? (B) ¿A qué distancia del
extremo abierto del tubo está el antinodo de desplazamiento?
IMAGEN Las ondas sonoras estacionarias de 500 Hz
de frecuencia se excitan en la columna de aire cuya
ΔL
L1
longitud Lse puede ajustar (ajustando el nivel del
agua). La columna de aire se detiene en un extremo
y se abre en el otro. Por lo tanto, en resonancia, el
L2
número de cuartos de longitud de onda en la
longitud efectivaLdel tubo es igual a un entero impar
FIGURA
(Figura 16-21). Existe un nodo de desplazamiento en
L3
la superficie del agua y un antinodo de
16-20
La longitud del aire
columna en el cilindro de la izquierda se varía
efecto
moviendo el depósito de la derecha hacia arriba o hacia
abajo. Los dos cilindros están conectados por una
desplazamiento existe a corta distancia¢Lpor encima
manguera flexible.
L4
del extremo abierto del tubo. Debido a que la
frecuencia es fija, también lo es la longitud de onda.
Luego se encuentra la velocidad a partir dev - fyo,
dondeFes de 500 Hz.
FIGURA
16-21
Un nodo de desplazamiento
existe en la superficie del agua y existe un antinodo
de desplazamiento a una distancia¢L por encima de la
RESOLVER
parte superior del cilindro.
(a) 1. La velocidad del sonido en el aire está relacionada con la frecuencia y la longitud de onda:
2. La resonancia ocurre cada vez que el nivel del agua está en la ubicación de un
v - fyo
L
norte
L
norte
nodo de desplazamiento (vea la Figura 16-21). Es decir, cuando la longitudL
yo
2
1
- L
1
- L-L-L-119,5
cm
- 85,0 cm - 34,5 cm yo- 2(34,5
4
3
norte
n-1, 2, 3, 4
cambia en media longitud de onda:
3. La distancia entre niveles sucesivos se encuentra a partir de los datos
dados en el problema:
4. Sustituir los valores deFyyo para determinarv:
(B) Habrá un antinodo de desplazamiento un cuarto de longitud de onda por encima del
nodo de desplazamiento en la superficie del agua. Por lo tanto, la distancia desde el nivel
de agua más alto que soporta la resonancia y el antinodo de desplazamiento por encima
entonces
norte
cm) - 69,0 cm - 0,690 m
v - fyo - (500 Hz)(0,690 m) 1
4
yo- L
entonces
¢L
1
¢L- 1
de la abertura del tubo es un cuarto de longitud de onda:
345 m>s
-
CHEQUE Como era de esperar, la velocidad de la onda (paso 4) es aproximadamente igual a la velocidad del sonido en el
aire a temperatura ambiente.
La mayoría de los instrumentos musicales de viento son mucho más complicados que
simples tubos cilíndricos. El tubo cónico, que es la base del oboe, el fagot, el corno inglés y
el saxofón, tiene una serie armónica completa con su longitud de onda fundamental igual al
doble de la longitud del cono. Los instrumentos de metal son combinaciones de
4
yo- L- 11
1,25cm
4
(69,0 cm) - (16,0 cm)
550
|
Superposición y ondas estacionarias
CAPÍTULO 1 6
conos y cilindros. El análisis de estos instrumentos es extremadamente complejo. El
hecho de que tengan series casi armónicas es un triunfo del ensayo y error educado
en lugar del cálculo matemático.
*
523 Hz
1569 Hz
2532 Hz
2819 Hz
3104 Hz
3866 Hz
3957 Hz
4709 Hz
5323 Hz
5435 Hz
6137 Hz
6263 Hz
6571 Hz
6892 Hz
7962 Hz
8002 Hz
8639 Hz
Interferogramas holográficos que muestran ondas
16-3TEMAS ADICIONALES
estacionarias en una campanilla. Los “ojos de buey” ubican
los antinodos.(Profesor Thomas D. Rossing, Universidad
del Norte de Illinois, DeKalb.)
LA SUPERPOSICIÓN DE LAS ONDAS ESTACIONARIAS
Como vimos en la sección anterior, existe un conjunto de frecuencias de resonancia natural
que producen ondas estacionarias para ondas de sonido en columnas de aire o cuerdas
vibrantes que están fijas en uno o ambos extremos. Por ejemplo, para una cuerda fija en
ambos extremos, la frecuencia del modo fundamental de vibración esf-v>(2L),donde
Les la
1
longitud de la cuerda yves la velocidad de onda y la función de onda es la Ecuación 16-16:
y1(x, t) - A
1
D1 )
pecadokxporquevt
1
1
En general, un sistema vibratorio no vibra en un solo modo armónico. En cambio, el
movimiento consiste en una superposición de varios de los armónicos permitidos. La
función de onda es una combinación lineal de las funciones de onda armónicas:
y(x, t) -a Apecado(kx)porquevt
norte
norte
norte
D)
norte
16-17
L
norte
dondek-2p>l, v-2pagsf ,yAyD son constantes. las constantesAyD dependen de las
posiciones iniciales y las velocidades de los puntos de la cuerda. Si una cuerda de arpa,
por ejemplo, se pulsa en el centro y se suelta, como en la figura 16-22, la
norte
norte
norte
norte
norte
norte
norte
norte
FIGURA 1 6 - 2 2Una cuerda pulsada en el centro.
Cuando se libera, su vibración es una
superposición lineal de ondas estacionarias.
Temas adicionales
X =0
X =L
X =L
2
FIGURA 1 6 - 2 3Los
SECCIÓN
16-3
|
551
primeros cuatro armónicos de una cuerda fija en
ambos extremos. Los armónicos impares son simétricos con
Simétrico
norte =1
acerca deL
no lo son. Cuando se toca una cuerda en el centro, vibra solo en
sus armónicos impares.
2
antisimétrico
norte =2
respecto al centro de la cuerda, mientras que los armónicos pares
y
Cuerda
1+3+5
acerca deL
2
1
Simétrico
norte =3
B
acerca deL
2
3
5
L
antisimétrico
norte =4
acerca deL
2
FIGURA
Aproximando la forma de una cuerda pulsada en el centro, como en
16-24
Figura 16-22, usando armónicos. La línea verde es una aproximación de la forma original de la cuerda basada
en los primeros tres armónicos impares. La altura de la cuerda está exagerada en este dibujo para mostrar las
amplitudes relativas de los armónicos. La mayor parte de la energía está asociada con la fundamental, pero hay
algo de energía en la tercera, quinta y otras armónicas impares.
la forma inicial de la cuerda es simétrica con respecto al puntoX - 1
Ly la velocidad inicial
2
ity es cero en toda la longitud de la cadena. El movimiento de la cuerda después de haber
sido lanzado permanecerá simétrico sobreX - 1 2l Sólo los armónicos impares, que
también son simétricas respecto aX - 1
tisimétrico sobreX - 1
2L,estará
emocionado. Los armónicos pares, que son
L,no están emocionados; es decir, la constanteAes cero para todos incluso
2
norte
valores denorte.Las formas de los primeros cuatro armónicos se muestran en la figura 16-23. La
mayor parte de la energía de la cuerda pulsada está asociada con la fundamental, pero pequeñas
cantidades de energía están asociadas con el tercer, quinto y otros modos armónicos impares. La
figura 16-24 muestra una aproximación a la forma inicial de la cuerda usando la superposición de
solo los tres primeros armónicos impares.
(Corbis.)
ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE ARMÓNICOS
Cuando un clarinete y un oboe tocan la misma nota, digamos, el
Diapasón
concierto A, suenan bastante diferentes. Ambas notas tienen el mismo
terreno de juego,una sensación fisiológica de la altura o la gravedad
de la nota que está fuertemente correlacionada con la frecuencia. Sin
embargo, las notas difieren en lo que se llamacalidad del tono.La
(a)
razón principal de la diferencia en la calidad del tono es que, aunque
tanto el clarinete como el oboe producen vibraciones a la misma
Clarinete
frecuencia fundamental, cada instrumento también produce
armónicos cuyas intensidades relativas dependen del instrumento y
de cómo se toca. Si el sonido producido por cada instrumento
estuviera completamente en la frecuencia fundamental del
(B)
instrumento, sonarían idénticos.
La figura 16-25 muestra gráficas de las variaciones de
presión en función del tiempo para el sonido de un diapasón,
un clarinete y un oboe, cada uno tocando la misma nota. Estos
patrones se llamanformas de ondaLa forma de onda del
sonido del diapasón es casi una onda sinusoidal pura, pero las
del clarinete y el oboe son claramente más complejas.
Las formas de onda se pueden analizar en términos de los
armónicos que las constituyen por medio deanálisis armónico.
(El análisis armónico también se llamaanálisis de Fourierdespués
del matemático francés JBJ Fourier, quien desarrolló el
Oboe
(C)
FIGURA
16-25
Formas de onda de (a) un diapasón, (B) un clarinete, y
(C) un oboe, cada uno a una frecuencia fundamental de 440 Hz y
aproximadamente a la misma intensidad.
X
|
552
Superposición y ondas estacionarias
CAPÍTULO 1 6
100
100
100
Diapasón
Oboe
Amplitud relativa
Amplitud relativa
Amplitud relativa
Clarinete
FIGURA 1 6 - 2 6
Intensidades relativas de los
armónicos en las formas de
onda mostradas en
Figura 16-25 para
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Armónicos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Armónicos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Armónicos
(a) el diapasón, (B)
el clarinete, y (C) el
oboe.
técnicas para analizar funciones periódicas.) La figura 16-26 muestra una gráfica de las
intensidades relativas de los armónicos de las formas de onda en la figura 16-25. La
forma de onda del sonido del diapasón contiene solo la frecuencia fundamental. La
forma de onda del sonido del clarinete contiene la parte fundamental, grandes
cantidades de los armónicos tercero, quinto y séptimo, y cantidades menores de los
armónicos segundo, cuarto y sexto. Para el sonido del oboe, hay más intensidad en los
armónicos segundo, tercero y cuarto que en la fundamental.
pags
pags
1
forma de onda cuadrada
1+3+5
3
5
t
t
(a)
FIGURA 1 6 - 2 7 (a)
Los tres primeros armónicos impares utilizados para sintetizar una onda cuadrada. (B)
La aproximación de una onda cuadrada que resulta de sumar los primeros tres armónicos impares en (
(B)
Anorte
a).
El inverso del análisis armónico es síntesis armónica, que es la construcción de una
onda periódica a partir de componentes armónicos. Figura 16-27a muestra los primeros
tres armónicos impares usados para sintetizar una onda cuadrada, y la Figura 16-27B
muestra la onda cuadrada que resulta de la suma de los tres armónicos. Cuantos más
armónicos se utilicen en una síntesis, más cercana será la aproximación a la forma de onda
real (la línea gris en la Figura 16-27B). Las amplitudes relativas de los armónicos necesarios
para sintetizar la onda cuadrada se muestran en la figura 16-28.
PAQUETES DE ONDAS Y DISPERSIÓN
Las formas de onda discutidas previamente en esta Sección 16-3 son periódicas en el tiempo. Los
pulsos, que no son periódicos, también pueden representarse por un grupo de ondas armónicas
de diferentes frecuencias. Sin embargo, la síntesis de un pulso aislado requiere una distribución
continua de frecuencias en lugar de un conjunto discreto de armónicos, como en la figura 16-28.
Tal grupo se llamapaquete de ondas El rasgo característico de
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 norte
FIGURA 1 6 - 2 8 amplitudes
relativas A de los primeros
10 armónicos necesarios para sintetizar una onda
cuadrada. Cuantos más armónicos se utilicen, más
cercana será la aproximación a la onda cuadrada.
norte
Temas adicionales
|
SECCIÓN 1 6 - 3
un pulso de onda es que tiene un principio y un final, mientras que una onda
armónica se repite una y otra vez. Si la duración¢tdel pulso es muy corto, el rango
de frecuencias ¢vnecesaria para describir el pulso es muy grande. La relación
general entre¢ty¢ves
¢v¢t-1
16-18
donde la tilde (-) significa “del orden de magnitud de”.
El valor exacto de este producto depende de cómo las cantidades ¢vy¢t están definidos.
Para cualquier definición razonable,¢vy 1>¢ttienen el mismo orden de magnitud. Un pulso
de onda producido por una fuente de corta duración.¢yo, como el chasquido de un bate en
una pelota, tiene un ancho estrecho en el espacio ¢x-v ¢yo, dondeves la velocidad de la
onda. Cada onda armónica de frecuenciavtiene un número de onda k-v>v. Un rango de
frecuencias ¢vimplica un rango de números de onda ¢k-¢v>v. Sustituyendo v¢k por ¢ven la
Ecuación 16-18 da v¢k ¢t-1, o
¢k ¢X - 1
Ejemplo 16-11
16-19
Estimación ≤V y≤k
En el ejemplo 15-1, un pulso de onda en un tendedero largo se mueve a 100 >m. (a) Si el ancho del
pulso es de 1,00 m, ¿cuál es la duración del pulso? Es decir, ¿cuánto tarda el pulso en viajar más
allá de un punto en el tendedero? (B) El pulso se puede considerar como una superposición de
ondas armónicas. ¿Cuál es el rango de frecuencias de estas ondas armónicas? (C) ¿Cuál es el rango
de números de onda?
IMAGEN Para encontrar la duración del pulso, usamos la distancia igual a la velocidad por el
tiempo. Para encontrar el rango de frecuencias y el rango de números de onda, usamos¢v¢t-1 y ¢
k ¢X - 1 (Ecuaciones 16-18 y 16-19).
RESOLVER
(a) La duración del pulso es el tiempo que tarda en pasar por un punto del
L - v ¢t
tendedero:
(B) Para encontrar el rango de frecuencias, usamos ¢v¢t-1 (Ecuación 16-18):
¢v¢t-1
(C) Para encontrar el rango de números de onda, usamos ¢k ¢X - 1 (Ecuación 16-19):
¢k ¢X - 1
L
1,00 m
- 0.0100 s
v
100 m>s
1
1
entonces ¢v- 100 segundos
¢t
0.0100 s
1
1
- 1,00 m-1
entonces ¢k¢X
1,00 m
entonces
CHEQUE Lo sabemos k-v>v, entonces un rango de frecuencias ¢vimplica un rango de números de onda ¢
k-¢v>v. Dividiendo nuestra parte-(B) resultado por la velocidad de la onda v, obtenemos (100 s-1)> (100
m>s) - 1 m-1. Este valor es nuestra Parte-(C) resultado.
Para que un paquete de ondas mantenga su forma mientras viaja, todas las ondas armónicas
componentes que forman el paquete deben viajar a la misma velocidad. Esto ocurre si la
velocidad de las ondas componentes en un medio dado es independiente de la frecuencia o la
longitud de onda. Tal medio se llamamedio no dispersivo. El aire es, en una excelente
aproximación, un medio no dispersivo para las ondas de sonido, pero los sólidos y los líquidos no
lo son. (Probablemente, el ejemplo más familiar de dispersión es la formación de un arco iris, que
se debe al hecho de que la velocidad de las ondas de luz en el agua depende ligeramente de la
frecuencia de la luz, por lo que los diferentes colores, correspondientes a diferentes frecuencias,
tienen una ligera diferencia. diferentes ángulos de refracción).
Cuando la velocidad de la onda en un medio dispersivo depende solo ligeramente de la frecuencia (o
longitud de onda), un paquete de ondas cambia de forma muy lentamente a medida que viaja y cubre
una distancia considerable como una entidad reconocible. Pero la velocidad del paquete, llamada
velocidad de grupo, no es lo mismo que la velocidad (promedio) de las ondas armónicas componentes
individuales, denominadas velocidad de fase (Por la velocidad de una onda armónica individual nos
referimos a la velocidad de sus frentes de onda. Debido a que los frentes de onda son líneas o superficies
de fase constante, su velocidad se denomina velocidad de fase de la onda).
¢t-
-1
553
554
|
CAPÍTULO 1 6
Superposición y ondas estacionarias
Foco de física
Ecos del Silencio: Arquitectura Acústica
La acústica arquitectónica se ocupa de las formas en que la
energía del sonido se refleja, reverbera y absorbe dentro de un
lugar. El modelado por computadora de espacios ha permitido a
los ingenieros acústicos diseñar espacios flexibles,*, † teniendo
en cuenta las diferentes necesidades de escuchar conferencias,
teatro y varios tipos de música. En general, el objetivo es hacer
que el sonido sea uniforme, audible e inteligible en cada asiento.
No debe haber ondas estacionarias en toda la habitación en la sala de
escucha.‡ Las ondas estacionarias de toda la habitación hacen que ciertas
frecuencias sean más difíciles de escuchar para las personas en los
asientos cerca de los nodos, y las frecuencias clave son demasiado altas
para las personas sentadas cerca de los antinodos. Las habitaciones que
están diseñadas para reducir las ondas estacionarias en toda la
habitación tienen paredes largas que no son paralelas entre sí, y techos y
pisos que tampoco son paralelos.
Si los oyentes están sentados a un promedio de 50 pies de la
fuente de sonido principal, menos del uno por ciento de la
energía del sonido puede ir directamente a sus oídos.# y casi
Los deflectores que cuelgan del techo y se adhieren a las paredes por encima de las
puertas están ahí para absorber el sonido. Sus superficies están hechas de material
acústicamente muerto, como el fieltro.(Cortesía de Perdue Acoustics.)
toda la energía sonora que llega a los oyentes se reflejará
sonar. Los reflejos deben ser lo suficientemente limpios y enérgicos para dar al oyente un volumen total razonable. El tiempo de las reflexiones
también es importante. Si un reflejo de hasta 15 decibelios por debajo del nivel de la fuente llega al oído de un oyente más de 60 milisegundos
después del sonido de la fuente, se percibirá como un eco.°, § Si se producen reflejos más fuertes que la fuente en los primeros 30 milisegundos,
también se pueden percibir como ecos. Los ecos restan valor a la inteligibilidad del habla y hacen que la música suene borrosa. Deben evitarse las
reflexiones tardías que llegan 50 ms o más después de la fuente.
Los reflectores deben estar a menos de 50 pies de cada oyente. Este es un problema para los lugares al aire libre rodeados de edificios altos.¶
Muchos lugares más antiguos tienen trabajos de yeso no estructural. Estas estructuras proporcionan reflexiones tempranas a los oyentes. Los lugares más
nuevos a menudo usan múltiples altavoces a lo largo de las paredes y el techo. Los candelabros y los paneles suspendidos de techos altos también reflejan el
sonido. Los techos abovedados y detallados dispersan el sonido en muchos reflejos pequeños y sin energía.
Los absorbentes acústicos se utilizan para reducir la energía del ruido ambiental dentro de una habitación. Los materiales tanto para las estructuras
reflectantes como para las estructuras absorbentes se adaptan cuidadosamente al lugar, porque la mayoría de los materiales tienen diferentescoeficientes de
absorción a diferentes frecuencias.** El coeficiente de absorción es una medida de la fracción de la energía del sonido que se absorbe, en lugar de reflejarse o
transmitirse. El vidrio de una ventana, por ejemplo, tiene coeficientes de absorción de 0,35 a 125 Hz y 0,04 a 4 kHz. La moqueta interior/exterior tiene
coeficientes de absorción de 0,01 a 125 Hz y 0,65 a 4 kHz. Se deben usar diferentes materiales tanto para la absorción como para la reflexión para dar una
respuesta de espectro completo en cada asiento.
Demasiada absorción da a las habitaciones una sensación de muerte y da claustrofobia a las personas.††La reverberación, o energía sonora
caótica, da a las habitaciones una sensación de calidez. El tiempo de reverberación, la medida de la rapidez con la que se disipa el ruido caótico, se
utiliza como medida de la vitalidad de una habitación. Los tiempos de reverberación de los lugares varían según el propósito del lugar.
* Orfali y Ahnert, op. cit.
†
“Centro de artes escénicas Gallagher Bluedorn”, Dimensiones acústicas, http://www.acousticdimensions.com/profiles/gb_uni.htm
‡
Everest, F. Alton, Manual maestro de acústica, 4ª ed., Nueva York: McGraw-Hill, 2001, 320
#
.
Noxon, A., "Acústica de auditorio 101", Iglesia y Tecnología de Adoración, abril 2002, 22°
Everest, op. cit., 356.
§
Noxon, A., "Acústica de auditorio 102", Iglesia y Tecnología de Adoración, mayo de 2002, 24
.
¶
Orfali, W. y Ahnert, W., “Measurments (sic) and Verification in Two Mosques in Saudi Arabia and Jordan”, artículo presentado en la 151.ª reunión de la Acoustical Society of America, Providence, Rhode
Island, del 1 al 5 de junio de 2018. 2006, http://scitation.aip.org/confst/ASA/data/5/1aAA9.pdf
* *Everest, op. cit., 585–587.
††
Freiheit, R., "Historic Recording Gives Choir 'Alien' Feeling: In Anechoic Space, No One Can Hear You Sing", artículo presentado en la ASA/Noise Conference 2005 Minneapolis, http://
www.acoustics.org/press/ 150th/Freiheit.html
Resumen
|
555
Resumen
1. El principio de superposición, que se cumple para todas las ondas electromagnéticas en el espacio vacío, para
ondas en una cuerda tensa flexible en la aproximación de ángulo pequeño y para ondas de sonido de
pequeña amplitud, se sigue de la linealidad de las ecuaciones de onda correspondientes.
2. La interferencia es un fenómeno ondulatorio importante que se aplica a todas las ondas superpuestas
coherentes. Se sigue del principio de superposición. La difracción y la interferencia distinguen el movimiento
ondulatorio del movimiento de partículas.
3. Las condiciones de onda estacionaria se pueden recordar dibujando una cuerda o un tubo y dibujando ondas
que tienen nodos de desplazamiento en un extremo fijo o detenido y antinodos de desplazamiento en un
extremo libre o abierto.
TEMA
1. Superposición e interferencia
ECUACIONES Y OBSERVACIONES RELEVANTES
La superposición de dos ondas armónicas de igual amplitud, número de onda y frecuencia pero
diferencia de faseD,da como resultado una onda armónica del mismo número de onda y
frecuencia, pero diferente en fase y amplitud de cada una de las dos ondas
y-y
y2- ypecado(kx
-vt)
0
1
- [2y porque
12D]pecado(kx
0
Interferencia constructiva
- vt
y pecado(k-vt
0
1
2D)
D)
16-6
Si las ondas están en fase o difieren en fase por un número entero multiplicado por 2pags, entonces las amplitudes de las
ondas se suman y la interferencia es constructiva.
Interferencia destructiva
Si las ondas difieren en fase por pags o por un entero impar veces pags, entonces las amplitudes se restan y la
interferencia es destructiva.
Latidos
Los latidos son el resultado de la interferencia de dos ondas de frecuencias ligeramente diferentes. La frecuencia
de batido es igual a la diferencia en las frecuencias de las dos ondas:
F
derrotar
D - k ¢X - 2pags
Diferencia de fase D debido a la diferencia de ruta ¢X
2. Ondas estacionarias
16-8
- ¢F
¢X
yo
16-9
Las ondas estacionarias ocurren para ciertas frecuencias y longitudes de onda cuando las ondas están
confinadas en el espacio. Si ocurren, entonces cada punto del sistema oscila en un movimiento armónico simple
y dos puntos que no están en los nodos se mueven en fase o 180° fuera de fase.
Longitud de onda
Cuerda fija en ambos extremos
La distancia entre un nodo y un antinodo adyacente es un cuarto de longitud de onda.
Para una cuerda fija en ambos extremos, hay un nodo en cada extremo, por lo que debe caber un número entero
de medias longitudes de onda en la longitud de la cuerda. La condición de onda estacionaria en este caso es
yo
L-nnorte
Función de onda estacionaria para una cuerda
n-1, 2, 3,A
2
16-10
Las ondas permitidas forman una serie armónica, con las frecuencias dadas por
v
fija en ambos extremos
v
v
f--norte-norte-nf n- 1, 2, 3,A1
todos 1
2L
norte
16-18
norte
dondef-v>2Les
la frecuencia más baja, llamada fundamental.
1
Tubo de órgano abierto en ambos extremos
Las ondas sonoras estacionarias en el aire en un tubo que está abierto en ambos extremos tienen un nodo de presión (y un antinodo
de desplazamiento) cerca de cada extremo, de modo que la condición de onda estacionaria es la misma que para una cuerda fija en
ambos extremos.
Cuerda fija en un extremo y libre
Para una cuerda con un extremo fijo y un extremo libre, hay un nodo en el extremo fijo y un antinodo en
en el otro
el extremo libre, por lo que debe caber un número entero de cuartos de longitud de onda en la longitud
de la cuerda. La condición de onda estacionaria en este caso es
yo
L-nnorte
n-1, 3, 5,A
4
16-12
Sólo están presentes los armónicos impares. Sus frecuencias están dadas por
v
v
v
f--norte-norte-nf n- 1, 3, 5,A1
todos 1
4L
norte
norte
dondef-v>4l
1
16-13
|
556
CAPÍTULO 1 6
Superposición y ondas estacionarias
TEMA
ECUACIONES Y OBSERVACIONES RELEVANTES
Tubo de órgano abierto en un
Las ondas sonoras estacionarias en un tubo abierto en un extremo y cerrado en el otro tienen un antinodo de
extremo y cerrado en el otro
desplazamiento en el extremo abierto y un nodo de desplazamiento en el final cerrado. La condición de onda
estacionaria es la misma que para una cuerda fija en un extremo.
y (x, t) - A
Funciones de onda para ondas estacionarias
norte
dondek norte
2pag>l
norte
yv
norte
-
norte
pecado(kx)porquevt
norte
norte
D)
16-16
norte
2pagsF.
norte
Las condiciones necesarias para las ondas estacionarias en una cuerda son
1. Cada punto de la cuerda permanece en reposo u oscila con un movimiento armónico simple. (Los
puntos que quedan en reposo son nodos).
2. Los movimientos de dos puntos cualesquiera de la cuerda que no son nodos oscilan en fase o
desfasados 180°.
* 3. Superposición de Ondas Estacionarias
Un sistema vibratorio normalmente no vibra en un solo modo armónico, sino en una
superposición de los modos armónicos permitidos.
* 4. Análisis y Síntesis de Armónicos
Los sonidos de diferente calidad tonal contienen diferentes mezclas de armónicos. El análisis de un tono
particular en términos de su contenido armónico se llama análisis armónico. La síntesis armónica es la
construcción de un tono mediante la adición de armónicos.
* 5. Paquetes de onda
Un pulso de onda se puede representar mediante una distribución continua de ondas armónicas. El rango de
frecuencias¢vestá relacionado con el ancho en el tiempo ¢yo, y el rango de números de onda ¢k está relacionado
con el ancho en el espacio ¢X.
Rangos de frecuencia y tiempo
¢v¢t-1
16-18
Número de onda y rangos espaciales
¢k ¢X - 1
16-19
* 6. Dispersión
En un medio no dispersivo, la velocidad de fase es independiente de la frecuencia y un pulso (paquete de
ondas) viaja sin cambiar de forma. En un medio dispersivo, la velocidad de fase varía con la frecuencia y
el pulso cambia de forma a medida que se mueve. El pulso se mueve con una velocidad llamada
velocidad de grupo del paquete.
Respuesta a la verificación de conceptos
Respuestas a problemas de práctica
16-1
16-1
(a) 5,66 cm, (B) 120° o 240°
16-2
f-1 20 Hz, f- 40 2Hz, f- 60 Hz 3
16-3
Aproximadamente 10,7 m - 35 pies
Tu voz cambia de tono porque la frecuencia fundamental
de tu garganta y cavidad bucal aumenta, al igual que
aumentó la frecuencia resonante del tubo del órgano del
ejemplo 16-9 cuando estaba lleno de helio.
Problemas
•
En algunos problemas, se le proporcionan más datos de los que
realmente necesita; en algunos otros problemas, debe proporcionar
datos de su conocimiento general, fuentes externas o estimaciones
informadas.
Interprete como significativos todos los dígitos en valores numéricos
que tienen ceros al final y no tienen puntos decimales.
••
Concepto único, paso único, relativamente fácil
Nivel intermedio, puede requerir síntesis de
•••
conceptos Difícil
SSM
La solución está en el manual de soluciones para estudiantes
Los problemas consecutivos que están sombreados son problemas
emparejados.
Use 343 m/s como la velocidad del sonido para el aire, a menos que se indique lo
contrario.
PROBLEMAS CONCEPTUALES
1
•
10 cm/s
Dos pulsos de ondas rectangulares viajan en direcciones opuestas.
direcciones del sitio a lo largo de una cadena. Ent-0, los dos pulsos son como
15cm
se muestra en la Figura 16-29. Dibuje las funciones de onda parat-1,0, 2,0 y 3,0
s.SSM
10 cm/s
FIGURA 1 6 - 2 9
30 centimetros
Problemas 1, 2
5cm
Problemas
• Repita el Problema 1 para el caso en que el pulso en
2
la derecha está invertida.
3
•
Los tiempos se producen por la superposición de dos armónicos.
ondas si (a) sus amplitudes y frecuencias son iguales, (B) sus amplitudes son
las mismas pero sus frecuencias difieren ligeramente, (C) sus frecuencias son
iguales pero sus amplitudes difieren ligeramente.
4
• Se golpean dos diapasones y los sonidos de cada uno
llegar a tus oídos al mismo tiempo. Un sonido tiene una frecuencia de
256 Hz y el segundo sonido tiene una frecuencia de 258 Hz. La
frecuencia de "zumbido" subyacente que escuchas es (a) 2 Hz, (B) 256
Hz, (C) 258 Hz, (D) 257 Hz.
5
•
En el Problema 4, la frecuencia de pulsación es (a) 2 Hz, (B) 256 Hz,
6
•
CTEXTO-RPCIComo estudiante de posgrado, usted está enseñando
(C) 258 Hz, (D) 257 Hz.
tu primera clase de física mientras el profesor no está. Para demostrar la
interferencia de las ondas de sonido, ha instalado dos altavoces que son
controlados coherentemente y en fase por el mismo generador de
frecuencia en la recepción. Cada altavoz genera sonido con una longitud de
onda de 2,4 m. Un estudiante en la primera fila dice que escucha un volumen
muy bajo (sonoridad) del sonido de los parlantes en comparación con el
volumen del sonido que escucha cuando solo un parlante está generando
sonido. ¿Cuál podría ser la diferencia en la distancia entre ella y cada uno de
los dos hablantes? (a) 1,2 m, (B) 2,4 m, (C) 4,8 m, (D) No puedes determinar la
diferencia de distancias a partir de los datos dados.
7
•
13
|
557
• • miINGENIERÍAAAPLICACIÓNExplique cómo podría
usar las frecuencias de resonancia de un tubo de órgano para
estimar la temperatura del aire en el tubo.SSM
14
• • En el patrón fundamental de onda estacionaria de un
tubo de órgano detenido en un extremo, ¿qué sucede con la longitud de
onda, la frecuencia y la velocidad del sonido necesarios para crear el
patrón si el aire en el tubo se vuelve significativamente más frío?
Explique su razonamiento.
15
••
(a) Cuando una cuerda de guitarra está vibrando en su fundamental
modo, ¿la longitud de onda del sonido que produce en el aire suele ser la misma
que la longitud de onda de la onda estacionaria en la cuerda? Explique. (B) Cuando
un tubo de órgano está en cualquiera de sus modos de onda estacionaria, ¿es la
longitud de onda de la onda de sonido viajera que produce en el aire típicamente
la misma que la longitud de onda de la onda de sonido estacionario en el tubo?
Explique.SSM
dieciséis
••
La figura 16-30 es una fotografía de dos piezas de muy finamente
seda tejida colocada una encima de la otra. Donde las piezas se
superponen, se ven una serie de líneas claras y oscuras. Este patrón
muaré también se puede ver cuando se usa un escáner para copiar
fotos de un libro o periódico. ¿Qué causa el patrón muaré y en qué se
parece al fenómeno de la interferencia?
En el Problema 6, determine la longitud de onda más larga para
en el que un estudiante escucharía un sonido "extra fuerte" debido a la
interferencia constructiva, suponiendo que este estudiante esté ubicado de modo
que un altavoz esté 3,0 m más lejos que el otro altavoz.
8
•
Considere las ondas estacionarias en un tubo de órgano. Verdadero o falso:
(a) En una tubería abierta en ambos extremos, la frecuencia del tercer
armónico es tres veces la del primer armónico.
(B) En un tubo abierto por ambos extremos, la frecuencia del quinto
armónico es cinco veces la del fundamental.
(C) En un tubo que está abierto en un extremo y cerrado en el otro, los
armónicos pares no están excitados.
Explique sus opciones.
9
• Las ondas estacionarias resultan de la superposición de dos
ondas que tienen (a) la misma amplitud, frecuencia y dirección de
propagación, (B) la misma amplitud y frecuencia y direcciones opuestas
de propagación, (C) la misma amplitud, frecuencias ligeramente
diferentes y la misma dirección de propagación, (D) la misma amplitud,
frecuencias ligeramente diferentes y direcciones opuestas de
propagación.
10
•
•
Un tubo de órgano que está abierto en ambos extremos tiene un fundamento
frecuencia mental de 400 Hz. Si ahora se detiene un extremo de este
tubo, la frecuencia fundamental es (a) 200 Hz, (B) 400 Hz, (C) 546 Hz, (D)
800 Hz.SSM
12
••
16 (Cortesía de Chuck Adler.)
Si sopla aire sobre la parte superior de un bebedero bastante grande
pajilla, puede escuchar una frecuencia fundamental debido a una onda
estacionaria que se establece en la pajilla. ¿Qué sucede con la
frecuencia fundamental, (a) si mientras sopla, cubre el fondo de la
pajilla con la yema del dedo? (B) si mientras soplas cortas la pajita por la
mitad con unas tijeras? (C) Explique sus respuestas a las Partes (a) y (B).
11
FIGURA 1 6 - 3 0 Problema
Una cuerda fijada en ambos extremos resuena en una fundamental
frecuencia de 180 Hz. ¿Cuál de los siguientes reducirá la frecuencia
fundamental a 90 Hz? (a) Duplica la tensión y duplica la longitud. (B) Reducir
a la mitad la tensión y mantener fijas la longitud y la masa por unidad de
longitud. (C) Mantenga fija la tensión y la masa por unidad de longitud y
duplique la longitud. (D) Mantenga fijas la tensión y la masa por unidad de
longitud y reduzca a la mitad la longitud.
17
• • Cuando un instrumento musical consiste en beber
vasos, cada uno parcialmente lleno a una altura diferente con agua, se
golpea con un pequeño mazo, cada vaso produce una frecuencia de onda de
sonido diferente. Explique cómo funciona este instrumento.
18
• • miINGENIERÍAAAPLICACIÓNDurante un recital de órgano, el
el compresor de aire que impulsa los tubos del órgano falla repentinamente.
Un estudiante de física emprendedor en la audiencia intenta ayudar
reemplazando el compresor con un tanque presurizado de gas nitrógeno.
¿Qué efecto, si lo hay, tendrá el gas nitrógeno en la salida de frecuencia de
los tubos del órgano? ¿Qué efecto, si lo hay, tendría el gas helio en la salida
de frecuencia de los tubos del órgano?
19
••
El constante gramo para el helio (y todos los gases monoatómicos) es
1.67. Si un hombre inhala helio y luego habla, su voz tiene un tono alto y se
vuelve como una caricatura. ¿Por qué?
|
558
CAPÍTULO 1 6
Superposición y ondas estacionarias
ESTIMACIÓN Y APROXIMACIÓN
20
•
Se dice que un cantante de ópera poderoso puede tocar una nota alta
•
Calcule con qué precisión puede afinar la cuerda de un piano a un
con suficiente intensidad para romper una copa de vino vacía haciendo
que el aire en ella resuene a la frecuencia de su voz. Estime la
frecuencia necesaria para obtener una onda estacionaria en un vaso de
8,0 cm de alto. (Los 8,0 cm no incluyen la altura de la plica).
¿Aproximadamente cuántas octavas por encima del do central (262 Hz)
es esto? Pista: Subir una octava significa duplicar la frecuencia.
21
diapasón de frecuencia conocida usando sólo sus oídos, el diapasón y
una llave inglesa. Explica tu respuesta.
22
••
Los tubos más cortos que se utilizan en los órganos tienen una longitud de 7,5 cm.
(a) Estime la frecuencia fundamental de un tubo de esta longitud que está abierto
en ambos extremos. (B) Para tal tubería, estime el número armónico norte del
armónico de mayor frecuencia que se encuentra dentro del rango audible. (El
rango audible del oído humano es de aproximadamente 20 a 20 000 Hz).
23
• • BIOLOGICOAAPLICACIÓNEstime la frecuencia resonante
cies que están en el rango audible de la audición humana del canal auditivo
humano. Trate el canal como una columna de aire abierta en un extremo, detenida
en el otro extremo y con una longitud de 1.00 pulg. ¿Cuántas frecuencias
resonantes se encuentran en este rango? Se ha descubierto experimentalmente
que el oído humano es el más sensible a frecuencias de alrededor de 3, 9 y 15 kHz.
¿Cómo se comparan estas frecuencias con sus cálculos?
SUPERPOSICIÓN E INTERFERENCIA
24
• Dos ondas armónicas que viajan en una cuerda en la misma di-
ambos tienen una frecuencia de 100 Hz, una longitud de onda de 2,0
cm y una amplitud de 0,020 m. Además, se superponen entre sí. ¿Cuál
es la amplitud de la onda resultante si las ondas originales difieren en
fase por (a)p>6, y (B)p>3?
25
•
Dos altavoces de audio orientados en la misma dirección oscilan
en fase a la misma frecuencia. Están separados por una distancia igual a un
tercio de una longitud de onda. PuntoPAGS está frente a ambos parlantes,
en la línea que pasa por sus centros. La amplitud del sonido enPAGS debido
a que cualquiera de los hablantes actúa solo esUNA. ¿Cuál es la amplitud (en
términos deA) de la onda resultante en el punto¿PAGS?
27
•
Dos fuentes compactas de sonido oscilan en fase con una frecuencia
frecuencia de 100 Hz. En un punto a 5,00 m de una fuente y a 5,85 m de la
otra, la amplitud del sonido de cada fuente por separado esUNA. (a) ¿Cuál es
la diferencia de fase de las dos ondas en ese punto? (B) ¿Cuál es la amplitud
(en términos de A) de la onda resultante en ese punto?
28
•
Con un programa de dibujo o un compás, dibujar arcos circulares
de radio 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm y 7 cm centrado en cada uno de
los dos puntos (PAGS yPAGS
) una2distancia D - 3,0 cm de distancia. Dibujar
1
curvas suaves a través de las intersecciones correspondientes a los puntos
norte centímetros más lejos de
PAGS que de2PAGS por norte- 2, 1, 0, -1 y
1
- 2, y etiquete cada curva con el valor correspondiente de NORTE. Hay dos
curvas adicionales que puede dibujar, una para norte- 3 y uno para norte - 3. Si se colocaran fuentes idénticas de ondas coherentes en fase de 1,0 cm
de longitud de onda en puntos PAGS yPAGS , las1 ondas 2interferirían
constructivamente a lo largo de cada una de las suaves curvas.
29
31
• • Una onda armónica transversal con una frecuencia igual a
40,0 Hz se propaga a lo largo de una cuerda tensa. Dos puntos separados
5.00 cm están desfasados porp>6. (a) ¿Cuál es la longitud de onda de la
onda? (B) En un punto dado de la cuerda, ¿cuánto cambia la fase en 5,00 ms?
(C) ¿Cuál es la velocidad de la onda?
32
• • BIOLOGICOAAPLICACIÓNSe piensa que el cerebro de-
determina la dirección de la fuente de un sonido al detectar la
diferencia de fase entre las ondas de sonido que golpean los tímpanos.
Una fuente distante emite un sonido de frecuencia 680 Hz. Cuando te
enfrentas directamente a una fuente de sonido, no hay diferencia de
fase. Calcule la diferencia de fase entre los sonidos recibidos por sus
oídos cuando se encuentra a 90° de la dirección de la fuente.
• • La fuente de sonido A está ubicada en X - 0, y-0, y sonido
33
la fuente B se encuentra en X - 0, y-2,4 metros Las dos fuentes
irradian coherentemente y en fase. un observador enX - 15 metros,
y-0 nota que mientras da unos pasos de y-0 en cualquiera de los y o
-y dirección, la intensidad del sonido disminuye. ¿Cuál es la
frecuencia más baja y la siguiente a la frecuencia más baja de las
fuentes que pueden explicar esa observación?SSM
• • Suponga que el observador en el Problema 33 lo encuentramismo en un punto de mínima intensidad enX - 15 metros,y-0. ¿Cuál es
entonces la frecuencia más baja y próxima a la frecuencia más baja de las
fuentes que pueden explicar esta observación?
34
• Dos ondas armónicas que tienen la misma frecuencia, onda
la velocidad y la amplitud viajan en la misma dirección y en el
mismo medio de propagación. Además, se superponen entre sí. Si
difieren en fase porp>2 y cada uno tiene una amplitud de 0.050 m,
¿cuál es la amplitud de la onda resultante?SSM
26
• Dos altavoces separados por cierta distancia emiten sonido
ondas de la misma frecuencia. En algún momentoPAGS la intensidad
debida a cada altavoz por separado0 esI .la distancia dePAGS a uno de los
altavoces es una longitud de onda más larga que la dePAGS al otro
hablante. ¿Cuál es la intensidad enPAGS Si (a) los altavoces son
coherentes y en fase, (B) los hablantes son incoherentes, y (C) los
altavoces son coherentes y están desfasados?
30
• Dos altavoces separados por cierta distancia emiten sonido
ondas de la misma frecuencia. En algún momentoPAGS,la intensidad
debida a cada altavoz por separado0esI .la distancia dePAGS a uno de
los altavoces son1 2yo más largo que eso dePAGS al otro hablante.
¿Cuál es la intensidad enPAGS Si (a) los altavoces son coherentes y en
fase, (B) los hablantes son incoherentes, y (C) los altavoces son
coherentes y están desfasados 180°?SSM
• • • SHOJA DE PREPARACIÓNDos ondas de agua armónicas de igual
amplitudes pero diferentes frecuencias, números de onda y
velocidades viajan en la misma dirección. Además, se superponen
entre sí. El desplazamiento total de la onda se puede escribir como
y(x, t) - A[porquekx -vt)
porquekx
-vt)],
1
1
2
2
dondev >k
- v (la velocidad
de la primera onda) yv >k-v (la velocidad
1 1
1
2 2
2
de la segunda onda). (a) Muestra esay(x, t) se puede escribir en la
formay(x, t) - Y(x, t)porquekx -vt),donde
AV
AV
35
v AV - (v
1
v 2)>2, k AV- (k
1
k2)>2,Y(x, t) -2Aporque[(¢k>2)X-(¢v>2)t],
¢vv -v , 1y¢k -2k - k . El factor
Y(x,2t) se llama el sobre de la ola (B)
1
Dejar A - 1,00 cm, v- 1,00 rad>s, k-1,00 1m-1, v- 0,900 rad>s,
y k1
0,800m
-1. Usando unhoja de cálculo o calculadora gráfica, hacer
2
2
una trama de y(x, t) versus X en t-0,00 s para 0
X 5,00 m. (C) Usando un hoja de cálculo o
calculadora gráfica, hacer tres parcelas de Y(x, t) versus X por
- 5,00 metros
X 5,00 m en el mismo gráfico. Haz una parcela para
t-0.00 s, el segundo para t-5.00 s, y el tercero para t-10.00 s. Estime
la velocidad a la que se mueve la envolvente de las tres gráficas y
compare esta estimación con la velocidad obtenida usando v
- ¢v>¢k. SSM
sobre
36
•••
Dos fuentes puntuales coherentes están en fase y separadas.
clasificado por una distancia D.Se detecta un patrón de interferencia a lo largo de
una línea paralela a la línea a través de las fuentes y una gran distanciaD de las
fuentes, como se muestra en la Figura 16-31. (a) Demuestre que la diferencia de
caminos¢sde las dos fuentes a algún punto en la línea en un ángulotuestá dada,
aproximadamente, por¢Dakota del SurpecadotuSugerencia: suponga que DWD,
por lo que las líneas de las fuentes aPAGS son aproximadamente paralelos (Figura
16-31B). (B) Muestre que las dos ondas interfieren constructivamente enPAGS Si¢s
- myo, dondem-0, 1, 2,UNA . (Es decir, demuestre que hay un máximo de
interferencia enPAGS Si¢s - myo, dondem-0, 1, 2,A .) (C) Demuestre que la distancia
y del máximo central (eny-0) a lametroth máximo de interferencia enPAGS es dado
metro
por y - rebroncearsetu, dondeD pecadotu-metroyo
metro
metro
metro
Problemas
|
559
PAGS
D
frentes de onda
y
S1
λ
θ
Δs
S2
D
(a)
θ
θ
D
θ
Fase
D
selector
Amplificador
Δs
(B)
42
Problema 36
Se escuchan 4,0 latidos por segundo. La frecuencia de una horquilla es de
500 Hz. (a) ¿Cuáles son los valores posibles para la frecuencia del otro
tenedor? (B) Se coloca un trozo de cera en la horquilla de 500 Hz para bajar
un poco su frecuencia. Explique cómo se puede usar la medición de la nueva
frecuencia de latido para determinar cuál de sus respuestas a la Parte (a) es
la frecuencia correcta de la segunda bifurcación.
• • Dos fuentes de sonido que radian en fase a una frecuencia de
desde una línea perpendicular a la que une las dos fuentes. El oyente está a una
gran distancia de la línea a través de ambas fuentes, y no se escuchan máximos
adicionales en ángulos en el rango de 0°
tu
23°. Encontrar
la separaciónD entre las dos fuentes y cualquier otro ángulo en el que se
escuchen los máximos de intensidad. (Use el resultado del problema 36.)
••
Dos altavoces son excitados en fase por un amplificador de audio.
fuego a una frecuencia de 600 Hz. Los altavoces están en ely eje, uno en
y-1,00 m y el otro a y--1,00 m. Un oyente, a partir de (x, y) - (D, 0), donde
DW2,00 m, paseos en el y dirección a lo largo de la línea x - D. (Vea el
Problema 36.) (a) ¿En qué ángulo tu¿escuchará primero un mínimo en la
intensidad del sonido? (tues el ángulo entre el positivo X eje y la línea
desde el origen hasta el oyente.) (B) ¿En qué ángulo escuchará primero
un máximo en la intensidad del sonido (después de tu-0)? (C) ¿Cuántos
máximos puede escuchar si sigue caminando en la misma dirección?
39
•••
Dos fuentes de sonido impulsadas en fase por el mismo amplificador
fuego están a 2,00 m de distancia en el y eje, uno en y-1,00 m y el otro a
y--1,00 m. En puntos a grandes distancias dely eje, la interferencia
constructiva se escucha en ángulos con el X eje de tu-0.000 rad, tu0,140
rad, y tu-0,283
rad, y sin ángulos 2intermedios (consulte la figura
0
1
16-31). (a) ¿Cuál es la longitud de onda de las ondas sonoras de las
fuentes? (B) ¿Cuál es la frecuencia de las fuentes? (C) ¿En qué otros
ángulos se escucha la interferencia constructiva? (D) ¿Cuál es el ángulo
más pequeño para el cual las ondas de sonido se cancelan? SSM
40
•••
Las dos fuentes de sonido del Problema 39 ahora son impulsadas
90° fuera de fase, pero a la misma frecuencia que en el Problema 39. ¿En qué
ángulos se escuchan las interferencias constructivas y destructivas?
41
• • miINGENIERÍAAAPLICACIÓNUn radiotelescopio astronómico
El alcance consta de dos antenas separadas por una distancia de 200 m. Ambas
antenas están sintonizadas a la frecuencia de 20 MHz. Las señales de cada antena
se alimentan a un amplificador común, pero una señal pasa primero por un
selector de fase que retrasa su fase en una cantidad determinada para que el
telescopio pueda “mirar” en diferentes direcciones (Figura 16-32). Cuando el
retardo de fase es cero, las ondas de radio planas que inciden verticalmente en las
antenas producen señales que se suman constructivamente en el amplificador.
¿Cuál debería ser el retardo de fase para que las señales provenientes de un
ángulotu-10° con la vertical (en el plano formado por la vertical y la línea que une
las antenas) sumará constructivamente en el amplificador?Pista: Las ondas de
radio viajan a 3.00 108metro>s.
• Cuando dos diapasones se golpean simultáneamente,
FIGURA 1 6 - 3 1
480 Hz interfieren de tal manera que se escuchan máximos en ángulos de 0° y 23°
38
Problema 41
LATIDOS
θ
37
FIGURA 1 6 - 3 2
43
•••
miINGENIERÍAAAPLICACIÓNUna pistola de radar de la policía estacionaria
emite microondas a 5,00 GHz. Cuando el arma apunta a un automóvil, superpone las
ondas transmitidas y reflejadas. Debido a que las frecuencias de estas dos ondas difieren,
se generan latidos, con la velocidad del automóvil proporcional a la frecuencia del latido.
La velocidad del automóvil, 83 mi>h, aparece en la pantalla de la pistola de radar.
Suponiendo que el automóvil se mueve a lo largo de la línea de visión del oficial de policía
y usando las ecuaciones de desplazamiento Doppler, (a) muestran que, para una
frecuencia fija de pistola de radar, la frecuencia de batido es proporcional a la velocidad
del automóvil. Pista: las velocidades de los automóviles son diminutas en comparación
con la velocidad de la luz. (B) ¿Cuál es la frecuencia de pulsación en este caso? (C) ¿Cuál es
el factor de calibración para esta pistola de radar? Es decir, ¿cuál es la frecuencia de
pulsación generada por mi/h de velocidad?SSM
ONDAS ESTACIONARIAS
44
•
Una cuerda fija en ambos extremos tiene 3.00 m de largo. resuena en
su segundo armónico a una frecuencia de 60,0 Hz. ¿Cuál es la velocidad de las
ondas transversales en la cuerda?
45
• Una cuerda de 3.00 m de largo y fija en ambos extremos vibra
en su tercer armónico. El desplazamiento máximo de cualquier punto de la cuerda
es de 4,00 mm. La velocidad de las ondas transversales en esta cuerda es de 50,0
m>s. (a) ¿Cuáles son la longitud de onda y la frecuencia de esta onda estacionaria?
(B) Escriba la función de onda para esta onda estacionaria.
46
• Calcular la frecuencia fundamental de un tubo de órgano,
con una longitud efectiva igual a 10 m, es decir (a) abierto en ambos extremos, y (B
) detenido en un extremo.
47
•
Un alambre flexible de 5.00 g y 1.40 m de largo tiene una tensión de 968
•
Una cuerda tensa de 4.00 m de largo tiene un extremo fijo y el
N y está fijo en ambos extremos. (a) Encuentra la velocidad de las ondas
transversales en el alambre. (B) Encuentra la longitud de onda y la
frecuencia de la fundamental. (C) Encuentra las frecuencias del segundo
y tercer armónico. SSM
48
otro extremo libre. (El extremo libre está unido a una cuerda larga y
liviana). La velocidad de las ondas en la cuerda es de 20,0 m>s. (a) Hallar
la frecuencia de la fundamental. (B) Encuentra el segundo armónico. (C)
Encuentra el tercer armónico.
|
560
49
•
CAPÍTULO 1 6
Superposición y ondas estacionarias
Una cuerda de piano de acero sin bobinados tiene una función fundamental
frecuencia de 200 Hz. Cuando se enrolla con alambre de cobre, su densidad
de masa lineal se duplica. ¿Cuál es su nueva frecuencia fundamental,
suponiendo que la tensión no cambia?
50
•
¿Cuál es la mayor longitud que puede tener un tubo de órgano en
58
••
La cuerda G de un violín mide 30,0 cm de largo. cuando se juega
••
Una cuerda que tiene una densidad de masa lineal de 4.00 10-3 kg>m
sin digitación, vibra en su modo fundamental* a una frecuencia de 196
Hz. Las siguientes notas más altas en su escala de C mayor son A (220
Hz), B (247 Hz), C (262 Hz) y D (294 Hz). ¿A qué distancia del final de la
cuerda debe colocarse un dedo para tocar cada una de estas notas?
ordenar que su nota fundamental esté en el rango audible (20 a 20,000 Hz) si (a) la
59
tubería se detiene en un extremo, y (B) está abierto en ambos extremos?
está bajo una tensión de 360 N y está fijo en ambos extremos. Una de sus
51
• • La función de onda y(x, t) para cierta onda estacionaria
en una cuerda que está fija en ambos extremos está dada por y(x, t)
-4.20 sin(0.200 X) porque(300t),dondey yX estan en centimetros y tes
en segundos. Una onda estacionaria se puede considerar como la
superposición de dos ondas viajeras. (a) ¿Cuáles son la longitud de
onda y la frecuencia de las dos ondas viajeras que forman la onda
estacionaria especificada? (B) ¿Cuál es la velocidad de estas ondas
en esta cuerda? (C) Si la cuerda vibra en su cuarto armónico, ¿cuánto
tiempo dura? SSM
52
••
La función de onda y(x, t) para una cierta onda estacionaria en
una cuerda que está fija en ambos extremos está dada por y(x, t) - (0,0500 m)
sen(2,50 m-1 X) porque (500 s-1 t). Una onda estacionaria se puede considerar
como la superposición de dos ondas viajeras. (a) ¿Cuáles son la velocidad y la
amplitud de las dos ondas viajeras que dan como resultado la onda
estacionaria especificada? (B) ¿Cuál es la distancia entre los nodos sucesivos de
la cuerda? (C) ¿Cuál es la longitud más corta posible de la cuerda?
53
••
Un tubo de 1,20 m de largo está parado en un extremo. cerca de lo abierto
54
••
Una afinación de 460 Hz
Al final, hay un altavoz que es impulsado por un oscilador de audio
cuya frecuencia puede variar de 10.0 a 5000 Hz. (Ignore las
correcciones finales). (a) ¿Cuál es la frecuencia más baja del
oscilador que producirá resonancia dentro del tubo? (B) ¿Cuál es la
frecuencia más alta del oscilador que producirá resonancia dentro
del tubo? (C) ¿Cuántas frecuencias diferentes del oscilador
producirán resonancia dentro del tubo?
••
1)th armónico. (a) ¿Qué armónicos son estos? (B) Cuál es el
largo de la cuerda?
61
• • Las cuerdas de un violín están afinadas en los tonos G, D, A,
y E, que están separados por una quinta entre sí. Es decir, F(D) - 1,5
F(GRAMO), F(A) - 1,5F(D) - 440 Hz, y F(E) - 1,5F(A). La distancia entre el
puente en la voluta y el puente sobre el cuerpo, los dos puntos fijos
en cada cuerda, es de 30,0 cm. La tensión en la cuerda E es de 90,0
N. (a) ¿Cuál es la densidad de masa lineal de la cuerda E? (B) Para
evitar la distorsión del instrumento con el tiempo, es importante
que la tensión en todas las cuerdas sea la misma. Encuentre las
densidades de masa lineales de las otras cuerdas.SSM
62
••
En un violonchelo, como la mayoría de los otros instrumentos de cuerda, el
el posicionamiento de los dedos por parte del jugador determina las
frecuencias fundamentales de las cuerdas. Suponga que una de las
cuerdas de un violonchelo está afinada para tocar una C media (262 Hz)
cuando se toca en toda su longitud. ¿En qué fracción se debe acortar esa
cuerda para tocar una nota que es el intervalo de un tercio más alto (es
decir, un E (330 Hz)? ¿Qué tal un quinto más alto o un G (392 Hz)?
• • Para afinar su violín, primero afina la cuerda A con la
y E, escucha una frecuencia de pulsación de 3,00 Hz y observa que la frecuencia de
pulsación aumenta a medida que aumenta la tensión en la cuerda E. (La cuerda E
debe afinarse a 660 Hz.) (a) ¿Por qué estas dos cuerdas producen golpes cuando se
arquean simultáneamente? (B) ¿Cuál es la frecuencia de la vibración de la cuerda E
cuando la frecuencia de pulsación es de 3,00 Hz?
• • Una cuerda de 2.00 m de largo fija en un extremo y libre en el
otro extremo (el extremo libre está sujeto al extremo de un hilo largo y
liviano) vibra en su tercer armónico con una amplitud máxima de 3.00 cm y
una frecuencia de 100 Hz. (a) Escriba la función de onda para esta vibración. (
B) Escribe una función para la energía cinética de un segmento de la cuerda
de longituddx,en un punto a distanciaX desde el extremo fijo, en función del
tiempot.¿En qué momentos es máxima esta energía cinética? ¿Cuál es la
forma de la cuerda en estos momentos? (C) Encuentre la energía cinética
máxima de la cuerda integrando su expresión para la Parte (B) sobre la
longitud total de la cadena.
64
FIGURA 1 6 - 3 3
Problema 54
• • De acuerdo con la teoría, la corrección final para una tubería es
aproximadamente¢L- 0.3186D,dondeDes el diámetro de la tubería.
Encuentre la longitud real de una tubería abierta en ambos extremos que
producirá una C media (256 Hz) como su modo fundamental para tuberías
de diámetro D -1,00 cm, 10,0 cm y 30,0 cm.
••
• • Una cuerda fija en ambos extremos tiene resonancias sucesivas
con longitudes de onda de 0,54 m para el norteth armónico y 0,48 m para el (norte
simultáneamente, mientras se escuchan los latidos. Mientras arquea las cuerdas A
56
57
60
tono recto de 440 Hz, y luego se inclina tanto él como una cuerda contigua
Un tubo de órgano tiene un fundamento
frecuencia mental de 440.0 Hz a 16.00°C. ¿Cuál
será la frecuencia fundamental de la tubería si
la temperatura aumenta a 32,00 °C
(suponiendo que la longitud de la tubería
permanece constante)? ¿Sería mejor construir
tubos de órgano con un material que se
expanda sustancialmente a medida que
aumenta la temperatura, o deberían estar
hechos de un material que mantenga la misma
longitud a todas las temperaturas normales?SSM
alta es 450 Hz. (a) ¿Cuál es la frecuencia fundamental de esta cuerda? (B) ¿Qué
armónicos tienen las frecuencias dadas? (C) ¿Cuál es la longitud de la cuerda?
63
horquilla provoca resonancia en el tubo
representado en la figura 16-33 cuando la
longitudLde la columna de aire sobre el agua es
18,3 y 55,8 cm. (a) Calcula la velocidad del
sonido en el aire. (B) ¿Cuál es la corrección final
para ajustar el hecho de que el antinodo no se
encuentra exactamente en el extremo abierto
del tubo?
55
frecuencias de resonancia es de 375 Hz. La siguiente frecuencia de resonancia más
Suponga que una cuerda de violín de 40,0 cm de largo tiene una masa de 1,20 g
y está vibrando en su modo fundamental* a una frecuencia de 500 Hz. (
a) ¿Cuál es la longitud de onda de la onda estacionaria en la cuerda? (B)
¿Cuál es la tensión en la cuerda? (C) ¿Dónde debe colocar su dedo para
aumentar la frecuencia fundamental a 650 Hz?
* Una cuerda arqueada no vibra en un solo modo. Por lo tanto, las condiciones descritas en este
enunciado del problema no son completamente precisas.
sesenta y cinco
• • CTEXTO-RPCIUn experimento de física de uso común
que examina resonancias de ondas transversales en una cuerda se muestra
en la figura 16-34. Se ata un peso al extremo de una cuerda enrollada sobre
una polea; el otro extremo de la cuerda está conectado a un oscilador
mecánico que se mueve hacia arriba y hacia abajo a una frecuenciaFque
permanece fijo durante toda la demostración. La longitudLentre el oscilador
y la polea es fijo, y la tensión es igual a la fuerza gravitatoria sobre el peso.
Para ciertos valores de la tensión, la cuerda resuena. Suponga que la cuerda
no se estira ni se encoge al variar la tensión. Usted está a cargo de
configurar este aparato para una demostración de lectura. (a) Explique por
qué solo ciertos valores discretos de la tensión dan como resultado ondas
estacionarias en la cuerda. (B) ¿Necesita aumentar o disminuir la tensión
para producir una onda estacionaria con un antinodo adicional? Explique. (C)
Demuestre su razonamiento en la Parte (B) mostrando que los valores de la
tensiónFTnorte Para elnorteel
Problemas
L
69
|
561
• • CTEXTO-RPCI, miINGENIERÍAAAPLICACIÓNTrabajando para
una pequeña compañía minera de oro, te topas con un pozo de mina
abandonado que, debido a los puntales de madera en descomposición,
parece demasiado peligroso para explorarlo en persona. Para medir su
profundidad, emplea un oscilador de audio de frecuencia variable.
Determina que se producen resonancias sucesivas a frecuencias de 63,58 y
89,25 Hz. Estime la profundidad del eje.
Cuerda
Oscilador
70
••
Una cuerda de 5.00 m de largo que está fija en un extremo y unida
a una larga cuerda de masa despreciable en el otro extremo vibra en su
quinto armónico, que tiene una frecuencia de 400 Hz. La amplitud del
movimiento en cada antinodo es de 3,00 cm. (a) ¿Cuál es la longitud de onda
de esta onda? (B) ¿Cuál es el número de onda? (C) ¿Cuál es la frecuencia
angular? (D) Escriba la función de onda para esta onda estacionaria.
1 6 - 3 4 Problema
65
modo de onda estacionaria están dadas por F
Tnorte
-
4L2F2m>norte2, y por lo tanto el F
Tnorte
es inversamente proporcional a norte2. (D) Para que su configuración
particular encaje en la mesa de conferencias, eligió L- 1,00 m, f- 80,0 Hz, y m0,750 g/m. Calcula cuánta tensión se necesita para producir cada uno de los
primeros tres modos (ondas estacionarias) de la cuerda.SSM
* ANÁLISIS DE ARMÓNICOS
•
66
A una cuerda de guitarra se le da un tirón ligero en su punto medio. ami-
crophone en su computadora detecta el sonido y un programa en la computadora
determina que la mayor parte del sonido posterior consiste en un tono de 100 Hz
acompañado por un poco de sonido con un tono de 300 Hz. ¿Cuáles son los dos
modos de onda estacionaria dominantes en la cuerda?
* PAQUETES DE ONDA
• • Un diapasón con frecuencia naturalFcomienza
a vibrar
0
67
••
La función de onda para una onda estacionaria en una cuerda se de-
72
••
Una cuerda de 2,5 m de largo que tiene una masa de 0,10 kg está fija en
escrito por y(x, t) - (0.020) sin(4pagsX) porque(60pagst),dondey yX
están en metros y tes en segundos. Determine el desplazamiento
máximo y la velocidad máxima de un punto en la cuerda en (a)X 0,10 m, (B)X - 0,25 m, (C)X - 0,30 m, y (D)X - 0,50 m. SSM
Peso
FIGURA
71
en el momentot-0 y se detiene después de un intervalo de tiempo,¢t.La forma de
onda del sonido en algún momento posterior se muestra (Figura 16-35) como una
función deX. Dejarnorteser una estimación del número de ciclos en esta forma de
onda. (a) Si¢X es la longitud en el espacio de este paquete de ondas, ¿cuál es el
ambos extremos y está bajo una tensión de 30 N. Cuando el norteel armónico está
excitado, hay un nodo a 0,50 m de un extremo. (a) Qué es ¿norte? (B) ¿Cuáles son
las frecuencias de los tres primeros armónicos de esta cuerda?
• • Un tubo de órgano es tal que en condiciones normales su
la frecuencia fundamental es de 220 Hz. Se coloca en una atmósfera de
hexafluoruro de azufre (SF)
a la misma temperatura y presión. La masa
6
molar del aire es 29.0 10-3 kg>mol y la masa molar de SF es 146 10-3
6
kg>mol. ¿Cuál es la frecuencia fundamental del tubo del órgano cuando
se encuentra en una atmósfera de SF?
6
73
74
••
Durante una conferencia demostrativa de ondas estacionarias, uno
El extremo de una cuerda está unido a un dispositivo que vibra a 60 Hz y
produce ondas transversales de esa frecuencia en la cuerda. El otro extremo
de la cuerda pasa sobre una polea y la tensión se varía colocando pesos en
ese extremo. La cuerda tiene nodos aproximados junto al dispositivo
vibratorio y la polea. (a) Si la cuerda tiene una densidad de masa lineal de 8,0
g/m y mide 2,5 m de largo desde el dispositivo vibratorio hasta la polea,
¿cuál debe ser la tensión para que la cuerda vibre en su modo fundamental?
(B) Encuentre la tensión necesaria para que la cuerda vibre en su segundo,
tercer y cuarto armónico.
75
• • Tres frecuencias de resonancia sucesivas en un órgano
promediok en términos denortey¢X. (D) Si¢tes el tiempo que tarda el paquete de
tubería son 1310, 1834 y 2358 Hz. (a) ¿El tubo está cerrado en un extremo
o abierto en ambos extremos? (B) ¿Cuál es la frecuencia fundamental? (C)
¿Cuál es la longitud efectiva de la tubería?SSM
ondas en pasar por un punto en el espacio, ¿cuál es el rango en frecuencias
76
angulares?¢vdel paquete? (mi) RápidoFen términos denortey¢t.
(F)El númeronorte
0
aire usando un oscilador de audio y un tubo que está abierto en un extremo y
es incierto por alrededor de 1 ciclo. Utilice la figura 16-35 para explicar por qué. (
detenido en el otro extremo, se encuentra que una frecuencia resonante
gramo) Muestre que la incertidumbre en el número de onda debido a la
incertidumbre ennortees 2p>¢X. SSM
particular tiene nodos separados aproximadamente 6,94 cm. La frecuencia del
rango en números de onda?¢k del paquete? (B) Estimar el valor medio de la
longitud de ondayo en términos denortey¢X. (C) Estime el número de onda
Durante un experimento que estudiaba la velocidad del sonido en
oscilador aumenta y la siguiente frecuencia resonante encontrada tiene nodos
separados 5,40 cm. (a) ¿Cuáles son las dos frecuencias de resonancia? (B) ¿Cuál
y
es la frecuencia fundamental? (C) ¿Qué armónicos son estos dos modos? La
velocidad del sonido es de 343 m>s.
77
ΔX
X
FIGURA
16-35
Problema 67
PROBLEMAS GENERALES
68
••
••
Una cuerda de 35 m de largo tiene una densidad de masa lineal de
0.0085 kg>m y está bajo una tensión de 18 N. Encuentre las frecuencias de
los cuatro armónicos más bajos (a) si la cuerda está fija en ambos extremos,
y (B) si la cuerda está fija en un extremo y libre en el otro. (Es decir, si el
extremo libre está unido a una cuerda larga de masa despreciable).
••
Una onda estacionaria en una cuerda está representada por la onda
••
SHOJA DE PREPARACIÓNDos pulsos de ondas viajeras en una cuerda son
funcióny(x, t) - (0.020) pecado(1 2pagsX) porque (40pagst),dondeX yy están en
metros ytes en segundos. (a) Escriba funciones de onda para dos ondas
viajeras que, cuando se superpongan, produzcan este patrón de onda
estacionaria. (B) ¿Cuál es la distancia entre los nodos de la onda
estacionaria? (C) ¿Cuál es la velocidad máxima de la cuerda enX - 1,0 m?
(D) ¿Cuál es la aceleración máxima de la cuerda en X - 1,0 m?
78
representado por las funciones de onda
y1(x, t) -
0.020
2.0 (X - 2.0t)2
y
y2(x, t) -
- 0.020
2.0
(X
2.0t)2
dondeX esta en metros y tes en segundos. (a) Usando un hoja de
cálculo o calculadora gráfica, hacer un gráfico separado de cada
función de onda como una función de X en t-0 y otra vez en t-1,0 s, y
|
562
Superposición y ondas estacionarias
CAPÍTULO 1 6
describir el comportamiento de cada uno a medida que aumenta el tiempo. Para cada
X
gráfico, haz tu diagrama para -5.0 m
5,0 metros (B) Grafique la resultante
función de onda ent - -1,0 s, ent-0.0 s, y ent-1,0 s.
79
•••
Tres ondas que tienen la misma frecuencia, longitud de onda,
y la amplitud viajan a lo largo de laX eje. Las tres ondas se describen
mediante las siguientes funciones de onda:y (x, t) - (5,00cm)
1
pecado(kx -vt-13pags),y
(x, t) - (5.00 cm) pecado(kx -vt),
yy (x, t)32
1
(5.00 cm) pecado(kx -vt
3pags),dondeX esta en metros y tes en
segundos. La función de onda resultante está dada pory (x, 3t) - A
pecado (kx -vt
D).¿Cuáles son los valores deAy¿D?
80
•••
plitud es de 2,00 cm. (a) Encuentre la energía cinética máxima del alambre. (
B) ¿Cuál es la energía cinética del alambre en el instante en que la transel desplazamiento del verso está dado pory-0.0200 sin(pags
2X),dondey esta en miX 2,00 metros? (C) ¿Por qué valor de
ters siX está en metros, por 0.00 m
X ¿Es mayor el valor medio de la energía cinética por unidad de
longitud? (D) ¿Por qué valor deX ¿La energía potencial elástica por
unidad de longitud tiene su valor máximo?
85
•••
SHOJA DE PREPARACIÓNEn principio, una onda con casi cualquier arbi-
La forma traria se puede expresar como una suma de ondas armónicas de
diferentes frecuencias. (a) Considere la función definida por
Una onda de presión armónica producida por una fuente distante
ky-vt).
Show
función para la onda esp(x, y, t) - Aporquekx X
y
que la dirección en la que viaja la onda forma un ángulotubroncearse-1(k>k)con
la velocidad de laX onda
dirección
esv- yv1k
que
2 la
y
X
X
81
ky2.
• • La velocidad del sonido en el aire es proporcional al cuadrado
raíz de la temperatura absolutaT (Ecuación 15-5). (a) Muestre que si la temperatura
del aire cambia en una cantidad pequeña, el cambio fraccionario en la frecuencia
fundamental de un tubo de órgano es aproximadamente igual a la mitad del
cambio fraccionario en la temperatura absoluta.
tura Es decir, demostrar que¢f>f- 1 2¢T>T, dondeFes la frecuencia en
temperatura absoluta T y¢Fes el cambio en la frecuencia cuando la
temperatura cambia por ¢t (Ignore cualquier cambio en la longitud de la
tubería debido a la expansión térmica.) (B) Suponga que un tubo de órgano
que está tapado en un extremo tiene una frecuencia fundamental de 200.0
Hz cuando la temperatura es de 20.00°C. Use el resultado aproximado de la
Parte (a) para determinar la frecuencia fundamental de la tubería cuando la
temperatura es de 30.00°C. (C) Compare su pieza (B) resultado a lo que
obtendría usando cálculos exactos. (Ignore cualquier cambio en la longitud
de la tubería debido a la expansión térmica).SSM
82
• • La tubería de la figura 16-36 se mantiene llena de gas natural
[metano (CH )]. La4tubería está perforada por una línea de pequeños agujeros
separados 1,00 cm en toda su longitud de 2,20 m. Un altavoz forma el cierre en un
extremo del tubo y una pieza sólida de metal cierra el otro extremo. ¿Qué
frecuencia se está reproduciendo en esta imagen? La velocidad del sonido en el
metano a baja presión a temperatura ambiente es de unos 460 m>s.
-
82 (Laboratorio de demostración de la Universidad de
83
• • CTEXTO-RPCISuponga que su clarinete es completamente
lleno de helio y que antes de empezar a jugar llenes tus pulmones de
helio. Tomas el clarinete y lo tocas como si estuvieras tratando de tocar
un si bemol, que tiene una frecuencia de 277 Hz. La frecuencia de 277
Hz es la frecuencia de resonancia natural de este clarinete con todos los
orificios para los dedos cerrados y lleno de aire. ¿Qué frecuencia
escuchas realmente?
84
•••
q
porque[(2norte
2norte
porque 5X
5
1)X]
-
AB
1
término de la suma. Para crear los gráficos segundo y tercero, use solo los
primeros cinco términos y los primeros diez términos, respectivamente. Esta
función a veces se denominaola cuadrada. (B) ¿Cuál es la relación entre esta
función y la serie de Leibnitz parapags,
1
pags
- 14
3
1 1
5 7
A
SSM
• • • SHOJA DE PREPARACIÓNEscribe un hoja de cálculo calcular
y graficar la función
86
4
apecadoX pags
y(x)-
-
4
X
pecado 5X
9
25
1)X
-
AB
1)2
(2norte
norte
por 0
pecado 3X
(-1)norte pecado(2norte
pags a
4pags. Use solo los primeros 25 términos en la suma para cada valor
de X que tramas.
87
•••
SHOJA DE PREPARACIÓNSi aplaudes al final de un largo,
tubo cilíndrico, el eco que escuche de vuelta no sonará como el aplauso; en
cambio, escuchará lo que suena como un silbido, inicialmente a una
frecuencia muy alta, pero descendiendo rápidamente hasta casi nada. Este
"silbato de alcantarilla" se explica fácilmente si piensa en el sonido del
aplauso como una sola compresión que se irradia hacia afuera desde las
manos. Los ecos de la palmada que llegan a su oído han viajado por
diferentes caminos a través del tubo, como se muestra en la figura 16-37. El
primer eco que llega viaja directamente hacia abajo y hacia atrás a lo largo
del tubo, mientras que el segundo eco se refleja una vez fuera del centro del
tubo saliendo y volviendo de nuevo, el tercer eco se refleja dos veces en los
puntos 1>4 y 3>4 de la distancia, etc. El tono del sonido que escuchas refleja
la frecuencia a la que estos ecos llegan a tus oídos. (a) Demuestre que el
tiempo de retardo entre el norteel eco y el (norte
1) el eco es
2
A
v 4
L2-4[2(n-1)]2r2
(2norte)2r2
L2B
dondeves la velocidad del sonido, Les la longitud del tubo y res el radio
del tubo. (B) Usando un hoja de cálculo o calculadora gráfica, grafico
¢tnorte versus norte por L- 90,0 metros, r- 1,00 m. (Estos valores son la
longitud y el radio aproximados del tubo largo en el Exploratorium de
San Francisco). Vaya al menos an-100. (C) A partir de tu gráfico, explica
por qué la frecuencia disminuye con el tiempo. ¿Cuáles son las
frecuencias más altas y más bajas que escuchará en el silbato?
Manos
aplausos
2
1
3
Un alambre de 2.00 m de largo que está fijo en ambos extremos vibra
en su modo fundamental. La tensión en el alambre es de 40,0 N y la
masa del alambre es de 0,100 kg. En el punto medio del alambre, el am-
3
Escribe un hoja de cálculo para calcular esta serie usando un
número finito de términos, y hacer tres gráficos de la función en el
rango X - 0 aX - 4pags. Para crear el primer gráfico, para cada valor
deX que trazas, aproxima la suma den-0 ancon el primero
norte
Michigan.)
4
pags a (-1)norte
porque 3X
norte-0
¢t-
FIGURA 1 6 - 3 6 Problema
4 porqueX
a
pags 1
f(x)-
está viajando a través de su vecindad, y los frentes de onda que viajan a
través de su vecindad son planos verticales. Deja elX la dirección sea al
este y al
y la dirección sea hacia el norte. La ola
FIGURA 1 6 - 3 7Problema
87
PARTE
tercero
TERMODINÁMICA
CAP
1
7
Urgencias
T
CUANDO BEN FRANKLIN FUE A PARÍS, VIO EL
Temperatura y Teoría Cinética
de los Gases
PRIMER VUELO EN GLOBO AEROSTÁTICO
TRIPULADO. LA GENTE HA ESTADO VOLANDO
GLOBOS AEROSTÁTICOS DESDE AHORA.(
Corbis.)
?
17-1 Equilibrio térmico y temperatura de gasTermómetros y la
17-2 escala de temperatura absolutaLa ley de los gases ideales
17-3
17-4 La teoría cinética de los gases
mi
Hasta los niños muy pequeños tienen un conocimiento básico del calor y el frío, pero ¿qué es la
temperatura? ¿De qué es una medida? En el Capítulo 17, comenzamos nuestro estudio de la
temperatura.
Un piloto, un globo aerostático y un buceador deben tener una buena comprensión práctica
de las temperaturas del aire y del agua cuando planifican sus vuelos e inmersiones. Los pilotos y
los aeronautas deben ser conscientes de cómo los cambios en la temperatura del aire afectan la
densidad del aire y los patrones del viento. Los buceadores saben que los cambios en la temperatura
corporal afectan la cantidad de aire que usarán en el transcurso de una inmersión. También entienden la
importancia de igualar la presión sobre sus cuerpos y los gases dentro de sus cuerpos. Para el buzo, el
piloto y el aeronauta, la importancia de cómo se comportan los gases en relación con la temperatura es
vital. Por lo tanto, comenzamos nuestro estudio de la termodinámica con una discusión sobre la
temperatura y un examen de la ley de los gases ideales.
En este capítulo, mostramos que se puede definir una escala de temperatura consistente en
términos de las propiedades de los gases que tienen densidades bajas, y que la temperatura
es una medida de la energía cinética molecular interna promedio de un objeto.
563
¿Por qué sube el globo cuando se calienta
el aire de su interior?
(Consulte el Ejemplo 17-7.)
564
|
CAPÍTULO 1 7
Temperatura y Teoría Cinética de los Gases
17-1 EQUILIBRIO TERMAL
Y TEMPERATURA
Nuestro sentido del tacto generalmente puede decirnos si un objeto está caliente o frío. Sabemos que
para calentar un objeto frío, podemos ponerlo en contacto con un objeto caliente, y para enfriar un
C
objeto caliente, podemos ponerlo en contacto con un objeto frío.
Cuando un objeto se calienta o se enfría, algunas de sus propiedades físicas cambian. Si
se calienta un sólido o un líquido, su volumen suele aumentar. Si se calienta un gas y se
mantiene constante su presión, su volumen aumenta. Sin embargo, si se calienta un gas y
se mantiene constante su volumen, su presión aumenta. Si se calienta un conductor
eléctrico, su resistencia eléctrica cambia. (Esta propiedad se analiza en el Capítulo 25). Una
propiedad física que cambia con la temperatura se llamapropiedad termométrica.Un
cambio en una propiedad termométrica indica un cambio en la temperatura del objeto.
A
B
Suponga que colocamos una barra de cobre caliente en estrecho contacto con una barra de hierro
(a)
frío para que la barra de cobre se enfríe y la barra de hierro se caliente. Decimos que las dos barras están
en contacto térmico.La barra de cobre se contrae levemente cuando se enfría y la barra de hierro se
expande levemente cuando se calienta. Este proceso finalmente se detiene y las longitudes de las barras
permanecen constantes. Las dos barras están entonces enequilibrio termaljuntos.
Supongamos, en cambio, que colocamos la barra de cobre caliente en un chorro de agua
fría. La barra se enfría hasta que deja de contraerse, en el punto en que la barra y el agua
están en equilibrio térmico. A continuación, colocamos una barra de hierro frío en el arroyo,
cerca pero sin tocar la barra de cobre. La barra de hierro se calentará hasta que la barra de
hierro y el agua también estén en equilibrio térmico. Si quitamos las barras y las colocamos
en contacto térmico entre sí, encontramos que sus longitudes no cambian. Están en
equilibrio térmico entre sí. Aunque es de sentido común, no existe una forma lógica de
deducir este hecho, que se denominaley cero de la termodinámica (Figura 17-1):
Si dos objetos están en equilibrio térmico con un tercer objeto, entonces
los tres objetos están en equilibrio térmico entre sí.
LEY CERO DE LA TERMODINÁMICA
Dos objetos están definidos para tener el mismo temperatura si están en equilibrio
térmico entre sí. La ley cero, como veremos, nos permite definir una escala de
temperatura.
EL CENTÍGRADO Y
ESCALAS DE TEMPERATURA FAHRENHEIT
Cualquier propiedad termométrica se puede utilizar para establecer una escala de temperatura. El
termómetro de mercurio común consta de un bulbo de vidrio y un tubo que contiene una
cantidad fija de mercurio.* Cuando este termómetro se pone en contacto con un objeto más
caliente, el mercurio se expande, aumentando la longitud de la columna de mercurio (el vidrio
también se expande, pero por una cantidad insignificante). Podemos crear una escala a lo largo
del tubo de vidrio usando el siguiente procedimiento. Primero, el termómetro se coloca en hielo y
agua en equilibrio.†a una presión de 1 atm. Cuando el termómetro está en equilibrio térmico con
el agua helada, la parte superior de la columna de mercurio se marca en el tubo de vidrio. Esta
marca representa lapunto de hielotemperatura (también llamadapunto de congelación
habitualde agua). A continuación, el termómetro se coloca en agua hirviendo a una presión
* El mercurio es altamente tóxico. Hoy en día, el alcohol se usa comúnmente en los termómetros.
†
El agua y el hielo en equilibrio proporcionan un baño a temperatura constante. Cuando se coloca hielo en agua tibia, el agua se enfría a medida
que parte del hielo se derrite. Finalmente se alcanza el equilibrio térmico y no se derrite más hielo. Si el sistema de agua/hielo se calienta
ligeramente, se derrite una parte más del hielo, pero la temperatura del sistema no cambia mientras quede algo de hielo.
A
B
(B)
FIGURA
17-1
La ley cero de
termodinámica. (a) Los sistemas A y B están
en contacto térmico con el sistema C, pero no
entre sí. Cuando A y B están cada uno en
equilibrio térmico con C, están en equilibrio
térmico entre sí, lo que puede comprobarse
poniéndolos en contacto entre sí como en la
parte (B).
Equilibrio Térmico y Temperatura
SECCIÓN 1 7 - 1
de 1 atm. Cuando el termómetro está en equilibrio térmico con el agua hirviendo, se marca la
parte superior de la columna de mercurio. Esta marca representa latemperatura del punto de
vapor(también llamado elpunto de ebullición normalde agua).
El escala de temperatura centigradosdefine la temperatura del punto de hielo como
cero grados centígrados (0°C) y la temperatura del punto de vapor como 100°C. El espacio
entre las marcas de 0 y 100 grados se divide en 100 intervalos iguales (grados). Las marcas
de grado también se extienden por debajo y por encima de estos puntos. SiL
t
es la longitud de la columna de mercurio, la temperatura centígrada t
es dado por
C
t-C
L-L
t
0
L-L
100
17-1
100°
0
dondeLes0 la longitud de la columna de mercurio cuando el termómetro está en un baño de
hielo y L
es su longitud cuando el termómetro está en un baño de vapor. Lo normal
100
La temperatura del cuerpo humano medida en la escala centígrada es de unos 37°C.
Una deficiencia de la escala centígrada es que depende de la propiedad termométrica de
algún material, como el mercurio. Una mejora es la escala Celsius, discutida en la Sección
17-2, que está en estrecho acuerdo con la escala centígrada. (Tan cercano es el acuerdo
entre estas dos escalas que muchos se refieren a la escala Celsius como la escala
centígrada).
Históricamente, el Escala de temperatura Fahrenheit (ampliamente utilizado en
los Estados Unidos) define la temperatura del punto de hielo como 32 °F y la
temperatura del punto de vapor como 212 °F.* Para convertir temperaturas entre
escalas Fahrenheit y centígradas, observamos que hay 100 grados centígrados y 180
grados entre los puntos de hielo y vapor. Por lo tanto, un cambio de temperatura de
un grado centígrado equivale a un cambio de 1,8 - 9>5 grados Fahrenheit. Para
convertir una temperatura de una escala a otra, también debemos tener en cuenta
que las temperaturas cero de las dos escalas no son las mismas. La relación general
entre una temperatura Fahrenheitt
y temperatura centigradates C
F
tC -
(ot
(t-32°)
5
9F
F
-
9
5 tC
17-2
32°)
CONVERSIÓN FAHRENHE IT–CENT IGRADO
Hoy, definimos la escala Fahrenheit usando la Ecuación 17-2, contelCelsius
C
temperatura.
Conversión de temperaturas Fahrenheit y Celsius
Ejemplo 17-1
Vivian mide la temperatura de su hijo enfermo de seis meses con un termómetro Celsius y encuentra que
es de 40,0°C. Luego telefonea al médico para pedirle consejo. Cuando le da al médico la temperatura del
bebé, el médico pregunta: "¿Cuánto es eso en Fahrenheit?" Ella hace la conversión usando la Ecuación
17-2 y dice “102°F”. ¿Convirtió correctamente de Celsius a Fahrenheit?
IMAGEN Resolver t
F
mediante el uso
t-5 9(t-32°)
C
F
(Ecuación 17-2), donde t
C
- 40,0°.
RESOLVER
1. Resolver t C
-
2. Sustituto t
5
9(t-32°)
C
F
(Ecuación 17-2) para ten términos
det:
F
- 40.0°C:
C
t-F 9
5 tC
tF -
9
32°
5 (40,0°)
32° -
104°F
La estimación de Vivian tiene un error de 2°F.
CHEQUE La temperatura de 40°C está a 0,4 del camino entre 0°C y 100°C, y la temperatura de 72°F está a
0,4 del camino entre 0°F y 180°F. Por lo tanto, esperamos que la temperatura Fahrenheit sea de 72 °F 32
°F - 104 °F, lo que verifica nuestro resultado del paso 2.
PROBLEMA DE PRÁCTICA 17-1 (a) Encuentra la temperatura Celsius equivalente a 68°F. (B) Encuentra la
temperatura Fahrenheit equivalente a -40°C.
* Cuando el físico alemán Daniel Fahrenheit ideó su escala de temperatura, quería que todas las temperaturas medibles fueran
positivas. Originalmente eligió 0°F para la temperatura más fría que pudo obtener con una mezcla de hielo y agua salada y 96°F (un
número conveniente con muchos factores para la subdivisión) para la temperatura del cuerpo humano. Luego modificó
ligeramente su escala para convertir las temperaturas del punto de hielo y del punto de vapor en números enteros. Esta
modificación resultó en que la temperatura promedio del cuerpo humano estuviera entre 98° y 99°F.
|
565
566
|
CAPÍTULO 1 7
Temperatura y Teoría Cinética de los Gases
Se pueden usar otras propiedades termométricas para
configurar termómetros y construir escalas de
temperatura. La figura 17-2 muestra una tira bimetálica
que consta de dos metales diferentes unidos entre sí.
Cuando la tira se calienta o se enfría, se dobla para
acomodar la diferencia en la expansión térmica de los dos
metales. La figura 17-3 muestra un termómetro que
consta de una bobina bimetálica con un puntero adjunto
para indicar la temperatura. Cuando el termómetro se
calienta, la bobina se dobla y la aguja se mueve. Al igual
que los termómetros de mercurio, se calibra dividiendo el
intervalo entre el punto de hielo y el punto de vapor en
100 grados centígrados (o 180 grados Fahrenheit).
FIGURA 1 7 - 2Una
expanden o contraen en cantidades
diferentes, lo que hace que la tira se
doble.
Bombilla de vidrio
interruptor de mercurio
bimetálico
bobina de tira
Diapositiva
palanca
(a)
FIGURA 1 7 - 3(a)
(B)
Un termómetro que utiliza una tira bimetálica en forma de bobina. (El puntero rojo está unido a un extremo de la bobina). Cuando la
temperatura de la bobina aumenta, la aguja gira en el sentido de las agujas del reloj porque el metal exterior se expande más que el metal interior. (B) Un
termostato doméstico controla el aire acondicionado central. Cuando el aire se calienta, la bobina se expande, la bombilla de vidrio montada en ella se
inclina y el mercurio en el tubo se desliza para cerrar un interruptor eléctrico y encender el aire acondicionado. Una palanca deslizante (en la parte inferior
derecha), que se usa para girar el soporte de la bobina, se usa para establecer la temperatura deseada. El circuito se romperá cuando el aire más frío haga
que la bobina bimetálica se contraiga.((a) Cortesía de Taylor Precision Products. (b) Richard Menga/ Fotografías Fundamentales.)
17-2TERMÓMETROS A GAS Y
LA ESCALA DE TEMPERATURA ABSOLUTA
Cuando diferentes tipos de termómetros centígrados se calibran en agua helada y vapor,
coinciden (por definición) en 0°C y 100°C, pero dan lecturas ligeramente diferentes en puntos
intermedios. Las discrepancias aumentan notablemente por encima del punto de vapor y por
debajo del punto de hielo. Sin embargo, en un grupo de termómetros, los termómetros de gas,
las temperaturas medidas concuerdan estrechamente entre sí, incluso lejos de la
tira bimetálica. Cuando se
calientan o se enfrían, los dos metales se
Termómetros de gas y la escala de temperatura absoluta
puntos de calibración. en untermómetro de gas de volumen constante,el volumen de gas
se mantiene constante y el cambio en la presión del gas se usa para indicar un cambio en la
temperatura (Figura 17-4). Una presión de punto
de hieloPAGS y la presión del
punto de
0
100
vaporPAGS se determinan colocando el termómetro en baños de hielo-agua y agua-vapor, y
el intervalo entre ellos se divide en 100 grados iguales (para la escala centígrada). Si la
presión esPAGS ent un baño cuya temperatura se va a determinar, esa temperatura en
grados centígrados se define como
t-C
P-P
t
P-P
100
0
17-3
100°C
567
h
0
B1
B2
B3
0
TERMÓMETRO DE GAS DE VOLUMEN CONSTANTE DE GRADO CENTÍFICO
|
SECCIÓN 1 7 - 2
Gas
Mercurio
Supongamos que medimos una temperatura específica, digamos el punto de ebullición del
azufre a 1 atm de presión, utilizando cuatro termómetros de gas de volumen constante, cada uno
con uno de cuatro gases: aire, hidrógeno, nitrógeno u oxígeno. Los termómetros están calibrados,
yPAGS 0se determinan para cada uno. Cada ter100
Luego se sumerge el termómetro en azufre hirviendo, y cuando está en equilibrio térmico
con el azufre, se mide la presión en el termómetro. Luego, la temperatura se calcula usando
la Ecuación 17-3. ¿Este proceso dará el mismo resultado para cada uno de los cuatro
termómetros? Sorprendentemente quizás, la respuesta es sí. Los cuatro termómetros
miden la misma temperatura siempre que la densidad del gas en cada uno sea
suficientemente baja.
lo que significa valores paraPAGS
Una medida de la densidad del gas en el termómetro es su presión en el punto de
vapor, PAGS . Si100
variamos la cantidad de gas en un termómetro de gas de volumen
constante, agregando o quitando gas, cambiamos ambos PAGS 100 yPAGS .0Como son-
Por lo tanto, cada vez que se varía la cantidad de gas, se debe recalibrar el termómetro. La figura
17-5 muestra los resultados de las mediciones del punto de ebullición del azufre usando cuatro
termómetros de gas de volumen constante, cada uno lleno de aire, hidrógeno, nitrógeno u
Flexible
tubo
Un gas a volumen constante
FIGURA 1 7 - 4
termómetro. El volumen se mantiene constante
subiendo o bajando el tubo B para
que el mercurio
3
en el tubo B permanezca
en la marca cero. La
2
temperatura se elige para que sea proporcional a la
presión del gas en el tubo B, que está indicada
por la
1
alturahde la columna de mercurio en el tubo B.
3
oxígeno. Para cada termómetro, la temperatura medida se representa en función de la presión
del punto de vapor.PAGS del termómetro.
A medida que se reduce la cantidad de un gas, su
100
densidad y la presión del punto de vapor disminuyen.
Vemos que cuando se utilizan bajas densidades de gas (pequeñas PAGS
), los
100
t, °C
acerca a cero, todos los termómetros de gas dan el mismo valor para la temperatura
446.0
de ebullición del azufre. Esta medición de temperatura de baja densidad es
445.5
independiente de las propiedades de cualquier gas en particular. Por supuesto, no
445.0
Aire
444.5
norte2
termómetros están muy de acuerdo. En el límite, cuando la densidad del gas se
hay nada especial en el punto de ebullición del azufre. Los termómetros de gas de
volumen constante que tienen bajas densidades de gas están de acuerdo a cualquier
temperatura. Por lo tanto, los termómetros de gas de volumen constante que
t.La
figura 17-6 muestra un gráfico de la presión del gas frente a la presión medida.
C
0.5
FIGURA 1 7 - 5
1.0
1.5PAGS100, Cajero automático
Temperatura del punto de ebullición del azufre.
medida con termómetros de gas de volumen constante llenos de varios
gases. Al aumentar o disminuir la cantidad de gas en el termómetro varía
la presiónPAGS en el punto de vapor del100
agua. A medida que se reduce la
cantidad de gas, la temperatura del punto de ebullición del azufre medida
por todos los termómetros se acerca al valor de 444,60°C. Tenga en
cuenta que el eje de temperatura muestra un rango de temperaturas de
PAGS
– 273.15°C
H2
444.0
contienen bajas densidades de gas se pueden usar para definir la temperatura.
Ahora considere una serie de mediciones de temperatura utilizando un
termómetro de gas de volumen constante que tiene una cantidad de gas
muy pequeña pero fija. De acuerdo con la Ecuación 17-3, la presión en el
termómetroPAGSt varía linealmente con la temperatura medida
O2
444 °C a 446 °C.
t
FIGURA 1 7 - 6Gráfica de presión versus
temperatura para un gas, medida por un
termómetro de gas de volumen constante.
Cuando se extrapola a presión cero, la gráfica
intersecta el eje de temperatura en el valor
- 273,15°C.
568
|
CAPÍTULO 1 7
Temperatura y Teoría Cinética de los Gases
temperatura en un termómetro de gas de
volumen constante. Cuando extrapolamos
esta línea recta a presión de gas cero, la
temperatura se aproxima a -273.15°C. Este
límite es el mismo sin importar qué tipo de
gas se use.
FIGURA
1 7 - 7 El agua en su punto triple.
El matraz esférico contiene agua líquida, hielo y
vapor de agua en equilibrio térmico. (Richard
Menga/Fotografías Fundamentales.)
Un estado de referencia que es
reproducible con mucha más precisión que los
puntos de hielo o vapor es elpunto triple del
agua—la temperatura y presión únicas a las
que el agua, el vapor de agua y el hielo
coexisten en equilibrio (vea la figura 17-7).
Este estado de equilibrio se produce en
!
4,58 mmHg y 0,01°C. Elescala de temperatura
de gas ideal se define de modo que la
273,16 Kelvin (K). La temperaturaT de cualquier otro estado se define como proporcional a
la presión en un termómetro de gas de volumen constante:
PAGS
T3
PAGS
3
17-4
TERMÓMETRO DE TEMPERATURA DE GAS IDEAL DE VOLUMEN CONSTANTE
dondePAGS es la presión observada del gas en el termómetro,PAGS es3 la presión
cuando el termómetro se sumerge en un baño de agua-hielo-vapor en su punto triple,
yT-273,16
K (la temperatura del punto triple). El valor dePAGS depende
de la cantidad
3
3
de gas en el termómetro.
El grado Celsius es una unidad de grado que tiene el mismo tamaño que el kelvin, pero
el punto cero delescala Celsiusdifiere del punto cero de la escala de temperatura del gas
ideal. Por definición, el cero en la escala Celsius corresponde a una temperatura de gas
ideal de exactamente 273,15 K.
La temperatura más baja que se puede medir con un termómetro de gas de volumen
constante es de aproximadamente 20 K y requiere helio para el gas. Por debajo de esta
temperatura, el helio se licua; todos los demás gases se licuan a temperaturas más altas
(tabla 17-1). En el Capítulo 19, vemos que la segunda ley de la termodinámica se puede usar
para definir laescala de temperatura absolutaindependiente de las propiedades de
cualquier sustancia, y sin limitaciones en el rango de temperaturas que se pueden medir.
Temperaturas tan bajas como 10-10kelvin han sido medidos. La escala absoluta así definida
es idéntica a la definida por la Ecuación 17-4 para el rango de temperaturas en el que se
pueden usar los termómetros de gas. El símboloT se utiliza cuando se refiere a la
temperatura absoluta.
Como el grado Celsius y el kelvin tienen el mismo tamaño, la temperaturadiferenciasson
iguales tanto en la escala Celsius como en la escala de temperatura absoluta (también llamada
escala Kelvin). Es decir, una temperaturacambiode 1 K es idéntica a una temperaturacambiode
1°C. Las dos escalas se diferencian únicamente en la elección de la temperatura cero. Para
convertir de grados Celsius a Kelvin, simplemente sumamos 273,15:*
T-t
C
definida por la ecuación 17-4, tiene la
ventaja de que cualquier temperatura medida
temperatura del estado del punto triple es
T-
La escala de temperatura de gas ideal,
17-5
273.15K
CONVERSIÓN CELS IUS–ABSOLUTO
Aunque las escalas Celsius y Fahrenheit son convenientes para el uso diario, la escala
absoluta es mucho más conveniente para fines científicos, en parte porque muchas
fórmulas se expresan de manera más simple usándola y en parte porque la temperatura
absoluta puede tener una interpretación fundamental.
* Para la mayoría de los propósitos, podemos redondear la temperatura del cero absoluto a -273°C.
no depende de las propiedades del gas
particular que se usa, sino que depende solo
de las propiedades generales de los gases.
!
Tenga en cuenta que la unidad de
temperatura SI, el kelvin, no es un grado y
no está acompañada por un símbolo de grado.
Tabla 17-1
Las temperaturas de
Varios lugares y
Fenómenos
Temperatura (K)
1010
109
108
107
106
105
104
103
102
101
100
10−1
10−2
10−3
10−4
10−5
10−6
10−7
10−8
10−9
10−10
supernova
Bomba de hidrogeno
Interior del Sol
Corona solar
La superficie del Sol
Cobre se derrite
El agua se congela
Nitrógeno líquido
Hidrógeno líquido
helio liquido
Él3 se vuelve superfluido
bose-einstein
condensar
Temperatura más baja
logrado
La ley de los gases ideales
Ejemplo 17-2
SECCIÓN 1 7 - 3
|
569
Convertir de Kelvin a Fahrenheit
El superconductor de "alta temperatura" YBa Cu
O3 7 se vuelve superconductor cuando el
2
la temperatura se reduce a 92 K. Encuentre la temperatura umbral superconductora en
grados Fahrenheit.
IMAGEN Primero, convierte a grados Celsius, luego a kelvins.
RESOLVER
T-t
1. Convertir de kelvins a grados Celsius:
entonces
tC -
2. Para encontrar la temperatura Fahrenheit
usamos
t-95(t-32°)
(Ecuación 17-2):
C
F
entonces
C
92 -t
273.15
C
273.15⇒ t - C-181,15°C
5
(t-32°)
F
9
- 181,15° - 5 9(t-32°)
⇒ t - -294°F
F
F
CHEQUE Una temperatura de 92 K está más cerca de 0 K que de 273 K, por lo que deberíamos esperar que la
temperatura Fahrenheit sea considerablemente inferior a 32 °F. Nuestro resultado cumple con esta expectativa.
(Departamento de Energía de EE. UU.)
17-3 LA LEY DEL GAS IDEAL
Las propiedades de las muestras de gas que tienen bajas densidades condujeron a la definición
de la escala de temperatura del gas ideal. Si comprimimos dicho gas manteniendo constante su
temperatura, la presión aumenta. De manera similar, si un gas se expande a temperatura
constante, su presión disminuye. En una buena aproximación, el producto de la presión y el
volumen de una muestra de gas que tiene una baja densidad es constante a una temperatura
constante. Este resultado fue descubierto experimentalmente por Robert Boyle (1627-1691), y se
información sobre
Directo e Inverso
conoce comoLey de Boyle:
fotovoltaica-constante
Ver
MatemáticasTutorialpara más
Dimensiones
(temperatura constante)
Existe una ley más general que reproduce la ley de Boyle como un caso especial. De acuerdo con
la Ecuación 17-4, la temperatura absoluta de una muestra de gas que tiene una densidad baja es
proporcional a su presión a volumen constante. Además, la temperatura absoluta de una muestra
de gas de baja densidad es proporcional a su volumen a presión constante. Este resultado fue
descubierto experimentalmente por Jacques Charles (1746–1823) y Joseph Gay-Lussac (1778–
1850). Podemos combinar estos dos resultados afirmando
17-6
fotovoltaica - TC
dondeC es una constante que tiene valor positivo. Podemos ver que esta constante es
proporcional al número de moléculas de la muestra de gas considerando lo siguiente.
Supongamos que tenemos dos recipientes que tienen volúmenes idénticos, cada uno
conteniendo la misma cantidad del mismo tipo de gas a la misma temperatura y presión. Si
consideramos los dos contenedores como un solo sistema, tenemos el doble de la cantidad
de gas al doble del volumen, pero a la misma temperatura y presión. Hemos duplicado así
la cantidadfotovoltaica>T-Cduplicando la cantidad de gas. Por lo tanto, podemos escribir C
como una constantek veces el númeronortede moléculas en el gas:
Las manchas solares aparecen en la superficie del Sol
cuando las corrientes de gases brotan lentamente desde
C - kN
el interior de la estrella. La “flor” solar tiene 10,000 millas
de diámetro. La variación de temperatura, indicada por
La ecuación 17-6 entonces se convierte en
17-7
PV - NkT
El constante k se llamaconstante de Boltzmann.Experimentalmente se encuentra que tiene el
mismo valor para cualquier tipo de gas:
k-1.381 10-23J>K - 8.617
cambios de color mejorados por computadora, no se
entiende completamente. La porción central de la mancha
solar es más fría que las regiones exteriores, como lo
indica el área oscura. La temperatura en el centro del Sol
es del orden de 107K, mientras que en la superficie la
10-5eV>K
17-8
temperatura es de sólo unos 6000 K.(NASA.)
570
|
CAPÍTULO 1 7
Temperatura y Teoría Cinética de los Gases
Una cantidad de gas a menudo se expresa en moles. Alunar(mol) de cualquier sustancia es la
cantidad de esa sustancia que contieneEl número de Avogadro,norte, de partículas
(como
A
átomos o moléculas). El número de Avogadro se define como el número de átomos de carbono en
exactamente 12 g (1 mol) de12C:
norte6.022
A
17-9
1023mol-1
EL NÚMERO DE AVOGADRO
si tenemosnorte moles de una sustancia, entonces el número de moléculas es
N - nN
17-10
A
La ecuación 17-7 es entonces
17-11
fotovoltaicaA-nN kT - nRT
dondeR - Nkse Allama el constante universal de gas.Su valor, que es el mismo para todos
los gases, es
R-N k-8.314
J>(mol# K) - 0,08206 litros# atm>(mol# k)
A
La figura 17-8 muestra gráficos defotovoltaica>(Nuevo Testamento)contra la presión
PAGS para varios gases. Para todos los gases,fotovoltaica>(Nuevo Testamento)es casi
17-12
PAGS V
Nuevo Testamento, J/ mol• k
constante en un amplio rango de presiones. Incluso el oxígeno, que varía más en este
8.314 J/ mol• k =R
8.60
gráfico, cambia solo alrededor del 1 por ciento entre 0 y 5 atm. Un gas idealse define como
H2
8.40
un gas para el cualfotovoltaica>(Nuevo Testamento)es constante para todas las presiones.
8.314
La presión, el volumen y la temperatura de un gas ideal están relacionados por
norte2
8.20
CO
8.00
7.80
17-13
fotovoltaica-nRT
LEY DE LOS GASES IDEALES
Ecuación 17-13, que relaciona las variablesP, V,yT,se conoce como la ley
de los gases ideales y es un ejemplo de unaecuación de estado.Puede
describir las propiedades de los gases reales que tienen bajas densidades
(y, por lo tanto, bajas presiones). Se deben hacer correcciones a esta
ecuación si se usan densidades más altas de gases. En el Capítulo 20,
5
FIGURA 1 7 - 8Lote
10 15 20
25 30 35 40PAGS, Cajero automático
defotovoltaica>nTversus PAGS para gases reales. En estos
gráficos, al variar la cantidad de gas, varía la presión. El radioPV>nTse
aproxima al mismo valor, 8.314 J>(mol# K), para todos los gases a
medida que reducimos sus densidades, y por lo tanto sus presiones, de
los gases. Este valor es la constante universal de los gases.r
discutimos otra ecuación de estado, la ecuación de van der Waals, que incluye dichas
correcciones. Para cualquier densidad de gas, hay una ecuación de estado que relacionaP, V,yT
para una cantidad dada de gas. Así, el estado de una cantidad dada de gas está completamente
especificado por el conocimiento de dos cualesquiera de los tresVariables de estadoP, V, yt
PRESIONES PARCIALES
El aire seco es aproximadamente un 21 por ciento de oxígeno y un 79 por ciento de nitrógeno. Los
buceadores suelen utilizar aire enriquecido con oxígeno (llamado nitrox) porque prolonga el tiempo de
inmersión. Para inmersiones muy profundas, se usa una mezcla de oxígeno y helio (llamada heliox)
porque esta mezcla reduce la posibilidad de que un buzo sufra narcosis por nitrógeno.
Si tenemos una mezcla confinada de dos o más gases, y si la mezcla está lo suficientemente
diluida (para que cada gas pueda modelarse como un gas ideal), entonces podemos pensar que
cada gas ocupa todo el volumen del recipiente. Esto se debe a que el volumen de las moléculas
individuales del gas es insignificante en comparación con el volumen del espacio vacío que las
rodea. La presión total ejercida por la mezcla es la suma de las presiones individuales,
denominadaspresiones parciales, ejercida por cada uno de los
O2
SECCIÓN 1 7 - 3
La ley de los gases ideales
gases individuales en la mezcla. Además, la presión parcial de cada gas en la
mezcla es la presión que ejercería si ocupara solo el recipiente. Este resultado (la
presión total es la suma de las presiones parciales) se denominaLey de presiones
parciales.
ESTRATEGIA DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Gases diluidos
IMAGEN Un gas diluido es aquel para el cual el modelo de gas ideal da resultados
suficientemente precisos. Las variables son presión, volumen, temperatura, masa y/o
la cantidad de sustancia (número de moles).
RESOLVER
1. Aplicar la ley de los gases ideales, fotovoltaica-nRT, a cada gas diluido. Asegúrese de usar
la temperatura absoluta y la presión absoluta.
2. Para una mezcla de gases diluidos, la ley de los gases ideales se aplica a cada gas
en la mezcla, el volumen de cada gas en la mezcla es el volumen del recipiente y
la presión de cada gas es la presión parcial de ese gas. . La presión de la mezcla
es la suma de las presiones parciales de los gases constituyentes.
3. Relaciones útiles adicionales son R - N k, N
- nN , ym-nM,
dondek es la
A
A
constante de Boltzmann, nortees el número de moléculas, metro es la masa
del gas, y METRO es la masa molar.
4. Resuelva para la cantidad deseada.
CHEQUE La presión, el volumen y la temperatura nunca pueden ser negativos.
Ejemplo 17-3
Mezclando los Gases
Un tanque de 20 L de oxígeno está a una presión de 0.30PAGS
, y un tanque de nitrógeno de 30 L está a
en
una presión deen
0.60PAGS . La temperatura de cada gas es de 300 K. Luego, el oxígeno se transfiere al
tanque de 30 L que contiene el nitrógeno, donde los dos se mezclan. ¿Cuál es la presión de la mezcla si su
temperatura es de 300 K?
IMAGEN El volumen final de ambos gases es de 30 L. Las temperaturas iniciales de ambos gases son
iguales. Por lo tanto, podemos usar la ley de Boyle
(PV
- PV)para encontrar la presión parcial de cada gas
yo
f
en la mezcla. Luego, usamos la ley de presiones parciales para encontrar la presión de la mezcla.
RESOLVER
1. La presión de la mezcla es la suma de las presiones parciales de los
dos gases:
2. Las temperaturas inicial y final de los gases son las mismas. Entonces, usando la
ley de Boyle, encontramos las presiones parciales de los gases:
3. El volumen final del oxígeno es de 30 L (al igual que el volumen final del
nitrógeno):
P-P
V
fotovoltaica - fotovoltaica ⇒ PAGS -
yo
PAGS
O2
PAGS
N2
4. La presión es la suma de las presiones parciales:
PAGS
N2
O2
P-P
F F
VI
VF
VI
VF
O2
F
I
I
PAGS -
20 litros
0.30PAGS en
30L
0.20PAGS
PAGS -
30L
30L
0,60PAGS
I
I
0,60PAGS
en
PAGS
- 0.20PAGSen
N2
CHEQUE Esperamos un aumento en la presión en el tanque de 30 L cuando se le transfiere el oxígeno.
Esta expectativa se cumple con nuestro resultado final (0.80PAGSenrepresenta un aumento de presión de
0,20PAGSen).
PAGS
VF
-
en
en
0,60PAGS
en
0.80PAGSen
|
571
|
572
CAPÍTULO 1 7
Temperatura y Teoría Cinética de los Gases
Volumen de un gas ideal
Ejemplo 17-4
¿Qué volumen ocupa 1,00 mol de un gas ideal a una temperatura de 0,00 °C y una presión
de 1,00 atm?
IMAGEN Utilice la ley de los gases ideales para determinar el volumen ocupado por el gas ideal.
RESOLVER
V-
Podemos encontrar el volumen usando la ley de los gases
ideales, conT-273 K:
CHEQUE Tenga en cuenta que al escribirRen L
(1.00 mol)[0.0821 L # atm>(mol# K)](273.15 K)
nRT
PAGS
1,00 atm
# atm>(mol# K), podemos escribirPAGS en atmósferas para conseguirV en
litros
PROBLEMA DE PRÁCTICA 17-2Encontrar (a) el número de molesnorte,y (B) el número de moléculas
norteen 1,00 cm3 de un gas a 0.00°C y 1.00 atm.
-
-
22,4 litros
VERIFICACIÓN DE CONCEPTOS 17-1
Dos dormitorios de tamaño idéntico en una suite,
el de Toni y el de Keisha, están conectados por una
puerta abierta. La habitación de Toni, que tiene
La temperatura de 0 °C - 273,15 K y la presión de 1 atm a menudo se
denominantemperatura y presión estándar (STP),o solocondiciones estándar.
En el ejemplo 17-4 vemos que, en condiciones estándar, 1 mol de un gas ideal
ocupa un volumen de 22,4 L.
aire acondicionado, está 5.0 °C más fría que la
habitación de Keisha. ¿De quién es la habitación
que tiene más aire?
PAGS
La figura 17-9 muestra gráficos dePAGS versus V a varias temperaturas constantestEstas
curvas se llamanisotermasLas isotermas de un gas ideal son hipérbolas. Para una cantidad fija de
gas, podemos ver a partir de la ley de los gases ideales (ecuación 17-13) que la cantidad
fotovoltaica>Tes constante Usando los subíndices 1 para los valores iniciales y 2 para los valores
finales, tenemos
2 2-
fotovoltaica
T2
fotovoltaica=nRT
fotovoltaica
11
17-14
T1
T1
LEY DEL GAS IDEAL PARA CANTIDAD FIJA DE GAS
Ejemplo 17-5
T2
T3
Calentar y comprimir un gas
V
Un gas tiene un volumen de 2.00 L, una temperatura de 30.0°C y una presión de 1.00 atm. Cuando el gas
FIGURA 1 7 - 9isotermas
se calienta a 60.0°C y se comprime a un volumen de 1.50 L, ¿cuál es su nueva presión?
un gas. Para un gas ideal, estas curvas son hipérbolas
dadas porfotovoltaica-nRT. (La ecuación genérica para
IMAGEN Debido a que la cantidad de gas es fija, la presión se puede encontrar usando la Ecuación 17-14. Deje
que los subíndices 1 y 2 se refieran a los estados inicial y final, respectivamente.
RESOLVER
1. Expresar la presiónPAGS en2 términos dePAGS
y los volúmenes y
1
temperaturas iniciales y finales:
en elfotovoltaica Diagrama de
1 1-
fotovoltaica
una hipérbola que se aproxima asintóticamente a los
ejes de coordenadas esxy -constante.)
fotovoltaica
22
T1
T2
televisión
PAGS -
2
2. Calcular las temperaturas absolutas inicial y final:
3. Sustituya los valores numéricos en el paso 1 para encontrarPAGS :
2
PAGS
21
televisión1
12
T-273.15
1
30.0 - 303.15 K
T-273.15
2
60,0 - 333,15 K
PAGS -
2
(333,15 K)(2,00 L)
(303,15 K)(1,50 L)
CHEQUE Calentar un gas y comprimir un gas tienden a aumentar la presión. Por lo tanto, esperamos que
la presión supere la presión inicial de 1,00 atm. Nuestro resultado de 1,47 atm cumple con esta
expectativa.
PROBLEMA DE PRÁCTICA 17-3¿Cuántos moles de gas hay en el sistema descrito en este
ejemplo?
(1,00 atm) -
1,47 atm